Mate 4 Teorema Fundamental de Calculo

Matemáticas IV- Cálculo integral octubre del 2010

viernes 22 de

Instituto Tecnológico De Veracruz Ingeniería bioquímica Segundo semestre Tema:  Teorema Fundamental de Cálculo

Profesor: Darío Escobar González

Alumnos: Ivonne Orozco Martínez Torres Anzueto Auri Daniela López Jiménez Alfonso Pinto Márquez José Roberto

Fecha: 22-10-10

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Mediciones aproximadas de figuras amorfas Con pocas pocas modifi modificac cacion iones es podemos podemos extend extender er la aplica aplicació ción n de las integra integrales les definidas para el cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de una región entre dos curvas.

Si bien en la figura 7.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario necesario y se puede usar el mismo integrando integrando [f(x) - g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) " f(x) en el intervalo [a, b]. Se resume el resultado en el teorema siguiente. Demostración: Partimos en el intervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de anchura x y dibujamos un rectángulo representativo de anchura x y altura f(xi) g(xi), de donde x está en el i-ésimo i-ésimo intervalo, tal como lo muestra la figura 1.3. El área de este rectángulo representativo es Ai = (altura)(anchura) = [f(xi) - g(xi)] x Sumando las áreas de los n rectángulo s y tomando el límite cuando |||| ! 0 (n ! "), tenemos n lim " [f(xi) - g(xi)] x

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n ! " i=1 Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f-g también es continua en dicho intervalo y el límite existe. Por tanto, el área A de la región dada es n A = lim " [f(xi) - g(xi)] x = [f(x) - g(x)] dx n ! " i=1 Se usan los rectángulos representativos en diferentes aplicaciones de la integral. Un rectángulo vertical (de anchura x) implica integración respecto a x, mientras un rectángulo horizontal (de anchura y) implica integración con respecto a y. Ejemplo 1.1 Hallar e área de la región limitada por las gráficas de y =x2 +2, y = -x, x =0 y x = 1. Solución: Hacemos g(x) =-x y f(x) =x2+2, entonces g(x) " f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la figura. Por tanto, el área del rectángulo representativo es A = [f(x) - g(x)] x = [(x2+ 2) - (-x)] x A= [f(x) - g(x)] dx = [(x2 + 2) - (-x)]dx = [x3/3 + x2/2 + 2x]10 = 1/3 + ½ + 2 = Las gráficas de f(x) =x2+2 y g(x) = -x no se cortan, y los valores de a y b están dados explícitamente. Un tipo de problema más común involucra el área de una región limitada por dos gráficas que se interceptan, debiendo por tanto calcularse los valores de a y b.

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Aplicación El consumo total de gasolina para el transporte en los Estados Unidos desde 1960 hasta 1979 sigue un modelo de crecimiento descrito por la ecuación: f(t) =0,000433t2 + 0,0962t + 2,76; -10 " t " 9 Donde se mide f(t) en miles de millones de barriles y en t en años, correspondiendo t = 0 al primero de enero de 1970. Debido al aumento drástico de los precios del crudo a finales de los años setenta, el modelo de crecimiento del consumo cambió y comenzó a seguir esta otra forma: g(t) = -0,00831t2 + 0,152t + 2,81; 9 " t " 16 Como muestra la siguiente figura. Calcular la cantidad total de gasolina ahorrada desde 1979 hasta 1985 como resultado de este cambio en los modelos que expresan estos ritmos de consumo. Solución: Al estar situada la gráfica del modelo que regía hasta 1979 por encima de la del modelo posterior en el intervalo [9, 16] la cantidad de gasolina ahorrada viene dada por la integral siguiente: f(t) g(t) [(0,000433t2 + 0,0962t + 2,76) - ( -0,00831t2 + 0,152t + 2,81)] dt = (0,008743t2 - 0,0558t - 0,05) dt = [(0,008743t3/3 )-(0,0558t2/2)-0,05t " 4,58 miles de millones de barriles Por tanto, se ahorraron 4,58 miles de millones de barriles de gasolina, que a razón de 42 galones por barril supuso un ahorro de 0,2 billones de galones.

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Notación Sumatoria ó sigma En estadística se requiere la suma de grandes masas de datos y es pertinente tener una notación simplificada para indicar la suma de estos datos. Así, si una variable se puede denotar por X, entonces las observaciones sucesivas de esta variable se escriben:

En general, la i-ésima observación se escribe X ; i=1,..., n La letra griega sigma mayúscula (S) se emplea para indicar la suma de estas n observaciones.

La notación se lee:

Suma de X sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n. La letra debajo del operador S se llama índice de la suma; en la expresión:

Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones: Notación suma abierta: Esta notación va de una representación de sumatoria a cada uno de los elementos que la componen, por ejemplo:

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Notación suma pertinente. Esta notación es al contrario de la suma abierta, va de la representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su representación matemática resumida, por ejemplo:

Ejemplo no. 1: Si X1 = 3 X2 = 9 X3 =11

Encontrar:

Solución: Ejemplo no. 2: Si X1 = 1 X2 = 2 X3 = -1

Encontrar:

Solución:

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Sumas de Riemann Superior Inferior Un refinamiento de la partición P es otra partición P' que contiene todos los puntos de P y además otros puntos adicionales, también ordenados en orden de magnitud. Sea P = { x 0, x1, x2, ..., x n} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f  una función acotada definida en ese intervalo. Entonces: La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

S(f, P) = c j (x j - x j-1) donde c j es el supremo de f(x) en el intervalo [x j-1, x j]. La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

I(f, P) = d j (x j - x j-1) donde d j es el ínfimo de f(x) en el intervalo [x j-1, x j]. Variación de las sumas de Riemann

Sea P = { x 0, x 1, x 2, ..., x n} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f  una función acotada definida en ese intervalo. Entonces: La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta. Es decir: I (f, P)

I (f, P') para todo refinamiento P' de la partición P

La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye: S (f, P')

S (f, P) para todo refinamiento P' de la partición P

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Definición de integral definida Sea f una función continua definida para a

≤

x ≤ b.

Dividimos el intervalo [a, b] en n subíntralos de igual ancho ∆ x = . Sean x0 = a y xn = b y además x0, x1,...., x n los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto t i en estos subintervalos de modo tal que t i se encuentra en el iésimo subintervalo [x i 1, xi] con i = 1,.., n. −

Entonces l a integral definida de f de a a b es el número .

=

La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar  cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral. Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.

Observación : La suma

que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además subíntralos de distinta longitud.

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 Teorema de existencia para integrales definidas Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo

[a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: El valor f (x) se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b]. Quizá sea interesante hacer varias observaciones: 1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad. 2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente. 3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración sencilla. Teorema aplicado a una función determinada Vamos a estudiar la aplicación del teorema a una función concreta. Para una primera aproximación vamos a escoger una función que sea continua en cualquier  intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se cumple la hipótesis de nuestro teorema. La función objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente: Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores se puede observar como varía el valor medio de la función y el punto, o puntos, en que se alcanza dicho valor. La función con la que estamos trabajando es simétrica y eso provoca que en algunos intervalos el punto c no sea único.

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El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la función en el intervalo [a,b], cuyo valor medio queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser más pequeño que el extremo b. En cualquier caso, si te equivocases, aparecería un mensaje de error. Teorema aplicado a un tipo diferente de funciones Vamos a considerar ahora la aplicación del teorema a un tipo diferente de funciones. Aquí el punto en el que se alcanza el valor medio es único ya que la familia de funciones exponenciales que estudiamos, también con dominio en todos los números reales y fácilmente integrables, se caracteriza por su monotonía. El conjunto de funciones que representamos responde a la ecuación general En la que k puede tomar diversos valores reales en el intervalo [−0.5 , 0.5], lo que hace que la función pueda ser una exponencial creciente o decreciente. En el caso K = 0, al tratarse de una función constante el teorema carece de interés. En la escena anterior la función era definida positiva y por tanto también lo era su valor medio. Ahora las funciones pueden tomar valores positivos y negativos según los intervalos, lo que afecta al valor medio obtenido. El control k permite variar la función exponencial considerada. Los controles a y b representan, como en la escena anterior, los extremos del intervalo. Puedes estudiar diferentes intervalos en cada función que representes.

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Propiedades de la integral definida Se define la integral indefinida a partir de la determinación del área de la región comprendida entre la gráfica de una función f(x)>0 el eje X y las rectas x=a y x=b.... Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas. 1)

donde c es una constante.

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes

propiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar para más de dos funciones) 3) Si x está definida para x = a entonces

=0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces 5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos

cerrados definidos por a, b y c entonces

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Demostración de las propiedades enunciadas

Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] entonces Demostración : Si f(x) ³ 0 entonces

representa el área bajo la curva de f de modo que la interpretación geométrica de esta propiedad es sencillamente el área. (También se deduce directamente de la definición porque todas las cantidades son positivas). * Si f y g son integrables en el intervalo cerrado [a, b] con f(x) ³ g(x) para todo x en

[a, b] entonces Demostración : Si f(x) ³ g(x) podemos asegurar que f(x) - g(x) ³ 0 y le podemos

aplicar la propiedad anterior y por lo tanto ³ 0 y de esta manera

. De aquí

-

.

Supongamos que m y M son constantes tales que m £ f(x) £ M para a £ x £ b. Se dice que f está acotada arriba por M y acotada abajo por m, la gráfica queda entre la recta y = m y la recta y = M. Podemos enunciar el siguiente teorema: Si f es integrable y m £ f(x) £ M para a £ x £ b entonces £ M (b - a).

(La gráfica ilustra la propiedad cuando f(x) ³ 0)

m (b - a) £

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Si y = f(x) es continua y m y M son los valores mínimos y máximos de la misma en el intervalo [a, b] gráficamente esta propiedad indica que el área debajo de la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que la del rectángulo con altura M. En general dado que m £ f(x) £ M podemos asegurar, por la propiedad anterior  que . Si se evalúan las integrales de los extremos de la desigualdad resulta m (b - a) £ £ M (b - a). El siguiente teorema permite simplificar el cálculo de integrales de funciones que poseen propiedades de simetría. Sea f una función continua sobre el intervalo [–a, a] a) Si f es par

.

b) Si f es impar

.

Demostración : tenemos en cuenta que a

la podemos descomponer en

dos nuevas integrales =

+

=

+

En la primera integral sustituimos u = –x Þ du = –dx, además si x = –a Þ u = a. = =

con esto la ecuación original resulta:

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En el caso a) si la función es par f(–u) = f(u) entonces =

=

Mientras que en el caso b) si la función es impar f(–u) = – f(u) =

= 0.

Ejemplo: Sabiendo que

a)

, calcule las siguientes integrales.

b)

c)

d)

Utilizando propiedades de las integrales resulta: a) Como x2 es una función par:

=

=

b) Como x2 es una función par:

=

+

c)

=3

=8

d)

=-

=-

=2

=

A modo de resumen:

Área = A =

(en la variable x, se consideran

rectángulos verticales)

donde a y b son las abscisas de dos puntos de intersección adyacentes de las dos curvas o puntos de las rectas fronteras que se especifiquen. Área = A =

(en la variable y, se consideran

rectángulos horizontales) donde c y d son las ordenadas de dos puntos de

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intersección adyacentes de las dos curvas o puntos de las rectas fronteras que se especifiquen.

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 Teorema fundamental del Calculo Integral El Teorema fundamental del cálculo integral dice que la integral de una función es la inversa de la derivada, es decir, la derivada de la integral de la función es igual a la función. De este teorema fundamental se puede deducir el segundo teorema fundamental, es decir, la regla de Barrow para calcular integrales definidas como resta de primitivas. Primer teorema

Dada una función integrable en el intervalo cerrado en

como

, para

, si

, se define la función

es continua en

Demostración Primeramente hay que tener en cuenta que para

en

a esta igualdad se le llama el teorema de la media. Aplicamos directamente la definición de derivada, es decir:

Pero por el teorema de la media:

entonces:

:

entonces:

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Pero el punto está entre y

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, entonces si

en el límite

, es decir:

es decir: Segundo teorema o regla de Barrow

El segundo teorema o regla de Barrow dice que si en , entonces:

es una función primitiva de

Demostración Sabemos por el teorema primero que es una primitiva de puesto que también lo es, sólo diferiran en una constante, es decir:

Si hacemos

Pero

Si hacemos

pero

, entonces nos queda:

y

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La Integral Impropia Una integral es impropia si: Uno o los dos límites de integración son infinito (impropia de 1ª especie) La función f(x) no está acotada en el intervalo [a, b] (impropia de 2ª especie) Estas integrales se resuelven utilizando límites y por lo tanto nos podemos encontrar dos situaciones: • •

Que el límite sea finito: entonces la integral es CONVERGENTE y su valor  corresponde con el valor del límite (ejemplo superior). Que el límite no exista o sea infinito: entonces la integral es DIVERGENTE y su valor queda indeterminado

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si los límites existen.

Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente. Como se menciono al principio. En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Integrales impropias Integrales impropias de primera especie (función continua en una semirrecta):

Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la aditividad respecto del intervalo; Condición necesaria para la convergencia; Teorema sobre la linealidad; No oscilación de integrales con integrando no negativo; Criterios de comparación; Criterio de convergencia dominada; Criterio de convergencia absoluta y la integral de Poisson.

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Integrales impropias de segunda especie (funciones continuas en un intervalo

acotado, salvo en uno de los extremos del intervalo): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la relación entre las integrales impropias de segunda especie y las de primera especie. Integrales impropias mixtas (funciones continuas en un intervalo, acotado o no

acotado, salvo en un número finito de puntos del intervalo): Definición de integral convergente, o no convergente; Las funciones Beta y Gama de Euler y Generalización del teorema fundamental.

La Integral Definida

Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.

[f(x0) + f(x 1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] ∆ x = (se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)

[f(x1) + f(x 2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] ∆ x = (se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo)

[f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] ∆ x = (se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo)

Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f  no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.

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Definición 1 : Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica

=

=

es el número:

[f(x0) + f(x 1) + f(x 2) + ……………………… + f(xn–1)] ∆ x o bien

donde x0 = a, xn = b y ∆ x =

.

(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [x i 1, xi] con i = 1, .., n) −

Definición 2 : Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f  de a a b, que se indica

=

=

es el número:

[f(x1) + f(x2) + f(x 3) + ……………………… + f(xn)] ∆ x

donde x0 = a, xn = b y ∆ x =

.

(la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [x i 1, xi] con i = 1, .., n) −

Definición 3 : Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f  de a a b, que se indica

=

=

es el número:

[f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] ∆ x

donde x0 = a, xn = b y ∆ x =

.

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(la función se evalúa en cualquier punto t i de cada subintervalo [x i 1, xi] con i = 1, .., n) −

El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior  de integración . Notación y terminología :

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral. La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definición más general. Definición de integral definida : Sea f una función continua definida para a

≤

x≤

b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho ∆ x = . Sean x0 = a y xn = b y además x 0, x 1, ...., x n los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto t i en estos subintervalos de modo tal que t i se encuentra en el iésimo subintervalo [x i 1, xi] con i = 1, .., n. −

Entonces l a integral definida de f de a ha b es el número . La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar   cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

=

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Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.

Observación : La suma

que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además subintervalos de distinta longitud. Observación: Las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o nulas.