Manual

 

METODOS NUMERICOS Y SIMULACIONES.

Luis Rodr Ro dr¶¶³guez ³gue z Valen alencia cia1 Departam Depa rtamento ento de F¶³sica ³sic a Universidad de Santiago de Chile 5 de septiembre de 2000

1 email:

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Contenidos página

Introducci¶ on.

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1 M¶ etodos num¶ ericos 1.1 1.1 Intr Introdu oducc cci¶ i¶ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Inte Integr grac aci¶ i¶ on num¶erica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 El a¶rea bajo ajo una curva. . . . . . . . . . . 1.2.2 M¶etod odoo del punto medio: . . . . . . . . . 1.2.3 M¶etod odoo del Trapec pecio: . . . . . . . . . . . 1.2.4 Cotas de error: . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 M¶etodo de Simpson: . . . . . . . . . . . 1.2. 1.2.66 Co Cota ta de er erro rorr pa para ra m¶etod e todoo d dee Si Simp mpso son: n: . 1.3 La derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Apro Aproximac ximaciones iones linea lineales les y cuadr cuadr¶a¶ticas. . . . . . 1.4.1 Diferencial: . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 1.4 .2 Apr Aprox oxim imaci aci¶¶on lineal: . . . . . . . . . . . 1.4.3 1.4 .3 Apr Aprox oxim imaci aci¶on ¶on cuadr¶atica: . . . . . . . . 1.5 Ajuste de curvas po porr po pollinomios. . . . . . . . .

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1 1 1

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1 3 3 3 3 3 4 5 5 5 6 7

1.6 Det ermina inaci¶ ono ddee rN a¶³ecwestodn-R e Recaupahcsioonn.es.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1Determ .6.1 M ¶etci¶ od odo n1.6.2 M¶eetodo todo it iterativo erativo para determin determinar ar una ra ra¶¶³z de de f   f ((x) = x.  x . 1.6.3 M¶etod odoo de la se seccante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Serie de Taylor y Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. 1.7.11 Se Serrie im impo porrta tan nte tess de Mac acla laur urin in.. . . . . . . . . . . . . . 1.8 1.8 Ec Ecua uaccion onees di differe renc ncia iale less or ord dinar inaria ias. s. . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 M¶etodo de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 M¶etod odoo de Run ungge-Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. 1.8.33 M¶eetod todos os pred predic icto torr co corrre recctor or.. . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 M¶etod odoo de Milne: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99 10 11 12 14 14 14 15 15 15

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iv

CONTENIDOS 1.8.5 M¶etod odoo de Adams. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8. 8.66 Ecua uacciones de orden mayor or.. . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9 Derivaci¶on num¶erica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Elementos de probabilidades 17 2.1 2.1 Intr Introdu oducc cci¶ i¶ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 T¶omelo con calma. . . . . . . . . . . 2.3 Cosas concretas. . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Lanzar un dado. . . . . . . . . 2.3.2 Lanzar un dardo a un blanco. 2.3.3 Lanzar dos dados. . . . . . . . 2.4 Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . 2. 2.4. 4.11 Pob obla laci ci¶¶on o Universo . . . . . 2.4.2 Eventos simples . . . . . . . .

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18 18 19 19 19 20 20 20

2.4.3 Eventos compuestos . . . . . . . . 2.4.4 Prob obab abiilidad, cas asoo disc scrreto . . . . . 2.5 Sacar cuentas. . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 2.5. 5.11 Co Conc ncep epto to b¶ asico asico de multiplicaci¶on. 2.5.2 Permutaciones. . . . . . . . . . . . 2.5.3 Combinaciones. . . . . . . . . . . . 2.6 Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . 2. 2.6. 6.11 Di Dist stri ribu buci ci¶¶on binomial. . . . . . . .

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20 20 24 25 25 25 27 28

2.6.2 2.6.3 2.6 .3 2. 2.6. 6.44

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Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Valo alorr eesper sperado ado,, v vari arianz anzaa y des desvia viaci¶ ci¶ oon n est¶andar . . . . 34 Fun unccio ione ness de var aria iabl bles es aleat leatoorias rias . . . . . . . . . . . . . 36

2. 2.6. 6.55 Func unci¶ i¶ oon n distribuci¶on del promedio . . 2. 2.6.6 6.6 Mu Mues estr tras as peq peque~ ue~ nas . . . . . . . . . . 2.6.7 Maas ¶s sobre funciones distribuc distribuci¶ i¶oon n (f d ) 2.7 2.7 Ge Gene nera raci ci¶¶oon n de n¶umeros aleatorios. . . . . . . 2.8 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Estad¶³stica de datos 3.1 3.1 Intr Introdu oducc cci¶ i¶ on . . . . . . . . . . . 3.2 Estad¶³gr graf afoos muest strrales . . . . . 3.3 Distribuciones de frecuencia . . 3.4 3.4 M¶etodo odo de m¶³nim ³nimos os cuadr uadrad ados os .

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37 42 43 46 47

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51 51 52 53 54

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CONTENIDOS 3.4.1 3.4.2 3.4 .2 3.4.3

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Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Coe¯ Coe¯cie cient ntee de cor correl relaci aci¶on ¶o n li line neaal d dee Pear arsson . . . . . . . 58 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Modelos lineales. 4.1 4.1 Intr Introdu oducc cci¶ i¶ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Modelo lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 4.2.1 Esti Estima maci ci¶¶oon n del par¶aametro  metro   ¾:   . . . . . 4.2.2 4.2 .2 Inter Interv valos de ccon¯ on¯anz anzaa para para ®  ®  y  ¯ :   . 4.2.3 4.2 .3 Valo alores res par partic ticula ulares res de de t  t p :   . . . . . . 5

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63 63 64 67 67 68

Fundamentos f¶³sicos. 5.1 Problema de los dos cuerpo poss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Soluci¶on num¶eric icaa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Problema de los tres cuerpo poss. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 71 72 74

5P.r2o.1 ica yectSiloelsu. ci¶o. n. n.um . .¶er.ic .a.. Caminata al azar. . . . . . Bifurcaciones. . . . . . . . Scattering. . . . . . . . . . 5.6.1 Soluci¶on num¶eric icaa. 5.7 P¶endulo de Kapitza. . . . 5.8 Ondas. . . . . . . . . . . . 5.9 5.9 On Onda dass arm¶ arm¶ onicas. . . . . . 5.9.1 Periodo. . . . . . . 5.9.2 Longitud de onda. 5.9.3 Frecuencia. . . . .

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7745 77 77 80 80 82 84 84 85 85 85

Reelloc aciidon 55..99..54 V oci ades.de .la. o.nd. a.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.9.6 Pulsaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.7 Ondas estacionarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.8 Interferencia de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Atractor de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Pr Proomedios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.1 Sim Simulaci ulaci¶¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 N Noormal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.1 Gene Generaci¶ raci¶ oon n de una distribuci¶oon n normal a partir de variables uniformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8855 86 86 87 87 88 88 89

5.3 5.4 5.5 5.6

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vi

CONTENIDOS 5.13 Funciones distribuci¶ on. . . . . . . . . . . . . . 5.13.1 Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . 5.13.2 Sim Simulaci¶ ulaci¶ on. . . . . . . . . . . . . . . . 5.14 5.14 Sis Siste tema ma de ec ecua uaci cion ones es dife difere renc ncia iale less ord ordin inar aria ias. s. 6 Manual del programa. 6.1 Requerimientos. . . . . . . . . . 6.2 Principales opc pciiones. . . . . . . 6.2.1 Estad¶³sticas. . . . . . . . 6.2.2 6.2 .2 Ven entan tanaa iinic nicial ial,, Men¶ u 2. 6.2.3 Dos cuerpos. . . . . . . . 6.2.4 Tres cuerp os. . . . . . . 6.3 Proyectiles. . . . . . . . . . . . 6.4 Caminata al azar. . . . . . . . . 6.5 Bifurcaciones. . . . . . . . . . . 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13

Scattering. . . . . . . . Pendulo de Kapitza. . Ondas. . . . . . . . . . Atractor de Lorentz. . Men¶ u 4. . . . . . . . . Promedios. . . . . . . . N oorrmal. . . . . . . . . Funciones distribuci¶ on. 6.13.1 Colores. . . . . 6.13.2 Unidades. . . .

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89 89 90 90

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93 93 94 94 95 96 97 98 99 11000

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11002 11003 11004 11007 11009 11009 110 111 11112 11113

7 Ap¶ endice 115 7.1 7.1 A) La dist distri ribu buci ci¶¶on exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11115 7.2 B) El proc oceeso de Poi oissso son. n. De Detalles. . . . . . . . . . . . . . . . 11 1166 7.3 C) A Algun lgunos os d det etall alles es m mate atem¶ m¶ at a t ic os. . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.4 7.4 D) La dist distri ribu buci ci¶¶oon n binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.4.1 7.4 .1 El valo alorr espe esperad radoo de de   m:   . . . . . . . . . . . . . . . . . 11220 7. 7.4. 4.22 La var aria ianz nzaa de m: de m:   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11221 7.4.3 L¶³mite para para n  n   gr ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.4.4 Caminata al azar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11223

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Intro duccion. on. ¶ página Indice

Este libro, constituye un complemento y manual para el uso de un programa computacional realizado en el contexto de un Proyecto de Desarrollo de la Docencia, patrocinado por la Universidad de Santiago de Chile y realizado durante el a~ n noo 2000. Hemos estructurado este libro en cap cap¶¶³tulos que tienen distintos ob objetivos. jetivos. Por un lado se d describ escriben en elemento elementoss de c¶aalculo lculo num¶eerico, rico, de m¶eetodos todos estad estad¶¶³sticos y de probabilidades, que contienen los element elementos os principales de los cuales se ha hecho uso en el programa computacional y de cuya lectura se podr¶a comprender mejor lo que est¶a detr¶aass de cada una de las rutinas del programa. De todas maneras, el programa podr¶a igualmente ser usado y expl explicado icado en otros cap cap¶¶³tulo ³tuloss sin ser nece necesario sario leer los prim primeros. eros. Estos Est os cap¶³³tulos tul os son son::

Cap¶³tulo 1 Eleme Cap¶ Element ntos os de c¶ aalcu l culo lo num¶erico eri co.. Cap¶¶³tulo 2 Elem Cap Element entos os de proba probabilid bilidades. ades. Cap¶¶³tulo 3 Elementos de estad Cap estad¶¶³stica.

Un cuarto cap cap¶¶³tulo explica los fundamentos f¶³sicos y matem¶aatico tico de las principales opciones del programa. Por ejemplo, para la simulaci¶oon n del problemas de los l os tres cu cuerpos erpos,, ssee exp explica lica la f¶³sica del problema problema,, y as¶ as¶³ similarmente s imilarmente para todos los t¶oopicos. picos. Un quinto cap cap¶¶³tulo, constituye el manual de uso del programa, donde se explican las opciones disponibles al ejecutar el programa. Por ¶u ultimo, ltimo, en un ap¶eendice ndice se muestr muestran an algunas demostraciones para quien se interese en esos

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viii

Intro duccio ¶ on. n. detalles.. As detalles As¶¶³, en un esquema Cap¶¶³tulo Cap

4 Fundamentos F¶³sicos.

Cap¶³tu Cap¶ ³tulo lo 5 Man Manual ual del pro progra grama. ma. Ap¶ eendice ndice 6 Alguno Algunoss detall detalles es mate matem¶ m¶aticos. aticos. Buena parte de los resultados matem¶aaticos ticos explicados se establecen sin demostraci¶ oon n dejando como trabajo para el lector, la demostraci¶oon n de diversos teoremas a la vez que se plantean problemas en el estudio de algunos t¶opicos con la esperanza de que estos apuntes sirvan de complemento a la realizaci¶on on de alg¶ u un n curso en la Universidad. Para hacer m¶aass f¶aacil cil el uso y difusi¶oon n de es este te li libro bro as¶ as¶³ com comoo del progra programa ma y otros materiales de referencia, se ha hecho un CD con la versi¶oon n de este libro en formato PDF de Adobe que l¶oogicame gi camente nte p permi ermitir¶ tir¶³³aa h hacer acer m¶as as copias impresas de el. La versi¶on on del libro del CD, tiene opciones de navegaci¶oon n en el mediante hiperv hip erv¶¶³nculos para facilitar su lectura, p pero ero que no son visibles al imprimirlos. imprimirlos. Se autori autoriza za su impresi¶ oon n siempre y cuando se mantenga el debido respeto a la autor autor¶¶³a de estos apuntes y no se hagan actividades lucrativas tiv as con ell ello. o. El uso m¶as as inmediato del CD ser ser¶¶³a simplemen simplemente te para poder leer estos en un PC para lo cual se incluye el lector de archivos formato PDF, Acrobat Reader de Adobe   1 que debe ser instalado en su PC de acuerdo a las instrucciones de ese programa. El CD, se auto ejecuta y un men¶u desplegable permite navegar por las opciones, entre otras, ejecutar el programa. El programa que hemos llamado Simulaciones.exe, puede ser ejecutado desde el men¶ u del CD o si hay problemas con el programa autoejecutable, debe explorarse el CD mediante el explorador de Windows y ejecutar el programa directamente. El progra programa ma fu¶ e completa completamente mente desarroll desarrollado adobajo media mediante nte Delphi versi¶ oon n 5.0 de Borland, esto es, pascal orientado a objetos Windows. Se incluyen en el CD, en el subdirectorio \Fuentes" elementos del c¶oodigo digo fuente de algunas partes del programa. Se solicita enviar comentarios, sugerencias o correcciones al autor, Luis Rodr¶³³guez guez Valencia, Departame Departamento nto de F¶³sica Universidad de Santiago, e-mail [email protected]., o por correo a la direcci¶oon n postal, Av Avda. da. Ecuado Ecuadorr 3493, Correo 2, Santiago.

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\Acrobat R Reader Copyright   c  1987 1987-1996 1996 Adobe Syste Systems ms Incor Incorporate porated. d. All rights reserved. reser ved. Adobe and Acrobat Acrobat are trademark trademarkss of Adobe Systems Incorpor Incorporated ated whic which h may be registered in certain jurisdictions." 1

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ix En el CD se encontrar¶a mat materi erial al sup suplem lemen entar tario io de uti utilid lidad, ad, com comoo ser constantes universales y tablas diversas.

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x

Intro duccio ¶ on. n.

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Cap¶ Cap ¶³tulo   1

M¶ etodos num¶ num¶ ericos página Indice

1.1 1. 1

In Intr trod odu ucc cci¶ i¶ o on. n.

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Se presentan pres entan algu algunas nas d dee las t¶eecnicas cnicas comunes pa para ra real realizar izar c¶alcul al culos os num¶eerico ri coss sin mayor rigor matem¶aatico, tico, con el objetivo de hacer referencias a ellas en el resto de los cap cap¶¶³tulos donde ello sea necesario, y para que el lector interes interesado ado tenga conocimiento de la existencia de estos m¶etodos. etodos.

1.2 1. 2 1.2.1

In Inte tegr grac aci¶ i¶ on num¶ num¶ e eri r ica. El ¶ a area rea bajo una curv curva.

Si se tiene una funci¶on y on  y  = f   =  f ((x), el problema de determinar el ¶aarea rea entre la 1  y x 2  conduce curva curv a represent representativa de .la Una funci¶ oon n y elimaci¶ eje eje X   X , los valores x valores  y  xproblema al concept concepto o de ativa int integral egral. aprox aproximaci oon ¶n, entre a la soluci¶ oon n de xeste consiste en aproximar el ¶aarea rea por una suma de rect¶aangulos ngulos como se indica en la ¯gura. Si el intervalo de x de  x1  a   x2  lo llenamos con N  con  N  rect¶  rect¶aangulos ngulos que lleguen hasta la curva, entonces los anchos de los rect¶aangulos ngulos ser¶an an

d  =

  x2

¡ x  ; 1

N  las abcisas de sus v¶eertices rtices inferiores izquierdos ser¶an an xi  = x  =  x1 + (i (i

1)d; d; ¡ 1)

i  = 1; 2; : : : ; N  

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2

M¶ etodos num¶ ericos

f(x)

1

 

  2   3

N

página x1

x2

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Figura 1.1: Area bajo la curva. o xi  = x  =  x 1 + (i (i

2

1

¡ 1) x N  ¡ x  ;

i  = 1; 2; : : : ; N  

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entonces el ¶aarea  rea   A  ser¶a aproximadamente zoom out N 

X  ¼

A

f (xi )

i=1

x2

¡ x  : 1

N 

Como puede observarse, el error que se comete debido a que los rect¶aangulos ngulos tienen un d¶ee¯cit ¯cit o eexceso xceso de ¶aarea rea respecto a la curva, se har¶a cero si tomamos el l¶³³mite mite haciendo que los anchos de los rect¶ aangulo nguloss tiend tiendan an a ce cero. ro. Eso se logra log ra toma tomando ndo el l¶³mit ³mitee  N  , es decir

 ! 1  ! N 

A =

x2

X X

!1 i=1 f  !1 f ((xi )

N  lim

N 

=

lim

N 

!1 i=1 !1

x1 N    ;

¡ x ¡x x ¡x   ;   ) f  f ((x  + (i ( i ¡ 1) N  N  2

1

1

2

1

l¶³mite que se conoce como la integral de la funci¶ oon n entre entre x  x 1   y  x 2   x2

A  =

Z 

f (x)dx:

x1

M¶eetodos todo s aproximados para su evaluaci¶oon n num¶eerica rica se describ describen en a continuaci¶oon. n.

 

1.2 Integraci¶ on num¶ erica.

1.2.2

3

M¶ etodo etodo del punto punto medio:  b

f  f ((x) dx donde

Z  a

 M n  = ¢x[f  f ((x1 ) + f (x2 ) +

 ¼ ¢x  =

 b

+ f ( f (xn)]

¢¢¢

¡a n

y

xi  =   12 (xi¡1 + xi)

página

es el punto medio de [x [xi¡1 ; xi].

1.2.3

M¶ etodo etodo del Trapecio: Trapecio:

 b

Z 

f  f ((x) dx

a

 ¼ T   =   ¢2x  [f f ((x ) + 2f  2f (x ) + 2f  2f ((x ) + ¢ ¢ ¢ + 2f  2f ((x ¡ ) + f ( f (x )] 0

n

donde

1. 1.2. 2.4 4

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¢x  = (b

1

2

n 1

n

 =  a +  + i ¢x ¡ a)=n   y   x  = a

zoom in

i

zoom out

Cota Cotass de erro error: r:

Suponga que f 00 (x)  K   K    para  para   a  x  b.  b . Si Si   E T  T   y   E M  M  denotan los errores los m¶eetodos todos del trapecio y del punto medio entonces

 j

j·

 ·  ·

3

3

b ¡ a) jE  j ·   K (12 12n n T  T 

1.2.5

a

2

f  f ((x) dx

 ¼ 

S n  =

b ¡ a)   jE  j ·   K (24 24n n M  M 

2

  ¢x f ((x0 ) + 4f  4f ((x1) + 2f  2f ((x2) + 4f  4f ((x3 ) + 3   [f  +4f  +4 f ((xn¡1) + f  f ((xn)]

donde n donde  n  es par y ¢x ¢x = (b

1.2.6

y

M¶ etodo etodo de Simpson:

 b

Z 

 

¢ ¢ ¢ + 2f  2f ((x ¡ ) n 2

¡ a)=n. =n.

Cota de error error para m¶ e etodo todo de Simpso Simpson: n:

¯ ¯ ·

Suponga que f (4)(x) de Simpson, entonces

 K    para   K  para   a

 · x · b.  b . Si Si   E   es el error en el m¶etodo etodo (b ¡ a) jE  j ·   K 180 180n n S S  

5

S  S 

4

 

4

M¶ etodos num¶ ericos

tangente en (1)

Derivada

70

2

60

función y=f(x) y2-y1

50

1 40       Y

x2-x1

30

página

20

Indice

10

0 0

2

4

6

8

10

12

14

X

Figura 1.2: Tangente y derivada.

1.3

zoom out

La de deri riv vada da..

Si se considera una funci¶oon n de una variable variable   y   =  f (  f (x) su gr¶aa¯co ¯co con escalas uniformes unifo rmes es una curv curva, a, gen gen¶¶ericamen ericamente te como la que se ilustr ilustraa en la ¯gura ¯gura.. En ella se indican dos puntos cercanos (1) y (2), se ha dibujado la tangente a la curva en el punto (1) y la cuerda del punto (1) al punto (2). Una medida de la tasa de crecimiento promedio de la funci¶on en el intervalo (x (x1 ; x2 ), puede ser de¯nida por la raz¶oon n y2 x2

¡

y1 x1 :

Si nos imaginamos que los dos puntos est¶aan n muy cerca, y en caso l¶³mite ³mite   x2 se acerca a x a  x 1  hasta confundirse con el, podemos observar que

²  la cuerda 1-2, se aproxima y se confunde con la tangente a la curva.

La hipotenusa del tri¶aangulo ngulo indicado en la ¯gura se confunde con la tangente a la curva.

²   El tri¶aangulo ngulo rect¶aangulo ngulo se~ n nalado alado se hace de lados cada vez menores, cero en el caso l¶³mit ³mite. e.

zoom in

 

1.4 Aproximaciones lineales y cuadr¶ aticas. on ²   Es claro que llaa raz¶on

5

  y2 y1 x2 x1

¡ ngulo que hace la cuerda ¡ es la tangente del ¶aangulo

con el eje x eje  x,, cualquiera que sea el tama~n noo de los catetos del tri¶aangulo. ngulo. (Notee que aqu¶³ tan µ  = sin µ= cos µ) (Not

Se deduce entonces que el l¶³mite cuando  x 1  tiende a x a  x 2 , lo que se escribe como y2 y1 lim x2 ¡!x1 x2 x1

¡ ¡

existe y eess igua existe iguall a la tan tan((µ ) del ¶aangulo ngulo que forma la tangente a la curva en el punto (1) con el eje  eje   x. Tal l¶³mite se llama la deriv derivada ada de la funci¶ oon n en el punto x punto  x 1  y se denota por y2 x2 ¡!x1 x2

f   0 (x1 ) = lim

1.4 1. 4 1. 1.4. 4.1 1

¡y ¡x

1 1

f (x2 ) x2 ¡!x1 x2

= lim

1

1

Ap Apro roxim ximac acio ione ness li linea neale less y cua cuadr dr¶ a aticas. ¶ticas.

zoom in zoom out

Dife Difere renc ncia ial: l:

Los diferenciales d diferenciales  dx x  y   dy son dy  son ambos variables, pero dx pero  dx  es independiente, mientras que  dy dy que dy  es est¶ dependiente|depende de los valores de   x   y  dx  dx.. Si Si dx  dx  es dado, entonces entonces dy a determinado.   dy Si   dx = 0, obtenemos   =   f 0 (x  (x). Es Esto to es la de deri riv vad adaa es la raz raz¶¶oon n o dx cociente de dos diferenciales

 6

Apro Aproxi xima maci ci¶ o ¶ on n lineal:

Definicion 1.4.2   La  aproximaci¶   aproximaci¶oon n lineal de de   f ( f (x)  cerca   cerca    de   a   es  f  f ((x)

Indice

¡ f ( f (x ) ¡x :

Definicion 1.4.1   Se Sea  a  y  y  = f   =  f ((x), donde   f  es f  es una funci¶  on diferenciable. Entonces la  diferencial la  diferencial   dx dx es  es una variable independiente; esto es,   dx puede dx  puede ser  dada de cualquier valor. La  diferencial La  diferencial   dy es dy  es entonces de¯nida en t¶eerminos  rminos  de   dx  dx   por  dy = dy  = f   f 0 (x) dx

1. 1.4. 4.2 2

página

 ¼ f   f ((a) + f 0 (a)(x )(x ¡ a)

 

6

M¶ etodos num¶ ericos

1.4.3 1.4 .3

Apro Aproxim ximac aci¶ i¶ o on n cu cuad adr¶ r¶ a atic tica: a:

Definicion 1.4.3   La  aproximaci¶   aproximaci¶oon n cuadr¶aatica tica de de   f ( f (x)  cerca de   a   es   f 00 (a) 0 f (x) ¼  f   f ((a) + f  (a)( )(x x ¡ a) +   (x ¡ a)2 2

Ejemplo 1.4.1   Sea 

página 2

f  (x  ( x) =

  3x + 5 2x 4

¡

Indice

y   a  = 3. La aproximaci¶  on lineal de   f  (x  (x)  cerca de   3   es  f  f ((a) + f 0 (a)(x )(x

¡ a) = 37 ¡ 7x: zoom in

y la aproximaci¶  on cuadr¶  aticas es  f  f ((a) + f 0 (a)(x )(x

00

¡ a) +  f  2(a ) (x ¡ a)

2

=

  227 2

zoom out

 17 58x x +  x :   ¡ 58 2 2

. Las funciones y  = (3 (3x x2 +5) +5)==(2 (2x x 4), 4), y  y =  = 37 7x, y =  y  = 227= 227=2 58 58x x+17 +17x x2 =2 est¶aan n representadas en los gr¶a¯cos a¯cos

¡

¡

80

200

y

- 10

150

60

100

y 40

50

20

0

10

x

20

30

0

-50 -20 -100

¡

1

2

x

3

4

5

 

1.5 Ajuste de curvas por polinomios.

7

40

30 y 20 10 0

2

2.5

3

x

3.5

4

4.5

-10

página Indice

20 19 18 17 y 16

zoom in

15 14

zoom out

13 12

1.5 1. 5

2.8

2.9

3x

3.1

3.2

Aj Ajus uste te d de e cu curv rvas as por por pol polin ino omi mios os..

Un gr¶aa¯co ¯co pu puntos po podr dr¶¶³aiosmostra mostrar r evidenci evidencia a de la eexistenci xistencia a de una re relaci¶ laci¶ on on polinomial. polinomi al.dePar Para antos p polinom olinomios de grados dos y tres eso signi¯ca signi¯c a la exist existencia encia de ecuaciones de la forma y   =   A + Bx + C x2, o y   =   A + Bx + C x2 + Dx3

Lo datos siguient siguientes es estab establece lecen n clara claramen mente te una relac relaci¶ i¶oon n n noo li lin nea eal. l. El m¶eetodo todo de lo loss m m¶¶³nimos cuadrad cuadrados os pu puede ede u usarse sarse para ajustar aj ustar un p polinomi olinomioo

 

8

M¶ etodos num¶ ericos

8 6 4 2

página -3

-2

0

-1

1

2

3

( 3; 7) 7);; ( 2; 4) 4);; ( 1; 2) 2);; (0 (0;; 0) 0);; (1 (1;; 1:5) 5);; (2 (2;; 5) 5);; (3 (3;; 10)

¡

¡

¡

Indice

El gr¶a¯co a¯co siguiente muestra el ajuste mediante una par¶aabola bola (polino (polinomio mio de grado 2, en verde) y un polinomio de grado tres (curva roja).

zoom in zoom out

10 8 6 y 4 2

-3

-2

-1

0

1

2

x

3

²  Para grado 2, resuelva el sistema de ecuaciones lineales para A para  A;; B;C : A n   + B

X X

A A

X  +  + B

X 2 + B

X X X

X  X    + C  X 2 + C  X 3 + C 

X X X

2

X 

=

X 3 = X 4 =

X X X

Y  X Y  X 2 Y 

 

1.6 Determinaci¶ on de ra¶³ces de ecuaciones.

9

para A;; B;C;D B;C;D:: ²  Para grado 3, resuelva el sistema de ecuaciones lineales para A A n   + B

X X X

A A A

1.6 1. 6

X  +  + B

X 2 + B

X 3 + B

X 2 + D

X  X    + C 

X X X

X 2 + C  X 3 + C  X 4 + C 

X X X

X 3 + D X 4 + D X 5 + D

X 3 =

X X X

X 4 = X 5 = X 6 =

Y 

X X X

X Y  X 2 Y  X 3 Y 

De Dete term rmin inac aci¶ i¶ o on n de ra ra¶ ¶³ces de ecuac ecuaciones iones..

página Indice

Muchos probl Muchos problemas emas en cienc ciencia ia e ingeni ingenier er¶¶³a cond conducen ucen a un probl problema ema de determinar las ra¶ ra¶³ces de una ecuaci¶ oon n de la forma   f ( f (x) = 0 donde   f  es f  es una 2 funci¶oon n diferenc diferenciable. iable. Par Paraa una ecuaci¶ oon n cuadr¶aatica ax tica  ax + bx + c  = 0 es bien conocido que x  =

( ¡

¡

p 

b+ b2 4ac   ; 2a   2c : b+ b2 4ac

¡

p  ¡

zoom in

 : zoom out

Para ecuac ecuaciones iones de terc tercer er y cuart cuartoo orden hay tam tambi¶ bi¶en en f¶oormulas, rmulas, pero que son complicad complicadas. as. Si  Si   f  f  es  es un polinomio de grado 5 o superior no existe tal f¶oormula rmula.. Asi Asimis mismo mo no hay f¶ oormulas rmulas que nos permitan encontrar ra ra¶¶³ces exactas de ecuaciones trascendentales tales como cos x   =   x. M¶eetodos todo s que permitan encontrar aproximaciones para las ra ra¶¶³ces de ecuaciones se han desarrollado. sarroll ado. Uno de tales m¶etodos etodos se denomina m¶etodo etodo de de   Newton-Raphson.

1.6.1

M¶ etodo etodo de Newton-Ra Newton-Raphson. phson.

El m¶eetodo todo de Newton ssee basa en la observ observaci¶ aci¶on on de que la l¶³nea tangente es una buena aproximaci¶on on local a una funci¶oon. n. Sea ((x x0; f ( f (x0)) un punto de la curva. La l¶³³nea nea tangente en ese punto sser¶ er¶a y

¡ f f ((x ) = f  =  f 0 (x )( )(x x ¡ x ): 0

0

0

Esta l¶³nea cruza el ejeeje-x x  donde  donde y  y  = 0. El valor de  x  ser¶a x  = x  =  x0

¡  f f f (0((xx )) : 0

0

 

10

M¶ etodos num¶ ericos En general, dada una aproximaci¶on x on  xn  a una ra ra¶¶³z de la funci¶on f  on  f ((x), la l¶³nea ³n ea tangente cruza el eje  eje   x  donde xn+1  = x  =  xn

n

¡  f f 0((xx )) : n

Dado   x0 , el m¶etodo Dado  etodo de Newton pro produce duce una lista lista   x1,   x2 ,   : : :,   xn   de aproximaciones al cero de f  de  f .. En los gr¶aa¯cos ¯cos que siguen,   f  f ((x) =   x  x 3,   x0   = 0:44,   x1 0:41, x2  0  0::27, y x y  x 3 0:048.

 ¼

 ¡

 ¼ ¡

 ¼ ¡

página Indice

0.4

0.2

-1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

0.2

0.4 x 0.6

0.8

zoom in

1

-0.2

zoom out

-0.4

x

1.6.2

3

¡x

M¶ etodo etodo iterativ iterativo o para determinar determinar una ra¶ ra¶³z de f (x) =  x  x..

Este m¶etodo etodo tiene ¶eexito xito en algunos casos como explicaremos. Considere el gr¶aa¯co ¯co de la funci¶on y on y =  = f   f ((x) y el gr¶aa¯co ¯co de la funci¶on y on y =  = x  x.. El pun punto to dond dondee se cortan determina la ra ra¶¶³z. El m¶ eetodo todo consiste en partir de una adivinanza inicial x inicial  x1, y calcular sucesivos valores x valores  x2  = f   =  f ((x1), x ),  x 3  = f   =  f ((x2 ); : : :. :. En general xn+1  = f   =  f ((xn ):

 

(1.1)

En el caso de la ¯gura para cos x  = x  =  x,, se observa que esos valores se aproximan cada vez m¶aass a la intersecci¶oon. n. Sea un val valor or inic inicial ial   x1   = 1; cos1 = 0: 0: 5403;;entonces: 5403 cos0:: 5403 = 0: cos0 0: 8576 8576;; cos0:: 8576 = 0: cos0 0: 6543 6543;;

 

1.6 Determinaci¶ on de ra¶³ces de ecuaciones.

11

y=x 1,0

f(x1) 0,8

f(x2)

0,6     y

página

0,4

0,2

Indice

y=cos(x)

x3=f(x2) 0,0 0,0

0,5

1,0

x2=f(x1)

x1

1,5

2,0

x

zoom in

Figura 1.3: Iterar. valores que oscilan, pero que a la larga se aproximan al mismo valor 0:73909 73909;;  aunque mucho m¶aass len lentame tamente nte que en el m¶ etodo etodo de Newt Newton. on. La convergencia depender¶a del ¶aangulo ngulo en que se intersectan la curva curva y  y =  = f   f ((x) e y  = x:  =  x: Si  Si ese ¶aangulo ngulo es mayor de de ¼  ¼==2 no hay convergencia.

1.6.3

M¶ etodo etodo de la la secan secante. te.

La idea de este m¶ etodo etodo es mu muy y simp simple. le. Si se conoce conocen n do puntos tales que en ellos las funci¶on on   f  f ((x) tie tiene ne dif difere erent ntee sig signo, no, por eje ejemp mplo lo   f ( f (x1 )   <   0 y f  f ((x2 )  > 0,  >  0, entonces (para funciones continuas) en alg¶u un n punto intermedio la funci¶oon n debe anularse. La recta que va desde el punto (1) al punto (2) corta el eje x eje  x m¶  m¶aass cerca de la ra¶³³zz buscad buscada, a, co como mo se ilu ilustra stra en la ¯gura siguiente:Co siguiente:Como mo la recta pasa por los puntos (1) y (2) su ecuaci¶oon n es (verif¶³³quelo) qu elo) y  = f   =  f ((x1 ) +

 f   f ((x2 ) x2

¡ f f ((x ) (x ¡ x ) ¡x 1

1

1

y el punto donde ella corta el eje  x  (la aproximaci¶oon) n) satisface f  f ((x1 ) +

 f   f ((x2 ) x2

¡ f f ((x ) (x ¡ x ) = 0; ¡x 1

1

1

zoom out

 

12

M¶ etodos num¶ ericos

2

(2) 1

      Y

X1

0

página

X2 (1)

raiz

Indice

-1

aproximación

-2 0 ,0

0,5

1,0

1,5

2,0

X

zoom in

Figura 1.4: M¶eetodo todo de la secante. zoom out

de donde   x ¡x ¡ f (x ) f ( f (x ) ¡ f ( f (x )   x f  f ((x ) ¡ x f ( f (x ) x =   : f  f ((x ) ¡ f ( f (x ) 2

x   =   x1

1

1

2

1

2

2

2

1

1

1

Este proceso debe ser repetido hasta alcanzar la precisi¶oon n deseada, eligiendo entre nuevos nuevos valores iniciales, (x1 ; x) o (x; (x; x2 ) seg¶ u un n en cual pareja hay cambio de signo de la funci¶oon. n.

1.7 1. 7

Ser Serie ie de Tayl ylor or y M Mac aclau laurin rin..

Si  Si   f  f  tiene  tiene una representaci¶oon n en serie en torno de de a  a,, o sea si f  (x  ( x ) =

1

X n=0

cn (x  (x

n

¡ a)

entonces los coe¯cientes son

  f (n) (a) cn  = n!

jx ¡ aj < R

 

1.7 Serie de Taylor y Maclaurin.

13

Substituyendo c Substituyendo  c n  en la serie para f  para  f ,, se tiene la serie la  serie de Taylor:

1

f (n) (a) f  (x  ( x ) =   (x n! n=0

X

a)n =  f  (a  (a)+

¡

f  (a)   (x 1!

0

a)+

¡

f  (a)   (x 2!

00

a )2 +

¡

f  (a)   (x 3!

000

En el caso especial donde a donde  a =  = 0, se tiene la serie la  serie de Maclaurin :

1

a)3 +:::

¡

f (n) (0) n  f  (0)  f  (0) 2  f  (0) 3 f  (x  ( x) =   x = f  (0)  (0) +   x+  x +   x + ::: n ! 1! 2! 3! n=0

0

X

00

000

página

Funciones que pueden ser representadas por series de potencia en torno a   a   son llamadas   anal¶ an al¶³ticas ³t icas en  en    a. Funciones anal¶³³ticas ticas son in¯nitamente diferencia difer enciables bles en   a; es esoo es que ti tien enee de deri riv vad adas as de todo or orde den n en   a. Sin embargo, no todas las funciones in¯nitament in¯nitamentee diferenciable son anal anal¶¶³ticas. Las sumas parciales de Taylor son n

T n (x  (x) =

X i=0

(i)

f  i!(a ) (x

Indice

(n)

¡ a)

i

=  f  (a  (a)+ )+f  f  1!(a)  (x

0

2

¡ a)+ )+f  f 002!(a ) (x ¡ a) +:::+ :::+ f  n!(a ) (x ¡ a)

T n  es un polinomio de grado n grado  n llamado  llamado el polinomio de Taylor de  Taylor de grado   n  de f  f    en  en   a.   Teorema 1.1 Si   f  f  (x  (x) =  T n (x  (x) + Rn (x  (x), y  I

 (x) = 0 lim Rn (x

n

!1

 para  x a  < R, entonces   f  f  es  es igual a su serie de Taylor series en el intervalo  x a  < R; esto es , f  ,  f  es  es an anal¶ al¶³³tica ti ca en en a  a..

j ¡ j j ¡ j

I

 Teorema (Fo (F¶ ormula ¶ rmula de Taylor) Si   f  tiene  f  tiene   n n + 11.2  derivadas en el intervalo    I  que I  que contiene el n¶  umero  a,  a, entonces   para  x en  x  en I   I  hay  hay un n¶  umero  z  estrictamente  z  estrictamente entre  x y   x  y  a tal  a  tal que el resto puede  ser expresado como    f (n+1) (z ) Rn (x  (x) =   (x (n + 1)!

¡ a)

n+1

Para el caso especial n especial  n =  = 0, se tiene que f  (b  ( b) = f  =  f  (a  (a) + f  (c) (b

0

este es el Teorema del valor medio.

¡ a)

n

zoom in zoom out

 

14

M¶ etodos num¶ ericos

1.7.1 1.7 .1

Ser Serie ie impor importan tante tess de Mac Maclau laurin rin..

1

1¡x   =

ex = sin x  =

1Serie de Maclaurin

P P

n=0

1

n=0

1

n=0

2n+1

2n

x ( 1)n  (2 (2n n)!

1

tan¡1 x =

n=0

2

3

  x3 3!

  x5 5!

1 +   1!x  +   x2!   +   x3!   + :::

x   = x ( 1)n  (2 (2n n+1)!

1

cos x  =

1.8

xn  = n!

P¡ P¡ P¡

n=0

Intervalo de Convergencia   ( 1; 1)

xn = 1 + x + x2 + x3 + :::  

  x7 7!

¡   +  ¡   + :::   = 1 ¡   +  ¡   + :::   =  x ¡   +   ¡   + :::

2n+1

( 1)n   x2n+1

  x2 2!

  x3 3

  x4 4!

  x5 5

  x6 6!

  x7 7

     

¡ (¡1; 1) (¡1; 1) (¡1; 1) [¡1; 1]

Indice

Ecua Ecuacio ciones nes dife diferenc rencial iales es ord ordina inaria rias. s.

El problema cl¶aasico sico de la ecuaci¶oon n diferencial ordinaria de primer orden es encontrar una funci¶on  on   y(x) que satisfaga dy   = f   f ((x; y); dx dado el valor inicial de la funci¶on on   y(x0) =   y0. Una variedad de m¶etodos etodos aproximados se han desarrollado, entre los cuales describiremos algunos.

1.8.1

página

M¶ etodo etodo de Euler.

Se reemplaza la derivada por dy( dy(x)  =   y(x + h) y  (x) ; dx h siendo h siendo  h alg¶  alg¶ u un n n¶ u umero mero peque~n no. o. As As¶¶³ llaa eecuac cuaci¶ i¶oon n diferencial se transforma en una ecuaci¶oon n de difer diferencia enciass

¡

y(x + h) = y(  y (x) + hf  hf ((x; y): Si llamamos xk+1  = x  =  xk  + h; tenemos que y(xk+1) = y(  y (xk ) + hf (xk ; yk ):

zoom in zoom out

 

1.8 Ecuaciones diferenciales ordinarias.

1.8.2

15

M¶ etodo etodo de Runge-Kutt Runge-Kutta. a.

Si h Si  h  es un n¶ u umero mero peque~ n noo y se de¯nen k1 k2 k3 k4

       

= = = =

       

hf  hf ((x; y);   hf  hf ((x + h=2 h=2; y + k1=2) 2);; hf  hf ((x + h=2 h=2; y + k2=2) 2);; hf  hf ((x + h; y + k3 );

(1.2)

página

entonce ent onces, s, con un error de cu cuarto arto ord orden en   O(h4 ) y(x + h) = y(  y (x) + (k (k1 + 2k 2k2 + 2k 2 k3 + k4 )=6:

1.8.3

Indice

M¶ etodos etodos predictor predictor corr corrector. ector.

Los m¶eetodos todos predictor corrector hacen uso de una f¶oormula rmula para una primera +1 aproximaci¶ oon n de de   ykAs de una rmula correctora que hace mejoramientos sucesivos. As¶¶;³  seguida por ejemplo unaf¶oormula primera aproximaci aproximaci¶ ¶oon n es

yk0+1  = y  =  yk  + hyk0 ;

zoom out

que puede ser mejorada con  1 yk1+1   =   yk  + (yk0 +1 + yk0 ) 2  1 =   yk  + (f  f ((xk+1; yk0+1) + f ( f (xk ; yk )): )): 2

1.8.4

M¶ etodo etodo de Milne:

Este m¶eetodo todo requiere cuatro valores previos y la pareja predictora correctora es yk+1   =   yk¡3 + (4h= (4h=3)(2 3)(2yyk0 ¡2 yk0 ¡1  + 2y 2yk0 ); yk+1   =   yk¡1 + (h= (h=3)( 3)(yyk0 +1 + 4y 4yk0  + y  +  yk0 ¡1 ):

¡

1.8.5

M¶ etodo etodo de Adams. yk+1   =   yk¡3 + (h= (h=24)(55 24)(55yyk0 59 59yyk0 ¡1 + 37y 37 yk0 ¡2 9yk0 ¡3); 19yk0 5yk0 ¡1 + yk0 ¡2); yk+1   =   yk¡1 + (h= (h=24)(9 24)(9yyk0 +1 + 19y

 ¡

 ¡

zoom in

¡

que al igual que el m¶etodo etodo de Milne requiere de cuatro valores previos.

 

16

M¶ etodos num¶ ericos

1.8.6 1.8 .6

Ecuac Ecuacion iones es de de ord orden en ma mayor.

La ecuaci¶oon n lineal

2

d y2   =  f   f ((x;y; x;y; dy  dy dx dx ); se redu reduce ce a un si sist stem emaa de ec ecua uaci cion ones es de pr prim imer er orde orden. n. Pa Para ra ello de¯n de¯naa  p =  p = dy=dx  dy=dx y  y entonces dy   =   p; dx dp   =   f ( f (x;y;p x;y;p)); dx es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, que es resuelto similarmente adapta adaptando ndo los m¶etodos etodo s aanteriores. nteriores.

página

1.9

De Deri riv vaci ci¶ o ¶ on n nu num¶ m¶ erica.

zoom in

¡

zoom out

Indice

Si tenemos una funci¶oon n conocida para valores discretos igualmente espaciados de las abcisas x abcisas  xi   con con x  x i+1 xi  = h  =  h,, entonces existen algoritmos que permiten estimar estim ar la deriv derivada ada de disti distinto nto orden, utili utilizando zando determi determinado nado n n¶ u umero ¶ mero de puntos pun tos.. Las sigu siguien ientes tes f¶ ormulas ormulas (Handbook of Mathematical functions de Abramowitz) indican la forma de obtener la derivada con tres o cuatro puntos correspondie corr espondiente ntess a absci abscisas sas igualm igualment entee espac espaciadas iadas en una cant cantidad idad peque~ na na h:

²  Dos puntos. Tenemos las tres posibilidades (f  f ((x + h) ¡ f ( f (x))=h; ))=h; 0 (f  f ((x)

f  (x) =

8cual es la distribuci¶oon en el intervalo 2 2

£¡ ¤ ¢ ¢ ¢

 1 x = N 

página

N 

X p 

Indice

xi

i=1

en el l¶³mite para   N  N    muy grande? Este es un caso de muc mucho ho int inter¶ er¶ es es y en el ap¶eendice ndice (C) se explican algunos desarrollos matem¶ aaticos ticos para quien se interese, interes e, pero nos int interes eresaa princ principalm ipalment entee el resu resultado ltado ¯nal. Como all all¶¶³ se demuestra, la funci¶oon n distribuci¶oon n resulta ser la distribuci¶oon n normal   1 f  f ((x) = p  e¡ 2¼¾

  x2 2¾2

zoom out

;

o sea, tenemos un teorema que es lo que importa:  Teorema 2.2 Si las variables   xi  son aleatorias e independientes con distribuci¶  on uniforme  con valor esperado   esperado   ¹   = 0   y desviaci¶  on est¶  andar  andar    ¾;   entonces entonces la variabl ariable  e  aleatoria  I

x =   1 N 

p 

N 

X

xi

i=1

tiene, para  N   N 

 ¡! 1  distribuci¶ on normal   ¡!   x2   1 ¡ e 2¾2 : f  f ((x) = 2¼¾

p 

De acuerdo a las propiedades 2.3, si las variables aleatorias   xi  tuvieran valor esperado ¹ esperado  ¹ = 0, entonces las variables aleatorias z  aleatorias  z i  = x  =  xi ¹  tiene valor esperado 0; 0;  de modo que la variable  z  tiene  z  tiene la distrib distribuci¶ uci¶oon n anterior.

 6

zoom in

¡

 

2.6 Variables aleatorias

2.6.5 2.6. 5

37

Funci¶ unci ¶ on on distrib dis tribuci¶ uci¶ on on del promed p romedio io

Por su importancia, considere ahora variables   xi  aleatorias e independientes con distribuci¶oon n uniforme con valor esperado esperado   ¹, desviaci¶oon n est¶aandar  ndar   ¾; entonces la variable aleatoria (el promedio) x¹  =

 1 N 

X

xi

tiene una distribuci¶oon n que nos proponemos calcular, en el l¶³mite de   N   N   muy grande. Para ello considere x¹  =

 1 1 N  N 

X p  p 

(xi

página Indice

 1 x+¹ ¡ ¹) + ¹ = p  N 

donde ahora  ahora   x  tiene la distribuci¶on on normal con valor esperado cero. Por las propiedades se~ n nalada alada F  F (¹ (¹x)dx¹  = f   =  f ((x)dx = dx  = o sea

p  p 

N f  f (( N ((¹¹x

p N  F (¹ F (¹x) = p  e¡ 2¼¾

¡ ¹)dx¹

zoom out N (¹ (x ¹ ¡¹)2 2¾ 2

;

que puede ser escrita como 2

¡ (¹x¡¹)   1 F (¹ F (¹x) = e 2¾2x¹   ; 2¼¾ x¹ donde ¾ donde  ¾ x¹  =  p ¾N  y que puede ser escrito entonces como un importante teore-

p 

ma: I   Teorema 2.3 Si las variables  x  x i  son aleatorias e independientes cada una con distribuci¶  on uniforme con valor esperado   ¹, desviaci¶  on est¶  andar   ¾;   entonces la variable  aleatoria (el promedio)  1 x¹  = xi   (2.4) N  en el l¶³mit ³mitee de  de  N   N  grandes,  grandes, tiene distribuci¶  on normal   N (¹; ¾x¹ )

X

2

¡ (¹x2¡¾¹2)   1 x ¹ F (¹ F (¹x) = e 2¼¾ x¹

p 

zoom in

 

38

Elementos de probabilidades con valor esperado  E (¹  E (¹x) =  ¹,  ¹, y desviaci¶  on est¶  andar   ¾ ¾x¹  =

p N : N :

Como veremos, este teorema es fundamental para el tratamiento de errores cuando cuando se supone que ello son aleato aleatorios. rios. Por las propie propiedades dades exp explicad licadas, as, para utilizar la distribuci¶oon n normal est¶aandar  ndar   N ((0; 0; 1) 1);;es preferible utilizar la variable estandarizada estandarizada Z   Z  que  que se de¯ne a continuaci¶oon, n, pues ella tiene desviaci¶oon n est¶aandar ndar unidad y valor esperado cero.

página Indice

  x¹ ¹ Z   = ; ¾= N 

¡p 

pues podemos usar la correspondiente tabla de valores centrales o inferiores a un valor z 1 2 3 4

z

2 =2

  1 e¡t F  (z   ( z ) = p  2¼ ¡1 0: 841 34 0: 977 25 0: 998 65 0: 999 97

R 

z

2 =2

dt: F  (z   ( z ) =  p 12¼ ¡z e¡t 0: 68269 0: 9545 0: 9973 0: 99994

R 

zoom in

dt:

zoom out

los valore valoress num¶eericos, ric os, ¶aareas reas bajo la curva de Gauss, son las probabilidades de que la variable estandarizada tenga valores menores que   z , o entre z   z   y z  respectivamente.   respectivamente. De acuerdo a la ¯gura la probabilidad de que la variable z  tenga   tenga valores entre  y 1 es 0: 0:8413 8413::  En este otro caso la probabilidad de que la variable z  variable  z  tenga  tenga valores entre 1 y 1 es 0: 0:6826 6826::

 ¡

 ¡1

 ¡

hecho   100 100   lecturas   lecturas   xi  de una variable aleatoria con  Ejemplo 2.6.9   Se han hecho  distribuci¶  on uniforme, resultados de un experimento, y ha resultado un valor  promedio   x¹  = 12 12::8, siendo la desviaci¶  on est¶  andar de cada resultado el valor  ¾  = 0:5. Estime las prob probabilidades abilidades de que el valor espe esperado rado del prom promedio edio est¶e  e  en determinados rangos en torno al valor   valor   x¹  = 12 12::8. Soluci¶ o on. n.   Prim Primero ero que nada alguna algunass aclaraci aclaraciones. ones. El prome promedio dio de los 100 valor valores es es lo que se denom denomina ina el pro prome medio dio mue muestr stral. al. Lo que se dese deseaa es el valor esperado del promedio considerado como una variable aleatoria, es decir ¹ decir  ¹.. Dicho valor es naturalmente imposible de conocer con exactitud, pues el Universo para este experimento es de tama~n noo in¯nito. in ¯nito. Adem¶aas, s, se

 

2.6 Variables aleatorias

39

página Indice

Figura 2.6: Area menor que z que  z :

zoom in zoom out

Figura 2.7: Area entre

 ¡1 y 1.

 

40

Elementos de probabilidades ha proporc proporcionado ionado como inform informaci¶ aci¶ on on la desviaci¶oon n est¶aandar ndar de cada medida, valor que tampo tampoco co p podr¶ odr¶³³amos amos en la pr¶aactica ctica conocer por las mismas razones. M¶aass adelante, en elpara cap cap¶¶ ¾ examina ³³tulo tulo sobrendo estad estad¶ ¶³stica,asexplicaremos se puede estimar alg¶ u un n valor para ¾  examinando muestr muestras ¯ ¯nitas, nitas, como como es el caso aqu aqu¶¶³. Aclara Acl arado do est esto, o, la sol soluci uci¶¶oon n basada en que la variable   Z   Z   tiene distribuci¶on on normal est¶aandar ndar (aproxi (aproximadam madament entee para muestra muestrass grand grandes), es), se tiene por ejemplo que la probabilidad de que Z  que  Z  es  est¶ t¶e en el inter intervalo valo [ 1; 1] es 0: 0:68269, es decir con esa probabilidad podemos asegurar que

¡

¹ ¡1 <  ¾=x¹ ¡p N  <  1;  1; o bien x¹ o num¶erica eri cament mentee

¡ ¾=

12 12::8

p 

Indice

p 

N   se  de¯ne mediante  n  1 x¹  =<  =< x >= xi :   (3.1) n i=1

X

Definicion 3.2.2   La varianza muestral que se denota como   s2n   se de¯ne  mediante   1 n 2 sn  = (xi  ¹ x)2 :   (3.2) n i=1

X

¡

sn  =

v  ut X n

(xi

i=1

¡ ¹x)

2

(insesgada) s2n¡1  se de¯ne mediante  Definicion 3.2.4  La varianza muestral (insesgada) s s2n¡1  =   1 n 1

¡

n

X

(xi

i=1

2

 ¡ ¹x) :

 

(3.3)

La diferencia entre ambas es peque~  na si  n es  n  es grande, pero como se explica m¶  as  adelante,   sn¡1  es un mejor estimador de la desviaci¶  adelante, on estandar poblacional. Definicion 3.2.5  La varianza muestral   s2n  de la muestra se de¯ne como  1 s2n  =

n

n

X i=1

Indice

zoom in zoom out

on est¶  andar de la muestra se de¯ne mediante  Definicion 3.2.3   La desviaci¶  1 n

página

(xi

 ¡ ¹x)

2

 

3.3 Distribuciones de frecuencia

53

La dife diferenc rencia ia ent entre re   sn   y   sn¡1   es m¶³nim ³nimaa si   n   es grande, pero hay de todos modos una diferencia conceptual que ser¶a explicada m¶aass adelan adelante. te. Una propiedad u util ¶til que sigue de la de¯nici¶oon n (3.2) mediante el desarrollo siguiente  1 s2n  =

n

n

X

(x2i

i=1

2

 ¡ 2x  < x > + <  +  < x > ); i

página

o sea s2n  =<  = < x 2 >

2

 ¡2 < x >

+  < x >2;

Indice

o ¯nalmente s2n  =  =< < x2 >

 ¡ < x >

2

:

El signi¯cado del promedio es conocido por todos. La desviaci¶oon n est¶aandar, ndar, de acuerdo a (3.2), signi¯ signi¯ca ca la ra¶³³zz del promed promedios ios de las d diferencia iferenciass cuadr¶aaticas ticas con el pro prome medio. dio. Se parec parece, e, pero no es igu igual al al prome promedio dio de las dist distanc ancias ias al promedio. Clara Claramen mente te es imposib imposible le tratar de descri describir bir una mu muestra estra de  de   n elemen elem entos, tos, con apenas un par de valor valores, es, pero algo es algo. Muc Muchas has veces veces los detalles detal les no son neces necesarios. arios. En esa descripci¶ oon n ayuda algo m¶aas, s, examinar la distribuci¶oon n de frecuencias de la muestra, y su respectivo gr¶aa¯co. ¯co.

3.3 3. 3

Di Distr strib ibuci ucione oness de fre frecu cuen encia cia

Si se tie tiene ne una eno enorme rme mue muestr stra, a, mej mejor or que exami examinar nar ese enorm enormee listad listadoo de valores, no se pierde demasiada informaci¶oon n si los datos se agrupan en intervalos o clases de igual ancho, indicando junto al respectivo intervalo, el n¶u umero mero de datos que tienen valor dentro de el, cuesti¶oon n llamada la frecuencia de la respectiva clase   f i . Como va valor lor repres represent entativ ativoo de la clase clase   xi   se suele usar el promedio de los l¶³³mites mites de clases, es decir el valor central de la clase, aunque ese valor p podr odr¶¶³a no existir en la muestra. Por ejemplo, una tabla de frecuencia tendr tendr¶¶³a un aspecto como el siguiente.

zoom in zoom out

 

54

Estad¶³stica de datos

2 66 66 4

clase   xi   f i 5 10 7:5 5

¡ 10 15 ¡ 1250 20 ¡ 25 25 ¡ 30 30 ¡ 35

1127::55 22:5 27:5 32:5 n =

10 40 35 20 3 113

3 77 77 5

página

Si esta es la infor informaci maci¶¶oon n disponibl disponible, e, de aqu aqu¶¶³ se puede pueden n calcu calcular lar aproximadamente ximadamen te los estad estad¶¶³grafos muestrale muestraless con algunas modi¯caciones en las f¶ormula or mulas. s. As¶³  1 < x >= f i xi; n clases

Indice

X

2 sn 1  =

¡

  1 2 i i f  ( x  < x > ) ; n 1 clases

¡

X

¡

zoom in

adem¶ aass de representar la \distribuci¶oon" n" de datos de un sinn¶ u umero mero de formas posibles. Por ejemplo diagrama de barras, l¶³nea p poligonal, oligonal, diagrama de torta, a juste p polinomi olinomial, al, etc¶eetera. tera. El m¶aass utilizado es un diagrama de barras, como se ilustra en la ¯gura siguiente, para el ejemplo dado.

f (x) =

8> ><

5 10 40 35 20 3

if if if if if if

5 < x <  10 10  < x <  15 15  < x <  20 20  < x <  25 25  < x <  30 3300  < x <  35

>:

Estas curvas, son a veces denominadas distribuciones experimentales de probabilidad, probabi lidad, pero ese concepto no ser¶a usado aqu aqu¶¶³. ³.

3.4

M¶ e etodo to do de m¶ m¶³ni ³nimos mos ccuadr uadrados ados

Supongamos que se tenga una muestra de tama~no no   n, de pares de valores (xi ; yi ). Un diagrama de dichos puntos en un gr¶aa¯co  ¯co   X  Y , Y , puede mostrar (o no) alguna tendencia a agrupaci¶oon n cerca de alguna curva curva contin continua. ua. Supongamo pong amoss que es apa aparen rente te que los punt puntos os se apro aproxim ximan an a cie cierta rta rect recta. a. Un

 ¡  ¡

zoom out

 

3.4 M¶ etodo de m¶³nimos cuadrados

55

40 35 30 25 20 15 10 5 5

10

15

2x0

25

30

página

35

Indice

Figura 3.1: histograma de frecuencias. problema que resuelve tambi tambi¶¶een n la estad estad¶¶³stica descriptiv descriptivaa es el encontrar la ecuaci¶ on on de la recta tal que la suma de los cuadrados de las diferencias en y  que se pro producen ducen es m¶³nima. Esto est¶ a relacionado pero no es una t¶eecnica cnica de regresi¶oon n lineal. Aqu Aqu¶¶³ no estamos hablando de modelos mod elos ni nada parecido. As¶¶³ concreta As concretamente mente el problema es :

zoom in zoom out

²   Se tienen n tienen  n  datos (x (x ; y ):  (puntos en un plano) lineal y  y((x) = a =  a + bx ²  Se busca una recta, es decir una funci¶oonn lineal que S  S SE  SE    = (y(x ) ¡ y ) sea se a un m¶³n ³nimo imo.. ²  Bajo la condici¶oonn que i

i

P

i

i

2

Utilizando la expresi¶oon n lineal supuesta para para y  y((x) debemos minimizar con respecto a a a  a   y  b,  b , la expresi¶on on SSE  SS E   =

X

(a + bxi

i 2

¡y)

:

Si se desarrolla el cuadrado se tiene SSE  SS E  = b  =  b

2

X

x2i   +

22ab ab

X

xi

¡ 2b

X

xi yi

 ¡ 2a

X X yi +

yi2  + a2:

Es decir se tiene una funci¶oon n cuadr¶aatica tica en las variables   a   y   b:   Mediante t¶eecnicas cni cas del c¶aalculo, lculo, detalles que usted puede omitir si tiene fe, resulta entoncess que los coe¯cie tonce coe¯ciente ntess   a  y  b  deben ser tales que @  @a

(a + bxi

X

2

¡y) i

=

2( 2(a a + bxi

X

¡ y )x  = 0; i

i

 

56

Estad¶³stica de datos

@  (a + bxi yi )2 = 2( 2(a a + bxi yi ) = 00:: @b Estas ecuac ecuacione ioness puede pueden n ser escri escritas tas en t¶eerminos rminos de prome promedios, dios, de la siguiente forma

¡

 ¡

X

X

b < x 2 >  +b  +b < x >

 ¡ < yx >= >= 0; 0;

página

b < x > + >  +a a  < y >= 0; 0;

¡

de donde podemos despejar b  =

Indice

 < yx >  < x >< y >   ; < x2 >  < x >2

 ¡  ¡

por lo tanto < yx >  < x >< y > y(x) =< = < y >  +   (x  < x >): < x2 >  < x >2 Como explicamos explicamos podemos llama llamarr

 ¡  ¡

sx   = sy   =

p 

¡

zoom in

 

(3.4)

< x 2 >  < x >2 ; < y2 >  < y 2 >;

 ¡  ¡

p 

a las desviaciones est¶aandar ndar muestrales (estad¶³³grafos grafos de llaa muestra muestra)) de   x, y  respectivamente. Para escribir el resultado (3.4) en otras formas, consideremos lo que sigue.

3.4.1 3.4 .1

Variac ariacion iones es

Medidas de las desviaciones de los datos  datos   yi  respecto a su promedio, de los datos y datos  yi respecto a la recta y de la recta respecto al promedio (ver ¯gura 3.2), se denominan variaci¶oon n total, variaci¶oon n no explicada y variaci¶oon n explicada. En forma m¶as as precisa se de¯nen (con diversas notaciones) Variaci¶ o on n total total   S yyyy   =  SST: SS T   T   =  S yyyy   =

X

(yi  < y >)2 :

¡

zoom out

 

3.4 M¶ etodo de m¶³nimos cuadrados

57







página Indice

Total

No explicada

 

Explicada

Figura 3.2: Variaciones.

zoom in zoom out

Variaci¶ on on no explicada SSE: explicada  SSE: SSE  SS E   = que fue la cantidad minimizada y

X

(yi

2

¡ y(x )) ; i

Variaci¶ on on explicada  explicada   SS R (y(xi )  < y >)2 :

SS R  =

¡

X

  Teorema 3.1 Entre las variaciones de¯nidas se tiene que  I

X

(yi  < y >)2 =

o 

¡

X

(yi

2

 ¡ y(x )) i

+

X

(y(xi )  < y >)2 ;

¡

SST  SS T    = SSR  S SR + SSE: Demostraci¶ o on. n.   Desar Desarrollan rollando do los cuadrad cuadrados os se tiene que SST  SS T    =

(yi  < y >)2 =  n(  n(< y2 >

¡

X

2

 ¡ < y > );

 

58

Estad¶³stica de datos adem¶aass podemos desarrollar SSE  SS E    = = = 2an an((   <

X X X

(yi

2

¡ y(x )) (y ¡  < y > ¡a(x ¡  < x >)) (y ¡  < y >) + na (< x > ¡ < x > ) ¡ xy > ¡  < x >< y >) > ); i

i

2

i

2

i

2

2

2

pero

página Indice

a  = (< yx >

2

2

2

2

 ¡ < x >< y >) >)=(< x > ¡  < x > )

por lo que se puede escribir

X X

SSE  SS E  =  =

(yi  < y >)2

¡

por otro lado desarrollemos SS R  =

2

¡ na (< x > ¡ < x > );

(y(xi )  < y >)2 =  na2(< x2 >

2

 ¡ < x > );

¡

que prueban el teorema. N

3.4.2 3.4 .2

Coe¯cie Coe¯cien nte de correl correlaci aci¶ on on lineal de Pearson ¶

Se de¯ne el coe¯ciente de correlaci¶oon n lineal de Pearson Pearson r  r,, al coe¯ciente r  =

r 

 §

variaci¶oon n explicada   ; variaci¶oon n total

Debe notarse que r  = 1, si las desviaciones de los datos respecto al promedio (la variaci¶oon n total) son exclusivamente la desviaci¶oon n de los valores de la recta respecto al promedio, es decir todos los puntos caen sobre la recta. La elecci¶on del signo se hace de acuerdo al signo del coe¯ciente  a;  es decir el signo de la pendiente. Si reemplazamos en la de¯nici¶oon n se obtiene

 §

r  =

s 

 §

b2 (< x2 >  < x >2)  ; (< y 2 >  < y >2 )

 ¡  ¡

zoom in zoom out

 

3.4 M¶ etodo de m¶³nimos cuadrados o bien r  = b  =  b

59

sx ; sy

que puede ¯nalmente escribirse r  =

 < yx >

 ¡ < x >< y > ; sx sy

El signi¯cado del coe¯ciente de correlaci¶oon n lineal lineal r  r,, es entonces 1, cuando la variaci¶on on no explicada es cero, es decir cuando la cantidad minimizada es cero, que correspo corresponde nde a un aajus juste te perfe perfecto cto.. El signo de de   r  corresponde al signo de la pendiente de la recta de m¶³nimos cuadrados pues

§

b  = r  =  r

¡

Definicion 3.4.1  Aunque esta materia no tiene que ver con errores en las  mediciones medi ciones (vea cap cap¶¶³tulo siguiente) siguiente),, se de¯ne el err error or est¶  andar del ajuste, como (yi y(xi))2 sest  =   = SSE; n el cual es evidentemente cero si el ajuste es perfecto.

p 

¡

Alternativamente Alternativ amente p podemos odemos usar alguna expresi¶ oon n deducida m¶as as arriba

X

(yi  < y >)2

2

2

2

¡ na (< x > ¡ < x > ) = =   n(< y > ¡  < y > ) ¡ na (< x > ¡ < x > ) s  =  ns (1 ¡ r ) =   ns  ¡ nr ( ) s  = ns s 2 y

¡

2

2

2

y 2 2 x x

2

2 y

2

2

por lo cual sest  =

p 

p 

SS E  = s  =  sy 1

2

¡r :

zoom in zoom out

sy y(x) =< y > +r  + r (x  < x >): sx

SSE  SS E    =

Indice

sy : sx

Tambi ambi¶¶een n se dice que el ajuste es completamen completamente te imperfecto si s i   r   = 0;  caso que suele describirse diciendo que no hay correlaci¶on on lineal.. Finalmente nos quedamos con esta ¶u ultima ltima versi¶oon n de la ecuaci¶oon n de la recta a justada por m¶³nimos cuadrados a los datos:

r P

página

2

 

60

Estad¶³stica de datos Note adem¶aass que este error tambi tambi¶¶een n se reduce a cero si   sy  = 0, puesto que en este caso todos los datos y datos  y i  son iguales.

3. 3.4. 4.3 3

Resu Resume men n

Finalmente, al margen de las demostraciones, interesan los resultados, que pueden escribirse como: estad¶³³grafos gra fos de una muestr muestra a   xi ; i  : 1; : : : ; n :

página Indice

promedio muestral < x >= x¹  =

 1 n

desviaciones est¶aandar ndar muestrales

sn   = =

sn¡1   = =

r  X

X

xi ;

1 (xi  < x >)2 n < x 2 >  < x >2 ;

¡  ¡

p 

r  X r  ¡ p 

 1 (xi  < x >)2 n 1  n < x 2 >  < x >2 ; n 1

¡

 ¡

¡

varianzas varianz as muestrale muestraless s2n

 1  = (xi  < x >)2 n =   < x2 >  < x >2 ;

X

¡  ¡

  1 (xi  < x >)2 ¡  = n 1   n = (< x 2 >  < x >2 ): n 1

s2n 1

¡ ¡

X

¡  ¡

zoom in zoom out

 

3.4 M¶ etodo de m¶³nimos cuadrados

61

Para  n grande, Para n  grande, las di diferencias ferencias entre los estad estad¶¶³grafos de dis dispersi persi¶oon ¶n de la mues2 2 tra s tra  s n  y  s n¡1  son m¶³nim ³nimas. as. (O entr entree  s n  y s  y  s n¡1 ) Sin embargo hay una diferencia conceptual entre ellos. Siuiera se trata de establecer oon n de respect respecto o al prom promedio, edio, cualq cualquiera de ellos la de¯ne la dedispersi¶ una maner manera. a. los Sindatos embargo, y esto ser¶a establecido m¶as as adelante, si se trata de estimar los valores 2 de la varianza (¾ (¾ ) del Universo del cual la muestra proviene, es un mejor 2 estimador s estimador  s n¡1 . página

Recta de a juste de m¶³nimos cuadrados

Indice

Forma 1: y(x) =< y > +r  + r

sy (x  < x >): s

¡

x

zoom in

Forma 2:

zoom out

y(x) = a +  a  + bx: Coe¯ciente Coe¯ci ente de correlaci¶ o on n lineal de Pearson  < yx >  < x >< y > r  == : sxsy

 ¡

Desvi Des viaci acione oness es est¶ t¶ a andar nd ar sx   = sy   = Variaci¶ on on total SS T   T   =

p 

< x2 >  < x >2 ; < y 2 >  < y >2 :

 ¡  ¡

p  X¡

(yi  < y >)2 =  ns2y :

Variaci¶ on on no explicada SSE  SS E  =  =

X

(yi

2

¡ y(x )) i

= ns2y (1

2

¡ r ):

 

62

Estad¶³stica de datos Variaci¶ o on n explicada (y (xi )  < y >)2 = nr 2 s2y

SSR SS R  =

X ¡ r P  ¡

Error est¶a andar ndar del a just juste e sest  =

(yi

p 

y(xi ))2   =  sy 1 n

2

¡r :

página

Pendiente Indice

sy   n xi yi xi yi = sx n x2i ( xi )2 < xy >  < x >< y > < x2 >  < x >2 < xy >  < x >< y > : s2x

b = r =

 

= 

PP  ¡ PP P  ¡

 ¡

 ¡ ¡

zoom in zoom out

Intercepto x2i yi xi xi yi sy a =  r = 2 n xi ( xi)2 sx   < x 2 >< y >  < x >< xy > = < x 2 >  < x >2   < x 2 >< y >  < x >< xy > = : s2x

 ¡

P PP ¡ PP P  ¡

 ¡  ¡  ¡

 

Cap¶ Cap ¶³tulo   4

Modelos lineales.

página Indice

4.1 4. 1

In Intr trod odu ucc cci¶ i¶ o on. n.

zoom in

En el cap cap¶¶³tulo anterior se explic¶ o el llamado a juste lineal de m¶³nimos cuadrados dra dos.. En f¶³si ³sica, ca, en la ma may yor par parte te de los casos casos,, se tie tiene ne en me ment ntee un modelo el cual debe ser contrastado con los datos obtenidos. En este punto, generalmente la cuesti¶oon n es: >ha >hay y evid evidencia encia experim experiment ental al para rec rechazar hazar el modelo? Si la respu respuesta esta es no, ello no signi¯ca que se haya elegi elegido do el mej mejor or modelo mode lo o que el mode modelo lo cor corres respond pondaa a la rea realid lidad. ad. Pue Pueden den haber muc muchos hos modelos distintos relativos al mismo fen¶oomeno meno que no puedan ser rechazados por la evidencia experimental. En este punto probablemente deba elegirse de acuerdo a otro tipo de criterios. Por ejemplo: el m¶as as simple, el m¶aass elegante, el que tenga menos par¶aametros, metros, el que est¶e de acuerdo con alguna teor teor¶¶³a mas amplia, a mplia, etc¶eetera. tera. Desde nuestro p personal ersonal punto de vist vista, a, llaa ff¶¶³sica experimental no demuestra cuestiones, sino que m¶aass bien no descarta hip¶ootesis tesis a menos que los datos as as¶¶³ lo indiq indiquen. uen. Por ejempl ejemplo, o, no puede demost demostrarse rarse experimentalmente que la ley de interacci¶oon n entre dos cargas puntuales es inversa al cuadrado de la distancia, sino m¶aass bien debe decirse que no se ha encon encontrado trado eviden evidencia cia experime experimental ntal para rechaz rechazar ar ese modelo modelo.. De hecho las teor teor¶¶³as - que son en cierta medida modelos  justamente son descartadas cuando se encuentra evidencia experimental contraria. En f¶³sica existe una permanente b b¶ u usqueda ¶squeda de las posibles relaciones entre propiedades prop iedades f¶³sicas ³sicas,, alg algunas unas veces derivadas de alguna teor teor¶¶³a, ootras tras veces por experimentaci¶on on pura. En el primer caso, evidencia experimental en con-

 ¡

zoom out

 

64

Mo delos lineales. trario causa un quie trario quiebre bre de la teor teor¶¶³a, mien mientras tras que en el segundo caso, si se encuentra que una relaci¶oon n no es objetable, se trata afanosamente de justi¯carla ooricamente, , lo cual a su encuentra vez produce av avances ancespara en las teor teor¶¶³a.av Elances av avance ance de loste¶ m¶ etodos ericamente todos experimentales caminos producir avances en las las teo teorr¶³a ³as, s, as¶³ ta tambi¶ mbi¶een n a la inver inversa sa.. En el cap cap¶¶³tulo anterior se indicaron las t¶eecnicas cnicas para hacer un ajuste de m¶³ni ³nimos mos cuadr cuadrado adoss a un con conjun junto to de dat datos. os. Es una pregu pregunt ntaa fre frecue cuent ntee del c¶oomo mo estimar los errores del ajuste, los errores de la pendiente y del inte interc rcep epto to.. Es m¶ aas, s, mu muchos chos progr programas amas compu computacio tacionales nales simple simplemen mente te los calculan. Sin embargo hay cuestiones conceptuales que es conveniente aclarar antes de entrar a ese tema el cual requiere de matem¶aaticas ticas algo avanzadas pero que ser¶a presentado de todos modos por completitud. Si los datos fueran por ejemplo el consumo per c¶aapita pita ((yyi ) de alg¶ u un n proi ), y los datos son los correctos, no hay nada m¶ ducto duct o a trav¶ sd del el ttiemp iempo ((x x¶³nimo as as que hacer y eesel ajuste deo m ³nimos s cuadr cuadrados, ados, resulte de la calid calidad ad que sea, es todo lo que se puede hacer hacer.. Podr Podr¶¶³amos a lo sumo hacer una pred predicci¶ icci¶ on on sobre el consumo per c¶aapita pita del a~n noo siguiente, pero no hay forma de estimar su error aun cuando el ajuste de los a~n nos os anteriores sea perfecto. Esto es un ejemplo pero p ero hay much much¶¶³simas situaciones del mismo tipo. Hay otro tipo de situaciones y eso hay que aclararlo a priori antes de intentarr aapli intenta plicar car las t¶eecnicas cni cas que se expl explicar icar¶¶aan. n.

4.2

Mod odel elo o line lineal al..

Es posible la hip¶ ootesis, tesis,dos basada en alg¶ u un der argumentos, de que existe una aventurar relaci¶oon n lineal entre variables ((x; x;n ytipo ). Po Por ejem ejemplo plo bas¶ aandose ndose en la teor teor¶¶³a electromag electromagn¶ n¶eetica, tica, se puede hacer la hip¶ootesis tesis de que la corriente en un dispositivo es una funci¶on on lineal del voltaje aplicado. aplicado. Es decir se puede conjeturar que y  = ®  =  ® +  + ¯x: Los coe¯cientes  coe¯cientes   ®   y   ¯   ¯   se denominan los par¶aametros metros del modelo y se desea tener alguna estimaci¶oon n de ellos, y ojal¶a establecer intervalos donde ellos deber¶¶³an encon deber encontrar trarse se con alguna proba probabilid bilidad ad especi¯ especi¯cada. cada. Si se efec efect¶ t¶ u uan an mediciones para un n¶u umero mero de valores \exactos" de   x  se obtendr¶a un con junto de valores medidos medidos   y  los cuales por la naturaleza de los procesos de

página Indice

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4.2 Modelo lineal.

65

medici¶ oon, n, tendr¶aan n errore errores. s. Es decir exist existir¶ ir¶ a alguna distribuci¶oon n de los valores y res  y  medidos. i ) constituye una muestra aleatoria, y los En otrasdel palabras (ycuadrados coe¯cientes ajusteeldeconjunto m¶³nimos(y

y  = a  =  a + bx; es decir la página

Pendiente b  =

 < xy >

 ¡ < x >< y > ; s2x

Indice

y el Intercepto a  =

  < x2 >< y >

 ¡ < x >< xy > :

s2x pasan a ser variables aleatorias puesto que los   yi  lo son. Nat Natura uralme lment nte, e, es ahora importante dilucidar cuestiones acerca del cu¶aanto nto se acercan los valores calculados de a de  a y  y b  b a  a los valores verdaderos o sea los par¶aametros metros del modelo. Del modelo y  = ®  =  ® +  + ¯x de deduce que el valor esperado de  y i   es E (yi) = ® +  ®  + ¯E  ¯E ((xi ) =  ® + ¯x i : Adem¶ aass es f¶aacil cil establecer que  1 E (   < y >) = n E (yi) = ® + ¯ < x >;  1  1 E (   < xy >) = xiE (yi ) = xi (® + ¯x i ) n n =   ® > +  +¯ ¯ < x2 > :

X X

X

Entonces podemos calcular   E (< xy >) >)  < x > E (< y >) E (b) = s2x   ® < x >  +¯  +¯ < x 2 >  < x >  (®  ( ® + ¯ < x >) >) = s2x =   ¯:

¡

 ¡

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66

Mo delos lineales. Similarmente   < x 2 > E ( E (< y >)  < x > E (< xy >) >) 2 x

E (a) =

¡s

2

  < x > (®  ( ® + ¯ < x >) >)  < x > (®  (® < x > + >  +¯ ¯ < x2 >) = s2x =   ®:

¡

Es decir hemos demostrado que:

página

 Teorema 4.1 a  y   y bb  son estimadores insesgados de los par¶  ametros  ®  ®   y   ¯: I

Indice

El c¶aalculo lculo de la varianza de de a  a y  y b  b es  es m¶aass complicado. La tarea se simpli¯ca algo si calculamos primero en general para una funci¶oon n lineal en los los y  y i  de la forma c =

X i

di yi

Aceptaremos para los diversos  diversos   xi   las variables aleatorias  aleatorias   yi ; y j  son independientes y tienen la misma varianza ¾ varianza  ¾:: Entonces d2i : ¾2c   = d2i ¾ 2 (yi2) = ¾ 2

X

X

i

i

Luego de

P

 1 b  = n

(xi  < x >)yi ; s2x

podemos calc calcular ular 2

 1

¾b   = n2 Similarmente de

sigue que

 1 a  = n

 < x >)2 ¾2

i (xi

P P P

  ¾2 2 ¾ a  = 2

¡

= n s2x :

4 x

¡s

(< x 2 >

 ¡ < x > x )y ; i

i

s2x

(< x 2 >

2

 ¡ < x > x ) :

s4x n Usted podr p odr¶¶³a probar que esto se puede escribir ¾ 2a  =

  1 ¾2

  ¾2 < x2 > n s2x

i

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4.2 Modelo lineal.

4. 4.2. 2.1 1

67

Esti Estima maci ci¶ o ¶ on n de dell par¶ par¶ a amet metro ro   ¾:

Para que las f¶oormulas rmulas anteriores tengan alguna utilidad, debemos ser capaces de estimar  estimar   ¾: ¾: Se  Se enuncia sin demostraci¶oon n el siguie siguiente nte teorem teorema. a.   Teorema 4.2 Un estimador insesgado de  ¾  ¾ 2 es  I

s2 =

  SS E  : n 2

página

¡

Indice

Note que si el ajuste a juste es perfe perfecto cto S  SSE  SE  =  = 0. Adem¶aass d dee ac acuer uerdo do aall ca cap p¶³tul ³tuloo anterior sest  = SS E  = s  =  sy 1 r 2;

p 

p 

¡

de modo que podemos estimar ¾ estimar  ¾   mediante   sy 1 r2 ¾  s =  s  = n 2

p  ¡ p  ¡

 ¼

4.2.2 4.2 .2

zoom in zoom out

Inter Interv valos alos de con con¯a ¯anz nza a para para   ®   y   ¯:

Aqu¶³, nuev Aqu¶ nuevamente amente es necesario hacer algunas suposiciones. Podemos estimar ®,   ¯  mediante ¯  mediante los coe¯cientes   a   y   b, pero debemos cuanti¯car algo sobre la validez de la estimaci¶oon. n. El probl problema ema pas pasaa por saber la dis distri tribuc buci¶ i¶ oon n de probabilidad que tienen las variables aleatorias   a(y) y   b(y). A su ve vezz es esto to depende de la distribuci¶oon n de probabilidad que tiene la variable aleatoria y aleatoria  y.. Supondremos que la variable aleatoria   y   es normal con valor esperado i ¹  = ®  =  ® +  + ¯x i  y desviaci¶oon n estandar estandar ¾  ¾.. Usted podr po dr¶¶³a hacer otras suposicio suposiciones, nes, pero es en este caso donde hay varios teoremas que enunciamos sin demostraci¶oon: n:   Teorema 4.3 Un intervalo de con¯anza del  (1 del  (1 I

¡ p)100%  p)100% para  para el par¶  ametro  ametro    ¯   es 

¯   = b

§  sstp n  p=  p=2 2

x

donde  t  t p=2 on t on  t  con   n  p=2  es un valor de la distribuci¶ 

¡ 2  grados de libertad.

 

68

Mo delos lineales.  Teorema 4.4 Un intervalo de con¯anza del  (1  (1 I

¡ p)100%  p)100% para  para el par¶  ametro  ametro  ®  ®   es 

®  = a  =  a

§

p P

 st p=2 x2i  p=2 nsx

donde   t p= on t on  t  con  n  p=2 2  es un valor de la distribuci¶ 

¡ 2  grados de libertad.

página

 Teorema 4.5 Intervalo de predicci¶  on. Un inter interv valo de con¯anza del   (1  p)100%  p)100% para  para el  valor esperado de una medici¶  on  on   y0   correspondiente al valor  x  x 0   es  I

¡

 (x  ( x0  < x >)2

 1 y0  = y  =  y((x0 )

donde   t p=  p=2 2

 p=  p=2 2

§ st

s 

¡s p n  es un valor de la distribuci¶  on t on  t  con  n ¡ 2  grados de libertad. 1 + n  +

x

zoom in zoom out

En estos teoremas la notaci¶on on y  = y  =  y0

§ ²;

signi¯ca y0 y

¡ ² < y < y  + ²; 0

p  ¡ p  ¡

  sy 1 r 2  : s  = n 2

4.2.3 4.2 .3

Indice

Valores alores partic particula ulares res de  de   t p:

Para calcular los intervalos de con¯anza se~ n nalados alados se requieren los valores cr¶³ticos   t p= u umero mero de grados de libertad es   gl   =   n 2.  p=2 2  para los cuales el n¶ Por ejemplo si n si  n =  = 20 y se desea un intervalo de con¯anza del 95% entonces gl = gl  = 18, p= 18,  p=22 = 00::05 05==2 = 0:025, 025, t  t p= 101::  p=2 2  = 2:101

¡

 

4.2 Modelo lineal.

69

gl.  p   0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657

n

32 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 inf.

11..868368 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.282

22..932503 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.645

43..310832 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 1.960

64..956451 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.326

95..982451 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.576

página Indice

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70

Mo delos lineales.

página Indice

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Cap¶ Cap ¶³tulo   5

Fundament mentos os f¶³sicos. página Indice

En este es te cap¶³³tulo tul o se eexpli xplican can los cconc oncepto eptoss ff¶¶³si ³sicos cos o mate matem¶ m¶aticos aticos de las diversas opciones de c¶aalculo lculo o simulaci¶oon n que tien tienee el progra programa. ma. En el ¶u ultimo lt imo cap¶³tulo ³tu lo se explican m¶as as detalles de las opciones que ofrece el programa en cada uno de estos casos.

5.1 5. 1

Pr Prob oble lem ma de de llos os d dos os cu cuer erpos pos..

El famoso problema de los dos cuerpos con interacci¶on on gravitacional entre ellos, es un problema soluble de la Mec¶aanica nica Cl¶aasica. sica. Tomando en cuenta la validez del principio de acci¶oon n y reacci¶oon, n, las dos ecuaciones para ese caso son ~ (r~ 1  ~  m1~a1  =  f  r2 ) ~ (r~ 1  ~  m2~a2  = f  f ( r2 ):

¡  ¡ ¡

Esas ecuaciones son f¶aacilmente cilmente desacoplables utilizando como nuevas variables las posici¶oon n del centro de masa ~rG  =

  m1~r1  + m2~r2 ; m1  + m2

y la posici¶oon n relativa ~r  = ~  =  ~r1

¡ ~r ; 2

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72

Fundamentos f¶³sicos. Y m1

m2

r 1

r 

2

página X

O

Indice

Figura 5.1: Problema dos cuerpos. resultando zoom in

M~aG  = 0; ~ (~r ); ¹~a =  f 

zoom out

siendo ¹ siendo  ¹  la masa reducida del sistema de dos part part¶¶³³culas, culas, es d decir ecir ¹ =

  m1m2 : m1 + m2

Entonces, el problema se ha reducido a resolver el problema de una part part¶¶³cula de masa reducida ¹ reducida  ¹  en presencia de una fuerza central, con centro de fuerza en una de las part part¶¶³culas. Este resultado es sorprendentemente simple considerando que el origen (la posici¶oon n de una de las part part¶¶³culas) est¶a acelerado. Para el caso de la fuerza gravitacional ~ (r~ 1 f  f (

¡  r~ ) =  j~rGm¡ ~mr j (~r ¡ ~r ); 1

2

1

donde   G = 6:67259 donde

5.1.1 5.1 .1

£ 10¡

11 m3

2

2 3

2

1

n. kg¡1 s¡2 es la constante de gravitaci¶oon.

Soluci Sol uci¶ ¶ o on n num¶ eric erica. a.

Para efectos de la soluci¶oon n num num¶¶eerica, rica, no es necesario el procedimiento de separar separ ar vari variables. ables. Si suponemos que el mo movimie vimient ntoo tiene lugar en el plano

 

5.1 Problema de los dos cuerpos.

73

xy xy las  las ecuaciones de movimiento ser¶an an   Gm2 ~a1  = ~r1

3

2

1

j ¡ ~r j (~r ¡ ~r );   Gm ~a  =  ¡ j~r ¡ ~r j (~r ¡ ~r ); 2

1

2

1

2

3

2

1

donde la d distanci istanciaa entre las part part¶¶³culas es es d  d12  = ~r1 En componentes

 j ¡ ~r j =

  Gm2 (x2 x1 ); d312   Gm2 (y2 y1 ); yÄ1   = d312 Gm1 xÄ2   = (x2 x1 ); 3 d12 Gm 1 yÄ2   = (y2 y1); d312 xÄ1   =

2

p 

(x2

2

¡ x ) + ¢ ¢ ¢: 1

¡

página Indice

¡

 ¡  ¡

¡ ¡

Un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales de segundo orden. Para reducirlas a un sistema de ecuaciones de primer orden, se usan las de¯niciones de velocidades v velocidades  v x1   = x_ 1  et  etc¶ c¶etera, etera , resu resulta ltando ndo   Gm2 (x2 d312 x_ 1   =   vx1 ;   Gm2 (y2 v_ y1   = d312

v_ x1   =

¡ x ); 1

¡ y );

y_1   =   vy1Gm ; 1 (x2 v_ x2   = 3 d12 x_ 2   =   vx2 ; Gm1 v_ y2   = (y2 d312 y_2   =   vy2 ;

1

 ¡

¡ x );

 ¡

¡ y );

1

1

es decir un sistema de 8 ecuaciones diferenciales simult¶ aaneas neas de primer orden que han sido resueltas mediante un algoritmo de Runge Kutta de cuarto orden, vea (1.2). En el progr programa, ama, las unidad unidades es son arbit arbitraria rarias, s, pueden varia variarse rse las masas y las condiciones iniciales que est¶aan n all¶³ especi especi¯cadas ¯cadas son

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74

Fundamentos f¶³sicos. Distanciaa iinicial nicial entre la lass pa part rt¶¶³culas. ²   Distanci   Componente radial de la velocidad inicial de la part part¶¶³cula (1) (1)::

²²   Componente transversal de la velocidad inicial de la part part¶¶³cula (1) (1):: Las componentes iniciales de la part part¶¶³cula (2) se ajustan autom¶aaticamente ticamente de modo que el centro de masas del sistema permanezca en reposo.

5.2 5. 2

Pr Prob oble lema ma de llos os ttre ress cu cuer erpos pos..

página Indice

El famoso problema de los tres cuerpos con interacci¶oon n gravitacional entre ellos,, es un probl ellos problema ema no solub soluble le de la Mec¶ aanica nica Cl¶asic a sica. a. Es Esto to es qu quee no hay soluciones anal anal¶¶³ticas del problema, sin embarg embargo, o, soluciones num num¶¶eericas ricas son posibles y es eso lo que explicaremos. Tomando en cuenta la validez del principio de acci¶on on y reacci¶oon, n, las ecuaciones para este sistema son   Gm3   Gm2 (~r3 ~r1 ); ( ~ r ~ r ) + ~a1   = 2 1 ~r1 ~r3 3 ~r1 ~r2 3   Gm3   Gm1 (~r3 ~r2 ); ( ~ r ~ r ) + ~a2   = 1 2 ~r2 ~r3 3 ~r2 ~r1 3   Gm2   Gm1 (~r2 ~r3 ); ( ~ r ~ r ) + ~a3   = 1 3 ~r2 ~r3 3 ~r1 ~r3 3

j ¡ j

¡

j ¡ j

¡

j ¡ j

¡

j ¡ j

¡

j ¡ j

¡

j ¡ j

¡

problema matem¶atico atico que no separable, es decir no se pueden escribir ecuaciones para variables sepa separadas, radas, y por lo tanto no se pued puedee integrar an anal al¶¶³ticamente

5.2.1 5.2 .1

Soluci Sol uci¶ ¶ o on n num¶ eric erica. a.

Para efectos de la su soluci¶oon n num num¶¶eerica, rica, no es necesario separar var variables. iables. Si suponemos que el movimiento tiene lugar en el plano  plano   xy, xy, que es un caso particular, hay como inc¶oognitas gnit as para el p problema roblema num¶eerico rico de pri primer mer orden 6 coordenadas coorden adas y 6 com component ponentes es de vel velocidad, ocidad, es decir el sistema de ecuac ecuacione ioness de primer orden tiene 12 ecuaciones simult¶aaneas. neas. Ellas son an¶aalogas logas aunque algo m¶as as complicadas que para el problema de los dos cuerpos y no las escribiremoss aq escribiremo aqu u¶³. El p primer rimer pa parr es:   Gm2 (x2 d312 x_ 1   =   vx1 :

v_ x1   =

¡ x ) +  Gm d 1

2 13

3

(x3

¡ x ); 1

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5.3 Proyectiles.

75

En el programa, las unidades son arbitrarias, pueden variarse las masas y las condiciones iniciales que est¶aan n all all¶¶³ espec especi¯cada i¯cadass para las tres part part¶¶³culas inicial mente en l¶³nea recta son: inicialmente   Componente radial de la velocidad inicial de la part part¶¶³cula (1) (1)::

² ²   Componente transversal de la velocidad inicial de la part part¶¶³cula (1) (1):: ²   Componente radial de la velocidad inicial de la part part¶¶³cula (2) (2):: ²   Componente transversal de la velocidad inicial de la part part¶¶³cula (2) (2):: ²   Distancia inicial de la part part¶¶³cula (1) al centro de masas. ²   Distancia inicial de la part part¶¶³cula (2) al centro de masas.

Las componentes iniciales de velocidad y posici¶oon n de la part part¶¶³cula (3) se ajustan autom¶aaticamente ticamente de modo que el centro de masas del sistema permanezca en reposo en el centro de la ventana gr¶aa¯ca. ¯ca.

5.3 5. 3

página Indice

zoom in zoom out

Pr Pro oyec ecti tile les. s.

La aplicaci¶oon n de la segunda ley de Newton para un objeto que se mueve bajo la acci¶oon n de la aceleraci¶oon n de gravedad, supuesta constante   g   = 9:8 m s¡2 hacia abajo, mxÄ   = 0; myÄ   = g:

 ¡

Si h Si h indica  indica la altura inicial sobre el origen, v origen,  v0  la rapidez inicial y ® y  ® es  es el ¶aangulo ngulo inicial que forma la velocidad con el eje  eje   x, entonces mediante integraci¶oon n se obtienen los siguientes resultados

²   coordenadas y velocidades vx   =   v0 cos ®; x   =   v0(cos ®)t; vy   =   v0 sin ® gt;

¡

y   =   h + v0 (sin ®)t

¡  12 gt : 2

 

76

Fundamentos f¶³sicos.

²   La ecuaci¶oonn cartesiana de la trayectoria es 2

y  = h  =  h + x tan ®

¡ 2 v gx  cos 2 0

2®

:

²  Para dar en un blanco a un punto  x; y  el ¶aangulo ngulo de disparo deber¶³a ³a ser tal que

tan ® =

  v02

 §

p   ¡ (v04

2gyv gy v02 + 2ghv 2 ghv02   gx

2 2

 ¡ g x ) :

página Indice

²   Par¶aabola bola de seg seguri uridad. dad.

Si la can cantid tidad ad sub subrad radica icall es cero, estam estamos os en la frontera de la regi¶oon n alcanzable por los dispar disparos. os. Ent Entonce oncess esa curv curvaa ser¶a 4 0 v

de donde

 ¡

2 0 2gyv gy v  +

y  = h  =  h +

2 0 2 ghv 2ghv

2 2

 ¡ g x

 1 2 v 2g 0

= 0; 0; zoom in

 ¡ 12 vg x : 2

zoom out

2 0

²   Para lleg llegar ar a puntos en el l¶³mite, o sea sobre la pa par¶ r¶aabola bol a de segurid seguridad, ad, el ¶aangulo ngulo de disparo estar¶a dado por

  v02 tan ®  = : gx

Y

parábola de seguridad !

h parábola de disparo O

Proyectiles.

X

 

5.4 Caminata al azar.

5.4 5. 4

77

Camin amina ata al az aza ar.

Un ejemplo importante en la f¶³sicaejemp consiste analizar movimien movimiento sometido meti do a variac ariaciones iones al azar azar. . Este ejemplo lo lo en const constituy ituyee launcami caminata nata altoazar, donde un punto puede moverse a la derecha o hacia la izquierda con probabilidad p lidad  p a  a la derecha y q  y  q  hacia  hacia la izquierda, con longitud de pasos peque~n na d; a  d; siendo p siendo  p + q  =   = 1. Como se explica con m¶as as detalles en eell ap¶eendice ndice la funci¶on on distribuci¶ distrib uci¶oon n de probabil probabilidad idad de su posi posici¶ ci¶on x on  x,, cuando los pasos son de longitud d tud  d y  y han ocurrido N  ocurrido  N  pasos  pasos en total con p con  p =  = q   q  =  = 1=2 resulta te¶ooricamente ricamente ser (la distr distribuci ibuci¶¶oon n binomial, vea 2.1) P N N  (x) =

  N !  x N  ( N  2   + 2d )!( 2

 ¡

página Indice

1 N  ( ) :  x 2 )! 2d

A medida que la longitud de los pasos tiende a cero, y el n¶u umero mero de pasos tiende a in¯nito, la variable  variable x  tiend  tiende e a ser  N  una variabl ariable e contin continua. ua. m¶as as precisa buscaremos el l ¶³mite cuando cuando  , tendiendo  tendiendo   d En  0 forma en la forma  ¾ d  = : N  Luego la probabilidad de que la variable x tenga valores entre x  = 2m N  d y  x =  x  = 2m + 2 N  d, es decir en el intervalo

 ! 1

 !

p 

 f

 f ¡ g

¡ g

dx dx =  = 2d  = resultando f (x) =

  2¾ N 

p 

  1

  x2

e¡ 2¾2 :

¾ 2¼ con valor espe esperad radoo ce cero ro y de desvi sviaci aci¶on ¶on est¶aandar ndar   ¾. Para ara ef efec ecto toss de ha hace cerr c¶alcu al culo loss nu num¶ m¶eericos ri cos ¾  = d  =  d N 

p  p 

con N  con  N  grande  grande debemos hacer pasos peque~n nos d os  d =  = ¾  ¾==

5.5 5. 5

Bif ifur urca caci cion ones es..

Con f  Con  f ((x) = °x  ° x(1

¡ x) considere co nsidere la regla de iteraci¶oon n x  = °  =  °x x (1 ¡ x ) =  f   f ((x ): n+1

n

n

n

p N con N con ¾  ¾  arbitrario.

zoom in zoom out

 

78

Fundamentos f¶³sicos. Con un par¶aametro metro 22::5   < ° <   4:  Partiendo de un valor cualquiera   x1   y un determinado   ¹  la sucesi¶oon determinado n de valores sucesivos generados   x1 ; x2 ; : : : muestra :  muestra un comportamiento interesante, que usted podr¶a apreciar m¶aass a plenitud al ejecutar el programa, men¶u de simulaciones, submenu bifurcaciones. Si usted recuerda el m¶eetodo tod o it iterativo erativo p para ara buscar una ra ra¶¶³z, vea (1.1 (1.1), ), a primera vista parecer¶ pare cer¶³³aa que esta estamos mos bus buscand candoo la ra ra¶¶³z de x = f   =  f ((x): En efecto, eso sucede para un intervalo de valores de   ° . Sin em embar bargo, go, para valores de   °   °   mayores mayores (m¶ as as precisamente   ° >   3 ) ocurre que despu despu¶¶eess de algunas pocas iteraciones se repiten dos valores

página Indice

x2   =   f ( f (x1 ); x1   =   f ( f (x2 ); o en otras palabras sucede que

zoom in

x  = f   =  f ((f ( f (x)) )):: Se dice que el sistema ha experimentado una bifurcaci¶on. o n. De u una na ssol oluuci¶oon, n, ahora hay dos. Simila Similarr comportam comportamien iento to oocurre curre al seguir aument aumentando ando el par¶aametro  metro   ° . Aparecen 4 soluciones, luego 8 y as¶ as¶³ sin l¶³mite. Un famoso diagrama que ilustra esta secuencia de bifurcaciones se ilustra en la ¯gura que sigue. En el programa, en la opci¶oon n del men¶ u 2, submen¶ u bifurcaciones usted podr¶a experimentar sobre este tema en particular estudiar la estructura m¶as as ¯na del diagrama de bifurcaciones que muestra una clara estructura fractal. La explicaci¶oon n de la secuencia de bifurcaciones es m¶aass o menos la que sigue. Como se ex explic¶ plic¶o en (1.1), la iteraci¶on on x = f   =  f ((x); converge a la ra ra¶¶³z, la intersecci¶oon n de la recta recta   y   =  x  con la funci¶on  on   f ( f (x) si el ¶angulo de la intersecci¶oon angulo n es mayor de de   ¼=2 ¼= 2:  Como la recta tiene pendiente 1 0 o la intersecci¶oon n a 90 se tiene si f  si  f  (x) = 1. Eso quiere decir que la iteraci¶on on converge hasta que a la vez

 ¡

f (x) =   x; f 0 (x) = 1:

 ¡

zoom out

 

5.5 Bifurcaciones.

79

página Indice

Figuraa 5.2: Bifu Figur Bifurcac rcaciones. iones. De aqu aqu¶¶³ se puede calcular  ¹  que corresponde a la primera bifurcaci¶oon n ° ((11

¡

x   =   °x °x(1 (1 2x) = 1;

 ¡

de la primera x  = 1

¡ x);

¡  ° 1

y eliminando  eliminando   x  se obtiene ° 1  = 3: Para encontrar el comienzo de la segunda bifurcaci¶on on deber¶a ser x   =   f  f ((f  f ((x)) ));; f 0 (f  f ((x)) ))f  f 0 (x) = 1:

 ¡

Es un buen ejercicio probar que entonces ° 2  = 1 +

p 

6 = 3: 4495 4495::

El problema algebraico que signi¯ca encontrar anal anal¶¶³ticament ³ticamentee los puntos de las bifurcaciones bifurcaciones superior superiores, es, es un gran probl problema. ema. (Seg¶ un un mis conocimientos no resuelto)

zoom in zoom out

 

80

Fundamentos f¶³sicos.

5.6

Sc Sca att tte eri ring ng..

Este otro problema deble dosdecuerpos con interacci¶ oon eectrica ctri entre ello el los, s,esqu que e esfamoso un prob proble lema ma so solu luble la Me Mec¶ c¶ aanica nica Cl¶asic asica. a.n el¶ Si la lasscacar carga gass el¶eectricas ctricas son de magnitu magnitudes des   q 1   y   q 2,   K   K   la constante de la ley de Coulomb (K   = 1=4¼² 0 ) entonces las ecuaciones de movimiento son   K q 1 q 2 (~r1 ~r1 ~r2 3   K q 1 q 2 (~r2 m2~a2  = ~r1 ~r2 3

m1~a1  =

j ¡ j

¡ ~r )

página

j ¡ j

¡ ~r )

Indice

2

1

Esas ecuaciones son f¶acilmente acilmente desacoplables utilizando como nuevas variables la posici¶oon n del centro de masa ~rG  =

  m1~r1 + m2~r2 ; m1 + m2

y la posici¶oon n relativa ~r  = ~  =  ~r1

¡ ~r ; 2

resultando M~aG  = 0;   Kq 1 q 2   ~r; r; ¹~a  = ~r 3

jj

siendo ¹ siendo  ¹  la masa reducida del sistema de dos part part¶¶³³culas, culas, es d decir ecir ¹ =

  m1m2 : m1 + m2

Entonces, el problema se ha reducido a resolver el problema de una part part¶¶³cula de masa reducida  reducida   ¹  en presencia de una fuerza repulsiva central, con centro de fuerza fu erza en u una na d dee las part part¶¶³culas.

5.6.1 5.6 .1

Soluci Sol uci¶ ¶ o on n num¶ eric erica. a.

Para efectos de la su soluci¶oon n num num¶¶eerica, rica, no es necesario el procedimiento de separar separ ar vari variables. ables. Si suponemos que el mo movimie vimient ntoo tiene lugar en el plano

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5.6 Scattering.

81

xy xy las  las ecuaciones de movimiento ser¶an an   K q 1q 2 m1d312 (x1   K q 1q 2 (y1 yÄ1  = m1d312   K q 1q 2 xÄ2  = m2 ~r1 ~r2   K q 1q 2 yÄ2  = m2 ~r1 ~r2 xÄ1  =

2

¡ x ); ¡ y ); 2

j ¡ j (x ¡ x ); j ¡ j (y ¡ y ); 3

2

3

2

1

1

página Indice

donde la d distanci istanciaa entre las part part¶¶³culas es d12  = ~r1 ~r2 : Un sistema de cuatro ecuaciones ecuac iones difer diferencia enciales les de segun segundo do orden. Par Paraa reduc reducirlas irlas a un sistema de ecuaciones de primer orden, se usan las de¯niciones de velocidades  velocidades   vx1   = x_ 1

 j ¡ j

etc¶eetera, tera , resu resulta ltando ndo v_ x1   = x_ 1   = v_ y1   = y_ 1   = v_ x2   = x_ 2   = v_ y2   = y_ 2   =

  K q 1 q 2 (x1 x2); m1 d312   vx1 ;   K q 1 q 2 (y1 y2); m1 d312   vy1 ;   Kq 1 q 2 (x2 x1); ; m2 ~r1 ~r2 3   vx2 ;   Kq 1 q 2 (y2 y1 ); 3 2 1 2 m ~r ~r   vy2 ;

¡

¡

j ¡ j

¡

j ¡ j

¡

es decir un sistema de 8 ecuaciones diferenciales simult¶ aaneas neas de primer orden que han sido resueltas mediante un algoritmo de Runge Kutta de cuarto orden, vea (1.2). En el progra programa, ma, las unidad unidades es son arbit arbitraria rarias, s, pueden varia variarse rse las masas, las cargas, la constante de la ley de fuerza y las condiciones iniciales que est¶aan n all all¶¶³ especi¯cadas especi ¯cadas que corresp corresponden onden a part part¶¶³culas que de muy lejos se acer acercan can en l¶³neas parale paralelas las al eje eje   x  separadas con un distancia se denomina par¶aametro metro de impa impacto. cto. Puede Pueden n ent entonces onces especi¯c especi¯carse arse de  q  . ²  Rapidez inicial de q  1

zoom in zoom out

 

82

Fundamentos f¶³sicos. Y

m2

r 1

 

r 

m1

página

2

X

O

Indice

Figura 5.3: Scattering. zoom in

de  q  . ²  Rapidez inicial de q  ²   Par¶aametro metro de impacto. (1) (1):: 2

5.7

zoom out

P¶ e endulo ndulo de Ka Kapitza. pitza.

De la din¶aamica mica de un sistema de part part¶¶³culas, se sab sabee que la relaci¶ oon n general ext   ~    ~  entre derivada de momentum angular LA   y torque ¡A   con re respec specto to a un punto arbitrario A arbitrario  A  es ~ A dL   = ~  ¡ext M AG ~aA ;   (5.1) A dt siendo G siendo  G  el centro de masas. El p¶eendulo ndulo de Ka Kapitza pitza consis consiste te en un p¶eendulo ndulo de longitud  longitud   L  (una barra), de masa M  masa  M  y  y cuyo punto de suspensi¶on  on   A  oscila verticalmente de la forma y forma  y A  = a  =  a sin !t: Para este caso aplicando (5.1) tenemos

  ¡ ¡! £

I A ĵ  =

^  ¡M g L2   sin µ ¡ M  M ((~r ¡ ~r ) £ ~a ¢ k;

pero puede f¶aacilmente cilmente verse que ((~~rG

G

A

A

 ¡  ~r ) £ ~a  ¢  k^   =   ¡ A

A

L a!2 2

sin !t sin µ

 

5.7 P¶ endulo de Kapitza.

83 Y  A

a sin(#t) a  A

X G "

página Indice

Figura 5.4: P¶eendulo ndulo cuyo punto de suspensi¶oon n oscila obteniendo en dos pasos la ecuaci¶oon n de movimiento para el ¶aangulo  ngulo   µ L L I Aĵ  = M g   sin µ + M  a!2 sin !t sin µ:   2 2

 ¡

zoom in

(5.2)

Ha resul resultado tado una ecua ecuaci¶ ci¶ oon n no lineal, similar a un p¶eendulo ndulo simple pero sometida a una fuerza perturbadora que depende del tiempo y del ¶aangulo µ ngulo  µ.. Aqu¶³ I A  es el momento de inercia de la barra en un extremo y que es I A  =

 1 M L2 : 3

La soluci¶oon n de la ecuaci¶oon n (5.2) no es posible obtenerla en forma anal anal¶¶³tica y anal analiza izarr las dive diversa rsass con conduc ductas tas del mo movim vimien iento to de est estee sist sistema ema.. De modo que para resolverla p por or m¶ etodos etodos num num¶¶eericos ricos se transforma en un sistema de dos ecuaciones de primer orden acopladas, cuesti¶on on que permite utilizar (nuevamente) (nuev amente) los m¶ eetodos todos de Runge-Kutta. Para ello llamemos   !  =  µ_   y se tiene entonces _ !

 =

  ¡ M2I gL sin µ +  M2I L a! A

µ_   =

2

sin !t sin µ;

A

  !:

Lo sorprendente so rprendente d del el movimiento de este p¶eendulo ndulo que es p para ara valores apropi apropiaados de los par¶aametros, metros, el p¶eendulo ndulo puede tener oscilaciones estables en torno a la vertical hacia arriba. En el programa, se puede visualizar esa situaci¶on.

zoom out

 

84

Fundamentos f¶³sicos. El programa pro grama m mismo ismo d daa un indicac indicaci¶ i¶oon n de como llograrl ograrlo. o. El pr programa ograma tambi¶een n puede visualizar la evoluci¶oon n del punto representativo (!; µ ) en el llamado espacio de fase, que tiene por ejes precisamente a los valores de   !   (vertical) y  µ (horizontal).  µ  (horizontal). Se pueden variar to todos dos lo loss par¶aametros, metros, es decir la amplitud a  de la oscilaci¶oon n vertical, su frecuencia angular angular   ! , la longit longitud ud del p¶eendulo, ndulo, la aceleraci¶oon n de gravedad gravedad g  g.. La masa en realidad no in°uye, pues se cancela si se reemplaza el momento de inercia. página

5.8

Ondas.

Indice

Son ondas unidimensionale unidimensionales, s, p pertu erturbaci rbaciones ones de cualquier natura naturaleza leza que se propagan en la direcci¶on on del movimiento, que llamaremos eje X eje  X;;   representadas por alguna funci¶oon n del tipo ª(x; ª( x; t) = F  =  F ((x

§ vtvt)):

zoom in

El signo + representa una onda viajera hacia la izquierda y el signo   represen pre senta ta una onda viajer viajeraa hac hacia ia la der derec echa. ha. La forma de la per pertur turbac baci¶ i¶ on on permanece inalterada y el u unico ¶ nico efecto es que ella viaja hacia la derecha o hacia la izquierda con velocidad  velocidad   v:

 ¡

$(x,0)

$(x,t)

v

 

O

x

Onda viajera.

5.9

Onda dass arm rm¶ o onicas. ¶nicas.

Son perturbaciones viajeras del tipo ª(x; ª( x; t) = A cos( cos(kx kx

§ kvt kvt +  + Á) :

La constante A constante A se  se denomina denomina amplitu amplitud d de la onda y la constan constante te k  k se  se requiere porque el argumento argumento del coseno debe ser adime adimensiona nsionall y ser¶ a interpretada en seguida. La constante Á constante  Á  se denomina fase de la onda.

zoom out

 

5.9 Ondas arm¶ onicas.

5. 5.9. 9.1 1

85

Perio eriodo do..

En un punto ¯jo x ¯jo  x,, la onda recobra su mismo valor cada vez que transcurre un tiempo denominado periodo  periodo   T  y T  y est¶a dado por kvT  kv T    = 22¼: ¼:

5. 5.9. 9.2 2

Long Longit itud ud de onda onda..

Si el tiempo se mantiene ¯jo, la onda tiene el mismo valor y misma pendiente cada vez que la posici¶oon n se incrementa en lo que se denomina la longitud de onda ¸ onda  ¸  y est¶a dad dadaa por po r k¸ k¸ =  = 2¼:

5.9.3 5.9 .3

 1 f   =  : T 

Rela Relaci cion ones es..

vT    =   ¸;   2¼  ; k = ¸   2¼ kv   = T   T   ; de modo que la onda puede escribirse

µ

2¼ ª(x; ª( x; t) = A cos  x ¸

§

¶

 2  2¼ ¼  t + Á : T 

Veloci elocida dad d de de la onda onda..

De lo anterior destacamos el hecho que la longitud ¸ longitud  ¸  de onda y la frecuencia f  f    dete determina rminan n la vel velocidad ocidad de propa propagaci¶ gaci¶ on on de la onda de acuerdo a v  = ¸f  =  ¸f::

zoom in zoom out

de lo anterior se desprende que

5. 5.9. 9.5 5

Indice

Frec recuen uencia cia..

El rec¶ rec¶³proco del p periodo eriodo se denomina frecuencia de la onda onda f   f 

5. 5.9. 9.4 4

página

 

86

Fundamentos f¶³sicos.

5. 5.9. 9.6 6

Puls Pulsac acio ione nes. s.

Otro fen¶oomenos menos ocurre si las ondas que se superponen tienen la misma velocidad pero diferentes longitudes de onda y en consecuencia diferentes frecuencias. Suponiendo las mismas fases y amplitudes la superposici¶oon n es à  = A  =  A sin( sin(k k1 x

¡ ! t) + A sin( sin(k k x ¡ ! t); 1

2

2

que puede escribirse como à  = 2A sin

 (k  (k1 + k2)x

página

¡ (!  +  ! )t cos (k  (k ¡ k )x ¡ (! ¡ ! )t   ; 1

2

1

2

2

1

2

2

Indice

esto es el producto de dos ondas que se propagan a velocidades diferentes   ! 1 + ! 2 ; k1 + k2 1 !2 v1   =   ! k1 k2 v1   =

¡ ¡

zoom in

y que tienen frecuencias, una alta frecuencia zoom out

! 1 + !2 y otra que puede ser muy peque~na na !1

¡!

2

si las ondas que se superponen tienen frecuencias pr¶ooximas. ximas. Este fe fen¶ n¶oomeno meno se puede escuchar como un batido de baja frecuencia cuando se pulsan dos cuerdas de guitarra casi a¯nadas en la misma nota. En el computador usted podr¶a apreciar este efecto al superponer dos ondas de frecuencias parecidas en la opci¶oon n de sonido, pues cada onda ser¶a generada po porr distintos canales, y su cerebro har¶a la superposici¶oon. n. (Su (Supone ponemos mos que su comp computa utador dor est estaa equipado con tarjeta de sonido y parlantes)

5.9.7 5.9 .7

Onda Ondass estac estacion ionar arias ias..

La superposi superposici¶ ci¶ oon n de ondas de la misma amplitud, frecuencia y amplitud que viajen via jen en sentidos contrar contrar¶¶³o, por ejemplo ª(x; ª( x; t) = A sin( sin(kx kx + kvt kv t) + A sin( sin(kx kx

kvt)) = 2A sin( sin(kx kx)cos )cos kvt kv t ¡ kvt

 

5.10 Atractor de Lorentz.

87

resulta en una onda que no viaja. Por ej resulta ejempl emploo lo cero ceross de la perturb perturbaci¶ aci¶ oon, n, llamados nodos de la onda est¶aan n en posiciones ¯jas x  = 0; ¼; 2¼;

§ § ¢¢¢

5.9.8 5.9 .8

Inter Interfe feren rencia cia de onda ondas. s.

La superposici¶oon n de ondas de la mism mismaa frecue frecuencia ncia y longitu longitud d de onda pero de diferentes fases produce el fen¶oomeno meno llam llamado ado de int interfe erferenc rencia. ia. Por ejemp ejemplo lo la superposi superposici¶ ci¶ on on ª(x; ª( x; t) =  A1 cos

µ

2¼  x ¸

¶

¡  2 2¼T ¼  t + Á

+ A2 cos

µ

2¼  x ¸

página Indice

¶

 2 ¼ ¡  2¼  t T 

resulta en una onda (demu¶eestrelo) strelo) ª(x; ª( x; t) = siendo

2¼ A21 + A22  + 2A 2A1A2 cos Á cos(   x ¸

q 

 2 ¼ ¡  2¼   t + Á0 ); T 

zoom out

tan Á0  =

  A1 sin Á : A1 cos Á + A2

La amplitud de la onda resultante tiene un m¶³nimo A1 A2  , interferencia destructiva si la diferencia de fase es un m¶u ultiplo ltiplo impar de ¼; Á  = ¼  =  ¼;; 3¼; 5¼ ; : : : y tiene un m¶aaximo ximo A1 + A2 ;  interferencia constructiva si la diferencia de fase es un m¶u ultiplo ltiplo par de de   ¼; Á   = 0; 2¼; 4¼; 6¼ ; : : :. :. En pa part rtic icul ular ar si si   A1   = A2  = A  =  A es  es decir las amplitudes son las mismas entonces usted puede veri¯car

 j ¡ j

 j

j

que

µ

¶

µ

2¼   2¼ 2¼ ª(x; ª( x; t) =   A cos  x   t + Á + A cos  x ¸ T  ¸  Á 2¼  2  2¼ ¼  Á = 2A cos  cos(   x   t + ): 2 ¸ T  2

¡

¡

 2¼  2 ¼  t T 

¶

¡

5.10 5. 10

zoom in

Atract tractor or de Lo Lore ren ntz.

Esta rutina resuelve el famoso problema del atractor de Lorentz que est¶a dado por el conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden

 

88

Fundamentos f¶³sicos.

dx   = sx + sy: dt dy   = xz  +  + rx dt dz    =   xy bz: dt

 ¡  ¡

¡ y;

¡

página

Los valores por defecto de los par¶aametros metros son son   s  = 10, r 10,  r  = 28, b 28,  b  = 2:66 66::

Indice

5.11 5. 11

Pr Prom omed edio ios. s.

Como se explic¶o en el cap cap¶¶³tulo de probabi probabilidade lidades, s, la variable aleator aleatoria ia

zoom in zoom out

< x >=

 1 N 

N 

X

xi

i=1

en el l¶³mit ³mitee para  N   N  muy  muy grande tiene como funci¶oon n distribuci¶oon n la distribuci¶oon n normal.

5. 5.11 11.1 .1

Sim Simul ulac aci¶ i¶ on. on.

El programa computacional genera n¶ u umeros meros aleatorios con distribuci¶oon n uniforme en un intervalo que se puede ¯jar, calcula el promedio de un n¶u umero mero que tambi tambi¶¶een n puede especi¯carse de esos n¶u umeros meros aleatorio aleatorioss generados. Este proceso lo repite un n¶ umero umero de vece vecess que tambi tambi¶¶een n puede especi¯carse. Este n¶ umero umero debe elegirse grande de modo de tener al ¯nal de cuentas un n¶u umero mero grand grandee de promedio promedios. s. El programa calcula entonc entonces es la distr distribuci¶ ibuci¶ on on de los promedios generados, en forma gr¶aa¯ca ¯ca y ttambi¶ ambi¶een n hace un histogra histograma ma de ellos, de lo cual resulta visible la manera en que la distribuci¶oon n de ellos se aproxima a la distribuci¶oon n normal.

 

5.12 Normal.

89

5.12

Normal.

5.12.1

Genera Generaci¶ ci¶ o on n de una distribuci¶ on on normal a partir de variables uniformes.

Es sabido que disponiendo de una variable aleatoria con distribuci¶oon n unifor unifor-me, pueden generarse generarse variab ariables les aleatoria aleatoriass con otras distr distribuci ibuciones. ones. Un caso importante consiste en generar n¶ u umeros meros aleat aleatorios orios con distri distribuci¶ buci¶ oon n normal. Como se demostr¶o en el cap cap¶¶³tulo de proba probabilida bilidades, des, vea (2.7), si  si   x; y   son variables aleatorias independientes y continuas con distribuci¶oon n uniforme en el intervalo [0; [0; 1] :  Entonces la funci¶oon n distribuci¶oon n de la variable z  =  =

página Indice

p  2 ln x cos2 ¼y;; ¡ cos2¼y

es la distribuci¶oon n normal h(z ) =

  1 ¡ p  e 2¼

1 2 z 2

(Adaptado de Numerical Recipes in Pascal) evidente te importancia para efectos de c¶ alcul al culos os nu num¶ m¶eerico ri cos. s. Nota 5.1   Esto tiene una eviden En la ma may yor part partee de lo loss prog progra rama mass de co comp mput utac aci¶ i¶ oon n (C, Pasc Pascal, al, Bas Basic, ic, etc¶eetera te ra)) est¶ est¶an an desarrolladas rutinas para generar variables con distribuci¶on on uniforme en alg¶ un un rango prede predeterm terminado inado.. Utili Utilizando zando el resultado anter anterior ior podemos entonces generar una variable z  variable  z  con  con distribuci¶oon n normal est¶aandar. ndar.

5.13 5. 13

Func uncio iones nes di distr stribu ibuci¶ ci¶ o on. n.

Como se explica en el cap cap¶¶³tulo de probabilidades, si se tienen variab variables les aleatorias con funciones distribuciones conocidas, entonces puede generarse matem¶aaticamente ticamente la funci¶oon n distribuci¶on on de funciones de esas variables aleatorias. Para el caso de dos dimensiones, se explic¶o all¶³ lo sig siguie uiente: nte:

5.13.1 5.1 3.1

Bidim Bidimens ension ional al

Cuando se tienen dos variables aleatorias continuas  continuas   x,   y   con con   f d   conocidas, f  f ((x), y   g(y), supuestas independientes, la   f d   de una funci¶on on   z   z   =   F ( F (x; y);

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90

Fundamentos f¶³sicos. h(z ) puede evaluarse como sigue h(z ) dz   =

j j

Z 

f ( f (x)g(y ) dxdy ;

z=F ( F (x;y x;y))

j

j

 

(5.3)

o sea la integral es sobre el ¶aarea rea entre las dos curvas curvas F   F ((x; y) = z , y  F (  F (x; y) = z  + dz   +  dz . Com Comoo ver veremo emoss en un ejem ejemplo plo pr¶ aactico, ctico, deberemos reemplazar las variable (x; (x; y) por otro conjunto (z; (z; v) con v con  v  convenientemente elegida. Este es un problema matem¶aatico tico que puede resultar muy complejo, pero de muy f¶aacil cil soluci¶oon n del punto de vista num¶eerico. rico.

página Indice

5. 5.13 13.2 .2

Sim Simul ulac aci¶ i¶ on. on.

El programa genera variables aleatorias que hemos llamado x; llamado  x; p   con distribuciones uniformes en intervalos que pueden ¯jarse por el usuario. Entonces se pueden de¯nir dos funciones de esas variables aleatorias, llamadas  F (  F (x; p) y  G(  G (x; p) y generar num¶eericamente ricamente llas as re respect spectivas ivas funcion funciones es dis distribuci¶ tribuci¶oon. n. El programa permite de¯nir las funciones mediante el teclado, usando los operadores usuales, ; =; +; ; :; ^;   y funciones usuales como:  ATAN ,  E X P , P ,  LN   LN ,, ROUND; SIN ,  SQRT   SQRT ,,   SQR SQR,,   TRUNC:  TRUNC:   Usted podr¶a experimentar sobre funciones distribuciones tales como de

 ¤

¡

X  +  + P; X  P; X ^2 ^2 + P ^2 P ^2;; SI N (P ) P ) EX P ( P (X ):

  ¢¢

¤

5.14 5. 14

Si Sist stem ema a de ecu ecuac acio ione ness dife difere renc ncia iale less or or-dinarias.

Un gran n¶ u umero mero de problemas de la f¶³sica en una dimensi¶oon, n, donde la fuerza es funci¶oon n de la posici¶oon n y de la velocidad, pueden escribirse en la forma xÄ  = G  =  G((x; p): Donde hemos llamado  p =  p  = x; _

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5.14 Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

91

tenemos entonces un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden dx dt   =   p; dp   =   G(x; p): dt El programa de simulaciones resuelve num num¶¶eericamente ricamente ese problema y m¶as as generalmente el siguiente dx   =   F  F ((x; p); dt dp   =   G(x; p); dt utilizando utiliz ando una rutin rutinaa de Runge-K Runge-Kutta utta de cuarto orden. Las funcione funcioness de dos variables G variables  G y  y F   F    puede pueden n de¯nirse por tecl teclado, ado, al igual que como explica explicado do en la secci¶oon n anterio anterior. r. Para quie quien n sepa de programac programaci¶ i¶oon, n, eso se logra mediante una rutina de interpretaci¶on on de cadenas de caracteres (parser), que debe interpretar las operaciones y las funciones incluidas en la cadena, para ¯nalmente arrojar arro jar u un n valor num¶ eerico rico que corresponda a las funciones evaluadas num¶¶eericamente. num ricamente. El usuario puede de¯nir lo que quiera, pero por defecto se pueden elegir ejemplos bien conocidos, como ser

²   Oscilador arm¶oonico. nico.

dx   =   p; dt dp  = x: dt

 ¡

²   Oscilador amortiguado.

dx   =   p; dt dp  = x dt

  ¡ ¡ 0:1 p:

²   Ecuaci¶oonn de Van der Pol.

dx   =   p; dt dp  = x + p(1  p(1 dt

 ¡

2

¡ x ):

página Indice

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92

Fundamentos f¶³sicos. n duloo ssimp imple le.. ²   P¶eendul dx   =   p; dt dp  = sin x: dt

 ¡

²  Punto estable de una ecuaci¶oonn diferencial lineal. dx   = 0:5x ¡ p; dt dp   = 2:5x ¡ 0:5 p: dt

página Indice

Usted puede pued e complic complicar ar lo que q quiera uiera es este te ejemplo iintroduci ntroduciendo endo t¶eerminos rminos no lineales.

²  Punto montura de una ecuaci¶oonn diferencial lineal. dx   =   ¡4x ¡ 3 p; dt dp   = 2x + 3 p: 3 p: dt

²   Problema predador presa. dx   = 0:4x dt dp dt   =

¡ 0:3 px;

  ¡ p + 0:0:2 px:

Por supuesto, usted las puede modi¯car como quiera, introduciendo por ejemplo t¶eerminos rminos no lineales. El programa calcula y gra¯ca en cada caso caso x  x((t);  p(  p(t) o am ambos. bos. Ade Adem¶ m¶ as as gra¯ca el comportamiento del sistema en el llamado espacio de fase, es decir gra¯ca p gra¯ca  p  vs  x:

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Cap¶³tulo   6

Manual del programa.

página Indice

6.1 6. 1

Re Reque querim rimie ien ntos tos..

El progra programa ma llama llamado do \sim \simulacio ulaciones.e nes.exe" xe" debe ejec ejecutars utarse. e. Pref Preferibl eribleme emente nte c¶oopielo pielo al disco duro y ejec¶u utelo telo desde all¶ all¶³. No olvide que el comp computador utador no puede salvar archivos ni gr¶a¯cos a¯cos en el CD. El programa conviene usarlo con el Mouse, aunque es posibl p osiblee usarlo median mediante te el teclado. Se requier requieree un computador r¶aapido pido y ojal¶a con pantal pantalla la Super VGA, y tarjeta de sonido sonido.. Este programa fue desarrollado en un Pentium de166 MHz usando resoluci¶on on de pantalla 1024 768 pero no deber deber¶¶³a haber probl problemas emas con otros modos, excepto quiz¶aass que las ventanas sea necesario moverlas o adecuarlas de tama~n no. o. Exp Explic licare aremos mos alguna algunass de las opcione opcioness me media diant ntee ¯gur ¯guras, as, que fuero fueron n

£

capturadas de la pantalla durante ejecuci¶ oon n del programa progrde ama. El progr programa ama no est¶a totalmente desarrollado delamanera que algunas las. opciones que se implementar¶aan n en un futuro cercano, no est¶aan n habilitadas a¶ u un, n, per peroo s¶³ las principales principales.. No est¶ aan n tampoco claro para el autor los requerimientos de memoria mem oria que el program programaa exige exige.. Duran Durante te el desar desarrollo rollo estaban disponibl disponibles es 48  48   M B  de memoria RAM: memoria  RAM: Por  Por u ultimo, ¶ltimo, la detecci¶oon n de errores o anomal¶³³as, as, es una tarea di¯cil de terminar, aunque se ha hecho un gran esfuerzo. Se solicitaa la colabor licit colaboraci¶ aci¶ on on de los usuarios que informen de problemas que puedan ocurrir durante la ejecuci¶on, on, para continuar con el proceso de depuraci¶oon. n. El programa es de libre distribuci¶oon n y no se responde por cualquier efecto indeseado indes eado que pudie pudiera ra ocurrir ocurrir.. Se agradece a la Universidad de Santiago de Chile por el apoyo prestado

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94

Manual del programa. para la realizaci¶on on de este trabajo que fue desarrollado en el contexto de un \Proyecto de desarrollo de la calidad de la docencia", concurso anual de esta Universidad.

6.2 6. 2 6.2.1

Pr Prin inci cipa pale less opc opcio ione nes. s. Estad¶ Estad¶³sticas.

página

Al ejecutar la opci¶on on estad estad¶¶³sticas, aparece una ven ventana tana de este subprograma que se muestra a continuaci¶on on

Indice

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Los datos son para una variable  variable   X  que X  que puede ser leida desde un archivo texto texto,, todo todoss los datos en una col column umna, a, sep separa arados dos por ret retorn ornos os de car carro, ro, en un arc archiv hivoo con ext extensi¶ ensi¶ oon n .txt, o bien ingres ingresarse arse por tecl teclado. ado. Despu Despu¶¶es es de tenerse datos, el bot¶on on  efect¶ u uaa los c¶aalculos lculos de promedio, desviaci¶on on est¶aandar, nd ar, varian varianza, za, m¶³ni ³nimo mo X   X    y m¶aximo  aximo  X . Despu¶ es es de calcular se habilita una segunda opci¶oon n de c¶alculo alculo que posibilita clasi¯car los datos en clases, con

 P

 

6.2 Principales opciones.

95

un n¶ umero umero de clases por defecto en 10, pero eso puede cambiarse. Finalmente, el programa muestra las clases u optativamente un histograma de frecuencias con posibilidad de imprimir gr¶aa¯co, ¯co, sal salv var gr¶ aa¯co ¯co y salvar los resultados num¶ nu m¶eric er icos os..

6.2.2 6.2 .2

Venta entana na inicia inicial, l, Men¶ Men¶ u 2.

Se muestra una ventana inicial del programa donde mediante el Mouse se activa el segundo Men¶u

página Indice

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Usted puede entonces pinchar con el Mouse cada una de las opciones de este Men¶ u u.. Puede tamb tambi¶ i¶een n terminar el program programaa en la opci¶ oon n del Men¶u u,, Fin programa, o cerrando la ventana principal en la  del extremo superior derecho. (Lo usual en Windows)

 £

 

96

Manual del programa.

6. 6.2. 2.3 3

Dos Dos cuer cuerpo pos. s.

página Indice

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Al ejecutar la opci¶oon n \Dos cuerpos" aparece la ventana de este sub programaellas con puede sus diversa diversas s opciones opciones, , algunas establ establecida ecidas s por defe defecto. cto. Cualq Cualquiera uiera de cambiarse, eligiendo el cuadro respectivo mediante el Mouse, y sobre escribiendo alg¶u un n otro valor. Tres botones son importantes

²  In  Inicia: icia: comienza la simulaci¶oon. n. ²   Termina: detiene la simulaci¶oon.n. ²  Salir: sale de este sub programa y vuelve al Men¶u principal. Recomendacione Recomend aciones: s: pruebe casos especiales, masas iguales, una masa mucho m¶aass grand grandee que la otra. Dis Dismin minuy uyaa la const constant antee de la ley de fuerz fuerzaa o aum¶ au m¶ente entela la..

 

6.2 Principales opciones.

6. 6.2. 2.4 4

97

Tres res cuer cuerpos pos..

La ventana de este subprograma es an¶aaloga loga

página Indice

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Ahora hay m¶aass par¶aametro metross dis disponi ponible bless par paraa su a jus juste. te. Los que viene vienen n establecid estab lecidos os pueden ser modi¯cados. En este caso, como usted ver¶ a al modi¯car los par¶aametros, metros, el tipo de comportamiento es muy variado e incluso puede que el sistema se se separ¶ par¶ee,, q que ue al alguna guna part part¶¶³cula se es escape, cape, o que ocurra ocurran n problemas num¶ eericos ricos al acercarse demasiado las part part¶¶³culas, Por esa raz¶oon, n, mientras usted lo piense, se ofrecen otras opciones de par¶aametros metros que dan comportamientos m¶aass o menos interesantes de este sistema. Para cambiar entre cuatro condiciones iniciales que se ofrecen, mediante el Mouse elija inicial (1) o (2), (3), (4) y luego pulse el bot¶oon n \Cambia". Tres botones son importantes

²  Inicia: comienza la simulaci¶oon.n.

 

98

Manual del programa.

²   Termina: detiene la simulaci¶oon.n. ²  Salir: sale de este sub programa y vuelve al Men¶u principal. El programa dibuja las ¶oorbitas. rbitas. Despu¶ eess de muc mucho ho tiemp tiempo, o, las ¶oorbitas rbitas se enredan y puede ser deseable borrarlas sin detener la ejecuci¶oon n de la simulaci¶on. o n. El bot bot¶oon ¶n \borra y contin¶u ua" a" lo hace hace.. La perspe perspecti ctiv va del plano de movimiento puede ser cambiada. Inicialmente el plano de movimiento es mirado de frente, ¶aangulo ngulo de elevaci¶on on de 90o . Ese Ese aangulo ¶ngulo puede ser cambiado.

página Indice

6.3 6. 3

Pr Pro oyec ecti tile les. s.

La ventana de ejecuci¶oon n de este subprograma es la siguiente zoom in zoom out

 

6.4 Caminata al azar.

99

Fuera de los cuadros de di¶aalogo logo que permiten modi¯car algunos par¶aametros metros hay otras cosas que explicar. Hay Dos ventanas gr¶aa¯cas. ¯cas. La superior muestra curvas curvas y tra traye yectori ctorias as calculada calculadass al vuelo p por or el compu computador. tador. La inferior muestra la evoluci¶oon n del proyectil en tiempo real siempre que se elija esa opci¶ oon. n. (curvas-tiempo real) Adem¶ aass hay m¶aass botones de control página Indice

²  Inicia: comienza la simulaci¶oon.n. ²  Aborta c¶aalculos: lculos: detiene la simulaci¶on. on. ²  Salir: sale de este sub programa y vuelve al Men¶u princ principal. ipal. ²   Calcula Calcula::

Gra Gra¯ca ¯ca una u otr otraa de las par¶ aabolas bolas de tiro para dar en un blanco determinado, cuyas coordenadas pueden establecerse.

La opci¶on on tiempo de vuelo puede ser necesario modi¯carla si el blanco est¶a muy lejos del ca~ n non. on.

6.4 6. 4

Camin amina ata al az aza ar.

La ventana de ejecuci¶on on de este subprograma es la siguiente

zoom in zoom out

 

100

Manual del programa.

página Indice

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Como usted puede ver hay tres ventanas gr¶aa¯cas. ¯cas. En la superior se gra¯ gra¯ca ca el desplazamiento  desplazamiento   x  en funci¶oon n del n¶u umero mero de pas pasos. os. Si las proba probabil bilidad idades es de pasos hacia la derecha o hacia la izquierda son iguales   p   =   q   q   = 1=2; puede esperarse que ese gr¶aa¯co ¯co quede m¶aass o men menos os cen centra trado do en el cero cero.. En otros casos, habr¶a un avance progresivo hacia la derecha o hacia la izquierda (arriba o abajo). La segunda ventana muestra la distribuci¶oon n de frecuencias relativas por intervalos de desplazamiento y la cuarta ventana muestra los correspondientes datos que fueron gra¯cados.

²  Inicia caminata: comienza la simulaci¶oon.n. 6.5 6. 5

Bi Bifu furc rcac acio ione nes. s.

La ventana de ejecuci¶oon n de este subprograma es la siguiente

 

6.5 Bifurcaciones.

101

página Indice

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log¶¶³³stica, stica, realiza gr¶aa¯camente ¯camente la iteraci¶on on ²   Itera log xn+1  = °  =  °x xn (1

¡x ) n

para el valor seleccionado del par¶aametro ° metro  °::

²  Genera bifurcaciones. Dibuja en la segunda ventana gr¶aa¯ca ¯ca el diagrama de bifurcaciones, inicialmente en los rangos   °  °    = (2 (2::5 ¡  4),   y   = (0 ¡

1). Al estar hec hecho, ho, medi median ante te el Mou Mouse se se pue puede de elegi elegirr una zona para generar de nuevo el diagrama de bifurcaciones de esa ventana elegida mediante el Mouse. (Pinche y arrastre) As As¶¶³ se s e puede ver la estructura ¯na del diagrama. Resta Restablece blece cam cambia bia los par¶aametros metros de la ventana a su con¯guraci¶oon n original original   °  =  = (2 (2::5 4), 4), y  y  = (0 1) 1)::

¡

¡

 

102

Manual del programa.

6.6

Sc Sca att tte eri ring ng..

La ventana de ejecuci¶oon n de este subprograma es la siguiente

página Indice

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Tres botones son importantes  Inicia: icia: comienza la simulaci¶oon. n. ²  In ²   Termina: detiene la simulaci¶oon.n. ²  Salir: sale de este sub programa y vuelve al Men¶u principal. movimiento to relativo, cuando la part part¶¶³cula ²   Inicia random. Se observa el movimien que impacta viene con par¶aametros metros de impacto generados random.

Puede usted usted visualizar el Scatte Scattering ring de cuat cuatro ro puntos de vista: Laboratorio, Centro de masas, relativo a   Q1   relativo a   Q2 :   Observe Obse rve que tambi¶een n

 

6.7 Pendulo de Kapitza.

103

se produce scattering si la fuerza es atractiva. (Coloque constante de ley de fuerza negativa)

6.7 6. 7 Pen Pendu dulo lo de de Kap Kapit itza za.. La ventana de ejecuci¶oon n de este subprograma es la siguiente para la opci¶on on elegida \espacio de fase"

página Indice

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y para la opci¶oon n p¶eendulo ndulo la que ssigue. igue. Observe que la opci¶oon n \indicaci¶oon" n" le indica en que rangos debe esta la amplitud (seg¶un un cual sea la frecuencia elegida) para las cuales el p¶eendulo ndulo efectuara oscilaciones estables invertido .

 

104

Manual del programa.

página Indice

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6.8

Ondas.

La ventana de ejecuci¶oon n de este subprograma es la siguiente

 

6.8 Ondas.

105

página Indice

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²   Genera: comienza la simulaci¶oon.n. ²   Termina: detiene la simulaci¶oon.n. principal. ipal. ²  Salir: sale de este sub programa y vuelve al Men¶u princ

²   Son Sonido ido::

Pe Perm rmite ite env enviar iar a la tar tarje jeta ta de son sonido ido dos ond ondas as de dif difere erent ntee frecuencia, canal izquierdo y derecho separadamen separadamente, te, seg¶ segu un ¶n las frecuencias que se elijan y que pueden adem¶aass modi¯carse en otra ventana de di¶aalogo logo que se abrir¶a

 

106

Manual del programa.

página Indice

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²   Start S tart : env env¶¶³a se~ s e~n nales ales a la tarjeta de sonido. ²  Exit : cierra la ventana de salida de sonido. ²   FFrecue recuencia ncia manual manual::

puede usted median mediante te el Mouse arrast arrastrar rar la lengueta y variar las frecuencias de cada canal (Left-Right).

²   Niv Nivel el de salid salida: a: puede usted medi mediant antee el Mouse arra arrastrar strar la lengueta y variar los niveles de salida de cada canal (Left-Right).

 

6.9 Atractor de Lorentz.

6.9 6. 9

107

Atrac tracto torr de Lo Lore ren ntz tz..

Esta rutina resuelve el famoso problema del atractor de Lorentz que est¶a dado por el conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden página Indice

dx   = sx + sy: dt dy  = xz  +  + rx dt dz    =   xy bz: dt

 ¡  ¡

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¡ y;

¡

Los valores por defecto de los par¶aametros metros son son   s  = 10,  10,   r  = 28,  28,   b   = 2:66, que usted podr¶a variar como quiera quiera.. Se puede visualiz visualizar ar el mo movimie vimiento nto del punto x punto  x;; y;x y;x en  en tres dimensiones o en los planos   xy xy,,   xz ,  yz   y z , as¶³ como variar la orientaci¶oon n de los ejes en la vista tridimensional variando los n¶u umeros n meros  n 1 , n2   y   n3  que dan la orientaci¶oon n del punto de vista que est¶a a lo largo de la direcci¶ oon n (n1 ; n2; n3). La ventana de ejecuci¶on on de este subprograma es la siguiente.

 

108

Manual del programa.

página Indice

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Pensamos que ya no es necesario explicar m¶aas. s.

 

6.10 Men¶ u 4.

6.10

109

Men¶ u 4.

página Indice

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Mostraremos solamente las ventanas que se abren al ejecutarse los subprogramas.

6.11 6. 11

Pr Prom omed edio ios. s.

La ventana que corresponde a este subprograma se muestra a continuaci¶on on donde se muestran los resultados de haber generado 100 promedios, cada uno de 10 n¶ u umeros meros generados al azar uniforme entre [0 [0;; 10] 10].. Ell Ellos os se han clas clasi¯i¯cado en 30 clases (intervalos) mostrando el histograma como su distribuci¶on on se aproxima a la distribuci¶oon n norm normal. al. Se dan ade adem¶ m¶ as as algun algunos os estad estad¶¶³grafo ³grafoss para la distr distribuci ibuci¶¶oon n obteni obtenida: da: m¶³nimo, m¶aximo, aximo, valor esperado y desviaci¶on on est¶aandar. ndar.

 

110

Manual del programa.

página Indice

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6.12

Normal.

Como se explic¶o en el cap cap¶¶³tulo de probabilidades, se puede generar una distribuci¶ oon n normal, partiendo de vari variables ables aleato aleatorias rias uniform uniformes. es. La venta ventana na muestra el resultado cuando se hacen 1000 iteraciones para variables aleatorias uniformes en el intervalo [ 3; 3]. Los resultados se han clasi¯cado en 40 clasess (interv clase (intervalos). alos). Usted podr¶a experimentar para m¶aass iteraciones y otros par¶aametros. metros.

¡

 

6.13 Funciones distribuci¶ on.

111

página Indice

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6.13 6. 13

Func uncio iones nes di distr stribu ibuci¶ ci¶ o on. n.

>Cu¶aall es la funci¶oon n distribuci¶oon n de una funci¶oon n de variables aleatorias? Con este subprograma usted podr¶a tener una respuesta experimental (simulada) de lo que acontece.

 

112

Manual del programa.

página Indice

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El resultado que muestra esta ventana, corresponde a la funci¶oon n distribu2 ci¶oon n de la funci¶on F  on  F    = p cuando cuando p  p tiene  tiene distribu distribuci¶ ci¶on on uniforme en el intervalo  p :  p : [ 5; 5]. Pruebe ejemplos m¶aass complicados, tales como

¡

F  F ((x; p) F  F ((x; p) F  F ((x; p) F  F ((x)

= = = =

  xp;   x2  p2 ; sin x sin sin p;  p; 4x(1 x) para x para  x

¡

¡

 2 [0;  [0; 1]: 1]:

Hay otras opciones que no est¶aan n explicadas aqu aqu¶¶³, pero creemos que no habr¶a problemas en usarlas. Ellas son

6. 6.13 13.1 .1

Colo Colore res. s.

Muestra como se combinan colores seg¶u un n se trate de luces o de pigmentos (que absorben luz).

 

6.13 Funciones distribuci¶ on.

6. 6.13 13.2 .2

113

Un Unid idad ades es..

>Tiene problemas conversi¶ oon n de disponible, unida unidades?. des?. de Aqu Aqu¶ ¶³ p podr¶ odr¶a usted conve convertir rtir entre unidades decon unalagran variedad longitud, de tiempo, de energ¶¶³a, de ttemperat energ emperatura ura y muchas otras m¶as. as.

página Indice

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114

Manual del programa.

página Indice

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Cap¶³tulo   7

Ap¶ endice página Indice

7.1 7. 1

A) La di dist stri ribu buci ci¶ o on ¶n exponencial. zoom in

El an¶aalisis, lisis, que requiere conocimientos de matem¶aaticas ticas algo elevados y que conduce a la distribuci¶oon n exponenci exponencial al es el siguie siguiente nte.. Si la proba probabilida bilidad d de que un dispositivo falle en entre tiempo   t  y tiempo t tiempo  t + dt dt,, por hip¶ootesis tesis es f  f ((t)dt ser¶a igual al producto de que no haya fallado en el intervalo  intervalo   t   : 0 falle a continuaci¶oon, n, es decir  t

f  f ((t)dt = dt  =

µ ¡ Z  1

¶

f  f ((¿ ))d¿  ))d¿ 

0

de aqu¶³

df (t)  = dt

dt  ; ¹

 ¡ f f (¹(t)  ;

e integrando

t

f  f ((t) = ce ¡ ¹ ; normalizaci¶ oon n (certeza que falle alguna vez) requiere que 1=

 1

Z 

t

ce¡ ¹ dt = dt  = ¹c;  ¹c;

0

de donde ¯nalmente

f  f ((t) =

  1 ¡ ¹t e ; ¹

 ¡!  ¡ !   t, y

zoom out

 

116

Ap¶ endice

7.2 7. 2

B) E Ell pr proce oceso so d de eP Poi oiss sson on.. Deta Detall lles es..

Consideremos Conside remos u una na ffuente uente rad radioactiva ioactiva que emite p part art¶¶³culas ³culas ®  ® y  y de¯namos una variable aleatoria   X (t1; t2 ) como el n¶ u umero mero de part part¶¶³³cula cula emitidas durante un intervalo de tiempo [t [t1; t2 ] :  Como se explic¶oo,, denotaremos tal funci¶oon n de distribuci¶ oon n por P n(t1; t2) =  P   [X  [ X (t1 ; t2 ) =  n]  n ] : Nos proponemos deducir la distribuci¶ oon n de probabilidad para la variable aleatoria reci¶ een n de¯nida haciendo algunas hip¶ootes tesis is.. (Est (Estee es un ejem ejempl ploo donde la naturaleza intr intr¶¶³nsecamente probabilista de llaa naturaleza se pone de mani¯esto). Las suposiciones que haremos son las siguientes

página Indice

Caso 3  L Las as variables   X (t1 ; t2 )   y   y   X (t3 ; t4)   son inde indepe pendie ndientes ntes si los  intervalos de tiempo tienen intersecci¶  on va vac¶ c¶³³a. a.

  ²

²  La funci¶ on distribuci¶ on de  X (  X (t ; t )  depende s¶  olo de  t  t ¡ t . (caso con1

2

2

1

trario tendr tend r¶³amos que ppre reocuparnos ocuparnos de cuando fue ccre reada ada tal substancia  radioactiva, para empezar a contar el tiempo). Por lo tanto llamaremos  simplemente   t  al intervalo de tiempo

²   Si el intervalo de tiempo es peque~ no, supondremos que la funci¶ on de  distribuci¶  on para que haya una emisi¶  on es proporcional al intervalo de  tiempo. Es decir  P 1 (dt) dt) = P  =  P   [X  [ X (dt dt)) = 1] = ¸dt: =  ¸dt:

²   Supondremos tambi¶een n que si el interval intervaloo de tiempo es in¯nit¶eesimo, simo, la  probabilidad de tener m¶  as de una emisi¶  on es despreciable, es decir  P k (dt) dt) =  P   [X  [ X (dt) dt) = k]  k ] = 0   si   k >  1:  1:

²   TTambi ambi¶¶een, n, la prob probabili abilidad dad de que no haya ning ninguna una emis emisi¶  i¶  on en   dt   de  tiempo ser¶  a  P  (dt) dt) = 1 ¡ ¸dt; 0

de modo que conocemos   P 0  para tiempos peque~  nos. De acuerdo a lo anterior, la probabilidad de tener  n +  n  + 1 emisiones en un tiempo t tiempo  t+ +dt, dt, es el producto de tener n tener  n emisiones  emisiones en un tiempo t tiempo  t,, multiplicada

zoom in zoom out

 

7.2 B) El pro ceso de Poisson. Detalles.

117

por la probabilidad de tener una emisi¶oon n en el intervalo intervalo dt  dt,, (o bien, por ello +) la probabilidad de tener n tener  n + 1 emisiones en tiempo t tiempo  t  y ninguna en  en   dt dt,, es decir P n+1(t + dt) dt) =  P n (t)¸dt + P n+1(t)(1 ¸dt ¸dt));

¡

se ha obtenido una ecuaci¶oon n funcional para determinar determinar   P n(t). Sin em embargo bargo la probabilidad de no tener una emisi¶oon n en tiempo tiempo   t + dt  + dt es  es simplemente la probabilidad de no emisi¶on on en tiempo  tiempo   t  multiplicada por la probabilidad de no emisi¶oon n en tiempo tiempo dt  dt,, es decir P 0(t + dt) dt) =  P 0 (t)(1

¸dt)); ¡ ¸dt

página Indice

que puede ser resuelta pues se obtiene dP 0 (t)   = dt o bien, mediante una integraci¶on on

¸P 0(t);

 ¡

zoom in

P 0 (t) = P  =  P 0 (0) (0)ee¡¸t: Considere Consid ere ahora que P n+1(t + dt) dt) =  P n+1(t) + P n0 +1(t)dt; resultando P n0 +1(t) = ¸P  =  ¸P n (t) ¸t

sea P  sea  P n (t)

¡ ¸P 

n+1(t);

¡ , con g con  g 0 (t) =  P 0 (0), resulta  =  ¸g (t); g0  = ¸g

= gn (t)e

n+1

n

puede integrarse recursivamente obteniendo g1 (t) = ¸P 0(0) (0)t; t; y g2 (t) = y ¯nalmente P n (t) =

 1 2 ¸ P 0 (0) (0)tt2 ; 2!

 1 n ¸ P 0 (0) (0)ttn e¡¸t ; n!

zoom out

 

118

Ap¶ endice normalizaci¶ oon n exige que

1

n=

X

P n (t) = 11;;

n=0

resultando   P 0 (0) = 1, y ¯nalmente resultando P n(t) =

7.3

 1 (¸t ¸t))ne¡¸t; n!

página Indice

C) Alguno Algunoss detalles matem¶ matem¶ aticos. aticos.

Aqu¶³ se exp Aqu¶ explican lican los det detalles alles p para ara el caso en que las variables xi (i  (i = 1; 2; N ) ¹  ¹ son independientes con distribuci¶oon n uniforme en el intervalo ; , y se de2 2 sea obten obtener er la dist distribuc ribuci¶ i¶oon n de la variable aleatoria

¢¢¢

 1 x = N 

£¡ ¤

N 

X p 

xi

i=1

zoom out

en el l¶³mit ³mitee par paraa  N   N  muy  muy grande. (Estos detalles requieren de s¶oolidos lidos conocimientos de matem¶aticas aticas que si usted desea puede omitir) Haciendo uso de la independencia de las variables, podemos entonces escribir escr ibir la expr expresi¶ esi¶on on f  f ((x)dx dx =  =

 P ((x )dx     ¢ ¢ ¢ P  ¹

P (x2 )dx2   P ( P (x1)dx1 P ( ¹ ¹

Z   ¢ ¢ ¢ Z 

N 

N 

;

donde la integral m¶u ultiple ltiple es sobre la regi¶oon n donde  1 dx dx =  = N 

N 

X p 

dxi;

i=1

y P ( P (x) =

8< :

0 si   x < 12 ¹ 1 1 si ¹ < x <   21 ¹ ; 2 0 si   x >   12 ¹

 ¡

zoom in

 ¡

la integral puede ser reducida a todo el espacio usando la delta de Dirac una de cuyas representaciones que usaremos es

 

7.3 C) Algunos detalles matem¶ aticos.

± (x) =

eikx dk;

Z 

2¼ ¡1

de modo que

f  f ((x)dx   =

  1 ¹ 2

  1 ¹ 2

P (x2 )dx2 P ( P (x1 )dx1 P ( ¹ ¹ ¡ 12 ¹

Z  ¢ ¢ ¢ Z  X ¡ p  ¡ 12 ¹

± (x pero

 1

 1

119

 1 N 

 P ((x )dx   ¢ ¢ ¢ P  ¹ N 

 

N 

xi )dx;

Indice

i=1

Z  ¢ ¢ ¢ Z 

Z 

  ¢¢¢

P

que puede ser escrita como

 1

 1 f  f ((x) = eikx dk 2¼ ¡1

Z 

à Z 

  1 ¹ 2

1 ¡ik dze ¹ ¡ 12 ¹

N 

 1 p 

z N 

!

;

  1 ¹ 2

p 

1 e¡ik   1N  z dz  =  =   2 N N    sin   ¹k ; ¹ ¡ 12 ¹ ¹k 2 N 

Z 

luego

página

N 

  2 1¹   2 1¹ P ( P (x1 )dx1 P ( P (x2 )dx2   1   1 ikx e dk f  f ((x)dx   = ¹ ¹ 2¼ ¡1 ¡ 12 ¹ ¡ 12 ¹ N    i P ( P (xN )dxN  ¡ p  x   e N  j=1 j dx; ¹

pero

..

 1

p 

 1 f  f ((x) = eikx dk 2¼ ¡1

Z 

à p 

p 

N 

!

2 N    ¹k   sin ¹k 2 N 

p 

;

para evaluar el l¶³mite cuando  N  sin z  = z   =  z    16 z 3 , de modo que resulta

 ¡! 1, usemos la expansi¶on  ¡! on

¡

  1   1 ikx f  f ((x) = e dk 1 2¼ ¡1

Z 

µ

¡

  1 ¹2 k 2 24 N 

N 

;

¶

zoom in zoom out

 

120

Ap¶ endice o bien 1   1 eikx¡ ¹224k2 dk; 2¼ ¡1

Z 

que es evaluada mediante tablas 1

¡ p  e 2 ¼

6x2 ¹2

p 24 ¹

página

pero V ar ar((x) = ¾ 2 =

Indice

  1 ¹ 2

 1  1 x2 dx dx =  = ¹2 ; ¹ ¡ 12 ¹ 12

Z 

por lo cual   x2 f  f ((x) =   1 e¡ 2¾2 ; 2¼¾

p 

7.4

zoom in

D) La dist distri ribu buci ci¶ o on ¶n binomial.

zoom out

Si se repite varias veces el experimento donde hay dos resultados posibles A posibles  A con probabilidad p probabilidad  p y  y B  B  con probabilidad q  probabilidad  q  =  = 1  p,  p, entonces la probabilidad de que en  en   n  experimentos ocurran m ocurran  m  resultados  resultados A;  A;  en cualquier orden, es la llamada distribuci¶oon n binomi binomial al

¡

n mn¡m   n!  p =  pmq n¡m: m m!(n !(n m)!

P   P   =

µ¶ Xµ ¶

¡

Podemos veri¯car que est¶a correctamente normalizada pues n

m=0

7. 7.4. 4.1 1

n m n¡m  p q  = ( p ( p + q )n = 1: 1: m

El valor alor esper esperad ado o de de   m:

Su de¯nici¶oon n es n

µ¶

m

E (m) = m=0

X

n m n¡m  p q  ; m

 

(7.1)

 

7.4 D) La distribuci¶ on binomial.

121

que puede ser evaluado mediante un truco. En efecto

Xµ ¶

Xµ¶

n n  pmq n¡m m n  pm¡1 q n¡m =  p   @  E (m) =   p @p m=0 m m m=0 n

= p

  @  ( p + q )n =  np  np(( p + q )n¡1 = np; @p

¯nalmente

página

E (m) = np:

7. 7.4. 4.2 2

Indice

La varia arianz nza a de  de   m:

Debemos calcular

n 2

m2

E (m ) =

n

 pm q n¡m;

X µ¶ X µ¶ Xµ¶ Xµ¶ Xµ ¶

m sumatoria m¶aass di¯ci di¯cill de calcu calcular. lar. Simi Similarme larmente nte a lo hec hecho ho ante anteriorm riorment entee m=0

n

2

E (m ) =   p

m2

m=0

  @  = p @p = p

n m¡1 n¡m  p q  m

n

m

m=0 n

n m n¡m  p q  m

  @  n m¡1 n¡m m  p  p q  @p m=0 m   @    @ 

n

n

m n m

¡

=   p @p p @p p @p m=0 m  p q    @    @  =   p  p ( p + q )n @p @p  @  =   np  p(  p( p + q )n¡1 @p =   np np(( (( p + q )n¡1 + (n (n 1) p(  p( p + q )n¡2);

¡

pero  p + q  =  = 1; luego E (m2 ) = np =  np(1 (1 + (n (n

 p): ¡ 1) p)

zoom in zoom out

 

122

Ap¶ endice Entonces 2 ¾m

2

2

 = = = =

       

E (m ) (E (m)) np np(1 (1 + (n (n 1) p)  p) np np(1 (1  p)  p) = npq; E (m)(1  p)  p)

¡

Para p Para  p =  = q   q  =  =   12  se tiene que

¡¡

2 2

¡ n  p

¡

página

 1 E (m) = n; 2  1 ¾2m   = n: 4

7.4.3

Indice

L¶³mite para  para   n   grande

Considere (7.1) y tomemos su logaritmo y (m) = ln P   P   = ln n!

¡ ln m! ¡ ln( ln(n n ¡ m)! + m ln ln p  p + (n (n ¡ m) ln q;

y usemos la aproximaci¶on on de Stir Stirlin lingg par paraa n¶ u umeros meros grandes ln n! =  n ln n

¡ n;

entonces y(m) = n ln n

¡ m ln m ¡ (n ¡ m)ln( )ln(n n ¡ m) + m ln p ln p + (n (n ¡ m) ln q:

Para expandir en torno al m¶aaximo ximo derivemos respecto a m a  m y0 (m) = y 00 (m)

  ¡ ln m + lnln (n ¡ m) + ln p ln p ¡ ln q;   n = ¡ : m (n ¡ m)

El m¶aaximo ximo ocurre cuando cuando   y0 (m0 ) = 0 o sea   m0   =   np  np   =   ¹m. La ex expa pans nsi¶ i¶ on on buscada ser¶a  1 n y(m) =   y(m0 ) (m m0 )2 ; 2 m0 (n  (n m0 )  1 1 =   y(m0 ) (m m0 )2 ; 2 npq   1 1 =   y(m0 ) (m ¹m)2 ; 2 2 ¾m

¡

¡ ¡

¡ ¡ ¡

¡

zoom in zoom out

 

7.4 D) La distribuci¶ on binomial.

123

de modo que ¯nalmente 1

1

2

P ( P (m) = C  Cee¡ 2 ¾2m (m¡¹m) ; 1 1 np)2 ; P ( P (m) = C  Cee¡ 2 npq (m¡np) es decir, una distribuci¶oon n Gauss Gaussiana. iana.

7. 7.4. 4.4 4

página

Cami Camina nata ta al az azar ar

Como un ejemplo, analizaremos la caminata al azar, donde un punto puede moverse a la derecha o hacia la izquierda con probabilidad p probabilidad  p a  a la derecha y q  y  q  hacia la izquierda, con longitud de pasos peque~na d na  d,, y deseamos encontrar la funci¶oon n distribuci¶oon n de probabilidad de su posici¶on  on   x, cuando los pasos son de longitud d longitud  d  y han ocurrido N  ocurrido  N  pasos  pasos en total Para   m  pasos a la derecha y por lo tanto N  tanto  N  m  pasos a la izquierda, la posici¶on x on  x  estar¶a dada por

 ¡  ¡

x  = m

 f ¡ (N  ¡  ¡ m)g d = f2m ¡ N g d;

y la probabilidad de este valor de x de  x estar¶  estar¶a dado por la distribuci¶oon n binomial P   P   =

µ¶

N  m N ¡m   N !  p q  =  pmq N ¡m: m m!( !(N  N  m)!

 ¡  ¡

Expresemos esto en t¶eerminos rminos de llaa variable variable x  x.. Tenemos que   N    x  + ; 2 2d   N    x : m = 2d 2 m =

N 

 ¡  ¡

 ¡

En particular si los pasos a la derecha y a la izquierda ocurren con la misma probabilidad entonces  1  p =  p  = q   q  =  = ; 2 y tendremos   N ! 1 N  P N ( ) : N  (x) = N   x 2 ( 2   +  2xd )!( N  )! 2 2d

 ¡

A medida que la longitud de los pasos tiende a cero, y el n¶u umero mero de pasos tiende a in¯nito, la variable  variable   x  tiend  tiendee a ser una variabl ariablee contin continua. ua. En forma

Indice

zoom in zoom out

 

124

Ap¶ endice m¶ as as precisa buscaremos el l¶³mite cuando cuando   N  , tendiendo  tendiendo   d   0 en la forma d  =   ¾ : N  Luego la probabilidad de que la variable x tenga valores entre x  = 2m N  d y  x =  x  = 2m + 2 N  d, es decir en el intervalo

 ! 1

 !

p 

 f

 f ¡ g

¡ g

  2¾ N 

p 

dx = dx = 2d  =

página

en torno de   x  ser¶a   2¾   N ! N ! f  f ((x)dx dx =  = f   f ((x) = N    x N  N  ( 2   + 2d )!( 2

p 

 ¡

Indice

1 N  ( )  x )! 2 2d

de donde (el ¶aalgebra lgebra es algo tediosa)

p NN   2¾ ( p  N 

f  f ((x) = =

 ¡

1 N  ) ; (  x 2 )! 2d

zoom in

N ! 1 p N )!( p  ( ) N )!(  ¡ N )! N )! 2

2¾

( N    +  2x¾ 2

2¾

  x N  ( N  2 (1 + ¾ N  )!( 2 (1

p N 

=

N ! N    +  2xd )!( N  2 2

N  2

 x 2¾

N !

p 

¡

  x )! ¾ N 

p 

N 

;

zoom out

1 ( )N ; 2

cuesti¶ oon n sobre la que tomaremos el l¶³mite cuando   N  mos la llamada aproximaci¶oon n de Stirling

 ! 1. Para ello usare !

n!

 !

p 

2¼nn ne¡n;

podemos aproximar N  (  (1 + ²))! = 2 N  (  (1 ²))! = 2 y entonces

¡

N  N  (  (1 + ²))!(  (1 2 2

¡ ²))!

r  r 

N  N  N   (1+²²)  (1+²²) ¡ N  2¼  (1 + ²)(  (1 + ²)) 2 (1+ ; e 2  (1+ 2 2 N  N  N  N  2¼  (1 ²)(  (1 ²)) 2 (1¡²) e¡ 2 (1 ¡²); 2 2

¡

p 

=   ¼N  1

N  N !! =

p 

¡

¡

N  ²2 (  ) N (1 2

2¼N N N e¡N ;

N 

¡

 (²  ( ²) 2 ¡N ; 2 2 (1 + ²) ²) N  ( ²) e (1 ²) 2 N 

¡

 

7.4 D) La distribuci¶ on binomial.

125

resultando N 

2  ( ²)

2¼N N N (1

p NN   p  p  ¡ ²) 2¾ ¼N  1 ¡ ² (  ) (1 ¡ ² )  (1 + ²) p 2¼(1 ¡ p  )   1 = 2¾ ¼p 1 ¡ ² (1 ¡ )  (1 + p  )

f (x) = =

2 N  N  2

2

  x2 ¾2 N 

=

  1 ¾ 2¼ (1

p 

(1

¡

¡

N 

  x ¾ N 

2

  x ) ¾ N 

N 

2

x  (   p  ) ¾

N 

p 

x

p 

2

1 N  ) (  (²  ( ²) 2 2

N 

N  (   p  x 2 ¾ N  )

  x ¾ N 

2

N 

N 

2¾

p 

Indice

x N    x   x2 N  2  (1 + 2¾ ) ) 2 ¾ N  ¾ N 

p 

x

página

 x

  1   1 (e¡ ¾ ) 2¾ ¡  2x¾22 : e = = 2 ¾ 2¼ ¾ 2¼ e¡  2x¾2 (e ¾x )  2x¾

p 

p 

Donde hemos usado

  x N  )  e x : N  Sorprendentemente, Sorpren dentemente, hemos encontrado que se tr trata ata de la dist distribuci¶ ribuci¶oon n nor normal. mal. (1 +

f (x) =

!

  1 p  e¡ 2¼¾

  x2 2¾ 2

:

con valor espe esperad radoo ce cero ro y de desvi sviaci aci¶on ¶on est¶aandar ndar   ¾. Para ara ef efec ecto toss de ha hace cerr c¶alcu al culo loss nu num¶ m¶eericos ri cos ¾  = d  =  d N 

p 

con N  con  N  grande  grande debemos hacer pasos peque~n nos d os  d =  = ¾  ¾==

p N con N con ¾  ¾  arbitrario.

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