Martı 8. Sınıf Matematik Pratik Defter

MATEMATİK ÖĞRETMEN DEFTERİ

8.

sınıf

Bu defter, siz değerli öğretmenlerimize özel olarak boşlukları doldurulmuş, örnekleri çözülmüş şekilde basılmıştır. Mavi renkli bölümler öğrencilerinize yazdırabilmeniz amacıyla öğrenci defterinde boş bırakılmıştır.

Bu kitap Martı Okul Yayınları San. Tic. Ltd. Şti.’nin özgün bir yayınıdır. Kitabının tamamının ya da bir kısmının kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın fotokopi ya da elektronik, mekanik herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.

Yayın Yönetmeni Süleyman GÜNGÖRMEZ

Danışma Kurulu Taha ŞAHİN

Ürün Koordinatörü

Emine KARAKUŞ

Volkan ALTINOK

Firdevs ÖZŞAHİN Ziya KURCAN

Dizgi Martı Okul Yayınları Dizgi Birimi

Baskı Tarihi

Baskı Yeri

2016 / ANKARA

Grup Çağ Web Ofset Matbaacılık

Martı Okul Yayınları Alınteri Bulvarı No: 27 Ostim / ANKARA Tel: 0.312 385 83 95

Faks: 0.312 385 83 96

www.martiokul.com

SUNUŞ Saygıdeğer Öğretmenlerimiz, Martı Okul Yayınları olarak siz değerli öğretmenlerimizin işini kolaylaştırmak, yükünü azaltmak ve daha iyi bir öğrenme ortamı sunabilmek için pratik defterleri hazırladık. Pratik defter ile dersleri daha hızlı işleyebileceksiniz. Anlatacağınız her şey tahtada ve öğrencilerinizin defterinde hazır olarak bulunacak. Görsel ögelerle kalıcı öğrenmeyi sağlayabileceksiniz. Konular, tamamı renkli ve yüksek çözünürlüklü içeriklerle öğrencilerinizin zihnine tam olarak yerleşecek, kalıcı öğrenme gerçekleşecektir. Her alt başlıkla ilgili test ve pekiştirme çalışmaları ile tam öğrenmeyi sağlayabileceksiniz. Konu anlatımının içindeki örnek soru ve çözümler, planlanmış testler ve pekiştirme çalışmaları ile öğrenemeyen öğrenci kalmayacak. Eğlenceli bir ders ortamı oluşturabileceksiniz. Öğrenciler uzun uzun not tutmaktan kurtulacak; daha verimli, eğlenceli ve öğrenci katılımlı bir ders işleme imkânına kavuşacaksınız. Mavi renkle yazılmış kısımlar, soruların çözümleri ve cevap anahtarları öğrencinin defterinde yer almayacaktır. Mavi renkle yazılmış kısımlar dijital tahta içeriğinde de yer almayacak ancak soruların çözümleri üzeri perdelenmiş olarak tahtada yer alacaktır. Dijital akıllı tahta içeriklerinin indirilme şekli ürünün arka kapağında anlatılmıştır. Pratik defter, defter ihtiyacını ortadan kaldırmaktadır. Pratik defterde her sayfanın altında bulunan boş kısımlar ve her ünitenin sonunda bulunan üç ya da dört adet boş sayfa defter ihtiyacını fazlasıyla karşılayacaktır. Pratik defter hem bir ders işleme materyali hem bir defter hem bir soru bankası hem de bir ödev materyali olarak öğretmen ve öğrencilerimizin tüm ihtiyaçlarını karşılayacaktır. Öğretmen defteri, öğrenci defteri ve dijital akıllı tahta içeriğinden oluşan pratik defterlerimizin öğrencilerimizin başarısını arttırarak siz değerli öğretmenlerimizin memnuniyetini kazanmamıza vesile olması dileğiyle… Martı Okul Yayınları

İÇİNDEKİLER 1. ÜNİTE ÇARPANLAR VE KATLAR....................................................8 Çarpanlar....................................................................................................8 Katlar...........................................................................................................11 En Küçük Ortak Kat (EKOK)....................................12 En Büyük Ortak Bölen (EBOB)............................14 Ebob ve Ekok ile İlgili Problem Çözme............16 Konu Testleri................................................................................................23 ÜSLÜ İFADELER.................................................................................27 Sayıların Ondalık Gösterimlerini 10’un Kuvvetlerini Kullanarak Çözümleme.................29 Çok Büyük ve Çok Küçük Sayıların Bilimsel Gösterimi......................................................................32 Konu Testleri................................................................................................37 KAREKÖKLÜ İFADELER......................................................41 Tam Kare Olmayan Sayıların Karekökle rini Tahmin Etme.........................................................................43 Gerçek Sayılar................................................................................45 Kareköklü Sayılarla Çarpma İşlemi....................48 Kareköklü Sayılarla Bölme İşelmelri...............49 Kareköklü Bir İfadeyi añb şeklinde yazma............................................................................................................50 añb Şeklinde Verilen Bir İfadeyi Kök İçine Alma..............................................................................................51 Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri.....................................................................................................53 Ondalık İfadelerin Karekökleri..................................56 Konu Testleri................................................................................................60

2. ÜNİTE BASİT OLAYLARIN OLMA OLASILIĞI.........66 Olasılık Hesabı Gerektirmeyen Sezgisel Durumlar..................................................................................................68 Konu Testleri................................................................................................71 ÜÇGENLER..................................................................................................75 Üçgenlerin Elemanları...........................................................75 Üçgen Eşitsizliği............................................................................82 Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları..............................85 Üçgen Çizme.......................................................................................89 Konu Testleri................................................................................................94 DİK ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI.............98 Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler..........104 Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler...................106 Koordinata Düzleminde Pisagor Bağıntısı...............................................................................................110 Pisagor Bağıntısı ile Problem Çözme.........112 Konu Testleri............................................................................................115 DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ..................................................119 Dönme Hareketi........................................................................119 Yansıma ve Öteleme..............................................................123 Konu Testleri............................................................................................130 Teog Deneme Sınavı 1..................................................................134

İÇİNDEKİLER 3. ÜNİTE:

5. ÜNİTE:

CEBİRSEL VE ÖZDEŞLİKLER................................140 Cebirsel İfadeler.......................................................................140 Özdeşlikler..........................................................................................145 Çarpanlara Ayırma...............................................................154 Konu Testleri............................................................................................160

GEOMETRİK CİSİMLER....................................................242 Dik Prizmalar ve Temel Elemanları...............242 Dik Dairesel Silindir............................................................246 Dik Dairesel Silindirin Yazey Alanı................250 Dik Dairesel Silindirin Hacmi.................................254 Dik Piramitler ve Temel Elemanları.............257 Dik Koni ve Temel Elemanları................................260 Konu Testleri............................................................................................264

EŞLİK VE BENZERLİK........................................................164 Eşlik.............................................................................................................164 Benzerlik.............................................................................................167 Konu Testleri............................................................................................174

4. ÜNİTE: DOĞRUSAL DENKLEMLER........................................180 Doğrusal İlişkiler.......................................................................180 Doğrusal Denlemlerin Grafikleri.......................183 Doğrunun Eğimi..........................................................................188 Doğrusal Denklemlerde Bir Değişkeni Diğeri Cinsinden Yazma..................................................196 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler........................................................................................198 Konu Testleri............................................................................................201 DENKLEM SİSTEMLERİ..................................................205 İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklemler.........205 Denklem Sistemleri ile İlgili Problem Çözme.......................................................................................................211 Konu Testleri............................................................................................217 EŞİTSİZLİKLER................................................................................221 Eşitsizliklerin Sayı Doğrusunda Gösterilmesi....................................................................................223 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözümü........................................................225 Konu Testleri............................................................................................231 Teog Deneme Sınavı 2..................................................................235

VERİ ANALİZİ.....................................................................................268 Histogram...........................................................................................268 Araştırma Verilerinin Uygun Grafik lerle Gösterimi.............................................................................294 Konu Testleri............................................................................................281

1.

ÜNİTE

KO N ULA R * Çarpanlar ve Katlar * Üslü İfadeler * Kareköklü İfadeler

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

ÇARPANLAR VE KATLAR ÇARPANLAR  ir doğal sayıyı tam (kalansız) bölebilen sayıya o doğal sayının çarpanı denir. Çarpan aynı zamanda B o sayıyı tam bölen sayı demektir.

ÖRNEK 12’nin bütün çarpanlarını bulalım.

CÖZÜM 12 = 1 . 12 12 = 2 . 6

12’nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir.

12 = 3 . 4

Bu sayılar aynı zamanda 12’nin bölenleridir.

ÖRNEK 16’nın bütün çarpanlarını bulalım.

CÖZÜM 16 = 1 . 16 16 = 2 . 8

16’nın çarpanları = 1, 2, 4, 8 ve 16’dır.

16 = 4 . 4

PEKİSTİRELİM 8

Aşağıda verilen sayıların tüm çarpanlarını bulalım. a 24

b 32

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} {1, 2, 4, 8, 16, 32} c 36

ç 45

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} {1, 3, 5, 9, 15, 45} d 64

e 72

{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

ÖRNEK

CÖZÜM

13 sayısının bütün çarpanlarını bulalım.

13 = 1 . 13 ∏ 13’ün çarpanları: 1 ve 13’tür.

asal sayı Kendisinden ve 1’den başka çarpanı (veya böleni) olmayan sayılara ....................................... denir.

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen sayılardan asal sayı olanları belirleyelim. 4∏

asal sayı değildir.

17 ∏ asal sayıdır.

20 ∏ asal sayı değildir.

31 ∏ asal sayıdır.

43 ∏ asal sayıdır.

57 ∏ asal sayı değildir.

Bir Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma Asal Çarpanlarına Ayırma: Asal olmayan bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlarına ayırma denir.

ÖRNEK 48 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

ÖRNEK 90 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

8. Sınıf Matematik

CÖZÜM 48 24 12 6 3 1

2 2 2 2 3

48 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 4

48 = 2 . 3’tür. 9

CÖZÜM 90 45 15 5 1

2 3 3 5

90 = 2 . 3 . 3 . 5 2

90 = 2 . 3 . 5’tir.

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen sayıları asal çarpanlarına ayıralım. a 32

b 60 32 16 8 4 2 1

2 2 2 2 2

2 2 3 5

88 44 22 11 1

2 2 2 11

100 50 25 5 1

2 2 5 5

32 = 2 . 2 . 2. . 2 . 2 5

32 = 2

c 70

60 = 2 . 2 . 3. 5 2

60 = 2 . 3 . 5

ç 88 70 2 35 5 7 7 1

70 = 2 . 5 . 7

d 96

10

60 30 15 5 1

88 = 2 . 2 . 2 . 11 3

88 = 2 . 11

e 100 96 48 24 12 6 3 1

2 2 2 2 2 3

96 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 5

96 = 2 . 3

f 120 120 60 30 15 5 1

ğ 150 150 75 25 15 5 1

100 = 2 . 2 . 5 . 5 2

100 = 2 . 5

2

g 128 2 2 2 3 5

2 3 5 5

120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 3

120 = 2 . 3 . 5

128 64 32 16 8 4 2 1

2 2 2 2 2 2 2

128 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 7

128 = 2

h 250 150 = 2 . 3 . 5 . 5 2

150 = 2 . 3. 5

250 125 25 5 1

2 5 5 5

250 = 2 . 5 . 5. 5 3

250 = 2 . 5

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

En küçük asal sayı 2’dir. 2’den başka çift asal sayı yoktur. Aralarında Asal Sayılar 1’den başka ortak çarpanı (veya böleni) olmayan pozitif tam sayılara ............................... ........................... denir.

ÖRNEK 3 ve 5 15 ve 16 9 ve 20

aralarında asal sayılardır.

İki sayının aralarında asal sayılar olabilmesi için asal sayı olmalarına gerek yoktur. Önemli olan 1'den başka ortak çarpanların olmamasıdır. 15 ve 16 Ancak aralarında Asal Asal asaldır. değil değil

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen sayı çiftlerinden aralarında asal olanları belirleyelim. a 8 ve 12 Aralarında asal değillerdir.

b 20 ve 21 Aralarında asal sayılardır.

c 24 ve 35

ç 15 ve 18

Aralarında asal sayılardır. d 40 ve 45 Aralarında asal değillerdir.

Aralarında asal değillerdir. e 60 ve 81 Aralarında asal değillerdir.

KATLAR Katlar: Bir doğal sayıya tam bölünen sayıların tümüne o doğal sayının katları denir.

ÖRNEK 4 sayısının katlarını bulalım.

CÖZÜM 4’ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, .... şeklinde sonsuza kadar devam eder.

8. Sınıf Matematik

11

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

ÖRNEK

CÖZÜM 24’ün katları: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, ... şek-

24 sayısının katlarını bulalım.

linde sonsuza kadar devam eder.

EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK) En Küçük Ortak Katı: İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir.

ÖRNEK 8 ve 10 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.

CÖZÜM 8’in katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, ........... 10’un katları: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, ............. 8 ve 10’un ortak katları; 40, 80, 120, ............. şeklindedir. Bu katların en küçüğü ise 40’dır. ∏ 8 ve 10 sayılarının en küçük ortak katı asal çarpanlarına ayırma yöntemi ile daha pratik şekilde bulunur. 8 10 2 4 5 2 2 5 2 1 5 5 1 12

(8, 10)

ekok

= 2 . 2 . 2 . 5 = 40 bulunur.

ÖRNEK 45 ve 60 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.

CÖZÜM 45 ve 60 sayılarının en küçük ortak katını asal çarpanlarına ayırma yöntemi ile bulalım. 45 60 2 45 30 2 45 15 3 15 5 3 5 5 5 1 1

(45, 60)

ekok

= 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 180

bulunur.

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

ÖRNEK

CÖZÜM

15, , 16 ve 20 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.

15 16 20 2 15 8 10 2 15 4 5 2 15 2 5 2 15 1 5 3 5 5 5 1 1

(15, 16, 20)

ekok

=2.2.2.2.3.5

(15, 16, 20) = 240 bulunur.

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen sayıların en küçük ortak katlarını bulalım. a 12 ve 20

b 15 ile 18

12 20 2 6 10 2 3 5 3 1 5 5 1

15 18 2 15 9 3 5 3 3 5 1 5 1

(12, 20)

ekok

= 2 . 2 . 3 . 5 = 60

c 7 ile 10

(7, 10)

ekok

9 30 2 9 15 3 3 5 3 1 5 5 1 = 2 . 5 . 7 = 70

d 4, 5 ve 6 5 5 5 5 1

(9, 30)

ekok

= 2 . 3 . 3 . 5 = 90

e 12, 15 ve 20 6 3 3 1

(4, 5, 6)

ekok

8. Sınıf Matematik

= 2 . 3 . 3 . 5 = 90

ekok

ç 9 ile 30

7 10 2 7 5 5 7 1 7 1

4 2 1

(15, 18)

2 2 3 5 = 2 . 2 . 3 . 5 = 60

12 15 20 2 6 15 10 2 3 15 5 3 1 5 5 5 1 1 (12, 15, 20)

ekok

= 2 . 2 . 3 . 5 = 60

13

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB) En Büyük Ortak Bölen: İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir.

ÖRNEK 18 ile 24 sayıların en büyük ortak bölenini bulalım.

CÖZÜM 18’in bölenleri; 1, 2, 3, 6, 9, 18 24’ün bölenleri; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 18 ve 24’ün ortak bölenleri; 1, 2, 3, 6’dır. Bu bölenlerin en büyüğü ise 6’dır. ∏ 18 ve 24 sayılarının en büyük ortak böleni asal çarpanlarına ayırma yöntemi ile daha pratik şekilde bulunur.

18 24 2 9 12 2 9 6 2 9 3 3 3 1 3 1

Bu yöntemde en büyük ortak bölen bulunurken; her iki sayıyı birlikte bölen asal sayılar belirlenir ve bu sayılar çarpılır. (18, 24)

ebob

ÖRNEK 14

36 ile 48 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.

ÖRNEK 30, 45 ve 60 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.

= 2 . 3 = 6 bulunur.

CÖZÜM 36 48 2 18 24 2 9 12 2 9 6 2 9 3 3 3 1 3 1

(36, 48)

ebob

= 2 . 2 . 3 = 12 bulunur.

CÖZÜM 30 15 15 5 5 1

45 60 2 45 30 2 45 15 3 15 5 3 5 5 5 1 1

(30, 45, 60)

ebob

= 3 . 5 = 15 bulunur.

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen sayıların en büyük ortak bölenini bulalım. a 6 ile 10 6 10 2 3 5 3 1 5 5 1

b 12 ve 36

(6, 10)

ebob

12 36 2 6 18 2 3 9 3 1 3 3 1

=2

c 40 ile 64 40 64 2 20 32 2 10 16 2 5 8 2 5 4 2 5 2 2 5 1 5 1

(42, 63)

= 3 . 7 = 21

42 63 2 21 63 3 7 21 3 7 7 7 1 1

(40, 64)

ebob

=2.2.2=8

d 24, 32 ve 80

e 36, 60 ve 72

24 32 80 2 12 16 40 2 6 8 20 2 3 4 10 2 3 2 5 2 3 1 5 3 1 5 5 1

36 18 9 9 3 1

(24, 32, 80)

ebob

60 72 2 30 36 2 15 18 2 15 9 3 5 3 3 5 1 5 1

=2.2.2=8

f 48, 60, 64 60 64 2 30 32 2 15 16 2 15 8 2 15 4 2 15 2 2 15 1 3 5 5 (48, 60, 64) =2.2=4 ebob 1

8. Sınıf Matematik

= 2 . 2 . 3 = 12

ebob

ç 42 ile 63

ebob

48 24 12 6 3 3 3 1

(12, 36)

15

(36, 60, 72)

ebob

= 2 . 2 . 3 = 12

g 70, 80, 90 70 35 35 35 35 35 35 7 1

80 40 20 10 5 5 5 1

90 45 45 45 45 15 5 1

2 2 2 2 3 3 5 7 (70, 80, 90)

ebob

= 2 . 5 . = 10

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

EBOB VE EKOK İLE İLGİLİ PROBLEM ÇÖZME Ebob ve ekok ile ilgili problem çözümü yapılırken; Büyük parçalardan küçük küçük parçalar elde ediliyorsa yani büyükten küçüğe gidiliyorsa EBOB bulunur. Küçük küçük parçalardan büyük parçalar elde ediliyorsa yani küçükten büyüğe gidiliyorsa EKOK bulunur.

ÖRNEK 80 cm ve 120 cm uzunluğunda iki tahta parçası, boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır. Buna göre bir parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur?

CÖZÜM Boyları birbirine eşit ve en uzun parçalar olması için yani büyük parçalardan küçük parçalar elde edildiği için bu sayıların en büyük ortak bölenleri (ebob) bulunmalıdır. 80 40 20 10 5 5 1

120 60 30 15 15 5 1

2 2 2 2 3 5

ebob(80, 120) = 2 . 2 . 2 . 5 = 40 Bir parçanın uzunluğu en fazla 40 cm olur.

ÖRNEK 16

8/A sınıfındaki öğrenciler 2’şerli, 4’erli ve 5’erli gruplara ayrılabiliyor. Buna göre 8/A sınıfındaki öğrenci sayısı en az kaçtır?

CÖZÜM Küçükten büyüğe gidildiği için bu sayıların en küçük ortak katları (ekok) bulunur. 2 1

4 2 1

5 2 5 2 5 5 1

ekok(2, 4, 5) = 2 . 2 . 5 = 20 8/A sınıfındaki öğrenci sayısı en az 20’dir.

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

ÖRNEK

CÖZÜM

Ayrıtları 8, 10 ve 12 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutulardan bir küp yapılmak isteniyor. Buna göre yapılan bu küpün bir ayrıtı en az kaç cm olur?

8 4 2 1

10 5 5 5 5 1

12 6 3 3 1

2 2 ekok(8, 10, 12) = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 120 cm 2 3 5

ÖRNEK Ayrıtları 80, 100 ve 120 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutuya hiç boşluk kalmayacak şekilde en büyük ve eşit hacimde küp şeklindeki kutulardan kaç tane yerleştirilebilir?

CÖZÜM 80 100 120 2 40 50 60 2 20 25 30 2 10 25 15 2 5 25 15 3 5 25 5 5 1 5 1 5 1

ebob(80, 100, 120) = 2 . 2 . 5 = 20 Küpün bir ayrıtı 20 cm 100 cm 5 tane 80 cm

120 cm

80 : 20 = 4 tane

6 tane

100 : 20 = 5 tane 120 : 20 = 6 tane

4 tane

Kutu sayısı = 4 . 5 . 6

= 120’dir. 17

ÖRNEK 12, 18 ve 36 litrelik üç şişe, zeytin yağı ile doludur. Şişelerdeki yağlar birbirine karıştırılmadan ve artmayacak şekilde eşit hacimli şişelere doldurulacaktır. En az sayıda şişe kullanabilmek için her bir şişe kaç litrelik olmalıdır?

8. Sınıf Matematik

CÖZÜM 12 18 36 2 6 9 18 2 3 9 9 3 1 3 3 3 1 1

ebob(12, 18, 36) = 2 . 3 . = 6’dır.

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

ÖRNEK

CÖZÜM

Matematik kursuna katılan öğrenciler 4’er, 5’er, 6’şar sayıldığında her defasında 1 öğrenci artıyor. Buna göre bu kursta en az kaç öğrenci vardır?

ÖRNEK

4 2 1

5 5 5 5 1

6 3 3 1

2 2 3 5

ekok(4, 5, 6) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60 Her defasında 1 öğrenci arttığı için kursa katılan öğrenci sayısı 60 + 1 = 61 olur.

CÖZÜM

Bir otobüs durağında farklı yerlere giden üç otobüsten birincisi 40 dakikada, ikincisi 60 dakikada ve üçüncüsü 30 dakikada bir hareket etmektedir. Bu üç otobüs ilk kez saat 08:00’de birlikte hareket ettiğine göre, ikinci kez birlikte hareket ettiklerinde saat kaç olur?

30 40 60 2 15 20 30 2 15 10 15 2 15 5 15 3 5 5 5 5 1 1 1

ekok(30, 40, 60) = 2.2.2.3.5 =120 120 dakika = 2 saat İlk hareket 08:00 ise 2 saat sonra saat 10:00’da birlikte hareket ederler.

ÇIKMIŞ SORU Aşağıdaki problemlerden hangilerinin çözümü, en küçük ortak kat (ekok) bulma işleminden yararlanılarak yapılabilir? 18

l. Bir fabrikada iki zilden biri 30, diğeri 40 dakikada bir çalmaktadır. Ziller ilk defa birlikte çaldıktan en az kaç dakika sonra, tekrar birlikte çalar? ll. Bir sınıftaki öğrenciler 4’er, 5’er ve 8’er sayıldığında her seferinde 3 öğrenci artıyor. Bu sınıfta en az kaç öğrenci vardır? lll. 80 cm ve 120 cm uzunluğunda iki demir çubuk, boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır. Bir parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur? A) Yalnız l

B) Yalnız ll

C) l ve ll

D) ll ve lll

Cevap: C

8. Sınıf Matematik

Çarpanlar ve Katlar

1. Ünite

CÖZÜM Küçük parçalardan büyük parçalar oluşturulmak isteniyorsa EKOK, büyük parçalardan küçük parçalar elde edilmek isteniyorsa EBOB bulunur. Bu durumda; l ∏ ekok ll ∏ ekok

bulunmalıdır.

lll ∏ ebob

Cevap: C

Aralarında asal sayıların ebobları 1, ekokları ise bu sayıların çarpımına eşittir.

ÖRNEK 5 ile 8 aralarında asal sayılardır. 5 5 5 5 1

8 4 2 1

2 2 2 5

ebob(5, 8) = 1 ekok(5, 8) = 2 . 2 . 2 . 5 = 40 olur.

Birbirinin katı olan sayılarda ebob küçük sayı, ekok ise büyük sayı olur.

ÖRNEK 12 ile 60 sayıları için 60, 12’nin katıdır. 12 60 2 ebob(12, 60) = 2 . 2 . 3 = 12 ∏ küçük sayı 6 30 2 3 15 3 ekok(12, 60)=2 . 2 . 3 . 5=60 ∏ büyük sayı 1 5 5 1

8. Sınıf Matematik

19

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

PEKİSTİRELİM 1. 16 m, 24 m ve 32 m uzunluğundaki üç tel eşit ve en büyük boyda parçalara ayrılmak isteniyor. Buna göre kaç parça tel elde edilir? 16 24 32 2 8 12 16 2 4 6 8 2 2 3 4 2 1 3 2 2 3 1 3 1

ebob(16, 24, 32) = 2 . 2 . 2 = 8 Her bir parçanın boyu 8 cm olmalıdır. Buna göre; 16 : 8 = 2 parça 24 : 8 = 3 parça

2 + 3 + 4 = 9 parça tel elde edilir.

32 : 8 = 4 parça 2. Bir sepetteki elmalar 4’er, 5’er ve 6’şar sayıldığında her seferinde 3 elma artıyor. Buna göre bu sepette en az kaç tane elma vardır? 4 2 1

5 5 5 5 1

6 3 3 1

2 2 3 5

ekok(4, 5, 6) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60 Her seferinde 3 arttığı için en az 60 + 3 = 63 tane elma vardır.

3. Bir okuldaki öğrenciler 8'er, 12'şer ve 15'er sayıldığında her seferinde 2 öğrenci eksik kalıyor. 20 Buna göre bu okulda en az kaç öğrenci vardır? 8 12 15 2 4 6 15 2 2 3 15 2 1 3 15 3 1 5 5 1

ekok(8, 12, 15) = 2 . 2 . 2. 3 . 5 = 120 Her seferinde 2 öğrenci eksik kaldığı için 120 – 2 = 118 öğrenci vardır.

4. Bir limanda üç gemi aynı anda sefere başlıyorlar. 1. gemi 12, 2. gemi 16 ve 3. gemi 18 günde bir sefere çıktıklarına göre, bu üç gemi en erken kaç gün sonra tekrar birlikte sefere çıkarlar? 12 16 18 2 6 8 9 2 3 4 9 2 3 2 9 2 3 1 9 3 1 3 3 1

ekok(12, 16, 18) = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 144 Bu üç gemi 144 gün sonra tekrar birlikte sefere çıkarlar.

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

5. Üç çuvalda 36, 48 ve 60 kg ağırlığında pirinç vardır. Bu çuvallardaki pirinçler karıştırılmadan ve eşit büyüklükteki torbalara paketlenmek isteniyor. Buna göre, bu iş için en az kaç torba gerekir? ebob(36, 48, 60) = 2 . 2 . 3 = 12

36 48 60 2 18 24 30 2 9 12 15 2 9 6 15 2 9 3 15 3 3 1 5 3 1 5 5 1 6.

Bir torbanın ağırlığı 12 kg olmalıdır. Buna göre; 36 : 12 = 3 torba 48 : 12 = 4 torba

3 + 4 + 5 = 12 torba gereklidir.

60 : 12 = 5 torba 18 m

12 m

Şekildeki gibi dikdörtgen şekildeki bir bahçenin etrafına eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Bahçenin genişliği 12 m ve uzunluğu 18 m olduğuna göre, bu bahçenin etrafına dikmek için en az kaç tane ağaç gereklidir? 12 18 2 6 9 2 3 9 3 1 3 3 1

ebob(12, 18) = 2 . 3 = 6 Bu bahçeye 6 m aralıklarla ağaç dikilmelidir.

12 : 6 = 2 tane

18 m

2 tane

21

18 : 6 = 3 tane

12 m

12 : 6 = 2 tane

2 + 3 + 2 + 3 = 10 tane ağaç dikilir.

18 : 6 = 3 tane 3 tane 7. Bir toplantı salonundaki insanlar 5’erli, 6’şarlı ve 8’erli gruplar oluşturduğunda her seferinde 3 kişi artıyor. Bu toplantı salonunda 200’den fazla insan olduğu bilindiğine göre en az kaç kişi vardır? 5 5 5 5 5 1

6 3 3 3 1

8. Sınıf Matematik

8 4 2 1

2 2 2 3 5

ekok(5, 6, 8) = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 120 200’den fazla kişi olduğuna göre; 120 . 2 = 240 her seferinde 3 kişi arttığı için, 240 + 3 = 243 kişi vardır.

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

8. 20 Alman, 24 İngiliz ve 32 Fransız turistten oluşan bir topluluk bir otelde kalacaktır. Odalara eşit sayıda ve aynı milletten olanlar ayrılmayacak şekilde dağılım yapılmak istendiğine göre en az kaç tane odaya ihtiyaç vardır? 20 24 32 2 10 12 16 2 5 6 8 2 5 3 4 2 5 3 2 2 5 3 1 3 5 1 5 1

ebob(20, 24, 32) = 2 . 2 = 4 Odalar 4 kişilik olmalıdır. Bu durumda; 20 : 4 = 5 oda 24 : 4 = 6 oda

5 + 6 + 8 = 19 oda gerekir.

32 : 4 = 8 oda

9. Bir saatçi dükkanındaki saatlerden birisi 18 dakikada, ikincisi 30 dakikada, üçüncüsü ise 45 dakikada bir çalmaktadır. Bu üç saat ilk kez saat 15:00’da birlikte çaldıklarına göre en erken tekrar birlikte çaldıklarında saat kaç olur? 18 30 45 2 9 15 45 3 3 5 15 3 1 5 5 5 1 1

ekok(18, 30, 45) = 2 . 3 . 3 . 5 = 90 Bu üç saat, en erken 90 dk yani bir 1 saat 30 dk sonra tekrar birlikte çalar. Bu durumda saat 16:30 olur.

10. Bir çiçekçide çiçekler 5'er, 8'er ve 10'ar gruplandırıldığında hep 2 çiçek artıyor. Çiçeklerin sayısının 200'den fazla olduğu bilindiğine göre en az kaç çiçek vardır? 22

5 5 5 5 1

8 10 2 4 5 2 2 5 2 1 5 5 1

ekok(5, 8, 10) = 2 . 2 . 2 . 5 = 40 En küçük ortak kat 40'tır. 40 - 80 - 120 - 160 - 200 - 240 şeklinde devam eder. Çiçek sayısı 200'den fazla olduğu için ve her seferinde 2 çiçek arttığı için; En az; 200 + 2 = 202 çiçek vardır.

11. Bir kitapçıdaki kitaplar 10'ar, 20'şer ve 25'şer gruplandığında her seferinde 3 kitap eksik kalmaktadır. Bu kitapçıda 450'den az kitap olduğu bilindiğine göre en çok kaç kitap vardır? 10 20 25 2 5 10 25 2 5 5 25 5 1 1 5 5 1

ekok(10, 20, 25) = 2 . 2 . 5 . 5 = 100 En küçük kat 100'dür ve 100 – 200 – 300 – 400 – 500 –. . . şeklinde devam eder. Kitap sayısı 450'den az olduğu için ve her seferinde 3 kitap eksik kaldığı için 400 – 3 =397 kitap vardır. 8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

KONU TESTİ - 1 2

1. l. 60 = 2 . 3 . 5

3

4. 5, 8 ve 10 sayılarının en küçük ortak katı

2

ll. 48 = 2 . 3 2 3 lll. 72 = 2 . 3 2 lV. 90 = 2 . 3 . 5 Yukarıda verilen sayılar asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmıştır. Buna göre hangisi veya hangileri yanlış yazılmıştır? A) Yalnız ll

B) Yalnız lll

C) ll ve lll

D) ll, lll ve lV

aşağıdakilerden hangisidir? A) 20

5.

C) 90

D) 109

B 2 2 2 3 3



Buna göre A + B sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 154

B) 194

C) 212

D) 224

23

6.

l ∏ 90

lll ∏ 150

3. Aşağıda verilen sayı çiftlerinden hangisi aralarında asal değildir? A) 8 - 9 C) 13 - 17

8. Sınıf Matematik

B) 8 - 15 D) 15 - 18

D) 120

Yukarıda A ve B sayıları asal çarpanlara ayrılmıştır.

asal çarpan olarak bulunmaz? B) 84



A 2 2 5 7

C) 80



2. Aşağıdaki sayılarından hangisinde 3 sayısı A) 72

B) 40

ll ∏ 120

lV ∏ 160

Yukarıda verilen sayılar asal sayıların çarpımı şeklinde yazıldığında aşağıdakilerden hangisi elde edilmez? 2

B) 2 . 3 . 5

C) 2 . 5

D) 2 . 3 . 5

A) 2 . 3 . 5 5

3

2

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

7. Bir fabrikada çalan zillerden birincisi 24,

10. Emre, evinde merdivenleri 2’şerli, 3’erli ve

ikincisi 32 ve üçüncüsü ise 40 dakikada bir çalmaktadır.

4’erli çıktığında her seferinde bir basamak artıyor.



Sabah 08:00’de bu üç zil birlikte çaldığına göre, en erken saat kaçta tekrar birlikte çalarlar? A) 16:00

B) 14:40

C) 14:00

D) 13:20

8.



A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

11. Uzunlukları 90 cm, 120 cm ve 150 cm olan

Şekildeki gibi kenar uzunlukları 6 cm ve 9 cm olan dikdörtgen şekildeki kartonlar bir araya getirilerek bir kare elde ediliyor.

demir çubuklar boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır.

Buna göre en az kaç parça elde edilir? A) 12

B) 15

C) 24

D) 30

Buna göre oluşan karenin bir kenar uzunluğu en az kaç cm olur? A) 12

24

Buna göre Emre’nin evinde en az kaç basamak vardır?

9 cm

6 cm





B) 18

C) 24

D) 36

12. Üç bisikletli dairesel bir pisti sırayla 12, 15 ve 18 dakikada geçmektedir.

9. 36, 48 ve 72 litrelik tanklardaki sular eşit ve hiç artmayacak şekilde şişelenmek isteniyor.



Buna göre, bu iş için en az kaç şişe gereklidir? A) 10

B) 12

1- C

2- D

C) 13

D) 15

3- D

5- C

4- B

6- D

Aynı anda aynı yerden sürüşe başlayan üç bisikletlinin sürüşe başladıktan sonraki 2. karşılaşmaları, kaç saat sonra gerçekleşir? A) 3

7- A

8- B

B) 5

9- C

C) 6

D) 8

10- B 11- A 12- C 8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

KONU TESTİ - 2 1. 42 sayısının toplam kaç tane doğal sayı bö-

5.

leni vardır? A) 3

B) 5

C) 7

D) 8



2. Aşağıdakilerden hangisi 195 sayısının asal çarpanlarından biri değildir? A) 3

B) 5

A C E G G G 1

B D F H J 1

2 2 2 2 2 3

Yukarıda verilen algoritmaya göre aşağıdakilerden hangisi söylenemez? A) A ve B sayılarının ebobu 8’dir.

C) 7

D) 13

B) A ve B sayılarının ekoku 96’dır. C) B ve A sayılarının farklı 8’dir. D) B ve A sayılarının toplamı 80’dir.

3.

12 20 15



28

9 45 36

6. 48 ve 60 m uzunluğundaki iki kumaş hiç art40

mayacak şekilde eşit parçalara ayrılacaktır.

24

Yukarıda verilen sayılardan hangi ikisi seçildiğinde ebob’u 1 ekok’u ise sayıların çarpımı olur? A) 9 ile 20

B) 9 ile 45

C) 20 ile 45

D) 36 ile 45



Buna göre bu parçaların her birinin uzunluğu en fazla kaç metre olur? A) 16

B) 12

C) 8

D) 4

7. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) ebob(a, b) = 1 ise a ile b aralarında asal sayılardır.

4. Manav Mehmet Efendi, elmalarını 4’erli, 9’arlı ve 15’erli saydığında her seferinde 3 elma artıyor.

Buna göre Mehmet Efendinin en az kaç elması vardır? A) 177

8. Sınıf Matematik

B) 180

C) 183

D) 186

B) ebob(a, b) = a ise a sayısı b sayısını tam böler. C) ekok(a, b) = a . b ise a ile b aralarında asal değildir. D) ekok(a, b) = b ise b sayısı a sayısının katıdır.

25

1. Ünite

Çarpanlar ve Katlar

8. Boyutları 4 cm, 5 cm ve 6 cm olan kutular üst üste konularak bir küp yapılmak isteniyor.



Bunun için en az kaç kutuya ihtiyaç vardır? A) 3600

B) 2800

C) 2400

D) 1800

11. Bir temizlik şirketindeki işçilerden birincisi 12, ikincisi 15 ve üçüncüsü 20 günde bir izin

kullanmaktadır. Bu üç işçi aynı pazartesi günü işe başladıklarına göre, üçünün birlikte ilk izin günü hangi gün olur? A) Salı

B) Perşembe

C) Cuma

D) Cumartesi

9. Bir kurstaki öğrenciler 4’erli, 5’erli ve 8’erli gruplara ayrıldığında her seferinde 3 öğrenci artıyor.

Bu kursta 100’den fazla öğrenci olduğu bilindiğine göre, en az kaç öğrenci vardır? A) 117

B) 120

C) 123

D) 132

12. 8 ile bölündüğünde 4, 12 ile bölündüğünde 8 ve 15 ile bölündüğünde 11 kalanını veren en küçük sayı kaçtır? A) 116

B) 120

C) 124

D) 128

26

10.

42 m

13. Onur aklından bir sayı tutuyor ve bu sayıyı

24 m

bulabilmeleri için arkadaşlarının aşağıdaki ipuçlarını veriyor.



Kenar uzunlukları 24 m ve 42 m olan bir salona kare şeklinde fayanslar döşenecektir. Kullanılacak fayansın tanesi 2,50 lira olduğuna göre, salonun tamamı fayansla kaplandığında kaç TL tutar? A) 70

B) 75

1- D

2- C

C) 90

D) 125

3- A

5- D

4- C

6- B



I. Bu sayı 200'den büyüktür.



II. Bu sayı 300'den küçüktür.



III. Bu sayı 9, 10 ve 15 ile bölündüğünde hep



2 kalır. Buna göre, Onur'un aklındaki sayı en az kaç olur? A) 202

7- C

8- D

9- C

B) 242

C) 272

D) 298

10- A 11- B 12- A 13- C 8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Üslü İfadeler

ÜSLÜ İFADELER Üslü sayı: an = a . a . a . . . .

n

eşitliğinde a ifadesine üslü sayı denir.

n tane

ÖRNEK 3

2 =2,2,2=8 2

(–3) = (–3) . (–3) = 9

Bir sayının üssü negatif olursa bu sayının çarpma işlemine göre tersi alınır. Sonra üssü alınır.

ÖRNEK 1 3 1 1 1 1 ^ 2h-3 = c m = . . = 2 2 2 2 8

^- 3h-2 =

f- p

1 -2 2 c m = ^ 4 h = 4 . 4 = 16 4

2 -3 c m = 5

f p

1 -1 * a ! 0 olmak üzere, a = a dır. * Sayının negatif kuvveti asla işarete etki etmez.

ÖRNEK 1 2 1 1 1 -2 ^ 5h = c m = c - m . c - m = 5 5 5 25 1 -3 3 c - m = ^- 6h = ^- 6h . ^- 6h . ^- 6h = ^- 216h 6

8. Sınıf Matematik

1 2= -1 . -1 = 1 f p f p 3 3 3 9

5 3 = 5 . 5 . 5 = 125 2 2 2 2 8

27

1. Ünite

Üslü İfadeler

* Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. * Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. * a ≠ 0 olmak üzere her a sayısının sıfırıncı kuvveti 1'dir.

ÖRNEK 2

2

–3 = –9

Parantezin önemi

(–3) = 9

1 2 12 1 - 2-2 =-c m =- = c - m 2 2 4 2

Parantezin önemi

1 2 1 ^- 2h-2 = c - m = 2 4

Negatif bir sayının kuvveti alınırken parantezin varlığı sonucu değiştirir. Üssün üssü durumlarında işaret tespiti önemlidir.

ÖRNEK ^- 33h4

Negatif sayının çift kuvveti olduğu için sonuç pozitiftir.

^- 3 4h5

Negatif sayının tek kuvveti olduğu için sonuç negatiftir.

m n

Kuvvetin kuvveti alınırken üsler çarpılır. a ≠ 0 olmak üzere (a ) = a

mn

olur.

PEKİSTİRELİM

28

Aşağıdaki işlemleri yapalım. b

1 -2 c m = 9 3

1

d

–2

1

g

(–2)

(–64)

ı

(–1)

a

(- 1 3) 2 = 1

ç

5 =

f

1

h

(–2 ) =

o

–13

=

2 3

–4

=

c

1 = 8

–3

2

c-

1 m 16

e

6

1 m 32

ğ

(–3 ) = (–729)

i

(–6 ) = 1

–5

=

c-

–2

=

1

–2

1 36

= 2 3

3 0

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Üslü İfadeler

SAYILARIN ONDALIK GÖSTERIMLERINI 10’UN KUVVETLERINI KULLANARAK ÇÖZÜMLEME 51,013 sayısını 10’un kuvvetlerini kullanarak çözümleyelim. 51 , 013 Birler basamağı

Onda birler basamağı

Onlar basamağı

Yüzde birler basamağı Binde birler basamağı

51,013 = (5 x 10) + (1 x 1) + (0 x 1 ) + (1 x 1 ) + (3 x 1 ) 10 100 1000

1

0

–1

–2

–3

= (5 x 10 ) + (1 x 10 ) + (0 x 10 ) + (1 x 10 ) + (3 x 10 ) olur. 0

= 1 10 –2 10 = 1 100 –3 10 = 1 1000

10 = 1

–1

10

1

10 = 10

n

10 sayısında n tane sıfır vardır.

2

10 = 100 3

10 = 1000

ÖRNEK

CÖZÜM 0

3,039 sayısının 10’un kuvvetlerini kullanarak çözümleyelim.

–1

–2

–3

3,039 = (3 x 10 ) + (0 x 10 ) + (3 x 10 ­) + (9 x 10 )

ÖRNEK 2

1

0

–1

–2

Çözümlenmiş hali (9 x 10 ) + (0 x 10 ) + (7 x 10 ) + (5 x 10 ) + (2 x 10 ) olan ondalık sayıyı bulalım.

CÖZÜM 2

1

0

–1

–2

(9 x 10 ) + (0 x 10 ) + (7 x 10 ) + (5 x 10 ) + (2 x 10 ) = 907,52 olur.

8. Sınıf Matematik

29

1. Ünite

Üslü İfadeler

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıda verilen ondalık sayıları 10’un kuvvetlerini kullanarak çözümleyelim. 1

0

–1

0

–1

–2

a 13,07

∏ 13,07 = (1 x 10 ) + (3 x 10 ) + (0 x 10 ) + (7 x 10 )

b 9,009

∏ 9,009 = (9 x 10 ) + (0 x 10 ) + (0 x 10 ) + (9 x 10 )

–2

–3

c 501,396 ∏ 501.396 = (5 x 102) + (0 x 101) + (1 x 100) + (3 x 10–1) + (9 x 10–2) + (6 x 10–3) 2. Aşağıda çözümlemeleri verilen ondalık sayıları bulalım. 2

1

0

–1

–2

3

2

1

–1

–2

0

–1

–3

a (8 x 10 ) + (7 x 10 ) + (6 x 10 ) + (5 x 10 ) + (4 x 10 ) + (3 x 10 ) ∏ 876,543 b (6 x 10 ) + (0 x 10 ) + (0 x 10 ) + (3 x 10 ) + (5 x 10 ) –2

–3

c (4 x 10 ) + (0 x 10 ) + (1 x 10 ) + (2 x 10 )

∏ 6000,35 ∏ 4,012

ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

Üslü sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinin yapılabilmesi için ya tabanların ya da üslerin aynı olması gerekir. 1) Tabanlar aynı ise; 30

m

n

m+n

üsler toplanır.

m

n

m–n

üsler çıkarılır.

n

n

n

tabanlar çarpılır sonra ortak üs alınır.

n

n

n

tabanlar çarpılır sonra ortak üs alınır

Çarpma işlemi

a .a =a

Bölme işlemi

a :a =a

2) Üsler aynı ise; Çarpma işlemi

a . b = (a . b)

Bölme işlemi

a : b = (a : b)

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Üslü İfadeler

ÖRNEK

ÖRNEK

23 . 2 5 = 23 + 5 = 2 8

510 : 53 =

3 4 . 3 7 = 3 4 + 7 = 311

10 8 : 10 6 = 10 8 - 6 = 10 2

3

5

3+5

10 . 10 = 10

8

7

= 10

510 - 3 = 5 7

2

7–2

4 :4 =

ÖRNEK

4

=4

5

ÖRNEK

4 4 3 4 . 2 4 = (3 . 2) = 6

63 : 23 =

3 3 4 3 . 5 3 = (4 . 5) = 20

10 8 : 5 8 = (10 : 5) 8 = 2 8

7

7

7

2 .5 =

7

5

(2 . 5) = 10

(6 : 2) 3 = 3 3

5

5

12 : 3 = (12 : 3) = 4

5

PEKİSTİRELİM Aşağıdaki işlemleri yapalım. a

5-4 . 5 5 . 53 = ?

5-4 + 5 + 3 = 5 4

b

4 2 . 8-1

^2 2h2 . ^23h 1

c

ç

d

2-3 2

-

=? 2

2-3

2

2 .2 .2 .2

2

22 + 22 + 22 + 22 94 . 34 3

8

25 5

5

4

4.2

2

=

2-3 28 2

2 .2

2

=

(Her sayı 2’nin kuvveti olarak yazılır.)

= 24 28 2

4

31 = 28 - 4 = 24

^3 2h4 . 3 4 3 8 . 3 4 = = 34 8 3 38

=?

2 3 . 4 4 . 8-1

=?

22 + 2 + 2 + 2

2 4 . 2-3

=

23 . ^2 2h . ^2 3h

-1

4

=?

25

5

5

4

=

23 . 2 8 . 2-3

=

25 5

4

23 + 8 - 3

5+4

25 9

e

5 . 2 . 10 = ?

(5 . 2 ) . 10 = 10 . 10 = 10

f

103.25 = ? 53.16

103.25 = 23.53.25 = 53 - 3. 23 + 5 - 4 = 50 .2 4 = 2 4 53.16 53.2 4

8. Sınıf Matematik

= 10

=

28 25

= 2 8 - 5 = 23

1. Ünite

Üslü İfadeler

ÇOK BÜYÜK VE ÇOK KÜÇÜK POZİTİF SAYILARIN BİLİMSEL GÖSTERİMİ Çok Büyük Sayılar : 10’un pozitif kuvvetleriyle ifade edilen sayılara denir. Çok Küçük Sayılar : 10’un negatif kuvvetleriyle ifade edilen sayılara denir.

ÖRNEK

Çok büyük sayılarda sıfır sayısı 10’un kuvvetini belirtir.

5

2 300 000 = 23.10 5 basamak 7000000 = 6 basamak

Çok küçük sayılarda virgülden sonraki basamak sayısı 10’un kuvvetini belirtir.

6

7.10

ÖRNEK –5

0,00013 = 13.10 5 basamak

0,0000009 = 9.10–7 7 basamak Çok büyük veya çok küçük sayılar 10’un farklı tam sayı kuvvetleri kullanılarak ifade edilebilir. 32

ÖRNEK 5

501,3 x 10 sayısı; 5

6

8

3

501,3 x 10 = 50,13 x 10 = 0,5013 x 10 = 50130 x 10 şeklinde de ifade edilebilir.

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Üslü İfadeler

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen boşlukları uygun şekilde dolduralım. 3 5 a 0,309 . 10 = 30,9 . 10...... 6

b 25,007 . 10 = 0,25007 . 10 ...... 4

–4

–2

c 1,254 . 10 = 125,4 . 10...... –4 –3 ç 132,7 . 10 = 1327 . 10...... 4

0,9 . 10 d 0,009 . 10 = ........ 5

2

3

201 . 10 e 2,01 . 10 = ........... –2

387,3 . 10–3 = ...............

–1

0,1257 . 102 = ....................

f 38,73 . 10

g 125,7 . 10

Bilimsel Gösterim n

1 ≤ a < 10 olmak üzere a . 10 şeklindeki gösterime bilimsel gösterim denir. 9

Örneğin 3,256.10 gösterimi bilimsel bir gösterimdir. Çünkü 1 ≤ 3 < 10 dür.

Bilimsel gösterilmeyen bir sayının bilimsel gösterimini elde etmek için virgül sağa veya sola kaydırılır. Virgül sola kaydırılırken kuvvet artar.

8. Sınıf Matematik

Virgül sağa kaydırılırken kuvvet azalır.

33

1. Ünite

Üslü İfadeler

ÖRNEK Aşağıda verilen sayıların bilimsel gösterimlerini bulalım; 2 basamak artar.

6

8

1 25,7 . 10 2 basamak

1, 257 . 10

324 , 7 . 10

–6

3 basamak azalır.

–5

–8

0 , 007 . 10 3 basamak

7 . 10

0,00013 . 10

–4

3, 247 . 10

–4

–8

1, 3 . 10

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde dolduralım. 6

5

b

13.10 1 300 000 = ....................

8.10 0,0000008 = ...................

ç

32.10 0,000032 = ........................

d

5 900000 9.10 = ............................

e

4 120000 12.10 = .......................

f

4.10

0,000004 = .................................

g

21.10

ğ

37.10

22

23 .......... = 3, 7.10

h

513.10

ı

25.10

13

15 ........ = 0,25.10

i

18.10

j

132.10

k

12.10

l

8 1,5 109 15.10 = ............

m

64.10

a

6.10 6 000 000 = ..................

c

–7

–6

–6

–5

0,00021 = ............................

34

–16

= 13200.10

–18 ...........

15

14 ....... = 5130.10

–14

–13 ............ = 1,8.10

18

120 1017 = ............

–24

6,4 10–23 = ...........

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Üslü İfadeler

2. Aşağıda verilen sayıların bilimsel gösterimlerini bulalım. 12

13

2,4.10 = ..........................

a

24.10

c

0,7.10

d

0,125.10 = 1,25.10 ..........................

f

18.10

ğ

24,3.10

ı

–3 3.10 0,003.10 = ..........................

j

32.10

16

15

7.10 = ........................

4

5

–6

–5

1,8.10 = ..........................

–4

–3

2,43.10 = ..........................

–6

–6

–5

3,2.10 = ..........................

–8

C) 5.10

8. Sınıf Matematik

ç

0,45.10

e

9 3,96.10 0,396.10 = ..........................

g

123.10

h

4800.10

i

3,9.10 0,039.10 = ..........................

k

5000.10

15

14

4,5.10 = ........................

8

–20

–18

1,23.10 = ..........................

–10

–13

4,8.10 = ..........................

–5

–7

–5

–2

5.10 = ..........................

35 –6

Bir kuş tüyünün kütlesi 0,000005 gramdır. Bu kuş tüyünün kütlesinin kilogram olarak bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? –9

8 1,32.10 132.10 = ..........................

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU

A) 5 . 10

10

b

B) 0,005 –10

D) 50.10

0,000005 gram = 5 . 10 –3

1 gram = 10 –6

5.10

gram

kilogram olduğuna göre; –6

gram = 5.10

–3

. 10

–9

= 5 . 10

ki-

logramdır. 1 ≤ 5 < 10 olduğu için

–9

Bilimsel gösterimi; 5.10 ’dur. Cevap : A

1. Ünite

Üslü İfadeler

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU –3

–4

–4 sayısının 2 sayısına bölümü aşağıdakilerden hangisidir?

–3

2 –3

–4 = –(2 ) –4 –4 2 2

–6

= –2–4 2

–2

= –2

A) – 1 B) – 1 4 2 C) 1 D) 1 4 2

Cevap : A

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU Aşağıdaki sayılardan hangisi 0’dan büyük 1’den küçüktür? –3

B) (–5)

3

D) (–5)

A) 5

C) 5

=– 1 4

–3

3

= 13 = 1 5 125 –3 B) (–5) = – 13 = – 1 5 125 3 C) 5 = 125 A) 5

–3

3

D) (–5) = –125 Bu durumda 0’dan büyük 1’den küçük olan 1 ‘dir. 125

Cevap : A

36

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU 4

4

3

4 . 12

işlemin sonucu aşağıdakilerden 3 8 6 .2 hangisidir? 3

A) 2

B) 2 3

C) 2

D) 13

3

3

2 4

3

8

3

4 . 12 = (2 ) .12 = 2 . 12 3 8 3 8 3 8 6 .2 6 .2 6 .2 3

3 = 12 = 2 3 6

Cevap: A

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Üslü İfadeler

KONU TESTİ - 1 1. Aşağıdakilerden hangisi tir? 4

A) 4

8

1 sayısına eşit256 –6

B) 2

C) 2

–8

5. a = –1 ve b = –2 olduğuna göre,

D) 2

aa + bb ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) –

–3

2. (–5) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 1 A) c m B) 125 125

ab . ba

6.

1 2

B) –

8 3

C)

2 3

D)

1 2

1 -4 I. c - m = 3 4 3 2

C) 27

II. –5 = 25

D) 125

3 3 3 4 -3 III. c - m . c - m . c - m = c - m 4 4 4 3 1 -2 1 IV. c - m = 6 36

3.

–2

I. (–1) = (+1)

Yukarıda verilen eşitliklerden kaç tanesi doğrudur? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

3

II. (–4) = (–64) –4 III. (+5) (–625) o IV. (–8) = 0

37 2

Yukarıda verilen eşitliklerin kaç tanesi doğrudur? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

–2

4. –4 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 1 A) – B) – 16 8 8. Sınıf Matematik

–1

–2

7. (7 x 10 ) + (5 x 10 ) + (3 x 10 )

şeklinde çözümlenmiş olan sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 7,53

B) 70,53

C) 700,53

D) 700,053

8. Aşağıdakilerden hangisi 0’dan büyük 1’den küçüktür?

C) 8

D) 16

2

A) –3 –3

C) (–2)

2

B) (–3)

–2

D) (–3)

1. Ünite

Üslü İfadeler

4

9. (–0,2)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) –0,0016

B) –0,016

C) 0,16

D) 0,0016

10.



C) 1

14.

= 2-6

B) –4

C) 2

- 3 3 . (- 3 ) 2 65



den hangisi doğru olur? 2

1

–1

2

1

–3

1

0

–3

1

0

–1

:

D) 4

1 - 24

işleminin sonucu kaçtır? –1

A) –3

D) 2

11. 23,009 sayısı çözümlendiğinde aşağıdakiler38

a+5

olduğuna göre a’nın değeri kaçtır? A) –6

olduğuna göre a + b ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? B) 0

8-1 . 4 3 2



2 a 25 c- m = 5 4 (0, 5) b = 0, 125

A) –1

13.

–1

B) –2

15.

–1

C) 2

–1

D) 3

4 4 . 103 53 . 2 8

A) (2 . 10 ) + (3 x 10 ) + (9 + 10 )



B) (2 x 10 ) + (3 x 10 ) + (9 x 10 )

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 3

A) 2

C) (2 x 10 ) + (3 x 10 ) + (9 x 10 )

4

B) 2

2

C) 5

3

D) 5

D) (2 x 10 ) + (3 x 10 ) + (9 x 10 )

16. Bir bisiklet 4 dakikada 128 m yol alabilmektedir.

12.

–5

3

4

2



.3 .3

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 1- D

2- A

B) 9 3- B

4- A

C) 27 5- C

6- B

9

A) 2

D) 81 7- C

Buna göre bu bisiklet 32 dakikada kaç metre yol alır?

8- D

9- D

10

B) 2

11

C) 2

12

D) 2

10- C 11- C 12- A 13- D 14- C 15- A 16- B 8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Üslü İfadeler

KONU TESTİ - 2 20

1. Çevresi 2

cm olan bir karenin bir kenar uzunluğu kaç cm’dir? 19

9

A) 2

17

B) 4

2 -2 3 çarpılırsa sonuç pozitif bir tam sayı olur?

5. c - m sayısı aşağıdaki sayılardan hangisi ile

8

C) 2

D) 4

A) –9

6.

2.

C) 4

–3

–2

2 8 . 2-6 . 2 5

4

–2

2 4 . 2-3 . 2 9

I. 13,01 . 10 = 1,301 . 10

II. 250,07 . 10 = 25007 . 10 2

D) 9

–1

III. 0,009 . 10 = 9.10 –4



–2

IV. 27 . 10 = 0,27 . 10

B) –4

işleminin sonucu kaçtır? –9

A) 2

–6

–3

B) 2

C) 2

3

D) 2

Yukarıda verilen ifadelerin kaç tanesi doğrudur? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

7.

27 3 . 9 4 . 3 5 81 2 39

3. Aşağıdakilerden hangisi pozitiftir?



1 -3 B) c - m 2

4

A) –2

işleminin sonucu kaçtır? 14

A) 3

8.



2

0

–2

10 5 . 10-6 . 10 7 10 4 . 10-1

–3

(5 . 10 ) + (3 x 10 ) + (7 x 10 ) + (5 x 10 ) Yukarıda çözümlenmiş şekli verilen sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 503,075

B) 53,075

C) 503,75

D) 53,75

8. Sınıf Matematik

16

C) 3

1 5 D) c - m 2

–3

C) 2

4.

15

B) 3



işleminin sonucu kaçtır? A) 10000

B) 1000

C) 100

D) 10

17

D) 3

1. Ünite

9.

Üslü İfadeler –5

13.

–7

I. 2,58.10 = 258.10 2

0, 032.10 5

5

0, 0016.10 7

II. 0,003.10 = 3.10 4

–7

III. 180.10 = 0,18.10 –3



–2

V. 32,1.10 = 321.10

ifadesinin değeri kaçtır? A) 20

Yukarıda verilen eşitliklerden kaç tanesi yanlıştır? A) 1

B) 2

C) 3

4

2

5 . 25 . 5

x

125 3





B) 1

=1

C) 0

3

a+b

3a

40



A) 4.10

6

B) 40.10

9

10

D) 0,4.10

11

C) 4.10

D) –1

12

5

=9

b

3

2

B) 3

4 cm 4 cm

olduğuna göre, 3 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 3



–1

C) 3

D) 3

Kenar uzunlukları şekildeki gibi verilen bir dikdörtgenin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 60

2

17

A) 16 cm 60

12. 0,0000128 sayısının bilimsel gösterimi aşağı-

2

17

1- B

2- C

5

da okuyarak 32 günde bitiriyor.

–7

B) 12,8.10

–5

D) 0,128.10

3- C



–6 –4

4- A

2

D) 4 cm

16. Elif 4 sayfalık bir kitabı her gün eşit miktar-

dakilerden hangisidir?

C) 1,28.10

2

B) 16 cm

C) 4 cm

A) 128.10

1 5

Bir gram toprakta bulunan bakteri hücrelerinin sayısı 40 milyondur.

15. 11.

D)

Verilen bilgiye göre bir kilogram toprakta yaşayan bakteri hücreleri sayısının bilimsel gösterimi, aşağıdakilerden hangisidir?

olduğuna göre, x kaçtır? A) 2

1 C) 2

D) 4

14.

10.

B) 2

5- C

6- C

7- A

Buna göre Elif, her gün kaç sayfa kitap okumuştur? 5

A) 2 8- B

9- C

6

B) 2

7

C) 2

8

D) 2

10- B 11- B 12- C 13- D 14- C 15- D 16- A 8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

KAREKÖKLÜ İFADELER Bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemine . . . . . . . . .Karekök . . .. . . . . . . . . . . ..alma . . . . . . . . . işlemi . .. . . . . . . . . ...........denir. Karekök “ñ ” sembolü ile gösterilir. 2

a sayısının karekökü

a2

=  a şeklinde hesaplanır.

Karekök içi asla negatif olmaz. Bir sayının kendisi ile çarpımı sayının karesini alma, bu işlemin tersi de karekök alma işlemidir. Karekök alma işlemi aynı zamanda alanı verilen bir karenin bir kenar uzunluğunu bulma işlemidir.

3 br

2 br

1 br

Kenar uzunluğu = 1 br

2br

3br

4br

Alanı

4br

9br

16br

2

= 1br

2

2

ÖRNEK

5 br

4 br

5br

2

2

25br

CÖZÜM 2

Alanı 64 br karenin bir kenar uzunluğunu bulalım.

2

Alanı 64 br karenin bir kenar uzunluğu; = 64

= 82 8 birim bulunur. 41

ÖRNEK Ahmet’in kare şeklinde bir bahçesi vardır 2 ve alanı 144 m ’dir. Buna göre bu bahçenin bir kenar uzunluğu kaç metredir?

8. Sınıf Matematik

CÖZÜM

2

A = 144 m

= 144

lunur.

= 122 12 m bu-

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

Tam Kare Sayılar: Karekökleri tam sayı olan doğal sayılara . . . . . . . . . . . tam . . . . . . . . kare . . . . . . . . .sayılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. denir. Örneğin; 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ..... sayıları tam kare sayılardır.

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıda verilen tam kare sayıların kareköklerini bulalım. 3 a ñ9 = ..........

0 b ñ0 = ..........

1 c ñ1 = ..........

4 ç ò16 = ..........

5 d ò25 = ..........

7 e ò49 = ..........

8 f ò64 = ..........

9 g ò81 = ..........

10 ğ ó100 = ..........

11 h ó121 = ..........

13 ı ó169 = ..........

25 i ó625 = ..........

2. Aşağıda alanları verilen karelerin bir kenarının uzunluğunu bulalım. a

b = 196

= 14 2 14 cm

= 4

= 22 2 br

2

Alanı = 4 br 2

Alanı = 196 cm 42

c

ç = 225

= 15 2 15 cm

= 36

= 6 2 6 br

2

Alanı = 36 br 2

Alanı = 225 cm

3. Aşağıdaki tam sayılardan bir sayının karesi olarak yazılabilenleri işaretleyelim. 16



32



64



125



49



90



164



85



132



256



100



169

 8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

4. Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulalım.

CÖZÜM a

100 + 36 - 64 = ?

100 + 36 - 64 = 10 2 + 6 2 -

82

= 10 + 6 - 8 = 8'dir.

CÖZÜM 25 + 1 - 16 =

25 + 1 - 16 = ?

b

52 + 12 -

42

= 5 + 1 - 4 = 2'dir.

TAM KARE OLMAYAN SAYILARIN KAREKÖKLERİNİ TAHMİN ETME Tam kare olmayan sayıların karekökleri tahmin edilirken tam kare sayılardan yararlanılır. Bunun için;

Verilen sayıya en yakın olan bir büyük ve bir küçük tam kare sayı tespit edilir. Bu sayıların karekökleri alınır. Verilen sayının karekökü bu sayılar arasındadır diye tahmin yapılır.

Ayrıca verilen sayı tespit edilen sayılardan hangisine daha yakınsa ona göre ondalık bir tahmin de yapılabilir. Örneğin;

40 sayısının sonucunu yaklaşık olarak tahmin edelim; 43

40 sayısına en yakın tam kare sayılar; 36 ve 49’dur.

36 < 40 < 49 36 <

40 <

Ayrıca 40 – 36 = 4 49 – 40 = 9

8. Sınıf Matematik

49

Karekök alındığında; 6 < Yani

40 < 7 olur.

40 sayısı 6 ile 7 arasındadır.

olduğu için 40 sayısı 36 sayısına daha yakındır. Bu nedenle de 6’ya daha yakındır diyebiliriz.

40 sayısı için

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

CÖZÜM

ÖRNEK 80 sayısının sonucunu yaklaşık olarak tahmin edelim.

80 sayısına en yakın tam kare sayılar; 64 ve 81’dir. 64 < 80 < 81 64 <

80 <

81

Karekök alındığında 8 < 80 < 9 bulunur.

Ayrıca 80 sayısı 81 sayısına daha yakın olduğu için 80 sayısı da 9’a daha yakındır.

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen kareköklü sayıların en yakın tam sayı değerini bulalım. a

8

4 < 8< 9

b

20 =

2 ile 3 arasında 3’e daha yakındır. c

32 =

25 < 32 < 36

4 ile 5 arasında 4’e daha yakındır. ç

45 =

5 ile 6 arasında 6’ya daha yakındır. d

65 =

64 < 65 < 81

f

ò39

ğ ò72

36 < 39 < 49 6 ile 7 arasında 6’ya daha yakındır. 64 < 72 < 81

e

105 =

ó120 =

100 < 120 < 121 10 ile 11 arasında 11’e daha yakın

100 < 105 < 121 10 ile 11 arasında 10’a daha yakındır.

g

ò27

25 < 27 < 36 5 ile 6 arasında 5’e daha yakın

h

ò90

8 ile 9 arasında 8’e daha yakın ı

36 < 45 < 49 6 ile 7 arasında 7’ye daha yakındır.

8 ile 9 arasında 8’e daha yakındır.

44

16 < 20 < 25

81 < 90 < 100 9 ile 10 arasında 9’a daha yakın

i

ó132

121 < 132 < 144 11 ile 12 arasında 11’e daha yakın

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

GERÇEK SAYILAR Rasyonel Sayı: a, b ∈Z ve b ≠ 0 olmak üzere a şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel Sayı denir. b “Q” sembolü ile gösterilir. İrrasyonel Sayı: İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılara İrrasyonel Sayı denir. “Q” (veya l) sembolü ile gösterilir. Ondalık ifadeler, devirli ondalık ifadeler, karekök dışına tam sayı olarak çıkan sayılar rasyonel sayılardır. Devirli olmayan ondalık açılımlar, kök dışına çıkamayan kareköklü sayılar irrasyonel sayılardır. İrrasyonel sayılar a şeklinde yazılamaz. b Örneğin; ñ3, ñ2, p gibi sayılar irrasyonel sayılardır. Örneğin p sayısını incelediğimizde p = 3,1415926535897932384626433832... virgülden sonrasının belli bir düzende devam etmediği görülür. Bu nedenle p sayısı irrasyonel sayıdır. Her rasyonel sayının bir ondalık açılımı vardır. Fakat, bazı ondalık açılımlara karşılık gelen bir rasyonel sayı olmayabilir. Bunun gibi sayılar irrasyonel sayılardır. Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimi Gerçek Sayılar kümesini oluşturur. “R” ile gösterilir. Q ∪ Q′ = R’dir.

Q ∩ Q′ = ∅’dir.

45

Gerçek sayılar kümesi bütün sayıları kapsar. Z N

8. Sınıf Matematik

Q

R Q′

N⊂Z⊂Q⊂R Q′ ⊂ R

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

ÖRNEK 2,3

5

3 7

ñ7

ò16

ò15

0,009

20 4 27,38916 ...

–12

3,7

15 8

2,135

0

Yukarıda verilen sayılardan irrasyonel sayı olanları belirleyelim.

CÖZÜM 2,3 → Rasyonel sayı

ò16

→ Rasyonel sayı

3,7

→ Rasyonel sayı

ò15

→ İrrasyonel sayı

0,009 → Rasyonel sayı

2,135

→ Rasyonel sayı

20 → Rasyonel sayı 4

27,38916 ... → İrrasyonel sayı

ñ7

→ İrrasyonel sayı

3 → Rasyonel sayı 7

→ Rasyonel sayı

5

–12 → Rasyonel sayı

15 → Rasyonel sayı 8 0

→ Rasyonel sayı

ÖRNEK 46 Aşağıda verilen ifadelerden "Doğru" ve "Yanlış" olaranlarını belirleyelim. a a şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. b

D . . ...........

b Rasyonel sayılarla irrasyonel sayılar kümesinin ortak elemanı yoktur.

D . . ...........

c Gerçek sayılarla irrasyonel sayılar kümesinin ortak elemanı yoktur.

Y . . ...........

ç

0

sayısı bir rasyonel sayıdır.

D . . ...........

d

1,6 sayısı bir rasyonel sayıdır.

Y . . ...........

e

12 sayısı bir irrasyonel sayıdır.

D . . ...........

f

5 - 4 sayısı bir irrasyonel sayıdır.

Y . . ...........

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıda verilen sayıların hangi sayı kümesine ait olduğunu belirleyelim. a 2,021

→ Rasyonel sayı

b p

→ İrrasyonel sayı

c 0,013

→ Rasyonel sayı

– ç 10,01

→ Rasyonel sayı

27 3

→ Rasyonel sayı

d

13 5

→ Rasyonel sayı

e

f

1,7

→ Rasyonel sayı

g

2,876103584... → İrrasyonel sayı

ğ

ñ7

→ İrrasyonel sayı

h

ò10

ı

ò64

→ Rasyonel sayı

i

−

42 6

→ İrrasyonel sayı → Rasyonel sayı

Buradaki bütün sayılar Gerçek Sayıdır.

2.

5 tam sayıdır. 25

12 rasyonel sayıdır.

Kezban

Zühtü

47 49 rasyonel sayıdır. 4

Söylediğiniz bütün sayılar gerçek sayıdır.

Düriye

Fikret

Yukarıda dört arkadaşın sayılar hakkında ifadeleri görülmektedir. Buna göre, hangisinin söylediği ifadenin yanlış olduğunu bulalım. 12 =

4.3 = 2 2

5 5 = =1 25 5 49 7 = 4 2 2 2 ,1, 8. Sınıf Matematik

İrrasyonel sayıdır. Zühtü yanlış söylemiştir. Tam sayıdır.

Rasyonel sayıdır.

Doğru Doğru

7 sayıların hepsi gerçek sayıdır. 2

Doğru

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMLERİ Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yapılırken katsayılar kendi arasında çarpılır ve katsayı olarak yazılır. Kök içleri kendi arasında çarpılır ve kök içine yazılır. ña . ña = a

ña . ñb = òa.b

xña . yña = x.yòa.b

CÖZÜM

ÖRNEK

Kök içleri kendi içinde çarpılır.

2ñ5 . 3ñ2 işleminin sonucu bulalım.

2ñ5 . 3ñ2 = (2 . 3)ó5 . 2 = 6ò10 Kat sayılar kendi içinde çarpılır.

CÖZÜM

ÖRNEK 3ñ7 . 5ñ6 işleminin sonucunu bulalım.

3ñ7 . 5ñ6 = (3 . 5)ó7 . 6 = 15ò42

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıda verilen çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulalım. a 48

ñ7 . ñ7 =

= 49

ç ñ7 . 2ñ5 = 2ò35

= 72 7

b ñ3 . ñ5 = ò15

c

5ñ2 . ñ3 = 5 . ñ6

d

ò12 . ñ3 = ò36 = 6

e

ñ2 . ò50 = ó100 = 10 ñ2 . ò11 = ò22

f

4ñ3 . 2ñ5 = 8ò15

g

3ò10 . 2ñ7 = 6ò70

ğ

h

5ñ2 . 4ñ3 = 20ñ6

ı

3ñ2 . 5ñ5 = 15ò10

i 2ñ2 . 9ñ2 = 18ò4 = 18 . 2 = 36

j

5ñ6 . 2ñ5 = 10ò30

k

4ñ2 . 3ñ8 = 12ò16 = 12 . 4 = 48

l

2ò32 . 3ñ2 = 6ò64 = 6 . 8 = 48 m

10ñ6 . ñ6 = 10ò36 = 10 . 6 = 60

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

KAREKÖKLÜ SAYILARDA BÖLME İŞLEMLERİ Kareköklü sayılarda bölme işlemi yapılırken katsayılar kendi arasında bölünür ve katsayı olarak yazılır, kök içleri kendi arasında bölünür ve kök içine yazılır. a =1 a

(a ≠ 0)

a a = b b

(b ≠ 0)

x a x a = y b y b

(b ≠ 0) (y ≠ 0)

CÖZÜM

ÖRNEK

Kat sayılar kendi içinde bölünür.

6 10 işleminin sonucu bulalım. 2 2

6 10 6 10 3. 5 bulunur. = = . 2 2 2 2 Kök içleri kendi içinde bölünür.

ÖRNEK

CÖZÜM

75 işleminin sonucu bulalım. 3

75 = 3

75 = 3

25 = 5 bulunur.

PEKİSTİRELİM 49

1. Aşağıda verilen bölme işlemlerinin sonucunu bulalım. a

10 20 = 2ñ4 = 2 . 2 = 4 5 5

b

8 6 = 2 3

ç

5 20 = 3 10

d

8 14 = 4 2

f

300 = 3

8. Sınıf Matematik

5 2 3 ó100 = 10

g

4ñ2

2ñ7

7 45 = 7 . ñ9 = 7 . 3 = 21 5

c

6 32 = 2 2

3ò16 = 3 . 4 = 12

e

3 40 = 3 . ñ4 = 3 . 2 = 6 10

ğ

12 60 = 4 15

3ñ4 = 3 . 2 = 6

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

KAREKÖKLÜ BİR İFADEYİ añb ŞEKLİNDE YAZMA Kakekök içinde bir sayıyı añb şeklinde yazmak için sayı, çarpanlarından birisi bir doğal sayının karesi olacak şekilde iki sayının çarpımı olarak yazılır. Tam kare olan çarpan karekök dışına çıkarılır. a ≥ 0 olmak üzere;

a2 .b = a. b ’dir.

CÖZÜM

ÖRNEK ò48 sayısını añb şeklinde yazalım.

ò48 = ó16 .3 = 4ñ3 bulunur. Tam kare

CÖZÜM

ÖRNEK 3ó200 sayısını añb şeklinde yazalım.

3ó200 = 3ó2.100 = 3 . 10ñ2 = 30ñ2 bulunur.

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen kareköklü ifadeleri añb şeklinde yazalım.

50

a ò20 = ó4 . 5 = 2ñ5

b

ò45 =

ó9 . 5 = 3ñ5

c ò72 = ó36 . 2 = 6ñ2

ç

ò75 =

ó25 . 3 = 5ñ3

d ò60 = ó4.15 = 2ò15

e ó125 = ó25.5 = 5ñ5

f

ò80 = ó16.5 = 4ñ5

g ó250 = ó25.10 = 5ò10

h 2ò40 = 2ó4.10 = 2 . 2ò10 = 4ò10

ı ó300 = ó100.3 = 10ñ3

i 3ò50 = 3ó25.2 = 3.5ñ2 = 15ñ2

j 4ó160 = 4ó16.10 = 4.4ò10 = 16ò10

k

ò18 = 5ò9.2 = 5.3ñ2 = 15ñ2

l 10ó180 = 10ó36.5 = 10.6ñ3 = 60ñ5

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

añb ŞEKLİNDE VERİLEN BİR İFADEYİ KÖK İÇİNE ALMA añb şeklinde bir ifadenin kat sayısını karekök içine almak için kat sayısının karesi alınarak kakekök içindeki sayı ile çarpılır. a ≥ 0 olmak üzere; a. b = a2 .b ’dir.

ÖRNEK

CÖZÜM = 2 3

2ñ3 ifadesini kök içine alalım.

= 22 .3

4.3 = 12 bulunur.

Karesi alınır.

ÖRNEK

CÖZÜM

4ñ5 ifadesini kök içine alalım.

= 4 5

= 4 2 .5

b 2ñ6 =

= 22 .6

ç 2ò10 =

= 22 .10

16.5 = 80 bulunur.

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen ifadeleri kök içine alalım. a 3ñ8 =

= 32 .8

52 .3 c 5ñ3 = =

= 9.8 = 25.3

72 75

= 4.10

40 51

= 3 .5

= 9.5

f

2ñ2 =

= 22 .2

= 4.2

8

102 .3 g 10ñ3 = =

ğ

52 .2 5ñ2 = =

= 25.2

50

h 6ñ5 =

= 62 .5

= 36.5

180

ı

4ñ5 =

= 4 2 .5

= 16.5

80

i 3ò11 =

= 32 .11

= 9.11

99

8. Sınıf Matematik

45

e 9ñ2 =

2

= 81.2

24

d 3ñ5 =

2

= 9 .2

= 4.6

= 100.3

162 300

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

Çarpma işlemi ile irrasyonel bir ifadeyi rasyonel yapmak için; kareköklü ifadeden kurtarmak gerekir.

Örneğin; ò20 ifadesini rasyonel sayı yapmak için; ò20 = 2ñ5 = 2ñ5 → ñ5 ifadesinden kurtarmak gerekir. Bunun için de sayı, “ñ5” çarpanı olan bir ifade ile çarpılmalıdır. 2ñ5 . ñ5 = 2 . 5 = 10 → rasyonel olur. 2ñ5 . 3ñ5 = 6 . 5 = 30 → rasyonel olur. 2ñ5 . ò80 = 2ñ5 . 4ñ5 = 8 . 5 = 40 → rasyonel olur.

PEKİSTİRELİM Aşağıda verilen irrasyonel sayıları çarpma işlemi ile rasyonel sayı yapalım.

52

a ñ7 = ñ7 . ñ7 = 7

b

ò11 = ò11 . ò11 = 11

c ò10 = ò10 . ò10 = 10

ç

ñ8 = 2ñ2 . ñ2 = 2 . 2 = 4

d 4ñ2 = 4ñ2 . ñ2 = 4 . 2 = 8

e ò12 = 2ñ3 . ñ3 = 2 . 3 = 6

5ñ3 = 5ñ3 . ñ3 = 5 . 3 = 15

g ò32 = 4ñ2 . ñ2 = 4 . 2 = 8

ğ 6ñ5 = 6ñ5 . ñ5 = 6 . 5 = 30

h ò20 = 2ñ5 . ñ5 = 2 . 5 = 10

3ñ6 = 3ñ6 . ñ6 = 3 . 6 = 18

i ò45 = 3ñ5 . ñ5 = 3 . 5 = 15

f

ı

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

KAREKÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılabilmesi için kök içlerinin aynı olması gerekir. Kök içleri eşit olduktan sonra toplama ve çıkarma işlemleri katsayılar arasında yapılır, ortak kök çarpım olarak yazılır.

ÖRNEK 3 5 +7 5 -2 5 = (3 + 7 - 2) .

kök içleri aynıdır, katsayılar arasında işlem yapılır.

5 = 8 5 bulunur.

ÖRNEK 9 2 - 2 +3 2 = (9 - 1 + 3) .

Kök içleri aynıdır, katsayılar arasında işlem yapılır.

2 = 11 2 bulunur.

a ve b sıfırdan farklı olmak üzere; ña + ñb ≠ óa+b ña – ñb ≠ óa–b

ÖRNEK 18 + 50 - 8 =

9.2 + 25.2 - 4.2

Kök içleri aynı değil, bu sebeple önce kök içleri eşitlenir, sonra katsayılar arasında işlem yapılır.

= 3 2 + 5 2 - 2 2 = (3 + 5 - 2) .

ÖRNEK 12 + 5 27 - 75

53

2 = 6 2 bulunur.

CÖZÜM ò12 + 5ò27 - ò75 ò4.3 + 5ò9.3 - ó25.3

Kök içleri aynı değil, bu sebeple önce kök içleri eşitenir, sonra katsayılar arasında işlem yapılır.

= 2ñ3 + 5 . 3ñ3 - 5ñ3 = (2 + 15 - 5) . ñ3 = 12ñ3 bulunur.

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

ÖRNEK Verilen sayılar kök içleri aynı olanlar gruplandırılarak yapılır.

8 3 +5 2 -5 3 - 2 (8 3 - 5 3 ) + (5 2 - 2 ) (8 - 5) .

3

+ (5 - 1) .

2 = 3 3 + 4 2 bulunur.

* Katsayısı olmayan sayıların katsayısı 1’dir. * Kök içleri eşitlenmeyen sayılar sonuca aynen yazılır. Bu sayılarda toplama-çıkarma işlemleri yapılamaz.

ÖRNEK 10 3 + 5 3 - 8 3 işleminin sonucunu bulalım.

ÖRNEK 4 50 + 128 - 3 242 işleminin sonucunu bulalım.

CÖZÜM 10 3 + 5 3 - 8 3 = (10 + 5 - 8) .

3 =7 3

CÖZÜM 4 25.2 + 64.2 - 3 121.2 = 4 5 2 .2 +

8 2 .2 - 3 11 2 .2

= 4.5 2 + 8 2 - 3.11 2 = 20 2 + 8 2 - 33 2 = (- 5 2 ) 54

ÖRNEK 2 5 +3 2 +3 5 - 2 işleminin sonucunu bulalım.

CÖZÜM Verilen sayılar kök içleri aynı olanları gruplandırarak yapılır. 2 5 + 3 2 + 3 5 - 2 = (2 5 + 3 5 ) + ( 3 2 - 2 ) = 5 5 + 2 2 bulunur.

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıdaki işlemleri yapalım. a

8 2 - 3 2 - 2 = (8 - 3 - 1) .

2 =4 2

b 10 5 + 8 3 - 4 3 - 7 5 = (10 5 - 7 5 ) + (8 3 - 4 3 ) = (10 - 7) .

5 + (8 - 4) .

3

= 3 5 +4 3 c

2 20 - 5 + 3 45 - 2 80 = 2 4.5 - 5 + 3 9.5 - 2 16.5 = 2 2 2 .5 - 5 + 3 3 2 .5 - 2 4 2 .5 = 2.2. 5 - 5 + 3.3 5 - 2.4 5 = 4 5 - 5 + 9 5 - 8 5 = (4 - 1 + 9 - 8) . 5 = 4 5

ç

4 12 - 27 - 3 75 + 2 48 = 4 4.3 - 9.3 - 3 25.3 + 2. 16.3 = 4 2 2 .3 - 3 2 .3 - 3. 5 2 .3 + 2. 4 2 .3 = 4.2 3 - 3 3 - 3.5 3 + 2.4. 3 = 8 3 - 3 3 - 15 3 + 8 3 = (8 - 3 - 15 + 8) .

3 = (- 2 3 ) 55

d 5 45 - 3 20 - 5 + 80 =

= 5 9.5 - 3 4.5 - 5 + 36.5 = 5 3 2 .5 - 3. 2 2 .5 - 5 + 6 2 .5 = 5.3 5 - 3.2 5 - 5 + 6 5 = 15 5 - 6 5 - 5 + 6 5 = (15 - 6 - 1 + 6) .

2.

x=

3+ 2

y=

3- 2

olduğuna göre x + y ifadesinin değerini bulalım. x x+y=

y

3 + 2 + 3 - 2 = ( 3 + 3) + ( 2 - 2)

= 2 3 + 0 = 2 3 bulunur. 8. Sınıf Matematik

5 = 14 5

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

ONDALIK İFADELERİN KAREKÖKLERİ Karekök içindeki ondalık kesirler rasyonel sayıya çevrilerek karekök alma işlemi uygulanır.

5 25 = 0, 25= = 0= ,5 1, 21 100 10

121 11 = = 11 , 100 10

ÖRNEK 0, 36 + 0, 81 − 1, 69 işleminin sonucunu bulalım.

CÖZÜM 0, 36 + 0, 81 − 1, 69 =

36 81 169 6 9 13 2 + − = + − = = 0, 2 bulunnur. 100 100 100 10 10 10 10

ÖRNEK 0, 25 6, 25 işleminin sonucunu bulalım. + 0,16 0, 64

CÖZÜM 0, 25 6, 25 25 100 625 100 25 625 + = . + . = + 0,16 0, 64 100 16 100 64 16 64 = 56

5 25 10 25 35 + = + = bulunur . 4 8 8 8 8 ( 2)

ÖRNEK

CÖZÜM

16 9 işleminin sonucunu bulalım. + 100 100

16 9 25 5 + = = = 0, 5 bulunur . 100 100 100 10

Karekök içinde toplama ve çıkarma işlemleri varsa önce bu işlemler yapılmalı daha sonra kök dışına çıkabilen sayı varsa çıkarılmalıdır.

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıdaki kareköklü sayıların eşitini yazalım. a ó0,81 =

81 9 = = 0, 9 100 10

b

ó0,36 =

36 6 = = 0, 6 100 10

c ó0,04 =

4 2 = = 0, 2 100 10

ç

ó0,49 =

49 7 = = 0, 7 100 10

d ó1,44 =

144 12 = = 1, 2 100 10

e

ó2,56 =

256 16 = = 1, 6 100 10

9 3 = = 0, 03 10000 100

g

0, 0009 =

f

0, 0016 =

2. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulalım. a ó0,25 + ó0,04 – ó0,09 =

16 4 = = 0, 04 10000 100

0, 49 − 0, 25 0,16 − 0, 09

b

25 4 9 + − 100 100 100

=

5 2 3 + − 10 10 10

49 25 2 7 5 − − 100 = 10 10 = 10 = 100 1 4 3 16 9 − − 100 100 10 10 10

=

4 = 0, 4 10

=

1+

c

9 16

1 9 16 9 + = + 1 16 16 16 (16) 25 5 = = 16 4 =

d

0, 64 + 0, 81 − 0, 0009 =

0,16 . 0, 09 0, 36

ç

=

=

167 = 1, 67 = 100 8. Sınıf Matematik

16 9 12 4 3 . . 100 100 10 10 = 100 = 6 6 36 10 10 100 212 10 1 2

. = = 0, 2 100 6 10 1 10 0, 36 : 0, 81 0, 09 : 1, 44

e

64 81 9 + − 100 100 10000

8 9 3 80 90 3 = + − = + − 10 10 100 100 100 100 (10) (10)

2 10 . =2 10 1

=

36 81 6 10 6 9 : . : 100 100 10 10 = 10 9 = 3 12 3 10 9 144 : . : 100 100 10 10 10 12 6 9 == 3 12

2

4

6 12 8 = . 9 3 3 3

1

57

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

ÇIKMIŞ SORU Aşağıdakilerden hangisi, kenar uzunluğu tam sayı olmayan bir karenin alanını gösterir? A) 16

B) 25

C) 32

D) 49

CÖZÜM 2

A) 16 → 16 = 4 → ò16 = 4 kenar uzunluğu tam sayıdır. 2

B) 25 → 25 = 5 → ò25 = 5 kenar uzunluğu tam sayıdır. C) 32 → 32 bir tam sayının karesi değildir. 2

D) 49 → 49 = 7 → ò49 = 7 kenar uzunluğu tam sayıdır. Cevap : C

ÇIKMIŞ SORU ò75 + ò48 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisi ile çarpılırsa bir tam sayı elde edilir? A) ò10

B) ñ5

C) ñ3

D) ñ2

58

CÖZÜM ò75 + ò48 = ó3.25 + ó3.16 = 5ñ3 + 4ñ3 = 9ñ3 sonucun bir tam sayı olması için köklü

ifadeden kurtulmak gerekir. 9ñ3 . ñ3 = 9 . 3 = 27 bir tam sayıdır. “ñ3” ile çarpılmalıdır. Cevap : C

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

ÇIKMIŞ SORU ó0,25 + ó1,96 işleminin sonucu kaçtır? A) 2,21

B) 1,90

C) 1,45

D) 0,64

CÖZÜM 0, 25 + 1, 96 =

196 5 14 19 25 + = + = = 1, 9 bulunur. 100 100 10 10 10

Cevap : B

ÇIKMIŞ SORU l. ò13 ll. ò1,6 lll.

4 9

lV. ó1,21 Yukarıda verilen sayılardan hangileri rasyonel sayılardır? A) l ve ll

B) ll ve lll

C) ll ve lV

D) lll ve lV

CÖZÜM ò13 → irrasyonel sayıdır. 1, 6 =

59

4 16 = → irrasyonel sayıdır. 10 10

4 2 = → rasyonel sayıdır. 9 3 121 11 1, 21 = = = 11 , → rasyonel sayıdır. 100 10 lll ve lV rasyonel sayılardır. Cevap : D

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

KONU TESTİ - 1 1. Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyoneldir?

4. ò54 sayısı aşağıdaki sayılardan hangisine di-

A) ó121

B) ó164

ğerlerinden daha yakındır?

C) ó196

D) ó225

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

5. l. ó108 = 9ñ2 ll. ò20 = 2ñ5

2. l. –ò36 = –6

lll. ò32 = 4ñ2

ll. ( −5 ) = –5 2

lll. ò49 = 7

lV. ó128 = 2ñ8

lV. ó1000 = 100





Yukarıda verilen eşitliklerden hangileri yan-

Yukarıda verilen ifadelerden kaç tanesi

lıştır?

doğrudur?

A) ll ve lll

B) l ve ll

C) lll ve lV

D) l ve lV

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

6. –ò12 sayısı hangi iki tam sayı arasındadır? 60 3.

225 parça Efe

625 parça Ceren

120 parça Derin

A) –4 ile –3

B) –5 ile –4

C) –3 ile –2

D) –6 ile –5

256 parça Can



Yukarıda dört arkadaş ve bu arkadaşların



yapbozlarının parça sayısı görülmektedir. Bu arkadaşlar yapbozlarını bitirdiklerinde hangisininki kare şeklinde olamaz? A) Efe

B) Ceren

C) Derin

D) Can

7. ò50 + ò32 – ò18

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 12ñ2

B) 9ñ2

C) 7ñ2

D) 6ñ2

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

8. 12. ó675 km uzunluğundaki bir yolda her ñ3 2ñ5 m



km’lik mesafede bir sokak lambası bulunmaktadır. Buna göre, bu yolda kaç tane sokak lambası vardır?



Suat Beyin dikdörtgen şeklinde bir hobi bahçesi vardır.



A) 15

Bu bahçenin kısa kenarı 2ñ5 m ve çevresi

B) 12

C) 9

D) 6

ó720 m olduğuna göre uzun kenarı kaç metredir? A) 8ñ5

B) 6ñ5

C) 4ñ5

D) 2ñ5

13. 0, 09 + 0, 0025

işleminin sonucu kaçtır?

9. ó121 – ò81 + ñ1

A) 0,35

B) 0,08

C) 3,5

D) 0,8

işleminin sonucu kaçtır? A) 21

B) 11

C) 9

D) 3

27 + 48 − 3 12 + 27 + 48

14. 10. 2ò27 – ò75 + 5ò12



işleminin sonucu kaçtır? A) 3ñ3

B) 6ñ3

C) 9ñ3

11. 2ò10 . 3ò15

A) 6ò30

B) ó150

C) 30ñ6

D) 150ñ6

2- C

8. Sınıf Matematik

3- C

4- C

B) 1 2

C) 2 3

D) 4 9

15. 2, 25 + ( 0,16 : 0, 04 )

işleminin sonucu kaçtır?

1- B

işleminin sonucu kaçtır? A) 3

D) 11ñ3

61

5- D



işleminin sonucu kaçtır? A) 6,5

6- A

7- D

8- C

9- D

B) 5,5

C) 4,5

D) 3,5

10- D 11- C 12- A 13- A 14- C 15- D

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

KONU TESTİ - 2 1. ò160 sayısı aşağıdakilerden hangi iki tam

5. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

sayı arasında yer alır?

A) ñ9 rasyonel sayıdır.

A) 14 ile 13

B) 13 ile 12

B) ò13 irrasyonel sayıdır.

C) 12 ile 11

D) 11 ile 10

C) Devirli

ondalık

sayılar

irrasyonel

sayılardır. D) 3,14159265359

.....

sayısı

irrasoyel

sayıdır.

2. ó320 sayısı aşağıdaki sayılardan hangisi ile 6. Aşağıda verilen işlemlerden hangisinin sonu-

çarpılırsa sonuç bir tam sayı olur? A) ò10

3. 62

B) ñ8

C) ñ5

0, 36 − 0, 04 0,18 − 0, 81 − 0, 49 0, 02



B) – 2 C) 1 3 3

A) ñ5 . ó0,05

B) ò40 : ò10

C) ò24 : ñ6

D) ò15 . ñ5

7. Sema 18000 dakika boyunca ders çalışı-

işleminin sonucu kaçtır? A) –1

cu irrasyonel bir sayıdır?

D) ñ2

D) 2

yor. Sema, her derse eşit olarak ó500 dakika süre ayırdığına göre, kaç derse çalışmıştır? A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

8. Aşağıdaki kareköklü sayılardan hagnisi 15’e 4.

daha yakındır?

( 0, 5 )2 + ( −0,1)2 − 0, 01 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,7

B) 0,6

C) 0,3

D) 0,2

A) ó200

B) ó221

C) ó226

D) ó230

8. Sınıf Matematik

1. Ünite

Kareköklü İfadeler

12. añb = ó200 olduğuna göre a + b aşağıdaki-

9.

lerden hangisi olamaz?

2

Alanı = 20 cm



A) 12

A) 2ñ5

B) 4ñ5

C) 8ñ5

D) 16ñ5

13.

D) 52

93 + 93 + 93 + 93 + 93 + 93 33 + 33 işleminin sonucu kaçtır? 4

10. ó108 sayısı için aşağıdakilerden hangisi söy-

3

B) 3

2

C) 3

D) ??

14. l. ò32 + ñ8 = ò72

lenemez?

ll. 6ñ7 – 4ñ5 = 2ñ2

A) 9 ile 10 arasındadır.

lll. ò16 + ñ9 = ò49

B) İrrasyonel sayıdır.

lV. ñ7 + ñ9 = ò16

C) 6ñ3 sayısına eşittir.

V. ñ7 + ñ7 = 2ñ7

D) ñ3 ile çarpıldığında tam sayı olur.



11.



C) 14

2

Şekilde verilen karenin alanı 20 cm dir. Buna göre, bu karenin çevresi kaç cm’dir?

A) 3



B) 13

Yukarıda verilen işlemlerden hangilerinin sonuçları doğrudur? 63

A) ll ve lV

B) l, lll ve V

C) l ve V

D) ll, lll ve lV

15. Kerem’in elinde, her birinin alanı 1 br2 olan

Her birinin çevresi ó160 cm olan iki kare

42 tane karo taş vardır. Kerem, bunlarla

şekildeki gibi bir araya getirilerek bir dik-

oluşturulabilecek en büyük kareyi oluşturu-

dörtgen elde ediliyor. Buna göre oluşan bu dikdörtgenin alanı kaç cm2 olur?

yor ve kalan karolarla da yapılabilecek en

A) 10

1- B 8. Sınıf Matematik

B) 16

2- C

3- A

C) 20

4- C

5- C



D) 40

6- D

7- A

büyük kareyi oluşturuyor. Buna göre geriye kaç tane karo taşı kalır? A) 0

8- C

9- C

B) 2

C) 4

D) 6

10- A 11- C 12- C 13- C 14- B 15- B

1. Ünite

64

8. Sınıf Matematik

2.

ÜNİTE

KO N ULA R * Basit Olayların Olma Olasılığı * Üçgenler

* Dik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı * Dönüşüm Geometrisi

2. Ünite

Basit Olayların Olma Olasılığı

BASİT OLAYLARIN OLMA OLASILIĞI Olasılık kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Örneğin; bir zar atıldığında üst yüzüne hangi sayının geleceği, bir madeni para atıldığında yazı mı yoksa tura mı olacağı, değişik renklerde topların olduğu bir torbadan rastgele alınan bir bilyenin renginin ne olacağı hesaplanırken olasılık kullanılır.

Zarın havaya atılması bir deney’dir. Bir deneyde ortaya çıkabilecek tüm sonuçların kümesine Örnek Uzay denir. Örnek Uzayın her bir alt kümesine Olay denir. Bu durumda bir A olayının olma olasılığı; O(A) =

Olayın Çıktıları Sayısı Örnek Uzayın Eleman Sayısı

şeklindedir.

ÖRNEK Bir zar atıldığında üst yüzüne 2 gelme olasılığını bulalım.

CÖZÜM Bir zar atıldığında {1, 2, 3, 4, 5, 6} gelebilir → 6 tane İstenen olayı sağlayan bir durum vardır, {2} → 1 tane 1 2 gelmesine A olayı dersek, O (A) = ’dır. 6 Burda gelebilecek olan her sayının gelme olasılığı eşittir. Çünkü her sayı için çıktı sayısı eşittir.

66



1 gelme olasılığı =



2 gelme olasılığı =



3 gelme olasılığı =



4 gelme olasılığı =



5 gelme olasılığı =



6 gelme olasılığı =

1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

8. Sınıf Matematik

2. Ünite

Basit Olayların Olma Olasılığı

ÖRNEK

CÖZÜM

İsimleri Arda, Anıl, Zeynep, Tuana ve Aslı olan 5 kişi arasından seçilen rastgele bir kişinin isminin “A” harfi ile başlama olasılığı nedir?

Bu beş kişi arasında rastgele bir seçim yapıldığında Arda’nın, Anıl’ın, Zeynep’in, Tuana’nın ve Aslı’nın gelme olasılıkları eşittir. Seçilen kişinin isminin “A” harfi ile başlama olasılığı ise; ismi “A” harfi ile başlayan 3 kişi olduğun için; O=

Olayın Çıktıları Sayısı

3 = ’tir. Örnek Uzayın Eleman Sayısı 5

PEKİSTİRELİM 1. Bir zar atıldığında üste gelen sayının 4’ten büyük gelme olasılığını bulalım.

Olayın Çıktıları Sayısı : {5, 6} → 2 Örnek Uzay Sayısı : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6

O=

2 1 = ’tür. 6 3

2. Bir zar atıldığında üste gelen sayının 3’ün katı olma olasılığını bulalım.

Olayın Çıktıları Sayısı : {3, 6} → 2 Örnek Uzay Sayısı : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6

O=

2 1 = ’tür. 6 3

3. Bir evcil hayvan dükkanında 3 kedi, 5 tavşan ve 4 köpek yavrusu vardır. Bunlar içinden rastgele seçilen bir hayvanın kedi olma olasılığı nedir?

Olayın Çıktıları Sayısı : Kedi sayısı = 3 Örnek Uzay Sayısı: Toplam hayvan sayısı = 3 + 5 + 4 = 12

O=

3 1 = ’tür. 12 4

4. Bir torbada 5 mavi, 8 kırmızı ve 2 beyaz top vardır. Rastgele seçilen bir topun kırmızı gelme olasılığı kaçtır?

Olayın Çıktıları Sayısı : 8 Örnek Uzay Sayısı: 5 + 8 + 2 = 15

O=

8 bulunur. 15

5. Alfabedeki harfler eş özellikteki kağıtlara yazılıp bir torbaya atılıyor. Rastgele seçilen bir kağıtta sesli harf olma olasılığı nedir?

Olayın Çıktıları Sayısı : 8 Örnek Uzay Sayısı: 29

8. Sınıf Matematik

O=

8 bulunur. 29

67

2. Ünite

Basit Olayların Olma Olasılığı

OLASILIK HESABI GEREKTIRMEYEN SEZGISEL DURUMLAR Örneğin; “MARTI” kelimesinin harfleri eş özellikteki kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Rastgele seçilen bir kart için olası durumları değerlendirelim. → Yukarıda verilen örnek incelendiğinde; torbada her harften bir tane olduğu için her harfin gelme olasılığının eşit olduğu görülüyor. Yani burda her bir çıktı eş olasılıktır. M harfi → 1 tane A harfi → 1 tane R harfi → 1 tane T harfi → 1 tane I harfi → 1 tane Örnek Uzay Sayısı → 5 tane

O(M) = O(A) = O(R) = O(T) = O(I) =

1 olur. 5

Burda her bir harfin seçilmesi olayı eşit olasılıklı olaylardır. Örneğin; bir okuldaki tüm öğretmen ve öğrencilerin isimlerinin yazıldığı bir listeden rastgele bir seçim yapıldığında olası durumları değerlendirelim. → Örneği incelediğimizde bir okulda bulunan öğrenci sayısı öğretmen sayısından daha fazladır. Yani öğrenci gelme olayı çıktı sayısı, öğretmen gelme olayı çıktı sayısından daha fazla olduğu için yapılan seçim sonucunda öğrenci gelme olasılığı daha fazladır, öğretmen gelme olasılığı daha azdır.

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıda verilen durumları inceleyerek uygun eşleştirmeleri yapalım.

68

a Bir torbada 3 beyaz, 3 mavi ve 3 sarı top vardır.

I. Siyah top gelme olasılığı daha fazladır.

b Bir torbada 5 mavi, 4 kırmızı ve 3 sarı top vardır.

II. Kırmızı top gelme olasılığı daha azdır.

c Bir torbada 2 siyah, 3 kırmızı ve 4 sarı top vardır.

III. Herbir renkteki topun gelme olasılığı eşittir.

ç Bir torbada 2 yeşil, 3 siyah ve 2 beyaz top vardır.

IV. Sarı top gelme olasılığı daha fazladır.

d Bir torbada 9 mavi, 8 yeşil ve 3 kırmızı top vardır.

V. Sarı top gelme olasılığı daha azdır.

a) → III

b) → V

c) → IV

ç) → I

d) → II

8. Sınıf Matematik

2. Ünite

Basit Olayların Olma Olasılığı

Olasılık bir olayın olma şansına (olabilirliğine) ilişkin bir ölçümdür. Eşit şansa sahip olan olaylarda her bir çıktı eş olasılıklıdır. Olası durum sayısına n dersek, bu olasılık; 1 olur. n

ÖRNEK

CÖZÜM

32 kişilik bir sınıftaki herbir öğrencinin adı bir listeye yazılıp rastgele bir seçim yapılıyor. Buna göre olası durumları inceleyelim.

ÇIKMIŞ SORU

Olası durum sayısı = n = 32’dir. Her bir öğrencinin gelme olayı eşit şansa sahiptir ve

1 ’dir. 32

CÖZÜM

Bir torbadaki özdeş topların 11’i kırmızı, 8’i beyaz, 9’u mavi ve 12’si siyahtir. En az kaç top çıkarılırsa, torbada kalan topların renklerine göre çekilme olasılıkları eşit olur? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10

Topların renklerine göre çekilme olasılıklarının eşit olması için her renkten eşit sayıda top alması gerekir. Bunun içinde hepsi en az olan renk sayısı kadar yapılır. Kırmızı 11 tane → 3 tane çıkarılmalı Beyaz 8 tane → çıkarılmaz. Mavi 9 tane → 1 tane çıkarılmalı Siyah 12 tane → 4 tane çıkarılmalı Toplamda 3 + 1 + 4 = 8 tane çıkarılmalıdır. Cevap: B

Bir olayın olma olasılığı 0 ile 1 arasında bir sayıdır. 0 ≤ olasılık ≤ 1 İmkânsız olay

Kesin olay

Bir olayın olma olasılığı 0 ise bu olay İmkânsız Olay’dır. Bir olayın olma olasılığı 1 ise olay Kesin Olay’dır. Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1’dir.

Örneğin; 12 kız, 13 erkek öğrenciden oluşan bir sınıfta rastgele seçtiğimiz bir kişinin öğrenci olma olasılığı 1’dir ve bu olay Kesin Olaydır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir kişinin doktor olma olasılığı 0’dır ve bu olay İmkânsız Olaydır.

8. Sınıf Matematik

69

2. Ünite

Basit Olayların Olma Olasılığı

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıda verilen olayları inceleyerek olasılıklarını belirleyelim. a Bir zar atıldığında üst gelen sayının 8’den büyük olması Olasılık =

0 = 0 → İmkânsız olay. 8

b “EZGİ” kelimesindeki harfler eş kağıtlara yazılıp rastgele bir seçim yapıldığında “M” harfinin gelmesi Olasılık = c

0 = 0 → İmkânsız olay. 4

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Yukarıda verilen sayılardan rastgele bir seçim yapıldığında bir rakam gelmesi Olasılık =

10 = 1 → Kesin olay. 10

ç İçinde 8 kırmızı, 5 mavi top olan bir torbadan rastgele bir seçm yapıldığında gelen topun kırmızı veya mavi olması Seçilen toplar ya kırmızıdır ya da mavidir. Yani olasılık =

13 = 1 → Kesin olay. 13

d Bir çiçekçide 20 karanfil, 12 gül ve 15 lale vardır. Bu çiçekçiden rastgele seçilen bir çiçeğin menekşe olması

70

Olasılık =

0 = 0 → İmkânsız olay. 47

2. I. Bir madeni para atıldığında yazı gelmesi

II. 8-A, 8-B ve 8-C sınıflarındaki öğrencilerin katıldığı bir kursta rastgele seçilen birinin 8. sınıf öğrencisi olması



III. Ali, Efe, Cem ve Kadir’in katıldığı bir grupta rastgele seçilen birinin isminin “M” harfi ile başlaması



Yukarıda verilen olayları inceleyerek gerçekleşme olasılıklarına göre sıralayalım.

1 Kesin olay 2



I → olasılık =



II → olasılık = 1 kesin olay III → olasılık = 0 imkânsız olay

Bu durumda verilen olayları olasılıklarına göre sıraladığımızda; III < I < II olur.

8. Sınıf Matematik

2. Ünite

Basit Olayların Olma Olasılığı

KONU TESTİ - 1 1. Satın alınan 12 tane ampulden 3 tanesi bozuktur.

5. 0, 2, 4, 6, 8

Buna göre rastgele seçilen bir ampulün bozuk olma olasılığı nedir? A)

3 12 1 1 B) C) D) 4 3 3 4

Yukarıda verilen rakamlar arasından rastgele bir seçim yapıldığında tek sayı gelme olasılığı için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) Bu olay imkânsız olaydır. B) Olasılık değeri sıfırdır. C) Olasılık değeri bulunamaz. D) Olasılık değeri, olasılığın en küçük değeridir.

2. Bir zar atıldığında üst yüzeye gelen sayının asal sayı olma olasılığı nedir? A) 0

B)

1 2 1 C) D) 3 3 2

6.

3. Emre; içinde şeker ve çikolata olan bir tor-



badan rastgele seçim yaptığında, çikolata gelme olasılığını bulmak istiyor.

Yukarıda verilen çiçek sepetinde 15 kırmızı, 12 beyaz ve 13 pembe gül vardır.



Buna göre aşağıdaki seçimlerden hangisi yapılırsa olasılık daha az olur?



Buna göre, bu olasılık aşağıdakilerden hangisi olamaz? A)

1 2 B) 8 3

C) 1

D)

3 2

71

A) Beyaz gül gelmesi B) Sarı gül gelmesi C) Kırmızı gül gelmesi D) Pembe gül gelmesi

4. Bir torbada 3 kırmızı, 5 siyah ve 2 beyaz top vardır.

Rastgele seçilen bir topun beyaz gelme olasılığı kaçtır? A)

1 2 1 1 B) C) D) 5 5 4 2

8. Sınıf Matematik

7. Cansu, Sevgi, Gamze, Suat, Mine, Selma, Arda ve Sevda isimli öğrencilerin bulunduğu bir grupta, rastgele seçilen birinin isminin “S” harfi ile başlama olasılığı kaçtır? A)

1 3 1 B) C) 4 8 2

D) 1

2. Ünite

Basit Olayların Olma Olasılığı

8. “ANKARA” kelimesinin harfleri eş özellik-

11. Bir torbada 8 mavi, 4 kırmızı, 6 yeşil ve 9

teki kağıtlara yazılıyor.

sarı top vardır.

Rastgele bir seçim yapıldığında seçilen harfin “A” harfi olma olasılığı nedir? A)



1 1 1 2 B) C) D) 4 3 2 3

Buna göre aşağıda verilen seçimlerden hangisinin olasılığı daha fazladır? A) Mavi gelme olasılığı B) Kırmızı gelme olasılığı C) Yeşil gelme olasılığı D) Sarı gelme olasılığı

9. Aşağıda verilen durumlardan hangisinde bütün seçimler eş olasılıklı değildir? A) Bir zar atıldığında üste gelen sayılar.

12. Bir otobüste 10 kadın, 15 erkek ve 5 çocuk

B) Bir sınıf listesinden yapılan rastgele seçimler.



yolcu vardır.

C) “SALI” kelimesinin harflerinin yazıldığı bir torbadan yapılan rastgele seçimler.

Buna göre, bu otobüsten inen ilk kişinin çocuk olma olasılığı nedir? A)

D) “PAZAR” kelimesinin harflerinin yazıldığı bir torbadan yapılan rastgele seçimler.

1 1 5 2 B) C) D) 6 5 6 3

72

13. Çekilişe katılan 10 kişiden 3’ü bir hediye kazanacaktır.

10. 30 kişilik bir sınıfta 18 erkek öğrenci vardır.

Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı nedir? A)

2 3 1 5 B) C) D) 5 5 6 6

1- D

2- D

3- D

4- A

5- C

6- B

7- C

Buna göre, çekilişe katılan Ahmet Bey’in hediye kazanma olasılığı nedir? A) %10

B) %20

C) %30

D) %60

8- C

9- D

10- A 11- D 12- A 13- C 8. Sınıf Matematik

2. Ünite

Basit Olayların Olma Olasılığı

KONU TESTİ - 2 1. Bir zar havaya atıldığında aşağıdakilerden hangisi olası bir durum olamaz? A) 2 gelmesi

4. 5 erkek ve 3 kız öğrenciden oluşan bir arkadaş grubunda rastgele bir seçim yapılıyor.

B) 3’ten büyük gelmesi

A olayı seçilen kişinin kız olması B olayı seçilen kişinin erkek olması

C) Çift sayı gelmesi D) 9’un katı gelmesi



olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Örnek uzayın eleman sayısı 8’dir. B) A olayı için olayın çıktıkları sayısı 3’tür. C) A ve B olayları eş olasılıklı olaylardır.

2. “MATEMATİK” kelimesindeki harfler eş

D) B olayının olma olasılığı

özellikteki kağıtlara yazılarak bir torbaya konuyor.

5 ’dir. 8

Buna göre, aşağıdaki seçimlerden hangisinin gelmesi daha az olasılıklıdır? A) “M” harfinin gelmesi

5. Bir öğretmenler odasında 5 matematik, 3

B) “E” harfinin gelmesi

türkçe, 4 ingilizce ve 3 fen bilgisi öğretmeni bulunmaktadır.

C) “T” harfinin gelmesi D) “A” harfinin gelmesi



Buna göre odadan ilk çıkan öğretmenin matematik öğretmeni olma olasılığı nedir? A)

1 1 3 3 B) C) D) 5 3 5 4

3. Bir torbada 3 sarı, 3 mavi ve 4 kırmızı top vardır.

Buna göre, yapılan seçimlerde aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlış olur?

6.

A) Sarı ve mavi top gelme olayları eş olasılıklı olaylardır.



B) Kırmızı top gelme olasılığı daha fazladır.

Yukarıda verilen sayılar arasından rastgele bir seçim yapılıyor.



Bu seçimde 3’ün katı olma olasılığı kaçtır?

3 C) Sarı top gelme olasılığı ’dur. 10 D) Mavi top gelme olasılığı daha azdır.

8. Sınıf Matematik

1, 3, 5, 7, 9

A)

1 2 3 2 B) C) D) 5 5 5 3

73

2. Ünite

Basit Olayların Olma Olasılığı

7. Bir dosyada 5 pembe ve 8 mavi kağıt vardır.

10. Aşağıda verilen olaylardan hangisinin olası-

Rastgele yapılan seçimde;

lık değeri en küçüktür?



I. Mavi kağıt gelmesi II. Pembe kağıt gelmesi III. Mavi veya pembe kağıt gelmesi IV. Sarı kağıt gelmesi

A) Bir zar atıldığında “1” gelmesi



olasılıkları, değerlerine göre sıralandığında aşağıdakilerden hangisi doğru olur?

D) 0, 2, 4, 6, 8 sayıları arasından seçilen bir sayının çift rakam olması

B) Bir bozuk para atıldığında yazı gelmesi C) Beş kız öğrenciden oluşan bir grupta seçilen öğrencinin erkek olması

A) II < I < III < IV

B) IV < II < I < III

C) II < I < IV < III

D) IV < III < II < I

11. “MARTI” kelimesindeki harfler eş özellikte8. 8 evli çiftin bulunduğu bir grupta rastgele seçilen bir kişinin erkek olma olasılığı kaçtır? A)

1 1 1 B) C) 8 4 2

ki kağıtlara yazılıp rastgele bir seçim yapılıyor.

Buna göre; aşağıdaki olaylardan hangisinin olasılığı daha fazla olur? A) “M” harfinin gelmesi

D) 1

B) “A” harfinin gelmesi C) Sesli harf gelmesi D) Sessiz harf gelmesi

74

9. Bir kalemliğin içinde 5 mavi, 3 kırmızı ve a tane siyah kalem bulunmaktadır.

Rastgele seçilen bir kalemin kırmızı gelme 1 olasılığı olduğuna göre, kaç tane siyah 5 kalem vardır? A) 3

12. Elif, marketten 15’tane yumurta alıyor. Eve geldiğinde 3 tanesinin kırık olduğunu fark ediyor.

B) 5 C) 7 D) 8

Buna göre Elif bu yumurtalarda rastgele birini seçtiğinde seçilen yumurtanın kırık olmama olasılığı nedir? A)

1- D

2- B

3- D

4- C

5- B

6- B

7- B

4 3 1 1 B) C) D) 5 4 5 4

8- C

9- C

10- C 11- D 12- A 8. Sınıf Matematik

2. Ünite

Üçgenler

ÜÇGENLER ÜÇGENIN ELEMANLARI Kenarortay A c

E b

F

B

Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir. lADl → a kenarına ait kenarortay lBEl → b kenarına ait kenarortay lFCl → c kenarına ait kenarortay Üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir. C

D a

ÖRNEK

CÖZÜM A

A c

B

C

Yukarıda verilen ABC üçgeninin kenarortaylarını çizelim.

F

E b

lADl → a kenarına ait kenarortay lFCl → c kenarına ait kenarortay lBEl → b kenarına ait kenarortay

B

C D a Burda kenarortaylar, kareleri sayarak, kağıdı katlayarak bulunabilir. 75

Açıortay A

M

B

8. Sınıf Matematik

Üçgenin bir açısını ortalayan doğru parçasına açıortay denir. lAKl → A açısının açıortayı lBLl → B açısının açıortayı lCMl → C açısının açıortayı Üçgenin iç açıortayları iç bölgede bir noktada kesişir.

L

K

C

2. Ünite

Üçgenler

ÖRNEK A Yanda verilen ABC üçgeninde A açısının açıortayını çizelim.

C

B

CÖZÜM A Pergelin sivri ucu A köşesine konularak AB ve BC kenarını kesen geniş bir ED yayı çizilir.

E

B

C

D A

Pergelin iki ucu arasındaki uzaklığı D ve E noktaları arasındaki uzaklığın yarısından fazla açarak D ve E merkezli çember yayları çizilir.

E

76

B

C

D A E

B

B köşesi yayların kesişim noktası ile birleştirilerek AC kenarına kadar uzatılır. lBFl, B açısının açıortayıdır.

F

D

C

8. Sınıf Matematik

2. Ünite

Üçgenler

Yükseklik A c

E

F

B

b

C

D a

A

H

c

B

a

Üçgenin bir köşesinden karşısındaki kenara (veya uzantısına) çizilen dik doğru parçasına o kenara ait yükseklik denir. lADl → a kenarına ait yükseklik lBEl → b kenarına ait yükseklik lFCl → c kenarına ait yükseklik Yükseklikler dar açılı üçgenlerde üçgenin içinde bir noktada kesişir.

Bir dik üçgende dik kenarlar, aynı zamanda yüksekliktir. lABl → a kenarına ait yükseklik lBCl → c kenarına ait yükseklik lBHl → b kenarına ait yükseklik Dik üçgende yükseklikler dik olan köşede kesişirler.

b

C

CÖZÜM

ÖRNEK A

A

D

d 77

B

C

Yukarıda ABC üçgeninde lBCl kenarına ait yüksekliğini çizelim.

8. Sınıf Matematik

B

H

C

E

f

d // f’dir. d ile f arasında çizilen lAHl’a paralel her doğru parçası lBCl kenarına ait yüksekliğin uzunluğuna eşittir. lAHl = lDEl’dir.

2. Ünite

Üçgenler

Özel Durumlar A

A

B

B

C

H

İkizkenar üçgenlerde tepe noktasından tabana çizilen yükseklik, kenarortay ve açıortay aynı doğru parçalarıdır.

C

H

Eşkenar üçgenlerde tüm yükseklikler, kenarortaylar ve açıortaylar birbirine eşittir. Örneğin; lAHl, A açısının açıortayı, lBCl kenarına ait yükseklik ve kenarortaydır.

ÖRNEK A

C

B

78

1

2

3

4

Yukarıda verilen ABC üçgeni içinde çizilen doğru parçalarından hangisi hem kenarortay, hem açıortay, hem de yükseklik olur?

CÖZÜM A

B

H

ABC üçgeninde çizilen alt doğrusu hem yükseklik, hem açıortay hem de kenarortay olur. Yani 4 numaralı doğru doğru cevaptır.

C

8. Sınıf Matematik

2. Ünite

Üçgenler

ÇIKMIŞ SORU A

A

D

B

C

B

A

D C

C

B

Çeşitkenar üçgensel bölge şeklindeki bir kağıdın AB kenarı BC kenarı ile çakışacak şekilde katlanıyor. Kağıt tekrar açıldığında elde edilen BD katlama çizgisi, ABC üçgeninin hangi yardımcı elemanı olur?

A) Kenarortay C) Açıortay

B) Kenar orta dikme D) Yükseklik

CÖZÜM Bu şekilde katlandığında elde edilen BD katlama çizgisi, B açısını iki eşit parçaya ayırdığı için BD açıortayıdır. Cevap: C

CÖZÜM

ÇIKMIŞ SORU II I

III

II I

IV

79

D

D A

III C IV

B

A

B

Verilen şekle göre, hangi nokta C köşesi olarak se-

D noktasından geçen AB kenarına ait kenaror-

çilirse ABC üçgeninin AB kenarına ait kenaror-

tay çizildiğinde, C noktasının IV numaralı nokta

tayı D noktasından geçer?

olması gerekir.

A) I

B) II

8. Sınıf Matematik

C) III

D) IV

Cevap: D

2. Ünite

Üçgenler

PEKİSTİRELİM A

1.

B

A

D E F G C

B

Yukarıda verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına ait kenarortayı çizmek için A noktası ile hangi nokta birleştirilmelidir? 2.

D E F G C

A ile E noktası birleştirildiğinde AE doğru parçası BC kenarına ait kenarortay olur.

A [AB] kenarına ait yükseklik; [AC] [BC] kenarına ait yükseklik; [AH] [AC] kenarına ait yükseklik; [AB] olur. B

C

H

Şekildeki ABC üçgeninde [AB], [BC] ve [AC] kenarlarına ait yüksekliği bulalım. A

3.

D a) [BC] kenarına ait yükseklik [AK]’dir. ........

80

D b) ABC üçgeni ikizkenar üçgendir. ........ D c) s (W V) ’dir. ........ B) = s (C B

C

K 9

Yukarıda verilen ABC ’de lBKl = lKCl ve % ) = s (CAK % ) olduğuna göre, yanda s (BAK verilen ifadelerden doğru veya yanlış olanları belirleyelim.

D ç) [AK], A açısının açıortayıdır. ........ D d) [AK], [BC] kenarına ait kenarortaydır. ........ Y e) ABC üçgeni kesinlikle eşkenar üçgendir. ........ D f) [AB] = [AC]’dir. ........ D g) [AK] ⊥ [BC] ........ Y h) [BC] kenarına ait yükseklik lAKl’den uzundur. ........ Y ı) ABC üçgeni kesinlikle dik üçgendir. ........ D i) [AK] hem açıortay hem kenarortaydır. ........ D j) [AK] hem yükseklik hem kenar ortaydır. ........

8. Sınıf Matematik

2. Ünite

Üçgenler

4.

A H

B

A H

C

D E F

B

G

G

Kareli zemin üzerinde çizilen ABC üçgeninde hangi iki nokta birleştirilirse [BC] kenarına ait kenarortay doğru parçası çizilmiş olur?

5.

C

D E F

A ile F noktaları birleştirildiğinde elde edilen [AF], [BC] kenarına ait kenarortay olur.

A

A

50o D

D 40o B

C 9

Şekildeki ABC ’de lABl = lBCl, lADl = lDCl ve % = 40 o dir. s (ABD) % ) kaç derecedir? Buna göre s (ACB

B

40o 40o

50o

C

9

lABl = lBCl olduğun için ABC ikizkenar üçgendir. lADl = lDCl olduğu için [BD] kenarortaydır. İkizkenar üçgende kenarortay aynı zamanda açıortay olduğu için; % ) = s (DBC % ) = 40 o olur. s (ABD 180 – (40 + 40) = 180 – 80 = 100 % = 50 o bulunur. 100 ÷ 2 = 50 → s (ACB)

8. Sınıf Matematik

81

2. Ünite

Üçgenler

ÜÇGEN EŞİTSİZLİĞİ A c

Bir üçgenin kenarlarından birinin uzunluğu; diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, uzunlukları farkının mutlak değerinden büyüktür.

b

la - bl < c < a + b B

la - cl < b < a + c

C

a

lb - cl < a < b + c

ÖRNEK A 3 cm

Şekildeki ABC üçgeninde lABl = 3 cm, lACl = 7 cm olduğuna göre, [BC] kenarının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini bulalım.

7 cm

C

B

CÖZÜM A

82 3 cm

B

lBCl = a cm olsun; 7-3 2

C) x < –2

D) x > –2

1- C 2- D 3- B 4- D 5- D 6- B 7- A 8- D 9- A 10- B 11- A 12- B 13- B 14- D 15- A 16- D 17- A 18- C 19- C 20- D 8. Sınıf Matematik

4. Ünite

239

8. Sınıf Matematik

4. Ünite

240

8. Sınıf Matematik

5. KO N ULA R * Geometrik Cisimler * Veri Analizi

ÜNİTE

5. Ünite

Geometrik Cisimler

GEOMETRİK CİSİMLER DİK PRİZMALAR VE TEMEL ELEMANLARI Dik Prizma: Tabanları herhangi bir çokgensel bölge, yan yüzleri dikdörtgensel bölge olan cisimlere Dik Prizma denir. Dik prizmalarda yanal ayrıtlar tabanlara diktir. Prizmalar tabanlarına göre isimlendirilir. Örneğin; üçgen prizma, kare prizma gibi.

Dik Prizmaların Özellikleri Alt ve üst tabanları eş ve paraleldir. Yan yüzeyleri dikdörtgendir. Yan ayrıtları aynı zamanda dik prizmaların yüksekliğidir. Prizmaların elemanları; tabanlar, yan yüzler, ayrıtlar, köşeler ve yüksekliktir.

Üçgen Prizma D c 242

E Yan yüz

a c

B

b

A a

b

Üst taban c

F Yükseklik (h) C

Alt taban

c

b a

b

h

h c

a c

b b

Üçgen prizmaların; 6 köşesi, 9 ayrıtı ve 5 yüzeyi vardır. Üçgen prizmaların tabanları üçgensel bölgedir.

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

Dikdörtgenler Prizması Üst taban F

E D Yan yüz

b

a c

Alt taban

B

b

c

G

A

b

Yükseklik (h)

C

H

a

b

b

a

c a

b

c

b

c a

b

a Dikdörtgenler prizmasının; 8 köşesi, 12 ayrıtı ve 6 yüzeyi vardır. Dikdörtgenler prizmasının tabanları, dikdörtgensel bölgedir. Kare Prizma

a Üst taban

H

G

E Yan yüz

F D

A

a a

Yükseklik (h)

a

h

a

h a

C

a

h a

Alt taban

a h

a

a

a

B

h

a a

Kare prizmaların; 8 köşesi, 12 ayrıtı ve 6 yüzeyi vardır. Kare prizmaların tabanları karedir. a

Küpün Alanı Üst taban E

F H

G Yan yüz

C A

243

Yükseklik (h) D

B

Alt taban

a a

a

a a

a a

a a

a

a a a

a a

a a

Küpün; 8 köşesi, 12 ayrıtı ve 6 yüzeyi vardır. Küpün tabanları karedir ve küp 6 eş kareden oluşur.

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

Altıgen Prizma Üst taban a

a

a a

a

a aa

a

a

a

a

Yükseklik (h)

Yan yüz

h Alt taban

h a

h a a

h a

a

h a a

h a

h a

a

a

Altıgen prizmaların; 12 köşesi, 18 ayrıtı ve 8 yüzeyi vardır. Altıgen prizmaların tabanları altıgensel bölgedir. Yan yüzeyleri ise dikdörtgensel bölgedir. Cisim Köşegeni C

D e

A H f

E

244

B G

Prizmada karşılıklı alt köşeyi üst köşeye birleştiren uzunluğa cisim köşegeni denir. Bir prizmada bir yüzeydeki komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına da yüzey köşegeni denir. Yandaki prizmada “e” cisim köşegeni, “f” ise yüzey köşegenidir.

F

CÖZÜM

ÖRNEK A 5 cm 8 cm C

B D E

10 cm F

Yanda verilen ikizkenar üçgen dik prizmanın açınımını çizelim.

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

8 cm 10 cm

10 cm 5 cm

10 cm

8 cm 5 cm

5 cm

10 cm

5 cm

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

ÖRNEK

CÖZÜM 2 cm

5 cm 2 cm 5 cm

2 cm 3 cm

3 cm 5 cm

3 cm 2 cm

5 cm Yukarıda açınımı verilmiş olan dikdörtgenler prizmasının kapalı halini çizelim.

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıda verilen prizmalar için boşlukları uygun şekilde dolduralım. a

6 köşesi vardır. ...........

c

b

9 ayrıtı vardır. ...........

12 ayrıtı vardır. ...........

5 yüzü vardır. ...........

6 yüzü vardır. ...........

8 köşesi vardır. ...........

ç

10 köşesi vardır. ...........

12 ayrıtı vardır. ...........

15 ayrıtı vardır. ...........

6 yüzü vardır. ...........

7 yüzü vardır. ...........

2. Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde dolduralım. a

6 Bir küpte ............... karesel bölge vardır.

b

dikdörtgensel Üçgen dik prizmanın yan yüzleri ................................................ bölgedir.

c

tabanlarına göre adlandırılır. Prizmalar ....................................

ç

eş ve ........................ paralel dir. Prizmaların tabanları ...............

d

üç boyutlu şekillerdir. Prizmalar ...............

8. Sınıf Matematik

8 köşesi vardır. ...........

245

5. Ünite

Geometrik Cisimler

DİK DAİRESEL SİLİNDİR Silindir: Tabanları birbirine eş ve paralel iki daireden oluşan ve yan yüzü dikdörtgensel bölge olan üç boyutlu kapalı geometrik şekle denir. Silindirin temel elemanları; tabanları, yanal yüz, eksen, ana doğrular ve yüksekliktir. Silindirde tabanların merkezini birleştiren doğruya eksen denir. Tabanların karşılıklı iki noktasını birleştiren ve eksene paralel olan doğrular ise silindirin ana doğrularıdır. Silindirin üst tabanının bir noktasından, alt tabanına indirilen dikmeye silindirin yüksekliği denir ve “h” ile gösterilir.

Ana doğru

r

r

Üst taban

Tabanın çevresi = 2πr

Yan yüz

Yükseklik (h)

Eksen

r

h

Alt taban r

CÖZÜM

ÖRNEK r 246

2 cm

12 cm 8 cm Yukarıda verilen silindirin taban yarıçapı 2 cm yüksekliği 8 cm’dir. Buna göre açınımını çizelim. (p = 3)

2 cm

Tabanın çevresi = 2pr = 2 . 3. 2 = 12 cm

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

ÖRNEK

Yanda açınımı verilen silindirin kapalı hâlini çizelim. (p = 3)

18 cm

4 cm

CÖZÜM

r = 3 cm

r

2pr = 18 ise;

Tabanın çevresi = 18 cm

2.3.r = 18 4 cm

h = 4 cm

r = 3 cm olur.

r

ÖRNEK r

24 cm

Yanda açınımı verilen silindirin yanal yüzü bir karedir. Bu silindirin yüksekliği 24 cm olduğuna göre kapalı halini çizelim. (p = 3) 247

r

CÖZÜM r 24 cm r

24

Yanal yüzü kare olduğu için tabanın çevresi de 24 cm olur. 2pr = 24 cm ise, 2 . 3 . r = 24 r = 4 cm olur.

r = 4 cm

h = 24 cm

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıda verilen silindirlerin açınımını çizelim. (p = 3 alınız.) r = 2 cm a

r = 2 cm h = 5 cm

r = 2 cm 12 cm

h = 5 cm

h = 5 cm

r = 2 cm

b

r = 1 cm h = 3 cm

r = 1 cm

1 cm

3 cm

6 cm

3 cm 1 cm

248

c

r = 4 cm h = 2 cm

4 cm 4 cm 2 cm

24 cm

2 cm 4 cm

ç

r = 3 cm h = 1 cm

3 cm 1 cm

3 cm 18 cm

1 cm 3 cm

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

2. Aşağıda açınımı verilen silindirleri çizelim (p = 3 alınız.) a 12 cm

Ç = 2pr = 12 2 . 3 . r = 12 r = 2 cm

2 cm

b 6 cm

Ç = 2pr = 6 2 . 3 . r = 6 r = 1 cm

3 cm

2 cm 2 cm

1 cm 3 cm

c 249

3 cm 18 cm 10 cm

8. Sınıf Matematik

Ç = 2pr = 18 2 . 3 . r = 18 r = 3 cm

10 cm

5. Ünite

Geometrik Cisimler

DİK DAİRESEL SİLİNDİRİN YÜZEY ALANI r

2

A = πr

r

Tabanın çevresi = 2πr h

h

A = 2πrh

r

2

A = πr Silindirin yüzey alanı, yanal alanı ile taban alanlarının toplamına eşittir.

Yanal alan; Silindirin yan yüzü açılımda bir dikdörtgen olduğu için dikdörtgenin alanına eşittir. Bu dikdörtgenin kenarlarından biri silindirin yüksekliği diğer kenarı ise tabanın çevresi kadardır. Taban alan; Silindirin tabanı daire olduğu için dairenin alanıdır. Silindirde karşılıklı iki tane eş taban bulunduğu için bulunan dairenin alanı iki ile çarpılır. Silindirin Tüm Yüzey Alanı = 2 Taban Alanı + Yanal Alan 2

Silindirin Tüm Yüzey Alanı = 2 . pr + 2prh

ÖRNEK r 250

Yandaki silindirin yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 5 cm’dir. Buna göre silindirin yüzey alanını bulalım. (p = 3 alınız)

5 cm

CÖZÜM Tüm yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan 2

Tüm yüzey alanı = 2pr + 2prh 2

2

Tüm yüzey alanı = 2 . 3 . 4 + 2 . 3. 4. 5 = 96 + 120 = 216 cm bulunur.

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

ÖRNEK Bir silindirin yarıçapı yüksekliğinin 2 katıdır. Bu silindirin yarıçapı 2 cm olduğuna göre tüm yüzey alanını bulalım. (p = 3 alınız)

CÖZÜM r = 2 cm

Tüm yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan

r = 2h olduğu için

Tüm yüzey alanı = 2 pr + 2prh

h = 1 cm’dir.

Tüm yüzey alanı = 2 . 3 . 2 + 2 . 3 . 2 . 1

2

2

2

Tüm yüzey alanı = 24 + 12 = 36 cm bulunur

ÖRNEK r

2

Yanda verilen silindirin taban alanı 75 cm ve yüksekliği 8 cm’dir. Buna göre silindirin tüm yüzey alanını bulalım. (p = 3 alınız) 8 cm

CÖZÜM 2

Taban Alanı = 75 cm 2



pr = 75



3 . r = 75

2

2

r = 25 → r = 5 cm

Tüm yüzey alanı = 2 Taban Alanı + Yanal Alan 2

Tüm yüzey alanı = 2pr + 2prh Tüm yüzey alanı = 2 . 75 + 2 . 3 . 5 . 8 Tüm yüzey alanı = 150 + 240 2

Tüm yüzey alanı = 390 cm bulunur.

8. Sınıf Matematik

251

5. Ünite

Geometrik Cisimler

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıda verilen bilgilere göre silindirlerin yüzey alanlarını bulalım. (p = 3 alınız.) a

b

r = 2 cm h = 7 cm Tüm yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan

Tüm yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan

2

2

Tüm yüzey alanı = 2 pr + 2prh

Tüm yüzey alanı = 2 pr + 2prh

2

2

Tüm yüzey alanı = 2 . 3 . 2 + 2 . 3 . 2 . 7

Tüm yüzey alanı = 2 . 3 . 5 + 2 . 3 . 5 . 2

2

2

Tüm yüzey alanı = 24 + 84 = 108 cm c

Tüm yüzey alanı = 150 + 60 = 210 cm ç

r = 1 cm h = 8 cm Tüm yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan

2

Tüm yüzey alanı = 2 pr + 2prh

Tüm yüzey alanı = 2 pr + 2prh

2

2

Tüm yüzey alanı = 2 . 3 . 1 + 2 . 3 . 1 . 8

Tüm yüzey alanı = 2 . 3 . 10 + 2 . 3 . 10 . 2

2

2

Tüm yüzey alanı = 6 + 48 = 54 cm

Tüm yüzey alanı = 600 + 120 = 720 cm e

r = 3 cm h = 5 cm Tüm yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan

r = 4 cm h = 1 cm Tüm yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan

2

2

Tüm yüzey alanı = 2 pr + 2prh

Tüm yüzey alanı = 2 pr + 2prh

2

2

Tüm yüzey alanı = 2 . 3 . 3 + 2 . 3 . 3 . 5

252

r = 10 cm h = 2 cm Tüm yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan

2

d

r = 5 cm h = 2 cm

Tüm yüzey alanı = 2 . 3 . 4 + 2 . 3 . 4 . 1

2

2

Tüm yüzey alanı = 54 + 90 = 144 cm

Tüm yüzey alanı = 96 + 24 = 120 cm

2. Aşağıda bir silindire ait bazı bilgiler verilmiştir. Bu verilen bilgilere göre, istenilenleri bulalım. (p = 3 alınız.) 2

a

Tüm yüzey alanı = 108 cm r = 2 cm ise h = ?

Tüm yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan 2

Tüm yüzey alanı = 2 pr + 2prh 2

2

b

Tüm yüzey alanı = 330 cm h = 6 cm ise r = ?

Tüm yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan 2

Tüm yüzey alanı = 2 pr + 2prh 2





108 = 2 . 3 . 2 + 2 . 3 . 2 . h





330 = 2 . 3 . r + 2 . 3 . r . 6





108 = 24 + 12 h





330 = 6r + 36r





12h = 84 → h = 7 cm





r = 5 cm

2

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler 2

c

Yanal alanı = 36 cm r = 2 cm ise h = ?

2

Yanal alan = 2 prh = 36

2



Taban alanı = pr = 108

2

ç

Taban alanı = 108 cm h = 4 cm Yüzey alanı = ?

3 . r = 108 2

r = 36 → r = 6



2 . 3 . 2 . h = 36 36 h= 12 h=3

Yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan 2

Yüzey alanı = 2 pr + 2prh Yüzey alanı = 2 . 108 + 2 . 3 . 6 . 4 2

Yüzey alanı = 216 + 144 = 360 cm

3. Aşağıdaki şekillerde verilenlere göre silindirin yüzey alanını bulalım. (p = 3 alınız.) a

Taban çevresi = 2pr = 24

r

24 cm

h = 2 cm

2 . 3 . r = 24 → r = 4 cm

Yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan 2

Yüzey alanı = 2 pr + 2prh 2

Yüzey alanı = 2 . 3 . 4 + 2 . 3 . 4 . 2

r

b

2

Yüzey alanı = 96 + 48 = 144 cm

Taban çevresi = 2pr = 18

r



2 . 3 . r = 18 → r = 3 cm

Yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan

18 cm

2

7 cm

Yüzey alanı = 2 pr + 2prh 2

Yüzey alanı = 2 . 3 . 3 + 2 . 3 . 3 . 7 2

r

Yüzey alanı = 54 + 126 = 180 cm

r

Taban çevresi = 2pr = 30

c



30 cm 9 cm

2 . 3 . r = 30 → r = 5 cm

Yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan 2

Yüzey alanı = 2 pr + 2prh 2

Yüzey alanı = 2 . 3 . 5 + 2 . 3 . 5 . 9 r 8. Sınıf Matematik

2

Yüzey alanı = 150 + 270 = 420 cm

253

5. Ünite

Geometrik Cisimler

DİK DAİRESEL SİLİNDİRİN HACMİ r

Dik dairesel silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

h

Silindirin Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik 2

Silindirin Hacmi = pr . h

Dik silindir, dik prizmalarla aynı özellikleri taşıdığından, dik silindirin hacmi de prizmalardaki gibi taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

CÖZÜM

ÖRNEK r = 2 cm

2

Silindirin Hacmi = pr h 2

5 cm

3

Silindirin Hacmi = 3 . 2 . 5 = 60 cm bulunur.

Yukarıda verilen silindirin hacmini bulalım. (p = 3 alınız) 254

ÖRNEK Yarıçapı 5 cm yüksekliği 8 cm olan silindirin hacmini bulalım. (p = 3 alınız)

CÖZÜM 2

Silindirin Hacmi = pr h 2

3

Silindirin Hacmi = 3 . 5 . 8 = 600 cm bulunur.

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıda verilen silindirlerin hacmini bulalım. (p = 3 alınız.) a r = 3 cm h = 6 cm

b

r = 5 cm h = 4 cm

2

2

Hacim = pr h

Hacim = pr h

2

3

2

Hacim = 3 . 3 . 6 = 162 cm c r = 2 cm h = 2 cm

3

Hacim = 3 . 5 . 4 = 300 cm ç

r = 3 cm h = 11 cm

2

2

Hacim = pr h

Hacim = pr h

2

3

2

Hacim = 3 . 2 . 2 = 24 cm d r = 1 cm h = 8 cm

3

Hacim = 3 . 3 . 11 = 297 cm

e

r = 10 cm h = 5 cm

2

2

Hacim = pr h 2

Hacim = pr h

3

2

Hacim = 3 . 1 . 8 = 24 cm

3

Hacim = 3 . 10 . 5 = 1500 cm

2. Aşağıda bir silindire ait bazı bilgiler verilmiştir. Bu verilen bilgilere göre, istenilenleri bulalım. (p = 3 alınız.)



2

a

2

b Yüzey alanı = 108 cm r = 2 cm Hacim = ?

Yüzey alanı = 330 cm r = 5 cm Hacim = ?

Yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan 2

Yüzey alanı = 2 Taban alanı + Yanal alan 2

Yüzey alanı = 2 pr + 2prh

Yüzey alanı = 2 pr + 2prh





330 = 2 . 3 . 25 + 2 . 3 . 5 . h





108 = 2 . 3 . 2 + 2 . 3 . 2 . h





330 = 150 + 30 h





108 = 24 + 12 h





180 = 30h → h = 6 cm





84 = 12h → h = 7 cm

2

2

Hacim = pr h 2

Hacim = pr h 3

Hacim = 3 . 5 . 6 = 450 cm

8. Sınıf Matematik

2

2

3

Hacim = 3 . 2 . 7 = 84 cm

255

5. Ünite

Geometrik Cisimler 2

c

2

ç

Taban alanı = 48 cm h = 5 cm Hacim = ?

Hacim = Taban alanı x Yükseklik 3

Hacim = 48 . 5 = 240 cm

Yanal alanı = 108 cm r = 3 cm Hacim = ? Yanal alanı = 2prh



108 = 2 . 3 . 3 . h } 18h = 108





h = 6 cm 2

Hacim = pr h 2

3

Hacim = 3 . 3 . 6 = 162 cm

2

2

d Hacim = 36 cm r = 1 cm h = ?

e Hacim = 480 cm h = 10 cm r = ?

2

2

Hacim = pr h = 36

Hacim = pr h = 480

2

2



3. 1 . h = 36









h = 12 cm

3

f

2

r = 16 → r = 4 cm

3

g Hacim = 768 cm h = 4 cm Taban alanı = ?

Hacim = 135 cm 2 Taban alanı = 27 cm h=?

256

3 . r . 10 = 480

Hacim = Taban alanı x Yükseklik

Hacim = Taban alanı x Yükseklik

135 = 27 . h

768 = Taban alanı x 4

h = 5 cm

Taban alanı = 192 cm

2

2

2

ğ Yanal Alan = 288 cm h = 12 cm Hacim = ?

h Yanal Alan = 90 cm h = 3 cm Hacim = ?

Yanal alan = 2 prh

Yanal alan = 2 prh

288 = 2 . 3 . r. 12

90 = 2 . 3 . 3 . h



r = 4 cm



r = 5 cm



Hacim = pr h



Hacim = pr h



Hacim = 3 . 4 . 12 = 576 cm



Hacim = 3 . 3 . 12



Hacim = 135 cm

2

2

3

2

2

3 8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

DİK PİRAMİTLER VE TEMEL ELEMANLARI Piramit: Bir çokgensel bölgeyi oluşturan bütün noktaların, bu noktaların bulunduğu düzlemin dışındaki bir nokta ile birleşmesinden oluşan cisimlere paramit denir.. Piramitler tabanlarına göre isimlendirilir. Örneğin; üçgen piramit, kare piramit gibi.

Piramitlerin Özellikleri Piramidin temel elemanları, tepe noktası, tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir. Piramidin yüksekliği; tepe noktası ile tabanı arasındaki dik uzaklıktır. Tepe noktasından tabana indirilen dikmedir. Piramidin tabanı çokgensel bölge, yan yüzleri üçgensel bölgedir. Piramidin tepe noktasını tabanın merkezine birleştiren doğru parçası tabana dik ise bu piramide dik piramit, dik değilse eğik piramit adı verilir.

ÜÇGEN PİRAMİT Tepe noktası A

A D

Yükseklik (h)

Yan yüz

C

B Taban A Üçgen piramitlerin; 4 köşesi, 6 ayrıtı ve 4 yüzeyi vardır. Tabanı ve yan yüzleri eşkenar üçgen olan piramide “Düzgün Dört Yüzlü” denir.

8. Sınıf Matematik

257

5. Ünite

Geometrik Cisimler

Kare Dik Piramit

P

Tepe noktası P

C

D Yan yüz

D

Yükseklik (h)

C

P

P

Taban A

B

A

B P

Kare dik piramidin; 5 köşesi, 8 ayrıtı ve 5 yüzeyi vardır. Dikdörtgen Dik Piramit

P

Tepe noktası

P

C

D Yan yüz

D

Yükseklik (h)

C

P A

Taban A

B

B

Dikdörtgen dik piramidin; 5 köşesi, 8 ayrıtı ve 5 yüzeyi vardır.

P

ÖRNEK Tabanının bir kenar uzunluğu 5 cm ve yan yüz ayrıtı 6 cm olan bir düzgün beşgen piramidin açınımını çizelim.

CÖZÜM 6 cm

6 cm

6 cm

m 5 cm

5c

5 cm

6 cm

6 cm

5 cm

258

P

6 cm

5 cm

6 cm

6 cm 6 cm

6 cm

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıda verilen piramitler için boşlukları uygun şekilde dolduralım. a Üçgen piramit;

4 köşesi vardır. ............... 6 ayrıtı vardır. ...............

5 köşesi vardır. b Dikdörtgen piramit; ............... 8 ayrıtı vardır. ...............

4 yüzü vardır. ............... 7 köşesi vardır. c Altıgen piramit; ............... 12 ayrıtı vardır. ...............

5 yüzü vardır. ............... 5 köşesi vardır. ............... 8 ayrıtı vardır. ...............

ç Kare piramit;

7 yüzü vardır. ...............

5 yüzü vardır. ...............

2. Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde dolduralım. üçgen a Kare piramidin yan yüzleri; ........................................... dir. üçgen b Üçgen piramidin tabanı; ........................................... dir. tabanlarına c Piramitler; ........................................... göre adlandırılır. Düzgün Dört Yüzlü ç .................................................... 4 tane eş eşkenar üçgenden oluşur. eş ikizkenar d Tabanı düzgün çokgen piramitlerin yan yüzleri; ........................................... üçgenlerdir.

3.

10 cm

10 cm 12 cm

12 cm 12 cm

Yukarıda açınımı verilen kare piramidi çizelim.

8. Sınıf Matematik

259

5. Ünite

Geometrik Cisimler

DİK KONİ VE TEMEL ELEMANLARI Koni:

Bir dairenin bütün noktalarının, dışındaki bir nokta ile birleşmesinden oluşan cisme denir.

Tepe noktası Ana doğru a

Yan yüz O

r

a

Yükseklik (h) Taban

O r

Koninin Özellikleri Koninin temel elemanları; dairesel bölge olan taban, tepe noktası, yükseklik, ana doğru ve yan yüzüdür. Ekseni tabana dik olan konilere dik konu, dik olmayan konilere ise eğik koni adı verilir. Dik koninin yan yüzü; bir daire dilimidir. Bu daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusuna eşittir.

260 a a

O

r

AB yayının uzunluğu koninin tabanının çevresine eşittir. Burdan;

a A

B O

r

Tabanın çevresi = Daire diliminin çevresi 2pr = 2pa . a 360 r = a . a elde edilir. 360

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

CÖZÜM

ÖRNEK

3 cm A

10p O

3 cm

B

O

5 cm

AB yayının uzunluğu koninin tabanının çevresine eşittir. 2pr = 10p r = 5 cm bulunur.

r

Yukarıda bir koninin açınımı verilmiştir. Verilenlere göre bu koniyi çizelim.

CÖZÜM

ÖRNEK

r=a. a 360 10 cm

O

10 cm

a

r

O

r

r = 10 . 72 360 r = 2 cm bulunur.

o

a = 72 olan;

o

72

Yukarıda verilen koninin açınımını çizelim.

10 cm

10 cm 261 2 cm O

CÖZÜM

ÖRNEK o

60

o

60

a

r=a. a 360 3 = a . 60 360

O

3 cm

Şekildeki dik koninin yarıçapı 3 cm olduğuna göre, ana doğrusunun uzunluğunu bulalım. 8. Sınıf Matematik

O

3 cm

a = 18 cm bulunur.

5. Ünite

Geometrik Cisimler

PEKİSTİRELİM 1. Aşağıda açınımı verilen konileri çizelim. (p = 3 alınız.) a

a 5 cm

a = 5 cm r = 1 cm r=a. a 360

o

72

10 cm

1=5. a 360 1 cm O

b

o

a = 72 dir.

b

o

120

6 cm

a = 6 cm o a = 120 cm r=a. a 360

1 cm O

o

120

6 cm

r=6. a 360 r

c

r = 2 cm

c

o

120

262

r = 3 cm o a = 120 cm r=a. a 360

2 cm O o

120

9 cm

3 = a . 120 360 3 cm

a = 9 cm 3 cm O

ç

ç 12 30 cm

a = 12 cm Tabanın çevresi = 30 cm 2pr = 30 cm r = 5 cm r=a. a 360 5 = 12 . 120 360 o

a = 150

o

150

12 cm

5 cm O 8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

2. Aşağıda verilen konilerin açınımlarını bulalım. (p = 3 alınız.) a

a 12 cm 2 cm

r = 2 cm a = 12 cm r=a. a 360 2 = 12 . a 360

o

60

12 cm

2 cm

o

a = 60

b

b 4 cm

o

30

2 cm

4 cm

1 cm

r = 1 cm

r

c

a = 4 cm o a = 90 r=a. a 360 r = 4 . 90 360

c

o

a = 30 r = 2 cm r=a. a 360 2 = a . 30 360

o

30

24 cm 263

2 cm

a = 24 cm

3.

4 cm

Yanda verilen koninin yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 4 cm olduğuna göre ana doğrusunu bulalım.

Verilenler ile şekildeki dik üçgen elde edilir.

4 cm

3 cm

3 cm Pisagor bağıntısı uygulanırsa; 2

2

4 + 3 = a 2

2

a = 25 a = 5 cm bulunur. 8. Sınıf Matematik

3, 4, 5 özel üçgeninden

5. Ünite

Geometrik Cisimler

KONU TESTİ - 1 1. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

b

4.

A) Üçgen dik prizmanın yüzey sayısı 5’tir.

a

B) Kare dik prizmanın ayrıt sayısı 12’dir. C) Beşgen dik prizmanın köşe sayısı 15’tir. D) Dikdörtgen dik prizmanın yüzey sayısı 6’dır.

c

d

2. Aşağıdaki hangi seçenekte verilen çokgenlerle üçgen prizma oluşturulabilir? A)

2

2

2

2

4

4

3

4

3

6

4 5

3

2

B) 2

C)

4

4

2

2

4

Yukarıda verilen dikdörtgenler prizmasının açınımına göre aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) a = d

B) b = c

C) b = d

D) a = b

4

4

2

4

1

2

4 8

1 4

4

5.

4 cm

4

5 cm

3 cm

8

7 cm

4

264 D) 2

2

2 3

2

3

2 5

5

5

2



Yukarıda açınımı verilen üçgen prizma aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 cm

4 cm B) 3 cm

3. I. Bir üçgen prizmanın 9 ayrıtı vardır.

II. Bir kare prizmanın 6 köşesi vardır.



III. Bir ayrıtı 6 cm olan küpün tüm ayrıtlarının uzunlukları toplamı 72 cm’dir.



IV. Kare primadin 5 köşesi vardır.



Yukarıda verilen ifadelerden kaç tanesi doğrudur? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

4 cm

5 cm

7 cm

7 cm C) 5 cm

5 cm 4 cm D) 4 cm

3 cm

4 cm 7 cm

7 cm 4 cm 8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

9. Hacmi 108p cm3 olan bir silindirin yüksekliği

6. Bir dik silindirin tabanının yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 5 cm’dir.

3 cm’dir.

Buna göre bu silindirin yüzey alanı kaç cm2 dir? (p = 3 alınız.) A) 117

B) 135

7.

C) 144



D) 189

Buna göre bu silindirin yüzey alanı kaç cm2’dir? A) 72p

B) 108p

C) 144p

D) 180p

5 cm h

10. Aşağıdakilerden hangisi bir piramidin açınımı olamaz?



Şekildeki gibi bir silindirin yanal alanı 480 cm2’dir.



Buna göre bu silindirin yüksekliği kaç cm’dir? (p = 3 alınız.) A) 6

B) 8

C) 12

A)

B)

C)

D)

D) 16

265

8.

2 cm

3 cm

11. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Koninin tabanı dairedir.



B) Koninin yan yüzü dairedir.

Tuğçe yukarıdaki gibi bir kartonu keserek silindir yapıyor.



Buna göre bu silindirin hacmi kaç



(p = 3 alınız.) A) 36

B) 54 1- C

8. Sınıf Matematik

C) 72 2- D

3- C

cm3 dür?

C) Bir dik üçgen dik kenarlarından biri eto rafında 360 döndürüldüğünde elde edilen şekil konidir.

D) 108

D) Ana doğru, yükseklik koninin temel elemanlarındandır.

4- A

5- B

6- C

7- D

8- A

9- B

10- D 11- B

5. Ünite

Geometrik Cisimler

KONU TESTİ - 2 1.

3 cm

3. Aşağıdakilerden hangisi dikdörtgenler priz-

4 cm

masının yüzeylerinden biri olabilir? A) Üçgen

2 cm



B) Kare

C) Eşkenar dörtgen D) Paralelkenar

Şekildeki dik üçgen dik prizmanın yüksekliği 2 cm, taban dik kenarlarının uzunlukları 3 cm ve 4 cm’dir.



Bu prizmanın açınımı aşağıdakilerden hangisi olabilir?



A) 4 cm

4.

1 4 5

2

B) 5 cm

5 cm 4 cm

2 cm

C)

3

5 cm



A) 1 ve 3. bölgelerin alanları eşittir. B) 2 ve 4. şekiller eş şekillerdir. C) 2 prizmanın tabanıdır. D) 5 prizmanın yüksekliğidir.

D)

3 cm 5 cm

Yukarıdaki düzgün altıgen dik prizmada verilenlere göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

4 cm 3 cm 2 cm

2 cm 266

12 cm

5.

5 cm

2.

Yukarıda bir dikdörtgenler prizmasının yan yüzünün açılımı verilmiştir.



Buna göre; bu prizmanın tabanı aşağıdakilerden hangisi olabilir?



C) 6

D) 7

D)

5 cm

7 cm 5 cm

B) 5

5 cm

B)

4 cm

A) 2

C)

3 cm

Yukarıdaki şekilde yan yüzleri verilen üçgen prizmanın yüksekliği kaç birimdir?

4 cm 2 cm



A)

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Geometrik Cisimler

6. Bir silindirin yüksekliği çapının yarısı ka-

9.

r = 5 cm

dardır.

Buna göre, bu silindirin açınımı aşağıdakilerden hangisi olabilir? (p = 3 alınız.)

A)

C)

12 cm

B) 2 cm

1 cm

D) 3 cm

12 cm



Şekilde verilen silindirin yarıçapı 5 cm ve yanal alanı 80p’dir.



Buna göre bu silindirin hacmi kaç cm3’tür?

12 cm

12 cm

4 cm

A) 80p

B) 100p

C) 200p

D) 400p

10.

Yanda açınımı verilen koni 8 cm aşağıdakilerden hangisidir? r

A)

B) 8 cm

7. Bir dik silindirin hacmi 600 cm3’tür.

Silindirin taban çapı 10 cm olduğuna göre, yüksekliği kaç cm’dir? (p = 3 alınız.) A) 2

B) 4

C) 8

4 cm 2 cm

4 cm

D) 10

C)

D) 8 cm

4 cm

2 cm

8.

15 cm

11. r 8 cm



Ayla, şekildeki gibi silindir şeklindeki bir kutuyu kağıtla kaplamak istiyor.



Verilen ölçülere göre kaç cm2 kağıt kullanması gerekir? (p = 3 alınız.) A) 384

B) 408 1- C

8. Sınıf Matematik

C) 450 2- B

3- B

c d

5- A

b a

Yanda bir kare dik piramit görülmektedir. Buna göre bu piramitle ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) a ile b uzunlukları eşittir. B) b ile c uzunlukları eşittir. C) 4 tane eş yüzü vardır. D) d ile e uzunlukları eşittir.

D) 456 4- C

8 cm

e



6- B

7- C

8- D

267

9- C

10- B 11- B

5. Ünite

Veri Analizi

VERİ ANALİZİ HİSTOGRAM Histogram: Bir deney veya araştırmada elde edilen sayısal verilerin sınıflandırılması ve bunların dağılımını çubuklarla göstermekte kullanılan grafik biçimine histogram denir. Histogram; eğitim, ekonomi, nüfus, spor, çevre, siyaset, sanat... gibi hayatın birçok alanında elde edilen verilerle oluşturulan istatistiklerin grafikle daha kolay anlaşılmasını sağlar. Histogram oluşturmak için aşağıdaki adımlar sırasıyla uygulanır. 1) Veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır. En büyük veri değerinden en küçük veri değeri çıkarılarak açıklık bulunur. 2) İstenilen grup sayısı belirlenir. (Grup sayısı araştırmayı yapan kişiye göre değişir.) Grup Açıklık genişliği bulunur. < Grup genişliği Grup sayısı 3) İlk sayıdan başlanarak veriler genişlik kadar gruplara ayıracak şekilde sıklık tablosu oluşturulur. 4) Sıklık tablosuna göre histogram çizilir.

ÖRNEK 268

Aşağıdaki veriler bir sınıftaki öğrencilerin matematik sınav sonuçlarını göstermektedir. 47, 48, 95, 55, 96, 66, 95, 97, 82, 71, 75, 78, 90, 82, 100, 83, 84, 86, 96, 89, 90, 80, 91, 92, 53, 68, 96, 62, 96, 88, 70, 98, 98, 99, 70, 93 Yukarıda verilen sınav sonuçlarını 6 gruplu bir histogramla gösterelim.

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Veri Analizi

CÖZÜM Öncelikle veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır. 47, 48, 53, 55, 62, 66, 68, 70, 70, 71, 75, 78, 80, 82, 82, 83, 84, 86, 88, 89, 90, 90, 91, 92, 93, 95, 95, 96, 96, 96, 96, 97, 98, 98, 99, 100 Açıklık = En büyük değer – en küçük değer = 100 – 47 = 53’tür. Açıklık 53 Grup genişliği → = = 8,833 . . . ≈ 9’dur. Grup sayısı 6 Buna göre oluşan sıklık tablosu;

Sınav Puanı 47 – 55 56 –64 65 –73 74 – 82 83 – 91 92 – 100

Bu tabloya uygun histogram çizildiğinde;

Öğrenci Sayısı 4 1 5 5 8 13

Öğrenci sayısı 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

8. Sınıf Matematik

92 –100

83 – 91

74 – 82

65 – 73

56 – 64

47 – 55

269

Sınav puanı

5. Ünite

Veri Analizi

ÖRNEK Aşağıdaki veriler bir otobüsteki insanların yaşlarını göstermektedir. 24, 25, 20, 30, 27, 27, 25, 25, 28, 26, 27, 25, 26, 25, 28, 28, 31, 32, 35, 36, 35, 31, 39, 39, 23, 38, 37, 21, 36, 26, 39, 39, 36, 37, 37, 38, 30, 32, 31, 33 Bu verileri 4 gruplu histogram ile gösterelim.

CÖZÜM Önce veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır. 20, 21, 23, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 30, 30, 31, 31, 31, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 38, 38, 39, 39, 39, 39 Açıklık = En büyük değer – en küçük değer = 39 – 20 = 19 Veri genişliği →

Açıklık 19 = = 4,75 ≈ 5 Grup sayısı 4

Bu tabloya uygun histogram çizildiğinde; Kişi sayısı

35-39

30-34

25-29

20-24

270

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Buna göre Yaş oluşan sıklık 20 – 24 tablosu; 25 – 29 30 – 34 35 – 39

Kişi sayısı 4 14 8 14

Yaş

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Veri Analizi

PEKİSTİRELİM Bir sınıftaki öğrencilerin haftalık kitap okuma sayfaları aşağıdaki histogramda gösterilmiştir. Öğrenci sayısı

35 – 39

30 – 34

25 – 29

20 – 24

15 – 19

10 – 14

5–9

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Sayfa sayısı

Buna göre aşağıdaki soruları yanıtlayalım. a) Histogramın grup genişliği kaçtır?

5–9 aralığı ele alındığında: 5, 6, 7, 8, 9 olur. Grup genişliği 5’tir.

b) Sınıfta kaç öğrenci vardır?

Verilen öğrenci sayıları toplandığında 8+6+12+14+5+3+2 = 50 bulunur.

c) Haftalık 25 - 29 sayfa aralağında kitap okuyan kaç öğrenci vardır?

Haftalık 25–29 sayfa aralığında kitap okuyan

ç) Hangi sayfa sayısı aralığındaki öğrenci sayısı en fazladır?

En fazla öğrenci; 14 öğrenci ile 20–24 sayfa sayısı aralığındadır.

d) Bir haftada okuduğu sayfa sayısı 29’dan fazla olan kaç öğrenci vardır?

30–34 → 3 kişi 35–39 → 2 kişi

e) Açıklık en çok kaçtır?

Açıklık en çok 39 – 5 = 34 olur.

8. Sınıf Matematik

5 öğrenci vardır.

3 + 2 = 5 kişi vardır.

271

5. Ünite

Veri Analizi

ÇIKMIŞ SORU Bir sınıftaki öğrencilerin günlük kitap okuma süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablo: Öğrencilerin kitap okuma süreleri Kitap okuma süresi (dakika) 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69

Öğrenci sayısı 2 6 5 3 8 1 3 12 6 2

Tabloya göre kaç kişi günde 1 saatten daha az kitap okumaktadır? A) 8

B) 12

C) 40

D) 46

CÖZÜM

272

Kitap okuma süresi (dakika) 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69

Öğrenci sayısı 2 6 5 3 8 1 3 12 6 2

1 saatten daha az kitap okuyanların sayısı; 2 + 6 + 5 + 3 + 8 + 1 + 3 + 12 = 40 olur. Cevap: C

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Veri Analizi

ÇIKMIŞ SORU Aşağıda bir fabrikada hazırlanan kayısı paketlerinin kütlelerine göre dağılımı verilmiştir. Grafik: Kayısı paketlerinin kütlelerine göre dağılımı Paket sayısı

59

55

–

54

50

–

49

45

–

44

40

–

39

35

–

34

30

–

29

25

–

24

20

–

19

15

–

14

10

5

–

–

9

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Paketteki kayısı miktarı (kg)

Grafiğe göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Kütlesi en fazla olan paket 44 kilogramdır. B) Toplam 59 paket hazırlanmıştır. C) Her grupta en az 2 paket hazırlamıştır. D) 40 kg ve üzerinde toplam 25 paket hazırlanmıştır. 273

CÖZÜM 40 – 44 kg olan → 9 paket 45 – 49 kg olan → 7 paket 50 – 54 kg olan → 8 paket

25 tane

55 – 59 kg olan → 1 paket 40 kg ve üzerinde olan toplam 25 paket hazırlanmıştır. Cevap D

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Veri Analizi

ARAŞTIRMA VERİLERİNİN UYGUN GRAFİKLERLE GÖSTERİMİ Araştırma sorularına ilişkin verilerin uygunluğuna göre daire grafiği, sütun grafiği, çizgi grafiği veya histogramla gösterilir.

Çizgi Grafiği Verilerin yatay ve dikey eksenlerdeki karşılıklarını veren noktaların birleştirilmesi ile elde edilen grafiklere çizgi grafiği denir. Sürekliliği olan verileri ve değerler arasındaki değişimi göstermek istediğimizde çizgi grafiğini kullanmak daha uygun olur.

ÖRNEK Günler Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Cuma

o

Sıcaklık ( C) 12 15 15 13 10

Yanda verilen tabloda Ankara ilindeki 5 günlük sıcaklık değişimi görülmektedir. Buna uygun grafiği çizelim.

CÖZÜM Sıcaklık verilerinin sürekliliği vardır ve değerler arasındaki değişimi göstermek istediğimiz için çizgi grafiğini çizmek daha uygundur. 274

o

Sıcaklık ( C) 15 13 12 10 Pzt.

Salı

Çarş.

Prş.

Cuma

Günler

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Veri Analizi

ÖRNEK

CÖZÜM

Aylar Ocak Şubat Mart Nisan

Büyüme verilerinin sürekliliği vardır ve değerler arasındaki değişimi göstermek istediğimiz için çizgi grafiği çizmek daha uygundur.

Büyüme (cm) 2 cm 2 cm 5 cm 8 cm

Büyüme (cm) 8

Yukarıdaki tabloda Mert’in diktiği fidanın dört aylık büyüme durumu görülmektedir. Buna göre, bu duruma uygun grafiği çizelim.

5 2 Ocak

Şubat

Mart

Nisan

Aylar

ÖRNEK Notlar

Yanda bir öğrencinin matematik sınav sonuçları sütun grafiği ile gösterilmiştir.

90

Buna göre, bu duruma uygun çizgi grafiğini çizelim.

75 60

1. Sınav

2. Sınav

CÖZÜM Sınavlar 1. Sınav 2. Sınav 3. Sınav

275

Sınavlar

3. Sınav

Notlar Notlar 90 60 75

90 75 60 1. Sınav

2. Sınav

3. Sınav

Başarı verilerinin sürekliliği olduğu için çizgi grafiği kullanmak daha uygun olur.

8. Sınıf Matematik

Sınavlar

5. Ünite

Veri Analizi

Sütun Grafiği Sütun grafiği: Verilerin grafik üzerinde sütunlarla gösterilmesine denir. Belli bir zamanda farklı yerlerde veya bölümlerdeki araştırma sonuçlarını karşılaştırmada en uygun yöntem sütun grafiğidir. Tüm değerlerin olduğu ara değerlerin olmadığı durumlarda sütun grafiği kullanmak daha uygun olur.

ÖRNEK Aylar Ocak Şubat Mart Nisan

CÖZÜM Satılan Araba Sayısı 25 15 18 20

Yukarıdaki tabloda bir araba galerisinin yılın ilk dört ayındaki araba satış durumu gösterilmiştir. Bu tabloya uygun grafiği çizelim.

Araba satış verileri tam değerler olduğu için sütun grafiği çizmek daha uygun olur. Satılan Araba Sayısı 25 20 18 15 Ocak

ÖRNEK

276

Kitap Türleri Roman Hikâye Tarih Çizgi Roman

Şubat

Mart

Nisan

Aylar

CÖZÜM Öğrenci Sayısı 8 5 4 10

Yukarıdaki tabloda 8-A sınıfındaki öğrencilerin beğendiği kitap türleri görülmektedir. Bu tabloya uygun grafiği çizelim.

Öğrenci sayısı verileri tam değerler olduğu için sütun grafiği çizmek daha uygun olur. Öğrenci sayısı 10 8 5 4 Roman

Hikâye

Tarih Çizgi roman

Kitap Türleri

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Veri Analizi

Daire Grafiği Daire Grafiği:

Verilerin, bir dairenin dilimleri şeklinde gösterilerek oluşturulan grafiğe denir.

Kesirli veriler ve değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları gösterilmek istenildiğinde daire grafiği kullanmak daha uygun olur.

ÖRNEK Sebzeler Domates Biber Salatalık Fasulye

CÖZÜM Üretim (Ton) 4000 2000 1000 1000

Yukarıdaki tabloda çiftçi Mehmet Bey’in ürettiği sebzeler ve miktarları görülmektedir. Buna uygun grafiği çizelim.

Değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları gösterilmek istendiği için daire grafiği çizmek daha uygun olur. o Daire grafiği hazırlarken toplam veriler 360 olacak şekilde her bir veri oranlanır. Bu oranlar her bir verinin gösterileceği daire diliminin merkez açısı olur. Domates → 4000 Biber → 2000 Salatalık → 1000 Fasulye → 1000 8000 4000 2000 1000

360o ise; 180o 90o 45o olur.

4000+2000+1000+1000 = 8000

Domates Biber 180o

45o

o

45

Salatalık

Fasulye

ÖRNEK Notlar 1 2 3 4 5

Öğrenci sayısı 2 3 12 8 5

Yukarıda verilen tabloda bir sınıfın not dağılımı görülmektedir. Bu tabloya uygun grafiği çizelim.

8. Sınıf Matematik

CÖZÜM Değişkenlerin bir bütün içerisinde dağılımı gösterilmek 277 istendiği için daire grafiği çizmek daha uygun olur. 2 + 3 + 12 + 8 + 5 = 30 → sınıf mevcudu 30 kişi 2 kişi 3 kişi 12 kişi 8 kişi 5 kişi

360o ise; 24o 36o 144o 96o 60o olur.

4

3

o

96 144o o 1 24 60o o 36 5

2

5. Ünite

Veri Analizi

PEKİSTİRELİM Günler Soru Sayısı

Pzt. Salı 5

15

Çarş. Prş. 10

30

Cuma

a

Çözülen soru sayısı tam değerlerden oluştuğu için sütun grafiği çizmek daha uygun olur.

25

Soru sayısı

Yanda verilen tablo bir öğrencinin hafta içi her gün kaç soru çözdüğünü göstermektedir. Bu tabloya ait değerleri uygun grafikte gösterelim.

30 25 20 15 10 5 Günler

Pzt. Salı Çarş. Prş. Cuma

b

Günler Sayfa Sayısı

Pzt. Salı 30

20

Çarş. Perş. Cuma 30

40

b

50

Sayfa sayısı 50

Yukarıda verilen tablo bir öğrencinin hafta içi her gün kaç sayfa kitap okuduğunu göstermektedir. Bu tabloya ait değerleri uygun grafikte gösterelim.

278

Okunan sayfalardaki değişim gösterilmek istendiği için çizgi grafiği daha uygun olur.

40 30 20 10 Pzt. Salı

c

Ürün Ekili alan (dönüm) Arpa 40 Buğday 25 Mısır 20 Mercimek 15

Yukarıda verilen tablo bir çiftçinin ektiği ürünleri ve bu ürünlerin ekildiği alanları göstermektedir. Bu tabloya ait değerleri uygun grafikte gösterelim.

c

Çarş.

Prş.

Cuma

Günler

a

Değişkenlerin bir bütün içerisindeki dağılımı gösterilmek istendiği için daire grafiği çizmek daha uygun olur. 40+25+20+15 = 100

100 kişi 360o ise; 40 dönüm 144o 25 dönüm 90o 20 dönüm 72o 15 dönüm 54o olur.

Buğday

Mercimek

54o

Arpa 144o

72o

Mısır 8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Veri Analizi

CÖZÜM

ÖRNEK Öğrenci sayısı

8

Matematik dersinden proje alanlar : 12 Türkçe dersinden proje alanlar :6 İngilizce dersinden proje alanlar : 8 Fen dersinden proje alanlar : 4 kişidir.

6

Toplamda; 12 + 6 + 8 + 4 = 30 kişidir.

12

4 Mat. Türkçe İng.

Fen

30 kişi 12 kişi 6 kişi 8 kişi 4 kişi

Dersler

Fen 48o

144o

o

96

Matematik

İngilizce

Yukarıda verilen sütun grafiğinde bir sınıftaki öğrencilerin derslere göre proje dağılımı görülmektedir. Grafikteki verilere göre bu dağılımı daire grafiğinde gösterelim.

360o ise; 144o 72o 96o 48o dir.

72o

Türkçe

CÖZÜM

ÖRNEK Kişi sayısı

25 yaşında olanlar; 2 kişi 30 yaşında olanlar; 8 kişi 35 yaşında olanlar; 10 kişi 40 yaşında olanlar, 16 kişi Buna göre sütun grafiği;

16 14 12 10 8

279

Kişi sayısı

6

16

4

14

2 25

30

35

40

Yaşlar

Yukarıda verilen çizgi grafiğinde bir turist kafilesindeki turistlerin yaşlarına göre sayıları gösterilmiştir. Grafikteki verilere göre bu durumu sütun grafiğinde gösterelim.

12 10 8 6 4 2 25

8. Sınıf Matematik

30

35

40

Yaşlar

5. Ünite

Veri Analizi

PEKİSTİRELİM Sınıflar 8/A 8/B 8/C 8/D 8/E

Yanda bir okuldaki 8. sınıf öğrencilerini şubelere göre dağılımı görülmektedir. Bu tablodaki verileri sütun grafiği, çizgi grafiği ve daire grafiği ile gösterelim.

Öğrenci Sayısı 30 32 31 28 29

Öğrenci sayıları 32

Verilerin sürekliliği olmadığı için çizgi grafiği en uygun grafik değildir.

31 30 29 28 8/A

8/B

8/C

8/D

8/E

Şubeler

Öğrenci sayıları 32

Öğrenci sayılarının sürekliliği olmadığı için bu verileri sütun grafiği ile göstermek daha uygun olur.

31 280

30 29 28 8/A

8/B

8/A sınıfı 30 kişi 8/B sınıfı 32 kişi 8/C sınıfı 31 kişi 8/D sınıfı 28 kişi 8/E sınıfı 29 kişi

8/C

8/D

8/E

Şubeler

30 + 32 + 31 + 28 + 29 Toplamda; 150 kişidir. 150 kişi 30 kişi 32 kişi 31 kişi 28 kişi 29 kişi

360o ise; 72o 76,8o 74,4o 67,2o 69,6o olur.

8/A 8/D o o 72 67,2 76,8o 8/B o 69,6 74,4o 8/E 8/C

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Veri Analizi

KONU TESTİ - 1 Öğrenci sayısı

Net sayısı



50–58

41–49

32–40

14–22 ? – 94

?–?

?–?

?–?

40 – ?



23–31

10 8 6 4 1

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1



Kişi sayısı

4.

Süre (dakika)

Yukarıdaki şekilde verilen histogram bir sınıftaki öğrencilerin, bir sınavı bitirme sürelerini göstermektedir. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) Histogramda grup genişliği 9’dur. B) Sınavı en fazla 40 dakikada bitiren 15 kişi vardır.

Bir sınıftaki öğrencilerin sınav sonuçlarını gösteren histogram yukarıda verilmiştir.

C) Açıklık en fazla 36’dır.

1, 2 ve 3. soruları bu histograma göre yanıt-

D) Bu sınıf 23 kişidir.

layınız.

1. Grafikteki verilerin grup genişliği kaçtır? A) 9

B) 10

C) 11

5.

8 7 6 5 4 3 2 1

D) 12

olan öğrenci sayısı kaçtır? B) 7

C) 8

D) 10



3. En az net sayısına sahip öğrenciler hangi aralıktadır? A) 40 – 50

B) 51 – 61

C) 73 –83

D) 84 –94

8. Sınıf Matematik

281

46–50 51–55 56–60 61–65 66–70 71–75 76–80

2. Grafiğe göre net sayısı 62 –72 aralığında A) 6

Öğrenci sayısı

Not

Yukarıda verilen histogram bir sınıfın matematik sınavında aldıkları notları göstermektedir. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi söylenemez? A) Açıklık en fazla 34’tür. B) Histogramın grup sayısı 7’dir. C) Verilerin grup genişliği 4’tür. D) Sınıf 36 kişidir.

5. Ünite

6.

Veri Analizi

8. 27, 24, 37, 21, 15, 63, 14, 42, 37, 40, 40, 29, 23,

Kişi sayısı

50

10 8 6 4 2



40–46

34–39

27–33

20–26

A) 8 13–19



Yukarıdaki veriler 3 gruba ayrıldığında grup genişliği aşağıdakilerden hangisi olur? B) 10

C) 17

D) 18

Yaş

Yukarıdaki histograma göre aşağıdakilerden hangileri doğrudur? I. Grup sayısı 5’tir. II. Grup genişliği 6’dır. III. Açıklık en çok 33’tür. B) I ve III

C) II ve III

D) I, II ve III

Kişi sayısı



23–26

19–22

15–18

7–10

10 8 6 4 2

Yaş

59-63

54-58

49-53

44-48

39-43

34-38

Yukarıda verilen histogramda bir programa 29-33

282

Kişi sayısı

9.

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

11–14

7.

A) I ve II

Süre (sn)

Yukarıda verilen histogramda bir bisiklet yarışında katılımcıların yarışı bitirme süreleri gösterilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Grup genişiği 4’tür.

katılan kişilerin yaşlarına göre dağılımı verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Bu programda 15 yaşından büyük 18 kişi vardır. B) Bu programda 7 yaşında olan en az 5 kişi vardır.

B) En çok kişi 49–53 aralığındadır. C) Açıklık en fazla 34’tür.

C) Bu programda 12 yaşında olan en fazla 6 kişi vardır.

D) En az kişi 59–63 aralığındadır.

D) Açıklık en çok 19 olur.

1- C

2- B

3- A

4- C

5- C

6- B

7- A

8- C

9- B 8. Sınıf Matematik

5. Ünite

Veri Analizi

KONU TESTİ - 2 Öğrenci sayısı

4.

Yukarıda verilen histogramda bir grup öğrencinin yapılan sınavdaki net sayılarına göre dağılımları görülmektedir.

A) 50

B) 58

C) 60

?-?

?-?

?-?

Yaş



Yukarıdaki histogramda bir grubun yaş aralığına göre dağılımı gösterilmektedir.



Buna göre, en çok kişi hangi yaş aralığındadır?

1, 2 ve 3. soruları yukarıdaki histograma göre yanıtlayınız.

1. Bu gruptaki öğrenci sayısı kaçtır?

? - 49



14 - ?

86-90

81-85

76-80

71-75

66-70

61-65

56-60

Net sayısı

?-?

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

16 14 12 10 8 6 4 2



Kişi sayısı

A) 20 – 25

B) 26 – 31

C) 32 – 37

D) 38 – 43

Kişi sayısı

5. D) 64

283

12 10 8 6 4

3. 63 net yapan öğrenci sayısı en az kaçtır? A) 0 8. Sınıf Matematik

B) 2

C) 3

D) 4

46-54

D) 46

37-45

C) 40

28-36

B) 34

19-27

A) 30

1-9

2. Histograma göre açıklık en çok kaçtır?

10-18

2 Süre (dk)



Bir iş yerindeki insanların öğle yemeklerine ayırdıkları süreye göre dağılımları, yukarıdaki histogramla gösterilmiştir.



Buna göre öğle yemeği için 30 dk zaman ayıran en fazla kaç kişi vardır? A) 2

B) 4

C) 8

D) 10

5. Ünite

Geometrik Cisimler

6. I. Ankara’nın Mart ayı hava sıcaklığı

8. Aşağıda verilen durumlardan hangisinde sü-



II. İstanbul’un yıllara göre nüfus artışı



III. Bir köylünün tarlasına ekdiği ürünler ve

tun grafiği kullanmak daha uygun olur? A) Bir aracın bir saatteki hız değişimi B) Bir ağacın yıllara göre boyundaki değişim

miktarları

IV. Cemre’nin yıllara göre boyundaki uzama

C) Bir okuldaki öğrencilerin şubelere göre dağılımı

miktarı



Yukarıda verilen durumlarla, bu duruma en uygun olarak çizilecek grafikler eşleştirildiğinde aşağıdakilerden hangisi yanlış olur?

D) Bursa’da Haziran ayındaki sıcaklık değişimi

A) I. – Çizgi grafiği B) II. – Sütun grafiği C) III. – Daire grafiği D) IV. – Sütun grafiği Yaş 37 38 39 40 41

Doktor

n

o

e tm re

Öğ

7.

lis Po

60 120o endis Müh

284



Yanda verilen daire grafiğinde bir sınıftaki öğrencilerin meslek seçimlerine göre dağılımı görülmektedir.

Bu sınıfın mevcudu 36 olduğuna göre, bu durumu gösteren aşağıdaki grafiklerden hangisi doğru olur? A)



kan Bey’in kütlesindeki değişmi en iyi ifade eder?

Öğrenci sayısı

12

12

9

9

6

6 Meslekler

C)

Dok. Öğrt. Pol. Müh.

15

9

9

3 Dok. Öğrt. Pol. Müh.

C) Histogram

D) Daire grafiği

grafiği ile gösterildiğinde 38 yaşını gösteren daire dilimi kaç derece olur?

3 Meslekler

B) Çizgi grafiği

10. Hakan Bey’in kütlesindeki değişim daire

Öğrenci sayısı

18

A) Sütun grafiği

Meslekler

D)

Öğrenci sayısı

Yukarıdaki tabloda Hakan Bey’in yaşına göre kütle ölçümü verilmiştir. Bu tabloya göre aşağıdaki soruları yanıtlayınız.

9. Aşağıda verilen grafiklerden hangisi Ha-

B)

Öğrenci sayısı

Dok. Öğrt. Pol. Müh.



Dok. Öğrt. Pol. Müh.

o

B) 45

o

D) 90

A) 36

Meslekler

C) 72 1- C

Kütle (kg) 88 90 93 92 87

2- B

3- A

4- B

5- D

6- D

7- B

8- C

9- B

o

o

10- C 8. Sınıf Matematik

5. Ünite

285

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

286

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

287

8. Sınıf Matematik

5. Ünite

288

8. Sınıf Matematik