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FAT – UNASAM

Matemática II para administradores Manual del Curso

RICARDO TOLEDO QUIÑONES RICARDO EDICIONES ESTUDIO XXI – HUARAZ 2015 01/01/2015

CONTENIDO UNIDAD DIDÁCTICA DIDÁCTICA 1 : LAS FINANZAS Y EL VALOR DEL DINERO DINERO EN EL TIEMPO TIEMPO ............... ........................ ........... - 1 1.

CONCEPTO DE FINANZAS ...................................................................................................... - 1 -

2.

LIQUIDEZ Y RENTABILIDAD RENTABIL IDAD ..................................... .................. ...................................... ....................................... ....................................... ....................... .... - 1 -

3.

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO ...................................... .................. ....................................... ....................................... ......................... ..... - 1 -

4.

MATEMÁTICAS MATEMÁTICA S FINANCIERAS FINANCIERA S ....................................... .................... ....................................... ....................................... .................................... ................. - 2 -

5.

VALOR FUTURO DEL DINERO ..................................... .................. ....................................... ....................................... ...................................... ..................... - 2 -

6.

TIPOS DE INTERÉS ..................................... ................. ....................................... ...................................... ....................................... ...................................... .................. - 2 -

7.

INTERÉS SIMPLE ..................................... .................. ...................................... ....................................... ....................................... ...................................... ....................... - 2 -

8.

PERÍODO DE INTERÉS ...................................... ................... ...................................... ....................................... ....................................... ............................... ............ - 3 -

9.

RESUMEN DE FÓRMULAS PARA EL INTERÉS SIMPLE ..................................... .................. ....................................... ....................... ... - 3 -

10.

DIAGRAMAS DE FLUJOS DE EFECTIVO Y SIMBOLOGÍA ..................................... .................. ....................................... .................... - 4 -

10.1. CONCEPTO ..................................... ................. ....................................... ...................................... ....................................... ....................................... ............................. .......... - 4 10.2. SÍMBOLOS ...................................... ................... ...................................... ....................................... ....................................... ....................................... ............................. ......... - 6 10.3. REPRESENTACIÓN REPRESENTA CIÓN GENERAL DE PROBLEMAS PROBL EMAS ...................................... .................. ....................................... ................................. .............. - 6 EJERCICIOS 1.1: INTERÉS SIMPLE .................................................................................................... - 7 UNIDAD DIDÁCTICA 2 : RELACIONES BÁSICAS BÁSICAS EN MATEMÁTICAS FINANCIERAS ................. ...................... ..... - 30 1.

EL INTERÉS COMPUESTO. ................................................................................................... - 30 -

2.

EQUIVALENCIAS EQUIVALEN CIAS FINANCIERAS ...................................... .................. ....................................... ....................................... ................................... ............... - 33 -

3.

CAPITALIZACIÓN CAPITALIZ ACIÓN NO ANUAL DE INTERESES ....................................... ................... ....................................... ................................. .............. - 33 -

3.1.

TASA NOMINAL ..................................... .................. ....................................... ....................................... ...................................... ....................................... .................... - 34 -

3.2.

TASA EFECTIVA ....................................... ................... ....................................... ...................................... ....................................... ....................................... ................... - 35 -

EJERCICIOS 2.1: VALOR FUTURO Y PRESENTE, TASA NOMINAL Y EFECTIVA ..................... ............................. ........... ... - 39 4.

ANUALIDADES ..................................................................................................................... - 46 -

4.1.

DEFINICIÓN DE ANUALIDAD ANUALID AD ...................................... ................... ....................................... ....................................... ..................................... .................. - 46 -

4.2.

ANUALIDADES ANUALIDA DES CIERTAS ..................................... .................. ....................................... ....................................... ...................................... ........................... ........ - 47 -

4.3.

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD CIERTA CIERTA VENCIDA................. .......................... .................. ................. ................. ........... - 48 -

4.4.

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD CIERTA ANTICIPADA ................. .......................... .................. ................. ............ .... - 50 -

4.5.

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD CIERTA VENCIDA ...................................... .................. ................................ ............ - 53 -

4.6.

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD CIERTA CIERTA ANTICIPADA.......... ANTICIPADA................... ................. ................. .................. ......... - 56 -

4.7.

ANUALIDADES ANUALIDAD ES DIFERIDAS ...................................... ................... ....................................... ....................................... ....................................... ........................ - 58 -

5.

EL EXCEL Y LAS FÓRMULAS FINANCIERAS ........................................................................... - 61 -

EJERCICIOS 2.2: ANUALIDADES ..................................................................................................... - 65 6.

CAPITALIZACIÓN CONTINUA ............................................................................................... - 72 -

7.

RENTA PERPETUA PERPETU A...................................... ................... ...................................... ....................................... ....................................... ................................... ................ - 73 -

8.

GRADIENTE UNIFORME ...................................... ................... ...................................... ....................................... ....................................... .......................... ....... - 74 -

9.

FACTORES MÚLTIPLES ..................................... .................. ...................................... ....................................... ....................................... ............................. .......... - 78 -

10.

LAS TASAS DE INTERÉS EN EL PERÚ ..................................... ................. ....................................... ...................................... ............................ ......... - 78 -

11.

CALCULADORA CALCULAD ORA FINANCIERA DE R. TOLEDO .................................... ................. ....................................... .................................... ................ - 80 -

EJERCICIOS 2.3: FACTORES MÚLTIPLES ......................................................................................... - 81 UNIDAD DIDÁCTICA 3 : FLUJOS DE CAJA FUTUROS E INVERSIONES INVERSIONES .................. ........................... ................. ............... ....... - 91 1.

(EN CONSTRUCCIÓN) .......................................................................................................... - 91 -

UNIDAD DIDÁCTICA 4 : DESVALORIZACIÓN DESVALOR IZACIÓN MONETARIA ...................................... ................... ...................................... ..................... - 92 1.

(EN CONSTRUCCIÓN) .......................................................................................................... - 92 -

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................ - 93 -

Matemática II para administradores

2015

UNIDAD DIDÁCTICA 1 : LAS FINANZAS Y EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO 1.

CONCEPTO DE FINANZAS

Las finanzas son las actividades que se centran en las decisiones de inversión y obtención de recursos financieros, por parte tanto de las empresas, como de las personas a título individual y del Estado. Se refiere a la administración de los recursos financieros, incluyendo su obtención y gestión, por lo cual se puede relacionarla a: -

Conjunto de actividades que tienen relación con el dinero.

-

Conjunto de dinero o de bienes que posee una persona.

-

Conjunto de recursos económicos de la administración del Estado.

2.

LIQUIDEZ Y RENTABILIDAD

De acuerdo a la Universidad Nacional Abierta y a Distancia (Universidad Nacional Abierta y a Distancia, 2012): El análisis de la liquidez y la rentabilidad es constante, del buen manejo de estas variables depende en gran parte el éxito o fracaso de la empresa. Es prioritario solucionar el dilema entre liquidez y rentabilidad, más conocido como la filosofía de las decisiones financieras. Hay que lograr ambas, pero al tratar de alcanzar una se puede deteriorar la otra. Para lograr liquidez o capacidad de pago, se conceden descuentos, se vende más barato, pero con incidencias negativas sobre la rentabilidad por tener menor margen de utilidad. Si se quiere alcanzar mayor rentabilidad se requiere incrementar el precio de venta, aumentar plazos a los clientes, disminuyendo la liquidez dado el más lento flujo de efectivo. Debe quedar claro que por buscar liquidez la empresa no deja de ser rentable sino que se somete a un alto grado de incertidumbre lo que implica mayor volumen de ventas para obtener la utilidad deseada. El dilema entre liquidez y rentabilidad se da en las decisiones de corto plazo, a largo plazo no se presenta, pues la rentabilidad determina la futura liquidez, las utilidades al convertirse en efectivo generan liquidez siempre y cuando exista un adecuado manejo financiero. 3.

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Es un concepto basado en la premisa de que un inversor prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo a una fecha futura. En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener interés sobre ese dinero. Adicionalmente, debido al efecto de inflación, en el futuro esa misma suma de dinero perderá poder de compra.

R. Toledo

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4.

2015

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica (Aching Guzmán, 2006). 5.

VALOR FUTURO DEL DINERO

Cuando se presta una cantidad de dinero (P), la cantidad que se tendrá en el futuro (F), se verá incrementada por el pago por su uso que es el Interés (I). Si la cantidad de dinero que se tendrá en el futuro (F), por una cantidad otorgada en el presente (P) ganará un interés (I) se tiene la fórmula siguiente:



=P+I

……….

(S.1.1)

Dónde: F = Valor futuro o capital final. P = Valor presente o capital inicial. I = Interés. El interés (I) es la suma incremental pagada por el uso de una cantidad de dinero llamada capital (P). También se puede definir como la renta que se paga por el uso del dinero, que en el caso del acreedor debe cubrir su costo de oportunidad (uso alternativo) más el riesgo de que el prestatario no devuelva el dinero adeudado. 6.

TIPOS DE INTERÉS

Los intereses generados por un capital inicial pueden estimarse de dos maneras diferentes (con resultados diferenciados): -

Interés simple.- Es aquel que no toma en cuenta la acumulación de intereses.

-

Interés compuesto.- Se calcula tomando en cuenta tanto el capital inicial como la suma capitalizada de los intereses ya percibidos.

Las aplicaciones y diferencias específicas de estos dos tipos de interés, serán tratadas posteriormente. Además: -

Cuando no se especifica el tipo de interés, éste debe considerarse que hace referencia al interés compuesto.

-

Cuando no se especifica el período de interés, se debe considerar que se refiere a un período anual.

7.

INTERÉS SIMPLE

Es el interés calculado únicamente sobre el capital inicial, no toma en consideración la acumulación de intereses.

R. Toledo

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Matemática II para administradores

En este caso el interés que se obtiene en cada unidad de tiempo es siempre el mismo y el capital de la deuda no varía. Si el interés como costo de oportunidad y riesgo se expresan en un valor que se debe ganar sobre el valor presente del dinero, se tiene la siguiente expresión matemática:

  =

……….

(S.2.1)

Dónde:

i = Tasa de interés simple por unidad de tiempo expresada en tanto por uno. No confundir I (expresado en valores monetarios) con i (expresado en tanto por uno). La tasa de interés puede definirse como la relación entre el importe del interés acumulado en el período de tiempo y el monto del capital prestado y se expresa como porcentaje:



=

8.

I P PERÍODO DE INTERÉS

Es la unidad de tiempo asociada a una tasa de interés (por ejemplo 40% anual). A menos que se establezca lo contrario, la unidad de tiempo convenida es de un año. Si se integra a la fórmula (S.2.1), el tiempo (veces que se repetirá la tasa de interés) se tiene:

      =

……….

(S.3.1)

Reemplazando (S.3.1) en (S.1.1) se tiene: = P+Pxixn

Simplificando la expresión: =  (1 +

9.

)

……….

(S.4.1)

RESUMEN DE FÓRMULAS PARA EL INTERÉS SIMPLE

A partir de las fórmulas generales (S.1.1), (S.2.1), (S.3.1) y (S.4.1), se pueden derivar otras (al final de la presente Unidad se presenta igualmente un resumen de fórmulas).

Código S.1

Fórmula General 1 

2

Fórmulas derivadas 3

3

=   + 

S.2 S.3 S.4

R. Toledo

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10.

DIAGRAMAS DE FLUJOS DE EFECTIVO Y SIMBOLOGÍA

10.1. CONCEPTO Los diagramas de flujos de efectivo son representaciones usadas en Matemáticas Financieras, que permiten visualizar una forma práctica y sencilla el flujo de ingresos y gastos de dinero en un horizonte temporal. Se elaboran mediante líneas horizontales espaciadas que representan el tiempo y flechas verticales que señalan el flujo de dinero. Esquemáticamente el diagrama de un flujo de efectivo se puede representar del modo siguiente: Entradas de efectivo

Área de ingresos

0 Salidas de efectivo

1

2

3

4

5

Área de egresos

El eje X (horizontal) representa el horizonte temporal dividido en años, semestres, trimestres, meses, días, etc. Comenzando por el período cero (0). En la zona superior a la línea X se representas los ingresos de efectivo y en la zona inferior las salidas de efectivo. Dichos flujos se representan mediante flechas verticales trazadas a partir de la línea horizontal, en el período de tiempo correspondiente. La longitud que puedan tener las flechas, no representan cantidades específicas, por lo que un mismo tamaño puede representar cantidades iguales o distintas de dinero. Para todo problema que incluye flujos en distintos períodos de tiempo es recomendable efectuar su diagrama (posteriormente se aprenderá a expresarlo en c eldas del Excel).

Ejemplo 1.1: Se Grafica los siguientes flujos de efectivo: a) Un ingreso de S/. 20 000 ahora y un egreso después de dos años por S/. 30 000.

P = S/. 20 000 0

1

2

F= S/. 30 000 b) Un préstamo de S/. 1 000 otorgado hoy día y que será devuelto con S/. 500 de intereses dentro de tres años.

R. Toledo

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P = S/. 10 000 0

1

2

3

I= S/. 500 F= S/. 1 500

De acuerdo a lo estudiado F = P + I = 1 000 + 500 = S/. 1 500 Se puede notar además que la longitud de las líneas no representa mayor o menor cantidad de dinero. Ejemplo 1.2: Un flujo específico de efectivo puede ser visto de diferente maneara por dos personas o entidades. Así para un banco que presta dinero que le será devuelto después de cuatro años, el diagrama a representar será:

1

2

3

4

1

2

3

4

Mientras para el cliente será:

0

Ambos diagramas representan correctamente el flujo de dinero para el caso antes señalado y conducen a resultados idénticos en ejercicios de matemáticas financieras. Para el caso de las hojas de cálculo como el Excel, al utilizar las fórmulas incorporadas, es necesario tomar en consideración que si se da un ingreso de dinero, su valor debe ser positivo, de ser una salida de dinero, su valor debe ser negativo. Ésta lógica hace muchas veces más fácil considerar los valores de ingreso o egresos como positivos, trabajando con valores absolutos y para ello donde corresponda ingresar delante de la fórmula un signo negativo, lo que no cambia el criterio que a una salida de dinero le corresponda un valor positivo y viceversa. Un problema puede ser deducido a partir de un diagrama de flujo de efectivo, aspecto que debe ser entendido adecuadamente ya que facilita su comprensión y solución.

R. Toledo

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10.2. SÍMBOLOS La Matemática Financiera recurre al uso de símbolos para representar sumas de dinero, períodos de tiempo o tasas de interés. Los símbolos de uso más frecuentes en el desarrollo de ejercicios de Matemática Financiera son los siguientes: P

= Cantidad de dinero al inicio de n períodos de interés.

F

= Cantidad de dinero al final de n períodos de interés.

A = Cantidad constante de dinero que en forma uniforme se distribuye en un período de tiempo. i

= Tasa de interés por unidad de tiempo (se expresan como porcentajes y están referidas usualmente a períodos anuales).

n

= Número de períodos de tiempo (generalmente años).

La simbología corresponde a la palabra española que la describe, sin embargo existe simbología diversa derivada del inglés, que para fines de estudio es poco práctica. La tasa de interés, se representa en el español también como “r”, igualmente el valor futuro como “S”. 10.3. REPRESENTACIÓN GENERAL DE PROBLEMAS Una forma general de presentar los datos de un problema es a partir de la notación siguiente: (F/P, i, n) Dónde: F

= Cantidad de dinero al final de n períodos de interés.

P = Cantidad de dinero al inicio de n períodos de interés. i

= Tasa de interés por unidad de tiempo (se expresan como porcentajes y están referidas usualmente a períodos anuales).

n = Número de períodos de tiempo (generalmente años).

R. Toledo

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EJERCICIOS 1.1: INTERÉS SIMPLE 1.1.

Indicar si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:

a) Si a un banco se le adeuda S/. 10 000 pagaderos en 30 días, más le conviene recibir “la planta junta” que en dos pagos quincenales de S/. 5 000. b) Si al término del plazo de un préstamo por S/. 1 000, se pagó S/. 1 250, el interés fue de S/. 250. c) El pago por el riesgo de otorgar un préstamo se llama costo de oportunidad. d) Si el dinero no tendría un uso alternativo no debería cobrarse interés alguno, ya que es indiferente tenerlo guardado en el “colchón” o que lo tenga otra persona. e) La tasa de interés en el enunciado b) es 25%. Respuestas: a) Falso: Desde el punto de vista financiero, es preferible para el Banco tener cuanto antes el dinero que prestó (o parte del mismo), para el caso: quincenalmente. b) Verdadero: Interés = F – P = S/. 1 250 – S/. 1 000 = S/. 250. c) Falso: El riesgo es la probabilidad de perder, es la amenaza concreta de perder. El costo de oportunidad corresponde a la tasa de rentabilidad de la mejor inversión alternativa. d) Falso: Si se presta el dinero se estará sujeto al riesgo de su no devolución. e) Verdadero: Tasa de interés = 250 / 1 000 x 100 = 25%. 1.2.

Al otorgar un préstamo de S/. 1 850, la entidad bancaria “XY” establece que el mismo será pagado dentro de seis meses conjuntamente con los intereses a una tasa de interés del 30% semestral. a) ¿Cuál será el monto del interés a pagarse? b) ¿A cuánto ascenderá el pago total a efectuarse?

a) En la ecuación (S.2.1):

 

………. = 1850 x 0.30 =

(S.2.1)

= S/. 555.00 b) En la ecuación (S.1.1):



………. =P+I = 1 850 + 555

(S.1.1)

= 2 405.00

Respuesta: El monto de interés es S/. 555.00 y el pago incluido los intereses ascenderá a S/. 2 405.00

R. Toledo

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1.3.

2015

Se obtiene un préstamo de S/. 500 y al final de un año se paga S/. 750 ¿Cuál es el interés?

  − =

……….

(S.1.3)

I = 750 – 500 I = S/. 250

1.4.

Una persona ha recibido S/. 7 289 como interés de un préstamo otorgado a la tasa de interés de 37% anual ¿A cuánto ascendió el préstamo?

  

……….

=

=

(S.2.2)

7 289 0.37

P = S/. 19 700.00 1.5.

Se contrae una deuda de S/. 5 000, se pagará S/. 5 560 ¿Cuál es el monto de interés que se pagará?

  −

………. = 5 560 – 5 000

=

(S.1.3)

= S/. 560.00 1.6.

Un prestamista otorga un préstamo de S/. 2 000 y fija que debe devolver S/. 400 como interés ¿Cuál es el valor futuro de la deuda?



………. = 2 000 + 400 =P+I

(S.1.1)

= S/. 2 400.00 1.7.

Se paga una deuda abonando al prestamista S/. 9 400, el que incluye los intereses generados de S/. 1 200 ¿Cuál fue el monto del préstamo?

−

………. = 9 400 – 1 200

P=

I

(S.1.2)

= S/. 8 200.00 1.8.

Para el ejercicio anterior hallar la tasa de interés pagada.



I

=

……….

(S.2.3)

P

= 1 200 / 8 200 = 0.1433 = 14.63%

1.9.

Se paga por la compra de un artefacto eléctrico S/. 950 de intereses, si la tasa de interés total fue de 10% ¿Cuál fue el precio del artefacto eléctrico al momento de su compra?

R. Toledo

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  =

……….

(S.2.2)

= 950 / 0.10 = S/. 9 500.00

1.10. El precio de venta de una computadora es S/. 3 200, se adquiere al crédito por el cual se pagará 15% ¿A cuánto ascenderán los intereses?



………. = 3 200 x 0.15 = Pxi

(S.2.1)

= S/. 480.00 1.11. Representar con símbolos los siguientes casos: a) Se recibe S/. 35 000 como préstamo que será pagado dentro de dos años a una tasa de interés del 5% ¿Cuál será el monto a pagar? P = S/. 35 000 n = 2 años i = 5% F=? b) Se cobra S/. 15 000 por un préstamo de S/. 12 000 efectuado hace tres meses. ¿Cuál es el interés pagado? F = S/. 15 000 P = S/. 12 000 n = 3 meses i =? 1.12. Graficar y establecer los símbolos de los flujos en efectivo de los siguientes problemas: a) Un préstamo por S/. 850 efectuado en la fecha, que será devuelto con un pago de S/. X, dentro de tres años a la tasa del 20%.

i = 20% 0

1

F = S/. X 2

3

P = S/. 850

b) Del año 1 al 5 se cobró S/. 1 000 como anualidad de un préstamo de S/. 3 000 efectuado el año 0 con un interés del X%.

R. Toledo

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A = S/. 1 000

0

1

2

P = S/. 3 000

3

4

5

i=X

c) Represente el problema 1.2.

F = S/. 2 405

i = 30%

I = S/. 555 0

1

2

3

4

5

6

P = S/. 1 850

d) Hoy se recibe S/. 8 000 a ser devuelto con una tasa de interés de 5% mensual ¿Cuánto se deberá a fin de mes?

P = S/. 8 000

i = 5%

0

1 F = S/. ?

e) Un banco presta S/. 5 000 para ser devuelto mensualmente durante medio año con cuotas mensuales que ascienden a S/. 900, no se conoce la tasa de interés que se pagará. Graficar desde el punto de vista del Banco y del Cliente.

Desde el punto de vista del Banco

R. Toledo

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A = S/. 900

0

1

2

3

P = S/. 5 000

4

5

6

i=?

Desde el punto de vista del Cliente

P = S/. 5 000

i =? 0

1

2

3

4

5

6

A = S/. 900

f) Un préstamo de S/. 6 500, debe pagarse en cuotas iguales en tres meses con un interés de 5% mensual. P = 6 500 i = 5.00% 0

1

2

3

A=?

1.13. El Banco “XY” otorga un préstamo de S/. 95 000 que será pagado en dos años al interés simple de 45% anual. Hallar el pago final al término del segundo año.

P = S/. 95 000

i = 45% 0

1

2 F =?

R. Toledo

- 11 -

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     =  (1 +

……….

)

(1-8)

= 95 000 (1 + 0.45  2)

F = S/. 180 500

Respuesta: El pago final al término del segundo año será de S/. 180 500. 1.14. Hallar el interés y el capital final de un depósito de S/. 105 000 colocado durante un año y medio (1.5 años), a la tasa de interés simple de 30% anual.

 

……….

=

(1-7)

I = 105 000 x 0.30 x 1.5 I = 47 250



………. (1-2) F = 105 000 + 47 500 =P+I

F = S/. 152 250. 1.15. Qué tasa de interés simple anual habrá que exigir para que un capital inicial de S/. 15 600 se convierta en S/. 20 592 al término de un año.

i =? 0

F = S/. 20 542 1

P = S/. 15 600

    −

………. 20 592 = 15 600 (1 + i x 1) =  (1 +

=

20 592 15 600

)

(1-8)

1

i = 0.32 = 32%

Respuesta: La tasa de interés simple anual es de 32%.

1.16. Exprese la tasa de interés simple de 55% anual en tanto por uno, en forma mensual, bimestral, trimestral, semestral, para ocho y diez meses.

R. Toledo

- 12 -

2015

Matemática II para administradores

1 mes

:

2 meses

:

3 meses

:

6 meses

:

8 meses

:

10 meses

:

1 12 21 12 3 12 6 12 8 12 10 12

     

 0.55  0.55  0.55  0.55  0.55  0.55

1.17. Al cabo de tres años se desea acumular S/. 95 000 mediante un solo depósito que gana interés simple del 12% trimestral ¿Cuánto se tiene que depositar?

i = 12% 0

1

2

3

F = S/. 95 000 4

12

P =?

n = 3 Años = 36 Meses = 12 Trimestres

   

………. 95 000 = P (1 + 0.12 x 12) =  (1 +

=

)

(1-8)

95 000 2.44

P = S/. 38 934.43

Respuesta: Se tiene que depositar S/. 38 934.43 1.18. El precio al contado de una máquina industrial es S/. 15 000. Se adquiere a plazos con una cuota inicial de S/. 5 000 y el saldo (S/. 10 000) será pagado dentro de cuatro meses con un cargo adicional de S/. 1 600 ¿Qué tasa de interés simple anual se pagará?

P = S/. 10 000

i=? 0

1

2

3

4 F = 11 600

R. Toledo

- 13 -

2015

Matemática II para administradores

  

………. P = 15 000 – 5 000 = 10 000 =  (1 +

)

(1-8)

F = 10 000 + 1 600 = 11 600 Interés mensual: 11 600 = 10 000 ( 1 + i *4)

 � −  =

11 600

1

10 000

1 4

i mensual = 4% mensual

i anual = 4% x 12 = 48% anual. Respuesta: Se pagará un4% mensual equivalente a 48% anual de interés simple. 1.19. Una persona recibe S/. 210 000 por el dinero que prestó hace dos años a un interés simple del 50% ¿Cuánto fue el préstamo original?

i = 50% 0

1

F = S/. 210 000 2

P=?

   =  (1 +

)

……….

(1-8)

210 000 = P (1 + 0.50 x 2) P = 210 000 / 2 P = S/. 105 000 1.20. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que una cantidad de dinero depositada al interés simple del 40% aumente seis veces?

i = 40%

F = S/. 6

0

P = S/. 1

  

n=?

………. 6 = 1 (1 + 0.40 x n)

=  (1 +

R. Toledo

)

(1-8)

- 14 -

2015

Matemática II para administradores

 − =

6

1

0.40

n = 12.5 años

Respuesta: Se requiere que transcurra 12.5 años. 1.21. ¿Cuánto adeudará una persona después de tres años si solicitó un préstamo de S/. 320 000 al 4% de interés simple mensual?¿A cuánto ascienden los intereses a pagar?

P = S/. 320 000

i = 4% 0

1

2

3

4

36 F =?

   =  (1 +

)

……….

(1-8)

n = 3 años = 36 meses F = 320 000 (1 + 0.04 x 36) F = 780 800

  −

………. (1-1) I = 780 000 – 320 000 =

I = 460 000 1.22. Hallar la cantidad que debe prestarse una persona que necesita S/. 450 000 si el banco le cobra los intereses por anticipado a un 30% de interés simple anual, considerando además que el préstamo será devuelto al cabo de un año ¿A cuánto ascienden los intereses adelantados? Sea P la cantidad que se pide prestada. En un año los intereses de P serán: I = P x 0.30 x 1 I = 0.30 P La cantidad que se recibe efectivamente (descontado los intereses adelantados) será: Entonces:

R. Toledo

- 15 -

Matemática II para administradores

2015

P – 0.3 P = 450 000 0.7 P = 450 000



=

450 000 0.7

P = S/ 642 857.143 I = 642 857.143 X 0.30 I = S/. 192 857.143 Comprobación: P – I = 642 857.143 – 192 857.143 = S/. 450 000 Respuesta: La cantidad que se debe prestar es de S/. 642 857.14. 1.23. TAREA: DESARROLLO DE LA CALCULADORA FINANCIERA PARA EL INTERÉS SIMPLE Nota: El aplicativo es una primera aproximación a efectos de desarrollar luego la Calculadora para el Interés Compuesto. RECORDAR: Todo problema de matemática financiera tiene tres datos (salvo excepciones para aspectos básicos) y se pregunta por un cuarto que no se conoce. INSTRUCCIÓN:  Desarrolle la siguiente hoja de cálculo aplicable a la fórmula (I-8), (respete la ubicación de los datos en las celdas que se indican, las fórmulas son una ayuda, interprete lo que ejecutan cuando se condiciona con la opción = SI( …………., ………………, …………….). Para su aplicativo borre la instrucción de las fórmulas que aparecen en las celdas D8, D10, D11, E8, E10 y E11. Luego de elaborado siga las instrucciones del docente del curso a efectos de proteger sus fórmulas.

De manera más completa para las fórmulas (I-8), (I-9), (I-10) y (I-11), se puede elaborar lo siguiente:

R. Toledo

- 16 -

2015

Matemática II para administradores

1.24. Resuelva los ejercicios del 1.13 al 1.22 con la calculadora financiera elaborada para el Excel (excluir por no corresponder el ejercicio 1.16). Los resultados con la calculadora financiera son los que se indican a continuación, en la columna de datos se incluyen los tres datos conocidos a su vez el dato desconocido. El planteamiento se efectúa a partir de la fórmula general: (F/P, i, n) EJERCICIO

SÍMBOLO

CALCULADORA

DATOS

1.13 Planteamiento P= i=

R. Toledo

(F/P = 95 000, 45%, 2) 95 000.00 45.0000%

95 000.00 45.00%

- 17 -

2015

Matemática II para administradores

EJERCICIO

SÍMBOLO

CALCULADORA

DATOS

n= F=

2.00 180 500.00

I= I=

85 500.00 85 500.00

2.00 ? ?

1.14 Planteamiento P= i= n= F=

(F/P = 105 000, 30%, 1.50) 105 000.00 30.0000% 1.50 152 250.00

I= I=

105 000.00 30.00% 1.50 ?

47 250.00 47 250.00

1.15 Planteamiento P= i= n= F=

(F = 20 592, P = 15 600, i=?, 1) 15 600.00 32.0000% 1.00 20 592.00

I= I= 1.16

15 600.00 ? 1.00 20 592.00

4 992.00 4 992.00 No aplicable

1.17 Planteamiento P= i= n= F= I= I=

(F = 95 000, P = ?, 12%, 12) 38 934.43 12.0000% 12.00 95 000.00

? 12.00% 12.00 95 000.00

56 065.57 56 065.57

1.18 Planteamiento P= i= n= F= I= I=

(F = 11 600, P = 10 000, i=?, 4) 10 000.00 4.0000% 4.00 11 600.00

10 000.00 ? 4.00 11 600.00

1 600.00 1 600.00

1.19 Planteamiento P= i= n= F= I= I=

R. Toledo

(F = 210 000, P = ?, 50%, 2) 105 000.00 50.0000% 2.00 210 000.00

? 50.00% 2.00 210 000.00

105 000.00 105 000.00

- 18 -

2015

Matemática II para administradores

EJERCICIO

SÍMBOLO

CALCULADORA

DATOS

Planteamiento P= i= n= F=

(F = 6, P = 1, 40%, n=?)

1.20 1.00 40.0000% 12.50 6.00

I= I=

1.00 40.00% ? 6.00

5.00 5.00

1.21 Planteamiento P= i= n= F=

(F/P = 320 000, 40%, 36) 320 000.00 4.0000% 36.00 780 800.00

I= I=

320 000.00 40.00% 36.00 ?

460 800.00 460 800.00

1.22 Planteamiento P= i= n= F=

No aplicable 642 857.14 30.0000% 1.00 835 714.29

I= I=

? 30.00% 1.00

192 857.14 192 857.14

P–I

450 000.00

450 000.00

1.25. A continuación el estudiante debe plantear el problema de matemática financiera que sugieren los diagramas de flujo de efectivo (no se requiere resolverlos, sólo se pide su planteamiento que por ser libre, no se incluyen sus respuestas, debe identificar los tres datos del problema y el resultado faltante). (NOTA: Sin respuestas específicas de acuerdo a lo indicado en el planteamiento del ejercicio). a) P = 10 000 i = 4% 0

1

2

3

4

F= ?

R. Toledo

- 19 -

2015

Matemática II para administradores

b) F = 8 500 i = 12% 1

2

3

4

P=?

c) F= ? i = 20% 0

1

2

3

P = 9 200

d) A = S/. 2 000

0

1

2

3

4

5

i =? P = 7 000

e) F= ? i = 25% I =? 0

1

2

3

4

5

6

P = 3 000

f) P = 9 100 i = 6%

0

1

F= ?

R. Toledo

- 20 -

2015

Matemática II para administradores

g) A = S/. 900

0

1

2

3 i =?

4

5

6

P = 4 000

h) P = 3 000 i =? 0

1

2

3

4

5

6

i) P = 30 000 i = 45% 0

1

2

F=?

 j) F = 18 000

i =? 0

1

P = 14 000

k) F = 92 000

i = 14% 0

1

2

3

4

5

12

P=?

R. Toledo

- 21 -

2015

Matemática II para administradores

l) P = 6 800 i =? 0

1

2

3

4

F = 14 100

m) F = 155 000 i = 50% 0

1

2

P=?

n) F=9 i = 35% 0 n=? P=1

o) P = 540 000 i = 5% 0

1

2

3

4

40

F= ?

p) F = 108 000

i = 6% 0

1

2

3

4

5

100

P=?

R. Toledo

- 22 -

2015

Matemática II para administradores

q) F5=5 000 F4=4 000 F3=3 000 F2=2 000 F1=1 000

0

1

2

3

4

5

i = 4%

P=?

r) P=?

i = 7% 0

1

2

3

4

5

F1=1 000 F2=2 000 F3=3 000 F4=4 000 F5=5 000

s) i = 4% P=?

F3=10 000 F3=8 000 F3=6 000 F2=4 000 F1=2 000

0

1

2

3

4

5

F1=1 000 F2=2 000 F3=3 000 F4=4 000 F5=5 000

R. Toledo

- 23 -

Matemática II para administradores

2015

1.26. Para el ejercicio anterior, para a), b) y c), plantear su forma general: (F/P, i, n) a) (F/P = 10 000, 4%, 4) b) (F = 8 500, P = ? , 12%, 4) c) (F = ?, P = 9 200, 20%, 3) 1.27. Desarrollar en una sola hoja de cálculo una calculadora financiera para todas las fórmulas aplicables al interés simple que se han estudiado. Su diseño matricial de acuerdo a una presentación en cada línea de la fórmula básica y luego las fórmulas derivadas, se presenta a continuación (ver página siguiente). 1.28. Cambie datos a cualquiera de las fórmulas en la calculadora financiera del ejercicio anterior y luego crear problemas de matemáticas financieras. Es creación de cada estudiante. 1.29. Estudiar lo siguiente: TOLEDO QUIÑONES, Ricardo (2012). Guía Práctica para Gestionar Empresas, Tema 1: Herramienta Buscar Objetivo, Huaraz, Ediciones Estudio XXI. Documento y aplicativos para el Excel, los puede encontrar en la plataforma de la Facultad de Administración y Turismo de la UNASAM: www.fatunasam.com 1.30. Aprendido a utilizar el aplicativo del Excel: Buscar Objetivo, desarrollar una calculadora sólo con las cuatro (4) fórmulas básicas estudiadas (S.1.1), (S.2.1), (S.3.1) y (S.4.1) y resolver algunos problemas que se desarrollaron en la presente Unidad Didáctica. La calculadora ya no se presenta, será sólo estructurando las fórmulas básicas del Ejercicio anterior. Practique, es necesario que previamente entienda el uso de la opción del Excel: Datos / Análisis Y si / Buscar objetivo 1.31. a) Hallar el interés simple de un capital de S/. 12 000 colocado en una institución financiera desde el 5 de Junio al 15 de Agosto del año 2 015, a una tasa del 6% mensual. b) ¿Cuánto se cobrará incluido el capital y el interés? a)

R. Toledo

(S.3.1) I=? P= 12 000.00 i mensual = 6.0000% i diario = 0.2000% n inicial = 05/06/2015 n final = 15/08/2015 n= 71.00 I= 1 704.00

- 24 -

2015

Matemática II para administradores

b) (S.1.1) F= ? P= I= F=

12 000.00 1 704.00 13 704.00

1.32. Hallar el interés simple de un depósito de ahorro de S/. 10 000 colocado en una entidad financiera del 1 de julio al 15 de octubre del año 2 015, ganando una tasa anual de interés simple del 38%. La tasa anual bajó al 30% a partir del 20 de julio y al 22% a partir del 26 de setiembre. b) Con la misma información calcule nuevamente el interés, considerando que el banco abona los intereses en la libreta de ahorros cada fin de mes (capitalización). a)

(S.3.1) I=? P=

10 000.00

Fechas

i anual

i diario

n por período

i*n

I

Saldos

A

B

C = B /360

D = An - An-1

E=C*D

F=P*E

G = Gn-1 + In

01/07/2015 20/07/2015 26/09/2015 15/10/2015

38.00% 30.00% 22.00%

0.11% 0.08% 0.06% Total

b)

19.00 68.00 19.00

0.0201 0.0567 0.0116

200.56 566.67 116.11

106.00

0.0883

883.33

(S.3.1) I=? P=

10 000.00

Fechas

i anual

i diario

n por período

i*n

A

B

C = B /360

D = An - An-1

E=C*D

01/07/2015 20/07/2015 31/07/2015 31/08/2015 26/09/2015 15/10/2015

38.00% 30.00% 30.00% 30.00% 22.00%

0.11% 0.08% 0.08% 0.08% 0.06% Total

19.00 11.00 31.00 26.00 19.00 106.00

0.0201 0.0092 0.0258 0.0217 0.0116

I

10 000.00 10 200.56 10 767.22 10 883.33

Saldos

F = Gn-1 * En G = Gn-1 + In 200.56 93.51 265.93 228.80 125.27

10 000.00 10 200.56 10 294.06 10 559.99 10 788.79 10 914.06

914.06

Para el caso a) los intereses son de S/. 883.33, para el caso b) son mayores al ser de S/. 914.06, debido a que los montos se capitalizan y sobre los nuevos capitales, se calculan nuevamente los intereses.

R. Toledo

- 25 -

2015

Matemática II para administradores

1.33. Ejemplo para hallar el interés mensual : Una persona tiene como saldo en su libreta de ahorros el 01 de Febrero de 2 015 S/. 3 500 y efectúa a partir de esa fecha durante el mes de Febrero las operaciones detalladas en el cuadro siguiente ¿Qué interés habrá acumulado al 1 de Marzo, si la tasa mensual de interés simple fue del 3%? Saldo al

01/02/2015

3 500.00

Depósitos 15/02/2015 17/02/2015 23/02/2015 25/02/2015 28/02/2015 i mensual = i diario =

Retiros 350.00 11/02/2015 250.00 20/02/2015 120.00 27/02/2015 600.00 200.00

300.00 400.00 700.00

3.00% 0.10%

Día

D/R

Importe

01/02/2015 11/02/2015 15/02/2015 17/02/2015 20/02/2015 23/02/2015 25/02/2015 27/02/2015 28/02/2015

Saldo R D D R D D R D

300.00 350.00 250.00 400.00 120.00 600.00 700.00 200.00

01/03/2015

I

98.82

Movimiento Haber

Saldo acreedor

Días

300.00 0.00 0.00 400.00 0.00 0.00 700.00 0.00

3 500.00 0.00 350.00 250.00 0.00 120.00 600.00 0.00 200.00

3 500.00 3 200.00 3 550.00 3 800.00 3 400.00 3 520.00 4 120.00 3 420.00 3 620.00

10 4 2 3 3 2 2 1 1

35 000 12 800 7 100 11 400 10 200 7 040 8 240 3 420 3 620

0.00

98.82

3 718.82

28

98 820

Debe

Numerales Acreedores

Cuando el saldo de una cuenta corriente, de ahorro, etc. cambia constantemente debido a los movimientos que se generan en torno a ella (cargos y abonos), el cálculo del interés simple se efectúa usando numerales. Numeral es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el número de días de permanencia de ese saldo sin movimiento. Para el cálculo del interés la sumatoria de los numerales se multiplica por la tasa de interés del período: I = 98 820 * 0.10% I = 98.82 Ésta cantidad se suma al monto del último saldo para obtener lo que se tiene a partir del primer día útil del mes siguiente (3 620 + 98.82 = S/. 3 718.82). Si se desea se puede calcular a partir de este saldo los movimientos del mes de marzo a fin de obtener el monto al 01-04-15.

R. Toledo

- 26 -

2015

Matemática II para administradores

1.34. Comprobar que bajo la metodología del uso de numerales, para una persona que no efectúo ningún movimiento en su cuenta de ahorros en el mes de febrero al 01-03-2015, su saldo es equivalente al que se puede hallar capitalizando la deuda. i mensual = i diario =

3.00% 0.10%

Día

D/R

Importe

01/02/2015

Saldo

01/03/2015

I

F=? P= i= n= F=

3 500.00 0.1000% 28.00 3 598.00

Movimiento Debe

98.00

0.00

Numerales

Haber

Saldo acreedor

Días

3 500.00

3 500.00

28

98 000

98.00

3 598.00

28

98 000

Acreedores

1.35. El 1 de Junio del 2014 una persona abrió con S/. 2 000 una libreta de ahorros en el Banco Continental, cuando la tasa mensual era de 2%, y a partir de esa fecha efectuó los siguientes depósitos: S/. 600, 500, 400 el 5, 10 y 15 de Junio; asimismo retiró: S/. 300 y 400 el 8 y 25 del mismo mes. Si la tasa bajó al 1% a partir del 18 de Junio y la entidad financiera abona los intereses simples en una cuenta de ahorros el primer día del mes siguiente ¿cuál es el importe disponible del cliente el 1 de Julio? Seguidamente se muestra el movimiento y los intereses generados para cada período analizado, notar que se debe incluir la fecha del cambio de la tasa (18-06-2014). Día (t)

D/R

01/06/2014

D

2 000.00

05/06/2014

D

08/06/2014

Movimiento

Numerales

Tasa

Acreedores

Diaria

Días

Haber

Saldo acreedor

0.00

2 000.00

2 000.00

4

8 000 0.0667%

5.33

600.00

0.00

600.00

2 600.00

3

7 800 0.0667%

5.20

R

300.00

300.00

0.00

2 300.00

2

4 600 0.0667%

3.07

10/06/2014

D

500.00

0.00

500.00

2 800.00

5

14 000 0.0667%

9.33

15/06/2014

D

400.00

0.00

400.00

3 200.00

3

9 600 0.0667%

6.40

18/06/2014

C

0.00

0.00

0.00

3 200.00

7

22 400 0.0333%

7.47

25/06/2014

R

400.00

400.00

0.00

2 800.00

6

16 800 0.0333%

5.60

01/07/2014

I

42.40

0.00

42.40

2 842.40

30

83 200

Importe

Debe

Interés (en t+1)

42.40

Habrá acumulado S/. 42.40 de interés, con lo que tendrá en su cuenta en total la suma de S/. 2 842.40.

R. Toledo

- 27 -

2015

Matemática II para administradores

CALCULADORA FINANCIERA DE INTERÉS SIMPLE FÓRMULAS

Código

1 

S.1

S.2

S.3

S.4

R. Toledo

(S.1.1) F= ? P= I= F=

(S.2.1) I=? P= i= I=

(S.3.1) I =? P= i= n= I=

(S.4.1) F=? P= i= n= F=

2

3

4

=   + 

10 000.00 2 000.00 12 000.00

(S.1.2) P=? F= I= P=

10 000.00 5.0000% 500.00

(S.2.2) P =? I= i= P=

10 000.00 5.0000% 5.00 2 500.00

(S.3.2) P =? I= i= n= P=

10 000.00 5.0000% 5.00 12 500.00

(S.4.2) P =? F= i= n= P=

12 000.00 2 000.00 10 000.00

(S.1.3) I =? F= P= I=

12 000.00 10 000.00 2 000.00

500.00 5.0000% 10 000.00

(S.2.3) i =? I= P= i=

500.00 10 000.00 5.0000%

2 500.00 5.0000% 5.00 10 000.00

(S.3.3) i =? I= P= n= i=

12 500.00 5.0000% 5.00 10 000.00

(S.4.3) i =? P= F= n= i=

2 500.00 10 000.00 5.00 5.0000%

(S.3.4) n =? I= P= i= n=

2 500.00 10 000.00 5.0000% 5.00

10 000.00 12 500.00 5.00 5.0000%

(S.4.3) n =? P= F= i= n=

10 000.00 12 500.00 5.0000% 5.00

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2015

Matemática II para administradores

RESUMEN DE FÓRMULAS INTERÉS SIMPLE FÓRMULAS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS INTERÉS SIMPLE Código S.1

Fórmula General 

Fórmulas derivadas 3

2

4

=   + 

S.2 S.3 S.4

 −  − 

……….

(S.1.1)

……….

(S.1.2)

=

……….

(S.1.3)

=

……….

(S.2.1)

……….

(S.2.2)

……….

(S.2.3)

……….

(S.3.1)

……….

(S.3.2)

……….

(S.3.3)

……….

(S.3.4)

……….

(S.4.1)

……….

(S.4.2)

=P+I

P=

     

=

I



I

=

 

P

= =

  I

=

P x

n

I

=

    � −    � −   P x

i

=  (1 +

= F/ (1 +

)

=

1 /

……….

(S.4.3)

=

1 /

……….

(S.4.4)

P = Valor presente o capital inicial. F = Valor futuro o capital final. I = Interés (en términos monetarios).

R. Toledo

)

i = Tasa de interés expresada en tanto por uno. n = Número de períodos.

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UNIDAD DIDÁCTICA 2 : RELACIONES BÁSICAS EN MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1.

EL INTERÉS COMPUESTO.

Es el más utilizado en las operaciones del Sistema Financiero. Se presenta cuando la tasa de interés se aplica sobre la inversión o préstamo original y sobre las acumulaciones que van ocurriendo período a período. De tal forma que se van obteniendo “intereses sobre intereses”. Se diferencia del interés simple en que en este último caso no se capitalizan los intereses. Siempre que no se señale lo contrario, cuando se hable más adelante de tasa de interés, se referirá al interés compuesto. Sea: F : Valor futuro, suma final o valor presente más interés. P : Valor presente, suma inicial o capital. i : Tasa efectiva de interés por período. r : Tasa nominal de interés por período 1. n : Número de períodos. Si la tasa de interés es del 6% mensual, y si una persona presta S/. 100 a ésta tasa de interés, entonces al final de un año recuperará los S/. 100 iniciales más esta suma inicial multiplicada por la tasa de interés, es decir, recibirá una cantidad: S/. 100 + S/. 100 x 0.06 = S/. 100 (1 + 0.06) = S/. 106.00 En general, si la tasa de interés es “i” por ciento mensual, y si la suma inicial prestada es “P0”, entonces la cantidad (denotada por “F1”) que el prestamista recibirá al final de un mes es: F1 = P0 (1 + i) Por ejemplo, cuando P 0 = S/. 100 e i = 7% mensual, el valor de F1 es: F1 = 100 (1 + 0.07) = S/. 107. Supongamos que F1 se presta ahora por un mes adicional, a la misma tasa de interés, así que el prestamista recibirá la cantidad: F2 = F1 (1 + i) al final de este mes adicional. O, dado que F1 = P0 (1 + i), F2 = P0 (1 + i) x (1 + i) = P 0 (1 + i)2 Si se presta por 3 meses se tendrá:

1

 Cuando no se menciona el tipo de tasa: efectiva o nominal, se entiende que es nominal.

R. Toledo

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2015

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F3 = P0 (1 + i)2 x (1 + i) = P 0 (1 + i)3 Por consiguiente si una cantidad tal como “P” se presta por “n” meses, la tasa de interés del “i” por ciento mensual (o para un período que puede ser trimestral, semestral, anual, etc.), crecerá en valor a lo que constituye la fórmula básica del interés compuesto (C):

  

……….

=  (1 + )

(C.1.1)

Donde (1 + i)n se denomina factor de capitalización. De donde:



=F

1



……….

(C.1.2)

(1 + )

Donde 1 / (1 + i)n se denomina factor de actualización. En resumen el modelo, diagrama, casos y fórmulas son: MODELO

DIAGRAMA

CASO

FÓRMULA

P F/P

i VALOR FUTURO Y PRESENTE

0

1

2

3



=    (1 + ) 

n P/F



=



(1 + ) 

F

Cuando se requiera hallar i o n, se pueden ingresar los datos conocidos y despejar el desconocido, aunque también se señala para el caso:

 1      ( / )

i =

=

 - 1

( / ) (1 + )

……….

……….

(C.1.3)

(C.1.4)

Para facilitar el estudio del interés compuesto se adopta las siguientes pautas: -

Se denominará modelo a la descripción de la forma en que se presenta un caso y que relacione dos tipos de flujo (para la presente unidad el modelo de valor futuro y presente). Para simplificar los datos se utilizará la notación: (F/P, i, n) o (P/F, i, n), donde se especifican los datos y la incógnita del problema de matemática financiera ver ejemplos del presente capítulo), donde: F/P, está referido a hallar el valor futuro, conociendo el valor presente. P/F, está referido a hallar el valor presente, conociendo el valor futuro.

R. Toledo

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i, r son la tasas de interés en tanto por ciento efectiva y nominal, respectivamente. n, es el período o tiempo. Una vez que se acostumbre a la notación, puede excluirse el anotar las letras i y n. Ejemplo 2.1: Se recibe un préstamo por S/. 20 000 y se debe pagar con interés compuesto del 8% mensual ¿Cuál es el monto si será pagado en 15 meses? Diagrama P = 20 000 i = 8%

0

1

2

3

15

F= ?

(F/P = 20 000, i = 8%, n = 15) Se trata de un caso de capitalización, se resuelve con la fórmula: (C.1.1.)

   =  (1 + )

F = 20 000 (1 + 0.08)15 F = S/. 63 443.38 Ejemplo 2.2: Qué cantidad de dinero se tendría que depositar hoy en un Banco que paga el 12% de interés anual, si se desea tener dentro de 5 años un monto de S/. 10 000? Diagrama F = 10 000 i = 12% 0

1

2

3

4

5

P=?

(P/F=10 000, i = 12%, n = 5) Se trata de un caso de actualización, se resuelve con la fórmula: (C.1.2.)

   =

(1 + )

P = 10 000 / (1 + 0.12)5 P = S/. 5 674.27

R. Toledo

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2.

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EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

Significa que financieramente sumas diferentes de dinero pueden ser equivalentes si se las compara en distintos períodos de tiempo. Ejemplo 2.3: A una tasa de interés compuesto del 40% anual, S/. 1 000 se hoy a ¿cuántos nuevos soles equivalen dentro de dos años?

   =  (1 + )

F = 1 000 (1 + 0.40)2 = 63 443.38 F = S/. 1 960.00 3.

CAPITALIZACIÓN NO ANUAL DE INTERESES

La capitalización de intereses puede ser al año, así un ahorro de dinero recién ganaría intereses al año de su depósito. Pero esto no es lo más común. Existen casos en que la capitalización de intereses no se realiza anualmente, sino por períodos fraccionarios del año, tales como semestres, trimestres, bimestres, semanas, días, etc., referidos a una tasa de interés anual en estos casos, el problema consiste en referir la tasa de interés anual a una tasa de interés semestral, trimestral, bimestral, etc. y esto se realiza mediante el fraccionamiento de la tasa de interés anual por el número de veces en que se capitaliza anualmente. Un año en número de capitalizaciones equivale a 2 semestres, 3 cuatrimestres, 4 trimestres, 12 meses, 52 semanas y a 360 días. Se debe tener cuidado al momento de establecer ésta identificación, por ejemplo es común creer que un año equivale a tres trimestres, siendo en realidad cuatro (4x3 = 12). Si esto ocurre siendo “i” la tasa de interés anual y “m” el número de capitalizaciones en un año, la fórmula general (C.1.1) del interés compuesto queda expresada como:

     =

……….

1+

(C.1.5)

Ejemplo 2.4: Se deposita S/. 22 000 a una cuenta que gana 40% de interés anual capitalizado semestralmente ¿Cuál será el monto acumulado al final del cuarto año? m = 2 veces al año (semestral). n = 4 años. Períodos de capitalización = m x n = 8 semestres.

  =

R. Toledo

2

=

0.40 2

= 0.20 = 20%

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F= ? i = 20%

0

1

2

3

8

P = 22 000

(F/P = 22 000, 20%, 8) (Nota: Se excluyen las notaciones i = y n =) En la fórmula (C.1.5):

    �   � 24 8  =

1+

= 22 000 1 +

0.4 2

= 22 000 (1 + 0 . 2)

F = S/. 94 595.97

En las operaciones financieras cuando el interés se capitaliza más de una vez en el año, pueden distinguirse dos tasas de interés: la nominal y la efectiva. En caso de capitalización anual, la tasa efectiva es la misma que la tasa nominal, este criterio también se cumple si la tasa de interés nominal corresponde a la tasa aplicable al periodo de capitalización (ver ejemplo 2.7), pero cuando el interés se capitaliza más de una vez en el año, en general la tasa efectiva anual es mayor que la tasa nominal. 3.1.

TASA NOMINAL

Si la tasa (“r”) es nominal y se da para el año, en tanto que la capitalización sea “m” veces al año, la tasa para el período será: r% / m. Si la tasa (“r”) es nominal y se da para un período fraccionario del año (ejemplo: para el mes, trimestre, semestre, etc.), se halla “m” que corresponde a las veces que contiene un año al período fraccionario (ejemplo: sean los períodos fraccionarios m = 12/1 = 12, (si es mes) m = 12/3 = 4 (si es trimestre) y m = 12/6 = 2 (si es semestre)) en tanto que la tasa para el año será: r% * m. Ejemplo 2.5: Para la siguiente tabla, deducir la operación que se ha efectuado para hallar la tasa nominal. Tasa Nominal Hallar Tasa Periodos Hallar la Respuesta Anual por período m Operación Tasa por período (*) 60.00% Mensual 5.00% 60.00% Bimestral 6 60% /6 10.00% 60.00% Trimestral 15.00% 60.00% Semestral 2 60% /2 30.00% (*) De corresponder al período de capitalización, también constituye la tasa efectiva por período.

R. Toledo

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Ejemplo 2.6: Para la siguiente tabla, deducir las operaciones que se han efectuado para hallar las tasas nominales. Tasa Interés r 6.00% 8.00% 10.00% 20.00% 3.2.

Tasa por período Mensual Bimestral Trimestral Semestral

Periodos m 12

Hallar la Operación 6% * 12

4

10% * 4

Respuesta Tasa Nomin. Anual 72.00% 48.00% 40.00% 40.00%

TASA EFECTIVA

En todos los casos de cálculo financiero de interés compuesto se utiliza la tasa efectiva. a) A partir de la tasa nominal Ir de mayor a menor monto de la tasa: Cuando se conoce la tasa nominal por período , y ésta no corresponde a la tasa del período de capitalización (m), en este caso se requiere hallar la tasa nominal por período y ésta tasa corresponde también a la tasa efectiva por período. La fórmula es:

  =

……….

(C.1.6)

De acuerdo a la simbología antes planteada: r = tasa nominal de interés por período. Ejemplo 2.7: Para una tasa nominal del 60% si la capitalización es mensual, bimestral, trimestral, semestral y anual, hallar la tasa nominal y efectiva por período de capitalización. Tasa Nominal Anual 60.00% 60.00% 60.00% 60.00% 60.00%

Capitalización (N° de veces) Mensual Bimestral Trimestral Semestral Anual

Periodos m 12 6 4 2 1

Tasa nominal por período 5.00% 10.00% 15.00% 30.00% 60.00%

Tasa Efectiva por período 5.00% 10.00% 15.00% 30.00% 60.00%

Ir de menor a mayor monto de la tasa: Cuando se conoce la tasa nominal por período, y ésta corresponde a la tasa del período de capitalización, en este caso, se cumple lo establecido en el Ejemplo 2.7 que fija que en caso de capitalización anual, la tasa efectiva es la misma que la tasa nominal, igual si se conoce la tasa nominal por período de capitalización, sea diaria, mensual, semestral, etc. ésta tasa será también la efectiva, por lo que este caso también se resuelve a partir de la tasa efectiva en el siguiente ítem b) que se trata a continuación. La fórmula para este caso es:

    − =

1+

1

.....

(C.1.7)

Ejemplo 2.8: A un comerciante le ofrecen prestar dinero a distintas tasas con capitalizaciones también para períodos distintos ¿Debería preguntar si esa tasa es nominal o efectiva?

R. Toledo

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2015

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No es necesario, ya que si la tasa corresponde al período de capitalización, la tasa nominal y efectiva son iguales. Por ejemplo: Tasa

Capitalización es:

5.00% 10.00% 15.00% 30.00% 60.00%

Mensual Bimestral Trimestral Semestral Anual

Tasa nominal por período 5.00% mensual 10.00% bimestral 15.00% trimestral 30.00% semestral 60.00 % anual

Tasa Efectiva por período 5.00% mensual 10.00% bimestral 15.00% trimestral 30.00% semestral 30.00% anual

Ejemplo 2.9: Comparar la tasa nominal del 12% con la tasa efectiva ambas expresadas en forma semestral, trimestral, bimestral, mensual y quincenal. Tasa Nominal 12.00% 12.00% 12.00% 12.00% 12.00%

Capitalización Semestral Trimestral Bimestral Mensual Quincenal

Periodos m 2 4 6 12 24

Operación (1+0.12/2)^2-1 (1+0.12/4)^4-1 (1+0.12/6)^6-1 (1+0.12/12)^12-1 (1+0.12/24)^24-1

Tasa Efectiva 12.36% 12.55% 12.62% 12.68% 12.72%

b) A partir de la tasa efectiva Ir de mayor a menor monto de la tasa: Si se conoce la tasa efectiva para un periodo de capitalización específico y se desea hallar para otro período menor (por ejemplo se conoce la tasa anual = i efectiva conocida y se desea hallar la tasa mensual = i efectiva desconocida), el criterio señala que se trata de una operación que involucra sacar una raíz (ver Anexo 2.1), ya que la tasa que se conoce debe disminuir, así, ésta puede obtener con la siguiente fórmula:

<   > − =

1+

1

……….

(C.1.8)

Ejemplo 2.10: Para la siguiente tabla, deducir la operación que se ha efectuado para hallar la tasa efectiva. Tasa Efectiva Anual (i>) 60.00% 60.00% 60.00% 60.00%

R. Toledo

Hallar Tasa Efectiva Mensual Bimestral Trimestral Semestral

Periodos m 12 6 4 2

Hallar la Operación

Tasa efectiva por período (i1), así ésta puede obtener con la fórmula (C.1.7) ya tratada anteriormente:

    − =

1+

1

Ejemplo 2.11: Para una tasa nominal anual de 60% si la capitalización es anual, hallar la tasa efectiva anual. De acuerdo a lo ya planteado, en caso de capitalización anual, la tasa efectiva es la misma que la tasa nominal.

 � =

1+

0.60 1

1 −

1

i anual = (1 + 0.60) – 1

i anual = 0.60 = 60.00%. Ejemplo 2.12: Hallar para una tasa nominal anual de 60% si la capitalización es mensual, hallar la tasa efectiva anual y demostrar lo que fija la teoría: “Cuando el interés se capitaliza más de una vez en el año, en general la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal.”

     − 12  �  − =

1+

=

1+

1

0.60 12

1

i anual = 79.59%

Ejemplo 2.13: Dada una tasa nominal del 60% anual capitalizable mensualmente, hallar la tasa efectiva anual, luego a partir de éste resultado calcular dada la tasa efectiva anual, la tasa nominal anual. i efectivo = ¿? i nominal Capital. año i efectivo

60.00% 12 79.59%

i nominal = ¿? i efectivo Capital. año i nominal

79.59% 12 60.00%

R. Toledo

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2015

Matemática II para administradores

Ejemplo 2.14: Hallar a partir de la tasa nominal dada para el año, la tasa efectiva por período y la tasa efectiva anual: Tasa Nominal Capitalización Periodos Anual (N° de veces) m 60.00% Mensual 12 60.00% Bimestral 6 60.00% Trimestral 4 60.00% Semestral 2 (*) Para el primer caso : 60%/12 = 5,00%. (**) Para el primer caso : ((1 + 0,05)12 – 1) * 100

Tasa por período(*) 5.00% 10.00% 15.00% 30.00%

Tasa Efectiva anual (**) 79.59% 77.16% 74.90% 69.00%

Ejemplo 2.15: Para la siguiente tabla, deducir la operación que se ha efectuado para hallar la tasa efectiva. Tasa interés Capitalización Periodos ior (N° de veces) m 6.00% Mensual 12 8.00% Bimestral 6 10.00% Trimestral 4 20.00% Semestral 2

Hallar la Operación (1+0.06)^12-1

Respuesta Tasa Efect. Anual 101.22% 58.69% 46.41% 44.00%

Para el mismo período: Cuando se conoce la tasa efectiva para un tiempo tal como “n”, la que se capitaliza en períodos menores “m” y se desea hallar la tasa nominal durante el tiempo “n”, la fórmula se deduce del modo siguiente:

 

……….

=

(C.1.6)

r=mxi Como:

<   > − =

1+

……….

1

(C.1.8)

Entonces: (entendiendo que i se capitaliza m veces)

√   −

 1+

………. (C.1.9) Ejemplo 2.16: Para las siguientes tasas de interés nominal (o efectivas ya que son iguales) para un período de tiempo tal como “n” calcular las tasas efectivas para ese mismo período de tiempo. r = m(

Tasa interés efectiva anual

1

Capitalización

Periodos

Hallar la

Respuesta

m

Operación

Tasa nominal

Capitalización

50.00%

Anual

1

1 ((1+0.5)^(1/1)-1)

50.00%

Anual

65.00%

Trimestral

4

4 ((1+0.65)^(1/4)-1)

53.35%

Trimestral

59.00%

Mensual

12

12 ((1+0.59)^(1/12)-1)

47.28%

Mensual

80.00%

Diaria

360

360 ((1+0.8)^(1/360)-1)

58.83%

Diaria

R. Toledo

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2015

Matemática II para administradores

EJERCICIOS 2.1: VALOR FUTURO Y PRESENTE, TASA NOMINAL Y EFECTIVA 2.1.

En la fecha se deposita S/. 192 000 en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés efectiva anual del 40% ¿A cuánto ascenderá dicho depósito después de tres años? F= ? i = 40% 0

1

2

3

P = 192 000

NOTA: La forma como se desarrolla inicialmente los problemas es siguiendo todas las pautas, a medida que se adquiera práctica parte de los datos que se consignan en cada ejercicio se podrán ir excluyendo. Fórmula

P= i= n= F= 2.2.

F/P C.1.1 F = P(1 + i) n (F/P=192000,40%,3) 192 000.00 40.00% 3.00 526 848.00

Se cobró S/. 95 000 como pago por un préstamo efectuado hace 2 años, si la tasa de interés fue de 35% ¿A cuánto ascendió el préstamo original? Nota: En el ejercicio al no citarse qué tipo de interés es, se entiende que es compuesto. F = 95 000 i = 35% 0

1

2

P=?

Fórmula

P/F C.1.2 P = F / (1 + i) n (P/F=95000,35%,2)

R. Toledo

- 39 -

2015

Matemática II para administradores

F= i= n= P= 2.3.

95 000.00 35.00% 2.00 52 126.20

Una empresa obtiene un crédito por S/. 235 000 para la compra de mercadería y útiles de oficina. El crédito será cancelado mediante un solo paga al término del cuarto año. Elaborar un cuadro con el monto de la deuda año a año, considerando una tasa de interés del 45% anual. Utilizando las fórmulas estudiadas, calcule el monto del pago final. i=

45.00%

Fin de año

Préstamo

Intereses

Deuda

Pago

A 0 1 2 3 4

B 235 000.00

C = Dn-1 x i D = Dn-1 + Cn E 0.00 235 000.00 105 750.00 340 750.00 153 337.50 494 087.50 222 339.38 716 426.88 322 392.09 1 038 818.97 1 038 818.97

Utilizando el procedimiento y fórmulas estudiadas: P = 235 000 i = 45% 0

1

2

3

4

F= ?

Fórmula

P= i= n= F= 2.4.

F/P C.1.1 F = P(1 + i) n (F/P=235000,45%,4) 235 000.00 45.00% 4.00 1 038 818.97

¿A cuánto ascenderán hoy, pagos futuros (F) por montos de S/. 95 000 (dentro de un año), S/. 130 000 (dentro de 3 años) y S/. 280 000 (dentro de 5 años). Considerar una tasa de interés del 35% anual.

R. Toledo

- 40 -

2015

Matemática II para administradores

P=?

i = 35%

0

1

F1 = 95 000

2

3

F2 = 130 000

4

5

F3 = 280 000

Fórmula P/F C.1.2 P = F / (1 + i) n (P/F=95000,35%,1) (P/F=130000,35%,3) (P/F=280000,35%,5) 95 000.00 130 000.00 280 000.00 35.00% 35.00% 35.00% 1.00 3.00 5.00 70 370.37 52 837.47 62 443.78

F= i= n= P= 2.5.

Total

185 651.62

Resolver el ejercicio anterior con el Excel, utilizando la función: VNA

Descripción: VNA, calcula el valor neto presente de una inversión a partir de una tasa de descuento y una serie de pagos futuros (valores negativos) e ingresos (valores positivos). Sintaxis: VNA(tasa;valor1;[valor2];...) i=

35.00%

Período Monto

0 1 185 651.62 ( 95 000.00)

2

3 0.00 (130 000.00)

4

5 0.00 (280 000.00)

IMPORTANTE: Para que se resuelva adecuadamente a las celdas de los años 2 y 4 deben de ingresarse ceros (0), las celdas vacías no son consideradas como datos del problema. Además por el momento, conserve la lógica de los signos de los flujos, así de acuerdo al planteamiento del ejercicio, los pagos son salidas de dinero por lo tanto figuran con valor negativo y el valor presente es un ingreso, por lo que debe aparecer como un valor positivo. Cuando adquiera práctica trabajará seguramente sólo con valores positivos pero siempre deberá dar la interpretación adecuada a la salida o ingreso de dinero. 2.6.

¿Cuál es la tasa de interés anual para que S/. 356 000 se conviertan en S/. 2 848 000, dentro de tres años?

R. Toledo

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2015

Matemática II para administradores

F = 2 848 000 i =? 0

1

2

3

P = 356 000

Fórmula

P= F= n= i= 2.7.

C.1.3 i = (F/P)(1/n) – 1 (F=2848000/P=356000, i=?,3) 356 000.00 2 848 000.00 3.00 100.00%

¿Qué tiempo tiene que transcurrir para que S/. 200 000 depositados hoy día, se conviertan en S/. 896 807 con una tasa de interés del 35% anual? F = 896 807 i = 35% 0

n=?

P = 200 000

Fórmula

P= F= i= n= 2.8.

C.1.4 n = Ln (F/P) / Ln (1 + i) (F=896807/P=200000,35%, n=?) 200 000.00 896 807.00 35.00% 5.00

El precio al contado de una máquina es S/. 150 000, se desea conocer ¿cuánto se parará para su cancelación?, si dicha máquina se adquiere al crédito bajo las siguientes condiciones: - 30% en efectivo. - El resto a cancelarse con un solo pago dentro de 2 años. - Tasa de interés del 48% capitalizable en forma trimestral.

R. Toledo

- 42 -

2015

Matemática II para administradores

P = 105 000 i = 48% / 4 = 12%

0

1

2

3

8

F= ?

C.1.1

Precio Efectivo (%) Efectivo (S/.) P= i anual = i trimest. = n= F= 2.9.

F = P(1 + i) n (P/F=105000,12%,8) 150 000.00 30.00% 45 000.00 105 000.00 48.00% 12.00% 8.00 259 976.13

Un comerciante consiguió un préstamo por el que debe de pagar las siguientes cuotas: - 2do. Semestre S/. 35 000 - 3er. Semestre S/. 40 000 - 5to. Semestre S/. 50 000 - 7mo. Semestre S/. 55 000 Si la entidad crediticia fijó una tasa de interés nominal de 40% anual, capitalizable semestralmente ¿A cuánto ascendió el préstamo? Instrucción: Resuelva con las fórmulas y con el Excel, función VNA.

P = ¿? i = 40% / 2 = 20%

0

1

2

3

F=35 000 F=40 000

R. Toledo

4

5

F=50 000

6

7

F=55 000

- 43 -

2015

Matemática II para administradores

P/F C.1.2 P = F / (1 + i)n (P/F=35000,20%,2)

(P/F=40000,20%,3)

(P/F=50000,20%,5)

(P/F=55000,20%,7)

Total

F=

35 000.00

40 000.00

50 000.00

55 000.00

i=

20.00%

20.00%

20.00%

20.00%

n=

2.00

3.00

5.00

7.00

P=

24 305.56

23 148.15

20 093.88

15 349.49

82 897.07

Con el Excel, función VNA: i=

20.00%

Semestre

0

1

Flujo

S/. 82,897.07

0.00

2

3

35 000.00

40 000.00

4

5

0.00

6

50 000.00

7

0.00

55 000.00

2.10. Establezca la tasa de interés efectiva anual de las siguientes tasas nominales: a) r = 40% anual capitalizable en forma semestral. b) r = 45% anual capitalizable en forma mensual. c) r = 60% anual capitalizable en forma trimestral. d) r = 60% anual capitalizable en forma diaria. Tasa Nominal Anual 40.00% 45.00% 60.00% 60.00%

Capitalización Semestral Trimestral Diaria

Periodos m 2 12 4

Tasa por período(*) 20.00%

Tasa Efectiva anual 44.00% 55.55%

15.00% 0.17%

82.12%

2.11. Establezca la tasa de interés nominal (r) anual de las siguientes tasas efectivas (i): a) 50.06% anual con capitalización semestral. b) 47.29% anual con capitalización bimestral. c) 61.56% anual con capitalización diaria. d) 80.87% anual con capitalización quincenal. Tasa interés efectiva anual

Capitalización

Periodos

Hallar la

Respuesta

m

Operación

Tasa Efect. Anual

Capitalización

50.06%

Semestral

2

2 ((1+0.5006)^(1/2)-1)

45.00%

Semestral

47.29%

Bimestral

6

6 ((1+0.4729)^(1/6)-1)

40.00%

Bimestral

61.56%

Diaria

360

360 ((1+0.6156)^(1/360)-1)

48.00%

Diaria

80.87%

Quincenal

24

24 ((1+0.8087)^(1/24)-1)

60.00%

Quincenal

R. Toledo

- 44 -

2015

Matemática II para administradores

2.12. Desarrollar un aplicativo en Excel para el cálculo de tasas nominales y efectivas, luego calcule lo siguiente: a) A la tasa del 8% anual nominal, con capitalización diaria, ¿cuál es la tasa efectiva anual? RESPUESTA: 8.32774% efectiva anual b) A la tasa efectiva del 24% anual con capitalización mensual, ¿cuál es la tasa efectiva mensual y semestral? RESPUESTA: 1.80876% efectiva mensual y 11.35529% efectiva semestral. c) Considerando 365 días al año, a la tasa nominal del 48% anual con capitalización diaria, ¿cuál es la tasa efectiva diaria y semestral? RESPUESTA: 0.13151% efectiva diaria y 27.10487% efectiva semestral. d) A la tasa del 40% efectiva semestral con capitalización trimestral, ¿cuál es la tasa efectiva trimestral y anual? RESPUESTA: 18.32160% efectiva trimestral y 96.00% efectiva anual. e) ¿Qué tasa de interés efectiva anual es equivalente a una tasa nominal del 12% anual capitalizado semestralmente? RESPUESTA: 12.36000% efectiva anual. f) Calcule la tasa nominal y efectiva anual para un préstamo que paga una tasa efectiva de 1.5% mensual. RESPUESTA: 18.00% nominal anual y 19.56182% efectiva anual 2.13. A la tasa del 65% nominal semestral con capitalización trimestral, comprobar que las tasas nominales y efectivas para distintos períodos los resultados son: N/O

PERÍODO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual Quincenal Semanal Diaria (360) Diaria (365)

VECES EN QUE SE DIVIDE UN AÑO 1 2 3 4 6 12 24 52 360 365

TASA NOMINAL TASA EFECTIVA POR PERÍODO POR PERÍODO 130.00000% 208.22191% 65.00000% 75.56250% 43.33333% 45.53066% 32.50000% 32.50000% 21.66667% 20.63609% 10.83333% 9.83446% 5.41667% 4.80194% 2.50000% 2.18831% 0.36111% 0.31317% 0.35616% 0.30887%

2.14. A la tasa del 50% efectiva cuatrimestral con capitalización semanal, comprobar que las tasas nominales y efectivas para distintos períodos los resultados son:

R. Toledo

- 45 -

2015

Matemática II para administradores

N/O

VECES EN QUE SE DIVIDE UN AÑO 1 2 3 4 6 12 24 52 360 365

PERÍODO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual Quincenal Semanal Diaria (360) Diaria (365)

4.

ANUALIDADES

4.1.

DEFINICIÓN DE ANUALIDAD

TASA NOMINAL POR PERÍODO 123.07340% 61.53670% 41.02447% 30.76835% 20.51223% 10.25612% 5.12806% 2.36680% 0.34187% 0.33719%

TASA EFECTIVA POR PERÍODO 237.50000% 83.71173% 50.00000% 35.54030% 22.47449% 10.66819% 5.19895% 2.36680% 0.33846% 0.33381%

Una anualidad es una serie de pagos fijos iguales efectuados a intervalos regulares de tiempo (no necesariamente anuales). Tal como se señaló en la Unidad anterior (simbología), las anualidades se representan por la letra “A”. Ejemplo 2.17: Suponiendo un préstamo de S/. 1 500, la cual se devolverá con pagos semestrales de S/. 500, durante dos años y una tasa de interés del 10%, tenemos gráficamente: P = S/. 1 500 i = 10.00% Semestres

0

1

2

3

4

=S /. 500 =S/. 500 =S /. 500 =S/. 500

A través del ejemplo anterior podemos establecer algunos conceptos relacionados a las anualidades: -

Intervalo de pago: Tiempo transcurrido entre dos pagos sucesivos de la anualidad (semestres en nuestro ejemplo.

-

Plazo de la anualidad: Tiempo transcurrido desde el principio del primer intervalo de pago hasta el final del último (cuatro semestres o dos años en el ejemplo anterior).

Una anualidad puede ser: a) Contingente: Aquella cuyo plazo depende de un suceso cuya realización no puede fijarse.

R. Toledo

- 46 -

2015

Matemática II para administradores

Ejemplo: El pago periódico de una prima de seguro termina al ocurrir la muerte del asegurado. b) Cierta: Aquella en la cual, los pagos empiezan y terminan en fechas fijas y determinadas. Por razones prácticas únicamente se tratará del caso de anualidades ciertas. 4.2.

ANUALIDADES CIERTAS

Las anualidades ciertas pueden ser: a) Vencidas. b) Anticipadas a) Vencidas: Cuando la serie de pagos se hacen al final de los sucesivos intervalos de pago. Gráficamente:

Anualidad vencida

0

1

A

2

A

3

A

4

A

5

A

Se denomina anualidad vencida diferida cuando los pagos se inician después del primer período. A continuación se grafica una anualidad vencida diferida en tres períodos o intervalos de pago.

Anualidad vencida diferida

0

1

2

3

A

4

A

5

A

b) Anticipadas: Cuando los pagos se hacen al comienzo de los intervalos de pago. Gráficamente:

Anualidad anticipada

0

A

1

A

2

A

3

A

4

5

A

Pueden ser también anualidades anticipadas diferidas como en el caso siguiente: Anualidad anticipada diferida

0

1

2

A

R. Toledo

3

A

4

5

A

- 47 -

2015

Matemática II para administradores

4.3.

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD CIERTA VENCIDA

Gráficamente: F

0

1

2

3

4

n

A

La fórmula general es:

   ∗  − =

(1 + )

1

……….

(C.1.10)

La expresión que en la fórmula anterior multiplica al valor de “A” ((1+i) n  – 1)/i, se denomina Factor de capitalización de una serie (FCS). De donde:

   ∗  − =

(1 + )

……….

1

(C.1.11)

La expresión que en la fórmula anterior multiplica al valor de “F” (i/((1+i) n  – 1)), se denomina Factor de depósito al fondo de amortización (FDFA). Ejemplo 2.18: Se ha aceptado abonar S/. 10 000 al final de cada año durante los próximos cinco años en una cuenta que gana intereses del 12% anual ¿Cuál será el monto total disponible en su cuenta al final de los cinco años? F= ? i = 12% 0

1

2

3

4

5

A = 10 000

Fórmula

A i= n= F=

R. Toledo

F/A, F? F = A ((1+i)n-1)/i (F/A=10000,12%,5) 10 000.00 12.00% 5.00 63 528.47

- 48 -

2015

Matemática II para administradores

Ejemplo 2.19: Resolver el ejercicio anterior, considerando que se conoce el valor Futuro S/. 63 528.47, a una tasa de 12% en cinco años. Lo que no se conoce es la anualidad. F = 63 528.47 i = 12% 0

1

2

3

4

5

A=?

Fórmula

F= i= n= A=

A/F, A? A = F * i / ((1 + i) n - 1) (A/F=63528.47,12%,5) 63 528.47 12.00% 5.00 10 000.00

Cuando para el modelo del valor futuro de una anualidad cierta vencida no se conoce la tasa de interés (i = ?) no se genera una fórmula, se efectúa utilizando un proceso llamado de interpolación a partir de tablas financieras, lo que es poco práctico, se recomienda en este caso con el Excel, resolverlo a partir del aplicativo “Buscar objetivo” o con los flujos especificados uno a uno con la Tasa Interna de Retorno (TIR), fórmula del Excel “=TIR(...)”, tema que cuando se explique la Calculadora Financiera de R. Toledo se ampliará. Ejemplo 2.20: Resolver el ejercicio anterior, considerando que la incógnita es la tasa de interés. Con buscar objetivo considerando que se conoce: F, A y n, siendo la tasa la incógnita: Fórmula

A= F= n= i=

A/F, i? Sin fórmula, con Buscar Objetivo (A=10000/F=63528.4736,i=?,5) 10 000.00 63 528.47 5.00 12.00%

Con la TIR: Período Anualidad

0

1

0.00 ( 10 000.00)

2

3

4

( 10 000.00) ( 10 000.00) ( 10 000.00) ( 10 000.00)

Valor futuro Flujo neto TIR

R. Toledo

5 63 528.47

0.00 ( 10 000.00)

( 10 000.00) ( 10 000.00) ( 10 000.00)

53 528.47

12.00%

- 49 -

2015

Matemática II para administradores

Cuando para el modelo del valor futuro de una anualidad cierta vencida no se conoce “n”, y se conoce F, la fórmula es:

 ∗       +1

=

……….

(C.1.12)

 (1 + )

Ejemplo 2.21: Resuelva el ejercicio anterior, considerando que la incógnita es “n” y se conoce A, F e i. Fórmula

A/F, n? n = Ln (F*i/A +1) / Ln (1 + i) (A=10000/F=63528.47,12%, n=?) 10 000.00 63 528.47 12.00% 5.00

A= F= i= n= 4.4.

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD CIERTA ANTICIPADA

Gráficamente: F

0

1

2

3

n-1

n

A

La fórmula general es:

   ∗  − ∗ =

(1 + )

1

(1+i)

……….

(C.1.13)

De donde:

   ∗   − ∗  =

((1 + )

1)

(1 + )

……….

(C.1.14)

Ejemplo 2.22: A efectos comparativos, resolver el Ejercicio 2.18, como anualidad cierta anticipada.

R. Toledo

- 50 -

2015

Matemática II para administradores

F= ? i = 12% 0

1

2

3

4

5

AA = 10 000

Fórmula

AA = i= n= F=

F/AA, F? F = A ((1+i)n-1)/i*(1+i) (F/AA=10000,12%,5) 10 000.00 12.00% 5.00 71 151.89

Ejemplo 2.23: Resolver el ejercicio anterior, considerando que se conoce el valor Futuro S/. 71 151.89, a una tasa de 12% en cinco años. Lo que no se conoce es la anualidad. F = 71 151.89

i = 12% 0

1

2

3

4

5

AA = ?

Fórmula

F= i= n= AA =

AA/F, AA? A = F * i / (((1 + i) n - 1)*(1+i)) (AA/F=71151.89,12%,5) 71 151.89 12.00% 5.00 10 000.00

Ejemplo 2.24: Resolver el ejercicio anterior, considerando que la incógnita es la tasa de interés.

R. Toledo

- 51 -

2015

Matemática II para administradores

F = 71 151.89

i =? 0

1

2

3

4

5

AA = 10 000

Para el caso no hay fórmula, se resuelve en el Excel con la opción “Buscar objetivo”: Fórmula

AA = F= n= i=

AA/F, i? Sin fórmula, con Buscar Objetivo (AA=10000/F=71151.89,i=?,5) 10 000.00 71 151.89 5.00 12.00%

Con la TIR: Período Anualidad

0

1

2

3

4

( 10 000.00) ( 10 000.00) ( 10 000.00) ( 10 000.00) ( 10 000.00)

Valor futuro Flujo neto TIR

5 71 151.89

( 10 000.00) ( 10 000.00) ( 10 000.00) ( 10 000.00) ( 10 000.00)

71 151.89

12.00%

Cuando para el modelo del valor futuro de una anualidad cierta anticipada no se conoce “n”, y se conoce F, la fórmula es:

 ∗  �       =

+1  (1 + )  (1 + )

……….

(C.1.15)

Ejemplo 2.25: Resuelva el ejercicio anterior, considerando que la incógnita es “n” y se conoce A, F e i. F = 71 151.89

i = 12% 0

1

n -1

n=?

AA = 10 000

R. Toledo

- 52 -

2015

Matemática II para administradores

Fórmula

AA/F, n? n = Ln (F*i/(A*(1+i))+1) / Ln (1 + i) (AA=10000/F=71151.89,12%, n=?) 10 000.00 71 151.89 12.00% 5.00

AA = F= i= n= 4.5.

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD CIERTA VENCIDA

Gráficamente: P

0

1

2

3

4

n

A

La fórmula general es:

    ∗   −∗ =

(1 + )

1

……….

(1 + )

(C.1.16)

La expresión que en la fórmula anterior multiplica al valor de “A”, se denomina Factor de actualización de una serie (FAS). De donde:

     ∗   −∗ =

(1 + )

(1 + )

……….

1

(C.1.17)

La expresión que en la fórmula anterior multiplica al valor de “P”, se denomina Factor de recuperación de capital (FRC). Ejemplo 2.26: Determine el valor presente de depósitos de S/. 1 000 que se efectuarán durante cinco años, a partir del año 1, con una tasa de interés del 40%. P=?

i = 40% 0

1

2

3

4

5

A = 1 000

R. Toledo

- 53 -

2015

Matemática II para administradores

Fórmula

A= i= n= P=

P/A, P? P = A ((1+i)n-1)/((1+i)n * i) (P/A=1000,40%,5) 1 000.00 40.00% 5.00 2 035.16

Ejemplo 2.27: Resolver el ejercicio anterior, considerando que se conoce el valor Presente S/. 2 035.16, a una tasa de 40% en cinco años. Lo que no se conoce es la anualidad. P = 2 035.16

i = 40% 0

1

2

3

4

5

A=?

Fórmula

P= i= n= A=

A/P, A? A = P ((1+i)n*i)/((1+i)n -1) (A/P=2035.16,40%,5) 2 035.16 40.00% 5.00 1 000.00

Cuando para el modelo del valor futuro de una anualidad cierta anticipada no se conoce la tasa de interés (i = ?) no es posible generar una fórmula para su cálculo directo, se efectúa utilizando un proceso llamado de interpolación a partir de tablas financieras, por ser poco práctico es preferible utilizar la función “Buscar objetivo” o calcularlo con la Tasa Interna de Retorno, función que el Excel la tiene integrada como TIR, lo que hay que tener cuidado es que el flujo de dinero tenga adecuadamente definidos las entradas y salidas de dinero (a través de los signos positivos o negativos de los mismos). Posteriormente con una función integrada al Excel =TASA( ), se facilitará éste cálculo. Ejemplo 2.28: Resolver el ejercicio anterior, considerando que la incógnita es la tasa de interés. P = 2 035.16

i =? 0

1

2

3

4

5

A = 1 000

R. Toledo

- 54 -

2015

Matemática II para administradores

Fórmula

A= P= n= i=

A/P, i? Sin fórmula, con Buscar Objetivo (A=1000/P=2035.16,i=?,5) 1 000.00 2 035.16 5.00 40.00%

Con la TIR: Período

0

Anualidad Valor presente Flujo neto

1

2

3

4

5

( 1 000.00)

( 1 000.00)

( 1 000.00) ( 1 000.00) ( 1 000.00)

2 035.16 ( 1 000.00)

( 1 000.00)

( 1 000.00) ( 1 000.00) ( 1 000.00)

2 035.16

TIR

40.00%

Cuando para el modelo del valor futuro de una anualidad cierta vencida no se conoce “n”, y se conoce P, la fórmula es:

 ∗  −  −     1

=

……….

(C.1.18)

 (1 + )

Ejemplo 2.29: Resuelva el ejercicio anterior, considerando que la incógnita es “n” y se conoce A, P e i. P = 2 035.16

i = 40% 0

1

n=?

A = 1 000

Fórmula

A= P= i= n=

R. Toledo

A/P, n? n = -Ln (1-P*i/A) / Ln (1 + i) (A=1000/P=2035.16,40%, n=?) 1 000.00 2 035.16 40.00% 5.00

- 55 -

2015

Matemática II para administradores

4.6.

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD CIERTA ANTICIPADA

Gráficamente: P

0

1

2

3

n-1

n

A

La fórmula general es:

    ∗   −∗ ∗  (1 + )

1

(1 + )

……….

(C.1.19)

     ∗   − ∗∗ 

……….

(C.1.20)

=

(1 + )

De donde:

=

(1 + )

((1 + )

1)

(1 + )

Ejemplo 2.30: A efectos comparativos, resolver el Ejercicio 2.26, como anualidad cierta anticipada. P=?

i = 40% 0

1

2

3

4

5

AA = 1 000

Fórmula

AA = i= n= P=

P/AA, P? P = A ((1+i)n-1)/((1+i)n * i)*(1+i) (P/AA=1000,40%,5) 1 000.00 40.00% 5.00 2 849.23

Ejemplo 2.31: Resolver el ejercicio anterior, considerando que se conoce el valor Presente S/. 2 849.23, a una tasa de 12% en cinco años. Lo que no se conoce es la anualidad.

R. Toledo

- 56 -

2015

Matemática II para administradores

P = 2 849.23

i = 40% 0

1

2

3

4

5

AA = ?

Fórmula

P= i= n= AA =

AA/P, AA? A = P ((1+i)n*i)/(((1+i)n -1)*(1+i)) (AA/P=2849.23,40%,5) 2 849.23 40.00% 5.00 1 000.00

Ejemplo 2.32: Resolver el ejercicio anterior, considerando que la incógnita es la tasa de interés. P = 2 849.23

i =? 0

1

2

3

4

5

AA = 1 000

Para el caso no hay fórmula, se resuelve en el Excel con la opción “Buscar objetivo”: Fórmula

AA = P= n= i=

AA/P, i? Sin fórmula, con Buscar Objetivo (AA=1000/P=2849.23,i=?,5) 1 000.00 2 849.23 5.00 40.00%

Con la TIR: Período

0

Anualidad

( 1 000.00)

Valor presente

2 849.23

Flujo neto

1 849.23

TIR

40.00%

R. Toledo

1

2

3

4

5

( 1 000.00)

( 1 000.00)

( 1 000.00) ( 1 000.00)

0.00

( 1 000.00)

( 1 000.00)

( 1 000.00) ( 1 000.00)

0.00

- 57 -

2015

Matemática II para administradores

Cuando para el modelo del valor futuro de una anualidad cierta anticipada no se conoce “n”, y se conoce F, la fórmula es:

 ∗  � −     −   1

=

……….

 (1 + )  (1 + )

(C.1.21)

Ejemplo 2.33: Resuelva el ejercicio anterior, considerando que la incógnita es “n” y se conoce A, P e i. P = 2 849.23

i = 40% 0

1

n-1

n= ?

AA = 1 000

Fórmula

AA = P= i= n= 4.7.

AA/P, n? n = -Ln (1-P*i/(A*(1+i))) / Ln (1 + i) (AA=1000/P=2849.23,40%, n=?) 1 000.00 2 849.23 40.00% 5.00

ANUALIDADES DIFERIDAS

Para la resolución de problemas, lo práctico es graficar el problema, utilizar alguna fórmula de la anualidad, de las estudiadas y de acuerdo dónde se ubique el dinero ya sea actualizar o capitalizar con las fórmulas también estudiadas al inicio de la presente Unidad. También es práctico utilizar la función del Excel, el VNA. Se adiciona la siguiente simbología: k : Período focal, fecha a la cual se expresa el valor monetario de los pagos de una anualidad. Ejemplo 2.34: Una persona recibirá S/. 2 000 todos los meses durante 4 meses a partir del mes 7, si la tasa que mide el valor del dinero en el tiempo es del 4%, calcular al mes cero (0), el valor presente de dicho flujo. a) Utilizar las fórmulas aprendidas. b) Calcular con el Valor Actual Neto (VAN) del Excel (Función: VNA). Resolviendo, primero se plantea el Diagrama:

R. Toledo

- 58 -

2015

Matemática II para administradores

A = 2 000

0

1

6 7 Período focal i = 4%

8

9

10

P=?

Se observa que se ha definido como período focal el mes 6, a esta fecha se actualiza la anualidad para posteriormente expresarla al mes cero. a) Actualización al mes 6 (período focal): Fórmula

P/A P = A ((1+i)n-1)/((1+i)n * i) (P/A=2000,4%,4) 2 000.00 4.00% 4.00 7 259.79

A= i= n= P=

Actualización al mes 0: Fórmula

P/F P = F / (1 + i) n (P/F=7259.79044851372,4%,6) 7 259.79 4.00% 6.00 5 737.52

F= i= n= P= b) Con el VAN: i=

4%

Período

0

Anualidad

5 737.52

1

2

3

0.00

0.00

0.00

4 0.00

5 0.00

6 0.00

7

8

9

10

2 000.00

2 000.00

2 000.00

2 000.00

Ejemplo 2.35: Si la tasa del valor del dinero en el tiempo es de 5% mensual, dentro de 18 meses, ¿cuál será el valor monetario de 5 depósitos de S/. 4 500 efectuados entre los meses 3 y 7? Resolver con fórmulas y con el VNA del Excel. El diagrama es el siguiente:

R. Toledo

- 59 -

2015

Matemática II para administradores

F= ? i = 5%

0

1

2

3

4

5

6

7

18

A = 4 500

Existen varias formas de resolverlo, elegimos por ejemplo como período focal el mes 7 y resolvemos. Tomando el mes 2 como mes cero para actualizar a dicha fecha: Fórmula

F/A F = A ((1+i)n-1)/i (F/A=4500,5%,5) 4 500.00 5.00% 5.00 24 865.34

A i= n= F=

Como el valor futuro está expresado al mes 7, lo expresamos al mes 18, existiendo 11 meses de diferencia entre el mes 7 y el mes 18: Fórmula

F/P F = P(1 + i)n (F/P=24865.340625,5%,11) 24 865.34 5.00% 11.00 42 528.17

P= i= n= F=

El resultado indica que al mes 18 el monto equivalente es de S/. 42 528.17 Por el momento de acuerdo a lo aprendido para utilizar el Excel (posteriormente encontrará que hay otras alternativas más eficientes en el Excel), utilizando el VNA, se actualizan los valores futuros de las anualidades y luego se capitaliza al mes 18. i=

5%

Período

0

Anualidad

17 671.33

Fórmula

P=

R. Toledo

1

2

0.00

0.00

3

4

5

6

7

4 500.00

4 500.00

4 500.00

4 500.00

4 500.00

F/P F = P(1 + i)n (F/P=17671.33,5%,18) 17 671.33

- 60 -

2015

Matemática II para administradores

i= n= F=

5.00% 18.00 42 528.17

Como se pude apreciar el resultado es el mismo. Ejemplo 2.36: Utilizando de ser necesario los resultados obtenidos para el Ejemplo 35, hallar la equivalencia financiera del dinero al mes 5, y luego capitalizar éste monto al mes 18, el resultado al mes 18 deben ser exactamente los S/. 42 528.17 ya obtenidos. Como se conoce que al año 0 el valor es S/. 17 671.33, expresados al año 5: Fórmula

P= i= n= F=

F/P F = P(1 + i)n (F/P=17 671.33,5%,5) 17 671.33 5.00% 5.00 22 553.60

Expresados al mes 18, entre este mes y el mes 5, existen 13 meses de diferencia por lo cual la capitalización del dinero es la siguiente: Fórmula

P= i= n= F=

F/P F = P(1 + i)n (F/P=22553.60,5%,13) 22 553.60 5.00% 13.00 42 528.17

Resultado equivalente al hallado en el Ejemplo 35. 5.

EL EXCEL Y LAS FÓRMULAS FINANCIERAS

El uso del Excel puede resultar en una forma de resolver situaciones financieras, para lo ya estudiado, en un flujo de dinero son aplicables fórmulas, las que si llegan a dominar ya no requiere el recordar fórmulas, sólo está en tener cuidado al momento de definir los datos, entre estos tenemos los siguientes: -

Si se está desarrollando una fórmula, debido que a que el Excel considera que un ingreso de dinero se genera a partir de una inversión o ahorro de dinero (salidas). En la calculadora financiera todos los resultados son positivos, dejando que quien resuelva a partir de cada caso pueda deducir su significado ya sea como salida o ingreso de dinero, los diagramas aprendidos son útiles para esto.

-

Para los caso de flujos que son anualidades diferidas, la especificación en la fórmula no es necesario consignarla, pero si se desea en la opción correspondiente, ingresar un cero (0), pero para los flujos que son anualidades anticipadas sí de todas maneras hay que ingresar en la opción correspondiente un uno (1).

R. Toledo

- 61 -

2015

Matemática II para administradores

En la tabla siguiente se lista las funciones relacionadas con los temas ya desarrollados. TABLA 2.1: ALGUNAS FUNCIONES FINANCIERAS EN EL EXCEL Función

Sintaxis

INT.EFECTIVO

INT.EFECTIVO(int_nominal; núm_per_año)

NPER

NPER(tasa;pago;va;[vf];[tipo])

PAGO

TASA

VF

VA

Descripción Devuelve la tasa de interés anual efectiva, si se conocen la tasa de interés anual nominal y el número de períodos de interés compuesto por año. Devuelve el número de períodos de una inversión basándose en los pagos periódicos constantes y en la tasa de interés constante.

Calcula el pago de un préstamo basándose en pagos constantes y en una tasa de interés constante. Devuelve la tasa de interés por período de una anualidad. TASA se calcula por iteración y puede tener TASA(núm_per; pago; va; [vf]; cero o más soluciones. Si los [tipo]; [estimar]) resultados sucesivos de TASA no convergen dentro de 0,0000001 después de 20 iteraciones, TASA devuelve el valor de error #¡NUM! Devuelve el valor futuro de una inversión basándose en pagos VF(tasa;núm_per;pago;[va];[tipo]) periódicos constantes y en una tasa de interés constante. Devuelve el valor actual de una inversión. El valor actual es el valor que tiene actualmente la suma de VA(tasa; núm_per; pago; [vf]; una serie de pagos que se efectuarán [tipo]) en el futuro. Por ejemplo, cuando pide dinero prestado, la cantidad del préstamo es el valor actual para el prestamista. PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)

Ejemplo 2.37: Desarrollar los ejercicios del 2.18 al 2.33 en una sola Tabla ordenada, utilizando las fórmulas financieras estudiadas. Ejemplo 2.38: Lo mismo que el ejercicio anterior pero con las funciones del Excel.

R. Toledo

- 62 -

2015

Matemática II para administradores

Ejemplo 2.37: CALCULADORA FINANCIERA DE INTERÉS COMPUESTO - CON FÓRMULAS FINANCIERAS FÓRMULAS

MODELO

1 Fórmula

VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE

P= i= n= F=

Fórmula VALOR FUTURO Y ANUALIDADES CIERTAS VENCIDAS

A i= n= F=

Fórmula VALOR FUTURO Y ANUALIDADES CIERTAS ANTICIPADAS

A i= n= F=

Fórmula VALOR PRESENTE Y ANUALIDADES CIERTAS VENCIDAS

A= i= n= P=

Fórmula VALOR PRESENTE Y ANUALIDADES CIERTAS ANTICIPADAS

A= i= n= P=

F/P, F? F = P(1 + i)n (F/P=20000,10%,4) 20 000.00 10.00% 4.00 29 282.00

2 Fórmula

F= i= n= P=

F/A, F? F = A ((1+i)n-1)/i (F/A=10000,12%,5) 10 000.00 12.00% 5.00 63 528.47

Fórmula

F/AA, F? F = A ((1+i)n-1)/i*(1+i) (F/AA=10000,12%,5) 10 000.00 12.00% 5.00 71 151.89

Fórmula

P/A, P? P = A ((1+i)n-1)/((1+i) n * i) (P/A=1000,40%,5) 1 000.00 40.00% 5.00 2 035.16

Fórmula

P/AA, P?

Fórmula

P = A ((1+i)n-1)/((1+i) n * i)*(1+i) (P/AA=1000,40%,5) 1 000.00 40.00% 5.00 2 849.23

F= i= n= A=

F= i= n= A=

P= i= n= A=

P= i= n= A=

P/F, P? P = F / (1 + i)n (P/F=29282,10%,4) 29 282.00 10.00% 4.00 20 000.00

3 Fórmula

P= F= n= i=

A/F, A? A = F * i / ((1 + i)n - 1) (A/F=63528.47,12%,5) 63 528.47 12.00% 5.00 10 000.00

Fórmula

AA/F, AA? A = F * i / (((1 + i)n - 1) *( 1+i )) (AA/F=71151.89,12%,5) 71 151.89 12.00% 5.00 10 000.00

Fórmula

A/P, A? A = P ((1+i)n*i)/((1+i)n -1) (A/P=2035.16,40%,5) 2 035.16 40.00% 5.00 1 000.00

Fórmula

AA/P, AA?

Fórmula

A = P ((1+i)n*i)/(((1+i) n -1) *( 1+i )) (AA/P=2849.23,40%,5) 2 849.23 40.00% 5.00 1 000.00

A= F= n= i=

A= F= n= i=

A= P= n= i=

A= P= n= i=

P/F, i? i = (F/P)(1/n) - 1 (F=29282/P=20000, i=?,4) 20 000.00 29 282.00 4.00 10.00%

4 Fórmula

P= F= i= n=

A/F, i? Sin fórmula, con Buscar Objetivo (A=10000/F=63528.4736,i=?,5) 10 000.00 1/ 63 528.47 5.00 12.00%

Fórmula

AA/F, i? Si nfórmul a, con Buscar Obje ti vo (AA=10000/F=71151.89,i=?,5) 10 000.00 1/ 71 151.89 5.00 12.00%

Fórmula

A/P, i? Sin fórmula, con Buscar Objetivo (A=1000/P=2035.16,i=?,5) 1 000.00 1/ 2 035.16 5.00 40.00%

Fórmula

AA/P, i?

Fórmula

S in f órm ul a, co nBu sca rOb je ti vo (AA=1000/P=2849.23,i=?,5) 1 000.00 1/ 2 849.23 5.00 40.00%

A= F= i= n=

A= F= i= n=

A= P= i= n=

A= P= i= n=

P/F, n? n = Ln (F/P) / Ln (1 + i) (F=29282/P=20000,10%, n=?) 20 000.00 29 282.00 10.00% 4.00

A/F, n? n = Ln (F*i/A +1) / Ln (1 + i) (A=10000/F=63528.47,12%, n=?) 10 000.00 63 528.47 12.00% 5.00

AA/F, n? n =Ln (F*i /( A*( 1+i )) +1) / Ln (1 +i ) (AA=10000/F=71151.89,12%, n=?) 10 000.00 71 151.89 12.00% 5.00

A/P, n? n = -Ln (1-P*i/A) / Ln (1 + i) (A=1000/P=2035.16,40%, n=?) 1 000.00 2 035.16 40.00% 5.00

AA/P, n? n =- Ln ( 1- P*i /( A*( 1+i )) ) / Ln (1 + i ) (AA=1000/P=2849.23,40%, n=?) 1 000.00 2 849.23 40.00% 5.00

1/ Se desarrolla en l a celda la fórmula que l uego con buscar objetivo permitirá calcular la tasa de interés.

R. Toledo

- 63 -

2015

Matemática II para administradores

Ejemplo 2.38: CALCULADORA FINANCIERA DE IN TERÉS COMPUESTO - CON FUNCIONES DEL EXCEL FÓRMULAS

MODELO

1 Fórmula

VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE

P= i= n= F=

Fórmula VALOR FUTURO Y ANUALIDADES CIERTAS VENCIDAS

A i= n= F=

Fórmula VALOR FUTURO Y ANUALIDADES CIERTAS ANTICIPADAS

A i= n= F=

Fórmula VALOR PRESENTE Y ANUALIDADES CIERTAS VENCIDAS

A= i= n= P=

Fórmula VALOR PRESENTE Y ANUALIDADES CIERTAS ANTICIPADAS

R. Toledo

A= i= n= P=

2

F/P, F? =VF(tasa,nper,,-[va]) (F/P=20000,10%,4) 20 000.00 10.00% 4.00 29 282.00

Fórmula

F/A, F? =VF(tasa,nper,-pago) (F/A=10000,12%,5) 10 000.00 12.00% 5.00 63 528.47

Fórmula

F/AA, F? =VF(tasa,nper,-pago,,1) (F/AA=10000,12%,5) 10 000.00 12.00% 5.00 71 151.89

Fórmula

P/A, P?  = VA(tasa,nper,-pago) (P/A=1000,40%,5) 1 000.00 40.00% 5.00 2 035.16

Fórmula

P/AA, P? =VA(tasa,nper,pago,,1) (P/AA=1000,40%,5) 1 000.00 40.00% 5.00 2 849.23

Fórmula

F= i= n= P=

F= i= n= A=

F= i= n= A=

P= i= n= A=

P= i= n= A=

3

P/F, P? =VA(tasa, nper,,-[vf]) (P/F=29282,10%,4) 29 282.00 10.00% 4.00 20 000.00

Fórmula

A/F, A? =PAGO(tasa,nper,,-[vf] (A/F=63528.47,12%,5) 63 528.47 12.00% 5.00 10 000.00

Fórmula

AA/F, AA? =PAGO(tasa,nper,,-[vf],1) (AA/F=71151.89,12%,5) 71 151.89 12.00% 5.00 10 000.00

Fórmula

A/P, A? =PAGO(tasa,nper,-va) (A/P=2035.16,40%,5) 2 035.16 40.00% 5.00 1 000.00

Fórmula

AA/P, AA? =PAGO(tasa,nper,-va,,1) (AA/P=2849.23,40%,5) 2 849.23 40.00% 5.00 1 000.00

Fórmula

P= F= n= i=

A= F= n= i=

A= F= n= i=

A= P= n= i=

A= P= n= i=

4

P/F, i? =TASA(nper,,va,-[vf]) (F=29282/P=20000, i=?,4) 20 000.00 29 282.00 4.00 10.00%

Fórmula

A/F, i? =TASA(nper,pago,,-[vf]) (A=10000/F=63528.4736,i=?,5) 10 000.00 63 528.47 5.00 12.00%

Fórmula

AA/F, i? =TASA(nper,pago,,-[vf],1) (AA=10000/F=71151.89,i=?,5) 10 000.00 71 151.89 5.00 12.00%

Fórmula

A/P, i? =TASA(nper,pago,-va) (A=1000/P=2035.16,i=?,5) 1 000.00 2 035.16 5.00 40.00%

Fórmula

AA/P, i? =TASA(nper,pago,-va,,1) (AA=1000/P=2849.23,i=?,5) 1 000.00 2 849.23 5.00 40.00%

Fórmula

P= F= i= n=

A= F= i= n=

A= F= i= n=

A= P= i= n=

A= P= i= n=

P/F, n? =NPER(tasa,,va,-[vf]) (F=29282/P=20000,10%, n=?) 20 000.00 29 282.00 10.00% 4.00

A/F, n? =NPER(tasa,pago,,-[vf]) (A=10000/F=63528.47,12%, n=?) 10 000.00 63 528.47 12.00% 5.00

AA/F, n? =NPER(tasa,pago,,-[vf],1) (AA=10000/F=71151.89,12%, n=?) 10 000.00 71 151.89 12.00% 5.00

A/P, n? =NPER(tasa,pago,-va) (A=1000/P=2035.16,40%, n=?) 1 000.00 2 035.16 40.00% 5.00

AA/P, n? =NPER(tasa,pago,-va,,1) (AA=1000/P=2849.23,40%, n=?) 1 000.00 2 849.23 40.00% 5.00

- 64 -

2015

Matemática II para administradores

EJERCICIOS 2.2: ANUALIDADES NOTA: Salvo que se indique lo contrario, las anualidades de los problemas propuestos corresponden a ciertas vencidas. Todos los ejercicios deben ser resueltos utilizando las funciones del Excel descritas en la Tabla 2.1. 2.15. Hallar el valor futuro y el valor actual de una anualidad de S/. 600 depositada trimestralmente durante un año al 40% de interés nominal, capitalizable cada tres meses. Compruebe que el valor presente (P) y el valor futuro son equivalentes. P=?

F=?

i = 40%/4 = 10% 0

1

2

3

4

A = 600

Valor futuro Fórmula

A= i= n= F=

F/A, F? =VF(tasa,nper,pago) (F/A=600,10%,4) 600.00 10.00% 4.00 2 784.60

Valor presente Fórmula P/A, P? =VA(tasa,nper,-pago) (P/A=600,10%,4) A= 600.00 i= 10.00% n= 4.00 P= 1 901.92 Para establecer que son equivalentes, a partir del valor presente se halla el valor futuro: Fórmula

P= i=

R. Toledo

F/P, F? =VF(tasa,nper,,-[va]) (F/P=1901.92,10%,4) 1 901.92 10.00%

- 65 -

Matemática II para administradores

n= F=

2015

4.00 2 784.60

2.16. Resuelva el ejercicio anterior considerando la anualidad como cierta anticipada. Valor futuro Fórmula

AA = i= n= F=

F/AA, F? =VF(tasa,nper,pago,,1) (F/AA=600,10%,4) 600.00 10.00% 4.00 3 063.06

Valor presente Fórmula

AA = i= n= P=

P/AA, P? =VA(tasa,nper,pago,,1) (P/AA=600,10%,4) 600.00 10.00% 4.00 2 092.11

Equivalencia financiera: Fórmula F/P, F? =VF(tasa,nper,,-[va]) (F/P=2092.11,10%,4) P= 2 092.11 i= 10.00% n= 4.00 F= 3 063.06 2.17. Se recibe un lote de mercadería por S/. 1 000 000 adquiridas al crédito y que serán pagadas en cuotas fijas semestrales durante tres años con la tasa nominal del 50% anual capitalizable cada 6 meses. Elabore el Cuadro de Servicio a la Deuda correspondiente. Se presenta seguidamente el Cuadro respectivo, para poder evaluar si los montos a pagar están adecuadamente presentados (no necesariamente bien ya que podría haber sido mal calculado), se toman las siguientes consideraciones. -

La sumatoria del capital amortizado debe ser igual al monto inicial del prestamo.

R. Toledo

- 66 -

2015

Matemática II para administradores

-

Una vez cubierta el total del tiempo para pagar (en este caso al sexto semestre), lo que se debe igual a S/. 00.00.

Monto del Préstamo Tasa de interés anual (nominal) Tasa de Interés Semestral Plazo, en años Pagos por año

Saldo inicial 1 000 000.00 911 180.50 800 156.13 661 375.66 487 900.08 271 055.60 0.00

Período

1 2 3 4 5 6 TOTAL ANUAL

1 000 000.00 50.00% 25.00% 3 2

Capital (Amortización)

Interés

Pago (Anualidad)

250 000.00 227 795.13 200 039.03 165 343.92 121 975.02 67 763.90

88 819.50 111 024.37 138 780.47 173 475.58 216 844.48 271 055.60

338 819.50 338 819.50 338 819.50 338 819.50 338 819.50 338 819.50

1 032 916.99

1 000 000.00

2 032 916.99

2.18. Para el ejercicio anterior calcule la tasa de interés con la función del Excel: Tasa Interna de Retorno (TIR). Y explique el resultado obtenido. Tasa de Interés Semestral

Período Flujo

0

25.00%

1

2

3

4

5

6

1 000 000.00 (338 819.50) (338 819.50) (338 819.50) (338 819.50) (338 819.50) (338 819.50)

TIR

25.00%

La TIR nos da la tasa de interés que se paga, por lo tanto cuando no se conoce la tasa de un flujo de dinero, se puede hallar el interés con la TIR. 2.19. En cuántos años depósitos anuales de S/. 45 000 generarán con un interés anual del 50% nominal un valor presente de S/. 89 793. P = 89 793

i = 50% 0

1

n=?

A = 45 000

R. Toledo

- 67 -

2015

Matemática II para administradores

Fórmula

A= P= i= n=

A/P, n? =NPER(tasa,pago,-va) (A=45000/P=89793,50%, n=?) 45 000.00 89 793.00 50.00% 14.98

2.20. Si durante un año y medio a partir de hoy se recibe trimestralmente en préstamo S/. 12 000 a una tasa nominal anual del 48%, capitalizable semestralmente ¿cuánto se deberá al momento de recibir el último pago y cuál es el valor actual de dicha deuda final? A = 12 000

0

1

2 3 i = 11.36%

4

P=?

5

F=?

La tasa anual debe convertirse al semestre (dividiendo por tratarse de una tasa nominal) y para hallar la tasa trimestral se saca la raíz por tratarse de una tasa efectiva. Tasa de interés efectiva trimestral: Tasa anual 48.00% Períodos 2 Tasa semestral 24.00% Períodos 2 Tasa trimestral 11.36% Se puede resolver bajo múltiples formas, una de ellas es considerando que el flujo tiene 6 períodos y aplicando la fórmula para hallar el valor presente como una anualidad anticipada: Fórmula

AA = i= n= P=

P/AA, P? =VA(tasa,nper,pago,,1) (P/AA=12000,11.36%,6) 12 000.00 11.36% 6.00 55 957.22

Lo más sencillo es convertir el valor presente en un valor futuro:

R. Toledo

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2015

Matemática II para administradores

Fórmula

F/P, F? =VF(tasa,nper,,-[va]) (F/P=55957.22,11.36%,5) 55 957.22 11.36% 5.00 95 809.89

P= i= n= F=

2.21. Comprobar que con el Valor Actual Neto (VAN) se puede hallar el valor presente del ejercicio anterior: Tasa trimestral

11.36%

Período

0

Anualidad

12 000.00

VAN

55 957.22

1

2

3

4

5

12 000.00

12 000.00

12 000.00

12 000.00

12 000.00

2.22. A partir de fines del segundo mes a partir de hoy se aportará mensualmente la suma de S/. 5 000, durante 10 meses ¿Cuáles son los valores de la anualidad hoy y dentro de un año, si la tasa de interés es del orden del 60% nominal anual capitalizable mensualmente? P=?

F=? i = 60% / 12 = 5%

0

1

2

3

4

5

11

12

AA = 5 000

Se halla como una anualidad anticipada al período 12, desde el período 2 al 12 son 10 períodos: Fórmula

AA = Tasa anual Tasa mensual n= F=

R. Toledo

F/AA, F? F = A ((1+i)n-1)/i*(1+i) (F/AA=5000,5%,10) 5 000.00 60.00% 5.00% 10.00 66 033.94

- 69 -

2015

Matemática II para administradores

Se actualiza al período actual: Fórmula

P/F, P? =VA(tasa, nper,,-[vf]) (P/F=66033.94,5%,12) 66 033.94 5.00% 12.00 36 770.17

F= i= n= P=

2.23. Resolver el ejercicio anterior si la tasa de interés del 60%, constituye una tasa efectiva anual. Fórmula

AA = Tasa anual Tasa mensual n= F= Fórmula

F/AA, F? =VF(tasa,nper,-pago,,1) (F/AA=5000,3.99%,10) 5 000.00 60.00% 3.99% 10.00 62 412.22 P/F, P? =VA(tasa, nper,,-[vf]) (P/F=62412.22,3.99%,12)

F= i= n= P=

62 412.22 3.99% 12.00 39 007.64

2.24. Una persona recibirá S/. 2 900 todos los meses durante 4 meses a partir del mes 7, si la tasa que mide el valor del dinero en el tiempo es del 3% mensual, calcular al mes cero (0), el valor presente de dicho flujo. P=?

0

A = 2 900

1

6

7

8

9

10

i = 3%

Tratando el caso como una anualidad vencida, se actualiza al período 6: Fórmula

R. Toledo

P/A, P? =VA(tasa,nper,-pago) (P/A=2900,3%,4)

- 70 -

2015

Matemática II para administradores

A= i= n= P=

2 900.00 3.00% 4.00 10 779.59

Del período 6 se actualiza al período cero o actual: Fórmula

P/F, P? =VA(tasa, nper,,-[vf]) (P/F=10779.59,3%,6) 10 779.59 3.00% 6.00 9 027.73

F= i= n= P=

2.25. Resolver el ejercicio anterior con el Valor Actual Neto. Se muestra el resultado, excluyendo algunas celdas para no sobrepasar los márgenes del Word: Tasa Período Flujo

3.00% 0 ( 9 027.73)

1 0.00

...... 6 0.00

7 2 900.00

8 2 900.00

9 2 900.00

10 2 900.00

2.26. Si una persona ahorra S/. 600 anuales ¿Cuánto tiempo le tomará ahorrar suficiente dinero para comprar un vehículo usado de S/. 2 500, si el ahorro lo efectúa en una institución financiera que paga 10% de interés anual? F = 2 500 i = 10%

0

1

2

3

4

5

n=?

A = 600

Fórmula

A/F, n? =NPER(tasa,pago,,-[vf]) (A=600/F=2500,10%, n=?) A= 600.00 F= 2 500.00 i= 10.00% n= 3.65 El tiempo es 3.65 años.

R. Toledo

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2015

Matemática II para administradores

6.

CAPITALIZACIÓN CONTINUA

Es el resultado de seguir disminuyendo los períodos de capitalización, hasta convertirse en instantáneo. Por lo tanto, el número de veces en que se subdivide el año (m) tiende al infinito. De la fórmula de tasa efectiva:

     −       − ⎝ ⎠ =

1+

.....

1

(C.1.7)

Haciendo la conversión:

=

1+

1

1

Por matemáticas se sabe que:

→ �

lim 1 +



  1

=

Luego, la tasa efectiva para capitalización continua con el valor de e que es la base de los logaritmos neperianos (e = Exp(10) = 2.71828182845905) es:

  − =

.....

1

(C.1.22)

Utilizando las tasas efectivas para capitalización continua dada una tasa nominal, sus equivalencias financieras a capitalización periódica anual son las figuran en el Anexo 2.3. Ejemplo 2.39: Desarrollar un aplicativo para equivalencias financieras para fórmulas con casos de capitalización continua que figuran en el Anexo 2.3 y presentar desarrollados algunos casos. Para la resolución tomar datos referenciales de tal modo que un caso conduzca a la resolución del otro. La Tabla es la siguiente: CALCULADORA FINANCIERA - CAPITALIZACIÓN CONTINUA

CASO

F/P

P/F

F/A

A/F

P/A

A/P

R. Toledo

DATOS

FÓRMULA







 



 

=  (  ) 

=

  ∗

=  

=  

=  

=  

 ∗  ∗

∗

  1

  1 

∗

1

∗

∗

1

1

  −∗ 



1

  1

1

  −∗

RESULTADOS

P=

100 000.00

r=

10.0000%

n=

5.00

F=

164 872.13

r=

10.0000%

n=

5.00

A=

1 000.00

r=

12.0000%

n=

5.00

F=

6 448.15

r=

12.0000%

n=

5.00

A=

10 000.00

r=

20.0000%

n=

10.00

P=

39 053.93

r=

20.0000%

n=

10.00

164 872.13

100 000.00

6 448.15

1 000.00

39 053.93

10 000.00

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2015

Matemática II para administradores

7.

RENTA PERPETUA

Consiste en la generación de una serie infinita de pagos iguales en intervalos regulares de tiempo. Se origina en una inversión a una tasa de interés, que genera una renta periódica que se podría disfrutar por tiempo indefinido, de modo que los pagos recibidos sean iguales. El modelo es el siguiente: P

i 0

1

2

3

n→

 ∞

A

Si:

     ∗   −∗    ∗  −  → ∞   → =

=

(1 + )

(1 + )

1

(1 + )

1

1

(1 + )

0

Por lo tanto:

   ∗

.....

=

(C.1.23)

Esto no es otra cosa que el mantener la inversión original en forma constante, retirando al final de cada período los intereses generados de modo que durante cada período se generen la misma cuantía de intereses. Ejemplo 2.40: Se desea retirar S/. 2 000 cada año eternamente, a una tasa de interés de 20% anual ¿cuál será la cantidad de dinero que se tendría que depositar? P=?

i = 20% 0

1

2

3

n

→ ∞

A = 2 000

En la fórmula C.1.23:

    =

R. Toledo

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2015

Matemática II para administradores

 

=

2 000 0.20

= 10 000

Ejemplo 2.41: Se efectúa un depósito de S/. 310 000 a cambio de una renta perpetua trimestral A, si la tasa de interés anual es 42% capitalizable cada tres meses, hallar A. P = 310 000

i = 42% / 4 = 10.50% 0

1

2

3

n→

 ∞

A=?

Fórmula P= i anual = i trimestral = A= 8.

A=P*i 310 000.00 42.00% 10.50% 32 550.00

GRADIENTE UNIFORME

Una gradiente uniforme es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir que el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia en la misma cantidad cada año. La cantidad que representa la parte fija, es la anualidad (A), y la cantidad de aumento o disminución, es la gradiente ( G). Por ejemplo si un fabricante de ropa predice que el costo de mantenimiento de una máquina cortadora para el primer año será de S/. 5 000 y aumentará en S/. 500 anuales hasta dar de baja a la máquina, hay involucrada una serie fija que es la anualidad que son los S/. 5 000 y de una serie de gradiente como cantidad gradiente que es S/. 500. De la misma manera, si la compañía espera que el ingreso disminuya en S/. 3 000 anuales durante los próximos cinco años, el ingrese que disminuye representa una gradiente. En un diagrama: 0

1 a

2 a

3 a

4 a

n a

g

2g

3g

(n-1)g

a +g a + 2g a + 3g a + (n-1)g

R. Toledo

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2015

Matemática II para administradores

Definimos: a) b) c) d)

a g a1 A

: : : :

Cuota base. Valor de la gradiente uniforme. Valores desde g hasta (n-1)g, convertidos en una anualidad. Anualidad equivalente de la serie (a + a1).

Descomponiendo el diagrama anterior se obtiene, que se tiene una cuota base (a), que es uniforme a lo largo del tiempo que puede ser tratada como una anualidad, las gradientes que varían en progresión aritmética (que bajo una fórmula que se verá después, pueden convertirse en anualidades a1), gráficamente: a) Cuota ba se 0

1 a

2 a

3 a

4 a

n a

b) Valores de la gradie nte uniforme en el tiempo 0

1

2

3

4

n

g 2g 3g (n-1)g

c) Valores desde g hasta (n-1)g, convertidos en una anual idad. 0

1 a1

2 a1

3 a1

4 a1

n a1

d) Anuali dad equi val ente de la s erie (a + a1). 0

1 a

2 a

3 a

4 a

n a

a1

a1

a1

a1

a1

A

A

A

A

A

Para resolver una gradiente: a) Conocidos. a, g, i, n, se halla el valor de a1, la fórmula es:

  −  �  −  1=

R. Toledo

1

(1 + )

1

.....

(C.1.24)

- 75 -

2015

Matemática II para administradores

b) Se halla el valor de A:

    =

.....

+ 1

(C.1.24)

c) Con el valor de la Anualidad (A), se pueden utilizar las fórmulas financieras de los modelos básicos, para hallar el valor presente, futuro del modelo de gradiente uniforme.

Ejemplo 2.42: Se estiman los gastos de mantenimiento de una máquina en S/. 4 000 anuales, con incrementos constantes anuales de S/. 1 000, durante el tiempo que se podrá hacer uso de manera económica, estimada en 20 años ¿Cuál es el valor actual de estos gastos si se considera una tasa de interés del 10%?

0

1 4 000

2 4 000

3 4 000

4 4 000

n 4 000

5 000 6 000 7 000 23 000

Fórmula

a= g= i= n= a1 =

a1/g, a1? a1 = g*(1/i-n/i*(i/((1+i)^n-1))) (a1/g=1000,10%,20) 4 000.00 1 000.00 10.00% 20.00 6 508.08

A = a + a1 A=

10 508.08

Conocido A, para hallar el valor presente de A, se calcula mediante la fórmula general que permite convertir en un valor presente una anualidad: Fórmula

A= i=

R. Toledo

P/A, P? =VA(tasa,nper,-pago) (P/A=10508.08,10%,20) 10 508.08 10.00%

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2015

Matemática II para administradores

n= P=

20.00 89 461.17

Concluyendo que el valor actual de la gradiente es S/. 89 461.17. Se tienen otras alternativas de cálculo, si incluimos sólo los valores monetarios de la serie en que interviene la gradiente, desde g hasta (n-1)g, se puede hallar tanto su valor presente como su valor futuro.

        − −           − − (1 + )

=

1

(1 + )

(1 + )

=

(1 + )

 1

.....

(C.1.25)

.....

(C.1.26)

Ejemplo 2.43: Hallar el valor presente y futuro de los S/. 1 000 del Ejemplo anterior. Valor presente: Fórmula

g= i= n= P=

P/g, P? =g/i*((((1+i)^n-1)/(i*(1+i)^n))-n/(1+i)^n) (P/g=1000,10%,20) 1 000.00 10.00% 20.00 55 406.91

Valor futuro: Fórmula

F/g, F? =g/i*(((1+i)^n-1)/i-n) (F/g=1000,10%,20)

g= i= n= F=

1 000.00 10.00% 20.00 372 749.99

Ejemplo 2.44: Utilizando las funciones del VNA, PAGO y otras que corresponda, en el Excel resolver el Ejemplo 2.42 y comparar sus resultados con los que se hallen. a g i n

R. Toledo

4 000.00 1 000.00 10.00% 20.00

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2015

Matemática II para administradores

n

0

a (n-1)g a + (n-1)g

0.00 0.00 0.00

1 4 000.00 0.00 4 000.00

a (n-1)g a + (n-1)g

Valor presente 34 054.25 55 406.91 89 461.17

Valor futuro 229 100.00 372 749.99 601 849.99

a a1 A = a + a1

4 000.00 6 508.08 10 508.08

2 4 000.00 1 000.00 5 000.00

.... .... .... ....

20 4 000.00 19 000.00 23 000.00

Comparativamente los resultados son los mismos que hallados tanto en el Ejemplo 2.42 como en el 2.43. 9.

FACTORES MÚLTIPLES

Debido a que muchas de las situaciones de los flujos de caja encontradas en los problemas de matemática financiera del mundo real, no se ajustan a los flujos de caja para utilizar las fórmulas desarrolladas, es a menudo necesario combinar estas ecuaciones con el fin de resolver el problema. Para un flujo de caja dado, hay usualmente varias maneras de determinar una incógnita. En los Ejercicios 2.3, se resuelven algunos casos dentro de los muchos que podrían presentarse. 10.

LAS TASAS DE INTERÉS EN EL PERÚ

Citando a Aching (2006): Las Circulares del Banco Central de Reserva del Perú (BCRP) Nº 006-91-EF/90 y Nº 00791-EF/90 del 11 de marzo de 1991, establecieron que a partir del 1º de abril de 1991 la Superintendencia de Banca y Seguros (SBS) debía calcular y publicar diariamente la Tasa Activa en Moneda Nacional (TAMN) y la Tasa Activa en Moneda Extranjera (TAMEX), así como los intereses aplicables a las diferentes operaciones fijadas en función a la TAMN y TAMEX, respectivamente. De acuerdo con dichas Circulares, la TAMN debe ser publicada en términos efectivos mensuales y la TAMEX en términos efectivos anuales. La SBS también debe publicar las Tasas de Interés Legal, las cuales son fijadas por el BCRP según el Código Civil (artículos 1244º y 1245º) y utilizan cuando las partes no han acordado una tasa de interés con antelación. En dicha oportunidad, establecieron la Tasa de Interés Legal en moneda extranjera equivalente a la TAMEX y la de moneda nacional equivalente a la TAMN, TAMN + 1 y TAMN + 2, dependiendo del plazo del contrato.

R. Toledo

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Matemática II para administradores

2015

Adicionalmente, dichas Circulares fijan la Tasa Efectiva de Interés Moratorio en 15% de la TAMN y 20% de la TAMEX, respectivamente. El interés moratorio es cobrado sólo cuando las partes hayan pactado y únicamente sobre el monto correspondiente al capital impago cuyo pago esté vencido. Las tasas de interés utilizadas por las entidades financieras para los ahorros llamadas operaciones pasivas son la TIPMN (Tasa de interés pasiva promedio en moneda nacional) y la TIPMEX (Tasa de interés pasiva promedio en moneda extranjera). Tasa de interés convencional compensatorio, cuando constituye la contraprestación por el uso del dinero o de cualquier otro bien. En operaciones bancarias está representada por la tasa activa para las colocaciones y la tasa pasiva para las captaciones que cobran o pagan las instituciones financieras. Tasa de interés moratorio, cuando tiene por finalidad indemnizar la mora en el pago. No cumplimiento de una deuda en el plazo estipulado. Se cobra cuando ha sido acordada. Aplicable al saldo de la deuda correspondiente al capital. Cuando la devolución del préstamo se hace en cuotas, el cobro del interés moratorio procede únicamente sobre el saldo de capital de las cuotas vencidas y no pagadas. Tasa de interés legal, La tasa de interés legal en moneda nacional y extranjera, es fijada, según el Código Civil por el BCRP, cuando deba pagarse la tasa de interés compensatoria y/o moratoria no acordada; en este caso, el prestatario abonará el interés legal publicado diariamente por el BCRP en términos efectivos. Ejemplo 2.45: Dos personas firmaron un contrato de alquiler, pero no acordaron la tasa de interés con antelación, recurren al poder judicial que fija que de acuerdo al Código Civil, debe utilizarse la tasa de interés legal fijada por el Banco Central de Reserva del Perú. Si la deuda sin intereses asciende a S/. 12 500, su pago debió efectuarse el 31-0714 y se pagará el 01-02-15, establecer el monto que se debe pagar, incluidos los intereses. Con la calculadora virtual bajada desde el sitio Web del Banco de Reserva, se determina que: Interés generado: S/. 146.68. Monto + Interés : S/. 12 646.68 Ejemplo 2.46: Una persona fue despedida de su centro de trabajo con fecha 14-02-14, luego de una conciliación entre las partes se acuerda que se le pagará la suma adeudada de S/. 6 200 el día 15-01-15 utilizando la tasa de interés legal laboral, hallar cuánto se le deberá abonar al trabajador. Ingresando los datos a la Calculadora Virtual del BCR, con la tasa de interés legal laboral: Interés generado: S/. 132.18. Monto + Interés : S/. 6 332.18

R. Toledo

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2015

Matemática II para administradores

Ejemplo 2.47: Para el ejercicio anterior calcular la tasa de interés diaria pagada (se trata de interés compuesto), luego estimar la tasa anual (360 días). Fórmula

P= F= Fecha inicial Fecha final n= i diaria = i anual = 11.

P/F, i? =TASA(nper,,va,-[vf]) (F=6332.18/P=6200, i=?,185) 6 200.00 6 332.18 31/07/2014 01/02/2015 185.00 0.01% 4.19%

CALCULADORA FINANCIERA DE R. TOLEDO

Se fundamenta en que es posible a partir del desarrollo de los modelos básicos (ver Anexo 2.2), con la opción “Buscar objetivo” del Excel, es posible resolver una incógnita que puede ser cualquiera de los datos. Practicar en este caso los dos aspectos: La generación de una Plantilla y pruebe las bondades que da el utilizar el “Buscar objetivo” (ver en Anexos: Calculadora de R. Toledo). Ejemplo 2.39: Resolver los Ejemplos de 2.1., 2.2, 2.6, 2.7., 2.8. y del 2.18. a la 2.33 con la Calculadora Financiera de R. Toledo. Ya no se dan las respuestas debido a que los resultados deben coincidir con los que se dan en los Ejemplos. Ejemplo 2.40: Comprobar que elaborada una formula (para cualquier otra calculadora financiera por ejemplo), se puede utilizar para hallar cualquiera de los datos.

R. Toledo

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2015

Matemática II para administradores

EJERCICIOS 2.3: FACTORES MÚLTIPLES 2.27. ¿Cuál es el valor final de ahorros mensuales de S/. 8 000 al cabo de 5 años que pagan un interés de 60% anual, capitalizable en forma mensual? F= ?

i = 60% / 12 = 5%

0

1

2

3

60

A = 8 000

Fórmula

A i= n= F=

F/A, F? =VF(tasa,nper,-pago) (F/A=8000,5%,60) 8 000.00 5.00% 60.00 2 828 669.74

2.28. Hallar el valor al final del 8vo. año de un depósito de S/. 4 000 efectuados hoy a una tasa de interés del 60% anual capitalizable semestralmente. F= ? i = 60% / 2 = 30% 0

1

2

3

16

P = 4 000

Fórmula

P= i= n= F=

R. Toledo

F/P, F? =VF(tasa,nper,,-[va]) (F/P=4000,30%,16) 4 000.00 30.00% 16.00 266 166.64

- 81 -

2015

Matemática II para administradores

2.29. Se estima que una empresa tendrá ingresos netos de S/. 150 000 anuales en los próximos 10 años. Al final del décimo año la empresa será vendida (V) en S/. 25 000. Hallar el valor actual de la empresa suponiendo un interés al 25% anual.

V=25 000 A = 150 000

0

1

2 3 i = 25%

10

P=?

Actualizando los ingresos netos: Fórmula

A= i= n= P1 =

P1/A, P1? =VA(tasa,nper,-pago) (P/A=150000,25%,10) 150 000.00 25.00% 10.00 535 575.49

Actualización del monto de venta: Fórmula

F= i= n= P2 =

P2/F, P2? =VA(tasa, nper,,-[vf]) (P/F=25000,25%,10) 25 000.00 25.00% 10.00 2 684.35

Acumulando los dos valores actuales (P1 y P2): P1 + P2 =

538 259.85

2.30. Una empresa recibe un préstamo bancario de S/. 500 000 a la tasa de 60% anual convertible trimestralmente, pagadero en 12 trimestres ¿A cuánto asciende cada pago si se realiza en cuotas uniformes?

R. Toledo

- 82 -

2015

Matemática II para administradores

P = 500 000

i = 60% / 4 = 15% 0

1

2

3

12

A=?

Fórmula

A/P, A? =PAGO(tasa,nper,-va) (A/P=500000,15%,12) 500 000.00 15.00% 12.00 92 240.39

P= i= n= A=

2.31. Durante 5 años se deposita cada mes S/. 2 500 en una cuenta bancaria que paga 48% de interés anual convertible mensualmente ¿Cuál es el valor de la cuenta al final de dicho período? F= ?

i = 48% / 12 = 4% 0

1

2

3

60

A = 2 500

Fórmula

A i= n= F=

F/A, F? =VF(tasa,nper,-pago) (F/A=2500,4%,60) 2 500.00 4.00% 60.00 594 976.71

2.32. Considerando una anualidad anticipada de S/. 10 000 a través de 20 trimestres ¿Cuál es su valor final a la tasa del 60% anual capitalizable trimestralmente?

R. Toledo

- 83 -

2015

Matemática II para administradores

F= ?

i = 60% / 4 = 15% 0

1

2

3

20

AA = 10 0000

Fórmula

AA = i= n= F=

F/AA, F? =VF(tasa,nper,-pago,,1) (F/AA=10000,15%,20) 10 000.00 15.00% 20.00 1 178 101.20

2.33. Suponiendo un interés de 40% anual, capitalizable semestralmente, calcular el valor presente y el valor futuro de la siguiente serie de ingresos netos proyectados de una pequeña empresa. Ingresos netos

Años 0 1 2 3 4 5

250 000.00 340 000.00 450 000.00 500 000.00 550 000.00

Lo más conveniente es actualizar la serie con el Valor Actual Neto: Tasa nominal anual

40.00%

Tasa semestral

20.00%

Tasa efectiva anual

44.00%

Años

0

1

Flujo

0.00

VAN

693 393.34

250 000.00

2 340 000.00

3

4

5

450 000.00

500 000.00

550 000.00

2.34. Una persona se propone ahorrar S/. 6 000 cada año de manera tal que cuando se retire dentro de 25 años pueda cobrar una pensión fija anual durante los 30 años siguientes. Sabe que podrá empezar a ahorrar dentro de un año, determinar:

R. Toledo

- 84 -

2015

Matemática II para administradores

a) ¿Cuál será la suma anual uniforme que podrá cobrar cuando se jubile si la tasa de interés anual es del 5%. b) ¿Cuánto sería necesario ahorrar con el fin de recibir S/. 30 000 anuales a perpetuidad? F= ? A=?

i = 40% 0

1

2

3

25

26

27 28 i = 40%

55

A = 60 0000

En el diagrama anterior se debe entender que el valor futuro del año 25 inmediatamente se reinvierte (salida de dinero), lo que permite posteriormente efectuar los cobros uniformes. a) Valor futuro al año 25: Fórmula

A= i= n= F=

F/A, F? =VF(tasa,nper,pago) (F/A=6000,5%,25) 6 000.00 5.00% 25.00 286 362.59

Anualidad vencida a partir del año 25 hasta el año 55: Fórmula

P= i= n= A=

A/P, A? =PAGO(tasa,nper,-va) (A/P=286362.592907926,5%,30) 286 362.59 5.00% 30.00 18 628.30

b) La renta perpetua a partir del año 26, ascendería a: Fórmula A= i=

R. Toledo

A=P*i 30 000.00 5.00%

- 85 -

2015

Matemática II para administradores

P=A/i

600 000.00

Hallando la anualidad (monto que debe ahorrar los primeros 25 años), se puede advertir que el valor de S/. 600 000, es un valor futuro: Fórmula

F= i= n= A=

A/F, A? =PAGO(tasa,nper,,-[vf] (A/F=600000,5%,25) 600 000.00 5.00% 25.00 12 571.47

Con lo cual se establece que si quiere recibir 30 000 anuales a perpetuidad, debe ahorrar a partir del año 1, la suma de S/. 12 571.47 durante 25 años. 2.35. ¿Cuánto es necesario invertir hoy en una póliza de anualidad que pague 4% con el fin de recibir S/. 20 000 anuales a perpetuidad? Renta perpetua Fórmula A= i= P=A/i

A=P*i 20 000.00 4.00% 500 000.00

2.36. Si una persona deposita S/. 2 000 hoy, S/. 500 dentro de tres años y S/. 1 000 dentro de cinco años, ¿en cuánto tiempo ascenderá su inversión total a S/. 10 000 si la tasa de interés es del 6% anual? Se actualiza la serie para hallar un valor presente equivalente: Tasa efectiva anual

6.00%

Años Flujo

0 2 000.00

VAN

3 167.07

Fórmula

P= F= i= n=

R. Toledo

1 0.00

2 0.00

3 500.00

4 0.00

5 1 000.00

P/F, n? =NPER(tasa,,va,-[vf]) (F=10000/P=3167.07,6%, n=?) 3 167.07 10 000.00 6.00% 19.73

- 86 -

2015

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ANEXO 2.1: TASAS NOMINAL Y EFECTIVA

Conversión de tasas según períodos de capitalización

Tipo Tasa nominal Tasa nominal ∆ 

∇

R. Toledo

Equivalencia De: A: ∆

∇

∇

∆

∆

∇

∇

∆

Ejemplo

Operación

Tasa anual a trimestral Tasa trimestral a anual Tasa anual a trimestral Tasa trimestral a anual

Dividir Multiplicar Raíz Potencia

Mayor Menor

- 87 -

2015

Matemática II para administradores

ANEXO 2.2 FÓRMULAS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS MODELOS BÁSICOS GRÁFICA

MODELO

CASO

FÓRMULA

F

VALOR FUTURO Y PRESENTE

0

1

2

3

4

F/P

 =   (1 +   ) 

P/F

=

F/A

 =   ∗

A/F

  =  ∗

F/AA

 =   ∗

AA/FA

  =   ∗

P/A

 =   ∗

A/P

  =   ∗

P/AA

 =   ∗

AA/P

  =  ∗

n



(1 + ) 

P CIERTAS VENCIDAS F

0

1

VALOR FUTURO Y ANUALIDADES

2

3

4

(1 + )  1 

n

 (1 + )  1

A CIERTAS ANTICIPADAS F

0

1

2

3

n-1

1 +     1 ∗ (1 +i) 

n

 

((1 + ) 1) ∗ (1 + )

A CIERTAS VENCIDAS P

0

VALOR PRESENTE Y ANUALIDADES

1

2

3

4

(1 +   )  1 (1 +  )  ∗ 

n

(1 + )  ∗  (1 + )  1

A CIERTAS ANTICIPADAS P

0

1

2

3

n-1

1 +   1 ∗ (1 + ) 1+  ∗

n

(1 + )  ∗  ((1 + )  1) ∗ (1 + )

A Elaboración: R. Toledo

R. Toledo

- 88 -

2015

Matemática II para administradores

ANEXO 2.3

FÓRMULAS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS CAPITALIZACIÓN CONTINUA MODELO

VALOR FUTURO Y PRESENTE

CASO

FÓRMULA 1/

F/P

 =  (  ) 

P/F

=

F/A

  ∗

 =   ∗

VALOR FUTURO Y ANUALIDADES

A/F

P/A

  =   ∗

 =   ∗

VALOR PRESENTE Y ANUALIDADES

A/P

  =   ∗

 ∗  1   1

  1  ∗  1

1   −∗   1

  1

1   −∗

1/ r = Tasa de interés nominal. e = Exp(10) = 2.71828182845905 Elaboración: R. Toledo

R. Toledo

- 89 -

2015

Matemática II para administradores

ANEXO 2.4

FÓRMULAS DE UNA GRADIENTE UNIFORME

INCÓGNITA

MODELO

DIAGRAMA

0

1 a

GRÁFICA GENERAL

SIMBOLÓGÍA O FÓRMULA

2 a

3 a

4 a

n a

g

2g

3g

(n-1)g

a : Cuota base g : Valor de la gradiente uniforme

a+ g a + 2g a + 3g a + (n-1)g

0

1

2

3

4

n

g 2g

DE LA GRADIENTE ANUALIDAD (a1) Y DEL TOTAL DE LA SERIE (A)

a1 : Valores desde g hasta (n-1)g, convertidos en una anualidad. A : Anualidad equivalente de la serie (a + a1).

3g (n-1)g

1 =  0

1 a1

2 a1

3 a1

4 a1

n a1

  1    (1 + )  1

  =  + 1

F=?

VALOR FUTURO DE LA GRADIENTE

0

1

2

3

4

n

=

 (1 +  )   1 





g 2g 3g (n-1)g

GRADIENTE P=?

VALOR PRESENTE DE LA GRADIENTE

0

1

2

3

4

n

=

 (1 +  ) 1 

(1 +  ) 



 (1 + ) 

g 2g 3g (n-1)g

Elaboración: R. Toledo

R. Toledo

- 90 -

Matemática II para administradores

2015

UNIDAD DIDÁCTICA 3 : FLUJOS DE CAJA FUTUROS E INVERSIONES 1.

(EN CONSTRUCCIÓN)

R. Toledo

- 91 -

Matemática II para administradores

2015

UNIDAD DIDÁCTICA 4 : DESVALORIZACIÓN MONETARIA 1.

(EN CONSTRUCCIÓN)

R. Toledo

- 92 -