MARCO TEÓRICO Fuerzas Sumergidas

 

 MARCO TEÓRICO Cuando el cuadrante se sumerge en agua, es posible analizar las fuerzas que actúan sobre la cara sumergida del cuadrante de la siguiente manera: La fuerza hidrostática, hidrostática, en cualquier pu punto nto de la curva e es s normal a la cara de la superficie y por lo tanto resuelve a través del punto de pivote porque este se encuentra en el eje de los radios Las !uerzas hidrostáticas en la parte superior  e inferior de la superficie curvada no tienen efecto neto, ni afecta el equilibrio de la balanza es decir, porque todas estas fuerzas pasan a través del pivote Las fuerzas en los lados del cuadrante son horizontales y se anulan porque son iguales y contrarias La fuerza hidrostát hidrostática ica en la cara sume sumergida rgida vert vertical ical es contra contrarresta rrestada da por el equili equ ilibri brio o del pes peso o La fue fuerza rza hidr hidrost ostáti ática ca resu resultan ltante te en la cara

pue puede de ser 

calculada a partir del valor del peso y el equilibrio de la profu profundidad ndidad del agua agua como sigue: Cuando el sistema está en equilibrio, los momentos sobre el punto de giro son iguales mgL = Fh

"#nde:

m = es la masa en la percha de peso g $ es la l a aceleraci#n de la gravedad L $ es la longitud del brazo de equilibrio F = es el empuje hidrostático h $ es la distancia entre el eje y el centro de presi#n %or lo tanto calculando calculando el empuje hidrostático y el centro de presi#n e en n la cara fr fro onta ntal

del

cu cua adrant rante, e,

e&perimentales '()

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y

 

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS PL ANAS SUMERGIDAS Los muros de contenci#n que aparecen en las figuras a y b son ejemplos clásicos de paredes rectangulares e&puestas a una presi#n que var*a desde cero, en la superficie del fluido, a un má&imo en el fondo de la pared La fuerza ejercida por la presi#n del fluido tiende a hacer girar la pared o romperla en el sitio en que está fija al fondo

Fig.1 Pared vertical. Fuente: Mecánica de fluidos, Robert Mott, 6ta edición

La fuerza real se distribuye sobre toda la pared, pero para el prop#sito del análisis es deseable determinar la fuerza resultante y el lugar en que actúa, el cual se denomina centro de presi#n +s decir, si toda la fuerza se concentrara en un solo punto d#nde estar*a éste y cuál ser*a la magnitud de la fuerza-

Fig. 2 Distribución de la presión sobre el uro vertical de contención. Fuente: Mecánica de fluidos, Robert  Mott, 6ta edición

 

Como lo indica la ecuaci#n

  ∆ p= yh

, la presi#n varia en forma lineal .a la

manera de una l*nea recta/ con la profundidad del fluido Las longitudes de las flechas punteadas representan la magnitud de la presi#n del fluido en puntos diferentes sobre muro Como :  F   PA A  P=  → F = P    A

 P y =

 df   → df = P y dA dA

df   = =( P0 +γ f   y ) dA

( ¿ P + γ f   y )dA  F  R=∫ ¿ 0

∫ γ    ydA  F  = P ∫ dA + γ  ∫  ydA ∫

 F  R=  P0 dA +  R

f 

f 

0

 "rea total 

Prierr oento Prie oento

 F  R= P 0 A + γ f  ´ y  yde A área  P

¿

 y ¿ 0 + γ f  ¿´   .(/

¿  F  R =¿

Presió Pre sión n a la profun profundid didad  ad  del centroide

"ebido a que la presi#n varia en forma lineal, la fuerza resultante total se calcula por medio de la ecuaci#n:  F  R= p prom × A

"onde

 p prom

 es la presi#n promedio y

  .(/  A

 el area total del muro %ero la

presi#n promedio es la que se ejerce en la mitad del muro, por lo que se calcula por medio de la ecuaci#n:  p prom= y ( h / 2)   "onde ! es la profundidad total del fluido

 

%or tanto, tenemos  Fr = y ( h / 2 ) A   La distribuci#n de la presi#n mostrada en la figura 0 indica que sobre la parte inferior de la pared actúa una porci#n de fuerza mayor que sobre la parte superior +l centro de presi#n está en el centroide del triángulo de distribuci#n de la presi#n, a un tercio de la distancia desde el fondo de la pared +n ese punto, la fuerza resultante Fr actúa en forma perpendicular a la pared

FUERZAS EN ÁREAS PLANAS SUMERGIDAS "efinimos la fuerza resultante como la suma de fuerzas sobre los elementos peque1os de interés La figura 2 ilustra este concepto +n realidad, la forma del área es arbitraria +n cualquier área peque1a   dA  e&iste una fuerza dF    que actúa de modo perpendicular al área, debido a la presi#n  p del fluido %ero la magnitud de la presi#n a cualquier profundidad ! en un l*quido estático de  P= γh peso espec*fico y es . +ntonces, la fuerza es dF = P ( dA )= yh ( dA )

 .0/

"ebido a que el área esta inclinada con un ángulo

θ

, es conveniente trabajar 

en su plano y usar # para denotar la posici#n sobre el área a cualquier profundidad   h . 3bserve que h = y sen θ

"onde

 y

.2/

 se mide a partir del nivel de la superficie libre del fluido, a lo largo

del ángulo de inclinaci#n del área +ntonces, dF = γ ( y senθ ) ( dA )  .4/ La suma de las fuerzas en toda la superficie se obtiene por medio del proceso matemático de integraci#n,

 

❑

❑

❑

 A

 A

 A

senθ θ )( dA )= γ sen sen θ∫  y ( dA ) ∫ dF =∫ γ ( y sen

 F  R=

Fig. $. Desarrollo del procediiento general para las fuer%as sobre áreas planas suergidas. Fuente: Mecánica de fluidos, Robert Mott, 6ta edición

"e la mecánica se sabe que

∫ y ( dA )

 es igual al producto del área total por

la distancia al centroide del área desde el eje de referencia +s decir: ❑

∫ y ( dA )= L  A C 

 A

%or tanto, la fuerza resultante

 F  R

 es

 F  R= γ sen sen θ ( LC  A )

.5/

h = L senθ

 6hora, al hacer la sustitucion

c

C 

 F  R= γ h c A

 encontramos que  .7/

+l centro de presión es el punto sobre el área donde se supone que actúa la fuerza resultante, en forma tal que tiene el mismo efecto que la fuerza distribuida en toda el área debido a la presi#n del fluido +ste efecto se e&presa en términos del momento de una fuerza con respecto de un eje, a través de & perpendicular a la página

 

8ea 8e a la figura 2 +l momento de cada fuerza peque1a

dF 

 con respecto a

dicho eje es: dM = dF∙ y %ero

dF = γ ( y sen θ )( dA )

. +ntonces, 2

dM = y [ γ ( y sen θ )( dA )]= γ senθ ( y dA )

%odemos encontrar el momento de todas las fuerzas sobre el área total integrando toda el área 6hora, si suponemos que la fuerza resultante

 Fr

 

actúa +ntonces, 2 2  F  R L p= γ senθ ( y dA )= γsenθ ( y dA )

∫

∫

3tra vez, de la mecánica se sabe que el momento de inercia

 I 

 de toda el  y

¿

área con respecto al eje desde el que se mide

 y , se define como

( ¿ 2 dA ¿ ) ¿

∫¿ +ntonces,  F  R L p=γs γsen en θ ( I )

 6l despejar para

 L p=

 L p

obtenemos

γsenθ ( I )  F  R

 F  ,

 6l sustituir

 R

de acuerdo con la ecuaci#n .5/ tenemos  L p=

  γsen γsen θ ( I )   I  = γ senθ ( LC  A )  LC  A

  .9/

i manejamos el teorema de transferencia del momento de inercia logramos desarrollar una e&presi#n más conveniente +sto es , 2  I = I C + ALc

 

"onde

 I C 

es el momento de inercia del area de interes con respecto de su

propio eje centroidal, y

 LC 

 es la distancia del eje de referencia al centroide

 6s*, la ecuaci#n .9/ se convierte convierte en 2  I C + ALc   I C    I   L p= + LC    .;/  = =  LC  A  LC  A  LC  A