Mate 6to 1B Prim PDF

 

8-4=

16

 4  2

2+5=

6 PRIMARIA 

Tu Nombre:

Tu Sección:

 

G E  N  E  R  A  L

Pág. Álgebra

05

Aritmética

31

Geometría

55

Razonamiento Matemá Matemático tico

79

 

 A   Á LGEBR  Primer Bimestre

6 PRIMARIA 

 

Pág. Operaciones con números enteros Z

07

Potenciación I: Exponente natural y base entera

10

Potenciación Pot enciación II: Exponente y bases especiales

13

Potenciación Pot enciación III: Leyes de exponentes

16

Potenciación IV IV:: Leyes de exponentes

19

Potenciación V

22

Radicación I

25

Repaso

28

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Operaciones con números enteros Z Adición en 

 

Signos iguales: sumo: 15 + 23 = 38

 

–15 – 23 = –38

Z 

Z 

 

  –43 + 21 = –22

Antepongo el signo común al resultado

Antepongo el signo del número mayor (sin tomar en cuenta el signo): 43

Multiplicación en 

División en  Ley de signos:

Ley de signos: +

+

+ = + - = +

-

- = +

+

- = -

+

- = -

-

+ = -

-

+ = -

Ejemplos: - 15

(8)(–9) = –72

= +3 o

3

-5

Operaciones combinadas   

+ = +

-

Ejemplos: ((–3)(–12) )= +36 o 36

Z 

Signos diferentes: resto: 43 – 21 (sin tomar en cuenta el signo)

Sin signos de colección: –20 + 13 – 6 + 10 – 9

   

Ejemplo: P = 15 – {–18 –(–12 + 15)} P = 15 – {–18 – (+ 3

Agrupo → + 13 + 10 – 20 – 6 – 9

 

  Sumo → 

+ 23

– 35

   

  Resto

→ 

– 12

Z 

Con signos de colección:

 

Cuando existen algunos signos de colección dentro de otros, se debe operar de adentro hacia afuera. 6to PRIMARIA

)}

Multiplico P = 15 – {–18 – 3}

-

+ = -

P = 15 – {–21}   -

    7

- = +

Multiplico P = 15 + 21 P = 36 Álgebra

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Trabajando en clase Nivel básico 1. Determina el valor de A + 3, si: A = 40 – 16 + 12 + 60 – 15 Resolución:    

6. Calcula: R = (11) –(–25)(+3) + (–80) ÷ (+4) 7. Calcula: B = (–8 – 2)(–5 + 2) – (–5)(–3) + 20  

A = 40 – 16 + 12 + 60 – 15 A = 40 + 12 + 60 – 16 – 15

Nivel avanzado

A= 112 – 31 A = 81 \A + 3 ⇒ 81 + 3 = 84

8. Resuelve:   S = 45 – [– (– 46 + 41) + (–2 – 16)] Resolución: S = 45 – [–(–46 + 41) + (–2 – 16)]   S = 45 – [–(–5) + (–18)]   Multiplico signos S = 45 – [+5 – 18]   S = 45 – [–13]   Multiplico - - = + S = 45 + 13 S = 58

2. Calcula el valor de B – 10, si:   B = –24 + 80 – 60 + 12 – 32 3. Calcula el valor de Q – 5, si:   Q = –35 + 30 – 35 + 48 – 12 4. Si: M = –12 – 8 – 4: C = –17 + 20   Calcula: M – C. Nivel intermedio 5. Calcula: P = (–5)(12) – (–35)(–4) + (–100) ÷ (–25) Resolución: P = (–5)(12) – (–35)(–4) + (–100) ÷ (–25)   P = –60 – (+140) + (+4)   Multiplico P = –200 + 4 P = –196

Respuesta: 58

9. Resuelve:   E = 56 – [–(18 – 20) + (–93 – 4)] 10. Calcula:   A = –{57 – [45 + 3 – 91] –36 – 58}

Respuesta: –196

Álgebra

 

8

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando 11 Calcula el valor valor de R - 9, si: si:   R = -20 +12 – 72 + 23 -10 a) 8 b) c) d) e)

17 Calcula:   N = (-6 +2)(-3+4) + (14)(-2) - 16 a) 10

-33 34 46 -46

b) c) d) e)

12 Si: A = -11 – 3 – 5 y B = -14 + 20 a) -3 b) -4 c) 25 d) -25 e) 5

18 Calcula:   Q = (-5-8-1)(-10+7-3) +24 a) 10 b) 105 c) 108 d) -108 e) 111

13 Si: P = -12 -12 + 8 y Q = -9 + 3 - 5   Calcula P+ Q a) b) c) d) e)

19 Resuelve:   Z = (-50) ÷ (5) – (-6)(5) + (-8)(9) a) 12 b) 63 c) 52 d) -52 e) -64

8 -13 -15 15 18

14 Calcula el valor valor de A + 7, si: si: a) 38 b) -38 c) 31 d) -20 e) 4

20 Calcula:   T = (-2)(14) – (-12)(10) – (48) ÷ (-6) a) -100 b) 100 c) 104 d) 105 e)

15 Calcula:   R = (-3)(10) – (20)(-3) + (-60) ÷ (2) a) 110 b) 130 c) -120 d) 120 e) -150

-10

21 Calcula:   F = -{60 – [25 + 3 – 28] – 26 - 48} a) 5 b) -5 c) 14 d) -14 e) 13

16 Calcula:   A = (20 – 27)(-9 + 3)-(-5)(-8) + 20 a) 5 b) 24 c) -22 d) 22 e) 21 6to PRIMARIA

17 -17 16 -16

9

Álgebra

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Potenciación I: Exponente natural y base entera La potenciación es la operación que consiste en multiplicar un número, llamado base, tantas veces como lo indica otro número, llamado exponente. exponente n a = P potencia base Ejemplo: 23 = 2´ 2 ´2 = 8 

3 veces

A. Si la base es positiva Ejemplos: Y  Y 

 242 = 16 5  = 25 9 Y   1  = 1 3 Y  5  = 125

+

Par/impar

= +

B. Si la base es negativa 1. Exponente par   Ejemplos:   (–2)  (–2)4 = 16   (–3)  (–3)4 = 81 ● ●

\

 

-

Par

= +

2. Exponente impar Ejemplos:   (–3)3 = –27   (–2)5 = –32 ● ●

\

-

Impar

= -

Trabajando en clase 2. Calcula: F = 52 – 72 + 42

Nivel básico 3 1. Calcula: A = 4  + 32 – 18 Resolución: A = 43 + 32 – 18 A = 64 + 9 – 1 A = 73 – 1 A = 72 Álgebra

3. Calcula: P = 33 – 62 + 52 – 110 4. Calcula el valor de R + 1, si: R = 92 – 23 + 72 – 4  

10

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Nivel intermedio 5. Calcula: B = 62 – (–4)3 + (–5)2 Resolución:   Impar Par   B = 62 – (–4)3 + (–5)2 B = 62 – (–64) + (+25)

Nivel avanzado 8. Calcula:   P = –(–5)2 – (–1)3 + (–6)2 Resolución: P = –(–5)2 – (–1)3 + (–6)2 P = –(+25) – (–1) + (+36) P = –25 + 1 + 36 

B = 36 + 64 + 25 B = 125

P = –25 + 37 P = 12

Respuesta: 125

Respuesta: 12

6. Calcula: 7. Resuelve:  

M = 72 – (–2)3 + (–3)2 A = (–1)4 – (–3)4 – (–4)2

6to PRIMARIA

9. Calcula:  

Q = –(–4)3 – (–2)4 – (–1)10

10. Calcula el valor de A2, si:   A = 82 – (–7)2 – (–3)2

11

Álgebra

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando Calcula: S = 23 + 33 – 1 9 a) 36

11.

b) c) d) e) 12.

 

13.

15.

 

16.

34 35 14 10

Calcula: a) 64

18.

 

M = 43 – 32 – 24 - 120

a) b) c) d) e)

41 -41 16 -16 20

19.

Calcula: a) 99 b) 69 c) 27 d) 17 e) 20

C = -(-4)3 – (-3)3- (-2)3

20.

Calcula: a) 65 b) 66 c) 64 d) -65 e) 70

E = -(-3)2 – (-2)3 + (-4)3

21.

Calcula el valor de B2, si:

F = 52 – 72 + 42 - 19

Calcula el valor de S - 2, si: S = (-1)8 + (-3)4 a) -75 b) -80 c) 75 d) 82 e) 80 Calcula:

-105 -73 100

Calcula: A = (-1)11 + (-3)2 – (-7)2 a) b) c) d) e)

-5 38 30 -38

Calcula: a) -9 b) 9 c) 20 d) 18 e) 15

Resuelve:M = 43 – 52 – (2)4 a) 73 b) 105 c) d) e)

Calcula el valor de T - 10, si: T = 32 + 42 - 17 a) 23 b) 24 c) 13 d) 14 e) 20

b) c) d) e) 14.

17.

2

R = -(3)2 - (-1)13 + (-3)2

0 2 1 3 4

 

a) b) c) d) e)

22.

Calcula el valor de C3, si: C = -62 + 25 + 2 a) 2 b) -7 c) 7 d) 8 e) -8

 

Álgebra

 

12

2

10

-64 B = 5  – (-4)  – (-1) 64 36 100 13

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Potenciación II: Exponente y bases especiales A. Exponente cero          

Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es igual a uno.

 

a0 = 1 ; a ≠ 0

 

Ejemplos: 80 = 1 98600 = 1

110 = 1 (–5)0 = 1

420 = 1  

n a -n = 1 a 1 61 = 1 = 1 6 6

() ()

1 -2 = 4 2 = 42 = 16 4 1

()

()

¡0° no existe!

D. Base cero

B. Exponente uno  

Todo número elevado al exponente uno es igual al mismo número.

a1 = a

   

El número cero (0) elevado a cualquier exponente natural diferente de cero es igual a cero.

Ejemplos: 521 = 52 71 = 7

0n = 0 ; n ≠ 0

   

 

1821 = 182 32901 = 3290

 

03 = 0

0213 = 0

E. Base uno El número uno (1) elevado a cualquier exponente natural es igual a uno.

C. Exponente negativo  

Ejemplos: 06 = 0

Al elevar un número diferente de cero al exponente negativo, se invierte la base y el exponente se vuelve positivo. Ejemplos:

     

1n = 1

Ejemplos: 147 = 1

130 = 1

10 = 1

Trabajando en clase Nivel básico 1. Calcula:   A = 80 + (–15)0 – 71 + (–9)1 Resolución: A = 80 + (- 15)0 - 71 + (- 9)1

3. Calcula:  

G = (–5)0 + (–9)1 + 34 + 17 

4. Calcula:   E = 90 + (–20)0 – (–12)1 + (–29)1 Nivel intermedio



A =1

+

1

-

7

+ (- 9)

   

 

A= 2 A= 2 A = - 14

-

7

-

9

16

2. Calcula:   L = 130 + (–7)0 – 181 + (–4)1 6to PRIMARIA

5. Calcula: B = (5 – 91)0 + (3 – 14)1 – (2 – 9)1 + (27 × 4– 1)0  Resolución: B = (5 - 91)0 + (3 - 14)1 - (2 - 9)1 + (27x 4 - 1)0   B= 1 + (–11)1 – (–7)1  + 1 

 

13

B=

1

   

+ (–11) – (–7) + + . – = –  – . – = + Álgebra

1

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

   

B = 1 – 11 + 7 + 1 B = 1 + 7 + 1 – 11   B = 9 – 11 B = –2

M=

3 1+ 2 3+ 7 2 1 1 1

() () ()

M = 31 + 23 + 72 M = 3 + 8 + 49 M = 60

Respuesta: –2

6. Calcula:   R = (36 – 100)0 + (2 – 15)1 – (8 – 12)1 + (31×3 – 1)0 7. Resuelve:   A = (1 – 4)1 + (–17)0 + (2 + 7)1 + (–3×4 + 1)0

Respuesta: 60

9. Calcula:

Nivel avanzado 8. Calcula:

M=  

1 -1 + 1 -3 + 1 -2 3 2 7

() () ()

Resolución:

M=

1 -1 + 1 -3 + 1 -2 3 2 7

() () ()

Álgebra

”  ” 

 

P=

() () ()

10. Calcula:

S=  

 

1 -3 + 1 -2 + 1 -1 4 3 9

14

2 -1 + 2-1 - 24 0 3 5

()

( )

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando 11 Calcula: S = 150+(–21)0–23+ (–12)1 a) 18 b) –18 c) –20

18 Resuelve:  

20 17

d) e)

12 Calcula:   R = 16+(–25)0 + (–9)1+ (–8)1 a) 1 b) 0 c) –1 d) 2 e) –2

a) b) c) d)

–18 –19 –17 –16

e)

66

b) c) d) e)

–20 15 –15 –9

a) b) c) d)

2 3 4 5

e)

6

 

a) a) b) c) d) e)

−  1  8

−2

6to PRIMARIA

+  1  9

−3

1 −   3

−4

    1  H=   1 −1  1 −1   2  +  5       

−1

−1

-18 1 3 5 7 9

21 Calcula: −1

 A

a) b)

17 Calcula:

−2

20

20 Calcula:

16 Calcula: C = (–5)1–(–3)1+(2+5)0+ (–2 x 7 + 1)0 a) –1 b) 0 c) 1 d) 1/2 e) –1/2

=  1  7

a)

1 −   4

    1  C=   1 −1  1  −1   2  +  3       

15 Calcula: N = (25 – 72)0 + (3–18)1– (5 – 12)1 a) 7 b) –7 c) 6 d) –6 e) 9

F

 1 5  

19 Calcula:

13 Resuelve: P = (–42)0 – 91 + 80 + (13 – 8)1 a) 2 b) 1 c) –2 d) 3 e) 4 14 Resuelve: R = 130+(–15)0 – (–15)1 + (–22)1 a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5

−3

N=

−2

c) d) e)

15

0

=  2  + 2−1 −  5  + 22 7  28 

5 6 7 8 9

Álgebra

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Potenciación III: Leyes de exponentes A. Producto de bases iguales  

         

Se escribe la misma base y los exponen exponentes tes se suman.   +n a m . a n =a m

Ejemplos: x5 . x = x5 + 1 = x6 24 . 2–3. 25 = 24–3+5 = 26 = 64 41/3 . 45/3 = 41/3+5/3 = 46/3 = 42 = 16

   

Ejemplos: b7 ÷ b5 = b7–5 = b2

 

43  = 43–2 = 41 = 4 42

 

x5  = x5–(–3) = x5+3 = x8 –3 x

B. División de bases iguales  

Se escribe la misma base y los exponent exponentes es se restan.

a m =a m a n =a m - n an

 

Trabajando en clase 4. Halla el valor de B – 3, si:

Nivel básico 1. Reduce:

9

10

-3

A = x .x5 6.x x .x

 

 

Resolución: A= A=

5. Calcula:

x10- 3+12 x5+6 =

x

19 - 5 10 P = x .x7 .x x .x

 

-

42 + 719 4- 1 717

8

-3

5

. 3 .3 M = 3 .3 34.32 Álgebra

20 2 19 E = 618 - 4- 1 + 717 6 4 7 E = 620–18 – 4 2–(–1)  + 719–17 E = 62 – 43 + 72 E = 36 – 64 + 49

E = 85 – 64 E = 21

3. Calcula:  

20

E = 618 6

Resolución:

19 - 11

2. Reduce:  

5

Nivel intermedio

x10.x - 3.x12 x5.x6

19 A = x11 x A = x8

-3

. 2 .2 B = 2 .2 24.26

12

Respuesta: 21  

16

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

6. Calcula: 24

R = 320 3

 

-

1

20

5 +4 5- 1 418

C=  

1 = N 27.29.2 -15

9 3 6 .6 610

    

8. Reduce: 9 12 6 5 C = x .a3 .3x 4.a .7x.a a .x .x .a

 

Resolución: 9 12 6 5 C = x .a3 .3x 4.a .7x.a a .x .x .a 9 6

 

12 5

6to PRIMARIA

16–7

18–10

C= = xx9 . a.8 a C

9. Reduce:  

6 2 7 9 2 8 B = x .a5 .x5 .a10.x12.a x .a .x .a

10. Calcula:

x . x .x. a . a . a x 3.x4 .a3 .a 7

C = 7 10 x .a

Respuesta: x9 . a8

Nivel avanzado

C=

x 3+ 4 .a 3+7 x16. a18

7. Calcula:

 

x 9+6+1.a 12+5+1

 

17

-5 -7 C = 1 . 1 .2-9 2 2

() ()

Álgebra

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando 1.

Calcula: S=

 

a) 3

 

d) 81

2.

34.3 3

8.

b) 9

c) 27

e) 1

 A

 

a) 11

 

d) –12

=

42. 4

b) –11

e) 4

Reduce: T=

x 4.x 2.y 7.x 5.y 8 x9.y 6.x.y 7

a) x2y

b) xy

 

d) x2y 2

e) xy 4

10.

a4.a 4

c) xy 2

S=

 

Calcula:

a) 31

 

d) 32

510. 5 2. 5−6 5.5

3

Calcula:

c) 1

b) e) 3 a

 

23.34.28.35 2.36.29.32

 

a) –6

b) 5

 

d) 6

e) 8

c) –5

+ 23

b) 33

c) 30

e) 40

11.

Calcula:  1  3

−4

H =  

 

 1  3

.

−5 .3 .3

−6

Calcula: P=

 

a) 36

 

d) 15

517 515

20 1 − 216 + 3−2

2

3

b) 9

c) 11

 

a) 9

b) 27

 

d) 1

e) 0

c) 3

e) 8 12.

Calcula:

Calcula:

  1 3 −7 5   2 .2 .2 

−2

 

3

 

Q=

− 6 2.6

 

a) 30

b) 32

 

d) –8

e) –32

7.

c) –9

 

a6.a7.a−5

M=

6.

b) 1

c) 12

e) 16

a) a d) a2

5.

d) 5

 

0

4.

 

5 .4

Reduce: T=

  

a) 3

9.

48. 4−6. 43

4 8 3 Calcula: P = 5 .47 .58 .4

 

Halla el valor de A – 5, si:  

3.

36.39.3−5

Z = 

1  2

−5

. 

1  2

−8

..2 2−10

6

c) 8

 

a) 6

b) –6

 

d) 8

e) 0

c) –8

Calcula:

  1  A = −4 +  6 3 −8   3 .3 .3 

−3

2

–11

  

a) 11 d) –10

c) 10

b) e) 1

Álgebra

 

18

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Potenciación IV: Leyes de exponentes Potencia de potencia Potencia

Exponente de exponente

Los exponentes se multiplican

m.m...m    

"n"veces mn = a a   Ejemplos: 2 34 = 34 4 = 316 3 x2 = x2 2 2 = x 8

( a m )n = a m  n  Ejemplos: (34 )2 = 34.2 = 38

( ( a 6 )0 )

9 =a

6 0 9

0 = a = 1;

a 0

Si un factor es cero, el producto será cero.

¡Es diferente! 2

(x4 )

2

¹ x4

x 8 ¹ x16

Trabajando en clase 4. Calcula:

Nivel básico 1. Reduce: 3 ) 5 ( - 2 ) - 3 42 ( = A x x x   Resolución: -3 5 2 A = ( x 3 ) ( x - 2 ) x 4 ® ¡ 4 al cuadrado! A=x

3 5

x

-2 -3

x

E = ( 25 )2 ( 2- 3 )5 29

 

Nivel intermedio 5. Reduce:

( x7  x2 x )4 B= ( x3  x )5

44

A = x15 x 6 x16

  Resolución:

A = x 37 5

2. Reduce: L = ( a 2 ) . ( a - 3 )

-4

( x7  x2 x ) 4 B= ( x3  x )5

-2 3 . ( a6 ) . a2

7 +2+1 4

3. Reduce:  

G=x 6to PRIMARIA

52

x

41

x

B = (x

) ( x3+1 )5

32

19

Álgebra

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

 

Nivel avanzado

( x10 ) 4 B= 3 1 )5 ( x +

8. Calcula: 1

 

40 B = x 20 x

 

B = x20

30

F=6

 

( x10 ) 4 B= ( x 4 )5  

Resolución: 01 =

3

F 6 =

x 40- 20

0 F=63

Respuesta: x20

 

6. Reduce:

 

”  ” 

( x 4  x x2 )3 R = ( 4   5 )2

+

-

+1

34

0

-

34

0

2

Resolvemos de arriba hacia abajo

1 2 Base1 ® 1n = 1 +1-

1 23

F = 61 + 1 - 23 F = 6 +1 - 8 F =7- 8 F = -1 Respuesta: –1

9. Calcula:

x x x

 

7. Resuelve: -10 ]4

17veces

- 4270

3 ) - 2 ( 4 )2 (  3 C= 3

 

 

G = 7501 - 1786

10. Calcula:

A = [ x x .... .  x

Álgebra

1

23

1

23

20

3

3

-1

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando 1.

Reduce:

T = m2

a) m7

4

1

8.

3

⋅ m3 ⋅ m2

Reduce:

3

H=

b) m2

14 ) ( x 2 ⋅ x −10 ⋅ x14

( x3 ⋅ x5 ⋅ x )

c) m30

2

27

d) m 2.

e) m

Reduce:

3

a) 10 d) 16 3.

1

= ( 26 ) ⋅ 25 ⋅ ( 2−9 )

E

a) x4 d) 0

2

b) 2

c) 32

9.

Calcula:

e) 8

Reduce:

4

= ( x3 ) ⋅ ( x −2 )

B

4

−3

⋅ ( x7 )

  -4

a) x d) x-2

−2

b) x3 e) 1 2

 26 ⋅ 23 ⋅ 2  2 T=  ⋅2 8   2

a) 4 d) 32

b) 12

b) x e) x6

e) 8

c) x

10.

Calcula: 0

R

( x4 ) ⋅ x

a) x6 d) x9

0 3

= 64 − 32

3 9

+ 17

x −3

T=

Calcula:

c) 64

2

2

4.

c) x2

b) x16 e) x15

a) 2 d) -4

c) x12

b) -2

c) 4 e) -5

2

5.

11.

Calcula:

−1

( 53 ) ⋅ 532 4 ( 53 )

a) 5 d) 125

b) 25 e) 625

Reduce:

5

−2

2

E=

6.

Calcula:

( 5 4 ) ⋅ ( 53 )  A =

a) 100 d) -100

c) 1 12.

(

M = x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x

Calcula:

3

−11)



b) 125 e) 12

c) -125

2

 37 ⋅ 34 ⋅ 3  2 N=  ÷3 10  3 

16 veces

a) x16 d) x12

b) x3 e) x15

a) 9 d) 8

c) 3

b) 3 e) 18

c) 27

3

7.

Reduce:

N = ( a ⋅ a ⋅ .... ⋅ a )    

20 veces

  Señala el exponente final de  de  a) 60 b) a60 c) 63 63 d) a e) 30

6to PRIMARIA

21

Álgebra

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Potenciación V A. Pot Potencia encia de un producto      

Y 

El exponen exponente te afecta a cada factor: (a . b)n = an . bn Ejemplos: 4 2 3 4 3 2 3 12 6 Y  (x  . y  )  = (x )  . (y  )  = x . y    3 5 1 5 5 2 5 Y (2x . y  )  = (2 )  . (x) . (y  )   = 32x5 y 15

Y 

() 2 3

4 =

24 34

=

16 81

 4x 2  3 ( 4x2 )3 43 x6 64x6  8   = 8 3 = 33 y 24 = 27y 2 4  3y    ( 3y  )

Recuerda que

B. Pot Potencia encia de un cociente cociente n

   

a = an ≠ n b b  ; b  0 Ejemplos:

()   (x) m

4 =

Y

-1

1 1 = = 3 3 3 -2 1 2 = 4 = 16 4

(( ))

x4 m4

Trabajando en clase Nivel básico 1. Resuelve:   Resolución:

A = ( 3x y

8 5

3 5 )4 ( a B= b

2

x y  

a 7b15

 

A = 3x 8y 5 2 x y 2   2 2 A = 32 x 8 y 5 x

(

)

2

4. Calcula:

) ( ) ( )

Nivel intermedio 5. Calcula:

y2  

 3x5  2 y 8 R =  4   ⋅ 7  y   x

A = 9x16 y10 x y 2 = 9x16 x y10 y 2   A = 9x 9x16+1 y10+ 2

  Resolución:

A = 9x11 y12 

 3x5  2 y 8 R =  4   ⋅ 7  y   x

2. Resuelve: M = (2x . y 5)x3y 

3. Si: G = (x3 y 4)6

 

2 4 5

   

5 )2 ( 3x R =

10

E = (xG y  ) Calcula: . E Álgebra

y 8 2 7 ( y 4 ) x

R = 9x8 y  

22

y 8 x7 6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

 

”  ” 

9x10 y 8 R= 7 8 x  y 

10 - 7

= 9x

y

8- 8

= 9x

3 0

y

Resolución:  

3 9 0 E=

R = 9x3

 

E=

Respuesta: 3

=

9x

6. Calcula:

 x3  4 32y 21 A =  5   ⋅ 7  2y   x

 

 

2 1 5 +

-

44 4

¡Exponentes iguales!

45 3 5 2 22 4 3 2 4 90 + 15 - 44 45 5 22

( ) ( ) ( ) 3

+

2

4

-

E E = 28 + 93- 162 E = 17 - 16 E=1 Respuesta: 1

7. Calcula: 3

()()

B= 4 3

9 8

2

9. Calcula:  

3 3 2 2 7 2 0 3 0 P= 3 - 3 + 2 9 5 6

Nivel avanzado 10. Calcula: 8. Resuelve:  

3 2 4 9 0 1 5 4 4 E= 3 + 2 - 4 45 5 22

6to PRIMARIA

 

23

8 8 15 1155 4 R = 4  77 - 7 164 + 323 28 42 32

Álgebra

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando 1.

Si: A = (x8y 6)4  Calcula: A

B=(x10y 6)3 8.

Calcula:

T

B

a) x32y 24 d) x2y 6

b) x13y 12 e) x6y 2 T=

Calcula

9.

( a3b12 ) 14

a40b50

10

  8

a) ab

b) b

d) a10b

e) ab

+ 3

a) d) 11 4

c) xy 

5

2.

2

Calcula:

c) b

10.

+ 4

−1

b) 8 e) 12 E=

185 95

Resuelve:

c) 105/8

4 3 − 24 + 12 83.33 33

a) 12 d) 60

10

3

(2) (2)   (3)

= 6

b) 30 e) 50

 A =

202 52

c) 72

3 4 − 36 + 12 183 44

-3

3.

4.

 3x 2  y13 H=  y 4  ⋅ 9x5  

Calcula:

6.

b) 81

d) 70

e) 24

b) 10x16y 22 e) 25xy 

Resuelve:

A=(3x5y)2.x4y 

a) 12xy 3 d) 9x14y 3

b) x14y 3 e) 6x14y 3

Calcula:

2

N= 6 2

11.

c) xy 

−1

2

3 + 2

c) 32x16y 22

12.

Calcula:

a) 8 d) 10

2

813 ⋅ 413 3212

−

85 ⋅ 514 4013

b) -406 

d) -102

e) 180

Calcula:

4 + 3

E=

69 ⋅ 4 9 8

24

b) 5 e) 15

Calcula:

F=

a) 40

( ) ( ) ( )

7.

c) 80

C = (2x3y 4)5xy 2

Calcula: a) 10xy d) 32x22y 16

5.

a) 89

c) 2

a) -14

b) 13

d) 14

e) 11

−

625 315

c) 102

11 11 12 ⋅ − 10 3 + 20 10 11 30 20

c) -15

2

( 54 ) + ( 53 ) a) 0 d) 3

b) 2 e) 4

Álgebra

c) 1

 

24

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Radicación I RADICACIÓN EN 

Z 

La radicación es la operación matemática inversa a la potenciación. na =P Índice Raíz

Z 

RADICACIÓN EN 

Radicando o cantidad subradical

 

1  = 1 , en general: n 1 = 1 0  = 0, en general: n 0  = 0

Ley de signos 1. Si el índice es par:

Se lee: Raíz «n»–ésima de a es igual a P. Z  Si: 49 = 7

Y 

 1.er caso: par 1.er

Y

 2.° caso: 2.°

¡2! es tácito  

Se lee: Raíz cuadrada de 49 es 7.

par - Ï Z

2. Si el índice es impar:

2

64 = 64  = 8, porque 8  = 64 3 Z  27  = 3, porque 33 = 27 Z 

 

+ = +

Y 

 1.ercaso: impar 1.ercaso:

Y

 2.°caso: impar 2.°caso:

+ = +

 

 

- = -

Trabajando en clase Nivel básico

4. Resuelve:

1. Calcula: A = 52 - 32

 

-

3

62 -

81

T = 4 3 27

   

25

-

79 1

Nivel intermedio

Resolución: A = 52 - 32 A = 25 - 9

-3

62 -

3

62 - 9

-

5. Calcula: Q=3 8   Resolución:

81

Q=3 8

A = 16 - 3 27 A = 4- 3 A =1

-

3

-

64

-

+

3

5

-

64

-

32

3

-

5

-

3

- 125

+

32

Q = 2- ( - 4 )+( - 2 )    

2. Calcula: B = 72 - 42

 

+2

-

3

42 -

Q = 2 +4- 2 \ Q=4 Respuesta: 4

64

3. Resuelve:  

S = 23 8

6to PRIMARIA

-

3 49

+5

9

6. Calcula: A = 3 27   25

+

8

-

Álgebra

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

7. Si:    

P=

49

-

5

-

32

+

3

Q=8–1+3 \ Q = 10

-8

Calcula: P2. Respuesta:

Nivel avanzado

10

8. Calcula: Q = - 43

         

”  ” 

Resolución: Q = - 43 - 8

+

-

7

8

+7 - 1 - 3 -

3

-1 -

-

-

Álgebra

+

9. Calcula:  

27

Q = –4(–2) + (–1) – (–3) +

20 - 7

S = - 53

-

64

+

5

0

-

3

-

20 + 12

10. Calcula:  

 

 

26

A = -3

-

27

+

3

-

1

-

( - 2 )4

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando 1.

Calcula: a) 28

b) 3

d) -4

e) 5

 

=

12   3

3

2

1

−5 −2 +

a) -2

b) 2

d) -1

e) 0

9.

3

2

3

=

3   2

6

− 4466 − 17 −

a) 2

b) -2

d) 3

e) -4

b) -2

d) -3

e) 4

10.

2

= 81 − 5 −243  + 32

a) 2

b) -21

d) 21

e) 24

−3 +8  A

3

= 3 25 + 2 36 + −64

a) 20 d) -22 11.

b) 22 e) 23

Si:  A = 24 − 32 − 7 −1

B

 

12.

2

Calcula A

c) 65

3

 

= − −1 + 25 − ( − 1 )

a) 8

b) -6

d) 6

e) 5

8

c) -5

Resuelve: R

b) 63 e) 60

c) -23

Calcula:

−1

c) -3

c) 23

Calcula:

c) 1

5

c) -4

Calcula: T

c) 4

− 8  − 4 5 −1 + 35 32

a) 2

8

Calcula:

a) 64 d) 66 6.

3

Calcula:

P

5.

1 −6 4 +2

a) -3

 A

4.

c) 20

Calcula: C = 11

3.

Q=3

e) -20

20

Resuelve: 3

b) 23

d) 21 2.

8.

= 4 36 + 33 27 − 63 8

B

3

 

3

= −8 − 6 0 + ( − 2 )

a) 3

b) 4

d) -10

e) 5

c) -6

Calcula: E

3

  6 4 − −27 = 64 + 5 −32

a) -9

b) 10

d) -8

e) 8 3

3

= − −8 + 4 16 16 − 27

7.

Si:

 

Calcula T5

T

c) 9

a) 5

b) 3

d) 0

e) 2 6to PRIMARIA

c) 1

27

Álgebra

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Repaso 1. Calcula:   A = –{37 + [35 + 5 – 80] + 42 – 12} a) 25 b) –26 c) 26

5. Calcula: −1 1   S=  1 −2 1 −1   ( 5 ) + ( 6 ) 

d) 27 e) –27

a) 4 b) –32 c) –31

2. Calcula el valor de R 2, si: 3

 

3

2

6. Reduce:

R = 3  – 4  + 5 a) 1 b) 44 c) 140

d) 31 e) 32

d) 144 e) 24

N=

 

3 2 x2  x 4 x7 2 x6

a) 25x b) 2x

3. Calcula el valor de M + 50, si:

d) x e) x25

c) x5  M = (–5)2 + (–4)3 – 16

  a) 8 b) 9 c) –9

7. Calcula:

d) –10 e) 10

20 2 7 5 Z= -

718 a) 60 b) –65 c) 75

4. Calcula: A=

 

0

-1

 

() () ( ) 1 7

a) 7 b) –7 c) –8

+

1 9

-

1 4

-2

5 1 25 d) –75 e) 65

8. Calcula: 2 ) - 3 32 ( 7  7 C=

d) 8 e) –6

7

a) 40 b) 47 c) 45 Álgebra

5 2 +

 

28

d) 48 e) 49

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

3

2

9. Si: M = ( x 6y 6 ) y N = ( x2 y 6 )   , calcula M . N d) x14y 6 e) x5

a) y b) x2y 2 c) xy 

11. Calcula:  

10. Calcula: 4 W = 80 4 40

a) 36 b) –36 c) –35

-

813 - 552 273 112

a) 2

c) –32

b) –24

d) 32

12. Resuelve: Q = a) 10 b) 15

d) 35 e) 40

6to PRIMARIA

9 17 5 Z = 932 9 + 1663 1166 - 325 8  4 9 7 16

29

3

- 27 +

c) 11 d) 12

5

e) 12

- 32 + ( - 2 )

4

e) –10

Álgebra

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

Álgebra

 

30

”  ” 

6to PRIMARIA

 

 TMÉ TIC A  R I T  A R  Primer Bimestre

6 PRIMARIA 

 

Pág. Razón Aritmética

33

Razón Geométrica

36

Proporciones: Propor ciones: Aritmética y geométrica

39

Magnitudes proporcionales: Magnitudes directamente proporcionales - Gráficos

42

Magnitudes inversamente proporcionales - Gráficos

45

Regla de tres simple

48

Regla de tres compues compuesta ta

51

Repaso

54

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Razón Aritmética RAZÓN Es la comparación entre dos cantidades por medio de una sustracción o por medio de una división.

(Edad de Edwin)

–

(Edad de Camila)

=

Razón aritmética

34 años

–

4 años

=

30 años

Razón Aritmética (R.A) Es la comparación de dos cantidades mediante una sustracción. Ejemplo:

EDWIN

Antecedente

CAMILA

Consecuente

Valor de la razón aritmética

La razón aritmética 30, nos da a entender que la edad de Edwin es mayor o excede a la edad de Camila en 30 años. En general:

Razón aritmética (R.A) a – b = razón aritmética

34 años

 

4 años

Trabajando en clase Nivel básico

Nivel intermedio 5. Los pesos de Luis y Camila suman 74 kg; si Camila pesa 12 kg, calcula la razón aritmética entre sus pesos. Resolución:

1. Si la razón aritmética entre dos números es 120, calcula el menor si el mayo mayorr es 186. Resolución: Representando en forma general una razón aritmética, tenemos:  

 

Sean: Peso de Luis: L Peso de Camila: C ⇒ L + C = 74 kg Por dato: C = 12 kg Luego, Luis pesará: 74 – 12 = 62 kg Como piden la razón aritmética entre los pesos de Luis y Camila, tenemos: ⇒ L – C = 62 – 12 = 50

a – b = razón aritmética Según el dato del problema, el mayor es 186 y la razón aritmética es 120, entonces, reemplazando en el esquema: 186 – b = 120 \ b = 66

2. Si la razón aritmética entre dos números es 154 y el mayor es 204, calcula el menor.

Respuesta: Razón aritmética es 50.

3. Calcula la razón aritmétic aritméticaa entre 8732 y 6978. 4. Si el antecedente vale 540 y el consecuente, 361, calcula el valor de la razón aritmética. 6to PRIMARIA

6. Los pesos de Leonardo y Rebeca suman 36 kg; si Rebeca pesa 10 kg, calcula la razón aritmética entre sus pesos.

33

Aritmética

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

⇒ Piden la razón aritmética después del suceso: S/. 103 – S/. 26 = S/. 77

7. Tengo tres animales en mi granja: una gallina, un pato y un pavo. Si la gallina pesa 2kg; el pato pesa el doble del peso de la gallina y el pavo, la suma de los anteriores, calcula la razón aritmética entre el peso del pavo y la gallina.

Respuesta: \ La razón aritmética es S/. 77.

Nivel avanzado 8. Si se sabe que el precio de un pantalón es S/.78 y el de una camisa es S/. 39. ¿Cuál será la razón aritmética de los precios de dichas prendas si el precio del pantalón aumentase en S/. 25 y el de la camisa disminuyese en S/. 13? Resolución: Precio inicial del pantalón: S/. 78; aumentado en S/. 25, será: 78 + 25 = S/. 103 Precio inicial de la camisa: S/. 39; disminuido en S/. 13, será: 39 – 13 = S/. 26

Aritmética

 

9. Si se sabe que el precio de un vestido es S/. 57 y el de una blusa es S/. 42. ¿Cuál será la razón aritmética de los precios de dichas prendas, si el vestido aumenta en S/. 19 su precio y la blusa disminuye en S/. 12 su precio? 10. Edwin va al cine con sus dos menores hijos; si el precio para adultos, que es S/. 18 excede al precio para niños en S/. 7, ¿cuánto recibió de vuelto si pagó con S/. 100?

34

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando Nivel Básico 11. Calcula la razó razón n aaritmética ritmética de 5492 y 3799. a) 1693 d) 1671

b) 1503 1601 e)

18. Un pantalón cuesta S/. 98 y un polo, S/. 23; si el pantalón incrementa su precio en S/. 17, ¿cuál será la nueva razón a aritmétic aritméticaa de dichos

c) 1582

12. Si el an antecedente tecedente vale 941 y el co consecuente nsecuente vale 287, calcula el valor de la razón aritmética. a) 704 b) 614 c) 594 d) 654 e) 713 13. La razón aritmética de dos números es 28; si el mayor vale 214, ¿cuánto vale el menor? a) 192 b) 186 c) 156 d) 166 e) 178

precios? a) S/. 102

b) S/. 69

d) S/. 77

e) S/. 92

c) S/. 84

19. Si: a + b = 108; adem además, ás, b = 20  

Calcula la razón aritmética de a y b. a) 68

b) 88

d) 58

e) 66

c) 78

14. Si cuando yo nací mi papá tenía 40 años y mi mamá, 29 años, ¿cuál es la razón aritmética de las edades de mis padres? a) 31 años b) 19 años d) 11 años e) 10 años

c) 15 años

20. Si la razón aritmética de dos números es 240, y el menor de ellos es 105, calcula el númer númeroo mayor.

15. Calcula la razón aritmética entre la cantidad de días que trae un año bisiesto y la cantidad de días que tiene el mes de marzo. a) 357 días b) 341 días c) 335 días d) 329 días e) 318 días

a) 145

b) 135

d) 160

e) 125

Nivel Intermedio

Nivel Avanzado

16. Tengo tres animales en mi corral: una oveja, una ternera y un toro. Si la oveja pesa 120 kg; la ternera pesa el triple de lo que pesa la oveja; y el toro, la suma de las anteriores, calcula la razón aritmética entre el peso del toro y la oveja. a) 500 kg b) 400 kg c) 280 kg d) 320 kg

21. Rubén va al teatro con sus dos pequeños sobrinos; si el precio para adultos, que es S/. 20, excede al precio para niños en S/. 12, ¿cuánto recibió de vuelto si pagó con S/. 100?

e) 360 kg

17. Luis y José tienen juntos S/. 2860; si Luis tiene S/. 1700, calcula la razón aritmétic aritméticaa de las cantidades que tienen Luis y José. a) S/. 620

b) S/. 540

d) S/. 630

e) S/. 720

6to PRIMARIA

c) 115

a) S/. 66

b) S/. 72

d) S/. 64

e) S/. 54

c) S/. 58

22. Si A ex excede cede a B een n 20 unidades y B excede a C en 30 unidades, calcula la razón aritmética de A y C si C es igual a 60 unidades.

c) S/. 580

35

a) 70

b) 30

d) 40

e) 60

c) 50

Aritmética

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Razón Geométrica RAZÓN GEOMÉTRICA 󰀨R.G󰀩

Interpretación

Es la comparación de dos cantidades mediante una división. Ejemplo: Compara las alturas de los edificios «A» y «B».

Z 

 ««Las Las alturas de A y B están en la relación de 4 a 1» Z  «Las  «Las alturas de A y B son entre sí como 4 es a 1» Z  «Las  «Las alturas de A y B son proporcionales a los números 4 y 1, respectivamente» Z  «La  «La altura de A es 4 veces la altura de B», etc. En general. Razón geométrica (R.G) a = razóng ngeeométrica b 0 b

Si comparamos dividiendo sus alturas, tenemos: 24 m   4 = 6m 1

Razón geométrica

Propiedad Si: ⇒

su valor

a

b

= c =k d

=k ; a −c = k b+d b−d a+c

Trabajando en clase Nivel básico 1. Dados los números 540 y 360, calcula el valor de la razón geométrica de dichos números en el orden que aparecen. Resolución: Representando en forma general una razón geométrica, tenemos:  

a = razóngeométrica b Según el dato y en el orden que aparece, tenemos:

\ El valor de la R.G. será 3 2

3. Si el antecedente es 350 y el consecuente es 70, calcula su razón geométrica. 4. Si: a = 3 ; además, a = 63. Calcula «b». b 5 Nivel intermedio 5. Si se sabe que M = 7 ; y que M = 49, calcula la N 3 razón aritmética de «M» y «N». Resolución: Del enunciado: M = 7 k  N 3 k  Por dato: M = 49 ⇒ 7k = 49   k=7 Luego: N = 3(7) = 21 Piden calcular la razón aritmética de «M» y «N»:

⇒ M – N = 49 – 21 = 28 Respuesta: 28.

2. Dado los números 180 y 360, calcula el valor de la razón geométrica de dichos números en el orden que aparecen. Aritmética

 

36

6to PRIMARIA

 

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“ 

”  ” 

6. Si se sabe que P = 8 ; y que P = 72, calcula la raQ 3 zón aritmética de «P» y «Q». 7. Si dos números están en la relación de 2 a 5 y la suma de ambos es 35, calcula el menor de ellos. Nivel avanzado 8. El precio del saco de arroz es como 3 y el precio del saco de azúcar es como 2. Si el producto de ambos precios es numéricamente igual a 15 000, calcula el precio del saco de arroz. Resolución: Del enunciado Preciodelsacodearroz 3k  = Prec recio del sacodea odeazzúcar 2k  Producto de ambos precios: (3k) (2k) = 15 000   6k 2 = 15 000 k 2 = 2500  

9. El precio de una caja de leche es a 4 como el precio de una caja de vino es a 7. Si el producto de ambos precios es numéricamente igual a 25 200, calcula el precio de una caja de vino. 10. Las edades actuales de Andrés y Roger son proporcionales a 6 y 5; pero si hace 6 años dichas edades eran proporcionales a 3 y 2, calcula la edad actual de Andrés.

k = 50

El precio del saco de arroz será: 3(50) = S/.150 Respuesta: S/. 150

6to PRIMARIA

37

Aritmética

 

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“ 

”  ” 

Sigo practicando Nivel Básico 11. Si el antecedente es 460 y el consecuente es 115, calcula la razón geométrica. 2 c) d) a) 51/3 b) 3 e) 4 12. Si: m = n

3 7

; además, m = 24, calcula «n».

a) 39

b) 48

c) 56 e) 52

d) 40

13. Si: a = 640 y b= 80, calcula la razón geométrica de «a» y «b», (en ese orden). a) 8 b) 6 c) 12 d) 4 e) 10 14. Si la razón geométrica de dos números es ¼ y el mayor de ellos es 144, calcula el menor. b) 36 a) 72 c) 60 d) 44 e) 120 15. Si: M  = 5 ; además, M + n = 64, calcula «2M». N

3

a) 50

b) 90

c) 60 e) 40

18. Los pesos de Martín y de Alejandr Alejandroo están en la relación de 7 a 5. Si la dif diferencia erencia de sus pesos es 6 kg, ¿cuánto pesa Alejandro?

a) 15 kg c) 12 kg e) 24 kg

b) 18 kg d) 20 kg

19. Dos números son entre sí como 4 es a 11; si las sumas de estos números es 135, calcula la razón aritmética de dichos números. a) 60 b) 63 c) 72 d) 56 e) 54 20. Si: a   = 7

a) 20

c) 14 e) 12

b ; además, a × b = 2224, calcula «b». 8

b) 18

d) 16

Nivel Avanzado 21. Las edades actuales de Francisco y Manuel son proporcionales a 5 y 4. Si hace 3 años dichas eda des eran proporcionales proporcionales a 7 y 5, calcula llaa edad actual de Francisco. a) 8 años b) 12 años c) 15 años d) 10 años e) 6 años

d) 80

Nivel Intermedio 16. Si dos números están en la relación de 4 a 9 y la suma de ambos es 39, calcula el menor de ellos. a) 9 b) 24 c) 12 d) 18 e) 15 17. Si: x = 7 ,  además x – y = 40, calcula x + y. y 2 a) 63 b) 72 c) 62 d) 80 e) 76

Aritmética

 

38

6to PRIMARIA

 

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“ 

”  ” 

Proporciones: Aritmética y geométrica PROPORCIÓN

B. Proporción Geométrica (P.G.) (P.G.)

Es la igualdad de dos razones equivalentes, ya sean aritméticas o geométricas.

   

Clases de proposiciones A. Proporción Aritmética (P.A.) (P.A.)    

Es la igualdad de 2 razones aritmética aritméticass equivalentes. Ejemplo: Y  En la familia Pérez hay 5 varones y 3 mujeres, y en la familia Dulanto hay 6 varones y 4 mujeres. Podemos observar lo siguient siguiente: e: Y  En la familia Pérez hay (5 – 3 = 2), 2 varones más que mujeres. Y  En la familia Dulanto hay (6 – 4 = 2), 2 varones más que mujeres.

 

 

proporción aritmética aritmética

(

 

 

   

Donde:  ayc   b y d   b y c   a y d

54 60 = 9 10    proporción geométrica

 

En general:

antecedentes consecuentes términos medios términos extremos

   

Propiedad fundamental «En una P.A., la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios». Sea la P.A.: Propiedad

 

a – b = c – d  ⇒ a + d = b + c 6to PRIMARIA

          39

=

c

b d Proporción geométrica

   

: : : :

)

Gabriela. La composición por cociente en ambos casos es equivalente. Igualando, tenemos:

a

proporción aritmética

) , el peso de

Rocío es el séxtuplo del peso de su hija Camila; y en el cociente 60 = 6 , el peso de Auro10 ra, también es el séxtuplo del peso de su hija

En general: a–b=c–d

(

Al realizar el cociente 54

La comparación por sustracción en ambos casos es equivalente. Igualando tenemos: 5–3 = 6– 4     

   

Observar lo siguient siguiente: e: Y 

   

Es la igualdad de 2 razones geométrica geométricass equivalentes. Ejemplo: Y  El peso de Rocío es 54 kg y el de su hija Camila es 9 kg; mientras que el peso de Aurora es 60 kg y el de su hija Gabriela es 10 kg.

Dónde:  ayc  byd  byc  ayd

: : : :

antecedentes consecuentes términos medios términos extremos

Propiedad fundamental «En una P.G., el producto de los términos extremos es igual el producto de los términos medios». Sea P.G. .G.:: Propiedad

a c = ⇒ a ×d = b×c b d

Aritmética

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Trabajando en clase Nivel básico 1. Dada la proporción aritmética: 20 – 13 = x – 10, calcula el valor de «x». Resolución: Resolvamos la siguiente proporción:   20 – 13 = x – 10   7 = x – 10   7 + 10 = x   x = 17 2. Dada la proporción proporción aritmética: m – 10 = 25 – 13, calcula el valor de «m». 3. Calcula «n» en la siguiente proporción geométrica: n = 6 . 6 9 4. Dada la proporción geométrica: = a  

Calcula el valor de «a».

a

27

Nivel intermedio 5. En una proporción geométrica, el producto de los términos medios es 180; si uno de los términos extremos vale 5, calcula el otro término extremo. Resolución: a c Sea la proporción geométrica: = b d ⇒ Por dato: b × c = 180 Además; un término extremo vale 5 si a = 5; luego, por propiedad fundamental: a × d = b × c

7. En una proporción aritmética, la suma de los términos medios es 32, si uno de los términos extremos es 28, calcula el otro término extremo extremo elevado al cuadrado. Nivel avanzado 8. Dado el siguiente esquema: = a a 32   Además: 24 – a = 10 – b   Calcula «a × b» Resolución: Resolviendo la proporción geométrica, tenemos: 8= a a 2 = 256 a 32  

a = 16 Luego, reemplazando en la proporción aritmética, tenemos: 24 – a = 10 – b 24 – 16 = 10 – b b=2  Piden calcular: a × b = 16 × 2 = 32 Respuesta: 32

9. Dado el siguiente esquema: 5 = m m 80   Además: 36 – m = 20 – n  

Reemplazando: 5 × d = 180 Reemplazando: \d = 36

Calcula: m × n.

10. Dada la proporción geométrica: 30 = 3x x 90 x 3   Además: = y 11   Calcula la razón aritmética de «y» y «x».

Respuesta: 36.

Aritmética

6. En una proporción geométrica; el producto de los términos extremos extremos es 200, si uno de los términos medios es 5, calcula el otro término medio.

 

40

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando Nivel Básico 11.

17.

Dado el siguiente esquema:

Calcula «m» en la siguiente proporción geométrica: m 7

=

Calcula la razón aritmética a partir del siguiente esquema:

9 15 3

937 – a = a – 145

b) 23 e) 17

a) 18

d) 21

c) 19

Calcula la razón aritmética de «a» y 400. a) 141 b) 142 d) 137

12.

e) 139

Calcula el valor de «2x» en la proporción geométrica: 32  x

=

x 2

18.

Calcula el valor de «2x»

13.

c) 143

a) 20

b) 18

d) 8

e) 9

A partir de los siguientes esquemas, calcula a + b. 28 –a = 47 – 38 b = 6   7 14 Calcula «a + b»

c) 16

Resuelve y da como respuesta m + 7. Del siguiente esquema:

a) 21

b) 22

d) 42

e) 32

c) 23

948 – 816 = 142 - m 25 m 19. Si: 6 = 12 Calcula el producto de los antecedentes.

Calcula «m + 7»

14.

a) 17

b) 11

d) 27

e) 14

c) 10

20.

aritmética: 3230 – 2500 = 2730 - 2000

a) 6210

b) 4890

d) 950

e) 1400

c) 1350

d) 6240

e) 5670

Si:

768 96

=

48 6

Dada la siguiente proporción aritmética: Calcula «m + n» si la suma de los términos medios de la siguiente proporción

c) 5960

aritmética es 19. (m + 3) - 7 = (2n + 8) – 11 Calcula «m + n», si la suma de los términos medios es 19.

  es una proporción geométrica, calcula la

suma de los consecuentes.

a) 90

b) 114

d) 102

e) 104

21.

e) 112

e) 9

c) 7

Dada la proporción geométrica:

=

=

2 3

Calcula la razón aritmética de «b» y «a».

otro término medio, pero duplicado. d) 142

d) 5

2a 10 a Además: b

mos es 136; si uno de los términos medios es 80, calcula el

b) 110

b) 6

80 a

En una proporción aritmética, la suma de los términos extre-

a) 120

a) 8 Nivel Avanzado

c) 98

Nivel Intermedio

16.

b) 1250

Si: 3230 – 2500 = 2730 – 2000 es una proporción aritmética, Calcula la suma de antecedentes de la siguiente proporción

15.

a) 1050

a) 5

b) 15

d) 10

e) 20

c) 30

c) 108 22.

Dada la siguiente proporción geométrica: n +1 4

= 12 8

3

Calcula el valor de «n »

6to PRIMARIA

41

a) 216

b) 343

d) 64

e) 125

Aritmética

c) 27

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Magnitudes proporcionales: Magnitudes directamente proporcionales - Gráficos MAGNITUD Es todo aquello susceptible a ser medidos, sufre  variación. Se expresa a través de un valor numérico, seguido de su unidad de medida. Ejemplos: MAGNITUD CANTIDAD Longitud 100 m Tiempo 40 días Obreros 20 obreros Peso 45 kg Precio S/. 200 etc. Relaciones entre magnitudes Z  Magnitudes directamente proporcionales (DP) Z  Magnitudes inversamente proporcionales (IP.

Sean las magnitudes A y B; si A DP B, entonces se cumple:  A  B

= constante

Gráfica para Magnitudes Directamente Proporcionales La gráfica en el plano cartesiano es una línea recta diagonal ascendente. Sea la gráfica:

Magnitudes Directamente Proporcionales (DP) Dadas las magnitudes A y B, se dice que son directamente proporcionales (DP), cuando al aumentar o disminuir una de ellas, la otra, también aumenta o disminuye en la misma proporción. Su cociente siempre es constante.

A = Cte ⇒ A DP B; B Del gráfico: 30 = 25 = 5 ¬ constant constantee de proporcio proporcionalidad nalidad directa. 6 5

Trabajando en clase Nivel básico 1. Si A DP B, cuando A = 20, B = 40, calcula «A» cuando B = 18. Resolución: A = Cte Si A DP B B Reemplazamos con los datos: 20 = A  despejan40 18 1 do «A», tenemos: 20 ´ 18 = A  \ A = 9 40 2 Respuesta:   9

4. Calcula el valor de «m» si A DP B. A 3 m  

B

7

35

Nivel intermedio 5. Calcula «n» si las magnitudes «A» y «B» son directamente proporcionales.

2. Si A DP B; cuando A = 13, B = 39, calcula «A» cuando B = 27. 3. Si A DP B; cuando cuando A = 18, B = 9, calcula «A», cuando B = 36. Aritmética

 

  42

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Resolución: Como A DP B, entonces, del gráfico, tenemos: 4 = n 16 56 Despejando «n»: 1

 

4 ´ 56 = 16 n

Resolución:

4

 

 \n = 14 Respuesta: 14

6. Calcula «m» si las magnitudes «P» y «Q» son directamente proporcionales.

   

A = Cte B Luego, para cada par ordenado: 3 = m = 12 = CTE 4 16 n Si: A DP B  

m = 6 ; n = 64 Piden calcular: m + n = 6 + 64; \m + n = 70 Respuesta: 70

9. Calcula «a + b» si A DP B .

 

7. Si se sabe que «A» es directamente proporcional al cuadrado de «B», calcula «p».

 

A

100

16

B

p

2

 

10. El peso de un elefante es DP a la raíz cuadrada de su edad. Si un elefante de 36 años pesa 300 kg, ¿qué edad tendrá cuando pese 400 kg?

Nivel avanzado 8. Calcula «m + n», si A DP B .

6to PRIMARIA

43

Aritmética

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando Nivel Básico 11.

Si A DP B; cuando A = 14, B = 9. Calcula «A» cuando B = 27. a) 48 d) 34

12.

b) 30 e) 42

Si M DP N; cuando M = 6, N = 10. Calcula «M» cuando N = 15 a) 8 d) 6

13.

14.

b) 12 e) 11

   

12

B

q

2 20 0

d) 15

e) 9

 A

32

n

B

8

11 11

c) 12

b) 28 e) 42

c) 34

b) 31 e) Nivel Intermedio

M

4

x

N

5

1 10 0

A a 8 12 2 4

B

 

e) 90 20.

   

 A

80 64

B

m

8

n 15 15

Dadas las magnitudes «A» y «B» donde «A» y B  son directamente proporcionales, si cuando «A» vale 5, B = 16, ¿qué valor toma A cuando B sea igual a 144? a) 16 d) 25

b) 15 e) 12

c) 20

Nivel Avanzado 21.

El peso de un león es DP a la raíz cuadrada de su edad. Si un león de 16 años pesa 200 kg, ¿qué edad tendrá cuando pese 250 kg? a) 25 años b) 18 años c) 20 años d) 30 años e) 27 años

   

Si la constante de proporcionalidad directa es la siguiente:  A 3 = cte  , calcula «m» en el B

siguiente gráfico:

c) 18  

Calcula «m» si las magnitudes «A» y «B» son directamente proporcionales. A

 

a) 62 b) 52 c) 54 d) 48 e) 46

9 3 m

c) 9

Si «A» es directamente proporcional a «B», calcula «m + n». a) 140 b) 80 c) 100 d) 130

22.

b) 20 e) 12

Aritmética

a) 100 b) 196 c) 169 d) 144 e) 256

c) 5

Si se sabe que «M» es directamente proporcional al cuadrado de «N», calcula «x».

8

b) 24 e) 21

Si la gráfica muestra los valores que toman las magnitudes «A» y «B», calcula «a2».

       

Dadas las siguientes magnitudes: obra, días, horas diarias, eficiencia y dificultad; ¿cuántas son DP con la magnitud “obreros”?

a) 10 d) 16 17.

         

En la siguiente tabla de magnitudes directamente proporcionales, calcula «n».

a) 24 d) 16.

6

b) 10

18.

19.

 A

a) 8

a) 15 d) 18

c) 9

Calcula el valor de «q» si A DP B.

  a) 36 d) 44 15.

c) 36

   

A m 2 B 4

12

B

 

44

6to PRIMARIA

 

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“ 

”  ” 

Magnitudes inversamente proporcionales - Gr Gráficos áficos Dadas las magnitudes A y B, se dice que son inversamente proporcionales (IP) cuando al aumentar o disminuir una de ellas, con la otra magnitud, sucede todo lo contrario; es decir, disminuye o aumenta en la misma proporción. Su producto siempre es constante. Sean A y B, dos magnitudes, si: A IP B

A ´ B = cons tante

Gráfica para Magnitudes Inversamente Proporcionales La gráfica en el plano cartesiano es una línea curvilínea. Sea la gráfica:

A IP B A ´ B = CTE

 

Del gráfico: 100x2 = 50x4 = 200 ← constante de proporcionalidad inversa

Trabajando en clase Nivel básico 1. Si A IP B, además cuando A = 8, B = 10, calcula «A», si B = 16. Resolución: Si : A IP B   A ´ B = CTE

 

Nivel intermedio 5. Calcula el valor de «m» si A IP B.

 

A

20

5

m

B

1

4

10

Reemplazamos con los datos: 8 ´ 10 = A ´ 16

Resolución:

Despejand ejandoo “A”, tenem tenemos: os: Desp 1 A = 8 ´ 10   A = 5 162

Reemplazando:

Respuesta: 5

Como A IP B

20 ´ 1 = 5 ´ 4 ´ m ´ 10  

4. Las magnitudes M y N son inversamente proporcionales; si cuando M = 30, N = 4; calcula «N», «N», si M = 12. 6to PRIMARIA

20 = 10 ´ m  

2. Si M IP N, además cuando M = 12, N = 6, calcula «M», si N = 24. 3. Si A IP B; cuando A = 30; B = 5, calcula «A» si B = 10.

A ´ B = CTE

m=2

Respuesta: 2.

6. Calcula el valor de «n» si P IP Q.

  45

P

15

n

20

Q

4

10

3

Aritmética

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

7. Calcula el valor de «x» en el siguiente cuadro si A IP B .

 

A

4

x 

B

100

16

”  ” 

Piden: x + y  \ x + y = 48 Respuesta: 48

Nivel avanzado

9. Calcula «m + n», si A IP B2.

8. Calcula «x + y», si A IP B2. A partir del siguiente gráfico:  y  9

 

4 4   8

 

Resolución: Del gráfico mostrado, igualamos el producto de cada par ordenado, así:

10. Si la constante de proporcionalidad inversa es «  A ´ B = CTE», calcula «x» a partir del siguiente gráfico.

y.42 = 9.82 = 4.x 2 Luego: y.42 = 9.82 9.82 = y.42

y = 36 x = 12

Aritmética

 

 

46

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando Nivel Básico 12.

18.

Si: A IP B; además, además, cuando A = 40; B = 4, calcula «A» si B = 16 a) 10 d) 12

b) 9 e) 15

Calcula el valor de «x» si A IP B.  A

9

x

B

28 14 14

3 84

a) 16 d) 10 19. Calcula «n».

c) 6

b) 18 e) 20

c) 12

A

13.

Dadas las magnitudes inversamente proporcionales «A» y «B», si cuando A = 18, B = 2; calcula «B» si A = 6. a) 12 d) 9

14.

20.

b) 8 e) 5

 A

a) 25 d) 16

22.

A

c) d) 15 8 )9

x

B

Nivel Intermedio Calcula el valor de «n» a partir del siguiente cuadro si A IP B .

         

b) 30 e) 30 Nivel Avanzado

c) 18

Si la constante de proporcionalidad inversa

a) 81 b) 64 c) 49 d) 36 e) 25 23.

 A

6

n

B

9

8 81 1

A 196

 

línea curva

y 5

47

B

10

Calcula: x + y a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 20

 

6to PRIMARIA

m

partir del siguient siguientee gráfico:

6

a) 5 b) 3 c) 1 d) 4 e) 2

1

es la siguiente:  A × B = CTE ; calcula «y» a

lí ne a curva

5

17.

B

n

B 10 5   a) 8 b) 4 c) 2 d) 3 e) 5 21. Las magnitudes «M» y «N» son inversamente proporcionales. Si cuando «M» vale 10, N = 6, ¿qué valor tomará «M» cuando «N» sea igual a 18 ?

c) 25

12

15

partir del siguiente cuadro.

Si: R IP S, cuando R = 30, S = 50. Calcula «S» cuando R = 100. a) 10 b) 5

10

Si la constante de proporcionalidad inversa

c) 12

b) 10 e) 8

40

es la siguiente  A  × B3 = CTE  ; calcula «m» a

Si: A IP B, cuando cuando A = 80, B = 5. Calcula «A» cuando B = 40 a) 5 d) 40

16.

c) 3

a) 50 b) 60 c) 40 d) 80 e) 30

Dada la siguiente gráfica de proporcionalidad inversa, calcula «m». a) 15 d) 10

15.

b) 18 e) 6

         

A 40 20 y x

10

20

Aritmética

B

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Regla de tres simple A. Concepto  

 

Es un método aritmético que consiste en calcular el valor desconocido de una magnitud mediante la comparación de dos magnitudes.

B. Clases Regla de tres simple directa (RTSD)      

Es directa cuando las magnitude magnitudess que intervienen son directamente proporcionales. Se calcul calculaa realizand realizandoo una multiplicación en aspa o cruz.

         

a b x= 2 1 a1

R egla de tres simple inversa (RTSI) Es inversa cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales. Se calcul calculaa realizand realizandoo una multiplicación en forma horizontal o lineal. Veamos el esquema: IP Magnitud A a1 a2

Veamos el esquema: DP Magnitud A a1 a2

Magnitud B b1 x Valor desconocido a1 . x = a2 . b1

   

Despejando:

       

Despejando:

Magnitud B b1 x Valor desconocido a1 . b1 = a2 . x a b x= 1 1 a2

Trabajando en clase Nivel básico

3. Si con S/.150 puedo comprar 30 monederos.

1. Si 18 mochilas cuestan S/.90. ¿Cuánto se pagará por 30 mochilas? Resolución: Reconociendo Reconocien do magnitudes y realizando esquema: DP Mochilas 18 30 5

   

Precio 90 x

x=

30 ´ 90 18

\

x = S/.150

= 150

¿Cuántos monederos compraré con S/.230?

4. Si con S/.240 puedo comprar 48 cajas de chocolate. ¿Cuántas cajas de chocolate compraré con S/. 75? Nivel intermedio 5. Si 15 obreros hacen una obra en 20 días. ¿En cuántos días realizarán la misma obra 5 obreros? Resolución: Magnitudes: Obreros y días ⇒ El esquema será: IP Obreros 15 5

2. Si 20 cuadernos cuestan S/.160. ¿Cuánto se pagará por 35 cuadernos? Aritmética

 

48

Días 20 x 6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

 

1 4 5  32 ´ 10 ´ 10 = 50 x= 8 ´ 8 2 1

x = 15 ´ 20 = 60 5

\ x = 60 días Respuesta:

   

60 días

6. Si 18 obreros pueden realizar una obra en 32 días. ¿En cuántos días realizarán la misma obra 36 obreros?

\ 50 horas Respuesta: 50 horas

9. Si Juan puede tarrajear una pared cuadrada de 6 m de lado en 24 horas. ¿En cuánto tiempo tarra jearía otra pared pared cuadrada de 9 m de lado?   10. Si un caballo atado a un árbol con una cuerda de 4 m puede comer toda la hierba que se encuentra a su alrededor en 20 días. ¿Cuántos días tardaría en comer toda la hierba si la cuerda tuviera 2 m más?

7. Con 30 albañiles se puede construir una casa en 42 días. ¿Cuántos días demorarían en construir la casa 35 albañiles? Nivel avanzado 8. Si André puede tarrajear una pared cuadrada de 8 m de lado en 32 horas. ¿En cuánto tiempo tarra jearía otra pared pared cuadrada de 10 m de lado? Resolución: Hay que tener cuidado con estos tipos de problemas. Analizando el enunciado, si la pared a tarra jear tiene forma cuadrada, cuadrada, se formará formará el siguiente siguiente esquema para representar las magnitudes: DP Área 8×8 10×10

Horas Área = L2 32 x  

6to PRIMARIA

49

Aritmética

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando Nivel Básico 1. Si con S/.180 puedo comprar 25 pelotas, ¿cuántas pelotas compraré con S/.72? a) 9 b) 8 c) 10 d) 20 e) 15 2.

10.

Si 80 máquinas realizan una obra en 30 días, ¿en cuántos días realizarían la misma obra 20 máquinas más?

a) d) 20 30

Si con S/.250 puedo comprar 30 juegos de reglas, ¿cuántos juegos de reglas compraré con S/.450? a) 50 b) 60 c) 53 d) 54 e) 56

19 b) 21 e)

c) 24

3.

Una fábrica de polos tiene una producción de 1500 polos con 300 máquinas trabajando. Si se aumentaran 50 máquinas, ¿en cuánto aumentará su producción? a) 520 b) 250 c) 500 d) 200 e) 1750

Nivel Avanzado 11. Si un burro atado a un árbol con una cuerda de 5 metros puede comer toda la hierba que se encuentra a su alrededor en 40 días, ¿cuántos días tardará en comer toda la hierba si la cuerda tuviera el doble de longitud? a) 160 b) 180 c) 150 d) 140 e) 120

4.

Si con S/.40 puedo comprar 15 plátanos, ¿cuántos plátanos compraré con S/.80 más?

12.

a) 60

b) 120

d) 180

5.

metros de lado en 27 horas, ¿en cuánto tiempo tarrajearía otra pared cuadrada de 12 metros de lado? a) 40 h b) 50 h c) 60 h d) 48 h e) 54 h

c) 40

e) 45

Si Raúl puede tarrajear una pared cuadrada de 9

Si con S/.100 puedo comprar 50 yoyós, ¿cuántos yoyós podré comprar con S/.50 más? a) 75 b) 100 c) 50 d) 25 e) 30

Nivel Intermedio 6. Si 40 albañiles pueden construir una casa en 25 días, ¿cuántos días demorarían en hacer la casa 50 albañiles? a) 50 b) 60 c) 30 d) 40 e) 20 7.

Si ¿en25cuántos obrerosdías pueden realizarían realizarlauna misma obra obra en 4020 días, de dichos obreros? a) 40 b) 50 c) 10 d) 20 e) 60 8.

Si 30 obreros pueden realizar una obra en 20 días, ¿en cuántos días realizarían la misma obra 25 de dichos obreros? a) 12 b) 18 c) 21 d) 24 e) 30

9.

Si 24 obreros pueden realizar una obra en 15 días, ¿en cuántos días realizarían la misma obra 6 obreros más? a) 24 b) 20 c) 16 d) 18 e) 12

Aritmética

 

50

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Regla de tres compuesta Es aquella operación matemática que se utiliza cuando en el problema participan más de dos magnitudes. Ejemplo aplicativo: Si 4 obreros realizan en 15 días un muro de 20 m, ¿cuántos días necesitarán 20 obreros para realizar un muro de 40 m? Resolución: Realizando el esquema de magnitudes, tenemos: DP IP Obreros Días muro (m) 4 15 20 20 x 40 Del esquema 4 . 15 . 40 = 20 . x . 20 3 2  4 15  40 Despejando x = 20  20 5 1

 

\ x = 6 días

En general: Sean las magnitudes A, B y C DP IP Magn Ma gnit itud ud A Mag agni nitu tudd B Ma Magn gnit itud ud C a1 b1 c1   a2 x c2 Del esquema: a1 . x . c2 = a2 . b1 . c1 Despejando: a b c x= 2 1 1 a1  c2

Trabajando en clase Nivel básico 1. Si 5 hornos consumen 30 toneladas de carbón en 20 días, ¿qué cantidad de carbón consumirán 8 hornos en 25 días? Resolución: DP DP # hornos toneladas de carbón días 5 30 20 8 x 25 Del esquema quedará: 5 . x . 20 = 8 . 30 . 25 Despejando la incógnita: 3 5 4 8  30 25 8  3 5 = x= 2 5  20 2 1   x = 60 toneladas de carbón 2. Si 20 máquinas consumen 5000 kg de carbón en 50 días, ¿en cuántos días consumirán 50 máquinas, 10 000 kg de carbón? 6to PRIMARIA

3. Si 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días, ¿cuántas operarios operarios pueden producir 80 pares en 24 días? 4. Si 5 cocinas necesitan 5 días para consumir 5 galones de kerosene, ¿cuántos galones consumiría una cocina en 5 días? Nivel intermedio 5. Si en 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra, ¿en cuántos días acabarán 6 obreros lo que falta de la obra? Resolución: Con respecto a la obra, si se trabajó 2/3, lo que falta será 1/3. Ordenando las magnitudes, tenemos: IP DP días obreros puntos de la obra 2 12 8 13 x 6 3 51

Aritmética

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

 

2 12  8 1 3

Obreros   40   32

1 2 = X 6  3 16 = 2 x x = 8 días

 

   

8Respuesta: días

6. Si en 16 días, 9 obreros han hecho los 2/5 de una obra, ¿cuántos días necesitarán 3 obreros para terminar la obra?

Nivel avanzado 8. Si 40 obreros con 60% de rendimiento y traba jando 10 h/d terminar terminaron on una obra en 8 días, ¿en cuántos días 32 obreros con 30% de rendimiento y trabajando 5 h/d terminarán la misma obra? Resolución: Realizando el esquema, tenemos:

 

rendimiento hld 60 10 30 5 2 2 4 40 60  10  8 = 32  5  x

días 8 x

40 4 = 4  x x = 40 días Respuesta: 40 días

7. Si en 16 horas, 9 pintores han pintado los 3/8 de un edificio, ¿cuántas horas demorarán 12 pintores para terminar de pintar el edificio?

Aritmética

”  ” 

9. Si 30 obreros con 70% de rendimiento hicieron una obra en 10 días a razón de 5 h/d, ¿en cuántos días, 25 obreros con 50% de rendimiento, harán la misma obra si trabajan a razón de 7 h/d? 10. Si tres hombres, trabajando 8 h/d, han hecho 80 m de una obra en 10 días, ¿cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 h/d, para hacer 60 m de la misma obra?

52

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando Nivel Básico 1. Si 40 operarios pueden producir 80 pares de zapatos en 15 días, ¿cuántos operarios pueden producir 20 pares en 30 días? a) 10 b) 6 c) 5 d) 8 e) 9 2.

Si 8 leones necesitan 10 minutos para consumir 20 trozos de carne, ¿cuántos trozos de carne consumirán 5 leones en 4 minutos? a) 15 b) 5 c) 10 d) 2 e) 8

3.

Si8 máquinas trabajaron 6 h/d durante 5 días, ¿cuántos días tardarán 10 máquinas para realizar el mismo trabajo si funcionan durante 8 h/d? a) 6 días b) 2 días c) 3 días d) 4 días e) 5 días

4.

5.

Si 10 sastres en 10 horas pueden hacer 50 camisas, ¿cuántas camisas podrán hacer 15 sastres en 8 horas? a) 65 b) 50 c) 80 d) 48 e) 60

9.

Si 16 señoras pueden confeccionar 40 camisas en 20 días, trabajando 9 horas diarias, ¿en cuántos días 40 señoras podrán confeccionar 50 camisas si trabajan 6 h/d? a) 20 días b) 18 días c) 10 días d) 15 días e) 12 días

10.

Si 5sastres pueden hacer 10 ternos en 8 días, trabajando 2 horas diarias, ¿en cuántos días 10 sastres ternos a) 12podrán días hacer 50b) 6 díassi trabajan c) 58h/d? días d) 11 días e) 5 días

Si 3 gatos cazan 6 ratones en 8 minutos, ¿en cuántos minutos 5 gatos cazarán 5 ratones? a) 4 minutos b) 2 minutos c) 8 minutos d) 3 minutos e) 6 minutos

Nivel Avanzado 11. Si 10 máquinas elaboran 1800 chalecos en 3 días de 12 h/d, ¿cuántos chalecos harán 8 máquinas en 6 días de 8 h/d? a) 1920 b) 1928 c) 1912 d) 1860 e) 1890

Si 45 hombres tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias, ¿cuántos días alcanzarán los víveres para 60 hombresa razón de 2 raciones diarias? a) 15 días b) 12 días c) 7 días d) 10 días e) 8 días

12.

Nivel Intermedio 6. Si en 12 días, 8 obreros hicieron 2/3 de una obra, ¿en cuántos días harán 2 obrerosel resto de la obra? a) 18 días b) 20 días c) 16 días d) 12 días e) 24 días 7.

8.

Si 8 máquinas con 80% de rendimiento, fabrican 1000 productosen 6 días, ¿cuántos productos fabricarán 10 máquinas, con 90% de rendimiento, en 8 días? a) 1850 b) 1875 c) 1928 d) 1740 e) 2400

Si 5 obreros pueden pintar una pared cuadrada de 3 m de lado en 4 h, ¿en cuántas horas 10 obreros podrán pintar una pared cuadrada de 9 m de lado? a) 18 h b) 21 h c) 15 h d) 20 h e) 17 h

6to PRIMARIA

53

Aritmética

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Repaso 1. Si Daniel y su papá tienen 18 y 52 años, respecti vamente,  vament e, calcula la razón geométrica de sus edades, en ese orden.

a) 9/26

b) 8/26

7. Si 80 obreros pueden realizar una obra en 15 días, ¿en cuántos días harán 30 obreros una obra idéntica? a) 36 días b) 60 días c) 40 días d) 50 días e) 28 días 8. Si un caballo atado a un árbol con una cuerda de 3 m puede comer toda la hierba que se encuentra a su alrededor en 15 días, ¿en cuántos días podría comer toda la hierba si la cuerda midiera 6m? a) 60 días b) 36 días c) 45 días d) 40 días e) 80 días

c) 7/25

d) 9/24 e) 7/24 2. Si: A = 5 , calcula el número mayor si la razón B 3 aritmética de ambos es 10. a) 18 b) 30 c) 25 d) 16 e) 20 3. Calcula «x» en la siguient siguientee igualdad: x – 283 – 590 – 240 a) 483 b) 633 c) 592 d) 628 e) 645 4. Dada la siguiente proporción geométrica, calcula «m». 8 = 2m m 9

a) 7

b) 5

d) 6

e) 11

9. Calcula «m + n» si A IP B2.

 

c) 9

a) 45 c) 36 e) 52 b) 32 d) 48 10. Si 10 peones siembran 50 m2 en 15 días, ¿en cuántos días 15 peones doblemente hábiles sembrarán

5. Si la constante de proporcionalidad directa es la siguiente A = K , calcula «n» en el siguiente 2

gráfico:

2

80 ? a) 7mdías d) 12 días

B

b) 9 días

c) 6 días

e) 8 días

11. Dos números son entre sí como 5 es a 2; si la razón aritmética entre estos números es 18, calcula la suma de dichos números.

a) 24

b) 18

d) 12

e) 36

c) 30

b) 42

d) 49

e) 54

c) 56

12. Si en una imprenta se imprimen 600 libros en 8 días de 6 h/d, ¿cuántos libros se imprimirán en 12 días de 5 h/d?

6. Si A IP B, cuando A = 16, B = 10. Calcula «B» cuando A = 40. a) 3 c) 6 e) 5 b) 7

a) 39

a) 680

b) 820

d) 730

e) 650

c) 750

d) 4

Aritmética

 

54

6to PRIMARIA

 

 A  GEOME TR Í A  Primer Bimestre

6 PRIMARIA 

 

Pág. Segmentos: Operaciones de adición y sustracción, punto medio

57

Ángulos: Clasificación por la posición de sus lados, bisectriz

60

Ángulos: Clasificación según su suma

63

Ángulos entre rectas paralelas y una secante

66

Triángulos riángulos:: Propiedades fundamenta fundamentales les

69

Triángulos: Clasificación según la medida de sus ángulos y según la longit longitud ud de sus lados

72

Repaso

77

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Segmentos: Operaciones de adición y sustracción, punto medio SEGMENTO DE RECTA

B. Punto medio

Porción de línea recta comprendida entre dos puntos de ella, a los cuales se les denomina extremos. extremos.

 

Es el punto que divide al segmento en dos partes de igual longitud.

 

Segmento de extremos A y B: AB Z  Longitud  Longitud del segmento: AB Z  En la figura: AB = a Z 

Partes:  P artes: AM y MB Y  Punto medio: M ⇒ AM = MB Y

A. Adición y sustracción

Nota

   

Adición: x=a+b

En la figura, los puntos son colineales y consecutivos.

Sustracción: a=x–b

Trabajando en clase Nivel básico

4. Calcula «x».

1. Calcula «x».  

  Resolución: Nos piden: longitud del segmento, AB = x En la parte superior: Longitud total = x + 8 cm + 5 cm En la parte inferior: Longitud total = 20 cm Entonces: x + 8 cm + 5 cm = 20 cm ⇒ x = 7 cm

5. Calcula «x», si:Nivel B es intermedio punto medio de AC. 3

  Resolución: Nos piden: AB = x B es punto medio de AC ⇒ AB = BC 3

2. Calcula «x». 6

  Todo: AD partes: AB, BC, CD x + x + 10 = 30 cm ⇒ 2x = 20 cm

A

  3. Calcula CD – AB.

18

  Respuesta: 10 cm

  6to PRIMARIA

57

x = 10 cm

Geometría

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

6. Calcula «x», si: M es punt puntoo medio de BC.

”  ” 

Del dato: CD = 3(AB) – BC   CD = 3(5) – 7 cm   CD = 8 cm ⇒ x = 8 cm Luego: AD = x + 12 cm   AD = 8 cm + 12 cm   \AD = 20 cm

C

  7. Calcula «x». 2x+22cm

Respuesta: 20 cm

14cm

 

Nivel avanzado 8. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de forma que AB = 5 cm, BC = 7 cm y CD = 3(AB) – BC. Calcula AD. Resolución:

 

9. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de forma que AB = 2 cm, BC = 6 cm y CD = 2(AB) + BC. B C. Calcula AD. 10. En una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AB = x, BC = 2x, CD = 8 cm y AD = 23 cm. Calcula «x».

Nos piden: AD = 5 cm + 7 cm + x AD = 12 cm + x

Sigo practicando Nivel básico

13. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».

11. De acuerdo con el gráfico, calcula RS–TU.     a) 1 m

b) 2 m

d) 4 m

e) 6 m

c) 3 m

12. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».

a) 4 m

b) 5 m

d) 7 m

e) 8 m

c) 6 m

14. De acuerdo con el gráfico, calcula «x» si B es punto medio de  AC .  

  a) 3 u

b) 4 u

d) 6 u

e) 7 u Geometría

c) 5 u

 

58

a) 20 m

b) 30 m

d) 50 m

e) 60 m

c) 40 m

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

15. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».

19. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».

  a) 2 u

b) 3 u

d) 5 u

e) 6 u

 

c) 4 u

a) 2 u d) 5 u

Nivel intermedio

b) 3 u e) 6 u

c) 4 u

16. De acuerdo acuerdo con con el el gráfico, gráfico, calcula «x». 20. Según la figura, calcula «x».   a) 11 u d) 14 u

b) 12 u

 

c) 13 u

a) 10 u

e) 15 u

d) 13 u 17. Según la figura, calcula «x» si B y D son s on puntos medios de  AC y CE .

b) 20 cm

d) 40 cm

e) 50 cm

e) 14 u Nivel avanzado

c) 30 cm

a) 6 cm

b) 7 cm

d) 9 cm

e) 10 cm

18. Según la figura, calcula «x» si P es punto medio de  AB .   a) 5 u

b) 10 u

d) 20 u

e) 25 u

6to PRIMARIA

c) 12 u

21. En una línea recta se toman toman los puntos puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AB = x, BC = 3x, CD = 12 cm y AD = 48 cm. Calcula «x».

  a) 10 cm

b) 11 u

c) 15 u

59

Geometría

c) 8 cm

6to PRIMARIA

Geometría

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Ángulos: Clasificación por la posición de sus lados, bisectriz Los ángulos, según la posición de sus lados, se clasifican de la siguiente manera:

A. Ángulos adyacentes  

 

Es aquel par de ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común, asimismo, los lados no comunes en posiciones diferentes.

Los ángulos AOB y COD son opuestos por el  vértice como también lo son los ángulos AOD y BOC.  

Bisectriz

  Vértice: O Y  Lado  Lado común: OB Y  Los ángulos AOB y BOC son adyacentes Y

  Es el rayo que biseca al ángulo.

B. Ángulos consecutivos

 

OM bisectriz del AOB. OM bisectriz

 

 

Se cumple: mAOM = mMOB = a

Es la unión sucesiva de varios ángulos adyacentes, siempre partiendo de un mismo vértice y tomados uno a continuación del otro.

¡Muy importante!

 

a + b = 90º

a + b + q = 180º

Así, tenemos los ángulos consecutivos: AOB, BOC, COD, DOE y EOF.

C. Ángulos opuestos opuestos por el vértice  

Cuando dos rectas se intersecan se determinan 4 ángulos. Cada par de ellos que no son adyacent adyacentes es se llaman ángulos opuestos por el vértice.  

60

a + b + q + f = 360º

Geometría

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Trabajando en clase Entonces: 2x + 10° = x + 25° 2x – x = 25° – 10° \  x = 15° 6. Calcula «x».

Nivel básico   1. Calcula «x», si: la mAOC = 80°. A B    °    0    3

 

O

x+40°

C

Resolución: Nos piden: x Sabemos: mAOC = 80°; mAOB = 30°. Luego: mAOC = mAOB + mBOC   80° = 30° + x + 40°   80° = x + 70°   80° – 70° = x   \ 10° = x

 

7. Calcula: «3x».

  Nivel avanzado

2. Calcula «x», si la mROT = 120°.

®

8. Calcula «x», si: M es bisectriz del AOB.   3. Calcula la mAOB.

  Resolución:

Nos piden «x» y sabemos que OM es bisectriz. mAOM = mBOM   2x + 10° = x + 35°

O

 

4. Calcula gruentes.«x», si: los ángulos AOB y COD son con-

 

\ x = 25° ® 9. Calcula «x», si: OQ es bisectriz del ángulo POR.

 

Nivel intermedio 5. Calcula «x».

 

10. Calcula «x».   Resolución: Se pide «x»: tenemos ángulos opuestos por el vértice, y de acuerdo a la propiedad, tienen la misma medida.

®

 

6to PRIMARIA

61

Geometría

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

Sigo practicando Nivel básico 1. Calcula la medida del ángulo MON. a) b) c) d) e)

20° 30° 40° 50° 60°

2. Calcula «x» si los los ángulo  ánguloss AOB y EOD son congruentes. a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 80° 3. Calcula «a». a) 25° b) 30° c) 35° d) 40° e) 45° 4. Calcula «x». a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 5. Calcula Calcu la la medida del ángulo mayor mayor.. a) 24° b) 36° c) 54° d) 72° e) 86°

Nivel intermedio 6. Calcula «x». a) 25° b) 3° c) 45° d) 55° e) 65° 7. Calcula «x». a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° 8. Calcula la medida del ángulo AOB. a) 30° b) 3° c) 40° d) 45° e) 50° 9. Calcula «x». a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70° 10. Calcula «x». a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°

”  ” 

 

Geometría

62

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Ángulos: Clasificación según su suma Los ángulos se clasifican de la siguient siguientee manera:

 

A. Ángulos complementarios  

Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 90°.

¡Muy importante! Y  Complemento Ca   Ca = 90° – a   Observación: CCa = a Y 

       

Veamos un ejemplo: Si te doy un ángulo de 37°, ¿cuál es su ángulo

 

complementario o complemento? Es lo que le falta para sumar 90°, entonces será 53°.

Suplemento Sa Sa = 180° – a Observación: SSa = a

Recuerda que Z 

B. Ángulos suplementarios  

Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 180°.

Z 

Z 

     

Veamos un ejemplo: Si te mencion mencionoo al ángulo de medida 120°, ¿cuál es su ángulo suplementario o suplemento? Es lo que le falta para sumar 180°, entonces será 60°.

Z 

No existe mento de el un compleángulo cuya medida sea negativa. No existe el complemento de un ángulo cuya medida sea mayor a 90°. No existe el suplemento de un ángulo cuya medida sea negativa. No existe el suplemento de un ángulo cuya medida sea mayor a 180°.

Trabajando en clase \ x = 40°

Nivel básico   1. Calcula «x», si los ángulos son complementarios. complementarios.

2. Calcula «x», si los ángulos son suplementarios. suplementarios.

    Resolución:

3. Indica V o F según s egún corresponda. Y

Piden «x» y se sabe que los ángulos son complementarios: x + 50° = 90°

Y  

69° y 21° son ángulos complementarios. () El suplemento de 82° es 8°. Y  2° y 178° son ángulos suplementarios. ( )

63

6to PRIMARIA

Geometría

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

4. Calcula el complemento de la tercera parte de 210°.

”  ” 

Nivel avanzado 8. Si el complemento más el suplemento de cierto ángulo es 190°, ¿cuál es la l a medida de dicho ángulo? Resolución: Sabemos: Cx + Sx = 190° Pero: Cx = 90° – x   Sx = 180° – x Luego: 90° – x + 180° – x = 190°   270° – 2x = 190°   270° – 190° = 2x   80° = 2x   80º ÷ 2 = x   40° = x \ dicho ángulo es 40°

Nivel intermedio 5. Calcula: Ca

  Resolución: Nos piden: Ca Se sabe que: a + 50° = 90° ⇒ a = 40° Luego: C(40) = 90° – 40° \C(40) = 50°

9. Si el complemento más el suplemento de cierto ángulo es 100°, ¿cuál es la l a medida de dicho ángulo?

6. Calcula: Cq 10. Calcula: Cq 48°

  7. Calcula: E = C40° + S100° – C85°

 

Sigo practicando Nivel básico 11. Marca verdadero verdadero (V) o falso fa lso (F) según s egún corresponda. o 42° y 48° son ángulos suplementarios suplementarios.. ( )

12. Calcula el suplemento de la cuarta parte de 360°. a) 70°

b) 80°

d) 100°

e) 110°

c) 90°

13. Si Si los  los ángulos son suplementarios, calcula alcula««x».

o La bisectriz determina dos ángulos adyacentes congruent congruentes.( es.( ) o 102° y 78° son ángulos complementa rios. ( ) a) FVV

b) FVF

d) VVF

e) VVV

c) FFV

  a) 10° d) 40°

b) 20° e) 50°

c) 30°

 

Geometría

64

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

14.

”  ” 

Si: Cθ = complemento de q

18. Calcula Sθ.

Sθ = suplemento de q  

Reduce: E = CCSSCC(20)

a) 20° d) 60°

b) 30°

c) 50°

e) 70°

15. Calcula: M = S80° + C10° - S70° a) 40°

b) 50°

d) 70°

e) 80°

c) 60°

  a) 100°

b) 110°

d) 130°

e) 140°

c) 120°

19. Calcula Sθ.

  Nivel Intermedio 16. Calcula: R = CC30° + S100° - CCC70° a) 50°

b) 60°

d) 80°

e) 90°

d) 30°

e) 35°

d) 170°

e) 175°

c) 165°

20. ¿A qué ángulo se debe restar su suple mento para obtener 40°?

  b) 20°

b) 155°

c) 70°

17. Calcula «x».

a) 15°

a) 145°

c) 25°

a) 80°

b) 90°

d) 110°

e) 120°

c) 100°

6to PRIMARIA

65

Geometría

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Ángulos entre rectas paralelas y una secante  

C. Ángulos alternos internos

Si L1 // L  2

A. Ángulos correspondientes

 

a = b  

a = b

B. Ángulos conjugados internos

  Propiedades Si L1 // L  2 1.

Se cumple: x=a+b

2. Se cumple: m+n=x+y+z

 

a + b = 180º

Trabajando en clase Nivel básico

Por ángulos opuestos opuestos por el vértice: trasladamos tr asladamos 60°.

    1. Calcula «x», si L1 // L  2 .

 

 

Resolución: Nos piden: x

Luego, por ángulos conjugados: 2x + 20° + 60° = 180°   2x = 100° \ x = 50°  

 

Geometría

66

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

 

2. Calcula «x», si L1 // L  2 .

 

7. Calcula «x», si: L1 // L  2 .

50°

      3. Calcula «x», si: L1 // L  2 .

 

Nivel avanzado

 

8. Calcula «x», si: L1 // L  2 .

 

 

  Resolución:

4. Calcula «x», si L1 // L  2 .

Nos propiedad: piden: x 110° + b = 180° Por   b = 70°

 

Nivel intermedio

 

  Luego:    

5. Calcula «x», si: L1 // L  2 .

40°

x + b = 90° x + 70° = 90 \ x = 20°

    9. Calcula «x», si: L // L   . 1 65°

  Resolución: Nos piden: x Por la propiedad: x + 40° + 10° = 50° + 30°   x + 50° = 80°   x = 30°

 

6. Calcula «x», si L1 // L  2 .

   

 

10. Calcula «x», si: L1 // L  2 .

50° 40°

 

2

30°

 

6to PRIMARIA

67

Geometría

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

Sigo practicando Nivel básico

  L // L   L  

1 // 1. Si  Sia)  10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°

2 2

, calcula «x».

 

2. Calcula «x» si. L1 // L  2 a) 30° b) 35° c) 40° d) 45° e) 50°   3. Si Si   L1 // L  2 , calcula «x». a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°   4. Si L1 // L  2  , calcula «x». a) b) c) d) e)

35° 40° 45° 50° 55°

  5. Calcula «x» si L1 // L  2 . a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°

Nivel intermedio

  6. Calcula «x» si L L   . 1 // 2 a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 100°   7. Calcula «x» si L1 // L  2 . a) 20° b) 30° c) 35° d) 40° e) 45°

  8. Calcula «x» si L1 // L  2 . a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°   9. Si  Si  L1 // L  2  , calcula «x».   a) 5° b) 10°   c) 15°   d) 20° e) 25°   10. Si L1 // L  2  , calcula «x». a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°

”  ” 

 

Geometría

68

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Triángulos: Propiedades fundamentales Un triángulo es la figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales (vértices) mediante segmentos de recta (lados).  

2. En todo todo triángulo, triángulo, la suma de las medidas de los ánángulos exteriores (uno por vértice) es igual a 360°.

Elementos   En el triángulo ABC x + y + z = 360º Vértices: A, B, C Z  Lados: AB, BC, CA Z  Notación: ∆ABC Se lee: triángulo de vértices A, B y C. Z 

Ángulos determinados: Z  Interiores: a, b, q Z  Exteriores: x, y, z

  3. En todo triángulo triángulo,, la medida medida de un ángulo ángulo exteexterior es igualaaél.la suma de dos ángulos internos internos no adyacentes

  x = a + b

Propiedades fundamentales 1. En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180°.

  En el triángulo ABC a + b + q = 180º

 

Longitud del perímetro del ∆ABC

  2p = a + b + c

Trabajando en clase Nivel básico

Resolución: Nos piden: a Ahora, en el triángulo ABC: a + 40° + 50° = 180°

1. Calcula «a».

 

 

a + 90° = 180° x = 180° – 90° \ x = 90°

69

6to PRIMARIA

Geometría

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

2. Calcula «q».

”  ” 

Nivel avanzado 8. Calcula «q».

  7

3. Calcula «a».

  Resolución: Se pide: q por ángulo exterior: mACB = 50° + 30° mACB = 80° Suma de ángulos internos en el ∆ABC: 70° + q + 80° = 180°   150° + q = 180°   q = 30°

90° 60°

  4. Calcula «x».

2x

9. Calcula «a». 50°

 

  Nivel intermedio 5. Calcula «x».

 

10. Calcula «a». 90° 50°

 

   

Resolución: Se pide: x Por propiedad de la suma de los ángulos exteriores: x + 60° + x + 80° + x + 40° = 360° 3x + 180° = 360° 3x = 180° x = 60°

6. Calcula «x». 3x+15° 3x+40°

4x+15°

 

7. Calcula «x». 50°

 

 

Geometría

70

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando Nivel básico 1. En el triángulo RST RST,, calcula «q».

7. Calcula el valor de «x».

a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e)

50° 3°

b) 5° c)

10°

d) 15° e)

20°

a) 25° b) 30° 35°

d) 40° e)

45°

 

12°

b) 14° c)

16°

d) 18° e)

30°

c)

40°

d)

50°

e)

60°

a)

30°

b)

40°

c)

50°

d)

60°

e)

70°

a)

61°

b)

64°

c)

67°

d)

70°

e)

73°

10. Calcula «a».

4. Calcula «a». a)

b)

9. Calcula «x». ».  

3. Calcula «x».

c)

20°

8. Calcula el valor de «q».

2. Calcula «x». a)

a)

a)

35°

b)

45°

c)

55°

d)

65°

e)

75°

20°

Nivel avanzado

5. Calcula «x». ».  

11. Calcula el valor de «a».

a)

56°

b)

63°

a)

73°

c)

70°

b)

75°

d)

73°

c)

77°

e)

76°

d)

79°

e)

81°

Nivel intermedio 6. Calcula «x». ».   a)

10°

b)

15°

c) d)

20° 25°

e)

30°

6to PRIMARIA

71

Geometría

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Triángulos: Clasificación según la medida de sus ángulos y según la longitud de sus lados Los triángulos se clasifican de acuerdo con las medidas de los ángulos interiores y las longitudes de sus lados.

A. Según la medida de sus ángulos interiores interiores   1. Triángulo acutángulo  

Las medidas de sus ángulos interio interiores res son menores de 90°.

  Si a, b y q son menores de 90°, y mayores que 0° entonces el triángulo ABC es acutángulo.

 

 

3. Triángulo obtusángulo  

La medida de uno de sus ángulos es mayo mayorr de 90°.

  Si 90° > q > 180°, entonces el triángulo ABC es obtusángulo, obtuso en B.

2. Triángulo rectángulo  

La medida de uno de sus ángulos es 90°.

 

Si mABC = 90°, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo recto en B.

 

Geometría

72

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

B. Según la medida de sus lados  

 

 

1. Triángulo escale escaleno no  

Es aquel que tiene sus lados de igual longitud.

Sus lados son de diferente longitud.

 

 

AB = BC = AC a≠b≠c

 

3. Triángulo Triángulo equilátero

 

mA = mB = mC

2. Triángulo isósceles  

Es aquel que tiene dos lados de igual longitud. Al lado diferente se le denomina base.

  AB = BC = a  

Base: AC

Trabajando en clase Nivel básico

3x = 150° x = 50°

1. Calcula «x» e indica qué tipo de triángulo es ABC, según la medida de sus ángulos.

Reemplazando «x» en el triángulo, tenemos ángulos menores de 90°. Entonces, es un triángulo acutángulo.

2. Calcula «x» e indica qué tipo de triángulo es ABC, según la medida de sus ángulos.   Resolución: x + 10° + x + 20° + x = 180° 3x + 30° = 180°

 

73

6to PRIMARIA

Geometría

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

3. Calcula «x» y clasifícalo según la medida de sus ángulos.

”  ” 

6. Calcula «x», si: el triángulo ABC es equiláte equilátero. ro.

    º     0     6

 

60º

 

7. Calcula «x», si: el triángulo ABC es isósceles y AB = BC.

  4. Clasifica el ∆ABC según la medida de sus ángulos interiores.

5    0    º  

80º

   

 

Nivel avanzado 8. Calcula «x».

  Nivel intermedio 5. Calcula «x» si el triángulo ABC es equilátero. equilátero.

  Resolución: Del gráfico:

  Resolución: Nos piden: x Completando el gráfico:

Según el gráfico:

PQC

x + 60° + 90° = 180°      

x + 150° = 180° x = 180° – 150°

\ x = 30°

Los triángulos ABC y CBD son isósceles. En el triángulo ABC: mCBD = 40° En el triángulo ABC: 2x + 50° = 180° \ x = 65°

¡Qué interesante a resolver más ejercicios!

 

Geometría

74

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

9. Calcula «x» y clasifica el ∆ABD según sus lados.

10. Calcula «x», si: el triángulo ABC es equiláte equilátero. ro.

40º

   

Sigo practicando Nivel básico 1. Calcula «x» y clasifica el ∆ABC  ∆ABC según sus dos.

la-

3. Calcula «x» sabiendo que el triángulo el triángulo PQR es equilátero.

 

  a) Acutángulo

b) Obtusángulo

a) 10°

b) 20°

c) Rectángulo

d) Equilát Equilátero ero

d) 40°

e) 60°

c) 30°

e) Isósceles 4. Calcula «x» si AB = BC. 2. Clasifica el ∆RST según la medida de sus gulos interiores.

  a) Rectángulo

b) Obtusá Obtusángulo ngulo

c) Acutángulo

d) Isósceles

e) Equilátero

án-

a) 30°

b) 35°

d) 45°

e) 50°

c) 40°

75

6to PRIMARIA

Geometría

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

5. Calcula «x» si el perímetro del triángulo equilátero  PQR  es equilátero  es 21 cm.

a) 2 u

b) 3 u

d) 5 u

e) 6 u

8. Si los triángulos los triángulos ABC y FDE son equiláteros, equiláteros, calcula AF.

 

c) 4 u

Nivel intermedio 6. Calcula «x» si el triángulo ABC es isósceles y AB = BC.

b) 15°

d) 17°

e) 18°

a) 10 u

b) 12 u

d) 15 u

e) 18 u

c) 13 u

9. Calcula «x» e indica qué tipo de triánguloes ABC, según sus ángulos.

  a) 14°

”  ” 

c) 16°

  a) Equilátero

b) Escaleno

c) Obtusá Obtusángulo ngulo

d) Rectángulo

e) Acutángulo

10. Calcula «x» si el triángulo MNP es equi látero. 7. Calcula «x» si los triángulos ABC y CDE son equiláteros y sus perímetros sus perímetros,, 15 cm y 18 cm.

    a) 6 cm

b) 7 cm

d) 10 cm

e) 11 cm

c) 8 cm

a) 60°

b) 65°

d) 80°

e) 85°

c) 70°

 

Geometría

76

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Repaso 1. Calcula Sx.

5. Calcula «x», si:

  L1 // L  2

.

  a) 35° b) 55°

c) 78° d) 115°

e) 145°  

2. Calcula «f».

a) 100° b) 105° c) 130°

d) 140° e) 150°

6. Calcula «x».

  a) 100° b) 110°

c) 120° d) 130°

e) 140°

3. Calcula «x».   a) 30° b) 40° c) 50°

  a) 3 cm b) 6 cm

c) 9 cm d) 12 cm

e) 15 cm

®

4. Calcula «x», si: OM es bisectriz del AOB.

 

d) 60° e) 70°

7. Calcula «x».

  a) b) 40° 50°

c) d) 60° 70°

e) 80°

a) 30° b) 40° c) 50°

d) 60° e) 70°

77

6to PRIMARIA

Geometría

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

8. Clasifica el triángulo ABC, según sus lados.

11. Calcula «q».

 

  a) Escaleno b) Isósceles c) Equilátero

d) Rectángulo e) Acutángulo

a) 30° b) 40°

”  ” 

c) 50° d) 60°

e) 70°

c) 60° d) 70°

e) 90°

12. Calcula Cx.

9. Calcula «q».

 

  a) 55° b) 80°

c) 100° d) 120°

e) 125°

c) 50° d) 70°

e) 90°

10. Calcula «a».

  a) 10° b) 30°

a) 20° b) 40°

Geometría

 

78

6to PRIMARIA

 

 A ZON A MIEN TO  R   TICO  TEM Á  M A  Primer Bimestre

6 PRIMARIA 

 

Pág. Psicotécnico

81

Operaciones Operaci ones matemáticas

86

Operaciones matemá matemáticas ticas con tablas

89

Criptograma numérico

92

Cuatro operacion operaciones es

95

Método de las operaciones inversas

98

Falsa suposición y regla conjunta

101

Repaso

104

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Psicotécnico Los test psicotécnicos nos permiten p ermiten medir capacidades como memoria visual, atención, discriminación, entre otras. Los tipos de preguntas son muy diversos, esta vez nos centraremos en tres situaciones.

A. Figura que que no corresponde      

En este tipo de preguntas se muestran 4 o 5 figuras de las cuales una es diferente a las demás. Ejemplo: ¿Cuál de las siguient siguientes es figuras no correspon corresponde de al grupo?

 

 

Resolución: Mentalmente notamos las figuras de tal manera que el punto se encuentre en la parte superior. En esta posición se aprecia, fácilmente, que la patita más larga está ubicada hacia la izquierda en las figuras (a), (b), (c) y (e). Por ello, la figura que no guarda relación es la (d).

B. Test de dominó Si al armar una secuencia nos faltaran números en nuestro conteo, debemos regresar a la ficha inicial.

   

En este caso se debe tener en cuenta el orden de las fichas de dominó.  

 

Ejemplo: ¿Qué ficha continúa?

81

6to PRIMARIA

Razonamiento Matemático

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Resolución: En las fichas se observa que en la parte superior los puntos avanzan de dos en dos, por lo tanto continuaría el número 7. Pero, como 7 no está representado en el dominó y este está después del 6, quien ocuparía el lugar 7 es la ficha cero.

C. Cantidad de caras de un sólido      

Para resolver de preguntas en cuenta que los sólidos no solo tienen las caras que podemos ver, este sinotipo también, las carasdebemos «ocultas»tener que deben ser contadas. Ejemplo: Determina el número de caras del sólido:

  Rpta.: El sólido tiene 8 caras.

Trabajando en clase Nivel básico

3. ¿Cuántas caras tiene el sólido?

1. Señala la figura que no guarda relación con las demás: a)

d)

b)

e)

 

4. ¿Qué ficha continúa?

c)  

2. Señala las tres figuras que no guardan relación con las demás: a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

Vamos ¡a desarrollar!

 

Razonamiento Matemático

82

6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Nivel intermedio 5. ¿Qué figura continúa en la siguiente sucesión?

a)

d)

b)

e)

  a)

d)

b)

e) c)

c)

6. ¿Qué figura no guarda relación con las demás? a)

Nivel avanzado 8. ¿Cuántas caras tiene el sólido?

b)   c)

d)

a) 9

d) 8

b) 11

e) 12

c) 10 e)

9. ¿Cuántas caras tiene el sólido? 7.   a) 14

d) 11

b) 13

e) 10

c) 12

6to PRIMARIA

83

Razonamiento Matemático

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

10. ¿Qué ficha continúa?   a)

d)

b)

e)

c)

Sigo practicando Nivel básico

1.

2.

3.

¿Qué figura no guarda relación con las con las demás?

4.

¿Qué ficha continúa?

¿Cuántas caras tiene el sólido? a)

7

b)

8

c)

10

d)

9

e)

6

¿Qué ficha continúa?

 

Razonamiento Matemático

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6to PRIMARIA

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

5.

”  ” 

a)

8

b)

10

c)

9

d)

11

e)

7

¿Qué ficha continúa?

? ?

(a )

  7.

8.

¿Qué figura continúa?

10.

¿Qué ficha continúa?

¿Cuántas caras tiene el sólido?

Nivel intermedio 6.

9.

(b)

(c)

(d)

(e)

¿Cuántas caras tiene el sólido? a)

10

b)

11

c)

12

d)

9

e)

8

Señala la figura que no guarda relación con las demás:

85

6to PRIMARIA

Razonamiento Matemático

 

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“ 

”  ” 

Operaciones Matemáticas Una operación matemática es una relación entre números mediante un operador, que al aplicar una regla de definición originan otro número llamado resultado. Un operador matemático es el símbolo que representa una operación.

OPERADORES UNIVERSALES Son los símbolos de las operaciones conocidas de forma universal. Ejemplo: +;–;×;÷;…

OPERADORES ARBITRARIOS Son cualquier otro símbolo que nos permite «inventar» otras operaciones utilizando en su regla de formación los operadores universales. Ejemplo: * ; ∆ ;  ; @ ; # ; ; ...

  Ejemplo: Si a b = 3a 3a + b, cal calcu cula la el va valo lorr de de 7 2. Resolución: Observamos que en el enunciado el primer componente es «a» y en la pregunta es «7»; entonces, reemplazamos «a» por «7». En consecuencia, se debe reemplazar «b» por «2». Entonces: a b = 3a + b 7 2 = 3 × 7 + 2 = 21 + 2 = 23 23

Trabajando en clase Nivel básico 1. Si p q = 5p – q, q, cal calcu cula la el va valo lorr de de 6 12. 12. Resolución:   Primer componente en el enunciado: p p=6   Primer componente en la pregunta: 6

2. Si R # S = 7R + S, calcula el valor de 4 # 9.

 

Segundo componente en el enunciado: q

3. Si a * b = a + 4b, calcula el valor de (2 * 3) * 1.

 

Segundo componente en la pregunta: 12 Entonces, reemplazamos:

p=12

6 12 = 5 × 6 – 12 6 12 = 30 – 12 6 12 = 18

4. Calcula el valor de (75)4 si se sabe que mn = m + n 2

 

Razonamiento Matemático

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Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Nivel intermedio 5. Si = x2 + 1, calcula el valor de Resolución: Trabajamos por partes: Como = x2 + 1

.

2

Entonces:   Nos piden:

= 5  + 1 = 26 = 22 + 1 = 5  

= 26 + 5 = 31

6. Si

= 3x + 1, calcula el valor de

7. Si

= 2a – b, calcula el valor de

Nivel avanzado 8. Calcula el valor (4 * 2) + (9 * 15)   Se sabe que: r * s = 2r + s; si r ≥ 1     s – r; si r < 1

.

Resolución: Trabajamos por partes, teniendo en cuenta la condición que se cumple en cada caso. Y  Para  Para 7 * 2 se cumple que 7 ≥ 2; entonces, aplicamos la regla de la primera condición.   7 * 2 = 2 × 7 + 2 = 16 Y  Para 9 * 15 se cumple que 9 < 15; entonces, aplicamos la regla de la segunda condición. 9 * 15 = 15 – 9 = 6 Nos piden: (7 * 2) + (9 * 15) = 16 + 6 = 22

9. Ca Calc lcul ulaa el val aloor de (5 9)   Se cumple que: ì a  + b ï ï   ;a > b   a b = ïí 2 ï ï ï î2b –  a; a £ b

(122 6) (1

10. Ca Calc lcul ulaa el el val valor or de (2 (277 16 16)) + (18 (18 36 36). ).   Se cumple que:  

3a 4b = ïìí a . b ; a ³ b ï ï î2( b + a); a < b

87

6to PRIMARIA

Razonamiento Matemático

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Sigo practicando Nivel básico 1.

Si t 2.

= m = 5m + t, calcula el valor de (3

a) 20 d) 23 2.

b) 15

2)

8.

12)

b=

b) 4 e) 10

Si

= 5a + 3, calcula el valor de

b) 8 e) 7

a) 200 d) 118

c) 2 10.

3.

a) 5 d) 9

c) 12

5 si se sabe que a 9.

a) 4 d) 1

= (a × b) – (d × c), calcula el valor de

c) 21 e) 18

Calcula el valor de (9

Si

Si d

e = d + 9e, calcula el valor de 15

a) 30 d) 85

b) 60

3.

b) 250 e) 270

Calcula el valor de 16 # 10 si a) 28 d) 22

c) 48

. c) 230

= q + 2p

b) 18 e) 16

c) 30

e) 42 Nivel avanzado

4.

Calcula el valor de (4 # 2) # (5 # 3) si se sabe que f # g = 2f + 4g. a) 120 d) 150

5.

b) 130 e) 100

11.

Se cumple que:

c) 110

Si l * p = 6l – 2p, calcula el valor de (5 * 4) + (6 * 7) a) 44 d) 38

b) 50

Calcula el valor de 12 @ 20 – (8 @ 5)

Si 4p @ 5q =

c) 40 e) 52

12.

Si

Nivel intermedio

6.

Si

= 2ª + b – c, Calcula el valor de

calcula el valor de a) 10 d) 12

7.

Si 3a a) 13 d) 5

b) 8

c) 5 e) 20

2b = a + b, calcula el valor de 21 4. b) 8 c) 12 e) 9

a) 56 d) 50

b) 48 e) 54

c) 38

 

Razonamiento Matemático

88

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”  ” 

Operaciones Matemáticas con tablas Una operación matemática con tablas está compuesta por una tabla de doble entrada donde las «cabezas» de columna y fila se relacionan mediante un operador. El cuerpo de la tabla está compuesto por los resultados de la operación. Observa:

Para identificar el resultado de una operación en la tabla se ubica primero el valor del 1er componente (fila) y luego el del 2do componente (columna). La intersección entre ambos determina la respuesta. Ejemplo: Observa la tabla y calcula el valor de (1 * 2) * (3 * 4)   Resolución  

Trabajamos por partes: 1 * 2 = 2

 

3*4=2

 

Entonces: Enton ces: (1 * 2) * (3 * 4) = 2 * 2

 

=1

Trabajando en clase 1. Observa la tabla y calcula el valor de 3@2.

  Desde 3 trazamos una línea horizontal y desde 2

  Resolución: Como piden calcular 3@2, buscamos el número 3 en la zona de las primeras componentes y al número 2 en la de las segundas componentes.

una línea vertical. El casillero donde se cruzaron ambas líneas contiene la respuesta, entonces: 3@2 = 1

6to PRIMARIA

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Razonamiento Matemático

 

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”  ” 

2. Calcu Calcula la el valo valorr de 4 1 si se cumpl cumplee que: que: 6. Utilizando la tabla anterior, calcula el valor de «m» en la siguiente expresión:   (4 * 3) * 5 = m * 2 7. Ca Calc lcul ulaa el el val valoor de de «x» «x» en la ex exppre resi sióón (4 (4 2) x = x 2   3. Calcula el valor de (b # c) # a si se cumple que: que:

si se sabe que:

 

 

Nivel avanzado

4. Considerando la tabla anterior, calcula el valor de (d # a) # (b # c).

8. Observa las siguientes tablas y calcula el valor de [(2 4) (3 1)] 2.

Nivel intermedio 5. Observa la siguiente tabla para calcular el valor de «x» en la expresión: (1 * 3) * x = 3 * 5 Resolución: Utilizando la tabla resolvemos la ecuación:

  Resolución:

  (1 * 3) * x = 3 * 5   4 *x= 4

9. Utilizando las tablas anteriores, calcula el valor de [(3 2) (4 1)] 4.

Ahora nos preguntamos, ¿4 con qué número da como respuesta 4? Según la tabla 4 * 1 = 4, por lo tanto: x = 1

10. Empleando las tablas de la pregunta 8, calcula el  valorr de  valo de «x» «x» en la exp expres resión ión:: (2 (2 x) 3 = x (3 2).

 

Razonamiento Matemático

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“ 

”  ” 

Sigo practicando 7.

Nivel básico 1.

Calcula el valor de (a

d)

c si se cumple que:

(6

a)

ca c) b d) d

2.

3.

d o f 

a)

Considerando la tabla anterior, calcula el valor de (c a) (b d).

b)

a) a d) d

d)

b) c e) a y b

Calcula el valor de (5

2)

4.

e)

(3

1) utilizando

4

Utilizando la tabla anterior, calcula el valor de (3 4) + (2 3) – (1 3).

a) 1 b) 4 d) 2 e) 5 5. Calcula el valor de [3 (2

c) 3 4)]

1 si se cum-

ple que: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5

Calcula el valor de «x» en la expresió expresión n (7 x = x 9 si se cumple que: a) 5 b) 8 67 e) 9 c) d)

x=8

7

5)

2 A 1 2A 3

Calcula el valor de «x» en (x # 2) # 3 = 6 # 5 si se cumple que: a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 1 10. Utilizando la tabla anterior, calcula el valor de «x» en la expresión: expresión: (4 # 5) # x = 2 # (3 # 2) 9.

a) 1

b) 3

d) 2

e) 6

c) 4

Nivel avanzado 11. Observa las siguientes tablas y calcula el valor de «x» en la ecuación: (2

Nivel intermedio 6.

c)

c) b

la siguiente tabla. a) 2 b) 3 c) 5 d) 1 e)

9)

a) 6 b) 5 c) 8 d) 7 e) 9 8. Observa la siguiente tabla y calcula el valor de

b)

e)

Utiliza la tabla anterior, para calcular el valor de «x» en la siguiente expresión:

1)

x=x

(2

3)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1 o 2 e) 3 o 1 12. Utilizando las tablas anteriores, calcula el valor de la siguiente expresión:

a) 2 d) 1

b) 3 e) 4

c) 5

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Razonamiento Matemático

 

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”  ” 

Criptograma Numérico Un criptograma numérico es una forma de escritura con la que se emplea símbolos (incluso letras) o recuadros  vacíos para ocultar ocultar dígitos que forman forman un número número o una operación. operación. Cuando resolvemos un criptograma numérico buscamos determinar los valores ocultos, para ello debemos usar las propiedades que conocemos sobre las 4 operaciones básicas.

Ten en cuenta que: abc: numeral de 3 cifras abcd: numeral de 4 cifras

  Ejemplo: Resuelve el siguiente criptograma y calcula el valor de A + B.

     

En la columna de las decenas se observa que:   B + B + 1 = 13   → B = 6

Resolución:        

De la columna de las unidades: 7+ = __2 → A = 5 Completamos las casilla casillass que contienen la letra A.

Observamos la columna de las centenas: 5 + 3 ≠ 9, entonc entonces es se llevaba 1.

Nos piden: A + B = 5 + 6 = 11

Trabajando en clase 1. Si A86A + 5B1 = 5B95, calcula el valor de 2B + A. Resolución: Escribimos la adición de forma vertical y completamos la operación:

Y 

 Entonces, la operación es: Entonces,

  Y

Y 

En la columna tonces A = 4 de las unidades: A + 1 = 5, enY  En la columna de las decenas: 6 + B = 9, entonces B = 3

Piden 2A + B = 2 . 4 + 3 = 11

2. Si A64 + 8B1 = B37A, calcula el valor de A + B. 3. Si 3ab × 2 = ab0; calcula el valor de a . b.

 

Razonamiento Matemático

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”  ” 

4. Calcula la suma de todos los números faltantes en el siguiente criptograma numérico: 1

 

Nivel intermedio 5. Calcula el valor de bca + cab + abc si a + b + c = 15. Resolución: Escribimoss la operación de forma vertical: Escribimo

 

3 × 2 + 2 = 8 ¡sí cumple! cumple! Entonces a + b + c = 8 + 5 + 7   = 20

6. Calcula el valor de bcda + dabc + abcd + cdab si a + b + c + d = 14. 7. Completa los espacios en blanco y calcula la suma de todos los números que escribiste:

9. Completa la operación y da como respuesta la cifra mayor:

 

Nivel avanzado 8. Si 2abc × 3 = abc1, calcula el valor de a + b + c. Resolución: Escribimoss la operación de forma vertical: Escribimo

 

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6to PRIMARIA

Razonamiento Matemático

 

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“ 

”  ” 

Sigo practicando Nivel básico 7. 1.

b) 18 e) 23

a) 3 d) 2

c) 20 8.

Si a) 10 d) 12

5.

b) 6 e) 2

Si se cumple que lor de A + B. a) 16 d) 20

4.

c) 6

Calcula el valor de C + D:

9.

, calcula el vab) 12 e) 17

c) 15

10.

b) 15 e) 13

c) 16

Completa los espacios en blanco y da como respuesta la suma de los números que escribiste:

b) 16 e) 14

Si

, calcula el valor de A × B.

a) d) 35 30

b) 42

e) 36

c) 50

Calcula el valor de B + C si se sabe que . b) 4 e) 8

c) 6

Nivel avanzado

Nivel intermedio

a) 10 d) 18

c) 9

c) 16

Completa la operación y da como respuesta la suma de los números que escribiste:

a) 12 d) 18

b) 7 e) 5

a) 5 d) 7

, calcula el valor de m + n + p. b) 15 e) 8

a) 2 d) 12 c) 7

11.

12.

6.

b) 4 e) 5

Calcula la suma de cifras del dividendo en el siguiente criptograma:

a) 5 d) 9 3.

, calcula el valor de C – B

Calcula el valor de a + b: a) 12 d) 15

2.

Si +D

c) 20

Si

, calcula el valor de a + b.

a) 8

b) 12

c) 10

d) 15

e) 7

Si C.

, calcula el valor de A + B +

a) 12 d) 8

b) 9 e) 13

c) 15

 

Razonamiento Matemático

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6to PRIMARIA

 

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“ 

”  ” 

Cuatro Operaciones Las cuatro operaciones básicas son adición, sustracción, multiplicación y división. Para resolver estos problemas debemos leer con cuidado el enunciado, de manera que se pueda identificar la operación que se va a realizar. Estas son algunas situaciones que involucran cada una de las operaciones.

ADICIÓN

SUSTRACCIÓN

La cantidad de dinero que tienen tres Z  La  La diferencia entre las edades de dos personas juntas. personas. Z  La cantidad total de animales que hay Z  Identificar  Identificar el dinero luego de realizar en una granja. unas compras. Z 

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

Z 

Laa cantidad de dinero que juntaré du- Z  Tengo una bolsa de caramelos que re L rante una semana si cada día gano lo partiré entre mis amigos. mismo. Z  El costo de una camisa que compre por Z  El  El monto a pagar por la compra de un docena. grupo de objetos iguales. Ejemplo: Carla tiene ahorrado S/.320 y Romina tiene el triple de ella. Si Laura tiene tanto como Carla y Romina  juntas, ¿cuánto ¿cuánto dinero dinero tienen tienen entre las tres? Resolución: Calculamos lo que tiene cada una: Carla: S/.320 Romina: 3 × S/.320 = S/.960 Laura: S/.320 + S/.960 = S/.1280

Para calcular lo que tienen entre las tres debemos sumar.   320 +   960   1280 2560 Rpta.: Entre las tres tienen S/.2560.

Trabajando en clase 1. Si al vender un auto en S/.4300 pierdo S/.1200, ¿cuánto me costó el auto? Resolución: Como al vender auto se perdió dinero, debe sumarse dicha pérdida al precio de venta para conocer su costo original.   4300 +   1200   5500 Respuesta: El auto costó S/.5500.

2. Si al realizar un descuento de S/.520 en un producto este se vende en S/.630, ¿cuál era el precio original del producto producto?? 3. Si se compran 5 cientos de cuadernos y se colocan en cajas de 2 decenas, ¿cuántas cajas necesito? 4. Un refrigerador se compró por S/.750; al pasar un tiempo malogró y seen pagó S/.300¿cuánto por arreglarlo. Si al se final se vendió S/.1350, se ganó?

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6to PRIMARIA

Razonamiento Matemático

 

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“ 

Nivel intermedio 5. Si vendo un televisor en S/.930 ganaría S/.150. ¿Cuál sería su precio si se vendiera perdiendo S/.120? Resolución: Y    S/.930 – (precio con ganancia) S/.150 ganancia S/.780 costo real Y 

 

 

780 – 120 S/.660

costo real pérdida precio con pérdida

Respuesta: Perdiendo S/.120 el precio de venta sería S/.660.

6. Si me obsequiaran S/.170 podría comprar un DVD y aún me quedaría S/.25. ¿Cuánto dinero tengo, si el DVD cuesta S/.720? 7. Alicia gana S/.15 diarios y Luisa S/.18 por día. Si las dos juntas ganan S/.726, ¿cuántos días han transcurrido?

Nivel avanzado 8. En una carrera de autos, se sabe que el primero llegó a la meta luego de 480 minutos; el segun-

”  ” 

do, 20 minutos después que el primero; el tercero demoró tanto como el tiempo del segundo aumentado en 18 minutos y el cuarto demoró tanto como el primero y el tercero juntos. ¿Cuánto demoró el cuarto auto? Resolución: Con los datos, calculamos los tiempos de cada auto. 1er. auto: 480 2do. auto: 480 + 20 = 500 3er. auto: 500 + 18 = 518 4to auto: 480 + 518 = 998 Respuesta: El cuarto auto demoró 998 minutos.

9. Jesús gana el primer día S/.5; el segundo, S/.10; el tercero, S/.15 y así sucesivamente hasta completar 7 días. Si al finalizar esa semana gastó S/.75, ¿cuánto dinero le sobra?

10. Manuel pierde dinero diariamente durante 5 días consecutivos. consecuti vos. El primer día pierde S/.8; el segundo, S/.16; el tercero, S/.24, y así sucesivamente. Si al inicio tenía S/.300, ¿cuánto le sobró?

 

Razonamiento Matemático

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6to PRIMARIA

 

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“ 

”  ” 

Sigo practicando Nivel básico 1.

En la campaña «Abriguemos a un amigo» el aula de 6° grado g rado recolectó 8 cajas de 50 chompa chompass cada

7.

una. Si para preparar donación se embolsarán las chompas en gruposlade 4, ¿cuántas bolsas se necesitarían? a) 80 d) 130 2.

4.

b) S/.32 500 e) S/.31 500

c) 150 8.

Si el menor de tres hermanos tienen 16 años y cada uno de los siguientes tiene dos años más que el anterior, ¿cuánto suman las edades de los hermanos? a) 40 d) 48

b) 54 e) 60

c) 52

c) S/.22 300 9.

Tres socios se reparten las ganancias de una empresa. primero que el segundo yEleste reciberecibe S/.800S/.1200 más quemás el tercero. ¿Cuál fue la ganancia de la empresa si el tercero recibe S/.2600?

a) 48 d) 52

a) S/.10 600 d) S/.14 200

b) 56 e) 44

c) 38

Juan tiene S/.1500 y gasta la tercera parte en  juguetes. Si Si luego su su padrino le regala la cuarta cuarta parte de lo que le quedaba, ¿cuánto dinero tiene al final? b) S/.1000 e) S/.1100

b) 10 e) 16

10.

11.

b) S/.350 e) S/.300

c) S/.400

b) 141 e) 147

c) 134

Karen ahorra de la siguiente manera: enero, S/.150; febrero, febrero, S/.200; marzo, S/.250; abril, S/.300 y así sucesivamente hasta el mes de julio. Si luego compra una TV a S/.700, ¿cuánto dinero le queda? a) S/.1000 d) S/.1600

Nivel intermedio

a) S/.250 d) S/.450

c) S/.15 000

Nivel avanzado

c) 18

Andrea gana S/.40 diarios y ahorra S/.25 diariamente. ¿Cuánto dinero ganó si hasta el momento ha ahorrado S/.250?

b) S/.12 400 e) S/.13 200

Si compré cierto número de melones a S/.294 y los vendí a S/.588, gané S/.2 por melón. ¿Cuántos melones compré? a) 157 d) 137

c) S/.1340

A cada uno de los 300 perritos de un albergue le corresponden correspon den 20 galletas. Si llegan 200 perritos p erritos más, ¿cuántas galletas le corresponderá a cada uno ahora? a) 12 d) 15

6.

c) 38 años

Si Carlos nació en 1982 y Sebastián en 1986, ¿cuál será la suma de sus edades cuando Carlos tenga 26 años?

a) S/.1250 d) S/.1500 5.

¿cuál es la edad actual de María? a) 42 años b) 50 años d) 40 años e) 36 años

Se compró un inmueble en S/.75 000 y se realizaron ciertos arreglos, por los que se pagó S/.1400. Si se consiguió un comprador que pagó S/.98 000, ¿cuál fue la ganancia ganancia?? a) S/.16 000 d) S/.21 600

3.

b) 100 e) 200

María tiene siete años más que Milagros. Si dentro de nueve años, Milagros tendrá 42 años,

12.

b) S/.1200 e) S/.1800

c) S/.1400

Si por 120 naranjas pagué S/.150, ¿cuánto ganaré si vendo cada naranja al doble del costo? a) d) S/.250 S/.150

b) S/.300 e) S/.225

c) S/.75

97

6to PRIMARIA

Razonamiento Matemático

 

Formando líderes para el futuro  Formando

“ 

”  ” 

Método de las Operaciones Inversas El método de las operaciones inversas, también conocido como método cangrejo, permite determinar el valor inicial que, luego de haber sido afectado por una secuencia de operaciones, resulta un valor que es dato del problema. Observa:

×3 5 Inicio

÷4

–3 15

12

Ejemplos: Con un número se realiza las siguientes operaciones: primero se le multiplica por dos, luego se le aumenta 4 al resultado obtenido para posteriormente dividirlo entre 2 y, finalmente, se le extrae 6 a la respuesta. Si al nuevo número se le divide entre 3 se obtiene 11, ¿cuál es el número inicial?

×2

3

÷2

+4

÷3

–6

11

Fin ( )2

7 Inicio

49

Escribimos las operaciones inversas:

÷4

+1 50

37

10 Fin

74

78

÷2

39

×2

–4

33

11

×3

+6

Trabajando en clase Calcula el valor inicial (preguntas (preguntas 1 y 2). –5 ×4 ÷8 +10 1.

obtiene un nuevo número que al extraerle la raíz cuadrada, disminuir en 2 a dicha raíz, luego ele var al cuadrado el último resultado resultado y, y, finalmente, finalmente, dividirlo entre 8, da como resultado 12. ¿Cuál es la edad de Rocío?

20 Resolución: Escribimos las operaciones inversas y completamos:

25

20 +5

80

÷4

10

×8

20 –10

Respuesta: El valor inicial es 25.

2.

+6

×4

–8

Nivel intermedio 5. Una persona participó en tres apuestas; en la primera duplicó su dinero y gastó S/.30; en la segunda triplicó lo que le quedaba y gastó S/.54; en la tercera cuadriplicó la suma restante y gastó S/.72. Si al final le quedaron S/.48, ¿cuánto tenía al inicio? Resolución:

Inicio ×2

40 3. Un número es aumentado en 4, el resultado se multiplica por 3 y el nuevo número se disminuye en 2. Si al último valor encontrado se le extrae la raíz cuadrada se obtiene 8. ¿Cuál es el número inicial? 4. Si cuadriplicamos los años que tiene Rocío y luego incrementamos 4 al resultado obtenido, se

   

×3

–30

×4

–54

–72 48 Final

Escribimos las operaciones inversas:

29

58

÷2

28 +30

84

÷3

Respuesta: Al inicio tenia S/.29

30 +54

120

÷4

48 +72

 

Razonamiento Matemático

98

6to PRIMARIA

 

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”  ” 

6. Un número se aumenta en 1, el resultado se multiplica por 2, a este nuevo número se le resta 3, se multiplica por 4 al resultado y por último se divide entre 5, y se obtiene 12. ¿Cuál es el número inicial?

Resolución:

Final ÷2

÷2 A

52

8

16

÷2

7. Juanita su dinero de la siguiente manera; en gaseosa,gasta la mitad de su dinero, más S/.2; en galletas la cuarta parte del resto, más S/.3. Si al final se queda sin dinero, ¿cuánto dinero tuvo al inicio?

Nivel avanzado 8. Tres personas (A, ( A, B y C) se pusieron a jugar jug ar con la condición de que el perdedor de cada partido duplicaría el dinero de los otros dos. Si se sabe que perdieron una vez cada uno, en orden alfabético, quedándose uno con S/.32 al final; ¿cuánto dinero tenía B al inicio?

 

B

28

÷2 56

÷2  

C

16

32

16

32

64

32

÷2 32

9. Cuatro personas (A, B, C y D) se pusieron a jugar con la condición de que el ganador de cada partida recibiría la mitad de dinero que en ese momento tiene cada uno de los otros tres jugadores Si se sabe que ganaron en orden alfabético y al finalizar la cuarta partida quedaron con 20, 36, 68 y 132 dólares, respectivamente, ¿cuánto ganó D?

10. Se tienen tres aulas (A, B y C) con cantidades diferentes de alumnos. Si de cada una de ellas se pasan a las otras dos aulas tantos alumnos como hay en ese momento en cada uno de estos, en orden alfabético quedan al final cada una con 120 estudiantes. ¿Cuántos ¿ Cuántos estudiantes tenía te nía el aula “A “A” inicialmente?

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Razonamiento Matemático

 

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”  ” 

Sigo practicando 7.

Nivel básico 1.

Se triplica un número, el resultado se incrementa en 4. El nuevo número es disminuido en 15, se eleva al cuadrado la diferencia obtenida, resultando 100. Calcula el número. a) 10 d) 12

2.

8.

b) 40 e) 10

b) 24 e) 36

c) 42

9.

10.

c) 20

c) 12

b) S/. 40 e) S/. 34

c) S/. 32

Si a un número se le extrae la raíz cuadrada c uadrada y, después de agregarle 1 al resultado, se multiplica por 3, se obtiene 12. ¿Cuál es el número inicial? a) 24 d) 7

b) 10 e) 17

c) 9

Cada vez que una persona hace un negocio, duplica su dinero pero de inmediato gasta S/.10. Si luego de dos negocios sucesivos tiene S/.90, ¿cuánto tenía inicialmente? a) S/.130 d) S/.120

b) S/.40 e) S/.160

c) S/.80

Nivel avanzado 11.

Juan se pone a jugar con el dinero que llevaba y logra duplicarlo pero inmediatamente gasta S/.10. Con lo que le queda juega por segunda vez y triplica su dinero, pero gasta S/.30. Por tercera vez juega, pierde la mitad y gasta S/.80, retirándose con S/.10. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente?

Cinco amigos (R, A, L, C y E) acuerdan que el que pierde la partida de naipes duplicará el dinero de los otros cuatro. Si cada uno de ellos pierde una partida en orden alfabético, quedándose al final de la última partida con S/.80 cada uno. ¿Cuánto tenía R al inicio? a) 15 d) 202,5

b) 105 e) 5

c) 55

De un depósito lleno de agua se retira la mitad de su contenido, más un litro por hora. Si al cabo de 3 horas el depósito queda vacío, ¿cuál es la capacidad del depósito?

Nora, Claudia, Katy y Elena juegan naipes, y cada una de ellas gana una partida en orden inverso al que han sido mencionadas. La regla del juego es la siguiente: A la que gane el primer juego, las demás le darán S/.30; a la que gane el segundo y el tercer juego, las que pierdan le darán S/.20, y a la que gane último  juego, solo le darán S/.10 cada una de las que pierdan. Si luego de terminar el cuarto juego y cumpliendo las reglas cada una tiene S/.60, ¿cuál es la diferencia entre lo que tenían inicialmente inicial mente Nora y Katy?

a) 10 L d) 8 L

a) S/. 20 d) S/. 10

a) S/. 50 d) S/. 30

b) S/. 60 e) S/. 40

c) S/. 80

Nivel intermedio 6.

c) 58

Si a la cantidad que tengo la multiplico por 5, al resultado lo divido por 15, al cociente lo multiplico por 4 y, finalmente, añado 32; tendría tendrí a S/.80. ¿Cuánto tengo inicialmente? a) S/. 36 d) S/. 38

A un número se le multiplica por 3, luego se le resta 6 y al resultado se le multiplica por 5. Si el nuevo número se divide entre 8, al resultado se le eleva al cuadrado y, finalmente, se le resta 171, se obtiene 729. ¿Cuál es el número? a) 18 d) 16

5.

b) 46 e) 81

b) 60 e) 152

c) 7

A un número positivo lo dividimos entre 2 y el resultado se eleva al cuadrado. El número se divide entre 4 y a dicho resultado se le extrae la raíz cuadrada, obteniéndose, finalmente, 5. ¿Cuál es el número? a) 30 d) 50

4.

a) 40 d) 45

Un número se aumenta en 20, el resultado se divide entre 5 y al cociente obtenido se le aumenta 3. Al nuevo número se le extrae la raíz cuadrada, se multiplica por 15 al resultado y, finalmente, al producto obtenido se le divide entre 25, resultando 3. Calcula el número. a) 56 d) 32

3.

b) 15 e) 8

Si se multiplica un número por 8, el resultado se divide por 10, el cociente se multiplica por 3 e inmediatamente se añade 36, se obtiene 180. ¿Cuál es el número inicial?

b) 14 L e) 16 L

c) 22 L

12.

b) S/. 40 e) S/. 60

c) S/. 80

 

Razonamiento Matemático

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Falsa suposición y regla conjunta FALSA SUPOSICIÓN Este método permite resolver problemas donde se conocen dos cantidades totales y dos incógnitas. Ejemplo: En un corral de 20 animales donde solo se tienen conejos y pollos, se contaron un total de 70 patas. ¿Cuántos conejos hay?

Para resolverlos, debemos acomodar el problema de tal manera que los elementos o datos ubicados a la izquierda, también estén en la derecha. Luego, aplicamos la siguiente propiedad: El producto de la izquierda es igual al producto de la derecha. Ejemplo:

Resolución: Z  Primero identificamos los datos:     Z

conejo 20 animales pollos  70 patas

En una feria por 3 pollitos me dan 1 pato, por 4 patos me dan 6 conejos y por 5 conejos me dan 10 palomas. ¿Cuántas palomas me darán por 4 pollitos? Resolución:

Elaboramos  E laboramos nuestra suposición: «todos son po- Escribimos la lista de equivalencias indicadas y llos», luego analizamos analizamos::  verificamos que las unidades unidades estén intercaladas. intercaladas. Y  Como todos son pollos → 20 animales 3 pollitos < > 1 pato   20 × 2 = 40 total de patas   ↑   4 patos < > 6 conejos   Cantidad de patas de un pollo   5 conejos < > 10 palomas Y 

 

Como  C omo realmente son 70 patas y solo contamos 40, nos equivoca equivocamos mos por: 70 – 40 = 30 patas

«x» palomas < > 4 pollitos Si dos unidades iguales están en el mismo sector, solo debemos invertir su escritura.

Y 

  Y 

 

Nos 30 patas porque al suponer que todossobran son pollos hemos contado solo 2 patas de los conejos en lugar de las 4 que tienen. Entonces, hay un error por animal de: 4 – 2 = 2 patas Ahora, repartimos las patas sobrantes en grupos de 2 para encontrar el número de conejos. 30 = 15 2

Respuesta: Hay 15 conejos.

REGLA CONJUNTA Los problemas que se pueden resolver por este método son aquellos que presentan una lista de equivalencias.

Ahora aplicamos la propiedad y operamos. 3 . 4 . 5 . x = 1 . 6 . 10 . 4 1 1 1

  Respuesta:

2

x=4

Por 4 pollitos me dan 4 palomas

2

1

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Razonamiento Matemático

 

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”  ” 

Trabajando en clase 1. Si por 3 ganchos recibo 7 vinchas y por 4 vinchas recibo 6 aretes, ¿cuántos ganchos recibiré por 14 aretes? Resolución: Escribimos las equivalencias. 3 ganchos < > 7 vinchas 4 vinchas < > 6 aretes 14 aretes < > «x» ganchos Verificamos las unidades y operamos: 3 . 4 . 14 = 7 . 6 . x 2

1

  4=x Respuesta: Recibiré 4 aretes

6. En un estacionamiento se cuentan 27 vehículos entre bicicletas y triciclos. Si se cuentan 62 ruedas en total, ¿cuántos triciclos hay? 7. Utilizando el enunciado anterior, indica el número de bicicletas. Nivel avanzado 8. Si se sabe que 2 kilos de frejol cuesta igual que 3 kilos de azúcar; 4 lapiceros igual que 5 kilos de azúcar. Si 3 cuadernos valen S/.30 y 8 lapiceros cuestan igual que 4 cuadernos, ¿cuál es el precio de 6 kilos de frejol? f rejol? Resolución: Escribimos la lista de equivalenc equivalencias. ias. 2 kg frejol < > 3 kg azúcar

una tienda precio de 5 polostanto es igual al de 2. 3Encamisas. Si 9elcamisas cuestan como 10 chompas, ¿cuántas chompas equivalen al precio de 12 polos?

3. En un mercado muy especial, por 3 papas me dan 6 camotes y por 2 camotes me dan 5 choclos. Con 10 choclos, ¿cuántas papás me darán? 4. Si por 3 lápices me dan 5 borradores y por 2 borradores, 9 lapiceros, ¿cuántos lapiceros me darán por 4 lápices? Nivel intermedio 5. En un taller de mecánica se cuentan 16 vehículos entre autos y motos. Si en total se contaron 48 llantas, ¿cuántas motos hay? Resolución: Identificamos los datos y realizamos la suposición. motos 16 vehículos  48 llantas autos   Si todos los vehículos fueran autos habría: 16 × 4 = 64 llantas Nos equivocamos por 64 – 48 = 16 llantas Cuando confundimos una moto con un auto agregamos a cada auto 4 – 2 = 2 llantas. Repartimos:

16 = 8autos 2

4 lapiceros < > 5 kg azúcar   3 cuadernos < > S/.30 8 lapiceros < > 4 cuadernos S/.x < > 6 kg frejol Observamos que en la columna de la derecha la unidad «kg azúcar» está repetida, por eso reordenamos y calculamos. 2 kg frejol < > 3 kg azúcar 5 kg azúcar < > 4 lapiceros 3 cuadernos < > S/.30 8 lapiceros < > 4 cuadernos S/.x < > 6 kg frejol 6

2 . 5 . 3 . 8 . x = 3 . 4 . 30 . 4 . 6   x = 36 Respuesta: El precio es S/.36

9. En una feria agropecuaria por 3 patos te dan 2 pollos; por 4 pollos, 3 gallinas; por 8 monos, 12 gallinas. Si cada mono cuesta S/.150, ¿cuál será el precio de 5 patos? 10. Juanita gasta S/.140 en comprar 43 kilos de frutas, entre naranjas y manzanas. Si la primera cuesta S/.4 y la otra S/.2, ¿cuántos kilos de manzana se compró?

 

Razonamiento Matemático

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”  ” 

Sigo practicando Nivel básico 1.

7.

En una tienda por 5 gaseosas puedo obtener 2 galletas y por 1 galleta puedo obtener obtener 5 chocolates. ¿Cuántas gaseosas obtendré con 6 chocolates? a) 2 d) 1

b) 3 e) 4

y gallinas? a) 18 d) 14

c) 5 8.

2.

En un restaurante el precio del arroz con pollo es igual al de 10 tortas de chocolate y el de 7 tortas de chocolate es igual al de 2 lomos saltados. ¿Cuántos lomos saltados cuestan igual que 7 arroz con pollo? a) 5 d) 9

3.

5.

b) 12 e) 13

b) 4

d) 2

e) 8

9.

b) 7 e) 4

10.

b) 100 e) 110

b) 42 e) 8

c) 49

De la pregunta anterior, ¿cuántos cuyes hay? a) 18 d) 16

b) 40 e) 27

c) 10

Nivel avanzado

c) 6 11.

Si se gasta S/.201que al comprar 9 artículos entre camisas y polos cuestan S/.35 y S/.16, respectivamente, ¿cuántos polos se compraron? a) 8 d) 10

b) 2 e) 7

c) 6

c) 2 12.

En un circo las entradas de niño cuestan S/.5 y las de adulto, S/.8. Si con una asistencia de 195 personas se recaudó S/.1260, ¿cuántos niños asistieron? a) 80 d) 90

c) 7

c) 8

Nivel intermedio 6.

b) 5 e) 9

En un corral, donde solo hay cuyes y patos, se cuentan en total 154 patas. Si el total de animales es 50, ¿cuántos patos hay? a) 60 d) 23

Si por 10 pelotas puedo obtener 4 trompos y por un trompo puedo conseguir 5 canicas, ¿cuántas pelotas puedo obtener por 6 canicas? a) 13 d) 8

c) 12

c) 4

En una feria agropecuaria por 3 pollitos dan 14 canarios y por 7 canarios dan 2 palomas. ¿Cuántas palomas se obtendrán con 3 pollitos? a) 5

b) 16 e) 20

Para el paseo del colegio se inscribieron inscribieron 65 personas entre adultos y niños. Si el costo es de S/.10 por adulto y S/.5 por niño, y se recaudó S/.475, ¿cuántos niños más que adultos hay? a) 8 d) 12

Si con 3 panes puedo canjear 1 pastel y con 3 pasteles puedo canjear 1 flan, ¿cuántos flanes obtengo por 117 panes? a) 7 d) 15

4.

b) 8 e) 7

En una granja se cuentan 48 cabezas entre gallinas y conejos. Si en total se cuentan 158 patas, ¿cuál es la diferencia entre el número de conejos

c) 120

Si 4 cuestan igual que 6 ; 7 igual que 21 ;8 igual que 6 y 10 igual que 3 , ¿cuántos obtengo por 120 ? a) 6 d) 4

b) 12 e) 8

c) 5

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6to PRIMARIA

Razonamiento Matemático

 

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”  ” 

Repaso 1. De un depósito de 50 litros de agua, se extrae la quinta parte; luego se extrae 15 litros; de lo que queda, se extrae 14 litros. Si al final se agrega 35 litros, ¿cuántos litros quedan?

6. ¿Qué figura no guarda relación con las demás? a)

b)

2. Compré 500 sombreros por S/.6 cada uno. Si vendí cierto número de ellos en S/.500, a S/.5 cada uno, ¿a cuánto tengo que vender el resto para no perder? 2

3. Si

= a  + 6 y

c)

3

= b , calcula

+

. d)

4. Calcula A + B si se sabe que:   3A+   AA   5A   1B4

e)

5. Observa las tablas y calcula el valor de «x» en la sig iguuien entte exp xprres esió ión: n: [( [(44 1) (3 2) 2)]] = (x 1) 4.

 

7. En una tienda, por 3 camisas dan 2 pantalones y por 6 pantalones, 4 sacos. Si por S/.90 me dan 8 sacos, ¿cuánto cuestan 5 camisas?

8. Determina el valor de sustracción:

 

,

y

en la siguiente

 

Razonamiento Matemático

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6to PRIMARIA

 

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9. ¿Qué figura sigue en la sucesión? ?

 

11. Cada vez que Luis visita a su tía, esta le duplica el dinero que él lleva. En agradecimien agradecimiento to él le obsequia S/.400 a su tía. Un día Luis, queriendo ganar más dinero, realizó cuatro visitas sucesivas a su tía y al final se quedó sin nada. ¿Cuánto tenía al inicio?

10. Si un comerciante compró 11 trajes por S/.3300 y vende 5 a S/.240 cada uno, ¿a cuánto tiene que  vender los restante restantess para ganar S/.900? S/.900?

12. En un trueque, por 27 cuadrados se reciben 25 triángulos y por 5 triángulos, 9 círculos. ¿Cuántos ¿Cuántos cuadrados pueden recibirse por 5 círculos?

6to PRIMARIA

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Razonamiento Matemático

 

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