Mat..
September 2, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Prof. Alicia Herrera Ruiz
Matemática I
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I. CONOCIMIENTOS PREVIOS:
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS O PLANO CARTESIANO Al eje horizontal ―x‖ se le
llama también ABSCISA
Y
Al eje vertical ―y‖ se le
SEGUNDO
PRIMER
CUADRANTE (- ;+) ;+)
CUADRANTE (+ ;+) ;+) X
TERCER CUADRANTE (- ; -) -)
CUARTO CUADRANTE (+ ; -) -)
llama también ORDENADA. Un punto está representado
pory)un, PARA (x; donde:ORDENADO x: se le llama primera componente. y: se le llama segunda segunda componente
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Ejercicios N° 1: 1) Indica el cuadrante y las coordenadas de los puntos: Solución:
•Punto
A, pertenece al I cuadrante. Coordenadas: (2; 3) •Punto B, pertenece al II cuadrante. Coordenadas: (-5; 1) •cuadrante. Punto C, pertenece al III Coordenadas:
(-2; -2) •Punto A, pertenece al IV cuadrante. Coordenadas: (4; -2)
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II. LA RECTA
qué significan estas señales dePrimero tránsito:respondamos La primera nos indica que está próxima una pendiente ascendente La segunda nos indica que está próxima una pendiente descendente. Entonces, ¿qué es una pendiente? Intuitivamente podemos deducir que la pendiente es una inclinación.
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2.1) Pendiente de una recta: Definiciones: 1)Si nos dan dos puntos:
Primero necesitamos un modo de medir la inclinación de una recta o que tan rápido se levanta o desciende cuando nos desplazamos desde la izquierda hacia la dere derecha. cha. Definimos desplazamiento horizontal com comoo la distancia que nos movemos hacia la derecha y desplazamiento vertical como laesdistancia correspondiente a la recta quevertical sube o baja. La pendiente la relación entre el desplazamiento y el horizontal pendiente
desplazamiento.vertical desplazamiento.horizontal
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pentidente pentid ente
desplazami ento.vertical desplazami ento.horizontal
= m =
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y 2
y1
x 2
x1
donde: x1 x2
La pendiente de una recta vertical no está definida.
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Ejercicios N° 2:
1) Halla Hallarr la pendie pendiente nte de la recta puntos: • P1(4,
pasa por los
8) y P2(6, 10)
• P1(-6, 2) y
P2(8, -4)
Solución:
L
m
y
P2 (6, 10)
P1 (4, 8)
0
―L‖ que
x
10 8 64
2 2
1
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y
P1 (-6, 2)
x
x
P2 (8, -4)
m
2 (4)
6 (8)
24
68
6
14
3 7
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2.2) ECUACIÓN DE LA RECTA 1)Forma Punto – Pendiente Ésta nace a partir de la definición de pendiente: Sea una recta ―L‖ que pasa por el punto P1(x1; y1) y tiene una pendiente ―m‖ la ecuación es:
y - y1 = m(x - x1) L
y
m (pendiente)
y y1
P(x, y)
P1 (x1; y1)
x1
x
x
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Caso particular:
Si no nos dan la pendiente, pero sí dos puntos P1(x1, y2) y P 2(x2, y2): su ecuación la podemos encontrar así: Paso 1: Hallamos la pendiente entre P1 y P. 2
y 2 m = x 2
y1 x1
Paso 2: Usamos la ecuación de la recta (punto – pendiente) y reemplazamos uno, cualesquiera de los puntos P1(x1, y1) ó P2(x2, y2) : y – y = m(x – x ) 1
1
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Ejercicios N° 3:
1) Hallar la ecuación de la recta que que pasa por el punto P1 (3, 4) y que tiene una pendiente m=2 Si pasa por P1 (3, 4) y la pendiente es m=2. El bosquejo bosquejo de de la gráfica sería
y – y1 = m(x – x1)
L y
m=2
y – 4 = 2(x – 3)
Ecuación punto-pendiente de la recta.
P1 (3, 4)
x
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2) Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, 3) y B(4,2).
•Si la recta pasa por los puntos:
A(-2, -3) y B(4,2). Entonces identificamos los puntos:
Paso 1: La pendiente A(-2, -3) y B(4, 2). x1 y1 x2 y2
Paso 2:
m
Ecuación punto-pendiente:
y – y1 = m(x – x1)
y 2
y1
x 2
x1
23 42
5 6
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2) Forma General:
Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente podemos obtener la ecuación general de la recta que tiene la siguiente expresión: Ax + By + C = 0 Cuando la ecuación se escribe así, se dice que está en la forma general donde ―A‖ y ―B‖ no pueden ser cero simultáneamente. Nota: La pendiente de una recta escrita en la forma general: Ax + By + C = 0 se obtiene así:
m = - A B ; B 0 C La intersección con el eje ―y‖ es:
B
Si CB = 0 la recta pasa por el origen es vertical Si A = 0 la recta es horizontal
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Ejercicios N° 4:
1)De la ecuación punto-pendiente: como ecuación general.
y – 4 = 2(x – 3) Expresar
2) Indicar las pendientes y las intersecciones correspondientes a las rectas dadas como ecuación general: a) 2x – 3y +1 = 0 b) x – 7y = 0 c) 4x + 6 y -3 = 0 d) 3x + 6 = 0 e) 3y +5 = 0
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3) Forma Pendiente - ordenada al origen ―L‖ una recta cuyo intercepto con el eje ―y‖ sea ―b‖ (también se Sea le llama ordenada al origen).
Si hacemos que: P1(x1 y1) = (0, b)
y = mx + b y
L
P (x, y)
P1 (0, b)
b
0
Ordenada al origen
x
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Ejercicios N° 5:
1) Halla Hallarr la eecuaci cuación ón de uuna na rec recta ta qu quee tie tiene ne una pendie pendiente nte igual igual a m = 2 y su intercepto con el eje ―y‖ es 4. 2) Dadas las ecuaciones de las rectas identificar la pendiente y el intercepto con ―y‖. •Y = -3x + 1 •Y= 4/5 x + 3 •Y = -3x
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4) Forma Ordinal, Canónica o Simétrica La ecuación ordinal o simétrica de la recta es la expresión de la recta en función de los interceptos con los ejes de coordenadas
La Ecuación es la siguente: a es la abscisa en el origen de la recta: (a, 0) b es la ordenada en el origen de la recta: (0; b) Los valores de a y de b se pueden obtener de la ecuación general.
Si y = 0 resulta x = a. Si x = 0 resulta y = b.
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OBSERVACIÓN:
Una recta carece de la forma ordinal en los siguientes casos: 1 Recta paralela al eje X, que tiene de ecuación y = n 2 Recta paralela al ej ejee Y, que ti tiene ene de ecuación x = k 3 Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx.
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Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta: Pendiente positiva negativa
Tipo de recta recta ascendente recta descendente
cero no definida
recta horizontal recta vertical
Ejercicio N° 6:
1) Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente. Hallar su ecuación. 2) Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene como pendiente -4/3.
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Ejercicios N° 7:
1. Indique a qué cuadrante pertenece los siguientes puntos. A. (6,8) B.(-2,7) C. (-8,-3) D. (0,-4) E.(1,0) 2. Localice los siguientes puntos A. (-3,-7) B. (-2, -4) C. (-1,-1) D. (0 , 2 ) E. (1 ,, 58 )) F. (2 G. (3 ,11) 3. Resolver la ecuación para encontrar sus puntos y coloque éstos en la gráfica. y = 2x + 1
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4. De los siguientes puntos, ¿cuáles son soluciones a la ecuación y = -3x + 9? A. (2, 4) 3) B. (5, C. (1, 9) D. (0, 9) E. (4,-3) 5. Buscar el intercepto de x e y de las siguientes ecuaciones: A. y = 4x + 6 B. y = -3x + 7 6. Encontrar la pendiente de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos: A. (2,5) y (-3,8) B. (4,-8) y (-7,0) C. (1,0) y (-2,-4) 7. Buscar la ecuación en todas sus formas ( punto-pendiente, general, pendiente ordenada en el origen y ordinal) de los puntos dados. A. (5,0)-4) y (2,-1) B. (-3, y (6,0)
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2.2.1 Rectas paralelas y perpendiculares Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente
L1 L2
Si L1 // L2 entonces: m1 = m2
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Ejemplo:
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Dos rectas son perpendiculares si tienen las pendientes invertidas y opuestas.
L1 L2 L2 entonces:
Si L1
1 m1 m2
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Ejercicios N 8: °
1) Enc Encuen uentre tre llaa ecu ecuaci ación ón de la rrect ectaa que pa pasa sa por ((-1,2 1,2)) y es paralela a la recta −10x + 2y − 6 = 0.
2) Si las ecuac ecuaciones iones y = (7-2k) (7-2k)x+kx+5 x+kx+5 e y =3-(4k-1)x, =3-(4k-1)x, representan rectas paralelas. Hallar el valor de k 3) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por A(7,-3), y perpendicular a la recta cuya ecuación es 2x − 5y = 8.
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2.2.2 Punto de Intersección de dos Rectas
Para hallar el punto de intersección de dos rectas es necesario desarrollar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Este procedimiento será de utilidad para encontrar el punto de equilibrio de mercado en las aplicaciones de la función lineal en la administración y economía. Ejercicios N° 9:
1) Hallar la intersección de las rectas L1 : 2x + 3y +1 = 0 y L2: 3x + 4y = 0 2) Encuentra la intersección de dos rectas: L1 : y = - 3/2x + 7/2 y L 4/3x + 2/3
2:
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3) Escribe la ecuación de la recta dada:
4) Según el gráfico:
a) Escribe la ecuación en forma pendiente ordenada para cada una de las rectas graficadas. Recta a: a : __________________ Recta b: b : _________________ ___________________ b) Escribe las coo coordenadas rdenadas de dell punto de intersección de las rectas a y b _________ ____________ ___ c) Verifica el par ordenado quelineal. registraste como punto de intersección es laquesolución al sistema
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1.PRODUCTO CARTESIANO: Dado un conjunto ―A‖ llamado conjunto de partida, y un conjunto ―B‖ llamado conjunto de llegada, se define el producto cartesiano ―A x B‖ entre ambos conjuntos como el conjunto de todos todo s los pares
ordenados que se pueden formar: donde el primer componente
pertenece a ―A‖ y el segundo componente del par pertenece a ―B‖.
Se escribe: Por lo tanto, el producto ccartesiano: artesiano: es un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, de modo que la primera componente se ha tomado de un conjunto original or iginal llamado ―Conjunto de Partida ‖ y la segunda componente se ha tomado de otro conjunto original llamado ―Conjunto de Llegada ‖
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Ejemplo:
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Ejercicios N° 10:
1)Sea los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} Hallar el producto cartesiano AXB 2) Dados: A = { 1; 2; 3 }
y
B = {a; b}
Halle los productos cartesianos: a) A x B XB
b) B x A
c) gráfica cartesiana de A
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2)
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RELACIÓN
Se dice que  es una relación que aplica ―A‖ en ―B‖, si es un subconjunto del Producto Cartesiano ―A x B‖, o sea que es un
determinado conjunto de pares ordenados cuya primer componente pertenece ―A‖, (llamado Conjunto de Partida) y cuya segunda componentea pertenece a ―B‖, (Conjunto de Llegada).
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3) Dominio y Rango de una relación
Se llama “Dominio” de una relación  al subconjunto incluido en el conjunto de partida de los elementos de ―A‖ que tienen imagen
sobre el conjunto de Llegada. Gráficamente es el subconjunto de ―A‖ desde donde parten las flechas.
Se llama “Rango o Imagen” de una relación  al subconjunto incluido conjuntoen deelllegada de los elementos de ―B‖ que son imagen de al menos un punto del conjunto de partida. Gráficamente es el
subconjunto de ―B‖ hacia el cual llegan las flechas.
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• M =
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Ejercicios N° 11: B = {4,6,9}, 1) siendo Da Dado doss A, R= :{2 {2,3 ,4,5 A,3,4 — >,5} B} layrelación tal que "x + y < 8 ‖ , determina:
a) Conjunto Solución, b) Dominio, c) rango d) Diagrama de flechas o sagital 2) Si:
M x 2 3 / x Z ,3 x 0} Hallar :
2
R ( x : y ) MxN / y x 4}
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II. FUNCIÓN:
Sean A y B dos subconjuntos de R. Cuando existe una relación entre las variables, x e y , donde x Î A e y Î B , en la que a cada valor de la variable independiente x le corresponde un único valor de la variable dependiente y, diremos que dicha relación es una función . 1.Reconocimiento de una función: Para que una relación  sea una ―relación funcional‖ o ―función‖ deben cumplirse dos condiciones: A) Exis Existe tenc ncia ia:: Todo elemento correspondiente al conjunto de Partida ―A‖ debe tener una imagen en el conjunto de llegada ―B‖. Es decir que el dominio de la relación debe ser igual al conjunto de partida ―A‖.
En lenguaje simbólico:
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Ejemplo:
Un ejemplo de una relación que cumple la condición de existencia sería:
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2) Unicidad: Cada elemento correspondiente al conjunto de Partida ―A‖ debe tener una sola imagen en el conjunto de llegada ―B‖. Es decir que no puede
haber un elemento del dominio asociado con dos valores distintos de imagen en el conjunto de llegada. En lenguaje simbólico:
La relación del ejemplo que estamos tratando no cumple unicidad debido a que el elemento ―2‖ tiene dos imágenes distintas en ―B‖.
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Matemática I EN EL PLANO CARTESIANO: PARA CONJUNTOS REALES:
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Dada una relación en coordenadas cartesianas, para determinar si es función o no, se procede así: 1)
Se toma una recta vertical (de ecuación x = constante) y se ―barre‖ con ella todos los elementos del conjunto de partida ―A‖ especificados.
2) Si esta recta ―imaginaria‖ corta siempre una y sólo una vez a la gráfica dada, la misma corresponde a una función. Si la corta en algún punto o la corta más de una vez, no corresponderá a unanofunción.
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Algunos ejemplos de relaciones que no son función:
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Ejercicios N° 12:
1) Dados los :conjuntos A = {1, 3 ; 5 } y B = {{11 ; 3 ; 7 ; 9 ; 11 } Determinar a) Dado el producto Cartesiano de A x B indicar partida y de llegada. b) El producto Cartesiano de A x B c) Hallar la función que cumpla con y = 2x+1 o lo que es lo mismo: f(x) = 2x+1. d) Indicar si la relación obtenida es una función e) Establecer el dominio y el rango f) Graficar en el plano cartesiano 2) Dadas las siguientes relaciones mediante diagrama de flechas, determinar si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple.
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•Dadas las siguientes relaciones mediante diagramas cartesianos "XY", determinar si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple.
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1.FUNCIÓN LINEAL
La función más simple en la matemática es la función lineal o de primer grado, dondegeneral la incógnita potencia. Su forma es: x aparece sólo elevada a la primera Como ya hemos visto la ecuación de la recta, La variable y depende de la variable ―x‖, entonces, y = f(x)
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Ejercicios N° 13:
1) Dadas las siguientes funciones lineales 1)Graficar usando los conceptos de pendiente y ordenada al origen. igualando función a cero y despejando la ―x‖. Verificar 1)Hallar elsucero, ubicación en ellagráfico.
1)Decir si la función es creciente, decreciente o constante.
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2) Dadas las siguientes gráficas, hallar la función lineal correspondiente
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2. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL: COSTOS TOTALES:
En otros términos :
C= CF + CV
Donde el costo variable es= ( costo cost o unitario) (n° de unidades)
Cv = Cu. Q Nota, se puede utilizar ―q‖ o ―x‖ para el número de
unidades
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INGRESOS
Se refiere a las ventas realizadas
También puede ser
I = ( Pv ) . ( q )
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UTILIDAD
Por último se define la "utilidad", "beneficio" o "ganancia o pérdida" a la diferencia entre ingresos y costos.
Si la utilidad es positiva,
entonces: I > C
GANANCIA
Si la utilidad es negativa,
entonces I < C
PÉRDIDA
Si la utilidad es cero,
entonces I = C
NI GANANCIA NI PÉRDIDA (PUNTO DE EQUILIBRIO)
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Se cumple la siguiente gráfica: I;C
Ingreso
Costo ganancia I=C Cf
pérdida
q
n° unidades
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Ejercicios N° 14:
1) Una empresa producto que tiene costos variables de S/. por12.unidad y costos fijos defabrica S/. 80un000. Cada unidad tiene un precio de venta de 5S/. A)Determine el número de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de S/. 60 000 B)Hallar el punto de equilibrio y graficar. 2) Los costos fijos de una empresa (luz, teléfonos, alquileres etc.), que son independientes del nivel de producción, ascienden a $ 250.000. El costo variable o costo por unidad de producción del bien es de $ 22,50. El precio de venta del producto es de $ 30,00 por unidad. Calcular su punto de equilibrio. 3) Una empresa para resolver sus problemas de facturación puede optar por: de yuna computadora, y hacer la facturación CostoAlquiler del alquiler programas $ 15.000losporprogramas año y $ 0,65 es el costo por factura emitida. Por lo tanto la función de esta alternativa podemos definirla como A(x) = 0,65 x + 15.000
Alternativa 1 :
Alternativa 2 : Contratar
un servicio que se encargue del total del trabajo a
realizar cuyolacosto sería 3.000 anuales más $definirla 0,95 porcomo factura Por lo tanto función de de esta$ alternativa podemos C(x)procesada. = 0,95 x +
3.000
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Oferta y Demanda
El punto de equilibrio de mercado ocurre en un precio (p) en el cual la cantidad ofrecida es igual cantidad demandada (q). Esto corresponde al punto de intersección de lasa larectas de oferta y demanda. Algebraicamente, el precio (p) y cantidad (q) de equilibrio de mercado se determinan resolviendo las funciones de oferta y demanda como un sistema de ecuaciones lineales. Para establecer el punto de equilibrio es necesario determinar las ecuaciones de oferta y demanda, las cuales tienen la siguiente forma: p mq b (oferta)
p mq b
(demanda)
(demanda) p : es el precio del producto q : la cantidad de unidades a ofrecer o demandar, según sea el caso (oferta o demanda) m : la pendiente es una constante positiva en el caso de la oferta y negativa para el caso de la demanda
El punto de equilibrio está dado por : OFERTA = DEMANDA DEMANDA
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precio OFERTA m+
p
DEMANDA -
m q
n° unidades
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Ejercicio N° 15:
Si el precio se fija en $220.00 entonces la oferta es de 20,000 unidades. Si el precio se fija en $227.00 entonces la oferta es de 27,000 unidades. Si el precio se fija en $220.00 entonces la demanda es de 30,000 unidades, Si el precio se fija en $227.00 entonces la demanda es de 23,000 unidades, es decir: Hallar las ecuaciones de oferta y demanda, el punto de equilibrio y graficar.
Matemática I Respuesta gráfica:
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1.FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática es una función f : IR® IR cuyo criterio de asociación es de la forma: con a , b y c constantes reales, a¹ 0. Donde ―a‖ determina la orientación de la parábola. f ( x =ax2 + bx + c
Por ejemplo las siguientes son funciones cuadráticas:
con a=-2, b=4,
c=-1
se abre para abajo, porque es (-) y=-2x2+4x-1
―a‖
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con a=5, b=-4, c=2 Se abre para arriba porque ―a2 es (+)
-4x+2 y= 5x2-4x+2
con a=1,
b=-3,
c=0
y=x2-3x -3x
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con a=-1, b=0, c=4
y=-x2+4
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GRÁFICA DE UNA PARÁBOLA:
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 1. Vértice Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola. 2. Puntos de corte con el eje X En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener: 0) si b² − 4ac > 0 Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si 0) si b² − 4ac = 0 Un punto de corte: (x1, 0) si Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0 3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
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Ejercicios N° 16:
1) Re Repr pres esen enta tarr la ffun unci ción ón ff(x (x)) = x² − 4x + 3. y2)=Representa -x² + 4x – 3gráficamente la función cuadrática:
3) Representa gráficamente la función cuadrática: y = x² + 2x + 1 4) Representa gráficamente la función cuadrática: y = x² +x + 1
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Construcción de parábolas a partir de y = x² Partimos de y = x² x
y = x²
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
1. Traslación ver vertical
y = x² + k Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades. Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades. El vértice de la parábola es: (0, k).
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El eje de simetría x = 0. y = x² +2
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y = x² −2
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2. Traslación horizontal
ySi=h(x> 0, + h)² y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades. El vértice de la parábola es: (−h, 0). El eje de simetría es x = −h.
y = (x + 2)²
y = (x − 2)²
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3. Traslación oblicua y = (x + h)² + k El vértice de la parábola es: (−h, k). El eje de simetría es x = −h.
y = (x − 2)² + 2
y = (x + 2)² − 2
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2.2.1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN FUNCIÓN CUADRÁTICA
Las aplicaciones que revisaremos están orientadas a solucionar casos de: Costos, Ingresos y Utilidades. Debemos recordar : Costos Totales Totales = Costos Fijos + Costos Variables Unidades que minimizan el costo
-b / 2a
;
C (-b / 2a )
Ingreso Total = Precio de de venta . Cantidad vendida Utilidad = Ingresos Totales – Costos Totales Además los costos que nos pedirán serán los MÍNIMOS El ingreso será el MÁXIMO
Costo mínimo unitari
Y La utilidad será la MÁXIMA
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Ejercicios N° 17: 1) El co costo sto promedi promedioo por unidad ( en dólare dólares) s) al producir producir x unidades unidades de cie cierto rto 2 artículo es C(x) = 20 - 0.06x + 0.002x . a) ¿Qué número de un unidade idadess producida producidass minimizarán minimizarán el co costo sto promed promedio?. io?. b) ¿Cuál es el correspondiente costo mínimo por unidad? 2) Una empresa tiene costos fijos mensuales de $ 2000 y el costo variable por unidad de su producto es de $ 25. a) ) Determine la función de cost b) El ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por f(x) = 60x - 0.01q2. Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que maximice el ingreso. ¿ Cuál es el ingreso máximo? c) ) ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima? ¿ Cuál es está utilidad máxima?
de obtener una utilidad máxima? ¿ Cuál es está utilidad máxima?
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La armonía matemática en la Naturaleza: el número de Oro uando algo nos parece estéticamente C proporcionado ello es debido a una explicación matematica, a la llamada "proporción aurea" o "divina proporción". Recibe el nombre de "divina proporción" porque es la proporción que tiene la naturaleza, o la proporción que Dios materializó en la naturaleza, según creían algunas civilizaciones.
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REGLA DE TRES MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.
•REGLA
DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo a) Si por 12 camisetas pago 96 €, ¿cuánto pagaré por 57 de esas camisetas? ( Es directa porque a doble de camisetas corresponde doble dinero)
Rpta:
456 €
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b) Un auto gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el auto ?
5 l ______ 100 k m
x 6 l ______ x k m
6.100 5
Luego con 6 litros el coche recorrerá 120 km
120
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MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. •REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Ejemplo
a) Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8 horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16 obreros? (Es inversa porque a doble de obreros corresponde mitad de tiempo)
Rpta: 5 horas
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b) Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?
8 toneles _____ 200 litros 8.200 50 x 32 toneles ____ x litros 32
Pues la cantidad de vino=8.200=32.x Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.
Matemática I
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Ejercicios N 18: °
1) En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal? 2) Un ganadero tiene alimento suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?
Matemática I
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PORCENTAJES
El porcentaje concierne a un grupo de fracciones decimales cuyos denominadores son 100 . Dado el intenso uso del centésimo desapareció la coma decimal y se colocó el símbolo %, que se lee "por ciento" (por cien). Entonces, 0,15 y 15 % representan mismo valor, 15/100. el El primero se lee "quince centésimos" y el segundo se lee "quince por ciento".
Ambos significan partes de 100.
Matemática I
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oCualquier cantidad presentada, se
puede considerar como una cantidad total que se puede dividir en 100 partes. 1
oCada parte representa el 100 del total, a la cual llamaremos ―1 por ciento‖ y la denotamos por 1%.
EJEMPLOS : 1) Hallar el 20% de $700 2)
Hallar el 4% del 60% de 5000
3)
De un un total de 500 niños y niñas de la calle, el 30% son menores de 10 años y el 20% de éstos son niñas. ¿Qué cantidad son niñas menores de 10 años?
15
a) 15
b) 20 c) 25 d) 30 e) 33,5
SEMEJANZA CON LAS FRACCIONES Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA: 50 1 Así tenemos: 50 % = 1/ 2 Esto es porque: 50%= 100 2 50 % ½ del total
50% ½ del total
25 % = 1/ 4
Esto es porque:
25 % =
75 % = 3 / 4 Esto es porque:
75 % =
25 100 75 100
25 % 1/4 del total
75% 3/4 del total
1 4
3 4
Equivalencias fraccionarias notables: 1% = 1/ 100
20% = 1/5
100% = 1
5% = 1/20
25% = 1/4
30% = 3/10
10% = 1/10
50% = 1/2
60% = 3/5
75% = 3 /4
EJEMPLOS: La siguiente figura representa a 500 fami familias. lias. El área sombreada representa a las familias sin hijos, ¿cuántas familias y qué porcentaje del total de familias tiene tiene hijos?
a) 375 familias y 25%
b) 125 familias y 75% c) 375 familias
y 75%
d) 125 familias y 15%
e) No se puede determinar.
VARIACIÓN PORCENTUAL:
En estos casos debemos tener mucho cuidado al tomar la cantidad total, la que le corresponderá el 100%. Una vez ubicada esa cantidad sólo nos queda trabajar una proporción o regla de tres.
EJEMPLOS : Encuentra la cantidad inicial
10%
180
a) 100
b) 150
c) 250
d) 230
e) 200
¿Cuánto había al comienzo?
60 20%
Matemática I
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Ejercicios N° 19:
1) Un comerciante comerciante compró un estante cuyo valor era de $200 le hicieron un descuento primero de 20% y luego de 10% sobre el resto, el precio que pagó fue: a) $1 $120 20
b) $1 $144 44
c) $1 $168 68
d) $1 $142 42
2) En un aula de 60 estudiantes de los cuales 12 son hombres, indique, respectivamente qué tanto por ciento representa el número de hombres, el número de mujeres y el número de hombres respecto al de mujeres. a) 20, 80 y 25% b) 30, 80 y 150%
c) 15, 20 y 60%
d) 45,5 ; 20 y 60%
Matemática I
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a)APLICACIONES COMERCIALES: Índice de variación n
Es el número por el que hay que multiplicar una cantidad inicial (precio inicial) para obtener la cantidad final (el precio final). Por ejemplo:
Si en unas rebajas nos hacen un descuento de un 15% sobre un artículo El % real que se aplica es del 85 %, siendo su tanto por uno 0,85. Por lo tanto n = 0,85. Al comprar un pantalón nos aplican un IGV del 19 %. El porcentaje real que se aplica es del 119 % y su tanto por uno es 1,19, luego n = 1,19.
Matemática I •AUMENTOS
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Y DESCUENTOS
Para resolver este tipo de problemas utilizaremos la fórmula Cf = n×Ci
Siendo: CF: la cantidad final
n: el índice de variación
CI: la cantidad
inicial A) Cálculo del precio final Ejemplos: 1) Un televiso televisorr que costaba costaba 820 soles, soles, se se rebaja rebaja en un 22 %. ¿Cuánto cuesta ahora?
Precio inicial: 820 Precio final: CF
Cf= n×Ci CF = 0,78 · 820
% Descuento: 22 % Real que se aplica: 78 n: 0,78
CF = 639, 6 soles precio finales el
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2) A un reloj de $ 95 hay que añadirle el 19 % de I.G.V.. ¿Cuál será su precio final?
Precio inicial: 95 Precio final: CF % Aumento: 19 % Real que se aplica: 119 n: 1,19
Cf= n×Ci CF = 1,19 · 95 CF = $ 113,05 es el precio final
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B) Cá Cálc lcul uloo del del prec precio io ini inici cial al Ejemplos: Por una camisa, que estaba rebajada un 12 %, he pagado 74,8 soles. ¿Cuál era su precio inicial?
Precio inicial: ¿? Precio final: 74,8
Cf = n×Ci 74,8 = 0,88 · CI
es el precio sin rebajar CI =deS/. la 85 camisa. % Descuento: 12 % Real que se aplica: 88 n: 0,88
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C) Cálculo del porcentaje de incremento o descuento Ejemplos: •Por
una chompa que costaba S/.84 he pagad pagadoo S/.71,4 . ¿Qué % de descuento me han hecho? Precio inicial: 84 Cf = n×Ci
Precio final: 71,4 % Descuento: ¿? % Real que se aplica: ¿? 15% n:¿? •Un
71,4n == n0,85 · 84 % Real: 85 %
Descuento:
comercio, por gastos de envío, me ha cobrado 134,4 € por un artículo que costaba 120 €. ¿Qué porcentaje de incremento me ha aplicado? Precio inicial: 120 Cf = n×Ci Precio final: 134,4 134,4 = n · 120
% Incremento:¿? Incremento: 12% % Real que se aplica:¿? n: ¿?
n = 1,12 % Real: 112 %
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D) ENCADENAMIENTO DE VARIACIONES PORCENTUALES
Para calcular los porcentajes de aumentos y descuentos encadenados se multiplican los índices de variación n de cada uno de los casos. n = n1· n2· ……..nk Por ejemplo: 1) Si una una canti cantidad dad aum aument entaa un 33 % y luego luego dis dismin minuye uye un 12 12 %, ¿cuál ha sido el % final que se ha aplicado?
Aumento de 33 % Descuento de 12 % n = n1· n2 n = 1,33 · 0,88 n = 1,1704 % Real: 117,04
% Real = 133 % Real = 88
n1 = 1,33 n2 = 0,88
Aplicar un 33 % de aumento y un 20 % de descuento es equivalente a aplicar un 17,04 % de aumento.
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2) Unas acciones que valían 1 000 € suben un 60 %. Después vuelven a subir el 25 %. ¿Cuál será el precio final de las acciones?
Aumento de 60 % Aumento de 25 %
% Real = 160 % Real = 125
n1 = 1,60 n2 = 1,25
n = n1· n2 n = 1,60 · 1,25 n=2
Cantidad inicial: 1 000 Cantidad final: ¿? n: 2
Cf = n×Ci CF = 2 · 1 000
CF = 2 000 € precio final de las acciones
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FIJACIÓN DE PRECIOS
Durante casi toda la historia los precios se fijaron por negociación entre quienes compran y quienes venden. Establecer un mismo precio para todos los compradores es unalas de idea ventas relativamente al detalle amoderna gran escala que alsurgió final del consiglo el desarrollo XIX. XIX.
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FORMULARIO C = Costo total . - Es el gasto que hace la empresa por cada unidad que adquiere. MB = Margen de utilidad bruta.- Es el porcentaje de ganancia, puede ser respecto al costo o respecto al Valor de venta. UB = utilidad bruta.- Es la ganancia en dinero VV = Valor de Venta.- Es el resultado de sumar el costo total + la
utilidad bruta COSTO + MARGEN DE UTILIDAD BRUTA =VALOR DE VENTA C + MB = V.V. IGV = Impuesto general a las ventas.- Es el 19% del Valor de venta. PV = Precio de venta.- Es el precio que paga el cliente por su compra. Éste incluye el I.G.V., que equivale al 19% del Valor de Venta. VALOR DE VENTA + I.G.V. = PRECIO DE VENTA
VV + IGV = PV O mejor aún:
1,19 (VV ) = PV
Si lo produce o lo compra
genera
C. Fijos C. Variables
Costo
+
Utilidad Bruta
=
Valor de Venta +
I.G.V. = Precio de Venta
¿Cómo se aplica el margen?
El margen de Utilidad Bruta Bruta , , se expresa como un % Sobre el valor de venta (1)
Costo
Utilidad Bruta (2)
Valor de Venta
Sobre el costo
Ejercicios N° 20: La tienda ―Casita Feliz‖ tiene que colocar los precios a sus productos,
para ello deben completar el siguiente cuadro: Ganancia Valor de Costo Producto unitario MB y UB Venta Aspiradora Ultracomb 1200 W - 20 lts. de capacidad
MB= del $320.00 30% costo UB=
Cafetera Automatica "Ultracomb" 800 W - 12 Pocillos Cafetera
MB= del $105.00 12% VV UB= MB=
IGV
Precio de Venta
$213.0
Expresso "Yelmo" 800 W - Presion de 5 bar
0
25% del costo UB=
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Ganancia Valor Producto Extractor de Jugos Yelmo 700 W - Cuchillas de Acero Inoxidable Extractora de Jugos Ultracomb 800 W - 700 ml de Jugo Fuenton Plastico, Capacidad 40 Lts; Por Unidad
Costo unitario
MB UB y
de Venta
MB= 10% del VV UB= MB= 20% del costo UB= MB= 10% del VV UB=
$279.0 0
IGV
Precio de Venta
$398. 00
$18.50
•Aspiradora
Ultracomb
C = 380 MB= 30% del costo El valor de venta será: Margen de Costo ( C ) + Utilidad Bruta ( MB ) 30% (380) 380 +
= =
114 V. Vta
=
IGV = 19% ( 434) = 82,46
434
Valor de Venta (V. Vta) V. Vta.
Precio de Venta:
VV + IGV = PV 434+ 82,46 = 516,46
•Cafetera
Automatica:
C = 105 MB= 12% del valor de venta El valor de venta será: Costo ( C ) + 105
+
105
Margen de Utilidad Bruta ( MB ) 12% (V. (V. Vta)
=
V.Vta
-
105 = 88% V.Vta. 105
= V. Vta
88%
= =
12% V.Vta
Valor de Venta (V. Vta) V. Vta. V ta.
V. Vta
=
119,32
El valor de venta será: C + MB = V.V.
C + 12%(VV) = VV 105 == VV 88%- 12%(VV) VV 119,32 = VV De aquí la UB = VV – C = 119,32 – 105 = 14,32 El IGV:
IGV = 19% ( 119,32) = 22,67
Precio de Venta:
VV + IGV = PV 119,32 + 22,67 = 141,99
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La tabla completa sería:
Valor de Venta 434
IGV 82,46
Precio de Venta 516,46
119,32
22,67
141,99
Aspiradora Ultracomb 1200 W - 20 lts. de $320.00 capacidad Cafetera Automatica
Ganancia MB y UB MB= 30% del costo UB= 114 MB= 12%
"Ultracomb" 12 Pocillos 800 W - $105.00 Cafetera Expresso 170,4 "Yelmo" 800 W Presion de 5 bar
del UB=VV 14,32 MB= 25% $213.00 del costo UB= 42,6
40,47
253,47
Extractor Yelmo 700 de W Jugos Cuchillas de Acero Inoxidable Extractora de Jugos Ultracomb 800 W -
251,1
MB=VV10% del UB= 27,9
$279.00
47,71
326,71
278,71
MB= 20% del costo
334,45
63,55
$398.00
Producto
Costo unitario
700 ml de Jugo Fuenton Plastico, Capacidad 40 Lts; Por 13,99 Unidad
UB= 55,74 MB= 10% 15,55 del VV UB=
2,95
$18.50
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Ejercicios N° 21:
Utilizando la ficha de conversiones, hallar:
1) 45‖ a millas terrestres. = = 0,0071 millas terrestres 2) 5.9 yd2 a Acres: =
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=
0,001219 Ac
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•1@
3) a @. a
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25 lb.
3.85@ 3.85 @. 25lb 1@ = 96.25 lb. 96.25 lb. 96.25 lb.11 kg. kg. 2.2 lb. 2.2 lb. 43.75 kg. 43.75 kg.50 1 q.kg. kg. = = 0.875 q. u. 1mm 1mm 4) Hallar el área en pies cuadrados 3000000 u. 1000 u. 5
0.083 km.
3x 10 u.
3000 mm. 1 pie 304.8 mm. = 9.84 pies 0.083 km. km. 3280,8 pies 1 km = 272.30 pies
272.30 pies x 9.84 pies = 2679.43 pies 2
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5) 8.86951 Bimestres 8.86951 bim 1 año 6 bim bim
= 1.478252 años
1 año entero
0.478252 años 12meses = 5.739024 meses año 1 año
5 meses enteros
meses 30 días = 22,17072 días 0.739024 meses 1 mes
22 días enteros
0,17072 días días 24 horas
4 horas enteras
= 4,09728 horas
1 día 0, 09728 horas 60 min.= 5,8368 min 1 hora hora
5 minutos ent.
0, 8368 min. min. 60 seg.
50 segundos
= 45,20 s.
min. 1 Año, 5 Meses1 min. , 22 Días, 4 Horas, 5 Minutos, 50 Segundos.
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6) 5 Trimestres, 1 bimestre, 1 mes, 28 Días, 13 Horas, a años solamente. 13 horas. 1 horas. 1 dia 24 horas 0.541666666 días 1 mes 30 días 0.018055555 meses 1 bimestre 2 meses 0.009027777 bimestres bimestres 2 2 meses 1 bimestre 0.001504629 años
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Ejercicios N° 22:
1) Se desea exportar espárragos a China, en cajas que contengan 24 latas del producto. Cada lata pesa 210gr. Y cada caja vacía pesa 400g. El transporte se realizará mediante un contenedor 20’ Standard. Las dimensiones de las cajas qu quee contienen contienen los enlatados son: largo: 47 ccm., m., ancho: 24 cm , altura: 21 cm. Encontrar la mejor manera de apilar dichas cajas en el contenedor.
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2) Un gru grupo po ddee egre edurante gresad sados ossus ddee estudios. AD ADEX, EX, dec decide ideempresa cont continu inuar ar con la se Su ―CUEROS‖, empresa formada dedica a la fabricación de carteras de cuero. Sus iinnovadores diseños son exportados exportados a Europa. Para ello embalan 8 carteras por caja de madera. madera. Si cada cartera pesa 800gr., y cada caja de madera vacía pesa 1,5 kkg., g., cuy cuyas as di dimensiones mensiones son : largo: 57 cm cm,, ancho: 38 cm, alto: 30 cm.¿Cuántas carteras lograrán exportar en un contenedor? y ¿de qué manera se apilarán las cajas?. Esta vez, utilizarán un contenedor 40’ OPEN TOP
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Equivalencia Financiera
El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés ayudan a desarrollar el concepto de Equivalencia Financiera de dinero en y momentos esto significa diferentes que sumas de diferentes tiempo son iguales en valor económico.
nterés es de 7% anual, $100 (tiempo Por ejemplo, si la tasa de iinterés presente) Serían equivalentes equivalentes a $107 $107 dentro de un año a partir de hoy, entonces para un individuo es lo mismo tener $100 hoy a $ 107 el día de mañana.Y este incremento se dio debido a la tasa de
interés. Por lo tanto es el mismo valor económico o equivalente.
Interés Simple Interés que se carga al final del período y que no gana interés en el período o períodos subsiguientes El interés simpleinterés se calcula utilizando el principal, ignorando cualquier causado en los sólo períodos de interés anteriores Ejemplo: Un capital de 100 dólares al 10% en tres periodos
Tiempo 0
1
2
3
$100
$10
$10
$10 Total en los 3 periodos $30
Denominación de Variables Nomenclatura Universal I = interés generado ($) VP = es el capital capit al o principal que se da o se recibe en préstamo i = tasa de interés anual (%) n = número de años o períodos, tiempo VF = monto o valor futuro a fin del período
Nomenclatura Española I=interés simple C=capital o principal i=tasa (tipo de interés tanto por
ciento) t=tiempo M=monto
La fórmula que utilizaremos es la siguiente:
I VP .i.n VF = VP + I
i
I (VP .n)
x100
V F V P (1 in) VF VP (1 in)
I
n
I (VP .i )
VP (i .n)
Capitalización y Actualización El planteamiento de los problemas económicosfinancieros se desarrolla en torno a dos conceptos básicos: capitalización y actualización. El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales en fechas colocados en fechas anteriores. El concepto de actualización se refiere al estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales
Ejemplo de Valor presente simple
Un miroempresario miroempresario desea innovar su equipo de trabajo y rrecurr ecurree a una institución crediticia, cr editicia, que le cobra el 16% de interés simple, ¿Qué cantidad le prestar prestaron on si tendrá que pagar $52,600 dentr d entro o de 5 meses?
Tiempo 0
¿Valor?
1
2
3
4
5 Meses
$52,600
Valor Presente DATOS
Tasa d e inte res Valo r f uturo Tiempo
16 % 52 60 0 5 mes es
VP=VF/(1+in) Sustitución
VP= 52600/(1+0.16*5/12)
Valor presente
¡Esta es la cantidad que le prestaron!
$ 49,312.50 $ 49,312.50
Tiempo 0
$
49,312.50
1
2
3
4
5 Meses
$52,600
Ejemplo de Valor futuro simple
Una institución crediticia otorga un préstamo de $ 49 312.50 pesos a una tasa de interés ssimple imple d dee 16% ¿Cuál será el monto de ese préstamo, después de 5 meses?
Tiempo 0
$ 49 312.50
1
2
3
4
5 Meses
¿Valor?
Valor Futuro DATOS
Tasa de interes Valor presente Tiempo
16 % 49312.5 5 me s e s
VF=VP(1+ni) Sustitu ción
VF= 49312.50*(1+0.16*5/12)
Valor Futuro
Monto que pagará dentro de 5 meses
$ 52,600.00
Tiempo 0
$
49,312.50
1
2
3
4
5 Meses
$ 52, 600
Cuando el tiempo no coincide con la tasa
¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de $ 12,500 a una tasa de referencia referencia de 19.75 en un periodo de 30 días? Tiempo 0
1
2
3
4
30 días
$ 12,500
¿Intereses
+ el principal?
Solución
Datos
Fór m u la
P=
12500
i=
19.75 a an nual
n= I=
30 días ¿?
Sustitución
I=12500(.1975)(30)/360
la tasa de interés se toma en decimales
I=
205.73
Recuerda que debes cambiar cambiar el tiempo según la tasa
¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de $ 12,500 a una tasa tasa de referencia referencia de 19.75 en un periodo de 30 días? Capital o principal
Intereses
I=$205.73+ VP= $12,500 Tiempo 0
5
10
15
20
30 días
$ 12,500
Este es monto
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