Mat 2 Ms 2a

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

8.  En la siguiente figura —Z  y —\ son tangentes al círculo, —Z / * ,-  y Y\—[ / )m$. Determina el valor de YZ—\. Como ™]  y ™_   son tangentes al círculo, se generan dos triángulos rectángulos idénticos, lo cual implica que sus ángulos tienen tiene el mismo valor. Concluyendo: Y]™_ / Y_™^ N Y]™^ / BY_™^   / B %@$ / 'C$

EJERCICIOS NUMÉRICOS  9.  Encuentra el valor de ×Ø en una circunferencia si: - del centro. a)  1 / * ,-  y ×Ø está a una distancia de ); * ,,-

ÙÚ / B

? vw   x a %; %;? ? vw   x

 

/ #%

b) 1 / m ,-  y ×Ø está a una distancia de * ,- del centro.

ÙÚ / B /C (

@ vw   x a ? vw   x

 

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

c)  1 / )j ,- y ×Ø está a una distancia de )7 ,- del centro.

ÙÚ / B %C vw   x a %! vw   x /& (

 

d) 1 / X ,-  y ×Ø está a una distancia de j ,- del centro.

ÙÚ / B

# vw   x a C vw   x

 

/ B (?

10.  Calcula el perímetro de un círculo si: a)  Tiene un diámetro de 3* Û. El perímetro de un circulo es: ™ / Bª¿ / Rª / B?ª  

b) Tiene un diámetro de 5 Û. El perímetro de un circulo es: ™ / Bª¿ / Rª / B?ª  

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

11.  Determinar el área de un sector circular si: a)  Si radio mide 3 ,- y el ángulo central es de )37$.

Área:

ª¿ x s ª B vw   x %B!$ C  ] /  /   / ª vw x   '(!$ '(!$ '

b) Si radio mide 5 ,- y el ángulo central es de **$. Área: ª¿ x s

ª ' vw   x ??$ %%  ] /  /   /   ª vw x   '(!$ '(!$ &

c)  Si radio mide X ,- y el ángulo central es de X6$. Área:  ] /

ª¿ x s ª # vw   x #($ %!&  /   /   ª vw x   '(!$ '(!$ ?

12.  Encuentra el área del segmento circular si: a)  El radio del círculo mide 5 ,- y el ángulo central mide ))7$. Área: ª¿ x s ËV ª ' vw   x #!$ ' QË ' QË  ] /  a  /   a '(!$ B '(!$ B # / ª a C;? vwx   C

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

b) El radio del círculo mide 3 ,-  y la cuerda correspondiente al segmento circular mide 5 ,-. De acuerdo con la figura, se forma un triángulo isósceles, esto significa que la altura del triángulo es: B vw   x a %; %;? ? vw   x /

V/

@   vw   B

El ángulo central es: 97.18° Área: x

 ] /

 x

ª¿ s ËV ª B vw #@;%&$  a  /   a '(!$ B '(!$

' QË

  @   QË B   / %;C vw x   B

c)  El radio del círculo mide * ,-  y la cuerda correspondiente al segmento mide : ,-. De acuerdo con la figura, se forma un triángulo isósceles, esto significa que la altura del triángulo es: V / ? vw   x a C vw   x / ' vw  El ángulo central es: 106.26° Área: ª¿ x s ËV ª ? vw   x %!(;B($ & QË ' QË  ] /  a  /   a   / %%;%&vw x   '(!$ B '(!$ B

PROBLEMAS DE APLICACIÓN  13.  Una pieza metálica de 3;)m cm de diámetro se reduce a un diámetro de );5j cm. ¿Cuál fue la profundidad de corte? Sea RH el diámetro original y Rx  el diámetro final y Ê la profundidad del corte: Ê/

RH Rx B;%@ %;'C  a  /  a   / !;C%? vw   B B B B

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

14.  Dos poleas funcionan como se indica en la figura. ¿Qué longitud tiene la banda que mueve las poleas? La longitud de la banda es igual a la mitad del perímetro de cada circunferencia, es decir, una circunferencia completa, más dos veces la distancia entre centros: ½ / B %B!ª %B!ª N B ? L @(' @(';# ;#& & vw 

15. Los círculos tienen radios iguales y están colocados como se muestra en el rectángulo de la ilustració ilustración n siguiente. ¿Qué fracción de la región rectangular está sombreada? El área de cada cirulo es:  ]Ü  / ª¿ x  

Área total de los círculos:  ]t  / %Bª¿ x  

Área del rectángulo:  ]‡  / Pq / (¿ ( ¿ &¿ / C&¿ x

 

Área sombreada:  ]ˆ  / ] ‡  a ] t   / C&¿ x a %Bª¿ x

La razón buscada es:  ]ˆ  ]‡  a ] t /  ]‡  ]‡  ]t /% a  ]‡ %Bª¿ x   /% a C&¿ x % /% a ª C / !;B%

Solo B% ¼ de la región rectangular está sombreada.

 

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4

Bloque Razones trigonométricas Evaluación diagnóstica. Página 143

Para darte cuenta de qué tanto sabes sobre los temas que se abordan en este bloque, y qué habilidades o actitudes tienes hacia ellos, contesta las siguientes preguntas. De esta manera también podrás distinguir en cuáles aspectos conviene que enfoques tu aprendizaje. 1.  Rama de las matemáticas que estudia los lados y ángulos de los triángulos. a)  Álgebra. b)  Geometría. c)  Trigonometría. d)  Función trigonométri trigonométrica. ca. 2.  ¿Cuál es la principal caracterís característica tica de un ángulo trigonométrico? a)  Posee signo positivo. b)  Posee signo negativo. c)  Posee un valor absoluto. d)  Posee amplitud ilimitada. 3.  Es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. a)  Seno. b)  Coseno. c)  Secante. d)  Cosecante. 4.  Es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto en un triángulo rectángulo. a)  Seno. b)  Coseno. c)  Secante. d)  Cosecante. 5.  Escribe la diferencia fundamental entre trigonometría trigonometría y geometría. La diferencia entre la trigonometría y la geometría estriba básicamente en que la geometría generalmente se basa en los lados de las figuras para determinar los elementos desconocidos de éstas, en tanto que la trigonometría se vale

 

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siempre de las funciones trigonométricas para efectuar sus cálculos relacionados con los triángulos o con alguna otra figura geométrica. 6.  Explica por qué el seno o coseno de uno no puede ser uno. Como las funciones trigonometrías se obtienen a partir de un triángulo rectángulo, implicaría que los lados y la hipotenusa del triángulo deben tener la misma longitud, lo cual es imposible. 7.  Calcula el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos en el triángulo siguiente. Q/

#x a ?x / B %C 

B %C ?   –“ –“² ²_ / # # ? B %C   v v–– } /   v v–– } / # # B %C ? ”= ”=² ²} /   ”= ”=² ²} / ? B %C –“ –“² ²} /

8.  Resuelve el triángulo rectángulo siguiente, es decir, calcula el lado ¦  y los ángulos \ y |. Utilizando la función trigonométrica coseno: v v–– _ /

B ?

_ / v– ºH

B ? A

El ángulo }  es igual a:

  A

_ / (($B? %&;?(

} / #! a (($B? A %&;?(A   / B'$'CA C%;CCA

El lado q se puede obtener con el teorema de Pitágoras q/

?x a Bx / B% 

 

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Actividad de aprendizaje 1. Página 146 1.  Integrados en binas de trabajo, donde participe un hombre y una mujer, completen la tabla siguiente, consideren las definiciones anteriores y el triángulo que está la derecha de la misma. Funciones del ángulo Y_  Funciones del ángulo Y_   q   P Q v v–– _ /   P

–“² –“² _ /

q   Q Q v v”” _ /   q P

”=² ”=² _ /

–“v –“v _ / Q   P v– v–vv _ /   q

–“ –“² ²} /

Q   P

q   P Q ”=² ”=² } /   q

v v–– } /

v v”” } /

q   Q P

–“ –“vv } / q   P v–v v–v } /   Q

2.  Continúa de la misma manera con la tabla siguiente. Funciones del ángulo Y_  Funciones del ángulo Y_  C   ? ' v v–– c /   ?

–“² –“² c /

C   ' ' v v”” c /   C

'   ? C v– v– { /   ?

–“ –“² ²{ /

'   C

”=² ”=² c /

”=² ”=² { /

–“v –“v c /

?   '

v– v–vv c /

?   C

C   ' ? –“ –“vv { /   C ? v–v v–v { /   ' v v”” { /

 

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En acción. Página 146 Pon en acción tus saberes y resuelve los siguientes ejercicios como corresponde. 1.  Para el triángulo de la figura de abajo, calcula las seis funciones del ángulo  Z. El lado faltante se calculará con el teorema de Pitágoras: P/

'@x a %Bx / %B %BB? B? / '? 

'?   '@ '? ”=²] / %B '@ –“v –“v ] / %B

–“² –“² ] /

%B '@ %B   v” v” ] / '? '@ v–v v–v ] / '?

v– v– ] /    

2.  Para el triángulo siguiente, calcula las seis funciones del ángulo .. El lado faltante se calculará con el teorema de Pitágoras: CB;@%   x N '%;( '%;(& &   x L ?';%@ 

q/

CB;@%   '%;(& CB;@% ”=² ”=² ] / '%;(& ?';%@ –“v –“v ] / '%;(&

–“² –“² ] /

'%;(& ?';%@ '%;(&   v v”” ] / CB;@% ?';%@ v–v v–v ] / CB;@%

v– v– ] /    

3.  Calcula las seis funciones del ángulo \ del triángulo siguiente. El lado faltante se calculará con el teorema de Pitágoras: Q/

B

 x

N %   x / ' 

 

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–“ –“² ²_ /

B '

/

B   '

B  / B % ' –“ –“vv _ /   / ' %

”=² ”=² _ /

v v–– _ / v ” _ /

% ' %

 

B v–v _ /

' B

/

' B

4.  Dado el triángulo \Z| rectángulo en  Z, con 8 / j  y ¦ / ), calcula las seis funciones de ángulo  Z.

–“² #! / % ”=² #! / Ý –“v #! / Ý

v– #! / ! v”#! / !   v–v #! / %

5.  Dado el triángulo \Z| rectángulo en  Z, con 8 / *, ¦ / j y e / 5, calcula los siguientes productos.

C ? ' v v–– _ –“ –“vv _ / ? C ”= ”=² ² _ v v”” _ / '

–“ –“² ² _ v– v–vv _ /

?  /% C '   / %  C '  /% C

En acción. Página 148 Lee detenidamente cada una de las interrogantes que se plantean a continuación y responde según corresponda. Sugerencia: Para contestar correctamente las siguientes preguntas, es conveniente dibujar un triángulo rectángulo con los datos proporcionados. 1.  ¿Puede valer 2 el seno de un ángulo? ¿Por qué? –“ –“² ² ] / QPÈSÈÍ ÍÊÄSÌÈÍ  / B   VÉÊÍÈSsÄÌP

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

La igualdad anterior quiere decir que el cateto opuesto mide el doble que la hipotenusa, lo cual es imposible, en un triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado de mayor tamaño. 2.  ¿Es admisible el valor de 7;m*  para la secante de un ángulo? ¿Por qué? –“ –“vv ] /

Þ°ß”“²¶–=  / !;@?   v=”“” =>ƒ=v“²”“

La igualdad anterior quiere decir que la hipotenusa del triángulo rectángulo es más pequeña que el cateto adyacente, lo cual es imposible, en un triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado de mayor tamaño. 3.  Si el seno de un ángulo es igual a 3*. ¿Cuánto vale la cosecante del mismo ángulo? –“ –“² ²] /

% B  /   v–v] ?

Ÿ v–v v–v ] /

?   B

4.  catetos? En un triángulo. Si la hipotenusa mide 3* ,-, ¿Cuánto miden los Suponiendo que se trata de un triángulo rectángulo con lados iguales: B? /

} ^ x N }] x

B? / B} ^ B? }^ / B

 

 5 ,àÏÏ \ / . Si la hipotenusa mide 3* e©, ¿Cuánto miden 5.  En un triángulo, ,à * los catetos?

v v–– _ /

v=”“” =>ƒ=v“²”“ v=”“” =>ƒ=v“²”“ '   /   /   Þ°ß”“²¶–= B? ?

Ÿ v=”“” =>ƒ=v“²”“ / %?  

Por lo tanto: v=”“” v=” “” ß ߶“– ¶“–” ” /

B?x a %? x / C! C!! ! / B! 

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

En acción. Página 152 Resuelvan, en equipo de tres integrantes, cada una de las situaciones que se presentan a continuación. 1.  Calcula el valor natural de cada una de las siguientes funciones. –“² B';?@ / !;'##& !;'##& 

”=² '?$C!M '?$C!M / !;@%@@ 

–“v B'$'!M B'$'!M / %;!#!C 

v” %C$%@M %C$%@M / ';#B@# 

v–v @B;@?$ @B;@?$ / %;!C@% 

–“² &?;B?$ &?;B?$ / !;##(( 

”=² C?$ / % 

–“²'!$ /

v– @?;B?$ @?;B?$ / !;B?C( 

”=² B';?@$ B';?@$ / !;C'(' 

v” ((;C'$ ((;C'$ / !;C'(' 

–“² #!$ / % 

–“ –“² ² !$ / ! 

–“² ?@$ / !;&'&@ !;&'&@ 

%   B

v– (!$ /

%   B

2.  Dado el valor de la función trigonométrica, determina el ángulo correspondiente. –“² ] / !;?BB? !;?BB?    ] / '%$'! ' %$'! A !;'?AA

–“² ] / !;@(#& !;@(#&    ] / ?!$B! ? !$B! A #;'(AA

–“² ] / !;%?@( !;%?@(    ] / #$C A ';C'AA

v– ] / !;&?CB !;&?CB    ] / '%$%# ' %$%# A @BAA

v– ] / !;B('C !;B('C    ] / @C$C' @ C$C' A C%;%?AA

v– ] / !;?BB? !;?BB?    ] / ?&$B# A ?#;(?AA

”=² ] / B;BB#! B;BB#!    ] / (?$?! ( ?$?! A %C;#?AA

”=² ] / %#;@( %#;@(    ] / &@$( & @$(A

”=² ] / CB;@? CB;@?    ] / &&$'# & &$'# A #@AA

3.  Concluye si hay diferencia entre 3Ïáâ57$ y Ïáâ 3 57$ . Si existe diferencia, no es lo mismo: B –“ –“² ² '!$ '!$ / % ã –“² –“² (! /

'   B

4.  ¿Es lo mismo 3äâ57$ que äâ 67$? No es lo mismo: B ”=² ”=² '! '!$$ /

B '   ã ”=² ”=² (! / '   '

 

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5.  ¿El ,àÏ 57$ 57$ es la mitad de ,àÏ ,àÏ 67$? No es lo mismo: v– '!$ /

% ' %   ã v– (! /   C B B

Actividad de aprendizaje 2. Página 153 Realicen, en equipos de cinco integrantes, un mapa conceptual con las razones trigonométricas trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Utilicen algún software gráfico para construir su mapa y cuando esté terminado, socialícenlo con el resto del grupo. En el espacio siguiente, bosquejen su mapa conceptual. %   v–v` –“² ² `  –“

%   –“²`

v–v` 

%   –“v` v–` 

–“v`   %   v–`

%   v”` ”=²`  

v”`  %   ”=² ”= ²`

 

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Actividad de aprendizaje. Página 155 Realicen, en binas integradas por un hombre y una mujer, realicen una tabla con el cálculo de los valores de las funciones trigonométrica trigonométricass para 30°, 45° y 60° y sus múltiplos. W en

grados W en radianes ÏáâW  ,àÏW  äâW  ,àäW  Ïá,W  ,Ï,W 

57$  j*$  67$  X7$ 

ª   ( ª   C ª   ' ª   B Bª '  'ª   C

%   B %

'   B %

B

'   B

B %   B

% 

!  % a B 

 

)*7$ 

?ª   (

' B  B   B %   B

):7$ 

ª 

! 

3)7$ 

@ª   (

33*$ 

?ª   C Cª   ' 'ª   B

)37$  )5*$ 

3j7$  3m7$ 

?ª   ' @ª   C

B

' 

% 

'

%  %

' 

'

 

B 

B 

 

B  B

B 

Ind

! 

a ' 

' a ' 

'

B aB 

' 

B   a%  a%  a B  B ' B ' ' a   a   a   a   ' ' B '

'   '

'

B   B ' a   B

'   B B a   B % a   B

% 

% 

a B 

%

aB 

a% 

! 

Ind

%   B

a '  a

%   B

a

%%ª   (

567$ 

! 

! 

a

B 

a

Ind

a

a

'

' 

'

a% 

 

a

 

!  %

'

B   B

a% 

a% 

'   B

' a   '

'

% 

! 

Ind

'

 

B '

Ind  

 

% 

Ind

! 

557$ 

5)*$ 

'

 

a% 

'   B B a   B % a   B

577$ 

 

%

B  B 

B 

Ind   aB  B  a

B '

 

a%  a

B '

 

a B 

aB 

aB 

% 

Ind

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

En acción. Página 157 Analicen, en binas, las situaciones que se presentan a continuación y resuelvan según corresponda. 1.  Si la diagonal de un cuadrado mide j 3. ¿Cuál es el área del cuadrado? Utilizando el teorema de Pitágoras:  x

Px N Px / C B   BP x / 'B Px / %(

Por lo tanto:  ] / P x / C x / %( 

2.  Demuestra que en un triángulo equilátero de lado k, su altura mide 5 3 k

.

Consideremos el triángulo. Considerando uno de los triángulos rectángulos formados y aplicando el teorema de Pitágoras. • • /V N B •x •x / Vx N C x • •x a   / V x C x

x

x

' •x / Vx C V/

' x ' • /  • C B

 

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

3.  En un triángulo rectángulo e isósceles con hipotenusa )3, ¿Cuál es la longitud de la altura a la hipotenusa? Sea •  la longitud de cada lado del triángulo. %B /

•x N •x / %B •/ /( B B

B• x / B•

 

Consideran uno de los triángulos rectángulos generados por la altura. ( B

 x

/ Vx N (   x

V x / @B a '( / '(   V / '( / (

En acción. Página 156

Analicen, en equipos de tres integrantes, la situación que se presenta a continuación y resuelvan según corresponda corresponda..

Altura de un árbol.  árbol.  Un pino grande proyecta una sombra de )63 -  de largo. Determina la altura del árbol si el ángulo de elevación del sol en ese momento es de 57$.  

La altura del árbol es h .

 

Relaciona la altura entre la medida de la sombra. ¿Cómo se llama esa relación?

•

•

”=² '!$ / V   %(;B

 

•

Despeja h  y realiza el cálculo correspondiente. V / %(;B %(;B ”= ”=² ² '!$ '!$ /

B@ '   L #;'?'   ?

Actividad de aprendizaje. Página 162 Lee detenidamente cada una de las situaciones que se presentan a continuación y resuelve según corresponda, utiliza las razones trigonométricas directas y recíprocas.

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

1.  Resuelve el siguiente triangulo rectángulo, es decir, calcula el lado ¦  los ángulos \ y |. Por el teorema de Pitágoras: q/

?x a Bx / B% 

Entonces: –“² –“² _ /

B% B

_ / –“²

  B%   / (($B? A ?(AA ?

ºH

 

Por lo tanto: } / #!$ a (($B? A ?(AA / B'$'CA C%;CCMM 

2.  Resuelve el siguiente triángulo rectángulo, es decir, calcula el lado 8  y los ángulos \ y |. Por el teorema de Pitágoras: P/

(x N C x / ?B / B %' 

Entonces: C

–“² –“² _ /

B %'

_ / –“²ºH

  C B %'

  / ''$C%A BC;BCA

Por lo tanto: } / #!$ a ''$C%A BC;BCAA / ?($%&A '?;@(MM 

3.  Un triángulo \Z| es rectángulo en  Z. Si el cateto ¦ / 37 y el ángulo \ / 57$, determina los demás elementos del triángulo. De la función seno: B! P   B! P/  / C! –“ –“² ² '!

–“² –“² '! /

Utilizando el teorema de Pitágoras: Q/

C!x a B!x

/ !! / B!%B'

 

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

Entonces: } / #!$ a '!$ / (!$ 

4.  Un obrero tiene una escalera de )3 metros. ¿Qué ángulo debe formar con el suelo para alcanzar una altura de :  metros? Elabora un esquema de la situación. –“ –“² ²] /

& %B

 B   ' / C%$C&A '@;%'AA

 ] / –“² – “²ºH

5.  En la figura siguiente, ¿Cuál es la longitud de la apotema y cuál es el área de un hexágono inscrito en una circunferencia con radio de )7 ,-? Todo polígono regular inscrito en una circunferencia está formado por s triángulos equiláteros, donde s es el número de lados. La apotema es la altura de uno de los triángulos rectángulos que se forman en el triángulo, equilátero, entonces: P/

%!x a ? x / @? / ? ' 

6.  Un árbol de )* metros de altura proyecta una sombra de 37 metros. ¿Cuál es el ángulo que forma el Sol con el horizonte?

”= ”=² ²c /

%? B!

  ' C / '($?BA %%;('AA

c / ”=²ºH

 

  "#$%&'$()#* +

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Actividad de aprendizaje 4. Página 164 Analicen, en equipos de tres integrantes, cada una de las situaciones que se presentan a continuación y resuelve según corresponda, usa las razones trigonométricas. 1.  Un barco parte del punto \ y se dirige al sur 0. Después de recorrer 3* millas, desde la embarcación se ve el punto Ñ con un ángulo de 35;*$. ¿A qué distancia \Ñ estaba el barco en el momento de partida? Conocemos el cateto adyacente del triángulo rectángulo y deseamos conocer el cateto opuesto, por lo tanto, la función trigonométrica que se necesita es la tangente.

”=² B';? B';? / _~   / _~   _å B? _~ / B? ”=² B';? / %!;&@ %!;&@ w°³³= w°³³=––

Se encuentra a %!;&@ w°³³=– en dirección lateral del punto de partida 2.  Un cable guía de *3 pies de longitud va desde el nivel del piso hasta lo alto de una antena. El cable forma un ángulo de 6:;6$ con la antena. ¿A qué distancia de la base de la antena está anclado el cable? Conocemos la hipotenusa del triángulo rectángulo y deseamos conocer el cateto adyacente, por lo tanto, la función trigonométrica que se necesita es el coseno. •   ?! • / ?! v– (&;( (&;( / %&;BC %&;BC ¸”  ¸” 

v v–– (&;( (&;( /

El cable está anclado a una distancia de %&;BC ¸”   3.  Desde un punto sobre el suelo a *7 - de la base de un edificio, se observa que el ángulo de elevación hasta la parte superior del edificio es de 3j$ y que el ángulo de elevación hasta la parte superior de la astabandera del edificio es de 3m$. Determina la altura del edificio y la longitud de la astabandera.

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

Conocemos el cateto adyacente del triángulo rectángulo y deseamos conocer el cateto opuesto, por lo tanto, la quefunción trigonométrica se necesita es la tangente VH   ?! VH  / ?! ”=² BC / BB;B( BB;B( w

”=² ”= ² BC /

Vx   ?! Vx  / ?! ”=² B@ / B?;C@ B?;C@ w

”=² ”= ² B@ /

El edificio tiene una altura de BB;B( w. La astabandera tiene una longitud de ';B% w 

Por lo tanto: V‘  / V x a V H / B?;C@ a BB;B(   / ';B% w

4.  Desde la punta \ de una torre, el ángulo de depresión de la punta ‚  de otra torre, que dista 57 metros de la primera, es de 3:$. Si la torre más alta mide 63 metros, ¿Cuál es la altura de la torre menor? Conocemos el cateto adyacente del triángulo rectángulo y deseamos conocer el cateto opuesto, por lo tanto, la función trigonométrica que se necesita es la tangente. ^™ '!   ^™ / '! ”=²B& / %?;#? w Vx  / (B a %?;#? / C(;!C w

”=² ”=² B& /

La segunda torre tiene una altura de C(;!C w. 5.  Una rampa de 37  metros de largo esta inclinada *$ con respecto al nivel del piso. ¿Qué tanto se eleva la rampa sobre el nivel del piso? Conocemos la hipotenusa del triángulo rectángulo y deseamos conocer el cateto opuesto, por lo tanto, la función trigonométrica que se necesita es el coseno –“ –“² ²? /

V B!

V / B! –“² ? / %;@C %;@C w

 

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

La rampa se eleva %;@C w. 6.  Analiza la figura siguiente y determina el valor de la distancia l. Calculando el primer ángulo ”=² ”=² ` /

B? C!

` / ”=²

ºH

B?  / 'B$ C!

 

El ángulo necesario para determinar „ es: c / ` N ?$ / 'B$ N ?$ / '@$  Ocupando la función tangente: B? N „ C! B? N „ / C! ”= ”=² ² '@   „ / C! ”=² '@ a B? „ / ?;%C w ”=² ”= ² '@ /

Habilidad matemática. Página 166 David necesita alcanzar un libro que se encuentra en la parte superior de un librero; coloca una escalera de 150 centímetros de longitud, cuya base queda a 75 centímetros de la del librero, como se muestra en la figura siguiente.

¿Cuál es el valor del ángulo que tiene la escalera con respecto al piso? a)  57$ 

b)  j*$ 

c)  67$ 

d)  m*$ 

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

v v–– ` /

@? %?!

` / v– ºH

%  B

` / (!$

Serie de ejercicios. Página 167 TRADUCIENDO AL LENGUAJE MATEMÁTICO  1.  ¿Qué es una razón trigonométrica? La noción de razón trigonométrica se refiere a los vínculos que pueden establecerse entre los lados de un triángulo que dispone de un ángulo de 90º. Existen tres grandes razones trigonométricas: tangente, seno y coseno. 2.  Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. La función seno. 3.  Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. La función coseno. 4.  Es la razón entre el cateto opuesto y cateto adyacente. La función tangente. 5.  La función secante es la inversa de la función: De la función coseno. MATEMÁTICAS GRÁFICAS   

6. agudos Calcula en el el valor de lassiguiente: funciones trigonométricas de los ángulos triángulo Q/

B(   x a %@   x / ' C' 

Funciones del ángulo Y\  %@   B( ' C' v v–– _ /   B( %@ ”=² ”=² _ /   ' C'

–“ –“² ²_ /

Funciones del ángulo Y\  ' C'   B( %@ v v–– } /   B(

–“ –“² ²} /

”= ”=² ²} /

' C'   %@

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

' C' v v”” _ /   %@ B( –“ –“vv _ /   ' C' B( v–v v–v _ / %@ 

%@

v v”” } /

 

' C' B( –“ –“vv } /   %@ B( v–v v–v } / ' C' 

7.  Resuelve el triángulo rectángulo de la figura siguiente. El ángulo faltante es: ` / #! a '@;%B / ?B;&&$  

El cateto adyacente a '@;%B$ es: ”=² '@;%B '@;%B / }] /

(;B }]

(;B   ”=² '@;%B '@;%B

}] / &;%#

La hipotenusa es. æç™ /

(;Bx N &;%#x / %!;B@ 

8.  En el triángulo siguiente, calcula las seis funciones del ángulo. q/

%C   x a %!;C %!;C# #   x / #;B@ 

Funciones del ángulo Y\  –“ –“² ²c /

%!;C#

 

%C #;B@ v v–– c /   %C %!;C# ”=² ”=² c /   #;B@

Funciones del ángulo Y\  v v”” c /

#;B@

 

%!;C# %C –“ –“vv c /   #;B@ %C v–v v–v c /   %!;C#

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

EJERCICIOS NUMÉRICOS  9.  Calcula el valor natural de cada una de las siguientes funciones: !;BB!C%  a)  äâ )3; j5$ / !;BB!C% !;B?&&  b)  ,àÏ m*$ / !;B?&& c)  Ïáâ5m; ):$ / !;(!C !;(!C' '  %;!?B( (  d)  Ïá, ):; )X$ / %;!?B

10.  Dado el valor de la función trigonométrica, determina el ángulo correspondiente. a)  ,à ,àää Z / 63; 63; 5:  La función cotangente es: v v”” ] /

%  / (B;'&   ”=²]

Entonces: ”=² ”=² ] /

% (B;'&

  %   (B;'& / !;#%&C

 ] / ”=²ºH

b) Ïáâ\ / *;*3  No existe un ángulo _  tal que al aplicar la función seno el resultado sea ?;?B  debido a que el rango de la función seno esta en el intervalo !"%   y 5.52 no pertenece al intervalo. c)  Ïá,| / :)  La función secante es: –“ –“vv } /

%  / &%   v–]

Entonces: v v–– } /

% &%

 %   &% / &#;B#B(

} / v– ºH

 

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d) ,à ,àÏÏ \ / j:; j:; )7  No existe un ángulo _ tal que al aplicar la función coseno el resultado sea C&;%!  debido a que el rango de la función coseno esta en el intervalo !"%  y 48.10 no pertenece al intervalo. PROBLEMAS DE APLICACIÓN  11.  Un árbol proyecta una sombra de 3* 3*;; X -  de largo. Determina la altura del árbol si el ángulo de elevación del Sol en ese momento es de )X$. Utilizando la función tangente se tiene: V B?;#   V / B?;# B?;# ”= ”=² ² %#$ %#$ V / &;#%&

”=² %#$ /

El árbol tiene una altura de 8.918 metros. — hasta el punto 12.  Z Un barco navega hacia el de suroeste desde un punto , distante 56 kilómetros —. ¿A qué distancia k se halla cuando el barco está en  Z? Traza un diagrama que ilustre este problema.

La distancia requerida se obtiene utilizando la función coseno: • '(   • / '( '( v– v– C?$ C?$ • / %& B

v– C?$ /

El barco se encuentra a una distancia horizontal de B?;C( km del punto ™ .

13.  Un cable guía de *  metros de longitud va desde el nivel del piso hasta lo alto de un poste. El cable forma un ángulo de 5*; 36$ con el piso. ¿A qué distancia de la base del poste está anclado el cable? La distancia requerida se obtiene utilizando la función seno: • ?   • / ? w –“² '?;B($ '?;B($ • / B;&&( w

–“² '?;B($ '?;B($ /

El cable guía está anclado a B;&&( m de la base del poste.

 

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14.  Calcula el ángulo de elevación del Sol si un edificio que tiene una altura de 53;): metros proyecta una sombra de )m;5* metros. Utilizando la función tangente: 'B;%& w ”=² ”=² ` / %@;'? w   'B;%& w ` / ”=²ºH %@;'? w A / (%$C! (;C(AA

 

15.  Desde la punta — de una torre, el ángulo de depresión de la punta  Z de otra torre, que dista )m metros de la primera, es de *5$. Si la torre más alta mide :5  metros, ¿cuál es la altura de la torre menor? Utilizando la función tangente: ”=² B!$ /

C! w N (? w R

R / C! w N (? w  ”=² B!$ / B&&;C& w

 

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5

Bloque   Funciones trigonométricas Evaluación diagnóstica. Página 177 Para darte cuenta de qué tanto sabes sobre los temas que se abordan en este bloque, y qué habilidades o actitudes tienes hacia ellos, contesta las siguientes preguntas. De esta manera también podrás distinguir en cuáles aspectos conviene que enfoques tu aprendizaje. 1.  ¿En qué cuadrante de las coordenadas rectangulares se ubica el ángulo de 440°? a)  Cuarto. b)  Tercero. c)  Primero. d)  Segundo. 2.  ¿Cuál es el ángulo entre 7$ y 567$ que coincide con el ángulo aj*$? a)  )5*$ b)  5)*$ c)  3)*$ d)  jj*$ 3.  Es un ángulo entre 7 y 34 que coincide con el ángulo de )*4. a)  4 b)  ); *4 c)  7; *4  

m*4 d) ); m*4 4.  La función ,àÏ)*7$ es equivalente a la función: ,àÏ 57$  a)  ,àÏ ,àÏ j7$  b)  ,àÏ c)  a,àÏ57$  d)  a,àÏ)*7$ 

5.  Explica cuántos tipos de identidades trigonométricas conoces y cuál es la diferencia entre un tipo y otro. Funciones trigonométricas reciprocas y pitagóricas. Las identidades reciprocas se obtienen al calcular al inverso multiplicativo de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Las identidades pitagóricas son las que se obtienen a partir del círculo unitario.

 

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6.  Bosqueja gráficamente las funciones: senoidal, cosenoidal y tangencial. Senoidal

Cosenoidal

Tangencial

 

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7.  ¿Por qué äâ äâ )*7$ )*7$ / a äâ äâ 57$ 57$? Debido a que '!$  es el ángulo de referencia asociado con %?!$  en el segundo cuadrante.  5 8.  Escribe el valor de las funciones del ángulo W, si se sabe que Ïáâ Ïáâ W /   * y que el ángulo W está en el segundo cuadrante.

' –“ –“² ²` /   ? ' C ? –“v` / a C

”=² ”= ²` / a

C ? C v” v” ` / a   ' ? v–v v–v ` / '

v– v– ` / a    

 

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En acción. Página 178 Un terreno tiene la forma de un triángulo obtuso como el que se muestra en la figura. Si se conocen dos lados y el ángulo obtuso, determina su superficie.

 

La fórmula para calcular el área de un triángulo es è /   )3 éê.

 

Como no conoces ninguna altura, observa el siguiente bosquejo.

 

Ïáâ 67$; 67$;  Si utilizas la función seno, entonces ê / * Ïáâ

 

Ahora ya puedes calcular el área del terreno.

•

•

•

•

 ] /

 

•

% % B? ' qV /   % %! ! ? – “² “² ( !$ !$ /   B B B

De hecho, esta secuencia nos proporciona la forma para obtener el área de cualquier triángulo con la expresión  Z /   )3 8¦ÏáâW, donde 8 y ¦ son los lados conocidos y W es el ángulo que forman.

En acción. Página 178 En binas de trabajo donde participen un hombre y una mujer, dialoguen y expliquen por qué Ïáâ)37$ / Ïáâ Ïáâ 67$.

Los triángulos rectángulos que se forman son idénticos salvo que están localizados en diferentes cuadrantes del plano cartesiano.

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

En acción. Página 180 Pon en acción tus saberes y determina el ángulo de referencia del ángulo dado e ilústralo con un diagrama del lado terminal en los ejes coordenados. El ángulo de referencia es: % C?$   ` / BB?$ a   '(!$ / C?$ B

Los ángulos a'!$  y ''!$  coinciden en el cuarto cuadrante, por lo tanto: ` / '(!$ a ''!$ / '!$  

Los ángulos ?@!$ y B%!$ coinciden en el tercer cuadrante, por lo tanto:

' ª / %!&$  ?

` / B%!$ a %&!$ / '!$  

` / %&!$ a %!&$ / @B$  

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

Actividad de aprendizaje. Página 184 Resuelvan, en equipos de tres integrantes, los ejercicios que se presentan a continuación, determinen el valor de las funciones trigonométricas que se asocian con un punto en el plano cartesiano. Recuerden que el logro de la actividad es responsabilidad de todos, por lo tanto, si alguno de sus compañeros de equipo tiene dudas sobre un tópico en particular, conversen con él sobre el procedimiento que se tiene que seguir para llegar al resultado correcto. Compartan aquellos consejos que consideren necesarios para que su compañero sea capaz de enfrentar este tipo de situaciones con éxito. 1.  Determina el valor de la función trigonométrica que se indica y  justifica tu respuesta dib dibujando ujando el lado termi terminal nal del án ángulo. gulo. –“² %?!$ %?!$ / –“² –“² '! /

 H x

 Á   porque está en el v– v– ?@!$ ?@!$ / av– '! / a   porque está x

segundo el tercer cuadrante y el ángulo de referenciacuadrante es de '!$. y el ángulo de en referencia es de '!$.

  Á

”=² ?@!$ / ”=² ”=² '! /

 porque está en y el ángulo de

–“ –“v %B!$ %B!$ / a –“ –“v v (! / aB aB el vsegundo cuadrante

 porque está en el tercer cuadrante y el ángulo de referencia es de '!$. referencia es de '!$. Á

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

2.  Determina el cuadrante y dibuja el lado móvil de ., en los ejes coordenados siguientes, a partir de la información dada.

–“² –“² c ë ! „ v v–– c ë ! 

”= ”=² ² c ë ! „ –“² c ë ! 

–“ –“vv c ì ! „ ”=² c ë ! 

3.  Determina los valores de las funciones trigonométricas de ., si  5 Ïáâ Ïáâ . /   y . está en el cuadrante II. Acompaña tu respuesta con un * dibujo. Con el teorema calculamos la abscisa: de •/

Pitágoras

?x a 'x / C  

En seguida calculamos las funciones trigonométricas. C   ? aC v v”” c /   ' ? v– v–vv c /   ' v–c / a

'   aC ? –“ –“vv c /   aC

”=² ”=² c /

 

5 Determina los de las tus funciones trigonométricas de ., si 4. äâ ä â . / a  y ,à ,àÏ Ï . valores ì 7. Acompaña respuestas con un dibujo. j

Con el teorema de Pitágoras calculamos la hipotenusa: •/

Cx N a'   x / ?  

En seguida calculamos las funciones trigonométricas. C   ? C v v”” c /   a'

v v–– c /

v– v–vv c / ?   a'

a'   ? ? –“ –“vv c /   C

–“ –“² ²c /

 

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5. 

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

Determina los valores de las funciones trigonométricas de ., si ,Ï ,Ï,, . / 3 y . está en el cuadrante I. Acompaña tus respuestas con un dibujo.

Con el teorema de Pitágoras calculamos la hipotenusa: x x • / B N % / ', en seguida calculamos las funciones trigonométricas. '   B v ” c / ' 

–“ –“² ²c /

v v–– c /

”=² ”=² c /

% '

–“ –“vv c /

%   B B '

 

 

En acción. Página 189 Formen equipos de cinco integrantes y colaborativa colaborativamente mente elaboren, con el software de su elección, las gráficas de las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, mediante propiedades y signos o por tabulación de puntos. • 

!$ 

%?$ 

'!$ 

C?$  

(!$ 

@?$ 

#!$  

%!?$ 

%B!$ 

%'?$ 

Å 

–“²•  

! 

!;B( 

!;?! 

!;@! 

!;&( 

!;#( 

% 

!;#( 

!;&( 

!;@! 

Å 

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

• 

!$ 

%?$ 

'!$ 

C?$ 

(!$ 

@?$ 

#!$ 

%!?$ 

%B!$ 

v–•  

% 

!;#@ 

!;&@ 

!;@! 

!;?  

!;B( 

! 

• 

!$ 

%?$ 

'!$ 

C?$ 

(!$ 

@?$ 

#!$  

”=²• 

! 

!;B( 

!;?@ 

% 

%;@' 

';@'  ÉsRST  a';@'  a%;@' 

%'?$ 

a!;B(  a!;?  a!;@! 

%!?$ 

%B!$ 

Å  Å 

%'?$ 

Å 

a% 

Å 

Actividad de aprendizaje. Página 193 Formen equipos de tres integrantes y, colaborativamente, obtengan las identidades pitagóricas a partir de la definición de las funciones trigonométricas trigonométr icas en el plano cartesia cartesiano no o círculo trigonométrico. 1.  Si ,Ï,k /  *j, ¿Cuánto vale el seno del mismo ángulo? v–v v–v • /

% –°²•

 /

? C

 

Ÿ –“ –“² ²• /

C ?

 

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

 m 2.  Si ,à ,àää k / . ¿Cuánto vale la cotangente del ángulo complementario? *

v v”” #! a • /

3.  Expresa ,àäk en función de Ïáâk. v v”” • /

% % v–•  / –“²• /  / ”=²• –“²•

% a –“²x •   –“²•

v–•

4.  Expresa Ïá,k en función de äâk. –“ v • /

”=²x • a %  

5.  Expresa Ïá,k en función de Ïáâk. –“ v • /

”=²x • a %

/

–“²x •  a % v– x •

/

–“²x •  a % % a –“²x •

/

–“²x • a % N –“²x • % a –“²x •

/

B–“²x • a % % a –“²x •

 

6. Comprueba que Ïá Ïáâ â 3. / 3 Ïáâ. ,à ,àÏÏ ., cuando 3. / mj. Del ángulo doble se tiene: –“²Bc / B–“²cv–c 

?   @

 

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Sustituyendo valores: –“²@C / B–“²'@v–'@ !;#(%B !;#( %B / B !;(!%& !;@# !;@#&( &( !;#(%B / !;#(%B

 

,àÏÏ 3 . a Ïá â3 ., cuando 3. / )*7. 7. Comprueba que ,àÏ 3. / ,à Del ángulo doble se tiene: v– Bc / vv– –x c a –“ –“² ²x c   Sustituyendo valores: v– Bc / v v––x c a –“ –“² ²x c   '  B a ' B N '   a a  / C   C B  '  ' a  /a B B   3ä â.

äâ 3. / )ºäâ3 ., cuando ä äâ â . / 33. 8. Comprueba que äâ De la igualdad se tiene que: c / ”=²ºH BB / a!;!#%!# 

Entonces:   B”=²c % a ”= ²x c     B BB a!;!#%!# / % a B Bx a!;!#%!# / a!;!#%!# ”=² ”=² Bc /

 

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Habilidad matemática. Página 195 El brazo de una grúa bombea agua del subsuelo. La gráfica siguiente describe la distancia en metros a la que se encuentra el punto medio de este brazo, a medida que transcurre el tiempo en segundos.

El nivel está puede ser positivo, está sobre el suelo, negativo,a cuando debajo. ¿Cuál es cuando la función trigonométrica queo describe esta función de distancia ‚ í ? îr a) %! % ! –° –°² ²   ÁJ

îr b) %!v– % !v– ÁJ  

îr c) %! ”=² ”=²   ÁJ

îr d) (! ( ! –° –°² ²   ÁJ

Serie de ejercicios. Página 196 TRADUCIENDO AL LENGUAJE MATEMÁTICO  1.  ¿Qué entiendes por coordenadas rectangulares? Es un sistema de correspondencia que hay entre cada punto geométrico y un par de números reales en el plano. 2.  ¿Cuáles funciones trigonométricas son negativas en el tercer cuadrante? Las funciones seno, coseno, cosecante y secante son negativas en el tercer cuadrante. 3.  ¿A qué se le llama círculo unitario? Es aquel que se traza con radio igual a %.

 

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4.  ¿Qué es una identidad trigonométrica? Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas). 5.  ¿Cuál es la diferencia entre senoide y cosenoide? Ambas graficas son en esencia muy parecidas, pero están desfasadas #!$ una respecto a la otra. MATEMÁTICAS GRÁFICAS  6.  Determina el ángulo de referencia del ángulo dado e ilústralo con un diagrama del lado terminal en los ejes coordenados

Los ángulos B!$ y @C!$ coinciden en el primer cuadrante, por lo tanto:

c / @C!$ a @B!$ / B!$  

7.  Determina el valor de las funciones trigonométricas del ángulo de jm°.

–“² C@$ / !;@'

v– C@$ / !;(&

”–=“²v C@ C@ C@ @$$ / /% %;;C !( @ C

–v” C@ C@ C@ @$$ / /! %;;# '' (  vv C

 

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8.  Determina el valor de la función trigonométrica que se indica y  justifica tu respuesta, d dibuja ibuja el lado termin terminal al del áng ángulo. ulo.

”=² %'?$ %'?$ / a% 

EJERCICIOS NUMÉRICOS  9.  Expresa las funciones siguientes en función de un ángulo agudo. a)  v– B&@$ B&@$ / v– v– '(!$ '(!$ a @'$ / v– v– @'$

b) 

 

”=² '!?$ '!?$ / ”=² '(!$ a ??$ / a ”=² ??$

 

c)  –“² %@!$ %@!$ / –“² –“² %&!$ %&!$ a %!$ / –“² –“² %!$

 

–“v BB!$ BB!$ / –“v %&!$ N C!$ / a –“v C!$

 

v–v 'C% 'C%$$ / v–v '(!$ a %#$ / a v–v %#$

 

d)  e)  10.  Encuentra el valor de: !;?@'? a)  ,àÏ 57*$ / !;?@'? a!;&&B# b) Ïáâ 3X:$ / a!;&&B#

c)  äâ 3m6$ / a#;?%C' a#;?%C' a!;#C??  d) Ïáâ 3:X$ / a!;#C??

e)  ,àÏ 556$ / !;#%'? !;#%'? 11.  Determina el valor de las funciones trigonométricas siguientes (empleando las identidades trigonométricas del ángulo doble). a)  ,àÏ 56$  v– '( '($$ / v–x %&$ a –“²x %&$ / !; !;#? #?%! %!   x a !;' !;'!# !#! !   x  / !;&!#!

 

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b) äâ 357$ 357$    B”=²%%?$ % a ”= ²x %%?$   B aB;%CC?

”=² B' B'!$ !$ /

 

/ % a aB aB;% ;%CC CC? ? x / %;%#%@

c)  Ïáâ)67$  –“ –“² ² %( %(!$ !$ / B –“ –“² ² &! &!$$ v v–– &!$ &!$ / B !;# !;#&C &C& & !;%@' !;%@'( ( / !;'CB!

 

557$  d) ,àÏ 557$

v– '' ''!$ !$ / v–x %(?$ a –“ –“² ²x %(?$   (N B / a C /

x

  (a B a C

x

 

 ' B

e)  äâ 3:$    B”=²%C$ % a ”= ²x %C$   B !;BC !;BC#' #'   / % a !;B ;BC C#'   x / !;?'%@

”=² B& B&$$ /

PROBLEMAS DE APLICACIÓN  12.  Si ,Ï,\ /  X , ¿Cuánto vale Ïáâ\¹  *

–“ –“² ²_ /

% % ?  / /   v–v_ # # ?

 j 13.  Si ,à ,àää \ / , ¿Cuánto vale äâ\¹  5

”= ”=² ²_ /

14.  Si ,àäZ /   35, ¿Cuánto complementario?

% % '  / /   v”_ C C '

vale

la

' v” v” #! a ] / B 

cotangente

del

ángulo

 

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15.  Calcula el área de un triángulo de lados 3: y 33 y que forman un ángulo de )77$.   ] /

%   B& BB –“ –“² ² %!!$ %!!$ / '!'; '!';'B 'B   B

 

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6

Bloque Triángulos oblicuángulos Evaluación diagnóstica. Página 207

Para darte cuenta de qué tanto sabes sobre los temas que se abordan en este bloque, y qué habilidades o actitudes tienes hacia ellos, contesta las siguientes preguntas. De esta manera también podrás distinguir en cuáles aspectos conviene que enfoques tu aprendizaje. 1.  Triángulo que no tiene ningún ángulo recto. a)  Oblicuo. b)  Escaleno. c)  Isósceles. d)  Equilátero. 2.  Un triángulo en el cual conocemos sólo sus tres ángulos tiene a)  una solución b)  dos soluciones c)  solución ambigua d)  ninguna solución 3.  Un triángulo en el cual conocemos sus tres lados tiene: a)  una solución b)  dos soluciones c)  solución ambigua d)  ninguna solución Ïáâ k / ); 777) 777). 4.  Es el valor de k en Ïáâ a)  X7$ b)  ï X7$ c)  ð X7 d)  Indeterminado

5.  Explica cómo obtener el ángulo  Z si ÏáâZ / 7;*. Se tiene que aplicar la función inversa del seno, es decir,  ] / –“² – “²ºH !;? . 6.  En un triángulo de lados 8, ¦  y e  con ángulos respectivamente 8   ‘ opuestos  Z, \ y |. ¿Cómo enunciarías la expresión ñòóZ  / ?  ñòóô En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

7.  En un triángulo con lados  Z, \  y | y lados 8, ¦  y e  respectivamente respectivamente opuestos a los ángulos. ¿Cómo enunciarías la expresión 83 / ¦ 3 N e3 a 3¦,àÏZ? En todo triángulo, el coseno de un ángulo es igual a la suma de los cuadrados de losellados los forman, cuadrado del lado opuesto, dividido todo entre dobleque producto de losmenos lados el que forman dicho ángulo. 8.  Explica cómo encontrar el ángulo  Z a parir de ,à ,àÏÏ Z / 7; 7; *? El ángulo  ] se puede determinar aplicando a función inversa coseno, es decir: v– ] / !;? / v– v– ºH !;?    ] / (!$ ( !$

v– ºH v– ]

 

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En acción. Página 208 Pon en acción tus saberes y resuelve el ejercicio siguiente como corresponde.  

1. El precioen porõ3metro cuadrado el centro de la ciudad en México está 777. ¿Cuál valuado es el en valor de un predio triangular con lados de longitudes 5j;3, j* y *m metros?

Para calcular el precio del predio es necesario conocer su superficie, y para eso hace falta conocer por lo menos unos ángulos, o bien, su altura. –“² ² ], y • / q v v–– ].   Observa en el bosquejo del terreno que V / q –“  

•

•

 

•

Por el teorema de Pitágoras. Px / V x N Q a •   x  

También P x / q – “ ² ]   x N Q a q v – ]   x  

Sustituimos V y • .

P x / q x –“²x  ] N Q x a BqQ BqQ v– v– ] N qx v– x  ] 

Desarrollamos.

P x / q x –“²x  ] N v– x  ] N Q x a BqQ BqQ v– v– ] 

Factorizamos qx .

P x / q x N Q x a BqQ BqQ v v–– ] 

–“²x  ] N v– x  ] / % .

qx N Q x a Px v v–– ] /   BqQ

Despejamos v–].

Ahora ya puedes calcular el ángulo  ] y, por consiguiente, el área del predio con la expresión  ] /  Hx qQ–°²] ; también puedes calcular su costo.  

•

 ] /

%   C? ?@ –“ –“² ² '($ '($?% ?%A C@;?CM C@;?CMMM L @(#;'@# @(#;'@#  B

Actividad de aprendizaje 1. Página 215

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

Formen equipos de tres integrantes y de forma colaborativa colaborativa,, resuelvan cada una de las situaciones que se presentan a continuación, apliquen las leyes de los senos y cosenos para resolver triángulos oblicuángulos. Recuerden que todos son responsables de la tarea, por lo que si alguno de los integrantes del equipo tiene dudas o no comprende cómo se debe resolver alguna situación, será necesario que sus compañeros le expliquen el procedimiento a seguir y compartan consejos que le puedan servir para cuando enfrente situaciones similares en el futuro. *7; 3:" ö / 5:$" 5:$" ÷ / m mm$ m$. 1.  Resuelve el triángulo donde 8 / *7;

De la suma de los ángulos internos de un triángulo:  ] / %&!$ % &!$ a @@$ a '&$ / (?$ ( ?$ 

Por la ley de los senos para los lados Q  y P: ?!;B& Q  / –“² (?$ –“² @@$ Q / ?!;B& –“² @@$  –“² (?$ L ?C;!??

Por la ley de los senos para los lados q y P : ?!;B& q  / –“² (?$ –“²'&$   ?!;B& –“²'&$ q/ –“²(?$ L 'C;%??

2.  Resuelve el triángulo donde 8 / X7" X7" è / 5m; 5m; *$ *$"" ö / 3:; 3:; )$. De la suma de los ángulos internos de un triángulo:

} / %&!$ a '@;?$ a B&;%$ / %%C;C$  

Por la ley de los senos para los lados Q   y P: #! Q  /   –“² '@;?$ '@;?$ –“² %%C;C$ %%C;C$   #! –“² %%C;C$ %%C;C$ Q/ –“² '@;?$ '@;?$ L %'C;(C

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

Por la ley de los senos para los lados q y P : #! q  / –“² '@;?$ '@;?$ –“² B&;%$ B&;%$   #! Q/ –“² B&;% B&;% –“² '@;?$ '@;?$ L (#;('

3.  Resuelve el triángulo donde é / )3; )3; j:" , / X; X; m:" ö / 3X$5: 3X$5:MM. Por la ley de los senos para los lados Q  y q: %B;C& #;@&  / –“² B#$'& B#$'&A –“²} } / –“²ºH #;@&

–“² B#$'& B#$'&A %B;C&

 

/ BB$C@A ?%;%AA

De la suma de los ángulos internos de un triángulo:  ] / %&!$ % &!$ a B#$'& B#$' &A a BB$C@A ?%;%MM / %B@$'CA &;#MM 

Por la ley de los senos para los lados q y P : P %B;C&  / %B@$'CA &;# AA –“² B#$'& B#$'&A $ –“² %B@$'C   %B;C& A AA –“² %B@$'C %B@$' C &;# P/ –“² B#$'& B#$'&A $ L B! B!

4.  Resuelve el triángulo donde 8 / *:; *:; 5" , / *6; *6; :6$" :6$" | / 6 6:; :; m$. Por la ley de los senos para los lados P y Q : ?(;&(

?&;'

–“² (&;@$ (&;@$ /  / –“²]  ] / –“² – “²ºH ?&;' / @B$C&A ?;@&AA

–“² (&;@$ (&;@$ ?(;&(

 

De la suma de los ángulos internos de un triángulo: _ / %&!$ a (&;@$ a @B$CÈ&A ?;@&AA / '&$B#A ?C;BBMM 

Por la ley de los senos para los lados Q  y P: q ?(;&(  / '&$B#A ?C;BBAA –“² (&;@$ (&;@$ –“² '&$B# ?(;&(

A

AA

q / –“² (&;@$ (&;@$ –“² '&$B# '&$B# ?C;BB L '&

 

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

5.  Resuelve el triángulo donde , / 55; 55; ):"  / 3:; 3:; 7X" è / *5$3 *5$3:M :M. Por la ley de los senos para los lados Q  y P: B&;!#

 / A

'';%&

–“² ?'$B& ?'$B& –“²} –“² ?'$B& ?'$B&A ºH } / –“² '';%& B&;!# A AA / @%$'& 'B;@

 

De la suma de los ángulos internos de un triángulo: _ / %&!$ a ?'$B&M ?'$B&M a @%$'& @%$'&A 'B;@MM / ?C$?'A B@;'MM 

Por la ley de los senos para los lados q y P: B&;!# q  / –“² ?'$B& ?'$B&A –“² ?C$?' ?C$?'A B@;'AA   B&;!# A AA q/ –“² ?C$?' ?C$ ?' B@;' –“² ?'$B& ?'$B&A L B&;(

6.  Los puntos  Z  y \  están en lados opuestos de un río. El punto |  está a 377  yardas de  Z, el ángulo  Z / mm; *$, el ángulo | / 6m; 6m; 3$. ¿Cuál es la distancia entre  Z y \. De la suma de los ángulos internos de un triángulo: _ / %&!$ a (@;B$ a @@;?$ / '?;'$  

Por la ley de los senos para los lados q y Q : B!! Q  / –“² '?;'$ '?;'$ –“² (@;B$ (@;B$ B!!   Q/ –“² (@;B$ (@;B$ –“² '?;'$ '?;'$ L '%#;!( ƒ==–

Por la ley de los senos para los lados q y P: P B!!  / @@;?$ –“² '?;'$ '?;'$ –“² @@;?$ B!!   P/ –“² @@;?$ @@;?$ –“² '?;'$ '?;'$ L ''@;# ƒ==–

La distancia entre  ] y _ es de ''@;# ƒ==–.

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

7.  Resuelve el triángulo donde 8 / )3" )3" é / )7" )7" ÷ / 57$ 57$  Ocupando la ley de los cosenos para el ángulo } : Q x / P x N q x a BPq BPq v v–– } x   x   x Q / %B N %! a B %B %! v– v– '!$ '!$ L '(;% '(;%? ?  Q L (;!%

Ocupando la ley de los cosenos para el ángulo _ : Px N Q x a q x v v–– _ / BPQ  x %B N (; (;!% !%   x a %!   x   / B %B (; (;!% !% L !;???C

Despejando _: ºH

_ / v–

A

AA

!;???C / ?($%? B(;C

Por la suma de ángulos internos de un triángulo:

 

} / %&!$ a ?($%?A B(;CAA a '!$ / #'$CCA '';(MM 

8.  Resuelve el triángulo donde 8 / 57" 57" é / 37" 37" , / 5*. Ocupando la ley de los cosenos para el ángulo _: Px N Q x a qx v v–– _ / BPQ  x '! N '?   x a B!   x   / B '! '? / B' B&

Despejando _: _ / v– ºH

B'  / 'C$C(M%#MM   B&

Ocupando la ley de los cosenos para el ángulo } : Px N qx a Q x BPq  x '! N B!   x a '?   x   / B '! B! %

v v–– } /

/ %(

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

Despejando } : } / v– ºH

 %  / &($B? A !;!CAA   %(

Por la suma de ángulos internos de un triángulo:  ] / %&! % &! a &($B? A !;!CAA a 'C$C(A %#AA / ?&$C&A C!;#(MM 

9.  Resuelve el triángulo donde ¦ / 3j" , / 57" è / )5*$ )5*$. Ocupando la ley de los cosenos para el ángulo  ]: Px / q x N Q x a BqQ BqQ v v–– ] P / BC   x N '!   x a B B BC C '! v v–– %' %'?$ ?$  L C#;#C

Ocupando la ley de los cosenos para el ángulo _ : v v–– _ /

Px N Q x a q x

BPQ C#;#C   x N '!   x a BC   x   / B C# C#;# ;#C C '! L !;#C!C

Despejando a _: _ / v– ºH !;#C!C / %#$?BA #AA  

Por la suma de ángulos internos de un triángulo: } / %&!$ a %#$?B A #AA a %'?$ / B?$@A C(;%AA   j6; X7" X7" é / 5 5:; :; m5" m5" , / 5 55; 5; )m. Dibuja el 10.  Resuelve el triángulo donde 8 / j6; triángulo.

Ocupando la ley de los cosenos para el ángulo _: Px N Q x a qx v v–– _ / BPQ C(;#!   x N '';% '';%@ @   x a '&;@ '&;@' '   x  / B C(; C(;#! #! '';% '';%@ @ L !;?@&C

Despejando _: _ / v– ºH !;?@&C / ?C$'#A B';%AA  

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

Ocupando la ley de los cosenos para el ángulo } : Px N q x a Q x v v–– } / BPq C(;#   x N '&;@ '&;@' '   x a '';% '';%@ @   x  / B C(; C(;#! #! '&;@ '&;@' ' L !;@%??

Despejando } : } / v– ºH !;@%?? / CC$%&A ?B;('MM 

Por la suma de ángulos internos de un triángulo:  ] / %&! a CC$%& CC$ %&A ?B;('AA a ?C$'#A B';%AA / &%$%A CC;B@M 

Actividad de aprendizaje 2. Página 218 Resuelvan, problemáticas en binas icas integradas por un hombre y una apliquen mujer, las situaciones problemát que se presentan a continuación, leyes de los senos y cosenos según corresponda. Finalmente, realicen una presentación multimedia y compartan sus resultados con el grupo. 1.  Un barco navega en el océano y recorre la costa en línea recta. Los puntos  Z  y \  están separados )37  millas en la costa. Se determina que  Z / j3$  y \ / 6X$. Calcula la distancia más corta del barco a la costa.. costa Por la suma de los ángulos internos de un triángulo:  ] / %&!$ a CB$ CB $ a (#$ / (#$ ( #$ 

Utilizando la ley de los senos para los lados q y Q : q %B!  / –“² (#$ –“² (#$   q / %B! w°³³=–

Por lo tanto: V / q –“² CB / %B! %B! –“² CB / &!;B# &!;B# w°³³= w°³³=–– 

La distancia más corta entre el barco y la costa es de &!;B# w°³³=–.

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

2.  La figura de abajo ilustra un puente horizontal de 3:;57 metros de largo que une dos colinas cuyas laderas forman con el horizonte ángulos de 53$  y j6$. ¿Cuál es la altura del puente con respecto al vértice del ángulo formado por las dos laderas?

Por las propiedades de los triángulos: } / %&!$ a C($ a 'B$ / %!B$ 

Entonces: B&;' q  / –“² %!B$ %!B$ –“²'B$   B&;' q/ –“² 'B$ –“² %!B$ %!B$ L %?;'' w

Por lo tanto: V / q –“² C($ / %?;'' %?;'' –“² C($ / %%;!B %%;!B w 

La altura es %%;!B w. 3.  En la figura siguiente, se ilustra un piloto que mide los ángulos de depresión de dos barcos y resultan ser de j7$ y *3$. Si el piloto está volando horizontalmente a una elevación de 5*" 777 pies, determina la distancia entre ambos barcos. Por internos alternos _ / C!$ y por ángulo complementario } / %B&$   ] / %&!$ a C!$ C! $ a %B&$ / %B$ %B $  '?!!! • '?!!!   •/ ”=²?B$ L B@'CC;## ß°“–

”=² ?B$ /

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

'?!!! •NP '?!!!   P/  a B@'CC;## ”=² ”= ² C! L %C"'((;'@ ß°“–

”=² C!$ /

La distancia entre los barcos es %C"'((;'@ ß°“–. 4.  Desde dos puntos distantes de 53: metros en terreno horizontal, se miden los ángulos de elevación de un globo cautivo situado en el mismo plano vertical que los puntos; estos ángulos son de 5X$ y jm;*$. ¿A qué altura se encuentra el globo? } / %&!$ a '#$ a C@;?$ / #';?$   'B& q  / –“² #';?$ #';?$ –“² C@;?$ C@;?$   'B& q/ –“² C@;?$ C@;?$ –“² #';?$ #';?$ L BCB;B& Ë

Por lo tanto: V / q –“² '#$ / BCB;B& BCB;B& –“² '#$ / %?B;C? %?B;C? 

5.  La figura siguiente ilustra un punto desde el cual se observan los extremos de un lago; el ángulo formado por las dos visuales es de j:$, y las distancias del punto a los extremos observados son, respectivamente, 3)* metros y ):j metros. Calcula la distancia que hay entre dichos extremos. Por la ley de los cosenos para el ángulo  ]: P x / q x N Q x a BqQ BqQ v– v– ] P / B%?   x N %& %&C C   x a B B%? B%? %& %&C C v v–– C& C&$$  L %(C;@C

La distancia entre los puntos es de %(C;@C w 

6.  En la figura de abajo se ilustran dos barcos que parten de un puerto al mismo tiempo. Uno navega hacia el sur con una velocidad de 5j  kilómetros por hora y el otro hacia el sur-sureste y su velocidad es de 3: kilómetros por hora. ¿A qué distancia se hallarán después de media hora? Calculando la distancia recorrida por cada uno de los barcos en una hora RH  / Ð H È / 'C !;? / %@ w   Rx  / Ð x È / B& !;? / %C w

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

Cada barco se encuentra a %@ w ƒ %C w  respectivamente del punto de partida: Por la ley de los cosenos para el ángulo  ]  Px / q x N Q x a BqQ BqQ v v–– ]  x

 

 x

PL / %B;%& %C N %@

aB % %C C %@ v v–– C? C?$$

La distancia entre los barcos es %B;%& w.

7.  Determina el área del polígono de la figura siguiente. Triángulo superior. Por la ley de los cosenos para el ángulo  ]: Px / q x N Q x a BqQ BqQ v v–– ]   x   x P / ( N ? a B ( ? v– %!!$  L &;C?

Por la ley de los cosenos para el ángulo _: Px N Q x a q x v v–– _ / BPQ &;C?   x N ?   x a (   x   / B &;C? ? L !;@%C#

Despejando _:

_ / v– ºH !;@%C# / CC$B%A C';&'AA  

Por lo tanto:  ]H  /

%   ? &; &;C? C? –° –°² ² CC CC$B $B% % A C';&'AA L %C;@@  B

Triángulo inferior: Por la ley de los cosenos para el ángulo _: x

x

Px N Q A a q A v v–– _ / BPQ A &;C?   x N &   x a @   x   B &;C? & / L !;('#%

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

Despejando _: _ / v– ºH !;('#% / ?!$%(A B?;(@AA  

Por lo tanto: &;C? C? –° –°² ² ?! ?!$% $%( ( A B?;(@AA    ]H  / %   & &; B L B?;##

Área total:  ] / ]H N ] x  / B?;## N %C;@@ / C!;@(  

8.  Dos barcos que están separados )37 pies tiran de una carga, como se muestra en la figura. Si la longitud de un cable es de 3)3 pies y la del otro es de 357 pies, determina cuál es el ángulo que forman los cables. Por la ley de los cosenos para el ángulo _: x

x

x

v v–– _ / P N Q a q BPQ B'!   x N B% B%B B   x a %B %B! !   x  / B B' B'! ! B% B%B B L !;&??(

Despejando _: _ L v– ºH !;&??( / '%$%!A B;!CMM 

Habilidad matemática. Página 221 1.  Observe el triángulo siguiente: De acuerdo con los datos siguientes, ¿cuál es el valor de k? a) 

0.70

b) 

6.78

c) 

9.10

d) 

36.0

Por la ley de los cosenos para el ángulo } : • x / P x N q x a BPq BPq v– v– } • / #   x N C   x a B # C v – C?$   L (;@&

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

2.  El triángulo  Z\| es cortado por una línea  f que es paralela a uno de sus lados. De acuerdo con las medidas de los ángulos . y ¨, ¿cuál es el k que se valor del en ángulo muestra la figura?

a) 

m*; *6$

b) 

m5; 6j$

c) 

6); 67$

d) 

jj; m6$

• / %&!$ a CC;@( a %&!$ a %!(;'($ %!(;'($ / (%;(! (%;(! 

Serie de ejercicios. Página 221 TRADUCIENDO AL LENGUAJE MATEMÁTICO  1.  ¿Qué es un triángulo oblicuángulo? Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ningún lado recto. 2.  ¿Qué nos dice la ley de los cosenos? La ley de cosenos nos dice que, en todo triángulo, el coseno de un ángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados que lo forman, menos el cuadrado del lado opuesto, dividido todo entre el doble producto de los lados que forman dicho ángulo. 3.  ¿Qué nos dice la ley de los senos? La ley de senos dice que, en todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. 4.  ¿Cómo puedes resolver un triángulo oblicuángulo si sólo conoces sus tres lados? Utilizando la ley de los cosenos. 5.  ¿Cómo puedes resolver un triángulo oblicuángulo si sólo conoces dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos? Utilizando la ley de los senos.

 

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"#,-#. /% 01.-)(1,%*

MATEMÁTICAS GRÁFICAS  6.  Resuelve el triángulo que se muestra en al figura siguiente. Aplicando la ley de los cosenos: ¿ a &   x N Ì a %'   x a Ê a %!   x v– v– ø /   B ¿ a & Ì a %' ¿ a &   x N Ê a %!   x a Ì a %'   x v v–– å /   B ¿ a & Ê a %! Ê a %!   x N Ì a %'   x a ¿ a &   x v v–– ù /   B Ì a %' Ê a %!

7.  Resuelve el triángulo que se muestra en la figura siguiente. El ángulo faltante es: Ú / %&!$ a %!@;C a B#$ / C';($  

Aplicando la ley de los senos: Í B% Ë  /  /   –“²B#$ –“² C';($ C';($ –“² %!@;C$ %!@;C$

Entonces: Í/

Además: Ë/

B%–“²B#$  / %C;@(   –“² C';($ C';($

B% –“² %!@;C$ %!@;C$   / B#;!?&   –“² C';($ C';($

EJERCICIOS NUMÉRICOS  8.  Resuelve los triángulos siguientes según corresponda. a)  ú / 5m$, — / *3; j)$, ¡ / 65  De la suma de ángulos internos: š / %&!$ a ø a ™ / %&!$ a '@$ a ?B;C%$ / #!;?#$  

Del teorema del seno sabemos que: ¿  / Ê  / û   –“²ø –“²™ –“²š

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

Por lo tanto, los lados ¿  y Ê son: ¿/

Ê –“² ø (' –“²'@$  /   / C@;&C –“²™ –“² ?B;C%$ ?B;C%$ Ê –“² š (' –“ –“² ² #!;? #!;?#$ #$

Ê / –“²™   /

–“² ?B;C%$ ?B;C%$   / @#;?!

b)  Z / j5$, \ / 67$, 8 / )5. De la suma de ángulos internos: } / %&!$ a _ a ] / %&!$ a C'$ a (! / @@  

Del teorema del seno sabemos que: P q Q  /  /   –“²] –“²_ –“²}

Por lo tanto, los lados q y Q  son: %' –“²(!$ P –“² _   / %(;?%  / –“² C'$ –“²] P –“² } %' –“²@@$ Q/  /   / %&;?@ –“²] –“² C'$

q/

m5; )3$, [ / 5X$, ¢ / )6  c)  Ø / m5;

De la suma de ángulos internos: ™ / %&!$ a Ú a ^ / %&!$ a @';%B$ a '#$ / (@;&&$  

Del teorema del seno sabemos que: s Í Ê  /  /   –“²Ú –“²^ –“²™

Por lo tanto, los lados Í y Ê son: s –“² ^ %( –“²'#$  /   / %!;?B –“²Ú –“² @';%B$ @';%B$   s –“² ™ %( –“ –“² ² (@;& (@;&&$ &$ Ê/  /   / %?;C# –“²Ú –“² @';%B$ @';%B$ Í/

d)  Z / 3j$, | / :3; 5)$, e / 3j  De la suma de ángulos internos: _ / %&!$ a ] a } / %&!$ a BC$ a &B;'%$ / @';(#  

Del teorema del seno sabemos que: P q Q  /  /   –“²] –“²_ –“²}

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

Por lo tanto, los lados P  y q son: P/

q–“² ] BC –“²BC$  /   / #;&? –“²} –“² &B;'% &B;'% q–“² _ BC –“ –“² ² @';( @';(#$ #$

q / –“²}   /

 

–“² &B;'% &B;'%   / B';BC

e)  — / *j; *j; 7:$, ˜ / 53; *:$, 1 / 56  De la suma de ángulos internos: ø / %&!$ a ™ a š / %&!$ a ?C;!&$ a 'B;?&$ / #';'C  

Del teorema del seno sabemos que: Ê û ¿  /  /   –“²™ –“²š –“²ø

Por lo tanto, los lados Ê y û son: ¿ –“² ™ '( –“ –“² ² ?C;! ?C;!&$ &$  /   / B#;B! –“²ø –“² #';'C$ #';'C$ ¿ –“² š '( –“ –“² ² 'B;? 'B;?&$ &$ û/  /   / %#;CB –“²ø –“² #';'C$ #';'C$

Ê/

9.  Resuelve los triángulos oblicuángulos siguientes. 5m$$, ¦ / )3  a)  8 / :,  Z / 5m

Del teorema del seno sabemos que: P q Q  /  /   –“²] –“²_ –“²}

Entonces: P

q

–“²] / –“²]  / –“²_

  q–“² ] P   %B –“²'@$ –“²'@$ / –“²ºH & A / (C$'% ?;@& MM

_ / –“²ºH

De la suma de ángulos internos de un triángulo: } / %&!$ a ] a _ / %&!$ a '@$ a (C$'% A ?;@&AA / @&$B&A ?C;BBAA  

Por lo tanto: q–“² } %B –“ –“² ² @&$B @&$B& &A ?C;BBAA Q/  /   / %';!@   A –“²_ –“² (C$'% (C$'% ?;@& MM

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

b) ü / ):, ý / )5, í / 36; 36; 5)  Del teorema del seno sabemos que: û –“²š

Entonces:

Ì

 /

–“²å

 /

È

 

–“²ù

Ì È  / –“²å –“²ù   Ì –“² ù È   %' –“² –“² B(;' B(;'%$ %$ / –°²ºH %& A AA / %&$C! %!;B'

å / –°²ºH

 

De la suma de ángulos internos de un triángulo: š / %&!$ a å a ù / %&!$ a %&$C! A %!;B'AA a B(;'%$ / %'?$%A %';@@AA  

Por lo tanto: Ì –“² š %' –“ –“² ² %'?$ %'?$% %A %';@@AA û/  /   / B&;(#   –“²å –“² %&$C! %&$C!A %!;B'AA

c)  © / )*, £ / )3, [ / 5j$  Del teorema del seno sabemos que: Ë s Í  /  /   –“²Ù –“²Ú –“²^

Entonces: Ë Í  / –“²Ù –“²^   Ë–“² ^ Í   %? –“²'C$ –“²'C$ / –“²ºH %B / CC;'C$

Ù / –“²ºH

 

De la suma de ángulos internos de un triángulo: Ú / %&!$ a Ù a ^ / %&!$ a CC;'C a 'C / %!%;(($  

Por lo tanto: s/

%B –“ –“² ² %!%; %!%;(( (( Í –“² Ú   / B%;!B    / –“ –“² ² 'C –“²^

 

  "#$%&'$()#* +

"#,-#. /% 01.-)(1,%*

d) | / 6*$, e / 33, ¦ / )m  Del teorema del seno sabemos que: P –“²]

Entonces:

q

 /

–“²_

 /

Q

 

–“²}

q Q  / –“²_ –“²}   q–“² } Q   %@ –“²(?$ –“²(?$ / –“²ºH BB / CC;C?$

_ / –“²ºH

 

De la suma de ángulos internos de un triángulo:  ] / %&!$ %& !$ a _ a } / %&!$ % &!$ a CC;C?$ CC;C ?$ a (?$ / @!;??$ @ !;??$  

Por lo tanto: P/

q–“² ] %@ –“ –“² ² @!;? @!;??$ ?$  /   / BB;&#   –“²_ –“² CC;C?$ CC;C?$

e)  1 / 5), ú / *); j*$ j*$, ý / 33  Del teorema del seno sabemos que: ¿ Ì È  /  /   –“²ø –“²å –“²ù

Entonces: Ì ¿  / –“²å –“²ø   Ì –“² ø ¿   BB –“² –“² ?%;C ?%;C?$ ?$ / –“²ºH '% / '';@%

å / –“²ºH

 

De la suma de ángulos internos de un triángulo: ù / %&!$ a ø a å / %&!$ a ?%;C?$ a '';@%$ / #C;&C$  

Por lo tanto: È/

Ì –“² ù BB –“ –“² ² #C;& #C;&C$ C$  /   / '#;C#   –“²å –“² '';@%$ '';@%$

 

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10.  Resuelve los triángulos siguientes según corresponda. a)  © / 3j" ¢ / 3)" £ / 3X  Aplicando el teorema del coseno: BCx N B%x a B#x   / @#;#C$ B BC B% B%x N B#x a BCx Ù / v– ºH   / ?C;?@$   B B% B# BCx N B#x a B%x ºH Ú / v–   / C?;&@$ B BC B# ^ / v– ºH

b) 8 / :" ¦ / X" e / )7 Aplicando el teorema del coseno:  ] / v– v –

ºH

#x N %! x a &x   / C#;C?$ B # %! x

x

x

N %! a #  / ?&;@?$   B & %! &x N #x a %!x ºH } / v–   / @%;&$ B & #

_/

v– ºH &

c)  1 / 3j" ý / 5m" ü / j3 Aplicando el teorema del coseno: '@x N CBx a BCx ø / v–   / 'C;(C B '@ CB BCx N CBx a '@x ºH å / v–   / (%;B%   B BC CB BCx N '@x a CBx ù / v– ºH B BC '@   / &C;%? ºH

d) 8 / 53" ¦ / j3" e / jm Aplicando el teorema del coseno: CBx N C@ x a 'B x  ] / v– v –   / C%;(@ B CB C@ 'Bx N C@ x a CB x ºH _ / v–   / (!;@(   B 'B C@ 'Bx N CB x a C@ x ºH } / v–   / @@;?( B 'B CB ºH

 

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e)  ¡ / )3" þ / )X" 1 / )6  Aplicando el teorema del coseno: %#x N %( x a %Bx ™ / v–   / '&;#' xB %# x%( %B N %( a %#x ºH š / v–   / &C;%@   B %B %( %Bx N %# x a %(x ø / v– ºH   / ?(;#! B %B %# ºH

11.  Resuelve los triángulos según corresponda. a)  1 / )73, ý / )7*, í / m)$  Utilizando el teorema del coseno: %!Bx N %!?x a B %!B %!? %!? v– v– @%$ @%$ / %B!; %B!;B' B' %!? x N %B!;B'x a %!Bx   ºH ø / v–   / ?';'C B %!? %!? %B!; %B!;B' B' å / %&!$ a @%$ a ?';'C$ / ??;(($ È/

b) 8 / 5), e / 56, \ / 6m$  Utilizando el teorema del coseno: '%x N '(x a B '% '( v v–– (@ (@$$ / '@ '@;B ;B% % x x x '( N '@;B% a '%    ] / v– v – ºH   / ?!;!@$ B '( '@ '@;B ;B% % } / %&!$ a (@$ a ?!;!@$ / (B;#'$ q/

c)  þ / 5X, 1 / m3, — / j7$  Utilizando el teorema del coseno: '#x N @Bx a B '# @B v v–– C! C!$$ / C# C#;! ;!B B x x x '# N C#;!B a @B   ø / v– ºH   / %!#;BC B '# C# C#;! ;!B B å / %&!$ a C!$ a %!#;BC$ / '!;@($ Ê/

d) © / 35, ¢ / 56, [ / *5  Utilizando el teorema del coseno: B'x N '( x a B B' '( v– v– ?' ?'$$ / B& B&;; ;& x x x '( N B&;& a B'   Ù / v– ºH   / '#;($ B '( B& B&;& ;& Ú / %&!$ a ?'$ a '#;($ / &@;C$ Í/

 

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e)  8 / )), ¦ / )X, | / 55$  Utilizando el teorema del coseno: Q/

%%x N %# x a B %% %# v– v– ''$ ''$ / %%;C %%;C@ @

x x x  ] / v– v – ºH %# N %%;C@ a %%  / '%;?% B %# %% %%;C ;C@ @ _ / %&!$ a '%;?%$ a ''$ / %%?;C#$

 

PROBLEMAS DE APLICACIÓN  12.  Un grupo de turistas se encuentra observando dos museos desde un punto í que se encuentra a *5*  m y j6: m de cada uno de los museos respectivamente. Si el ángulo que se forma entre La posición de los turistas y los museos es de j5; ):$, determina la distancia que existe entre los Museos. Utilizando el teorema del coseno: ÙH Ùx   /

?'? x N C(&x a B C(& ?'? v v–– C';%&$ C';%&$ / '@C;B& '@C;B&@ @ 

Los museos están separados 374.287 metros. 13.  En una laguna existen dos embarcaderos,  Z y \ que se encuentran a una distancia de :X m uno del otro, en los cuales prestan lanchas para remar. Si una lancha se encuentra en un punto í en la laguna desde donde se sabe que las medidas de los YíZ\ y Yí\Z son de *5$  y 6)$  respectivamente. Calcula la distancia entre la lancha y el embarcadero más cercano. El ángulo faltante es: Ã / %&!$ a ?'$ a (%$ / (($  

Utilizando la ley de los senos: P q È  /  /   –“²] –“²_ –“²ù

Entonces: È –“² ] &# –“ –“² ² ?' ?'$$  /   / @@;&% –“²ù –“²((   È –“² _ &# –“ –“² ² (% (%$$ q/  /   / &?;B% –“²ù –“ –“² ² ((

P/

La distancia más cercana es @@;&% metros.

 

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14.  Dos aviones parten del mismo aeropuerto, después de 57  minutos la distancia de los aviones con el aeropuerto es de )3j  km y )j5  km respectivamente, mientras que la distancia entre ellos es de X: km. Determina cuál es el ángulo que forman los aviones con el aeropuerto. Aplicando el teorema del coseno: P / v–

ºH

%BC x N %C'x a #&x   / CB;'B$   B %BC %C %C' '

15.  Los puntos × y Ø se encuentran en lados opuestos de un río. El punto [ se encuentra a )5X m de ×, mientras que Ø se encuentra a :5 m de [ y el ángulo Ø / mj$. ¿Cuál es la distancia Entre × y Ø? Por la ley de los senos para los lados q y Q: %'# &'  / –“² @C$ –“²Ù

&'–“²@C$  %'# L '?;!B$

Ù / –“²ºH

El tercer ángulo es: ^ / %&!$ a '?;!B$ a @C$ / @!;#&$  

Por la ley de los senos: %'#

Í  / –“² @C$ %'# –“² @!;#&$ @!; –“²#&$ @!;#&$ @!;#&$  Í/ –“² @C$ L %'(;@

La distancia entre Ù y Ú  es de %'(;@ metros.  metros.