Mat Ensino - Eq Diferenciais INTRO 2012-1
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IFSC / Cálculo II
Prof. Júlio César TOMIO
UMA INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1.1) CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Nas ciências em geral, na engenharia, na economia e até mesmo em psicologia, existem situações em que se deseja descrever ou modelar matematicamente o comportamento de algum fenômeno ou sistema, visando a sua compreensão mais ampla, ou até mesmo, mais precisa. As equações diferenciais surgiram a partir dessa necessidade, principalmente naquelas relacionadas a certos sistemas físicos mecânicos. Um problema real de grande complexibilidade nem sempre pode ser representado matematicamente de forma exata, no entanto, se utilizarmos as ferramentas e estruturas matemáticas adequadas, a simulação poderá nos trazer soluções muito próximas da realidade. Assim são as equações diferenciais que ajudam a descrever, por exemplo, a queda de um corpo sob a influência da gravidade, o deslocamento vertical de uma massa atada a uma mola, circuitos em série, o resfriamento/aquecimento de um corpo, a drenagem de um fluido através de um orifício, a deflexão de vigas, o crescimento populacional, a desintegração radioativa, ra dioativa, a capitalização financeira, entre outros. 1.2) RELEMBRANDO...
Em estudos anteriores, no Cálculo I, I , já nos deparamos com o problema:
Dada uma função y f ( x) , encontre a derivada
dy dx
f ( x) , ou seja, tendo uma função f ( x)
procuramos determinar a sua derivada f ( x) , que é uma outra função e para isso, utilizamos “regras” apropriadas. Agora, em nosso estudo, o problema será:
Dada uma equação do tipo
dy dx
f ( x) , encontre de algum modo, uma função y f ( x) que satisfaça a
equação inicial dada. Esse problema, de certo modo, é equivalente ao problema clássico do cálculo diferencial e integral: dada uma derivada, calcule sua anti-derivada. Isso é possível através da Integração. Entretanto, para o estudo que se pretende das Equações Diferenciais, será necessário um conhecimento mais amplo e com técnicas específicas. 1.3) DEFINIÇÃO
Uma equação que contém as derivadas [ou diferenciais] de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de Equação Diferencial [ED]. 1.4) CLASSIFICAÇÃO
Visando facilitar o estudo, as equações diferenciais são classificadas por: tipo, ordem, e linearidade. 1.4.1) TIPO Equação Diferencial Ordinária (EDO) (EDO)
Apresenta derivadas ordinárias com relação a uma única variável independente. Exemplos:
a)
dy
onde
y y( x)
onde
u u(t )
onde
R R(t )
x
onde
y y( x) e v v( x)
2 x y
onde
x x(t ) e y y(t )
5 y e x
dx 2
b) c) d) e)
d u 2
dt dR dt dy
kR
dx dx dt
4u 0
dv dx
dy dt
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REFERÊNCIA Este material foi produzido com base no livro: ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais. v. 1. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
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Nota: Os exemplos, que acima apresentamos, utilizam a Notação de Leibniz [ dy / dx, d 2 y / dx 2 , ..., d n y / dx n ].
As equações diferenciais ordinárias também podem ser representadas pela Notação Prima. Veja como podemos escrever as EDO’s dos exemplos (a) e (b) dados anteriormente: a) y 5 y e x
b) u 4u 0
Equação Diferencial Parcial (EDP)
Apresenta derivadas parciais com relação a mais de uma variável independente. 2u 2u a) 2 2 0 x y
Exemplos:
b) c)
u v x y 2u x
2
2u t
2
2
u t
onde
u u( x , y)
onde
u u ( x, y)
onde
u u( x , t )
e
v v( x, y )
Nota: As equações diferenciais parciais também podem ser representadas pela notação de subscrito. Veja como representamos as EDP’s dos exemplos (a) e (c) acima: c) u xx utt 2ut
a) u xx u yy 0 1.4.2) ORDEM
A ordem de uma equação diferencial [EDO ou EDP] corresponde à ordem da mais elevada derivada na equação. Exemplos: 2
d u dx
2
5
du dx
3 0
EDO de 2ª ordem [ou de ordem 2]
y 10 y 2
EDO de 1ª ordem
r 4r e x
EDO de 3ª ordem
5T 2T 3 cos(t ) T
EDO de 2ª ordem
EDO de 2ª ordem
EDP de 4ª ordem
3
dy x 5 4 y e 2 dx dx 2
d y
4 u 2u a 4 2 0 x t 2
Observações:
Note a similaridade das notações: y
dy dx
2
f ( x) y y
(1)
e
y
d y dx
2
f ( x) y y ( 2)
EDO’s de 1ª ordem são ocasionalmente escritas na forma diferencial M x, y dx N x, y dy 0 . Desta forma,
por exemplo, se considerarmos que y representa a variável dependente na equação diferencial ( y x) dx 4 x dy 0 então y dy / dx e assim a equação dada pode ser escrita na forma alternativa 4 x
dy dx
y x dividindo-se a equação pelo elemento diferencial dx .
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Embora as equações diferenciais parciais sejam muito importantes, seu estudo demanda um bom conhecimento da teoria das equações diferenciais ordinárias. Portanto, na discussão que se segue, limitaremos nossa atenção às EDO’s.
Simbolicamente, podemos expressar uma EDO de ordem “n”, com uma variável dependente pela forma geral: F ( x , y , y, ..., y
( n)
)0
Onde F é uma função contínua de valores reais com (n 2) variáveis: x , y , y, ..., y ( n) . 1.4.3) LINEARIDADE
Uma EDO de ordem n é linear pode ser escrita na forma de um polinômio do tipo: an ( x)
d n y dx
n
an1 ( x)
d n 1 y dx
n 1
... a1 ( x)
dy dx
a0 ( x) y g ( x)
Uma equação diferencial ordinária que não pode ser escrita na forma acima é chamada não-linear. Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: i) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do 1º grau; isto é, a potência de cada termo envolvendo y é 1. ii) Cada coeficiente [de y e suas derivadas] depende (no máximo) da variável independente x . Exemplos:
y ky
EDO Linear
y 3 y ( x 3) y 0
EDO Linear
EDO Linear
EDO não-linear
EDO não-linear
EDO não-linear
EDO não-linear
3
d y dx
3
3 x
dy dx
5 y e x
g 5g 2 1 3
d y dx
3
y4 0
(1 y) y 2 y e
x
2
d y dx
2
sen y 0
1.4.4) GRAU
É a potência que se encontra elevada a derivada de mais alta ordem. É uma classificação pouco utilizada. Exemplos:
2u 2u 0 x 2 y 2
EDP de 1º grau
y 2 y y cos x
EDO de 1º grau
y2 y3 3 y x 2
EDO de 2º grau
2
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1.5) SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
De maneira bastante simplista, podemos dizer que a solução de uma ED é a função [ou a família de funções] que torna(m) verdadeira ou satisfaz(em) essa ED. A solução de um ED pode aparecer na forma explicita ou implícita. Você já deve estar familiarizado com os termos funções explícitas e implícitas do curso de Cálculo I. Uma solução na qual a variável dependente é expressa somente em termos da variável independente e constantes é dita ser uma solução explícita. Solução Explícita: y f ( x)
Solução Implícita: F ( x, y) 0
Exemplos:
A equação diferencial
dy dx
2
2 xy tem solução explícita: y c . e x .
A equação diferencial y y x tem solução implícita: x 2 y 2 c .
Observação: Note que as duas soluções destacadas nos exemplos acima representam, cada qual, uma família de funções, pois para cada valor real possível da constante c , temos uma função distinta [porém com as características da família a qual pertence]. Tais soluções chamamos de “solução geral”. 1.5.1) SOLUÇÃO GERAL
A solução geral de uma equação diferencial é uma função que possui uma constante arbitrária [e representa uma família de funções]. Exemplo: A função y c . e x é uma solução geral para a equação diferencial y y 0 . 1.5.2) SOLUÇÃO PARTICULAR
Se atribuirmos um valor numérico à(s) constante(s) arbitrária(s) [de uma solução geral], a solução obtida passará a ser chamada de solução particular, pois representará uma função específica. Exemplo: Anteriormente vimos que a função y( x) c . e x é uma solução geral para a equação diferencial y y 0 .
Se definirmos que y(0) 4 como condição inicial, teremos: x
y( x) c . e
y(0) c . e
0
4 c. 1 c4
Logo, a função y 4 . e x é uma solução particular que satisfaz a condição dada y(0) 4 . 1.5.3) PROBLEMA DE VALOR INICIAL [PVI]
Um PVI para uma equação diferencial de 1ª ordem, por exemplo, consiste em encontrarmos uma solução específica para uma ED dada, sabendo inicialmente que y( x0 ) y0 . Geometricamente, o gráfico da solução y passará pelo ponto ( x0 , y0 ) do plano cartesiano de duas dimensões. Simbolicamente, em um PVI [de 1ª ordem], devemos resolver: Página 4 de 15
dy dx
f ( x, y ) , sujeita a: y( x0 ) y0 .
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Simplificando, um PVI é resolvido com uma SOLUÇÃO PARTICULAR que satisfaz a condição inicial dada. O exemplo do item 1.5.2 é um caso de PVI.
Graficamente, temos: y 4 . e
x
solução particular
Solução Geral x y( x) c . e
Nota: Quando a variável independente x representa tempo, em muitos casos , a condição inicial y( x0 ) y0 de
um PVI é definida para o instante zero, ou seja, x0 0 [instante inicial]. Assim: y(t 0 ) y0
y(0) y0 .
Exemplos – Solução de uma Equação Diferencial: [1] Verifique que
y
x
4
16
é uma solução para a equação diferencial não-linear
intervalo ] , [ .
dy dx
xy1/ 2 0 , definida no
Resolução:
“... é impossível explicar honestamente as belezas contidas nas leis da natureza de uma forma que as pessoas possam senti-las, sem que elas tenham uma boa compreensão da Matemática”. [Richard Feynman] Página 5 de 15
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[2] Verifique se a função explícita intervalo ( , ) .
y x e x
é uma solução para a equação diferencial linear
y 2 y y 0
no
Resolução:
[3] Verifique se as funções y c1 sen x e y c2 cos x são soluções para a equação linear c1
d 2 y dx 2
y 0 ; onde
e c2 são constantes.
Resolução:
EXERCÍCIOS – Solução de uma Equação Diferencial: [1] Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial: dy
y e
b) 2 y y 0
y e
c) y 25 y 2
y 5 tg 5 x
d) x 2 dy 2 xy dx 0
y
a)
dx
2 y e3 x
e) y 4 y 32
3 x
10e 2 x
x / 2
1 x
Lembrete: sec2 x 1 tg 2 x RESPOSTAS
2
Todas as funções dadas são soluções de suas respectivas equações diferenciais.
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1.6) EQUAÇÕES DIFERENCIAS DE 1ª ORDEM
Podemos classificar as equações diferencias de 1ª ordem em alguns “tipos”. São eles: Variáveis Separáveis, Homogêneas, Exatas e Lineares.
Cada um dos tipos citados requer um método ou procedimento específico para determinar a respectiva solução. Em princípio, veremos o caso mais simples e comum: as equações com variáveis separáveis. 1.6.1) EQUAÇÕES SEPARÁVEIS
Uma Equação Diferencial da forma
dy dx
g ( x) h( y ) é chamada de “separável” ou tem “variáveis separáveis ”.
1.6.2) MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES SEPARÁVEIS
Uma Equação Separável
dy dx
g ( x) h( y ) pode ser redutível à forma h( y) dy g ( x) dx através de operações
algébricas básicas. Feito isso, aplicamos a integração indefinida em ambos os membros: h( y) dy g ( x) dx . Exemplos: [1] Resolva a ED y
y x
e defina geometricamente sua solução geral.
Resolução:
[2] Resolva o problema de valor inicial [PVI] com:
dy dx
x y
, sujeito a: y(4) 3 .
Resolução:
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[3] Determine a solução geral para a equação diferencial
y 3xy 0 .
Resolução:
[4] Encontre a função y ( x) que satisfaz a ED (1 x)dy y dx 0 . Resolução:
[5] Qual é a solução particular da equação 9 y. y 4 x 0 , que tem seu gráfico passando por P (0 , 2) ? Resolução:
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[6] Resolva a ED: x e y sen x dx y dy 0 . Resolução:
EXERCÍCIOS – Separação de Variáveis [1] Encontre a solução geral para as Equações Diferenciais: a) y e x 0
Resposta: y e
x
b) y 1 0
Resposta: y x c
c
[2] Determine a solução particular para cada caso a seguir. a) y x 2 0 b)
dy dx
2
xe x 0
x3
23
sendo que y(2) 5 .
Resposta: y
e a função y ( x) passa pelo ponto P (0 , 1) .
Resposta: y e x
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1
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[3] Resolva as Equações Diferenciais por separação de variável: a)
dy
sen 5x 0
dx
b) ( x 1)
dy
Resp.: y
c) x y 4 y d) e) f)
y
3
dx
x
2
dx
x y
dy
2
Resp.: y cx Resp.: y
2
4
2 x 1 c
2
dy
1 x
dy
e 3 x 2 y
dx
cos 5 x c
5
Resp.: y x 5 ln | x 1 | c
x6
dx
1
3
Resp.: 3 3 x. ln | x | xy cx
Resp.: 3e
2 y
2e3 x c
g) (4 y yx2 ) dy (2 x xy2 ) dx
Resp.: y c.(4 x ) 2
h) 2 y( x 1) dy x dx 0
Resp.: y x ln | x 1 | c
y 1 i) y (ln x) dy x dx
j) k) l)
dS dr
dy dx dy dx
2
2
2
Resp.:
xy 3 x y 3 xy 2 x 4 y 8
x
3
3
ln x
Resp.: S c e
kS 0
2
[utilize fatoração por agrupamento]
sen x(cos 2 y cos2 y) [utilize transformações trigonométricas]
x
3
y
9
2
2 y ln | y | c
2
kr
Resp.: y 5. ln
y 3 x 4
x c
Resp.: cotg y cos x c
[4] Resolva as Equações Diferenciais dadas, sujeita à condição inicial indicada para cada caso. a) y dy 4 x( y 2 1)1/ 2 dx b) x y y xy 2
c)
dx dy
4( x 2 1)
d) (e y 1) sen x dx (1 cos x) dy
com y(0) 1
Resposta:
y 1 2 x 2
2
1
2
1 1 x
com y(1) 1
Resposta: y
com x 1 4
Resposta: x tg 4 y
com y (0) 0
Resposta: (1 cos x) .(1 e ) 4
x
e
3
4 y
[5] Determine a solução geral da equação diferencial 3 y cos 2 x 0 . [Note que a ED é de 2ª ordem]. Resposta: y
1 12
cos 2 x c2 x c3
[6] Resolva o PVI com: y cos2 x 0 , sujeito a: y( / 2) / 2 . Resposta: y Página 10 de 15
x 2
1
4
4
sen 2 x
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1.6.3) ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM VARIÁVEIS SEPARÁVEIS [1] Crescimento e Decrescimento
Admitindo que uma quantidade Q de uma substância (ou população) cresce ou decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente, então: dQ dt
Q
onde “k” é a constante de proporcionalidade.
dQ dt
k Q
Se k > 0, então Q aumenta (cresce) com o passar do tempo “t”. Se k < 0, entao Q diminui (decai) com o passar do tempo “t”.
Obs.: Como a função Q(t) é diferenciável (contínua no tempo), os problemas de população, por trabalharem com realidade discreta, não se adaptam totalmente a este modelo, entretanto podem gerar uma boa aproximação. [2] Variação de Temperatura
A lei da variação de temperatura de Newton [ou lei do Resfriamento de Newton] afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Sendo T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio (ambiente), podemos formular como: dT dt
dT
(T T m)
dt
k (T T m)
onde “k” é uma constante de proporcionalidade que depende do calor específico do corpo, das características do meio onde o corpo está “inserido” e também da superfície de contato desse corpo com o meio . Obs.:
Quando T > Tm, caracteriza-se um resfriamento do corpo e assim encontraremos k < 0. Quando T < Tm, caracteriza-se um aquecimento do corpo e assim encontraremos k > 0.
[3] Diluição ou Mistura
Considere um tanque contendo um volume inicial V0 de uma solução com concentração “a” de um produto. Despeja-se no tanque uma outra solução do mesmo produto, agora com concentração “b” a uma vazão “e”, no mesmo instante há um escoamento da solução “bem misturada” com uma vazão “f”. Através de um modelamento adequado, podemos determinar a quantidade Q de um produto [sal, por exemplo] presente no tanque [de água, por exemplo] para qualquer instante “t”. Txe = b.e
A taxa de variação dQ / dt pode ser definida pela quantidade do produto que entra menos a quantidade do produto que sai, por unidade de tempo, isto é:
a Txs = c.f
Taxa de variação Taxa de Q Taxa de Q da quantidade Q entrando saindo Lembrando que:
Entao:
dQ dt dQ dt
Quantidade de produto por unidade de tempo (taxa) = concentração vazão
Concentração de um produto = Quantidade do produto / Volume da solução
x
(concentraçãoentra vazãoentra ) (concentração sai vazão sai ) (b e) (concentração sai f )
Nota: Observe que a concentração que sai é a concentração da solução “bem misturada” presente no tanque. Página 11 de 15
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Assim, podemos escrever:
dQ dt
Q f V (t )
(b e)
Agora, para a determinação do volume V (t ) da solução presente no tanque [para qualquer instante “t”], podemos considerar o volume inicial, mais o volume que entra, menos o volume que sai. Assim temos: V (t ) V inicial V entra V sai
Ve = e.t
Lembrando que: volume = vazão tempo, temos: x
V0
V (t ) V 0 ( e t ) ( f t )
Vs = f.t
Agora, fazendo a substituição na equação diferencial, encontramos: dQ dt
(b e)
Q V 0 (e t ) ( f t )
f
dQ
ou
dt
Q
(b e)
V 0 (e f ) t
f
[4] Queda de Corpos
Suponha um corpo de massa “m” em queda livre, portanto sujeito à gravidade e à resistência do ar. Sabe-se que a força de atrito [com o ar] de um corpo é proporcional à velocidade, quando esta é pequena. Usando a 2ª Lei de Newton para esse movimento e considerando o sentido para baixo como positivo, podemos escrever: F at k v
devido à resistência do
devido à gravidade
v
F R m a
P m g
g 9,8 m / s [ aceleração da gravidad e ] 2
Sabe-se que, para este caso, a força resultante [F R] para baixo, é o peso do corpo [P] menos a força de atrito [F at], ou seja: F R P F at
Assim, substituindo P m g e F at k v temos:
F R m g k v
Agora, substituindo F R m a encontramos:
m a m g k v
m
dv dt
Sabemos ainda que
a
dv
dv
g
dt
. Substituindo...
m g k v
ou ainda, de outra forma:
dv dt
m g k v m
dt
k v m
dv
dt
k .v m
g
Observação:
Para altas velocidades, costuma-se usar a força de atrito [com o ar] proporcional à velocidade ao quadrado, ou seja: F at k v 2 , sendo que “k” é uma constante de proporcionalidade (positiva). Página 12 de 15
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[5] Fluxo Térmico por Condução (regime estacionário)
Considerando um corpo homogêneo, em virtude da diferença de temperatura entre as faces opostas, um fluxo térmico se estabelece através da seção transversal. Dizemos que o fluxo térmico está em regime estacionário quando ele é igual em qualquer seção tranversal do corpo. Assim podemos dizer que o fluxo térmico é proporcional à área “A” e ao gradiente térmico estabelecido numa distância longitudinal Observação: O sentido do fluxo será adotado como perpendicular às faces (seção transversal) com sentido da menor temperatura T.
Assim, podemos fazer a seguinte formulação:
k A
dT dx
cal , e que no SI é: Sendo que “k” é a condutividade térmica, com unidade usual dada por s . cm .º C
J . s . m . K
Exemplos: [1] Sabe-se que uma cultura de bactéria cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após 1 hora, observam-se 1000 núcleos de bactéria na cultura e, após 3 horas, 4000 núcleos. Determine: a) uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, no tempo arbitrário “t”; b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura; c) o número de núcleos existentes na cultura, no tempo t = 6 horas. [2] Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 5ºC. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20ºC; após 5 minutos, 10ºC. Qual a temperatura da sala? Ao final, represente graficamente a variação da temperatura em função do tempo. [3] Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2 g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A mistura é drenada à mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal Q(t) no tanque em qualquer instante. [4] Um pára-quedista salta de um avião que está à grande altitude. Sabendo que a massa do conjunto (homem e equipamento) é de 85 kg e considerando a força de atrito aerodinâmico proporcional à velocidade, com fator de proporcionalidade estimado em 95, determine a velocidade em função do tempo e a velocidade terminal (limite máximo) nessas condições. EXERCÍCIOS 1) Uma substância radioativa decresce (sua massa) a uma taxa proporcional a massa presente. Sabendo-se que a massa da substância no instante t = 0 é 100 gramas e que 1 hora após, a massa é 99,8 gramas; determine: a) a massa da substância 5 horas após; b) a massa da substância 7 horas após; c) o instante em que a massa da substância fica reduzida pela metade. 2) A experiência mostra que o elemento rádio se desintegra a uma taxa proporcional à massa existente em cada instante. Sua meia-vida, isto é, o tempo necessário para 50% da massa inicialmente presente se desintegrar, é 1590 anos. Qual a expressão que representa esta experiência? 3) Imagine que 2 gramas, de uma determinada substância radioativa, se encontra presente no instante t = 1 e 1 grama no instante t = 2. Determine a função Q(t) e a quantidade inicial dessa substância. Página 13 de 15
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4) Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de 100ºC. No instante t = 0 ela é imersa em água que é mantida a uma temperatura de 30ºC. Ao final de 3 minutos, a temperatura da esfera está reduzida a 70ºC. Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 31ºC. 5) Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,043% da quantidade inicial Q 0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente. 6) Um osso fossilizado contém 1/1000 da quantidade original do C-14 (carbono radioativo). Sabe-se que meiavida do C-14 é 5600 anos. Determine (aprox.) a idade do fóssil. 7) Um componente mecânico é retirado de um forno a uma temperatura de T = 300ºF. Três minutos depois, sua temperatura passa para T = 200ºF. Escreva a função T(t) e represente graficamente a temperatura “T” em função do tempo “t”. Assim, quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70ºF, se a temperatura do meio ambiente em que ele (o componente) foi colocado for de 70ºF? 8) Inicialmente, 50 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e a solução bem misturada é então drenada na mesma taxa. Se a concentração da solução que entra é 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantos gramas de sal estão presentes após 50 minutos? 9) Uma experiência mostra que a taxa de inversão do açúcar de cana em solução diluída é proporcional à concentração Q(t) do açúcar não alterado. Se a concentração é de 1/100 em t = 0 h e 1/250 em t = 5 horas, calcule Q(t). 10) Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de 0ºC. Se após 15 minutos a temperatura do corpo é 40ºC e após 23 minutos é 25ºC, determine: a) a temperatura inicial do corpo; b) o tempo necessário para o corpo atingir 5ºC. 11) Sabe-se que a população de certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará? Quando quadruplicará? 12) A população de uma região cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer tempo. Sua população inicial de 500 habitantes aumenta 15% em 10 anos. Qual será a população em 30 anos? 13) Quando um feixe vertical de luz passa por um meio transparente, a taxa com a qual a sua intensidade I decresce é proporcional a I(x), onde “x” representa a espessura do meio, em metros. Na água do mar, a intensidade a 3 m abaixo da superfície é de 25% da intensidade inicial I0 do feixe incidente. Qual é a intensidade do feixe a 15 m abaixo da superfície? 14) Um tanque contém 200 litros de fluido no qual são dissolvidos 30 g. de sal. Uma solução salina contendo 1 g de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto; a mistura é drenada a mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal Q(t) no tanque em qualquer instante. 15) Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70ºF, e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 10ºF. Após meio minuto, o termômetro marcava 50ºF. Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante t = 1 minuto? Quanto tempo levará para que a temperatura da barra chegue a 15ºF? 16) Um modelo matemático para a taxa com a qual uma droga se dissemina na corrente sanguínea é dada por dx / dt r k x , onde r e k são constantes positivas. A função x(t ) descreve a concentração da droga na corrente sanguínea no tempo t . Assim: a) Determine a função x(t ) sabendo que x(0) 0 . b) Calcule o limite de x(t ) quando t . Página 14 de 15
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17) Um avião militar deverá lançar uma caixa contendo mantimentos e remédios num campo de refugiados e por questão de segurança, o avião deverá fazer a operação (lançar a caixa) a grande altitude. A caixa mais o pára-quedas têm massa total de 400 kg. Considerando que o pára-quedas fornece uma força de atrito aerodinâmico proporcional à velocidade e que este fator de proporcionalidade é estimado em 800, determine a expressão da velocidade em função do tempo e a velocidade terminal da caixa (limite máximo). Considere que v(0) = 0 e que g = 9,8 m/s2. 18) A equação diferencial para a velocidade v de uma massa em queda m sujeita à resistência do ar proporcional
à velocidade instantânea é
m
dv dt
P k v em que “k” é uma constante de proporcionalidade.
a) Resolva a equação sujeita à condição inicial v(0) = v0 b) Determine a velocidade limite (ou terminal) da massa c) Se a distância “s” está relacionada com a velocidade “ v” através da igualdade ds / dt v , encontre uma expressão explícita para “s(t)”, supondo que s(0) = s0 RESPOSTAS 1a) 99,004 gramas
b) 98,608 gramas
c) Aprox. 346 horas
2)
Q(t ) Q0 e0,000436t
3)
Q(t ) 4 e t ln(1/ 2) ou Q(t ) 4 (0,5)t
4)
t 22,8 minutos
6)
55.806 anos
7)
T(t) = 70 + 230.e -0,190t. Pouco mais que 40 minutos.
8)
Q(50) 266,4 gramas
9)
Q(t ) 0,01 (0,4) t / 5 , mas talvez você tenha encontrado: Q(t ) 0,01 e0,1833t .
e Q(0) 4 gramas
5) Aprox. 24.175 anos
Note que: (0,4)t / 5 e0,1833t . Pense a respeito e tire suas conclusões! 10a) T(0) 96,6 ºC
b) t 50,4 minutos
11) A população triplicará em aproximadamente 7,9 anos. A população quadruplicará em 10 anos. 12) Q(30)
760 habitantes
13) I(15) 0,00098.I0 ou aprox. 0,1% de I0. 14) Q(t) = 200 – 170 . e t / 50 15) T(1) 36,7 ºF e t 3,1 min para a temperatura da barra chegar a 15 ºF. 16a) x(t )
r k k r
e kt
b) Se t então x(t )
r k
17) v(t ) 4,9 4,9. e 2t com vterminal 4,9 m / s
P 18a) v(t ) v0 e k k P
k .t m
b) vlimite
P k
k
P m P t m P c) s(t ) t v0 e m v0 s0 k k k k k
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