Manual Matematicas Financieras
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MANUAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
Nombre del alumno: ______________________________________________ Grupo: ______________________________________________
Licenciatura: _______________________________________________
Manual de Matemáticas Financieras I
Indice Fracciones
……………………………………………………………………….
2
Logaritmos
……………………………………………………………………….
3
Propiedades de los logaritmos…………………………………………………….
3
Progresiones ……………………………………………………………………….
5
Interés Simple ……………………………………………………………………….
12
Tasas Equivalentes………………………………………………………………….
16
Tiempo Real y Tiempo Aproximado……………………………………………….
19
Fórmula para encontrar en qué tiempo se duplica un capital………………….
20
Descuento
……………………………………………………………………….
23
Ecuaciones de Valores Equivalentes……………………………………………..
28
Interés Compuesto
……………………………………………………………….
35
Tasa nominal, efectiva y equivalente………………………………………………
50
Ecuaciones de valores equivalentes a interés compuesto……………………..
63
Anualidades ……………………………………………………………………….
67
Anualidades vencidas………………………………………………………………
70
Cálculo de renta de una anualidad……………………………………………….
76
Anualidades anticipadas…………………………………………………………..
84
Anualidades generales…………………………………………………………….
87
Amortización ………………………………………………………………………
89
Depreciación ………………………………………………………………………
92
Apuntes Ing. /Lae Jesús Alberto Sánchez Valtierra
Página 1
Manual de Matemáticas Financieras I
FRACCIONES
Propias.- Es la fracción que no se pasa de la unidad o el entero. Ejemplo: ½, ¾, ⅝
FRACCIONES
Impropias: Es la fracción que se pasa de la unidad o es igual a esta. Ejemplo: 2/8, 5/4, 9/8 Números Mixtos: Está formada de entero y fracción. Ejemplo: 2½, 3 2/5
Suma y resta de fracciones Para sumar o restar fracciones es necesario que las fracciones tengan el mismo denominador. Se pueden presentar dos casos: 1.-Fracciones con igual denominador Para sumar o restar fracciones de igual denominador, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador. 2.-Fracciones con distinto denominador Para sumar o restar fracciones con distinto denominador: 1.o Obtenemos fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, para lo cual hemos de reducir a común denominador. 2. o Se suman o se restan los numeradores, dejando el mismo denominador. Multiplicación de fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores de las fracciones. División de fracciones Inversa de una fracción La inversa de una fracción es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera, y como denominador, el numerador de la primera. Inversa de a b → b a Al dividir dos fracciones obtenemos otra fracción. Podemos realizarlo de dos formas: 1.o Multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda: 2.o Multiplicamos los términos de ambas fracciones de manera cruzada.
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Página 2
Manual de Matemáticas Financieras I
LOGARITMOS El logaritmo es el exponente al que tenemos que elevar la base para obtener el número. El logaritmo en base “a” de un número “n” es otro número “b” que cumple esta ecuación:
Loga n=b
a
b
Log10 100=2
=n
10 =100 2
Bases de Logaritmos 10
decimales o comunes
e
naturales o neperianos
Log 3510 = 3.545307 Característica
Mantisa
Aparte, una vez obtenido el resultado se calcula el antilogaritmo para obtener el número real. Log 50 = 1.6989 Antilog 1.6989 = 50
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Log (AB)= log A + log B Log (A/B)= log A – log B Log (Ax) = x log A Logb N = log N Log b
Esta propiedad de cambio de base expresa que todos los logaritmos pueden ponerse en términos de una sola base.
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Página 3
Manual de Matemáticas Financieras I
EJEMPLOS:
1) 85437 (15274) = 125386 Log 85437 + log 15274 – log 125386 = 4.9316 + 4.1839 – 5.0982 = 4.0173 Antilog 4.0173 = 10406.3876 2) (0.3876)2 (1.3979)3 = 2 log 0.3876 + 3 log 1.3979 = 2 (-0.4116) + 3 ( 0.1454) = -0.8232 + 0.4362 = -0.387 Antilog -0.387 = 0.4102 3) 6 ( 1+ i )-5 = 3 Log 6 + log ( 1 + i ) -5 = log 3 Log 6 -5 log ( 1 + i ) = log 3 -5 log ( 1 + i ) = log 3 – log 6 Log ( 1 + i ) = log 3 – log 6 -5 Log ( 1 + i ) = 0.4771 – 0.7781 = 0.0602 -5 1 + i = antilog 0.0602 = 1.1486 1 + i = 1.1486 i = 1.1486 -1 i = 0.1486 4) 3,000 ( 1 + .20 )n = 10,000 Log ( 1.20 )n = log 3.3333 n = log 3.3333 log. 1.20 n = 0.5228 0.0791 n = 6.6093 5) ( 1 + 0.18 )n -1 = 0.35 ( 1.18 )n = 0.35 + 1 n = log 1.18 = log 1.35 n = log 1.35 log 1.18 n = 1.8131
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Manual de Matemáticas Financieras I
PROGRESIONES
Es una sucesión de números llamados Progresiones Aritméticas
términos, tales que dos números cualesquiera consecutivos de la sucesión estén separados por una misma cantidad llamada diferencia común. FÓRMULAS: U = t1 + (n-1) d
S e clasifican en:
S = n [ t1 + (n-1) d] 2 S = n ( t1 + U) 2 U = último término de la progresión t = primer término de la progresión d = diferencia n = número de términos S = suma de una progresión
Es una sucesión de números llamados Progresiones Geométricas
términos, tales que dos números cualesquiera consecutivos de la sucesión estén separados por una misma cantidad llamada diferencia común. FÓRMULAS:
U = t1 r n – 1 S = t1 (1 - rn) si r < 1 1-r S = t1 (rn – 1) si r > 1 r-1 r = razón común
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Manual de Matemáticas Financieras I
1, 4, 7, 10 . . . creciente Es una progresión aritmética cuya diferencia común es 3
30, 25, 20, 15 . . . decreciente Es una progresión aritmética cuya diferencia común es -5
3, 6, 12, 24, 48 . . . Es una progresión geométrica cuya razón común es 2
-2, 8, -32, 128 . . . Es una progresión geométrica cuya razón común es -4
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Manual de Matemáticas Financieras I
EJEMPLOS DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS: 1.- Determine el décimo término y la suma de la siguiente progresión aritmética: 3, 7, 11 . . .
DATOS:
FÓRMULA:
t1 = 3 d=4 n =10
U = t + (n-1) d U = 3 + (10 – 1) 4 U = 3 + (9) (4) U = 3 (36) U = 39
DESARROLLO: S = n [2 t1 + (n-1) d] 2 S = 10 [ 2 (3) + (10 – 1) (4) ] 2 S = 10 6 + 9 (4) 2 S = 10 (42) = 420 = 210 2 2
S = n (t1 + U) 2 S = 10 (3+39) 2 S = 10 (42) = 420 = 210 2 2
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Manual de Matemáticas Financieras I
2) Determine el último término y la suma de la siguiente progresión aritmética: 48, 45, 42 . . . Si cuenta con 15 términos.
DATOS:
FÓRMULA:
t1 = 48 d = -3 n =15
U = t1 + (n-1) d U = 48 + (15 – 1)-3 U = 48 + (-42) U=6
DESARROLLO: S = n [2 t1 + (n-1) d] 2 S = 15 [ 2 (48) + (15 – 1) (-3) ] 2 S = 15 96 + (-42) 2 S = 15 (54) = 810 = 405 2 2
3) Determine la suma de los números pares del 1 al 100:
DATOS:
FÓRMULA:
t1 = 2 d=2 n = 50 U = 100
S = n (t1 + U) 2
DESARROLLO:
S = n (t1 + U) 2 S = 50 ( 2 + 100) 2 S=
50 (102) = 5100 = 2550 2 2
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Manual de Matemáticas Financieras I
4) Determine el último término y la suma de la siguiente progresión aritmética: 1.00, 1.05, 1.10 . . . Si cuenta con 12 términos.
DATOS:
FÓRMULA:
t1 = 1 d = .05 n = 12
U = t1 + (n-1) d U = 1.00 + (12 – 1) .05 U = 1.00 + (11) (.05) U = 1.00 + 0.55 U = 1.55
DESARROLLO:
S = n (2 t1 + U) 2 S = 12 (1.00 + 1.55) 2 S = 12 (2.55) = 30.6 2 2 S = 15.3
5) Se recibe un préstamo bancario de $12,000.00, el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos mensuales de $1,000.00 más intereses sobre saldos insolutos a razón de 5%; ¿qué cantidad de intereses se paga en total?
DATOS:
FÓRMULA:
t1 = 600 d = -50 n = 12
S = n (2 t1 + U) 2
$12,000.00 (0.05%)= 600.00 $11,000.00 (0.05%)= 550.00 $10,000.00 (0.05%)= 500.00 DESARROLLO: S = n (2 t1 + U) 2 S = 12 (2 (600) + (12-1) -50 2 S = 12 (1200 + 11 ( -50 ) 2 S = 12 (650) = 2 S = 7800 = 3900 2
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Manual de Matemáticas Financieras I
EJEMPLOS DE PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: 1.- Nos piden la suma de los 10 primeros términos y el último término: 1, 2, 4, 8 DATOS:
FÓRMULA:
t1 = 1 r=2 n =10
U = t1 r n-1 S = t 1 ( rn – 1 ) r-1 DESARROLLO:
U = t1 r n-1
S = t 1 ( rn – 1 ) r-1
U = (1) (2) 10 – 1 S = 1 ( 210 – 1 ) = 210 – 1 = 1023 2-1 1
9
U = 1 (2 ) = 512
2.- Nos piden la suma de los 5 primeros términos y el último término: 2, 2, 2, 3 15 75 DATOS:
FÓRMULA:
t1 = 2 3 r= 1 5
U = t1 r n-1
DESARROLLO:
U= 2 3
1 – ( 1 )5 ____ 5____ 1 - __r__ 5
U= 2 3
1 ____1____ _ 3125____ __4__ 5
U= 2 3
___3124_____ _ 3125____ __4__ 5
U= 2 3
_
15620 __ = _ 12500
31240 __ = 0.83307 37500
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Manual de Matemáticas Financieras I
3.- La inflación de un país se ha incrementado en un 40% en promedio durante los últimos 5 años, ¿cuál es el precio actual de un bien que tenía un precio de $100.00 hace 5 años?
DATOS:
FÓRMULA:
t1 = 100 r = 1.4 n=6
U = t1 r n-1
DESARROLLO: U = t1 r n-1 U = 100 ( 1.4 )6-1 U = 100 ( 1.4 )5 U = 100 ( 5.3782 ) U = 537.82 4.- Un jugador de ajedrez le solicitó al Rey que después de haberle enseñado este juego en pago le diese un grano de trigo por el primer cuadro, dos por el segundo, 4 por el tercero y, así sucesivamente; el Rey aceptó, ¿cuántos granos perdió en pago? DATOS:
FÓRMULA:
t1 = 1 r=2 n = 64
U = t1 r n-1
DESARROLLO: U = t1 r n-1 U = 1(2)64-1 U = 1(2)63 U = 1(9.2233) = 9.2233 S = t 1 ( rn – 1 ) r-1 S = 1 __(2)64 -1_ = 1.8446 x 1019 2–1
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Manual de Matemáticas Financieras I
INTERÉS SIMPLE En el sistema de interés simple solo el capital devenga intereses, es decir, Los intereses no se capitalizan, no se convierten en capital para ganar dinero.
El interés (o rédito), es una compensación que paga el que recibe el dinero por el provecho que ha podido sacar de él.
ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN UNA OPERACIÓN DE INTERÉS SIMPLE C= Capital (principal, capital invertido) t= Tiempo o plazo I= Interés i= Tasa M= Monto
FÓRMULAS 1) M= C + I
4) C= ____M___ (1+it)
2) I= C i t
5) I= M – C
3) M= C (I + i t)
6) C= M – I
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Manual de Matemáticas Financieras I
EJEMPLOS:
1.-
El Sr. López solicitó un préstamo por $20,000.00 para pagarlo 2 meses después, en donde para liquidarlo desembolsó $21,400.00
a) ¿Cuál es el capital? C= 20,000.00
b) ¿Cuál es el tiempo? t= 2 meses c) ¿Cuánto pagó de intereses? M= C + I I= M – C I= 21,400.00 – 20,000.00 I= $1,400.00 d) ¿Cuál es el monto de la operación? M= 21,400.00 e) ¿Qué tasa de interés simple se aplicó? I= C i t i= ___I_____ = __ 1,400_________ Ct 20,000 (2 meses) i= 0.035 x 100 i= 3.5% mensual X 12 i= 42% anual
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Manual de Matemáticas Financieras I
2) Se obtiene un crédito por $180,000.00 a 160 días por 30% de interés simple, ¿qué cantidad deberá pagar al vencer su deuda?
DATOS:
FÓRMULA:
C = 180,000.00 t = 160 días i = 30% M= ?
M= C ( 1 + i )
DESARROLLO:
M= 180,000
[(
1 + (o.30) ( 160 360
)]
M= $204,000.00
3.- Martha desea adquirir un inmueble dentro de 2 años, supone que el enganche que habrá de pagar en esa fecha será de $60,000.00; desea tener esa cantidad dentro de 2 años, ¿qué cantidad debe invertir en su depósito de renta fija que rinde 3% de interés mensual simple? DATOS:
FÓRMULA:
t = 2 años M = 60,000.00 i = 3% mensual = 0.36% anual C= ?
C= ____M____ (1+it)
DESARROLLO: C=
60,000.00 = 60,000.00 1 + (0.36) (2) 1.72
C= 34,883.72
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Manual de Matemáticas Financieras I
4.- ¿Cuál es la tasa de interés anual si hoy invierto $500,000.00 y en un año recibo $800,000.00?
DATOS:
FÓRMULA:
C = 500,000 M= 800,000 i= ?
I = C I t ; Despejamos i: i= __ I_____ Ct I= M – C I= 800 000 – 500 000 I= 300,000
DESARROLLO: i= __ 300,000____ = (500,000) ( 1 ) i= 0.6 x 100 i= 60% 5.- ¿Qué cantidad debe invertir hoy al 1.8% de interés simple mensual para tener 20,000 dentro de 2 meses? DATOS:
FÓRMULA:
C= ? M= 20,000 i = 1.8% mensual t= 2 meses
C= ____M_____ (1+it)
DESARROLLO: C= __ 20,000______ = 1 + (0.018) ( 2 ) C= ____20,000______ = 1.036 C= $19,305.01
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Manual de Matemáticas Financieras I
TASAS EQUIVALENTES Dos tasas de interés con diferentes periodos de conversión son equivalentes si producen el mismo monto compuesto al cabo del mismo periodo de tiempo. 1.- ¿A qué tasa de interés simple anual $2,500.00 acumulan intereses por $500.00 en 6 meses?
DATOS:
FÓRMULA:
C = 2,500 I = 500 t = 6 meses i= ?
I=CIt Despejamos i: i= __ I___ Ct
DESARROLLO: i= __ 500______ = (2 500 ) ( 6 ) i= _____500_____ = 15 000 i= 0.0333 (12) i= 0.4 x 100 i= 40%
2.- Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa de 54% anual?
DATOS: i= 54% anual / 12 SOLUCIÓN:
i= 54 / 12 i= 4.5% mensual
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Manual de Matemáticas Financieras I
3.- Encuentre el interés simple de un préstamo de $1,500.00 a 45 días con el 35% de interés anual simple (tiempo comercial) DATOS:
FÓRMULA:
C = 1 500 t= 45 días i = 35% anual = 0.35 / 360
I= C i t
DESARROLLO:
I= 1 500
( _0.35_ )
(45)
=
360 I= 65.62%
4.- Una persona le prestó $400.00 a un amigo y 4 meses después le cobró $440.00, ¿qué tasa anual de interés pagó el amigo? DATOS:
FÓRMULA:
C = 400 M = 440 t = 4 meses i= ?
I=CIt Despejamos i: i= __ I___ Ct
I= M – C I= 440 - 400 I= 40 DESARROLLO: i= __ 40______ = ( 400 ) ( 4 ) i= _____40_____ = 16 000 i= 2.5 (12) i= 0.03 x 100 i= 30%
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Manual de Matemáticas Financieras I
5.- José Luis pide un crédito por $200,000.00, ¿cuánto deberá pagar si desea liquidarlo dentro de 27 días, considerando una tasa del 40% de interés simple anual? DATOS:
FÓRMULA:
C = 200 000 t= 27 días i = 40% anual = 0.4 / 360 M= ?
M= C ( 1 + i t )
DESARROLLO:
M= 200 000
( 1+
( _0.4_ ) (27)
)=
360 M= 200 000 (1.03) = M= $206,000.00
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Manual de Matemáticas Financieras I
TIEMPO REAL
Y
TIEMPO APROXIMADO
Considera los días exactos
Considera el año comercial de 360 días
¿Cuántos días hay del 1° de Marzo al 1° de Abril? a) Tiempo Real b) Tiempo aproximado
= =
31 días 30 días
¿Cuántos días hay del 15 de Junio al 15 de Diciembre? a) Tiempo Real Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
=
183 días
=
180 días
15 31 31 30 31 30 _15_ 183
b) Tiempo aproximado 30 días x 6 meses = 180
¿Cuántos días hay del 14 de Mayo al 15 de Noviembre? a) Tiempo Real Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre
17 30 31 31 30 31 _15_ 185
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b) Tiempo aproximado 16 30 30 30 30 30 _15_ 181
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Manual de Matemáticas Financieras I
FÓRMULA PARA ENCONTRAR EN QUÉ TIEMPO SE DUPLICA UN CAPITAL 1.- Encuentre el interés simple en tiempo real y aproximado de un préstamo de $1,000.00 a 60 días con el 35% de interés anual simple.
DATOS:
FÓRMULA:
C = 1 000 t = 60 días i = 35 % anual simple = 0.35 I= ?
I=Cit
DESARROLLO: Tiempo Real I= 1 000
Tiempo aproximado
( _0.35_ )
(60)
=
I= 1 000
( _0.35_ )
365
(60)
=
360
I= 57.53%
I= 58.33%
2.- Una señora paga $205.08 con un pagaré de $185.00 firmado el 10 de Mayo con el 38% de interés anual simple, ¿cuándo lo pagó? DATOS:
FÓRMULA:
C = 185 M = 205 i = 38 % anual simple = 0.38 I= 205.08 – 185 = 20.08 t= ?
t= ___I__ Ci
DESARROLLO: Tiempo Real
Tiempo aproximado
t= _______20.08_____ =
t= _______20.08_____ =
(185)
( _0.35_ )
(185)
( _0.35_ )
365 t= 104.25 = 105 días
360 t= 102.82 = 103 días
23 de Agosto
23 de Agosto
MAY 21
JUN 30
JUL 31
AGOS 23
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MAY 20
JUN 30
JUL 30
AGOS 23
Página 20
Manual de Matemáticas Financieras I
3.-María va a depositar $3,500.00 el 13 de Marzo, piensa retirar su inversión el 17 de Julio, la cuenta paga 6% de interés anual simple, ¿cuál será el monto a retirar? DATOS:
FÓRMULA:
C = 3 500 i = 6 % anual simple = 0.06% t= 13 de Marzo al 17 de Julio M= ?
M= C( 1 + i )
DESARROLLO: Tiempo Real
(
Tiempo aproximado
M= 3 500 1+
( 0.06 ) (126) ) =
M= 3 500
(1+ ( 0.06 ) (124) ) =
365
360
M= $3,572.49
M= $3,572.33
t= 126 días
t= 124 días
MAR ABR 18 30
MAY 31
JUN 30
JUL 17
MAR ABR 17 30
MAY 30
JUN 30
JUL 17
4.- El 14 de Agosto una persona adquiere una licuadora que cuesta $300.00 y la pagó el 26 de Noviembre con un abono de $380.00, ¿qué tasa de interés anual simple pagó? DATOS:
FÓRMULA:
C = 300 M = 380 t= 14 de Agosto al 26 de Noviembre M= ?
i= __I__ Ct
DESARROLLO: Tiempo Real
Tiempo aproximado
i= _____80_______ x 365 x 100 (300) (104)
i= _____80_______ x 360 x 100 (300) (102)
i= 93.58%
i= 94.11%
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Página 21
Manual de Matemáticas Financieras I
5.- ¿Cuál será el monto el 24 de Diciembre de un capital de $10,000.00 depositado el 15 de Mayo del mismo año en una cuenta de ahorro que paga 49% anual simple?
DATOS:
FÓRMULA:
C = 10 000 i = 49 % anual simple = 0.49% M=?
M= C ( 1 + i t )
t= Real = 223 Aprox. = 219 DESARROLLO: Tiempo Real M= 10 000
Tiempo aproximado
(1 + ( 0.49 ) (223) ) =
M= 10 000
(1+ ( 0.49 ) (219) ) =
365
360
M= 10 000 ( 1.2993 )
M= 10 000 ( 1.2980 )
M= $12,993.69
M= $12,980.83
Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
16 30 31 31 30 31 30 24_ 223
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15 30 30 30 30 30 30 24_ 219
Página 22
Manual de Matemáticas Financieras I
DESCUENTO
Descuento Real o Justo
Este se calcula sobre
el valor real que se anticipa y no sobre el nominal FÓRMULAS D= C d t M= C + D M= C ( 1 + d t )
“Descuento” Descuento Comercial
Este se calcula sobre
el valor nominal (es decir, el monto) Es el valor que el documento tiene escrito para ser pagado en la fecha de vencimiento.
FÓRMULAS D= M d t C= M - D C= M ( 1 - d t ) D Descuento d Tasa de descuento
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Página 23
Manual de Matemáticas Financieras I
EJEMPLOS: 1.- Una persona tiene un pagaré por $185,000.00, el cual se vence dentro de 2 meses y lo desea adelantar; calcule el valor actual del documento. Tasa de descuento 20% anual DATOS:
FÓRMULA:
M = 185 000 t = 2 meses / 12 d = 20%
M= C ( 1 + d t ) Despejar C: C= ____M____ (1+dt)
DESARROLLO:
PARA SACAR DESCUENTO REAL O JUSTO:
C=
C= ____M____ (1+dt)
___ 185 000_____ = 1+
( 0.20 ) (2) 12
C= $179,032.25 PARA SACAR DESCUENTO COMERCIAL:
C=
C= ____M____ (1+dt)
___ 185 000_____ = 1-
( 0.20 ) (2) 12
M= $178,833.33
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Página 24
Manual de Matemáticas Financieras I
2.- Una empresa descuenta un documento por el cual recibe $945.05. El tipo de descuento es del 25% y el valor nominal del documento era de $1,000.00, ¿cuánto tiempo faltaba para el vencimiento de su obligación? DATOS:
FÓRMULA:
C = 945.05 M = 1 000 d = 25% anual = 0.25% t=?
D= C d t Despejar t: t= ___D__ C d
DESARROLLO:
D= 1 000 - 945.05 = 54.95 PARA SACAR DESCUENTO COMERCIAL:
t=
t= __D__ M d
___ 54.95_____ = (1 000) (0.25)
t= 0.2198 x 360 = t= 79.128 = 80 días PARA SACAR DESCUENTO REAL:
t=
t= __D__ C d
___ 54.95_____ = ( 945.05 ) (0.25)
t= 0.2325 x 365 = t= 84.89 = 85 días
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Página 25
Manual de Matemáticas Financieras I
3.- BANORTE descuenta a un cliente un pagaré con valor nominal de $2’500,000.00 que vence en 60 días con una tasa del 20%. Ese día BANORTE descuenta en el Banco Agrícola ese mismo documento al 18%, usando el descuento comercial, ¿cuál fue la utilidad de BANORTE?
DATOS:
FÓRMULA:
M = 2 500 000 t = 60 días d = 20%
C= M ( 1 - d t )
DESARROLLO:
PRIMERO SACAR DESCUENTO COMERCIAL C= 2 500 000
(
1-
( 0.20 ) ( 60 ) 360
C= $2’416,666,667 D= M – C D= 2 500 000 - 2 416 666.67 D= 83 333.33 C= 2 500 000
(
1-
( 0.18 ) ( 60 ) 360
C= $2’425,000.00 D= M – C D= 2 500 000 - 2 425 000 D= 75 000
-
83 333.33 75 000.00 8,333.33 Esta es la ganancia de BANORTE
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Página 26
Manual de Matemáticas Financieras I
4.- ¿Cuál es el descuento real de un documento que vence dentro de 50 días, que tiene un valor nominal de $3,850.00, si se le descuenta al 18% 30 días antes de su vencimiento? DATOS:
FÓRMULA:
M = 3 850 d = 18% = 0.18% t = 50 días – 30 días transcurridos = 20 días D=?
M= C ( 1 + d t ) Despejar C: C= ___M__ 1+dt
DESARROLLO: C=
_____ 3 850____ = 1 + ( 0.18 ) ( 30 )
C= $3,793.87 D= M – C D= 3 850 - 3 793.87 = 56.13 5.-¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron $1,439.79; si se descontó comercialmente al 17% 85 días antes de su vencimiento? DATOS:
FÓRMULA:
C = 1 439.79 d = 17% = 0.17% t = 85 días D=?
C= M ( 1 - d t ) Despejar M: M= ___C____ (1-dt)
DESARROLLO: M=
_____ 1 439.79____ = 1 - ( 0.17 ) ( 85 ) 360
M= $1,499.99
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Página 27
Manual de Matemáticas Financieras I
ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES Es muy frecuente que en las operaciones financieras se hagan 2 ó más transacciones diferentes que deban replantearse para expresarlas en una operación única.
PASOS
PARA
RESOLVER ECUACIONES EQUIVALENTES
DE
VALORES
PASO 1. Colocar todas las cantidades en una escala de tiempo y valor. DEUDAS NÚMEROS
TIEMPO 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PAGOS LETRAS
PASO 2. Llevar todas las deudas a su fecha de vencimiento inicial con su tasa de interés específica.
PASO 3. Llevar todas mis deudas y pagos a una “fecha focal” “fecha focal” = Fecha donde se igualan cargos y abonos.
PASO 4. Igualar: Pagos = Deudas NOTA: a) Siempre que se calculen los pagos en la fecha de vencimiento y esa sea la fecha focal, lo que busco es el monto. b) Y cuando la fecha focal es antes de la fecha de vencimiento, lo que busco es el capital.
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Página 28
Manual de Matemáticas Financieras I
EJEMPLOS: 1.- La Sra. Martínez adeuda $5,000.00, mismos que ya incluyen los intereses, y debe pagarlos dentro de 8 meses. Hace un pago de $3,000.00 dentro de 2 meses, ¿cuánto deberá pagar al cabo de los 8 meses si se considera la operación al 30% anual y se usa como fecha focal dentro de 8 meses?
1
0
1
2
3
4
5 A
6
7
8
9
10
$3,000.00
DATOS:
FÓRMULA:
1 5,000.00 A 3,000.00 i= 30% anual
M= C ( 1 + i t )
DESARROLLO: M= 3 000 [1 + ( 0.30 ) ( 6 )] = 12 M= $3,450.00 Igual a lo de abajo: 5 000 - 3 450 + x X= 5 000 – 3 450 X= $1,550.00
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Página 29
Manual de Matemáticas Financieras I
2.- El Nacional Monte de Piedad cobra 5.5% mensual por los préstamos que hace sobre prendas pignoradas. ¿Cuánto tendrá que pagar dentro de 3 meses una persona que empeñó hace un mes un televisor, por el cual le prestaron $800.00 y el día de hoy empeña un reloj por el cual le prestan $750.00?
HOY 1= $800.00 T.V.
Hace un mes
0
1
2 3 4 2= $750.00 RELOJ
DATOS:
FÓRMULA:
1 800.00 2 750.00 i= 5.5% mensual = 0.055%
M= C ( 1 + i t )
5
DESARROLLO: M= 800 [1 + ( 0.055 ) ( 4 )] = M= $976.00 M= 750 [1 + ( 0.055 ) ( 3 )] = M= $873.75 976.00 – 873.75 = 1,849.75
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Página 30
Manual de Matemáticas Financieras I
3.- Una pareja de recién casados adquiere un refrigerador que cuesta $2,200.00 y paga $800.00 de contado. El saldo acuerda pagarlo con 3 pagos iguales a 30, 60 y 90 días; el interés que cobran es del 30% anual simple, ¿a cuánto asciende cada uno de esos pagos? Valor Abono Saldo
-
2 200 800 1 400 1 $1,400.00
30%
30
60
90
X C
X B
X A
FÓRMULA: M= C ( 1 + i t )
DESARROLLO: M= 1 400 [ 1 + ( 0.30 ) ( 90 )] = 360 M= $1,505.00 A= M = X B= M= X [ 1 + ( 0.30 ) ( 30 )] = 1.025 X 360 C= M= X [ 1 + ( 0.30 ) ( 60 )] = 1.05 X 360 1 505= X + 1.025 X + 1.05 X 1 505= 3.075 X X= 1 505 3.075 X= $489.43
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Página 31
Manual de Matemáticas Financieras I
4.- ¿Cuál será el precio de contado de un automóvil que se pagó con: a) Un enganche de $48,500.00 b) Un abono de $38,500.00 realizado 6 meses después de la compra c) Un pago final de $35,500 8 meses después de la compra El costo del préstamo fue del 2% mensual simple.
0
1
2
3
4
1) 48 500
5
6
7
2) 38 500
8
9
10
3) 35 500
FÓRMULA: C= ____M______ (1+it)
DESARROLLO: C= __ 35 500___ 1 + (0.02) (8) C= $30,603.44
C= __ 38 500___ 1 + (0.02) (6) C= $34,375.00
X= 48 500 + 30 603.44 + 34 375 = $113,478.44
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Página 32
Manual de Matemáticas Financieras I
5.- Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200 000.00 con 40% de interés simple y que vence dentro de 4 meses; además, debe pagar otra deuda de $150,000.00 contraída hace 2 meses con 35% de interés simple y que vence dentro de 2 meses. Considerando un interés del 42%, ¿qué pago deberá hacer hoy para saldar sus deudas si se compromete a pagar $100,000.00 dentro de 6 meses?
200 000
40% 150 000 35%
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 5 100 000
6
Fecha focal 42%
FÓRMULA: M= C ( 1 + i t )
DESARROLLO: M= 200 000 [ 1 + ( 0.40 ) ( 1 )] =
M= $280,000.00 ACTUALIZAR EL PAGO:
1) C= ____M____ (1+it) C= ____280 000___ = [ 1 + ( 0.42 ) ( 4 )] 12 C= 245,614.03
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Manual de Matemáticas Financieras I
2) C= 150 000 [ 1 + ( 0.35 ) ( 4 )] 12 C= 167,500.00 C= ____M____ (1+it) C= ___167 500____ [ 1 + ( 0.42 ) ( 2 )] 12 C= 156,542.05 ACTUALIZAR EL PAGO C= ____M____ (1+it) C= ___100 000____ [ 1 + ( 0.42 ) ( 6 )] 12 C= 82 644.62
X= 245 614.03 + 156 542.05 =
402 156,08 - 82 644.62 319 511.46
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Página 34
Manual de Matemáticas Financieras I
INTERÉS COMPUESTO
FÓRMULA:
M= C ( 1 + i )n
M= Monto C= Capital i= Tasa de interés por periodo n= Número de periodos de capitalización EJEMPLOS: 1.-Se depositan $500.00 en un banco a una tasa de interés del 18% anual capitalizable mensualmente. a)¿cuál será el monto acumulado en 2 años? b) ¿cuánto ganó por interés?
DATOS:
FÓRMULA:
C = 500 i = 18% anual capitalizable mensualmente = 0.18% 12 n = 2 años = 24 meses M=?
M= C ( 1 + i )n
DESARROLLO: M=
500 ( 1 + ( 0.18 )24 12
M= $714.75
M= C + I I= M – C 714.75 – 500 = 214.75
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Página 35
Manual de Matemáticas Financieras I
2.- Una persona deposita hoy $50,000.00 a precio fijo por 2.20% de interés mensual y no retira su depósito y reinvierte sus intereses; ¿cuánto tendrá en su cuenta 3 meses después? DATOS:
FÓRMULA:
C = 50 000 i = 2.20% interés mensual n = 3 meses M=?
M= C ( 1 + i )n
DESARROLLO: M=
50 000 ( 1 + 0.0220 )3
M= $53,373.13
3.- Se obtiene un préstamo bancario de $15,000.00 a plazo de un año y con interés del 12% convertible trimestralmente; ¿cuál es el monto que debe liquidarse? DATOS:
FÓRMULA:
C = 15 000 i = 12% c0nvertible trimestralmente = 0.12 12 n=1 M=?
M= C ( 1 + i )n
DESARROLLO: M=
15 000 ( 1 + ( 0.12 )4 4
M= $16,882.63
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Manual de Matemáticas Financieras I
4.- Se obtiene un préstamo bancario de $15,000.00 a plazo de 7 meses y medio al 12% convertible trimestralmente; ¿cuál es el monto que habrá de liquidarse?
DATOS:
FÓRMULA:
C = 15 000 i = 12% convertible trimestralmente = 0.12 4 n = 7 meses y medio = 2.5 trimestres M=?
M= C ( 1 + i )n
DESARROLLO: M=
15 000 ( 1 + ( 0.12 )4 4
M= $16,150.43 5.- Una persona deposita su dinero en el banco a un plazo de 2 años y a una tasa de 0.15% convertible semestralmente. Debido a una emergencia retira su dinero a los 15 meses; ¿cuál será el monto acumulado que se le entregó si depositó $12,000.00? DATOS:
FÓRMULA:
C = 12 000 i = 0.15% convertible semestralmente = 0.15% 2 n = 15 meses = 2.5 M=?
M= C ( 1 + i )n
DESARROLLO: M=
12 000 ( 1 + ( 0.15 )2.5 2
M= $14,378.13
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Página 37
Manual de Matemáticas Financieras I
EJEMPLOS: 1.- ¿Cuánto debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $50,000.00 dentro de 3 años y la tasa de interés es del 20% convertible semestralmente? DATOS:
FÓRMULA:
M = 50 000 i = 0.20% anual convertible semestralmente = 0.20 2 n = 3 años = 6 semestres C= ?
C= _____M_____ ( 1 + i )n
DESARROLLO: C= ____50 000____ = ( 1 + 0.20 )6 2 C= ___50 000_____ = 1.771561 C= $28,223.69 2.- ¿Qué cantidad debe depositarse ahora en una cuenta de inversión que paga interés del 25% convertible trimestralmente si se desea tener $50,000.00 dentro de 3 años? DATOS:
FÓRMULA:
M = 50 000 i = 0.25% anual convertible trimestralmente = 0.25 4 n = 3 años = 12 trimestres C= ?
C= _____M_____ ( 1 + i )n
DESARROLLO: C= ____50 000____ = ( 1 + 0.24 )12 4 C= ___50 000_____ = 2.069889992 C= $24,155.87
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Página 38
Manual de Matemáticas Financieras I
3.- ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por $65,000.00 que incluye capital e intereses al 30% convertible trimestralmente y que tiene vencimiento en 18 meses? DATOS:
FÓRMULA:
M = 65 000 i = 0.30% anual convertible trimestralmente = 0.30 2 n = 18 meses = 6 trimestres C= ?
C= _____M_____ ( 1 + i )n
DESARROLLO: C= ____65 000____ = ( 1 + 0.30 )6 4 C= ___60 000_____ = 1.543301526 C= $42,117.49 4.- ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $250,000.00 en un plazo de 19 meses y la tasa es del 13% convertible bimestralmente? DATOS:
FÓRMULA:
M = 250 000 i = 13% convertible bimestralmente = 0.13 6 n = 19 meses = 9.5 bimestres C= ?
C= _____M_____ ( 1 + i )n
DESARROLLO: C= ____250 000____ = ( 1 + 0.13 )9.5 6 C= ___250 000_____ = 1.818952147 C= $203,939.98
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Página 39
Manual de Matemáticas Financieras I
5.- Una distribuidora automotriz ofrece a sus clientes un 10% de descuento en la compra de contado de un automóvil nuevo que cuesta $50,000.00, o bien, 50% del precio al contado y 50% a 6 meses sin descuento y sin intereses, ¿qué alternativa debe escoger si el dinero puede ser invertido a una tasa de interés mensual del 4%?
DATOS: 1° Sacamos el costo al contado: 50 000 X 0.10 = 5 000 - 5 000 45 000 === Precio al contado menos 10% de descuento. 2 A crédito: 50% del precio al contado: 45 000 / 2 = 22,500.00 PRECIO DE CONTADO: PRECIO A CRÉDITO:
$45,000.00 $25,000.00 la mitad del precio
EN EL BANCO: M= 25 000 ( 1 + 0.4 )6 = 31 632.97 + 25 000.00 56 632.97 - 50 000.00 6 632.97 - 5 000.00 1 632.97
C= ___25 000___ = ( 1.04)6 C= ___25 000___ = 1.265319018 C= $19,757.86
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Página 40
Manual de Matemáticas Financieras I
EJEMPLOS: TASA DE INTERÉS 1.- ¿A qué tasa de interés convertible semestralmente debe depositarse un capital de $28,223.70, para que al cabo de 3 años se logre un monto de $50,000.00? DATOS:
FÓRMULA:
C = 28 223.70 M = 50 000 n = 3 años = 6 semestres i= ? convertible semestralmente =
M= C ( 1 + i )n
i 2
DESARROLLO: 50 000 = 28 223.70 ( 1 +
i )6 2
(1+
i )6 = ___50 000__ = 2 28 223.70
(1+
i )6 = 1.7715 2
1+
i 2
= ( 1.7715 )
1+
i 2
= 1.0999
i 2
= 1.0999 - 1
i 2
= 0.0999
i = 0.0999 ( 2 ) i = 0.1999 x 100 i = 20%
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Página 41
Manual de Matemáticas Financieras I
2.- ¿A qué tasa de interés convertible trimestralmente debe depositarse un capital de $24,156.00 para que al cabo de 3 años produzca $50,000.00? DATOS:
FÓRMULA:
C = 24 156 M = 50 000 n = 3 años = 6 semestres i = ¿? convertible trimestralmente =
M= C ( 1 + i )n
i 4
DESARROLLO: 50 000 = 2 156 ( 1 +
i )12 4
(1+
i )12 = ___50 000__ = 4 24 156
(1+
i )12 = 2.069879119 4
1+
i 4
= ( 1.7715 )
1+
i 4
= 1.0624
i 4
= 1.0624 - 1
i 4
= 0.0624
i = 0.0624 (4 ) i = 0.249984601 x 100 i = 25%
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Página 42
Manual de Matemáticas Financieras I
3.- Se depositan $3,000.00 en un banco a una tasa de interés del 17% anual capitalizable semestralmente, ¿cuánto se gana por intereses en un plazo de 17 meses? DATOS:
FÓRMULA:
C = 3 000 M = 50 000 n = 17 meses = 17/6= 2.8 i = 17% anual capitalizable semestralmente =
M= C ( 1 + i )n
0.17 2
DESARROLLO: M= 3 000 ( 1 + 0.17 2
)2.8
M= 3 769.85 I= M – C 3 769.85 – 3 000 = I= 769.85 4.- ¿Cuánto debe depositarse en un banco si se desea un monto de $5,000.00 dentro de 10 meses y la tasa de interés es del 18% convertible semestralmente? DATOS:
FÓRMULA:
C= ? n= 10 meses = 5 i = 18% anual convertible semestralmente =
C= ____M_____ ( 1 + i )n 0.18 2
DESARROLLO: C= ____5 000_____ = ( 1 + 0.18 )5 2 C= _____5 000___ = 1.159274074 C= 4,313.04
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Página 43
Manual de Matemáticas Financieras I
5.- ¿Cuánto debe pagarse a la Caja Popular que hizo un préstamo de $10,000.00 a año y medio, si la tasa aplicada es del 0.25% anual convertible mensualmente?
DATOS:
FÓRMULA:
C = 10 000 n = 1 año y medio = 18 meses i = 0.25% anual convertible mensualmente =
M= C ( 1 + i )n
0.25 12
DESARROLLO: M= 10 000 ( 1 + 0.25 12
)18
M= 10 000 (1.449396365) = M= 14 493.96
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Manual de Matemáticas Financieras I
DESPEJAR TIEMPO EN INTERÉS COMPUESTO M= C (1 + i )n
1.- ¿En cuánto tiempo se duplica una inversión de $1,000.00, si se considera una tasa de interés: a) 36% anual convertible mensualmente b) 24% anual convertible bimestralmente
Inciso a):
DATOS:
FÓRMULA:
C = 1 000 M = 2 000 i = 36% anual convertible mensualmente =
M= C ( 1 + i )n
0.36 12
DESARROLLO: 2 000 = 1 000 ( 1 + 0.36 )n 12 ( 1 + 0.03 )n = 2 000 1 000 1.03 = 2 nlog 1.03 = log 2 n= log 2 = log 3 n= 23.441 meses = 23 meses 13.2 días
1 La fracción .44 la multiplico por 30 para transformar los días
Inciso b):
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Página 45
Manual de Matemáticas Financieras I
DATOS:
FÓRMULA:
C = 1 000 M = 2 000 i = 24% anual convertible bimestralmente =
M= C ( 1 + i )n
0.24 6
DESARROLLO: 2 000 = 1 000 ( 1 + 0.24 )n 12 ( 1 + 0.04 )n = 2 000 1 000 1.04 = 2 nlog 1.04 = log 2 n=
log 2 = log 1.04
n= 17.67 = 17 bimestres 40.2 días 2.- ¿En cuánto tiempo reduce su valor un peso al 50% dada una inflación del 10% anual? DATOS:
FÓRMULA:
C = $1.00 M = 0.50 centavos i = 10% anual
M= C ( 1 + i )n
DESARROLLO: 0.50 = 1 ( 1 + 0.10 )n ( 1.10 )n = 0.5 1 ( 1.10 )n = 0.5 nlog 1.10 = log 0.5 n= __log 0.5_ = log 1.10 n= 7.27 años .27 x 12 = 3.24 meses .24 x 30 = 7 días n= 7 años, 3 meses, 7 días
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Manual de Matemáticas Financieras I
3.- ¿En cuánto tiempo se triplica un capital si la tasa de interés es del 30% y se compone semestralmente? Expresar el resultado en meses.
DATOS:
FÓRMULA:
C= 1 M=3 i = 30% semestral = 0.30 2
M= C ( 1 + i )n
DESARROLLO: 3 = 1 ( 1 + 0.30 )n 2 3 = 1 ( 1 + 0.15 )n = ( 1.15 )n = __3__ 1 n ( 1.15 ) = 3 n= __log 3___ = log 1.15 n= 7.86 semestres
7.86 x 6 = n= 47.16 meses
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Manual de Matemáticas Financieras I
4.- ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés es del 30% y se compone trimestralmente? Expresa el resultado en años.
DATOS:
FÓRMULA:
C= 1 M=2 i = 30% trimestral = 0.30 4
M= C ( 1 + i )n
DESARROLLO: 2 = 1 ( 1 + 0.30 )n 4 ( 1 + 0.075 )n = __2__ 1
nlog 1.075 = log 2 n= __log 2____ = log 1.075 n= 9.58 / 4 que son los trimestres que hay en un año n= 2.39 años
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Página 48
Manual de Matemáticas Financieras I
5.- Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de interés, ¿en cuánto tiempo lo triplica? DATOS:
FÓRMULA:
C= 1 M=2 n= 18 meses i= ?
M= C ( 1 + i )n
DESARROLLO: 1° buscamos el interés 2 = 1 ( 1 + i )18
(1+ i)= 2 1 + i = 1.0392 i = 1.0392 – 1 i= 0.0392
2° buscamos el tiempo 3 = 1 ( 1 + 0.0392 ) ( 1.0392 ) = 3 nlog 1.0392 = log 3 n=
log 3__ = log 1.0392
n= 28.57 .57 x 30 = 17.1 n= 28 meses 17.1 días
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Manual de Matemáticas Financieras I
Tasa nominal
Tasa Efectiva
Es la tasa e interés anual que se pacta y que rige durante el lapso que dure la operación.
Es aquella en la cual el interés se capitaliza en forma trimestral semestral, anual, etc. . . ., y la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual.
FÓRMULA:
ie= ( 1 + J )m - 1 m ie= tasa de interés efectiva J= tasa nominal (anual convertible) m= número de periodos de capitalización en un año
Tasa Equivalente
Es cuando dos tasas de Interés anuales con diferentes Periodos de capitalización Producen al cabo de un año El mismo interés compuesto. FÓRMULA: ( 1 + i )n = ( 1 + J )m m
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Manual de Matemáticas Financieras I
EJEMPLOS: Tasa Efectiva 1.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se recibe de un depósito bancario de $1,000.00 pactado al 18% de interés anual convertible mensualmente? DATOS: Ie= ? J= 18% int. anual convertible mensualmente = 0.18 12 m= 12 meses ( 1 año )
FÓRMULA: ie= ( 1 + J )m - 1 m
DESARROLLO: ie= ( 1 + 0.18 )12 -1 12 ie= 0.1956 x 100 ie= 19.56% interés simple anual
M= C ( 1 + i )n 1 000 ( 1 + 0.18 )12 = 12 M= 1 195.61
I= M – C 1 195.61 – 1 000 = I= 195.61 I= C i t i= __I___ Ct 195.61_____ = 0.1956 x 100 1 000 ( 1 año ) i= 19.56%
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Página 51
Manual de Matemáticas Financieras I
2.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250,000.00, que se pactó al 16% de interés anual convertible trimestralmente? DATOS:
FÓRMULA:
Ie= ? J= 16% int. anual convertible trimestralmente = 0.16 4 m= 1 año ( 12 meses )
ie= ( 1 + J )m - 1 m
DESARROLLO: ie= ( 1 + 0.16 )4 -1 4 ie= 0.1698 x 100 ie= 16.98% interés simple anual
Apuntes Ing. /Lae Jesús Alberto Sánchez Valtierra
Página 52
Manual de Matemáticas Financieras I
3.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $15,000.00 que se pactó al 10% de interés anual convertible semestralmente?
DATOS: Ie= ? J= 10% int. anual convertible semestralmente = 0.10 2 m= 1 año
FÓRMULA: ie= ( 1 + J )m - 1 m
DESARROLLO: ie= ( 1 + 0.10 )2 -1 2 ie= 0.1025 x 100 ie= 10.25% interés simple anual
M= C ( 1 + i )n 15 000 ( 1 + 0.10 )2 = 2 M= 16 537.50 I= M – C I= 16 537.50 – 15 000 = I= 1 537.50 I= C i t i= __I___ Ct i=
1 537.50_____ = 0.1025 x 100 15 000 ( 1 año )
i= 10.25%
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Página 53
Manual de Matemáticas Financieras I
4.-¿ Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $50,000.00 que se pactó al 20% de interés anual convertible bimestralmente? DATOS: Ie= ? J= 20% int. anual convertible bimestralmente = 0.20 6 m= anual ( 1 año )
FÓRMULA: ie= ( 1 + J )m - 1 m
DESARROLLO: ie= ( 1 + 0.20 )6 -1 6 ie= 0.2174 x 100 ie= 21.74% interés simple anual
M= C ( 1 + i )n M= 50 000 ( 1 + 0.20 )6 = 6 M= 60 871.30 I= M – C I= 60 871.30 – 50 000 = I= 10 871.30 I= C i t i= __I___ Ct i=
10 871.30_____ = 0.2174 x 100 50 000 ( 1 año )
i= 21.74%
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Página 54
Manual de Matemáticas Financieras I
5.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo de $25,000.00 que se pactó al 6% de interés anual convertible bimestralmente? DATOS: Ie= ? J= 6% int. anual convertible bimestralmente = 0.06 6 m= anual ( 1 año )
FÓRMULA: ie= ( 1 + J )m - 1 m
DESARROLLO: ie= ( 1 + 0.06 )6 -1 6 ie= 0.0615
M= C ( 1 + i )n M= 25 000 ( 1 + 0.06 )6 = 6 M= 26 538.00 I= M – C I= 26 538 – 25 000 = I= 1 538 I= C i t i= __I___ Ct i=
1 538_____ = 25 000 ( 1 año )
i= 0.0615
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Página 55
Manual de Matemáticas Financieras I
EJEMPLOS: Tasa Nominal 1.- ¿Cuál es la tasa nominal convertible trimestralmente que produce un rendimiento del 40% anual? DATOS:
FÓRMULA:
J= ?
ie= ( 1 + J )m - 1 m
Ie= 40% anual convertible trimestralmente = 0.40 4 m= 4
DESARROLLO: 0.40 = ( 1 + J )4 -1 4 ( 1 + J )4 = 0.40 + 1 4 ( 1 + J )4 = 1.40 4 1 + J = ( 1.40 ) 4 1 + J = 1.0877 4 J = 1.0877 - 1 4 J = 0.0877 4 J = 0.0877 ( 4 ) J= 0.3508 X 100 J= 35.08%
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Página 56
Manual de Matemáticas Financieras I
2.- Determinar la tasa nominal convertible semestralmente que produce un rendimiento anual del 35%
DATOS:
FÓRMULA:
J= ?
ie= ( 1 + J )m - 1 m
Ie= 35% anual convertible semestralmente = 0.35 2 m= 2
DESARROLLO: 0.35 = ( 1 + J )4 -1 2 ( 1 + J )4 = 0.35 + 1 2 ( 1 + J )4 = 1.35 2 1 + J = ( 1.35 ) 2 1 + J = 1.1618 2 J = 1.1618 - 1 2 J = 0.1618 2 J = 0.1618 ( 2 ) J= 0.3236 X 100 J= 32.36%
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Página 57
Manual de Matemáticas Financieras I
3.- Determinar la tasa nominal convertible mensualmente que produce un rendimiento del 7.2 anual
DATOS:
FÓRMULA:
J= ?
ie= ( 1 + J )m - 1 m
Ie= 7.2% anual Convertible mensualmente = 0.072 12 m= 12
DESARROLLO: 0.072 = ( 1 + J )12 -1 12 ( 1 + J )12 = 0.072 + 1 12 ( 1 + J )12 = 1.072 12 1 + J = ( 1.072 ) 12 1 + J = 1.0058 12 J = 1.0058 - 1 12 J = 0.0058 12 J = 0.0058 ( 12 ) J= 0.0696 X 100 J= 6.96 %
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Página 58
Manual de Matemáticas Financieras I
1.- Determinar la tasa nominal convertible trimestralmente que resulte equivalente a una tasa del 25% convertible semestralmente. DATOS:
FÓRMULA:
J= ?
( 1 + i )n = ( 1 + J )m m
ie= 25% anual
DESARROLLO: ( 1 + 0.25 )2 = ( 1 + J )4 = 4 ( 1.25 )2 = ( 1 + J )4 = 4 ( 1 + J )4 = 1.265625 4 1 + J = ( 1.265625 ) 4 1 + J = 1.06066 4 J = 1.06066 - 1 4 J = 0.06066 4 J = 0.06066 ( 4 ) J= 0.242640 X 100 J= 24.26% M= 100 ( 1 + 0.25 )2 = 1.265625 X 100 = 126.56% 2 M= 100 ( 1 + 0.25 )4 = 1.265576451 X 100 = 126.55% 4
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Página 59
Manual de Matemáticas Financieras I
2.- ¿Qué tasa nominal convertible mensualmente resulta equivalente a una tasa del 14% convertible trimestralmente.
DATOS:
FÓRMULA:
J= ?
( 1 + i )n = ( 1 + J )m m
ie= 14% anual
DESARROLLO: ( 1 + 0.14 )4 = ( 1 + J )12 = 4 12 ( 1.1475 )2 = ( 1 + J )12 = 12 ( 1 + J )12 = 1.1475 12 1 + J = ( 1.1475 ) 12 1 + J = 1.011531452 12 J = 1.011531452 - 1 12 J = 0.011531452 12 J = 0.011531452 ( 12 ) J= 0.138377428 X 100 J= 13.83% M= 100 ( 1 + 0.1383 )2 = 1.1474 X 100 = 114.74% 12 M= 100 ( 1 + 0.14 )4 = 1.14752 X 100 = 114.75% 4
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Página 60
Manual de Matemáticas Financieras I
3.- ¿Qué tasa de interés mensual resulta equivalente a una tasa del 12% semestral? DATOS:
FÓRMULA:
J= ?
( 1 + i )n = ( 1 + J )m m
ie= 12% anual
DESARROLLO: ( 1 + 0.12 )2 = ( 1 + J )12 = ( 1 + J )12 = 1.122 ( 1 + J )12 = 1.2544 1 + J = ( 1.2544 )
1+
J = 1.01906
J= 1.01906 -1 J= 0.01906
M= 100 ( 1 + 0.12 )2 = 1.25.44% M= 100 ( 1 + 0.1906 )12 = 125.44%
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Página 61
Manual de Matemáticas Financieras I
4.- ¿Qué tasa de interés trimestral resulta equivalente a una tasa del 12% semestral? DATOS:
FÓRMULA:
J= ?
( 1 + i )n = ( 1 + J )m m
ie= 12% anual
DESARROLLO: ( 1 + 0.12 )2 = ( 1 + J )4 = ( 1 + J )4 = 1.122 = ( 1 + J )4 = 1.2544 1 + J = ( 1.2544 )
1+
J = 1.0583
J= 1.0583 -1 J= 0.01583 X 100 J= 5.83%
M= 100 ( 1 + 0.12 )2 = 1.25.44% M= 100 ( 1 + 0.0583 )4 = 125.43%
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Manual de Matemáticas Financieras I
ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES A INTERÉS COMPUESTO
1.- ¿Qué cantidad debe pagarse trimestralmente para saldar una deuda de 3 pagos mensuales de $100.00 cada uno dada una tasa del 2% mensual?
i= 0.02
0
1
2
3
100 A
100 B
100 C
M= C ( 1 + i )n A M= 100 (1.02)2 = 104.04 B M= 100 (1.02)1 = 102.00 C M= 100
= 100.00 $ 306.04
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Página 63
Manual de Matemáticas Financieras I
2.- ¿Qué cantidad debe pagarse semestralmente para saldar una deuda de 3 pagos bimestrales de $300.00 cada uno dada una tasa del 3% bimestral?
i= 0.03
0
1
2
3
300 A
300 B
300 C
M= C ( 1 + i )n
A M= 300 (1.03)2 = 318.27 B M= 300 (1.03)1 = 309.00 C M= 300
= 300.00 $ 927.27
3.- Resuelva el mismo problema tomando como fecha focal el mes 0 M= C ( 1 + i )n Despejar C: C= ____M_____ ( 1 + i )n C= ___300______ = 291.26 ( 1 + 0.03 )1
C= ___300______ = 282.77 ( 1 + 0.03 )2 C= ___300______ = 274.54 ( 1 + 0.03 )3 =848.57
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Página 64
Manual de Matemáticas Financieras I
4.- Se tiene una deuda bancaria de $500,000.00 pagadera en 2 abonos de $250,000.00 cada uno a 3 y 6 meses; se desea liquidar en 3 pagos bimestrales, el primero de $100,000.00, y el segundo de $200,000.00, ¿ de cuánto será el tercer pago considerando una tasa del 36% anual convertible mensualmente?
i= 0.36%
250 000
0
1
2
Primer bimestre Pagó $100,000.00
3
250 000
4
5
6
Segundo bimestre pagó $200,000.00 Se va a actualizar 4 meses
1 M= C ( 1 + i )n 2 M= 250 000 ( 1 + 0.36 )3 = 273,181.75 12 + M= 250,000.00 TOTAL = 523,181.75
A M= 100 000 ( 1 + 0.36 )4 = 112 550.88 12 +
B M= 200 000 ( 1 + 0.36 )2 = 212,180.00 12
324,730.88
523 181.75 - 324 730.88 = 198 450.87
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Manual de Matemáticas Financieras I
5.- En la compra de una TV con valor de $3,000.00 se paga $1,500.00 de contado y se firma un documento por la diferencia a pagar a 6 meses, considerando un interés del 2% mensual ¿de cuánto es el importe del documento? i= 0.02% 3 000 – 1 500 = 1 500 M= 1 500 ( 1 + 0.02 )2 M= 1 689.24
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Manual de Matemáticas Financieras I
ANUALIDADES Conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo.
Inmediatas vencidas Diferidas ciertas Inmediatas anticipadas Diferidas
SIMPLES Inmediatas vencidas Diferidas contingentes Inmediatas anticipadas Diferidas
ANUALIDADES Inmediatas vencidas Diferidas ciertas Inmediatas anticipadas Diferidas
GENERALES Inmediatas vencidas Diferidas contingentes Inmediatas anticipadas diferidas
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Manual de Matemáticas Financieras I
TIEMPO: Anualidad Cierta: sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Anualidad Contingente:
cuando la fecha del primer pago, la fecha del último pago o ambos, no se fijan de antemano; depende de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuándo.
INTERESES: Anualidad Simple:
cuando el periodo de pago coincide con el de la capitalización de los intereses.
Anualidad General:
el periodo de pago no coincide con el periodo de
capitalización.
PAGOS: Anualidad Vencida:
los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al
final de cada periodo.
Anualidad Anticipada: los pagos se realizan al principio de cada periodo.
INICIACIÓN: Anualidad Inmediata: es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo que sigue inmediatamente a la formalización del trato.
Anualidad diferida: se pospone la realización de los cobros o pagos.
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Manual de Matemáticas Financieras I
EJEMPLOS:
De los siguientes planteamientos diga qué tipo de anualidad es:
1.- Una mina en explotación tiene una producción anual de 600.000 dólares y se calcula que se agotará en 5 años, ¿cuál es el valor actual de la producción si el rendimiento del dinero es del 11%? Anualidad simple, cierta, vencida e inmediata
2.- Una persona adquiere en Septiembre un televisor a crédito y acepta liquidarlo mediante pagos entregados al principio de cada uno de los 12 bimestres comenzando en Enero del año siguiente y con intereses del 20% anual efectivo. Anualidad general, cierta, anticipada y diferida
3.- Se vende un camión en mensualidades que deben liquidarse el primer día de cada mes a partir del próximo mes con interés del 12% anual con capitalización quincenal. Anualidad general, cierta, anticipada e inmediata
4.- El paga de la renta de una casa-habitación Anualidad simple, cierta, anticipada e inmediata
5.- Una pensión por jubilación que asigna una cantidad mensual. Anualidad simple, contingente, anticipada e inmediata
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Manual de Matemáticas Financieras I
ANUALIDADES VENCIDAS FÓRMULAS: M= R [(1 + i )n -1] i C= R [(1 + i )-n -1] i R= Renta o pago por periodo C= Capital M= Monto
PROBLEMAS: 1.- Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositan $100,000.00 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente?
DATOS:
FÓRMULA:
R= 100 000 i= 36% anual Conv. Mensualmente 0.036 12 n= 6
M= R [(1 + i )n -1] i
100 000 [ (1 + 0.36)6 -1 ] M= _____________12________ 0.36 12 M= 19 405.22965 = 0.03 M= $646,840.98
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Manual de Matemáticas Financieras I
2.- ¿ Cuál es el monto de $20,000.00 semestrales depositados durante 4 años y medio en una cuenta bancaria que rinde 18% capitalizable semestralmente? DATOS:
FÓRMULA:
R= 20 000 i= 18% anual Capitalizable semestralmente 0.18 2 n= 4 y medio = 9 semestres
M= R [(1 + i )n -1] i
20 000 [ (1 + 0.18)9 -1 ] M= _____________ 2________ 0.18 2 M= 23,437.86559 0.09 M= $260,420.72
3.- ¿Qué cantidad se acumula en una cuenta de ahorros si se depositan $200.00 mensuales durante 5 años si el banco promete 8.5% capitalizable mensualmente? DATOS:
FÓRMULA:
R= 200 i= 8.5% anual Capitalizable mensualmente 0.085 12 n= 5 años
M= R [(1 + i )n -1] i
200 [ (1 + 0.085)60 -1 ] M= ___________12________ 0.085 12 M= 105.4601195 7.083333333 M= $14,888.48
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Manual de Matemáticas Financieras I
4.- ¿Qué cantidad se acumulará en un trimestre si se depositan $100.00 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 30% anual convertible mensualmente? DATOS:
FÓRMULA:
R= 100 i= 30% anual Convertible mensualmente 0.30 12 n= 3 años
M= R [(1 + i )n -1] i
100 [ (1 + 0.30)3 -1 ] M= __________12________ 0.30 12 M= 7.6890625 0.025 M= $307.56
5.- El Dr. Chaparro deposita $100.00 al mes de haber nacido su hijo, continua haciendo depósitos mensuales por la misma cantidad hasta que su hijo cumpla 18 años, para ese día entregarle lo acumulado como regalo de cumpleaños. Suponga que durante ese tiempo la cuenta pagó 8.52% anual convertible mensualmente. DATOS:
FÓRMULA:
R= 100 i= 8.52 anual Convertible mensualmente 00852 12 n= 18 años (18 x 12)
M= R [(1 + i )n -1] i
100 [ (1 + 0.0852)216 -1 ] M= __________12________ 0.0852 12 M= 360.97856222 7.1 M= $50,842.05
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Manual de Matemáticas Financieras I
PROBLEMAS: 1.- ¿Cuál es el valor actual de una renta bimestral de $4,500.00 depositados al final de cada uno de 7 bimestres, si la tasa de interés es del 9% bimestral? DATOS:
FÓRMULA:
R= 4 500 i= 9% bimestral = 0.09%
C= R [ 1- (1 + i )n ] i
n= 7 bimestres M= 4 500 [ (1- (1 + 0.09 )-7 ] 0.09 M= $22,648.28
2.- ¿Cuál es el valor en efectivo de una anualidad de $1,000.00 al final de cada 3 meses durante 5 años, suponiendo un interés anual del 16% anual convertible trimestralmente? DATOS:
FÓRMULA:
R= 1 000 i= 16% anual Convertible trimestralmente 0.16 4 n= cada 3 meses durante 5 años = 4 x 5 = 20
C= R [ 1- (1 + i )n ] i
1 000 [ (1 + 0.16)-20 ] C= __________ 4________ 0.16 4 C= 543.6130538 0.04 C= $13,590.32
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Manual de Matemáticas Financieras I
3.- ¿Qué conviene más para comprar un auto: a) Pagar 260,000.00 de contado b) 130,000.00 de enganche y 12,000.00 al final de cada uno de los 12 meses siguientes, si el interés se calcula a razón del 18% convertible mensualmente.
DATOS:
FÓRMULA:
R= 12 000 i= 18% anual Convertible mensualmente 0.18 12 n= 12
C= R [ 1- (1 + i )n ] i
12 000 [ (1 + 0.18)- 12 ] C= __________ 12_____ = 0.18 12 C= 1963.350937 = 0.015 C= $130,890.06 + 130,000.00 260,890.06
4.-Se calculan los intereses a una tasa del 22% convertible trimestralmente, ¿qué pago único de inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $800.00 si el primero de ellos se hace dentro de 3 meses? DATOS: R= 800 i= 22% anual Convertible trimestralmente 0.22 4 n= 15 pagos trimestrales
FÓRMULA: C= R [ 1- (1 + i )n ] i
800 [ (1 + 0.22)- 15 ] C= __________ 4________ 0.22 4 C= 441.6535615 = 0.055 C= 8,030.06
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Manual de Matemáticas Financieras I
5.- Calcular monto y capital de $40,000.00 anuales durante 6 años a una tasa del 22% DATOS: R= 40 000 i= 22% anual n= 63 años
FÓRMULA: M= R [(1 + i )n -1] i C= R [ 1- (1 + i )n ] i
M= 40 000 [ (1 + 0.22)6 -1 ] 0.22 M= 91,892.15836 = 0.22 M= $417,691.6289
C= 40 000 [ 1- (1 + 0.22)-6 ] 0.22 C= 27 868.87697 = 0.22 C= $126,676.7135
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CÁLCULO DE RENTA DE UNA ANUALIDAD FÓRMULAS M= R [(1 + i )n -1] i Despejar R:
C= R [ 1- (1 + i )n ] i Despejar R:
R=
R= ____Ci_____ 1- (1 + i )n
M [(1 + i )n -1]
EJEMPLOS: 1.- Una persona adquiere hoy a crédito una computadora que cuesta $19,750.00 y conviene pagarla con 4 mensualidades vencidas, ¿cuánto tendrá que pagar cada mes si le cobran 1.8% de interés mensual? DATOS:
FÓRMULA:
C= 19,750.00 i= 1.8% interés mensual n= 4 mensualidades vencidas
R= ____Ci_____ 1-(1 + i )n
R= 19 750 ( 0.018 ) = 1-(1 + 0.018)4 R= ___355.5________ = 0.068873068 R= 5,161.66 2.- ¿Cuánto debe depositar el Sr. Juárez al final de cada mes durante los próximos 7 años en un fondo que paga 13.5% convertible mensualmente con el objeto de acumular $100,000.00 al realizar el último depósito? DATOS:
FÓRMULA:
C= 100 000 i= 13.50 conv. Mens. 0.135 12 n= 7 años (12 x 7 = 84 )
R= ____Ci_____ [(1 + i )n -1]
R= 100 000 ( 0.135/12) = [(1 + 0.135/12 )84 -1] R= 100 000 (0.01125) 1.559274728 R= 721.489
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3.- Una empresa contrata una deuda de $100,000.00 en un banco, el interés es del 22% anual convertible mensualmente, ¿cuánto tendrá que pagar mensualmente la empresa para saldar su deuda en 15 meses? DATOS:
FÓRMULA:
C= 100 000 i= 22 % anual conv. Mens. 0.22 12 n= 15 meses
R= ____Ci_____ 1- (1 + i )-n
R= 100 000 ( 0.22/12) = [(1 + 0.22/12 )-15 -1] R=
1 833.33 = 0.238533849
R= 7,685.84
4.- Laura compra a crédito un refrigerador de $6,750.00 y conviene pagarlo con 6 mensualidades vencidas, ¿cuánto tendrá que pagar al mes si le cobran 8% de interés mensual? DATOS:
FÓRMULA:
C= 6 750 i= 8% interés mensual 0.08
R= ____Ci_____ 1- (1 + i )-n
n= 6 meses R=
6 750 (0.08) = 1- (1 + 0.08)-6
R=
540 = 0.369830373
R= 1,460.12
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5.- Una empresa contrata una deuda de $1’000,000.00 con un banco. El interés es del 13% anual convertible mensualmente; ¿cuánto tendrá que pagar mensualmente para saldar su deuda en 3 años? DATOS:
FÓRMULA:
C= 1’000 000 i= 13% interés anual conv mens. 0.13/12
R= ____Ci_____ 1- (1 + i )-n
n= 3 años = 36 meses R=
1’000 000 ( 0.13/12 1- (1 + 0.13/12)-36
R= 10,833.33333 = 0.311521599 R= 33,693.95
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EJEMPLOS: 1.- Lucero debe pagar hoy $350,000.00, como no tiene esa cantidad disponible platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante 6 abonos mensuales de $62,000.00, el primero de ellos dentro de 1 mes, ¿qué tasa de interés va a pagar?
DATOS:
FÓRMULA: C= R [ 1- (1 + i )n ] i
C= 350 000 n= 6 R= 62 000 350 000 = 62 000 [ 1- (1 + i )-6 ] i 1- (1 + i )-6 = 350 000 i 62 000 1- (1 + i )-6 = 5.64516129 i
0.01
-5.79547647
X
-5.64516129
0.02
-5.60143089
0.15031518 -0.01
-0.01-X
0.19404558
0.01–X = 0.15031518 -0.01 0.19404558 0.01 –X = -0.007746385153 0.01-X = 0.7746385153 -0.01 X= 0.017746385 X 100 X= 1.77% mensual
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2.- Una lavadora cuesta $1,250.00 y se vende a 12 pagos mensuales de $125.00, el primero de ellos dentro de un mes, ¿qué tasa de interés se paga?
DATOS:
FÓRMULA:
C= 1 250
C= R [ 1- (1 + i )n ] i
n= 12 R= 125 1 250 = 125 [ 1- (1 + i )-12 ] i 1- (1 + i )-12 = 1 250 i 125 1- (1 + i )-6 = 5.64516129 i
0.02
-10.57534122 0.57534122
-0.01
-0.02-X
X 0.03
-10
0.62133723
-9.95400399
0.02–X = 0.57534122 -0.01 0.621337230 0.02 –X = 0.925972551 (-0.01) -X= 0.009259725512 – 0.02 X= 0.01010740274 X 100 X= 1.074027449% mensual
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3.- Un televisor de $449.50 se vende con $49.50 de cuota inicial y 18 pagos mensuales de $27.50, el primero de ellos dentro de un mes, ¿qué tasa de interés se va a pagar?
DATOS:
FÓRMULA:
C= 449.50
C= R [ 1- (1 + i )-n] i
n= 18 R= 27.50 449.50 – 49.50= 400 400 = 27.50 [ 1- (1 + i )-18 ] i 1- (1 + i )-18 = 400 i 27.50 1- (1 + i )-18 = 14.54545455 i
0.02
-14.99203125 0.44657625
-0.01
-0.02-X
X 0.03
14.545455
1.23851817
-13.75351308
0.02–X = 0.44657625 -0.01 1.23851817 0.02-X = 0.36057303 (-0.01) 0.02-X= -0.0036057303 -0.02 X= 0.02360573 X 100 X= 2.36% mensual
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4.- ¿A qué tasa de interés se deben hacer los depósitos semestrales vencidos de $1,200.00 para acumular $8,000.00 en 3 años?
DATOS:
FÓRMULA: M= R [ (1 + i )-n-1] i
M= 8 000 n= 3 años R= 1 200 8 000 = 1 200 [ (1 + i )6 -1] [ (1 + i )6 -1] = 8 000 = 6.666666667 1 200
0.05
6.80191281
-0.05-X -0.01
0.135246143 X 0.04
6.666666667
0.16893735
6.63297546
0.05–X = 0.135246143 0.01 0.16893735 0.05-X = 0.8005699814 (0.01) 0.05-X= -0.00800569814-0.05 X= 0.041994301X 100 X=4.199430186 %
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5.- Usted desea juntar o reunir un monto de $5,000.00, para ello lo hará mediante 5 abonos mensuales vencidos de $762.00, ¿qué tasa de interés anual debe de tener para reunir la cantidad?
DATOS:
FÓRMULA: M= R [ (1 + i )-n-1] i
M= 5 000 n= 6 abonos mensuales R= 772 5 000 = 772 [ (1 + i )5-1] [ (1 + i )5-1] = 5 000 = 6.476683938 772
0.04
6.63297546
-0.04-X
0.156291522
-0.01
X 0.03
6.476683938
0.16456558
6.46840988
0.04–X = 0.156295223 0.01 0. 16456558 0.04-X = 0.9497721819 (0.01) X= -0.00949721819 -0.05 X= -0.030502781X 100 X= 3.05%
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ANUALIDADES ANTICIPADAS
MONTO: Maa= R [(1 + i )n -1] ( 1 + i ) i Maa= R (1 + i )n+1 -1 -1 i
CAPITAL: Caa= R [ 1- (1 + i )n ] ( 1 + i ) i Maa= R 1+ (1 + i )n+1 i
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EJEMPLOS: 1.- Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $250.00 al principio de cada mes, si la cuenta paga 1.3% mensual de interés ¿cuánto habrá ahorrado durante el primer año? Maa= R [(1 + i )n -1] ( 1 + i ) i Maa= 250 [(1 + 0.13)12 -1] ( 1 + 0.013) = 3,265.98 0.013
Maa= R (1 + i )n+1 -1 -1 i
Maa= 250
(1 + 0.013 )12 +1 -1 -1 0.014
=3
2.- ¿Qué renta anual anticipada es equivalente a una renta mensual anticipada de $680.00 a una tasa de 25% convertible mensualmente? Caa= R [(1 + i )n -1] ( 1 + i ) i Caa= 680 [ 1-(1 + 0.25/12)-12 ] ( 1 + 0.25/12 = 7,304.87 0.25/12
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3.- La Sra. Gavaldón debe pagar $90,000.00 dentro de 2 años y para reunir esta cantidad decide hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 4.2% bimestral de interés, ¿de cuánto deben ser sus depósitos si hoy realiza el primero? R= _____M___ (1 + i )n + 1 -1
R= 90 000 (1 + 0.242)12 + 1 -1= 5,682.63 0.042
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ANUALIDADES GENERALES Las anualidades generales son aquellas en las que el periodo de pago no coincide con el de capitalización, por consiguiente se tiene que convertir la tasa de interés al periodo de pago. Ejemplo: Encontrar el monto de un conjunto de 4 pagos trimestrales vencidos de $5,000.00 i= 36% anual convertible mensualmente ( 1 + i )4 = ( 1 + 0.36/12 )12 ( 1 + i )4= 1.425760887 1 + i = (1.425760887) 1/4 1 + i = 1.092727 i= 1.092727 – 1 i= 0.092727 trimestral M= R [(1 + i )n -1] i M= 5 000 [(1 + 0.092727 )4 -1] 0.092727 M= 22,957.76
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Encontrar el monto de un conjunto de 10 depósitos vencidos de $2,500.00 , si el interés que se gana es del 30% convertible semestralmente ( 1 + i )12 ( 1 + 0.30/2 )2 ( 1 + i )12 = (1.15)2 1 + i = (1.3225) 1/12 i= 1.023567073 -1 i= 0.023567073 mensual M= R [(1 + i )n -1] i M= 2 500 (1 + 0.023567073 )10 -1] 0.023567073 M= 27,824.98
A qué cantidad pagada hoy equivalen 25 pagos quincenales vencidos de $280.00, si el interés es del 25% convertible semestralmente ( 1 + i )24 = (1 + 0.25/2 )2 ( 1 + i )24 = (1.265625) 1 + i = (1.265625)1/24 i= 1.009863581 -1 i= 0.009863581 quincenal C= R [ 1- (1 + i )-N] i C= 280 [ 1- (1 + 0.00986358055)-25] 0.00986358055 C= 6,176.89
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AMORTIZACIÓN En el área financiera significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos que, generalmente son iguales y se realizan a intervalo de tiempo iguales. Amortizar es extinguir una deuda actual mediante pagos periódicos.
Ejemplo: Sergio Campos contrae hoy una deuda de $95,000.00 al 18% convertible semestralmente que amortizará mediante 6 pagos semestrales iguales, el primero de los cuales vence dentro de 6 meses. a) calcular el valor de los pagos:
R= ____Ci_____ 1- (1 + i )n
R= ____95 000 (0.09)_____ 1- (1 + 0.09 )-6 R= ____8 550_____ = 8 550____ 1- (0.596267326) 0.403732674 R= 21,177.37
0 1 2 3 4 5 6
PAGO 0 21,177.37 21,177.37 21,177.37 21,177.37 21,177.37 21,177.37
INT. S/EL SALDO 0 8,550.00 7,413.54 6,174.79 4,824.55 3,352.80 1,748.59
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AMORTIZACIÓN 0 12,627.37 13,763.83 15,002.81 16,352.81 17,824.57 19,428.83
SALDO 95,000.00 82,372.63 68,608.80 53,606.21 37,253.40 19,428.83 0
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Manual de Matemáticas Financieras I
Calcule el valor de los pagos y realice la tabla de amortización para saldar un adeudo de 4,000.00 contratado al 42% convertible bimestralmente, si la deuda ha de quedar saldada al cabo de un año hacienda pagos bimestrales comenzando dentro de 2 meses.
R= ____Ci_____ 1- (1 + i )n
R= ____4 000 (0.07)_____ 1- (1 + 0.07 )-6 R= ____280_____ __= 1- 0.666342223
280____ 0.333657776
R= 839.18
BIM. 0 1 2 3 4 5 6
PAGO 0 839.18 839.18 839.18 839.18 839.18 839.18
INT. S/EL SALDO 0 280 240.85 198.97 154.16 106.20 54.90
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AMORTIZACIÓN 0 559.18 598.33 640.20 685.02 732.98 784.29
SALDO 4,000.00 3,440.82 2,842.49 2,202.29 1,517.27 784.29 0
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Manual de Matemáticas Financieras I
DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR Y SALDO A FAVOR DEL ACREEDOR Resulta fácil ver que, por ejemplo, en una operación de compra venta a crédito después de que el deudor ha realizado algunos pagos, ha adquirido parcialmente el bien, mientras que el acreedor, al haber recibido esos pagos, ya no es prioritario de todos los derechos sobre el bien, sino solo de una parte (el saldo a su favor) En general, en cualquier operación de amortización de una deuda y en cualquier momento: Derechos del Deudor + Derechos del Acreedor = Valor de la Operación
FÓRMULA: SALDO= C (1 + i)n - R [ (1 + I )n ]- 1 i
Ejemplo:
Se tiene una deuda de $80,000.00 contratado al 10% convertible semestralmente que se liquida con 6 pagos semestrales (pagos vencidos)
R= ____Ci_____ 1- (1 + i )-n
R= ____80 000 (0.05)_____ 1- (1 + 0.05 )-6 R= 15,761.39
BIM. 0 1 2 3 4 5 6
PAGO 0 15 761.39 15 761.39 15 761.39 15 761.39 15 761.39 15 761.39
INT. S/EL SALDO 0 4 000 3 411.9305 2 794.457525 2 146.110901 1 465.346946 750.5447933
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AMORTIZACIÓN 0 11,761.39 12,349.4595 12,966.93248 13,615.2791 14,296.04305 15,010.92
SALDO 80 000 68,238.61 55,889.1505 42,922.21802 29,306.93892 15,010.89587 0
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Manual de Matemáticas Financieras I
DEPRECIACIÓN Es la pérdida de valor que sufre un bien desde el momento en el que se adquiere, por el uso que se le da o bien por el transcurso mismo del tiempo; exceptuando a los terrenos y algunos metales. Esta pérdida debe reflejarse contablemente con el fin de: a) Determinar el costo de los bienes o servicios que se generan con dichos activos. b) Establecer un fondo de reserva que permita reemplazar el bien al final de su vida útil.
Cargos por depreciación: Son los cargos que periódicamente se realizan a los resultados por la depreciación del bien y se crea un fondo para contar con los recursos necesarios para reemplazarlo al concluir su vida útil.
Valor en libros: Es la diferencia entre el valor original y la depreciación acumulada a una fecha determinada, el cual no necesariamente corresponde a su valor de mercado.
Valor de salvamento o valor de desecho: Es el valor que tiene el activo al final de su vida útil, y debe ser igual al valor en libros en esa fecha.
La base de depreciación de un activo es igual a su costo original menos su valor calculado de salvamento, es la cantidad que debe ser cargada a resultados en el transcurso de su vida activa.
Agotamiento: Es el concepto que se utiliza en el caso de los activos que no pueden reemplazarse, es decir, la pérdida progresiva de valor por la reducción de su cantidad aprovechable. Ejemplo esto son las minas que, por la extracción de que son objeto, van disminuyendo paulatinamente su capacidad y su valor, hasta que se agotan totalmente.
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Manual de Matemáticas Financieras I
OBJETIVOS DE LA DEPRECIACIÓN:
1. Reflejar en los resultados la pérdida de valor del activo. 2. Crear un fondo interno para financiar la adquisición de un nuevo activo al finalizar la vida útil del antiguo.
NOTACIONES UTILIZADAS: C= Costo original del activo S= Valor de salvamento (S puede ser negativo) n= Vida útil calculada en años B = C – S= Base de depreciación del activo Dk= Cargo por depreciación por el año k(1
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