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Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Universidad Autónoma de Tamaulipas Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia “Dr. Norberto Treviño Zapata” D-RS-05-18-03
Matemáticas Básicas
Manual de Prácticas (Ejercicios)
Autor: Loredo Osti Jorge, Ing.
Ciudad Victoria, Tamaulipas. Febrero 2010. Rev. 2
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
ÍNDICE Contenido
Pág.
Índice
…………………………………………………………
1
Prácticas de Matemáticas Básicas
…………………………………………………………
3
Introducción
…………………………………………………………
3
Competencias Profesionales
…………………………………………………………
3
Ubicación dentro del mapa ………………………………………………………… curricular vigente.
4
Niveles de Desempeño
…………………………………………………………
5
Programa de prácticas
…………………………………………………………
6
Criterios de desempeño
…………………………………………………………
7
Criterios de Desempeño Comunes
…………………………………………………………
7
Evidencias de Criterios de Desempeño Comunes
…………………………………………………………
7
Resultados esperados
…………………………………………………………
8
Prácticas generales de seguridad.
…………………………………………………………
8
Bibliografía
…………………………………………………………
8
Prácticas de Aritmética
…………………………………………………………
9
Introducción.
…………………………………………………………
9
…………………………………………………………
10
…………………………………………………………
13
Números reales, estimación, redondeo, divisibilidad, razones y proporciones. Práctica 1. Regla de tres; simple e inversa, porcentajes, notación científica y conversiones de unidades. Práctica 2 Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
Página 1
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
ÍNDICE Contenido
Pág.
Índice
…………………………………………………………
1
Prácticas de Matemáticas Básicas
…………………………………………………………
3
Introducción
…………………………………………………………
3
Competencias Profesionales
…………………………………………………………
3
Ubicación dentro del mapa ………………………………………………………… curricular vigente.
4
Niveles de Desempeño
…………………………………………………………
5
Programa de prácticas
…………………………………………………………
6
Criterios de desempeño
…………………………………………………………
7
Criterios de Desempeño Comunes
…………………………………………………………
7
Evidencias de Criterios de Desempeño Comunes
…………………………………………………………
7
Resultados esperados
…………………………………………………………
8
Prácticas generales de seguridad.
…………………………………………………………
8
Bibliografía
…………………………………………………………
8
Prácticas de Aritmética
…………………………………………………………
9
Introducción.
…………………………………………………………
9
…………………………………………………………
10
…………………………………………………………
13
Números reales, estimación, redondeo, divisibilidad, razones y proporciones. Práctica 1. Regla de tres; simple e inversa, porcentajes, notación científica y conversiones de unidades. Práctica 2 Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Pág.
Contenido Prácticas de Álgebra
…………………………………………………………
16
…………………………………………………………
16
…………………………………………………………
17
…………………………………………………………
19
…………………………………………………………
23
Práctica de Geometría. Práctica 6.
…………………………………………………………
26
Introducción
…………………………………………………………
26
…………………………………………………………
32
Introducción
…………………………………………………………
32
Anexo I. Formulario de Aritmética
…………………………………………………………
38
Anexo II. Formulario de Álgebra
…………………………………………………………
48
Anexo III. Formulario de Geometría
…………………………………………………………
50
Anexo IV. Tablas de Trigonometría
…………………………………………………………
57
Introducción. Lenguaje algebraico, expresiones algebraicas, productos notables y factorización. Práctica 3. Coordenadas rectangulares, funciones, ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones. Práctica 4. Desigualdades y ecuaciones cuadráticas. Práctica 5.
Práctica de Trigonometría. Práctica 7.
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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I. PRÁCTICAS DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS BÁSICAS I.1 Introducción. Los altos niveles competitivos que imponen las tendencias globalizadoras en la actualidad, requieren de profesionales con una preparación de calidad en todos los ámbitos, los médicos veterinarios zootecnistas no son la excepción. Dentro de los conocimientos actuales que deben desarrollar las generaciones actuales, se encuentran las matemáticas que les permitirán el acceso, manejo y análisis de la información, generada en los tiempos actuales a ritmos acelerados y en gran volumen. Las matemáticas están consideradas como uno de los aspectos más importantes en la formación integral de cualquier profesional, por ser una herramienta indispensable para el análisis y la resolución de problemas cotidianos, es por ello, que se elaboró este manual de prácticas, como apoyo a los alumnos de la asigna tura de “Matemáticas Básicas”, que se imparte como parte del núcleo de Formación Básica de la Licenciatura de Medicina Veterinaria y Zootecnia de la Universidad Autónoma de Tamaulipas. Este material se divide en cuatro grandes unidades que incluyen temas básicos de algunas ramas de las Matemáticas: Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. No se espera que los alumnos de Medicina Veterinaria y Zootecnia se dediquen a las matemáticas, lo que si se pretende que el estudiante logre resolver problemas tan comunes en esta profesión como: calcular una dosis de medicamento, elaborar una dieta para animales domésticos expresada en porcentajes,
obtener el área de una región de pastoreo pastoreo para bovinos, o
simplemente, calcular el IVA de cualquier producto.
I.2 Competencias Profesionales Este manual de prácticas contribuye contribuye a tu formación profesional ayudándote a que las matemáticas se conviertan en conocimientos básicos que podrás utilizar durante toda tu vida y que forme parte de las herramientas que utilizas día a día, sin que tú mismo se de cuenta que las ha adquirido
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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1.3 Ubicación dentro del mapa curricular vigente. Encontraras la materia de Matemáticas Básicas en el núcleo de formación básica en el primer semestre de la carrera de Médico Veterinario Zootecnista. PRIMER PERIODO
SEGUNDO PERIODO
TERCER PERIODO
CUARTO PERIODO
QUINTO PERIODO
BIOQU MICA I M.CA12.020.06-06
BIOQU MICA II M.CA12.021.06-06
PATOLOG PATOLOG A I M.CS32.153.09-09
PATOLOG PATOLOG A II M.CS32.080.08-08
NORMATIVIDAD Y REGULACIÓN SANITARIA M.CS30.026.05-05
FISIOLOGÍA CELULAR M.CA12.037.05-05
FISIOLOGÍA VETERINARIA M.CA12.011.06-06
BACTERIOLOGÍA I M.CS32.191.09-09
BACTERIOLOGÍA II M.CS32.136.08-08
EMBRIOLOGÍA E HISTOLOGÍA VETERINARIA I M.CA12.018.07-07
EMBRIOLOGÍA E HISTOLOGÍA VETERINARIA II M.CA12.019.06-06
PARASITOLOGÍA I M.EN02.101.09-09
PARASITOLOGÍA II M.EN02.102.08-08
INMUNOLOGÍA M.CA12.027.07-07
VIROLOGÍA M.CS32.110.06-06
ANATOMÍA DESCRIPTIVA DESCRIPTIVA I M.CA12.016.07-07
ANATOMÍA DESCRIPTIVA DESCRIPTIVA II M.CA12.017.06-06
INTRO AL PENSAMIENTO CIENT. M.EH44.014.03-03
DIAGNÓSTICO CLÍNICO EN MEDICINA VETERINARIA I M.CA12.008.09-09
MATEMÁTICAS BÁSICAS M.EN07-080.04-04 INGLÉS INICIAL MEDIO M.EH47.033.04-04 INTRO. A LAS LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN M.IT18.259.02-02 MEDIO AMBIENTE Y DESARROLLO SUSTENTABLE M.EN02.083.03-03 SEXTO PERIODO INOCUIDAD Y CALIDAD DE LOS ALIMENTOS M.CA11.123.05-05
DESARROLLO DE HABILIDADES PARA APRENDER M.EH43.008.04-04
TAMAULIPAS Y LOS RETOS DEL DESARROLLO M.SA50.051.03-03
INGLÉS INICIAL AVANZADO M.EH47.034.04-04
CULTURA Y GLOBALIZACIÓN M.EH43.106.02-02
MEDICINA PREVENTIVA I M.CS32.063.06-06 BIOESTADÍSTICA M.EN07.008.04-04
MEDICINA PREVENTIVA II M.CS32.064.06-06 PATOLOGÍA CLÍNICA M.CA12.035.09-09 FARMACOLOGÍA M.CS31.010.09-09 DIAGNÓSTICO CLÍNICO EN MEDICINA VETERINARIA II M.CA12.009.07-07 NUTRICIÓN I M.CA14.048.08-08 OPTATIVA I OP1.5190.05-05
INFORMÁTICA M.SA41.254.04-04 REDACCIÓN AVANZADA M.EH43.044.04-04 SEPTIMO PERIODO METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION M.EH51.026.04-04
GENÉTICA M.EN02.059.04-04
REPRODUCCIÓN I M.CA14.039.09-09
FARMACOLOGÍA Y TOXICOLOGÍA M.CS31.012.09-09
CLÍNICA Y ZOOTECNIA DE PEQUEÑAS ESPECIES M.CA12.007.07-07
CLÍNICA DE BOVINOS M.CA12.004.07-07
ZOOTECNIA DE AVES AVES M.CA14.044.07-07
OCTAVO PERIODO REPR REPROD ODUCC UCCII N IIII M.CA14.040.09-09 TERAPÉUTICA QUIRÚRGICA M.CA12.034.07-07 CLINICA DE AVES M.CA12.003.08-08 CLINICA DE CERDOS M.CA12.005.08-08
OPTATIVA II OP2.5190.04-04
ZOOTECNIA DE CERDOS M.CA14.045.07-07
MUESTREO Y DISEÑO EXPERIMENTAL M.EN07.103.04-04
TÉCNICA QUIRÚRGICA I M.CA12.032.08-08
OPTATIVA III OP3.5190.04-04
SERVICIO SOCIAL M.SS.004.482-10
NUTRICIÓN II M.CA14.049.08-08 MANEJO DE RECURSOS NATURALES M.CA14.050.05-05
PRODUCCIÓN DE FORRAJES M.CA14.036.06-06
OPTATIVA IV OP4.5190.08-08
TÉCNICA QUIRÚRGICA II M.CA12.033.08-08
NOVENO PERIODO FUND. FUND. Y APLIC APLICACI ACI N DE LA ADMIN. AGROPECUARIA M.SA35.364.06-06 BOVINOS PRODUCTORES DE CARNE M.CA14.020.09-09 BOVINOS PRODUCTORES DE LECHE M.CA14.021.09-09 CLÍNICA Y ZOOTECNIA DE EQUINOS M.CA14.022.07-07
DECIMO PERIODO PROFE PROFESI SI N Y VALOR VALORES ES M.EH44.023.02-02 ADMINISTRACION Y ECONOMIA AGROPECUARIA M.SA35.367.06-06 INDUSTRIALIZACIÓN DE LA CARNE Y LECHE M.SA35.570.07-07 OPTATIVA VI OP6.5190.06-06 INTERNADO (PRÁCTICAS PREPROFESIONALES) M.CA12.013.15-15
CLÍ Y ZOOTA DE OVI Y CAPRi M.CA12.006.07-07 ACUACULTURA DE PECES Y CRUSTACEOS M.CA14.016.06-06 SEMINARIO DE TESIS M.EH51.098.04-04 OPTATIVA V OP5.5190.04-04
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
I.4 Niveles de Desempeño Nivel Propuesto: Nº 2. Argumento: Al concluir la asignatura de Matemáticas Básicas, con ayuda de éste manual de prácticas, serás capaz de tener un nivel de desempeño de grado 2, dado que la resolución de problemas matemáticos requiere de un conjunto significativo de actividades de trabajo, variadas y aplicadas en diversos contextos, además de ser actividades no rutinarias y algunas veces complejas.
Nivel 1.- Se realizan funciones rutinarias de baja complejidad. Se reciben instrucciones. Se
requiere baja autonomía. Nivel 2.- Se realizan un conjunto significativo de actividades de trabajo, variadas y aplicadas en
diversos contextos. Algunas actividades son complejas y no rutinarias. Presenta un bajo grado de responsabilidad y autonomía en las decisiones. A menudo requiere colaboración con otros y trabajo en equipo. Nivel 3.- Se requiere un importante nivel de toma de decisiones. Tiene bajo su responsabilidad
recurso materiales con los que opera su área. Así como control de recursos financieros para adquisición de insumos, ó responsabilidades comparables. Nivel 4.- Se desarrollan un conjunto de actividades de naturaleza diversa, en las que se
tiene que
mostrar creatividad y recursos para conciliar intereses. Se debe tener habilidad para motivar y dirigir grupos de trabajo. Nivel 5.- Se desarrollan un conjunto de actividades de naturaleza diversa, en las que se
tiene que
mostrar un alto nivel de creatividad, así como buscar y lograr la cooperación entre grupos e individuos que participan en la implantación de la solución a un problema de magnitud institucional.
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
II. PROGRAMA DE PRÁCTICAS Tema
Práctica Programada
Ámbito de Desarrollo
Duración en Horas
Semana del Semestre
Aritmética Álgebra Geometría Trigonometría
1y2 3, 4 y 5 6 7
Salón de Clases Salón de Clases Salón de Clases Salón de Clases
Una Una Una Una
3y4 6, 7 y 8 10 13
Práctica
Contenido
Duración (Hrs)
1
Números Reales, Estimación, Redondeo, Divisibilidad, Razones y Proporciones
1
2
Regla de Tres; simple e inversa, Porcentajes, Notación Científica y Conversiones de Unidades
1
3
Lenguaje Algebraico, Expresiones Productos Notables y Factorización
Algebraicas,
1
4
Coordenadas Rectangulares, Funciones, Ecuaciones Lineales y Sistemas de Ecuaciones.
1
5
Desigualdades y Ecuaciones Cuadráticas.
1
6
Perímetros, Áreas y Volúmenes.
1
7
Ángulos, Teorema Trigonométricas.
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
de
Pitágoras
y
Funciones
1
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III. CRITERIOS DE DESEMPEÑO III.1 Criterios de Desempeño Comunes Cuando
Antes
Durante
Después
Criterio de Desempeño Presentarte a la hora establecida. Leerás las instrucciones del manual de prácticas antes de iniciarla. Presentarte con calculadora científica y formulario en caso de que se requiera. Resolverás los ejercicios propuestos Limpiarás tu área de trabajo Entregarás los ejercicios resueltos
III.2 Evidencias de Criterios de Desempeño Comunes Criterios de Desempeño
Evidencia Propuesta
Presentarte a la hora establecida.
Estarás en tu lugar de trabajo para iniciar la práctica junto con el instructor sin demoras.
Leerás las instrucciones del manual de prácticas antes de iniciarla.
Estarás familiarizado con el contenido de los ejercicios.
Presentarte con calculadora científica y formulario en caso de que se requiera.
Las calculadoras y formularios son individuales, de manera que no se cuenta con ellos no se realiza la práctica
Resolverás los ejercicios propuestos
Nadie debe estar realizando alguna actividad diferente
Limpiarás tu área de trabajo
El lugar donde trabajaste deberá de quedar sin basura alrededor
Entregarás los ejercicios resueltos
Los ejercicios resueltos deberán de entregarse al instructor en hojas de papel bond tamaño carta.
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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IV. RESULTADOS ESPERADOS Entregarás todos los ejercicios resueltos correspondientes a la práctica en el tiempo estipulado.
V. PRÁCTICAS GENERALES DE SEGURIDAD. Todos los alumnos de la Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia están sujetos a lo establecido en el Manual de Bioseguridad y Seguridad Laboral Institucional.
VI. BIBLIOGRAFÍA Matemáticas Básicas. 2ª Edición Colección Millenium III U.A.T.
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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ARITMÉTICA (PRÁCTICAS 1 - 2)
Introducción. La aritmética, cuyo objeto de estudio son los números, es sin duda de la más antigua de las ramas de las matemáticas. Nuestros antepasados debieron reconocer la imperiosa necesidad que había de estudiar los números de manera sistemática desde el momento en que empezaron a hacer intercambios. Los primeros conceptos numéricos fueron más bien cualitativos y no cuantitativos: al decir, por ejemplo, tres perros o cinco manzanas, no era posible concebir la idea de tres o de cinco independientemente de esos perros o esas manzanas. Tuvo que transcurrir todavía mucho tiempo para que el hombre se diera cuenta de que un conjunto de cinco ovejas y otro conjunto de cinco vacas representaban una misma pluralidad, y que tenían en común la posibilidad de ser igualados. Sólo cuando tuvieron conciencia cabal de este hecho se elevó el número a la categoría de ente abstracto.
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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PRÁCTICA 1. NÚMEROS REALES, ESTIMACIÓN, REDONDEO, DIVISIBILIDAD, RAZONES Y PROPORCIONES Objetivo de la Práctica. Aplicarás los conocimientos de la aritmética para la resolución de problemas que se presentan en la vida cotidiana, con énfasis en las actividades prácticas de la medicina veterinaria y zootecnia, los cuales comprenden las operaciones aritméticas fundamentales de estimación, redondeo, divisibilidad, razones y proporciones
Desarrollo de la Práctica. Paso 1.- Leer cuidadosamente el ejercicio Paso 2.- Resolver el ejercicio Paso 3.- Entregar el ejercicio resuelto al instructor
Materiales. Lápiz, papel, calculadora científica y tablas de aritmética (Anexo I)
Criterio y Evaluación de Desempeño Entregarás el 70 % de los ejercicios resueltos de manera correcta en el periodo de tiempo establecido y llevarás a cabo los criterios de desempeño comunes (pág. 7)
Ejercicios 1. Calcule el valor de la siguiente expresión 3
5
2 3
8
3
2. Calcule el valor de
2
9
1
2
4
5
4(2500000000 0000 )(0.00000035 ) 7000000
.
3. José trabaja durante cuatro meses con un salario mensual de 11 400.00 pesos. Después recibe un aumento de 540.00 pesos mensuales. Con el nuevo salario trabaja el resto del año. ¿Cuál fue el ingreso total de José durante el año? Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
4. Una jarra contiene
3 4
de un litro de leche. ¿Cuántos vasos con capacidad de 200
ml pueden llenarse?
3
5. Calcule el valor de
2
2
5 5
2 3 10
19
5
2
.
2
6. Un avión con capacidad para 225 pasajeros tiene 12 pasajeros en primera clase y 113 en clase turista. ¿Cuál es la razón entre los asientos ocupados y los vacíos? 7. Seis autobuses llevaron a 425 estudiantes a la capital del estado. Si había cuatro adultos por autobús, ¿cuál es la razón de adultos a estudiantes? 8. Una maderería produce taquetes de 24, 32 y 48 mm. ¿De qué longitud mínima deben cortarse los tramos de la tira de madera para elaborar los tres tipos de taquetes sin que se desperdicie material? 9. Se tienen cinco placas de metal cuyos pesos son los siguientes: 1930.17 Kg 2010.45 Kg 1577.09 Kg 3124.12 Kg 1100.60 Kg Se desea transportarlas en un camión. ¿De cuántas toneladas de carga mínima debe ser éste para poder llevarlas? 10. Para preparar una ensalada de frutas se necesitaron los siguientes ingredientes: sandía 1.500 kg, plátanos 1 ½ kg, uvas ¾ de kg, naranjas 2.250 kg, ciruelas 0.750 kg y piña ¼ de kg, ¿Cuántos kilogramos de fruta se necesitaron en total? 11. El resultado de las siguientes operaciones: 2 3 4 25 2 3 8 3 1 3 6 1 es: 12. Durante las pasadas vacaciones 3 amigas, Rosa, Celeste y Blanca, hicieron collares para vender. Rosa hizo 13, Celeste 10 y Blanca 12. Al venderlos obtuvieron $280.00 de ganancias que quieren repartir de manera proporcional al trabajo que cada una realizó. ¿Cuánto le tocará a cada una, respectivamente? Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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13. En Un rancho con 2 docenas de toros, se vendió la octava parte y del resto se sacrificó la tercera parte. ¿Cuántos animales quedan en el rancho? 14. Un veterinario tiene que recolectar muestras de sangre de 30 bovinos en tres horas. En la 1ª hora obtiene 2/5 partes del total y en la hora siguiente 2/3 partes del resto ¿Cuántos bovinos le quedan para sacarles la sangre en la última hora? 15. Un médico veterinario emplea 5 ½ horas en vacunar todo un hato de caprinos. Si trabajó durante 1 hr con 20 min por la mañana, y por la tarde durante 2 hr. Con 50 min, ¿Cuánto tiempo debe trabajar aún para terminar su tarea? 16. Un padre hereda un rancho a sus tres hijos. A cada uno les deja las siguientes partes: al primero 5/4 de hectárea, al segundo 7/5 de hectárea y al tercero 3/8 de hectárea. ¿De cuantas hectáreas es la herencia? 17. La razón entre los gastos y los ingresos de una clínica veterinaria es de 5 a 8 ¿Cuáles fueron sus gastos en un mes en que los ingresos fueron de $ 9,800.00? 18. Dos médicos veterinarios se encuentran periódicamente en una clínica, el primero de ellos acude a este lugar cada 5 días y el segudno lo hace cada 6. Si hoy llegaron los dos a la clínica, ¿Cuántos días transcurrirán para que coincidan la próxima vez? 19. A un perro se le debe administrar, en una clínica veterinaria, una capsula cada 3 hrs y una suspensión (jarabe) cada 4 hrs. El veterinario le dice a su asistente, déselas juntas cuando sean las 9:30 hrs. Después de un rato regresa el médico y pregunta al asistente ¿A que horas le vuelven a tocar juntos los medicamentos el día de hoy? 20. Un tigre come al día 4.5 kg de carne y un jaguar 4 kg. Si en un zoológico se dispone de hasta 55 kgs. de carne ¿Cuántos de cada uno de estos animales se puede tener sin desperdiciar comida?
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
PRÁCTICA 2 REGLA DE TRES; SIMPLE E INVERSA, PORCENTAJES, NOTACIÓN CIENTÍFICA Y CONVERSIONES DE UNIDADES
Objetivo de la Práctica. Aplicarás los conocimientos de la aritmética para la resolución de problemas que se presentan en la vida cotidiana, con énfasis en las actividades prácticas de la medicina veterinaria y zootecnia, los cuales comprenden las operaciones aritméticas fundamentales de Regla de Tres; simple e inversa, Porcentajes, Notación Científica y Conversiones de Unidades
Desarrollo de la Práctica. Paso 1.- Leer cuidadosamente el ejercicio Paso 2.- Resolver el ejercicio Paso 3.- Entregar el ejercicio resuelto al instructor
Criterio y Evaluación de desempeño Entregarás el 70 % de los ejercicios resueltos de manera correcta en el periodo de tiempo establecido y llevarás a cabo los criterios de desempeño comunes (pág. 7).
Materiales. Lápiz, papel, calculadora científica y tablas de aritmética (Anexo I)
Ejercicios 1.
En un dibujo, un insecto mide ½ pulgada de longitud y una etiqueta dice "aumentado 12 veces”. ¿Cuál es la longitud real del insecto?
2.
Rubén hizo 24 tiros en el juego de basquetbol de la noche anterior. Su porcentaje de aciertos fue 37½ %. Si cada canasta vale dos puntos, ¿cuántos puntos anotó Rubén?
3.
Un examen de inglés tiene 120 puntos en total. Se necesita una calificación de 70% para aprobar. Si Diana obtuvo 80 puntos, ¿aprobó?
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
4. En una supertienda existe un descuento del 25% en la compra de blancos. Si una señora lleva artículos por la cantidad de $3,765.00 ¿cuánto pagará en caja? 5. A cierta hora, un bastón que mide 54 cm, colocado perpendicularmente al suelo, proyecta una sombra de 36 cm, y el monumento al Ángel de la Independencia una de 12 m ¿Cuánto medirá de altura el monumento? 6.
El diámetro del átomo del hidrógeno es de 0.000 000 000 41 m. ¿Cómo se escribe esta dimensión en notación científica?
7. Pepe vio en la televisión un juego de fútbol americano entre Green Bay y Chicago. Cuando empezó el encuentro apareció en la pantalla un recuadro indicando la temperatura ambiente de 40° en el estadio, expresada en grados Fahrenheit, ¿a cuántos grados centígrados están? 8.
Indica cuál es el resultado de convertir 500 ha a m 2.
9.
Un automovilista condujo 1200 Km con 94 litros de gasolina. ¿Cuántos litros necesita para recorrer 500 Km?
10. Una computadora puede hacer un cálculo en 0.0000004 segundos. ¿Cuánto tardaría en realizar un trillón (1 x 10 12) de cálculos? 11. Una cuadrilla de siete trabajadores pinta un edificio en 85 horas de labor. ¿En cuánto tiempo realizarán la misma tarea 10 trabajadores? 12. Una vendedora ganó 45 500 pesos el año pasado. Sus gastos fueron 67½ % de sus ingresos. ¿Cuánto dinero le quedó después de descontar sus gastos? 13. Si la distancia de Venus al Sol es de 108 millones de kilómetros, cómo expresarías esta distancia en notación científica. 14. Un automovilista viaja a la Cd. de Monterrey a una velocidad promedio de 55 mi/h. Si la distancia es de 280 km ¿cuánto tiempo tardará en llegar?La pasteurización de la leche es el proceso que al calentar 15 seg. A 70 º C, dura 5 días para su consumo. 15. La ultra pasteurización de la leche es el proceso que al calentarla 1 seg. A 150 º C, dura 150 días para su consumo. ¿En que porcentaje la duración de la leche por el proceso de Ultra pasteurización?
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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16. En una encuesta realizada a 11,170 personas con mascotas, el 65 % dijo tener un perro, 3,522 dijo tener un gato. ¿Cuántas personas tienen como mascota a un animla que no sea perro o gato? 17. En un rancho de engorda, su ocupación es del 70 %, hay 35 corrales ocupados. ¿Cuántos corrales en total tiene el rancho? 18. ¿Con cuanto deben de llenarse las botellas de suero glucosado con capacidad de 355 ml para evitar que se revienten, si aumenta el volumen en 6 % al congelarse? 19. El caporal de un rancho trabajó 6 días y gana a 160 pesos el día. ¿Cuánto le pagaron si le descontaron el 15 % de su salario? 20. Un semental caprino tiene un precio si iva de $ 6,520.00 ¿Cuál será su precio de venta con el iva incluido?
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
ÁLGEBRA PRÁCTICAS 3 – 5
Introducción. El álgebra surgió como evolución de la aritmética, comenzó como segundos tratados de esos pensadores. Sin embargo su desarrollo fue lento, pues no fue sino hasta la edad media cuando los árabes retomaron los trabajos Griegos e Hindúes, donde esta rama era conocida en estos lugares en tiempos no claramente definidos, y la estudiaron a profundidad. De hecho, la palabra álgebra tiene su origen en el nombre del primer tratado árabe que se introdujo en occidente, por Italia. Por lo tanto, el primer libro de álgebra publicado en Europa es del matemático Pascioli; otros italianos hicieron aportes al álgebra en lo que toca a la resolución de problemas de tercer grado. Fue el célebre padre de las matemáticas Carl Frierich Gauss quien dio la demostración del teorema fundamental del álgebra, en el siglo XIX se sentaron las bases de lo que es el álgebra moderna, y en la antesala del siglo XX se expusieron nuevos aspectos del álgebra y se fundamentaron la teoría de conjuntos, funciones y grupos, que da pie al desarrollo del análisis algebraico y a la teoría de las funciones reales.
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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PRÁCTICA 3. LENGUAJE ALGEBRAICO, EXPRESIONES ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN Objetivo de la Práctica. Aplicarás el lenguaje algebraico en la resolución de ejercicios matemáticos abstractos y de aplicación general.
Desarrollo de la Práctica. Paso 1.- Leer cuidadosamente el ejercicio Paso 2.- Resolver el ejercicio Paso 3.- Entregar el ejercicio resuelto al instructor
Criterio y Evaluación de desempeño Entregarás el 70 % de los ejercicios resueltos de manera correcta en el periodo de tiempo establecido y llevarás a cabo los criterios de desempeño comunes (pág. 7).
Materiales. Lápiz, papel, calculadora científica y tablas de álgebra ( Anexo II)
Ejercicios 1
1. Simplifica la expresión 2. Evalúa
15
3
6
25
5
8
2
2
3
my z
8m6 y 8 z 4 2m4 y 2 z 2
2
2
=
3. Factoriza a su mínima expresión a 4 7a 2 12 . 4. Se corta una varilla en dos partes, de manera que una de ellas mide una tercera parte de la varilla original y la otra la mitad de ésta. Si ambas partes suman 8.60 m de largo, ¿cuántos metros medirá cada una de ellas? 5. Desarrolla la siguiente potencia (ab – 2c )3.
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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6. Leo pagó $ 40.00 más por su pantalón que por su camisa. Si el costo total fue de $ 380.00, ¿cuánto le costó a Leo cada prenda? 7. Expresa la siguiente fracción en los términos más simples:
4 x 2 y 3 2 x 5 y
.
8. Desarrolla la multiplicación siguiente: p r 1 p r 1 . 9. Factoriza completamente la expresión 25 x 2
30 x 9 .
10. Si pienso un número, le sumo 5, multiplico el resultado por 3 y divido el nuevo resultado entre 10, obtengo 6. ¿Qué número pensé? 11. El resultado de
1
1 3
2
a
es:
2
12. Suprime los paréntesis y realiza las operaciones de la siguiente expresión algebraica: 6 x 3y 5 x 1 1 y x 13. Simplifica la expresión:
a
b
b
a
1
b a
14. Simplifique la expresión
x
x
2
5
2 x
3 x
.
10
15. Expresa la siguiente fracción en los términos más simples:
3m 9m
2
.
16. Resulta al simplificar la siguiente expresión algebraica: 2am
3m
7 am
2m
6m a
4 3
17. Desarrolle el siguiente producto notable:
m
3
=
4 x x 4
18. Es el resultado de simplificar la siguiente expresión algebraica:
x 2
6 x 9
19. Un agente de ventas recibe la siguiente oferta de empleo de una compañía aseguradora: Un salario base mensual de $500.00, más un 8% de comisión sobre las ventas. Plantee una fórmula que indique cómo dependen los ingresos del agente de las ventas que realice. 20. El doble de la edad que tenía Laurita hace dos años es igual a la edad que tendrá dentro de tres años. ¿Cuántos años tiene ahora Laurita?
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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PRÁCTICA 4. COORDENADAS RECTANGULARES, FUNCIONES, ECUACIONES LINEALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES. Objetivo de la Práctica. Aplicarás los conocimientos del álgebra para la resolución de problemas que comprenden las operaciones con funciones, ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y coordenadas rectangulares.
Desarrollo de la Práctica. Paso 1.- Leer cuidadosamente el ejercicio Paso 2.- Resolver el ejercicio Paso 3.- Entregar el ejercicio resuelto al instructor
Criterio y Evaluación de desempeño Entregarás el 70 % de los ejercicios resueltos de manera correcta en el periodo de tiempo establecido y llevarás a cabo los criterios de desempeño comunes (pág. 7).
Materiales. Lápiz, papel, calculadora científica y tablas de álgebra ( Anexo II)
Ejercicios 1. Un promedio mayor o igual que 80 y menor que 90 da como resultado una calificación final de B. Si un estudiante obtuvo las puntuaciones de 85, 90, 98, 78 en sus exámenes, ¿en qué límites de puntuaciones debe estar su último examen si desea obtener una B como calificación final? 2. Trace la gráfica de los puntos cuyas coordenadas son (0, 3); (5, –3); (8, 1) y (3, 1) y compruebe si se trata de un paralelogramo. 3. La ecuación de movimiento de un cohete está dada por h t 150.6t 16.1t 2 , donde h es la altura en pies cuando t se mide en segundos. Encuentre h(0.45). 4. Un agricultor compró 340 kg de semilla distribuidos en tres costales de maíz y dos de frijol; la siguiente semana compró 200 kg de semilla en dos costales de maíz y uno de frijol. ¿Cuánto pesa el costal de maíz y el de frijol? Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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5. ¿Representa la tabla una función? El dominio está en la columna de la izquierda y el codominio en la de la derecha. Estado
Capital
Tamaulipas
Cd. Victoria
Nuevo León
Monterrey
Coahuila
Saltillo
6. Un obrero puede hacer un trabajo en tres días y otro en seis. Determine el tiempo que tardan en realizar dicho trabajo los dos obreros juntos. 7. Elige el bosquejo que corresponde a la siguiente función:
A)
B)
D)
E) Ninguna de las anteriores
y
x
4
2
C)
8. Juan, Jorge y Tomás ganan $ 120.00 diarios entre los tres. Jorge ganó $20.00 menos que Juan y Tomás ganó el doble que Jorge. Halla lo que ganó cada uno de ellos. 9. La altura de un triángulo es tres veces mayor que la longitud de su base. Si su área es de 54 m 2, ¿Cuáles son sus dimensiones (base y altura)?
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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10. Hallar el dominio de las siguientes funciones:
11. Grafica los puntos cuyas coordenadas son: (0, -6); (-6, 0) y (6, 6) e indica qué tipo de triángulo se forma al unir los puntos.
12. Se compró una caja de refrescos y una bolsa de vasos por $ 50.00 y después tres cajas de refrescos y dos bolsas de vasos por $ 130.00. ¿Cuál es el precio de cada artículo? 13. Una impresora marca ACME imprimió tres libros y dos álbumes de fotografías en 680 minutos. La misma impresora tardó 400 minutos para imprimir dos libros y un álbum de fotos de las mismas características que los anteriores. ¿Cuántos minutos tardará en imprimir solamente un libro y un álbum? 14. Sea f x
3 x 4
y g x
a)
Halla g x f x .
b)
Encuentra g x f x
5 x 7 .
2
.
15. Una excursión escolar costó $ 120.00. Si hubiesen asistido tres estudiantes más el costo por estudiante hubiera disminuido en $ 2.00. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión? 16. Determine la relación que permite encontrar el área sombreada de la siguiente figura para un determinado valor de a.
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17. Se necesita instalar una ventana de aluminio de forma rectangular en una pared. Si el área de la ventana está dada por la expresión 5 x 2 38 x 16 , ¿cuánto medirá su perímetro? 18. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) x 6y 27 7 x 3y
9
b) 4 x 5y 5 10y 4x
7
19. ¿Cuál es la solución del siguiente sistema de ecuaciones? 6 x 2y x
y
560 150
20. Un tren debe recorrer una distancia dada por la expresión 2a 8b 4c . Si el tren ha recorrido la distancia a 3b 2c , ¿qué distancia le falta para terminar su recorrido?
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PRÁCTICA 5. DESIGUALDADES Y ECUACIONES CUADRÁTICAS. Objetivo de la Práctica. Aplicarás los conocimientos del álgebra para la resolución de problemas que comprenden las operaciones con desigualdades y ecuaciones cuadráticas.
Desarrollo de la Práctica. Paso 1.- Leer cuidadosamente el ejercicio Paso 2.- Resolver el ejercicio Paso 3.- Entregar el ejercicio resuelto al instructor
Criterio y Evaluación de desempeño Entregarás el 70 % de los ejercicios resueltos de manera correcta en el periodo de tiempo establecido y llevarás a cabo los criterios de desempeño comunes (pág. 7).
Materiales. Lápiz, papel, calculadora científica y tablas de álgebra (Anexo II)
Ejercicios 1. Un patinadero mide 100 m de largo y 70 m de ancho. El propietario desea aumentar su área a 13,000 m 2 agregando franjas de igual ancho a un lado largo y a otro corto y mantener su forma rectangular. Encuentre el ancho de las franjas que deben añadirse. 2. Resuelva algebraicamente las siguientes desigualdades. a) 3 x 5 7 b) 5 x 3 6 x 1 c) 3 x 1 4x 3 3. Un conserje debe llevar una remesa grande de libros del primero al quinto piso. En el ascensor hay un letrero que indica “peso máximo 450 kg”. Representa,
con una desigualdad doble, el número de cajas completas (x) que podrían meterse al elevador, si cada caja de libros pesa 30 kg y el conserje pesa 79 kg.
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4. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general. a) x 2 9 x 20 0 b) x 2 10 x 25 0 c) x 2 2 x 2 0 5. Resuelva por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas. a) 2 x 2 x 10 0 b) 4 x 2 15 x 9 0 c) x 2 4 x 4 0 6. Resuelva por fórmula general las ecuaciones siguientes: a) x 2 8 x 16 0 b) x 2 5 x 6 0 c) m 2 14m 49 0 7. Luisa dijo que vendería su casa solo si la oferta fuera $4,000.00 por arriba de $92,000.00, que es lo que le costó. Las ofertas se dan en múltiplos de $5000.00. ¿Cuál es la mínima oferta que Luisa aceptaría? 8. ¿Cuáles 3 x 2
son
las 8 x 16 0 ?
raíces
de
la
siguiente
ecuación
cuadrática:
9. Se quiere cercar un terreno en forma rectangular de 10,000 m 2 que colinda con un río, por lo que no se requiere cercar ese lado. ¿Cuánto mide el ancho y el largo del terreno si se necesita exactamente 300 m de tela de alambre?
10. Un edificio tiene una fachada rectangular. Si su altura mide 5 m más que su base, ¿cuáles serán las dimensiones de la base y altura de la fachada, si ésta tiene un área de 104 m 2? 11. Un granjero desea construir un corral que abarque un área de 180 m 2, para lo cual tiene 56 m de cerca. Si el corral debe tener una forma rectangular ¿qué dimensiones tendrá el corral?
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12. Resuelva por fórmula general las ecuaciones siguientes: a) 2 x 2 5 x 3 0 b) x 2 10 x 24 0 c) 8 x 2 6 2 x 0 13. El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala. 14. Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos
15. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno? 16. Resolver las siguientes ecuaciones: a) x 2/2 = x /2 + 3 b) 3 x 2 = 12 17. Un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm . Calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial. 18. Resolver el siguiente sistema de inecuaciones lineales: a) x + 3y – 7 > 0 b) 3x – 2y + 1 > 0 c) 4x + y – 17 < 0 19. Un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm . Calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial. 20. Resolver para x la desigualdad 13 x − 7 > 5√7 x .
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GEOMETRÍA PRÁCTICA 6
Introducción. Los orígenes de la geometría son muy remotos. Hace tal vez cerca de 600 mil años tuvo lugar en Mesopotamia uno de los más grandes acontecimientos que registra la historia: la invención de la rueda. Nació entonces un gran afán por descubrir las propiedades de la circunferencia, el cual llevó a establecer la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro ( ), y cuyo valor se situó entonces en 3, como puede leerse en el primer libro bíblico de los Reyes. No obstante, se atribuye a los egipcios la invención de la geometría; disciplina que aplicaban debido a que necesitaban volver a encontrar los límites de los campos una vez que cedían las inundaciones ocasionadas por el desbordamiento del río Nilo. Pero la agrimensura (arte de medir la tierra) no fue el único origen de la geometría. Tales de Mileto la introdujo en Grecia con la teoría de los triángulos semejantes, y su discípulo Pitágoras estableció la proposición del cuadrado de la hipotenusa. Entre los aportes de Platón a la geometría se cuentan, entre otros, el establecimiento del método analítico, la teoría de los lugares geométricos y las secciones cónicas.
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Por su parte, Arquímedes estableció la razón entre la circunferencia y el diámetro; Euclides coordinó y sistematizó toda la obra acerca de geometría producida hasta sus días. En la actualidad se conocen sus teorías con el nombre de geometría de Euclides o euclidiana. Entre las concepciones de geometría más destacadas del siglo XX, podemos mencionar la geometría infinitesimal de Daroux, además de la geometría imaginaria de Lobatchevsky; Riemann intentó construir una moderna geometría con las teorías de sus antecesores y apoyado por Beltrami y Klein, excelentes matemáticos y geómetras.
Objetivo de la Práctica. Serás capaz de diferenciar las figuras y los cuerpos geométricos; calcularás sus perímetros, áreas y volúmenes. Analizarás, plantearás y resolverás problemas de aplicación sencillos usando los conceptos aprendidos.
Desarrollo de la Práctica. Paso 1.- Leer cuidadosamente el ejercicio Paso 2.- Resolver el ejercicio Paso 3.- Entregar el ejercicio resuelto al instructor
Criterio y Evaluación de desempeño Entregarás el 70 % de los ejercicios resueltos de manera correcta en el periodo de tiempo establecido y llevarás a cabo los criterios de desempeño comunes (pág. 7).
Materiales. Lápiz, papel, calculadora científica y tablas de geometría (Anexo I II)
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Ejercicios 1. Con el propósito de instalar losetas en su sala, Laura hizo el diseño del piso y tomó las medidas (véase figura). Si el instalador le cobrará $ 20.50 por metro cuadrado, ¿cuánto le costará la instalación?
2. Qué volumen de granos puede almacenarse en un silo de forma cónica cuya base tiene 9 m de radio y una altura de 4.8 m, si la parte superior debe quedar vacía en 80 cm.
3. Se desea cercar un terreno rectangular que mide de largo 24.3 m y de ancho 12.5 m. Si la cerca llevará 6 líneas de alambre de púas, ¿cuántos metros de alambre se requieren para cercar dicho terreno, si se deja un acceso mide 6 m de ancho libre?
4. Una pared de la cocina de María será cubierta con azulejo cuyas dimensiones son 2 m de altura y 3 m de largo. Si los azulejos miden 20 cm de lado, ¿cuántos azulejos se necesitarán?
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5. Una persona desea pintar la superficie de un tanque cúbico cerrado que tiene 3.5 m de arista. Si el pintor le cobra a $ 11.50 por metro cuadrado, ¿cuánto debe pagar al pintor por la realización del trabajo?
6. Se introduce una esfera maciza de metal de 3 m de diámetro en un tanque cúbico lleno de agua donde cabe justamente. ¿Cuánta agua queda en el tanque?
7. Determina el costo de cercar un terreno rectangular que mide 8 m de ancho y 20 m de largo, si se desea colocar un muro de 2 m de altura y un portón de entrada de 3 m de ancho y altura igual a la del muro, cuando el costo de un metro cuadrado de muro es de $100.00 y $500.00 el metro cuadrado de portón.
8. Un tanque cilíndrico cuyas dimensiones son 3 m de diámetro y 1½ m de altura, está a un 60% de su capacidad. ¿Cuantos días podrá abastecer a una familia si el consumo diario es de 780 litros?
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9. Encuentra el valor del ángulo A en la siguiente figura.
10. Determina el área sombreada de la siguiente figura cuyos lados iguales son de tres unidades.
11. Calcula el área de los triángulos cuyas bases y alturas son, respectivamente: a) 3 cm y 6 cm b) 4 cm y 12 cm
12. El piso de la habitación de Armando es un cuadrado cuyo lado mide 3.6 m, y será renovado con mosaico. Si Armando quiere que todas las piezas queden enteras y los mosaicos son cuadrados de 25, 30 y 50 cm por lado, ¿cuál opción cumple con la condición de que sean piezas enteras? ¿ Cuántos mosaicos se necesitarán?
13. Si desea llenar un envase de 1 l con una jeringa de 5 cm 3, ¿cuántas veces deberá vaciarse agua con la jeringa para llenar el envase?
14. Se desea construir una habitación que contenga 49.4 m 3 de espacio interior. ¿De qué altura deben ser las paredes si el piso es de forma rectangular que mide 5.2 m de largo y 3.8 m de ancho?
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15. Una manguera de bomberos tiene 45 m de largo y 3 pulgadas de diámetro. ¿Cuál es la cantidad máxima de agua que cabe en su interior?
16. Encuentra el volumen de agua en litros de una alberca que mide lo siguiente: 25.3 m de largo, 14.7 m de ancho y 2 m de profundidad.
17. Calcule los ángulos en la figura según los datos que se indican.
a =____
b =____
c =___
18. El odómetro es un instrumento que mide la distancia recorrida por un vehículo en función del giro de las llantas. ¿Cuántos giros realizan las llantas, cuyo diámetro es de 30 pulgadas, si el odómetro registró un avance de 2.4 km?
19. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. La parte rectangular de la ventana mide 0.9 m de ancho y 1.2 de alto. ¿Cuál es el área total de la ventana?
20. En una compañía gasera se instalaron dos depósitos esféricos, de 20.6 m de radio, para almacenar un gran volumen de gas butano. ¿Cuál es el volumen de gas que pueden almacenar los dos tanques?
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TRIGONOMETRÍA PRÁCTICA 7
Introducción. El término trigonometría proviene de las raíces griegas trigonon, triángulo, y metron, medida. Por tanto, como lo indica su nombre, esta ciencia se ocupa del cálculo de todos los elementos que componen el triángulo, a saber, lados, alturas, medianas, bisectrices, radios de círculos notables y ángulos. Aunque Hiparco de Alejandría (190-125 a.C.) inventó la trigonometría, el primer tratado sobre esta ciencia, De Triangulis, fue escrito en 1464 por Johann Muller "Regiomontano” (1436-1476); esa obra se imprimió en 1533, comprende la trigonometría plana y la esférica y sólo emplea el seno y el coseno como funciones trigonométricas. Junto con los egipcios, los chinos intuyeron también las nociones más elementales de la iniciación trigonométrica. Así, por ejemplo, en el Chou Pei Suan-King (1105 AC), se observa la frecuencia con la que usaron el triángulo rectángulo para medir las distancias, las alturas y las profundidades; sabían también que la longitud de la sombra proyectada por un objeto depende de la altura de éste, y es muy posible que conocieran algunas razones que hay entre los lados de los triángulos rectángulos. Al incorporar los ángulos a los cálculos relativos al triángulo, la trigonometría complementa a la geometría y establece sus teorías únicamente en función de las longitudes de los diferentes lados del triángulo. En la actualidad, es Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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imprescindible aplicar la trigonometría para comprender las matemáticas más simples. Además de la trigonometría plana existe la trigonometría esférica, que permite resolver los problemas de triedros en el espacio.
Objetivo de la Práctica. Analizarás, plantearás y resolverás problemas de aplicación sencillos utilizando las relaciones trigonométricas fundamentales.
Desarrollo de la Práctica. Paso 1.- Leer cuidadosamente el ejercicio Paso 2.- Resolver el ejercicio Paso 3.- Entregar el ejercicio resuelto al instructor
Criterio y Evaluación de desempeño Entregarás el 70 % de los ejercicios resueltos de manera correcta en el periodo de tiempo establecido y llevarás a cabo los criterios de desempeño comunes (pág. 7).
Materiales. Lápiz, papel, calculadora científica y tablas de trigonometría (Anexo IV)
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Ejercicios 1. En el festejo del 15 de septiembre, una persona observa el estallido de un cohete con un ángulo de elevación de 10°. Dos segundos después, escucha el sonido. ¿A qué altura, explotó el cohete?
680
2. Dos edificios con techo plano se encuentran a una distancia de 60 m. Desde el techo del edificio más bajo, de 40 m de altura, el ángulo de elevación hasta el borde del techo del edificio más alto es de 40°. ¿Cuál es la altura del edificio más alto?
3. Si cot = 1.462, encuentre la medida en radianes de . 4. Resuelva el triángulo rectángulo ABC si A = 32º y a = 3. 5. Al investigar un lugar para una construcción se registra en un libro el ángulo 79.473º. Convierta este ángulo a grados, minutos y segundos. 6. Una carretera que forma un ángulo de 30º 40´ hacia el norte intersecta a otra carretera que forma un ángulo de 76º 45´ hacia el sureste. ¿Cuál es el ángulo formado entre las dos carreteras? 7. Durante un experimento en un laboratorio de física, un estudiante mide un ángulo y obtiene 16º 50´. Otro miembro del grupo mide el mismo ángulo y obtiene 16.75º . ¿Cuál es la diferencia entre las dos mediciones?
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8. Desde la cima de un acantilado de 126 m de altura se observa un velero con un ángulo de depresión de 20.7º. ¿Cuán alejado se encuentra el velero de la base del acantilado? 20.7º
9. Un proyectil se lanza con un cañón en línea recta. El ángulo de elevación mide 36º. Cuando el proyectil logra alcanzar una altura de 577.20 m., ¿qué distancia ha recorrido? 10. En un cierto punto, el ángulo de elevación de la parte superior de una torre de microondas que se encuentra en el nivel del piso es de 30º . En un punto a 100 m más cerca de la torre, el ángulo de elevación es de 58º. ¿Cuál es la altura de la torre? 11. El ala triangular de una aeroplano se abre hacia atrás con un ángulo de 51.5º con respecto a la línea central del fuselaje. Si el borde principal del ala es de 8.62 m. de longitud y el fuselaje tiene 1.28 m de ancho, ¿cuál es la envergadura (distancia entre las puntas de las alas) del aeroplano?
8.62 m 51.5 º
1.28 m
12. Complete la siguiente tabla (redondeando a cuatro cifras decimales cuando así se requiera). ngulo
sen
33º
cos
tan
cot
sec
csc
0.8387 0.7071
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1
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13. Un satélite que viaja alrededor de la Tierra envía información a la estación de rastreo; en el último informe señala que el planeta es abarcado por un ángulo de 36º 12´. Si el radio de la Tierra es de aproximadamente 6380 km. ¿A qué altura de la superficie de la Tierra se encontraba en ese momento el satélite?
= 36o 12´
14. Un cable se amarra a 12 m de la base de un mástil, y el cable forma un ángulo de 15º con el suelo. ¿Cuánto mide dicho cable?
12 m 15º
15. Para determinar la distancia de una orilla a otra de un río, un topógrafo elige dos puntos P y Q, uno en cada orilla y directamente opuestos entre sí. En la orilla donde se encuentra P , se elige otro punto R , a 50 m de P , de modo que el segmento rectilíneo PR es perpendicular al segmento rectilíneo PQ. El ángulo formado por los lados PR y RQ mide 78.24º. ¿Cuál es la distancia de una orilla a otra del río? R
Q
16. Un reflector que se usa en una hornilla solar se compone de secciones triangulares cuyas longitudes de los lados miden 5.50, 5.50 y 1.30 pies. Encuentre el ángulo interior que se forma entre los lados de igual longitud.
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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17. Un juego mecánico de la feria proyecta una sombra (de su parte superior) de 7 m, cuando el sol se encuentra a 40° sobre el horizonte. ¿Cuál será la altura del juego? 18. Muestre el ángulo en radianes o en grados (según corresponda), y especifique en que cuadrante se encuentra: a)
1 6
b)
3
rad
c) 135º
d)
4 3
e)
42.4097º 19. Un árbol proyecta una sombra de 45 m de largo. Al mismo tiempo, la sombra proyectada por una vara de 2 m es de 3 m de longitud. ¿Cuál es la altura del árbol? 20. Un hombre maneja 500 m a lo largo de un camino con una pendiente de 20º con respecto a la horizontal. ¿A qué altura se encuentra con relación al punto de partida?
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
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ANEXO I FORMULARIO DE ARITMÉTICA Conjuntos Importantes de Números R = Números reales Q = Números racionales I =
Números irracionales
Z = Números enteros. N=
Números naturales.
Jerarquía de Números nombre millón billón trillón quatrillion quintillion sextillion septillion octillion nonillion decillion
Americano-Francés 10^6 10^9 10^12 10^15 10^18 10^21 10^24 10^27 10^30 10^33
Leyes y Propiedades Fundamentales de los Números Reales
Ley (para cualq uier núm ero)
Cerradura
Ad ición*
Multiplicación*
a b es número real
ab es número real
Conmutativa Asociativa Elemento neutro
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
a b (a
b) a 0
c
b a a 0 a
ab
(b a
c)
(ab)c
ba a(bc)
a 1 1 a
a
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Elemento inverso
a
( a)
( a)
Distributiva de la multiplicación
a
a(b
0
c)
a
ab
1
1
a
a
1
a
ac
sobre la adición y sustracción a( b c )
ab ac
*Para cualquier número real a, b, c .
Operaciones Operaciones con el cero
Regla
Identificación
Ejemplo
Adición y sustracción
a 0 a
7 0
7
Multiplicación
a 0 0
15 0
0
Numerador cero
0 / a
0 / 24 0
División entre cero
a
0
indefinida
0
13
indefinida
0
Cero elevado a una potencia
0n
0
03
Potencia cero
a0
1
123 0
Cero elevado a potencia cero
00
Raíz de cero Indice cero Raíz cero de cero
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
indefinido
n
0
a
0
0
0
00
indefinido
indefinido
1
indefinido
3
0
0
0
0
0
2
indefinido
0
0
indefinido
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Operaciones con fracciones
Identificación
Regla
Signo de una fracción
a
a
b
Simplificación
Multiplicación
División
Suma
Resta
Ejemplo 4
a
b
4
7
b
4
7
7
ad
a
1 7
1
bd
b
7
5
5
1 3 2 4
3 8
a
c
ac
b
d
bd
a
c
ad
1
3
1 4
4
2
b
d
bc
2
4
2 3
6
3
a
c
ad bc
3
4
15 8
23
b
d
bd
2
5
10
10
a
c
ad bc
3
4
15 8
7
b
d
bd
2
5
10
10
Operaciones con expon entes y radicales
Identificación Producto de dos potencias Cociente de dos potencias
Regla am
a
an
m
a
Potencia de una potencia
Potencia de un producto
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
am
a
n
am
ab
m n
Ejemplo n
22
25 2
n
n
a mn
anbn
23
25
2
23
2 3
3
2
25
2
26
23
32
23
8
64
33
216
Página 40
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Potencia de un cociente
n
a b
Exponente cero
a0
Exponente negativo
Exponente fraccionario
2
bn
3
1 a
2
n
n
Raíz de una potencia
n
ab
n
an b
4 16
a
n
a
b
n
b
16 4
n
a
am
9
1 1 8
3
2
a
n
32
2
n
Raíz de un cociente
4
1
3
n
a
22
20
m
Raíz de un producto
2
1
n
a
an
m
8
m
3
3
82
3
82
3
4
4 16
16 4
3
64
8
2
4 2
2
8
2
2
4
L e y es d e l o s s i g n o s
Para la suma
Para la resta
Cantidades con signos iguales se Cantidades con signos contrarios, se suman y se pone el mismo signo
restan y se pone el signo del número mayor
Para la multiplicación
Para la división
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
Página 41
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Criterios de Divisibilidad Divisibilidad
Criterios de divisibilidad
Ejemplos
entre
2
Un número es divisible entre 2 si termina en cero o cifra par.
3
12340
Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras absolutas es múltiplo de 3.
4
438
531 5 3 1 9
Un número es divisible entre 4 si sus dos
17700
últimas cifras son ceros o forman un múltiplo
17784
de 4. 5
6
Un número es divisible entre 5 cuando su
12345
última cifra es cero o 5.
12340
Un número es divisible entre 6 si lo es entre 2
738
y entre 3. 7
Un número es divisible entre 7 cuando la
805
diferencia entre las decenas y el doble de las
2 x 5 = 10
unidades es 7 o múltiplo de 7 (este proceso se repite cuantas veces sea necesario). 9
Un número es divisible entre 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10
80 - 10 = 70
Un número es divisible entre 10 cuando
4104 4 1 0 4
9
98760
termina en cero. 11
Un número es divisible entre 11 cuando la diferencia entre la suma de sus cifras que
580767 8 7 7
22
ocupan posiciones pares y la suma de las cifras que ocupan posiciones impares es cero, 11 o múltiplo de 11.
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
5 0 6 11
22 11 11
Página 42
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Sistema Internacional de Unidades (SI) Unid ad de med ida
Nom bre
Longitud
Símb olo
metro
M
Masa
kilogramo
Kg
Tiempo
segundo
S
kelvin
K
mol
Mol
Corriente eléctrica
amperio
A
Intensidad luminosa
candela
Cd
Temperatura Cantidad de sustancia
Prefijos utilizados en el SI Factor
Prefijo
Símbolo
Factor
Prefijo
Símbolo
1012
Tera
T
10-1
deci
D
109
Giga
G
10-2
centi
c
106
Mega
M
10-3
mili
m
103
Kilo
K
10-6
micro
102
Hecta
H
10-9
nano
n
101
Deca
Da
10-12
pico
p
10-15
femto
f
10-18
atto
A
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
Página 43
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Tablas de conversión de unidades Longitud
cm
Unidad
metro
pulgada
pie
yarda
milla terrestre
1
0.01
0.39370
0.032808
0.010936
6.2137 x 10 -6
1 metro
100
1
39.370
3.2808
1.0936
6.2137 x 10 -4
1 pulgada
2.54
0.0254
1
0.083333
0.027778
1.5783 x 10 -5
1 pie
30.48
0.3048
12
1
0.33333
1.8939 x 10 -4
1 yarda
91.44
0.9144
36
3
1
5.6818 x 10 -4
160930
1609.3
63360
5279.855
1760
1
1 centímetro
1 milla terrestre
6
Área o superficie
Unidad 1 cm2
cm2
m2
pulgada2
pie2
yarda2
0.155 1.0764 x 10-3
milla2
1.196 x 10-4 3.86 x 10-11
1
0.0001
1 m2
10000
1
1550
10.764
1.196 3.861 x 10 -7
1 pulg 2
6.4516 6.45 x 10-4
1
6.944 x 10-3
7.716 x 10-4 2.49 x 10-10
1 pie2
929.03
0.092903
144
1
0.11111 3.587 x 10 -8
1 yarda2
8361.3
0.83613
1296
9
1 3.228 x 10 -7
1 milla2
2.59 x 1010
2.59 x 10 6 40145 x 10 9 2.7878 x 10 7 3.0976 x 10 6
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
1
Página 44
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Volumen
Unidad
cm3
m3
L
pulgada3
1
1 x 10 –3
1 x 10-6
1000
1
1 x 10-3
1 m3
1 x 106
1000
1pulgada 3
16.387 0.016387
1 pie3
28317
1 galón
3785.4
1 cm3 1l
pie3
galón
0.061024 3.5315 x 10 -5 2.6417 x 10-4 61.024
0.035315
0.26417
1 6.1102 x 10 5
35315
264.17
1.6387 x 10-5
1
5.787 x 10-4
4.329 x 10-3
28.317
0.028317
1728
1
7.4805
3.7854
3.7854 x 10 -3
231
0.13368
1
Masa
Unidad
g
Kg 1
1g
oz
lb
1 x 10 –3 3.52 x 10 –2 2.204x10-3
1 Kg
1000
1
35.274
1 oz
28.35 2.835x10-2
1
1 lb
453.59
1 ton métrica
1 x 106
1 ton corta
9.071 x 105
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
ton métrica
0.45359
16
2.2046
ton corta
1 x 10 –6 1.1023x10-6 1 x 10 – 3 1.1023x10-3
0.0625 2.835 x 10- 5 3.125 x 10-5 1 4.535 x 10 -4
5 x 10-4
1000 3.52 x 10 –4
2204.6
1
1.1023
3.2 x 104
2000
0.90718
1
907.18
Página 45
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Densidad
Unidad
g/cm3
Kg/m 3
lb/pie3
lb/galón
1 g/cm3
1
1000
62.428
8.3454
1 km/m3
1 x 10 –3
1
6.2428 x 10 -2
8.3554 x 10-3
1 lb/pie3
1.6018 x 10 –2
16.018
1
0.13368
0.11983
119.83
7.4805
1
1 lb/galón3
Tiempo
Unidad
segundo
minuto
hora
día
año
1 seg.
1
0.01666
2.777 x 10-4
1.1574 x 10-5 3.17098x 10-8
1 min.
60
1
0.01666
6.9444 x 10 -4 1.90258x 10-6
1 hora
3600
60
1
0.041666
1.1415 x 10 -4
1 día
8.64 x 104
1440
24
1
2.7397 x 10-3
1 año
3.14496 x 10 7
5.256 x 105
8760
365
1
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
Página 46
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Temperatura
Para convertir de grados
a grados
Kelvin (ºK)
Celsius (centígrados, ºC)
Kelvin (ºK)
Rankine (ºR)
Celsius (centígrados, ºC)
Kelvin (ºK)
Celsius (centígrados, ºC)
Fahrenheit (ºF)
Fahrenheit (ºF)
Rankine (ºR)
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
Celsius (centígrados, ºC)
Kelvin (ºK)
aplicar la ecuación ºC = ºK - 273
ºR =
273 492
·ºK
ºK = 273 + ºC 9
ºF =
ºC =
5
5 9
ºK =
ºC + 32
·(ºF - 32)
492 273
·ºR
Página 47
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
ANEXO II FORMULARIO DE ÁLGEBRA
Leyes de los exponentes Leyes de los exp onentes y radicales para expresiones algebraicas
Nombre Producto de dos potencias Potencia de una potencia Potencia de un producto
Definición an am
(a n ) m
(ab) m
Potencia de un cociente
an m
(3ab) 2 (3ab) 3
a nm
( 2m 2 n 3 ) 4
ambm n
a b
Exponente cero Exponente negativo
Exponente fraccionario
n
n
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
5rs
1
n
4
(3ab) 5 16m 8 n12
(8 pq)
4
(5rs) 4 1 1
5
(7k ) 5
2 n
m
a
n
an b
a
n
a
b
n
b
n
a
am
4
(7 k )
an
3
(5 x 3 y ) 2 (3 z ) 2
(4 jk 3 ) 0
n
ab
Raíz de un cociente
Raíz de una potencia
bn
m
a
Raíz de un producto
[(5 x 3 y ) (3 z )]2
8 pq
1
n
(3ab) 2
24 m2 4n3
an
a0
a
Ejemplo
(9h) 3 4
(2 x)(3 y) 9cd
3
(9h) 2 4
3
2 x 4 3 y 9cd
3
4e
m
7
(3m 2 n) 4
3
4e
7
3m 2 n
4
Página 48
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Triángulo de Pascal (a + b)0
3 + 1 = 41 1 1
2
1 1 1 1 1 1 1
9
6 7
8
4
15 21
28 36
56 84
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
3 6
10
10
70
56
126 126
(a + b)4
1 5
15
35
(a + b)3
1 4
20
35
(a + b)2
1
3
5
(a + b)1
1
1
...
6
21
1 7
28 84
1 8
36
1 9
1
Página 49
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
ANEXO III FORMULARIO DE GEOMETRÍA
Perímetros y Áreas Triángulo Representación gráfica
Perímetro Es
la
suma
Área de
las
A
longitudes de sus lados. P a b c
bh 2
b = base
a, b y c = longitud de los
h = altura del vértice
lados.
opuesto a la base.
Cuadrado Representación gráfica
Perímetro
Área
Es igual a la suma de sus
Es el cuadrado de la
lados o al producto de
longitud de un lado (l ).
multiplicar la longitud de un
A
lado (l ) por 4. P 4l
l 2
l = lado
l = lado
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
Página 50
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Rectángulo Representación gráfica
Perímetro
Área
Es la suma de sus lados, es
Es el producto de dos
decir, de dos largos mas dos
lados de longitud
anchos.
diferente. P 2(l a)
A
l = largo
l = largo
a = ancho
a = ancho
l a
Rombo Representación gráfica
Perímetro
Área
Es igual a la suma de los Es igual a la mitad del cuatro lados o al producto de producto de sus diagonales. la longitud de un lado por cuatro.
A
Dd 2
D = diagonal mayor
P 4l
d = diagonal menor
l = lado Si
sólo
se
diagonales,
conocen
las
entonces
el
perímetro es igual a dos veces la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diagonales. P
2 D 2
d 2
D = diagonal mayor d = diagonal menor
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
Página 51
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Romboide Representación gráfica
Perímetro
Área
Es igual a la suma de las Es igual al producto de la longitudes sus lados. P
longitud de la base por la altura (perpendicular a la
2(l a)
primera). En el caso de que
l y a = lados desiguales del las dos diagonales sean iguales, el romboide es un romboide rombo. A
l h
Trapecio Representación gráfica
Perímetro
Área
Es igual a la suma de las Es igual al producto de la longitudes sus lados.
semisuma
P a b c d
de
los
lados
paralelos por la distancia entre ambos.
a, b, c y d = lados del trapecio A
a
c 2
h
Perímetro y área de un trapezoide Representación gráfica
Perímetro
Área
Es igual a la suma de las El área de un trapezoide se longitudes sus lados. P a b c
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
obtiene descomponiéndolo en d
figuras más simples.
Página 52
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Polígono regular Representación gráfica
Perímetro
Área
Es igual a la suma de las Es igual a la semisuma del longitudes de sus lados o al producto del perímetro por el producto de la longitud uno de apotema
(apotema
es
el
sus lados por el número de segmento que va del centro éstos.
de un polígono regular al P nl
punto medio del lado).
n = lados del polígono l = longitud de un lado
Pa
A
2
P = perímetro a = apotema
Perímetro y área de un círculo Representación gráfica
Perímetro
Área
Es igual al producto del Es igual a la mitad del diámetro por
o dos veces el producto del perímetro por el radio o igual al producto de
radio por .
por el cuadrado del radio. P
d 2 r A
d = diámetro r = radio
Pr 2
2
r
P = Perímetro r = radio
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
Página 53
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Volúmenes
Prisma Representación gráfica
Prisma triangular
Prisma Cuadrangular
Prisma pentagonal
(también paralelepípedo) Volumen El volumen de un prisma cualquiera es igual al producto del área de la base por la altura del prisma (por altura se entiende a la longitud de la perpendicular a los planos de las bases). V Ah
A = Área de la base h = altura del prisma
Pirámide Representación gráfica
Triangular
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
Cuadrangular
Pentagonal
Página 54
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Volumen El volumen de cualquier pirámide es igual a la tercera parte del producto del área de la base por la altura, siendo esta última la longitud de la perpendicular del vértice al plano de la base. V
Ah 3
A = Área de la base h = altura
Cilindro Representación gráfica
Cilindro recto
Cilindro oblicuo Volumen
Es el producto del área de la base por la altura. V
r 2 h
r = radio de la base h = altura
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
Página 55
Manual (Ejercicios) de Matemáticas Básicas
Cono Representación gráfica
Volumen Es un tercio del producto de la base por la altura. V
1 3
r 2 h
r = radio de la base h = altura
Esfera Representación gráfica
Volumen
V
Autor: Jorge Loredo Osti, Ing.
4 3
r 3
Página 56
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