MAT011 Guía de Ejercicios Contextualizados
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Descripción: MATEMATICA APLICADA...
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Facultad de Ciencias Departamento de Ciencias Básicas
GUÍA DE EJERCICIOS CONTEXTUALIZADOS ÁREA DE SALUD ASIGNATURA: MATEMÁTICA PARA CIENCIAS DE LA SALUD (MAT011)
Material elaborado por: Prof. Carlos Díaz A. Marzo de 2015
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Facultad de Ciencias Estimado/a Estudiante: La guía de ejercicios contextualizados de Matemática para Ciencias de la Salud (MAT011) corresponde a un material elaborado colaborativamente entre las Facultades de Ciencias y de Salud de la UST, y tienen como propósito plantear problemas de resolución matemática en el ámbito de la salud. Los ejercicios se presentan de acuerdo con los contenidos descritos en el programa de esta asignatura. En esta guía encontrarás el planteamiento de 18 ejercicios relacionados con contenidos de la Unidad I (Preparación para el Cálculo); 22 de la Unidad II (Relaciones y Funciones) y 20 ejercicios relacionados con contenidos de la Unidad III (Límite, Continuidad, Derivada e Integral Indefinida. Conceptos Básicos); luego podrás corroborar tus resultados con el solucionario que se presenta al final de esta guía. Esperamos que utilices este material de apoyo de manera permanente y en forma complementaria a los ejercicios que se proponen en cátedra y en ayudantía.
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UNIDAD I: PREPARACIÓN PARA EL CÁLCULO 1. 2. 3.
4.
El tamaño de un glóbulo rojo es de 0,00000000075 mm. ¿Cuál es el tamaño del glóbulo rojo en notación científica? El chileno promedio consume 80 libras de vegetales al año. Puesto que hay unos 16 millones de chilenos aproximadamente, obtener el consumo anual de vegetales cada año: (a) (b)
En Libras En Kilógramos
En Estados Unidos se producen 148,5 millones de toneladas de basura cada año. Como un año tiene 365 días y hay 250 millones de estadounidenses. Determine los kilógramos de basura producidas cada del año por cada hombre, mujer y niño de dicho país. Un estanque mide 3 metros de ancho 4 metros de altura y 6 metros de largo ¿Cuál es el volumen del estanque en cm3?:
5. Resuelva los siguientes problemas de notación científica: (a) La velocidad de la luz en el vacío es aproximadamente unos 300.000 km/s, Exprese en notación científica, en m/s: (b) Sabiendo que cada persona tiene en la cabeza un promedio de 1,5x106 cabellos aproximadamente, y que en el mundo hay aproximadamente 5x109 personas. En notación científica señale cuántos cabellos hay en el mundo.
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Resuelva los siguientes problemas de notación científica: (a) (b)
7. 8.
9.
Si una molécula de hidrógeno tiene una masa de 3,3x10-‐24 gramos, ¿cuántas moléculas hay en tres gramos de hidrógeno?: El radio de un protón es 2,2·∙10-‐9 metros. Si se pudieran alinear 12.000 protones en una recta ¿cuál sería la longitud de la línea conformada por los protones? Exprésalo en metros y centímetros.
Dos recipientes tienen la misma cantidad de una solución. Si pasan 37 mL de uno al otro, éste último queda con el triple del primero ¿Cuántos mL de solución había al principio en cada recipiente? Un centro médico de la ciudad, requiere contratar un tecnólogo(a) médico para la unidad de laboratorio y banco de sangre. Determine el sueldo que se ofrece sabiendo que si a la tercera parte de lo que recibiría se le restan $100.000 da lo mismo que si a la décima parte de lo que recibiría se le suman $138.000. 3 partes. Si se saca la tercera parte de lo 4 1 que tenía y luego 18 mL éste queda hasta los de su capacidad ¿Cuál es 3
Un envase está lleno hasta sus
la capacidad total del envase?
⎛ PaCO − PECO ⎞ ⎟ determina el espacio ⎟ PaCO ⎝ ⎠ muerto fisiológico ( V D ) en función del volumen de aire corriente ( VT ), el PCO de la sangre arterial ( PaCO ) y el PCO del aire aspirado ( PECO ),
10. La siguiente expresión: VD = VT ⋅ ⎜⎜
2
2
2
2
2
2
2
entonces, al despejar el PECO se obtiene que: 2
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Facultad de Ciencias 11. En un laboratorio químico se tienen dos soluciones, S1 y S2 , al 86% y 71% de alcohol respectivamente. Determine cuántos centilitros de S1 se deben añadir a 11 centilitros de S2 para obtener una solución al 77% de alcohol. 12. Se requiere preparar 200 litros de ácido nítrico al 34% a partir de dos soluciones al 28% y 36% de concentración ¿Cuáles deben ser las cantidades a utilizar para obtener la solución deseada? 13. En una muestra de mineral de cobre de 1 kg. de masa total se encontró que contiene óxidos y sulfatos en la razón 6 : 4 . Determine la cantidad de sulfatos que se espera encontrar en una muestra de 500 kg. 14. Una dosis debe ser suministrada a un paciente mediante la combinación de tres medicamentos A, B y C. Si la combinación de medicamento suministrado están en la razón 5:8:7 ¿Qué porcentaje del medicamento B tiene la dosis que debe ser suministrada al paciente? 15. En una campaña publicitaria para promover la alimentación saludable y el deporte, 6 personas reparten 5.000 folletos en 5 días ¿Cuántos días tardarán 8 personas en repartir los mismos 5.000 folletos? 16. Si el 40% de la capacidad de un envase es 48 litros, entonces el 37,5% de su capacidad es de: 17. Un envase contiene 45 litros, si para realizar una mezcla se agrega otra solución, quedando el envase con un contenido de 108 litros. ¿En qué porcentaje aumentó el contenido inicial del envase? 18. A mediodía la temperatura de un sólido es de aproximadamente 11,2 °C, por la tarde su temperatura es de 12,6 °C ¿En qué porcentaje varió la temperatura? 6
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UNIDAD II: RELACIONES Y FUNCIONES 19. Se espera que la población P de una ciudad (en miles) crezca de acuerdo a la función P(t ) = 15 + 3t + 1 , en donde el tiempo t está medido en años. ¿En qué tiempo la población será de 20 mil personas? 20. Un determinado fármaco que se usa para controlar la temperatura se inyecta vía intramuscular. Su efecto (en horas) es dado en función de x (mg. de dosis) por E ( x) =
74 x . ¿Qué cantidad de dosis se debe inyectar 8x + 3
para que el fármaco tenga efecto 8 horas? 21. Las vitaminas A, C, E se encuentran naturalmente concentradas en el organismo en un 0,06% por cm3 de líquido corporal. Si se ingieren vitaminas A, C, E de manera adicional a algún tratamiento, el porcentaje de concentración por cm3 de líquido corporal, está dado por: f (t ) =
t+6 100 − t
Donde t representa el tiempo de tratamiento medido en meses.
22.
(10) + 6 = 17,8% 100 − (10)
(a)
f (10 ) =
(b)
Domf (t ) = R − {100}
En una población de 6 mil personas se está transmitiendo una infección estomacal por bacterias. Sea p(t ) =
6.000 t el número de t + 100
personas infectadas t semanas después del comienzo de la epidemia. ¿Después de cuántas semanas, de iniciada la epidemia, el número de infectados es aproximadamente 500 personas?
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Facultad de Ciencias 23. Un estudio sobre prevención de enfermedades broncopulmonares, sugiere que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será c( p) = 0,5 p + 1 partes por millón cuando la población sea p miles. Se estima que dentro de t años la población de la comunidad será p(t ) = 10 + 0,1t 2 miles. Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como función del tiempo. 24. Supongamos que el peso en kilos y la edad de un lactante en meses están relacionados linealmente hasta los 6 meses. Si el niño al nacer pesa 4 kilos y a los tres meses alcanza 5,8 kilos. Si P es el peso en kilos y t la edad en meses. (a) Encuentre una ecuación lineal que exprese P en términos de t. Puntos (P , t): (0 , 4) y (3 , 5.8) (b) ¿Cuál es el peso esperado a los 5,5 meses? (c) ¿A los cuántos meses alcanzará 5.000 gramos de peso? (d) Construya un gráfico que represente la relación entre el peso y la edad. 25. La evolución de tratamiento aplicado a cierto paciente que sufre alteraciones en la regeneración de tejidos sigue un comportamiento lineal, cuya variable independiente 𝑡 corresponde al número de días en que el organismo regenera r en milímetros cuadrados sus tejidos. Según los antecedentes clínicos, al primer día no hay tejidos regenerados, sin embargo, al cabo de 10 días se comprueba que hay 4,5 milímetros cuadrados de tejidos regenerados: (a) Encuentre la función lineal que describe los tejidos regenerados del organismo en función del tiempo. (b) ¿Cuál es la cantidad de tejido regenerado cuando han transcurrido 30 días?. (c) ¿Cuál es el tiempo aproximado para obtener una evolución en el tejido de 100 milímetros cuadrados? 8
Facultad de Ciencias 26. En un estudio de pacientes con VIH que se infectaron por el uso de drogas intravenosas, se encontró que después de 4 años, 17% de los pacientes tenían SIDA y que después de 7 años 33% lo tenían. (a) Si P es el porcentaje de pacientes con VIH y t es el tiempo en años, determine una función lineal que exprese P en términos de T. (b) ¿A los cuántos años el porcentaje de pacientes con VIH será del 20%? (c) ¿Cuántos años deben pasar para que la mitad de los pacientes con VIH tengan SIDA? (d) Represente gráficamente la relación lineal obtenida en (a). 27. La temperatura (medida en grados Celsius), que experimenta cierto cultivo de bacterias, varía de acuerdo a: T ( x) = −( x − 2) 2 + 1, donde x, representa el tiempo (en horas) de exposición a fuentes de energía calórica. (a) ¿Cuál es la temperatura máxima que alcanza el cultivo de bacterias ante la exposición a fuentes de energía calórica? (b) Señale los intervalos de tiempo en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva, creciente y decreciente. 28. En una prueba para metabolismo de azúcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, la cantidad de azúcar encontrada (en gramos) está dada por A(t ) = 3,9 + 0,2t − 0,1t 2 , donde t es el tiempo medido en horas. (a) Encuentre el tiempo donde la concentración de azúcar en la sangre es máxima. (b) ¿Cuál es la cantidad máxima de concentración de azúcar en la sangre? (c) Encuentre el tiempo donde la concentración de azúcar en la sangre desaparece. (e) Grafique la función para el intervalo [0,8] 9
Facultad de Ciencias 29. El efecto de la anestesia bucal en un paciente (en porcentaje), luego de t minutos de ser inyectado un fármaco es modelado por la función G (t ) = −
25 2 t + 25t . Al respecto: 16 .
(a) Encuentre el tiempo donde el grado de adormecimiento es máximo. (b) ¿Cuál es el grado máximo de adormecimiento? (c) Encuentre el tiempo donde el grado de adormecimiento desaparece. (d) Grafique la función para el intervalo [0,16] 30. Un biólogo realizó un estudio sobre los factores que influyen en el crecimiento o decrecimiento de una población de parásitos presentes en el intestino delgado. El científico llegó a la conclusión que producto de una infección la cantidad de parásitos presentes en el intestino se modela por: f (t ) = 4 + t ⋅ e − k ⋅t , donde t es el tiempo medido en días (t=0 es el primer día) y f(t) es el número de parásitos en miles. (a) ¿Cuál es la cantidad de parásitos presentes en el intestino al inicio del estudio? (b) Establezca el modelo en forma precisa (encuentre el valor de k ), si se sabe que después de una semana hay 4.600 parásitos en el intestino. (c) ¿Cuántos parásitos hay después de 15 días? (d) Si al cabo de 3 semanas de iniciada la infección, los parásitos se duplican ¿Cuál es la constante de crecimiento k?.
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Facultad de Ciencias 31. El número de estudiantes infectados con gripe en la Universidad después de t días, se modela mediante la siguiente función P(t ) =
1800 . Al respecto: 1 + 99 ⋅ e −0, 2⋅t
(a) Determine el número inicial de estudiantes infectados. (b) Bajo una alerta sanitaria, la Universidad cerrará cuando 200 de los 1800 estudiantes estén infectados ¿En qué tiempo cerrará la escuela? (c) ¿Cuál es número máximo de infectados cuando el tiempo crece indefinidamente? 32. Supongamos que el número de bacterias B en una cápsula de Petri está modelada según la función: B(t ) = 10 4 ⋅ e k ⋅t donde k es constante, y B(t ) representa el número de bacterias en t horas. (a) Determine el valor de k, si después de 3 horas hay 13.499 bacterias. (b) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas? (c) ¿En qué tiempo se habrá duplicado la cantidad inicial de bacterias? 33. En una localidad de 20.000 personas, el número de contagiados con influenza después de t días se modela por f (t ) = (a) (b) (c) (d)
20.000 1 + 19.000e −0,895⋅t
Determine el número inicial de personas contagiadas. ¿Cuántas personas estarán contagiadas a los 10 días? ¿Cuántas personas estarán contagiadas a los2 semanas? ¿En cuánto tiempo el número de contagiados llegará a las 1000 personas?
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Facultad de Ciencias 34. La eficiencia de un trabajador de una empresa está definida por la función f (t ) = 120 − 80e −0,3t , donde f (t ) representa el número de unidades terminadas por día después de estar en el trabajo por t meses. (a) Determine el número de unidades diarias que puede terminar un empleado en el momento que ingresa a esa empresa. (b) ¿Cuántas unidades por día puede terminar un trabajador con 180 días de experiencia? (c) ¿Con cuántos meses de experiencia terminará 100 unidades diarias? 35. Cierto medicamento se elimina del organismo a través de la orina, la dosis inicial es de A0 = 10mg y la cantidad en el cuerpo t horas después está dada por A(t ) = A0 (0,9) t . ¿Al cabo de qué tiempo, aproximadamente, la cantidad de medicamento en el organismo es de 3,5 mg? 36. Un estudio acerca de la actividad respiratoria de pacientes en un centro de investigación muestra que la concentración de un gas describe un comportamiento periódico durante el periodo de inspiración y exhalación. Este comportamiento está descrito por la siguiente función ⎛ π ⎞ f (t ) = 2 + sen⎜ t ⎟ Donde f (t ) es la concentración del gas y 𝑡 el tiempo ⎝ 2 ⎠ .
en minutos. Determine el grafico de la función señalada.
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Facultad de Ciencias 37. La enfermedad cardiovascular se asocia a ateroescleorosis o enfermedad ateromatosa de los vasos sanguíneos, que se produce por un exceso de colesterol en la sangre, el que se deposita e inflama las paredes de las arterias, reduciendo su diámetro y terminando por dificultar el flujo sanguíneo. Desde un punto A cercano a la pared de la arteria se observa el punto extremo de una masa de colesterol (B) con un ángulo de depresión de 25◦, también desde A es posible ver con un ángulo de depresión de 40◦ el punto extremo de otra masa de colesterol (C) en el lado opuesto de la arteria. Si la distancia entre A y C es de 0,2mm y se estima que el ángulo ∠ABC es 105◦, hallar la distancia entre B y C.
38. En el esqueleto humano, el muslo solo lo constituye el fémur, el hueso más largo del cuerpo. Se ha detectado en una persona una diferencia entre el largo del fémur izquierdo y derecho. Para que el diámetro transversal de la pelvis y el fémur formen un ángulo recto es necesario ubicar en el fémur una prótesis de longitud x. Si la situación se describe en la figura, hallar la longitud de la prótesis
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39. Se determina que una condición normal es que en un ejercicio de flexión de brazo se alcance ciertos ángulos formados por los brazos y piernas con respecto al suelo. Del esquema que se presenta a continuación, ¿cuál es el ángulo α aproximadamente?:
40. En un consultorio se requiere construir una rampa de acceso para discapacitados con un ángulo de elevación de 15° y una altura final de 50 cm ¿Cuál es la longitud de la rampa?
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UNIDAD III: LÍMITE, CONTINUIDAD, DERIVADA E INTEGRAL INDEFENIDA. CONCEPTOS BÁSICOS x2 + x − 2 41. El valor de lim 2 es: x −1 x→1
x −2 ⎟ = es: 42. El valor de lim ⎜⎜ ⎟ x→4 ⎝ x − 4 ⎠ ⎛
⎞
⎛ x 3 − 9 x 2 − 45 x − 91 ⎞ ⎟ 43. El valor de lim ⎜⎜ ⎟⎟ = es: x − 13 x → 13 ⎜⎝ ⎠
⎧ x + 1 si x ≤ 2 ¿Cuál es el valor que debe tener k para que ⎩k − x si x > 2
44. Dada f ( x) = ⎨
lim f ( x) exista? x→2
⎧ x 2 − 1 ⎪ ⎪⎪ x + 1 45. La función: f ( x) = ⎨ ⎪ x 2 − 3 ⎪ ⎪⎩
si x < −1
, ¿es continua en x = −1 ? si x ≥ −1
46. En la función f (x) representada en el gráfico adjunto, ¿ lim f (x ), existe? x→ −1
y
2 1 -2
1
-1 -1
2
x
-2
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Facultad de Ciencias 47. Usando la definición de derivada de una función en un punto, demuestre que la derivada de la función f ( x) = x 2 en el punto xo=3 es 6. 48. Usando la definición de derivada de una función, demuestre que la 1
derivada de la función f ( x) = x es f ' ( x) = . 2 x 3 49. Encuentre la derivada de la función f (x ) = (3x 2 + 2 x + 6) : 50. Demuestre que la derivada de la función f ' ( x) =
1 (1 − x) 1 − x 2
f ( x) =
1+ x es 1− x
51. Un biólogo estimó que si un bactericida se introduce en un cultivo de bacterias, el número de bacterias B(t), presente en el tiempo t (en horas), está dado por B(t ) = 100 + 50t − 5t 2 millones. Encuentre la razón de cambio del número de bacterias con respecto al tiempo después de 4 horas. 52. Un equipo de investigación médica determina que t días después del inicio de una epidemia N (t ) = 10t 3 + 5t + t personas estarán infectadas ¿A qué razón se incrementa la población infectada en el noveno día? 53. La temperatura de un determinado jarabe sacado del congelador está dada por T (t ) = t 2 + 4t + 10 , donde T(t) está dada en función del tiempo (en minutos). Hallar la razón a la cual está cambiando la temperatura del jarabe después de 10 minutos. 54. Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en número de acuerdo con la función P(t ) = 500⎛⎜1 + ⎝
4t ⎞ ⎟ donde t se mide 50 + t 2 ⎠
en horas. Hallar a qué ritmo está creciendo la población cuando han pasado 120 minutos. 16
Facultad de Ciencias 55. La concentración en la sangre de un fármaco viene dada por C = 0,3t + 0,04t 2 − 0,004t 3 donde C se mide en mg y t en minutos ( 0 ≤ t ≤ 15 ). De acuerdo con esto: (a) ¿En qué intervalo es creciente la concentración del fármaco? (b) ¿Cuándo es máxima la concentración? (c) ¿Cuál es la concentración máxima? (d) ¿A qué razón cambia la concentración de fármaco en la sangre respecto al tiempo cuándo t = 5 ? 56. La concentración de microbios, B(x), en unidades apropiadas, en el Tranque Puclaro depende aproximadamente de la concentración de oxígeno X, la cual se manifiesta según la siguiente función: B( x) = x 3 − 7 x 2 − 160x + 1800
0 ≤ x ≤ 20
(a) Encuentre la concentración de oxígeno que conducirá a la concentración mínima de microbios. (b) Determine el nivel de concentración mínima de microbios. (c) Grafique la función de concentración de microbios, señalando los niveles de concentración X de oxígeno para el cual la concentración de microbios decrece y crece. 57. Un biólogo estimó que si un bactericida se introduce en un cultivo de bacterias, el número de bacterias B(t) (en millones), presente en el tiempo t (en horas), está dado por B(t ) = 100 + 50t − 5t 2 . (a) Encuentre el tiempo donde el número de bacterias alcanza su máximo. (b) Determine el número máximo de bacterias que alcanza. (c) Para 0 ≤ t ≤ 10 , grafique la función B(t) que determina el número de bacterias para un tiempo t, señalando los tiempos para el cual el número de bacterias aumenta o disminuye. 58. El resultado de ∫ (3x 3 − 5x 2 + 3x + 4)dx es: 17
Facultad de Ciencias 59. El resultado de ∫ x 2 x dx es: 60. Un ambientalista descubre que cierto tipo de árbol crece de tal forma 2 que después de t años su altura h(t) cambia a razón de h' (t ) = 0,2t 3 + t cm/año. Si el árbol tenía 20 cm de altura cuando se plantó, ¿cuánto medirá dentro de 27 años?
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SOLUCIONARIO
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UNIDAD I: PREPARACIÓN PARA EL CÁLCULO 1. 2.
Respuesta: 0,00000000075 = 7,5 . 10-‐10 mm (a) Respuesta: (8 ⋅ 101 )× (1,6 ⋅ 10 6 ) = 12,8 ⋅ 10 7 = 1,28 ⋅ 108 libras (b) Libras
Kilógramos
1
4,536 ⋅ 10 −1
1,28 ⋅ 10 8
x
3. 4.
x = (1,28 ⋅ 10 )⋅ (4,536 ⋅ 10 ) = 5,80608 ⋅ 10 8
−1
(1,485 ⋅ 10 )× (1 ⋅ 10 ) = 0,165 ⋅ 10 = 1,65 (2,5 ⋅ 10 )× (3,6 ⋅ 10 ) 8
3
8
2
7
kilogramos
kilogramos
Volumen=3x4x6=72 m2 Volumen=72x1003 cm3 Volumen=72.000.000 cm3 Respuesta: Volumen=7,2x107 cm3
5. Resuelva los siguientes problemas de notación científica: 3 (a) 300.000 km = 300.000 km ⋅ 10 m = 300.000.000 m = 3 × 108 m
s
s
1km
s
s
(b) (1,5 ⋅ 10 6 )⋅ (5 ⋅ 109 ) = 7,5 ⋅ 1015 cabellos
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7.
Resuelva los siguientes problemas de notación científica: (a) moleculas
gramos
1
3,3 ×10 −24
x 1⋅ 3 x= 3,3 × 10 −24
3
x = 9 × 10 23
Respuesta: Hay aproximadamente 9x1023 moléculas en tres gramos de hidrógeno. (b) 2 ⋅ (2,2 ⋅ 10 −9 )⋅ 12.000 = 0,00528 = 5,28 ⋅ 10 −5 metros 5,28 ⋅ 10 −5 ⋅ 10 2 cm = 5,28 ⋅ 10 −3 centímetros Sea x la solución inicial en cada envase, entonces: Primer envase después : x-‐37 Segundo envase después: x+37 ( x + 37 ) = 3( x − 37 ) x + 37 = 3 x − 111 x − 3 x = −111 − 37 − 2 x = −148 x = 74
/ ÷ (−2)
Respuesta: Por lo tanto, al principio en cada recipiente habían 74 mL.
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Facultad de Ciencias 8.
Sea x el sueldo que recibiría, entonces: 1 1 x − 100.000 = x + 138.000 3 10 10 x − 3.000.000 = 3 x + 4.140.000 10 x − 3 x = 4.140.000 + 3.000.000 7 x = 7.140.000
/ 30
7.140.000 7 x = 1.020.000 x=
9.
Respuesta: El sueldo que se le ofrece al Tecnólogo Médico es de $ 1.020.000 Si x es la capacidad del envase, entonces 3 1 ⎛ 3 ⎞ 1 x − ⎜ x ⎟ − 18 = x 4 3 ⎝ 4 ⎠ 3 3 1 1 x − x − 18 = x /⋅ 12 4 4 3 9 x − 3x − 216 = 4 x 6 x − 4 x = 216 2 x = 216 x = 108
Respuesta: La capacidad del recipiente es de 108 mL.
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Facultad de Ciencias 10. ⎛ PaCO2 − PECO2 ⎞ ⎟ VD = VT ⋅ ⎜ ⎜ ⎟ Pa CO2 ⎝ ⎠ VD ⋅ PaCO2 = VT ⋅ PaCO2 − PECO2
(
)
VD ⋅ PaCO2 = VT ⋅ PaCO2 − VT ⋅ PECO2 VT ⋅ PECO2 = VT ⋅ PaCO2 − VD ⋅ PaCO2 PECO2 =
VT ⋅ PaCO2 − VD ⋅ PaCO2
PECO2 = PaCO2 −
VT VD ⋅ PaCO2 VT
⎛ V PECO2 = PaCO2 ⎜⎜1 − D ⎝ VT
⎞ ⋅ ⎟⎟ ⎠
11. Sea x: centilitros de S1 Se tiene: 86 71 77 (x + 11) x+ ⋅ 11 = 100 100 100 86 x + 781 = 77 x + 847 9 x = 66 66 x= = 7,3 9
Respuesta: Se deben agregar 7,3 cl de la solución S1
12. Sea x solución deseada 28 36 34 x + (200 − x) = 200 100 100 100 28 x + (200 − x)36 = 200 ⋅ 34
28 x + 7.200 − 36 x = 6.800 − 8 x = −400 x = 50
/⋅ 100
Respuesta: Se requieren 50 litros de solución al 28% y (200-‐50)=150 litros al 36% 13. Sean x los óxidos e y los sulfatos 23
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x 3 = y 2 x+ y 5 x 6 3 Se tiene que = = ; x + y = 500 entonces = y 2 y 4 2 500 5 = ⇒ y = 200 y 2
Respuesta: Se espera encontrar 200 kg de sulfato 14. Sean X ,Y y Z, los porcentajes de dosis de medicamentos suministrados Si x : y : z = 5 : 8 : 7 , entonces:
x 5 x 5 y 8 z 7
=
y z = =k 8 7
= k ⇒ x = 5k
= k ⇒ y = 8k = k ⇒ z = 7k
Luego x + y + z = 100 5k + 8k + 7k = 100
20k = 100 k=
100 =5 20
Por lo tanto, x = 5k = 25% , y = 8k = 40% y z = 7k = 35% Respuesta: El porcentaje del medicamento B que tiene la dosis que debe ser suministrada al pacientes es del 40%.
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Facultad de Ciencias 15. Sea x los días que tardan Personas Folletos 6 5.000 8 5.000 Luego
Días 4 X
4 8 5.000 4⋅6 = ⋅ ⇒x= = 3 x 6 5.000 8
Respuesta: Tres días tardarán 8 personas en repartir los 5.000 folletos. 16. Litros
% 40%
48 X
37,5%
X=
48 ⋅ 37,5 = 45 40
Respuesta: El 37,5% de la capacidad del envase es de 45 litros. 17.
Litros
%
45
100%
(108 − 45) = 63 X % 63lt ⋅ 100% X = = 140% 45lt
Respuesta: La capacidad del contenido inicial del envase ha aumentado en un 140%. 18. °C
%
11,2 100% 1,4
X=
x%
1,4°C ⋅100% = 12,5% 11,2°C
Respuesta: La temperatura del sólido varió en un 12,5%.
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UNIDAD II: RELACIONES Y FUNCIONES 19. P (t ) = 20 15 + 3t + 1 = 20
/(
3t + 1 = 5 3t + 1 = 25 3t = 24
)2
t =8
Respuesta: La población será de 20 mil personas a los 8 años 20. E ( x) = 8 74 x =8 8x + 3 74 x = 8(8 x + 3) 74 x = 64 x + 24 10 x = 24 x = 2,4
Respuesta: Se debe inyectar una dosis de 2,4 mg para que el fármaco tenga efecto 8 horas 21. (a)
f (10 ) =
(10) + 6 = 17,8% 100 − (10)
Respuesta: El porcentaje de concentración por cm3 de líquido corporal al haber transcurrido 10 meses es del 17,8%. (b) Domf (t ) = R − {100}
26
Facultad de Ciencias 22.
p (t ) = 500 6.000 t = 500 t + 100 6.000t = 500t + 50.000 6.000t − 500t = 50.000
5.500t = 50.000 t=
50.000 = 9,09 5.500
Respuesta: Después de aproximadamente 9 semanas, de iniciada la epidemia, el número de infectados es aproximadamente 500 personas. 23. Como el nivel de monóxido de carbono está relacionado con la variable p, y esta a su vez está relacionada con la variable t, se deduce que la función compuesta: c( p(t )) = c(10 + 0,1t 2 ) = 0,5(10 + 0,1t 2 ) + 1 = 5 + 0,05t 2 + 1 = 0,05t 2 + 6 Luego, c( p(t )) = 0,05t 2 + 6 expresa el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función de la variable t. 24. (a) Puntos (P , t): (0 , 4) y (3 , 5.8) Pendiente: m =
5.8 − 4 = 0,6 3−0
Aplicando fórmula punto-‐pendiente: P − 5.8 = 0,6(t − 3) P = 0,6t − 1,8 + 5,8 P = 0,6t + 4
Respuesta: La ecuación que representa el peso en función de la edad es: P = 0,6t + 4 (b) P(5,5) = 0,6 ⋅ 5,5 + 4 = 7,3 Respuesta: A los 5,5 meses se espera que pese 7,3 kilos. 27
Facultad de Ciencias (c)
P(t ) = 5 5 = 0,6t + 4 1 = 0,6t 1,7 = t
Respuesta: A los 1,7 meses alcanzaría los 5.000 gramos de peso. (d)
25. (a) Sea X: días Y: Milímetros cuadrados regenerados Puntos (X , Y): ( 1 , 0 ) y (10, 4,5)
4,5 − 0 4,5 1 = = = 0,5 10 − 1 9 2 1 1 1 y − 0 = ( x − 1) ⇒ y = x − 2 2 2
m=
Respuesta: La función lineal que describe los tejidos regenerados 1 2
del organismo en función del tiempo es y = x −
1 2
28
Facultad de Ciencias 1 1 (30) − (b) 2 2 y = 14,5 y=
Respuesta: La cantidad de tejido regenerado cuando han transcurrido 30 días es de 14,5 milímetros cuadrados (c) 1 1 x− 2 2 1 1 x = (100 + ) ÷ 2 2 x = 201
100 =
Respuesta: El tiempo aproximado para obtener una evolución en el tejido de 100 milímetros cuadrados es de 201 días.
26. (a) Puntos (T , P): (4, 17) y (7, 33) 33 − 17 16 = 7−4 3 P − 17 = m(t − 4 ) 16 P − 17 = (t − 4 ) 3 16 64 P = t − + 17 3 3 16 13 P= t− 3 3
m=
Respuesta: La función lineal es: P = (b)
16 13 t − 3 3
16 13 t − ⇒ t = 4,56 3 3 Respuesta: En aproximadamente 4,5 años, el porcentaje de pacientes con sida será del 20% 20 =
29
Facultad de Ciencias (c)
16 13 t − ⇒ t = 10,1875 3 3 Respuesta: En aproximadamente a los 10 años, la mitad de los pacientes con VIH tendrá SIDA. 50 =
(d)
P 33
17
4
7
t
27. (a) T ( x) = −( x − 2) 2 + 1 T ( x) = −( x 2 − 4 x + 4) + 1 T ( x) = − x 2 + 4 x − 3
Respuesta: 2
c−
La
temperatura
máxima
se
alcanza
a
2
b 4 = −3 − = −3 + 4 = 1 C º 4a −4
(b) T ( x) = 0 = − x 2 + 4 x − 3 − x 2 + 4x − 3 = 0
x 2 − 4x + 3 = 0 ( x − 3)( x − 1) = 0 x1 = 3 ∨ x = 1
30
Facultad de Ciencias Temperatura T(t) Cº 1 0 1 2 3 Tiempo (t horas) § La temperatura T(x) se mantiene positiva entre la primera y la tercera hora ]1,3[ § La temperatura T(x) es creciente en ]1,2[. § La temperatura T(x) es decreciente en ]2,3[ . 28. (a)
−b − 0,2 = = 1 hora 2a 2(−0,1)
Respuesta: El tiempo en el que la concentración de azúcar en la sangre es máxima es en t=1 hora (b) A(1) = 3,9 + 0,2 ⋅ 1 − 0,1 ⋅ 12 = 4 gr Respuesta: La cantidad máxima de concentración de azúcar en la sangre es de 4 gr. (c) A(t ) = 0 3,9 + 0,2t − 0,1t 2 = 0 0,2 ± 0,2 2 − 4 ⋅ 0,1 ⋅ −3,9 2 ⋅ 0,1 t1 = −0,53 t=
t 2 = 7,32 min
Respuesta: El tiempo en el que la concentración de azúcar en la sangre desaparece es a los 7,32 min.
31
Facultad de Ciencias (d)
Concentración (A)
3,9
0
29. (a) t =
7,32
−b = 2a
Tiempo (t)
− 25 = 8 ⎛ 25 ⎞ 2 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝ 16 ⎠
Respuesta: El tiempo donde el grado de adormecimiento es máximo es a los 8 minutos. (b) G(8) = −
25 2 (8) + 25 ⋅ 8 = 100 16
Respuesta: El grado máximo de adormecimiento es del 100%. (c) G(t ) = 0 ⇒ −
25 2 t + 25t = 0 ⇒ t = 0 ∨ t = 16 16
Respuesta: El tiempo donde el grado de adormecimiento desaparece es a los 0 min y a los 16 min. (d)
G(t)
100
0
8
16
t 32
Facultad de Ciencias 30. (a) f (0) = 4 + 0 ⋅ e −k ⋅0 = 4 Respuesta: Al inicio del estudio, la cantidad de parásitos presentes en el intestino es de 4 mil. (b) f (7) = 4,6 4 + 7 ⋅ e −k ⋅7 = 4,6 0,6 e −k ⋅7 = 7 ⎛ 0,6 ⎞ − 7 k = ln⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠ ⎛ 0,6 ⎞ ln⎜ ⎟ 7 ⎠ ⎝ k= −7 k = 0,35096
(c)
f (15) = 4 + 15 ⋅ e −0,35096⋅15 = 4,0776
Respuesta: Hay después de 15 días 4.078 parásitos (d) f ( 21) = 8 4 + 21 ⋅ e − k ⋅21 = 8 4 e − k ⋅21 = 21 ⎛ 4 ⎞ − 21k = ln⎜ ⎟ ⎝ 21 ⎠ ⎛ 4 ⎞ ln⎜ ⎟ 21 k = ⎝ ⎠ − 21 k = 0,07896
31. (a)
P(0) =
1800 1800 = = 18 1 + 99 100
Respuesta: El número inicial de estudiantes infectados es 18. 33
Facultad de Ciencias (b) P (t ) = 200 1800 200 = 1 + 99 ⋅ e −0, 2⋅t 200 + 19800 ⋅ e −0, 2⋅t = 1800 1800 − 200 e −0, 2⋅t = = 0,080808 19800 − 0,2 ⋅ t = ln(0,080808) ln(0,080808) t= = 12,57 − 0,2
/ ln
Respuesta: La Universidad cerrará en 12,57 ≈ 13 días
(c)
⎛ 1800 lim P(t ) = lim ⎜⎜ x→∞ x → ∞ ⎝ 1 + 99 ⋅ e − 0,2 ⋅ t
⎞ 180 ⎟ = = 180 ⎟ 1 + 0 ⎠
Respuesta: El número máximo de infectados cuando el tiempo crece indefinidamente es de 180 estudiantes.
k ⋅3
32. (a) B(3) = 13.499 = 10 ⋅ e 4
1,3499 = e k ⋅3
/ Ln
Ln (1,3499) = k ⇒ k = 0,1 3
Respuesta: Si después de 3 horas hay 13.499 bacterias, entonces el valor de k es 0,1. (b)
B(5) = 10 4 ⋅ e 0,1⋅5 = 16487,2127
Respuesta: Habrá 16.487 bacterias al cabo de 5 horas.
34
Facultad de Ciencias (c)
B(t ) = 2 ⋅10 4 2 ⋅10 4 = 10 4 ⋅ e 0,1⋅t 2 = e 0,1⋅t Ln 2 t= = 6,9 0,1
Respuesta: En 6,9 horas se habrá duplicado la cantidad de bacterias. 33. (a) t = 0 ⇒ f (0) =
20.000 =1 1 + 19.000e −0,895⋅0
Respuesta: 1 persona es el número inicial de personas contagiadas. (b) t = 10 ⇒ f (0) =
20.000 = 5771,995 1 + 19.000e −0,895⋅10
Respuesta: A los 10 días, el número de personas que estarán contagiadas es de 5.772. (c)
t = 14 ⇒ f (0) =
20.000 = 18714,08 1 + 19.000e −0,895⋅14
Respuesta: A las 2 semanas, se habrán contagiado 18.714 personas. (d)
f (t ) =
20.000 20.000 20.000 ⇒ 1000 = ⇒ 1 + 19.000e −0.895⋅t = − 0 ,895⋅t − 0.895⋅t 1000 1 + 19.000e 1 + 19.000e
En aproximadamente 8 días habrán 119 .000 contagiadas. ⎛ ⎞ − 0 ,895t 19.000e = 19 ⇒ −0,895 ⋅ t ⋅ ln e = ln⎜ ⎟ ⇒ t = 7,718 19.000 ⎝
⎠
35
Facultad de Ciencias 34. (a) f (0) = 120 − 80e −0,3⋅0 = 40 Respuesta: Un empleado al momento que ingresa a esa empresa terminará 40 unidades diarias. (b) f (6) = 120 − 80e −0,3⋅6 = 106,7 Respuesta: Con 6 meses de experiencia, un trabajador terminará 107 unidades diarias. (c) f (t ) = 100 −0 , 3t 100 = 120 − 80e 20 = 80 ⋅ e −0,3t
0,25 = e −0,3t Ln 0,25 =t − 0,3 t = 4,6
/ Ln
Respuesta: Aproximadamente con 5 meses de experiencia, un trabajador completará 100 unidades diarias. 35. A(t ) = A0 (0,9) t = 10 ⋅ (0,9) t = 3,5 3,5 = 0,35 10 t ⋅ ln(0,9) = ln(0,35) ln(0,35) t= = 9,96 ln(0,9) (0,9) t =
/ ln
Respuesta: Al cabo de 10 horas, aproximadamente, la cantidad de medicamento en el organismo es de 3,5 mg.
36
Facultad de Ciencias 36. 3
y
2
1 x
37. La figura izquierda anterior, muestra una vista frontal de una arteria y su deformación producto de la acumulación de colesterol, de estos datos, se obtiene la figura del triángulo de la derecha. Trazando la altura desde el vértice B al lado AC y observando que ∠CAB=15◦ se tienen las siguientes relaciones: −3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
−1
d tan(60) = x
d tan(15) = 0,2 − x
Respuesta: De esto se obtiene que x = 0,026mm y d = 0,045mm obtiene por Teorema de Pitágoras se obtiene que CB = 0,052 mm
37
Facultad de Ciencias 38. sen25° = sen65° x x + 40 sen25°(x + 40) = sen65°x sen25°x + sen25° ·∙ 40 = sen65°x sen25° ·∙ 40 = sen65°x -‐ sen25°x 16,9 = 0,48x x=35,21 Respuesta: La longitud de la prótesis es de 35,21 39.
tan(α ) =
cateto opuesto 41 = = 0,4939 cateto adyacente 83
α = tan −1 (0,4939) = 26,3°
40. Según los datos, el siguiente dibujo representa la situación geométrica de la rampa:
Entonces, aplicando la función sen(x) se tiene: sen(15°) =
50 L
50 sen(15°) L = 193,18 cm L=
Respuesta: La longitud de la rampa es de 193,18 cm.
38
Facultad de Ciencias
UNIDAD III: LÍMITE, CONTINUIDAD, DERIVADA E INTEGRAL INDEFENIDA. CONCEPTOS BÁSICOS.
(x + 2)(x − 1) = x2 + x − 2 x+2 3 41. lim 2 = lim = lim x −1 2 x→1 x→1 ( x + 1)( x − 1) x→1 x + 1 42.
⎛ x − 2 ⎞ lim ⎜⎜ x − 4 ⎟⎟ x→4 ⎝ ⎠ ⎛ x − 2 x + 2 ⎞ ⎟ = lim ⎜⎜ ⋅ ⎟ x − 4 x + 2 x→4 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ( x − 4) ⎟ = lim ⎜⎜ ⎟ ( x − 4 ) ⋅ ( x + 2 ) x→4 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 ⎟ = lim ⎜⎜ ⎟ ⋅ ( x + 2 ) x→4 ⎝ ⎠ 1 = 4
43.
⎛ x 3 − 9 x 2 − 45 x − 91 ⎞ ⎜ ⎟ lim ⎜ ⎟⎟ x − 13 x → 13 ⎜⎝ ⎠ ⎛ ( x − 13)( x 2 + 4 x + 7) ⎞ ⎟ = lim ⎜ ⎜ ⎟ ( x − 13 ) x!13 ⎝ ⎠ ⎛ ( x 2 + 4 x + 7) ⎞ ⎟ = lim ⎜ ⎜ ⎟ 1 x!13 ⎝ ⎠ = 228
39
Facultad de Ciencias 44. lim f ( x) = lim+ f ( x)
x→2−
x→2
lim x + 1 = lim+ k − x
x→2−
x→2
2 +1 = k − 2 3= k −2 k =5
Respuesta: Para que lim f ( x) exista, el valor de k es 5. x→2
45. (i) f (− 1) = (− 1)2 − 3 = −2
⎛ x 2 − 1 ⎞ ⎛ (x + 1)(x − 1) ⎞ ⎟⎟ = lim ⎜⎜ ⎟ = −2 (ii) lim f (x ) = lim ⎜⎜ (x + 1) ⎟⎠ x→ −1− x→−1− ⎝ x + 1 ⎠ x→−1− ⎝
lim f (x ) = lim (x +
+
x → −1
x → −1
2
)
− 3 = −2
∴ lim f (x ) = lim f (x ) ⇒ ∃ lim f (x ) x → −1−
x →−1+
( iii ) f (− 1) = lim f (x) x→ −1
x →−1
f ( x) es continua en x = −1
46. lim f ( x) = lim+ f ( x)
x → −1−
x → −1
lim f ( x) = −2
x → −1−
lim f ( x) = 1
x → −1+
Como lim f ( x) ≠ lim f ( x) , entonces lim f (x ) No Existe x→−1−
x→−1+
x→ −1
47. f ' ( x0 ) = lim
x→ x0
f ( x) − f ( x0 ) x 2 − 32 ( x − 3)( x + 3) = lim = lim = lim( x + 3) x→3 x − 3 x→3 x→3 x − x0 ( x − 3)
= lim(3 + 3) = 6
x→3
40
Facultad de Ciencias 48.
(
) ( ) ( ) 2
2
f ( x + h) − f ( x ) x+h − x x+h + x x+h − x f ' ( x) = lim = lim ⋅ = lim h→0 h→0 h h x + h + x h→0 h x + h + x x+h−x h 1 1 1 = lim = lim = lim = = h→0 h x + h + x h→0 h x + h + x h→0 x + h + x x+ x 2 x
(
)
(
49. Usando la regla de la cadena 2 f ' (x ) = 3(3x 2 + 2 x + 6) ⋅ (6 x + 2) 50. Usando la regla de la cadena
)
(
)
⎛ 1 ⋅ (1 − x) − (1 + x)(−1) ⎞ ⎛ (1 − x) + (1 + x) ⎞ 1 ⎟⎟ = ⎟ ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎜⎜ 2 (1 − x ) (1 − x )2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ 2 ⋅ 1 + x ⎝ 1− x 1 2 1 1 = ⋅ = = 2 ( 1 + x (1 − x )(1 − x) 1 + x )(1 − x) ( ) 1 + x ( 1 − x ) 2⋅ (1 − x) ⋅ (1 − x) ⋅ (1 − x ) 1− x (1 − x ) f ' ( x) =
f ' ( x) =
1 1+ x 2⋅ 1− x
1 (1 − x) ⋅ 1 − x 2
51. B(t ) = 100 + 50t − 5t 2 B' (t ) = 50 − 10t
B' (t = 4) = 50 − 10 ⋅ (4) = 10 bacterias / hora
Respuesta: Esto significa que pasadas 4 la bacterias crecen a un ritmo de 10 por hora.
52. Se pide obtener la razón de cambio mediante la derivada de N(t) N ' (t ) = 30t 2 + 5 +
( )
1 2 t
N ' (t = 9) = 30 9 2 + 5 +
1
2 9
N ' (9) = 2.435,2
Respuesta: Esto significa que pasados 9 días la población de bacterias está aumentando a razón de 2.435,2 por día. 41
Facultad de Ciencias 53. Se pide hallar la razón de cambio de la temperatura respecto al tiempo. T ' (t ) =
2t + 4 2 t 2 + 4t + 10
=
2(t + 2) 2 t 2 + 4t + 10
Pasados los 10 minutos se tiene T ' (10) =
=
t+2 t 2 + 4t + 10
10 + 2
10 2 + 4 ⋅10 + 10 T ' (10) = 3,49
Respuesta: Esto significa que pasados 10 minutos la temperatura del jarabe sacado del congelador está aumentando a razón de 3,49 grados por minuto. 54. Se pide hallar la razón de cambio del crecimiento de la población. ⎛ 4(50 + t 2 ) − 4t ⋅ 2t ⎞ ⎟ P' (t ) = 500⎜ 2 2 ⎜ ⎟ 50 + t ⎝ ⎠
(
)
Pasados los t=2 horas (120 minutos) ⎛ 4(50 + 2 2 ) − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⎞ ⎟ P ' (t = 2) = 500⎜ 2 2 ⎜ ⎟ 50 + 2 ⎝ ⎠ P ' (2) = 31,55
(
)
Respuesta: Esto significa que pasados 120 minutos (2 horas) la población crece a un ritmo de 31,55 bacterias por hora. 2
55. (a) C ʹ′ = 0,3 + 0,08t − 0,012t ⎧t = −2,7; t1 ∉ [0 ,15] Puntos críticos C ʹ′ = 0,3 + 0,08t − 0,012t 2 = 0 ⇒ ⎨ 1 ⎩t 2 = 9,3 Utilizando el criterio de la primera derivada
La concentración del fármaco es creciente en el intervalo ]0;9,3[ (b) La concentración del fármaco es máxima a los 9,3 minutos.
42
Facultad de Ciencias 2 3 (c) C (9,3) = 0,3 ⋅ 9,3 + 0,04 ⋅ 9,3 − 0,004 ⋅ 9,3 = 3,03 La concentración máxima de fármaco es de 3,03 mg. 2 (d) C ʹ′(5) = 0,3 + 0,08 ⋅ 5 − 0,012 ⋅ 5 = 0,4 Cambia a razón de 0,4 mg
56. (a) (i)
Puntos críticos B' ( x) = 3 x 2 − 14 x − 160 B' ( x) = 0 x = 10 ∧ x = −5,3333 x = −5,3333 ∉ [0,20 ]
(ii) Utilizando el criterio de la primera derivada
0
B
'
(t ) < 0 10 B ' (t ) > 0 20
Entonces en X=10 hay una concentración mínima de microbios (b)
B(10) = 500
El nivel de concentración mínima de microbios que se alcanza es de 500. (c) Personas Infectadas (B(x))
1800 500 0
10
20
Concentración de Oxígeno (X)
43
Facultad de Ciencias 57. (a) (i) Puntos Críticos B' (t ) = 50 − 10t = 0 t = 5 horas
(iii) Utilizando el criterio de la primera derivada
B
0
'
(t ) > 0 5 B ' (t ) < 0 10
Respuesta: El número de bacterias alcanza su máximo a las 5 horas. (b) B(5) = 100 + 50 ⋅ 5 − 5 ⋅ 5 2 B(5) = 225 Bacterias
Respuesta: El número máximo de bacterias que alcanza es 225. (c) B(0) = 100 B(5) = 225 B(10) = 100 B(t)
225
100 0
5
10
t horas
44
Facultad de Ciencias 58.
∫ (3x − 5x + 3x + 4)dx = 3∫ (x )dx −5∫ (x )dx + 3∫ (x ) dx + 4∫ dx 3
2
3
2
⎛ x 4 ⎞ ⎛ x 3 ⎞ ⎛ x 2 ⎞ = 3⎜⎜ ⎟⎟ − 5⎜⎜ ⎟⎟ + 3⎜⎜ ⎟⎟ + 4(x ) + C ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 3 5 3 = x 4 − x3 + x 2 + 4x + C 4 3 2
59.
∫x
2
7
x 2 2 7 x dx = ∫ x ⋅ x dx = ∫ x dx = + C = x 2 + C 7 7 2 1
2
2
5
2
60. Se da la derivada de la función altura y se pide encontrar dicha función h(t). h(t ) = ∫ h' (t )dt = ∫ ⎛⎜ 0,2t ⎝
2
3
+ t ⎞⎟dt ⎠
2
1
= 0,2 ∫ t 3 dt + ∫ t 2 dt ⎛ t 5 3 ⎞ t 3 2 ⎟ + = 0,2⎜⎜ ⎟⎟ 3 + C 5 ⎜ 2 ⎝ 3 ⎠ 3 5 2 3 = 0,2 t 3 + t 2 + C 5 3
Como h(t=0)=20, se tiene 3 53 2 32 (0) + (0) + C = 20 ⇒ C = 20 5 3 3 53 2 32 Entonces: h(t ) = 0,2 t + t + 20 5 3 5 3 3 2 Luego: h(t = 27) = 0,2 ⋅ (27) 3 + (27) 2 + 20 = 142,69 5 3 h(t = 0) = 0,2
Respuesta: Dentro de 27 años el árbol medirá 142,69 cm.
45
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