Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
TEMA I
COMBINAÇÕES DE ACÇÕES
PROBLEMA 1 Considere um pilar de betão armado em consola com um comprimento de 4.5m, secção transversal de 0.2x0.5 m2, sujeito ao seu peso próprio, uma acção permanente adicional de G =40kN e 2 acções variáveis, uma Q1 = 80kN (Ψo= 0.7; Ψ1=0.5 e Ψ2=0.1) e outra Q2 = 75kN ((Ψo= 0.6; Ψ1=0.55 e Ψ2=0.5). G
a) Determine os esforços de cálculo de compressão
para
verificação
da
segurança no estado limites último.
Q2
b) Determine o valor de cálculo para
2.00
verificação de segurança para o estado
Q1
limite de utilização (assuma que o ambiente
envolvente
obriga
a
combinação de acção frequente).
0.20 0.50
(m)
2.50 (m)
RESOLUÇÃO:
a) Determinação dos esforços de cálculo para os estados limites últimos.
1º Passo – Calculo dos esforços de cada acção Peso próprio (PP): N ppxAc xl 25 x0.2 x0.5 x 4.5 11 .25 kN ; Carga Permanente (G): N 40kN ;
Compilado por:
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FEUEM 09
A seguir são apresentados os diagramas de esforços normais para as cargas acima determinadas:
PP
G
4.50 m
11.25
40.0
dN (kN)
dN (kN)
Fig. 1. Diagramas de esforços (acções permanentes)
Carga variável Q1: Q1= 80kN; Carga variavel Q2: Q2=75kN;
Q1
Q2
4.50 m 2.50 m
80.0 dN (kN)
75.0 dN (kN)
Fig. 2. Diagrama de esforços (acções variáveis)
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FEUEM 09
2º Passo: Determinação dos esforços de cálculo.
1. Assumindo que a acção de base é a carga Q1.
m
Sd gi SGik q SQ1k 0 j SQjk
i 1
N sd N sd N sd
( )
g N pp g N G q N Q1 oQ 2 N Q 2
( )
1.5 x11.25 1.5 x 40 1.5(80 0.6 x75)
( )
264.375kN
2. Assumindo que a acção de base é a carga Q2.
N sd N sd N sd
()
g N pp g N G q N Q 2 oQ1 N Q1
()
1.5 x11.25 1.5 x 40 1.5(75 0.7 x80)
()
273.375kN
Então, o esforço de cálculo será Nsd = 273.375kN.
b) Determinação dos esforços de cálculo para os estados limites de utilização.
1º Assumindo que a acção de base é a carga Q1: im
N sd SGik 1SQ1k 0 j SQjk
i 1
N sd N sd N sd
( )
N pp N G 1 NQ1 2Q 2 N Q 2
( )
11.25 40 (0.5 x80 0.5 x75)
( )
128.75kN
2º Assumindo que a acção de base e a carga Q2:
N sd N sd N sd
( )
N pp N G 1 N Q 2 2Q1 N Q1
( )
11.25 40 (0.55x75 0.1x80)
( )
100.5kN
Resposta: o esforço de cálculo será Nsd = 128.75kN.
Compilado por:
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FEUEM 09
PROBLEMA 2 Considere a viga ilustrada na figura, com uma secção de 0.2x0.6 m2, sujeita as cargas permanentes G1=25kN/m e G2=32kN/m e as acções variáveis Q1 = 40kN/m (Ψo= 0.75; Ψ1=0.68 e Ψ2=0.44) Q2 = 60kN/m (Ψo= 0.75; Ψ1=0.68 e Ψ2=0.40). Estas acções não incluem o peso próprio da viga. Determine os momentos flectores de cálculo para verificação de segurança dos estados limites últimos. 32 kN/m
25 kN/m A
B 6.00
C 1.50
(m)
Fig.1 – Cargas permanentes sem peso próprio
60 kN/m
40 kN/m A
B 6.00
C 1.50
(m)
Fig. 2- Cargas Variáveis
RESOLUÇÃO:
1º Passo – Cálculo dos esforços Cargas permanentes:
PP 25x0.2x0.6 3kN / m
∴ Incluindo o peso próprio teremos:
35 kN/m
28 kN/m 1
2 6.00
3 1.50
(m)
39.38 dM (kNm)
107.08
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Reacções de apoio:
m
2
V1x6 28x6x3 35x1.5x0.75 0 V1 77.44kN ;
m
1
V2 x6 28x6x3 35x1.5x6.75 0 V2 143.06kN ;
Cálculo dos momentos: M 1 2 77 .4 X 28 x0.5 X 2 ;
O momento máximo actua no ponto: M 1' 2 77 .4 28 X X 2.76 m
Então: M 1 2 77 .44 x 2.76 28 x0.5 x 2.76 2 M 1 2 107 .08 kNm
1 M 2 35x x1.52 M 2 39.38kNm ; 2
Cargas variáveis:
Carga Q1: O momento será dado por: M 1 2
ql 2 40 x6 2 180 kNm 8 8
40 kN/m 1
2 6.00
1.50
(m)
dM (kNm)
180.0
Compilado por:
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Carga Q2: 60.0 kN/m
1
2 6.00
3 1.50
(m)
67.50
dM (kNm)
M2
ql 2 60 x1.52 67 .5kNm 2 2
2º Passo: Determinação dos momentos de cálculo: m
Sd gi SGik q SQ1k 0 j SQjk i 1
M sd M sd M sd
M sd M sd M sd
()
g M g q M Q1 oQ 2 M Q 2
()
1.5 x107.08 1.5 x180
()
430.62kNm;
( )
g M g q M Q 2 oQ1M Q1
( )
1.5 x39.38 1.5 x67.5
( )
160.32kNm
Note que neste caso, não houve necessidade de se permutar as cargas variáveis como uma sendo de base e outra não, porque as cargas em causa introduzem um efeito favorável para os momentos, ou seja, na primeira combinação,
no cálculo do
momento positivo, se introduzíssemos a carga Q2 como não de base o momento de cálculo diminuiria pois o momento da carga Q2 tem sinal contrário ao momento das cargas permanentes e Q1. O mesmo se verifica na combinação do momento negativo. Compilado por:
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FEUEM 09
PROBLEMA 3 Dada a estrutura abaixo e sabendo que as argas permanentes são: g1= 30kN/m; g2=40kN/m e g3=35kN/m, a carga Variável q= 50kN/m (Ψo= 0.6; Ψ1=0.4 e Ψ2=0.2) e despresendo o peso próprio, determine: a) Os valores máximos de cálculo dos momentos flectores para verificação de segurança aos estados limites últimos. b) Os valores de cálculo associados a compressão dos pilares AD e BE para verificação aos estados limites últimos. q C
D
g1
4.50 m
g2
E
0.20
0.20 0.20
0.20
A 2.50
F
g3
B 5.00
1.80
(m)
RESOLUÇÃO: 10 Passo: Calculo dos momentos e dos esforços de compressão associados as cargas permanentes. ∑mE= 0 → -30x2.5x6.25-40x5x2.5+35x1.8x0.9+VDx5=0 → VD= 182.41 kN ∑mD = 0 → -30x2.5x1.25 + 40x5x2.5 + 35x1.8x5.9 - VBx5 =0 →VB = 155.59 kN MD = -30x0.5X2 = -15x2.52 = -93.75 kNm ME = -35x0.5x1.82 = -56.7 kNm Compilado por:
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FEUEM 09
MAB = -30x2.5(X+1.25) -40x0.5X2 + 182.41X MAB = -30x2.5 -40X +182.41 → X=2.69m MABmax = -30x2.5(2.69 +1.25) – 20x2.692 = 50.46 kNm;
40kN/m
30kN/m
C
E
D 2.50
35kN/m
F
5.00
(m)
1.80
93.75 56.70
C
dM (kNm)
E
D
F
50.46
155.59 kN
182.41 kN
Fig. Diagrama das cargas permanentes
2o Passo: Cálculo dos momentos e dos esforços de compressão associados a carga variável.
CASO 1 – Actuação da carga em toda a viga
50kN/m
C
E
D 2.50
F
5.00
(m)
1.80
156.25 81.00
C
dM (kNm)
E
D
F
39.89 265.05 kN
Compilado por:
199.95 kN
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∑mE = 0 → -50x2.5x6.25 – 50x0.5x52 + 50x1.8x0.9 + VDx5 =0 →VD= 265.05 kN ∑mD = 0 → -50x2.5x1.25 + 50x5x2.5 + 50x1.8x5.9 - VBx5 = 0 → VA= 199.95 kN MD= -50x0.5X2 = -25x2.52 = -156.25 kNm ME = -25x1.82 =-81 kNm MAB = -50x0.5X2 + 265.05X -50x2.5(1.25+X) = 0 M’AB = -50X +265.05 – 125 =0 → X= 2.8 MmaxAB = -50x0.5x2.82 + 265.05x2.8 – 125(2.8+1.25) = 39.89 kNm
CASO 2 – Actuação da carga no vão central da viga 50kN/m
C
E
D 2.50
C
F
5.00
dM (kNm)
E
D 125.00 kN
(m)
1.80
F
125.00 kN
156.25
VA = VB= 0.5x50x5 = 125 kN Mmax = ql2/8 = 0.125x50x52 = 156.25 kNm
CASO 3 - Actuação da carga na consola DC: 50kN/m
C
E
D 2.50
F
5.00
(m)
1.80
156.25
C
D 156.25 kN
Compilado por:
78.12
dM (kNm)
E
F 31.25 kN
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∑mD=0 → -50x2.5x1.25 - VEx5 → VE= -31.75 kN (↓) ∑mE=0 → VAx5 – 50x2.5x6.25 = 0 → VB = 156.25 kN MD = -50x2.52x0.5 = -156.25 kNm MDE = 0.5xMD = 0.5x(-156.25)= -78.125 kNm
CASO 4 – Actuação da carga na consola EF
50kN/m
C
E
D 2.50
F
5.00
(m)
1.80
81.00
C
D
dM (kNm)
E
40.56
F 106.20 kN
16.20 kN
∑mD=0 → -VEx5 + 50x1.8x5.9 = 0 → VE = 106.2 kN ∑mE=0 → VDx5 + 0.5x50x1.82 = 0 → VD = -16.2 kN (↓) ME= -50x1.82x0.5 = -81 kNm MDE = 0.5x(-81) = -40.5 kNm
CASO 5 50kN/m
C
E
D 2.50
5.00
F (m)
1.80
156.25
C
dM (kNm)
E
D
F
87.89 281.25 kN
Compilado por:
93.75 kN
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∑mD=0 → -50x2.5x1.25+0.5x50x52 - VEx5 = 0 → VE = 93.75 kN ∑mE=0 → VDx5 – 50x2.5x6.25 – 0.5x50x52 =0 → VD = 281.25 kN MD = -156.25 kNm MDE = 93.75X – 0.5x50X2 = 0 M’DE = 93.75 – 50X = 0 → X = 1.88m MmaxDE = 93.75x1.88 – 0.5x50x1.882 =87.89 kNm
CASO 6 50kN/m
C
E
D 2.50
F
5.00
(m)
1.80
81.00
C
dM (kNm)
E
D
108.80 kN
118.37
F 231.20 kN
∑mE=0 → VDx5 – 50x5x2.5 + 0.9x50x1.8 =0 → VD = 108.8 kN ∑mD=0 → 50x5x2.5+ 50x1.8x5.9 - VEx5 = 0 → VE = 231.2 kN ME = -81 kNm MED = 0 → 108.8X – 0.5x50X2 = 0 M’ED = 108.8 – 50X = 0 → X=2.17m MmaxED = 108.8x2.17 – 25x2.172 = 118.37 kNm
CASO 7 50kN/m
C
50kN/m
E
D 2.50
Compilado por:
5.00
F 1.80
(m)
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FEUEM 09
Tem - se ainda esta variante do carregamento pela sobrecarga, que gera momentos: MD= -156.25kNm e ME= -81kNm, e que a carga total sobre a viga é de 50x2.5 + 50x1.8 = 215kN que não origina esforços de compressão máximos nos pilares.
a) MOMENTOS DE CÁLCULO
No vão ED:
m
M sd gi SGik q SQ1k 0 j SQjk
i 1
Msd = γgMG + γqMQ Msd = 1.5x50.46 + 1.5x156.25 Msd = 310kNm
Note-se que a carga permanente provoca o momento máximo no ponto Xg = 2.69m e a carga q variável no ponto Xq = 2.5m, pode-se optar pelo preciosismo e fazer as combinações para os momentos nos pontos Xg = 2.5m e Xq = 2.69m, mas por opção as combinações foram feitas com os momentos máximos do vão mesmo não actuando no mesmo ponto, conferindo também maior segurança.
No apoio D: m
M sd gi SGik q SQ1k 0 j SQjk
i 1
Msd = γgMG + γqMQ Msd = 1.5x(-93.75) + 1.5x(-156.25) Msd = -375 kNm
No apoio E: m
M sd gi SGik q SQ1k 0 j SQjk
i 1
Msd = γgMG + γqMQ Compilado por:
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FEUEM 09
Msd = 1.5×(-56.7)+1.5×(-81) Msd = -206.55 kNm
b) CÁLCULO DOS ESFORÇOS NORMAIS DE COMPRESSÃO DOS PILARES
Pilar AD: m
N sd gi SGik q SQ1k 0 j SQjk
i 1
Nsd = γgNG + γqNQ1 Nsd = 1.5x182.41 + 1.5x281.25 Nsd = 695.49kN
Pilar BE: m
N sd gi SGik q SQ1k 0 j SQjk
i 1
Nsd = γgNG + γqNQ1 Nsd = 1.5x155.59 + 1.5x231.2 Nsd = 580.185 kN.
Compilado por:
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FEUEM 09
TEMA II PEÇAS SUJEITAS A ESFORÇOS NORMAIS
PROBLEMA 1 Calcule as armaduras necessárias para um pilar quadrado de lado igual a 20cm, sujeito a uma força de compressão simples de Nsd = 850kN. O pilar será construido com um betão de classe B25 e aço A400.
RESOLUÇÃO:
Dados:
Cálculos:
As
f cd ( B 25 ) 13 .3MPa f syd ( A400 ) 348 MPa
( N sd 0.85 f cd xAs ) f syd
850 0.85x13.3x10 3 x0.04 348x10 3 As 0.114x10 4 m 2 As 11.4cm 2 ; As
Ac 0.2 x0.2 0.04 m 2 ;
A partir da tabela “Área de Varões de Aço” do REBAP, tem – se: Para uma área A 11 .4cm 2 616 ; Estribos
0.20
3Ø16
3Ø16
(m)
0.20
Fig. Corte transversal do pilar.
Compilado por:
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FEUEM 09
PROBLEMA 2 Admita um tirante de Betão Armado com secção 0.2x0.2m2 sujeito a uma tensão normal de cálculo Nsd =500kN. Dimensione a armadura necessária para verificar a segurança ao estado ultimo de resistência. Materiais B25/A400.
RESOLUÇÃO:
Dados: f cd ( B 25 ) 13 .3MPa ; f syd ( A400 ) 348 MPa ; Ac 0.2 x0.2 0.04 m 2 ;
Sabe – se que tirantes são peças que funcionam a tracção, logo o que resiste ao esforço e só a armadura.
Cálculos:
N sd N Rd N sd f syd xAs 500 348x103 xAs As 14.36 x10 4 m 2 As 14.36cm 2 ; A partir da tabela de “Área de Varões de Aço” do REBAP, temos: A 11 .4cm2 4 20 212 2Ø20
0.20
2Ø12 2Ø20
(m)
0.20
Fig. Corte transversal do pilar Compilado por:
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FEUEM 09
PROBLEMA 3 Determinar a capacidade resistente a tracção e compressão de um pilar de 30x50 cm 2 armado com 6Ø20. Materiais B25 e A400. 2Ø20
2Ø20 0.50
2Ø20 (m)
0.30
RESOLUÇÃO:
Dados:
1º Resistência do pilar a compressão:
f cd ( B 25) 13.3MPa f syd ( A400) 348MPa Ac 0.3x0.5 0.15m 4
2
As 18.85x10 m ; 2
N Rd 0.85 f cd xAc f syd xAs N Rd 0.85 x13 .3 x10 3 x0.15 348 x10 3 x18 .85 x10 4 N Rd 2351 .73 kN;
2º Resistência do pilar a tracção:
N sd N Rd N sd f syd xAs N sd 348x103 x18.85x10 4 N sd 655.98kN;
Compilado por:
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FEUEM 09
TEMA III PEÇAS SUJEITAS A ESFORÇOS DE FLEXÃO – FLEXÃO SIMPLES
FLEXÃO SIMPLES
Exercício 1 Cosiderando a estrutura ilustrada na fig. 1 sujeita a carga permanente g (não inclui o peso próprio), e a acções variáveis Q1 e Q2 pontuais. Cosidera-se que a estrutura é feita de betão B30 e aço A400 e um ambiente muito agressivo.
Q1= 80kN Q2 = 80kN
g = 10kN/m
h
D
C A
Fig. 1. Esquema estrutural
2.00
0.25
B 3.00
(m)
7.20
a) Calcular as armaduras longitudinais para verificação de segurança aos estados limites últimos pelo método do diagrama rectangular; b) Fazer o mesmo cálculo usando as tabelas.
Resolução: 1. Cálculo do momento considerando as cargas permanentes (g): Sendo a estrutura uma viga simplesmente apoiada com carregamento uniforme, o seu momento máximo será dado por ql2/8. Então: MAB/2 = Mmax = MC = 36 × 2 −
Compilado por:
gl 2 8
= 10 ×
10×22 2
7.22 8
= 64.8 kNm;
= 52.0 kNm;
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Estruturas de Betão Armado I
MD = 36 × 3 −
FEUEM 09
10×32 = 63.0 kNm. 2
O diagrama dM resultante será: g = 10kN/m D
C A
B 2.00
3.00
(m)
7.20
dM (kNm) 52.0
64.8 63.0 Fig. 2. Diagrama do momento flector (g)
2. Cálculo dos momentos considerando a carga variável (q):
Caso 1 (carga Q1): MAB/2 = 80.03 kNm;
MC =
80×2×5.2 7.2
= 115.6 kNm;
MD = 66.69 kNm.
Q1= 80kN
C A
5.20
2.00
B (m)
dM (kNm) 115.6
80.03
66.69
Fig. 3. Diagrama do momento flector (Q1)
3. Cálculo dos momentos considerando a carga variável Q2: Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
MAB/2 = 105.0 kNm;
FEUEM 09
MC = 58.33 kNm;
MD =
80×4.2×3 7.2
= 122.5 kNm;
Q2= 70kN
D A
B
5.20
2.00
58.33
105.0
(m)
122.5 B dM (kNm)
A
Fig. 4. Diagrama do momento flector (Q2)
4. PRÉ – DIMENSIONAMENTO DA SECÇÃO (SEM CONSIDERAR O PESO PRÓPRIO)
4.1.Cálculo do momento máximo actuante na estrutura.
Combinação Fundamental: Sd =
𝛾𝑔𝑖 𝑆𝐺𝑖𝑘 + 𝛾𝑞 𝑆𝑄1𝑘 +
𝜓0𝑗 𝑆𝑄𝑗𝑘
i) Considerando Q1 como base: (+)
MAB /2 = γg MAB/2 + γq ( MQ1 + ψ0 MQ2 ) = 1.5 × 64.8 + 1.5 (80.03 + 0.55 × 105 ) = 303.87 kNm; (+)
MC = 1.5 × 52.0 + 1.5 × (115.6 + 0.55 × 58.33 ) = 299.52 kNm; (+)
MD = 1.5 × 63.0 + 1.5 × (66.61 + 0.55 × 122.5 ) = 295.48 kNm.
ii) Considerando Q2 como base:
Compilado por:
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FEUEM 09
(+)
MAB /2 = γg MAB/2 + γq ( MQ2 +𝜓0 MQ1 ) = 1.5 × 64.8 + 1.5 (105 + 0.6 × 80.03 ) = 326.73 kNm; (+)
MC
= 1.5 × 52.0 + 1.5 × (58.33 + 0.6 × 115.6 ) = 269.54 kNm;
(+)
MD = 1.5 × 63.0 + 1.5 × (122.5 + 0.6 × 66.69 ) = 338.27 kNm. ≫ O momento de cálculo será: MSD = 338.27 kN. ! Assumindo um recobrimento de C = 3.5cm (ambiente agressivo, artg 78° REBAP), diâmetro longitudinal da armadura 25mm e transversal 8mm. a = c + ∅transversal + ½ ∅longitudinal = 0.035 + 0.008 + 0.50 × 025 = 0.056m; Pela condição:
d≥
M sd f cd
× b × 0.25 → d ≥
338.27×10 −3 16.7
× 0.25 × 0.25 → d ≥ 0.57m;
Assumindo um valor de d = 0.57m, a altura será dada por: h = d + a = 0.57 + 0.056 = 0.63m; ≫ Assumindo uma altura da viga h = 0.7m, a nova altura útil será: d = h − a = 0.7 − 0.056 = 0.64 m.
5. CONSIDERAÇÃO DO PESO PRÓPRIO Pp = γAc = 25 × (0.7 × 0.25) = 4.38 kNm; O diagrama da carga permanente considerando o peso próprio terá o seguinte contorno: g = 10 + 4.38 = 14.375kN/m D
C A
B 2.00
3.00 7.20
74.75
90.56 dM (kNm) 93.15
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
5.1. Determinação do novo momento de cálculo Combinação Fundamental: Sd = 𝛾𝑔𝑖 𝑆𝐺𝑖𝑘 + 𝛾𝑞 𝑆𝑄1𝑘 + i) Considerando Q1 como base:
𝜓0𝑗 𝑆𝑄𝑗𝑘
(+)
MAB /2 = γg MAB/2 + γq( MQ1 + ψ0 MQ2 ) = 1.5 × 93.15 + 1.5(80.03 + 0.55 × 105 ) = 346.40 kNm; (+)
MC
= 1.5 × 74.75 + 1.5 × (115.6 + 0.55 × 58.33 ) = 333.65 kNm;
(+)
MD = 1.5 × 90.56 + 1.5 × (66.61 + 0.55 × 122.5 ) = 336.82 kNm. ii)
Considerando Q2 como base: (+)
MAB /2 = γg MAB/2 + γq ( MQ2 +𝜓0 MQ1 ) = 1.5 × 93.15 + 1.5 × (105 + 0.6 × 80.03 ) = 369.25 kNm; (+)
MC
= 1.5 × 74.75 + 1.5 × (58.33 + 0.6 × 115.6 ) = 303.66 kNm;
(+)
MD = 1.5 × 90.56 + 1.5 × (122.5 + 0.6 × 66.69 ) = 379.61 kNm. ≫ O momento de cálculo considerando o peso próprio será: MSD = 379.61 kNm.
5.2. Dimensionamento da armadura O betão é do tipo B30 → fcd = 16.7MPa; Aço da classe A400 → fsyd = 348 Mpa.
ec = 3.5%0
379.61kNm
0.4X 0.8X
Fc
d
0.70
d - 4X
Fig. 6
AS (m)
es
Fs
0.25
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Fazendo o equilibrio de translação:
FH = 0; → FC = FS
0.85 ∙ fcd ∙ 0.25 ∙ 0.8X = As ∙ fsyd → 0.85 ∙ 16.7 ∙ 0.25 ∙ 0.8X = As ∙ 348 → X = 122.58 ∙ As Equilibrio de rotacção:
Ms = 0;
Msd = 0.85 ∙ fcd ∙ b ∙ 0.8X ∙ (d – X) → 379.61 = 0.85 ∙ 16.7 ∙ 1000 ∙ 0.25∙ 0.8 ∙ X ∙ (0.64 – 0.4X) X = 0.25m. A área da armadura será dada por : As =
X 122.58
0.25
=
122.58
= 0.00203 m2 = 20.39 cm2;
≫ A armadura escolhida é 5∅25 que corresponde a uma área de 24.54 m2.
Verificação das extensões: εsyd ≤ εs ≤ 10%0 εs =
d−X X
∙ 3.5 %0 =
0.64−0.25 0.25
∙ 3.5 %0 = 5.46%0
∴ 1.74%0 < 5.46 < 10%0 Ok!
Corte transversal da viga
(m)
0.25
armadura construtiva 2Ø6 0.70
estribos Ø8@25 0.044 0.025
5Ø25
Corte A-A
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Corte longitudinal da viga
2Ø6
2Ø6
A
A 3Ø20
estribos Ø8@25
(m)
7.20
Problema 2 Considere a estrutura ilustrada na fig. 1 sujeita a carga permanente g = 7.0 kN/m e a acção variavel q = 9 kN/m (ψ0 = 0.6, ψ1= 0.4, ψ2= 0.2). Calcular a armadura ordinária necessária para que se verifique a segurança aos estados limites últimos de flexão. A estrutura é feita de betão B30 e aço A235. a) Fazer a avaliação analítica usando o diagrama rectangular. b) Avaliação analítica usando a parábola – rectângulo. c) Avaliação usando as tabelas.
0.40
0.20
q = 9.0 kN/m g = 7.0 kN/m A
B 4.70
C 1.70
(m)
Fig.1
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Resolução: 1.
Determinação de esforços de cálculo
i) Combinação 1 (momento de cálculo positivo) : Desta combinação (fundamental) resulta o momento máximo Msk no vão AB. g + q = 16.0 kN/m g = 7.0 kN/m A
B 4.70
C
(m)
1.70
10.10 dM (kNm)
39.21 Fig. 2
O momento positivo de cálculo Msd no vão AB será dado por: Msd(+) = 1.5 ∙ Msk = 1.5 ∙ 39.21 =58.82 kNm; ii)
Combinação 2 (momento de cálculo negativo) :
Desta combinação (frequente) resulta o momento Msk mais desfavorável no apoio B. g + q = 16.0 kN/m
A
B 4.70
C 1.70
(m)
23.09
dM (kNm) Fig. 3
O momento negativo de cálculo Msd no apoio B será: Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Msd(−) = 1.5 ∙ Msk = 1.5 ∙ 23.09 =34.65 kNm;
2. Cálculo das armaduras de flexão
a) MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR Para a secção AB (assumindo um recobrimento das armaduras de 3 cm – ambiente moderadamente agressivo) tem – se por simplificação: d = h – c = 0.4 – 0.03 = 0.37m;
ec = 3.5%0
58.82 kNm
0.85 fcd 0.4X 0.8X
X
Fc
d
0.40
Z
AS
Fig. 4
0.03 (m)
es
Fs
0.20
Fazendo – se as equações de equilíbrio equilíbrio encontra – se o valor de X: Equilíbrio de translação:
FH = 0;
FC – FS = 0 0.85 ∙ fCD ∙ AC – fsyd ∙ AS = 0 0.85 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.8 ∙ X ∙ 0.2 – 204 ∙ 103 ∙ AS = 0 X = 112.78 ∙ AS
Nota: fCD (B25) = 13.3 Mpa e fsyd (A235)= 204 Mpa. Equilíbrio de rotacção:
Compilado por:
MAS = 0;
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
MSD - FC ∙ Z = 0; onde: Z = d – 0.4 ∙ X MSD = 0.85 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.8 ∙ X ∙ 0.2 ∙ (0.37 – 0.4 ∙ X) 58.82 = 0.85 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.8 ∙ X ∙ 0.2 ∙ (0.37 – 0.4 ∙ X) X = 0.098 m. Verificação das extensões no aço εsyd ≤ εs ≤ 10%0 εs =
d−X X
∙ 3.5 %0 =
0.37−0.098 0.098
∙ 3.5 %0 = 9.70 %0
∴ 1.74%0 < 9.70 < 10%0 Ok!
Armadura: Pelas equações acima tem – se: X = 112.78 ∙ AS AS =
X 112.78
=
0.098 112.78
= 8.6895 ∙ 10-4 m2 = 8.70 cm2
→ 3∅20.
Apoio B:
Fs
es
AS
Z
0.40
d
X
Fc
0.8X
0.4X
34.64 kNm (m)
ec = 3.5%0
0.20
0.85 fcd
Fig. 5
Equilíbrio de translação:
FH = 0;
FC – FS = 0 Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
0.85 ∙ fCD ∙ AC – fsyd ∙ AS = 0 0.85 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.8 ∙ X ∙ 0.2 – 204 ∙ 103 ∙ AS = 0 X = 112.78 ∙ AS
Equilíbrio de rotacção:
MAS = 0;
MSD - FC ∙ Z = 0; onde: Z = d – 0.4 ∙ X MSD = 0.85 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.8 ∙ X ∙ 0.2 ∙ (0.37 – 0.4 ∙ X) 34.64 = 0.85 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.8 ∙ X ∙ 0.2 ∙ (0.37 – 0.4 ∙ X) X = 0.055 m.
Verificação das extensões no aço εsyd ≤ εs ≤ 10%0 εs =
d−X X
∙ 3.5 %0 =
0.37−0.055 0.055
∙ 3.5 %0 = 20.0 %0
∴ 20.0%0 > 10%0 Obs.: Neste caso as armaduras apresentam uma extensão maior que 10%0, o que singnifica que a rotura da estrutura iniciaria pela armadura (rotura desejável). Nestas circunstâncias o betão encontra – se em grande quantidade, havendo necessidade de se alterar a secção para uma mais económica.
Armadura: Pelas equações acima tem – se: X = 112.78 ∙ AS AS =
X 112.78
=
Compilado por:
0.055 112.78
= 4.90 ∙ 10-4 m2 = 4.90 cm2
→ 3∅16.
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Estruturas de Betão Armado I
b)
FEUEM 09
MÉTODO PARÁBOLA – RECTÂNGULO Assumindo mesmos valores da alínea
anterior para o vão A – B teremos as seguintes condições:
ec = 3.5%0
58.82 kNm
0.85 fcd 0.416X
Fc
0.85X
X
d
0.40
Z
AS
es
0.03 (m)
Fs
Fig. 6 0.20
Fazendo – se as equações de equilíbrio equilíbrio encontra – se o valor de X: Equilíbrio de translação:
FH = 0;
FC – FS = 0 0.688 ∙ fCD ∙ b ∙ X – fsyd ∙ AS = 0 0.688 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.2 ∙ X – 204 ∙ 103 ∙ AS = 0 X = 111.47 ∙ AS Nota: fCD (B25) = 13.3 Mpa e fsyd (A235)= 204 Mpa.
Equilíbrio de rotacção:
MAS = 0;
MSD - FC ∙ Z = 0; onde: Z = d – 0.416 ∙ X MSD = 0.688 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.2 ∙ X ∙ (0.37 – 0.416 ∙ X) 58.82 = 0.688 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.2 ∙ X ∙ (0.37 – 0.416 ∙ X) X = 0.097 m. Verificação das extensões no aço Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
εsyd ≤ εs ≤ 10%0 εs =
d−X X
∙ 3.5 %0 =
0.37−0.097 0.097
∙ 3.5 %0 = 9.70 %0
∴ 1.74%0 < 9.85 < 10%0 Ok!
Armadura: Pelas equações acima tem – se: X = 111.47 ∙ AS AS =
X 111.47
=
0.097 111.47
= 8.71 ∙ 10-4 m2 = 8.71 cm2
→ 3∅20.
APOIO B: Fs
es
AS
Z
0.40
d
X
Fc
0.85X
0.416X
34.64 kNm (m)
ec = 3.5%0
0.20
0.85 fcd
Fig. 7
Equilíbrio de translação:
FH = 0;
FC – FS = 0 0.688 ∙ fCD ∙ b ∙ X – fsyd ∙ AS = 0 0.688 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.2 ∙ X – 204 ∙ 103 ∙ AS = 0 X = 111.47 ∙ AS Equilíbrio de rotacção:
MAS = 0;
MSD - FC ∙ Z = 0; onde: Z = d – 0.416 ∙ X
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
MSD = 0.688 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.2 ∙ X ∙ (0.37 – 0.416 ∙ X) 34.64 = 0.688 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.2 ∙ X ∙ (0.37 – 0.416 ∙ X) → X = 0.054 m. Verificação das extensões no aço εsyd ≤ εs ≤ 10%0 εs =
d−X X
∙ 3.5 %0 =
0.37−0.054 0.054
∙ 3.5 %0 = 20.48 %0
∴ 20.48%0 > 10%0 Armadura: Pelas equações acima tem – se: X = 111.47 ∙ AS AS =
X
=
111.47
0.054
= 4.80 ∙ 10-4 m2 = 4.80 cm2
112.47
→ 3∅16.
C) MÉTODO DAS TABELAS
Vão A – B: Msd(+) = 58.82 kNm; μ=
M SD
58.82∙ 10 −3
b ∙d
0.2 ∙ 0.37 2
∴ AS =
= 2
ρ ∙b ∙d 100
=
= 2.15; → para B25 e A235 tem – se pela tabela: ρ = 1.184;
1.184 ∙ 0.20 ∙0.37 100
= 8.76 ∙ 10-4 m2 = 8.76 cm2.
Apoio B: Msd(+) = 34.64 kNm; μ=
M SD b ∙ d2
=
34.64∙ 10 −3 0.2 ∙ 0.37 2
= 1.27; → para B25 e A235 tem – se por interpolação na
tabela: ρ = 0.67;
∴ AS =
ρ ∙b ∙d 100
=
0.67 ∙ 0.20 ∙0.37 100
= 4.94 ∙ 10-4 m2 = 4.94 cm2.
3. Disposições construtivas
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Corte transversal da viga
(m)
0.20
2Ø16 0.40
estribos Ø6@25
3Ø20
Corte A-A
Corte longitudinal da viga
A
2Ø16
2Ø16
A 3Ø20
estribos Ø6@25
4.70
1.70
Pormenor das armaduras
C = 3 cm
6 mm
16 mm
estribo Ø6@25
. Compilado por:
2Ø16
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(m)
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
FLEXÃO COMPOSTA
Exercício 1 Recorrendo às equações de equilíbrio e posterior verificação usando tabelas e àbacos, determine as armaduras para uma secção de betão de 40 X 50 (cm2) sujeita aos seguintes esforços de cálculo: NSD (+) = 1300 kN e MSD = 400 kNm. Use B30 e A400. Armadura construtiva
Msd
0.50
.
.
.
.
.
Nsd
As (m)
0.40
Resolução: 4. Cálculo da excentricidade
e=
M N
=
M SD N SD
=
400 1300
= 0.31m;
→ Está – se perante uma situação de grande excentricidade, pelo que deve – se encontrar o momento reduzido.
5.
Cálculo do momento reduzido (MS)
MS = MSD – NSD ∙ yS Onde: yS = d −
h 2
;
0.50
.
.
Seja: d = h – a = 0.5 – 0.04 = 0.46 m;
MS = 400 – 1300 ∙ (0.46 – 6.
.
2
) = 127.0 kNm.
.
Ys
As 0.5
.
(m)
e = 0.31
N 0.40
Cálculo da armadura As segundo flexão simples
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Pela tabela de Flexão Simples e tomando como esforço de cálculo o momento reduzido MS tem – se: μ=
M SD
127.0 ∙ 10 −3
b ∙d
0.40 ∙ 0.46 2
= 2
∴ AS, MS =
ρ ∙b ∙d 100
=
= 1.50; → para B25 e A400 tem – se pela tabela: ρ = 0.460;
0.460 ∙ 0.40 ∙0.46 100
= 8.46 ∙ 10-4 m2 = 8.46 cm2;
A armadura devido ao esforço N: AS, N =
N sd f syd
=
1300 348 ∙10 3
= 0.0037 m2 = 37.36 cm2;
Por conseguinte, a armadura total AS será: AS = AS, MS + AS, N = 8.46 + 37.36 = 45.30 cm2 → 6∅25 + 6∅20 (48.30 cm2).
Verificação do espaçamento das
Armadura construtiva armaduras:
6Ø20
0.50
e=
400−6 ∙25−2 ∙(8+30) 6−1
= 34.8 mm = 3.48 cm >
0.025
2.0 cm ok! 0.035
(m) 6Ø25
0.40
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
FLEXÃO DESVIADA Exercício 1. Considere uma secção de 40×30 (cm2) de betão armado B25/A400, sujeita aos seguintes esforços: NSD = 810 kN, MSD,X = 87 kNm e MSD,Y = 43.50 kNm. Calcular as armaduras ordinárias necessárias para que se verifique a segurança aos estados limites últimos. a) Com o auxílio dos ábacos; b) Com base nas fórmulas aproximadas. Msd,y
a1 = 0.04
Msd,x
0.40
a2 = 0.03
(m)
0.30 Fig. 1
Resolução: a) Cálculo com auxílio dos ábacos. Assumindo uma distribuição de armadura de 25% para cada face, ter – se – à segundo o ábaco 59 (Flexão desviada): 0.25As
0.25As
0.25As
Fig. 2 i)
ii)
a1 h
=
μX =
a2 b
=
0.04 0.40
M RD ,X A C ∙h ∙ f CD
Compilado por:
0.25As
= 0.10;
=
87 ∙ 10 −3 0.3 ∙0.4 ∙0.4 ∙13.3
= 0.14;
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 34
Estruturas de Betão Armado I M RD ,Y
μY =
A C ∙h ∙ f CD N RD
=
FEUEM 09
43.50 ∙ 10 −3 0.3 ∙0.4 ∙0.4 ∙13.3
810 ∙ 10 −3
= 0.07;
iii)
ν=A
iv)
η=
v)
Para η = 0.5 e μX = 0.14 e ν = 0.51 tem – se ω = 0.31;
vi)
A área das armaduras será dada por:
C ∙ f CD
μY μX
AS =
=
=
0.3 ∙0.4 ∙13.3
0.07 0.14
= 0.51;
= 0.5;
ω ∙ A C ∙ f CD f SYD
=
0.31 ∙0.4 ∙0.3 ∙13.3 348
= 0.0014 m2 = 14.22 cm2.
Armadura: 0.25 ∙ AS = 0.25 ∙ 14.68 = 3.67 cm2 → 5∅10 (3.93 cm2) para cada face. 5Ø10
5Ø10
0.40
Estribos
(m)
0.30
Fig. 3
b)
Cálculo com base nas fórmulas aproximadas (Método iterativo).
1.
Cálculo das excentricidades:
eY =
M SD ,X N SD
=
87.0 810
= 0.11;
A relação entre as excentricidades será: ∴
eY eX
h
0.4
b
0.3
= 2.0 > =
Compilado por:
eX = eY eX
=
M SD ,Y N SD
M SD ,X M SD ,Y
=
=
43.50 810
87.0 43.50
= 0.05;
= 2.0;
= 1.33; → Ok!
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 35
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
≫ A orientação da secção é correta! 2.
Cálculo do esforço normal reduzido:
ν=A
3.
N RD C ∙ f CD
=
810 ∙ 10 −3 0.3 ∙0.4 ∙13.3
= 0.51; Para ν = 0.51 → β = 0.79;
Excentricidade fictícia: h
0.4
b
0.3
e′Y = eY + β ∙ eX ∙ = 0.11 + 0.79 ∙ 0.05 ∙
= 0.163m;
4.
Momento fictício: ′ ′ MSD ,X = eY ∙ NSD = 0.163 ∙ 810 = 132.03 kNm;
5.
Cálculo da armadura como Flexão plana:
Pelo ábaco 24/25 (Flexão composta) tem – se: μ=
M ′Sd ,x b ∙ h 2 ∙ f CD
=
132.03 ∙ 10 −3 0.3 ∙ 0.4 2 ∙13.3
= 0.21;
ν=A
N RD C ∙ f CD
=
810 ∙ 10 −3 0.3 ∙0.4 ∙13.3
= 0.51;
Para μ = 0.21 e ν = 0.51 → ω = 0.32; ∴ AS =
ω ∙ A C ∙ f CD f SYD
=
0.32 ∙0.4 ∙0.3 ∙13.3 348
= 0.00146 m2 = 14.68 cm2;
Mas, AS = A’ + A; onde: A’ = A → A = 0.5AS = 0.5 ∙ 14.68 = 7.34 cm2. Armaduras: 4∅16 (8.04 cm2 ) para a face superior e inferior. 4Ø16
0.40
(m)
4Ø16
Estribos
0.30
Fig. 4
Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 36
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Problema 2. Considere um pilar de betão com secção de 25×50 (cm2), projectado com um betão da classe B25 e aço do tipo A400, sujeito a um esforço normal NSD = 1500 kN, MSD,X = 175 kNm e MSD,Y = 60.0 kNm. Calcule as armaduras por forma a verificar a resistência do pilar em relação aos estados limites últimos. Msd,y
a1 = 0.05
Msd,x
0.50
a2 = 0.025
(m)
0.25
Fig. 1
Resolução: a) Cálculo com auxílio dos ábacos.
Assumindo uma distribuição de armadura de 25% para cada face, ter – se – à segundo o ábaco 59 (Flexão desviada): 0.25As
0.25As
0.25As
0.25As
Fig. 2
Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 37
Estruturas de Betão Armado I
i)
iii)
a1 h
=
a2
μX =
b
=
0.05
= 0.10;
0.50
M RD ,X A C ∙h ∙ f CD
μY =
M RD ,Y A C ∙h ∙ f CD N RD
FEUEM 09
=
175 ∙ 10 −3 0.5 ∙0.25 ∙0.5 ∙13.3
=
= 0.21;
60.0 ∙ 10 −3 0.5 ∙0.25 ∙0.5 ∙13.3
1500 ∙ 10 −3
= 0.072;
iv)
ν=
v)
η=
vi)
Para η = 0.34 e μX = 0.21 e ν = 0.90 tem – se ω = 0.78 (valor encontrado por
=
A C ∙ f CD
μY μX
=
0.25 ∙0.5 ∙13.3
0.072 0.21
= 0.90;
= 0.34;
interpolação); Isto é, se para η = 0 → ω = 0.59; η = 0.5 → ω = 0.69 então: para η = 0.34 → ω = 0.78. vii)
A área das armaduras será dada por:
AS =
ω ∙ A C ∙ f CD f SYD
=
0.78 ∙ 0.25 ∙0.5 ∙13.3 348
= 0.00372 m2 = 37.26 cm2.
Armadura: 0.25 ∙ AS = 0.25 ∙ 37.26 = 9.32 cm2 → 5∅16 (10.05 cm2) para cada face. 5Ø16
5Ø16
0.50
EstriboS
(m)
0.25
Fig. 3
Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 38
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
j)
Cálculo com base nas fórmulas aproximadas (Método iterativo).
6.
Cálculo das excentricidades: eY =
M SD ,X N SD
=
175 1500
= 0.12 ;
eX =
A relação entre as excentricidades será: eY
∴
eX
h
0.5
b
0.25
= 2.92 > =
eY eX
=
M SD ,Y N SD
M SD ,X M SD ,Y
=
=
60.0 1500
175 60.0
= 0.04;
= 2.92;
= 2.0; → Ok!
≫ A orientação da secção é correta! 7.
Cálculo do esforço normal reduzido: ν=A
8.
N RD C ∙ f CD
=
1500 ∙ 10 −3 0.25 ∙0.50 ∙13.3
= 0.90; Para ν = 0.90 → β = 0.60;
Excentricidade fictícia: h
0.50
b
0.25
e′Y = eY + β ∙ eX ∙ = 0.12 + 0.60 ∙ 0.04 ∙
9.
= 0.168 m;
Momento fictício: ′ ′ MSD ,X = eY ∙ NSD = 0.168 ∙ 1500 = 252.0 kNm;
10. Cálculo da armadura como Flexão plana: Pelo ábaco 24 (Flexão composta) tem – se: μ=
M ′Sd ,x b ∙ h 2 ∙ f CD
=
252.0 ∙ 10 −3 0.25 ∙ 0.50 2 ∙13.3
= 0.30;
ν=A
N RD C ∙ f CD
=
1500 ∙ 10 −3 0.25 ∙0.50 ∙13.3
= 0.90;
Para μ = 0.30 e ν = 0.90 → ω = 0.87;
∴ AS =
ω ∙ A C ∙ f CD f SYD
Compilado por:
=
0.87 ∙0.25 ∙0.50 ∙13.3 348
= 0.004156 m2 = 41.56 cm2; (*)
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 39
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Mas, AS = A’ + A; onde: A’ = A → A = 0.5AS = 0.5 ∙ 41.56 = 20.78 cm2. Armaduras: 7∅20 (21.99) cm2 ) para a face superior e inferior.
7Ø20
EstriboS
0.50
(m)
7Ø20
0.25 Fig. 4
(*) Note – se que a diferença dos resultados registada entre os dois métodos deve – se a que no segundo, não se entrou em conta com a contribuição das armaduras existentes nas faces laterais.
Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 40
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
ESFORÇO TRANSVERSO
Problema 1. Considere uma laje de12cm de espessura representada na fig.1, sobre a qual funcionará uma sala de espera e um escritório. A laje é apoiada em duas vigas V1 e V2, executadas em betão B25 e aço A400. Pretende – se quantificar a armadura transvrsal das vigas. V1 b1=1.5
Escritório
3.0
Sala de espera
V2
b2=3.0 1.50
3.50
5.00
(m)
Fig.1
Resolução:
1. Determinação das acções Peso próprio da laje: Pp= hlaje× 𝛾𝑏𝑒𝑡𝑎𝑜 ×bi Segundo o RSA e consoante a utilização da laje ter-se-à: Escritório: q1= 3.0 kN/m2 (ψ0 =0.7); Sala de espra: q2= 4.0 kN/m2(ψ0 =0.7);
2. Cálculo da viga V1 Assumindo que a largura de influência da laje em relação à viga V1 é b1 = 1.5m teremos: Pp= hlaje× 𝛾𝑏𝑒𝑡𝑎𝑜 ×b1 = 25×0.12×1.5 = 4.5kN/m q1= 3 ×1.5= 4.5 kN/m;
Compilado por:
q2= 4 ×1.5= 6 kN/m;
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 41
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
2.1. Combinações de Acções Assume-se o sistema estático do tipo apoiado e as seguintes situações de variação de carga:
Situação 1 Pp+q1=9kN/m Pp=4.5kN/m A
B 3.50
C 5.0
13.94 D
dM(kNm)
7.68
7.95 14.04
11.76 D
dT(kN) -8.46 -19.72
Msd(D)= 7.68*1.5= 11.52kNm Vsd(A)= 11.76*1.5= 17.64kN
Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 42
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Situação 2
Pp+q2=10.5kN/m
Pp=4.5kN/m
A
B
C
3.50
5.0
22.13 E
dM(kNm)
22.67 30.67 1.54
E
dT(kN)
-14.20
-21.82
Msd(E)= 22.26*1.5= 33.39kNm Vsd(A)= 21.81*1.5= 32.72kN
Situação 3
Pp=4.5kN/m
A
B
C
3.50
5.0
11.10
2.45
dM(kNm) 3.50
9.06 13.47 4.70 dT(kN) -11.40
Compilado por:
-9.30
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 43
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09 Situação 4
q1=4.5kN/m
A
B
C
3.50
5.0
2.83 dM(kNm) 5.54 7.06 0.57 dT(kN) -8.68
Situação 5
q2=6.0kN/m
A
B
C
3.50
5.0
11.03 dM(kNm)
17.20
-3.15
13.64
dT(kN) -12.79
Com base nas situações 3, 4 e 5 encontra-se os esforços de cálculo para a secção B: Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 44
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Combinações na secção B Comb. (1): Msd = 11.10*1.5+1.5*(2.84+0.7*11.02)= 32.48kNm; Comb. (2): Msd = 11.10*1.5+1.5*(11.02+0.7*2.84)= 36.16kNm;
Comb. (1):Vsd+ = 13.47*1.5+1.5*(17.2+0.7*0.57)= 46.60kN; Comb. (2):Vsd- = 11.04*1.5+1.5*(8.68+0.7*3.15)= 32.89kN;
Diagramas Envolventes
36.16
A
B
dM(kNm)
C
11.52
46.60
33.39
17.64
dT(kN)
32.89
32.72
Nota: Os cálculos da estrutura serão efectuados com base nos valores (já majorados) dos diagramas envolventes.
2.2. Pré – Dimensionamento da secção da viga V1
Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 45
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
2.2.1. Tendo em conta a deformação: h≥
𝑙𝑖
=
20η
𝛼𝑙 i 20𝜂
=
1.0×5 20×1.0
= 0.25m;
2.2.2. Tendo em conta o esforço (Msd = 36.16 kNm) Para o dimensionamento económico tem – se:
d≥
M 𝑠𝑑
3
0.25×f 𝑐𝑑 ×0.4
=
3
36.16×10 −3 0.25×13.3×0.4
= 0.30m → Seja d = 0.30m;
b = 0.4×d = 0.4×0.3 = 0.12m → Assume – se b = 0.20m (dimensão mínima recomendada pelo REBAP). Considera – se para o cálculo da altura da viga os seguintes parámetros; Ambiente moderadamente agressivo (recobrimento c = 3.0cm = 0.03m); Armadura longitudinal ∅long = 25mm; Armadura transversal ∅transv = 8.0mm;
1
1
∴ a = c + 2 ∅long + ∅transv = 0.03 + 2 ×0.025 + 0.008 = 0.051m;
Por conseguinte: h = d + a = 0.30 + 0.051 = 0.35m → Assume – se uma altura de 0.35m (secção 0.20×0.35) m2.
2.2.3. Verificação da secção à Flexão
𝜇=
M 𝑠𝑑
36.16×10 −3
b×d
0.2×0.32
= 2
Compilado por:
= 2.0;
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 46
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Pela tabela de Flexão (D’Arga e Lima, et all) para B25 e A400: 𝜌 = 0.64; 𝛼 = 0.247; → X = 𝛼 ∙ d = 0.247∙ 0.30 = 0.074m A extensão das armaduras será dada por:
εs =
d−x x
∙ 3.5%0 =
0.3−0.074 0.074
∙3.5 = 10.7%0
3. Dimensionamento das Armaduras 3.1. Armaduras de flexão (longitudinais) As = 𝜌 ×b×d×
1 100
1
= 0.64×0.20×0.3× 100 = 3.84 cm2 → 2∅16.
4. Armadura Transversal
Para o betão da classe B25: τ1 = 0.65MPa e τ2 = 4.0MPa;
Para o aço A400 a percentagem de armadura é: ρw = 0.1%;
4.1. Cálculo da resistência atribuida ao betão(Vcd) Vcd = τ1 ×b×d = 0.65×1000×0.2×0.3= 39.0kN; 4.2. Verificação do valor máximo do esforço transverso VRd,max ≤ τ2 ×b×d= 4.0×1000×0.2×0.3 = 240kN; 4.3. Dimensionamento da armadura transversal máxima (secção B+)* i) 1 2
Espaçamento máximo:
× τ2 ×bw×d= 0.5×240 = 120kN;
2 3
× τ2 ×bw×d = 2/3×240 = 160kN;
1
Então: Vsd < × τ2 ×bw×d → 46.60< 120; 2 Consequentemente o espaçamento será dado por:
Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 47
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
S ≤ 0.9×d com o máximo de 30cm S ≤ 0.9×0.3= 0.27m = 27cm → seja S= 25cm = 0.25m; ii)
Área da armadura mínima S
Asw,min= ρw ×bw× 100 = 0.1×0.2× iii)
0.25 100
= 0.5cm2;
Resistência das Armaduras
Vwd = Vsd – Vcd = 46.6 – 39.0 = 7.60kN; Mas: Vwd = 0.9×d×
As S
×fsyd A
s 7.60 = 0.9×0.3× 0.25 ×348 ×103 → As = 0.20cm2
→ A armadura a usar na secção(B+) será: 2R∅6@25cm.
4.3.1. Dimensionamento da armadura nas secções (B- e C) com Vsd = 32.89kN O cálculo a seguir será efectuado com recurso à tabela 1 (BETÃO ARMADO – ESFORÇO TRANSVERSO DE TORÇÃO E PUNÇOAMENTO, J.D’arga e Lima et all). ! Para fim de cálculo assume-se a relacção d/h= 0.92 como valor de entrada da tabela (nota que o valor d/h neste caso é 0.3/0.35= 0.86).
B25 e h = 0.35m → Vcd = 41.90kN e VRd,max = 257,60kN; Vcd = 41.90kN > Vsd = 32.89kN → o betão por si só resiste ao esforço transverso, sendo recomendado apenas a colocação de armadura mínima.
i)
Espaçamento máximo entre estribos
V sd V Rd ,max
ii)
=
32.89 257.60
= 0.128; → pela tab.12: Smax = 28cm;
Diâmetro dos Estribos
Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 48
Estruturas de Betão Armado I 𝐴𝑠𝑤
Pela tab.11: ( →(
𝐴𝑠𝑤 𝑆
)=(
𝑆
FEUEM 09
)min = 0.020
𝐴𝑠𝑤 𝑆
)min×
𝑉𝑠𝑑 τ 2 ×bw ×d
=
0.02×32.89 0.65×1000 ×20×0.92×0.35
= 0.016m
∴ Armadura: 2R∅6@25cm.
Corte transversal da viga V1
Armadura construtiva 2Ø6
estribos 2RØ6@25
0.35
0.20
(m) 2Ø16
Corte longitudinal da viga V1 2@6
A
estribos Ø6@25
2Ø16
A
estribos Ø6@25
A
B
C estribos Ø6@25
3.50
Compilado por:
5.00
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 49
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
5. Cálculo da viga V2 Assumindo que a largura de influência da laje em relação à viga V2 é b2 = 3.0m teremos: Pp= hlaje× 𝛾𝑏𝑒𝑡𝑎𝑜 ×b2 = 25×0.12×3.0 =9.0kN/m q1= 3 × 3 = 10.5 kN/m q2= 4 × 3 = 12.0 kN/m 5.1. Combinações de Acções
Situação 1
Pp+q1=18kN/m Pp=9.0kN/m A
B 3.50
C 5.0
27.88 D 15.35
15.91 28.07
23.51 D
-16.92 -39.45 Msd(D)= 15.37*1.5= 23.06kNm Vsd(A)= 23.52*1.5= 35.28kN
Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 50
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Situação 2
Pp+q2=21.0kN/m
Pp=9.0kN/m
A
B
C
3.50
5.0
44.27 E
61.35
45.34
E
3.08 -28.40
-43.64
Msd(E)= 45.32*1.5= 67.98kNm Vsd(A)= 43.63*1.5= 65.45kN
Situação 3
Pp=9.0kN/m
A
B
C
3.50
5.0
22.21
4.90 18.11 26.94 9.39
-18.06
Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 51
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Situação 4
q1=9.0kN/m
A
B
C
3.50
5.0
5.67
11.08 14.12 1.13
-17.36
Situação 5
q2=12.0kN/m
A
B 3.50
C 5.0
22.06
34.41
27.27
-6.31 -25.58 Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 52
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Combinações na secção B Comb. (1): Msd = 22.2*1.5+1.5*(22.05+0.7*5.67)= 72.33kNm Comb. (2): Msd = 22.2*1.5+1.5*(5.67+0.7*22.05)= 64.96kNm Comb. (1):Vsd+ = 26.93*1.5+1.5*(34.4+0.7*1.13)= 93.18kN Comb. (2):Vsd- = 22.09*1.5+1.5*(17.36+0.7*6.3)= 65.79kN Diagramas Envolventes
72.33
B
dM(kNm)
C
23.06
67.98 93.18
35.52
dT(kN)
65.79
65.49
5.2. Pré – Dimensionamento da secção da viga V2 5.2.1. Tendo em conta a deformação: h≥
𝑙𝑖 20η
=
𝛼𝑙 i 20𝜂
=
1.0×5 20×1.0
= 0.25m;
5.2.2. Tendo em conta o esforço (Msd = 72.33 kNm) Para o dimensionamento económico tem – se: Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 53
Estruturas de Betão Armado I
d≥
M 𝑠𝑑
3
0.25×f 𝑐𝑑 ×0.4
=
FEUEM 09
72.33×10 −3
3
= 0.38m → Seja d = 0.38m;
0.25×13.3×0.4
b = 0.4×d = 0.4×0.38 = 0.152m → Assume – se b = 0.20m (dimensão mínima recomendada pelo REBAP). Considera – se para o cálculo da altura da viga os seguintes parámetros; Ambiente moderadamente agressivo (recobrimento c = 3.0cm = 0.03m); Armadura longitudinal ∅long = 25mm; Armadura transversal ∅transv = 8.0mm; 1
1
∴ a = c + 2 ∅long + ∅tr ansv = 0.03 + 2 ×0.025 + 0.008 = 0.051m; Por conseguinte: h = d + a = 0.38 + 0.051 = 0.43m → Assume – se uma altura de 0.45m (secção 0.20×0.45) m2.
5.2.3. Verificação da secção à Flexão 𝜇=
M 𝑠𝑑
72.33×10 −3
b×d
0.2×0.32
= 2
= 2.5;
Pela tabela de Flexão (D’Arga e Lima, et all) para B25 e A400: 𝜌 = 0.962; 𝛼 = 0.314; → X = 𝛼 ∙ d = 0.314∙ 0.38 = 0.12m A extensão das armaduras serà dada por:
𝜀𝑠 =
d−x x
∙ 3.5%0 =
0.38−0.12 0.12
Armadura de flexão: As = 𝜌 ×b×d×
∙3.5 =7.58%0 93.18kN
6.3. Dimensionamento da armadura transversal máxima (secção B+) i) Espaçamento máximo: 1 2
× τ2 ×bw×d= 0.5×304 = 152kN;
2
× τ2 ×bw×d= 2/3×304 = 202.67kN; 3
Então: Vsd = 93.18kN <
1 2
× τ2 ×bw×d →
93.18kN Vsd = 32.89kN → o betão por si só resiste ao esforço transverso, sendo recomendado apenas a colocação de armadura mínima. i)
Espaçamento máximo entre estribos
V sd V Rd ,max
ii)
=
35.52 331.20
= 0.12; → pela tab.12: Smax = 30cm;
Diâmetro dos Estribos 𝐴𝑠𝑤
Pela tab.11: ( →(
A sw S
𝑆
)=(
)min = 0.020
A sw
)min×
S
𝑉𝑠𝑑 τ 2 ×bw ×d
=
0.02×35.52 0.65×1000×20×0.92×0.45
= 0.013m;
∴ Armadura: 2R∅6@30cm. Corte transversal da viga V2 Armadura construtiva 2Ø6
Armadura construtiva 2Ø6
2RØ6@30
0.45
Armadura construtiva 2Ø6
2RØ8@30
2RØ8@27
0.20
(m) 3Ø20
3Ø20
3Ø20
Corte B-B
Corte A-A
Corte C-C
Corte longitudinal da viga V2 2@6
A
estribos Ø6@30
A A
B
estribos Ø6@30
3Ø20
B
C
B
C estribos Ø6@30
3.50 Compilado por:
C
5.00 Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 57
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Problema 2. Do projecto estrutural da viga representada na figura 1, foi idenificada a seguinte informação: carga permanente g = 10 kN/m (inclui peso próprio da viga) e materiais de construção : betão da classe B25 e aço do tipo A400. Qual é a armadura longitudinal que deve ser colocada ao longo do primeiro vão da viga? Para a solução do problema use apenas os métodos analíticos. q g A
0.50
B
Ø
[email protected]
Fig.1 5.10
0.20
1.45
Resolução: 1.
Diagrama do esforço tranverso e momento flector máximos
O esforço transverso máximo ocorre quando as dua cargas actuam em
todos troços da estrutura: (q + g)*1.5 = Q
A
B 5.10
1.45
(m)
1.45Q (dV)
Fig.2. Esforço transverso
Vsd
→ O momento máximo no vão AB é dado pela combinação:
Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 58
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
(q + g)*1.5 = Q g =10kNm
A
B 5.10
1.45
(m)
M (dM)
Msd
Fig.3. Momento flector
2. CÁLCULO DA RESISTÊNCIA DO BETÃO (Vcd):
Consideram – se para o cálculo os seguintes parámetros; Ambiente moderadamente agressivo (recobrimento c = 3.0cm = 0.03m); Armadura longitudinal ∅long = 20mm; Armadura transversal ∅transv = 6.0mm; 1
1
∴ a = c + 2 ∅long + ∅transv = 0.03 + 2 ×0.020 + 0.006 = 0.046m; d = h – a = 0.5 – 0.046 = 0.45m;
→ Vcd = τ1 ×b×d = 0.65×1000×0.2×0.45= 58.50kN;
3. CÁLCULO DA RESISTÊNCIA DAS ARMADURAS Vwd = 0.9×d×
As S
Vwd = 0.9×0.45×
Compilado por:
×fsyd 0.57×10 −4 0.15
×348 ×103 = 53.56 kN Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 59
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Nota: As = 0.57 cm2 (para 2 ramos de estribos de ∅6). 4. CÁLCULO DO ESFORÇO TRANSVERSO ACTUANTE Vwd = Vsd – Vcd Vsd = Vwd −Vcd = 53.56 – 58.50 = 112.06 kN; 5. DETERMINAÇÃO DA CARGA VARIÁVEL (q)
(q + g)*1.5 = Q
A
B 5.10
1.45
(m)
Rb
Ra Fig.4. Reacções de apoio.
MA = 0; Q (5.10 + 1.45)2 × 0.5 – RB × 5.10 = 0 RB =
Q×21.45 5.10
= 4.21∙Q
Pelo diagram dV (fig. 2): RB – 1.45Q – VSD = 0 4.21Q – 1.45Q – 112.06 = 0 ↔ Q = 19.80 kN/m; Mas: Q = (q + g) × 1.5 19.80 = (q + 10)× 1.5 ↔ q = 3.2 kN/m; 6. CÁLCULO DAS ARMADURAS NO VÃO AB A carga Q será: Q = (3.2 + 10) × 1.5 = 19.80 kN/m;
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
19.8 kN/m g =10kNm
A
B 5.10
1.45
(m)
10.48 (dM)
Msd = 59.23
48.43 14.47 (dV)
52.57
Fig.5. Esforços internos
7. CÁLCULO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 𝜇=
M 𝑠𝑑
59.23×10 −3
b×d
0.2×0.45 2
= 2
= 1.46;
Pela tabela de Flexão (D’Arga e Lima, et all) para B25 e A400: 𝜌 = 0.484 (para 𝜇 = 1.50, por simplificação);
As = 𝜌 ×b×d×
Compilado por:
1 100
= 0.484×0.20×0.45×
1 100
= 4.35 cm2 → 2∅𝟐𝟎 (6.28 cm2);
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
CORTE A-A
Corte transversal da viga armadura negativa
0.50
Ø
[email protected]
0.20 2Ø20
Corte longitudinal da viga
armadura negativa
armadura negativa
A
A 2Ø20
estribos Ø6@15
5.10
Compilado por:
1.45
(m)
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
TEMA 7
TORÇÃO
PROBLEMA 1 Dimensione as armaduras para uma secção de 40x70 cm2 sujeita exclusivamente a um momento torsor T=60kN.m. Materiais B20/A400, ambiente pouco agressivo.
0.70
(m)
0.40
RESOLUÇÃO:
1º. Características geométricas da secção:
h 70 2 5.5cm 20 20 b 2a 40 2 x5.5 29cm
a 2 d ef d ef
29 2.42 a 12 12 d ef 29 hef 4.83cm 6 6 Aef (b hef ) x(h hef ) (40 4.83)(70 4.83) 2292.03cm 2 ;
U ef 2 (b hef ) (h hef ) 2(40 4.83) (70 4.83) 200.68cm;
2º Verificação da secção: Trd ,max 2 2 hef xAef 2 x3.2 x103 x0.0483x0.229203 70.85kNm Tsd 60kNm; ok!
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
3º Calculo da resistência do betão:
Tsd Tcd Ttd Tcd 2 1hef Aef Tcd 2 x600x 4.83x10 2 x0.2292 Tcd 13.28kNm 4º Cálculo da armadura transversal:
Ttd Tsd Tcd Ttd 60 13.28 Ttd 46.72kNm
Ttd 2 Aef x
Ast A Ttd 46.72x103 xf syd st 2.93cm2 / m 6 S S 2 Aef xf syd 2 x0.2292x348x10
U ef 2.01 0.25m Espaçamento max: S 8 S 15cm 0.15m; 8 30cm
Ast 2.93cm2 / m Ast 2.93xS 2.93x0.15 0.44cm 8 s
4º Dimensionamento da Armadura Longitudinal: Tsd Tld 60 kNm
Tld 2 Aef x
T xU Asl 60x103 x2.01 xf syd Asl ld ef 7.56cm2 812 6 U ef 2 Aef xf syd 2 x0.2292x348x10
8Ø12 0.70
Ø
[email protected]
(m)
Compilado por:
0.40
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
PROBLEMA 2 Considere um alpendre com função de estação de serviço e executado de acordo com a figura abaixo. Dimensione as armaduras da viga de modo a verificar a segurança da estrutura em relação aos estados limites últimos de resistência. Materiais B20/A400. considere ambiente moderadamente agressivo.
1.00 1.80
0.30 0.80
0.15
0.25
(m)
5.00
RESOLUÇÃO: 1o Determinação das acções:
Sobrecarga = 5kN/m2;
Peso Próprio:
g laje 0.15x25x1.8 6.75kNm; g viga 0.3x0.4 x25 3kN / m;
2º Determinação dos esforços de calculo: Momento flector e esforço transverso na viga; A carga de cálculo será dada por:
Q sd 1.5 x(6.75 3) 1.5 x5 x1.8 Qsd 28.125kN / m; Os diagramas de momento e esforço transverso resultantes serão:
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09 28.13 kN/m
A
B (m)
5.00
dM (kNm)
A
B
70.30
87.90
dT(kN)
A
B 70.30
Momento flector na laje
Para o momento flector na laje, a que fazer uma análise para encontrar o caso mais desfavorável do momento flector que provoca maior momento torsor na viga.
Variantes da actuação da carga váriavel
Caso I
Caso II
` Caso III 5.00 kN/m
5.00 kN/m
5.00 kN/m
0.80
(m)
1.00
0.80
1.00
(m)
0.80
(m)
2.50
2.50 1.60
1.00
1.60
dM (kNm)
dM (kNm)
dM (kNm)
- Calculo dos momentos: 2
Caso I: M 1
ql1 5 x 0 .8 2 1.6kNm / m; 2 2
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
2
ql2 ql12 5 x12 5 x0.8 2 0.9kNm / m; Caso 2: M 2 2 2 2 2
Caso 3: M 3
ql 2 5 x12 2.5kNm / m; 2 2
Actuação da carga permanente:
Carga permanente: M g
q g l2 2
2
qg l12 2
3.75 x12 3.75 x0.82 0.67 kNm / m 2 2
3.75 kN/m
0.80
1.00
1.21
(m)
1.88
dM (kNm)
Pelos valores dos momentos, nota-se que a combinação mais desfavorável será o caso 3 com a carga permanente.
m 1.5x0.67 1.5x2.5 4.755kNm / m ; M sdtor
mxlviga 2
4.755x5 11.89kNm ; 2
3º Dimensionamento: Flexão Simples: Verificação da secção:
h 0.4m a 5cm d 0.35m d
M sd 87.9 d d 0.33m ok! 0.25bxfcd 0.25x0.3x10.7 x103
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Cálculo da Armadura:
M sd x10 3 87.9 x10 3 2.39 0.823; bd 2 0.3x0.35 2
As
bd 100
0.823x0.3x0.35 8.64 x10 4 m 2 8.64cm 2 516 100
Cálculo da Armadura de Esforço transverso: Vsd Vcd Vwd Vsd 70.3kN Vcd 1bw d 600 x0.3 x0.35 63kN Vwd Vsd Vcd 70.3 63kN 7.3kN
Asw Vwd 7 .3 0.66 cm 2 / m s 0.9 xdxf syd 0.9 x0.35 x348 x10 3
Cálculo da armadura de Torção:
i)
Características geométricas
h 40 2 4cm 20 20 30 2a 40 2 x 4 32cm
h 80cm a 2 d ef d ef
32 2.67 a 12 12 d ef 32 hef 5.33cm 6 6 Aef (b hef ) x(h hef ) (30 5.33)(40 5.33) 855.30cm 2
U ef 2 (b hef ) (h hef ) 2(30 5.33) (40 5.33) 118.68cm;
ii)
Verificação da Secção:
Compilado por:
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v
FEUEM 09
Vsd 70.3 x103 0.7 MPa bw xd 0.3 x0.35
Tsd 11.89 x10 3 1.3MPa T 2hef xAef 2 x0.0533x0.08553
v T 2 0.7 1.3 2MPa 2 3.2MPa, ok! v 700 3 Vrd , m ax 2 v T bw xd 3.2 x10 x 1300 700 x0.3x0.35 117.6 Vsd , ok! T 1300 3 Trd , m ax 2 2 v T hef xAef 2 x3.2 x10 x 1300 700 x0.0533x0.08553 18.96 Tsd , ok!
iii)
Cálculo da Resistência do betão:
Tsd Tcd Ttd Tcd 2 1hef Aef Tcd 2 x600x5.33x10 2 x855.3x10 4 Tcd 5.47kNm
iv)
Calculo da armadura transversal devido a torção:
Ttd Tsd Tcd Ttd 11.89 5.47 Ttd 6.42kNm
Ast Ast Ttd 6.42 x103 Ttd 2 Aef x xf syd 1.078cm2 / m 6 S S 2 Aef xf syd 2 x0.08553x348x10
v)
U ef 118.68 14.8m Espaçamento Máx: S 8 S 14cm 0.14m 8 30cm
Ast 1.078cm2 / m Ast 1.078xS 1.078x0.14 0.15cm 6 s
vi)
Dimensionamento da Armadura Longitudinal
Tsd Tld 11 .89 kNm Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Tld xU ef Asl 11.89x103 x1.18 Tld 2 Aef x xf syd Asl 2.36cm2 310 6 U ef 2 Aef xf syd 2 x0.08553x348x10
≫ Armadura longitudinal de Flexão 5Ø16; ≫ Armadura longitudinal de Torção 3 Ø10; ≫ Armadura Transversal Ø6//14. 3Ø10
Ø
[email protected]
0.40
5Ø16 (m)
0.30
Corte longitudinal da viga
3Ø10
3Ø10
A
A 5Ø16
estribos Ø
[email protected]
(m)
5.00
Pelos resultados obtidos, conclui-se que a secção da viga esta sobredimensionada, isto é, ela resiste aos esforços solicitantes sem atingir os seus limites máximos. Por exemplo, para o momento-flector, bastava ter – se um d = 30cm, e tem – se 35cm, o mesmo se verifica em relação ao esforço transverso e torsor.
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
TEMA 8
LAJES VIGADAS
PROBLEMA 1 O painel de lajes vigadas representado na figura, apresenta uma espessura de 0.15m e encontra-se submetido as seguintes acções:
Peso próprio;
Revestimento 1.5kN/m2;
Sobrecarga de utilização;
Ambiente pouco agressivo.
B
Laje 1
6.00
Laje 2
A
A 6.00
Laje 3
Laje 4
B (m)
5.00
5.00
Fig. 1
Dimensione e pormenorize as armaduras da laje usando como materiais betão B25 e aço A400.
Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 71
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
RESOLUÇÃO
1º Calculo das acções:
Peso proprio 0.15x 25 3.75kN / m 2 Re vestimento 1.5kN / m2 Sobrec arg a 4kN / m 2 Qsd 1.5 x(3.75 1.5) 1.5 x 4 13.875kN / m 2
Assumindo uma armadura de ∅10 mm tem – se:
d h a 15 2 0.5 *1.0 12.5cm ;
2º Sistemas estáticos:
Todas lajes têm a mesma característica, pelo que calculamos a laje 1 ou laje 2 ou 3 ou 4 e o resultado será igual para todas as outras. Assume – se então o sistema estático encastrado – apoiado como mostra a figura a seguir:
5.00
(m)
Y
X
6.00
Cálculo da Laje 2:
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
l maior l y 6 1.2 Laje armada nas duas direcções - Tabela de Marcus; l menor l x 5 Para a relação
ly lx
1.2 tem – se os seguintes valores na mesma tabela (Mrcus):
kx
mx
nx
my
ny
0.674
27
11.85
38.89
17.07
Direcção x:
Mx
ql x2 13.9 x5 2 12.87kNm mx 27
Xx
ql x2 13.9 x5 2 29.32kNm; nx 11.85
dM(kNm)
18.53 5.00
Direcção y
My
29.31
ql x2 13.9 x5 2 8.94kNm my 38.89
dM(kNm)
ql x2 13.9 x5 2 Xy 20.36kNm; nx 17.07
12.87 6.00
O painel de lajes fica com os seguintes diagrama de momentos:
Corte A-A (Direcção x):
42.23
dM(kNm) 18.53 5.00
Compilado por:
18.53 5.00
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 73
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Corte B-B (Direcção y): 29.31
dM(kNm) 12.87 6.00
12.87 6.00
3º.Cálculo da Armadura:
M x 12.87kNm
Mx10 3 12.87 x10 3 0.824 0.257 bd 2 1x0.1252 bd 1x0.125x0.257 As x10000 3.21x10 4 cm 2 / m 8 // 15 100 100
M x 29.32kNm
Mx10 3 29.32 x10 3 1.873 0.600 bd 2 1x0.1252 bd 1x0.125x0.60 As x10000 7.5 x10 4 cm 2 / m 10 // 10 100 100
M y 8.94kNm
Mx10 3 8.94 x10 3 0.572 0.171 bd 2 1x0.1252 bd 1x0.125x0.171 As x10000 2.14 x10 4 cm 2 / m 8 // 25 100 100
M y 20.36kNm
Mx10 3 20.36 x10 3 1.30 0.401 bd 2 1x0.1252 bd 1x0.125x0.401 As x10000 5.0125x10 4 cm 2 / m 10 // 15 100 100
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Desenhos das Armaduras
Ø8//0.25
Ø8//0.15
6.00
Ø8//0.25
Ø8//0.15
Ø8//0.25
Ø8//0.25
A
A 6.00
(m)
Ø8//0.15
Ø8//0.15
5.00
5.00
Armadura Inferior
Ø10//0.10
6.00
Ø10//0.15
6.00
(m)
Ø10//0.15
Ø10//0.10
5.00
5.00
Armadura Superior
Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Ø10//0.15 Ø10//0.10
laje
Ø8//0.25
Ø8//0.15 viga
(m)
5.00
5.00
Corte A - A
PROBLEMA 2 Dimensione a laje representada na figura, que serve de tecto de um edifício de escritórios de uma consultoria de engenharia, que será construído com um betão de classe B25 e aço A400. O revestimento e as paredes divisórias quantificaram-se como sendo 2kN/m2. Ambiente moderadamente agressivo.
2.00
Laje 1
3.50
Laje 2
(m)
4.50
Laje 3
3.50
1º Pré - dimensionamento, Determinação da espessura do painel de lajes (artigo 102 do REBAP).
Laje 1 l maior 4.5 2.25 Laje armada numa direcção. l menor 2 Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Sistema estático : encastrada num bordo e apoiada no outro bordo, armada numa diracçao, α=0.8. 2.00
Laje 1
(m)
h
4.50
li xl 0.8 x 2 0.053 m; 30 30 30 x1
Laje 2 l maior 4.5 1.28 Laje armada nas duas direcções. l menor 3.5
Sistema estático: uma laje armada nas duas direcções, apoiada num bordo e encastrada noutro, não temos no quadro XV do REBAP, um caso como este, pelo que devemos ponderar a nossa escolha entre os sistemas estáticos presentes no quadro que oferecem alguma semelhança com o nosso e a segurança, pelo que escolhe-se α=0.6 ao em vez de α=0.5 pois nos oferece maior segurança. 4.50
h
li xl 0.6 x3.5 0.007 m; 30 30 30 x1
Laje 2
(m)
3.50
Laje 3 l maior 3.5 1 Laje armada nas duas direcções; l menor 3.5
Sistema estático: o sistema estático presente também não existe no quadro, dentre os que podemos escolher , α=0.7; α=0.8 e α=1, escolhe-se α=1. Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 77
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
3.50
3.50 Laje 3
3.50
h
li xl 1x3.5 0.117 m 30 30 30 x1
Conclusão, embora o cálculo tenha fornecido diferentes alturas para as lajes, não e exequível em obra ter lajes com diferentes alturas, então uniformiza-se a altura do painel com a maior altura encontrada. A laje tem de ter uma altura h>11.7 cm, h=12cm.
2º Determinação dos esforços.
PP 25 x0.12 3kN / m 2 Re v 2kN / m 2 Sob 3kN / m 2 Qk 3 2 3 8kN / m 2
Laje 1: ql 2 8 x 2 2 4kNm 8 8 ql 2 8 x 2 2 M m ax 2.25 kNm 14 .2 14 .2 M m ax
Laje 1
2.25
2.00 q = 8.0 kN/m2 4.0
dM (kNm)
(m)
Compilado por:
4.50
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 78
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
Laje 2:
Ly/lx
mx
nx
my
ny
1.28
24.66
10.92
40.4
17.99
ly = 4.50
(m)
Laje 2
lx = 3.50
8.97
3.97
8.0 kN/m2
5.45
2.42
qlx2 8 x3.52 My 2.42kNm / m; my 40.4 Xy
qlx2 8 x3.52 5.45kNm / m; nx 17.99
qlx2 8 x352 Mx 3.97kNm / m; mx 24.66 Xy
qlx2 8 x3.52 8.97kNm; nx 10.92
Laje 3 Ly/lx
mx
nx
my
1.0
29.93
11.20
36.76
Mx
qlx2 8 x3.52 3.27kNm / m; my 29.93
Xy
ql 8 x3.5 8.75kNm / m; nx 11.2 2 x
Compilado por:
2
My
qlx2 8 x3.52 2.67kNm / m; my 37.76
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 79
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
(m)
lx = 3.50
Laje 3
ly = 3.50
2.67
8.0 kN/m2
8.75 dM (kNm)
3.27
O painel de lajes fica com os seguintes diagrama de momentos: Corte A - A
8.97
4.0 dM (kNm) 2.25 3.97
Corte B - B 8.75 5.45 dM (kNm)
2.42
3.27
Nota: Há que fazer a correcção dos momentos de encastramento. Compilado por:
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 80
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
CORRECÇÃO DA LAJE 2
Corte A-A: Cálculo do momento médio de encastramento: M med
8.92 4 6.46kNm 2
Com a alteração do momento de encastramento, há uma redistribuição de momentos que será calculado com base no caso 3 da tabela 8 dos “MOMENTOS FLECTORES NO CENTRO DAS LAJES PARA MOMENTO SENOIDAL UNITÁRIO APLICADO NOS LADOS”. 2.46 kNm
M 8.92 6.46 2.46kNm; x (l 3.5) 0.087; 1.28 l x 3.5 y (l 4.5) 0.138;
l y 4.5
3.50
Laje 2 8.0 kN/m2
m x (l 3.5) 0.087 x 2.46 0.214; m y (l 4.5) 0.138x 2.46 0.34; (m)
4.50
N.B – A que ter atenção com os eixos que são usados para o calculo dos momentos γx e γy, pelo que aconselha-se que o estudante concentre seu raciocínio sobre o lado maior e menor da laje. Assim foi resolvido este problema.
Corte B-B: Caso 3 da tabela 9 (momento aplicado no lado menor):
M med
5.45 8.75 7.1kNm; 2
3.50
-1.65 kNm
8.0 kN/m2
(m)
Compilado por:
Laje 2
4.50
Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 81
Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
M 5.45 7.1 1.65kNm;
m x (l 4.5) 0.032x(1.65) 0.0528;
x (l 4.5) 0.032; l x 4.5 1.28 l y 3 .5 y (l 3.5) 0.093;
m y (l 3.5) 0.093x(1.65) 0.15;
Momentos finais da laje 2:
M x (l 3.5) 2.25 0.214 0.15 2.314kNm; M y (l 4.5) 3.97 0.0528 0.34 4.36kNm;
CORRECÇÃO DA LAJE 1
A correçcao dos momentos da laje 1 faz-se pela semelhança de triâgulos. O momento no encastramento é M
ql 2 4 , e verifica-se a seguinte relação: 8
ql 2 ql 2 ab cd 8 8
a b 4 a 4 b a 4 2.25 1.75 a 4 ax6.46 1.75x6.46 c 2.81 c 6.46 4 4 c d 6.46 d 4 2.81 1.19
6.46 4.0 a b
M 1.19kNm
c
dM (kNm)
d
2.25
lx = 3.50
CORRECÇÃO DA LAJE 3
(m)
Caso 1 da tabela 8 ou 9 (ly/lx=1): Laje 3
M med
5.45 8.75 7.1kNm 2
-1.65 kNm
8.0 kN/m2
ly = 3.50
M 7.1 5.45 1.65kNm; Compilado por:
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Estruturas de Betão Armado I
FEUEM 09
x (l 3.5) 0.056 1.28 l x 3.5 y (l 3.5) 0.144
l y 3.5
m x (l 3.5) 0.056 x1.65 0.0924; m y (l 3.5) 0.144 x1.65 0.237;
Momento final da laje 3: M x 3.27 (0.0924) 3.19kNm; M y 2.67 0.237 2.91kNm;
Cálculo das armaduras: Asmin
0.15x0.085 x10000 1.275cm 2 / m 6 // 25 100
Msk
Msd
μ
ρ
As(cm2/m)
Armadura
1,19
1,79
0,247
0,074
0,63
mínima
2,31
3,47
0,480
0,149
1,27
mínima
2,91
4,37
0,604
0,18
1,53
6//20
3,19
4,79
0,662
0,211
1,79
6//15
4,36
6,54
0,905
0,274
2,33
8//25
6,46
9,69
1,341
0,417
3,54
10//25
7,1
10,65
1,474
0,467
3,97
10//20
Compilado por:
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FEUEM 09
Desposições Construtivas: Armadura de distribuição
Ø6//0.25 2.00 Ø6//0.30
Ø6//0.25
Ø6//0.20
3.50 Ø8//0.25
(m)
4.50
Ø6//0.15
3.50
Armadura Inferior
Ø10//0.25 2.00
3.50
10//0.15
(m)
4.50
3.50
Armadura Superior
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FEUEM 09
TEMA 9 PILARES (Encurvadura)
PROBLEMA 1
350kN
Considere o pilar representado na figura, com 3m de altura, sujeito aos esforços de cálculo indicados. Verifique 1.50
a segurança ao estado limite ultimo. O 80kN
pilar será executado com B25/A400, dezpreze o peso próprio do pilar. Assuma
uma
secção
1.50
igualmente
armada de forma simétrica. Ambas as cargas
constituem
50%
da
carga
. 0.20
permanente e 50% da carga variável. 0.20
Fig.(m) 1
RESOLUÇÃO: 1o Passo - Determinação dos esforços internos
350
37.5
45.0 dT(kN)
dM(kNm)
Deformação do pliar
Fig. 2. Esforços e representação da encurvadura devido às cargas.
2º Passo – Determinação do comprimento efectivo de encurvadura e esbelteza: Compilado por:
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FEUEM 09
l ox l oy 3,0m ix
0.2
x
l0 x 3 51.9 70 Pilar curto; iy 0.0578
12
0.0578m
Não há necessidade de se verificar a excentricidade devido à fluência.
3º Passo – Verificação dos limites de dispensa do cálculo da encurvadura
Direcção X-X:
70
M sd 45 x1.5 3.5h 3.5 x0.2 0.11 0.7! ko N sd 1.5 x 400
! Verificar os efeitos de segunda ordem. 4º Passo - Cálculo dos esforços da segunda ordem
Excentricidade acidental (ea):
3 l ox 0.01m; maior de 300 300 2cm;
eax
Excentricidade da 2ª ordem (e2)
0.4 f cd Ac 0.4 x13.3 x10 3 x0.2 x0.2 0.405 N sd (350) x1.5
1 5 5 x10 3 x10 3 x0.405 10.13x10 3. r h 0 .2 2 1 l 32 e2 x x 0 x x10.13x10 3 9.12 x10 3 m; r 10 10
N sd 1.5 x350 525kN 6º Passo. Esforços finais:
M sdfinal M sd N sd (ea e2 ) M sd , x 1.5 x 45 525(0.02 0.009) 82.73kNm;
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FEUEM 09
Obtido esses esforços, o problema reduz-se ao cálculo de flexão composta que foi estudada nos capítulos anteriores: - Analise a flexão composta na direcção x – x.
N sd 885kN M sd , x 91.47kNm.
PROBLEMA 2 Dimensione o pilar central incorporado no edifício de escritórios duma empresa de construção civil, construído com vigotas pré-esforçadas. O pilar apresenta uma secção de 0.3x0.3m2, as vigas da direcção X-X tem a secção de 0.2x0.5 e da direcção Y 0.2x0.4. O edifício será construído com matérias B25/A400. São dados na figura abaixo Os esforços característicos no pilar, 50% dos esforços dizem respeito as cargas com carácter de permanência e os outros 50% as cargas variáveis.
Direcção x - x 30 kN/m 3.0 kN
5.50 30 kNm 3.0 kN
6.7kNm
6.50
6.7kNm 5.00
122kN
Compilado por:
5.00
356kN
(m)
122kN
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FEUEM 09 Direcção y - y 25 kN/m
3.0 kN
5.50 25 kNm 3.0 kN
6.8kNm
6.50
6.8kNm 5.00
83.0 kN
(m)
5.00
234.0 kN
83.0 kN
RESOLUÇÃO:
1º Passo – Determinação da mobilidade da estrutura
0.2 0.1n 0.2 0.1x 2 0.4
htot 6.5 x
N EI
estrutura de nos fixos
234 356 122x 2 83x 2 0.4 1.46 0.4 estrutura de no movel; 3 3 0.3 x 0.3 29 x10 x 12
2º Passo – Determinação do comprimento efectivo de encurvadura Direcção x - x:
1 1; 0.33 EI pilares 12 0.324 2 EI 0 vigas 2 x0.2 x .53 12 1 0.15( 1 2 ) 1 0.15(1 0.324) 1.2 (menor) (menor) 2 0.3x0.324 2.09 2 0.3 m in l ox 1.2 x6.5 7.8m 2 x0.3x
Compilado por:
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FEUEM 09
Direcção y – y:
1 1; 2
I pilares
I
vigas
0.33 12 0.633; 0.43 2 x0.2 x 12 2 x0.3 x
1 0.15(1 2 ) 1 0.15(1 0.633) 1.24 (menor) 2 0.3 x0.633 2.19 2 0.3 m in
(menor)
lox 1.24 x6.5 8.06m;
3º Passo – Calculo da Esbelteza
0.3
ix i y
0.087 12 l 7.8 x 0x 89.7 Pilar esbelto iy 0.087
y
l oy ix
8.06 92.6 Pilar esbelto 0.087
Calcular excentricidade de fluência nas duas direcções.
4º Passo – Verificação dos limites de dispensa
Encurvadura
Direcção x – x:
70
M sd 6.7 x1.5 89 3.5h 3.5 x0.3x 0.011 1.34!ko N sd 70 1.5(353 234 ) 70
Direcção y – y:
70
M sd 6.8 x1.5 93 3.5h 3.5 x0.3 x 0.01 1.4!ko N sd 70 1.5 x(353 234 ) 70
Verificar efeitos da segunda ordem nas duas direcções.
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FEUEM 09
5º Passo - Cálculo dos esforços da segunda ordem
Excentricidade acidental (ea):
ea x
7.8 l ox 0.026 2.6cm; maior de 300 300 2cm
8.06 lo 0.0267 2.67cm; eay maior de 300 300 2cm
Excentricidade da 2ª ordem (e2):
0.4 f cd Ac 0.4 x13.3 x10 3 x0.3 x0.3 0.54 N sd (353 234) x1.5 1 5 5 x10 3 x10 3 x0.54 9 x10 3. r h 0.3 1 l 02x 7.8 2 x x9 x10 3 0.055m; r 10 10 8.06 2 x9 x10 3 0.058m; 10
e2 x e2 y
Excentricidade por fluência:
M sg ec eax exp N sg
c ( t ,t o ) N sg N E N sg
1
Direcção x – x:
M sg 0.5 x6.7 3.35kNm N sg 0.5 x590 295kN
xEc , 28 xI c , y 2
NE
lox2
3.142 x 29 x106 x 7 .8 2
0.3 x0.33 12 3175.5kN
3.35 ecx 0.026 exp 3175.5 295 1 0.011m 295 2.5 x 295
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Direcção y – y: M sg 0.5 x6.7 3.4kNm N sg 0.5 x590 295kN
xEc , 28 xI c , y 2
NE
lox2
3.142 x 29 x106 x 8.062
0.3 x0.33 12 2973.9kN
3. 4 ec x 0.0267 exp 2973.9 295 1 0.012m 295 2.5 x 295
6º Determinação dos esforços finais
N sd 1.5(356 234) 885kN M sdfinal M sd N sd (ea e2 ec ) M sd , x 1.5 x6.7 885(0.026 0.055 0.011) 91.47kNm M sd , y 1.5 x6.8 885(0.0267 0.058 0.012) 95.78kNm Obtido esses esforços, o problema reduz-se ao cálculo de flexão composta e desviada que foi estudada nos capítulos anteriores:
- Análise a flexão composta na direcção x – x:
N sd 885kN; M sd , x 91.47kNm; - Análise a flexão composta na direcção y – y:
N sd 885kN; M sd , y 95.78kNm; - Análise a flexão desviada
M sd , y 95.78kNm; M sd , x 91.47kNm;
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