Matage

 

Le point sur les pressions de contact entre les solides (première (premi ère par partie) tie)

méca 

BRUNO LOUARN, LOUARN, CHRISTIAN CHRISTIAN TEIXIDO1

ZOOM 

Dans tous les mécanismes, la transmission des efforts en  fonctionnem  foncti onnement ent se fait fai t par l’inter l’ intermédia médiaire ire des surfaces su rfaces de liaisons. Le problème de la détermination des pressions de contact au niveau de ces surfaces est complexe. complexe. Il met en jeu leur géométrie et la nature de la déformation des matériaux en présence. MOTS-CLÉS mécanique, liaison,

En pratique, au bureau d’études, on peut se servir  d’un certain nombre de modèles simples qui permettront  d’obtenir des résultats dans le cas d’un contact où la surface commune est petite (contact étroit) et  dans celui où elle est grande (contact large ou étendu), l’objectif final restant pour le concepteur le dimensionnement des liaisons.

modélisation, postbac

CONTACT ÉTROIT : LE CONTACT PONCTUEL OU LINÉIQUE (THÉORIE DE HERTZ)

La théorie de Hertz de déterminer: dimensions depermet la surface de contact; – les – le rapprochement des deux solides; – la pression de contact maximale; – les contraintes engendrées en surface et en profondeur. Les résultats de cette théorie ne sont pas sans s ans erreurs, mais ils donnent un ordre d’idée qui permet perme t avec l’expérience de dimensionner les liaisons ponctuelles ou linéiques, et de choisir les matériaux et les traitements thermiques adaptés (voir annexe). Deux solides sont en contact ponctuel ou linéique lorsqu’ils sont tangents en un point ou suivant un segment de droite. dr oite. Pratiquement, on rencontre ce type de contact: au contact came-poussoir, au contact d’un galet sur un rail, aux appuis des pièces dans les montages d’usinages, dans les engrenages, dans les roues roues libres, libres, etc. Hypothèses On suppose que (figu gure re 1): – l’aire de contact est très petite par rapport aux surfaces latérales respectives respectiv es des solides en contact contact;; – les rayons de courbures sont connus au point de contact contact ; – les corps sont élastiques, homogènes et isotropes isotropes;; est plane ; – la surface de contact est le contact se fait sans frottement et les solides sont sans mouvement relatif.

{

} =

T 2/ 2/1 1

→ z

π 2 Figure1. Exemple de contact étroit

0 0

0

ZA

0  A 

A

0



1

A

=



→ →

ZA ⋅ z

0



Les matériaux composant les corps sont caract érisés par leurs modules d’élasticité longitudinale: E1 et E2. 52  TECHNOLOGIE 117  JANVIER-FÉVRIER 2002

Avant chargement →

Après chargement →

z

(π)

1

z

1

(π)

2

2

Répartition elliptique de P Figure 2. Déformation et et champ des pressions dans un contact étroit

Les résultats

Tout d’abord, rappelons rappelons que : – la surface de contact appartient au plan tangent (π) des deux surfaces;; elle dépend de la nature des surfaces en contact; surfaces – le rapprochement δ des deux solides est la diff érence de distance prise perpendiculairement au plan (π) de deux points situés loin des zones de déformation, entre la position initiale initi ale et la position finale ; il dépend lui aussi de la nature des surfaces en contact; – la répartition du champ de pression de contact est modélisée : – de manière uniforme dans le sens de la longueur et selon une demi-ellipse demi-ellips e dans le sens de la largeur pour un contact linéique, – selon une demi-ellipse dans n’importe quel sens de regard pour un contact ponctuel ( figur gure e 2). 2). On définit: 1 1 1 gure ress 3 et 4) – le rayon de courbure relatif rr : = ± (figu rr r1 r2 signe + pour une tangence ex exttérieure signe – pour une tangence intérieure;

– le module d’élasticité E pour les calculs :

1 E

1 = 1   + 1      2  E1 E2  

1. Profe Professeur sseurss de construction construction mécanique au lycée Jean-Jaurès d’Argenteuil.

 

Figure 3. Contact cylindre-cylindre Répartition de p

Contact réel

→  F1/2   r   1

2b

1 2

r2



2b pmax

→

F

b = 1,52

→

⋅ rr

F

pmax = 0,418

E ⋅l

E

⋅

rr ⋅ l

Figure 4. Contact sphère-sphère Répartition de p

Contact réel

→  F1/2

2r

1 2

r2

2r pmax 3

r = 1,11

→

F

⋅ rr

E

Les conséquences sur les contrai contraintes ntes engendrées Contraintes en surface

En surface, la contrainte normale est égale à la pression de contact. Pour dimensionner et choisir les matériaux devant servir à réaliser les surfaces de contact, la première étape consiste à comparer la pression maximale à la pression admissible par le matériau (fournie par les laboratoires d ’essais). p maxi ≤ p admissible N.B. : cette pression admissible s’appelle aussi pression de matage.

3 →

pmax = 0,388

F

⋅

( ) E

2

rr

Valeurs de pressions admissibles Le tableau ci-dessous donne les pressions limites admissibles entre deux pièces mobiles ou en mouvement dans des conditions condition s d’utilisation déterminées. Contact entre pièces fixes

Pression admissible (en MPa)

Sur acier ou fonte sans matage

80 à 100

Sur acier ou fonte avec léger matage (ou sur béto ton n)

200 à 250

Contact entre filets (ex. : vi vis d’assemblage)

15 à 30

JANVIER-FÉVRIER 2002   TECHNOLOGIE 117  53

 

Pression admissible (en MPa)

Contact entre pièces mobiles

Contact en entre filets (mobiles en fo fonctionnement)

2 à6

Articulation en porte-à-faux

0,5 à 8

Articulation en chape (ou fourchette)

1 à 25

Paliers rig rigides avec flexion de l’arbr bre; e; acie cier/fonte

1 à 1,5

Paliers à rotule, acier sur bronze à graissage intermittent

1,5 à 2,5

Paliers acier trempé/bronze;

2,5 à 4

lubrification sur film d’huile Paliers rectifiés de bielle; graissage normal ou sans pression

6 à 9 ou 9 à 15

Paliers de moteur (automobile, aviation) ; rotules de coussinets

– des solides indéformables; – une liaison sans jeu jeu;; – un mode de chargement qui donne un torseur à r ésultante parfaitement centré. L’avantage de ce modèle réside dans le fait que la pression pressi on p0 se calcule aisément puisqu’elle est égale au quotient de la force appliquée par l’aire de la surface de contact projetée sur un plan perpendiculaire à cette force (figur gure e 5). 5). F2 / 1 p0  = Surface Surfa ce proj projet etée   Pour dimensionner et choisir les mat ériaux devant servir à  réaliser les surfaces de contact, on compare la pression de contact p 0 à la pression conventionnelle conventionnelle de matage (fournie par les laboratoires d’essais). p 0  ≤ pmatage (padm.)

10 à 25

Contraintes en profondeur Une deuxième étape serait de vérifier que les contraintes en profondeur ne dépassent pas les limites admises par le mat ériau. Nous ne rentrerons pas dans cette étude car elle nécessite des connaissances en mécanique qui sortent du cadre de l ’analyse (théorie de L’élasticité et critère de Tresca entre autres).

Le cas des paliers lisses Un palier lisse est un organe m écanique dont le rôle est est de : – supporter les charges appliquées à un arbre arbre ; – permettre la rotation de l’arbre autour d’un axe fixe. On rencontre deux types de solutions r éalisant des liaisons pivot ou pivot glissant. Premier cas

La liaison est réalisée à partir de deux paliers « courts ». Pour les valeurs usuelles de jeu, le rapport L/D est pris pour chacun

CONTACT CT EN GRANDE SURFA SURFACE CE LE CONTA (LARGE OU ÉTENDUE) Lorsque l’étendue de la surface nominale devient importante, le contact entre les pièces se fait de mani ère aléatoire sur les aspérités. Quantifier avec précision les pressions réelles reste un problème non résolu. Pour pallier ce manque de connaissances, le concepteur du bureau d’études utilise certains modèles simples, la validation de ses résultats se faisant souvent à partir d’essais.

premier ier modèle: pression uniforme Le prem Les hypothèses et les résultats Ce modèle suppose que la répartition des pressions de contact est uniforme sur toute la surface de contact. p(M) p(M) = p0 = constante Ceci impose: impose : – une géométrie parfaite des surfaces en contact (les défauts macro et micro-géométriques sont négligés) ;

inf érieur à 0,8 de manière à pouvoir leur associer un comportement de rotule ou de lin éaire annulaire. De plus, les deux paliers sont séparés par une distance importante. → y

φD

→ z

 O

→ x

L

Figure e 6. Figur

L < 0,8 D

L

En appelant G le centre g éom étrique de chaque liaison arbre-palier, les efforts appliqués par l’arbre sur le palier sont

Figure 5. Exemples de contacts en grandes surfaces et à pression uniforme

Surfaces

Couronne

Demi-cylindre

Demi-sphère

Surface protégée

R2

2

Surface protégée

2

1 1

2 Action mécanique

R

D

R1

p0

1

O

O

O

l p0 →  F2/1

 

p0

→  F2/1

→

Pression p0

p0 =

F2/1  π

(R22 – R12)

54  TECHNOLOGIE 117  JANVIER-FÉVRIER 2002

→  F2/1

→

p0 =

F2/1 D ⋅1

→

p 0 =

F2/1  π

R2

 

→

représentables par un torseur qui s ’écrit dans le repère (G, x, →→ y, z ) : – dans le cas de la liaison linéaire annulaire parfaite parfaite :

0  Arbre/Palier er} =  YG { T Arbre/Pali  ZG G

liaison rotule: rotule : – dans le cas de la liaison

 X G  Arbre/Palier er} =  YG { T Arbre/Pali  ZG G

Si le chargement est excentr é, alors M0  ≠ 0 et N0  ≠ 0. La répartition des pressions de contact n ’est plus uniforme: p(M) ≠ constante. Ce cas sera développé dans le prochain numéro.

0



0 0  0



0 0 

N.B. : Dans le cas de la rotule, la composa composante nte X G est supportée par une surface latérale du palier et non par sa surface cylindrique (voir cas de la couronne). Comme le chargement est centré et appartient au plan de →→ symétrie du palier (G, y, z ), pour les deux liaiso liaisons ns précédemment citées, la pression en un point M est égale à : W   ≤ padm. sachant que W = YG2 + Z2G p (M) = D ⋅1 Ce mode de détermination de la pression de matage est utilisé par les manufacturiers de bagues. Second cas

La liaison est réalisée à partir d’un seul palier « long ». Pour les valeurs usuelles de jeu, le rapport L/D est pris sup érieur à 1,5 pour conf érer à l’ensemble le comportement d’une liaison pivot

deuxième modèle: Le deuxième modèle : pression fonction de la déformat déformation ion Ce modèle suppose que l’un ou les deux solides se déforment et qu’il existe une relation entre la déformation δ(M) en un point de la surface de contact et la pression p(M) en ce point. Cette relation s’écrit crit : p p(M) (M) = K ⋅ δ(M)α. K :coef  :coef ficient lié à la rigidité des matériaux en contact. α :coefficient qui traduit le comportement des matériaux en contact. less matériaux métalliques. α = 1 pour le α > 1 pour les matières plastiques. Ceci impose impose que: que : – les surfaces en contact sont globalement parfaites; – les solides sont globalement rigides à l’exception de la zone située au voisinage immédiat de la surface de contact contact ; – la liaison se fait sans ou avec jeu. Le cas du contact plan On ne prend en compte que la déformation locale d’un des deux solides ; ainsi la surface plane avant déformation reste plane après déformation (figur gure e 8). On adopte α = 1, d’où p(M)  p(M) = K ⋅ δ(M)

ou pivot glissant.

→ z → y

φD

O  

→ z

δ(M)

Surface de contact avant déformation

→ x

Surface de contact après déformation

S2 O

Figure 7. Figure

L > 1,5 D

L

M’ S1

→ x

Soit O le centre géométrique de la liaison, les efforts appliqu és par l’arbre sur le palier sont représentables par un torseur qui →→→ s’écrit dans le repère (O, x, y, z ) : – dans le cas de la liaison pivot glissant: 0 0 



Arbre/Palier ier} =  Y { T Arbre/Pal

O

 ZO

O

– dans le cas de la liaison liaison pivot: pivot :

 X O  Arbre/Palier ier} =  YO { T Arbre/Pal  ZO O



MO  NO

 

  MO  NO  0

N.B. : Dans le cas du pivot, la composante X O est supportée par une surface latérale du palier et non par sa surface cylindrique (voir cas de la couronne). Si le chargement est centré (cas très rare), on a alors: – W = (YO2 + ZO2 qui appartient au plan de symétrie du palier

√

→→

(O, y, z ) ; – M0 = N0 = 0. On se retrouve dans le cas d’un palier « court » ; la pression en un point M est égale à : W p(M) p(M) = ≤ padm. D⋅1

M

→ y

Figure 8. Figure Déformation pour un contact plan

forme : δ(M) (M) = Ax Ax + B Byy + C C,, δ(M) est de la forme Kax + K Kb by + K KC C=a axx + by by + c. d’où p(  p(M) M) = K ⋅ δ(M) = Ka

La répartition des pressions de contact p(M) est donc linéaire. La détermination des coef fi→  n (M) cients a, b et c s’effectue à partir de l ’expression du torseur d’efforts transm transmissible issibless corcorG respondant à   une liaison parfaite: O M   → → z x → Teffort trans   = Z →  → y   → O z L x + M y O   Figure e 9. Figur Il est égal au torseur d’action

{

}

→ n(M) dS –→ p(M)   → → L x + My = OM ∧ – p(M) n(M) dS S

de contact, soit soit : Z→ z= →

∫  ∫  S

p(M) p(M) = ax + by + c. → → La normale au plan de contact s ’écrit n(M) = – z. JANVIER-FÉVRIER 2002   TECHNOLOGIE 117  55

 

→

→

12 α

OM = x y + yy (si O appartient à la surface de contact)

  →

 →

→

2

OM ∧ n(M) = – x y + yx

∫ (ax + by +c)ds = a∫ x dS + b∫ y dS + b∫ dS L x + M y = ∫ [(x x + y y) ∧ (a (axx + by + c)] dS L = a∫ xy dS + b∫ y dS + c∫ y dS M = – a∫ x dS – b∫ xy dS + c∫ x dS

Z= →

S

→

→

→

S

S

S

x+

12 β

y + 1 ≥ 0. 2 b   a Cette condition est vérifiée si le point central se trouve à l’intérieur du losange tracé sur la figure 10.

→

S

2

S

S

→ y

S

2

S

S

– les moments statiques Sx dS = – le produit d’inertie Sxy dS = 0.

∫  ∫ 

S

2

IGy et IGx. Ce qui nous nous donne : Z = c s, L = b IGx IGx,, M = – a IGy. L’expression de la pression pour un point M de coordonn ées x et y par rapport à son centre de gravit é s’écrit: M L Z p(M) = – x + y + . IGy IGx S Recherchons le point central de cette surface surface ; c’est le point où l’axe central du torseur d ’effort transmissible par la liaison coupe la surface de contact. Soit Q ce point: point : →

  →

→

b 6

→ x

         b

→ x

a 6

y dS = 0;

S

  →

a

D=2R

Figure Contact tact plan, Figure 10. Con surface rectangulaire

Figure 11. Con Figure Contact tact plan, surface circulaire

ANNEXE

PRESSION DE CONTACT MAXIMALE SUIVANT LES MATÉRIAUX CAS DES ENGRENAGES 1600 1500    7   6

  →

1400    5

M (Q) =   0→= M (G) Z z ∧ GQ ; → +→ Poso Posons ns GQ = αx + β y

  →

→

D 4

∫ 

moments quadratiques quadratiques de la surface ∫ x dS et ∫ y dS sont les moments 2

→ y

S

En se plaçant au centre de gravité de la surface de contact et en supposant que celle-ci est symétrique par rapport à l’un des deux axes (condition qui est vérifiée pour les surfaces de contact des liaisons usuelles), usuelles), on a alors :

S

 

→

→

1300 1200

→

1100

M (Q) = L x + My + Zα y – Zβ y ; L M et β = – α=– Z Z  

1000   4

α β y + 1Z x+   IGy IGx S 

p(M) = 

900 800

À partir de cette expression, on peut déterminer la pression de contact en tout point de la surface, si l’on conna î t la valeur et la position de l ’effort presseur. Dans le calcul du contact plan, deux conditions doivent être vérifiées : – le non-décollement des surfaces de contact (cas de liaison appui plan unilatérale, par exemple) exemple);; – la résistance de la surface à la pression de contact maximale.

   3

700

   2

600

   a     P     M    e     l    a    m     i    x    a    m    t    c    a    t    n    o    c    e     d    n     T     O    o     R     I     i    s     N     H    s     E  .    e     M     R    r     A     P     P     S     E     G     A     N     E     R     G     N     E

500

Première condition

Pour avoir non-décollement, il faut que la pression de contact en tout point de la surface commune au deux solides soit positive. Ce qui se traduit par la condition, si Z est positif: positif :

α β y + 1 . 0≤ x+   IGy IGx S    x et y représentent les coordonnées du point du contour de la surface commune où le décollement risque de se produire. Si l’on conna î t la forme de la surface de contact, à partir de cette inéquation, on peut déterminer un domaine à l’intérieur duquel doit passer le glisseur Z pour que les deux surfaces restent totalement en contact. On appelle ce domaine le noyau central de nondécollement.

    1

100

1 2 3 4

150

200

250 300

400

500 600 700

HB

23 32

43

51 57

HB

Fontes Aciers au carbone Ac Acie iers rs alli allié és coulé coulés Ac Acie iers rs alli allié és forgé forgés

5 + trempe super ficielle 6 Aciers de nitruration 7 Aciers de cémentation allié alliés

Ergot dans rainure Fixe:  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Mpa Glissant sous charge charge :  . . . . . . 10 Mpa

Vis de pression Matage nul :  . . . . . . . . . . . . . 100 Mpa Matage léger:  . . . . . . . . . . . . 100 à 250 Mpa Matage Matag e fort :  . . . . . . . . . . . . 250 Mpa

Clavettes et cannelures Con Condit ditions ions de fon fonctio ctionne nnemen mentt

Mau Mauvai vaises ses

Moy Moyenn ennes es

Excell Excellent entes es

Exemple La surface1 commune est plane rectangulaire (figure10). À partir de l’inéquation précédente et de la forme de la surface, on a :

Glissant sous charge

3 à 10

5 à 15

10 à 20

Glissant sans charge

15 à 30

20 à 40

30 à 50

12 α

Fixes

40 à 70

60 à 100

80 à 150

3

ba

x+

12 β ab

3

y+

1 ab

3

ab ; ≥ 0  car S = ab

IGy =

56  TECHNOLOGIE 117  JANVIER-FÉVRIER 2002

ba

12

; IGx =

ab

3

12

    E     S     L     R     U     O     P     S     E     I     L     B     A     T     É     S     E     B     R     U     O     C     S     E     L     S     È     R     P     A     ’     D

 

Figure 12. Exemples de répartition des pressions de contact Glissière d’axe (O, x)

Liaisons

Appui plan de normale (O, y)



2

→ y

→ y

1

2



1

b d

Actions

P1

mécaniques

→ x

O

A

c

→ x

O

→ M02/1 → z

L

→  F2/1

→ z → y

2

→ z Répartition des pressions de contact

→ y

2

→ y

1 O

c

→ M02/1

d

P1

P1

→ x

1 pmax

→ z

→ x

→  F2/1

→  F2/1

→

→

Pression maximale

pmaxi =

6 Mo 2/1

⋅

b 12

Exemple 2 La surface de contact est plane circulaire (figur gure e 11). 11). 4 πR S = πR2 ; IG IGxx = IG IGyy = 4 4α 4β 1 x+ y+ ≥ 0; 4 4 πR πR πR 2 4α  R

2

x+

4β R2

y + 1 ≥ 0.

Cette condition est vérifiée si le point central se trouve à l’intérieur d’un cercle de rayon R / 4. 4. Deuxième condition

On recherche les points de la surface où la pression de contact est maximale, ainsi on peut la comparer à la pression admissible par les matériaux (pmax ≤ padmissible).

pmaxi =

6 F 2/1

  ⋅ 1+ 6 L⋅1

d 1

+

c L

(en P1)

Naturellement, on se place dans le cas o ù  la condition de non-décollement est remplie.

α 1 β  IGy x + IGx y + S  Z  ≤ padmissible    Exemple Pour la surface de contact rectangulaire rectangulaire :

 6 α 6 β Z pmax = 1 + . + b  ab    a Pour la surface de contact circulaire: Z  4 2 2  pmax = 1 ( + +   α β  . 2 R  R π    La figure 12 synt synth hétise la réflexion développée précédemment à propos de deux cas usuels d’appuis plans.   

JANVIER-FÉVRIER 2002   TECHNOLOGIE 117  57