matd7_p1_res_c2

Propostas de resolução

Capítulo 2 – Generalidades sobre funções 50 + 50 Avalia o que sabes Pág. 62

1.

Número de lados do hexágono: 6 Número de diagonais do hexágono: 9 A razão entre o número de lados e o número de diagonais é dada por:

6 2 = 9 3

Resposta: (B) 2.

• Exclui-se a opção (A) pois 0 ∉ P . • Exclui-se a opção (B) dado que 5 não pertence a P. • Exclui-se a opção (D) pois qualquer número inteiro inferior a cinco não positivo não pertence a P. Resposta: (C)

3.

• Exclui-se a opção (A) pois 5 ∉ B . • Exclui-se a opção (B) dado que 12 ∈ B . O conjunto B não pode ser definido como o conjunto dos múltiplos de 3 uma vez que

existem múltiplos de três, por exemplo, 18 que não pertence a B. Resposta: (D)

4.

Exclui-se a opção (A) pois se o António, a uma velocidade constante percorreu 60 km em quatro horas, significa que em cada hora percorreu

60 km, ou seja, 15 km. 4

Analisemos a opção (B): estabelecendo uma proporção, tem-se:

60 50 = ⇔ x = 3, ( 3 ) 4 x

Portanto, o António para percorrer 50 km demoraria 3 h 20 min. Exclui-se a opção (B). Analisemos a opção (C): Sabe-se que d = vt, ou seja, v =

d . Uma vez que a velocidade é constante e igual a t

60 d km/h , temos que 15 = . 4 t Assim, as grandezas espaço percorrido e o tempo são diretamente proporcionais cuja constante de proporcionalidade é 15 km/h que, no contexto da situação, representa a distância percorrida pelo António numa hora. A opção (D) exclui-se de acordo com o que referimos no texto anterior. Resposta: (C)

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 1

Propostas de resolução 50 + 50 Avalia o que sabes Pág. 63

5.1.

Às 12 horas.

5.2.

Durante 2 horas.

5.3.

A viagem da família Faria durou 5 horas.

5.4.

A família Faria vive a 240 km de Lisboa.

5.5.

Observando o gráfico conclui-se que dois pastéis de Belém custaram 1,50 €.

5.6.

Para um custo de 2,25 € pode-se comprar três pastéis de Belém.

5.7.

Se o preço da unidade se mantiver constante, então uma dúzia custará o dobro de meia dúzia, isto é, 2 × 4,50 = 9,00 € . Assim, uma dúzia custará 9 €.

5.8.

Se o preço de um pastel se manteve constante, a mãe da Isabel comprou

16,50 pastéis, 0,75

ou seja, 22 pastéis de Belém.

Aplicar Pág. 67

1.1.

Construindo um referencial ortogonal e monométrico, obtém-se:

1.2.

a) Os pontos que estão sobre o eixo Ox, ou eixo das abcissas, têm ordenada nula, como é o caso dos pontos E e H.

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 2

Propostas de resolução b) Os pontos que estão sobre Oy, ou eixo das ordenadas, têm abcissa nula, como é o caso dos pontos G e F.

c) Os pontos que estão sobre os quadradntes ímpartes, têm abcissa e ordenada simultaneamente positiva (no caso de estarem no 1.º quadrante) ou negativa (no caso de estarem no 3.º quadrante). Portanto, ao primeiro quadrante pertencem os ponto A e

I. Ao segundo quadrante pertence o ponto C. Concluindo, os pontos A, C e I estão nos quadrantes ímpares.

d) Os pontos que estão sobre os quadrantes pares têm as coordenadas com sinais contrários; se tiverem abcissa negativa e ordenada positiva pertencem ao 2.º quadrante; se tiverem abcissa negativa e ordenada negativa pertencem ao 4.º quadrante. Assim, ao segundo quadrante pertencem os pontos B e J. Ao quarto quadrante pertence o ponto D, os pontos B, D e J pertencem aos quadrantes pares.

Aplicar Pág. 69

1.1.

É função, pois a cada elemento do conjunto A corresponde um e um só elemento do conjunto B.

1.2.

Não é função, pois ao elemento “Rute” do conjunto C não corresponde qualquer elemento do conjunto D.

1.3.

Não é função, pois ao elemento “Fevereiro” do conjunto E correspondem dois elementos do conjunto F.

2.1.

Por exemplo:

Qualquer correspondência que a cada elemento do conjunto A faz corresponder um e um só elemento do conjunto B é uma resposta correta.

2.2.

Por exemplo:

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 3

Propostas de resolução Qualquer correspondência que a cada elemento do conjunto C faz corresponder um e um só elemento do conjunto D é uma resposta correta.

3.

O divisor de 1 é apenas o próprio 1; os divisores de 3 são 1 e 3; os divisores de 4 são 1, 2 e 4; os divisores de 5 são 1 e 5. Portanto, temos o seguinte diagrama de setas:

No entanto, não se trata de uma função, pois há elementos de A que correspondem a mais do que um elemento de B: 3, 4 e 5 têm mais do que um divisor.

4.1.

A correspondência é uma função, pois a cada número de telemóvel apenas uma pessoa tem esse número.

4.2.

A correspondência é uma função, pois a cada número do cartão de cidadão está associada apenas uma pessoa com esse número.

4.3.

A correspondência não é uma função, pois a cada país correspondem várias capitais do distrito.

4.4.

A correspondência é uma função, pois cada número racional tem um único número.

Aplicar Pág. 71

1.1.

Domínio de f : Df = {5, 6, 7} ; contradomínio de f : D 'f = {1 , 3} Conjunto de chegada:

1.2.

Domínio de g : Dg = {1, 2, 3} ; contradomínio de g : D 'f = {10} ; Conjunto de chegada:

2.1.

{1 , 2 , 3 , 4}

{10 , 2 0}

Dt = {1, 2, 3} ; Dt ' = {10, 12, 15}

2.2.

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 4

Propostas de resolução 3.1.

3.2.

Df = {1, 3, 5, 7, 9} ; Df ' = {50, 56, 60, 63, 65}

3.3.

65

3.4.

5

3.5.

x =7

4.

As funções f e g assim definidas têm o mesmo domínio, o conjunto A, e o mesmo conjunto de chegada, ℚ . Para além disso, f ( n ) = g ( n ) para qualquer n ∈ A , pois ( −1) = 1n , sendo n

n um número par. Portanto, as funções f e g são iguais.

Aplicar Pág. 73

1.1.

a) Df = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ; Df ' = {0; 0,25; 3; 3,5; 4,0; 4,5} b) f (1) = 2,5 e f ( 5 ) = 4,5

1.2.

c) x = 3

Variável independente: número de quilómetros percorridos; variável dependente: custo da viagem em euros.

1.3.

Os pares ordenados da forma ( x , f ( x ) ) , x ∈ Df , são:

( 0, 0 ) ; (1; 2,5 ) ; ( 2 ; 3,0 ) ; ( 3; 3,5 ) ; ( 4; 4,0 ) ; ( 5; 4,5 ) Portanto, o gráfico de f é dado pelo conjunto:

Gf = {( 0, 0 ) ; (1; 2,5 ) ; ( 2 ; 3,0 ) ; ( 3; 3,5 ) ; ( 4; 4,0 ) ; ( 5; 4,5 )} 2.

Domínio de f : Df = {a , b , c} ; contradomínio de f : Df' = {1, 3, 7} Conjunto de chegada: {1, 3, 4, 7} Os pares ordenados da forma ( x , f ( x ) ) , x ∈ A , são: ( a , 3 ) ; ( b , 1) ; ( c , 7 ) Portanto, o gráfico de f é definido pelo seguinte conjunto:

Gf = {( a , 3 ) ; ( b , 1) ; ( c , 7 )} 3.1.

É uma função, pois a cada cor corresponde um e um só código RGB.

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 5

Propostas de resolução 3.2.

f (Preto ) = ( 0, 0, 0 ) ; f (Laranja ) = ( 225, 165, 0 )

3.3.

Variável independente: cor; variável dependente: código RGB.

Aplicar Pág. 75

1.1.

Inicialmente, a temperatura registada pelo João foi 60 ºC. Ao minuto 2 a temperatura registada foi 30 ºC. Portanto, passaram 2 minutos.

1.2.

A temperatura máxima foi de 60 ºC.

1.3.

Ao terceiro minuto a temperatura era de 20 ºC. Logo, a temperatura desceu ( 60 − 20 ) ºC , ou seja, 40 ºC.

1.4.

a) f ( 2 ) = 30 b) f ( 5 ) = 10 c) O objeto que tem por imagem 50 é 1, ou seja, se f ( x ) = 50 , então x = 1.

1.5.

A temperatura desceu até aos 10 ºC registada ao 5.º minuto.

1.6.

A temperatura não se alterou entre o 5.º e o 6.º minuto.

1.7.

Provavelmente de 10 ºC, pois a temperatura estabilizou nesse valor.

2.1.

Correspondência (A) porque à abcissa 1 correspondem duas ordenadas, 0 e 2.

2.2.

a) (B) : D = {1, 2, 3} ; D' = {1, 2} (C) : D = {1, 2, 3} ; D ' = {0, 2, 4} (D) : D = {1, 2, 3} ; D ' = {1} b) Função em (B) :

Função em (C) :

Função em (D) :

x

y

x

y

x

y

1

1

1

4

1

1

2

2

2

2

2

2

3

1

3

0

3

1

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 6

Propostas de resolução Aplicar Pág. 77

1.1.

A temperatura mais elevada registou-se no dia 20 de janeiro às 16 horas.

1.2.

A temperatura mais baixa registou-se no dia 21 de janeiro às 24 horas.

2.1.

Determinemos o m.d.c. (2, x), sendo x ∈ Df : • m.d.c. (2, 1) = 1

• m.d.c. (2, 6) = 2

• Para x = 2, trata-se do mesmo

• m.d.c. (2, 7) = 1

número, pelo que o máximo divisor é 2.

• m.d.c. (2, 8) = 2

• m.d.c. (2, 3) = 1

• m.d.c. (2, 9) = 1

• m.d.c. (2, 4) = 2

• m.d.c. (2, 10) = 2

• m.d.c. (2, 5) = 1

Logo, o contradomínio de f é dado por {1, 2}.

2.2.

3.1.

Para cada valor de x do domínio de g, é possível obter g (x) multiplicando x por 2.

g ( 2 ) = 2 × 2 = 4 ; g ( 3 ) = 2 × 3 = 6 ; g ( 5 ) = 2 × 5 = 10 Logo, Dg' = {4, 6, 10} .

3.2.

O gráfico de g é definido pelo conjunto Gg = {( 2, 4 ) , ( 3, 6 ) , ( 5, 10 )} .

4.1.

Para cada valor de x no domínio de f, o valor de f (x) é igual à sua soma com dois. Assim,

f (0) = 0 + 2 = 2 ; f ( 2 ) = 2 + 2 = 4;

5 8 13 5 5 f  = +2= + = ; 4 4 4  4 4 5 4 9 5 5 f  = +2= + = 2 2 2 2 2

9  13 , 4,  . Logo, Df' = 2, 2  4

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 7

Propostas de resolução 4.2.

Atividades fundamentais Pág. 78

1.1.

Dado que o Pedro vem almoçar a casa, então nessa altura a distância a casa é zero. Desta forma, exclui-se a opção (A). Para além disso, o Pedro tem dois momentos de aulas, de amanhã e depois de almoço. Logo, exclui-se a opção (B). Resposta: (C)

1.2.

Exclui-se a opção (B), pois o Pedro quando puxa a corda a bandeira sobe e não a deixa descair até a puxar novamente. Exclui-se a opção (C), pois a bandeira não está sempre à mesma altura do solo. Resposta: (A)

1.3.

De acordo com as opções dadas, a resposta é (A). A opção (B) exclui-se pois, independentemente do tempo que o pai do Pedro estacionasse o carro nesse parque pagaria sempre o mesmo. A opção (C) exclui-se dado que o custo diminui ao longo do tempo o que não corresponde à realidade.

1.4.

Normalmente, à medida que o custo do petróleo aumente, também aumenta o custo do litro de gasolina. Desta forma, exclui-se a opção (A) e exclui-se a opção (B). Resposta: (C)

Atividades fundamentais Pág. 79

2.

A opção (A) é falsa, pois f (2) = 20. A opção (B) é verdadeira, pois f (6) = 40 e f (7) = 40. A opção (C) é falsa, poi para x = 8, f (x) = 50. A opção (D) é falsa, dado que f (7) = 40 e f (8) = 50.

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 8

Propostas de resolução 3.

Vamos determinar a quantos kWh corresponde a energia consumida por cada um dos três eletrodomésticos. • Radiador: potência → 1500 W, logo, significa que consome numa hora 1,5 kWh. Como este eletrodoméstico esteve ligado hora e meia, consumiu (1,5 × 1,5 ) kW . • Máquina de lavar roupa: potência → 2200 W que corresponde a 2,2 kWh. Como esteve ligada durante 75 minutos, ou seja, 1,25 horas, então consumiu ( 2,2 × 1,25 ) kW = 2,75 kW . • Ferro de engomar: potência → 800 W que corresponde a 0,8 kWh. Como esteve ligado uma hora, então consumiu 0,8 kW. Nesse dia, os três eletrodomésticos consumiram:

( 2,25 + 2,75 + 0,8 ) kW = 5,8 kW Resposta: (D)

Atividades fundamentais Pág. 80

1.1.

O João tem razão. A temperatura é função da hora do dia, pois para cada momento está associado um único valor da temperatura. Por outro lado, a hora do dia não é função da temperatura, pois para o mesmo valor da temperatura estão associados momentos distintos. Por exemplo, registou-se −3 ºC às 2 horas e às 24 horas.

1.2.

2.2.

Domínio de f : Df = {a , c , e , f } ; contradomínio de f : Df' = {b , d , g}

2.3.

O gráfico da função f é definido pelo conjunto Gf = {( a , b ) , ( c , d ) , ( e , d ) , ( f , g )} .

3.1.

Domínio de g : Dg = {α , β , δ} ; contradomínio de f : Dg' = {□ , △, ○}

3.2.

a) g ( β ) =△

b) g ( δ ) =○

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 9

Propostas de resolução Atividades fundamentais Pág. 81

4.1.

4.2.

1  1 a) f   = 2 × = 1 2 2

b) f ( 0 ) = 2 × 0 = 0

c) g ( 0 ) = 0

d) g (1) = 2

As funções f e g têm o mesmo domínio e o mesmo conjunto de chegada. Vejamos se cada elemento do domínio tem a mesma imagem por f e por g.  1  1 f   = 1= g   2 2

f (0) = 0 = g (0)

1 2  1  1 f   = 2× = = g   3 3 3 3

f (1) = 2 × 1 = 2 = g (1)

f (3) = 2 × 3 = 6 = g (3)

Logo, as funções f e g são iguais.

5.1.

Não, pois cada pessoa tem associado um único tipo de sangue.

5.2.

Domínio da função: D = {António, Alexandre, Armando, Mário} Contradomínio da função: D ' = {AB, B, O}

5.3.

A imagem de “Mário” é “O” .

5.4.

Os objetos cuja imagem é “AB” são António e Alexandre.

6.1.

O cartão sugere que a cada valor de x faz corresponder o seu simétrico.

6.2.

A correspondência é uma função pois a cada valor de x do cartão está associado um único valor de y.

6.3.

a)

b)

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 10

Propostas de resolução 6.4.

Por exemplo: Elaborar um cartão onde a cada valor de x faz corresponder o seu quadrado. x

y

1 2

1 4

0

0

3 2

9 4

2

4

−

Exercícios, problemas e desafios complementares Pág. 82

1.

É possível formar 3 × 2 = 6 pares ordenados, onde o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento do par pertence ao conjunto B. Assim, tem-se: {(1, a ) ; ( 2, a ) ; ( 3, a ) ; (1, b ) ; ( 2, b ) ; ( 3, b ) } .

2.1.

A ( 2, 5 ) ; B ( −2, 2 ) ; H ( 0, − 3 ) e I ( 4, − 3 )

2.2.

a) A ( 2, 5 ) ; D ( 2, 2 ) e F ( 2, 0 ) b) B ( −2, 2 ) ; C ( 0, 2 ) ; D ( 2, 2 ) e E ( 4, 2 ) c) D ( 2, 2 ) e G ( −2, − 2 ) d) C ( 0, 2 ) e H ( 0, − 3 ) e) F ( 2, 0 ) e J ( −5, 0 )

2.3.

O (0, 0)

2.4.

a) Os pontos que pertencem ao quadrante ímpares têm abcissa e ordenada simultaneamente positiva (no caso de pertencerem ao 1.º quadrante) ou negativa (no caso de pertencerem ao 3.º quadrante). Assim, os pontos que pertencem aos quadrantes ímpares são: D, E e G.

b) Os pontos que estão sobre os quadrantes pares têm coordenadas com sinais contrários, como é o caso dos pontos B e I.

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 11

Propostas de resolução Exercícios, problemas e desafios complementares Pág. 83

3.1.

Não, pois o hexágono não tem os lados geometricamente iguais. Resposta: (B)

3.2.

a) Por exemplo:

A e B têm abcissa nula. C tem ordenada nula.

b) Por exemplo:

C tem abcissa e ordenada nulas. A, B, D, E e F têm abcissas negativas.

3.3.

O polígono [ABCD] é um paralelogramo.

3.4.

a) A ( −3, − 3 ) ; B ( 3, 3 ) e C (1, − 1) b) E ( 3, − 3 ) e D ( −3, 3 ) c) F ( −1, 1)

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 12

Propostas de resolução Exercícios, problemas e desafios complementares Pág. 84

4.1.

A correspondência f. Neste caso, a cada elemento do conjunto A corresponde um elemento único do conjunto B. No caso da correspondência g existe um elemento do conjunto A, −4 , que não está associado a qualquer elemento do conjunto B. Logo, g não é uma função.

4.2.

a) Domínio de f : Df = {0, 1 , 2 , 3} ; contradomínio de f : Df' = {a , b} Conjunto de chegada: {a , b , c} .

b) f ( x ) = a quando x toma os valores 0, 1, 2 ou 3. 5.1.

A correspondência é uma função pois a cada cor corresponde um único significado.

5.2.

a) f ( Azul) = Qualidade

b) f ( Vermelha ) = Perigo

c) f ( Amarela ) = Banho 5.3.

O gráfico de f é definido pelo seguinte conjunto de pares ordenados: Gf = {( Azul, Qualidade ) , ( Verde, Nadar ) , ( Amarela, Banho )

( Vermelha, Perigo ) , ( Axadrezada, Sem vigilância )} Exercícios, problemas e desafios complementares Pág. 85

6.1.

Uma função numérica é uma função cujo conjunto de chegada é um conjunto de números. Assim, as funções f e g são funções numéricas.

6.2.

Uma função numérica de variável numérica é uma função onde o domínio e o conjunto de chegada são conjuntos de números. A função g é uma função numérica de variável numérica.

7.

Os gráficos (B), (C) e (D) não representam o gráfico cartesiano de uma função, dado que existem casos onde a uma mesma abcissa correspondem mais que uma ordenada. Resposta: (A)

8.1.

3   1 Contradomínio de f : Df' = 0, , 1, , 2  2   2

8.2.

A cada valor do domínio faz associar a sua metade. Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 13

Propostas de resolução 8.3.

9.1.

Em cada par ordenado, o 1.º elemento corresponde a um único 2.º elemento.

9.2.

Domínio da função: D = {−1, − 2 , 0 , 1} ; contradomínio da função: D ' = {0 , 1, 2}

9.3.

Exercícios, problemas e desafios complementares Pág. 86

10.1. Opção (A): Uma viagem de 2 km custa 5 €, enquanto uma viagem de 1 km custa 3 €. A afirmação é falsa, pois 5 não é o dobro de 3.

Opção (B): Uma viagem de 3 km custa 7 €, enquanto uma viagem de 6 km custa 13 €. Como 7 € não é metade de 13 euros, então exclui-se a opção (B).

Opção (C): Uma viagem de 4 km custa 9 €, enquanto uma viagem de 2 km custa 5 €. Como 9 € não é o dobro de 5 euros, então a afirmação é falsa. Resposta: (D)

10.2.

t ( 2 ) = 5; t ( 4 ) = 9; t ( 4 ) = t ( 3 ) + 2

10.3.

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 14

Propostas de resolução 11.1.

Determinemos a imagem de cada objeto dada pela função f : f ( −2 ) = 3 × ( −2 ) + 1 = −6 + 1 = −5

f ( −1) = 3 × ( −1) + 1 = −3 + 1 = −2

3 3 2 5  1  1 f   = 3 ×   + 1= + 1= + = 2 2 2 2 2 2

f (1) = 3 × 1 + 1 = 3 + 1 = 4

5   Portanto, Df' =  −5, − 2, , 4  . 2  

11.2.

O gráfico de f é definido pelo conjunto de pares ordenados:   1 5 Gf = ( −2, − 5 ) , ( −1, − 2 ) ,  ,  , (1, 4 )  2 2  

11.3.

11.4. Para que duas funções f e g sejam iguais têm de ter o mesmo domínio, o mesmo conjunto de chegada e f (x) = g (x), para quaisquer x ∈ A . No caso apresentado, embora as funções f e g terem o mesmo domínio e o mesmo conjunto de chegada, existem valores de x de A, tais que f ( x ) ≠ g ( x ) . Veja-se o caso de f (1) = 4 e g (1) = −

5 . Concluindo, f e g não são iguais. 6

11.4. a) Para que duas funções f e g sejam iguais têm de ter o mesmo domínio, o mesmo conjunto de chegada e f (x) = g (x), para quaisquer x ∈ A . No caso apresentado, embora as funções f e g terem o mesmo domínio e o mesmo conjunto de chegada, existem valores de x de A, tais que f ( x ) ≠ g ( x ) . Veja-se o caso de f (1) = 4 e g (1) = −

5 . Concluindo, f e g não são iguais. 6

b) Determinemos as imagens dos valores de x de A: g ( −2 ) = −

1 1 2 1 4 3 1 × ( −2 ) − = − = − = 3 2 3 2 6 6 6

1 1 1 1 2 3 1 g ( −1) = − × ( −1) − = − = − = − 3 2 3 2 6 6 6 Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 15

Propostas de resolução 1 1 1 1 1 1 3 4 2  1 g = − × − = − − = − − = − = − 3 2 2 6 2 6 6 6 3 2 1 1 1 1 2 3 5 g (1) = − × 1 − = − − = − − = − 3 2 3 2 6 6 6 2 1 1  5 Logo, Dg' =  − , − , − ,  . 3 6 6  6

c)

Exercícios, problemas e desafios complementares Pág. 87

12.1. Considerando o tempo de reação constante, a distância de reação (Dr) e a velocidade (v) a que circula o automóvel são grandezas diretamente proporcionais. Logo, podemos efetuar os seguintes cálculos para completar a tabela: Dr (m)

v (km/h)

30

-----------

100

x

-----------

40

x=

30 × 40 = 12 100

Se o automóvel circula a 40 km/h, a distância de reação é 12 m. Dr (m)

v (km/h)

30

-----------

100

45

-----------

x

x=

45 × 100 = 150 30

A distância de reação igual a 45 m está associada a uma velocidade de 150 km/h. Dr (m)

v (km/h)

30

-----------

100

x

-----------

60

x=

60 × 30 = 18 100

Se o automóvel circula a 60 km/h a distância de reação é 18 m.

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 16

Propostas de resolução Dr (m)

v (km/h)

30

-----------

100

15

-----------

x

x=

15 × 100 = 50 30

Para uma distância de reação 15 m está associada uma velocidade de 50 km/h. Completando a tabela, tem-se:

12.2. Dr =

Velocidade (km/h)

Distância de reação (m)

40

12

150

45

60

18

50

15

30 3 × v ou Dr = × v ou Dr = 0,3v , sendo o tempo de reação constante. 100 10

12.3. É verdade, desde que os outros fatores se mantenham. Quanto menor for a distância de reação, menor é a velocidade a que circula o veículo durante o tempo de reação. Repara que a distância de segurança é obtida através da soma entre a distância de reação e a distância de travagem (depende do veículo, do estado do piso, etc.)

Exercícios, problemas e desafios complementares Pág. 88

13.1. A afirmação 1 é falsa, pois para o valor de P igual a 8 está associado mais que um valor para o número de segundos de conversação. Na verdade, ao valor 8 correspondem 1, 2, 3, 4, 5, …, 60 segundos. A afirmação 2 é verdadeira, pois a cada segundo de conversação está associado um único preço.

13.2 Horas a que se realizou a chamada (horas)

Distância entre telefones (km)

Tempo de conversação (segundos)

Preço da chamada (cêntimos)

17

400

59

8

19

35

60

8

22 (horário económico)

10 (Local)

78 (18 segundos para além do 1.º minuto)

8 + 0,07 × 18 = 9,26

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 17

Propostas de resolução 13.3. O João efetuou uma chamada nacional em horário normal. Ora, 2 minutos e 15 segundos correspondem os (120 + 15) segundos, isto é, 135 segundos. Como (135 – 60) segundos = 75 segundos, significa que o tempo de conversação para além do 1.º minuto teve a duração de 75 segundos. Assim, o preço da chamada do João é dado por: P = 8 + 0,3 × 75 = 30,5 O João irá pagar 30,50 cêntimos pela chamada efetuada.

Exercícios, problemas e desafios complementares Pág. 89

13.4. A Inês efetuou uma chamada nacional em horário económico. Sabe-se que 8 cêntimos dizem respeito a 60 segundos do tempo de conversação. Ora, 17,45 – 8 = 9,45 cêntimos. Significa que, para além do 1.º minuto, a Inês gastou 9,45 cêntimos sendo que o preço, por segundo, é 0,21 cêntimo. Determinemos o tempo de conversação para além do 1.º minuto efetuando o quociente: 9,45 = 45 . Portanto, a Inês efetuou uma hamada com duração de (60 + 45) segundos, ou 0,21 seja, 1 minuto e 45 segundos.

13.5. As chamadas entre o Pedro e a Ana são realizadas em horário económico. Durante três minutos e meio gastará 18,5 cêntimos. Sabe-se que nos primeiros 60 segundos, o custo da chamada é fixo e igual a oito cêntimos. Assim, para além do 1.º minuto a Ana e o Pedro gastaram na segunda-feira (18,5 – 8) cêntimos, ou seja, 10,5 cêntimos. Determinemos o custo por segundo efetuando o quociente

10,5 = 0,07 que corresponde ao preço de uma 150

chamada local. Assim, a distância entre a casa da Ana e do Pedro é inferior a 15 km.

14.5. O gráfico representa uma função, pois cada valor da abcissa, p, corresponde um único valor da ordenada, c.

14.2. O gráfico representa uma função, pois cada valor da abcissa, p, corresponde um único p

0

0,5

1

1,5

2

2,5

c

0

1,27

2,54

3,81

5,08

6,35

14.3. Domínio da função: D = {0; 0,1; 1; 1,5; 2; 2,5} Contradomínio da função: D ' = {0; 1,27; 2,54; 3,81; 5,08; 6,35} Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 18

Propostas de resolução 14.4. Pela observação do gráfico, o valor de c corresponde a 2,25 polegadas situa-se entre 6,35 e 5,08. Atendendo a que 1 polegada corresponde a 2,54 centímetros, então estima-se que 2,25 polegadas corresponderá a 2,25 × 2,54 cm, ou seja, a aproximadamente 5,715 cm.

Exercícios, problemas e desafios complementares Pág. 90

15.1. a) 5 × 0,35 = 1,75 . Um cliente que efetuasse uma chamada no tarifário A com a duração de 5 segundos, pagaria 1,75 cêntimo.

b) 10 × 0,35 = 3,50 . Um cliente que efetuasse uma chamada no tarifário A com a duração de 10 segundos, pagaria 3,50 cêntimos.

c) 45 × 0,35 = 15,75 . Um cliente que efetuasse uma chamada no tarifário A com a duração de 45 segundos, pagaria 15,75 cêntimos.

d) 2 minutos e 10 segundos correspondem a ( 2 × 60 + 10 ) segunods, ou seja, a 130 segundos. Assim, 130 × 0,35 = 45,50 . Um cliente que efetuasse uma chamada no tarifário A com a duração de 2 minutos e 10 segundos, pagaria 45,50 cêntimos

15.2. a) Um cliente que efetuasse uma chamada no tarifário B com duração de 5 segundos pagaria 1,75 cêntimos, pois a duração da chamada é não superior a 10 segundos e, portanto, o preço é fixo.

b) Tal como na questão anterior, um cliente que efetuasse uma chamada no tarifário B com duração de 10 segundos pagará o valor de 1,75 cêntimo.

c) Número de segundos para além dos dez primeiros: 35 segundos. Assim, tem-se: 1,75 + 0, 40 × 35 = 15,75 . Um cliente que efetuasse uma chamada no tarifário B com duração de 45 segundos pagaria 15,75 cêntimos.

d) Como já vimos, 2 minutos e 10 segunos correspondem a 130 segundos. Portanto, para além dos primeiros 10 segundos (que tem custo fixo de 1,75 cêntimo) acresce o custo de 120 segunods a um preço de 0,40 cêntimo o segundo. Assim, tem-se: 1,75 + 0, 40 × 120 = 49,75 Um cliente que efetuasse uma chamada no tarifário B com duração de 2 minutos e 10 segunos pagaria 49,75 cêntimos.

15.3. a) Determinemos as coordenadas dos pontos da forma (x, a(x)) e (x, b(x)), sendo x ∈ {5, 10, 20, 30, 40, 45, 60} a ( 5 ) = 0,35 × 5 = 1,75 → ( 5; 1,75 )

a (10 ) = 0,35 × 10 = 3,50 → (10; 3,50 )

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 19

Propostas de resolução a ( 20 ) = 0,35 × 20 = 7,00 → ( 20; 7,00 ) a ( 30 ) = 0,35 × 30 = 10,5 → ( 30; 10,5 ) a ( 40 ) = 0,35 × 40 = 14,00 → ( 40; 14,00 ) a ( 45 ) = 0,35 × 45 = 15,75 → ( 45; 15,75 ) a ( 60 ) = 0,35 × 60 = 21,00 → ( 60; 21,00 ) b ( 5 ) = 1,75 → ( 5; 1,75 ) b (10 ) = 1,75 → (10; 1,75 ) b ( 20 ) = 1,75 + 10 × 0, 40 = 5,75 → ( 20; 5,75 ) b ( 30 ) = 1,75 + 20 × 0,40 = 9,75 → ( 30; 9,75 ) b ( 40 ) = 1,75 + 30 × 0, 40 = 13,75 → ( 40; 13,75 ) b ( 45 ) = 1,75 + 35 × 0, 40 = 15,75 → ( 45; 15,75 ) b ( 60 ) = 1,75 + 50 × 0, 40 = 21,75 → ( 60; 21,75 )

b) a (x) = b (x) para x = 5 e x = 45. Repara que a (5) = b (5)=1,75 e a (45) = b (45) = 15,75. Significa que uma chamada com a duração de 5 segundos e 45 segundos tem o mesmo custo nos dois tarifários.

15.4. De acordo com os dados disponíveis, entre os 5 s e 45 s optaria pelo tarifário B. Para chamadas com durações distintas optaria pelo tarifário A.

Exercícios, problemas e desafios complementares Pág. 91

16.1. Não, pois para um mesmo valor da distância estão associados dois valores distintos de litros de gasóleo no depósito. Veja-se o caso de 400 km e 950 km.

16.2. O automóvel iniciou a viagem com 40 litros de gasóleo no depósito. 16.3. Foram percorridos 1200 km. 16.4. Observando o gráfico conclui-se que o Pedro abasteceu o seu automóvel duas vezes após o início da viagem.

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 20

Propostas de resolução 16.5. 1.º abastecimento: (60 – 10) l = 50 l 2.º abastecimento: (55 – 20) l = 35 l O Pedro abasteceu 85 litros de gasóleo no seu automóvel.

16.6. Antes do 1.º abastecimento: (40 – 10) l = 30 l Antes do 2.º abastecimento: (60 – 20) l = 40 l Depois do 2.º abastecimento: (55 – 35) l = 20 l Portanto, no total, o automóvel do Pedro gastou 90 litros. 1 1 da distância total corresponde a × 1200 km = 400 km . Observando o gráfico 3 3

16.7. a)

verifica-se que o automóvel do Pedro consumiu 30 litros.

b)

1 1 da distância total corresponde a × 1200 km = 600 km . Analisando o gráfico conclui2 2

se que o automóvel do Pedro consumiu 30 litros antes do primeiro abastecimento e 15 litro depois desse abastecimento. No total, o automóvel gastou 45 litros.

16.8. Sim. Sabemos que o automóvel do Pedro consumiu 90 litros de gasóleo durante a viagem (alínea 16.6.). No início da viagem, o automóvel do Pedro tinha 40 litros de gasóleo e, no primeiro abastecimento, o Pedro abasteceu o depósito do seu automóvel com 50 litros de gasóleo. Temos então que 40 + 50 = 90. Ou Quando o Pedro efetuou o último abastecimento tinha 20 litros de gasóleo. Até ao fim da viagem gastou exatamente 20 litros. Logo, podemos afirmar que se o Pedro só tivesse efetuado o primeiro abastecimento no depósito do seu automóvel poderia ter terminado a viagem.

16.9. Se a viagem continuasse, o Pedro ainda tinha disponíveis 35 litros de gasóleo. Como em média, o automóvel consome 8 litros por cada 100 km, tem-se: 8

-----------

100

35

-----------

x

x=

35 × 100 = 437,5 8

O Pedro ainda poderia fazer 437,5 km com aquele automóvel.

Autoavaliação Pág. 92

1.1.

A correspondência entre o tempo (t) e a distância (D) é uma função pois para cada t ∈ Df está associado um elemento único de D.

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 21

Propostas de resolução 1.2.

Domínio de f : Df = {1, 2, 3, 4, 5} ; contradomínio de f : Df' = {1,5; 3,0; 4,5; 6,0; 7,5}

1.3.

7,5 km = 1,5 km/min 5 min

1.4.

A velocidade média é dada pelo quociente

2.

Não, pois ao valor de x igual a 5 correspondem dois valores distintos de y.

3.1.

Observando o gráfico cartesiano de f, tem-se: Gf = {( −2, − 1) ; ( −1, − 1) ; ( 0, 0 ) ; (1, 0 ) ; ( 2, 1) ; ( 3, 2 ) ; ( 4, 0 )}

3.2.

a) Domínio de f : Df = {−2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4} b) Contradomínio de f : Df' = {−1, 0, 1, 2} c) f ( 3 ) = 2 . A imagem de 3 é 2. d) f ( x ) = 0 para valores de x iguais a 0, 1 e 4. e) f ( x ) = −1 para valores de x iguais a –2 e –1.

3.3.

Tabela: x

–2

–1

0

1

2

3

4

y

–1

–1

0

0

1

2

0

Diagrama de setas:

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 1 Capítulo 2 – Página 22