Marco Teorico PID y Conclusion

CONTROLADORES El controlador es un elemento en el sistema de lazo cerrado que tiene como entrada la señal de error y produce una salida que convierte en la entrada al elemento correctivo. La relación entre la salida y la entrada al controlador con frecuencia se denomina ley de control. Existen tres formas de dicha ley: proporcional, integral y derivativo. CONTROL PROPORCIONAL Con el controlador proporcional la salida del controlador es directamente proporcional a su entrada; la entrada es la señal de error, e, la cual es una función del tiempo. De esta manera

Salida=K p e donde

Kp

es una constante llamada ganancia proporcional. La salida del controlador

depende solo de la magnitud del error en el instante en el que se considera. La función de trasferencia

Gc (s)

para el controlador es por lo tanto

Gc ( s ) =K p El controlador es, en efecto, solo un amplificador con una ganancia contante. En cierto tiempo, un erro grande produce una salida grande al controlador. La ganancia constante, sin embargo, tiende a existir solo sobre cierto rango de errores que se conoce como banda proporcional. Una grafica de la salida contra el error seria una línea recta con pendiente de

Kp

en la banda proporcional (Figura 1).

Figura 1. Gráfica de la salida contra el error de un controlador proporcional

Figura 2. Respuesta de salida para un controlador proporcional en base a la

entrada escalón

Debido a que la salida es proporcional a la entrada, si la entrada al controlador es un erro en la forma de un escalón, entonces la salida es también un escalón, y es exactamente una versión a escala de la entrada (Figura2). El control proporcional es sencillo de aplicar, en esencia solo se requiere alguna forma de amplificador; el control proporcional es de la forma que se describe en la Figura 3. El resultado es una función de transferencia de lazo abierto de

Go ( s )=K p G p (s ) donde

G p (s) es la función de transferencia de la planta. El controlador no introduce

nuevos ceros o polos al sistema, solo determina la ubicación de los polos en lazo cerrado. Esto se debe a que la función de transferencia en lazo cerrado es con el controlador, y la realimentación unitaria es

G ( s )=

K p G p (s ) 1+ K p G p (s)

y de esta manera, la ecuación característica afectados por

(1+ K p G p ( s ) )

tiene los valores de sus raíces

Kp .

Figura 3. Sistema de control proporcional

CONTROL INTEGRAL

Figura 4. Sistema de control integral

Con el control integral la salida del controlador es proporcional a la integral de la señal de error e con el tiempo, es decir t

Salida=K i∫ e dt 0

donde

Ki

es la constante denominada ganancia integral. Esta tiene unidades de

s−1 .

La Figura 5 muestra que pasa cuando el error es de la forma de un escalón. La integral entre 0 y t es, de hecho, el área bajo la grafica de error entre 0 y t. Así, debido a que después de que el error comienza, el área se incrementa en una razón regular, la salida del controlador se debe incrementar en una razón regular. La salida en cualquier tiempo es, entonces, proporcional a la acumulación de los efectos de los errores pasados.

Figura 2. Respuesta de salida para un controlador integral en base a la entrada escalón

Al tomar la transformada de Laplace de la ecuación anterior da por resultado la función de transferencia, para el controlador integral de

Gc ( s ) =

Salida(s) K i = e (s) s

Una ventaja del controlador integral es que la introducción de un término s en el denominador incrementa el tipo de sistema en 1. De esta manera, si el sistema hubiera sido de tipo 0, el erro en estado estable que se habría presentado con la entrada escalón desaparecería cuando se presentara el control integral. Una desventaja de control integral es que el término

( s−0 ) en el denominador significa que se ha introducido un polo en el

origen. Puesto que no se introducen ceros, la diferencia entre el numero de polos n y de ceros m se incrementa en 1. Una consecuencia de lo anterior que los ángulos de las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces decrecen, es decir, estas apuntan más hacia el semiplano derecho del plano s y, de este modo, se reduce la estabilidad relativa.

CONTROL DERIVATIVO

Figura 6. Respuesta de salida para un controlador derivativo

en base a la entrada de error en forma de rampa

Con la forma derivativa del controlador, la salida del controlador es proporcional a la razón de cambio con el tiempo del error e, es decir

Salida=K d donde

Kd

de dt

es la ganancia derivativa y tiene unidades de s. La Figura 6 muestra que pasa

cuando hay un error de entrada de rampa. Con el control derivativo, tan pronto como la señal de error inicia puede haber una salida del controlador muy grande, puesto que esta es proporcional a la razón de cambio de la señal de error y no a su valor. De este modo puede proporcionar una acción correctiva grande antes de que se presente un error grande en realidad. Sin embargo, si el error es constante entonces no hay acción correctiva, aun si el error es grande. Así, el control derivativo es insensible a señales de error constantes o que varían con lentitud y, en consecuencia, no se usa solo, sino combinado con otras formas de controlador. Al tomar la transformada de Laplace de la ecuación anterior resulta, para el control derivativo, una función de transferencia

Salida(s)/e ( s)

Gc ( s ) =K d (s) Por lo tanto, para el sistema en lazo cerrado que muestra la Figura 7, la presencia del control derivativo produce una función de transferencia en lazo abierto de

G ( s )=

K d s G p ( s) 1+ K p s G p (s)

Si la planta es de tipo 1 o mayor, entonces la aplicación de la acción derivativa es para cancelar una

s

en el denominador y así reducir el orden en 1. No obstante, como antes

se mencionó, la acción derivativa no se usa sola sino sola en conjunto con otra forma de controlador. Cuando se usa esta acción de control se logra que la respuesta sea más rápida.

Figura 7. Sistema de control derivativo

CONTROL PID

Figura 7. Sistema de control PID

El control proporcional integral derivativo (PID), mejor conocido como controlador de tres términos, con un sistema de la forma que se ilustra en la Figura 8 dará una salida, para una entrada de error

e , de t

Salida=K p e+ K i ∫ e dt+ K d 0

La función de transferencia,

de dt

Salida(s)/e (s) , del controlador es, de esta manera

Gc (s)=K p +

Ki + Kd s s

Debido a que la constante de tiempo integral derivativa

τd ,

K d /K p

τ i , es

K p/ Ki

y la constante de tiempo

la ecuación [e] se puede escribir como

(

G c (s)=K p 1+

(

Ki Kd s + Kps Kp

Gc (s)=K p 1+

1 +τ s τi s d

)

)

La función de transferencia en lazo abierto para el sistema de la Figura 6 es

(

Go ( s )=G c ( s ) G p ( s )−K p 1+

1 +τ s G p ( s ) τis d

)

K p (τ i s +1+τ i τ d s2 )G p ( s ) G o ( s )= τi s

De este modo, el controlador PID ha incrementado el número de ceros en 2 y el número de polos en 1. También el factor

1/s

incrementa el tipo de sistema en 1.

IMPLANTACION DE LAS LEYES DE CONTROL En sistemas de control eléctricos con frecuencia se usan amplificadores operacionales como la base para generar las leyes de control requeridas. La forma básica de conexión sucede cuando se conecta dicho amplificador como si fuera a usarse como un amplificador inversor. A continuación se muestra una tabla de referencia para las diferentes configuraciones del amplificador operacional con las que se puede obtener cada una de las leyes de control.

TIPO DE CONTROL

ARREGLO DE AMPLIFICADOR OPERACIONAL

FUNCION DE TRANSFERENCIA

Proporcional

Integral

Derivativo

K p=

K i=

−R 2 R1

−1 R1 C 1 s

K d =−R 1 C 1 s

CONCLUSION Vázquez Rodríguez Erivan Israel. De la presente practica concluyo que la implementación del controlador PI propuesto ayudó a que el voltaje a la salida se mantuviera estable y con las valores deseados esperados. Se pudo observar que a la salida del mismo aparecían pequeños picos de voltaje que se debían a los cambios bruscos en la frecuencia del PWM analógico que se implementó. No obstante y en general, se observó que la salida se mantuvo estable y que no presentaba ningún tipo de perturbación alguna. Esta práctica me ayudo para poner a prueba los conocimientos vistos en las materias anteriores de Amplificadores Operacionales y las materias de Control. En si, esto es de gran ayuda porque al implementar ambos conocimientos juntos, nos ayuda a llevar a la práctica aplicaciones reales tales como el control de un convertidor elevador Boost que fue el que se empleó es esta ocasión. Las simulaciones, los ejercicios realizados en clase y los programas realizados en MATLAB para los cálculos propios de los elementos electrónicos involucrados (resistencias y capacitores) fueron punto clave para lograr los resultados deseados. Los conocimientos adquiridos y las herramientas empleadas en esta práctica no solo serán útiles aquí, sino también para analizar el comportamiento de otros sistemas donde el control puedas ser aplicado y así hacer el diseño del control mismo acorde a nuestra conveniencia y para los propósitos específicos que se desee implementar dicho control.