MAT200 GUIA DESARROLLO RESUMEN PRUEBA N°2
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Programa de Matemática Dirección de Formación General GUÍA DE EJERCICIOS RESUMEN PRUEBA Nº 2 ALGEBRA
1.
Se añade una cierta cantidad de gramos de sal a un litro de agua, después de t minutos, la cantidad de sal que no se disuelve en el agua, se puede calcular con la función: t
4
Q (t ) 10
5
a) ¿Cuánta sal se añadió al agua inicialmente?
Para
0
4
t 0 se tiene Q (0) 10
5
10 1 10
Respuesta: Inicialmente se añadió 10 gramos de sal b) Después de 5 minutos. ¿Cuánta sal no se disuelve aún? Para t 5 se tiene
4 5
Q (5) 10
5
3,2768
Respuesta: Después de 5 minutos, 3,3 gramos de sal no se han disuelto.
2.
Chile, los años 1996, 1997 y 1998, tenía una población aproximada de 14.419.000, 14.622.000 y 14.822.000 habitantes respectivamente. Actualmente, según el censo del año 2002, tiene una población aproximada de 15,5 millones de habitantes y está creciendo a una tasa anual de 1,3%. Crecimiento que se ha ido desacelerando desde el año 1992. La población aproximada en millones de habitantes de nuestro país, t años después del censo se puede determinar con la función: P (t ) P e k t 0
Se sabe que en el año 2005 la población de nuestro país fue de 16,1 millones de habitantes.
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Programa de Matemática
a)
Dirección de Formación General Construir la función exponencial, que permite calcular la población de Chile (Utilice FIX 3) Datos: t=0 t=3
P (0) = 15,5 p (3) = 16,1
Para determinar P0 : P(0) P e k 0 =15,5 0 P e0 0 P 0
15,5
15,5
Para determinar k: e k 3 =16,1
P (3) 15,5
e k 3
16 ,1
/ Ln
15,5
16,1 15,5
Ln (e k 3 ) =Ln
k 3
Ln
k= 0,013
16,1
15,5
Por lo tanto la función es:
b)
P (t ) 15,5
e 0, 013t
¿Cuál fue la población de nuestro país en el año 2010? Considerando t=8
P (8) 15,5
e 0,0138
P(8)= 17,199 Respuesta: La población en el año 2010 es de 17.198.807.
c) En qué año la población de nuestro país fue de 16.757.401 habitantes? P(t)= 16,757 15,5
e 0,0138
e 0, 013t
16 , 757
16, 757 15,5
/ Ln ALGEBRA MAT200 2015-2 2
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16,757 15,5
Ln( (e 0,013t ) =Ln
0,013 t
16,757
Ln
15,5
t=5,998 = 6 Respuesta: en el año 2008 la población de nuestro país fue de 16.757.401 habitantes
3.
En twitter se esparce un rumor, de modo que cada minuto se duplica la cantidad de personas que se enteran del mismo. Si la cantidad de personas que saben del rumor está dado por la función: t P (t ) 2 . a) b) c)
Identificar la variable dependiente e independiente en la función Calcular la imagen para la función, seleccionando del gráfico dos valores cualesquiera para la cantidad de minutos Identificar cuál de los gráficos modela la función planteada
Desarrollo a) Identificar las variables dependiente e independiente en la función. La variable dependiente corresponde P(t) = Cantidad de personas que saben el rumor
La variable independiente corresponde T = Minutos
b) Calcular la imagen para la función. Evaluando en t 0 se tiene P (0) 2 0 1 Evaluando en t 1 se tiene que: 1
P (1) 2 2
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Programa de Matemática Dirección de Formación General
DESARROLLO C).De acuerdo a los valores obtenidos de las imágenes de la función y contrastándolo con los gráficos se descartan los modelos 2 ,3 y 4. Respuesta: Por lo tanto el modelo correcto es el MODELO 1.
ALGEBRA MAT200 2015-2 4
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4.
Dirección de Formación General La sustancia radioactiva Estroncio-90, se desintegra a medida que transcurre el tiempo en años. Considerando que la masa , de estroncio-90 en gramos, que va quedando, está determinada por la función:
M t 20 0,50 , 036t
¿Después de cuántos años quedarán 10,72 gramos de la sustancia radioactiva? DESARROLLO: : Gramos de estroncio-90 : Tiempo en años Según información: M(T)= 10,72
M t 20 0,50, 036t 10,72 20 0,5 0,036 t 10,72
0,50, 036t 10,72
/ l og
20
10,72 20
log(0,50, 036t ) log
0,036 t log(0,5) log 10,72
t=
20
10,72 = 24,991 20 0,036 log 0,5 log
Respuesta: Después de 25 años quedaran 10,72 gramos de la sustancia radiactiva.
5. El valor de un automóvil se deprecia cierto porcentaje cada año. El gráfico siguiente representa esta situación, donde “x” representa los años e “y” representa el valor del vehículo.
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Programa de Matemática Dirección de Formación General
a) Determine la función exponencial de la forma:
f ( x) T a
anterior. Se consideran dos puntos de la gráfica de la forma Se tiene que en x 2 , f ( 2) T a 2 Luego en x 4 , f ( 4) T a 4 Dividiendo
x
f ( x) T a
que modela la situación x
5.508.000 T a 2
4.461.480 T a 4
4.461.480 T a 4 simplificando queda, 5.508.000 T a 2
4.461.480 a 5.508.000
2
a 2 0,81 /
0,9 a
Reemplazando a = 0,9 queda T 0,9 Respuesta: f ( x ) 6.800.000 ( 0,9 )
2
5.508.000 T 6.800.000
x
b) ¿Cuál será el valor del automóvil al séptimo año? X=7 f (7 ) 6.800.000 (0,9) 7 3.252.418,92
Respuesta: $3.252.419 será el valor del automóvil al séptimo año. c) ¿Cuántos años habrán pasado si el valor del auto es de $1.555.622?
f ( x ) 6.800.000 ( 0,9 ) x
1.555.622 6.800.000 ( 0,9 ) x
1.555.622 ( 0,9 ) x / log 6.800.000
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Programa de Matemática Dirección de Formación General
1.555.622 6.800.000
log
log 0,9 x
1.555.622 6.800.000 x log ( 0,9)
log
13,999 x
Respuesta: Si el valor del auto es de $1.555.622 habrán pasado 14 años.
6. El crecimiento en cm de árboles enanos en un vivero, después de t meses, está modelado por la función:
a)
h t 2,5 log(0,75 t 1) 10,5
¿Inicialmente, cuál es la altura de los árboles? t=0 h (0)2,5log(0,75 0 1) 10,5 10,5 Respuesta: La altura será 10,5 cm.
b)
¿Qué altura tendrán los árboles después del año? t=12
h(12) 2,5 log(0,75 12 1) 10,5 13 Respuesta: La altura será 13 cm.
7. En un laboratorio se estudia la cantidad de bacterias (en miles) que se reproducen después de transcurridos x segundos, la que está dada por una función logarítmica de la forma f x log b ax . Se sabe que después de 10 segundos hay 1.000 bacterias y que pasados 90 segundos hay 3.000 bacterias a) Determine la función que modela dicha situación. Se tiene A(10,1)
B (90, 3)
1 log b (a 10)
b1 10 a
3 log b (a 90)
b 90 a ii)
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3
i)
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Dividiendo
b 3 90 a b1 10 a b2 9
/
b3 Reemplazando el valor obtenido de b en la ecuación i)
31 10 a 31 a 10 0,3 a Respuesta: f ( x ) log 3 0,3 x
b) Determine la cantidad de bacterias después de 1 minuto y 40 segundos.
x 100
f (100) log 3 0,3 100
f (100) 3,096 Respuesta: Quedarán 3.096 bacterias.
c) ¿Después de cuánto tiempo hay 12.000 de bacterias?
f ( x) 12
12 log 3 0,3 x 312 0,3x 312 x 0,3 ALGEBRA MAT200 2015-2 8
Programa de Matemática Dirección de Formación General X=1.771.470 segundos Respuesta: Han pasado 1.771.470 segundos, equivalente a decir han pasado 21 días.
8. La escala de decibeles está dada por la siguiente función: dB ( w) 10 log(1012 w) Donde: W dB (w)
: Potencia : Decibeles
a) Identificar la variable dependiente e independiente en la función. b) Calcular la imagen para la función, seleccionando del gráfico dos valores cualesquiera para la potencia. c) Identificar cuál de los gráficos modela la función planteada.
DESARROLLO ALGEBRA MAT200 2015-2 9
Programa de Matemática Dirección de Formación General a) Identificar la variable dependiente e independiente de la función. La variable dependiente corresponde dB (w) = Escala de decibles La variable independiente corresponde (w)= potencia
b) Calcular la imagen para la función, seleccionando de los gráficos de la letra c, dos valores. DESARROLLO
Evaluando en
W 3
para ver cuál de los modelos es el correcto
dB 3 10 log(1012 3) 124,77
Evaluando en
W 5
para ver cuál de los modelos es el correcto
dB 5 10 log(1012 5) 126,99 c) Identificar la gráfica. DESARROLLO De acuerdo a los valores obtenidos de las imágenes de la función y contrastándolo con los gráficos, se descartan los Modelos 1, 2 y 3 Respuesta: Por lo tanto el modelo correcto es el MODELO 4.
9. La cantidad promedio de bacterias en el cuerpo de un perro depende del tiempo en días después de suministrado un medicamento Esta situación está modelada de acuerdo a una expresión logarítmica, a través del siguiente gráfico:
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a) De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la expresión algebraica que modela la situación. Considere la expresión: f ( x) log b (ax) Se consideran dos puntos de la gráfica para f ( x ) log b ( ax) Se tiene A(1, 8)
8 log b (a 1)
b8 a
A(8, 5)
5 log b (a 8)
b 8a ii )
Dividiendo
i)
5
b8 a 5 8a b
1 8 1 b 2
b3
/
3
Reemplazando el valor obtenido para b en la ecuación i )
1 2
8
1 a 256
a
Respuesta: f ( x) log 1 ( 2
1 x) 256
b) ¿Cuántas bacterias quedarán en el cuerpo del perro después de 16 días de suministrado el medicamento?
x 16
f (16) log 1 ( 2
1 16) 256
f (16) 4
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Programa de Matemática Dirección de Formación General Respuesta: Después de 16 días de suministrar el medicamento quedarán 4 bacterias. c)¿Cuántos días han pasado desde el suministro del medicamento, si en el cuerpo del perro quedan 3 bacterias?
1 x 256 2
3 log 1
1 2
3
1 x 256
3
1 2 x 1 256
32 x Respuesta: Si quedan 3 bacterias, han pasado 32 días desde el suministro del medicamento.
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ANEXO DE EJERCICIOS GUÍA DE RESUMEN PRUEBA N°2
10.- Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La cantidad de medicamento, en milígramos, que queda en el cuerpo después de t horas de haberlo t administrado está dada por: N (t ) 10 0,8 a) Calcule la cantidad de fármaco inicial en el organismo. Milígramos de medicamento en el cuerpo tiempo en horas Para t 0 se tiene N (t ) 10 0,8 10 0
Respuesta: Al inicio se tendrá 10 ml de fármaco en el organismo. b) Calcule la cantidad de fármaco restante en el organismo, 8 horas después de la ingesta inicial. Para t 8 se tiene N (8) 10 0,8 1,6777 8
Respuesta: Después de 8 horas habrá 1,7 ml de fármaco en el organismo.
11.-Investigaciones recientes dicen que el porcentaje de riesgo de sufrir una estafa bancaria por internet, al tener x accesos a internet en el mes, se puede calcular de acuerdo a la siguiente función:
R x A e k x Se sabe que inicialmente el riesgo de sufrir una estafa bancaria por internet es del 4% y que al ingresar 60 veces en el mes al sitio, el riesgo es de un 8,2%.
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Programa de Matemática Dirección de Formación General Construir la función exponencial, que permite calcular la población de Chile (Utilice FIX 3)
a)
Datos: X=0 R(0)=4 X=60 R(60)=8,2 Para determinar A: =4
R (0) A e k 0
A e0 A
4
4
Para determinar k: e k 60 =8,2
R (60) 4
e k 60
8, 2
/ Ln
4
8,2 4
Ln (e k 60 ) =Ln
k 60
Ln
k= 0,012
8, 2 4
Respuesta: La función es: R ( x) 4 e 0,012x
b)
Según las investigaciones ¿Qué porcentaje de riesgo tiene una persona que ingresa 100 veces al mes al sitio bancario por internet? X=100
R (100) 4 e 0,012100 =13,280
Respuesta: Una persona tiene el riego del 13,28% de ingresar 100 veces al mes al sitio bancario por internet.
c)
Si un usuario tiene un riesgo de ser estafado del 9,83%, ¿Cuántas veces ingresó al sitio de internet de su banco? R(x)=9,83
4 e 0,012x e 0,012x
9,83
9,83 4
/ Ln ALGEBRA MAT200 2015-2 14
Programa de Matemática Dirección de Formación General
9,83 Ln (e 0,012x ) =Ln 4 0,012 x
Ln
x= 74,928
9,83 4
Respuesta: Con un riesgo del 9,83% una persona ingreso al sitio de internet 75 veces 12. La cantidad de virus V que tiene un computador en mal estado, después de t horas, puede ser modelada por la función: t
V t 4 2 4 a) Identificar la variable dependiente e independiente en la función. b) Calcular la imagen para la función, seleccionando del gráfico dos valores cualesquiera para la cantidad de horas. c) Identificar cuál de los gráficos modela la función planteada.
ALGEBRA MAT200 2015-2 15
Programa de Matemática Dirección de Formación General DESARROLLO a) Identificar las variables dependiente e independiente de la función. La variable dependiente corresponde V(t) = Cantidad de virus La variable independiente corresponde (t)= Tiempo en horas b) Calcular la imagen para la función, seleccionando de los gráficos de la letra c, dos valores. DESARROLLO 0
Evaluando en t 0 se tiene V (0) 4 2 4 4 Evaluando en t= 4 se tiene
4 4
V ( 4) 4 2 8
c) Identificar la gráfica. DESARROLLO De acuerdo a los valores obtenidos de las imágenes de la función y contrastándolo con Los gráficos, se descartan los Modelos 1, 3 y 4 Respuesta: Por lo tanto el modelo correcto es el MODELO 2
13. Un terremoto cuya lectura sismográfica mide x milímetros tiene una magnitud M en la escala de Richter, está dado por la siguiente función:
M ( x ) log(10 3 x )
Si el sismo que se registró, tuvo una magnitud de 5,1 en la escala de Richter, ¿Cuál fue la lectura sismográfica? M(x)= Magnitud en escala de Richter x=Milímetros M(x)= 5,1
log(10 3 x ) 5,1
ALGEBRA MAT200 2015-2 16
105,1 103 x
Programa de Matemática Dirección de Formación General 5,1
10 x 10 3
X= 125,89
Respuesta: La lectura sismográfica es de 126 milímetros con una Magnitud de 5,1 en la escala Richter.
14. El tamaño de un cultivo de bacterias crece cada 30 minutos. Esta situación la representa el siguiente gráfico, donde x representa el tiempo en horas e “y” representa la cantidad de bacterias (en millones).
a) Determine la función exponencial de la forma:
f ( x) T a
anterior.
Considerar dos puntos de la gráfica de la forma: Se tiene x 1 , f (1) T a1 Para x 2 , f ( 2) T a 2
f ( x) T a
20 T a 1 80 T a 2
80 T a 2 Dividiendo simplificando queda 20 T a 1
80 a 1 20
4a
Reemplazando a = 4 queda T 4
2
80 T 5
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x
x
que modela la situación
Programa de Matemática Dirección de Formación General x Respuesta: f ( x ) 5 ( 4)
b) ¿Cuántas bacterias habrán al cabo de 300 minutos? X= 5 HORAS
f (5) 5 ( 4) 5 =5120 Respuesta: En 300 minutos (5 horas) habrá 5.120 Millones de bacterias c) ¿Dentro de cuántas horas, el cultivo tendrá 320 millones de bacterias? Desarrollo:
f ( x ) 320
5 ( 4) x 320 4x
320 5
/ Log
320 5
Log ( 4 x ) =Log
x log(4)
Log
320 5
X=3 Respuesta: Dentro de 3 horas, el cultivo tendrá 320 millones de bacteria.
15. La intensidad del sonido que percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Una fórmula para hallar el nivel de intensidad
I I0
intensidad de sonido I es: 10 log
,
en decibeles, que corresponde a
donde I0 es un valor especial de I que
corresponde al sonido más débil que puede ser detectado por el oído bajo ciertas condiciones. Encuentre en los casos siguientes, considerando I 0 1
a) I es 10 veces I0 Desarrollo:
10 I 0 10 log10 10 10 log I0 Respuesta: 10 decibeles.
ALGEBRA MAT200 2015-2 18
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b) I es 10.000 veces I0 (este es el nivel de intensidad promedio de la voz humana) Desarrollo:
1.000 I 0 I0
10 log
10 log1.000 40
Respuesta: 40 decibeles.
c) I es 1014 ,1 veces I0 (este nivel de intensidad produce dolor en un oído humano común) Desarrollo: 1014,1 I 0 10 log 1014,1 141 I0
10 log
Respuesta: 141 decibeles.
16. Una tienda que se dedica a la venta de bicicletas, el valor a pagar (en cientos de miles de pesos) de la compra de x cantidad de bicicletas está, dado por una función logarítmica de la forma: f x log b ax . Si se compran 2 bicicletas se cancela $200.000 y si se compran 30 bicicletas se cancelan $300.000. a) Determine la función que modela dicha situación. Se tiene A(2, 2)
2 log b ( a 2)
B (30, 3)
3 log b (a 30)
Dividiendo
b 2 2a
i)
b 30a ii ) 3
b3 30a 2 2a b b 1 15
b 15
Reemplazando el valor obtenido para b en la ecuación i )
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Programa de Matemática
15 15 2
2
Dirección de Formación General
2a
a 2 112 ,5 a Respuesta: f ( x) log15 112 ,5 x b) Determine el valor a pagar si se compran 20 bicicletas.
x 20
f (20) log15 112,5 20 =2,850
Respuesta: Se pagara $285.027 si se compran 20 bicicletas. c) Si se cancelaron $314.031, ¿Cuántas bicicletas se compraron?
f ( x ) 3,140
3,140 log15 113 x
15 3,140 113
x
15 3,140
113 x
43,63 x
Respuesta: Se compraron 44 bicicletas si se pagó $ 314.031
17. En la escala de Richter, la magnitud M de un terremoto de intensidad I está dada por:
MI
ln(10 6 I ) ln(10)
MODELO 1
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MODELO 2
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MODELO 3
MODELO 4
¿Cuál es el gráfico que modela la situación? Desarrollo: 6 Evaluando en i= 30.000 se tiene M 30.000 ln(10 30.000) = 10,477
ln(10)
Evaluando en i=10.000 se tiene M 10.000
ln(10 10.000) = 10 ln(10) 6
De acuerdo a los valores obtenidos de las imágenes de la función y contrastándolo con los gráficos, se descartan los Modelos 1, 3 y 4 Respuesta: Por lo tanto el modelo correcto es el MODELO 2
18. La estatura promedio de un mono enano denominado tití (en cm) depende del tiempo en meses después de su nacimiento. Esta situación está modelada de acuerdo a una expresión logarítmica, a través del siguiente gráfico
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Programa de Matemática Dirección de Formación General
a) De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la expresión algebraica que modela
f ( x) log b ( ax)
la situación. Considere la expresión:
Se consideran dos puntos de la gráfica para f ( x ) log b ( ax) Se tiene A(1, 2)
2 log b (a 1)
b2 a
A(8, 5)
5 log b (a 8)
b 8a ii )
Dividiendo
i)
5
b5 8a 2 b a
b3 8
/
3
b2
Reemplazando el valor obtenido para b en la ecuación i )
22 a 4 a Respuesta: f ( x ) log 2 (4 x )
b) ¿Qué altura alcanzará un mono tití al cabo de 16 semanas de vida?
x4
f (4) log 2 (4 4)
f ( 4) 4
ALGEBRA MAT200 2015-2 22
Programa de Matemática Dirección de Formación General Respuesta: al cabo de 16 semanas, alcanzará una altura de 4 cm c) Si un mono tití tiene una altura de 8 centímetros, ¿Cuántos meses de vida tiene?
8 log 2 (4 x) 28 4 x 28 x 4 64 x Respuesta: Tiene 16 meses de vida al tener una altura de 8 centímetros.
EL ÉXITO DEPENDE DE TI…!!
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