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MATEMÁTICAS ACTUARIALES Y OPERACIONES DE SEGUROS F. SANDOYA

Se puede citar libremente este texto, pero señalando claramente la cita. CITAR ESTE TEXTO COMO: Sandoya, Fernando; Matemáticas Actuariales y Operaciones de seguros; segunda edición; ISBN: 978-9978-310-46-5; ESPOL; 2007

A mis padres, a mi esposa, y a mis hijos

´Indice general 1. Los 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Seguros y la teor´ıa de la utilidad Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . La esperanza matem´atica de la utilidad Adversi´on al riesgo . . . . . . . . . . . . Indemnizaci´on, prima pura, prima bruta Problemas resueltos . . . . . . . . . . .

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2. Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad 2.1. Variables aleatorias y distribuciones . . . . . . . . . . . . 2.2. El Modelo Biom´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Funci´on de supervivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Tiempo de vida futura y probabilidades de fallecimiento y sobrevivencia . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Tiempo de vida futura . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Modelos de sobrevivencia/quiebra y tablas de mortalidad 2.4.1. Tasa instant´anea de mortalidad . . . . . . . . . . . 2.4.2. Modelos de supervivencia sobre base emp´ırica . . . 2.4.3. Estimaci´on de µx en el modelo emp´ırico . . . . . . 2.5. Otros par´ametros de sobrevivencia y mortalidad . . . . . 2.5.1. Esperanza de vida abreviada y completa . . . . . . 2.5.2. Vida probable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. N´ umero total esperado de a˜ nos de sobrevivencia . 2.5.4. Tanto central de fallecimientos . . . . . . . . . . . 2.5.5. N´ umero total de a˜ nos vividos por un grupo . . . . 2.6. Hip´otesis para edades no enteras . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Distribuci´on uniforme de la mortalidad . . . . . . 2.6.2. Fuerza de mortalidad constante . . . . . . . . . . . 2.6.3. Hip´otesis de Balducci . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Algunas leyes de mortalidad importantes . . . . . . . . . . 2.7.1. Ley de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

19 19 20 21 22 25 29 29 32 33 33 34 35 36 37 40 40 41 41 42 43 44 44 44 45 46 46 47 48

´INDICE GENERAL

ii 2.7.2. Ley de Gompertz (1825) . 2.7.3. Primera Ley de Makeham 2.7.4. Segunda Ley de Makeham 2.8. Problemas resueltos . . . . . . . 2.9. Problemas propuestos . . . . . .

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3. C´ alculo de seguros de vida 3.1. Introducci´on financiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Notaciones y definiciones b´asicas . . . . . . . . . 3.1.2. Balance de una inversi´ on peri´odica en n a˜ nos . . 3.1.3. Tasa de inter´es nominal y fuerza del inter´es . . . 3.2. Modelos de seguros de vida y s´ımbolos de conmutaci´ on . 3.2.1. El valor actuarial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Los s´ımbolos de conmutaci´ on . . . . . . . . . . . 3.3. Seguros pagaderos al final del a˜ no de f/q . . . . . . . . . 3.3.1. Seguro pagadero al final del a˜ no de f/q cuando este ocurre luego de t a˜ nos . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Seguro de vida completa con vigencia a n a˜ nos . 3.3.3. Seguro de vida completa . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Valor actuarial de un capital unitario pagadero una vez transcurrido n a˜ nos si hay sobrevivencia 3.3.5. Valor Actuarial de un capital unitario pagadero al final del a˜ no de f/q de (x) siempre que suceda transcurridos m a˜ nos y dentro de los n a˜ nos siguientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Valor Actuarial de un capital unitario pagadero al final del a˜ no de f/q siempre que tal suceso ocurra luego de transcurridos m a˜ nos . . . . . . . . . . . 3.3.7. Valor actuarial de un capital unitario mixto temporal por n a˜ nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Seguros pagaderos al momento del f/q . . . . . . . . . . 3.4.1. Para un seguro temporal a n a˜ nos . . . . . . . . 3.4.2. Para un seguro de vida completa . . . . . . . . . 3.4.3. Seguro mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Seguro diferido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5. Diferido a m a˜ nos y temporal por n a˜ nos . . . . 3.5. Relaci´on entre los seguros . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Seguros variables pagaderos al final del a˜ no de f/q . . . 3.6.1. Temporal a n a˜ nos creciente . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Seguro variable creciente de vida entera . . . . . 3.6.3. Seguro creciente temporal por n a˜ nos y diferido por m a˜ nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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49 52 54 57 93

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101 101 101 102 103 104 104 104 105

. 105 . 106 . 108 . 109

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. 110 . . . . . . . . . . .

111 111 112 112 114 114 114 115 117 117 118

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´INDICE GENERAL 3.6.4. Seguros decrecientes (pagaderos al final del a˜ no de f/q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Seguros variables pagaderos al momento del f/q . . . . . 3.7.1. Para un seguro de vida entera . . . . . . . . . . . 3.7.2. Temporal a n a˜ nos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3. Valor actuarial de una operaci´on de seguros de vida entera que proporciona prestaciones crecientes al final de la m-´esima parte del a˜ no . . . . . . . . 3.7.4. Valor actuarial de una operaci´on de seguros de vida entera que proporciona prestaciones crecientes si el pago se realiza al momento del f/q . . . . . 3.7.5. Si los pagos se incrementan continuamente con una funci´on g(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

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120 121 121 121

. 122

. 122 . 122 . 123 . 134

4. Rentas de Supervivencia 141 4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.1.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.2. Rentas de Supervivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.3. Equivalencia entre el problema financiero y el actuarial . . 143 4.4. Rentas de sobrevivencia vitalicias constantes . . . . . . . 144 4.4.1. Renta vitalicia, anual, unitaria, inmediata, anticipada y temporal por n a˜ nos . . . . . . . . . . . . . 144 4.4.2. Renta vitalicia, anual, unitaria, anticipada de vida completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.4.3. Renta vitalicia, anual, unitaria, anticipada, prepagable, temporal por m a˜ nos, diferida por n a˜ nos . . . 146 4.4.4. Renta anual, unitaria, prepagable, ilimitada diferida por n a˜ nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.4.5. Renta anual, unitaria, vencida ilimitada inmediata 147 4.4.6. Renta anual, unitaria, vencida, temporal por n a˜ nos inmediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.4.7. Renta anual, unitaria, vencida, ilimitada, diferida por n a˜ nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.5. Capitalizaci´on actuarial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.6. Valores actuariales de rentas vitalicias fraccionadas . . . . 152 4.6.1. Valor actuarial de una renta fraccionada vitalicia (pagadera mientras sobrevive la persona) de 1/m u.m. al final de cada m-´esima fracci´on del a˜ no (vencida) inmediata . . . . . . . . . . . . . . . 152

iv

´INDICE GENERAL 4.6.2. Valor actuarial de la renta diferida pagadera m veces por a˜ no de 1/m y vencida . . . . . . . . . . . 153 4.6.3. Valor actuarial de la renta temporal por n per´ıodos m veces al a˜ no vencida inmediata . . . . . . . . . . 154 4.6.4. Renta vitalicia anticipada de pago de 1/m u.m. cada vez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.6.5. Renta anticipada y diferida pagadera m veces al a˜ no155 4.6.6. Renta anticipada, temporal por n per´ıodos y pagadera m veces al a˜ no . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.6.7. Renta diferida por n a˜ nos y temporal por k a˜ nos anticipada y pagadera m veces al a˜ no . . . . . . . 155 4.7. Uso de trazadores c´ ubicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.7.1. Interpolaci´on de trazadores c´ ubicos . . . . . . . . . 156 4.7.2. Resultados num´ericos: . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.8. F´ormulas de Woolhouse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.8.1. Operador siguiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.8.2. Operador diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . 160 4.8.3. Operador derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.8.4. Integral finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.9. Rentas de supervivencia en el campo continuo . . . . . . . 167 4.10. Valores actuariales de rentas variables . . . . . . . . . . . 168 4.10.1. Valor actuarial de una renta con pagos crecientes que var´ıan en progresi´on aritm´etica con raz´on unitaria y t´ermino inicial 1 u.m., inmediata, anticipada y temporal por n a˜ nos . . . . . . . . . . . . 168 4.10.2. Valor actuarial de una renta vitalicia variable en progresi´on aritm´etica con raz´on unitaria anual anticipada e inmediata . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.10.3. Valor actuarial de una renta diferida en m a˜ nos temporal por n a˜ nos, variable en progresi´on aritm´etica de raz´on unitaria, anticipada . . . . . . . . 170 4.10.4. Valor actuarial de una renta vitalicia variable en progresi´on aritm´etica con raz´on unitaria anual diferida por m a˜ nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.10.5. Valor actuarial de una renta vitalicia inmediata variable en progresi´on aritm´etica con raz´on unitaria por n a˜ nos vencida con pagos que permanecen constantes e iguales a n durante el resto de supervivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

´INDICE GENERAL 4.10.6. Valor actuarial de una renta variable decreciente en progresi´on aritm´etica con raz´on 1 cuyo primer pago es de n u.m. y cesando en el n-´esimo pago de 1 u.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.7. Rentas variables y fraccionadas m veces al a˜ no . 4.11. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

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172 172 174 181

5. Primas netas 185 5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.2. Primas netas anuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.2.1. Primas netas para operaciones de seguros . . . . . 186 5.2.2. Primas netas pagaderas en a lo m´as en t < n a˜ nos 187 5.2.3. Primas netas de rentas vitalicias . . . . . . . . . . 188 5.2.4. Primas netas anuales para seguros pagaderos al momento del f/q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.3. Primas fraccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.3.1. Primas fraccionadas con car´acter liberatorio . . . . 190 5.3.2. Primas fraccionadas sin car´acter liberatorio . . . . 191 5.4. Primas fraccionadas prorrateables (promedias) . . . . . . 192 5.5. Primas Recargadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.5.1. Primas de inventario . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.5.2. Primas comerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.6. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6. Valor actuarial de las reservas matem´ aticas 6.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anexos

215 . 215 . 216 . 222 229

vi

´INDICE GENERAL

´Indice de figuras 1.1. Formas que puede adoptar la funci´on de utilidad . . . . . 22 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Forma que tiene la funci´on lx bajo la ley de Moivre . . . Forma que tiene la funci´on µx bajo la ley de Moivre . . Forma que tiene la funci´on lx bajo la ley de Gompertz . Forma que tiene la funci´on µx bajo la ley de Gompertz . Forma que tiene la funci´on lx bajo la primera ley de Makeham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Forma que tiene la funci´on µx bajo la primera ley de Makeham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Forma que tiene la funci´on lx bajo la segunda ley de Makeham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Forma que tiene la funci´on µx bajo la segunda ley de Makeham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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50 50 53 53

. 55 . 55 . 56 . 56

6.1. Gr´afico de aproximaci´on de lx para la poblaci´on ecuatoriana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.2. Gr´afico de aproximaci´on de µx para la poblaci´on ecuatoriana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

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viii

´INDICE DE FIGURAS

´Indice de cuadros 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Relaciones entre las funciones biom´etricas Ley de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . Ley de Gompertz . . . . . . . . . . . . . . Primera Ley de Makeham . . . . . . . . .

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39 49 52 54

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´INDICE DE CUADROS

Agradecimientos

Durante la preparaci´on de este texto se ha recibido la valiosa ayuda de varias personas, sin lo cual no se hubiera podido sacar adelante esta publicaci´on, a todas las cuales expreso un agradecimiento sincero. Al M.Sc. Washington Armas, Director del Instituto de Ciencias Matem´aticas (ICM), por su motivaci´ on y apoyo moral para la edici´on de libros de Matem´aticas y sus aplicaciones. A la Ing. Eva Mera, profesora del ICM, quien revis´o todo el texto e hizo muchas sugerencias pertinentes; como resultado de esto el libro result´o mucho mejor. A la Srta. Linda Cabrera por su gran ayuda en la edici´on del manuscrito del libro.

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16

Pr´ ologo

Este libro es fruto de una doble experiencia del autor. La primera, y probablemente la principal, la docente, fruto de algunos a˜ nos de ejercer la c´atedra de Matem´aticas Actuariales en la ESPOL, y gracias a la cual se incluyen numerosos ejercicios resueltos y propuestos que refuerzan el an´alisis te´orico de los modelos estudiados. La segunda, no menos importante, proveniente de la investigaci´ on, sobretodo a trav´es de la direcci´on de tesis de grado de la Carrera de Ingenier´ıa en Estad´ıstica Inform´atica cuyos temas ten´ıan mucho que ver con la ciencia actuarial y tambi´en de otro tipo de investigaciones realizadas y que han sido expuestas en las Jornadas de Estad´ısticas organizadas por la ESPOL y en los Congresos Nacionales de Matem´aticas desarrollados por la Escuela Polit´ecnica Nacional en Quito. Hace algunos a˜ nos, con el inicio de la computaci´on, los actuarios pon´ıan bastante ´enfasis en el manejo y el control de los sistemas de seguros; hoy en d´ıa, con el creciente desarrollo de la inform´atica que nos ha proporcionado alto rendimiento, capacidad de almacenamiento y manejo de datos y velocidad en los c´alculos, los esfuerzos se deben encaminar en otros sentidos, por ejemplo en poner mayor atenci´on en dar soluciones innovadoras y creativas a las demandas de la sociedad, que busca mayor seguridad financiera. Esta tarea puede cumplirse eficientemente solo si podemos modelizar lo m´as fielmente posible las situaciones que pueden presentarse, y es as´ı que en este libro se hace un ´enfasis constante en la construcci´on de modelos actuariales y en an´alisis del riesgo implicado en ellos. El texto no s´olo est´a dirigido al estudiante de Ingenier´ıa o Auditor´ıa, sino que tambi´en resultar´a u ´til a los profesionales actuarios que deseen refrescar sus conocimientos en ´estas ´areas. Aborda los conocimientos b´asicos de la teor´ıa de la utilidad y de la sobrevivencia, pero sobretodo profundiza en el an´alisis del c´alculo del valor actuarial y las primas en 17

18 seguros de vida y rentas, as´ı como tambi´en en la determinaci´on de la Reserva Matem´atica de las prestaciones, algo que se debe destacar es que a lo largo de todo el texto se hace ´enfasis en la modelizaci´on de diferentes situaciones que involucran el valor actuarial y el riesgo.

Guayaquil, Ecuador Julio del 2005 INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATICAS ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

Cap´ıtulo 1

Los Seguros y la teor´ıa de la utilidad 1.1.

Introducci´ on

Antes que nada, conviene hacer una revisi´on sobre como aparecieron los seguros en la sociedad, y como fue abordado este tema en sus inicios, as´ı como su evoluci´on en el tiempo. Hist´oricamente, los seguros se perfilan como tales a partir de la Baja Edad Media como consecuencia del creciente tr´afico marino, que en esa ´epoca se constituy´o en el principal medio de transporte de productos y personas entre lugares distantes. Como es f´acil suponer, la tecnolog´ıa usada en la fabricaci´on de barcos en esa ´epoca era todav´ıa muy incipiente, as´ı como tambi´en eran pr´acticamente inexistentes los sistemas de comunicaci´on, los sistemas de seguridad y los m´etodos de predicci´on del tiempo, por lo cual con cierta regularidad estas embarcaciones sufr´ıan naufragios, robos, motines y otros tipos de siniestros, que hac´ıan que se pierda parcial o totalmente la embarcaci´ on con toda la carga, incluyendo la p´erdida de vidas humanas, y por supuesto de bienes. Para paliar esta situaci´on entonces aparecieron una especie de seguros para cubrir las posibles p´erdidas, y es justamente en las ciudades mar´ıtimas italianas, en las cuales el tr´afico marino era intenso, donde nacen estos seguros, que caen en el campo de lo que hoy denominamos Seguros no Vida, luego estos se extendieron r´apidamente por toda Europa, sobretodo por los pa´ıses mediterr´aneos, y se empez´o asimismo a legislar sobre el tema, en particular, cabe mencionar una de las leyes m´as antiguas del mundo que a su vez constituye la normativa de seguros m´as antigua de Espa˜ na: que son las Ordenanzas de seguros mar´ıtimos de Barcelona de 1432. Los Seguros de vida aparecieron un poco m´as tarde, con la incorporaci´on de las t´ecnicas estad´ısticas desarrolladas en la ´epoca, y es as´ı que 19

20

La esperanza matem´ atica de la utilidad

algunos estudiosos consideran que la ciencia actuarial como tal tiene su inicio en el a˜ no de 1693, con el art´ıculo publicado por Edmund Ha-lley titulado: ”Un estimado del grado de mortalidad de la humanidad, obtenido de varias tablas de edades y funerales en la ciudad de Breslau”. El art´ıculo provoc´o un gran inter´es en la comunidad cient´ıfica de ese entonces, sin embargo la gran cantidad de datos que era necesario procesar hac´ıa que los c´alculos sean muy tediosos y complicados y por tanto el real desarrollo de la ciencia actuarial se di´o en la ´epoca moderna con el aparecimiento de la inform´atica. Actualmente se puede decir que las operaciones de seguros se han establecido en la sociedad moderna con el fin de proteger a las personas y a las empresas de contratiempos financieros importantes originados por sucesos que pueden acaecer aleatoriamente y que no forman parte de planes futuros de las mismas. En este sentido los seguros cumplen un papel dinamizador en la econom´ıa, porque inducen a las personas o a las empresas a participar en actividades en las que normalmente no participar´ıan si no tuvieran la cobertura del seguro. Cabe anotar que la cobertura de las operaciones de seguros se limita a reducir las consecuencias de los sucesos aleatorios que se pueden medir en t´erminos monetarios, y que cualquier otro tipo de impacto no financiero, como por ejemplo de car´acter sentimental, no puede ser retribuido por un seguro. En definitiva, podr´ıamos definir una operaci´ on de seguros como un medio para reducir el impacto financiero adverso ocasionado por sucesos aleatorios que impiden que se realicen normalmente las expectativas o planes de las personas o las empresas.

1.2.

La esperanza matem´ atica de la utilidad

Obviamente si los seguros dan cobertura sobre los riesgos, su evaluaci´on debe hacerse en funci´on de la utilidad que las personas piensan tener en sus acciones. As´ı, en todas nuestras actividades, si pudi´eramos prever las consecuencias de las decisiones que tomamos, podr´ıamos decidir en base a nuestras preferencias respecto a los resultados que se tengan, pero como en la pr´actica no podemos disponer de estas previsiones lo mejor que puede hacerse es tomar las decisiones de acuerdo a la incertidumbre asociada a nuestras expectativas. Para esto se ha elaborado la denominada teor´ıa de la utilidad, que se basa en el uso del valor esperado. Para fundamentar el uso de la esperanza matem´ atica de la utilidad como criterio de elecci´on en el futuro aleatorio y determinar una funci´on

Los Seguros y la teor´ıa de la utilidad

21

de utilidad que permita ordenar las eventualidades, es preciso establecer los siguientes axiomas: i) De preferencia ii) De transitividad iii) De independencia estricta iv) De unicidad v) De ordenaci´on vi) De no saciedad El objetivo de este texto no es el de profundizar en cada uno de estos axiomas, que pertenecen a la teor´ıa microecon´omica y espec´ıficamente a la teor´ıa del consumidor, pero de manera intuitiva se puede decir que los tres primeros axiomas mencionados permiten identificar los distintos tipos de preferencias de los consumidores, por ejemplo se necesita el axioma de transitividad porque si las preferencias no fueran transitivas se podr´ıa encontrar un conjunto de alternativas tal que ninguna de ellas fuese mejor y por lo tanto no se podr´ıa decidir por una de ellas. Los tres u ´ltimos axiomas en cambio indican que el orden de las preferencias puede ser representado por una funci´on de utilidad. En definitiva, el cumplimiento de estos axiomas se reduce a la satisfacci´on de dos hip´otesis: 1. las decisiones se toman de manera completamente racional y 2. estas decisiones se las elige de un gran n´ umero de posibilidades. De esta manera, los decisores tratar´an de maximizar la esperanza matem´ atica de la utilidad de sus recursos. Representaremos con U (r) a la funci´on de utilidad de un ente cualquiera (persona o empresa) en funci´on de sus recursos r; en la siguiente secci´on se analizan las distintas posibilidades para esta funci´on, dado que se satisfacen los axiomas anteriores.

1.3.

Adversi´ on al riesgo

Por un lado el axioma de no-saciedad implica que todas las funciones de utilidad deben ser mon´otonas crecientes, es decir, U 0 (r) > 0, o lo que es lo mismo, la utilidad marginal debe ser positiva. Mientras que respecto a la concavidad de la funci´on se pueden presentar 3 casos, que se muestran en la Figura 1.1:

22

Indemnizaci´ on, prima pura, prima bruta

Figura 1.1: Formas que puede adoptar la funci´on de utilidad TIPOS DE FUNCION DE UTILIDAD ADVERSION AL RIESGO

PROPENSION AL RIESGO

INDIFERENCIA AL RIESGO

Caso 1: La utilidad es c´oncava (i.e. U 00 (r) < 0): La utilidad crece menos que proporcionalmente. Caso 2: La utilidad es convexa (i.e. U 00 (r) > 0): La utilidad crece m´as que proporcionalmente. Caso 3: La utilidad es lineal (i.e. U 00 (r) = 0): La utilidad crece de manera proporcional. Cuando la utilidad del valor esperado de los recursos es mayor que la utilidad esperada de los mismos, se dice que el decisor es adverso al riesgo, si es menor se dice que es propenso al riesgo y si es igual se dice que es indiferente al riesgo. i.e.: U (E(r)) > E(U (r)); adverso al riesgo U (E(r)) < E(U (r)); propenso al riesgo U (E(r)) = E(U (r)); indiferente al riesgo As´ı, se puede observar que en el caso 1, si la utilidad es c´oncava, el ente es adverso al riesgo; en el caso 2, si la utilidad es convexa el ente es propenso al riesgo; y en el caso 3, es indiferente al riesgo, tal como se observ´o en la Figura 1.1. En general, se supone que todos los entes que participan en operaciones financieras son adversos al riesgo.

1.4.

Indemnizaci´ on, prima pura, prima bruta

En esta parte se introducen algunos conceptos asociados a los seguros, y que son fundamentales para la comprensi´on del resto del libro.

Los Seguros y la teor´ıa de la utilidad

23

Considerada una persona que posee un bien que corre el riesgo de ser destruido en el futuro, definimos como la variable aleatoria ξ , cuya distribuci´on se supone conocida, al monto de la posible p´erdida total o parcial del bien. Por otro lado supongamos que un ente asegurador se establece con el fin de colaborar en la reducci´on de las consecuencias financieras de dicha p´erdida. En tal caso el asegurador emite p´ olizas, que son contratos por medio de los cuales el asegurador se compromete a pagar al propietario del bien asegurado una suma igual o menor a la p´erdida financiera si es que el bien fuera da˜ nado o destruido durante el periodo de vigencia de la p´oliza. A dicho pago se le denomina indemnizaci´ on y a la contrapartida del compromiso, es decir al pago por parte del asegurado, se le denomina prima. En general, el valor de la prima debe ser calculado en base a un principio de equilibrio financiero-actuarial, y la determinaci´on de este valor es uno de los principales objetivos de la teor´ıa actuarial. El teorema 1.1 indica como debe ser calculada la prima. Teorema 1.1 Si para una operaci´ on de seguros individual, suponemos que la funci´ on de utilidad del asegurador es lineal, el asegurador adopta el principio del valor esperado, i.e. el asegurador establece como precio para la cobertura del seguro el valor esperado de la p´erdida E(ξ), valor que se denomina prima neta o prima pura y que se representa con P. P = E(ξ) ´ DEMOSTRACION

Si el propietario del bien tiene una funci´on de utilidad U (r), y se enfrenta con posibles p´erdidas aleatorias ξ, se mostrar´a indiferente entre pagar una cantidad P (prima) al asegurador y que este se comprometa a cubrir las p´erdidas o asumir el mismo el riesgo de la posible p´erdida, lo cual se expresa como: ¡ ¢ U (r − p) = E U (r − ξ) En el caso particular de que la funci´on de utilidad del propietario del bien fuera lineal: U (r) = ar + b ¡ ¢ U (r − p) = E U (r − ξ)

24

Indemnizaci´ on, prima pura, prima bruta

a(r − p) + b = E(ar − aξ + b) ar − ap + b = ar − aE(ξ) + b

Y as´ı: P = E(ξ) Es decir en este caso el pago de la prima mostrar´ıa al propietario indiferente entre obtener el seguro y no asegurarse. Con lo que queda demostrado el teorema 1.1. ¥ Si el asegurador, para cubrir los gastos de operaci´on, cobro de administraci´on de la cartera, cierta seguridad frente a p´erdidas, impuestos, beneficios, etc. incrementa la prima pura con los recargos correspondientes, se obtiene la llamada prima bruta representada con π: π = P (1 + ρ) + c; ρ > 0, c > 0 Donde Pρ representa la cantidad asociada a los gastos variables que dependen de las p´erdidas esperadas P y la constante c se refiere a los gastos esperados que no var´ıan con las p´erdidas. Cuando analizamos una funci´on de utilidad lineal para el decisor, habr´ıa una indiferencia por parte del asegurado en adquirir o no la p´oliza, y si el asegurador no dispusiera de una subvenci´ on adicional a largo plazo correr´ıa el riesgo de arruinarse, por tanto el asegurador debe cobrar una prima superior a las p´erdidas esperadas (i.e. el propietario no puede caracterizarse por tener una funci´on de utilidad lineal o convexa). Entonces procede suponer que en el mercado los decisores tienen funci´on de utilidad U (r) de tipo c´oncavo, i.e. U 00 (r) < 0, lo que implica que E(U (ξ)) < U (E(ξ)) y por tanto el asegurado pagar´a al asegurador una cantidad superior a la p´erdida esperada, como se demuestra a continua-ci´on. En efecto, si UA (r) es la funci´on de utilidad del asegurador y rA los recursos monetarios actuales del asegurador entonces la prima aceptable m´ınima π para cubrir la p´erdida aleatoria ξ desde el punto de vista del asegurador puede obtenerse de la siguiente manera: ¡ ¢ UA (r) = E UA (rA + π − ξ) Donde:

Los Seguros y la teor´ıa de la utilidad

UA (r)

25

→ utilidad actual con los recursos monetarios

que dispone ¡ ¢ E UA (rA + π − ξ) → utilidad esperada del asegurador al asumir el riesgo de la p´erdida y mediante el cobro de la prima π As´ı: ¡ ¢ UA (rA ) = E UA (rA + π − ξ) ≤ UA (rA + π − µ)

1.5.

⇒

π≥µ

Problemas resueltos

Problema 1.1 Supongamos que la funci´ on de utilidad del propietario √ es U (r) = r. El decisor dispone de unos recursos r = 20 u.m. y se enfrenta con una posible p´erdida aleatoria de estos recursos ξ con distribuci´ on uniforme en [0, 20]. Se pide determinar la cantidad m´ axima que estar´ıa dispuesto a pagar el decisor por un seguro que le cubra la posible p´erdida. Soluci´ on

U (r) = U (r − P ) = √ r−P = = = √ r−P

=

√ r ¡ ¢ E U (r − ξ) ¡p ¢ E r−ξ Z 20 √ r−ξ dξ 20 0 ¯20 1 ¯ − (r − ξ)3/2 ¯ 30 0 r3/2 30

Como r = 20, resolviendo la ecuaci´on anterior ⇒P =

100 9

26

Problemas resueltos

Problema 1.2 Un decisor financiero tiene una funci´ on de utilidad: U (r) = −e−r , siendo ξ una variable aleatoria Bernoulli. El decisor est´ a tratando de pagar la cantidad P1 para asegurarse contra una p´erdida de 1 u.m. donde P es la probabilidad de p´erdida. Cu´ al es la cantidad m´ axima que estar´ıa dispuesto a pagar el decisor por el seguro? Soluci´ on

¡ ¢ U (r − P ) = E U (r − ξ) −e−r+P1

= E(−e−r+ξ ) = −e−r+0 (1 − P ) − e−r+1 P = −e−r (1 − P + P e)

eP 1

= 1−P +P e

P1 = ln(1 − P + P e)

Problema 1.3 Un decisor financiero tiene una funci´ on de utilidad: −r U (r) = −e , siendo ξ una variable aleatoria Bernoulli. El decisor est´ a tratando de pagar la cantidad P2 para asegurarse contra una p´erdida de 1 u.m. donde (1 − P ) es la probabilidad de p´erdida. Cu´ al es la cantidad m´ axima que estar´ıa dispuesto a pagar el decisor por el seguro? Soluci´ on

¡ ¢ U (r − P ) = E U (r − ξ) −e−r+P2

= E(−e−r+ξ ) = −e−r+0 P − e−r+1 (1 − P ) ¡ ¢ = −e−r P + e(1 − P )

eP 2

= P +e−e P

P2 = ln(P + e − e P )

Problema 1.4 Un decisor financiero tiene una funci´ on de utilidad: −r U (r) = −e , siendo ξ una variable aleatoria Bernoulli. El decisor est´ a tratando de pagar la cantidad P3 para asegurarse contra una p´erdida de 1 u.m. donde 0,5 es la probabilidad de p´erdida. Cu´ al es la cantidad m´ axima que estar´ıa dispuesto a pagar el decisor por el seguro?

Los Seguros y la teor´ıa de la utilidad

27

Soluci´ on

¡ ¢ U (r − P ) = E U (r − ξ) −e−r+P3

= E(−e−r+ξ ) = −e−r (0,5) − e−r+1 (0,5)

eP3 P3

= 0,5(1 + e) ¶ µ 1+e = ln 2

Problema 1.5 Una persona tiene funci´ on de utilidad U (r), cuya regla de correspondencia se muestra abajo, y dispone de una cantidad de recursos de 6 u.m. Ade-m´ as se conoce que est´ a expuesto a perder parte o todos sus recursos disponibles, siendo ξ la variable aleatoria que representa la p´erdida y cuya distribuci´ on F (x) es conocida, y mostrada a continuaci´ on. Cu´ anto est´ a dispuesto a pagar la persona por una p´ oliza que le cubra la posible p´erdida aleatoria?   r ;0 ≤ r ≤ 2 U (r) = r  1+ ;r ≥ 2 2   0 ;x < 0        0,5 ;0 ≤ x < 2   F (x) = 0,6 ;x = 2      0,6 + (x − 2)0,1 ; 2 < x ≤ 6      1 ;x > 6 Soluci´ on

U (6 − P ) = E(U (6 − ξ))   6−P U (6 − P ) =  1+ 6−P 2

;0 ≤ 6 − P ≤ 2 ;6 − P ≥ 2

P (ξ = 0) = 0,5 , P (ξ = 2) = 0,1 , ξ > 2 → ξ es variable aleatoria continua

28

Problemas resueltos

E(U (6 − ξ)) =

=

= =

  6 − ξ ;4 ≤ ξ ≤ 6 E  4 − ξ ;0 ≤ ξ ≤ 4 ¶2 ¶ ¶ µ µ Z 4µ 0 2 ξ 4− 0, 5 + 4 − 0, 1 + 4− 0, 1 dξ + 2 2 2 2 Z 6 + (6 − ξ) 0, 1 dξ 4 ¯4 ¯6 2 ¯ ¯ ξ2 ξ 2 + 0,3 + 0,4 ξ − 0,1¯¯ + 0,6 ξ − 0,1¯¯ 4 2 2 4 2 + 0,3 + 0,8 − 0,3 + 1,2 − 1

= 3

6 − P = 3 ⇒ P = 3 ∧ (4 ≤ P ≤ 6)(lo cual no es posible) P 4 − = 3 ⇒ P = 2 ∧ (0 ≤ P ≤ 4) 2 Luego: P =2

Cap´ıtulo 2

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad En este cap´ıtulo se presenta una introducci´on a los fundamentos de la estad´ıstica y del an´alisis de sobrevivencia, haciendo ´enfasis en cierto tipo de funci´on que representa la sobrevivencia de un individuo y que es de gran importancia en la teor´ıa de seguros de vida y de rentas de sobrevivencia. El an´alisis de sobrevivencia consiste en una colecci´on de procedimientos estad´ısticos para el estudio de datos relacionados con el tipo de ocurrencia de un determinado evento de inter´es (que generalmente ser´a el fallecimiento del individuo), a partir de un instante inicial preestablecido.

2.1.

Variables aleatorias y distribuciones

A continuaci´on se pueden observar las definiciones y propiedades b´asicas propias de la estad´ıstica, con el fin de comprender los conceptos estad´ısticos asociados al an´alisis de supervivencia. Experimentos aleatorios: En t´erminos simples un experimento aleatorio es un proceso cuyo resultado es incierto, al resultado del experimento lo representamos con ω. Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio, se representa con Ω. Evento: Denominaremos evento a cualquier subconjunto del espacio muestral, diremos que el evento A ocurre si y solo si el resultado del experimento ω ∈ A. 29

30

Variables aleatorias y distribuciones

Probabilidad: Dado un experimento aleatorio con espacio muestral Ω, se dice que la funci´on P : γ(Ω) → R1 es una funci´on de probabilidad si satisfacen los siguientes axiomas (establecidos por Kolmogorov en 1933): i) ∀A ⊆ Ω : P (A) ≥ 0 ii) P (Ω) = 1 iii) Si Ai es una colecci´on numerable de eventos disjuntos: Ã ∞ ! ∞ [ X Ai = P (Ai ) P i=1

i=1

Variable aleatoria: Se denomina variable aleatoria Y , a cualquier funci´on de valores reales cuyo dominio es el espacio muestral de un experimento aleatorio. Es decir, Y : Ω → R. Funci´ on de distribuci´ on de la variable aleatoria: Se denomina funci´on de distribuci´on de la variable aleatoria Y a la funci´on definida por: F (y) = P (Y ≤ y) Variables aleatorias discretas: Se dice que una variable aleatoria Y es discreta si su rango2 es un conjunto discreto. Variables aleatorias cont´ınuas: Se dice que una variable aleatoria Y es cont´ınua si su funci´on de distribuci´on es una funci´on cont´ınua. Funciones de densidad de probabilidad: Para el caso cont´ınuo y discreto se definen de la siguiente forma: Para el caso discreto se define la funci´on de densidad de probabilidad p(y) como: p(y) = P (Y = y) Para el caso cont´ınuo se define la funci´on de densidad de probabilidad f (y) como: f (y) =

dF (y) dy

1 γ(Ω) representa el conjuto potencia de Ω, es decir el conjunto de todos los subconjuntos de Ω 2 El rango de una funci´ on es el conjunto de sus im´ agenes, en otras palabras es el conjunto de valores que puede tomar la variable aleatoria

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

31

Propiedades de las distribuciones de probabilidad: Las funciones de densidad de probabilidad en los casos discreto y cont´ınuo, satisfacen ´estas propiedades: CASO DISCRETO

∀y, p(y) ≥ 0 X p(y) = 1 y

CASO CONT´ INUO

Z

∀y, f (y) ≥ 0 +∞

f (y) dy = 1 −∞

En el caso cont´ınuo adem´as se satisfacen las siguientes propiedades de la funci´on de distribuci´on F (y): l´ım F (y) = 0

y→−∞

l´ım F (y) = 1

y→+∞

F es una funci´on continua, mon´otona creciente. Valor esperado de una variable aleatoria: Para una variable aleatoria Y cualquiera, se define su valor esperado, o esperanza matem´atica, como: X Caso discreto: E(Y ) = y p(y) y

Z

+∞

Caso cont´ınuo: E(Y ) =

y f (y) dy −∞

Valor esperado de una funci´ on de una variable aleatoria: Para una variable aleatoria Y , se define el valor esperado de una funci´on g(Y ) cualquiera, como: X Caso discreto: E(g(Y )) = g(y) p(y) y

Z

+∞

Caso cont´ınuo: E(g(Y )) =

g(y) f (y) dy −∞

Varianza de una variable aleatoria: Para una variable aleatoria Y cualquiera, se define la varianza de Y , representada con V ar(Y ) o δ2y V ar(Y ) = E(x − µ)2 Donde µ = E(), es decir es el valor esperado de la diferencia cuadr´atica entre la variable y su esperanza.

32

El Modelo Biom´ etrico

Teorema 2.1 V ar(Y ) = E(x2 ) − E 2 (x) ´ DEMOSTRACION

Para el caso cont´ınuo: V ar(Y ) = E(x − µ)2 Z +∞ = (x − µ)2 f (x) dx −∞ +∞

Z =

−∞ Z +∞

=

x2 f (x) dx − 2 µ x f (x) + µ2 f (x) dx Z +∞ x2 f (x) dx − 2 µ x f (x) dx +

−∞

Z

µ2

−∞ +∞

f (x) dx −∞ 2

= E(x ) − 2 µ E(x) + µ2 = E(x2 ) − 2 E 2 (x) + E 2 (x) = E(x2 ) − E 2 (x)

2.2.

El Modelo Biom´ etrico

La biometr´ıa es el conjunto de m´etodos de la Estad´ıstica Actuarial que se ocupa, fundamentalmente, del estudio de la supervivencia de los elementos de cualquier poblaci´on sujeta a un proceso de envejecimiento, por ejemplo de personas, animales, o incluso de otro tipo de entes, como objetos o empresas. Esta supervivencia generalmente es caracterizada por un conjunto de caracter´ısticas agrupadas en las denominadas tablas de mortalidad, la modelizaci´on de estas caracter´ısticas se dice que representan el modelo biom´etrico, cuya variable independiente principal es el denominado tiempo biom´etrico de los individuos, que no es m´as que la edad de los mismos. Este modelo biom´etrico es un modelo estoc´astico, en el sentido que incluye en su estructura por lo menos a una variable aleatoria, esta es la variable ξ, que llamaremos edad de fallecimiento, y que representa el tiempo biol´ogico transcurrido desde el instante del nacimiento del individuo hasta su fallecimiento.

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

33

Obviamente la edad de fallecimiento ξ intr´ınsicamente es una variable aleatoria cont´ınua. Sin embargo, la informaci´on de la que se dispone referente a la edad de fallecimiento de los individuos a trav´es de registros censales o muestrales de poblaciones concretas, suministran u ´nicamente los a˜ nos completos que ha vivido el individuo, por lo que en la pr´actica se debe describir a la variable ξ como una variable aleatoria discreta. En los modelos que se deducen en este libro se toman en cuenta ´estas dos situaciones posibles, dependiendo de las caracter´ısticas del problema a modelizar.

2.3.

Funci´ on de supervivencia

Sea x la edad, en a˜ nos enteros, de un ente (individuo, empresa, m´aquina, etc.), es decir, x = 0, 1, 2, . . . y consideremos un ente reci´en nacido (reci´en creada, reci´en comprada, etc.) al cual le asociamos la variable aleatoria ξ que representa la edad de fallecimiento (quiebra, da˜ no, etc.) del ente considerado. Si F (x) es la distribuci´on de probabi-lidad acumulada (i.e. F (x) = P (ξ ≤ x, x ≥ 0)), definimos la funci´ on de supervivencia de x por: S(x) = 1 − F (x), es decir S(x) = P (ξ > x) es la probabilidad de que el ente llegue con vida a la edad x.

2.3.1.

Propiedades

La distribuci´on de ξ queda completamente determinada por F (x) o S(x). S(x) es una funci´on mon´otona decreciente. S(0) = 1 l´ım S(x) = 0

x→∞

La probabilidad que un reci´en nacido fallezca entre x y y, sobre-

34

Funci´ on de supervivencia viviendo a la edad x es: P (x < ξ ≤ y | ξ > x) = = =

2.3.2.

P (x < ξ ≤ y) P (ξ > x) F (y) − F (x) 1 − F (x) S(x) − S(y) S(x)

Tiempo de vida futura y probabilidades de fallecimiento y sobrevivencia

Representamos con (x) al ente (persona, empresa, etc.) de edad x y por T (x) al tiempo futuro de supervivencia de (x), i.e. T (x) = ξ − x. Se definen: La probabilidad de que (x) fallezca dentro de t a˜ nos: ¡ ¢ t qx = P T (x) ≤ t La probabilidad que (x) sobreviva por lo menos t a˜ nos m´as: ¡ ¢ t px = P T (x) > t De manera particular las probabilidades de fallecimiento y supervivencia a un a˜ no se representan con qx y px en lugar de 1 qx y 1 px , respectivamente. Es decir: ¡ ¢ qx = P T (x) ≤ 1 = Probabilidad que fallezca dentro de un a˜ no ¡ ¢ px = P T (x) > 1 = Probabilidad que sobreviva al a˜ no siguiente En cambio, la probabilidad que (x) sobreviva t a˜ nos m´as y fallezca en los n a˜ nos siguientes se representa con t/n qx . Aunque estas probabilidades temporales de fallecimiento y sobrevivencia, t qx y t px est´an definidas para cualquier valor real de t, en la pr´actica solo son calculadas para valores enteros de t a partir de las tablas de mortalidad, aunque en 2.6 se analiza la situaci´on en la cual t no es entero. En el Teorema 2.2 se analizan algunas propiedades que tienen estas probabilidades. Teorema 2.2 Se satisfacen las siguientes propiedades:

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

35

i) t px = 1 − t qx ii) En el caso de reci´en nacidos T (0) = ξ = S(x), iii)

t/n qx

= t px n qx+t t/n qx

iv) t px =

∀x ≥ 0

¡ ¢ = P t < T (x) ≤ t + n =

t/n qx

=

t px

=

t px n qx+t

−

− t qx t+n px

S(x + t) S(x)

´ DEMOSTRACION

Demostremos la tercera parte del teorema 2.2 t/n qx

¡ ¢ = P t < T (x) ≤ t + n ¡ ¢ ¡ ¢ = P T (x) ≤ t + n − P T (x) ≤ t =

t+n qx

− t qx

As´ı:

t/n qx

2.3.3.

S(x) − S(x + t + n) S(x) − S(x + t) − S(x) S(x) S(x + t) − S(x + t + n) = S(x) S(x + t) S(x + t) − S(x + t + n) = · S(x) S(x + t) = t px n qx+t ¥ =

Tiempo de vida futura

En el caso discreto, se representa con K(x) al tiempo de vida futura, y se lo denomina tiempo de vida abreviado, con distribuci´on:

36

Modelos de sobrevivencia/quiebra y tablas de mortalidad

¡ ¢ ¡ ¢ P K(x) = k = P k ≤ T (x) < k + 1 =

t px

−

k+1 px

=

k+1 qx

− k qx

Tambi´en: ¡ ¢ P K(x) = k

=

k px qx+k

;

k = 0, 1, 2, . . .

En definitiva K(x) representa el n´ umero de a˜ nos completos de sobrevivencia.

2.4.

Modelos de sobrevivencia/quiebra y tablas de mortalidad

Las tablas de mortalidad generalmente contienen valores tabulados de lx , dx , qx , y otros valores que corresponden a estimaciones de par´ametros de supervivencia y mortalidad de una poblaci´on obtenidas a partir de datos demogr´aficos de nacimientos y defunciones en la misma. Se denota con l0 al n´ umero de reci´en nacidos. Cada reci´en nacido tiene asociada una distribuci´on S(x). Si λ(x) es el n´ umero de sobrevivientes a la edad x, se define lx = E(λ(x)); es decir, lx es el n´ umero esperado de sobrevivientes a la edad x. De esta manera tenemos que λ(x) es una variable aleatoria con distribuci´on binomial cuyos par´ametros son l0 (n´ umero de intentos) y S(x) pro-babilidad de ´exito. ¡ ¢ λ → β l0 , S(x) ⇒ lx

=

l0 S(x)

De forma an´aloga si n δx es el n´ umero de fallecimientos entre las edades x y x + n de entre los l0 iniciales y n dx = E(n δx ); es decir, el n´ umero esperado de fallecimientos entre estas edades.

→

n dx

¡ ¢ = l0 S(x) − S(x + n) = lx − lx+n

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

2.4.1.

37

Tasa instant´ anea de mortalidad

Como qx es el porcentaje anual de fallecimientos, y es evidente que este valor var´ıa para cada edad x, es interesante disponer de una forma de medir su variaci´on instant´anea. Para ello consideramos la probabilidad que una persona fallezca entre x y x + ∆x, dado que sobrevive a la edad x: P (x < ξ ≤ x + ∆x | ξ > x) =

F (x + ∆x) − F (x) 1 − F (x)

Y si ∆x es suficientemente peque˜ no: P (x < ξ ≤ x + ∆x | ξ > x) '

F 0 (x)∆x f (x)∆x = 1 − F (x) 1 − F (x)

Es decir, la probabilidad de que un individuo de edad x fallezca en el instante ∆x posterior es proporcional a la duraci´on de ese instante con el coeficiente de proporcionalidad siguiente: f (x) 1 − F (x) A esta expresi´on se le denomina la fuerza de la mortalidad y se la representa con µx , y es en definitiva una medida de la intensidad de la mortalidad a la edad x, para los individuos que han alcanzado esa edad. Entonces: f (x) 1 − F (x) S 0 (x) = − S(x) ¢ d ¡ ln S(x) = − dx ¢ d ¡ = − ln (lx ) dx

µx =

Teorema 2.3 La fuerza de mortalidad satisface las siguientes propiedades: i) µx ≥ 0

∀x ∈ R

ii) µx = −

S 0 (x) l0 =− x S(x) lx

38

Modelos de sobrevivencia/quiebra y tablas de mortalidad

iii)

n px

= e− Z

iv)

n qx

= 0

R x+n x

µx dx

= e−

Rn 0

µx+t dt

n t px µx+t dt

´ DEMOSTRACION

Demostremos la parte iii) del teorema 2.3: ¡ ¢ −d ln S(x) = µx dx Z x+n Z x+n ¡ ¢ − d ln S(x) = µx dx x x ¶ µ Z x+n S(x + n) = − µx dx ⇒ ln S(x) x Z x+n ⇒ ln n px = − µx dx ∴

n px

= e

−

x R x+n x

µx dx

¥

´ DEMOSTRACION

Demostremos la parte iv) del teorema 2.3:

− Z

lx0 lx

x+n

⇒ x

d lx

lx+n − lx lx − lx+n

= µx Z x+n = − lx µx dx x Z x+n = − ly µy dy x Z n = + lx+t µx+t dt 0

diviendo para lx : Z ⇒n qx =

0

n t px

µx+t dt ¥

Es decir t px µx+t es la funci´on de densidad de la variable aleatoria tiempo de vida futuro para un individuo de edad x.

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

39

Cuadro 2.1: Relaciones entre las funciones biom´etricas f (x)

f (x)

Z

F (x)

S(x)

F 0 (x)

−S 0 (x)

µ x e−

1 − S(x)

1 − e−

x

F (x)

f (t) dt

µx Rx 0

lx

µt dt

Rx 0

µt dt

−

lx0 l0

1−

0

Z

+∞

S(x)

f (t) dt

e−

1 − F (x)

x

µx

f (x) F 0 (x) Z x 1 − F (x) 1− f (t) dt

−

S 0 (x) S(x)

Rx 0

µt dt

lx l0

lx l0

−

lx0 lx

0

OBSERVACIONES

Z Si n = 1

∴ Z

n/m qx

x p0

qx =

1

0

t px

µx+t dt

n+m

= n

t px

= S(x) = e−

Rx 0

µx+t dt µt dt

En resumen, en el Cuadro 2.1 se muestran las relaciones entre las principales funciones biom´etricas: f (x), F (x), S(x), µx y lx .

40

Modelos de sobrevivencia/quiebra y tablas de mortalidad

2.4.2.

Modelos de supervivencia sobre base emp´ırica

Hasta el momento hemos estudiado los fundamentos probabil´ısticos propios del fen´omeno de la mortalidad, y las probabilidades m´as relevantes que se derivan de dichos fundamentos. Sin embargo, tambi´en se pueden construir modelos de fallecimiento/quiebra sobre una base emp´ırica a partir de los datos estad´ısticos relativos a la mortalidad (Registro Civil, censos, etc.), de la siguiente manera: Elegida una poblaci´on inicial l0 llamada ra´ız de la tabla se definen:

d0 = l0 q0

l1 = l0 − d0

d1 = l1 q1 .. .

l2 = l1 − d1 = l0 − (d0 + d1 ) .. . x−1 X lx = l0 − di

dx = lx qx

i−0

donde: lx es el n´ umero de sobrevivientes a la edad x dx es el n´ umero de fallecimientos a la edad x qx es la probabilidad de fallecimiento a la edad x En la Tabla 1 del Anexo 3 se muestra una tabla de mortalidad elaborada para la poblaci´on ecuatoriana.

2.4.3.

Estimaci´ on de µx en el modelo emp´ırico

Teorema 2.4 Cuando lx viene dado por una tabla de mortalidad y no se conoce su distribuci´ on, los valores de µx pueden estimarse como: µx =

1 (ln lx−1 − ln lx+1 ) 2

´ DEMOSTRACION n px

Si n = 1:

= e−

Rn 0

µx+t dt

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

41

R1

px = e− 0 µx+t dt Z 1 ln px = − µx+t dt Z 0

0

1

µx+t dt ' µx+1/2

luego: ln px = −µx+1/2 Z 1 −(ln px−1 + ln px ) = − µx+t dt

(2.1)

−1

Aproximando la integral en 2.1: Z

1

−1

µx+t dt ' 2µx = − ln px−1 − ln px ¢ 1¡ ln px−1 + ln px 2 ¢ 1¡ ln lx−1 − ln lx+1 ¥ 2

µx ' − '

En el Anexo 1 se muestra el gr´afico para lx y µx en la poblaci´on ecuatoriana.

2.5.

Otros par´ ametros de sobrevivencia y mortalidad

A continuaci´on se definen otros par´ametros importantes que indican caracter´ısticas especiales de una poblaci´on:

2.5.1.

Esperanza de vida abreviada y completa

La esperanza de vida se representa en los casos discreto y cont´ınuo como ex y ˚ ex respectivamente y se define de la siguiente manera: Sea K = a˜ nos de sobrevivencia (completos) y w = tiempo m´aximo de vida en la poblaci´on se denomina esperanza de vida abreviada (a˜ nos esperados completos de vida) al valor esperado de K, es decir:

42

Otros par´ ametros de sobrevivencia y mortalidad

ex = E(K) w−(x+1)

X

=

kP (K = k)

k=0 w−(x+1)

X

=

k+1 px

k=0

Sea ahora T = tiempo de sobrevivencia futuro, se define la esperanza de vida completa al valor esperado del tiempo de vida futuro T ; es decir,

˚ ex = E(T ) Z w−x = t t px µx+t dt 0

Integrando por partes se deduce que: Z ˚ ex =

w−x t px

0

dt

N´otese que ex es la esperanza de una variable aleatoria discreta, mientras que ˚ ex es la esperanza de una variable aleatoria continua.

OBSERVACIONES

La aproximaci´on del caso continuo por el discreto resulta en la siguiente f´ormula ˚ ex ∼ ex +

2.5.2.

1 2

Vida probable

Para definir la vida probable supongamos que t px es cont´ınua, entonces va a existir un t = τ en el cual: τ px

=

τ qx

=

1 2

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

43

A τ se lo denomina tiempo de vida probable, i.e. (x) tiene igual probabilidad de fallecer dentro de τ a˜ nos o de sobrevivir a la edad x + τ . En otras palabras τ es la mediana de la variable aleatoria tiempo de vida futura.

2.5.3.

N´ umero total esperado de a˜ nos de sobrevivencia

Considerando un colectivo de l0 personas, denotamos con Lx el n´ umero de a˜ nos de sobrevivencia vividos por el colectivo entre las edades x y x + 1 y lo expresamos como: Z Lx =

1

0

t (lx+t )(µx+t ) dt + lx+1

Teorema 2.5

Z Lx =

0

1

lx+t dt

´ DEMOSTRACION

Z 0

1

t(lx+t )(µx+t ) dt = a˜ nos vividos por aquellos que mueren entre las

edades x y x + 1; y lx+1 = a˜ nos vividos por aquellos que sobreviven a la edad x + 1. d lx = −lx µx dt d lx+t = −lx+t µx+t dt Z 1 ⇒ Lx = − t dlx+t + lx+1 0

Integrando por partes: u

=

t

du = dt

dv = d lx+t v

=

lx+t

¯1 Z 1 ¯ lx+t dt + lx+1 Lx = −t lx+1 ¯ + 0 0 Z 1 = −lx+1 + lx+t dt + lx+1 0 Z 1 = lx+t dt ¥ 0

44

Hip´ otesis para edades no enteras

2.5.4.

Tanto central de fallecimientos

Se define el tanto central de fallecimientos a la edad x como: lx − lx+1 Lx Z x+1 lt µt dt x Z 1 lx+t dt 0 Z 1 lx+t µx+t dt 0 Z 1 lx+t dt

mx =

=

mx =

0

2.5.5.

N´ umero total de a˜ nos vividos por un grupo

Se representa con Tx al n´ umero total de a˜ nos vividos desde la edad x por el grupo de sobrevivientes procedente de un grupo inicial de l0 elementos. Entonces Tx puede expresarse como: Z Tx =

+∞

t lx+t µx+t dt

0

Teorema 2.6 Se satisfacen las siguientes propiedades: Z i) Tx =

+∞

0

lx+t dt Z

ii) ˚ ex =

Tx = lx

0

+∞

Z

lx+t dt lx

= 0

+∞ t px

dt

La demostraci´on queda como ejercicio para el lector.

2.6.

Hip´ otesis para edades no enteras

En lo anterior se han analizado las funciones de distribuci´on de la mortalidad y la supervivencia asociadas a edades enteras x = 0, 1, 2, . . ..

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

45

En esta secci´on analizaremos lo que sucede entre dos edades enteras consecutivas x y x + 1. Considerando las variables t y y, tales que: 0 < t < 1;

01

− ln S − ln δ · ln c · cx

µx

S n δc

n px

S(x)

Z

˚ ex

x (cn −1)

S x δc +∞

x −1 x (ct −1)

S t δc

dt

0

x

t

As´ı t px = S t δ c (c −1) En el Cuadro 2.4 se muestran las principales leyes biom´etricas bajo esta ley. En las Figuras 2.5 y 2.6 se muestra la forma que tienen las funciones lx y µx bajo la primera ley de Makeham para los par´ametros l0 = 100000, δ = 0,9, S = 0,9, c = 1,1:

2.7.4.

Segunda Ley de Makeham

En una poblaci´on t´ıpica, la mortalidad por edades primeras suele ser m´as alta, por lo cual una forma usual para µx es la mostrada para la fuerza de la mortalidad en la Figura 6.2 del Anexo 1, la cual ha sido obtenida directamente a partir de los datos de mortalidad en la poblaci´on ecuatoriana, desgraciadamente la primera Ley de Makeham tiene problemas de ajuste para las edades m´as j´ovenes, por lo que su dise˜ no se hace m´as real si se a˜ nade un t´ermino lineal a µx : µx = A + Hx + BC x Es f´acil demostrar, siguiendo los pasos anteriores que: lx = l0 S1x S2x δ c

x −1

En las Figuras 2.7 y 2.8 se muestra la funci´on lx y µx bajo la segunda Ley de Makeham, n´otese la similitud con las dadas en el Anexo 1.

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

55

Figura 2.5: Forma que tiene la funci´on lx bajo la primera ley de Makeham

Número esperado de sobrevivientes 100000 80000 60000 40000 20000 5

10

15

20

25

30

edad

Figura 2.6: Forma que tiene la funci´on µx bajo la primera ley de Makeham

Fuerza de Mortalidad 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 10

20

30

40

50

edad

56

Algunas leyes de mortalidad importantes

Figura 2.7: Forma que tiene la funci´on lx bajo la segunda ley de Makeham

lx Número esperado de sobrevivientes 100000 80000 60000 40000 20000 10

20

30

40

edad

Figura 2.8: Forma que tiene la funci´on µx bajo la segunda ley de Makeham

Μx Fuerza de Mortalidad 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

20

40

60

80

100

edad

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

2.8.

Problemas resueltos

Problema 2.1 Si S(x) = 1 −

x , 0 ≤ x ≤ 100, calcular: 100

1) µx Soluci´ on

µx

1 − S 0 (x) = − = − 100 x S(x) 1− 100 1 = 100 − x

2) F (x) Soluci´ on

S(x) = 1 − F (x) F (x) = 1 − S(x) µ ¶ x = 1− 1− 100 x F (x) = 100 3) f (x) Soluci´ on

f (x) =

d(F (x)) 1 = dx 100

4) P (10 < x < 40) Soluci´ on

Z P (10 < x < 40) = =

40

1 dx 100 10 40 10 3 − = 100 100 10

57

58

Problemas resueltos

Problema 2.2 Si se conoce que la funci´ on de supervivencia de un determinado sector industrial viene dada por la expresi´ on: µ ¶ x S(x) = 1 − para 0 ≤ x ≤ 100 100 Se pide calcular el tanto instant´ aneo de quiebra para una empresa del sector que lleva funcionando 25 a˜ nos. Soluci´ on

f (x) 1 − F (x) S 0 (x) = − S(x) 1 100 = x 1− 100 1 100 = 0,013 = 25 1− 100

µx =

µ25

Problema 2.3 Calcular las probabilidades: 6 p60 , 10 q56 , 4 p56 , si se conoce que el n´ umero esperado de sobrevivientes a los 56 a˜ nos es 876, 286, a los 60 a˜ nos es 841, 349 y a los 66 a˜ nos es 763, 626 Soluci´ on

6 p60 10 q56 4 p56

l66 763, 626 = = 0,90762 l60 841, 349 763, 626 l66 =1− = 0,12857 = 1− l56 876, 286 l60 841, 349 = = = 0,96013 l56 876, 286 =

Problema 2.4 Calcular la probabilidad de supervivencia 10 p10 , sabiendo que el tanto instant´ aneo de f/q es: µx =

1 1 + 100 − x 120 − x

para

0 ≤ x ≤ 100

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

59

Soluci´ on − 10 p10 = e

µ

R 20 ¡ 10

= 100 − t

dµ =

w

−dt

10 p10 = −e

¢

1 + 1 100−t 120−t

= 120 − t

dw = R 20

1 10 100−t

= −e−

dt−

R 20

dt

−dt

R 20

1 10 120−t

dt

R 20

1 1 10 u (−du)− 10 u (−dw)

¯20 ¯20 ln(u)¯ −ln(w)¯ 10 10 = e ¯20 ¯20 ¯ ln(100−t) −ln(120−t)¯ 10 10 = e = 0,888

Problema 2.5 Sabiendo que qx = 0,200 y se verifica la distribuci´ on uniforme del acaecimiento de los f/q durante x a x + 1. Se pide calcular mx . Soluci´ on

Lx =

lx + lx+1 2

mx =

lx+1 lx lx − lx+1 = lx = 0,200 lx+1 0,200 = 1 − lx lx+1 = 1 − 0,200 lx lx+1 = 0,8 lx qx = 1 −

lx − lx+1 Lx

60

Problemas resueltos

mx = = = = mx =

2(lx − lx+1 ) lx + lx+1 2(lx − 0,8 lx ) lx + 0,8 lx 2 lx − 1,6 lx lx + 0,8 lx 0,4 1,8 0,222

Problema 2.6 Justificar cual de las siguientes expresiones es verdadera: 1)

∂(t qx ) = t px (µx − µx+1 ) ∂x

Soluci´ on

∂(t qx ) ∂x ∂(1 − t px ) ∂x ∂(1 − t px ) ∂x

= = = = =

t px

(µx − µx+1 ) µ ¶ ∂ S(x + t) 1− ∂x S(x) µ 0 ¶ S (x + t)S(x) − S(x + t)S 0 (x) − S(x)2 S 0 (x + t)S(x) S(x + t)S 0 (x) − + S(x)2 S(x)2 S 0 (x + t) S(x + t)S 0 (x) − + S(x) S(x)S(x)

∂(t qx ) = −µx+t t px − t px µx ∂x

⇒

ES FALSA

µ ¶ x 2 Problema 2.7 Si S(x) = 1 − para 0 ≤ x ≤ 100. Se pide 100 calcular F (75), f (75), µ25 . Soluci´ on

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

61

S(x) = 1 − F (x) F (x) = 1 − S(x) µ ¶ 100 − x 2 = 1− 100 ¶ µ 100 − 75 2 F (75) = 1 − 100 15 = 16 ¶µ ¶ µ 1 100 − x 0 F (x) = 2 100 100 ¶ µ 100 − x = 2 1002 ¶ µ 100 − 75 f (75) = 2 10000 1 = 200 f (x) µx = 1 − F (x) 1 200 = 0,08 µ25 = 15 1− 16 955 Problema 2.8 Si l25 = 1000, l28 = 955, q25 = 0,010, p27 = . Se 975 pide obtener el valor de q26 . Soluci´ on

q26 =

d26 l26

p27 =

l28 955 = l27 975

d26 = l26 − l27 = 990 − 975 = 15

62

Problemas resueltos

l26 l25 l26 0,010 = 1 − l25 l26 = (1 − 0,010) × l25 q25 = 1 −

⇒ q26

= 990 15 = 990

Problema 2.9 Si la funci´ on de densidad de probabilidad de la variable ξ viene dada por la expresi´ on: µ ¶ 2x f (x) = para 0 ≤ x ≤ 80 6400 Se pide calcular la probabilidad

20 p40 .

Soluci´ on

P (40 ≤ ξ ≤ 60 | ξ > 40) Z F (x) = = = = S(x) = = 20 q40

=

=

20 q40

=

x

2t dt 6400 0 Z x 2 t dt 6400 0 ¯ 1 t2 ¯¯x 3200 2 ¯0

1 x2 3200 2 1 − F (x) x2 1− 6400 S(40) − S(60) S(40) 3600 1− 6400 1− 1600 1− 6400 20 48

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

20 P40

= 1−

63

20 7 = 48 12

Problema 2.10 Para una funci´ on de densidad de probabilidad de la edad de fallecimiento ¶ µ 2x con 0 ≤ x ≤ 80 f (x) = 6400 y, (x) = 40 se pide una expresi´ on de la funci´ on de densidad de probabilidad de la variable T = T (40). Soluci´ on

La densidad de la variable tiempo de vida futura T = T (40) es: µ ¶ S(40 + t) S 0 (40 + t) − t P40 µ40+t = S(40) S(40 + t) Y como x2 6400 x 0 S (x) = − 3200 S(x) = 1 −

Entonces (40 + t)2 6400 402 1− 6400

1− t P40

µ40+t =

Problema 2.11 Sabiendo que t qx = 0,10 para t = 0, 1, 2, . . . , 9. Se pide calcular 2 qx+5 Soluci´ on

t qx

=

2 qx+5

=

t px

qx+t lx+5 − lx+7 lx+5

64

Problemas resueltos

5 qx

=

5 px

qx+5 = 0,10

6 qx

=

6 px

0,10

qx+6 = ¶ lx+5 − lx+6 lx+5 × = lx lx+5 µ ¶ lx+6 lx+6 − lx+7 × = lx lx+6 lx+5 − lx+6 + lx+6 − lx+7 = lx lx+5 − lx+7 = lx lx+5 = lx = µ

⇒

2 qx+5

0,10 0,10 0,10 + 0,10 0,20 1 − 5 qx 0,90

lx+5 − lx+7 lx+5 lx+5 − lx+7 lx = lx lx+5 0,2 = 0,9 = 0,222 =

Problema 2.12 Un colectivo tiene como tanto instant´ aneo de fallex cimiento µx = A + e para x ≥ 0. Y se verifica que 0,5 p0 = 0,50. Se pide calcular el valor de A. Soluci´ on 0,50 p0 = e

= e = e

R 0,5 0

R 0,5 0

R 0,5 0

µx dx A+ex dx R A dx+ 00,5 ex dx

¡ ¢ ln(0,50) = − A(0,5) + e0,5 − e0 0,693147 = (0,5A + 1,6487 − 1) A = 0,088

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

65

Problema 2.13 Sabiendo que en un colectivo el n´ umero de supervivientes a la edad x viene dado por la expresi´ on: 1000(w2 − x2 )

para 0 ≤ x ≤ w ¡ ¢ Se pide determinar el valor de ˚ ex = E T (x) . Soluci´ on

lx = 1000(w2 − x2 ) ¡ ¢ ⇒ lx+t = 1000 w2 − (x + t)2 = 1000w2 − 1000(x + t)2 0 ⇒ lx+t = −2000(x + t)

Z ˚ ex =

= = = = = =

t µx+t t px dt

0

Z =

w

0 −lx+t lx+t dt lx+t lx 0 ¢ Z w ¡ 2000(x + t) t dt 1000(w2 − x2 ) 0 Z w 2000xt + 2000t2 dt 1000(w2 − x2 ) 0 ¯ ¯ ¶ µ 1 2000xt2 ¯¯w 2000t3 ¯¯w + ¯ 1000(w2 − x2 ) 2 3 ¯0 0 µ ¶ 1 2000xw2 2000w3 + 1000(w2 − x2 ) 2 3 2 3 xw 2 w + 2 2 w −x 3 w 2 − x2 ³ 2 ´ w2 x + w 3 w 2 − x2 w

t

Problema 2.14 Sabiendo que la funci´ on de supervivencia de un determinado colectivo viene dada por la expresi´ on: µ ¶3 1 S(x) = , para x ≥ 0 1+x Se pide determinar la esperanza de vida completa para (13).

66

Problemas resueltos

Soluci´ on

¶3 1 (1 + x)3 dt 1 + x + t 0 Z ∞ (1 + x)3 dt (1 + x + t)3 0 Z ∞ (14)3 dt (14 + t)3 0 Z ∞ 1 3 14 dt (14 + t)3 0 ¯∞ ¯ 143 − (14 + t)−2 ¯¯ 2 0 7 Z

˚ e13 = = = ˚ e13 = = ⇒˚ e13 =

∞µ

Problema 2.15 El tanto instant´ aneo de f/q viene dado por la expresi´ on: 1 µx = x para 0 ≤ x < 100 50 − 2 Se pide obtener una expresi´ on de lx en funci´ on de x, utilizando la relaci´ on entre la funci´ on de supervivencia y el tanto instant´ aneo de f/q, y suponiendo que l0 = 10000. Soluci´ on

µx =

f (x) S 0 (x) = 1 − F (x) S(x)

S(x) = e− = e− = e

Rx 0

Rx

lx = l0 S(x)

µt dt

2 0 100−t

dt

¯x 2 ln(100−t)¯ 0

100) = e2(ln(100−x)−ln ³ ¡ ¢´ 2 ln

100−x

100 = e µ ¶ 100 − x 2 S(x) = 100

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

lx

67

µ ¶ 100 − x 2 = 10000 100

lx = (100 − x)2

Problema 2.16 Si la funci´ on de supervivientes a la edad x viene dada por la expresi´ on lx = 10(100 − x)2 ,

0 ≤ x ≤ 100

Se pide la varianza de la variable aleatoria tiempo de vida futura, ¡ calcular ¢ V ar T (x) . Soluci´ on

¡ ¢2 V ar(T ) = E(T 2 ) − E(T ) Z 100−x 2 E(T ) = t2 t px µx+t dt 0 µ ¶ Z 100−x 0 lx+t 2 lx+t − dt = t lx lx+t 0 Z 100−x l0 = − t2 x+t dt lx 0 ¡ ¢2 lx+t = 10 100 − (x + t) ¡ ¢ 0 lx+t = 20 100 − (x + t) (−1) 0 −lx+t = 2000 − 20x − 20t Z 100−x 2000t2 − 20xt2 − 20t3 2 E(T ) = dt 10(100 − x)2 0

Luego V ar(T ) =

(100 − x)2 18

Problema 2.17 Calcular el valor de las siguientes expresiones: Z 0

w−x

lx+t µx+t dt

68

Problemas resueltos

Soluci´ on

Z

Z

w−x

lx+t µx+t dt =

0

µ

w−x

lx+t

0

Z

w−x

= 0

l0 − x+t lx+t

¶ dt

0 −lx+t dt

¯w−x ¯ = −lx+t ¯ 0

= −lx+w−x + lx = lx − lw

Z

w−x

lx+t µx+t dt = lx

0

Problema 2.18 Calcular el valor de la siguiente expresi´ on: Z w−x t px µx+t dt 0

Soluci´ on

Z

w−x t px

0

µx+t

¯w−x ¯ dt = t qx ¯ 0

= = = Z 0

¯ lx − lx+t ¯¯w−x ¯ lx 0 lx − lx+w−x − lx + lx lx lx − lw lx

w−x t px

µx+t dt = 1

Problema 2.19 Calcular el valor de la siguiente expresi´ on: ∂(t px ) ∂x Soluci´ on t px

=

S(x + t) S(x)

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

⇒

∂(t px ) ∂x

∂(t px ) ∂x

69

S 0 (x + t)S(x) − S 0 (x)S(x + t) ¡ ¢2 S(x) S 0 (x + t)S(x) S(x + t)S 0 (x) = − ¡ ¢2 ¡ ¢2 S(x) S(x) S 0 (x + t) S(x + t)S 0 (x) = − S(x) S(x)S(x) = − t px µx+t + µx t px =

=

t px (µx

− µx+t )

Problema 2.20 Si la variable aleatoria T tiene densidad f (t) = ce−ct para t ≥ 0, c > 0, calcular: ˚ ex Soluci´ on

˚ ex = E(T ) Z +∞ = t ce−ct dt 0 Z +∞ ˚ ex = c t e−ct dt 0

Integrando por partes: u

=

t

du = dt

˚ ex

v

¯ · ¸ Z t e−ct ¯¯+∞ 1 +∞ −ct + = c − e dt c ¯0 c 0 ¯ ¸ · 1 e−ct ¯¯+∞ = c · c −c ¯ 0

˚ ex

e−ct e−ct = − c

dv =

1 = −c 2 (0 − 1) c 1 = c

70

Problemas resueltos

Problema 2.21 Si la variable aleatoria T tiene densidad f (t) = ce−ct para t ≥ 0, c > 0, calcular: V ar(T ) Soluci´ on

V ar(T ) = E(T 2 ) − (E(T ))2 Z

+∞

E(T 2 ) =

t2 ce−ct dt

0

Z

+∞

= c

t2 e−ct dt

0

e−ct e−ct du = 2t dt v = − c ¯ · ¸ Z t2 e−ct ¯¯+∞ 2 +∞ −ct 2 E(T ) = c − + te dt c ¯0 c 0 · ¸ 2 1 = c · 2 c c 2 E(T 2 ) = 2 c u

t2

dv =

∴ V ar(T ) =

2 1 1 − = 2 c2 c2 c

=

Problema 2.22 Si la variable aleatoria T tiene densidad f (t) = ce−ct para t ≥ 0, c > 0, calcular: el tiempo de vida media τ = M ediana(T ) Soluci´ on

P (T ≤ τ ) = Z

τ

−ct

ce 0

1 = 2

1 2

¯ 1 e−ct ¯¯τ = ⇒ c· ¯ −c 0 2 ¯τ 1 ¯ ⇒ −e−ct ¯ = 2 0 ⇒ −e−c

τ

+1=

1 2

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

e

−c τ

71

µ ¶ 1 = ln 2 = − ln(2) 1 = − ln(2) c

1 = ⇒ cτ 2 cτ ∴ τ

Problema 2.23 Verificar las f´ ormulas para S(x) en la ley de Moivre y la ley de Weibull. 1) Moivre Soluci´ on

µx =

¶ 1 dt exp − 0 w−t ¯x ´ ³ ¯ exp − ln(w − x)¯ 0 ³ ´ exp − ln(w − x) + ln(w) µ ¶ w−x exp ln w µ

S(x) = = = S(x) =

1 w−x

⇒ S(x) = 1 −

Z

x

x w

∀ 0≤x≤w

2) Weibull Soluci´ on

µx = k xn µ S(x) = exp

Z − 0

x

¶ k tn dt

72

Problemas resueltos

µ ³ ´¯¯x ¶ 1 n+1 ¯ t S(x) = exp k ¯ n+1 µ ¶0 k = exp − xn+1 n+1 k Si u = n+1 ¡ ¢ ⇒ S(x) = exp − uxn+1

∀ x≥0

Problema 2.24 De una tabla de mortalidad est´ andar, una segunda tabla es preparada para doblar la fuerza de mortalidad de la tabla est´ an-dar. ¿Es qx0 , en la nueva tabla de mortalidad, mas que el doble, exactamente el doble o menos que el doble de la tasa qx de la tabla est´ andar? Soluci´ on

Tabla1: Fuerza de mortalidad = µx , qx = 1 − e−

R1 0

µx+t dt

Tabla2: Fuerza de mortalidad = µ0x = 2µx , qx0 = 1 − e−

R1 0

µ0x+t dt

Luego qx0 = 1 − e−2

qx0 − 2qx = 1 − e−2 = 2e−

Si ponemos k = −e−

R1 0

R1 0

R1 0

R1 0

µx+t dt

µx+t dt

µx+t dt

− 2 + 2e−

− e−2

R1 0

R1

µx+t dt

0

µx+t dt

−1

µx+t dt

qx0 − 2qx = −k 2 − 2k − 1 = −(k − 1)2 < 0 Por tanto qx0 − 2qx < 0 As´ı: qx0 < 2qx Es decir, qx0 de la nueva tabla ser´a menos que el doble que qx de la tabla original.

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

73

Problema 2.25 Confirme que cada una de las funciones siguientes pueden servir como una fuerza de mortalidad. Exhiba la funci´ on de supervivencia correspondiente. En cada caso x ≥ 0: 1) Bcx

B>0 c>1

(Gompertz)

Soluci´ on

a) ∀x(µx ≥ 0) b) Si x → +∞ ⇒ µx → +∞ Sirve como fuerza de mortalidad dado que cumple las propiedades. Rx

S(x) = e− 0 µt dt Z x Z x t Bc dt = B ct dt 0 0 ¯ ct ¯¯x = B ln c ¯0 B x = (c − 1) ln c B x S(x) = e− ln c (c −1)

2) kxn

n>0 k>0

(Weibull)

Soluci´ on

a) ∀x(µx ≥ 0) b) Si x → +∞ ⇒ µx → +∞

Z

∞

Z n

kx dx = k 0

∞

xn dx

0

=

k (∞ − 0) = ∞ n+1

Sirve como fuerza de mortalidad dado que cumple las propiedades.

74

Problemas resueltos

S(x) = e− Z

x

⇒ 0

Rx 0

Rx

µt dt n

= e− 0 kt dt k ktt dt = (xn+1 ) n+1 k

n+1

⇒ S(x) = e− n+1 x

3) a(b + x)−1

a>0 b>0

(Pareto)

Soluci´ on

a) ∀x(µx ≥ 0) b) Si x → +∞ ⇒ µx → +∞ Z

∞

Z

∞

a dx b+x 0 = a(ln(b + ∞) − ln b)

µx dx =

0

= ∞

Sirve como fuerza de mortalidad dado que cumple las propiedades. Rx

Z 0

x

a

S(x) = e− 0 b+t dt ¡ ¢ a = a ln(x + b) − ln b b+x x+b = a ln b R − 0x ktn dt = e ¡ ¢ x+b

S(x) = e−a ln b ¡ ¢−a x+b = e b x + b −a = b b S(x) = x+b

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

75

Problema 2.26 Determine si la siguiente expresi´ on es verdadera Tx =

∞ X

Lt+1

k=0

Soluci´ on

w es el instante en que se extingue el grupo o cohorte, es equivalente a infinito. Tx se denomina cantidad de existencia y mide el n´ umero de a˜ nos vividos por la cohorte a partir de la edad x. La cantidad de existencia Tx se puede escribir como: Z Tx =

w−x

l(x + t) dt Z 1 Z 2 Z 3 = l(x + t) dt + l(x + t) dt + l(x + t) dt + . . . 0 0 0 Z w−x ... + l(x + t) dt 0

w−x−1

Tx

= Lx + Lx+1 + Lx+2 + . . . + Lw−1 ∞ X = Lx+t t=0

Problema 2.27 Si µx = Bcx , muestre que la funci´ on lx µx tiene m´ aximo en la edad x0 donde µx0 = log c Soluci´ on

∂ lx µx =0 ∂x ¡ ¢ ∂ lx Bcx = 0 ⇒ B lx0 cx + lx cx ln c = 0 ∂x lx0 = −lx ln c −

lx0 = ln c ⇒ µx0 = ln c lx

Problema 2.28 Se conoce que en un determinado sector industrial se cumple: q0 = 0,7, q1 = 0,3, q2 = 0,4, q3 = 1 y que el colectivo inicial est´ a constituido por 1000 elementos, se pide construir la tabla de mortalidad (li , di ) ∀i = 1, 2, 3

76

Problemas resueltos

Soluci´ on

d0 = l0 q0 = 1000(0,7) = 700 l1 = l0 − d0 = 1000 − 700 = 300 d1 = l1 q1 = 300(0,3) = 90 l2 = l1 − d1 = 300 − 90 = 210 d2 = l2 q2 = 210(0,4) = 84 l3 = l2 − d2 = 210 − 84 = 126 d3 = l3 q3 = 126(1) = 126 Problema 2.29 Dar las expresiones de las siguientes probabilidades: 1) Probabilidad que (30) sobreviva 15 a˜ nos Soluci´ on 15 p30

=

l45 l30

2) Probabilidad que (40) alcance la edad 50 Soluci´ on 10 p40

=

l50 l40

3) Probabilidad que (40) fallezca entre 50 y 51 a˜ nos Soluci´ on 10/1 p40

=

l50 − l51 l40

4) Probabilidad que un reci´en nacido sobreviva por lo menos 60 a˜ nos Soluci´ on 60 p0

=

l60 l0

Problema 2.30 Si en una poblaci´ on el n´ umero esperado de sobrevivientes a la edad x viene dado por: √ lx = 800 200 − 2x Calcular:

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

77

1) La probabilidad de sobrevivir de los reci´en nacidos a la mayor´ıa de edad Soluci´ on

l18 l0 p 800 200 − 2(18) p = 800 200 − 2(0) r 164 = 200 = 0,9055

18 p0

=

18 p0

2) La probabilidad que teniendo 35 a˜ nos fallezca antes de los 50 a˜ nos Soluci´ on 15 p35

15 p35

l50 l35 p 800 200 − 2(50) p = 1− 800 200 − 2(35) r 100 = 1− 130 = 0,123 = 1−

Problema 2.31 Confirme que

k/ q0

= − M S(K) y que

w−1 X k=0

Soluci´ on t/n qx

=

n qx+t t px

n=1 t/ qx

= qx+t t px

k/ q0

= qk k p0 =

S(k) − S(k + 1) S(k) S(k) S(0)

k/ q0

=1

78

Problemas resueltos

k/ q0

= S(k) − S(k + 1) = −(S(k + 1) − S(k))

k/ q0

w−1 X

k/ q0

=

0/ q0

= − M S(K)

+1/ q0 +2/ q0 + . . . +x/ q0

k=0

= S(0) − S(1) + S(1) − S(2) + S(2) − S(3) + . . . −S(w − 1) + S(w + 1) − S(w) = S(0) = 1

Problema 2.32 Si la variable aleatoria T tiene funci´ on de distribuci´ on dada por:  

t 100 − x F (t) =  1

; 0 ≤ t < 100 − x ; t ≥ 100 − x

Calcule: 1) ex Soluci´ on

Z ex = E(T ) =  

1 100 −x f (t) =  0 Z ex = = ex =

100−x

∞

t f (t) dt 0

; 0 ≤ t < 100 − x ; resto de x

1 t dt 100 − x 0 µ 2 ¶¯100−x 1 t ¯¯ 100 − x 2 ¯0 µ ¶ 1 (100 − x)2 100 − x = 100 − x 2 2

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad 2) V ar[T ] Soluci´ on

¡ ¢2 V ar[T ] = E(T 2 ) − E(T ) ¶ 1 t dt 100 − x 0 µ 3 ¶¯100−x 1 t ¯¯ 100 − x 3 ¯0 µ ¶ 1 (100 − x)3 100 − x 3 2 (100 − x) 3 (100 − x)2 (100 − x)2 − 3 4 (100 − x)2 12

Z 2

E(T ) = = = = V ar[T ] = =

100−x

µ

2

3) M ediana[T ] Soluci´ on

M ediana[T ] = m 1 P (T ≤ m) = 2 Z m 1 1 dt = 2 0 100 − x ¯m ¯ t 1 ¯ = ¯ 100 − x 0 2 m 1 = 100 − x 2 100 − x M ediana[T ] = 2 Problema 2.33 Muestre que: 1)

¡ ¢ d t px = t px µx − µx+t dx

79

80

Problemas resueltos

Soluci´ on t px

d t px = dx = = = = = d t px = dx 2)

=

S(x + t) S(x)

S 0 (x + t)S(x) − S(x + t)S 0 (x) (S(x))2 S 0 (x + t)S(x) S(x + t)S 0 (x) − (S(x))2 (S(x))2 0 S (x + t) S(x + t)S 0 (x) − S(x) (S(x))2 µ ¶ µ ¶ S 0 (x + t) S(x + t) S(x + t) S 0 (x) − S(x) S(x + t) S(x) S(x) µ ¶ µ ¶ S(x + t) S 0 (x) S 0 (x + t) S(x + t) − S(x + t) S(x) S(x) S(x) − t px µx+t + t px µx ¢ ¡ t px µx − µx+t

d ex = ex (µx − 1) dx

Soluci´ on

d ex = dx = = = =

Z ∞ d t px dt dx 0 Z ∞ d t px dt dx 0 Z ∞ ¢ ¡ t px µx − µx+t dt Z0 ∞ Z ∞ t px µx dt − t px µx+t dt 0 Z ∞ Z 0∞ µx t px dt − t px µx+t dt 0

0

d ex = ex µx − 1 dx Problema 2.34 Calcular 1/2 p65 por cada hip´ otesis de fallecimiento en fracci´ on de a˜ no utilizando: l65 = 77,107 y l66 = 75,520

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad 1) Distribuci´on Uniforme Soluci´ on 1/2 p65

1/2 p65

= 1−

1/2 q65

¶ µ 1 l65 − l66 = 1− 2 l65 µ ¶ 1 77,107 − 75,520 = 1− 2 77,107 = 0,98971

2) Fuerza Constante Soluci´ on

e−µt =

1/2 p65

µx = − ln px ⇒1/2 p65 = eln px t = eln p65 t = eln p65 (0,5)

1/2 p65

⇒1/2 p65 = e

ln

= e

ln

¡l ¢ 66 l65

0,5

¡ 75,520 ¢ 77,107

0,5

= e−0,010398 1/2 p65

= 0,989655

3) Balducci Soluci´ on

px 1 − (1 − t)qx

=

l66 µl65 ¶ l65 − l66 1 − 0,5 l65

81

82

Problemas resueltos

px 1 − (1 − t)qx

=

= px 1 − (1 − t)qx

=

75,520 77,107 µ ¶ 77,107 − 75,520 1 − 0,5 77,107 0,97942 1 − 0,5(0,02058) 0,97942 = 0,98960 0,98971

√ 100 − x Problema 2.35 Si S(x) = ; 0 ≤ x ≤ 100; eval´ ue: 10 1)

17 p19

Soluci´ on

17 p19

= = =

17 p19

2)

=

l36 l19 l0 S(36) l0 S(19) √ 100 − 36 √ 100 − 19 8 9

15 q36

Soluci´ on

15 q36

= = = 15 q36

l51 l36 l0 S(51) l0 S(36) √ 49 1− √ 64 7 1− 8 0,125

= 1−

=

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad 3)

15/36 q36

Soluci´ on

15/36 q36

=

15 p36

− 28 p36 l51 l64 − l36 l36 l0 S(51) − l0 S(64) l0 S(36) √ √ 49 − 36 √ 64 1 8

= = = 15/36 q36

=

4) µ36 Soluci´ on

1 1 (100 − x)−1/2 10 2 1 (100 − x)−1/2 = − 20 S 0 (36) = − S(36) = 0,0078

S 0 (x) = −

µ36

5) ˚ e36 Soluci´ on

Z ˚ e36 = t p36

=

=

0

64 t p36

S(36 + t) S(36) √ 64 − t √10 64 10

dt

83

84

Problemas resueltos

t p36

=

˚ e36 = = =

√ 64 − t 8 Z 64 √ 64 − t dt 8 0 ´¯64 1 ³ ¯ − (64 − t)3/2 ¯ 2 0 42,66

Problema 2.36 Considere una modificaci´ on de la ley de Moivre dada por: µ ¶ x α S(x) = 1 − 0 ≤ x ≤ w, α>0 w Calcule µx y ˚ ex 1) µx Soluci´ on

¶ µ ¶ µ 1 x α−1 − S (x) = α 1 − w w 0

S 0 (x) S(x) −α x (1 − )α−1 w w = − ³ x ´α 1− w µ ¶−1 x α 1− = w w µ ¶ α = w−x

µx = −

µx

2) ˚ ex Soluci´ on

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

Z ˚ ex = t px

=

=

= ˚ ex = =

85

w−x

0

t px

dt

S(x + t) S(x) µ ¶ x+t α 1− w µ ¶ x α 1− w µ ¶α t 1− w−x ¶α Z w−x µ t dt 1− w−x 0 w−x α+1 3

Problema 2.37 Confirmar que la funci´ on S(x) = e−x /12 ; x ≥ 0 puede servir como una funci´ on de sobrevivencia. Mostrar la correspondiente µ, f (x), F (x). Soluci´ on

S(0) = 1 l´ım S(x) =

x→∞

l´ım e−x

x→∞

3 /12

=0

S(x) es decreciente. Por tanto S(x) si es una funci´on de sobrevivencia F (x) = 1 − S(x) 3

= 1 − e−x /12 x2 −x3 /12 f (x) = e 4 S 0 (x) µx = − S(x) x2 −x3 /12 − e x2 4 = = 3 4 e−x /12

86

Problemas resueltos

Problema 2.38 Si la funci´ on de supervivencia en una poblaci´ on est´ a dada por: S(x) = 1 − (x/12), 0 ≤ x ≤ 12, con l0 = 9, y considerando que los tiempos de sobrevivencia son independientes, considere la distribuci´ on multivariada de (3 D0 , 3 D3 , 3 D6 , 3 D9 ). Se pide calcular: El valor esperado de cada variable aleatoria, la varianza de cada variable aleatoria, el coeficiente de correlaci´ on entre cada pareja de variables aleatorias. Soluci´ on n Dx

→

β(l0 ,

n qx )

(3 D0 , 3 D3 , 3 D6 , 3 D9 ) tiene distribuci´on multinomial E(3 D0 ) = 9 3 q0 = 1 −

l3 98584 =1− = (0,01416)9 = 0,12744 l0 100000

E(3 D3 ) = 9 3 q3 = 1 −

l6 98459 =1− = (0,00126)9 = 0,01141 l3 98584

E(3 D6 ) = 9 3 q6 = 1 −

l9 98370 =1− = (0,0009039)9 = 0,00813 l6 98459

V ar(3 D0 ) = 9 3 q0 3 p0

µ ¶µ ¶ l3 l3 =9 1− = 0,1256 l0 l0

V ar(3 D3 ) = 9 3 q3 3 p3

¶µ ¶ µ l6 l6 = 0,01139 =9 1− l3 l3

V ar(3 D6 ) = 9 3 q6 3 p6

µ ¶µ ¶ l9 l9 =9 1− = 0,0081226 l6 l6

V ar(3 D9 ) = 9 3 q9 3 p9

µ ¶µ ¶ l12 l12 =9 1− = 0,005577 l9 l9

Problema 2.39 Si µx = 1)

40 p50

Soluci´ on

3 10 − para 0 < x < 100, calcular: 100 − x 250 − x

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

S(x) = e− = e−

Rx 0

87

µx dx

Rx

3 10 0 100−x − 250−x

dx

¯x = e[3 ln(100−x)−10 ln(250−x)] ¯0 ¯x = e3 ln(100−x)−10 ln(250−x) ¯ 0

40 p50

3 (100 − x)3 10010 250 e = (250 − x)10 S(90) = S(50) = 0,0745

2) La moda de la distribuci´on de x, la edad de muerte

Soluci´ on

f (x) = −S 0 (x) ¡ ¢3 ¡ ¢2 10 100 − x 3 100 − x = ¡ ¢11 + ¡ ¢10 250 − x 250 − x f 0 (x) = −

110 (100 − x)3 60 (100 − x)2 6 (100 − x) + − (250 − x)12 (250 − x)11 (250 − x)10

La moda se encuentra en el punto en el cual f (x) toma su valor m´aximo, esto es cuando f 0 (x) = 0 Luego x = 77,21054 Problema 2.40 Verificar las propiedades bajo las hip´ otesis de fuerza de mortalidad constante y de Balducci. Soluci´ on 4

En este caso se us´ o un paquete computacional para resolver la ecuaci´ on

88

Problemas resueltos

1 S(x + t)

=

S(x + t) = µx+t = =

=

=

=

µx+t =

1−t t + S(x) S(x + 1) S(x) S(x + 1) ¡ ¢ (1 − t) S(x + 1) + t S(x) −S 0 (x + t) S(x + t) ³ ´ − S(x + 1) + S(x) S(x)S(x + 1) · ³ ´2 (1 − t) S(x + 1) + t S(x) µ ¶ 1−t t + S(x) S(x + 1) ³ ´ − S(x + 1) + S(x) S(x)S(x + 1) · ³ ´2 (1 − t) S(x + 1) + t S(x) ¶ µ (1 − t) S(x + t) + t S(x) S(x) S(x + 1) S(x) − S(x + 1) (1 − t) S(x + 1) + t S(x) S(x + 1) 1− S(x) S(x + 1) (1 − t) +t S(x) 1 − qx (1 − t) qx + t

Problema 2.41 Si lx = 100−x para 0 ≤ x ≤ 100. Calcule 10 m50 donde Z n mx

=

0

n

lx+t µx+t dt Z n lx+t dt 0

Soluci´ on

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

Z 10 m50

0

=

µ

10

1 100 − x − t

(100 − x − t) Z 10 100 − 50 − t dt 0 Z 10 dt

¶ dt

0

=

Z

=

50 − t dt ¯10 t¯ 0 ¯ ¯10 t2 ¯10 50t¯0 − ¯¯ 2

10

89

0

0

10 m50

10 − 0 = 100 − 0 500 − 0 − 2 = 0,02222

Problema 2.42 En base a la tabla de mortalidad del ap´endice realice lo siguiente: 1) Compare los valores de 5 q0 y 5 q5 Soluci´ on

Partimos de la siguiente probabilidad t px 5 q0 :

=

lx+t lx

t qx

= 1 −t px

en este caso x = 0; entonces 5 q0 = 1 − 5 p0

5 q0

5 q0

5 q5 :

y

l5 l0 98495 = 1− 100000 = 0,01505 = 1−

en este caso x = 5; entonces 5 q5 = 1 − 5 p5

90

Problemas resueltos

l10 l5 98347 = 1− 98495 = 0,1503

5 q5

= 1−

5 q5

2) Eval´ ue la probabilidad que (25) fallezca entre los 80 y 85 a˜ nos Soluci´ on

x = 25 Sabemos que:

t/n qx

⇒

55/5 q25

= t px n qx+t

55/5 q25

55/5 q25

=

55 p25 5 q80

µ

¶µ ¶ l80 l85 = 1− l25 l25 ¶µ ¶ µ 27960 43180 1− = 97110 43180 = 0,1567

Problema 2.43 Si µx+t = t, t > 0 calcular: 1) t px µx+t Soluci´ on

t px

= e− = e− = e

t px

2) ˚ ex

Rt 0

Rt 0

2 − t2 t2

µx+t = te− 2

µx+t dt t dt

Distribuciones de supervivencia y tablas de mortalidad

91

Soluci´ on

Z ˚ ex =

∞

Z0 ∞

= r0 ˚ ex =

t px

dt

t2

e− 2 dt

π 2

Este u ´ltimo resultado se tiene integrando la densidad normal: Z

+∞

−∞

x2 1 √ e− 2 dx = 1 2π √ Z +∞ 2 2π − x2 e dx = 2 0 r Z +∞ 2 π − x2 e dx = 2 0

Problema 2.44 Si q70 = 0,04 y q71 = 0,05 calcular la probabilidad que (70) fallezca entre los a˜ nos 70 1/2 y 71 1/2 bajo: 1) La hip´otesis que las muertes son uniformemente distribuidas dentro de cada a˜ no de edad. Soluci´ on y qx+t

=

yqx 1 − tqx

1/2 q70+(1/2)

1/2 q70+(1/2)

donde

0