Eléments du Cours de Mécanique Analytique Chapitre I
M EL KACIMI
Année universitaire 2013/2014
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Laboratoire de Physique des Hautes Energies et d’Astr op ophysique 2013/2014
Chapitre 1
Formalisme de Lagrange 1. 1.1 1 In Intr trod oduc uctio tionn
Lconceptuel e formalleisparme rapport de la mécani q ue anal y ti q ue n’ a pporte pas de nouveauté au formalisme de la dynamique Newtoni Newtonienne. TTou-oumitefà leo’oriuxiris,gadaptée ln’aepproche àquanti de nombreux laficatimécani domai quedydynami anal nesydetiquesquela clphysi consti qtuesue moderne. la fourni rmultaElnombre tiloenestla i de l a o n des nami a ssi et demoderne. conceptsLaetmécani d’outi outiqlsuemathémati q ues pour él a borer l a mécani q ue quanti q ue anal y ti q ue consti t ue un cadre bi e n adapté à l a f o rmul a ti o n des modèl e s des i n téracti o ns f o ndamental e s de mani è re i n tui t i v e enéléctromagnéti se basant surquelesetthéori e s de symétri e de Jauge , partant de l ’ i n téracti o n passant par les intéractions faibles et fortes. 1.2 Coo Coordo rdonné nnées es gén généra éralisé lisées es
L ’ approche a pproche standard de l a mécani q ue newtoni e nne consi co nsi s te à rel i e r l e s quanti t és de mouvement des di v erses parti c ul e s aux f o rces qui en sont à l ’ o ori ri giforces ne sousmisfesormeen d’jeéuquati quasonttiodécri ns ditffesérenti e l e s vectori e l e s de deuxi è me ordre. Les soi t par des l o i s f o ndamental e s, dont cel l e s deloislaphénoménol force graviotatigiqouesqui nnel l e et de l a f o rce é él l é ctromagnéti q ue, . . , soi t par des ues qui décri v ent l e s f o rces de f r ottement. Rappel o ns que lfoerces s forcesfondamental de frottements consi t uent des effets à l ’ échel é chel l e macroscopi q ue des de s es. L’ensembl ensemble des équations différentiel es dynamiques associ mouvement. Lacondi résolnttesuiotinsoexin idensitenttiacesleentre séquati permettent eencompl tement stilesdiposi euselelorsqueéesdesauxcontrai leosnsposirestent tdeionsprédiouen birgénéral entreèfatement 3
Formalisme de Lagrange
tileosnsforces et lesdevitcontact esses. Enintrodui effet, lsaenteprésence effet, des f o rces de l i a i s on où en général nt des dépendances entre l e s vari a bl e s qui décrivent le système. Aussi, si le système système est formé par parti particules, en raisonsont plnuesus desimalnlidépendantes contrai connues ntes,etvalentre deeleurs.sce3elfal eitcoordonnées s.inDetroduiplus,sentlesquiàfolrces edécri ursàtours vlent’origdelienesystème nouvel des contrai lesneinconsont ntes é es à l e urs Let’iddeéenededécri baseredelelasystème mécaniqqueue anal y ti q ue est d’ é l i m i n er l e s f o rces i n connues par des coordonné coordonnées es qui sont i n dépendantes et qui ne sont soumises à aucune co contrai ntrai n te. Ces coordonnées s’ a ppel l e nt . El l e s sont de nature arbi t rai r e et peuvent être une l o ngeur, un angl e , . . cependant ces coordonnées décri v ent de mani è re uniPourvoquese fixerl’éétattatlemécani q ue du sy système stème si l ’ o n prend en compte l e s contrai n tes. s idées, prenons l’eexempl xemple du double pendule, figure 1.1. En N
N
les
coordonnées généralisées
despri—ncipendul s.sont Or, est déc décri ri t par 6 coordonnées, 3 coordonnées pour chacun lsurpees lfilleessesystème de l o ngueur fixe, ce qui engendre deux contrai n tes, chacune coordonnées d’uunn pendule 1 = 1 1 2 = 2; — lsuppl e mouvement doi t avoi r l i e u sur un pl a n, ce qui raj o ute deux contra contrai i n tes émentaires, chacune sur un pendule. −−→ OM
θ 1
−−−→ M M
l 1
g M1
l2 M2 θ2
F 1.1 –
1 2
pendules du pendules liéssystème. astreints à se déplacer sur le même plan. Les angles θ angles θ et θ θ suffisent pour décrire Deux le mouvement
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1.2 Coordonnées généralisées
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D’ o où ù l e mouvement du système peut être décri t seul e ment par deux deu x coordonnées au l i e u de si x . Le choi x tout à f a i t naturel est consti t u ué é par l e s deux angles repérant les rotations des deux pendules. non L ’ i pas d ée avec est de l e s réexpri coordonnées m er l e s habi l o i s t uel qui l e régi s mai s sent s en l e f o ncti mouvement o n des coordonnées du système général i s ées. Si l ’ on o n est en présence p résence de contrai n tes, l e nombre de coordonnées i n dépendantes est égal à = 3 . Ces n coordonnées, que ldi’oontnqueappellelesystème les coordonnées général i s ées, sont noteés = 1 . On possède degrés de l i b erté. Chacune des coordonnées général i s ées est i d enti fi ée à un degré de l i b erté. Aussi , i l s’ a agi gi t d’ i d enti fi er ldecri es coordonnées général i s ées, = ( ) , et de l e s uti l i s er pour l a 1 ption du système. Revenons aux contraintes. Rappelons que général généralement quand on résoud unmouvement ssance ème,enondeséliLamestfionmécani iantntéressé ondelquiaytilsoliqauesont uison,tipermet onàcomme dul’ooririmouvement ionntable ldeseirverra non n tes par sur l a lconnai es probl coordonnées. mérces canildeesqfueloarcesiparsanal d’géétabl lecontrai setéquati o ns du par l a sui t e, et fournit les outils nécessaires pour déterminer les forces rces de contact. Nous al l o ns donner quel q ues défini t i o ns des contrai n tes que nous uti l i s erons dans la suite de ce cours.
N −
···
1.2.1 1.2 .1 Cont Contraint raintes es et définit définitions ions
On appelle contrainte holo(nome toute contrai n te véri fi ant l a f o rme )=0 1 N N
di ff érenti a bl e en tout poi n t. On di s ti n gue deux cl a sses de contrai n tes holexplonomes. Les contrai n tes sont di t es si el l e s ne dépendent pas icitement du temps. Dans le cas contraire, elles sont dites Notons que dans le cas du double pendule, étant donné que la longueur desduLa physi filfil, salestoqrsueconstante, elmoderne les est clestetéronome. comme nte est imqposée longueur essentielal econtrai essenti ment sub-atomi ue et lc’’ooneestnstestla rarement scléronomes
rhéonomes.
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Formalisme de Lagrange
conf r onté aux contrai n tes et quand el l e s apparai s sent dans un probl è me, elles sont holonomes. 1. 1.3 3 Eq Equa uatio tions ns de La Lagr gran ange ge
Comme c’ e est st i n di q ué dans l e paragraphe précédent, i l s’ a gi t de décri r e l a dynami q ue du système avec l e s coordonnées général i s ées. Pour ce f a i r e, i l estséesinsont dispensabl e d’ établ é tabl i r l e s équati o ns auxquel l e s l e s vari a bl e s général i soumi s es et ceci est réal i s é à l ’ a i d e de l a f o ncti o n de Lagrange ˙ que l ’ on o n appel l e l e l a grangi e n, notée ( ) , et qui est homogène à une énergi e . Nous al l o ns présenter l e s équati o ns de Lagrange en uti l i s ant deux approches. L’une une d’eell es est basée sur le principe de moindre action, qui est un forma L
deslDans itiscmeulleossous-tendu ilsaquifondamental fsuiondamental eleslsedechemi lsystème a dyn dynami nsld’eamisetinitégral qnleuediscesifneeradi.grecs Une lces’oobjbjromai deuxi et depournècesmepour paragraphe. approche déri v ée tcomposent e, nousparadopterons énumérer l e s parpar énumérer l e s coordonnées général i s és. Les f o rces de l i a i s on seront notées et l e s f o rces extérieures par . On postul e qu’ i l exi s te une f o ncti o n ( ˙ ) tel l e que l ’ acti a cti o n, défini e , par α
F
F
1.3.1 1.3.1 Princi Principe pe de de mo moind indre re acti action on
L
L
= 1 2 ( ˙ ) est extremal e pour l a traj e ctoi r e empruntée effecti v e ement ment par l e système entre( 1) letes in(stants 1 à 2 dont les coordonnées généralisées respectives sont départ et d’arrivée de la trajectoire. 2), valeurs de départ Iéquatil estonstrèsdiffimérenti portantel esdesurremarquer que ce qui est sti p ul é ne sont pas des les variables dynamiques du système, comme S
e casre.quidupostul princiepelefocaractère ndamentalextrémal de la dynami e d’uneque,intégral maiseuncalpriculnéciepsure va-la trajric’eestasttieoctoilnnel
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1.3 Equations de Lagrange
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Un autre exempl e du pri n ci p e vari a ti o nnel uti l i s é en physi q ue est cel u i dele rayon Fermatluquiminsous tend l e s l o i s de l ’ o opti pti q ue géométri q ue et qui sti p ul e que eux emprunte toujours le trajet ayant un temps de parcours néral extremal Notons i s ées , mi que et n l i e m l urs a al f o dans premi ncti o ce n è res de cas déri Lagrange ci . v ées car ne l e dépend s équati que o ns des f o ndamental coo coordonnées rdonnées e s de gél a dynamique sont de second ordre. 1.3.2 1.3 .2 Théor Théorème ème de d’ d’Alem Alembert bert
Ce théorème permettra de dédui r e l e s équati o ns de Lagrange à l ’ a i d e du primentncipviertuelfondamental de l a dynami q ue en i n trodui s ant l a noti o n de dépl a ce. Théorème
Lors d’un déplacement virtuel, le travail des forces de liaison est nul.
Notons qu’ un u n dépl a cement vi r tuel tue l correspond à un dépl a cement de chaque vecteur posi t i o n d’ u ne quanti t é à un i n stant donné. Al o rs qu’ un u n déplacement réel met en jeu une translation correspondante dans le temps. Ce théorème sti p ul e donc que l e s dépl a cements vi r tuel s sont ceu ceux x pour lesquels les forces de liaisons n’engendrent engendrent aucun travail et n’affecte affecte donc
δ
lpasesPrenons dépl l’éénergi nergiacements equeldu qsystème. ues lviertuel exempl s Si coi l e n s ci : contrai d ent avec n tes l e ne s dépl dépendent a cements pas réel du s temps . al o rs fil est i n extensi b l e . Lors des osci l a ti o ns du pendul e l a tensi o n du fil ne travai l e pas. L Le e dépl a cement vi r tuel coi n ci d e avec le une déplaboul cemente quiréelroul. e sans glisser. La force de liaison qui l’empêche decetteglisfoserrceestestperpendi c ul a i r e au pl a n de roul e ment. Aussi , l e travai l de nul . Calculons le travail des forces le long d’un déplacement virtuel, que l’onon Pendule simple :
T
Boule :
δ W
F α F α · δ α
appelle le travail vi rtuel= ,( + ) =
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α
α
F α · δ α
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Formalisme de Lagrange
Or le déplacement virtuel peut s’eexpri xprimer comme suit = sachant que = 0 pour un dépl a cement vi r tuel . Le tr travai avai l vi r tuel prend alors la forme = = où est la ème composante de la force généralisée telle que = =1=1 Nours revenons sur ce concept popourur établir l’ééquati quation de Lagrange à partir des principes de la dynamique. ∂ α α δ ∂
δ α α
δ
δ W
∂ α α α F α · ∂ δ α Q δ
Q
Q
N
α
∂ α α α F α ∂
1.3.3 1.3 .3 Princ Principe ipe variat variationne ionnell
Cette approche est basée sur l e s chemi n s d’ i n tégral e . Consi d érons deux trajtrajeectoi ctoirreeseffecti entrevlement es coordonnées (1) et ( 2 ) , figure 1. 2 . L’ u une ne consti t ue l a utre ttrajrajecsuivie et que l’oonn notera par ( ). L’aautre toiree, effecti que l’onove,n appel correspond elactoicoordonnée rienstant variée,à infini( )m+ent proche ( ),), où de (la) trajesteuncaccroi ssement infinitlésieramlalaàtrajdechaque
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δ
δ
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q (t) i
q (t ) i 2
δq (t) i
q (t ) i 1
t1
F 1.2 –
t2
t
Trajectoires effective et variée. Les deux coincident aux instants instants et .
1 2
1 etat est2 puiquesquel’actilesondeux etondent qui s’aennnulcese auxpoints.instants trajectoierespourse conf Le postul est extremal lautour a trajedectoicette re effecti v e, ce qui veut di r e que l ’ a accroi ccroi s sement de l ’ a cti o n traje ctoi2 re est nul. Calculons cet accroissement = 1 ( ( + ˙ + ˙ ) ( ˙ + )) 2 = 1 + ˙ nous avons entre les deuxutilinséstants˙ = 1 et2 2, on. Enobtiinetégrant nt par parti e le deuxi 2 ème terme = 1 ˙ + ˙ 1 Comme l e s deux traj e ctoi r es coi n ci d ent aux i n stants 1 et 2 alors ( 1) = ( 2) = 0, ce qui fait que 2 ˙ 1=0 Lenulpendants, que olnses suiv sont les équati antes arbi sonttraisimresultanément et indélterme es quisi etresteseuleestmentnulsi, sachant
δ S
δ S
L
δ − L
δ
∂L ∂L δ δ δ ∂ ∂
δ δ /
δ S
∂L ∂L δ − ∂ ∂
∂L δ ∂
δ
δ
∂L δ ∂
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δ
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∂L ∂L − ∂ ∂
˙ =0 ceSi quiles consti tue les général équatioinsséesde coiLagrange. coordonnées n ci d ent avec l e s c coordonnées oordonnées cartésiennes, les équations de Lagrange s’éécricrivent comme suit ( ) ( ) = 0 Notons qu’ à parti r d’ un u n pri n ci p e vari a ti o nnel , qu’ est e st l e pri n ci p e de moi n dre acti o n, on abouti t à é quati o ns di ff érenti e l e s du second ordre. Remarquons aussi que ’mulurmenitéidepodelinsée ddu.paroiRappel mouvement uneroconstante. ns qu’symétri neelelchangent e estCecieshomogène correspond passystème simelaàfphysi ouneseul nctiénergi eoqment nuede(ineLagrange auvari . choi x —— parldeestlaesfoléquati t obéi aux du systè a nce transl a ti o n dans l e temps et dans l ’ e espace, space, i n vari a nce rel a ti v i s te, . . ) . D’etaaipliluesurs,partic’eestculstiècelrement a qui lguies dthéori e la constructi o n de des s modèl e s théori q ues e s des i n te teracti racti o ns f o ndamental e s. — grangi les équati o ns du mouvement re restent stent i n changées si l ’ o n raj o ute au l a e n une déri v ée total e d’ u ne f o ncti o n des coordonées et du temps. ˙ car ne dépend = + ( ) . ne dépend pas de de Posons que des dérivées premières par rapport au temps. En effet ∂L ∂L − ∂ ∂
L L
L′
∂L′
−
∂
L
/
∂L′
∂L
∂
∂
−
∂L
∂
L
∂ ∂ − ∂ ∂
˙ ( ) ˙ + ˙ = or = ˙ + ¨ ˙ + 2 + 2 ˙ = = = + + = 2 ˙ = ˙ = ˙ 22 + ˙ 2 ˙ ce qui implique que ˙ =restent invari˙antes. et donc les équations de Lagrange
⇒
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂L′ ∂L′ − ∂ ∂
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∂∂
∂2 ∂∂
∂L ∂L − ∂ ∂
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1.3 Equations de Lagrange
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— desle Lagrangi Lagrlagrangi angieennsdededeuxchacunsystèmes i n dépe dépendants ndants est égal e à l a somme des systèmes, = 1 + 2. L
L
L
1.3.4 1.3.4 Princi Principe pe de la la dy dynam namiqu iquee
rtuel des fdeorcesla dynami exténamiriequresue, ondéfinia auparavant. En extéri applReprenons iquant le prile ntravai cipe lfovindamental dy = ¨ Reexpri m ons l e travai l vi r tuel en uti l i s ant l ’ a ccél é rati o n général i s ée de manière à ce que ¨ = ˙ = l’eexpressi xpression des composantes de l’aaccél ccélération généralisée sont = ˙ = De même, l’expressi expressi =o ˙n de =lavitesse˙peut + se =mettre sus=la forme ˙ Aussi nous avons 2 2 ˙ + = ˙ + = = δ W
α
α
α ·· δ α α
α ·· δ α α
α
α α α ·
∂ α α δ ∂
A δ
A
α
αα
α α α ·
∂ α α ∂
∂ α ∂ α α α α α α α α · ∂ α · ∂ − α α
αα
∂ α α ∂
α ∂ α α α ∂ α α ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ α α ∂
∂ α α ∂ α α ∂∂ ∂ ∂ α ∂ α ∂ α ∂ α ∂ ∂ ∂
∂ ∂ α
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On obtient alors = ˙ 2 12 2 = ˙ 2 1 ce qui aboutit finalement à = ˙ oùl’aaccél est l ’ énergi é nergi e ci n éti q ue de l a parti c ul e . En combi n ant l ’ expressi e xpressi o n de ccélération généralisée à celle de la force généralisée on trou trouveve ( ) ère relsi ation est vérifiée quelque soit le déplacement virtuel siCetteet seulderniement = = ˙ = et qui tradui t l ’ équati é quati o n de Lagrange en f o ncti o n de l ’ énérgi é nérgi e ci n éti q ue et de la force généralisée. Rappel floilndamental éen. Dans ons queeledecaslalareldynami oùatileonréfqprécédente ueérentidanselcen’eestréfstépasrenti établgaleileestildans éen, comme un référenti la relelatiga-on = + où sont les forces d’inertie, l’accélération généralisée devient = + où Notons que l’énergi énergie cinétique est= évaluée dans le référenrentitiel non galiléen. A
α
∂ α ∂ αα α − α α α · ∂ ∂ α ∂ − α α α α ∂ α
α αα ·
∂
∂
α
∂T ∂T − ∂ ∂
A
T
α
A − Q δ
δ
A
Q ⇒
∂T ∂T − ∂ ∂
α
α F α
Q
α
A
Q
Q
α · ∂ α α ∂
Q
α
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1.3.5 1.3 .5 Lagra Lagrangien ngien d’ d’une une particule particule llibre ibre non non relat relativiste iviste
Comme i l a été menti o né auparavant, l e l a grangi e n d’ u n système, en l ’ o ccurence une particule isolée, est guidé par les symétries du système. En raison pri n ci uni p e f o f o rme, ndamental ˙ = 0. de Les l a dynami symétri q e ue, s qui l a parti vont c gui ul e d est er l ani a constructi m ée d’ u n o moun du lduvement agrangi e n sont — ll’’éénergi innergi variaence), leparlagrangi rapportenauxaneux doitranslt papasastiodépendre ns dans leexpltempsicitement (conservati o n de du temps temps; ; — lvement) ’invaria,ncele lparagrangi rapporten neà ldoi’espace espace ( c onservati o n de l a quanti t é de mout pas dépendre de ; — til’iqnue)vari, alencelagrangi par rapport aux rotati o ns ( c onservati onserv ati o n du moment ci n ée n ne doi t pas dépendre de l a di r ecti o n de ; ce qui fixe la forme de la fonction de Lagrange à = ( 2). Si l’onon applique
L
∂L ∂
les équations de Lagrange, on obti =ent2 2 ˙ et l’équati équati o n du mouvement de l a parti c ul e i s ol é e = 0, est sati s f a i t e si 2 = constante = 22.. Une deuxi è me approche consi s te à uti l i s er l e pri n ci p e qui sti p ul e que toutes l e s l o i s physi q ues doi v ent avoi r l a même f o rme dans l e s réf é renti e l s galRappel iléens,onsetquelesnous équatisommes ons dedans Lagrange n’ é échappent chappent pas à cette règl e . l e cas non rel a ti v i s te et l a transf o rmati o n qui permet de passer d’un repère galiléen à un autre est donnée par la transformation de Gal( ilée :) == ( + ) +( ( ) ) = oùet et. sont mesurés respectivement par des horloges liées aux repères ) = 0. La vi t esse de l a parti c ul e dans ce nouveau Supposons que ( repère est ( ) = ( ) . Les équati o ns de Lagrange conservent la même forme dans les deux référentiels si les deux fonctions de Lagrange respecti rapport vauxementtempsdans: les deux= repères ( 2) diffèrent par une dérivée totale par
/
/
′
′
M− / − → OM
′ ′
′
−M / V / − → O ′ M V ′ / ′
V → ′ / ′ M / ′ M / − −
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L′
′
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= ([2 2 ]2 ) = ( 2) 2 2 2) 2 2 = ( ltotal e case siparmplrapport e où lesaudeuxtempsexpressi o ns du l a grangi e n di ff èrent par une déri v ée est lorsque 2 est constante, ce qui donne = 2 2 2 = = = 2 et donc = 2. Sachant que le moment conjugué = = 2 = = = 1 2. ement pour le lagrangien d’une vicestequi donne = 12 final une parti2 cule libre non relatiOn consi d ère un système f o rmé de parti c ul e s. On suppose dans ce cas que l a f o rce extéri e ure qui s’ exerce e xerce sur chacune des parti c ul e s déri v e d’ u n potenti e l et que l e potenti e l ne dé dépend pend que des coordonnées général i s ées Ainsi laexteri forceeur de=la force par = souci∇ d’.aOnl ègement (ser le). cartère laisseradestomber de préci notations. Les − ≃ − · · −
− · /
L′
/
C ⇒ C
L
L− L
∂L ∂
·
C
C ⇒ C
1.3.6 1.3 .6 Systèm Systèmee de particules particules iintera nteragissan gissantt par d des es forces forces conserv conservatives atives
N
F − ∂V / ∂ α V α − α V α −∂V
V
N F ∂ α α αα ∂ α N ∂V ∂ α α ∂ α ∂
composantes de la force général = is=1=ée1 peuvent · · se mettre sous la fo rme 3 = − =1=1 =1 or = ce qui donne = − ainsi = − définit bien le lagrangien et satisfait les équations de Lagrange. Q
∂/∂
∂/∂ α α ∂ α /∂ ∂/∂
Q
L
T
∂V ∂
V
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Notons que le potentiel ne dépend ni explicitement du temps ni de de ˙ . Pour une particule, nous avons − ; = = ˙ puiprinsciquepe fo ndmental ne dépenddequela dede . En comparant l e s équati o ns de Lagrange au dynamique ˙ = = ce qui permet de définir = comme étant l’impulsion généralisée ou le˙ moment conjugué de . ( ˙) Même si l e potenti e l n’ e st pas conservati f au sens usuel , notons qu’ i l dé ˙ pend des vi t esses général i s ées ées , si l a composante de l a f o rce géné général ral i s ée peut se mettre sous la forme = − grangi n = − la sati s f a i t touj o urs l e s équati o ns de Lagrange. C’ est e st l e ˙ casdilerliagpour l ’ e exempl xempl e de f o rce de Lorentz, comme cel a sera traî t é en travaux t ravaux és.
∂V ∂
∂L ∂
T
Q
∂L ∂
Q
∂L ∂
1.3.7 1.3 .7 Systèm Systèmee de particules particules interagissant interagissant p par ar des forces dériva dérivant nt d’ d’un un poten potentiel tiel généralisé V
Q
L
∂V ∂
∂V ∂
T V
1.3.8 1.3 .8 Cas des forces dissipatives dissipatives : fonction fonction de Rayleigh Rayleigh
Si toutes l e s f o rces ne déri v ent pas d’ u n potenti e l , on peut touj o urs écri r e les équations de Lagrange sous la forme = − où les général sontisé.les forces général˙ isées qui ne dérivent pas d’unun potentiel, même ∂L ∂
∂L ∂
Q
Q
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F
Letraîcasté endesutifloisrcesant ldea fofrnctiottement qui s’ é cri v ent comme = − peut être ondite de dissipation de Rayl eigh définie par 2 + 2 + 2 = 1 sachant que la force général2 isée peut se mettre sous la forme = − ˙ . Le caractère hol o nome des contrai n tes, ( 1 · · · ) = 0 ∈ 1 , assure que l e s coordonnées général i s ées ( = 1 ) où = soi e nt iLagrange dépendantesà partideuxr duà deux depriuxncietpec’eestdest moice nquidrepermet d’ établ é tabl i r l e s équati o ns de acti o n. Que se passe-t-i l si l e s contraiintes ne sont pas holononomes contra mes?? α
α
α
α
Q
∂∂
1.3.9 1.3 .9 Cas de cont contraint raintes es non holono holonomes mes : multi multiplicat plicateurs eurs de Lagrange Lagrange
N { } N N −
Méthode des multiplicateurs
Supposons que l ’ on o n a équati o ns de contrai n te qui peuvent se mettre sous la forme + = 0 oùLagrange = 1 peut s’ etaapplppl iq=uer1 et;apporter alors la une méthode di t e des mul t i p l i c ateurs de réponse tout en déterminant les
···
N
fvioercesnnentddeéronsliaisunon.dépl acement virtuel, = =0,0les équations précédentes deConsi Onvériifinéestroduit constantes indéterminées et les relations suivantes sont = = 0 et 2 = 0 1
λ
δ
λ
δ
δ S
λ
δ
∂L ∂L ∂ − ∂ δ
Le principe de moin dre= acti 1 2on s’éécricrit comme sui˙t = 0
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1.3 Equations de Lagrange
17
et la somme des deux équati o ns précédentes donne 2 = 0 + 1 Rappel o ns que l e s coordonnées général i s ées n e sont pas i n dépendantes. ˙ Onles peut choi restantes sir les sont fixées premiparèrescoordonnées comme i n dépendantes, et = 0. Comme l e s c onstantes introduites sont libres, on peut peut les choisir de manière à ce que ˙ + = 0 pour = + 1 ainsi on obtient ˙ = pour = 1 . Pour et l e s m constantes oùrésoudre il y a le+système inconnues : l e s N coordonnées compl e t des i n connue connues, s, nous raj o utons l e s équati o ns de contraintes + = 0 =1=1
∂L ∂L − ∂ ∂
λ δ
N −
N −
δ
λ
∂L ∂L − ∂ ∂
N −
∂L
λ
···N
−
∂
∂L
λ
∂
N
δ
N
···N
λ
N
N
λ
anon équati Lagrange orcesde Lagrange conse conservati ves? Onet Quel cevuquiconservati lqueefaestitlelesacompte, sivgesnifis’ocatiéécrinscriunovdesystème mul étquati iplicateurs odens fpour + rvati inconnues. entn physi commequede suidesen+t présence ˙ = oùtives.lesLes mulsonttiplleicsateurs forces degénéral i s ées associ é es aux f o rces non conservaLagrange s’ i d enti fi ent aux f o rces général i s ées derésoudre contrailenstes.équati La puionsssance de cette méthode rési d e dans l a possi b i l i t é de de Lagrange sans connaître les expressions explicite sées des foparrcesceldeles-ciliaissuron;on ; lielssuffit coordonnées de connaigénéral tre seuliseées.ment les contraintes impo ∂L ∂L − ∂ ∂
Q
Q
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Formalisme de Lagrange
1.3.10 1.3 .10 Lagrangien Lagrangien d’ d’une une particule particule libre relativiste relativiste
Ivitesses l s’agipourt danspasserce casd’und’repère une partigalciulléeenrelà al’tiautre vautreisteestet donnée ldonné a transfe parormatila tranf on desormatiNous on derprocédons Lorentz, quedeelnanous même n’eexpl mani xpliccièultreerons enrelasepastivbasant iteci.libresur: les symétries pour construi e l e l a grangi d’ u ne parti e i s — ell’aactilctie eston d’inune uvarine parti c ul e l i b re rel a ti v i s te doi t être un i n vari a nt rel a ti v i s te : a nt par rapport à l a transf o rmati o n de Lorentz et donc possède l a même f o rme quel q ue soi t l e réf é renti e l gal i l é en. L’ expressi e xpressi o n l a pl u s si m pl e est que l ’ a cti o n soi t l ’ i n tégral e d’ u n scal a i r e rel a ti v i s te. — pour L’acti actique, on neaprès doit lconteni r que des termes di ff érenti e l s du premi e r ordre, ’ a ppl i c ati o n des équati o ns de Lagrange, on obti e nt des équations différentiel es du second ordre. √ 2 2 2 − — Oncomme consd’atruiutret alqu’orsunl’ianctiterval on àlepartiinfinir dutésiscalmaladei re l’espace = de Minkowski n’eeststconstrui espace , qui, 2 2 2 = − 1 = − 1 1 − 2 oùsigne est- seunejusticonstante qui dépend de l a nature de l a parti c ul e et l e fi era, comme on l e verra par l a sui t e. — On identi entifie alors le lgrangien de la particule libre à
S
2 L − − 2 1 = — Comme celui-ci doit se confondre avec le lagrangien d’une une particule
libre non relativiste lorsque → 0 alors 2 = − 1 − 2 2 = − + 2 2 ≃ 21 2 /
L
ldynami e premiqeuer terme est constant et n’ i n flue pas sur l e s équati o ns de l a de l a parti c ul e . On a ai n si = ce qui donne pour l e lagrangien d’uunene particule relativiste libre = − 1 − 2
L
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1.4 Quelques exemples
19
1. 1.4 4 Qu Quel elqu ques es ex exem empl ples es
Quelques exemples sont traités dans les sous paragraphes suivants.
1.4.1 1.4.1 Pend endule ule simp simple le
M
Soi t un pendul e de l o ngueur a vec une masse pl a cé dans un champ de pésanteur et astreint à se déplacer dans un plan ( ), figure 1.3. Ce système j o ui t de deux di m ensi o ns et soumi s à une contrai n te 2 + 2 = 2. Aussi, cecoordonnée système possède un seul degré de l i b erté. On choi s i t l ’ a ngl e θ comme comme généralisée.
O y
g
θ
l
u2
M
u1 x
F 1.3 –
Pendule de longueur et de masse .
Pour établ i r l e l a grangi e n, nous cal c ul o ns l ’ é énergi nergi e ci n éti q ue ue; ; ensui t e nous Ω = utiθ˙ li avec s avec erons deux approches pour établ i r l ’ é équati quati o n du mouvement. Soi t = 1 ∧ 2. Ongalilconsi d ère que l e réf é renti e l dans l e quel on étudi e l e mouvement est é en en; ; si non, i l f a ut teni r compte des f o rces d’ i n erti e . − − → La position de M est est repérée par OM = 1 ce qui donne pour la vitesse
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−OM −→ 1 ⇒ 1 θ ∧2 1
= = = Ω˙
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ainsi l’éénergi nergie cinétique du pendule est 1 1 2 θ˙ 2 T = 2 = 2 2θ On procède par on deux approches : ne connai t pas l ’ e expressi xpressi o n du potenti e l . Consi d érons un dépletalcement vi r tuel δ δ = 2. La seule force qui travail e est le poids, e travaile est donné par δ W = ·δ = −sinθδθ = Q δθ ce qui nous permet d’écri écrire ∂T θ¨ + 2sin = 0 ∂θ = Q = −sinθ =⇒ θ ∂θ θ˙ − ∂T avec 2 = /. On connait l’eexpressi xpression du potentiel V = (1 − cosθ ) à une constante près. Alors, le lagrangien est L = T − V = 12 2θ θ˙ 2 − (1 − cosθ ) et l’ééquati quations de Lagrange donne le résultat obtenu obtenu précédement. Méthode 1 :
δθ δθ
θ θ
ω
θ θ
θ
ω
Méthode 2
1.4.2 1.4.2 Masse Masse sur uune ne tige tige rappel rappelée ée ave avecc un ressort ressort
Soi t une masse M astrei a strei n te à se dépl a cer sur une ti g e i n déf o rmabl e f a i s ant unrotatianglonei θ m posé avec Ω l’aaxe=xe φ˙verti c al O , figure 1.4. La tige tourne avec un vecteur O . La masse est attachée à un ressort de constante const ante de raisdeeurà son etpoidedls.ongueur à vide 0. La masse glisse sans frottement et est soumi
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1.4 Quelques exemples
21 O x
θ
y
l
g
M
φ
uz
ur
z
1.4 –
Masse M glissant M glissant sur une tige en rotation imposée et soumise à une force force de rappel
d’un ressort.
FLe système possède un seul degré de liberté. Nous prenons −−→ prenon s = = comme coordonnée généralisée.
OM
O
Le référentiel ( ) est galiléen.−La−→vitesse de M est donnée par OM = = ˙ + = ˙ + Ω ∧ ce qui donne donne pour l’éénergi nergie cinétique 2 (˙2 + 2Ω2sin 2) T = M Les équations de Lagrange s’écrivent − = ˙ (¨ − Ω2sin 2) = viestr tuelétant l a=composante , le travai del lviarftuel orcedugénéral poidsietséedesellaofnorce. Pour de rappel un déplduacement ressort
∂T ∂ M
Q
∂T ∂ θ
θ
Q
Q
δ δ
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− − 0 · δ δ W ·δ M θ − − 0 δ Q δ M
== [ cos ( ( ) )] = 2sin 2cce e−cas2) est L’ééquation quation de Lagrange − cosθ − 2 0 = 0 ¨ − (Ωdans Consi d érons un cerceau de rayon R et de masse roul roul a nt sans gl i s ser surcinétiunqueplanduincerceau cliné d’uestn anglégalee àsous l’effet de son poidss,, figure 1.5. L’énergi énergie = 12 ˙ 2 + 21I θ θ˙ 2 I 2 ; par sur =rapport ˙l uest làa lvi’aaxetxeessede rotati de G oet etn θ θpassant ˙ est est la oùparvitesse G estest, I I angul le=moment erti2 eodun du=cerceau a2ire de d’=inrotati cerceau i même.
θ
ω
ω
1.4.3 1.4.3 Exempl Exemplee de calcul calcul de de con contra traint intee
M
α
M
T
R
MR M R G
y
O θ
G
R
g α
F 1.5 –
x
Cerceau de masse M roulant sans glisser sur un plan incliné d’un angle α .
Ce Cesystème système possède pos sède deux coordonnées coo rdonnéesgénéra général l i s ées re rel l i é es par l a cont r rai ai n te de roulement sans glissement ˙ ˙ = Cette peut lisdeser lmul netes équati osensmettre dedelagrange sous uneusuelfolermes. Toutef holonome ois, nousauquelutiliscasonsonla méthodeuticontrai tpeut iplicateurs Lagrange. R θ θ
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1.5 Symmétries et lois de conservation
23
λ
Iordonnées ntroduisgénéral ons un mul t i p l i c ateur de Lagrange et conservons l e s deux cogénéralisées. L’ééquati quation de contrainte est − = 1 + 1 θ θ =⇒ 1 = 1 1 = − Ainsi les équations de Lagranges − ∂L ∂L = λis1ées = devi λ ennent ˙ − ∂ général ∂L − ∂L = λ1 = − ∂θ θ˙ ∂θ On obtient un système de trois équations à trois inconnues (θλ) : M ¨ − Msinα = λ M ¨ = − ˙ ce qui donne finalement ¨ = si2n˙α = θ˙ = ˙ θ = − 2sinα Onn’y note que l e cerceau descend avec une accél é rati o n égal e à l a moi t i é s’ i l avait pas de frottements ottements dus à la contrainte λ, dirigée selon .
R θ
θ
∂L ∂
θ
R
θ
R R θ θ
λ
λR
λ R θ θ
R M
1.5 Sym Symmétr métries ies et llois ois de con conser servat vation ion
Nous avons uti l i s é l e s propri é tés de symmétri e pour l a constructi o n du lreux agrangiquiereln. iLee lethéorème de Nother défini t un cadre mathémati q ue ri g ous symmétri e s du l a grangi e n aux l o i s de conservati o n. Avant d’aaborder border le théorème, introduisons les variables cycliques 1.5.1 1.5.1 Varia ariable ble cycl cycliqu iquee
Une variable est dite cyclique si le lagrangien ne dépend pas explicitement de cette variable, alors ∂∂L = 0
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or
∂L ∂
= ∂∂L˙
ce qui implique ∂L = 0 =⇒ = 0 ∂˙ et donc le moment conjuqué est conservé.
Le moment conjugué d’une variable cyclique est une intégrale première du système.
1.5.2 1.5.2 Théorè Théorème me de Noethe Noetherr
Ennoncé
˜ Soi t un j e u de coordonnées général i s ées ées ( ) dépendant conti n u ˜ ment d’ u n paramètre et tel que que ( 0 ) = . Si l e l a grangi e n est i n vari(ant par˙ rapport à l a transf o rmati o n → ˜ , c’eestst à ddiire ( ˜ ˙˜ ) = → ), alors ˜ ( ˙ ) = ˙ =0 est une constante est indépendant du mouvement. de , i m pl i q ue ˙ = ˜ ˜ + ˙˜ ˜ ˜ ˜ = + ˙ ˙ ˜ ˜ ˜ = ˙ =0 ˜ en = 0 prouve le théorème. ce qui en évaluant l’eexpressi xpression obtenue
L
∂L ∂
∂L ∂
∂L ∂
∂L ∂
I
Démonstration L
L
L
∂L ∂
∂L ∂
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1.5 Symmétries et lois de conservation
25
1.5.3 1.5 .3 Invari Invariance ance pa parr rapp rapport ort à la tra translat nslation ion da dans ns le temps temps
On consi d ère une transl a ti o n i n fini t ési m al e dans l e temps, → + , le → résultat reste valable pour une translation quelconque. Ainsi, ˜ ( ) ≃= (( )++ ) =⇒ ˜ ( ) = ˙ Selon le théorème de Noether, la quantité ( ˙ ) = ˙ ˜ =0 = ˙˙ = ˙ est constante. Comme le lagrangien est indépendant du temps, on peut écri r e ˙ + ˙ ¨ = ˙ ˙ = + ˙ ˙ ˙ = [ ˙ ] =⇒ ( ˙ − − ) = 0 ˙ Altoniorsen,laestquanti t é = − , appelée intégrale de Jacobi, ou Hamil − une quanti t é conservée. Mai s quel l e est sa si g ni fi cati o n n? ? Reprenons l ’ e expressi xpressi o n de l ’ énergi é nergi e ci n étique, 1 2 = etl’hypothèse donnons sonde contrai expressinteson sclenéfronomes, oncti2on desc’eeststcoordonnées coordonnées à dire général = = 0, c’iseées,st àdans dire
∂ ∂
I
∂L ∂ ∂L ∂
L
H
∂L ∂
∂L ∂
∂L ∂
∂L ∂
∂L ∂
L
L
T
α
α α α
∂ /∂
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que les coordonnées ne dépendent pas expl i c i t ement du temps, 2 = · · α
αα α α
∂ α α ∂ ∂ ∂
∂ α α ∂
∂ α α ∂
·
∂ ∂
∂ αα ∂
== ˙ · + ˙ ˙ ˙ + L’éénergi nergie cinétique peut se mettre sous l a f o rme 1 = 2 ( )˙ ˙ où la matrice [ ] est réelle, symétrique et définie par [ ] = 1 · · 1 · · · 1 · = ·. ·.·. .· ·. 1 Notons que l’énergie cinétique est une fo2nction homogène d’ordre 2, ( ˙) = ( ˙) ce qui implique que l’énergie cinétique vérifie la propriété suivante ˙ ˙ =2 ( ˙ ) 1 T Trouvo Cette derni è re propri é té est l a conséquence du théorème d’ E ul e r. rouvons ns lti’eexpressi xpressi o n de l ’ h ami l t oni e n en f o ncti o n de l ’ é énergi nergi e ci n éti q ue et du poteni el. Pour ce faire, nous allons considérer deux cas de figures : le potenti potentiel est de la forme = ( ), alors = = ˙ −
T
∂ ∂ α α
α
∂
α
∂ α α ∂
T λ
∂
∂ αα ∂
∂ α α ∂
∂ α α ∂
α
∂ α α ∂
∂ α α ∂
∂ α α ∂
λ T
∂T
∂ α α
∂ α α
α
T
∂
Forces conservatives :
V
H
V
L
1. Une fonction homogène d’oordre rdre , tel que (λ λ ) = λ ( ) et ∂ ∂ =
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1.5 Symmétries et lois de conservation
27
= ˙ ˙ − + −
V T
∂L ∂
T
V
∂T ∂
T
V
V
carque =est homogène ( ) et doncd’ordre saordre=déri2,véealoparrs˙ ˙rapport à à+ ˙ est nulle. Sachant Sachant ˙ ˙ =2 grâce au thorème d’Euler, et on peut déduire finalement que = 2 − − + = + = et donc la fonction de Hamilton n’eestst d’autre que l’énergie mécanique ducomme système. l t on s’ é écri cri t dans ce cas suit ( ˙) la fonction de Hami = ˙ ˙ − ˙ − + = + − − ˙ ˙ C’deeeststla toutouj j o urs l ’ é nergi e total e du s systèm ystème e et c’ est e st l e cas pour l ’ exempl e xempl e force de Lorentz, = + , voir TD.
H
T
∂T ∂
T
T
V
T
V
E
Potentiel de la forme V :
H
∂T ∂
T
∂V ∂
V
H T
T
V
∂V ∂
U
L’invariance du Lagrangien par rapport à la translation dans le temps engendre la conservation de l’énergie mécanique du système.
1.5.4 1.5 .4 Invari Invariance ance pa parr rapp rapport ort à la tra translat nslation ion sp spatial atialee
Prenons l e s coordonnées cartési e nnes comme coordonnée coordonnées s général i s ées. Etselosupposons que l e l a grangi e n est i n vari a nt par rapport à une transl a ti o n n les trois axes, → ˜ = + = al alors ˜ = = 1 alors la quantité = = ˙ = =
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I
∂L ∂
/
α
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esttotalconservée et qui ne sont d’ a utres que l e s composantes de l ’ i m pul s i o n e selon les trois axes. L’invariance du lagrangien par rapport à la translation dans l’espace engendre la conservation de la quantité de mouvement. 1.5.5 1.5 .5 Invari Invariance ance par rappo rapport rt à une rotatio rotationn
θ
O
Prenons une rotati o n i n fini t é ési si m al e d’ u n angl e → 0 autour de l’aaxe → xe . La matricede rotationpeut s’éécricrire comme sui t ˜ 1 θ 0 + θ 1 0 ( ) = 1 0 = ˜ = θ 1 0 = θ ce qui implique0 que0 1 se se transfo˜rme comme 0 0 1 ˜ = + = = ( ) = 3 est l e tenseur de L Levi evi Ci v i t a. sachant que Le lagrangien est invariant par rapport à la rotation alors la quantité = =1 2 3 ˙ ˜ = =1213 1 3 +3 2 2 3 = 1 2 = J 3 quipar n’rotati estest d’onautredoncqueentraile moment ci n éti q ue total e sel o n l ’ a axe xe O . L’L’invari variance ance n e l a conservati o n du moment ci n éti q ue. Le résul t at reste général. θ
θ −θ
⇒
−
−
∧ ∧ θ ⇒
θ
∧ ∧
I
∂L ∂ θ
α
α
α
α
α
α − α
α
α
α
Si le lagrangien est invariant par rotation, alors le moment cinétique est conservé.
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1.6 Quelques exemples simples d’application du calcul variationnel
29
1.6 Quelqu Quelques es exe exemples mples simple simpless d’ d’applic application ation du calcul variat variationnel ionnel
Nombreux sont les problèmes qui peuvent être resolus par le formalisme defsis’oéécrirmecrilLagrange, a rfed’onctisosous uneusofnnel oletncti scomme partile pour culc’iéétai èltairement, aquelt lelecasliolrsque fadeut call’aacticelcticuluoie-nrcidans l’peut eextremum. xtremum. cese chapi mettre Entgéné général re,souspeutralla, a fploleormeu,nnel 2 ) S = ( 1 oùdans ceestquela déri v ée de par rapport à . Notons que joue le rôle du temps nous avi o ns vu auparavant. aupara vant. Dans ce cas l a méthode méthodevari vari a ti o nnel l e fLagrange, onctionne puiet slequ’s équati éilquati o ns que l ’ o on n obti e nt ne sont pas l e s équati o ns de ne s’agit pas du lagrangien comme défini auparavant c’appleeststiqàuerdirel’eensembl nsembl une grandeur e des résulayanttatslaquedimnous ensioavin d’onsuneétablénergiis. e, mais on peut Le probl è me est de détérmi n er l a di s tance mi n i m al e entre deux poi n ts A et e t B dans un plan. La quantité à minimiser est donc la distance = 2 + 2, siAinlesipllaanfoestnctiomuni d’ u un n repère ( O). O nnelle à minim iser est S = = 1 + 2 On note que la variable joueL(le) rôl=e du1temps et l e “l a gra grangi ngi e n” est +2 quiqui neimpldépend pas de et donc cette dernière est une variables cyclique, ce ique ∂L = = ∂ 1+ 2 est constant ce qui implique = est constant et donc = ( ) est lunees poidrointste. ALa etdi B s.tance minimale est la longueur du segment droit qui sépare
′
′
1.6.1 1.6.1 Plus Plus pet petite ite d dist istance ance dan danss un pl plan an
B
B B
A
A
′
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′
′
′
′
/
′
′
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Formalisme de Lagrange
1.6.2 1.6.2 La brachis brachisto tochro chrone ne
Consi d érons un poi n t matéri e l de masse m gl i s sant sans f r ottement sur un plan vertical sous l’acti a O ction Ade son poids. Quelle est l’équati quation de la courbe jestLaoigquanti nant miminimmum? deux umé à?mipoinnimtsiser etdans pour laquel letemps le temps =mi / s par, le étant pointlamatéri el t ce cas est vi t esse du point matériel : S = = 2 1 + = 0 théorème oùmême =façon, t e à parti r du 2 de l ’ énergi é nergi e ci n éti q ue. De l a 2 ,jodédui ue le rôle du temps et le “lagrangien” pour ce cas est 2 1 + L( ) = 2 Comme L ne dépend pas de , alors ∂L/∂ = 0 et donc le hamiltonien est une intégrale première ∂L L 1 H ∂ cede quicettedonne final e ment =(1 + 2) = =, où 2 est(1 +une )constante. La solution équation est un cycloide, comme on le verra en travaux dirigés. A
O A
O A
′
′
′
′
′ −
−
′
′
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Chapitre 2
Formalisme de Hamilton
Le f o rmal i s me de Hami l t on n’ apporte a pporte aucune nouveauté sur l e pl a n du contenu de l a physi q ue mai s i l défini t un cadre mathémati q ue très pui s sant eta sous bien tendu adaptéleà dével la physioppement qppemen ue moderne. D’ a i l e urs, i l a consti t ué l e cadre qui t de la mécanique quantique, la théorie des champs, . Dans l e f o rmal i s me du l a grangi e n, un système ayant dégrés de liberté estconservati décrit vpares. L’leéétattatlagrangi e n L( ˙ ) = T V , lorsque les forces sont du système dépe dépend nd des condi t i o ns i n i t i a l e s de posi t i o n (0) et de vitesse esse ˙ (0), qui sont indépendantes les unes des autres. Le formal i s me de Hami l t on permet de décri r e l e système avec l e j e u de vari a bl e s ( ), coordonnées généralisées et leurs moments conjugués, qui sont in···
2.1 Ham Hamilto iltonie nienn d’ d’un un sys systèm tèmee
−
dépendantes Adoptons l ’ a approche pproche l e s unes sui des v ante autres. pour défini r l a ncti l t on en cherchant à décri r l e système avec une f o ncti o n fo(nct ion de). IlHami suffit de chercher une fonction ( ˙ ) comme suit ( ) = ( ˙ ) + ( ˙ ) En différentiant l’expressi expression précédente, on o n a ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ = ∂L∂ + ∂∂L˙ ˙ + ∂L∂ + ∂∂ + ∂∂˙ ˙ + ∂ +
L
∂
31
∂
∂ ∂
Formalisme de Hamilton
= + + ˙ + ˙ ˙ + + + ∂L ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂L ∂
∂ ∂
∂L ∂
∂ ∂
en identifiant terme à terme les deux membres de l’égagallité on obtient ∂ ∂ = ∂ ∂L + ∂ ∂ ∂ = 0= ˙+˙ ∂ = ∂L + ∂ ∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂L ∂
∂ ∂
− ⇒
On dédui∂∂t˙que= = ( ˙ ) = ˙ + ( ) llaa fsolonctiutioonn triviale pour est de prendre ( ) = 0. Ce qui donne pour ∂ = ˙ = = ˙ + ( ) et ∂ ∂ ∂L
−
∂
∂
− ⇒
∂ ∂
−
⇒
−
L
= = + ˙ = + quiOn défini n’estest d’t alautre que l a f o ncti o n de Hami l t on à un si g ne près. ors la fonction de Hamiltonpar ( )= ˙ appelée le hamiltonien du système. H
− L
2.2 Equ Equatio ations ns can canoniq oniques ues de Hami Hamilton lton
conjEtant uquésdonné quiquesontceutisontliséslespourcoordonnées décrire legénéral systèmeiséesà l’aiaid eetdeleslamoments fonction
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2.2 Equations canoniques de Hamilton
33
deCalcHami l t on, i l f a ut retrouver l e s équati o ns auxquel l e s l e système obéi l i t . ulons la dérivée totale de par rapport au temps H
H
∂H ∂H ∂ ∂
∂H ∂
Enhamireprenant maisecette expression du ltonien enlafomême nction déridu= vlée,éae,grangi n,˙ on+ faois-ci˙ en+utilisant l’expressi = ˙ ˙ + ¨ ˙ ˙ ¨ ˙ + ˙ ˙ = en identifiant les termes des deux expressions de l’hamiltonien, on obtient ˙˙ == etla cedynami jeu d’qééquati quati o ns s’ a ppel l e l e s équati o ns canoni q ues de Hami l t on. Ai n si , ue du système est régi e mai n tenant par 2 équati o ns di ff érentinéglel eigseabl de premi e r ordre, ce qui apporte une si m pl i fi cati o n mathémati q ue non e , au l i e u de é quati o ns di ff érenti e l e s dans l e cas des é équati quati o ns de Lagrange. H
−
−
∂L ∂
∂L ∂L ∂L − − ∂ ∂ ∂
−
∂L ∂
∂H
∂∂H − ∂
T
V
La 1.recette Etabl iàresuil’énergi éenergi vlreagrangi este cilaneétinsuiqv;ueante du système et l’éénergi nergie potentiel . En dédui 2.3. CalDétermi n er l e s moments conj u gés ; ˙ ; c ul e r l e hami l t oni e n ( ) = 4. Résoudre l e s 2 équati o ns canoni q ues de Hami l t on. Notons que toutes l e s propri é tés de symétri e du système se retrouvent dans ldierHami l t oni e n et pl u s parti c ul i è rement, l e s vari a bl e s cycl i q ues où l ’ on o n voi t ectement que leurs moments conjugués sont des intégrales premières. L
H
H
∂H ∂
− L
− ∂L
Dea même, si l’oonn reprend l’expressi =on de =la ddériérivée totale du hamiltonien, on
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∂
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Formalisme de Hamilton
Siuneleinltégral agrangie epremi n neèdépend pas expl i c i t ement du temps, l e hami l t oni e n est re et l’éénergi nergie mécanique est conservée. 2.3 Equ Equatio ations ns de Ha Hamil milton ton à pa partir rtir du p princ rincipe ipe vvaria ariation tionel el
Nous al l o ns établ i r cette f o i s -ci l e s équati o ns canoni q ues de Hami l t on à parti r du pri n ci p e de moi n dre acti o n. En effet, l ’ acti a cti o n s’ écri é cri t en f o ncti nc ti o n du hamiltonien comme suit = = ( ˙ ) Lors d’une une variation du chemin effectif du système, la variation de l’action est, on prend le=cas d’ ( u(n degré ˙ de) libérté pour alléger les notations = ˙ + ˙+ = ˙ + [ ]21 comme ( 1 ) = ( 2 ) et l e s vari a bl e s et sont i n dépendantes et arbi traires, alors est est nulle si = 0 = ˙ = ˙ + ce qui donne les équations canoniques. S
L
− H
δ S
δ
− H
∂H δ ∂H δ δ δ − − ∂ ∂ ∂H ∂H − δ − δ δ δ ∂ ∂
δ δ
δ
δ δ S
− ∂H ∂
⇒
⇒
∂H ∂
∂H ∂ ∂H − ∂
2.4 Etud Etudee d’ d’un un pe pendu ndule le : P Portr ortrait ait d dee ph phase ase
Nous al l o ns étudi e r l e cas d’ u un n pendul e si m pl e e et t i n trodui r e par l a même occasion la notion du portrait de phase d’uunn système. 2.4.1 2.4.1 Hamilt Hamiltoni onien en du syst système ème
T
/ θ θ
2 2 Nous avo avons ns déj à étab établ l i que quel l ’ énergi é nergi e ci n éti q uedu ue du pendul e est = 1 2 ˙ étant la longueur du pendule, sa masse et est l’angle qui repère les ,
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θ
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2.4 Etude d’un pendule : Portrait de phase
35
V
osci l a ti o ns. Le potenti e l s’ é écri cri t à une c constante onstante près comme = cosθ . Cegénéral qui idonne pour l e l a grangi e n L = 1/22θ θ˙ 2 + cosθ . La coordonnée sée est = θ et le moment conjugué est = ˙ = 2 ˙2, qui est 2 et le2 =moment tout posesi m=plement n)éti=lqtueoni 2edu+n s’pendul rapportsuià tl’ooririgine. On /H , l(e cihami é=crit˙ale oparrs comme = 2 2 coscos etdeslaéquati dynamionsquededuHamisystème est compl è t tement ement détermi n ée par l a résol u ti o n l t on. Tfooutef o i s , nous al l o ns procéder par une autre approche en ti r ant profit de ce rmal i s me. En effet, on peut déjà d’embl emblée dire que l’énergie est conservée car le hapremi mirésoudre ltonière.en neDeledépend même, lpaseonsmouvement explcanoniicitement duendupendul temps e apeut et dans queêtrel e est étudi st uneé sans intégral avoier àRappel s équati q ues l ’ é étudi tudi nt ’ espace e space de phase. o ns que l ’ e espace space de p phase hase est f o rmé par ( ) . Ce n n’ ’ est e st n’ n ’ est e st pas pa s unHamiespace vectori e l , . . , ce qui consti t ue un autre poi n t f o rt du f o rmal i s me de lton. Sachant que = , on peut expri m er l e moment conj u gué en f o ncti o n de la coordonnée généralisée comme suit = √ √2 coscos + 2 Leva mouvement du pendul e va dépendre donc de l a v val al e ur de l ’ é énergi nergi e . On donc étudi e r l ’ évol é vol u ti o n de en f o ncti o n de en prenant comme comme un paramètre. Comme −1 ccos os 1 et que l ’ a rgument de l a raci n e carrée doi t être positif, nous2distinguons trois cas, en fonction de la valeur de : 2 1. 0On peut donc aldédui ors lrae raci n e carrée n’ e est st défini e que si cos ≤ . que l e s vari a ti o ns de s ont bornées : on assi s te donc à un mouvement d’oosciscil ations libres. Ce mouvement est appelé un e pendul s =e change 0 sont appel de sensés d’oscil ation. , ce .sontLes poilesnpoits npourts oulelsquel
I
∂L/∂
−
θ θ
ω
T V − L − ω I I
H
2.4.2 2.4.2 Port ortrai raitt de pha phase se
H E
±ωI
E ω I
E
<
<
E
E
< E < ω I
E /ω I
mouvement de libration
les points tournants
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Formalisme de Hamilton
2. soit la2val, laeurraci,nparcontre e carrée est touj o urs défini e . I l y a une sol u ti o n quel q ue r este touj o urs bornée. On e en n dédui t que l e mouvement est un mouvement de rotation;n ; on dit aussi un mouvement 3. de =circul2 ,acorrespond au casassoci limitée séparant séà parant tion. La courbe ce régimlees 2s’arégippelmlese lade libration et 2sin = 0 pour Reprenons l e potenti e l = − 2cos , alors = 2 2 = 2cos , ce qui donne (0) 0 et (=) 0 ± 0 et. Comme = donc l e poi n t = 0 est un poi n t d’ é qui l i b re stabl e al o rs que celEtudiui odens l e=mouvement est un poiautour nt d’équide lcesibredeux instastablpoiblen. ts. Pour ce faire, faisons un E > ω I
circulation.
E ω I
séparatrice.
2.4.3 2.4 .3 Etude aux vo voisinages isinages des points points d’équil d’équilibre ibre
π V π < π
V I ω V/
V
I ω
V/
V
I ω
V
>
− I ωω 2 2
à uneoconstante dével ppement liprès, mité duce quipotentidonne e2 l au2 tour de = 0, ( = ) = 2 2 + 2 2 = E LOn’ééquati quati o n est une el l i p se et l e poi n t = 0 est dit un . √ note que si l ’ o on n procède au changement de vari a bl e s Q = I et P = ∂L/∂Q Q˙ , alors l’ééquati quation devient (2 2 + 2) = quiLes estéquatil’ééquati quati ons deon Hami d’un cercl lt ˙on =sont e. ∂H = ˙ = − ∂ =⇒ I ¨ = − 2 ( dont l a sol u ti o n est ( ) = 0cos cos( + 0), 0 et 0 sont des réels fixés par lEnes condi = ±tions, oninprocède tiales dedelalaposimêmetionmani et deèrela etvitonesse.trouve l’équati é quati o n sui v ante 2 − 2 2 2 2 == 2 2 − 2 I
ω I
un point elliptique
ω
P
Q
∂ ∂H
E
I
ω ω
ω ω
ω I
π
I
ω I
E
ω P
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Q
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2.4 Etude d’un pendule : Portrait de phase
37
les points
π
qui est l’ééquati quati. oLesn d’axes une hyperbol e . Les poi n ts = ± s’ s’ appel a ppel l ent de l ’ h yperbol e sont l e s séparatri c es, = ± . Les équations de Hamilton donnent la solution ( ) = 0 . aiLan—sifigure Enelqueliprouge, lsesa1séparatri 2.ses; récapi on t est ul c e e. en l e s présence di ff érents du régi régi m es, m e en de f a i l s i ant b rati vari o n e : r ce l ’ é nergi sont e des , ; ce qui confirment l e comportement aux voi s i n ages de = 2 . EnLe comportement fonction de la valesteurperideodiq,uele dedomaipérinoedede2vari vari, quiatioestn dela péri estoborné. de de cos ; —— LaEn séparatri vert, c’eeststceleestrégienmeblcieru.culComme atoire, prévu, n’estest elpllues aborn bornée, ée, c’ e st q ui l ’ e st. un comportement hyperbolique aux voisinages de = (2 + 1) . hyperbolique
I
ω
E
E
π
π
) a . u ( p
π
3
2
1
0
-1
-2
-3 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2 q/ π
F 2.1 –
Portrait de phase d’un pendule simple : en rouge le régime de libration, en vert celui de la circulation et en bleu la séparatrice entre les deux régimes.
2.4.4 2.4.4 Remarq Remarques ues
Ce qu’il faut retenir de cette étude et peut être appliquer en général est : 1. tériDanssélpare cadreun poidunftodermall’eisspace me hamide lphases, tonien, lqui’étatpourd’unununsystème est caracsystème ayant 2. dégrés Lecomportement tracédeduliportrai déduiforméavoire desparr à résoudre ilnefsormati sur le berté,dynami estt deqdephase on 2de etsans ( ol)ens. s équauedid’muensi npermet système
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Formalisme de Hamilton
tisolonsutideon Hami l t on. Chaque courbe du por portrai trai t de phases correspond à l a de l ’ é équati quati o n di ff érenti e l e qui régi t l a dynami q ue du systè système. me. 3. On peut construire une vue globale du comportement comportement du système en gulmani prolieoèrsngeant anal yquetiqlCeeuement auxetvoindedétendre dresli’neages lspace a résolconti desdeutipoinphases. oument nntsseul seulsidenement auxreduanalvoisystème. syitinages dess solquipoiutipermet nloetsnss sicourbes nsurguldeleierestrei rsreste 4. Poincaré oua poiintrodui t une cl a ssi fi cati o n des poi n ts si n gul i e rs : n t el l i p ti q ue : l e s sol u ti o ns sont des courbes f e rmées à ses voisin ouaagesges;encore ; point hyperbolique : les solutions sont des hyperbol : leosrsqu’ à sesunvoipoisinntages; agesest traversé ;traversé par une infinité de courbes; courbes ; : c’estest un point vers lequel les courbes courbes convergent. Rappel o ns que l e pri n ci p e de moi n dre acti o n ou l e pri n ci p e vari a ti o nnel est àdifflaérenti baseelduesdével o ppeme ppement nt du f o rmal i s me de Lagrange dont l e s équati o ns décri v ent l a dynami q ue d’ u n système. Ai n si , un système ayant dontdegrésla soldeutiliobnertéfixeestla décri t par é quati o ns di ff érenti e l e s de second ordre dynami q ue du système en questi o n. Le f o rml i s me de Hamilton permet de décrire le système avec 2 équations différentiel es de système à unêtreinetàstantliantrodui estdut décri ladével notielt paroppement n deun poil’eespace space ndet dela théori del’espace espace phases. deHami phases, Aussilton-Jacobi , l’état éettatc’eestdust. celLepremiapriquienrcivaordre base dév e de p e est l e sui v ant : soi e nt de deux ux états du système aux i n stants et . I(ls sont) etdécri t s al o rs par deux poi n ts de l ’ espace e space des phases, respecti v ement ( ) . La réso résol l u ti o n de l ’ é vol u ti o n de l ’ u un n à l ’ a utre peut se f a i r e soi t parqui flaeist changer équationsledipoifférenti e l e s, soi t tout si m pl e ment en trouvant l a f o ncti o n n t de l ’ e espace space de phase ( ) au poi n t ( ) . La théori e de Hamilton Jacobi traite cette deuxième approche. Centre
Col ou selle
Noeud Foyer
2.5 Th Théor éorie ie de Ham Hamilto iltonn-Jac Jacobi obi
′
P Q
P Q
2.5.1 2.5 .1 Transfo ransformatio rmations ns canoniques canoniques et et fonctions fonctions gén génératri ératrices ces
re jusqu’onsàponctuel maintenant de Lesla fotransf rme ormati = ons( auxquel ) et sontlesdinoustes desavonstransfaffaiormati les. C’sonteestst Q
Q
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2.5 Théorie de Hamilton-Jacobi
39
lauxe cascoordonnées par exemplpole duairespassage des systèmes de coordonnées cartesi e nnes ou sphéri q ues. Dans ce qui suit comme on le verra, les variables et jouent un rôle équi toutevaltransf ent etormati on défini on danst cel’espace e quespace appel phases l e une de l a transf f o rme o rmati o n de contact → l’oonnde = ( ) ) → = ( Cette transf o rmati o n est di t e canoni q ue si l e s nouvel l e s coo coordonnées rdonnées ( ) sont soumises à de nouvelleséquati o ns de Hami l t on tel s que ˙ = ˙ = − t est touj l o e urs nouveau l e même hami système. l t oni e n en f o ncti o n des nouvel l e s coordonnées qui oùdécri Comme postul é dans l e paragraphe précédent, est l ’ h ami l t oni e n du système avec l e s nouvel l e s vari a bl e s ( ) et donc obéi t au pri n ci p e de moindre action = = ( ˙ − ) = ˙ − etellecomme l e s deux équati o ns sati s f o nt l e pri n i c pe de moi n dre acti o n, al o rs s ne diffèrent que par une dérivée totale par rapport au temps. Une transf o rmati o n canoni q ue est une transf o rmati o n de contact définie dans l’espace espace de phaseset qui satisfait la condition = + ( ˙ − ˙ ) + est dite la fonction génératrice de la transformation canonique. tiEtudi ons odensfolencticasond’génératri un systèmece seayant présentent. un degré de liberté. Quatre configura
Q P
Q P
Q P
∂H ′ ∂P
Q Q
∂H ′ ∂Q
P P
H ′
H ′
Q P
δ S
δ L
δ
δ
Q P Q
H
H ′
Définition
H ′
Q P Q
H
G
G
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Formalisme de Hamilton
G Q Q :
1(
) En utilisant l’expressi expression précédente, on a = + ˙ − ˙ + 1 ˙ + 1 ˙ + 1 1 1 1 ˙ + ˙ + − + + = + 1 1 1 =⇒ ( − − ) = − + + ce qui donne = 1 = − 1 H ′
H ′
H ′
∂G ∂
H
∂G ∂G ∂G Q Q ∂ ∂Q ∂ ∂G ∂G ∂G P Q H ∂Q ∂ ∂ ∂G ∂G P Q ∂Q ∂ H
P Q Q
∂G ∂
∂G ∂Q
P
G Q
1
G G Q
H ′ H
1(ètement mi ri a bl ent e s. compl Si ) ne ( dépend l a dynami ) et pas q de ue expl ces du i c deux i système t ement derni du avec è temps, res l équati e s nouvel al o o rs ns l e déter s = va. Ai n si l a donnée de 2( ) On procède de la mêmemanière et on a ( − − 2 ) = 2 − + + 2 orpeutdanss’eexpri cexpricasmer c’cen’estestfolnctie coupl coupl e ( ) qui est i n dépendant al o rs que o n de ce coupl e . Pour pal l i e r à cel a , i l suffit de procéder au changement de Legendre 2 → 2 + , ce genre de
G P :
H ′
H
∂G ∂
∂G ∂
∂G P ∂P
P Q
P
Q
G
G
PQ P Q
P Q /
n’àchangement aalajltoèreuterenuneriestendériltrèsesvéquati éeprati total q o ué ns e en par de thermodyn thermodynami l a rapport dynami au q ami ue. temps q Ai ue. n si En on ( f a a i t : ) cel a et revi ceci e nt ( − − − 2 ) = 2 − + + 2 ce qui donne = 2 = 2 3 4 Deux configurati o ns sont possi b l e s, ( ) et lque e traic’eestautres tement est l e même que l e s deu deux x cas précédents. Et chaque )foetis st nécéssaire, on peut appliquer a transformation de( Legendre H ′ H
H
∂G ∂
∂G ∂
∂G ∂
Q
∂G ∂P
Q
∂G ∂P
G Q
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P
G P
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2.5 Théorie de Hamilton-Jacobi
41
pour se ramener aux deux vari a bl e s i n dépendantes. Bi =en1,queils sont les résul t ats ont été obtenus pour un système de di m ensi o n valables pour un système ayant degrés de libérté. Soit la transformation 2( ) = D’aaprès près les résultats précédents, on a = 2 =
2.5.2 2.5 .2 Quelq Quelques ues exemples exemples de transf transformat ormation ion
Identité
G P
P
∂G ∂
P
2 etvaut à que=la transf epuis nouvel soquermatile2os nenvariledépend dépe donc l pui anombl e=ndsidsontentipas t=ié.dexplentiicqiuestementauxduancitemps. ennes,Once voiquit Cet t tetra e transf nsf o rmati rma ti o n mont r rebi e bi e n l e rôl e équi1 =valent que .joEnuentappllesiqvari a bl e s et . Soi t l a transf o rmati o n uant les résultats précédents, nous avons ∂G ∂P
Q
H ′ H
G
Rôle équivalent entre les variables
G
Q
Q
P
= et = et on voi t qu’ a ucune des vari a bl e s n’ est e st pri v i l é gi é e par rapport à l’autre. autre. Le système a un seul degré de liberté. On prend comme général 1donne 2 ˙2pour coordonnée et l’éénergi e potenti éOnnergiposee cin2éti =que est, ce qui = lenergilagrangi en eisl éeest =( ) =ainsi2l.’énergi 2 2 = − − = 2 ˙ + 2 2 làe moment conjugué est = ˙ = ˙. Le hamiltonien est alors égal 2 2 = 2 + 2 2 et les équations de Hami˙ =lton sont etet ˙ = − 2
Oscillateur Oscilla teur harmon harmonique ique 1D
/
T
V
L
T
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∂L/∂
H
V
ω
/
ω
ω
ω
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Formalisme de Hamilton
Rappel o ns que l ’ i n térêt d’ opérer o pérer une transf o rmati o n canoni q ue est de retrouver des équati o ns dynami q ues pl u s si m pl e s et même tri v i a l e s et le changement inverse permet de retrouver les équations avec les coordonnées Considéronsd’oriol’riexempl exempl gine. e de( la foncti) =o n12génératri2cotce suivante notons que l a di ffi cul t é d’ u ne tel l e démarche est de trouver l a bonne génératri c e, ce qui n’ e st pas général e ment ai s é à f a i r e. Onobtenus voit que: est de la famil e 1( ). On applique les résultats 2 = = cot et = − = 2sin2 √ 2 t que 2 sin o ns,et on en = dédui et à partir de ces =deux expressi coscos Notons que l a f o ncti o n génératri c e ne dépend pas expl i c i t ement du temps, ce qui i m pl i q ue que = et comme nous avons l ’ e xpressi o n , descommeancisuiennes vari a bl e s en f o ncti o n des nouvel l e s, on peut dédui r e t = coscos2 + sisin2 = ˙ On relève que la variable est est cyclique et donc = = 0 et donc est une nouvel constante hami ltoniduenmouvement. mouvement avectemps,des lvari’.éénergi Etnergiac’bleestestsestcycl le bubutconserv iqtues.recherché, Comme de ne netrouver dépend uunn pasexpriexpl i c i t ement du conservée. ée. Al o rs peut peut être mée comme = , ce qui donne pour ˙ = = et la soution est simplement = + où est déterminée par les conditions initiales. Et la solution en fonction de l’ancienne variabl =e est 2 2 sin( + ) F Q Q
ω
Q G Q
F
∂F ∂
Q
ω ω
Q
P ω
P
Q
H ′
ω Q
∂F ∂Q
ωP
Q
H
H ′
H ′
ωP
Q
ωP
Q ωP
Q
P P
P
H P
P E /ω
Q
Q Q
Q
∂H ′ ω ∂P ω
φ
φ
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E ω
ω ω
φ
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2.6 Crochets de Poisson
43
Q
quiun angl est leaetsolu tiàounen queactil’onoonn.connai t . On remarque que e st homogène à Comme on l e verra par l a sui t e l e s vari a bl e s conjuguées (angle,action) sont à même de bien décrire un système à variable cyclique. Les corchets de Poi s son apparai s sent de mani è re naturel l e si l ’ on o n consi dère l a déri v ée par rapport au temps d’ u une ne f o ncti o n défini e sur l ’ espace e space de phases. En effet ˙ + ˙ + = Si l’onon tient compte des équations de Hamilton, on obtient + − = cetard,qui donne, en notation de crochets de Poisson, comme il sera précisé plus = + etdépend on voipast bieexpln queicitement si estduunetemps,intégral e premi è re, = = 0, et qu qu’ ’ el e l e ne o on n peut affirmer que = 0. Ce qui nous donne un outi l pui s sant pour véri fi er si une grandeur est une i n tégral e première. dphases. érons deuxOn fappel onctiolnse pardéfinilesescrochets ( de) etPoi (sson entre) dansles ldeux ’eespace space fConsi de onctions l’expressi expression suivante ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ On constate que dans le cas particulier où = et = , on a = == 0et = = 0 P
2. 2.6 6 Cr Croc oche hets ts de Pois oisso sonn
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂H
∂ ∂H
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
{ H }
∂ ∂
/ / { H }
Définition
{ }
∂
{ }
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∂
∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂
δ δ
{ }
−
δ
{ }
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Formalisme de Hamilton
2.6.1 2.6.1 Quelqu Quelques es pro propri priété étéss
Nous présentons quel q ues propri é tés, qui seront d démontrées émontrées en parti e aux TD, = = 0 (c est une constan cons tante) te) 1 + 2 = 1 + 2 1 2 = 1 2 + 1 2 = + = = On donne enfin une identité dite de Jacobi Notons que nous avons menti + o né dans l e + s propri é tés l = a 1 déri v ée parti e l e par rapport au temps et qui à ne pas conf o ndre avec l a déri v ée total e par rapport au temps. Ainsi, l’identité de Jacobi permet de démontrer la relation suivante = H + ∂ ∂ = H + H + ∂ ∂ = ∂∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = + On → opère. Quesurdevile esystème une transf o rmati o n canoni q ue qui → Q et nnent l e s crochets de Poi s son entre l e s nouvel l e s variables? Les L es crochets de Poi s son sont i n dépendants du j e u de vari a bl e s canoniques dans lequel ils sont exprimés, ainsi
{ } { } { } { } ∂ } ∂ { { } { }
{ {
{
}
−{ {
{
{ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂
}} {
{{
{
}
{ {
}
} { } } { } } { ∂ ∂ }
}} {
{
}
}} { }}
{
−
{
}
{
}−{
{
{
}} }}
}
{
}} }}
−
}
}
{
}
}
2.6.2 2.6 .2 Croche Crochets ts de P Poisso oissonn et tra transform nsformatio ations ns cano canoniques niques
P
Théorème
{ }
{
}QP
=ici. ce théorème ne sera pas démontré
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2.6 Crochets de Poisson
45
Tcédement outefois, cerestent qui découl e de ce théo théorème rème est que l e s propri é tés ci t ées prédonc val a bl e s pour l e s nouvel l e s vari a bl e s ( Q P ), il suffit de substituer les anciennes par les nouvelles. utiniLesqlueiscrochets erd’maiune Une stansf quidetransf Poineormati svasonormati pason.nousêtre Enonpermettent effet, démontré. on a l aussi e théo théorème de rème tester sui v l e ant, caractère que l ’ o on n canopeut est canoni q ue si l e s crochets de P Poi oi s son sont ilnesvarinouvel antslpares varirapport à cette transf o rmati o n, autrement di t , i l suffit que ables préservent la forme des crochets crochets de Poisson. Nous avons vu que l e théorème théorèmede de Noether per permet met de cal c ul er e r l e s constantes d’uunn mouvement à partir dedess symétries du lagrangien. Ce que nous allons tiaborde aborder on der Ensymétri danseffet,cee supposons paragraphe surpposons une foquenctiestoln’onloe nf a=iune t d’expri e(transf xpri merormati ) l’défini eeffetffeton d’einusurfinine ttransf l’espace oerrmama-surde phases. su ési m al les coordonnées, et → + → + dont l a f o ncti o n génératri c e est . On cherche al o rs à expri m er l ’ effet e ffet de surPourunecefofanctiire,onla .fonction génératrice peut être écrite comme la fonction génératri mul nctiidenti é, augmentée ant latéfonctiinfintési on génératri male. Oncepeutidentiforfor-té, onP tgénératri commece,suient d’utiunelisquanti G 2( erP la) =cfoe G ( P ) = P + oùqui dépend → 0 et appelé le paramètre de la transformation et une fonction de l a nature de l a transf o rmati o n de l a symétri e à l a quel l e l e ltransf agrangiormati en eston. iAinvarinsialnt’infetormati qui eston compl appeléèeteledegénérateur i n fintési m al de l a l’eeffetffet de est est maintenant dans . On applique les résul =tats précédents, = + et on a
Théorème
2.6.3 2.6 .3 Symét Symétries ries et crochet crochetss de Poisson Poisson
Q P
δ δ
G
G
F F
F
G
F
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∂G ∂
P
∂F ∂F ∂
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Formalisme de Hamilton
∂G ∂P H
Q
∂F ∂
= = + = ainsi on peut écrire = − = − = − = − ∼ Exprimons maintenant l’accroissement de due à cette transformation, ∂ ∂ δ = ∂ δ + ∂ ∂ == ∂ − Aiunensifolncti ’oonn voion tdéfini que elesdanscrochets de Poi s son permettent de cal c ul e r l ’ e effet ffet sur l ’ e espace space de phases par une transf o rmati o n canonireexpri que demerparamètre . Avant de donner un exempl e , nous al l o ns d’ a bord cette rel a ti o n en f o ncti o n des i n vari a nts pour f a i r e apparaî t re l e s symétries du système. H ′
δ
P
δ
Q
{
∂F ∂ ∂F ∂P
∂
∂F ∂
δ
∂F
∂F
∂
∂ ∂
F}
2.6.4 2.6 .4 Invari Invariants ants d’ d’un un systèm systèmee
I
Nous =avons établ i que l e s i n tégral e s premi è res, , d’ u n système véri fi ent 0. Aidunsirésul, si tuneat dutransfparagraphe ormationprécédent, canonique véri véri fi e = 0, al o rs en rai s on = 0, c’ e est st à di r e que l a transf o rmati o n l a i s se i n vari a nt l e hami l t oni e n et l e générateur de l a transf o rmati o n estpluslugénéral i même que une celintégral e premi è re. Ce qui montre bi e n que ce résul t at est u i établ i par l e théorème de Noth Nother. er. De pl u s pour une transf o rmati o n de symétri e , nous i d enti fi ons l e générateur de l a transf o rmation et l’onon peut peut l’eexpri xprimer en fonction de ce dernier. {H I }
F δ H
{H F }
Translation dans le temps
Reprenons les exemplesteisndéjvari Nous àaabordés dansétablleàicadre du théorème l’hdeamiNoether. onien d’uunn système nt paravonsrapport uneauparavant transl atiqueon dans lelttemps
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2.7 L’espace de phases
47
siPrenons, ce dernie r=ne dépend pas expl i c i t ement du temps. et voyons ce que cela donne : F H
∂H − ∂ ∂H ∂
δ δ
t=que le hami=ltoni˙ en est bien le générateur oninfinivoitésit bimealn que = et e des transl a ti o ns dans l e temps f a i s ant évol u er l e système d’Aiunnsii,nstan stantt à à un instant + . 1 2 Nous savons que si est une vari a bl e cycl i q ue, al a l o rs le hamiltonien est invariant par rapport à une translation de et que le =moment, aloconjrs ugué est une intégrale première. Prenons cette fois-ci == == 0 onsimvoial dest bietransl n queati o=ns sel oetn que. l’impulsion est le générateur infinité
le le mouvement d’un système entre deux instant et peut être décrit par une succession de transformations canoniques infinitésimales dont le générateur est H .
Translation d’un
F
δ δ
∂ − ∂ ∂ ∂ δ δ
δ
Rotation
2.7 L’esp espace ace de pha phases ses
Nous avons vu que l e f o rmal i s me de Hami l t on a i n trodui t l ’ e espace space de phases dans l e que quel l l ’ é état tat d’ u n système à un i n stant donné est est décri t par unun système point ( dont ) . La di m ensi o n de l ’ e space de phases pour 1 1 l e nombre de degrés de l i b erté est , l a di m ensi o n est 2 . Notons que cette es espace pace n’ a pas l a structure d’ u n espace vectori e l . C’ e est st une variété différentiable.
· · · · · ·
2.7.1 2.7.1 Flot Flot Hamilt Hamiltoni onien en
Nousonsavons vu aussi la dynami systèmese estmettredécrisouste parforme2 équati différenti el es quede premi er ordrequequid’unpeuvent
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Formalisme de Hamilton
compacte comme sui t .1 . 1 ..1 = ... 1 que l’oonn peut écrire comme ˙ = ( ) l e au poi n t et appelé le flot oùhami lt(oni e)n,représente par anal o gi e avec l a mécani q ue des flui d es. Lahamidétermi n ati o n du champ des vi t esses, résol u ti o n des équati o ns du flot l t oni e n, consi s te à dé détermi termi n er l a traj e ctoi r e dans l ’ e espace space de phases. Rappelons que l’espace de phases aussi permet d’aapprocher pprocher les solutions de vant,ve, comme qui n’àeeststonlapassoll’audémontré, vution.dans lepermet cadre d’desaffirmer affirmer protrail’tusnidecitéphase. de la trajLemanithéorème ectoière rqual e quisuiitaticorrespond ˙ ( ) Ce théorème est val a bl e dans l a régi o n de l ’ e space des phases à l ’ e excl xcl u siCeonthéorème des pointpermet singulied’rsaffirmer (point hyperbol i q ue, ) . que deux trajectoires ne peuvent jamais se
∂H ∂
∂H ∂
H
− − −
∂ ∂H
H
∂H ∂
champ des vitesses
Théorème de Cauchy Pour des conditions initiales données, la solution du flot hamiltonien existe et elle est unique. · · ·
jrencontrer, ectoint ralesorsse miqu’coupent, seellàepart celaua niveutveaudedideux rdese quepoiccondi lnestsdeux siionnsgulsolinieiutrs.itiaoleEnnss disont effet, égalsi deux esceentra-quice poicontredi s émanent ondi t ff érentes, t le théorème de Cauchy. 2.7.2 2.7 .2 Incom Incompressib pressibilité ilité du flot Conservation du volume
Tout volume V de de l’espace de phases n’englobant pas des points singuliers est conservé par le flot hamiltonien V
étanttuant donnéunquevolulemes traj V évol e=ctoi0urentes ditoutstinenctesrestant ne se dicoupent lesEnpoieffet, nts consti stincts,jacemaiquis, Mohamed.Elkacim i@
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2.7 L’espace de phases
49
ivalmpleuriquerestequeconstante V ne peut que se déformer et changer de forme aallors que sa au cours du temps. L’ééllémementnt infinitésimal du volume dans l’eespace space ddee phases peu peutt s’écri écrire comme comme V = 1 2 1 2 Notons que si l e nombre de degrés de l i b erté = 1, est une surf a ce. Onpar saiunet transf que l’éévol vol u ti o n au cours du temps des vari a bl e s ( ) est décri t e o rmati o n canoni q ue, ai n si affirmer que l e vol u me reste conservé ) est l e même que cel u i iexpri mpliqmueé enquefonctile volonudeme( exprim) éetenonfoncti foncti o n ( peut affirmer al o rs que l e vol u me est . ·
· · · · ·
·
· · · · · · V
Q P
V
un invariant canonique Démonstration V
· · · · · · · · · · · · · · · ·
Partant de l ’élé=lément in finitésié1simal2du volume 1 2 = 1 2 1 2 = 1 2 1 2 où est le jacobien du changement de vari a bl e s donné par
· · · Q · Q · · · · · Q · P · P · · · · · P
· · · J · · · · · · · · · · · · ·
J
11 1 11 1 = . 111 . . . . 1 . 111 . . . . 1 . 1 . .. . . 1 .. . . ∂Q ∂
J
···
∂Q ∂
∂P ∂
∂Q ∂ ∂Q ∂
··· ···
∂Q ∂ ∂Q ∂
∂Q ∂
···
∂Q ∂
···
∂P ∂
∂P ∂ ∂P ∂
··· ···
∂P ∂ ∂P ∂
∂P ∂
···
∂P ∂
Dans la suite on utilisera la notati o n = (( 11 11 )) estqui coiun nincivaride avec ant canoni un changement que si =de1.variable de dimension 1. Aussi, le volume J
∂ Q · · · Q P · · · P ∂ · · · · · ·
J
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Formalisme de Hamilton
Nous allons utiliser des propriétés du Jacobien 1 comme suit = (( 11 11 )) 1 1 = (( 11 11 )) = 12 On calcule 1 comme suit 1 = (( 11 11 )) = ( 11 ) = ( ) 2 ( avec ) 2 = = = 2 De même, en procédant de la même manière, on calcule 2 2 = (( 11 11 )) = (( 11 )) = ( ) J
∂ Q Q · · · Q P · · · P ∂ · · · · · · ∂ Q Q P P ∂ P P
···
···
······
······
∂ ∂ P P
J J
J
∂ Q · · · Q P · · · P ∂ · · · P · · · P ∂ Q · · · Q A ∂ · · ·
J
A
∂Q ∂
∂ G ∂ ∂P
∂ ∂G ∂ ∂P
J
J
∂ · · · · · · ∂ · · · P · · · P ∂ · · · B ∂ P · · · P
∂ ∂P
∂ ∂G ∂P ∂
∂ G ∂ ∂P
A
avec = = 2 = 2 2 = ( ) orvariance( )canoni = q(ue)ducevolquiumeimplestiquedémontrée. 1 = 2 et par la même occasion l’indémon trée. Notons que nous avons uti l i s é la fonction génératrice 2( ).
A
B
A
J
J
G P
1. Consiécridrérons et un un autre jeu de variables. Nous pouvons e écrilree changement de variable → X , → Y et → Z . et soient XYZ = où ( ) ∂ XYZ = ( ) = ∂( ) = J
J
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∂X ∂ ∂X
∂Y ∂ ∂Y
∂Z ∂ ∂Z
∂ XYZ X YZ ∂
∂X ∂ ∂
∂Y ∂ ∂
∂Z ∂ ∂
∂∂
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2.7 L’espace de phases
51
2.7.3 2.7 .3 Invari Invariants ants intég intégraux raux de Poincaré
La grandeur définie dans l’espace de phase par I est un invariant canonique.
1
deequeldémontrer que cetteestquanti téée,neàdépend pastionPourduquechoidémontrer xles jdeseux =varidecelavaribla,eiaslblsuffit dans l cette grandeur expri m condi e s se tranf o rment l e s uns en l e s autres par une tranf o rmati o n canoni q ue. Soi e nt ( ) un j e u de vari a bl e s obtenu par une transf o rmati o n canoni q ue. Consi d érons deux vari a bl e s i n dépendantes avec lesquels on peut exprimer = ( ) = ( ) = ( ) et = ( ) 1 est un invariant canonique si et seulement si 1 = == ceCalquiculoestns vérifié si = . = (( )) ( )) ( = () = 1( ) = 1 = 1 2 2 oùfaitnous avons uti l i s é une transf o rmati o n canoni q ue de cl a sse 2( ) et le que et sont indépendantes. dépendantes. De la même manière on calcule = ( ( ) ) (( )) = (( )) = 1 = 1 = 1 2 2 Q P
Q
Q
P
P
I
I
J
J ′
Q P
J
J
J
′ J
∂ ∂
∂ ∂ P ∂ ∂ P ∂ ∂ ∂ D ∂P
∂ ∂ ∂ ∂P
∂ D ∂P
∂ G D ∂P ∂
P G
J ′
J ′
∂ Q P ∂ ∂ Q Q P ∂ P ∂ ∂ P ∂Q
∂P
∂ ∂Q
∂ ∂P
∂P
∂P
D D
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∂Q D ∂ D
∂ G D ∂P D ∂
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G P
oùfaitnous avons uti l i s é une transf o rmati o n canoni q ue de cl a sse 2( ) et le et sur sont i n dépendantes. En sommant sur et que , on en déduit que le moment intégral tégral de Poincaré est un invariant canonique. J
P
Q
J ′
2.7.4 2.7 .4 Thé Théorè orème me de Liouvi Liouville lle
La densité des états ρ N/V d’un d’un système mécanique aux voisinages d’un point de l’espace de phases se conserve tout au long de l’évolution du système au cours du temps ρ .
=
= 0 On a vu que l e vol u me est un i n vari a nt canoni q ue, et donc se conserve au cours du temps, ce qui implique que le nombre d’états reste reste constant au oùLecours le peut nombre du temps. deLiparti ouvisouslceulprend elas forme esttoutesuirèssonvante grand. importance statidu stemps tiquede dePoithéorème ssonpeut se demettre et L’ceéévolvolenuutitienolniphysi santau cours lqeues crochets = + = = Onun étatpeutdonné concluestre qu’constant. à l’équi équiComme libre statis tiestque,constant le nombrealorsde ne parti c ul e s dans ne dépend pas explicitement du temps, = = 0, ce qui permet d’écri écrire que N
N
ρ
ρ
∂ρ ∂ρ {Hρ} { Hρ} { {Hρ} Hρ} ⇒ ∂ ∂ V
ρ
∂ρ/∂ ∂ρ/∂
{Hρ}
= 0
A l’équilibre statistique, la densité des états est une fonction des constantes constan tes du mouve mouvement. ment.
2.7.5 2.7.5 Systèm Systèmee intégr intégrabl ables es Théorème de Arnold-Liouville
Onlesparlcondie d’tiounsn système dusufffisantes systèmeintégrabl dans el’eespace quand space peut décriLed’rienthéorème qualitatie.suivement vant flxeecomportement pour qual ifier deunon phases. système tegrabl Mohamed.Elkacim i@
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2.7 L’espace de phases
53
Un système mécanique ayant degrés de libertés est intégrable s’il possède les trois propriétés suivantes : 1. ∃ intégrales premières I ; 2. les intégrales premières I sont indépendantes; ∀ ≤ : on dit qu’elles sont en involution. 3. {I I }
= 0
Cartes et atlas symplectiques
On appel l e par carte l e j e u de coordonnées de l ’ e space de phases choi s i pour décri r e l a dynami q ue d’ un u n système. systè me. En général , l ’ e expl xpl o rati o n de l ’ e nsemble de l’eespace space de pases nécessite plusieurs choix de variables adaptés chacune atlx, aouosnestcartes, desditrégisympl l’deon lappel ’eespace space deslecartes unde atlphases. correspond as. L’eensembl nsembl à unee detrans-cecess fàUnchoiormati canoni qconsti ue.onsetctisiuenqgulceueiqueèsireschacune
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Formalisme de Hamilton
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Chapitre 3
Systèmes hamiltoniens 3. 3.1 1 In Intr trod oduc uctio tionn
Nous avons vu dans les chapitres précédents que l’objobjectif du formalisme d’noni deinHami données trodui l t général r on e l est a noti de i s ées o décri n de et r l e ’ e espace urs l space e système moments des phases par conj l e s u et vari gués. d’ a é él bl l a De e borer s conj même, l u e guées, s équati ce cel l a l a e o s permi ns coorcas q ues de Hami l t on, comme descri p ti o n de l a dynami q ue du système au lLi’einutroducti des équati o ns de Lagrange. o n des transf o rmati o ns canoni q ues a pour but de trouver l e j e ux desimvariplifiaeblleess conj u guées où l ’ o on n a l e pl u s de vari a bl e s cycl i q ues, ce qui de l o i n équati o ns régi s sant l a dynami q ue et f a i t émerger l e s i n t tégral égral e s premi è res du système de mani è re di r ecte. Enseraiset que plaçanttoutestoujloeurss varidansablecette dynami q ue, l a si t uati o n l a pl u s opti m al e s conjuguées soient cycliques, ce qui fait que que nous =desnous foretrouvons nctioonsnsendesdétai avec2 l condi 2cette intégral ticonfigurati ons iensitpremi ialeosn.èetresoùdulesystème nouveauethami qui neltonisonten 0. Etudi
H ′
3.2 L’équatio équationn de Hamilton Hamilton-Jac -Jacobi obi
Q P
Comme nous venons de l e menti o ner, l e s nouvel l e s vari a bl e s ( ) sont cycliques, ce qui permet d’écri écrire ˙ = = 0 ˙ = = 0 Q Q
P P
∂H ′ ∂P ∂H ′ − ∂Q
55
Systèmes hamiltoniens
G
entrai n ant ai n si l ’ exi e xi s tence de 2 i n vari a nts. Soi t l l a transf o rmati o n canoni q ue associ é e, que l ’ o on n cherche à détermi n er. Uti l i s ant l e s résul t ats du chapitre précédent, et sachant que = 0, nous avons + = 0 ( ) ˙ Jusqu’ a l o rs, aucune condi t i o n sur l a f o ncti o n génératri c e mi s à part l e f a i t que2( les nouvel l e s vari a bl e s conj u guées soi e nt cycl i q ues. Si l ’ on o n prend = ), et dérivons par rapport au temps 2 = 2 ˙ + 2 ˙ + 2 comme 2 nous avons ˙ = 0 et = ( )+ = 0 quide lconsti t ue l ’ é équati quati o n de Hami l t on-Jacobi . Nous avons l a i s sé tombé l ’ i n di c e a f o ncti o n v al a bl e quel q ue soi t l a 2, étant donné que ce résultat reste val classe de . H ′
H −
G
G
G P
G
∂G ∂G P P ∂ ∂P
P
∂G ∂Q
H
∂G ∂
∂G ∂
∂G ∂
G
G
On appelle l’équation de Hamilton-Jacobi, l’équation donnant la fonction génératrice de la transformation canonique où toutes les nouvelles variables conjuguées Q P sont cycliques, ∂G H ∂
(
∂G ∂
) + ( = 0 )
G P fonction de variables généralisées et du temps est
( ;)
appelée la fonction principale de Hamilton.
3.3 Fonc onction tion p princ rincipa ipale le de Ham Hamilto iltonn : Qu Quel el ssens ens llui ui do donne nnerr ?
Reprenons l ’ expressi e xpressi o n de l a déri v ée total to tal e par rapport au temps de l a fonction principale de Hamilton, les nouvelles variables conjuguées étant cycliques par constructi = on, ˙ + = ˙ = G
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∂G ∂G ∂ ∂
− H L
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3.3 Fonction principale de Hamilton : Quel sens lui donner ?
57
etluionmêmevoit parbiendéfini que tcette déri v ée n’ est e st d’ a utre que l e l a grangi e n du système, i o n l a déri v ée total e par rapport au temps de l ’ a cti o n . On peut ainsi dire que ( ; ) = 1 Notons l a di ff érence f o ndamental e entre l ’ a cti o n défini e ci dessus et cel l e défini e l o rs de l ’ é tabl i s sement du pri n ci p e de moi n dre acti o n q qui ui a engendré lestes équati o ns de Lagrange. En effet, l ’ a cti o n défini e dans l e premi e r chapi t re une f o ncti o nnel l e cal c ul é e entre deux i n stants fixes 1 et 2 en utilisant lsera e chemiemprunté n la rendant extrémal e , et consi d érant ce chemi n comme cel u i qui par l e système l o rs de son évol u ti o n entre ces deux i n stants. Alors que l’action calculée dans ce chapitre, et que l’onon appelle 1, etprendre éffeérence enèmepartant d’utén duinestant fixen peut fixe le(1val), aleur.o,rsestAiquencalsi lcauldideuxi extrémi chemi doncchemid’n’nuunisnmsuiporte poivnist quel f o ndamental est que tous l e s pour ce cas sont des chemi n s qu qui i peuvent être empruntés par l e système et parCe quiconséquent l e s équati o ns de Lagrange s’ a ppl i q uent à tous l e s chemi n s. n’ est e st pas l e cas pour l ’ a cti o n dans l e premi e r chapi t re où seul e l a trajAinsiectoi, dansre physi q ue obéi t aux équati o ns de Lagrange. l e premi e r chapi t re l ’ o n avai t deux contrai n tes, ( 1 ) = ( 2 ) = 0 alsontors appl que idans ce cas nous avons ( 1 ) = 0 et que l e s équati o ns de Lagrange quées à tous les chemins. Rexprimons l’ééquati quation de Hamilton
P
L
l’action ha-
miltonienne
δ δ
δ
δ δ
Jacobi à partir du prinicpe de moindre action avec ces nouvelles conditions. Soit l’action hamiltonienne ( ; 1 1) = 1 ( ˙ ) comme mentionné auparavant, cette fois-ci tous les ( ) obéissent aux équations de Lagrange. Différenti = ons + = 3.3.1 3.3 .1 Princ Principe ipe variat variationne ionnell
L
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∂ ∂ ∂∂ L ∂
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Systèmes hamiltoniens
Calmêmeculopoinsnlt’accroi s sement de entre entre deux traj e ctoi r es voi s i n es partant du (1) :
δL
δ
1
∂L δ ∂
∂L δ ∂
== 1 + ˙ ˙ = 1 + ˙ ˙ ˙ = 1 ˙ ˙ ˙ = ( ( ˙) ( )( ) ) ( ) ( ( ˙) ( )( ) ) = 1 ( 1) = ( ( ˙) (˙ )( ) ) ( ) = ce qui permet de déduire que = enpouvons utilisantécrilr’eexpressi xpressi o n de l a déri v ée t total otal e de e t ce derni e r résul t at, nous e
∂L δ ∂
∂L δ ∂
∂L δ ∂
∂L ∂L δ − ∂ ∂
δ
∂L ∂
δ
δ
∂ ∂
∂ L ∂
⇒
∂ ∂
L
+ = == ˙˙ + + = = 0 ⇒
− L
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
⇒ H
= ( ) + = 0 qui n’estest d’autre que l’ééquati quation de Hamilton-J on-Jacobi acobi.
L’action hamiltonienne est l’action calculée sur une trajectoire physique dont le point de départ est fixé alors que le point d’arrivée est libre. Elle est la toutes fonction de la transformation canonique pour laquelle lesgénératrice nouvelles variables conjuguées sont cycliques
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3.4 Méthode générale de résolution
59
3.4 Méth Méthode ode gén généra érale le de rés résolu olution tion HJ
L’ééquation quation de Hamilton-on-Jacobi Jacobi ( ), comme c’est le cas des équations résoudre de Lagrange oudynami bi)e, nest(lqesuelaéquati duconstructi système. o ns canoni q ues de Hami l t on, permette permettent nt de Leconj poiuguées nt lde’éétat(tatdépart o n du hami l t oni e n avec l e s vari a bl e s ) . Général e ment, l e système est conservati f , al o rs leste hami l t oni e n ne dépe dépend nd pas expl i c i t ement du te temps, mps, l ’ énergi é nergi e mécani q ue une i n tégral e premi è re du système, = . ai n si on peut d’ o ores res et dej à séparer la partie temporelle et écrire, en partant de ( ; ) = = = ( ; ) = 0( ; ) H
H
E
HJ
∂ P ∂
−H − −E E ⇒ P
P − E P P
P
la fonction caractéristique de Hamilton.
est appe-ons . 0( ; les)équati oùlée parf0( o;is ) ne dépend que de et paramétrée par Reprenons = 0( ; ) = 0( ; ) et montrons que sur le plan formel, la connaissance de permet de résoudre tégral ltivaleoprobl esèEnsui me.premilEnetsèe,reseffet, osnsetpermettent deles,relétant ielresldonné erellseursianensurs.entres les derni àleauxls’inpremi èstant condi res èrest équati i =ons0 équati ietnoiltnseiaslcondi epermettent patparionsr conséquent deinitiadédui refixer que sont des i n tégral e s premi è res par constructi o n. Ai n si l e s ( ) sont résol u s par l e s p remi è res équati o ns et l e s ( ) sont dédui t es par i n versi o n dessance ddeerni0è estres équati o ns. Ce qui montre que sur l e p pl l a n f o rmel , l a connai s suffisante pour résoudre l e probl è me. T. Onoutefvaoitoutef s, il n’oeixisssete plpasacerde dans recettele casunivoùerselleslevaripourablrésoudre l e s équati o ns e s peuvent être séparées et 0 peut se mettre sous la forme 0( ; ) = 0 ( ; ) = = 0 ( ; )
Q
∂ P ∂ ∂ P ∂P
P
Q
Q
HJ
P
P
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⇒
∂ P ∂
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Systèmes hamiltoniens ∂ ∂
H
0 dans et on obtient une équation aux dérivées par etpartionelsubsti t ue es que l’oonn cherche à me mettre ttre sous l a f o rme 0( ; ) α ) = Cte = oùdiff érenti ( ) est unefonction de +qui( dépend du système. Ai n si l ’ é équati quati o n el e à résoudre devient0 + ( ) = α Notons que si l a vari a bl e est cyclique, aallors ( ) = 0 et l’équation é quati on précédente devient 0 = α = 0 = α + Cte
∂ P ∂
⇒
3.4.1 3.4.1 Exempl Exemplee 1 : Parti Particul culee li libre bre
Appl i q uons l a démarche exposée dans l e paragraphe précédent pour une parti sa ccoordonnée ule isolée deselmasse et animée d’une vitesse tel que = . Soit o n l ’ axe a xe de son mouvement. L’eexpressi xpression du hamiltooninien est 2 ( )=2 ainsi on constate que est cyclique donc est constante comme prévu, étant Ledonné gral hami e premi que l t oni l è a e re n parti ne et c par dépend ul e conséquent est pas i s ol é expl e. i c = i t = ement Cte = du temps, . La f o ncti don donc o c n c’ pri e est st n ci une p al i e n téde Hami l t on peut se mettre sous l a f o rme ( ; ) = 0( ; ) . Ensui t e on substi t ue par 0( ; ) dans l’expression du hamiltonien et on utilise l’ééquati quationde ; cequi2 donne 12 0( ; ) + ( ; ) = 0 2 ( ; ) 1 0 = 0 =2 √ = 0=(⇒; 0) == √ 22
H
H
E P P − E ∂ P /∂ /∂
HJ
∂ P ∂ ⇒
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∂ ∂ P ∂
∂ P − E ∂ ∂ P ⇒ ∂
±
E
±
E E
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3.4 Méthode générale de résolution
d’où
61
√
P
±
E E
E
( ; )= 2 − peut Ladans deuxi prendre l ’ expressi e xpres è me étape si o n = de consi ce . Dans qui s te nous à notre i d enti permet fi cas, e er r l on ’ i de n tégral a cal vu c que ul e e premi r , est après è re constante e avoi t l a r substi substi donc t uer t ué on la dérivée par rapportà √ par celle par rapport à , = 2 − =⇒ = ± 2 − et l’eexpressi xpression de s’oobtibtient en inveversant rsant la dernière équation 2 ( ± ) = + 0 ( ) = √ √ √ P
P E
Q
E
Q E
P
∂ ± ∂E
E E
E
E
2 2
E /
2
/
E
Q
Q
±
0
E/Q
oùNotonsl’i2onognnequeretrouve 2sollu’équati (o2n esto)n=horai = et recti que uni =lfao rme. étiquati r e d’ u ne parti = c ul e 2 ani m ée . d’ Et u n on mouvement voi t bi e n pl u s di r ect ecte e si l ’ on o n uti l i s e l e s équati o ns de l a grange étant donné que le lagrangien est connu. Consdérons l a chute l i b re d’ u une ne masse et soi t l a coordonnée sel o n lnéti’aaxexequede estla chute chute. = =. 1Le2 nombre de dégré de l i b erté est é égal gal à 1. L’ é énergi nergi e ci 2 et l’énergi ˙ é nergi e potenti e l e à une constante près est ⇒ H == E pas2 = =2 Cte.expl.LeLeimoment pend chami itementltoniconjduenutemps estgué est =doncégal2 H 2 à est+ que˙ = H è ne re.ne˙ Soi=dé-t =une. iOnn˙tégral rel= èvee premi Onmètresuitemps t la démarche. Comme H est conservée alors on peut séparer le paracomme sui t ( ; P ) = 0(; P ) E . La deuxième étape consiste à substituer par ( ; ) , ce qui donne = 0 ) + ( 2 1 0 + E = 0 = = ∂∂0 = √ 2 E − 2 3.4.2 3.4 .2 Exe Exempl mplee 2 : chute chute llibr ibree 1D
T
V T
∂L/∂
/
/
H
− ∂ P /∂ /∂
⇒
∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂
−
⇒
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/
H
∂T/∂
±
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Systèmes hamiltoniens
√ E −
32 2 2 =⇒ 0 = 3
±
P
H E
/
P E
Q
suiLa =ttroi sestièmeuneétape constante, consis teal∂oàrsassoci on peut E à unein1 =tégral culeèrre. comme Comme √ e2rprendre 2 ete calpremi Q = ∂E = − − ainsi par inversion, on obtient E Q + )2 + = − 2 (Q = −12 2 − Q − 2 Q 2 + E 0 1 2 sachantQ que= Q est 2est constante, constructi o n, et soi t ( = 0) = , al o rs 1 E − 01 2par E 2 =⇒ = −2 − − 0 + 0 Remarquons que l ’ on o n peut réecri ré ecri r e cette expressi o n s si i ( = 0) = 0, sachant que l’éénergi nergie mécanique est une intégrale premi ère, nous1avons 2 E 1 E = 2 02 + 0 =⇒ 0 = − 0 ce qui donne l’expression que l’oonn peut déduire directement à partir du PFD PFD = − 12 2 − 0 + 0 Notons que l e s équati o ns ne sont pas l e s pl u s si m pl e s et plconnai us fatcilleeslaàgrangi appleiqn,uerlespouréquatirésoudre l a dynami dy nami q ue d’ un u n système. Si l ’ o n o ns de Lagrange et cel l e s de Hami l t on sont général e ment cel l e s qui donnent l e s sol u ti o ns l e s pl u s di r ectes. Td’outef o i s l ’ i n térêt des équati o ns de r ési d e dans l e f a i t q qu’ u’ e el l e s permettent introduire de manière naturelle et intuitive la physique moderne.
/
±
/
/
/
Remarque :
HJ
HJ
3. 3.5 5 Le pr princ incipe ipe de Ma Maup upert ertuis uis
Le pri n ci p e de Maupertui s permet de re reexpri expri m er l ’ a acti cti o n caractéri s ti q ue de Hamilton dans une forme qui nous servira pour faire une analogie avec
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3.5 Le principe de Maupertuis
63
ldi’ooptinptiger.que géométrique, la mecanique ondulatoire et les équations de SchroConsidérons l’action hamiltonienne = 0 E = 1 ˙ ( 1) = 1 oùnous1avons = ( 1uti( 1l)isé 2l(e 1f)ait que ( 1est) etune =intégral ( 1( ) e premi ( ) . Notons que 2( ) è re. Comme ( ; ) estconstant définie 1à etuneécriconstante près, nous pouvons l a i s ser tomber l e terme re 0( ; ) = 1 que l’oonn appelle coucouramment ramment “action réduite”.
− H
−
− H − −
· · · H
· · ·
P
H
P
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Systèmes hamiltoniens
Principe de Maupertuis La trajectoire d’un système conservatif est déterminée par l’extrémisation de l’action réduite .
0
Nousdécri avonst parexprilemsercoordonnées la2loi deMaupertui sisdans l’e =space( 1 des configurati ons,la espace général ées ) et dont norme est défini e par | | = . Ce qui donne pour un él e ment de distance dans cet espace 2 = et 1 = = √ = 2 = 2( − − ) Reprenons conj u gués. Sachant l ’ e expressi xpressi que o n pour de l a un l o système i de Maupertui conservati s e et f , t él = i m i n ( ons ) et l e que s moment l l’ ’ é énerner gialoerscinétique, est une une fonction homogèn homogènee d’ordre2 ordre 2 ddee ˙ , = 1 2 ( )˙ ˙ = ˙ = ˙ = 12 ˙ ˙ ˙
· · ·
T
E
V
V V V T /
∂T ∂
∂L ∂
∂ ∂
δ
δ
= 12 ˙ ˙ + ˙ ce qui donne = ˙ = 1 1 1 1 = 1 = 1 2 ( − )
E
V
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3.6 Vers la mécanique ondulatoire
65
L’action réduite d’un système conservatif peut être exprimée exprim ée en fonction des coord coordonnées onnées généralisées généralisées comme suit
P
E − V
1
0e( li;bre) =se dépl a2çant ( ( ) ) Prenons une parti c ul sur un axe de coordonnée = , √ ( ) = 0, = et 2 = 2 =√ = √ ; ce ququii donne − 0) 0( ; ) = 0 2 = 2 ( − que l’oonn peut véri vérifierfier √ ( ; ) 0 = ˙ = = = 2
V
P E
⇒
E
E
E
E
E
2
E /
ce qui est bien confirmé puisque pour une particule libre = 2 . Les équati o ns apportent une troi s i è me approche, en pl u s des é équaquatidynami ons deque.Lagrange et cel l e s de Hami l t on, pour résoudre un probl è me de l a T Toutef outef o i s , dans l a pl u s part des cas, comme ça été menti o nné auparavant, l e s deux autres approches que sont pl u s ai s ées et di r ectes à utiNéanmoi liser. ns, les équations permettent d’apporter une compréhension pro3.6 Vers la méc mécaniq anique ue ond ondula ulatoir toiree HJ
HJJ H
HJ
lfo’éélndelaboratide loan mécani de la mécani que ondul que aquanti toire qetueontet àconsti la physitué quneue moderne. trame de fond à Avant d’ a border l ’ a nal o gi e avec l a mécani q ue ondul a toi r e, et pl u s parti culd’uunnièrement comprendre l a correspondance entre l e s propri é tés mécani q ues système et ses propri é tés ondul a toi r es, rappel o ns l e s pri n ci p es de base deEn leffet, a constructi o n de Huygens. le comportement mécanique d’une onde lumineuse est décrit par ce
3.6.1 3.6 .1 Anal Analogie ogie avec la co construct nstruction ion de Hu Huygens ygens
phase que l’oonndeappel l’ondele estla surfconstante a( ce )d’o=nde · qui· −correspond aux lieux de l’eespace space où la = constante
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ω
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Systèmes hamiltoniens
π λ
vecteur od’nonde odendel’oonde sachant que est l a l o ngueur d’ onde o nde et où la di=r 2ectio estn delepropagati nde qui est perpendi c ul a i r e à l a surf a ce d’onde; = 2 = 2 est la pulsation ou la vitesse angulaire avec et respectivement la période et la fréquence de l’onde. = cos = ( ) Pour l e cas d’ u une ne onde pl a ne se pro propageant pageant dans l e vi d e dans l a di r ecti o n = . Dans l e cas où l ’ onde o nde se propage ,dans un = mi letieu d’ =indice cedequiréfrdonne acti o n , = . Si l ’ i n di c e de réf r acti o n n’ est e st pas constant, c’est à dire s’il dépend dépend de la position de l’espace espace considérée, lle’éénergi fConsi ronted’dmémécani érons ondecaniestunequedéfparti ormé.c,ulcette e de derni masseère étant soumiconservée se à un potenti elle système et dont nergi est et donc estun seul conservati f . Consi d érons pour l a si m pl i c i t é des notati o ns que l e système a degré de l i b erté. Les résul t ats restent val a bl e s pour un système quel conque. L’ é état tat mécani q ue de l a parti c ul e est dé décri cri t par son acti o n ( ; ) quivatifs’, expri eparxprime en fonction de l’action réduite, puisque le syssystème tème est conser( ; ) = 0( ; ) Consi ( ;déronsl érons ) = Cte.les l(Aiieuxnsi de+ (l’eespace ; =) 0;=où)l0=’aacti( cti;0o(n) ( ). (Cherchons space ; +) à )l’instant( eest +st conconsta ; stante ) :nte;; == 0(( ;+ ) +; ) 0 0 = ( ; )+ 0 comme l a surf a ce consi d érée de l ’ a cti o n est constante et a l a même val e ur √ et 0 = 2( ) = 2( ) , alors
ω
λ
π T
πν
T
ν
Pour décrire les effets de la propagation de l’onde, il suffit de considérer la surface d’onde dont le front se déplace avec la vitesse ω . de phase | | α où α
O
ω
/ /
E
V
P
P
P − E P
P
′ P
E − − V
E
2 ( − )
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P P ′ ′ P − E − E P − E − P − E − − E P − E
E − V
V
E
−
P
E
E
V
= 0 =⇒ = = 2 ( − − )
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3.6 Vers la mécanique ondulatoire
67
La surface d’action se propage dans l’espace des configurations avec √ E E −V la vitesse L’action joue dans l’espace dual, l’espace des configurations, ce que joue la phase dans l’l’espace espace des positions,
=
2( )
P ⇐ ⇐⇒ ⇒ .
( ;) ( ) Notons que la vitesse de propagati o n de l a parti c ul e , = = 2 = 2( ) = estmême,donccomme différente dépend de la videtesse essela poside tpropagati o n de l a surf a ce d’ a cti o n. De i o n, l e f r ont de l a surf a ce d’ acti a cti o n se déforme, ce qui implique que l’espace espace des configurati configuration est un espace non
E − − V
T
V
× ×
E
homogène. On peut établir alors la rel a=tion Nous avons constaté une dual i t é entre l a surf a ce de l ’ a acti cti o n dans l ’ e spa space ce des configurati ons et la phase dans l ’ espace e space des posi t i o ns ( ) ( ; ) = 0( ; ) ( ) = 2 = 2 0 la( )lo=ngueur étantterme d’oonde ndele àchemi dansnleoptionvidqpeut e.ueeutetdédui l’irnedi:ce de réfraction du milieu, 0 Enestoù—comparant terme, p que l’éénergi nergie mécanique est proproporti portionnelle à la fréquence = etdelecettecoefficireleanttioden, onproporti o nal i t é e st l a constante de Pl a nck. Partant peut dédui r e l a rel a ti o n entre l ’ i m pul s i o n de l a particule au vecteur vecteur d’oonde nde comme suit 2 2 = 2 = = 2 = = ¯ 3.6.2 3.6.2 Quelle Quelle fréqu fréquence ence p peut eut-on -on associ associer er à la particu particule le ?
· − − πν πν
L
π
L − ν ⇐⇒ P λ
E
P − E λ
ν
π λ
πν
πν E
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π ⇒
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Systèmes hamiltoniens
P
— miquen opti0( q;ue) représente représentepour pourll’eespace ’espace espace spacedesdesposiconfigurati o ns ce que l e chec het i o ns et de ce c e f a i t on peut constater que le principe de Maupertuis pour la mécanique est le dual duvutiluominqueprinrédui neuxcilepssont eFermat deextrémi opti omani ptisentqcueèullre,eegéométri sont celn opti qleue.nssqquiue,Enoptiextrémi effet, nous avons l’ac-le etctoiderquieslapour mêmelal’parti lchemi es chemi qenues uel’occurence soccurence dessentrayons tetrajde0,ceux minimisent dans ce cas. Aussi Ceconfigurati qui nousons.amène à calculer “l’indice de réfraction” de l’eespace space des
L’action réduite représente pour l’espace des configurations ce que le chemin optique représente pour l’espace des positions.
3.6.3 3.6 .3 Que peu peut-o t-onn dire de de “l’indice “l’indice de réfraction réfraction du milieu milieu mé mécanique canique”” ?
Après établ le paralir l’lexpressi èxpressi le établoni1entre ldie cchemi che emide nréfoptiractiqueon etdulmi’actilieounmécani réduianite,quenousen pouvons e de l ’ i n méc utitionlisant l’ééquati quation iconale qui relie le chemin optique à l’indice de réfrac(∇ )2 = 2 A0parti r de cette équati o n et en uti l i s ant l a dual i t é défini e auparavant, ⇐⇒ , il suffit alors d’établ établir le gradient de l’∇acti0on réduite ∇0 et d’identifier − ) lUnee21résul l’in di=coe.n Ende =effet, = 2que( établ à+xpressi l’in=di⇒once(∇saide 0tréf)2que =racti2 o(n =du− mi et) l=ie⇒u mécani (f∇oistat0l)’2eexpressi i , nous pouvons voi r cl a i r ement l a dual i t é entre l e pri n ci p e de Fermat et cel u i de Maupertui s √ = 2 ( − ) = 2( − ) = 2( − ) = 0 L
L L
V
δ
δ
E
H E
E
V
δ
E
V
V
E E
V
δ
E
V
1. Lorsque le milieuoestn desinhomogène oonrme.dépend de la postidesosoln, lu’otindeons pldeanela fn’orme estest plus solution de l’équati on de propagati ondes caretle lf’riontndicd’e odenderéfse(racti déf On cherche φ = φ0 ) 0 ( ( ) A
− −L −L
A
L A A 2 2 2 0 2 2 quati = 0 onsoid’tonde oùL’approxi ( ) estmatiuneonfdeonctil’ optin dedquee lagéométri positionquequi∇consi fixe+sl(’tea∇mplà)cei t+udequedelele l −troi’onde.(∇sième)L’ééquati approxi terme llee domise ramène nant et àdonc (∇L)2 = 2, ce qui
constitue l’approximation iconale.
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δ
3.6 Vers la mécanique ondulatoire
On peut récapituler ainsi
69
P L P E ν et
( )⇐⇐⇒⇒0( ; ) =⇐( ⇒)⇐ 2⇒ ( ;−= )¯ )
E E
Principe de Fermat
V
Principe de Maupertuis.
3.6.4 3.6 .4 Une d descripti escription on ondulatoi ondulatoire re de la p particul articulee
En partant de l’équationde propagati o n des ondes él e ctromagnéti q ues, 2 2 ∆− 2 2 Φ = 0 tidédui on,unetrouvons te onde des équati l’équati oeffet, nsondedécri Maxwel vantquel,’éévoletvollastiudépendance tipoulnadentla’uparti nitemporel versalculeitsié leledeeldeecette est edécri équate par Ψ. En sachant st touéquation jprécédente ours de la fodevirmeent , même dans le cas d’uunn espace inhomogène, l’équati ∆ + 2 2 2 Φ = 0 Enratioutinslisetantl’espace lespace es reladestionsposidédui t es de l a dual i t é entre l ’ e espace space des configutions, 2 2 2 = 2 = 4 2 22 2 2 = ¯ 2 nous =avons etutili s=é les. Aussi relrelati,onous ns démontrées dans l e paragraphe précédent obtenons, en substi t uant Φ par Ψ ∆ + 22 Ψ = 0 ¯ Onquepeut déj à soul i g ner qu’ à parti r de cette derni è re rel a ti o n, étant donné 2 2 l ’ équati é quati o n est val a bl e ∀ Ψ =⇒ 2 = −¯ ∆ = −¯ ∇2 = ( ¯ ∇)2 qui n’n ’eestst d’aautre utre que le principe de correspondance −→ ∇. 2 + on =de⇒ Ψ.2 Or= 2nous¯( avons Continuons notre =quête + de =l’équati é2quati − ) ∂ ∂
φ
−ω
ω
ω
E /
E
ω
π ν
E
ν
H
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T
V
V
H
V
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Systèmes hamiltoniens
ce qui donne 1 ∆ + 2 (2 ( − )) Ψ = 0 =⇒ 2¯ 2 ∆ + ( − ) Ψ = 0 2 =⇒ Ψ = −2¯ ∆ + Ψ quialors,n’estest =d’autre et lque’ééquati lquati’équati o n de Schrodi n ger. Si l e système est conservati f on devient 2 ¯ Ψ = 2 ∆ + Ψ = Ψ
H
V
H
V
H
V
H E
H
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−
V
E
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Table des matières 1 Formalisme de Lagrange
1.1.12 1.3
3
ICoordon nCootrodu troducti cti o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 rdonnées nées géné général ral i s é ées es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.Equati 2Equ.1ationsoContra Conns detraiiLag nLagra ttesesrange etngedéfi défini ni t i o ns n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ........................ 6 1.1.33..2314 Théorèm Thé PriPrPriPriinnorème ccicciiippee evari Adyna Alondre nnnel mbert emiact.qrtue.io. n. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 11867 vardededeimoi alad’ttiidynami nldrenelmbe 1.1.33..56 Systèm Lagra Lag rangi ngi en e n d’ une u ne par parti ti c ul u l e l i b re non rel ati a ti vi v i s te . . . . 13 Système e de parti c ul e s i n teragi tera gi s sa sant nt par des f o rces conserconser vati vat i v e es s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.7 Systèm Système e d de e parti c u ul l e s i n tera teragi gi s sa sant nt par des f o rces dé˙ ri v ant d’ u n potenti e l général i s é ( ) . . . . . . . . . . 15 1.3.8 Cas des forces dissipati patives : fonction de Rayleighgh . . . 15 V
1. 3 . 9 1 0 Cas Lagr Lagrangi Lagra Lag range de angi nge contra contrai e n d’ . u une i . n ne . tes . parti . non . . c . hol u ul l . e . o l nom nomes i . b . re . es rel . . : a mul . ti . v vi i . s t i te . p l . i c . ate ateurs . . urs . . de . . 1.4 1.Quel Que4.1lquesuesPendu exe exempl mpl es e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . endul l e si m pl e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.44..32 Exempl Masse Mas se sur une ti g e rap rappel pel é ée e avec ave c un res ressort sort . . . . . . Exe mpl e de cal cul c ul de con contra trai i n t te e . . . . . . . . . . . . . . 1.5 1.Symmét Sym5.1métriVriariesablabletelocycl icycs deliqueconconserv servati ati on o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Théorèm Théorèmee de Noe Noether ther . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181916 1920 2223 2324
1. 5 . 5 4 3 I n vari va ri a nce par rap rapport rappo port rt à une l a transl tra tran rota rotati nsl sl ati a ti ti o on o n n . spati spa dans . . ti . a . l e . temps . . . . . 28 27 25 1.6 Quelques exemples simples d’appl application du calcul variationnel 29 71
TABLE DES MATIÈRES
1.1.66..21 LaPlubrabrachi s petichitetstochron estocdihrone stance tanece.dans dan. . s. un. . pl. a. n. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 3029
2 Formalisme de Hamilton
31
2.2.312 2.4
Equati Equ Hami ati l t toni ons o oni ns e can canoni n d’ oni u un n q ques système ue s de Hami Ham . . i . l t . on . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equat i o ns de Hami l ton t on à parti r du pri n ci pe p e vari a ti o nel . . . . Etude d’ un u n pendul e : Po Portrai rtrai t de phase . . . . . . . . . . . . . . 2.2.44..21 PHami Hamortr i l t oni en e n du sys système tème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ortrai ai t de phase pha se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.44..43 Remarqu Etude aux voi s i n a ages ges des poi n ts d’ é équi qui l i bre b re . . . . . . . Rema rques es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Théorie de Hamilton-Jacobi ton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 2.Crochet 2.56..121 Quel Quel Tsrans ransf deques ques qPoifueueormatssssonsonpropropri exexempl iempl oprins. .éétés canoni ese.téss. de. .. qques tratransf . ues.. nsf.. ..etormati o..rmf..oatincti . ..onon..ons.. .. généra génératri . .. .. .. ..tri..c..es.. .. q . . . 2.2.66..32 Symétri Crochet s de Poi Po i s son et trans transf f o rma rmati ti o ns canoni canon i q ues . . Sym étri e es s et crochet cro chet s de P oi s son . . . . . . . . . . . . . 2. 6 . 4 I n vari va ri a nts d’ un u n syst ème è me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 2.L’espace e7space de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.21 IFlncompr ocotmpress Ham Hamiessiiltionibilietén du. .flot. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2.7.3 Invari variants intégr tégraux aux de Poinccaréaré . . . . . . . . . . . . . .
4444434138 4546 4747 4851
2.7.54 Système Sys Théorèm Thétème orèmeeindettégrégrabl Liablouviesesl e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ILn’équati tréquati trodu oductictioonnonde. Hami . . . l.ton-Jacobi .ton-Ja. . .cobi. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. F3.onct i o n pri n nci ci pal p al e de Ham Hami i l t on : Quel sens l u i donner don ner? ? . . . 3Méthode .Méth1 odePriPrgénéra igéné ncciiprale vari varle deiattiirésrésol onnel nneloluti.o.n. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 3.4.1 Exempl Exemple 1 : Partartiiculule libre . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 5555 5657 5960
3 Systèmes hamiltoniens
3.3.21 3.3 3.4
313432 3434 3536 3738
55
3.65 3.VLe3.ers64..pri12 lannciciAnal pAnaempllodegigieqqueeMau Exempl Exe mécani pe Maupert ue2aveavec:ondul pert chu chute te ui u a i s toi l i b . re r . e . 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 62 61 c la constr constructi uctioonn de Huy Huygen genss . . . . . . . . 65
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3.3.66..23 Que Quellppeut-on eeut-on fréqéquen uencedicerepeut -on on associ as soci e er r à l a part i c u ul l e ? . . . 67 de “ “l l ’ i n d di i c e d de e réf racti r acti o on n du mi l i e u mécaninique”? méca ue” ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.6.4 Une desc descriription ondu ondullatoioire de la particuulle . . . . . . . 69
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Table des figures
1.1 1.2 1.1.543 2.1
Deux pendules pendules liés astreints à se déplacer sur le même plan. Les angles angles θ et et θ suffisent pour décrire le mouvement du système. Trajectoires rajectoires effective effective et variée. variée. Les deux coincident coincident aux ins- tants et . Pendule Pendule de longueur et de masse . Masse M M glissant glissant sur une tige en rotation imposée imposée et soumis soumise e force de rappel d’un ressort. à une force
1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ce Cerce rceau au de mas masse se M roulan roulantt sans sans gliss glisser er sur un pla plan n inclin incliné é d’un angle α . Portrait ortrait de phase d’ d’un un pendule simple simple : en rouge le régime de libration, en vert celui de la circulation et en bleu la sépara- trice entre les deux régimes.
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4 9 1921 22 37
