mat-7u3

MATEMÁTICA Unidad 3

Números decimales Figuras circulares Medidas de capacidad y de volumen

Objetivos de la unidad: Aplicarás las operaciones de números decimales, utilizando las reglas y procedimientos para realizar correctamente dichas operaciones al resolver situaciones problemáticas de tu entorno. Utilizarás los elementos de la circunferencia al determinar medidas de superficie con forma circular, en la solución de problemas de tu entorno. Aplicarás las medidas y estimaciones de volumen y capacidad al proponer soluciones a situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

55

Los números decimales

Las fracciones decimales

resultan de

se estudiaran Las operaciones La circunferencia

de

es una parte de

se estudiaran

se estudiaran Suma

El círculo

División Elementos Resta

Perímetro

Área

Multiplicación

como Arco Radio Tangente Diámetro

Las medidas de capacidad se establece La unidad fundamental

se

Cuerda

con

relacionan

Medidas de volumen

se estudiaran

Perímetro

Área

considerando además

Multiplos

Submultiplos

Descripción del proyecto Este consiste en calcular cuantos litros de agua, caben en una pila de dimensiones que expresarías en metros.

56 Matemática - Séptimo Grado

Lección 1

Tercera Unidad

Introducción a los números decimales Motivación

Doña Juana tiene una tira de listón y le solicita a su hija Berta y a dos de sus

amigas: Roxana y Evelyn, que midan dicho listón. Los resultados obtenidos fueron: Berta: 1.2 m Roxana: 12 dm Evelyn: 120 cm ¿Puedes decir si coincidieron en las medidas?

Indicadores de logro: Transformarás con interés fracciones en decimales y decimales en fracciones... Realizarás con seguridad suma y resta con números decimales positivos y negativos.

Resolverás problemas con números decimales positivos y negativos.

¿En cuántas partes se divide cada figura? ¿Qué relación hay entre cada figura y la inmediata anterior?

A

B

Puedes ver que cada figura es la décima parte o B=

1 10

de A,

C=

1 10

de B,

D=

1 10

1 10

de C,

C

D

E

de la anterior. Es decir: E=

1 10

de D.

Séptimo Grado - Matemática 57

UNIDAD 3 ¿Qué parte de A es C? Puedes ver que C es la centésima parte de A; o sea: C =

1 100

de A.

¿Qué parte de A es D? Puedes ver que D es la milésima parte de A; o sea: 1

D=

1 , 000

de A.

¿Qué parte de A es E? D es la diezmilésima parte de A; o sea: 1 A. D= 10 ,000 Como recuerdas, las fracciones decimales se escriben de acuerdo al valor posicional de nuestro sistema de numeración base 10: diez unidades de un orden equivalen a una unidad del orden inmediato superior. Expresiones como

1

,

1

,

5

,

1

,

1

10 100 1 ,000 10 ,000 100 ,000

, reciben el nombre de

Enteros

Millonésimas

Cienmilésimas

Diezmilésimas

Milésimas

Centésimas

Décimas

Decenas

Centenas

Unidades de milllar

Decenas de millar

Centenas de milllar

Unidades de millón

fracciones decimales, ya que resultan de dividir a la unidad, en 10; 100; 1,000; 10,000; 100,000, etc. partes iguales.

Decimales De acuerdo al valor posicional, puedes responder: ¿Cuántas décimas hay en una unidad? 1 Unidad = 10 décimos o décimas. ¿Cuántas milésimas hay en una unidad? 1 Unidad = 100 milésimos o milésimas ¿Cuántas décimas hay en 2.3? Hay 23 décimas ¿Cuántas milésimas hay en 2.3? Hay 2,300 milésimas

58 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 3 De acuerdo al valor posicional, tienes:

¿Cuántas centésimas hay en 12?

1 Unidad = 10 décimos o décimas

Hay 1,200 centésimas

1 Décimo = 10 centésimos o centésimas. 1 Centésimo = 10 milésimos o milésimas.

Ahora puedes decir que las mediciones que hicieron Berta, Roxana y Evelyn son correctas, que la diferencia es la forma de expresar sus resultados. Así tienes que

1 Milésimo = 10 diezmilésimos o diezmilésimas.



1.2 = 12 décimas

1 Diezmilésimo = 10 cienmilésimos o cienmilésimas.



1.2 = 120 centésimas

1 Cienmilésimo = 10 millonésimos o millonésimas etc. Al escribir las fracciones decimales de acuerdo al valor posicional, o sea, como números decimales, tienes: Fracción 1

Enteros m

Decimales Diezmilésimas Cienmilésimas

c

0

d 1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

5

0

0

0

1

2

7

0

0

0

0

0

3

3

4

7

5

4

2

4

9

1

1

2

Millonésimas

10 1 100 1 1 ,000

5 10 , 000 127 100 , 000 37

7

1000 , 000 347 100

5 , 424 1 , 000 91 ,127

7

10 , 000

Observa que las décimas ocupan 1 cifra decimal; las centésimas, 2 cifras decimales, etc. ¿Cuántas cifras decimales ocupan las millonésimas?

Séptimo Grado - Matemática 59

UNIDAD 3 Es importante destacar que al escribir un número decimal se llenan con ceros los lugares de los órdenes que faltan:

Veintitrés milésimos = 0. 023 Cuatro diezmilésimos = 0.0004

Si hay una parte entera que precede al decimal, ésta debe leerse primero:

18.735 = dieciocho enteros, setecientos treinta y cinco milésimos. 6.039 = seis enteros, treinta y nueve milésimas.

Rosa mide 1.58m ¿Cómo se lee? 1.58m = 1 metro y 58 centésimas de metro. Arturo pesa 152.8 libras, es decir: 152 libras y 8 décimas de libra.

1

Actividad 4. Para estas actividades necesitas una cinta métrica o un metro de madera.

1. Copia y completa el cuadro siguiente: Fracción decimal Número Decimal

35

3

100

7

5

10

1 , 000

0.731

0.028

2.39

2. Escribe mediante números a)

Trece centésimas b) Quince milésimas c) Siete décimas d) Tres enteros nueve milésimas e) Quince enteros dieciocho Millonésimas f) Catorce cienmilésimas milésimas 3. Escribe cómo se leen los siguientes números. a)

0.45

e) 3.072

b)

7.28

f)

0.000009

c)

0.09

g)

0.00009

d)

0.018

h)

0.0009

Traza en el suelo, con yeso, segmentos de longitud. a)

0.6 m e) 1.08 m b) 0.06 m f) 1.08 m c) 0.006 m g) 1.008 m d) 1.3 m h) 1.23 m i) Si un segmento mide 0.7 m :¿Cuántas décimas de metro mide? ¿Y cuántas centésimas? ¿Y cuántas milésimas de metro? j) Si un segmento mide 0.85 m: ¿Cuántas centésimas mide? ¿Cuántas milésimas? ¿Cuántas décimas? k) Comprueba las siguientes equivalencias: 0.6 m = 0.60 m = 0.600 m; 0.35 m = 0.350 m 5. Ordena de menor a mayor las siguientes cantidades: $ 0.09, $ 0.07, $ 0.10, $ 0.12, $ 0.1. 6. ¿Existen cantidades iguales en el numeral anterior?

60 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 3

Suma y resta de números decimales Para sumar números decimales, colocas uno debajo de otro, de manera tal que en la parte entera esten debajo de las unidades, decenas bajo las decenas, etc. Y en la parte decimal coincidan décimas con décimas, centésimas con centésimas, etc. Se suman como enteros respetando el punto decimal que establece la diferencia entre enteros y decimales.

Ejemplo 1 José va al mercado, y compra $ 2.45 de verduras, $ 5.75 de carne, $ 2.50 de fruta y $ 3.70 de cereales. ¿Cuánto gastó José?

Observa Para restar dos números decimales, colocas el minuendo debajo del sustraendo y completas con ceros los valores que no existen. En los enteros deben coincidir unidades con unidades, decenas con decenas, etc., y en los decimales décimas con décimas, centésimas con centésimas, etc., se restan como números enteros y se coloca el punto decimal en la columna de los puntos. En relación al caso anterior, si José lleva al mercado un billete de $ 20, ¿cuánto trae de regreso a casa? Como José gasta $ 14.40, para saber con cuánto regresa restas $ 20 − $ 14.40. 20.00

– 14.40



5.60

R: José regresa con $ 5.60

Solución: Cómo habrás observado, para saber cuánto gastó José, hay que sumar: 2.45 + 5.75 + 2.50 + 3.70 Proceso: +

2.45 5.75 2.50 3.70 14.40

R: José gastó $14.40

Séptimo Grado - Matemática 61

UNIDAD 3

2

Actividad

1. Efectúa en tu cuaderno las siguientes sumas. a) 5.36 b) 6.289 + 3.47

c) 36.97

3.157

25.72

+ 2.631

6.48 + 0.15

2. Realiza las operaciones siguientes: a) 1.5 + 2.87 + 3.159

c) 3.96 – 1.99

b) 8.25 – 7.16

d) 12.88 – 1059

3. Resuelve: Entre A y B hay 95 km. de distancia. Un carro va de A hacia B, y se detiene a 38.76 km, de A para revisar el motor. ¿Qué distancia le falta por recorrer?

Operaciones de números decimales En un taller de mecánica industrial, a una varilla de 4.5 m de longitud se le cortan segmentos de 1.0, 1.2, y 1.7 m, respectivamente. ¿Cuál es la longitud de la varilla después de realizar los cortes? ¿Qué operaciones efectuarás para resolver la situación anterior? ¿Cómo se aplica la ley de los signos? 4.5 – 1.0 – 1.2 – 1.7 = 4.5 – (1.0 + 1.2 + 1.7)

= 4.5 − (1.0 + 1.2 + 1.7)



= 4.5 − 3.9 = 0.6

R: La longitud de la varilla resultante es de 0.6 m.

62 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 3 Ejemplo 2

Solución:

Observa como se han realizado las siguientes sumas:

11.8 – 1.8 – 1.3 – 2.1 = 11.8 – (1.8 + 1.3 + 2.1)

a) Sumar: 2.8 + (−1.5)



= 11.8 – (5.2)



= 11.8 – 5.2 = 6.6

2.8 + (– 1.5) = 2.8 – 1.5 = 1.3

b) Sumar: 2.8 + (−3.2)

2.8 + (– 3.2) = 2.8 – 3.2 = – 0.4

c) Sumar: − 2.5 + (−1.4)

– 2.5 + (– 1.4) = – 3.9

d) Sumar: 0.5 − (−0.3)

¿Cómo restas 0.5 – (– 0.3)? 0.5 – (– 0.3) = 0.5 + 0.3 = 0.8

Ejemplo 3

El vehículo tiene 6.6 galones cuando llega a la Unión. Observa que el vehículo de Rosa consume 5.2 galones de gasolina para llegar a La Unión y le sobran 6.6 galones. Si regresa por la misma ruta que usó en la ida, ¿le alcanza la gasolina para regresar a San Salvador? ¿Por qué?

Actividad

Rosa trabaja en ventas y llena el tanque de su carro con 11.8 galones de gasolina. Cuando sale de San Salvador y se detiene en Zacatecoluca, el carro consume 1.8 galones. De Zacatecoluca a Usulután consume 1.3 galones, y de Usulután a La Unión 2.1. ¿Cuántos galones tiene el vehículo cuando llega a La Unión?

3

1. La ventas diarias de una tienda fueron: golosinas, $ 23.45; pan,$ 32.24; vegetales, $15.98; refrescos, $8.57; huevos, $6.54; carnes y embutidos, $ 43.32; y varios, $23.45. Las compras que se efectuaron ese día ascendieron a $ 148.34, y el pago de la empleada fue de $12. Ese día, ¿cuáles fueron mayores, los egresos o los ingresos? ¿Cuál fue su diferencia?

2. Resuelve las siguientes operaciones: a) 3.46 – 6.45 + 45.87 – 232.45 b) 4.9 - 4.34 – (4.34 + 5.36 – 12.54) c) 3.45 + 4.35 –1.5 + 2.4 - 4.6 -2.4 – 1.4 -9.7 d) {2 − 3 + [3.24 + 6.67 − (3.78 − 2.45)]}

Resumen Fracción decimal es aquella que resulta de dividir a la unidad entre 10, 100, 1000, 10 000, etc, partes. Las fracciones decimales se escriben como números decimales. Éstos se escriben de acuerdo al valor posicional de sus cifras. Las operaciones de suma y resta con números decimales siguen las mismas leyes que aprendiste con los números enteros.

Séptimo Grado - Matemática 63

UNIDAD 3

Autocomprobación

3

Dos décimas nueve milésimas” se escriben así: 0.29 b) 2.29 c) 2.209 d) 0.209 a)

4

Dos números equivalentes son: 0.35 y 0.350001 b) 3.5 y 3.50 c) 0.384 y 0.38401 d) b y c son correctas a)

0.254 b) – 0.254 c) 0.237 d) – 0.237 a)

Cierto día la temperatura de Apaneca a las 7 a.m. era de 18.1 oC. A las 2 p.m. ascendió 3.2 oC, y 6 horas después a las 8 p.m descendió 5.1 oC. La temperatura a las 8 p.m. es de: 19 oC b) 15.1 oC c) 16.2 oC d) 9.8 oC a)

1. d.

2. b.

3. b.

2

Al efectuar 3.8 – 2.1 – 1.954 resulta:

Soluciones

1

4. c.

NOTACIÓN DECIMAL A veces, una simple idea resulta de gran utilidad. En 1585 el belga Simón Stevin creó la notación decimal al escribir fracciones propias cuyo denominador es la unidad seguida de cero, tal como hoy conocemos la escritura decimal.

TM07P110

Según los antropólogos el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar. El sistema decimal es un sistema de numeración, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Simón Stevin

64 Matemática - Séptimo Grado

Lección 2

Tercera Unidad

Multiplicación y división de números decimales Motivación

Q

¿ ué representa el gráfico de la derecha? Observa que representa los precios que hay en una pupusería. ¿Cuánto valen siete pupusas revueltas? ¿Y cuánto valen seis de queso, dos de ayote y dos tasas de café? Observa que para calcular el precio de siete pupusas revueltas, multiplicas el precio de una pupusa por siete. De igual forma calculas los otros precios.

Indicadores de logro: Realizarás con seguridad las operaciones de multiplicación con números decimales positivos y negativos

Resolverás problemas con números decimales positivos y negativos.

Multiplicación de números decimales Multiplicación por la unidad seguida de ceros Juan es un albañil que cobra $ 0.23 por cada azulejo que pega. ¿Cuánto cobra por pegar 10, 100 y 1,000 azulejos?

0.23

0.23

0.23

× 10

× 100

× 1,000

= 2.30

= 23.00

= 230.00

Por pegar 10 azulejos, Juan cobra $ 2.30; por pegar 100, cobra $ 23; y por pegar 1000 cobra $ 230. Compara ahora el primer factor de cada multiplicación con el resultado obtenido. ¿Qué diferencia hallas? Puedes ver que dicho resultado se diferencia del primer factor en la ubicación del punto decimal. Factor: La multiplicación por la unidad seguida de ceros, puede efectuarse directamente.

0.23

10

2.3 Se corre 1 lugar a la derecha

100

23. Se corre 2 lugares a la derecha

1,000

230. Se corre 3 lugares a la derecha

Séptimo Grado - Matemática 65

UNIDAD 3 Escribe la regla que se aplica cuando multiplicas un número decimal por una potencia de diez. Ahora observa el siguiente producto:

12 3 36 × = = 0.036 100 10 1 ,000 En forma decimal:

0.12 × 0.3 = 0.036

¿Cuántas cifras decimales tiene el primer factor? ¿Cuántas tiene el segundo factor? ¿Y cuántas cifras decimales tiene el resultado? ¿Puedes saber cuántas cifras decimales tiene el resultado de multiplicar números decimales conociendo el número de cifras que tienen los factores?

Ejemplo 1 Escribe el punto decimal al número de la derecha del signo de igualdad, para que se convierta en la respuesta de la respectiva multiplicación. a) 5.4 × 0.5 = 270

c) 6.3 × 9.8 = 6174

b) 7.9 × 6 = 474

d) 0.35 × 1.47 = 5145

Solución: Como habrás observado, el número de cifras decimales del resultado de una multiplicación, es igual a la suma de las cifras decimales de los factores. Luego: a)

5.4 × 0.5 = 2.70

Dos cifras decimales c) 6.3 × 9.8 = 61.74

66 Matemática - Séptimo Grado

b)

7.9 × 6 = 47.4 Una cifra decimal

d) 0.35 × 1.47 = 0.5145

UNIDAD 3

1

Actividad 1. Copia en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones. Efectúalas mentalmente y escribe su respuesta: a) 5 × 0.3

i) 0.04 × 0.2

b) 7 × 0.5

j) 0.003 × 0.04

c) 4 × 0.8

k) 0.005 × 0.3

d) 9 × 0.4

l) 0.008 × 5

e) 0.5 × 0.5

m) 0.4 × 10

f) 0.3 × 0.6

n) 0.5 × 100

g) 0.9 × 0.4

o) 15.7 × 1000

h) 0.7 × 0.5

p) 0.183 × 1000

4. Efectúa las siguientes multiplicaciones: a) 7.2 × 3

c) 0.83 × 4.25

e) 3.83 × 6

b) 0.75 × 5.4

d) 0.34 × 0.25

f) 7.5 × 8

5. Resuelve las siguientes situaciones: a) Si una caja de 1 libra de leche en polvo vale $ 3.46, ¿Cuánto

cuestan 4 cajas?

2. Coloca el punto decimal en la respuesta de cada multiplicación para que ésta sea correcta: a) 3.54 × 6.576 = 232578 b) 65.29 × 0.008 = 52232 c) 7.5 × 12.54 = 9405

b) Calcula el área de un cuadrado de 0.85 m de lado.

d) 74.89 × 0.36 = 269604 e) 2385 × 0.4 = 9544

0.85 m

f) 0.35 × 0.62 = 2170

3. Coloca el punto decimal en uno o ambos factores para que la respuesta sea correcta: a) 7 × 6 = 4.2

e) 47 × 285 = 13.395

b) 15 × 15 = 2.25

f) 8 × 6 = 0.0048

c) 23 × 75 = 1.725

g) 175 × 69 = 12.075

d) 185 × 65 = 12.025

h) 96 × 9 = 0.864

0.85 m c) Encuentra el área de un terreno rectángular de 12.85 m de

frente por 10.42 m de fondo.

12.85 m 10.42 m

Séptimo Grado - Matemática 67

UNIDAD 3

División de números decimales En El Salvador y Latinoamérica se celebran muchas tradiciones. Una de ellas es el Día de la Cruz, en el cual se exponen en varias casas el símbolo cristiano acompañado de adornos de papel y frutas. Veamos algunas situaciones que pueden presentarse en la elaboración de adornos.

b) Para saber cuántos pedazos de 12.5 cm pueden

obtenerse de una tira de 75 cm, dividimos 75 ÷ 12.5.

Solución: División de un número entero entre un decimal.



75 12.5

=

=

75 × 10 12.5 × 10



720 125

750 125 6

R: Se pueden tener 6 pedazos. c) De una tira de 47.6 cm de largo, el número de pedazos

de 6.8 cm se halla dividiendo 47.6 ÷ 6.8.

Solución: División entre dos números con un decimal.



Ejemplo 2 Una tira de 65.8 cm de largo necesita cortarse en 4 pedazos de igual longitud. ¿Cuánto medirá cada uno? De otra tira de 75 cm, ¿cuántos pedazos de 12.5 puede obtenerse? De un tercera tira de 47.6 cm de largo, ¿cuántos pedazos de 6.8 cm cada uno pueden cortarse? ¿Qué operación realizas para resolver estas situaciones? a) Si una tira de 65.8 cm quieres dividirlo en 4 pedazos,

cada uno mide 65.8 ÷ 4.

División de un número decimal entre un entero.



4

=

=

4 × 10

658 40



658

40 16.45

68 Matemática - Séptimo Grado

=

47.6 × 10 6.8 × 10



476 68 7

476 68 R: Se pueden cortar 7 pedazos de 6.8 cm. =

Observa que en todas las situaciones multiplicas ambos términos por 10. Esto significa que: Dividir 65.8 ÷ 4 Dividir 75 ÷ 12.5 Dividir 47.6 ÷ 6.8

equivale a dividir 658 ÷ 40 equivale a dividir 750 ÷ 125 equivale a dividir 476 ÷ 68

Efectúa cada una de esas divisiones: 4

65.8 × 10

6.8

65.8

Solución: 65.8

47.6

=

658 40

658 40 − 40 16.45 258 − 240 180 −160 200 −200 0

Observa Como el residuo es diferente de cero, agregamos ceros al dividendo y continuamos dividiendo.

UNIDAD 3 Luego, 16.45 cm es la longitud de cada pedazo de papel.

Observa

Ahora vas a dividir 75 ÷ 12.5. 75

750

750 125 − 750 6 0 Luego, seis es el número de pedazos de 12.5 cm cada uno. Ahora observa como se divide 47 ÷ 6.8.



12.5

47.6 6.8

=

125

=

476 68

Para dividir números decimales éstos se convierten a enteros. Puedes ver que para transformar en enteros el dividendo y el divisor, sólo corres en ambos el punto decimal igual número de lugares.



476 68 − 476 7



0 Lo que significa que siete es el número de pedazos de 6.8 cm cada uno.

Ejemplo 3 2.5 ÷ 7.83 = 2.50 ÷ 7.83 = 250 ÷ 783

Ejemplo 4

2 lugares Se complementa con ceros

0.005 ÷ 0.2 = 0.005 ÷ 0.200 = 5 ÷ 200 3 lugares

Una varilla mide 3.5 m, y se parte en pedazos de 0.5 cada uno. ¿Cuántos pedazos se obtienen?

Solución: Como la varilla mide 3.5 m y se parte en pedazos de 0.5 m, para averiguarel número de pedazos divides la longitud de la varilla entre la longitud de cada pedazo: 3.5 m ÷ 0.5 m

3.5 × 10 ÷ 0.5 × 10



35 ÷ 5



35 0

5 7

R: 7 pedazos.

¿Qué sucede cuando divides entre la unidad seguida de ceros?

2.7 ÷ 10 = 27 ÷ 100 = 0.27

Al dividir entre 10, el punto decimal se corre un lugar hacia la izquierda.



2.7 ÷ 100 = 27 ÷ 1000 = 0.027

Al dividir entre 100, el punto decimal se corre dos lugares hacia la izquierda.

¿Y qué sucede cuándo divides entre 1,000? ¿Y entre 10,000? En general, ¿qué sucede cuándo divides entre una potencia de diez?

Séptimo Grado - Matemática 69

UNIDAD 3

2

Actividad

1. Efectúa de forma mental las siguientes divisiones. a) 6 ÷ 2

d) 6 ÷ 0.002

g) 0.12 ÷ 4

j) 0.25 ÷ 0.05

b) 6 ÷ 0.2

e) 12 ÷ 4

h) 0.0012 ÷ 4

k) 0.25 ÷ 0.

c) 6 ÷ 0.02

f) 1.2 ÷ 4

i) 0.12 ÷ 5

l) 20 ÷ 4

2. Convierte dividendo y divisor a números enteros y efectúa las siguientes divisiones. a) 0.8 ÷ 2

d) 0.8 ÷ 0.02

g) 0.0064 ÷ 8

j) 0.45 ÷ 0.0

b) 8 ÷ 0.02

e) 16 ÷ 3.2

h) 0.064 ÷ 0.85

k) 48 ÷ 1.2

c) 8 ÷ 0.02

f) 1.6 ÷ 3.2

i) 0.36 ÷ 9

l) 18 ÷ 0.8

3. Calcula de forma mental el resultado de dividir: a) 1.2 ÷ 10

e) 0.7 ÷ 100

i) 3.5 ÷ 10000

b) 12.4 ÷ 100

f) 0.25 ÷ 1000

j) 128.4 ÷ 100

c) 12.4 ÷ 1000

g) 15.23 ÷ 10000

k) 0.03 ÷ 10

d) 12.4 ÷ 10000

h) 0.5 ÷ 10

l) 0.2 ÷ 10000

4. De un rollo que contiene 600 m de alambre se cortan pedazos de 1.2 m. ¿Cuántos pedazos se sacaron? 5. Para señalizar una autopista, se gastan 12.5 galones de pintura por kilómetro. Si la autopista mide 200 km, ¿cuántos galones de pintura se necesitan para señalizarla en su totalidad? 6. En una venta de comida típica, la orden de yuca vale $ 0.75; las pupusas de queso valen $ 0.45; las de ayote, $ 0.35 y las revueltas $ 0.40. Una tasa de café vale $0.25. Una familia pide dos órdenes de yuca, cinco pupusas de queso, cuatro de ayote y dos revueltas. ¿Cuánto gasta la familia? 7. Si una bujía para vehículo cuesta $ 3.50, ¿cuánto cuesta el juego de cuatro bujías?

70 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 3

Multiplicación y división con números decimales Efectúa las siguientes operaciones:

7  1  9  ÷ − c) −   100  100 10 100 10 100 Como estudiaste en las operaciones con fracciones, éstas siguen las mismas leyes que los números enteros. Luego, al expresar las anteriores operaciones como números decimales tienes lo siguiente:



a)

−

7



a)

−

7



b)

−



c)

−

10 3 100 7 100

×

×

3

3 100



b)

−

3

×  

= − 0.7 × 0.03 = − 0.021

 1  = − 0.03 × (0.1) = − 0.003 10 

×  



÷ − 

9   = − 0.07 ÷ (− 0.09) = − 7 ÷ (− 9) 100 

Efectúas la división:

70 9 70 0.777 70 7 Luego, − 0.07 ÷ (− 0.09) = 0.777, (por la ley de los signos, (−) ÷ (−) = +)

3

Actividad Resuelve las siguientes operaciones: a) 2.4 × (− 9.8) b)

−3.5 × ( −1.54 ) −2.82

−1.24 × ( −1.4 ) 3.2 2.3 d) (− 1.1) × (− 2.8) × (− 3.4) × 1.5 c) − 1.32 ×

Resumen Para multiplicar números decimales, se multiplica como si fueran números enteros. El resultado de la multiplicación tiene tantas cifras decimales como la suma de cifras decimales de ambos factores. Para dividir números decimales se convierten dividendo y divisor a números enteros. Para ello, se corre el punto decimal tantos lugares como cifras decimales existan en el número que posee más de ellos. Para multiplicar o dividir un número por una potencia de diez, se corre el punto decimal a la derecha o a la izquierda, respectivamente, tantos lugares como ceros posee la potencia de diez.

Séptimo Grado - Matemática 71

UNIDAD 3

Autocomprobación Una hoja de papel tiene un espesor de 0.0064 cm. El espesor de 1,000 hojas es, en cm:

3

0.064 b) 0.64 c) 6.4 d) 64 a)

5.25 × 6.51 b) 651 ÷ 5.25 c) 124 d) b y c son correctas a)

Si una libra de frijoles vale $0.80 el precio de 1.25 de libra es: $ 1.15 b) $ 1.10 c) $ 1.00 d) $ 1.20 a)

3. d.

4. a.

π

72 Matemática - Séptimo Grado

4

Al dividir 0.085 ÷ 0.001 resulta: 85 b) 8.5 c) 0.85 d) 850 a)

2. c.



En una presentación musical cada boleto vale $ 5.25. Si el total recaudado fue de $ 651, el número de boletos vendidos es de:

EL NÚMERO

1. c.

2



Soluciones

1

π

Se llama decimal exacto a aquel que tiene un número finito de cifras diferentes de cero. Por ejemplo, 0.5, 0.58, 0.32. Decimal periódico es aquel en el cual se repite indefinidamente un grupo de cifras decimales, llamado período. Por ejemplo, 0.333 . . . , 0.282828 . . . , 0.0353353 . . . Todos ellos resultan de dividir un entero entre otro entero. Los números irracionales son aquellos cuya parte decimal es infinita no periódica, como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Éste se representa por π (pi), y es igual a 3.141592 . . .

Lección 3

Tercera Unidad

Circunferencia y círculo Motivación

S

e necesita colocar etiquetas en unas latas de jugo con base circular. Si el radio de la base mide 3.5 cm. ¿Podrías calcular el largo de cada etiqueta?

Indicadores de logro: Identificarás con interés los elementos de la circunferencia. Determinarás con seguridad las relaciones que existen entre los elementos de la circunferencia. Deducirás con seguridad la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia Construirás el círculo y deducirás con interés la fórmula para calcular su área.

Calcularás con seguridad el área de un círculo con figuras planas. Utilizarás con seguridad la fórmula del área y del perímetro en ejercicios de aplicación. Resolverás con esmero problemas aplicando la fórmula del área y del perímetro.

Circunferencia Observa los polígonos que están a la derecha; un pentágono, un hexágono, ¿recuerdas como se llaman los otros dos? Muy bien, se llaman octógonos y dodecágonos. Cada uno de ellos está inscrito en una circunferencia. ¿Qué pasaría con el polígono si aumentamos más y más el número de lados? El polígono tiende a formar una curva cerrada a la que se denomina circunferencia.

Cuadrado

Hexágono

Decágono

Dodecágono

Polígono de 16 lados

Séptimo Grado - Matemática 73

UNIDAD 3 La distancia del centro a un punto cualesquiera de la circunferencia se llama radio (r)

Solución: Toma en cuenta lo siguiente: Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia, AB , HI

Centro

Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia. B

Ejemplo 1

D

G

Escribe en tu cuaderno los nombres a los elementos de la circunferencia. Observa los elementos que aparecen en la circunferencia. Haz corresponder cada elemento con su notación.

H

A

F

Secante: es la recta que corta dos puntos de circunferencia, BD Diámetro: es toda cuerda que pasa por el centro, AB

C

I

A

Tangente: es la recta que toca un punto de la circunferencia. ¡Muy bien! Ahora compara tus respuestas con las siguientes. Radio = CB y CA

Cuerda = HI y AB

Secante = recta BD Diámetro = AB

1

Tangente = recta FG

Actividad

Copia las siguientes proposiciones e indica en cada una si es verdadera (V) o falsa (F). a) Radio, es una cuerda de una circunferencia.

e) Ninguna cuerda pasa por el centro de una circunferencia.

b) Diámetro, es una cuerda de una circunferencia.

f) Una secante intersecta a una circunferencia exactamente en

c) Toda cuerda contiene exactamente dos puntos en una

circunferencia.

d) Si una recta tiene un punto en común con la circunferencia,

entonces debe interceptarla en dos puntos.

74 Matemática - Séptimo Grado

un punto.

g) No existe otra cuerda de mayor longitud que el diámetro.

UNIDAD 3

Relación entre los elementos de la circunferencia

radio

Observa el radio y el diámetro de la circunferencia. ¿Qué relación existe entre ellos? Si representas al radio y al diámetro, ¿cómo representas a ambos mediante una igualdad?

Cuerda

Diámetro

Observa que los puntos extremos de una cuerda determinan dos arcos de circunferencia: uno ubicado a un lado de la cuerda y el otro ubicado al otro lado de ella. ¿Cómo son entre sí los arcos que determina el diámetro?

Los arcos de circunferencia determinados por el diámetro, se llaman semicircunferencias

Longitud de la circunferencia Reúne varias tapaderas de diferente diámetro. Mide en centímetros la longitud de la circunferencia de cada una con una cinta métrica. También puedes hacerlo con una pita, midiendo después su longitud con una regla graduada. Después mide el diámetro de cada tapadera, también en centímetros. Divide la longitud de cada circunferencia (  ) entre su diámetro respectivo (d). Escribe tus resultados en una tabla como la siguiente:

Tapadera Nº

Longitud de la circunferencia (  )

Longitud del diámetro (d)

 d

(hasta las centésimas)

1 2 3 4 Observa los cocientes de la derecha que están en el cuadro

Séptimo Grado - Matemática 75

UNIDAD 3 ¿Qué tienen en común? Si tu procedimiento de medición fue correcto, los resultados obtenidos son todos aproximadamente iguales a 3.14. Al efectuar las mediciones con instrumentos de gran precisión, el resultado que se obtiene es 3.141592653589. . . , el cual se representa con la letra del alfabeto griego π (se lee “pi”). Al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro, éste se halla contenido π veces en su respectiva circunferencia. Tienes entonces: longitud de la circunferencia  = =π longitud del diámettro d

Ejemplo 3 Se necesita colocar etiquetas en unas latas de jugo con base circular. Si el radio de la base mide 3.5 cm, ¿cuál es el largo de cada etiqueta?

Solución: Como r = 3.5 cm, d = 2 × 3.5 cm = 7 cm Luego,  = 3.14 × d = 3.14 × 7 cm = 21.98 cm La longitud de la etiqueta es de 21.98 cm

Lo cual significa que:  = π × d En este grado aproximarás el valor de π a dos cifras decimales, o sea, π = 3.14. Luego, la fórmula de la longitud de la circunferencia queda así:  = 3.14 × d

Ejemplo 2 Si el diámetro de una pupusa mide 8 cm, ¿cuál es la longitud de su circunferencia?

2

Actividad

1. Calcula la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es: a) 10 cm

c) 15 dm

b) 20 m

d) 8 cm

2. Calcula la longitud de la circunferencia de radio:

Solución: Como:  = 3.14 × d

 = 3.14 × 8 cm



 = 25.12 cm

La longitud de la circunferencia de la pupusa es 25.12 cm

76 Matemática - Séptimo Grado

a) 5 dm

c) 3.4 cm

b) 8 m

d) 5.4 cm

3. Encuentra cuántos metros de encaje se necesitan para adornar el borde de un cobertor circular de radio 1.25 m. 4. Para cercar un jardín circular se utilizaron 15.7 m de malla ciclón. Determina el diámetro del jardín. 5. Si una semicircunferencia tiene una longitud de 46 cm, ¿cuál es el valor de su radio?

UNIDAD 3

Área del círculo Observa el siguiente polígono regular llamado hexágono el cual está inscrito en una circunferencia. Donde:  = lado del hexàgono a = apotema (altura del triángulo) r = radio de la circunferencia c C = centro del polígono del hexágono, lo dividimos en a seis triángulos iguales. base x altura El área de cada triángulo es igual a:  2 (a ) (a ) , como son 6 triángulos el área del hexágono es 6 En este caso A = 2 2 De la misma forma al considerar un polígono regular inscrito en una circunferencia su área, según el número de datos, la observas en el siguiente cuadro. Figura del polígono regular

Área 3 4

(a) 2 (a) 2

(a) 6 2

n

Observa En el área de un polígono regular: (a) a Ap = n A p = n 2 2

n  es el perímetro del polígono (P) a Ap = P 2

(a) 2

Por otra parte, observa en la siguiente figura, que al aumentar el número de lados del polígono la apotema se acerca cada vez más al radio de la circunferencia y el perímetro del polígono se acerca a la longitud de la circunferencia

Triángulo equilátero

Cuadrado

Hexágono regular

Octógono regular

Círculo (polígono regular de infinitos lados)

Por lo tanto el área del círculo es: Ac = P a (Recuerda la longitud de la circunferencia que es el 2 perímetro del círculo es 2πr) r = 2π r 2 Área del círculo = πr2 2 =πr

Séptimo Grado - Matemática 77

UNIDAD 3 Has constatado que una región poligonal es aquella formada por un polígono junto con su interior. Así, los puntos que forman la circunferencia están incluidos en la superficie circular. Por ejemplo, ésta es la región limitada por la circunferencia, la cual se llama círculo.

Ejemplo 4 Encuentra el área de un círculo que tiene de radio 3 m.

r=3m

Área del círculo ¿Eres hábil para contar cuadrados? Considera a cada una de las regiones cuadradas como unidad cuadrada de área. Luego, contando esos cuadrados obtienes aproximadamente el área del círculo.

Solución: r = 3 m

A = π × r2



A = 3.14 × 32



A = 28.26 m2

El área del círculo mide 28.26 m2

Ejemplo 5 ¿Cuál es el resultado de dividir el área de un círculo que es 528.54 m2 entre el valor de su radio al cuadrado?

Solución: Si además tomas en cuenta los cuadrados que están parcialmente dentro del círculo, ¿sería ésta una medida más aproximada al valor del área? Ahora calcula el cociente que resulta de dividir el número de unidades cuadradas entre el valor del radio al cuadrado. Compara tu resultado con el siguiente: 28

28

= 3.11 3 9 Si repites este experimento en otros círculos, llegas a la siguiente conclusión: el cociente que resulta de dividir el área del círculo entre el radio al cuadrado es igual: π a. Es decir,

Área del círculo

Área del círculo Radio al cuadrado

2

=

A r2

=

=π

A = π × r2

78 Matemática - Séptimo Grado

Es independiente de los valores del área y radio de un A círculo: 2 = 3.14 r

UNIDAD 3

Actividad 1. Calcular el área del círculo cuyos datos se proporcionan: a) El radio mide 10 cm b) El diámetro mide 15 m

3

3. En cada situación, calcula el área de la región sombreada, considerando que las figuras tienen las medidas indicadas. a) r = 4.5 m

r = 4.5 m 2. Si el área de una piscina circular mide 452.57 m2, ¿cuántos metros tiene que nadar una persona que se halla en el centro de la piscina para llegar a la orilla?

b) d = 8 dm

d = 8 dm

metros ? c) r1 = 10 cm; r2 = 4 cm

r1 = 10 cm

r2 = m

4c

Resumen En esta unidad tuviste la oportunidad de recordar: Los elementos principales de la circunferencia son: centro, radio, diámetro, cuerda, tangente y secante. Calcular la longitud de la circunferencia, calcular el diámetro conociendo el área, calcular áreas circulares. Confirmaste que el diámetro es la cuerda mayor y que toda cuerda determina dos arcos de circunferencia. La longitud de la circunferencia es igual a π veces su diámetro, o sea, π × d. El área de un círculo es igual a π veces el cuadrado del radio, o sea, π × r2

Séptimo Grado - Matemática 79

UNIDAD 3

Autocomprobación

3

Las preguntas 1 y 2 se refieren al gráfico de la derecha

Una cuerda es:

a) B A

S

C T

La tangente es: a)

El segmento A C b) La recta C D c) El segmento S D d) La recta T B

D

4

La tapadera de un barril tiene un radio de 6 cm. La cantidad de lámina necesaria para fabricarla es: 113.04 cm b) 113.04 cm2 c) 226.08 cm d) 226.08 cm2 a)

2. d.

3. a.

2

376.8 cm b) 125.6 cm c) 251.2 cm d) Ninguna de las anteriores

1. c.

El segmento A C b) La recta C D c) El segmento S D d) La recta T B a)

4. b.

CONSTRUCCIÓN DE MONUMENTOS Y

TM7P126B Ilustración del templo de Salomón

80 Matemática - Séptimo Grado

Soluciones

1

Una rueda tiene un radio de 20 cm. Si da 3 vueltas, la distancia que recorre es:

π

Desde tiempos antiguos, el valor de “pi” ha sido considerado debido a su gran importancia, sobre todo en problemas de construcción de monumentos. Incluso la Biblia lo menciona varias veces. Por ejemplo, en II Crónicas, aparece en una lista de elementos para la construcción del Gran Templo de Salomón (950 a C). En esta cita, al igual que la mencionada en I Reyes 7:23, le da el valor de 3, lo cual es una pérdida de precisión respecto a las estimaciones anteriores de los egipcios y mesopotanos. En 2004, la supercomputadora Hitachi empleo 500 horas para calcular 1,351 billones de cifras decimales.

Lección 4

Tercera Unidad

Medidas de capacidad Motivación

T

odos los líquidos, como el agua, la leche y el vinagre, toman la forma del recipiente que los contiene. Habrás visto que los envases de leche te indican la cantidad de ésta. Si un envase marca 1.5 litros y otro 2 botellas, ¿cuál envase contiene más leche?

Indicadores de logro: Identificarás con interés las unidades de capacidad. Determinarás con seguridad múltiplos y submúltiplos con sus valores correspondientes

Resolverás con seguridad problemas sobre medidas de capacidad aplicando conversiones.

El litro Para medir el volumen ocupado por un líquido se emplean las medidas de capacidad. En el Sistema Internacional de medidas, SI, la unidad fundamental de capacidad es el litro. Un litro es la cantidad de líquido que cabe en un cubo de un decímetro (1 dm) de arista. El litro se representa por  : 1 litro = 1  Indica si los siguientes volúmenes líquidos se miden en litros, en unidades mayores o en unidades menores que él. La cantidad de leche que produce diariamente una granja de tipo industrial. La producción semanal de alcohol en un laboratorio. La cantidad de líquido contenido en un frasco de gotas para los ojos.

Séptimo Grado - Matemática 81

UNIDAD 3 Para medir grandes cantidades de líquidos, como en la primera y segunda de las situaciones, se usan los múltiplos del litro. Para medir pequeñas cantidades de líquidos se usan los submúltiplos del litro, como en la tercera de las situaciones.

Múltiplos del litro El ser humano necesita guardar y transportar grandes cantidades de líquidos. Para medir la capacidad de los depósitos donde almacena esos líquidos, se utilizan los múltiplos del litro. Éstos son: 1 decalitro = 1 da  = 10 

1 da 

=

10 litros (  )

1 hectolitro = 1 h  = 100 

11Hlh 

== 10 10 da Dal 100litros litros (  )  == 100

1 kilolitro = 1 k  = 1,000 

1 k 1 Kl

== 10 Hl h  == 100 100 da litros () 10 Dal = = 1000 1000 litros Puedes ver que el litro y sus múltiplos forman un sistema posicional, donde cada múltiplo equivale a diez unidades del múltiplo inmediato inferior. O sea: Múltiplo decalitro hectolitro kilolitro

Abreviatura

Equivalencia en litros

da  h k

10  100  1,000 

Puedes ver que el litro y sus múltiplos forman un sistema posicional, donde cada múltiplo equivale a diez unidades del múltiplo inmediato inferior: 1 k  = 10 h  = 100 da  = 1,000  1 h  = 10 da  = 100  1 da  = 10 

82 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 3 En un barril hay 5 k  de gas kerosén. Expresa esa medida en hectolitros, decalitros y litros. Para resolver este problema, recurre al cuadro de valor posicional similar al que utilizaste con otras medidas.

5k 

kl

hl

=

5

0

= =

5 5

0 0

dal



0

Otra forma:  1 h  325   = 3.25 h  100   325  = 3.25 h

= 50 hl 0 0

La cooperativa produce 3.25 h  , o 32.5 da  o 0.325 k  ¿De qué otra forma puedes resolver este problema? Para ello observa en cada caso que la línea divisora indica el punto decimal.

= 500 dal = 5000 

5kl de kerosén equivalen a 50 h  , o 500 dal o 5,000  . Resuelve este problema multiplicando por la respectiva equivalencia. Por ejemplo, 5 k  = 5 × 10 = 50 h  .

 1 da  = 32.5 da 325    10   325  = 32.5 da  1 k  325   = 0.3325 k  1 ,000   325  = 0.325 k

Ejemplo 3

Otra forma: Si 1 k  = 1,000 

Expresa la medida de capacidad 72.5 da  en k  , h  y 

1 ,000   5 k  = 5 ,000   1 k   h  5000   = 50 h  100  

Solución: kl 72.5 da  = =

5 k = 50 h

=

 1 da  5000   = 500 da  10   5 k = 500 da

La cooperativa “Los lácteos” produce 325 litros de leche al día. ¿Cuántos decalitros, hectolitros y kilolitros producen?

Solución:

325 

hl

dal



=

3

2

5

=

3

2

5

= 3.25 h  = 32.5 da 

3

2

5

= 0.325 k 

=

0



7

2

5

7

2

5

= 725  = 7.25 h 

7

2

5

= 0.725 k 

O sea que 7.25 da  = 725  = 7.25 h  = 0.725 k  Resuelve el problema anterior aplicando las equivalencias que existen entre las correspondientes unidades

Ejemplo 2

kl

0

hl dal

Otra forma: 10   72.5 da   = 725   1 da   72.5 da  = 725   1 h  = 7.25 h 725    100  

72.5 da  = 7.25 h

 1 k  725   = 0.725 k  1 ,000   72.5 da = 0.725 k

Séptimo Grado - Matemática 83

UNIDAD 3

1

Actividad 3. En una bodega hay 3 depósitos que contienen ácido muriático. El primero tiene 3 k  ; el segundo, 6 h  y el tercero 15 dal. Se envasan para la venta en recipientes de un litro. ¿Cuántos de éstos resultan?

1. Expresa de forma abreviada las siguientes medidas de capacidad: a) 3 litros

d) 64 decalitros

b) 5 kilolitros

e) 8.5 litros

4. Expresa: 57  en da  , h  y k  .

c) 2.8 hectolitros

5. Expresa: 82 h  en k  , da  y  .

2. Escribe cómo se leen las siguientes expresiones: a) 5.4

b) 2.8 k 

c) 7 da 

d) 8.1 h 

Submúltiplos del litro En muchas actividades de tu vida utilizas cantidades de líquidos menores que el litro.

Debido a ello se necesitan unidades de medidas menores que el litro. Éstas son:

El decilitro = d  = décima parte del litro = 0.1 



El centilitro = c  = centésima parte del litro = 0.01 



El mililitro = m  = milésima parte del litro = 0.001 

O sea:

Submúltiplo decilitro

Abreviatura

Equivalencia en litros

d

0.1 

centilitro

c

0.01 

mililitro

m

0.001 

Puedes ver que el litro y sus submúltiplos forman un sistema posicional, donde cada submúltiplo equivale a diez unidades del múltiplo inmediato inferior. 1  = 10 d  = 100 c  = 1,000 m  1 d  = 10 c  = 100 m  1c = 10 m 

84 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 3 Ejemplo 4 ¿Cuántos frascos de 1 d  puedes llenar con 1  de una loción? ¿Cuántos de 1 c  ? ¿Cuántos de m  ?

Solución: d 0

c

1

=

 1

1

=

1

0

0

1

=

1

0

0

m = 10 d  = 100 c  0

= 1,000 m 

Puedes ver que con 1  de loción puedes llenar 10 frascos de 1 d  , 100 de 1 c  o 1,000 de 1 m  .

Ejemplo 5 En un laboratorio farmacéutico se dispone de 5  de cierto medicamento. Si se envasa en frascos que contienen 10 m  cada uno. ¿Cuántos frascos serán envasados?

Solución: Recurriendo al cuadro de valor posicional, tienes: d 0

c

5

=

 5

5

=

5

0

0

5

=

5

0

0

Otra forma:

m

0

=

50 d 

=

500 c 

=

5,000 m 

Si 1  = 10 d 

 10 d  = 50 d  1  5  = 50 d 5

100 c  5  = 500 c  1  5  = 500 c 1 ,000 m  5 = 5 ,000 m  1  5  = 5 ,000 m

Luego, 5  de medicamento equivalen a 5,000 m  . Como cada frasco contiene 10 m  , el número de frascos es igual a 5,000 ÷ 10 = 500. Resuelve este problema operando con las equivalencias respectivas y comprueba las respuestas. Recuerda que en el Sistema Internacional de unidades, SI, las unidades de capacidad siguen las reglas del sistema decimal: 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. O sea, una unidad de un orden forma 10 unidades del orden inmediato inferior.

Séptimo Grado - Matemática 85

UNIDAD 3 Ejemplo 6

Ejemplo 7

Un recipiente contiene 32 da  de kerosene para encender parrillas. Si se envasa en recipientes de 8 d  cada uno, ¿cuántos recipientes se obtienen?

Un camión transporta 8 k  , 7 h  y 5 da  de leche. ¿Cuántos decalitros lleva? ¿Y cuántos litros?

Solución: Al ubicar 8 k  , 7 h  y 5 da  de leche en la tabla de unidades de capacidad, obtienes: k 8 k  , 7 h  , 5 da  = 8 8 k  , 7 h  , 5 da  = 8

Puedes ver que ahora vas a trabajar con un múltiplo del litro, el decalitro (da  ) y con un submúltiplo, el decilitro (d  ). Para ello vas a considerar la siguiente tabla: h 3

da  2

 0

d 0

c

m 3,200 d 

Como 32 da  = 3,200 d  , y cada recipiente contiene 8 d  , entonces se envasan 3,200 ÷ 8 = 400 R: Se obtiene 400 recipientes. Otra forma:

7

5

 = 875 da  0

= 8 750 

R: El camión transporta 875 decalitros o sea 8,750 litros de leche. 1000   8 k  = 8000   1t 

Solución:

k

h  da  7 5

32 da

 10   = 320   1 da 

 10   = 3200 d 320    1   32 da = 3200 d

86 Matemática - Séptimo Grado

8 k = 8000 

100   7 h  = 700   h   10   = 50  5 da  1 da 

8000  700  50  8750   1 da  8750   = 875  10   875 da

UNIDAD 3 Ejemplo 8 Expresar 6 k  , 2 h  , 4 da  , 6  , en decalitros (dal).

Solución:

En nuestro país se utilizan dos medidas de capacidad que no pertenecen al SI. Éstas son el galón y la botella. Sus equivalentes son:

Comienzas convirtiendo cada cantidad a da  . k 6 1k 1h 1 da  1

h 2

da  4

1 botella = 0.75  1 galón = 3.75  1 = 1.3 botellas 1 galón = 5 botellas.

 6

= 100 da  = 10 da  = 1 da  = 0.1 da 

6 k  = 6 × 100 da  2 h  = 2 × 10 da  4 da  = 6  = 6 ÷ 10 dal Total

Ejemplo 9 Si Carmen le pone a su auto 8.2 galones de gasolina, Encuentra las equivalencias en litros y botellas.

Solución:

= 600 da  = 20 da  4 da  = 0.6 da  = 624.6 da 

 3.75  8.2 galones = 8.2 galones  = 30.75  1 galón   5 botellas  = 41 botellas  1 galón 

8.2 galones = 8.2 galones 

R: 8.2 galones = 30.75  8.2 galones = 41 botellas.

R: En 6 k  , 2 h  , 4 da  y 6  hay 624.6 da  ¿Cuántos d  caben en la anterior cantidad?

2

Actividad

1. Necesitas llenar el tanque de gasolina de un vehículo al que le caben 4 da  l. Si para ello utilizas un depósito de 1  , ¿Cuántas veces lo utilizas? 2. En una farmacia hay un total de 5 k  5 da  de alcohol. ¿Cuántos recipientes de 1 litro pueden llenarse? ¿Y cuántos de 1 decalitro? 3. Convierte a las unidades indicadas:

Ahora ya puedes resolver el problema que aparece al principio de esta lección. Como 1  = 1.3 botellas 1.5  = 1.5 × 1.3 botellas 1.5  = 1.95 botellas Luego, contiene más leche el envase que marca 2 botellas.

Resumen

a) 3 h  a d 

d) 30

 a da 

b) 7 k 

a d

e) 20 h 

ak

c) 30 da  a h 

f) 7.5 h 

ad

4. Expresa la cantidad de 236 h  en una sola expresión que contenga h  . da  .  y d  .

El litro es la unidad de medida fundamental del SI. Es la cantidad de líquido que cabe en un cubo de 1 dm de arista. Los múltiplos del litro son el kilolitro (k  ), el hectolitro (h  ) y el decalitro (da  ), y los submúltiplos son el decilitro (d  ), el centilitro (c  ) y el mililitro (m  ). En El Salvador se utilizan también el galón y la botella.

Séptimo Grado - Matemática 87

UNIDAD 3

Autocomprobación Un hectolitro equivale a:

3

a)

mil litros b) cien litros c) 0.01 litros d) 0.001 litros

805  b) 80.05  c) 8050  d) 8005  a)

El equivalente de 3 botellas en litros es:

4

Medio litro equivale a: 2 botellas b) 1.2 botellas c) 2.4 botellas d) 0.65 botellas

2.31  b) 0.65  c) 22.7  d) 1.5 

a)

2. a.

a)

1. b.

2



En una bodega hay 8 k  y 5 da  de alcohol. El número de litros que hay es:

Soluciones

1

3. c.

4. d.

OTRAS MEDIDAS DE CAPACIDAD La pinta es otra medida de capacidad, y equivale aproximadamente a medio litro. Está la onza (medida de capacidad), que equivale a 0.0296 litros. La palabra onza deriva del latín uncia, doceava parte de la libra romana (27.29 g), además se tiene el cuarto, el galón, el tonel; medidas de capacidad empleadas en países anglosajones. El galón equivale a cuatro cuartos o dos pintas. La capacidad o arqueo de los buques se mide en toneles o toneladas de arqueo. El tonelaje neto que indica la capcidad de carga equivale a 1.44 m3.

88 Matemática - Séptimo Grado

Lección 5

Tercera Unidad

Medidas de volumen Motivación

Un pichel tiene capacidad de 1 litro y 8 decilitros. ¿Cuántos vasos de 20 centilitros de refresco se pueden servir del contenido del pichel?

Indicadores de logro: Identificarás con interés las unidades de volumen. Determinarás con seguridad múltiplos y submúltiplos con sus valores correspondientes.

Convertirás con destreza unidades de volumen Convertirás unidades de volumen a unidades de capacidad.

Volumen Le llamamos volumen al espacio que ocupa un cuerpo. En el sistema internacional de unidades de medida (SI), la unidad fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico (m3).

Para responder observa un recibo de ANDA.

El m3 es el volumen que ocupa un cubo cuya arista mide un metro.

1m 1m

Para medir el volumen del metal que se usó para fabricar una de las prendas del dibujo, no puedes utilizar el metro cúbico ya que el resultado es un número muy pequeño. Por esa razón, utilizarás los submúltiplos.

1m

¿En qué unidades se mide el volumen de agua que se consume al mes en una vivienda?

Séptimo Grado - Matemática 89

UNIDAD 3

Submúltiplos del metro cúbico ¿Cuáles son los submúltiplos del metro cúbico? Observa como el metro cúbico se descompone en decímetros cúbicos.

1m

1 dm 1 dm 1 dm

1 dm3 =

1m

1m

¿Cuántos dm3 hay en 1 m3?

Esto significa que, 1 m = 1,000 dm 3

3

Observa ahora como se descompone el dm3 en cm3. ¿Cuántos cm3 hay en 1 dm3?

1 cm

Notarás que esta situación es similar a la anterior. Esto significa que, 1 dm3 = 1,000cm3 Siguiendo el mismo razonamiento, ¿cuántos mm están contenidos en 1 cm3? 3

Al analizar las equivalencias anteriores puedes ver que en el SI, el m3 y sus submúltiplos forman un sistema posicional, donde cada submúltiplo equivale a 1,000 unidades del submúltiplo inmediato inferior: dm3

× 1,000

Solución: Como 1 m3 = 1,000 dm3,  1 ,000dm 3  12 m 3 = 12 m 3  = 12 ,000dm 3  1 m 3  En la cañeria se transporta 12,000 dm3 de agua en 1 minuto: 1 hr = 60 minutos

cm3

× 1,000

mm3 × 1,000

90 Matemática - Séptimo Grado

R: La cañeria transporta 720,000 dm3 por hora.

Capacidad y volumen Cuando el interior de un recipiente es ocupado por un líquido, es más común hablar de capacidad que de volumen. En otras palabras, capacidad es la medida del espacio que ocupa el líquido. Así, hablamos de la capacidad de un tanque de gasolina, la capacidad de un envase de refresco, etc. No sería incorrecto hablar del volumen de un tanque de gasolina, y del volumen de un envase de refresco.

1 cm

m3

Una cañería transporta agua a razón de 12 m3 por minuto. ¿Cuántos dm3 transporta en una hora?

60 × 12,000 = 720,000

La primera capa tiene 10 × 10 = 100 cubos de 1 dm3 y son 10 capas de 100 dm3 cada una.

1 cm

Ejemplo 1

Para convertir una medida de capacidad en su equivalente medida de volumen, aplicas la equivalencia:

1  = 1 dm3

UNIDAD 3 Ejemplo 2 Expresa la medida de 1 m  en su equivalente unidad de volumen.

1 dm 1 dm

1 dm

Solución:

Ahora resuelve en tu cuaderno el problema planteado al principio de esta lección. ¿lo haces así? Capacidad del pichel:

1  = 100 c  8 d  = 8 × 10 = 80 c 

Luego, en 180 c  caben 180 ÷ 20 = 9 vasos de 20 c  cada uno.

Ejemplo 4 Una refrigeradora tiene una capacidad de 2,000  Expresa esa capacidad en m3.

1  = 1 dm3 = 1,000 cm3

Además, 1  = 1,000 m  . Luego, 1,000 m  = 1,000 cm3. ¿Cuántos cm3 tiene entonces el m  ?

Ejemplo 3 En una lechería, la venta fue de 2.5 m3 en determinado día. ¿Cuántos litros de leche se vendieron?

Solución: Como 1 m3 = 1,000 dm3 = 1,000  20,00  = 2 m3 Luego, la capacidad de la refrigeradora es de 2 m3.

Solución: Pero

1 m3 = 1,000 dm3 1  = 1 dm3

Luego, 1 m3 = 1,000  2.5 m3 = (1,000 × 2.5)  2.5 m3 = 2,500  R: Se vendieron 2,500  de leche.

Séptimo Grado - Matemática 91

UNIDAD 3

1

Actividad

a) ¿Cuál es la unidad fundamental de las medidas de volumen? b) ¿A cuántos dm3 equivale 1 

?

c) ¿En cuál medida de volumen caben 1,000

?

d) ¿A cuál medida de volumen equivale 1 m  ? e) Expresa 1.8 m3 en dm3, cm3 y mm3. f) El oro ocupado para fabricar una cadena tiene un volumen de 2,5 cm3. Expresa esa medida en mm3. g) Por cada corte que se realiza en un tubo metálico, se desprenden 0.5 mm3 de viruta. Si en un

procedimiento industrial se realizan 4,000 cortes, ¿cuántos cm3 del metal se convierten en viruta?

h) En un recibo de agua aparece que se consumieron 40 m3 en determinado mes. ¿Cuántos litros de

agua se consumieron?

Múltiplos del metro cúbico En determinada época del año, en una presa hidroeléctrica se descargan 25 millones de metros cúbicos de agua en 1 minuto. ¿Qué desventaja presenta ese número para calcular la cantidad de agua que se elimina en 25 descargas?

92 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 3 Cuando se trata de volúmenes mucho mayores que el metro cúbico, es conveniente expresarlos en múltiplos de éste. El volumen ilustrado en el gráfico equivale a un decámetro cúbico (dam3). Para calcular cuántos m3 hay en un dam3 observas que la primera capa posee 10 × 10 = 100 cubos de 1 m3. Como son 10 capas, entonces tienes un total de 10 capas de 100 m3 cada una. 1 dam3 = 1,000 m3

1 dam

1 dam

1 dam

Siguiendo el mismo procedimiento compruebas que 1 hm3 = 1,000 dam3 y 1 km3 = 1,000 hm3 El m3 y sus múltiplos forman un sistema posicional, donde cada múltiplo equivale 1,000 unidades del múltiplo inmediato inferior: km3

hm3

× 1,000

dam3

× 1,000

m3 × 1,000

Ejemplo 5 Expresa en dam3, hm3 y km3 el volumen de 25 millones de metros cúbicos de agua que pasan en un minuto en una presa hidroeléctrica.

Solución: Como 1 dam3 = 1,000 m3, entonces:  1 dam  = 25,000 dam3  1 ,000 m 3 

25,000, 000 m3 = 25 ,000 ,000 

Como 1 hm3 = 1,000 dam3, entonces:

25,000 dam3 =

25 , 000 1 , 000

hm3 = 25 hm3

Como 1 km3 = 1,000 hm3, entonces:

 1 km 3  = 0.025 km3  1 ,000 hm 3 

25 hm3 = 25 hm 3 

Concluyes que un volumen de 25 millones de m3 equivale a 25,000 dam3, 25 hm3 ó 0.025 km3.

Séptimo Grado - Matemática 93

UNIDAD 3 Ejemplo 6

Ejemplo 7

Un tanque de forma cúbica mide 10 m de arista. ¿Cuántos litros de agua le caben?

Un médico le indicó a un paciente que se inyectara 2.5 cm3 diarios de un medicamento. Si la jeringa está graduada en mililitros, ¿cuántos mililitros debe inyectarse el paciente?

Solución:

Solución:



Como 1 m  = 1 cm3, entonces el paciente debe inyectarse 2.5 m  del medicamento.

V = 10 m × 10 m × 10 m = 1,000 m3



= 1,000 × 1,000 dm3



= 1,000,000 dm3

Como 1 dm3 = 1  entonces 1,000,000 dm3 = 1,000,000  . El tanque tiene una capacidad de 1,000,000  .

Ejemplo 8 Imagina que colocas todos los milímetros cúbicos contenidos en un metro cúbico, uno sobre otro, formando una columna. ¿Cuántos metros de altura tiene dicha columna?

Solución: Como 1 m3 = 1,000,000,000 mm3, entonces la columna tendrá una altura de: 1,000,000,000 de milímetros, o sea: 1 ,000 ,000 ,000 m = 1 ,000 ,000 = 1,000,000 m. 1 ,000

¡Imagínate una columna de un millón de metros de altura!

94 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 3

2

Actividad 1. Copia el siguiente cuadro y marca la unidad más apropiada que se usa para medir en cada situación Un dormitorio de tu casa El borrador de la pizarra Una tableta de aspirina Una caja de zapatos Un frasco de loción Un envase de refresco

m3 m3 m3 m3

cm3 cm3 cm3 cm3 cm3

mm3 mm3 mm3 mm3



dm3 dm3 dm3 dm3 dm3



dm

cm

m

3

3

5. Un equipo de agrónomos está interesado en averiguar cuánta agua cae por una cascada. Determinan que el volumen de agua en un día es 2.58 km3. Expresa esta medida en hm3, dam3, m3 y .

m

2. Indica cuáles son las unidades fundamentales de medidas de volumen y de capacidad.

6. Se calcula que un lago acumula 20 km3 de agua en cierta época del año. Expresa esta medida en dam3, m3 y  .

3. Escribe en tu cuaderno las siguentes preguntas: a) ¿A cuántos dm3 equivale 1  ?



b) 1 dm3 = c) En un

cúbico caben 1,000 litros

d) Un mililitro equivale a un

cúbico

4. El volumen de una piscina es de 240 m3. Exprésalo en dam3 y hm3

7. Un hombre extrae de un pozo 10  de agua en un minuto. En una hora: a) ¿Cuántos dal extrae? b) ¿Cuántos h 

extrae?

Resumen El espacio que ocupa un cuerpo se llama volumen de dicho cuerpo. La unidad fundamental de medida del volumen es el metro cúbico o m3. Los submúltiplos del m3 son el decímetro cúbico (dm3), centímetro cúbico (cm3) y el milímetro cúbico (mm3). Los múltiplos son el decámetro cúbico (dam3), hectómetro cúbico (hm3) y el kilómetro cúbico (km3). Cuando se trata de un líquido, a su volumen suele llamársele capacidad del líquido. El metro cúbico forma junto con sus múltiplos y submúltiplos un sistema posicional, donde cada unidad equivale a mil unidades de la unidad inmediata inferior.

Séptimo Grado - Matemática 95

UNIDAD 3

Autocomprobación La unidad fundamental de las medidas de volumen es:

3



a)

m b) m2 c) km3 d) m3



La unidad más apropiada para medir el volumen de la cantidad de líquido que hay en un cántaro de agua es: a)

m3 b) ml c)  d) km3

4

a)

1 dm3 b) 1 m3 c) 1 mm3 d) 1 cm3

Un garrafón contiene 3.5  de agua. El número de vasos de 175 cm3 que pueden llenarse es: a)

10 b) 20 c) 30 d) 45

2. c.

2

El equivalente de un mililitro es:

1. d.



Soluciones

1

3. d.

4. b.

PRESAS HIDROELÉCTRICAS DE EL SALVADOR El programa nacional de electrificación en El Salvador se inició con la inauguración de la Central Hidroeléctrica 5 de Noviembre, el 21 de junio de 1954. Esta se encuentra en el sitio conocido como Chorrera del Guayabo en el río Lempa. Actualmente la Comisión Ejecutiva Hidroeléctrica del Río Lempa, (CEL), posee en total cuatro centrales con sus respectivos embalses, almacenando agua durante el invierno y generando energía eléctrica en verano, supliendo así la mayor parte de la demanda de energía eléctrica a nivel nacional. Investiga sobre la Central Hidroeléctrica Cerrón Grande.

96 Matemática - Séptimo Grado

Solucionario Lección 1

3. a) 0.7 × 6

Actividad 1

5. a) 3.46 × 4 =$13.84

2. a) 0.13

d) 3.009

g) 4.2

b) 0.015

e) 15.000018

h) 0.00014

c) 0.7

f) 2.0017

3. a) cuarenta y cinco centésimos.

b) 1.5 × 1.5

c) 2.3 × 0.75

b) A=0.7225 m 2

c) 12.85 × 10.42=133.897

Actividad 2 2. a) 8 ÷ 20=0.4 3. b) 124 1000=0.124 c) 124 10000=0.0124 k)3 1000=0.003

b) siete enteros veintiocho centésimos.

4. 600 1.2 = 500 pedazos

c) nueve milésimos.

5. 200 12.5= 16 galones

ñ) tres mil uno diez milésimos.

6. 0.75 × 2+ 0.45 × 5+0.35 × 4+ 0.40 × 2 = $5.95

o) dos enteros diez mil cuatro diez milésimos.

7. 14

4. i) siete décimas; setenta centésimas 700 milésimas. j) ochenta y cinco centésimas; ochocientos

cincuenta milésimas; 8 décimas y 5centésimas.

5. 0.07, 0.09, 0.10, 0.12

a) – 23.52 b) = 1.2411348 × (− 1.54)= − 1.9113475 d) – 10.42 × 1.53333…= − 15.977333…

Lección 3

6. Si 0.10 = 0.1

Actividad 1

Actividad 2 3. le falta recorrer 95 − 38.76 =56.24 km

Actividad 3 1. Como los ingresos fueron $153.55 y los egresos $160.34, éstos fueron mayores. 2. b) = 4.9 − 4.34 – (9.7 − 12.54) = 0.56 − (2.84)= 3.4 d)

Actividad 3

= {−1 + [ 9.91 − 1.33 ]} = {−1 + 8.58} = 7.58

Lección 2 Actividad 1

a) F

c) V

e) F

b) V

d) F

f) F

g) V

Actividad 2 1. a) 31.4 m

b) 62.8 m

c) 47.1 dm

2. a) 31.4 dm

b)50.24 m

c)21.352 cm

3. 3.14 × 2.50=7.85 m l 15.7 4. 4. d = = = 5m π 3.14

9 = 29.30 m = 29.30 m 3.14 luego r = 29.30m ÷ 2= 14.65 m

5. L= 46 × 2=92 cm d =

2. a) 2.32578

c) 94.05

b) 0.52232

d) 26.9604

Séptimo Grado - Matemática 97

Solucionario Actividad 3

e) 1.8 m3

1. a) 3.14 × 102 = 314cm2

f) 2.5 × 100=2500m m3 g) 0.5 × 4000=2000m m3 =2 cm3

b) 3.14 × 7.5 2= 176.63 m2

3. a) 3 .14 (4.5)2 = 63.59 m2

1000d m3 = 1,000,000 c m3=10000000000

b) 3.14 (4)2

c) 3.14 (10)2 − 3.14 (4)2 = 263.7cm 2

h) 40 m3 = 40 × 1000 dm3 40,000 dm3 = 40,000

Actividad 2

Lección 4

4. 240 m3 =2 40 1000d am3 =0.24dam3

Actividad 1

=0.24 1000h m3 =0.00024h m3

1. a) 3 

c) 2.8h 

e) 8.5 



5. 2.58 km3 =2.58 × 1000 hm3 =2580 hm3

=2580 × 1000 dam3 = 2,580,000dam3

3. 3(100) +6(100) +15(10) = 3750 



=2580000 × 1000 m3 = 2580,000,000m3

4. 57  = 57 da  = 0.57h  = 0.057 k 



= 2580000000 × 1000 

b) 5k 

d) 64 da 

5. 82 h  = 8.2 k  = 820 da  = 8200 

Actividad 2 1. 4 da  = 4 × 10  =40  2. 5000 + 50 = 5050  = 505da  4. 236 h  = 2 h  , 3da  ,6 

Lección 5 Actividad 1 a) el metro cúbico o m3 b) 1 

= 1dm3

c) en 1m3 d) 1ml =1 cm3

98 Matemática - Séptimo Grado

Proyecto a) Mide la pila de agua de tu casa, encuéntrale sus dimensiones: largo, ancho y profundidad. b) Determina cuántos litros de agua puede contener la pila. (adjuntar dibujo)

Séptimo Grado - Matemática 99

Recursos Dolciani y otros. Matemáticas modernas para escuelas secundarias, Tomos 1 y 2. Publicaciones Cultural, S.A., séptima reimpresión, 1980, México GARDER, Martin, Nuevos pasatiempos matemáticos. Editorial: Alianza Editorial, primera edición, 2008, España STEWART, Ian. El Laberinto Mágico. Editorial: Critica (Drakontos), primera edición, 2004, España

http://webs.adam.es7rllorens/pidoc.htm http://www. microsiervos.com/archivo/ciencia/descubriendo-valor-pi.html

100 Matemática - Séptimo Grado