Mate 1

 

 osé M a r g a

lo Toral

 

 

ññ-1 1

S

T

^

t

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4-

01

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0

 

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-•

.V J - a. ífíf,, '•'■ ■ - .V

«t

l, a

 

Proyecto: Claves secretas y encriptamiento de códigos

 

Sitúate a n t e el trabajo a realizar   —

Formad grupos de u a t r o o c i n c o p e r s o n a s :

a

s t u d i a d e l c o n c e p t o d e e n c r i p t a c i ó n L e e d a t e n t a m e n t e e l e j e m p l o y b u s c a d e n I n t e r n e t más n

f o r m a c i ó n s o b r e l a u t i l i d a d d e l o s s i s t e m a s c r i p t o g r á f i c o s . T e recomendamos:

« La c r i p t o g r a f í a desde l a antigua Grecia hasta la m á q u i n a Enigma », e l Observatorio de l a Seguri dad de l a Información C I N T E C O , n s t i t u t o Nacional d e las Tecnologías de l a Información . b R e p a s a d m u y b i e n l o s c o n c e p t o s d e a r i t m é t i c a , e s p e c i a l m e n t e t o d o l o c o n c e r n i e n t e a l o s números primos.

c

Repasad l o s c o n o c i m i e n t o s de m c d y

mcm

ados en e s t e l i b r o

d C o n o c e d e l procedimiento d e r e a c i ó n d e l a v e s .

e

Comparad l o s d i f e r e n t e s s i s t e m a s e n c r i p t a c i ó n y comentad sus i v e l e s de e g u r i d a d y u t i l i d a d

Loque i e n e s que hacer

C o m e n z a r e m o s e s c i f r a n d o u n mensaje u t i l i z a n d o u n sistema d e i f r a d o s e m i o l ó g i c o . Pronto d a r e m o s e l s a l t o a l sistema numérico p a r a e n c r i p t a r una

l a v e s e c r e t a . E s t a será a p a r t e m á s e n c i l l a d e nues

t r o t r a b a j o y l a r e a l i z a r e m o s en l a u n i d a d 1 . E n c r i p t a r numéricamente

x i g e un p r o c e d i m i e n t o m u y concreto p a r a poder

r e a l i z a r e l p r o c e s o c o n t r a r i o . E s t o e s l o qu e h a r e m o s e n l a u n i d a d 2 . S e r á

n e c e s a r i o r e a l i z a r g r a n d e s á l c u l o s , q u e n o p o d r á s e a l i z a r a m a n o . La

com

p u t a c i ó n nos ayuda a r e s o l v e r l o s t e d i o s o s c á l c u l o s .

P a s o s a seguir Para conseguir este r e t o personal, o importante e s r p as o a paso: 1 . Conjuntos numéricos. Paso

2.

úmeros

: D e s c i f r a r y crear un m e n s a j e

eales y p ot e ncias . P a s o 2: Encriptando u n a

riptográfico.

a r j e t a d e crédito.

P a s o 3: D e s e n c r i p t a n d o c ó d i g o R S A .

 

Conjuntos

U t i l i z a e l p r o g r a m a WIRIS

para e l l o .

numéricos: Oi

  Z y Q En esta unidad

1. Introducción

a N ,Z

Q

2 . T i p o s d e racciones 3. Representación Representación g r á f i c a d e o s

7.

racional

números racionales

4 . Fracciones equivalentes 5.

Expresión decimal d e u n n ú m e r o

8 . Expresión r a c i o n a l d e u n n ú m e r o decimal

Orden en

6 . Op e r ac i o n e s c o n n ú m e r o s

9.

Uso las

racionales

del paréntesis

o p e ra ci o n e s

  V a m o s a aprender Saberes

científicos

-Reconocer

y

erarquía

de

Competencias

os distintos

conjuntos de n ú m er o s .

CMCT

de r a c c i o n e s . números n t e r o s y r a c i o n a l e s . -Conocer a s p r o p i e d a d e s d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s y u t i l i z r l s p a r a

CL

-Identificar los distintos tipos

- R e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e los operar orrectamente.

-Reconocer

d e n ú m e r o s decimales. g e n e r a t r iz i z d e u n n ú m e r o decimal.

os distintos tipos

-Calcular a f r a c c i ó n - T r a n s f o r m a r u n a f r a c c i ó n e n número e c i m a l . - C o n o c e r u t i l i z r c o r r e c t a m e n t e l j e r a r q u í a de a s o p e r a c i o n e s , i n c l u i d o e l uso d e l p a r é n t e s i s . Lectura

y comprensión Tratamiento

de

a

-Conocer

l o r i g e n d e a s matemáticas d e s a r r o l l o de a s o c i e d a d d e s u i e m p o .

-Utilizar

p r o g r am a WÍR IS e n

su i m p o r t a n c i a en l

a realización

de

EC

CCL

álculos sencillos.

CD CMCT

información

y competencia

digital

aA pprreennddeer ac i e n c i a

- A p l i c a r l o s d i s t i n t o s t i p o s de números, n c l u i d o s l o s e n l a r e s o l u c i ó n d e p r o blem a s o t i d i a n o s .

-Observar plantear La ciencia

en

a sociedad

Proyecto: Claves secretas y encriptamiento d e códigos

-Conocer Málaga.

n ú m e r o s mixtos,

CMCT

PAA

importancia del dominio del cálculo aritmético para p o d e r

y r e s o l v e r problemas. as

matemáticas en

l Neolítico y las ciuda de s

de A g a d i r y

-Descifrar y encriptamiento d e códigos

CEC CMCT

CMCT. D

SC

PAA

IE

N o t a : c o m p e t e n c i a m a t e m á t i c a y c o m p e t e n c i a s b á s i c a s e n c i e n c i a y t e c n o l o g í a C M C T ) , ompetencia en o m u n i c a c i ó n l i n g ü í s t i c a C O L ) , competencias o c i a l e s y c í v i c a s CSC), o m p e t e n c i a p a r a a p r e n d e r a a p r e n d e r C P A A ) , c o m p e t e n c i a d i g i t l C D ) , e n t i d o de i n i c i t i v y e s p í r i t u emprendedor S I E ) , c o n c i e n c i a y e x p r e s i o n e s c u l t u r a l e s CEC).

 

 

Los números a l o l a r g o de a h i s t o r i a L o s n ú m e r o s n t e r o s a pa r e ce n e n a I n d i a h a c í a e l a ñ o 600

i bien

s o n r ápida m e n te u t i l i z a d o s e n a C h i n a m p e r i a l . L o s m a t e má má t i c o s

c hin os u t i l i z a r á n estos n ú m e r o s escribiendo en color rojo los nú m e r o s negativos. De hí viene l a e x p r e s i ó n estar e n n ú m e r o s r ojos

c u a n d o u n s a l d o es n e g a t i v o . E n E u r o p a no e g e n e r a l i z a r á s u u s o h a s t a el siglo xvi i La ciencia árabe en E sp a ñ a alcanzará altas co tas c ons t i t uyendo el siglo X I

e l s i g l o d e oro d e a c i e n c i a a n d a l u s l . E n a b i b l i o t e c a d e l

R e a l M o n a s t e r i o del E s c o r i a l s e c o n s e r v a n

c i e n c i a s de a é p oc a

n t r e l a s que

numerosos

ratados de

estacan la medicina

a astro

n o m í a y a m a t e m á t i c a . L o s n ú m e r o s r a ci o n a l e s s e t i l i z a r á n e n L a r e s o l u c i ó n de p r o b l e m a s d e r i v a d o s de a a r q u i t e c t u r a e l comercio y las finanzas

y en a r e s o l u c i ó n d e problemas p r á c t i c o s de a v i d a

i

destacamos e l Compendio d e l a r t e d e l c á l

jemplo

d i a r i a . Como

c ulo atribuido a Ibn a l - S a m h . E n e s t a o b r a

os

números

acionales

s e r á n u t i l i z a d o s en complejos problemas e l a c i o n a d o s c o n r e p a r tos de bienes

E n e s t a un i d ad e s t u d i a r e m o s o s d i s t i n t o s c o n j u n t o s n u m é r i c o s ^ s u d es c u b ri mi ent o por l a h u m a n i d a d a l enfrentarse a d i

Z

ve r sos p r o b l e m a s d e l a v i d a r e a l a s í mundo

como

u importancia en e l

ac t u al . S u ap l i c ac i ó n e s f u n d a m e n t a l e n e l d e s ar r o l l o d e

c u a l q u i e r rama de a c i e n c i a . La matemática a nuestro alrededor

E l m a r Rojo s e e n c u e n t r a a 56 m e t r o s p o r d e b a j o del n i v e l d el

m a r Me d i t e r r á n e o

a temperatura en

l l e g a r e n i n v i e r n o a 7 r a d o s b a j o ce r o

de

3500

a ciudad d e Madrid p u e d e

l Teide i e n e u n a a l t i t u d

e t r o s s o b r e e l n i v e l del m a r . E x p r e s a e s t o s d a t o s c o n

los números enteros

C u a n d o c o m p r a s i l o y medio de pescado dos i l o s y c u a r t o de ca r n e y t r e s k i l o s y m e d i o d e m a n z a n a s ¿ c ó m o e s c r i b e s es t as c i f r a s ? ¿ C u á n t o p e s a l a c o m p r a ? R e a l i z a l a suma

e dos formas

d i s t i n t a s y comprueba que e l r e s u l t a d o es l mismo.

 

 

Unidad

Introducción a N Z Q E l hombre desde l principio sintió a n e c e s i d a d de o n t a r

ovejas, ol

dados de un j é r c i t o . . . . A s í s u r g e e l c o n j u n t o de os números a t u r a l e s , que e d e f i n e como l c o n j u n t o y = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . . . } . E l O s u n nú me r o con una h i s t o r i a m u y p o s t e r i o r . Formalmente

no es un n ú mero

n a t u r a l . Por o t a n t o , escribimos q u e O £ N.

Pronto a s necesidades matemáticas fueron ampliándose. s í , cuan do e d e b í a cierta c a n t i d a d de i n e r o

n l a s m a t e m á t i c a s e e s c r ib ía n Recuerda

d i c h a s c i f r a s en c o l o r r o j o . De h í v i e n e l a e x p r e s i ó n e s t a r en n ú m e r o s r o j o s . S i n embargo

n l mundo c c i d e n t a l , s e u t i l i z ó e l s i g n o n e g a t i

vo para i n d i c a r dichos n ú m e r o s .

Z

Surge un nuevo conjunto de n ú meros a e n t e r o s , y s e d e f i n e como l conjunto Z

V e m o s a s í que N es un subconjunto de Z

...-2, - 1 ,0,1 ,2...}

o s que llamamos números . . . -3

2

1, 0,1, 2

...}.

o q u e escribimos c o n l a

e x p r e s i ó n N cZ. Si l o q u e q u e r e m o s e s r e p r e s e n t a r una p a r t e d e u n todo

l conjunto

N u e v a m e n t e e s u l t a n e c e s a r i o a m p l i a r e l co n j u n t o d e o s números. i d i v i d i m o s una i z z a en 5 a c i o n e s y t o m a m o s

Notación

te . Z e s u l t a i n s u f i c i e n te

1

u n a d e l l a s , e s t a m o s t o m a n d o — d e a p i z z a . l conjunto d e n ú m e r o s

c

 s t á contenido n...

G

 ertenece ...

5

d i s t i n t o de...

q u e r e s u l t a d e a a m p l i a c i ó n d e Z s l conjunto d e o s n ú m e r o s a c i o

nales y s e repres enta por Q

j — a , 6 g Z , iendo

/ -> t a l e s q u e . . .

O

T o d o n ú m e r o n t e r o a admite una x p r e s i ó n r a c i o n a l d e a forma — de don de se deduce qu e Z s u n s u b c o n j u nt o de Q o que r e p r e s e n t a m o s por l a e x p r e sió n Zc . i i n t e n t a m o s e x p r e s a r e l n ú m e r o .  2 . racional —

Recuerda a

omo u n n u m e r o e n t e r o v e m o s q u e n o e s p o s i b l e , d e

Dada a f r a c c i ó n —

l nume-

b

donde se deduce que no todo número a c i o n a l a d m i t e una x p r e s i ó n

rador e s a y e l d e n o m i n a d o r

es .

entera.

 

z f  

4

>

 

Ejercicios y

ctividades

1 . Representa los n ú m e r o s 3

O

7

—

omo

ú m e r o s racion ales .

9

2. ¿Es O

n número

3. ¿Es -1 un número

acional? atural?

 

10

 

C o n j u n t o s nu m é ri co s :

Tipos de fracciones Los números mixtos

F r a c c i ó n p r o p i a : e s a q u e l l a c u y o n u m e r a d o r e s m en or u e e l d e n o m i n a d o r y q u e l e f e c t u a r e l c o c i e n t e r e s u l t a u n n ú m er o m en or u e l a unidad.

en a v i d a r e a l

Cuando c o m p r a s 4 it ro s y medio de c e i t e

2

EJEMPLO

12

9

3

rre pedir — i t r o s Si t e p r e g u n t a n

8

 

 

— —— 17 14

i c e s q ue s o n a s 7 c u a r

la h o r a

11

F r a c c i ó n I m p r o p i a : es q u e l l a cuyo numerador s m a y or que l d e n o -

to

7I

 

n u n c a i c e s q ue s o n a s

4

m i n a d o r y cu yo o c i e n t e e s m a y o r q u e a u n i d a d . 29

oras.

—

EJEMPLO

_

, u n c a s e te o c u -

4

13   18

5

—— —

2

3  

4

C o n a s f r a c c i o n e s i m p r o p i a s se pueden d a r l o s d o s c a s o s i g u i e n t e s :

C a s o : E l n u m e r a d o r e s un m ú l t i p l o d e l denominador. n e s t e c a s o tenemos un número

ntero.

C a s o 2 : E l n u m e r a d o r n o e s m ú l t i p l o d e l d e n o m i n a d o r . E n este c a s o a p a r e c e e l c o n c e p t o d e n ú m e r o mixto. U n n ú m e r o m i xto e s un núme r o r a c i o n a l q u e c o n s t a d e p a r t e entera y p a r t e f r a c c i o n a r i a .

Número

i x t o como r a c c i ó n 2

Para e x p re s ar 9— n f o r m a d e fracción, p r o c e d e m o s s í :

g2_9-3 2 3~

3

3

EJEMPLOS

 

Caso :

F r a c c i ó n como

—

3

Caso

^ 29 :

„2

—

número mixto

p a r t e entera 9 2

Para x p r e s a r

29

n o r m a de n ú

—

3  

3

parte fraccionaria —

mero i x t o , r e a l i z a m o s a d i v i s i ó n

F r a c c i ó n d e c i m a l : e s u n a f r a c c i ó n e n l a q u e e l d e n o m i n a d o r e s 100 o

u n a d e s u s p o te n c i a s .

que r e p r e s e n t a l a f r a c c i ó n . E l c o c i e n t e de a d i v i s i ó n 9 , erá a p a r t e ent era; l resto, 2, e r á l n u m e r a

d o r ; y e l d i v i s o r 3 , erá l d e n o m i

EJEMPLO

n a d or d e a p a r t e f r a c c i o n a r i a .  

,7; — = ,0 ,03 3

—

29[3

100

10

■

Ejercicios y

—

3

3

2 9

ctividades

4 . Indica de qué tipo son las siguientes fracciones: b

a 1

6

24 e, —

48 d., —

c^ 3

T 5

 

5

6

f

24

17 — 8

g 6l 6l

5 . Expresa como números mixtos las fracciones impropias del ejercicio anterior y los nú m e r o s mixtos, como fracciones impropias.

6 . En una fiesta de cumpleaños, cada uno de los amigos h a comido una pizza y media y h a bebido dos refrescos y cuarto. Expresa e n forma numérica las pizzas y bebidas consumidas por cada u n o de los amigos. 7 . Este fin de s e m a n a se han vendido cuatro tacos y medio de papeletas para la rifa d e Navidad.

Expresa e n forma numérica las papeletas vendidas.

8.

e l problema anterior, si son 3 los amigos que han vendido las papeletas, ¿cuánto dinero h a recaudado cada uno si cada taco de papeletas supone 1 00 €? En

 

  V Unidad

íi

Si Representación g r á f i c a

ái^

acionales

de l o s números

P a r a r e p r e s e n t a r l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s , consideraremos u n a r e c t a h o r i z o n t a l s obr e l a q u e indicaremos o s n ú m e r o s n t e r o s ; e l punto O s e r á e l ori gen.

-3

-2

-1

1

O

Para r e p r e s e n t a r l a f r a c c i ó n p r o p i a —, i v i d i r e m o s l a u n i d a d d e l o n g i 3

t u d e n 3 artes g u a l e s y t o m a r e m o s . h

 

-3

-2

-1

0

2 3

3

P a r a d i v i d i r un s e gme n t o en t r e s p a r t e s i g u a l e s , procederemos sí : 1.

Dado

l s e g m e n t o AB,

trazamos una semirrecta

¿Por qué?

con v é r t i c e en A, s o b r e la

P o r el teorema de a l e s sabemos

q u e llevaremos tres v e c e s la

m i s m a m e d i d a p a r a ob

t e n e r los p u n t o s C , D , .

q u e o s s e g m e n t o s ACy C \ AD y AD .AEyAB

son p r o p o r c i o n a

l e s ; po r tanto, como

2 . Tr a za m os l s e g m e n t o B E . i n a l m e n t e , t r a z a mo s p a r a l e l a s a l s e g

mento BE p o r l o s p u n t o s D y C , on o q ue e o b t i e n e n l o s segmentos DD

y ce.

EJEMPLO

P a r a r e p r e s e n t a r l a f r a c c i ó n i m p r o p i a —, r i m e r o calcularemos s u e x p r e s i ó n como ú m e r o mixto:

longCAC)= ong(CD)= o n g ( D E ) , longCAC)= deducimos que l o n g ( 4 C )= o n g ( C D )= o n g ( D 8 ) .

l

i

  4

4

P o s t e r i o r m e n t e , d i v i d i r e m o s la u n i d a d de l o n g i t u d en 4 a r t e s i g u a l e s y t o m a r e m o s , p e r o l a s llevaremos a p a r t i r d e 2 :

-3

-2

-1

O

2

4

Ejercicios y actividades

9. Representa sobre la r e c t a l o s s i g u i e n t e s números: a -4

b 0

c 2

d

-

e --

  3

f) 43

4

12  

Fracciones e q u i v a l e n t e s A.1. Simplificación

de fracciones

L a simplificación d e u n a f r a c c i ó n s e p u e d e calcular, c o m o n e l e j e m c o n d i v i s i o n e s sucesivas:

plo siguiente,

24

0

24:2

6

12:2

12

6:3

144

144-72

dad.

2

M u em em cd 1 4 4 , 2 1 6 ) = 2

  ^^=3

una r a c c i ó n , d i v i d i r e m o s numerador dor por su m á x i m o c o m ú n divisor . Pa ra simplificar

Cuando una

divisor,

ontinuación:

emos

como

racción

no se pueda

reducir

y

denomina

más, diremos qu e es

rredu

cible.

La r a c c i ó n — s i r r e d u c i b l e

Decimos que

as fracciones —

si

—  

b a

— b

c  

y solo

on

s i mcd a ,

b =

equivalente si

.

— »a-d

.

.

y olo

Observación

si

a d=

c.

-c

2+7

7.2-7

2+9

9 2-9

En general; a+

b

ac

c

 

 

D e t o d a s l a s f r a c c i o n e s eq u iv alent es, l l a m a r e m o s r e pr e s e n ta n te c a n ón i c o a s u f r a c c i ó n i r r e d u c i b l e . S i e s n e g a t i v a , l l e v ar ar á e l s i g n o e n e l

a-b a c

numerador.

EJEMPLO

El

r e p r e s e n t a n t e c a n ó n i c o d e —— s —. 14

Ejercicios

la

app

F r a c c i o n e s d e E D I T E X p a r a co com m p rob ar si h a s r e a l i z a d o d e f o r m a c o r r e c t a l o s e j e r c i c i o s de l a u n i

2

3 6 ~ 3 6 : 2 ~Í ~Í 8 ~ 1 8: 8 : 2 ~9~973 3 i v i d i e n d o n um e r a d o r y d e n o m i n a d o r p o r s u m á x i m o c o m ú n

P u e d e s a y u d a r t e de

2

y actividades

10. D e a s s i g u i e n t e s f r a c c i o n e s , i n d i c a cuáles s o n e q u i v a l e n t e s . R a z o n a u r e s p u e s t a :

,

., 4

8 — y—

a

b

7  

7

12

—

—

15

45

Simplifica las siguientes a)

50

b)^ b) ^

5

9

—

—

16

32

)-y 6

25

—

30

fracciones:

6 0

c)

42

150

,

d)

102

20 1

162

e

102

108

te c a n ó n i c o a — 12. D e l a s s i g u i e n t e s fr a c c i o n e s , n d i c a c uál d e e l l a s t i e n e po r r e pr e s e n ta n te a

 

9

9

.b

— 12

8

c

—

104

15

e

108

^

90

,— 0

8

d

—

82

8 0

13  

Unidad

Orden en E n e l c o n j u n t o N de os números a t u r a l e s e s t á e s t a b l e c i d a a s i g u i e n t e r e l a c i ó n de orden

n t r e dichos números: a V a - V b = a - f a

=V?

2. Cociente de r a í c e s de i g u a l í n d i c e :

Va : Vb = " : b " = ( a : b ) " = V a 7 b = > V a ; V b = V a 7 b ar a

S.O .

•

3. R a í z d e una ra íz:

t iv  tiv

1

2

1 6 J =16^ =162 =

'a=(a ') = 4. Potencia de una

2

*

"=

' ="

a

= l6 =

'Ma = la

a í z:

•

íi V^arJ r = 1í0 " ^ =a

ínrí =a 7=>iVaj

W

-o'-'jr

7 •

-

• 

'Va'^ =V a ®

-- o bj -s e r vja 7q u e d- i v i d i1 m o s e l

^

í n d i c e de a r a í z y e l expo-

n e n t e d e l r a d i c a n d o p o r su

5 . S i m p l i f i c a c i ó n de r a í c e s :

máximo común d i v i s o r , en

m

mp

 ■ ^ 0 '' -a = = V a => Va^ = V a « '

■

 

''

aii.'ÍT

nuestro caso, por 3. -

Ejercicios y actividades - = j

1 . ) Escribe como potencias las siguientes raíces: © a ) -Jla e) Va^Va c) Vob^

m eí

'•1,

 

f

)

d

a^-3 a

J2.) Expresa en forma de raíz las siguientes potencias: 1

 

a) 83

c) 2 7 3

b (20-3)^

d) -27^

_I

,

e) 27^3

g) (_27)

f) -2 7 3

h (-27)3

3

^3) Calcula el valor de las siguientes expresiones;

a (ViOOoj' b Vi? c ^{5a + b f d VÍ4a^

34  

Redondeo dé números decimales

v v

Como

abemos

o s números r r a c i o n a l e s t i e n e n infinitas c i f r a s d e c i

mal es n o periódicas. P a r a po der u t i l i z a r l o s e n l a práctica, t

n

Ejercicios y ctividades resjjelto^

I

os

q u e expresarlos c o n u n n ú m e r o i n i t o d e c i f r a s decimales, e s d e c i r ,

t e n e m o s ' ^ q u e r e d o n d e ar l o s :

Redondea con tres i f r a s

y¡2 =1,414213... = ,41

rr

= ,141592...

s i g n i f i c a t i v a s los siguien

,1416

tes números:

Para redondear u na cantidad, seguimos estos pasos:

a ) 3 072948373

1 . Consideramos a s c i f r a s que q u e r e m o s que tenga nuestro número,

b ) 3 17634022

e s e c i r , sus i f r a s s i g n i f i c a t i v a s .

a) a r i m e r a a p r o x i m a c i ó n

2 . i l a primera i f r a desechada es estrictamente m e n o r que 5 , a ú l

será 3,07, Como a p r i

tima i f r a s i g n i f i c a t i v a no se m o d i f i c a . S i l a primera i f r a desecha

da e s m a y o r o g u a l a 5 ,

mera ifra desechada es

a ú l t i m a c i f r a s i g n i f i c a t i v a se e suma n a

2 , que e s estrictamente

unidad.

m e n o r que , l a t e r c e r a c i f r a s i g n i f i c a t i v a no va

A . 1 . Errores absoluto y e l a t i v o

r í a , co n o que l n ú m e r o

que no s da e l redondeo

Cuando aproximamos un número, o m e t e m o s n e r r o r que e s conve n i e n t e conocer p a r a saber o f i a b l e que es a a p r o x i m a c i ó n .

pedido e s , 0 7 . b ) a aproximació aproximació n será

E l e r r o r absoluto E J de una aproximación n de u n número dado N es l v a l o r absoluto de su

3 , 1 7 . Como a pr i m e r a

iferencia:

cifra desechada es 6

E =|A/-n|

q u e e s estrictamente

 

m a y o r q u e 5 , a tercera

O b s e r v e m o s a s s i g u i e n t e s aproximaciones:  

0 , 3 4 5 4 3 8 - > 0 , 3 =>

 

233,1 ->233 >

c i f r a s i g n i f i c a t i v a au

 v,;-

= 0 , 3 4 5 4 3 8 - ,3| = , 0 4 5 4 3 8

menta una u n i d a d , con

l o que e l n ú m e r o q u e nos da l redondeo pe

= 233,1 - 331 = , 1

Aunque l p r i m e r e r r o r a b s o l u t o sea menor, a segunda aproximación es m á s t i l . E s t a s i t u a c i ó n se d e b e a que manejamos números de i s

dido es ,1 8.

t i n t o t a m a ñ o . Para solucionar este prob lema, x i s t e e l c o n c e p t o de e r r o r rel ativo . EJEMPLOS

E l e r r o r r e l a t i v o ( e ) de n a . a p r o x i m a c i ó n n de un número dado N s e l cociente entre l e r r o r absoluto de dicha apro ximación y l v a l o r

Los errores e l a t i v o s de a s

dos proximaciones e l ejem

absoluto del número exacto N.

e

p l o son:

_l^

 

iNl" InI

0 345438->0 3 e

Cuanto menor sea l e r r o r r e l a t i v o , mejor será a a p r o x i m a c i ó n .

|0,345438-0,3| = |0,345438l

2 3 3 , 1 ^233

Ejercicios y ctividades

e

14. Red ond ea o s s i g u i e n t e s n ú m e r o s con solo cinco c i f r a s

|233,1 - 3 3 |233,Í

=

significativas: a) ,98733

b ) 0 00987

c) , 9 8 9 2 2 3

d) , 9 8 9 2 8 6

1 5 . C a l c u l a e l e r r o r a b s o l u t o y e l e r r o r r e l a t i v o que se comete a l a pr ox i m a r — como ,33. 3

16. Aproxima ¡ 3 con un e r r o r m e n o r que una centésima.

£ ■ 3 .-. - 3 im ims c

 

Unidad 2

Extraer e

n t r o d u c i r factores

dentro de l signo r a d i c a l i

q u e r e m o s x t r a e r todos o s factores o s i b l e s de a r a í z

 emos

roceder s í :

= -o-^b-

,1315

= ^b^ob^

o-

00043

Este procedimiento e s p o c o f i c a z . P a r a e x t r a e r l o s factores de una

, u t i l i z a m o s e l s i g u i e n t e método:

r a í z más omplicada como

1 . S i e l exponente de uno de o s f a c t o r e s e s m ú l t i p l o d e l í n d i c e de a r a í z , simplemente e f e c t u a m o s a d i v i s i ó n : I M

9 0 la / ^ 1 8 0 _ ^ 0 _a „2

ividimos l e xpone nte de cada a c t o r de a r a í z entre

2 . E n otro caso

el índi ic c e de aíz:

9^2200q^80 _ ^22-90 0q180 _ q2 9^^2^90 0

9^22-90.20 ^9^(22) °.2=^° =2 Finalmente

x t r a e m o s a c t o r e s como n e l c a s o anterior: 1

I —

= 4 a -2 ^ ° = 4 a - 2 3 = 4 a ^ - ^ 2

Ahora v a m o s

—

,

^

.:t .

r a t a r de n t r o d u c i r

e a l i z a r e l proceso o n t r a r i o , v a m o s

l a e x p r e s ió n 2 a ^ b ^ en a r a í z ^Za^bc^ :

1 . Introducimos a e x p r e s i ó n e n l a r a í z e l e v á n d o l a a l í n d i c e de a r a í z :

2a

^3Ác

{2aV) 3a bc

términos nos seme ja ntes: 2 . O p e r a m o s a potencia y a g r u p a m o s o s térmi

^ { 2 a ' b '}' } '■'■ 3 a ' b c ' = ^ 2 ' a ' b ■ 3 a b c = ^ 2 ' ' - 3 a b ' V Ejercidos y actividades 17.

Extrae fuera de la raíz los factores que puedas:

a)

c ) a/sí

e)

b ) ^2 a

d)

f)

019

?-

^312

18. Introduce dentro de la raíz los factores que están fuera: a) 5 a^

b ) 3 a^

c)

15a'

■t 18a^

e ) —f — 3 \ 32a

6®

d)a\8(4r

f)—?

25-0^-c

36  

Radicales homogéneos L o s a d i c a l e s h o m o g é n e o s o s e m e j a n t e s s o n l o s q u e i e n e n e l mi s

og é ne ne o s a mo n d i c e . L a o p e r a c i ó n m e d i a n t e l a c u a l h a c e m o s h o m og l o s r a d i c a l e s s e d e n o m i n a homogeneización d e r a d i c a l e s . E l p r o cedim ien t o e s

l siguiente:

a ) Se a l c u l a e l mcm de o d o s l o s í n d i c e s , l c u a l s e r á e l í n d i c e común.

b) D iv idi m o os s e l í n d i c e común nt re c a d a

mos e l c o n d i c e y mu l t i pl i c a mos

c i e n t e o bt en ido por e l e x p o n e n t e d e l ra d i c a nd o. EJEMPLO

 

Reduciraíndicecomúnlossiguientesradicales: Vsa, a ) mcm 2 , 4 , 6)= 2

b ) Los a d i c a l e s

homogeneizados son

^-^5®a®,

Vto^

resta d e radicales

6 . 1 . Suma

P a r a s u m a r o e s t a r r a d i c a l e s , e s e c e s a r i o q u e s e a n s e me j a nt e s . j e m p l o :

3 5 - ^ ^ + 7 2 - 2iV3+10V2+15 a =

0 ) 7 2 + - 5 - 2 1 + 5)73 =20>^-1lV3

3+

=

6 . 2 . M u l t i pl i c a c i ó n y d i v i s i ó n d e radicales P a r a m u l t i p l i c a r o i v i d i r r a d i c a l e s , e s n e c e s a r i o que sean semejantes. EJEMPLOS

 

72^^-A^°-3^ =

a 72-74- ^5 = 7 2 ^ - ^ 7 a ^ - ^ 7 3 ^ =

'

^3^2^5,220,32 ^3^2^5,32

7q _

b)

^

 

L-

_2pJ^ ^ 77

7?

Ejercicios y actividades

ÍSinRealiza

las siguientes adiciones d e

radicales:

a 377-475+ 2728+77a5

b ) -l73

775-7l2

- ^ 2  

6

3

2 0 . O p e r a y s i m p l i f i c a l o s s i g u i e n t e s p r oduct os y c o c i e n t e s adicales;

de

a 7—-5 b

b)

-79a

 

c 7a T a T a

Tsa^ 3

d)

37

 

Unidad

^^j^ acionalización de denominadores

En ocasiones aparecen en e l denominador de una f r a c c i ó n r a d i c a l e s s i n r a í z e x a c t a . E n este apartado t e e x p l i c a m o s c ó m o

ransformarlas

para q u e e l d e n o m i n a d o r s e a u n n ú m e r o e n t e r o . E s t e proceso s e d e acionalización

nomina

de denominadores.

s t u d i e m o s l o s distintos

casos

7.1. El

a

olo tiene

denominador

un

radical

i e l denominador es un r a d i c a l de n d i c e 2, u l t i p l i c a m o s n u m er a

do r y d e n o m i n a d o r por d icho r a d i c a l .

a

  yfx

Vx

Vx V x

aV x

EJEMPLOS

^

4  ^ 4 V 2 ^ 4 > / 2 ^ 2 y ^

3V2

3 ^ /2 ■ V 2

3-2

3

2Va5 _ 2-s/afa ylhac _ Islá^bc _ Véoc

V6ac Veac

■ J b - \\ll c

Vb

[b

y ¡ C yíc

-Je

C

6ac

_ 'J b c _ ac

c .

 

  »

b ) S i el denominador es u n radical de índice m^2, multiplicamos e l

numerador y el denominador por la raíz m-ésima del mismo radi cando y cuyo exponente sea la diferencia de m y el exponente del radicando dado.

a ix^

EJEMPLOS

4

  4^

4 ^

4 ^

6

 

22^ 3

' 1 (6 ' r ° ^ 2 0 '

 

.iüííi-,

°

.i

3 ^ ( 2 ' ) ' - 5 ^ - 2 ^ ° - 3 ' ° ^ ^ 2 ^ ^ - 5 ^ - 2 ' ° - 3 ' ° ^ ^ 2 ^ - 5 ^ - 3 ''°°

Ejercicios y actividades  21; Racionaliza las siguientes expresiones: )

b ^)

>/3^

21

c

n/?

,

3n/6

V2

15

d) -7=

, 5a^b

e)

f

V?b

15

,

 b x

g)

IS x ¡(¡ x^y

h)

^ ^Q^bx

36  

Números

Y ACTIVIDADES RESUELTOS

1.

R e a l i z a l a s s i g u i e n t e s operaciones y expresa

6.

eales y

O p e r a los siguientes radicales simplificando

e l resultado e n f o r m a d e potencia:

las e x p r e s i o n e s a l m á x i m o p o s i b l e :

L a ) 3 - ^ = 3 ^- = 27

a) 4 ^ / 2 0 - 2 ^ / 1 2 + 3 ^ / ^ 8 0 - 3 ^ / ^ =

b)

c)

V5

1  

1

i

2^ 5

V2'-3'-5-3-77^=

4 ■ 2 ^ ^^-- 22 - 2^ 2 ^ //33 + 3 --22 ■ 3 V 5 --33 ■ 7 ^ ^ =

 f  

o c

= 8> ^ - 4 > ^ +18>^ - 1 > / 5 = 5 > / 5 - ^ / 3

Í  

í 2^ )í - Í1 2- ,] d)

= V4^-2-V4^

b)  

q-7.¿,13.^32

¿3. 1 3 . 3 2

a'-b-'-c

a'-a'-c'

c o

 

>/Í2+>/3

12 V3

-

V12 +

yfyiS | ^ //ii 2 - ^ ^ ) ■ V ^ 2 + V 3 j

 V l 2 + V 3 ) ^ i 2 3 - f 2 - V l 2 - V 3

¿16.^1

12-3

  = '-b''-c''

2 . 1 Realiza las si gui e nte s o p e r a c i o n e s en o t a c i ó n científica;

1 5 + 2-y^ 15 + 2-6 9  9

~

1 5 +9 1 2

7~ ~29

a ) 4 , 2 3 1 0 ® - 1 . 9 1 0 ® = ,423 1 0 ® - 1 . 9 , - 1 0 ® =

= 0,423-1.9)-10® =-1,477-10®

7. Redondea con 4 cifras significativas significativas los nú meros 44,98723 y 320,13214

3. O p e r a 8 , 4 1 0 ^ ^ -

0,7-10'' 2,4-10® 1,5-10

Solución

Solución

8,4-0,7-2,4 , 1 2 i r » í ' 1 / - ^ 9 i r \ 7 •lO-^'-lC-lO^-lO =9,408-10'^ 1,5

a) E n e l primer caso, la quinta cifra significativa 7 , es mayor que 5 , con lo que e l redondeo es 44, 9 9 .

b E n e l segundo caso, la quinta cifra significativa 3 , e s menor que 5 , con lo que e l re d o n d e o e s 320:13,

4.1 C a l c u l a las siguientes raíces;  :r

;i .

a) ^22+>/l2-V5+ /Í6 =^22+^12-7^ =

8.1 Redondea — hasta las centésimas y calcula lo s

= /22•f^/l2-V9 =V22'+>/i2-3 =^|22+/5 ^f\0

d)

b)

\

 

de denominadores

laV

fi J M

b)V^->Sa + 2>^6a- . 5 +- Í 6 a l

c ) 3V4a-

b+5

 j

25a - 0b -

2 0 . 1 R a c i o n a l i z a V s i m p l i f i c a l a s i g u i e n t e s expresiones:

a

i 6 a - 2b

I2-^

2  

b)

d ) —Vá^bc^-2Va^+—Vo^

2

3

+^

 3

18

6-V3 O

d 3-V7 3

7

e ^-2^ V7-2Vri

f)

q-5

Vq

-

b

Problemas

B 1,

S a b i e n d o q u e a v e l o c i d a d d e a l u z e s e 299 0 0

k m / s y q u e esta tarda 8 i n ut os y 20 e g u n d o s e n l l e g a r a la T i e r r a , c a l c u l a la d i s t a n c i a de l a T i e r r a a l S o l . Expresa l resultado e n notación c i e n t í f i c a . B 2.[Expresa

e n n o t a c i ó n científica l a distancia

 J lómetros de un año uz.

en

c o n s u m o y g a s t o per c á p i t a (por habitante) conside rando q u e l a población e sp a ñol a e s d e 4 6 , 5 millones de habitantes.

E n 2 0 13 e vendieron m i l millones d e smartphones e n t odo e l mundo a u n precio m e d i o d e 276 dólares e s t a doun i de n s e s . i a l c a m bi o actual e u r o equivale a 1 , 2 6 0 6 1 d ó l a r e s e s t a d o u n i d e n s e s , calcula en u r o s

Ib 27.

i-

I¿23.[Calcula a l o n g i t u d del e c u a d o r e n l a L u n a abien-

I

do que su radio es de ,74 10^ m.

el

volumen de dichas ventas en todo

l

mundo.

2 4 . l s i e l t a m a ñ o d e u n i r u s e s d e 2 1 0 " ® centímetros, ID28.[Calcula l a l o n g i t u d del lado d e u n c ua dr a do s i s u I área es de 5 etros cuadrados. calcula c u á n t o s o n n e c e s a r i o s para alcanzarla mi s ma ongitud q u e e l e c u a d o r d e a L u n a .   □ 29.[Si un cubo tiene un volumen de 8 c m ® ¿cuánto mide

IE25.ISÍ l a m a s a d e Plutón e s d e 1,36

10

g y la de a

j

su arista

T i e r r a e s d e 5 , 9 8 3 10 g , a l c u l a l a d i f e r e n c i a d e a masa e a T i e r r a r e s p e c t o d e a masa e Plutón y d a e l resul tado e n g r a m o s . IB 26. [Si los hogares españoles consumieron 1230 4 m i llones de kilos de pescado y gastaron 9 001 4 millones de euros en este producto durante 2011 calcula su

I

B30.[Lln terreno en forma de cuadrado tiene una superficié de 361 metros cuadrados ¿Cuánto nos costará cer

carlo si está a 7 5 € el metro lineal?

B 31.[Calcula las dimensiones de un terren terreno o rectangular

de

024 m ^ sabiendo que su anchura es la cuarta p ar

te de su longitud.

43  

Unidad 2

DESAFIO PISA

¿A qué i s t a n c i a e s t á n l a s e s t r e l l a s ? Las i s t a n c i a s en l u n i v e r s o son enormes

p o r ello no se miden i en metros i en i l ó m e t r o s ; se m i d e n e n a ñ o s u z , q u e r e p r e s e n t a n l a distancia q u e r e c o r r e l a l u z e n u n a ñ o . L a v e l o c i d a d d e l a luz e s e 300 000 m / s , u e g o e n u n a ñ o r e c o r r e r á 9 6 0 0 0 000 00 m . t r o s t i p o s d e u n i d a d e s son también l pársec y l a u n i d a d astronómica, n t r e o t r a s .

L a unidad a s t r o n ó m i c a U A ) , q u e e s definida como l equivalente a l a distancia d e s d e el centro del S o l a u n a partícula d e masa n f i n i t e s i m a l , e n u n a órbita c i r c u l a r s i n p e r t u r b a c i o n e s q u e tendría u n p e r i o d o o r b i t a l d e 3 65,2568983 í a s . E s , p o r t a n t o , a d i s t a n c i a p r o m e d i o e n t r e l a T i e r r a y e l S o l , d e c a s i 150 i l l o n e s d e k i l ó m e t r o s 1 4 9 597870 m ; , 4 9 10

).

M á s l l á d e l s i s t e m a s o l a r l a s d i s t a n c i a s son a n g r a n d e s que s a r l a UA e v u e l v e incómodo. a r a l o s e s t u d i o s d e a e s t r u c t u r a d e a V í a L á c t e a s e s a e l p á r s e c . E l p á r s e c e s q u i v a l e n t e a 3,09 1 0 ^ ^ k m  u n a s 206 65 UA o , 2 6 a ñ o s u z ) .

Estrellas

Distancia revisada

 a ñ o s u z )

Próxima CentaurI

4.23 ±0,01

Altair

1 6 .7 3 ± , 05

Vega

25,0 ± ,1

^rcturus Aldebarán

*^¡zar A

3 6 ,7 ± , 2 6 6 , 7 ±1,1

85,8 ± .0

Alcor

81,7 ± , 3

Achernar

140 ± 3

Espica

250

Canopus

309 ± 7

Albiero

4

B

:\Álb¡eroA Polaris

l^aiph Deneb

±14

±13

434 ±

0

433 ±6 650 ±3 1400

±2

^Cúmulos H i ad e s centro)

|Coma Berenices Mel 11 Pléyades en Tauro)

2 6 0 5 e n Carina) P e s e b r e (M44)

152 ±1

283 ±3 399 ±6 491 ±7

590

±

0

L o s a t os ob t e n i d os por a misión d e

strometría d e a Agencia

s p a c i a l E u r o p e a ESA), u e u e r o n

c u e s t i o n a d o s d e s d e l p r i n c i p i o , p a r e c e n h a ber ido a j usta do s p o r un a s t r ó n o m o d e a Universidad

d e C a m b ri ri d g e . L o s n u e v o s r e s u l t a d o s d e v a n L e e u w e n a r r o j a n e s t o s d a t o s d e d i s t a n c i a s e n a ñ o s

l u z para a s s i g u i e n t e s e s t r e l l a s y c ú m u l o s b i e r t o s .

44

 

icias..

Actividades Tras la l ectur a d e l texto anterior realiza las siguientes actividades: A c t i v i d a d 1 : Obtén a e q u i v a l e n c i a en metros de u n año u z . A

9,4608-10^2

B

9,4608-10^5

C

9,4608-lO s

Actividad 2: O b t é n l a equivalencia e n un i da des astronómicas d e u n a ñ o

uz.

41,54

A

63

B

9,4608-lO s

C

7

A c t i v i d a d 3 : O b t é n l a d i s t a n c i a e n km ntre e l S o l y Próxima C e n t a u r i . A

B C

9,4608-10^2 3,26

4,00-1012

A c t i v i d a d 4 ; O b t é n l a d i s t a n c i a e n unidade s astron ómicas n t r e e l S o l y Próxima C e n t a u r i . A

266879,31

B

872500,95

C

267511,72

A c t i v i d a d 5 : O b t é n l a d i s t a n c i a e n pársecs e n t r e e l S o l y Próxima C e n t a u r i . A

1,30

B

2

C

2,60

A c t i v i d a d 6: ¿Cuánto a r d a r í a l a l u z en A

2,2 años.

B

152

C

1

l e g a r d e s d e e l S o l l c ú m u l o d e Hiades?

ños. ños.

A c t i v i d a d 7 ; i h o y e s t a l l a s e l a e s t r e l l a V eg a ¿ c u á n d o no s daríamo s c cuent uent a? A

Dentro de 4,22 años.

B

Dentro de 5

C

Dentro de

nos.

25

ños.

65

 

 i

s=

MI PROYECTO

Unidad

Claves secretas y encriptamiento de códigos

P a s o 3 ; D e s e n c r i p t a n d o c ó d i g o RSA T

Formad grupos de cuatro o inco personas.

a) s t u d i a d a fondo l c o n c e p t o de n c r i p t a c i ó n , e e d atentamente e l ejemplo d e l t e m a Internet más

y buscad en

n f o r m a c i ó n sobre l a u t i l i d a d de l o s sistemas c r i p t o g r á f i c o s RSA. U n a b ue na p á g i n a

es

b ) R e p a s a d l a s p o t e n c i a s , a d i v i s i ó n e u c l í d e a , l o s c o n c e p t o s d e mcm

mcd de l t e m a

e investigad

s u obtención m e d i a n te e l algoritmo de E u c l i d e s .

d ) n v e s t i g a d d i f e r e n t e s t i p o s d e c l a v e s y s u g r a d o d e s e g u r ida d, s í como u u t i l i d a d e n g e o p o l í t i c a , e c o n o m í a y seguridad p r i v a d a . D e s c i f r a r e m o s e l n ú m e r o d e t r e s c i f r a s del t e m a

que vuestros c o m p a ñ e r o s o s han enviado encrip-

t a d o m e d i a n t e e l c ó d i g o R S A . No debemos l v i d a r l a e l e c c i ó n d e l o s t r e s p r i m o s p e q u e ñ o s , p y qyey e l p a r o rden ado n, ) .

C u a n t o m á s s e g u r o e s l c ó d i g o , m á s a n t i d a d y m á s a r g o s s o n l o s c á l c u l o s . ¿ P o r q u é ? , porq ue o s c á l c u l o s l l e v a n t i e m p o y e l t i e m p o e s r u c i a l ; n o h a y c l a v e s e g u r a a l 100

. o que s e n t e n t a es que l t i e m

p o de c ó m p u t o e c e s a r i o p a r a d e s c i f r a r l a sea de m i l e s de a ñ o s t i l i z a n d o i n c l u s o l o s m á s o t e n t e s orde n a d o r e s . U t i l i z a la h e r r a m i e n t a WIRIS p a r a todos llos. ¿ C ó m o

a) Calculamos

í>

o d r í a s ha ha c e r l o ?

n ) = p - 1 ) ( q - 1 ) . que c o n s t i t u y e n u e s t r a c l a v e p r i v a d a . A h o r a s e r a t a de r e s o l v e r l a

c o n g r u e n c i a ed = m ó d ó n ) , s e d i c e e d c o n g r u e n t e con módulo n ) ] , e s d e c i r , t e n e m o s qu e c a l c u l a r e l n ú m e r o d a l qu e a l d i v i d i r e d n t r e ó n ) , o b t e n g a m o s d e r e s t o 1 . b ) P a r a descifrar M , solo s e necesita h a l l a r el valor del resto d e l a d i v i s i ó n

dividido entre p

q.

c) l r e s t o c a l c u l a d o e n e l p a s o b ) e s l v a l o r M uscado.

d ) í j a t e c o m o c o n W I R I S a l c u l a m o s e l r e s t o de una d i v i s i ó n : r t t t o ( 1 8 , 4 )

.

U n e j e m p l o a un c l i c :

Necesitarás conocer

A l g o r i t m o de E u c l i d e s p a r a c a l c u l a r e l m c d de d o s n úm ero s. P a s o : Dividimos l m a y o r entre e l m e n o r . Paso : a) i la d iv is ió n es x a c t a , l d iv is o r es l mcd. ) Si la d iv is ió n n o es x a c t a , se d i v i d e e l d i v i s o r e n t r e e l r e s t o y e l p r o c e d i m i e n t o c o n t i n ú a h a s t a que a d i v i s i ó n s e a x a c t a . E l ú l t i m o d i v i s o r e s l m c d .

40 [ 1 6 ^ 1 6 mcd 40,16)=8

8

 

N l i ' i m f k r n f i reales . n o t e n i c í a c

EVALUATE

Autoevaluación E l resultado d e r e a l i z a r l a s i g u i e n t e operación

^32-243-3125 es a ) 30

b ) 15^

c)

)

2 . E l 14 e b r i l d e 2 0 1 4 , M a r t e s e e n c o n t r a b a n a 92 1 6 000

m

e l a T i e r r a . Calcula e l t i e m p o

5 . A l extraer d e la expresión -48a"5^^ fuera del signo radi cal t odos los f a c t o r e s p o sibles, obtenemos:

a b)

2afa^\/4a^-36 -3b

que a r d a r í a una nave s p a c i a l en l l e g a r a Ma r t e d e s d e a T i e r r a i s e e s p l a z a a una v e l o c i d a d

c 206^40-3b'

d e 21300km/h. a) 4 e s e s b) 1 4 0 í a s c) 6 e s e s d ) 95 í a s 3 . E l r e s u l t a d o d e a s i g u i e n t e o p e r a c i ó n en n o t a ,3

ción c i e n t í f i c a , 1,12 1 0 ^ ^

10

d 2ab'V2a-3b' í : A l simplificar la siguiente expresión,

 ¡ ^ 3 y ¡ ^ ^ - ^ 2 y ¡ h o b t e n e m o s :

. es :

a) ,412 10''^°

c) 24,12-10^

b ) 2,412-10

d) 23,12-10 ^°

a) 6 7

4 . E x p r e s a e n f o r m a r a d i c a l la e x p r e s i ó n (2a+l)";

b) 5V2

c) 4

d 11^3

7 . L a longitud de la arista de un cubo de 2 7 cm ^

c ) ^ ( 2 a lf d ) ^ ( . 2 a l) ,

de c a p a c i d a d e s :

a 3 cm

b ) 3 ^ 2 cm

c iS

d 9 cm

D:¿-o-9 9-oS-P -P*7-q £-^Z-i^ L

M is progresos Sobresaliente

Unidad 2

i S oy m uy c o m p e te n te

¿ S é aplicar lo

Opero con potencias, Respeto la jerarquía d e la s operaciones. Amplío el   onjunto d e los números

aprendido?

Opero con potencias. R e s p e t o la jerarquía d e l a s operaciones. Amplío e l conjunto d e los números

Opero con potencias d e exponente natural. Ampl io e l conjunto d e los números descubriendo l os irracionales

Realizo operaciones co n potencias. O pero co n radicales n o homogéneos. S é racionalizar d e n o m i n a d o rre es.

Realizo operaciones co n potencias. Opero co n radicales homogéneos. S é

Realizo operaciones co n potencias. Op ero con con radicales h o m o g é n e o s .

R e a l i z o c o n la calculadora

R e a l i z o con el programa programa WI RI S operaciones con radicales.

c o n distinto índice de

extraer e introducir factores

Opero con potencias d e exponente entero. Respeto la jerarquía d e las operaciones. Amplío el conjunto d e los

faltan competehctirs;

y los números reales. Opero con radicales h o m o g é n e o s .

c o n radicales c o n distinto índice de radical. Sé extraer e introducir factores dentro d e l

relativo y absoluto. S é

pero debo m e j or or a r

Insuficiente

n ú m e r o s descubriendo lo s irracionales y los n ú m e r o s

descubriendo l os irracionales

radical. Calculo el error

Soy competente,

S o y c o m p e t e n te te , jo r a r p e ro puedo m e jo

descubriendo ios

 r r a c i o n a l e s y lo s n ú m e r o s reales. Opero con radicales

'

Suficiente

Bien

y los números reales. Opero

signo radical. Sé racionalizar

reales. Opero con radicales homogéneos. S é extraer e introducir factores factores dentro de l signo radical.

denominadores.

dentro del signo radical. S é

 

S é hacer...

racionalizar denominadores.

Realizo operaciones con

  otencias. Opero co n radicales no homogéneos, i Calculo el error absoluto y  elativo. S é racionalizar

racionalizar denominadores

constituidos por m o n o m i o s .

enominadores.

L a tecnología y yo...

Realizo con la calculadora y con el programa W I R I S operaciones c o n notación científica y co n e l p r o g r a m a W I R I S operaciones co n

operaciones con notación científica y con el p r o g r a m a

Me equivoco con frecuencia a l realizar operaciones

sencillas de radicales c o n e l

p r o g r am a W I R I S .

W I R I S operaciones co n radicales.

radicales.

¿ S é trabajar

e n grupo?

A s u m o m i rol sin interferir e n e l trabajo d e los demás y aporto ideas al grupo.

A s u m o m i rol. aporto ideas a l grupo, pero suelo interferir e n el trabajo d e los d e m á s .

A s u m o m i rol, no a por to ideas a l grupo e interfiero e n el trabajo d e los demás.

No a s u m o m i rol e interfiero

e n el trabajo d e los demás sin aportar Ideas al grupo.

67  

SEGUN

O

PROYECTO

Comprende a s unidades i d á c t i c a s 3. Polinomios

4. Ecuaciones 5. Sistemas de ecuaciones

6. Sucesi one es s y progresiones

Los números metálicos L o s o l i n o m i o s , a s e cu a ci o n es es y a s p r o p o r c i o n e s s e e l a c i o n a n en u n m a je s tu o s o a i l e matemá tico e n l q u e f l o r a t o d a a b e l l e z a escondida en t o d a s a s r a m a s e l a r t e .

etá tá l i co s , l o s c u a l e s L a proporción á u r e a e s t á relacionada c o n l o s n ú m e r o s m e

a p a r e c e n como

o l u c i o n e s d e e c u a c i o n e s d e s e g u n d o g r a d o , p r o p o r ci o n e s

g e o m é t r i c a s , r a c c i o ne ne s c o n t i n u a s o como ú m e r o s e s co n d i d o s e n d e t e r m i n a d a s sucesiones

como

a de F i b o n a c c i .

L a p a l a b r a g r i e g a m a t h e m a t a i g n i f i c a « c i e n c i as a s , l e c c i o n e s que pueden p r e n d e r s e . A r i s t ó t e l e s se

e f i r i ó a o s p i t a g ó r i c o s d i c i e n d o que h a b i é n d o s e a p l i c a d o a a m a t e

m á t i c a , u e r o n i o s p r i m e r o s en h a c e r l a p r o g r e s a r , y n u t r i d o s de l l a c r e y e r o n q u e

s u p r i n c i p i o f u e r a e l de todas a s c o s a s . Y a q u e o s números o r s u n a t u r a l e z a s on l o s primeros q u e s e presentan en e l l a , l e s p a r e c i ó observar en l o s números seme

j a n z a s con o s s e r e s y con o s fenómenos, m u c h o m á s u e en l u e g o , en a t i e r r a o

en l a g u a . a l d e t e r m i n a c i ó n de o s números e s p a r e c í a que r a l a j u s t i c i a , a a r m o

l a b e l l e z a d e l u n i v e r s o » . P i t á go ras d i v i d i ó l a m a t e m á t i c a e n c u a t r o pa r t e s : la a r i t m é t i c a , l a g e o m e t r í a , a m ú s i c a y l a a s t r o n o m í a . Y p e n s a r o n que o d o s l o s números r a n r a c i o n a l e s . S i n e m b a r g o , u e g r a n d e s u d e c e p c i ó n c u a n d o c o m p r o b a r o n q u e l a d i a g o n a l d e u n c u a d r a d o de a d o u n o e r a u n n ú m e r o que no se podía poner en forma de r a c c i ó n , un nú mero r r a c i o n a l , y / z . nía y

d i b u j a r e l p e n t á g o n o e g u l a r e s t r e l l a d o (p en t a gra m a ), u e era s u signo i s t i n t i v o . S e construye a a r t i r d e un p e n t á g o n o e g u l a r e n l q u e s e trazan s u s diagonales,q u e o r m a n un n u e v o p e n t á g o n o r e g u l a r . L o s v é r t i c e s del n u e v o p e n t á g o n o , ituados s o b r e las diagonales del primero, las d i v i d e n e n d o s s e g m e n t o s , e f o r m a q u e l s e g m e n t o m a y o r e s a a d i a g o n a l c o m p l e t a como l s e g m e n t o m e n o r a l m a y o r d i v i s i ó n d e u n s e g m e n t o e n m e d i a y e x t r e m a razón, o q u e p o sterio rm en te s e llamaría sección áurea). E n u n c i a r o n muchos e o r e m a s e o m é t r i c o s y s a b í a n

L a r e p r e s e n t a c i ó n n u m é r i c a d e e s t a r e l a c i ó n d e t a m a ño s e denomina número de r o : 8 a u = 0 = , 6 1 8 . . . P l a tó n d e c í a : « E s imposible c o m b i n a r b i e n d o s c o s a s i n u n a

que l o s e n s a m b l e :

e r c e r a , h a c e a l t a u n a r e l a c i ó n entre e l l a s

m e j o r ligaz ón p a r a e s t a relación e s el t o d o . L a suma d e las p a r t e s como

o d o es

m á s e r f e c t a r e l a c i ó n d e p r o p o r c i ó n » . L a p r o p o r c i ó n á u r e a e n f o r m a s g e o m é t r i c a s d e s c r i b e mágicamen t e m u c h a s de l a s p a u t a s que v e m o s en a n a t u r a l e z a . L o s a r q u i t e c t o s l a u t i l i z a b a n p a r a c r e a r e d i f i c i o s d e n r e f e r e n t e en e l canon de e l l e z a de todas a s épocas.

e x c e l e n t e s i m e t r í a y es

P o d e m o s encontrar l número de oro en m ú l t i p l e s á r e a s c o t i d i a n a s :  

E n el cosmos la g e o m e t r í a d e l h u e v o , los girasoles, las g a l a x i a s . , . ) .

 

E n l a pintura L a ú l t i m a c e n a d e L e o n a r d o d a i n c i , e l Gue r n ic a de

 

En a r q u i t e c t u r a S toneh enge, i r á m i d e de Keops, l P a r t e n ó n , a t o r r e E i f f e l . . . ) .

 

En e s c u l t u r a V e n u s d e M i l o , H e r m e s de r a x í t e l e s , C a r i á t i d e s , f r o d i t a de n i d o . . . ) .

 

En l a m ú s i c a Q u i n t a s i n f o n í a de Beeth oven, n v a r i a s s o n a t a s

 

En instrumentos de a v i d a c o t i d i a n a D N I , a r j e t a s de r é d i t o , m e r c a d o s i n a n c i e r o s . . . ) .

icasso...).

a r a p i a n o de o z a r t . . . ) .

E l n ú m e r o d e oro e s l más a m o s o d e u n a a m i l i a d e n ú m e r o s r r a c i o n a l e s cuadráticos. a a m i l i a d e n ú m e r o s

me

t á l i c o s está c o m p u e s t a por o s n ú m e r o s d e oro B a u , l a t a S / i j bronce 5bw, o bre S c u , n í q u e l 5 n / y l a t i n o S p í a f / n o . Ú8  

Proyecto: Los números metálicos

S i t ú a t e an te e l t r a b a j o a r e a l i z a r

F o r m a d grupos d e cinco pe rsonas s: :

a

studiad l a construcción c o n

r e g l a e s c u a d r a , a r t a b ó n y c o mpás o y u d a o s d e l p r o g r a m a G e o G e b r a

p a r a r e a l i z a r l o s p o lí g o n o s .

b Repasad e l teorema de P i t á g o r a s y e l de T a l e s .

c

s t u d i a d l o s conceptos de número a c i o n a l , i r r a c i o n a l , m e t á l i c o , cordobés y f r a c c i o n e s c o n t i n u a s .

d R e p a sa d l a s ecuaciones d e s e g u n d o g r a d o y l o s r a d i c a l e s , f P r e s t a d a t e n c i ó n a la u n i d a d de p r o g r e s i o n e s .

Lo q u e t i e n e s q u e h a c e r

C o n s t r u i r l o s números e t á l i c o s d e s d e r e s pun tos d e i s t a : l g e b r a i c o , g e o m é t r i c o y a n a l i t i c o . Lo r e a l i z a r á s a l o l a r g o d e l o s c u a t r o t e m a s d e e s t e b l o q u e .

A y ú d a t e c o n algún p r o g r a

Los p i t a g ó r i c o s y a t e n í a n con oci m i en tos g eom é tri cos d e e s t o s números: o r

ma

nformático,

como

or

ello en e s t e tema r e a l i z a r e m o s la p r i m e r a p a r t e , que

e r á la c o n s t r u c c i ó n de

ejemplo WIRIS.

l a s i g u r a s p l a n a s , e n l a s q u e s u s p r o p o r c i o n e s nos e m i t i r á n a d i c h o s n ú m eros .

Pasos a s e g u i r P a r a consegui r este r e t o p e r s o n a l, o i m p o r t a n t e e s r p a s o a p a s o : 3

Polinomios

Paso : Cálculo del

número

P a s o 2: Cálculo del

número

u r e o a p a r t i r de un pentágono r e g u l a r .

e plata.

Paso 3 : E l octógono r e g u l a r e n e l cálculo del número cordobés y del n ú m e r o d e p l a t a . 4

Ecuaciones

P a s o 4 : C o n s t r u c c i ó n a l g e b r a i c a d e l o s n ú m e r o s m e t álic o s . 5

Sistemas de ecuaciones

P a s o 5:

Números

e t á l i c o s y s u c e s i o n e s d e F i b o n ac c i .

6 . S u c e s i o n e s y progresi ones.

P a s o 6 : C á l c u l o d e l n ú m e r o á u r e o a p a r t i r d e l a su cesión d e F ib o n a c c i. P a s o : C á l c u l o d e l n ú m e r o d e p l a t a a p a r t i r d e l a s u c e s i ó n se se c u n d a r i a d e F ib o n a c c i.

 

  -x

 

 

r.

 

3 Polinomios

a

V

r

En esta unidad

1 . Monomios 2. Polinomios

3 . Suma

r e s t a de polinomios

4. M u l t i p l i c a c i ó n de p o l i n o m i o s 5. D i v i s i ó n de polinomios 6. dentidades notables

7 . C o m p r o b a c i ó n g e o m é t r i c a d e l a s i den ti dades n o t a b l e s

8. Regla de R u f f i n i . T e o r e m a de R u f f i n i 9. Des co m p o s i ci ón a c t o r i a l de polinomios

Vamos

a pr e nd e r

Saberes

- D i s t i n g u i r l o s c o n c e p t o s d e m o n o m i o , bi n o m i o y p o l i n o m i o .

científicos

-Operar s u m a s

r e s t a s de p o l i n o m i o s .

-Extraer a c t o r c o m ú n d e p o l i n o m i o s .

Competencias CMCT

- D e s a r r o l l a r e dentificar i d e n t i d a d e s n o t a b l e s .

- M u l t i p l i c ar ar y d i v i d i r p o l i n o m i o s . - A p l i c a r l a r e g l a de R u f f i n i e n l a d i v i s i ó n d e p o l i n o m i o s .

- A p l i c a r e l te o re m a de R u f f i n i p a r a c a l c u l a r e l r e s t o d e una i v i s i ó n d e polinomios, - F a c t o r i z a r polinomios.

- C a l c u l a r e l m c d y mcm e v a r i o s p o l i n o m i o s . Lectura

y comprensión Tratamiento

de

a información

y competencia

C o n o c e r l a i m p o r t a n c i a d e t a s ma t e má t ic a s e n E g i p t o y G r e c i a .

CC L

M an e j ar l pr og r a ma W l R t S p a r a r e a l i z a r o p e r a c i o n e s a l g e b r a i c a s c o n polinomios,

CMCT

CD CMCT

digital

Aprende a a pr ender ciencia

en todas

La ciencia

R e c o n o c e r a importancia del álgebra y su contribución e n a soc i edad,

en

R e c o n o c e r l a i m p o r t a n c i a d e l n ú m e r o áur eo ó en e l d e s a r r o l l o d e l a r t e

a sociedad

P r o y e c t o : Lo s números metálicos

CMCT

PAA CEC

as culturas,

C SC , PAA, CMCT ¡

C P A A , CMCT. C L , I E

I n v e s t i g a r l a n a t u r a l e z a d e det er m i n a do s n ú m e r o s m e t á l i c o s y s u i m p o r t a n c i a e n e l desarrollo d e l a s m a t e m á t i c a s .

Nota: c o m p e t e n c i a m a t e m á t i c a y c o m p e t e n c i a s b á s i c a s en c i e n c i a y t e c n o l o g í a C M C T ) , o m p e t e n c i a en comunicación l i n g ü í s t i c a COL), c o m p e t e n c i a s o c i a l e s y c í v i c a s CSC), comp etencia p a r a a p r e n d e r a p r e n d e r CPAA), ompetencia i g i t a l 00), e n t i d o de a i n i c i a t i v a y e s p í r i t u e m p r e n d e d o r S I E ) , concie ncia y expr esiones u l t u r a l e s C EC ) .

 

E l o r i g e n de l a p a l a b r a álgebra L a p a l a b r a á l g e b r a f u e a c u ñ a d a h a c e u n o s m i l años. P r o c e d e del t í t u l o d e u n l i b r o qu e

r a t a b a acerca de l a s ecuaciones y q u e fue

e s c r i t o p o r e l matemático árabe cons si i d e r a d o como

no de o s p a

d r e s e l á l g e b r a Muhammad o Muhammed b n M u s a a l - K h w a r i z m i a l que se i t u l ó H i s a b a l - j a b a r w a - a l - m u k a b a l a . J a b a r es una p a l a b r a a s irl a p a r a e c u a c i ó n y mukabal a es simplemente la t r a d u c c i ó n de e s a palabra l árabe. C u a n d o l l i b r o fue traducido a l l a t í n e l t í t u -

l o se c o n v i r t i ó en Adus a l g e b r a  

amuc grabal. Al se r tr adu c i do al

i n g l é s su n o m b r e fue A l g i e b a r a n d a l r n a c h a b e l . Las

r e s denomi

n a c i o n e s s e i m p l i f i c a r o n y su n o m b r e a c t u a l e s á l g e b r a A L J w a r i z m i fue l seudónimo de

uhammed

b n Musa

l-Khwariz

m i y t a m b i é n a p a l a b r a q u e por deformaciones l e g ó a o n v e r t i r s e

en l g o r i t m o que es n c o n j u n t o p r e s c r i t o de n s t r u c c i o n e s o e g l a s bien definidas

ordenadas y i n i t a s q u e permite r e a l i z a r u n a a c t i

v i d a d m e d i a n t e p a s o s sucesivos q u e n o g e n e r e n d u d a s a quien deba

ealizar d ic h a actividad.

P e r o l á l g e b r a e s m á s n tiguo q u e t o d o e s t o . A n t e s d e o s á r a b e s l o s e g i p c i o s y a r e s o l v í a n ecuaciones como a p a r e c e e n e l p a p i r o

d e R hin d

a m b i é n L l a m a d o p a p i r o d e Ahmes o r s er l e s c r i b a q uien

l o c o p i ó e n e l 1650 . C. Hoy n d í a l o s p o l i n o m i o s y s u s e c u a c i o n e s

t i e n e n m u c h o s u s o s e n l o s d i f e r e n t e s c a m p o s del s a b e r ; i n em b a r g o e s muy o c o o q u e c o n o c e m o s d e s u s o rígen es . E s p r o b a b l e q u e como i e m p r e

h a y a n surgido d e u n a necesidad. L a nece

s idad d e r e s o l v e r e c u a c i o n e s p r o v o c ó l a a p a r i c i ó n y estudi o d e

esas fórmulas de esas expresiones s i n g u l a r e s de e s a s recetas

con l e t r a s q ue l l a m a m o s o l i n o m i o s . E n á l g e b r a empleamos

e t r a s q u e r e p r e s e n t a n n ú m e r o s . Es como

s i u t i l i z á r a m o s u n a l a v e p a r a expresar m u c h a s cosas en un e s p a c i o reduci do

n

y l a f a c t o r i z a c i ó n e s u n a d e l a s h e r r a m i e n t a s más

e m p l e a d a s p a r a r e s o l v e r a l g ú n p r o b l e m a como a soluci ó n d e ecuaciones l g e b r a i c a s ; d e hecho n u n p r i m e r m o m e n t o a f a c t o r i z a c i ó n surge ante l a necesidad d e s o l u c i o n a r e c u a c i o n e s d e

s e g u n d o grado. La matemática a nuestro alrededor

  La a l t u r a

s de una p a r t í c u l a lanzada v e r t i c a l m e n t e h a c i a a r r i b a

desde e l s u e l o e s t á d a d a p o r s = ^ t - — t ^ donde s e s a a l t u r a

a v e l o c i d a d i n i c i a l d e l a p a r t í c u l a g es

c o n s t a n t e de gravedad y f es l tiempo. a l c u l a a q u é l t u r a está en l o s 5 r i m e r o s s e g u n d o s i f u e l a n z a d a a 50 / s d e v e l o c i d a d i n i c i a l u ^ . U q es

 

>3|

 

Unidad 3

E]

Monom onomi os

U n monomio es una expresión d e l i p o a x .  

a e R es l coeficiente d e l monomi o.

 

X e s a i n c ó g n i t a d e l monomio.

 

n€

Determinación d e l g r a d o

i n d i c a e l g r a d o d e l monomio.

de un mon omi o

A L m u l t i p l i c a r mon omios, e s u

EJEMPLO

 

3x^

man o s grados d e o s f a c t o r e s . e l coeficiente e s 3, l g r a d o e s

4

S i de ividen monomios,se e s

D o s m o n o m i o s son semeja ntes i t i e n e n l a m i s m a n c ó g n i t a y e l mi is smo r a d o .

tan o s g r a d o s e l dividendo y l divisor.

EJEMPLOS

 

2 x ® y x ^ son d o s m o n o m i o s semejantes.

 

2 x ^ y 7 y ^ no son sem eja n tes p o r q u e a i n c ó g n i t a e s i s t i n t a .

1 1

resta d e monomios

Suma

P a r a sumar os monomio ios e me j ant e s , e suman u s coeficientes

y se d e j a l a misma n c ó g n i t a elevada a a misma o t e n c i a . ax

±

x

= a±

Los m o n o m i o s q u e no son se mej a n t es n o s e p u e d e n s u m a r .

)x

EJEMPLO

 

3x''+ Sx''= C3

)x^ = x

i v i s i ó n d e monomios

1.2. Multiplicación y

P a ra m u l t i p l i c a r d o s monomios, e m u l t i p l i c a n l o s c o e f i c i e n t e s y

se s u m a n o s grados d e a s i n c óg n it a s . ax

bx'

=

a

b)x

x ' = a-

)x *'

EJEMPLO

 

5 x ^ - 3 x ^ = 5-3)x®^'^ = 5x'°

P a ra i v i d i r d o s monomios, e i v i d e n l o s c o e f i c i e n t e s y se l o s grados d e

as incógnitas. ax : x

=

a: ) x ' '

EJEMPLO

 

^2x^:2x

 

=

^2'.2)x^-'= x ^

E j e r c i c i o s y actividades

1 . R e a l i za l a s s i g u i e n t e s sum as

Importante

r e s t a s d e monomios;

estan

a) x^ + x^

c) x ^ - x ^

b) x ' ' S x ' *

2x^ - x^

d ) 3x^ - x ® + 2 x7 - x ®

2 . O p e r a y i m p l i f i ca c a l a s s i g u i e n t e s expresiones: a)4x®-3x2

c) 1 x ^ 2 .

b)32x^' ' :x®

d) x 2 . 1 2 x 7

52

 

iú:m

Polinomios Llamaremos binomio a a suma de dos monomios, rinomio a a suma

d e r e s monomios y polinomio a a suma d e v a r i o s monomios, nd e p endientemente del número d e monomios que sumemos. E l grado d e un polinomio es

Representación d e polinomios

l m a y o r grado d e los monomios u e o

forman.

Los polinomios se escriben c on

U n polinomio con una n c ó g n i t a de grado n y con o e f i c i e n t e s p e r

l e t r a s mayúsculas y c on l a s v a r i a b l e s que n t e r v i e n e n entre p a

t e n e c i e n t e s a K , ue denominaremos ( x ) , es una e x p r e s i ó n d e a

réntesis.

forma:

P(x)= ^x +

P C x ) = x2 - x

e R.

donde o s c o e f i c i e n t e s O q ,

ariable:

Polinomio de una

+ jX^ + ,x +

+

2

ariables:

Polinomio de dos

P C x , y ) = x2

C u a n d o aparecen todos los n +1 monomios e los que consta un p o

+ y2

l i n o m i o d e grado n , diremos que es un polinomio completo, en otro

caso, iremos que es incompleto. EJEMPLO

 

EJEMPLOS

A x ^ + x^-5 es un polinomio incompleto.

A veces, en un polinomio aparecen v a r i o s términos semejantes. E n estos casos se suel suelen en operar dich os té rminos para expresar un p o l i

3 x + x 2 g g y p binomio p or ser la suma

e dos

mono

mios: 3x, x2 .

nomio en forma simplificada. -X®  

3-

2 es un trinomio

por ser a suma d e r e s mo

EJEMPLO

P(x ) = x^ - x + Ax^ - 8

nomios: X ® , 3 , x2.

x^ - x^ + 2+ 3 x

E n su forma i m p l i f i c a d a s e r á ; ( x ) = Ox^ + l x ^ + x -6

Llamaremos a l o r numérico d e l p o l i n o m i o P ( x ) p a r a x =

que e s u l t a de u s t i t u i r l a v a r i a b l e x o r e l número e a l a

5x^

x^ - x2

1x -

5

s un

polinomio d e cuarto r a d o .

l valor

se s c r i

b i r á P(a). EJEMPLO

 

Definición

Calcula l valor d e P(x) = x® - x ' ' + x^ - x^ + x -6 ara x = .

P(-l)= (-l) - (-l) + (-l) - (-l) + -l)-6 = - l ) - 8 - 1 + - i j - S - l - A - e = 3-8-7-5-4-6

E l término que no está a c o m p a

ñado de una i n c ó g n i t a se llama

33

término Independiente.

Ejercicios y actividades

/ , 3 . E x p r e s a l o s s i g u i e n t e s p o l i n o m i o s en su forma r r e d u c i b l e : a) 4x -6x

b) 6 x ' 2 _ 7 ^ 8 ^ ^ 2 x - 1 7 x ' ' 9x -15x

4.

8x^-8x

+3x -12x +7

x-7x

5

8x -10x

-8x -4x

2

2x +10x

n d i c a e l grado d e o s s i g u i e n t e s p o l i n o m i o s : 12x'''-15x^

b) 2x^-12x^ + x^

c ) - 1 2 x + x^-13x'^

d) 24x^°+123x -3x^

5. Calcula l v a l o r numérico d e o s s i g u i e n t e s polinomios parax = 1 y x = .

a) C x ) = x^-5x +

b ) Q(x)= ^ + x-4

c ) P C x ) = ''-2x^-x^ ''-2x^-x^+ + x- 1

53  

Unidad

3

y '^sta de polinomios

ili Bfl Sean F ix ) 6 ( x )

os siguientes

poli n omi os c o n o e f i c i e n t e s pertene

cientes a R :

F i x )= x

queremos

-

x'

'- x +n

alcular la

s u m a de

G ( x )=

(x) y G(x);

x +

x '+ x '+

x-

veamos cómo:

F i x ) + ( x ) = T x " - x + = = - x 1 ) + A x " + x ^ + x ^ + x - )=

= 7+ ) x ' ' + ( - 5 +

)xH(1+ ) x ^ + -5+ ) x

= 1x -3x

+

1 1 - 2 )=

x

Para s u m a r o l i n o m i o s , escribiremos uno detrás de t r o , e n t r e parén inos emejantes. emejantes. t e s i s y con l i g n o + n t r e e l l o s , y s u m a r e m o s o s térm inos Para

sumar

olinomios,

s u m a m o s u s érminos semejantes.

Ahora queremos e s t a r l o s a n t e r i o r e s p o l i n o m i o s . P a r a mos e f o r m a análoga l c a s o de a s u m a :

ello, a c t u a r e

Atención

C u a n d o r e s t a m o s polinomios,

F ( x )- C x ) = 7 x ^ - x + ' - x 1 1 ) - A x + x + x + x - )

=

7-A)x +(-5-2 )x = x

+

1-5)x

+

debemos

- 5 - 6 ) x + 1 1 + 2 )=

-7x -Ax -11x

ener cuidado con los

signos.

3

Para e s t a r p o l i n o m i o s , r e s t am o s u s érm inos inos semejan semejantes. tes. EJEMPLO

 

) 2 a £ ) + 1 A a ^ b + 8 a b ^ - a ^ )=

7ab+3a^fa- ab^+

=

7-2)ab+

Resta de p o l i n o m i o s

Para r e s t a r polinomios, mos uno

3- 1A)a ^ b+ ( - 5- 8 )a b^ + l+ )a^ =

= ab-1

detrás

con

de

scribi

otro, entre

signo - n t r e e l l o s , y sumamos o s t é r m i nos semejantes, afectados p o r e l cambio de s i g n o correspon paréntesis y

a^b -13ab^ +10a^

el

diente.

Ejercicios

y

ctividades

6 . Opera:

^

a) 9a-5b+1Aab-12afa')+(5a-11b-h3ab-2ab')

b [5 - ; Q / - - l y - 2 3 x - ^ x ^ y + 1 Q/^

xy+

-7x--^x^y- 0/^

c ) 0 , 2 5 x + - 6 . 2 3 x ' - 2 x ' )+ 1 , 7 5 x - 7 - , 77 x - 9 x ) J 2 x + 4 - ^ O a ^ 7 . S e a n f( x ) =

operación: F(x)

8.

3- x

+ x ^ , ( x )= +

~

x-6x^ -

x ^ , ( x )=

1 x + 9 x ^ i- x ^. e a l i z a l a siguiente

2Íx'^23v

(x)-H(x)

R e a l i z a l a s s i g u i e n te s o p e r a c i o n e s :

a) l1x -A y +12 z )

3x-12y-15z)

a) 7 a - 8 b + 9 c ) - ( l 2 a+ 1b-10c) 54

 

PoUno

M u l t i p l i c a c i ó n de polinomios Sean F{x) = x ^ + x - 2

GCx)= x^

- 2x + , i q u e r e m o s m u l t i p l i c a r

mx

F{x)

G(x), procederemos de u n a forma

i m i l a r a a q u e utilizamos c o n

l o s números e a l e s : Recuerda

4x 4x2 2

 x

2

3x2

-2x

 

20x2

  5x

-10

Para a l c u l a r e l grado d e u n p o l i

-8x3 12x^

 

llx

S i n embargo, s

-

x2

x3

8x2

^

o s polinomios de

partida.

_-io

+19;^

m á s r á c t i c o r e a l i z a r l a o p e r a c i ó n de a f o r m a i g u i e n t e :

- x'

0x' =

-

x + )=

x ( 3 x - 2 x + ) - 2 ( 3x 3x - 2 x + )=

x^-C3x -2x + )

= = 12x

c a c i ó n d e p o l i n o m i o s , e suman l o s grados de

_

x3

F C x ) G C x )= 4 x + x - ) ( 3 x =

n o m i o r e s u l t a d o de l a m u l t i p l i

x'- x' 15x- x'

x -10=

V8x^+19x-10

2x

A . l . F a c t o r común d e p o l i n o m i o s

Ejercicios y actividades resueltos

R e c o r d e m o s c ó m o s e o b t i e n e e l f a c t o r c o m ú n en u na m u l t i p l i c a c i ó n : ac+b-c = a+b)c

Realiza la siguiente multi plicación de polinomios:

P u e s bien, para s acar factor común n las o pe r acio ne s c o n polinomios p r o c e d e m o s de m a n e r a n á l o g a .

C2x= -3)C6x-7)

F ( x ) G C x )+ C x ) H C x ) = C x ) [ G C x ) + C x ) ]

C2x -3)-C6x-7) =

G C x ) F C x ) + H C x ) F Cx )= GCx)+HCx)] FCx)

= 2x -C6x-7)-3C6x-7)^ ■ rLi

EJEMPLOS

 

 

x^(l-4x)

6x^-24x^ =

>   5x^ + 1x lx^y

= 12x^-14x^-18x+21

-24x =3x (5+ x-8x^)

- 21 xV 2 = Hx^y

(/ 1 x z )

Ejercicios y actividades

9 . Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios:

-3 a - ^ f a c ^ b ) 1 2 a ° í ) -3

a)xy x ^ y ^

10. Opera los siguient siguientes es p olinom olinom ios:

a 2x^(2x^-3x + 7

d)

c)5x^/-7x^y^

5

4a^x^-Sa^x^

c 12x®(2x^-x+4)

b 5x(2xH3x-4)

1 1 . D a d o s l o s s i g u i e n t e s p o l i n o m i o s , F C x = 3x^-6x+1, G C x = x^+2x-8 y H C x ) = 4x^-3x+2, calcula:

a) FCx)

b ) FCx)

GCx)

•

c) GCx)

HCx)

HCx)

Saca factor común en los siguientes polinomios:

a ) x^-x

b ) 15a^ -3a °+35a^

c ) 12xYV lax^V 20xyV

  lA

 

>.1

Unidad 3

D i v i s i ó n de polinomios Consideremos o s m o n o m i o s 25x^®, S x ^ y ^ . S i queremos a l c u l a r su cociente, pr oc eder emos de a s i g u i e n t e manera: 1 . «Arreglamos»

o s s i gn o s . E n n u e s t r o c a s o : + -= -

2 . Calculamos l c o c i e n t e de sus o e f i c i e n t e s : 25:5 =5

3. C a l c u l a m o s

l c o c i e n t e en tre l a s p o t e n c i a s d e a m i s m a b a s e : 1 x — X

De esta forma obtenemos:

  X

4

2=y

EJEMPLOS

3x1

  y

55

25xV^ _

20a^bV

5;/'

-5x®y^

2Qq^¿»^c^

X = ab^c^

5 . 1 . Fr a c c iones algebraicas

L l a m a m o s r a c c i ó n a l g e b r a i c a a l c o c i e n t e de d o s o l i n o m i o s . P a r a s i m p l i f i c a r u n a r a c c i ó n a l g e b r a i c a , es m u y

mportante sacar

f a c t o r común.

EJEMPLOS f

Simplifica las siguientes racciones algebraicas:

_ 6xy-10xV

-

x(3x-5y^) 4x^y«

12a'b^' _

16a'b

i -j

2y

(Ao -3b )

_3¿i,

üa'b'+ a^b^ ~ 4o'b'[a'+2b)

b A^

Ejercicios y

ctividades

^^Simplifica las siguientesfracciones algebraicas; 25a' '

e)

15x^^

 

.-12x' y

fd

-120x^V^z^ -12x y'z'

-36x^^ab^ -9x^°ab'

©i m p l i f i c a l a s s i g u i e n t e s f r a c c i o n e s a l g e b r a i c a s e x t r a y e n d o previamente factor c o m ú n . ax+ab^ ay +a

a+xa^

  b+bxa^

./^NlOa^xV-Sa^xV

Q)   8a®xz'-AaVz'

a ^ +3ab (02ab^+3b^

1 5 . Simplifica las siguientes f raccione s algebraicas hacien do u s o de as i d e n t i d a d e s n o t a b l e s : a)

b)

-2ab+b^

c)

a-b

d^ + ab+b^

d)

a^-b^

1 5 a '+ 0ab+15b'

Pu edes a y u d a r t e de l a a p p P o l i n o m i o s de E D I T E X p a r a c o m p r o

30a-30b

b a r i h a s r e a l i z a d o de forma co

r r e c t a l o s e j e r c i c i o s de a u n i d a d .

2ax+x-2a-1 2a+ 1

5¿

 

Poli

5 . 2 . D í v í s í c l n de polinomios

S e a n D(x) d(x) d o s polinomios c o n coeficientes pertenecientes a R . C o m o l g r a d o de ( x ) es m a y o r q u e l g r a d o de ( x ) , s u d i v i s i ó n n o s p r o p o r c i o n a r á u n c o c i e n t e que l a m a r e m o s c ( x ) y u n r e s t o que l a m a

Recuerda

remos ( x ) . A s í , t e n e m o s :

E l g r a d o d e u n cociente de p o l i

D(x)|d(x)

nomios se c a l c u l a r e s t a n d o l o s

Kx) c ( x )

g r a d o s de

A p l i c a n d o l a p r o p i e d a d de a d i v i s i ó n , tenemos: 0 ( x )= í(x)-c(x)+r(x)

Vamos = ^

D(x) c/(x)

= ( x )+

\ Kx) Kx )

x\

d(x)

i v i d i r l o s p o l i n o m i o s D(x) = x^ + . } 0 - + x + 2 n t r e d ( x ) = x

.

P r i m e r o s e c o l o c a n l o s p o l i n o m i o s en o r d e n d e c r e c i e n t e s e g ú n s u s grados. 1 . D i v i d i m o s 4 x ^ e n t r e x ^ y r e s u l t a 4 x , q u e o e s c r i b i m o s en

2. M u l t i p l i c a m o s 4x

l cociente.

o r e l d i v i s o r y l l e v a m o s l r e s u l t a d o deb aj o d e l

d i v i d e n d o , pero cambi ado de i g n o .

i v i d e n d o y divisor,

 

bajamos l 1 2 .

3 . R e a l i z a m o s a suma

4 . Repetimos l proceso h a s t a que l p o l i n o m i o que o b t e n g a m o s e n g a m e n o r grado que l d i v i s o r . E s t e será l r e s t o .

4x^

-i-2x^

-4x^ - 1 2 x ^

+6x

+12

-16x

x^

4x^10

+12

-lOx^

-lOx

  0x^

+30x +40 20x

4x^

2= x ^

x

| x ^ + 3 x +4

52

x

)(4x-10)

0x

4 x '+ x '+ x + 2 ^ ^ ^ ^ _ . ^ q j ^ 2 0 X + 2 x^

x^

x

2

x

Ejercicios y ctividades Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a ) (5x^-2x +12x-9):(x-4)

b ) C4x

+2x -5x

};Cx +2x-3)

c ) Cx -8x +27x-23):(x-3)

d) C 2 x - 1 5 x

0x-29):Cx-4)

 

5x' 10x 1): x^- x+ )

4) S x - 1 5 x '

f l O x + 2 x ^ - 8x' lOx + ): 2x' 4x + )

g ) A S x + 1 x '- x ' 1 x + ) : 2 x '- x 1 ) 57

 

Unidad 3

]

Identidades notables

6 . 1 . Cuadrado de una suma Vamos

a l c u l a r e l cuadrado de una suma lgebraicamente: (a+b)^ =(a+fa) Ca+b)= Ca+6 Ca+6)+b )+b a+b)= =

-a+ab+ba+b-b

=

^ + ab+b^

es l cuadrado e l p r i m e r o m á s l doble del primero por l segundo más l cuadrado del segundo. E l cuadrado de una sum

(a + b)^ =

+ ab + ^

^

EJEMPLO

 

3x+ ) =(3x) +2-3x-4+

x +24x

6

6 . 2 . Cuadrado de una diferencia

Va m o s a a l c u l a r e l cu adrado de una i f e r e n c i a a l g e b r a i c a m e n t e ; ia-bf = a-b) a-b) =

(a-b)-b (.a~b)~

a-a-b-ba+bb= b=

^-2ab+b^

E l cuadrado de una i f e r e n c i a es l cuadrado e l p r i m e r o menos l

d o b l e d e l p r i m e r o p o r e l segundo m á s l cuadrado e l segundo.

( . d - b ) ^ = ^ - 2 a b +^

D i f e r e n c i a p or suma Por a propiedad conmutativa de

l a m u l t i p l i c ac ac i ó n , d i f e r e n c i a p o r suma es o m i s m o que

s u m a p or

diferencia:

Ca-b)-Ca + )= EJEMPLO

=

a + )-Ca-b)

5x- ) = 5x) - 5x 7

 

= 5x - 0x + 9

( a - b ) - C a + b )=

r

 

6 . 3 . Suma por

iferencia A

V a mo s a a l c u l a r algebraicamente x p r e s i o n e s d e l t i p o (a + ) (a - ) :

I

C a + )-Ca-b)= -(a-b)

a diferencia es a d i f e r e n c i a de los cuadrados. {a

) ( a ~ b) =

+

 

a -a-b-b = ^-b^

a-b) aa-ab

- v-

L a suma or

=a^-b

•

k ii

/ - i : . 

:\

- ^ A•

«M-r. .

EJEMPLO

8 x + )(8x-5) 8 x ) ^ - 5 = 4x^-25

 

Ejercicios y ctividades

e s a r r o l l a l a s s i g u i e n t e s i d e n t id a d e s n o t a b l e s : ^

a) 7x-3)^

c)(x-2yf

e) x^ + )^

b)(5x+ )

d )(x^5) x + )

f)( x + 5)-(x= -S)

1 8 . Desarrolla las sigu ientes identidades notables:

a) x +1) - x +1)

b) C2x + y - y - x)

d) x - x)+ x - )

c) x + )^- x + ) (x - )

58

 

Comprobación geométrica .

de l s identid des not bles 7.1.

Cuadrado de una suma

Construimos un cuadrado d e lado a y otro cuadrado de lado b a>

l que

:

^3 á r e a d e l cuadrado de a d o a

 a

+ b? = r e a 4 , + r e a

vale

+ rea ^ 3 + rea 4^

á r e a 42 = r e a 4^

 a

Y = r e a 4,  a

A,

2 á r e a 42 + r e a 43

Y -a}

^

ab

7.2. Cuadrado de una d i f e r e n c i a Vamos

o b s e r v a r a f i g u r a de l m a r g e n y comprobemos o si g u i e n t e ^ /

á r e a de 4 , = a - Y , r e a de 4 3 = á r e a de

S ea

i i •

■0

'

^3

= rea de A ^ = ab- ^

4 = 4 , + 42 + 43 + 4^ :

r

^3 ?

i

  . a

4 , - área 43 , r ea 4 ^ = área 4 - área 4 3 - área 4^ área 4 ^ = á r ea 4 - 2 • á rea4 2 :- á r e (a

-

b)^ =

Ca -

- 2(ab -

b Y ~a^

-

b^)

-

b^

.

  l-Kt. • D

a

.'í

..

r

-b

 

lab + b^

ob

7.3. S u m a por diferencia Teniendo e n c u e n ta la figura del margen, p o d e m o s deducir la fórmula:

área 4, = a

• a

- b)

área A ^ = b • a - b ) área A ^ ^ b a - b ) = área 4 3

ab

M

á r e a 4^ = á r e a 4^ = b ^

i

a

A,.

( j a + b )  -iab ) = ar á r ea 4 , + area área 4A 3^ = área 4 ^ + área 4 3 = ^ . a - d;

 

área 4 ^ + área 4 3 + área 4^ - área 4 , , = a ^ - b ^ {a + b)

{a

-

b) = a^

-

b^

3+

Ejercicios y actividades

Q 1 9 . L a s siguientes expresiones s o n identidades notables desarrolladas. Exprésalas e n s u forma más reducida:

a) 25x2

a

   

□

-

c) x ^

30x + 9

e ) 25x' + 120x + 1 AA

-

9

f) 25x'-1

d ) Ax=-x+—

6

16

59  

Unidad 3

>»-

Á

Regla de R u f f i n i . Teorema de u f f i n i Para ividir un polinomio P(x) de grado n por un polinomio de a fo r m a

x-a, e g u i m o s l o s p a s o s q u e i l u s t r a m o s c o n el s i g u i e n t e e j e m p l o : P ( x ) = x2 .

- 2 x 2 _ 20 n t r e e l p o l i n o m i o x - 3

1 . E s c r i b i m o s e l p o l i n o m i o P ( x ) en orden d e c r e c i e n t e : P ( x ) = x2-12x2

5x-20

2 . Realizamos una t a b l a e n l a que e n l a fil a h o r i z o n t a l aparecen l o s c o e f i c i e n t e s de ( x ) ordenados en forma e c r e c i e n t e . E n l a colum

n a v e r t i c a l e s c r ibim o s e l t é r m i n o independiente del p o l ino m io de g r a d o u n o, c a m b i a d o d e signo. 3

15

-12   12

-20

Paolo R u f f i n i 1 7 6 5 - 1 8 2 2 ) .

3. L o s e s t a n t e s c o e f i c i e n t e s s e obtienen m u l t i p l i c a n d o e l c o e f i c i e n t e anterior d e l c o c i e n t e p o r el t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e y sumando

l pro-,

d u c t o o b t e n i d o c o n e l c o r r e s p o n d i e n t e c o e f i c i e n t e d e l di v i de n do . -20

15

12

 

x3

^-9

x3

x3

^18

4. El cociente obtenido e s un polinomio de grado n - . c u y o s c o e f i c i e n t e s h a n si do o b t e n i d o s e n e l p a s o 3 , o s c u a l e s vi en en d a d o s e n

f o r m a d e c r e c i e n t e . En n u e s t r o e j e m p l o , l c o c i e n t e d e l a d i v i s i ó n es ( x ) = x 2 - x

5. E l ú l t i m o c o e f i c i e n t e a s í obtenido e s l r e s t o P, n nuestro caso,

8.1

Teorema de

Recuerda

.

- 2.

C u a n d o e n e l di v i de n do n o a p a r e c e e l g r a d o d e u n o d e l o s mo n o m i o s , o tendremos en a t a b l a

uffini

y e s c r i b i r e m o s en su l u g a r un

El r e s t o de l a d i v i s i ó n d e l p o l i n o m i o P ( x ) e n t r e ( x - ) e s

l resultado

cero.

de s u s t i t u i r e n e l d i v i d e n d o X p o r a . E f e c t i v a m e n t e , i di vi di mos ( x ) p o r x - ) b t e n e m o s u n c o c i e n t e ( x )

y un r e s t o R , v e r i f i c á n d o s e P ( x ) = x - ) c ( x )

obtenemos ( a ) = a - ) c ( a)

=O c(a)

. Al sustituir x p o r a.

=> ( a ) = .

EJEMPLO

 

t ;  c

P o d e m o s p l i c a r e l t e o r e m a d e R u f f i n i p a r a c a l c u l a r e l r e s t o de l a d i v i s i ó n d e l caso

nterior:

P = (3)->P = -3^-12-3^ Ejercicios y actividades

5-3-20 = 1-108

5-20

-2

I

k .

2^Real iza a s s i g u i e n t e s d i v i s i o n e s de p o l i n o m i o s , u t i l i z a n d o l a r e g l a de R u f f i n i : a ) Cl2 x

x

-6 x

0x-15):(x-2)

b ) Cl5x -x

x-1):Cx-1)

 ¡ q 2 ^ A p l i c a e l teorema de Ruffi ni p a r a c a l c u l a r el r e s t o de l a s d i v i s i o n e s si g u i e n t e s a ) 11x^-2x2

c) 5x^-7x

-11):(x-1)

4):(x-3)

d) 6x -l8x + );Cx-i)

b) 3 x ^ - x + 3 x - 6 ) : ( x - 2 )

 

60

 

Descomposición f a c t o r i a l

d e polinomios D a d o l p o l i n o m i o P x ) y u n n ú m e r o e a l a , s e d i c e q u e a e s u n cero de P x ) , o q u e a e s a í z de a e x p r e s i ó n P x ) = 0«P(a) . S i a c u m p l e a c o n d i c i ó n a n t e r i o r , entonces

y decimos que x -

e s u n d i v i s o r de Cx - )

-

ivide al p o l i n o m i o P x)

x).

M atemá ticas e n e l tiempo .   Grecia

x ) oC a ) = O

EJEMPLO

 

3 s un cero d e l p o l i n o m i o P x ) = ^ - x - ,

y aq u e C 3 ) = ^- 2 3 3 Sea X-

.

4S.

x ) u n polinomio d e grado n . E n v i r t u d d e l t e o r e m a d e R u f f i n t , s i divide a

x i s t e u n polinomio C(x ) de grado n - ,

x ) , entonces

t a l q u e Q ( x ) = x - ) c x ) . E n este caso,

x ) se ha descompu esto en

producto d e d o s actores.

U n p o l i n o m i o es r r e d u c i b l e o primo c u a n d o n o i e n e d i v i s o r e s de r a do menor q u e l . F a c t o r i z a r u n p o l i n o m i o P x ) e n a c t o r e s c o n s i s t e e n e x p r e s a r l o c o m o producto de a c t o r e s p r i m o s .

F a c t o r i z a r P C x ) = x * + 4x2-2x2-Ax

= x ( x 2 - 2 x 2 - x + ) = 2x(x-2) x 2 - 1 ) = x ( x - 2 ) ( x + ) x - 1 )

Para d e s c o m p o n e r u n polinomio

x ) e n producto de a c t o r e s , p r l -

merotdebemos x t r a e r f a c t o r común.

6x2

gieron t o d o e l saber m a t e m á t i

de q u e i s p o n í a n , p r o p i c i a n d o u n g r a n d e s a r r o l l o p r i n c i p a l m e n t e en g eometr ía y a r i t m é t i c a . E l primero de l o s m a t e m á t i c o s

d e Mileto, de q u i e n t e n e m o s l famoso teorema,

_ 5 ) _ Q Q p 2 x 2 como a c t o r común.

10x2 = x2.

m c d de a r i o s p o l i n o m i o s , o s d e s c o m p o n e m o s e n p r o d u c t o de a c t o r e s p r i m o s y e l e g i m o s l o s f a c t o r e s p r i m o s c o m u nes con m e n o r e x p o n e n t e , a r a c a l c u l a r e l mcm e a r i o s p o l i n o m i o s , l o s d e s c o m p o n e m o s en p r o d u c t o de a c t o r e s p r i m o s y e l e g i m o s l o s f a c t o r e s primos c o m u n e s c o n m a y o r exponente y l o s n o c o m u n e s . S i q u e re m o s a l c u l a r e l

EJEMPLO

 

m a t e m á t i c a s . L o s griegos r eco

g r i e g o s de p r e s t i g i o f u e T a l e s

EJEMPLO

 

como a é p o c a d o r a d a d e l as

c o de s u é p o c a y o l l e v a r o n h a s t a e l l í m i t e p o s i b l e con o s medios

EJEMPLO

 

L a antig ua Gr ecia e s c o n o c i d a

C a l c u l a r e l mcd

PCx), Q C x))

y mcm P C x ) , Q x ) ) con P { x ) = ^ - i x ^

+ y Q ( x ) = 2 - x 2 7x + . F a c t o r i z a m o s ambos p o l i n o m i o s : P x ) = x - ) (x + ) (x - ) Q(x)= x-A)-Cx + 2 .

-

mcd P x), Q x ) ) = x + ) C x - ) mcm P x ) , Q x ) ) = x +1)2 ( x - ) x - 1 )

Otr a i g u r a muy mpor tante f ue P itá g or as, q u e f u n d ó l a s e c t a p i t a g ó r i c a , donde se d e s a r r o l l ó enormemente a a r i t m é t i c a con

el d e s c u b r i m i e n t o , e n t r e o t r o s , de o s números r r a c i o n a l e s .

O t r o g r a n matemá tico r i e g o f u e Euclides, q u e e s consider ado l

p a d r e de l a g e o m e t r í a . E s c r i b i ó L o s e l e m e n t o s , a o b r a más s t u d i a d a de a hi s to r i a de a s mate máticas,

A r q u í m e d e s demostró p o r p r i mera vez q u e l volumen de u na e s f e r a es

 

—

l volumen d e l ci -

3

l i n d r o q u e l a contiene y e n s u

Ejercicios y actividades

o b r a E l m é t o d o , intentó siste

2 2 . a c t o r i z a l o s s i g u i e n t e s polinomios:

a ) 3x^-9x + 2 x

•

3

b) 5x +10x^-75x^-1 +10x^-75x^-180x 80x

c ) Ax*-16x^-AAx^- 2Ax

2 3 . a l c u l a e l m c d P x ) , Q x ) ) y e l mcm P x ) , Q x ) ) , s i e n d o : a ) P C x )=

-7x

Q C x )= )= ^ +x-2

1x -5

b) P ( x )= x +2x -9x-18

Q ( x )= )= ^ +

matizar por primera v e z u n mé

t o d o de trabajo c i e n t í f i c o .

x+ 61

 

Unidad

INFORMATICA M TEM TIC

Operaciones de polinomios con WIRIS Para s u m a r o lo

hacemos

e s t a r i o s polinomios P x ) =

-

x

y Q(x) = x ^

x -2, o s escribimos i g u a l que

n el c u a d e r n o , o b t e n i e n d o e l r e s u lt a d o i n m e d i a t a m e n t e :

4 x +S x - l . A h o r a b i e n , s u p o n g a m o s q u e t e n e m o s q u e r e a l i z a r

(x +3x*1)* 3x +5x-2)

n u m e r o s a s o p e r a c i o n e s c o n d i c h o s p o l i n o m i o s y n o q u e r e m o s tener q u e e s c r i b i r l o s c o n s t a n t e m e n t e . E n este c a s o , p r i m e r a m e n t e d e f i n i m o s l o s polinomios; para e l l o , l o s id entificamos

como

P x ) o Q ( x ) , a t e n c i ó n , añadimos seguidamente dos p u n t o s :

p(x) = x 2 - 3 x + 1

q(x) = 3 x 2 + 5 x - 2

Aho r a p o d e m o s e a l i z a r l a s o p e r a c i o n e s que d e s e e m o s c o n d i c h o s p o l i n o m i o s s i n n e c e s i d a d de volver a

s c r i b i r l o s , b a s t a r á n o m b r a r l o s . P o r e j e m p l o , i q u e r e m o s c a l c u l a r 2 P x ) - Q x ) , n o t enemos

m á s que e s c r i b i r l a e x p r e s i ó n y h a c e r c l i c e n e l s i g n o 2p(x) -3q(x)

-7-x2-21x

obteniendo

8

E s m u y m p o r t a n t e que todas a s o p e r a c i o n e s que h a g a m o s c o n e s t o s p o l i n o m i o s s e e n c u e n t r e n d e n t r o d e l c o r c h e t e de izquierda para englobar t o d o el proceso. i p r e t e n d i é r a m o s e a l i z a r c u a l q u i e r operación c o n estos p o l i n o m i o s f u e r a d e l corchete r e f e r i d o , n o l o s r e c o n o c e r í a , obteniendo

el siguiente resultado : ¡|p{x}+q x)

p x)+

x ) . P a r a c a l c u l a r e l valornumérlco de un p o l i n o m i o

P x) para u n d e t e r m i n a d o valor x = . primero introducimos anterior s i

l polinomio y luego

a). En el ejemplo

( 3 ) , obtenemos i r e c t a m e n t e e l r e s u l t a d o :

hacemos

r

p(x) = x 2 - 3 x + 1 p ( 3 ) -►

Para

xi-»x2-3 x + 1

I

multiplicar dos polinomios, l o escribi escribimo mo s entre paréntesi paréntesiss con e l punto d e multiplicación e n

me di o, que encontr ar ás e n la mi s ma tecla que e l 3 o en e l s í m b o l o * del t e c l a d o numé rico: p x) :=x2-3x+1

x»-*x^-3 x+ x+1 1

x»^3 x2 + 5-x-2 3 x^-4-x3-14-x2 + 1 1 .x-^2

q x) :=3x2+5x-2 p x) q x)

q u e r e m o s factorizar e l polinomio 2 x ^ + x - 3 , Wiris n o s facilita la o p e r a c i ó n . S o l o tenemos q u e escribir ta ctoiÍzar(2x^ + x-3) x-1) 2 •x+3) para obtener e l resultado inmediatamente. Finalmente, p a r a dividir los polinomios P x ) y Q x ) , primero los definimos y hacemos uso del icono d e   í

l a división 0 | Q

dividend o P x ) y e n e l divisor Q x ) , obteniendo inmediatamente introduciendo e n el dividend

e l cociente y e l r e s to: p x)

:=x2*6x »'2

q x)

:=x-3 -♦

P(x) |q x)

x*-»x2+6-x+2 x»-*x-3

x2+6 x*2 |x-3 29

Para

X 9

calcular e l m c d d e los dos polinomios P x ) y Q x ) defini definidos dos anteriormente, anteriormente, simplemente e s

cribimos mcd p x],q x)).

a

Ejercicios y activ idade s 24. Realiza los ej er cicios 5,11,13,14,17, 2 0 y

2 1 de

la unidad con W I RI S.

62  

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES RESUELTOS

Polinomios

_1j Calcula e l v l o r numérico de l s siguientes a) G C x )

calcula F(x): 6(x). x

*-3x^+x^-6x-1^x=-1

Solución

b ) í a , x )= a ^ x - 3 a x ^ + 5 a x - > a = , x = 3

a) C - 1 ) = 2 C - 1 )

-3(-1)H(-1)=-6C-1)-1=

-1-3 -1)+1+6-1

-2x^

+4x

-7 |x^+2x-1

-12x^

+6x

6X-14

/Í4x^

+10x

-7

+28x

-14

6x^

Solución

 

F(x) = 6x^-2x^+4x-7, G(x) = x^+2x-l,

6. Con

expresiones:

1

+3+1+6-1

=2-2' =2 -2'(-3 (-3)-3 )-3■■ 2(-3)' + 5 ■ 2(-3) =

b) P C 2 , -3)

38x

= -108

-21

=2 45 43 0

Factoriza los polinomios:

7.

2. Sean los siguientes polinomios:

a) P(x) = 2x^ + 12x2 +

= 3x''+5x'-6x' + 3x-1 Gíx) = -2x'' + 3x^ + 5x^ - 2x + 9 FCx)

b) F(x)

-

27x2

Solución

a ) P(x) = 2x + 12x2 + TgjfZ = 2x2 = 2xnx + 3)2

Realiza las siguientes operaciones: a ) F(x) + G(x)

b) Q(x) = Sx''

-18x2

-

6(x)

Qíx) = Sx" - 2 7 x 2 =

b)

3;^2 (^2 _

gx + 9} =

(^^2

9) =

. 3)

3;^2

(x + 3)

Solución

a)

ÍSx"-H5x'-6x' +3x-1)+(-2x'* +^x^ +'5x'-2x^9): = x''+8x^-x^ + x+8

división aplicando la regla d e Ruffini:

-

■

íx

b) ÍSx' +5x^ -6x^ +3x-1)-C-2x^ +3x^ +5x^ -2x+9):

= 5x''+2x'-11x'+5x-lp ,

3. 1 Sean F(x) = x^ - 3x +

1,

_

r

Calcula e l cociente y e l resto d e la siguiente

8

-

3x2 + 5^2

  3

1

•

x2

G(x) = 2x2 + x - 2, q^[.

2

 4

x2

2

6

x2

4

-1

1-

cula F(x) • G(x).

4x + 2): (x - 2 )

-

Del cony las cuadroC(x) operaciones deducimos cociente R son C(x) e l resto = x^ - x^ +que 3x e+l 2 y el'resto R = 6.

Solución

F(x)-G(x) = (x'-3x+lVC2x='+,x^2)= , = x' C2x' + X - 2}- 3x(2x^ + X - )+1(2x^ + x--?)?: = 2x' +x^ -2x^ -2 x^ -6x^ -6x^ -3xV6x+2x^ + x-2 =

9.   Calcula el mcd (P(x),Q(x)) y el mcm (P(x),Q(x)) como P(x) = x 2 - x^ - 8 x +12, Q(x) = x^ + 2x^ - 5x - 6.

= 2x -5x^-3x^+7x-2 x^-3x^+7x-2

En

4.1 Extrae factor común e n las siguientes e x

primer lugar, factorizamos los polinomios, ob

teniendo:

presiones:

P ( x } - ( x - 2 ) ( x + 3 ). Q ( x) = (x + 3 ) - ( x - 2 ) - ( x + l , d e

a) 12x^-15x^>

d o n d e deducimos q ue

(x-2]-fx + 3 ) , m c m ( P (x ( x ),), Q C x )))) = (x-2] - ( x + sj-fx+l)

b) 14a^~7a^b

m c d ( P (x ( x ),) , Q ( x) x) ) =

c) 33a^xy'-22axV Solución

10 . 1 Descomponer en factores los siguientes cua

a)12x^-15x^> = 3x^(4x-5y)

drados perfectos:

b ) 14a^-7a^b = 7a^(2-afa)

c) 33a^xy

2ax^y

-

= 11ax> (3a -

2

x)

a ) x^

5. 1 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a)

2x-'>''

b)

hxy"

b)

12a^zy^ -3azV

x^

casob), — y es el doble d e

clx^-y

9_y2 3

son cuadrados perfectos y-3xy

 

xy, l u e g o — - 3xy + 9y^ = — - 3y^.

e l caso c), la expresión d a d a solo puede s e r una suma por diferencia, d e do n de deducimos q ue En

2/

12a^z/ _ 4q/ 4q / -3az^y

4

e l caso a), x^ y 9 son cuadrados perfectos y 6 x es e l doble de 3x, luego x^ + 6 x + 9 = (x + S ) ^ . E n e l

2xV _ x' 4xy®

b)~ -3xy + 9y^

En

Solución

a)

+ 6x + 9

x -/ = ( x ^ - y ^ ) ( x ^ + _ y ^ )

z

Ó3  

EJERCICIOS Y

CTIVID

DES DE REC

peraciones elementales  □

Id

on

PITUL

polinomios

I.IDado el polinomio P(x) = + 2 x + 7 calcula el valor de p(a) para los valores a = O , a = -1. a = 1 ; a = 2

2.lDados los polinomios F(x) =

G(x) =

X

raciones;

-7x +5x -2x + 1

realiza

(2x''-3x^+4x-lj L a s siguientes op e

Unidad

CION

identidades notables

sarrolla las siguientes identidades notables:

+ 5) b ) (x + 5)(x-5) + 4)(2a-4)

d (4-7b)^

e ( 5 - 1 0 í ) ) ( 5 + 10b)

f) 7— 7

□

a) fCx) + G C x )

o) 2F(x)+GCx)

b) -FCx)-G(x)

d) G(x)-F(x)

esarrolla las siguientes identidades notables:

3.[Realiza las siguientes operaciones: a)

|-

  2

9 x 4 x x

 

2 X2 / +—   X— o) 4

-

 

de

polinomios

Id 4.lElimina los paréntesis y

e (6+5z)(6-5z)

c (3-5m)(3 + 5 m

f) ( 3 x - 5 )

notable:

— x ^ 2 + -X 2

Simplificación

b (x + 12)Cx-12)

lO . lExDresa los siguientes polinomios como expresión

1_5x+^x^-ÍIx'L(3 + 9 x + -x^-Hx3

b)

a) x^+2x +

g) x®-49

b ) x -10x + 2 5

h ) x^-6x+9

c)x -16 -169

i) a^-4ab+4b^

d) x=-12x+36

j) a^+4ab+4b^

e) 0=^-36

k) b^-ie

f) 4x^ + 4x +

l)

simplifica:

□ n.lSimplifica las

b 5 ( 2 x = = - x + 5 ) -2 -2 ( 7 x = + 9 x + 1 0 )

a)

c 4x-[2(3jy-2z)-4(-x-9z)] 5.ilEfectúa las siguientes operaciones:

b)

a (l5ab-6ac+9bcj+2(4ab+3ac-5bcj

a)

c (9ay^-13ax^ + 7x^;/^)+4(2qy^+5ax^ - 4 x ^> ^)

b)

Producto de polinomios

c)

S.lDados los polinomios Ffx) = 2 y + 5. G{x) = x ^ - 7 x + 1 y H C x ) = 3 x ^ - 6 x - 2, realiza los s i guientes productos:

c)

2b 2b'' 25Q^b"

d)

15a'b

8x^ 8x^

9xy'°z'

240x'''/®2® -MSa^c'x^^ 5ac'x^

12a^^b'Vd^

-ha'°b'c'd^

IS.lSimplifica las siguientes expresiones algebraicas extrayendo previamente

a)

c) (x'-i-3x-5) (2x^-7)

F(x) = 2x-i-5,

b)

G{x) = x' -7x + ^ y H(x) = 3x^-6x-2 efectúa las si guientes operaciones:

c)

a) FCx) -GCx) b) F(x) HCx)

c)

hOx y

16b^

70xV^^z^®

3x^ /(x)-5x g(x) C x- 4)

7.lDados los polinomios

siguientes fracciones algebraicas:

210x>'°z"

b (x=-7x-f1)-(3x-5)

B

+ 18a+81

IE 12.ISimplifica las siguientes expresiones algebraicas:

b 3(2ax-5b^+2zJ+3(4ax + 6b) -4zJ

a)

a'

Fracciones algebraicas

a (5x-5y-8z)+(x-6>+12z)-(3x+7y-12z)

B

d (2a-b)^

a + 3b ^

d)

Gix) H(x)

factor

común:

3x''y'-Mx'y^ 6x^y'-^8x'y' 2a'b+6ab

5a'b+^5a'b' ax-f3o-2x o-2x-6 -6 x+ x+3 3

7(l-a)'-4(l-a) 0-r

66  

I

D i v i s i ó n depolinomios

F a c t o r i z a c í ó n d e polinomios

Realiza las siguientes divisiones de polinomios: a) 8x^ + x - x + ): x - x 1 )

I B 1 7 . 1 D e s c o m p o n e n producto d e actores o s s i g u i e n t e s polinomios:

b) Sx -BxVlOx^- 5x + 4):(x -3x+2)

a ) 3x - 27x^

c) l0x^+7x-13):(-2x + ) \

b) x

d) 9x +18x^+7x-15);(3x+ )

c)

 ■ IS.lHaz uso d e la regla d e Ruffini para calcular el co c iente y e l r e s t o d e las s i g u i e n t e s div is io nes ;

a ( l 2 x + 1 5 x - 8 x + 4x-l):(x-l) b)

c

9 3

1

7

5

1

 3

3

3

2

5x

75x

-4

x^-4x^

5x-2

-4x-12 x-12 d ) x +3x -4

e ) 4x +32x +55x -72x-1 144 f) x +8x +17x -2xx-24 24

—X +—X — x + — X—

4

(x^-2x''+2x^-3x^+X-2):(x +

r m m Calcula

2

e l máxi mo com ú n d i v i s o r y e l m í n im im o com ú n

múltiplo d e l o s s i g u i e n t e s polinomios:

3

d)

,

—X

5

7

2

+—X

1

5

3

3

4

a ) /Cx) = x'+7x'+12x'-4x-16 y

— X— —

 5

g C x ) = x + 4x^ - x^ - O x + 8

IS.lCalcula e l resto d e las siguientes divisiones s in necesidad

b ) /(x) = x^-2x'-11x'+12x + 3 6 y

de efectuarlas:

(x''-x^-3x^-2x+5):(x + 2 )

a b c

g C x ) = x''-3x^-3x^+11x-6 c) /Cx) = x''-4x^-30x^+100x + 1 2 5 y

(2xHx^-3x^-5x + 2 ) : ( x + 3 )

g C x ) = x''-8x'+14x'+8x-15

(7x^-x=^ + 4 x + 1 4 ) : ( x + l ) )

d ) /(x) = x'+x'-16x-16 y

:(x-3)

x2 x x 1 3

 

g(x) = x^-4x^-x + 4

Problemas

j;

iD 1 9 . | C o m p r ü e b a q u e 2 . - 7 v

-1 s o n factores d e l polino-

mió x^ + 6 x ^ - 9x - 1 4 y descomponlo e n factores.

¿

□ 20.1 D e s c o m p o n e n fac t o r e s e l pol i n om i ox ^ - x ^ - 1 7 x - 15 , c o m p r o b a n d o p r e v i a m e n t e q u e -1, -3 y 5 s o n c e r o s delmismo.

1

 

^

 3

d e s c o m p o n l o e n fact or es .

B22.iLos v a l o r e s x = -2, x = 4 y x = -5 s o n c e r o s d e l

c u e r d a q u e d e b e s b a s a r t e e n u n teorema d a d o e n e s t e t e m a p a r a p o d e r calcularlos:

a (x^°^-23):(x-l) b (x''-3):(x + l ) c (x''-2x^'+3x-l):(x-l)

lE 2 1 . l C o m p r ü e b a q u e ±~.--r s o n c e r o s d e l polinomio

x^+^x^-^x--;j^ y

2 7 . | C a l c u l a e l r e s t o d e l a s s igi g u i e n t e s d i v i s iioo n e s . R e -

j ~ x Ñ - 3 x ^ - 6 x - í f entre x

2 8. 1 C al c u l a e l valor d e k s a b i e n d o q u e e l resto d e dividir

es

cer o.

29.[Calcula e l valor d e k. sabiendo q u e el polinomio

polinomio x''-i-2x^ -2 1x^ -22x + 4 0 . Calcula el otro c e r o y e x p r e s a e l polinomio c o m o producto d e p o l i

x'' + 2 x ^ - 3 x 2 + S x + k e s divisible por e l polinomio

nomios primos.

x 2

SO.lCalcula el valor d e k , sabiendo q u e dividir

IE23.[Expresa c o m o producto d e tres factores e l bino-

mió

I E xx p^ rye^s -a4c; o^ m o producto d e 4 factores e l polinomio [¿24.i I  Sx^-SIx^y 25.[Calcula m p a r a q u e el resto d e la división

(2x^+mx^-5x+7j:(x-l) s e a 8 .

26. lDe una división d e polinomios conocemos s u d ivisor x 2 + 2x + 2 , s u cociente x - 3 y s u resto e s 4 .

 x ^ - 6 x ^ -elx + 7valor p o r r e s t o 5 . que e n t r e xd e+ 1 , mt i,e n esabiendo

I

[□ 31.[Calcula

3x^ -14x^ +mx-9 es divisible entre x -3.

3 2 . 1 Calcula k s a b i e n d o qu e e l r e s t o d e dividir e l p o l i no mi o x 2 + m x + 7 entre x - 2 e s d o s u n i d a d e s m e n o r q u e e l r e s t o d e dividir e l polinomio x^ + 3 x + k e n t r e x-2. 33.[Calcula e l v al o r d e m p a r a q u e e l polinomio 2x'' - 3 x^ + mx -4 sea divisible entre x -1.

¿Cuál es su dividendo?

65

 

Unidad 3

DESAFIO PISA

Salud cardiovascular L a i n t e n s i d a d d e l e j e r c i c i o f í s i c o se puede l a s i f i c a r de a s i g u i e n t e manera:  

I n t e n s i d a d muy i g e r a ; 50-60

, t i l p a r a t r a b a j o s de e c u p e r a c i ó n , a l e n t a m i e n t o y v u e l t a a a

calma.

 

I n t e n s i d a d l i g e r a : 60-70

, ecomendado p a r a personas que se i n i c i a n e n e l deporte deporte y q u i e r e n comenzar a e n e r una buena forma í s i c a . También u t i l i z a d o e n l o s i n i c i o s de temporada de de portistas.

 

I n t e n s i d a d moderada: 7 0 - 8 0

, e consigue mejora e n e l rendimiento y se t r a b a j a l a e f i c i e n c i a

corazón azón y e l e j e r c i c i o e s aeróbico. del cor  

I n t e n s i d a d d u r a : 80-90

, parece l a f a t i g a , e l e j e r c i c i o e s n a e r ó b i c o . E l o b j e t i v o e s o n s e g u i r

rendimiento y poder r a b a j a r más iempo a más n t e n s i d a d .  

I n t e n s i d a d má x i ma : 9 0 - 1 0 0

, s e l m á x i m o esfuerzo q u e p u e d e n t o l e r a r nuestros órganos

y músculos. Anaeróbico, n o recomendable, minutos.

s í e s i m p r e s c i n d i b l e , n o superar nunca l o s 4

L a mejor manera e s r a b a j a r un tiempo de unos 30 inutos a u n 7 5

e tu frecuencia cardíaca

máxima; a r a e s t o , e s n e c e s a r i o que conozcas u f r e c u e n c i a c a r d í a c a e n r e p o s o . Después se c a l e u f r e c u e n c i a c a r d í a c a máxima, ue s i g u e l a s s i g u i e n t e s fórmulas: c u l a e l 75 F r e c u e n c i a c a r d í a c a m á x i m a = 2 2 0 - u edad - r e c u e n c i a c a r d í a c a e n r e p o s o ) 0 , 7 5 + r e c u e n c i a cardíaca e n reposo hombres).

F r e c u e n c i a c a r d í a c a máxima = 226 - u edad - r e c u e n c i a c a r d í a c a e n reposo) 0 , 7 5 + r e c u e n c i a

= 226 - u

Frecuencia cardíaca

- r e c u e n c i a c a r d í a c a e n reposo) 0 , 7 5 + r e c u e n c i a

c a r d í a c a e n reposo m u j e r e s ) .

reposo o de hombres y mujeres E n l a s i g u i e n t e t a b l a p odem os v e r l a f r e c u e n c i a c a r d í a c a en repos separadas p o r tramos de edades y c l a s i f i c a d a s p o r m a l a , n o r m a l , buena y m u y buena forma física. Mala

HOMBRES

Muy

uena

86

más

70-84

62-68

6

30-39

86

más

72-84

64-70

620 enos

40-49

90

más

74-88

66-72

64

50-59

9

más

74-88

68-74

66 0 enos

94

más

76-90

70-76

68

Mala

Normal

Buena

 6 o m á s

78-94

72-76

70

30 39

98

80-96

72-78

70 0 enos

40-49

100

más

80-98

74-78

72

104

más

84-102

76-82

74 0 enos

108

más

88-106

78-88

78

más

MUJERES

20-29

 

Buena

20-29

6

1

Normal

'

r ,: 0 5 9 60

más

más

Muy

menos

menos

menos

uena menos

menos

J

menos

Por ú l t i m o , se puede c a l c u l a r l a f r e c u e n c i a de r e s e r v a y l a f r e c u e n c i a de entrenamiento con l a s siguientes fórmulas:

FC e reserva = FC

á x i m a - C reposo

F C de entrenamiento = FC e s e r v a + C reposo

66

 

Actividades Tras L a lectura del texto a n t e r i o r

r e a l i z a l a s s i g u i e n t e s a c t i v i d a d e s;

A c t i v i d a d 1 : Obtén l a frecuencia cardíaca m á x i m a para un ho m br e d e 3

ños c on una frecuencia

c a r d í a c a e n r e p o s o d e 72 u l s a c i o n e s p o r m i n u t o q u e h a c e u n e j e r c i c i o a l 75 A

170

B

160

C

120

A c t i v i d a d 2 : C a l c u l a l a f r e c u e n c i a c a r d í a c a m á x i m a p a r a u n a m u j e r d e 25 cardíaca e n r e p o s o d e 8 A

171

B

180

C

160

u l s a c i o n e s p o r m i n u t o q u e h a c e u n e j e r c i c i o a l 75

Ac t i vi da d 3: Indica l a f r e c u e n c i a c a r d í a c a d e r e s e r v a p a r a u n h o m b r e d e 5

cardíaca e n r e p o s o d e 9 A

23

B

20

C

4 8

ulsaciones por minuto qu e hace un e j e r c i c i o a l 6

e intensidad.

ños c on una frecuencia e intensidad.

ños con una frecuencia

e intensidad.

A c t i v i d a d 4 : Obtén l a frecuencia c a r d í a c a d e entrenamiento para u n a mujer d e 5

ños con una frecuen

c i a c a r d í a c a e n r e p o s o d e 105 p u l s a c i o n e s p o r m i n u t o q u e h a c e u n e j e r c i c i o a l

50

A

121

B

135

C

141

A c t i v i d a d 5: i u n a m u j e r d e 35 ñ o s t i e n e u n a f r e c u e n c i a c a r d í a c a e n r e p o s o d e 7

minuto y s u frecuencia cardíaca m á x i m a e s d e

e intensidad.

ulsaciones por

3 1 pulsaciones por minuto ¿qué i p o d e i n t e n s i d a d d e

e j e r c i c i o está haciendo? A

Muy i g e r a

B

Ligera

C

Moderada

67  

MI PROYECTO

Unidad 3

Los números

metálicos

Paso 1 : C á l c u l o d e l número áureo a p a r t i r d e u n pentágono r e g u l a r

Construy Const ruy e un pentágono con e l programa GeoGebra y r a z a todas sus diagonales como n l a f i g u r a .

.

,

. 

, ..

,

.

E l numero ureo a p a r e c e en el pentágono en l a relación

AD

»(f)

1+Vs

— —.

Construye u n rectángulo áureo con l a s medidas e s u l t a n t e s del pentágono. xí

•v I

\

X

xT

»

/

x

x ^ ^s \

A

\

hV  

Paso 2 : C á l c u l o d e l número d e p l a t a  

D i b u j a u n cuadrado y proyecta l a diagonal A B sobre a prolongación del lado A C , como n l a f i g u r a d e

arriba. Así obtienes

un

rectángulo

ADEF cuya

proporci ón entre

sus lados e s

Í2 . Ahora t r a z a el simé

t r i c o d e l cuadrado n i c i a l A C E B sobre l lado A f , cons construy truy endo un nuevo rectángulo H D F G . a e l a c i ó n

e n t r e e l l a d o mayor y e l l a d o menor d e l r e c t á n g u l o H D F G es una c o n s t a n t e matemática 5 ^ llamada

n ú m e r o de

plata. Comprueba

q u e S , =1

v/2 =

,41.

Paso 3 ; E l octógono r e g u l a r en e l c á l c u l o d e l número cordobés y d e l número d e p l a t a T — ;

 onstruye u n octógono e g u l a r . D e cada u no de sus é r t i c e s t r a z a seg mentos c con on u n ángulo c e n t r a l

d e 5 ° . D i v i d e e l r a d i o d e a c i r c u n f e r e n c i a c i r c u n s c r i t a entre su lado y obtendrás l número cordobés c

el

R

 

—= , 3 0 6 o d e a p r o p o r c i ó n h u m an a. e a l i z a e l c o c i e n t e —

nú mer o de

plata:

comprueba que obtienes nuevamente

=1+>/2

U n ejemplo a u n c l i c :



68

 

UalittiiiiB

EVALUATE

Autoevaluación 1 E l v a l o r d e l p o l i n o m i o p ( x)= x^ - x^ + x - 1

4 . E l p r o d u c t o de 2 x ^ - x ^ + x - ) ( x ^ + + ) s : a) 2x -3x *

para x = 3 s: a)-5

b)2

2 . C a l c u i a f ( x )+ ( x ) c o n F ( x ) = x

c) x -3x

+ 7x 7x ^ - 2 x - 4 x + 3

c) 4 x

-7 7x x -2x -4x+

d) 4 x

-7 7x x -2x^+4x

x^-3x^+10x-6

5 E l r e s t o de a d i v i s i ó n (x

-2xV4 -2xV4x+3 x+3

b) 4x

x^-3xVlOx-6

d) 2 x ® - 3 x

-5x^+7x^-x+2

y 6 ( x )= x -2x -9x -9x -3x

a ) 4xV 4xV5x 5x

0x-6

b ) x - 3 x * + x - 1 3 x + 0x-6

d) O

c)17

x -13x

-

x - ): x ^ -3x + ) e s:

x3 _ 5;f2

a)5x-12

c)-12x-1

b)4x-19

d)7x

6 . L o s cero s del p o l i n o m i o x ^ - x ^ + l x -6 o n : a)+1.-2,+6

c)-1,-3,-6

b)+1,+2,+3

3 . L a e x p r e s i ó n 9x3 _ y i x y + y 3 como d e n t i d a d notabl e es:

d)+2.-2,-3

7 . D a d o s f ( x ) = ^ - 2 x 3 - 5 x +6y6(x)

3 - 3 x +2,

el mcd F { x ) . G ( x ) ) e s :

a) 9 x - _ y 3

c ) C3x + yY

a) 3

b) 3 x - y Y

d) 3 x - \ y Y

b ) 3 + x -2

c) x 3

2

P2

d) 3 ?

-2 -2

? ■ £: - o 7- P i

9 - 3 S-D 7

-Hiuionios

Mis progresos Sobresaliente

Un dad 3

r

iSoy muy competenteljt.

¿Sé aplicar lo aprendido?

Suficiente

Soy competente,

Soy competente, pero d ebo mejorar

pero puedo mejorar

nsuficiente

- ^

Me faltan competencias. fnahn oefnrTamn miirhn rná«t

Sé ;

Calcularel valor numérico

Calcular e l valor numérico

Sumar restar multiplicar y

Sumar restar y multiplicar polinomios.

 

dividir polinomios.

Desarrollar e identificar identidades identida des notables .  

 

El teorema de Ruffini.

Factorizar polinomios y calcular el mcd y mcm.

Sé :  

 

  Desarrollar identidades

 

Aplicar el teorema d e Ruffini. Factorizar polinomios y calcularel mcd y mcm.

Calcularel valor numérico

Calcular el valor numérico

de u n polinomio.

de u n polinomio.

Sumar restar y multiplicar

Sumar restar y multiplicar polinomios.

polinomios.

Desarrollar identidades

 

  Desarro lla llarr identida identidades des

notables. Regla de Ruffini.

notables.

El teorema de Ruffini.

 

Factorizar y calcular el mcd de polinomios.

 

Sé:

Sé:

Sumar restar multiplicar y

Sumar restar multiplicary dividir polinomios.  

Desarrollar identidades

dividir polinomios.  

 

 

Aplicar el teorema d e R uffini uffini.. Factorizar polinomios.

Desarrollar identidades notables.

notables.

identidades notables.  

 

notables.

Sumar restar multiplicary dividir polinomios.

identificar y desarrollar

 

de u n polinomio.

d e u n polinomio.

Sé hacer...

Bien

 

Aplicar el teorema de Ruffini.

Sé:  

Sumar restar multiplicar y

dividir polinomios.

  Desarrollar identidades

notables.

La tecnología y yo -

¿S é trabajar en g rupo?

Sumo resto y multiplico polinomios con WI RI S.

Sumo y resto polinomios co n

Asumo mi rol. aporto ideas al grupo pero suelo interferir e n

Asumo mi rol. no aporto ideas al grupo e interfiero e n el

No asumo mi rol e interfiero

el trabajo d e los demás.

trabajo d e los demás.

aportar ideas al grupo.

Sumo resto multiplico divido factorizo y cálculo el mcd de polinomios con WI RI S.

Sumo resto multiplico y

Asumo mi rol sin interferir en

el trabajo de los demás y

aporto ideas al grupo.

factorizo polinomios con

WIRIS.

WIRIS.

e n el trabajo de los demás sin

69  

4

Ecuaciones En esta unidad 1 . Ecuaciones

2. R e s o l u c i ó n de ecuaciones de p r i m e r grado 3. Ecuaciones de seg undo grado

4. Resolución de problemas c o n ecuaciones

5. Método geométrico de Al-Khwarizmi de r e s o l u c i ó n de e cuacione s de s e g u n d o

grado

6. S u m a y producto de l a s r a í c e s de l a s ecuaciones d e s e g u n d o g r a d o . Fórmulas de Vieta

7 . F o r m a c a n ó n i c a de u n a ecuación de s e g u n d o grado

8. Ecuaciones de grado s u p e r i o r a do s 9. Ecuaciones binómicas y bicuadradas

Vamos

a pre n d e r ...

Competencias

Saberes

- R e s o l v e r ec ec u a c i o n e s d e p r i m e r g r a d o c o n f r a c c i o n e s y p a r é n t e s i s .

científicos

- A p l i c a r l a s e c u a c i o n e s de p r i m e r g r a d o e n l a r e s o l u c i ó n de p r o b l e m a s de

CMCT

a vida cotidiana.

- R e s o l v e r e c u a c i o n e s de s e g u n d o g r a d o i n c o m p l e t a s y c a s o g e n e r a l . E s t u d i a r el d i s c r i m i n a n t e . - t i l i z a r e l método de

l-khwarizmi.

- A p l i c a r l a s f órmulas de V i e t a y fo rma canónica de la ecuación de s e g u n d o grado.

- R e s o l v er er e c u a c i o n e s d e g r a d o s u p e r i o r a d o s .

-Emplear ecuaciones binómicas y b i c u a d r a d a s . - A p l i c a r l a s e c u a c i o n e s d e s e g u n d o g r a d o en l a r e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s de a v i d a c o t i d i a n a . Lectura

y comprensión Tratamiento

de

a información

- C o n o c e r a h i s t o r i a de l a s m a t e m á t i c a s en Ch i n a y e l o r i g e n d e t o s números rojos. - U s a r l p r o g r a m a W I R I S como erramienta d e r e s o l u c i ó n d e e c u a c i o n e s d e primer y s e g u n d o g r a d o .

C M C T C C L

C M C T C D

y competencia digital

Aprende a aprender ciencia

-Estudiar l o s n ú m e r o s p o l i g o n a l e s .

CPAA

La ciencia

-Entender a importancia d e l á l g e b r a en e l d e s a r r o l l o d e a c i v i l i z a c i ó n

CSC

en

a sociedad

P r o y e c t o : Lo s números metálicos

C M C T

C M C T

occidental.

-Obtener números metálicos como o l u c i o n e s de ecuaciones de

s e g u n d o g r a d o y l a s fr a c c i o n e s c o n t i n u a s a s o c i a d a s a e l l o s .

CMCT. PAA.CD

CL.

SIE

N o t a : o m p e t e n c i a m a t e m á t i c a y c o m p e t e n c i a s b á s i c a s en i e n c i a y t e c n o l o g í a CMCT), o m p e t e n c i a en c o m u n i c a c i ó n l i n g ü i s t i c a C O L ) , c o m p e t e n c i a s o c i a l e s y c í v i c a s CSC), o m p e t e n c i a p a r a a p r e n d e r a a p r e n d e r CPAA), o mpeten c i a d i g i t a l CD) . e n t i d o d e a i n i c i a t i v a y e s p í r i t u e m p r e n d e d o r S I E ) , c o n c i e n c i a y e x p r e s i o n e s u l t u r a l e s CEC).

 

Las e c u a c i o n e s a o l a r g o d e a h i s t o r i a D es d e l s i g l o x v i i a . C , o s m a t e m á t i c o s m e s o p o t á m i c o s y b a b i i ó n i c o s r e s o l v í a n ecuaciones d e s e g u n d o g r ad o. E n l s i g l o x v i a . C .

l o s e g i p c i o s d e s a r r o l l a r o n u n á l g e b r a m u y lemental. n l s i g l o d . C . l matemático r i e g o D i o f a n t o de

l e j a n d r í a p u b l i c ó su r i t

m é t i c a , e n a c u a l se r a t a r o n d e f o r m a i g u r o s a l a s ecuaciones d e p r i m e r g r a d o . l matemático

astrónomo n d i o Brahmagupta 598-

. C . ) f u e l p r imer o e n e f e r i r s e e x plí c i t a m e n t e a o s n ú m e r o s

67

negativos

como

o l u c i ó n de

a s ecuaciones.

A l - K h w a r l z m i d e t e r m i n ó a s primeras e g l a s d el á l c u l o a l g e b r a i c o : l a t r a n s p o s i c i ó n de l o s términos de uno a o t r o m i e m b r o d e u n a ecuació n, r e v i o c a m b i o d e i g n o , y a anulación d e é r m i n o s d é n t icos e n ambos i e m b r o s , sí como a r e s o l u c i ó n de as e c u a c i o

nes d e se se g u n d o grad o p o r m é t o d o s geométricos. La matemática a nuestro alrededor

  E l s i g u i e n t e epigrama

l g e b r a i c o propuesto p o r u n d i s c í p u l o d e

Diofanto e x p l i c a c u á n t o s a ñ o s i v i ó e s te sabio g r i e g o . I n t e n t a resolverlo:

« ¡ T r a n s e ú n t e , e n esta t u m b a yacen

o s r e s t o s de D i o f a n t o .

l e c t u r a d e s t e t e x t o podrá s saber saber un dato d e su

De

a

i d a . Su n f a n c i a

o c u p ó a sexta a r t e d e su i d a , d e s p u é s r a n s c u r r i ó u n a d o c e a v a p a r t e hasta q u e su

e j i l l a se

u b r i ó d e e l l o . Pasó aún una s é p t i m a

p a r t e d e su x i s t e n c i a hasta o n t r a e r matr imonio. i n c o a ñ o s má más s tarde t u v o l u g a r e l nacimiento d e su p r imog énito, q u e m u r i ó a l alc an zar a mitad d e a e d a d q u e su pa dre l e g ó a i v i r . T r a s c u a t r o

años d e p r ofund a p e n a po r a m u e r t e d e su h i j o , Diofanto mur ió . De todo

s t o , dime cuántos años i v i ó D i o f a n t o » .

 

vi

 

Unidad 4

I^I^Ecuaciones

La

d e t r e s n ú m e r o s consecutivos e s 1 5 . ¿ D e q u é n ú m e r o s s e

sum

trato?

P a r a r e s o l v e r este p r o b l e m a , e n e m o s q u e i n t e r p r e t a r a l g e b r a i c a

m e n t e l o q u e nos preguntan y p l a n t e a r u n a ecuación q u e se c o r r e s p o n d a c o n e l e n u n c i a d o . Tomamos

n número d e s c o n o c i d o ,

a l q u e lla m a r e m o s , e l n ú m e r o a n t e r i o r , q u e s e r á x t e r i o r , q u e será x +

, y e l p os

. A s í , l a e c u a c i ó n q u e p l a n t e a r e m o s será l a

siguiente:

  x - ) + + x +1 = 5 R e s o l v i e n d o l a e c u ac i ón, averiguaremos e l v a l o r d e x , q u e u n t o c o n e l a n t e r i o r y e l p o s t e r i o r n o s dar á l o s t r e s n ú m e r o s b u s c a d o s .

:jercicios

y a c t i v i d a d e s resueltos

U n a e c u a c i ó n e s u n a i g u a l d a d q u e se c u m p l e p a r a determinados

Resuelve las ecuaciones

v a l o r e s de l a s l e t r a s llamadas n c ó g n i t a s .

u t i l i z a n do p r i n c i p i o s de

Soluciones o a í c e s d e u n a e c u a c i ó n son l o s v a l o r e s d e l a i n c ó g n i

equivalencia:

ta que a v e r i f i c a n .

•

 

1

7

E n u n a e c u a c i ó n l l a m a r e m o s primer m i e m b r o a l a p a r t e i z q u i e r d a

Po r e l primer p r i n c i p i o ,

d e l signo i g u a l y s e g u n d o m i e m b r o a l a p a r t e d e r e c h a del signo

sumamos -7 a ambos

igual.

lados d e l a i g u a l d a d y obtenemos una ecua

ción equivalente:

1 . 1 . Equivalencia de ecuaciones

x+

L l a m a r e m o s e c u a c i o n e s equivalentes a a q u e l l a s q u e t i e n e n l a s

-7 x

mismas soluciones.

04 x= 4

• EJEMPLO

 

11-7

 x = 2

Por e l segundo p r i n c i

L a s e c u a c i o n e s x + 3= , 5 x +15 = 40 o n e q u i v a l e n t e s porque

pio, mu lt iplic amos por

ambas i e n e n 5 como o l u c i ó n .

— o

divi dimos en nt tre 3

3

Primer p r i n c i p i o d e e q u i v a l e n c i a : s i e n u n a e c u a c i ó n s u m a m o s o

l o s d o s lados d e a i g u a l

r e s t a m o s a m i s m a c a nt i da d o expresión e n l o s d o s m i e m b r o s , o b

d ad y o b t e n e m o s u n a

t e n e m o s o t r a e c u a c i ó n equ i v a l en t e.

e c u a c i ó n equivalente:

S e g u n d o p r i n c i p i o d e e q u i v a l e n c i a : i e n u n a e c u ac i ón m u l t i p l i c a m o s o d i v i d i m o s l o s d o s m i e m b r o s p o r u n m i s m o número qu e n o

-•3x= -12=>x = 3  

3

s e a c e r o , o b t e n e m o s t r a e c u a c i ó n e q u i v a l e n t e a a dada.

Ejercicios y actividades 1 . Teniendo e n c u e n t a e l p r i m e r p r i n c i p i o d e a 5+ = 3

q u i v a l e n c i a , r e s u e l v e l a s s i g u i e n t e s ecuaciones:

b -3-x = 8

c 11-x = 3

d 3+ = 4

2. Teniendo e n c u e n t a l s e g u n d o p r i n c i p i o d e q u i v a l e n c i a , r e s u e l v e l a s s i g u i e n t e s ecuaciones:

a ^

4

b) 5

- 7

c ) 2x +4x-6 6--

3

8

2

d

-

=

x-3

2

3. Te ni e nd o e n c u e n t a l o s d o s p r i n c i p i o s d e q u i v a l e n c i a , resuelve l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s : a) 6

x = x-5

b ) 7x-12= 2x-7

c ) 2-x+4

x = x+ 9

72

 

Resolución de ecuaciones

de primer grado P a r a r e s o l v e r u n a c u a c i ó n , s o l e mo s e g u i r e s t o s p a s o s : 1. Eliminar los paréntesis, i los hubiera.

2 . l i m i n a r l o s d e n o m i n a d o r e s , i L o s h ub i e r a .

3 . R e d u c i r l o s t é rminos semejant es. 4 . Despejar a X .

Recuerda

U n a e c u a c i ó n e s d e primer grado c u a n d o está formada por expresiones p o l i n ó m i c a s

d e p r i m e r grado.

EJEMPLOS

Resueíue a s s i g u i e n t e s ecuaciones:  

3x-2

7x

5X-12 2  

4

,t x

2

E l i m i n a m o s denom i nador es. ara l l o , multiplicamos a e c ua c ió n p o r e l mínimo c o m ú n

ú l t i p l o de

o s den o min a do res en adelan

te, d e n o m i n a d o r c o m ú n ). ).

.

,   3x-2 4

 mcm = 4)

Recuerda

, 5X-12 4

2  

4

. 7x

=4

3x-2-2- 5x-1 5x-12) 2)=

,, 4-4x

2

P a r a e l i m i n a r l o s denominado

res d e u n a e c ua c i ó n, u l t i p l i

7x

camos o s dos miemb miembros ros de a

)-16x

3x-2 l O x +24 = 4 x +12- 6 x

Eliminamos o s p a r é n t e s i s

22-12= 2 x + x

Reducimos érminos semejantes

10 = x

5 x =^ ^x

D e s p e j a m o s lax^ 2 3x

)-

nominadores, u e llamaremos denominador común.

R e d u c i m o s é r m i n o s semeja n tes ^ 7x + 2 = 2 x + 1 2 P a s a m o s a x l segundo término

e c u a c i ó n p o r e l mcm e o s de

4 x - )= ( 1 Ox+1) 6x+ 0-24x+30 = 0 x +2

Eliminamos o s p a r é n t e s i s — >

-18x + 0= 0 x +2

R e d u c imo s érminos semejantes

- 1 8 x - 20 x = 4 0 +2

P a s a m o s ax l p r i m e r t é rmino

-38x = 3 8

Reducimos términos semejantes

-38

Despejamos a x — >

Ejercicios y

x=

x =

-38

ctividades

4 . R e s u e l v e l a s s i g u i e n t e s ec uac iones c o n p a r é n t e s i s :

©+ 2 x - 1 ) =

c ) 2 ( x - 2 )+ ( x - 3 ) =

+2

® x - )+ x = x + 4 d ) 2 x + 1 ) 1 0 C 2 x - ) =

x- )

5 . Resuelv e a s s i g u i e n t e s ec uac iones c o n denominadores:

,x-4

x-8

a

3  

6

.s 2 x

)

b

H

x-3

12

4

14- 2x-1)

d;

—

 1

5-(x

7

^

=

5

4

X

5- 4x-7)

7

.7-Cx + )

5

=— )

4x-1

)

3

6

1

_

h —= O 3

73

 

Unidad A

E c u a c i o n e s d e s e g u n d o grado Fernando t i e n e dos amigos: Juan y e d r o . Juan es un a ño ma y o r q u e Fernando, i e n t r a s qu e Pedro e s u n año menor. a i c u i a l a edad de o s _ t r e s amigos sabiendo qu e l producto de a s edades de Juan y Pedro es 80.

Para r e s o l v e r e l problema, l a m a m o s x a a edad de Fernando, x-1) l a edad de Pedro y (x + ) a l a edad d e Juan. i p l a n t e a m o s l g e b r a i c a m e n t e a s i t u a c i ó n , n o s e n c o n t r a m o s c o n a s i g u i e n t e ecuación: (x-l)(x

x

(La

raíz negativa

-9

ños).

-1 = 8 0 no

> x

=

iene sentido

)= 0

1 => X

en

el

= ^ 81

=> X

=9

prob lema, ya que n a d i e t i e n e

Fernando, o, ; Juan, 0; P e d r o , 8 ños. que a s edades son e s t a s : Fernand En e l problema n t e r i o r nos encontramos con una ecuación e n a q u e aparece un p o l i n o m i o de segundo g r a d o . Así

U n a ecuación de segundo grado e s una

igualdad

en

la

que

apár.écen

de segundo g r a d o .

polinomios

Vamos a

jercicios y ctividades,cg

algunos i p o s p a r t i c u l a r e s de ecuaciones de segun

studiar

m

d o grado.

R e s u e l v e a s i g u i e n t e ecua

Ecuaciones incompletas d e l

3.1. Su

o l u c i ó n e s sencilla, como vemos

x=±J--

V

La

c=>x

olución

se

^ = =>x = ^/9

o r q u e e n otro c a s o n o tendría solución

— O

x =3

a

b t i e n e sacando a c t o r

tipo ax^ +

  Resuelve l a s i g u i e n t e ecuación del i p o ax^ x

x=

=:

x:

común

5x -15x=0

> x ( a x + )=0

x=

5x=0=>x=0

5x(x-3)=0

x=

ax^

 x = 3=>x^= —

 

±J—

=—=^x

Ecuaciones incompletas d e l

3.2.

7x^-63=0

ontinuación: í

x^ =

=^

0x^^

:

c i ó n del i p o o x ^ +

tipo a x ^ + =

x3 =0 0= => >x x=3

ax

ax = b

=

X2=3

x,=0.

> X =— a

Soluciones: x= , x

^ 

^

Ejercicios

=—

a

I

o

y actividades

r -

R e s u e l v e las siguientes ecuaciones:

•

®x^-81 = 0

c)^12x^-500= x^

b)^^-64=0

-6 =

e) x -11 = x^

6

f ) 27x^-86=

3x^+110

c ) 9 x ^ - 1 8 x =0

e ) 14x^-5x =

x

d ) 1 6 x ^ - 3 2 x =0

f)

d ) 7x

10

suelve a s s i g u i e n t e s ecuaciones:

á j Í3x^

x =0

b)2x^+7x=0

45x^-17x = 0x^+58x

74  

Caso g e n e r a l

3 . 3 . Ecuacio nes completas

Q u e r e m o s a l c u l a r c u á n t o m i d e u n r e c t á n g u l o d e 420

de rea sabien

do que us medidas i e n e n dadas o r dos números a t ur a l e s c o n s e c u t i v o s . O b s e r v e m o s e l r e c t á n g u l o d e f i g u r a a l m a r g e n C o m o u á r e a e s 420 m ^ el planteamiento d el p r o b l e m a v i e n e d a d o por

X ■ (x +1) = 420 => x ^ + X = 420

420 m2

siguiente e c u a c i ó n : x+ 1

+ x-420 = O

L a ecuación anterior es una ecuación completa d e segundo grado. Estas ecuaciones s e expresan, d e forma general, d e la siguiente ma

 

Ejercicios

nera:

a x ^ + bx + c = 0, donde a?íO,£»?iO, c^^O

Resuelve la ecuación:

L a fórmula para obtener las soluciones d e las ecuaciones d e segundo grado es : X

-b + V b ^

=

-4ac

x7 x +

Comparándola con la fór

mula del cas o general, te n e m o s :

2a

Aplicando la fórmula anterior, resolvemos la ecuación d e s egund o grado que hemos pla n t e a do: 2

 , o n r ,

X -I-X-420 = O => X =

^

2

-1±V i -4 1 - 4 2 0 ) 2-1

2

2

=

- 1 + 7 Í 6 8 Í = -1+41 2

a = l.b = -7.c = 12

Sustituyendo en la fórmula:

-C-7)±V C-7) -4-1.12 -4-1.12  

x

2-1

7 + V49-48

2

ZIZ^_S - 2 1 2

12 = 0

7±Vl

2

Como la longitud de un lado no puede ser negativa, la solución válida válida e s x=20, por lo que un lado del rectángulo mide 20 m y e l otro mide 2 1 m.

D ada una ecuación d e segundo grado ax^ + bx + c = O , decimos que s u

 

2

Las raíces de la ecuación s o n :

3.A. Número de soluciones

7±1

l+^

8

 

2

,

x, = — =- 4 2

discriminante es la expresión A = b ^ - 4ac.

¿Cuánta s raíces tienen las

Mediante e l estudio del signo del discriminante podemos saber el número d e soluciones que tiene la e cu a ció n :

siguientes ecuaciones? x2-7x + 12 = 0

■ S i A > O , la ecuación posee dos soluciones reales y distintas:

-b + V b ^ -4ac

x ,=

2a

Es Estudiando tudiando el discriminante;

-b-Vb^ -4ac

A = (-7)^-4-1 -12 = 4 9 4 8 =

2a

A > O => Tiene dos solu

S i A = O , la ecuación posee una única solución llamada raíz doble: X

1

ciones.

-b

6x2

=

2a

- 3x

+1 =

O

Estudiando Estudiando el discriminante:

S i A < O , la e c u a c i ó n n o t i e n e s o l u c i ó n r e a l , y a q u e e n e s t e c a s o ^ /A

A = C-3)2-4-6-1 =

es la raíz c ua d r a d a d e un número negativo.

= 9 2 4

-15

A< O

No tiene solución.

Ejercicios y actividades siguientes es ecuaciones d e segundo grado: ? \ Resuelve las siguient

O- g , 2 x ^ 4 = 9 x

ícÍ7x^-h6x-1 = 0

e)l5xH2x-1 = 0

d ) 18x +7x-1 = 0

5x -14x =

f) x -9x-22 = 0

[ ^ ^ Cb a) l c u l a e l n ú m 3 e r o d e r a í c e s d e l a s s igi g u i e n ttee s e c u a c iioo n e s s i n resol v erl as p r e v i a m e n t e : @2x^ + x + 3 = 0

l^x^+12x + 3 = 0

|^3x^-12x-f2 = 0

^x^ + 1 8 x + 1 2 = 0

e)x^ + 12x + 2 = 0

g) x^+ 4x-i-4 = O

f ) 2x^-4x-M = 0

h ) 5x - 6x + = 0

 

Unidad 4

mmim Resoluci ón de pro bl e m as con ecuaciones 4 . 1 . Resolución de p r ob lema s c o n ecuaciones

Recuerda

d e primer grado

L a s e c u a c i o n e s n o s permiten r e

C a l c u l a un número al que su r i p l e m e n o s 2 ea g u a l a 1 3 .

s o l v e r u n a g r a n c a n t i d a d de p r o

b l e m a s . L o más m p o r t a n t e e s

S e a X l n ú m e r o b u s c a d o . l plant eamient o s : 3x — ^ x = 2= 3=>3x = 5

s abe r r a s l a d a r a l lenguaje alge b r a i c o e l e n u n c i ad o e l problema:

x

es o que se l a m a p l a n t e a m i e n t o

3

U n a l g o observa u n a i e b r e q u e s e n c u e n t r a a 300 m e i s t a n c i a . S i e l e r r o s e anza e n u persecución a u n a v e l o c i d a d consta nte d e 1 2 m/s ¿cuán to tiemp po o a r d a r á en a l c a n z a r l a s i l a l i e b r e c o r r e a una v e l o c i d a d de 7 j s ? ¿ Q u é i s t a n c i a r e c o r r e r á cada u n o ? S e a X l t i em po e n s e g u n d o s q u e a r d a e l g a l g o e n l c a n z a r a a l i e b r e . E n e s t e t i e m p o l galgo recorre 1 2 x m y l a l i e b r e 7 x m . A d e m á s l

d e l problema. De s p u é s

esolve

r e m o s l a e c u a c ió n q u e r e s u l t e y los s finalmente retornaremos a lo

datos del pro bl e m a para n t e r p r e t ar c o r r e c t a m e n t e e l r e s u l t a d o .

Galgo

g a l g o t i ene q u e recorrer 300 m más u e l a l i e b r e . A s í l á e c u a c i ó n será:

= 2x 300

> 300= x

7x

30 0

> x=

300m

x= 0  

E l g a l g o a l c a n z a a l a l i e b r e e n 60 . E n e s t e t i e m p o

recorrido 1 2 60 = 20 m

l galgo ha

12x

Liebre

l a l i e b r e h a recorrido 7 60 = 20 m .

U n bodeguero i e n e v i n o a 7 / L y t r o de m e n o s a l i d a d o 4 / L . ¿ C u á n t o s i t r o s de cada l a s e ha de m e z c l a r para b t e n e r 1 5 0 L a 5 / L ?

 

P ara hacer l a m e z c l a a ñ a d e x L d e más a l i d a d y 1 5 0 -

de m e n o r

Punto de

o t a l l o s 1 5 0 . L a mezcla l e c o s t a r á 5 1 5 0 € y

alcance

c a l i d a d p a r a t e n e r en

tendrá x i t r o s de m a y o r a l i d a d a 7 / L y 1 5 0 -

7x

i t r o s de menor ali

dad a 4 / L . L a e c u a c i ó n a l g e b r a i c a q u e e p r e s e n t a l o a n t e r i o r e s : 4 150-x) 3x = 50

P o r lo t a n t o

x^ - 1 5 0 =>600 0 0

PEOR

> 3x = 50 > X =50

l bodeguero mezclará

150-50= 00La4€/L

VINO

x+ x = 5 0

5 0 de mayor a l i d a d a 7 / L c o n

CALIDAD .

MEJOR

CALIDAD MEZCLADO

PRECIO

LITROS

4€/L

15 0 x

7€/L

X

5€/L

150

Ejercicios y

ctividades

C a l c u l a l a s u m a de r e s n úm e ro s a r e s c o n c o n s e c u t i v o s c u y a s u m a sea 8 4 .

Una madre e p a r t e 1 8 €

n t r e s u s r e s h i j o s S i a l mayor e a s i g n a e l d o b l e que l pequeño y e c i b e l a m i t a d de l o q u e e c i b e n e l m a y o r y e l p e q u e ñ o u n t o s ¿ c u á n t o e c i b i ó

e l mediano

cada h i j o ? 12.

U n c o r r e d o r p a r t e de A r a n j u e z h a c i a T o l e d o c o n u n a v e l o c i d a d media de 1 2 k m / h . D e s d e Toledo a l e o t r o c o r r e d o r h a c i a A r a n j u e z con una e l o c i d a d media de 1 k m / h . i l a d i s t a n c i a e n t r e a m b a s o c a l i d a d e s e s de 4 6 k m ¿ C u á n t o tiempo h a de t r a n s c u r r i r p a r a q u e s e e n c u e n t r e n ? ¿ E n q u é p u n t o del r e c o r r i d o s e e n c o n t r a r á n ? ¿ C u á n t o s km habrá recorrido^ cada corredor?

13.

E n a c o n t r a r r e l o j de a V u e l t a C i c l i s t a a España n c i c l i s t a A c o r r e c o n u n a v e l o c i d a d media de 30 m / h y o t r o c i c l i s t a B a 40 m/h. i e l c i c l i s t a B a l e 1 0 m i n u t o s m á s a r d e q u e l c i clista A cuánto t iemp po o a r d a en a l c a n z a r a su compañero y cuántos k m e c o r r e ?

76

 

4 . 2 . Resolución de problemas con ecuaciones

d e s e g u n d o gr a do L a d i f e r e n c i a de dos números es 4

u r o d u c t o es 320. a l c u l a d i c h o s

números.

S e a X u n o d e l o s n ú m e r o s b u s c a d o s . Como a d i f e r e n c i a e n t r e e l l o s e s

4

e l o t r o n ú m e r o s e r á x + . i s u p r oducto e s 3 2 0 , a e c u a c i ó n e s l a

siguiente: x- x x

x-320=0

)= 20=>x

_-4±Vl6+ 2 8 0 _-4±7i296  

2

x^ =

2

-4±36 ~

2

6 ■ , x^=-20

S i x = 16, el otro número será x + 4 = 20 20..

Six = -20, el otro número seráx + 4 =-16.

Así, los números buscados pueden ser 16 y 2 0 o -16 y -20.

Calcula las longitudes de una plancha de acero sabiendo que s u área e s de 4 8 dm^ y que mide de ancho — d e , l o , que mitde de largo. 3

En

este tipo de problemas geométricos es muy conveniente hacerse un

dibujo que represente esquemáticamente e l problema.

Como s u área es 48 dm^, pla nt ea m o s la siguiente ecuación: ^ x.

3

= 48=> —= 48=>x f144

 

_

x = 12,

X 12 X , — = — => — = 4 3

 

3

Así, las medidas de la plancha son 1 2 dm de largo y 4 dm de ancho.

Ejercicios y actividades

  Calcula un número que multiplicado por s u triple nos dé 507.

»^

í

^^El p r o d u c t o d e d o s n ú m e r o s c o n s e c u t i v o s cula

dichos

240. C al

s

números.

16. Para vallar una finca rectangular d e 165 m ^ se han utili zado 52 m de cable. Calcula las dimensiones de la finca, 3

 

L a s u m a d e d o s n ú m e r o s es — y s u producto, —. C a l

17.

cula dichos

números.

77

 

Unidad 4

Método geométrico de

t A O eMTM

Al-Khwarizmi de r e s o l u c i ó n

de ecuaciones de segundo grado E n e l s i g l o i x e l m a t e m á t i c o á r a b e A l - K h w a r i z m i i d e ó un m é t o d o

g e o m é t r i c o p a r a l a r e s o l u c i ó n d e ecuaciones d e segundo g r a d o . E n aquella é p o c a B a g d a d había s u s t i t u i d o a A l e j a n d r í a como entro del sab e r y e s e n esta ciudad d o n d e e s a r r o l l ó su i e n c i a . V e a m o s algunos e je m p lo s. EJEMPLO  

Resolución de a ecuación

-

C o n s t r u i m o s un c u a d r a d o ABCD

= .

e lado , q u e c o l o r e a m o s d e

azul.

E l ár e a d e este e s

unidades d e u p e r f i c i e , e n adelante, ^ .

D

, r

 

^\

j

.1.-.

L...

•

Al-KhwarizmI.

•

vbpj

.1 ^,

j

 

 

P r o l o n g am am o s 0 , 5 c m l o s l a d o s A D y D C ,

construimos los rec

tángulos A B E J y B C G I . E l área d e c a d a u n o d e estos r e c t á n g u l o s d e c o l o r verde e s 0,5xu2.

F i n al m e n t e , e l á r e a del c u a d r a d o d e color r o j o B I H J e s 0 . 5 2 u 2 = ,25 u\

Todas a s f i g u r a s d e l d i b u j o d e r r i b a c o n s t i t u y e n e l n u e v o c u a drado DEHG.

E l área d e este n u e v o c u a d r a d o e s lado a l cuadrado,

st o e s,

(x +0,5)2 ^ 2

P o r t r a p a r t e , teniendo e n cu en ta l a g r á f i c a a n t e r i o r , t e n e m o s : (x

,5)2 =

,5x + ,5x

Como a p r o p i a ecuación nos n d i c a , 2 +

(x

,5) =

,25=

, 25

= , r e s u l t a que:

,25= ,25 => x

,5) = ,25 =>

x + , 5 = l^=>x + , 5 = , 1 8 = > x = , 1 8 - 0 , 5 x = ,618u2 78

or

íTw * r.C-.lTi

fü? h -

j.

 

EJEMPLO

 

R e s o l u c i ó n de a ecuación

x -20= .

e l a d o x que coloreamos d e

Construimos un c u a d r a d o ABCD

Puedes ayudarte d e la a pp

r o j o . E l á r e a d e este es ^ .  

D

G

Ecuaciones d e ® y 2® g r a d o d e EDITEX para comp robar si ha s r e a l i z a d o de forma c o r r e c t a l o s

e j e r c i c i o s d e a unidad

Pro l o n gamo s 4 m o s lados AD

DO, construimos o s rectán

gulos A B E J y B C G I . E l á r e a d e c a d a u n o d e estos rectángulos d e color v er de es 4x

2.

Finalmente, l área del c u a d r a d o d e color o j o B I HJ es 4 ^ = 6 .

T o d a s a s f i g u r a s del i b u j o d e r r i b a constituyen e l nuevo cua drado

DEHG.

El á r e a de s t e nuevo cuadrado es lado l cuadrado, esto e s,

(x

) 2 u2

P o r o t r a p a r t e teniendo en cuenta a g r á f i c a a n t e r i o r tenemos: Cx

)2 = 2

x

x

Como a p r o p i a ecuación nos n d i c a x 2

6

x = 0, e donde e

s u l t a que;

(x

) = X

x

6= 0

6 = 6=>Cx

=> X

6 > X =6 -

4

) = 6 => >

x =2u2

Observa que s t e m é t o d o

o l o p r o p o r c i o n a la s o l u c i ó n p o s itiva

d e l a s ecuacion ecuaciones, es, ya que estima que su o l u c i ó n es a medida de u n a o n g i t u d y esta n o pu e de ser n e g a t i v a . S i en l a r a í z cu a d r a d a consideramos a solución n e g a t i v a o b t e n e m o s a o t r a so l u c i ó n a l g e b r a i c a d e a ecua ción, que, en este caso, l s e r un una a

s o l u c i ó n geométrica, no se i e n e en cuenta.

J

jercicios y actividades

1 8 . Resuelve l a ecuación x2

x = 7 or e l m é t o d o d e Al-

Khwarizmi.

79

 

Unidad 4

Suma

producto de l a s r a í c e s

lO

EK1TÍ?>A

d e las ecuaciones d e se gundo grado. Fórmulas d e V I e t a Consideremos la e c u a c i ó n de segundo grado a x ^

x

= , uyas

r a í c e s son:

-kac

  =

-b-VP -4ac

y s  =

2a

Sea S=

s e a P=

2a

s

Jb^ -Uac - b - y j b ^ -^ac

-b+

S = r s =

2a

_

2a

-b+>/b^-4acl+ -b-yjb^ -Uac V

 

/ _

2a

-b+ jb^

- ¿ t a c - b - y j b ^ - ¿tac 2a

-2b

b

2a

a

FK.

T4ff

-b

2a

r * t o r t fn t ^ a j .

F ran ^ oi s V i e t a .

jb^-¿tac - b- ylb^ - ¿t ac

P= s=

'IB-Z-E.

2a

(-b + lb^-¿tacj¡^-b- b -4ac)

EJEM EMP LO

_ 4 a c ) ¿^ac

£=_

¿ta^

¿ta^

, C a í c u l a ¡ a s u m a y el producto

4a^

de a s r a í c e s de a ecuación 3x ^

a

- x

1= , in calcu larlas p r e

De donde se deducen a s fórmulas de i e t a :

viamente.

La suma

La suma:S=

e l producto d e a s r a í c e s de una c u a c i ó n de segundo grado

se pueden e x p r e s a r en u n c i ó n d e s u s o e f i c i e n t e s con l a s s i g u i e n t e s   b

_

_

c

e x p r e s i o n e s : S =— , = a

■ a

El

producto:

P

=

x^ x^

 

3

c

=

 

a  

Veamos t r a demostración.

Supongamos q u e r y s

erifica

= . ntonces e

x

ax^

o n raíces d i s t i n t a s , r j ¡ ^ s , d e l a e c u a c i ó n

r+c =

que r ^

s+c = .

as^

R e s t a n d o ambas x p r e s i o n e s , b t e n e m o s - ^)+b-(r- j= . xtra y e n d o factor comuna r - s ) , t e n e m o s r - s ) - | ^ a - r + ) + b j = . A h o r a dividimos toda La ecuación por a y

(r+

obtenemos

s , ntonces r-s?^ O, e d o n d e deducimos que r

Como

=

= .

)

^

A s í r e s u l t a l a p r i m e r a de a s f ó r m u l a s d e V i e t a : r

)

—=

 

—=>S=

.

a

sión inicial ar^ +

^  

r+c = ,

= > ar^ -ar^-ars c =

valor

en

la

expre-

o que m p l i c a que ar^ -ar(r+s)+c =

=>-ars

=

=í. r - s = —

=^ars-c = =>ars=

>

>

tes

a b

ecuaciones:

x +4x~12 =

0

x -6x-27 27 =

0

20 =

6x^-x-6 =

O

0

+255x+10 0=0 e 5x +255x+1

f) 6x^+318x-9=0

g 3x^ h

P=

a

ces de las siguien

d

Veamos h o r a l a s e g u n d a f ó r m u l a d e V i e t a .

Como r + = — t b - - a { r + ), sustituimos este

19. Calcula la suma y e l producto d e las ra í

c) x^

—   a

a

Ejercicios y actividades

-X -2

=

x +x-20 =

O

0

a  

80

 

Jcuacpi^

Forma canónica de una ecuación

d e se gund o grado S i en

x ^ +bx + = , i v i d i m o s todos

a ecuación d e segundo grado

sus m i e m b r o s entre a ( l o que exige que a^^O), o b t e n e m o s Q n b —X +—x a

  a

C

—=

—

t^r*

. implificando, x

2

-

x

a

a

demostrado en l a sec c i ón a n t e r i o r , S

— = .Como hemos

b c   — ,= —, a

a  

o n l o que se

Matemáticas

e n e l t iem po China

o b t i e n e l a e x p r e s i ó n de a fo r m a canónica de una c u a c i ó n de segundo

x^ - x +

grado:

=

EJEMPLOS

E s c r i b e en su orma canónica a ecuación

= x. x-1

expresión sión y o b t e n e m o s O p e r a m o s a expre

=

x=>5= x(x-l)

x-1

Hacia el 400-200

. C. e es

c r i b e e l primer l i b r o mat e mát i

=»5= x - 2x=>2x - 2x-5 = .

c o chino que se conoce: h o u i

D i v i d i e n d o todos o s términos d e a ecuación p o r 2 , e obtiene a

Suanjing.

H a c i a e l 200 . C . a p a r e c e e l

forma a n ó n i c a x^- x- —= .

texto l a r t e matemátic temático o en nue

2

C a l c u l a dos números c u y a suma ea -7y u y o producto seo - 1 8 .

Nos basamos en l a e x p r e s i ó n x ^ - x + = . o r l o s datos d e l 7

p roblema consideramos S

P = 1 8 . Los números buscados

v e a p í t u l o s (Jiuzhang Suanshu), de Ya n g Hui, l l i b r o más mpor tante de a s matemáticas

hinas

d e l a Antigüedad, f or m a do, po r

s o n l a s s o l u c i o n e s d e la e c u a c i ó n x ^ - - 7 ) x + - 1 8 )= .

246 r oblem a s co n sus solucio

Los n ú m e r o s busc ados s o n 2

e n t r e o t r a s cosas, u conoci

nes x p l i c a d a s . En é l se e f l e j a n ,

- 9.

E s c r i b e i a ecuación de segundo grado cuyas a í c e s son —

.

4

Recordemos a e x p r e s i ó n de a forma canónica x ^ - S x + = , ^ c   _

con S= —

= —. a

a

1

1 — P =—6

5

3

4

4

2

x + —= = > 4 x ^ - 2 5 x +

.

4

p e d i d a es x ^

^

25

4  

4  

recta e i n v e r s a , y su ca pa cid a d

para c a l c u l a r raíces c ua dr a da s y cúbicas y r e s o l v e r sistemas

neales de más e una n c ó g n i t a . Para operar, t i l i z a b a n varas d e

 5

En n u es tr o caso S =—

miento d e l a r e g l a d e t r e s , d i

—=

6

4

La ecuación

cálculo y su sistema d e nume ración era dec i m a l y p o s i c i o n a l . Conocen

l c á l c u l o de r a c c i o

nes y l a disposición d e los cá l culos en forma de matriz desde

Ejercicios y

l a Antigüedad, co s a q u e en Eu

ctividades

ropa se h a c e e n e l s i g l o x i x . E l

2 0 . Expresa e n su f o rm a c anóni c a a s s i g u i e n t e s ecuaciones e l producto de sus a í c e s :

y c a l c u l a l a suma

a) 2 x^

c ) 3x^

rema de P i t á g o r a s y a l o u t i l i z a ban

-1 =0

b) 5 x - 1 1 x

teorem teorema de o u - k u n u es tro t eo

a c i a el

Como

1000

. C.

os chinos no conocían

l os números n tero s , s e ñ a l a b a n

0

los negativos escribiendo c i f r a s

en color o j o .

6x-12=0

d ) 5x +46x- 40=0

Actualmente Actualme nte s e conser c onserva va esa

2 1 . E s c r i b e l a ecuación de segundo grado c u y a s 2

los números: ) 5/ — ) -3 / 3  ,

9/

1  

c) — 2

a í c e s so n

7.

notación. l e c i r que una-cuen t a bancada está en números

o

j o s , Indicamos que h a y un saldo

negativo.

81  

Unidad 4

Ecuaciones de grado superior a do s Conocemos

l al g or it m o d e resolución d e l a ecuación d e s e g u n d o

grado. T a m b i é n e x i s t e n otros q u e n o s p er m it en r e s o l v e r ecuaciones

de grados r e s y c u a t r o . E l m a t e m á t i c o noruego N i e l s H e n r i k A b e l d e m o s t r ó l a i m p o s i b i l i d a d de encont r ar u n a f ó r m u l a q u e n o s p er m it a r e s o l v e r m e d i a n t e r a d i c a l e s l a e c u a c i ó n general de grado cinco o s u p e r i o r . E s t o s e c o n o c e como a i r r e s o l u b i l i d a d de

a quíntica.

En este apartado n o s p r o p o n e m o s r e s o l v e r ecuaciones l g e b r a i c a s s e n c i l l a s d e grado

8.1.

u p e r i o r a d os. V e a m o s al g unos procedimientos.

Extraer factor común

Resolver la

ecuación

y obtenemos ^ ( x ^

- x^= . Extraemos

-

=

^ como a c t o r común

. Con e s t e método hemos e b a j a d o e l

grado o q u e n o s p er m it e p l i c a r l a f ó r m u l a de r e s o l u c i ó n d e ecuacio

n e s d e s e g u n d o grado.

x ^ = =>x =0 -1

De donde se deduce-

x^

 

-2=0=>x =

=

-1±3

2

-1-3 =1

8 . 2 . A pl icar l a regla d e R u f f I n I x ^ - 6 x -8

R e s o l v e r l a e c u a c i ón ^

. R e c o r d e m o s que a s p o s i b l e s

r a í c e s de l a ecuación s o n d i v i s o r e s d e l t ér m i n o independiente. En

n u e s t r o caso, a s p o s i b l e s r a í c e s son ± 1 , ± 2 , 4 , 8 . R e c o r d e m o s q u e a e c u a c i ón P ( x ) = O i y s o l o s i p ( r ) = .

r e s a í z de

E n n u e s t r o caso observamos que ( - 1 ) = . pl i c a m o s a r e g l a de u f f i n i y r e du c i m o s e n u n grado a e c u a c i ó n :

1

1

3

-1

-2

-6 8

-8

2

1

-8

0

Ahora nos queda a e c u a c i ón de segundo r a d o , donde p o d e m o s p l i car e l conocido a lg o r i tmo -2

2±V4

X

2

-2±6

6

= 2 2 6

=4

Ejercicios y

ctividades

y i ^ 2 ) esuelve L a s s i g u i e n t e s ecuaciones:

a) x'+ x ' + 2 x =0 b x^

x^-5x

*

4y = 8=>y = ^=>y 28

La c i f r a de a s

decenas de un número de dos í

e s e l t r i p l e d e l a d e l a s unidades. i l e r e s t o 36, l n ú m e r o o b t e n i d o e s l r e s u l t a d o d e p e r m u t a r

gitos el

orden de sus

ifras.

Calcula dicho número.

Solución

-19x=19=>x =

S u s t i t u i m o s e l v a l o r de x e n l a s e g u n d a e c u ac ió n y resulta:

= > 3+ 4 _ y =

1 , =  =>>/ =2=>y==>4>/

S e a W = y e l n ú m e r o b u s c a do : N = y Ox, dado q u e nuestro sistema de n u me r ac ió n e s decimal p o s i c i o n a l . S i p e r m u t a m o s e l orden d e l a s c i f r a s , obtenemos l número yx = O y , D e l e n u n c i a do se deduce e l s i g u i e n t e sistema: x

2.   R e s u e l v e e l s i g u i e n t e s i s t e m a c o n n ú m e r o s

x= y

= y

y

0x-36=

10 10y y

-9x

y= 36

x= y

racionales;

-x-i-y = 4

9 2   10 — x— y = —

3

 - ^

T r as lad an d o e l v a l o r d e x e n l a s e g u n d a e c u ac ió n ,

3

6

 2 1

5

5  

tenemos:

— x— y

-3y y = 4

Eliminamos los denominadores de ambas cua

|-6x + 2y=

M u l t i p l i c a m o s l a primera e c u a c i ó n p o r 3 l a s e g u n d a e c u a c i ó n p o r 2, c o n l o q u e o b t e n e m o s e l s i g u i e n t e sistema:

Sumando ambas

105y =

ne t aqquueeesnótlroe gt ai e3 cc ou ne nlo 4 b i llet es. I n d i c a e l n ú m e r o d e b i l l e t e s q ue entregó

momento d e pagar, s e d a b i l l e t e s d e 5 € d e 10 , de cada clase.

S e a X e l n ú m e r o d e b i l l e t e s d e 5 € s e a y l núme r o de b i l l e t e s de 10€. l s i s t e m a q u e s e pl a ntea e s :

4y= 0

70

2

105

3

íy= 4 - x |5x+10y = 45 ^[5x + 0-(34-x)

jx+ = 4

0=í»y =— = > y-

45=? 95

Sustituimos este v a l o r e n la primera ecuación:

^ x = =>5x 340-1 10 0x= 45 =>95= x x —

0=>4x= =>x=

2  

9

5

y = 4-19=>y = 8=

y=>N= 2

Solución

1y=60

c u a c i o n e s , tenemos;

7--= 0=>4x 3

e s N=

5 . Alberto ha c o m p r a d o u n o s i b r o s para s u a c t u a l c u r s o p o r u n i m p o r t e tota l d e 245 € . E n e l

Í4x+27y = 0

-12x

>y=

S u s t i t u i m o s e l v a l o r dey n l a s e g u n d a e c u a c i ó n : X= y X= E l número b u s c a d o

ciones.

12x

2y= 4

^

Solución

4x

=

S u s t i t u y e n d o s e o b t i e n e : x = y=í X = - 7 = ^ x = 1 4.

4

x - 1 2 y = 15

)/=

a

>/=

c u a c i o n e s , obtenemos:

3.1

= 8

s e gu nda ecuación s e d e d u c e q u e x = y. u s t i t u y e n d o e n l a primera e c u ac ió n , e n e m o s que:

y= 2

2y =

enun

y

Multiplicamos l a primera ecuación por 2 l a se g u n d a p o r -3, c o n l o q u e o b t e n e m o s :

-10x

el

i ^ =3

= 6 [ - 5 x + 6 y + 6 8= 6 3x+12-U + ;/ = ^[3x+4; -2 3 2 0 - 5 x + 8+6>

-5x

es..

5

E n t r e g ó 19 b i l l e t e s d e 5 € 15 b i l l e t e s d e 10€

103 103  

E J E R C I C I O S Y AC TI VI DADE S DE E C A P I T U L A C I Ó N

Unidad 5

Sistemas lineales

3x

x+

iP l.lResuelve los s i g u i e n t e s sistemas de ecuaciones por e l méto do de u s t i t u c i ó n :

c)

y=

x~y

5y 13

d)

3

x

y=

x+

X -

x-2y = l

10

3x-7y= 5

S i s t e m a s c o n paréntesis y n ú m e r o s racionales

5

X-y=

4x-y = 5

I d 2 . Resuelve l o s s i g u i e n t e s sistemas de ecuaciones I D p o r l m é t o d o de i g u a l a c i ó n :

7 . 1 Resuelve l o s s i g u i e n t e s sistemas:

8x-> =

y= U

x

2x

x

Id

a)

5

=

1

x

5

=

x

3(x+ y)

de e c u a c i o n e s

p o r el m é t o d o d e reducción: x-y=

y= ¿ f

7x

y=

2x

y= 9

5x

y =9

+

d)

a)

9

b)

-

y 0

2

c)

12

x+

b)

x

18

— = 9 4

12

=8

X —

,  

y

3

2x +

4y= —

=5

2  

d)

23

6

7

9 x + y)

2

_

4

3(6x-4y)

10

X —

1y

2

3(x + 0y)

con fracciones:

x

x 2y+

y

x

1

2y= 10

y +-| 0

1

I b S.lResuelve los s i g u i e n t e s sistemas d e ecuaciones

- ^ + y=

11

2  4 x-y _ 5 X 2 ~Í2

5x

5 x - 2 y )= 2 1

3 2x + )-2 2x-y)

3x-y 3 4 x - 3 y ) _ 5 .

—

Sistemas con números a c i o n a l e s

a)

2

=

Cx-y) 4

10 x + )

33x

11

y

2 x 2

4 2x + )-5 x-2y)

d)

—

3(x + )

= 1

4 x+ )-2 x-y)

c)

2x

y

3x +

2(x +y)-2(x-y)=8 2(x + )

— =1

6

jsj] Resuelve los siguientes sistemas:

)-2=

3 2x + y)

b)

7

1 0 x + ) - 2 0 2 x - y )= 6

Ib S.lResuelve los s i g u i e n t e s sistemas d e ecuaciones c o n paréntesis:

 x

~ 2

2

3x

1

=

5

c)

Sistemas con paréntesis

a)

x-y

x 18 y

I D 4 .   Resuelve los s i g u i e n t e s sistemas de ecuacione s l i n e a l e s p o r l m é t o d o q u e consideres más decuado:

4  

2

X -

3x

11

3x +

b)

3x-2y = 2

b)

  3

2

y= 5

S.lResuelve o s siguientes s i s t e m a s

a)

 3 x - y ) _

X -

= 22 13

3

10^

 

i S i ^ H

Sistemas de ecuaciones 1

Calcula

la

solución de los siguientes sistemas de li O.lResuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

ecuaciones:

a)

^x

)

3 6x

+ y) 3

2

 1

18x

2> = 6

~2

\

vvV

 C fvufcf

=^

2 2x

y

4

x + 4y

_

x

18x

y =—

  ^

2

y

11

3  

7 x-4y)

4

=

b)

3

10

-_Sy= 4

b) x

^ 3 x + 2y)= 3 0

x

y

x

x

1y —

=1

22

Problemas

□ ll.lCalcula dos números cuya suma sea 32 y cuya diferenci

sea 8.

□ 12.lCalcula dos números tales que el mayor es tres

unidades superior al menor, y el menor excede en cin ci n co unidades al mayor.

□ B23j/En B23j/En una una juguetería están expuestos triciclos y bici^tas q u e s u m a n 1 2 0 r u e d a s y 1 0 0 p e d a l e s . ¿ C u á n t o s triciclos y bicicletas están expuestos?

IB 24.lCalcula dos números tales que si los sumamos no noss

I d a n 4 0 y s i a l m a y o r le r e s t a m o s e l m e n o r , o b t e n e m o s 1 0

Id IS.lCalcula dos números tales que el mayor es d o s IB 25.lCalcula dos números tales que si los sumamos no s

unidades superior al menor, y cuatro veces el mayor más el menor suman 33 33..

cartera era tene tenemos mos monedas y-mouna cart fas de 2€. S i en^tal tenemos2D-r»onodao-¥-35-€, n

¿cuántas ¿cuá ntas m on onedas edas tenemos de cada clase?

Id IS.lEn un corral hay pollos y gansos. Entre las do s

d a n 50 y e l m e n o r es ^ del mayor.

26.lrialla un número de dos cifras tales que la suma de

dígitos sea 5, y si al número buscado le restamos el que resulta de intercambiar sus cifras, el resultado es

9.

Ib 2 7 . i Calcula el precio de una camisa y de un pantalón s i especies h a y 5 0 animales y la mitad d e los pollos má s sabemos que el precio de u n pantalón es 5 € más caro un tercio d e los gansos suman 2 0 animales. ¿Cuántos que el d e una camisa y que por 5 pantalones y 4 cami pollos y gansos hay? l a edad de u n

padre más la de su hiio sumanTO años..

íala e d a d del p a d r e l e restamos e l doble d e laedad del

hiio, nos da 10 años menos que la eda¿d Lhljo-

ten  □ 17.ISÍ Mario le da un cromo a su hermano Alvaro, ten

drán los mismos cromos. P e r o ¿ s i Alvaro le d a dos a Mario, entonces Mario tendrá el doble q u e Alvaro. ¿Cuántos crom cromos os tiene cada hermano?

| o v la e d a d d e £ya-tápli£aiajie.au.her.niaa^^ y

'^tfefi^rocle 9 años la edad de Ey^.eráJA-aóos-'nTayoT g u ela^edad de su h erm a na . ¿ Q u é edad t i e ne c a d a una?

[ g . ^ ^ e q u i e r e h a c e r u n a m e z c l a d e 200 litros c o n d o s ;es de vinos, uno de 1.- clase a 20€/litro y otro de 2cada . ^ clase €/litro. litrosa debo que la¿Cuántos 10,25tomar €/litro?de clasea 5para mezcla salga ID20.IA una fiesta acuden 3 5 persona entre hombres y mujeres. S i en total asisten cinco mujeres más que

hombres, ¿cuántos hombres y mujeres hay?

^¿llten u n g a r a j e h a y e n t r e m o t o s y c o c h e s 1 0 0 v e h l c u -

¡y 320 ruedas. ¿Cuántos vehículos hay de cada clase?

d e fondistas. i e n total h a y 9 0 c o r r e d o r e s ¿ c u á n t o s

|D22.Ia una carrera acuden el doble de velocistas que qu e

 

corredores asisten de cada clase?

sas nos han cobrado 185 €.

•|n28.IObtén tres números impares consecutivos que

I men 225.

su-

trenes parten a la vez de dos ciudades A y B separadas por 300 km y van el uno hacia el otro. S u s velocidades respectivas son 120 km/h y 180 km/h. ¿ E n qué punto y cuándo se encontrarán?

IB 29.IDOS

□ 30.1 Halla las dimensiones de un triángulo isósceles sa

biendo que el lado desigual mide 2 unidades más que cualquiera de los otros dos, y que su perímetro es 1 7 cm.

31.\Calcula un número de dos cifras, tal que la cifra d e

[ ^ u n i d a d e s e s d o b l e q ue l a d e l a s d e c e n a s y , s i p e r mutamos

el orden de las cifras, el número obtenido es

6 unidades mayor que el inicial.

'Mezclamos gasolina 9 5 octanos con un precio de 4€/litro con gasolina d e 9 8 octanos a u n precio d e 1,36 €/litro, ¿cuántos litros de cada clase son nece sarios para obtener 55 litros d e mezcla a u n precio d e 1,27 €/lltro?

^En u n

g a r a j e s e e n c u e n t ra ra n e s t a c i o n a d o s 8 0 v e h í los entre coches y motos. S i contamos un total de

206 ruedas, indica cuántos vehículos de cada clase están aparcados.

 

Unidad 5

DESAFIO PISA

¿Cuánto crece e l c a b e l l o humano? E l c a b e l l o h u m an o c o n s i s t e e n e l t a l l o p i l o s o

que c r e c e d e s d e a s u p e r f i c i e d e l a p i e l y l a r a í z un bulbo blando y g rues o e n a base d e l c a b e l l o i n c r u s t a d o e n l a p i e l . L a r a í z t er mi na e n e l bulbo piloso. E l bulbo i l o s o s e s i e n t a e n un hueco e n f o r m a d e saco e n a p i e l llamado o l í c u l o a a r t i r d e l cual crece

l cabello

Epidermis

Glándula sebácea

T a l l o d e l pelo Músculo

rector

del pelo

  y

Bu l bo d e l p e l o

E n l a base del o l í c u l o está l a p a p i l a en d on d e crece realmente e l c a b e l l o . L a p a p i l a contiene u n a a r t e r i a q u e suministra n u t r i e n t e s a a r a í z del a b e l l o .

A m e d i d a que a s c é l u l a s s e m u l t i p l i c a n y p r o d u c e n q u e r a t i n a p a r a r e f o r z a r l a e s t r u c t u r a s o n e m p u j a d a s por e l f o l í c u l o a través de l a s u p e r f i c i e de l a p i e l y a m e d i d a q u e s e de spla za n hacia a r r i b a s e apartan d e s u p r o v i s i ó n d e nutrientes y c o m i e n z a l a queratinización q u e e s u n p ro ces o en d o n d e se f o r m a u n a proteína dura ll amada queratina. A m e d i d a q u e s e produce este p r o c e s o l a s c é l u l a s d e l c a b e l l o m u e r e n . L a s c é l u l a s m u e r t a s y l a q u e r a t i n a forman e l t a l l o piloso.

Cad a c a b e l l o c r e c e a p r o x i m a d a m e n t e 6 i l í m e t r o s p o r mes continúa creciendo durante un máximo e 6 ñ o s . L u e g o e l c a b e l l o c a e y o t r o c r e c e e n s u l u g a r .

S i los folículos del cu er o cabelludo m u e r e n y n o se pr od u ce cabello n u e v o

a persona se vuelve

calva.

a corteza d e c a d a p e l o . L a s p e r s o n a s c o n c a b e l l o rubio o e l i r r o j o s o l o t i e n e n u n a p e q u e ñ a c a n t i d a d d e me lanina e n s u cabello y los p e l i r r o j o s tienen t am bi é n otros p i gm en t os . l cabello s e v ue l v e d e color g r i s cuando e e n v e j e c e p o r q u e y a no e forma p i g m e n t o . E l c o l o r d e l c a b e l l o v i e n e d e t e r m i n a d o p o r l a c a n t i d a d y d i s t r i b u c i ó n d e a m e l a n i n a en

10 106 6

 

¿istem

cu cjgj p

Actividades Tras

lectura del tex to anterior

e liz

l a s s i g u i e n t e s a c t i v i d a d e s:

Actividad 1 : ¿Cuánto crece un cabello durante A

1

B

0 5

C

0 432 m

6

ños?

m

Actividad

m

2 : ¿Cuánto tiempo n e c e s i t a para crecer 2 1 6 mm?

A

2

ños

B

6

ños

C

3 ños

Actividad 3: A

Sí

B

No

¿Puede crecer un

cabello

h u m a n o 1 2 años seguidos?

cf

Actividad A

Sí

B

No

4: ¿Puede c r e c e r un c a b e l l o humano 12 metros?

Actividad 5 :

¿Cuánto c r e c e

A

12

m m

B

18

m m

C

  8 m

u n c a b e l l o durante 2 5 años?

Actividad 6 : ¿ C u á n t o crece un cabello durante 5 ñ o s y 2 meses?

Á

3 m

B

0 372 m

C

3 7m 7m

A c t i v i d a d 7:

¿Cuánto tiempo necesita para crecer 0 36

A

2

B

5

ños

C

3

ños

m?

m eses

2

eses

107

 

Unidad

M I PROYECTO

5

Los números metálicos

Paso . Números e t á l i c o s y sucesiones de i b o n a c c i I

C o n s t r u i r e m o s l a s s u c e s i o n e s s e c u n d a r i a s de F i b o n a c c i , regla: Q , b, p b a,p .pb a) bHacemos

=

pG^

G^^^, s i g u i e n d o la siguiente

y elegimos o s valores adecuados para py .

Un ejemplo a u n l l e : < h t t p : / / e n . w l k i pedia,erg/

wikí/Fibonacci_nümber>

1 . Construcción de a sucesión asociada asoc iada al número de oro

En este caso los v alores de p y q vienen dados por l s i g u i e n t e par ordenado:

 p , q ) = 1 , 1 ) . A s í , l a s u c e s i ó n a s o c i a d a a l n ú m e r o d e o ro e s G ^ ^ , = ^ +G^

Obtenemos a sucesión de Fibonacci asociada al número de ro: , 1 , 2 ,

, , ,13...

2 . Construcción de a sucesión asociad asociada a l número de l a t a

E n este caso o s v a l o r e s de p y

v i e n e n dados o r e l s i g u i e n t e p a r ordenado: p , ) = 2,2)

A s í , l a sucesión asociada asociada l n ú m e r o de p l a t a es G  

1

G

=26

n

n-1

Ahora debes s c r i b i r l a s u c e s i ó n de i b o n a c c i a s o c i a d a a l número de p l a t a . 3 . Constr ucción de a su cesió n asociada al número de ronce

E n e s t e caso o s v a l o r e s d e p Así, a sucesión asociada

q v i e n e n dados o r e l s i g u i e n t e p a r o r d e n a d o : p , q ) = 3 , 1 ) .

l número de

ronce e s

6

n 1

=3G

n

G

.

n-1

Ahora debes s c r i b i r l a sucesión de Fibonacci asociada l número de bronce. 4. onstr ucción de a suce sión asociada al número de o b r e

.

q v i e n e n d a d o s p o r e l s i g u i e n t e p a r o r d e n a d o : p , q )= 1 , 2 ) .

E n e s t e c a s o l o s v a l o r e s dep

A s í , l a sucesión asociada l número de cobre es Gn 1 =Gn

2Gn-1

Ah ora d debes ebes s c r i b i r l a sucesión de i b o n a c c i asociada l número de o b r e .  

. C o n s t r u c c i ó n de

s u c e s i ó n a s o c i a d a a l número e n í q u e l

 

n este c a s o los valores d e p y q vienen d a d o s por el siguiente par o r d e n a d o : p , q )= 1 , 3 ) . sí, a sucesión asociada l número e cob r e e s G

=G

n 1

n

f-3G

.

n-1

A h o r a d e b e s s c r i b i r l a s u c e s i ó n d e F i b o n a c c i a s o c i a d a a l número e n í q u e l . 6 . o n s t r u c c i ó n de a s u c e s i ó n a s o c i a d a a l número de l a t i n o q v i e n e n dados o r e l s i g u i e n te t e p a r ordenado: p , q )= 2 , 2 ) .

E n s t e caso o s v a l o r e s de

l número e cob r e e s G =2G i - 2 G . n-t-1 n n-1

As í , a sucesión asociada

A h o r a d e b e s s c r i b i r l a s u c e s i ó n d e F i b o n a c c i a s o c i a d a l número e p l a t i n o .

108

 

Sistema^^cuadongJ

EVALUATE

Autoevaluación I 1 . La

 

• 

olución del sistema 1

C a l c u l a dos números que s u m e n 20

que e l d o b l e d e l p r i m e r o m á s l t r i p l e d e l segundo

2x-4y=0 3x

y =4

^ es :

sumen 45.

a) 1 . 2 )

c)

b) 2.1)

a) 2

1, 1

V 2,

a) 2, }

d) 3, 2 )

4  

x

2x

~

=4

b) 3,2)

c) 3,4)

c) adre: 3 9 ; i j o : 1 2

b ) P a d r e : 42; i j o : 1 5

d) a d r e : 3 0 ; i j o : 3

c o m p r a m o s 2 g de plátanos y 3 g d e man zanas, nos cobran 11,50 € , por 3 g de l á t a nos y 2 g de m a n z a n a s nos cobran 9 ,75 € . ¿Cuánto v a l e e l k g de cada r u t a ?

7

a ) 2 . 4)

adre: : 37 ; i j o : 10 a) adre

Si

12x + y_ ^

5

a misma.

entre ambas erá

3 . Señala a s o l u c i ó n del i g u i e n t e sistema:

3x+ y

d)15y5

e s d e 27 ñ o s y dentro d e 1 5 a ñ o s a diferencia

j c) 6. 2)

b) 3 . 6)

c)ny9

que en a actualidad a d i f e r e n c i a d e sus edades

66|

[ x - 2 y - 5 2 x - y )= 0

b)18y2

Calcula a edad de un padre y su h i j o sabiendo

2 . Calcula a s o l u c i ó n del i g u i e n t e sistema:

Í 3 x - 2 y ) - 6 C 2 x - y )=

8

d) 4;3}

a) : 1,40: M: ,15

c) : ,10; M: ,90

b ) : 1,80; M: ,20

d) : 1 , 2 5 ; M: € / k g

Mis progresos Sobresaliente

I So y muy ompetentel

Bien

S uf iciente

Soy ompetente,

S o y competente,

pero puedo mejorar

pero debo mejorar

Resuelvo sistemas lineales

Ihsüflclér

Resuelvo sistemas i n e a l e s

Me a l t a n competencias: mucho más B ) elebo.esforzáme bo.es

Resuelvo sistemas lineales

¿Sé plicar l o

Resuelvo sistemas lineales

aprendido?

p o r l o s métodos e -

p o r l o s m é t o d o s de

s u s t i t u c i ó n , reducción e

sustitución, reducción e

s u s t i t u c i ó n , reducción e

s u s t i t u c i ó n , reducción e

igualación. nterpreto

igualación. R e s u e lvo s i s t e m a s

igualación. Aplico los

Igualación.

geométricamente sistemas

l i n e a l e s con a r é n t e s i s . A p l i c o

sistemas lineales en

l i n e a l e s . Resuelvo sistemas l i n e a l e s con p a r é n t e s i s y

l o s sistemas i n e a l e s en a

r e s o l u c i ó n de

Resuelvo sistemas lineales

Resuelvo sistemas i n e a l e s

p o r l o s métodos de

por los m é t o d o s d e

r e s o l u c i ó n de

roblemas.

por los m é t o d o s d e

p o r l o s m é t o d o s de

a

roblemas.

fracciones. Aplico los

sistemas i n e a l e s en

a

r e s o l u c i ó n de p r o b l e m a s . Sé acer...

Resuelvo sistemas i n e a l e s

por los m é t o d o s d e

Resuelvo sistemas i n e a l e s

p o r l o s métodos de

sustitución, reducción e

s u s t i t u c i ó n , reducción e

s u s t i t u c i ó n , reducción e

i g u a l a c i ó n , con a r é n t e s i s ,

igualación, c o n paréntesis,

igualación.Aplico los

igualación.

con racciones y co n

si st e ma s ineales en la

paréntesis y fracciones.

con fracciones y co n paréntesis y fracciones.

R e p r e s e n t o geométricamente

Aplico los sistemas

vida cotidiana.

sistemas i n e a l e s . A p l i c o l o s

en a r e s o l u c i ó n de problemas

s u s t i t u c i ó n , reducción e

si st e ma s lineales en la

r e s o l u c i ó n de problemas de

ineales

resolución de p r ob l emas de la

déla ida cotidiana.

a

vida cotidiana.

La e c n o l o g í a

Resuelvo, epresento e

Resuelvo, epresento e

Resuelvo sistemas i n e a l e s y

Resuelvo s is tem as lineales

yyo...

i n t e r p r e t o geométricamente

interpreto g e o m é t r i c a m e n t e

los interpreto

con WIRIS.

sistemas i n e a l e s y su

sistemas lineales con W I R I S .

geométricamente con WIRIS.

As umo mi

As umo m i o l , no aporto d e a s a l g r u p o e i n t e r f i e r o e n el t r a b a j o de o s demás.

solución con WIRiS.

¿ S é trabajar en grupo?

Asumo mi ol sin interferir en

el

t r a b a j o d e l o s demás

a p o r t o i d e a s al g r u p o .

o l , aporto d e a s a l

grupo, pero suelo nterferir en e l t r a b a j o de o s demás.

sumo

No

i ol e nterfiero

e n e l t r a b a j o de o s demás

in

a p o r t a r i d e a s al g r u p o .

109

 

\\\\\N^  

 

Sucesiones y progresiones En esta unidad 1 . Sucesiones

2 . Pr o g r e s i o n e es s aritméticas 3 . I n t e r p ol ol a c i ó n a r i t m é t i c a

4 . Suma e l o s t é r m i n o s d e u n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a f i n i t a 5. Progresiones g e o m é t r i c a s

6 . S u m a d e l o s t é r m i n o s de u n a p r o g r e s i ó n geom é t rica 7 . C á l c u l o de r a c c i o n e s g e n e r a t r i c e s m e d i a n t e p r o g r e s i o n e s g e o m é t r i c a s

8. n t e r é s simple 9. I n t e r é s c o m p u e s t o

Vamos

aprender a . . .

Saberes

- D i s t i n g u i r e l concept o de u c e s i ó n .

científicos

- R e c o n o c e r progresiones aritméticas, términ o general.

Competencias C M C T

- I n t e r p o l a r medios r i t m é t i c o s ,

- S u m a r n términos de una p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a finita. es i o n e s g e o m é t r i c a s , é r m i n o g e n e r a l . - e c o n o c e r p r o g r es

- S u m a r n t é r m i n o s de p r o g r e s i o n e s geométricas i n i t a s o n f i n i t a s . - C a l c u l a r f r a c c i o n e s g e n e r a t r i c eess m e d i a n t e p r o g r e s i o n e s g e o m é t r i c a s . Lectura

y comprensión Tratamiento

de a información

y competencia

-Conocer a s m a t e m á t i c a s en a s c u l t u r a s p r e c o l o m b i n a s ,

CCL

-Manejar

C D

h o j a d e c á l c u l o E x c e l y el p r o g r a m a W I R I S p a r a o p e r a r c o n

progresiones.

EC

C M C T

digital

Aprende a a p r e n d e r ciencia

- E s t u d i a r l o s números m e t á l i c o s . L a s p r o g r e s i o n e s y e l j u e g o d e l

La ciencia

- C a l c u l a r el r e c i b o de a l u z e n l a a c t u a l i d a d .

CSC. PAA.CMCT

-Calcular e l n ú m e r o á u re o a p a r t i r d e a sucesión d e F i b o n a c c i .

CPAA

en

ajedrez.

a sociedad

P r o y e c t o : Lo s

CPAA

C M C T

MCT. D , S I E ,

números metálicos

CSC. CCL

Not a : ompetencia matemática y co mpetencias básicas en i e n c i y t e c n o l o g í C M C T ) , o mpetencia e n comunicación i n g ü í s t i c C O L ) , c o m p e t e n c i a s o c i l e s y í v i c s C S C ) , o m p e t e n c i a p r a p r e n d e r a p r e n d e r C P A A ) . o m p eett e n ci ci a i g i t l C D ) . e n t i d o d e inici tiv y

e s p í r i t u e m p r e n d e d o r S I E ) , c o n c i e n c i a y e x p r e s i o n e s c u l t u r a l e s CEC).

 

L o s o r í g e n e s d e l a s s u c e s i o n e s y p r o g r es io nes E l origen d e las progresiones e s n c i e r t o p e r o s e c o n s e r v a n algu

1

nos d o c u m e n t o s q u e t e s t i g u a n l a p r e s e n c i a d e p r o g r e s i o n e s v a r i o s s i g l o s a n t e s d e n u e s t r a e r a . p o r l o q u e n o s e d e b e a t r i b u i r su p a t e r n i d a d a n i n g ú n matemático o n c r e t o . E n e l a n t i g u o E g i p t o y a s e e s t u d i a b a n l a s r e l a c i o n e s a r i t m é t i c a s e n r e l a c i ó n c o n sus r o b l e m a s cotid ianos. S u s c o n o c i m i e n t o s s e r e c o g e n e n el p a p i r o d e

Ahm es o el p a p i r o d e R h i n d , donde e r e c o g en c o n o c i m i e n t o s g e n e r a l e s sobre e r i e s geométricas y a r i t m é t i c a s . El matemático  

ndio Píngala

a p r o x i m a d a m e n t e de de l o s s i g l o s

al

a d e l a n t a i d e a s b á s i c a s p r e c u r s o r a s sobre l o s n ú m e r o s d e

a. C.

F i b o n a c c i , llamados mátrámeru. Por o t r o l a d o , e n t r e e l 4

.C. y

. C . , o s m a t e m á t i c o s yainas d e s a r r o l l a r o n l a s sucesiones

el 2

y progresiones s. . l manuscrito B a k h s h a l i , s c r i t o entre l 2

y el 2

. C.

. C . , i n c l u í a soluciones d e progresiones a r i t m é t i c a s y

geométricas.

Los griegos n t e n t a r o n c a l c u l a r e l v a l o r d e r m e d i a n t e l a a p r o x i m a c i ó n d e u n a sucesión d e polígonos c i r c u n s c r i t o s e n l a c i r c u n f e r e n c i a . En e l renacimiento se a b o r d a n y resuelven p r o b l e m a s

relacionados c o n e l a l g e b r a , y c o n

a s sucesiones. En

l a s progr esiones están presentes e n c a m p o s

economía

o como

a actualidad

a n d i s p a r e s como a

a biología.

La matemática a nuestro alrededor

  U n a leyenda c u e n t a q u e un r e y d e l Lejano Oriente quiso premiar

a l i n v e n t o r d e l a j e d r e z con u n deseo. l i n v e n t o r p i d i ó u n g r a n o

de r i g o p a r a l a p r i m e r a c a s i l l a , e l doble a r a l a s e g u n d a , l doble

d e l a s e g u n d a p a r a l a t e r c e r a y a s í hasta l a c a s i l l a s e s e n ta y c u a t r o . , . P e r o n o h a b í a s u f i c i e n t e s gra n o s e n to da l a t i e r r a . ¿Sa b r í a s c a l c u l a r cuán tos gra nos e p i d i ó en

  La

r b i t a d e l cometa H a l l e y fue

otal?

a l c u l a d a p o r p r i m e r a vez

or el

a s trón o mo E d m u n d H a l l e y en el s i g l o x v i i i . Si este c o m e t a e s vi s i b l e desde

a T i e r r a periódicamente c a d a 76 añ o s y e n e l a ñ o

1986 u e v i s t o p o r c u a r t a v e z des de e n t o n c e s , p o d r í a s c a l c u l a r cuándo v o l v e r á a e r s e de nuevo y en qué año o v i o H a l l e y ?

 

^50-

 oo

V

\

Í30\, B0

Unidad ó

\id^ai Sucesiones

10-=;

F i j é m o n o s en l a s i g u i e n t e c o l e c c i ó n de números o r d e n a d o s : 3.5.7,9.11,13.15,17,19...

 ■

p e n s a m o s u n p o c o , p o d r í a m o s d e d u c i r c uá l va a s e r e l s i g u i e n t e n ú m e r o . A estas colecciones d e n ú m e r o s que se s uc e d e n siguiendo U n a s u c e s i ó n e s u n a c o l ec c i ón d e n ú m e r o s q u e s i g u e n u n a

I

?i

riu9

' JUri.+j«4-»~

ey

• . n i . i

•- L ti

Si

u n c o m p o r t a m i e n t o d e t e r m i n a d o s e a s llamará s u c e s i o n e s .

T-- •—

 

.-7.

i. í Xl-F; ,

í'i'io-siwi-i

de

terminada.Los elementos de una sucesión se denominan términos.

L o s t é r m i n o s d e u n a s u c e s i ó n s e s u e l e n de sig n ar m e d i a n t e u n a l e t r a c o n u n sub í n dice c o r r e s p o n d i e n t e a l l u g a r q u e o c u p a n e n a s u c es i ón. En nuestra sucesión:

■■•

'ií 8 U i . 3 A 7 ) iiHH i , r

I

tt .Uú.;

a , = . 02 = . 03 = . a , = . 0^ = 1 . 0^ = 3 . . . E n el papiro papiro de R hind s e recogen

1 . 1 . Té rmi n o general d e una sucesión Obs er vam o s que e l s i g u i e n t e n ú m e r o de a s u c e s i ó n a n t e r i o r será e l 2 1 . después 3... A s í p o d e m o s l e g a r a d e d u c i r una manera d e s c r i b i r c u a l q u i e r término d e a sucesión:

conocimientos generales sobre series geométricas y aritméticas.

a , =2 1 + =3

0^ =

03 =

2

=

-3+ 1=7

o , . =2 4

a„=

Esta última expresión e s o q u e

-n

=9

Sucesiones recurrentes

+

conocemos como l t ér mi no g e n e r a l

de una sucesión.

E n ocasiones definimos los tér minos de una sucesión en fun fun

ción d e los términos que l o s an

El t é r m i n o g e n e r a l

d e una u c e s i ó n n o s d a

ley

l

que d i c t a e l c o m

teceden:

p o r t a m i e n t o d e d i c ha s u c e s i ó n .

a, = 6

E l término general se simboliza c on l a l e t r a q u e representa a l a

0 2 = 20,-1 = 2-6-1 =

sucesión con

ubíndice n.

y actividades

Ejercicios

1. Escribe l os seis primeros

E n este tipo d e s uce s i o ne s es ne

é r m i n o s de a s s i g u i e n t e s suce

cesario conocer el valor de o , para poder conocer el valor de o ^ . Las sucesiones así definidas se

siones: a)

0 3 = 202-1 = 2-11-1 = 2 1

c)

2

=

b) ^ =

n +2

=3

llaman sucesiones recurrentes.

d ) ^ =2 n + 1)

-1

2 . E s c r i b e l o s cuatro primeros primeros t é r m i n o s

de las s iguien tes

s u c e s i o n e s d e f i n i d a s po r r e c u r r e n c i a : a ) , =3 n

 ?

b ) a, = 1

1

2

n

3 . C al c u l a e l término g e n e r a l

a ) , .7.10...

4

=2 a„ , + 6  -1

de as s i g u i e n t e s s u c e s i o n e s :

b ) , .12,16...

c) .1/4.1/9 1/16...

112  

ISO-,

Uo\

\30ÍlQQ\

jucesiones v oronresi

kWoí\i6o\i^

|o«., Iiiuo-

Progresiones aritméticas

Observemos a s s i g u i e n t e s s u c e s i o n e s :  

2,4, , , 1 0 , 1 2 . . . , n . . . : su cesió n d e o s n ú m e r o s p a r e s -> L a d i f e

r e n c i a e n t r e u n término y e l a n t e r i o r e s .

Definición

1

 

1,2,3, A , , 6 . . . , . . . : s u c e s i ó n de o s números a t u r a l e s

C o n o c i d o el

p r i m e r t é r m i n o , o s d e m á s e obtienen s u m a n d o a l t é r m i n o n t e r i o r .  

L a d i f e r e n c i a e n t r e u n t é r m i n o y e l a n t e r i o r es .

- 2 , 1 , 4 , 7 . . . , 3n - . . .

A l t é r m i n o genera l d e u n a s u c e s i ó n también se le s u e l e l l a m a r término n-ésimo.

T o d a s estas su cesiones s o n p r o g r e s i o n e s a r i t m é t i c a s . U n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a es una s u c e s i ó n en l a q ue c a d a t é r m i n o , e x c e p t o e l primero, s e o b ti e n e sumando u n a c a n t i d a d c o n s t a n t e a l

t é r m i n o a n t e r i o r . D i c h a c a n t i d a d se l a m a r á d i f e r e n c i a de a p r o g r e s i ó n .

2 . 1 . Cálculo del t é r m i n o g e n e r a l d e u n a pr o g r e s i ón a r i t m é t i c a Sea a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a a , , a ^ , a ^ ,

Qs--. Qn.i. V sea día d i f e r e n c i a entre u n t é r m i n o y e l a n t e r i o r . P o d e m o s s c r i b i r : a ,= ,

Observación

0^ = ^ + d= a^

)

a¡,=a^ + d= a^

d)

=

+ d = a , + 3d)

=

Og =

= a,

Qg = g

= ^

d)

E n f u n c i ó n del a l o r d e d, a p ro

d

,

=

g r e s i ó n a r i t m é ti c a puede e r :

d

Si d

+ 4d ,

a progresión e s cre

> O,

ciente.

d

Si d

< O,

a progresión e s d ecre

ciente.

+ = a, + n - ) í f ] + = ^ a =

  t 

n

, 1

=

a. I

= .

n - )d] =

,

I

Si d = , l a progresión e s c o n s

n - }d

tante.

n - )d

n - )d

EJEMPLO

 

C a l c u l a e l t é r m i n o g e n e r a l de u n a r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a c u y a i f e r e n c i a e s 3 c u y o r i m e r t é r m i n o e s . ¿Cuál e s l t é r m i n o 2 0 ?

a, = , d =

=5

n -1 )

020

=5

-1 9

° 2 o = 62

Ejercicios y actividades 4 . Calcula l a d i f e r e n c i a , e l t é r m i n o g e n e r a l , O g y a ^ ^ d e l a

siguiente progresión aritmética: 2 , 1 , ,7,10... 5 . U n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a c o n s t a d e 40 é r m i n o s y s u úl ti mo t é r m i n o e s 1 2 6 . i l a d i f e r e n c i a e s 3, a l c u l a e l p r i mer

érmino.

6 . D a d a a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a 90, 8, 6, 4 . . . , ¿ q u é é r mino es

l -10?

7 . E l p r i m e r t é r m i n o d e u n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a e s 5, a d i f e r e n c i a e s 7 s u ú l t i m o t é r m i n o e s 7 73 . C u á n t o s é r m i n o s i e n e l a progresión?

ff 3

 

W

\30^

\

VSO

ao\ i60 pOl4 A

^ it

■ y-r y-r ''-' -'

Interpolación aritmética Dados los números 1 2 y 40, queremos intercalar entre ellos seis nú meros que formen con ellos una progresión aritmética. P a r a ello, cons siguientee p rogresión: truimos la siguient Oj, a,, a,, 4 0

1 2 , a,,

Tenemos una progresión aritmética d e o c h o términos, d e los que co nocemos a y Q g . Solo nos queda conocer d : a

a

a =a, + {n-^)d=i'd = ——- E n nuestr o cas o =>c/ =   n-1

40-12

8-1

Así pues, l o s n ú m e r o s b u s c a d o s s on: 0 2 = 1 2 + 4-1 = 16

0 ^ = 1 2 + 4-4 = 28

=4

Unidad 6

0 3 = 1 2 + 4-2 = 2 0

0 ^ = 1 2 + 4-5 = 3 2

o , = 1 2 + 4 - 3 = 24

o, = 1 2 + 4 6 = 3 6

L a p r o g r e s i ó n completa es : 12,16,2 ,20,24, 28,3 ,32,36, ,4 40

Decimos que h e m o s interpolado seis m e d i o s aritméticos entre 1 2 y 4 0 .

Ejercicios y actividades resueltos

L l a ma mo s m e d io s aritméticos a los números que intercalamos en tre otros d o s formando una p r o g r e s i ó n aritmética.

Interpola tres m e d i o s arit méticos entre 1 y 3 .

y a ^ , queremos Vamos a generalizar la idea: dados dos números interpolar m medios aritméticos entre ellos. Para ello, tenemos qu quee la sucesión a„ x,,I x,..., calcular x,, x,..., x a   x„ elementos tales que I 2 forme una p r o g r e s i ó n aritmética. P r o c cee d i eenn d o c o m o en e l c a s o ante fu

I

I

m

T e n e m o s que construir la sucesión;

n

l.a,, 0 3 , a,, 3

rior, tenemos:

L a diferencia será:

a = a + (n - 1)d = > d = ^ ^

^-,Q.-°i^3-1_2_1

n-1

n = m + 2 =>n -

=m + 2 -

= m + 1 => d=

o

n-1

'

serán:

Xj = a, + 2 - d = a, + m x„ m

El

2

Los medios aritméti ritméticos cos

m+ l

x, = a, + c /

 

4

5-1

a 3 = 1+C2-1)- = l+J- = -

iiü

2

»r

d

2

2

a =1+(3-1)- = 1+~ = 2 Q 4 =1+C4-1)  = 1+ 2-= 2

Ejercicios y actividades 8 . Interpola cinco m e d i o s aritméticos entre los n ú m e r o s -12 y 24.

9 . Interpola cuatro medios aritméticos entre los números -24 y-49.

10. Interpola tres medios aritméticos entre los números 1/2 y 5/2. Interpola cuatro medios aritméticos entre los números

11.

6^2 y ^ 6 ^ / 2 . 12. Interpola cuatro medios aritméticos entre l os números

2/3 42 y 4V2. \ u

 

50-

Uo^,

^20

^

^^^^^^^rogresjone^

\ 3 0 i leo

IiWo^. Ibo uma  

e

os

términos

de una p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a f i n i t a Vamos 2

c a l c u l a r l a s u m a de

o s n ú m e r o s p a r e s c o m p re n d i d o s n t r e

100.

I n v e r t i m o s e l o rde n d e o s s u m a n d o s

s u m a m o s érmino a é r m i n o :

S=

2

4

6

...

S=

100

98

96

+■■■+

2S= (2+100)+

4 + 98)+(6 + 96)

+...+

96

6+

98

100

4

+2

extremos:

2 S = 2 + 100) + 2 + 100) + ... + 2 + 100) + 2 + 100) 2 S = 2 + 100)-50

S=«±15^^S 2 5 5 0 2

Gene ralizamos ralizamos el ejemplo anterior para obtener una fórmula general. Para ello, calculamos la s u m a d e los n primeros términos d e una p ro gresión aritmética que denotaremos como S ^ . Invirtiendo e l orden de los sumandos y sumando término a término, obtenemos: =

equidistantes

9 6 + 6)+ 98 + 4)+(100 + 2 )

C o m o la suma d e términos equidistantes e s igual a la suma d e lo s

S

térmn nos Suma de térm

Consideremos la progresión arit mética siguiente: a,, 1

■

 

a,, a. k

i t l

El térm térmn no

a

..... a

n-í:

n

tie iene k térm

nos antes de él. ■

El térm térmn no

tie iene k térm

nos después d e él él..

Decimos que

y a^.^son equi

distantes a los extremos. Así, uti

lizando el término general d e un a progresión aritmética:

a ^ ^ j = a ^ + [ / ; + l)-l]cf = a + / c - c í

«1 +

n

s

=

2S„=

«2 - +

a

= a + [ n-/r)-l]d

«2 +

 

y sumando las expresiones, te

a , + a„)+ a^+a_^) + . . . + a ^ _ , + a p + a„+a,)

n e m o s

C omo sabemos que la suma de términos equidistantes d e los extremos e s igual a la suma d e los extremos, tenemos:

a + / f ■ d + a + [ n-/í)-l]d =

a„)) 2 S „ = a , + a„) + a , + a,) + „. + a , + a„

= a ^ + kd + a . j + (n-V-d- k-d =

•

2S n = a,  + an ) n

^

= a , + [ a , + n-1)-d] = a , + a „

 a , + a ) • n ft

2 = —^—-—

L a suma d e los n primeros términos d e una progresión aritmética e s

e l primero más el último dividido entre dos y multiplicado por e l nú mero de términos:

L a suma d e dos términos equidis tantes a los extremos en una pr o

gresión aritmética finita es igual a la suma de dichos extremos:

Ejercicios y actividades 13. Calcula la s u m a d e los 1 0 primeros términos d e la pr o gresión aritmética 8..., 62. Indic Indicaa cuál es la diferencia.

14. Dada la expresión aritmética 1 , 6,11..., 7 1 d e 1 5 términos, calcula la expresión del término general y la suma d e lo s 15 términos. ¿Qué término d e la progresión e s e l n úme ro 46?

15. La suma de las edades de seis hermanos es 57 años. Si

la edad del mayor es 8 veces la edad del menor más 1 y las edades están e n progresión aritmética, ¿cuántos años tiie ene cada hermano?

li lis s

 

 ^00

\

Wo^leoy.

á

aQ^^leo

Unidad 6

Progresiones geométricas

£\ \ o i j L

Consideremos a s s i g u i e n t e s sucesiones:  

3 , 1 2 , A 8 , 1 9 2 . . .^ a d a término s e o b t i e n e m u l t i p l i c a n d o e l a n t e r i o r

Observación

por 4.  

5 , 2 5 , 1 2 5 , 6 2 5 . . .^ a d a t é r m i n o s e o btiene m u l t i p l i c a n d o e l a n t e

r i o r por 5 .

l a pro

g r e s i ó n geométrica puede e r ; S I l r | > O , a pr og r es i ó n e s cr e

E s t e t i p o d e s u c e s i o n e s s e l l a m a n pro gre siones siones geo métricas .

Una r o g r e s i ó n geométrica

E n f u n c i ó n del v a l o r d e

ciente.

e s u n a sucesión e n a q u e c a d a t é r m i n o

e s g u a l a l a n t e r i o r m u l t i p l i c a d o por u n a a n t i d a d f i j a r ll amada a z ó n .

S i | r | < O , a pr og r es i ó n e s d e creciente.

S i r | = , l a progresión e s c o n s tante.

5 . 1 . Cálculo del t é r m i n o g e n e r a l d e u n a pr o g r e s i ón g e o m é t r i c a Consideremos a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a a ^ a ^ , a^, a ^ , r l a r a z ó n d e dicha p r o g r e s i ó n .

a^_

y sea

T e n i e n d o e n c u e n t a a d e f i n i c i ó n d e p r o g r e s i ó n geométrica, p o d e m o s

escribir las siguientes igualdades: a = 2

Ejercicios

y a c t i v i d a d e s r e s u e l Ut oo ss

i

1  

Q g = j r = o, r) r = ,

a. = a 3 - r = a,- r ^ ) r = , f ^

a 5 = a , - r = a, r ' ) r =

r

C a l c u l a e l t é r m i n o g en er al de a p r o g r e s i ó n geométri ca 9, , 2 . . .

Sabemos

u e e l término

general de u n a sucesión °n=V

=

E l término g e n e r a l d e u n a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a e s l producto e l p r i m e r o p o r l a r a z ó n elevada a a p o t e n c i a ( n - 1 ) .

geométrica e s :

a „ = ,T -' S o l o necesitamos conocer

l a r a z ó n . Sustituye ndo e n

a_ =- '

l a f ó r m u l a para u n t é r m i n o

c u a l q u i e r a , obtenemos:

EJEMPLO

a2 = ^-r^ ^=>6 = -r

C a l c u l a r e l o c t a v o t é r m i n o d e a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a 6 , , —•• r=>3

a=a

^

1  

'^~9~3

2

P or a n t o , e l t é r m i n o g e n e

3

- r=^r = — s»r = — 6

 

6  

6

=> a =

 ^

8

^6_2

8

=

^28

ral s e r á :

3

=

64

®

n-l

a =9-

2

3 ;

Ejercicios y actividades 1 6 . C a l c u l a e l término e n e r a l d e a s s i g u i e n t e s p r o g r e s i o n e s : 3 8,40,200,1000 8,40,200,1000... ...

b) 4,12,36,108...

1 7 . C a l c u l a a ^ d e u n a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a sa b ie ndo q u e Og = 536 y

= 8 4.

1 8. De n a r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a c o n o c e m o s

= 6.

=

Calcula .

116

 

50

Ua4

iene   n roQresmnefi Sucesíone

O-íli

Suma

e los términos

d e una p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a 6 . 1 . Suma

e progresiones g e o métr ica s i n i t a s

C o n s i d e r e m o s a s i g u i e n t e progresión g e o métr ica, c u y o primer é r m i n o es 5

c u y a r a z ó n es 3 : 5 , 1 5 . 45,135, 05,1215, 645...

N o s p r o p o n e m o s a l c u l a r l a suma e o s s i e t e pri m eros t é r m i n o s de la sucesión. Llamemos

5^^5

a

a suma uscada:

+5-3 3 + -3'+ 5-3 +5-3'+ 5-3' - 3 +5-

3

S ^ - 3 = - 3 + - 3 '+ - 3 ' - f 5 3 ' '+ - 3 ^ +

Otra fórmula

-3'

Teniendo en cuenta la expresión:

3 S ^ - S , = - 3 - 5 = > S , C 3 - 1 )= - { 3 - 1 ) = > S , =- ^ ^ ^ ^ = 4 6 5 P r o c e d e m o s a hora a s t u d i a r e l c a s o e n e r a l . Para l l o , c o n s i d e r a m o s l a s i g u i e n t e p r o g r e s i ó n geométri ca de

azón r:

a , , a,. 3. a,, , . . . , a ^ . , ,

Llamemos

sión aritmética finita:

a a suma e s u s n p r ime r o s t é rm i nos:

r= a

r+ a

+ a

+... + a

r '+

S n r-S =a-r -a.=>S -a.=>S (r(r-V V= a n

a •

r 1

(a,-r ')-r-Q,

r

(r -V=>S=

a

(f — 1 ) — ^ ^

La suma de los n términos d e u n a sucesión se calcula con la fórmu

la siguiente: S

a  •Cr-'-l)   _ i

r 1

EJEMPLO

■

Calcular la suma de los seis primeros múltiplos de 2 .

co n Queremos calcular S g d e una progresión geométrica con a^= 2, r = 2 . Aplicando la fórmula: 5s =

2-(2®-1) 2 1

=

S =

= a , + , r + a,-r^+... + a,-r'''^ + a ^ - r ^  

y sustituyendo en la fórmula de l a su ma que conocemos, obte n e mos otra fórmula que pode mos utilizar p a ra h allar la suma de los términos de u n a progre

= 2-64-2 = 126

r 1

S =

a ra

—^

r 1

Ejercicios y actividades 19. Calcula la suma de los seis primeros términos de la pr o gresión geométrica siguiente: 2 , 6,1 8...

2 0 . D e una progresión geométrica se sabe que su razón es r = 1 / 3 y que a , = 8 1 . Calcula la suma d e s u s cuatro pri pr i meros términos.

2 1 . Calcula la suma de los 8 p rimeros términos de u na pr o gresión geométrica sabiendo que a , = 2 5 6 , r = 1/2.

11 7  

\

Unidad 6

6 . 2 . Suma d e p r o g r es es i o n e s g e o m é t r i c a s n f i n i t a s C o n s i d e r e m o s a s i g u i e n t e p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a de r a zón 1 28, 64, 32, 1 6 , 8, 4, 2, 1

1

1 1 1 1 — . — — ... 8 6 32 64 12 8

 

1

24

-

~

S i sumamos u s n p r i m er o s t é r m i n o s , e n e m o s : a -r -a

1 _

1

5

a

r-1.

r-1

1

f-1

Si damos

r

a

lg un o s a l o r e s « g r a n d e s » a =128

= ,

r'

□ 3 ^ = a, r

^1

1

tenemos:

=2 ^ = ,0078125

=2'-2 ''^

= 2 8 [^ = ' 2 ^' =

= ,00024414

=2'- 2 '®' ® = 2 ^ ^ = 0, 0000004768

= 128

O b s e r v a m o s q u e a m e d i d a q u e n «se ha ce m á s grand e» a „ = a , r s e

Calcula la suma de los

h a c e c a d a v e z m á s p e q u e ñ o , d e d o n d e d e d u c i m o s que

ttene un r1

v a l o r q u e p o d e m o s c o n s i d e r a r nulo, c o n lo q u e d e s p r e c i a m o s e s t e valor p a r a v a lo lo r e s « m u y g r a n d e s » d e n .

E n e s t e c a s o d i r e m o s q u e la s u m a

=

1

r-1

términos d e la siguiente

progresión geométrica infinita:

« t i e n d e » a ta e x p r e s i ó n —

Así, cuando súmanos infinitos términos, escribimos S S

1

y actividades resueltos

 

-(r-1)

siendo:

_ Qi -r 1 1-r

25,10,2...

Calculamos la razón de la

progresión: a,=^a, -r ^

^10^2 ~25~5

L a s u m a d e lo s i nfi ni t o s t é r m i n o s d e u n a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a e xis

te para |r| < 1 y s u v alor v ien e d a d o por l a fórmula: S =-^  

1r

A p l i c a n d o la f ó r m u l a d a d a , s o m o s c a p a ccee s d e s u m a r los in f in itos tér tér

10 = 25r

Comolnl 1 la expresión r c r ec e indefinidamente, co n lo q u e la s u m a c r e c e i n d e f i n i d a m e n t e . E n es te c a s o s e d i ce que e l va lo r d e esta suma «tiende a infinito» (S -> « > ) .

Ejercicios y actividades 22. C al c u l a la s u m a d e los i nfi ni t o s t é r m i n o s d e la s i g u i e n t e

S =

52

progresión geométrica:

a ) 8, 4, 2,1.1/2.1/4...

b ) 100, 20. 4 . 4/5. 4/25, 4/125... 11 8  

0-

40^.

0Q

üiOiül

30II00 3   0II00 i60

n gV n r n n n

i r

Cálculo de fracciones

generatrices mediante

progresiones geométricas L a s r o g r e s i o n e s g e o m é t r i c a s p e r mi t e n c a l c u l a r f r a c c i o n e s g e n e r a t r i c e s de números d e c i m a l e s . EJEMPLOS

Matemáticas en e l tiempo Culturas precolombinas

C a l c u t a l a f r a c c i ó n g e n e r a t r i z d e l s i g u i e n t e n ú m e r o decimal e r i ó

 

dico puro: 0 181818...

SeaN =

1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 . . . Po d e m o s scribirlo de a s i g u i e n t e forma:

. . . d e donde b t e n e m o s :

N = , 1 8 + ,0018 + ,000018

18

18

18

100

10000

1000000

K

18

18

100

100^

 ..^ N=

N=

tH

18 r

100^

..

Observamos ue e r a t a de a s u m a de una r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a de i n f i n i t o s

18

t é r m i n o s con

podemos plicar

l

y r=

a= ^ 100  

Como — 100 1

ri <

s u m a de o s t é r m i n o s de un a

f ó r m u l a de

p r o g r e s i ó n g e o mé t r i c a :

Antes de la llegada de los espa ñoles, e n 1521, el desarrollo ma temático en América Central es

taba principalmente un ido a la astronomía y al desarrollo de l calendario

18

18

L a cultura maya con ocía e l cero

n

N=

°i

1_r

_

1

a fracción

Calcula

ración similar al nuestro desde el año 35 a. C. Este sistema es

100

100

 

y utilizaba un sistema de nume

=>N= _ 100 9— 9 11 9 9 _ 91 89 ^ ^

100

g e n e r a t r i z d e l s i g u i e n t e núm ero e c i m a l p e r i ó

d i c o m i x t o : ,54444...

S e a N= N=

5 4 4 4 4 . . . P od e m os s c r i b i r l o de a s i g u i e n t e forma:

04444...=

5

N=

,5+

+

•

s 3 5 más

a suma

= ,04

 

1-r

10

, J_

10

10-1

31 9

315 10

10-9

100-9

=

punto álgido

de

las matemáti

cas en América Central se plasmó en el disco de Tizoc y la piedra del Sol

o calendario azteca. Ambos

monumentos presentan medicio nes a str onómica s que van m á s allá de la simple observación.

319 =

90

9 0

9 0

10

10

■N

de n u m er a ció n de base 2 0 n o p o sicional y símbolos para repre   l

= —+

10

incluso calculaban raíces.

sentar mitades fracciones).

4  

=—

que son los dedos que tiene el cuerpo humano, y les permitía realizar perfectamente las cua tro operaci operaciones ones fundam fundam entales: Otra cultura precolombina fue la azteca, que utilizaba un sistema

..

e términ os d e u n a progresión

4

-^ —

. . , es ecir :

10000

g e o m é t r i c a de n f i n i t o s t é r m i n o s c on

N-3

, 0004

•

1000

100

Así,tenemos que N

, 004

,04

5

taba basado en el número 20,

Ejercicios y actividades

23. Calcula l a fracción generatriz d e los siguientes números decimales periódicos puros utilizan do sumas de progresiones geométricas: b 0,141414...

a 0,333...

24. Calcula

la

fracción generatriz

de

c 2.404040...

los sig siguientes uientes nú meros decimales periódicos mixtos utili

progresion on es geométricas: zando sumas de progresi a 0.4323232...

b 3,4222...

c 17,4555...

119  

X

  60\

■

Interés simple

I

U n b a n c o lanza una campaña d e captación d e capital entre sus clientes. Para ello ofrece a todos los qu e i n g r e s e n 8000 € d u r a nt e 2 años u n a vajilla o bien un interés del 5 anual. S i u n señor ingresa los 8000 € y n o quiere la vajilla, s i no que le p a g u e n e l interés que le c o r r e s po n d e , ¿cuánto dinero recibirá al cabo de los 2 años?

Los 8 000 € q u e se i ng r e s a n e s lo q u e s e llama capital (c), los 2 años q u e el señor va a d e j a r e l d i ne r o e n e l b a n c o e s e l t i emp o (f) y e l be neficio q u e s e obtiene e s e l interés (i). S i o b t e n e m o s un 5 también d e c i m o s q u e t e n e m o s u n rédito (r) d e l 5 .

d e i n t e r és

Decimos que e l capital está a u n i nt er é s simple porque, cada año, reti ramos el interés obtenido

S i 100 € p r o d u c e n e n u n añ o u n beneficio d e 5 €: ■

€ produce en un año un beneficio de — ^ € = 0,05 € 100

■

■

8 000 € p r o d u c e n e n u n a ñ o u n b e n e f i c i o d e

100

^

8000€ p r o d u c e n e n d o s a ñ o s u n b e n e f i c i o d e

=

400 € = soo€

100

Por lo tanto, e l señor d el problema recibir recibiráá a l cabo de 2 años los 8000 € d e capital más 800 € d e i n t e r e s e s , e n total 8000 + 800 = 8800 €

G e n e r al iz an d o e s t e razonamiento, si 100 € p r o du c en en un año un beneficio d e r€ entonces: ■

€ produce e n u n a ñ o u n beneficio d e

€ 100

c € producen e n u n a ñ o u n beneficio d e c€ producen

e n t a ñ o s u n beneficio d e

 

€

100   r t

100

€ 

E l interés simple e s e l beneficio q u e produce u n capital fijo duran te u n tiempo d e t e r m i n a d o . E l interés simple que produce u n capital c al r t

durante t años e s :

  r t

100

Ejercicios y a c t i vi da des 25. D e d u c e u n a f ór m ul a e q ui v a le n t e a la g e ne r a l d e l cálculo del interés simple con e l t ie m po expresado e n meses, y otra c o n e l tiempo e x p r e s a d o e n d ías .

26. S i i ng r e s a m o s 1 5 5 0 € a l 4 , ¿qué interés simple recibi remos transcurridos 3 años? ¿ Y al cabo de 6 meses? ¿ Y al cabo de 20 días?

2 7 . Rafael quiere comprarse u n coche. P a r a ello pide u n prés t a mo al banco d e 9000 € . E l b a n c o le aplica u n i n t e rés d e l 8 d u r a n t e los 5 años d e l préstamo. ¿Cuánto t i e n e q u e p a g a r R a f a e l al banco e n i n t e r e s e s ?

120  

\50i

lUoí

^ \ 3 O i l 0 O \ jyi

f

0-. T

^5igesione^grogjjes¡g|jgJ Interés compuesto

Cuando o s i n t e r e s e s q u e s e p r o d u c e n , p a s a n a o r m a r p a r t e d e l a p i t a l , también p r o d u ci r á n i n t e r e s e s e n l f u t u r o ; e s t e t i p o d e e p ó s i t o s s o n a

interé s compuesto. Depositamos en el banco c a p i t a l que e b t i e n e a l ca b o d e

n

año...,

un

capital inicia

a l c a p i t a l que e

al

C^,

M a t e m á t i c a s e n e l t ie m p o

b t i e n e al

Egipto

cabo de n ñ o s , l r p o r uno n u a l , ob t e n e mos a s i g u i e n t e f ó r m u l a :

n = ,C,

n = ,C, =

„-(l+ )

„+ „T =

n = , C , = ,+ - f = , { 1 + )= „ - ( l + ) { l + r )= „ . ( l + f r )= „ - ( l + ) ' { l + )= „ - ( l + f

-r = C

C =

L a s m a t e m á t ic i c a s e n e l anti g u o

EJEMPLO

 

R e a l i z a m o s un d e p ó s i t o d e 6 00

un

nterés de 5

l 3 1 d e diciembre d e 2 0 1 14 4,

n u a l . S i l o s i n t e r e s e s pro ducido s s e

a l de p ó s i t o , c a l c u l a e l c a p i t a l que

E g i p t o e r a n muy

mentablemente, penas nos que

ncorporan

e c o g e r á e l 1 d e enero d e 2020.

dan

= Q-(l+ )^=>Cg =

0 0 0 ( l + ,05)^ = 0 4 0 , 6

L o s i n t e r e s e s o b t e n i d o s son 8040,6-

escritos.

Los

t e m á t i c o más m p o r t a n t e s q u e e

€

conservan s o n e l P a p i r o d e R h i n d y

000= 040,6 €.

La f ó r m u l a q u e n o s a c i l i t a l o s i n t e r e s e s g e n e r a d o s a

documentos

documentos con contenido ma

A l t r a n s c u r r i r e x a c t a m e n t e 6 ñ o s , p l i c a m o s d i recta mente a fó r

mula anterior

v a n z a d a s . La

l P a p i r o d e Moscú. n e l l o s se

t r a t a fundamentalmente de có

nterés

mo

e p a r t i r un n ú m e r o d e h o g a

z a s d e p a n e n t r e un n ú m e r o d e

compuesto s :

C„(l+

terminado d e h o m b r e s y á l c u l o s

f-C„=cJ(n-rf-1

de volúmenes. Una de

as áreas

d o n d e o s e g i p c i o s p o s e í a n un co

Comprobemos /=a

(Urf-l

ue n o s d a o s i n t e r e s e s e n

l ejemplo

n o c i m i e n t o más avanzado

nterior

=>f = 0 0 0 - l + , 05 ) - 1 =6 0 0 0 - (l , 3 4 0 1 - l )=

g e o m e t r í a , como m u e s t r a n s us p i r á m i d e s y e l h e c h o d e q u e co no c í an e l t e o r e m a d e P i t á g o r a s

= 000-0,3401= 040,6€

l razonamiento e n semestres, iendo

Si realizamos

un o n u a l , y

e l t a n t o p o r u no e m e s t r a l , l c a b o

obtenido

+

mucho ntes de que ste a c i e s e .

e l tanto por

La i v i l i z a c i ó n e g i p c i a e s t a b a s u

e u n año hemos

p e d i t a d a a las c r e c i d a s d e l río

que i e n e que o i n c i d i r con a i n v e r s i ó n a l r

N i l o . P a r a p o d e r p r e v e r l a s co n

exactitud, c r e a r o n , m e d i a n t e im

a n u a l . Así que e n este caso:

Mi+O'=

r a la

portantes observaciones astro

+O^ +O =O+O » 1 + ;=O+f= •.=O+O -1

n óm i c a s , n a l e n d a r i o muy v a n z a d o : ivid ieron ieron el í a e n 2 4 h o r a s , e l a ñ o e n 1 2 m e s e s y e l mes

Ejercicios y

n

30 í a s , a ñ a d i e n d o 5 í a s más l

ctividades

ñ o . o n o q u e u c al en

f i n a l del

d a r i o c o n s t a b a de 365 í a s , c a s i

28. a l c u l a u n a f ó r m u l a q u i v a l e n t e a a a n t e r i o r c u a n d o a

como

ctualmente.

u n i d a d d e t i em p poo e s u a t r i m e s t r a l r ^ e l t a n t o p o r un o c u a t r i m e s t r a l ) , r i m e s t r a l r ^ e l t a n t o p o r uno u a t r i m e s

tral) , m e n s u a l (r^ el t a n t o por u n o trimestral) y d i a r i a r ^ e l t a n t o p o r uno

uatrimestral).

29. S i n u e s t r o b a n c o n o s

f e r t a d e p o s i t a r 6000 € l 20

a n u a l , calcula:

a ) l tanto por u n o anual del n t e r é s . b ) E l a n t o p o r c i e n t o de n t e r é s s e m e s t r a l qu uee n o s f r e c e .

c) l c a p i t a l o b t e n i d o r a s c u r r i d o s t r e s a ñ o s .

12 1

 

Unidad 6

INFORMATICA MATEMATICA

Progresiones con Excel C a l c u l a l a suma e o s t é r m i n o s d e u n a progresión a rit m é t ic a c u y o prim er é r

m i n o e s 5 c u y a i f e r e n c i a e s , o m p r e n d i d o s entre 5 1 0 0 . a m b i é n q u e r e m o s c a l c u l a r e l número de é r m i n o s . P a r a el l o, e s c r i b i m o s en a c e l d a A l e l v a l o r 5,

hacemos l i c e n R e l l e n a r Se r i e s y r e l l e n a m o s lo s d a t o s C o l u m n a s , cremento: , L í m i t e : 100. E utouw

i

S«IÍM

[?i5^ rpo •

  ••

O f i6 oa 4 t ne6

S j c . j i J Stu C í » •

S KUU^qiaCMl

¡

 0 1 * 1 .

1

O'Wt^alanar

=

|4

1 Lin^: |lCO

|

ineal, n

S«tn

¡

íufttiat

1  c a c t a r

tr td m

B a s t a i j a r s e e n e l n ú m e r o d e í n e a p a r a dar s e c u e n t a de q u e e l n ú m e r o d e é r

m i n o s e s 2 4 . i n a l m e n t e , h a c e m o s l i c e n l a celda A 2 5 y p u l s a m o s e n e l icono

«SUMA

tAuBMa^

d e a u t o s u m a y aparece a e x p r e s i ó n =SUMA(A1:A24). Basta hacer l i c e n A 2 5 y

o b te n d r e mo s a s o l u c i ó n 1 2 2 4 de

a

224.

suma pedida ^

C a l c u l a l a s u m a d e o s términos d e u n a p r o g r e s i ó n geométrica d e r a z ó n 2 u y o p r i m e r t é r m i n o e s

3

q u e s o n menores q u e 200. a r a e l l o , e s c r i b i m o s 3 n l a c e l d a A l , ha c emos l i c e n g a t u f u t - j j S e n « . . . y r e l l e n a m o s l o s d a t o s C o l u m n a s , eométrica, n c r e m e n t o : 2 , l í m i t e : 2 0 0 . i nos i j a m o s

e n e l número de

i l a , observamos

u e e l número e t é r m i n o s e s

. Sien

c e l d a A8 u l s a m o s ^

l

»*