Manual NL

2010

Análisis No Lineal Estático “Pushover” Base Teórica y Aplicación Usando el Programa ETABS PROCESO FEMA - 356 Y ATC - 40

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En este documento vamos a ver la diferencia entre los dos procedimientos descritos en FEMA-356 y en ATC-40. Luego se implementa el programa ETABS para efectuar el análisis Pushover a un edificio de hormigón realizando el proceso paso a paso.

MECE Aneuris Hernández Vélez HIGH LEVEL ENGINEERING 01/05/2010

CONTENIDO.

I. Introducción II. Proceso de Análisis No Lineal “Pushover” según FEMA 356 III. Proceso de Análisis No Lineal “Pushover” y Método del Espectro de Capacidad según ATC-40 IV. Ejemplo de Aplicación Usando el Programa ETABS

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Nota Importante El objetivo de este trabajo es ofrecer un material didáctico a los participantes de los cursos y seminarios de Ingeniería Estructural usando el programa ETABS. Aunque los ejercicios y ejemplos se han verificado con detenimiento, no se garantiza que estén totalmente libres de errores. Los usuarios son totalmente responsables por el buen uso del programa y el autor no asume ninguna responsabilidad por el uso incorrecto del programa y de este manual.

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INTRODUCCION.

En la actualidad en Estados Unidos y Europa las nuevas provisiones sísmicas requieren que los ingenieros estructurales efectúen un análisis no lineal. Dicho análisis podría ser dinámico o estático “pushover”. En estados unidos los documentos de referencia usados para desarrollar un análisis estático no lineal o “Pushover Analysis” son el ATC-40 (Applied Technology Council) “Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Building” y FEMA 356 (Federal Emergency Management Agency). De acuerdo con los procesos establecidos en este análisis se aplica una carga lateral vertical al modelo matemático que se incrementa monótonamente. Esta carga se incrementa hasta que se alcanza la respuesta pico de la estructura o más bien la máxima respuesta de la estructura. La respuesta de la estructura se representa mediante la grafica del cortante en la base vs el desplazamiento en el tope de la estructura. Con este proceso el modelo matemático deberá ser capaz de capturar la no linealidad del material, ya que este es un proceso incremental es posible obtener la información detallada del comportamiento de cada elemento. Este proceso permite capturar la secuencia de deformaciones en los elementos o sea la secuencia de formación de rotulas plásticas. Este proceso debe ser usado con precaución ya que asume una representación aproximada de la respuesta estática de la estructura, cuando esta es sometida a cargas dinámicas. Todo esto es una aproximación. La ventaja de este proceso es que conlleva menos tiempo y es más sencillo que un proceso dinámico no lineal. En este documento vamos a ver los dos procedimientos descritos en FEMA -356 y en ATC-40.

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Proc eso de Anális is No Lin ea l “Pus hover” según FEMA 356

El método consiste en aplicar una distribución vertical de carga lateral a la estructura la cual debe incrementarse monótonamente hasta que la estructura alcance el máximo desplazamiento, mediante la grafica del cortante en la base y el desplazamiento en el tope de la estructura como se muestra en la siguiente figur a.

Distribución de la Carga Lateral en el Tope

Desplazamiento Cortante en la Base Respuesta Estructural

Cortante en la Base

Desplazamiento en el Tope

El ingeniero estructural puede decidir cuál será la condición de la estructura después de un movimiento sísmico o más bien el nivel de rendimiento que deberá tener la estructura luego de un sismo. Esta condición depende de los distintos niveles de rendimiento estos son: Nivel Operacional

Ocupación Inmediata

Guardar la seguridad de las vidas High Level Engineering (www.hlengineering.com) Por: MECE Aneuris Hernandez Velez

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Prevenir el Colapso de la estructura

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El espectro de terremoto usado para el diseño va a depender de la zonificación donde se encuentra la estructura y se determina según los requerimientos del código usado. Un espectro típico es mostrado en la siguiente figura.

Sa, Aceleración Espectral

Periodo de Vibración

A continuación se explican los distintos pasos que deben efectuarse para realizar un análisis estático “Pushover” según Fema 356. Esta secuencia de pasos se efectúa una vez hemos diseñado la estructura con los procedimientos convencionales. I.

Determinar la Carga de Gravedad usada en el análisis.

QG

=

QD

=

Fuerza total de la gravedad. Carga Muerta

Total.

QL

Efecto efectivo de la Carga Muerta. (25% de la carga viva no reducida) =

QS = 70% de la Carga de Nieve.

II. Determinar el factor Cvx para la distribución vertical de la Carga Lateral y Multiplicar por la Fuerza “F” que es el incremento monótono

de la fuerza.

El parámetro k varía con el periodo fundamental de la estructura T. K = 1, Si T < 0.5 seg K = 2, Si T > 2.5 seg

III.

Determinar del Nivel de Desempeño.

El nivel de desempeño es la condición deseada que deberá tener la estructura luego de ocurrir el terremoto, se determina según la siguiente tabla.

IV. Calculo de la Amenaza Sísmica. El siguiente proceso es para crear un espectro de respuesta que cumpla con el criterio de excedencia de un terremoto seleccionado por el diseñador, según el nivel de desempeño. I.

Se selecciona la probabilidad de excedencia del terremoto en 50 años, la cual depende del nivel de desempeño seleccionado, según las dos tablas anteriores. Luego se calcula el periodo de retorno PR según la siguiente ecuación.

Dond e: PE50 = Probabilidad de excedencia previamente seleccionado.

Por ejemplo si se requiere que se cumpla con la condición A, K y P entonces el periodo de retorno se debe calcular tres veces por separado. Entonces el análisis pushover deberá correrse por separado para cada % de excedencia considerado y el resultado final debe compararse con los criterios de aceptación de FEMA 273, para los niveles de desempeño en cada % de excedencia. II.

Calcular la respuesta modificada para periodo corto y largo “Ss y S1” (Esta fórmula aplica solo cuando Ss no modificado y determinado según el mapa, es menor que 1.5g y cuando la probabilidad de excedencia del terremoto en 50 años está entre 2% y 10%.

Donde: i = S o 1 dependiendo de la aceleración de corto o largo periodo que estemos modificando.

: Logaritmo Natural de la aceleración espectral en una razón de 10% de

excedencia en 10 años.

: Logaritmo Natural de la aceleración espectral en una razón de 2% de excedencia en 10 años.

: Logaritmo Natural del Periodo de Retorno Medio que corresponde a la probabilidad de excedencia.

Esta otra fórmula aplica solo cuando el valor Ss obtenido del mapa es mayor o igual a 1.5g y la probabilidad de excedencia sigua estando entre 2% y 10% de excedencia en 50 años.

Donde el valor de n, se determina según la siguiente tabla.

Para el caso de que la probabilidad de excedencia sea mayor del 10% y el valor de Ss determinado desde el mapa sea menor a 1.5g se debe también usar la ecuación anterior pero usando los valores de n, que se describen en las siguiente tabla.

Para el caso de que la probabilidad de excedencia sea mayor del 10% y el valor de Ss determinado desde el mapa sea mayor o igual a 1.5g se debe también usar la ecuación anterior pero usando los valores de n, que se describen en las siguiente tabla.

III.

Ajuste Final de las Aceleraciones Espectrales para Corto y Largo Periodo, Tomando en Cuenta el Tipo se Suelo en el Sitio.

Donde Fa, es una función de la clase de suelo en el sitio y de la aceleración espectral modificada Ss, para un periodo corto. Fv, es una función de la clase del suelo en el sitio y de la aceleración espectral modificada S1, para un periodo largo de un segundo. Estos valores se determinan según las siguientes tablas.

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Donde la Clasificación del Suelo se define como: Class A: Roca Dura con velocidad de corte del agua Vs > 5,000 ft/s Class B: Roca con Vs > 2,500 ft/s y Vs < 5,000 ft/s Class C: Suelo muy denso y roca suave con Vs > 1,200 ft/s y Vs < 2,500 ft/s (N>50 y Resistencia al corte Su>2,000 psf). Class D: Suelo Rígido con Vs > 600 ft/s y Vs < 1,200 ft/s (15 40% y una resistencia no drenada al corte Su < 500 psf. También Vs < 600 ft/s. Si no hay suficientes datos para clasificar un suelo desde los tipos A hasta D, entonces se debe seleccionar un tipo E. Class F: Este tipo de suelo requiere una evaluación, son suelos vulnerables a fallas potenciales o colapso bajo cargas sísmicas, como lo es la licuefacción. Estos suelos tienen arcilla orgánica con un espesor mayor de 10 ft, muy alta plasticidad PI > 75 IV. Graficando el Espectro de Respuesta a Usarse. El espectro de diseño es una grafica que relaciona el periodo en función de la aceleración modificada que hemos determinado con la probabilidad de retorno que hemos seleccionado previamente. Las funciones para crear el espectro se muestran en la siguiente grafica. Este espectro es una herramienta usada High Level Engineering (www.hlengineering.com) Por: MECE Aneuris Hernandez Velez

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para determinar la aceleración espectral de la estructura cuando esta tiene un periodo determinado.

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Los valores Bs y B1 son parámetros que toman en cuenta el coeficiente de amortiguamiento efectivo de la estructura y se tabulan a continuación.

El valor To se define como:

V.

Calculo del Desplazamiento Máximo que se espera tendrá la Estructura durante el evento de diseño (Target Displacement). Se determina mediante la siguiente ecuación.

Nota: Antes de efectuar este proceso se debe haber hecho el análisis de carga lateral incremental descrito en el paso II, para conocer la respuesta no lineal de la estructura ante carga lateral.

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Donde: Periodo fundamental efectivo en la dirección en consideración.

Este debe ser calculado usando la relación de fuerza – deformación o curva de Capacidad. La relación no lineal del cortante en la base y el desplazamiento en el nudo prescrito debe ser reemplazada por una relación bilineal para estimar de este modo la rigidez lateral efectiva (Ke) y el cortante de fluencia del edificio Vy.

La rigidez lateral efectiva debe ser tomada como la secante de la rigidez. Rigidez lateral elástica del edificio (Ki) debe calcularse según se muestra en la grafica anterior. El Periodo fundamental elástico de la estructura (Ti) en segundos, se puede calcular según la siguiente ecuación:

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Ct = 0.030 hn = altura en pies desde la base al tope del edificio.

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Factor de Modificación Co y C2. Se pueden determinar con la siguiente tabla: Tabla 12 (Valores del Factor de Modificación Co).

Tabla 13 (Valores Factor de Modificación C2).

Factor de Modificación C1. Este es una relación entre el desplazamiento máximo inelástico y el desplazamiento calculado para la respuesta lineal elástica.

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Los Siguientes parámetros fueron descritos en detalle en la sección IV “Amenaza Sismica”.

R (strength ratio)

Sa = Aceleración Espectral, en el periodo fundamental efectivo en la dirección considerada

Vy = Resistencia a la Fluencia se calcula con la grafica que relaciona el cortante en la base y los desplazamientos en el tope de la estructura en el nudo controlado. W = Carga muerta y viva total Coeficiente C3.

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Proc eso de Análisi s No Linea l “Push over” y Método del Espectro de Capacidad según ATC-40 En este capítulo se presenta el proceso analítico para evaluar cómo actúan los edificios existentes y verificar su diseño. Este método estima el máximo desplazamiento, por medio de la intersección entre la curva de capacidad y el espectro de demanda reducido. Aunque un análisis elástico da una buena indicación de la capacidad elástica de la estructura indicando donde ocurre la fluencia en los elementos, este no puede predecir el mecanismo de falla y tomar en cuenta la redistribución de fuerzas durante la fluencia progresiva de los elementos. El análisis inelástico ayuda a demostrar como realmente trabaja el edificio, por medio de la identificación de los modos de falla y el colapso progresivo. El método del espectro de capacidad es un proceso estático, no lineal que provee una representación grafica de la curva de capacidad, la cual se compara con el espectro de demanda sísmica, siendo una herramienta útil para evaluar edificios existentes. La demanda es la representación del movimiento del suelo, mientras que la capacidad es la habilidad que posee la estructura para resistir la demanda sísmica. El método requiere la determinación de tres elementos primarios descritos a continuación. •

Capacidad: La capacidad de la estructura depende de la resistencia y la capacidad de deformación de los componentes individuales de la estructura. En orden de determinar la capacidad más allá del límite elástico, se usa el proceso “Pushover” este proceso usa una serie de análisis elásticos secuenciales súper impuestos para aproximar un diagrama de capacidad fuerza-desplazamiento del conjunto estructural. El modelo matemático de la estructura se va modificando para tomar en cuenta la reducción de la resistencia de los componentes que van alcanzando la fluencia. Una distribución de fuerzas laterales se aplica nuevamente hasta que otros elementos adicionales alcanzan la fluencia. Este proceso se continúa aplicando hasta que la estructura se vuelve inestable o hasta que un límite predeterminado se alcanza.

•

Demanda (Desplazamiento): El movimiento del suelo durante un terremoto produce un patrón complejo de desplazamientos en la estructura que puede variar con el tiempo. Para una estructura dada y un movimiento del suelo, la demanda de desplazamiento es un estimado de la máxima respuesta esperada del edificio durante el

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movimiento del terreno. •

Desempeño: Una vez se ha definido la curva de capacidad y los desplazamientos de demanda, se puede verificar el punto de desempeño o punto de respuesta máxima en la estructura. Este punto es aproximadamente igual al obtenido por el método de los coeficientes el cual no se explica en este trabajo.

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Proceso Paso a Paso para Determinar la Curva de Capacidad La capacidad de la estructura se representa mediante la “Pushover”, se puede crear graficando el cortante en la base y el desplazamiento en el nivel más alto del edificio.

curva

(Concepto Curva de Capacidad) La curva de capacidad se construye en representación del primer modo, asumiendo que el primer modo es el que predomina en la estructura. Esto es generalmente valido para edificios con un periodo fundamental de vibración menor o igual a 1 segundo. Para edificios más flexibles con un periodo fundamental mayor de un segundo, el análisis debe ejecutarse considerando el efecto de los modos más altos. Procedimien to: 1. 2. 3.

Crear un modelo computacional. Clasificar los elementos primarios y secundarios. Aplicar fuerzas laterales a la estructura en cada piso. Para esto se usa la masa que participa en el primer modo o modo fundamental por medio de la siguiente ecuación Fx = [Wx фx / ∑Wx фx] V en la determinación de las fuerzas también deben incluirse las cargas de gravedad. 4. Calcule las fuerzas en los elementos, para la combinación de cargas verticales y horizontales. 5. Ajustar las fuerzas laterales para que por lo menos algunos elementos alcancen el 10% de su resistencia. Nota: Una vez se alcanza la resistencia de un elemento, este es High Level Engineering (www.hlengineering.com) Por: MECE Aneuris Hernandez Velez

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considerado como incapaz de tomar fuerzas laterales. Detectar la fluencia elemento por elemento, puede ser un proceso muy lento por lo tanto, muchos elementos son agrupados en conjunto con un punto de fluencia similar.

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6.

Archivar o ir graficando el valor del cortante en la base vs el desplazamiento en el tope del edificio, como también las fuerzas y las rotaciones en cada elemento, para compararlas con el diagrama característico de fuerza – curvatura de cada elemento, a fin de determinar el estado de cada elemento. 7. Actualizar el modelo usando una rigidez más pequeña para aquellos elementos que han alcanzado la fluencia. 8. Aplicar un nuevo incremento de la carga lateral a la estructura actualizada hasta que otros elementos alcancen la fluencia. Nota: La fuerza actual y la rotación para los elementos en el principio de un incremento son igual a aquellas fuerzas y rotaciones en el final del incremento previo. Cada aplicación de un incremento de carga lateral es un análisis separado que inicia desde una condición inicial igual a cero. Para determinar cuando un próximo elemento fluye es necesario añadir las fuerzas provenientes del análisis, ejecutado previamente al análisis actual, de igual modo para determinar las rotaciones. 9. Agregar el incremento de la carga lateral y el correspondiente incremento del desplazamiento al total previo para de este modo obtener los valores acumulados del la gráfica. 10. Repetir los paso 7,8 y 9 hasta que la estructura alcance su límite ultimo, es decir la inestabilidad por efecto P-∆, Distorsión mas allá de los niveles prescritos, los elementos pierden toda su resistencia.

Fig. 4 (Segmentos del Análisis Pushover)

En algunos casos donde los elementos pierden toda su resistencia para absorber carga lateral, pero siguen teniendo capacidad para deformarse por ejemplo cuando hay muros acoplados con vigas de acoplamiento. En estos casos, puede que exista una degradación gradual de la resistencia y es necesario iniciar otras curvas de capacidad cada vez que ocurra el primer punto de degradación de la resistencia, cuando el incremento de la carga se detiene en el paso 10 antes de que la estructura haya alcanzado su límite High Level Engineering (www.hlengineering.com) Por: MECE Aneuris Hernandez Velez

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último.

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Cuando se comienza una nueva curva la resistencia o rigidez de los elementos que ocasionaron que el análisis se detuviera debe eliminarse antes de iniciar una nueva curva. Para crear la nueva curva se debe iniciar a partir del paso 3. La figura 5 muestra la creación de múltiples curvas para poder modelar la degradación de la resistencia.

(Múltiples Curvas para modelar el efecto de Degradación de Capacidad)

(Degradación de la Curva de Capacidad)

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Proceso para Determinar Demanda Sísmica

la

El desplazamiento de demanda en el espectro de capacidad ocurre en un punto sobre el espectro llamado punto de desempeño. Este punto representa la condición de que la capacidad sísmica de la estructura sea igual a la demanda sobre la estructura debido al movimiento del terreno. El desplazamiento en el punto de desempeño inicialmente debe estimarse usando una simple técnica llamada “Aproximación de igual desplazamiento”, esta técnica asume que el desplazamiento inelástico espectral es el mismo que el desplazamiento elástico que ocurre si la estructura permanece perfectamente elástica. Esta técnica es una herramienta usada para estimar el inicio del proceso iterativo para determinar el punto de desempeño. La localización del punto satisfacer lo siguiente:

de

desempeño

debe

1. El punto debe quedar sobre la curva del espectro de capacidad. 2. El punto debe quedar sobre la curva de demanda espectral reducida desde su amortiguamiento inicial de un 5% que es el usual en el espectro de diseño elástico, esta reducción del espectro es para representar la demanda no lineal. La reducción del espectro se hace por medio de un factor que se calcula en términos del amortiguamiento efectivo, esto será discutido más adelante. La determinación del punto de desempeño requiere un proceso iterativo de (trial and error) para buscar que se satisfagan los dos criterios requeridos mencionados anteriormente. Para la iteración se mencionaran tres alternativas que simplifican y estandarizan el proceso, dichas alternativas se basan en los mismos conceptos y en las relaciones matemáticas pero varían en su dependencia analítica versus las técnicas graficas. Proces oA Esta es la aplicación más directa, es verdaderamente iterativo pero, se basa en formulas que pueden ser fácilmente programadas en hojas de cálculo. Este es más bien un método analítico que grafico siendo el método con la aplicación más directa, es el más recomendado. Proces oB Este método introduce simplificación laAneuris curva de capacidad High Level Engineering (wwuna w.hleng ineering.com) usando Por: MECE Página Hernandez Velez

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bilineal que habilita o permite una solución relativamente directa para determinar el punto de desempeño con un número pequeño de iteraciones. Igual que el proceso A, el proceso B es un método más analítico que grafico y es probablemente el más conveniente para programar una hoja de cálculo. El proceso B tiene menos transparencia que el proceso A.

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Proces oC Este es un proceso puramente grafico, es el más conveniente cuando los cálculos se hacen manualmente, tiene menos transparencia que los demás métodos. Conversión de la curva de capacidad a la curva de espectro de capacidad. Para usar el método del espectro de capacidad es necesario convertir la curva de capacidad que está dada en términos del cortante en la base y el desplazamiento en el tope a otras coordenadas en función de aceleración y desplazamientos espectrales (coordenadas ADRS) Sa vs Sd, las ecuaciones requeridas para la transformación son las siguientes:

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En general el proceso para convertir la curva de capacidad a espectro de capacidad (ADRS) conlleva primero calcular el factor de participación modal para el primer modo, luego el coeficiente de masa modal; entonces para cada punto que describe la curva de capacidad, usar las ecuaciones Sa y Sd. Para cualquier punto sobre el (ADRS) el periodo T, puede computarse usando la relación T = 2π (Sd/Sa)

1/2

similarmente para el espectro tradicional el

desplazamiento espectral puede ser calculado usando la relación 2 2 Sd = SaT /4π .

(Comparación entre el Espectro Tradicional y el Espectro en Formato ADRS).

La siguiente figura muestra el espectro de capacidad súper impuesto en la respuesta espectral presentada en los dos formatos. En ésta gráfica se puede apreciar que cuando la estructura entra en el rango inelástico el período aumenta ya que la estructura es cada vez más flexible. Las líneas radiales de periodo constante siempre parten desde el origen.

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(Comparación del Espectro de Capacidad sobre el Espectro de Demanda Tradicional y el Espectro de Demanda en Formato ADRS).

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Conversión del espectro estándar a un espectro en formato ADRS. La aplicación de la técnica del espectro de capacidad requiere que tanto la curva de capacidad como el espectro de demanda sean ploteado en coordenadas de aceleración espectral y desplazamiento espectral (ADRS). El espectro de demanda elástico a convertir, debe ser el espectro requerido por un código determinado con las características apropiadas de cada región. El espectro convencional está dado en términos de la aceleración espectral y el periodo por lo cual sólo el período deber convertirse a desplazamiento espectral, por medio de la siguiente ecuación. Sdi =

T 4⋅ π

2

⋅ S ⋅ g ai

Una vez se ha convertido el espectro, se puede calcular la aceleración o el desplazamiento espectral para cuando la estructura tiene un periodo determinado por medio de la siguiente expresión.

Saig =

2⋅ ⋅S π v T i

Sdi =

T

i

⋅S 2⋅ π

v

Construcción Bilineal del espectro de capacidad. Para estimar el amortiguamiento efectivo en la estructura, es necesario crear una representación bilineal del espectro de capacidad. Esta construcción requiere definir el punto api , dpi el cual se usa para iniciar el proceso iterativo de crear el espectro reducido de demanda. Anteriormente se mencionó que el espectro de capacidad y el espectro de demanda deben interceptarse, por lo tanto, se puede decir que el punto api , dpi es el punto de intersección o punto de desempeño. El primer estimado del punto se denomina a p1 , dp1 la segunda asunción se llama ap2 , dp2 y así sucesivamente. High Level Engineering (www.hlengineering.com) Por: MECE Aneuris Hernandez Velez

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A menudo la técnica de “Aproximación de igual desplazamiento”, que se mencionó anteriormente puede usarse para estimar el puntos ap1, dp1. A continuación se muestra el espectro de capacidad Bilineal.

Estimación del Amortiguamiento y reducción del espectro creado con un amortiguamiento de 5% del crítico. El amortiguamiento que ocurre en una estructura en el rango inelástico puede ser visto como una combinación del amortiguamiento viscoso inherente en la estructura y el amortiguamiento histeretico. El amortiguamiento histeretico está relacionado al área que se forma dentro de las vueltas (loops) o lasos de histéresis cuando las fuerzas del cortante se grafican contra el desplazamiento. El amortiguamiento equivalente asociado con el máximo desplazamiento d pi puede estimarse según la siguiente ecuación. Βeq = βo 0.05

+

βo = Amortiguamiento histeretico representado como un amortiguamiento viscoso equivalente 0.05 = 5% amortiguamiento viscoso inherente en la estructura (asumido constante) El termino βo puede siguiente expresión

βo =

1

⋅

ED

4π

calcularse

según

la

E

S0

ED = disipación de energía por amortiguamiento. ESo = Máxima energía de deformación

El significado físico del término ED y ESo se ilustra en la siguiente figura.

(Disipación de Energía Sísmica)

ED es la energía disipada por la estructura en un simple ciclo de movimiento, que corresponde al área encerrada dentro de un simple loop (Área no sombreada). ES o es la máxima energía de deformación asociada con el ciclo de movimiento (Área sombreada). Según la grafica la ecuación se puede derivar como sigue.

(Derivación de Ecuaciones de Energía

Disipada).

ED = 4 * (área sombreada en la figura)=4(ay dpi – dy api) ESo = (área del triangulo bajo Keff) = api dpi / 2 Si estos valores se sustituyen en βo se obtiene la siguiente expresión escrita en términos de porcentaje de amortiguamiento crítico. Βo = 63.7 (ay dpi – dy api) / api dpi Por tanto:

lo

βeq = 63.7 (ay dpi – dy api) / api dpi + 5 El valor del amortiguamiento viscoso equivalente puede ser usado para estimar el factor con el cual se reduce el espectro de demanda. Como se muestra en la siguiente figura este factor se usa para disminuir el espectro elástico de 5% al aumentar el amortiguamiento crítico.

(Reducción del Espectro de Demanda)

En algunos casos de edificios, la idealización de los lasos de histéresis no es muy real ya que se puede subestimar el amortiguamiento real en la estructura. Por esta razón se introduce un factor de modificación llamado κ. Se puede notar que el amortiguamiento resultante, se llama efectivo y no

equivalente. Βeff +5

= κ

βo

βeff = 63.7 api dpi + 5

κ

(ay dpi – dy api) /

El facto κ depende del comportamiento estructural del edificio. Hay tres categorías de comportamiento estructura: Tipo A: Representa un lazo de histéresis razonable y estable κ = 1 Tipo B: Representa una reducción moderada de los lazos κ = 2/3 Tipo C: Representa un pobre lazo de histéresis con una reducción sustancial κ = 1/3

(Valores del Factor κ, para modificar el Amortiguamiento)

El factor de reducción de la demanda sísmica se determina según la siguiente ecuación. SRA = 3.21 – 0.68 ln [63.7 κ (ay dpi – dy api) / api dpi + 5] / 2.12 SRV = 2.31 – 0.41 ln [63.7 κ (ay dpi – dy api) / api dpi + 5] / 1.65 Estos valores deben ser mayores o iguales a la siguiente tabla.

Valores para el Factor de Reducción del Espectro de Demanda)

Valores de los factores de reducción en función del amortiguamiento histeretico.

(Amortiguamiento Efectivo y Factor de Reducción en Función del Amortiguamiento Histeretico).

(Tipos de Comportamiento Estructural en Función de la Duración del Terremoto y los distintos Tipos de Edificios).

Intersección del Espectro de Capacidad y el espectro de Demanda Calculo Usando el Proceso A. Este proceso de iteración puede ser realizado a mano o sobre una hoja de Excel para hacer converger el punto de desempeño. 1. Desarrollar el espectro elástico de un 5%, apropiado para la localización. 2. Transformar la curva de capacidad a espectro de capacidad. 3. Graficar las dos curvas en un mismo grafico. 4. Seleccionar un punto asumido inicial de desempeño por el método “Aproximación de igual desplazamiento”, ver figura.

(Aproximación de Igual Desplazamiento).

5.

Desarrollar la representación bilineal del espectro de capacidad.

(Representación Bilineal Usando la Aproximación de Igual Desplazamiento).

6. Calcular el factor los factores de reducción espectral. 7. Desarrolle el espectro de demanda reducido y graficar en el mismo gráfico.

(Espectro Bilineal en el Mismo Grafico que el Espectro de Demanda Reducido).

8.

Determine si el espectro de demanda intercepta el espectro de capacidad en el punto, api, dpi (estos son los puntos asumidos), de lo contrario verifique si el desplazamiento en el punto de intersección di, está dentro de la tolerancia aceptable del dpi (0.95dpi < di < 1.05dpi). (La siguiente grafica muestra la Tolerancia Entre el Punto Asumido y el Punto de Intersección).

9.

Si el espectro de demanda no intercepta el espectro de capacidad dentro de la tolerancia, se selecciona un nuevo valor api, dpi y se regresa al paso 5.

10. Si el espectro de demanda intercepta el espectro de capacidad dentro de la tolerancia aceptable, entonces el punto asumido api, dpi será el punto de desempeño (ap, dp), y el desplazamiento dp representa el máximo desplazamiento que se espera en el terremoto. Cálculo usando Proceso B.

el

En este método se hacen unas asunciones que no se hacen en los demás métodos. Este método asume que no únicamente la pendiente inicial de la representación bilineal permanece constante sino que también el punto ay, dy permanecen constantes. Estas asunciones permiten una solución directa sin tener que dibujar múltiples curvas, debido a que el amortiguamiento efectivo varía cada vez que se grafica una representación bilineal diferente para el espectro de capacidad. 1. Desarrollar el espectro de demanda elástico 5%. 2. Dibujar una familia de espectros reducidos en el mismo gráfico en un rango desde 5% @ 40% (Si el comportamiento Estructural corresponde al Tipo A), 29% (Si corresponde al Tipo B) y 20% (Si corresponde a Tipo C).

(Familia de Demanda Espectral con Variación en el Amortiguamiento).

3. Transformar la curva de capacidad en curva de capacidad espectral y

dibujar sobre la familia de gráficos de demanda espectral.

4.

Desarrollar la representación bilineal del espectro de capacidad. La pendiente inicial de la curva bilineal es igual a la rigidez inicial del edificio. El siguiente segmento de pos fluencia debe desarrollarse a través del espectro de capacidad pasando por el punto a*, d*. Para determinar el punto a*, d* se debe proyectar la línea de la pendiente inicial hasta que corte el espectro elástico de 5%. La línea de pos fluencia debe ser colocada de manera que A1 = A2.

(Familia de Demanda Espectral y Espectro de Capacidad Bilineal).

5.

Calcule el amortiguamiento efectivo para varios puntos cercanos al punto a*, d*. La pendiente del segmento de pos fluencia de la representación bilineal es dada por la siguiente ecuación. Pendiente Pos Fluencia = (a* - ay) / (d* - dy) Para algún punto api, ay, sobre el segmento de pos fluencia en la representación bilineal la pendiente será: Pendiente Pos Fluencia = (api – ay) / (dpi – dy) Dado que la pendiente es constante las dos ecuaciones anteriores se pueden igualar y despejar para api. api’ = (((a* - ay)(dpi – dy)) / (d* dy) ) + ay El amortiguamiento efectivo en función del valor api’. Βeff = 63.7 κ (ay dpi – dy api’) / api dpi + 5 La ecuación anterior se resuelve para varios valores dpi

6.

Para cada valor dpi, dibuje el punto dpi, βeff sobre la misma gráfica de la familia del espectro de demanda y el espectro de capacidad.

(Puntos dpi , βeff)

7.

Conecte los puntos graficados hasta formar una línea. La intersección de esta línea con el espectro de capacidad define el punto de desempeño. Este proceso provee el mismo resultado que los demás procesos si el punto de desempeño está cercano al punto a*, p* de lo contrario en ingeniero debe utilizar otro proceso.

(Unión de los Puntos dpi , βeff).

Solo se han presentado los procesos A y B para la determinación del punto de desempeño o respuesta máxima, sin embargo, el proceso C, no es presentado, para información con relación al mismo refiérase a ATC – 40 (8.2.2.1.4).

Modelo Utilizado Momento Curvatura.

para

Relación

El comportamiento de los elementos por lo general es modelado usando la relación momento – curvatura, más allá del rango lineal.

(Diagramas de Momento Curvatura Normalizado).

Los valores Qc se refiere a la resistencia y Q se refiere a la demanda impuesta por el terremoto. La respuesta es lineal hasta el punto B, seguido por la fluencia, como consecuencia existe una disminución en la rigidez con un comportamiento lineal desde B hasta C, luego se presenta una reducción súbita de la rigidez desde C hasta D, continua el desplazamiento desde D hasta E con una cargas constante hasta perder la resistencia desde E en adelante. El análisis debe ser capaz de rastrear la relación no lineal fuerza-deformación de todos los componentes, esta relación se compone por lo general de varios segmentos de línea. El grafico (a) se expresa directamente en términos de deformación, rotación, curvatura o elongación. Los parámetros a y b corresponden a la deformación plástica. Estos parámetros son definidos más adelante por las tablas expuestas mas adelante. El grafico (b) se expresa en términos del ángulo de cortante y el desplazamiento relativo (drift). La curva más conveniente es la (a), cuando la deformación es por flexión, la curva (b) es más conveniente cundo la deformación se produce en juntas, deslizamientos, deformaciones por desplazamiento relativo y

ángulo de cortante. La capacidad para rotar plásticamente de la sección se puede tomar directamente desde las tablas 10 y 11, la cual representanta los puntos donde hay degradación en la sección, esta tabla se basa en datos de prueba (Aycardi et al. 1992,; Beres et al. 1992; CSSC 1994b; Pessiki et al. 1990; y Qi and Moehle 1991), como también en el juicio ingenieril.

(Parámetros Numéricos Aceptables, para modelar el Comportamiento No lineal de Vigas).

(Parámetros Numéricos Aceptables, para modelar el Comportamiento No lineal de Columnas).

TUTORIAL PUSHOVER ANALISIS

Introducción.

Esta porción nos introduce a las capacidades que tiene el programa ETABS para efectuar el análisis no lineal estático Pushover. Antes de entrar en esta parte del manual se recomienda que el lector haya leído los capítulos anteriores donde se describió detalladamente los procesos expuestos en FEMA 356 y ATC 40 para familiarizarse con los conceptos y procedimientos que requiere este tipo de análisis. En esta parte no vamos a entrar en el detalle de cómo crear el modelo desde el inicio, vamos a partir desde un modelo ya creado. Las características del modelo son las siguientes: El modelo de este ejemplo tiene las siguientes características: • Está estructurado por la combinación de vigas, columnas, escaleras y muros. Entre otras características podemos mencionar: Modelo de viga y muro curvo, columna con sección irregular y un hueco en la sección, columnas circulares, mallas para el análisis por elementos finitos, secciones no prismáticas. Hormigón – 4,000 psi, Acero – 60,000 psi, Espesor de las losas – 6”, 6 Pisos, Altura del Primer piso de 15’ y pisos restantes de 12’.

PROCESO PARA EL ANALISIS “PUSHOVER” Paso I: Definiendo las Propiedades no lineal de las secciones transversales o más bien las propiedades de las rotulas plásticas en las secciones, descritas por los diagramas de fuerza y deformación de cada sección. Menú Define > Frame Nonlinear Hinge Properties.  Default Hinge Properties (Propiedades por Defecto usadas por el Programa): Este tipo de rotula puede asignarse a elementos tipo Frame y el programa automáticamente genera diferentes rotulas para cada secciónsegún sus características. Estas propiedades no pueden visualizarse porque dependen de la sección transversal de cada elemento, luego de que usted asigna una rotula de este tipo a una sección transversal entonces el programa podrá generar las propiedades de esta rotula según las características de la sección, presionando la opción “Show Generated Props”, el programa se basa en los criterios expuestos en FEMA 356 y ATC 40, para generar las rotulas.

En nuestro caso vamos a usar las propiedades por defecto de

las rotulas para asignarla a nuestro modelo

 User – Defined Hinge Properties (Usar propiedades definidas): Este tipo de rotula puede asignarse a elementos tipo Frame. Esta puede generarse en base a las propiedades por defecto en este caso no se pueden visualizar o modificarse, estas también pueden definirse en su totalidad por el usuario, si desactivamos la opción “Default”.

Al deseleccionar la opción default y seleccionar “Modify/Show…” aparece el siguiente recuadro. Recuadro 1

Recuadro 2

Recuadro 3

Recuadro 1: Los Puntos (E-,D-,C-,B-),(A,B,C,D,E) se refieren a los mostrados en la siguiente grafica: Nota : En ETABS el desplazamiento en B, Siempre es igual a Cero, o sea las rotulas son “Rigid Plastic” por tanto este recuadro no puede desactivarse.

Cuando usted deselecciona el recuadro “Symmetric” usted puede darle valores diferentes a los que son simétricos por defecto en la parte inferior del diagrama. Si usted tiene seleccionada esta opción y modifica un valor en la parte positiva del diagrama automáticamente la parte negativa adquiere este mismo valor ya que usted tiene seleccionada la opción “Symmetric”. Note que este es un diagrama fuerza – deformación generalizado con un valor de la fuerza de fluencia igual a la unidad, Esfuerzo (F)/Esfuerzo Fluencia (Fy) = 1 quiere decir que en dicho punto el esfuerzo F (demanda) es igual al esfuerzo de fluencia (resistencia). Los valores que usted introduce en cada punto son multiplicados por el factor de escala que usted específica. De este modo se obtiene la fuerza y la deformación en cada punto. Por ejemplo: Si, Momento/SF = 1 en el punto B: Momento = SF x 1: Si, SF = esfuerzo de fluencia, entonces el Momento en dicho punto del diagrama será igual al momento de fluencia. Si Momento/SF = 1.25 en el punto C: Momento = SF x 1.25: Si SF = Esfuerzo de fluencia, entonces el Momento en dicho punto será

igual a 1.25 veces la fuerza de fluencia.

Con relación al diagrama Fuerza – Deformación. El punto B representa el punto de fluencia, la recta desde B hasta C, representa la deformación por endurecimiento y perdida de rigidez hasta el punto C, luego sigue una degradación de la resistencia hasta el Punto D, seguido por la pérdida total de la resistencia para soportar cargas de gravedad en el Punto E. El análisis de carga lateral debe iniciar a partir de un punto dentro de la pendiente A – B, para tomar en cuenta el efecto de las deformaciones que inducen las cargas de gravedad en la estructura. La pendiente desde A – B representa la rigidez inicial del elemento que es la secante definida por el valor del punto de fluencia. Está pendiente inicial representa el comportamiento antes del agrietamiento. La rigidez inicial agrietada se puede determinar según la tabla 9-3 de ATC 40. El punto B tiene resistencia igual a “Resistencia Nominal de Fluencia”. La pendiente desde B-C ignora el gravedad actuando a través de laterales. Está tomada aproximadamente entre inicial elástica.

efecto de la carga de los desplazamientos pendiente es 5% y 10% de la pendiente

El punto C corresponde a la “Resistencia deformación en este punto representa una significante degradación de la resistencia.

Nominal”

la

La caída de resistencia desde C-D representa la falla inicial del elemento, se asocia con fenómenos como fractura del refuerzo longitudinal, desprendimiento del concreto o falla súbita por cortante. La resistencia residual D-E debe ser asumida igual al 20%

de la Resistencia Nominal. El propósito de este segmento es permitir que los componentes del modelo que han perdido su capacidad ante carga lateral puedan aun ser capaces de resistir cargas de gravedad. El punto E define la máxima capacidad de deformación en el elemento, después de este punto el elemento pierde la capacidad de sostener cargas de gravedad.

Resistencia de los Componentes. Según ATC40 El punto C es igual a 1.25 Fy, donde Fy se calcula según los procedimientos del ACI 318 usando un ф =1. (9.5.4) El punto C y D es igual a 0.20 Fy (9.5.1) Construcción del Diagrama Fuerza – Deformación. 1) Calcular la Resistencia de fluencia del elemento según el Código ACI, usando ф = 1. ETABS asume que no hay deformación en este punto, por tanto no habrá una pendiente inicial elástica la sección se asume como “Rigida-Plastica”. 2) Calcular la resistencia nominal en el Punto C igual a 1.25 de la resistencia a fluencia. 3) Calcular la rotación en el punto C, usando las tablas de FEMA356 (6-7). 4) Calcular la resistencia en el punto D igual a 0.25 de la resistencia nominal. La rotación en este punto es la misma que en el punto C. 5) Calcular la rotación en el Punto E según las tablas FEMA 356. La resistencia en este punto es la misma que en el punto D. Recuadr o 2: Los recuadros “Used Yield Moment” (Resistencia a Fluencia) y “Used Yield Rotation” (Desplazamiento de Fluencia) son

activados por defecto, lo cual significa que se usara la fuerza y la deformación de fluencia como factor de escala o sea todos los valores serán multiplicados por este factor. El programa calcula automáticamente la fuerza y deformación de fluencia. Si usted desea introducir un valor de escala deberá deseleccionar este recuadro e introducir el valor deseado.

Recuadr o 3: Los criterios de aceptación se usan para indicar el estado de las rotulas asignadas, cuando se muestran los resultados del análisis, estos criterios no afectan el comportamiento de la estructura. Estos valores de aceptación se refieren a deformaciones, rotaciones y desplazamientos. Estos valores también se normalizan como se explico en la página 43. IO, La estructura puede ser ocupada inmediatamente. LS, Vidas humanas en Riesgo. CP, Prevención de Colapso. P, Elemento Estructural Primario. S, Elemento Estructural Secundario.

Criterio de Aceptabilidad Rotación Plástica = SF (Factor de Escala) x Rotación según las tablas de FEMA

Si estamos trabajando con rotulas axiales y de cortante estarán disponibles las opciones “Force Displacement” y “Stress – Strain” para controlar como el programa interpretara los datos introducidos en la grafica y en los criterios de aceptabilidad. También cuando activamos la opción “Stress – Strain” se activa la opción “Hinge Length” o “Relative Length”. Al activar el “Stress – Strain” el programa internamente los datos a esfuerzo y deformación.

transforma

Las propiedades generadas por el programa son usadas en el análisis, estas pueden mostrarse pero no pueden modificarse.

Paso II: Asignando las Rotulas a los elementos.

Propiedades

de

las

Nuestro objetivo es asignar “Default-PMM” a los extremos de las columnas, asignar “Default-M3” a los extremos de las vigas. Seleccionar todas las Columnas usando el método de selección que usted considere más apropiado (Se supone que el lector debe tener un conocimiento básico del uso de ETABS). Nota: Dado que la sección C3, fue creada con el “Section Designer” el programa no genera las propiedades de las rotulas plásticas de esta sección, por tanto no seleccione estas columnas ya que más adelante se explicara qué hacer en este caso.

Ir al Menú Assign > Frame/Line > Frame NonLinear Hinges, llene el recuadro según mostrado y presione Ok.

Nota: La distancia relativa es una medida desde los extremos del elemento y se basa en el claro libre entre la zona considerada como rígida en los extremos. Si colocamos “0” en un extremo significa que la rotula se ubicará en el inicio del elemento (I – end). Si colocamos “1” indica que la rotula será ubicada en el extremo final (J – end). Important e: Dado que la columna C3 es irregular y fue creada con el “Section Designer”, ETABS no genera propiedades de rotulas por defecto para secciones que no sean rectangulares o circulares. Debemos definir unas propiedades de rotula “User – Defined Hinge Properties”. Los datos del diagrama de iteración pueden ser tomados directamente del “Section Designer”.

Copie los datos del diagrama de Iteración y péguelo en Excel.

Nota : En la tabla de Excel eliminar las Curvas 2, 5 y la curva 8 en adelante, ya que no vamos a considerar estos angulos. Introduzca una columna al lado da cada momento M2, para computar el momento resultante como: Momento Resultante = M3 x SenƟ + M2 x CosƟ

Luego vamos al Menú Define > Frame Nonlinear Hinge Properties, seleccione Default-PMM y oprima Add New Property. Deseleccione la casilla Default y presione Modify/Show for PMM… En el siguiente recuadro:

Debemos introducir estas rotaciones directamente desde las tablas de FEMA 356.

Estos valores dependen del diagrama de Iteración, no deben modificarse

Ya que estamos introduciendo directamente la rotación dejamos este valor como 1.

Introducir según las tablas FEMA 356

Haga Click aquí y seleccione la opción “User Definition”,

introduzca los valores obtenidos del section design, usando no phi. En total vamos a introducir cinco curvas.

Nota: Vamos a llamar esta propiedad de rotula creada “PC3”. Seleccionar todas las columnas C3 > Ir al Menú Assign > Frame/Line > Frame NonLinear Hinges, llene el recuadro según mostrado y presione Ok.

Paso III: Seleccionar las vigas según se muestra en la grafica, excluyendo las vigas curvas y las vigas no prismática.

Ir al Menú Assign > Frame/Line > Frame NonLinear Hinges, llene el recuadro según mostrado y presione Ok.

Paso IV: Seleccionar las vigas curvas (solo los elemento que llegan a las columnas) según se muestra en la grafica. Extremos seleccionados

Paso V: Definir las rotulas para las vigas no prismáticas. En este caso podemos crear dos rotulas para la sección inicial y para la sección final. El objetivo es calcular el momento de fluencia para cada sección, luego definir las rotulas por separado

con estos valores para asignarla a los extremos de los elemento no prismáticos.

Sección (12” x 24”): Momento Yield = 103 Kip-ft Rotation Yiled = Calculado según FEMA Luego vamos al Menú Define > Frame Nonlinear Hinge Properties, seleccionar Default-M3 y oprimir Add New Property. Deseleccione la casilla Default y presione Modify/Show for M3…

Vamos a llamar a esta rotula HV31 correspondiente a la sección menor. Sección (12” x 36”): Momento Yield = 243 kip-ft Rotation Yiled = Calculado según FEMA

Vamos a llamar a estas rotulas HV31 y HV32 respectivamente. Paso VI: Asignar las rotulas a las vigas no prismáticas. Seleccione todas las vigas según se muestra.

Asigne las rotulas usando el Menu Assign > Frame/Hinge > Frame/NonLinear Hinge > llene según se muestra y presione Ok.

Paso VII: En este paso vamos a definir los casos de carga estáticos no lineales “Pushover”. • Caso para las cargas de gravedad: Ir al menú Define > Static NonLinear / Pushover Cases > Add New Case….

1. Load to Level Defined by Pattern: Cuando seleccionamos esta opción estamos diciendo al programa que analice la estructura usando solo la suma de todas las cargas que usted especifica en “Load Pattern” las cargas para este tipo de análisis deben ser de gravedad porque ya estas son conocidas. Este debe ser el primer caso de carga que debemos especificar para capturar el efecto de las cargas de gravedad sobre la estructura e iniciar el proceso de las cargas laterales a partir de este efecto. En este análisis se espera que todos los elementos permanezcan en su rango lineal.“La carga es aplicada desde cero hasta alcanzar el total de la carga que usted especificó en “Load Pattern”. Controlando desplazamiento:

el

Para controlar el desplazamiento usted tiene dos opciones: Seleccionar una componente de desplazamiento para monitorear esta componente o usar un desplazamiento generalizado. El control del desplazamiento no consiste en aplicar un desplazamiento prescrito como carga a la estructura, el control del desplazamiento es una simple medida del desplazamiento en un punto que resulta de la carga aplicada, esta carga se ajusta hasta alcanzar más o menos cierta medida de un desplazamiento que nosotros especificamos. 2. Push to Disp. Magnitude: Esta opción debe usarse para iniciar el patrón de carga lateral incremental en la estructura partiendo del caso anterior de gravedad. El patrón de carga lateral que se aplicara y se incrementara es el especificado en “Load Pattern”. En este caso la magnitud de la carga lateral no se conoce de antemano y se espera que la estructura pierda resistencia o se vuelva inestable. Cuando seleccionamos esta opción debemos introducir el valor

máximo del desplazamiento que alcanzara la estructura en el análisis. Por defecto ETABS usa 0.04 H, donde H es la altura total de la estructura.

Use Conjugate Disp. for Control: Este es una medida del desplazamiento generalizado, que se define como el trabajo conjugado del patrón de cargas laterales. Cada componente de desplazamiento se multiplica por la carga aplicada en este grado de libertad para todos los desplazamientos en todos los grados de libertad y los resultados se suman para obtener la localización del desplazamiento generalizado que es el desplazamiento mas sensitivo. En otras palabras es la medida del trabajo realizado por las cargas aplicadas. Se recomienda usar este medida de desplazamiento ya que es el desplazamiento más sensitivo para monitorear el análisis. No usar si usted ya conoce un desplazamiento en la estructura que pueda incrementar crecientemente durante el análisis a medida que se aplique la carga. La única desventaja es que usted no sabe la dirección del desplazamiento conjugado y puede usted entonces monitorear este bajo un patrón de carga que no está en la misma dirección que este desplazamiento. La carga lateral se va ajustando en cada paso hasta alcanzar aproximadamente el desplazamiento máximo que usted especifique. Monitor : En esta opción usted específica: La dirección del grado de libertad del desplazamiento monitoreado, el “label” del nodo a monitorear, y el piso donde se encuentra este nodo. Es importante que la dirección especificada este en la misma dirección de la carga lateral aplicada y que el nodo monitoreado sea sensitivo a desplazarse bajo estas cargas. Si esto no es posible usted necesitara dividir el análisis en dos o más casos secuenciales donde usted cambie el desplazamiento monitoreado en cada caso. Para evitar este se usa el

desplazamiento conjugado.

3. Star from Previous Case: Usted puede iniciar el análisis desde una condición inicial con cero desplazamientos y cero velocidad, ningún elemento estará bajo esfuerzo y no hay historial de deformaciones no lineal. Por otro lado usted puede continuar el análisis desde un caso previo, en este caso los desplazamientos, velocidades, esfuerzos, cargas, energía e historial de desplazamiento no lineal podrán considerarse desde el caso previo. 4. Member Unloading Method: Estas opciones son para manejar como el programa redistribuye la carga cuando una rotula tiene una descarga brusca de su capacidad (Cuando una rotula está entre C–D o E-F). La carga que estaba soportando la rotula deberá ser distribuida a los demás elementos que todavía tienen capacidad. No vamos a entrar en detalle pero si el programa arroja el error “UNABLE TO FIND A SOLUTION”, debemos cambiar de método. 5. Mínimos y Máximos Pasos Salvados: El numero mínimo y máximo de pasos salvados controla el número de puntos salvados en el análisis. Si el número mínimo de pasos salvados es muy pequeño puede ser que la curva de capacidad no se grafique adecuadamente. Sin embargo si es muy alto el número de pasos salvado puede consumirse mucho tiempo para desplegar los resultados. El programa determina automáticamente la longitud entre pasos a ser salvados como sigue: • Longitud Máxima entre pasos = (Desplazamiento Ultimo especificado) / Mínimo # de pasos salvados. • Si ocurre una descarga o evento en una rotula antes de la longitud máxima entonces se registra esta longitud y se salva este paso para continuar a partir de aquí con el

incremento máximo.

Ejempl o: Número Mínimo de Pasos: 6 Número Máximo de Pasos: 15 Desplazamiento Máximo (Target): 12”

Especificado

El máximo incremento será: 12/6 = 2”, los pasos será cada 2”, 4”, 6”… suponga que ocurre un evento antes de salvar el paso 8” en 7” el programa salvara este paso y seguirá el incremento en 7” + 2” = 9” ect…. Hasta alcanzar el máximo desplazamiento que se especifico igual a 12”. Nota: Si el análisis no alcanza el desplazamiento máximo usted deberá aumentar “Maximun Saved Steps”. 6. Máximo Null Steps: Un paso es nulo cuando falla una rotula. Por tanto si usted especifica un número muy alto está permitiendo que el análisis continúe mas tiempo aunque la estructura haya sufrido un colapso, si usted no quiere que termine el análisis puede colocar en esta casilla la cantidad total máxima de pasos. 7. Maximun Iterations Per Steps: Las iteraciones son usadas para asegurarnos de que se alcance el equilibrio en cada paso en el análisis. El programa usa “Newton-Raphson” y “Constant- Stiffness”. Si usted coloca cero el programa automáticamente determina el numero y el tipo de iteración permitida. 8. Iteration Convergence Tolerance: Es la tolerancia que habrá entre la magnitud de la fuerza de

iteración entre la magnitud de la fuerza que actúa sobre la estructura. Mientras mas pequeño es este valor los resultados serán más exactos. 9. Event Tolerance: El valor 0.01 es apropiado.

10.Geometric Nonlinearity Effects. None: Todas las ecuaciones de equilibrio son considerando el estado no deformado de la estructura. P-delta: Las ecuaciones de equilibrio toman en cuenta la configuración deformada de la estructura en la formulación de las ecuaciones. P-delta and Large Displacements: Las ecuaciones de equilibrio toman en cuenta la configuración deformada de la estructura en la formulación de las ecuaciones, cuando la estructura se desplaza más de su rango elástico.

• Caso para las carga lateral en dirección X: Vamos a monitorear el punto 3 (ver el label en la opción Set Building View). Lo ideal hubiese sido crear un label en el centro de masa y monitorear este punto.

• Caso para las carga lateral en dirección Y:

Paso VIII: En este paso vamos a correr el análisis “Pushover”. 1. Luego de haber diseñado la estructura Ir al Menú Analyze > Run Static NonLinear Analysis.

2. Viendo la deformada y la secuencia de formación de rotulas. Para ver la deformada hacer click en la opción luego seleccione el caso de carga PEQX y presiones OK. Esto desplegara la deformada de la carga incremental en la dirección X. Usted puede animar la deformación o pasar de un paso a otro en la formación incremental de rotulas con la siguiente opción:

Si hacemos Clic en un nodo desplazamiento en dicho nodo.

podremos

visualizar

el

Para interpretar en que rango de deformación se encuentra cada rotula el programa muestra una barra como esta:

La siguiente grafica muestra el significado de estos colores.

Estos colores van cambiando a medida que usted cambia de un paso a otro ya que la carga va incrementando y los elementos responden con una deformación cada vez mayor hasta incursionar en su rango no lineal. Nota: Cuando una rotula alcanza el punto C esta inicia un proceso donde la fuerza en la rotula va reduciendo, el programa entonces hace consistente la fuerza en el punto C reduciendo el cortante en la base, al reducir este cortante los demás elementos también se descargan por tanto el desplazamiento en la estructura se reduce. Una vez la rotula alcanza el punto D, el cortante en la base se vuelve a incrementar.

3. Fuerza en los elementos. Al igual que la deformación es posible ver la fuerza en los elemento en cada paso en el análisis Pushover. Para ver la fuerza hacer click en la opción luego seleccione Frame/Pier/Spandrel Force…. Seleccione el caso de carga PEQX y presiones OK. Esto desplegara la el momento de la carga incremental en la dirección X en cada paso.

Si hacemos Clic derecho en cualquier elemento tendremos el diagrama más detallado.

4. Curva de Capa cidad V vs ∆, C urva de Capacidad Espe ctral vs Curva de Demanda Espectral. Ir al menú Display > Show Static Pushover Curve • Curva de Capacidad Lateral V vs ∆ en la dirección X.

La grafica muestra la relación entre el incremento del desplazamiento monitoreado y el incremento del cortante en la base. Colocando el curso en cualquier punto de la grafica podemos ver los distintos valores. El color de esta grafica puede modificarse por defecto es verde.

• Curva de Capacidad Espectral vs Curva de Demanda Espectral en la dirección X.

Para que el programa convierta la curva de capacidad V vs ∆ a una curva de capacidad espectral Sa (Aceleración Espectral) vs Sd (Desplazamiento Espectral) formato ADRS, solo tenemos que hacer Clic en la opción “Capacity Spectrum”. El proceso para efectuar esta conversión se describe en detalle en la página 21 de este manual. El programa también grafica la Demanda Sísmica por medio de la grafica del espectro de respuesta. Esta demanda depende de los coeficientes Ca y Cv. Estos coeficientes dependen de la zona sísmica (Tabla 16Q y 16R del Código UBC 97).

El programa crea automáticamente el espectro de Demanda para un 5% de amortiguamiento según el código. Luego crea otra familia de Demanda reducida por un factor que toma en consideración la capacidad adicional que puede poseer la estructura de disipar energía sísmica representada por los lazos de histéresis de la curva de capacidad espectral.

Estos parámetros de amortiguamiento son usados para generar distintas graficas de demanda con distintos amortiguamientos. El amortiguamiento de 5% es usado para calcular los factores de reducción SRa y SRv que usa el programa para reducir el espectro de demanda por medio de la suma entre el amortiguamiento inherente y el amortiguamiento histeretico reducido por un factor. Esto se explica en detalle en las páginas 24 a 27 de este manual. Si colocamos cero en uno de estos recuadros se omite el espectro reducido correspondiente a este amortiguamiento. Si desactivamos “Show Family of Demand Spectra” todos los espectros de demanda desaparecen.

La opción “Show Single Demand Spectrum” representa el espectro de demanda reducido que interceptado con el espectro de capacidad será el punto de desempeño o máxima respuesta de la estructura.

El programa reduce el espectro como sigue:

Línea Radial de Periodo Constante. Uno de los puntos del espectro reducido que va a definir el Punto de desempeño o respuesta máxima. Curva de Capacidad Espectral Espectro reducido con los factores SRa y SRV “Usando el amortiguamiento debajo de la curva. Punto Arbitrario.

Amortiguamiento, Basado en el Punto arbitrario.

Este proceso debe efectuarse para cada punto sobre la curva de capacidad espectral trazando varias líneas radiales de periodo constante. Este es un proceso iterativo; cuando el espectro de demanda reducido pasa a través del punto asumido se obtiene la respuesta máxima de la estructura.

La opción “Show Constant Period Lines at” representa el periodo en formato ADRS para cada espectro de demanda.

Según visto en la página 26 el amortiguamiento efectivo es definido como: Βeff +5

=

κ βo

El término Bo el programa lo calcula automáticamente, el 5 es el amortiguamiento inherente. La opción “Damping Parameters” es usada cuando usted sabe que hay algún dispositivo que provee un amortiguamiento adicional a la estructura, este amortiguamiento debe ser introducido como inherente. Por ejemplo si el amortiguamiento inherente de la estructura es 0.05 y usted tiene algunos dispositivos que proporcionan un amortiguamiento de 0.06, entonces usted debe colocar en este recuadro 0.11. Si usted tiene incluido en el modelo matemático un elemento amortiguador “NLLink” en el análisis pushover este elemento se considera como un elemento lineal con rigidez (KE) y el amortiguamiento de este viene dado por el Coeficiente (CE) que junto al periodo efectivo es usado para calcular el amortiguamiento inherente adicional. El programa inserta este automáticamente.

Las letras A, B, C definen el tipo de comportamiento estructural. El comportamiento estructural es usado para que el programa calcule el factor κ que reduce el área calculada del amortiguamiento histeretico.

Si se desea estos valores pueden introducirse para que el programa genere la grafica (Figura 8-15 ATC 40).

Sobre el autor El Ingeniero Aneuris Hernández Vélez completo su bachillerato en la Universidad Nacional Pedro Henríquez Ureña (UNPHU) el año 2004. Su tesis se titula “Estudio estructural basado en la comparación de la respuesta estática, lineal y no lineal en torres localizadas en Santo Domingo”. Posteriormente, obtuvo una Maestría en Ingeniería Civil con especialidad en Estructuras en el año 2009 con su proyecto titulado “Evaluación Sísmica y Rehabilitación de Estructuras Existentes” enfocado básicamente en el análisis “Pushover” no lineal. Además en la actualidad se desempeña como ingeniero en la Autoridad de Carreteras y Transportación de Puerto Rico en la Oficina de Ingeniería de Puentes. El ingeniero Aneuris ha trabajado en proyectos de construcción de puentes y carreteras de más de 40 millones de dólares, también ha impartido cursos y seminarios de ingeniería estructural usando los software de diseño más poderosos en el mercado “ETABS, SAP2000 y SAFE”. Actualmente es Dealer Autorizado en Puerto Rico de CSI.