Masinski Elementi-elementi Za Prenos Snage

ELEMENTI ZA PRENOS SNAGE Elektromotori imaju veliku ugaoni brzinu obrtanja, oni obezbeđuju snagu u vidu obrtnog momenta relativno male veličine i velike brzine rotacije. U tim uslovima motori optimalno rade i njihova konstrukciona rešenja su racionalna. Smanjenjem brzine obrtanja znatno se povećavaju gabariti motora. Ekonomski i tehničko opravdano rešenje je da se razlike u parametrima koje daje motor i onih koje su potrebne premoste posredstvom prenosnika. Prenosnici-mašinski podsistemi ili komponente koje čine funkcionalno povezan skup elemenata za prenošenje i za transformaciju mehaničke energije i drugi mašinski sistemi i elementi namenjeni za izvršavanje sporednih i pomoćnih funkcija. Transformišu ulaznu ugaonu brzinu, izraženu brojem obrtaja koji dolazi od motora nul u izlazni broj obrtaja u jedinici vremena niz koji odgovara potrebama funkcionisanja radnog dela mašine. Radni prenosni odnos: i =

n ul n izl

Usled međusobnog trenja delova prenosnika, deo mehaničke energije koja se prenosi prelazi u toplotu. Mehanička energija na izlazu je manja od mehaničke energije na ulazu. Snaga na ulazu Pul je veća od snage na izlazu Pizl. Stepen iskorišćenja prenosnika: η =

Pizl Pul − Pk = Pk-snaga gubitaka Pul Pul

Dobra strana mehaničkog prenosnika je što je stepen iskorišćenja prenosnika veoma blizak 1. Otpor koji se može savladati raspoloživom snagom P određen je veličinom obrtnog momenta:T = Pizl T izl ωizl Pizl ωul = = ⋅ =η ⋅i Pul T ul Pul ωizl ωul T izl = η ⋅ i ⋅ T ul

P ω

Reduktor (i>1)-Smanuje ugaonu brzinu, povećava obrtni moment. Ugaona brzina se smanjuje od ulazu ka izlazu iz prenosnika. Što je ugaona brzina manja veći je obrtni moment koji se može savladati istom snagom.

Multiplikator (i1) Uvek je veći od jedinice i definiše se odnosom većeg i manjeg prečnika tela koja su u dodiru. Vrste mehaničkih prenosnika 1. Frikcioni parovi 2. Zupčasti parovi 3. Kaišni parovi 4. Lančani parovi FRIKCIONI PAROVI Osnovni uslov je da je sila trenja F µ veća od obimne sile koja će se javiti u radu. F µ > FT

Provera stepena sigurnosti protiv proklizavanja Sµ =

[F ]

F

Fn = S µ ⋅

=

F µ µ ⋅ Fn = Ft Ft

Ft µ

Za prenošenje opterećenja potrebno je obezbediti dovoljnu

normalnu silu Fn, koja dodatno opterećuje vratila i ležaje. Karakteristike frikcionih parova su: • Prenose male snage u odnosu na svoje gabarite • U toku rada prisutno je proklizavanje usled preopterećenja, elastično i kinematsko klizanje • Proklizavanje usled peopterećenja ima ulogu osigurača od preteranog naprezanja materijala KINEMATIKA FRIKCIONIH PAROVA

Predstavljamo frikcioni par kao kruto telo. v 1 = r 1 ⋅ ω1 v 2 = r2 ⋅ ω2

r1 ⋅ ω1 = r 2 ⋅ ω 2 ω1 r 2 = =u ω2 r1

a = r1 + r 2 a = r1 (1 + u ) a r1 = 1+u

a = r2 (

r1 1+u + 1) = r 2 ( ) r2 u au r2 = 1+u

Tačka A je trenutna osa relativnih brzina za frikcioni par. Trenutna osa opisuje aksoid.

u =

r2 r1

v 1 = ω1r1 v 2 = ω 2r 2 v1 =v2 ω1 r 2 = =u ω 2 r1

V 1 = r1 ⋅ ω1 V 2 = r 2 ⋅ ω2 V1 = V 2 r1 ⋅ ω1 = r 2 ⋅ ω 2 ω1 r 2 = =u ω2 r1

a = r 2 − r1 r a = r1 ( 2 − 1) = r1 (u − 1) r1 a r1 = u −1 r u −1 a = r 2 (1 − 1 ) = r 2 ( ) r2 u au r2 = u −1

r 2 = OA ⋅ sin δ 2 r1 = OA ⋅ sin δ 1 ω1 OA ⋅ sin δ 2 sin δ 2 = = =u ω 2 OA ⋅ sin δ 1 sin δ 1

Kinematska površina je zamišljena kriva na kojoj su obimne brzine obe tačke jednake. KINEMATSKO KLIZANJE Radi smanjnenja potrebne sile pritiska jednog točka na drugi dodirne površine mogu biti u obliku žlebova međutim tada nastaje nepoželjna pojava kinematskog klizanja.

l ⋅ ω1 l l l l ω l = V kl = (r1 + ) ⋅ ω1 − (r 2 − ) ⋅ ω 2 = (r1 + ) ⋅ ω1 − (r1 ⋅ u − ) ⋅ 1 = r1 ⋅ ω1 + ⋅ ω1 − r1 ⋅ ω1 + 2 2 2 2 u 2 2 ⋅u ω ⋅l ω ⋅l u +1 1 ) = 1 ⋅ (1 + ) = 1 ( 2 2 u u

Dolazi do odstupanja radnih površina u odnosu na kinematske. ELASTIČNO KLIZANJE

odnosno na drugom točku.

Elastično klizanje nastaje u slučaju deformabilnih radnih organa. Usled opterećenja dolazi do elastičnih deformacija. Na pogonskom točku razlikujemo zonu pritisnutih i zategnutih vlakana. Posmatrano na tačku ulaska u spregu. Kod gonjenog točka posmatranog u odnosu na tačku A imamo zonu zategnutih vlakana odnosno pritisnutih pri izlasku gonjenog točka iz kontakta. Na osnovu iznetih tvrdnji proizlazi da dolazi do relativnog pomeranja vlakna pogonskog u odnosu na gonjeni koja je posledica promena karaktera opterećenja na jednom

Točkovi se oblažu gumom da bi se dobio veći koeficijent trenja. Poželjan je veliki modul elastičnosti jer tada pri istoj sili dolazi do manjih deformacija u odnosu na materijal sa manjim modulom elastičnosti čime se smanjuje elastično klizanje. (Klizanje dovodi do povećanja prenosnog odnosa). Hercovi obrasci p max = 0,418 ⋅ E =

2E 1 ⋅ E 2 E1 + E2

r =

r1 ⋅ r 2 r1 + r 2

F ⋅E b ⋅r

FRIKCIONI VARIJATORI Karakteristika varijatora je promenljiv prenosni odnos V A 1 = r 1 ⋅ ω1 V A 2 = r 2 ⋅ ω2 r1 ⋅ ω1 = r 2 ⋅ ω 2 ω1 r 2 J ⋅ sin δ 2 sin δ 2 = =u = = ω 2 r1 J ⋅ sin δ 1 sin δ 1

Primena frikcionih parova: 1. Ne zahteva tačnost prenošenja prenosnog odnosa 2. Nisu pogodni za prenošenje velikih snaga Materijal Potrebno je da materijal ima veliki modul elastičnosti kako bi deformacije bile male. Potreban je veliki koeficijent trenja kako bi se mogla primeniti manja normalna sila. Ovo su međusobno suprotni zahtevi. Jedna od kombinacija je

Kaljeni čelik sa kaljenim čelikom. Modul elastičnosti je veliki i ima veliku otpornost na habanje ali je koeficijent trenja mali. Pri podmazivanju koje ima ulogu hlađenja ovaj koeficijent postaje još manji. Veći točkovi se mogu izrađivati od sivog liva. ZUPČASTI PAROVI Podela: Zasniva se na obliku kinematskih površina. Kinematske povšine se predstavljaju posredstvom odgovarajućih aksoida koji se kotrljaju jedan po drugom bez klizanja. Podela prema aksoidima: 1. Cilindrični 2. Konusni 3. Hiperbolični a = rw 1 + rw 2 a = rw 1 ⋅ (1 + u ) a rw 1 = 1+u

a = rw 1 + rw 2 u +1 1 ) a = rw 2 ⋅ ( + 1) = rw 2 ⋅ ( u u au rw 2 = 1+u

Kinematske kružnice predstavljaju karakteristiku zupčastog para jer su funkcija osnog rastojanja i kinematskog prenosnog odnosa. O 1 = d w 1 ⋅ π = z 1 ⋅ pw 1 O 2 = d w 2 ⋅ π = z 2 ⋅ pw 2

Korak na kinematskoj kružnici je lučno rastojanje između istoimenih profila zubaca. dw1 z1 = dw 2 z 2 dw 2 z 2 = =u dw1 z1

OSNOVNI ZAKONI SPREZANJA

V A1 = ω1 ⋅ rY 1 V A 2 = ω2 ⋅ r y 2 V A1 ⋅ cos ψ 1 = V A 2 ⋅ cos ψ 2 ω1 ⋅ r y 1 ⋅ cos ψ 1 = ω2 ⋅ r y 2 ⋅ cos ψ 2 ω1 ⋅ O1N 1 = ω2 ⋅ O 2N 2 ω1 O 2N 2 O 2C N 2C = = = ω2 O1N 1 O1C N 1C ω1O1C = ω2O 2C ω1 N 1C = ω2 N 2C v c 1 = v c 2 -tačka C je trenutni pol relativnih brzina

Brzina klizanja pogonskog zupčanika u odnosu na gonjeni V kl = V A1 sinψ 1 −V A 2 sinψ 2 = r y 1ω1 sin ψ 1 − r y 2ω2 sinψ 2 V kl = ω1 N 1P − ω2 N 2P V kl = ω1 (N 1C + PC ) − ω2 (CN 2 − PC ) = ω1 N 1C + ω1 PC − ω2CN 2 + ω2 PC = ω1 PC + ω2 PC Vkl = PC(ω1 + ω 2 )

Zaključak: Brzina klizanja je proporcionalna zbiru ω1 i ω2 i rastojanju od kinematskog pola. U trenutnom polu relativnih brzina brzina klizanja je 0. Zbog čega je klizanje važno? Važno je zbog energetskih gubitaka Pri prolasku kroz trenutni pol brzina, brzina klizanja menja smer. Rezime: Da bi se ostvarilo sprezanje zupčanika profili zubaca u svakoj trenutnoj tački dodira moraju imati zajedničku tangentu. Da bi se ostvarilo konstantno prenošenje kretanja sa pogonskog na gonjeni zupčanik komponente obimnih brzina u trenutnoj tački dodira moraju biti istovetne. Vn1=Vn2. U tački C se ostvaruje kotrljanje bez klizanja, odnosno tačka C je trenutni pol relativnih brzina, odnosno kinematski pol. ω1 O 2C = ω 2 O 1C

Tačka C je definisan presekom dodirnice profila i osnog rastojanja za dati zupčasti par. EVOLVENTNI PROFIL AB=CB, A=B u početnom trenutku Evolventa predstavlja krivu liniju koju opisuje bilo koja tačka tangente na osnovnu kružnicu pri kotrljanju bez klizanja. S obzirom da se ostvaruje kotrljanjem bez klizanja AB = BC .

NAPADNI UGAO PROFILA rb-prečnik osnovne kružnice CB-radijus krivine Napadni ugao profila u nekoj proizvoljnoj tački dodira može se definisati kao ugao između napadne linije profila i tangente na kružnicu kroz posmatranu tačku dodira.

DA AB − BD = rb rb AB = BC = r b ⋅ tan α y

θy =

θ y = tan α y − α y invα t = tan α y − α y

OSNOVNA ZUPČASTA LETVA –ZUBČANICASpoljašnje i unutrašnje ozubljenje. z=beskonačno – zupčasta letva O = p ⋅z p d = ⋅z = m ⋅z π p = m ⋅π

m-modul

m =

p π

Definisanje zupčaste letve

p b = p n ⋅ cos α

mn – modul u normalnoj ravni, sa povećanjem ugla αn se povećava nosivost. Ugao je obično oko 20o. Sprezanje cilindričnih zupčastih parova može se predstaviti posredstvom odgovarajućih kinematskih cilindara. Za spoljašnji zupčasti par ose obrtanja su paralelne a smerovi obrtanja zupčanika suprotni. Kod unutrašnjeg zupčastog para smerovi obrtanja zupčanika su istovetni. U specijalnom slučaju (granični slučaj) kada poluprečnik zupčanika sa unutrašnjim ozubljenjem teži ∞, dobija se specijalni slučaj sprezanja kod kojeg se zupčanik sa unutrašnjim ozubljenjem može zameniti sa odgovarajućom ravni, a obrtno kretanje zubčanika sa unutrašnjim ozubljenjem, translatornim kretanjem odgovarajuće ravni. Mehanički model se predstavlja cilindrom i ravni koja tangira cilindar. Pri tome se ostvaruje kotrljanje bez klizanja cilindra po ravni. O = p ⋅ z = d ⋅π ⇒ d =

p ⋅z = m ⋅z π

Podeoni krug je karakteristika zupčanika d = m ⋅ z p – korak na podeonom krugu, lučno rastojanje susednih istoimenih bokova merenih duž podeone kružnice u čeonoj ravni

m – modul zupčanika u čeonoj ravni, osnovni parametar veličine zubaca i zupčanika preko kog se određuju sve ostale dimenzije LUČNA DEBLJINA ZUBACA NA PODEONOM KRUGU

s =m⋅

π 2

+ 2xm tan α = m ⋅ (

π 2

+ 2x tan α )

Položaj srednje linije profila u odnosu na podeoni pravac, definisan je pomeranjem profila (xm) koji predstavlja algebarsku vrednost. Pri odmicanju zupčaste letve u odnosu na osu obrtanja zupčanika (xm>0), a pri primicanju je (xm0 αw>α i obrnuto

INTERFERENCIJA PROFILA

ra1 i ra2 su poluprečnici temenih kružnica Interferenca predstavlja preklapanje aktivnih putanja. Aktivna dužina dodirnice profila predstavlja geometrijsko mesto tačaka u odnosu na nepokretni koordinatni sistem. Početna i krajnja tačka aktivne dužine dodirnice definiše se presekom dodirnice profila i odgovarajućih temenik kružnica. Proces sprezanja ostvaruje se tako što se vrh profila zupca na temenoj kružnici gonjenog zupčanika dodiruje sa odgovarajućom tačkom na podnožju profila zupca pogonskog zupčanika. U toku dodirnog perioda tačke na profilu zupca pogonskog zupčanika dolaze u kontakt sa odgovarajućim tačkama gonjenog zupčanika. Sprezanje jednog para profila zubaca završava se u trenutku kada se vrh profila zubca temene kružnice pogonskog zupčanika dodiruje sa odgovarajućom tačkom na podnožju zubca gonjenog zupčanika. Na ovaj način definisan je istovremeno i period sprezanja jednog para zubaca zupčanika.

AKTIVNA DUŽINA DODIRNICE l = A1 A2 = A1C + CA2 = A1N 1 − N 1C + A2N 2 − N 2C = 2

2

2

2

2

2

2

2

= r a 1 − r b 1 + r a 2 − r b 2 − rw 1 sin αw − rw 2 sin αw = r a 1 − r b 1 + r a 2 − r b 2 − sin αw (rw 1 + rw 2 ) 2

2

2

2

l = ra 1 − r b 1 + r a 2 − r b 2 − a sin αw

ra2max određen je iz uslova sprezanja vrha profila temene kružnice i tačke N1 na osnovnoj kružnici pogonskog zupčanika. Za slučaj da je ra2 veće od ra2max vrh profila zupca na gonjenom zupčaniku ulazi u unutrašnjost osnovnog kruga pogonskog zupčanika što predstavlja negativnu pojavu (zbog trohoide jer evolventa i trohoida nemaju zajedničku tangentu). DODIRNI LUK PROFILA Dodirni luk profila odgovara luku za koji se profil zubca pogonskog zupčanika obrne od trenutka dodira prve do poslednje tačke na profilu zubca. Dodirni luk može se predstaviti na kinematskoj kružnici i definisati posredstvom odgovarajućeg ugla. g α = θ ⋅ rw ⇒ θ =

gα rw

g α - luk na kinematskom krugu

Ovom uglu odgovara i luk na osnovnoj kružnici θ=

gb rb

STEPENI SPREZANJA PROFILA Stepen sprezanja profila definiše se kao odnos aktivne dužine dodirnice profila i koraka na osnovnoj kružnici: εα =

l pb

Kreće se u intervalu između 1 i 2

ε α = 1 - samo par zubaca u vezi (jednoparna veza) ε α = 1,2 - dva para zubaca u sprezi ali je dominantna jednoparna veza ε α = 1,8 - dva para zubaca u sprezi i dominantna je dvoparna veza

CILINDRIČNI ZUPČASTI PAROVI U ravni koja tangira osnovni cilindar posmatramo pravu liniju koja gradi ugao βB sa izvodnicom osnovnog cilindra. Prilikom kotrljanja bez klizanja svaka tačka ove prave opisuje po jednu evolventu. Pri tome ove evolvente neće biti opisane istovremeno kao što je slučaj kod cilindričnih pravozubih zupčanika već će jedna u odnosu na drugu biti ugaono pomerene. Skup evolventa obazuje helikoidnu evolventnu površ. Presek ove helikoidne površi i cilindra prečnika dY čija se osa poklapa sa osom osnovnog cilindra daju kružnu zavojnicu. Pri tome se može uspostaviti veza između hoda i nagiba odnosno ugla između tangente na zavojnicu i izvodnicu cilindra.

β L

dy π

dy ⋅π d ⋅π d ⋅π dπ ⇒L = Y = = r tan βY tanβ tan β r L d tan β b = tan β ⋅ b d r b = r ⋅ cos α tan β b = tan β ⋅ cos α tan β y =

Kod zupčanika sa pravim zubcima profili zubčanog profila osnovne zupčaste letve poklapa se sa standardnim profilom pošto su čeone linije osnovne zupčaste letve paralelne sa osom osnovne zupčanice. Kod zupčanika sa kosim zubcima to nije slučaj pošto se ravan upravna na ose obrtanja spregnutih zubčanika, koja definiše profil zubca , ne poklapa sa ravni koja je usmerena na bok zubca zupčaste letve. Sada ćemo ustanoviti vezu između ove dve ravni.

p n = p t ⋅ cos β m n π = m t π ⋅ cos β tan α t =

mt = m =

mn

cos β

tan α n cos β

2Y n ⋅ m n = 2Yt ⋅ m t = 2Y t ⋅

mn

cos β

Yt = Y n ⋅ cos β X n ⋅ m n = X t ⋅ mt = X t ⋅

mn

cos β

X t = X n ⋅ cos β (x ⋅ m )min = (x t ⋅ m t )min = (x t ⋅

mn

cos β

)min

X tmin = X n min ⋅ cosβ

Na osnovu ovoga proizilazi da su cilindrični zupčanici sa kosim zubcima u povoljnijem položaju u odnosu na zupčanike sa pravim zubcima sa aspekta podsecanja zato što do podsecanja dolazi pri nižim vrednostima koeficijenta pomeranja odnosno manjim brojem zubaca.

Da bi se izmerila mera preko zubaca širina zubčanika mora biti veća od W ⋅ sin β b . Stepen sprezanja profila εγ = εα + ε β

gde su: ε α - stepen sprezanja profila ε β - stepen sprezanja bočnih linija

l pb g b ⋅ tan β εβ = β = p p

εα =

TOLERANCIJE CILINDRIČNIH ZUPČANIKA AW1 g

W1 Aw d

- gornje i donje odstupanje bokova zubaca preko mere zubaca. Odstupanja moraju da budu u minusu, a osno rastojanje u plusu a – osno rastojanje 2

Izraz za bočni zazor ∆j =

− ( AW + AW ) 1

2

cos α + cos β

+ 2 ⋅ A ⋅ a ⋅ tan α + W

A – odstupanje osnog rastojanja (uvek u plusu) Bočni zazor mora da pokupi sve greške i deformacije usled zagrevanja zubčanika. Moramo predvideti i Tev – toleranciju evolvente i Tβ – toleranciju bočne linije. Pri izradi zupčanika treba voditi računa o bočnom zazoru koji se kontroliše preko mere preko zubaca.

OPTEREĆENJE ZUBČANIKA

POSMATRANJE CILINDRIČNIH ZUPČANIKA SA KOSIM ZUPCIMA

IZRAZ ZA ODREĐIVANJE OPTEREĆENJA ZUPČANIKA T1 T 2 = rw 1 rw 2 T 2 = T 1 ⋅ i 12 ⋅ η12 F r 2 = Ftw 2 ⋅ tan α tw F a 2 = Ftw 2 ⋅ tan β Ftw 1 = Ftw 2 =

ODREĐIVANJE MERODAVNOG OPTEREĆENJA ISTOVREMENO SPREGNUTIH ZUPČANIKA Želimo da proverimo zapreminsku čvrstoću sa radnog aspekta: • Površinska čvrstoća • Zapreminska čvrstoća FAKTOR RASPODELE OPTEREĆENJA NA ISTOVREMENO SPREGNUTE PAROVE ZUBACA εγ = εα + ε β

Mehanički model bez greške koraka δ A = δB = δ F = (c A + c B ) ⋅ δ ⇒ δ =

F cA + cB

F = F A + FB FA = c A ⋅ δA = c A ⋅

F

cA + cB F FB = c B ⋅ δ B = c B ⋅ cA + cB cA = ξ1 cA + cB cB = ξ2 cA + cB F = ξ1F + ξ 2F

Uticaj greške koraka profila Grešku koraka profila označićemo: ∆PO = POg − POp > 0 ∆ = Pb 2 − Pb 1

δA = δ δB = δ − ∆ F = F A + FB F + cB∆ cA + cB F + cB ⋅ ∆ = c A ⋅ δA = c A ⋅ δ = c A ⋅ cA + cB F −cA ⋅∆ = c B ⋅ δ B = c B ⋅ (δ − ∆) = c B ⋅ cA + cB = cB = c = 0,5(F + c ⋅ ∆) = 0,5(F − c ⋅ ∆)

F = (c A + c B ) ⋅ δ − c B ∆ ⇒ δ = FA FB cA FA FB

Između tačaka B1 i D1 (vidi donju sliku) je samo jedan par zubaca u sprezi. Višezubno sprezanje ide u delu od E1 do D1 i od E2 do D2.

Opterećenje jednog para zubaca menja se u toku dodirnog perioda i zavisi od toga da li je samo taj para zubaca u sprezi ili je u sprezi još jedan par zubaca (dvostruka sprega) ili više pari zubaca (višestruka sprega). Kako se menja opterećenje? Opterećenje se menja u zavisnosti od broja pari zubaca u sprezi i veličine greške koraka istovremeno spregnutih bokova zubaca. U zavisnosti od intenziteta opterećenja i veličine greške koraka zavisi karakter raspodele opterećenja. Ukoliko je opterećenje veće i greška koraka profila mala utoliko je ravnomernija raspodela opterećenja.

RASPODELA OPTEREĆENJA DUŽ ZUBCA U SPREZI Opterećenje duž bokova spregnutih zubaca u prvom približenju može se smatrati linijskim. Zakon raspodele o linijskom opterećenju na prvom mestu zavisi od odstupanja pralelnosti izvodnica spregnutih zubaca, kao i od odstupanja položaja spregnutih zubčanika. Zadnji slučaj najnepovoljniji.

položaja

zupčanika

Uticaj greške pri izradi zupčanika: f B = f ma + f βH − y β

f B - ukipni ugib y β - veličina ugiba usled razrađivanja

Slika iznad prikazuje dodir u tačci koji je nepovoljan. Prenošenje opterećenja po celoj dužini boka izazvanog prenošenje izuzetno velikog opterećenja i relativno malog odstupanja paralelnosti izvodnica spregnutih bokova:

je

Prva slika je kada je naleganje bliže idealnom. Primenjuje se korekcija faktorom K Hβ za bok i K Fβ za koren. Faktor se naziva Faktor trenutne raspodele duž trenutne linije dodira. FAKTORI UNUTRAŠNJIH SILA

U zavisnosti od učestalosti obrtanja zupčanika i broja zubaca zupčanika može se odrediti frekvencija ulaska i izlaska iz sprege. Istovremeno ovom frekvencijom definisana je primopredaja opterećenja sa jednog zupčanika na drugi. f = n ⋅z fr = m r - redukovana masa f r - rezonantna frekvencija c - krutost zubaca u tački sudara

Faktor unutrašnjih dinamičkih sila

c ⋅ mr 2π

KA – faktor neravnomernosti opterećenja prenosnika, ovaj faktor zavisi od pogonske radne mašine PROMENLJIVOST OPTEREĆENJA

NAPONI NA BOKOVIMA ZUBACA CILINDRIČNOG ZUPČANIKA

σ H = 0,418 ρ=

Fn ⋅ E - Hercov obrazac ρ ⋅b

ρ1 ρ 2 ρ1 + ρ 2

r b 1 = r1 ⋅ cos α = rW ⋅ cos αW ⇒ rW 1 = r1 ρW 1 = rW 1 ⋅ sin αW = r1 ⋅

cos α cos αW

cos α ⋅ sin αW = r1 ⋅ tan αW ⋅ cos α cos αW

ρW 2 = r 2 ⋅ tan αW ⋅ cos α

u +1 ρ ρW 1 ρW 2 d 1 cos α tan αW u Ftw T = Fn = cos αw rw cos αw 2E 1E 2 E = E1 + E2 1

=

1

1

+

2

=

σ H = 0,175E

Ft u + 1 2 cos α tan αw d 1b u

σ HC = z E ⋅ z H

Ft u + 1 d ⋅ b1 u

2

u - kinematski prenosni odnos u ≥ 1 z E = 0,175E 1 zH = cos α t

2 cos β b - faktor modula elastičnosti i oblika zubca respektivno tan αw

σH = zE ⋅ zH ⋅ zε ⋅ z β ⋅

zε = zε =

Ft ⋅ K ⋅ K ⋅ K Hα ⋅ K Hβ b ⋅ d1 A V

ε 4 − εα (1 − ε β ) + β - faktor stepena sprezanja zubaca ako je ε β < 1 εα 3 1

εα

- faktor stepena sprezanja zubaca ako je ε β > 1

z β = cos β - faktor uticaja nagiba zubaca

STEPEN SIGURNOSTI BOKA ZUBCA SH SH1 =

[σ ]

H M1

σH [σ ] = H M2 σH

SH2

PITING – zamaranje povšinskog sloja

[σ ]

H M

zV zR zW zX

= σ H lim ⋅ z N ⋅ z σ ⋅ z L ⋅ z v ⋅ z R ⋅ z W ⋅ z X

- uticaj brzine kretanja - uticaj hrapavosti - uticaj tvrdoće - uticaj apsolutne veličine NAPON U PODNOŽJU ZUBACA ZUPČANIKA α o ' - napadni ugao na vrhu profila M = F '⋅hFa = F n cos α a '⋅f n ⋅ m n f n - faktor visine profila zubca M Ft 6 ⋅ f n ⋅ cos α o ' σ = s ⇒σ = ⋅ 2 W b ⋅ mn f s cos α n

W = Fn =

b ⋅ sf 6

Ft

2

2

cos α n

=

b ⋅ f s ⋅ mn 6

2

y Fa =

6 ⋅ f n ⋅ cos α o ' 2 f s cos α

σ Fa = y Fa ⋅ y Sa ⋅

Ft b ⋅ mn

y Sa - faktor koncentracije napona y Fa - faktor oblika profila zubca σ Fa = y Fa ⋅ y sa ⋅ y ε ⋅ y β ⋅

[σ ]

F M

Ft ⋅ K A ⋅ K V ⋅ K Fα ⋅ K Fβ - izraz za cilindrične zupčanike sa kosim z. b ⋅ mn

= σ F lim ⋅ y St ⋅ y N ⋅ y σ ⋅ y RT ⋅ y δR ⋅ y X

y RT - uticaj hrapavosti podnožnog zubca zupčanika y ST - koncentracija napona y N - uticaj vremenske izdržljivosti y σ - uticaj radne izdržljivosti y δR - uticaj korekcije s obzirom na razliku osetljivosti na koncentraciju napona y X - uticaj razlike u veličini zupca

KONUSNI ILI KONIČNI ZUPČASTI PAROVI

2

R

1

A

[ ] = [ω , R ]

V 1 = ω1 , R

V2 2 V re ln = V 1n −V 2n = 0 V 1n = ω1R ⋅ sin δ 1 V 2n = ω2R ⋅ sin δ 2 ω1R sin δ 1 − ω2R sin δ 2 = 0 ω1 sin δ 2 = ω2 sin δ 1 ωrel = ω1 − ω2

δ 1 + δ 2 = Σ = 90o 2

ωrel = ω1 + ω2

2

rel

δ 1 + δ 2 = Σ ≠ 90o - slučaj u slici 2

[

ωrel2 = ω12 + ω22 − 2ω1ω2 cos 180 − (δ1 + δ 2 )

]

ωrel2 = ω12 + ω22 + 2ω1ω2 cos(Σ) rel

U grupi koničnih zupčanih parova spadaju zupčanici čije se ose seku. Vektor relativne ugaone brzine jednog zupčanika u odnosu na drugi određen je izrazom: ωrel = ω1 − ω2

Za trenutnu osu relativno kretanje jednog zupčanika u odnosu na drugi za proizvoljno izabranu tačku A koja se nalazi na rastojanju R važi sledeći izraz:

[ ] = [ω , R ]

V 1 = ω1 , R V2

2

Da bi se ostvarilo kotrljanje bez klizanja jednog zupčanika u odnosu na drugi komponenta relativne normalne brzine jednaka je 0: V rel = V 1n −V 2n = 0

Na osnovu gornjeg izlaza proizilazi prenosni odnos: ω1 sin δ 2 = ω2 sin δ 1

DOPUNSKI KONUS Prostorno sprezanje konusa zupčastih parova može se pojednostaviti tako što se za posmatrani konusni zupčasti par odredi ekvivalentan cilindrični zupčasti par.

rv 1 = rv 2 = zv 1 =

d e1 2

de2 2

=

1 cos δ 1

=

1 cos δ 2

z1

cos δ 1

z2 cos δ 2 av = rv 1 + rv 2 zv 2 =

Povlačenjem normala na izvodnice kinematskih konusa definišu se izvodnice dopunskih konusa. Vrh dopunskih konusa nalazi se na osama obrtanja. DIMENZIJE KONUSNIH ZUPČANIKA

Prema obliku bočnih linija konusniparovi mogu biti: 1. Sa pravim zupcima 2. Sa kosim zupcima 3. Sa lučnim zupcima OPTEREĆENJE KONIČNIH ZUPČANIKA

Aksijalna sila deluje od kinematskog konusa u pravcu ose. Normalna sila deluje na zajedničku izvodnicu i razlaže se na aksijalnu i radijalnu silu. Fn = Ft =

Ft cos α n cos β 2 ⋅T

dm

=

d m = mm −

n

2 ⋅T 1

dm

−

1

2 ⋅T 2

dm

2

b ⋅ sin δ

2 F r = Ft ⋅ tan α n ⋅ cos δ

F a = Ft ⋅ tan α n ⋅ sin δ

NAPON Ft u 2 +1 σH = zE ⋅ zH ⋅ zε ⋅ z β K A ⋅ K V ⋅ K Hα ⋅ K Hβ - napon na boku b ⋅dm u Ft σ F = y Fa ⋅ y Sa ⋅ y ε ⋅ y β ⋅ K A ⋅ K V ⋅ K Fα ⋅ K Fβ - napon u korenu b ⋅ mm [σ ] SH = H M σH [σ ] SF = F M σF 1

1

HIPERBOLIČNI ZUPČASTI PAROVI Pužasti parovi

U pužaste parove spadaju zupčanici čije se ose mimoilaze, a nisu paralelne. Kinematske površine su jednograni hiperboloidi sa grlom na mestu najmanjeg osnog rastojanja. Komponente obimne brzine u ravni upravnoj na trenutnu osu su istovetne (ostvaruje se kotrljanje bez klizanja), a u pravcu ose su različite što znači da se ostvaruje klizanje. Za razliku od cilindričnih zupčanih parova koje karakteriše klizanje po visini zupca, hiperboloidne zupčaste parove karakteriše klizanje u pravcu linije dodira. Posledica klizanja je habanje boka zubca i smanjenje stepena iskorišćenja. Podela pužastih parova ostvarena je prema obliku podnožne i temene površine malog zupčanika-puža, koji ima oblik sličan navoju. Za slučaj da su podnožna i temena površina delovi cilindra, tada su podnožna i temena površina pužnog točka delovi kružnog torusa, pa ovaj zupčasti par spada u grupu cilindričnih zupčastih parova. U ovom slučaju podnožna i temena površina pužastok točka prilagođena je obliku podnožne i temene površine puža. Za slučaj da su temena i podužna povšina delovi kružnih torusa, tada ovaj zupčasti par spada u grupu globoidnih zupčastih parova. GEOMETRIJA CILINDRIČNIH ZUPČASTIH PAROVA S obzirom da se ostvaruje kotrljanje bez klizanja podeonog kruga (pužastog točka) po podeonoj pravoj puža, tada važi relacija: p 1 = p 2 = mπ p1 - aksijalni korak na podeonoj pravi puža p 2 - podeoni korak na podeonom krugu

L m

d

m

L = z ⋅m ⋅π z mπ L tan γ m = ⇒ dm = 1 = q ⋅m π tan γ m d mπ z1 q = - pužni broj tan γ m

d2 = m ⋅ z2 d1 = dm + 2 ⋅ x ⋅ m d + d2 q + z 2 + 2x a= 1 =m 2

2

PRENOSNI ODNOS Pužasti par karakteriše kotrljanje bez klizanja podeonog kruga po podeonoj pravoj. V1 = V 2 V1 = n1 ⋅ L = n1 ⋅ z 1 ⋅ p d m ⋅ z2 V 2 = ω2 2 = 2 ⋅ π ⋅ n 2 = p ⋅ n2 ⋅ z 2 2

2

n1 ⋅ z 1 ⋅ p = n 2 ⋅ z 2 ⋅ p n1 z 2 = n2 z 1

Prenosni odnos određen je odnosom broja zubaca spregnutih zupčanika i ne može se izraziti preko prečnika odgovarajućih podeonih krugova pošto se podeoni cilindri kotrljaju jedan po drugom bez klizanja η=

tan γ m tan(γ m + ρ )

p a 1 = pt 2 = p = m ⋅ π z ⋅p L = 1 a1 tan γ m = d mπ d mπ

ηT 1 d m1 ηT Ft 2 = 2 dm2 T 2 = T 1 ⋅ i 12 ⋅ η12 tan γ m η12 = tan(γ m + ρ ) Ft 1 =

NAPONI K A ⋅T 2 a3 z ρ - zavisi od dužine i oblika trenutne linije dodira z e - faktor elastičnosti

σH = zE ⋅ z ρ

[σ ]

H M

= z h ⋅ z L ⋅ z V ⋅ z S ⋅ σ H lim

z L - zavisi od uslova podmazivanja zV - zavisi od brzine klizanja z s - uzima se za određen dimenzije

V KL =

V1 cos γ m

τF =

K A ⋅Y ⋅ Ft 2 b2 ⋅ m 2

[τ ]

F M

= τ F lim ⋅Y NL

Y - faktor oblika bokova zubaca τ F lim - određen je za n Σ = 3 ⋅ 10 6 i y NL = 1 - faktor vremenske izdržljivosti