Mapas conceptuales de matematica. Nivel Bachillerato

Nº REALES se clasifican IRRACIONALES √a

RACIONALES (a/b) propiedades • • • •

(a/b)m . (a/b)n = (a/b)m+n (a/b)m : (a/b)n = (a/b)m-n [(a/b)m ]n = (a/b)m.n (a/b . c/d ) m = (a/b)m. (c/d)m

propiedades •

• • •

•

Productos y cocientes Suma Racionalización

•

•

•

a

n

n

√ an = a √ a . n √b = n √ab

n

aplicaciones

•

m/n

n

relaciones

n

a

=

n

a

de

b b (n √a)m = n √am n m n nm √ √a = √a n √an = nm√an

m

orden

= √a

tipos

• • • •

Error Absoluto ∆x = | x- x | Redondeo Notación científica Error Relativo δx= ∆x/x

ERRORES

utilidad

VALOR | | ABSOLUTO

aplicaciones

INTERVALOS

ej.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

DISTANCIA

tipos

• • •

Abiertos ( ) Cerrados [ ] Semiabiertos ( ]

POLINOMIOS P(x)= an x + an-1 xn-1 + …..+ a1 x0 + a0 n

operaciones

combinación RAZONES ALGEBRAICAS P(X) / Q (X)

xn + bn xn = ( an + bn) xn

se relaciona con

•

Suma : an

•

Producto : ( amx

•

Cociente : P(x) = Q(X) . C(x) + R(x) ⇒ gr R(x) < gr Q(x)

•

operaciones

Resta: (- P(x) )

m

) . (b n xn )= am bn xm+n

•

SUMA

•

Reducir a común denominador m.c.m •

factorización de

polinomios

P(x) = (x- α1) . (x- α2) ….. (x- αk) C´(x)

ejemplo

• • •

Regla de Ruffini ⇒ P(x) : (x-a) Teorema del Resto ⇒ R = P(a) Raíces de un polinomio

Producto

Cociente

IGUALDADES Y DESIGUALDADES igualdades

desigualdades SISTEMAS DE ECUACIONES

ECUACIONES (=) Tipos

clasificación

INECUACIONES resolución gráfica

solución

tipos

•

LINEALES •

Primer grado, ax + b = 0 ⇒ a ≠0 ⇒ x= - b/a

MÉTODO DE GAUSS

tipos

•

Primer grado, ax + b ≤ 0

Segundo grado, ax2 + bx + c = a(x-x1 ) . (x-x2 )

INCOMPATIBLES •

Segundo grado, ax2 + bx + c = 0 X= ( -b ± √b 2 - 4ac ) / 2a

•

COMPATIBLES •

Bicuadradas, ax4 + bx2 + c =0 ⇒ x2 =z

tipos

DETERMINADOS •

Ecuaciones con radicales

INDETERMINADOS

Otros grados, (x-a) . (x+b) …..≥ 0

VECTORES Q

P

clasificación

combinación

nomenclatura

• • • •

Q , origen P , extremo QP , desplazamiento   , módulo

operaciones

VECTOR FIJO producto escalar

a.b=1/2(a 2 +b 2 -b-a2 )

operaciones

Suma : a + b 

Suma; regla del polígono

MATRIZ DE COMPONENTES

BASES ejemplo

BASES CARTESIANAS

módulo

Resta : a - b  producto escalar

Multiplicación : ra  Multiplicación rPA

operaciones

VECTOR LIBRE

representantes

DIRECCIÓN

SENTIDO

MÓDULO

a.b = a1 .b 1 + a2 . b 2

v= √[ ( v 1 )2 + (v 2 )2 ]

GEOMETRÍA VECTORIAL DEL PLANO tipos

VECTOR LIBRE identificación

RECTA relación con

posición

punto

ORIGEN

AB = OB - OA

aplicación

VECTORIAL r = OA + t. v

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO

PARAMÉTRICA X= a1 + t . v 1 Y= a2 + t . v 2

asocia

SISTEMA DE COORDENADAS

forman

VECTOR POSICIÓN

COORDENADAS (X,Y) relación

CONTINUA x -a 1 /v 1 = y-a 2 /v 2

BASE DISTANCIA

SECANTE

COINCIDENTE

NO COINCIDENTE

aplicación

GENERAL Ax +By + C = 0

son

PARALELAS PUNTO - RECTA

aplicación

DOS PUNTOS

PENDIENTE, m PERPENDICULARES

EXPLÍCITA y= mx + h

Nos COMPLEJOS

soporte

estructura

se

identifican

AFIJO

TRIGONOMETRIA

caracteriza

VECTOR DE POSICIÓN (x ,y)

se define

consta

CUERPO RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

relación entre ellas

operaciones

IDENTIDADES

formas de Expresión

X, PARTE REAL

Y, PARTE IMAGINARIA

operaciones

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

SUMA

r = |z | x = r cos α y = r sen α

POLAR r α

(a+bi) . (c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

z . z´= ( r. r´ ) α+β

BINÓMICA Z= x+yi PRODUCTO POR Nº REAL PRODUCTO

COCIENTE POTENCIA

operaciones

Multiplico conjugado

z : z´= (r / r´ ) α - β

Multiplicaciones sucesivas

zm = ( r m ) mα

RAÍZ n

√r α =

{

R=

n

√r , θ = α/n + k360º/n

TRIGONOMETRÍA

Cosec α= 1/y

Sen α = y son

Sec α = 1/x

Cotang α = x/y

cos α = x

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Tang α = y/x

operaciones

relación

Ángulo doble • Sen2α = 2 senα . cosα • cos2α = cos2 α - sen2 α

IDENTIDADES BÁSICAS son

Suma de ángulos • Sen(α+β)=senα .cos β+ cos α . senβ • Sen(α-β)=senα .cosβ - cos α . senβ • cos(α+β)=cos α.cosβ - sen α . senβ • cos(α+β)=cosα .cosβ +sen α . senβ

nomenclatura

Ángulo mitad sen2 α + cos2 α = 1

1 + tang2 α = sec2 α

1 + cotang2 α = cosec2 α

•

aplicación

•

√ (1 - cos α) / 2 Cos α/2= ± √ (1 + cos α) / 2 Sen α/2= ±

Suma de razones • SenA + senB = 2sen (A+B)/2 . cos (A - B)/2 • SenA - senB = 2cos (A+B)/2 . sen (A - B)/2 • cosA + cosB = 2cos (A+B)/2 . cos (A - B)/2 • cosA + cosB = 2sen (A+B)/2 . sen (A - B)/2

180º = Π rad

Equivalencia

RADIAN

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

TRIÁNGULOS C B Â

TEOREMA DEL COSENO a2 = b 2 + c2 - 2abc cosA

a c

relación entre lados y ángulos

B

resolución

utilizando

aplicación

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN

TEOREMA DEL SENO a/senA = b/senB = c/senC TRIÁNGULOS RECTANGULOS aplicación

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA a/senA= 2R

CASO GENERAL

utilizando

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

CÁLCULO DE DISTANCIAS INACCESIBLES

FUNCIONES COJUNTO IMAGEN

asocia

DOMINIO; D x⇒y= f (x)

Imf= { f(x)  x∈D }

se define

F . PLINÓMICA f(x)= an xn + a n-1 xn-1 +….+ a1 x + a0

asigna

GRÁFICA ( X, f(x) )

F . CONSTANTE f (x)= c

tipos

clasificación

propiedades

F . IDENTIDAD f(x) =x

F . PRIMER GRADO f(x) = ax + b IMPAR f (-x) = - f(x)

SIMETRÍAS

INYECTIVA f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 =x2

PAR f (-x) = f(x)

SUMA f (x) + g(x) = (f+g) (x)

RESTA f (x) - g(x) = (f-g) (x)

F. PROPORCIONALIDAD INVERSA y=c⁄ x

operaciones

PRODUCTO POR cte (C. f)(x) = C . f(x)

PROCUCTO (f . g) (x) = f(x) . g(x)

pendiente o.o

F. SEGUNDO GRADO f(x)=ax2 + bx + c

COCIENTE (f/g) (x) = f(x)/g(x)

COMPOSICIÓN (g 0 f) = g(f(x))

LÍMITES

tipos

VALORES MUY GRANDES

LÍMITES EN EL INFINITO

limx à +

limx à ±

∞=

indeterminaciones

0 /0

LÍMITE EN UN PUNTO

limx à ± a =

∞=

VALORES MUY PEQUEÑOS

limx à -

∞=

clasificación propiedades

limxà+∞ =[f(x)+g(x)] = lim xà+∞ f(x) + limxà+∞ g(x) = l + m

• • •

limxà+∞ =[f(x).g(x)] =[ limxà+∞ f(x) ]. [ limxà+∞ g(x) ] = l .m

•

•

∞/ ∞ ∞−∞ 0.∞

CONTINUA

l/± ∞=0 l ≠0

l/0 = ∞ l ≠0

l ≠0

limx àa x = a

Tipos

(-∞ )+(-∞ )= - ∞

limx àa f(x)= l l>0 , entonces

limx àa√f(x) = √l EVITABLE

±∞ / l = ± ∞

•

0/0 1ª ESPECIE

limxà+∞ =[f(x):g(x)]=[ limxà+∞ f(x) ] : [ limxà+∞ g(x) ] = l/m (+∞ )+(+∞ )= +∞

•

propiedades

DISCONTINUA

limx àa f(x) = f(a)

•

∞=∞

limx àa c =c

indeterminaciones

•

Cte +

•

Cte

. ±∞ =± ∞

±∞/0=+∞

±∞ .± ∞=± ∞

2ª ESPECIE

DERIVADA f(x) derivada

f´(x)

aplicación

f ´(x0 ) = lim

h→0

f (x0 +h ) - f (xo )

f(x) ± g(x) = [f ´(x) ± g ´(x)] definición

técnicas de derivación

h

f ´(x) . g(x) = [f ´(x) . g(x) +g ´(x) . f(x)]

conclusión

f(x) = mx + b → f´(x)=m

RECTA TANGENTE y- f(x0 )= f´(xo ) . (x - xo ) ASÍNTOTAS

f ´(x) : g(x) = [f ´(x) . g(x) +g ´(x) . f(x)] : g 2 (x)

ASINTOTA VERTICAL

Lim x → a f(x)= ∞ [ x n ] ´ = n x n - 1 → n √p m = p m/n ASINTOTA HORIZONTAL

Lim x → ∞ f(x)

CRECIMIENTO

GRÁFICAS

F . CRECIENTE X1 < X2 f(x1 ) < f(x2 )

F . DECRECIENTE X1 < X2 f(x1 ) > f(x2 )

1º Criterio

MÁXIMO

2º Criterio

estudia OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

h (x)= ( u(x) )n ; n∈Q h ´(x) = n ( u(x) )n-1 . u ´(x)

EXTREMOS RELATIVOS f ´(x)=0

Creciente→Decreciente f ´(x0 )=0 → f ´´(x0 ) < 0

son

1º Criterio

MÍNIMO

Decreciente→Creciente 2º Criterio

implica

PUNTOS DE INFLEXIÓN f ´´ (x0 )=0 CONVEXA ; f ´´(x)0 ⇒ f ´(x)creciente

f ´(x0 )=0 → f ´´(x0 ) > 0

INTEGRAL ; ∫a

b

∫

b

a

…+

[

f(x) dx = lim n→∞ = f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ2 ) ∆x2 + f (ξn ) ∆xn

]

definición

Sn = f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ2 ) ∆x2 +

…+

∫

teorema

f(x) dx = -

a

fundamental

f (ξn ) ∆xn

b

∫

b

f(x) dx ; a0

interpretación

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN, r

r=

σxy /σxσy

relación clasificación CORRELACIÓN INVERSA

RECTA DECRECIENTE

Y sobre X :

r< 0 r =±1→ E2 =0

Y -m y = σxy / σ2 x ( X - mx )

X sobre Y :

X -m x = σxy / σ2 y ( Y - my )

TÉCNICAS DE CONTAR

en general

DIAGRAMA DE ÁRBOL

planteamiento de posibilidades

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

posibilidades de combinación

VARIACIONES Vmk = m.(m-1)…(m-k1)

DIAGRAMA DE CAJAS

VARIACIONES CON REPETICIÓN VR mk = mk

característica IMPORTA ORDEN

PERMUTACIONES Pm= Vmm

concepto asociado

COMBINACIONES Cmk = Vmk / Pk

BINOMIO DE NEWTON fórmulas

TRIÁNGULO DE PASCAL

NÚMERO COMBINATORIO (mk) = m! / k! (m-k)!

concepto asociado

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN PRn k1 k2 = n!

FACTORIAL n! = n . (n-1) . (n-2)…

NO REPETICIÓN

características NO IMPORTA ORDEN