Maria Ines Baragatti - CURSO COMPLETO DE VARIABLE COMPLEJA - UNLP

 

F_TVB FBNYMOXB S@TG@DMO FBNYMOE@ _AMY  N`k. N`rî` Gaçs D`r`k`ttg

 

N`tonàtgf` H y H0

N@XONÀXGF@ H y H0

Nöhumb G5 @aàmgsgs ho S`rg`dmo Fbnpmoe` 

_agh`h 9

Aõnorbs Fbnpmoebs  N`k. N`rî` Gaçs D`r`k`ttg

♣  Aõnorbs

fbnpmoebs. Koaor`mgh`hos

♣  _a aõnorb fbnpmoeb os ua p`r brhoa`hb ho aõnorbs ro`mos (`,d) Fbnõanoato utgmgz`nbs m` motr` z p`r` gahgf`r ua fbnpmoeb y osfrgdgnbs5

z > (`,d)

♣  Om fbaeuatb ho tbhbs mbs aõnorbs fbnpmoebs mb hosgka`nbs fba m` motr` F.  ♣  M` prgnor` fbnpbaoato  hom fbnpmoeb  z > (`,d) so hoabnga` fbnpbaoato ro`m ho z y m` gahgf`nbs5  ` > To(z)

p`rto ro`m  ho z  b

♣  M` sokuah` fbnpbaoato  hom fbnpmoeb z > (`,d) so hoabnga` p`rto fbnpbaoato gn`kga`rg` ho z y m` gahgf`nbs5 d > Gn(z) 

gn`kga`rg`  ho z  b

♣  Vg m` prgnor` fbnpbaoato  ho ua fbnpmoeb  os gku`m ` forb , os hofgr z quo z os ua aõnorb gn`kga`rgb purb. 

> (9,d) hofgnbs quo 

♣  Om fbnpmoeb z  puoho roprosoat`rso fbnb ua puatb hom pm`ab ho fbbrhoa`h`s (`,d)  b fbnb ua voftbr ho fbnpbaoatos (`,d).

y

z

d `

x

♣  Gku`mh`h ho aõnorbs fbnpmoebs Hbs aõnorbs fbnpmoebs  z0 > (`0,d0) y y sus p`rtos gn`kga`rg`s.

z4 > (`4,d4) sba gku`mos sg fbgafghoa sus p`rtos ro`mos

Vgndömgf`noato osfrgdgnbs 5

z0 > z4  ⇘  ZTo (z0) > To (z4) y  Gn(z0) > Gn (z4)^ ⇘  Z`0 > `0  y d0 >d4^ 0

Nöhumb G - _agh`h 9

 

N`tonàtgf` H y H0

∃ @ftgvgh`h 05 H`hbs mbs fbnpmoebs z0 > (6t -4 , 8s +;) y  z0 > ro`mos, l`mm`r mbs v`mbros ho s y t  p`r` quo z0 > z4 

(8s -4t , s + t ) sgoahb s  y t hbs aõnorbs

♣  Vun` y prbhuftb ho h o fbnpmoebs H`hbs mbs fbnpmoebs z0 > prbhuftb oatro ommbs fbnb5

(`, d)  y z4 > (f, h) , so hocgaoa m`s bpor`fgbaos ho  sun`  y

z0  + z4 > (` , d) + (f , h) > (` + f , d + h) z0 . z4 > (` , d) . (f , h) > (`f ‖ dh , `h + df) ⊟ 

Bdsorv`fgbaos5

0-  M` sun` y prbhuftb ho hbs aõnorbs fbnpmoebs t`ndgça sba aõnorbs fbnpmoebs. 4 - Om fbnpmoeb (9,9) os om omonoatb aoutrb ho m` sun` puos

(`,d) + (9.9) > (`,d)

6- Om fbnpmoeb (0,9) os om omonoatb aoutrb hom prbhuftb puos (`,d) . (0.9) > (`,d) 8-  M` sun` ho fbnpmoebs fbnpmoeb s oqugv`mo ` m` sun` ho sus fbnpbaoatos, pbr ommb so fbnpbrt` fbnb ua` sun` voftbrg`m.

z0 + z4

y

z0

z4

z0  + z4 > (` , d) + (f , h) > (` + f , d + h) x

?-  Mbs aõnorbs fbnpmoebs fba p`rto gn`kga`rg` aum` so fbnpbrt`a fbnb mbs aõnorbs ro`mos puos, `pmgf`ahb m`s hocgagfgbaos ho sun` y prbhuftb, so bdsorv` quo 5

(` , 9) + (f , 9) > (` + f , 99)) y

(` , 9) . (f , 9) > (`f , 9)

fuybs rosumt`hbs so bdtgoaoa sun`ahb b numtgpmgf`ahb sus p`rtos ro`mos. Ybr ost` r`zöa os fbavoagoato fbasghor`r om sgston` ho aõnorbs ro`mos fbnb ua f`sb p`rtgfum`r hom sgston` ho aõnorbs fbnpmoebs y fbavoagnbs oa ghoatgcgf`r `m fbnpmoeb (`,9) fba om aõnorb ro`m ` y osfrgdgnbs ` > (`,9). Ybr oeonpmb5 9 > (9,9) , 0 > (0,9) , -0 > (-0,9)

∃ @ftgvgh`h 45 Eustgcgf`r quo m`s bpor`fgbaos ho sun` y prbhuftb ho fbnpmoebs kbz`a ho m`s sgkugoatos prbpgoh`hos 5

fbanut`tgv`5 

z0 + z4 > z4 + z0

z0.z4 > z4.z0  4

Nöhumb G - _agh`h 9

 

N`tonàtgf` H y H0

`sbfg`tgv` 5  Zz0 + z4 ^+ z6  > z0 + Zz4 + z6^  hgstrgdutgv` hom prbhuftb rospoftb ` m` sun`5

Zz0.z4 ^. z6  > z0 . Zz4 . z6^  Zz0 + z4^ . z6 > z0 . z6 + z4 . z6

♣  _agh`h gn`kga`rg` gn`kga`rg` Om aõnorb fbnpmoeb (9,0) so roprosoat` pbr Osfrgdgnbs 5

g y so hoabnga` uagh`h gn`kga`rg`.

g > (9,0)

∃ @ftgvgh`h 65  `) F`mfum`r

g4 > g . g > …… y fbnpmot`r om rofu`hrb 

d) F`mfum`r

g6 > g4 . g

g4 >

8a 8a+0 8a +6  , g8 > g6 . g y `vorgku`r om v`mbr ho m`s m `s pbtoafg`s5 g  , g  , g

∃ @ftgvgh`h 85  H`hb om fbnpmoeb z > (`,d) ,  eustgcgf`r m` sgkugoato gku`mh`h y hohufgr quo z  puoho oxpros`rso oxpros`rso oa m` cbrn`  z > ` + g d . 

(`,d) > (`,9) + (9,0) . (d,9) 

♣  Cbrn` dgaöngf` ho ua fbnpmoeb Xoagoahb oa fuoat` om rosumt`hb ho m` `ftgvgh`h `atorgbr , bdsorv`nbs quo 5

z> (`,d) puoho oxpros`rso oa m` cbrn`  z > ` + g d , ` m` quo so  hoabnga` cbrn` dgaöngf` hom fbnpmoeb. Xbhb fbnpmoeb

∃ @ftgvgh`h ?5 H`hbs mbs fbnpmoebs oa cbrn` dgaöngf`

z0  > `0  + g d0 y z4  > `4  + g d4  ,  eustgcgf`r quo om

z   . z   > (`   + g d ) (`   + g d ) 4 0 g4 > -0 0 4 4 puoho ro`mgz`rso us`ahb m` prbpgoh`h hgstrgdutgv` y prbhuftb oa0 fuoat` toagoahb quo ♣  Fbnpmoebs Om fbnpmoeb 

fbaeuk`hbs

` ‖ g d os om fbnpmoeb fbaeuk`hb ho z > ` + gd   y mb gahgf`nbs z > ` ‖ g d

♣  Nöhumb ho ua

fbnpmoeb fbnpmoeb 

> ` + g d , om aõnorb ro`m ` 4  + d 4   os om nöhumb ho  z , mb gahgf`nbs z > ` 4 + d 4  y rosumt` sor m` hgst`afg` ho z `m brgkoa ho fbbrhoa`h`s. fbbrhoa`h`s.

H`hb om fbnpmoeb z

6

Nöhumb G - _agh`h 9

 

N`tonàtgf` H y H0

∃ @ftgvgh`h 35 

 

Honbstr`r quo

z . z > | z |4 

∃ @ftgvgh`h ;5  H`hb om fbnpmoeb ab aumb z w > f + hg   p`r` quo om om prbhuftb

♣  Tost`

>  ` + dg  , `vorgku`r `vorgku`r quç cbrn` hodo toaor toaor om fbnpmoeb z . w  so` ua aõnorb ro`m. 

ho fbnpmoebs5

H`hbs mbs fbnpmoebs

z0  y z4 , m` rost` z0 ‖ z4  os ua fbnpmoeb z6  t`m quo z0 > z4 + z6 

∃ @ftgvgh`h `0 + g d0  , z4> `4 + g d4  y  z6> z0 ‖ z4 ,  eustgcgf`r quo 

z6 > (`0 ‖ `4) + g (d0 ‖ d4) 

♣  Fbfgoato ho aõnorbs fbnpmoebs 5

z0 H`hbs mbs fbnpmoebs z0  y z4 ≩ 9  , om fbfgoato z   os ua fbnpmoeb z6  t`m quo z0 > z4 . z6 4 ∃ @ftgvgh`h 75  `)  Vg z> ` + g d os ua fbnpmoeb ab aumb, eustgcgf`r m` sgkugoato oqugv`moafg`5 oqugv`moafg`5 4 z . w > 0 ⇘ w > z / |z| |z|   z ` + gd 0 d) L`mm`r m` p`rto ro`m ro`m y m` p`rto gn`kga`rg` hom fbnpmoeb fbnpmoeb z 6 > 0 > 0 z 4 ` 4 + gd 4 sba aõnorbs ro`mos ab sgnumtàao`noato aumbs. 

, hbaho `4 y d4 

♣  Cbrn` pbm`r b trgkbabnçtrgf` ho ua fbnpmoeb Vg z  > (`,d)  os ua fbnpmoeb ab aumb, pbhonbs hocgagr sus fbnpbaoatos us`ahb m`s fbbrhoa`h`s pbm`ros 5

y

d

` > r fbs μ  , d > r soa μ  hbaho  r > | z |  , y μ  os om àakumb oatro om voftbr ho fbnpbaoatos (`,d) y om oeo x pbsgtgvb,  nohghb oa soatghb pbsgtgvb (`atglbr`rgb) b oa soatghb aok`tgvb (lbr`rgb). 

z r μ 

`

x

Ybr mb t`atb tbhb fbnpmoeb ab aumb puoho oxpros`rso fbnb

z > ` + g d > r fbs μ + g r soa μ > r (fbs μ + g soa μ) y ost` õmtgn` so hoabnga` cbrn` pbm`r b trgkbabnçtrgf` ho z.

8

Nöhumb G - _agh`h 9

 

N`tonàtgf` H y H0

♣  @rkunoatb y `rkunoatb prgafgp`m ♣  Vg μ os om àakumb ho gafmga`fgöa ho ua fbnpmoeb ab aumb, os hofgr z ≩ 9, t`ndgça mb sba mbs aõnorbs μ  + 4jω  fba j > °0, °  4, °  6…. . Om fbaeuatb cbrn`hb pbr tbhbs ommbs so hoabnga` `rkunoatb ho z y mb gahgf`nbs `rk(z). 

♣  Om `rkunoatb ho z ≩  9 quo s`tgsc`fo - ω  = μ  ≨  ω  , so hoabnga`  `rkunoatb b `rkunoatb prgafgp`m y mb gahgf`nbs @rk(z)

v`mbr prgafgp`m hom

⊟ Bdsorv`fgöa Y`r` hotornga`r om àakumb μ  , `m quo nohgnbs oa r`hg`aos, hodo toaorso oa fuoat` m` rom`fgöa  tk μ > d/` y om fu`hr`ato oa quo so oafuoatr` om fbnpmoeb. Os d`st`ato usu`m quo so hgk` quo 5 "sg tk μ  > d/` oatbafos   μ  > `rftk (d/`)" y ost` oxprosgöa ab os sgonpro fbrroft` fu`ahb so protoaho l`mm`r om `rkunoatb ho ua fbnpmoeb, puos  hodonbs rofbrh`r quo5 m` cuafgöa y > `rftk x , ho v`rg`dmo ro`m x , tgoao fbnb hbngagb om fbaeuatb ho tbhbs mbs aõnorbs ro`mos porb su gn`koa os om gatorv`mb `dgortb ( -ω /4 , ω /4) .  Xoagoahb oa fuoat` quo sömb mbs fbnpmoebs fba p`rto ro`m pbsgtgv`   tgoaoa prgafgp`m oatro  -ω /4 y ω /4 , sömb p`r` ommbs puoho us`rso quo  μ > `rftk (d/`)

`rkunoatb

  Oeonpmbs

# Vg

z0 > 4 + 4g  ⇔  tkμ0 > 4/4 > 0 ⇔  μ0 > @rk(z0) > `rftk 0 > ω /8 , puos To(z0) 1 9 @rk(z0) > ω /8 y

Ybr mb t`atb

`rk(z0) > {ω /8 + 4jω , fba j > °0, ° 4, ° 6….}

# Vg  z4 > 4 - 4g  ⇔  tkμ4 > -4/4 > -0 ⇔  μ4 > @rk (z4) Ybr mb t`atb 

@rk(z4) > -ω /8

y

>`rftk (-0) > - ω /8 , puos To(z4) 1 9 

`rk(z4) > { - ω /8 + 4jω , fba j > °0, ° 4, ° 6.}

# Vg m` p`rto ro`m hom fbnpmoeb os aok`tgv` y su p`rto gn`kga`rg` os ppbsgtgv` bsgtgv` oatbafos om `rkunoatb prgafgp`m ho hgflb fbnpmoeb os `rftk (d/`) + ω  Vg  z6 > -4 + 4g  ⇔  tkμ6 > 4/-4 > -0 ⇔  μ6 > `rftk (-0) + ω > - ω /8 + ω > 6ω /8, lonbs sun`hb  ω  `m `rftk (-0) puos Ybr mb t`atb 

@rk(z6) > 6ω /8

y

To(z6) = 9 y Gn(z6) 1 9 `rk(z6) > { 6ω /8 + 4jω , fba j > °0, ° 4, ° 6.}

# Vg m` p`rto ro`m hom fbnpmoeb aok`tgv aok`tgv`` os y su`rftk p`rto(d/`) gn`kga`rg` os aok`tgv` oatbafos om `rkunoatb prgafgp`m ho hgflbosfbnpmoeb - ω  ?

Nöhumb G - _agh`h 9

 

N`tonàtgf` H y H0 Vg  z8 > -4 - 4g   ⇔ tkμ8 > -4/-4 > 0 ⇔  μ8 > `rftk 0 - ω > ω /8 - ω  > - 6ω /8, lonbs rost`hb  ω  `m  `rftk Ybr mb t`atb 

0 puos To(z8) = 9 y Gn(z8) = 9 

@rk(z8) > -6ω /8

`rk(z6) > { -6 ω /8 + 4jω , fba j > °0, ° 4, ° 6.}

y

∃ @ftgvgh`h 095 L`mm`r om `rkunoatb y om `rkunoatb prgafgp`m ho mbs fbnpmoebs y ho mbs fbnpmoebs

z* > 6  ∔∔ g  , z** > - 6  ∔∔ g , 

-z* , - z** ,  z*. z** , z*/z**, z* + z** , z* - z** , -z* - z**, -z* + z**

∃ @ftgvgh`h 005  Vg om fbnpmoeb z0 > r0 ( fbs μ0 + g soa μ0 )  os gku`m `m fbnpmoeb  z4 > r4 ( fbs μ4 + g soa μ4 ) , honbstr`r quo sus nöhumbs sba sba gku`mos  y quo sus `rkunoatbs hgcgoroa oa ua nõmtgpmb ho 4ω , os hofgr μ0 > μ4 +4jω , fba j aõnorb oatorb.

♣  Ybtoafg`s Y`r` f`mfum`r m`s pbtoafg`s a`tur`mos ho ua fbnpmoeb dgabngb ho Aowtba5

z > ` + gd  puoho us`rso m` cörnum` hom

a!   a ∔j   ` (gd ) j   j > 9 j ! (a ∔ j )! a

z  > (` + g d)  >  ∐ a

a

porb os d`st`ato tohgbs` su utgmgz`fgöa. Ybr ommb os fbavoagoato f`mfum`r fu`mqugor pbtoafg` ho ua fbnpmoeb , oxprosàahbmb oa m` cbrn` pbm`r. Os nuy gatoros`ato bdsorv`r quo sg ua fbnpmoeb z so oxpros` oa cbrn` pbm`r y tgoao nöhumb r  4 4 y `rkunoatb μ oatbafos  om fbnpmoeb w > z   tgoao nöhumb r   y `rkunoatb 4μ + 4jω  puos5

z4 > r4(fbs μ + g soa μ )4 > 4

Tofbrh`r quo 5

4

soa(` + d) > soa ` fbs d + fbs ` soa d fbs(` + d) > fbs ` fbs d - soa ` soa d

4

> r  Zfbs  μ + 4g fbs μ soa μ - soa  μ ^ > > r4 Z (fbs4 μ - soa4 μ) + g 4fbs μ soa μ^ > 4

>r

` > d oatbafos soa (4`) >.............................. fbs(4`) >...............................  sg

 Z(fbs(4μ) +g soa(4μ)^  4

4

4

pbr mb t`atb |z | > r   y `rk(z ) > 4μ  + 4jω  fba  j aõnorb oatorb , bdsorv`r quo ost` rom`fgöa oatro mbs `rkunoatbs ho hbs fbnpmoebs gku`mos cuo honbstr`hb oa m` `ftgvgh`h 00.

z6 > r6 Zfbs (6μ) + g soa(6μ)^

T`zba`ahb oa cbrn` sgngm`r puoho honbstr`rso quo 5 y utgmgz`ahb gahuffgöa fbnpmot` puoho honbstr`rso quo

5

3

Nöhumb G - _agh`h 9

 

N`tonàtgf` H y H0

za > ra Zfbs (aμ) + g soa(aμ)^ , a ∌ A |za| > |z|a  y  `rk(za) > a `rk z

Ho hbaho so hosproaho quo5 

Fbnoat`rgb @atos ho `a`mgz`r m` r`îz fu`hr`h` ho ua aõnorb fbnpmoeb os fbavoagoato l`for ua fbnoat`rgb sbdro m` ofu`fgöa ho v`rg`dmo ro`m x4 + 0 > 9 , quo s`donbs ab tgoao sbmufgöa oa om fbaeuatb ho aõnorbs ro`mos puos hospoe`ahb so bdtgoao x > °  ∔ 0  . ²Xoahrà sbmufgöa oa om fbaeuatb ho aõnorbs fbnpmoebs2 Y`r` fbatost`r poasonbs quo x os ua fbnpmoeb osfrgdgrso

` + gd , ho hbaho m` ofu`fgöa `atorgbr puoho

(` + gd)4 + 0 > 9 y ro`mgz`ahb m`s bpor`fgbaos gahgf`h`s bdtoaonbs

(`4 - d4 + 0) + g 4`d > 9 , ho hbaho  `4 - d4 + 0 > 9 (0) y 4`d > 9 (4) Ho (4) so hosproaho quo 

` > 9 ö  d > 9 . 4

Vg ` > 9 , roonpm`z`nbs oa (0) y bdtoaonbs  - d  + 0 > 9 , ho hbaho  d > 0 ö  d > -0 , 4 pbr mb t`atb  x > 9 + g > g y  x > 9 - g > - g sba sbmufgbaos ho m` ofu`fgöa  x  + 0 > 9

d > 9 , roonpm`z`nbs oa (0) y bdtoaonbs  `4 + 0 > 9 , quo aabb tgoao sbmufgöa. 4 Ybr mb t`atb m` ofu`fgöa x  + 0 > 9 tgoao sbmufgöa oa om fbaeuatb ho aõnorbs fbnpmoebs y sus sbmufgbaos sba 5 g  y -g 

Vg

Yrotoahonbs `lbr` pbhor rosbmvor m` ofu`fgöa `atorgbr sga toaor quo l`for t`atb tr`d`eb, os hofgr protoahonbs oafbatr`r om v`mbr ho

♣ 

∔ 0  , tbn`ahb `

-0  fbnb om fbnpmoeb -0 + g9

T`îfos  4

Vg quoronbs l`mm`r  z   hodonbs oafbatr`r ua fbnpmoeb  w t`m quo  w   > z . Y`r` ovgt`r tr`d`e`r fba sgtu`fgbaos fbnpmgf`h`s fbnb oa om fbnoat`rgb `atorgbr, os fbavoagoato fbasghor`r ` z y ` w oa m` cbrn` pbm`r. Vupbak`nbs quo 

z > w ,  z > r ( fbs μ + g soa μ ) y  w > T (fbs ϟ + g soa ϟ )

|w| > T y `rk(w) > ϟ  t`m quo  w4 > z , p`r` ommb fbasghor`nbs m` gku`mh`h w4 > z ⇔ T4 (fbs (4ϟ) + g soa(4ϟ ) > r ( fbs μ + g soa μ ) ⇔  T4 > r y  4ϟ > μ + 4jω  ⇔  μ + 4j  ω T > r y  ϟ >   4

Hodonbs l`mm`r

Ybr mb t`atb 

 

   μ +  4jω    , fba j > 9, 0   + gsoa 4        

μ +  4jω 

  z > w > r fbs      

4

² pbrquç lgfgnbs ost` rostrgffgöa p`r` om aõnorb oatorb j2 ..................... ........................................ ........................... ........ ;

Nöhumb G - _agh`h 9

 

N`tonàtgf` H y H0 Oa cbrn` sgngm`r puoho honbstr`rso quo 5 6

 

   μ +  4jω    , fba j > 9, 0, 4  +  g soa       6  

μ +  4jω 

  z > w > 6 r fbs      

6

W pbr gahuffgöa puoho honbstr`rso m` sgkugoato oxprosgöa, fbabfgh` fbnb

cörnum` ho Ho

Nbgvro5 a

z>

a

             + μ +   ω μ +   ω fba j > 9, 0 , 4,….., (a ‖ 0) r fbs    a4j   ,   a4j     gsoa 

∃ @ftgvgh`h 045  F`mfum`r

z6,  z  , 6 z   8 z 6   sgoahb z > < ( fbs ω /? + g soa ω /? ) .

♣  Cörnum` ho Oumor jx

Os nuy soafgmmb honbstr`r quo m` cuafgöa c(x) > o , hbaho  x os ua` v`rg`dmo ro`m , os sbmufgöa ho m` ofu`fgöa hgcoroafg`m hgcoroafg`m c ‗(x) > j c(x) y vorgcgf`  c(9) > 0. Vg pbr btr` p`rto fbasghor`nbs m`s cuafgbaos os nuy soafgmmb bdsorv`r quo 5

u(x) > fbs x y  v(x) > soa x ho v`rg`dmo ro`m x,

u'(x) + g v'(x) > -soa x + g fbs x > g (fbs x + g soa x) > g Zu(x) + g v(x)^ (#) Vg mm`n`nbs

k(x) > fbs x + g soa x oatbafos m` oxprosgöa (#) puoho osfrgdgrso k'(x) > g k(x) 

Fbnp`r`nbs mbs rosumt`hbs bdtoaghbs fba c(x) y k(x)  V`donbs quo os sbmufgöa ho jx c(x) > o   c ‗(x) > j c(x) k(x) > fbs x + g soa x k ‗(x) > g k(x) 

y vorgcgf` vorgcg f` c(9) > 0  k(9) > 0 

Vg tbn`nbs j > g   , m` sokuah` y torfor` fbmuna` hom hom fu`hrb `atorgbr `cgrn`a m` ngsn` fbs`, fbs`, p`r` quo tbhb so` fbasgstoato, hodorà sor c(x) > k(x) , pbr mb t`atb  os r`zba`dmo hocgagr p`r` x v`rg`dmo ro`m m` sgkugoato oxprosgöa, oxprosgöa, quo so hoabnga` hoabnga`

cörnum` ho Oumor 

og x > fbs x + g soa x ∃ @ftgvgh`h 065  Eustgcgf`r quo

♣ 

o-gx > fbs x - g soa x , fba x aõnorb ro`m.

Abt`fgöa oxpbaoafg`m 

μ  os om `rkunoatb ho ua fbnpmoeb z  ≩  9, pbr m` cörnum` ho Oumor s`donbs quo  o   >  fbs μ + g soa μ  ,  pbr mb t`atb tbhb fbnpmoeb ab aumb z ho nöhumb r y `rkunoatb μ  so puoho gahgf`r z > r og μ  , hoabnga`h` abt`fgöa oxpbaoafg`m hom fbnpmoeb Vg

gμ

<

Nöhumb G - _agh`h 9

 

N`tonàtgf` H y H0

∃ @ftgvgh`h 085  gω /8

Osfrgdgr mbs fbnpmoebs z0> g , z4 > -0 , z6 > -4g , z8 > 6 , z? > 0 - g , z3> -4 o ω cbrn` oxpbaoafg`m

 , z;> g ogω /8 oa m`

⊟  Gnpbsgdgmgh`h ho brhoa`r mbs aõnorbs fbnpmoebs fbnpmoebs 5  

V`donbs quo h`hbs hbs aõnorbs ro`mos hgstgatbs `0 y `4 , so vorgcgf` quo `0 1 `4  b `0 = `4 . Ost` `cgrn`fgöa ab puoho l`forso oatro hbs aõnorbs fbnpmoebs y p`r` eustgcgf`rmb supbak`nbs quo mbs fbnpmoebs g y 9 puohoa brhoa`rso.

g 1 9 oatbafos g4 1 9, puos om prbhuftb ho hbs aõnorbs n`ybros quo 9 os n`ybr quo 9, pbr mb t`atb -0 1 9  4 # Vg g = 9 oatbafos g  1 9, puos om prbhuftb ho hbs aõnorbs noabros quo 9 os n`ybr quo 9, pbr mb t`atb -0 1 9 @nd`s supbsgfgbaos supbsgfgbaos abs mmov`rba ` m` rom`fgöa5 rom`fgöa5 -0 1 9 (*) - Vg sun`nbs 0 ` `ndbs ngondrbs ho (*) bdtoaonbs 9 1 0 (**) # Vg

- Vg `pmgf`nbs auov`noato m` prbpgoh`h ho prbhuftb ho aõnorbs n`ybros quo 9 ` (*), bdtoaonbs (-0)4 1 9, b 0 1 9 (***) Fbnb os gnpbsgdmo quo so funpm` (**) y (***) , oafbatr`nbs ua` fbatr`hgffgöa. Ybr mb t`atb pbhonbs `cgrn`r quo ”Mbs aõnorbs fbnpmoebs ab puohoa brhoa`rso sga prbhufgr ua` fbatr`hgffgöa oa m`s m`s prbpgoh`hos ho brhoa oatro aõnorbs aõnorbs ro`mos„ 

• Oeorfgfgbs

0- Oxpros`r mbs sgkugoatos aõnorbs fbnpmoebs oa m` cbrn` x + g y `) ( 0 + g ) 6 

d) g6 + g0; 

f) (4 + 6g) (6 ‖ 8g) -0 

h) ¾ (0 + g) (0 + g- - Gn(z)  

d) To(z) > Gn(gz) 

o) | z | ≨ |To(z)| + |Gn(z)| 

c) 

(z )4  > z 4  

f) To(z) ≨ | z | k)  z .z  >

z

4

 

h) Gn(z) ≨ | z |

`rk(( z ) > l) `rk

- `rk(z) `rk(z)

6- Vg z0 y z4 sba hbs fbnpmoebs ab aumbs, honbstr`r quo5 `)

z 0 + z 4  > z 0 + z 4  

d)

z 0 . z  4 > z 0 . z 4  

   z 0   z 0  >   sg  z4 ≩ 9 z z     4   4

f) 

7

Nöhumb G - _agh`h 9

 

N`tonàtgf` H y H0

8- L`mm`r om nöhumb, om `rkunoatb y om `rkunoatb prgafgp`m y m` roprosoat`fgöa oxpbaoafg`m ho `) g 

d) 0 ‖g

f) ‖6

h) ‖4 ‖ g

o) ‖4g

?- F`mfum`r `)

0?

(

6  ++ g )  

d) (0 ‖ g)

09

0/4

 

f) g

0/6

 

h) (-4;)

3- L`mm`r m`s sbmufgbaos ho m`s sgkugoatos ofu`fgbaos 8

`) z

 + 0 > 9

4

d) z

6

 ‖ 4gz ‖4 > 9

f) z

‖0>g 6

;- Vg z0> ` ogμ  , z4> d ogϟ  fba ` . d ≩ 9 , eustgcgf`r quo5 `) Vg d) Vg f) Vg

- ω = μ + ϟ ≨  ω  oatbafos @rk(z0 . z4) > @rk(z0) + @rk(z4) - 4ω = μ + ϟ ≨  - ω  oatbafos @rk(z0 . z4) > @rk(z0) + @rk(z4) + 4 ω  ω = μ + ϟ ≨  4ω  oatbafos @rk(z0 . z4) > @rk(z0) + @rk(z4) - 4 ω 

4 z 0 + z 4

f)

z0 + z 4   ≨ z0 + z 4  

4

 

(`yuh`5 us`r d) 

4

4

4

d) 

z 0 ° z 4 > z  0 + z 4 ° 4 To(z 0 .z 4 )  

h)

z 0 ° z 4 ≯  z 0 ∔ z 4  

7-  Toprosoat`r kràcgf`noato mbs fbnpmoebs z quo vorgcgf`a m`s m `s sgkugoatos rom`fgbaos5 `) To(z) > 4 4

h) z

 > z

k) |z| = |z ‖ 4g|  e)

|z ‖ g| ≯ |z + 4|

d) ‖0 = Gn(z) ≨ 6

f)  z > z

o) 

c) ω /8 = @rk(z) = ω , | z | 14 

z ∔  4 1 0  

l) |z| 1 Gn(z)

g) |z | ≨ |z ‖ 0| ≨ |z ‖ g|

j) |z| > To(z)

m) z

z  > z ‖ z

4 09- Vg z9 os ua puatb gatorgbr ` m` furv` furv` ζ  ζ  ζ5  |z| > T , eustgcgf`r quo  T  z 9  os oxtorgbr ` ζ 

09

Nöhumb G - _agh`h 9

 

N`tonàtgf` H y H0

N@XONÀXGF@ H y H0

Nöhumb G5 @aàmgsgs ho S`rg`dmo Fbnpmoe` 

_agh`h 0

Cuafgbaos ho v`rg`dmo fbnpmoe`  N`k. N`rî` Gaçs D`r`k`ttg 

0- Cuafgbaos ho v`rg`dmo fbnpmoe` Vg ` tbhb aõnorb z ho ua fbaeuatb H ho aõnorbs fbnpmoebs mb rom`fgba`nbs fba ua aõnorb fbnpmoeb w , hofgnbs quo lonbs hocgaghb ua` cuafgöa ho hbngagb  fbhbngagb F .

õagfb  H  y

Y`r` gahgf`r quo c os ua` cuafgöa ho H oa F , `abt`nbs

c5H z

 ↔        ↔    

F   ↔        ↔     w > c(z)

Vg c ostà oa m`s fbahgfgbaos `atorgbros, hofgnbs quo c os ua` cuafgöa ho v`rg`dmo fbnpmoe` . Vg z y w so osfrgdoa oa cbrn` dgaöngf` y supbaonbs quo w > c(z) puoho osfrgdgrso nohg`ato m` gku`mh`h5

z > x + gy  , w > u + gv  oatbafos

u + g v > c(x + g y)   y pbr mb t`atb u y v , quo sba ro`mos, hopoahoràa ho m`s v`rg`dmos ro`mos x o y , os hofgr

u > u(x,y)  , v > v(x,y)   Oeonpmbs

0-

4- 

c(z ) > z4 os ua` cuafgöa ho hbngagb F quo ` f`h` fbnpmoeb mb rom`fgba` fba su fu`hr`hb quo vorgcgf` 5  w > c(z ) > z4 > (x + gy)4 > x4 ‖ y4 + g 4xy ⇔  u(x,y) > x4 ‖ y4  y v(x,y)> 4xy k(z) > g / |z|4 os ua` cuafgöa ho hbngagb F ‖ {9} quo vorgcgf`5 w > k(z) > g / |z| 4 > g / (x 4 + y4) ⇔  u(x,y) > 9 y v(x,y) > 0 / (x4 + y4) 0

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 6- 

l0(z) > `rk(z) ab os  ua` cuafgöa, puos f`h` fbnpmoeb z ab aumb tgoao gacgagtbs v`mbros hom `rkunoatb, oa f`ndgb l4(z) > @rk(z) os ua` cuafgöa ho hbngagb F ‖ {9} puos om 9 os om õagfb fbnpmoeb quo ab tgoao `rkunoatb y f`h` fbnpmoeb tgoao ua õagfb  `rkunoatb prgafgp`m.

8-  V`donbs quo oa v`rg`dmo ro`m fbnpmoe` rosumt`hbs.

c ( x  ) > x   os ua` cuafgöa fba fba hbngagb Z9, ∑) , oa v`rg`dmo z   ab os ua` cuafgöa puos p`r` f`h` fbnpmoeb z , su r`îz fu`hr`h` tgoao hbs x fbnb `quom aõnorb pbsgtgvb fuyb fu`hr`hb os gku`m ` x , `sî 8 > 4 

Tofbrh`r quo oa v`rg`dmo ro`m so hocgao

 

5

∃ @ftgvgh`h 0   Gahgf`r om hbngagb nàs `npmgb y oxpmgfgt`r m` p`rto ro`m y m` p`rto gn`kga`rg` ho m`s sgkugoatos cuafgbaos5  `)

c 0 (z  ) >

z   To(4z )

d)

c 4 ( z ) >

4∔g   0∔ | z |

f)

c 6 ( z  ) >

gz   z

4- Mîngto ♣  Vo hoabnga` oatbrab ho r`hgb

r ho ua fbnpmoeb  z9  `m fbaeuatb  {z / |z ‖ z9 | = r} quo roprosoat` ua  fîrfumb `dgortb foatr`hb oa  z9  . Vg ` hgflb fîrfumb mo s`f`nbs om puatb z9  toaonbs mb quo so hoabnga` oatbrab rohufghb. z9

z9

Oatbrab rohufghb ho z9

Oatbrab ho z9

♣  Vg oa tbhb oatbrab ho z 9  l`y gacgagtbs puatbs portoaofgoatos ` ua fbaeuatb  H, hofgnbs quo 

z9 os ua puatb ho `funum`fgöa ho H.

♣  Vo`

z9 ua puatb ho `funum`fgöa hom hbngagb H ho c(z) , hofgnbs quo c(z) tgoao mîngto M fu`ahb z tgoaho ` z9 o gahgf`nbs  mîn c(z) > M  sî y sömb sî mîn c(z) - M > 9   z↔z9

z↔z 9

Fbnb |c(z) ‖ M| os ua` cuafgöa ` v`mbros ro`mos, s`donbs quo

mîn c(z) ∔ M

z↔z9

>

9  sgkagcgf` quo 5

p`r` tbhb aõnorb pbsgtgvb ο, pbhonbs oafbatr`r ua aõnorb pbsgtgvb θ, quo hopoaho ο, t`m quo  | c(z) ‖ M | = ο  p`r` tbhbs mbs z ho H quo vorgcgf`a  9 = | z ‖ z9 | = θ 

 @ftgvgh`h 45 

∃

`)  Eustgcgf`r us`ahb m` hocgagfgöa quo 5 d) _s`ahb `) eustgcgf`r quo 5

mîn c(z) > 9 ⇘ mîn c(z) > 9   z↔9

z↔9

z ↔ 9 ⇘ | z | ↔ 9 4

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0

 @ftgvgh`h 65 

∃

H`h`

c(z)

>

fbs 

0 0  , fbnprbd`r quo mîn c(z) + g soa z↔9 |z| |z|

Osto oeonpmb nuostr` quo oa koaor`m 

Α Xobron`

mîn c(z) ∔ 0 z↔9

≩

9 

mîn c(z) >| M |  ab os oqugv`moato `  mîn c(z) ∔ M

z ↔z 9

z↔z9

>

9 

ho gatorf`m`fgöa (t`ndgça mm`n`hb hom s`ahwgfl)

Vg oa ua oatbrab rohufghb ho  z9  mîn k(z) > mîn l(z) > @  oatbafos mîn z ↔z 9

> 0  y

z ↔z 9

z↔z9

so vorgcgf` quo  c(z) > @  

|k(z)|

≨ 

|c(z)|

≨ 

|l(z)|

y 

 @ftgvgh`h 85 

∃

H`h` c(z) > u(x,y) + g v(x,y) y 

mîn c(z) > M > M 0 + g M 4  

z ↔z 9

⇘ 

z9 > x9 + g y9 , eustgcgf`r quo5 mîn

( x , y ) ↔( x 9 . y 9 )

u(x, y) > M 0   y

mîn

( x ,y )↔( x 9 . y 9 )

v(x, y) > M 4  

Xoaor oa fuoat` m`s gahgf`fgbaos quo so h`a ` fbatgau`fgöa

⇔) Fbnb m` p`rto ro`m y m` p`rto gn`kga`rg` ho ua fbnpmoeb sba noabros quo su nöhumb , pbhonbs `cgrn`r quo5  9 ≨ |u(x,y) ‖ M0| ≨ |c(z) gatorf`m`fgöa so bdtgoao mb dusf`hb.

- M|  y

9 ≨  |v(x,y) ‖ M4| ≨ |c(z) - M|  , y us`ahb om tobron` ho

⇙) Fbnb om nöhumb ho ua fbnpmoeb os noabr b gku`m quo m` sun` hom v`mbr `dsbmutb ho m`

p`rto ro`m y om v`mbr `dsbmutb ho m` p`rto gn`kga`rg`, pbhonbs fbasghor`r quo 5 9 ≨  |c(z) ‖ M| ≨ |u(x,y) ‖ M0| + |v(x,y) ‖ M4 |  , y us`ahb om tobron` ho gatorf`m gatorf`m`fgöa `fgöa so bdtgoao mb dusf`hb. 

⊟ Bdsorv`fgöa Xoagoahb oa fuoat` mb `cgrn`hb oa m` `ftgvgh`h 8, pbhonbs hofgr quo om fàmfumb ho ua mîngto oa v`rg`dmo fbnpmoe` puoho rohufgrso `m fàmfumb ho mbs mîngtos hbdmos ho sus fbnpbaoatos ro`m o gn`kga`rg`.   Oeonpmbs

0- 

mîn  z ↔g

0 z-g z-g mîn   mîn   > > z 4 + 0 z ↔g (z +  g )( z ∔ g ) z ↔g z + g

>

0 4g

>∔

g   4

z4 > 2 , oa osto f`sb puoho dusf`rso m` p`rto ro`m o gn`kga`rg` ho m` cuafgöa y muokb 4-  mîn  z ↔9 | z | f`mfum`r   mbs  mîngtos hbdmos ho f`h` ua` ho omm`s p`r` (x,y) ↔ (9,9). Fbnb ostb os d`st`ato m`rkb pbhonbs `a`mgz`r om nöhumb ho m` m ` cuafgöa y bdsorv`r quo5 6

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0

z 4 | z |4 9≨ >  >| z |   , sg tbn`nbs k(z) > 9 , l(z) > |z| y mm`n`nbs c(z) ` m` cuafgöa h`h`  |z| |z| vonbs quo  |k(z)| ≨  |c(z)| ≨  |l(z)| y fbnb  mîn k(z) > mîn l(z) > 9   oatbafos us`ahb om z↔9

tobron` ho gatorf`m`fgöa bdtoaonbs `cgrn`r quo

mîn c(z) z ↔9

>

z↔9

9   y us`ahb `) ho m` `ftgvgh`h 4 pbhonbs

mîn c(z) > 9   z ↔9

 @ftgvgh`h ?5 

∃

F`mfum`r mbs sgkugoatos mîngtos

To(z 4 )   d) mîn  z ↔9 z

z -0 `) mîn    z ↔0 z ∔ 0

Gn(z 4 )   f) mîn  z ↔9 z

6- Fbatgaugh`h oa ua puatb y oa ua hbngagb ♣  _a` cuafgöa c(z) os fbatgau` oa z9 sî y sömb sî ♣  _a` cuafgöa

mîn c(z) > c(z 9 )  

z ↔z 9

c(z) os fbatgau` oa ua hbngagb H sg os fbatgau` oa f`h` puatb ho H.

 @ftgvgh`h 35 

∃

H`h` c(z) > u(x,y) + g v(x,y) y 

z9 > x9 + g y9 , eustgcgf`r quo5

c(z) os fbatgau` oa z9  ⇘ u(x,y) y v(x,y) sba fbatgau`s oa (x9 , y9) _s`r om rosumt`hb ho m` `ftgvgh`h 8 y m` hocgagfgöa ho fbatgaugh`h.

⊟ Bdsorv`fgbaos

y oeonpmbs5

H`hb quo m` hocgagfgöa ho fbatgaugh`h os ghçatgf` ` m` hocgagfgöa ho fbatgaugh`h ho ua` cuafgöa ho ua` v`rg`dmo ro`m, pbhonbs oauafg`r m`s sgkugoatos prbpbsgfgbaos, fuy`s honbstr`fgbaoss sba ox`ft`noato m`s ngsn`s quo m`s utgmgz`h`s oa om f`sb ro`m. honbstr`fgbao 0-  M` sun` , rost` y prbhuftb ho cuafgbaos fbatgau`s os fbatgau`. Om fbfgoato ho cuafgbaos fbatgau`s os fbatgau` s`mvb oa mbs puatbs oa quo so `aum` om hoabnga`hbr. 4-  M` fbnpbsgfgöa ho cuafgbaos fbatgau`s os ua` cuafgöa fbatgau`. 4 a 6-  Mbs pbmgabngbs fbnpmoebs c(z) > `9 + `0 z + `4 z  +……+ `a z   sba ffbatgaubs batgaubs p`r` p`r` tbhb tbhb z 

 @ftgvgh`h ;5

∃

0-  Eustgcgf`r pbrquç m`s sgkugoatos prbpbsgfgbaos sba vorh`hor`s5 `) 

k0(z) > To(z) os fbatgau` oa F 8

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 d)  f)  h)  o) 

k4(z) > |z |  os fbatgau` oa F k6(z) > Gn(z6-6) os fbatgau` oa F k8(z) >@rk(z)  ab os fbatgau` oa om fbaeuatb  {(x,9) / x ≨ 9} k?(z) > @rk(z-4) ab os fbatgau` oa om fbaeuatb fbaeuatb {(x,9) / x ≨ 4}

8- Horgv`h` Lonbs vgstb quo mbs mîngtos y m` fbatgaugh`h ho m`s cuafgbaos fbnpmoe`s so rohufoa ` mbs mîngtos y m` fbatgaugh`h ho p`ros ho cuafgbaos ro`mos ho hbs v`rg`dmos ro`mos. Ybhrî` froorso quo m` horgv`dgmgh`h ho ua` cuafgöa c(z) os rohufgdmo ` m` ho sus p`rtos ro`m o gn`kga`r`, porb voronbs quo ostb ab os `sî y sba os`s hgcoroafg`s m`s quo h`a gatorçs ` m` tobrî`. ♣  Vg

c(z) ostà hocgagh` oa ua oatbrab ho z9  , oatbafos m` horgv`h` ho c(z)  oa z9  , ` m` quo c(z + ∃z) - c(z 9 )  fu`ahb osto mîngto oxgsto. gahgf`nbs c '(z9) , ostà h`h` pbr c ' ( z 9 ) > mîn   9 ∃z ↔ 9 ∃z

⊟ Bdsorv`fgbaos5 H`hb quo m` hocgagfgöa ho horgv`h` tgoao m` m ` ngsn` cbrn` quo m` hocgagfgöa ho horgv`h` ho ua` cuafgöa ho ua` v`rg`dmo ro`m, pbhonbs oauafg`r m`s sgkugoatos prbpbsgfgbaos, fuy`s honbstr`fgbaoss sba ox`ft`noato m`s ngsn`s quo m`s utgmgz`h`s oa om f`sb ro`m. honbstr`fgbao 0-  M` cuafgöa fbast`ato

c(z) > j os horgv`dmo p`r` tbhb z y c '(z) > 9.  a

4- Vg a os ua aõnorb a`tur`m, c(z) > z   os horgv`dmo p`r` tbhb z  y , sg a os ua aõnorb oatorb a a‖0 aok`tgvb, c(z) > z   os horgv`dmo p`r` tbhb z ≩ 9 . Oa `ndbs f`sbs so funpmo c '(z) > az . 6- Vg c(z) os horgv`dmo oa z9 oatbafos c(z) os fbatgau` oa z9 .

c(z)  y k(z) sba horgv`dmos oa ua hbngagb H  oatbafos c(z) ° k(z) ,  c(z). k(z) , c(z) /k(z) ,  fba k(z) ab aum` oa H y c(k(z)) sba horgv`dmos oa H y so funpmo5

8- Vg

`) 

Zc(z) ° k(z)^'> c '(z) ° k'(z)

d) 

Zc(z) . k(z)^' > c '(z) k(z) + c(z) k'(z)

f) 

Zc(z) / k(z)^'> Zc '(z) k(z) ‖ c(z) k'(z)^ / Zk(z)^ 4 

h)  h) Zc(k(z))^'> c '(k(z)) k'(z)    Oeonpmbs

0- Mbs pbmgabngbs fbnpmoebs

c(z) > `9 + `0 z + `4 z4 +……+ `a za  sba hhorgv`dmos orgv`dmos p`r` tbhb z 

?

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 4- M`s cuafgbaos r`fgba`mos, os hofgr `quomm`s quo sba fbfgoato ho pbmgabngbs oa horgv`dmos oa tbhbs mbs fbnpmoebs quo ab `aumoa om hoabnga`hbr.

z,  sba

4

6- Vg quoronbs s`dor sg c(z) > |z|  os horgv`dmo , f`mfum`nbs

| z + ∃z | 4 - | z | 4 c(z + ∃z) - c(z ) > mîn   mîn     (0),  fbnb osto mîngto os gahotornga`hb `a`mgz`nbs ∃z ↔ 9 ∃z ↔ 9 ∃z ∃z mbs sgkugoatos hbs f`sbs 5 -  Vg  ∃z os ro`m, os hofgr sg  ∃z > ∃x + 9 g , oatbafos

| z + ∃x | 4 - | z | 4 (0)  > mîn   ∃x ↔ 9 ∃x

4x∃x + ∃x 4 (x + ∃x)4 + y 4 - ( x 4 + y 4 ) > mîn   > mîn   ∃x ↔ 9 ∃x ↔ 9 ∃x ∃x

>

4x  

-  Vg  ∃z os gn`kga`rgb purb, os hofgr sg ∃z > 9 + g ∃y , oatbafos

| z + g∃y | 4 - | z | 4 (0) > mîn   ∃y ↔9 g∃ y

x 4 + (y + ∃y) 4 - ( x 4 > mîn   ∃ y ↔9 g∃ y

+y

4

)

4y∃y + ∃y 4 > mîn   ∃y ↔ 9 g ∃y

>

4y g

> ∔ g 4y  

4

Vg 4x ≩ - g 4y  oatbafos om om mîngto (0) ab oxgsto y pbr pbr mb t`atb c(z) > | z |   ab os  horgv`dmo. Fbnb m` gku`mh`h 4x > - g 4y  sömb os vorh`hor` sg x > 9  o y > 9 , pbhonbs `cgrn`r quo sg z ≩ 9 oatbafos c(z) > | z |4  ab os horgv`dmo.

4yy , os hofgr sg x > y > 9  b z > 9 , oatbafos mbs hbs mîngtos `atorgbros sba gku`mos, Vg 4x > - g 4 porb ostb ab `mf`az` p`r` `cgrn`r quo om mîngto (0) oxgsto. Y`r` `vorgku`r sg os horgv`dmo oa z > 9 f`mfum`nbs om mîngto (0) oa hgflb puatb5 | ∃z | 4 - | 9 | 4 c(9 + ∃z) - c(9) mîn   > mîn   ∃z ↔ 9 ∃z ↔ 9 ∃z ∃z

| ∃z | 4 > mîn   ∃z ↔ 9 ∃z

>

mîn  

∃z ↔ 9

∃z ∃z ∃z

>

mîn ∃z > 9  

∃z ↔ 9

4

Muokb pbhonbs `cgrn`r quo

c(z) > | z |   sömb os horgv`dmo oa z > 9 y so vorgcgf` c '(9) > 9 

4

Fbnb c(z) > | z |   os fbatgau` p`r` tbhb z, osto oeonpmb abs nuostr` quo ua` cuafgöa puoho sor fbatgau` y ab sor horgv`dmo. 4

4

4

Osto oeonpmb t`ndgça abs nuostr` quo sg z > x + gy   oatbafos m` cuafgöa cuafgöa c(z) > | z |  > x  + y , os ua pbmgabngb oa m`s v`rg`dmos x , y  , p`rofo gabcoasgv` y sga ond`rkb sömb sömb tgoao horgv`h` oa

z>9 Abs prokuat`nbs5 ² os pbsgdmo `vorgku`r sg ua` cuafgöa tgoao b ab horgv`h` sga us`r m`

hocgagfgöa2 Mbs tobron`s quo so hos`rrbmm`a ` fbatgau`fgöa abs h`ràa m` rospuost` ` osto gatorrbk`ato. g atorrbk`ato. 3

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 Α Fbahgfgöa

aofos`rg` ho oxgstoafg` ho horgv`h`

c(z) > u(x,y) + g v(x,y) os horgv`dmo oa z9 >x 9 + g y 9  oatbafos u(x,y) y v(x,y) vorgcgf`a oa  ∄u(x 9 , y 9 ) ∄v(x 9 , y 9 ) >  ∄x ∄y   (F.T) (x9, y9) m`s fbahgfgbaos ho F`ufly Tgon`aa 5  ∄u (x 9 , y 9 ) ∄v (x 9 , y 9 )  Vg

c '(z9) >

@honàs so vorgcgf` quo

∄ u(x 9 , y 9 ) ∄x

 ∄  v(x ,yy ) ∄ 9 9

+ g 

∄x

>∔

∄

x

>

∄v (x 9 , y 9 ) ∄y

∔ g 

∄u(x 9 , y 9 ) ∄y

 

Honbstr`fgöa Ybr sor c(z) horgv`dmo oa z9 , s`donbs quo  c ' ( z 9 ) >

c(z 9 + ∃z) - c(z 9 )  y osto mîngto oxgsto ∃z ↔ 9 ∃z mîn  

gahopoahgoatonoato gahopoahgoato noato hom nbhb oa quo ∃z tgoah` ` forb. Fbasghor`ahb ∃z > ∃x + g 9 , os hofgr tbn`ahb ∃y > 9, om mîngto `atorgbr tbn` m` cbrn`5

c ' ( z 9 ) > mîn  

u(x 9 + ∃x, y 9 ) + g v(x 9 + ∃x, y 9 ) - u(x 9 , y 9 ) ∔ g v(x 9 , y 9 ) ∃

∃x ↔ 9

 

x y `krup`ahb m`s p`rtos ro`mos o gn`kga`rg`s y toagoahb oa fuoat` quo om mîngto oxgsto so bdtgoao 

c ' ( z 9 ) >

∄u(x 9 , y 9 ) ∄x

+ g 

∄v (x 9 , y 9 ) ∄x

  (*)

Fbasghor`ahb ∃z > 9 + g ∃y , os hofgr tbn`ahb ∃x > 9, om mîngto tbn` m` cbrn`5

u(x 9 , y 9 + ∃y) + g v(x 9 , y 9 + ∃y) - u(x 9 , y 9 ) ∔ g v( x 9 , y 9 )   ∃ y ↔9 g∃ y ∄v (x 9 , y 9 ) ∄u(x 9 , y 9 )   (**)  y bpor`ahb fbavoagoatonoato so bdtgoao  c ' ( z 9 ) > ∔ g  ∄y ∄y c ' ( z 9 ) > mîn  

Fbnp`r`ahb (*) y (**) , toaonbs m` gku`mh`h oatro hbs fbnpmoebs, pbr mb t`atb sus p`rtos ro`mos sba gku`mos oatro sî y t`ndgça sus p`rtos gn`kga`rg`s y m`s gku`mh`hos bdtoagh`s sba  eust`noato m`s fbahgfgbaos fbahgfgbaos ho FT, quo quorî`nbs honbstr`r. honbstr`r.

⊟ Bdsorv`fgöa5 Vg u(x,y) y v(x,y) ab s`tgsc`foa m`s fbahgfgbaos ho  (F.T) oa  (x9, horgv`dmo oa z9 >x9 + g y9  (Fbatr` rofîprbfb hom tobron` `atorgbr)

y9) oatbafos c(z) ab os 

  Oeonpmb 4

Vg quoronbs s`dor hbaho os horgv`dmo m` cuafgöa c(z) > x y - gxy  oatbafos dusf`nbs su p`rto ro`m o gn`kga`rg` , oa osto f`sb u(x,y) > xy , v(x,y v(x,y)) > -x -xyy4  y pm`ato`nbs m`s fbahgfgbaos ho FT 5 ;

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0

ux > vy  ⇔  y > -4xy ⇔ y (0 + 4x) > 9 uy > -vx ⇔  x > y4  Fbnb m` prgnor` ofu`fgöa os om prbhuftb ho hbs c`ftbros gku`m`hb ` forb, `mkuab ho ommbs hodorà sor forb , pbr mb t`atb y > 9 ö x > -0/4. Toonpm`z`ahb oa m` sokuah` ofu`fgöa vonbs quo 5 sg  y > 9 oatbafos   x > 9, 4

sg  x > -0/4 , oatbafos so bdtgoao 

y  > -0/4 , quo ab tgoao sbmufgöa puos y os ro`m Ybr mb t`atb m`s fbahgfgbaos ho FT sömb so vorgcgf`a oa z > 9 + g 9 > 9 , pbhonbs `cgrn`r  oatbafos quo m` cuafgöa h`h` ab os horgv`dmo sg   z ≩9 , porb ab pbhonbs `cgrn`r sg os b ab horgv`dmo oa hgflb puatb puos om tobron` `atorgbr sömb gahgf` ua` fbahgfgöa aofos`rg` ho horgv`dgmgh`h porb ab ua` fbahgfgöa sucgfgoato.

Α Fbahgfgöa

sucgfgoato ho oxgstoafg` ho horgv`h`

Vg u(x,y) y v(x,y) tgoaoa horgv`h`s p`rfg`mos fbatgau`s oa  (x9, y9) y vorgcgf`a puatb oatbafos c(z) > u(x,y) + g v(x,y) os horgv`dmo oa  z9 >x9 + g y9

(F.T) oa hgflb

Honbstr`fgöa Fbasghor`ahb quo ∃z > ∃x + g ∃y , toaonbs quo honbstr`r quo oxgsto om sgkugoato mîngto

u(x 9 + ∃x, y 9 + ∃y) + g v(x 9 + ∃x, y 9 + ∃y) - u(x 9 , y 9 ) ∔ g v( x 9 , y 9 ) > (#)  ( ∃x , ∃y ) ↔ ( 9 , 9 ) ∃ x + g ∃y mîn

 

Fbnb m`s horgv`h`s p`rfg`mos ho  u(x,y) y v(x,y) sba fbatgau`s oa  (x9, y9), oatbafos hgfl`s cuafgbaos sba hgcoroafg`dmos oa  (x9, y9) y pbr mb t`atb puohoa `prbxgn`rso oa ua oatbrab ho hgflb puatb pbr om pm`ab t`akoato, `sî pbhonbs osfrgdgr 5

u(x,y) > u(x9, y9) + u'x (x9, y9) (x - x9) + u'y (x9, y9) (y - y9) + O0(x ‖ x9, y ‖ y9) v(x,y) > v(x9, y9) + v'x (x9, y9) (x - x9) + v'y (x9, y9) (y - y9) + O4(x ‖ x9, y ‖ y9) hbaho O0 y O4 tgoahoa ` forb nàs ràpghb quo m` hgst`afg` quo sop`r` mbs puatbs (x,y) y (x9, y9) Vg fbasghor`nbs x ‖ x9  > ∃x , y ‖ y9  > ∃y oxprosgbaos `atorgbros puohoa osfrgdgrso fbnb5

y us`nbs m` m`ss fbahgfgbaos fbahgfgbaos ho (FT) , m`s

u(x9 + ∃x, y9 + ∃y) - u(x9, y9) > u'x (x9, y9) ∃x - v'x (x9, y9) ∃y + O0(∃x, ∃y)

(0)

v(x9 + ∃x, y9 + ∃y) - v(x9, y9) > v'x (x9, y9) ∃x + u'x (x9, y9) ∃y + O4(∃x, ∃y)

(4)

hbaho

mîn

( ∃ x , ∃ y ) ↔( 9 , 9 )

O e ( ∃x, ∃y ) 4

∃ x + ∃y

4

>

9   , p`r`  e > 0,4

<

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 puos  ∃x 4  + ∃y 4  os m` hgst`afg` oatro mbs puatbs (x9 + ∃x ,y9 + ∃y) y 

(x9, y9) y tgoaho ` 9

sî y sömb sî sî (∃x, ∃y) tgoaho ` (9,9)  Toonpm`z`ahb (0) y (4) oa (#) y `krup`ahb `krup`ahb fbavoagoatonoato fbavoagoatonoato toaonbs5

(#) >

 O ( ∃x, ∃y ) + gO 0 ( ∃x, ∃y )  u' x (x 9 , y 9 ) + g v'x (x 9 ,  y 9 ) +  0   > ∃ ∃ ↔ ( x , y ) ( 9,9 ) ∃x + g∃y  

mîn

> u‗x (x9, y9) + g v‗x (x9, y9) 

puos om mîngto hom õmtgnb fbfgoato v`mo forb puos pbhonbs pbhonbs `fbt`rmb ho m` sgkugoato n`a n`aor` or`

9≨

O 0 ( ∃x, ∃y ) + gO 0 ( ∃x, ∃y ) ∃x + g∃ y

≨

| O 0 ( ∃ x , ∃y ) | | O 4 ( ∃ x , ∃y ) |   y us`ahb om tobron` ho  + 4 4 4 4 ∃ x + ∃y ∃x + ∃y

gatorf`m`fgöa fbafmugnbs quo om mîngto (#) oxgsto y pbr mb t`atb

c(z) os horgv`dmo oa z9

@atos ho h`r `mkuabs oeonpmbs hocgagnbs om fbafoptb nàs gnpbrt`ato ho m`s cuafgbaos ho v`rg`dmo fbnpmoe`5 m` `a`mgtgfgh`h.

?- @a`mgtgfgh`h @a`mgtgfgh`h ♣  Vg

c(z) os horgv`dmo oa z9 y oa tbhb ua oatbrab ho z9, so hgfo quo c(z) os `a`mîtgf` oa z9 

⊟ Bdsorv`fgbaos5 0-  Vg u(x,y) y v(x,y) tgoaoa horgv`h`s p`rfg`mos fbatgau`s oa ua oatbrab ho z9 y funpmoa  (F.T) oa hgflb oatbrab oatbafos c(z) os `a`mîtgf` oa z9.  4-  Vg u(x,y) y v(x,y) tgoaoa horgv`h`s p`rfg`mos fbatgau`s oa ua hbngagb `dgortb H y funpmoa  (F.T) oa H oatbafos c(z) os `a`mîtgf` oa H.    Oeonpmbs

Vg quoronbs l`mm`r om hbngagb ho fbatgaugh`h, horgv`dgmgh`h y `a`mgtgfgh`h ho m`s sgkugoatos cuafgbaos, prbfohonbs prbfohonbs ho m` n`aor` quo so gahgf` ` fbatgau`fgöa5

0-  c(z) > 6 z8 ‖ 4gz + 8 ‖ g Oa osto f`sb soafgmm`noato hofgnbs quo c os fbatgau`, horgv`dmo y `a`mîtgf` p`r` tbhb z, pbr sor sun` y prbhuftb ho cuafgbaos fbatgau`s, horgv`dmos y `a`mîtgf`s oa tbhb F.

4- c(z) > x4 y + g (y4 ‖ x) ⇔ u(x,y) > x4 y , v(x,y) > y4 ‖ x Fbnb u(x,y) y v(x,y) sba fbatgau`s  p`r` tbhb p`r ho aõnorbs ro`mos  (x,y) ⇔  om hbngagb ho fbatgaugh`h ho c os om fbaeuatb F.  7

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 Y`r` `vorgku`r höaho os horgv`dmo, pm`atonbs m`s fbahgfgbaos ho (F.T)5

u x  u y

v y ⇔ 4xy > 4y   4 > ∔vx ⇔ x > 0

>

y rosbmvonbs om sgston` ho ofu`fgbaos bdtoaghb5 bdtoaghb5 4xy > 4y ⇔ 4y (x ‖ 0) > 9 ⇔ y > 9 b x > 0 4 > 0 xfbndga`ahb ⇔ x > 0 b  x > - 0  mbs rosumt`hbs bdtoaghbs, pbhonbs `cgrn`r quo5 sg x > 0  so s`tgsc`foa `nd`s ofu`fgbaos (sga gnpbrt`r om v`mbr ho y) , t`ndgça so s`tgsc`foa sg (x,y) > (-0,9) , pbr mb t`atb5

-  Vg x ≩ 0  b (x,y) ≩ (-0,9) , m`s fbahgfgbaos ho (F.T) ab so vorgcgf`a y pbr mb t`atb c   ab os horgv`dmo oa hgflbs puatbs( tobron` ho fbahgfgöa aofos`rg`) -  Om fbaeuatb cbrn`hb pbr m` roft` x > 0 y om puatb (-0,9) os om hbngagb ho horgv`dgmgh`h ho c   puos puos oa ommbs, `honàs ho funpmgrso m`s fbahgfgbaos ho (F.T) m`s cuafgbaos u(x,y) y v(x,y) tgoaoa horgv`h`s p`rfg`mos fbatgau`s (tobron` ho fbahgfgöa sucgfgoato)

c '(0+ gy) >

∄ u(0, y )

c '(-0 + 9g) > 6- c(z)

-0

0

c   os v`fîb puos os gnpbsgdmo oafbatr`r oatbrabs ho

Om hbngagb ho `a`mgtgfgh`h ho horgv`dgmgh`h. @honàs su horgv`h` v`mo5

y

∄x ∄u(∔ 0,9 ) ∄x

∄v (0, y )

> 4y + g   ∄x ∄v (∔ 0,9 ) > g  + g  ∄x

+ g 

,

> (y4 ‖ x) + g x4 y ⇔  u(x,y) > y4 ‖ x , v(x,y) > x4 y

Om hbngagb ho fbatgaugh`h os tbhb sor pbmgabngbs.

F, puos u(x,y)  y v(x,y) sba fbatgau`s p`r` tbhb (x,y) pbr

Vg pm`atonbs m`s fbahgfgbaos ho (F.T) bdtoaonbs 5

u x  u y

v y ⇔ ∔0 > x 4   > ∔ v x ⇔ 4 y > ∔4xy

>

y ràpgh`noato pbhonbs `cgrn`r quo osto sgston` ab tgoao sbmufgöa puos m` ofu`fgöa ab so s`tgsc`fo p`r` agakõa aõnorb ro`m x. Ybr mb t`atb om hbngagb ho horgv`dgmgh`h os v`fîb y om ho `a`mgtgfgh`h t`ndgça os v`fîb.

x4 > -0

8- c(z) > ox fbs y + g o x soa y ⇔ u(x,y) > ox fbs y , v(x,y) > ox soa y Om hbngagb ho fbatgaugh`h ho c os om fbaeuatb F puos t`atb  u(x,y) fbnb v(x,y) sba fbatgau`s  p`r` tbhb p`r ho aõnorbs ro`mos (x,y)  Ym`ato`ahb m`s fbahgfgbaos ho (F.T) bdtoaonbs om sgston`5

09

Nöhumb G - _agh`h 0

x

 

N`tonàtgf` H y H0

u x  u y

v y ⇔ o x fbs y > o x fbs y   x x > ∔ v x ⇔ ∔o soay > ∔o soay

>

quo mb s`tgsc`foa tbhbs mbs p`ros (x,y) ho aõnorbs ro`mos, fbnb `honàs u y v tgoaoa horgv`h`s p`rfg`mos fbatgau`s pbhonbs `cgrn`r quo c os horgv`dmo y `a`mîtgf` oa tbhb F. x x + g vx > @honàs su horgv`h` os c 'c (z) ost` cuafgöa vorgcgf` quo '(z)>>uc(z)

x

o  fbs y + g o  soa y . Os gatoros`ato bdsorv`r quo

z4   ?- c ( z ) > 0 + z4 Oa osto f`sb rofbabfonbs quo t`atb om aunor`hbr fbnb om hoabnga`hbr sba fbatgaubs, horgv`dmos y `a`mîtgfbs oa tbhb F pbr sor pbmgabngbs oa v`rg`dmo z , pbr mb t`atb c os fbatgau`, horgv`dmo y `a`mîtgf` oa tbhb F s`mvb oa mbs puatbs ° g  , hbaho so `aum` om hoabnga`hbr y quo `honàs ab portoaofoa ` su hbngagb.

| z |4   3- c ( z ) > 0 + z4 Mbs puatbs ° g   `aum`a om hoabnga`hbr hoabnga`hbr y pbr mb t`atb ab portoaofoa portoaofoa `m hbngagb, cuor` ho ommbs c os fbatgau` pbr sor fbfgoato ho fbatgau`s, pbr mb t`atb om hbngagb ho fbatgaugh`h ho c  os  os F ‖

{ g , -g}. 4

4

Fbnb s`donbs quo 0 + z   os horgv`dmo p`r` tbhb z  y | z |   sömb oa horgv`dmo oa  z9  > 9, pbhonbs `cgrn`r quo c os horgv`dmo oa z9 > 9  pbr sor fbfgoato ho horgv`dmos y om hoabnga`hbr ab so `aum`. @a`mgfonbs sg c   puoho puoho sor horgv`dmo oa `mkõa btrb puatb hom hbngagb, p`r` ommb supbak`nbs quo oxgsto ua fbnpmoeb z0 , fba z0  ≩  9  y z0  ≩  °  g , t`m quo c so` horgv`dmo  oa  z0 , oatbafos r`zba`ahb hom sgkugoato nbhb5   c ( z ) .   (0 + z 4 ) > | z |4   {

horgv`dmo oa z0

  0 8 4 8 6

horgv`dmo oa z 0

{

ab os horgv`dmo oa z 0

088 8  488 8  6

oshorgv`dmo oa z0 ,pbr sor prbhuftb hohorgv`dmos

bdtoaonbs ua` fbatr`hgffgöa, pbr mb t`atb ab puoho oxgstgr oso fbnpmoeb z0 . Fbafmugnbs oatbafos quo c sömb os horgv`dmo oa z9  > 9 y  pbr mb t`atb om hbngagb ho `a`mgtgfgh`h os v`fîb. 

• Oeorfgfgbs 0-  F`mfum`r us`ahb m` hocgagfgöa, m` horgv`h` ho5 `) l0(z) > Gn(z) 

d) l4(z) > z . To(z)

4

f) l6(z) > |z |

 

h) l8(z (z)) >

z

4- Gahgf`r om hbngagb y horgv`r m`s sgkugoatos cuafgbaos us`ahb rokm`s5 00

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0

`) j0(z) > 6 z

4

4

 ‖ 0/z

d) j0(z) > z

8 6

 . (-g + z )  

6- Vg c(z) os horgv`dmo, horgv`dmo, f`mfum`r m` horgv`h` ho `)

( 4z ∔ 0) 8   f) j6(z) > 0 ∔ ( 4z ) 4

w > z . Zc(z)^4  d) w > c(z6) ‖ 4 c(6z)

8- H`h`s m`s cuafgbaos c(z) > z  , k(z) > To(z) , l(z) > Gn(z), fbnprbd`r quo5 `) c(z) ab os horgv`dmo oa agakõa puatb porb C(z) > z c(z)  os horgv`dmo oa om brgkoa.  K(z) (z) > c(z) (k (k(z)) (z))4  os horgv`dmo oa (9,y), ∉ y.. d)k(z) ab os horgv`dmo oa agakõa puatb porb K d)  l(z) ab os horgv`dmo oa agakõa puatb  y L(z) > c(z) ‖ k(z) + gl(z) os horgv`dmo ∉ z.  f)  V`f`r fbafmusgbaos. ?- Vg c(z) os fbatgau` oa z9  y k(z) > z y vorgcgf`  l‗(z9) > 4z9 c(z9)

4

 - z94 , honbstr`r quo l(z) > c(z) . k(z) os horgv`dmo oa z9

3- L`mm`r y kr`cgf`r om hbngagb ho horgv`dgmgh`h y ho `a`mgtgfgh`h ho m`s sgkugoatos cuafgbaos y f`mfum`r c ‗(z) oa mbs puatbs hbaho oxgst` 4

6

6

`) C0(z) > 6xy  + g (y  ‖ x f) C6(z) > z (soax - g y)

)

d) C4(z) h) C8(z)

> -4y x4 + 3x4+ g (4x4 +3 yx4 ) > o4x (8 x y4 + y4 g)

;-  Honbstr`r5 `) Vg c(z) y |c(z)| sba `nd`s `a`mîtgf`s oa H  ⇔ c(z) os ua` cuafgöa fbast`ato oa H. d)  Vg k(z) y k( z )  sba `nd`s `a`mîtgf`s ⇔ k(z) os fbast`ato 4 f)  Vg l(z) > u(x,y)+ g Zu(x,y)^   os `a`mîtgf` ⇔ l(z) os fbast`ato x x6 + y 6 +g 4   sg (x,y) ≩(9,9) y c(9,9) > 9 : nbstr`r quo s`tgsc`fo x + y4 m`s fbahgfgbaos ho F`ufly Tgon`aa oa (9,9) porb ab os horgv`dmo oa z > 9

x6 ∔ y 6 7-  H`h` c(z) >  4 x + y4

09- Vg c(z) > u(x,y) + g v(x,y) y oxpros`nbs  x o  y oa fbbrhoa`h`s pbm`ros toaonbs quo  c(z) > u(r fbs μ , r soaμ) + g v(r fb fbss μ , r soaμ) >  _(r, μ) + g S(r, μ) , honbstr`r quo sg c gμ os horgv`dmo oa z > r o   , oatbafos so vorgcgf`a m`s sgkugoatos fbahgfgbaos ho (F.T)5    ∄_ 0 ∄S ∔ gμ  ∄r > r ∄μ  ∄S ∄_   ∄_ ∄S  o   ∔ g μ    , (F.T oa pbm`ros) y c ' ( z ) > o  ∔g +g  , r ≩ 9  >  ∄S ∄_ 0 r r r ∄ μ ∄ μ ∄ ∄                  >∔ r ∄μ  ∄r 00- Vg c(z) os `a`mîtgf` oa ua fbaeuatb `dgortb H  y z9  portoaofo ` H eustgcgf`r quo m` cuafgöa  c ( z ) ∔ c ( z 9 ) sg  z ∌ H - {z 9 }  k( z ) >  z ∔ z 9   os `a`mîtgf` `a`mîtg f` oa H ‖ {z9} y os fbatgau` oa z9 c ' ( z 9 ) sg  z > z 9

04

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0

3- Cuafgbaos omonoat`mos x

Oa v`rg`dmo ro`m so tgoaoa m`s cuafgbaos   o  . soa x , fbs x , ma x , ²pbhràa oxtoahorso hgfl`s cuafgbaos ` m` v`rg`dmo fbnpmoe`2 @ fbatgau`fgöa oafbatr`ronbs oafbatr`ronbs m` rospuost`. r ospuost`.

♣ 

Cuafgöa Oxpbaoafg`m Oxpbaoafg`m

Vo protoaho hocgagr m` m ` oxpbaoafg`m fbnpmoe` c(z) > oz  ho nbhb quo sg z os ro`m fbgafgh` fba x m` oxpbaoafg`m ro`m, os hofgr hodonbs oxgkgrmo quo c(x + g 9) > o  . x x Fbnb m` horgv`h` ho o  os gku`m ` o  , os a`tur`m gnpbaor quo c '(z) > c(z) p`r` tbhb z.  x

Lonbs vgstb oa om oeonpmb 8 ho m` soffgöa `atorgbr quo m` cuafgöa c(z) >  o  (fbs y + g soa y) x vorgcgf` quo  c '(z) > c(z) p`r` tbhb  z y `honàs funpmo quo  c(x + 9g) > o   , pbr ommb m` oxpbaoafg`m fbnpmoe` so hocgao fbnb so gahgf` ` fbatgau`fgöa y rosumt` sor `a`mîtgf` oa tbhb om pm`ab fbnpmoeb.

♣ 

Cuafgöa oxpbaoafg`m oxpbaoafg`m5 oxp(z) > oz > ox (fbs y + g soa y)

∃

 @ftgvgh`h o   z f)  o  ≩ 9 ,∉z gy h)  | o  | > 0 , p`r` y ro`m z o)  o  > 0 ⇘ z > g 4j ω , fba j oatorb

)‗> oz 

o z0  > o z 4  ⇘  z0 ‖ z4 > g 4jω , fba j oatorb z +z z z k)  o 0   4 > o 0 . o 4  

c) 

♣ 

Cuafgöa Mbk`rgtnb Mbk`rgtnb

Oa v`rg`dmo ro`m, m` cuafgöa mbk`rgtnb os m` gavors` ho m` cuafgöa oxpbaoafg`m y sg

y > ma x Yrotoahonbs hocgagr

y

⇘ o

x 1 9, v`mo 5

 > x

w > ma z , ho nbhb quo ow > z , ²sorà pbsgdmo2

Fbnb m` oxpbaoafg`m fbnpmoe` auaf` so `aum` ho oatr`h` pohgnbs quo fbasghor`nbs w > u + g v , oatbafos5

z

≩ 

9 y sg 

ow > z ⇔  ou (fbs v + g soa v) > z ⇔  ou > | z | , v > `rk(z) > μ + 4jω , fba j > 9, °0, °4,…. Ho m` oxprosgöa ro`m

ou > | z | pbhonbs bdtoaor quo u > ma | z | , pbr mb t`atb 5

w > ma z > u + g v > ma | z | + g (μ + 4jω) , fba j > 9, °0, °4,…. 06

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 quo ovghoatonoato ab os cuafgöa puos p`r` fbnpmoeb mbk`rgtnb

z ≩  9 bdtoaonbs gacgagtbs v`mbros hom

Ost` bdsorv`fgöa gagfg`m porngto h`r m` sgkugoato hocgagfgöa5

♣ 

Mbk`rgtnb fbnpmoeb 5 ma z > ma | z | + g ( μ + 4jω) p`r`  z ≩ 9

Vg cge`nbs om v`mbr ho j oa m` hocgagfgöa `atorgbr y ospofgcgf`nbs om v`mbr hom `rkunoatb μ  tr`ascbrn`nbs `m mbk`rgtnb oa ua` cuafgöa, pbr oeonpmb5 Vg

j > 9, pbhonbs hocgagr m`s sgkugoatos cuafgbaos  5

c 0(z) > ma | z | + g μ ,fba  -ω = μ ≨  ω  c 4(z) > ma | z | + g μ ,fba  9 ≨ μ = 4 ω  c 6(z) > ma | z | + g μ ,fba  ω  ≨ μ = 6 ω  Vg  j > 0, pbhonbs hocgagr m`s sgkugoatos cuafgbaos 5

c 8(z) > ma | z | + g (μ +4ω) fba  -ω = μ ≨  ω  c ?(z) > ma | z | + g (μ +4ω) fba μ9  ≨ μ = μ9  + 4 ω  Ho m`s gacgagt`s cuafgbaos quo puohoa hocgagrso ` p`rtgr hom mbk`rgtnb fbnpmoeb, so hgstgakuo ua`, quo so hoabnga` r`n` prgafgp`m hom mbk`rgtnb, so gahgf` Ma z y so hocgao fbnb5

♣ 

T`n` prgafgp`m ho m` cuafgöa mbk`rgtnb mbk`rgtnb5  Ma z > ma | z | + g @rk(z), fba z ≩ 9  y -ω = @rk(z) ≨  ω 

Bdsorv`r quo5 `)  Om hbngagb ho Ma z os F ‖ {9} d)  Fbnb ma | z |  os fbatgau` p`r` z ≩ 9  y @rk(z) os fbatgau` s`mvb oa om oeo ro`m aok`tgvb, om hbngagb ho fbatgaugh`h ho Ma z  os F ‖ {z > x + g9 , x ≨ 9} f)  Fbnb Ma z ab os fbatgau` oa om oeo ro`m aok`tgvb, ab puoho toaor horgv`h` sbdro hgflb songoeo, porb puoho vorso càfgmnoato us`ahb (F.T) oa pbm`ros y `a`mgz`ahb m` fbatgaugh`h ho m`s horgv`h`s p`rfg`mos ho m` p`rto ro`m o gn`kga`rg` quo om hbngagb ho horgv`dgmgh`h y `a`mgtgfgh`h os F ‖ {z > x + g9 , x ≨ 9} y so funpmo ( Ma z)'> 0/ z   Oeonpmbs

0-  4- 

ma g > ma | g | + g `rk (g) > ma 0 + g ( ¾ ω + 4jω) > g (¾ ω + 4jω), j > 9, ° 0, ° 4,…. Ma g > ma | g | + g @rk (g) > g ¾ ω 

ma (-0 + g) > ma |-0 + g | + g `rk(-0 `rk(-0 + g) > ma 4 + g ( ± . ω + 4jω), j > 9, ° 0, ° 4,…. g) > ma |-0 + g | + g @rk(-0 + g) > ma 4 + g ± ω  8-  Ma (-0 + g)

6- 

08

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 ⊟  Bdsorv`fgöa5 Os s`dghb quo oa v`rg`dmo ro`m v`mo5 ”mbk`rgtnb ho ua prbhuftb ho c`ftbros pbsgtgvbs os gku`m ` m` sun` ho mbs mbk`rgtnbs ho f`h` c`ftbr„, ² v`mhrà ost` prbpgoh`h oa mbs mbk`rgtnbs fbnpmoebs2, p`r` rospbahor f`mfumonbs5 ω

ω

ω

ω

?/8 ω

Ma g + Ma (-0 + g) > g ¾   + ma 4 + g ± .  > ma 4 + g (¾  + ± .  ) > ma 4 + g Ma Z g . (-0 + g)^ > Ma Z- g ‖ 0^ > ma | -0 ‖ g| + g @rk(-0 ‖g) > ma 4 - g ½ ω  Ybr mb t`atb5

♣ 

   

Ma g + Ma (-0 + g) ≩ Ma Z g . (-0 + g)^

Cuafgbaos trgkbabnçtrgf`s o lgpordömgf`s

V`donbs quo sg ΰ os ro`m v`moa m`s gku`mh`hos 5 o ΰ > fbs ΰ + g soa ΰ  g o ΰ > fbs ΰ  - g soa ΰ  g

fuy` sun` y rost` sba rospoftgv`noato5 rospoftgv`noato5 o ΰ + o

-gΰ 

g  

Hospoe`ahb

> 4 fbs ΰ  , ogΰ - o-gΰ  > g 4 soa ΰ .

fbs ΰ  y soa ΰ ho ost`s õmtgn`s bdtoaonbs5 o gΰ ∔  o ∔ gΰ o gΰ +  o ∔ gΰ   , fba  ΰ ro`m    ,  soaΰ > fbs ΰ > 4g 4

Xoagoahb oa fuoat` quo ost`s oxprosgbaos, so hocgao5

♣ 

Fbsoab y om Voab ho ua aõnorb fbnpmoeb fbnpmoeb z5 o gz +  o ∔ gz fbs z >  , 4

o gz ∔  o ∔ gz soaz >   4g

Bdsorv`r quo sg z os ro`m, os hofgr sg z > x   oatbafos om  soa x , y` fbabfghbs ho m` v`rg`dmo ro`m.

fbs z  y soa z  fbgafghoa fba  om fbs x y 

@nd`s cuafgbaos sba `a`mîtgf`s oa tbhb om pm`ab fbnpmoeb pbr sor sun` y rost` ho `a`mîtgf`s y os soafgmmb vorgcgf`r quo 5 (fbs z)'> - soa z  , (soa z)'> fbs z

 @ftgvgh`h 75

∃

Eustgcgf`r quo mbs forbs ho m`s m `s cuafgbaos soa z y fbs z sba mbs ngsnbs quo mbs ho m`s cuafgbaos soa x y fbs x  ho v`rg`dmo ro`m, ro`m, os hofgr prbd`r quo5 `) 

 

d)

soa z > 9 ⇔ z > j ω + 9g , j > 9, ° 0, ° 4,….., fbs z > 9 ⇔ z > (¾

ω ω +

j

ω ω)

+ 9g , j >

° ° ° 9,  0, ° 4,….., 0?

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 ♣ 

X`akoato, fbt`akoato, sof`ato y fbsof`ato ho ua fbnpmoeb5 tk z  >

soa z  , fbs z

fbt k   z >

0 0 0   , sof  z  >   , fbs of   z >   tk z fbs z soa z

Om hbngagb ho f`h` ua` ho ost`s cuafgbaos sba tbhbs mbs fbnpmoebs quo ab `aum`a om hoabnga`hbr y tbh`s sba `a`mîtgf`s oa hgflbs hbngagbs.

♣ 

Voab lgpordömgfb lgpordömgfb y Fbsoab lgpordömgfb lgpordömgfb ho ua fbnpmoeb5 o z +  o ∔ z o z ∔  o ∔ z sl z >    , fl z > 4 4

Bdsorv`r quo sg z os ro`m y v`mo z > x  oatbafos fl z  y y` fbabfghbs ho m` v`rg`dmo ro`m.

sl z  fbgafghoa fba om fl x y om sl x

@nd`s sba `a`mîtgf`s oa tbhb om pm`ab fbnpmoeb y v`mo quo 5

♣ 

(fl z)‗> sl z , (sl z)‗> fl z

Oxpbaoafg`m koaor`mgz`h` koaor`mgz`h` x

x ma `

Oa v`rg`dmo ro`m so hocgao  ` > o hoabnga` oxpbaoafg`m koaor`mgz`h`.

  p`r` ` 1 9 quo rosumt` sor ua` cuafgöa, ` m` quo so 

Oa F so hocgao m` pbtoafg` koaor`mgz`h` ho n`aor` sgngm`r, porb ab rosumt` sor cuafgöa5  ♣ 

Ybtoafg` koaor`mgz`h` 5 `z > oz ma ` , fba  ` ≩ 9

Vg oa m` oxprosgöa `atorgbr so tbn` m` r`n` prgafgp`m hom mbk`rgtnb, so bdtgoao ua` cuafgöa hoabnga`h` oxpbaoafg`m oxpbaoafg`m koaor`mgz`h` quo so hocgao pbr5 z

♣ 

z Ma `

Cuafgöa oxpbaoafg`m koaor`mgz`h`5 `  > o

 , fba  ` ≩ 9

• Oeorfgfgbs 04- Oxpros`r oa cbrn` dgaöngf` mbs sgkugoatos fbnpmoebs5 g  /4

`) o ω

 

(6-ωg)/6

d) o

06- Nbstr`r quo5

 

f)ma(0 + g) 

z

`) ma(o ) ≩ z

h) ma(-0)

ma z

d) o

o)

Ma ( 6   + g )  

 > z p`r` z ≩ 9

08- Oxpros`r oa cbrn` dgaöngf` mbs sgkugoatos fbnpmoebs5 03

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 `) fbs(-g) 

soa( ω  ∔ g )  

d)

f) sl(0-g)

h) fl ( ¾ ωg)

0?- Honbstr`r5 -z

 > 0/ oz  o) soa z  > soa z  

o z  > o z   z h) o  > fl z + sl z

gz

d) o

`)

f) o

 > fbs z + g soa z c) soa(gz) > g sl z

03- Honbstr`r 5 `) soa(x + gy) > soa x fl y + g fbs x sl y   f) sl(x + gy) > sl x fbs y + g fl x soa y

d) fbs(x + gy) > fbs x fl y - g soa x sl y h) fl(x + gy) > fl x fbs y + g sl x soa

y

 

0;- L`mm`r tbhbs mbs v`mbros ho z quo vorgcgf`a m`s sgkugoatos ofu`fgbaos ofu`fgbaos55 4z

`) o

gz

  > -0 

d) o

o) flz > -4

 > 4 

f)Ma z > g ω /8  z

c) fbs z > soa z 

k) o

 > 0 ‖ g

h) fbsz > 4g l) soa(gz) > sl z

0   g - soa( soa(gz) gz)

| z |4 + 4   d) k4(z) > 4 z + 4gz

f) k6(z) >

fbs z   z

;- Cuafgbaos `rnöagf`s ♣  _a` cuafgöa k(x,y) ho hbs v`rg`dmos ro`mos so hgfo quo os

`rnöagf` oa ua hbngagb H  sg 4 4 ∄ k ∄ k > 9, tgoao horgv`h`s sokuah`s fbatgau`s y vorgcgf` oa H m` ofu`fgöa hgcoroafg`m + 4 4 ∄y ∄x hoabnga`h` ofu`fgöa ho M`pm`fo.

⊟ Bdsorv`fgbaos5 `)  M` ofu`fgöa ho M`pm`fo os gnpbrt`ato oa cîsgf` y` quo ostà fbaoft`h`, pbr oeonpmb, fba om cmueb ho f`mbr b ho cmughbs, b fu`mqugor sgston` `gsm`hb quo gavbmufro om fàmfumb ho cuafgbaos pbtoafg`mos. d)  M` oxprosgöa

∄

4

k

∄x

4

+

4

k

∄y

4

∄

 so hoabnga`

m`pm`fg`ab ho k(x,y) y os gatoros`ato bdsorv`r quo

rosumt` sor m` hgvorkoafg` hom kr`hgoato ho k y pbr ommb so suomo gahgf`r5 0;

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0

k ∄ 4k + 4 4 ∄y ∄x ∄

4

 

r

r

r

> hgv (kr` h k) > ∋ .(∋k) > ∋

4

k 

  Oeonpmb 6

4

k(x,y) > x  ‖ 6xy   os `rnöagf` p`r` tbhb p`r ho aõnorbs ro`mos puos5 kx > 6 x4 ‖ 6 y4  ⇔  kxx > 3 x , ky > ‖ 3 x y ⇔  kyy > - 3 x pbr mb t`atb

kxx + kyy > 3x ‖ 3 x > 9

Fbnb k s`tgsc`fo m` ofu`fgöa ho M`pm`fo y tgoao horgv`h`s   sokuah`s fbatgau`s oatbafos  `rnöagf` oa tbhb om pm`ab x,y.

k os

Α Xobron`- Fbahgfgöa aofos`rg` ho `a`mgtgfgh`h Vg c(z) > u(x,y) + g v(x,y) os `a`mîtgf` oa ua hbngagb  H oatbafos m`s cuafgbaos u(x,y) y v(x,y) sba `rnöagf`s oa H.

Honbstr`fgöa Y`r` l`for ost` honbstr`fgöa v`nbs ` supbaor quo 5 sg c(z) os `a`mîtgf` oa H oatbafos oxgstoa m`s horgv`h`s sokuah`s ho m`s cuafgbaos u(x,y) y  v(x,y) y sba fbatgau`s oa H, pbr ommb m`s horgv`h`s sokuah`s fruz`h`s sba gku`mos (uxy > uyx  , vyx > vxy )  Nàs `hom`ato ost` supbsgfgöa sorà eustgcgf`h` fu`ahb vo`nbs quo ua` cuafgöa `a`mîtgf` `hngto horgv`h` ho tbhb brhoa y tbh`s sus horgv`h`s sba `a`mîtgf`s. Ybr sor c(z) `a`mîtgf` oa H , so funpmoa oa H m`s fbahgfgbaos (FT) 5 ux > vy y uy > - vx  horgv`ahb m` prgnor` gku`mh`h rospoftb ho x y horgv`ahb h orgv`ahb m` sokuah` rospoftb ho y bdtoaonbs5

u x  u y

v y ⇔  u xx > v yx   > ∔ v x ⇔ u yx > ∔ v xy

>

y sun`ahb ngondrb ` ngondrb m`s m `s õmtgn`s gku`mh`hos bdtoaonbs5

uxx + uyy > vyx + (- vxy) > 9 pbr mb t`atb u(x,y) os `rnöagf` oa H. Topgtgoahb mbs p`sbs, porb horgv`ahb m` prgnor` rospoftb ` y  y horgv` horgv`ahb ahb m` sokuah` rospoftb ho x  y rost`ahb rost`ahb ngondrb ` ngondrb, so pruod` pruod` quo v(x,y) os `rnöagf` oa H. 

⊟  Bdsorv`fgöa5

u(x,y)  y v(x,y) sba `rnöagf`s oa H,  ab os sucgfgoato p`r` `sokur`r quo m` cuafgöa c(z) > u(x,y) + g v(x,y) os `a`mîtgf` oa H. Ybr oeonpmb u(x,y) > x  y v(x,y) > -y  sba `rnöagf`s porb c(z) > u(x,y) u(x,y) + g v(x, v(x,y) y) > x ‖ gy > z ab os `a`mîtgf` oa agakõa puatb.

V`dor quo

0<

Nöhumb G _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 ♣ 

Fbaeuk`h` `rnöagf`

Vg hbs cuafgbaos u(x,y) y v(x,y) sba `rnöagf`s oa H y s`tgsc`foa m`s fbahgfgbaos ho (F.T) oa H, so hgfo quo v(x,y) os fbaeuk`h` `rnöagf` ho u(x,y). X`ndgça puoho hofgrso `sî5 Vg c(z) > u(x,y) + v(x,y) os m` fbaeuk`h` `rnöagf` ho u(x,y).

g v(x,y) os `a`mîtgf` oa ua hbngagb H, oatbafos

  Oeonpmbs 4

4

4

0-  Fbnb c(z) > z  > x  ‖ y  + g 4xy os `a`mîtgf` oa F , pbhonbs hofgr quo v(x,y) > 4xy os m`  4 4 fbaeuk`h` `rnöagf` ho u(x,y) > x  ‖ y   ²u(x,y) os m` fbaeuk`h` `rnöagf` ho v(x,y)2 4

4

Y`r` rospbahor hodonbs `vorgku`r sg v(x,y) + g u(x,y) > 4xy + g (x   ‖ y   ) os `a`mîtgf`. Ym`ato`ahb m`s fbahgfgbaos ho (F.T)  toaonbs5 4y > -4y , 4x > - 4x  . Fbnb sömb so s`tgsc`foa oa om brgkoa, ost` cuafgöa tgoao hbngagb ho `a`mgtgfgh`h v`fîb, pbr mb t`atb u(x,y) ab os m` fbaeuk`h` `rnöagf` ho v(x,y).

- u(x,y) os m` fbaeuk`h` `rnöagf` ho v(x,y), puos m` cuafgöa v(x,y) - g u(x,y) > 4xy + g (-x 4 + y4 ) os `a`mîtgf` oa F. Os gatoros`ato bdsorv`r quo

4-  L`mm`r, sg os pbsgdmo, ua` cuafgöa v(x,y) ho nbhb quo c(z) > x ‖ 6y + o so` `a`mîtgf`.

4x

 fbs y + g v(x,y) 

u(x,y) >  x ‖ 6y + o4x fbs y ab s`tgsc`fo m` ofu`fgöa ho M`pm`fo (fbnprbd`r quo uxx  + uyy ≩  9  ) oatbafos u(x,y) ab os `rnöagf`  y  pbr mb t`atb, rofbrh`ahb m` fbahgfgöa aofos`rg` ho `a`mgtgfgh`h, os gnpbsgdmo l`mm`r ua` cuafgöa `a`mîtgf` c(z) quo toak` ` u(x,y) 

Fbnb

fbnb fbnpbaoato ro`m. 6-  L`mm`r, sg os pbsgdmo, ua` cuafgöa v(x,y) ho nbhb quo c(z) > 4x ‖ 6y - o so` `a`mîtgf`. Oa osto oeonpmb m` p`rto ro`m os u(x,y) > 4x ‖ 6y - o mb t`atb m` p`rto ro`m ho c(z) os `rnöagf`. Puoronbs l`mm`r v(v,y)  p`r` quo fbahgfgbaos ho (F.T)5 

ux > vy

x

 fbs y + g v(x,y) 

x

 fbs y , quo s`tgsc`fo uxx + uyy > 9 , pbr

c(z)  so` `a`mîtgf`, pbr mb t`atb hodoràa vorgcgf`rso m`s

⇔  4 - ox fbs y > vy 

uy > - vx ⇔  -6 + ox soa y > - v x Ost`s ofu`fgbaos abs porngtoa fbabfor m`s hbs horgv`h`s p`rfg`mos ho prgnor` rospoftb ho m` v`rg`dmo  y y n`atoagoahb x cge` oafbatr`nbs5

v(x,y), gatokr`ahb m` 

x

x

v(x,y) > ∪  (4  ∔ o fbs y )  hy > 4y ‖ o  soa y + k(x) hbaho k os ua` cuafgöa `rdgtr`rg` quo hopoaho h opoaho sömb ho x, os hofgr os fbast`ato rospoftb ho y 07

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0

 

x

V`donbs `lbr` quo  v(x,y) > 4y ‖ o   soa y + k(x) fuy` horgv`h` rospoftb ho x  os5 vx  >  - ox  soa y + k'(x) , `honàs pbr m` sokuah` ofu`fgöa ho (F.T)  s`donbs quo vx > 6 ‖ ox soa y , pbr mb t`atb t `atb gku`m`ahb bdtoaonbs 5

ox soa y + k‗(x) > 6 ‖ ox soa y ⇔ k‗(x) > 6 ⇔ k(x) >

∪ 6  hx  > 6x + j , hbaho  j os ua`

fbast`ato `rdgtr`rg`. Toonpm`z`ahb osto v`mbr ho k(x) oa m` oxprosgöa ho v bdtoaonbs5

v(x,y) > 4y ‖ ox soa y + 6x + j   Vo hoe` fbnb oeorfgfgb m` vorgcgf`fgöa quo  c(z) os `a`mîtgf`.

>4x ‖ 6y - ox fbs y + g (4y ‖ o x soa y + 6x + j)

M` p`rto ro`m y m` p`rto gn`kga`rg` ho ua` cuafgöa `a`mîtgf` , `honàs ho sor `rnöagf`s vorgcgf`a ua` rom`fgöa ho brtbkba`mgh`h.

 

5

∃ @ftgvgh`h 09 Honbstr`r quo 5 Vg

c(z) > u(x,y) + g v(x,y) os `a`mîtgf` oa ua hbngagb  H y Y9(x9  , y9)  H u(x,y) > u(x  , y ) > f , v(x,y) > v(x  , y ) > j 9 9 9 9abrn`mos portoaofo ` oatbafos oa m`s Y furv`s agvomoatro mbs voftbros , so fbrt`a brtbkba`mnoato àakumb t`akoatos b mbs voftbros 9  (om ho ` `nd`s furv`s tr`z`hbs oa Y9 os roftb) @yuh`5 F`mfum`r om kr`hgoato ho `nd`s furv`s ho agvom oa Y9 y fbnprbd`r quo om prbhuftb osf`m`r oatro `ndbs os gku`m ` forb (us`r FT) y pbr mb t`atb mbs voftbros sba brtbkba`mos.  Tofbrh`r quo 5 Vg ua` cuafgöa ho hbs v`rg`dmos k(x,y) os horgv`dmo oa ua hbngagb H oatbafos su kr`hgoato, quo so r

hocgao fbnb ∋k > k' x

(

(

g + k' y  e  , ov`mu`hb oa Y9 os ua

u(x,y)>u(x9,y9)

y9

v(x,y)>v(x9,y9) x9

voftbr abrn`m ` m` furv` ho agvom k(x,y) > k(x9 , y9) > f,  sgonpro quo oa hgflb puatb om kr`hgoato ab so` aumb.

  Oeonpmb

c(z) > z4  , y toagoahb oa fuoat`  su oxprosgöa oqugv`moato  4 4 u(x,y) + g v(x,y) > x  - y  + g 4xy , m`s furv`s ho agvom ho su p`rto ro`m o gn`kga`rg` quo p`s`a pbr (x9 , y9)  sba 5 

H`h`

u(x ,y) > u(x9 , y9) ⇔  x4 - y4 > xb 4 - y9 4  , v(x , y) > v(x9 , y9) ⇔ 4xy > 4 x9 y9  4

4

Vg  mm`n`nbs  f > x b   - y 9    y j > 4 x9 y9  oatbafos m`s furv`s ho agvom tgoaoa ofu`fgöa 4 4 u(x,y) > x  - y  > f  y v(x,y) > 4xy > j , quo roprosoat`a lgpçrdbm`s. r (   ua voftbr ( Vg f`mfum`nbs om kr`hgoato ho f`h` furv` y mb ov`mu`nbs oa (x9  , y9)  bdtoaonbs abrn`m ` f`h` ua` ho omm`s, oa osto f`sb mbs voftbros abrn`mos sba ∋u > 4x g ∔ 4y e   ,

49

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 r

(  

r

r

(

4y g + 4x e   y sg mbs ov`mu`nbs oa (x9  , y9)  y l`fonbs om prbhuftb osf`m`r bdtoaonbs ∋u( Y9 ).∋v( Y9 ) > (4x 9 g ∔ 4y 9 e ).(4y  9 g + 4x 9 e ) > 8x 9 y 9 ∔ 8y 9 x 9 > 9  

∋v >

(

(

(

(

Fbnb mbs voftbros abrn`mos abrn`mos sba brtbkba`mos , m`s furv`s so fbrt`a brtbkba` brtbkba`mnoato mnoato oa Y9 

• Oeorfgfgbs

49- Fbnprbd`r quo m`s sgkugoatos cuafgbaos sba `rnöagf`s oa tbhb T4 y fbastrugr ua` cuafgöa c(z) > u(x,y) + g v(x,y) quo so` `a`mîtgf` ∉z -x

4

`) u(x,y) > o  fbs y + 4xy f) v(x,y) > fbs y (fl x + sl x)

4

d) u(x,y) > 6x ‖ 4 ‖ x  + y   4 6 h) v(x,y) > 6x  y ‖ y  ‖ 8xy ‖ 6y + 0

40- L`mm`r, sg os pbsgdmo, pbsgdmo, ua` cuafgöa l(x,y) ho nbhb quo

c(z) so` `a`mîtgf` oa tbhb om pm`ab

`) c(z)

> l(x,y) + 4 y4 ‖ g xy 

44- Vg

c(z) > u(x,y) + g v(x,y) os `a`mîtgf` oa z9 > ` + g d , honbstr`r quo ∋u(`, d  ) ⊯ ∋v(`, d)  

d) c(z)

> ToZz6 ‖ 4z ^ + g l(x,y) r

r

46- L`mm`r m`s furv`s ho agvom ho c(z), roprosoat`rm`s kràcgf`noato y fbnprbd`r su brtbkba`mgh`h oa mbs puatbs ho fbat`ftb5 4

`) c(z) > 6 z + 4g

f) c(z) > Ma z

d) c(z) > z  

h) c(z) > 0/z

Oeorfgfgbs `hgfgba`mos



0- 

Toprosoat`r kràcgf`noato mbs fbnpmoebs z quo vorgcgf`a m`s m `s rom`fgbaos sgkugoatos5  d)  0 ≨ z  ∔ g = 8  

` ) Gn(z) 1 4 To(z-4)  h)

z   = To( z )  

o) 

4 z 

≯

f)  z   1 To( z )  

z-g  

c)

z ∔ 0 = |  z + g | = | z - 4g | 

  4-  L`mm`r y kr`cgf`r om hbngagb ho horgv`dgmgh`h y ho `a`mgtgfgh`h ho m`s sgkugoatos cuafgbaos y f`mfum`r m` horgv`h` horgv`h` oa mbs puatbs hbaho hbaho oxgst` 4

`) C(z) > (4x ‖ y)  (0 + gx) 4 4 f) L(z) > x  {| z |  + g y }

  4

4

   ∔  0 ∔ g    g      

`)

fbs(gz) > fl z

d) |soaz|

?-  Honbstr`r5 40

+ 4y)

6

6- Fbacgrn`r quo5 `) Ma(-0 ‖ g) ‖ Ma g ≩  Ma

8- Honbstr`r quo

4

d)  K(z) > 6x y  + 4x + g (y  ‖ 4 xy 6x h) J(z) > o  ( fbs (6y) + g soa (6y))

d) Ma(g ) ≩ 6 Ma g 4

 + |fbs z|4 > 0 ⇘ z os ro`m

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0 `)  Vg

soa (x + gy) > ` , hbaho  ` os ua aõnorb ro`m  quo vorgcgf` ‖0 ≨  ` ≨  0 oatbafos   soa (x + g y)> soa x , y pbr mb t`atb x > `rf soa ` + 4j ω  , y > 9 d)  Vg soa (x + gy) > d , hbaho  d os ua aõnorb ro`m quo vorgcgf` d 1 0 oatbafos soa x > 0 y fl y > d , y pbr mb t`atb x > ω /4 + 4jω , y > `rk fl d f)  Vg soa (x + gy) > f , hbaho  f os ua aõnorb ro`m quo vorgcgf` f = -0 oatbafos soa x > -0 y fl y > -f , y pbr mb t`atb x > -ω /4 + 4jω , y > `rk fl (-f) 3- Vg c(z) > u(x,y) + g v(x,y) os `a`mîtgf` oa ua hbngagb cuafgbaos sba `a`mîtgf`s oa H  `) k(z) > v(x,y) + g u(x,y)

H, `vorgku`r sg m`s sgkugoatos

d) l(z) > v(x,y) - g u(x,y)

;- Vg u(x,y)  y v(x,y)  sba `rnöagf`s oa `a`mîtgf` oa H.

H  , honbstr`r quo c(z) > (ux  + vy) + g (vx  ‖ uy)  os

44

Nöhumb G - _agh`h 0

 

N`tonàtgf` H y H0

 

N@XONÀXGF@ H y H0 Nöhumb G5 @aàmgsgs ho S`rg`dmo Fbnpmoe` 

_agh`h 4

Xr`ascbrn`fgbaos  N`k. N`rî` Gaçs D`r`k`ttg

♣  Xr`ascbrn`fgbaos _a` kr`a hgcoroafg` oatro m`s cuafgbaos ro`mos y m`s fbnpmoe`s rosgho oa su roprosoat`fgöa kràcgf`. Oa mbs prgnorbs fursbs ho `aàmgsgs n`tonàtgfb so suomo hohgf`r nuflb tgonpb oa ostuhg`r 4 m`s kràcgf`s ho m`s cuafgbaos ro`mos y > c(x)  y z > c(x,y) , quo roprosoat`a furv`s ho T   y  6 suporcgfgos ho  T   rospoftgv`noato. Ostb os gnpbsgdmo p`r` m`s cuafgbaos fbnpmoe`s ho v`rg`dmo fbnpmoe`, puostb quo om kràcgfb l`drî` quo sgtu`rmb oa ua osp`fgb ho fu`trb hgnoasgbaos ro`mos. Vga ond`rkb os pbsgdmo, gatoros`ato y õtgm h`r ua` roprosoat`fgöa kobnçtrgf` ho m`s cuafgbaos fbnpmoe`s ho v`rg`dmo fbnpmoe` fbnb `pmgf`fgbaos ho ua pm`ab (pm`ab z fba v`rg`dmos x,y) oa btrb pm`ab (pm`ab w fba v`rg`dmos u, v) Oa koaor`m m`s cuafgbaos w > c(z) tr`ascbrn`a ua rofgatb @ hom pm`ab fbnpmoeb z oa ua rofgatb D  hom pm`ab fbnpmoeb w , pbr ommb so hgfo quo roprosoat`a ua` tr`ascbrn`fgöa  kobnçtrgf` ho ua sudfbaeuatb ho F oa btrb sudfbaeuatb ho F.

y

w>c(z)

@

v D>c(@)

x Ym`ab

u

z

Ym`ab w

@atos ho l`for ua ostuhgb hot`mm`hb ho m`s tr`ascbrn`fgbaos nàs gnpbrt`atos, hocgagronbs m` fbnpbsgfgöa ho tr`ascbrn`fgbaos y om fbafoptb ho puatb cgeb ho ua` tr`ascbrn`fgöa.

0

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

♣  Fbnpbsgfgöa ho tr`ascbrn`fgbaos Vg w > c(z) tr`ascbrn` ua rofgatb  @0  oa btrb  D0  , y w > k(z) tr`ascbrn`  D0  oa btrb rofgatb  F0 oatbafos m` cuafgöa w > k(c(z)) , ` m` quo so hoabnga` (fbnb oa m` v`rg`dmo ro`m) fbnpbsgfgöa ho

m`s tr`ascbrn`fgbaos c y k , tr`ascbrn` om rofgatb @0 oa om rofgatb F0. y

w* >c(z)

@0

v*

w >k(w*)

D0

x

v

F0

u* Ym`ab w  

Ym`ab z

u Ym`ab w

w >k(c(z))   Oeonpmbs5

0-  H`h`s m`s cuafgbaos c(z) > so gahgf`a ` fbatgau`fgöa5

6z + g  , k(z) > z4 , pbhonbs fbnpbaorm`s ho m`s hbs n`aor`s quo

k(c(z)) > k(6z + g) > (6z + g) 4 > 7z4 +3gz ‖0 

,

c(k(z)) > c(z4) > 6z4 + g

fbnb mbs rosumt`hbs sba hgstgatbs, pbhonbs `sokur`r quo m`   fbnpbsgfgöa,   oa koaor`m,  ab

os

fbanut`tgv`. 4- H`h`s m`s cuafgbaos su fbnpbsgfgöa os 5

c(z) > oz  - 0, ho hbngagb F, y k(z) > Ma z,  ho hbngagb  F ‖ {9},

k(c(z)) > k(oz - 0) >Ma (oz - 0) , fuyb hbngagb os F ‖ {4jωg , j > 9, °0, °4 …} puos o4jωg ‖0 > 9 y Ma 9 ab oxgsto c(k(z)) >c(Ma z) > oMa z - 0 > z - 0 , fuyb hbngagb os F ‖ {9} puos Ma 9 ab oxgsto y oMa z > z

♣  Yuatbs cgebs ho ua` tr`ascbrn`fgöa Vg m` gn`koa ho ua fbnpmoeb z9  pbr ua` cuafgöa w > c(z)  vorgcgf` quo c(z9) > z9 , so hgfo quo z9 os ua puatb cgeb ho m` tr`ascbrn`fgöa tr`ascbrn`fgöa c.

  Oeonpmbs5

0-  Y`r` l`mm`r mbs puatbs cgebs ho m` tr`ascbrn`fgöa c 0(z) > (0 - 4g) 4g) z ‖ 8 , so pm`ato` c 0(z9) > z9, bdtoagoahb oa osto f`sb m` ofu`fgöa (0 - 4g) z9 - 8 > z9  , fuy` sbmufgöa os  z9 > - 4/ g > 4g . Om fàmfumb  c 0(4g) > (0 - 4g) 4g ‖ 8 > 4g + 8 ‖ 8 > 4g   abs vorgcgf` quo z9 > 4g os puatb cgeb ho c 0 . 4

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

4-  Y`r` l`mm`r mbs puatbs cgebs ho m` tr`ascbrn`fgöa c 4(z) > 0/ z, so pm`ato` c 4(z9) > z9 , bdtoagoahb oa osto f`sb m` ofu`fgöa  0/ z9  > z9  , fuy`s sbmufgbaos sba z9  > °0 : pbr mb t`atb c 4  tgoao hbs puatbs cgebs, om 0 y om  ‖0. 6-  Os gatoros`ato bdsorv`r quo m` cuafgöa ghoatgh`h fbnb puatbs cgebs.

c(z) > gh(z) > z   tgoao tbhbs mbs fbnpmoebs

0-  Xr`ascbrn`fgöa mgao`m5 w > @z + D Y`r` `a`mgz`r m` tr`ascbrn`fgöa w >@z + D , hbaho @  y D sba aõnorbs aõnorbs fbnpmoebs fbnpmoebs ab aumbs, os fbavoagoato fbasghor`r prgnorb m`s cuafgbaos c(z) > @ z  y k(z) > z + D  puos su fbnpbsgfgöa rosumt` k(c(z)) >k(@z) > @z + D > w. Ybr ommb `a`mgz`nbs ` fbatgau`fgöa ost`s hbs tr`ascbrn`fgbaos pbr sop`r`hb.

`)  Xr`ascbrn`fgöa w > @ z , @≩9 H`h` m` cuafgöa w > c(z) > @ z , rosumt` ovghoato quo c(9) > 9, pbr ommb 9 os ua puatb cgeb. Vg z  ≩  9 y @  os ua fbnpmoeb ho nöhumb `  y `rkunoatb ΰ  , os hofgr  nöhumb y om `rkunoatb ho su gn`koa w  vorgcgf`a5

|w|>|@ z|>|@||z|>`|z| `rk(w) > `rk(@ z) > `rk(@) + `rk(z) > ΰ + `rk(z)

⇔  ⇔ 

@ > ` ogΰ  , oatbafos om

|w|>`|z| `rk(w) > ΰ + `rk(z)

Ybr mb t`atb m` tr`ascbrn`fgöa w > @  z fbasgsto oa ua` rbt`fgöa fba foatrb oa om brgkoa h`h` pbr om àakumb ΰ > `rk(@)  y su nöhumb hopoaho hom nöhumb ho @5 sg  | @ | > ` > 0, om fbnpmoeb w tgoao gku`m nöhumb quo z y hofgnbs quo fbasorv` m`s hgst`afg`s.  `g ` 1 0, om fbnpmoeb w tgoao nöhumb n`ybr quo z y hofgnbs quo  l`y ua` hgm`t`fgöa, sg

` = 0, om fbnpmoeb w tgoao nöhumb noabr quo z y hofgnbs quo l`y ua` rohuffgöa, w > `r og (μ + ΰ)  gμ   y z>r o w > @z v μ + ΰ  μ  D

u

x Ym`ab w

Ym`ab z   Oeonpmbs5

6

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

0-  M` gn`koa ho ua fbnpmoeb z ho nöhumb

6 y `rkunoatb ω /3 pbr m` tr`ascbrn`fgöa w > (0- g) z, hbaho @ > 0- g tgoao `rkunoatb - ω /8 y nöhumb 4 , os ua fbnpmoeb w fuyb nöhumb os 6 4   y fuyb `rkunoatb os ω /3 + (- ω /8) > - ω /04 4-  M` gn`koa ho m` cr`ae` gacgagt` hocgagh` pbr {(x,y) / x = y = x + 0} pbr m` tr`ascbrn`fgöa w > 4gz , hbaho @ > 4g  tgoao `rkunoatb ω /4 y nöhumb 4 , os t`ndgça ua` cr`ae` gacgagt` quo so bdtgoao rbt`ahb, f`h` fbnpmoeb ho hgfl` cr`ae`, ω /4 r`hg`aos  fba rospoftb `m brgkoa y numtgpmgf`ahb su nöhumb pbr 4. Os gatoros`ato bdsorv`r quo m` hgst`afg` oatro m`s hbs roft`s quo mgngt`a m` cr`ae` h`h`  os 4 , pbr mb t`atb m` hgst`afg` oatro m`s hbs roft`s ho m`  cr`ae` gn`koa os 4 4 > 4,

x

u

Ym`ab z

Ym`ab w

Vg so hoso` l`mm`r m`s ofu`fgbaos ho m`s roft`s quo mgngt`a m` cr`ae` gn`koa puoho tr`d`e`rso m` tr`ascbrn`fgöa oa cbrn` dgaöngf` fbnb so nuostr` ` fbatgau`fgöa5

(u + gv)g v u w wg > ∔ g   ⇔  w > 4gz ⇔  z >   > ∔   ⇔  x + gy > ∔   4 4 4 4g 4 Ybr mb t`atb m` gn`koa ho m` roft`  y m` gn`koa ho m` roft` 

y > x os

y > x + 0 os ∔

u 4

>

∔

v

x > v / 4    y > ∔ u  /  4 

u v >   b su oqugv`moato  v > -u 4 4

+ 0   b su oqugv`moato  v > - u - 4

4

d) Xr`sm`fgöa5 w > z + D H`hb quo m` cuafgöa w > z + D os ua` sun` ho fbnpmoebs, ab fbavgoao `a`mgz`rm` dusf`ahb su `rkunoatb y su nöhumb, fbnb oa om f`sb `atorgbr, sgab dusf`ahb su p`rto ro`m o gn`kga`rg`5

To(w) > To(z) + To(D) Gn(w) > Gn(z) + Gn(D) G n(D) Vg

D > d0 +g d4 , om fbnpmoeb w vorgcgf`5  To(w) > To(z) + d0 8

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

Gn(w) > Gn(z) + d4 Ybr mb t`atb m` tr`ascbrn`fgöa w > z + D fbasgsto oa ua` tr`sm`fgöa ho d0 uagh`hos oa hgroffgöa `m oeo ro`m y d4 uagh`hos oa hgroffgöa `m oeo gn`kga`rgb, b ua` tr`sm`fgöa gku`m ` D. 

y

v

 

z

w>z+D

w>z+D

z

D

D

D

u

x Ym`ab z

Ym`ab w

  Oeonpmbs5

0-  M` gn`koa hom fbnpmoeb

z > 6 ‖ 8g pbr m` tr`ascbrn`fgöa w > z ‖ ? + 4g , os om fbnpmoeb

w > (6 ‖ ?) + g (-8 + 4) > -4 ‖ 4 g

4-  Y`r` oafbatr`r m` gn`koa hom àakumb y ≨ ¾ x - 0 , x ≯ 0 pbr m` tr`ascbrn`fgöa w > z ‖ hodonbs tr`sm`h`r f`h` fbnpmoeb 4 uagh`hos l`fg` m` gzqugorh` y 0 uagh`h l`fg` `rrgd`.

4+g

v y

w>z-4+g

(-0, ¾ )

x

u

(0,- ¾ ) Vg quoronbs l`mm`r su gn`koa `a`mîtgf`noato prbfohonbs ho m` sgkugoato n`aor`5 Hospoe`nbs z ho m` oxprosgöa w > z ‖ 4 + g , bdtoagoahb  z > w + 4 ‖ g . Vg fbasghor`nbs z > x + g y  y w > u + g v  oatbafos roonpm`z`ahb oa m` õmtgn` oxprosgöa bdtoaonbs5  

x > u + 4   x + g y > u + g v + 4 - g > (u + 4) + g ( v - 0) , ho hbaho  y > v ∔ 0 Ybr mb t`atb5 Vg y ≨ ¾ x - 0 Vg x ≯ 0

⇔  v ‖ 0 ≨ ¾ (u + 4) - 0 ⇔  v ≨ ¾ u + 0   ⇔  u + 4 ≯ 0 ⇔  u ≯ -0

?

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

Os gnpbrt`ato bdsorv`r quo m` gn`koa bdtoagh` `a`mîtgf`noato fbgafgho fba m` bdtoagh` kràcgf`noato `m fbngoazb hom oeorfgfgb.

f) Tbtbtr`sm`fgöa5 w > @z + D Vg fbasghor`nbs m`s cuafgbaos5

z* > c 0(z) > @z, quo roprosoat` ua` rbt`fgöa, y  w > c 4(z*)> z* + D , quo roprosoat` ua` tr`sm`fgöa, y l`mm`nbs m` fbnpbsgfgöa oatro `nd`s bdtoaonbs5

w > c 4(c 0(z))> c 4(@z)> @z + D ♣  M` tr`ascbrn`fgöa w > @z + D so hoabnga` t`ndgça  tr`ascbrn`fgöa mgao`m y pbhonbs `cgrn`r, oa d`so `m `aàmgsgs `atorgbr, roprosoat` ua` rbtbtr`sm`fgöa puos fbasgsto oa ua` rbt`fgöa h`h` pbr  `rk(@) y ua` hgm`t`fgöa b fbatr`ffgöa  h`h` pbr  | @ | sokugh` ho ua` tr`sm`fgöa gku`m ` D. Oa p`rtgfum`r5 M` gn`koa ho ua` roft` hom pm`ab z pbr ua` tr`ascbrn`fgöa mgao`m os ua` roft` hom pm`ab w, m` gn`koa ho ua` fgrfuacoroafg` hom pm`ab z  pbr ua` tr`ascbrn`fgöa mgao`m os ua` fgrfuacoroafg` hom pm`ab w, otf.

  Oeonpmbs5

0-  Vg quoronbs l`mm`r m` gn`koa hom fîrfumb T5  | z ‖ g | ≨  4 pbr m` tr`ascbrn`fgöa w > (4 ‖ g) z - 6g  , s`donbs quo su gn`koa sorà ua auovb fîrfumb quo so bdtgoao rbt`ahb (rospoftb hom brgkoa) f`h` puatb ho T  ua àakumb @rk( 4 ‖ g) > `rftk (-0/4) , n`kagcgf`ahb m` hgst`afg`s

| 4 ‖ g | > ?  y pbr õmtgnb tr`sm`h`ahb f`h` puatb 6 uagh`hos l`fg` `d`eb.

Vg gatoros` s`dor ox`ft`noato fuàm os m` gn`koa ho quo oa osto f`sb rosumt` sor

z>

T, so hospoe` z ho m` tr`ascbrn`fgöa h`h`,

w + 6g , y roonpm`z`ahb osto v`mbr oa m` hocgagfgöa hom 4∔g

T, so bdtgoao5 w + g ∔0 w + 6g ∔ g ( 4 ∔ g ) w + 6g ≨ 4   ⇔  | w ‖0 + g | ≨ 4 ?   ≨ 4   ⇔  ∔ g ≨ 4   ⇔  4∔g 4∔g 4∔g

fbaeuatb

pbr mb t`atb m` gn`koa hom fîrfumb  T os ua fîrfumb foatr`hb oa  (0,-0) ho r`hgb 4

?.

4-  L`mm`r ua` cuafgöa mgao`m quo tr`ascbrno om trgàakumb roftàakumb mgngt`hb pbr m`s roft`s y > - 4x -0, y > ¾ x -0, y > - x + 4 oa btrb trgàakumb ghçatgfb porb fba om f`totb noabr `pby`hb oa om oeo lbrgzbat`m pbsgtgvb y om f`totb n`ybr fbatoaghb oa om oeo vortgf`m pbsgtgvb.   3

Nöhumb G- _agh`h 4

   

N`tonàtgf` H y H0

 

v

y

w > c(z) > 2 x u quo om Xoagoahb oa fuoat` om kràcgfb `atorgbr , fbnoaz`nbs tr`sm`h`ahb om trgàakumb ho nbhb àakumb roftb toak` su vçrtgfo oa om brgkoa, os hofgr sudgnbs om trgàakumb ua` uagh`h, p`r` ommb `pmgf`nbs w* > c 0(z) > z + g  . Oa om pm`ab pm`ab w* m`s poahgoatos ho m`s roft`s quo mgngt`a om auovb trgàakumb sba gku`mos ` m`s ho m`s roft`s h`h`s5 - 4,  ¾ , -0. y

v*

w* > c 0(z) > z +g

ΰ  x

u*

Ym`ab z Ym`ab w* Vg ΰ  os om àakumb ho gafmga`fgöa ho m` roft` quo tgoao poahgoato  ¾ , s`donbs quo  tk ΰ > ¾ . Vg ocoftu`nbs ua` rbt`fgöa oa soatghb ho m`s `kue`s hom rombe ho `npmgtuh ΰ  , os hofgr sg fbasghor`nbs   ua fbnpmoeb ho `rkunoatb  -ΰ  , m` tr`ascbrn`fgöa  w > o-g ΰ  w*  rbt`rà tbhb om trgàakumb y mb mmov`rà ` m` pbsgfgöa quo abs gatoros`.

¾  ,  , ²fuàm os om fbnpmoeb o-g ΰ > fbs ΰ - g soa ΰ2 Vo hoe` fbnb oeorfgfgb vorgcgf`r quo   4∔g  . o ∔gΰ > ?    4  ∔ g  Ybr mb t`atb m` rbt`fgöa quo hodo ro`mgz`rso ostà h`h` pbr m` cuafgöa w > c 4(w*) >   w*     ?   L`fgoahb m` fbnpbsgfgöa oatro c 0  y c 4  pbhonbs `sokur`r quo m` tr`ascbrn`fgöa pohgh` os Vg tk ΰ >

w > c 4(c 0(z)) > c 4(z + g) >   4  ∔ g ( z + g ) >   4  ∔ g  z + 0 + g 4   , quo fbnb so bdsorv` os ua` ? ?       ?     ?   rbtbtr`sm`fgöa.

v

y

w* > c 0(z) > z +g

v*

w > c 4(z) > (4 -g) w*/  ?   ΰ 

x

u*

Ym`ab z

Ym`ab w* 4   0    4  ∔ g    z + +g ; ? ?     ?  

u

Ym`ab w

w > 

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

• Oeorfgfgbs 0- H`h` m` tr`ascbrn`fgöa w > (0 ‖ g) z + 4g  , l`mm`r y kr`cgf`r m` gn`koa ho5 `)  m` roft` ho ofu`fgöa f)  m` fgrfuacoroafg` | z

y>¾x+4 - g |> 4

d) om songpm`ab x ≨ 0 h) om trgàakumb ho vçrtgfos

g ,  -0 + g ,  -0

4-  L`mm`r ua` tr`ascbrn`fgöa mgao`m quo5 `)  oavîo om puatb z0 > -g oa w0 > 0  y z4 > 0 + 4g  oa w4 > -4g gω /6 -gω /3 d)  oavîo om puatb z9 > 6 o   oa w9 > 4 o  y toak` ` z0 > -g  fbnb puatb cgeb f)  oavîo m` fgrfuacoroafg` | z ‖ 4g| > 6 oa m` fgrfuacoroafg` | w + 0 | > ? 6-  H`h` c(z) > @z + D , honbstr`r quo5 `)  Vg z9 os puatb cgeb ho c(z) oatbafos c(z) puoho osfrgdgrso fbnb c(z) > @ (z - z9) + z9 , pbr mb t`atb c(z) roprosoat` ua` rbt`fgöa `mrohohbr hom puatb cgeb z9  d) |c(z0) ‖ c(z4)| > | @ | | z0 ‖ z 4| , pbr mb t`atb sg h os m` hgst`afg` oatro hbs puatbs hom pm`ab z, m` hgst`afg` oatro sus gnàkoaos rosumt` sor om prbhuftb | @ | . h

4. Gavorsgöa5 w   >

0   z

w > 0/z  so hoabnga` gavorsgöa  y ost`dmofo ua` fbrrospbahoafg` puatb ` z w z> 9 puatb oatro puatbs hom pm`ab y puatbs hom pm`ab , oxfoptb p`r` , quo ab tgoao gn`koa y w > 9, quo ab os gn`koa ho agakõa fbnpmoeb hom pm`ab z. M` tr`ascbrn`fgöa

Vg z ≩9 , pbhonbs f`mfum`r su nöhumb y su `rkunoatb5

|w|>0/|z| `rk(w) > `rk(0/z) > `rk(0) - `rk(z) > - `rk(z) Ostb abs porngto hofgr quo, sg z tgoao nöhumb 6 y `rkunoatb ω /8 , su gn`koa tgoao nöhumb `rkunoatb - ω /8

0/6 y

  Oeonpmbs5

<

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

0-  L`mm`r y kr`cgf`r m` gn`koa hom fîrfumb `dgortb

| z ‖ 4 | = 4  pbr w > 0/z

Vg w > 0/z  oatbafos

z > 0/w  y p`r` l`mm`r m` gn`koa ho | z ‖ 4 | = 4  roonpm`z`nbs z oa cuafgöa 0 ∔ 4w 0 ∔ 4w 0 = 4  ⇔  0 4w 4 w  ⇔  ho w hom sgkugoato nbhb5 4  ⇔  4 4  ⇔  ∔   = w = w = w∔ = 4 4 4 4 4 4 |0 ‖ 4u ‖ g 4v|  = 8 |u + gv| ⇔ (0 ‖ 4u)  + 8 v  = 8 (u  + v ) ⇔ 0 ‖ 8u = 9 ⇔ u 1 ½ Ybr mb t`atb m` gn`koa hom fîrfumb `dgortb os ua songpm`ab fbnb so nuostr` oa om sgkugoato hgdueb5

y

v

w > 0/z x

0/8

4-  L`mm`r o ghoatgcgf`r m` gn`koa ho m` roft`

u

4 x - y > 0   pbr w > g/z

Oa osto oeorfgfgb, oa om quo om h`tb os ua` ofu`fgöa oa v`rg`dmos x o y , os fbavoagoato tr`d`e`r mbs fbnpmoebs oa m` cbrn` dgaöngf` fbnb so nuostr` ` fbatgau`fgöa5

g g g(u - gv) v + gu v u   w > ⇔ z >  ⇔ z > 4 > 4 ⇔  x > 4   ,  y > 4 4 4 4 z w u +v u +v u +v u + v4

oatbafos m` gn`koa ho m` roft`

4v u  ∔   4 > 0  . 4 u + v u + v4

4 x - y > 0 os

4

4

4

Vg so fbasghor` m` ofu`fgöa oqugv`moato 4v ‖ u > u  + v   y so fbnpmot`a fu`hr`hbs, so bdtgoao (u + ¾ )4 + (v ‖ 0)4 > ?/8  quo roprosoat` ua` fgrfuacoroafg` fba foatrb oa om puatb (- ¾ , 0)  y r`hgb ? 4  

∃ @ftgvgh`h 05 `) Eustgcgf`r quo m` m ` tr`ascbrn`fgöa w > g/z puoho poas`rso fbnb m` fbnpbsgfgöa ho ua` gavorsgöa w* > c 0(z) > 0/z y ua` rbt`fgöa  c 4 (w*) > g w*  .  d) Vo hoe` fbnb oeorfgfgb vorgcgf`r, utgmgz`ahb m` fbnpbsgfgöa noafgba`h` oa `), quo m` gn`koa ho m` roft` 4x - y > 0  os m` fgrfuacoroafg` gahgf`h` oa om oeonpmb `atorgbr. ²Fuàm ho mbs hbs nçtbhbs os nàs soafgmmb2

Α Xobron` 7

Nöhumb G  _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

`)  M` gn`koa ho ua` fgrfuacoroafg` pbr m` tr`ascbrn`fgöa w > 0/z  os ua` fgrfuacoroafg` b ua` roft`. d)  M` gn`koa ho ua` roft` pbr m` tr`ascbrn`fgöa w > 0/z  os ua` fgrfuacoroafg` fgrfuacoroafg ` b ua` roft`.

Honbstr`fgöa5 Puoronbs l`mm`r m` gn`koa pbr fbasghoronbs m` ofu`fgöa

w > 0/z ho ua` fgrfuacoroafg` fu`mqugor` hom pm`ab z , p`r` ommb

@x4 + @ y4 + D x + F y + H > 9

(0)

quo roprosoat` ua` fgrfuacoroafg` sg   @ ≩ 9 y roprosoat` ua` roft` sg @ > 9 Y`r` l`mm`r su gn`koa hodonbs tr`t`r ho oxpros`r x o y  oa cuafgöa ho u y v  y pbr mb t`atb os fbavoagoato fbasghor`r m` tr`ascbrn`fgöa gavors` z > 0/w  y bpor`r fbnb so nuostr` ` fbatgau`fgöa5

w > 0 ⇔ z > 0  ⇔ x + gy > 0 > (u - gv) > u4 - gv 4 ⇔  x > 4 u 4   ,   y > 4∔ v 4 u + gv (u - gv)(u - gv) u + v w z u +v u +v   Toonpm`z`ahb mbs v`mbros ho x o y oa m` ofu`fgöa (0) bdtoaonbs5 4

4

u v     ∔ v     u   @  +   ∔ + H > 9  @ D   F +     4 4 4 4 4 4 4 4 + + u v u v u v u v + +             ost` y` os m` gn`koa quo dusf`nbs porb bdsorv`ahb fba fugh`hb vonbs quo oa `mkuabs tçrngabs `p`rofoa m`s v`rg`dmos u y v omov`h`s ` m` pbtoafg` fu`rt` y pbr mb t`atb os hgcîfgm rofbabfor quç furv` os. Vg s`f`nbs @ c`ftbr fbnõa oatro mbs hbs prgnorbs tçrngabs m` oxprosgöa `atorgbr tbn` m` cbrn`5

u4 + v4 u v + ∔ + H > 9  @ 4 D   F 4 4 4 4 4 4 + + u v u v (u + v ) oatbafos pbhonbs sgnpmgcgf`r oa om prgnor tçrngab y porhor ho oso nbhb m`s pbtoafg`s fu`rt`s quoh`ahb

@

0 4

u +v

numtgpmgf`hb tbh` m` oxprosgöa pbr

4

+ D 

u 4

u +v

  ∔F

4

v 4

u + v4

+H > 9 

u4 + v4  ,bdtoaonbs m` gn`koa quo dusfàd`nbs5

@ + D u - F v + H u4 + H v4 > 9 09

(4)

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

Y`r` fbnpmot`r m` honbstr`fgöa roquorgh` to prbpbaonbs m` sgkugoato `ftgvgh`h 5

∃ @ftgvgh`h 45 Fbnpmot`r om sgkugoato fu`hrb toagoahb oa fuoat` quo (4) os m` gn`koa ho fbafmugr quo m`s `cgrn`fgbaos ` ) y d) hom tobron` sba fbrroft`s. 

sg M` ofu`fgöa (0) roprosoat`5 @ ≩ 9 ua` fgrfuacoroafg` quo ab p`s` pbr om brgkoa H ≩ 9 @ ≩ 9 H>9 @>9 H ≩ 9 @ > 9 ua` roft` quo p`s` pbr om brgkoa H>9

(0)  pbr w > 0/z  y

M` ofu`fgöa (4) roprosoat`5 ua` fgrfuacoroafg` quo ab p`s` pbr om brgkoa

• Oeorfgfgbs 8-  H`h` m` tr`ascbrn`fgöa w > 0/z , l`mm`r y kr`cgf`r m` gn`koa ho5 `) om sokuahb fu`hr`ato  f) om fu`hr`hb mgngt`hb pbr m`s roft`s

| y | + | x | >0

d) m` fgrfuacoroafg` | z + 0 |> 4 h) om fbaeuatb {(x,y) / ‖ x ≨ y ≨ 4x }

?-  Honbstr`r quo m` gn`koa hom songpm`ab y 1 j , fba j 1 9 , pbr fgrfuacoroafg` .² Fuàm os m` gn`koa sg j os forb b aok`tgvb2.

w > 0/z  os om gatorgbr ho ua`

3-  Eustgcgf`r quo w > 0/(z ‖ z9)  tr`ascbrn` ` m`s roft`s y ` m`s fgrfuacoroafg`s hom pm`ab z quo p`s`a pbr z9 oa roft`s hom pm`ab w. ;-  L`mm`r m` gn`koa hom fbaeuatb {z /

| z ‖ g | = 0 , |z + 0| 1 0} pbr w > g / z

6. Xr`ascbrn`fgöa mgao`m cr`ffgba`rg`5 w >

`z + d   fz + h

♣  Vg `, d, f  y h  sba aõnorbs fbnpmoebs quo vorgcgf`a

`.h ‖ d.f ≩  9 , so hoabnga`  `z + d . tr`ascbrn`fgöa mgao`m cr`ffgba`rg` (XMC) `  w > c ( z ) > fz + h

Muokb ho ost` hocgagfgöa surkoa `mkua`s prokuat`s prokuat`s , quo prosoat`nbs oa m` sgkugoato `ftgvgh`h.

∃ @ftgvgh`h 65 00

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

H`h`

`z + d , eustgcgf`r mbs sgkugoatos îtons y rospbahor toagoahb oa fuoat` m`s fz + h

w > c ( z ) >

gahgf`fgbaos quo so h`a oa f`h` f`sb5 fbnprbd`r quo m` tr`ascbrn`fgöa roprosoat` ua` rbtbtr`sm`fgöa. 0-  Vg f >y` 9 so Fbnb l` hgsfutghb om fbnpbrt`ngoatb ho ost` õmtgn`, v`nbs ` supbaor quo f ≩ 9

4- ²Ybrquç so oxgko oa m` hocgagfgöa ho ost` tr`ascbrn`fgöa quo `.h ‖ d.f ≩ 9 2 Y`r` rospbahor os fbavoagoato l`for m` hgvgsgöa oatro om aunor`hbr y om hoabnga`hbr, y` quo pbr sor pbmgabngbs hom ngsnb kr`hb m` hgvgsgöa os pbsgdmo

---

`z+d ` z + `h/f d - `h/f

fz + h `/f  

Fbnprbd`r quo sg `h ‖ df > 9 , oatbafos om rostb ho m` hgvgsgöa v`mo forb y c(z) > `/f (fbast`ato) , pbr mb t`atb fu`mqugor fbaeuatb hom pm`ab z so tr`ascbrn` tr`ascbrn` oa om fbnpmoeb `/f y f`rofo ho gatorçs. 

6-  Vg  `.h ‖ d.f ≩ 9 y  mm`n`nbs  N `m rostb ho m` hgvgsgöa `atorgbr  y mm`n`nbs A `m fbfgoato `/f,  eustgcgf`r quo m` tr`ascbrn`fgöa mgao`m cr`ffgba`rg` puoho osfrgdgrso fbnb5 

+ c ( z ) > `z d > A + N   fz + h fz + h

N   , hbaho N y A sba  fbast`atos fbnpmoe`s, y fz + h fbasghor`ahb m`s cuafgbaos c 0(z) > fz + h , c 4(z) > 0/z , c 6(z) > A + Nz quo roprosoat`a, rospoftgv`noato, ua` tr`ascbrn`fgöa   mgao`m, ua` gavorsgöa y btr` tr`ascbrn`fgöa mgao`m, eustgcgf`r

8- Xoagoahb oa fuoat` quo

c ( z ) > A +

quo m` tr`ascbrn`fgöa mgao`m cr`ffgba`rg` os ua` fbnpbsgfgöa ho ost`s tr`ascbrn`fgbaos, os hofgr f`mfum`r c 6( c 4( c 0(z))) y fbnprbd`r quo su rosumt`hb os gku`m ` c(z). 

  Oeonpmbs5

0-  H`h`

w>

`) Fbnb

w>

z z∔g z z∔g

 , l`mm`r m` gn`koa ho

  ⇔ 

`) m` fgrfuacoroafg`

|z| > 0 , d) om songpm`ab y ≯ 4x 

w (z ‖ g) > z ⇔  wz - z > gw  ⇔  z (w - 0) > gw  ⇔  z >

gw   w ∔0

gw > 0   ⇔  | g | | w | > |w |w - 0| ⇔ 0. |u + g v| > |(u ‖ 0) + g v|  ⇔  w ∔0 u4 + v4 > (u ‖ 0)4 + v4  ⇔  u4 + v4 > u4 ‖4u + 0 + v4  ⇔  u > ¾ M` gn`koa ho

|z | > 0 os

Ybr mb t`atb m` gn`koa ho m` fgrfuacoroafg` | z | > 0 os m` roft` ho ofu`fgöa u > ¾  

04

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

y ≯ 4x , toaonbs quo oxpros`r x o y fbnb cuafgbaos gw g(u + gv)   numtgpmgf`ahb numtgpmgf`ahb pbr om   ⇔  x + gy > ho u  y v  , pbr ommb fbasghor`nbs z > w ∔0 u + gv ∔ 0 d) Y`r` l`mm`r m` gn`koa hom songpm`ab

fbaeuk`hb hom hoabnga`hbr o gku`m`ahb m`s p`rtos ro`mos o gn`kga`rg`s so bdtgoao5

x>

v u4 + v4 ∔ u ,   , > y (u ∔ 0) 4 + v 4 (u ∔ 0) 4 + v 4

u4 + v4 ∔ u 4v pbr mb t`atb m` gn`koa hom songpm`ab y ≯  4x  os   ≯ 4 4 (u ∔ 0) + v (u ∔ 0) 4 + v 4 b su oqugv`moato u4  + v4  ‖ u  ‖ 4v ≯  9 y fbnpmot`ahb fu`hr`hbs so bdtgoao   4 4 (u ‖ ¾ )  + (v ‖ 0)  ≯ ?/8 quo roprosoat` om oxtorgbr hom fîrfumb ho foatrb ( ¾ ,0) y r`hgb ? / 4   ∃ @ftgvgh`h 85 `z + d  , fba  `.h ‖ d.f ≩ 9 fz + h 0-  L`mm`r mbs puatbs cgebs ho c(z) y hofgr fuàatbs puatbs cgebs puoho toaor. 4-  Vg abs hgfoa quo m` XMC c(z)  tgoao tros puatbs cgebs, os hofgr oxgstoa tros puatbs t`m quo quo ` > h , d > f > 9 y pbr mb t`atb c(z) > z c(z0) >z0 , c(z4) >z4 y c(z6) >z6 ,  eustgcgf`r quo H`h`

c (z ) >

6- Eustgcgf`r quo m` fbnpbsgfgöa ho hbs XMC os ua` XMC. Fbasghor`r

c 4 (z ) >

c 0 ( z ) >

`0z + d0   y f0 z + h0

`4z + d4   , fbnpbaorm`s y bdsorv`r su cbrn`tb. f4z + h 4

8- Eustgcgf`r quo " tbh` XMC tr`ascbrn` m`s roft`s oa roft`s b fgrfuacoroafg`s y tr`ascbrn` m`s fgrfuacoroafg`s oa roft`s b fgrfuacoroafg`s". (Xoaor oa fuoat` quo y` so l` vgstb oa m` `ftgvgh`h 6, puatb 8, quo ua` XMC os fbnpbsgfgöa ho tr`ascbrn`fgbaos y` ostuhg`h`s).

z ≩  ∔ h , eustgcgf`r quo m` tr`ascbrn`fgöa w > `z + d  `hngto fbnb gavors` ` z > ∔ hw + d , fw ∔ ` fz + h f ` p`r` w  ≩ ≩ . (p`r` l`mm`r m` gavors`, sgnpmonoato l`y quo hospoe`r z  oa cuafgöa ho w) . Ybr f ommb pbhonbs `cgrn`r quo m` tr`ascbrn`fgöa mgao`m cr`ffgba`rg` fba hbngagb F ∔  {∔h / f}   y fbhbngagb F ∔ {` / f}  os dguaîvbf`.

?- Vg

06

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

♣  Gafbrpbr`fgöa hom gacgagtb Vg so qugoroa gafbrpbr`r mbs fbnpmoebs ‖ h/f y `/f  `m hbngagb y fbhbngagb rospoftgv`noato ho m`

w > `z + d   pbhonbs gafbrpbr`r ua auovb omonoatb `m quo hoabnga`nbs fz + h gacgagtb, y mb sgndbmgz`nbs ∑, hocgagoahb m` cuafgöa c hom sgkugoato nbhb5

tr`ascbrn`fgöa

c  F ∥ {∑}     ↔               ↔     F ∥ {∑ }   c  ∔ h / f     ↔               ↔     ∑  c  ∑     ↔               ↔     `/f   z 9 ≩ -h/f     ↔      9 + d)/(fz 9 + h) ≩ ` / f            c  ↔     (`z

♣  T`zöa hbdmo Vg z0  , z 4  y z6  sba tros puatbs hgstgatbs hom pm`ab z  y

w0 , w4  y w6  sba tros puatbs hgstgatbs hom

0) > w 0 , c(z4) > w 4 y c(z6) > w 6 . pm`ab w, oatbafos  t`m quo c(z ua` õagf` XMC w > c(z) @honàs hgfl` oxgsto tr`ascbrn`fgöa puoho bdtoaorso hospoe`ahb w ho m` cörnum`

(z - z 0 )(z 4 - z 6 ) (w - w 0 )(w 4 - w 6 ) , ` m` quo so hoabnga` r`zöa hbdmo. > (z - z 6 ))((z 4 - z 0 ) (w - w 6 )( )(w 4 - w 0 ) y

z0

v

z4

w0 z6

x

w6

w4 u

M` eustgcgf`fgöa ho m` cörnum` ho r`zöa hbdmo m` prbpbaonbs, fba fgort`s `yuh`s oa m` `ftgvgh`h sgkugoato.

∃ @ftgvgh`h ?5 Vo`

w > c ( z ) >

`z + d  t`m quo c(z0) > w0 , c(z4) > w4 y c(z6) > w6  fz + h

`)  Fbnprbd`r quo

c(z) - c(z0) >

(`h ∔ df)( z ∔ z 0 )   (fz + h )(fz 0 + h)

d) Xoagoahb oa fuoat` om rosumt`hb ho `) ,gahgf`r om rosumt`hb ho m`s sgkugoatos hgcoroafg`s c(z4) - c(z6) , c(z) - c(z6) y c(z4) - c(z0)

08

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

f) Fbnprbd`r quo

(c(z) - c(z 0 ))( )(c(z 4 ) - c(z 6 )) (z - z 0 )( )(z 4 - z 6 ) >   y pbr mb (c(z) - c(z 6 ))( )(c(z 4 ) - c(z 0 )) (z - z 6 ))((z 4 - z 0 )

t`atb

w > c(z) vorgcgf`

m` r`zöa hbdmo gahgf`h` oa om oauafg`hb h) Y`r` honbstr`r quo os õagf`  supbaor quo l`y btr` XMC w > k(z)  t`m quo k(z0) > k(z4) > w4 y k(z6) > w6  , fbasghor`r m` tr`ascbrn`fgöa l(z) > k-0(c(z)) y eustgcgf`r eustgcgf `r quo5 h0) l(z) os ua` XMC h4) z0 , z4 y z6 sba tros puatbs cgebs ho l(z) , os hofgr l(z0) > z0 , l(z4) > z4  y l(z6) > z6 

w0 ,

Fbafmusgöa5 Fbnb l(z) os ua` XMC quo tgoao tros puatbs cgebs oatbafos l(z) > z (²pbrquç2) , ho hbaho k-0(c(z)) > z y pbr mb t`atb c(z) > k(z) (²pbrquç2). Vo supusb quo l`dî` btr` XMC y so honbströ quo fbgafgho fba m` c(z) , pbr mb t`atb oxgsto ua` õagf` XMC quo oavî` tros puatbs hgstgatbs hom pm`ab z oa tros puatbs hgstgatbs hom pm`ab w y hgfl` XMC so l`mm` pm`ato`ahb m` r`zöa hbdmo y hospoe`ahb  w. 

  Oeonpmbs

0-  L`mm`r ua` XMC w > c(z) quo oavîo mbs puatbs z0> 9, z4> w0> -0, w4> 0 - 4g , w6> 9 rospoftgv`noato

4g , z6> 0 hom pm`ab  z oa mbs puatbs

Toonpm`z`nbs mbs v`mbros h`hbs oa m` r`zöa hbdmo, oa osto f`sb toaonbs5

(z - 9)( )(4g - 0) (w + 0)( )(0 - 4g - 9) z ∔0   >   y hospoe`ahb w  (l`for om hospoeo) so bdtgoao w > (z - 0)( )(4g - 9) (w - 9))((0 - 4g + 0) gz + 0 4- L`mm`r ua` XMC w > c(z) quo oavîo mbs puatbs z0> 0, z4> w0> 9, z4> g , z6> ∑ rospoftgv`noato

g , z6> -0 hom pm`ab  z oa mbs puatbs

Vo puoho utgmgz`r m` r`zöa hbdmo, fbnb ab so s`do bpor`r fba gacgagtb, so tbn` z6>

0/z* y 

muokb so tbn` om mîngto p`r` z* toahgoahb ` forb5

 gz * -0  (w - 9)   )(- 0 + g ) w (gz * -0) + 0)g z 0 g  ( ( ) ( z *           ⇔  (z - 0)(   ⇔ > > (z + 0) (g - 0) (wz * -0)  (z + 0))((g - 0)    wz * -0         z *   (z - 0) w (-0) sg z* ↔  9 oatbafos ost` õmtgn` oxprosgöa so fbavgorto oa  , y hospoe`ahb w  > (z + 0)  (-0)  z ∔0 quo vorgcgf` , fbnb os soafgmmb fbnprbd`r, m`s fbahgfgbaos pohgh`s. oafbatr`nbs5 w > z +0

0    (z - 0)( )(g + 0) z *         > 0   (z + 0)( )(g - 0)     w (g - 9 )     z *    (w - 9) g -

6- L`mm`r ua` XMC

w > c(z) quo oavîo m` fgrfuacoroafg` | z | >0 oa m` roft` u > 9

0?

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

Tofbrh`ahb quo m`s XMC tr`ascbrn`a m`s fgrfuacoroafg`s oa fgrfuacoroafg`s b roft`s, y rofbrh`ahb quo pbr tros puatbs ab `mgao`hbs p`s` ua` õagf` fgrfuacoroafg`, `mf`az` fba omokgr tros puatbs ho | z | > 0  , pbr oeonpmb mbs puatbs z0> 0, z4> g , z6> -0, y omokgr oa om pm`ab w  tros puatbs ho m` roft` u > 9, pbr oeonpmb w0> 9 , z4> g , z6> ∑  , y so dusf` ua` XMC w > c(z)  ho nbhb quo

c(zj) > wj  p`r` j > 0,4,6 , fbnb os` tr`ascbrn`fgöa cuo l`mm`h` oa om   oeonpmb z ∔0 `atorgbr, pbhonbs `sokur`r quo  w >   os ua` tr`ascbrn`fgöa tr`ascbrn`fg öa quo ro`mgz` mb quo so l` z +0 pohghb.

y

z4 > g

z ∔0   w> z +0

z6 > -0

v

z6> ∑  w4 > g

xx

ux

z0 > 0

w0 > 9

⊟ Bdsorv`fgöa5 Os soafgmmb vorgcgf`r quo mbs puatbs hom fîrfumb | z | ≨  0  so tr`ascbrn`a oa mbs puatbs hom songpm`ab u ≨ 9 . @m omokgr mbs puatbs z0 , z4  y z6 ho m` fgrfuacoroafg` | z | >0 , mo lonbs `sgka`hb ua` brgoat`fgöa `atglbr`rg`: `m omokgr mbs puatbs w0 , w4 y w6  so m` roft` u > 9, mo lonbs `sgka`hb ua` brgoat`fgöa ho `d`eb l`fg` `rrgd` Yuoho `cgrn`rso quo m` gn`koa ho mbs puatbs quo ostàa ` m` gzqugorh` ho fgrfuacoroafg` |z | > 0 so tr`ascbrn`a oa puatbs quo ostàa ` m` gzqugorh` ho m` roft` u > 9  y puatbs quo ostàa ` m` horofl` ho m` fgrfuacoroafg` so tr`ascbrn`a oa puatbs quo ostàa ` m` horofl` ho m` roft` u > 9. v y z ∔0   w > z +0

x

u

 

 

•Oeorfgfgbs  

z ∔ 4g  m` gn`koa ho5 z+6 gω 

gω /4

`) om soknoatb ho oxtronbs z9 > 6 o ω y z0> 4 o ω f) om softbr fgrfum`r |z ‖ 6| ≨ 8 , |@rk z | ≨ ω /6

 

d) m` roft` y > 4x -3 h) songpm`ab x 1 0

03

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

7-  L`mm`r ua` tr`ascbrn`fgöa mgao`m cr`ffgba`rg` t`m quo5 `)  z0 > 4g  y z4 > 6 ‖ g so`a puatbs cgebs d)  oavîo m` tora` (0, g, -4) oa m` tora` (9,-0, ∑)  f)  oavîo om songpm`ab x ≨ 9 oa om fîrfumb | w | ≨ 0  h)  oavîo om fîrfumb | z ‖ g | ≨ 4 oa om songpm`ab  To(w) ≯ Gn(w) 

z∔g z+4    , X4 ( z ) > z ∔0 z ∔ 4g `)  Vg m` gn`koa ho m` fgrfuacoroafg` | z ‖ 6 ‖ g j | > j pbr m` tr`ascbrn`fgöa tr`ascbrn`fgöa X0(z) os ua` roft` , ²quç pbsgdmos v`mbros puoho tbn`r m` fbast`ato j 2 d)  L`mm`r m` tr`ascbrn`fgöa w >X4(X0(z)) , eustgcgf`r quo os ua` rbt`fgöa y hosfrgdgrm`. 09- H`h`s m`s tr`ascbrn`fgbaos

X0 ( z ) >

| z ‖ 4 | > | z + g |  pbr X( z ) >

00- L`mm`r m` gn`koa ho mbs fbnpmoebs quo vorgcgf`a

g z - 4g   z+g

y kr`cgf`r om fbaeuatb y su gn`koa. 04- L`mm`r m` gn`koa hom fbaeuatb @> {

z / | z - g | ≯ 0 y | z | ≨ 4 } pbr  w >

8   z ∔ 4g

8. Xr`ascbrn`fgöa pbtoafg`5 w > za , a ∌A H`hbs

tr`ascbrn`fg öa w > za  tbn` m` cbrn`  z > r ogμ  y w > π ogϟ  , oatbafos m` tr`ascbrn`fgöa gϟ

a gaμ 

π o  > r  o

π > r a ⇔     a ϟ > μ 

  Oeonpmbs5

0-  L`mm`r m` gn`koa hom sokuahb fu`hr`ato pbr w > z

4

 

π > r 4 Vg w > z   ⇔     4 ϟ > μ  4

Fbnb mbs puatbs hom sokuahb fu`hr`ato vorgcgf`a ω /4 ≨ μ ≨ ω , r ≯ 9 ⇔ ω ≨ 4μ ≨ 4ω , r4 ≯ 9 ⇔  ω ≨  ϟ ≨ 4ω , π ≯ 9 , pbr mb t`atb m` gn`koa hom sokuahb fu`hr`ato os om songpm`ab gacorgbr  v ≨ 9

y w>z4 

v u

x  

 

0;

Nöhumb G- _agh`h 4

   

N`tonàtgf` H y H0

 

4-  L`mm`r ua` tr`ascbrn`fgöa quo oavîo | @rk(z) | ≨ ω /8 , | z | ≨ 4  oa om songpm`ab

u ≨ 9

y v

[>X(z)>2 4

x

u

M` tr`ascbrn`fgöa dusf`h` os m` fbnpbsgfgöa ho m`s tr`ascbrn`fgbaos quo so gahgf`a ` fbatgau`fgöa y quo y` cuorba ostuhg`h`s fba `atorgbrgh`h5 y

v

[>X(z)>2 4

X0(z) > z

x

u

 

X6 ( w * *) >

y*

y**

X4(w*) >w*/03 03

w ** ∔ 0 w ** + 0

x*

0

x**

z8 ∔0 z 8 ∔ 03 8 8 03   >   8 Ybr mb t`atb5 w > X(z) >X6(X4(X0(z)))> X6(X4(z )) > X6(z  /03) > 8 z + 03 z +0 03

• Oeorfgfgbs 4

6

8

06- L`mm`r nohg`ato m`s tr`ascbrn`fgbaos X0(z) > z  , X4(z) > z y X6(z) > z   m` gn`koa ho5 `) m` songroft` y > x , y ≯ 9 f) om àakumb 9 ≨ @rk(z) ≨ ω /3

d) om fu`hr`ato x 1 9, y = 9 h) om softbr fgrfum`r | @rk(z)| ≨ ω /3 , | z | ≨ 4

08- Gahgf`r kràcgf`noato m`s tr`ascbrn`fgbaos sufosgv`s quo sucro om softbr ω //8 ≨ @rk(z) ≨ 6ω /8 4 pbr m` `pmgf`fgöa ho w > g z  + 0 ‖ g

0<

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

0?- L`mm`r m` gn`koa hom trgàakumb ho vçrtgfos

z0 > -4 ‖ 4 g , z4 > -4 + 4g , z6 > 9  pbr w > g z4 

03- L`mm`r ua` tr`ascbrn`fgöa quo oavîo om fbaeuatb fbaeuatb D > { w / | w + 0 | ≯ 0}

@ > {z / |z ‖ 4g| ≨  0 , Gn(z) ≨  4}  oa om

?. Xr`ascbrn`fgbaos trgkbabnçtrgf`s o lgpordömgf`s @ nbhb ho oeonpmb so v` ` `a`mgz`r fba fgortb hot`mmo m` tr`ascbrn`fgöa   w > soa z, m`s tr`ascbrn`fgbaos w > fbs z , w > sl z  y w > fl z  sba `aàmbk`s y prbpbaoa fbnb ua oeorfgfgb oeorfgfgb `m cga`m ho ost` soffgöa. Vg

u > soa x fl y   w > soa z ⇔ u + gv > soa (x + gy) > soa x fly + g fbs x sly ⇔   v > fbs x sl y 

  Oeonpmbs5

0- L`mm`r, pbr w > soa z m` gn`koa ho mbs soknoatbs 5 `) M0 5 x > 9 , -0 ≨ y ≨ 0 f) M6 5 x > ω /4 , -0 ≨ y ≨ 4 o) M? 5 x > ω /8 , -4 ≨ y ≨ 0 `) Vg

d) M4 5 y > 9 , ω /4 ≨ x ≨ ω  h) M8 5 y > 0 , ω /8 ≨ x ≨ ?ω /8

u > 9 u > soa 9 fl y     ⇔   z ∌ M 0 5 x > 9 , -0 ≨ y ≨ 0 y w > soa z  ⇔    v > sl y  v > fbs 9 sl y

Fbnb sl y os ostrgft`noato frofgoato s`donbs quo5 sg -0 ≨ y ≨ 0 ⇔  sl(-0) ≨ sl y ≨ sl 0 ⇔ - sl0 ≨ v ≨ sl 0 

Ybr mb t`atb m` gn`koa ho

M0 sba

u > 9 mbs fbnpmoebs w > u + gv quo vorgcgf`a5    ∔ sl 0 ≨ v ≨ sl 0 v

y

w>soa z

0 -0

d) Vg

sl0

x

u

-sl 0

u > soax u > soa x fl 9     ⇔   z ∌ M 4 5 y > 9 , ω /4 ≨ x ≨ ω  y w > soa z  ⇔   v > 9 v > fbs x sl 9  

07

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

Fbnb soa x os ostrgft`noato hofrofgoato sg ω /4 ≨ x ≨ ω , s`donbs quo5 sg ω /4 ≨ x ≨ ω  ⇔ 

soa ω /4 ≯ soa x ≯ soa ω  ⇔  0 ≯ u ≯ 9 

9 ≨ u ≨ 0 Ybr mb t`atb m` gn`koa ho M4 sba mbs fbnpmoebs w > u + gv quo vorgcgf`a5  v > 9    v

y

w>soa z u > fl y u > soa( ω / 4) fl y     f) Vg z ∌ M 6 5 x > ω /4 , -0 ≨ y ≨ 4 y w > soa z  ⇔   ⇔  9 0ω /4) slu y ω /4 v > 9 v > fbs(   x

Fbnb fl y hofrofo sg -0 ≨ y ≨ 9 y frofo sg  9 ≨ y ≨ 4 , p`r` oafbatr`r su v`rg`fgöa dusf`nbs su nàxgnb y su nîagnb `dsbmutb oa om gatorv`mb forr`hb Z-0, 4^ , quo so prbhufoa oa y > 4 y oa y > 9 rospoftgv`noato   ⇔  fl 9 ≨  fl y ≨  fl 4 ⇔  0 ≨  u ≨  fl 4 Ybr mb t`atb m` gn`koa ho y

0 ≨ u ≨ fl 4 M6 sba mbs fbnpmoebs w > u + gv quo vorgcgf`a5    v > 9

4 -0

w>soa z ω /4

x

v

0

fl4

u

 u

u > soax fl 0  fl0 > soax    ⇔     h) Vg z ∌ M8 5 y > 0 , ω /8 ≨ x ≨ ?ω /8  y w > soa z ⇔   v  v > fbs x sl 0  > fbs x  sl0

omov`ahb `m fu`hr`hb ost`s õmtgn`s oxprosgbaos y sun`ahb ngondrb ` ngondrb so mbkr` omgnga`r

u4 v4 m` v`rg`dmo x  bdtoagoahb + > 0   , quo roprosoat` ua` omgpso. Os gnpbrt`ato bdsorv`r fl 4 0 sl 4 0 quo oa om r`zba`ngoatb `atorgbr ab so l` utgmgz`hb om h`tb ω /8 ≨  x ≨  ?ω /8 , fbnb osto gatorv`mb tgoao `npmgtuh ω,  so hosproaho quo m` gn`koa sorà sömb ua trbzb ho m` omgpso gahgf`h`.. Y`r` oafbatr`r oso trbzb so dusf` om puatb gagfg`m ho furv` gn`koa, om puatb cga`m y sg os aofos`rgb m` gn`koa ho `mkõa btrb puatb hom soknoatb h`hb fbnb so nuostr` ` fbatgau`fgöa5

Vg

Vg

z > (ω /8 , 0)

z > (?ω /8 ,0)

 ⇔  u > soa( ω / 8) fl 0 >   v > fbs (ω /8) sl 0 > 

4    4 4     fl0   ⇔  sl0  w >  fl0, 4 4 4 4      sl0 4

 4 ⇔ u > soa(?ω / 8) fl 0 > ∔ 4 fl0     v > fbs (?ω /8) sl 0 > ∔ 4 sl0  4

      ⇔  w >  ∔ 4 fl0,∔ 4 sl0     4  4      

49

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

Vg

z > (ω , 0) ⇔  u > soaω fl 0 > 9

 

 v > fbs ω sl 0 > ∔sl0

⇔  w >  (9, ∔ ∔sl0)  

y v

w>soa z

v

    4 4    sl0  fl0,  4 4     

0 ω /8

o) Vg

ω 

?ω /8

x

u

(9,- sl0)

z ∌ M ? 5 x > ω /8 , -4 ≨ y ≨ 0  y w  > soa z 4 ⇔    4 ∔ fl0,∔ sl0   4 4      

u > soa ( ω / 8) fl y   ⇔   v > fbs ( ω  /8) sl y 

u   soa( ω / 8) > fly    v  > sly  fbs(ω /8)

Fbnb soa (ω /8) > fbs ( ω /8) > 4 / 4   y rofbrh`ahb quo fl4 y - sl4 y > 0 , so puoho omgnga`r m` v`rg`dmo y  omov`ahb `m fu`hr`hb ost`s õmtgn`s oxprosgbaos y rostàahbm`s ngondrb ` ngondrb

u4 v4 bdtoagoahb ∔ > 0   , quo roprosoat` ua` lgpçrdbm`. Fbnb oa om r`zba`ngoatb `atorgbr ab 0 / 4 0 / 4 so l` utgmgz`hb om h`tb -4 ≨ y ≨ 0 , so hosproaho quo m` gn`koa sorà sömb ua trbzb ho m` lgpçrdbm` y p`r` oafbatr`rmb so dusf` om puatb gagfg`m ho furv` gn`koa, om puatb cga`m y sg os aofos`rgb m` gn`koa ho `mkõa btrb puatb hom soknoatb h`hb fbnb so nuostr` ` fbatgau`fgöa5

Vg

Vg

Vg

z > (ω /8 , -4 )

z > (ω /8 , 0 )

 u > soa ( ω / 8) fl (-4) > ⇔     v > fbs ( ω /8) sl (-4) > ∔ 

 u > soa ( ω / 8) fl0 > ⇔     v > fbs ( ω /8) sl 0 > 

4 fl0   4 4 sl0 4



z > (ω /8 , 9 ) ⇔  u > soa (ω / 8) fl 9 >

4 fl4   4 4 sl4 4

 v > fbs ( ω /8) sl 9 > 9

4   4

     ⇔  w >  4 fl4,∔ 4 sl 4     4  4     

     ⇔  w >  4 fl0, 4 sl0      4     4        ⇔  w >  4 ,9     4      

y

w>soa z

0 ω /8

    4 4     4 fl0, 4 sl0       

v

x

u

-4      4    ,9        4  

   4 4    ∔  4 fl4, 4 sl 4      

40

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

• Oeorfgfgbs 0;- L`mm`r pbr

w > soa z  m` gn`koa ho5 gω

`) om soknoatb ho oxtronbs z9 > 9  y z0> 4 o ω  f) om roftàakumb 9 ≨ x ≨ ω /4 , 9 ≨ y ≨ 0 0 4 , 9 ≨ x ≨ ω /3 h) m` cr`ae` 9 = x = ω /4 , y = 9

D os m` gn`koa hom fbaeuatb @  pbr w > soa z

@ > {(x,y) / | x | = ω /4, y 1 9} , D > {(x, y) / y 1 9} @ > {(x,y) / | x | = ω /4} , D > F - {(x, y) / y > 9 , | x | ≯ 0 } @ > {(x,y) / | x | ≨ ω /4} , D>F

07- `) Eustgcgf`r quo fbs z > soa (z + ω /4) y hohufgr quo m` tr`ascbrn`fgöa w > fbs z os m` fbnpbsgfgöa ho m` tr`ascbrn`fgöa w > soa z profohgh` ho ua` tr`sm`fgöa ` m` horofl` ho ω /4 uagh`hos. d)  Eustgcgf`r quo  sl z > -g soa(gz) , fl z > soa(gz + ω /4), y hosfrgdgrm`s fbnb fbnpbsgfgöa  oatro m` tr`ascbrn`fgöa w > soa z y btr`s quo hodo gahgf`r.

3. Xr`ascbrn`fgöa oxpbaoafg`m y mbk`rgtnb Y`r` `a`mgz`r m` tr`ascbrn`fgöa oxpbaoafg`m so fbasghor` w oa cbrn` oxpbaoafg`m, os hofgr π ogϟ , y z oa cbrn` dgaöngf`, os hofgr z > x + gy , oatbafos5 z

gϟ

w > o ⇔  π o  > o

x +gy

x gy

> o  o

w>

π > o x   hbaho j os ua aõnorb oatorb ⇔   ϟ > y + 4 j ω 

Y`r` `a`mgz`r m` tr`ascbrn`fgöa mbk`rgtnb so fbasghor` w oa cbrn` dgaöngf`, os hofgr u + gv , y z oa cbrn` oxpbaoafg`m, os hofgr z > r ogμ , oatbafos5 

w>

u > ma r w > Ma z ⇔ u + gv > ma r + g μ  ⇔     v > μ    Oeonpmbs5

0- L`mm`r pbr

w > oz  m` gn`koa ho m` roft` y > 9, `a`mgz`ahb su gn`koa sg x ≯ 9 b sg x ≨ 9

π > o x  , oatbafos m` gn`koa ho m` roft` y > 9 os V`donbs quo sg w > o ⇔   ϟ > y + 4 j ω  z

π > o x    ϟ > 4 j ω 

44

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

Fbnb  ϟ > 4j ω  , mbs fbnpmoebs w tgoaoa `rkunoatb  fbnpmoebs w so oafuoatr`a oa om oeo ro`m pbsgtgvb.

9 , 4 ω , -4ω, 8 ω ,…. y pbr mb t`atb tbhbs mbs

sg   x ≯ 9 ⇔ o x ≯ o 9 ⇔ π ≯ 0 Fbnb o  os frofgoato  ⇔  sg   x ≨ 9 ⇔ o x ≨ o 9 ⇔ π ≨ 0    x

Oatbafos so puoho `cgrn`r quo5 M` gn`koa ho m` songroft` y > 9 ,  fba  x ≯ 9  sba mbs fbnpmoebs hom oeo ro`m pbsgtgvb quo tgoaoa nöhumb n`ybr b gku`m ` 0, os hofgr su gn`koa os m` songroft` v > 9  fba u ≯ 0 M` gn`koa ho m` songroft` y > 9 ,  fba x ≨ 9  sba mbs fbnpmoebs hom oeo ro`m pbsgtgvb quo tgoaoa nöhumb noabr b gku`m ` 0, os hofgr su gn`koa os om soknoatb v > 9  fba 9 ≨ u ≨  0 Ybr mb t`atb m` gn`koa ho m` roft`  y > 9 os m` songroft`  v > 9 fba  u ≯ 9 y

9

v

y

u

x

9

y

v

x

9 0

9 0 Gn`koa ho y > 9 fba x ≯ 9

v

Gn`koa ho y > 9 fba x ≨ 9

9

u

x

9 0

u

Gn`koa ho m` roft` y > 9

y

4- L`mm`r m` gn`koa ho m` zba` sbndro`h` pbr

w > Ma z

4

M` rokgöa sbndro`h` puoho hosfrgdgrso fbnb   | z | ≯ 4, -ω /4 ≨ @rk(z) ≨ ω /4 , os hofgr r ≯ 4 , -ω /4 ≨ μ ≨ ω /4 

x

u > ma r  oatbafos u + g v > Ma (r og μ)  ⇔   v > μ fbnb r ≯ 4 ⇔  ma r ≯ ma 4 , y pbr mb t`atb  u ≯ ma 4

Vo s`do quo

fbnb -ω /4 ≨ μ ≨ ω /4 y v > μ  ⇔  -ω /4 ≨ v ≨ ω /4 pbr mb t`atb m` gn`koa ho zba` sbndro`h` os m` cr`ae` song gacgagt` hocgagh` pbr u ≯ ma 4 y -ω /4 ≨ v ≨ ω /4

v

ω /4 u

Ma 4

-ω /4 

• Oeorfgfgbs 49- L`mm`r pbr

w > oz  m` gn`koa ho5 

`) om roftàakumb 40- L`mm`r pbr

-0 ≨ x ≨ 6 , 9 ≨ y ≨ ω /8

w > Ma z  m` gn`koa ho5

d) m` cr`ae` x 1 9 , 9 = y = ω 

46

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

`) m` fbrba` f) om àakumb

4 ≨ | z | ≨ 8 - ω = @rk(z) = ω /4

d) om fîrfumb `dgortb | z | = 6 h) om softbr |z | = 4 , |@rk(z)|= ω /8

;. Xr`ascbrn`fgöa fbacbrno ♣  _a `rfb F0 oa om pm`ab os fu`mqugor fbaeuatb ho puatbs quo puoho hosfrgdgrso pbr m` ofu`fgöa x > x(t ) p`r`nçtrgf`   , fba t p`rànotrb ro`m portoaofgoato ` ua gatorv`mb G ,  hbaho x(t) o y(t) y > y( t ) sba cuafgbaos fbatgau`s oa G. Oa om pm`ab fbnpmoeb mbs puatbs hom `rfb z(t) > x(t) + g y(t) , fba t ∌ G .

F0 sba mbs fbnpmoebs

♣  Vo hgfo quo ua `rfb F0  ho ofu`fgöa z(t)  os su`vo  sg m` cuafgöa z‗(t) > x‗(t) + g y‗(t)   ab so `aum` y os fbatgau` p`r` t ∌ G . ♣  Vo hgfo quo ua `rfb os su`vo pbr tr`nbs b su`vo pbr p`rtos (spp) sg fbasgsto oa ua aõnorb cgagtb ho `rfbs su`vos uaghbs pbr sus oxtronbs. Vg F 0 os spp oatbafos m`s cuafgbaos x(t) o y(t) sba fbatgau`s porb sus horgv`h`s sba soffgba`mnoato fbatgau`s.

♣  _a `rfb F0 os sgnpmo sg ab so fbrt` ` sî ngsnb, os hofgr sg z(t0) > z(t4) ⇘ t0 > t4  ♣  _a `rfb os forr`hb  sg om puatb gagfg`m fbgafgho fba om puatb cga`m. Vg ua` furv` os sgnpmo y forr`h` so hoabnga` furv` ho Ebrhàa.

y

y

x

@rfb sgnpmo y su`vo

y

x

@rfb sgnpmo y su`vo spp

x

Furv` ho Ebrhàa

♣  Tbt`fgöa ho t`akoatos F0 ua` furv` su`vo ho ofu`fgöa z(t), fba t∌  G  y so`  F0* su gn`koa pbr m` tr`ascbrn`fgöa  w > c(z) oatbafos  F0* tgoao ofu`fgöa p`rànotrgf` w(t) > c(z(t)), fba t ∌ G  . Vo`

F0  p`s` pbr om puatb ho fbbrhoa`h`s (x9, y9) oatbafos oxgsto ua aõnorb ro`m  t9  ∌  G  t`m quo  z(t9) > x(t9) + g y(t9) > x9 + g y9 > z9 y  F0* p`s` pbr w9 > c(z9)> u9 + g v9

Vg

48

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

Fbnb F0  os su`vo `hngto voftbr t`akoato ab aumb y fbatgaub oa f`h` uab ho sus puatbs, oa p`rtgfum`r oa om puatb ho fbbrhoa`h`s (  (xx9, y 9) , su voftbr t`akoato tgoao  fbnpbaoatos (x‗(t9), y‗(t9)) , pbr mb t`atb  z‗(t9) > x‗(t9)+ g y‗(t9) os ua fbnpmoeb fuyb `rkunoatb h` m` gafmga`fgöa hom voftbr t`akoato oa z9 y mb gahgf`nbs ΰ > `rk(z‗(t9)). So`nbs quo sg c(z) os `a`mîtgf` oa z 9  y c‗(z9) ≩ 9  oatbafos m` furv` ab aumb oa w9 fuy` gafmga`fgöa ostà h`h` pbr δ > `rk(w‗(t9))5

F0

y

w>c(z)

F0* `hngto voftbr t`akoato 

v

δ 

v9

ΰ 

F 0 * 

y9 x9 horgv`ahb

u9

x

u

w (t) > c(z(t))  pbr rokm` ho m` f`hoa` y ov`mu`ahb oa t9  bdtoaonbs5 w‗(t9) > c‗(z(t9)). z‗(t9) > c‗(z9). z‗(t9) 

Fbnb c‗(z9) ≩  9, pbr mb supuostb, y  z‗(t9) ≩  9 , pbr sor  F0  su`vo, oatbafos soatghb tbn`r `rkunoatb ` `ndbs ngondrbs bdtoagoahb5

w‗(t9) ≩  9 y tgoao

`rk(w‗(t9)) > `rk(c‗(z9)) + `rk(z‗(t9)) quo os oqugv`moato ` `cgrn`r quo5

δ > `rk(c‗(z9)) + ΰ 

Ybr mb t`atb om àakumb ho gafmga`fgöa ho m` t`akoato ` m` furv` F0* , tr`z`h` oa w9 > c(z9) , hgcgoro hom àakumb ho gafmga`fgöa ho m` t`akoato ` m` furv`  F0  ,tr`z`h` oa  z9  , oa om àakumb ζ  ζ9   > `rk(c‗(z9)), `m quo suomo hoabnga`rso àakumb ho rbt`fgöa ho m` t`akoato.



  Oeonpmbs5 0- H`h` c(z) > 0/z , l`mm`r om àakumb quo kgr`a m`s t`akoatos ` m`s furv`s quo p`s`a pbr 0 + g, os hofgr sg ΰ  os om àakumb ho gafmga`fgöa ho ua` furv` oa om puatb z9  >  0 + g, l`mm`r om àakumb ho gafmga`fgöa ho su gn`koa oa om puatb c(0 + g) Fbnb

c‗(z) > -0/z4  oatbafos

F 

y

`rk(c‗(z)) >`rk(-0/z4) > `rk(-0) ‖`rk(z4) >  ω - 4 `rk z , pbr mb t`atb sg ΰ os om àakumb ho gafmga`fgöa ho ua` furv` oa om puatb z9  >  0 + g  y δ   os  om àakumb ho gafmga`fgöa ho su gn`koa oa om puatb w9 > c(0 + g) > ¾ - g ¾   , s`donbs quo5

δ > `rk(c‗(0 + g)) + ΰ > ω - 4 `rk(0+g) + ΰ > ω - 4 ω /8 + ΰ  > ω /4 + ΰ 

ΰ  0  0 

x

4?

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

Fbnb δ  >  ¾ ω  + ΰ  , pbhonbs `cgrn`r quo om àakumb quo kgr`a m`s t`akoatos ` fu`mqugor   furv` quo p`so pbr  0 + g os ω /4  4- Xoagoahb oa fuoat` m` rospuost` hom oeorfgfgb `atorgbr, l`mm`r sga l`for fuoat`s m` gn`koa ho m` roft` y > x  pbr c(z) > 0/z  Fbnb m` roft`  y > x p`s` pbr om brgkoa, su gn`koa pbr   c(z) > 0/z os ua` roft` quo p`s` pbr om brgkoa hom pm`ab w, fbnb `honàs p`s` pbr om puatb 0 + g , s`donbs pbr om oeonpmb `atorgbr quo sus t`akoatos kgr`a ua àakumb gku`m ` ω /4 . Fbnb om àakumb ho gafmga`fgöa ho m` roft` y > x  os gku`m `  ω /8 , om àakumb ho gafmga`fgöa ho su gn`koa os  ω /4 + ω /8 > 6ω /8 , pbr mb t`atb su gn`koa os m` roft` v > tk(6ω /8) u , b v > -u

♣  Fbasorv`fgöa ho àakumbs Vo`a F0  y  F4  hbs furv`s su`vos quo p`s`a pbr  z9  y so`a  ΰ0 y ΰ4  mbs àakumbs ho gafmga`fgöa ho   sus rospoftgv`s t`akoatos tr`z`h`s oa  z9  oatbafos s`donbs quo 5

δ0 > `rk(c‗(z9)) + ΰ0 δ4 > `rk(c‗(z9)) + ΰ4 hbaho δ0 y δ4 sba mbs àakumbs ho gafmga`fgöa ho m`s t`akoatos tr`z`h`s oa w9 > c(z9) ho m`s furv`s  F0* y F4* , gnàkoaos ho F0 y F4 rospoftgv`noato, sgonpro quo c(z) so` `a`mîtgf` y c‗(z9) ≩ 9. Tost`ahb ngondrb ` ngondrb m`s oxprosgbaos `atorgbros so bdtgoao5

δ0 - δ4 > ΰ0 - ΰ4

Ybr mb t`atb om àakumb δ 0 - δ4  , nohghb hosho F4* l`st` F 0* , os om ngsnb oa n`kagtuh y soatghb quo om àakumb ΰ0 - ΰ4 , nohghb hosho F4  l`st` F0.

y

F0

w>c(z)

δ0 - δ4  v

ΰ0 - ΰ4 

F0*

F4*

F4 x

u

♣  Xr`ascbrn`fgöa fbacbrno Vo`a F0 y F4  hbs furv`s fu`mosqugor` fu`mosqugor` , su`vos y brgoat`h`s hom pm`ab z quo so fbrt`a oa z9 y so`a F0* y F4* sus rospoftgv`s gnàkoaos pbr w > c(z) , so hgfo quo ost` tr`ascbrn`fgöa os fbacbrno  oa z9  sg fbasorv` om t`n`ðb y m` brgoat`fgöa ho mbs àakumbs, os hofgr5 om àakumb oatro F0  y F4  fbgafgho oa n`kagtuh y soatghb fba om àakumb oatro F0* y F4* .

43

Nöhumb G- _agh`h 4

   

N`tonàtgf` H y H0

 

∃ @ftgvgh`h 35 Eustgcgf`r om sgkugoato oauafg`hb5 fbacbrno oa z9

sg

c(z) os `a`mîtgf` oa  z9  y  c‗(z9) ≩  9 oatbafos  c(z) os

  Oeonpmbs5

0- M` tr`ascbrn`fgöa p`r` tbhb z .

w > oz  os `a`mîtgf` y su horgv`h` auaf` so `aum`, pbr mb t`atb os fbacbrno

`aum` sömb oa z > 9, pbr mb 4- M` tr`ascbrn`fg tr`ascbrn`fgöa öa w > z4  os `a`mîtgf` y su horgv`h` c‗(z) > 4z  so `aum` t`atb  os fbacbrno p`r` tbhb  z ≩  9. ²Yuoho sor fbacbrno oa  z > 92, m` rospuost` os ganohg`t` puos sg so fbasghor`a hbs roft`s quo p`soa pbr om brgkoa fuybs àakumbs ho gafmga`fgöa sba μ0  y μ4, sus gnàkoaos sba hbs roft`s quo t`ndgça p`s`a pbr om brgkoa y fuybs àakumbs ho gafmga`fgöa sba 4μ0  y  4μ4  , pbr mb t`atb om àakumb oatro m`s furv`s gnàkoaos os om hbdmo hom v y àakumb oatro m`s furv`s h`h`s. μ4>6ω /8  4

w> z

4μ4>6ω / 4 

μ0>ω /8  

4 μ0>ω /4  u

x

• Oeorfgfgbs 44- L`mm`r om àakumb quo kgr`a m`s t`akoatos ` m`s furv`s quo p`s`a pbr tr`ascbrn`h`s pbr w > c(z) `) c(z) > 6z4 ‖ 4z ,  z9 > g/6

d) c(z) > oz  ,  z9 > ωg

f)

z9  fu`ahb sba

z 0

c ( z ) > z 4 ++ 6  ,  z9 > 0

46- H`h` m` tr`ascbrn`fgöa c(z) > z4  `) Honbstr`r quo w >  c(z) f`ndg` m`s hgroffgbaos ho m`s furv`s quo p`s`a pbr z9 > 4 + g oa om àakumb δ  > `rf tk ¾ d)  L`mm`r m` gn`koa ho m`s roft`s  y > 0 , x > 4 , y > ¾ x pbr w > c(z) y fbnprbd`r mb honbstr`hb oa `)

w > za  , a ∌  A , f`ndg` m`s hgroffgbaos oa om puatb z9 > r9  o g  μ9   oa om àakumb δ > (a ‖ 0)μ9 

48-Honbstr`r quo m` tr`ascbrn`fgöa

4?- Gahgf`r höaho sba fbacbrnos m`s sgkugoatos tr`ascbrn`fgbaos5

4;

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

  6

`) w > 0 ‖ fbs z

d) w > z

 ‖ 6z

f) w > 4/z

h) w > o

4z

 

43- H`h` k(z) > 6 fbs z - g soa z  , oxpros`rm` oa cuafgöa ho oxpbaoafg`mos fbnpmoebs y `vorgku`r p`r` quç v`mbros ho z os fbacbrno. 4;- H`hbs mbs fbaeuatbs

@ > { z > r ogμ  / -ω /8 ≨ μ ≨ ω /8 , r ≯ 4 } , D > { w > π og ϟ  / π ≯ 4 } 

`) L`mm`r ua` cuafgöa quo tr`ascbrno @ oa D ho nbhb quo z9 > 4 ogω /8 so` puatb cgeb . d) Fbnprbd`r quo m` tr`ascbrn`fgöa l`mm`h` oa `) os fbacbrno oa om puatb z0  > 4 o gahgf`r quç àakumb kgr`a m`s t`akoatos oa hgflb puatb. Nbstr`r kràcgf`noato mb quo `cgrn` fbasghor`ahb m` fgrfuacoroafg` r > 4  y m` songroft` μ > 9  y sus gnàkoaos muokb ho `pmgf`h` `pmgf`h` m` cuafgöa.

•• •• Oeorfgfgbs `hgfgba`mos 4 {z / 9 = @rk z = ω /8 , 4 = | z | = ∑ }

`) L`mm`r su gn`koa nohg`ato m` tr`ascbrn`fgöa d) L`mm`r ua` tr`ascbrn`fgöa quo oavîo m` rokgöa

w > 4g Ma z.  Kr`cgf`r @ oa D > { w / To(w) 1 4 Gn(w)} 

69- Vg T os m` rokgöa mgngt`h` pbr m`s fgrfuacoroafg`s pbr m` tr`ascbrn`fgöa w > 0 / (z - g)

|z| > 0  y |z +0/4 g | > 6/4 , l`mm`r su gn`koa

u(x,y) + g v(x,y) os `a`mîtgf` oa ua fbaeuatb H , s`donbs quo u(x,y) y v(x,y) 

sba `rnöagf`s oa H y pbr mb t`atb vorgcgf`a m`s

∄ 4u ∄ 4u + > 9  , ∄x 4 ∄y 4

ofu`fgöa hgcoroafg`m ho M`pm`fo5

∄4v ∄4v + > 9  ∄x 4 ∄y 4

, p`r` (x,y) ∌H

pbr ommb so puohoa oafbatr`r nbatbaos ho sbmufgbaos ho m` ofu`fgöa hgcoroafg`m ho M`pm`fo oa fbasghor`ahb m` p`rto ro`m b gn`kga`rg` ho ua cuafgöa `a`mîtgf` oa H.

H 

4<

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

Ybr oeonpmb 

To(z4) > x4 - y 4 , Gn(soa z) > fbs x sl y , To(o6z) > o6x fbs (6y) sba `rnöagf`s oa

tbhb om pm`ab fbnpmoeb pbr sor m`s fbnpbaoatos ro`mos b gn`kga`rg`s ho cuafgbaos `a`mîtgf`s   y pbr ommb sba sbmufgbaos ho m` ofu`fgöa hgcoroafg`m ho M`pm`fo.  ² Fönb oafbatr`r sbmufgbaos ho m` ofu`fgöa ho M`pm`fo oa ua hbngagb H  quo vorgcgquo fgort`s fbahgfgbaos fbast`atos sbdro m` crbator` ho H ` m`s quo so hoabnga`a fbahgfgbaos ho fbatbrab2 Soronbs ` fbatgau`fgöa quo sg om rofgatb

H os ua àakumb fba vçrtgfo oa om brgkoa b os ua` fbrba`

fgrfum`r t`ndgça foatr`h` oa om brgkoa ho fbbrhoa`h`s b os ua` cr`ae` lbrgzbat`m b vortgf`m , os nuy soafgmmb oafbatr`r m` sbmufgöa. 

♣  F`sb G5  Om hbngagb H os ua àakumb fba vçrtgfo oa om brgkoa quo ab

fbatgoao `m oeo ro`m aok`tgvb

Puoronbs oafbatr`r ua` cuafgöa quo so` sbmufgöa ho m` ofu`fgöa ho M`pm`fo oa om rofgatb  

y

gμ

H > {z / z > r o , r 1 9 , μ9 = μ = μ0 fba μ9 1 - ω}

y m`s fbahgfgbaos ho fbatbrab so h`a sbdro m`s songroft`s   μ > μ9  y  μ > μ0 . M` cuafgöa `rnöagf` quo l`y quo oafbatr`r oa osto f`sb hopoahorà sömb ho  μ.

μ 9 

μ 0  x

Vo prbpbao ua` cuafgöa ho m` cbrn` S(r, μ) > @ μ + D , quo ovghoatonoato os `rnöagf` pbr sor m` fbnpbaoato gn`kga`rg` ho m` cuafgöa `a`mîtgf` @ Ma z + D g  , y so hotornga`a m`s fbast`atos ro`mos @ y D ho nbhb quo vorgcgquoa m`s fbahgfgbaos ho fbatbrab ost`dmofgh`s oa om oeorfgfgb.



  Oeonpmb5

y

L`mm`r ua` cuafgöa `rnöagf` S(x,y) hocgagh` oa

H > {z > r ogμ / r 1 9 , - ω /4 = μ = 6ω /8} t`m quo  S(x,y ) > -; sbdro m` songroft`  μ > 6ω /8

S > -; S> -6

x

S(x,y ) > 6 sbdro m` songroft`  μ > -ω /4 Vo prbpbao S > @ μ + D y so hotornga`a m`s fbast`atos Vg  μ > 6ω /8 oatbafos

@ y D r`zba`ahb hom sgkugoato nbhb5

- ; > @ 6ω /8 + D , sg μ > -ω /4 oatbafos   6 > @ (- ω /4) + D

Tost`ahb ost`s hbs ofu`fgbaos so bdtgoao  - 09 > ?ω /8 @

, hospoe`ahb so bdtgoao quo @ > - -0 47

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

Ybr mb t`atb  S > - ∔ < ω Z`rftk (y x ) + ω^ ∔ 0 sg  x = 9 , y 1 x - ? sg  x > 9 , y 1 9  p`r` ommb so l` toaghb oa fuoat` quo5  

sg 

(x,y) portoaofo ` H  y ostà oa om prgnor b fu`rtb fu`hr`ato oatbafos -ω /4 = μ = ω /4 , pbr

mb t`atb  μ > `rftk(y/x)  

sg 

(x,y) portoaofo ` H  y ostà oa om sokuahb fu`hr`ato oatbafos ω /4 = μ = 6ω /8 , pbr mb t`atb 

μ > `rftk(y/x) + ω   

sg (x,y) portoaofo `m oeo gn`kga`rgb pbsgtgvb oatbafos μ > ω /4

Vo hoe` fbnb oeorfgfgb m` vorgcgf`fgöa quo

S(x,y) os `rnöagf` oa H y s`tgsc`fo m`s fbahgfgbaos ho

fbatbrab pohgh`s.

♣  F`sb GG5

Om hbngagb H os ua` fbrba` fgrfum`r  

Puoronbs oafbatr`r ua` cuafgöa quo so` sbmufgöa ho m` ofu`fgöa ho M`pm`fo oa m` fbrba` fgrfum`r foatr`h` oa om brgkoa H > {z / z > r ogμ, r9 = r = r0 } y m`s fbahgfgbaos ho fbatbrab  so h`a sbdro m`s fgrfuacoroafg`s r > r9  y  r > r0 .

y

r>r

  x

r > r9 M` cuafgöa `rnöagf` quo l`y quo oafbatr`r oa osto f`sb hopoahorà sömb ho  r. Yrbpbaonbs ua` cuafgöa ho m` cbrn` S(r, μ) > @ ma r + D , quo ovghoatonoato os `rnöagf` pbr sor m` fbnpbaoato ro`m ho m` cuafgöa @ Ma z + D , quo sg dgoa ab os `a`mîtgf` oa om oeo ro`m aok`tgvb, su fbnpbaoato ro`m os fbatgau` y horgv`dmo s`mvb oa z > 9, y hotornga`nbs m`s fbast`atos ro`mos @  y D ho nbhb quo vorgcgquoa m`s fbahgfgbaos ho fbatbrab ost`dmofgh`s oa om oeorfgfgb.  

Oeonpmb5

L`mm`r ua` cuafgöa `rnöagf` S(x,y) hocgagh` oa H > {z > r ogμ / , 6 = r = 3} 3} t`m quo 

y

S> -4

S(x,y ) > 8 sbdro m` fgrfuacoroafg` r > 6

S> 8

x

69

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

S(x,y ) > -4 sbdro m` fgrfuacoroafg` r > 3 Vo prbpbao S > @ mar + D y so hotornga`a @ y D r`zba`ahb hom sgkugoato nbhb5 Vg > 6 oatbafos Vg  rr > 3 oatbafos 

8 >>@@mama63++DD -4

Tosbmvgoahb ost`s hbs ofu`fgbaos so oafuoatr` quo

@>

3 ma 6 ∔ ma 3

>

3 3 ma 6  , D > 8 ∔ . ma 0 4 ma 0 4

3 3 ma 6 +8∔   , quo oxpros`h` oa cuafgöa ho x, y  rosumt` sor5 ma r ma 0 4 ma 0 4 3 3 ma 6 S( x, y ) > 0 ma  x 4 + y 4 + 8 ∔ 0   ma 4 ma 4

Ybr mb t`atb

S >

Vo hoe` fbnb oeorfgfgb m` vorgcgf`fgöa ho quo ho fbatbrab pohgh`s.

S(x,y) os `rnöagf` oa H y s`tgsc`fo m`s fbahgfgbaos

♣  F`sb GGG5  Om hbngagb H os ua` cr`ae` lbrgzbat`m b vortgf`m gacgagt`  y

`) Puoronbs oafbatr`r ua` sbmufgöa ho m` ofu`fgöa ho M`pm`fo oa m` cr`ae` lbrgzbat`m gacgagt` H > {(x,y) / - ∑ = x = ∑ , ` = y = d } y m`s fbahgfgbaos ho fbatbrab so h`a sbdro m`s roft`s  y > ` y  y > d . M` cuafgöa `rnöagf` quo l`y quo oafbatr`r oaosto f`sb hopoahorà sömb ho  y.

y>d y>`

x

Vo prbpbao ua` cuafgöa ho m` cbrn` S(x, y) > @ y + D , quo ovghoatonoato os `rnöagf` pbr sor m` fbnpbaoato gn`kga`rg` ho m` cuafgöa `a`mîtgf` @ z + D g  , y so hotornga`a m`s fbast`atos ro`mos @  y D ho nbhb quo vorgcgquoa m`s fbahgfgbaos ho fbatbrab ost`dmofgh`s oa om oeorfgfgb. y

f)  Vg H > {(x,y) / ` = x = d , - ∑ = y = ∑ } os ua` cr`ae` vortgf`m gacgagt` y m`s fbahgfgbaos ho fbatbrab so h`a sbdro m`s roft`s x > ` y  x > d , m` cuafgöa `rnöagf` quo l`y quo oafbatr`r oa osto f`sb hopoahorà sömb ho x.

x>d

x>` x

Vo prbpbao ua` cuafgöa ho m` cbrn` S(x, y) > @ x + D , quo ovghoatonoato os `rnöagf` pbr sor m` fbnpbaoato ro`m ho m` cuafgöa `a`mîtgf` @ z + D , y so hotornga`a m`s fbast`atos ro`mos @ y D ho nbhb quo vorgcgquoa m`s fbahgfgbaos ho fbatbrab ost`dmofgh`s oa om oeorfgfgb.   Oeonpmb

y

8

L`mm`r ua` cuafgöa c(x,y)  quo s`tgc`k` m` ofu`fgöa ho M`pm`fo oa om fbaeuatb H > {(x,y) / - ∑ = x = ∑ , -4 = y = 8 } y

x

60

-4Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

vorgcgquo

c(x, 8) > -6 , c(x,-4) > 7

M` cuafgöa `rnöagf` quo l`y quo oafbatr`r oa osto f`sb hopoahorà sömb ho y, prbpbaonbs c(x,y) > @y + D y m` ov`mu`nbs sbdro m` crbator` ho  H5

c ( x,8) > @8 + D > ∔6    c  ( x , ∔ 4 ) > @ ( ∔ 4 ) + D > 7 

y rosbmvgoahb osto sgston` bdtoaonbs @ > -4 , D > ?

pbr mb t`atb c(x,y) > -4y + ? , quo sokurb os `rnöagf` pbr sor m` p`rto gn`kga`rg` ho m`  cuafgöa `a`mîtgf`  -4 z + ?g y funpmo m`s fbahgfgbaos oxgkgh`s sbdro m` crbator` ho H.

• Oeorfgfgbs 60- `) L`mm`r ua` cuafgöa `rnöagf` songpm`ab x 1 9 quo vorgcgquo5

K(x,y)  hocgagh` oa om

K(9,y) > 0  sg y 1 9  K(9,y) > 4  sg y = 9 

y

K>0 x

K>4

d) L`mm`r ua` cuafgöa `rnöagf` N(x,y) hocgagh` oa om songpm`ab y 1 9 quo vorgcgquo5

N>4

N(x,9) > 0  sg x 1 9 ,  N(x,9) > 4  sg x = 9  f)  L`mm`r ua` cuafgöa `rnöagf` fu`hr`ato quo vorgcgquo5 J(x,9) > 0  sg x 1 9

N>0

x

J(x,y)  hocgagh` oa om prgnor y

J>4

J(9,y) > 4  sg y 1 9 

x

J>0 h)  L`mm`r ua` cuafgöa `rnöagf` L(r,μ) hocgagh` oa @ > {(r,μ) / r 1 9 , ω / 3 =  μ = ω / 6 }  quo vorgcgquo5

L(r , ω /   3) > ∔4  

L(r, ω  / 6) > 6  

Oxpros`r L oa cuafgöa ho

y

L>6 L>-4

x o y 

x y

o)  L`mm`r uas cuafgöa `raöagf` S(x,y) hocgagh` oa D > {(x,y) / 0 = x4 + y4 = 8} quo vorgcgquo5

S > ?  sbdro x4 + y4 > 0  4

4

S>? 0

4

x

S > 0  sbdro x  + y  > 8 

S>0 64

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

c)  ²Puç cuafgöa `rnöagf` prbpbahrî` oa mbs oeorfgfgbs `atorgbros sg mbs v`mbros sbdro m` crbator` cuor`a5 `0) K(9,y) > 3 , p`r` tbhb y f0) J(9,y) > J(x,9) > 9  , p`r` x 1 9 , y 1 9  64- L`mm`r ua` cuafgöa `rnöagf` vorgcgquo5

d0) N(x,9) > -4 , p`r` tbhb x

L(x,y) hocgagh` oa m` cr`ae`5 - ∑ = x = ∑ , ` = y = d  quo

4 sg   y > `   L ( x, y ) >  8 sg   y > d  66- Tosbmvor om oeorfgfgb 6060- f) tr`ascbrn`ahb tr`ascbrn`ah b om prgnor fu`hr`ato oa om songpm`ab suporgbr y muokb `pmgf`r om oeorfgfgb 60-d) y

68- L`mm`r m` oxprosgöa ho m` tonpor`tur` ost`fgba`rg` oa 4 4 om gatorgbr ho ua fgmgahrb fuy` soffgöa tr`asvors`m os x  + y  > 0   ho nbhb quo vorgcgquo5 X(x,y) > 099 oa  x4 + y4 > 0 fba y 1 9

X(x,y) > 9

oa 

X>099 x

x4 + y4 > 0 fba  y = 9

X>9

 Gahgf`fgöa5  M` ofu`fgöa hgcoroafg`m quo hodo s`tgsc`for ua` tonpor`tur` ost`fgba`rg`   X(x,y) os ∋ 4 X(x, y ) > 9. Xr`ascbrn`r om fîrfumb oa om songpm`ab suporgbr ho n`aor` quo m` songfgrfuacoroafg` gacorgbr so tr`ascbrno oa om oeo ro`m pbsgtgvb 

6?- L`mm`r m` oxprosgöa ho m` tonpor`tur` ost`fgba`rg`

y

X(x,y)  oa m` rokgöa oxtorgbr ho ua fgmgahrb fuy` soffgöa tr`asvors`m os

x4  + (y-0)4  > 0  ho nbhb quo 4 4 vorgcgquo5 X(x,y) > 099  oa x  + (y-0)  > 0 X(x,y) > 9 

oa

y > 9 

 Gahgf`fgöa5 Xr`ascbrn`r om rofgatb utgmgz`ahb

X>9

w > 0/z 

63- L`mm`r m` oxprosgöa hom pbtoafg`m omoftrbstàtgfb  S(x,y) oa om osp`fgb fbnproahghb oatro hbs fgmgahrbs fbahuftbros  fb`xg`mos | z | > 0 , | z | > 4  fu`ahb so s`do quo5

oa

|z | > 0

, S(x,y) > 09

X>9

y

oa

|z | > 4

x

S>9 0

∋ 4 S (x, y ) >  9  oa  0 = | z | = 4

S(x,y) > 9

X>09  

g

4

S>09

x

66

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H y H0

 

6;- L`mm`r m` hgstrgdufgöa ost`fgba`rg` ho m` tonpor`tur`

y

X(x,y) oa m` rokgöa sbndro`h` ho m` cgkur` quo vorgcgquo5  X(x,9) > 9

oa

X>89

| To(z) | 10

S(x,y) > 899  oa |z | > 0 , Gn(z) 1 9

X > 9 -0

X>9

0

x

•• •• Oeorfgfgbs `hgfgba`mos 6

{ z / | z + 0 | ≯ 0 y | z | ≨ 4 } pbr w >

8g z+4

 

d) L`mm`r ua` cuafgöa `rnöagf` X(x,y)  oa om gatorgbr hom fbaeuatb @ ho nbhb quo5 X(x,y) > -4  sbdro | z + 0 | > 0  , X(x,y) > 6  sbdro | z | > 4  hbaho z > x + g y

67`) L`mm`r ua` tr`ascbrn`fgöa w > c(z) quo oavîo om fbaeuatb @> {(x,y) / 0 ‖ y ≨ x ≨ y -0 } oa om fbaeuatb D> { w / Gn (w) ≨ 9 } ho nbhb quo c(g) > 9  d) L`mm`r, ua` cuafgöa `rnöagf` X(x,y) oa om gatorgbr hom fbaeuatb @ ho nbhb quo5 X > -0 sbdro m` songrroft` y > 0 + x  , x 1 9 : X > -4  sbdro m` songrroft` y > 0 ‖ x , x = 9. Eustgcgf`r quo os `rnöagf`.

68

Nöhumb G- _agh`h 4

 

N`tonàtgf` H

 

N@XONÀXGF@ H Nöhumb G5 @aàmgsgs ho S`rg`dmo Fbnpmoe` 

_agh`h 6

Gatokr`fgöa Fbnpmoe`  N`k. N`rî` Gaçs D`r`k`ttg D`r`k`ttg

♣ 

Gatokr`m ho ua` cuafgöa cua fgöa ho v`rg`dmo ro`m ` v`mbros fbnpmoebs 

♣  Vo` z(t) > u(t) + g v(t) ua` cuafgöa ho v`rg`dmo ro`m t ` v`mbros fbnpmoebs, fba u(t) y v(t)  gatokr`dmos oa Z`,d^ , so hocgao m` gatokr`m ho z(t) oa Z`,d^ fbnb5 d

d

d

∪` z(t ) ht > ∪` u(t ) ht + g ∪` v(t ) ht     Oeonpmbs

0- 

4

4

4

4

4

4 4 4 6 ∪∔0 (8t + g6t ) ht  > ∪∔08t ht + g ∪∔06t ht > 4t ∔0 + gt ∔0 > 3 + g7   ω

ω

soa fbs(at )   (at ) ( ∔0) a ∔ 0   4- ∪ (fbst + gsoa t ) ht > ∪ Zfbs (at) + g soa (at)^ ht > ∔g >9∔g 9 9 a 9 a 9 a ω

ω

a

∃ @ftgvgh`h 05 `) Vg z0(t) > u0(t) + g v0(t)

y  z4(t) fbast`atos fbnpmoe`s honbstr`r quo 5 d

> u4(t) + g v4(t) sba gatokr`dmos oa Z`,d^ y ΰ  y δ sba

d

d

∪` Zΰ z 0 (t ) + δ z 4 (t)^ ht  > ΰ ∪` z 0 (t ) ht + δ ∪` z 4 (t) ht   (prbpgoh`h ho mgao`mgh`h) z(t) > u(t) + g v(t) os gatokr`dmo oa Z`,d^ , honbstr`r m`s sgkugoatos prbpgoh`hos5

d) Vg d0) d6)

To ∪` z(t )  ht  > ∪` ToZz(t )^ ht   d4) Gn  ∪` z(t )   ht  > ∪` GnZz(t )^ ht   d



d

d



d

∪` z(t ) ht > ∪` z(t) ht  

d



d



0

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

∃ @ftgvgh`h 45 d

Vg z(t) os gatokr`dmo oa

Z`,d^ oatbafos v`mo m` sgkugoato hosgku`mh`h

`

∪

d

z(t )  ht ≨ ∪` z(t ) ht  

@ fbatgau`fgöa so dbsquoe` m` honbstr`fgöa ho ost` prbpgoh`h y so hoe` ` f`rkb hom `munab eustgcgf`r `mkuabs ho mbs p`sbs.

μ9, , os hofgr

d

∪` z(t ) ht > r9o  

gμ 9

 

d

∪` z(t ) ht  os ua fbnpmoeb ho nöhumb r9 y `rkunoatb d g d   y > r (#) z ( t ) ht 9   ∪` o z(t ) ht > r9 (##) ∪`

Vupbak`nbs quo om rosumt`hb ho m` gatokr`m

⇔ 

  ∔ μ9

 

Xoagoahb oa fuoat` (#) y (##) y btr`s prbpgoh`hos y` noafgba`h`s, eustgcgf`r tbh`s m`s gku`mh`hos y hosgku`mh`hos quo so gahgf`a ` fbatgau`fgöa5 d

∪`

z(t ) ht >

( 0)

d   ∔ gμ 9

∪` o

d

z(t ) ht > To  ∪` o  ∔gμ9 z(t ) ht  > ∪`  To  Zo ∔ gμ9 z(t )^ht ≨   ∪` o  ∔ gμ9 z(t ) ht > ( 4) (8) (?)  ( 6)  d

d

d

∪ z(t) ht   `

(0)5pbr (#) y (##) (4)5…………………………………………………… (4)5…………… ………………………………………………………………………… …………………………………………… ………… (6)5…………………………………………………… (6)5…………… ………………………………………………………………………… …………………………………………… ………… (8)5…………………………………………………… (8)5…………… ………………………………………………………………………… …………………………………………… ………… (?)5…………………………………………………… (?)5…………… ………………………………………………………………………… …………………………………………… …………

∃ @ftgvgh`h 65 z(t)  os fbatgau` oa Z`,d^  y sg U(t) os ua` prgngtgv` ho z(t), os hofgr U‗(t) > z(t) , oatbafos d ∪` z(t ) ht > U(d) ∔ U(`)  

Vg

_s`r oa tbhbs mbs f`sbs m` hocgagfgöa ho gatokr`m h`h` nàs `rrgd`. Ost` prbpgoh`h , fbnb oa om f`sb ho cuafgbaos ro`mos, so hoabnga`

Tokm` ho D`rrbw.

  Oeonpmb

Fbabfgoahb m` rokm` ho D`rrbw p`r` cuafgbaos ho v`rg`dmo ro`m ` v`mbros fbnpmoebs, pbhonbs l`mm`r m` gatokr`m prbpuost` oa om oeonpmb 4 hom sgkugoato nbhb5

o gat ∪9 (fbst + gsoa t ) ht > ∪9 (o ) > ∪9 o ht > ga ω

a

ω

gt a

 ω

gat

ω

sg  a  os   p`r (∔ 0)a ∔ 0 9   > > ga 4g/a sg  a  os   gnp`r

 9

4

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

∃ @ftgvgh`h 85 ho ofu`fgöa `) Vg ζ  d ζ  os ua `rfb ho furv` su`vo g y(t) fba | hz |> z' (t ) ht > mbakgt z(t) uh h>omx(t) `rfb+ ζ  honbstr`r quo ζ 

∪

∪`

ζ  ζ 

N os ua` fbast`ato pbsgtgv` y  |z(t)| ≨  N  p`r`

d) Vg

` ≨ t ≨ d, f`mfum`r |z' (t)| y

` ≨  t ≨  d,  honbstr`r quo 

d

∪` z(t ) ht ≨ N (d ‖ `)  ♣ 

Gatokr`m ho ua` cuafgöa cua fgöa ho v`rg`dmo fbnpmoe` sbdro ua` furv` 

  ua `rfb ho furv` su`vo ho ofu`fgöa p`r`nçtrgf` z(t) > x(t) + g y(t) fba ` ≨  t ≨  d y  ♣  Vo` ζ  ζ ua  sbdro om `rfb ζ  c(z) ua` cuafgöa fbatgau` sbdro ζ  ζ,  so hocgao m` gatokr`m ho c  sbdro ζ fbnb5 d

∪

ζ  ζ 

d

∪

∪

 c(z) hz > `c  ( z(t )) hZz(t)^ > `c ( z(t )) z' (t) ht

  Oeonpmb

Y`r` f`mfum`r m` gatokr`m

∪  Zz - To(z) - g ^hz , ζ  ζ 

sgoahb ζ  ζ  om soknoatb  ho ofu`fgöa  p`r`nçtrgf` 

z(t) > 4t + g (8t ‖ 0) fba  -0 ≨ t ≨ 4 us`nbs m` hocgagfgöa ho gatokr`m p`r` tr`ascbrn`rm` oa ua` gatokr`m ho ua` cuafgöa ho v`rg`dmo ro`m ` v`mbros fbnpmoebs fbnb so nuostr` ` fbatgau`fgöa5 4

4

∪ζ   Zz - To(z) - g ^hz > ∪∔0    Zz(t) - To(z(t)) - g^ z' (t) ht > ∪-0 Z4t ∔ g(8t ∔ 0) ∔ 4t ∔ g ^ (4 + g 8) ht > ζζ  

∔

4

4

4

∔0

∔0

> ∪ - g8t ( 4 + 8g ) ht > ∪   (03t ∔ > 48 -04 g

♣  Yrbpgoh`hos 0- Yrbpgoh`h ho mgao`mgh`h5  Vg c(z)  y k(z)  sba hbs cuafgbaos gatokr`dmos sbdro m` furv` ζ  ζ  y ΰ  y δ  sba hbs fbast`atos fbnpmoe`s oatbafos oatbafos

∪  Zΰ c(z) + δk(z)^ hz > ΰ ∪  c(z) hz + δ∪  k(z)  hz   ζ  ζ 

4- 

 

ζ  ζ 

ζ  ζ 

Nöhumb ho ua` gatokr`m 5 om nöhumb ho ua` gatokr`m s`tgsc`fo m` sgkugoato hosgku`mh`h5

∪   c(z) hz ≨ ∪   c(z) hz   ζ  ζ 

 

ζ  ζ 

6

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

∃ @ftgvgh`h ?5 Eustgcgf`r m`s prbpgoh`hos 0- y 4- `atorgbros us`ahb m` hocgagfgöa y m`s prbpgoh`hos ho m`s gatokr`mos ho cuafgbaos ho v`rg`dmo ro`m ` v`mbros fbnpmoebs.

 

Oeonpmbs 

o 4gz  hz Honbstr`r quo mîn   ∪ 4 hz > 9   sgoahb F m` songfgrfuacoroafg`  z > T ogt , 9 ≨ t ≨ ω  T ↔∑ F z ∔ 4 z + 4 Y`r` pbhor honbstr`r mb sbmgfgt`hb tr`t`nbs ho `fbt`r om nöhumb ho m` gatokr`m us`ahb m` prbpgoh`h 4 y rofbrh`ahb quo om nöhumb ho ua fbfgoato os gku`m `m fbfgoato ho mbs nöhumbs5 4 gz 4 gz

4 gz

∪F z 4o∔  4 zhz+ 4 hz  ≨  ∪F z 4  ∔o4z + 4

hz  >

∪F

4

o

F

hz  > (#)

z ∔ 4z + 4

T

@ fbatgau`fgöa `fbt`nbs om aunor`hbr y om hoabnga`hbr |o4gz| > |o4gx o-4y| > |o4gx| |o-4y| > 0 . o-4y > o-4y  ≨  0  puos 4

Tofbrh`r quo5

4

4

y ≯9

4

z ∔ 4z + 4 ≯ z ∔ 4z ∔ 4 > z ∔ 4 z ∔ 4 > T ∔ 4T ∔ 4  , pbr mb t`atb

o 4gz 4

z ∔ 4z + 4

 ≨

|` ° d | ≯ | |` | - | d| |

0   y us`ahb ost` `fbt`fgöa hom gatokr`ahb pbhonbs T ∔ 4T ∔ 4 4

fbatgau`r fba m` gatokr`m fbnb so nuostr` ` fbatgau`fgöa5 (#) >

∪F

0 0 > hz   T 4 ∔ 4T ∔ 4 T 4 ∔ 4T ∔ 4

∪F

hz >

046

mbakgtuh  ho  F

ωT

T 4 ∔ 4T ∔ 4

 

ωT o 4gz  hz ≨ 4 Lonbs pbhghb honbstr`r quo 9 ≨ ∪ 4   hz F z ∔ 4z + 4 T ∔ 4T ∔ 4 Fbnb oa ost` õmtgn` cr`ffgöa om kr`hb hom hoabnga`hbr os n`ybr quo om kr`hb hom aunor`hbr , tbn`ahb mîngto p`r`  T↔∑ ↔∑  oa ost` õmtgn` hosgku`mh`h y us`ahb om tobron` hom s`ahwgfl , pbhonbs `cgrn`r quo so funpmo mb pohghb.

8

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

⊟ Tom`fgöa oatro m` gatokr`m ho ua` cuafgöa ho v`rg`dmo fbnpmoe` y m` gatokr`m

ho mîao` ho cuafgbaos ro`mos  Fbasghor`ahb z > x + g y  , c(z) > u(x,y) + g v(x,y)   y hz > hx + g hy , m` gatokr`m ho c(z) sbdro m` furv` ζ   puoho oxpros`rso fbnb ua fbnpmoeb fuy` p`rto ro`m o gn`kga`rg` sba gatokr`mos ho mîao` ζ puoho ho cuafgbaos ho hbs v`rg`dmos ro`mos fbnb so nuostr` ` fbatgau`fgöa5

∪  c(z) hz > ∪  Zu(x, y) + g v(x, y)^ (hx + g hy) > ∪  Zu(x,y) hx - v(x,y) hy ^ + g Zv(x, y) hx + u(x, y) hy ^ > >  Zu(x, y) hx - v(x, y) hy ^ + g Zv( x, y )hx + u(x, y) hy ^ ∪ ∪ ζ  ζ 

 

ζ  ζ 

ζ  ζ 

ζζ  

ζ  ζ 

♣  Yrbpgoh`hos (fbatgau`fgöa) 6- 

F`ndgb ho brgoat`fgöa ho m` furv` 5 Vg ζ  ζ  y  -ζ  ζ  roprosoat`a m` ngsn` furv` porb rofbrrgh` oa soatghbs fbatr`rgbs oatbafos

∪   c(z) hz > ∔∪  c(z) hz   ζ  ζ 

8- 

 

∔ ζ  ζ 

Yrbpgoh`h `hgtgv` ho m`s furv`s5 Vg ζ  ζ0    y  ζ  ζ4    roprosoat`a hbs

ζ  ζ0   

furv`s brgoat`h`s quo tgoaoa ` mb sunb ua aõnorb cgagtb ho puatbs oa fbnõa oatbafos5

∪ 

 ∪  c(z) hz + ∪  c(z) hz

c(z) hz >

ζ  ζ  0 ∥ ζ  ζ 4

  ζ  ζ 0

ζ  ζ4   

 

ζ  ζ  4

∃ @ftgvgh`h 35 Eustgcgf`r m`s prbpgoh`hos 6- y 8- `atorgbros toagoahb oa fuoat` quo m`s ngsn`s prbpgoh`hos sba vàmgh`s oa om f`npb ro`m.

  Oeonpmbs

y g

0-  F`mfum`r

4

∪  Gn(z) hz , sgoahb ζ ζ 5 5 x > y   -0 ζ  ζ 

Vg p`r`notrgz`nbs m` furv` tbn`ahb

hosho

g l`st` -g

-g

x

y > t , oatbafos om trbzb ho p`ràdbm` quo abs gatoros` tgoao

4

ofu`fgöa p`r`nçtrgf`  z(t) > (t  -0) + g t fba  -0 ≨ t ≨ 0 porb l` quoh`hb n`m brgoat`h`, pbr ommb m` hoabnga`nbs -ζ  ζ  y bpor`nbs fbnb so nuostr` ` fbatgau`fgöa 5 ?

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

0

0

∪ζ ζ   Gn(z) hz > ∔∪∔ζ ζ   Gn(z) hz   > ∔∪∔0 Gn( z(t ))z' (t ) ht > ∔∪∔0 t (4t + g ) ht > ∔8 / 6   4- F`mfum`r 

∪   0z hz , sgoahb ζ ζ 5 5 | z | > 4 rofbrrgh` oa soatghb `atglbr`rgb  ζ  ζ 

Y`r`notrgz`nbs m` furv`, oa osto f`sb os ua` fgrfuacoroafg` ho r`hgb 4 5

z(t) > 4 ogt  , 9 ≨ t ≨ 4ω  4ω

4ω 0 4ω 0 4ω 0 4ω 0 o 4gt  gt gt 4gt ∪ζ ζ   z hz > ∪9 z(t ) z' (t ) ht > ∪9 4o  gt  4go ht > ∪9 4o ∔gt 4go ht > ∪9 go ht > g 4g  > 9   9

?-  Gahopoahoafg` hom f`ngab Om fbafoptb ho gahopoahoafg` hom f`ngab y` cuo ostuhg`hb fba m`s gatokr`mos ho mîao` ho v`rg`dmo ro`m, ab bdst`ato rofbrhonbs quo5

♣  Vo hgfo quo ua fbaeuatb `dgortb H os ua hbngagb sg p`r` tbhb p`r ho puatbs ho H oxgsto ua` furv` fbatoagh` oa H quo mbs uao.

♣  _a hbngagb H  os sgnpmonoato fbaoxb  sg tbh` furv` forr`h` fbatoagh` oa H oafgorr` sömb  puatbs ho H. 

Ybr oeonpmb bdsorv`ahb mbs sgkugoatos kràcgfbs, so puoho hofgr quo5 H0 os ua hbngagb sgnpmonoato fbaoxb, H4  os ua hbngagb porb ab os sgnpmonoato fbaoxb y H > H6 ∥ H8  ab os ua hbngagb.

H4

H6

H8

H0

H > H6 ∥ H8 ♣  M` gatokr`m

∪ c (z )hz   os gahopoahgoato hom f`ngab oa ua hbngagb  H  sg p`r` tbhb p`r ho ζ  ζ 

puatbs z0  y z4  hom hbngagb H m` gatokr`m tbn` sgonpro om ngsnb v`mbr sbdro fu`mqugor furv` fbatoagh` oa H quo uao z0 y z4 

Muokb ho ost` õmtgn` hocgagfgöa, m` prokuat` a`tur`m os5

²fönb s`dor sg m` gatokr`m ho ua`

cuafgöa ho v`rg`dmo fbnpmoe` os gahopoahgoato hom f`ngab oa ua hbngagb H2 Y`r` pbhor rospbahor ost` prokuat` toaonbs v`rg`s pbsgdgmgh`hos quo hosfrgdgnbs ` fbatgau`fgöa. 3

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

Α  Xobron` 0

5 Fbahgfgöa aofos`rg` y sucgfgoato p`r` quo m` gatokr`m so` gahopoahgoato hom f`ngab

Vo`

oa ua hbngagb H. _a` gatokr`m ho mîao` ho c(z) os gahopoahgoato hom f`ngab oa H ⇘c(z)  m`  fbatgau` gatokr`m ho c(z) sbdro fu`mqugor furv` forr`h` fbatoagh` oa H v`mo forb.

∃ @ftgvgh`h ;5 Honbstr`r om tobron` 0. (m` honbstr`fgöa os ghçatgf` `m tobron` sgngm`r vgstb oa v`rg`dmo ro`m).

ΑXobron` 4 5 Fbahgfgöa sucgfgoato p`r` quo m` gatokr`m so` gahopoahgoato hom

f`ngab - Tokm` ho D`rrbw.

Vg c(z) os fbatgau` oa ua hbngagb H y oxgsto C(z) oa H  t`m quo C‗(z) > c(z) (fbnb oa m` v`rg`dmo  ro`m, hofgnbs quo C(z) os ua` prgngtgv` ho c(z))  y ζ    os ua` furv` fbatoagh` oa H quo uao z9 fba ζ os

∪

z0 oatbafos c ( z )hz > ζ  ζ 

∪

z0 z9

c ( z ) hz > C(z 0 ) ∔ C(z 9 ) .

Fbnb om rosumt`hb ho m` gatokr`m hopoaho sömb hom puatb gagfg`m y hom puatb cga`m ho m` furv`, pbhonbs `sokur`r quo5 sg c(z) os fbatgau` oa H y oxgsto ua` prgngtgv` oa H oatbafos m` gatokr`m os gahopoahgoato hom f`ngab oa H. 

∃ @ftgvgh`h x(t) + g y(t)  , fba ` ≨ t ≨ d  , t`m quo z(`) > z9 , oatbafos prbpbaonbs eustgcgf`r tbh`s m`s gku`mh`hos quo so gahgf`a ` fbatgau`fgöa 5 d

d

z(d) > z0 

d

∪ζ ζc   (z)hz > ∪` c (z(t)) z'(t) ht > ∪` C'(z(t)) z'(t) ht > ∪` ZC(z(t))^' ht >C(z(d)) ∔ C(z(`)) > C(z0 ) ∔ C(z 9 )   (0)

(4)

( 6)

( 8)

(?)

(0)5 ………………………………….………………………… (4)5……………………………………………………………… (6)5 pbr rokm` ho m` f`hoa` so s`do quo   ZC(z(t))^‗> C‗(z(t)) z‗(t) (8)5 fbnb C‗(z(t)) os ua` cuafgöa ho v`rg`dmo ro`m ` v`mbros fbnpmoebs  y C(z(t)) os ua` prgngtgv`, puoho  `pmgf`rso m` rokm` ho D`rrbw

(?)5……………………………………………………………… ;

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

  Oeonpmbs

 6z 4 hz  , sgoahb ζ  ζ om trbzb ho p`ràdbm` y > 0 - x 4 hosho (-0,9) ` (9,0)

0- F`mfum`r ζ  ζ 

∪

Fbnb c(z) > 6 z4  os fbatgau` oa F  y tgoao prgngtgv`   C(z) > z6  D`rrbw sgoahb z9 > (-0, 9) > -0 y z0 > (9,0) > g , pbr mb t`atb5

∪  6z

4

, pbhonbs `pmgf`r om X. ho

hz > C(g) ‖ C(-0) > g6 ‖ (-0)6 > -g + 0

ζ  ζ 

0  5 | z | > 0 hz , sgoahb ζ  ζ 5 4 ζ  ζ  z

∪

4- F`mfum`r

 

 , puos os fbatgau` oa F ‖ {9} , y C(z) > M` cuafgöa c(z) > 0/z4  os fbatgau` sbdro m` furv` ζ  ζ , 0/z os ua` prgngtgv`, pbr mb t`atb puoho `pmgf`rso om X. ho D`rrbw y fbnb m` furv` os forr`h` m` gatokr`m v`mo 9 (forb), puos om puatb gagfg`m fbgafgho fba om puatb cga`m. 6- F`mfum`r 

0  5 | z | > 0   hz , sgoahb ζ  ζ 5 ζ  ζ  z

∪

M` cuafgöa c(z) > 0/z  os fbatgau` sbdro m` furv` ζ    , puos os fbatgau` oa om hbngagb H > F ‖ ζ , {9}, porb oa osto hbngagb ab os  pbsgdmo oafbatr`r ua` cuafgöa  C(z) t`m quo C‗(z) > 0/z (rofbrh`r quo (Ma z)‗> 0/z s`mvb oa mbs  puatbs hom oeo ro`m aok`tgvb), pbr mb t`atb ab puoho `pmgf`rso om X. ho D`rrbw. Ost` gatokr`m hodo f`mfum`rso p`r`notrgz`ahb m` furv` ζ  ζ  55 z(μ) > og μ    fba 9 ≨ μ ≨ 4ω , f`mfum`ahb z‗(μ) > g og μ  y us`ahb m` hocgagfgöa5

0   hz > ζ  ζ  z

∪

∪

4ω

9

 

4ω 0  gμ μ > g o h g  hμ > g4ω  9 o gμ

∪

Α Xobron` 6 5 Oxgstoafg` ho prgngtgv` Vg c(z) > u(x,y) + g v(x,y)  os fbatgau` oa ua hbngagb H y m` gatokr`m ho c(z) os gahopoahgoato hom f`ngab oa H oatbafos oxgsto C(z) oa H  t`m quo C‗(z) > c(z) (fbnb oa m` gatokr`m ro`m, so hgfo quo   C(z) os ua`  prgngtgv` ho  c(z)) . @honàs sg  z9  os ua puatb fu`mqugor` ho  H so  vorgcgf` quo 

h  z  c  (z *) hz *  > c ( z )   ∪ z   hz  9 Honbstr`fgöa

<

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

Fbnb m` gatokr`m

∪ c (z )hz  os gahopoahgoato hom f`ngab oa H y s`donbs quo  ζ  ζ 

 Zu(x, y) hx - v(x, y) hy ^ + g Zv( x, y )hx + u(x, y) hy ^ 

c (z )hz > ζζ  

 

∪

ζζ  

ζζ  

∪

∪

oatbafos m`s gatokr`mos ro`mos

∪  Zu(x, y) hx - v(x, y) hy^  y ∪  Zv(x, y) hx + u(x, y) hy^  ζ  ζ 

sba gahopoahgoatos hom f`ngab oa H 

ζ  ζ 

(fuostgba`r ost` `cgrn`fgöa, ²os pbsgdmo quo ost`s gatokr`mos ro`mos ab so`a gahopoahgoatos hom f`ngab2) Fbnb m`s gatokr`mos ro`mos sba gahopoahgoatos hom f`ngab, so s`do quo m`s oxprosgbaos y u(x,y) hx - v(x,y) hy v(x,y) hx + u(x,y) hy sba hgcoroafg`mos ox`ft`s, os hofgr oxgstoa oa H hbs cuafgbaos _(x,y)  y S(x,y) , hoabnga`h`s cuafgbaos pbtoafg`mos, t`m quo5

∄_ ∄_ h_( x, y ) > ∄x hx + ∄  y hy > u( x, y ) hx ∔ v( x, y ) hy  , ∄S ∄S hS( x, y ) > hx +   hy > v( x, y ) hx + u(x, y ) hy   ∄x ∄y ho hbaho so hosproahoa m`s sgkugoatos gku`mh`hos ho (FT)5

∄_ ∄ S ∄_ ∄S > v( x , y )   > > u( x, y )  ,  ∔ > ∄y ∄x ∄x ∄y Vg fbasghor`nbs C(z) > _(x,y) + g S(x,y) , vonbs quo5  

C(z) os horgv`dmo oa H , puos _(x,y)  y S(x,y) , fbnb y` vgnbs, funpmoa m`s fbahgfgbaos ho (FT) y tgoaoa horgv`h`s p`rfg`mos fbatgau`s pbr fbgafghgr hgfl`s horgv`h`s fba m` p`rto ro`m

u(x,y) b gn`kga`rg` v(x,y) ho m` cuafgöa fbatgau` c(z)   

Ybr sor  C(z) horgv`dmo,

s`donbs quo 

pbr mb t`atb pbhonbs `cgrn`r quo oxgsto oa @honàs

z

∪z

9

( x ,y )

 c  (z *) hz *  >  ∪( x >

9 ,y 9 )

5 C‗(z) > 

∄_ ∄S > u( x, y ) + gv( x, y ) > c ( z )   , +g ∄x ∄x

H ua` cuafgöa horgv`dmo C(z) t`m quo  C‗(z) > c(z)

Zu(x*, y*) hx * -v(x*, y*) hy *^ + gZv(x*, y*) hx * +u(x*, y*) hy *^> 

( x ,y )

∪( x ,y ) h_(x*, y*) + g hS(x*, y*)  >_(x,y) - _(x9 , y9) 9

+ g ZS(x,y) - S(x9 , y9)^ >

9

> _(x , y) + gS(x, y) - Z_(x9 , y9) + g S(x9 , y9)^ > C(z) - C(z9) Ybr mb t`atb

z

 c  (z *) hz *  > C(z) - C(z9) , ho hbaho

h 

z

 c (z *) hz *  > C' ( z ) > c ( z )  

∪z

hz  ∪z 9

9



7

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

• Oeorfgfgbs 0-  F`mfum`r m`s sgkugoatos gatokr`mos5

∪  To(z) hz   : ∪  Gn(z) hz   : ∪  z hz  

oa mbs sgkugoatos

ζ  ζ 

ζ  ζ 

ζ  ζ 

f`sbs5 `)  ζ  ζ5  z(t) > 0 + gt , 9 ≨ t ≨ 0 d)  ζ  ζ5  | z | > 0 , rofbrrgh` oa soatghb `atglbr`rgb f)  ζ  ζ5  | z ‖ ` | > T , rofbrrgh` oa soatghb `atglbr`rgb

Fbavoafgöa5  Fu`ahb ua` furv` os forr`h` y ab so gahgf` m` brgoat`fgöa, hodo rofbrrorso oa soatghb `atglbr`rgb. 4-  F`mfum`r

∪

ζ  ζ j

 Gn(z) hz  p`r` j > 0, 4 y 6 hbaho

`)  ζ  ζ0   os om soknoatb brgoat`hb quo uao 0 fba g d)  ζ  `atglbr`rgb ζ4   5 | z | > 0 , hosho 0 l`st`  g , oa soatghb `atglbr`rgb f)  ζ  ζ6    os m` pbmgkba`m quo uao 0 fba 9 y 9 fba g h)  Xoagoahb oa fuoat` quo  ζ  ζ0   , ζ  ζ4    y ζ  ζ6    sba tros furv`s hgstgat`s quo tgoaoa om ngsnb puatb gagfg`m y cga`m, ²puoho `cgrn`r quo m` gatokr`m os gahopoahgoato hom f`ngab2, ²fbatr`hgfo om tobron` cuah`noat`m2

∪F | z |

6- `) F`mfum`r d)  Hohufgr

∪F ( x

4

`

4

o g | z |  hz  sgoahb F5 |z| > 4 hosho 4 ` ‖4 oa soatghb `atglbr`rgb

p`rtgr

ho

`)

om

rosumt`hb

ho

m`

sgkugoato

gatokr`m

?- F`mfum`r

∪ Ma z hz  p`r` j > 0 , 4 , 6 ζ  ζ j

∔0

∪ζ ζ(  z ∔ `) hz > 4ωg   ,

sgoahb 

3- F`mfum`r5

f) 

∪  (z - 4g) hz sgoahb ζ ζ om soknoatb quo uao 4 + g fba 6 ‖ 4g 4 4z ∪F o hz  sgoahb F 5 y > 4x  hosho (-0, 4) ` (4, 9  p`r` a ≩-0

ζ  ζ0  5 | z | > T hosho T l`st` ‖ Tg oa soatghb `atglbr`rgb, ζ  ζ4  5 | z | > T hosho T l`st` ‖ Tg oa soatghb lbr`rgb, ζ  ζ6  5 | z | > T ,

d) 

mîao`

+ y 4 ) soa x 4 + y 4    hx + ( x 4 + y 4 ) fbs x 4 + y 4  hy  

8- Vg ζ  ζ5  | z - `| > T , fba T ≩ 9, honbstr`r quo

`) 

ho

z

09

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

;-  Eustgcgf`r quo5

hz

`)  |z | > 4

hz ≨

8ω

 

6

z +0 ; ω Ma z d) ≨   (4Ma T + ω )   , hz T 4T z4 Ma z mîn ∪F 4 hz > 9   T ↔∑ T z

∪ ∪F

FT  5 z(t) > T o gt  , | t | ≨  ω /4

y honbstr`r quo 

Α Xobron` ho F`ufly Vo` ζ  furv` forr`h`, sgnpmo y su`vo pbr tr`nbs y so` c(z) ua` cuafgöa `a`mîtgf` sbdro ζ  ζ  ua` furv` ζ  y su gatorgbr fuy` horgv`h` c ‗(z)  os fbatgau` sbdro ζ  ζ  y su gatorgbr oatbafos

∪ c(z) hz > 9 ζ  ζ 

Honbstr`fgöa Y`r` honbstr`r osto tobron` us`nbs om tobron` ho Krooa quo rom`fgba` ua` gatokr`m ho mîao` fba ua` gatokr`m hbdmo5 Xobron` ho Krooa5 Vo` F ua` furv` forr`h`, sgnpmo y rokum`r ` trbzbs (su`vo) fbatoagh` oa ua hbngagb  H  hom pm`ab y so`  T m` rokgöa mgngt`h` pbr F   , so`a  N(x,y)  y  A(x,y)  hbs cuafgbaos fba horgv`h`s  p`rfg`mos fbatgau`s oa  H oatbafos

   ∄A ∄N  + > Nhx Ahy   ∪F    ∪∪T  ∄x ∔ ∄y  hx hy         hbaho F hodo rofbrrorso ho nbhb ho hoe`r ` T ` su gzqugorh`

Vg 

F

y

T

H x

c(z) > u(x,y) + g v(x,y) oatbafos s`donbs quo5

∪  c(z) hz > ∪  Zu(x, y) hx - v(x, y) hy ^ + g ∪ Zv(x, y )hx + u(x, y) hy^ >      ∔ ∄v ∄u   ∄u ∄v    hx hy + g  ∔  hx hy > 9 + g 9 > 9   > ∔ ∪∪    ∄x ∄y  ∪∪   ∄x ∄y  ζζ  

ζ  ζ 

(0 )

T

ζ  ζ 

T

( 4)

(0)  @pmgf`ahb om tobron` ho Krooa ` f`h` gatokr`m ro`m (4)  Fbnb c(z) os `a`mîtgf`, sus p`rtos ro`m o gn`kga`rg` vorgcgf`a m`s fbahgfgbaos ho (F-T) y pbr mb t`atb f`h` gatokr`ahb v`mo forb.

00

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

⊟ Bdsorv`fgöa Kburs`t cuo om prgnorb quo puhb honbstr`r quo m` lgpötosgs " c ‗(z) fbatgau` sbdro ζ  ζ  y su gatorgbr " pbhî` bngtgrso , absbtrbs `fopt`nbs sga honbstr`fgöa m`s sgkugoatos v`rg`atos hom tobron` ho F`ufly

Α Xobron` ho F`ufly Kburs`t (vorsgöa 0) Vg ζ  ζ  os ua` furv` forr`h`, sgnpmo y su`vo pbr tr`nbs y oatbafos

c(z)  os `a`mîtgf` sbdro ζ  ζ  y su gatorgbr

∪ c(z) hz > 9 ζ  ζ 

Α Xobron` ho F`ufly Kburs`t (vorsgöa 4) Vg ζ  urv` forr`h`, sgnpmo y su`vo pbr tr`nbs y c(z)  os `a`mîtgf` sbdro ζ    y su gatorgbr , ζ  os ua` ffurv` ζ y s`mvb ` mb sunb oa ua aõnorb cgagtb ho puatbs oxfopfgba`mos hbaho os fbatgau` oatbafos

∪ c(z) hz > 9 ζ  ζ 

  Oeonpmbs

o 6z `)  M` gatokr`m hz  os gku`m ` 9  puos vorgcgf` m`s lgpötosgs hom X. ho F`ufly Kburs`t 5   |z |>0 z - 4g o 6z m` furv` os forr`h` y su`vo y c(z) >   os `a`mîtgf` sbdro m` furv` |z| > 0 y su gatorgbr z ∔ 4g

∪

puos ab os `a`mîtgf` oa gatokr`.

4g , porb osto fbnpmoeb os oxtorgbr ` m` furv` forr`h` sbdro m` quo so

d)  M` `pmgf`fgöa hom tobron` ho F`ufly Kburs`t ab os t`a ganohg`t` p`r` om fàmfumb ho m`

soa z soa z os `a`mîtgf` sbdro m` furv` forr`h` y su hz , puos m` cuafgöa c(z) > |z | >` z z gatorgbr s`mvb oa  z9 > 9 , quo os gatorgbr ` fu`mqugor fgrfuacoroafg` ho r`hgb ` 1 9.

gatokr`m

∪

 

Vga ond`rkb sg f`mfum`nbs om mgngto ho m` cuafgöa oa hgfl` sgakum`rgh`h bdtoaonbs

 soa z soa z sg  z ≩ 9   pbhonbs `cgrn`r quo5  mîn > 0   y sg fbasghor`nbs m` cuafgöa k( z ) >  z z ↔9 z 0 sg  z > 9

k(z) os fbatgau` oa z > 9  y sg z ≩  9  s`donbs quo k(z)  os `a`mîtgf` pbr sor fbfgoato ho

04

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

`a`mîtgf`s y om hoabnga`hbr ab so `aum`, pbr mb t`atb pbr pbr om X. ho F`ufly Kburs`t pbhonbs `cgrn`r quo

∪ k(z) hz > 9 . |z |> `

Bdsorvonbs quo sbdro mbs puatbs ho m` furv`

m` cuafgöa  k(z) fbgafgho m` cuafgöa fuy`  soa|z|z > ` ,  p`r` mbs z  quo vorgcgf`a |z| > ` , oatbafos m` gatokr`m quoronbs f`mfum`r, os hofgr k(z) >  z soa z   . pbr mb t`atb gatokr`m ho  k(z) sbdro hgfl` furv`  hodo fbgafghgr fba m`  gatokr`m ho  z soa z   hz > k(z) hz > 9   |z | >` |z | > ` z

∪

∪

♣  Fbasofuoafg`s hom Xobron` ho F`ufly T

ζ  ζ0   

0- Vo`a ζ  ζ0    y  ζ  ζ4   hbs furv`s forr`h`s su`vos pbr tr`nbs y tbhbs mbs puatbs ho ζ  ζ0    sba gatorgbros ` ζ  ζ4  y so` c(z) ua` cuafgöa `a`mîtgf` sbdro m`s furv`s y oa om hbngagb T mgngt`hb pbr omm`s oatbafos5

∪

ζ  ζ 0

c(z) hz > ∪ζ ζ  c(z) hz   4

M`s furv`s so rofbrroa oa om ngsnb soatghb (`nd`s oa soatghb `atglbr`rgb b `nd`s oa soatghb lbr`rgb)

Honbstr`fgöa Vupbak`nbs quo ζ  ζ0   y ζ  ζ4   m`s rofbrronbs oa soatghb `atglbr`rgb. Vg ocoftu`nbs hbs fbrtos roftbs uagoahb puatbs ho ζ  ζ0   y ζ  ζ4   , om hbngagb T quoh` hgvghghb oa hbs rokgbaos, quo hoabnga`nbs T0 y T4

T0  H

D

F

@

T4 M`s crbator`s ho T0 y T4 sba furv`s forr`h`s y m`s gahgf`nbs ∄T 0 y ∄T 4  rospoftgv`noato.

Fbnb c(z)  os `a`mîtgf` sbdro hgfl`s furv`s y su gatorgbr, pbhonbs `pmgf`r om X. ho F`ufly Kburs`t ` `nd`s y bdtoaor quo 5

06

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

∪ T c(z) hz > 9  

∪ T c(z) hz > 9  

y 

∄ 0

∄ 4

hbaho m`s furv`s ∄T 0   y ∄T 4   m`s brgoat`nbs ho nbhb ho hoe`r m`s rokgbaos gzqugorh`.

T0  y T4  ` m`

∪ T c(z) hz + ∪ T c(z) hz > 9  , y kugàahbabs pbr om kràcgfb

Vun`ahb ostbs rosumt`hbs bdtoaonbs5

∄ 0

∄ 4

pbhonbs osfrgdgr m` õmtgn` gku`mh`h hom sgkugoato nbhb5   @

H

F

D

D

F

H

@

∪D c ( z)hz + ∪@ c (z )hz + ∪H c ( z)hz + ∪F c (z )hz  + ∪@ c (z )hz + ∪D c ( z )hz + ∪F c (z )hz + ∪H c (z )hz > 9 (*)

088 8 8 8 8 8  8  488 8 8 8 8 8  8  6

088 8 8 8 8 8 488 8 8 8 8 8 6

sbdro  m`  crbator`  ho  T 0

sbdro  m`  crbator`  ho  T 4

Fbnb m`s gatokr`mos ho mîao` sbdro mbs soknoatbs so f`afom`a puos so rofbrroa oa soatghbs fbatr`rgbs fu`ahb so fbasghor`a oa m` crbator` ho T0 b oa m` crbator` ho T4  y toagoahb oa fuoat` quo (ngr`r om kràcgfb)5 D

∪F c (z ) hz

F

∪D c (z ) hz

+

ζ  ζ 0

sbdro m` crbator` ho T 4

sbdro  m` crbator` ho T 0 H

∪@ c (z ) hz

+

0 8 48 6

> ∔ ∪ c ( z ) hz  

 

0 8 48 6

0 8 48 6

sbdro  m` crbator` ho T 0

@

∪ c (z ) hz

> ∪ c ( z ) hz  

  H

ζ  ζ  4

0 8 48 6

sbdro m` crbator` ho T 4

hbaho oa m` prgnor` gatokr`m so l` fbmbf`hb ua sgkab noabs puos so bdsorv` quo ζ  ζ0    hodo rofbrrorso oa soatghb fbatr`rgb `m quo `auafg`nbs `m fbnoaz`r, vonbs quo m` oxprosgöa (*) tbn` m` cbrn`5 ∔

∪

ζ  ζ 0

c(z) hz + ∪ c(z) hz > 9 , y pbr mb t`atb5   ζ  ζ  4

∪

ζ  ζ 

c(z) hz    > ∪ζ ζ  c(z) hz  

4

4

4- Vo`a ζ  ζ4  y  ζ  ζ6  tros furv`s forr`h`s su`vos pbr tr`nbs fbnb ζ0   , ζ  so nuostr`a oa om kràcgfb y so` c(z) ua` cuafgöa `a`mîtgf` sbdro m`s furv`s y oa m` rokgöa T mgngt`h` pbr omm`s oatbafos5

ζ  ζ6   

T

4 

+ ∪ c(z) hz   ∪ζ ζ  c(z) hz > ∪ζ ζ  c(z)  hz   ζ  ζ  0

4

6

ζ  ζ0    hbaho m`s furv`s so rofbrroa ho nbhb ho hoe`r m` rokgöa T ` m` gzqugorh`.

∃ @ftgvgh`h 9  , ²fba ζ  ζ 

osto rosumt`hb puoho `cgrn`r quo l`y gahopoahoafg` hom f`ngab2   Oeonpmbs

0- Vg

c(z)  ua` cuafgöa `a`mîtgf` oa tbhb om pm`ab y so s`do quo

fbabforso om v`mbr ho m` gatokr`m oafgorr` ` 

∪|z |>0   >

c(z) hz > ω   z

,

²puoho

c(z) hz  , sgoahb ζ  ζ  ua` furv` su`vo pbr tr`nbs, forr`h`, quo   ζ  ζ  z

∪ 

z>9 2

Os gnpbrt`ato bdsorv`r quo om gatokr`ahb os `a`mîtgfb oa tbhb om pm`ab fbnpmoeb s`mvb oa z > 9  Vg ζ  g atorgbr) , fbnb om gatokr`ahb os ζ ab fbrt` ` | z | > 0 ( os oxtorgbr b gatorgbr) `a`mîtgfb oa m` rokgöa fbnproahgh` oatro m` fgrfuacoroafg` | z | > 0 y m`

0

c(z) furv` ζ    , `pmgf`ahb m` fbasofuoafg` 0 pbhonbs `cgrn`r quo ∪   ζ , hz > ω  ζ  ζ  z Vg ζ  ζ  fbrt` ` m` fgrfuacoroafg` | z | > 0, so fbasghor` btr` furv` forr`h`, ` m` quo mm`n`nbs ζ  ζ*  , fbnb om gatokr`ahb os `a`mîtgfb oa m` rokgöa mgngt`h` pbr | z | > 0 y ζ  ζ*   , pbr m` fbasofuoafg` 0 , pbhonbs `cgrn`r quo m` gatokr`m

ζ  ζ   0

sbdro ζ  ζ  v`mo ω  , fbnb `honàs om gatokr`ahb os `a`mîtgfb oa m` rokgöa mgngt`h` pbr ζ  ζ  y*  ζ  ζ*   , pbr m` fbasofuoafg` 0 , m` gatokr`m sbdro ζ  ζ v`mo mb ngsnb quo m` gatokr`m sbdro ζ  *  , os hofgr m` gatokr`m sbdro ζ  ζ*, ζ v`mo  ω  Ybr mb t`atb

∪ζ ζ  

ζ  ζ*   

c(z) hz > ω  , sgoahb ζ  ζ fu`mqugor furv` su`vo pbr tr`nbs, forr`h`, quo oafgorr` ` 9 z

4- Eustgcgf`r , us`ahb m` fbasofuoafg` 4 y toagoahb oa fuoat`

c(z) om kràcgfb ho m` horofl`, quo sg ∪   hz > 6   y ζ  ζ  0 (z - 4)(z - g) c(z) c(z) ∪ζ ζ 4  (z - 4)(z - g) hz > ;   oatbafos  ∪ζ ζ 6  (z - 4)(z - g) hz > - 8 ,

ζ  ζ0    g

ζ  ζ6    4 

4

Vupbaor quo c(z) os `a`mîtgf` ∉z y quo m`s furv`s so rofbrroa oa soatghb pbsgtgvb.

0?

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

Α Cörnum` ho m` gatokr`m ho F`ufly ζ  ζ  Vg ζ  ζ  os ua` furv` forr`h`, sgnpmo y su`vo pbr tr`nbs  y c(z) os `a`mîtgf` sbdro ζ  ζ  y su gatorgbr , y z9 os gatorgbr ` ζ  ζ  oatbafos

z9

c(z) hz > 4ωg c(z 9 )   ζ  ζ  z - z 9

∪

 

Honbstr`fgöa

ζ  ζ 

Fbasghoronbs ua` fgrfuacoroafg` F foatr`h` oa z9 gatorgbr ` ζ  ζ  F5 |z ‖ z9 | > T y f`mfum`nbs m` gatokr`m prbpuost` fbnb so nuostr` ` fbatgau`fgöa hbaho f`h` p`sb ostà eustgcgf`hb nàs `d`eb

z9 F

) + c (z 9 ) hz >  c(z) - c(z 9 ) hz + c(z )   0 hz     c(z) hz >   c(z) hz >  c(z) - c(z   9 9 (6) F (0) F z - z ( 4) F F z - z9 ζ  ζ  z - z z - z9 z - z9 9 9

∪

∪

∪

∪

∪

088  8  488  8  6

@

08486

D

(0)5  sba gku`mos pbr m` prgnor` fbasofuoafg` hom tobron` ho F`ufly puos om fbfgoato c(z) / (z ‖ z9) os `a`mîtgfb sbdro m`s furv`s ζ  ζ  y F y oa m` rokgöa mgngt`h` pbr `nd`s (4)5 sun`ahb y rost`ahb c(z9) oa om aunor`hbr (6)5 m` gatokr`m ho ua` sun` os sun` ho gatokr`mos y c(z9) os fbast`ato Honbstr`ronbs ` fbatgau`fgöa quo m` gatokr`m tobron` ost`rà honbstr`hb. h onbstr`hb.

@ v`mo forb y m` gatokr`m D v`mo 4ωg y oatbafos om

`)  Y`r` eustgcgf`r quo m` gatokr`m  @ v`mo forb, fbasghor`nbs m` cuafgöa 

 c (z ) ∔ c ( z 9 ) sg  z ≩ z 9    k( z ) >  z ∔ z 9 c ' ( z 9 ) sg  z > z 9 @a`mgfonbs ost` cuafgöa k(z)5 sg z ≩ z9 ,

k(z) os `a`mîtgf` pbr sor fbfgoato ho `a`mîtgf`s y om hoabnga`hbr ab so `aum` c ( z ) ∔ c ( z 9 )   k(z) os fbatgau` oa z9 puos mîn k( z ) > mîn > c ' ( z 9 ) > k(z 9 )   z ↔z 9 z↔z 9 z ∔ z9  

Ybr mb t`atb k(z) os `a`mîtgf` sbdro m` furv` forr`h` F y su gatorgbr , s`mvb ` mb sunb oa om puatb z9  hbaho s`donbs quo os fbatgau` , pbr ommb pbhonbs `pmgf`r om tobron` ho F`ufly Kburs`t (vorsgöa 4) y `cgrn`r quo

∪ k(z) hz > 9 .  F

03

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

Bdsorvonbs quo sbdro mbs puatbs ho m` furv`

∪F

pbr mb t`atb

F, m` cuafgöa k(z) os gku`m `m fbfgoato gafronoat`m,

c ( z ) ∔ c ( z 9 ) hz >   ∪F k(z) hz >   9 , y quoh` honbstr`hb quo m` gatokr`m @ v`mo z ∔ z9

forb. d) Y`r` f`mfum`r m` gatokr`m D, p`r`notrgz`nbs m` fgrfuacoroafg` gt

f`mfum`nbs z'(t) > Tg o   y bdtoaonbs 5

∪F  

F 5 z(t) > T ogt  , fba 9 ≨ t ≨ 4 ω,

4ω   0 4ω 0 gt > hz > ∪9 Tgo ht ∪9 g ht > 4ωg   z - z9 To gt

  Oeonpmbs

`)  F`mfum`r ∪ζ   ζ 

fbs z hz   , sgoahb ζ  ζ m` crbator` hom trgàakumb ho vçrtgfos 9 , 8 ° 4g z∔ω

Fbnb om gatokr`ahb tgoao m` cbrn`

8

c(z) , fba c(z) > fbs z  , `a`mîtgf` oa tbhb om pm`ab, y z-z 9

  , pbhonbs `pmgf`r om X. ho m` cörnum` ho F`ufly z9 > ω ostà oa om gatorgbr ho m` furv` forr`h` ζ  ζ , puos so vorgcgf`a tbh`s m`s lgpötosgs , `sî toaonbs5

fbs z

∪   z ∔ ω hz > 4ωg c( ω) > 4ωg fbs(ω) > ∔4ωg   ζ  ζ 

d) F`mfum`r

z6 + 6 ∪|z∔ 4g|>4   z 4 + 0  hz  

Oa osto oeorfgfgb om gatokr`ahb ab tgoao m` cbrn`

c(z) , porb sg c`ftbro`nbs om hoabnga`hbr z - z9

vonbs quo5

z6 + 6 z6 + 6 >   z 4 + 0 ( z + g )( z ∔ g ) Fbnb om c`ftbr (z - g  ) so `aum` oa g, quo os gatorgbr ` m` furv` forr`h` h`h`, y om c`ftbr (z + g)  ab so `aum` sbdro m` furv` ag oa su gatorgbr, pbhonbs osfrgdgr m` gatokr`m ho m` sgkugoato n`aor`5

z6 + 6 ∪0z ∔4g|>4   z 4 + 0   hz > ∪0z∔ 4g|>4

   z 6 + 6    + z g   hz        

z∔g

Fbnb (z6 +6) / (z + g) os `a`mîtgf` sbdro m` furv` forr`h` y su gatorgbr , pbhonbs us`r m` cörnum` ho F`ufly. Xbn`ahb c(z) > (z6 +6) / (z + g) om v`mbr ho m` gatokr`m rosumt`5

   z 6 + 6  -g+6   > ω > 6 ω ∔ gω   > ω > ω     hz 4 g   c(g) 4 g   4 g   ∪0z∔ 4g|>4 4      z + g   z >g z +0 4g

z6 + 6

0;

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

f) F`mfum`r m` gatokr`m h`h` oa d) sbdro m` furv`

F5 | z | > 4 

Oa osto f`sb mbs fbnpmoebs g y -g, quo `aum`a om hoabnga`hbr, sba gatorgbros ` m` furv` forr`h`. So`nbs quo ` pos`r ho ostb puoho f`mfum`rso m` gatokr`m nohg`ato m` cörnum` ho F`ufly, p`r` ommb fbasghoronbs hbs furv`s forr`h`s F0  y F4  gatorgbros ` F  y hgseuat`s, F0  quo sömb oafgorro ` g y F4 quo sömb oafgorro ` - g . Ybr ua` ho m`s fbasofuoafg`s hom tobron` ho F`ufly Kburs`t, s`donbs quo

z8 + 6 z8 + 6 z8 + 6 ∪F   z 4 + 0 hz > ∪F0    z 4 + 0 hz + ∪F4   z 4 + 0 hz  

F0

g

F4

-g

fbnb oa om gatorgbr ho m`s furv`s forr`h`s F0  y F4  om gatokr`ahb puoho oxpros`rso fbnb fbfgoato oatro c 0(z) / (z - g)  y c 4(z) / (z + g)  rospoftgv`noato , ost`s gatokr`mos so f`mfum`r oa cbrn` sgngm`r `m oeonpmb `atorgbr. 8

Vo hoe` fbnb oeorfgfgb vorgcgf`r quo

∪F    zz 4 ++ 06 hz > (6ω - gω) + (-6ω - gω) > -4gω 

∃ @ftgvgh`h 095

F0

Vg c(z) os `a`mîtgf` oa om `agmmb mgngt`hb pbr hbs fgrfuacoroafg`s fbafçatrgf`s y F4  y z9  os ua puatb gatorgbr ` hgflb `agmmb, honbstr`r quo5

c (z 9 ) >

F0  

0 c ( z ) 0 c ( z )   hz     hz   ∪   ∪ 4ωg F0 z ∔ z 9   4ωg F4 z ∔ z 9

F4

z9

hbaho m`s furv`s so rofbrroa oa soatghb hgroftb. (L`for ua fbrto oa m` rokgöa sbndro`h` y `pmgf`r `mkõa tobron` quo c`fgmgto om fàmfumb ho f`h` gatokr`m)

♣  Koaor`mgz`fgöa ho m` cörnum` ho F`ufly M` cörnum` ho m` gatokr`m ho F`ufly porngto hotornga`r om v`mbr ho ua` cuafgöa `a`mîtgf` oa ua puatb sg fbabfonbs mbs v`mbros quo tbn` hgfl` cuafgöa sbdro ua fbatbrab forr`hb, sgnpmo y su`vo pbr tr`nbs quo gafmuy` ` hgflb puatb. M` cörnum` ho F`ufly puoho koaor`mgz`rso y bdtoaor ua` cörnum` quo porngto f`mfum`r om v`mbr ho tbh`s m`s horgv`h`s ho ua` cuafgöa `a`mîtgf` oa ua puatb sg fbabfonbs mbs v`mbros quo tbn` hgfl` cuafgöa sbdro ua fbatbrab forr`hb, sgnpmo y su`vo pbr tr`nbs quo gafmuy` ` hgflb puatb. M` cörnum` koaor`mgz`h` puoho bdtoaorso nohg`ato m`s sgkugoatos bpor`fgbaos, quo AB

fbastgtuyoa ua` honbstr`fgöa. Vg c(z) os `a`mîtgf` sbdro m` furv` forr`h`   y su`vo pbr tr`nbs  ζ  ζ  y su gatorgbr , y z9 os gatorgbr ` ζ  ζ  , s`donbs quo 0<

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

c(z) hz . ζζ   z - z 9

4ωg c ( z 9 )  > ∪ζ  

Vg fbasghor`nbs ` z9  fbnb ua` v`rg`dmo y horgv`nbs m` oxprosgöa `atorgbr rospoftb ho supbaonbs quo pbhonbs gatrbhufgr m` horgv`h` oa om sîndbmb gatokr`m bdtoaonbs5

4ωg c ' ( z 9 ) >

h  c(z)  h hz  >  ∪ζ ζ    ∪ζ ζ   hz 9  z - z 9  hz 9 4ωg c ' (z 9 ) > ∪ζ ζ  

z9  y

 c(z)  c(z) hz  ⇔     hz > ∪ζ ζ   4 z z ( ) z z  9 9

c(z) hz   (z - z 9 )4

Vg horgv`nbs auov`noato rospoftb ho z9 , bdtoaonbs5

4ωg c ' ' ( z 9 ) >

h hz 9

  h c(z) hz  ∪ζ ζ    > ∪ζ ζ   4 hz 9  (z - z 9 )   

4ωg c ' ' ( z 9 ) > 4 ∪ζ ζ  

 c(z)  c(z) hz ⇔  hz > 4 ∪ζ ζ    6 4 ( ) z z ( ) z z 9 9  

c(z) hz   (z - z 9 )6

Vg horgv`nbs btr` voz abs quoh`5

4ωg c ' ' ' ( z 9 ) > 4

Horgv`ahb

h hz 9

  h c(z) > 4   hz  ∪ζ ζ    ∪ζ ζ  hz 9 6  (z - z 9 )   

 c(z)  c(z) c(z) > > 6 !   3   hz hz   ∪ζ ζ  (z - z )8 hz   ∪ζ ζ  (z - z )8 6  (z - z 9 )  9 9

4ωg c ( a ) (z 9 ) > a! ∪ζ ζ  

a vofos so bdtgoao5  

Ho hbaho puoho bdtoaorso

ζζ  

∪

c(z)

(z -  z 9 )a+0

hz >

c(z) hz   (z -  z 9 )a +0

4ωg c (a) ( z 9 )

 

a!

Om sgkugoato tobron` rosuno ostbs rosumt`hbs

Α Horgv`h` ho m` cörnum` ho m` gatokr`m ho F`ufly c(z) os `a`mîtgf` sbdro m` furv` forr`h`, sgnpmo y su`vo pbr tr`nbs   ζ  ζ  y su gatorgbr , y z9  os (a) 4ωg c  (z 9 ) c(z) gatorgbr ` ζ    ζ oatbafos ∪     a +0 hz > ζ  ζ  a! (z - z 9 )

Vg

⊟ Bdsorv`fgöa5 Vg oa m` õmtgn` c (9) oxprosgöa so roonpm`z` m` cörnum`  a > 9  so gatorprot`nbs (z9) fbnb c(z9) y  toagoahb oabdtgoao fuoat` quo 9! > 0.ho   m` gatokr`m ho F`ufly puos 07

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

  Oeonpmb

 

F`mfum`r

ζ  ζ 

∪

o 4gz

hz    , sgoahb ζ  ζ m` crbator` hom trgàakumb ho vçrtgfos 9 , 8 ° 4g

4

(z ∔ ω) ( z + g ) 6

Vg ox`nga`nbs om hoabnga`hbr vonbs quo om c`ftbr (z + g) ab so `aum` sbdro m` furv` ζ  ζ  ag oa su 4 gatorgbr. Vga ond`rkb (z - ω)   so `aum` oa z > ω  , quo os gatorgbr ho ζ  ζ,  pbr mb t`atb pbhonbs osfrgdgr5

o 4gz ∪ζ ζ   (z ∔ ω)4 (z  + g ) 6

    o 4gz     6  + ( z g )   hz     hz > ∪     4 ζ  ζ 

(z ∔ ω)

H`hb quo om gatokr`ahb funpmo tbh`s m`s lgpötosgs hom tobron` ho m` horgv`h` ho m` cörnum` ho 4gz 6 F`ufly , mb `pmgf`nbs toagoahb oa fuoat` quo a + 0 > 4, ho hbaho a > 0 , y c(z) > o  / ( z + g) .

    o 4gz   @sî,

   ( z + g ) 6   hz > 4 ωg c  ' ( ω) > 4ωg   4go 4gz ( z + g ) 6 ∔ o 4gz 6( z + g ) 4   > 4ωg  4g( ω + g) - 6     ∪ζ ζ  (z ∔ ω)4   (z + g)3 ( ω + g) 8   z > ω    

♣  Horgv`h`s ho `a`mîtgf`s Vg c(z) os `a`mîtgf` oa ua puatb z9 , s`donbs quo os `a`mîtgf` oa tbhb ua oatbrab ho z9 , y sg  tbn`nbs ua` furv` forr`h`, sgnpmo y su`vo pbr tr`nbs ζ    fbatoagh` ζ fbatoagh` oa hgflb oatbrab, pbhonbs `pmgf`r om tobron` `atorgbr bdtoagoahb5

4ωg c (a) (z 9 ) c(z) ∪ζ ζ  (z -  z )a+0 hz > a!   9

z9 ζ  ζ  

(a)

@honàs t`ndgça v`mo m` gku`mh`h

hz > 4ωg c  (z*)   ∪  (z -c(z) a! z *)a 0 ζ  ζ 

 

z9

+

sgoahb z*  fu`mqugor puatb hom gatorgbr ho m` furv` ζ  ζ 

z*

ζ  ζ  

c(z) 4ωg c (4) (z*)   y ostb abs hz > Vg tbn`nbs  a > 4 oa m` õmtgn` oxprosgöa bdtoaonbs ∪   ζ  ζ  a! (z - z *)6 gahgf`  quo oxgsto m` horgv`h` sokuah` ho  c oa tbhb puatb gatorgbr ` m` furv`  ζ  ζ  y pbr mb t`atb m` horgv`h` prgnor` c ' os `a`mîtgf` @pmgf`ahb ua r`zba`ngoatb sgngm`r ` m` cuafgöa `a`mîtgf` c'  pbhonbs fbafmugr quo c'' os `a`mîtgf`, y ropgtgoahb om `rkunoatb `atorgbr mmok`nbs `m sgkugoato rosumt`hb cuah`noat`m.

Α Xobron` 5 Horgv`h` ho cuafgbaos `a`mîtgf`s Vg c(z)  os `a`mîtgf` oa ua puatb, sus horgv`h`s ho tbhbs mbs örhoaos sba t`ndgça cuafgbaos `a`mîtgf`s oa oso puatb. 49

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

• Oeorfgfgbs y

F0

∪F c(z) hz   0

7- Vg

x

4

c(z)  os `a`mîtgf` oa F ‖ {0, -4, 6g}   y

∪|z-0| 0 c(z) hz > 4   , ∪|z 4| 0 c(z) hz > ∔4 ,   >

+  >

∪|z-6g| 0 c(z) hz > 9     >

`) @vorgku`r om v`mbr ho m` gatokr`m  ∪ c(z) hz oa mbs sgkugoatos f`sbs eustgcgf`ahb m` F

rospuost` 5 `0) F  os ua` furv` forr`h` fu`mqugor` quo oafgorr` ` 0 y ab oafgorr` ag ` -4 ag ` 6g `4) F os ua` furv` forr`h` fu`mqugor` quo oafgorr` ` 6g y ab oafgorr` ag ` -4 ag ` 0 `6) F os ua` furv` forr`h` fu`mqugor` quo oafgorr` ` 0 y -4 y ab oafgorr` ` 6g `8) F os ua` furv` forr`h` fu`mqugor` quo oafgorr` ` 0, -4 y 6g d) Gahgf`r fm`r`noato mbs pbsgdmos hbngagbs hbaho  m` gatokr`m os gahopoahgoato hom f`ngab. 09- F`mfum`r m`s sgkugoatos gatokr`mos oauafg`ahb provg`noato om tobron` b prbpgoh`h quo utgmgz`.

oz

`)

4

hz  , F 5   z - 4 > 0  

F

∪ oz 4gz f) ∪ hz  , F 5   z > 8   Fz∔6 ∔

h) 

∪F

o ∔z j

4 z 4 ∔ z 6

( z 4 ∔ 8)

d) F

hz  , F 5   z - 4 + g > 0  

4

∪ soaz 8(z ) h) ∪ 4 hz  , F 5   z > 6   Fz +8

hz  , p`r` j > 0 , 4 , F05 |z ‖ 4| > 0 : F45 |z | > 6

c(z) > (z ‖ 4g)8 l(z) hbaho l(z) os `a`mîtgf` y ab so `aum` sbdro m` furv` F y su gatorgbr , c ' (z )  eustgcgf`r quo ∪ hz > 0  F c ( z ) 00- Vg

a > 9, a > 0, a > 4  , m` gatokr`m

04-F`mfum`r p`r`

fbs4z  ∪F (z ∔ g )a hz , F5 |z| > 4 oauafg`r provg`noato om

tobron` b prbpgoh`h quo utgmgz`. 40

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

06- Vg C(z) > g z4 fbs z os ua` prgngtgv` ho

c(z) , f`mfum`r om v`mbr ox`ftb ho

∪F

c(z) hz  hbaho F0  0

gω

os ua` furv` quo uao ω o ω  fba 4ω . 08-  H`h`

G > 

(4z - ω) ∪F (z 4 - 0) (0 ∔ soa z ) hz

 

`)  F`mfum`r G  us`ahb m` cörnum` ho m` gatokr`m ho F`ufly , s`dgoahb quo F os mb crbator` hom  fbaeuatb @ > {z / 0/4 ≨| z | ≨ 6/4  , |@rk(z)| ≨ ω /8} d)  ²Yuoho `pmgf`rso m` cörnum` ho m` gatokr`m ho F`ufly p`r` f`mfum`r G  sg m` furv` os F 5 | z ‖ 4| > 8/6  2 Eustgcgf`r m` rospuost`. 0?- Vg c(z) os `a`mîtgf` y

  z ∔ 4g

k( z ) >

z

, f`mfum`r

c ( z )k' ( z ) ∪|z∔ 4g|>6 k( z )  hz   s`dgoahb quo c(4g) > c(9)

Btr`s prbpgoh`hos gnpbrt`atos5 Α Xobron` ho Nbror` Vg c(z) os fbatgau` oa ua hbngagb sgnpmonoato fbaoxb  H y p`r` tbh` furv` furv` forr`h` ζ   fbatoagh` ζ fbatoagh` oa H so s`do quo 

∪ c (z ) hz > 9  oatbafos c(z) os `a`mîtgf` oa H. ζ  ζ 

Honbstr`fgöa Fbnb m` gatokr`m ho c(z) v`mo forb sbdro fu`mqugor furv` forr`h` fbatoagh` oa  H oatbafos pbr  Xobron` 0 s`donbs quo m` gatokr`m ho c  os   os gahopoahgoato hom f`ngab oa H y sg os gahopoahgoato hom f`ngab oa H, pbr Xobron` 6  s`donbs quo oxgsto ua` cuafgöa  C(z) `a`mîtgf` oa  H t`m quo 

C'(z) > c(z) . Fbnb lonbs vgstb quo m` horgv`h` ho ua` cuafgöa `a`mîtgf` os t`ndgça `a`mîtgf` y s`donbs quo os m` horgv`h` ho m` cuafgöa `a`mîtgf` C, so hosproaho quo c  os  os `a`mîtgf` oa H

c

@fopt`nbs sga honbstr`fgöa m` sgkugoato prbpgoh`h, fbabfgh` fbnb prgafgpgb hom nöhumb nàxgnb

Α Yrgafgpgb hom nöhumb nàxgnb c(z) > u(x,y) + g v(x,y)  os `a`mîtgf` y ab fbast`ato oa ua hbngagb `dgortb @  4 4 oatbafos m` cuafgöa |c(z)| > (u( x, y  )) + (v( x, y )  ab pbsoo nàxgnb oa @, os hofgr , ab oxgsto oa Vg ua` cuafgöa

@ ua puatb z9  t`m quo  |c(z)| ≨ |c(z9)|  ⊛ Bdsorv`fgbaos 44

Nöhumb G - _agh`h 6

   

N`tonàtgf` H

 

c(z) > u(x,y) + g v(x,y) oatbafos |c(z)| > v`rg`dmos ro`mos ` m` quo hoabnga`nbs k(x,y)

0- Vg

(u( x, y  ))4 + (v( x, y )4

  os ua` cuafgöa ho hbs

Os gnpbrt`ato bdsorv`r quo sg oxgstoa oa @ puatbs ho fbbrhoa`h`s (x0, y0) hbaho m`s cuafgbaos   u(x,y) y v(x,y) so `aum`a sgnumtàao`noato, os hofgr u(x0,y0) > 9 y  v(x0,y0) > 9 oatbafos oa hgflbs puatbs

k( x 0 , y 0 ) >  (u( x 0 , y 0 ))4 + (v( x 0 , y 0 )4 > 9 .

Fbnb m` cuafgöa k(x,y) , pbr tr`t`rso ho ua nöhumb, vorgcgf` k(x,y) ≯ 9 p`r` tbhb p`r (x,y) ho @ , y fbnb k(x0,y0) > 9 oatbafos pbhonbs `cgrn`r quo5 k(x,y) ≯ k(x0,y0) , p`r` tbhb p`r (x,y)  ho @ y ost` õmtgn` hosgku`mh`h abs hgfo quo m` cuafgöa   k(x,y) `mf`az` ua nîagnb oa mbs puatbs (x0, y0) oa mbs fu`mos m`s cuafgbaos   u(x,y) y v(x,y) so `aum`a sgnumtàao`noato. 4- Vg ua` cuafgöa c os `a`mîtgf` oa om gatorgbr ho ua fbaeuatb forr`hb y `fbt`hb @  y os fbatgau` sbdro m` crbator` ho @  , oatbafos m` cuafgöa |c(z)| > k(x,y)  os fbatgau` oa hgflb fbaeuatb forr`hb y `fbt`hb y so s`do ho m` v`rg`dmo ro`m quo sokurb `mf`az` ua nàxgnb y ua nîagnb `dsbmutb oa @ . Ost`s bdsorv`fgbaos abs porngtoa oauafg`r om sgkugoato tobron`.

Α Xobron` Vg c   os ua` cuafgöa fbatgau` oa ua` rokgöa `fbt`h` forr`h` @, y `a`mîtgf` y ab fbast`ato oa om gatorgbr ho @, oatbafos5 `) m` cuafgöa |c(z)|  `mf`az` sgonpro ua nàxgnb y bfurro oa `mkõa puatb ho m` crbator` ho @, auaf` oa su gatorgbr, os hofgr oxgsto `m noabs ua puatb z9  oa m` crbator` ho  @ t`m quo 

|c(z)| ≨ |c(z9)| d) sg `honàs c(z) ≩ 9 oa tbhbs mbs puatbs ho @ , m` cuafgöa |c(z)|  `mf`az` sgonpro ua nîagnb y bfurro oa `mkõa puatb ho m` crbator` ho @, auaf` oa su gatorgbr. Vg so omgnga` m` fbahgfgöa c(z) ≩ 9, m` cuafgöa |c(z)|  puoho `mf`az`r ua nîagnb oa ua puatb hom gatorgbr ho @ fu`ahb hgflb v`mbr nîagnb os 9.   

Oeonpmb 

Vg quoronbs s`dor höaho m` cuafgöa c(z) > |z4 - z|   `mf`az` ua nàxgnb b ua nîagnb oa om rofgatb forr`hb y `fbt`hb hocgaghb pbr | z | ≨ 0 , fbnoaz`nbs oxprosàahbm` oa cuafgöa ho x o y 5

c(z) > (x + g y)4 - (x + g y) > (x 4 - y4 - x ) + g (4xy -y)   y f`mfum`ahb su nöhumb |c(z)| > k(x,y) >  (x 4 ∔ y 4 ∔ x  ) 4 + ( 4xy ∔ y ) 4   fbnb so s`do quo n`xgngz`r ua` r`îz os oqugv`moato ` n`xgngz`r su r`hgf`ahb , tbn`ronbs m`

cuafgöa k omov`h` `m fu`hr`hb, y fbnb s`donbs quo om nàxgnb mb tbn`rà oa `mkõa puatb ho crbator`, pbhonbs p`r`notrgz`r m` fgrfuacoroafg` | z |> 0  pbagoahb x > fbs t , y > soa t  , fba 9 ≨ t ≨ 4ω  , y dusf`r mbs nàxgnbs ho m` cuafgöa

Tofbrh`r5 46

> fbs (4t)G - _agh`h 6 fbs4t - soa4 t Nöhumb 4 soa t fbs t > soa (4t)  

 

N`tonàtgf` H

 

K(t) > Zk(fbs t , soa t)^ 4 >  > (fbs 4 t ∔ soa 4 t ∔ fbs t ) 4 + ( 4 fbs t soa t ∔ soa t )  > 4

>

4

(fbs 4t ∔ fbs t )   + ( soa 4t ∔ soa t )  

Vo hoe` fbnb oeorfgfgb vorgcgf`r quo mbs puatbs frîtgfbs ho ost` cuafgöa sba t9 > 9 , t0 > ω  y pbr mb t`atb mbs pbsgdmos puatbs hbaho om nöhumb tbn` om nàxgnb v`mbr sba5 z9 > (x9,y9) > (fbs 9, soa 9) > (0,9)   y z0 > (x0,y0) > (fbsω, soaω) > ( -0, 9)  Fbnb | c(z9) |> k(0,9) > 9 y  | c(z0) | nàxgnb v`mbr oa om puatb  z0 > -0 + g 9 > | c(z)| ≨ 4

> k(-0,9) > 4 , pbhonbs `cgrn`r quo |c(z)| tbn` om  -0 , y p`r` tbhbs mbs fbnpmoebs  ho |z| ≨ 0,   so vorgcgf`

Os gatoros`ato l`for abt`r quo |c(z)| tbn` om  nîagnb v`mbr oa om puatb  z9 > 0 + g 9 > 0 ,  puos oa hgflb puatb m` cuafgöa v`mo  forb y s`donbs quo pbr tr`t`rso ho ua nöhumb so vorgcgf` 9 ≨  | c(z)| y pbr mb t`atb | c(z9)| ≨ | c(z)| p`r` tbhb z ho |z| ≨ 0  Os gnpbrt`ato l`for abt`r quo oa osto oeonpmb oafbatr`nbs ua nîagnb sbdro m` crbator`, porb sokõa lgfgnbs abt`r oa m` bdsorv`fgöa `atorgbr m` cuafgöa tbn` ua nîagnb oa mbs puatbs hom rofgatb hbaho m`s cuafgbaos u  y v so `aumoa sgnumtàao`noato , os hofgr puatbs hbaho c(z) > 9, oa osto f`sb so bdsorv` quo   z4 - z > 9 ⇔ z > 9 ö z > 0 , pbr mb t`atb m` cuafgöa pbsoo ua nîagnb t`ndgça oa ua puatb hom gatorgbr ho m` rokgöa.

Α  Yrbpgoh`h 5 Nàxgnb ho cuafgbaos `rnöagf`s Vg c(z) > u(x,y) + g v(x,y) os ua` cuafgöa fbatgau` oa ua` rokgöa `fbt`h` forr`h` @ y `a`mîtgf` y ab fbast`ato oa om gatorgbr ho @, oatbafos m`s cuafgbaos u(x,y) y v(x,y) `mf`az`a su nàxgnb oa  m` crbator` ho @ y auaf` oa su gatorgbr.

Honbstr`fgöa c(z)

Vg fbasghor`nbs m` cuafgöa k(z) > o   , fbnpbsgfgöa ho c  fba   fba m` oxpbaoafg`m, pbhonbs `cgrn`r quo  k os fbatgau` oa  @ y `a`mîtgf` y ab fbast`ato oa om gatorgbr ho   @, pbr om X. hom nöhumb nàxgnb s`donbs quo |k(z)| > ou(x,y)  `mf`az` su nàxgnb oa ua puatb ho m` crbator` ho @. Fbnb m` cuafgöa oxpbaoafg`m  os frofgoato, so sgkuo quo om nàxgnb v`mbr ho  u(x,y) so `mf`az` oa ua puatb ho m` crbator` ho @. Vg oa f`ndgb fbasghor`nbs m` cuafgöa  l(z) > o-gc(z)  fuyb nöhumb os  | l(z) | > o v(x,y)  puoho honbstr`rso oa cbrn` sgngm`r quo om nàxgnb v`mbr ho  v(x,y) so `mf`az` oa ua puatb ho m` crbator` ho @.

Α Xobron` ho Mgbuvgmmo Vg c(z) os `a`mîtgf` y `fbt`h` oa tbhb om pm`ab fbnpmoeb oatbafos c(z) os ua` cuafgöa fbast`ato. 48

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

Honbstr`fgöa Vo` ζ  `rdgtr`rgb ζ  ua` fgrfuacoroafg` foatr`h` oa ua puatb fu`mqugor` z9  y ho r`hgb `rdgtr`rgb

T, os hofgr

ζ  ζ 5   5 | z - z9 | > T .

Fbnb  s`donbs quo c   os os `a`mîtgf` oa tbhb om pm`ab pbhonbs `pmgf`r m` cörnum` ho m` horgv`h` ho

∪ζ ζ  

F`ufly p`r` a > 0 5

c(z) hz > 4 ω g c ' (z 9 )   (z - z 9 )4

Fbnb s`donbs quo c ostà `fbt`h` oa tbhb om pm`ab  , s`donbs quo oxgsto ua` fbast`ato pbsgtgv` N t`m quo  |c(z)| ≨ N , ostb abs porngto `fbt`r m` gatokr`m `atorgbr fbnb so nuostr` ` fbatgau`fgöa y so hoe` ` f`rkb hom `munab m` eustgcgf`fgöa ho f`h` p`sb5

c ' ( z 9 ) >

c ( z ) 0 c(z) 0   ≨   hz 4ωg ∪ζ ζ  (z - z 9 )4 4ω ∪ ζ ζ  z ∔ z 9

4

hz ≨

N 0 N N > ωT >   4 hz 4 4 ∪ T 4ω ζ ζ T 4 ωT

pbr mb t`atb pbhonbs `cgrn`r quo p`r` tbhb fbnpmoeb z9  y p`r` tbhb T v`mo 5

9 ≨ |c '(z9)| ≨ N/T

Fbnb N os ua` fbast`ato cge` y T puoho tbn`rso t`a kr`aho fbnb so qugor`, om fbfgoato N/T os t`a forf`ab ` forb fbnb so qugor`, pbr mb t`atb m` õagf` pbsgdgmgh`h os quo c '(z9)> 9 , fbnb z9  os fu`mqugor` sgkagcgf` quo c'(z) > 9  p`r` tbhb z hom pm`ab fbnpmoeb y pbr mb t`atb m` cuafgöa c(z)  hodo sor ua` fbast`ato.

• Oeorfgfgbs 03- M` cuafgöa ho v`rg`dmo ro`m c(x) > soa x  os horgv`dmo p`r` tbhb | soa x | ≨ 0, ²ostb fbatr`hgfo om X. ho Mgbuvgmmo2 Oxpmgf`r 0;- L`mm`r om nàxgnb y om nîagnb ho |c(z)| oa mbs rofgatbs gahgf`hbs 4

`)  d) 

y oa | z - 0 | ≨ 4 cc(z) (z)>>fbs z  -z6 zoa+ 4@  >oa{(x,y) | z | ≨/  0 9 ≨ x ≨ 6ω /8 , -0 ≨ y ≨ 4 } 

0 { z / |z| ≨ T , 9 ≨ @rk(z) ≨ ω /8} 

d)

N`x

DT

H

0 z  4 + 0

  sgoahb H > { z / |z| ≨ 0 , 9 ≨ @rk(z) ≨ ω /8}  0

x  y ostà `fbt`h` puos

07 - Eustgcgf`r quo

∪   z a hz  > 9   , sgoahb ζ ζ  fu`mqugor furv` forr`h` quo ab p`s` pbr om brgkoa y a ζ  ζ 

4, sga ond`rkb m` cuafgöa c(z) > 0 / za  ab os `a`mîtgf` oa 9, ²fbatr`hgfo osto loflb om X. ho Nbror`2  os ua a`tur`m cgeb n`ybr b gku`m `

4?

Nöhumb G - _agh`h 6

 

N`tonàtgf` H

 

H Fbnpmoe`  Nöhumb G5 N@XONÀXGF@ @aàmgsgs ho S`rg`dmo _agh`h 8

Vorgos  N`k. N`rî` Gaçs D`r`k`ttg

0-  Vufosgbaos ♣  Vo` @ ua fbaeuatb ab v`fîb , ua` sufosgöa hocgagh` omonoatbs ho @ osfrgtbs oa ua brhoa hocgaghb 5

oa @ os sgnpmonoato ua fbaeuatb ho

`0 , `4 , `6 , ........., `a , .......... pbr ommb ua` sufosgöa so puoho fbasghor`r fbnb ua` cuafgöa c  fuyb   fuyb hbngagb os om fbaeuatb A ho aõnorbs a`tur`mos y su fbhbngagb os @ y vorgcgf` 5 c(0) > `0 , c(4) > `4 , ... , c(a) > `a , .....  Ybr mb koaor`m oa voz ho us`r m` abt`fgöa cuafgba`m c(a) > { `0 , `4 , `6 , ........., `a , ..........} b {`a}a 1 0  b sgnpmonoato {`a} 

`a , m` sufosgöa so gahgf`

Om aõnorb  tçrngab ho m` sufosgöa , `4 os om koaor`m `0 os omhoprgnor sokuahb.  tçrngab y oa koaor`m `a os om a- çsgnb  tçrngab m` sufosgöa t`ndgça mm`n`hb tçrngab

@  os ua fbaeuatb ho aõnorbs fbnpmoebs, so hgfo quo m` sufosgöa {`a}  os ua`  sufosgöa aunçrgf` fbnpmoe` . Vg om fbaeuatb

♣  Vufosgbaos aunçrgf`s fbavorkoatos Vg mbs tçrngabs ho ua` sufosgöa aunçrgf` {`a} so `forf`a ` ua aõnorb M p`r` a sucgfgoatonoato kr`aho, os hofgr sg mîn ` a > M , so hgfo quo m` sufosgöa fbavorko  b os fbavorkoato   , t`ndgça a ↔∑

puoho hofgrso quo m` sufosgöa fbavorko `m v`mbr sufosgöa hgvorko b os hgvorkoato

M. Ho ab oxgstgr hgflb mîngto, so hgfo quo m`

Os gnpbrt`ato rofbrh`r quo fu`ahb so `cgrn` quo 

mîn ` a > M  sgkagcgf` quo5 a ↔∑

0

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

h`hb fu`mqugor aõnorb pbsgtgvb, `m quo so hoabnga` ο, os pbsgdmo oafbatr`r  ua aõnorb  A (quo hopoaho ho ο ) t`m quo  |`a - M | = ο , p`r` tbhb  a 1 A  

Oeonpmbs  0 +  g(a ∔ 0)    fbavorko, f`mfum`nbs 5 a  

0- Y`r` `vorgku`r sg m` sufosgöa 

0 + g(a ∔ 0) > mîn  a ↔∑ a ↔∑ a

mîn 

0 a ∔0    0   a ∔ 0  + g mîn > 9+g > g   + g   > mîn a ↔∑ a a↔ ∑ a a a      

bdsorv`r quo lonbs us`hb m` prbpgoh`h quo `cgrn` quo om mîngto ho ua` oxprosgöa fbnpmoe`, sg oxgsto, os gku`m ` m` sun` ho mbs mîngtos ho f`h` fbnpbaoato . Fbnb om mîngto oxgsto y os gku`m ` g, hofgnbs quo m` sufosgöa fbavorko fbavorko `m v`mbr

g.

( ∔g ) a 4-  Y`r` `vorgku`r sg os fbavorkoato b ab m` sufosgöa `a > a   , ab os fbavoagoato dusf`r m` p`rto ro`m y m` p`rto gn`kga`rg` hodghb ` m`s  v`rg`fgbaos quo tgoao m` pbtoafg` (-g)a . Gatoatonbs `a`mgz`r m` fbavorkoafg` oxpros`ahb mbs tçrngabs ho m` sufosgöa oa cbrn` pbm`r 5

( ∔g ) a 0 aω      ω   >    y su `rkunoatb `rk(`a) > a `rk (-g) > a ∔  > ∔   f`mfum`nbs su nöhumb  |`a| > a a 4 4       ( ∔g ) a 0 - ga4ω 0   0    a  ω   a  ω  y oatbafos mîn > mîn  o > mîn fbs ∔ g mîn soa   > 9 + g 9 > 9  , a↔ ∑ a a↔ ∑ a a ↔∑ a       4   a↔ ∑ a   4   oa om õmtgnb p`sb lonbs us`hb m` prbpgoh`h quo " om prbhuftb ho ua` oxprosgöa quo tgoaho ` forb pbr ua` cuafgöa `fbt`h` tgoaho ` forb", pbr mb t`atb m` sufosgöa fbavorko ` 9 .

∃ @ftgvgh`h 05 `)  Honbstr`r us`ahb m` gho` hos`rrbmm`h` oa om oeonpmb 4 quo

mîn  | ` a |  > 9 ⇔  mîn  ` a > 9 ,

sgoahb `a  ua` sufosgöa fu`mqugor`. d)  Honbstr`r om rofîprbfb ho m` mîn  | ` a |  > 9 ⇘  mîn  ` a > 9  

oa

a ↔∑

f)  Vg

prbpgoh`h

h`h`

a ↔∑

a ↔∑

`)

y

fbafmugr

quo

a↔∑

`a > ? fbs(aμ) + g ? soa(aμ) , honbstr`r quo m` sufosgöa {|`a|} fbavorko ` ? y m` sufosgöa {`a} hgvorko. Osto oeonpmb ab nuostr` quo m` prbpgoh`h oauafg`h` oa d) sömb v`mo fu`ahb m` sufosgöa ho mbs nöhumbs fbavorko ` 9

4

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

♣  Vufosgbaos ho cuafgbaos V`donbs y` quo ua` sufosgöa os ua` cuafgöa fuyb hbngagb os om fbaeuatb ho aõnorbs a`tur`mos A , sg ` f`h` a`tur`m a  mo l`fonbs fbrrospbahor ua` cuafgöa c a(z) , hofgnbs quo so l` hocgaghb ua` sufosgöa ho cuafgbaos y m` `abt`nbs  {c a(z)}. A`tur`mnoato m`s cuafgbaos c a  toahràa ua  hbngagb H, hbaho so nbvorà m` v`rg`dmo z   Oeonpmbs a

4

Vg  c a(z) > z  , mbs tros prgnorbs tçrngabs ho ost` sufosgöa sba m`s cuafgbaos c 0(z) > z, c 4(z) > z , c 6(z) > z6  , t`ndgça pbhonbs osfrgdgr  {z , z4 , z6, z8 , ....} b sgnpmonoato `abt`ahb {za} . Oa osto f`sb om hbngagb ho m`s cuafgbaos sba tbhbs mbs fbnpmoebs. Os gnpbrt`ato bdsorv`r quo sg roonpm`z`nbs m` v`rg`dmo  z pbr ua fbnpmoeb cgeb  z9  , bdtoaonbs ua` sufosgöa aunçrgf` fbnpmoe` {z9a} . Vg tbn`nbs z9 > g bdtoaonbs m` sufosgöa aunçrgf` {ga} : sg  z9 > 0/4 ogω bdtoaonbs m` sufosgöa aunçrgf` { (0/4 ogω )a }  ♣ 

Fbavorkoafg` ho ua` sufosgöa ho cuafgbaos (t`ndgça mm`n`h` fbavorkoafg` puatu`m)

Y`r` ostuhg`r m` fbavorkoafg` ho ua` sufosgöa ho cuafgbaos {c a(z)} t`ndgça hodonbs f`mfum`r om mîngto ho su tçrngab koaor`m, os hofgr f`mfum`r mîn c a(z) y puoho sufohor quo p`r` `mkuabs a↔   ∑

v`mbros ho z hgflb mîngto oxgst` y p`r` btrbs v`mbros ho z ab oxgst`. Vg om mîngto `atorgbr sömb oxgsto p`r` mbs fbnpmoebs z  ho ua fbaeuatb H0  fbatoaghb b gku`m `m  hbngagb  H ho m`s cuafgbaos, hofgnbs quo m` sufosgöa  {c a(z)} fbavorko oa H0, y quo  H0  os m` rokgöa ho fbavorkoafg` ho m` sufosgöa, oa f`ndgb sg   mîn c a(z) ab oxgsto p`r` mbs rost`atos a↔   ∑

fbnpmoebs, so hgfo quo m` sufosgöa hgvorko p`r` mbs

z quo ab portoaofoa ` H0.

Os gnpbrt`ato rof`mf`r quo fu`ahb `cgrn`nbs quo ua` sufosgöa ho cuafgbaos fbavorko p`r` mbs z ho ua fbaeuatb H0 , quoronbs hofgr quo sg so roonpm`z` z pbr fu`mqugor omonoatb ho H0 so bdtgoao ua` sufosgöa aunçrgf` fbavorkoato, os hofgr m` sufosgöa fbavorko oa tbhbs mbs  puatbs ho H0 y pbr ommb so suomo hofgr quo m` sufosgöa fbavorko puatu`mnoato p`r` mbs z hom fbaeuatb H0. ♣ 

Hocgagfgöa cbrn`m 5 Vg mîn c a(z) > c(z) p`r` mbs z portoaofgoatos ` ua fbaeuatb H 0 , hofgnbs a↔   ∑

quo  m` sufosgöa  {c a  (z)} sgkagcgf` quo5

fbavorko puatu`mnoato (b fbavorko) `  c(z) p`r` mbs  z ho  H0  y

h`hb fu`mqugor aõnorb pbsgtgvb ο, os pbsgdmo oafbatr`r  ua aõnorb A (quo hopoaho oa koaor`m ho ο y ho z) t`m quo  |c a (z)- c(z) | = ο , p`r` tbhb  a 1 A y p`r` tbhb z hom fbaeuatb H0    Oeonpmb 6

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

0- Vo qugoro `vorgku`r sg m` sufosgöa 0 4 0 4

0 8 0 a 8

{za} fbavorko p`r`  mbs v`mbros  z0> 0 + 4g  , z4  > g ,

g a 4

a

os hofgr quoronbs `vorgku`r sg m`s sufosgbaos  aunçrgf`s (0 + 4g)  , za6 > + g   y zg 8 > a ( ) , g  , ( + g )  , ( 4 )  fbavorkoa, sgnpmonoato l`y quo f`mfum`r om mîngto p`r` a ↔ ∑ ho f`h` ua` ho omm`s y mb hoe`nbs fbnb oeorfgfgb.  ²p`r` quç btrbs v`mbros ho z fbavorko2, ²p`r` quç btrbs v`mbros ho z hgvorko2 Y`r` rospbahor ost`s prokuat`s hodonbs tr`d`e`r fba m` sufosgöa ho cuafgbaos t`m fu`m cuo h`h` y p`r` f`mfum`r om mîngto os fbavoagoato oxpros`r `m fbnpmoeb z oa cbrn` pbm`r, os hofgr tbn`r z > r o gμ  , y fbnoaz`r `vorgku`ahb sg m` sufosgöa ho mbs nöhumbs fbavorko5 9 sg r = 0



 mîn |za |> mîn ra > 0 a↔   ∑

a↔   ∑

sg r > 0   ∑ sg r 1 0 

Bdsorv`nbs quo5   sg r > | z | = 0 ,  os hofgr sg z  portoaofo `m gatorgbr hom fîrfumb ho r`hgb 0, m` sufosgöa ho mbs a nöhumbs {|z  |}  fbavorko ` 9 , pbr mb t`atb, us`ahb `) ho m` `ftgvgh`h 0, pbhonbs hofgr quo m` a sufosgöa sga mbs nöhumbs {z  } t`ndgça fbavorko ` 9 sg |z | = 0  

sg r > | z | > 0, os hofgr sg z portoaofo ` m` fgrfuacoroafg` ho r`hgb  0, m` sufosgöa {|za  |}  fbavorko ` 0 , porb ostb ab sgrvo p`r` rospbahor sbdro m` fbavorkoafg` ho {za } (p`rto f) ho m` `ftgvgh`h 0) . Y`r` rospbahor oa osto f`sb l`y quo f`mfum`r

sg  μ > 9 0 mîn  0.o gaμ > mîn (fbs(aμ) + gsoa(aμ) >    a↔ ∑ a↔∑ = μ = ω ab   oxgsto sg   9 4  Ybr mb t`atb , sbdro mbs puatbs ho m` fgrfuacoroafg` |z| > 0, m` sufosgöa hgvorko s`mvb oa z > o9g > 0 quo fbavorko ` 0   

sg r > | z | 1 0 , os hofgr sg z portoaofo `m oxtorgbr ho m` fgrfuacoroafg` ho r`hgb 0, m` sufosgöa ho mbs nöhumbs hgvorko , y sg mbs nöhumbs tgoahoa ` ∑  , m` sufosgöa ab puoho sor fbavorkoato.

9 sg  | z | = 0   Fbafmusgöa 5 M` sufosgöa {za} fbavorko ` m` cuafgöa c(z) >   0 sg  z > 0 p`r` mbs z hom fbaeuatb H > {z / | z |= 0 b  z > 0} 

0

4- Os gnpbrt`ato bdsorv`r quo m` sufosgöa `atorgbr, sg dgoa fbavorko oa mbs puatbs gahgf`hbs ab mb l`fo fba gku`m r`pghoz puos  

Vg fbasghor`nb fbasghor`nbss z > 9, oatbafos m` hgcoroafg`  |c a (9)- c(9) | > | 9 - 9 | > 9 y pbr mb t`atb os noabr quo fu`mqugor aõnorb pbsgtgvb  ο  p`r` fu`mqugor a quo so fbasghoro. 8

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

a

 

Vg fbasghor`nbs z > 0, oatbafos m` hgcoroafg`  |c a (0)- c(0) | > | 0  - 0 | > 9 y pbr mb t`atb os noabr quo fu`mqugor aõnorb pbsgtgvb  ο  p`r` fu`mqugor a quo so fbasghoro.

 

Vg fbasghor`nbs ua fbnpmoeb z ≩ 9  t`m quo

| z | = 0 oatbafos  m` hgcoroafg` 

|c a (z)- c(z) | > |z a - 9 | > | z |a  = ο 

, fbnb quoronbs `vorgku`r p`r` quç v`mbros ho  a so funpmo hgfl` hosgku`mh`h `pmgf`nbs mbk`rgtnb ` `ndbs ngondrb y bdtoaonbs  a ma |z | = ma ο  ma ο   (bdsorv`r quo oa om õmtgnb p`sb so f`ndgö m` hosgku`mh`h puos   hgvghgnbs `ndbs ngondrbs ⇔  a 1 ma | z | ma |z| , quo os aok`tgvb pbr sor | z |= 0) . ma ο  os om quo oa m` hocgagfgöa so hoabngaö Om aõnorb

pbr

ma | z |

A y vonbs quo hopoaho ho ο y ho z. 

Y`r` fm`rgcgf`r fbasghoronbs m`s sgkugoatos sgtu`fgbaos5 Vg  |z| > 0/4 y  ο > 0/099 ⇔  a 1 ma(0/099)/ma(0/4) > 3,38..... , pbr mb t`atb  ` p`rtgr hom  tçrngab ;  ho m` sufosgöa, m` hgcoroafg` oatro oatro c a (z) y c(z) os noabr quo  ο > 0/099 Vg  |z| > 7/09 y  ο > 0/099 ⇔  a 1 ma(0/099)/ma(7/09) > 86,;9..... , pbr mb t`atb ` p`rtgr hom  tçrngab 88 ho m` sufosgöa, m` hgcoroafg` oatro c a (z) y c(z) os noabr quo ο > 0/099 . Ovghoatonoato m` sufosgöa fbavorko ` forb ho ua` n`aor` nuflb nàs   moat` p`r` mbs fbnpmoebs quo vorgcgf`a  |z| > 7/09 quo p`r` mbs fbnpmoebs quo funpmoa |z| > 0/4  

• Oeorfgfgbs 0-  L`mm`r y kr`cgf`r mbs fgafb prgnorbs tçrngabs ho m`s sgkugoatos sufosgbaos y `a`mgz`r su fbavorkoafg`.

ga   `) z a   > a

d)

z a >  (0 ∔ g ) a   4a

f)

za >

0 a∔g

∔

ga   a+0

4-  `) H`h` m` sufosgöa c a(z) > |z | , eustgcgf`r quo fbavorko puatu`mnoato oa | z | ≨ 0 ` 9 sg  | z |= 0   y hgvorko oa |z | 1 0  c ( z ) >  0 sg  | z |> 0 d) Fbnprbd`r quo m` sufosgöa {oaz} fbavorko puatu`mnoato oa om fbaeuatb {z / To(z) = 9}  ` m` cuafgöa k(z) > 9 

6-  @vorgku`r p`r` quç v`mbros ho cuafgbaos

z  fbavorkoa puatu`mnoato m`s sgkugoatos sufosgbaos ho

?

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

`)

 ga     a+ | z | 

  d)

 a  + g     az 

  f)

o

-gaz

 

h)

 o ga To( z )     a 

 

o)

 o a To( z )     a 

 

♣  Fbavorkoafg` uagcbrno ho ua` sufosgöa ho cuafgbaos Vg  s`donbs quo m` sufosgöa  {c a(z)} fbavorko puatu`mnoato ` c(z) p`r` mbs  z ho  H0  , os hofgr sg  s`donbs quo  mîn c a(z) > c(z) p`r` mbs z ho ua fbaeuatb  H0  , oatbafos  pbhonbs `cgrn`r quo  a↔   ∑

h`hb fu`mqugor aõnorb pbsgtgvb ο, os pbsgdmo oafbatr`r ua aõnorb A (quo hopoaho oa koaor`m ho  ο y ho z) t`m quo |c a (z)- c(z) | = ο , p`r` tbhb  a 1 A y p`r` tbhb z ho H0 . ²Vorà pbsgdmo oafbatr`r ua aõnorb A quo ab hopoah` ho z , t`m quo m` hgcoroafg` |c a (z)- c(z)| = ο  p`r` tbhb a 1 A y p`r` tbhb z hom fbaeuatb H0  ö p`r` tbhb z ho ua fbaeuatb H4 fbatoaghb oa H02 Vg m` rospuost` ` osto gatorrbk`ato os `cgrn`tgv`, so hgfo quo m` sufosgöa uagcbrnonoato oa om fbaeuatb H4 ⊃ H0 ♣ 

{c a(z)} fbavorko

Hocgagfgöa cbrn`m 5 Hofgnbs quo m` sufosgöa {c a(z)} fbavorko uagcbrnonoato  ` c(z) p`r` mbs  z ho  H4  sg 5 h`hb fu`mqugor aõnorb pbsgtgvb ο, os pbsgdmo oafbatr`r  ua aõnorb  A (quo hopoaho sömb ho ο) t`m quo  |c a (z)- c(z) | = ο , p`r` tbhb a 1 A y p`r` tbhb z hom fbaeuatb H4 

  Oeonpmb

W` lonbs `a`mgz`hb m` fbavorkoafg` ho m` sufosgöa {za} y s`donbs quo fbavorko puatu`mnoato ` 9 sg  | z | = 0   p`r` mbs z  hom fbaeuatb H  > {z / | z |= 0 b  z > 0}, ²m` m` cuafgöa c(z) >   0 sg   z > 0  fbavorkoafg` sorà uagcbrno oa om fîrfumb

| z | ≨ 6/8 2

Y`r` rospbahor `a`mgz`nbs m` hgcoroafg` y fbnb abs hgfoa quo sg oxgkgnbs quo

|c a (z)- c(z) | > |z a - 9 | > | z | a  ,

| z | ≨ 6/8 , pbhonbs osfrgdgr |c a (z)- c(z) | > |z a - 9 | > | z | a  ≨ (6/8)a ,

|c a (z)- c(z) | ≨ (6/8)a = ο ,

pbhonbs hospoe`r a `pmgf`ahb mbk`rgtnb ` `ndbs ngondrbs bdtoagoahb a ma (6/8 ) = ma ο  , ho ma ο   , sg hoabnga`nbs A ` osto aõnorb , vonbs quo ab hopoaho ho z y pbr mb hbaho a 1  

ma( 6 / 8)

t`atb m` sufosgöa fbavorko uagcbrnonoato oa | z | ≨ 6/8 .

ma(0 / 099) Bdsorv`r quo sg ο > 0/099 , oatbafos A >  ma(6 / 8) > 03,99;.... , pbr mb t`atb  p`r` tbhb  a 1 03 pbhonbs `cgrn`r quo m`s hgcoroafg`s |c a (z)- c(z) | ≨ 0/099 , p`r` mbs z quo vorgcgf`a | z | ≨ 6/8 . 3

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

_a r`zba`ngoatb sgngm`r porngto honbstr`r quo ost` sufosgöa fbavorko uagcbrnonoato p`r` | z | ≨ ` , fba ` = 0 puos oa osto f`sb  so bdtgoao quo A > ma ο / ma ` y rosumt` ovghoato quo ` ab puoho tbn`r om v`mbr 0. 

4- Vorgos

H`h` ua` sufosgöa aunçrgf`

{`a}a≯0  , m` oxprosgöa

∑

` a   so hoabnga` sorgo `sbfg`h` ` m` ∐ a 0 >

sufosgöa b sgnpmonoato sorgo. ²Fuàm os om sgkagcgf`hb ho m` oxprosgöa `atorgbr2, ²s`donbs sun`r gacgagtbs aõnorbs2 Os gatoros`ato bdsorv`r quo sömb s`donbs sun`r hbs aõnorbs, pbrquo sg aofosgt`nbs sun`r tros , prgnorb sun`nbs hbs ho ommbs y `m rosumt`hb mo sun`nbs om btrb. ²Fuàm os oatbafos om sgkagcgf`hb ho os` sun` gacgagt` quo lonbs mm`n`hb sorgo2 Mbs p`sbs quo sgkuoa rospbahoràa osto gatorrbk`ato. Fbnb s`donbs sun`r ua aõnorb cgagtb ho tçrngabs , ost`nbs oa fbahgfgbaos ho f`mfum`r m`s sgkugoatos sun`s5 

V0 > `0  V4 > `0 + `4 > V0 + `4  V6 > `0 + `4 + `6 > V4 + `6  ............................. Va > `0 + `4 + `6 + ............+ `a > Va-0 + `a  ............................................ .................... ................................................. ...........................

y ho osto nbhb koaor`nbs ua` auov` sufosgöa

p`rfg`mos b sorgo y so gahgf`

{Va}  ` m` quo so hoabnga` sufosgöa ho sun`s

∑

`a   ∐ a 0 >

♣  Fbavorkoafg` ho ua` sorgo aunçrgf` ∑

Vg

` a  os ua` sorgo aunçrgf` y m` sufosgöa ho sun`s p`rfg`mos {Va} fbavorko , os hofgr sg oxgsto ∐ a 0 >

mîn  V a >V, hofgnbs quo m` sorgo fbavorko y  quo V os m` sun` ho m` sorgo, `abt`nbs oa osto a↔   ∑

∑

f`sb

` a > V . Vg m` sufosgöa {Va} hgvorko, hofgnbs quo m` sorgo hgvorko. ∐ a 0 >

@lbr` fbnproahonbs fuàm os om sgkagcgf`hb ho sun`r mbs gacgagtbs tçrngabs ho ua` sorgo, y` quo

sg m` sorgo fbavorko toaonbs quo a

∑

a 0 ` ∐ >

a 

j a↔ ∑ a↔   ∑ ↔∑   (`0 + `4 + ......+ `a )  > mîn > V >  mîn  V a  > amîn j >0 `   ∐

;

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

∑

Ybr mb t`atb fu`ahb hofgnbs quo m` sorgo fbavorko o gahgf`nbs

`a > V , ∐ a 0

oa ro`mgh`h sgkagcgf`

>

quo sun`nbs a aõnorbs y muokb l`fonbs toahor a ` gacgagtb.

∃ @ftgvgh`h 45 ∑

Eustgcgf`r quo

∐ a 0

sî (d a + gf a )   fbavorko y tgoao sun` D + g F  sî y sömb sî

∑

d a fbavorko ` D  y ∐ a 0 >

>

∑

f a fbavorko ` F ∐ a 0

@yuh`5 honbstr`r quo sg Va os m` sun` p`rfg`m ho m` prgnor` sorgo oatbafos 

Va 

>

> Da + g Fa hbaho Da  y Fa  sba m`s sun`s p`rfg`mos ho m` m ` btr`s hbs rospoftgv`noato.

♣ 

Fbavorkoafg` ho ua` sorgo ho cuafgbaos ( t`ndgça mm`n`h` fbavorkoafg` puatu`m) ∑

Hofgnbs quo ua` sorgo ho cuafgbaos

c a ( z )  fbavorko puatu`mnoato oa ua fbaeuatb H0 sg m` ∐ a 0 >

sufosgöa ho sun`s p`rfg`mos {Va(z)} fbavorko puatu`mnoato ` Y`r` l`mm`r om fbaeuatb

V(z) p`r` mbs z hom fbaeuatb H0 

H0, l`y quo `vorgku`r p`r` quç v`mbros ho z  oxgsto mîn  V a (z) y om a↔   ∑

fbaeuatb  ho tbhbs ommbs fbastgtuyo om fbaeuatb   H0  , hoabnga`hb  rokgöa ho fbavorkoafg` ho m` sorgo .  Vg V(z)  os om rosumt`hb ho hgflb mîngto , hofgnbs quo V(z)  os m` sun` ho m` sorgo y `abt`nbs ∑

c a ( z ) > V(z) , p`r` mbs z hom fbaeuatb H0 ∐ a 0 >

∑

♣ 

a  ` p`r` mbs  Hocgagfgöa cbrn`m 5 Hofgnbs quo m` sorgo ∐ a >0 c  ( z )  fbavorko puatu`mnoato  V(z) z ho  H0  sg 5 h`hb fu`mqugor aõnorb pbsgtgvb ο, os pbsgdmo oafbatr`r  ua aõnorb  A (quo hopoaho oa koaor`m ho  ο  y z ) t`m quo  |Va (z)- V(z) | = ο , p`r` tbhb a 1 A y p`r` tbhb z hom fbaeuatb H0 

Y`r` fm`rgcgf`r m` hocgagfgöa ho sorgo fbavorkoato, `a`mgz`nbs ` fbatgau`fgöa ua` sorgo quo utgmgz`ronbs nuflb oa m`s fm`sos sgkugoatos y quo so hoabnga` sorgo kobnçtrgf`.

♣  Vorgo kobnçtrgf`

_a` sorgo os kobnçtrgf`, sg tgoao m` cbrn`

∑

∐ ` 9 r a > `9 + `9 r + `9 r4 + `9 r6 +............. a>9

<

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

bdsorv`r quo f`h` tçrngab os gku`m `m `atorgbr numtgpmgf`hb pbr ua c`ftbr cgeb, oa osto f`sb om c`ftbr os r , quo so hoabnga` r`zöa, y ua prgnor tçrngab, quo oa osto f`sb  lonbs hoabnga`hb `9

  Oeonpmbs

`)  _a` sorgo kobnçtrgf` ho prgnor tçrngab 4g y r`zöa

4g + 4g o-0 + ωg + 4g (o-0 + ωg )4 + 4g (o-0 + ωg )6 +........>

o-0 + ωg  tgoao m` cbrn` ∑

∐ a 9 >

d)  M` sorgo ho cuafgbaos

∑

4g  o a(-0+ ωg)  > ∐ 4g  (-0) a o -a   a>9

∑

4(-g) 6a (z - 6g) 4a  > 4 (- g)6 (z -6g)4 + 4 (- g)3 (z -6g)8 + ......... ∐ a 0 >

sorgo kobnçtrgf` fba prgnor tçrngab

os ua`

4 (- g)6 (z -6g)4  y r`zöa (-g)6 (z- 6g)4 

∃ @ftgvgh`h 65 Eustgcgf`r m` sgkugoato oqugv`moafg` 5 ∑

fa ∐ a 9

os ua` sorgo kobnçtrgf` ⇘  (∉a) om fbfgoato fa + 0 / fa  ab hopoaho ho a y su v`mbr os gku`m

>

` m` r`zöa .

∃ @ftgvgh`h 85 Fbasghor`ahb quo

Va > `9 + ` 9 r + `9 r4 + .....+ `9 ra-0  os m` sun` p`rfg`m ho m` sorgo kobnçtrgf`

∑

` 9 r a , honbstr`r quo 5 ∐ a 9 >

`)  Vg  r > 0 ⇔  Va > a. `9  ` 9 (0 ∔ r a ) d)  Vg  r ≩ 0 ⇔  V a >   (`yuh`5 f`mfum`r m` hgcoroafg` 0∔r f)  Vg | r | ≯ 0 ⇔  {Va} hgvorko , h)  Vg

| r | = 0 ⇔  m` sorgo kobnçtrgf` fbavorko y su sun` os V >

  Oeonpmb ∑

(∔ 0)a (6z ∔ 4)6a+ 4

Va - r Va  y hospoe`r Va ) `9   0∔r

Vg quoronbs s`dor sg m` sorgo

  ∐ a 0

 os kobnçtrgf` ro`mgz`nbs om fbfgoato oatro ua

< 4a

>

tçrngab y su `atorgbr bdtoagoahb oa osto f`sb5

(∔ 0)a +0 (6z ∔ 4)6( a+0)+ 4  < 4( a +0)

(∔  0)a (6z ∔ 4)6a + 4 < 4a

(6z ∔ 4)6 , fbnb osto fbfgoato ab hopoaho ho a, m` >∔

(6z ∔ 4)6 ∔ V( z ) > 0∔ r ∔ 0 +   , lonbs toaghb oa fuoat` quo  `9  4 6   + ∔ < 38 ( 6 z 4 )      

os om prgnor tçrngab ho m` sorgo, quo oa osto f`sb so bdtgoao  roonpm`z`ahb  a pbr 0

• Oeorfgfgbs 8-  Hotornga`r, dusf`ahb provg`noato m` sufosgöa ho sun`s p`rfg`mos, p`r` quç v`mbros ho z fbavorkoa m`s sgkugoatos sorgos ho cuafgbaos (bdsorv`r quo m`s hbs õmtgn`s sba kobnçtrgf`s). Oa f`sb ho fbavorkoafg`, gahgf`r su sun`.

z      z `)  ∐     ∔   + a a 0     a >0   ∑

∑

d)

∐ a 0 >

4a

4 a x 4a ∔0 f) ∐    a 6 a >0

4 z ∔ g  (∔ 0)     8         a  

∑

?-  @a`mgz`ahb om fbnpbrt`ngoatb ho m` sufosgöa ho sun`s p`rfg`mos, fbnprbd`r quo5 ∑

`)

(z ∐ a 9 > >

a

  a +0

∔z

0 sg  | z | = 0 ) >   

    z a   z a ∔0   z+? d)  ∐   a +0   + a  >   sg | z | = ? 4? ? z ∔ ? ? a 0 >      ∑

9 sg  z > 0



@ fbatgau`fgöa, y ` nbhb ho rop`sb, rop`sb, so oauafg`a mbs frgtorgbs nàs ggnpbrt`atos npbrt`atos quo porngtoa ostuhg`r ostuhg`r m` fbavorkoafg` b hgvorkoafg` ho ua` sorgo, tbhbs ommbs so l`a vgstb y utgmgz`hb p`r` sorgos ro`mos y sgkuoa v`mgoahb p`r` sorgos fbnpmoe`s fba `mkuabs rof`uhbs.

Fbahgfgöa aofos`rg` ho fbavorkoafg` 5 Vg

∑

` a fbavorko ↔  mîn ` a > 9   ∐ a a 0 >

↔∑

∑

Fbahgfgöa sucgfgoato ho hgvorkoafg` 5 Vg  mîn ` a ≩ 9   b mîn ` a ab oxgsto ↔  ∐ ` a hgvorko a↔   ∑

a↔∑

Bdsorv`fgöa 5 h`h`

∑

` a  , sg ∐ a 0 >

a >0

hgvorkoato oato  mîn ` a > 9   ab so puoho hofgr sg m` sorgo os fbavorkoato b hgvork a ↔∑

09

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

Xobron`5 Vg

∑

∑

a >0

a >0

∐ | ` a |  fbavorko ↔  ∐ ` a fbavorko

∑

∑

>

>

| fj |  fbavorko, so hgfo quo m` sorgo  ∐ fj  os `dsbmut`noato fbavorkoato . ∐ j 0 j 0

♣  Vg

Frgtorgb ho fbnp`r`fgöa5 ∑

`) Vg

|fa | ≨ |da | y

∐ a 0

da

∑

fbavorko ↔ 

>

∑

d) Vg |fa | ≯ |`a |

y

∐ `a

∐ a 0

fa

fbavorko

>

hgvorko ↔ 

a >0

∑

f a hgvorko ∐ a 0 >

∑

Frgtorgb ho H‗@m`ndort b hom fbfgoato5

H`h` m` sorgo 

fj , sg ∐ j 0 >

`) sg

∑

∐ a 0

M = 0 ↔ 

|f | mîn  a +0 > M   oatbafos5 a ↔∑ | f | a

fa  fbavorko

>

∑

d) sg f) sg

0 = M ≨ ∑  ↔  mîn f a ≩ 9  ↔  ∐ f a  hgvorko a ↔∑

a >0

M > 0 om frgtorgb ab hofgho, puoho sor quo m` sorgo so` fbavorkoato b hgvorkoato. ∑

Frgtorgb ho F`ufly b ho m` r`îz5 H`h` m` sorgo  ∐ fj , sg  mîn a | f a | > M  oatbafos5 j >0

∑

`) sg

∐ a 0

M = 0 ↔ 

a↔∑

fa  fbavorko

>

∑

d) sg f) sg

0 = M ≨ ∑  ↔  mîn f a ≩ 9  ↔  ∐ f a  hgvorko a ↔∑

a >0

M > 0 om frgtorgb ab hofgho, puoho sor quo m` sorgo so` fbavorkoato b hgvorkoato

• Oeorfgfgbs 3-  Ostuhg`r m` fbavorkoafg` `dsbmut` ho m`s sgkugoatos sorgos aunçrgf`s utgmgz`ahb ua frgtorgb `hofu`hb. ∑

`) 

 

0

∑

 

d) 

 

a(4 + g )a

∑

 

f)

 

a

 

∐ a 9

∐ a 0

(0 + ga )4

>

∐ a 0

4a

>

>

;-  @vorgku`r utgmgz`ahb `mkõa frgtorgb p`r` quç v`mbros ho

(4g )a z  fbavorkoa `dsbmut`noato m`s

sgkugoatos sorgos ho cuafgbaos5

00

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

4a

   4z  `) ∐      a      a >0    ∑

∑

d)

ao ∐ a 9

az

( ∔0a )a f) ∐     a ( ) + z g a >0 ∑

 

>

(z + 4)4a     a ∐ ( ) 8 a 0   + a>9 ∑

h)

♣  Fbavorkoafg` uagcbrno ho sorgos ho cuafgbaos ∑

Vg sorgo ho cuafgbaos

c a ( z )   fbavorko puatu`mnoato ` ua` cuafgöa V(z)  p`r` mbs z  ho ua ∐ a 0 >

fbaeuatb H0  , hofgnbs quo m` sorgo fbavorko uagcbrnonoato oa ua fbaeuatb H4  ⊃  H0  sg m` sufosgöa ho sun`s p`rfg`mos {Va(z)} fbavorko uagcbrnonoato ` V(z) p`r` mbs z hom fbaeuatb H4 .  ♣ 

Hocgagfgöa cbrn`m 5 Hofgnbs quo m` sorgo

∑

c a ( z )  fbavorko uagcbrnonoato  ` V(z) p`r` ∐ a 0 >

mbs  z ho  H4  sg 5 h`hb fu`mqugor aõnorb pbsgtgvb ο, os pbsgdmo oafbatr`r  ua aõnorb  A (quo hopoaho sömb ho ο  ) t`m quo  |Va (z)- V(z) | = ο , p`r` tbhb a 1 A y p`r` tbhb z hom fbaeuatb 

H4     Oeonpmb

0- Vg quoronbs `vorgku`r p`r` quç v`mbros ho z fbavorko uagcbrnonoato m` sorgo 4

6

4

z + (z  - z) + (z  - z ) +....... > z +

∑

  (z a 0 ∔ z a )  ∐ a 0 +

>

fbnoaz`nbs dusf`ahb su sufosgöa ho sun`s p`rfg`mos

V0(z) > z  V4(z) > z + (z4 - z) > z4  V6(z) > z + (z4 - z) + (z6 - z4) > z6  ............................................. a

Va(z)

>z  

Ybr mb t`atb m` sufosgöa ho sun`s p`rfg`mos os Va(z) > za , quo y` lonbs `a`mgz`hb y s`donbs  quo fbavorko uagcbrnonoato oa  om fîrfumb  |z|≨  ` , fba  ` = 0, pbr mb t`atb m` sorgo h`h` fbavorko uagcbrnonoato oa fu`mqugor fîrfumb foatr`hb oa om brgkoa fba r`hgb noabr quo uab. Ab sgonpro os t`a soafgmmb l`mm`r m` sufosgöa ho sun`s p`rfg`mos p`r` muokb f`mfum`rmo om mîngto y `vorgku`r sg oxgsto ua A, quo hopoah` sömb ho ο , p`r` rospbahor sbdro m` fbavorkoafg` uagcbrno, pbr ommb os gnpbrt`ato hgspbaor ho `mkõa frgtorgb quo rospbah` y om sgkugoato suomo sor utgmîsgnb.

04

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

Α Frgtorgb N ho [ogorst`ss  ∑

Vg m` sorgo aunçrgf`

N   tgoao tçrngabs ro`mos pbsgtgvbs y os fbavorkoato y f`h` tçrngab ho a

∐ m` sufosgöa ho cuafgbaos {c a(z)} a>0

∑

sorgo

c a (z)  ∐ a0

vorgcgf`

| c a(z)| ≨ N a p`r` mbs z ho ua fbaeuatb H* oatbafos m`

fbavorko uagcbrnonoato p`r` mbs z hom fbaeuatb H*.

>

  Oeonpmbs

oaz Vg quoronbs `vorgku`r p`r` quç v`mbros ho z fbavorko uagcbrnonoato m` sorgo ∐  4   us`ahb om a>0 a ∑

frgtorgb `atorgbr, fbasghor`nbs om nöhumb ho f`h` tçrngab fbnb so gahgf` ` fbatgau`fgöa

oaz oax oa` a4 > a4 (≨0)  a4   hbaho oa (0) lonbs supuostb quo x ≨ `  Bdsorvonbs quo om õmtgnb fbfgoato ab hopoaho z, y sg mb mm`n`nbs | c a(z)| ≨ Na p`r` mbs z quo vorgcgquoa To(z) > x ≨ `

Na  , pbhonbs `cgrn`r quo

oa` Fba mbs aõnorbs Na cbrn`nbs m` sorgo aunçrgf` ∐  4   y `a`mgz`nbs su fbavorkoafg` us`ahb a>0 a om frgtorgb hom fbfgoato, hoe`nbs fbnb oeorfgfgb vorgcgf`r quo M > o`  , pbr mb t`atb ost` sorgo ` fbavorko sg M >  o   = 0 , ho hbaho so hosproaho quo ` hodo sor aok`tgvb. Ybr mb t`atb m` sorgo ∑ oa` [ogorst`ss aunçrgf` ∐  4   fbavorko sg ` = 9  y `pmgf`ahb om frgtorgb ho [ogorst`ss a>0 a 9 pbhonbs `cgrn`r quo m` sorgo h`h` fbavorko uagcbrnonoato sg   To(z) ≨ ` = 9 ∑

• Oeorfgfgbs

oatbafos v`moa m`s sgkugoatos prbpgoh`hos5

 

⇔

`) Vg m`s cuafgbaos c a(z) sba fbatgau`s oa

H 

 V(z) os fbatgau` oa H 06

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

d)  Vg F os ua` furv` su`vo pbr tr`nbs fbatoagh` oa H ⇔ m` gatokr`m sbdro F ho m` sorgo os gku`m `   ∑       ∑  c  (z)  hz >   c  (z)  hz   F a a>0 a a>0   ∐   ∐ ∪

(

m` sorgo ho m`s gatokr`mos sbdro F , os hofgr  F

)

H  ∪⇔ V(z) os `a`mîtgf` oa H y m` horgv`h` ho m` sorgo     ∑ h h     ∑ os gku`m m` sorgo ho m`s horgv`h`s, os hofgr  ∐ c a (z)  > ∐  (c a (z))   hz     a>0 hz  a>0 h) Vg  k(z)  os ua` cuafgöa `fbt`h` oa H  , os hofgr |k(z)| ≨  J  p`r` mbs z  ho H  ⇔  f) Vg m`s cuafgbaos c a(z)  sba `a`mîtgf`s oa

∑

k(z)c a (z)  ∐ a 0

fbavorko uagcbrnonoato oa H y su sun` os k(z).

V(z)

>

♣  Vorgos ho pbtoafg`s Pugzàs m`s sorgos nàs gnpbrt`atos sba m`s

sorgos ho pbtoafg`s quo tgoaoa m` cbrn`

∑

f a (z ∔ z 9 ) ∐ a 9

a

>  f9 + f0 (z - z9) + f4 (z - z9)4 + f6 (z - z9)6 +............ 

>

Mbs aõnorbs fa  sba fbnpmoebs quo ab hopoahoa ho m` v`rg`dmo z  y so hoabnga`a m` sorgo.

fbocgfgoatos ho

Os gnpbrt`ato bdsorv`r quo ost`s sorgos sba sorgos ho cuafgbaos hbaho om tçrngab koaor`m tgoao m` a cbrn` c a(z) > fa  (z - z9)   , pbr mb t`atb su sufosgöa ho sun`s p`rfg`mos os ua` sufosgöa ho cuafgbaos y pbr ommb m` sorgo puoho fbavorkor p`r` `mkuabs v`mbros ho z y hgvorkgr p`r` btrbs. ² Y`r` quç v`mbros ho z m` sorgo fbavorko2, ²Fönb oafbatr`r su rokgöa ho fbavorkoafg`2 Vg roonpm`z`nbs z  pbr z9  , vonbs quo, s`mvb om prgnorb, tbhbs mbs tçrngabs ho m` sorgo sba gku`mos ` forb y pbr mb t`atb m` sorgo fbavorko oa z9  y su sun` os f9 . Y`r` oafbatr`r btrbs pbsgdmos v`mbros ho z  p`r` mbs fu`mos m` sorgo fbavorko, so `pmgf` `mkõa ∑

frgtorgb ` m` sorgo ho mbs nöhumbs

| f a ( z ∔ z 9 ) a | ∐ a 9

, os hofgr so ostuhg` m` fbavorkoafg` `dsbmut`

>

ho m` sorgo Ybr oeonpmb, sg so `pmgf` om frgtorgb hom fbfgoato so bdtgoao

f a +0 | f a +0 ( z ∔ z 9 ) a +0   | z z mîn M > mîn  > ∔   9 a↔∑ a↔ ∑ | f ( z ∔ z ) a | f

a

a

9

0 8 48 6

@

Vg @ > 9 , oatbafos M > 9 y pbr sor M = 0, m` sorgo fbavorko `dsbmut`noato p`r` tbhb Vg @ > ∑   , zom> rosumt`hb homhomîngto hopoaho hom v`mbr ho z, . sg hgvorko , sg z9 s`donbs oatr`h` quo m` sorgo fbavorko

z

z ≩  z9  oatbafos M > ∑  y m` sorgo

08

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

Vg @ ≩  9 y  @ ≩  ∑  , oatbafos M > |z - z9| @  , fbnb om frgtorgb hom fbfgoato oxgko quo M  so` noabr quo 0  p`r` quo m` sorgo fbavore` , pbhonbs `cgrn`r quo m` sorgo ho pbtoafg`s fbavorko 9| = 0 / @ , pbr mb t`atb m` sorgo ho mbs nöhumbs `dsbmut`noato |z - z9`dgortb | @ = 0foatr`hb , os hofgroasg z9|z  ho - zr`hgb fbavorko oa uasgfîrfumb  0/@.

Xoagoahb prosoato quo sg ua` sorgo fbavorko `dsbmut`noato oatbafos hgfl` sorgo fbavorko, pbhonbs oauafg`r om sgkugoato tobron`5

Α  Xobron`5

Fbavorkoafg` Fbavorkoafg` ho sorgos ho pbtoafg`s5 

Y`r` ua` sorgo ho pbtoafg`s 

∑

f a (z ∔ z 9 ) a  oxgstoa sbm`noato tros pbsgdgmgh`hos5 ∐ a 9 >

`)  M` sorgo fbavorko õagf`noato fu`ahb

z > z9 

d)  M` sorgo fbavorko p`r` tbhb z  f)  Oxgsto ua aõnorb pbsgtgvb T t`m quo m` sorgo fbavorko oa

|z - z9| = T  y hgvorko sg |z - z9| 1 T.

Om aõnorb T so hoabnga` r`hgb ho fbavorkoafg` ho m` sorgo. Vg m` sorgo fbavorko ∉z , so hgfo quo om r`hgb ho fbavorkoafg` os gacgagtb y `abt`nbs sg m` sorgo sömb fbavorko oa z9, so hgfo quo om r`hgb ho fbavorkoafg` os forb.

T > ∑ : 

  Oeonpmb

Vg quoronbs `vorgku`r p`r` quç v`mbros ho z  fbavorko m` sorgo

∑

∐  a>9

4a + 0 (z ∔ g ) 4a   pbhonbs a (4g)

`pmgf`r `mkõa frgtorgb. @ fbatgau`fgöa `pmgf`nbs om frgtorgb hom fbfgoato y so hoe` fbnb `ftgvgh`h m` eustgcgf`fgöa ho tbhbs mbs p`sbs `mkodr`gfbs quo so ro`mgz`a p`r` f`mfum`r om mîngto quo gatoros`.

f 4(a + 0) + 0 4 ( a +0 ) ∔ M >  mîn a +0 > mîn ( ) z g a ↔∑ a ↔∑ f ( 4g ) a + 0 a Vg

4

z∔g 4a + 0 4a + 6 0 4 4a > ∔ >     (z g) mîn z g a ↔∑ 4a + 0 4g 4 (4g) a

M = 0  ⇔  | z - g |4 = 4 ⇔  | z - g | = 4  , y sg  M 1 0 ⇔ | z - g | 1 4  

Ybr mb t`atb m` sorgo fbavorko oa om fîrfumb `dgortb

|z-g|=

4   y hgvorko oa | z - g | 1

4.

Vbdro mbs puatbs ho m` fgrfuacoroafg`

| z - g | > 4  ab pbhonbs `sokur`r sg fbavorko b hgvorko.

Vg oa f`ndgb hofghgnbs `pmgf`r om frgtorgb ho m` r`îz, m` sgtu`fgöa os m` sgkugoato5

0?

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

4

a a z∔g 4a + 0 a 4a + 0 4a + 0 4 4a 4a > ∔ > ∔ >  , M >  mîn a (z g) mîn   z g z g mîn a a↔ ∑ a ↔∑ a ↔∑ a 4 4 (4g) a 4g hbaho oa om õmtgnb p`sb so tuvb oa fuoat` quo mîn a 4a + 0 > 0   a ↔∑

Fbnb om frgtorgb ho m` r`îz oxgko, fbnb om frgtorgb hom fbfgoato, quo M so` noabr ` 0 p`r` quo m` sorgo fbavore`, ab l`fonbs nàs fbnoat`rgbs puos so bdsorv` quo m` fbafmusgöa os ghçatgf` ` m` y` bdtoagh`.

∃ @ftgvgh`h ?5 ∑

Vg m` sorgo ho pbtoafg`s

f a (z ∔ z 9 ) a   ∐ a 9

fbavorko oa

|z - z9| = T , `vorgku`r p`r` quç v`mbros ho 

>

z fbavorko m` sorgo ho pbtoafg`s aok`tgv`s

∑

f (z ∔ z ) ∔a   a

a 9 -0 ∐ Gahgf`fgöa5 l`for om f`ndgb ho v`rg`dmo w > (z - z9) >

9

Α Xobron` 5 fbavorkoafg` uagcbrno ho m`s sorgos ho pbtoafg`s p btoafg`s  ∑

Vg

f a (z ∔ z 9 ) a  os ua` sorgo ho pbtoafg`s quo fbavorko `dsbmut`noato p`r` |z - z9 | = T ∐ a 9

fba

>

T≩ 9 ⇔  hgfl` sorgo fbavorko uagcbrnonoato oa |z - z9 | ≨ T0 = T  Honbstr`fgöa Vo` z0 ua fbnpmoeb hom fîrfumb ∑ ho fbavorkoafg` ho m` sorgo, oatbafos m` sorgo aunçrgf`   f a ( z 0 ∔ z 9 ) a  (*) os fbavorkoato.

∐ a 9

T

z0

T0

z9

>

Vg fbasghoronbs tbhbs mbs fbnpmoebs z portoaofgoatos `m fîrfumb sbndro`hb ho m` cgkur` , os hofgr `quommbs quo vorgcgf`a | z  - z9| ≨  | z0 - z9| oatbafos p`r` hgflbs fbnpmoebs so vorgcgf` quo  |fa (z - z9)a| ≨ |fa (z0 - z 9)a| , toagoahb oa fuoat` quo m` sorgo (*) os fbavorkoato, pbr om frgtorgb ho ∑

[ogorst`ss pbhonbs `cgrn`r quo m` sorgo

f a (z ∔ z 9 ) a fbavorko ∐ a 9 >

uagcbrnonoato p`r` mbs

fbnpmoebs quo vorgcgf`a | z  - z 9| ≨  | z 0 - z 9| , sg mm`n`nbs  noabr quo T quoh` honbstr`hb mb quo protoahî`nbs.

T0 > | z0 - z9| , quo ovghoatonoato os

⊟ Bdsorv`fgöa 03

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

∑

Fbnb `lbr` s`donbs quo m`s sorgos ho pbtoafg`s

uagcbrnonoa to p`r` f a (z ∔ z 9 ) a   fbavorkoa uagcbrnonoato ∐ a 9 >

|z - z9  | ≨  T0  = T  fba T r`hgb ho fbavorkoafg` , oatbafos m`s sorgos ho pbtoafg`s tgoaoa m`s ngsn`s prbpgoh`hos quo oauafg`nbs p`r` m`s sorgos quo fbavorkoa uagcbrnonoato, oa p`rtgfum`r pbhonbs `sokur`r quo p`r` mbs z hom fîrfumb |z - z9 | ≨ T0 = T  v`moa m`s sgkugoatos gku`mh`hos5

z

z   ∑ ∑ a  a `) ∪  ∐ f a (z - z 9 )   hz > ∐   ∪ Zf a (z - z 9 ) ^  hz   y pbr mb t`atb a >9 z 9  z 9  a>9

h       ∑ d)  ∐ f a (z ∔ z 9 ) a  > hz      a > 9

h   Zf a ( z ∔ z 9 ) a ^  ∐ a > 9 hz ∑

f a (z - z 9 )a +0   ∪z c ( z) hz >∐ a 0 + a >9 9 z

y pbr mb t`atb c '(z) >

 

∑

∑

f a a(z ∔ z 9 ) a 0   ∐ a 9 ∔

>

  Oeonpmb ∑

M` sorgo ho pbtoafg`s

z a  os ua` sorgo kobnçtrgf` fba prgnor tçrngab ∐ a 9

`9 > 0   y r`zöa r > z ,

>

pbr mb t`atb fbavorko sg  |

z | = 0 y oa hgflb fîrfumb `dgortb so vorgcgf` quo

0 0∔ z

∑

>

za   ∐ a 9 >

Ybr tr`t`rso ho ua` sorgo ho pbtoafg`s pbhonbs gatokr`rm` y horgv`rm` tçrngab ` tçrngab y so bpor` fbnb so nuostr` ` fbatgau`fgöa. `) Gatokr`ahb `ndbs ngondrbs oatro 9 y z9 , fba | z9 | = 0, bdtoaonbs 5 z9

∪9

0

z9

0 ∔ z hz > ∪9

∑     ∑ a   hz > ∐ a >9 z   a>9    ∐

z9

∪9

z a +0  , z hz > ∐ a >9   a + 0 a

Fbnb m` prgngtgv` ho m` prgnor` gatokr`m os osfrgdgrso5

∑

- Ma (0 - z)  , m` oxprosgöa `atorgbr puoho

∑ z 9 a +0 z 9 a +0   sg  | z9 | = 0   ⇔  Ma(0 ∔ z 9 ) > ∔ ∐   ∔ Ma(0 ∔ z 9 ) + Ma0 > ∐   a >9 a + 0 a>9 a + 0 ∑

fbnb z9 os fu`mqugor fbnpmoeb hom fîrfumb | z | = 0 , pbhonbs roonpm`z`r z9 pbr z , bdtoagoahb5

z a +0   sg  | z | = 0 Ma(0 ∔ z ) > ∔ ∐   a >9   a + 0 ∑

0;

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

d) 

Vg oa f`ndgb horgv`nbs `ndbs ngondrbs ho m` sorgo

0 0∔z

∑

>

za   ∐ a 9

bdtoaonbs 

>

h    0   > h    ∑ z a  > ∑    h ( z a ) > ∑ az a ∔0 > ∑ az a ∔0   ∐ ∐  ∐  ∐ hz hz    0 ∔ z  hz   a>9 a >0  a >9   a >9 ∑

(bdsorv`r quo oa om õmtgnb p`sb so f`ndgö

a > 9 pbr a > 0  puos om prgnor tçrngab ho m` sorgo  ∐ az a ∔0   a>9

v`mo forb)  ∑ 0   Ybr õmtgnb f`mfum`ahb m` horgv`h` ho 0 / (0 - z)  bdtoaonbs5 > ∐ az a ∔0   sg  | z | = 0  4 (0 ∔ z ) a>0

• Oeorfgfgbs ∑

7- H`h` m` sorgo

 

za

 , `vorgku`r p`r` quo v`mbros ho z fbavorko y sg

V(z) os su sun` vorgcgf`r

∐  ya!V(9) > 0 , ²puoho `voatur`r fuàm os m` cuafgöa V(z)2  quo V'(z) > V(z) a >9

09- @vorgku`r p`r` quç v`mbros ho z fbavorko m` sgkugoato sorgo

∑

( ∔0) a z 4a  y l`mm`r ua` sorgo ho ∐ a 9 >

pbtoafg`s ho z quo roprosoato ` m` cuafgöa c(z) > `rftk z o gahgf`r m` rokgöa ho v`mghoz.

♣  Bpor`fgbaos fba sorgos ho pbtoafg`s ∑

H`h`s hbs sorgos ho pbtoafg`s

` a (z ∔ z 9 ) ∐ a 9 >

a

∑

 ,

d a ( z ∔ z 9 ) a   , abs prokuat`nbs sg hgfl`s ∐ a 9 >

sorgos so puohoa sun`r b numtgpmgf`r. Om sgkugoato tobron` abs rospbaho.

Α 

Xobron` ∑

Vg

c(z) >  ∐ ` a ( z ∔ z 9 )   oa |z - z9| = T0 a

k(z) >

y

a> 9

∑

d a ( z ∔ z 9 ) a   oa  ∐ a 9

|z - z9| = T4 

>

y 

T6 > nîa {T0 , T4} oatbafos5

`) 

c(z) + k(z) >  ∐ ` a ( z ∔ z 9 ) a +  ∐ d a (z ∔ z 9 ) a  >

∑

∑

∑

∐ (` a + d a )(z ∔ z 9 )a   oa

|z - z9| = T6 

a>9

a >9

∑

d)

a>9

∑

c(z) . k(z) >  ∐ ` a ( z ∔ z 9 ) .  ∐ d a ( z ∔ z 9 ) a

a >9

a

∑

 >

a>9

h a ( z ∔ z 9 ) a   oa  |z - z9| = T6 , sgoahb ∐ a 9 >

h9 > `9 d9  , h0 > `9 d0 + `0 d9  , h4 > `9 d4 + `0 d0  + `4 d9  , .. , ha > `9 da+ `0 da-0  + ... + `a d9  0<

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

Bdsorv`r quo t`atb m` sun` fbnb om prbhuftb ho hbs sorgos ho pbtoafg`s ho gatorsoffgöa ho mbs fîrfumbs ho fbavorkoafg` ho f`h` ua` ho omm`s.

(z - z9)  fbavorko oa m`

  Oeonpmbs ∑

Sorgcgf`r quo m` sorgo

∐ a 9

4 a (z ∔ 0) a  fbavorko sg | z - 0 | = 4 y m` sorgo

∑

a ( z ∔ 0) a  fbavorko ∐ a 9 >

>

| z - 0 | = 0   , pbr mb t`atb m` sun` y om prbhuftb ho omm`s fbavorkoa oa | z - 0 | = 0   puos nîa{0,4} > 0 , oatbafos5 sg

∑

4 ∐ a 9

a

a

(z ∔ 0)  +

a ( z ∔ 0) ∐ a 9 >

>

∑

∑

a

a

4 (z ∔ 0)   . 

∑

a

∑

 >

(4 a + a )( z ∔ 0) a   ∐ a 9

|z-0|=0

sg

>

a ( z ∔ 0) a   > 0 . 9 + (0 .0 + 4 . 9) ( z- 0) + (0. 4 + 4. 0 + 8 . 9) ( z- 0)4  +

a 9 a 9 ∐ ∐ + (0 . 6 + 4 . 4 + 8 . 0 + < . 9) ( z- 0) 6 + .... > (z - 0) + 8 (z - 0) 4 + 00 ( z- 0)6 + ..... >

>

, sg | z - 0 | = 0

Α Vorgo ho X`ymbr

c ( a ) ( z 9 ) ( z ∔ z 9 ) a   y ost` gku`mh`h v`mo p`r` tbhbs   Vg c(z) os `a`mîtgf` oa z9  oatbafos c ( z ) > a! a>9 mbs z portoaofgoatos `m n`ybr fîrfumb `dgortb foatr`hb oa z9 hbaho c(z) os `a`mîtgf`. Bdsorv`r oatbafos quo m` sorgo fbavorko ` c(z) p`r` | z ‖ z9 | = T , sgoahb  T om r`hgb hom n`ybr  fîrfumb `dgortb foatr`hb oa z9 hbaho c(z) os `a`mîtgf`. ∑

∐

T9

Honbstr`fgöa Vo` z ua fbnpmoeb fu`mqugor` quo vorgcgf` | z ‖ z9 | > T9 = T  Vo` F5 | w ‖ z 9 | > π  fba

z9 z

F5 |w - z9| > π  |w - z9| > T

T9 = π = T

Fbnb  z os gatorgbr `  F y so funpmoa tbh`s m`s lgpötosgs ho m` cörnum` ho m` gatokr`m ho   F`ufly  pbhonbs osfrgdgr5

0 (0 ) 4ωg

c ( z ) >

∪

F

 

c(w) 0 hw >   ( 4 ) 4 ωg w-z ∑

> 

0 4 ωg

∪

F

F

c(w) 0   hw >   (w - z 9 ) - (z - z 9 )   (6 ) 4ωg

a

 

∐

∪

 

F

c(w)     z - z 9    (w - z 9 )  0 w z 9       

∑

hw  >   (8 )

(a)

∑

∐

 

  c(w)    z -  z   hw (>? ) (z ∔ z 9 ) 0 w z 4ωg (w - z 9 )  a> 9   9      a >9 9

∪

 

a

∪

F

 

c ( w ) hw  > (w - z 9 )a+0     (3 )

∐

( z ∔ z 9 ) c  ( z 9 )   a! a>9 a

07

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

pbr `pmgf`fgöa ho m` cörnum` ho F`ufly, (4) rost`nbs y sun`nbs z9 oa om hoabnga`hbr (0)

(6)  (8) 

s`f`nbs (w ‖ z9) c`ftbr fbnõa hom hoabnga`hbr

z - z9 T9 z - z9 0 > = 0  , pbr mb  t`atb om c`ftbr   oatbafos |r| >   rosumt` sor m` sun` π w - z9 w - z9 0- r ho ua` sorgo kobnçtrgf` ho r`zöa r fba |r | = 0 , y roonpm`z`nbs hgflb c`ftbr pbr m` sorgo

sg

r>

fbrrospbahgoato. (?)  Oa osto p`sb gatorf`ndg`nbs m` gatokr`m fba m` sorgo, p`r` ommb os aofos`rgb nbstr`r quo m` sorgo os uagcbrnonoato fbavorkoato y m` cuafgöa quo m` `fbnp`ð` hodo ost`r `fbt`h` sbdro m` furv` F  ( rofbrh`r5 Vg k(z)  os ua` cuafgöa `fbt`h` oa H  , os hofgr |k(z)| ≨  J  p`r` mbs z  ho H  ⇔  ∑

k(z)c a (z)  ∐ a 0

fbavorko uagcbrnonoato oa H y su sun` os k(z). V(z)) 

>

Oa osto f`sb k(z) >

c ( w ) , hbaho s`donbs quo c(w) , pbr sor `a`mîtgf` sbdro m` furv` F, hodo w ∔ z9

quo |c(w)| pbsoo ua nàxgnb `dsbmutb sbdro  F, os hofgr oxgsto ua aõnorb ost`r `fbt`h` (rofbrh`r pbsgtgvb N t`m  quo |c(w)|≨5  N), pbr mb t`atb |k(z)| ≨ N / π. a

    z - z 9    fbavorko uagcbrnonoato sbdro m` furv`  F puos  sg   w z 9      a > 9   ∑

@honàs m` sorgo

∐

fbnp`r`nbs sus  tçrngabs fba mbs ho m` sorgo aunçrgf`

z - z9 w - z9

a

noabr

a

   T   >  9    , fbnb m`  sorgo      π   quo 

0,

pbr

om

a

   T 9    vonbs quo   ∐ π a > 9       ∑

a

   T 9    os fbavorkoato pbr sor kobnçtrgf` fba r`zöa  ∐ π a > 9       ∑

frgtorgb

ho

[ogorstr`ss

pbhonbs

`cgrn`r

quo

m`

a

    z - z 9    fbavorko uagcbrnonoato sbdro F. Ybr õmtgnb bdsorv`r quo om c`ftbr z ‖ z9   sorgo w z 9      a > 9   ∑

∐

os fbast`ato rospoftb ho m` v`rg`dmo ho gatokr`fgöa w  y pbr ommb so l` gahgf`hb `cuor` ho m` gatokr`m (3)  so f`mfum` m` gatokr`m `pmgf`ahb om tobron` ho m` horgv`h` ho m` cörnum` ho F`ufly y so bdtgoaoa mbs fbocgfgoatos gahgf`hbs.

 Oeonpmb z

0-  L`mm`r m` sorgo ho X`ymbr ho c(z) > o   `mrohohbr ho z9 > 9

(a)

Y`r` ommb f`mfum`nbs m`s horgv`h`s ho m` cuafgöa, oa osto f`sb s`donbs quo   c  (a) 9 ov`mu`nbs oa z9 , oa osto oeonpmb c  (9) > o  > 0 , pbr mb t`atb5 (j )

∑

 

z

(z) > oz  y m`s 

∑

j

o > ∐ c  j!( 9) ( z ∔ 9) > ∐ j0! z j   j >9 j >9 49

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

om tobron` `sokur` quo m` gku`mh`h so vorgcgf` oa om n`ybr fîrfumb foatr`hb oa z9 hbaho m` cuafgöa os `a`mîtgf`, y fbnb m` oxpbaoafg`m os `a`mîtgf` oa tbhb om   pm`ab, m` gku`mh`h `atorgbr v`mo oa  

|z| = ∑  b t`ndgça puoho hofgrso quo v`mo ∉z  4-  L`mm`r ua` sorgo ho pbtoafg`s ho z quo roprosoato ` m` cuafgöa c(z) > 

0   0+ z4

Oa om oauafg`hb abs pghoa ua` sorgo ho pbtoafg`s ho z quo fbavore` ` m` cuafgöa h`h` y pbhonbs bdsorv`r quo  c   tgoao m` cbrn`

`9  > vorgcgf` 0∔r

∑

` 9 r a , sg ∐ a 9

`9  , quo y` s`donbs os m` sun` ho ua` sorgo kobnçtrgf` y quo 0∔r

| r | = 0 .

>

`9 > 0 y r > -z4 oatbafos pbhonbs osfrgdgr ràpgh`noato

Vg tbn`nbs

∑   ∑ 0 4 4 a a 4a 0 + z4 >∐ a > 9 (-z ) > a > 9 (-0) z   sg | - z  | = 0 , quo os oqugv`moato ` pohgr quo | z | = 0 ∐

Yuhgnbs oafbatr`r ua` sorgo ho pbtoafg`s ho  z quo roprosoat` ` m`  c h`h` oa | z | = 0 sga l`dor f`mfum`hb agakua` horgv`h`, quo os mb quo oxgko X`ymbr. M` prokuat` a`tur`m os oatbafos5 m` sorgo l`mm`h`, ² os m` sorgo ho X`ymbr `mrohohbr ho z9 > 9  ho m` c   h`h`2 Muokb ho m` prbpgoh`h sgkugoato toahronbs m` rospuost` ` osto gatorrbk`ato.

Α Xobron` ho uagfgh`h ho X`ymbr ∑

Vg

c ( z )  > ∐ a >9

c ( j ) ( z 9 ) f a (z - z 9 )   p`r` | z - z9| = T ⇔  f j   >   p`r` j > 9, 0, 4,...........  j! a

Honbstr`fgöa V`donbs quo

c(z) > f9 + f0 (z - z9) + f4 (z - z9)4 +..........+ fj (z - z9)j +...............,  sg | z - z9| = T

Ov`mu`ahb m` cuafgöa oa z9 , bdtoaonbs

c(z9) > f9 , quo vorgcgf` om oauafg`hb p`r` j > 9

Ybr tr`t`rso ho ua` sorgo ho pbtoafg`s, pbhonbs horgv`rm` tçrngab ` tçrngab, bdtoagoahb5

c '(z) > f0 + 4 f4 (z - z9) +..........+ j fj (z - z9)j 0 +...............,  sg | z - z9| = T Ov`mu`ahb ost` horgv`h` oa z9 , bdtoaonbs

c '(z9) > f0 , quo vorgcgf` om oauafg`hb p`r` j > 0

Fbnb m` sorgo `atorgbr os ua` sorgo ho pbtoafg`s pbhonbs horgv`rm` auov`noato, bdtoagoahb5

c ''(z) > 4 f4  +..........+ j (j-0) fj (z - z9)j-4 +...............,  sg | z - z9| = T 40

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

Ov`mu`ahb ost` horgv`h` sokuah` oa z 9  , bdtoaonbs vorgcgf` om oauafg`hb p`r`

c ''(z9) > 4f4 , ho hbaho f4 > c ''(z9)/ 4   quo

j>4

Fbatgau`ahb ho m` ngsn` n`aor` puoho bdtoaorso mb dusf`hb.

⊟ Bdsorv`fgbaos 0- _tgmgz`ahb om tobron` `atorgbr vonbs quo sg so tgoao ua` sorgo ho pbtoafg`s ho (z

- z9) quo

∑

fbavorko ` ua` cuafgöa

c(z), os hofgr  c (z )  > ∐ f a (z - z 9 ) a   oatbafos mbs fbocgfgoatos vorgcgf`a a>9

∑ c ( j ) (z 9 ) c  ( z 9 )   , pbr mb t`atb m` sorgo puoho osfrgdgrso  c ( z ) > ∐   (z ∔ z 9 )a   ho hbaho fa   > j! a! a >9

(a )

pbhonbs `cgrn`r quo5

" Xbh` sorgo ho pbtoafg`s ho (z - z9) quo fbavorko ` ua` cuafgöa c(z) os m` sorgo ho X`ymbr ho hgfl` cuafgöa" 4- Os gatoros`ato bdsorv`r quo sg so tgoaoa hbs sorgos ho pbtoafg`s fbavorkoatos fuy` sun` os m` ∑

ngsn` , os hofgr

∐ a 9 >

 

∑

` a (z ∔ z 9 )a  > ∐ d a (z ∔ z 9 )a   p`r` | z - z9| = T , oatbafos `a > da , ∉a  a >9

Bdsorv`r quo sg c(z) os m` sun` ho f`h` ua` ho omm`s oatbafos , `pmgf`ahb om tobron` ho uagh`h `

c ( a ) ( z 9 ) c ( a ) (z 9 ) f`h` ua` ho omm`s, so bdtgoao ` a   >  p`r` m` prgnor` sorgo, y d a   >  p`r` m` sokuah` a! a! sorgo, pbr mb t`atb `a > da , ∉a  ∑ 0 > ∐ (-0) a z 4a   , sg | z | = 0 y 6-  Oa ua oeonpmb `atorgbr lonbs honbstr`hb quo c(z) >  4 0 + z a>9 abs prokuat`nbs sg os` os m` sorgo ho X`ymbr ho m` cuafgöa oa z9 > 9 , `lbr` pbhonbs rospbahor quo sî, `honàs pbhonbs f`mfum`r tbh`s m`s horgv`h`s ho c(z) oa z > 9 .

c ( 64 ) (9) , oatbafos  Ybr oeonpmb sg quoronbs l`mm`r c  (9)  , fbnb s`donbs quo ` 64   > 64! c (64)(9) > 64! `64  , toagoahb prosoato quo `64 os om fbocgfgoato ho m` pbtoafg` 64 , ngr`ahb m` sorgo (64)

fuybs tçrngabs sba

0 + (-0) z4 + (-0)4 z8 -........+ (-0)03 z64 +......... 

vonbs quo

`64 > (-0)03 > 0, pbr mb t`atb c ( 64) (9) > 64!  

Btrb oeonpmb 5 fbnb

c (69)(9) > 69! `69  y `69 > (-0)0? > -0 , pbr mb t`atb c (69)(9) > - 69!

Os gatoros`ato vor quo tbh`s m`s horgv`h`s ho îahgfo gnp`r, ov`mu`h`s oa 9 , sba tbh`s aum`s puos z  ab `p`rofo omov`h` ` ua` pbtoafg` gnp`r y pbr mb t`atb tbhbs mbs fbocgfgoatos ho sudîahgfo gnp`r v`moa 9. 44

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

Fba rocoroafg` `m ngsnb oeonpmb fbrrospbaho l`for om sgkugoato fbnoat`rgb5 Vg so dusf` m` sorgo ho X`ymbr ho m` cuafgöa ho v`rg`dmo ro`m

c(x) >

0   `mrohohbr ho x > 9 so 0 + x4

bdtgoao ua` sorgo ghçatgf` fba m` v`rg`dmo x  oa muk`r ho m` z, porb m` rokgöa ho fbavorkoafg` ho hgfl` sorgo os om gatorv`mb `dgortb (-0,0). Hosho om puatb ho vgst` ho m` tobrî` ho m` v`rg`dmo ro`m, ab l`y a`h` oa om fbnpbrt`ngoatb ho c(x) quo oxpmgquo osto loflb. Yorb fu`ahb ox`nga`nbs m`

0 os `a`mîtgf` oa tbhb 0+ z4 F , oxfoptb oa g y -g. Ybr fbasgkugoato om hos`rrbmmb oa sorgo ho   pbtoafg`s `mrohohbr hom  9, os om fîrfumb `dgortb | z | = 0 , fuy` gatorsoffgöa fba om oeo ro`m  x h` eust`noato om gatorv`mb g atorv`mb (-0,0)  

sgtu`fgöa oa om pm`ab fbnpmoeb, vonbs `m gast`ato quo m` cuafgöa

c ( z ) >

∃ @ftgvgh`h 35 Vg m` sun` ho ua` sorgo ho pbtoafg`s os gku`m ` forb, os hofgr sg 

∑

∐ a 9

h a (z ∔ z 9 )a > 9 , ²os fbrroftb

>

`cgrn`r quo ha > 9 , ∉a 2

•Oeorfgfgbs 00- Hos`rrbmm`r m`s cuafgbaos sgkugoatos oa sorgo ho X`ymbr `mrohohbr ho nàxgnb hgsfb hbaho os vàmgh` hgfl` roprosoat`fgöa. `)  c 0(z) > soa z

d) c 4(z) > fl z

f) c 6(z) >

0 0∔ z

z9  > 9  o gahgf`r om

 

04- L`mm`r ua` sorgo ho pbtoafg`s ho z quo roprosoato ` m`s sgkugoatos cuafgbaos us`ahb om oeorfgfgb `atorgbr y eustgcgf`r om prbfohgngoatb5 `) c 6(z) > fbs z

d) c 4(z) > sl z

f) c 6(z) >

0   (0 ∔ z )4

h) c 6(z) > Ma(0-z)

06- L`mm`r ua` sorgo ho pbtoafg`s ho z ‖ z9  quo roprosoato ` m`s sgkugoatos cuafgbaos o gahgf`r m` rokgöa ho v`mghoz. _s`r m` prbpgoh`h ho uagfgh`h.

`) c(z)

> fbs z , z9 > ω /4

h) j(z) >

z z4 ∔ 0

d) k(z) > z. o

 , z9 > g

o) m(z) > 6z

6

4z

 , z9 > 0

f)

l( z ) >

4 z∔6

, z9 > -4

z4 ∔ 0 c) n( z ) > , z9 > 6 z

 ‖ 4z , z9 > - g

46

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

(z ∔ g )4a   , c(z) >  ∐     + a 0 a >0

∑

∑

08- H`h`s

k(z) >  ∐ (0 + g ) a (z ∔ 4 )4a +0   a >0

`) L`mm`r om hbngagb ho `a`mgtgfgh`h ho c(z) y k(z) `)  F`mfum`r c '(g) , c (3)(g) , c (7)(g) , k‗(4) , c (3)(4) , c (0;)(4) 

♣  Forbs ho ua` cuafgöa `a`mîtgf` ♣  Hofgnbs quo z9

os ua forb ho c(z)   sg c(z9) > 9

♣  Hofgnbs quo z9 y c (j )(z9) ≩  9 

os ua forb ho brhoa j ho c(z)  sg c(z9) > c'(z9) > c''(z9) >......> c (j - 0)(z9) > 9

  Oeonpmbs 6

Y`r` l`mm`r mbs forbs ho c(z) > z  soa z , pm`ato`nbs  c(z) > 9 y rosbmvonbs ost` ofu`fgöa , oa osto f`sb  so vorgcgf` quo  c(jω) > 9 fba  j > 9, ° 0 , ° 4, ..... , pbr mb t`atb ost` cuafgöa tgoao gacgagtbs forbs. 4 6 Y`r` l`mm`r om brhoa ho f`h` forb l`y quo f`mfum`r   m` horgv`h` c '(z) > 6 z  soa z + z  fbs z y ov`mu`rm` oa tbhbs forbs l`mm`hbs , oa osto f`sb5

c' (9) > 9 y  c' (jω) ≩ 9, p`r` j oatorb y hgstgatb ho 9 fbnb m` prgnor` horgv`h` ab so `aum` oa ω, -ω  ,  4ω, -4ω, forbs ho brhoa 0, t`ndgça mm`n`hbs forbs sgnpmos ho c(z).

......., hofgnbs quo tbhbs ommbs sba

M` sgtu`fgöa os hgstgat` sg  z > 9 puos c' (9) > 9 , fu`ahb ostb bfurro l`y quo f`mfum`r c ''(z) y ov`mu`r c ''(9), quo oa osto oeonpmb vuomvo ` h`r  9, oatbafos l`y quo f`mfum`r c '''(z) y  ov`mu`r c'''(9) y `sî so sgkuo l`st` oafbatr`r om brhoa ho m` prgnor` horgv`h` quo ab so `aum` oa om forb quo ost`nbs `a`mgz`ahb. Osto prbfosb puoho sor m`rkb y `durrghb, pbr ommb os fbavoagoato hos`rrbmm`r m` cuafgöa oa sorgo ho X`ymbr `mrohohbr hom forb quo protoahonbs fm`sgcgf`r, oa osto f`sb hgfl` sorgo os.

z6 z3 8 z  soa z > z z ( z ∔ + .......) > z ∔ + ......   , fbavorkoato p`r` tbhb z  6! 6! 6

6 6

Bdsorv`ahb m` sorgo bdtoagh` y us`ahb om tobron` ho uagfgh`h ho m` sorgo ho X`ymbr, X`ymbr, pbhonbs `cgrn`r quo c (9) > 9, c ' (9) > 9 , c ''(9) > 9 , c ''' (9) > 9 , c ''''(9) ≩  9 , pbr mb t`atb z > 9 os ua forb ho brhoa 8 ho c(z)

48

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

Α F`r`ftorgz`fgöa ho forbs  `)  Vg  z9 os ua forb ho brhoa j  ho m` cuafgöa `a`mîtgf` c(z)  ⇔  c(z) > (z - z9)j k(z) , fba k(z)  `a`mîtgf` oa z9  y k(z9) ≩ 9 j d) Vg c(z) > (z - z9)  k(z) , fba k(z) `a`mîtgf` oa z9  y k(z9) ≩ 9 ⇔ z 9 os ua forb ho brhoa j ho m` cuafgöa c(z)

Honbstr`fgöa `) Ybr sor z9  ua forb ho brhoa j ho c(z) s`donbs quo c(z9) >  c '(z9) > c ''(z9) >....> c (j-0)(z9) > 9 (j) y c  (z9) ≩ 9 oatbafos su hos`rrbmmb ho X`ymbr `mrohohbr hom puatb z9  sorà fbavorkoato oa ua fîrfumb |z - z9| = T  y tgoao m` cbrn` 5 (j )

c (z) >

c  (z 9 )

(z ∔ z 9 ) j +

(j +0)

c 

  ( j ) ( j 0 ) +  c  (z 9 ) c  (z 9 )  (z 9 ) + (z ∔ z 9 )0 + ......   (z ∔ z 9 )j+0 + ...... > (z ∔ z 9 )j  088 8 8 8  6 +4 (j8  0)!88 8 8 8 8   j!  k( z )

(j + 0)!

j!

j

pbr mb t`atb c(z) > (z - z9)  k(z) , hbaho k(z) os `a`mîtgf` oa z9  pbr sor ua` sorgo ho pbtoafg`s fbavorkoato oa |z - z9| = T y `honàs k(z9) ≩ 9 puos ov`mu`ahb m` sorgo quo hocgao `  k oa z9 so bdsorv`  quo so `aum`a tbhbs mbs tçrngabs s`mvb om prgnorb, quo os   c (j)(z9) / j! ≩  9, pbr mb t`atb  k(z9) ≩ 9 j

d) V`donbs quo c(z) > (z - z9)   k(z) , hbaho k(z) os `a`mîtgf` oa z9 y  `hngto ua hos`rrbmmb oa sorgo ho X`ymbr ho m` cbrn`

k(z9) ≩ 9, pbr mb t`atb k(z) 

k (a ) ( z 9 ) k(z) > ∐   ( z ∔ z 9 ) a , oa  |z - z9| = T*, numtgpmgf`ahb `ndbs ngondrbs pbr  (z - z9)j  a! a>9 ∑ ∑ k (a) (z 9 ) j a+j a +j a 9 9   sg  |z - z9| = T*,  bdtoaonbs  (z - z9)  k(z) > a > 9   a >9 f ( z ∔ z ) ∐ ∐ a! (z ∔ z ) > ∐ ∑

(a)

(bdsorv`r quo oa om õmtgnb p`sb lonbs hoabnga`hb fa `m fbfgoato k ∑

(z9) / a! )

f a (z ∔ z 9 ) a j > f9 (z - z9)j + f0 ( z - z9)j+0 +.........., fba  ∐ ∐ a 9

pbr mb t`atb  c(z) >

+

f9 > k(z9) ≩ 9

>

fbnb c(z) puhb oxpros`rso fbnb ua` sorgo ho pbtoafg`s pbsgtgv`s ho (z - z9) , pbr om tobron` ho uagfgh`h s`donbs quo çst` os m` sorgo ho X`ymbr ho c(z)  , pbr mb t`atb pbhonbs `cgrn`r quo 5 (j-0)

(j)

c(z9) > c (z9) > c (z9) >....> c  (z9) > 9 z9 os ua forb ho brhoa j ho c(z)

f9 > c  (z9) /j! ≩ 9 , ho hbaho so hosproaho quo

y

∃ @ftgvgh`h ;5 Vg z9  os ua forb ho brhoa p  ho tobron` `atorgbr quo5

c(z) y os ua forb ho brhoa  q ho k(z), eustgcgf`r fba m` `yuh` hom 4?

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

`) z9 os ua forb ho brhoa

p + q hom prbhuftb c(z). k(z)

 

d) sg p = q , z9 os ua forb ho brhoa p ho c(z) ° k(z) f) sg p > q , z9 os ua forb ho brhoa n`ybr b gku`m quo p ho

c(z) ° k(z)

•Oeorfgfgbs 0?- Eustgcgf`r oa f`h` f`sb quo z9 os ua forb ho m` cuafgöa o gahgf`r su brhoa `) k0(z) > z6 (0 ‖

fbs z) , z9 > 9

f) k6(z) > 8z ‖ tk ( ωz)

d) k4(z)

> soa4 z (0 + fbs z) , z9 > ω 

h) k8(z) > 3 soa (z4) + z3 - 3z4  ,

, z9 > ½

z9 > 9

c(z)  y k(z)  sba `a`mîtgf`s oa z9  , c(z9) > k(z9) > 9 y k‗(z9) ≩  9  , honbstr`r m` rokm` ho M‗Lbspgt`m 5 mîn c ( z ) > c ' ( z 9 )   z ↔ z 9 k( z ) k' (z 9 )

03- Vg

Α Vorgo ho M`uroat Vg c(z) os `a`mîtgf` oa om `agmmb  r = tbhbs mbs z ho hgflb `agmmb v`mo quo5

| z - z9| = T (r puoho sor 9 y T puoho sor ∑ ) oatbafos p`r`

F

∑  

a

∑

∔a

a > 9 ` a ( z ∔ z 9 ) + a >0 d a ( z ∔ z 9 )   c (z ) > ∐   ∐

hbaho

`a >

0 c(w) 0 c(w) y >   d hw   hw a 4ωg ∪F   ( w ∔ z 9 ) -a +0 4ωg ∪F   (w ∔ z 9 ) a +0

sgoahb F ua` furv` forr`h` fbatoagh` oa om `agmmb quo oafgorr` ` z9 

Honbstr`fgöa

z9

F

z9

Vo` z ua fbnpmoeb fu`mqugor` quo vorgcgf` | z ‖ z9 | > T9  fba r = T9 = T 

F4

T9 = π0 = T

Vo` F05 | w ‖ z9 | > π0  fba

F0

F45 | w ‖ z9 | > π4  fba r = π4 = T9 

z 43

Nöhumb G - _agh`h 8

 

N`tonàtgf` H

 

Fbnb z os gatorgbr `m `agmmb hotornga`hb pbr m`s fgrfuacoroafg`s  F 0 y

F4  y c(w) os `a`mîtgf` sbdro

hgfl`s furv`s y oa m` rokgöa mgngt`h` pbr omm`s, pbhonbs utgmgz`r om rosumt`hb bdtoaghb oa m` `ftgvgh`h 09 ho m` uagh`h 6 , quo abs `sokur` quo5 5

c ( z ) >

0 c ( w ) 0 c ( w )   hw     hw   (lonbs f`ndg`hb z9 pbr z y z pbr w) ∪   ∪ 4ωg F0 w ∔ z   4ωg F4 w ∔ z

` p`rtgr ho `quî tr`d`e`nbs fbnb oa m` honbstr`fgöa ho m` sorgo ho X`ymbr, os hofgr sun`nbs y rost`nbs z9 oa mbs hoabnga`hbros, bdtoagoahb5

c ( z ) >

0 c(w) 0 c(w)   hw     hw   ∪ ∪ 4ωg F0 (w - z 9 ) - (z  - z 9 ) 4ωg F4 (w - z 9 ) - (z - z 9 )

`lbr` s`f`nbs c`ftbr fbnõa  (w - z9) hom hoabnga`hbr ho m` prgnor` y s`f`nbs c`ftbr fbnõa   (z -z9) hom hoabnga`hbr ho m` sokuah`, bdtoagoahb5

c ( z ) >

0   4ωg ∪F0

c(w) 

(w - z 9 )0 

z - z9    w - z 9 

hw + 

0   4ωg ∪F4

c(w) hw    w - z9  (z - z 9 )0   z - z9 

Ngr`ahb ost`s gatokr`mos hosfudrgnbs quo uab hgvghghb mbs fbrflotos so fbrrospbahoa fba m` sun` ho ua` sorgo kobnçtrgf`, oa m` prgnor` gatokr`m   om nöhumb ho su r`zöa os  

z ∔ z9 T9 > = 0   y oa m` sokuah` om nöhumb ho su r`zöa os w ∔ z 9 π0

w ∔ z9 π4 = 0 , pbr mb t`atb  > z ∔ z9 Tb

`nd`s oxprosgbaos so puohoa roonpm`z`r pbr sorgos kobnçtrgf`s fbavorkoatos , bdtoagoahb5 a

a

    z - z 9      w - z 9   0 c(w) ∑      hw   c ( z ) >   hw +       0 4 F F a >9  a >9    w - z 9       z - z 9   4ωg ∪ (w - z 9 )  ∐ 4ωg ∪ (z - z 9 ) ∐

0

c(w)

∑

fbnb oa m` honbstr`fgöa hom tobron` ho X`ymbr, auov`noato puoho honbstr`rso quo hgfl`s sorgos sba uagcbrnonoato fbavorkoatos y quo m`s cuafgbaos quo numtgpmgf`a hgfl`s sorgos ostàa `fbt`h`s sbdro m`s furv`s ho gatokr`fgöa, pbr mb t`atb puoho us`rso quo m` gatokr`m ho ua` sorgo os gku`m ` m` sorgo ho m`s gatokr`mos, bdtoagoahb5

c ( z ) >

∑

(z ∔ z )

a

0

 

c(w)

hw +

∑

( z ∔ z ) ∔ ( a + 0)

0

c(w) (w - z ) a hw  

∐ a 9

4ωg ∪F0 (w - z 9 ) a +0  

9

>

(mbs c`ftbros (z- z9)

∐   a 9

9

>

4ωg ∪F4

9

a

  y (z - z9)-(a+0) ab hopoahoa ho w , pbr ommb mbs s`f`nbs `cuor` ho m` gatokr`m)

sg mm`n`nbs

y d a +0 > 0 F c(w) (w - z 9 ) a hw > 0 F   ` a > 40ωg ∪F0 ( w ∔c(w) 4ωg ∪ 4 4ωg ∪ 4 ( w c(w)   ∔ z 9 ) -a hw   z 9 ) a +0 hw  

4;

Nöhumb G - _agh`h 8

   

N`tonàtgf` H

 

hbaho oa ost` õmtgn` os gnpbrt`ato bdsorv`r quo

0 c(w) 0 c(w) d a > 4ωg ∪F4 ( w ∔ z 9 ) -(a-0) hw   > 4ωg ∪F4 ( w ∔  z 9 ) -a +0 hw   ∑

oatbafos

∑

c ( z ) > ∐ ( z ∔ z 9 ) `  a  + ∐ ( z ∔ z 9 ) ∔(a +0) d a+0  , a

a >9

a>9

sg oa ost` sokuah` sorgo f`ndg`nbs a pbr a -0 , bdtoaonbs5 ∑

 

c ( z ) > ∐ ( z  ∔ z 9 ) ` a + a >9

a

∑

( z ∔ z 9 ) a d a , quo os oqugv`moato ` mb quo quorî`nbs honbstr`r. ∐ a -0 9 ∔

>

Vömb quoh` pbr vor quo mbs fbocgfgoatos `a  y da puohoa bdtoaorso gatokr`ahb sbdro ua` furv` F , fbatoagh` oa om `agmmb ho `a`mgtgfgh`h y ab sbdro m`s furv`s F0  y F4, porb ostb mb hoe`nbs fbnb ua` `ftgvgh`h p`r` om `munab.

⊟ Bdsorv`fgöa sbdro m`s sorgos ho X`ymbr y M`uroat 0-  Vg

c(z) os `a`mîtgf` oa z9 , os hofgr os `a`mîtgf` oa ua fîrfumb `dgortb foatr`hb oa z9 ho r`hgb T  ⇔  c(z) puoho hos`rrbmm`rso oa sorgo ho pbtoafg`s pbsgtgv`s ho (z - z9 )  (sorgo ho X`ymbr) y hgfl` sorgo fbavorko y roprosoat` ` c(z) oa | z - z9| = T

c(z)  os `a`mîtgf` oa ua `agmmb `dgortb  foatr`hb oa  z9 , os hofgr sg c(z)  os `a`mîtgf` oa r = | z - z9| = T  ⇔  c(z) puoho hos`rrbmm`rso oa sorgo ho pbtoafg`s pbsgtgv`s y/9 aok`tgv`s ho (z - z9 ) (sorgo ho M`uroat) y hgfl` sorgo fbavorko y roprosoat` ` c(z) oa r = | z - z9| = T

4- Vg

  Oeonpmbs

Mbs fbocgfgoatos ho m` sorgo ho M`uroat ab so suomoa dusf`r f`mfum`ahb m`s gatokr`mos quo hocgaoa ` `a  y da , sgab pbr btrbs nçtbhbs quo so oxpmgf`a oa mbs sgkugoatos oeonpmbs y ostb so hodo ` quo, fbnb bfurro fba m` sorgo ho X`ymbr, tbh` sorgo fbavorkoato ho pbtoafg`s pbsgtgv`s y aok`tgv`s os m` sorgo ho M`uroat ho m` cuafgöa sun` y pbr mb t`atb os õagf`.

"p`r` hos`rrbmm`r ua` cuafgöa oa sorgo ho M`uroat so oxgko quo m` cuafgöa so` `a`mîtgf` oa ua `agmmb, sg om `agmmb ostà foatr`hb oa z9  oatbafos m` Os nuy gnpbrt`ato toaor oa fuoat` quo5