Mastére : Simulation d'écoulement cavitant
Short Description
Simulation des écoulements cavitants avec le code phoenics 3.6,modéle de l'équation de transport avec terme source. ...
Description
Université de Tunis El Manar
ECOLE NATIONALE D’INGENIEURS DE TUNIS
Simulation d’écoulement cavitant
Laboratoire de Modélisation Hydraulique et Environnement Spécialité
Modélisation en Hydraulique et Environnement Option Fluide et procédé environnementale
Elaboré par : Mr Hatem KANFOUDI Encadré par : Mr Ridha ZGOLLI
2007/2008
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Résumée La présente étude est réalisée au sein laboratoire de modélisation hydraulique et environnement de l’ENIT, dans le cas d’une mastère de recherche. Le thème s’intitule simulation d’écoulement cavitant, dans la quelle on présente le phénomène de la cavitation, son apparition, son évolution ainsi ses conséquences tout en se basant sur une bibliographie enrichissante. De ce fait, on tend de présenter les modèles permettant sa modélisation, et les classifiés en fonction de leur type, la disponibilité des outils et le cas d’étude. Enfin, on choisit un cas d’étude pour la simulation et comparé ses résultats avec les mesures expérimentales et jugé sur le modèle opté. L’écoulement cavitant se manifeste dans tous les systèmes hydrauliques, ainsi il peut engendrer des dégâts très importants des matériaux d’une part, d’autre par il peut être exploité dans des fins de développement et d’économie. La prédiction de l'érosion du à la cavitation est un problème complexe qui a naturellement conduit les chercheurs dans les domaines de l'hydrodynamique.
Mots-clefs Cavitation, caractérisation, écoulement diphasique, modélisation, nucléation, évaporation et condensation, dimensionnement de cavité, calcul numérique. iii
Abstract
The present study is carried within hydraulic laboratory of modeling and environment of the ENIT, in the case of a master of research. The topic is entitled simulation of surging flow in which the phenomenon of cavitation is presented, its appearance, its evolution thus its consequence all while being based on an enriching bibliography. So one tends to pass the models allowing his modeling, and classified according to their type, the availability of the tools and the case of study. Lastly, one chooses a case of study for simulation and compared his results with experimental measurements and judged on the chosen model. The surging flow appears in all the hydraulic systems, thus it can generate very significant damage of materials on the one hand, of other by it can be exploited in ends of development and economy. The prediction of the erosion of to cavitation is a complex problem which naturally led the researchers in the fields of the hydrodynamics.
Keywords Cavitation, characterization, diphasic flow, modeling, nucleation, evaporation and condensation, dimensioning of cavity, numerical calculation.
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Remerciement
E
n premier lieu, je souhaite adresser mes remerciements les plus chaleureux à Monsieur Ridha ZGOLLI qui m’a encadré, au jour le jour, avec une grande disponibilité, tout au long de cette mémoire réalisée à l’ENIT. Sa sympathie, son enthousiasme et ses encouragements m’ont été infiniment précieux au cours de cette année. Mes remerciements vont également à Zohaier HAFSIA qui m’a apporté son expertise scientifique concernant le code industriel PHOENICS. Merci à l’équipe de laboratoire de modélisation hydraulique et environnement, ainsi que tous les enseignants de cette filière. Je tiens aussi à remercier la direction du laboratoire et les personnels administratifs qui ont contribué aussi à leur façon à ce travail.
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Sommaire Résumée.......................................................................................................................................................... iii Abstract .......................................................................................................................................................... iv Remerciement ...................................................................................................................................................v Sommaire........................................................................................................................................................ vi Liste des Figures .......................................................................................................................................... viii Liste des Tableaux ........................................................................................................................................ viii Introduction générale.................................................................................................................................... 1 Chapitre I : Cavitation et modelisation ................................................................................................ 2 I.1 Introduction .................................................................................................................................................. 2 I.2 Description.................................................................................................................................................... 2 I.3 Causes d’apparition de la cavitation ......................................................................................................... 3 I.4 Conséquences ............................................................................................................................................... 4 I.5 Paramètres caractérisant la cavitation ....................................................................................................... 6 I.6 Similitude de la cavitation et les effets des échelles ............................................................................... 8 I.7 Qualité du liquide (Nucléation) ............................................................................................................... 10 I.7.1 Nucléation homogène..................................................................................................................... 12 I.7.2 Nucléation hétérogène .................................................................................................................... 13 I.8 Mise en équations ...................................................................................................................................... 14 I.8.1 Modèle à deux phases séparées ...................................................................................................... 14 I.8.2 Modèle à mélange homogène......................................................................................................... 14 I.8.3 Modèle approuvé (Mélange homogène) ........................................................................................ 15 I.8.3.1 Les équations du mélange ................................................................................................. 16 I.8.3.2 Densité .............................................................................................................................. 16 I.8.3.3 Viscosité............................................................................................................................ 16 I.8.3.4 Equations de conservations dE mélange ........................................................................... 16 I.8.3.5 Modèle de fermeture ......................................................................................................... 17 I.9 Conclusion .................................................................................................................................................. 18 Chapitre II : Mise en équations et résolutions ..................................................................................... 19 II.1 Introduction ................................................................................................................................................ 19 II.2 Equation d’état ........................................................................................................................................... 19 II.3 Equation de transport ................................................................................................................................ 20 II.3.1 Les modèles des termes sources............................................................................................. 21 II.3.1.1 Modèles des termes sources avec une équation ................................................................ 21 II.3.1.1.1 Modèle de CHEN et HEISTER (1995)........................................................................ 21 II.3.1.1.2 Modèle d’ALAJBEGOVIC et al. (1999) ..................................................................... 21 II.3.1.1.3 Modèle de YUAN et al. (2001) ................................................................................... 22 II.3.1.2 Modèles des termes sources avec deux équations ............................................................ 23 II.3.1.2.1 Modèle de KUNZ et al. (2000) .................................................................................... 23 II.3.1.2.2 Modèle d’AHUJA et al. (2001) ................................................................................... 23 II.3.1.2.3 Modèle de SINGHAL et al. (2002) ............................................................................. 24 II.3.2 Comparaison des modèles de terme source ........................................................................... 24 II.4 Equation de RAYLEIGH-PLESSET ...................................................................................................... 26 II.4.1 Modèle de CHEN et HEISTER (1996) .................................................................................. 29 II.4.2 Modèle de KUBOTA et al. (1990), GIANNADAKIS et al. (2004) ...................................... 29 vi
II.5 Choix du terme source approprié............................................................................................................. 30 II.6 Etablissement du Modèle.......................................................................................................................... 31 II.7 Conclusion .................................................................................................................................................. 34 Chapitre III : Etude de cas ..................................................................................................................... 35 III.1 Introduction ................................................................................................................................................ 35 III.2 Présentation du code.................................................................................................................................. 35 III.2.1 Méthode numérique ............................................................................................................... 35 III.2.2 PHOENICS ............................................................................................................................ 36 III.3 Cas d’étude ................................................................................................................................................. 38 III.3.1 Maillage ................................................................................................................................. 38 III.3.2 Conditions aux limites ........................................................................................................... 41 III.3.3 Parois ..................................................................................................................................... 42 III.3.4 Plan de symétrie ..................................................................................................................... 42 III.3.5 Fraction massique .................................................................................................................. 42 III.3.6 Procédure de calcule .............................................................................................................. 43 III.4 Etude de l’hydrodynamique ..................................................................................................................... 44 III.4.1 Pression .................................................................................................................................. 44 III.4.2 Vitesse .................................................................................................................................... 45 III.4.3 Modèle de turbulence ............................................................................................................. 45 III.5 Etude de la cavitation ................................................................................................................................ 47 III.5.1 Effet de la fraction initial ....................................................................................................... 47 III.5.2 Effet de la densité des bulles .................................................................................................. 48 III.5.3 Comparaison .......................................................................................................................... 48 III.5.4 Conclusion ............................................................................................................................. 49 Conclusion générale .................................................................................................................................... 50 Références Bibliographiques......................................................................................................................... 52 Annexe .......................................................................................................................................................... 55 Index .............................................................................................................................................................. 62
vii
Liste des Figures Figure 1 : Diagramme des phases de l'eau pur. ............................................................................................... 2 Figure 2 : Manifestation de la cavitation. ........................................................................................................ 3 Figure 3 : Fluctuation de la pression lors de l’implosion d’une bulle. (BRENNEN, et al., 1995) .................. 4 Figure 4 : Conséquence de la cavitation. (WIKIPEDIA, 2008) ...................................................................... 4 Figure 5 : Dommage de cavitation sur la lame d’une pompe. (BRENNEN, et al., 1995).............................. 5 Figure 6 : Processus de sonoluminescence de gauche à droite (ANSWERS, 2008) ...................................... 5 Figure 7 : Hydrofoil (BRENNEN, et al., 1995) .............................................................................................. 6 Figure 8 : Tube de Venturi .............................................................................................................................. 7 Figure 9 : Classification de la cavitation en fonction de CN, Lcav : taille de la poche de vapeur. .................. 7 Figure 10 : Cavitation sur un injecteur de dimension réelle (a) de ф = 0.176 mm et cavitation sur un injecteur (b) de dimension 20 fois l’injecteur (a), pour CN = 5.5 et Re= 12600. (ARCOUMANIS, et al., 2000) ..................................................................................................... 9 Figure 11 : Nucléation dans les boissons gazeuses (ANSWERS, 2008) ...................................................... 11 Figure 12 : Répartition des pressions sur une bulle....................................................................................... 12 Figure 13 : Différent type de cavitation ( à gauche nucléation hétérogène et ............................................... 13 Figure 14 : Taux d’évaporation et de condensation en fonction de fraction volumique α pour les différents modèles de termes source avec u∞=100 m/s, échelle de longueur l∞1mm et 𝚷 = 𝟏 . ............... 25 Figure 15 : Croissance et effondrement d’une bulle sphérique. .................................................................... 27 Figure 16 : Confrontation des fonctions de fraction volumique.................................................................... 31 Figure 17 : Cellule de contrôle, f face de la cellule, uf : vitesse, Af surface de la face f, nf normale de f ; P et F centre des cellules ; Vp volume de la cellule. ........................................................................... 37 Figure 18 : Injecteur de type sac (BAUER, et al., 1999) ; (ROOSEN, et al., 1996) ..................................... 38 Figure 19 : Géométrie de l’injecteur. ............................................................................................................ 41 Figure 20 : Champ de pression...................................................................................................................... 44 Figure 21 : Profile de pression pour Y= 10-4 mm.......................................................................................... 44 Figure 22 : Champ de vitesse. ....................................................................................................................... 45 Figure 23 : Comparaison des modèles de turbulence. ................................................................................... 46 Figure 24 : Comparaison des fractions initiaux, (a) f0 =10-5, (b). f0 =10-6, (c) f0 =10-7 .................................. 47 Figure 25 : Comparaison des densités des bulles, (a) n =9.4 1013 (m-3), (b). n =1.3 1014(m-3), ..................... 48
Liste des Tableaux Tableau 1 : Équations de conservations ........................................................................................................ 17 Tableau 2 : Modèles de cavitation................................................................................................................. 18 Tableau 3 : Equations d’état pour le domaine diphasique utilisées dans les modèles du mélange ............... 19 Tableau 4 : Structure du maillage ................................................................................................................. 40 Tableau 5 : Paramètres de cavitation pour modèle de ROOSEN, et al. 1996. .............................................. 49 Tableau 6 : Comparaison des données simulées et expérimentaux ............................................................... 49
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Introduction générale
Introduction générale L’objectif de cette étude est la modélisation d’écoulement cavitant, autrement dit l’étude de la cavitation, nous traiterons le cas d’un injecteur de type sac. L’écoulement cavitant se manifeste dans tous les systèmes hydrauliques, ainsi il peut engendrer des dégâts très importants des matériaux. Ce genre d'écoulements apparaît dans un nombre incalculable de situations physiques : écoulements pétroliers, écoulements intervenant dans l'industrie nucléaire, les moteurs de véhicules automobiles, d'avions ou de fusées, les explosions, la chimie, etc…. Le développement d'une poche de cavitation partielle attachée à l'entrée de l'aubage d'une turbomachine hydraulique est souvent à l'origine d'une érosion sévère qui peut conduire à l'arrêt prématuré de la machine avec des conséquences économiques considérables. Les implosions répétées de ces poches dans la zone de recompression génèrent localement des surpressions intenses qui sont à l'origine de l'arrachement de la matière. Contenu de ce travail Ce travail comporte trois chapitres décomposés comme suit : Le chapitre 1, «Cavitation et modélisation », décrit l’aspect physique lié à l’apparition du phénomène de cavitation, ainsi que ses conséquences et son évolution. Il présente aussi les principaux paramètres caractéristiques de la cavitation et les différents modèles et concepts. Le chapitre 2, «Mise en équations et résolutions», traitera un modèle de fermeture des équations du mélange, qui est l’équation de transport de fraction volumique de la phase vapeur. On présentera les modèles de termes sources de cette équation, enfin on applique un modèle de terme source qui celui de YUAN, et al. ( 2001). Le chapitre 3, « Cas d’étude», on essayera de présenter les résultats des simulations des écoulements cavitants pour un cas d’étude, injecteur de type sac, et le confronté avec les résultats expérimentales.
Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre I : Cavitation et modélisation
CHAPITRE I : CAVITATION ET MODELISATION
I.1 Introduction Ce chapitre sera la clef de cette étude, il introduit et décrit le phénomène de la cavitation. De plus il présente les concepts et les modèles de sa modélisation.
I.2 Description La cavitation est un phénomène qui se manifeste dans les écoulements des fluides et généralement attribuée à l’apparition des poches de vapeur ou gaz, provoquée par l'abaissement de la pression sans apport de chaleur (voir figure n°1). Cette chute de pression conduisant à l’évaporation de liquide, est souvent suivie, au sein du même écoulement, de retour à l’augmentation de la pression, ce qui va engendrer l’implosion de la bulle et donc l’enclenchement de la phase de condensation. Le diagramme d’état présenté par la figure n°1 illustre les différentes phases de l'eau pure ; la courbe reliant le point triple Tr au point critique C sépare l’état liquide de l’état vapeur. La résistance à la traction d'un liquide dépend de la présence des petites particules, qui forment les nucléations (voir section I.7). Puisque la densité de la phase de vapeur est habituellement beaucoup plus petite que la densité de liquide, la quantité de la chaleur consommée localement pour l'évaporation peut être négligée de sorte que la cavitation puisse être considérée isothermique (voir figure n°1).
Figure 1 : Diagramme des phases de l'eau pur.
Dans un sens plus général une cavitation est un processus de formation et également de conséquence d'effondrement (implosion) des bulles dans un liquide sous une diminution de la pression local. (KNAPP, et al., 1970)
Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre I : Cavitation et modélisation
La cavitation est un phénomène hydrodynamique, qui peut apparaître dès que le liquide se déplace au dessus d'une vitesse critique. Lorsqu' un fluide est en mouvement est rencontre un obstacle, il doit le contourner, ce contournement s'accompagne d'une accélération du fluide donc engendrement d'une dépression, dans cette zone au cœur du fluide vont se développer des structures de vapeurs qui vont grossir, c'est le phénomène de cavitation. En quittant la zone de dépression ces structures vont s'effondre sur elles mêmes vont imploser, schématiquement cette implosion provoquent des conséquences néfastes à savoir le bruit en premier lieu, les vibrations et lorsqu'elle se produit prés de la paroi on aura érosion de ce dernier.
I.3 Causes d’apparition de la cavitation Les situations typiques dans lesquelles la cavitation peut se manifester sont classées selon les causes :
La géométrie du domaine peut provoquer une augmentation de la vitesse ainsi une chute de la pression local ceci se résulte dans un écoulement permanent (voir figure n°2). C’est le cas d'une restriction dans la section des conduites (tube de venturi, injecteur…), ou en raison de la courbure imposée aux lignes profilées d'écoulement par la géométrie locale (courbures dans l'écoulement dans une conduite, aux côtés supérieurs des aubes Figure 2 : Manifestation de la cavitation. dans les propulseurs et aux pompes). (BRENNEN, 1994) (JEAN-PIERRE, et al., 2005)
La cavitation peut également se produire dans des écoulements de cisaillement dus à de grandes fluctuations turbulentes de la pression (injecteur, sillages...). (JEANPIERRE, et al., 2005)
Le régime transitoire dans les circuits et systèmes hydrauliques (coup de bélier) peut avoir comme conséquence une accélération de la vitesse du liquide ce qui a pour effet la production instantanée de basses pressions à quelques points dans l'écoulement conduisant à l’apparition de la cavitation. (JEAN-PIERRE, et al., 2005)
Simulation d’écoulement cavitant
3
Comme conséquence du mouvement vibratoire des parois (par exemple refroidissement de liquide des moteurs diesel) la création des champs d'oscillation de la pression. Si l'amplitude d'oscillation est assez grande, la cavitation peut apparaître quand l'oscillation est négative (pression locale au dessous de la pression de vapeur saturante)( voir figure n°3). (JEANPIERRE, et al., 2005)
Pression (kPa)
Chapitre I : Cavitation et modélisation
Temps (µs)
Figure 3 : Fluctuation de la pression lors de l’implosion d’une bulle. (BRENNEN, et al., 1995)
I.4 Conséquences
Quelle qu'en soit son origine, la cavitation a deux principales conséquences :
Les bulles de vapeur changent complètement le comportement hydrodynamique. La cavitation détruit le rendement de l'hélice ou de la pompe. L'énergie n'est plus transformé en mouvement (par exemple), mais elle reste dans l'engin (moteur, propulseur), soit elle est diffusé sous forme incontrôlé et donc probablement nuisible (voir figure n°4) ; (WIKIPEDIA, 2008)
Figure 4 : Conséquence de la cavitation. (WIKIPEDIA, 2008)
Le plus souvent la bulle de vapeur est transitoire : son apparition élimine instantanément les conditions (dépression) qui lui ont donnée naissance. Il se produit donc une implosion de la bulle. Cette dernière peut–être si violente que la pression et la température, à l'intérieur de la bulle peuvent atteindre des valeurs très élevées (plusieurs milliers de bars, plusieurs milliers de Kelvin). En implosant, la bulle peut émettre une onde de choc dans le liquide, qui permet de casser des gouttes (émulsification), ou briser des particules solides, ou encore de nettoyer ou éroder des surfaces solides. (WIKIPEDIA, 2008)
Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre I : Cavitation et modélisation
C'est pourquoi le contrôle du phénomène de la cavitation est essentiel en hydrodynamique, il représente une limite, à cause de la perte du rendement voir la destruction (des hélices, des turbines) (voir figure n°4 et figure n°5). Pour la plupart des concepteurs des machines hydrauliques, la cavitation est un problème prépondérant. Fréquemment, on commencera son étude afin de l’éliminer.
Figure 5 : Dommage de cavitation sur la lame d’une pompe. (BRENNEN, et al., 1995)
La bonne compréhension du phénomène peut permettre de l'exploiter. De plus la densité d'énergie ainsi atteint dans certaines bulles donne lieu à des réactions chimiques inhabituellement, ce qu'on l'appelle "Sonochimie", et même dans certains cas l'émission de lumière, phénomène sonoluminescence1 (voir figure n°6).
Figure 6 : Processus de sonoluminescence de gauche à droite (ANSWERS, 2008)
Cependant, la cavitation est également utilisée dans quelques processus industriels pour concentrer l'énergie sur de petites surfaces. À ces fins, des dispositifs ultrasoniques sont souvent utilisés. Les exemples de telles applications positives incluent :
Le nettoyage des surfaces par des ultrasons ou avec les gicleurs cavitants,
La dispersion des particules dans un milieu liquide,
La production des émulsions,
La limitation des débits dans des écoulements confinés dus au développement de super-cavitation (voir section I.5).
1
La sonoluminescence est le phénomène par lequel des photons sont émis par des bulles de gaz.
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Chapitre I : Cavitation et modélisation
I.5 Paramètres caractérisant la cavitation Pour prévoir ce phénomène, on introduit les paramètres de cavitation suivant :
Net Positive Suction head : (NPSH) est le supplément minimal de pression qu’il faut ajouter à la pression de vapeur saturante Pv, au niveau de l’entrée de la pompe, pour que la pression à l’intérieur de celle-ci ne puisse être inférieure à Pv. Le NPSH est défini par la relation suivante :
NPSH
Pa Pv g g
avec
Pa : Pression à l’aspiration; ρ, g : densité de fluide et gravité.
(I-1)
Indice de cavitation : (CI) est appliqué pour identifier les conditions d'écoulement, lorsque la cavitation commence, cet indice permet d'établir la frontière entre l'écoulement cavitant et non cavitant. C’est une caractérise de l’écoulement et du liquide, il permet de déterminer quand la cavitation commencera ;
Nombre de cavitation : (CN) il peut être défini comme étant paramètre décrivant la nature de l'écoulement. Il est considéré comme paramètre interne de l'écoulement, qui relit la chute de pression aux pressions statiques locales. Un nombre critique peut marquer le commencement de la cavitation et permet la classification des écoulements en tant que cavitant ou non cavitant.
Des diverses définitions du nombre de la cavitation ont été appliquées. Ainsi, la formulation du CN dépend du domaine d’étude : Cas d’une pompe
CN
Pa Pv
V
avec
2 p
Pa : Pression à l’aspiration; Vp : Vitesse de la roue.
(I-2)
Cas d’un hydrofoil (voir figure n°7)
CN
P0 gh Pv 1 U 2 2
avec
P0 : Pression à la surface; U,h : Vitesse de l’écoulement et profondeur d’immersion.
Simulation d’écoulement cavitant
(I-3)
Figure 7 : Hydrofoil (BRENNEN, et al., 1995)
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Chapitre I : Cavitation et modélisation
La présente étude emploie la définition de BERGWERK, 1959 et appliqué par NURICK, 1976 et SOTERIOU, et al., 1995 :
CN
P1 P2 P2 Pv
avec
(I-4)
P1, P2 : Pression à l’amont et à l’aval (voir figure n°8); Pv : Pression de vapeur saturante.
écoulement Figure 8 : Tube de Venturi
Les études expérimentales de la cavitation réalisée au niveau des orifices et les injecteurs ont révélé qu'il existe un rapport entre le nombre de cavitation CN et la région de la cavitation, ceci à pour conséquence la classification des régimes d'écoulement de la cavitation (SATO, 2001) (STINEBRING, et al., 2001) :
Sous-cavitation (CN < 2.0) ;
Transition (2.0 π/2 Bulle Bulle
Surface plate hydrophile
θ < π/2 Bulle
Figure 13 : Différent type de cavitation ( à gauche nucléation hétérogène et et à droite homogène).
Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre I : Cavitation et modélisation
I.8 Mise en équations I.8.1
MODÈLE À DEUX PHASES SÉPARÉES
Le modèle à deux phases séparées, se caractérise par le fait que les deux phases sont présentes au même endroit spatio-temporel, ainsi il se peut qu’il y ait différence de vitesse et de température entre les deux phases, c'est-à-dire qu’ils ne sont pas en équilibre. Ce modèle est habituellement appliqué pour la simulation des écoulements séparés et non équilibré. De plus, la validation des rapports de fermetures pour ce modèle est difficile en raison du manque de l’information expérimentale sur la cavitation.
I.8.2
MODELE A MELANGE HOMOGENE
Des innovations significatives ont étés réalisé récemment dans le développement du modèle à mélange homogène pour la simulation, en tridimensionnelle et en transitoire, les écoulements cavitants. (CHEN, et al., 1995) Un concept alternatif pour la modélisation des écoulements cavitants est l’approche de simple fluide à mélange homogène, ou l’ensemble des lois de conservation est appliqué à un seul fluide. Ce modèle suppose que les deux phases sont uniformes et bien mélanger et la frontière interphase peut être identifié dans l’écoulement. De ce fait, notre étude sera basée sur ce modèle. Les mesures des écoulements cavitants dans des petits domaines (capillaire sanguins, orifice d’injecteur…) sont difficiles en raison des dimensions, car on ne dispose pas de nos jours des équipements permettant les mesures pour ces petites dimensions (de l’ordre de 0.1 mm). Les modèles numériques offrent des moyens alternatifs pour l’étude du phénomène de la cavitation, ainsi des études expérimentales ont indiqué que les effets des échelles peuvent être inclues dans les méthodes numériques (voir chapitre n°III). Récemment, un progrès a été accompli dans le développement des modèles numériques pour les écoulements cavitants. Bien que les modèles puissent différer en termes de réalisation (en utilisant l’approche multi-fluide, fluide homogène, Eulérienne3, Lagrangienne4…).
3
Approche Eulérienne : consiste à se placer en un point fixe du milieu de l'étude et à observer les modifications des propriétés du fluide qui défile en ce point. 4 Approche Lagrangienne : consiste à observer les modifications des propriétés d'une particule fluide que l'on suit dans son mouvement. Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre I : Cavitation et modélisation
La modélisation des écoulements diphasiques5 se base essentiellement sur les deux concepts suivants : Le concept interpenetrating continua ; Le concept non-interpenetrating continua. Le concept non-interpenetrating continua : décrire les écoulements diphasiques avec une interface bien définie entre les deux phases vapeur et liquide. Plusieurs concepts techniques pour le calcul numérique ont été conçus, cependant, ces méthodes n’ont pas été largement adoptées pour le calcul des structures tridimensionnelles de la cavitation. Le concept interpenetrating continua : ce concept utilise une approche de volume moyen de la fraction de phase pour un endroit spatio-temporel dans l’écoulement. Beaucoup de modèles développés en littérature sont basés sur ce concept.
I.8.3
MODELE APPROUVE (MELANGE HOMOGENE)
Ce modèle permet l’application des équations de conservations pour le mélange, sans augmenter le coût informatique dû à l’augmentation de nombre d’équation tout en appliquant le concept d’écoulement diphasique. Ce modèle se base sur certains critères qui sont :
Assume que les phases sont dans l’équilibre thermique ;
Adopte le concept interpenetrating continua, dans les propriétés du mélange sont fortement affectées par le champ de pression ;
Les effets de la tension superficielle et le glissement entre les deux phases sont négligés ;
Le taux d’évaporation et le taux de condensation sont gouvernés par la différence de pression entre le liquide et vapeur ;
Dans la phase vapeur, la pression est égale à la pression critique Pcr, sera traité dans chapitre n°II, pour une température donnée.
5
Diphasique est le domaine de la mécanique des fluides (gaz ou liquide) qui consiste à étudier ce qu'il se passe lorsque l'on a affaire à deux fluides qui s'écoulent ensemble. Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre I : Cavitation et modélisation
I.8.3.1
LES EQUATIONS DU MELANGE
Les propriétés physiques du mélange sont en fonction du paramètre appelé dans notre cas fraction volumique noté α. De nombreux auteurs à savoir YUAN, et al., 2001; SAUER, J. (2001) ; SCHNERR, G.H. (2001) utilisent les relations linéaires suivantes :
I.8.3.2
DENSITE
v (1 ) l
(I-13)
avec : ρ α ρv ρl
: densité du mélange; : fraction volumique de la phase vapeur [0..1]; : densité de la phase vapeur; : densité de la phase liquide.
I.8.3.3
VISCOSITE
v (1 )l
(I-14)
avec : µ µv µl
: viscosité dynamique du mélange (Pa.s); : viscosité dynamique de la phase vapeur (Pa.s) ; : viscosité dynamique de la phase liquide (Pa.s) ;
I.8.3.4
EQUATIONS DE CONSERVATIONS DE MELANGE
Les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement, et de l’énergie, ainsi que l’équation de bilan de l’entropie, constituent les équations de base de la mécanique et de la thermodynamique, régissant l’équilibre du fluide en écoulement diphasique. Leurs formes locales peuvent être représentées par l’équation paramétrée suivante :
.( v J ) ex in t
Simulation d’écoulement cavitant
(I-15)
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Chapitre I : Cavitation et modélisation
Le tableau (1) donne les expressions de ψ6, J7, φex8 , φin9 correspondant à chaque équation de conservation : Grandeurs
Masse Quantité du mouvement Energie cinétique Energie interne Energie Entropie 𝑣 𝑝 𝛿 𝜏 𝐹 𝑒
Tableau 1 : Équations de conservations ψ J φex 1
0 𝑣
𝑣
2
2
𝑣
2+𝑒
𝐹
𝑝𝑣 − 𝜏. 𝑣
𝐹𝑣
𝑞
𝑟
𝑝𝑣 − 𝜏. +𝑞
𝐹𝑣 + 𝑟
𝑞/𝑇
𝑟/𝑇
𝑠
: composant de la vitesse ; : composante de pression; : tenseur unitaire ; : tenseur de contrainte ; : force ; : énergie intérieure ;
I.8.3.5
𝑝𝛿 − 𝜏
𝑒 2
0
𝑞 𝑟 𝑢 𝑠 𝑇 𝜑𝑠
φin
ID
0
(I-16) (I-17) I-18) (I-19) (I-20) (I-21)
0 𝑝∇. −𝜏: 𝑢 −𝑝∇. +𝜏: 𝑢 0 𝜑𝑠 ≥ 0
: flux de chaleur ; : rayonnement ; : vitesse de déformation ; : entropie10 ; : composante de la température ; : taux de production d’entropie par unité de masse.
MODELE DE FERMETURE
En introduisant, le paramètre α aux équations hydrodynamiques, il en résulte une inconnue, les modèles de fermeture permettent de calculer ce paramètre. La classification des modèles de fermeture des équations (I-13) et (I-14) est en fonction des types d’équations employées, à savoir algébrique ou différentielle. Au totale on compte trois principaux modèles de fermeture à savoir :
Modèle d’équation d’état ;
Modèle d’équation de transport avec terme source artificiel ;
Modèle de Rayleigh-Plesset.
Remarque, généralement ces modèles sont liés entre eux, c'est-à-dire par exemple il se peut que le modèle de l’équation de transport incorpore le modèle de Rayleigh-Plesset.
6
Terme du flux convectif ; Terme du flux diffusif ; 8 Terme des échanges extérieurs ; 9 Terme des échanges intérieurs. 7
10
En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'état introduite en 1865 par Rudolf Clausius dans le cadre du second principe, elle se traduit comme une mesure de l'homogénéité du système.
Simulation d’écoulement cavitant
17
Chapitre I : Cavitation et modélisation
Dans ce qui suit nous essayerons d’illustré une comparaison entre ces modèles. Tout d’abord nous allons définir quelques définitions des deux termes qui sont les clés et les bases des formulations de ces modèles : Approche barotropique : fluide barotropique, pour lequel la variation de la pression ne dépend que de la variation de la densité, P=f(ρ) ; Approche baroclinique : fluide baroclinique .Dans ce cas la variation de la pression est en fonction de la densité et de la température (ou bien d’un terme source). Le tableau (2) permet une comparaison de ces types de modèles.
Phénomènes
Type d’équation Approche du modèle transition entre les deux phases Effet de la nucléation
Tableau 2 : Modèles de cavitation Équation du Équation d’état transport avec terme source
Algébrique Barotropique Equilibre des phases N’est pas décrit
Équation de Rayleigh-Plesset
Différentielle Baroclinique
Différentielle Baroclinique
Pas d’équilibre
Pas d’équilibre
Décrit
Décrit
Ces modèles seront traités individuellement dans le chapitre n°II.
I.9 Conclusion La modélisation des écoulements cavitants est basée sur des concepts et techniques qui sont en fonction du cas d’étude, la disponibilité des équipements et des outils.
Simulation d’écoulement cavitant
18
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
MISE EN EQUATIONS ET RESOLUTIONS
CHAPITRE II :
II.1 Introduction Comme nous l’avons cité dans la section I.8.3 la fermeture des équations (I-13) et (I-14) nécessite bien une équation permettant ainsi le calcule de la variable α, fraction volumique de la phase vapeur. Nous essayerons dans ce qui suit d’illustré ces modèles.
II.2 Equation d’état Les modèles algébriques assurent un effet instantané de la pression local sur la densité du mélange. Certains auteurs ont développés des équations en se basant sur ce modèle, le tableau (3) dévoile quelques équations : Tableau 3 : Equations d’état pour le domaine diphasique utilisées dans les modèles du mélange
Équation d’état
Auteurs
𝑫𝝆 = 𝑪(𝑷 − 𝑷𝒗 ) 𝑫𝒕 𝝆=
𝑷(𝑷 + 𝑷𝒗 ) 𝑲 𝟏 − 𝒀 𝑷 𝑻 + 𝑻𝟎 + 𝒀𝑹(𝑷 + 𝑷𝒗 )𝑻
𝝆 = 𝝆𝒗 + ∆𝝆 𝟏 + 𝐬𝐢𝐧 P = Pl,s +
𝑷 − 𝑷𝒗 ∆𝝆𝒄𝟐𝒎𝒊𝒏
ρv − ρl + ρv ρl ρl Cl
−2
1 + ρv Cv
−2
log
ρCm ρl Cl
ID
(CHEN, et al., 1996)
(II-1)
(IKOHAGI, et al., 1994)
(II-2)
(DELANNOY, et al., 1990)
(II-3)
(SCHMIDT, et al., 2001)
(II-4)
2
Nous essayerons de présenter les différentes étapes qui ont engendré l’équation (II-4), tout d’abord en simplifiant l’équation d’énergie, SCHMIDT et al., 1997 ont obtenus l’équation barotropique suivante :
D DP Dt Dt avec Cm
Cm
(II-5)
: célérité du son (m/s) dans le mélange. )
Pour le modèle de mélange homogène, la célérité du son peut être calculé à partir du modèle suivant (MINNAERT, 1933 ; WALLIS, 1969) : Simulation d’écoulement cavitant
19
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
1 1 2 2 Cm P C C l l v v
(II-6)
avec : Cv Cl
: célérité du son (m/s) dans la phase vapeur ; : célérité du son (m/s) dans la phase liquide ;
L’intégration de cette équation (II-6) produit le rapport de pression-densité qui gère les modèles algébriques de la cavitation (SCHMIDT, et al., 1999; SCHMIDT, et al., 2001; QIN, 2001; DUMONT, et al., 2001) :
C l 1 m P( ) Pl ,s v log v l l Cl 2 vCv 2 l Cl
2
(II-4)
avec : Pl,s
: pression de vapeur saturante.
En considérant que les densités et les célérités du son des phases liquide et vapeur des constantes, l’équation (II-4) permet de déterminer la densité du mélange () à partir de la pression, ainsi la fraction volumique de la phase vapeur α. L’avantage de l’équation algébrique c’est qu’il est explicite, ces modèles ont été développés pour la simulation des écoulements avec des bulles homogènes. L’inconvénient c’est qu’elle ne peut pas décrire les effets de la qualité du liquide dans les écoulements cavitants.
II.3 Equation de transport L’équation de transport de la fraction volumique de la phase vapeur, α, avec un terme source est définie ci-dessous :
v v v j S t x j
(II-7)
Le terme source Sα est en fonction de la propriété du mélange du fluide et de la phase de transition (évaporation /condensation). Beaucoup d’Auteurs ont développé des termes sources (nous les citerons ultérieurement), afin d’assurer une comparaison entre ces termes on a recourt à la transformation de l’équation du transport (II-7) en forme adimensionnelle, l’équation est comme suit :
~ v j ~ S ~ t ~ xj
(II-8)
Simulation d’écoulement cavitant
20 )
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
Le détail de la transformation (II-7II-8) est comme suit :
t ~ t ~ x ~ t ;x ;u j u j t
(II-9)
avec t∞ et ℓ∞ respectivement échelle du temps et de longueur. On remplace les termes (II-9) dans l’équation (II-7) est en multiplie par (ρv)-1, on obtient :
~ v j S t ~ S ~ ~ t x j v
(II-8)
L’équation (II-8) n’est pas généralement appliqué dans les calcules, car elle estompe les échelles hydrodynamique.
II.3.1 LES MODELES DES TERMES SOURCES MODELES DES TERMES SOURCES AVEC UNE EQUATION
II.3.1.1
II.3.1.1.1 MODELE DE CHEN ET HEISTER (1995)
Ce modèle est suggéré par CHEN et HEISTER (1995) pour l’équation (II-8) :
~ S C
l 2 Pv P (l v ) l u 2
(II-10)
avec : C Pv u∞
: constante empirique adimensionnelle ; : pression de vapeur ; : échelle de vitesse d’écoulement.
CHEN et HEISTER (1995) ont souligné qu’avec une grande valeur de la constante « C », on aura comme conséquence une variation rapide de la densité du mélange lorsqu’on a une petite variation de la pression locale. Alors pour une valeur de cette constante petite l’écoulement du mélange se comporte comme équilibré (les deux phases sont en équilibre).
II.3.1.1.2 MODELE D’ALAJBEGOVIC ET AL. (1999)
Pour appliquer les interactions entre les phases dans les écoulements cavitants, une approche multiphasique a été appliquée. Le terme source de l’équation (II-8) est calculé à partir de la corrélation suivante : Simulation d’écoulement cavitant
21
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
~ dR S v nB 4R 2 dt
(II-11)
avec nB R
: la densité volumique, le nombre des bulles cavitants dans le liquide (m-3); : rayon de la bulle lié à la fraction du volume de la phase vapeur, donné par la formule (II-12) ;
4 3 (II-12) R 3 Le taux de croissance / d’effondrement de la bulle a été calculé selon le modèle de Rayleigh (voir section II.4). La densité volumique, nB, a été modélisée comme suit :
nB
si α < 0.5 ;
= n0
(II-13)
nB = 1+2(n0-1)(1- α)
si α > 0.5 ;
avec n0 la densité volumique initiale dans le liquide (n0=1012 bulles/m3, d’après (FUJIMOTO, et al., 1994). En substituant les équations (II-12) et (II-13) dans l’équation (II-11), le terme source sera exprimé en fonction de α.
P P ~ S l Cev f A ( ) v 2 l u 2
(II-14)
avec f A ( ) nB / n0 3 1
Cev 3 3
2
(II-15)
3
4 n0 3
(II-16)
II.3.1.1.3 MODELE DE YUAN ET AL. (2001) Dans ce modèle, YUAN et al. (2001), l’évaporation et la condensation se produisissent dans les bulles sphériques dans le liquide. Le terme source pour l’équation (II-8) est :
~ S l Cf ( )
Pv P
l u 2
(II-17)
2
avec f ( ) 1 3 3 C f ( v , l , n, R) 4
2
Simulation d’écoulement cavitant
(II-18) (II-19)
22
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
Ce modèle suppose que le nombre de densité des bulles cavitantes est un paramètre intégré de l’écoulement n=constante. La taille initiale des bulles R0 est également considérée comme paramètre de ce modèle. « R0 » et « n » peuvent décrire les noyaux (la nucléation, effet de la qualité de liquide) et ses effets sur l’écoulement cavitant. Puisque la qualité du liquide peut changer d’un liquide à un autre, les valeurs de ces deux paramètres citées ci-dessus ne sont pas uniques.
II.3.1.2
MODELES DES TERMES SOURCES AVEC DEUX EQUATIONS
II.3.1.2.1 MODELE DE KUNZ ET AL. (2000)
KUNZ, et al. (2000) ont utilisé différente équations pour l’évaporation et la condensation
P P ~ S Cev (1 ) v 2 l u 2
pour P < Pv
~ S Cco (1 ) 2
pour P > Pv
(II-20) (II-21)
avec Cev et Cco des constantes. Les équations (II-20) et (II-21) ont été appliquées pour la simulation des poches de cavitation dans les écoulements autour d’un corps cylindrique (ROUSE, et al., 1948), pour les aubes des pompes centrifuges, les tubes du venturi (STUTZ, et al., 1997). Pour converger vers les données expérimentales, les paramètres de la cavitation, Cev et Cco, doivent être ajusté. Ainsi dans la version originale KUNZ, et al. (2000) ont employés Cev = Cco=100 dans les écoulements cavitants autour d’un corps cylindrique. Plus tard, pour le même type d’écoulement, LINDAU, et al., 2001 ont appliqués Cev =105;Cco=1. II.3.1.2.2 MODELE D’AHUJA ET AL. (2001)
Les taux d’évaporation et de condensation tous les deux ont été approximés par une fonction linéaire de pression.
P P ~ S Cev (1 ) l v 2 v l u 2
pour P < Pv
(II-22)
P P ~ S Cco v 2 l u 2
pour P > Pv
(II-23)
) Simulation d’écoulement cavitant
23
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
avec Cev = Cco=1000. Ces valeurs sont ajustables en fonction des données expérimentales, paramètres du calage, en régime permanent pour la poche de cavitation autour d’un corps cylindrique (ROUSE, et al., 1948). Le modèle de turbulence est k-ε pour Re petit.
II.3.1.2.3 MODELE DE SINGHAL ET AL. (2002)
Le modèle de terme source suggéré par SINGHAL, et al. (2002) peut être représenté sous cette forme :
l2 ~ 2 1 2 Pcr P S Cev v t 3 l
pour P < Pcr
(II-24)
2 2 P Pcr ~ S Cco v2 t l 3 l
pour P > Pcr
(II-25)
avec : v∞ Pcr
: échelle de vitesse ; : pression critique, pression séparant le liquide et le vapeur
Les valeurs des paramètres de ce modèle recommandé : Cev= 0.02 m2s/Kg ; Cco= 0.01 m2s/Kg . La pression critique dans les équations (II-24) et (II-25) tient compte de l’effet de la pression turbulente avec :
Pcr Pv
0.39 k 2
(II-26)
II.3.2 COMPARAISON DES MODELES DE TERME SOURCE On procède à une comparaison des différent modèles de terme source cités dans les sections II.3.1.1 et II.3.1.2. Au niveau de la condensation, tous à moins le modèle de KUNZ, et al. (2000) considérent l’effet de la gouvernance de la pression locale sur la formation et la destruction du vapeur.Dans la formulation adimentionel cet effet est décrit par le paramètre locale suivant : P P v 2 (II-27) l u 2 Simulation d’écoulement cavitant
24
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
Ce qui peut être exprimé en terme CN (voir équation I-4) de la cavitation :
1 ~ p CN
(II-28)
2( P1 P2 )
u
(II-29)
l
Remplaçant l’équation (II-29) dans l’équation (II-27) :
Pv P P2 P2 1 ~ p P1 P2 CN
(II-28)
avec :
P P2 ~ p P1 P2
(II-30)
La figure (5), visualise le terme source pour différent modèle :
Taux d'évaporation
~ S
Taux de condensation
~ S
1,0E+06
1,0E+03
1,0E+05
1,0E+02
ALAJBEGOVIC et al. (1999) YUAN et al. (2001)
1,0E+04
KUNZ et al. (2000)
1,0E+01
AHUJA et al. (2001) SINGHAL et al. (2002)
1,0E+03 1,0E+00 0
1,0E+02
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,0E-01
1,0E+01
1,0E+00
1,0E-02 0
0,2
0,4
0,6
α
0,8
1
α
Figure 14 : Taux d’évaporation et de condensation en fonction de fraction volumique α pour les différents modèles de termes source avec u∞=100 m/s, échelle de longueur l∞1mm et 𝚷 = 𝟏 . Simulation d’écoulement cavitant
25
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
La figure (14) montre le taux d’évaporation et de condensation calculés à partir des différents modèles de terme source pour les mêmes paramètres. Les modèles développés par KUNZ, et al. (2000); ALAJBEGOVIC, et al. (1999) et YUAN, et al. (2001) peuvent prévoir la cavitation sur une gamme limité des paramètres d’écoulement. En même temps, les modèles d’ AHUJA, et al. (2001) et SINGHAL, et al. ( 2002) produisent des termes sources d’ordre de grandeur plus grand si on les compares aux autre modéles. Tous les termes de l’équation du transport passées en revue sont basées sur le modèle de cavitation empirique à un certain degré et exige la justification des lois de condensation et d’évaporation qu’elles emploient.
II.4 Equation de RAYLEIGH-PLESSET Les modèles de l’équation du transport de la cavitation suggéré par ALAJBEGOVIC, et al.( 1999) et YUAN, et al.( 2001) utilisent le modèl de RAYLEIGH-PLESSET (équation II-31). Ce modèle décrit le cas de la limitation de la croissance d’une bulle sphérique dans un liquide sous une variation de la pression environnante. Pour expliquer les effets de l’inertie, viscosité, la tension superficielle du liquide et la compressibilité du gaz-vapeur, l’équation de RAYLEIGH-PLESSET peut étre appliquée (BRENNEN, et al., 1995) :
PB (t ) P(t )
l
d 2 R 3 dR 4 dR 2 R 2 l dt 2 dt R dt l R 2
(II-31)
avec : PB P R μl σ
: pression à l'intérieur de la bulle (voir figure 12); : pression du liquide; : rayon de la bulle ; : viscosité dynamique du liquide ; : tension superficielle du liquide (voir I.7.1).
Simulation d’écoulement cavitant
26
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
La démonstration de l’équation de RAYLEIGH-PLESSET (BRENNEN, et al., 1995) est comme suit :
Figure 15 : Croissance et effondrement d’une bulle sphérique.
avec : PB(t) TB(t) R(t) r P(r,t) T(r,t) u(r,t)
: pression à l'intérieur de la bulle (voir figure 12); : température à l'intérieur de la bulle; : rayon de la bulle ; : distance entre u point du liquide et la bulle ; : pression locale du liquide ; : température local du liquide ; : vitesse de l’écoulement.
La conservation de la masse du liquide (l’équation I-16) requière que :
u (r , t )
F (t ) r2
(II-32)
ou F(t) est relié à R(t) par la cinétique de la condition limite de la surface de la bulle, pour r =R on aura :
u ( R, t )
dR dt
(II-33)
et ainsi :
F (t ) R 2
dR dt
(II-34)
Si assume l’évaporation et la condensation au niveau de la bulle, le taux de volume de production de vapeur doit être égale au taux d’augmentation de la taille de la bulle, 4πR2dR/dt, et donc le taux de masse d’évaporation est : dR (II-35) v (TB )4R 2 dt avec ρv(TB) la densité de vapeur pour une température donnée. Simulation d’écoulement cavitant
27
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
Si considère la vitesse au niveau de l’interface de la bulle l’équation (II-36) sera écrite comme suite :
u ( R, t )
dR v (TB ) dR dR v (TB ) 1 dt l dt dt l
(T ) dR F (t ) 1 v B R 2 l dt
et
(II-36)
(II-37)
Dans le cas générale ρv(TB) < ρl(T) ; soit ce liquide newtonien et ρl(T) =constante, l’équation de la quantité du mouvement est comme suit :
1 u 2u 1 P u u u l 2 r 2 2 l r t r r r r r
(II-38)
Remplaçant u par u=F(t)/r2 équation (II-32) :
1 P 1 dF 2 F 2 5 l r r 2 dt r
(II-39)
On remarque la disparation du terme de viscosité. L’intégration de l’équation (II-39) donne :
PB P
l
1 dF F 2 r dt 2r 4
(II-40)
Si on considère les pressions exercées sur la surface de la bulle (voir figure 12) multiplié par ρl-1, on aura :
PB P
l
4l dR 2 R dt l R
Le terme
4𝜇 𝑙 𝑑𝑅 𝑅 𝑑𝑡
(II-41)
traduit la répartition de la pression sur la surface de la bulle en fonction de son
évolution. En combinant les équations (II-40) et (II-41), et en remplaçant par l’équation (II-33) on obtient l’équation de RAYLEIGH-PLESSET :
PB (t ) P(t )
l
d 2 R 3 dR 4l dR 2 dt 2 2 dt R dt l R 2
R
(II-31)
L’équation de RAYLEIGH-PLESSET (II-31) a été employée pendant longtemps pour incorporer les effets de la bulle dynamique dans les modèles unidimensionnelle pour les écoulements cavitants. Récemment la progression des vitesses des processeurs et l’extension Simulation d’écoulement cavitant
28
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
des mémoires offre l’utilisation de cette équation en deux dimensions et même en trois dimensions (KUBOTA, et al., 1990; CHEN, et al., 1996). Nous citons dans ce qui suit deux modèles des équations de fermeture employant l’équation de RAYLEIGH-PLESSET.
II.4.1 MODELE DE CHEN ET HEISTER (1996) Le modèle développé par CHEN et HEISTER (1996) utilise le concept de fraction volumique, α, qui est calculé à partir de l’équation (II-12), il assume la présence des noyaux de bulles du rayon R et de densité nB similaire aux modèles de ALAJBEGOVIC, et al.( 1999) et YUAN, et al. (2001). Les analyses de CHEN et HEISTER (1996) ont eu comme conséquence l’équation suivante : 2
D 2 D f1 ( ) f 2 ( ) ~ ~ 2 Dt Dt cav avec :
2
(II-42)
~ t , et : voir les équations (II-9) et (II-27) ; cav : échelle de longueur de la cavitation, elle peut être calculée par l’équation suivante : cav 3
4 n 3
(II-43)
n : densité des bulles par unité de volume ; Les fonctions f1(α) et f2(α) sont définis comme suit :
6 3 (1 3 3 ) 2 f1 ( ) 1 1 (2 3 )(1 ) 3 1
1
2
11 3 3 1 1 4 3 3 f 2 ( ) 2 1 1 2 6 (1 ) 6 3 (2 3 )(1 3 3 ) 2
1
1
2
(II-44)
II.4.2 MODELE DE KUBOTA ET AL. (1990), GIANNADAKIS ET AL. (2004) Ce modèle est un modèle avancé de la cavitation, il utilise l’équation de la bulle dynamique avec un rayon R et nombre de densité n dérivé par KUBOTA, et al. (1990).
P P 4 dR 2 Pg R0 d 2 R 3 dR R 2 B 2 dt R dt R R dt 2 2 d 2 R dn dR 2 dR 2 2r nR R 2nR dt 2 dt dt dt 2
Simulation d’écoulement cavitant
3
(II-45)
29
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
avec : Pg R0 γ
: pression du gaz à l'intérieur de la bulle (voir figure 12); : rayon initial de la bulle; : exposant polytrophique.
Le dernier terme simule la dynamique de la bulle sur des échelles sous la grille de maillage. Ce dispositif devient utile en utilisant des mailles brutes, ou la pression est partagée entre plusieurs bulles dans une cellule informatique.
Après avoir passé en revue les différents modèles de fermetures (équation d’état, équation de transport et équation de Rayleigh-Plesset), nous optons pour le second modèle qui est l’équation du transport. Ce choix est en fonction de plusieurs critères, le premier la disposition des formulations mathématiques des équations, le second l’implantation de l’équation de transport dans les bibliothèques des CFD.
II.5 Choix du terme source approprié D’après la figure 14, les modèles de terme sources les plus prédicatrices des taux d’évaporation et de condensation sont celle de ALAJBEGOVIC, et al. (1999) et YUAN, et al. (2001) .On essayera dans ce qui suit de comparer ces deux modèles, puisque ces deux modèles sont semblables on s’intéressera au terme de fraction volumique : ALAJBEGOVIC, et al. (1999)
YUAN, et al. (2001)
P P ~ S l Cev f A ( ) v 2 l u 2
~ S l Cf ( )
f A ( ) nB / n0 3 1
2
3
Pv P
l u 2 2
(II-15)
f ( ) 1 3 4
2
3
(II-18)
Si on compare ces deux modèles, on remarque que la seule différence est la fonction de la fraction volumique. On trace ces deux fonctions en fonction de la fraction volumique (voir figure 16).
Simulation d’écoulement cavitant
30
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
Comparaison des deux modèles
f(α) 8,0E-01
ALAJBEGOVIC et al. (1999)
7,0E-01
YUAN et al. (2001)
6,0E-01 5,0E-01 4,0E-01 3,0E-01 2,0E-01 1,0E-01 0,0E+00 0
0,2
0,4
α
0,6
0,8
1
Figure 16 : Confrontation des fonctions de fraction volumique.
Cette figure permet la visualisation le comportement des fonctions volumiques, il est claire que le modèle de YUAN, et al. (2001) est moin sensible au niveau de la variation par rapport à l’autre, de plus sa fonction est non conditionnel, c'est-à-dire calculable quelque soit la valeur de fraction volumique, après discusion, on a adopté le modèle de YUAN, et al. (2001) comme étant le terme source de l’équation du transport.
II.6 Etablissement du Modèle Comme il a été indiqué dans la section précédente, l’équation de fermeture des équations (I-13) et (I-14) est l’équation du transport avec le terme source de YUAN, et al. (2001).Il est impératif pour l’utilisation de ce modèle qu’il soit bien formulé pour pouvoir l’introduire dans le code CFD. L’aboutissement à ce modèle peut être représenté par le parcours suivant : La définition de la fraction volumique est celle de SCHNERR, et al. (2001) :
4 nR 3 3 4 1 nR 3 3
Simulation d’écoulement cavitant
(II-46)
31
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
avec : R n
: rayon de la bulle (m) (voir figure 12); : densité des bulles par unité de volume (m-3);
Le taux de production de fraction volumique du vapeur est donnée par la dérivé de α :
d d dR 4nR 2 dR 4nR 2 dR 4nR 2 dR (1 ) 4 dt dR dt 1 4 nR 3 dt 1 4 nR 3 dt 1 nR 3 dt 3 3 3
(II-47)
Afin de faire face à la difficulté numérique du à la variation brutale de la densité entre le liquide et la vapeur, SCHNERR, et al.( 2001) on reformulé l’équation de continuité du mélange (I-16) :
v j v j 0 vj 0 t x j t x j x j
(II-48)
1 1 d vj t x j dt
(II-49)
v j x j
Si on dérive l’équation de la densité du mélange (I-13) par rapport à α on aura :
d v l d
(II-50)
En remplaçant la dérivée de l’équation de la densité du mélange (II-50) dans l’équation (II-49) on obtient :
v j x j
( l ) d 1 d d v d dt dt
(II-51)
L’éqaution du transport de fraction volumique α est comme suit :
v j d v j v j vj t x j t x j x j dt x j
(II-52)
En remplçant les équations (II-47) et(II-51) dans l’équation (II-52) :
v j (1 ) l 4nR 2 dR 4 t x j 1 nR 3 dt 3
(II-53)
Le terme source de cette équation est : Simulation d’écoulement cavitant
32
Chapitre II : Mise en équations et résolutions
S
(1 ) l
4nR 2 dR 4 1 nR 3 dt 3
(II-54)
Puisque on a adapté le concept concept interpenetrating continua et le modèle de l’écoulement cavitant est celui de mélange homogène (voir section I.8.3), il faudra exprimer ce terme source en fonction de la pression. La pression sera introduite par l’équation de RAYLEIGH-PLESSET (II-31) qui subirera quelque simplification qui sont en fonction du modèle de l’écoulement ( on néglige la tension superficielle, les forces d’inertie et de la viscosité (voir section I.8.3) :
PB (t ) P(t )
l
3 dR 2 dt
2
(II-55)
La pression de la bulle sera assimilée à la pression de vapeur saturante toute en négligeant la contamination des bulles par des gaz (voir section I.7.1). Si on remplace l’équation (II-55) dans l’équation (II-54) le terme source sera exprimé comme ci :
S Ccav f ( )
Pv P
l
l
signe( Pv P)
(II-56)
avec Ccav 6 3
4 n 3
f ( ) (1 ) 3 4
(II-57) 2
3
(II-58)
Le contrôle de l’évaporation et de la condensation est en fonction de signe, en effet on obtient :
S Ccav f ( )
l
Pv P
S Ccav f ( )
l
Pv P
l l
pour P < Pv, Evaporation (II-56)
pour P > Pv, Condensation
Le chapitre suivant traitera un domaine d’étude et présentera les méthodes et la technique numérique permettant la résolution des ces équations et la validation des résultats numériques via les résultats expérimentaux.
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Chapitre II : Mise en équations et résolutions
II.7 Conclusion Le modèle qui sera traité est celui de l’équation de transport avec un terme source, le terme source modélisé est celui de YUAN, et al. (2001). La méthode de résolution est celle des méthodes numériques (voir chapitre n° III).
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Chapitre III : Etude de cas
CHAPITRE III :
ETUDE DE CAS
III.1 Introduction Dans ce chapitre, nous allons aborder la modélisation numérique via les codes CFD, tout d’bord on va adopter un demain d’étude, ensuite on introduit le modèle de fermeture adéquat qui a été choisit dans le chapitre précédent, enfin une série de test, différents scénarios et simulations pour justifier les paramètres hydrodynamiques choisies. Le choix du domaine d’étude est en fonction des disponibilités des résultats des visualisations expérimentaux. Puisque nous disposions des résultats expérimentaux d’un injecteur de type de sac, alors on l’a choisit comme cas de notre étude (voir section III.3).
III.2 Présentation du code III.2.1 METHODE NUMERIQUE Les méthodes numériques offrent un outil indispensable pour les résolutions des équations. Dans le domaine de la recherche, cette approche est l'objet d'un effort important, car elle permet l'accès à toutes les informations instantanées (vitesse, pression, concentration) pour chaque point du domaine de calcul, pour un coût global généralement modique par rapport aux expériences correspondantes (KUNNAFONI, 2008). De manière générale, la résolution d'un problème de mécanique de fluide, on passe par trois grandes phases :
la préparation du problème : ceci passe par la définition d'une géométrie, d'un maillage discrétisant le domaine de calcul, du choix des modèles et méthodes numériques employés ;
la résolution numérique du problème qui passe par l'exécution d'un programme informatique. Bien des problèmes suscitant un minimum d'intérêt nécessitent des ordinateurs aux très grandes capacités ;
l'exploitation des résultats : ces derniers sont vérifiés afin de vérifier leur cohérence, puis examinés afin d'apporter des réponses aux questions posées par le problème de MFN de départ. Cette exploitation passe le plus souvent par des logiciels de posttraitement scientifique utilisés dans de nombreuses branches de la physique, ou bien par les modules de post-traitement disponibles dans certains logiciels commerciaux.
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35
Chapitre III : Etude de cas
III.2.2 PHOENICS Le code PHOENICS (abréviation de Parabolic Hyperbolic Or Elliptic Numerical Integration Code Series) (ROSTEN, 1986) est utilisé en tant que instrument pour résoudre le problème de mécanique de fluide en utilisant la méthode de volume fini (VERSTEEG, et al., 1995). La bibliothèque de PHOENICS fournit un certain nombre de sous-programmes et algorithmes, que l'utilisateur peut utiliser pour la simulation. La bibliothèque incorporé permet de faire appelle aux fonctions et aux procédures déjà implanté qui permette de résoudre les équations. La version en cours de PHOENICS n’a aucune ressource intégrée pour calculer les écoulements cavitants. Par conséquent le modèle de la cavitation décrit dans le chapitre précédent doit être introduit manuellement. La résolution numérique est basée sur le volume fini. En analyse numérique, la méthode des volumes finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles, comme la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis. Mais, contrairement à la méthode de différences finies qui utilise des approximations de dérivées, la méthode de volumes finis utilise, comme la méthode d'éléments finis, des approximations d'intégrales. Toutefois, la méthode des éléments finis utilise une formulation variationnelle de l'équation à résoudre (on parle aussi de forme faible), tandis que la méthode de volumes finis est fondée directement sur la forme dite forte de l'équation (KUNNAFONI, 2008). On résout l'équation aux dérivées partielles de manière approchée sur un maillage. Ce maillage est constitué de volumes finis. Les volumes finis sont des petits volumes (en 3D, des surfaces en 2D, des segments en 1D) dont la réunion forme le domaine d'étude. Les volumes finis peuvent être construits autour de points d'un maillage initial, mais pas nécessairement (KUNNAFONI, 2008). Les méthodes de volumes finis ont été mises au point initialement pour des lois de conservation, mais des développements récents permettent à présent de les utiliser pour des équations elliptiques et paraboliques. Ces équations aux dérivées partielles contiennent des termes de divergence. Les intégrales de volume d'un terme de divergence sont transformées en intégrales de surface en utilisant le théorème de flux-divergence. Ces termes de flux sont ensuite évalués aux interfaces entre les volumes finis. On utilise une fonction de flux numérique pour faire une approximation des flux aux interfaces. Comme le flux entrant dans un volume donné est égal au flux sortant du volume adjacent, ces méthodes sont conservatives. Ce qui est particulièrement important lorsqu'on résout des lois de conservation. Un autre avantage de la méthode des volumes finis est qu'elle est facilement utilisable avec des maillages non-structurés. En effet, la formulation d'une méthode de volumes finis ne tient aucun compte de la complexité du maillage, pour ce qui est de la discrétisation des lois de
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Chapitre III : Etude de cas
conservation. En revanche les caractéristiques géométriques du maillage peuvent jouer un rôle déterminant pour les flux diffusifs (KUNNAFONI, 2008). Pour la fermeture des équations (I-13) et (I-14), nous avons optés pour l’équation de transport, avec la méthode de volume fini et dans le code PHOENICS cette équation est modélisée comme suit :
f t
.V p f u f A f f f A f S .V p(III-1) n f P
avec ϕf : fraction massique (voir section III.2.5) ; S : terme source ; Γ : coefficient de diffusion. Figure 17 : Cellule de contrôle, f face de la cellule, uf : vitesse, Af surface de la face f, nf normale de f ; P et F centre des cellules ; Vp volume de la cellule.
Dans la méthode de volume fini, les des différents termes sont discrétisées séparément. Cette étude considère que l’écoulement est permanent e qui permet de réduire les termes qui sont en fonction de temps. La discrétisation de second ordre de terme de diffusion est comme suit :
P A f A f F D f F P n f xF xP
(III-2)
Ce qui transforme l’équation (III-1) en :
C f
f
f
D f F P S.V p
(III-3)
acec : Cf = ρufAf ; Df : propriété de la cellule f.
Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre III : Etude de cas
III.3 Cas d’étude L’injecteur est le composant du circuit qui transforme l’énergie potentielle de pression du fluide en énergie cinétique dans la chambre de combustion. C’est l’élément clef du système haute pression. Les dimensions et le type de l’injecteur sont donnés par la figure suivante :
Roosen et al (1996): o Liquide eau, 20 C L=1mm, H=0.28 mm, W=0.2 mm, rin=0.03 mm
Figure 18 : Injecteur de type sac (BAUER, et al., 1999) ; (ROOSEN, et al., 1996)
Le régime de l’écoulement est permanent, ce qui permet de réduire les termes en fonction du temps.
III.3.1 MAILLAGE Les résultats de calcul numérique sont influencés directement par la qualité du maillage, plus le maillage est fin (voir tableau 4 (c)) plus les résultats sont cohérentes, plus précis mais ça risque de diverger le système induisant des résultats erronées, par contre un maillage lâche (voir tableau 4 (a)) permet la convergence et le système devient plus stable mais les résultats peuvent parfois être non traitable.
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Chapitre III : Etude de cas
Le tableau 4, permet d’avoir une idée sur l’influence du maillage sur les résultats (pression, vitesse, turbulence). On a remarqué pour le cas (a), que les erreurs des calcules sont faibles, mais on n’obtient pas la valeur de condition limite (cas de la pression à l’entrée de l’injecteur voir section III.3.2), donc on aura une problématique de confrontation avec les résultats expérimentales, c’est pour cette raison on rejette ce maillage. Pour le cas (c) qui est un maillage fin dans laquelle la dimension de la maille est de l’ordre 0.01 mm, les erreurs de calcule sont remarquable, sur tout pour l’énergie dissipative qui influence directement sur la turbulence est le système devient instable. Enfin pour le cas (b) qui est une intermédiaire entre ces deux cas, il offre un meilleur maillage pour l’injecteur.
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Chapitre III : Etude de cas
Tableau 4 : Structure du maillage
Nombre total du ΔZ (mm)
maillage ID Maillage
Structure du maillage
Convergence
X,Y et Z
(a)
(b)
(c)
1×6×37= 222
1×9×52= 468
1×16×90= 1440
0.04545
0.03125
0.01785
ΔZ
Erreur -03 P = 5.25 10 VY = 9.39 VZ = 1.41 -01 K = 9.21 10 -01 E = 9.57 10 03 F = 2.63 10 Erreur -03 P = 8.15 10 01 VY = 2.57 10 VZ = 3.73 01 K = 1.38 10 01 E = 1.13 10 04 F = 1.25 10 Erreur -01 P = 1.72 10 03 VY = 1.16 10 02 VZ = 2.22 10 02 K = 8.75 10 04 E = 1.12 10 04 F = 6.78 10
Nota : P= Pression ; VY = Vitesse selon Y ; VZ = Vitesse selon Z ; K= Energie turbulente ; E =Energie dissipative ; F= Fraction massique. Simulation d’écoulement cavitant
40
Chapitre III : Etude de cas
C’est pour cela nous recommandons, ceci a été approuvé par les simulations effectuées dans cette étude. III.3.2 CONDITIONS AUX LIMITES
Figure 19 : Géométrie de l’injecteur.
Pour compléter le problème, les conditions aux limites sont nécessaires pour tous les variables. Les conditions utilisées dans la présente étude sont : Entrée de l’injecteur sur plan Y : P ucrt vcrt wcrt k ε
= 8011 bars = 0 m/s; = 14 m/s ; = 0 m/s; = 0,0784 m2/s2 (voir annexe); = 2.765 (voir annexe);
Remarque, la pression à l’entré n’est pas imposable, seulement la valeur de la vitesse elle y est. Pour la valeur de la vitesse indiquée, Vcrt, on aura la pression recherché. L’indice des vitesses c’est pour indiquer que nous travaillaient dans un plan cartésien. Les valeurs de l’énergie turbulente ainsi que l’énergie dissipatif sont introduites par des formules. Sortie de l’injecteur sur plan Z : P ucrt vcrt wcrt
11
= 21 bars = 0 m/s; = 0 m/s ; = 0 m/s;
La valeur de la pression est variable selon l’utilisation.
Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre III : Etude de cas
La pression à la sortie est imposable, sa valeur dépend des cas.
III.3.3 PAROIS Au niveau de la paroi, la composante de vitesse est nulle. Les conditions aux limites de la paroi ont été reformulés, elle emploie les fonctions standard d’équilibre de la paroi (VERSTEEG, et al., 1995). Cette approche se base sur l’emploie de la couche turbulente données par la formule suivante :
y u 1 ln( Ey )
y+≤ 11.63
(III-4) +
y > 11.63
avec u+=u/ut, vitesse adimensionnelle, y+=y ut /ν coordonné adimensionnelle de la parois, constante de von-Karman : κ = 0.41 et le paramètre de la parois E = 9.8. La vitesse turbulente est donnée par l’équation suivante :
ut c4 k 1
(III-5)
III.3.4 PLAN DE SYMETRIE Au niveau du plan de symétrie, la composante normale de la vitesse et toutes les autres variables sont nulles, pas de d’échange de flux à travers le plan de symétrie. III.3.5 FRACTION MASSIQUE Comme nous l’avons mentionné, on cherche à calculer la fraction volumique de la phase vapeur, comme le l’indique il s’agit d’un flux volumique, hors le modèle de fermeture ainsi que tout les équations du mécanique du fluide implanté dans le code PHOENICS sont résolues en tant que flux massique. Dans ce cas on doit procéder à un changement de variables exprimant la fraction volumique en fonction de la masse, on suppose alors la transformation suivante :
f
v
(III-6)
avec f la fraction massique.
Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre III : Etude de cas
Il en suit un changement de terme source qui est exprimé par l’équation (II-54). La transformation de cette équation a aboutit à :
S f l 3 v 3 (1 f ) 3 f 3 Ccav 1
2
4
2
Pv P
l
signe( Pv P)
(III-7)
avec :
l 1 f f
l v
(III-8)
Le terme implanté dans le code est celle de l’équation (III-7), une fois la fraction massique est calculée, on calcule la fraction volumique.
III.3.6 PROCEDURE DE CALCULE On commence tout d’abord à introduire la formule de la densité initiale, tout en la paramétrant en fonction de terme de faction volumique initiale. Ensuite on introduit les conditions limites de la turbulence (voir annexe). A l’aide de l’inform (input formula),, qui est une nouvelle méthode plus professionnelle d’implantation du code sur le même fichier, on programme la densité et la viscosité de mélange homogène, l’activation de l’inform est simple, il suffit de taper informNXXXX, avec N numéro du groupe et XXXX égale BEGIN ou END, comme suit : INFORM9BEGIN (N=9, XXXX=BEGIN) Instructions et formules INFORM9END (N=9, XXXX=END) De même on introduit le terme source, dans l’inform 13 (N=13). Les valeurs de la relaxation doit être optimiser pour éviter la divergence, on recommande les valeurs suivante : RP = 2.000000E-01 RV = 8.000000E-04 RKE = 5.000000E-01 REP = 5.000000E-01 RF = 1.000000E-03 Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre III : Etude de cas
III.4 Etude de l’hydrodynamique III.4.1 PRESSION La pression simulée par le code permet la visualisation des zones à basse pression ou la cavitation est successible de naitre, elle atteint des valeurs presque négatives comme le montre les figures 20 et 21.
Y ( m)
Pression (bar)
Z ( m)
Figure 20 : Champ de pression.
Le profile tracé ci-dessous est représenté dans la figure suivante :
Pression (bar)
Z ( m) -4
Figure 21 : Profile de pression pour Y= 10 mm Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre III : Etude de cas
Les figures ci-dessus, présentent une zone ou la pression est négative, hors la pression n’est jamais négative, ces valeurs sont dues à la diffusion numériques lors du calcul, c’est un désavantage des méthodes numériques. Dans ce qui suit, nous affecterons ces valeurs négatives à zéro.
III.4.2 VITESSE Y (m)
Vitesse (m/s)
Z ( m) Figure 22 : Champ de vitesse.
On remarque bien, au niveau de la zone ou la pression est faible que la vitesse est plus importante, c’est toute à fait normale suivant la loi de Bernoulli, à la sortie la vitesse voisine 107 m/s au niveau de l’axe de symétrie.
III.4.3 MODELE DE TURBULENCE Concernant le modèle de turbulence, nous avons essayé plusieurs modèles qui sont déjà implantés dans le code. Finalement on opte pour le modèle de k-ε RNG (abréviation en anglais de Re-Normalisation Group) car le nombre de Reynolds est grand. Le choix est en fonction surtout de calcule, de la géométrie… . On a remarqué que certaine modèle de turbulence diverge les calcules, d’autres influences directement sur la pression et surtout au niveau de la paroi de l’injecteur. On illustre dans la figure suivante une comparaison entre de deux modèles :
Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre III : Etude de cas
Y (m)
Y (m)
k-ε
k-ε RNG
k (m2/s2)
k (m2/s2)
Z (m)
Z (m)
Figure 23 : Comparaison des modèles de turbulence.
Le modèle, de k-ε RNG, s'avéré efficace pour la prévision des écoulements turbulents dans la géométrie complexe et ou il ya des recirculations. Le code PHOENICS le recommande pour la simulation des écoulements confinés. YAKHOT et ORSZAG (1986) ont dérivé un modèle de k-ε basé sur des méthodes du RNG (Renormalization Group). Dans cette approche, des techniques de RNG sont employées pour développer une théorie pour les grandes échelles dans lesquelles les effets des petites échelles sont représentés par des coefficients modifiés. Soit
v v v G t i j i x j xi x j
et
t C
k2
(III-9)
Modèle de turbulence k-ε
k k vj G t x j x j
t k x j K
vj C 1G C 2 t x j k x j
t x j
(III-10)
(III-11)
avec : σk=1; σε= 1.314; Cε1=1.44 ; Cε2=1.92 ; Cμ=0.09 : des constantes. Modèle de turbulence k-ε RNG
k k vj G t x j x j
t k x j K
vj C 1G C 2 t x j k x j
t x j
(III-10)
(III-11)
avec : σk = 0.7194; σε= 0.7194 ; Cε1= 1.42; Cε2= 1.68; Cμ=0.0845 Simulation d’écoulement cavitant
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Chapitre III : Etude de cas
La différence entre ces deux modèles est due aux différentes valeurs des constantes. Si on diminue le coefficient σε et on augmente σk, ça résulte une diminution de l’énergie turbulente et augmentation de l’énergie dissipative, ce qui induit les résultats figurants dans la figure 14.
III.5 Etude de la cavitation Le modèle de cavitation a été introduit au code PHOENICS via une nouvelle procédure, appelé l’inform, cette procédure est plus pratique, puisqu’elle permet l’introduction des équations et les termes dans un seul fichier, autrement dit une meilleure hiérarchie du code et facilité de lecture et de modification pour l’utilisateur.
III.5.1 EFFET DE LA FRACTION INITIAL Concernant les calcules, toutes variables déclarer et qui n’est pas été initialisé, elles sont automatiquement nulles. Ainsi, si on revient à l’équation de terme source de la fraction massique (III-7), cette équation est le produit d’un terme et f, si on n’initialise pas cette fraction le terme source sera nulle ainsi la fraction lui-même est nulle, il n’y a pas de calcul. D’où nécessité d’intercaler une constante nommé fraction initiale f0 pour le terme source pour ne pas être nulle au démarrage de calcul, bien sur il faut le retranché par la suite. La figure suivante permette d’observé l’effet de la fraction initiale au calcul :
-5
-6
-7
Figure 24 : Comparaison des fractions initiaux, (a) f0 =10 , (b). f0 =10 , (c) f0 =10 Simulation d’écoulement cavitant
47
Chapitre III : Etude de cas
Comme le montre la figure, la valeur de la fraction n’a pas d’effet sur la poche de vapeur. Ceci est expliquer par : lors de calcule on retranche cette valeur ce qui traduit la conservation des résultats, c’est une astuce pour démarrer les calcules.
III.5.2 EFFET DE LA DENSITE DES BULLES Mentionner dans le Tableau 2, ce modèle permet de décrire l’effet de la nucléation dans le liquide. Le terme responsable de cette effet est la densité des bulles, n, qui est présent dans l’équation de terme source, (III-7), sous forme de Ccav qui est calculé par l’équation (II-57). Une série de valeur de « n » a été testé pour pouvoir observer l’effet de la nucléation dans la cavitation, ces résultats sont classifiés dans la figure suivante :
13
-3
14
-3
Figure 25 : Comparaison des densités des bulles, (a) n =9.4 10 (m ), (b). n =1.3 10 (m ), 14 -3 (c) n =1.7 10 (m )
La figure montre bien que le phénomène de la cavitation est en fonction de la qualité du liquide. Plus le liquide est pur (cas a) moins ce phénomène est réduit et vise versa.
III.5.3 COMPARAISON Pour valider les résultats numériques simulées, on doit procéder a un comparative avec des résultats expérimentaux, d’où le choix de l’injecteur (voir section III.3). Le tableau suivant exprime les paramètres du modèle de ROOSEN, et al., 1996 :
Simulation d’écoulement cavitant
48
Chapitre III : Etude de cas
Tableau 5 : Paramètres de cavitation pour modèle de ROOSEN, et al. 1996.
Régime d’écoulement
Pression d’entrée (bar)
Pression de sortie(bar)
Cavitation
80
21
Super-cavitation
80
11
Vitesse (m/s)
Nombre de Reynolds
Nombre de Cavitation
108.6
30 416
2.81
117.5
32 890
6.28
Tableau 6 : Comparaison des données simulées et expérimentaux
Régime d’écoulement
Auteurs
Visulisation
Pression d’entrée (bar)
Pression de sortie(bar)
Roosen et al (1996)
80
21
LMHE (2008)
80
21
Roosen et al (1996)
80
11
LMHE (2008)
80
11
Cavitation
Super-cavitation
III.5.4 CONCLUSION Le phénomène de la cavitation dans l'injection a été modélisé en utilisant les méthodes CFD. Les résultats de la présente étude ont prouvé que le modèle de la cavitation peut décrire et reproduire les effets et les dispositifs principaux des écoulements de cavitation. Le modèle à mélange homogène cavitation assume l'égalité des vitesses des deux phases liquides et vapeur, qui peuvent être justifiées seulement pour de petites bulles de cavitation.
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Conclusion générale
Conclusion générale a modélisation des écoulements cavitants s’avèrent un outil indispensable, vue que la cavitation c’est introduite dans tout les systèmes hydrauliques. La cavitation comme nous l’avons mentionné est un phénomène diphasique, ce dernier sa modélisation est devenue possible dans ces derniers décennies grâce aux développements des méthodes numériques ainsi les performances des ordinateurs.
L
Pour la modélisation, on a appliqué le modèle du mélange homogène pour le cas d’un injecteur, est comme équation de fermeture de la fraction volumique l’équation du transport avec un terme source de YUAN (2001). Afin de décrire judicieusement les écoulements cavitants, permettant ainsi la confrontation avec les résultats expérimentaux, on a introduit un paramètre, densité des bulles dans le liquide, qui est responsable de la qualité du liquide, de ce fait se on aura une corrélation entre la qualité et la cavitation, ceci permet de suivre l’effet de la qualité sur le phénomène de la cavitation. De point de vue la géométrie de la buse de l’injecteur de type sac, nous avons reproduit presque les dimensions réelles de la buse ce qui a pour effet l’approche vers les résultats expérimentaux déjà acquises. Nous avons aussi tenu compte des dimensions des rayons de la courbure de l’entée du fluide afin d’assurer une prévision précise. Il est a remarqué que les dimensions de l’injecteur sont très petites de l’ordre de 0.1 mm se qui rend notre cas plus complexe, sur tout au niveau du maillage ou la taille de la maille attient 0.01 mm ce qui est relativement très petit ce qui induit la divergence des calcules, d’où des plusieurs tests et scénarios ont été appliqué afin de choisir les paramètres adéquat (algorithme de résolution, paramètres de relaxation, schémas…). Une modélisation est dite appréciable si seulement si on parvient à reproduire la réalité, décrire plus précisément l’écoulement et ce qui se passe dans l’injecteur, pour ce la faire on a choisit judicieusement le modèle de turbulence après des discussions avec les experts du laboratoire et suite au test des différents modèles déjà implanté, de plus lors que nous avons une variation importante de la densité et lorsque le domaine est de taille petite il est recommandé d’utiliser le modèle k RNG. Les résultats issues de la simulation sans cavitation révèlent, que la pression atteint des valeurs négatives, en réalité il n’est pas des pressions négatives, ceci se traduit par la diffusion numérique du aux méthodes numériques qui est inévitable, mais on la réduit on choisissant les schémas convenables à notre cas.
Simulation d’écoulement cavitant
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Conclusion générale
Lorsqu’ on a introduit le modèle de la cavitation, on a eu fluctuation très importante de la densité qui influence directement sur tous les autres résultats (vitesse, turbulence, pression…) et le système est devenu instable ainsi eu une convergence inacceptable. Pour résoudre ce problème nous avons optimisé les paramètres de relaxation de telle sorte on aboutira à une meilleur convergence acceptable. La fraction de masse initiale fo est un paramètre numérique du modèle, avec une petite valeur (fo 106), qui est exigé pour initialiser le terme source. On a constaté que le réglage de fo à une petite valeur a eu un effet négligeable sur la solution finale. Lors de la confrontation des résultats simulées avec celle mesurées, nous avons prouvés que les CFD sont des outils fiables, précises permettant la prédiction de la cavitation. Nous avons prouvés que le modèle de cavitation implémenté dans le code PHOENICS décrit les écoulements cavitants tout en tenant compte de la qualité du liquide pour un régime permanent. Pour obtenir des résultats plus précis une attention particulière devrait être apportée aux paramètres numériques déjà cités au-dessus. Le modèle du mélange homogène appliqué, considère l'égalité des vitesses des phases de liquide et de vapeur, qui peuvent être justifiées seulement pour de petites bulles. Pour décrire avec précision le comportement de grandes poches de cavitation, la vitesse de glissement entre les phases devraient être prises en considération. Les bulles pleines de gaz n'étaient pas décrites par notre modèle. Cet effet est important pour la prévision des écoulements à grande échelle à de basses pressions de système. Le concept pour le nombre la densité des bulles dans le liquide, suppose que la concentration des bulles par volume unitaire du liquide ne change dans le domaine d’étude (n =const).
Simulation d’écoulement cavitant
51
Références Bibliographiques
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Références Bibliographiques
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Simulation d’écoulement cavitant
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Simulation d’écoulement cavitant
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Annexes
Annexe Fichier Q1 du code PHOENICS Fluide = eau TALK=T; RUN( 1, 1) {------------------------------------------------------------------------} {**********Déclaration des paramètres physiques**********} {------------------------------------------------------------------------} REAL(Uin,MFin,Pout,RHOIN) Uin=14.0 {Vitesse d'entré pour pression 80:21 bar} PRESS0=0. {Pression relative} MFin = 0.00 {Fraction massique initiale} Pout=21.e+05 {Pression de sortie relative a Presso} Rg(1)=1000 {Densité de liquide} Rg(2)=1. {Densité de vapeur} Rg(3)=1.E-06 {viscosité cinématique de liquide} Rg(4)=1.E-05 {viscosité cinématique de vapeur} Rg(5)=2300 {Pression de vapeur saturante du fluide} Rg(6)=1.E-05 {f0} Rg(7)=Rg(5)-PRESS0 {Pression de vapeur saturante relative a Presso} Rg(8)= 21976.29779 {Paramètre de qualité de fluide} Rg(9)=Rg(1)/Rg(2) {Rapport ρl/ρv} Rg(10)=Rg(3)/Rg(4) {Rapport ηl/ηv} RG(11)=Rg(2)/Rg(1) {Rapport ρv/ρl} {------------------------------------------------------------------------} {**********************Maillage*********************} {------------------------------------------------------------------------} INTEGER(NZI,NZE,NZC,NZN) NY = 9 {Nombre des mailles selon Y} NZI = 5 {Nombre des mailles selon Z de Z->I} NZE = 12 {Nombre des mailles selon Z de Z->E} NZC = 3 {Nombre des mailles selon Z de Z->C} NZN = 32 {Nombre des mailles selon Z de Z->N} DX=0.1e-3 {Largeur de l’injecteur selon X} NZ=NZI+NZE+NZC+NZN REAL(DX)
Simulation d’écoulement cavitant
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Annexes
{------------------------------------------------------------------------} {**************CL du modèle de turbulence*************} {------------------------------------------------------------------------} RHOIN = 1./( (1.-MFin)/1000 + MFin/1) REAL(TKEin,EPSin) WALLCO=GRND2 TKEin = (0.02*Uin)**2 EPSin = 0.09*TKEin**2/(200*ENUL) ************************************************************ Q1 created by VDI menu, Version 3.6.1, Date 20/10/06 CPVNAM=VDI;SPPNAM=Core ************************************************************ Group 1. Run Title TEXT(Injecteur de type sac) ************************************************************ Group 2. Transience STEADY = T ************************************************************ Groups 3, 4, 5 Grid Information BFC=T NONORT = T UUP = F ;VUP = F ;WUP = T GSET(D,nx,ny,nz,0.1e-3,1e-3,3e-3) {------------------------------------------------------------------------} {*****************Points de l’injecteur*****************} {------------------------------------------------------------------------} XPO= 0.000000E+00;YPO= 0.000000E+00;ZPO= 0.000000E+00;GSET(P,PI1 ) XPO= 0.000000E+00;YPO= 1.000000E-03;ZPO= 0.000000E+00;GSET(P,PI2 ) XPO= 0.000000E+00;YPO= 1.000000E-03;ZPO= 1.000000E-03;GSET(P,PI3 ) XPO= 0.000000E+00;YPO= 7.570001E-04;ZPO= 1.652000E-03;GSET(P,PEW ) XPO= 0.000000E+00;YPO= 1.680000E-04;ZPO= 2.000000E-03;GSET(P,PE3 ) XPO= 0.000000E+00;YPO= 1.400000E-04;ZPO= 2.028000E-03;GSET(P,PC3 ) XPO= 0.000000E+00;YPO= 0.000000E+00;ZPO= 2.028000E-03;GSET(P,PN1 ) XPO= 0.000000E+00;YPO= 0.000000E+00;ZPO= 1.925000E-03;GSET(P,PC1 ) XPO= 0.000000E+00;YPO= 0.000000E+00;ZPO= 9.000000E-04;GSET(P,PE1 ) XPO= 0.000000E+00;YPO= 1.400000E-04;ZPO= 3.028000E-03;GSET(P,PN3 ) XPO= 0.000000E+00;YPO= 0.000000E+00;ZPO= 3.028000E-03;GSET(P,PN2 ) XPO= 0.000000E+00;YPO= 7.570001E-04;ZPO= 1.652000E-03;GSET(P,#6 ) XPO= 0.000000E+00;YPO= 1.484000E-04;ZPO= 2.008400E-03;GSET(P,#8 )
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Annexes
{------------------------------------------------------------------------} {*****************Lignes de l’injecteur*****************} {------------------------------------------------------------------------} GSET(L,L1I,PI1,PI2,Ny,1.0) GSET(L,L1N,PC3,PN1,Ny,1.0) GSET(L,L7I,PN3,PN2,Ny,1.0) GSET(L,L2I,PI2,PI3,NzI,1.0) GSET(L,L4I,PE1,PI1,NzI,1.0) GSET(L,C1W,PI3,PE3,NzE,0.9,ARC,#6) GSET(L,L4E,PC1,PE1,NzE,-0.9) GSET(L,C2W,PE3,PC3,NzC,1.0,ARC,#8) GSET(L,L4C,PN1,PC1,NzC,1.0) GSET(L,L5I,PN1,PN2,NzN,1.0) GSET(L,L6I,PC3,PN3,NzN,1.0) {------------------------------------------------------------------------} {******************Faces de l’injecteur*****************} {------------------------------------------------------------------------} GSET(F,F1,PI1,-,PI2,PI3.PE3,PC3,-,PN1,PC1.PE1) GSET(F,F2,PN1,-,PC3,-,PN3,-,PN2,-) GSET(M,F1,+J+K,1,1,1,LAP5) GSET(M,F2,+J+K,1,1,Nz-NzN+1,TRANS) GSET(C,I2,F,I1,1,Ny,1,Nz-NzN,+,DX,0,0) GSET(C,I2,F,I1,1,Ny,Nz-NzN+1,Nz,+,DX,0,0) ************************************************************ Group 7. Variables: STOREd,SOLVEd,NAMEd NAME(C1) = MF SOLVE(P1 ,V1 ,W1,MF ) SOLUTN(p1, Y,Y,Y,N,N,N) SOLUTN(V1,Y,Y,Y,N,N,N) SOLUTN(W1,Y,Y,Y,N,N,N) SOLUTN(MF, Y,Y,Y,N,N,Y) STORE(ENUT) STORE(RHO1,ENUL) TURMOD(KERNG) ************************************************************ Group 8. Terms & Devices ************************************************************
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Annexes
Group 9. Properties TERMS (MF ,Y,Y,N,N,Y,N) RHO1 = 1.000000E+03 ENUL = 1.000000E-06 {------------------------------------------------------------------------} {************INFORM 9 : Densité, Viscosité************} {------------------------------------------------------------------------} INFORM9BEGIN char(form1,form2) REAL(rap1,rap2) rap1=:Rg(9):-1 rap2=1-:Rg(10): form1=:Rg(1):/(1+:rap1:*mf) form2=:Rg(3):/(1-:rap2:*mf) (PROPERTY RHO1 IS :form1:) (PROPERTY ENUL IS :form2:) INFORM9END ************************************************************ Group 10.Inter-Phase Transfer Processes ************************************************************ Group 11.Initialise Var/Porosity Fields FIINIT(P1 ) = 0.000000E+00 ; FIINIT(W1 ) = 0.000000E+00 FIINIT(v1 ) = 0.000000E+00 FIINIT(KE)=TKEIN FIINIT(ep)=EPSIN ******************************************** Group 12. Convection and diffusion adjustments No PATCHes used for this Group ************************************************************ Group 13. Boundary & Special Sources PATCH(liquid, VOLUME, 1,nx, 1,Ny, 1,11, 1,LSTEP) coval(liquid,mf,fixval,0. ) {------------------------------------------------------------------------} {*************INFORM 13 : Terme Source*************} {------------------------------------------------------------------------}
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Annexes
INFORM13BEGIN PATCH(whole,cell,1,nx,1,NY,1,nz,1,LSTEP) char(COC,VlE,ph1,ph0,ph2,alph,Pt) ph0=abs(1-mf+:rg(6):) (stored var ph0 at whole is :ph0:) Ph1=ph0^(:4/3:)/((mf+:Rg(11):*(1.-mf))*(mf+:rg(6):)^(:1/3:)) (stored var ph1 at whole is :ph1:) pt=:Rg(5): (stored var pt at whole is :pt:) ph2=sqrt(abs(pt-p1)/:rg(1):) (stored var ph2 at whole is :ph2:) COC=:RG(8):*ph2*ph1 VlE=:RG(8):*ph2*ph1 {*************Terme source Evaporation*************} PATCH(Evapora, VOLUME, 1,nx, 1,Ny, 12,Nz, 1,LSTEP) (SOURCE of mf at Evapora is :VlE:*(mf+:Rg(6):) with if(p1.lt.pt)) {*************Terme source Condensation************} PATCH(Conden, VOLUME, 1,nx, 1,Ny, 12,nz, 1,LSTEP) (SOURCE of mf at Conden is :COC:*(0-mf) with if(p1.ge.pt)) alph=mf*RHO1/:rg(2): (stored var alph at whole is :alph:) INFORM13END PATCH(bfcIN,LOW,1,1,1,NY,1,1,1,lstep) COVAL(bfcIN,P1 , FIXFLU, GRND1) COVAL(bfcin,w1 ,onlyms, grnd1) COVAL(bfcin,Wcrt ,onlyms, uin) COVAL(bfcin,KE , ONLYMS , TKEin) COVAL(bfcin,EP , ONLYMS , EPSin) bfca=rho1 Parent VR object for this patch is: OUTLET_O PATCH(OUTLET ,HIGH , 1, 1, 1, ny, nz, nz,1,LSTEP) COVAL(OUTLET ,P1 , 1000, pout) COVAL(OUTLET ,V1 ,onlyms, 0.000000E+00) COVAL(OUTLET ,W1 ,onlyms, 0.000000E+00) Simulation d’écoulement cavitant
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Annexes
COVAL(OUTlet,KE , ONLYMS , SAME) COVAL(OUTlet,EP , ONLYMS , SAME) PATCH(plate, NWall, 1, Nx, NY, NY, 1, nz, 1,LSTEP) COVAL(plate, w1, WALLCO, 0.0) COVAL(plate, KE, WALLCO, WALLCO) COVAL(plate, EP, WALLCO, WALLCO) ************************************************************ Group 14. Downstream Pressure For PARAB ************************************************************ Group 15. Terminate Sweeps LSWEEP = 3000 RESFAC = 1.000000E-03 ************************************************************ Group 16. Terminate Iterations ************************************************************ Group 17. Relaxation RELAX(P1 ,LINRLX, 2.000000E-01) RELAX(V1 ,FALSDT, 8.000000E-04) RELAX(W1 ,FALSDT, 8.000000E-04) RELAX(KE ,LINRLX, 5.000000E-01) RELAX(EP ,LINRLX, 5.000000E-01) RELAX(MF ,LINRLX, 1.000000E-03) ************************************************************ Group 18. Limits VARMAX(MF ) = 1.000000E+00-:rg(6): ;VARMIN(MF ) =0.0 VARMAX(KE ) = 1.000000E+08 ;VARMIN(KE ) =0.0 VARMAX(EP ) = 1.000000E+08 ;VARMIN(EP ) =0.0 VARMAX(P1 ) = 1.000000E+07 ;VARMIN(P1 ) =-1.000000E+07 ************************************************************ SCHEME(VANL1,MF) SCHEME(SMART,MF) SCHEME(minmod,Ke,EP) SCHEME(HQUICK,MF) SCHEME(smart,V1,W1) SCHEME(SUPBEE,MF) SCHEME(LUS ,LSOL);sCHEME(FROMM ,);SCHEME(CUS ,); SCHEME(QUICK ,); SCHEME(CDS ,); CHEME(SMART ,);SCHEME(KOREN ,); SCHEME(VANL1 ,); SCHEME(OSPRE ,);SCHEME(VANL2 ,); SCHEME(VANALB,); SCHEME(MINMOD,) ************************************************************
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Annexes
Group 19. EARTH Calls To GROUND Station USEGRD = T ;USEGRX = T PARSOL = T ************************************************************ Group 20. Preliminary Printout ECHO = T ************************************************************ Group 21. Print-out of Variables WALPRN = T ************************************************************ Group 22. Monitor Print-Out IXMON = 1 ;IYMON = 5 ;IZMON = 13 NPRMON = 200 NPRMNT = 1 TSTSWP = -1 ************************************************************ NZPRIN = 1 STOP
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Index
Index A
H
Approche baroclinique · 18 Approche barotropique · 18
Hydrofoil · 6 I
B Indice de cavitation · 6 Bulles · 4 M C Coefficient de décharge · 9 Concept interpenetrating continua · 15 Concept non-interpenetrating continua · 15 Concept non-interpenetrating continua · 15 Conditions aux limites · 41 D Densité · 16 Description de l’écoulement cavitant · 8 E Ecoulements de cisaillement · 3 Effet de la densité des bulles · 48 Effet de la fraction initial · 47 Effets de l‘échelle · 8 Equation d’état · 19 Equation de RAYLEIGH-PLESSET · 26 Equation de similitude · 9 Equation de transport · 20 Equations de conservations dE mélange · 16 Equations du mélange · 16 F Fraction massique · 42 G Géométrie · 3 Simulation d’écoulement cavitant
Maillage · 38 Méthode numérique · 35 Mise en équations · 14 Modèle à deux phases séparées · 14 Modèle à mélange homogène · 14 Modèle d’AHUJA et al. · 23 Modèle d’ALAJBEGOVIC et al. · 21 Modèle de CHEN et HEISTER · 21, 29 Modèle de fermeture · 17 Modèle de KUBOTA et al. (1990), GIANNADAKIS et al · 29 Modèle de KUNZ et al. · 23 Modèle de SINGHAL et al. · 24 Modèle de turbulence k-ε · 46 Modèle de turbulence k-ε RNG · 46 Modèle de YUAN et al. · 22 Mouvement vibratoire · 4 N Net Positive Suction head · 6 Nombre de cavitation · 6 Nombre de Froude · 8 Nombre de Mach · 8 Nombre de Reynolds · 8 Nombre de Strouhal · 9 Nombre de Weber · 8 Nucléation hétérogène · 13 Nucléation homogène · 12 O Oscillation · 4 62
Index
P Paramètres caractérisant la cavitation · 6 Parois · 42 PHOENICS · 36 Plan de symétrie · 42 Pompe · 6 Pression · 44 Pression turbulente · 24 Procédure de calcule · 43
Similitude hydrodynamique · 9 Sonochimie · 5 Sous-cavitation · 7 Super-cavitation · 7 Super-cavitation · 7 Surface hydrophile · 13 Surface hydrophobe · 13 T
Qualité du liquide · 10
Taux de condensation · 25 Taux d'évaporation · 25 Tension superficielle · 12 Transition · 7
R
V
Régime transitoire · 3 Résistance à la traction · 13 Rupture · 10
Viscosité · 16 Vitesse · 45 Vitesse d’écoulement · 10
Q
S Similitude · 8
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