Manual Nepohualtzintzin Completo

Manual de Introducción y ejercicios para Nepohualtzintzin. Fecha:

MANUAL DE USO Y EJERCICIOS DEL NEPOHUALTZINTZIN (Abaco Azteca). INTRODUCCIÓN. Diversas formas de escritura numérica surgieron en diferentes culturas del mundo, mostrando distintas maneras de simbolizar cantidades y creando distintos sistemas de numeración. Quienes mostraron una especial capacidad matemática fueron indudablemente los ancestrales pueblos mesoamericanos, es decir, Olmeca, Maya, Tolteca, Zapoteca e Inca, sin descartar a los demás. Estos matemáticos ancestrales aplicaron suma atención en la observación de los fenómenos en la bóveda celeste, así como los ciclos terrestres y nos legaron el calendario más exacto del mundo y con ello el esplendor en matemáticas y astronomía. Desde la cultura Olmeca, encontramos numerales compuestos de puntos y barras, pero es en la cultura Maya donde la matemática adquiere características de rango superior. El sistema matemático de Mesoamérica muestra al mundo un alto sentido de racionalización en una estructura sencilla, claramente lógica y completa, que demuestra en un sistema vigesimal, el cual establece una numeración posicional que hizo prevalecer formas de computación por milenios. Este desarrollo posicional se logra gracias a la prodigiosa invención del CERO, abstracción sin precedentes en la Cultura Universal. Usado por Olmecas, Mayas, Toltecas, Incas y Zapotecas -y otros pueblos ancestrales- el sistema de cálculo matemático siguió vigente hasta localizarlo entre los Aztekas, quienes le dieron el nombre de Nepohualtzintzin, que significa “Venerables Cuentecitas” y es un aparato sencillo que permite hacer todo tipo de cálculos matemáticos, desde los muy sencillos hasta los muy complejos y alcanzar cifras astronómicas sin mayores complicaciones. El modelo de los matemáticos ancestrales de Mesoamérica fue el cuerpo humano con sus trece articulaciones mayores y sus veinte dedos. La relación 13 : 20 en base a la cual se estructuró la astronomía más precisa del mundo hace del Nepohualtzintzin un modelo antropo matemático cósmico. Debido a que actualmente nos regimos por el sistema decimal, no usaremos el sistema vigesimal en el cual fue originalmente pensado el diseño del calculador. Las cuentas de nuestro Nepohualtzintzin pueden ser de conchas marinas, oro, plata, barro, plástico, jade u otras piedras preciosas o semipreciosas, pueden tener formas variadas como nudos, anillos, cubos, esferas o figuras artísticas como cráneos o semillas. Luego de esta brevísima semblanza históricofilosófica, pasaremos directamente al conocimiento de la estructura del Nepohualtzintzin.

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CÓMO ESCRIBIR CIFRAS EN EL NEPOHUALTZINTZIN. El número que se anota en el Nepohualtzintzin se debe decir en voz alta simultáneamente a su escritura, por ejemplo: ciento ochenta y nueve millones setecientos mil ciento sesenta y dos. En ningún caso lea los números de forma aislada en su valor absoluto como hacen los principiantes: uno – ocho – nueve – siete – cero – cero – uno – seis – dos. Lea los números tal y como los dice naturalmente. Es precisa la lectura correcta para la exacta situación mental de los números. Es fundamental acostumbrarnos a hacer bien las cosas desde el principio y progresar lentamente pero del modo adecuado. Carece de sentido querer apresurarse a realizar operaciones cuando la escritura aún resulta un reto, así evitaremos eliminar posteriormente vicios de uso debidos a un apresurado y deficiente aprendizaje. EJERCICIOS DE ESCRITURA. Escriba en el Nepohualtzintzin los siguientes números, leyéndolos a la vez correctamente en voz alta mientras los escribe. Cuando el número esté escrito en el Nepohualtzintzin, léalo y compruebe si se ha equivocado en alguna cifra. Escriba todos los números siguientes tantas veces como sea necesario, hasta que pueda hacerlo con soltura.

Nombre:

407

935

528

198

900

784

897

679

5 349

3 291

9 524

3 046

3 893

9 187

4 218

5 326

35 000 002

40 000 548

123 456 789

61 194 219

10 000 000

5 314 735

3 002 658

43 513 079

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53 968 799

84 879 578

65 610 000

89 012 907

59 000 001

61 280 009

505 105 001

18 152 601

10 000 111

14 899 393

48 831 148

59 766 666

4 587 930

1 355

86 229 981

200 001

35 201 911

458 665

1 025 327

12 222 977

6 251 028

1 223 588

694 009

3 581 117

633 999

32 154

31 999 158

3 654 663

98 789 308

18 770 809

21 545 654

3 845 484

893 871

9 999 222

14 556 093

32 455 002

LA SUMA. Ahora que tenemos el dominio de la escritura en el Nepohualtzintzin, pasaremos a un tema de capital importancia, la Suma. Comprender perfectamente los mecanismos de la suma nos permitirá no sólo sumar sino también restar (operación inversa), multiplicar (sumas repetidas), dividir (restas repetidas), obtener raíces cuadradas, etc. Por lo tanto el estudio de es ser ordenado y en profundidad, y no se debería pasar al tema siguiente sin poder hacer cualquier suma con soltura y seguridad sin importar cuán compleja esta pueda llegar a ser. Sumas Sencillas. Sumas

sencillas son aquellas en las que al sumar cada cifra en su columna correspondiente el total es igual o inferior a 9 en el sistema decimal (19 en el sistemavigesimal). Un gran beneficio al realizar una suma sencilla en el Nepohualtzintzin es que al escribir un número sobre otro que ya está anotado, se realiza la suma por sí misma y el resultado es inmediato. Intente el siguiente ejemplo: 1 231 + 115 + 5 100 = 6446. Ahora practiquemos los siguientes ejercicios de Sumas Sencillas. Haga las siguientes sumas con precisión y paciencia tantas veces como necesite, hasta que las realice con rapidez y seguridad. Puede variar el orden de los sumandos si necesita práctica adicional. No haga otro tipo de sumas hasta hacer con fluidez estas sumas sencillas. 123 155 100 +510 888

456 011 011 510 988

216 100 10 +511 837

800 006 000 020 826

111 200 555 +120 986

111 560 111 107 889

150 100 24 +605 879

812 071 000 111 994

172 100 17 +500 789

110 666 110 000 886

550 102 36 +201 889

250 102 626 020 998

12 650 111 +106 879

300 001 021 561 883

Sumas Complejas. A veces al intentar sumar una cifra en una columna del Nepohualtzitzin, no se puede directamente acercar a la Barra de Conteo (Barra Central) el número de cuentas deseado, como se hizo en las Sumas Sencillas, para ello aprenderemos a manejar equivalencias, entre cuentas de acuerdo a su valor relativo y a convertirlas, transformarlas o ajustarlas de

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diversas maneras. Esto lo veremos de forma práctica en el ejercicio básico del Nepohualtzintzin que denominamos Suma Sucesiva y consiste en sumar: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 El primer ejercicio de suma sucesiva es del 1 al 10, realice con atención y detenimiento el ejercicio y repítalo las veces que necesite, hasta dominarlo. Una vez que haya dominado la suma sucesiva hasta el 10, el siguiente paso consistirá en sumar sucesivamente hasta el 20, así: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 210 La siguiente tabla contiene las observaciones producto de la realización lúcida de las anteriores sumas sucesivas. En ella están resumidas todas las variables que se nos pueden presentar al efectuar cualquier suma. SUMAR 1 2 3 4 5

ES LO MISMO QUE Sumar 5 y restar 4 Sumar 5 y restar 3 Sumar 5 y restar 2 Sumar 5 y restar 1 Sumar 5

ES LO MISMO QUE Sumar 10 y restar 9 Sumar 10 y restar 8 Sumar 10 y restar 7 Sumar 10 y restar 6 Sumar 10 y restar 5

EJERCICIOS DE SUMAS COMPLEJAS. A pesar de que los siguientes ejercicios le puedan parecer poco útiles, nada más lejos de la realidad. Por ningún motivo deje de hacerlos ya que aunque aparentan ser tediosos son la base imprescindible en el aprendizaje de la suma. 9 +9 19 9 +4 14 8 +7 16 8 +2 11 7 +3 11

999 999 998 999 444 443 888 777 665 888 222 110 777 333 110

9 +8 18 9 +3 13 8 +6 15 7 +7 15 6 +6 13 47 626 371 94 493 374 26 242 464

Nombre:

999 888 887 999 333 332 888 666 554 777 777 554 666 666 332

9 +7 17 9 +2 12 8 +5 14 7 +6 14 6 +5 12

999 777 776 999 222 221 888 555 443 777 666 443 666 555 221

16 751 135 97 043 382 87 450 467

9 +6 16 9 +1 11 8 +4 13 7 +5 13 6 +4 11

999 666 665 999 111 110 888 444 332 777 555 332 666 444 110

9 +5 15 8 +8 17 8 +3 12 7 +4 12 5 +5 11

999 555 554 888 888 776 888 333 221 777 444 221 555 555 110

36 077 301 36 447 527 49 548 323 Fecha: Página 4

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+59 816 753 228 178 962 123 456 789 123 456 789 123 456 + 789 4 104

741 852 963 741 852 963 741 852 + 963 7 668

+64 523 585 265 768 569 111 222 333 444 555 666 777 888 + 999 4 995

251 514 64 863 253 350 134 6 + 266 2 701

+37 377 548 159 450 699 477 491 910 412 218 970 155 85 + 344 4 062

455 594 214 570 326 773 537 861 + 799 4 929

Práctica Adicional. a) Sume ahora 10 veces 111 111 para obtener 1 111 110. b) Haga los mismo para los números 222 222, 333 333, etc. hasta 999 999 para dar 9 999 990. c) Ahora sume 10 veces 123 456 789 para obtener 1 234 567 890. d) Haga lo mismo para al número 987 654 321 para obtener 9 876 543 210. Estos dos últimos ejercicios son ideales para obtener agilidad en el cálculo. Practíquelos frecuentemente. Sume los números del comprobante de pago del supermercado, los números telefónicos de su agenda, etc. o escriba números al azar y súmelos. La práctica diaria es la clave del éxito en el aprendizaje. Sumas abreviadas. Seguramente ya se habrá dado cuenta de que algunas sumas son mucho más fáciles de hacer de modo indirecto. Por ejemplo, si queremos sumar 1 237 + 9 999 = 11 236 se puede hacer más fácilmente en el Nepohualtzintzin sumando 10 000 y restando 1 en vez de sumar directamente 9 999, así: 1 237 + 10 000 – 1 = 11 236. Otro ejemplo: 2 368 + 198 = 2 566. Se puede hacer más fácilmente sumando 200 y restando 2 en vez de sumar 198, así: 2 368 + 200 – 2 = 2 566. Pruebe a hacer las sumas anteriores en el Nepohualtzintzin de ambas formas. Cuando conozca perfectamente la resta, entonces podrá abordar las sumas abreviadas de modo provechoso. Tras adquirir la soltura que le permita hacer cualquier suma que se le presente por compleja que sea, podrá pasar al tema siguiente. LA RESTA. Esta operación es justo la contraria de la suma, por lo que en vez de acercar las cuentas a la barra central, para restar las separaremos. Restas Sencillas. Una resta es sencilla si en cada una de las varillas del Nepohualtzintzin, la cifra del minuendo es mayor que la del sustraendo y se puede hacer la resta con un simple movimiento de los dedos índice y pulgar alejando las cuentas necesarias de la barra central. Ejemplo: 68 279 – 56 163 = 12 116. EJERCICIOS DE RESTAS SENCILLAS. Haga las siguientes restas sencillas varias veces hasta hacerlas con fluidez. 21 658 -11 502 10 156

Nombre:

82 891 -51 790 31 101

34 569 -13 057 21 512

68 984 -55 582 13 402

92 353 -71 251 21 102

14 993 -11 861 3 132

74 423 -14 120 60 303

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Restas Complejas. Una resta es compleja cuando no se puede efectuar simplemente separando cuentas de la barra central para cada columna y debemos usar combinaciones de sumas y restas en varias varillas para llevarlas a cabo. Para observar la mecánica de la resta en todas sus variables, realizaremos un ejercicio de Resta Sucesiva, partiendo de los ejercicios ya realizados. 55 – 10 – 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 = 0 Una vez que domine la resta anterior, puede practicar la siguiente. 210 – 20 – 19 – 18 – 17 – 16 – 15 – 14 – 13 – 12 – 11 – 10 – 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 = 0 Como en el caso de las sumas complejas se resumirán en una tabla todas las variables observadas en la resta para efectuar operaciones sea cual sea el valor del sustraendo y en todas las columnas del Nepohualtzintzin. RESTA R 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ES LO MISMO QUE

ES LO MISMO QUE

Restar Restar Restar Restar Restar Restar Restar Restar Restar

Restar Restar Restar Restar Restar Restar Restar Restar Restar

5 5 5 5 5 6 7 8 9

y y y y

sumar sumar sumar sumar

4 3 2 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10

y y y y y y y y y

sumar sumar sumar sumar sumar sumar sumar sumar sumar

9 8 7 6 5 4 3 2 1

EJERCICIOS DE RESTAS COMPLEJAS. Usaremos los ejercicios de sumas del tema anterior y tras anotar en el Nepohualtzintzin el resultado final de las sumas, restaremos uno a uno los sumandos hasta llegar al resultado final, cero. Un excelente ejercicio es efectuar la suma e inmediatamente la resta, con lo que además de practicar ambas operaciones se comprueba fácilmente si se han cometido errores en caso de que el resultado final no sea cero. La suma y la resta son, esencialmente, todas las operaciones aritméticas existentes, dado que la multiplicación y potenciación son derivaciones de la suma; y la división, raíz cuadrada y raíz cúbica lo son de la resta. En cuanto tenga el dominio de sumas y restas, estará usted listo para pasar al siguiente tema. LA MULTIPLICACIÓN Y LAS TABLAS DE MULTIPLICAR. Multiplicar no es otra cosa que sumar varias veces una misma cantidad. Multiplicar 5 X 7 es equivalente a sumar 5 veces 7. En la multiplicación, es importante tener paciencia para hacer la suma sucesiva del multiplicando las veces que nos lo indique el multiplicador. La multiplicación requiere que usemos el razonamiento aritmético y criterio de proximidad numérica así como un preciso dominio preciso de los valores numéricos posicionales relativos en el Nepohualtzintzin al multiplicar por decenas, centenas, millares, etc. Una a una examinaremos las variables que nos presenta la multiplicación en el Nepohualtzintzin. Las Tablas de Multiplicar. Al multiplicar unidades, es decir, por 1 y hasta el 9. Simplemente sumamos sucesivamente el número de veces que nos indique el multiplicador. Arriba vimos el Nombre:

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ejemplo de 5 X 7 que equivale a sumar 5 veces 7, es decir: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 y cuyo resultado es igual a 35. Es recomendable realizar multiplicaciones por unidades AUNQUE se hayan memorizado las tablas de multiplicar, ya que esto nos permite, por una parte, tener plena racionalización de la naturaleza de la multiplicación y por otra parte, realizar la gimnasia cerebral propia de la suma sucesiva de una misma cantidad, habilidad que es sumamente valiosa en nuestro acervo de competencias matemáticas. Las tablas resultan ser todo un descubrimiento al realizarlas en el Nepohualtzintzin, descubra la mecánica de las tablas y déjese asombrar llevando las tablas hasta el 20 en lugar de terminar en el 10, hacer este ejercicio aporta gran seguridad al practicante en cuanto a su dominio de la aritmética. VARIABLES EN LA MULTIPLICACIÓN. Recorrerse en las Columnas. Multiplicar por 10 0 por 100 es simple, sólo hemos de recorrernos UNA COLUMNA HACIA LA IZQUIERDA en caso de multiplicar por 10 o DOS COLUMNAS HACIA LA IZQUIERDA al multiplicar por 100 y así sucesivamente. Por ejemplo, 9 X 10. 1) Escribimos el número 9 en el Nepohualtzintzin. Para multiplicarlo por 10, recorremos el nueve UNA COLUMNA HACIA LA IZQUIERDA dejando la columna de las unidades en cero y automáticamente tenemos el resultado exacto. 2) 9 X 100. Escribo el 9 y me recorro DOS COLUMNAS a la izquierda. Veamos otro ejemplo, 27 X 10. Escribimos el 27 y lo recorremos UNA COLUMNA HACIA LA IZQUIERDA dejando la columna de las unidades en cero. Para multiplicar por cien serán dos columnas, por mil, tres columnas, por diez mil cuatro y así sucesivamente. Ejercicio. Practique escribir las siguientes cantidades, multiplicarlas por 10 y por 100 para luego leer directamente de su Nepohualtzintzin el resultado en voz alta. 94 X 10 = 940 94 X 100 = 9 400

32 X 10 = 320 32 X 100 = 3 200

346 X 10 = 3 460 346 X 100 = 34 600

854 X 10 = 8 540 85 X 400 = 85 400

El paso anterior es simple, nuestro siguiente paso en el dominio de la multiplicación en el Nepohualtzintzin será multiplicar por el resto de las decenas exactas, es decir, por 20, 30, 40… hasta el 90. Por ejemplo: 3 X 20 para realizar ésta multiplicación: 1) Multiplicamos por 10 recorriéndonos UNA columna hacia la izquierda. El siguiente paso será sumar otra vez el número tres EN LA COLUMNA DE LAS DECENAS, que es en la que estamos situados. Obteniendo como resultado un número 6 en la columna de las decenas y un número cero en la columna de las unidades, es decir, el número 60 el cual es el resultado de 3 X 20. Si nuestra multiplicación es 8 X 20: 1) Escribimos el 8 y lo recorremos una columna. 2) Sumamos otro 8 en la columna de las decenas. Como hemos aprendido en nuestros ejercicios de sumas y restas ya realizados, nuestro resultado se extenderá a la siguiente columna –la de las centenas- por lo tanto nuestro resultado será un número 1 en la columna de las centenas, un número 6 en la de las decenas y un 0 en unidades. Resultado 8 X 20 = 160. Ejercicio. Practique escribir las siguientes cantidades, multiplicarlas por 20 y leer el resultado en voz alta. 94 X 20 = 1 880 11 X 20 = 220

77 X 20 = 1 540 48 X 20 = 960

328 X 20 = 6 560 690 X 20 = 13 800

346 X 20 = 6 920 108 X 20 = 2 160

Ahora que hemos comprendido y dominado la multiplicación por 10 y por 20, no resta sino ejercitar, pacientemente, nuestra nueva habilidad en el Nepohualtzintzin multiplicando por 30, 40, 50, 60, 70, 80 y 90. Nombre:

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Ejercicios de multiplicación por Decenas. 32 X 30 = 96 X 30 = 2 18 X 40 = 55 X 40 = 2 21 X 50 = 1 49 X 50 = 2 11 X 60 = 78 X 60 = 4 23 X 70 = 1 76 X 70 = 5 81 X 80 = 6 44 X 80 = 3 45 X 90 = 4 86 X 90 = 7

960 880 720 200 050 450 660 680 610 320 480 520 050 740

20 X 30 = 28 X 30 = 86 X 40 = 3 53 X 40 = 2 18 X 50 = 71 X 50 = 3 93 X 60 = 5 73 X 60 = 4 62 X 70 = 4 48 X 70 = 3 89 X 80 = 7 31 X 80 = 2 24 X 90 = 2 98 X 90 = 8

600 840 440 120 900 550 580 380 340 360 120 480 160 820

325 X 30 = 9 600 X 30 = 18 789 X 40 = 31 567 X 40 = 22 987 X 50 = 49 300 X 50 = 15 323 X 60 = 19 109 X 60 = 6 892 X 70 = 62 221 X 70 = 15 999 X 80 = 79 287 X 80 = 22 635 X 90 = 57 304 X 90 = 27

750 000 560 680 350 000 380 540 440 470 920 960 150 360

738 X 30 = 22 756 X 30 = 22 550 X 40 = 22 289 X 40 = 11 342 X 50 = 17 101 X 50 = 5 329 X 60 = 19 375 X 60 = 22 354 X 70 = 24 723 X 70 = 50 442 X 80 = 35 611 X 80 = 48 672 X 90 = 60 227 X 90 = 20

140 680 000 560 100 050 740 500 780 610 360 880 480 430

¡Felicidades por haber realizado pacientemente sus multiplicaciones por decenas completas! Ahora es momento de aprender a multiplicar usando decenas combinadas con unidades. Recorrerse según el Multiplicador. Comencemos directamente con una multiplicación 13 x 24. 1) Escribo en mi Nepohualtintzin el número 13 y lo recorro una columna hacia la derecha, así lo tengo multiplicado por 10. 2) Sumo nuevamente 13 en la columna a la cual recorrí mi número, así lo he multiplicado por 20 y he terminado de multiplicar las DECENAS. 3) Ahora debo multiplicar las 4 unidades de mi multiplicador y eso lo hago en la columna de las UNIDADES, es decir, simplemente sumo 4 veces 13 en su posición natural. El camino recorrido fue (13 X 10) + (13 X 10) + 13 + 13 + 13 + 13 = 312. Veamos otro ejemplo: 57 X 42. 1) Escribo en mi Nepohualtzintzin 57, lo recorro una columna y sumo otras 3 veces 57 en esa misma columna, así lo tengo multiplicado por 40. 2) Sumo 2 veces 57 en la posición de unidades y el resultado es. 57 X 42 = 2 394. Aproximarse y Recorrerse. Intentemos ahora la siguiente multiplicación: 17 X 38. 1) Escribo 17 y lo recorro una columna hacia la izquierda para luego sumarle TRES veces más 17, así lo he multiplicado por 40, sin embargo, mi multiplicación es sólo por 38, de manera que ahora tendré que RESTAR DOS VECES 17 a fin de obtener el resultado, esto equivale a: (17 X 40) – 17 – 17 y el resultado es: 17 X 38 = 646. Hagamos un caso diferente de Aproximarse y Recorrerse. 31 X 98. 1) Escribo 31 en mi Nepohualtzintizn y lo recorro DOS COLUMNAS hacia la izquierda, así lo he multiplicado por CIEN. 2) Ahora, simplemente resto dos veces 31 en la columna de la unidades, esto equivale a la siguiente operación 31 X 100 – 31 – 31 y el resultado es 31 X 98 = 3 038. Aproximarse a 50. Nombre:

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El siguiente ejercicio consiste en ver una forma simple de multiplicar por 50 y que puede ser usado para aproximarnos a un multiplicando cercano a esta cantidad. Digamos que tenemos la siguiente operación 26 X 52. En lugar de multiplicar 5 veces por 10 y después 2, haremos lo siguiente: 1) Recorremos el 26 DOS COLUMNAS hacia la izquierda y así lo habremos multiplicado por cien (porque agregamos dos ceros), eso es 2 600. 2) Posteriormente dividimos por mitad la cantidad EN CADA COLUMNA. Tendríamos en este caso en una columna 2 y en la otra 6, la mitad de 2 es 1 y la mitad de 6 es 3 y el resultado sería 1 300 que es la mitad de 2 600 y al mismo tiempo es el resultado de multiplicar 26 X 50. Así nos hemos aproximado al multiplicador deseado. 3) Sólo nos falta multiplicar dos unidades que sumaremos en la columna de las unidades y así obtendremos el resultado deseado 26 X 52 = 1 352 Un ejemplo más de aproximación a 50 es la siguiente operación: 84 X 63. 1) Escribimos 84 en nuestro Nepohualtzintzin y lo recorremos DOS COLUMNAS para tenerlo multiplicado por cien, es decir 8 400. 2) Le sacamos la mitad, mitad de 8 es 4 y mitad de 4 es 2 y nos quedan 4 200 y ya tenemos 84 multiplicado por 50. 3) El siguiente paso es sumarle 10 veces 84 lo cual logramos simplemente escribiendo el 840 y así tendremos 84 X 60. 4) Finalmente sumamos tres veces 84 y así habremos multiplicado 84 X 63 = 5 292. Hagamos ahora una aproximación del último de los casos necesarios para realizar una multiplicación en el Nepohualtzintzin y que es la aproximación a un número que tiene como multiplicando números nones. 39 X 59. 1) Escribo 39 y lo recorro dos columnas a la izquierda, así lo he multiplicado por cien. 2) Obtengo su mitad, mitad de 3 = 1.5, escribo el número 1 en la misma columna a la cual se recorrió el 3 y el 0.5 A SU LADO DERECHO con una cuenta de valor 5 y, entonces, obtengo la mitad de 9 que equivale a 4.5, escribo el 4 en la misma columna donde tenía el 9 y el 0.5 en la columna A SU DERECHA, lo cual dejaría en mi Nepohualtzintzin la siguiente cantidad 1 950, lo cual corresponde a la mitad de 3 900 y a su vez es el resultado de la multiplicación de 39 X 50. 3) Escribo 39 recorrido UNA COLUMNA hacia la izquierda (multiplicado por 10), es decir 390 y así obtengo lo que sería 39 X 60, para finalmente 4) Restar UNA VEZ 39 en la posición de las unidades. El camino que hemos seguido para realizar esta operación es el siguiente: (39 X 100) – (39 X 50) + (39 X 10) – (39 X 1) = 39 X 59 = 2301. Un segundo ejemplo 15 X 53. 1) Escribo 15 en mi Nepohualtzintzin y le agrego dos ceros. 2) Obtengo su mitad, mitad de 1 = 0.5 que escribo en la siguiente columna A LA DERECHA y después calculo la mitad de 5 = 2.5, escribo el 2 en la misma columna en la que tenía el 5 y el 0.5 en la subsecuente columna A LA DERECHA. La cantidad que entonces obtengo es 750 que equivale a 15 X 50. 3) Sumo tres veces 15 en su posición natural. Y obtengo el resultado 15 X 53 = 795. Recapitulo el camino que seguí (15 x 100) – (15 X 50) + (15 + 15 + 15) = 15 X 53 = 795. Es importante mencionar que, aunque el proceso de multiplicación pudiera parecer largo, al realizar cada uno de los pasos anteriores, estaremos ejercitando nuestro razonamiento aritmético y comprensión del VALOR relativo y, siendo el Nepohualtzintzin un aparato, las cualidades del pensamiento antes mencionadas se objetivan, permitiendo al usuario una plena integración de las mismas en un esquema que le será de enorme utilidad por el resto de su vida. Habiendo concluido el tema de la multiplicación con todos sus casos y variantes, procedamos a realizar la rigurosa y paciente práctica que nos llevará a su dominio. EJERCICIOS DE MULTIPLICACIÓN. 26 X 64 = 1 664 Nombre:

98 X 77 = 7 546

80 X 79 = 6 320

17 X 13 = 221 Fecha: Página 9

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38 X 17 = 82 X 73 = 5 15 X 46 = 33 X 17 =

646 986 690 561

86 X 19 = 1 9 X 42 = 52 X 24 = 1 39 X 81 = 3

634 378 248 159

50 X 93 = 4 63 X 22 = 1 74 X 13 = 20 X 96 = 1

650 386 962 920

39 90 68 89

X X X X

49 72 76 29

= = = =

1 6 5 2

911 480 168 581

LA DIVISIÓN. Realizar divisiones en el Nepohualtzintzin es sumamente sencillo, basta con restar el dividendo al divisor tantas veces como sea posible -recorriéndonos A LA DERECHA cada vez que el dividendo no sea divisible por el divisor- y así obtendremos el cociente de la división al igual que el residuo –que normalmente no se obtiene en la calculadora electrónica. A fin de comprender el procedimiento de la división, realizaremos la siguiente operación: 108/9. 1) Escribimos el 108 y calculamos si el 9 cabe en el 1. Como no cabe, tomamos el siguiente dígito (cero) y ahora podemos restar 9 a 10. Hemos restado el 9 UNA VEZ la cual anotamos EN LA COLUMNA DE LAS DECENAS en el Área de Resultados y nos sobra 1. 2) Tomamos ahora el número 18 y restamos el 9 una vez, la cual anotamos EN LA COLUMNA DE LAS UNIDADES en el Área de Resultados y nos quedan 9 que volvemos a restar y a anotar en el Área de Resultados, así anotamos las dos restas realizadas y en nuestra Área de Resultados hemos escrito una decena y dos unidades, lo cual es nuestro resultado. Así 108/9 = 12. Más ejemplos son necesarios para ilustrar las variables que se nos presentan en la división, veamos otro ejemplo. 120/8. 1) Escribimos el dividendo, es decir, 120 en nuestro Nepohualtzintzin en su posición natural. 2) Designamos un Área de Resultados a partir de la segunda o tercera barra. 3) Calculamos si el divisor cabe en el dividendo y si es así, lo restamos, en este caso nuestro dividendo es 120. El 8 no cabe en el 1, así que no escribimos resultado ninguno en la columna de las centenas de nuestra área de resultados y tomamos el siguiente dígito para ver si nuestro dividendo es divisible por el divisor, de manera que tomamos ahora el 12. El 8 sí cabe en el 12, por lo tanto restamos 8 a 12 y en la columna de las decenas de nuestra Área de Resultados anotamos que hemos restado UNA VEZ el divisor al dividendo. Así, tendríamos el número 10 en el área de resultados y nos sobran 4. 4) Como el 8 no cabe en el 4, tomamos ahora el cero a su derecha y así convertimos el 4 en 40, del cual restaremos el 8 tantas veces como sea posible. 5) Restamos 8 a 40 y nos quedan 32; hemos restado una vez y anotamos la resta EN LA COLUMNA DE LAS UNIDADES. Restamos nuevamente 8 (al 32) y nos quedan 28; anotamos esta segunda resta en el Área de Resultados. Restamos otros 8 y nos quedan 16. Subimos una tercera cuenta en los Resultados. Restamos 8 y nos quedan 8, anotamos la cuarta resta en los Resultados y finalmente restamos 8 al 8 y nos quedamos con cero y anotamos la quinta resta realizada. Así, nuestro cociente es de 1 decena y 5 unidades, y no tenemos residuos. 120/8 = 15 División con Residuo. La siguiente división sí presenta residuo: 520/7. 1) Escribimos 520, calculamos que el 7 no cabe en el 5 y tomamos el 2 de la siguiente columna a la derecha. 2) Restamos 7 a 52 tantas veces como podamos y anotamos el resultado en la columna de las decenas del Área de Resultados. Pudimos restar 7 veces 7 a 52 y nos sobraron 3. Como no podemos restar 7 a 3, tomamos el número de la siguiente columna a la derecha que en este caso es cero, así tenemos 30. 3) Restamos 7 a 30 tantas veces como sea posible y anotamos el resultado en la columna de las unidades del Área de Resultados. Pudimos restar 4 veces 7 a 30 y nos sobraron 2. El resultado final fue 520/7 = 74 con un residuo de 2 unidades. Un ejemplo más nos será útil: 918/23. Nombre:

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1) Calculamos que no podemos restar 23 a 9 y tomamos el siguiente dígito a la derecha. 2) Restamos 23 a 91 tantas veces como sea posible y escribimos el número de veces que hemos restado en la columna de las decenas en el Área de Resultados. Restamos 3 veces y nos sobraron 22. 3) Tomamos el siguiente número a la derecha, que es 8, y esto hace 228. Comenzamos a restar 23 y a escribir los resultados en la columna de las unidades de nuestra Área de Resultados. Pudimos restar 9 veces 23 y nos sobraron 5 unidades, es decir: 918/23 = 39 con un residuo de 21. En caso de seguir calculando los decimales, obtendremos que 918/23 = 39.913 con un residuo de 1. Cálculo a Decimales en la División. Finalmente aproximaremos el cálculo de nuestro cociente a decimales: 56/9. 1) Calculamos que no podemos restar 9 a 5, así que tomamos el siguiente número y entonces tenemos 56 al cual restaremos el 9 tantas veces como sea posible, anotando cada resta en el Área de Resultados. Logramos restar 6 veces el número 9 al 56 y nos quedó un residuo de 2. 2) Para obtener la aproximación a decimales, simplemente agregamos un cero a nuestro residuo y seguimos el mismo procedimiento, así que recorremos el 2 que tenemos como residuo a la columna de las decenas, nos queda convertido en 20 y seguimos restando 9. 3) Tomamos nuestra barra vertical como PUNTO DECIMAL y escribimos después de ella las veces que restemos, en este caso pudimos restar 2 veces 9 a 20 y nos queda otra vez un residuo de 2. Así nos hemos aproximado a décimos. 4) Para ir a los centésimos, repetimos el paso del inciso dos, es decir, recorremos el residuo una columna hacia la izquierda y volvemos a restar el divisor tantas veces como sea posible. Pudimos restar 2 veces y volvemos a tener un residuo de 2. 5) Para ver los milésimos el paso es idéntico, agregar un cero y restar el divisor. Y nuestro resultado final aproximado a milésimos es: 56/9 = 6.222 Una vez realizados estos ejemplos, estamos listos para ejercitar nuestra mente en las divisiones. EJERCICIOS DE DIVISIÓN. 444 / 6 = 74 927 / 8 = 115.875 702 / 2 = 351 745 / 2 = 372.5 846 / 8 = 105.750

Nombre:

570 / 5 = 114 999 / 8 = 124.875 257 / 5 = 51.4 242 / 3 = 80.667 555 / 8 = 69.375

478 / 2 = 239 123 / 5 = 24.6 249 / 8 = 31.125 63 / 5 = 12.6 96 / 5 = 19.2

595 / 5 = 119 32 / 9 = 3.556 65 / 6 = 10.833 147 / 6 = 24.5 322 / 8 = 40.25

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