MÁQUINAS DE FLUXO - João Roberto Barbosa

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA

Centro de Referência em Turbinas a Gás

MTM-01 MÁQUINAS DE FLUXO

Rotor da turbina TAPP – turbina axial

João Roberto Barbosa

2013

MÁQUINAS DE FLUXO NOTAS DE AULAS - 2013

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APRESENTAÇÃO

As Notas de Aula de MÁQUINAS de FLUXO e o Caderno de Laboratório de Máquinas de Fluxo, que apresentam um resumo da teoria e os roteiros de aulas de Laboratório, são distribuídas aos alunos do curso Máquinas de Fluxo do ITA para servirem de guia de estudo e de práticas de laboratório. A profundidade de tratamento dos temas de Máquinas de Fluxo, em apenas um semestre, não é suficiente para sanar todas as dúvidas que possam surgir, mesmo no decorrer do curso. É essencial referir-se a bibliografias específicas, como as sugeridas mais adiante. As Notas de Aula de MÁQUINAS de FLUXO têm sido revistas em decorrência do andamento do curso e de sugestões dos alunos. Neste ano optou-se pelo retorno à forma expandida das Notas de Aulas, que ultimamente estavam sendo apresentadas em forma simplificada (slides para projeção em sala de aula). Para facilitar o aluno na escolha de referência suplementar, uma lista de referências bibliográficas é sugerida. A contribuição do leitor para o aprimoramento destas Notas de Aula de MÁQUINAS de FLUXO, bem como do Caderno de Laboratório de Máquinas de Fluxo, é apreciada.

João Roberto Barbosa, janeiro de 2013.

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Máquinas de Fluxo 2013

CONTEÚDO

Classificação. Campo de aplicação. Equações fundamentais. Transformação de energia. Semelhança. Grupos adimensionais característicos, especificações. Teoria da asa de sustentação e sua aplicação às máquinas de fluxo. Cavitação. Elementos construtivos. Características de funcionamento. Anteprojeto.

CARGA HORÁRIA (semanal)

2 aulas teóricas e 1 aula de exercícios 2 aulas de laboratório (dadas pelo Prof. Jesuíno Takachi Tomita) 5 horas de estudo individual

Bibliografia HYDRAULIC AND COMPRESSIBLE FLOW TURBOMACHINES, SAYERS, A. T., McGraw Hill Book Co Ltd, 1990. MÁQUINAS DE FLUXO, BARBOSA, J. R., NOTAS DE AULA, ITA, 2013

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OBJETIVO GERAL

Estudar o funcionamento das máquinas de fluxo através das leis básicas da termodinâmica e da mecânica de fluidos, bem como de dados experimentais, distinguindo os diferentes tipos de máquinas e suas aplicações específicas. Os conhecimentos adquiridos serão adequados para seleção bem como para realização do anteprojeto de uma máquina de fluxo para uma determinada aplicação.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Ao término do estudo de cada capítulo o leitor deverá ser capaz de:

Capítulo 1- INTRODUÇÃO  Descrever uma máquina de fluxo  Classificar as diferentes máquinas de fluxo segundo critérios apropriados  Discorrer sobre as diferentes aplicações das máquinas de fluxo

Capítulo 2 - PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO  Ressaltar a importância do estabelecimento de modelos físicos e matemáticos para descrever os diversos fenômenos que ocorrem numa máquina de fluxo e descrever os modelos que serão utilizados neste curso  Definir os elementos e os parâmetros com os quais se montam as equações de conservação e as suas unidades SI (fluxo, superfícies, elemento de superfície, quantidade de movimento, vazão, temperaturas e pressões estáticas e de estagnação, etc.)  Escrever as equações gerais, as simplificações convenientes ao estudo das máquinas de fluxo e identificar cada termo dessas equações.  Indicar quando e sob quais condições as equações nas formas integrais e diferenciais são utilizadas.  Associar as equações desenvolvidas com o uso de CFD para a obtenção de soluções numéricas.  Obs.: No Anexo 1 é feita a dedução detalhada das equações de conservação.

Capítulo 3 - PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO APLICADOS ÀS MÁQUINAS DE FLUXO  Mostrar como funcionam e como são construídas as máquinas de fluxo, definindo seus principais elementos construtivos.  Descrever os componentes principais de uma máquina de fluxo, suas diferentes representações gráficas, e como neles são operadas as transformações de energia.  Analisar as propriedades do escoamento em locais da máquina de fluxo que são importantes para o estudo de seu funcionamento.

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 Apresentar os triângulos de velocidades e indicar como são obtidas as propriedades do escoamento apropriadas para o estudo de seu funcionamento..  Explicar as alterações de funcionamento das máquinas de fluxo fora do ponto de projeto.  Identificar as variáveis envolvidas na modelação do funcionamento de máquinas de fluxo (do fluido, da instalação, de controle).  Identificar as aproximações que são adotadas no caso de se considerar o escoamento 1-D e desenvolver as equações apropriadas ao pré-dimensionamento das máquinas de fluxo (Bernoulli, Euler, etc.).  Escrever e saber o campo de aplicação das equações de Bernoulli e de Euler, para rotores e estatores, para escoamentos compressíveis e incompressíveis.  Aplicar as equações de conservação a máquinas axiais, radiais e de fluxo misto.  Calcular o torque e a potência nas máquinas de fluxo.  Definir Grau de Reação e associá-lo a formas construtivas das máquinas de fluxo.

Capítulo 4 - MÁQUINAS DE FLUXO REAIS  Explicar as diferenças entre as condições de funcionamento de u’a máquina ideal e de u’a máquina real.  Analisar as perdas em processos reais aplicáveis a máquinas de fluxo.  Identificar as diferenças entre as teorias da pá isolada e da grade. Calcular os diversos parâmetros relacionados às máquinas de fluxo.  Selecionar tipos de pás para as máquinas de fluxo e calcular o seu empalhetamento (montagem das grades).  Descrever as equações aplicáveis a escoamentos compressíveis em máquinas de fluxo.

Capítulo 5 - DESEMPENHO DAS MÁQUINAS DE FLUXO  Definir o conjunto das variáveis que afetam o desempenho das máquinas de fluxo e classificálos (do fluido, da máquina e de controle).  Definir desempenho de uma máquina de fluxo, enumerando os parâmetros de desempenho importantes.  Obter os parâmetros de desempenho a partir da teoria adimensional.  Calcular o desempenho num modelo real a partir de informações de ensaios de modelos.  Selecionar o tipo de máquina (radial, axial, misto) em função da velocidade característica.

Capítulo 6 - CARACTERÍSTICAS DE ALGUMAS MÁQUINAS DE FLUXO  Descrever as características principais de alguns tipos de máquinas de fluxo e calcular suas dimensões principais (bombas e ventiladores centrífugos, axiais e de fluxo misto; turbinas hidráulicas Pelton, Francis, Kaplan, etc.).

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Capítulo 7 - CAVITAÇÃO  Explicar o fenômeno da cavitação em máquinas de fluxo e as implicações

no seu

desempenho.  Utilizar modelos de cálculo de cavitação.

Capítulo 8 - INSTALAÇÕES HIDRÁULICAS. SELEÇÃO DE BOMBAS E VENTILADORES  Especificar o tipo de máquina ou de máquinas mais adequados a uma determinada aplicação.  Calcular os parâmetros de funcionamento de bombas em série e em paralelo.  Dimensionar circuitos hidráulicos utilizáveis em aplicações com máquinas de fluxo.  Calcular a variação de desempenho de uma máquina de fluxo em função da sua rotação e de suas dimensões geométricas.

Capítulo 9 - PARÂMETROS CONSTRUTIVOS  Escolher perfis aerodinâmicos para a máquina.  Calcular a geometria básica das grades do estágio padrão.  Indicar como avaliar o desempenho da máquina projetada para fazer alteração no projeto realizado.

Capítulo 10 – EQUILÍBRIO RADIAL  Descrever o equilíbrio radial e a sua importância no estudo das máquinas axiais.  Calcular o perfil de velocidades axiais à entrada e à saída de uma grade.

Capítulo 11 – ANTEPROJETOS  Desenvolver anteprojetoS de máquinas de fluxo (ventilador centrífugo, turbina pelton).

Além desses objetivos, pretende-se que o aluno desenvolva, durante o curso, uma atitude responsável de estudo, de pesquisa e de dedicação, uma atitude crítica que o leve a refletir sobre os conteúdos aprendidos e sua importância para a sua futura atuação como engenheiro, bem como uma atitude positiva para o prosseguimento de seus estudos das máquinas de fluxo. A prática da disciplina consciente é fundamental para se atingirem os objetivos do curso. Uma relação de confiança será naturalmente construída. Dada a metodologia adotada, é recomendável que o aluno, antes de cada aula, leia as notas de aula e medite sobre os temas a serem discutidos, consultando, sempre que possível, a bibliografia adicional.

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MÁQUINAS DE FLUXO NOTAS DE AULAS - 2013 METODOLOGIA

 Aulas expositivas (precedidas por período de leitura individual das notas de aulas) e demonstrativas (usando partes de algumas máquinas comuns) integradas, a fim de que o aluno possa melhor compreender os modelos matemáticos adotados.  Leitura, pelos alunos, de bibliografia recomendada.  Resolução de exercícios, em classe e em casa, para reforçar a compreensão dos assuntos trabalhados em classe.  Laboratórios quinzenais, com relatórios individuais - mesmo que as experiências forem em grupos - corrigidos e avaliados.  Visitas técnicas a instalações de máquinas hidráulicas.  Orientação individual, por iniciativa do aluno.  Participação (eventual) em projetos em curso no Departamento de Turbomáquinas.  Anteprojetos de máquinas de fluxo, realizado em sala de aula, com a participação dos alunos.

AVALIAÇÃO  Avaliações bimensais através de provas escritas, com notas P1, P2.  Observação do trabalho do aluno em classe, inclusive quando da resolução de séries de exercícios.  Realização de experiências em Laboratórios quinzenais, com médias bimensais M1 e M2. As médias bimensais serão calculadas por média ponderada das notas de Prova e de Laboratório, com pesos 0,50 e 0,50 respectivamente.

CRONOGRAMA PARA 2013 - primeiro semestre aulas às 3as -feiras, das 8h às 9h e às 5as -feiras, das 8h às 10h mês semana dia capítulos mês semana abril 1 fevereiro 1 26 maio 2 março 2 5 3 3 12 4 4 19 5 5 26 junho 6 abril 6 2 P1 7 7 9 8 8 16 recup 22-26 exame

dia 30 7 14 21 28 4 11 18 25

capítulos

P2

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2013 BIBLIOGRAFIA HYDRAULIC AND COMPRESSIBLE FLOW TURBOMACHINES, SAYERS, A. T., Mcgraw Hill Book Co Ltd, 1990. MÁQUINAS DE FLUXO, BARBOSA, J. R., NOTAS DE AULA, ITA, 2013 OUTRAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

referências

ano

1

NASA SP-36 - Aerodynamic Design of Axial Compressors, Diversos Autores

1956

2

THEORY OF WING SECTIONS - Abbott e Doenhoff, Dover Publications Inc.

1959

3

BOMBAS CENTRÍFUGAS E TURBOCOMPRESSORES, – Carl Pfleiderer, LTC

1964

4

THEORY OF TURBOMACHINES - G. T. Csanady, Mac Graw-Hill Book

1964

5

MÁQUINAS DE FLUXO – Carl Pfleiderer, LTC

1972

6

FANS, B. Eck

1973

7

MECÁNICA DE FLUIDOS Y MÁQUINAS HIDRÁULICAS, C. Mataix, Ediciones Del Castillo S. A.

1977

8

COMPRESSORES, E.C. COSTA

1978

9

MÁQUINAS DE FLUXO, C. Pfleiderer e H. Petermann, Livros Técnicos e Científicos

1979

10

FLUID MECHANICS - Douglas, Gasivorek e Swaffield, 2a edição, Longman

1985

11

CENTRIFUGAL PUMP HANDBOOK, Sulzer

1987

12

NUMERICAL COMPUTATION OF INTERNAL AND EXTERNAL FLOWS - Hirsh, Wiley Interscience Publication, John Wiley & Sons

1988

13

HYDRAULIC AND COMPRESSIBLE FLOW TURBOMACHINES, Sayers, A. T. Mcgraw Hill Book Co Ltd.

1990

14

FLUID DYNAMICS : THEORETICAL AND COMPUTATIONAL APPROACHES Warsi, CRC Press

1992

15

TURBOMÁQUINAS TÉRMICAS, Cláudio Mataix, Ediciones Del Castillo S. A.

1993

16

FUNDAMENTALS OF GAS TURBINES, Bathie

1996

17

COMPRESSOR AERODYNAMICS, N.A. Cumpsty, Longman

1998

18

FLUID MECHANICS AND THERMODYNAMICS OF TURBOMACHINERY, S L Dixon

2005

19

GAS TURBINE THEORY, Saravanamuttoo, H. I. H., Rogers, G. F. C., Coohen, H. and Straznicky, P. V., 6a edição, Prentice Hall.

2009

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INTRODUÇÃO Os objetivos deste capítulo são:  Apresentar definições de uso corrente em estudo de máquinas de fluxo.  Apresentar os princípios (leis) da natureza a que se recorre para o estudo de máquinas de fluxo.  Apresentar as classificações das máquinas de fluxo em função dos critérios mais comumente utilizados.  Apresentar esquemas de algumas instalações de máquinas de fluxo.  Apresentar esquemas, figuras, cortes, fotos, etc. de algumas máquinas de fluxo a título de ilustração.

Máquina de Fluxo é a máquina que transfere energia entre um fluido se escoando continuamente e um elemento girando em torno de um eixo fixo. As máquinas de fluxo estão nas indústrias militar, aeronáutica, aeroespacial, automotiva, naval e de geração de energia com alta eficiência.

Bombas são equipamentos utilizados em muitas instalações residenciais e industriais. Equipamentos de bombeamento são de diversos tipos tamanhos e atendem inúmeras necessidades. Turbinas são utilizadas em muitas aplicações industriais. Ventiladores e compressores são, também, encontrados em residências e indústrias, de tamanhos que vão de alguns centímetros de diâmetro até muitos metros. Todas essas máquinas têm em comum da movimentação contínua de fluido (água, ar, gases).

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São usualmente chamadas de máquinas de fluxo devido a essa particularidade.

Neste curso serão consideradas apenas as máquinas em que o fluido está sempre delimitado pelos seus elementos constitutivos e, portanto, o escoamento é controlado pelos canais formados por esses elementos.

Com relação às máquinas de fluxo: Bombas - equipamentos utilizados em muitas instalações residenciais e industriais. Equipamentos de bombeamento - de diversos tipos tamanhos e atendem inúmeras necessidades. Turbinas - utilizadas em muitas aplicações industriais. Ventiladores e compressores - encontrados em residências e indústrias, de tamanhos que vão de alguns centímetros de diâmetro até muitos metros. Todas essas máquinas têm em comum a movimentação contínua de fluido (água, ar, gases). São usualmente chamadas de máquinas de fluxo devido a essa particularidade.

Está-se interessado, de um modo geral, em transformação de energias: a) energia mecânica em energia de fluido b) energia de fluido em energia mecânica

Este curso é destinado a preparar o aluno para projeto de máquinas de fluxo. Entretanto, trata apenas do dimensionamento das grades dessas máquinas, preocupando-se somente com a obtenção de uma geometria básica, cujo aperfeiçoamento deve ser procurado com vistas a otimizar desempenho. Os conceitos de mecânica dos fluidos são revistos e obtidos modelos físicos e matemáticos na forma apropriada.

A Lei (ou princípio) da conservação e transformação de energia é uma das leis fundamentais da natureza. É de caráter geral. Estabelece que, sem alteração da estrutura da matéria, a energia não é criada nem destruída, mas, sim, passa de uma

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forma a outra, através de transformações físicas e/ou químicas. Assim, dado um sistema isolado qualquer, isto é, um sistema termodinâmico que não troque nem calor, nem trabalho, nem massa, com o seu exterior, a sua energia permanece invariável.

Das principais formas de energia hoje conhecidas 

do movimento térmico dos átomos e



do campo magnético

moléculas



da radiação eletromagnética



da cinética dos corpos



intramolecular



do campo gravitacional



de pressão



do campo elétrico

apenas as transformações das formas de energias que um fluido possui serão objeto deste curso cinética de pressão potencial térmica de deformação em energia mecânica e vice-versa.

A energia mecânica é aquela associada aos movimentos (rotação e/ou translação) dos componentes de uma máquina. Esses movimentos geralmente são utilizados para transmitir potência, que é o que se espera das máquinas de fluxo.

Chamando de energia hidráulica as formas de energia que um fluido possui, então as máquinas hidráulicas têm a finalidade de operar transformações de energia hidráulica em mecânica e vice-versa (Englobadas todas as máquinas que operam com fluidos, tanto incompressíveis como compressíveis).

Deve-se ter em mente que no conceito de máquinas hidráulicas introduzido

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estão englobadas todas as máquinas que operam com fluidos, tanto incompressíveis como compressíveis, apesar de a terminologia “hidráulica” tender a dar a impressão de referir-se apenas a fluidos incompressíveis, mais especificamente água.

Algumas definições gerais, utilizadas principalmente pelos usuários de bombas hidráulicas, são, desde já, introduzidas: 

Sistema de bombeamento: é o sistema constituído pelos reservatórios de sucção (de onde a bomba aspira o fluido de trabalho) e de descarga ou de recalque (para onde a bomba movimenta o fluido de trabalho), pela bomba, pelas tubulações que ligam os diversos componentes do sistema de bombeamento; pelos componentes acessórios (cotovelos, válvulas de controle ou unidirecionais), pelos suportes.



Altura de elevação ou altura de carga ou altura de bombeamento: é a quantidade de energia específica (geralmente expressa em metros de coluna de fluido de trabalho) que o rotor da máquina transfere ao fluido de trabalho (no caso de bombas) ou que o fluido de trabalho transfere ao rotor da máquina (no caso de turbinas).



Perda de carga: é a perda de pressão de estagnação entre dois pontos do sistema de bombeamento.



Altura manométrica ou altura de elevação manométrica: é a altura de elevação referida a um fluido de trabalho especificado (geralmente água distilada à temperatura de 4 graus Celsius, com densidade de 1000 kg/m3). Note-se que esta terminologia pode induzir erro ao poder dar a entender que a energia específica está sendo referenciada a alguma diferença de pressões, como no caso da pressão manométrica.



Potência do motor: é a potência disponibilizada pelo motor na ponta de eixo que é ligada à máquina.

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

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Potência de eixo: é a potência disponibilizada pela máquina no eixo ligado ao rotor. Note-se que a potência de eixo é igual à potência do motor se não houver perdas entre a ponta de eixo do motor e a posição em que o eixo se fixa ao rotor.



Potência útil: é a potência que é efetivamente transferida ao fluido pelo rotor, ou ao rotor, pelo fluido.



Potência dissipada: é a potência consumida pelas perdas viscosas (consumida devido a atrito viscoso, quando o fluido de trabalho se escoa no interior da máquina), volumétricas (consumida devido às perdas volumétricas decorrentes de fugas, escoamento secundário, etc.) e mecânicas (consumida devido a atrito nos mancais, gaxetas, vedações, etc.)

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1.1

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CLASSIFICAÇÃO DAS MÁQUINAS DE FLUIDO

As máquinas de fluido são dispositivos que operam transformações de energia, extraindo energia do fluido de trabalho e transformando-a em energia mecânica ou transferindo a energia mecânica ao fluido de trabalho. As máquinas de fluxo têm são de uma variedade relativamente grande de tipos e de forma. Para identificar com precisão cada máquina, elas são classificadas segundo critérios relacionados aos tipos, formas construtivas e modo de operar a transformação da energia hidráulica. Nenhum dos critérios é mais importante do que o outro; para cada problema escolhe-se o critério de classificação mais apropriado. Podem ser classificadas de várias formas, conforme a referência escolhida. Nenhum dos critérios é mais importante do que o outro; para cada problema escolhe-se o critério de classificação mais apropriado.

1.1.1 Quanto à direção da transferência de energia Todas as máquinas em que a energia hidráulica é transformada em energia mecânica, tanto na forma de um eixo rodando ou de um pistão se deslocando, são chamadas de máquinas motoras. Como exemplo de máquinas motoras têm-se:  Turbinas: turbinas a vapor, turbinas a gás, turbinas hidráulicas em geral (Francis, Kaplan, Pelton, etc.)  Motores: de pistões, de palhetas, etc. Todas as máquinas que transformam energia mecânica em energia hidráulica (na forma de um fluido em movimento) são chamadas de máquinas movidas. Como exemplo têm-se:  Bombas: centrífugas, axiais  Ventiladores: centrífugos, axiais  Compressores: centrífugos, axiais

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Neste curso os termos centrífugo e radial são sinônimos. Nas máquinas motoras o trabalho é produzido pelo fluido e a energia mecânica é extraída dele. Nas máquinas movidas o trabalho é realizado sobre o fluido e a energia hidráulica adicionada a ele. Há, ainda, outro tipo de máquina que opera, na seqüência, transformação de energia mecânica em hidráulica e, a seguir, em energia mecânica. Neste caso, o fluido é apenas utilizado como um meio para transferência de energia mecânica. São os chamados acoplamentos hidráulicos ou conversores de torque. Servem para que seja possível a transferência de energia mecânica dar-se de modo suave. Exemplos de acoplamentos hidráulicos são as transmissões automáticas / hidramáticas utilizadas em veículos automotores, os dispositivos para manter velocidade constante de eixo, etc..

1.1.2 Quanto ao modo como o fluido atravessa a máquina A máquina é chamada de máquina de deslocamento positivo se o fluido que atravessa a máquina é admitido num espaço delimitado por partes mecânicas, onde fica isolado. Posteriormente, é forçado (ou liberado) a deixar esse espaço. Nessas máquinas, após o fluido deixar o espaço delimitado em que ficou aprisionado, o ciclo se repete com a admissão de nova quantidade de fluido. As máquinas em que o fluido se escoa continuamente através de seus componentes, sem ficar isolado em espaço físico delimitado, são classificadas como máquinas de fluxo. Enquanto nas máquinas de deslocamento positivo o fluxo é intermitente1, com o escoamento (taxa de massa) governado pelo volume do espaço que isola o fluido intermitentemente, bem como pela freqüência dessa intermitência, nas máquinas de fluxo existe a passagem livre do fluido, desde a sua entrada até a sua descarga. São características das máquinas de fluxo a existência de um rotor, que gira constantemente e que força o fluido a atravessá-lo continuamente. A transferência de energia fluido-rotor ou rotor-fluido é contínua. Com base nessas 2 classificações, as máquinas hidráulicas mais comuns hoje conhecidas podem ser identificadas na Tabela 2.4-1 e suas características principais na Tabela 2.4-2. 1

Deve-se observar que, muitas vezes, o fluxo pode parecer contínuo, como no caso das máquinas de palhetas e de engrenagens.

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1.1.3 Quanto à direção do escoamento As máquinas de fluxo são usualmente classificadas quanto à direção (predominante) do escoamento referenciado ao eixo de rotação do rotor. Quando o escoamento é na direção perpendicular ao seu eixo de rotação, a máquina é dita radial ou centrífuga. São também classificadas como radiais ou centrífugas as bombas com admissão axial e descarga radial e as turbinas com admissão radial e descarga axial. Quando o escoamento é na direção do eixo de rotação, a máquina é dita axial. Se as componentes radiais e axiais são de mesma ordem de grandeza, a máquina é dita diagonal ou de fluxo misto. Quando o escoamento incidente no rotor lhe for tangencial, a máquina é dita tangencial. 1.1.4 Quanto ao modo de injeção nas turbinas Chama-se modo de injeção a maneira como a roda da (rotor) turbina é alimentada pelo distribuidor (estator, injetor):  Injeção total – a entrada do fluido no rotor é feita de modo uniforme sobre toda a periferia da roda. Geralmente todas as turbinas de reação utilizam injeção total.  Injeção parcial – quando o fluido chega ao rotor apenas por uma parte da periferia da roda da turbina (turbina Pelton, turbina a vapor com bocal de Laval), num único ou em vários pontos.

1.1.5 Quanto à variação da pressão no rotor Se a pressão do fluido, ao atravessar o rotor, permanece constante, a máquina é dita de ação ou de impulso. Se a pressão do fluido, ao atravessar o rotor, varia, a máquina e dita de reação. Define-se o grau de reação da máquina em função da percentagem da variação de pressão no rotor. Exemplos de máquinas de ação: turbina Pelton (tangencial), turbina a vapor de ação. Exemplos de máquinas de reação:

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turbinas hidráulicas hélice, Kaplan, Francis; turbinas de reação (a vapor ou a gás). Tabela 1.1-1 - Classificação das máquinas de fluido MOVIDAS

MOTORAS

BOMBAS, VENTILADORES, COMPRESSORES MÁQUINAS DE FLUXO

CARENADA REAÇÃO S

  s

  

axiais radiais mistas

BOMBAS E COMPRESSORES

MÁQUINAS DE DESLOCAM ENTO POSITIVO

TURBINAS

SEM CARENAGE M Hélices Parafuso

RECIPROC ATIVAS

ROTATIVA S

 acioname nto direto  acioname nto por virabrequi m  swashplat e

 parafusos  engrenag ens  palhetas  lóbulos

ACOPL.HIDR.

IMPULSO

 axiais  moinho  acoplament (Kaplan de vento o hidráulico )  Pelton  conversor  radiais de torque (Banki)  mistas (Franci s) MOTORES

 reciprocativas (pistões)  palhetas  engrenagens

 prensa hidráulica  macaco hidráulico

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Tabela 1.1-2 - Características das máquinas de fluido Características rotação potência específica

elevada elevada

movimento

rotativo

pressão de trabalho viscosidade do fluido de trabalho vazão

baixa

Máquinas de Deslocamento Positivo média e baixa média e baixa alternativo de alguma de suas partes média e alta

média e baixa

todas

contínua utilizada para operar a transformação de energia elevada baixo baixo

intermitente não toma parte no processo de transferência de energia geralmente mais simples elevado elevado

energia cinética complexidade mecânica peso/potência tamanho/potência

Máquinas de Fluxo

Uma rápida inspeção na tabela acima pode explicar porque as turbinas a gás são os motores apropriados para utilização em aeronaves, trens, plataformas marítimas, visto que têm baixas relações peso-potência e volume-potência. 1.1.6 Balanço energético numa máquina e seus circuitos

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1.1.7 As diversas formas de energia hidráulica

A energia específica de uma partícula em um escoamento é dada por E  gH





e

V2 2

Energia total da

Energia

Energia

partícula

interna

cinética

J/kg

A carga hidráulica é dada por H 

P ρ



Energia potencial de pressão



gz

Energia potencial de posição

E (metros de coluna de água). Pode ser g

interpretada como

Para uma turbomáquina, a variação da energia entre o flange de entrada e o de descarga vale

E  EE ED

(J/kg)

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

Denomina-se altura de queda (turbina) ou altura de elevação (bomba)

H  HD  HE (mca - metros de coluna de água)

1.1.8 Exemplo de uma instalação de bombeamento

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Evolução da energia específica num sistema de bombeamento

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Evolução da energia específica num sistema de turbina O cálculo das perdas nas tubulações pode ser realizado utilizando-se os resultados de Colebrook-Nikuradse

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As perdas de carga nos diversos elementos de uma tubulação podem ser estimadas utilizando-se os dados da Tabela

Um sistema de bombeamento bastante importante e conhecido é o que fornece parte da água da cidade de São Paulo, cujo esquema é mostrado na figura seguinte. As barragens do Rio Jaguari e Jacareí originam a maior e mais distante represa do Sistema Cantareira. Localizada a uma altitude de 844 metros acima do nível do mar, ela contribui para a vazão do sistema com 22 mil litros de água por segundo.

Sistema de Bombeamento Cantareira

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Entrada do sistema de tratamento

Planta da localização da represa

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Bombas da estação elevatória 1.1.9 Campo de utilização de uma bomba A Figura seguinte dá indicações de aplicação de diferentes tipos de bombas hidráulicas: axial, diagonal, centrífuga, centrífuga de vários estágios, centrífuga de admissão dupla

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MÁQUINAS DE FLUXO 2013

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MÁQUINAS DE FLUXO 2013 Alguns tipos de máquinas hidráulicas BOMBAS

Esquema de bomba radial

Rotores de bombas centrífugas (fechado e aberto)

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Rotores de bombas centrífugas (aberto)

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Bomba centrífuga

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Bomba centrífuga monobloco

Bomba centrífuga de vários estágios

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Bomba radial de vários estágios

Bomba radial de vários estágios

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Bomba radial vertical

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MÁQUINAS DE FLUXO 2013 TURBINAS

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Esquema de instalação de uma bomba de Arquimedes

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Bomba de lóbulos

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Bomba de parafusos

Bomba de engrenagens internas

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Bomba de engrenagens

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Bomba de cavidade progressiva

Bomba de cavidade progressiva

Bomba de palhetas

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Bomba de pistão

Bomba rotativa de pistões radiais

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1.2

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CAMPO DE APLICAÇÃO DAS MÁQUINAS DE FLUXO

As máquinas de fluxo transformam energia hidráulica em mecânica e vice-versa. Pode haver outros tipos de máquinas que realizam essas mesmas tarefas mas as máquinas de fluxo, por serem mais eficientes e economicamente competitivas, encontram aplicações bem definidas. Em geral, as máquinas de fluxo são melhores adaptadas a grandes vazões e baixas pressões, enquanto que as de deslocamento positivo são mais adequadas para pequenas vazões e grandes pressões. Nos extremos dessas faixas (pequenas e grandes vazões e pressões) há tanto máquinas de fluxo como de deslocamento positivo que podem ser utilizadas para realizarem a mesma tarefa. É costume classificar as máquinas de fluxo quanto ao tipo de aplicação em máquinas principais e máquinas auxiliares. As máquinas são ditas principais quando estão envolvidas diretamente com a conversão de energia da aplicação em foco. Por exemplo, numa usina geradora de energia elétrica são máquinas principais:  Turbinas hidráulicas do tipo Kaplan, hélice, Francis, Pelton, Banki  Turbinas a gás industriais e aeroderivadas Nessa mesma usina são equipamentos auxiliares:  Bombas (das mais variadas aplicações)  Turbinas a gás utilizadas para partida das turbinas principais  Bombas de circulação, de reposição, etc., das instalações de turbinas a vapor  Ventiladores dos insufladores das caldeiras  Turbocompressores dos superalimentadores dos motores diesel principais  Embreagens hidráulicas dos motores de partida das turbinas a gás principais Numa instalação para propulsão de aeronaves são máquinas de fluxo principais as turbinas a gás que produzem o empuxo. São auxiliares as turbinas do sistema de ar condicionado, de geração de energia elétrica para a aeronave; as APUs, as bombas de transferência, etc.

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Em termos de potências operadas pelas máquinas de fluxo, a faixa é muito extensa. Há máquinas que produzem alguns quilowatts de potência, como as turbinas das pequenas centrais hidroelétricas e as turbinas a gás que produzem alguns newtons de empuxo. Há outras, como as grandes turbinas hidráulicas das usinas de Itaipu e Ilha Solteira; como as turbinas a vapor ou a gás das usinas termelétricas, produzindo até algumas centenas de MW por máquina. Existem turbinas hidráulicas e a gás capazes de produzir a mesma potência. Para uma mesma aplicação, a escolha de uma ou de outra obedece a critérios diversos, dentre eles certamente o econômico, o prazo de colocação em funcionamento, o local de instalação, a disponibilidade do potencial energético (hidráulico ou térmico), o meio ambiente, etc. O processo de seleção da melhor aplicação é muito complexo e deve envolver também o fator político, calçado por estudos de prioridades nacionais, de conservação do meio ambiente, de proteção à indústria local, etc. Tais considerações não fazem parte da abordagem deste curso que, apenas, se deterá em análises para projeto e/ou avaliação de desempenho das máquinas de fluxo. Como geração de energia elétrica em grande escala é feita através de máquinas de fluxo e como a energia elétrica consumida no país é política, econômica, social e intensivamente muito significativa, é primordial que o engenheiro (ou outro profissional) que vai lidar com essas máquinas, tanto na fase de projeto como nas de avaliação, de seleção, etc., tenha em mente todos esses aspectos que o mundo frio do dimensionamento não abriga. Uma instalação hidráulica é um conjunto mais ou menos complexo de elementos como reservatórios, dutos e aparelhos, contendo pelo menos uma máquina hidráulica, organizados para desempenhar uma função determinada, com troca de energia (potência) útil com o meio exterior. A troca de energia é feita pela máquina hidráulica. A natureza e a disposição desses elementos que constituem uma instalação hidráulica podem variar muito, em função da instalação e da função a desempenhar. A figura seguinte ilustra uma instalação muito simplificada, indicando as seções de referência da máquina instalada e da própria instalação.

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.

Seções de referência de uma máquina hidráulica

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Evolução da energia específica numa instalação de turbina hidráulica

Evolução da energia específica numa instalação de bombeamento

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Alguns tipos de máquinas e locais de instalação

3 GORGES

TUCURUI

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ITAIPU

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PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO Os objetivos deste capítulo são:  Ressaltar a importância do estabelecimento de modelos físicos e matemáticos para descrever os diversos fenômenos que ocorrem numa máquina de fluxo e descrever os modelos que serão utilizados neste curso  Definir os elementos e os parâmetros com os quais se montam as equações de conservação e as suas unidades SI (fluxo, superfícies, elemento de superfície, quantidade de movimento, vazão, temperaturas e pressões estáticas e de estagnação, etc.)  Escrever as equações gerais, as simplificações convenientes ao estudo das máquinas de fluxo e identificar cada termo dessas equações.  Indicar quando e sob quais condições as equações nas formas integrais e diferenciais são utilizadas.  Associar as equações desenvolvidas com o uso de CFD para a obtenção de soluções numéricas.

2.1

MODELOS FÍSICOS E MATEMÁTICOS Para o estudo das máquinas em geral, e das máquinas de fluxo em particular, é

necessário que se disponha de modelos físicos e matemáticos que as representem, dentro da precisão desejada, em todos os seus pontos de operação. A existência dos modelos é essencial à exploração da potencialidade de desempenho da máquina, bem como das suas características indesejáveis de operação. Durante o projeto da máquina é necessário simular de seu funcionamento em todo o seu campo de operação para se antever alguma condição que possa ser indesejável ou de desempenho insatisfatório. Se for antecipado o aparecimento de algum problema, é possível saná-lo ainda na fase de projeto, antes de a máquina ser construída. As máquinas de fluxo têm sido utilizadas há muito tempo, antes mesmo do desenvolvimento de algum tipo de formulação teórica simples. Não tendo conhecimento dos fenômenos ligados ao escoamento em seu interior, as primeiras máquinas não eram adequadamente projetadas e seu desempenho era muito baixo. Eram projetadas a partir de conceitos muito elementares e dificilmente poderiam ter alto desempenho. Não dispondo de uma teoria suporte para o dimensionamento, era muito difícil que a máquina fabricada alcançasse o desempenho esperado.

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Com o avanço das ciências e com o aperfeiçoamento dos modelos físicos e matemáticos para essas máquinas, bem como da capacidade computacional para a obtenção de soluções numéricas de complexos sistemas de equações diferenciais multidimensionais, o projetista de máquinas de fluxo dispõe hoje de ferramentas aperfeiçoadas, que permitem projetos de máquinas muito eficientes. O estágio do desenvolvimento das simulações numéricas tem reduzido sensivelmente o tempo de projeto e dado ensejo a uma redução acentuada da necessidade de ensaios de desenvolvimento e de modelos em escala reduzida, acarretando diminuição do tempo e dos custos de fabricação. Com modelos mais complexos, passou-se a conhecer antecipadamente o funcionamento e o desempenho das máquinas em todas as condições de utilização. Tornou-se possível antever possíveis problemas operacionais e de desempenho, permitindo a correção do projeto antes de a máquina ser fabricada. Modelos unidimensionais simples podem gerar informações apropriadas ao estudo de tendências de comportamento da máquina. Esses modelos, quando calibrados com dados experimentais e quando utilizados os conhecimentos acumulados com a experiência, são capazes de predizer razoavelmente corretamente o funcionamento da máquina. Os modelos unidimensionais geralmente são adequados para o estudo preliminar das máquinas, mas muitas vezes podem ser utilizados para projetos de máquinas mais simples, dependendo do grau de precisão com que se quer projetar a máquina. Ainda hoje existem em operação contínua muitas máquinas de fluxo de grande responsabilidade, cujos projetos foram baseados em modelos bastante simples. O projeto das máquinas hidráulicas é feito a partir de modelos unidimensionais, a partir dos quais se obtêm as dimensões (geometria básica) da máquina. Esses modelos também permitem a simulação do desempenho da máquina e, portanto, explorar suas potencialidades e limitações. Esse pré-dimensionamento dá as dimensões e formas principais dos componentes da máquina (geometria da máquina). Passa-se ao dimensionamento dos canais por onde o fluido irá escoar, o que é obtido com a utilização de modelos mais complexos, bidimensionais e tridimensionais. Em geral, utilizando-se um bom modelo 1-D chega-se a dimensões muito próximas das dimensões finais da máquina otimizada. Os modelos unidimensionais  São simples, podem gerar informações apropriadas ao estudo de tendências de comportamento da máquina.  Quando calibrados com dados experimentais e utilizados os conhecimentos acumulados com a experiência, são capazes de predizer corretamente o funcionamento da máquina.

MÁQUINAS DE FLUXO 2013  

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Geralmente são adequados para o estudo preliminar, embora possam ser utilizados para projetos de máquinas mais simples. Ainda hoje existem, em operação contínua, muitas máquinas de fluxo de grande responsabilidade, cujos projetos foram baseados em modelos bastante simples.

O (ante-)projeto das máquinas hidráulicas é feito a partir de modelos unidimensionais, dos quais se obtêm as dimensões (geometria básica) da máquina. Esses modelos também permitem a simulação do desempenho da máquina e, portanto, explorar suas potencialidades e limitações. Ao se definir a geometria da máquina é preciso observar que o fluxo é contínuo e, portanto, deve-se dar atenção especial aos locais que possam apresentar obstáculos à sua passagem livre e suave. Superfícies contínuas e suaves devem ser utilizadas. Há fenômenos de escoamento que não podem ser avaliados por modelos 2-D, visto que são essencialmente tridimensionais. Caso se esteja interessado na otimização de desempenho, é necessário o conhecimento pormenorizado do escoamento, o que requer modelação 3-D. Projetos mais sofisticados requerem a utilização de modelos 2-D e 3-D interativamente, que permitem calcular com precisão os campos de velocidades, de temperaturas e de pressões e, destes, o desempenho da máquina. Modelos 3-D são complexos e caros. Embora os recursos computacionais já permitam o cálculo 3-D do escoamento numa máquina completa, essa prática não é largamente utilizada. Presentemente, tal estudo é bastante limitado pelos recursos computacionais disponíveis e pelo custo de sua utilização. De qualquer forma, ainda não se usam recursos 3-D diretamente para o projeto da máquina, mas, sim, uma combinação de modelos 1-D (que dão dimensões principais), 2-D (que dão formas geométricas mais apropriadas) e 3-D (que dão propriedades do escoamento em algumas regiões críticas), utilizados interativamente. No ITA são desenvolvidos programas computacionais específicos para dimensionamento de turbomáquinas e simulação numérica de desempenho de diversos tipos de máquinas, com ênfase em turbinas a gás  1-D para pré-dimensionamentos  2-D para aperfeiçoamento das formas dos canais das máquinas  3-D para cálculo de escoamento em passagens entre pás  Termodinâmicos para simulação numérica de turbinas a gás de alto desem-penho (genérico, simula virtualmente todos os tipos de turbinas a gás a partir da montagem de um motor por seus componentes principais)Via de regra, os modelos 1-D são aperfeiçoados pelos fabricantes da

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máquina e considerados "secretos" (“proprietary”), pois fazem uso de dados experimentais e de suas correlações obtidas com muitos anos de trabalho e grandes despesas com a operação de laboratórios especiais. Para os estudos que requerem modelos 2-D e 3-D dispõe-se hoje de programas desenvolvidos por companhias especializadas em “softwares” comerciais (pacotes computacionais). Citam-se alguns desses pacotes computacionais: FLUENT, CFX, FIRE, PHOENICS. O ITA desenvolve modelos físicos e matemáticos e implementa programas computacionais específicos para dimensionamento de turbomáquinas e simulação numérica de desempenho de diversos tipos de máquinas, com ênfase em turbinas a gás. Este curso dará ênfase aos fundamentos da modelação. Parte-se das equações de conservação na forma completa (3-D), fazem-se considerações simplificadoras e chega-se a modelos 1-D adequados ao tratamento, em sala de aula, do projeto das máquinas de fluxo. É importante que o aluno tenha ciência de que (ainda que conheça os fundamentos e manipule com competência as equações associadas aos modelos adotados), para um projeto completo é preciso aperfeiçoar o modelo básico com a utilização de coeficientes empíricos adequados, com análises 2-D e 3-D. O domínio completo da tecnologia de projeto das máquinas de fluxo será conseguido após a realização de vários projetos, fabricação de protótipos, levantamento experimental das características das máquinas e, principalmente, análise dos resultados de ensaios. Um modelo matemático para análise do comportamento de um sistema físico (em particular para um sistema de fluido em escoamento) só pode ser definido após se fixar o nível de aproximação desejado (para o conjunto das variáveis dependentes, por exemplo). Tal conjunto deve conter as variáveis básicas necessárias para descrever completamente o sistema considerado, além de todas as variáveis que caracterizam o seu comportamento. Assim, se o escoamento do fluido depende fortemente das 3 variáveis espaciais, o modelo deve ser 3-D. Por outro lado, se o escoamento depende significativamente de apenas de uma variável espacial, o modelo pode ser 1-D. A aproximação no nível espacial define o número de variáveis espaciais a ser usado no modelo. Como o escoamento de fluido é essencialmente 3-D, ao se adotar modelo com menos dimensões é preciso que se despreze o escoamento nas direções desconsideradas e que se faça algum tipo de média nas direções consideradas. Essas médias implicam na perda de informações do escoamento e devem, portanto, ser com-

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pensadas por alguma forma de informações empíricas (dados experimentais). A aproximação no nível dinâmico define o número de variáveis ligadas à estimativa da influência das diversas forças no comportamento do sistema. Como a evolução dinâmica do escoamento depende do equilíbrio de forças que agem nele, é importante que se especifiquem quais são as forças dominantes, para que se possa simplificar ao máximo o modelo. Por exemplo, eliminar a parte relativa à aceleração da gravidade quando as forças gravitacionais não forem importantes (no caso das turbinas a gás é possível desconsiderar o efeito da aceleração da gravidade; no caso das turbinas hidráulicas isso pode não ser sempre possível). Em compensação, ao se adotar um modelo 2-D, como o modelo pá-a-pá, para analisar o escoamento num rotor centrífugo, deve-se ter em conta que uma componente de força (centrífuga) existe, é importante, mas pode não estar embutida no modelo. Este curso dá ênfase aos fundamentos da modelação. Parte-se das equações de conservação na forma completa (3-D), fazem-se considerações simplificadoras e chega-se a modelos 1-D adequados ao projeto das máquinas de fluxo. Para um projeto completo é preciso aperfeiçoar o modelo básico com a utilização de coeficientes empíricos adequados, com análises 2-D e 3-D. O domínio completo da tecnologia de projeto das máquinas de fluxo será conseguido após a realização de vários projetos, fabricação de protótipos, levantamento experimental das características das máquinas e, principalmente, análise dos resultados de ensaios.

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2.2

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EQUAÇÕES BÁSICAS

As leis que governam o escoamento de um fluido são bem conhecidas. Um modo de identificá-las é a observação de que a evolução de um sistema físico é caracterizada pela massa, quantidade de movimento e energia em cada instante. Em outras palavras, seu comportamento é governado por leis de conservação. Essa conclusão foi um dos grandes acontecimentos da ciência moderna, pois não importa quão complicada seja essa evolução: a conservação daquelas propriedades é observada. Um escoamento de fluido é considerado conhecido se sua velocidade, sua pressão e sua temperatura estáticas são conhecidas a qualquer instante. Em casos em que a temperatura permanece praticamente invariável, a temperatura não é considerada (como nas turbinas hidráulicas). O princípio geral da conservação estabelece que a variação da quantidade de uma propriedade extensiva (que depende da massa) em um volume especificado é devida à soma (líquida) de fontes (da propriedade) internas e do balanço da quantidade (da propriedade) que atravessa a fronteira do volume. Em outras palavras, o princípio de conservação estabelece que a variação de uma propriedade extensiva num volume especificado é devida às fontes e sumidouros dessa propriedade, no interior do volume, mais o fluxo da propriedade através da fronteira do volume. O fluxo é gerado devido ao transporte convectivo do fluido e ao movimento molecular (sempre presente). O efeito do movimento molecular expressa a tendência do fluido em atingir a condição de equilíbrio. As diferenças em intensidade da propriedade considerada acarretam transferência espacial destinadas a homogeneizar o fluido. Essa contribuição é proporcional ao gradiente da propriedade correspondente (porque a contribuição deve ser nula numa distribuição homogênea).

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SC V

dm

VC

Figura 2-1 - Volume de Controle

Sejam um volume de controle (VC), como o da Fig. 4-1, delimitado por uma superfície de controle (SC) indeformável através do qual flui o escoamento de um fluido com velocidade [V(x,y,z)] e um elemento de massa (dm) desse fluido que escoa através do volume de controle.  FONTES E SUMIDOUROS: Se A é a quantidade total da propriedade e a sua quantidade específica, então A  a.m

Para um elemento infinitesimal de fluido, dA  a.dm .

Como (  é a densidade do fluido)

, tem-se

dA  adV Então, para o volume de controle VC indeformável, tem-se: A   adV VC

que é a quantidade total da propriedade A contida no volume VC.

2-8/23

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A variação, por unidade de tempo, da propriedade A no volume VC será: A  adV  t t  VC

 FLUXO Sejam  dS

um elemento da superfície (orientado) SC (Fig. 4-2)

  v a velocidade do fluido relativa à superfície dS   n o vetor unitário normal à superfície dS 

dS o módulo de dS

S C

n dS

V C

Figura 2-2 - Elemento de Superfície

O volume de fluido que atravessa esse elemento de superfície por unidade de tempo (vazão volumétrica) é dado por    v  dS dV

 A quantidade de massa que atravessa a superfície dS, por unidade de tempo, é     dm   v  ndS dV

Segue-se que a quantidade da propriedade A que atravessa a superfície de controle, por unidade de tempo, é:

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 

  av  ndS SC

 PRINCÍPIO GERAL DA CONSERVAÇÃO dA   A , para um volume dt determinado, num instante t, é a soma da taxa de geração ou de destruição da propriedade A no interior do volume, no instante t, com a taxa de transferência da propriedade A através da superfície desse volume, no tempo t:

A taxa de variação de uma propriedade extensiva A,

 A =

Contribuição devida a fontes e sumidouros in- + ternos

Contribuição devida ao fluxo

Segue-se que

   A adV   av  ndS   t VC SC

# 2-1

 

Como dm  dV  v  ndS ,

  A adm   adm  t  VC SC

# 2-2

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 2.3

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CONSERVAÇÃO DA MASSA

Considere-se a equação # 2-1 e seja m (massa) a propriedade extensiva considerada. Segue-se que a = 1 pois m  1  m  a  m .

 = 0 pois massa não é criada nem destruíPelo princípio da conservação de massa, m da (pelo menos nas máquinas ora em estudo). Então # 2-3

   dV   v  ndS  0   t VC SC

que é a forma integral da equação da conservação de massa para um volume de controle VC limitado por uma superfície SC e imerso num escoamento cujo campo de   velocidade é v . Deve-se ter em mente que v é a velocidade relativa à superfície. A equação # 2-3 representa o princípio da conservação de massa na forma integral. Deve-se notar que esta forma é aplicável a qualquer tipo de escoamento, inclusive com descontinuidades como aquele onde aparecem ondas de choque. Entretanto, muitas vezes é mais conveniente a utilização da equação de conservação de massa na forma diferencial, que pode ser deduzida da eq. # 2-3. Um procedimento para obter a  forma diferencial utiliza o teorema de Gauss para o campo vetorial f no qual está o volume de controle VC, limitado pela superfície SC indeformável :

    f  ndS      fdV SC

# 2-4

VC

  Fazendo f  v na eq. # 2-4 tem-se

     v  ndS       (v)dV SC

# 2-5

VC

Substituindo-se a eq. # 2-5 na eq. # 2-3 resulta:  dV + t  VC

ou

     (v)dV =0 VC

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MÁQUINAS DE FLUXO 2013 

 t dV

+

VC

ou

 dV +  t VC

ou  







   (v)dV =0 VC

     (v)dV =0 VC

 

  t    (v)  dV =0. VC

Como VC é arbitrário, segue-se que:       (v)  0 t

# 2-6

que é a forma diferencial do princípio da conservação de massa. Deve-se observar que as equações # 2-3 e # 2-6 são também aplicáveis a escoamentos em regime transitório. Um tipo de escoamento importante é o escoamento em regime permanente. Nesse tipo de escoamento, as propriedades só dependem das coordenadas espaciais, isto é, só do local em que se analisa o escoamento. Desprezando-se as partes das equações # 2-3 e # 2-6 que dependem do tempo, obtém-se, respectivamente,

 

  v  ndS  0

# 2-7

    (v)  0

# 2-8

SC

Estas são, respectivamente, as formas integral e diferencial do princípio de conservação de massa, em regime permanente. Neste caso, deve-se ter em mente que todas as variáveis envolvidas dependem das 3 coordenadas espaciais   v = v (x,y,z)

  n  n(x, y, z)

 = (x,y,z)

S = S(x,y,z)

    (x, y, z)

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2.4

2-12/23

CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR

 Primeiramente, considere-se a equação # 2-1 e seja q a quantidade de movimento linear:

  q  mv Então



a= v e       vdV   v(v  n)dS  q   t VC SC

# 2-9

Note-se que # 2-9 é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em 3 componentes escalares. Por outro lado, da 2 a Lei de Newton, a resultante das forças aplicadas no corpo delimitado pela superfície SC é igual à variação da sua quantidade de movimento:

  d  q  (mv)   F dt As forças que atuam no volume de controle são de 2 tipos:   de superfície (ou de contato), fs   de volume (ou de campo), fv As forças de superfície dependem da natureza do fluido em questão e são resultantes das considerações feitas sobre as propriedades das deformações internas do fluido relacionadas às tensões internas. Neste curso serão considerados apenas os fluidos newtonianos, para os quais as tensões internas podem ser escritas na forma:       PI  

# 2-10

onde P  

é a pressão estática (considerada isotrópica) é o tensor de tensões de cisalhamento viscosas.

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2-13/23

As forças de superfície são, portanto:

   fs     ndS

# 2-11

SC

As forças de volume são (considerando apenas a força gravitacional)    f V   df v   gdV VC

# 2-12

VC

Segue-se então que

       F  fs  fv     ndS   gdV SC

# 2-13

VC

Substituindo-se # 2-14 em # 2-9 tem-se

     vdV   v(v  n)dS =   t VC SC

      ndS   gdV SC

VC

Deve-se observar que a única força de campo considerada foi a gravitacional (que é a única importante nas máquinas de fluxo usuais). Levando-se em conta as equações # 2-10 e # 2-14 obtém-se

           vdV   v v  n dS   PI  ndS   ndS   gdV          t VC SC SC SC VC

# 2-14

Esta é a forma integral da lei de conservação da quantidade de movimento linear. Refere-se ao volume de controle completo e, portanto, calcula propriedades globais do escoamento. Em muitos casos, como quando se usam métodos numéricos com diferenças finitas, volumes finitos ou elementos finitos, a forma integral não é a forma apropriada porque são necessárias propriedades locais do escoamento. É necessária a forma diferencial correspondente. Essa forma é obtida da equação # 2-14 através da aplicação do Teorema de Gauss para converter as integrais de superfície em integrais de volume,

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como mostrado a seguir.

       v(v  n)dS      (v(v))dV SC

VC

# 2-15

      PI  ndS     (PI)dV SC

VC

      ndS       dV SC

VC

Substituindo-se # 2-15 em # 2-14, resulta:     vdV     (vv)dV   t VC VC

ou

     =     PIdV     dV   gdV VC

VC

VC

        ( v) ( vv PI        )  g dV  0   t  VC

Para um volume de controle indeformável genérico,

        (v)    (vv  PI  )  g  0 t

# 2-16

que é a forma diferencial da lei de conservação da quantidade de movimento linear. As equações # 2-14 e # 2-16 também se aplicam a escoamentos transitórios, isto é, que variam com o tempo. Analogamente ao deduzido para a equação de conservação de massa, para escoamentos permanentes, tem-se:

          v(v n)dS   PI  ndS    ndS gdV  0 SC

SC

        (vv  PI  )  g  0

SC

# 2-17

VC

# 2-18

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 2.5

2-15/23

CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR

O princípio da conservação da quantidade de movimento angular estabelece que a resultante dos torques aplicados ao corpo delimitado pela superfície de controle SC é igual à variação da sua quantidade de movimento angular. Devido aos mancais da máquina, movimentos na direção axial e radial são impedidos, deixando o rotor livre apenas para girar em torno do seu eixo (admitido coincidente com o eixo coordenado z). Desta forma, apenas a componente de momento das forças tangenciais (ao rotor) é de interesse e é ela a responsável pelo aparecimento do torque transmitido pelo eixo da máquina. Nas máquinas de fluxo está-se interessado na avaliação do torque (momento) transmitido entre fluido e o seu rotor. Aplicando-se o princípio geral de conservação (eq. # 4-1), com   a  r  v , tem-se         M    r  vdV    r  v(v  n)dS  t VC SC

# 2-19

Em regime permanente, tem-se     M  r  v(v  n)dS SC

ou    M  r  vdm

# 2-20

SC

   . pois (v  n)dS  dm

Pondo     V  Vr er  Vu e  Vz ez

   r  rer  zez

tem-se



 r  V 

z

 rVu

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2-16/23

Logo,

Mz    rVudm SC

Esta equação permite o cálculo do momento e da potência associados ao escoamento através do rotor da máquina de fluxo. É importante concluir dessa expressão que apenas a projeção da velocidade absoluta na direção tangencial (na direção da velocidade U), Vu , contribui para o momento na direção axial e, portanto, para a potência transferida para o eixo ou dele extraída. Isto está associado à variação da quantidade de movimento na direção tangencial a que, pela segunda lei de Newton, corresponde uma força, também na direção tangencial. Esta força produz um torque em relação ao eixo de rotação da máquina.

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2.6 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

Considerem-se o escoamento de um fluido através de um volume de controle, delimitado por uma superfície de controle e a 1a. Lei da Termodinâmica associada, na forma  W  Q  E  K

# 2-21

ou dE  dK 

 Q



caor adicionado

 W Trabalho feito pelo meio no sisitema

onde E K Q W

energia interna energia cinética calor adicionado ao fluido trabalho da resultante das forças que agem no fluido.

Considere-se a equação # 4.1 aplicada às energias interna e cinética, com ae

 E  me 

e a

1 2 v 2

1  2  K  mv  2  

   E   edV   e(v  n)dS  t VC SC

v2 v2     K  dV    SC 2 (v  n)dS t  2 VC Considere-se a Figura 2-3.

# 2-22

# 2-23

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n dQs dS

Figura 2-3 - Superfície Orientada

O fluxo de calor, isto é, a quantidade de calor introduzida no Volume de Controle  através do elemento de superfície dS pode ser calculado, por unidade de tempo, por     q  ndS dQ s s  onde q s

é o vetor de fluxo de calor por unidade de tempo.

Então,

     q  ndS Q s   s SC

Para o calor gerado internamente,   q dV dQ v v q v

onde

é a quantidade de calor gerada internamente, por unidade de tem-

po. Então,   Q v  q v dV VC

Segue-se que

   Q  Q    q  ndS Q   q vdV s v   s SC

# 2-24

VC

Para o trabalho resultante das forças que agem no Volume de Controle distinguem-se 2 parcelas:  * fs das forças de superfície  fv das forças de volume *  As forças de volume são a soma de f v com as outras fontes de calor exceto

2-19/23

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condução ( q H ), a saber: radiação, reações químicas, etc. Logo, o trabalho das forças de volume, por unidade de tempo, é    (f  v  q )dV dW v v H

# 2-25

As forças de superfície são as mesmas consideradas em # 2-11. Segue-se, então, que          ( dW  v)  ndS  (Pv    v)  ndS s

# 2-26

Para as máquinas de fluxo convencionais, a única força de campo a ser conside  rada é a gravitacional: fv  g Então,

       g  vdV W  (  Pv      v)  ndS VC

# 2-27

SC

Assim, a equação # 2-27 pode ser rescrita na forma       v2 v2                 edV ev ndS dV (v  n)dS   q  ndS   q v dV   g  vdV   (Pv    v)  ndS         t VC t VC 2 2 SC SC SC VC VC SC

# 2-28

Agrupando as energias interna e cinética:      v2 v2          (e  )dV   (e  )(v  n)dS   q  ndS  q dV   g  vdV  (  Pv    v)  ndS v         t  2 2 VC SC SC VC VC SC

# 2-29

Para regime permanente,

  (e  SC

  v2   )(v  n)dS   q q vdV SC   ndS   2 VC

        g  vdV   (  Pv    v)  ndS  VC

SC

# 2-30

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É possível, também, obter uma forma diferencial da equação da energia, utilizando procedimento análogo ao utilizado anteriormente, conforme o exposto na Eq. 430b.

  v2    v2            (e  )     (e  )    q   g  v  q    (  Pv    v)  0     v 2  2  t  

# 4-30b

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2.7 SIMPLIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO

Embora as formas das equações de conservação apresentadas anteriormente possam ser bastante simples, sua manipulação é bastante complexa. A complexidade deve-se ao fato de estarem escritas na forma vetorial e por serem tridimensionais. Mais complexo, ainda, é o processo de sua solução, notadamente para volumes de controle de geometrias complexas, como as encontradas nas máquinas em geral. No estudo das máquinas de fluxo alguns parâmetros globais são de interesse. Geralmente se procuram relações entre a taxa de escoamento do fluido (vazão) e a diferença de pressões (ou de altura de energia) através de um rotor e, portanto, não se procura calcular as propriedades do escoamento em todos os pontos da máquina, mas apenas à entrada e à saída do rotor. Essas relações dependem do tipo de máquina considerada e, portanto, de parâmetros geométricos do rotor. Relações fundamentais podem ser obtidas a partir das equações de conservação da quantidade de movimento angular a máquinas de geometria simples. Outros tipos de simplificações, além das geométricas, podem ser adotados e ficarão evidentes dos desenvolvimentos a serem feitos a seguir. As simplificações mais usuais são as indicadas a seguir. Serão implementadas durante a obtenção de alguns modelos nos capítulos seguintes:



Regime permanente (utilizado na maioria dos casos):  0 t



Forças de volume desprezíveis Boa aproximação, no caso de o fluido de trabalho ser gás: Nem sempre pode ser desprezada a sua contribuição para o caso de o fluido ser líquido. gz  0



Escoamento adiabático Não há troca de calor pelas superfícies sólidas da máquina. Na realidade, existe troca de calor pelas superfícies sólidas. Entretanto, mesmo nas turbinas a gás, com temperatura das superfícies acima de 800 K, a quantidade de calor que atravessa as superfícies metálicas é muito pequena, quando comparada com as demais formas de energia. Essa hipótese é, portanto, válida. q s  0

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

Ausência de fontes e de sumidouros de energia (geração interna) q v  0



Radiação desprezível e ausência de reações químicas e nucleares Embora as superfícies da máquina possam estar a temperaturas elevadas, como no caso das turbinas a gás, o calor perdido por radiação é muito pequeno quando comparado com as demais formas de energia envolvidas: daí poder ser desconsiderado. Para a maioria das máquinas de fluxo o escoamento é congelado, isto é, não há reações químicas. Embora no caso das turbinas a gás possam ocorrer reações químicas nas turbinas (resultante de alguma anomalia da câmara de combustão), este caso não é considerado. Na realidade, o problema da câmara de combustão é que precisa ser resolvido para impedir o prosseguimento das reações químicas na turbina. qH  0



Fluido não viscoso Embora todos os fluidos sejam viscosos, a influência da viscosidade se restringe à região da camada limite. Nos casos em que a região da camada limite é pequena, relativamente à região total de escoamento, bons resultados globais, tanto qualitativa quanto quantitativamente, podem ser obtidos com o modelo invíscido. Para levar em conta os efeitos viscosos recorre-se a correlações empíricas para corrigir os resultados obtidos com o modelo não-viscoso.   0



Escoamento unidimensional Leva em conta apenas uma coordenada espacial, que pode ser curvilínea. Nos casos em que as propriedades do escoamento variam pouco ao longo das seções transversais dos canais da máquina, pode-se admitir que as propriedades do escoamento ao longo de uma linha de corrente sejam representativas do escoamento em todas as demais linhas de corrente. Costuma-se escolher a linha de corrente localizada na posição da altura média das pás como a linha de corrente de referência, como o que é feito Nestas Notas de Aula.



Escoamento com simetria axial

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Admite-se que as variações das propriedades do escoamento sejam importantes apenas na direção radial e na direção axial. Isto implica que se admite que as propriedades do escoamento não variam sensivelmente ao longo de um arco de circunferência (centrado no eixo da máquina) unindo duas pás consecutivas. É um modelo bidimensional, mais complexo que o modelo unidimensional da linha de corrente média, mencionado acima.

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 3.

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PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO APLICADOS ÀS MÁQUINAS DE FLUXO Os objetivos deste capítulo são:  Mostrar como funcionam e como são construídas as máquinas de fluxo, definindo seus principais elementos construtivos.  Análise das propriedades do escoamento em locais da máquina de fluxo que são importantes para o estudo de seu funcionamento.  Apresentação dos triângulos de velocidades e indicar como são obtidas as propriedades do escoamento apropriadas para o estudo de seu funcionamento.  Indicação das características principais do escoamento quando a máquina opera na condição de projeto e em condições diferentes das de projeto (vazão e/ou rotação).  Desenvolvimento de equações apropriadas ao pré-dimensionamento das máquinas de fluxo.  Identificação das formas apropriadas dessas equações para escoamentos incompressível e compressível.  Definição de Grau de Reação e sua associação com as formas construtivas das máquinas de fluxo.

As equações desenvolvidas no Capítulo 4 estão na forma vetorial completa, mas não são adequadas para cálculos. Elas são também genéricas, podendo ser aplicadas a qualquer tipo de fluido e não apenas para água e ar, que são os fluidos mais comuns. Para o dimensionamento das máquinas de fluxo e para o cálculo de seu desempenho é mais adequada uma versão simplificada dessas equações, usualmente na forma 1-D. Como ficará claro durante o processo de simplificação das equações gerais, não se pode chegar a uma formulação única devido à necessidade de serem tratados diferentemente os fluidos incompressíveis e compressíveis. Entretanto, o tratamento a ser dado a todas as máquinas de fluxo é unificado. Deve-se notar, também, que a formulação integral será a utilizada, uma vez que se pretende obter informações globais sobre a máquina. É necessário também conhecer pormenores construtivos dos diversos tipos de máquinas, uma vez que as integrações indicadas nas equações de conservação devem ser realizadas nos volumes e superfícies dos canais por onde se escoa o fluido. Alguns conceitos importantes precisam, portanto, ser introduzidos.

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3.1 ELEMENTOS CONSTRUTIVOS E CONVENÇÕES As máquinas de fluxo são constituídas basicamente de: 1. um sistema diretor, onde a energia de pressão é transformada em energia cinética (ou vice-versa). Serve também para orientar o escoamento e/ou para regular a vazão de fluido (e, em conseqüência, da potência). Esse sistema é fixo, no sentido de não girar com o eixo da máquina. O sistema diretor recebe designações diferentes, dependendo do tipo de máquina; por exemplo:  

Estator ou injetor, nas máquinas hidráulicas; Estator, IGV ("inlet guide vane"), NGV ("nozzle guide vane"), nas turbinas a gás.

ESTATOR

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2. um sistema rotor (rotor, disco, impelidor), de pás móveis, onde a energia de pressão e/ou cinética é transformada em energia cinética e mecânica (ou vice-versa). As pás são móveis no sentido de girarem com o eixo da máquina.

ROTOR A seqüência de montagem desses sistemas varia com o tipo de máquina. Nas máquinas motoras (turbinas) tem-se um estator seguido de um rotor, enquanto que nas movidas (bombas e compressores) um rotor seguido de estator. A figura seguinte mostra um esquema de uma turbina hidráulica radial (Francis), cujos componentes principais são: caixa espiral (caracol), sistema de pás distribuidoras, sistema de pás diretoras, rotor e tubo de sucção (tubo de descarga).

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A Figura 5-1 representa as grades de uma turbina axial (máquina motora) e de uma bomba axial (máquina movida), bem como as direções dos escoamentos nos canais definidos pelas respectivas pás. Tanto rotor como estator são constituídos por discos (ou tambores) aos quais se fixam as pás. As pás formam canais por onde circula o fluido. Esses canais servem para dirigir o escoamento. As pás têm seção de forma aerodinâmica, para minimizar perdas de pressão de estagnação do fluido.

Figura 3-1 – Esquema de estágios de máquinas de fluxo

3-5/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 É comum convencionar, para as máquinas de fluxo:

 V

Velocidade absoluta do escoamento (referido a um referencial fixo)

 W

Velocidade relativa do escoamento (referida às pás)

 U

Velocidade tangencial ou periférica (velocidade da pá)

    U =   r , com  = velocidade angular do eixo do rotor  r = vetor de posição do ponto considerado na grade, em relação ao eixo do rotor. Tem-se que    V=W+U

# 3-1

que é a equação vetorial que determina o triângulo de velocidades para um ponto qualquer de um escoamento.  Utilizando-se um sistema de coordenadas cilíndrico, a velocidade relativa W pode ser decomposta nas componentes axial (Wa), radial (Wr) e tangencial (Wu), de sorte que

e, analogamente,

    W  Wr e r  Wu e   Wa e z

# 3-2

    V  Vr e r  Vu e   Va e z

# 3-3

Wa Wm Wr Wa Wu W Wu

Wr W trajetória

Figura 3-2 - Decomposição da velocidade relativa

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Chama-se de componente meridional a velocidade resultante da adição das componentes axial e radial:    Wm  Wr e r  Wa e z

# 3-4

   Vm  Vr e r  Va e z

# 3-5

As máquinas radiais caracterizam-se por terem as componentes axiais das velocidades relativa e absoluta nulas: Va = 0 e

Wa = 0,

de onde resulta: Vm = Vr

e Wm = Wr .

Então,

   V  Vm e r  Vu e 

e

   W  Wm e r  Wu e 

As máquinas axiais caracterizam-se por terem as componentes radiais das velocidades relativa e absoluta nulas: Vr = 0 e Wr = 0, de onde resulta Vm = Va e W m = Wa Então,    V  Vu e   Vm e z

e

   W  Wu e   Wm e z

Figura 3-3 a Figura 3-5 representam máquinas radiais, axiais e mistas, respecti-

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vamente. Nelas são indicadas as trajetórias das partículas e as componentes da velocidade relativa.

Figura 3-3 - Máquina Radial

Wa

Wu

Wr W trajetoria

Figura 3-4- Máquina axial



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Wr Wa W



Wu

Figura 3-5- Máquina de Fluxo Misto (diagonal)

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3.2 TRIÂNGULOS DE VELOCIDADES A equação # 3-1 define um triângulo de velocidades. É instrutiva a resolução gráfica dessa equação (desse triângulo). Seja um ponto qualquer à entrada da grade. Para facilidade de visualização, esse ponto coincide com o bordo de ataque da pá (está, pois, sobre a sua linha de esqueleto). Para esse ponto pode-se montar a Figura 5-6:

Figura 3-6- Triângulos de Velocidades (entrada da grade) Nesse triângulo,  0 e 1 são os ângulos que as direções das velocidades absoluta e relativa fazem com a direção meridional, respectivamente. Seja um ponto qualquer à saída da grade. Para facilidade de visualização, esse ponto coincide com o bordo de fuga da pá (está, pois, sobre a sua linha de esqueleto). Para esse ponto:

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Figura 3-7- Triângulo de Velocidades (saída da grade) Nesse triângulo,  2 e  3 são os ângulos que as direções das velocidades absoluta e relativa fazem com a direção meridional, respectivamente. É também instrutiva a montagem sobreposta desses triângulos de velocidades pois torna-se mais fácil a realização dos cálculos de vazão e de potência, como será visto posteriormente. Deve-se observar que se traçam os triângulos de velocidades em relação à velocidade meridional e que, no caso das máquinas axiais, essa velocidade coincide com a velocidade axial; no caso das máquinas radiais, ela coincide com a velocidade radial. Figura 3-8 e Figura 3-9 mostram os triângulos de velocidades para máquinas axiais movidas (compressores) e motoras (turbinas). A aproximação feita, U1 = U2, é válida para as máquinas cujas razões de raios, Rb/Rt, sejam próximas de 1, nas quais o escoamento é, praticamente, axial. Nas máquinas em que essas razões de raios sejam pequenas, da ordem de 0,5, o escoamento deixa de ser predominantemente axial e ao se adotar U1 = U2 pode-se estar fazendo aproximação muito grosseira, uma vez que a componente radial não é desprezível.

Figura 3-8- Triângulos de velocidades para compressores e bombas

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Figura 3-9- Triângulos de velocidades para máquinas axiais motoras Foram colocados, para melhor compreensão, juntamente com os triângulos de velocidades, 2 perfis de pás, orientados de acordo com as direções indicadas pelas velocidades absoluta (no bordo de fuga do estator) e relativas (W1 no bordo de ataque e W2 no bordo de fuga do rotor). No caso de máquina radiais movidas, U1 < U2 , de onde resultam os triângulos de velocidades, indicados na Figura 3-10. Máquina radial movida:

Figura 3-10- Triângulos de velocidades para compressores e bombas centrífugos

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Para máquinas motoras, geralmente se tem U1>U2 (entrada pela periferia do rotor) e a Figura 3-11 é um exemplo de triângulos para máquinas motoras (turbinas).

Figura 3-11- Triângulos de velocidades para máquinas motoras radiais Exemplo de cálculo dos triângulos de velocidades. A seguir são apresentados os cálculos típicos dos triângulos de velocidades. Note-se que, embora esses cálculos sejam muito comuns quando se dimensionam máquinas de fluxo, a seqüência dos cálculos nem sempre é a adotada abaixo. Os ângulos são medidos em relação à direção do escoamento predominante: direção axial para as máquinas axiais e direção radial para as máquinas radiais. Seja uma turbina axial em que o fluido de trabalho deixa o estator com a velocidade de 600 m/s e ângulo de 70o. A velocidade periférica do rotor é de 450 m/s. As velocidades meridionais à entrada e à saída do rotor são constantes. O escoamento absoluto deixa o rotor na direção axial. Determinar os triângulos de velocidades. Neste caso, os dados disponíveis são: V1 = 600 m/s

 = 70o

U1 = U2 = 450 m/s

V1a = W1a =V2

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 o

 = 0

Figura 3-12- Triângulos de velocidades para o caso em estudo Cálculos à entrada do rotor: V1a = V1 cos() = 600 cos(70o) = 205,2 m/s V1u = V1 sen(70o) = 600 sen(70o) = 563,8 m/s W1u = V1u - U1 = 563,8 - 450 = 113,8 m/s W1 = (W1u2 + W1a2)1/2 = (113,82 + 205,22)1/2 = 234,6 m/s 1 = tg-1(W1u/ W1a) = tg-1(113,8/205,2) = 29,01o Cálculos à saída do rotor: V2u = 0 m/s V2 = V2a = V1a = 205,2 m/s W2a = V2a = 205,2 m/s W2u = U = 450 m/s

W2  W22a  W22u  205,2 2  4502  494,58 m/s

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3 = tg-1(W2u/ W2m) = tg-1(450/205,2) = 65,48o Vu = Wu = W2u + W1u = 450 + 113,8 = 563,8 m/s

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3.3 OPERAÇÃO FORA DAS CONDIÇÕES DE PROJETO Entende-se por parâmetros de ponto de projeto, os valores de parâmetros fixados para o projeto da máquina. Os parâmetros usuais são: condições ambientais (pressão e temperatura estáticas), parâmetros de funcionamento (rotação, vazão, etc.). A seleção do ponto de projeto depende de diversos fatores, dentre eles os ciclos de carga, os associados à tecnologia de materiais e de fabricação (temperatura máxima, pressão máxima, etc.) e os econômicos. Diz-se que a máquina opera fora do ponto de projeto quando qualquer das condições ambientais e/ou parâmetros de funcionamento (rotação, vazão, etc.) forem diferentes daqueles de projeto da máquina. Assim, em virtude da variação das condições ambientais e das necessidades de carga, as máquinas podem funcionar, durante boa parte do tempo, fora das condições de projeto. Entretanto, como geralmente as máquinas são otimizadas para as condições de projeto, perdem desempenho quando operam fora das condições de projeto. As máquinas que trabalham com fluidos compressíveis são as mais sensíveis à variação das condições ambientais, em decorrência da variação da densidade dos fluidos de trabalho. Chama-se condição nominal de operação da máquina a condição especificada como referência de sua operação. Em geral, a condição nominal coincide com a condição de projeto, ponto em que o desempenho da máquina é otimizado. Entretanto, pode-se escolher uma condição nominal diferente da de projeto. A menos que seja explicitado em contrário, as condições nominais e de projeto serão confundidas neste contexto. Para regular a rotação e/ou potência de uma turbina hidráulica recorre-se à variação da vazão. Para minimização de perdas utilizam-se pás cujas seções transversais são perfis aerodinâmicos. Geralmente se escolhe a direção do escoamento que entra nos canais formados pelas pás como sendo aquela que resulta em menores perdas. A incidência nessa condição é a escolhida como a incidência de projeto (incidência de mínimas perdas). A variação da vazão (aumento ou diminuição) faz com que o fluido atinja as pás com diferentes incidências, que geralmente não coincidem com a de projeto. Esse fenômeno é conhecido como choque de entrada (observar que o choque de entrada nada tem a ver com ondas de choque nos escoamentos compressíveis). O choque de entrada acarreta aumento de perdas (perda de desempenho) nas grades e, portanto, perda de desempenho da máquina de fluxo.

3.3.1 CHOQUE DE ENTRADA DEVIDO A AUMENTO DE VAZÃO

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Para toda máquina girando a uma rotação fixada, o aumento da vazão corresponde a aumento da velocidade meridional. Sejam os triângulos de velocidades, à entrada do rotor, para os casos de vazão nominal V1 e vazão aumentada V1* , com V1 < V1* .Sem perda de generalidade, admitese que a incidência no ponto de projeto é nula. O escoamento incidirá sobre a pá com um ângulo 1* e a incidência será

i  1 - 1*

Figura 3-13 - Triângulos de velocidades (choque de entrada - aumento de vazão) Para que o escoamento se alinhe com a pá, isto é, para que a incidência seja nula, deve aparecer a componente Wch* , responsável pelo aumento da velocidade do escoamento relativo W1' . Tem-se, então:   * W1*  W1'  Wch

As perdas são proporcionais ao quadrado dessa componente de choque, isto é: Perdas 

 

1 *  Wch 2

2

O coeficiente de perdas de choque  é determinado a partir de dados experimentais e podem ser obtidos em literatura especializada.

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3.3.2 CHOQUE DE ENTRADA DEVIDO A DIMINUIÇÃO DE VAZÃO Analogamente ao exposto em 5.3.1, à diminuição de vazão corresponde decréscimo da velocidade meridional, que passa de V1 para V1** . O escoamento incidirá sobre a pá com ângulo 1** , com incidência

i  1  1** causando o aparecimento da componente Wch** e a conseqüente desaceleração do escoamento relativo, Wch'' , visto que a direção da pá é fixa. Tem-se, também:    ** W1**  W1''  Wch

As perdas são proporcionais ao quadrado dessa componente de choque, isto é: Perdas 

 

1 **  Wch 2

2

O coeficiente de perdas de choque  também é determinado a partir de dados experimentais e podem ser obtidos em literatura especializada.

Figura 3-14- Triângulos de velocidades (choque de entrada - diminuição de vazão)

3.3.3 CHOQUE DE ENTRADA DEVIDO A VARIAÇÃO DE ROTAÇÃO

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Neste caso, considera-se que o ângulo das pás e a vazão são fixos, mas há aumento da rotação N e, em conseqüência, aumento de U1. Para o escoamento tornar à direção da pá, 1, aparece a componente de choque de entrada Wch*** e a conseqüente desaceleração do escoamento relativo, Wch''' . Segue-se que

   *** W1***  W1'''  Wch

As perdas são proporcionais ao quadrado dessa componente de choque, isto é: Perdas 



1 ***  Wch 2



2

Figura 3-15 - Triângulos de velocidades (choque de entrada - variação de rotação)

3.3.4 VARIÁVEIS DE CONTROLE Considere a máquina de fluxo como a esquematizada na Figura 3-16. Para facilidade de estudo e sem perda de generalidade, seja essa máquina uma bomba hidráulica. 1

motor

válvula

2

Figura 3-16- Máquina de Fluxo - controle de vazão por válvula

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Considerem-se as características externas de seu funcionamento: · rotação (N) ) · vazão em massa ( m · torque no eixo (T) · trabalho específico (W) ) · potência ( W · eficiência () · propriedades do fluido nas estações (1) e (2) Nem todas essas variáveis podem ser modificadas a gosto do operador. Apenas  podem ser modificadas pelo operador e com relaa rotação N e a vazão em massa m tiva facilidade. A rotação N pode ser variada através do controle de rotação do motor  pode ser alterada através da abertura e/ou fechamento de uma da bomba; a vazão m válvula colocada à saída da bomba. Essas variáveis são chamadas de variáveis de controle. Todas as demais variáveis são dependentes dessas duas e são chamadas de variáveis dependentes. Para se conhecer o comportamento da máquina em diversas condições de operação é costume construírem-se gráficos como o da Figura 3-17, utilizando as variáveis de controle como variáveis fundamentais. As demais variáveis são, portanto, conheci ), e da rotação N. Na  (ou da vazão volumétrica Q das em função da vazão de massa m

Figura 3-17 a rotação N foi escolhida como parâmetro (mantida fixada). Várias dessas curvas podem ser traçadas num mesmo gráfico, obtendo-se uma família de curvas de desempenho. As informações para o traçado dessas curvas de desempenho são obtidas experimentalmente. Atualmente, com a formulação de modelos físicos e matemáticos complexos, há programas computacionais que são capazes de calcular o escoamento com relativa precisão e, portanto, as curvas de desempenho podem ser calculadas. Ainda não se chegou ao grau de desenvolvimento que permite abandonar os levantamentos experimentais, uma vez que as "curvas calculadas" se afastam das "curvas medidas", mas informações qualitativas importantes podem ser obtidas dessas curvas teóricas.

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trabalho específico potência eficiência

Figura 3-17- Curvas de Desempenho típicas

 e a rotação N foram escolhidas como variáveis de controA vazão em massa m le para a instalação mostrada na Figura 3-16. Dependendo do tipo de instalação são escolhidas outras variáveis de controle mais adequadas. Para turbinas com estatores variáveis, o ângulo do estator é também escolhido como variável de controle. Esse ângulo  é chamado de ângulo montagem do estator. É comum serem escolhidos como variáveis independentes as seguintes variáveis:

ou

, N e  m

(vazão em massa, rotação e ângulo de montagem)

   e W

(rotação, ângulo de montagem e potência)

quando a máquina for equipada com estator variável (o ângulo de montagem do estator pode ser alterado pelo operador). A cada valor do ângulo de montagem  corresponde uma curva semelhante às indicadas na Figura 5-17, como mostrado na Figura 3-18 e na Figura 3-19.

3-21/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 Potência constante

ângulo do estator constante eficiência constante N (rotação)

Figura 3-18- Curvas de Desempenho típicas (geometria variável) Potência constante e ângulo do estator constante

vazão

eficiência

N (rotação)

Figura 3-19- Curvas de Desempenho típicas (geometria fixa)

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 3.4

3-22/65

MODELO UNIDIMENSIONAL (1-D)

3.4.1 INTRODUÇÃO O escoamento nas máquinas de fluxo é em regime não permanente tridimensional (3-D), viscoso e turbulento. Em cada ponto do escoamento os campos de velocidades, temperaturas e pressões dependem das 3 coordenadas espaciais e do tempo. Para se calcular esse escoamento é necessário resolver as equações completas, cujo custo computacional é muito elevado. A experiência mostra, entretanto, que não é preciso resolver esse problema complexo, mas sim um problema bem mais simplificado, para obter resultados aceitáveis em termos de engenharia. É conveniente que as equações sejam escritas num sistema de coordenadas cilíndricas (r, , z) em virtude da simetria cilíndrica dessas máquinas. Usualmente faz-se o eixo z coincidir com o eixo de rotação da máquina. O escoamento sendo 3-D indica que as propriedades do fluido variam nas direção r, z. Entretanto, a observação do que acontece com o escoamento no interior da passagem entre as pás de uma grade revela que: a) Os efeitos viscosos se manifestam numa fina camada próxima das superfícies sólidas, o que permite aproximar o escoamento real por escoamento nãoviscoso; b) A velocidade do escoamento varia mais significativamente apenas nas proximidades das superfícies sólidas, o que permite considerar que a velocidade na seção de entrada do canal não varia muito, o mesmo acontecendo na seção de saída do canal; c) O escoamento nessas passagens acontece em regime permanente Feitas essas considerações, o escoamento pode ser aproximado como sendo 1-D. Então:  Apenas uma linha de corrente serve para representar todo o escoamento. Isto equivale a considerar os canais entre as pás de espessura nula (número infinito de canais), ao que corresponde pá de espessura nula (número infinito de pás)  A diferença de pressões entre as superfícies de pressão e de sucção da pá deve ser substituída por força que age no fluido  O vazamento pelas folgas nos topos das pás acarreta perdas  Os bordos de fuga induzem o aparecimento de esteiras e perdas

MÁQUINAS DE FLUXO 2013    W  Assim, para u’a máquina radial,  0 e, portanto, W  W (r ) 

3-23/65

permitindo-se que para um rotor centrífugo o escoamento possa ser representado como na Figura 3-20.

Figura 3-20- Modelo do Escoamento 1-D em rotor centrífugo A Figura 3-20, que representa um rotor com número finito de pás e estas de espessura não nula, e é um esquema da máquina real. Para compatibilidade com o modelo de número infinito de pás deve-se considerar que o escoamento segue a linha de esqueleto das pás reais. Para os cálculos 1-D é costume utilizar o ponto do escoamento localizado na altura média das pás e a meio caminho entre duas pás vizinhas como referência. As propriedades do escoamento a serem atribuídas a esse ponto são as propriedades médias. Esses pontos originam uma curva ao longo do canal entre as pás, não necessariamente uma linha de corrente. Ao se utilizarem as formas integrais das equações de conservação, o desempeno da máquina é baseado apenas nas variações de propriedades nas estações de entrada e de saída (A e B indicadas na Figura 3-20), não importando como o escoamento se desenvolve entre os pontos A e B, embora seja nesse caminho em que se dá a transferência de energia fluido-rotor. Os triângulos de velocidades na entrada e na saída do canal são calculados utilizando-se as velocidades médias.

3.4.2 PROPRIEDADES HOMOGÊNEAS

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-24/65

O fluido adere às superfícies sólidas devido à viscosidade, acarretando uma variação brusca da velocidade do fluido nas seções transversais do canal. Chama-se de perfil de velocidades à curva (ou superfície) que se obtém com o traçado de um gráfico das velocidades, como o indicado na Figura 3-21.

Figura 3-21- Perfil de velocidade à entrada do rotor e velocidade média O valor médio da velocidade é calculado por 1 V   VdA AA onde  é a área da seção considerada (entrada ou saída da grade), formada por duas pás consecutivas, pelo cubo e pela carcaça externa e V é a velocidade do escoamento em cada ponto nessa seção. Similarmente são calculadas as demais propriedades. No modelo 1-D a velocidade em cada seção da grade é homogênea e equivale ao valor médio da velocidade nessa seção.

3-25/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3.5 APLICAÇÃO ÀS MÁQUINAS DE FLUXO A finalidade desta seção é a preparação, de um modo unificado, das equações de conservação para serem aplicadas às máquinas de fluxo, seja para escoamento compressível ou incompressível, como também para rotor ou estator. As equações serão desenvolvidas para que seja facilitado o cálculo das dimensões principais dessas máquinas, bem como possa ser calculado o seu desempenho no ponto de projeto. O volume de controle a ser utilizado é o compreendido pelo canal formado por duas pás sucessivas, fechado na base pelo cubo e no topo pela carcaça externa.

3.5.1 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Permite a obtenção das dimensões da máquina) A equação da conservação da massa, em regime permanente, aplicada ao volume de controle (canal entre duas pás), é  

 v  ndS  0

# 3-6

SC

Não há fluxo de massa através das paredes sólidas. Portanto, a contribuição para o fluxo é apenas das seções de entrada, Se , e de descarga, Sd. Da equação # 3-6 vem

  0   v  ndS  SC

 

 

 

 v  ndS   v  ndS   v  ndS

Se  Sd

Se

# 3-7

Sd

e, daí,

 

 

 v  ndS   v  ndS Se

Sd

e como

 

 v  ndS  m Se

(o sinal negativo indica que a partícula está entrando no VC) e como

 

 v  ndS  m Sd

d

,

vem

e m d m

e

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

Figura 3-22- Nomenclatura em elemento de volume e m d m  = constante. isto é, a vazão em massa se conserva : m

3-26/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 3.5.1.1

3-27/65

MÁQUINA AXIAL

a) estator

Figura 3-23- Esquemas para estator de máquina axial 1 m 2 m

 1   1V1m dS1  1 V1m A1 m S1

 2    2 V2 m dS 2   2 V2 m A 2 m S2

1 V1m A1 =  2 V2 m A 2

Considerando a grade correspondente ao desenvolvimento no raio médio das pás: S





D  Di De  Di  2  D e  D i2  D e  D i D e  D i    e  D m h 4 4 2 2

Segue-se que A1  D1m h1 , A 2  D 2 m h 2

e, portanto,

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-28/65

1V1m D1m h1   2 V2m D 2m h 2

No caso de a grade possuir Np pás (embora a consideração seja de número infinito de pás) e o espaçamento ser s, vem:

D m  N p s

Dm  N p s /  1 V1m s1 h 1   2 V2m s 2 h 2

No caso particular de o escoamento ser incompressível e os diâmetros à entrada e à saída da grade serem iguais, isto é, as pás terem o mesmo comprimento, resulta que as velocidades meridionais são iguais: V1m = V2m.

b) Rotor

Figura 3-24 - Esquema para rotor de máquina axial Neste caso, Vm  Va ,

Wm  Wa e

1 m 2 m

 1   1 W1m dS1  1 W1m A1 m S1

 2    2 W2 m dS 2   2 W2 m A 2 m S2

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-29/65

1 W1m A 1 = 2 W2 m A 2

Considerando a grade correspondente ao desenvolvimento no raio médio das pás:

Figura 3-25- Grade axial e triângulo de velocidades S





D  Di De  Di  2  D e  D i2  D e  D i D e  D i    e  D m h 4 4 2 2

Segue-se que A1  D1m h1 , A 2  D 2m h 2

e, portanto, 1W1m D1m h1   2 W2m D 2m h 2

No caso de a grade possuir Np pás (embora a consideração seja de número finito de pás) e o espaçamento ser s, vem: D m  N p s

Dm  N p s /  1 W1m s1 h1   2 W2m s 2 h 2

No caso particular de o escoamento ser incompressível e os diâmetros à entrada e à saída da grade serem iguais, isto é, as pás terem o mesmo comprimento, resulta que as velocidades meridionais são iguais:

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-30/65

W1m  W2m ,

ou seja, V1m  V2m

e

V1a  V2a

Os triângulos de velocidades, para este caso, ficam:

Figura 3-26- Triângulos de velocidades de uma turbina - entrada do rotor

Figura 3-27- Triângulos de velocidades de uma turbina - velocidade meridional constante

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3.5.1.2

3-31/65

MÁQUINA RADIAL

a) estator 1 m 2 m

 1   1V1m dS1  1V1m A1  1V1r A1 m S1

 2    2 V2 m dS2   2 V2 m A 2   2 V2 r A 2 m S2

Figura 3-28- Esquema de grade de estator radial (injetor de uma turbina radial) 1V1r A 1 = 2 V2 r A 2

Considerando o desenvolvimento da grade correspondente aos raios interno e externo das pás: A1  D1h 1 , A 2  D 2 h 2

vem 1V1r D1h1   2 V2r D 2 h 2 .

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-32/65

No caso particular de o escoamento ser incompressível e as pás terem altura constante, resulta que: D1V1r  D 2 V2r Como D1  D 2 , vem V1r  V2r , isto é, neste caso o estator acelera o escoamento, funcionando como um injetor. b) rotor  1   1 W1m dS1  1 W1m A 1  1 W1r A1 1 m  2, m m S1

Figura 3-29- Esquema de rotor radial

 2    2 W2 m dS 2   2 W2 m A 2   2 W2 r A 2 m S2

1 W1r A 1 = 2 W2 r A 2

Considerando o desenvolvimento da grade correspondente aos raios interno e externo das pás:

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 A1  D1h1

e

3-33/65

A 2  D 2 h 2 ,

segue-se que 1V1r D1h1   2 V2r D 2 h 2 , pois Vr  Wr

É aconselhável que a velocidade meridional não varie, isto é, V1m  V2m ,

ou V1r  V2r

para evitar efeitos da difusão. Neste caso, os triângulos de velocidades ficam

Figura 3-30- Triângulos de Velocidades - rotor radial - velocidade meridional constante

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3.5.1.3

3-34/65

MÁQUINA DE FLUXO MISTO (DIAGONAL)

À máquina diagonal se aplicam as mesmas equações da máquina radial, desde que se tenha em conta que as propriedades nas seções de entrada e de saída sejam médias, isto é,

Wm 



  1 W  ndA  A A

1 dA A  A

As superfícies das seções (1) e (2) são superfícies de troncos de cones cujas áreas podem ser avaliadas por A  D m h

Com

1 D m  (Di  D e ) 2

Figura 3-31- Esquema de rotor diagonal (misto)

3-35/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 3.5.2 CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR 

(Relaciona os parâmetros P, v e  do escoamento) EQUAÇÕES DE EULER E DE BERNOULLI A equação 4.16 pode ser rescrita como           V     VV  p I     g  0   t

 

Equação de Euler

 Com  definido por,        2D   (  V ) I sendo:  D - Diádica de deformação;  - Viscosidade dinâmica do

fluido;  - 2º coeficiente de viscosidade;

Substituindo na equação 4.16, temos,            V     VV  p I     (2D  (  V) I )  g  0   t

 

Como

       P  P     p I   ei  Pe k e l  kl   e k  ik  e i  p ,   x i x i x i

e

            V  V  e i  Ve k e l  kl  e k  ik  e i  V , vem    VI     x i x i x i





          V     VV  p I     (2D  (  V) I )  g  0   t

 

                 V    V V  V   V  p  g    (2D)    (  V) I   0     t

     

Pondo



  g  gz

obtém-se                 V    V V  V   V  P  gz    (2D)    (  V) I   0   t

     

ou



              V    V    V V  V   V  P  gz    (2D)    (  V) I   0       t t

   



# 3-8

3-36/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 Da equação da continuidade tem-se

 

      V  0 , t

o que permite escrever

           V   V  V  P  g  z    (2D)    (  V) I   0     t   

 Dv Dt

Mas e, então,         DV  P  gz      (2D)    (  V) I    Dt

# 3-9

Uma expressão mais geral pode ser obtida, notando-se que          v v Dv v v dx v dy v dz v v       Vx  Vy  Vz  Dt t x dt y dt z dt t x y z     V   V V    t 2





 v   2 

      v v  

 

e que, também,      DV V  V 2   ( )  V  (  V) t 2 Dt 

onde V  V 







Como numa linha de corrente verifica-se V  (  V )  0 , a equação 5-6 da conservação da quantidade de movimento pode ser rescrita como

    V2        V   ( )  P  gz    (2D)    (  V ) I    t 2 



Para escoamento incompressível,   V  0 e  = const.     V  V 2 P  (   gz)    (2D) t  2  onde  é considerado constante e   

Numa linha de corrente, tem-se:

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-37/65

  df f  t  ds



onde t é um vetor unitário tangente a linha de corrente.       V   V 2 P  t  (   gz)  t    (2D)  t t  2

ou

     V  d V 2 P t (   gz)    (2D)  t t ds 2 

Multiplicando por ds,     V  dV 2 dP  t ds    gdz    (2D)  t ds t  2

ou    V dV 2 dP ds    gdz    (2D)  t ds t 2 

3.5.2.1

EQUAÇÃO DE BERNOULLI

A equação de Euler é válida para escoamentos incompressíveis e compressíveis



3.5.2.1.1

        1 V ds  dP  dV 2  gdz    (2D)  t ds    (  V ) I   t ds   2 t

Equação de Bernoulli para escoamento incompressível

Para escoamento incompressível, a forma completa da Equação de Bernoulli é obtida através da integração da equação de Euler entre dois pontos quaisquer sobre uma mesma linha de corrente:   2  P  P1 1 2 2 V v 2  v 12  2  gz 2  z 1    1 ds     (2D)  t ds 2  t 1





Se o regime de escoamento for permanente e o fluido não for viscoso, os termos do lado direito da forma completa da equação de Bernoulli são nulos. A nova fórmula obtida é conhecida como a Equação de Bernouilli

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

P V2   gz   2

3-38/65

# 3-10

constante

Deve-se observar que a equação de Bernoulli se aplica a escoamento permanente, não viscoso (sem perdas), incompressível sobre uma mesma linha de corrente (ou escoamento irrotacional).

Numa máquina de fluxo, embora o escoamento seja muito mais complexo, é adequado considerá-lo mais simplificado de tal forma que satisfaz estas condições. Desta forma, a equação de Bernoulli é bastante empregada no estudo dessas máquinas. Deve-se, todavia, observar que o termo ção absoluta

 dv dt

1 2 V 2

foi derivado do termo de acelera-

da equação de Euler. Nos estatores, essa aceleração coincide com a

aceleração relativa (do escoamento dentro do canal), o que permite aplicar a equação de Bernoulli também para o escoamento relativo.

Nos rotores, entretanto, é conveniente utilizar informações do escoamento relativo. Desta forma, é preciso alterar as equações de conservação escrevendo a  aceleração absoluta

3.5.2.1.2

dv dt

em termos da aceleração relativa.

Equivalente da equação de Bernoulli para escoamento compressível

Como a equação de Bernoulli é válida apenas para escoamentos incompressíveis, não pode ser aplicada a compressíveis. Muitos fluidos de interesse em engenharia são compressíveis (ar, produtos da combustão em ar atmosférico, etc.) e se comportam razoavelmente como de gases perfeitos, cuja equação de estado é P  RT

Nas máquinas de fluxo compressível pode haver variação apreciável da temperatura do fluido devido à variação da pressão ao longo da máquina. Entretanto, a troca

3-39/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

de calor com o ambiente externo é muito pequena face às demais formas de energia do escoamento. Isto permite considerá-las como sendo máquinas adiabáticas. Esses escoamentos idealizados, sem perdas, são isentrópicos. Utilizando-se aa equação de Gibbs e fazendo-se a hipótese de propriedades constantes, pode-se obter a equação isentrópica

P  k 

, com k uma constante e  

cP cV

.

dP 

Para escoamento compressível, a integração do termo

da equação de Euler

só pode ser feita se for conhecido como varia a densidade em função da pressão (no caso incompressível, a densidade era constante). Muitos dos fluidos compressíveis usuais tem densidade pequena, o termo g.dz, correspondente ao peso da partícula fluida, pode ser desprezado. Tem-se, então, a equação Erro! A origem da referência não foi encontrada. reduzida a: dP 1  dV 2  0  2

# 3-11

Então, dP  k   -1d





dP/  k   -2 d   1 dP 2  2     k d k   1 p1 1

p2

2

k 1

P    2s      2 s 1  1 1  1 1   1  1 1   1 



P1







  2 s 1  1 1   1

  

 1

    T1  2s  1  R   1  1   

  

 1

  1  

ou   dP 2s c T    p1 1   p1  1

p2

pois

R

  

 1

  cp .  1

  1  

# 3-12

3-40/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

Ainda,

 dP  P2s   c p1 T1  P p1  1 

p2

P2s   2s    P1  1 

  

 1 



ou

 2s  P2s    1  P1 

1



, de onde vem

   1  

# 3-13

A equação # 3-10, integrada ao longo de um percurso 1-2s considerando processo isentrópico, dá:   P c p1 T1  2s P  1 

  

 1 

 2 2  V2s  V1  1  0 2  

ou



P2s  V22s  V12   1  1   P1  2c p1 T1 

# 3-14

Também,    P2s  P1  V22s  V12   1  P1  1  1   2c p1 T1  1   1  

ou    P2s  P1  V22s  V12   1   1    1RT1 1 2c p1 T1     

Como no estator de u’a máquina movida V2s  V1 , segue-se que no estator a pressão estática aumenta.

P2s  P1

, isto é,

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 3.5.2.1.3

3-41/65

Equação de Bernoulli para Estator

Com as hipóteses de escoamento 1-D incompressível, a equação de Bernoulli aplicada a um estator resulta, desprezando-se o termo g(z 2  z1 ) :   P2  P1 V22  V12 2       (2D)  t ds  2 1

ou   P V 2  V12 2   2     (2D)  t ds  2 1

Como, no estator de uma máquina movida, V2  V1 , então p  0 , isto é, no estator a pressão estática aumenta. Note-se que, embora sejam considerados estatores as IGVs de máquinas movidas, nessas grades V2  V1 e, portanto, a pressão estática diminui.

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 3.5.2.1.4

3-42/65

Equação de Bernoulli para Rotor

Deseja-se utilizar as propriedades do escoamento relativo no rotor. Como as equações de conservação requerem propriedades absolutas, é necessário que se introduzam as informações relativas ao movimento do rotor na equação de Euler. Para isto basta que o termo da derivada substancial (derivada material ou derivada total) seja expresso em termos das acelerações relativas. Sejam, portanto, os sistemas inercial (X1,X2,X3) e não-inercial (x1,x2,x3) os sistemas de coordenas cartesianas, conforme esquematizado na Figura 3-32. A equação vetorial ligando os vetores de posição de uma partícula de fluido genérica é

Figura 3-32- Esquema para determinação da aceleração de uma partícula de fluido    R  Ro  r .

Derivando-a membro a membro, dá    DR DR o D r   Dt Dt Dt

com

Como

tem-se

 DR  V Dt

,  DR o   Vo . Dt

e

  DE i DR DX i  Ei  Xi  Dt Dt Dt

,

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MÁQUINAS DE FLUXO 2013   De i D r Dx i  ei  x i  Dt Dt Dt

 De i      ei Dt

e

 Dx i  ei  W Dt

vem:        Dr    W    x i ei  W    r  W  U Dt

ou         V  Vo  W    r  Vo  W  U

# 3-15

Derivando a equação # 3-15 em relação ao tempo, tem-se:      DV DVo DW D   D r     r   Dt Dt Dt Dt Dt

# 3-16

de onde, pondo  DV  a Dt

(aceleração absoluta ou inercial)

 DVo   ao Dt

(aceleração absoluta da origem do sistema

não-inercial)   D 2 x i  Dx i Dei D 2 x i  Dx i   DW D Dx i  ( ei )  e ei       ei  i Dt Dt Dt Dt Dt Dt Dt 2 Dt 2 D 2 x i   Dx i  D 2 x i       ei    ei  ei    W  a r    W Dt Dt 2 Dt 2

onde a aceleração relativa vale  D2xi  ar  ei Dt 2

A equação # 3-16 fica, portanto,       D       a  ao  ar   W   r    W    (  r )  Dt         D   ao  ar   r  2  W    (  r )  Dt

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-44/65

ou

         D  a  ao  ar   r  2  W    (  r ) Dt

# 3-17

Definindo   D  at  r Dt     a n    (  r )

aceleração tangencial aceleração normal ou centrípeta

   a co  2  W

aceleração de Coriolis,

tem-se, da equação # 3-17 :       a  a o  a r  a t  a co  a n

# 3-18

No caso das máquinas de fluxo girando com velocidade angular constante, com o seu eixo coincidindo com o eixo z, tem-se     e z   at  0   ao  0      a n   e z  (  e z  r e r )    2 re r

       a co  2e z  Wi ei  2Wi e z  ei  2( Wr e   W e r )

e, então, a equação # 3-18 torna-se:      a  a r  2( Wr e   W e r )   2 re r

Demonstra-se que a aceleração relativa pode ser escrita na forma   W2        W  (  W ) a r     2 

e, portanto, a equação # 3-19 torna-se

# 3-19

3-45/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013         W2     W  (  W )  2( Wr e   W e r )  2 re r a     2 

# 3-20

Em coordenadas cilíndricas,   1      r e r    e    z e z r

e, daí,   U2   2

   (r ) 2      2  

     2 re r ,  

o que permite rescrever a equação # 3-20 na forma:    W2  U2 a   2 

        W  (  W )  2( Wr e   W e r )  



Substituindo-se a 

 DV Dt

# 3-21

na equação # 3-8, multiplicada escalarmente, membro 

a membro, pelo elemento de comprimento de arco d s , vem:               P  d s  g  d s  a  d s    (2D)  d s    (  W ) I   d s  

# 3-22

que é a chamada Equação de Euler para rotores. Notar que, na parte referente às tensões viscosas, deve-se usar a velocidade relativa (o efeito viscoso está associado aos gradientes da velocidade no canal). Essa equação pode ser rescrita de várias formas como, por exemplo, levando-se em conta que: a)

  P  d s  Pr dr  P d  Pz dz  dP

b)

 rd dr     2( Wr e   W e r )  d s  2Wr W     W Wr 

Como a equação diferencial que define uma trajetória de partícula com velocida de W , num sistema de coordenadas cilíndricas, é Wr W Wz   dr rd dz

, em conseqüência,

rd dr  W Wr

,

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-46/65

isto é, o termo entre colchetes na expressão b) é nulo sobre uma mesma linha de corrente. 







c) W  (  W )  d s  0 





porque W  (  W ) é perpendicular a à linha de corrente e, portanto, ao seu elemento  comprimento de arco ds , por definição. 



d) g  gz , de onde resulta     g  d s  gz  d s  gdz

Segue-se, então, que a equação# 3-22 pode ser rescrita na forma dP 

        1 d W 2  U 2  gdz    (2D)  d s    (  W ) I )  d s   2





# 3-23

que é a Equação de Euler para uma linha de corrente (do escoamento relativo), em regime permanente e para u’a máquina com velocidade angular constante. Pode-se observar que, no caso de um rotor parado (   0 ), a velocidade periférica é nula, a velocidade relativa coincide com a velocidade absoluta e as equações #

3-23 e Erro! A origem da referência não foi encontrada. tornam-se idênticas, como era de se esperar. De um modo geral, para escoamentos incompressíveis e viscosos, integrandose a eq. 5-25 enter os pontos 1 e 2:

P 

  2  1  U 22  U 12  W12  W22  gz     (2D)  t ds 2 1



 



# 3-24b

Para fluidos incompressíveis e não viscosos, a equação pode ser simplificada e passa a ser conhecida como Equação de Bernoulli para rotores:

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-47/65

# 3-25

P 1  ( W 2  U 2 )  gz  const  2

Para variações de z desprezíveis, esta equação aplicada à entrada e à saída de um rotor dá



 

P 1 2  U 2  U12  W12  W22 2 



# 3-26

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-48/65

3.5.2.1.5 Equivalente da Equação de Bernoulli para rotores para escoamento compressível Para escoamento isentrópico compressível de gás perfeito, procedendo-se analogamente ao feito para obter a equação # 3-15, chega-se a: 

P2s  W12  W22s U 22  U12   1  1    P1  2c p T1 2c p T1 

# 3-27

Observe-se que W12  W22s 2c p T1

é a contribuição da variação da energia cinética rela-

tiva e que U 22  U12 2c p T1

é a contribuição do efeito centrífugo.

A equação # 3-27 reduz-se à equação # 3-13 quando o rotor estiver parado, pois a velocidade periférica é nula e a velocidade relativa coincide com a velocidade absoluta.

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-49/65

3.5.3 CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR (Relaciona o trabalho específico e a potência com as velocidades do escoamento) Deseja-se calcular o torque (momento) transmitido pelo eixo da máquina, resultante das forças que atuam nas pás. Para tanto, considera-se um sistema de coordenadas ortonormal com o eixo z coincidente com o eixo de rotação da máquina. Os momentos nas outras duas direções não serão calculados porque são contrabalançados pelos mancais. Apenas a componente de momento das forças tangenciais ao rotor é de interesse. Conforme foi estabelecido anteriormente,  Mz   rVudm SC

Para a determinação do torque na direção z, associado à rotação do rotor, é preciso que se calcule a integral acima, sobre a superfície de controle envolvendo o canal entre duas pás consecutivas. Para tanto, é preciso conhecer a distribuição radial da velocidade tangencial Vu .

Considerando um valor médio para o integrando rVu nas seções de entrada e de saída da grade (há diversas maneiras de tratamento do termo rVu , outra delas é admitir a hipótese de vórtice livre, que dá rVu =constante),  1  r2 V2 u m  2 m  (r2 V2 u  r1V1u ) , M z  r1V1u m

ou,  (r2 V2 u  r1V1u ) Mz  m

# 3-28

A potência associada ao torque Mz, quando a velocidade angular do eixo é  , será:   M  m  (r2 V2 u  r1V1u )  W z  (r2 V2 u  r1V1u ) m

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-50/65

ou  m  ( U 2 V2 u  U1V1u ) W

# 3-29

de onde resulta que o trabalho específico (potência específica), We 

 W  m

,

vale We  ( U 2 V2 u  U1V1u )

# 3-30

Esta expressão pode ser trabalhada levando-se em conta os triângulos de velocidades: We U 2 V2sen 2  U1V1sen 0







1 2 U 2  V22  W22  U12  V12  W12 2



1 2 U 2  U12  V22  V12  W12  W22 2







Logo, We  ( U 2 V2 u  U1V1u )

ou We 



 

 

1 2 U 2  U12  V22  V12  W12  W22 2



O primeiro termo entre parênteses (segundo membro) corresponde à energia para fazer o fluido girar ao redor do eixo; o segundo corresponde ao aumento da energia cinética no rotor e o terceiro à recuperação da energia de pressão devida à redução da velocidade relativa do fluido. No caso de compressores axiais em que a relação de raios cubo-carcaça é elevada (> 0,85), a velocidade periférica (ou velocidade tangencial) U2 é aproximadamente igual à velocidade tangencial U1 e, por simplicidade, serão designadas por U. Assim, We  U(V2 u  V1u )  UVu  UWu

# 3-31

Neste caso, deve-se observar que o trabalho específico We é calculado a partir

3-51/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

da velocidade periférica U e da diferença das velocidades tangenciais V1u - V2u , (ou W2u - W1u ). Levando-se em conta a Eq. 5-27, We 



 

 

1 2 1 U 2  U12  W12  W22  V22  V12 2 2

We 



P 1 2  V2  V12  2

We 





Pt 

Figura 3-33- Triângulos de velocidades - máquina axial - velocidade axial constante Observação que We  UVu  UWu e esses triângulos de velocidades pode-se concluir que, fixada a vazão em massa e a potência produzida pela máquina:



precisa-se de pequena deflexão do escoamento quando a velocidade U for elevada, pois Vu deve ser pequeno



a deflexão  do fluido deve ser maior quando a velocidade U for pequena, pois Vu deve ser elevado.

A deflexão  que as pás devem impor ao fluido é limitada devido às características aerodinâmicas do escoamento. Então, para se conseguir trabalho específico elevado é preciso que a velocidade periférica seja elevada. O máximo valor de U é impos-

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3-52/65

to por limitações metalúrgicas, hoje este limite é de cerca de 450 m/s. As equações 5-29 e 5-30 são aplicáveis a máquinas axiais e radiais indistintamente. Deve-se observar, ainda, que o trabalho específico é positivo para as máquinas movidas, e negativo para as máquinas motoras. Esse sinal é apenas convencional, estando associado com a direção do fluxo de energia: nas máquinas movidas o eixo está fornecendo energia ao fluido; nas máquinas motoras está retirando energia do mesmo.

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3.5.4 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA (Relaciona o trabalho específico e a potência com parâmetros do escoamento: h,  P,  e v ) Com as mesmas hipóteses feitas no caso das outras duas equações de conservação (regime permanente, escoamento adiabático, sem geração de energia, nãoviscoso e sem trabalho externo), a equação 4-28 fica v2

 

 

 

 (e  2 )( v  n )dS   g  vdV   Pv  ndS SC VC  SC     v gdm 

VC      trabalho na direção de g na unidade de tempo

 (e  SC

  v2   P   )v  dS g  vdV   v  dS = 2 VC SC 

 P   v2   ( e )  gz   v  dS 0     2  SC 



P

v2

=  (e  )  gz  dm 0 2    SC Resolvendo a integral levando-se em conta que o escoamento é incompressível e com as propriedades uniformes nas seções de entrada e de descarga da máquina vem: (e 2 

v 22 P v2 P  gz 2  2 )  (e1  1  gz1  1 )  0 2 2 2 1

ou e

v2 P  gz   const 2 

# 3-32

No caso de haver trabalho específico de eixo e/ou transferência de calor pela superfície de controle, estas formas de energia ser levadas em conta. Neste caso, (e 2 

v 22 P v2 P  gz 2  2 )  (e1  1  gz1  1 )  Q  W 2 2 2 1

# 3-33

Define-se entalpia específica h (ou simplesmente entalpia, ou entalpia estáti-

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-54/65

ca) por h e

P 

# 3-34

Define-se entalpia total ou entalpia de estagnação a soma da entalpia específica com a energia cinética específica, isto é, ht  h 

v2 2

# 3-35

Desta forma, a equação da energia pode ser rescrita como h t  gz    Q  W

# 3-36

Quando não houver trabalho de eixo, transferência de calor através da superfície do volume de controle e gz for desprezível, resulta h t  0

isto é, ht é constante: a entalpia de estagnação se conserva (estator). Para o rotor: h t  We

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-55/65

3.5.5 CÁLCULO DO TORQUE E DA POTÊNCIA NAS MÁQUINAS DE FLUXO Em geral são utilizadas as informações de potência e de trabalho específico obtidas através das equações de conservação da quantidade de movimento angular e da energia. A aplicação do princípio de conservação da quantidade de movimento angular resultou na equação # 3-31:  m  ( U 2 V2 u  U1V1u ) W

A aplicação do princípio da conservação de energia resultou na equação # 3-33 e na equação # 3-36, de onde se pode obter:  m  h t  gz  W

# 3-37  é a potência de eixo. Portanto, pode-se escrever Nessas duas expressões, W

que  ( U 2 V2 u  U1V1u )  m   (h t  gz) m

ou U 2 V2 u  U1V1u  h t 2  h t1  g(z 2  z1 )

# 3-38

que é a equação básica para avaliação da potência transmitida ao fluido (ou retirada do fluido) a partir de informações dos triângulos de velocidades. No caso das máquinas térmicas (turbinas a vapor e turbinas a gás), o termo gz é desprezável, podendo a expressão acima ser simplificada para

# 3-39

h t 2  h t1  U 2 V2 u  U1V1u

Considerando-se escoamento de gases perfeitos de propriedades constantes, tem-se h  cpT ,

pois

h t  c p Tt

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 h t  cpT 

V2 V2  c p (T  ) 2c p 2

e Tt  T 

V2 2c p

3-56/65

.

Define-se temperatura total ou temperatura de estagnação por Tt  T 

V2 2c p

# 3-40

Em conseqüência, a equação # 3-39 pode ser rescrita na forma c p 2 Tt 2  c p1Tt1  U 2 V2 u  U1V1u .

Para calor específico constante (ou aproximadamente constante, o que é verdadeiro se Tt2 não diferir muito de Tt1): We  c p (Tt 2  Tt1 )  U 2 V2 u  U1V1u

# 3-41

O sinal de We, trabalho específico, é convencional, como já se ressaltou anteriormente. É considerado positivo para as máquinas movidas e negativo para as máquinas motoras. Um caso importante a ser estudado é o da compressão (ou expansão) isentrópica. Para esse processo, P e T estão relacionados pela relação isentrópica 

P2  T2   1   P1  T1 

# 3-42

Nesta expressão é preciso que se tenha em mente que o índice 2 indica o final de um processo isentrópico iniciado em 1. Para ressaltar essa informação é usual utilizar a seguinte notação: 

P2s  T2s   1   P1  T1 

com s indicando processo isentrópico iniciado em (1) e terminando em (2) (ou viceversa). No que se segue, a menos que a omissão do s possa dificultar o entendimento, será mantida a notação sem o s, cabendo ao aluno tê-lo sempre em mente. Em correspondência à temperatura total define-se a pressão total ou pressão de estagnação por

MÁQUINAS DE FLUXO 2013



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# 3-43

Pt  Tt   1   P  T  

isto é, no estado (1) tem-se

Pt1  Tt1   1   P1  T1  

e, no estado (2),

Pt 2  Tt 2   1   P2  T2  

Então,



Pt 2 Pt 2 P2 P1  Tt 2 T2 T1   1  Tt 2   1        Pt1 P2 P1 Pt1  T2 T1 Tt1   Tt1  

e, analogamente,



Pt 2 Pt 2 P2  Tt 2 T2   1  Tt 2   1       P1 P2 P1  T2 T1   T1 

 kg/s de ar do estado (1) para o estaPara um compressor de ar, bombeando m do (2), o trabalho de compressão isentrópica será

3-58/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

Figura 3-34- Diagrama T-S com indicação de condições estáticas e totais (compressão)  1       Tt 2  P   1   t 2   1  c p Tt1 rC   1 WC  c p (Tt 2  Tt1 )  c p Tt1   1  c p Tt1   P     Tt1  t1    

P

onde rC é a relação de pressões (ou taxa de compressão), definida por rC  t 2 . Pt1 Analogamente, para uma turbina expandindo um gás ideal:          Tt 2  1   c p Tt1 1  1   1  c p Tt1   WT  c p (Tt 2  Tt1 )  c p Tt1  1  1  1      Tt1   rT     Pt1     P    t2  

A razão de expansão da turbina, rT , é dada por rT 

Pt1 . Pt 2

Figura 3-35- Diagrama T-S com indicação de condições estáticas e totais (expansão)

3-59/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

No caso de compressão não-isentrópica, deve-se observar que s 2  s1 

T2

dh T 

P

2  T  R ln P . 1 T1

Define-se eficiência isentrópica de compressão por C 

h 't 2  h t1 , expressão esta que pode ser rescrita em termos de temperah t 2  h t1

tura caso C P  const C 

Tt' 2  Tt1 Tt 2  Tt1

Define-se eficiência isentrópica de expansão por T 

T 

h t1  h t 2 h t1  h 't 2

e, também, se C P  const , tem-se

Tt1  Tt 2 Tt1  Tt' 2

É bastante útil, também, notar que a Lei de Conservação de Massa pode ser escrita na forma: m  AV  const A Equação dos Gases Perfeitos P  RT e a definição do Número de Mach M

V

a 

,

com

Daí segue-se que

 m

Pondo

T  Tt (1 

RT

 RT

= velocidade do som, permitem escrever V =

M RT .

P  P AM AM RT RT R T   1 2 1 M ) 2



  m

  1 2   1 P (1  M )  t 2 AM , 1 R  1 2 2 Tt (1  M ) 2

ou



e

P  Pt (1 

  1 2   1 M ) 2

vem:

3-60/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013   m

 Pt A R Tt

M  1

(1 

  1 2 2(  1) M ) 2  1

K

Pondo

  2  2(  1)   R    1   1

e

 1  2(  1)    2    M  1 2   M  1 2  

tem-se:  Tt m Pt

 KA  const .

Traçando-se o gráfico da função   (M) , para figura 5.1.

 = 1,3, 1,4 e 1,6 obtém-se a

1.0

0.8 (M) x M

0.6 

0.4

0.2  = 1.6  = 1.4  = 1.3

0.0 0

1

2 3 Número de Mach - M

4

Figura 3-36 - Gráfico da função

5

(M)

Observa-se que (1)  1 e que, da equação da continuidade,

Pt Tt

A  const .

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 3.6

3-61/65

GRAU DE REAÇÃO Considere-se um estágio padrão de uma bomba, constituído de um rotor e de

um estator. No estágio obtém-se a elevação global de pressão do fluido, sendo que parte dessa elevação se dá no rotor e o restante no estator. Em princípio, podem-se projetar estágios capazes da mesma elevação de pressão, mas com aumentos de pressão no rotor variando de zero até 100% do aumento de pressão total, Esses acréscimos de pressão estão relacionados com as velocidades do escoamento nas grades e, estas, com as velocidades e suas direções de entrada e de saída das grades (triângulos de velocidades). Considerem-se os triângulos de velocidades dados pela Figura

3-37.

Figura 3-37– Triângulos de velocidades a)

0% de aumento de pressão no rotor

b)100% de aumento de pressão

no rotor.

Essas características dos triângulos de velocidades são estudadas através do grau de reação do estágio. Define-se grau de reação (ou reação) de u'a máquina de fluxo como sendo a relação entre a variação da entalpia estática no rotor e a variação da entalpia de estagnação no estágio. 

h R h t R  h t E

3-62/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

V1 U/U

V2/U Va/U

 

V1/U

V2

V3

W1/U

W2/U

DVu/U



V4

Figura 3-38- Estágio axial e seus triângulos de velocidades Observando-se a forma dos triângulos de velocidades permite-se que se tenham informações sobre o grau de reação do estágio. Sem perda de generalidade, considere-se escoamento incompressível e um estágio formado por grades com pás de altura constante. A Figura 3-38 representa um desses estágios e seus triângulos de velocidades.

Para escoamento incompressível valem as relações, para rotor e estator, respectivamente (considerando a altura de energia entre entrada e saída da máquina desprezível):  P  P P    h R  h 2  h1  2 1    R

 P  P  P V 2  V12    h t R  h t 2  h t1  2 1  2  2   t R

 P  P P    h E  h 4  h 3  4 3    E

3-63/65

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

 P  P4  P3 V42  V32     h t E  h t 4  h t 3    2  t E

 P    P2  P1   R   2 2 2 2  P   P       P2  P1    V2  V1  P4  P3    V4  V3 2 2   t R   t E

Para facilidade de análise, considerem-se as velocidades do triângulo normalizadas pela velocidade tangencial U. Considere-se, também, que as condições à saída do rotor e à entrada do estator não se alteram (são iguais) e que V1  V4 . Designando-se por * o grau de reação desse estágio com características especiais, tem-se * 

P2  P1 P4  P1

Mas



 





 

 

 



P2  P1 1 2  U 2  U12  W12  W22  2

e P4  P3 1 2 1 1  W3  W42  V32  V42  V22  V12  2 2 2



Portanto,



1 2 U 2  U12  W12  W22 2   1 2 1 U 2  U12  W12  W22  V22  V12 2 2 *

* 







 

 

 

1 2 U 2  U12  W12  W22 2

 

 



1 2 U 2  U12  W12  W22  V22  V12 2

 



 

1 2 U 2  U12  W12  W22 2  U 2 V2 u  U1V1u



MÁQUINAS DE FLUXO 2013 Como

U2 = U1 = U vem

Como

W 2  Wa2  Wu2

* 

* 

3-64/65

W12  W22 2UVu

e como velocidade axial é considerada constante, tem-se

W12u  W22u 2 UVu

Pelo fato de W  U - Vu

segue-se que

W12u  W22u  ( W1u  W2 u )( W1u  W2 u )  ( W1u  W2 u )Wu  ( W1u  W2 u )Vu

de onde resulta * 

W1u  W2 u 2U

Os triângulos de velocidades podem ser redesenhados utilizando-se essas informações. A Figura 3-39 representa esses triângulos de velocidades.

W1/U



W2/U

  

W1u+W2u 2U

 

Figura 3-39- Triângulos de velocidades para análise do grau de reação Uma conclusão imediata é que o estágio com 50% de reação possui triângulos de velocidades simétricos.

O grau de reação está associado à curvatura e à montagem das pás, isto é, à

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

3-65/65

forma do rotor, pois pode ser calculada em função dos triângulos de velocidades. Está também associado à eficiência de cada grade, visto que as velocidades do escoamento nos canais do rotor e do estator dependem de quão eficientemente se escoa o fluido.

Máquinas de ação têm grau de reação zero; máquinas de reação têm grau de reação maior que zero. De um modo geral, bombas, ventiladores e compressores são máquinas de reação porque, no rotor, a pressão de descarga é maior do que a de entrada. A turbina Pelton é um exemplo de turbina de ação visto que a pressão do escoamento permanece constante ao longo do rotor (pressão ambiente).

Pelo fato de as velocidades relativas e absolutas serem mais elevadas nos casos limites do grau de reação (100% e 0% respectivamente) e as perdas serem proporcionais aos quadrados dessas velocidades, as máquinas com  por volta de 50% são mais eficientes. Isto se verifica na prática, o que resulta na exigência de projeto de 50% de reação na altura média da pá, como tentativa inicial.

4-1/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 4. -

MÁQUINAS DE FLUXO REAIS

Os objetivos deste capítulo são:  Explicar as diferenças entre as condições de funcionamento de uma máquina ideal e de uma máquina real.  Analisar as perdas em processos reais aplicáveis a máquinas de fluxo.  Apresentar as teorias da pá isolada e da grade, ressaltando suas diferenças. Calcular os diversos parâmetros relacionados às máquinas de fluxo.  Selecionar tipos de pás para as máquinas de fluxo e calcular o seu empalhetamento (montagem das grades).  Descrever as equações aplicáveis a escoamentos compressíveis em máquinas de fluxo.

As simplificações introduzidas nas equações de conservação, no capítulo 5, tiveram o intuito de se chegar a fórmulas de fácil aplicação, para a avaliação de alguns parâmetros importantes de uma máquina de fluxo, como a potência de eixo, grau de reação etc. Essas simplificações foram referentes

tanto às características do

escoamento, quanto à geometria das máquinas. As equações na forma integral permitem que a máquina seja tratada como uma caixa preta no sentido de que todo o seu desempenho pode ser obtido a partir das propriedades do escoamento à entrada e à saída, sem ser levado em conta o que acontece com o escoamento do fluido nos canais da máquina (rotor, estator e espaço livre entre eles). É nesses canais que se dá a transferência de energia. A sua forma geométrica influencia bastante o escoamento e, portanto, há um relacionamento da geometria desses canais com o melhor ou pior desempenho da máquina, o que deixou de ser levado em conta nas simplificações adotadas. É preciso levar-se em conta a forma construtiva da máquina no seu desempenho. Designa-se por perda de desempenho qualquer afastamento de desempenho relacionado ao desempenho da máquina ideal. As perdas e os processos pelos os quais elas afetam o desempenho precisam ser identificados e obtidos modelos para serem calculadas. Devem ser feitas alterações no modelo ideal, desenvolvido no capítulo anterior, para incluir essas perdas. A identificação das perdas e o

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-2/57

conhecimento de como aparecem permite conhecer melhor o funcionamento da máquina e, portanto, permite avaliá-la melhor.

4.1.

SEPARAÇÃO DE PERDAS

Como em todas as máquinas de fluxo há conversão de energia e como em todo processo de conversão de energia há perdas, torna-se necessário o conhecimento detalhado dessas perdas. Quanto menores essas perdas, tanto melhores são as máquinas na conversão de energia. Define-se a eficiência global  da máquina como o quociente da potência por ela produzida pela potência que ela absorve.

 a potência disponível no fluido à entrada (ou à Costuma-se identificar por W h  a sua potência de eixo, incluindo nela a potência gasta saída) da máquina e por W e com acionamento de acessórios, caixas de redução, etc.. Assim a eficiência global é calculada, para máquinas movida e motora, respectivamente, por: 

 W h  W eixo

e



 W eixo  Wh

Portanto, para a determinação da eficiência dessas máquinas deve-se estar

  W  W  interessado na avaliação das perdas totais, W P h eixo .  (ou As perdas totais ou globais podem ser separadas em perdas internas W i  perdas hidráulicas) e perdas externas, W m daí

 W  W  . W P i m As perdas internas se manifestam pela alteração da entalpia que poderia ser

operada pela máquina, com o correspondente acréscimo de entropia à entropia do fluido à sua entrada. As perdas externas são aquelas associadas aos processos mecânicos com atrito (mancais, ventilação, etc.); às transferências de calor através da carcaça da máquina, tanto por condução como por convecção e radiação; às vedações, aos labirintos.

4-3/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

Dependendo do tipo de máquina, essas perdas podem ser significativas. Em geral, as transferências de calor pela carcaça são desprezíveis face à energia em trânsito pela máquina.

As perdas internas mais significativas são:

 as de atrito viscoso do fluido com as pás

 W av

 as de atrito viscoso do fluido com a carcaça

 W c

 as decorrentes de escoamento secundário

 , W s

 as devidas a ondas de choque

 , W sh

 as devidas às fugas nos topos das pás

 , W f

 as devidas à velocidade de saída não nula

 . W v

É importante conhecer as causas dessas perdas. É no rotor que se dá a transferência de energia na máquina. O fluido se escoa em canais formados pelas pás, recebendo delas ou transferindo para as mesmas a energia. As fontes principais de perdas no rotor são o atrito viscoso do fluido com as paredes sólidas, onde aparece a camada limite e, portanto, o atrito viscoso. As pás obrigam o fluido a mudar de direção, o que resulta, quase sempre, em separação do escoamento e nas perdas que esse descolamento acarreta. Se o fluido é compressível, podem aparecer ondas de choque e as perdas devidas ao acréscimo de entropia causado pelas ondas de choque. Devido à distribuição de pressão ao longo das pás, aparecem escoamentos secundários significativos, principalmente em pontos de funcionamento afastados do ponto de projeto.

 pela expressão É costume avaliar essas perdas W i  m  r gh i W i onde r m  m l m r m

é a vazão total em massa no rotor (kg/s)

 m

é a vazão em massa na máquina (kg/s)

hi

é a altura de perda (de energia) no rotor (m)

l m

é a vazão em massa de fuga (kg/s)

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-4/57

Em geral, a vazão em massa não é a mesma em toda a máquina, visto que o fluido pode vazar pelas folgas entre a carcaça e o rotor ou, mesmo, ser sangrado. Parte do fluido que sai do rotor retorna novamente à sua entrada, o que equivale o rotor bombear mais fluido do que o que atravessa a máquina.  l a vazão em massa que recircula no rotor e Hi a altura de carga do Sendo m

rotor, a perda por fuga pode ser avaliada por

 m  l gH i . W f

Pela folga entre a carcaça e o rotor há escoamento do fluido de trabalho, originado pelo gradiente de pressão entre as superfícies de pressão e de sucção da pá. As máquinas usualmente possuem dutos de admissão e de descarga. As perdas por atrito e/ou por seperação nesses dutos precisam também ser contabilizadas. Designando-se por h c a altura de perda na carcaça, elas podem ser avaliadas por

  mgh  c. W c

As perdas mecânicas devem-se principalmente aos mancais.

O rotor gira dentro de uma carcaça. Como existe fluido de trabalho nos espaços entre a carcaça e o rotor, surgem perdas por atrito e movimentação desse fluido. Esse

 são aquelas que fenômeno é conhecido por ventilação. As perdas por ventilação W v devem ser vencidas ao se girar o rotor à velocidade adequada, sem troca de energia com o fluido que escoa nos canais do rotor.

Segue-se que as perdas internas podem ser calculadas por

  (W  W  )W  W  W  W  W i av c s sh v f e, portanto,

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

    W eixo  Wm  Wi  Wh

4-5/57

# 4-1

 e é a potência de eixo W eixo

onde

 m são as perdas mecânicas W  i W

são as perdas internas

 h W

é a potência hidráulica.

Deve-se notar que na equação 6-1 deve-se levar em conta a direção da transferência de energia rotor/fluido. Assim, para compressores

    W eixo  Wh  Wm  Wi

# 4-2

e, para turbinas,

    W eixo  Wh  Wm  Wi

# 4-3

O balanço de energia numa máquina movida pode ser representado graficamente como na Figura 6-1, onde algumas das perdas foram agrupadas, por simplicidade.

4-6/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 o 1

potência que entra no eixo

perdas mecânicas

eficiência mecânica o 2

hi

perdas no rotor (m + m ) g h i l

eficiência de rotor o3

hc

potência que é transferida ao rotor

perdas na carcaca mgh c

eficiência hidráulica

potência do fluido desenvolvida pelo rotor eficiência de carcaça

o 4

potência do fluido à saída da bomba

Hr H

perdas de fuga

Hmax potencia util no fluido mgH

vazão total no rotor m vazão que passa pela máquina

m l vazão que recircula no rotor

Figura 4-1 - Balanço de energia numa máquina movida

À vista da Figura 6.1, podem-se definir as seguintes eficiências da máquina:

m 

eficiência mecânica

r 

eficiência do rotor

 m  m l  gH max  W eixo

 m  m l  gH r  m  m l  gH max



Hr H max

eficiência da carcaça

c 

 mgH H   r Hr mgH

eficiência volumétrica

v 

 m  m l m

eficiência global

 m  l )gH max (m  m  l )gH r    (m mgH mgH m        P    m  l )gH max mgH  r m  m l W (m eixo    H  H m  r    m r c v  m l  H max H r m

eficiência global

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-7/57

Nas expressões acima,

H max = altura de energia transferida ao rotor H r = altura de energia que o rotor passa ao fluido H = altura de energia do fluido à saída da máquina.

Assim, a potência de eixo deve ser igual à soma da potência útil com as perdas mecânica, do rotor, de fuga e de carcaça.   W eixo  Pmec  Protor  Pfuga  Pcarcaça  Wútil

A eficiência global é um parâmetro que se refere à máquina inteira e é utilizado como um de seus parâmetros de desempenho. Deve-se notar que as expressões acima valem para máquinas movidas. Expressões semelhantes podem ser obtidas para máquinas motoras.

Chamam-se perdas hidráulicas as perdas no rotor e na carcaça. Define-se, então, eficiência hidráulica por

h 

  W mgH H H Hr real     r c   máx H máx H r H máx Wid mgH

= {potência disponível no fluido (potência real)} / (potência teórica disponível no fluido).

A potência teórica disponível é aquela calculada a partir da equação de Euler. A notação h é devida ao fato de que, até aqui, não ter sido levada em conta a existência de escorregamento da velocidade de saída do rotor, em parte causado pelo número finito de pás. A definição de eficiência hidráulica será reformulada oportunamente.

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

Balanço de energia em máquina movida - bomba

Balanço de energia em máquina motora - turbina

4-8/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 4.2.

4-9/57

PÁS ISOLADAS E GRADES

A teoria desenvolvida até agora não levou em conta a espessura nem a forma das pás. As pás foram consideradas de espessura nula e em número infinito. Com isto, o considerou-se que escoamento seguia a linha de esqueleto das pás. Como as máquinas reais possuem número finito de pás e estas têm formas e espessuras diferentes, torna-se necessária a alteração do modelo adotado para levar em conta tais fatores. Intuitivamente pode-se concluir que os desempenhos de duas máquinas, uma com poucas pás, e outra com muitas, serão diferentes. Isto se deve à geometria do canal formado pelas pás, que dirige o escoamento. A máquina com mais pás terá canais mais bem definidos e, portanto, transfere melhor a energia para o fluido ou a retira dele. Observando-se o esquema abaixo, nota-se que, no primeiro caso, o canal formado pelas pás não é bem definido, não conseguindo guiar adequadamente o escoamento. No segundo caso, o escoamento pode estar perfeitamente guiado, mas a superfície com que o escoamento se atrita é muito grande, gerando perdas elevadas.

A maior ou menor proximidade das pás é avaliada por um parâmetro geométrico

c   , associado com a montagem da grade, chamado de solidez (solidity) da grade, s sendo s o espaçamento entre duas pás consecutivas e c a corda da pá. Muitas vezes o seu inverso

s (razão espaçamento-corda) é utilizado. c

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-10/57

Vê-se que o menor valor da solidez é   0 (nenhuma pá) e maior    (número infinito de pás). As máquinas reais têm    0,3 . As máquinas de fluxo de fluido compressível geralmente são construídas com

s   0,5;1, 0  . Na fase preliminar de c

projeto costuma-se adotar um valor médio para a relação espaçamento-corda s/c = 0,85. Em algumas máquinas de fluxo, como bombas axiais, há apenas 3 ou 4 pás, resultando num valor de  bastante pequeno. As pás estão muito distantes umas das outras e o canal, portanto, é muito mal definido, o que leva à necessidade de essas pás serem tratadas como isoladas.

Se as pás forem próximas umas das outras, as passagens entre as elas podem ser consideradas como canais e o escoamento pode ser considerado como determinado pelo canal. Se as pás estão muito afastadas umas das outras, comportam-se como corpos imersos num escoamento externo, com alguma interferência mútua.

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-11/57

4.2.1. Pás Isoladas Embora as pás estejam muito afastadas umas das outras, existe interferência dos escoamentos ao redor delas. Entretanto, essa influência pode ser desconsiderada, em primeira aproximação. Neste caso, pode-se imaginar que a pá (isolada) se comporta como a asa de um avião. Assim, a pá não muda a direção do escoamento quando observado em pontos bem à frente e bem atrás das pás. Apenas nas proximidades da pá é que o escoamento é alterado, criando uma distribuição de pressão sobre a sua superfície. A diferença de pressões nos diversos pontos da pá origina uma força de sustentação sobre a pá, que é transmitida ao seu eixo (torque). O atrito do fluido com a superfície da pá gera uma força de arrasto, que está associada com as ineficiências que causam perdas de desempenho. As pás isoladas influenciam o escoamento apenas na região em que está localizada. Não podem, portanto, mudar a direção do escoamento. De acordo com resultados de Mecânica dos Fluidos, a sustentação produzida por um corpo imerso num fluido em movimento depende da circulação do campo de velocidades ao longo de sua superfície. Essa circulação pode ser relacionada à distribuição de pressão. No caso de pás de comprimento infinito, a força de sustentação, por unidade de comprimento, pode ser calculada por: 2

L

1

 p.sen.d  2 C V A L

2 

0

onde L

a força de sustentação do corpo, por unidade de comprimento

CL

é o coeficiente de sustentação

V

é o módulo da velocidade do escoamento não perturbado

A é a área do corpo projetada na direção perpendicular à direção do campo de velocidades (área frontal) [Note: A área frontal do corpo também é, por alguns autores, utilizada nesta definição. Ao utilizar esta formula, deve-se ter atenção a que área ela faz referência].



é a densidade do fluido do escoamento não perturbado

4-12/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 Também, L’ =  V  onde





L’

é a sustentação por unidade de comprimento do corpo



é a circulação do campo de velocidades sobre a curva que define a

seção transversal do corpo.

Segue-se que L =  V l onde l

é o comprimento do corpo.

Então 2

V  l 

 p.sen.d , 0

de onde sai a expressão de Kutta-Jukokski:

VA 1   CL  2 l

# 4-4

(Kutta Jukowski)

Pode-se relacionar a Equação de Euler com circulação pois, com a notação da 0HFigura 4-4:      b   V  d l   V  dl  

AD





DC

  V dl 



BA













 V  dl   V  dl   V  d l 

DC

  V dl

CB

BA

4-13/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

Figura 4-2 - Circulação ao redor de uma pá

pois AD é o percurso DB percorrido em sentido inverso, devido à periodicidade da localização das pás.

Então,

 b  V1u s1  V2u s 2  V2u s 2  V1u s1

Considerando-se 2 pás adjacentes, escolhendo a curva

 como envolvendo

separadamente as 2 pás, com raciocínio análogo ao anterior, obtém-se

  2 b

resultado esse que pode ser estendido a um número de pás NP:

   b N P    N P (V2u s 2 - V1u s1 ) = 2(V2u r2 - V1u r1 ) pois N p s  2  r .

Segue-se que

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-14/57

  2/[U 2 V2u - U1V1u ] sendo  = velocidade angular do rotor. Daí,

U 2 V2u - U1V1u  N P (/2)  b  (/2)  , isto é,

U 2 V2u - U1V1u = (/2) 

# 4-5

Comparando a equação 1H# 4-5 e a equação 5-42 tem-se que, para We = trabalho específico,

We 

  2

# 4-6

As equações 2H# 4-4 e 3H# 4-6, utilizadas em conjunto, permitem o cálculo do trabalho específico a partir da circulação. Ventiladores e bombas axiais com número pequeno de pás tem solidez pequena e suas pás devem ser tratadas como pás isoladas.

Escolhe-se o perfil adequado para a aplicação (ver, por exemplo, Theory of wing sections, [Abbott]) e suas características (distribuição de pressão, velocidade etc.). A escolha do perfil mais adequado pode ser trabalhosa, uma vez que existe uma grande quantidade de perfis aerodinâmicos. A experiência, entretanto, consagrou alguns tipos para determinadas aplicações. Por exemplo, para grades de compressores axiais em que o escoamento relativo à entrada da pá não exceda M=0,7 é recomendado perfil NACA da série 65. Se o escoamento for mais rápido, podendo exceder M=0,8 é recomendado perfil DCA.

Escolhido o perfil, todas as suas características aerodinâmicas como CD e CL, podem ser obtidas.

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-15/57

Um procedimento de cálculo pode ser definido:



De consideração do escoamento e da equação da continuidade, obtém-se o valor de V , A e l.



Escolhe-se o perfil aerodinâmico e obtém-se CL.



Calcula-se a circulação pela fórmula de Kutta-Jukowiski. Este processo pode ser iterativo, até que a geometria do canal fique adequadamente definida.



Calcula-se o trabalho específico ideal requerido e, deste,



Calcula-se a velocidade de rotação da máquina (alternativamente, escolhese a rotação da máquina e obtém-se o trabalho específico do estágio).

4-16/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 4.2.2. Grades

Quando a solidez é elevada (   0 ), isto é, as pás são próximas umas das outras, o modelo de pás isoladas não é adequado. A proximidade das pás acarreta interferência dos escoamentos ao redor das pás. O modelo adequado é o de uma grade plana. A grade plana é composta por uma série de pás idênticas e igualmente espaçadas, como o indicado na F 4H igura 4-3. Grade circular, em que as pás são distribuídas ao redor de um disco, é tratada similarmente.









Figura 4-3 - Grade plana

As máquinas de fluxo possuem grades circulares. A 5HFigura 4-3 pode também ser encarada como a planificação de um corte cilíndrico feito à altura média das pás. Numa grade circular o espaçamento s da raiz ao topo da pá, o mesmo acontecendo com a relação espaçamento-corda s/c, visto que s  2r / N p , com r = raio e N p = número de pás. Diferentemente das pás isoladas, uma grade deflete o escoamento que por ela passa, impondo variação da quantidade de movimento (angular) do escoamento. Sem perda de generalidade, admite-se escoamento não viscoso, incompressível e velocidade axial constante através da grade. A velocidade axial constante numa grade contribui para diminuição do empuxo axial causado pelo escoamento, uma vez

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-17/57

que a variação da quantidade de movimento axial torna-se nula. É aconselhável não permitir a variação da velocidade axial nas grades sempre que possível. A equação de Bernoulli aplicada a uma linha de corrente ao longo do canal de uma grade, dá:

1 P1  P2    V22  V12  2

# 4-7

 Portanto, se as velocidades V1 e V2 forem iguais, a variação da quantidade de movimento operada pela grade se dá a pressão constante. Grades construídas para acarretarem V2  V1 são chamadas de grades de impulso (ou de reação nula). As demais grades são chamadas de grades de reação. Nessas grades (fixas) o fluxo ou é acelerado (turbinas) ou desacelerados (compressores). A deflexão  do escoamento causada por uma grade é dada por:

 = 1 -  2

# 4-8

Essa deflexão depende do perfil aerodinâmico utilizado e de fatores geométricos (s/c, que dá a proximidade das pás umas das outros; de c, que dá o comprimento do canal): A literatura reporta uma grande quantidade de ensaios realizados com grades de diversos tipos. Se uma configuração de grade que estiver sendo estudada não seja a utilizada para esses ensaios recorre-se a interpolações dos dados disponíveis. Os dados de grade são apresentados em forma de tabelas e/ou de gráficos. Um desses gráficos típico é o que relaciona as deflexões aos ângulos de incidências, como o esquematizado a seguir. Esses gráficos são obtidos para uma configuração da grade e, portanto, para um valor fixo de s/c.

4-18/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 C L C D C D "stall"



C L





ângulo de incidência

A mudança de direção do escoamento na grade causa variação da quantidade de movimento do fluido, que gera uma força na grade.

Sem perda de generalidade, escolhe-se para o estudo uma grade fixa plana, de altura h e espaçamento s, escoamento não-viscoso e incompressível.

Da equação de conservação de massa (continuidade):   1V1a s1h1  2 V2a s 2 h 2  m

 V1a sh  V2a sh de onde se segue que V1a  V2a . Nessa grade a mudança da direção da velocidade é devida apenas á variação da velocidade tangencial Vu .

Então,

1 P1  P2    V2u2  V1u2  2 Pondo

Vu 

1  V1u  V2u  2

vem

P1  P2  Vu (V2u  V1u )

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-19/57

A força que age em cada pá da grade, na direção perpendicular a ela, vale: Fa   P1  P2  sh

ou

Fa  Vu (V2u  V1u )sh

Como  b  s  V2u  V1u  ,

segue-se que

Fa  Vu h b

# 4-9

A taxa de variação da quantidade de movimento na grade é devida somente à componente tangencial. Então, a força tangencial que age na grade, para cada pá, vale  2u  V1u )  Va sh(V2u  V1u )  Va h b Fu  m(V

Levando em conta o esquema apresentado na Fig. 6.4, o módulo da força resultante na grade será F  Fa2  Fu2  h b Va2  Vu2 .

e sua direção

tg() 

Fu Va  Fa Vu

4-20/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

Va

Fa

F



Vu

oo Fu

 Figura 4-4 - Forças numa grade axial

A Fig. 6.5 representa as velocidades de entrada e de saída da grade. Baseandose nela tem-se:

Foo F

 Va

  V1

Voo



V2

V2u

V1u

Vu

Figura 4-5 - Convenção de Velocidades à entrada da grade axial

Vu 

V1u  V2u Vu  V2u  2 2

V1u  Va tg1 V2u  Va tg 2 Chamando de   o ângulo determinado por Va

e Vu ,

4-21/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

Vu  Va tg  e, então,

1 Vu  (Va tg1  Va tg 2 ) 2 ou

# 4-10

1 tg   (tg1  tg 2 ) 2

Segue-se que de tg 

tg 

1 tg 

Va se tem Vu

      . 2

Isto mostra que a força resultante é perpendicular à direção do escoamento médio. Essa força é denominada força de sustentação da pá. Para uma grade circular desenvolvida a uma distância radial r e cuja velocidade angular é  , tem-se U  r .

A Figura 6-6 mostra a grade considerada, os triângulos de velocidades e a terminologia usual. W1 

  

 linha de esqueleto





tm



c

U

s

 W2

 

Figura 4-6 - Grade axial e nomenclatura convencional

4-22/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013   1 / 2  1  2 

ângulo de montagem (stagger)

s

espaçamento (pitch)

c

corda (chord)

1

ângulo do bordo de ataque da pá (blade inlet angle)

2

ângulo do bordo de fuga da pá (blade outlet angle)

tm

espessura máxima da pá (maximum thickness)

1

ângulo da velocidade de entrada do fluido (air inlet angle)

2

ângulo da velocidade de saída do fluido (air outlet angle)

   2 - 2

desvio do escoamento (deviation)

  1 - 2

ângulo

da

linha

de

esqueleto

(camber)

-

(arqueamento)

  1 -  2

deflexão do escoamento (deflexion)

i  1 - 1

incidência 0F (incidence)

    

ângulo de ataque1F(angle of attack)

Segue-se que

     i  

# 4-11

Observações: 1) Em certas referências a incidência é definida como o ângulo formado pelo ângulo de montagem e pelo ângulo do escoamento médio. 2) O ângulo de ataque muitas vezes é confundido com o ângulo de incidência.

4-23/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

   



Figura 4-7 - Grade axial e velocidade do escoamento não perturbado

Deve-se observar que os ângulos são considerados positivos se forem medidos no sentido anti-horário. Na literatura encontram-se muitas outras convenções e, portanto, deve-se estar atento à convenção que foi adotada. Diferentes convenções podem gerar expressões diferentes das obtidas nestas notas de aulas.

Neste curso, incidência é definida como o ângulo entre a direção da velocidade relativa à pá e a da sua linha de esqueleto. A sustentação, em termos de nomenclatura de grade, pode ser determinada a partir de F  h b Va2  Vu2

e de

V2  Va2  Vu2 F  h b V

# 4-12

V  W é uma velocidade relativa auxiliar que poderia existir apenas em algum ponto no interior do canal.

Na equação 6H# 4-12 a velocidade a ser utilizada é a relativa à pá. No caso de grade móvel é conveniente que essa equação seja rescrita na forma

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

L  F  h b W

4-24/57

# 4-13

Esta expressão é análoga à da Lei de Kutta-Jukowski e é aplicada igualmente a escoamento ideal (sem perdas).  W .

 A equação 7H# 4-13 se refere à força de sustentação L em termos de circulação de

Tem-se, então, que a sustentação pode ser calculada por

L=

1 CL W2 A  h b W    2  pa '

grade

Nesta expressão, A é a área projetada na direção da corda.

Analogamente, o arrasto pode ser determinado por D=

1 CD W2 A 2

Como A = ch e





 b  s(V2u - V1u )

vem

1 CL W2 ch  hs(V2u  V1u )W 2 e, daí,

1 CL W c  s(V2u  V1u ) 2 V1u  U1 - W1u  U1 - W1a tg1 V2u  U 2 - W2u  U 2 - W2a tg 2 . Como U  U1  U 2 e W1a  W2a

1 CL W c  s  (U 2  W2a tg 2 )  (U1  W1a tg1 )   sW2a (tg1  tg 2 ) 2

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-25/57

ou

W 1 cCL   s(tg1  tg 2 ) 2 W2a W2a  W1a  Va

Pondo tem-se

W 1 cCL   s(tg1  tg 2 ) 2 Va ou

s CL  2    tg1  tg 2  cos   c

# 4-14

A equação 8H# 4-14 se aplica apenas às grades simplificadas, estudadas neste parágrafo.

As grades são ensaiadas em bancos de ensaios especiais e os resultados de ensaios experimentais são apresentados em tabelas ou graficamente, como o ilustrado na 9HFigura 4-8. Define-se o coeficiente de perdas P por

P 

Pt1  Pt 2 Pt1  P1

# 4-15

que relaciona as perdas de pressão de estagnação na grade, R 1e /R 2 , com a pressão dinâmica na entrada da grade, M1 . Para escoamentos incompressíveis, 65o . Deve-se observar que essa perda de pressão é referida ao escoamento relativo no interior do canal. No caso de grade fixa, esse escoamento relativo é também o escoamento absoluto. Em grades rotativas o escoamento relativo não coincide com o escoamento absoluto. Neste caso, a equação 10H# 4-15 poderia ser rescrita, para deixar explícita essa informação, como: P  P  P   t1 t 2   Pt1  P1  rel

4-26/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 C L C D C D "stall"

C



L



ângulo de incidência



Figura 4-8 - Dados de ensaios de grade típicos

Pt1 , Pt2 , V12 devem ser valores médios. Os valores do coeficiente de perdas são representados em gráficos como o da 1HFigura 4-9, para diversas incidências. coef. de perdas C D deflexão





=.8  *

s

"stall"

s

p

min

p

min

0 i* ângulo de incidência

is

i

Figura 4-9 - Deflexão e coeficiente de perdas médios para grade fixa

O procedimento para determinar a incidência de projeto é o seguinte: acha-se o coeficiente de perdas mínimo; obtém-se is (incidência de bombeamento - stall) para o qual o coeficiente de perdas é o dobro do coeficiente de perdas mínimo. Essa incidência é considerada como a de stall. Obtém-se a deflexão de stall correspondente. A deflexão de projeto é calculada como 0,80 (oitenta por cento) da deflexão de stall.

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-27/57

A 12HFigura 4-9 indica que as perdas não variam muito em uma faixa larga de incidência negativa, mas aumenta rapidamente quando a incidência se torna positiva, em decorrência do choque de entrada e separação do o escoamento no extradorso das pás. A deflexão varia linearmente numa faixa de incidências, atingindo o valor máximo na região de incidência positiva. Curvas como as da 13HFigura 4-9 são características de uma grade fixa e determinado valor da velocidade de entrada. São feitos ensaios para cada configuração da grade e para cada valor do número de Mach de entrada, obtendo-se curvas semelhantes. É costume apresentar os resultados para cada configuração da grade, com curvas para cada número de Mach. Para projeto da grade adota-se como incidência de projeto aquela correspondente à deflexão nominal, dada por

*  0,80S

A deflexão de stall S é definida como sendo a deflexão em que o coeficiente de perdas é duas vezes o valor da perda mínima.

A transferência de energia que ocorre na grade móvel pode ser calculada pelo trabalho realizado, por unidade de tempo, por um elemento de fluido, na direção de seu movimento. No caso de um rotor, esse movimento é na direção da velocidade tangencial (ou velocidade periférica) e, para cada pá vale:   L cos  U  LsenU W e 

Para um elemento de fluido de espessura r,

1 1 L  CL W2 A  CL W2 cr 2 2 e, daí,

  1 C W 2 crU cos  W e   2

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-28/57

A vazão em massa por esse elemento de espessura r vale   srVa m

e, portanto,

1 C L W2 Uc cos   r  W 1 U c e 2   C L W2 cos     m sVa r 2 Va s 

1 W 1 1 C L  W U cos    C L W U cos    2 Va 2 cos  



1 C L W U 2

Então, We 

 W 1 e  C L W U  m 2

# 4-16

A equação 14H# 4-16 permite calcular a energia específica teórica em termos do coeficiente de sustentação e da solidez da grade. Como CL depende do ângulo de montagem da grade    e este ângulo afeta W , a equação 15H# 4-16 deve ser utilizada em conjunto com a equação de Euler para se obterem dados de projeto.

4-29/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 4.3.

AFASTAMENTO DAS CONDIÇÕES IDEAIS. PERDAS

As duas causas de a energia transferida nas máquinas hidráulicas ser menor do que a calculada pela equação de Euler (ideal), são:



Não uniformidade das velocidades nas seções de entrada e de saída das grades (em conseqüência, nos canais das pás), causando diminuição do valor da componente tangencial. Note-se que esse efeito não é causado por atrito mas, sim, porque o escoamento é 3-D. Não representa perdas mas decorre da

idealização do escoamento;



Atrito do fluido com as partes sólidas, separação do escoamento, esteira decorrente da camada limite.

Com relação à primeira causa, para a obtenção de expressões para avaliar essas perdas, seja, por exemplo, um rotor centrífugo como o esquematizado na 16HFigura 4-10.

* W2

--++ -- ++ -++ -++ --++ -++ --++ -++ -++ -++ -++

W2

triângulo ideal

triângulo real

++

Figura 4-10 - Efeito da distribuição de velocidade nos triângulos

4-30/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

Na superfície de pressão das pás a pressão é maior do que na de sucção, em decorrência de a velocidade nesta ser maior do que naquela. Assim, na parte de trás da pá e à saída da grade a velocidade é maior do que na parte da frente, causando a circulação V2 

 4Q , de que resulta a força de sustentação. D 22

Essa não-uniformidade da velocidade faz com que a direção do escoamento, ao sair da pá, seja A 3 

D32 4

diferente de P1 , acarretando diminuição do valor da

componente tangencial.





 '2   2  ' ,



' = ângulo de escorregamento.

onde



' 

V2 V1

W1

 '

V'2

V 2r

W2

W'2

Vu V'u Figura 4-11 - Triângulos de velocidades indicando escorregamento

Define-se fator de escorregamento s F por

sF 

  V2u V2u U  V2r tg3   2 V2u U 2  V2r tg2 U 2  V2r tg2

(atenção a como os ângulos estão sendo medidos!).

Também

sF 

V2u' V  Vu' Vu'  2u  1 V2u V2u V2u

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-31/57

Métodos para estimar s F têm sido desenvolvidos por diversos pesquisadores. Um dos mais antigos e ainda utilizados é o de Stodola (1927), dado por uma fórmula que foi obtida a partir da hipótese da existência de turbilhões (redemoinhos = “eddies”) entre as pás:

sF  1 

U 2  cos 2  cos 2  1 N p (U 2  V2r tg2 ) N p (1  tg2 )

# 4-17

onde    V2r /U 2 coeficiente de vazão). Buseman, considerando que o escoamento é resultante da superposição do

escoamento sobre uma grade fixa com um deslocamento devido à rotação da pá , define

s F =(A - B  tg2 )(1 -  tg2 )

# 4-18

com A e B constantes que dependem de R2/R1, b2 e NP.

o o ’ Stanitz utilizou a teoria “pá-a’-pá” para mostrar que se 0 < 2 < 45 , V u independe de 2 e que sF não é afetado pela compressibilidade:

sF  1 

0, 63 N P (1  tg2 )

# 4-19

Em geral, para bombas os melhores resultados são obotidos quando: se

o 60o < 2 < 70 ,

usar sF calculado pela equação 17H# 4-17

se

o 10o < 2 < 60 ,

usar sF calculado pela equação 18H# 4-18

se

o 0o < 2 < 10 ,

usar sF calculado pela equação 19H# 4-20 (Stanitz)

(Stodola)

(Busemann)

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-32/57

Pfleiderer sugere a utilização das seguintes fórmulas:

Para bombas radiais:

sF 

1

1 2   r 2  N p 1   i     re    

# 4-20

onde

  0, 6k(1  sen 2 ) com k = 1 se existir estator de pás após o rotor k = 1 a 1,3 se o estator for uma voluta e ri/re< 0,5 e 2 < 90o k = (1 a 1,2)(ri/re) para ri/re> 0,5 e 2 > 90o

Para bombas axiais: sF 

1 r  1 m N p ca

# 4-21

Onde

  k(1  sen2 ) com k = 1 a 1,2 rm = raio à altura média da pá ca = corda axial

Para compressores centrífugos recomenda-se

 2 s F  1   N pá

 W  cos  2   1  2r tg  2   U2   

(nesta expressão, o ângulo de saída da pá do rotor é negativo se a pá for inclinada para trás).

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-33/57

Para compressores axiais o leitor deve utilizar a correlação de Carter:

*  m C   a  onde m C  0.216  8.8333x104   2.6111x105  2  = ângulo de montagem da grade 

c s

  2  1

Com relação à segunda causa, os efeitos das perdas de atrito, separação, esteira, etc., se manifestam através da perda de pressão ao longo da grade e esta pode ser medida pela eficiência da grade, g .

Para o cálculo dessa eficiência da grade, considerem-se duas grades axiais: uma ideal e a outra real, ambas com a mesma velocidade de entrada. A pressão na saída da grade ideal é maior do que a da grade real, isto é: P2'  P2  P ,

Da equação 6-7 vem, para uma bomba:

1 P2 -P1  P2'  P  (V12 - V21 ) - P 2

onde P2'

pressão que idealmente se obtém após a grade

P2

pressão realmente atingida após a grade

P

perda de pressão na grade

A força real que age perpendicularmente à grade vale, então,

4-34/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

Fa  s h (P2 - P1 )  s h (P2' - P1 - p)  s h (P2' - P1 ) - s h p

e a teórica Fa'  s h (P2' - P1 )

Portanto, Fa  Fa' - s h P

e, então, Fa  Fa'

A força F não é mais igual à força de sustentação e também não é mais perpendicular a V , formando um ângulo     com a direção axial.

F' F'a

F ° 8,7

F

Fa 53,7°

P1

53,7°

Fu

P2 Figura 4-12 - Forças em grade axial (ideal e com atrito )

Define-se eficiência da grade por

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

g 

p 2  p1 p2  p1  p Fa   p2  p1 p2  p1 Fa

tg Fa Fu tg       tg       tg  1 tg   tg     Fa Fu tg  tg  tg  1  tg  tg 1  tg  tg 1

visto que Fa  tg  Fu

e Fa  tg       Fu

Como 1  Wu 2  W1u W2u   tg   Va Va

e como W2u  U 2 - V2u

e W1u  U1 - V1u ,

então, se V1u  0

e

U1  U 2  U ,

vem 1 1  2U  V2u  U  V2u 2  tg   2 Va Va

Pondo 1 U*  U  V2u 2

e tg   ,

4-35/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-36/57

tem-se tg  

U* 1  * Va 

e, daí,  *  1   g   * 1 *  1

isto é,

g  1 

 *

# 4-22

Projetando-se F na direção média, tem-se

L = F cos() D = F sen() de onde fica aparente que as perdas na grade estão relacionadas com o arrasto D.

EXEMPLO

O rotor de uma bomba centrífuga de 16 pás tem diâmetro de 0,1m e a sua rotação é de 750 rpm. A pá, na saída do rotor, tem de 0,015m de altura. As pás são inclinadas de 65o para trás (backward swept), na saída (em relação à direção radial). A vazão de água pelo rotor é de 8,5 m3 /h . Calcular a altura de carga (altura de energia) desenvolvida pela bomba para os casos: a) sem escorregamento) b) com escorregamento.

Solução: a) sem escorregamento área na saída:

-2 2 D 2 h = (0,1)(0,015) = 0,471(10 ) m

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-37/57

velocidade radial na saída:

  m Q 8,5x103    0,501 m/s A 2 A 2 (3600)(0, 471)(102 )

velocidade periférica da pá:

U2 = DN/60 = (0,1)(750)/60 = 3,97 m/s

Triângulo de velocidades na saída:

Figura 4-13 - Triângulo de velocidades (saída da grade)

W2u = (0,501)(tg65o) = (0,501)(2,1445) = 1,074 m/s

V2u = U2 - W2u = 3,97 - 1,074 = 2,896 m/s

W = U2 V2u = (3,09)(2,896) = 11,495 J/kg

Hmáx = W/g = 11,495/9,81 = 1,17 m H2O

b) com escorregamento o Como há escorregamento e 2 = 65 , pela fórmula de Stodola,

sF  1 

 cos 65o  1  0,114  0,886 0,501 o 16(1  tg65 ) 3,97

Portanto, H = SF Hmáx = (0,886)(1,17) = 1,037 m H2O

4-38/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 4.4.

ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL EM MÁQUINA DE FLUXO

De um modo geral, se a velocidade de escoamento de um fluido compressível é tal que o número de Mach M é menor que 0,3 (M < 0,3), o escoamento pode ser tratado como incompressível. Em ventiladores o escoamento é geralmente lento (M < 0,3) e, portanto, pode ser considerado como incompressível. Quando o escoamento for rápido, isto é, o número de Mach M for maior que 0,3, precisa ser considerado como escoamento compressível. Em compressores, especialmente os de alto desempenho, as velocidades são bastante elevadas (M > 0,5), exigindo que o escoamento seja considerado compressível.

A equação da energia em regime permanente, para um volume de controle VC, pode ser escrita como:

1  W   m[(h  2  h1 )  (V22  V12 )  g(z 2  z1 )] Q 2

onde  Q

taxa de transferência de calor para o VC

 W

trabalho de eixo retirado do VC

 m

vazão em massa.

A contribuição do termo g(z2-z1) é geralmente muito pequena e pode ser desprezada. 1 Como h t  h  V 2 , tem-se: 2

 W   m(h  t 2  h t1 ) Q Adotando-se

# 4-23

um

T T  cP  c P  t1 t 2  , com 2   Tt  T  V 2 /(2c p ) vem

valor

médio

para

o

calor

específico,

por

exemplo

4-39/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013  W   mc  p (Tt 2  Tt1 ) Q

As máquinas de fluxo podem ser consideradas adiabáticas porque o calor trocado com o exterior é muito pequeno em relação às demais formas de energia do escoamento, mesmo as turbinas a gás operando a temperaturas muito elevadas. Assim a equação 20H# 4-24 pode ser rescrita nas formas abaixo, para compressores e para turbinas, respectivamente:   mc  p (Tt 2  Tt1 ) W C

# 4-24

  mc  p (Tt1  Tt 2 ) W T

# 4-25

A utilizaçao de diagramas h-s ou T-s para representar os processos de compressão e de expansão, bem como os estados à entrada e à saída das máquinas de fluxo, facilita a obtenção das diversas fórmulas para a realização dos cálculos. P2

P1

COMPRESSÃO

EXPANSÃO

h

h

1

2 2' P2

P1 2 2'

1

s

s

Figura 4-14 - Diagramas h-s (compressão e expansão)

Define-se eficiência isentrópica do compressor e da turbina respectivamente por

C 

Wis h 't 2  h t1 Tt'2  Tt1   Wid h t 2  h t1 Tt 2  Tt1

# 4-26

T 

Wid h t 2  h t1 Tt 2  Tt1   Wis h 't 2  h t1 Tt'2  Tt1

# 4-27

As expressões acima, que envolvem temperaturas, levaram em conta que o valor de c P é constante.

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

4-40/57

Utilizando-se as equações 5.42 e 6.23 pode-se obter:

Para compressor: h t2 - h t1  U 2 V2u - U1 V1u

Para turbinas: h t1 - h t2

 U1 V1u - U 2 V2u

Deve-se observar que: a) Nessas equações, não são levadas em conta as perdas. b) As expressões foram escritas para que os trabalhos específicos sejam positivos.

O estudo do escoamento ao longo dos canais entre as pás não é objeto deste curso.

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4-41/57

4.5. COEFICIENTES DE PRESSÃO E DE VAZÃO EM TERMOS DO GRAU DE REAÇÃO

Definindo-se o coeficiente de pressão por 

We,real U 22

e a eficiência hidráulica por h 

We,real Wideal

sendo We,ideal  s F U 2 V2u  U1V1u

tem-se 

h s F U 2 V2u  U1V1u U 22

Para escoamento de entrada axial ou radial V1u = 0 e, daí,



h s F  U 2 V2u  V  h s F 2u 2 U2 U2

 V  Entretanto, V2u  U 2  W2u  U 2  V2r tg2  U 2 1  2r tg2   U2 

Também, o grau de reação, dado por   1 

 V2 u 1 V  ...  1  2 r tg 2  2 U2 2U 2 

o que permite escrever   2h s F 1   

ou, ainda, h 

# 4-28

 2s F 1   

Esta expressão é importante porque relaciona uma condição de operação da máquina (  ) com uma característica que decorre da geometria do rotor (  ).

Definindo o coeficiente de entrada como

4-42/57

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

V1 , com 0,1     0,3  , tem-se 2We,real líquidos gases



V1 V  ...  1 U2 2h s F U 2 V2u

1 2h s F

V2u U2



V1 U2

1 2

ou V1   2 U2

de onde vem



V1 1 U 2 2

Também, V2r V2r V1 V2r    2 U2 V1 U 2 V1

de onde resulta, da definição de ,  1 V   1  2r  2 tg2  2 V1 

ou 

2  1 V2r  2tg2 V1

Esta expressão relaciona  ,  e  , englobando condições operacionais da máquina (  ), características geométricas do rotor (  ) e a natureza do fluido de trabalho (  ).

4-43/57

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 4.6.

OUTRAS INFORMAÇÕES PARA PROJETO

4.6.1. Golpe de Ariete

Chama-se golpe de ariete o fenômeno provocado pela alteração brusca do escoamento permanente devida à variação de sua velocidade. Ocorre em todas as tubulações que conduzem líquido e suas causas principais são originadas no fechamento ou na abertura de válvulas ou ações equivalentes, como, por exemplo, as seguintes: 

Desligamento de motor de bombas



Cisalhamento do eixo de bomba



Alterações da pressão do reservatório de descarga



Mudança do ângulo de montagem de pás (controle de vazão)



Vibrações de pás



Operação da máquina em regime instável

O “fechamento de válvula” acarreta a interrupção do escoamento e sua energia cinética deve ser dissipada, transformando-se em energia de pressão e de deformação das paredes da tubulação. As

equações

de

conservação,

na

forma

como

foram

apresentadas

anteriormente, não permitem o estudo dos golpes de ariete , pois não envolveram o atrito do fluido com as paredes da tubulação, o que pode exercer papel importante na manifestação do fenômeno. Para levar em conta os efeitos da viscosidade na equação 5-10, deve-se acrescentar o termo 2

f 2 V D

referente à perda de carga em tubulações (avaliada pela expressão usual 4f

L V2    gH  D 2

referente à perda de energia devida ao atrito. Nesta expressão, f é o coeficiente de atrito, L é o comprimento e D o diâmetro da tubulação).

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4-44/57

Assim, tem-se V 1 P   V 2  z f 2    g 2 V  0 t  s s  2  s D

# 4-29

Esta equação pode ser integrada entre dois pontos sobre uma mesma linha de corrente. Isto permitirá o cálculo da pressão em um desses pontos conhecida a pressão no outro (além de informações sobre a da geometria da tubulação e da variação da velocidade V com o tempo). Pode-se concluir desta expressão que variação da pressão está relacionada com a rapidez com que a válvula se fecha (ou se abre), representada pela parcela

V . t

Com algumas hipóteses simplificadoras adicionais pode-se calcular a variação de pressão nesses dutos.

A primeira simplificação se refere ao modo de variação linear da velocidade do escoamento (causada, por exemplo, por atuação de uma válvula): V V V2F  V2   t t t

onde V2F é a velocidade do escoamento no instante em que a válvula acabou de

movimentar-se V2 é a velocidade do escoamento permanente antes de a válvula movimentar-se  = constante (escoamento incompressível)

V1 = 0 (a água está se escoando a partir de um reservatório de volume muito grande e a estação 1 está num ponto em que a velocidade local é desprezível (por exemplo, a velocidade da superfície livre de uma grande caixa d’água ou de uma represa) V2F = 0 (a válvula se fecha completamente).

Para este caso,

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4-45/57

2 2 2 2 V   V2  z 1 P f 2     ds ds ds g ds 1 t 1  s 1 s  2  1 s 1 2 D V ds  0 2

V2F  V2 1 1 fL L   P2  P1    V22  V12   gz  2 V22  0 t  2 D

ou, isolando-se P2:

 V L V2 2fL 2  P2  P1    2  2  gz  V2  2 D  t 

# 4-30

Dependendo do valor do primeiro termo entre chaves, o valor da pressão P2 pode ser muito elevado. Pode acontecer dilatação das paredes da tubulação ou, até, o seu rompimento, em casos mais graves. O fechamento brusco de uma válvula acarreta o aparecimento de ondas de pressão no fluido. A fim de quantificar esse o fenômeno, considere-se um fluido real. A variável pressão em qualquer ponto está associada à variação da densidade do fluido, isto é, as suas partículas mudam de posição, aproximando-se ou afastando-se umas das outras com o aumento ou diminuição da pressão. Desta forma, como as partículas se movimentam para o ponto de maior pressão e maior densidade, o efeito de mudança de posição se propaga muito rapidamente no fluido. Como o fluido possui elasticidade, o ajuste de posições gasta um certo tempo, de tal forma que a velocidade de propagação da pressão (e da densidade) é finita, embora muito rápida. Os efeitos dessa propagação podem ser muito significativos. Analise-se a propagação de uma variação infinitesimal de pressão numa tubulação como a da 21HFigura 4-15.

Figura 4-15 – Esquema para análise de propagação de perturbação de pressão

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4-46/57

Suponha-se que a onda de pressão se movimenta da esquerda para direita, com velocidade absoluta a,. À direita da onda, o fluido não chegou a ser perturbado, mas à esquerda tem-se a perturbação em P,  e V. Um observador colocado sobre a onda vê o escoamento em regime permanente. Isto significa adotar-se o escoamento como sendo permanente, mas com velocidade (V-a), analisada por um observador estacionário, conforme 2HFigura 4-16. P V

a



P+dP V+dV +d 

válvula

Figura 4-16 – Perturbação de pressão

A equação da continuidade, aplicada antes e depois da superfície de descontinuidade, permite escrever:

      V  V   a  A    V  a  A Reagrupando-se os termos convenientemente, chega-se a

 a  V         V

# 4-31

O balanço de forças através da seção dá PA    V  a  A  .  V   V  V  

ou P    V  a  V 

de onde resulta

V 

P  a  V

Substituindo-se a equação 23H# 4-4 em 24H# 4-3 vem

# 4-32

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a  V

2



4-47/57

P    1      

Para variações de pressão tais que

  1 (ondas fracas), pode-se simplificar a 

equação acima, desprezando-se esse termo. Então, resulta:

aV 

P 

# 4-33

O primeiro membro da equação 25H# 4-33, a-V, é a velocidade de frente de onda relativa ao fluido, de tal forma que a velocidade de propagação da perturbação fraca é

aV 

P 

Para um volume de fluido especificado, m=V, dV  Vd  0

e d  

 dV . V

Sendo K o módulo de elasticidade do fluido, definido por

K  V

dP dV

K  V

dP d dP    dP  V      d dV d  V  d

tem-se

ou dP K  d 

de onde segue que a velocidade de propagação da onda pode ser calculada em função das propriedades do fluido:

4-48/57

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aV 

# 4-34

K 

Levando-se em conta que, nos líquidos, V 0,8. Nos estágios anteriores de um compressor de alto desempenho, por exemplo, a relação de diâmetros é usualmente pequena (quase sempre abaixo de 0,5). Nesses estágios o escoamento na direção radial é significativo. Por outro lado, nos estágios posteriores essa relação pode alcançar valores da ordem de 0,8 e o escoamento se dá praticamente na direção axial, com a componente Wr,, embora não nula, bem menor que as demais. Vê-se que as partículas se movimentam na direção radial. Para que a partícula se mova numa trajetória contida entre o cubo e a carcaça externa do compressor deve-se considerar o equilíbrio de forças a que está submetida. Até que haja equilíbrio entre as forças de pressão e as de inércia, o escoamento se move na direção radial. A Fig. 12-1 apresenta esquemas apropriados à formulação das equações que representam esse equilíbrio de forças na direção radial: forças de pressão e de inércia. As forças de inércia são aquelas associadas com a ) a rotação da partícula em torno do eixo do compressor; b) a rotação da partícula em relação ao centro instantâneo de rotação quando está se movimentando em sua trajetória; c) a aceleração da partícula na sua própria trajetória.

10-2/8

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L=1

p+dp

L=1 Va

d p+dp/2

m

dr

p+dp/2

V

Vm

r

p

L.C.

Figura 10-1 - Esquema para determinação das equações de equilíbrio radial As forças de inércia no equilíbrio radial são, portanto:  força centrípeta associada com o escoamento tangencial  componente radial da força centrípeta associada com o escoamento ao longo da linha de corrente (encurvada)  componente radial da força requerida para produzir aceleração linear ao longo da linha de corrente A força resultante de inércia deve ser produzida por forças de pressão atuando na direção radial. Notar que a aceleração radial pode ser milhares de vezes maior do que a gravitacional; neste caso, esta pode ser desprezada. Para um elemento de fluido de comprimento axial unitário, com densidade , tem-se:

1. Força centrípeta devida a Vu (aceleração na direção radial)

Vu2 Vu2 F1   (rddr) r r

2. Componente da força radial devida a Vm (aceleração na direção meridional)

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Figura 10-2 - Esquema determinação da força centrífuga F2

F2  m

Vm2 V2 cos  m  (rddr ) m cos  m rc rc

3. Força para acelerar na direção da linha de corrente

F3  m

dVm dV sen m  (rddr ) m sen m dt dt

 Vu2 1 2  dVm  Vm cos  m  sen m  F = F1 + F2 + F3 = F  rddr rc dt  r 

4. Força de pressão

dp  d  Fp  (p  dp)(r  dr)d  prd  2  p   dr  2  2  1  prd  pdrd  rdpd  drdpd  rpd  pdrd  dpdrd  2 1  rdpd  dpdrd 2

10-3/8

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10-4/8

Então,

  Vu2 Vm2 dVm 1 rdpd  drdpd  rdrd  cos  m  sen m  2 rc dt  r 

ou, simplificando com a eliminação de termos comuns e desprezando termo de ordem superior, tem-se:

dV 1 dp Vu2 Vm2   cos  m  m sen m  dr r rc dt

# 10-1

Esta é a Equação do Equilíbrio Radial completa.

Para uma grande parte das finalidades de projeto, pode-se ter

rC  1 e m  0 .

Em regime permanente, a equação 12.1 fica simplificada como

# 10-2

1 dp Vu2   dr r

que é chamada de equação do equilíbrio radial, na qual a componente radial da velocidade está sendo desprezada.

Com esta equação pode-se deduzir a equação da variação da entalpia ao longo do raio:

ht  h  Então,

V 2  Vu2 V2 h m 2 2

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10-5/8

dh t dh dVu dVm   Va  Vu dr dr dr dr

Das relações termodinâmicas Tds = dh - dP/, dh = Tds - dP/ e, daí,

dh ds DT 1 dP 1 dP ds  dP T   dr dr dr  dr  2 dr

Desprezando-se termos de ordem superior ( >1):

dh ds 1 dP T  dr dr  dr

Então

dh t dVu dVm ds 1 dP T   Vm  Vu dr dr  dr dr dr

ou

2 dh t dVu dVm ds Vu T   Vm  Vu dr dr r dr dr

# 10-3

Esta equação inclui a possibilidade de variação das perdas na direção radial na seção considerada (termo Tds/dr).

Note-se que a equação geral tem a forma:

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10-6/8

dh t dV dV dV V2 ds V 2  T  u  Vm m  Vu u  m sen m  m cos  m dr dr r dr dr dt rC onde Vm é a velocidade meridional. A variação radial das perdas pode ser significativa na pormenorização dos cálculos. Neste estudo, para efeito de simplificação, será admitido que essa variação de perdas na direção radial é desprezível. Logo, a Eq. 12.3 fica:

dh t Vu2 dV dV   Vm m  Vu u dr r dr dr

# 10-4

Uma condição freqüentemente encontrada à entrada da máquina (distribuição uniforme de entalpia de estagnação ou da temperatura total na entrada) é

dh t  0. dr

Outra hipótese muito utilizada é a que considera acréscimo constante de trabalho específico em todas as seções da grade (note-se que ht varia de uma grade para outra mas não varia radialmente). Então

dh t dVu Vu2 dVm  0 Vm  Vu  0 dr dr dr r

No caso específico de velocidade meridional constante da raiz ao todo da pá,

Vm = cte., tem-se

dVu Vu2  0 dr r dVu Vu2 Vu  dr r ou dVu V dV dr  u u  dr r Vu r Vu

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10-7/8

ou

# 10-5

rVu = constante.

A equação # 10-5 indica escoamento de vórtice livre, onde a velocidade Vu varia inversamente com o raio. Então:

a) trabalho específico constante b) velocidade meridional constante c) vórtice livre

satisfazem a condição de equilíbrio radial e são, portanto, utilizados em projeto pois essas condições são compatíveis entre si. Na realidade, este é um dos critérios de projeto, ao qual, entretanto, são atribuídas desvantagens como a da variação do grau de reação ao longo da altura da pá.

Fica livre para o projetista a fixação de como varia a velocidade axial ou a componente tangencial da velocidade absoluta, isto é, como variam ou V1a ou V1u. Variações típicas de velocidades tangenciais de interesse e já estudadas são: V1u  arn 

b b n e V2u  ar  , com n   1, 0, 1 e a e b constantes. r r

 n b  n b  Neste caso, h t  c P Tt  U  V2u  V1u   r ar    ar     b  const . r  r   Fixada uma dessas velocidades (V1u ou V1a), a outra pode ser determinada. A título de exercício: Adotando-se V1a=const, calcular V2a para um projeto em que a variação de trabalho específico seja constante da raiz ao topo da pá.

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10-8/8

MÉTODO DA CURVATURA DA LINHA DE CORRENTE (STREAMLINE CURVATURE)

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11-1/19

11. - ANTEPROJETOS Os objetivos deste capítulo são: 

apresentar um procedimento para pré-dimensionamento (aerotermodinâmico) de uma máquina de fluxo, tendo-se por base a teoria apresentada no curso.



obter as dimensões principais do rotor e do estator da máquina



obter um modelo em CAD da máquina (aproximado)

11.1. INTRODUÇÃO No contexto deste curso, anteprojeto tem o significado de, através de considerações e cálculos, obter todas as informações necessárias para o traçado dos primeiros desenhos da máquina. As informações a serem obtidas, relativas a considerações e cálculos, se referem, dentre outras, a:  coleta de dados de fabricantes de equipamentos semelhantes (panfletos, publicações, catálogos, etc.), com a finalidade de se conhecer, por exemplo, o que se tem projetado e fabricado, as técnicas utilizadas, as características de desempenho, etc.;  pesquisa bibliográfica para a seleção de literatura de apoio mais adequada (livros didáticos, artigos técnicos, publicações especializadas, etc.;  cálculos em geral (de funcionamento, de compatibilidade mecânica, de desempenho no ponto de projeto e fora dele, etc.;  desenhos em geral (esquemas, cortes, detalhes, etc..

O anteprojeto tem a finalidade, portanto, de obter as dimensões mais importantes da máquina, a partir das quais estudos mais pormenorizados podem ser realizados e, daí, se chegar aos desenhos dom protótipo de máquina. Durante a fase de anteprojeto é muito importante a análise de desempenho da máquina projetada. Esse cálculo de desempenho deve ser feito tanto para o ponto de projeto como para outros pontos de funcionamento previsto da máquina. Os cálculos no ponto de projeto servem para verificar se a máquina dará o desempenho esperado, principalmente vazão, pressão e eficiência. Os cálculos fora do ponto de projeto servem para serem antecipados possíveis problemas de operação da máquina, além de fornecerem informações para cálculo de sistemas de controle e de proteção da máquina.

Por necessidade de simplificação, admitindo-se que os itens que não sejam os cálculos estejam já disponíveis e analisados, este capítulo tratará apenas do cálculo das dimensões principais e de algumas características construtivas. Análise de desempenho será objeto de outros capítulos.

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11-2/19

A experiência prévia, do fabricante ou divulgada em literatura, serve para a escolha de alguns parâmetros de projeto. Algumas figuras são apresentadas a seguir. Contém dados estatísticos de máquinas já projetadas e ensaiadas.

Estatísticas para início de projeto de máquinas hidráulicas

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 Variação da eficiência global com a velocidade específica

11-3/19

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

11-4/19

Formas do disco e das curvas de desempenho em função da rotação específica (*)

11.2. APLICAÇÕES 11.2.1.

VENTILADOR RADIAL

O objetivo deste exemplo é o pré-dimensionamento de um ventilador para suprir ar a uma instalação de ensaios que consome 3 kg/s de ar à pressão de 10132 Pa (aprox. 1 m H2O). Estima-se que a perda de pressão no duto de admissão do ventilador seja de 2% da pressão ambiente. As condições ambientes são 93500 Pa e 300 K.

11.2.1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS A seleção do tipo de ventilador pode ser feita em função da rotação específica

N s  2N

 12 Q 3

.

We 4 O ventilador deverá ser acionado diretamente por um motor elétrico, de sorte que, para manter dimensões mínimas do ventilador, será escolhido um motor de maior rotação disponível. Uma consulta a catálogos de fabricantes indica que motores de prateleira, para 1800 e 3600 rpm nominais, são disponíveis, embora outras rotações possam ser conseguidas com motores fabricados sob encomenda.

11-5/19

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

As velocidades reais desses motores são 1730 e 3460, levando-se em conta um escorregamento de 4%.

No caso de ventiladores, os efeitos de compressibilidade não são importantes, dado que as velocidades de escoamento são baixas. Assim, será considerada a densidade do ar como constante. Para uma perda de pressão de 2% à entrada e para as condições ambientes de 93500 Pa e 300 K, tem-se:

P1 = 0,98 x 93500 = 91630 Pa

T1 = 300 K.

e a densidade igual a

1 

P1 91630   1,064 kg/m3. RT1 287 x 300

Para um aumento de pressão de 9806,4 Pa, correspondente a 1 m de coluna de água, tem-se Para P2 - Pa

= 9806,4 Pa

tem-se

P2 - P1  Pa  (P2 - Pa ) - P1 = 93500 + 9806,4 - 91630 = = 11676,4 Pa.

isto é, o ventilador deverá ser capaz de uma elevação de pressão de 11676,4 Pa.

Assim, o trabalho específico será

We 

P 11676,4 J   14628,9  1,064x0,75 kg

para V1  V4 .

Então, para as duas possíveis rotações do motor escolhido:

N (rpm)

N (rps)

Ns

1730

28,833

0,229

11-6/19

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 3460

57,667

0,457

Qualquer que seja o motor escolhido, a rotação específica leva à seleção de um ventilador centrífugo. Foi escolhido o motor de 3600 rpm nominal para se obter um ventilador de menores dimensões, já que se consegue, com menor diâmetro, a velocidade periférica necessária.

11.2.1.2. CÁLCULOS PRELIMINARES 11.2.1.2.1.

Rotor

Visando obter um ventilador mais eficiente, foi selecionado rotor com pás inclinadas de 30

o

para

o trás, isto é, com 2 = 30 , coeficiente de vazão de 0,5 à entrada do rotor, relação de diâmetros do rotor de 0,5 e velocidade à saída do estator igual à de entrada no rotor (V4 = V1). Ressalte-se que essas imposições poderão não permitir o dimensionamento do ventilador, devendo ser alteradas conforme as necessidades.

Pela relação de Stanitz, o coeficiente de escorregamento vale:

sF  1

0,63 N p 1  tg 2 

com

Np = número de pás  = coeficiente de vazão =

V2r D1 V1r = 0.25  * U 2 D 2 U1

 3 = ângulo de ar à saída do rotor  = desvio

Para um coeficiente de escorregamento de 0,878, arbitrado de início (e sujeito a confirmação posterior, após estimativa do escoamento no rotor), o número de pás deverá ser:

Np 

0,63 0,63   18,95 1  s F 1  tg 2  (1  0,878) 1  0,25tg30 o





Será adotado Np=19. Note-se que, se fosse adotado um coeficiente de escorregamento menor, o rotor deveria possuir número maior de pás, o que poderia causar problemas de empalhetamento, já que as pás poderiam estar muito próximas umas das outras à entrada do rotor.

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11-7/19

Admitindo-se que a entrada do escoamento no rotor seja radial (ou axial), tem-se:

V1u  0 e We  U 2 V2u = s F U 2 .(1 -

V2r tg 2 ) U2

Segue-se que

U2 

We   V2 r  s F 1  tg 2  U2  

14628,9  137,54 m/s. 0,878(1  0,25tg30 o )

Esta velocidade periférica é baixa e, portanto, a seleção dos materiais de que será feito o rotor não será problemática. Em decorrência,

D2 

60U2 (60)(137,54)   0,759 m N 3460

D1  0,5 D 2 = 0,380 m U 1  0,5 U 2 = 68,77 m/s V1r  U 1 = 0,5 U1 = 34,38 m/s Para Vr constante,

V2r  V1r = 34,38 m/s.

Para a construção dos triângulos de velocidades tem-se:

W2' u  V2 r tg ( 2 )  34,38 * tg (30 o )  19,85 m/s  V W2 u  V2u  V2 u  V2u 1  2 u  V2u

   U 2  V2 r tg 2 (1  s F  =14,36 m/s 

V2' u  U 2  W2' u = 137,54-19,85 = 117,69 m/s W2 u  V2u  W2 u = 34,21 V2u = U2 - W2u = 137,54 - 34,21 = 103,33 m/s

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11-8/19

W2  W22u  W22r = 39,70 m/s

V2  V22u  V22r = 108,90 m/s W1  U12  V12r = 76,89 m/s V1 = V1r = 34,38 m/s

o = 0

o

 1  tg  1

 2  tg 1

V2 u = 71,59o V1r

 3  tg 1

W2 u = 44,85o V2 r

W1u  61,26o V1r

o o o Em conseqüência, o desvio será de 44,85 - 30 = 14,85 , visto que as pás estão inclinadas o para trás de 30 . Esse desvio deverá ser confirmado por alguma correlação disponível. Para efeito de cálculo preliminar, considera-se que o desvio estará correto se o novo valor calculado diferir deste em o menos do que 1 . Caso contrário o trabalho específico será diferente do necessário. Portanto, ou se aumenta a rotação, ou se aumenta o diâmetro do rotor ou se altera a inclinação da pá para que o trabalho específico seja o correto. Então, no rotor deverá haver o seguinte aumento de pressão:

PR 

 2 U2  U12  W12  W22  = 9.856,4 Pa. 2

O aumento de pressão restante deverá ser conseguido com uma grade fixa (estator).

PEstator = 2.145,59 Pa Os triângulos de velocidades referentes às condições até agora determinadas são os da figura 13.1.

11.2.1.2.2.

Estator

As condições de escoamento à entrada do estator podem ser calculadas a partir da conservação da quantidade de movimento angular. Com as notações indicadas na Figura 13-6, tem-se

R 3 V3u  R 2 V2u : ou

11-9/19

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

V3u 

R2 D2 V2u  V2u D2  t R3

0,676 92,06 = 89,41 m/s 0,676  0,020

Da equação da conservação de massa (continuidade), tem-se

2

V3r

D  A  0,676   2 V2r   2  V2r =   30,63 = 28,90 m/s A3  0,696   D3  2

Então,

V3 

V32u  V32r = 93,97 m/s V3u = 72,09o V3r

 0E  tg  1

Para que PEstator = 11676,4 - 9856,6 = 2145,3 Pa

PEstator 

V4 

 2 V3  V42 2



V32 



ou seja

2Pestator  

105,842 

2x2145,59 = 84,67 1,064

U1=61,27

V1= V1r=

U2=122,53

63 . 43 °

W2=35,37

W1=68,50 V2=97,02

31.0 0°

V2r= V1r= 30,63

30,63

Figura 13-1 - Triângulos de velocidades

Um estudo mais pormenorizado do difusor é necessário e certamente se chegará à conclusão de que o grau de reação (neste caso vale 0,82, calculado como o acréscimo de pressão no rotor dividido pela elevação de pressão no ventilador:

9856,4/11676,4) deste ventilador deverá ser alterado,

alterando-se a elevação de pressão no rotor e a difusão no estator.

11-10/19

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 11.2.1.3. Considerações Importantes

Entre o rotor e o estator há um espaço vazio (folga entre rotor e estator). Será adotado como sendo de 0,01 m radialmente. Este valor, entretanto, deverá ser confirmado posteriormente, através de alguma análise de escoamento suplementar.

O estator será formado de canais trapezoidais, de altura constante e igual a h2. Outras formas de estator poderão, também, ser adotadas. Cada tipo de estator terá uma característica de desempenho apropriada. A Figura 13-6 é um esquema desse tipo de estator

Para a obtenção de uma geometria adequada do ventilador é necessário que se estudem as diversas possibilidades de variação de parâmetros que alterem o grau de reação. Esses cálculos são uma repetição dos cálculos executados acima. Para facilidade de cálculo, pode-se fazer uso de uma planilha eletrônica, na qual as equações acima utilizadas são programadas. Abaixo estão extratos de cálculos realizados com uma dessas planilhas, com indicação dos parâmetros que foram modificados. Foi feito também o uso da facilidade "goal seek" (atingir meta) que facilita sobremaneira os cálculos quando um valor de parâmetro deve ser obtido mediante a variação de um outro parâmetro.

A Tabela 1 resume os cálculos dos triângulos de velocidades, como exemplo.. A simbologia adotada é autoexplicativa.

Tabela 1 - Cálculo dos triângulos de velocidades para Sf=0,85 1 = 0,6

2 = 30

Sf=0,85

Cap_13_Tab_06

D1/D2 = 0,65 e 

o

o = -30o

1 = 0,6 2 = 30o  D1/D2 = 0,65 

Dados Pa DP(Pa) Nnominal Slipmotor

93500 1870 3600 0,961

Dp(%P1) T1 xmpt Q

0,02 300 3 2,819

ro1 DH(m) eficiência

1,064 1 0,750

Considerações de Projeto Sf 0,850 Fi1 0,600

b2(grau) D1D2

30 0,650

a0(grau) Ns

45 0,457

Pa/m 9806,38 P2 105176,4 We 14628,9

observe! Reação V4/V3 alfa0E

0,675 0,403 60,1

V1r 49,39 V1u 49,39097 V1ux 49,39097 V1x 69,85

alfa0 alfa1 alfa2

0,79 33,69 59,37

Ventilador a ser projetado para P1 91630 DpVent 9806,4 Dptotal 11676,4 Cálculos beta2 N U2 U1

0,524 3460 126,64 82,32

11-11/19

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 D2 D1 pi Fi2 We Np D3 DPr h1 h2 V3u t V3r V3x

0,699 0,454 3,142 0,390 14628,9 17,0 0,719 8101,7 0,044 0,029 81,09 0,02 46,68 93,57

W1ux W1x kV1r V2r W2ul V2ul V2u DW2u DW2ux W2u V2ux W2x V2x

32,93 96,00 1 49,39 28,52 98,13 83,41 14,72 14,72 43,24 83,41 57,03 96,94

alfa3 41,20 desvio 11,20 A1x 0,063416 A2x 0,063416 alfaoE 60,07 V4/V3 0,403 DPE 3900,34 V4 37,72 Pdin2 4658,402 758,06 Reação

0,68

11.2.1.4. ESQUEMA DO ROTOR Os dados da Tabela 5 dão

b2(grau) D1D2 U2 U1 D2 D1 Np h1 h2 V1r V2r alfaoE

10 0.670 132,3 88,64 0.730 0.489 14 0.034 0.023 59,39 59,39 60.83

As pás serão construídas de chapas de aço, com linha de esqueleto de arco de circunferência (raio de curvatura constante), para simplicidade de fabricação. As pás serão recortadas de chapa e calandradas.

O traçado da linha de esqueleto no disco do rotor pode ser feito através dos raios e ângulos como o indicado na Figura 13-2.

Para o triângulo OAB tem-se:

sen(a ) sen(b) sen(c) sen(b)  sen(c)    c R2 R1 R1  R 2 ou

11-12/19

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 R 1  R 2 D1  D 2 sen(b)  sen(c)   R2 D2 sen(b) D 2  D1 sen(b)  sen(c)  D2 sen(b)

linha de esqueleto

C



 c^

B R1 ^a

^b

A

 O

R 2

Rc



O1

Figura 11. - -2 - Traçado da linha de esqueleto

Segue-se que

sen(b)  sen(c) D 2  D1  sen(b)  sen(c) D 2  D1

bc bc cos 2 2 bc bc sen(b)  sen(c)  2 cos sen 2 2

sen(b)  sen(c)  2 sen Mas

de que resulta

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

bc D 2  D1 2  bc D 2  D1 tg 2 ou b  c 1  D1 tg D2 2  bc D tg 1 1 2 D2 tg

Ainda,

o a + b + c = 180

o a = 90 - 

o b = 180 - () c = 

e, então,

o o o (90 - ) + [180 - ()] +  = 180

 = 90

o

90 o     2  1 2

ou



Mas

b  c 180 o  (1   )  ( 2  ) 90 o     2 2 2   2 b  c 180 o  (1   )  ( 2   )   90 o  1 2 2 2  bc 90   2 tg  tg   2 2 1  tg 2 o

Daí,

e, portanto,

1  tg

11-13/19

11-14/19

MÁQUINAS DE FLUXO 2013  1  D1 D 2  o 1   2  2  tg 90   D1   2  1  tg 1 2 D2

1  tg

e

D1 D1   1 D 2  o 1   2    D 2  o 1   2  1  tg  tg 90  tg 90    tg  D1  2 2  2  D1  2 1 1  D2  D2 1

     

de onde resulta

D1 D 2  o 1   2  tg 90   1 D1  2  1 D2  tg  D 2 1 1 D 2  o 1   2  tg 90   1 D1  2  1 D2 1

A corda c pode ser calculada de

R1 c  sen(a ) sen(c) ou

c

sen(a ) sen(90 o  ) R1  R1  sen(c) sen( 2  )

cos()    90 o  1   2 2 sen 2 

  

D1

O raio de curvatura Rc pode ser obtido de

c  sen() 2R c ou Rc 

c  2 sen( )

c  90 o     2  1   2 sen 2  

Para facilidade de fabricação da carcaça frontal (tampa anterior), adota-se distribuição linear de h com R:

h  h1 

h 2  h1 D  D1  D 2  D1

A planificação da pá para ser cortada de chapa plana resulta numa figura como a abaixo, com a

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 curva dada pelas equações:

x 2  y 2  R c2 h1  h 2 h  h2 2 y 1 z 2 R c cos()

x   R c cos( t )   y  R c sen( t )     t     dL  R c dt referidas à Figura 13-4:

Figura 13-3 - Altura das pás

11-15/19

11-16/19



MÁQUINAS DE FLUXO 2013

(-R,0)

-R(sen ,cos ) z

h1 h2 L

Figura 13-4 - Planificação da pá

A Figura 13-5 mostra um esquema do rotor

h2=0,023

Figura 13-5 - Corte do rotor

D2=0,730

D1=0,489

h1=0,034

11-17/19

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 11.2.1.5. ESQUEMA DO ESTATOR

O espaçamento entre rotor e estator é de 1cm na direção radial, de tal forma que D3 = D2 +0,020 ou

D3 = 0,730 + 0,020 = 0,750 m

V4 V2 2 V3 3

4

1

Figura 13-6 - Estator Admitindo-se que seja possível alcançar o grau de difusão desejado, para um canal de altura constante, trapezoidal, tem-se:

11-18/19

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

h4

L

V3 115,44

V4 90,35

h3

Figura 13-7 - Canal do estator 3V3h3 = 4V4h4 ou h4 = ( V3 /V4 )h3 = 1,28 h3

o Para o semiângulo  do difusor menor ou igual a 7 (máximo recomendável), tem-se:

h4  h3  sen() 2L ou h  h3 L 4 2 sen() ou

V3  1 V4 L  h3 2 sen() ou 1,28  1 L  h 3  0,21h 3 2 sen(7o) Admitindo-se que o número de canais do estator seja 23 e que o diâmetro D4 seja o medido ao término do comprimento L, no seu eixo, tem-se

h 3 ~ pD 3 /N P,estator = x0,750/14 = 0,168

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

11-19/19

o R4 = R3 + Lcos(oE) = 0,375 + 0,2 x 0,168 x cos(60,83 )

então

R4 = 0,392 m. Com os valores geométricos principais estimados, um esquema completo do ventilador pode,

então, ser feito. Nota: nenhuma verificação a respeito da compatibilidade dos valores de h3 = 0,168 e o número de pás igual a 14 foi feita, assim como a verificação da possibilidade do grau de difusão no estator ser atingido. Fica, portanto, para o aluno o trabalho de verificá-los, utilizando alguma técnica disponível, alterando, em conseqüência, os parâmetros envolvidos. Atenção deve ser dada ao problema da compatibilidade mecânica, para que um canal não se superponha ao adjacente. Se isto, entretanto, acontecer, uma solução é aumentar a distância entre o estator e o rotor (espaço sem pás) e/ou o número e a geometria dos canais.

Não serão abordadas neste capítulo as formas construtivas das diversas partes, ainda que elas sejam ponto fundamental no anteprojeto do ventilador.

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 12.

12-1/15

ANEXO I - LEIS DE CONSERVAÇÃO

Objetivos Os objetivos deste capítulo são:  apresentar os princípios da natureza e obter equações que os representem adequadamente para o estudo do escoamento em máquinas de fluxo.  ressaltar a importância do conhecimento de cada termo dessas equações, o que representam e indicar modos de simplificações em função do tipo de estudo desejado  salientar diferenças entre equações integrais e equações diferenciais desenvolvidas.

12.1

EQUAÇÕES BÁSICAS

As leis que governam o escoamento de um fluido são bem conhecidas. Um modo de identificá-las é a observação de que a evolução de um sistema físico é caracterizada pela massa, quantidade de movimento e energia em cada instante. Em outras palavras, seu comportamento é governado por leis de conservação. Essa conclusão foi um dos grandes acontecimentos da ciência moderna, pois não importa quão complicada seja essa evolução: a conservação daquelas propriedades é observada. Um escoamento de fluido é considerado conhecido se sua velocidade, sua pressão e sua temperatura estáticas são conhecidas a qualquer instante. Em casos em que a temperatura permanece praticamente invariável, a temperatura não é considerada (como nas turbinas hidráulicas). O princípio geral da conservação estabelece que a variação da quantidade de uma propriedade extensiva (que depende da massa) em um volume especificado é devida à soma (líquida) de fontes (da propriedade) internas e do balanço da quantidade (da propriedade) que atravessa a fronteira do volume. Em outras palavras, o princípio de conservação estabelece que a variação de uma propriedade extensiva num volume especificado é devida às fontes e sumidouros dessa propriedade, no interior do volume, mais o fluxo da propriedade através da fronteira do volume. O fluxo é gerado devido ao transporte convectivo do fluido e ao movimento molecular (sempre presente). O efeito do movimento molecular expressa a tendência do fluido em atingir a condição de equilíbrio. As diferenças em intensidade da propriedade considerada acarretam transferência espacial destinadas a homogeneizar o fluido. Essa contribuição é proporcional ao gradiente da propriedade correspondente (porque a contribuição deve ser nula numa distribuição homogênea). No Apêndice I é recapitulado o desenvolvimento das equações de conservação

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

12-2/15

(de Mecânica dos Fluidos). Neste capítulo apenas são apresentadas aquelas equações, nas formas apropriadas ao presente estudo.

SC V

dm

VC

Figura 12-1 - Volume de Controle

Sejam um volume de controle (VC), como o da Fig. 4-1, delimitado por uma superfície de controle (SC) indeformável através do qual flui o escoamento de um fluido com velocidade [V(x,y,z)] e um elemento de massa (dm) desse fluido que escoa através do volume de controle.  FONTES E SUMIDOUROS: Se A é a quantidade total da propriedade e a sua quantidade específica, então A = a.m Para um elemento infinitesimal de fluido, dA = a.dm. Como dm = .dV,

( é a densidade do fluido)

tem-se dA = a..dV Então, para o volume de controle VC indeformável, tem-se: A

adV VC

que é a quantidade total da propriedade A contida no volume VC.

12-3/15

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

A variação, por unidade de tempo, da propriedade A no volume VC será: A   t t

adV VC

 FLUXO Sejam  dS

um elemento da superfície (orientado) SC (Fig. 4-2)

  v a velocidade do fluido relativa à superfície dS   n o vetor unitário normal à superfície dS 

dS o módulo de dS

S C

n dS

V C

Figura 12-2 - Elemento de Superfície

O volume de fluido que atravessa esse elemento de superfície por unidade de tempo (vazão volumétrica) é dado por    v  dS dV

 A quantidade de massa que atravessa a superfície dS, por unidade de tempo, é     dm   v  ndS dV

Segue-se que a quantidade da propriedade A que atravessa a superfície de controle, por unidade de tempo, é:

12-4/15

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 



 av  ndS SC

 PRINCÍPIO GERAL DA CONSERVAÇÃO A taxa de variação de uma propriedade extensiva A,

dA  A, dt

para um volume de-

terminado, num instante t, é a soma da taxa de geração ou de destruição da propriedade A no interior do volume, no instante t, com a taxa de transferência da propriedade A através da superfície desse volume, no tempo t:  A =

Contribuição devida a fontes e sumidouros in- + ternos

Contribuição devida ao fluxo

Segue-se que  A t

 

adV  av  ndS VC

SC

# 12-1

 

Como dm  dV  v  ndS ,  A t



adm

VC



 adm

SC

# 12-2

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 12.2

12-5/15

CONSERVAÇÃO DA MASSA

Considere-se a equação # 12-1 e seja m (massa) a propriedade extensiva considerada. Segue-se que a = 1 pois m  1  m  a  m .

 = 0 pois massa não é criada nem destruíPelo princípio da conservação de massa, m da (pelo menos nas máquinas ora em estudo). Então  t



dV 

VC

# 12-3

  v  ndS  0

 SC

que é a forma integral da equação da conservação de massa para um volume de controle VC limitado por uma superfície SC e imerso num escoamento cujo campo de   velocidade é v . Deve-se ter em mente que v é a velocidade relativa à superfície. A equação # 12-3 representa o princípio da conservação de massa na forma integral. Deve-se notar que esta forma é aplicável a qualquer tipo de escoamento, inclusive com descontinuidades como aquele onde aparecem ondas de choque. Entretanto, muitas vezes é mais conveniente a utilização da equação de conservação de massa na forma diferencial, que pode ser deduzida da eq. # 12-3. Um procedimento pa ra obter a forma diferencial utiliza o teorema de Gauss para o campo vetorial f no qual está o volume de controle VC, limitado pela superfície SC indeformável :   f  ndS 

 SC

    fdV

# 12-4

 VC

  Fazendo f =  v na eq. # 12-4 tem-se 

 



# 12-5

v  ndS    (v)dV SC

VC

Substituindo-se a eq. # 12-5 na eq. # 12-3 resulta:  t





dV +   (v)dV =0 VC

ou

 VC

 dV t

VC

+

 VC

    (v)dV =0

12-6/15

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 ou







 t dV +   (v)dV =0 VC

VC

ou  



 

  t    (v)dV =0. VC

Como VC é arbitrário, segue-se que:       (v)  0 t

# 12-6

que é a forma diferencial do princípio da conservação de massa. Deve-se observar que as equações # 12-3 e # 12-6 são também aplicáveis a escoamentos em regime transitório. Um tipo de escoamento importante é o escoamento em regime permanente. Nesse tipo de escoamento, as propriedades só dependem das coordenadas espaciais, isto é, só do local em que se analisa o escoamento. Desprezando-se as partes das equações # 12-3 e # 12-6 que dependem do tempo, obtém-se, respectivamente,  

v  ndS  0

# 12-7

    (v)  0

# 12-8

SC

Estas são, respectivamente, as formas integral e diferencial do princípio de conservação de massa, em regime permanente. Neste caso, deve-se ter em mente que todas as variáveis envolvidas dependem das 3 coordenadas espaciais   v = v (x,y,z)

  n  n ( x, y, z)

 = (x,y,z)

S = S(x,y,z)

     ( x , y, z )

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

12.3

12-7/15

CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR

 Primeiramente, considere-se a equação # 12-1 e seja q a quantidade de movimento linear:   q  mv

Então



a= v e  t

  





vdV   v(v  n)dS  q VC

# 12-9

SC

Note-se que # 12-9 é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em 3 componentes escalares. Por outro lado, da 2 a Lei de Newton, a resultante das forças aplicadas no corpo delimitado pela superfície SC é igual à variação da sua quantidade de movimento:   d  q  (mv)   F dt

As forças que atuam no volume de controle são de 2 tipos:   de superfície (ou de contato), fs   de volume (ou de campo), fv As forças de superfície dependem da natureza do fluido em questão e são resultantes das considerações feitas sobre as propriedades das deformações internas do fluido relacionadas às tensões internas. Neste curso serão considerados apenas os fluidos newtonianos, para os quais as tensões internas podem ser escritas na forma:       P I  

# 12-10

onde P  

é a pressão estática (considerada isotrópica) é o tensor de tensões de cisalhamento viscosas.

MÁQUINAS DE FLUXO 2013

12-8/15

As forças de superfície são, portanto:  fs 



    ndS

# 12-11

SC

As forças de volume são (considerando apenas a força gravitacional)  fV 





df gdV

# 12-12

v

VC

VC

Segue-se então que     F  fs  f v 

    ndS 

 SC



gdV

# 12-13

VC

Substituindo-se # 12-14 em # 12-9 tem-se  t

 vdV 

 VC



   v(v  n)dS =



    ndS 

SC

SC



gdV VC

Deve-se observar que a única força de campo considerada foi a gravitacional (que é a única importante nas máquinas de fluxo usuais). Levando-se em conta as equações # 12-10 e # 12-14 obtém-se  t

 vdV 

 VC

  vv  n dS  

 SC

 SC

  PI  ndS 

 SC

    ndS 



gdV

# 12-14

VC

Esta é a forma integral da lei de conservação da quantidade de movimento linear. Em muitos casos, como quando se usam métodos numéricos com diferenças finitas, a forma integral não é a forma apropriada. É necessária a forma diferencial correspondente. Essa forma é obtida da equação # 12-14 através da aplicação do Teorema de Gauss para converter as integrais de superfície em integrais de volume, como mostrado a seguir.

12-9/15

MÁQUINAS DE FLUXO 2013



   v(v  n)dS 

SC

     (v(v))dV



# 12-15

VC

      P I  ndS     (P I )dV SC

VC

       ndS     dV SC

VC

Substituindo-se # 12-15 em # 12-14, resulta:  t

 VC

ou

 VC

 vdV 



    (vv)dV

VC





 



=     P I dV     dV   gdV VC

VC

VC

         ( v ) ( v v P I  )  g dV  0        t  

Para um volume de controle indeformável genérico,          (v)    (vv  P I  )  g  0 t

# 12-16

que é a forma diferencial da lei de conservação da quantidade de movimento linear. As equações # 12-14 e # 12-16 também se aplicam a escoamentos transitórios, isto é, que variam com o tempo. Analogamente ao deduzido para a equação de conservação de massa, para escoamentos permanentes, tem-se:   v(v  n)dS

 SC

  PI  ndS

 SC

         (vv  P I  )  g  0

    ndS

 SC

  gdV 0



# 12-17

VC

# 12-18

MÁQUINAS DE FLUXO 2013 12.4

1210/15

CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR

O princípio da conservação da quantidade de movimento angular estabelece que a resultante dos torques aplicados ao corpo delimitado pela superfície de controle SC é igual à variação da sua quantidade de movimento angular. Devido aos mancais da máquina, movimentos na direção axial e radial são impedidos, deixando o rotor livre apenas para girar em torno do seu eixo (admitido coincidente com o eixo coordenado z). Desta forma, apenas a componente de momento das forças tangenciais (ao rotor) é de interesse e é ela a responsável pelo aparecimento do torque transmitido pelo eixo da máquina. Nas máquinas de fluxo está-se interessado na avaliação do torque (momento) transmitido entre fluido e o seu rotor. Aplicando-se o princípio geral de conservação (eq. # 4-1), com

  a  r  v , tem-se   M t

 

   

r  vdV   r  v(v  n)dS VC

# 12-19

SC

Em regime permanente, tem-se  M



 

 r  v(v  n)dS SC

ou  M

 

 r  vdm

# 12-20

SC

 

pois ( v  n )dS  dm . Pondo     V  Vr e r  Vu e   Vz e z

   r  re r  ze z

tem-se

r  V 

z

 rVu

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1211/15

Logo, Mz 

rV dm u

SC

Esta equação permite o cálculo do momento e da potência associados ao escoamento através do rotor da máquina de fluxo. É importante concluir dessa expressão que apenas a projeção da velocidade absoluta na direção tangencial (na direção da velocidade U), Vu , contribui para o momento na direção axial e, portanto, para a potência transferida para o eixo ou dele extraída. Isto está associado à variação da quantidade de movimento na direção tangencial a que, pela segunda lei de Newton, corresponde uma força, também na direção tangencial. Esta força produz um torque em relação ao eixo de rotação da máquina.

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1212/15

12.5 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Considerem-se o escoamento de um fluido através de um volume de controle, delimitado por uma superfície de controle e a 1a. Lei da Termodinâmica associada, na forma  W  Q  E  K

# 12-21

ou

dE  dK 

 Q



 W Trabalho feito pelo meio no sisitema

caor adicionado

onde E K Q W

energia interna energia cinética calor adicionado ao fluido trabalho da resultante das forças que agem no fluido.

Considere-se a equação # 4.1 aplicada às energias interna e cinética, com

E  me

ae

e a

1  2  K  mv  2  

1 2 v 2

 E  t

edV  e(v  n)dS

   K t



 

VC



VC

# 12-22

SC

v2 dV  2

 SC



v2   (v  n)dS 2

Considere-se a Figura 12-3.

# 12-23

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1213/15

n dQs dS

Figura 12-3 - Superfície Orientada O fluxo de calor, isto é, a quantidade de calor introduzida no Volume de Controle  através do elemento de superfície dS pode ser calculado, por unidade de tempo, por    q  n dS dQ s s

 onde q s

é o vetor de fluxo de calor por unidade de tempo.

Então,



  Q s

  q s  ndS

SC

Para o calor gerado internamente,   q dV dQ v v

q v

onde

é a quantidade de calor gerada internamente, por unidade de tem-

po. Então,   Q v

q dV v

VC

Segue-se que  Q  Q   Q s v



q SC

s

  ndS 

q dV v

# 12-24

VC

Para o trabalho resultante das forças que agem no Volume de Controle distinguem-se 2 parcelas:  f * das forças de superfície s fv * das forças de volume

 As forças de volume são a soma de f v com as outras fontes de calor exceto condução (qH), a saber: radiação, reações químicas, etc.

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1214/15

Logo, o trabalho das forças de volume, por unidade de tempo, é    (f  v  q )dV dW v v H

# 12-25

As forças de superfície são as mesmas consideradas em # 12-11. Segue-se, então, que          ( dW  v)  ndS  (Pv    v)  ndS s

# 12-26

Para as máquinas de fluxo convencionais, a única força de campo a ser conside  rada é a gravitacional: fv  g Então,    g  vdV (Pv    v)  ndS W   VC

# 12-27

SC

Assim, a equação # 12-27 pode ser rescrita na forma             v2 v2   edV   ev  ndS   dV    (v  n)dS    q  ndS  q vdV  g  vdV   (Pv    v)  ndS  t VC t VC 2 SC SC 2 SC VC VC SC

# 12-28 Agrupando as energias interna e cinética:          v2 v2   (e  )dV   (e  )(v  n )dS    q  ndS   q v dV   g  vdV   (Pv    v)  ndS  t VC 2 2 SC SC VC VC SC

# 12-29 Para regime permanente,

 (e  SC

        v2   )(v  n)dS    q  ndS   q v dV   g  vdV   (Pv    v)  ndS 2 SC VC VC SC

# 12-30

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1215/15

É possível, também, obter uma forma diferencial da equação da energia, utilizando procedimento análogo ao utilizado anteriormente, conforme o exposto na Eq. 430b.     v2    v2        (e  )      (e  )     q  g  v  q v    (Pv    v)  0 2  2  t  

# 4-30b