Mas Problemas Resueltos-2

LEARN MATH - PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS

----------------------------------------------------------------------------------------------------------1) La cifra de las unidades de un número es el doble que la de las decenas. Invirtiendo el orden se obtiene otro número que es nueve unidades menor que el doble del anterior, qué número es? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Las diagonales de un rombo están en relación de 2 a 3. El área es de 108 cm2. Calcula la longitud de las diagonales y el lado del rombo. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------3) La construcción de una carretera entre 2 pueblos se inicia a la vez por ambos extremos. Al cabo de un mes, lo construido por un extremo es 3/4 de lo construido por el otro, y le faltan por construir 4200 m, que es el doble de lo que se ha hecho. Qué longitud va a tener la carretera? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Calcula la velocidad y el tiempo que ha invertido un ciclista en recorrer 120 km sabiendo que, si hubiera ido 10 km/h más deprisa habría tardado una hora menos ----------------------------------------------------------------------------------------------------------RESPUESTAS

1) Sabemos que un número de dos cifras está compuesto por el primer dígito que representa a las unidades y el segundo dígito que representa a las decenas, por ejemplo el número 78 78 ==> 8 unidades y 7 decenas, lo podemos escribir de la siguiente manera 78

=

7 ⋅ 10 + 8

Veamos lo que se pide en el enunciado y supongamos el número de dos cifras XY XY

=

X ⋅ 10 + Y

La cifra de las unidades es el doble que el de las decenas, por lo tanto Y = 2X XY

=

X ( 2X )

=

X ⋅ 10 + 2X

Ahora invertimos el orden del número YX

=

( 2X ) X

=

2X ⋅ 10 + X

Este número es nueve unidades menor que el doble del anterior, es decir

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2X ⋅ 10 + X + 9

=

2 ⋅ ( X ⋅ 10 + 2X )

20X + X + 9

=

20X + 4X

9

X

=

3

Y

=

2⋅ X

=

3X

=

6

2)

Tenemos una ecuación con una incógnita, despejamos el valor de X

El número buscado es el 36

Aquí tenemos el rombo, llamemos a la diagonal vertical X y a la diagonal horizontal Y. Sabemos que si X es la diagonal mayor e Y la menor Y X

=

2 3

==>

X

=

3 Y 2

Vemos que el rombo queda divido en cuatro triángulos iguales a través de sus diagonales, calcularemos el área de un triángulo y lo multiplicaremos por 4 para obtener así el área total del rombo X Y 1 ⋅ ⋅ ⋅4 2 2 2

Área de un triángulo

=

==> X ⋅ Y

108

=

216

Reemplazamos el valor de X y obtenemos 3 Y⋅ Y 2

=

216

Y

2

=

144

Y

=

12

==>

X

:=

3 ⋅ 12 2

X

=

18

Diagonal mayor X = 18 Diagonal menor Y = 12 Para calcular el lado del rombo debemos hacer aplicar el teorema de PITÁGORAS con las semidiagonales 2

l

=

2

 18   +  12     2     2  

=

81 + 36

=

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117

=

10.817

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3) Hablemos de EXTREMO 1 y EXTREMO 2 y la distancia entre EX 1 y EX 2 es L. Llamemos Y lo construido por EX 1 en el primer mes y a X lo mismo realizado por EX 2 EX 1--------OOOOOOOOOOOOOOOOO -------------EX 2

L−X−Y

Y

X

Al cabo del primer mes lo construido por EX 1 (Y) es 3/4 veces lo construido por EX 2, por lo tanto Y

=

3 X 4

Y lo que falta construir es 4200 m que es el doble de lo que se ha construido hasta el momento, por lo tanto si lo expresamos con ecuaciones, esto último se escribe de la siguiente manera L−X−Y Y+X

=

=

4200

4200 2

=

2100

Y+X

==>

=

3 X+X 4 7 X 4

=

2100 =

pero sabemos que Y = (3/4)X entonces

2100

2100

X

=

1200

Lo construido por EX 2 es X = 1200 Lo construido por EX 1 es Y = (3/4)X = 900 Y la distancia entre EX 1 y EX 2 es: L − 900 − 1200

=

4200

L

=

4200 + 900 + 1200

L

=

6300

4) Vamos a llamar a la variable del tiempo T y la vamos a medir en horas El ciclista recorrió 120 km en un tiempo T, la velocidad será entonces V = 120 km / T (recuerden que T lo vamos a medir en horas = h) Si hubiera ido 10 km/h más deprisa la velocidad sería entonces V2

=

120 T

+ 10

Pero nos están diciendo que habría tardado una hora menos, entonces podemos decir también que la velocidad del ciclista es http://www.learnmath.netii.net/

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V2

120 T−1

=

120 T

+ 10

Es decir el mismo recorrido, en el mismo tiempo T menos 1 hora, por lo tanto podemos igualar las Velocidades y despejar T 120 T−1

=

120 + 10T T

=

120 T−1

( T − 1 ) ⋅ ( 120 + 10T) 120T + 10T 10T T

T

2

2

− 120 − 10T

− 10T − 120

− T − 12

=

2

1+

=

=

0

=

120T =

120T

0

Ecuación cuadrática, despejamos el valor de T, sabemos que tenemos dos soluciones, en este caso descartaremos la solución negativa ya que no es físicamente probable hablar de tiempo negativo en este problema

1 + 4 ⋅ 12 2

=

1+

49 2

=

1+7 2

=

8 2

=

4

Por lo tanto el Ciclista tardó 4 horas en recorrer 120 km, es decir la velocidad es de 30 km/h. Si hubiera ido a 10 km/h más deprisa, es decir a 40 km/h habría tardado 3 horas en recorrer la misma distancia.

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