Manual matematica clasa 12, Mircea Ganga, Analiza M1

CUPRINS

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ .......................................... 3 1. PRIMITIVE ................................................................................................... 5 • Probleme care conduc la noţiunea de primitivă ............................... 9 • Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită a unei funcţii continue ..................................................................................... 21 • Probleme propuse .................................................................... 42 • Metode de calcul ale primitivelor .................................................. 50 • Metoda integrării prin părţi...................................................... 53 • Probleme propuse ............................................................. 65 • Metoda integrării prin substituţie ............................................ 68 • Probleme propuse ............................................................. 72 • Integrarea funcţiilor raţionale ......................................................... 78 • Probleme propuse .................................................................... 87 • Teste de evaluare .......................................................................... 100 2. INTEGRALA DEFINITĂ ........................................................................ 105 • Probleme care conduc la noţiunea de integrală definită ............... 107 • Integrala definită.Formula Leibniz-Newton ................................. 113 • Probleme propuse .................................................................. 119 • Integrabilitatea unei funcţii în sensul lui Riemann ....................... 122 • Probleme propuse .................................................................. 135 • Proprietăţi ale integralei definite. Integrabilitatea funcţiilor continue .............................................................................................. 137 • Probleme propuse .................................................................. 163 • Metode de calcul ale integralelor definite .................................... 170 • Metoda integrării directe ..................................…................. 170 • Probleme propuse ........................................................... 171 • Metoda integrării prin părţi ................................................... 173 • Probleme propuse ...................................….................... 178 • Metoda substituţiei ................................................................ 180 • Probleme propuse .......................................................... 192 1

• •

Aplicaţii ale integralei definite .............................................. 197 Teste de evaluare ................................................................... 217

3.TESTE DE RECAPITULARE FINALĂ ................................................ 223 • Teste pentru pregătirea examenului de bacalaureat .................... 223 • Teste pentru pregătirea examenului de admitere în facultăţi ....... 242 INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI.................................................................... 255

2

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

3

4

1. PRIMITIVE În acest capitol se evidenţiază că diferenţierea şi integrarea sunt procese inverse şi în plus a determina o primitivă înseamnă a determina aria de sub o curbă. Se definesc conceptele de primitivă a unei funcţii, definită pe un interval din
, precum şi cel de integrală nedefinită. Se dau condiţii ca o funcţie să admită primitive pe un interval şi se prezintă metode de determinare a lor: metoda directă, metoda integrării prin părţi şi metoda substituţiei. Istoric. G. W. Leibniz (1646-1716) a fost cel care a utilizat, în 29 octombrie 1645, semnul

∫ pentru integrare, derivat din prima literă a cuvântului latin „summa” (sumă). În articolul lui despre calculul diferenţial, apărut în 1684, apar scrise diferenţialele aşa cum le utilizăm şi azi. Leibniz a introdus terminologia de „calcul diferenţial” şi „calcul integral”, deoarece determinarea dreptelor tangente la curbe implică diferenţele şi determinarea ariilor implică sumele. Istoric, ideea de calcul integral a fost dezvoltată cu mult înainte de cea legată de calculul diferenţial. Dacă diferenţierea a fost creată plecând de la problema tangentelor la curbe şi de probleme de minim şi maxim pentru funcţii, integrarea s-a dezvoltat ca proces de sumare pentru calculul ariilor unor suprafeţe sau calculul volumelor unor corpuri. Calculul diferenţial studiază cât de repede se schimbă o funcţie într-un punct, în timp ce calculul integral studiază ariile delimitate de curbe şi este utilizat la calculul sumării continue (în opoziţie cu sumarea discretă). Arhimede (287-212 Î.C.) a avut ideea ingenioasă, în dorinţa de a calcula aria unei regiuni plane, de a impărţi această regiune într-un număr mare de „benzi înguste” şi de a însuma ariile acestor regiuni pentru a obţine aria figurii date. Această idee a fost redescoperită în Europa în secolul al XVII-lea, când legătura inversă între determinarea ariei sub curbă şi construirea tangentei la curbe a fost stabilită. Sir I. Newton (1642-1727) a fost primul matematician care a tratat integrarea ca proces „invers” al diferenţierii. „the method of tangents ... extends itself not only to the drawing of tangents to any curved lines ... but also to the resolving... of problems about areas, lengths, centres of gravity etc.” (Newton, Principia, 1687)

„Les élements de calcul différential que M. Euler publia il y a quelques années, faisoinent désirer depuis longtemps le calcul intégral qui devoit en être la suite...”

• Probleme care conduc la noţiunea de primitivă …………………................... 9 • Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită a unei funcţii ……......…... 21 • Probleme propuse ………...… 42 • Metode de calcul ale primitivelor …………………………............….….. 50 • Metoda integrării prin părţi …………………………………... 53

• Probleme propuse………..... 65 • Metoda integrării prin substituţie ………............................. 68 • Probleme propuse……......... 72 • Integrarea funcţiilor raţionale……... 78 • Probleme propuse …………….. 87 • Teste de evaluare ……………….….. 100

(Journal des Sçavans, 1769)

5

1.1. PRELIMINARII Noţiunea de primitivă leagă între ele două concepte fundamentale ale Analizei matematice, derivata şi integrala. Integrarea este considerată ca operaţie inversă (într-un anumit sens) a derivării. Propunem în continuare câteva exemple de operaţii inverse pentru a ilustra unele caracteristici ale acestora. Exemple. 1. Find date două numere reale oarecare a,b, atunci se poate calcula suma lor s = a + b .Invers, se pot determina perechile de numere (a,b) ∈
2 cu suma s cunoscută. Există o infinitate de astfel de cupluri (sunt situate pe o dreaptă de ecuaţie x + y = s ). Deci în acest caz problema are o infinitate de soluţii.

2. Dat fiind numărul real b , atunci se poate calcula b 2 (pătratul lui b). Invers, se poate găsi un număr real pozitiv r , al cărui pătrat să fie c ≥ 0. Deci r 2 = c, iar de aici r = c (rădăcina pătrată a numărului pozitiv c). Aici dacă c < 0 , nu există număr real r pentru care r 2 = c. Deci problema n-are soluţie. Pentru c ≥ 0. avem răspuns favorabil (numărul r este unic). 3. Fiind dată o dreaptă d în plan şi A ∉ d , prin proiecţia ortogonală a lui A pe d se înţelege punctul A* ∈ d astfel încât AA* ⊥ d . Invers, se poate cerceta dacă există aplicaţia inversă celei descrise. Adică pentru A* ∈ d , există un punct A din plan pentru care proiecţia lui să fie A* ? Se constată că există o infinitate de puncte (toate punctele de pe dreapta d' , care trece prin A* şi d' ⊥ d ).

1.2. DERIVATE În orice curs de Analiză matematică capitolul Primitive urmează celui care se referă la Derivate. Este deci util să fie cunoscut acest din urmă capitol. Vom reaminti principalele operaţii cu funcţii derivabile. Fie f,g :
→
, două funcţii derivabile. Atunci:

6

1) f + g este derivabilă şi (f + g)' = f ' + g' (Sumă de funcţii derivabile este o funcţie derivabilă) 2) αf este derivabilă şi (αf)' = αf ', ∀α ∈
(Înmulţirea unei funcţii derivabile cu o constantă este o funcţie derivabilă) 3) fg este derivabilă şi ( fg ) ' = f ' g + fg ' (Produs de funcţii derivabile este o funcţie derivabilă) '

 f  f f ' g − fg ' este o funcţie derivabilă şi   = ,g≠0 g g2 g (Cât de funcţii derivabile este o funcţie derivabilă în punctele x, g ( x ) ≠ 0 )

4)

5) f  g este o funcţie derivabilă şi ( f  g ) ' = f ' ( g ) ⋅ g ' (Compunere de funcţii derivabile este o funcţie derivabilă)

Exerciţii rezolvate Să se calculeze derivatele funcţiilor de mai jos: 10

1. f ( x ) = ( 2 x + 1) , x ∈
. 9

9

9

R. f ' ( x ) = 10 ( 2 x + 1) ( 2 x + 1) ' = 10 ( 2 x + 1) ⋅ 2 = 20 ( 2 x + 1) . 5

 x −1 2. f ( x ) =   , x ≠ −1 .  x +1 4 ' 4  x -1   x − 1   x − 1  ( x − 1) ' ( x + 1) − ( x − 1)( x + 1) ' R. f ( x ) = 5  = 5 =       x +1   x + 1   x +1  ( x + 1)2 4

4 ( x − 1) .  x −1  x + 1 − x + 1 = 5 = 10  2  x + 1  ( x + 1) ( x + 1)6

3. f ( x ) = x 2 − 1, x ∈ ( −∞ , −1) ∪ ( 1, ∞ ) .

R. f ' ( x ) =

1 2 x

2

2

( x − 1)' = 2 −1

2x 2

x −1

=

x

.

2

x −1

4. f ( x ) = ln x 4 + 1 , x ∈
.

(

)

7

4

4 x3

4

x4 + 1

( x + 1)' =

R. f ' ( x ) =

x +1

.

5. f ( x ) = sin x 5 , x ∈
. R. f ' ( x ) = cos x5 ⋅ x5 ' = 5 x 4 cos x5.

( )

Probleme propuse 1. Să se calculeze derivatele următoarelor funcţii, indicând domeniul de definiţie şi de derivabilitate. 5

4

2

(

)

1) f ( x ) = 3 x + 1 ; 2) f ( x ) = x

2

(

 x2  3 x + x + 1 ; 3) f ( x ) =  2 ;  x + 1    5

3

2

)

x

4) f ( x ) = x 2 + 1; 5) f ( x ) = 2

x −1 x ; 6) f ( x ) = ln 2 ; 7) f ( x ) = e x + 1 ; x+1 x +1

3

8) f ( x ) = 2 x + e x ; 9) f ( x ) = sin 3 x; 10) f ( x ) = sin x ; 11) f ( x ) = sin x 3 ⋅ cos2 x; 12) f ( x ) = cos e x ; 13) f ( x ) = tg ( sin x ) ; 14) f ( x ) = sin 3 x + cos 2 x ⋅ ln x;

(

15) f ( x ) =

sin x 1 + cos 2 x

; 16) f ( x ) = arcsin

1 x2

)

1 ; 17) f ( x ) = arctg ; x

18) f ( x ) = arctg e x ; 19) f ( x ) = ln 2 x ; 20) f ( x ) = e 21) f ( x ) = sin 3 arctg x 2 + 2 x ; 22) f ( x ) = sin 3

(

(

))

(

);

x 2 − x ; 23) f ( x ) = 3 x

)

2 +2x

 x3 2   1− x   +x      1+ x  ; 25) f ( x ) = x 2 + 2 x e  3 .

arccos

24) f ( x ) = 2

(

sin x 2 + x

(

)

2. Se consideră f , g , h :
→
; funcţii derivabile şi

f ( 0 ) = 0, f ' ( 0 ) = 1, f ( 1) = 1, f ' ( 1) = 0, f ( 2 ) = 2, f ' ( 2 ) = 1, g ( 0 ) = 1, g '( 0 ) = 2, g ( 1) = 1, g ' ( 1) = 0, g ( 2 ) = 2, g '( 2 ) = 1, h ( 0 ) = 2, h ' ( 0 ) = 1, h ( 1) = 1, h ' ( 1) = 2, h ( 2 ) = 0, h ' ( 2 ) = 2. Să se calculeze: 1) ( f  g ) ' ( 0 ) ; 2) ( f  g ) '( 1) ; 3) ( f  g ) ' ( 2 ) ; 4) ( g  h ) ' ( 0 ) ; 5) ( g  h ) ' ( 1) ; 6) ( g  h ) ' ( 2 ) ; 7) ( f  g  h ) ' ( 0 ) ; 8) ( f  g  h ) ' ( 1) ; 9) ( f  g  h ) ' ( 2 ) ; 10) ( g  f  h ) '( 1) ; 11) ( h  f  g ) ' ( 1) ; 12) ( f  h  g ) ' ( 2 ) .

8

;

1.3. PROBLEME CARE CONDUC LA NOŢIUNEA DE PRIMITIVĂ Anul trecut la analiză matematică, la calcul diferenţial problema centrală a fost de a determina f ' dacă se cunoaşte f funcţie derivabilă (operaţia directă). În acest an la calcul integral problema fundamentală este de a determina funcţia F derivabilă dacă se cunoaşte derivata sa F ' = f (operaţia inversă). La operaţia directă pentru o funcţie derivabilă f avem o unică funcţie f ' (derivata lui f ). La operaţia inversă pentru o derivată dată f se obţine o mulţime infinită de funcţii F cu F ' = f (orice funcţie F + c, c constantă, verifică egalitatea ( F + c ) ' = f ). Trei probleme, două de geometrie şi alta de mecanică, au condus la noţiunea de primitivă

1) Problema inversă a tangentelor. 2) Exprimarea ariei printr-o integrală. 3) Legea de mişcare a unui punct material. Le analizăm în continuare. 1) Problema inversă a tangentelor Următoarea problemă de natură geometrică ne conduce la noţiunea de primitivă a unei funcţii: Să se determine funcţiile G :
→
pentru care panta tangentei la graficul lui G în punctul M ( x , G ( x ) ) este g ( x ) = x 2 , ∀x ∈
. Ştim din anul precedent că panta tangentei în M la graficul lui G este dată de formula mx = G ' ( x ) . Deci trebuie determinată funcţia G care verifică egalitatea G ' ( x ) = x 2 = g ( x ) . În cazul în care există G, ea se numeşte o primitivă a lui g pe
.

Aici se constată uşor că G ( x ) = De asemenea, G1 ( x ) = Gc ( x ) =

x3 este una din funcţiile căutate. 3

x3 + 1 este soluţie pentru G ' ( x ) = x 2 şi mai general 3

x3 2 + c , c ∈
este soluţie. Ecuaţia G ' ( x ) = x se numeşte ecuaţie 3

diferenţială, iar G1 este o soluţie particulară a ei, şi Gc este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale.

9

Schematic: Se caută funcţia x → G ( x)

x → g ( x) Funcţia dată

astfel încât G ' ( x ) = g ( x ) , ∀x

Să observăm că: 1) funcţia G trebuie să fie derivabilă pe
şi în plus G ' ( x ) = g ( x ) , ∀x ∈
. 2) funcţia G1 :
→
, G1 ( x ) = G ( x ) + c, c constantă reală, este, de asemenea, o primitivă a lui g ( G1 ' este derivabilă şi G1 ' = ( G + c ) ' = G '+ 0 = g ). 2) Exprimarea ariei printr-o integrală Exemplul care urmează leagă noţiunea de arie cu primitivele unei funcţii şi constituie un suport pentru înţelegerea proprietăţilor integralei.

Fie f :
→
, f ( x ) = x 2 , iar graficul acestei funcţii este parabola P (Fig.1.a)

Fig. 1

10

Pentru orice x ≥ 0 , notăm cu S ( x ) aria domeniului delimitat de axa Ox, de parabola P şi dreapta paralelă cu Oy dusă prin punctul P (de pe parabolă) de abscisă x (pe figură domeniul apare haşurat). Fie x0 ≥ 0 , un număr real fixat şi h > 0 . Atunci: 2

x02 h ≤ S ( x0 + h ) − S ( x0 ) ≤ ( x0 + h ) h (Fig. 1. b,c,d) sau

x02 ≤

S ( x0 + h ) − S ( x0 )

( x0 + h ) − x0

2

≤ ( x0 + h ) , (1) .

Trecem în (1) la limită după h → 0 şi se obţine (criteriul „cleştelui”) Sd' ( x0 ) = x02 . Pentru h < 0 cu x0 + h ≥ 0 au loc inegalităţile de sens contrar şi deci Sd' ( x0 ) = x02 . Din Sd' ( x0 ) = S d' ( x0 ) = x02 rezultă S ' ( x0 ) = x02 = f ( x0 ) . Cum x0 ∈ [ 0, ∞ ) a fost ales arbitrar deducem că S : [ 0, ∞ ) → » este o funcţie derivabilă cu S ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ≥ 0 şi în plus S ( 0 ) = 0 . Această funcţie este S ( x ) =

x3 . Spunem că S este o primitivă a 3

lui f ( S derivabilă şi S ' = f ). Schematic: Se caută funcţia x → S ( x)

x → f ( x) Funcţia dată

astfel încât S ' ( x ) = f ( x ) , ∀x

Mai general, vom prezenta o schiţă a interpretării funcţiei primitive ca arie a unei figuri curbilinii. Deoarece noţiunea de primitivă este legată istoriceşte în mod foarte strâns de problema determinării ariei, o vom ilustra în cele ce urmează. Fie f : [ a, b ] → [ 0, ∞ ) o funcţie continuă. Figura mărginită de graficul funcţiei, axa Ox şi de dreptele x = a, x = b o vom numi trapez curbiliniu (Fig. 2.a)

Fig.2

11

Fig. 2 Studiind aria figurii variabile AM 0 N 0 D (Fig.2.b) cuprinsă între graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele x = a, x = x0 (unde x0 este abscisa punctului M 0 situate între A şi B) vom încerca să determinăm aria figurii ABCD. Când x0 variază, aria figurii AM 0 N 0 D va lua diferite valori, dar de fiecare dată o valoare bine precizată, ceea ce arată că aria trapezului curbiliniu AM 0 N 0 D este o anumită funcţie de x0 definită pe intervalul [ a, b ] , pe care o vom nota cu S ( x0 ) . Deci S : [ a, b ] → [ 0, ∞ ) . Pentru x = x0 + h, h > 0 , obţinem aria S ( x0 + h ) . Atunci S ( x0 + h ) − S ( x0 ) (Fig. 2.c) reprezintă creşterea ariei în punctul x = x0 + h , corespunzătoare creşterii argumentului, x0 + h − x0 = h . Funcţia f fiind continuă pe

[ x0 , x0 + h] există

este mărginită şi îşi atinge marginile pe acest interval (Weierstrass). Deci numerele

m,

M

pentru

care

m = inf f ( x ) = f ( α ) , x0 ≤ x ≤ x0 + h

M = sup f ( x ) = f ( β ) , α, β∈ [ x0 , x0 + h ] şi m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ [ x0 , x0 + h ] . x0 ≤ x ≤ x0 + h

De aici mh ≤ S ( x0 + h ) − S ( x0 ) ≤ M ⋅ h (Fig. 2.c), d), e)) sau m≤

S ( x0 + h ) − S ( x0 ) h

≤ M . Dacă h → 0 , atunci datorită continuităţii lui f , m, M

12

S ( x0 + h ) − S ( x0 ) vor tinde către f ( x0 ) şi deci Sd' ( x0 ) = lim = f ( x0 ) . Analog se h →0 x0 + h − x0

arată că S s' ( x0 ) = f ( x0 ) şi deci S' ( x0 ) = f ( x0 ) . Schematic, derularea raţionamentului de mai sus poate fi redat ca în Fig. 3.

Fig. 3 Dacă x0 = a sau x0 = b , atunci se va calcula o singură derivată laterală (la dreapta şi respectiv la stânga). S-a ajuns astfel la următoarea teoremă remarcabilă (numită de obicei teorema Leibniz-Newton). Derivata ariei variabile S ( x ) în raport cu abscisa x este egală cu ordonata y = f ( x ) , adică S' ( x ) = f ( x ) . Această funcţie primitivă S ( S este o primitvă a lui f dacă: 1) S derivabilă pe

[ a, b] ; 2) S ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ [ a, b,] )

se distinge dintre toate celelalte funcţii primitive prin faptul că devine egală cu zero când x = a . De aceea, dacă se cunoaşte o primitivă F oarecare a lui f şi dacă S ( x ) = F ( x ) + k , k = constantă, atunci k se determină din

13

cerinţa S ( a ) = 0 când S ( a ) = F ( a ) + k şi de aici k = − F ( a ) . Aşadar S ( x) = F ( x) − F (a) . În particular, pentru a găsi aria S a întregului trapez ABCD trebuie ca x = b , când avem: S = F ( b ) − F ( a ) . x

Se notează S ( x ) =

∫ f (t )dt (citim: integrală definită de la a la x din f ). a

Din cele spuse mai sus S ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] . Atunci aria trapezului curbiliniu b

ABCD este egală cu S =

∫ f ( t ) dt = F ( b ) − F ( a ) , unde F este o primitivă a funcţiei f a

[ a, b,] (F ∀x ∈ [ a, b ] ).

pe

are proprietăţile: 1)F derivabilă pe

[ a, b ]

şi 2) F ' ( x ) = f ( x ) ,

3) Legea de mişcare a unui punct material Rezolvarea unei probleme de fizică ne conduce, de asemenea, la conceptul de primitivă a unei funcţii. Un punct mobil se deplasează pe o axă cu viteza v ( t ) , t ∈ 0, t 0  . Să se determine spaţiul s ( t ) parcurs în t unităţi de timp, dacă s ( 0 ) = 0 (condiţie iniţială).

Am văzut anul precedent, la derivate, că s ' ( t ) = v ( t ) , ∀t ≥ 0 şi în acest fel ajungem ca şi în cazurile discutate mai sus (1) şi 2)) la acelaşi tip de problemă: Să determinăm o funcţie derivabilă s : [ 0, t0 ] →
cu proprietatea

s ' ( t ) = v ( t ) , ∀t ≥ 0 şi s ( 0 ) = 0 . Funcţia spaţiu s de determinat reprezintă o primitivă pentru funcţia viteză v dată.

Schematic: t → v (t ) Funcţia dată

Se caută funcţia t → s (t ) astfel încât s ' ( t ) = v ( t ) , ∀t ≥ 0, s ( 0 ) = 0

14

t3 t2 − + t + c este funcţia spaţiu. 3 2 Funcţia s este derivabilă pe [ 0,5] şi s ' ( t ) = v ( t ) , ∀t ∈ [ 0,5] .

Exemplu. Fie v ( t ) = t 2 − t + 1, t ∈ [ 0,5] . Atunci s ( t ) =

Din s ( 0 ) = 0 rezultă c = 0 şi în final s ( t ) =

t3 t2 − +t . 3 2

Analog, dacă a este acceleraţia, atunci v ' ( t ) = a ( t ) . Şi aceasta este o problemă de tipul de mai sus. Schematic: Se caută funcţia t → v (t )

t → a (t ) Funcţia dată

astfel încât v ' ( t ) = a ( t ) , ∀t ≥ 0, v ( 0 ) = v0 Exemplu. O particulă pleacă din originea O cu viteza 5m / s şi se mişcă de-a lungul axei Ox cu acceleraţia −3t 2 la momentul t secunde după ce pleacă din O. Să descriem mişcarea ei după 1s, 2s, 3s. Din a ( t ) = v ' ( t ) = −3t 2 rezultă v ( t ) = − t 3 + c1 . Din v ( 0 ) = 5 ⇒ c1 = 5 şi deci v ( t ) = − t 3 + 5 . Din v ( t ) = s '( t ) = − t 3 + 5 , deducem s ( t ) = −

t4 + 5t + c2 , iar din s ( 0 ) = 0 rezultă 4

c2 = 0 .

t4 t4 + 5t . După t secunde avem: a ( t ) = −3t 2 , v ( t ) = − t 3 + 5, s ( t ) = − + 5t . 4 4 19 După 1s, a = −3, v = 4, s = . După 2s, a = −12, v = −3, s = 6 , iar după 3s, a = −27, 4 21 v = −22, s = − (vezi Fig. 4). 4 Valoarea negativă pentru s arată că particula se deplasează la stânga lui O. Deci s ( t ) = −

Fig. 4 Plecând de la legea de mişcare t → s ( t ) , prin derivare se obţin v ( t ) şi respectiv

a ( t ) , iar plecând de la a ( t ) , prin integrare se determină v ( t ) şi s ( t ) .

15

Schematic: DERIVARE

s (t )

v (t ) = s ' (t )

a (t ) = v ' (t )

INTEGRARE

În general, dacă f : Ι →
, Ι interval, este, este o funcţie indefinit derivabilă atunci DERIVARE

f

f'

f ''

… …

f (n)

f ( n +1)

INTEGRARE

Să reţinem că: prin derivarea unei funcţii se obţine o funcţie unică, iar prin integrarea unei funcţii se obţin o infinitate de funcţii (dacă este dată o condiţie pentru primitive, atunci primitiva este unică).

Exemplu.

În general

16

Excursie matematică

(facultativ)

* * * * * 1) Dobânda compusă Am văzut în clasa a X-a, la “Creştere şi descreştere exponenţială”, că dacă o sumă S0 este depusă la o bancă cu dobânda anuală de d %, cu capitalizare, atunci n

după n ani suma din bancă este S ( n ) = S0 ⋅ (1 + d % ) . Să analizăm cazul continuu, când suma S0 este depusă la o bancă unde dobânda este egală cu r. Dacă dobânda după fiecare an se adaugă sumei din cont, atunci dobânda se numeşte compusă; dacă se adaugă de două ori pe an, atunci dobânda este semianuală; dacă se adaugă de patru ori pe an, atunci dobânda este trimestrială etc. Dobânda poate fi creditată în fiecare zi, fiecare oră, fiecare secundă etc. În cazul limită, dobânda poate fi creditată instantaneu. Este ceea ce economiştii numesc compunere continuă. Formula este dată de S ( t ) = S 0 ⋅ ert , unde t este măsurat în ani, S ( t ) este suma din bancă după t ani, S0 = S ( 0 ) = suma (investiţia) iniţială, iar r este dobânda anuală, r = dobânda nominală şi se exprimă de regulă în procente. Pentru t fixat şi h o creştere mică de timp avem: r ⋅ h ⋅ S ( t ) ≤ S ( t + h ) − S ( t ) ≤ r ⋅ h ⋅ S ( t + h ) , unde S ( t + h ) − S ( t ) = dobânda câştigată în intervalul de timp [t , t + h ] . S (t + h) − S (t )

≤ r ⋅ S ( t + h ) .Presupunem că S este funcţia h continuă de t. Trecând în ultimile inegalităţi la limită după h → 0 rezultă S (t + h) − S (t ) lim = r ⋅ S ( t ) sau S ' ( t ) = r ⋅ S ( t ) . Dacă S ( t ) > 0, ∀t , atunci h →0 h S '(t ) = r implică ln S ( t ) = r ⋅ t + c sau S ( t ) = ec ⋅ ert = k ⋅ e rt , unde k = S ( 0 ) = S0 . S (t )

De aici

r ⋅ S (t ) ≤

Deci S ( t ) = S0 ⋅ e rt . Altfel din S ' ( t ) = r ⋅ S ( t ) , avem: S ' ( t ) − r ⋅ S ( t ) = 0 sau S '⋅ e − rt − − r ⋅ e − rt ⋅ S = 0 sau S ⋅ e− rt ' = 0 sau S ⋅ e − rt = c, c = constantă. Deci S ( t ) = c ⋅ ert .

(

)

Pentru t = 0 rezultă S ( 0 ) = c . Deci S ( t ) = S0 ⋅ ert .

17

2) Utilizarea integrării şi derivării într-o situaţie de afaceri Venitul total (în mii € ) obţinut din vânzarea a x (în sute) obiecte într-o anume zi este dat de V , care este o funcţie de variabilă x . Se ştie că V' ( x ) = 20 − 4 x . a) Să se determine funcţia venit total V . b) Să se determine numărul de obiecte vândute într-o anume zi care maximizează venitul total. R. Precizăm că V : [ 0, ∞ ) →
este o funcţie reală. a) Din V ' ( x ) = 20 − 4 x , prin integrare rezultă V ( x ) = 20 x − 2 x 2 + c . Pentru x = 0 , evident V ( 0 ) = 0 . Deci c = 0 şi V ( x ) = 20 x − 2 x 2 .

b) Se rezolvă ecuaţia V ' ( x ) = 0 şi avem 20 − 4 x = 0 , adică x = 5 . Deci pentru x = 500 obiecte max V = 50000 € .

vândute

într-o

zi,

max V ( x ) = V ( 5 ) = 50 ,

adică

3) Creştere şi descreştere exponenţială Am văzut în clasa a X-a că funcţia N, care creşte sau descreşte, cu un procent constant, poate fi descrisă sub forma N : [ 0, ∞ ) →
, N ( t ) = N 0 ekt , N 0 = N ( 0 ) , k = rata de creştere. Pentru k > 0 , N arată o creştere exponenţială, iar pentru k < 0 , N descrie o descreştere exponenţială. În cele ce urmează găsim forma funcţiei N, din ecuaţia pe care o verifică. În condiţii ideale (spaţiu nelimitat, hrană abundentă, imunitate la boli etc.) viteza de creştere a populaţiei P la momentul t este proporţională cu mărimea populaţiei la

momentul t. Deci P' ( t ) = kP ( t ) , k > 0 (numită creştere constantă – în unele cazuri dată în procente – (de exemplu k = 3% se scrie k = 0,03 ). Din P ( t ) ≠ 0 ⇒

P '(t ) P (t )

=k,

iar de aici prin integrare ln P ( t ) = kt + c sau P ( t ) = ec ⋅ e kt = P ( 0 ) ekt . Altfel din P ' ( t ) − kP ( t ) = 0 rezultă P ' ( t ) e − kt − ke − kt ⋅ P ( t ) = 0 sau

− kt

( P (t ) e ) ' =

= 0 , iar de aici P ( t ) e− kt = c, c = constantă. Deci P ( t ) = ce kt . Pentru t = 0 , avem P ( 0 ) = P0 = c . Deci P ( t ) = P0 ekt . Se spune că populaţia creşte exponenţial. Modelul prezentat este un model ideal, dar în realitate (lipsă de hrană, boli etc.) viteza de creştere a populaţiei nu este continuă, proporţională cu mărimea populaţiei.

18

Exemplu. Numărul de bacterii într-o anumită cultură are o viteză de creştere proporţională cu numărul lor la momentul prezent. Ştiind că la momentul t = 0 sunt 1000 bacterii şi că după 2 ore sunt 1500 să se determine: 1) numărul de bacterii din cultură la momentul t . 2) după cât timp numărul lor se va dubla. 1 3 R.1) Avem P ( t ) = 1000e kt . Din P ( 2 ) = 1500 rezultă k = ln   ≈ 0,203 . De aici 2 2 P ( t ) = 1000e0,203t .

2) Din P ( t ) = 2000 rezultă t =

ln 2 ≈ 3, 4 ore. 0, 203

Probleme propuse 1.Într-un liceu sunt 1000 elevi. Viteza cu care se răspândeşte un zvon printre ei este exponenţială. Notăm N ( t ) numărul elevilor din liceu care au auzit zvonul după t zile, N ( t ) = 2e1,24t . 1) Determinaţi ecuaţia diferenţială pe care o verifică N . 2) Câţi elevi au aflat zvonul la început, t = 0 ? 3) Câţi elevi au aflat zvonul după 5 zile? 2. Viteza de descreştere a unei substanţe radioactive este proporţională cu cantitatea de substanţă prezentă. O treime din substanţa radioactivă scade la fiecare 5 ani. Astăzi avem A ( 0 ) = A0 grame de substanţă. 1) Să se determine constanta de descreştere şi să se determine cantitatea de substanţă care rămâne după t ani. 2) Să se determine timpul de înjumătăţire al substanţei radioactive (=timpul necesar pentru ca jumătate din substanţa radioactivă să se reducă). 3. Din cauza inflaţiei, preţurile cresc anual. Preţul P după t ani este dat de P ( t ) = P0 e0,05t , unde P0 este preţul iniţial.

1) Arătaţi că P verifică ecuaţia P ' ( t ) = 0,05 P ( t ) . 2) Dacă un litru de lapte costă 1€ , cât va costa după un an? 3) Dar după 3 ani? 4. O casă costă 100 000 € , iar valoarea ei creşte cu 5% pe an. 1) Determinaţi valoarea ei după t ani. 2) Care va fi valoarea ei după 10 ani? 3) După câţi ani casa îşi va dubla valoarea?

19

5. Producătorul unei emisiuni de televiziune doreşte să ştie cum va evolua numărul celor care-i urmăresc emisiunea. Un matematician i-a propus formula V ( t ) = 100 000e0,095t , unde t este numărul de săptămâni. 1) Câţi telespectatori a avut emisiunea la început, t = 0 ? 2) După câte săptămâni vor fi de cinci ori mai mulţi telespectatori decât la început? * * * * *

Exerciţii propuse 1. Fie g :
→
, g ( x ) = x 2 − x . Să se determine funcţia G :
→
pentru care panta tangentei la graficul lui G în punctul

( x ,G ( x ) )

este g ( x ) , ∀x ∈
şi G conţine punctul

( −1,1) .

1 , iar S : [1, ∞ ) → [ 0, ∞ ) , aria domeniului delimitat de graficul x lui g, axa Ox şi dreptele paralele cu Oy, care trec prin punctele A şi M de pe graficul lui g de abscise 1 şi x ( ≥ 1) . Fie x0 ≥ 1 , număr fixat.

2. Fie g : ( 0, ∞ ) →
, g ( x ) =

S ( x 0 + h ) − S ( x0 ) 1 1 ≤ ≤ , (1). x0 + h h x0

1)

Pentru h > 0 , arătaţi că

2)

Dacă h < 0 şi x0 + h ≥ 1 stabiliţi o relaţie similară cu (1).

3)

Deduceţi că S este derivabilă în x0 şi S ' ( x0 ) =

1 = g ( x0 ) . x0

4) Arătaţi că S este o primitivă pe [1, ∞ ) a lui g. Deduceţi că S ( x ) = ln x , x ≥ 1 . 3. Un obiect se mişcă de-a lungul unei axe cu viteza v ( t ) = t 2 − 3t + 2 unităţi pe secundă. În poziţia iniţială (la t = 0 ) obiectul se află la 2 unităţi la dreapta originii. Determinaţi poziţia obiectului după 4 secunde. 4. Un obiect se mişcă de-a lungul unei axe cu acceleraţia a ( t ) = 2t − 2 unităţi pe secundă. În poziţia iniţială (la t = 0 ) se află la 5 unităţi la dreapta originii. O secundă mai târziu se mişcă la stânga cu viteza de 4 unităţi pe secundă. Determinaţi poziţia obiectului după t=4 secunde. 5. Fie a, v, s acceleraţia, viteza şi respectiv spaţiul parcurs de o particulă care pleacă din O şi se deplasează de-a lungul axei Ox. Determinaţi v şi s după timpul t , în cazurile: 1 1) a = t + 1, s ( 0 ) = 0, v ( 0 ) = 2 ; 2) a = sin t , s ( 0 ) = 2, v ( 0 ) = ; 3 1 t 3) a = e , s ( 0 ) = 0, v ( 0 ) = 3 ; 4) a = , s ( 0 ) = 1, v ( 0 ) = 5 . t +1

20

6. În exerciţiul de mai jos, determinaţi g dacă (pe rând) 1) g ' ( x ) = − x + 3, g ( 1) = 0 ; 2) g ' ( x ) = 2 x + 3, g ( −1) = 2 ; 3) g ' ( x ) = x 2 − 3 x , g ( 2 ) = 1 ; 4) g ' ( x ) = sin x , g ( 0 ) = 3 ; 5) g ''( x ) = x + 1, g ' ( 0 ) = 1, g ( 0 ) = −1 ; 6) g ''( x ) = x 2 − x , g '( 0 ) = 0, g ( 0 ) = 1 ; 7) g ''( x ) = sin x , g ' ( 0 ) = −2, g ( 0 ) = 1 . 7. Determinaţi ecuaţia curbei y = g ( x ) dacă se dă panta y ' şi punctul A ( x0 , y0 ) aparţine curbei (în cazurile): 1) y ' ( x ) = 2 x + 1, ( 1,3 ) ; 2) y ' ( x ) = e x , ( 0,5 ) ; 3) y ' ( x ) =

1 2

x +1

, ( 0,1) .

8. Să se determine soluţiile generale ale ecuaţiilor diferenţiale: 1) y ' = 3 x + 1; 2) y ' = 2 x 2 − 3 x; 3) y ' = 2 x 3 − 3 x 2 + x .

1.4. PRIMITIVELE UNEI FUNCŢII. INTEGRALA NEDEFINITĂ A UNEI FUNCŢII Fie g : I →
, I interval. Ne propunem să determinăm o funcţie derivabilă G : I →
, care să aibă proprietatea că în fiecare punct al intervalului I derivata ei să fie G ' ( x ) = g ( x ) , ∀x ∈ I . Funcţia G se numeşte funcţie primitivă a funcţiei g pe intervalul I. Problema determinării primitivei unei funcţii date conţine alte trei probleme: a) O problemă de existenţă. Trebuie să arătăm că problema pusă nu este fără obiect, adică astfel de funcţii G există. b) Gradul de generalitate al soluţiei. Trebuie cercetat, în cazul când există, dacă soluţia este unică sau sunt mai multe soluţii; în cazul când soluţia nu este unică să găsim forma ei generală. c) Determinarea funcţiei G. Trebuie să stabilim metodele pentru determinarea funcţiei G a cărei derivată este g. Pentru punctul b) răspundem acum. Să presupunem că există funcţii G şi fie G1 , G2 două

primitive.

Avem

G1' ( x ) == G2' ( x ) = g ( x ) , ∀x ∈ I .

( G1 − G2 ) ' ( x ) = 0, ∀x ∈ I . Atunci (o consecinţă a teoremei G1 ( x ) − G2 ( x ) = c, ∀x ∈ I , unde c este o constantă arbitrară.

De lui

aici

Lagrange)

Aşadar am obţinut rezultatul următor: Dacă există o primitivă G, atunci există o infinitate care diferă de G printr-o constantă arbitrară.

21

Toate primitivele se obţin dintr-una (din G) printr-o deplasare paralelă cu axa Oy (Fig. 5), deci soluţia generală (dacă există) este formată dintr-o familie de curbe paralele, numite astfel deoarece tangentele la curbele din familie în punctele de intersecţie cu o '

paralelă la axa Oy, x = x0 sunt paralele, tgθ = G ( x ) + C  = g ( x0 ) . S-a văzut la x = x0 capitolul Derivate că dacă f : I →
este o funcţie cunoscută (dată) derivabilă pe I, atunci f ' : I →
se poate calcula (afla) şi se numeşte funcţia derivată a lui f . Este posibil să inversăm această problemă în sensul schimbării rolurilor funcţiilor cunoscute (date) şi calculate (aflate). Într-adevăr dacă se consideră o funcţie g : I →
cunoscută ca o derivată, atunci să se găsească (afle, determine) o funcţie G : I →
derivabilă cu proprietatea G' = g . O astfel de funcţie G se numeşte primitivă (antiderivată) a lui g pe I . De obicei I este interval din
.

Fig. 5

Procedeul (operaţia) prin care se determină primitivele unei funcţii se numeşte integrare (antiderivare). A cunoaşte o funcţie ca derivată revine la a cunoaşte “o primitivă” a funcţiei. Într-adevăr fie: g :
→
, g ( x ) = x3 (funcţia dată), pentru care g ' :
→
, g ' ( x ) = 3 x 2 (funcţia aflată); 2) g :
→
, g ( x ) = 1 − sin x , pentru care g ' :
→
, g ' ( x ) = − cos x ;

1)

3)

g :
→
, g ( x ) = arctg x , pentru care g ' :
→
, g ' ( x ) =

1 1 + x2

.

Atunci “o primitivă” pentru 1' ) g :
→
, g ( x ) = 3 x 2 , x ∈
(funcţia dată), este G :
→
, G ( x ) = x3

(funcţia aflată) (G este derivabilă şi G ' ( x ) = x3 ' = 3 x 2 = g ( x ) , ∀x ∈
);

( )

2' ) g :
→
, g ( x ) = − cos x este G :
→
, G ( x ) = 1 − sin x (G este derivabilă

şi G ' ( x ) = (1 − sin x ) ' = cos x = g ( x ) , ∀x ∈
); 3' ) g :
→
, g ( x ) =

1

, este 1 + x2 1 G :
→
, G ( x ) = arctg x (G este derivabilă şi G ' ( x ) = ( arctg x ) ' = = g ( x), 1 + x2 ∀x ∈
).

22

Utilizarea articolului nehotărât în exprimarea “o primitivă” a lui g nu este o neglijenţă gramaticală, ci vine să atragă atenţia că este vorba de o primitivă a lui g din mai multe posibile (altfel spus primitiva unei funcţii nu este unic determinată). De exemplu, x3 pentru funcţia g :
→
, g ( x ) = x 2 , funcţiile G1 , G2 , G3 :
→
, G1 ( x ) = , 3 x3 x3 G2 ( x ) = + 1, G3 ( x ) = − 1 sunt trei primitive ale lui g. 3 3 Mulţimea tuturor primitivelor unei funcţii g : I →
se notează prin simbolul

∫ g ( x ) dx

(citim: integrală nedefinită din g de x de x).

Observaţii. 1) Determinarea unei primitive pentru o funcţie dată poate avea mai multe soluţii. x2 Fie g :
→
, g ( x ) = x . Atunci funcţiile Gk :
→
, Gk ( x ) = + k , k ∈
sunt 2 primitive ale lui g pe
şi sunt o infinitate. 2) Determinarea unei primitive pentru o funcţie poate fi dificilă sau foarte dificilă (în orice caz operaţia de integrare este de cele mai multe ori mai dificilă decât cea de 1  π derivare). De exemplu pentru g :  0,  →
, g ( x ) = , avem cos x  2 1 + sin x  π  π G :  0,  →
, G ( x ) = ln este o primitivă a lui g pe  0,  , care nu este uşor cos x  2  2 de găsit dacă nu se cunoaşte forma lui G. 3)Determinarea unei primitive poate fi o problemă fără soluţie. Cele mai multe funcţii pe care le analizăm sunt funcţii continue, care vom vedea mai târziu, sunt funcţii care admit primitive (pe domeniul de continuitate). Existenţa unei primitive nu garantează exprimarea ei cu ajutorul funcţiilor uzuale (polinomiale, raţionale, radical, exponenţială, logaritmică, trigonometrice (directe şi inverse) etc.). Aşa sunt funcţiile continue: g1 :
→
, g1 ( x ) = cos x 2 , g 2 :
* →
, 2 sin x 1 , g3 :
→
, g3 ( x ) = e− x , g 4 : (1, ∞ ) →
, g 4 ( x ) = . x ln x Cu aceste elemente putem defini riguros noţiunea de primitivă a unei funcţii.

g2 ( x ) =

Definiţie. Fie g : I →
, I interval. Funcţia g admite primitive pe I (se mai spune că g este antiderivabilă pe I) dacă există G : I →
cu proprietăţile: 1) G este derivabilă pe I; 2) G ' ( x ) = g ( x ) , ∀x ∈ I

23

Observaţii: 1) Întotdeauna trebuie precizată mulţimea pe care funcţia dată admite primitive. 2) Funcţia G, din definiţie, se numeşte o primitivă a lui g (sau încă se mai spune că G este o antiderivată a lui g pe I). Dacă G există se spune că g este primitivabilă pe I. Noi vom folosi exprimarea “g admite primitive pe I”, iar “G este o primitivă a lui g”. 3) Dacă I = [ a, b ] , atunci G ' ( a ) = Gd' ( a ) (se ia derivata la dreapta în x = a ) şi G ' ( b ) = Gs' ( b ) (derivata lui G la stânga în x = b ). Să reţinem că integrarea are un avantaj. Ne permite să verificăm rezultatul. Dacă derivăm funcţia ( G ) obţinută prin integrare, atunci trebuie să obţinem funcţia g.

Operaţia de integrare o reprezentăm prin simbolul

∫ care , este litera “s” alungită,

fiind prima literă a cuvântului sumă, care aşa cum vom vedea are legătură cu integrarea, fiind un alt aspect al ei. Diferenţiala dx este scrisă după funcţia care se integrează, pentru a indica variabila independentă utilizată pentru diferenţiere şi variabila care este utilizată pentru integrare. Deci, ∫ f ( x ) dx spune că f ( x ) este integrată în raport cu x . 4) Dacă G=g , atunci egalitatea g ' = g reprezintă o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi. Exemple. 1. Pentru funcţia g :
→
, g ( x ) = x 2 , o primitivă a ei pe
este funcţia x3 , deoarece G este funcţie derivabilă şi 3 1  π 2. Funcţia g :  0,  →
, g ( x ) = are ca primitivă pe 2 cos 2 x   G :
→
, G ( x ) =

G ' ( x ) = x 2 = g ( x ) , ∀x ∈
.  π  0, 2  funcţia  

 π G :  0,  →
, g ( x ) = tg x , deoarece G este derivabilă şi în plus  2 1  π G '( x ) = = g ( x ) , ∀x ∈  0,  . cos 2 x  2

Definiţie. Fie g : I →
(I interval) o funcţie care admite primitive pe I . Mulţimea primitivelor lui g se numeşte integrala nedefinită a lui g şi se notează prin ∫ g ( x ) dx = {G : I →
G = primitivă a lui g} Operaţia de detereminare a primitivelor unei funcţii se numeşte integrare.

24

Observaţii. 1) Să reţinem că integrala nedefinită este o mulţime infinită de funcţii, în timp ce primitiva este o funcţie. 2) Expresia g ( x ) dx se numeşte element de integrare, g ( x ) este integrandul iar x variabila de integrare şi în plus g ( x ) dx = G' ( x ) dx = dG ( x ) este diferenţiala funcţiei G (despre diferenţiala unei funcţii derivabile vom vorbi la Metode de integrare – integrarea prin părţi). Avem: 1) d ∫ g ( x ) dx = g ( x ) dx (sau cum ∫ g ( x ) dx este o funcţie de x,

( ∫ g ( x ) dx )' = g ( x ) ); 2) ∫ dG ( x ) = G ( x ) + c

sau

∫ G' ( x ) dx = G ( x ) + c ( ∫

şi d se

“reduc” reciproc, numai că la G trebuie să adunăm o constantă c. În acest sens cele două operaţii de diferenţiere şi integrală sunt operaţii inverse una alteia). Într-adevăr, pentru 1), d ∫ g ( x ) dx = d ( G ( x ) + c ) = dG ( x ) = G' ( x ) dx =g ( x ) dx , iar pentru 2) avem ∫ dG ( x ) = ∫ G' ( x ) dx = G ( x ) + c . Să reţinem că: Derivare

g (dată derivabilă)

g ' (unică)

determinăm derivata

∫

g ( x ) dx

Integrare

g (dată)

determinăm primitivele

Exemple. 1. O primitivă pe
a funcţiei f :
→
,
, f ( x ) = x 3 este F :
→
, F ( x) =

'  x4  x4 , x ∈
, deoarece F este derivabilă şi F' ( x ) =  = x 3 = f ( x ) , ∀x ∈
.   4  4  

2. O primitivă pe
a funcţiei f :
→
, f ( x ) = 2 x este F :
→
, F ( x ) =

2x , pentru că ln 2

'

 2x  F este derivabilă şi F' ( x ) =  = 2 x = f ( x ) , ∀x ∈
.  ln 2    3. O primitivă pe ( − a ,a ) , a > 0 a funcţiei f : ( − a , a ) →
, f ( x ) =

F : ( -a,a ) →
, F ( x ) = arcsin

1 2

a − x2

x deoarece F este derivabilă pe ( − a , a ) şi a

25

este funcţia

' x  F '( x ) =  arcsin  = a 

1 a

1 2

x 1− 2 a

=

2

a − x2

= f ( x ) , ∀x ∈ ( − a , a ) .

4. Să se determine a , b ∈
astfel încât funcţia G să fie o primitivă a funcţiei g, unde

 1  g , G :  − , ∞  →
, g ( x ) = 1 + 2 x , G ( x ) = ( ax + b) 1 + 2 x .  2  R. G este o funcţie derivabilă. Fiind produs de funcţii derivabile, avem: 1 ax + b G' ( x ) = a 1 + 2 x + . Din G ' ( x ) = g ( x ) , ∀x > − se obţine egalitatea 2 1 + 2x ax + b 1 a 1 + 2x + = 1 + 2 x , ∀x > − ⇔ a ( 1 + 2 x ) + ax + b = 1 + 2 x , ∀x > −1 ⇔ 3ax + 2 1 + 2x 1 2 1 + a + b = 1 + 2 x , ∀x > − . De aici 3a = 2, a + b = 1 când a = , b = . 2 3 3 1 Deci G ( x ) = ( 2 x + 1) 2 x + 1 . 3

Următorul rezultat ne dă informaţii despre două primitive ale unei funcţii pe un interval şi cum se pot genera toate primitivele funcţiei dacă se cunoaşte una din ele. Mai precis are loc următoarea: Teoremă. Fie g : I →
, I interval din
. 1) Dacă G1 , G2 : I →
sunt două primitive ale lui g pe I, atunci G1 ( x ) − G2 ( x ) = c, ∀x ∈ I , c = constantă reală.

Două primitive ale unei funcţii pe un interval diferă printr-o constantă. 2) Dacă G este o primitivă a lui g pe I, atunci orice altă primitivă a lui g este de forma G + c, c ∈
. Dacă se cunoaşte o primitivă a unei funcţii pe un interval, atunci orice altă primitivă se obţine prin adăugarea unei constante reale.

Demonstraţie. 1) Din ipoteză G1 , G2 sunt funcţii derivabile pe I şi G1' = G2' = g . De aici ( G1 − G2 ) ' = 0 . Atunci, via corolar al teoremei lui Lagrange, există o constantă c ∈
astfel încât G1 − G2 = c . 2) Fie H : I →
o altă primitivă a lui g pe I. Deci H este derivabilă şi H ' = g = G ' . Conform cu 1) există c ∈
astfel încât H − G = c sau H = G + c .

26

Observaţii. 1) Din prima parte a teoremei deducem că pentru o funcţie definită pe un interval, dacă există două primitive, atunci ele diferă printr-o constantă. Dacă se extinde definiţia primitivelor pentru funcţii definite pe reuniune de intervale, atunci afirmaţia din teoremă nu mai este adevărată. Într-adevăr, fie g :
− {0} →
, g ( x ) = x . Atunci funcţiile:  x2  + 1, x < 0 x2 2 G1 , G2 :
− {0} →
, G1 ( x ) =  , G2 ( x) = sunt primitive pentru g pe 2 2 x   2 − 1, x > 0 1, x > 0
− {0} , dar G1 ( x ) − G2 ( x ) =  , care evident nu este o funcţie constantă pe −1, x < 0
− {0} . 2) A doua parte a teoremei ne precizează că dacă o funcţie are o primitivă, atunci din această primitivă se pot obţine toate primitivele prin adăugarea unei constante arbitrare la primitiva dată. Deci, integrala nedefinită a funcţiei g : I →
este mulţimea ∫ g ( x ) dx = G + C , unde

G este o primitivă a lui g pe I, iar C se numeşte constantă de integrare, C = {c : I →
, c ( x ) = c, ∀x ∈ I , c ∈
} (reprezintă mulţimea funcţiilor constante

definite pe I). Sunt uşor de demonstrat egalităţile de mulţimi: 1) C + C = C ; 2) λ C = C , ∀λ ∈
, λ ≠ 0 .

∫ g ( x ) dx = G ( x ) + C Avem ∫ g ( x ) dx + C = ∫ g ( x ) dx . Vom adopta scrierea

şi deci ∫ G ' ( x ) dx = G ( x ) +C .

3) Dacă g este o funcţie care admite primitive, atunci am văzut că mulţimea primitivelor este infinită. În ce condiţii o primitivă poate fi individualizată? Dacă x0 ∈ I şi y0 ∈
atunci există o unică primitivă G : I →
, cu proprietatea G ( x0 ) = y0 . Într-adevăr, dacă H : I →
este o primitivă a lui g pe I, atunci o altă primitivă G : I →
a lui g este G = H + c . Cum G ( x0 ) = y0 se obţine c = y0 − H ( x0 ) .

Condiţia G ( x0 ) = y0 este numită adesea condiţie iniţială, cu referiri la anumite situaţii din fizică. Rezultatul obţinut corespunde situaţiei grafice când printr-un punct ( x0 , y0 = G ( x0 ) ) trece o singură curbă din mulţimea celor care reprezintă primitivele lui g.

27

x3 + C , (1). 3 În Fig. 6 sunt specificaţi câţiva membrii din familia (1) pentru diferite valori ale lui c. Fie x3 4 G ( x) = + c o primitivă a lui g, cu proprietatea G ( 1) = . Atunci c = 1 . 3 3 Pentru determinarea mulţimii primitivelor unei funcţii care admite primitive utilizăm unele constante, mai simple.

Exemplu. Fie g :
→
, g ( x ) = x 2 , pentru care ∫ x 2dx =

Plecând de la formulele de derivare ale funcţiilor elementare, obţinem “prin inversarea lor” integralele nedefinite uzuale. De exemplu

( sin x )' = cos x, x ∈
⇒ ∫ cos xdx = sin x + C , x ∈
. Egalităţile din tabelul de mai jos al integralelor nedefinite uzuale se verifică prin derivare. Este indicată o primitivă G a lui g, unde c din structura lui G este o funcţie constantă din C , c ∈ C .

Fig. 6

Tabel de integrale nedefinite Funcţia g

Primitiva G

Intervalul

Integrala nedefinită

1

a (funcţia constantă)

ax + c




∫ adx = ax + C

2

xα , α ≠ − 1 (funcţia putere cu exponent real)

xα + 1 +c α +1

( 0, ∞ )

∫x

α

dx =

xα + 1 +C α +1

( 0, ∞ ) 3

1 x a x , a > 0, a ≠ 1

4

(funcţia exponenţială)

sau ( −∞ ,0 )

ln x + c

x

a +c ln a




28

dx

∫ x = ln x + C ax +C, ln a x x ∫ e dx = e + C

x ∫ a dx =

1 5

2

x − a2 1

6

x2 + a

,a ≠ 0

,a ≠ 0 2

1 7

2

a −x 1

8

2

x +a

2

1

9

x2 − a2

2

,a ≠ 0

,a ≠ 0

,a ≠ 0

dx

x arcsin + c a

( −a, a )

∫




∫

ln x + x 2 + a 2 + c

)

ln x + x 2 − a 2 + c

cos x

sin x + c




cos x

( 2k + 3 )

= arcsin

x +C a

(

dx 2

x −a

)

= ln x + x2 − a 2 +

2

∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C

π   ( 2 k + 1) 2 , 

tg x + c

x

= ln x + x2 + a2 + C

x + a2

+C

11

2

dx 2

( a, ∞ )


2

a −x

∫

− cos x + c

1

dx 2

sau

( −∞ , − a )

sin x

1

∫ x 2 + a 2 = a arctg a + C




(

1 x−a ln +C 2a x+a

=

1 x arctg + c a a

10

12

dx

∫ x2 − a2 =

( −∞, −a ) 1 x−a ln +c sau ( −a,a) 2a x+a sau ( a,∞ ∞)

π  2

∫ cos

dx 2

x

= tg x + C

k∈

1 13

2

sin x

( kπ ,( k + 1) π )

−ctg x + c

k∈ π   ( 2 k + 1) 2 , 

14

tg x

− ln cos x + c

( 2k + 3 )

π  2

∫ sin

dx 2

x

= −ctg x + C

∫ tg xdx = − ln cos x + C

k∈

15

ctg x

( kπ , ( k + 1) π )

ln sin x + c

k∈

∫ ctg xdx = ln sin x + C

Observaţii. 1) De obicei primitiva G se ia cu funcţia constantă egală cu zero, c = 0 , dacă asupra lui G nu sunt condiţii iniţiale. 2) Probaţi că funcţia G este o primitivă a lui g, observând că G este funcţie derivabilă şi că verifică egalitatea G ' = g .

29

De exemplu, pentru integrala de la 6 (vezi tabelul de integrale nedefinite), 1 ' x 1 1 x 1 a G ( x ) = arctg + c .Avem G ' ( x ) =  arctg  + c' = ⋅ +0= 2 a a a a a x 1+   a 1 = 2 = g ( x) . x + a2 3) Următoarele integrale nu se pot exprima prin intermediul funcţiilor elementare:

∫e

− x2

dx (intergrala lui Poisson),

∫ sin x

2

dx, ∫ cos x 2 dx (integralele lui Fresnel),

dx sin x cos x dx, dx . Totuşi ele se pot exprima prin serii infinite de puteri , ln x x x  sin x x3 x5 dx = c + x − + + ...  . În acest capitol vom studia funcţii pentru care  x 3 ⋅ 3! 5 ⋅ 5! 

∫ ∫   ∫ 

∫

primitivele se exprimă cu ajutorul funcţiilor elementare. Pentru a găsi primitivele vom utiliza tabelul de integrale nedefinite, câteva tehnici de integrare şi operaţiile algebrice cu primitive.

Problema existenţei primitivelor. Proprietăţi ale integralei nedefinite În acest paragraf evidenţiem o clasă largă de funcţii care admit primitive pe un interval. În acelaşi timp vedem care sunt operaţiile algebrice pe mulţimea funcţiilor care admit primitive, care generează de asemenea funcţii ce admit primitive. Mai precis are loc următoarea Teoremă. Orice funcţie continuă g : I → » , I interval, admite primitive pe I. Demonstraţia acestui rezultat va fi dată în capitolul următor. Teorema dă o condiţie suficientă ca o funcţie să admită primitive. În determinarea unei primitive F a lui f continuă, f funcţie multiformă, trebuie să ţinem seamă că orice primitivă este continuă. Din această condiţie, numită “lipirea constantelor” se obţine legătura care apare între constantele din expresia primitivei. Condiţia F ' = f (consecinţă a teoremei lui Lagrange) are loc în punctele de trecere de la o formă la alta a lui f. Dacă f nu este continuă, atunci trebuie arătat că F ' = f . Reciproca acestei teoreme este falsă, adică există funcţii discontinue care admit primitive.

30

Aşadar, o modalitate de a stabili dacă o funcţie admite primitive pe un interval este de a-i studia continuitatea. Dacă funcţia este continuă, atunci admite primitive. e x , x ≥ 0

Exemplu. Să se arate că g :
→
, g ( x ) = 

 x + 1, x < 0

, admite primitive pe
. Să se

determine o astfel de primitivă. R. Evident g este continuă pe
* , fiind definită pe [ 0, ∞ ) prin intermediul funcţiei exponenţiale

(care este continuă pe
, deci şi pe restricţia [ 0, ∞ ) ) iar pe ( −∞,0 ) prin funcţie polinomială (care este continuă pe
, deci şi pe restricţia ( −∞,0 ) ). Studiem continuitatea în x = 0 . Din lim g ( x ) = lim g ( x ) = g ( 0 ) ⇔ lim ( x + 1) = lim e x = g ( 0 ) = 1 , se deduce că g este continuă şi x 0

x0

x0

x0

în x = 0 . Deci g este continuă pe
. Prin urmare g admite primitive pe
. Pentru a calcula o primitivă G :
→
se calculează pe [ 0, ∞ ) , ∫ e x dx iar pe ( −∞,0 ) , ∫ ( x + 1) dx .

e x + k1, x ≥ 0  Avem G ( x ) =  x 2 . Legătura între constantele k1, k2 se obţine din cerinţa de  + x + k2 , x < 0 2 continuitate în x = 0 a funcţiei G (G fiind derivabilă în x = 0 , implică G este continuă în x = 0 ). Avem: G este continuă în x = 0 ⇔ lim G ( x ) = lim G ( x ) = G ( 0 ) ⇔ k2 = 1 + k1 . x0

x 0

Se poate lua k1 = 0 şi deci k2 = 1 . Prin urmare forma finală a unei primitive G pentru g este e x , x ≥ 0  G ( x ) =  x2 .  + x + 1, x < 0 2 Din construcţie avem că G este derivabilă pe
* şi G ' ( x ) = g ( x ) , x ∈
* . Se verifică simplu că G ' ( 0 ) = g ( 0 ) = 1 . (De fapt ultima verificare nemaifiind necesară, pentru că g fiind continuă, admite

primitive. Deci este necesar să găsim doar relaţia dintre constantele k1, k2 ).

Observaţie. După cum se observă din acest exemplu, pentru a calcula o primitivă a funcţiei g pe întreaga mulţime
, a trebuit să calculăm primitive ale lui g pe submulţimile ( −∞,0 ) , [ 0, ∞ ) din
şi apoi să realizăm “lipirea” lor în punctul x = 0 pentru a obţine o primitivă G a lui g pe întreaga mulţime
. Legătura între constantele k1 şi k2 se realizează din cerinţa de continuitate a lui G în punctul x = 0 (dacă ştim că g admite primitive, atunci G este derivabilă şi prin urmare continuă). Verificarea derivabilităţii lui G în punctul de “lipire” x = 0 nu mai este

31

necesară (are loc imediat), aceasta având loc deoarece g fiind continuă pe
, g admite primitive pe
. Atragem atenţia că, în acest caz, integrala nedefinită a lui g este ∫ g ( x ) dx = G ( x ) + C , cu G determinată mai sus. În general dacă g : I →
, unde I = [ a, b ]  g1 ( x ) , x ∈ [ a, x1 ] = I1   g 2 ( x ) , x ∈ ( x1 , x2 ] = I 2 g ( x) =  , este o funcţie continuă pe I, atunci pentru a calcula .......................................  g ( x ) , x ∈ ( x , b] = I k −1 k  k o primitivă G a lui g se calculează: pe I1 , ∫ g1 ( x ) dx ; pe I 2 , ∫ g 2 ( x ) dx ; …; pe I k , ∫ g k ( x ) dx şi se alege câte o primitivă dintre mulţimile de mai sus: G1 ∈ ∫ g1 ( x ) dx, G2 ∈ ∫ g 2 ( x ) dx, ..., Gk ∈ ∫ g k ( x ) dx , după care “arhitectura” lui G G1 ( x ) + c1 , x ∈ I1  G ( x ) + c2 , x ∈ I 2 este: G ( x ) =  2 , unde constantele c1 , c2 ,... , ck se determină din ............................... G ( x ) + c , x ∈ I k k  k condiţia de continuitate a lui G în punctele de “lipire” x1 , x2 , ..., xk −1 . Uneori se utilizează în determinarea constantelor, condiţia ca G să fie continuă la capete: G ( a ) = lim G ( x ) , G ( b ) = lim G ( x ) . x a

xb

Facem precizarea că se poate lua constanta c1 = 0 (dacă nu este o altă condiţie pentru G şi punctele din I1 ). Acum integrala nedefinită este:

∫ g ( x ) dx = G ( x ) + C

cu G precizată mai sus.

Înainte de a prezenta următorul rezultat important precizăm că F ( I ) = { f : I →
} , iar A, B ⊂ F ( I ) , atunci A + B = { f + g f ∈ A, g ∈ B} ,

dacă

λ A = {λ f f ∈ A} , λ ∈
. Rezultatul următor ne spune că adunarea şi înmulţirea cu scalari nenuli a funcţiilor care admit primitive dau tot funcţii care admit primitive. Mai precis are loc următoarea

32

Teoremă. (Operaţii algebrice cu funcţii care admit primitive) Fie f , g : I →
, I interval, două funcţii care admit primitive pe I şi α ∈
* . Atunci: 1) f + g admite primitive pe I şi

∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx

Integrala sumei este egală cu suma integralelor. 2) α f admite primitive pe I şi ∫ α f ( x ) dx = α ∫ f ( x ) dx Constanta iese de sub integrală.

Demonstraţie*. 1) Fie F , G : I →
primitive pentru f şi respectiv g pe I. Atunci este clar că F + G este derivabilă şi în pus ( F + G ) ' = F '+ G ' = f + g . Deci F + G este o primitivă a lui

f +g

pe I. Deci pe de o parte

= F ( x ) + G ( x ) + C (1), iar pe de altă parte

∫  f ( x ) + g ( x ) dx =

∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = F ( x ) + C +

G ( x ) + C = F ( x ) + G ( x ) + C + C = F ( x ) + G ( x ) + C (2).

Din (1) şi (2) rezultă

∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .

2) Fie F : I →
o primitivă a lui f pe I. Atunci α F este o primitivă a lui α f pe I, deoarece

αF

este

derivabilă

şi

(α F ) ' = α F ' = α f

.

Prin

urmare

∫α f ( x ) dx = α F ( x ) + C (1). Pe de altă parte α ∫ f ( x ) dx = α ( F ( x ) + C ) = = α F ( x ) + α C = α F ( x ) + C (2).

Din (1) şi (2) rezultă egalitatea

∫α f ( x ) dx = α ∫ f ( x ) dx .

Observaţii. 1) Rezultate similare au loc pentru funcţii derivabile f , g : I →
şi

α ∈
* : ( f + g ) ' = f '+ g ' şi (α f ) ' = α f ' . Schematic: + g ) ' = f '+ g ' Derivata sumei egală cu suma derivatelor

∫( f + g) = ∫ f + ∫ g

(f

Integrala sumei este egală cu suma integralelor

33

∫ αf = α ∫ f

( αf ) ' = αf ' Constanta iese de sub derivare

Constanta iese de sub integrală

Sunt greşite scrierile:

∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ⋅ ∫ g ( x ) dx, f ( x) ∫ f ( x ) dx ∫ g ( x ) dx = g ( x ) dx ∫ n

( ∫ f ( x ) dx ) = ∫ f n ( x ) dx n

2) Dacă fi : I →
, i = 1,n sunt funcţii care admit primitive şi α i ∈
, ∑ α i2 ≠ 0 , i =1





n

n

∫  ∑α f ( x )  dx = ∑α ∫ f ( x ) dx . În particular: ( − f ) = − f şi ( f − g ) = f − g . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ atunci

i i

i =1

i

i

i =1

3) Suma dintre o funcţie care admite primitive ( f ) şi o funcţie care nu admite primitive (g) pe acelaşi interval I este o funcţie care nu admite primitive pe I. Într-adevăr, fie h : I →
, h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , x ∈ I . Dacă, prin absurd h ar admite primitive, atunci, g = h − f ar admite primitive pe I, fals. 1 4) Se verifică uşor că dacă F este o primitivă a lui f , atunci x → F ( λ x ) , λ ≠ 0 este

λ

*

o primitivă a funcţiei x → f ( λ x ) , x ∈


x3 + x 2 . Dacă f1 ( x ) = f ( 2 x ) = 3 1 1 8  4 = 4 x 2 + 4 x , atunci o primitivă a ei este F1 ( x ) = F ( 2 x ) =  x 3 + 4 x 2  = x 3 + 2 x 2 . 2 2 3  3

Exemplu. Fie funcţia f ( x ) = x2 + 2 x cu primitiva F ( x ) =

Un mod de a arăta că o funcţie admite primitive pe un interval este de a o scrie ca o combinaţie liniară de funcţii care admit primitive pe acest interval.

5) Produs de funcţii care admit primitive pe I nu este obligatoriu o funcţie care admite

34

 1 sin , x ≠ 0 primitive pe I. Într-adevăr, fie g :
→
, g ( x ) =  x . 0, x = 0 Această funcţie nu este continuă pe
( nefiind continuă în x = 0 ) admite primitive pe
. Pentru a determina o primitivă a lui g considerăm funcţia 1  2  x cos , x ≠ 0 G :
→
, G ( x ) =  , care este derivabilă pe
(în x = 0, G ' ( 0 ) = x 0, x = 0 1 1  1 1 2 x cos + sin , x ≠ 0 . De aici sin = G ' ( x ) − 2 x ⋅ cos , = 0 ) şi avem: G ' ( x ) =  x x x x 0, x = 0 1   x cos , x ≠ 0 . Evident x ≠ 0 şi g ( x ) = f1 ( x ) − 2 f 2 ( x ) , unde f1 = G ' , iar f 2 ( x ) =  x 0, x = 0 f1 admite primitive (pe G), iar f 2 fiind continuă are, de asemenea, primitive. Ţinând seama de observaţia precedentă deducem că g = f1 − 2 f 2 admite primitive. Totuşi  21 sin , x ≠ 0 2 funcţia g ( x ) =  nu admite primitive pe
deoarece x 0, x = 0 2  2 1 − cos 1    x , x ≠ 0  , x ≠ 0 cos , x ≠ 0 g 2 ( x) =  = 2 − , unde prima funcţie nu admite x 2  0, x = 0 0, x=0 x=0 0, primitive, în timp ce a doua funcţie admite primitive (se procedează ca la g, 2 considerând funcţia F ( x ) = x 2 ⋅ sin , x ≠ 0 şi F ( 0 ) = 0 ). x Funcţia G a fost aleasă derivabilă astfel încât prin derivare să obţinem în structura ei şi 1 pe g. Considerăm pe G ( x ) = h ( x ) co s şi calculăm x 1 h(x) 1 1 G ' ( x ) = h ' ( x ) cos + sin . Pentru ca al doilea termen să fie sin se 2 x x x x

alege h ( x ) = x 2 . Dacă însă considerăm f , g :
→
cu f derivabilă şi f ' continuă, iar g admite primitive, atunci produsul f ⋅ g admite primitive pe
. Într-adevăr, fie G o primitivă a lui g, atunci ( Gf ) ' = G ' f + Gf ' = gf + Gf '

35

şi deci fg = ( Gf ) '− Gf ' este diferenţă de funcţii care admit primitive. Exemple. 1. Să se determine o primitivă pe
a funcţiei f :
→
, f ( x ) = x 2 + 2sin x − 3e x .

R. Se determină câte o primitivă pe
pentru funcţiile f1 ( x ) = x 2 , f 2 ( x ) = 2sin x, f3 ( x ) = −3e x , ∀x ∈
. Acestea sunt F1 , F2 , F3 :
→
, F1 ( x ) =

x3 , F2 ( x ) = − 2 cos x şi respectiv 3

F3 ( x ) = −3e x ( F1' = f1, F2' = f 2 , F3' = f 3 ) . Deci o primitivă pe
a lui f este F :
→
, F ( x ) = F1 ( x ) + F2 ( x ) + F3 ( x ) =

x3 − 2cos x − 3e x . 3

2. Să se detrmine o primitivă pe ( 0, ∞ ) a funcţiei f : ( 0, ∞ ) →
, f ( x ) = 2 x +

x−

5 . x

R. Se determină câte o primitivă pe ( 0,∞ ) pentru fiecare din funcţiile f1 ( x ) = 2 x, f 2 ( x ) = x , 5 f3 ( x ) = − , x > 0 . x Acestea sunt F1, F2 , F3 : ( 0, ∞ ) →
, F1 ( x ) = x 2 , F2 ( x ) = F : ( 0, ∞ ) →
, F ( x ) = F1 ( x ) + F2 ( x ) + F3 ( x ) = x 2 +

2 x x , F3 ( x ) = −5ln x . Funcţia 3

2 x x − 5ln x este o primitivă a lui f pe 3

( 0,∞ ) .

Excursie matematică

(facultativ)

* * * * * Funcţii care nu admit primitive

Vom indica aici câteva rezultate utile în a preciza că o funcţie nu admite primitive pe un interval. Are loc următoarea Teoremă. Fie g : I →
, I interval, o funcţie care admite primitive pe I. Atunci g are proprietatea lui Darboux.

De aici deducem Corolar 1. Dacă g : I →
nu are proprietatea lui Darboux pe I, atunci g nu admite primitive pe I.

36

Acest corolar evidenţiază faptul că o condiţie necesară ca o funcţie să aibă primitive pe o mulţime I este ca aceasta să aibă proprietatea lui Darboux.  x, x ∈   Exemplu. Să se arate că g :
→
, g ( x ) =  1 nu are primitive pe
.  x , x ∈
−  R. Spunem că g : I →
, I interval, are proprietatea lui Darboux pe I, dacă ∀a, b ∈ I , a < b şi ∀λ ∈ ( g ( a ) , g ( b ) ) sau λ ∈ ( g ( b ) , g ( a ) ) atunci există xλ ∈ ( a, b )

astfel încât g ( xλ ) = λ .

( 2 ) = 12 , g ( 5 ) = 15 . Fie λ = 12 ∈  15 , 12  . Să arătăm că nu există x ∈ ( 2, 5 ) astfel încât g ( x ) = λ . 1 1 Dacă ar exista x ∈ ( 2, 5 ) ∩  , atunci g ( x ) = x = . Dar ∉ ( 2, 5 ) . 2 2 1 1 Dacă ar exista x ∈ ( 2, 5 ) ∩ (
\  ) atunci g ( x ) = = , ceea ce dă x = 2 , x 2 Fie a = 2 < b = 5 . Avem: g λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

care însă este număr raţional! Deci g nu are proprietatea lui Darboux şi prin urmare nu are primitive pe
. Corolar 2. Fie g : I →
. Dacă g ( I ) = g ( x ) x ∈ I nu este interval, atunci

{

}

g nu admite primitive pe I. 1, x > 0  Exemple. 1. Să se arate că funcţia g :
→
, g ( x ) = 0, x = 0 nu admite primitive −1, x < 0  not

pe
(g se numeşte funcţia semn, g = sgn ). R. Cum g (
) = {−1,0,1} nu este interval, se deduce că g nu are primitive pe
. 2. Fie P un polinom nenul cu coeficienţi reali, un interval I ⊂
, şi o funcţie neconstantă f : I →
cu proprietatea ( P  f )( x ) = 0, ∀x ∈ I . Să se arate că f nu admite primitive pe I. R. Fie S mulţimea rădăcinilor reale ale polinomului P. deoarece P ( f ( x ) ) = 0, ∀x ∈ I

rezultă că f ( I ) ⊆ S , adică f ( I ) este finită. Cum f ( I ) nu este interval înseamnă că f nu admite primitive pe I.

37

Corolar 3. Dacă g : I →
are discontinuităţi de prima speţă, atunci g nu admite primitive.  x, x ≤ 1 Exemplu. Funcţia f :
→
, f ( x ) =  nu admite primitive pe
, deoarece  x + 1, x > 1 x = 1 este punct de discontinuitate de prima speţă pentru f, ls (1) = 1 ≠ ld (1) = 2, f (1) = 1 .

Corolar 4. Dacă f : I →
, admite primitive pe I, atunci funcţia obţinută din aceasta prin modificarea valorii într-un punct din I nu mai admite primitive pe I.  f ( x ) , x ∈ I − { x0 } Demonstraţie. Fie x0 ∈ I şi g : I →
, g ( x ) =   y0 ≠ f ( x0 ) , x = x0 Fie J ⊂ I , interval cu x0 ∈ J . Dacă, prin absurd g ar admite primitive, atunci şi h = f − g ar avea aceeaşi calitate. Ori h ( J ) = ( f − g )( J ) = {0, f ( x0 ) − g ( x0 )} nu

este interval, ceea ce arată că h nu admite primitive. Contradicţia a provenit din presupunerea că g ar admite primitive.  x 2 + 1, x ≠ 1 Exemplu. Funcţia f :
→
, f ( x ) =  nu admite primitive pe
, 0, x = 1  x 2 + 1, x ≠ 1 0, x ≠ 1 deoarece f ( x ) =  + = f1 ( x ) + f 2 ( x ) . Funcţia f1 este continuă, −2, x = 1 2, x = 1 deci admite primitive pe
, în timp ce f 2 nu are proprietatea lui Darboux pe
( f (
) = {0, −2} ) .

Rezultatele din corolarele 1 – 4 sunt tot atâtea modalităţi de a arăta că o funcţie nu are primitive pe un interval. O schemă de lucru utilă pentru a stabili dacă o funcţie g : I →
(I interval) admite primitive pe I este prezentată pe pagina următoare.Dată fiind o funcţie pe I, prima problemă pe care ne-o punem este aceea dacă funcţia este continuă pe I. Dacă este continuă, atunci se ştie că ea admite primitive pe I. Dacă însă g nu este continuă, atunci studiem dacă g are punct de discontinuitate de prima speţă din I. Dacă are, atunci g nu are proprietatea lui Darboux pe I şi deci g nu va admite primitive pe I. Dacă g nu are un astfel de punct în I, atunci studiem dacă g are proprietatea lui Darboux pe I. Dacă g nu are această proprietate pe I, atunci g nu admite aici

38

primitive. Dacă însă se poate găsi G : I → » cu proprietăţile: 1) G este derivabilă pe I; 2) G ' ( x ) = g ( x ) , x ∈ I , atunci G este primitivă a lui g pe I. În cazul în care G nu verifică 1) sau 2), atunci g nu admite primitive pe I. Dacă g nu este continuă, atunci se încearcă construcţia unei primitive G (deci se sar prima şi a doua etapă).

* * * * *

39

Probleme rezolvate e x , x ≤ 0 1.Fie g :
→
, g ( x ) =   ax + b, x > 0, a , b ∈
. Să se determine a , b astfel încât g să aibă primitive pe
. R. O primitivă G :
→
a lui g are forma (se integrează g pe ( −∞,0] şi pe ( 0,∞ ) ).

e x + k , x≤0  G ( x ) =  ax 2 . + bx + k ', x > 0   2 Cum G este derivabilă în x = 0 , rezultă G continuă în x = 0 , adică lim G ( x ) = lim G ( x ) = G ( 0 ) ⇔ 1 + k = k ' . x0

x0

Dacă luăm k = 0 , atunci k ' = 1 . Funcţia G este derivabilă în x = 0 ⇔ Gs' ( 0 ) = Gd' ( 0 ) ∈
⇔ lim e x = lim ( ax + b ) ⇔ b = 1 . x0

x0

e x , x≤0  2 În final G ( x ) =  ax este primitivă pentru g pe
, deoarece G este derivabilă pe
+ x + 1, x > 0   2 şi G ' ( x ) = g ( x ) , x ∈
( G ' ( x ) = g ( x ) , x ∈
* din construcţia lui G şi G ' ( 0 ) = g ( 0 ) = 1 de mai sus).

Deci a ∈
, b = 1 . x x ≤ 0 0, x ≤ 0 e , Altfel. Se scrie g sub forma g ( x ) =  + . 1 + ax, x > 0 b − 1, x > 0

Prima funcţie este continuă şi deci admite primitive (pe
). Pentru a doua funcţie, dacă b − 1 ≠ 0 , atunci x = 0 ar fi punct de discontinuitate de prima speţă şi deci funcţia nu admite primitive. Deci trebuie ca b − 1 = 0 , iar a ∈
, caz în care g apare ca sumă de funcţii ce admit primitive. 2. Fie g :
→
, g ( x ) = e −3 x cos x . Să se determine numerele reale m,n pentru care funcţia G :
→
, G ( x ) = e −3 x ( m cos x + n sin x ) este o primitivă a lui g (pe
). R. Este clar că G este derivabilă pe
. Funcţia G este primitivă a lui g pe
, dacă G '( x ) = g ( x ) , ∀x ∈
⇔ e−3x ( n − 3m) cos x − ( m + 3n) sin x = e−3x cos x, ∀x ∈
. Cum egalitatea este adevărată pentru orice x ∈
, ea se verifică şi pentru x = 0 , cand n − 3m = 1 şi pentru x = m + 3n = 0 . Rezolvând sistemul în m şi n rezultă m = − 3. Fie g : ( −1, ∞ ) →
, g ( x ) =

2

când

3 1 ,n= . 10 10

15 x x + 1 . Să se determine a,b,c astfel încât 2

G : ( −1, ∞ ) →
, G ( x ) = ax 2 + bx + c

(

π

)

x + 1 să fie o primitivă a lui g pe ( −1, ∞ ) .

R. Funcţia G fiind produs de funcţii derivabile pe ( −1, ∞ ) , este o funcţie derivabilă. Această funcţie este primitivă pentru g (pe ( −1, ∞ ) ) dacă G ' ( x ) = g ( x ) , ∀x > −1 .

40

ax 2 + bx + c 15 x x + 1 = , x > −1 sau 2 2 x +1 ( 5a − 15 ) x 2 + ( 4a + 3b − 15 ) x + 2b + c = 0, x > −1 .

Avem: ( 2ax + b ) x + 1 +

Dând lui x trei valori distincte din intervalul ( −1, ∞ ) rezultă sistemul

5a − 15 = 0  4a + 3b − 15 = 0 , cu soluţia a = 3, b = 1, c = −2 . 2b + c = 0  4. Fie g : [ a , b ] →
, c ∈ ( a , b ) . Dacă g admite primitive pe [ a , c ] şi pe [ c , b ] , atunci să se arate că g admite primitive pe [ a , b ] . R. Fie G1 : [ a, c ] →
o primitivă a lui g pe [ a, c ] , iar G2 : [c, b] →
o primitivă a lui g pe [ c, b] .

Atunci luăm G : [ a, b] →
o posibilă primitivă a lui g (pe [ a, b] ) astfel: G1 ( x ) , x ∈ [ a, c ] G ( x) =  , unde k se determină din cerinţa de continuitate a lui G în x = c . G2 ( x ) + k , x ∈ ( c, b ] Avem: G este continuă în x = c ⇔ lim G ( x ) = lim G ( x ) = G ( c ) ⇔ G1 ( c ) = G2 ( c ) + k . De aici xc

x c

k = G1 ( c ) − G2 ( c ) .

Evident G ' ( x ) = g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] − {c} . Avem de arătat că G ' ( c ) = g ( c ) . G ( x) − G (c ) G ( x ) − G1 ( c ) ' = lim 1 = ( G1 ) s ( c ) = g ( c ) , xc x−c x−c G ( x) − G (c) G ( x ) + k − G1 ( c ) G ( x ) − G2 ( c ) ' Gd' ( c ) = lim = lim 2 = lim 2 = ( G2 )d ( c ) = g ( c ) ceea ce xc x  c x  c x−c x−c x−c arată că Gs' ( c ) = Gd' ( c ) = g ( c ) . Avem: Gs' ( c ) = lim xc

1  ( x + 1) sin , x ≠ 0 5. Să se arate că funcţia g :
→
, g ( x ) =  admite primitive pe
. x  0, x=0  R. Scriem funcţia g sub forma: 1   1  x sin , x ≠ 0 sin , x ≠ 0 g ( x) =  + x = g1 ( x ) + g 2 ( x ) , x ∈
. x 0, x = 0 0, x=0 Prima funcţie ( g1 ) este continuă pe
* , iar din 0 ≤ x sin

1 1 ≤ x se deduce lim x sin = 0 = g1 ( 0 ) , x → 0 x x

ceea ce arată că g1 este continuă şi în x = 0 . Deci g1 este continuă pe
şi prin urmare admite primitive pe
. Funcţia g 2 , am arătat că admite primitive pe
. Deci funcţia g fiind suma a două funcţii care au primitive pe
, are de asemenea primitive pe
( g 2 este un exemplu de funcţie care nu este continuă, dar admite primitive).

41

6*. Să se arate că g :
→
, g ( x ) = [ x ] , unde

[ x]

este partea întreagă a numărului real

x ( [ x ] ∈  , [ x ] ≤ x < [ x ] + 1) , nu admite primitive pe
. R. Cum g (
) =  nu este interval, rezultă că g nu admite primitive pe
. 7*. Să se arate că g :
→
, g ( x ) = x − [ x ] nu admite primitive pe
. R. Aplicăm metoda reducerii la absurd. Dacă am presupune că g ar admite primitive pe
, atunci ( − g ( x ) + x ) = [ x ] ar admite primitive pe
(ca sumă de funcţii, care admit primitive pe
) în contradicţie cu problema precedentă. Contradicţia a provenit din presupunerea făcută. Deci g nu admite primitive pe
. x≤0  0,  8.* Să se arate că funcţia f :
→
, f ( x ) =  1 1 nu admite primitive pe
. 1 sin x − x cos x , x > 0 R. Dacă f ar admite o primitivă, atunci aceasta ar fi de forma: x≤0 k ,  F ( x) =  . 1 '  x sin x + k , x > 0 Din F continuă în x = 0 rezultă k = k ' . Se poate lua k = 0 . x≤0 0,  Deci F ( x ) =  .Este clar că F este derivabilă pe
* şi F ' ( x ) = f ( x ) , x ∈
* . 1 x sin , x > 0  x Să vedem dacă F ' ( 0 ) = f ( 0 ) . Avem: Fs' ( 0 ) = lim x0

F ( x ) − F (0 ) F ( x ) − F (0) = 0, Fd' ( 0 ) = lim = x  0 x x

1 , care nu există. Deci F nu este derivabilă în x = 0 . x Prin urmare f nu admite primitive pe
.

limsin x0

Probleme propuse Primitiva unei funcţii 0. 1) Daţi definiţia unei primitive a funcţiei f : I →
, pe intervalul I ⊆
. 2) Daţi exemple de funcţii care au primitive. 3 ) Daţi trei exemple de primitive pentru o funcţie. 1, ≥ 0 4) Orice funcţie are o primitivă? Analizaţi exemplul f ( x ) =  .  −1, x < 0 2

5) Două primitive ale funcţiei f :
→
, f ( x ) = e x diferă în x = 1 prin e. Cu cât diferă cele două primitive în x = 10 ?  1. 1 ) Fie g , G : D →
, unde G este o primitivă a lui g. Precizaţi g dacă:

a) G ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 1; b) G ( x ) = x ( x 2 − 3 ) ; c ) G ( x ) =

42

2x − 1 ; d ) G ( x ) = x 2 + 1; x2 + 1

e) G ( x ) =

1 3

( ln x )

3

; f ) G( x) = x − 2 x +

13 1 x ; g ) G ( x ) = ⋅ ln x 2 + 1 ; h) G ( x ) = 3 2

(

)

x x3 33 x 1 ; + e x ; j ) G ( x ) = arcsin ; k ) G ( x ) = arctg 3 ln 3 3 6 2 1 1 l ) G ( x ) = arcsin x − 1 − x 2 ; m ) G ( x ) = arctg x 2 − ln ( x 4 + 1 ) ; 2 4 1 x+1 x sin 2 x x n)G ( x ) = arctg ; p) G ( x ) = + 3 + ; q ) G ( x ) = 2 x + sin 2 x + 2 4 2 2 1 1 sin 4 x + sin6 x; r ) G ( x ) = x sin x + cos x; s ) G ( x ) = x arccos x − 1 − x 2 ; 2 3 = e sin x ; i ) G ( x ) =

t ) G ( x ) = x arcsin x − 1 − x 2 ; u) G ( x ) = 1 + x 2 arctg x − ln x + 1 + x 2 ;

)

(

v) G ( x ) = 2

(

x − 1 − x arcsin x ; z ) G ( x ) = x ln x 2 + 1 −

)

(

)

x + 2arctg x . 2 1 + x2

(

)




2 ) În reperul xOy de mai jos sunt redate graficele funcţiei g şi a unei primitive G a lui g. Precizaţi care este graficul fiecărei funcţii?

2. Să se determine f dacă pe rând: 1) f ' ( x ) = x 3 + 2 şi f ( 0 ) = 1; 2) f ' ( x ) = 3 x 2 + 2 x , f ( 1) = 3; 3) f ''( x ) = 6 x − 2, f ' ( 1) = −5, f ( 1) = 3; 4) f ''( x ) = cos x , f ' ( 0 ) = 1, f ( 0 ) = 2 . 3.1) Să se determine primitiva G a funcţiei g : D →  cu proprietatea G ( x0 ) = y0 în 2

cazurile: a) D = , g ( x ) = ( x − 1) ,G ( 2) = 3; b) D = , g ( x ) = sin x + 1, G ( 0) = 2;c) D = ( 0, ∞) , 3 − 2 x + e x , G ( 1) = e + 1 . x 2) Arătaţi că funcţia G : D →  este o primitivă a funcţiei g : D →  , unde D este intervalul indicat: a ) D =  , G ( x ) = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 3 ) , g ( x ) = 3 x 2 − 1; g( x) =

b ) D = ( 0, ∞ ) , G ( x ) =

2 x x + 1 , g ( x) = x; 3

(

)

43

c ) D =
, G ( x ) = x cos x , g ( x ) = cos x − x sin x; d ) D = ( 1, ∞ ) , G ( x ) = x 2 − 1, g ( x ) =

x

.

x2 − 1

3) Fie funcţia g :
→
, g ( x ) = 3sin 2 x . Care din funcţiile de mai jos reprezintă o primitivă a lui g pe
: 3 3 a ) G ( x ) = sin 2 x; b) Η ( x ) = − cos 2 x + 1; c ) K ( x ) = −3cos 2 x; d ) L ( x ) = 3sin 2 x − 5 ? . 2 2 

4. 1 ) Arătaţi fără a calcula derivata, că F şi G sunt două primitive pe
ale unei funcţii în cazurile: 1 − x6 x3 + 3 x2 − 1 x3 + x2 − 3 a) F ( x ) = , G( x) = ; b) F ( x ) = , G ( x) = . 6 6 2 1+ x 1+ x x +1 x2 + 1

2 ) Fie funcţia f ( x ) = x 2 − 2 x , iar F,G,H trei primitive ale acestei funcţii. Calculaţi F ( 3 ) − F ( 1) , G ( 3 ) − G ( 1) şi H ( 3 ) − H ( 1) . Ce constataţi? 5. Fie f , g :
→
, f ( x ) = x cos x , g ( x ) = x sin x . Determinaţi primitivele funcţiilor, calculând în prealabil derivatele lor. 6. Dacă F este o primitivă alui f pe
, atunci funcţia G ( x ) = F ( x − 2 ) este o primitivă pe
a funcţiei

g ( x ) = f ( x − 2 ) ? Dar

H ( x) = F (2x)

este o primitivă pe




a funcţiei

g( x) = f (2x) ? 7. Fie funcţia g :
→
, g ( x ) = x cos ( 3 x + 1) a)

Calculaţi g ' ( x ) ; b) Deduceţi o primitivă (pe
) pentru funcţia f :
→
,

f ( x ) = x sin ( 3 x + 1 ) . 1  π 8. a) Să se determine o primitivă pe  0,  a funcţiei f ( x ) = . cos 2 x  4 sin x 3 2  π b) Fie G :  0,  →
, G ( x ) = ; Arătaţi că G ' ( x ) = − ; 3 4 2 4 cos x cos x cos x   1  π c) Deduceţi o primitivă pe  0,  a funcţiei g ( x ) = . cos 4 x  4 9. Fie f , g :
→
, f ( x ) = x cos 2 x , g ( x ) = x sin 2 x . a) Să se determine o primitivă pentru f + g pe
. b) Arătaţi că există a , b ∈
astfel încât funcţia H ( x ) = ax sin 2 x + b cos 2 x să fie o primitivă pe
pentru f − g . c) Deduceţi câte o primitivă pentru f şi respectiv g pe
. 10. Fie f :
→
, f ( x ) = sin x + sin 3 x a) Calculaţi f '( x ) , f'' ( x ) şi arătaţi că există a , b ∈
astfel încât f '' ( x ) + af ( x ) =

= b sin x , ∀ x ∈
. b) Deduceţi o primitivă pentru f.

44

11. a) Arătaţi că funcţia f : ( 1, ∞ ) →
, f ( x ) = x 2 x − 1 are pe ( 1, ∞ ) o primitivă de forma F ( x ) = P ( x ) x − 1 , unde P ( x ) este o funcţie polinomială de gradul trei care se va preciza. b) Să se determine a , b ∈
astfel încât funcţia G să fie o primitivă a lui g în cazurile:  1  i) g , G :  − , ∞  →
, g ( x ) = 1 + 3 x , G ( x ) = ( ax + b ) 1 + 3 x ;  3  x ii) g , G : ( −1, ∞ ) →
, g ( x ) = , G ( x ) = ( ax + b ) x + 1; x +1

2x2 + 1

, G ( x ) = ( ax + b ) x 2 + 1 . x2 + 1 c) Să se determine a , b, c ∈
astfel încât funcţia G să fie o primitivă a lui g în cazurile: iii) g , G :
→
, g ( x ) =

3  i) g , G :  −∞ ,  →
, g ( x ) = x 3 − 2 x , G ( x ) = ax 2 + bx + c 3 − 2 x ; 2  1 ii) g , G : ( −∞ ,4 ) →
, g ( x ) = ( 5 x + 4 ) 4 − x , G ( x ) = ax 2 + bx + c 4 − x ; 2 5x iii) g , G : ( −2, ∞ ) →
, g ( x ) = x + 2, G ( x ) = ax 2 + bx + c x + 2 ; 2

(

)

(

)

(

) iv) g , G : ( 0, ∞ ) →
, g ( x ) = ln x , G ( x ) = x ( a ln x + b ln x + c ) ; v) g , G :
→
, g ( x ) = x e , G ( x ) = ( ax + bx + c ) e . 2

2 x

2

x

2

12. Să se determine a , b ∈
astfel încât G :
→
, G ( x ) = x 2 x − a − x − b să fie primitiva unei funcţii g;
→
. 13. Dată fiind o funcţie g să se determine o primitivă G a lui g al cărei grafic să conţină punctul A, în cazurile: x −1 π  a ) g ( x ) = 4 x 3 − 2 x + 3, A ( 1,3 ) ; b) g ( x ) = , A ( 1,0 ) ; c ) g ( x ) = sin x + cos 2 x , A  ,1  ; x 2  x −1 d ) g( x) = , A ( −2,0 ) . 3 ( x + 1) 14. Fie f : I →
, 0 ∈ I , o funcţie impară. Arătaţi că o primitivă F : I →
pe I a lui f este funcţie pară. Dacă f este pară, atunci o primitivă F : I →
, F ( 0 ) = 0 , pe I a lui f este impară.  π  π 15. a) Arătaţi că funcţia f :  0,  →
, f ( x ) = ln ( tgx ) este derivabilă pe  0,  şi calculaţi  2  2 f '( x ) .

1  π  π b) Deduceţi o primitivă pe  0,  pentru funcţia g :  0,  →
, g ( x ) = . 2 2 sin x     1 a cos x b cos x  π 16. a) Arătaţi că există a , b ∈
astfel încât = + , ∀x ∈  0,  . cos x 1 − sin x 1 + sin x  4

45

1  π  π b) Deduceţi o primitivă pe  0,  pentru funcţia g :  0,  →
, g ( x ) = . cos x  4  4 cos x sin x  π 17. Fie f , g :  0,  →
, f ( x ) = , g( x) = . 3 sin x + cos x sin x + cos x    π Să se determine o primitivă pe  0,  pentru f + g , f − g şi apoi pentru f şi g.  3

18. Un obiect se mişcă de-a lungul axei cu acceleraţia a ( t ) = 2t − 2 unităţi/ s 2 .

Poziţia sa iniţială (la t = 0 ) este 5 unităţi la dreapta originii. O secundă mai târziu obiectul se mişcă la stânga cu viteza de 4 unităţi/s. Determinaţi poziţia obiectului după t = 4 s . 19. Viteza de creştere a populaţiei

( P ( t ))

pe lună

(t )

într-un oraş este dată de ecuaţia

diferenţială P ' ( t ) = 3 + 2 3 t . 1) 2)

Să se determine soluţia generală a acestei ecuaţii. Să se precizeze soluţia particulară, dacă în prezent ( t = 0 ) , P ( 0 ) = 100 .

3) Care va fi populaţia oraşului peste 8 luni? 20. Un producător de obiecte artizanale realizează pe săptămână x obiecte. Funcţia de profit săptămânal P ( x ) , în €, verifică ecuaţia P ' ( x ) = 15 − 0,2 x . 1)

Dacă P ( 0 ) = −100 (costurile fixe sunt de 100 €/săptămână), să se determine P ( x ) .

2) Să se determine profitul în săptămâna în care realizează x = 10 obiecte. 3) Care este numărul de obiecte lucrate săptămânal care face maxim profitul? 21. Se doreşte umplerea unei piscine cu apă. Se ştie că volumul V ( t ) în m 3 al apei din piscină după t ore verifică ecuaţia V ' ( t ) = 3 + 10t . 1)

Dacă V ( 0 ) = 0 , atunci să se determine V ( t ) .

2)

Pentru t = 1h , să se determine V ( 1) .

3) După câte ore se umple piscina, dacă aceasta are volumul 140 m 3 . 22. Într-un orăşel medicul depistează 12 persoane bolnave de un anumit virus. Se estimează că numărul N al persoanelor infestate după n zile va fi dat de ecuaţia N ' ( n ) = 3 + 2n . 1) Să se determine funcţia N ; 2) Câte persoane vor fi bolnave după 3 zile? 23. Un şoarece cântăreşte 15 g la naştere, iar greutatea sa G ( t ) , în grame, după t săptămâni 2 ( 3 + t ) grame pe săptămână. 5 1) Scrieţi ecuaţia diferenţială şi apoi determinaţi formula care dă creşterea după t săptămâni. creşte cu viteza (rata) de

46

2) Care este greutatea şoarecelui după 5 săptămâni? 24. Un elev şi-a depus suma de 1000 € într-o bancă cu dobânda compusă continuă de 5 %. Câţi bani va avea în cont după 5 ani şi care este dobânda câştigată în această perioadă?

∫dx, x∈
;2) ∫πdx; 3) ∫x dx, x∈
; 1 4) ∫ x dx, x > 0; 5) ∫ x xdx, x ≥ 0; 6) ∫( x − 3x ) dx, x ∈
; 7) ∫ x ( x − 2) dx, x ∈
;  x − x +1 x 3 5  8) ( x − 1) ( x + 5) dx, x ∈
;9)  − +  dx, x < 0;10)  ∫ ∫ 2 x x  ∫ x dx, x > 0; 2

25. Să se calculeze următoarele integrale: 1)

2

2

2

2

2

2

2

1  11)  − 2 x + 3 3 x  dx , x ≥ 0;12) 3  

(x

2

2

− 2)

∫ ∫ x dx, x > 0;13) ∫ x + 1 , x ∈
; x dx 1− x  14) ∫ x + 1;15) ∫ x  dx, x > 0;16) ∫( 2 − 3e ) dx, x ∈
;17) ∫ 2 e dx, x ∈
; 2 +5 dx x dx 18) ∫ 10 dx, x ∈
; 19) ∫ x − 9 , x ∈( −3,3); 20) ∫ x − 9 dx, x > 3; 21)∫ 4x − 9 , dx x + 25 + 3 dx  3 3 x ∈  − ,  ; 22) , x ∈
; 23) dx , x ∈
; 24) , ∫ ∫ ∫  2 2 x + 25 x + 25 9x + 4 dx

3

2

2

2

x

2

x

2x

x

2

x

x

2

x

2

2

2

2

2

(

2

)

x 2 + 9 − 5 dx

2

( 3 − x ) dx , x ∈ ( −4,4);

∫ x +9 ∫ 16 − x x −2 + x +2 x dx x −1 28) dx , x > 2; 29) , x ∈
; 30) ∫ x −4 ∫ x +1 ∫ x + 1 dx, x ∈
; x +1 13 x + 2 x x  31) dx , x ∈
; 32) dx; 33)  sin + cos  dx , x ∈
; ∫ x − x +1 ∫ ( 4 x + 1)(9 x + 1) ∫  2 2  1 − sin x x  π  π 34) dx , x ∈  0,  ; 35) sin dx , x ∈
; 36) 1 + sin 2 x dx , x ∈  0,  ; ∫ sin x ∫ 2 ∫  2  2 cos 2 x  π  π  π 37) ∫ cos x dx, x ∈  0, 2 ; 38) ∫ tg x dx, x ∈  0, 2 ; 39) ∫ (1 + tg x ) dx, x ∈  0, 2 ; x x dx  40)  2sin + 4cos  dx , x ∈
; 41) ∫ 2 ∫ sin ( x + 2)sin ( x + 3) , sin ( x + k ) ≠ 0, k = 2,3; 2  π 42) arcsin ( sin x ) dx , x ∈ [ 0,2π ]; 43) tg x ⋅ tg2 x ⋅ tg3 x dx , x ∈  0,  . ∫ ∫  6 x ∈
; 25)

∫

2

dx

16 − x 2

2

, x ∈ ( −4,4 ) ; 26)

2

2

4

3

2

2

2

2

2

2

2

2

4

, x ∈
; 27)

2

3

2

2

2

2

2

2

2

Problema existenţei primitivelor. Funcţii care admit primitive 1. Arătaţi că funcţiile de mai jos admit primitive pe domeniile de definiţie şi determinaţi o primitivă pentru fiecare funcţie.

47

 2 x + 1, x < 1  x, x ≥ 0  1) f :
→
, f ( x ) =  ; 2) f :
→
, f ( x ) =  1 2 ;  2 x, x < 0  x + x2 , x ≥ 1  1 1  − , x≥1 3) f :
→
, f ( x ) =  x x 2 ; 4) f : [ 0, ∞ ) →
, f ( x ) = x − 2 x + 1;  sin ( x − 1) , x < 1   x + 3 x , x ∈ [ 0,1) 1 − x , x > 0   5) f : [ 0, ∞ ) →
, f ( x ) =  1 ; 6) f :
→
, f x = ; ( )  1 1 + 3 , x≥1 ,x≤0   2 x +1 x  x  1  x 2 − 1 , x ≤ −2 7) f :
→
, f ( x ) =  ; 8) f :
→
, f ( x ) = x − 2 ; 9) f :
→
,  − x , x > −2  6 f ( x ) = x 2 − 4 ;10) f : ( -1,1) →
, f ( x ) = x 2 + x ; 11) f :
→
, f ( x ) = x + x 2 − 2 x + 1; 12) f :
→
, f ( x ) = x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 6 x + 9;13) f : [ −2π , 2π ] →
, f ( x ) = cos x ;  x2 + 3x ,x≥0  π  2  14) f : ( −2, ∞ ) →
, f ( x ) =  ;15) f :  −∞ ,  →
, 2   1 , x ∈ ( −2,0 )  4 − x 2  1 ,x 0 π 1    2 2   , x ∈  0,   cos 2 x  2   π  sin x + cos x , x ∈  0, 2     f ( x) =  ;18) f : ( −2,2 ) →
, f ( x ) = max x , x 3 . π   1 + tg x , x ∈ − ,0    2  

(

)

2. Pentru fiecare din funcţiile de mai jos să se determine o primitivă al cărei grafic conţine punctul A indicat.  x − 1, x ≤ −2  1) g :
→
, g ( x ) =  − x 2 + 1, x ∈ ( −2,2] , A ( 1,1) ;   −3, x > 2  −2 x , x > 0  2) g :
→
, g ( x ) =  − x , x ∈ ( 0, 2] , A ( 0,0 ) .   x − 4, x > 2 3. Să se determine parametrul real m pentru care funcţiile de mai jos admit primitive pe domeniul de definiţie.

48

 x + m, x ≥ 1  2 x ln x + x , x > 0 1) f :
→
, f ( x ) =  2 ; 2) f : [ 0, ∞ ) →
, f ( x ) =  . x + 1, x < 1 m, x = 0  4*. Să se arate că următoarele funcţii (fără a fi continue pe domeniul de definiţie) admit primitive: 1  x, x ≤ 0    cos , x ≠ 0 1) f :
→
, f ( x ) =  ; 2) f :
→
, f ( x ) =  ; x 1 1  2 x sin x − cos x , x > 0  0, x = 0   m  m   sin , x ≠ 0 cos , x ≠ 0 3) f :
→
, f ( x ) =  , m ∈ * ; 4) f ( x ) =  , m ∈ * . x x    0, x = 0  0, x = 0

Funcţii care nu admit primitive 1*. Să se arate că nu există m ∈
pentru care funcţia f :
→
să admită primitive pe
în cazurile: 1  1 1  x + m, x ≤ 0 sin − cos , x ≠ 0  1) f ( x ) =  ; 2) f ( x ) =  1 1 . x x x 1  sin x − x cos x , x > 0  m, x = 0  2*. Să se arate că următoarele funcţii nu admit primitive pe domeniul de definiţie.  sin x  2 x + 1, x < −1 ,x≠0  1) f :
→
, f ( x ) =  2 ; 2) f :
→
, f ( x ) =  x .  x + 3 x , x ≥ −1   3, x = 0 3*. Să se arate că următoarele funcţii nu admit primitive pe
, în cazurile:  x , x ∈   x 2 + x + 1, x ∈   x, x ∈  1) g ( x ) =  3 ; 2) g ( x ) =  2 ; 3) g ( x ) =  x .  2 , x ∈
−   x , x ∈
−  x , x∈
−  4*. Să se arate că următoarele funcţii nu admit primitive pe
. 1  sin , x ≠ 0 1) g ( x ) = sgn ( 3 x ) ; 2) g ( x ) = [ 2 x ] ; 3) g ( x ) = x − [ 2 x ] ; 4) g ( x ) =  . x  −1, x = 0 

49

1.5 METODE DE CALCUL ALE PRIMITIVELOR Acest paragraf conţine câteva reguli şi sfaturi pentru integrare. Nu este posibil să formulăm un set de reguli prin care orice funcţie să poată fi integrată. Metodele care vor urma ne vor permite, în general, nu să integrăm direct ci să transformăm funcţia de integrat astfel încât ea să ia forma unor integrale standard aşa cum apar în tabelul de integrale uzuale. 1) Metoda integrării directe (prin formule) Această metodă utilizează integralele nedefinite din tabelul cu integrale precum şi operaţiile cu acestea (sumă şi înmulţirea cu scalari). Exerciţii rezolvate Să se calculeze integralele următoare: 1  1. I =  x 2 + 2 x +  dx , x < 0 . x 

∫

R. Avem I =

∫

∫

x 2dx + 2 xdx +

∫

dx x3 = + x 2 + ln ( − x ) + C . x 3

∫ x dx, x > 0 . dx dx 1 3  x 3 R. I =  −  dx = ∫  x x  ∫ x − 3∫ x = ∫ x dx − 3∫ x dx = − 3x + 4x + C . 3. I = ( x + x + x ) dx , x ≥ 0 . ∫ x−3

2. I =

5

−4

5

5

4

3

∫

3 2 x

3

4

4

1 1  1 R. Se obţine: I =  x 2 + x 3 + x 4  dx =     1 +1 x4

−5

5

4 x3

∫

1 x 2 dx +

∫

5 4 x

1 x3

dx +

∫

1 x 4 dx =

1

+1

1

+1

x2 x3 + + 1 1 +1 +1 2 3

2 3 4 +C = + + + C = x x + x3 x + x4 x + C . 1 3 4 5 3 4 5 +1 4 2 3 4 Observaţie. Am scris radicalii ca puteri cu exponent raţionali şi am aplicat formula +

∫

xα +1 + C , α ≠ −1 . α +1 3   2 − 3  dx , x > 0 .  x  x

xα dx =

4. I =

∫

50

R. Se obţine: 1

1

− +1 − +1 1 1 2 1 1  −1 −  − − x 2 x 3 9 I =  2 x 2 − 3 x 3  dx = 2 x 2 dx − 3 x 3 dx = 2 −3 + C = 4x 2 − x 3 + 1 1   2 − +1 − +1   2 3 9 +C = 4 x − 3 x 2 + C . 2 dx 5. I = , x∈
. 4 x2 + 1

∫

∫

∫

∫

R. Se scrie I sub forma I =

6. I =

∫

∫2

1  1 = ln  x + x 2 +  + C . 2 4  1 x2 +    2 dx

2

dx  2 2 , x ∈ − ,  . 2 9x − 4  3 3

dx

∫

1 R. Avem: I = = 2  2  9 9 x2 −     3    1  2 − 3x  +C = ln  +C . 12  3x + 2 

∫

2 x− 1 1 3 + C = 1 ⋅ ln 3 x − 2 + = ⋅ ln 2 2 2 9 2⋅ 12 3x + 2 2 x+ x2 −   3 3 3   dx

 4 4 , x ∈ − ,  .  3 3 16 − 9 x R. Se scrie I astfel: dx 1 dx 1 x 1 3x I= = = arcsin + C = arcsin + C . 2 2 4 3 3 3 4 4  4 2 3   − x2   −x 3 3  3 7. I =

∫

dx

2

∫

∫

cos 2 x  π dx , ∀x ∈  0,  . 2 2 sin x cos x  2 R. Avem: cos 2 x − sin 2 x 1   1 I= dx =  2 −  dx = 2 2 2 sin x cos x  sin x cos x  8. I =

∫

∫

∫



∫

dx − sin 2 x



∫

∫  1 + x − 1 − x  dx, x ∈ ( −1,1) . 2dx 3dx R. Avem: I = ∫ 1 + x − ∫ 1 − x = 2arctg x − 3arcsin x + C . 10. I = ( 2e − 3 ) dx , x ∈
. ∫ 3 R. Se obţine: I = 2 e dx − 3 dx = 2e − +C . ∫ ∫ ln 3 9. I =

2

3

2

2

2

x

2

x

x

x

x

x

51

dx = −ctg x − tg x + C cos 2 x

11. I =

∫

(x

2

2

−1

∫

−2 x −2 dx +

∫

dx , x > 0 .

x4

x4 − 2x2 + 1

∫

R. Găsim: I =

12. I =

)

x

dx =

4



∫  1 − x

2

+

2

2

−4

2

dx

∫ sin x − ∫ sin xdx = −ctg x + cos x + C . 2

1 − 1 − x2 dx , x ∈ ( −1,1) . 1 − x2

∫

∫

∫ (1 − sin x ) dx = ∫ dx −∫ sin xdx =

1 − sin 3 x  π dx , x ∈  0,  . 2 sin x  2

 1 1 − x2 − R. Găsim: I =  2 1− x 1 − x2  1 1− x  = − ln   − arcsin x + C . 2  x +1 15. I =

= x−

x x   sin − cos  dx , x ∈
. 2 2 

∫

∫

4

3

 1  R. Se obţine: I =  2 − sin x  dx =  sin x  14. I =

dx

2

1

∫

∫

dx

∫ dx − 2 ∫ x + ∫ x

∫ x dx = x + x − 3x + C .

x x x x  R. Avem: I =  sin 2 − 2sin cos + cos 2  dx = 2 2 2 2   = x + cos x + C . 13. I =

1   dx = x4 

 dx  dx = − 2 −  x −1 

∫

∫

dx

1 x −1 = − ln − arcsin x + C = 2 x +1 1− x 2

3 + x2 + 4 dx , x ∈
. x2 + 4

 3 x2 + 4  dx + 2  dx = 3 2 + R. Avem: I =  2  x +4 x +4  x +4  

∫

∫

∫

dx x2 + 4

3 x = arctg + ln x + x 2 + 4 + C . 2 2

(

)

Exerciţii propuse Să se calculeze integralele nedefinite ale următoarelor funcţii: 5 3 1) f ( x ) = x 2 − 2 x + 3, x ∈
; 2) f ( x ) = x + , x < 0;3) f ( x ) = 2 x − + x , x > 0; x x 2 1 3 5 4) f ( x ) = 1 + x , x ≥ 0; 5) f ( x ) = , x > 0; 6) f ( x ) = x − + 2 , x < 0; x x x x x −1 7) f ( x ) = x − 3 x + 5 4 x , x ≥ 0; 8) f ( x ) = 3 , x < 0; 9) f ( x ) = x x − 3 x , x ≥ 0; x

(

10) f ( x ) =

)

x−3 x 3

x

, x > 0;11) f ( x ) =

9− x , x ≥ 0;12) f ( x ) = x − 3e x , x ∈
; 3+ x

52

2 3 x −1 ( x − 1) 1 1 13) f ( x ) = − 2 x + 2 − 3 x , x > 0;14) f ( x ) = , x < 0;15) f ( x ) = , 3 x x x x 1 x x2 x > 0;16) f ( x ) = 2 , x > 2;17) f ( x ) = 2 , x < −2;18) f ( x ) = 2 , x > 2; x −4 x −4 x −4 x2 + 3 1 2 1 19) f ( x ) = 2 , x > 2; 20) f ( x ) = ,x> ; 21) f ( x ) = 2 , x ∈
; x −4 3x2 − 4 x +4 3

(

)

x2 2 x2 + 1 1 , x ∈
; 23) f ( x ) = 2 , x ∈
; 24) f ( x ) = , x ∈
; x +4 x +4 3 x2 + 5 1 x 25) f ( x ) = , x ∈ ( −3,3 ) ; 26) f ( x ) = , x ∈ ( −3,3 ) ; 27) f ( x ) = 2 9− x 9 − x2 22) f ( x ) =

1

=

2

x −4

2

, x > 2; 28) f ( x ) =

x 2

x −4

, x > 2; 29) f ( x ) =

2

30) f ( x ) = 32) f ( x ) =

(

2x + 3 , x > 1; 31) f ( x ) = x − 1 x2 + 4 2

)(

)

1 2

4x − 5

,x >

5 ; 2

2

x −3 +1 , x > 3; x2 − 3

1 2 3  π  π , x ∈  0,  ; 33 ) f ( x ) = − 2 + , x ∈  0,  ; 2 2 sin x cos x sin x cos x  2  2 2

34) f ( x ) = sin 2

x x x  π , x ∈
; 35) f ( x ) = tg 2 x , x ∈  0,  ; 36) f ( x ) = sin + cos , 2 2 2  2

x ∈
; 37) f ( x ) =

sin x cos x  π , g( x) = , x ∈  0,  . 3sin x + 4cos x 3sin x + 4cos x  2

2) Metoda intergrării prin părţi Intergrala nedefinită şi diferenţiala Un rol deosebit de important în calculul integral îl joacă diferenţiala unei funcţii. Fie f : I →
, I interval, o funcţie derivabilă şi x0 ∈ I . Funcţia f este derivabilă în x0

f ( x0 + h) − f ( x0 )

= f ' ( x0 ) ∈
. Aceasta h f ( x0 + h ) − f ( x0 ) înseamnă că pentru h mic, h ≠ 0 , raportul se poate aproxima cu h numărul f ' ( x0 ) , adică putem scrie f ( x0 + h ) − f ( x0 ) ≈ f ' ( x0 ) h , unde membrul dacă există şi este finită limita (raportului) lim h →0

stâng se notează de obicei cu ∆f = f ( x0 + h ) − f ( x0 ) ( ∆f îl citim: delta f ) şi reprezintă creşterea lui f de la x0 la x0 + h (Fig. 7).

53

Fig. 7

Aproximarea de mai sus este bună în sensul că pentru h mic, diferenţa dintre cele două expresii  f ( x0 + h ) − f ( x0 )  − f ' ( x0 ) h este mică comparativ cu h, adică raportul  f ( x0 + h ) − f ( x0 )  − f ' ( x0 ) h tinde la zero dacă h tinde la zero. h  f ( x0 + h ) − f ( x0 )  − f ' ( x0 ) h f ( x0 + h ) − f ( x0 ) Într-adevăr, lim  = lim − h →0 h → 0 h h f ' ( x0 ) h − lim = f ' ( x0 ) − f ' ( x0 ) = 0 . h →0 h Fie x ∈ I , arbitrar. Atunci avem următoarea:

Definiţie. Fie h ≠ 0 . Diferenţa f ( x + h ) − f ( x ) se numeşte creşterea lui f de la x la x + h şi se notează ∆f = f ( x + h ) − f ( x ) .

Produsul f ' ( x ) h se numeşte diferenţiala lui f în x cu creşterea h şi se notează df = f ' ( x ) h .

Aşadar ∆f ≈ df .

54

Exemplu. Să calculăm diferenţiala funcţiei f ( x ) = x 2 , x > 0 . Funcţia dă aria pătratului de latură x (Fig. 8). Dacă lungimea fiecărei laturi creşte de la x la x + h , atunci aria creşte de la f ( x ) la f ( x + h ) şi deci 2

∆f = f ( x + h ) − f ( x ) = ( x + h ) − x 2 = = 2 xh + h2 . Ca estimare a acestei schimbări putem utiliza diferenţiala df = f ' ( x ) h = 2 xh . Eroarea comisă ca urmare a acestei 2

aproximări este egală cu ∆f − df = h , care este mică în raport cu h , în sensul că

∆f − df h2 = lim = lim h = 0 . h Fig. 8 h→ 0 h→ 0 h h→ 0 Uneori în locul lui h folosim notaţia ∆x şi deci df = f ' ( x ) ∆x . Diferenţiala variabilei lim

independente x este egală cu dx = ∆x . Cu acestea df = f ' ( x ) dx , ceea ce arată legătura strânsă dintre diferenţială şi derivata unei funcţii. Mai precis are loc următoarea:

Teoremă (Legătura derivatei cu diferenţiala). Fie f : I →
, I interval şi x ∈ I . Funcţia f are diferenţială în punctul x şi în plus df = f ' ( x ) dx sau

f '=

df . dx

În virtutea acestei teoreme, via operaţiile cu funcţii derivabile, au loc următoarele reguli pentru diferenţiale: Dacă f,g sunt derivabile pe un interval deschis, atunci: d ( f ± g ) = df ± dg (diferenţiala sumei – diferenţei este egală cu suma – diferenţa diferenţialelor). 1) d ( kf ) = kdf , k − constantă.

2) d ( fg ) = gdf + fdg .  f  gdf − fdg 3) d   = ,g ≠0. g2 g 4) d (ϕ  f ) = ϕ ' ( f ) df , ∀ϕ :
→
, funcţie derivabilă. De exemplu, pentru 3) avem: d ( fg ) = ( fg ) ' dx = ( f ' g + fg ') dx = g ( f ' dx ) + f ( g ' dx ) = gdf + fdg .

55

Integrarea prin părţi

O metodă ce permite calcularea integralelor unor funcţii date este oferită de metoda integrării prin părţi (este operaţia inversă derivării produsului ( uv ) ' = u'v + uv', u , v funcţii derivabile). Are loc următoarea: Teoremă. Fie u, v : I →
, I interval, două funcţii derivabile cu derivatele continue. Atunci funcţiile u ' v, uv ' admit primitive şi mulţimile lor de primitive

sunt legate prin relaţia:

∫ u ( x ) v '( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ u '( x ) v ( x ) dx .

Demonstraţie. Funcţiile u ' v şi uv ' fiind continue pe I (ca produs de funcţii continue), admit primitive pe I . Funcţiile u, v fiind derivabile rezultă uv este o funcţie derivabilă şi avem ( uv ) ' = u ' v + uv ' sau uv ' = ( uv ) '− u ' v . De aici, prin

∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = ∫ ( u ( x ) v ( x )) ' dx − ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx sau ∫ u ( x) v '( x) dx = u ( x) v ( x) + C − ∫ u '( x ) v ( x ) dx ( ∫ u ' = u + C ) sau ∫ u ( x ) v '( x ) dx = = u ( x ) v ( x ) − u ' ( x ) v ( x ) dx ( u = u + C ) . ∫ ∫ ∫

integrare, rezultă

Observaţii. 1) Faptul că integrarea prin părţi este operaţia inversă a derivării produsului, se reprezintă schematic ca mai jos.

f '( x) = u '( x ) v ( x ) + u ( x ) v ' ( x )

(Derivare)

f ( x) = u ( x) v ( x)

( )

( ) ( )

∫ f ' ( x ) dx

=

∫ u ' ( x ) v ( x ) dx + ∫ u ( x ) v ' ( x ) dx

(Integrare)

( ) ( )

( ) ( ) f ( x) + C

Observaţi că membrul drept al formulei integrării prin părţi este simetric în u şi v . Din acest motiv se iau u şi v astfel încât dată fiind una din integrale de calculat, atunci cea de-a doua să fie mai simplă. Formula are forma

∫ u ( x ) v '( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ u '( x ) v ( x ) dx , fiind cunoscută integrare a produsului.

56

şi sub denumirea de

2) Formula care apare în teoremă este cunoscută sub numele de formula integrării prin părţi (pentru integrala nedefinită). Funcţiile u, v se numesc părţi ale integrandului. 3) De obicei se ia u funcţia mai complicată de sub semnul integrală astfel încât a doua integrală din formulă să fie mai simplă decât prima integrală. Dacă integrala din membrul drept al formulei este mai dificilă, atunci se face o altă alegere pentru u şi v ' . În a doua integrală apare v obţinut din v' prin integrere. De aceea, în prima integrală, alegem pe v' o funcţie mai simplă, ca prin integrare să determinăm pe v. Am văzut că integrarea este mai dificilă decât derivarea. Exemplu. Să se calculeze ∫ xe x dx . R. Dacă punem u ( x ) = e x şi v ' ( x ) = x , atunci u '( x ) = e x şi v ( x ) = formula integrării prin părţi are forma

x ∫ xe dx =

x2 , iar 2

x2 x 1 2 x e − ∫ x e dx . Observăm că a doua integrală 2 2

este mai complicată decât prima! Luăm

atunci

u ( x) = x

şi

v '( x ) = e x ,

când

u ' ( x ) = 1, v ( x ) = e x .

Deci

∫ xe dx = xe − x

x

∫

− e x dx = ( x − 1) e x + C .

4) Deoarece v ' ( x ) dx = dv ( x ) şi u ' ( x ) dx = du ( x ) , iar diferenţiala produsului este d ( uv ) = udv + vdu , formula integrării prin părţi scrisă cu ajutorul diferenţialelor are forma

∫ udv = uv − ∫ vdu Cele două părţi ale integrandului sunt “ u ( x ) ” şi “ v ' ( x ) dx ” sau “u” şi “dv”. Pentru a aplica integrarea prin părţi este necesar să calculăm u' ( x ) (prin derivare) şi v ( x ) (prin integrare). În general, egalitatea ∫ udv + ∫ vdu = uv , arată că dacă este cunoscută o integrală din membrul stâng atunci se poate calcula şi cealaltă. Pentru a aplica uşor formula integrării prin părţi, aranjăm funcţiile sub forma:

u ( x ) =   v ' x =  ( )

u' ( x ) = ( prin derivare )  ⇒  prin integrare;  v ( x ) =  v este o primitivă     (din prima integrală ) ( din a doua integrală )

57

Pentru simplitate vom scrie u în loc de u ( x ) şi v' în loc de v ' ( x ) . În scriere diferenţială du = ( prin diferenţiere )  ⇒   prin integrare;   . v =  v este o primitivă   ( din prima integrală ) ( din a doua integrală ) u =   dv = 

Sugestiv formula integrării prin părţi poate fi redată prin diagrama următoare (alăturat este un caz particular)

=

unde prima integrală este luată din produsul funcţiilor de pe prima verticală a diagramei ( u ( x ) v ' ( x ) ) este egală cu produsul funcţiilor de pe diagonala principală a diagramei ( u ( x ) v ( x ) ) minus integrală din produsul funcţiilor de pe a doua verticală a diagramei ( u ' ( x ) v ( x ) ) . Exemplu. Să se calculeze ∫ xe x dx , x ∈
. u ' x = 1 u ( x ) = x  ( ) R. Notăm:  ⇒  x x v ( x ) = e v ' ( x ) = e Deci

∫ xe dx = xe − ∫1 ⋅ e dx = xe ∫ uv ' = uv − ∫ u' v x

x

x

x

x

( ∫ e dx = e

x

+C

)

.

− e x + C = ( x − 1) e x + C

58

În scriere diferenţială avem: u = x  du = dx ⇒  x  v = e x dv = e dx

( ∫ dv = v + C = ∫ e dx = e x

x

+C

)

alegem v = e x

Deci

∫ x e dx = x e − ∫ e dx = xe x

x

x

x

− e x + C = ( x − 1) e x + C .

∫ u ⋅ dv = u v − ∫ v du În alegerea lui u şi dv în formula integrării prin părţi ne ghidăm, atunci când este posibil, după următoarele consideraţii: 1) Alegem dv astfel încât

∫ dv

este uşor de determinat.

2) Alegem u astfel încât u ' să fie mai simplă decât u pentru integrare.

Este posibil de aplicat integrarea prin părţi de două sau mai multe ori pentru a evalua integrala dată. Exemplu. Să se calculeze: 1) I = ∫ x 2e x dx , x ∈
; 2) I = ∫ e x sin xdx , x ∈
. u = x 2  du = 2 xdx R. 1) Notăm:  ⇒ şi deci x x dv = e dx v = e I = ∫ x 2e x dx = x 2e x − ∫ e x ( 2 xdx ) = x 2e x − 2 ∫ xe x dx, (1) . u ⋅ dv = u v - v ⋅ du

Pentru I1 = ∫ xe x dx aplicăm, din nou, formula integrării prin părţi. Punem: u = x du = dx ⇒ şi deci I1 = ∫ x e x dx = x e x − ∫ e x dx = xe x − e x + C =  x x dv = e dx v = e = ( x − 1) e x + C .

u ⋅ dv = u v - v ⋅ du

Revenim în (1) cu I1 şi obţinem: I = x 2e x − 2 ( x − 1) e x + C  = x 2e x − 2 ( x − 1) e x + C = ( x 2 − 2 x + 2 ) e x + C .

Dacă am fi făcut alegerea du = e x dx x u = e  , atunci  şi integrala I devine:  x3 2 dv = x dx v = 3 

59

I = ∫ e x x 2dx =

x3 x x3 ⋅ e − ∫ e x dx . 3 3

u ⋅ dv = v u - v ⋅ du Constatăm că a doua integrală e mai complicată decât cea dată! u = e x du = e x dx 2)Notăm  şi de aici ⇒ dv = sin xdx v = − cos x I = ∫ e x sin xdx = −e x cos x + ∫ e x cos xdx, (1) . Pentru ∫ e x cos xdx , aplicăm formula integrării prin părţi şi avem: u = e x  du = e x dx . Deci ∫ e x cos xdx = e x sin x − ∫ e x sin xdx, (2) . ⇒  dv = cos xdx v = sin x  

A doua integrală din (2) este chiar I. Din (1) şi (2) rezultă: I = −e x cos x + e x sin x − I sau 2 I = ( sin x − cos x ) e x , adică I =

1 ( sin x − cos x ) e x + C . 2

5) Integrarea prin părţi se aplică în cazul integralelor de forma (acolo unde au sens): eα x    x n sinα x  dx, n ∈ , α ∈
unde sub integrală avem produsul dintre x n şi una cosα x    din funcţiile din paranteza acoladă. În acest caz se ia u = x n şi v ' = eα x ( sin α x, cos α x ) . Se aplică de n ori integrarea prin părţi. Qn ( x ) ⋅ eα x  Rezultatul final este   + C , unde Qn ( x ) , Pn ( x ) , Rn ( x )  Pn ( x ) sin α x + Rn ( x ) cos α x  sunt funcţii polinomiale de grad n . ' eα x   Qn ( x ) ⋅ eα x      = x n sin α x  , ∀x (Forma a doua din membrul Deci     Pn ( x ) sin α x + Rn ( x ) cos α x   cos α x      stâng corespunde la ultimele forme din membrul drept). Primitivele funcţiei date se pot obţine din ultima egalitate prin identificare. Se determină coeficienţii lui Qn , Pn , Rn prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi.

∫

Exemplu. Să se calculeze: 1) I = ∫ x 2e x dx , x ∈
; 2) I = ∫ x sin xdx , x ∈
. R. 1) Am calculat, mai sus, prin părţi această integrală. Acum o vom calcula ţinând seama de egalitatea 2 x

∫ x e dx = ( ax

2

+ bx + c e x + C .

)

60

Coeficienţii a, b, c se determină din cerinţa  ax 2 + bx + c e x  ' = x 2e x , ∀x ∈
, adică  

(

)

 ax 2 + ( 2a + b ) x + b + c  e x = x 2e x , ∀x ∈
. De aici, a = 1, 2a + b = 0, b + c = 0 , adică a = 1, b = −2, c = 2 . Aşadar,

∫ x e dx = ( x 2 x

2

− 2x + 2) ex + C .

αx αx În general ∫ Pn ( x ) e dx = Qn ( x ) e + C , unde Pn ( x ) , Qn ( x ) sunt funcţii polinomiale de grad n.

u = x 2) Punem  şi obţinem v ' = sin x

u ' = 1 . Deci  v = − cos x

∫ x sin xdx = − x cos x + ∫ cos x dx =

= − x cos x + sin x + C .

Altfel, punem

∫ x sin x dx = ( ax + b)sin x + ( cx + d ) cos x + C .

Din  ( ax + b ) sin x + ( cx + d ) cos x  ' = x sin x , ∀ x ∈
, rezultă  a − d − ( c + 1 ) x  sin x + + ( b + c + ax ) cos x = 0, ∀x . De aici deducem a − d − ( c + 1) x = 0, b + c + ax = 0, ∀x . În fine, din ultimile egalităţi găsim a = d = 0, c = −1, b = 1 . Aceeaşi notaţie o facem dacă în locul lui x

n

avem funcţia polinomială de grad n, Pn ( x ) . La

fiecare integrare prin părţi, în a doua integrală din formulă scade cu o unitate gradul funcţiei polinomiale.

ln x    n ∫ x arcsin x  dx, n ∈  , unde sub integrală avem produsul dintre x şi una din arctg x    n

funcţiile din paranteza acoladă. Se alege u = ln x ( arcsin x, arctg x ) , iar v ' ( x ) = x n sau sub formă diferenţială u = ln x, dv = x n dx . Aceeaşi notaţie se face şi pentru integrala în care în locul lui x n avem Pn ( x ) funcţie polinomială de grad n. Exemplu. Să se calculeze: 1) ∫ ln x dx , x > 0; 2)∫ arcsin x dx , − 1 ≤ x ≤ 1 . 1  u = ln x u ' = R. 1) Avem:  ⇒ x şi avem: ∫ ln x dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C . v ' = 1 v = x 2)Vom determina, mai întâi, o primitivă a funcţiei f ( x ) = arcsin x pe

( −1,1) , utilizând formula

integrării prin părţi. u = arcsin x Punem  şi avem v ' = 1

1  u ' = 1 − x 2 . Observaţi că u este derivabilă pe ( −1,1) ,  v = x 

61

dar nu şi pe [ −1,1] . Deci ∫ arcsin x dx = x arcsin − ∫

xdx 1 − x2

=x arcsin x + ∫

(

1 − x 2 ' dx =

)

= x arcsin x + 1 − x 2 + C , x ∈ ( −1,1) .

Vom genera o primitivă G a funcţiei f ( x ) = arcsin x pe [ −1,1] (fiind continuă există G !) cu ajutorul primitivei F : ( −1,1) →
, F ( x ) = x arcsin x + 1 − x 2 , punând  k1 , x = −1  G ( x ) =  F ( x ) , x ∈ ( −1,1) k , x = 1  2 unde constantele k1 , k2 se determină din cerinţa ca G să fie continuă la dreapta în x = −1 şi la stânga în x = 1 . Obţinem: k1 = lim F ( x ) = x  −1

Acum

π 2

, k2 = lim F ( x ) = x 1

π 2

.

∫ arcsinx dx = G ( x ) + C , ∀x ∈ [ −1,1] .

e β x     lnx  sinα x    • ∫  arcsin x   dx, α , β ∈
. Se ia u una din funcţiile din a doua paranteză cos x α   arctg x        βx acoladă, u = e ( ln x, arcsin x, arctgx ) şi v ' una din funcţiile din prima paranteză

acoladă, v ' = sin α x ( cos α x ) . După aplicarea de două ori a formulei integrării prin părţi se obţine integrala iniţială cu un anumit coeficient. Relaţia obţinută este o ecuaţie liniară de necunoscută integrala cerută! Exemplu. Să se calculeze I = ∫ e x sin x dx , x ∈
. u = e x u ' = e x R. Din  ⇒ şi formula integrării prin părţi dă v ' = sin x v = − cos x I = −e x cos x + ∫ e x cos x dx3 . Pentru integrala din dreapta se aplică, din nou, integrarea prin părţi punând x u = ex u ' = e când  . Deci ∫ e x cos x dx =e x sin x − ∫ e x sin xdx = e x sin x − I .  v = sin x v ' = cos x

1 În final, I = −e x cos x + e x sin x − I sau I = e x ( sin x − cos x ) + C . 2

62

Observaţii. 1) Dacă J = ∫ e x cos x dx , din formula integrării prin părţi rezultă I = −e x cos x + J (1) , iar din a doua integrare prin părţi J = e x sin x − I , ( 2 ) . Din (1) şi (2) rezultă un sistem de necunoscute I şi J. 2) Are loc egalitatea

∫e

x

sin x dx = e x ( a cos x + b sin x ) + C

unde a, b ∈
se determină din egalitatea e x ( a cos x + b sin x )  ' = e x sin x, ∀x ∈
, adică ( a + b ) cos x + ( b − a ) sin x = sin x, x ∈
. Pentru x = 0 rezultă a + b = 0 , iar pentru x =

π 2

rezultă b − a = 1 .

1 1 1 Găsim a = − , b = . Deci ∫ e x sin x dx = e x ( − cos x + sin x ) + C . 2 2 2   1  2  2  x2 + a2   x +a      1 n  • ∫ x n  x 2 − a 2  dx . ∫ x  x 2 − a 2  dx  2   2   a − x    1    a 2 − x 2  Se prelucrează integrala astfel: In = ∫ x

n

x + a dx = ∫ 2

2

xn x2 + a2

(

x2 + a2

) dx =

x n + 2 dx

∫

'

x2 + a2

+ a2 ∫

x n dx x2 + a 2

=

'

= ∫ x n +1  x 2 + a 2  dx + a 2 ∫ x n−1  x 2 + a 2  dx şi apoi se aplică integrarea prin     părţi pentru calculul fiecărei integrale.

Pentru

∫x

n

x 2 − a 2 dx se procedează ca mai sus pentru x ∈ ( −∞, a ) sau

x ∈ ( a, ∞ ) (Prin continuitate se construiesc din acestea primitivele pe ( −∞, a ] sau

[ a, ∞ ) ). Analog, pentru ∫ x n Exemplu. Fie I n = ∫

a 2 − x 2 dx, x ∈ [ −a, a ] .

xn

dx , x ∈
, n ∈  * . x2 + 1 Să se calculeze I1 , I 2 şi apoi să se stabilească o relaţie de recurenţă pentru I n , n ≥ 2 .

R. Avem pentru n = 1 : I1 = ∫

x 2

x +1

dx = ∫

(

x 2 + 1 ' dx = x 2 + 1 + C .

)

63

Pentru n = 2 se obţine: I 2 = ∫

x2 x2 + 1

dx = ∫ x

'

(

x 2 + 1 dx .

)

u = x  Pentru ultima integrală aplicăm formula integrării prin părţi:  ⇒ 2  v ' = x + 1 '  u ' = 1 x2 + 1 ⇒ şi de aici I 2 = x x 2 + 1 − ∫ x 2 + 1 dx = x x 2 + 1 − ∫ dx = 2 x2 + 1  v = x + 1

)

(

x2

= x x2 + 1 − ∫

2

x +1

dx − ∫

I 2 = x x 2 + 1 − I 2 − ln x +

(

dx x2 + 1

= x x 2 + 1 −I 2 − ln x + x 2 + 1 . Aşadar

)

(

x 2 + 1 sau 2 I 2 = x x 2 + 1 − ln x +

)

(

x 2 + 1 sau

)

1 x x 2 + 1 − ln x + x 2 + 1  + C .  2  Pentru n ≥ 3 integrala se scrie:

In =

)

(

I2 =

∫x

n −1 

 

− ( n − 1) ∫

'

x 2 + 1  dx = x n − 1 x 2 + 1 − ( n − 1 ) ∫ x n − 2 x 2 + 1 dx = x n − 1 x 2 + 1 − 

x n− 2 x 2 + 1

(

x2 + 1

) dx =x n−1

  xn x n− 2 x 2 + 1 − ( n − 1)  ∫ dx + ∫ dx  =   x2 + 1 x2 + 1  

= x n − 1 x 2 + 1 − ( n − 1) I n − ( n − 1 ) I n − 2 .

Deci

I n = x n −1 x 2 + 1 − ( n − 1) I n − ( n − 1) I n − 2 ,

1 n −1 2 n−1 x x +1 − I n− 2 , n ≥ 3 . n n 2 1 2 2 x 2 + 1 − I1 = x 2 x 2 + 1 − x +1 +C . 3 3 3

adică n I n = x n −1 x 2 + 1 − ( n − 1) I n − 2 sau I n = De exemplu, pentru n = 3 avem: I 3 =

• ∫  sin α x  dx , α ∈
*, n ∈   cos α x 

1 2 x 3

n

n

1

=−

α

*

, unde sin n α x = sin α x ⋅ sin n − 1 α x =

( cosα x ) 'sin n −1 α x , ∀x ∈
. Luăm u = sin n −1 α x, v ' = ( cos α x ) ' .

Analog, cos n α x = cos α x ⋅ cos n −1 α x =

1

( sin α x ) 'cos n−1 α x

etc. În calculul acestor α integrale utilizăm relaţia fundamentală a trigonometriei sin 2 α x + cos 2 α x = 1 .

∫

Exemplu. Se dă I n = sin n dx , n ∈ * , n ≥ 2, x ∈
. Să se determine o relaţie de recurenţă pentru I n şi apoi calculaţi I 3 . R. Avem scrierea sin n x = sin x ⋅ sin n −1 x = − ( cos x ) 'sin n −1 x , iar pentru calculul lui I n , prin părţi, n −1 n−2 x ⋅ cos x u = sin x u ' = ( n − 1) sin punem  ⇒ v ' = ( cos x ) ' v = cos x

64

∫

∫

Deci I n = − sin n −1 x ( cos x ) ' dx = − sin n −1 x ⋅ cos x + ( n − 1) sin n − 2 x ⋅ cos 2 x dx =

( ) ∫ = − sin n −1 x ⋅ cos x + ( n − 1) ∫ sin n − 2 x dx − ( n − 1) ∫ sin n x dx = = − sin n −1 x ⋅ cos x + ( n − 1) sin n − 2 x 1 − sin 2 x dx =

= − sin n −1 x ⋅ cos x + ( n − 1) I n − 2 − ( n − 1) I n . De aici avem: 1 n −1 nI n = − sin n −1 x ⋅ cos x + ( n − 1) I n − 2 sau I n = − sin n −1 x ⋅ cos x + I n − 2 , care reprezintă relaţia de n n recurenţă cerută. 1 1 Pentru n = 1, I1 = − cos x + C , iar pentru n = 2 , din relaţie rezultă I 2 = − sin x ⋅ cos x + + x + C . 2 2 1 2 2 1 2 2 Pentru n = 3 , avem I 3 = − sin x ⋅ cos x + I1 = − sin x ⋅ cos x − cos x + C . 3 3 3 3

Probleme propuse 1. Să se calculeze integralele: a).1) ∫ x ln x dx , x > 0; 2) ∫ x 2 ln x dx , x > 0; 3) ∫ ln 2 x dx , x > 0; 4) ∫ x 3 ln 2 x dx , x > 0; 5) ∫ x 2 − 3 x ln x dx , x > 0; 6) ∫ ln x 2 + 1 dx , x ∈
; 7) ∫

(

)

x > 0; 9) ∫

(

)

ln x dx , x > 0; 8) ∫ x ln x dx , x2

ln ( ln x ) ln 2 x dx , x > 0;10) ∫ dx , x > e; 11) ∫ x 2 ln ( 1 + x ) dx , x > −1; x2 x

1 ln 2 x ln x  12) ∫ x ln  1 +  dx , x > 0; 13) ∫ 2 dx , x > 0; 14) ∫ dx , x > 0; x x x   ( x + 2 )2 15* ) ∫

x ln x 2

2

(1 + x )

dx , x > 0 .

b) 1) ∫ x e − x dx , x ∈
; 2) ∫ x 2e 2 x dx , x ∈
; 3) ∫ x ⋅ 3 x dx , x ∈
; 4) ∫ x 2 5 x dx , x ∈
; 5) ∫ x 2 − 2 x − 1 e x dx , x ∈
; 6) ∫ x 3 + 5 x 2 − 2 e 2 x dx; 7) ∫ x 2 + 2 x e 3 x dx , x ∈
;

(

8) ∫ x 2e

)

−

x 2 dx ,

(

)

(

)

x∈
.

∫ x arcsin x dx, x ∈ ( −1,1) şi apoi x ∈ [ −1,1] ; 2) ∫ arccos x dx, x ∈ ( −1,1) şi apoi 2 x ∈ [ −1,1] ; 3) ∫ arctgx dx , x ∈
; 4) ∫ x arctg x , x ∈
; 5) ∫ ( arcsin x ) dx , x ∈ ( −1,1) ;

c) 1)

6) ∫

arcsin x

x

dx , x > 0; 7) ∫

9) ∫ x 2arctg x dx , x ∈
;10) ∫

x arcsin x 1− x

x2 1+ x

2

dx , x ∈ ( − 1,1 ) ; 8) ∫ arcsin

arctg x dx , x ∈
;11) ∫ 2

65

2x 1 + x2

3 + 2 x2 1 + x2

dx , x ∈
;

arctg x dx;

2

12) ∫ x ( arctg x ) dx , x ∈
;13) ∫ x 3arctg x dx , x ∈
;14) ∫ x arctg x 2 dx , x ∈
; 15) ∫ x arccos 18) ∫

1 1 x arctg x dx , x > 1;16) ∫ dx , x ∈
;17) ∫ x arctg dx , x > 0; 2 x x 1+ x

x arctg x

( x2 + 4)

2

 x dx;19* ) I1 = ∫ e arcsinx   2  1− x

  dx , I 2 = ∫ e arcsin x dx , x ∈ ( −1,1) .  

d) 1) ∫ e x sin x dx , x ∈
; 2) ∫ e x cos x dx , x ∈
; 3) ∫ 2 x sin x dx , x ∈
; 4) ∫ e 2 x sin 3 x dx , x ∈
; 5) ∫ e x sin 2 x dx , x ∈
; 6) ∫ e 2 x cos 2 x dx , x ∈
; 7) ∫ eα x sin β x dx , x ∈
,

α 2 + β 2 ≠ 0; 8) ∫ eα x cos β x dx , x ∈
, α 2 + β 2 ≠ 0; 9) ∫ e α x sin 2 β x dx , α , β ∈
, x ∈
; 10) ∫ eα x cos 2 β x dx , α , β ∈
, x ∈
. e) 1) ∫ x sin x dx , x ∈
; 2) ∫ x 2 sin x dx , x ∈
; 3) ∫ x cos x dx , x ∈
; 4) ∫ x sin 3 x dx , x ∈
; 5) ∫ x sin 2 x dx , x ∈
; 6) ∫ x 2 cos 2 x dx , x ∈
; 7) ∫ x 2 − 3 x + 5 sin 2 x dx ,

(

x ∈
; 8) ∫ x 3 sin x dx , x ∈
; 9) ∫

x dx cos2 x

)

 π  π , x ∈  0,  ;10) ∫ x tg 2 2 x dx , x ∈  0,  ;  2  4

11) ∫ x sin x dx , x > 0;12) ∫ cos 2 x dx , x ≥ 0;13) ∫ x cos 2 x dx , x ∈
; 14) ∫ x sin 3 x dx , x ∈
;15) ∫

x sin x cos2 x

 π dx , x ∈  0,  .  2

f) 1) ∫ x 2 + 9 dx , x ∈
; 2) ∫ x 2 − 9 dx , x ∈ ( 3, ∞ ) şi apoi x ∈ [ 3, ∞ ) ; 3) ∫ 16 − x 2 dx , x ∈ ( −4,4) şi apoi x ∈ [ −4,4] ; 4) ∫ x x 2 − 9 dx , x > 3; 5) ∫ x 2 x 2 − 9 dx , x > 3; 6) ∫ x x 2 + 1 dx , x ∈
; 7) ∫ x 2 x 2 + 1 dx , x ∈
; 8) ∫ x 3 x 2 − 4 dx , x > 2; 9) ∫ x 2 9 − x 2 dx , x ∈ ( −3,3 ) .

 π g) 1) ∫ sin x ⋅ ln ( tg x ) dx , x ∈  0,  ; 2) ∫ xe x sin x dx , x ∈
; 3) ∫ x 2e x cos x dx , x ∈
;  2 4) ∫ xe x sin 2 x dx , x ∈
; 5) ∫ sin ( ln x ) dx , x > 0; 6) ∫ cos ( ln x ) dx , x > 0; 7) ∫ x 2 sin ( ln x ) dx , x > 0; 8) ∫ 9) ∫

dx cos6 x

1 1  π , x ∈  0,  , tg x ) '; = 6 4 (  2  cos x cos x

 π dx , x ∈  0,  ;10) ∫ ln 1 + x 2 + x 4 dx , x ∈
. cos x  2

ln ( cos x ) 2

(

)

66

2. a) Să se stabilească o formulă de recurenţă pentru fiecare din integralele I n , n ∈
* de mai

jos, calculând apoi I1 , I 2 , I 3 : 1) I n = ∫

4) I n = ∫

dx

(

x2 + 1

)

n

, x ∈ ; 2) I n = ∫

dx

(

1 − x2

)

n

, x > 1; 3) I n = ∫

xn 1 + x2

dx , x ∈ ;

2n

x dx , x ∈ ; 5) I n = ∫ ln n x dx , x > 0; 6) I n = ∫ x ln n x dx , x > 0; x + a2 2

7) I n = ∫ x n ln x dx , x > 0; 8) I n = ∫ x ne x dx , x ∈ ; 9) I n = ∫ x n sin x dx , x ∈  . b) Să se stabilească formula de recurenţă pentru fiecare din integralele de mai jos: 1) I m , n = ∫ sin m x cos n x dx , x ∈  , m , n ∈
* , m , n ≥ 2; m

2)

I m ,n = ∫ x n ( ln x ) dx , x > 0, m , n ∈
* , m , n ≥ 2;

3)

I m, n = ∫

xn

( ln x )

m

dx , x > 1, m , n ∈
* , m , n ≥ 2 .

3. Să se arate că următoarele funcţii admit primitive pe domeniul de definiţie şi să se calculeze o primitivă a lor:  x ln x , x > 0  x 2 − 1, x ≥ 1 1) f :  →  , f ( x ) =  ; 2) f : [ 0, ∞ ) →  , f ( x ) =  ; 2 x=0  0,  x − x , x < 1  9 − x 2 , x ∈ [ 0,3]  x 2 + 4, x ≤ 0 3) f :  →  , f ( x ) =  ; 4) f : [ 0, ∞ ) →  , f ( x ) =  ;  2 + sin x , x > 0  x 2 − 3 x , x > 3

 xe x , x ≤ 0  x arctg x , x ≥ 0 5) f :  →  , f ( x ) =  ; 6) f : ( −1, ∞ ) →  , f ( x ) =  ; 2 arcsin x , x ∈ ( −1,0 )  x ln x , x > 0 2 x   ln x + 1 , x > 0  e sin x , x ≤ 0 7) f :  →  , f ( x ) =  ; 8) f :  →  , f ( x ) =  ; x  xe , x > 0  xe 2 x , x ≤ 0

(

)

 x arcsin x , x ∈ [ 0,1] 9) f : ( −∞ ,1] →  , f ( x ) =  ;10) f :  →  , f ( x ) =  x ln ( − x ) , x < 0  x x 2 + 1, x ≤ 0 = ;11) f : ( −1,1) →  , f ( x ) = max e x , 1 + xe x ;12) f : ( 0,2 ) →  , 2  x − x , x > 0

(

)

f ( x ) = 1 + x 2 min x , x 3 ;13) f : ( 0,2 ) →  , f ( x ) = max x , x 2

(

)

(

)

4 − x2 .

4. Fie f : ( 0, ∞ ) →  , f ( x ) = x 3 ln x . Să se determine primitiva F a lui f care verifică F ( 1) = 0 . 5. 1) Fie I = ∫ e x sin2 x dx , J = ∫ e x cos2 x dx . Să se calculeze I + J , J − I şi să se deducă I şi J. 2) Fie I = ∫ e x cos x dx , J = ∫ e x sin x dx . Să se arate că I + J = e x sin x , I − J = e x cos x şi să se deducă I , J.

67

6. 1) Să se determine funcţia derivabilă f : ( 0, ∞ ) →  cu proprietăţile

f '( x ) = ln 3 x şi

f ( 1) = 0 . 2) Să se determine funcţia derivabilă f :  →  cu proprietăţile e x f '( x ) = x 2 , ∀x ∈  şi f ( 0 ) = 3 . Calculaţi lim f ( x ) . x →∞

1) Metoda integrării prin substituţie (Schimbare de variabliă) Există situaţii în care funcţia de integrat nu figurează în tabelul cu primitive uzuale şi nici nu se poate integra utilizând formula integrării prin părţi deşi este vorba tot de integrarea unui produs. Totuşi realizând o substituţie convenabilă (u - substituţie) integrala noii funcţii să se realizeze cu unul din mijloacele enunţate. Dacă f : ( a, b ) →  este o funcţie derivabilă, atunci am văzut în paragraful precedent că diferenţiala lui f este egală cu produsul dintre derivata lui f şi diferenţiala argumentului, adică df ( x ) = f ' ( x ) dx . În cele ce urmează se prezintă două tehnici de lucru, ambele implicând substituţia, care permit calcularea integralelor unor funcţii date, când acestea se pot aduce la o formă convenabilă. Este operaţia inversă a derivării compunerii ( f  g ) ' = f ' ( g ) ⋅ g ' , unde f , g sunt funcţii derivabile. Metoda se mai numeşte şi a schimbării de variabilă deoarece de la integrarea în raport cu variabila veche x se trece la integrarea în raport cu noua variabilă u. Se disting aici substituţiile algebrice şi cele trigonometrice. Prima metodă a substituţiei (a schimbării de variabilă)

ϕ h Teoremă. Fie I , J ⊆  intervale şi I → J →  două funcţii cu proprietăţile: 1) ϕ este derivabilă; 2) h admite primitive (H o primitivă a sa). Atunci funcţia ( h  ϕ ) ⋅ ϕ ' admite primitive pe I şi mai mult

∫ h (ϕ ( x ) )ϕ ' ( x ) dx = H (ϕ ( x ) ) + C . Demonstraţie. Să observăm că H  ϕ este o funcţie derivabilă (fiind compunere de funcţii derivabile). Din ( H  ϕ ) ' = H ' (ϕ ) ⋅ ϕ ' = h (ϕ ) ⋅ ϕ ' = ( h  ϕ ) ⋅ ϕ ' rezultă că H  ϕ este o primitivă pentru ( h  ϕ ) ⋅ ϕ ' . Observaţii. 1) Spunem că ϕ este funcţia care schimbă variabila. Vom înlocui formal ϕ ( x ) = u şi ϕ ' ( x ) dx = du (spunem că am făcut substituţia u = ϕ ( x ) şi apoi calculăm diferenţiala du = ϕ ' ( x ) dx ) în I = ∫ h (ϕ ( x ) )ϕ ' ( x ) dx când

68

obţinem integrala asociată I1 = ∫ h ( u ) du , mai uşor de calculat (fie cu tabelul de integrale uzuale, fie folosind formula integrării prin părţi). Din I1 obţinem I înlocuind u cu ϕ ( x ) . Prin această metodă integrarea în raport cu variabila veche x a fost înlocuită cu integrarea în raport cu noua variabilă u. Se mai spune că ϕ este “funcţia interioară”, iar h este “funcţia exterioară”. Schematic Se face substituţia Avem de calculat u = ϕ ( x ) ⇒ du = ϕ ' ( x ) dx I = ∫ h (ϕ ( x ) )ϕ ' ( x ) dx Noua integrală de calculat I1 = ∫ h ( u ) du = H ( u ) + C

Se înlocuieşte u cu ϕ ( x )

(integrala asociată) Integrala de calculat I = H (ϕ ( x ) ) + C

Pentru a-l obţine pe I1 , în integrala I se înmulţeşte după semnul integrală cu o constantă pentru a evidenţia ϕ ' ( x ) dx şi se împarte în faţa semnului integrală cu acelaşi număr. Probleme rezolvate 2

1. Să se calculeze I = ∫ xe x dx , x ∈  . R. Notăm u = x 2 şi deci du = 2 x dx . Se rescrie I sub forma I =

asociată este I1 =

1 x2 e ( 2 x ) dx şi deci integrala 2∫

1 u 1 e du = eu + C . ∫ 2 2

1 2 Revenim la integrala iniţială punând în locul lui u, x 2 şi deci avem: I = e x + C .De obicei se 2 2 1 trece de la I la I1 scriind I = ∫ e x x dx şi utilizând egalitatea du = x dx (din du = 2 x dx ). De aici 2 1 u 1 u 1 x2 u 1 I1 = ∫ e du = ∫ e du = e + C şi I = e + C . 2 2 2 2 x   2. Să se calculeze I = ∫ sin   dx , x ∈  . 5 x 1 şi deci du = dx sau 5du = dx . Deci integrala asociată este 5 5 x x I1 = ∫ ( sin u ) 5 du = 5∫ sin u du = −5cos u + C . Înlocuind aici u cu se obţine I = −5cos   + C . 5 5

R. Punem u =

69

3. Să se calculeze I = ∫ x 2 2 x 3 + 5 dx , x > 0 . R. Substituim u = 2 x3 + 5 şi obţinem du = 6 x 2 dx sau

( )

1 du = x 2 dx . Integrala asociată este 6

1 1 1 2 1 I1 = ∫ u ⋅ du = ∫ u du = ⋅ u u + C = u u + C . 6 6 6 3 9 1 3 Integrala dată este egală cu I = 2 x + 5 2 x3 + 5 + C . 9 2x + 1 4. Să se calculeze I = ∫ dx , x > −1 . ( x + 1) 2

(

)

R. Punem u = x + 1 şi deci du = dx , iar integrala asociată este I1 = ∫

2 ( u − 1) + 1 u2

du =

2u − 1 1 du 1 du = 2 ∫ du − ∫ 2 = 2ln u + + C . u u u2 u 1 De aici I = 2ln ( x + 1) + +C . x +1 =∫

2) Nu se poate pune egalitate între mulţimile I = ∫ h (ϕ ( x ) )ϕ ' ( x ) dx şi I1 = ∫ h ( u ) du deoarece prima este mulţimea primitivelor funcţiei ( h  ϕ ) ⋅ ϕ ' , care sunt funcţii definite pe I, în timp ce a doua mulţime reprezintă primitivele funcţiei h , care sunt funcţii definite pe J . Chiar dacă I = J , în general cele două mulţimi sunt distincte. Punând în locul funcţiei h funcţiile uzuale se obţine un tabel similar celui de la primitive uzuale. Se obţine din primul tabel înlocuind x cu ϕ şi înmulţind funcţia obţinută cu ϕ ' . În tabel am evidenţiat transformările indicate în schema de la observaţia 1).

70

Tabel de integrale nedefinite u = ϕ ( x)

Integrala iniţială 1

du = ϕ ' ( x ) dx

α ∫ ϕ ( x ) ϕ ' ( x ) dx

α ≠ −1,ϕ ( I ) ⊂ ( 0, ∞ )

ϕ '( x )

∫ ϕ ( x ) dx

2

3

ϕ ( x)

ϕ ' ( x ) dx

a > 0, a ≠ 1

∫ϕ

4

ϕ '( x ) 2

( x) − a

2

dx

ϕ ( x ) ≠ ± a, x ∈ I , a ≠ 0

5

∫ϕ ∫

6

ϕ '( x ) 2

( x) + a

dx , a ≠ 0 2

ϕ '( x ) 2

a − ϕ 2 ( x)

dx

a > 0, ϕ ( I ) ⊂ ( − a , a )

7

ϕ '( x )

∫

ϕ 2 ( x ) + a2

uα +1 +C α +1

α ∫ u du =

du

ϕ ( x ) ≠ 0, x ∈ I

∫a

u = ϕ ( x)

Integrala asociată

∫ u = ln u + C u ∫ a du =

au +C ln a

du = − a2 1 u−a ⋅ ln +C 2a u+a

∫u

2

∫u

α +1

(ϕ ( x ) )α +

+C

α +1

ln ϕ ( x ) + C ϕ x

aϕ ( ) +C ln a

1 ϕ ( x) − a ln +C 2a ϕ ( x ) + a

du

= + a2 1 u = ⋅ arctg + C a a du = a 2 − u2 u = arcsin + C a du = u2 + a 2 2

ϕ ( x) 1 arctg +C a a

∫

∫

dx, a ≠ 0

Integrala iniţială

= ln u + u2 + a2 +

)

(

arcsin

ϕ ( x) a

+C

ln (ϕ ( x ) + + ϕ 2 ( x ) + a2 + C

)

+C

∫

ϕ '( x ) 2

2

dx

( x) − a 8 a > 0,ϕ ( I ) ⊂ ( −∞, −a ) sau ( a , ∞ ) 9 10

ϕ

∫ sinϕ ( x ) ⋅ ϕ '( x ) dx ∫ cosϕ ( x ) ⋅ϕ '( x ) dx

∫

du 2

u − a2

=

2

ln ϕ ( x) + ϕ 2 ( x) − a + 2

= ln u + u − a +

+C

+C

∫ sin udu = = − cos u + C

∫ cos u du = = sin u + C

71

− cos ϕ ( x ) + C sin ϕ ( x ) + C

ϕ '( x )

∫ cos2 ϕ ( x ) dx , 11 ϕ ( x ) ≠ ( 2k + 1 )

du

π

∫ cos

= u = tg u + C

,

2

2

tg ϕ ( x ) + C

k ∈ , x ∈ I

ϕ '( x )

∫ sin ( x ) dx ,

du

∫ sin

2

12

= u = − ctg u + C

ϕ ( x ) ≠ kπ ,

2

−ctg ϕ ( x ) + C

k ∈ , x ∈ I

∫ tgϕ ( x ) ⋅ ϕ '( x ) dx 13

ϕ ( x ) ≠ ( 2k + 1 )

∫ tgu du =

π

− ln cos ϕ ( x ) + C

= − ln cos u + C

2

k ∈ , x ∈ I

∫ ctgϕ ( x ) ⋅ ϕ ' ( x ) dx 14

∫ ctgu du =

ϕ ( x ) ≠ kπ , k ∈  ,

ln sin ϕ ( x ) + C

= ln sin u + C

x∈I

Probleme propuse 1. Să se calculeze integralele de mai jos utilizând substituţia indicată

∫ ( x − 1)

a) 1)

5

dx , x ∈  , u = x − 1; 2) ∫ ( 3 x + 2 ) dx , x ∈  , u = 3 x + 2;

6

9

(

3) ∫ x ( 2 x − 1 ) dx , x ∈  , u = 2 x − 1; 4) ∫ x x 2 + 1 5) ∫ x 2 − 1 x 3 − 3 x + 1

(

)(

5

)

3

)

dx , x ∈  , u = x 2 + 1;

dx , x ∈  , u = x 3 − 3 x + 1; 6) ∫ x 2 x 3 + 1

(

5

)

dx , x ∈  , u = x 3 + 1 .

dx dx 1 dx 1 , x > − 3, u = x + 3; 2) ∫ , x < − , u = 2 x + 1; 3) ∫ ,x> , x+3 2x + 1 2 1 − 4x 4 dx 1 x dx 2 u = 1 − 4 x; 4) ∫ , x > − , u = 2 x + 1; 5) ∫ 2 , x ∈  , u = x + 1; 2 x +1 ( 2 x + 1) 5

b) 1) ∫

6) ∫

2x − 1 x2 + 9

dx , x ∈  , u = x 2 + 9; 7) ∫

u = 2 x 3 + 1; 9) ∫

x 2 dx

(x

3

3

+2

)

x 3dx

, x > 1, u = x − 1; 8) ∫ 10

( x − 1)

, x > 0, u = x 3 + 2; 10) ∫

x dx x4 + 1

x 2dx 2x3 + 1

, x > 0,

, x ∈ , u = x2.

1 2 c) 1) ∫ 2 x + 1 dx , x > − , u = 2 x + 1; 2) ∫ x 1 + x dx , x ≥ −1, u = 1 + x; 3) ∫ 3 ( 2 x + 1) dx , 2

72

x ∈  , u = 2 x + 1; 4) ∫ x x 2 + 3 dx , x ∈  , u = x 2 + 3; 5) ∫ x 2 x 3 + 1 dx , x > −1, u = x 3 + 1; 6) ∫ x 3 x 2 − 1 dx , x < −1, u = x 2 − 1; 7) ∫ d) 1) ∫ e 3 x dx , x ∈  , u = 3 x; 2) ∫ 4) ∫

x dx e

x2

dx

( 5 x − 1)

3

1 , x > , u = 5 x − 1. 5

3 dx , x ∈  , u = 2 x; 3) ∫ x 2e x dx , x ∈  , u = x 3 ; 2x e

, x ∈  , u = x 2 ; 5) ∫ x e x

x

dx , x ≥ 0, u = x x ; 6) ∫

e

x

x

dx , x > 0, u = x ;

1 2 ex 1 7) ∫ 2 dx , x > 0, u = ; 8) ∫ e 3 x − 2e 2 x + 5e x dx , x ∈  , u = e x ;9) ∫ x 23 x dx , x ∈  , x x

(

u = 3 x 2 ;10) ∫ x 2−3 x

2

+1

)

dx , x ∈  , u = −3 x 2 + 1;11) ∫

ex dx , x ∈  , u = e x . e2 x + 4 5

sin ( ln x ) ( 1 + ln x ) ln x dx , x > 0, u = ln x; 2) ∫ dx , x > 0, u = ln x; 3) ∫ dx , x > 0, x x x dx dx u = 1 + ln x ; 4) ∫ , x > 1, u = ln x ; 5) ∫ , x > 1, u = ln x + 1. x ln x x ( ln x + 1 )

e) 1) ∫

f) 1) ∫ sin 2 x ⋅ cos x dx , x ∈  , u = sin x; 2)∫ sin k x cos x dx , k ∈
* , x ∈  , u = sin x; 3) ∫ cos 3 x sin x dx , x ∈  , u = cos x; 4) ∫ sin 3 x cos2 x dx , x ∈  , u = cos x , sin 2 x = 1 − cos2 x ;

(

)

5) ∫ sin x cos x dx , x ∈  , u = sin x; 6) ∫ sin x dx , x ∈  , u = cos x; 7) ∫ cos x dx , x ∈  , 2

3

3

3

 π dx , x ∈  0,  , u = cos x;  2 cos x dx dx x dx  π 10) ∫ , x ∈  0,  , u = sin x;11) ∫ , x ∈ ( −π ,π ) , u = tg ;12) ∫ , 3 2 + sin x 2 3 − 2cos x sin x  2 u = sin x; 8) ∫ sin 3 x cos 3 x dx , x ∈  , u = sin x; 9) ∫

sin x

cos 2 x

( 1 − sin x ) dx x dx x x ∈ ( −π ,π ) , u = tg ; 13) ∫ , x ∈ ( −π ,π ) , u = tg ;14) ∫ , x ∈ ( −π ,π ) , 2 2sin x − 3cos x + 5 2 2 + cos x x cos x dx x tg x  π u = tg ;15) ∫ , x ∈ ( −π ,π ) , u = tg ;16) ∫ dx , x ∈  0,  , u = tg x . 2 2 1 + sin x 2 cos x  2 g) 1) ∫ 3) ∫

arcsin x 2

1− x dx

dx , x ∈ ( − 1,1 ) , u = arcsin x ; 2) ∫

1 − x 2 arcsin 2 x

, x ∈ ( 0,1 ) , u = arcsin x; 4) ∫

dx 2

1 − x arcsin x dx 1 − x2

, x ∈ ( 0,1 ) ;

arcsin 2 x + 1

, x ∈ ( −1,1),

arcsin x  1 1 , x ∈  − ,  , u = arcsin x; 6) ∫ dx , 1 − x2  2 2 1 − x 1 − arcsin x ln ( arccos ) dx x ∈ ( 0,1) , u = arcsin x; 7) ∫ , x ∈ ( 0,1 ) , u = ln ( arccos x ) . 1 − x 2 arccos x

u = arcsin x; 5) ∫

dx

2

2

73

2. Pentru m ∈  fie funcţia f m : ( 0, ∞ ) →  , f m ( x ) = 1)

Să se determine primitivele funcţiei f 0

2)

Să se calculeze

2x + 3 . x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) + m 2

∫ f m ( x ) dx, m ≠ 0

3. Să se calculeze I = ∫

sin x sin 3 x + cos 3 x

dx , J = ∫

cos x sin 3 x + cos 3 x

 π dx , x ∈  0,  .  2

4. Să se determine funcţia f :  →  cu proprietăţile: 1) f ( 0 ) = 1; 2) f este derivabilă pe  cu derivata strict crescătoare; 3) f 2 ( x ) − ( f ')

2

( x ) = 1,

∀x ∈  . 5. Să se determine funcţia continuă f : I → ( 0, ∞ ) şi intervalul I de numere reale, ştiind că f ( 0 ) = 1 şi

1 este o primitivă pentru f. f

6. Se consideră funcţiile f , g :  →  cu proprietatea g ( x ) = f x 5 + x , ∀x ∈  . Să se

(

)

demonstreze că funcţia f admite primitive, dacă şi numai dacă g admite primitive. n

2

7. Fie f n :  →  , f n ( x ) = 1 + ( 1 + x ) + ( 1 + x ) + ... + ( 1 + x ) , n ∈
* . a)

Arătaţi că: f n ( x ) = C n1 + 1 + C n2+ 1 x + ... + C nn++11 x n

b)

Demonstraţi că:

∫

( x + 1)

n+1

−1

dx = x +

( x + 1)

2

( x + 1)

3

+ ... +

( x + 1)

n+1

+C . x 2 3 n+1 cos nx  π 8. Fie I n = ∫ dx , x ∈  0,  . Să se determine o relaţie de recurenţă pentru sin x  2 I n , n ∈
, n ≥ 2 şi apoi deduceţi I n . +

A doua metodă a substituţiei (a schimbării de variabilă) Are loc următoarea

ϕ f Teoremă. Fie I , J ⊆  , intervale şi I → J →  două funcţii cu următoarele proprietăţi: 1) ϕ este bijectivă, derivabilă cu ϕ ' ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ I ; 2) Funcţia h = ( f  ϕ ) ⋅ ϕ ' admite primitive (fie H o primitivă a sa). Atunci: a) Funcţia f admite primitive; b) Funcţia H  ϕ −1 este o primitivă a lui f, adică

∫ f ( x ) dx = ( H  ϕ ) ( x ) + C . −1

74

Demonstraţie. Din 1) rezultă că ϕ −1 este derivabilă pe J . Cum H este o primitivă a lui h, rezultă H derivabilă pe I şi H ' = ( f  ϕ ) ϕ ' . Pentru ca H  ϕ −1 să fie o primitivă pentru f trebuie ca ( H  ϕ −1 ) ' = f . Mai întâi este clar că H  ϕ −1 este derivabilă pe J (compunere de funcţii derivabile). Avem: ( H  ϕ −1 ) ' ( x ) = H ' (ϕ −1 ( x ) ) ⋅ (ϕ −1 ) ' ( x ) = ( f  ϕ ) (ϕ −1 ( x ) )ϕ ' (ϕ −1 ( x ) ) ⋅ (ϕ −1 ) ' ( x ) = = f ( x ) ϕ ' (ϕ −1 ( x ) ) ⋅

1

ϕ ' (ϕ −1 ( x ) )

= f ( x), x ∈ J .

Observaţii. 1) Se spune că ϕ −1 este funcţia care schimbă variabila. Înlocuind formal x = ϕ ( u ) şi dx = ϕ ' ( u ) du se trece de la integrala I = ∫ f ( x ) dx la integrala asociată I1 = ∫ f (ϕ ( u ) ) ϕ ' ( u ) du .

2) În prima metodă se notează cu u o expresie ce-l conţine pe x după care se calculează integrala asociată I1 . În a doua metodă a substituţiei se pune x egal cu o expresie de u şi se trece la integrala asociată I1 . Schematic

Avem de calculat I = ∫ f ( x ) dx

Se face substituţia x = ϕ (u ) ⇒ ⇒ dx = ϕ ' ( u ) du

Noua integrală de calculat I1 = ∫ f (ϕ ( u) )ϕ '( u) du = = H (u ) + C integrala asociată

Integrala de calculat I = H (ϕ −1 ( x ) ) + C

Se înlocuieşte u = ϕ −1 ( x )

De remarcat că în cele două metode se face o substituţie în urma căreia se obţine o integrală asociată I1 mai uşor de calculat. Iată “transformările” în cele două metode: u =ϕ ( x ) u =ϕ ( x ) I = ∫ f (ϕ ( x ) )ϕ ' ( x ) dx → I1 = ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C → I = F (ϕ ( x ) ) + C

x=ϕ ( u )

I = ∫ f ( x ) dx → I1 = ∫ f (ϕ ( u ) ) ϕ ' ( u ) du = H ( u ) + C

75

u=ϕ −1( x )

→

I = H ϕ −1 ( x ) + C .

(

)

Să reţinem că există o singură formulă de schimbare de variabilă şi mai multe variante de aplicare ale ei, care depind de particularitatea funcţiei ale cărei primitive trebuie calculate. Exemple 1. (Substituţiile trigonometrice) Am evaluat la integrarea prin părţi integralele:

∫

a 2 − x 2 dx , x ∈ [ − a , a ] , a > 0; ∫ a 2 + x 2 dx , x ∈  , a ≠ 0; ∫ x 2 − a 2 dx , x ∈ I ,

cu I ⊂ ( −∞ , − a ] sau I ⊂ [ a , ∞ ) . În continuare vom găsi expresiile acestor integrale utilizând substituţiile trigonometrice prin care “eliminăm” radicalii de sub semnul integrală.  π π a) Pentru ∫ a 2 − x 2 dx se pune x = a sin u, a > 0, x ∈  − ,  .De aici dx = a cos u du ,  2 2 a 2 − x 2 = a 2 cos 2 u, a 2 − x 2 = a cos u = a cos u,

x  x = sin u ⇒ u = arcsin   , a a

a2 − x2 . Integrala asociată este a 1 + cos 2 u  u sin 2 u  I 1 = ∫ a 2 cos 2 u du = a 2 ∫ du = a 2  + +C . 2 4  2

cos u =

De aici I =

=

a2  x  x   x  arcsin   + sin  arcsin  cos  arcsin   + C =  2 a  a  a 

 a2  x x a2 − x2  1  x arcsin + ⋅  + C =  a 2 arcsin   + x a 2 − x 2  + C . 2  a a a 2 a  

Comparativ cu integrarea prin părţi a funcţiei f ( x ) = a 2 − x 2 , x ∈ [ − a , a ] , unde o primitivă se determina pe ( − a , a ) (interval deschis), aici prin transformarea considerată am determinat o primitivă a funcţiei pe intervalul închis [ − a , a ] .  π π a 2 + x 2 dx se pune x = a tg u, a > 0, u ∈  − ,  , iar de aici  2 2 a du a a x a  x dx = , a2 + x2 = = , u = arctg   , sin u = , cos u = , 2 2 2 cos 2 u cos u cos u a   a +x a + x2

c)

Pentru

tg u =

∫

x  x ⇒ u = arctg   . a a

Integrala asociată este I1 = a 2 ∫

du cos u du cos u du = a2 ∫ = a2 ∫ cos 3 u cos4 u 1 − sin 2 u

(

2

.

)

În ultima integrală, schimbăm din nou variabila t = sin u ⇒ dt = cos u du şi dt avem de calculat integrala asociată lui I1 , I 2 = a 2 ∫ , tip de integrală ce se va studia la 2 1− t2

(

)

paragraful următor. c) Pentru

∫

x 2 − a 2 dx se pune x =

a  π  π  , a > 0, u ∈  0,  sau u ∈  − ,0  . cos u 2    2 

76

De aici dx =

a sin u du etc. cos 2 u

2. Să se calculeze I =

1

∫

x−3x

dx , x > 1 . x , 3 x (adică radicali de ordine diferite din aceeaşi

R. Funcţia de integrat are în structura sa expresie), aici x.

Se face substituţia x = u 6 x > 1 ⇒ u > 1 ⇒ u = 6 x , unde exponentul 6 reprezintă cel mai mic

(

)

multiplu comun, al ordinelor radicalilor. De aici dx = 6u 5 du şi integrala asociată devine 6u 5 du u 3 du u3 − 1 + 1   1  I1 = ∫ 3 = 6 = 6 du = 6  ∫  u 2 + u + 1 +   du = 2 ∫ ∫ u −u u −1 u −1 u −1   = 2 u 3 + 3u 2 + 6u + 6 ln ( u − 1) + C , iar integrala iniţială I = 2 x + 3 3 x + 6 6 x + 6ln

3. Să se calculeze I = R. Punem x =

I1 = ∫

−

dx 2

1 + x2

6

x −1 + C .

)

, x > 0.

1 du ( din x > 0 ⇒ u > 0 ) şi dx = − 2 . Integrala asociată este u u

du u2

1 1 1+ 2 u2 u

În final, I = −

∫x

(

= −∫

u du u2 +1

= −∫

(

u 2 + 1 ' du = − u 2 + 1 + C .

)

1 +1 + C . x2

4. Să se calculeze 1) I = R. 1) Se pune x =

∫

1 + x 2 dx , x ∈ ; 2) I = ∫

dx 1 + x2

, x∈ .

et − e−t et + e− t = sh ( t ) etc.; 2) x = = ch ( t ) etc. 2 2

Probleme propuse Să se calculeze integralele de mai jos, utilizând a doua metodă a substituţiei şi substituţiile indicate: x dx 1+ x 1) ∫ dx , x ≥ 2, x = u2 ; 2) ∫ , x ≥ 0, x = u2 ; 3) ∫ dx , x ≥ 0, x = u2 ; x+2 2+ x 1+ x dx dx x dx 1 4) ∫ , x > 0, x = u4 ; 5) ∫ , x > 0, x = u6 ; 6) ∫ ,x>− , 2 x+4x x+3x 2x + 1 2 x + 1 = u; 7) ∫

x−2 dx , x > 2, x − 2 = u; 8) ∫ x x + 1 dx , x ≥ −1, x + 1 = u; x

77

9) ∫ 3

x x−2

dx , x > 2, 3 x − 2 = u;10) ∫ x 3 x − 2 dx , x ∈  , 3 x − 2 = u;11) ∫

x > 0, 3 x + 1 = u; 12) ∫ x 2 x + 2 dx , x ≥ − 2, e x + 1 = u 2 , u > 0; 14) ∫ 16) ∫ 18) ∫

dx 1 + ex x

1+ ex

dx , x ∈  , x = ln u, u > 0; 15) ∫

, x ∈  , x = − ln u; 17) ∫

dx 2

e2x

2

x −1

, x > 1, x =

dx 2

x x −1

dx

x + 2 = u; 13) ∫

, x > 1, x =

ex + 1

dx e

x

ex

dx

,

x 3x + 1

, x ∈ ,

, x ∈ ;

1 1 sau x = ; u cos u

1 dx 1 2 ; 19) ∫ , x > 2, x = sau x = . 2 u u cos u x x −2

1.6. INTEGRAREA FUNCŢIILOR RAŢIONALE

Definiţie. O funcţie f : I → , I interval, se numeşte raţională dacă f ( x) =

P ( x) Q ( x)

, unde P, Q sunt funcţii polinomiale cu coeficienţi reali şi

Q ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ I .

1. Descompunerea funcţiilor raţionale în funcţii raţionale simple Definiţie. O funcţie raţională se numeşte simplă dacă are una din formele: 1) f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 (funcţia polinomială); 2) f ( x ) =

3) f ( x ) =

A

( x − a)

n

, n ∈
* , x ∈ I ⊂ ( −∞, a ) sau I ⊂ ( a, ∞ ) ;

Bx + C

(x

2

+ bx + c )

n

, n ∈
* , b 2 − 4c < 0 .

Următoarea teoremă de algebră este fundamentală pentru integrarea funcţiilor raţionale.

78

Teoremă. Orice funcţie raţională poate fi reprezentată sub forma unei sume finite de funcţii raţionale simple. Mai precis, dacă α1

Q ( x ) = ( x − a1 )

αp

( x − a2 )α2 ...( x − a p )

unde bi2 − 4ci < 0, i = 1, q , atunci f ( x ) =

+

Ak2

( x − ak )

2

+ ... +

Akα k αk

( x − ak )

(x

2

+ b1 x + c1

β1

) ...( x

2

+ bq x + cq

)

βq

,

p  A1 = L ( x) + ∑  k + Q ( x) k =1  x − ak

P ( x)

 q  B1 x + C 1 Bkβ k x + Ckβk k + ... +  + ∑ 2 k β  k =1  x + bk x + ck ( x2 + bk x + ck ) k 

  , (1)  

unde L este o funcţie polinomială cu coeficienţi reali, iar p, q ∈
* , ak , bk , ck , Aki , Bki , Cki sunt numere reale.

Observaţie. Problema care se pune în cazul în care Q este descompus în factori ireductibili peste  (se ştie din algebră că factorii ireductibili peste  sunt polinoamele de gradul întâi X − a şi cele de gradul doi X 2 + bX + c, a, b, c ∈  cu b 2 − 4c < 0 ) este de a determina coeficienţii Aki , Bki , Cki ce apar în membrul drept al egalităţii (1). Dacă grad P ≥ grad Q, atunci se face împărţirea lui P la Q conform teoremei împărţirii cu rest când obţinem P = LQ + R , unde grad R < grad Q şi deci f ( x) =

P ( x)

= L( x) +

R ( x)

. Acum pentru

R ( x)

avem descompunerea în funcţii Q ( x) Q ( x) Q ( x) raţionale simple (de formele 2) şi 3)) şi corespunde celor două sume din membrul drept al egalităţii (1). În egalitatea astfel obţinută se aduce, în membrul drept, la acelaşi numitor. Numitorul comun este Q. Dacă se elimină Q din ambii membrii se ajunge la egalitatea a două polinoame, iar de aici la un sistem de ecuaţii în care necunoscutele sunt coeficienţii Aki , Bki , Cki . Acesată metodă de a determina coeficienţii Aki , Bki , Cki se numeşte metoda coeficienţilor nedeterminaţi.

Probleme rezolvate Să se descompună în funcţii raţionale simple următoarele funcţii raţionale: a) Numitorul are rădăcini reale simple 2 x2 + 6 x + 6 1) f ( x ) = , x ≠ −3, x ≠ −2, x ≠ −1; ( x + 1) x 2 + 5 x + 6

(

)

79

3 x3 + x2 + x + 1

1 , x ≠ − , x ≠1. 2 2x − x − 1 R. 1) Descompunem numitorul în factori ireductibili peste  . Avem: Q ( x ) = ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) . Atunci descompunerea lui f în funcţii raţionale simple are forma: A B C f ( x) = + + , (* ) . x +1 x + 2 x + 3 Aducând (în dreapta) la acelaşi numitor şi apoi eliminând numitorul rezultă egalitatea 2 x 2 + 6 x + 6 = A ( x + 2 )( x + 3) + B ( x + 1)( x + 3) + C ( x + 1)( x + 2 ) , (1) sau

2)

f ( x) =

2

2 x 2 + 6 x + 6 = ( A + B + C ) x 2 + ( 5 A + 4 B + 3C ) x + 6 A + 3B + 2C . De aici prin identificarea coeficienţilor (de la aceleaşi puteri ale lui x) rezultă sistemul: x2 2 = A + B + C

x

6 = 5 A + 4 B + 3C . 0

x 6 = 6 A + 3B + 2C Rezolvând acest sistem găsim A = 1, B = −2, C = 3 . 1 2 3 Deci f ( x ) = − + . x +1 x + 2 x + 3 Observaţie. Dacă în (1) se trece la limită după x → −1 , ceea ce revine la a înlocui pe x cu −1 , rezultă A = 1 . Analog pentru x = −2 se găseşte B = −2 , iar pentru x = −3 avem C = 3 . Deci în acest caz, al rădăcinilor simple, dacă dorim să-l aflăm pe A, atunci se înmulţeşte egalitatea (*) cu numitorul fracţiei în care apare A. În membrul stâng se poate simplifica prin x + 1 ( x ≠ −1) . Apoi în această egalitate se trece la limită după x → −1 . În stânga găsim 1, iar în dreapta doar A deoarece termenii care conţin pe B şi C fiind înmulţiţi cu x + 1 , prin trecerea la limită după x → −1 , aceştia devin zero. Analog pentru a afla pe B se înmulţeşte (*) cu x + 2 şi se trece la limită după x → −2 etc. 2) Observăm că gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului. Se face împărţirea şi găsim:

2 x3 + x 2 + x + 1 = ( x + 1) 2 x 2 − x − 1 + 3x + 2 .

(

Deci f ( x ) =

)

( x + 1) ( 2 x 2 − x − 1) + 3x + 2 2

= x +1+

3x + 2 . 2 x2 − x − 1

2x − x −1 3x + 2 Acum funcţia raţională se descompune în funcţii raţionale simple. Să 2x2 − x − 1 3x + 2 A B observăm că 2 x2 − x − 1 = ( x − 1)( 2 x + 1) şi deci = + , iar de aici 2 2x − x − 1 x − 1 2x + 1

80

3x + 2 = ( 2 A + B ) x + A − B . Se obţine sistemul

2 A + B = 3, A − B = 2

cu soluţia

5 1 5 1 A = , B = − . Aşadar f ( x ) = x + 1 + − . 3 3 3 ( x − 1) 3 ( 2 x + 1)

b) Numitorul are rădăcini reale multiple 4x + 1 x2 + x + 2 1) f ( x ) = , x ≠ − 1; 2) f x = , x ≠ ±1 . ( ) ( x + 1) 3 ( x − 1) 2 ( x + 1 ) 2 R. 1) Metoda întâi. Se scrie f sub forma: A B C f ( x) = + + , iar de aici 2 x + 1 ( x + 1) ( x + 1)3 2

4 x + 1 = A ( x + 1) + B ( x + 1) + C , (1) sau 4 x + 1 = Ax 2 + ( 2 A + B ) x + A + B + C . Deci A = 0, 2 A + B = 4, A + B + C = 1 , când găsim A = 0, B = 4, C = −3 . Prin 4 3 urmare f ( x ) = − . 2 ( x + 1) ( x + 1)3 Metoda a doua. Dacă în (1) se face x = −1 rezultă C = −3 . Se derivează (1) şi rezultă 4 = 2 A ( x + 1) + B , (2) iar aici facem x = −1 când avem B = 4 . Se derivează (2) şi se face x = −1 , când găsim A = 0 . Valoarea x = −1 este rădăcină multiplă de ordin 3 pentru numitor. Metoda a treia. Punem x + 1 = y şi deci x = y − 1 . 4y − 3 4 3 Deci f ( y − 1) = = 2 − 3 , iar de aici, revenim la substituţie, f ( x ) = 3 y y y 4 3 = − . 2 ( x + 1) ( x + 1)3 2) Are loc descompunerea A B C D f ( x) = + + + , iar de aici 2 x − 1 ( x − 1) x + 1 ( x + 1)2 2

2

2

2

x 2 + x + 2 = A ( x − 1)( x + 1) + B ( x + 1) + C ( x + 1)( x − 1) + D ( x − 1) , (1). Se face x = −1 şi apoi x = 1 , când găsim 2 = 4D şi respectiv 4 = 4B . Deci 1 2 D = , B = 1 . Se derivează (1) şi rezultă 2x +1= A( x +1) + 2A x2 −1 + 2B( x +1) + 2

(

2

)

+C ( x − 1) + 2C x 2 − 1 + 2 D ( x − 1) , şi se face aici din nou x = −1 şi apoi x = 1 .

(

)

1 1 Găsim −1 = 4C − 4 D, 3 = 4 A + 4 B . De aici A = − , C = . 4 4

81

Deci f ( x ) = −

1 1 1 1 + + + . 2 4 ( x − 1) ( x − 1) 4 ( x + 1) 2 ( x + 1)2

Altfel. Din (1) rezultă un sistem în A,B,C,D din egalitatea celor două funcţii polinomiale. c) Numitorul are rădăcini complexe simple 2 x3 − 3 x2 + 2 x f ( x) = . x2 + 4 x2 + 1

(

)(

)

Ax + B Cx + D + 2 sau x2 + 4 x +1 2 x3 − 3x 2 + 2 x = ( A + C ) x3 + ( B + D ) x 2 + ( A + 4C ) x + B + 4 D , (1). De aici rezultă sistemul: x3 A + C = 2

R. Avem: f ( x ) =

x 2 B + D = −3 x x

A + 4C = 2 0

B + 4D = 0

2x − 4 1 + 2 . 2 x + 4 x +1 Altfel. Să observăm că numitorul are rădăcinile complexe ±i, ± 2i . În egalitatea (1) se face x = i şi rezultă Ci + D = 1 . De aici (egalitatea a două numere complexe) se obţine C = 0, D = 1 . Tot în (1) se pune x = 2i şi avem 4i − 4 = 2 Ai + B . Din această egalitate se deduce A = 2, B = −4 . d) Numitorul are rădăcini complexe multiple 2 x 2 + 2 x + 13 f ( x) = . 2 2 x +1

cu soluţia A = 2, B = −4, C = 0, D = 1 . Deci f ( x ) =

(

)

R. Funcţia se scrie descompusă în funcţii raţionale simple astfel: Ax + B Cx + D , iar de aici 2x2 + 2x +13 = Ax3 + Bx2 + ( A + C) x + B + D . f ( x) = 2 + 2 x +1 x2 + 1

(

)

Egalând coeficienţii de la aceleaşi puteri ale lui x din cei doi membri rezultă sistemul: x3 0 = Α x2 2 = Β x 2= Α+C

cu soluţia A = 0, B = 2, C = 2, D = 11, E = −4 .

x 0 13 = Β + D

82

Deci f ( x ) =

2 2 x + 11 + . x + 1 x2 + 1 2 2

(

)

2. Integrarea funcţiilor raţionale simple

Am văzut că orice funcţie raţională se scrie ca o sumă finită de funcţii raţionale simple. Deci integrarea unei funcţii raţionale se reduce la integrarea funcţiilor raţionale simple. 1) Dacă f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 , atunci x n +1 xn x2 + a + ... + a + a0 x + C . n − 1 1 ∫ n +1 n 2 A 2) Dacă f ( x ) = , n ∈
* , x > a sau x < a , atunci se consideră cazurile: n ( x − a) 2.1) n = 1 . Avem dx ∫ f ( x ) dx = ∫ x − a = ln x − a + C = ( ln ( x − a ) + C , x > a sau ln ( a-x ) + C , x < a ) . f ( x ) dx = an

Exemple. Să se calculeze a)

dx

dx

dx

1

∫ x − 1, x > 1; b) ∫ x + 1 , x < −1; c ) ∫ 4 x + 1 , x > − 4 .

R. a) Avem

b) Acum

dx

∫ x − 1 = ln x − 1 + C = ln ( x − 1) + C . dx

∫ x + 1 = ln x + 1 + C = ln ( − x − 1) + C .

c) Se scrie integrala sub forma:

1 dx 1  1 = ln  x +  + C . ∫ 1 4 x+ 4  4 4

2.2) Pentru n ∈
* , n ≥ 2 , găsim:

∫

f ( x ) dx = ∫

unde

dx n

= ∫ ( x − a)

−n

( x − a) I ⊂ ( a , ∞ ) sau I ⊂ ( −∞ , a ) .

dx =

( x − a )− n+1 + C = − −n + 1

1

( n − 1 ) ( x − a ) n −1

+ C dacă x ∈ I ,

Exemplu. Să se calculeze dx dx 1 a) ∫ , x > 1; b ) ∫ ,x>− . 3 3 3 ( x − 1) ( 3 x + 1) R. a) Scriem integrala sub forma: ∫

dx

( x − 1)

3

=

∫ ( x − 1)

.

83

−3

−2 x − 1) ( dx =

−2

+C =−

1 2 ( x − 1)

2

+ C.

b) Dacă se notează 3x + 1 = t , atunci dt = 3dx şi integrala asociată este I1 =

Prin urmare I = −

1 6 ( 3 x + 1)

+C .

2

Bx + C

3) Dacă f ( x ) =

(x

2

1 dt 1 =− 2 +C . ∫ 3 3 t 6t

+ bx + c

)

n

, n ∈
* , b 2 − 4c < 0 , atunci se analizează cazurile:

1 dx 1 x , a ≠ 0 . Avem ∫ 2 = arctg + C . a x2 + a2 x + a2 a x 1 2 x dx 1 Observaţie. Dacă f ( x ) = 2 , atunci ∫ f ( x ) dx = ∫ 2 = ln x 2 + a 2 + C . 2 2 x + a2 2 x +a 3.1) f ( x ) =

(

Exemplu. Să se calculeze: R.

∫

dx 2

x +

( 3)

3.2) f ( x ) =

2

Pentru I n = ∫

2

+ a2

)

, a ≠ 0, n ∈
, n ≥ 2 .

n

dx

(x

1 Avem: I n = 2 a

dx

∫ x2 + 3 , x ∈  .

1 x arctg +C . 3 3

=

1

(x

)

2

∫

+ a2

)

n

vom da o formulă de recurenţă.

2

a 2 dx

(x

2

+ a2

)

n

1 = 2 a

2

(a + x ) − x ∫ (x + a ) 2

2

2

n

 1  dx dx = 2  ∫ 2 2 a  x + a

(

)

n−1

−

   x 2 dx   1  = I − . Pentru calculul integralei din paranteza dreaptă se n 2  n −1 ∫ n x2 + a2  a  x2 + a2     aplică integrarea prin părţi, când avem: x 2dx x 1 1 1 dx ∫ 2 2 n = ∫ x 2 2 n dx = − 2 ( n − 1) ⋅ 2 2 n−1 x + 2 ( n − 1) ⋅ ∫ 2 2 n−1 = x +a x +a x +a x +a −∫

x 2 dx

(

(

=−

)

(

)

(

1 x ⋅ 2 ( n − 1) x 2 + a 2

(

Deci I n =

)

)

)

n −1

+

(

1 I n−1 . 2 ( n − 1)

 1  x  a 2  2 ( n − 1) x 2 + a 2 

(

)

n −1

+

 2n − 3  I n −1  . 2 ( n − 1)  

84

)

(

)

Observaţie. Dacă f

(x)=

1 =

−2 ( n − 1) x 2 + a 2

(

)

R. Fie I n = ∫

dx

(x

2

+4

)

n

2

(x

+ a2

)

n

, atunci

1 ∫ f ( x ) dx = 2 ∫

2 x dx

(x

2

+ a2

)

n

=

+C .

n−1

Exemplu. Să se calculeze

x

∫

dx

(

2

2

x +4

, x∈ .

)

. Avem: I 2 = ∫

dx

(x

2

+4

)

2

1 4dx = ∫ 4 x2 + 4

(

2 2 1 4+ x −x = ∫ dx = 2 4 x2 + 4

(

)

2

)

(

)

    1 x 2dx  1  x  =  I1 − ∫ =  I1 − ∫ x dx  . 2 2 2 2 4 4 x +4  x +4     Pentru integrala din paranteza dreaptă punem (pentru a aplica integrarea prin părţi) 1 x u ( x ) = x, v ' ( x ) = , iar de aici u ' ( x ) = 1, v ( x ) = − . 2 2 2 x +4 x2 + 4

(

)

(

(

Obţinem:

∫

(x

Aşadar, I 2 =

+4

(

)

x2 2

)

)

2

dx = −

x 2

2 x +4

(

)

+

)

1 dx x 1 =− + I1 . 2 2 ∫ x2 + 4 2 x +4 2

(

)

  1 x 1 x 1 I1 + − I1  = + I1 , unde I 1 = 4 2  8 x2 + 4 8 2 x2 + 4  

(

)

(

)

dx

∫ x2 + 4

=

1 x = arctg + C . 2 2

3.3) Dacă f ( x ) =

1 x 2 + bx + c

, b2 − 4c < 0 , atunci se scrie x 2 + bx + c ca sumă de pătrate sub 2

2 2 b b2 b2  b  4c − b2  b   4c − b2   . forma x + bx + c = x + 2 x + + c − =  x +  + = x+  + 2 4 4  2 4 2  4     dx 2 2x + b În acest caz I = ∫ f ( x ) dx = ∫ = ⋅arctg +C. 2 2 2 2 2   4 c − b 4 c − b b 4 c − b     x + 2  +   2     Exemple. Să se calculeze integralele: dx dx a) ∫ 2 , x ∈ ; b) ∫ 2 , x∈ . x + x+1 3x + 5x + 3 R. a) Se scrie integrala sub forma 2

2

85

1 x+ 1 2 + C = 2 3 arctg 2 x + 1 + C . = arctg ∫ 2 2 3 3 3 3  3 1    x +  +  2 2 2   2  b) În acest caz avem 1 dx 1 dx 1 dx = ∫ = ∫ = ∫ 2 2 5 2 3 x2 + x + 1 3  5 11 3   11  5  x+  + 3  x +  +   6 36  6   6  dx

=

6 6x + 5 2 11 6x + 5 arctg +C = arctg +C . 11 3 11 11 11

Observaţie. Dacă numitorul funcţiei f ( x ) este de forma

(α x

2

+βx+γ

)

n

, β 2 − 4αγ < 0 cu

n

n β γ   α ≠ 1 , atunci se forţează factor α n şi avem α n  x 2 + x +  = α n x 2 + bx + c , unde α α  β γ b = , c = , b2 − 4c < 0 . În cazul de mai sus (b) avem α = 3 . α α 1 3.4) Dacă f ( x ) = , b 2 − 4c < 0, n ∈
* , n ≥ 2 , atunci se pune f sub forma n 2 x + bx + c

(

(

)

1

f ( x) =

 2  2  x + b  +  4c − b   2  2   forma 3.2). x 3.5) Dacă f ( x ) = x 2 + bx + c

(

şi se substituie x +

2 n

      

)

n

b = t , ajungând în final la integrala de 2

, b 2 − 4c < 0, n ∈
* , n ≥ 2 , atunci se prelucrează f sub forma

(se pune în evidenţă la numărător derivata funcţiei x → x 2 + bx + c de la numitor): 1 2x + b b 1 1 f ( x) = ⋅ − ⋅ , când ∫ f ( x ) dx = − ⋅ 2 x 2 + bx + c n 2 x 2 + bx + c n 2 (n − 1)

(

)

1 ⋅

(x

2

+ bx + c

)

n −1

)

(

b dx − ∫ 2 x 2 + bx + c

(

)

)

n

, ultima integrală fiind de tipul 3.4).

86

Probleme propuse 1. Să se determine numerele reale a , b , c , ... astfel încât să aibă loc egalităţile: 3x + 5 a b c 1) = + + , ∀x ≠ 1, 2, 3 ; 2 x − 1 x − 2 x −3 ( x − 3) x − 3 x + 2

(

)

2

3 x + 12 x + 11 a b c = + + , ∀x ≠ −1, −2, −3 ; x 3 + 6 x 2 + 11 x + 6 x + 1 x + 2 x + 3

2)

x 4 − 3 x 3 − 3 x 2 + 10

3)

( x + 1) ( x

2

− 2x − 3

)

= ax + b +

c d e + , ∀x ≠ −1,3 ; + x + 1 ( x + 1) 2 x − 3

1 ax + b cx + d = 2 + 2 ; x +1 x − 2 x+1 x + 2 x+1 1 a bx + c = + , ∀x ≠ −1 ; x3 + 1 x + 1 x2 − x + 1 1 a b cx + d = + 2+ 2 , ∀x ≠ 0,1 . x x x +1 x2 x2 + 1

4)

4

5) 6)

(

)

2. Să se calculeze integralele următoarelor funcţii: dx dx 3 dx a) 1) ∫ , x > 1; 2) ∫ , x > ; 3) ∫ 2 , x > 0; x ( x − 1) 2 ( x + 1) ( 2 x − 3 ) x + 4x 4) ∫

( 2 x − 1) dx x dx 1 x dx , x > − ; 5) ∫ , x > 2; 6) ∫ 2 , x > 5; x + 1 2 x + 1 2 x − 1 x − 2 ( )( ) ( )( ) x − 6x + 5

7) ∫

( x − 4 ) dx x dx dx , x > 2; 8) ∫ , x > 3; 9) ∫ 2 , x > 1; ( x − 2 ) ( x − 3) 2 x2 − 3 x − 2 x −x

10) ∫

dx dx , x > 0;11) ∫ , x > −1. x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 1) x 2 + 5 x + 6

(

)

2

( x + 2 ) dx , x < 0; 3) ( 5 x − 1) dx , x < −1.  x+ 2 b) 1) ∫   dx , x > −1; 2) ∫ 3 ∫ x3 − 3x − 2 x + 1 x − 2 x2   c) 1)∫

dx 2

(

x x +1

x3 + x + 1

(

2

x x +1

)

dx , x < 0; 3) ∫

x dx dx , x < 1; 4) ∫ 3 , x < −2; 3 x −1 x +8

x 3 − 6 dx dx 5) ∫ 3 , x < 1; 6) ∫ 4 , x ∈ ; 7) ∫ 4 , x > 0. x − x2 + x − 1 x + x2 + 1 x + 6 x2 + 8

(x

4

)

, x > 0; 2) ∫

)

(

+ 1 dx

3. Fie f : ( 1, ∞ ) →  , f ( x )

( x + 1) =

)

3

x2 − x

.

1)

Arătaţi că există numere reale a,b,c,d astfel încât f ( x ) = ax + b +

2)

Să se calculeze primitivele funcţiei f pe ( 1, ∞ ) .

87

c d , ∀x > 1 . + x x −1

4.

x3 + 1 . x3 − x2

Fie f : ( 1, ∞ ) →  , f ( x ) =

1) Arătaţi că există numerele reale a,b,c,d astfel încât f ( x ) = a + 2)

b c d , ∀x > 1 . + + x x2 x − 1

Să se calculeze primitivele lui f pe ( 1, ∞ ) .

x2 + 1 . x4 + 1 1 1+ 2 x 1) Arătaţi că f ( x ) = , ∀x ≠ 0 . 1 x2 + 2 x 1 2) Substituiţi u = x − şi calculaţi integrala asociată integralei x ( 0, ∞ ) . 5. Fie f :  →  , f ( x ) =

3)

∫ f ( x ) dx

pe ( −∞ ,0 ) sau

Arătaţi că f admite primitive pe  şi determinaţi-le.

3. Integrale reductibile la funcţii raţionale 1) Integrarea unor funcţii iraţionale (facultativ) k k Dacă funcţia de sub semnul integrală este de forma R x, 1 x ,..., n x

(

)

unde

ki ∈
, ki ≥ 2 , atunci punând x = t k , unde k este cel mai mic multiplu comun al ordinelor radicalilor k1 , k2 ,..., kn se ajunge la o integrală de funcţie raţională. Exemple rezolvate. Să se calculeze: 1) I = ∫

dx

dx

, x > 0; 2) I = ∫

x+3 x

R. 1) Punem

3

x+3x

x = t , adică

,x>0.

x = t3

şi deci

dx = 3t 2dt , iar integrala asociată este

t 2 dt 3 2t dt 3 = = ln t 2 + 1 +C . t3 + t 2 ∫ t 2 + 1 2 3 3 Aşadar I = ln x 2 + 1 + C . 2 I1 = 3∫

(

(

)

)

2) Cum în integrală figurează x , 3 x , vom nota comun al ordinelor acestor radicali 2, 3).

6

x = t , adică x = t 6 (6 fiind cel mai mic multiplu

De aici dx = 6t 5dt şi integrala asociată este: I1 = 5∫

t 5dt t 3dt 1   3 2 = 6∫ = 6 t2 − t +1−  dt = 2t − 3t + 6t − ln ( t + 1) + C . 2 t +1 ∫ 1+ t  t +t 3

Deci I = 2 x − 33 x + 6 6 x − ln

(

6

x +1 + C .

)

88



Dacă funcţia de sub semnul integrală este de forma R  x, n 



ax + b   , atunci se pune cx + d 

n

n

ax + b −dt + b = t , iar de aici x = n ajungând în final la o integrală asociată de funcţie cx + d ct − a

raţională în t.

Exemplu practic. Să se calculeze integrala R. Se forţează factor comun la numitor

dx I =∫ . Notăm x −1 1+ x +1

∫

x + 1dx x +1 + x −1

,x ≥1.

x + 1 şi se aduce integrala la forma:

4t x −1 1+ t2 = t când obţinem x = şi de aici dx = dt . 2 2 x +1 1− t t2 −1

(

Integrala asociată lui I este: I1 = 4∫

tdt 2

( t − 1) ( t + 1)

)

.

3

Descompunând funcţia raţională (de integrat) în funcţii raţionale simple găsim: t −1 1 1 1 = + + − . 2 3 2 ( t − 1) ( t + 1) 16 ( t − 1) 8 ( t − 1) 16 ( t + 1) 4 ( t + 1)3 1 1 1 1 Deci I1 = − ln (1 − t ) − + ln ( t + 1) + +C . 2 4 2 ( t − 1) 4 2 ( t + 1) În cazul funcţiei de integrat de forma generală R x, ax 2 + bx + c prezentăm câteva situaţii

)

(

particulare simple, oferind tehnica de integrat. 1) Dacă funcţia de integrat este de forma f ( x) =

αx + β 2

ax + bx + c

, ax2 + bx + c > 0,∀x ∈  , atunci se caută

să se pună în evidenţă la numărător derivata trinomului ax 2 + bx + c scriind funcţia ( 2ax + b) + d = 2ax + b + d astfel f ( x) = . 2 2 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c

Exemplu practic. Să se calculeze integrala nedefinită I = ∫

x+1 2

x + x +1

dx , x ∈  .

R. Se scrie integrala sub forma (dacă t = x 2 + x + 1 , atunci dt = ( 2 x + 1) dx )

 1 2x + 1 + 1 1  ( 2 x + 1) dx dx dx =  ∫ +∫  . ∫  2 2 2 2 2 x + x +1 x + x +1 x + x +1  Prima integrală din paranteză are ca integrală asociată pentru I=

1

1

− dt t2 t = x + x + 1, I1 = ∫ = ∫ t 2 dt = + C = 2 t + C . 1 t 2 2

89

  1  Deci I = 2 x2 + x + 1 + 2    1  + ln  x + + 2 

∫

dx 2  3 1    x +  +  2    2 

2

   1  = 2 x2 + x + 1 +  2    

 x 2 + x + 1  + C . 

2) Dacă funcţia de integrat este de forma f ( x ) =

p( x) 2

ax + bx + c

polinomială de grad n ≥ 2 , atunci se utilizează egalitatea = q ( x ) ax 2 + bx + c + A∫

, ax2 + bx + c > 0, ∀x ∈ , p funcţie p( x)

∫

2

ax + bx + c

dx =

dx

, (*) unde q este o funcţie polinomială de grad n − 1 , iar A ax + bx + c este o constantă. Pentru a determina coeficienţii funcţiei q şi pe A se derivează egalitatea (*) şi se aplică metoda coeficienţilor nedeterminaţi. x 2dx Exemplu practic. Să se calculeze integrala nedefinită I = ∫ ,x∈ . x2 − x + 1 2

R. Conform celor spuse mai sus pentru p ( x ) = x 2 se ia q ( x ) = α x + β şi avem egalitatea

∫

x 2 dx 2

x − x +1

x2 2

x − x −1

= ( α x + β ) x 2 − x + 1 + A∫

= α x 2 − x + 1 + (α x + β )

dx 2

x − x +1

2x −1 2

2 x − x +1

pe care o derivăm şi obţinem

+

A 2

x − x +1

sau

2 x 2 = 2α x 2 − x + 1 + (α x + β )( 2 x − 1) + 2 A sau în fine 2 x 2 = 4α x 2 + ( 2β − 3α ) x +

(

)

4α = 2 1  +2α − β + 2A . De aici, prin identificare, rezultă sistemul −3α + 2β = 0 cu soluţia α = , 2 2α − β + 2 A = 0  3 1 β = ,A= − . 4 8 2x + 3 2 1 Găsim I = x − x + 1 − ln 2 x − 1 + 2 x 2 − x + 1 + C . 8 8

(

)

3) Dacă funcţia de integrat este de forma f ( x ) =

1

( px + q )

n

ax 2 + bx + c

1 ax 2 + bx + c > 0, n ∈
* , px + q > 0 ( < 0 ) , atunci se pune px + q = . t

90

,

Exemplu practic. Să se calculeze integrala nedefinită I=

∫ ( x + 1)

dx x2 + x + 1

, x > −1

1 t

R. Notăm x + 1 = , iar de aici dx = − I1 = −

∫

dt t2 =− 1 − t + t2 t2 t

∫

dt 2

t − t +1

=−

dt . Integrala asociată lui I este t2

∫

dt 2  1  3  t − 2  +  2     

2

=

 1  = − ln  t − + t 2 − t + 1  + C = − ln  2t − 1 + 2 t 2 − t + 1  + C . 2      2 2 x 2 + x + 1  Deci I = − ln  −1 + +C .  x +1  x +1  

2) Integrarea unor funcţii trigonometrice prin schimbare de variabilă

Dacă funcţia de sub semnul integrală este de forma f ( x ) = R ( sin x,cos x ) , atunci prin x substituţia universală t = tg , x ∈ I ⊂ ( −π , π ) se poate obţine o integrală asociată de 2 funcţie raţională în t. Într-adevăr, x x 2tg 1 − tg 2 2 2 t 2 = 2 = 1 − t , iar din x = 2arctg t rezultă sin x = , cos x = x 1+ t2 x 1+ t2 1 + tg 2 1 + tg 2 2 2 2dt dx = . 1+ t2

Exemplu practic. Să se calculeze I =

dx



R. Cu elementele prezentate mai sus integrala asociată este: 2dt dt 1 t −1 − 2 1 + t2 I1 = = −2 2 =− ln +C . 2t 1− t2 t − 2t − 1 2 t −1+ 2 + 1+ t2 1+ t2 x tg − 1 − 2 1 2 Deci I = − ln +C . 2 tg x − 1 + 2 2

∫

π

∫ sin x + cos x , x ∈  0, 2  .

∫

91

Observaţie. Această substituţie se aplică funcţiilor R care au în structură funcţiile sin x, cos x la puterea întâi. Prezenţa acestor funcţii la puteri mai mari conduce la funcţii raţionale mai complicate şi deci calcule mai greoaie. În astfel de situaţii se recomandă scrierea funcţiei R sub una din formele: ∼

∼

a) R sin 2 x,cos x sin x = R 1 − cos 2 x,cos x sin x când se recomandă substituţia

(

)

(

)

t = cos x .

Exemplu practic. Să se calculeze integrala nedefinită

∫

I = sin 3 x cos 2 xdx , x ∈  .

∫

R. Scriem integrala sub forma I = sin 2 x cos 2 x ( sin xdx ) =

∫ (1 − cos x ) ⋅ cos 2

2

x ( sin xdx ) .

Punând t = cos x avem dt = − sin x dx şi integrala asociată lui I este

∫(

I1 = − 1 − t 2 t 2 dt =

)

∫ (t

4

− t 2 dt =

)

t5 t3 − +C . 5 3

cos5 x cos3 x − +C . 5 3 Observaţie. În acest caz integrandul este un polinom în t. Deci I = ∼

∼

b) R cos 2 x,sin x cos x = R 1 − sin 2 x,sin x cos x . În acest caz se substituie sin x = t

(

)

(

)

când dt = cos x dx . Exemplu practic. Să se calculeze integrala nedefinită

∫

I = cos 3 x sin 2 xdx , x ∈  .

∫

R. Se aduce integrala la forma I = cos 2 x sin 2 x ( cos xdx ) =

∫ (1 − sin x ) ⋅sin 2

2

x cos xdx . Notăm

t = sin x şi deci dt = cos xdx când integrala asociată este I1 =

∫ (1 − t ) t dt = ∫ (t

Deci I =

sin 3 x sin 5 x − +C . 3 5

2

2

2

− t 4 dt =

)

t3 t5 − +C . 3 5

∼

c) R sin 2 x,cos 2 x , când se recomandă:

(

)

1) trecerea de la pătrate la cosinusuri de argument dublu după formulele 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sin 2 x = , cos 2 x = (când se spune că liniarizăm funcţiile sin 2 x 2 2 şi cos 2 x ) sau dt  π π 2) substituţia tg x = t , x ∈ I ⊂  − ,  când x = arctg t şi deci dx = iar 1+ t2  2 2

92

sin 2 x =

tg 2 x t2 1 1 . = , cos 2 x = = 2 2 2 1 + tg x 1 + t 1 + tg x 1 + t 2

Exemplu practic. Să se calculeze integrala nedefinită

∫

I = sin 2 x cos4 xdx , x ∈  .

R. Urmând prima variantă (de liniarizare) funcţia de integrat devine succesiv: 1 1 1 sin 2 x cos 4 x = sin 2 2 x ( cos 2 x + 1) = sin 2 2 x cos 2 x + (1 − cos 4 x ) şi deci 8 8 16 1 1 1 I = sin 3 2 x + x − sin 4 x + C . Utilizând substituţia t = tgx integrala asociată devine 48 16 64 I1 =

∫

t2 1 ⋅ 2 1+ t 1+ t2

(

)

2

⋅

dt , care este mult mai dificil de calculat decât prin metoda precedentă 1+ t2

 π π (considerând x ∈  − ,  etc.).  2 2

Exemplu practic. Să se calculeze integrala nedefinită I=

∫ sin

 π , x ∈  0,  . x cos x  2 dx

4

2

2

R. În acest caz substituţia t = tgx conduce la integrala asociată I1 =

∫

(1 + t ) t4

2

dt =

1 2 1 − + C . De aici, I = tgx − 2ctgx − ctg3 x + C . 3 t 3t 3

=t− ∼

∼

d) R sin 2 n +1 x,cos 2 n +1 x = R1 sin 2 n x,cos 2 n x sin 2 x şi se exprimă puterile

(

)

(

)

pare ale lui sin x şi cos x în funcţie de t = cos 2 x . Exemplu practic. Să se calculeze integrala nedefinită  π I = sin5 x cos5 xdx , x ∈  0,  .  2

∫

Se scrie integrala sub forma I =

∫ sin

4

x cos 4 x ( sin x co s x ) dx = 2

2

2 2 1 1  1 − cos 2 x   1 + cos 2 x  sin 2 x cos 2 x sin 2 xdx =    sin 2 xdx . 2 2  2 2    Se notează t = cos 2 x şi deci dt = −2sin 2 xdx . Integrala asociată este: 1 1 1  2t 3 t 5  2 2 I1 = − 1 − t ) ( 1 + t ) dt = − 1 − 2 t 2 + t 4 dt = −  t − + +C . ( 64 64 64  3 5  1  2 1 3 5 Deci I = −  cos 2 x − ( cos 2 x ) + ( cos 2 x )  + C . 64  3 5 

=

∫(

)(

∫

∫

)

∫(

)

93

Există integrale I1 al căror calcul se face uşor dacă li se asociază o altă integrală I 2 şi apoi se calculează I1 + I 2 şi I1 − I 2 , ultimele două integrale fiind mai simple decât I1 şi I 2 (alteori se calculează α ⋅ I1 + β ⋅ I 2 cu α , β aleşi convenabili).

Exemplu practic. Să se calculeze integrala nedefinită I1 =

sin xdx



π

∫ sin x + cos x , x ∈  0, 2  .

R. Se consideră şi integrala I 2 =

respectiv I 2 − I1 =

cos x − sin x

cos xdx

∫ sin x + cos x

∫ sin x + cos x dx =∫

şi calculăm I1 + I 2 =

(sin x + cos x ) 'dx = ln

sin x + cos x

∫ sin x + cos x dx = x + C , (1) şi

( sin x + cos x ) + C , (2).

sin x + cos x Sistemul format cu ecuaţiile din (1) şi (2) dă soluţia x x I1 = − ln sin x + cos x + C , I 2 = + ln sin x + cos x + C . 2 2

Următorul exemplu vine să ilustreze tehnica pecedentă pentru o funcţie raţională care conţine funcţiile sinus şi cosinus, exprimând numărătorul ca o “combinaţie liniară” de numitor şi derivata acestuia. Exemplu practic. Să se calculeze integrala I = ∫

2sin x + 3cos x  π dx , x ∈  0,  . 4sin x + 5cos x  2

R. Se determină constantele A şi B astfel încât 2sin x + 3cos x = A ( 4sin x + 5cos x ) + B ( 4cos x − 5sin x ) sau

 π 2sin x + 3cos x = ( 4 A − 5B ) sin x + ( 5 A + 4 B ) cos x, x ∈  0,  . De aici, prin identificare, se obţine  2 4 A − 5B = 2 23 2 sistemul  cu soluţia A = , B = . Acum integrala se scrie 5 A + 4 B = 3 41 41 

I=

23 4sin x + 5cos x 2 ( 4sin x + 5cos x ) ' 23 2 dx + ∫ dx = x + ln ( 4sin x + 5cos x ) + C . ∫ 41 4sin x + 5cos x 41 4sin x + 5cos x 41 41

Observaţii. 1) Calculaţi integrala precedentă prin acest procedeu! 2) Pentru calculul integralelor de forma

∫ cosα xcosβ xdx , α , β ∈ 

∫ sinα x sin β xdx , ∫ sinα x cos β x, dx

se transformă produsele în sume după formulele:

1 sin α x ⋅ cos β x =  sin ( α x + β x ) + sin (α x − β x )  , sin α x ⋅ sin β x = 2 1 1 =  cos ( α x − β x ) − cos ( α x + β x )  , cos α x ⋅ cos β x =  cos ( α x + β x ) + cos ( α x − β x )  . 2 2

94

3) Integrarea unor funcţii care conţin exponenţiale (facultativ) Dacă avem de determinat I = ∫ R a x dx , unde R a x este o funcţie continuă, atunci

( )

( )

ln t şi ln a 1 1 R ( t ) dt dx = dt şi prin urmare integrala asociată are forma I1 = . Dacă R t ln a ln a ∫ t este o funcţie raţională, atunci I1 este integrală nedefinită a unei funcţii raţionale.

se recomandă substituţia t = a x . De aici, formal, deducem x = log a t =

Exemplu practic. Să se calculeze integrala nedefinită I = ∫ R. Notând t = e x deducem x = ln t şi dx =

e 2 x dx , x∈ . ex + 1

dt . Integrala asociată lui I este integrală nedefinită t

dintr-o funcţie raţională. dt t2 t = tdt = ( t + 1) − 1 dt = dt − dt = t − ln ( t + 1) + C . I1 = ∫ ∫ t +1 t +1 ∫ t +1 ∫ t +1

∫

Revenim la integrala I punând în I1 în locul lui t , e x şi deci I = e x − ln e x + 1 + C .

(

)

Probleme propuse 1. a) Să se calculeze integralele de funcţii iraţionale de mai jos: 3

1) ∫

( 3

4) ∫

x + 1 x − x + 1 dx , x > 0; 2) ∫

)(

)

x + 3 x dx , x > 0; 3) ∫

(

)

(1 + x ) 3

x

dx , x > 0;

 1 x2 − 4 x 1  x dx , x > 0; 5) ∫  − dx , x > 0; 6) ∫ dx ,  x 4 3  x x + 1) ( x x  

x > 0; 7) ∫

x x−3x

dx , x > 1; 8) ∫

dx 3

x

(

3

x −1

)

, x > 1; 9) ∫

dx x+4x

, x > 0.

b) Să se calculeze integralele de funcţii trigonometrice de mai jos: 2

2

1) ∫ sin 2 3 xdx , x ∈ ; 2) ∫ ( 1 + 2cosx ) dx , x ∈ ; 3) ∫ ( 1 − sin 2 x ) dx , x ∈ ; 4) ∫ cos4 xdx , x ∈ ; 5) ∫ sin 3 x cos xdx , x ∈ ; 6) ∫ sin 3 x sin5 xdx , x ∈ ; 7) ∫ cos x cos 3 x cos6 xdx , x ∈ ; 8) ∫ sin 2 x cos 2 xdx , x ∈ ; 9) ∫ sin 4 x cos4 xdx , x ∈ ;10) ∫ sin 2 x cos4 xdx , x ∈ ;11) ∫ sin5 xdx , x ∈ ; 12) ∫ sin 2 x cos 3 xdx , x ∈ ;13) ∫ cos7 xdx , x ∈ ;14) ∫ sin4 x cos2 x dx , x ∈ ; 15) ∫ cos 2 x sin 3 xdx , x ∈ ;16) ∫

1 + sin 3 x

sin 3 x  π dx , x ∈ 0, ;17)  2 ∫ cos4 x dx, cos 2 x  

95

dx dx  π  π  π x ∈  0,  ;18) ∫ , x ∈  0,  ;19) ∫ 3 , x ∈  0,  . cos x sin 3 x sin x cos3 x  2  2  2 c) Să se calculeze integralele de funcţii care conţin exponenţiale în cazurile de mai jos: ex 3 x dx e2 x − e x e x dx 1) ∫ x dx , x > 0; 2) ∫ , x ∈ ; 3) ∫ dx , x ∈ ; 4) ∫ , x ∈ ; 2x x e −1 1+ 3 1+ e 4 + e2 x 5) ∫ 8) ∫

e3 x 1+ e

dx , x ∈ ; 6) ∫ x

dx 1+ 1− e

x

dx e x 3 + e− x

(

, x < 0; 9) ∫

dx e

2x

+e

x

)

, x ∈ ; 7) ∫

, x ∈ ;10) ∫

ex 1 + e3 x

ex − 2 e2x + 4

dx , x ∈ ;

dx , x ∈ ;11) ∫

dx e3 x − e x

, x > 1.

1 . 3 + sin x + cos x Arătaţi că f admite primitive pe ( 0,2π ) , dar pentru determinarea lor nu se poate

2. Se consideră funcţia f : ( 0, 2π ) →  , f ( x ) = 1)

utiliza substituţia t = tg

2)

x . 2

Determinaţi o primitivă a lui

f

pe

( 0,π )

construiţi o primitivă pe ( 0,2π ) . Determinaţi

cu ajutorul substituţiei t = tg

∫ f ( x ) dx,

x şi apoi 2

x ∈ ( 0,2π ) .

1 . 1 + sin 2 x 1) Arătaţi că f admite primitive pe ( 0,π ) , dar nu se poate utiliza substituţia t = tg x pentru

3. Fie f : ( 0, π ) →  , f ( x ) =

determinarea lor.  π 2) Determinaţi o primitivă a lui f pe  0,  utilizând substituţia t = tg x şi apoi construiţi o  2

primitivă pe ( 0,π ) . Determinaţi 4. Fie I1 = ∫ 1)

∫ f ( x ) dx , x ∈ ( 0,π ) şi apoi ∫ f ( x ) dx , x ∈  .

sin x dx cos x  π , I2 = ∫ , x ∈  0,  . sin x + cos x sin x + cos x  2

Să se calculeze I1 + I 2 , I 2 − I1 .

2) Determinaţi I1 , I 2 . 5. Să se calculeze în funcţie de valorile parametrului real m integralele nedefinite: ( x + 3 ) dx 1) I = ∫ . x ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) + m 2)

I=∫

( 2 x + 3 ) dx . x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) + m

6. Să se determine a ∈  pentru care orice primitivă a funcţiilor: ( x − 2) ( x − a ) 1) f :  →  , f ( x ) = este o funcţie raţională. 2 x2 + 2

(

)

96

f :  → , f ( x ) =

2)

ax 2 + x − 3

(

x2 + 1

2

este o funcţie raţională.

)

2

x −1 x2 + 1 dx , J = ∫ x 4 + 1 , ∀x ∈ ( 0, ∞ ) sau ∀x ∈ ( −∞,0 ) , utilizând x4 + 1 1 1 schimbarea de variabilă x + = u şi respectiv x − = u .2) Să se determine o primitivă a x x 7. 1) Să se calculeze I = ∫

funcţiei f :  →  , f ( x ) =

x2 + 1 x 2 dx dx . 3) Să se calculeze A = ∫ 4 ,B=∫ 4 , ∀x ∈ ( 0, ∞ ) 4 x +1 x +1 x +1

sau ∀x ∈ ( −∞ ,0 ) . 4) Să se calculeze: 1) I = ∫

(x

2

4

)

+ 1 dx 2

x + x +1

; 2) J = ∫

(x

2

)

− 1 dx

4

2

x + x +1

, ∀x ∈ ( 0, ∞ )

sau ∀x ∈ ( −∞ ,0 ) . 8. Să se stabilească o formulă de recurenţă pentru integralele I n = ∫

e nx

(e

x

+1

)

n

dx , n ∈ * şi

să se calculeze I1 , I 2 , I 3 . 9. 1) Să se calculeze dx

∫ 3 + cos x ,

dx

∫ 3 + cos x ,

x ∈ [ 0,π ) , utilizând substituţia tg

x = u . 2) Să se calculeze 2

x ∈ [ 0, 2π ] .

10. 1) Să se calculeze

sin 2 x

∫ 1 + cos2 x dx ,

 π x ∈  0,  , utilizând substituţia tg x = u .2) Să se  2

sin 2 x ∫ 1 + cos2 x dx, x ∈ [ 0,π ] . sin x − 2cos x  π 11. Fie I = dx , x ∈  0,  . a) Dacă I1 = 2sin x + 3cos x  2 calculeze

∫

I2 =



cos x

sin x

∫ 2sin x + 3cos x dx ,

π

∫ 2sin x + 3cos x dx, x ∈  0, 2  , atunci calculaţi: 1) 2I

1

+ 3 I 2 şi 2 I 2 − 3 I 1 ;

2) Deduceţi I1 , I 2 şi I . b) 1) Arătaţi că există A, B ∈  astfel încât  π sin x − 2cos x = A ( 2sin x + 3cos x ) + B ( 2sin x + 3cos x ) ', ∀x ∈  0,  ; 2) Determinaţi I.  2 12. Calculaţi, prin aceleaşi metode de la exerciţiul precedent, integralele nedefinite: sin x − 2cos x + 3 3sin x + 2cos x cos xdx  π  π dx , 1) dx, x ∈  0,  ; 2) ,x ∈  0,  ; 3) 3sin x + 2cos x + 4 2sin x + 3cos x sin x + 2cos x + 3  2  2

∫

∫

∫

 π x ∈  0,  .  2

cos xdx  π ,J= , x ∈  0,  . x + cos 3 x sin 3 x + cos 3 x  2 1) Să se calculeze I + J şi I - J ; 2) Să se determine I, J . 13. Fie I =

∫ sin

sin xdx

3

∫

97

REZUMATUL CAPITOLULUI

Noţiuni. Explicitare. Notaţii Exemple Proprietăţi. Primitiva F : I →  este primitiva funcţiei 1) Dacă f ( x ) = x 2 , x ∈  , atunci unei funcţii f : I →  dacă: x3 x3 pe un 1) F este derivabilă şi F ( x) = ,G( x) = − 1 sunt interval 3 3 2) F ' = f . I⊆ primitive pe  pentru f. 2) Dacă f ( x ) = sin x , x ∈  ,

atunci F ( x ) = − cos x , G ( x ) =

Două primitive ale unei funcţii, pe un interval, diferă printr-o constantă.

= − cos x + 1 sunt primitive pe  ale lui f. 1) G ( x ) = F ( x ) − 1 ;

F1 , F2 : I →  primitive ale lui f : I →  , I interval. Atunci există 2) G ( x ) = F ( x ) + 1 , unde F, G sunt c ∈  (c=constantă) astfel încât funcţiile de la exemplele de mai sus. F2 = F1 + c .

Mulţimea tuturor primitivelor funcţiei f : I →  se notează

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , F este o

1)

integrare sau sau

Reguli de integrare

∫ dF = F + C

n

*

x∈

primitivă a lui f, C este constanta de 2) Integrala nedefinită

x n +1

∫ x dx = n + 1 + C , n ∈  , ∫3

x

dx =

3x + C, x ∈  . ln 3

3) ∫ sin x dx = − cos x + C , x ∈ 

∫ f '( x ) dx = f ( x ) + C

∫  f ( x ) + g ( x )dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ ( x + x ) dx = ∫ xdx + ∫ xdx = x 2 + g ( x ) dx (Integrala sumei este = + x x + C, x ≥ 0 . ∫ 2 3 2

1) Suma

suma integralelor) sau

1 1   2) ∫  e x + − 2  dx = x x +4  1 x = e x + ln x − arctg + C , x > 0 2 2

∫ ( dF + dG ) = ∫ dF + ∫ dG .

98

2) Factor constant

∫ cf ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx

(Constanta iese de sub integrală) + C , x ∈  .

∫ cdF =c ∫ dF .

sau 3) Integrarea prin părţi

∫ 3cos xdx = 3∫ cos xdx =3sin x +

∫ u ( x ) v '( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − − v ( x ) u ' ( x ) dx sau ∫ ∫ udv = uv − ∫ vdu .

∫ xe dx, x ∈  . x

 u ( x ) = x  u '( x ) = 1 ⇒   x x  v ' ( x ) = e  v ( x ) = e

∫ xe dx = xe − ∫ e dx = xe x

x

x

x

− ex +

+ C = ( x − 1) e x + C .

∫ (

∫

I = x 2 x 3 + 1dx, u = x 3 + 1 ⇒

)

1) I = h ϕ ( x ) ϕ ' ( x ) dx , u = 4) Integrarea = ϕ ( x ) ⇒ du = ϕ '( x ) dx şi se prin calculează integrala asociată substituţie (usubstituţie). I1 = h ( u ) du = H ( u ) + C ⇒ I =

∫

(

)

= H ϕ ( x) + C .

2) I =

∫ f ( x ) dx, x = ϕ ( u ) ⇒

(

)

)

x

∫ x + 1 dx, x ≥ 0

x = u2 ⇒ dx = 2udu; u = x ⇒

Schimbarea I1 = f ϕ ( u) ϕ '( u) dx = H ( u) + de variabilă −1 (Se trece de la + C ⇒ I = H ϕ ( x ) + C . variabila x la variabila u)

)

(

∫ ∫ (

I=

⇒ dx = ϕ ' ( u ) du ⇒ calculăm

∫ (

⇒ du = 3 x 2dx . 1 I= x 3 + 1 3 x 2dx ⇒ 3 1 1 2 I1 = udu = ⋅ u u + C , 3 3 3 2 3 I= x + 1 x3 + 1 + C . 9

)

I1 =

2u2du

∫u

2

+1 1

=2

∫

u2 + 1 − 1 u2 + 1

  = 2 1 − 2  du = 2u − u +1 

∫

−2arctgu + C ⇒ I = 2 x − −2arctg x + C .

99

du =

Teste de evaluare Testul 1 Varianta A

Varianta B

1. Să se arate că funcţia

f : →  ,

 x , x≤0  f ( x) =  x − 1 , admite primitive pe  x lnx , x >0   şi să se calculeze o primitivă a sa. 2. Arătaţi că funcţia F : ( −1, ∞) → , F ( x) = 1 1 1 = ln ( x + 1) − ln x 2 + 1 + arctgx , x > −1 2 4 2 este o primitivă a funcţiei f : ( −1, ∞ ) → ,

(

f ( x) =

)

1

( x + 1) ( x

. 2

+1

)

3. Să se determine constantele reale a , b, c astfel încât funcţia F :  →  ,

)

primitivă a funcţiei f :  → , f ( x ) = x2e− x . 4. Să se determine numerele reale a , b, c pentru care are loc egalitatea = ( ax + b ) x 2 + 4 + c

∫

∫

x2 + 3x x2 + 4

dx =

dx

,x∈ . x2 + 4 5. Să se determine primitiva funcţiei f ( x ) = x al cărei grafic este tangent dreptei y = x − 1 . 3

6. Fie f :  →  , f ( x ) = sin 2 x + sin 2 x . 1)

(

)

2. Arătaţi că funcţia F ( x ) = x ln x 2 + 1 −

(

)

−2 x + 2arctgx este o primitivă a funcţiei

f :  →  , f ( x ) = ln x 2 + 1 .

(

)

3. Să se determine constantele reale a , b, c astfel încât funcţia F ( x ) = x 2 a ln 2 x + b ln x + c

(

) să fie o

primitivă a funcţiei f :  → , f ( x) = xln2 x .

F ( x ) = ax 2 + bx + c e − x să fie o

(

1. Să se arate că funcţia x −1  , x≥1  ( x + 1) x 2 + 1 f :  → , f ( x ) =  ,  x ( x -1) e , x 0 , există δ = δ (ε ) > 0 cu proprietatea că pentru orice diviziune D ∈ D[a , b] cu D < δ să avem S D ( f ) − sD ( f ) < ε . Aplicaţie. Utilizând acest criteriu să demonstrăm că orice funcţie monotonă f : [ a , b] →
este

integrabilă Riemann. Demonstraţie. Presupunem că

este crescătoare. Deci pentru

f

∀x ∈ [ a , b ]

avem

f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b) . 1) Dacă f ( a ) = f ( b ) , atunci f este constantă. Am văzut că f este integrabilă pe [ a , b] . 2) f ( a ) < f ( b ) . Fie ε > 0 , arbitrar, D = ( x0 , x1 , ..., xn ) ∈ D[ a , b] cu D < δ ( ε) =

ε . Atunci avem ( mi = f ( xi −1 ) , M i = f ( xi ) , f fiind crescătoare): f ( b) − f ( a ) n

n

n

i =1

i =1

S D ( f ) − s D ( f ) = ∑ M i ( x i − x i − 1 ) − ∑ m i ( xi − x i − 1 ) = ∑ f ( x i ) ( x i − x i − 1 ) − i =1

n

n

∑ f ( x i − 1 ) ( x i − x i − 1 ) = ∑ ( f ( xi ) − f ( xi − 1 ) ) ( x i − x i − 1 ) < i =1

<

i =1

ε ⋅ ( f ( b) − f ( a )) = ε . f ( b) − f ( a )

n

D

∑ ( f ( xi ) − f ( xi − 1 ) ) < i =1

Cum funcţia f verifică criteriul lui Darboux, deducem că ea este integrabilă Riemann. ■ Să reţinem că pentru o funcţie continuă avem două modalităţi de abordare a integralei definite folosind sumarea: 1) utilizând sumele Darboux inferioare şi superioare; 2) utilizând sumele Riemann. Deoarece sD ( f ) ≤ σ D ( f , ξ ) ≤ S D ( f ) , ∀D ∈ D[ a , b] , ∀ξ , atunci integrala definită a lui f dată cu sumele Darboux există dacă şi numai dacă există integrala definită a lui f dată cu sumele Riemann.

* * * * *

132

Calculul limitelor unor şiruri utilizând integrala definită Utilizând integrabilitatea unei funcţii

f : [ a, b ] →
(funcţie monotonă, funcţie

continuă) se poate calcula limita unui şir (an ) având termenul general an definit

(

(n)

printr-o sumă care se poate pune sub formă de sumă Riemann σ Dn f , ξi

).

Probleme rezolvate Să se calculeze limitele următoarelor şiruri n n −1 n 1 n 1 π n −1 k π 1) an = ∑ ; 2) an = ∑ 2 ; 3) an = n ∑ ; 4) an = ∑ sin ; 2 2 n k =1 n k =1 n + k k =0 n + k k =1 ( n + k )

5) an =

1 n 9n 2 1 n 1 ( 2n ) ! ; 6) a n2 − k 2 ; 7) an = n ; = ∑ ∑ n 2 2 2 n k =1 9n + ( 3k − 1) n n! n k =1 n

1 . n+1  k =1 n + k  n   

8) an = ∑

R. 1) Se scrie şirul sub forma: an =

1 n 1 k . Punând = x se ia funcţia ∑ k n k =11 + n n

1 (sugerată de forma termenului general al sumei). Aceasta este o funcţie 1+ x continuă pe [ 0,1] şi deci integrabilă. Se consideră şirul de diviziuni echidistante ale intervalului f : [ 0,1] →
, f ( x ) =

n  1 n 1  1  1 2 Dn =  0, , , ..., = 1 cu Dn =  → 0 şi punctele intermediare ξ1 = ∈ 0,  n  n n  n  n n 1 (pentru k = 1 în sumă avem ), 1 1+ n 2 1 2 1 ξ2 = ∈  ,  (pentru k = 2 în sumă se obţine ), … 2 n n n 1+ n 1  n −1  ξ n = 1∈  ,1 (pentru k = n în sumă rezultă ). n  n  1+ n Atunci suma Riemann asociată lui f relativ la Dn şi sistemul de puncte intermediare este

[0,1] ,

an = σ Dn ( f , ξ k ) =

1 1 1 n k n dx f    →∫ = ln (1 + x ) = ln 2 . ∑ 0 n k =1  n  1+ x 0

Deci lim an = ln 2 . n →∞

133

Observaţie. Să remarcăm că termenul general al sumei este valoarea funcţiei în punctul intermediar k 1 ; factorul care apare în faţa sumei este ( xi − xi −1 ) , acelaşi deoarece Dn este diviziune n n echidistantă. k 1 n −1 1 2) Se scrie an sub forma: an = ∑ . Se pune = x şi deci se ia funcţia n n k = 0  k 2 1+   n 1 f : [ 0,1] →
, f ( x ) = , care este integrabilă pe [ 0,1] (fiind continuă). Se aleg, ca mai sus, 1 + x2 1 n  1 2  Dn ∈ D[0,1] , Dn =  0, , , ...,1 cu Dn =  → 0 precum şi punctele intermediare n  n n 

1 1 2 n −1  n −1   1 ξ1 = 0 ∈ 0,  , ξ2 = ∈  ,  , ..., ξ n = ∈ ,1 ( ξ k sunt extremităţile din stânga pentru n n n n n      n  1

dx

1 π = arctg x = . 0 4 01+ x

n fiecare interval). Acum an = σ Dn ( f , ξ k )  →∫

3) Se scrie an sub forma: an =

1

lim = ∫

n →∞

0

dx

(1 + x )

2

=−

2

1 n −1 1 1 şi se ia f : [ 0,1] →
, f ( x ) = . Găsim că ∑ 2 n k = 0  k 2 1 + x) ( 1 +   n

1 1 1 = . 1+ x 0 2 π

4) Se ia f : [ 0, π] →
, f ( x ) = sin x şi lim an = ∫ sin x dx = − cos x n →∞

5) Se aduce an la forma an =

1 n ∑ n k =1

0

1

 3k − 1  1+    3n 

2

π 0

=2.

. Se ia f : [ 0,1] →
, f ( x ) =

1 1 + x2

,

1 n 2  1  1 2  Dn =  0, , , ...,1 ∈ D[0,1] cu Dn =  → 0 şi se aleg ξ1 = ∈ 0,  , (pentru k = 1 în n 3n  n   n n  sumă), ξ2 =

5 1 2 3n − 1  n − 1  ∈ , (pentru k = 2 în sumă), …, ξ n = ∈ ,1 (pentru k = n în 3n  n n  3n  n  1

dx

1 π = arctg x = . 0 4 01+ x

n sumă). Avem: an = σ Dn ( f , ξ k )  →∫

2

2

6) Avem: an =

1 n π k 1 −   . Se ia f : [ 0,1] →
, f ( x ) = 1 − x 2 şi lim an = ∫ 1 − x 2 dx = . ∑ n →∞ n k =1 4 n 0

7) Se prelucrează an astfel an = n

1

( 2n )! = n ( n + 1)( n + 2 ) ⋅ ⋅⋅ ( 2n ) = n!n n

nn

134

 1  2   n   1 +  1 +  ⋅⋅⋅  1 +  . De  n  n   n 

1 n  k 4 ln  1 +  . Se ia f : [ 0,1] →
, f ( x ) = ln (1 + x ) şi lim ln an = ∫ ln (1 + x ) dx = ln ∑ n →∞ n k =1  n  e 0 1

aici ln an =

(

)

sau ln lim an = ln n →∞

8) Avem an =

4 4 . De aici lim an = . n →∞ e e

1 1 n 1 pentru care se ia f : [ 0,1] →
, f ( x ) = , ∑ 1+ x n k =11 + k + k n n2

n k k  k k + 1  1 2 Dn =  0, , , ...,  , ξ k +1 = + 2 ∈  ,  , k = 0, n − 1 , când n n n  n n n n  1 1 1 1 n 1 dx n − ⋅ + ∑  →∫ = ln 2 . 1 k k n n 2+ n k =11 + + 1+ x 0 n n n2 1

σ Dn ( f , ξ k ) =

Probleme propuse  1 1 3  1. Fie f : [ 0, 1] →
, f ( x ) = x 2 . Pentru diviziunea D =  0, , , , 1  şi punctele  4 2 4  1 3 5 7 intermediare ξ =  , , ,  calculaţi suma Riemann σ D ( f , ξ ) . Interpretare geometrică. 8 8 8 8  1 1 1 3  2. Fie f : [ 0, 1] →
, f ( x ) = 2 x , diviziunea D =  0, , , , , 1  şi punctele intermediare  8 4 2 4  1 3 3 5 3   ξ= , , , , .  16 16 8 8 4 

1) Să se calculeze lungimile intervalelor diviziunii D şi precizaţi D . 2) Să se determine m1 , m2 , m3 , m4 , m5 şi M1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 . 3) Să se calculeze sD ( f ) şi S D ( f ) . 4) Să se calculeze

f ( ξ1 ) , f ( ξ2 ) , f ( ξ 3 ) , f ( ξ 4 ) , f ( ξ5 ) şi apoi σ D ( f , ξ ) şi verificaţi

inegalităţile sD ( f ) ≤ σ D ( f , ξ ) ≤ S D ( f ) . 1

5) Să se calculeze

∫ f ( x ) dx . 0

3. Fie f : [ 0, 1] →
o funcţie continuă şi D ∈ D[ 0, 1] . Explicaţi de ce următoarele afirmaţii sunt false: 1

1) sD ( f ) = 5, S D ( f ) = 1 ; 2) sD ( f ) = 3, S D ( f ) = 5 şi

∫ f ( x ) dx = 1 ; 0

1

3) sD ( f ) = 2, S D ( f ) = 3 şi

∫ f ( x ) dx = 4 . 0

135

b

4. Fie f : [ a , b] →
o funcţie continuă şi I = ∫ f ( x )dx . Considerăm a

D = ( x0 , x1 , ..., xn ) ∈ D[ a , b] . 1) Să se arate că I − s D ( f ) ≤ S D ( f ) − sD ( f ) . Diferenţa I − sD ( f ) se numeşte eroare în utilizarea lui sD ( f ) în aproximarea lui I . 2) Să se arate că S D ( f ) − I ≤ S D ( f ) − s D ( f ) . Diferenţa S D ( f ) − I se numeşte eroare în utilizarea lui S D ( f ) în aproximarea lui I . 3) Dacă D ∈ D[ a , b] este o diviziune n − echidistantă, atunci arătaţi că pentru f crescătoare (sau descrescătoare) pe [ a , b] au loc inegalităţile:

I − sD ( f ) ≤ f ( b ) − f ( a ) ⋅ D , SD ( f ) − I ≤ f ( b ) − f ( a ) ⋅ D . 5*. Definiţia dată cu sume Darboux pentru integrala definită poate fi aplicată şi pentru funcţii cu un număr finit de discontinuităţi. Fie f : [ a , b] →
continuă, iar g : [ a , b] →
diferă de f

într-un

b

număr

de

b

∫ g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . a 4

∫

finit

puncte.

Atunci

g

este

 2, x ∈ [ 0, 4] − {3} g( x) =  , iar  7, x = 3

Fie

a

integrabilă

pe

[ a , b]

şi

f ( x ) = 2, ∀x ∈ [ 0, 4] . Avem

4

f ( x ) dx = 8 . Arătaţi că

0

∫ g( x) = 8 ,

demonstrând că 8 este unicul număr care satisface

0

inegalităţile sD ( f ) ≤ 8 ≤ S D ( f ) , ∀D ∈ D[ 0, 4] .  7, x ∈  6*. Fie f : [ 2, 10] →
, f ( x ) =  .  4, x ∈
− 

1) Să se arate că ∀D ∈ D[ 2, 10] , s D ( f ) ≤ 40 ≤ S D ( f ) . 10

2) De ce nu putem conchide că

∫ f ( x ) dx = 40 ? 2

7. Să se calculeze limitele şirurilor cu termenul general an : 1) an = 5) an = 7) an =

n

1

∑ k 5 ;2) an =

n6 k = 1 1

n 1

n 1 1 n 1  2k − 1  , p > 0 ;3) an = n ∑ 2 ;4) an = ∑ ;  p +1 ∑  2 2  n k =1 k n k =1  k =1 3n + k

n

∑ n

k =1

p

n

1

n −1

k ; 6) an =

∑ k r ( k + 1)

s

/ n r + s + 1 , r , s ∈ * ;

k =0

n

n

1

2 n + k ) + ( n + k ) ; 8) an = ∑ 2 ∑ ( n k =1

10) an =

1 3

n

n2 + k 2

k =1

n

∑ 3 k ; 11) an = 4 k =1

1

(

n ( n + 1)

)

p

; 9) an =

1 n  n  , p ∈ * ; ∑ n k = 1  n + k 

n

n

k =1

k =1

1 k k ( k + 1) ; 12) an = ∑ 3 ∑ n

136

2k − 1

( 2 k − 1 ) 2 + 4n 2

.

8.

Fie n

bn = ∑

şirul

k

2 k =1 n + kan

( an ) , a1 ∈ ( 0, 1) , an+1 =

1 + nan , n ≥ 1 .

Să

se

calculeze

lim bn ,

unde

n →∞

.

2.4. PROPRIETĂŢI ALE INTEGRALEI DEFINITE. INTEGRABILITATEA FUNCŢIILOR CONTINUE În acest paragraf ne ocupăm de funcţiile continue definite pe un interval [ a, b ] , a < b . Reamintim că dacă f , g : [ a, b ] →
sunt funcţii continue, atunci

1) αf + βg este o funcţie continuă, ∀α , β ∈
; f ⋅ g este continuă pe [ a, b ] ; f 2) este continuă pe [ a, b ] − { x g ( x ) = 0} ; g 3) f g este continuă pe [ a, b ] ∩ { x f ( x) > 0} ; 4) f , min ( f , g ), max ( f , g ) sunt continue. Pentru orice funcţie continuă f cele două integrale, în sensul lui Newton şi în sensul lui Riemann sunt egale. De asemenea, să reţinem că dacă f , g : [ a, b ] →
, f continuă şi g ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ [ a, b ] − A , unde A este mulţime finită, atunci şi g este integrabilă b

şi mai mult

∫ a

b

f ( x) dx = ∫ g ( x )dx . Altfel spus, modificând o funcţie continuă într-un a

număr finit de puncte (ale lui A ), funcţia obţinută este de asemenea integrabilă şi mai mult integralele definite ale celor două funcţii sunt egale. Exemplu. Fie funcţia g : [ 0, 1] →
, g ( x ) = x , x ∈ [ 0, 1] − { 0, 1} , g ( x ) = 3, x ∈ { 0, 1} . Evident g este continuă pe [ 0, 1] − { 0, 1} . Considerăm funcţia f : [ 0, 1] →
, f ( x ) = x , care 1

este o funcţie continuă pentru care

2

x ∫ f ( x )dx = 2

1 0

=

1 . Cum g diferă de f 2

0

într-un număr finit de puncte (două puncte) deducem că şi g este integrabilă şi mai mult 1

1

∫ g ( x ) dx = 2 . 0

137

În continuare prezentăm principalele proprietăţi ale integralei definite. De remarcat că aceste proprietăţi au loc şi pentru funcţiile integrabile. În acest caz în demonstraţie utilizăm operaţiile cu şiruri convergente. Noi vom utiliza funcţii continue, dar proprietăţile se verifică în acelaşi mod şi pentru funcţiile integrabile care admit primitive. P1 (Proprietatea de linearitate). Dacă f , g : [ a, b ] →
sunt două funcţii continue şi λ ∈
, atunci: b

1)

∫ a

b

b

a

a

 f ( x) + g ( x) dx = f ( x) dx + g ( x) dx ; ∫ ∫  

Integrala sumei este egală cu suma integralelor. b

2)

b

∫ λf ( x)dx = λ ∫ a

f ( x) dx .

a

Constanta multiplicativă iese în faţa integralei. Demonstraţie.* 1) Cum f , g sunt continue, ele admit primitive. Fie F , G : [ a, b ] →
primitive pentru f şi respectiv g pe [ a, b ] . În acest caz F + G este o primitivă a lui f + g pe [ a, b ] şi conform formulei Leibniz – Newton avem : b

b

∫  f ( x) + g ( x) dx = ( F + G )( x) a = F (b) + G (b) − F (a ) − G (a) = a

b

b

= F (b) − F (a ) + G (b) − G (a ) = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx .

2) Se procedează analog. ■

a

a

Observaţii. 1) Egalitatea 1) din proprietate ne spune că integrala este aditivă, în raport cu integrandul, iar egalitatea 2) spune că integrala este omogenă. Integrala este liniară dacă este aditivă şi omogenă. 2) Proprietatea se poate scrie sub forma unei singure relaţii astfel : b

∫ a

b

b

a

a

αf ( x) + βg ( x ) dx = α f ( x )dx + β g ( x) dx, α , β ∈
. ∫ ∫  

*= facultativ

138

Dacă α = 1, β = −1 , atunci egalitatea se scrie b

∫ a

b

b

a

a

 f ( x) − g ( x ) dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx (Integrala diferenţei este egală cu ∫ ∫  

diferenţa integralelor). 3) Se demonstrează inductiv după n ∈ » * că b  n b n   α f ( x ) dx = α ∫ ∑ i i  ∑ i ∫ fi ( x)dx, fi : [ a, b] → » funcţii continue. i=1 a i=1 a 4) Refaceţi demonstraţia acestei proprietăţi pentru funcţiile f , g integrabile în sensul Riemann. 2

 1 1  Exemple. 1. Să se calculeze integrala I = ∫ 3 x 2 − + 4 3 x + 2  dx .  x x + 1  1 R. Conform proprietăţii enunţate putem scrie 2

2

I = 3 ∫ x 2 dx − ∫ 1

1

2

dx + 4∫ x

2 3

x dx + ∫

1

1

2 2 2 2 = x 3 − ln x + 3 x 3 x + arctg x = 1 1 1 1 x +1 dx

2

π = 4 + 6 3 2 − ln 2 + arctg 2 − . 4 2

2. Să se arate că

∫

2

arctg xdx + ∫ arctg

1

1

π 1 d x = şi 2 x

2007

∫ 0

2007

dx

1+ 3

x

+

∫ 0

dx

1 + 3− x

= 2007 .

1 π R. Se ştie că arctg x + arctg = , ∀x > 0 . Deci membrul stâng devine x 2 2



1

2

∫ arctg x + arctg x dx = ∫ 1

1

π π 2 π dx = x = . 2 1 2 2

β β β       3. Dacă α ≠ β şi ∫  ∫ ( x + y )dy dx = ∫  ∫ ( x + y )dx dy , atunci x = y .   α α α α β

P2 (Proprietatea de aditivitate la interval). Fie f : [ a, b ] → » funcţie continuă şi c ∈ (a, b) . b

Atunci

∫ a

c

b

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx (Relaţia lui Chasles). a

c

f este integrabilă pe [ a, b ] ⇔ f este integrabilă pe [ a, c ] şi pe [c, b ] şi b

∫ a

c

b

f =∫ f +∫ f . a

c

139

Demonstraţie.* Fie F : [ a, b ] →
o primitivă a lui f pe [ a, b ] . Membrul drept al b

relaţiei este egal cu F (c) − F (a ) + F (b) − F (c) = F (b) − F (a ) = ∫ f ( x )dx . ■ a

Interpretare geometrică. Pentru o funcţie continuă, nenegativă f : [ a, b ] → [0, ∞] această teoremă este uşor de înţeles în termeni de arie. În Fig.14, c

∫

aria părţii I este egală cu

f ( x) dx , iar aria părţii II este egală cu

a

b

∫

b

f ( x) dx . Aria întregii regiuni haşurate este egală cu

c

∫

f ( x ) dx .

a

Teorema afirmă că : Fig. 14 aria ( I ) + aria ( II ) = aria (regiune haşurată). Probleme rezolvate 1  x + 1, x ∈ [−1, 0) 1. Să se calculeze ∫ f ( x ) dx , unde f ( x ) =  . 1 + sin x , x ∈ [ 0, 1] −1 R. Observăm că f este continuă pe [−1,1] − {0} . Din lim f ( x ) = lim ( x + 1) = 1 , x 0

x 0

lim f ( x ) = lim (1 + sin x) = 1 = f (0) rezultă că f este continuă şi în x = 0 . Deci, f este

x 0

x 0

continuă pe [−1,1] . Atunci 1

∫

−1

0

1

0

1

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ ( x + 1) dx + ∫ (1 + sin x )dx = −1

0

−1

0

1 + 2 − cos1 = 2

5 = − cos1 . 2 2

2. Să se calculeze

∫

x 2 − 1 dx .

−2

R. Funcţia f ( x) = x 2 −1 , x ∈ [−2, 2] este continuă şi avem :  x 2 −1, x ∈ [−2, −1] ∪ [1, 2]  f ( x) =  .  1 − x 2 , x ∈ (−1,1)  Ţinând seamă de proprietatea de aditivitate a integralei avem : 2

∫

−2

−1

1

−2

−1

2

−1

(

)

1

(

)

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ x 2 −1 + ∫ 1 − x 2 dx + 2

(

)

+∫ x 2 −1 dx = 1

1

−2

4 4 14 +2+ = . 3 3 3

140

−1

3

3. Să se determine I (a ) = ∫ 1

dx ,a∈
. x −a +1

R. Cum x ∈ [1, 3] pentru explicitarea modulului x − a , a ∈
, analizăm cazurile (după poziţia lui a faţă de valorile 1 şi 3) :

)

10 a ≤ 1 . În acest caz x − a = x − a , deoarece x ≥ 1 şi deci integrala devine 3

I (a) = ∫ 1

2

0

3 dx 4−a = ln x + 1− a = ln . 1 x − a +1 2−a

) 1 < a < 3 . În acest caz x ∈ [1, 3] ⇒ ( 1 ≤ x ≤ a

sau a ≤ x ≤ 3 ), adică

a

−x + a, dacă x ∈ [1, a ] dx dx şi deci I ( a ) = ∫ +∫ = x − a =   x − a, dacă x ∈ (a, 3] −x + a + 1 x − a +1  1 a a 3 = − ln x − a −1 + ln x − a + 1 = ln a ( 4 − a) . 1 a 3

)

30 3 ≤ a . În acest caz, din x ∈ [1, 3] rezultă x − a = −x + a şi deci

3

I (a) = ∫ 1

4−a  , a ≤1  ln 2−a  3 dx a  = − ln x − a −1 = ln . Deci, I ( a ) = ln a (4 − a ), a ∈ (1, 3) .  1 −x + a + 1 a−2  a , a ≥3  ln a − 2 

Observaţii. 1) Această proprietate se aplică şi la funcţiile care sunt continue pe porţiuni. Mai precis are loc următoarea Definiţie. Funcţia f : [ a, b ] →
se numeşte continuă pe porţiuni dacă este continuă sau dacă are doar un număr finit de puncte de discontinuitate x1 , x2 , ..., x p în care f are limite laterale finite. Graficul unei funcţii continue pe porţiuni este ilustrat în Fig.15 (a) pentru funcţie continuă, b) pentru funcţie discontinuă).

Fig. 15

141

Pe fiecare interval [ xi−1 , xi ], i = 1, p + 1, x0 = a, x p+1 = b se asociază funcţiei f , o  lim f ( x ), x = xi−1  x xi−1  funcţie fi−1 : [ xi−1 , xi ] →
definită prin fi−1 ( x) =  f ( x ), x ∈ ( xi−1 , xi ) .   lim f ( x ), x = xi  x xi Această construcţie se face dacă f este definită prin diferite forme pe intervale deschise sau semideschise. Evident fi−1 este continuă.

Se demonstrează că fi−1 este integrabilă pe [ xi−1 , xi ] şi în plus xi

∫

xi

xi−1

f ( x )dx = ∫ fi−1 ( x) dx, i = 1, p + 1 (Construiţi şirurile de sume Riemann pentru xi−1

f şi fi−1 ).

Cum f este integrabilă pe [ a, x1 ], [ x1 , x2 ], ...,  x p , b se deduce conform proprietăţii P2 că f este integrabilă pe [ a, b ] şi în plus b

∫ a

x1

x2

b

a

x1

xp

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + ... + ∫ f ( x )dx .

2) Dacă f este continuă pe [ a, b) , iar F este o primitivă a lui f pe [ a, b) , atunci are loc de asemenea formula Leibniz – Newton b b−0 F ( x) . ∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b − 0) − F (a ) , unde F (b − 0) = xlim b a

Analog, pentru f continuă pe (a, b ] , b

∫

f ( x) dx = F (b) − F (a + 0) , unde F (a + 0) = lim F ( x) . x a

a

Probleme rezolvate 1 + e x , x ∈ [−1, 0 ] 1. Fie f : [−1, 1] →
, f ( x ) =  .  x + 1, x ∈ (0 ,1]  R. Observăm că f este discontinuă în x = 0 ( ls (0) = 2 ≠ ld (0) = 1, f (0) = 2 ⇒ x = 0 punct de discontinuitate de speţa întâi). Funcţia f restricţionată la [−1, 0] este integrabilă (fiind continuă) şi 0

∫

−1

1 f ( x) dx = 2 − . Pentru a arăta că e

f

este integrabilă pe [0,1] se consideră funcţia

142

1

g : [0,1] →
, g ( x ) = x + 1 . Deoarece g este continuă avem

∫ 0

f ( x) = g ( x), ∀x ∈ (0,1] se deduce

1

1

∫

f ( x )dx = ∫ g ( x) dx =

0

0

 x2  1 3 g ( x) dx =  + x = . Cum  0 2  2

3 . 2

Prin urmare f este integrabilă pe [−1, 0] şi pe [0,1] . Deci f este integrabilă pe [−1,1] şi are loc relaţia lui Chasles 1

∫

−1

0

1

0

−1

0

−1

(

1

)

1 3 7 1 f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ 1 + e x dx + ∫ ( x + 1)dx = 2 − + = − . e 2 2 e 0

2. Să se calculeze integrala definită: 1

a) ∫ f ( x )dx , unde f ( x ) =  22 x  , x ∈ [ 0, 1] ; b)   0

2 3

∫ f ( x )dx , unde f ( x ) = x −[ x ] . 0

R. a) Se explicitează funcţia şi se obţine:   0, 0 ≤ 4 x < 1, 0 ≤ x < 1 Fie funcţiile  4   1  1 2 g1 :  0,  →
, g1 ( x) = 0, g 2 :  ,  →
, g 2 ( x) = 1, ,  1,1 ≤ 4 x < 2, 1 ≤ x < 2   4   4 4  4 4   2 3 3  f ( x) =  2 3 . g3 :  ,  →
, g 3 ( x ) = 2 , g 4 :  ,1 →
, g 4 ( x ) = 3 .  2, 2 ≤ 4 x < 3, ≤ x <  4 4   4  4 4   3 4 Aceste funcţii fiind constante sunt continue.  3, 3 ≤ 4 x < 4, ≤ x <  4 4  4, x = 1  1 1 2  2 3  3  Pe de altă parte f restricţionată la intervalele 0,  ,  ,  ,  ,  ,  ,1 coincide cu g1, g 2 , g3 şi  4   4 4   4 4   4  respectiv g 4 în toate punctele cu excepţia unui punct din fiecare interval. Deci 1 4

∫

1 4

f ( x) dx = ∫ g1 ( x) dx = 0 ,

0

0

3 4

3 4

∫ 2 4

f ( x) dx = ∫ 2 4

1

Acum

∫ 0

2 4

∫ 1 4

2 4

f ( x) dx = ∫ 1 4

3 4 1 g3 ( x) dx = 2 x = , 2 2 4

2 4 1 g 2 ( x) dx = x = , 1 4 4

1

1

∫

f ( x) dx = ∫

3 4

3 4

1 4

2 4

3 4

1

0

1 4

2 4

3 4

f ( x) dx = ∫ 0dx + ∫ dx + ∫ 2dx + ∫ 3dx =

(

b)Explicitând funcţia avem 3 < 2 3 < 4

)

143

1 3 g 4 ( x ) dx = 3 x 3 = . 4 4 1 1 3 3 + + = . 4 2 4 2

  x, x ∈ [0,1)    x − 1, x ∈ [1, 2)  f ( x) =   x − 2, x ∈ [ 2, 3) .     x − 3, x ∈ 3, 2 3    

Ca mai sus avem 2 3

∫

1

0

)

2

3

2 3

f ( x )dx = ∫ xdx + ∫ ( x −1) dx + ∫ ( x − 2)dx + 0

1

(

2

∫ ( x − 3)dx = 3

)

= 6 2− 3 .

Următoarea proprietate spune că într-o inegalitate de funcţii integrabile se poate integra. Mai precis avem : P3 (Integrarea în inegalităţi – Proprietatea de ordine). 1) (Inegalitatea fundamentală pentru integrale) Fie

f : [ a, b ] →


continuă, f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ] . b

Atunci :

∫

f ( x ) dx ≥ 0 .

a

b

Consecinţă : f ≥ 0 şi

∫

f ( x ) dx = 0 ⇒ f = 0 .

a

2) f : [ a, b ] →
, f continuă, f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ] şi [c, d ] ⊂ [ a, b ], c < d , atunci :

d

b

∫

f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx .

c

a

Proprietatea de ereditate : f integrabilă pe [ a, b ] ⇒ f integrabilă pe orice compact [c, d ] inclus în [ a, b ] . 3) (Monotonia integralei) Fie f , g : [ a, b ] →
două funcţii continue astfel încât f ( x ) ≤ g ( x ), ∀x ∈ [ a, b ] . Atunci :

b

b

∫

f ( x) dx ≤ ∫ g ( x) dx .

a

a

Consecinţă (Funcţie mărginită). Dacă f continuă şi m ≤ f ( x) ≤ M , b

∀x ∈ [ a, b ] , atunci m (b − a ) ≤ ∫ f ( x) dx ≤ M (b − a ) . a

Inegalităţile între funcţii se integrează termen cu termen.

144

Demonstraţie.* 1) Fie F o primitivă a lui f pe [ a, b ] . Din F '( x ) = f ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a, b ] deducem că F este crescătoare. Deci a < b implică F (a ) ≤ F (b) şi deci b

∫

f ( x) dx = F (b) − F (a ) ≥ 0 .

a

Consecinţă. Presupunem că există x0 ∈ [ a, b ] cu f ( x0 ) > 0 . Atunci se ştie că există o vecinătate a lui x0 , Vε = ( x0 − ε, x0 + ε), ε > 0, Vε ⊂ [ a, b ] pe care x0 −ε

b

∫

f=

a

∫

x0 +ε

f+

∫

b

f+

x0 −ε

a

f > 0 . Deci

∫

f > 0 . Prima şi a treia integrală sunt ≥ 0 , iar a doua

x0 +ε

integrală este > 0 , deoarece este o arie! Contradicţie. Observaţii. 1) Dacă f este integrabilă pe [ a, b ] şi f ≥ 0 , atunci ∀ ( Dn ) un şir de diviziuni, Dn ∈ D[a, b] cu şirul

( Dn ) → 0

n şi ∀ξ( ) sistemul de puncte intermediare

pentru Dn avem şirul de sume Riemann

b

(σ ( f , ξ )) → ∫ f ( x)dx ( n)

Dn

şi în plus

a

(

)

n σ Dn f , ξ( ) ≥ 0, ∀n . Deci

b

∫

f ( x ) dx ≥ 0 .

a

b

2) Dacă

∫

f ( x) dx ≥ 0 nu rezultă f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ] , adică reciproca lui 1) din

a

proprietate este falsă. 2

De exemplu f : [ 0, 2] →
, f ( x ) = x 2 − x , pentru care

∫

f ( x) dx =

0

f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ 0,1] ! (Fig.16) b

3) Dacă f : [ a, b ] →
este continuă şi f ≤ 0 , atunci

∫

f ( x ) dx ≤ 0 .

a

Fig. 16

Fig. 17

145

2 , dar pe [0,1] 3

4) Dacă

f ( x) =

1 x2

2

≥ 0, ∀x ≠ 0 , atunci

∫

−2

dx x2

=−

1 2 = −1 . De unde provine x −2

greşeala? 5) Interpretarea geometrică a integralei definite. Integrala definită este egală cu suma algebrică a ariilor trapezelor curbilinii delimitate de graficul funcţiei, axa Ox şi dreptele verticale x = a, x = b , unde a, b sunt limitele de integrare. Din acest motiv aria trapezului curbiliniu aşezat deasupra axei Ox se ia cu semnul plus, iar aria trapezului curbiliniu situat sub axa Ox se ia cu semnul minus. În cazul funcţiei f cu graficul din Fig.17, avem: b

∫ a

c

d

b

f ( x) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x )dx = S1 − S 2 + S3 , deoarece f ≤ 0 pe a

c

d

d

[c, d ] şi S2 = ∫ f ( x)dx , unde S1 , − S2 , S3 sunt ariile celor trei zone haşurate. c

b

De aceea pentru calculul ariei Γ f se utilizează formula aria (Γ f ) = ∫ f ( x) dx . a

În cazul particular al funcţiei continue f : [−a, a ] → [0, ∞) şi în plus funcţie pară

( f (−x) = f ( x), ∀x ∈ [−a, a ])

aria delimitată de graficul lui f , axa Ox şi dreptele a

a

−a

0

x = −a, x = a (Fig.18 a)) este egală cu aria (Γ f ) = ∫ f ( x) dx = 2 ∫ f ( x) dx (la nivel intuitiv, trapezele curbilinii I, II prin suprapunere după Oy coincid şi deci trebuie sa aibă arii egale). Dacă f este impară ( f (−x) = − f ( x ), ∀x ∈ [−a, a ]) , atunci a

0

a

−a

−a

0

aria (Γ f ) = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = −aria ( I ) + aria ( II ) Fig. 18 b).

Fig. 18

146

Cum prin rotirea lui I în jurul lui O în sens orar, acesta se suprapune peste II a

deducem aria ( I ) = aria ( II ) şi deci

∫

f ( x ) dx = 0 .

−a

a    2 f ( x) dx, f pară În concluzie, ∫ f ( x )dx =  ∫ . 0   −a    0, f impară Demonstraţia acestei egalităţi se va face la metoda substituţiei. a

π

Dacă de exemplu ni se cere să calculăm

∫ sin

2007

x dx , am constata după mai multe

−π

calcule că rezultatul este egal cu zero. Acest lucru rezultă uşor observând că funcţia integrand f ( x ) = sin 2007 x este impară, iar intervalul de integrare este simetric în zero. 2) Aplicăm proprietatea de aditivitate şi avem: b

∫ a

c

d

b

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . a

c

d

Dar primul şi ultimul termen sunt pozitivi (din 1)) şi deci

b

d

∫

f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x ) dx .

a

c

Observaţii. 1) Geometric aceasta înseamnă că trapezul curbiliniu de bază [c, d ] (zona haşurată) este inclus în trapezul curbiliniu de bază [ a, b ] (Fig. 19), ceea ce

b

b

aria = ∫ f

aria = ∫ g

a

Fig. 19

Fig. 20

a

b

∫ a

b

f

≤

∫g a

d

atrage aria primului trapez ( ∫ f ( x) dx ) este cel mult aria celui de-al doilea trapez c

147

b

( ∫ f ( x) dx ). a

2) Dacă f : [ a, b ] → [ 0, ∞) este continuă şi există x0 ∈ [ a, b ] cu f ( x0 ) > 0 , atunci b

∫

f ( x ) dx > 0 .

a

Într-adevăr, cum f este continuă în x0 şi f ( x0 ) > 0 atunci se ştie că există o vecinătate a lui x0 în care f b

vecinătate. Deci

∫ a

este strict pozitivă. Fie [α, β] inclus în această

α

β

a

α

b

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . β

Prima şi a treia integrală sunt numere pozitive. Integrala din mijloc este număr strict pozitiv (fiind aria unei regiuni din plan). b

3) Fie h = g − f ≥ 0 , funcţie continuă. Conform cu 1) rezultă

∫ h ( x ) dx ≥ 0

sau

a

b

ţinând seama de P1 avem

b

∫ g ( x ) dx − ∫ a

b

f ( x )dx ≥ 0 , adică (Fig. 20)

a

b

∫ g ( x)dx ≥ ∫ a

f ( x) dx . Pentru a obţine rezultatul din consecinţă se integrează în

a

b

inegalităţile m ≤ f ( x) ≤ M şi avem

∫ a

b

b

m dx ≤ ∫ f ( x) dx ≤ ∫ M dx sau a

a

b

m (b − a ) ≤ ∫ f ( x) dx ≤ M (b − a ) . ■ a

Observaţii. 1) Dacă f ≥ 0 , atunci rezultatul din consecinţă afirmă că aria subgraficului lui f este cuprinsă între ariile a două dreptunghiuri de aceeaşi bază

[ a, b ] şi înălţimi m şi respectiv M ca în Fig. 21.

148

b

aria haşurată = m (b − a ) ≤ aria haşurată = ∫ f ≤ aria haşurată = M (b − a ) a

Fig.21 b

2) În plus, această proprietate ne permite să aproximăm

∫

f ( x) dx în sensul că dacă

a

b

g ( x ) ≤ f ( x) ≤ h ( x), ∀x ∈ [ a, b ] , atunci

b

∫ g ( x ) dx ≤ ∫ a

a

b

f ( x ) dx ≤ ∫ h ( x)dx . Dacă a

b

integralele g şi h se pot calcula, ele sunt „margini” pentru

∫

f ( x ) dx .

a

2

Am văzut că funcţia continuă f ( x ) = e− x , x ∈ » , fiind continuă admite primitive. Dar, nu avem o primitivă exprimabilă prin funcţii elementare. Ne propunem să 1

aproximăm 1

∫ 0

− x2

∫e

2

dx . Au loc inegalităţile e− x ≤ e− x ≤ 1, ∀x ∈ [ 0,1] . De aici

0 1

1

1

0

0

0

2 2 1 e− x dx ≤ ∫ e− x dx ≤ ∫ dx sau 1 − ≤ ∫ e− x ≤ 1 . De asemenea, utilizând 2) e

1 1 putem aproxima funcţii. De exemplu, din 0 < ≤ , t ≥ 1 deducem t t x

0≤∫ 1

x

dt dt ≤∫ sau 0 ≤ ln x ≤ 2 t t 1

cleştelui”, deducem lim

x→∞

(

)

x −1 . Din această inegalitate, via „criteriul

ln x =0. x

149

Probleme rezolvate 1

1. Să se arate că: 1) ∫ 0

x3 + 1 x2 + 3

R. 1)Pentru x ∈ [0,1] avem

π3

dx > 0 ; 2)

∫

sin x sin 5 x − 5

0

3

x +1 > 0 . Deci x2 + 3

1

∫ 0

x3 + 1 x2 + 3

dx < 0 .

dx > 0 .

 π 2) Funcţia integrand pe 0,  ia valori negative (strict).  3  2. Să se demonstreze inegalităţile de mai jos, utilizând proprietatea de ordine a integralei: π2

1)

∫

π2

sin 5 xdx ≥

0

∫ 0

1

2 2 4) ≤ ∫ e− x dx ≤ 2 ; 5) e

−1

7

1

1 x−3 sin6 xdx ; 2) ≤ ∫ dx ≤ 1 ; 3) 2 2 ≤ ∫ 3 x+5

−1

4

π/ 2

∫

sin xdx <

x 2 + 4 x + 5dx ≤ 2 10 ;

π+ 2 . 4

0

 π R. 1) Pentru x ∈ 0,  avem 0 ≤ sin x ≤ 1 . De aici prin înmulţire cu sin 5 x ≥ 0 se deduce  2   π  π sin 6 x ≤ sin 5 x, ∀x ∈ 0,  . Această ultimă inegaliate integrată pe 0,  dă inegalitatea dorită.  2   2  8 x −3 2) Funcţia f : [ 4, 7 ] → », f ( x) = = 1− este strict crescătoare. Din 4 ≤ x ≤ 7 rezultă x+5 x +5 1 1 f ( 4) = ≤ f ( x) ≤ f (7) = . Se integrează pe [ 4, 7 ] această dublă inegalitate şi rezultă afirmaţia. 9 3

3) Funcţia f : [−1,1] → », f ( x) = x 2 + 4 x + 5 are

x+2

f '( x ) =

> 0, ∀x ∈ [−1,1] şi deci f este strict crescătoare. Din −1 ≤ x ≤ 1 rezultă x + 4x + 5 f (−1) ≤ f ( x ) ≤ f (1) , iar de aici prin integrare se obţine inegalitatea dorită. 2

4) Se ia

2

f : [−1,1] → », f ( x) = e−x . Realizând tabelul de variaţie pentru

1 ≤ f ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ [−1,1] , iar de aici prin integrare se deduc inegalităţile propuse. e 5) Se integrează pe [0, π / 2] ,

sin x < (1 + sin x ) / 2 . 12

1 3. Să se demonstreze inegalităţile: 1) < ∫ 2 0 1

2) ln 2 < ∫ 0

2x

1

dx 1− x

2 4 dx < 1 ; 3) ∫ e x dx ≥ ; 4) 13 3 1+ x 0

2007

∫ 0

2n

<

π , n ∈ »* ; 6

2   −sin2 x e + e−cos x dx ≥ 2007 .  

 1  1 1 1 R. 1) Se integrează pe 0,  inegalitatea dublă 1 < < , x ∈ 0,  .   2  2  1− x2n 1− x 2

150

f

găsim că

2x

2) Inegalitatea

1+ x

2

<

2x 1 + x13

< 2 x, x ∈ (0,1) se integrează pe [0,1] . 2

3) Se ştie că e x ≥ x + 1, ∀x ≠ 0 . Atunci e x ≥ x 2 + 1 . 4) e x ≥ x + 1, x ≠ 0 . n+1

4. Să se arate că: 1) lim n→∞

∫ n

R. 1) Au loc inegalităţile n +1

0<

∫ n

dx

1+ x

dorită. 2) Ţinem 1

2

≤

seama 1

1 2

n +1 de

1 + x2

0

1 1 ∫ [ nx ]dx = 2 . n→∞ n

= 0 ; 2) lim

0

1

0<

1 + x2

1

≤

1 + n2

, n ≤ x ≤ n + 1 , care prin integrare dau

. Trecând la limită după n , via „criteriul cleştelui”, se obţine afirmaţia

definiţia

părţii

1

întregi

şi

(nx −1) < [ nx ] ≤ nx

avem:

şi

deci

1

∫ (nx −1)dx ≤ ∫ [nx]dx ≤ ∫ nxdx 0

1

dx

sau

0

n n −1 ≤ ∫ [ nx ]dx ≤ . Acum, via „criteriul cleştelui”, se 2 2 0

obţine limita dorită. 1

5. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , unde I n = ∫ 0

xn x2 + 3 x + 2

dx , n ∈ » * .

Să se arate că: a) I n+1 ≤ I n , ∀n ≥ 1 ; b) I n+2 + 3 I n+1 + 2 I n = c)

1 , n ∈ »* ; n+1

1 1 1 ≤ In ≤ , n ≥ 2 ; d) lim nI n = . n→∞ 6 6(n + 1) 6(n − 1)

x n+1 xn ≤ sau prin integrare pe x 2 + 3x + 2 x 2 + 3x + 2 [0,1] obţinem I n+1 ≤ I n . Deci şirul ( I n ) este descrescător.

R. a) Din 0 ≤ x ≤ 1 rezultă x n+1 ≤ x n , iar de aici

1

b) Avem I n+2 + 3I n+1 + 2 I n = ∫ 0

(

x 2 + 3x + 2

c) Din b), ţinând seamă de a) obţinem In ≥

)dx = 1 x ndx = xn+1 1 =

x n x 2 + 3x + 2

∫ 0

n +1 0

1 . n +1

1 = I n+2 + 3I n+1 + 2 I n ≤ I n + 3I n + 2 I n = 6 I n , adică n +1

1 . Analog se obţine şi cealaltă inegalitate. 6(n + 1)

d) În c) înmulţim cu n şi aplicăm criteriul „cleştelui”. 1

6. Fie f : [ 0, 1] → [1, 2 ] o funcţie continuă cu proprietatea

∫ f ( x ) dx ≥ 1 . 0

1

1

∫ f ( x ) dx ≤ 1 . 0 R. Cum 1 ≤ f ( x) ≤ 2, x ∈ [0,1] rezultă  f ( x ) −1  f ( x) − 2 ≤ 0 , iar de aici

151

Să se arate că

 f ( x) − 1  f ( x) − 2    = f ( x) − 3 + 2 ≤ 0, x ∈ [0,1] . De aici prin integrare avem: f ( x) f ( x) 1

2∫ 0

1

dx ≤ 3 − ∫ f ( x ) dx ≤ 3 − 1 = 2 . f ( x) 0

Cum x1 + x2 + ... + xn ≤ x1 + x2 + ... + xn (modulul sumei este mai mic sau egal cu suma modulelor), o proprietate similară are loc şi pentru integrale. Mai precis P4. Dacă f : [ a, b ] →
este continuă, atunci b

b

∫

f ( x )dx ≤ ∫ f ( x ) dx .

a

a

Modulul integralei este cel mult integrala modulului. Demonstraţie.* Ştim că dacă f este continuă, atunci şi f este continuă şi în plus au loc inegalităţile − f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] . Integrând aceste inegalităţi pe

[ a, b ] şi ţinând seamă de P3 se deduce b

b

b

b

−∫ f ≤ ∫ f ≤ ∫ f sau a

a

a

∫ a

b

f ≤∫ f . ■ a

P5 (Inegalitatea mediei). Dacă f : [ a, b ] →
este continuă, iar m ≤ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [ a, b ] , atunci b

m (b − a ) ≤ ∫ f ( x) dx ≤ M (b − a ) . a

Demonstraţie.* Ştim că dacă f : [ a, b ] →
este o funcţie continuă, atunci ea este mărginită (Weierstrass). Deci există numerele m, M ∈
pentru care m ≤ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [ a, b ] . Integrând în aceste inegalităţi între a şi b rezultă inegalitatea dorită. ■

152

Observaţii. 1) Valoarea medie a funcţiei continue f : [ a, b ] →
pe intervalul b

def

1 f ( x ) dx . [ a, b ] este numărul real M ( f ) = b−a ∫ a

2) Interpretarea geometrică a inegalităţii din P5 ( f ≥ 0 ). Aria subgraficului lui f este cuprinsă între ariile M (b − a ) şi m (b − a ) ale dreptunghiurilor superior şi inferior (Fig.22) şi este egală cu aria dreptunghiului (haşurat) ale cărei dimensiuni sunt b − a şi M ( f ) . 3) Din punct de vedere fizic, viteza medie a unui mobil este valoarea medie a vitezei, adică valoarea medie a lui v este egală cu t2

1 distanţa parcursă v (t )dt = . ∫ t2 − t1 durata de timp t1

4) Din punct de vedere al calcului diferenţial, inegalitatea mediei se obţine din teorema lui Lagrange aplicată funcţiei x

Fig. 22

F ( x) = ∫ f (t ) dt

pe

intervalul

[ a, b ] .

a

F (b) − F (a ) = (b − a ) F '(c ), c ∈ (a, b) sau b

∫

f (t )dt = f (c )(b − a ), c ∈ (a, b) . Din m ≤ f (c) ≤ M se deduce

a

m (b − a ) ≤ f (c)(b − a ) ≤ M (b − a ) . Exemple. 1. Să se determine valoarea medie a funcţiei f : [ 0, π ] →
, f ( x ) = sin x . R. Valoarea medie este numărul M ( f ) =

π

1 cos x π 2 sin xdx = − = . π∫ π 0 π 0

2

x2

2. Să se demonstreze că 2 ≤ ∫ e dx ≤ 2e 4 . 0

R. Din 1 ≤ e

x2

≤ e 4 , x ∈ [ 0, 2 ] rezultă prin integrare relaţia dorită.

P6 (Formula de medie). Dacă f : [ a, b ] →
este continuă, atunci există b

ξ ∈ [ a , b ] ( ξ se citeşte: ksi) astfel încât

∫ f ( x ) dx = (b − a ) f (ξ ) . a

153

Avem:

Demonstraţie. Ca în demonstraţia proprietăţii P5, există m, M ∈
astfel încât f (α ) = m ≤ f ( x) ≤ M = f (β), α , β ∈ [ a, b ], ∀x ∈ [ a, b ] . Integrând aceste inegalităţi pe b

[ a, b ] avem m (b − a) ≤ ∫ f ( x) dx ≤ M (b − a) sau a

b

f (α ) = m ≤

1 f ( x) dx ≤ M = f (β) . Funcţia continuă f are proprietatea lui b−a ∫ a

b

Darboux pe [ a, b ] şi deci există ξ ∈ [ a, b ] astfel încât f (ξ ) =

1 f ( x ) dx . ■ b−a ∫ a

Observaţii. 1) Această formulă am stabilit-o la P5 în observaţia 4) utilizând teorema x

lui Lagrange pe [ a, b ] pentru funcţia F ( x) = ∫ f (t ) dt . a

2) Interpretare geometrică. Dacă f este o funcţie continuă şi pozitivă pe [ a, b ] , atunci există cel puţin un punct ξ ∈ [ a, b ] astfel încât subgraficul lui f să aibă aceeaşi arie cu Fig. 23

dreptunghiul de bază (b − a ) şi înălţime f (ξ ) (Fig.23)(zona haşurată). 3) O variantă a teoremei de medie este următoarea:

Teoremă. Dacă f , g : [ a, b ] →
sunt funcţii continue, g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ] , atunci există ξ ∈ [ a, b ] astfel încât b

∫ a

b

f ( x) g ( x )dx = f (ξ ) ∫ g ( x )dx . a

Demonstraţie. Din inf f ( x ) = m ≤ f ( x) ≤ M = sup f ( x) rezultă mg ( x) ≤ f ( x) g ( x ) ≤ Mg ( x ), x ∈ [ a, b ] , care integrate pe [ a, b ] dau b

b

b

b

m ∫ g ( x) dx ≤ ∫ f ( x ) g ( x) dx ≤ M ∫ g ( x) dx . Dacă a

a

a

b

lua orice ξ ∈ [ a, b ] , iar dacă

∫ g ( x)dx > 0 , atunci a

154

∫ g ( x)dx = 0 , atunci se poate a

m≤

b

1

f ( x) g ( x )dx ≤ M , (1) . Cum f are proprietatea lui Darboux pe

∫

b

∫ g ( x)dx

a

a

[ a, b ] , există ξ ∈ [ a, b] astfel încât f (ξ ) = A , unde A este numărul din mijlocul relaţiei (1) . ■ Probleme rezolvate 1. Să se determine valoarea medie a funcţiei f : [ 0, 3] →
, f ( x ) = x 2 − 2 x precizând şi punctul ξ . 3

R. Avem M ( f ) =

(

)

1 x 2 − 2 x dx = 0 . Ecuaţia 3∫

f (ξ ) = 0 , adică ξ2 − 2ξ = 0 are soluţiile

0

ξ1 = 0, ξ 2 = 2 . 1+ x

2. Să se calculeze lim

x →0

∫

ln tdt (Limita unei funcţii).

1

R. Formula de medie pentru integrale ne permite să scriem: 1+ x

∫

ln tdt = x ln ξ ,

ξ ∈ [1,1 + x ] .

unde

De

aici

1≤ ξ ≤1+ x ,

0 ≤ ln ξ ≤ ln (1 + x)

şi

1

0 ≤ x ln ξ ≤ x ln (1 + x ) , dacă x ≥ 0(0 ≥ x ln ξ ≥ x ln (1 + x ) dacă x < 0) . Trecând la limită în ultimele

inegalităţi deducem lim x ln ξ = 0 (criteriul „cleştelui”). x→ 0

n+1

3. Să se calculeze lim n4 n→∞

∫ n

xdx

1 + x5

(Limita unui şir).

R. Conform formulei de medie pentru integrale există ξ ∈ [ n, n + 1] astfel încât (ξ = ξ ( n)) : n+1

∫ n

xdx

1+ x

Dar

5

=

ξ 1 + ξ5

n

1 + ( n + 1)

5

n5

1 + ( n + 1)

5

≤

≤ n4

. ξ

1+ ξ ξ

1 + ξ5

5

≤

≤

n +1

1 + n5

, care înmulţită cu n 4 dă

n 4 (1 + n)

1 + n5

. Cum şirurile externe au limita 1, deducem (criteriul

„cleştelui”) că limita cerută este 1. 1

4. Fie f : [ 0, 1] →
continuă astfel încât 2 ∫ f ( x )dx = 1 . Să se arate că există x0 ∈ (0, 1) 0

astfel încât f ( x0 ) = x0 .

155

1

R. Se scrie relaţia din ipoteză sub forma

∫  f ( x) − x dx = 0 . Din formula de medie pentru 0 1

integrale există x0 ∈ (0,1) astfel încât 0 = ∫  f ( x) − x dx = f ( x0 ) − x0 , adică f ( x0 ) = x0 . 0

x

x →0

x

−t 2

R. a) lim ∫ e x→ 0

n→∞

0 −ξ2

dt = lim xe x→ 0

0

n+1

2

5. Să se arate că: a) lim ∫ e−t dt = 0 ; b) lim

∫ n

ln x x2 +1

dx = 0 .

= 0 , unde ξ ∈ [0, x ] ; b) lim

n→∞

n +1

∫ n

ln x x2 +1

dx = lim

ln ξ

n→∞ ξ 2

+1

, unde

ξ ∈ [ n, n + 1] . Dacă n → ∞ , atunci ξ → ∞ .

Dar lim

∞ 1 =   = lim = 0 . Deci limita cerută este egală cu zero. + 1  ∞  x→∞ 2 x 2

ln x

x→∞ x 2

Observaţie. Integralele din acest exerciţiu nu pot fi exprimate cu ajutorul funcţiilor elementare şi pentru o astfel de limită se utilitează formula de medie sau duble inegalităţi pentru integrand. P7 (Periodicitatea şi integrala). 1) Fie f :
→
o funcţie continuă de perioadă T > 0 . a+T

Atunci

∫ a

T

f (t )dt = ∫ f (t ) dt , ∀a ∈
. 0

2) Fie f :
→
o funcţie continuă astfel încât a+T

∫ a

T

f ( x) dx = ∫ f ( x )dx, ∀a ∈
. Atunci f este funcţie periodică. 0 x+T

Demonstraţie.* 1) Fie G ( x ) =

∫

f (t )dt . Atunci G ( x ) = F ( x + T ) − F ( x ) , unde F

x

este o primitivă pe
a lui f . De aici G '( x) = F '( x + T ) − F '( x ) = f ( x + T ) − f ( x) = 0, ∀x ∈
şi deci T

G ( x ) = constantă. În particular G ( x ) = G (0) = ∫ f (t ) dt . 0 a +T

2) Luăm G (a ) =

∫ a

T

f ( x )dx − ∫ f ( x) dx = 0, ∀a ∈
. Deci 0

156

G '(a ) = f (a + T ) − f (a ) = 0 , adică f (a + T ) = f (a ), ∀a ∈ » . ■ 5π 2

π +2 π 2

Exemple. 1. ∫ sin xdx = π 2

∫

π 2

2π

sin xdx = ∫ sin xdx = −cos x

2π 0

=0

unde

f ( x ) = sin x

are

0

perioada principală T = 2π . 20π

2.

∫

19 π+π

cos 2 xdx =

19π

∫

19 π

π

π 1 cos 2 xdx = ∫ cos 2 xdx = sin 2 x = 0 , 2 0

unde

f ( x ) = cos 2 x

are

0

perioada principală T = π .

Scopul următoarei proprietăţi este de a lega (de a aduce la un loc) cele două puncte de vedere asupra integrării. Primul capitol are la bază derivarea funcţiilor ( F este o primitivă a lui f pe intervalul I dacă F ' = f ) în timp ce acest capitol s-a bazat pe probleme de arii. Teorema aceasta (atribuită lui Barrow (1630-1677) – profesorul lui Newton) evidenţiază legătura dintre integrare şi derivare. În acelaşi timp, teorema demonstrează o afirmaţie pe care ne-am bazat în unele raţionamente : orice funcţie continuă pe un interval admite primitive pe acel interval. Are loc P8 (Teorema fundamentală a calcului integral). Teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continue. Dacă g : [ a, b ] → » este o funcţie x

continuă, atunci funcţia G : [ a, b ] → » , G ( x ) = ∫ g (t ) dt , x ∈ [ a, b ] are a

proprietăţile: 1) G este continuă pe [ a, b ] şi G (a ) = 0 ; 2) G este derivabilă pe [ a, b ], G (a ) = 0 şi G '( x ) = g ( x), ∀x ∈ [ a, b ] ( G este o primitivă a lui g , care se anulează în x = a ); b

3) ∫ g (t )dt = F (b) − F ( a ) , unde F este o primitivă oarecare a lui g . a

(Formula Leibniz-Newton) Legătura între DERIVARE şi INTEGRARE este dată de formula: x '    ∫ g (t ) dt  = g ( x ) .   a

157

Demonstraţie. Începem demonstraţia prin a observa că dacă g are graficul din Fig.24, atunci graficul lui G , pe acelaşi interval, are forma din Fig.25.

1) Funcţia G este continuă în x0 ∈ [ a, b ] ⇔ lim G ( x0 + h) = G ( x0 ) . Avem : G ( x0 + h) =

x0 +h

∫ a

x0 +h

+

∫

h→0 x0 +h

x0

g (t ) dt = ∫ g (t ) dt + a

∫

g (t ) dt = G ( x0 ) +

x0

g (t )dt , (1) .

x0

Deoarece g este continuă pe [ a, b ], g este mărginită şi deci există m, M ∈
astfel încât m ≤ g ( x ) ≤ M , ∀x ∈ [ a, b ] . De aici prin integrare pe [ x0 , x0 + h ] rezultă x0 +h

mh ≤

∫

g (t )dt ≤ Mh . Trecând aici la limită după h → 0 , via criteriul „cleştelui”, se

x0 x0 +h

obţine lim

h→0

∫

g (t )dt = 0, (2) . În (1) luând limită după h → 0 şi ţinând seamă de

x0

(2) se găseşte lim G ( x0 + h) = G ( x0 ) , ceea ce arată că G este continuă într-un punct h→0

arbitrar x0 ∈ [ a, b ] . Deci G este continuă pe [ a, b ] . 2) Fie x0 ∈ (a, b) şi x ∈ (a, b), x ≠ x0 . Atunci x

x0

x

a

x0

G ( x ) − G ( x0 ) = ∫ g (t )dt − ∫ g (t ) dt = ∫ g (t )dt . a

Pentru ultima integrală se aplică formula de medie şi rezultă x

∫ g (t )dt = g (ξ x )( x − x0 ) , unde ξ x ∈ [ x, x0 ] dacă x0

158

x < x0 (sau ξ x ∈ [ x0 , x ] dacă

x0 < x ). Deci G ( x ) − G ( x0 ) = g (ξ x )( x − x0 ) , iar de aici

Cu acestea G ' ( x0 ) = lim

G ( x) − G ( x0 )

x − x0 ( x → x0 ⇒ ξ x → x0 şi g este continuă). x→ x0

Dacă x0 = a , atunci Gd' (a ) = lim

x − x0

= g (ξ x ) .

= lim g (ξ x ) = g ( x0 ) x→ x0

G ( x) − G (a)

x−a G ( x) − G (b)

x a

Dacă x0 = b , atunci Gs' (b) = lim

G ( x) − G ( x0 )

= g (a) .

= g (b) . x −b Deci, am demonstrat că G este derivabilă pe [ a, b ] şi că G ' = g , ceea ce arată că G x b

este o primitivă a lui g pe [ a, b ] şi în plus G (a ) = 0 . Să observăm că 2) ⇒ 1) (orice funcţie derivabilă pe o mulţime este continuă). 3) Să remarcăm că funcţiile G şi F , o altă primitivă a lui g (pe [ a, b ] ), care nu se anulează neapărat în a , au proprietatea G ' = F ' = g , şi deci diferă printr-o constantă pe [ a, b ] , adică G ( x ) = F ( x ) + k , ∀x ∈ [ a, b ] . Punând aici x = a rezultă k = −F (a ) , b

iar pentru x = b găsim

∫ g (t )dt = F (b) − F (a) . ■ a

b

Observaţii. 1) Analog se arată că funcţia H ( x ) = ∫ g (t )dt , x ∈ [ a, b ] este derivabilă x

pe [ a, b ] şi H '( x ) = g ( x), ∀x ∈ [ a, b ], H (b) = 0 . Funcţia G se numeşte funcţia integrală a lui g de limită inferioară a , iar H este funcţia integrală a lui g de limită superioară b . 2) Funcţia G ( H ) este definită printr-o integrală definită având limita superioară (inferioară) variabilă. Această funcţie este derivabilă pe [ a, b ] . În mod normal funcţia x

G ( H ) depinzând de a (respectiv b ) ar trebui scrise Ga ( x) = ∫ g (t ) dt (şi respectiv a

b

H b ( x ) = ∫ g (t )dt ). x

3) Punctul 3) din teoremă ne arată cum se poate calcula integrala definită a unei funcţii continue g pe [ a, b ] , dacă se cunoaşte o primitivă oarecare F a lui g .

159

b

4) Dacă g ≥ 0 , atunci

∫ g (t )dt

este aria subgraficului funcţiei g .

a

x

5) Se arată că dacă g este integrabilă Riemann, atunci G ( x ) = ∫ g (t )dt este a

continuă pe [ a, b ] . Probleme rezolvate x

1. Fie funcţia F :
→
, F ( x ) = ∫ 0

 π dt . Să se calculeze F '(0) , F '(π) , F '−  .  2  t +1 sin t 2

sin t este continuă pe
şi deci admite primitive. t 2 +1 Fie G :
→
o astfel de primitivă. Atunci conform formulei Leibniz-Newton sin x F ( x ) = G ( x ) − G (0) , iar de aici F '( x ) = G '( x) = 2 . x +1  π −4 Acum găsim uşor că F '(0) = 0, F '(π) = 0, F '−  = .  2  4 + π2

R. Funcţia g :
→
, g (t ) =

2. Se consideră funcţia F :
→
, F ( x ) =

x 2 +1

∫

3 4

t + 1dt . Să se arate că F este derivabilă şi

x

să se calculeze F '( x ) şi F '(0) .

R. Fie G :
→
o primitivă a funcţiei continue g (t ) = 3 t 4 + 1 . Deci

(

)

F ( x ) = G x 2 + 1 − G ( x) şi este derivabilă fiind diferenţa a două funcţii derivabile. De aici şi derivarea funcţiilor compuse, deducem :

(

)

(

)

4

F '( x ) = 2 xG ' x 2 + 1 − G '( x ) = 2 x 3 x 2 + 1 + 1 − 3 x 4 + 1 . De aici F '(0) = −1 . x

3. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei F :
→
, F ( x ) = ∫ e t

2

(t 2 − 2)dt .

0

R. Punctele de extrem sunt puncte în care derivata se anulează şi îşi schimbă semnul de o parte şi alta a lor. Găsim F '( x ) = e x

2

( x2 − 2) = 0 dacă

x = ± 2 . Pentru x = − 2 avem punct de maxim,

iar pentru x = 2 avem punct de minim. x4

4. Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei F :
→
, F ( x ) =

∫ 0

160

dt

t +1 4

.

R. Semnul lui F ' pe intervale dă monotonia lui F . Pentru a calcula pe F ' , fie G :
→
o 1 primitivă a funcţiei continue g (t ) = 4 , t ∈
. Deci F ( x ) = G x 4 − G (0) şi t +1

( )

4 x3 =0⇒ x=0 . x +1 Dacă x > 0 , atunci F '( x) > 0 , ceea ce arată că pe (0, ∞) funcţia F este strict crescătoare, iar

( )

F '( x ) = 4 x3G ' x 4 =

16

dacă x < 0 , atunci F '( x) < 0 , adică pe (−∞, 0) funcţia F este strict descrescătoare. Punctul x = 0 este punct de minim pentru F . x

∫ sin t 5. Să se calculeze lim

2

0

x2

x →0

dt .

 0 R. Suntem în cazul de nedeterminare   . Funcţia g (t ) = sin t 2 , t ∈
fiind continuă, admite  0  primitive. Fie G :
→
o astfel de primitivă. Atunci (formula Leibniz-Newton) x

∫ sin t

2

dt = G ( x) − G (0) .

0

În calculul limitei se aplică regula lui l’Hospital de două ori şi avem: G ( x) − G (0) G '( x) sin x 2  0  2 x cos x 2 lim = lim = lim = = lim =0.    0  x→0 x→ 0 x→ 0 2 x x→0 2 x 2 x2 sin 2 x

6. Să se arate că:

∫

cos 2 x

arcsin t dt +

0

∫

arccos t dt =

0

 π π , ∀x ∈  0,  .  2  4

 π R. Dacă se notează prin G ( x ) membrul stâng, atunci G '( x) = 0, ∀x ∈  0,  , ceea ce arată că pe  2  π π  π π acest interval G este constantă. Cum G   = rezultă G ( x ) = , ∀x ∈  0,  (Am folosit  4  4 4  2  π identitatea arcsin x + arccos x = , x ∈ [0,1] ). 2 7. Fie f : [ a , b ] →
o funcţie continuă. Atunci pentru orice ε ∈ (0, b − a ) are loc egalitatea b−ε

b

a +ε

a

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx . ε→ 0 lim

R. Fie c ∈ ( a, b) şi ε ≤ min (c − a, b − c ) . Din proprietatea de aditivitate a integralei definite avem: b−ε

∫

a +ε

c

f ( x) dx =

∫

a +ε

f ( x ) dx +

b−ε

∫

f ( x) dx .

c

Utilizând observaţia 2) de la teorema precedentă şi proprietatea de aditivitate avem: b−ε b−ε c b−ε  c  lim ∫ f ( x )dx = lim  ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x) dx = ε→ 0 ε→ 0  ε→ 0  ε→ 0 a +ε a +ε c c  a +ε 

161

c

b

b

= ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx . a

c

a

x

8. Să se determine f : » → » , continuă, astfel încât

∫

f (t )dt =

x3 , x∈» . 3

0

R. Dacă F este o primitivă a lui f , atunci egalitatea dată se rescrie x3 , x ∈ » . Se derivează această egalitate şi se obţine f ( x) = x 2 , x ∈ » . 3 9. Demonstraţi teorema de medie pentru integrala definită utilizând funcţia F ( x ) − F ( 0) = x

F ( x ) = ∫ f ( t ) dt , x ∈ [ a , b ] . a

R. Funcţiei F i se aplică teorema lui Lagrange ( F verifică cerinţele din enunţul teoremei) pe [ a, b] . Deci există c ∈ (a, b) astfel încât F (b) − F (a ) = (b − a ) F '(c ) sau b

∫

f (t )dt = (b − a) f (c ) .

a

10. Fie f : [ a , b ] → » o funcţie continuă. Să se arate că există c ∈ [ a , b ] astfel încât c

b

∫

f ( t ) dt = ∫ f ( t )dt .

a

c

R. Concluzia problemei poate fi reformulată astfel: x

Să se arate că ecuaţia

∫ a

b

f (t )dt − ∫ f (t ) dt = 0 are cel puţin o soluţie în [ a, b ] . x

Această rescriere ne sugerează să considerăm funcţia continuă

b 2  G : [ a, b ] → », G ( x ) = ∫ f (t )dt − ∫ f (t ) dt pentru care G ( a )G (b) = − ∫ f (t )dt  ≤ 0 .  a  a x Cum G are proprietatea lui Darboux, deducem existenţa unui punct c ∈ [ a, b ] pentru care G (c) = 0 , adică relaţia dorită. x

b

Observaţie. Dacă f ≥ 0 , atunci concluzia problemei afirmă că există un punct c între a şi b astfel încât ariile figurilor I şi II delimitate de graficul lui f , axa Ox şi dreptele x = a , x = c şi respectiv x = c , x = b sunt egale (Fig. 26). x

11. Ecuaţia

2 ∫ f (t )dt = x − 3, f : [1, 2] → (−∞, 1) 1

continuă, are

Fig. 26

soluţie în (1, 2) . x

R.Funcţia continuă H ( x ) = ∫ f (t )dt − x 2 + 3 are H (1) > 0, H (2) < 0 ⇒ ∃c ∈ (1,2), H (c ) = 0 . 1

162

Probleme propuse 1

∫

1. 1) Dacă

2

5

f ( x )dx = 3, ∫ f ( x ) dx = 1, ∫ f ( x )dx = 4 , atunci determinaţi fiecare din

0

0

2

integralele: 5

2

5

1

3

a) ∫ f ( x )dx ; b) ∫ f ( x )dx ; c) ∫ f ( x )dx ; d) ∫ f ( x )dx ; e) 0

1

1

3

2) Se ştie că

3

5

∫ f ( x )dx . 1

6

∫ g ( x )dx = 3, ∫ g ( x )dx = 5, ∫ g ( x)dx = 4 . Să se determine integralele: 1

6

2

1

2

2

3

a) ∫ g ( x ) dx ; b) ∫ g ( x ) dx ; c) ∫ g ( x ) dx ; d) ∫ g ( x ) dx . 3

3

1

3 b

2. Arătaţi că următoarele funcţii sunt continue pe porţiuni şi determinaţi

∫ f ( x ) dx , a

fiecare din cazurile:   x  x 2 + 1, x ∈ [−2, 1] e − 1, x ∈ [−1, 0) ; I. 1) f ( x ) =  ; 2) f x = ( )  2  2 x 2 , x ∈ (1, 2]  x − x , x ∈ [ 0, 2]      x + 3 x , x ∈ [ 0, 1)  1     , x ∈ [−1, 0 ]  2 3) f ( x ) =  3 ; 4) f ( x ) =  x + 1 ; 1    2 − , x ∈ [1, 2 ] ln ( x + 1) + 1, x ∈ (0, 1] x    x

(

)

5) f : [−2, 2 ] → » , f ( x ) = min x 2 − 1, x + 1 ;

(

)

6) f : [ 0, 3 ] → » , f ( x ) = max x 2 − x + 4, 5 x − 1 ; 7) f : [ 0, 2 ] → » , f ( x ) = x x − 1 ; 8) f : [−1, 2 ] → » , f ( x ) = x + x − 1 .

 x 2 + 1, x ∈ [−1, 0)  x , x ∈ [−1, 0 ] II. 1) f ( x ) =  ; 2) f ( x ) =  ; 2 x + 1, x ∈ (0, 2 ]  2 − 3 x , x ∈ [ 0, 1]   2  1  x  9 − x 2 , x ∈ [−2, 0]   x + 1 , x ∈ [ 0, 1)  x + e , x ∈ [1, 2)    3) f ( x ) =  ;4) f ( x ) =  ;5) f ( x ) =   π .    1 3 x tg x , x ∈ 0,     3 , 2, 3 , 1, 2 + x ∈ x ∈ [ ] [ ]    2   4  2   x   x +1  [ x ], x ∈ [ 2, 4 ]  x [ x ], x ∈ ( 2, 4 ]  [ 2 x ], x ∈ [ 0, 2 ] III. 1) f ( x ) =  2  ; 2) f ( x ) =   2  ; 3) f ( x ) =  .  x  , x ∈ [ 0, 2)  x  x  , x ∈ [1, 2 ]  x [ 2 x ], x ∈ ( 2, 3 ]         IV. 1) f ( x ) = lim

n→∞

3) f ( x ) = lim

n→∞

xn + x3 xn + x2 + 1

1 + xe nx 1 + e nx

, x ∈ [ 0, 2] ; 2) f ( x ) = lim

n→∞

, x ∈ [−1, 1] ; 4) f ( x ) = lim

n→∞

163

x n+ 2 + x n x n + 2n

x + x 2e nx 1 + e nx

, x ∈ [ 0, 4 ] ;

, x ∈ [−1, 1] .

în

n

3. 1) Să se calculeze: a) ∫ 1

n

dx xdx , n ∈ * , n ≥ 2 ; b) lim n ∫ . 2 3 n→∞ x +[ x] 1 n +[ x ] n3

2) Să se determine f ∈  [ x ] polinom cu proprietatea

∫  1

3

x  dx = f (n), ∀n ∈ * . 

4. 1) Să se determine I (a ) , a ∈
în cazurile: 1

)

2

)

0

)

0 2

2) Să se calculeze lim

a →∞

∫ 1

1

dx ; 30 I (a ) = ∫ x ( x − a ) dx . x −a +1

10 I (a ) = ∫ x − a dx ; 20 I (a ) = ∫

0

dx . x −a +1

5. Să se calculeze ( [ x ] = partea întreagă a lui x ∈
, { x} = partea fracţionară a lui x ): n

1 dx 1 1) lim ; 2) lim 2 ∫ n→∞ 3n + 1 n→∞ n 1 + { x} 0

n

n

0

1

dx

1

n2

∫ [ x ]dx ; 3) nlim ∫ [ x ]2 + [ x ] ; 4) nlim ∫  →∞ →∞ n 3 1

x  dx . 

6. 1) Arătaţi că dacă f : [ 0, 1] →
este o funcţie integrabilă, atunci: 1 n ∑ n→∞ n i =1 lim

1

i f   = ∫ f ( x )dx .  n  0

2) Utilizând 1) calculaţi limitele şirurilor cu termenul general: n n n 1 n 1 n n k n2 a) an = ∑ ; b) an = ∑ ; c) a = ; d) a = ∑ ∑ a , a > 0, a ≠ 1 ; n n 3 2 2 n k =1 k =1 n + k k =1 n + k k =1 ( n + k ) n n 1 n n k n−k 1 1 a b , a , b > 0, a ≠ b ; f) an = ∑ ; g) an = ∑ . ∑ 2 2 2 n k =1 k =1 n + k k =1 n + kn

e) an =

7.* 1) Fie f : [ 0, 1] →
continuă. Să se arate că

1

lim

n→∞ n 2

∑

1≤i < j ≤n

1 2  i   j  1       f   f   =  ∫ f ( x ) dx  .  n   n  2     0

2) Să se calculeze limitele:

  i   j         ∑ sin  n sin  n   1 k j  1≤i< j≤n  a) lim 2 ∑ cos cos ; b) lim   . n→∞  n→∞ n n n     i   j   1≤k < j≤n   ∑ cos  n cos  n   1≤i< j≤n  8. Să se demonstreze inegalităţile: π2

I. 1)

∫ 0

π2

cos 3 xdx >

∫ 0

2

(

2

)

2

cos4 xdx ; 2) ∫ x 2 − x dx ≤ 2 ∫ ( x + 5)dx ; 3) ∫ x + 1 ≤ −1

−1

164

−2

2

2

1

1

2

−2

−2

0

0

1

6) sin x ≤ x , ∀x ≥ 0 şi apoi

2

dx

2

≤ ∫ 2 x − 1 dx + ∫ 2 − x dx ; 4) ∫ e− x sin xdx > ∫ e− x sin xdx ; 5) ∫

1+ x

1

2

∫

(

xdx 1+ x

;

2

)

1  3) ∫ x arctg xdx > ∫ ln 1 + x 2 dx ; 4) ∫ ln 1 + 1 + x 2 dx < ∫  + ln x  dx .  x  1

(

)

1

1

1+ x

IV. 1) ∫ e x dx ≤ ∫ (1 + x ) 0 e− x

3) ∫ (e + x )

a

1 2

e+ x

dx > ∫ ( e − x )

1 2

2

dx ; 2) ∫ (a + x ) dx < ∫ a a + x dx , a ≥ e ;

0

2

1

2

1 2

1 10

10

dx ; 4) ∫ x

x +1

dx > ∫ ( x + 1)

9

x

dx ;

9

 x + 1 x+1  dx ≤ x x dx ; 6) e x dx < (1 + x )1+ x dx . 5) ∫  ∫ ∫ ∫  2  1

1

1

2

2

1 1

1

2 2 2 π 4 e+4 V. 1) < ∫ e− x dx < ; 2) < ∫ e x dx < ; 3 4 3 3 0

3) 2

(

0 1

)

2 −1 < ∫ 0

x +1

π

4

x +1 2

dx <

− 24 + 5π ; 4) 1 − e 2 < 40

π2

∫e

−sin x

dx <

π 1 − e−1 . 2

(

)

0 2n

9. a) Fie şirurile (an ) , (bn ) definite prin an = ∫ n

t +1 t2 + 2

n+1

dt , bn =

∫ n

t +1 t3 + 2

dt . Să se arate că

şirurile sunt convergente şi să se calculeze limitele lor. 1n

b) Fie an =

∫

1 ( n+1)

1n

arctg (nx )dx , bn =

∫

an . n→∞ bn

arcsin ( nx ) dx . Să se calculeze lim

1 ( n+1)

10. Să se studieze convergenţa următoarelor şiruri (şi calculaţi limita indicată), având termenul general:

165

π2

1) I n =

∫

π2

sin n xdx ; 2) I n =

0

1

∫

cos n xdx ; 3) I n = ∫

0

0 1

1

lim I n ; 5) I n = ∫ (1 − x ) e x dx , lim I n ; 6) I n = ∫

xn 1+ x e nx

n

n→∞

n→∞

0

0

1

dx , 2

lim I n ; 4) I n = ∫

n→∞

0

dx

1 + xn

,

dx , lim I n .

1+ ex

n→∞

11. a) Fie f : [ 0, 1] → [ a , b ], a > 0 , f continuă. Să se arate că: 1

1

1

1

1) ∫ f 2 ( x )dx − (a + b) ∫ f ( x )dx + ab ≤ 0 ; 2) ∫ f ( x )dx + ab ∫ 0

0

0

0

1 dx ≤ a + b . f ( x)

b) Fie f , g : [ a , b ] →
funcţii continue. Să se arate că: b b b    1) ∫ min ( f ( x ), g ( x ))dx ≤ min  ∫ f ( x ) dx , ∫ g ( x )dx  .   a  a a b b b    2) ∫ max ( f ( x ) , g ( x ))dx ≥ max  ∫ f ( x ) dx , ∫ g ( x )dx  .   a  a a

c) Fie f : [ a , b ] →
, continuă, crescătoare. Arătaţi că b

(b − a ) f (a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ f (b)(b − a ) . a

d) Fie f : [ a , b ] → (0, ∞) , continuă, m = inf f , M = sup f . Atunci  b  b    1  M m 2 2 (b − a ) ≤  ∫ f   ∫  ≤ (b − a ) . M f m  a     a  e) Fie f : [ 0, ∞) →
, continuă. Să se arate că f este crescătoare dacă şi numai dacă b

∫ f ( x ) dx ≤ b f ( b ) − a f ( a ) , ∀ 0 ≤ a ≤ b . a b

f) Fie f : [ a , b ] →
continuă. Comparaţi f (b)(b − a ) cu

∫ f ( x ) dx

în cazurile:

a

1) f constantă pe [ a , b ] ; 2) f crescătoare pe [ a , b ] ; 3) f descrescătoare pe [ a , b ] . g) Fie f , g : [ a , b ] →
, funcţii continue. Care din afirmaţiile de mai jos este adevărată: 1) M ( f + g ) = M ( f ) + M ( g ) ; 2) M (αf ) = αM ( f ), α ∈
; 3) M ( fg ) = M ( f ) ⋅ M ( g ) , unde b

M( f )=

1 f ( x ) dx (media lui f pe [ a , b ] ). b−a ∫ a

b

h) Fie f : I →
( I interval), continuă. Atunci f = 0 ⇔ ∫ f ( x )dx = 0, ∀a , b ∈ I , a < b . a

166

Formula de medie 1. Să se determine valoarea medie pentru următoarele funcţii, determinând şi punctul ξ corespunzător: 1 ; 3) f : [1, e ] → » , f ( x ) = ln x; 1) f : [ 0,1] → » , f ( x ) = x 2 ; 2) f : [ −1,1] → » , f ( x ) = 1 + x2  n + 2 x dx   n+1 x 7   = 2; 2) lim  n3 ∫ 2. Să se arate că: a) 1) lim  n3 ∫ dx  = 1 ; 5 10  n→∞  n→∞  n 1+ x  n 1+ x    x

3

2x

b) lim ∫ e − t dt = 0; lim x →0

0

∫ x →0

sin t

t2 x>0 x

= ln 2 . b

3. Fie f , g : [ a , b] → » funcţii continue astfel încât

b

∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx . Să se arate că există a

a

c ∈ [ a , b ] astfel încât f ( c ) = g ( c ) . 1

4. a)Fie f : [ 0,1] → » continuă şi 2∫ f ( x ) dx = 1 . Să se arate că există x0 ∈ [ 0,1] astfel încât 0

f ( x0 ) = x0 . 1

b)Fie f : [ 0,1] → » continuă cu proprietatea 3∫ f ( x ) dx = 1 . Să se arate că ecuaţia 0

f ( x ) − x 2 = 0 are cel puţin o soluţie în [ 0,1] . 1

5. Se consideră funcţia continuă f : [ 0,1] → [ 0, ∞ ) cu proprietatea

π

∫ sin f ( x ) dx = 4 . Să se 0

2

arate că există c ∈ [ 0,1] astfel încât c sin f ( c ) + sin f ( c ) − 1 = 0 . b

6. Fie f : [ a , b ] → » o funcţie continuă astfel încât f ( a ) > 0 şi

∫ f ( t ) dt < 0 . Să se arate că a

ecuaţia f ( x ) = 0 are soluţie în intervalul ( a , b ) . 7. Dacă f : » → » , f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n , ai ∈ » , i = 0, n, atunci există c ∈ [ 0,1]

a a a astfel încât a0 + 1 + 2 + ... + n = f ( c ) . 2 3 n+1

Teorema fundamentală 1. a) Să se arate că: b

1)

b

b

2 2 2 2 2 d d d e − x = − e − a ; 2) ∫ e − x dx = e − b ; 3) ∫ e − x dx = 0 . ∫ da a db a dx a

167

x

b) Determinaţi: 1)o funcţie f pentru care

∫ f ( t ) dt = x

3

− x 2 ; 2) a ∈ » şi f : » → »

0

x

continuă astfel încât

2 ∫ f (t )dt = 2 x − 8 . a

2. Se dă F : » → » şi calculaţi F '( −1) , F ' ( 0 ) , F ' ( 1) , F '' ( x ) în cazurile: x

t2 + 1

0

x

0

dt

1) F ( x ) = ∫

; 2) F ( x ) = ∫ 1 + t 2 dt ; 3) F ( x ) = ∫ sin ( πt ) dt . x

1

3. Fie F : D → » . Calculaţi pentru fiecare funcţie elementele indicate. x +1

1) F ( x ) =

∫ x

π dt , x ∈ » , F ' ( 0 ) , F '( π ) , F ''   ; 2) F ( x ) = 2 1 + sin t 2 t

x3 − 4

∫

2x x

x

x 1+ x

dt , F ' ( 2 ) .

4. Fie f : [ a , b ] → » continuă şi funcţiile F ( x ) = ∫ f ( t ) dt , G ( x ) = ∫ f ( t ) dt , c , d ∈ [ a , b ] . c

d

1) Arătaţi că F şi G diferă printr-o constantă. d

2) F ( x ) − G ( x ) = ∫ f ( t ) dt . c

5. Să se calculeze derivatele următoarelor funcţii: x

1) F : [ 0, ∞ ) → » , F ( x ) =

t2

∫ 1+ t

cos x

∫

dt ; 2) F : » → » , F ( x ) = 4

0

1 x2

1

3) F : » → » , F ( x ) =

∫ ( t − sin

x2 x3

5) F : » → » , F ( x ) =

∫ x2

2

)

t dt ; 4) F : » → » , F ( x ) =

3 ∫ ( 1 − t ) dt ; x

2x

dt 1+ t

1 − t 2 dt ;

4

; 6) F : » → » , F ( x ) =

∫t

1 + t 2 dt .

tgx

6. Să se calculeze F '' ( x ) în cazurile: x3

x

∫

1) F ( x ) = ∫ arctg 2 t dt ; 2) F ( x ) =

x

x2

1

2

t 2 1 + tdt ; 3) F ( x ) = ∫ ( x − t ) sin t dt . 0

7. Să se determine valorile extreme ale funcţiei F : D → » , în cazurile: x

1) F ( x ) = ∫

2x

t −1

0 1+ t

dt ; 2) F ( x ) = 2

∫

et

3

cos x

( 3t + 1) dt ; 3) F ( x ) = ∫

1 + t 2 dt .

sin x

1

8. Să se studieze intervalele de monotonie ale funcţiei F : D → » , în cazurile: x2

2x

1) F ( x ) =

∫ (t

2

)

− 3t dt ; 2) F ( x ) =

x

x

9. 1) Arătaţi că

∫ 0

x 1 + x3

2x

dx ; 3) F ( x ) =

∫ (t 1

sin t

∫ 1 + t dt ≥ 0, ∀x ∈ [ 0, 2π ] . 0

168

2

−1

)

1 + t 2 dt .

2

2) Să se arate că funcţia F : » → » , F ( x ) = ∫

cos ( xt ) t

1

 π dt este strict descrescătoare pe  0,  .  4

x

 π 10. Să se arate că F :  0,  → » , F ( x ) = ∫  cos ( sin t ) − sin ( cos t )  dt este strict crescătoare.  2 0 x2 − 2 x

11. 1) Să se studieze derivabilitatea funcţiei F : » → » , F ( x ) =

∫

1 + tdt .

0 x

2) Presupunem că f este o funcţie continuă şi că

2x ∫ f ( t ) dt = 4 + x 2 . Calculaţi f ( 0 ) şi 0

determinaţi zerourile lui f . x

3) Dacă f este continuă şi

∫ t f ( t ) dt = sin x − x cos x , atunci calculaţi 0

π f   şi f ' ( x ) . 2

12. Să se demonstreze egalităţile: 1

1) ∫

dt

2 x1+ t

1 x

=∫

dt

2 1 1+ t

tg x

; 2)

∫ 1 e

ctg x

t dt 1 + t2

+

∫ 1 e

dt t 1 + t2

(

)

 π = 1, x ∈  0,  .  2

13. Să se arate că:  1 x t + 10   1 x t 2 ( t + 9)  1x  1) lim  ∫ dt  = 10 ; 2) lim  3 ∫ dt  = 3 ; 3) lim  ∫ cos u2du  = 1 ;    x→0  x x→0  x x→0  x t +1 0  0 t +1     0  x

∫ ln (1 + t ) dt 1 1 1x   1 x 1+ t  1 2 u du  = e ;  + u lim 1 sin 2 4) lim  2 ∫ t dt  = ; 5) lim 0 ; 6) = ( ) ∫ 2     x→0 x→0 x x→0 x 2 2 sin x 0    0   1 x dt 7) lim  ∫ x →∞  ln x 3 1 + t 3 0 

−x

x e  ln t 1 xdt  = 1 ; 8) lim ∫ = lim dt ; 9) ∫ 1+ t2 = 0 .  x →1 ( x − 1) 2 x →∞ 2 1 0  x+h

14*. Dacă f : » → » este continuă cu

∫ f ( t ) dt

≤ h2 , ∀x , h ∈ » atunci f ( x ) = 0, ∀x ∈ » .

x c

1

15*. Dacă f : [ 0, 1] → » continuă şi

∫ f ( x ) dx = 0

atunci ∃c ∈ ( 0, 1) cu

0

∫ f ( x ) dx = f ( c ) . 0

x

16*. Fie f : » → » continuă şi F : » → » , F ( x ) = ∫ f ( t ) dt , F ( 1) = 1 . Să se arate că există 0

a1 , a2 ∈ » astfel încât f ( a1 ) f ( a2 ) = 1 . x

17*. Arătaţi că funcţia g ( x ) =

∫ 2007

x +1

f ( t ) dt −

∫ f ( t − 1) dt , f

2007

pe » .

169

continuă pe » , este constantă

2.5. METODE DE CALCUL ALE INTEGRALELOR DEFINITE În aplicaţiile calculului integral este necesar să găsim primitive (când astfel de primitive există şi sunt exprimabile în termeni de funcţii simple) pentru a calcula integrala definită a unei funcţii (în sensul lui Newton) prin formula cunoscută b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a ) , unde F : [ a, b ] →
este o primitivă a lui f : [ a, b ] →
. a

Astfel de calcule vom face atunci când determinăm ariile unor suprafeţe plane mărginite, volumele unor corpuri obţinute prin rotaţia unor suprafeţe plane în jurul unei drepte, etc. Metodele pentru calculul integralei nedefinite rămân, în general, valabile şi în calculul integralei definite. Tehnicile pe care le prezentăm în continuare sunt următoarele: 1) Metoda integrării directe. 2) Metoda integrării prin părţi. 3) Metoda substituţiei (sau schimbării de variabilă). Le analizăm în continuare. 1. Metoda integrării directe Are la bază tabelul de integrale nedefinite din capitolul precedent (pentru a determina o primitivă F a lui f) şi proprietatea de liniaritate a integralei definite b  b   αf + βg = α b f + βb g  şi evident formula Leibniz-Newton  f = F (b) − F (a ) . ( ) ∫ ∫ ∫ ∫     a  a  a a  Exerciţii rezolvate 1. Să se calculeze următoarele integrale definite: 2

1)

∫ 1

3

x 2dx ; 2)

∫ 1

dt ; 3) t

R. 1) Avem F ( x) = 3

2)

∫ 1

1

3)

1

1

∫ (2 x + 3 x )dx ; 4) ∫

2 −1 u − 4

0

1

; 5) ∫ sin x dx ; 6) 0

3

x o primitivă a funcţiei f ( x) = x 2 , x ∈ [1,2 ] . Deci 3

1

1

0

0

x2 xdx = 2 2

1

+3 0

2x x 3

∫x 1

170

1

=1+ 2 = 3 . 0

t

∫ e dt . 0

2

3 dt = ln t = ln 3 − ln1 = ln 3 . 1 t

∫ (2 x + 3 x )dx = 2∫ xdx + 3∫ 0

du

π 2

2dx = F (2) − F (1) = 7 .

3

1

4)

du

∫ 2 −1 u − 4

1

=

1 u−2 1 1 ln = ln . 4 u + 2 −1 4 9

π 2

5)

π   π 2 = −cos sin xdx = − cos x − cos 0 = 1 .  ∫ 0   2 0

1

6)

t

∫ e dt = e 0

t

1

= e −1 .

0 1

n

∫ ( x + 1)

2. Calculând în două moduri

dx să se stabilească egalitatea:

0

(

)

1 1 1 1 1 + C n1 + Cn2 + ... + C nn = 2n+1 − 1 . 2 3 n+1 n+1 1

R. Cu formula Leibnitz-Newton avem:

n

∫ ( x + 1) dx = 0

1

lui Newton se obţine

n

∫ ( x + 1)

1

(

)

1 2n+1 − 1 , iar cu binomul n +1

=

n +1 0

n 1

n

1 Cnk . k + 1 k =0

∑ ∫ Cnk x k dx = ∑

dx =

k =0 0

0

n+1

( x + 1)

Probleme propuse 1. Să se calculeze următoarele integrale definite: 1

1)

1

∫x

3

dx ; 2)

0 3

1

∫ (2 x − 3)dx ;

3)

0

∫

3

3 x dx ; 4)

−1

0

1

∫ x ( x + 1)dx ;

∫ x ( x + 1)dx ;

e2

2

5)

−2

6)

e

0

4

1 4 8 4  dt 1  dx dx 2 7) ∫ ; 8) ∫ 3 x +  dx ; 9) ∫ x xdx ; 10) ∫ ; 11) ∫ ; 12) ∫  x − + 3  2 2  3x   x x  x 1 t 1 0 1 1 1 1

13)

1

∫3

x

dx ; 14)

0

π 6

19)

∫

2 0 u +3

; 15)

∫ ctg x dx ; 20) ∫ e  1

∫

−1

dx

3

3x

0

dx ; 21)

∫ tg 0

∫

; 16)

x2 + 1

2

π 4

1

π 12 1

25)

1

du

dt

π 3

; 17)

t 2 −1

π 4 2

x dx ; 22)

∫ ctg π 6

2 x dx ; 23)

∫

 x  dx ; 

π 4

∫ sin 2x dx ; 18) ∫ cos 3 x dx ; 0

π 6 π

∫ sin 0

π 2

2

x dx ; 24)

∫ −

cos 2 x dx ;

π 2

1 

∫  x + 1 − x + 2 dx . 0

1 2. Definiţi o funcţie F : 1,8  →
astfel încât F '( x ) = şi (pe rând): 1) F(2) = 0; 2) F(2) = 3. x

171

dx ; x

3. Definiţi o funcţie F : 0,4 → » astfel încât F '( x ) = 1 + x 2 şi (pe rând): 1) F(3) = 0; 2) F(3) = 1. 4. Să se calculeze: 4

1)

4

∫ (x-2)dx

şi

1

2

∫

x − 2 dx ; 2)

2

2 ∫ ( x − 1)dx

şi

−2

1

2

x 2 − 1 dx ; 3)

∫

−2

4

x 3 − x dx ; 4)

∫

−2

∫

f ( x )dx ,

0

 x 1 3  2 x + 1, x ∈  0,1 x ∈ −1,0  2 , ; 5) ∫ f ( x )dx , unde f ( x ) =  ; 6) ∫ f ( x )dx , unde f ( x ) =  4 − x , x ∈ (1,4       −1 −1  x + 1, x ∈ (0,1  3   , x ∈  0,1  x 3 + x , x ∈ −1,1  2 2      x +1 unde f ( x ) =  1 ; 7) ∫ f ( x )dx , unde f ( x ) =  ; 1   + 1 , x ∈ (1, 3   , x ∈ (1, 2   0  x x 2   2    1+ x 2

8)

∫ max ( x , x

2

)

, x 3 dx ; 9)

0

2

∫ min( x , x

2

)

, x 3 dx ; 10)

0

2π

∫

sin x − cos x dx .

0

2π

∫ max (sin x , arcsin(sin x ))dx .

5. Să se calculeze:

0 1

xn

6. Fie I n = ∫

2 0 x + 6 x + 10

dx , n ≥ 1 .

1) Să se arate că I n+2 + 6 I n+1 + 10 I n =

1 . n +1

2) Arătaţi că I n+1 ≤ I n ,( ∀ )n ∈ » şi deduceţi că 17 I n+2 ≤

1 1 ≤ 17 I n , (∀)n ∈ », lim nI n = . 17 n +1 n→∞

7. Un obiect pleacă din origine şi se mişcă de-a lungul axei Ox cu viteza v (t ) = 10t − t 2 , 0 ≤ t ≤ 10 . 1) Care este poziţia obiectului la momentul t, 0 ≤ t ≤ 10 ? 2) Când viteza obiectului este maximă, care este poziţia lui în acel moment? 8. Să se determine numărul real a pentru care (pe rând): 1)

4)

a

a

0 1

0

a+1

a

3 2 ∫ ( x + 1)dx = ∫ 2 ( x + 1) dx ; 2) ∫ (2 − 4 x + 3 x )dx ≤ a , a > 0 ; 3) ∫

∫

−1

3

a

0 1

x − a dx este maximă, a ∈ −2,2  ; 5)

( x3 + 4)dx = 314 ;

∫

1− t 4

2

2

0 t + at + 1

=

π , a>2. 8

9. Să se calculeze limita şirului ( I n ) , unde: n

1) I n =

2

n

n

x−n 1 ( x − 1) dx dx dx ; 2) I n = ∫ dx ; 4) I n = ∫ ; 3) I n = ∫ ; ∫ 2 2 n x +1 x+n 1 x + x +1 1 0 1 x ( x + 1) n

172

n

5) I n = ∫

4 x dx

(

2 0 ( x + 1) x + 3

n

8) I n =

∫

n+1

)

( x + 4)dx

2 n−1 x + 3 x + 2

; 6) I n =

şi lim

n→∞

∫

x +1 2

n x +2

(n +

2

dx ; 7) I n =

∫

x−2 +n

−1

2− x − n

dx ;

)

n + 3 In .

2. Metoda integrării prin părţi O altă metodă pentru calculul integralelor definite o constituie metoda integrării prin părţi, similară metodei integrării prin părţi de la integrala nedefinită, fiind o consecinţă a derivării unui produs de funcţii. Mai precis are loc următoarea: Teoremă (formula de integrare prin părţi). Dacă u, v : [ a, b ] →
sunt două funcţii derivabile, cu derivate continue, atunci b

b

b

∫ u ( x)v '( x) dx = u ( x) ⋅ v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx . a

(1)

a

(1) se numeşte formula de integrare prin părţi pentru integrala definită. b

b

b

Forma diferenţială a lui (1) este ∫ udv = uv a − ∫ vdu a

a

Demonstraţie. Deoarece uv ', vu ' sunt funcţii continue, ele sunt integrabile şi deci are sens scrierea din (1). Din (u ⋅ v )'( x) = u '( x) v ( x ) + u ( x) v '( x), x ∈ [ a, b ] rezultă că funcţia u ⋅ v este o primitivă a funcţiei u ' v + uv ' . Conform formulei Leibniz-Newton avem: b

b

∫ (u ⋅ v) '( x) dx = (u ⋅ v)( x ) a = (uv)(b) − (uv )(a ) .

(*)

a

Pe de altă parte, utilizând linearitatea integralei definite, avem: b

b

a

a

b

b

∫ (u ⋅ v) '( x) dx = ∫ u '( x) v ( x ) + u ( x) v '( x) dx = ∫ u '( x )v ( x) dx + ∫ u ( x) v '( x) dx . (**) Din (*) şi (**) rezultă

a

b

a

b

b

a

a

(uv)( x ) a = ∫ u '( x )v ( x) dx + ∫ u ( x) v '( x) dx sau

173

b

b

b

∫ u ( x )v '( x ) dx = (uv)( x) a − ∫ u '( x) v ( x ) dx . ■ a

a

Observaţii. 0) Faptul că integrarea prin părţi este operaţia inversă a derivării produsului poate fi redat schematic ca mai jos. f '( x) = (u ')( x )v ( x) + u ( x ) v '( x)

f ( x) = u ( x) v ( x )

b

b

b

a

a

a

(Derivare)

∫ f '( x)dx = ∫ u '( x )v ( x) dx + ∫ u ( x) v '( x) dx (Integrare)  b

f ( x) a 

u ( x )v ( x)

b a

1) Cele două părţi ale integrandului sunt u ( x ) şi v '( x ) sau în scriere diferenţială u şi dv. Pentru a aplica formula integrării prin părţi trebuie calculate u '( x ) (prin derivarea lui u ( x ) ) şi v ( x ) (prin integrarea lui v '( x ) ). Se alege de obicei funcţia u ( x ) , funcţia mai complicată din structura integralei, deoarece derivarea este operaţie mai simplă decât integrarea (prin care se obţine v) şi astfel încât a doua integrală din formula (1) să fie mai simplă decât cea de calculat. Dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci se face o nouă alegere pentru u ( x ) şi v '( x ) . 2) Formula de integrare prin părţi se poate aplica de mai multe ori. Dacă rezultatul obţinut în urma integrării de două ori prin părţi este I = I , atunci înseamnă că munca efectuată (alegerea lui u ( x ) şi v '( x ) dx ) în a doua integrală din (1) este „inversă” celei din prima integrală. 3) Pentru a aplica uşor formula integrării prin părţi vom aranja funcţiile (ca şi în cazul integralei nedefinite) astfel: u ( x) = u '( x) = (prin derivare)   ⇒ v '( x) = v ( x ) = (prin integrare; v este o primitivă)   (din prima integrală) (din a două integrală) sau în scriere diferenţială u = du = ⇒   dv = v =

174

4) Formula integrării prin părţi pentru integrala definită poate fi ilustrată prin următoarea diagramă, unde în prima integrală definită avem produsul funcţiilor u ( x ) şi v '( x ) (aşa cum indică săgeţile), pe diagonală se face produsul funcţiilor u ( x ) şi v ( x ) luat între a şi b, iar a doua integrală definită are integrandul alcătuit din produsul

funcţiilor u '( x ) şi v ( x ) . u ( x)

u '( x )

b

b

b

∫ u ( x)v '( x) dx = u ( x) v ( x) a − ∫ u '( x) v ( x) dx a

a

v '( x )

v ( x)

5) Reamintim câteva tipuri de integrale care se calculează utilizând formula integrării prin părţi (aplicată cel puţin odată): ln x  b   n • ∫ x arcsi n x dx, n ∈  , unde sub integrală este produsul dintre x n şi una din   a arctg x  funcţiile din paranteza acoladă. Se alege u = ln x (arcsin x, arctg x ) unde se ia u = x n şi v ' = x n . Limitele a, b sunt alese astfel încât să aibă sens scrierea. eαx    b   n • ∫ x sin αx  dx, n ∈ , α ∈
, unde se ia u = x n şi v ' = eαx (sin αx, cos αx ) .   a cos αx    ln   b sin αx  x      • ∫ arcsin x dx , u = ln x (arcsin x, arctg x ), v ' = sin αx (cos αx) . cos αx arctg x  a  

175

 2    x + a 2      2 n 2  • ∫ x  x − a  dx, n ∈ , u = x 2 + a 2 , v ' = x n .      2 2  a − x       sinn αx   dx, n ∈ ∗ , α ∈
, u = sin n−1 αx, u = cosn−1 αx , v ' = sin αx, (v ' = cos αx) . • ∫  cosn αx  

(

1

Exemple. 1. Să se calculeze: a)

∫

−1

R. 1

∫

π 2

1

xe x dx ; b)

∫

)

arcsin xdx ; c)

0

∫

1

x 2 sin xdx ; d)

0

∫x

x 2 + 4 dx .

0

u = x   u ' = 1 a) Punem  şi avem:  . Integrala dată devine, via formula integrării prin părţi   x x     v ' = e v = e xe x dx = xe x

−1

1 1  1 2 − ∫ e x dx = e + − e −  = . e  e e −1

1

−1 1

Observaţie. Integrala

∫

x e x dx nu se poate calcula aplicând formula integrării prin părţi, deoarece

−1

u = x nu este derivabilă în x = 0 ∈ [−1,1] . Pentru calculul ei se utilizează proprietatea de aditivitate a

integralei definite şi avem: 1

∫

−1

x e x dx =

0

∫ (−x)e

−1

x dx +

1

∫ xe 0

x dx = −

0

∫

−1

1

xe x dx + ∫ xe x dx şi pentru fiecare integrală se poate aplica 0

formula integrării prin părţi. Altfel calculul acestei integrale se poate face aplicând formula Leibniz-Newton. Funcţia f ( x) = x e x , x ∈ [−1,1] este continuă şi deci admite o primitivă F : [−1,1] ⇒
,  x 1  (1 − x) e , x ∈ [−1,0 ] 2 F ( x) =  . Atunci ∫ x e x dx = F (1) − F (−1) = 2 − .   x e  −1 ( x − 1) e + 2, x ∈ (0,1]   1  u ' =  u = arcsin x     b) Punem  ⇒ 1 − x 2 şi obţinem că u nu este derivabilă în x = 1 (u 's (1) = ∞) .     v ' = 1   v = x Deci nu se poate aplica direct formula integrării prin părţi. Ţinând seama de teorema fundamentală a calculului integral (continuitatea integralei ca funcţie de limitele ε

integrare) vom lua ε ∈ (0,1) şi calculând I (ε) = ∫ arcsin x dx după care 0

1

I (ε) . Pentru ∫ arcsin x dx = εlim 1 0

 1   u = arcsin x  u ' =   calculul lui I (ε) punem:  ⇒ 1− x2 .   v ' = 1     v = x

176

Avem: ε

ε ε  ' = ε arcsin ε + ∫  1 − x 2  dx = ε arcsin ε + 1 − x 2 =   2 0 0 1− x 0 ε

I (ε) = ∫ arcsin x dx = x arcsin x − ∫ ε 0

0

x dx

= ε arcsin ε + 1 − ε2 − 1 . π Deci lim I (ε) = − 1 . 2 ε1 Altfel, integrala se poate calcula utilizând formula Leibniz-Newton, deoarece funcţia f ( x) = arcsin x, x ∈ [ 0,1] este continuă, admite primitive. O primitivă G : [ 0,1] →
s-a calculat la această metodă pentru

 π  , x = −1  2  integrala nedefinită (probleme rezolvate 1) b) şi am găsit G ( x) =  x arcsin x + 1 − x 2 , x ∈ (−1,1) .   π  , x = 1  2  1

Atunci

π

∫ arcsin x dx = G(1) − G(0) = 2 −1 . În practică, astfel de integrale se pot calcula fără introducerea 0

1

simbolului limită, scriind pentru cazul nostru

∫ 0

1

  π arcsin x dx =  x arcsin x + 1 − x 2  = − 1 .  0 2

c) Pentru calculul acestei integrale definite se aplică formula integrării prin părţi de două ori. π

π

π 2 2 u = x 2 u ' = 2 x  2 2  Punem:  ⇒ şi integrala devine: ∫ x sin x dx = −x cos x 2 + 2 ∫ x cos x dx (*). v ' = sin x v = − cos x 0  0 0 A doua integrală se calculează, din nou, cu formula integrării prin părţi. π

π

π

π 2 2 u = x  u ' = 1 π π 2 Notăm:  ⇒ şi deci ∫ x cos xdx = x sin x 02 − ∫ sin x dx = + cos x = −1 .   v ' = cos x  = v sin x 2 2   0 0 0 π 2

Cu aceasta (*) devine:

∫x

2

0

π  sin x dx = 0 + 2 − 1 = π − 2 .  2  1

1

d) Se aduce integrala la forma: I = ∫ x x 2 + 4 dx = ∫ 0 1

=∫ 0

0

1

1

0

0

x3 + 4 x x2 + 4

1

dx = ∫ 0

x3 x2 + 4

1  '  '  ' x 2  x 2 + 4  dx + 4 ∫  x 2 + 4  dx = ∫ x 2  x 2 + 4  dx + 4 x 2 + 4       0

1

dx + 4 ∫ 0

x x2 + 4

dx =

(*).

u = x 2  u ' = 2 x  Ultima integrală se calculează cu formula integrării prin părţi, punând  ⇒ .    v ' =  x 2 + 4  ' v = x 2 + 4     

177

1

1 1 ' 1 2  x 2 + 4  dx = x 2 x 2 + 4 − 2 x x 2 + 4 dx = 5 − 2 x x 2 + 4 dx = 5 − 2 I .   ∫ ∫  0 0 0 0

∫x

Avem:

Revenim la (*) şi avem: I = 5 − 2 I + 4

(

)

5 − 2 . De aici 3I = 5

(

)

5 −1 adică I =

5 3

(

)

5 −1 .

1

2. Fie I n = ∫ x ne x dx , n ∈ ∗ . 0

a) Să se calculeze I1 , I 2 . b) Determinaţi o formulă de recurenţă pentru I n . c) Arătaţi că şirul ( I n ) este descrescător. n

u ' = 1 u = x R. a) I1 = ∫ xe x dx se calculează prin părţi punând  ⇒  .  v ' = e x v = e x   0 1

1

1 1 Deci I1 = xe x − ∫ e x dx = e − e x = e − (e − 1) = 1 . 0

0

0

u = x2 u ' = 2x 1 1 1  2 x Analog pentru I2 = ∫ x2exdx , notăm  ⇒ ş i deci I = x e − 2 xe x dx = e − 2I1 = e − 2 . 2 ∫ v ' = ex v = ex 0  0 0  u = x n u ' = nx n−1     b) Se aplică formula integrării prin părţi, unde  ⇒  .   v = e x x  v ' = e   1

1 Avem: I n = x ne x − n ∫ x n−1e x dx = e − nI n−1 , care reprezintă formula de recurenţă pentru I n . De aici 0

0 1

1 pentru n = 1 rezultă I1 = e − I 0 = e − ∫ e x dx = e − e x = 1 . 0

0 n x

c) Din x n ≥ x n+1, x ∈ [ 0,1] rezultă x e ≥ x n+1e x , care prin integrare dă I n ≥ I n+1 .

Probleme propuse 1. Să se calculeze, utilizând metoda integrării prin părţi, următoarele integrale definite: e−1

I. a)

∫

ln ( x + 1)dx ; b)

e2

∫

0

1

2

f)

2

ln x dx ; g)

1 1

II. a)

∫

x

0 e

x

∫x

3

1

ln x dx ; h)

1 1

dx ; b)

∫ x2 0

1

∫ ln

3

∫ xe 1

1

x dx ; i) ∫ x 2 ln 2 xdx ; j) 0

3

dx ; c)

0

1

1

x

2

∫ x log 2 x dx ; d) ∫ ( x + 1)ln x dx ; e) ∫ x ln( x + 1)dx ;

e

2

∫x

e

2

x ln x dx ; c)

0 1

1 2x

dx ; d)

∫ ( x + 1)e 0

178

∫ ln(1 + x

2x

dx ; e)

∫

−1

−x

xe

2

)dx .

dx .

1 2

1

∫

III. a)

arccos x dx ; b)

0

∫

∫

0

∫ 1

x sin x dx ; c)

∫

∫

3

arsin xdx ; e)

0

0

∫

−1

2

2

sin x dx .

0 3

4 − x 2 dx ; d)

xdx .

π 2

0 1

x 2 − 4 dx ; c)

∫ arctg 1

π 4

∫ x cos x dx ; d) ∫ x sin 2 x dx ; e) ∫ x

0 3

x 2 + 4 dx ; b)

1

x 2 arccos x dx ; d)

π 2

2π

x sin x dx ; b)

0 1

V. a) ∫

x arccos x dx ; c)

0

2π

IV. a)

∫

1 2

1

∫

9 − x 2 dx ; e)

−3

∫x

4 − x 2 dx .

0

b

2. Să se arate că f :  a , b  →
este integrabilă pe  a , b  şi să se calculeze

∫

f ( x )dx , în cazurile de

a

mai jos.  xe x , x ∈ −1,0   x ln 2 x , x ∈  0, e      ; 1) f : −1,1 →
, f ( x ) =  ; 2) f :  0, e  →
, f ( x ) =   x ln ( x + 1), x ∈ (0,1 0, x=0      x arctg x, x ∈ (0,1   x arcsin x , x ∈  0,1  1   3) f : −1,1 →
, f ( x ) =  ; 4) f : − ,1 →
, f ( x ) =   1  ;  2   x ln (− x ), x ∈ −1,0)  arcsin x, x ∈ − ,0     2    

e x sin 2 x , x ∈ −2,0 )   5) f : −2,1 →
, f ( x ) =  .  xe 2 x , x ∈  0,1    3. Să se calculeze limitele: k n  k 2 1 n 1 n 2 − k 2 ; 3) lim 1 35n ; 1 + ; 2) lim n k   ∑ ∑ ∑ n n→∞ n k =1 n→∞ n2 k =1 n→∞ n4 k =1

a) 1) lim

4) lim

n

1

∑k

n→∞ n2 k =1

n k e ; 5)

lim

1

n

2

∑

4n2 + (2k − 1) ; 6) lim

n→∞ n2 k =1

1

n

n→∞ n2 k =1

(

)(

) (

)

α

5 −x3



2

k

∑ k arctg n 

;

n2 + 1 n2 + 22 .... n2 + n2  k 2 n 7) lim lim . ∑ k arctg  n  ; 8) n→∞ n→∞ n2 k =1 n 2n n

1

n

−x

∫e n→∞

b) 1) lim

n

∫x n→∞

sin x dx ; 2) lim

0 0

4)

∫ (2 x a→−∞ lim

2 −x

e

dx ; 3)

0

2

)

− 3 x e x dx ; 5) lim

a

∫x α→∞ lim

e

dx ;

0

1

n

∫x n→∞ n p

2

ln ( x + 1)dx , p ∈ ∗ .

0 ∗ 4. Să se arate că pentru integrala I n , n ∈  , are loc relaţia de recurenţă indicată şi să se calculeze

I1 , I 2 , I 3 în cazurile:

179

e

1

1) I n = ∫ ln n x dx , I n = e − nI n−1 ; 1

0 π 2

In ln2 = 2 − nIn−1 ; 4) In = ∫ sinn xdx , In = 0

I 2m +1 = 1

6) I n = ∫ 0

1

2) I n = ∫ x ne x dx , I n = e − nI n−1 ; 3) I n = ∫ x n 2 x dx ,

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ (2m )

1

1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2m + 1) x 2n+1 1 + x2

; 5) I n = ∫

0

1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅(2m −1) π n −1 In−2, n ≥ 2 şi arătaţi că I2m = , n 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅(2m) 2

dx

(

0 x2 + a2

)

n

, a > 0, 2nI n+1 =

1

(

1 + a2

)

n

+ (2n − 1) I n ;

dx , (2n + 1) I n = 2 − 2nI n−1 .

5. Pentru şirul ( I n ) de mai jos stabiliţi relaţiile indicate şi precizaţi convergenţa lui, în cazurile: 1

1) ( I n ) , I = x ne− x dx , n ∈ ∗ . n≥1 n ∫ 0 3

1 1 1 a) I n = − + nI n−1 , n ≥ 2 ; b) ≤ In ≤ ; c) lim n π I n = 0 . e n+1 (n + 1)e n→∞ 1

2) ( I n ) ,I = n≥1 n ∫

dx

(

0 1 + x2

a) I n =

)

n

, n ∈ ∗ .

2n − 3 1 I n−1 + , n ∈ ∗ ;b) ( I n ) este descrescător. 2n − 2 (n − 1)2n e

3) ( I n ) , I = ln n x dx , ∈ ∗ . n≥1 n ∫ 1

a) I n = e − nI n−1 , n ≥ 2 ; b) ( I n ) este convergent şi lim I n = 0 . n→∞

1

4) ( I n ) , I = x n 1 − x dx , n ∈  . n≥1 n ∫ 0

a) Stabiliţi o relaţie de recurenţă pentru termenii şirului.  2 b) Arătaţi că şirul este descrescător şi I n ∈  0,  , ∀n .  3 

3. Metoda substituţiei (schimbării de variabilă) Prima metodă a substituţiei (a schimbării de variabilă) Multe funcţii sunt constituite prin operaţia de compunere. Când avem de integrat o astfel de funcţie este util să schimbăm variabila (Se spune că facem o substituţie)

180

Are loc următoarea: f

Teoremă (Prima formulă a substituţiei). Fie [ a, b ]  → J →
(J ϕ

interval din
) două funcţii cu proprietăţile: 1) f este continuă pe J; 2) ϕ este derivabilă cu derivata ϕ ' continuă pe [ a, b ] . ϕ(b)

b

Atunci

∫ f (ϕ( x ))ϕ '( x) dx = ∫ f (u )du . a

(1)

ϕ( a )

Formula (1) se numeşte prima formulă a substituţiei. De la variabila x ∈ [ a, b ] se trece la noua variabilă u = ϕ( x) ∈[ϕ(a), ϕ(b)] . Demonstraţie. Mai întâi să observăm că integralele au sens deoarece integranzii sunt funcţii continue. Pentru a proba egalitatea (1) evaluăm cele două integrale utilizând formula LeibnizNewton. Fie F : J →
o primitivă a lui f pe J (F există deoarece f este continuă pe J). ϕ(b)

Deci membrul drept al egalităţii (1) devine: ∫ f (u )du = F (ϕ(b)) − f (ϕ(a)),

(*).

ϕ( a )

Pe de altă parte avem (formula de derivare a funcţiilor compuse): ( F  ϕ) '( x) = F '(ϕ( x))⋅ ϕ '( x) = f (ϕ( x))ϕ '( x), x ∈ [ a, b ] , ceea ce arată că F  ϕ este o primitivă pentru funcţia ( f  ϕ)⋅ ϕ ' . Aplicând, din nou, formula Leibniz-Newton pentru membrul stâng din (1) obţinem: b

b

∫ f (ϕ( x)) ϕ '( x)dx = ( F  ϕ) ( x) a = F (ϕ(b)) − F (ϕ(a)) ,

(**).

a

Din (*) şi (**) rezultă egalitatea (1). ■ Observaţii. 1) Prin schimbarea de variabilă, noua integrală trebuie să se calculeze mai simplu. 2) Funcţia ϕ este funcţia care schimbă variabila, de la x la u = ϕ( x ) . Când trecem de la variabila x (din prima integrală) la variabila u (din a doua integrală), atunci în a doua integrală toate elementele se exprimă în funcţie de u, inclusiv limitele de integrare! Este convenabil să folosim notaţia diferenţială. Dacă u = ϕ( x) , atunci du = ϕ '( x ) dx , iar noile limite de integrare din (1) sunt u1 = ϕ( a), u2 = ϕ(b) şi formula din teoremă evidenţiază aceste transformări.

181

ϕ

b

ϕ(b)

( x)) ϕ '( x)dx =   

∫ ∫ f (ϕ u

a

du

ϕ

f (u )du

ϕ( a )

Nu trebuie uitată schimbarea limitelor de integrare în a doua integrală (se trece de la limitele x1 = a, x2 = b din prima integrală la u1 = ϕ( a), u2 = ϕ(b) din a doua integrală). Pentru calculul ultimei integrale se determină o primitivă F a lui f şi se aplică formula Leibniz-Newton. Spre deosebire de calculul integralei nedefinite prin metoda substituţiei (unde se asocia integralei I integrala I1 care se determina, iar la I se revine punând u = ϕ( x ) în I1 ) rezultatul din integrala a doua din (1) coincide cu integrala definită de calculat, adică prima integrală din (1). Pentru calculul integralei definite prin metoda substituţiei se parcurg următorii paşi: • Se substituie u = ϕ( x) ⇒ du = ϕ '( x)dx (se trece de la veche variabilă x la noua variabilă u) • Se calculează noile limite de integrare u = ϕ( x )  x1 = a ⇒   x2 = b  (vechile limite) • Se rescrie integrala definită

b

ϕ (b )

∫ f (ϕ( x))ϕ '( x)dx = ∫ a

u1 = ϕ(a)    u2 = ϕ(b) (noile limite)

f (u ) du

ϕ( a ) ϕ(b)

• Se calculează noua integrală

∫

f (u )du

ϕ( a )

Schematic Avem de calculat b

I = ∫ f (ϕ( x))ϕ '( x)dx a

1) u = ϕ( x) ⇒ du = ϕ '( x)dx  x = a u1 = ϕ(a )  2)  1 ⇒   x2 = b u2 = ϕ(b) 

182

Avem de calculat I=

u2

∫

u1

f (u )du

Exerciţii rezolvate Să se calculeze integralele: 1

π 2

1

5 ∫ (2 x − 1) dx ; 2) ∫

1)

0

1

∫

6)

x x 2 + 1dx ; 3)

0

arctg x

π 3

dx ; 7)

∫

∫ −

e tg x

1

π 2

∫

e

x 2dx

; 5)

3

0 x +1

∫ 1

ln 2 x dx ; x

x 3dx

∫

dx ; 8)

1

sin x cos 2 x dx ; 4)

. 2 2 8 +1 1 + x cos x x 0 0 −1 R. 1) Notăm u = 2 x − 1 şi avem du = (2 x − 1) ' dx = 2dx . Schimbăm limitele de integrare.

u1 = 2 ⋅ x1 − 1 = −1  x1 = 0  ⇒    x2 = 1  u2 = 2 ⋅ x2 − 1 = 1.  1

Integrala devine:

1

1 1 5 2 x −1) ⋅  2dx = ∫ (2 x −1) dx = 2 ∫ (  

2 du 5

0

0

u = x2 +1

2)

Substituim  x1 = 0 u1 = 02 +1=1 ⇒  x2 =1 u =12 +1= 2.  2 1

Integrala se scrie:

şi

x 2 + 1dx =

∫x 0

u

avem

1

∫

−1

du = 2 xdx .

1

1 1 u6 1 u du = = (1 − 1) = 0 . 2 6 12 5

−1

Calculăm

noile

2

1 ∫ 2

2

limite

de

(

)

integrare:

1 1 1 x 2 + dx = ∫ udu = u u = 2 2 − 1 . 

1 ⋅ 2 2 3 3 1 du u 0 1

  x1 = − π  2 ⇒ u1 = 0 3) u = cos x ⇒ du = − sin xdx;    x = π u2 = 0;  2 2 π 2

∫ −

π 2

π 2

0

sin x cos 2 x dx = − ∫ cos 2 x (− sin x) dx = −∫ u 2 du = 0 . −

0

π 2

1 2 2  x1 = 0 u1 = 1 1 x 2 dx 1 3 x 2 dx 1 du 1 4) u = x3 + 1 ⇒ du = 3 x 2dx;  ⇒ = = = ln u = ln 3 2 . ∫ 3 ∫ 3 ∫ 4  x2 = 1 u2 = 2; 0 x + 1 3 0 x + 1 3 1 u 1 1 1 u1 = 0 e ln 2 x dx  x1 = 1 u3 1 2  5) u = ln x ⇒ du = ;  ⇒ ∫ x dx = ∫ u du = 3 = 3 . x  x2 = e u2 = 1; 1

0

0

π 4

π

u1 = 0 1   x1 = 0   arctg x dx u 2 4 π2   6) u = arctg x ⇒ du = ; ⇒ = ∫ udu = = . π ∫ 2 2 32 1 + x2   x2 = 1  u2 = ; 0 x + 1  0 0 4   dx

183

π

 x = 0 3 3 tg x 3 u1 = 0 dx  1 e 7) u = tg x ⇒ du = ; ⇒  ; ∫ dx = ∫ eu du = eu = e 3 −1 . π 2 2   x = 0 u = 3 cos x  2  0 cos x 0 3  2  1   x = −1  u1 = 1 1 1 4 x3dx 1 8) u = x 4 ⇒ du = 4 x3dx;  1 ⇒ ; = ∫  ∫    x2 = 1 u2 = 1 4 −1 x8 + 1 4 1  

du u2 +1

=0.

Următorul rezultat se referă la integrarea funcţiilor continue pare sau impare, definite pe un interval închis centrat în origine. Mai precis formulăm următoarea: Teoremă. Fie f : [−a, a ] →
, a > 0 funcţie continuă. Atunci: 0

a

−a a

0 a

−a

0

1) ∫ f ( x)dx = ∫ f (−x)dx . 2) ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (−x) ]dx .  a  2∫ f ( x)dx, dacă f este pară ( f (−x) = f ( x), ∀x ∈[−a, a]) 3) ∫ f ( x)dx =   0  −a 0, dacă f este impară ( f (- x) = - f ( x), ∀x ∈[−a, a]).  a

Demonstraţie. 1) În integrala din stânga punem u = −x când du = −dx , iar capetele

de integrare sunt u1 = a, u2 = 0 . Deci

0

0

a

−a

a

0

∫ f ( x)dx = −∫ f (−u )du = ∫ f (−x) dx

(ultima egalitate are loc deoarece u este variabila „moartă”). 2) Folosind aditivitatea integralei avem: a

0

a

1) a

a

a

−a

−a

0

0

0

0

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f (−x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (−x) ]dx .

3) Dacă f este pară, atunci f (−x) = f ( x), ∀x ∈ [−a, a ] , iar dacă f este impară, atunci f (−x) + f ( x) = 0, ∀x ∈ [−a, a ] şi rezultatul se obţine din 2). ■ 1

Observaţii. 1) În exemplul 1) de mai sus, noua integrală ∫ u 5 du , conţine funcţia −1 5 impară f (u ) = u pe un interval simetric [−1,1] în raport cu zero. Deci are valoarea

zero.

184

În exemplul 3), integrala este definită pe un interval simetric centrat în zero, iar integrandul f ( x) = sin x cos2 x este funcţie impară. Deci, integrala definită are valoarea zero. Analog integrala din 8). 2) Dacă f :
→
este o funcţie continuă, atunci: a

a

−a

0

a) f este pară ⇔ ∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx, ∀a ∈
. a

b) f este impară ⇔ ∃c ∈
astfel încât ∫ f ( x) dx = c, ∀a ∈
. −a

A doua metodă a substituţiei (schimbării de variabilă) b

Există situaţii în care trebuie să calculăm integrala definită ∫ f ( x)dx , iar calculul a

acesteia devine mai simplu dacă se face substituţia x = ϕ(t ) , unde funcţia ϕ îndeplineşte anumite condiţii date de următoarea: f

Teoremă (A doua formulă a substituţiei). Fie [c, d ]  →[ a.b] →
două funcţii cu proprietăţile: 1) f este continuă pe [ a, b ] ; ϕ

2)

ϕ

este bijectivă,

ϕ, ϕ−1

sunt derivabile,

ϕ'

continuă şi

ϕ'(t) ≠ 0, ∀t ∈[c.d ] . ϕ−1 (b)

b

Atunci

∫ f ( x)dx = ∫ a

f (ϕ(t ))ϕ '(t ) dt .

(2)

−1

ϕ (a )

Formula (2) se numeşte a doua formulă a substituţiei (sau a schimbării de variabilă). De la variabila x ∈ [ a, b ] se trece la noua variabilă t prin x = ϕ(t ) . Demonstraţie. Funcţiile f , ( f  ϕ) ϕ ' fiind continue sunt integrabile şi deci au sens cele două integrale din formula (2). Fie F : [ a, b ] →
o primitivă a lui f. Conform formulei Leibniz-Newton avem: b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) . a

Ţinând seama de derivata funcţiei compuse rezultă:

185

(*)

( F
ϕ) '(t ) = F '(ϕ(t ))⋅ ϕ '(t ) = f (ϕ(t ))⋅ ϕ '(t ), ∀t ∈ [c, d ] , ceea ce arată ă F
ϕ este o primitivă pentru ( f
ϕ)ϕ ' . Deci, a doua integrală din (2) ϕ−1 (b)

devine:

∫

f (ϕ(t )) ϕ '(t )dt = ( F
ϕ)(t )

−1

ϕ (a)

ϕ−1 (b) ϕ−1 ( a )

= F (b) − F ( a) .

(**)

Din (*) şi (**) rezultă egalitatea care trebuia probată. ■ Observaţii. 1) Prin substituţia x = ϕ(t ) se ajunge la o integrală care se calculează mai simplu. 2) Funcţia ϕ−1 este funcţia care schimbă variabila de la x la t = ϕ−1 ( x) . Din ϕ '(t ) ≠ 0, t ∈ [c, d ] se deduce că ϕ este strict monotonă pe [c, d ] . Este mai simplu să folosim notaţia diferenţială. Dacă x = ϕ(t ) , atunci dx = ϕ '(t )dt , iar noile limite de integrare din a doua integrală din (2) sunt t1 = ϕ−1 (a ), t2 = ϕ−1 (b) şi formula din teoremă evidenţiază aceste transformări. b

∫ f ( x)

−1 t =ϕ ( x) dx =

ϕ(t ) ϕ ' (t ) dt

a

ϕ−1 (b)

∫

f (ϕ(t )) ϕ '(t )dt

ϕ−1 ( a )

În a doua integrală se vor calcula noile limite de integrare după formula t = ϕ−1 ( x) , t1 = ϕ−1 (a ), t2 = ϕ−1 (b) . Schematic

Avem de calculat b

I = ∫ f ( x)dx a

1) x = ϕ(t ) ⇒ dx = ϕ '(t )dt

Avem de calculat

x = ϕ(t ) ⇒ t = ϕ−1 ( x)

t2

 −1  x = a t1 = ϕ (a ) 2)  1 ⇒  x2 = b  −1  t2 = ϕ (b)

I = ∫ f (ϕ(t )) ϕ '(t )dt t1

A doua formulă a substituţiei se aplică în cazul în care integrandul are una din   n formele: f αβx , f x, n1 g ( x), n2 g ( x),..., k g ( x) , f (sin x,cos x), f  x, α 2 − x 2  ,       f  x, α 2 + x 2  , f  x, x 2 − α 2  , ... .     Analizăm câte cazuri în cele ce urmează.

( ) (

)

186

b

( )

1) ∫ f αβx dx , f este funcţie raţională (numitorul nu se anulează pe [ a, b ] ), a

α ≠ 1, β ≠ 0 .

Se notează αβx = t , iar de aici prin logaritmare rezultă βx ln α = ln t , etc. 1 e x dx

Exemplu. Să se calculeze ∫ . 2x 0 e +1 R. Substituim e x = t şi deci x = ln t, dx =

dt . Schimbăm limitele de integrare t

 x1 = 0 t =e x t1 = e0 = 1  ⇒   x2 = 1 t = e1 = e  2

dt e dt π e t = şi avem ∫ =∫ = arctg t = arctg e − . ∫ 1 2 x 2 2 4 0 e +1 1 t +1 1 t +1 e x dx

1

b

e t⋅

(

)

n n n 2) ∫ f x , 1 g ( x ) , 2 g ( x ) , ..., k g ( x ) dx , unde f este o funcţie raţională, a

g( x) =

mx + n, , px + q ≠ 0, n1, n2 , ..., nk ∈ ∗ , ni ≥ 2, g( x) ≥ 0 dacă ni par se substituie px + q

n g ( x) = t , n = c.m.m.m.c ( n , n ,..., n ) , etc. 1 2 n 1

Exemplu. Să se calculeze ∫

xdx

0 1+ x

R. Notăm

1

∫ 0

.

 x = 0 t = x t1 = 0 x = t ≥ 0 ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt . Noile limite de integrare  1 ⇒  . Avem:  x2 = 1 t2 = 1

(

)

1 2 1 3 1 t 3 + 1 −1 1  xdx t ⋅ 2t dt t dt 1  =∫ = 2∫ = 2∫ dt = 2 ∫ 1 − t + t 2 −  dt =   1+ t 1+ t t +1 t + 1 1+ x 0

0

0

0

1

 t 2 t3  5  = 2t − + − ln 1 + t  = − 2ln 2 .  2 3 3  0

b

3) ∫ f (sin x,cos x ) dx , unde f este funcţie raţională cu numitorul nenul pe [ a, b ] şi a

conţine expresia de forma α + β sin x sau α + β cos x .

187

Distingem cazurile: x x 2dt 10) [ a, b] ⊂ (−π, π) . Se substituie tg = t ⇒ = arctg t ⇒ x = 2 arctg t ⇒ dx = 2 2 1+ t2

şi se ţine seamă de formulele sin x =

2t 1+ t2

, cos x =

1− t 2 1+ t2

pentru transformarea

integralei date. π 2

dx . 2 + cos x 0

Exemplu. Să se calculeze ∫

R. Notăm tg

x 2 dt 0 = t ⇒ x = 2 arctg t ⇒ dx = . Noile limite de integrare sunt t1 = tg = tg 0 = 0 , 2 2 1 + t2 2dt 1 1 2dt 2 t π 1+ t2 = = arctg = . ∫ 2 2 3 3 2 3 1 − t t + 3 0 0 2+ 0 1+ t2

π 1 π t2 = tg 2 = tg = 1 . Integrala definită devine: ∫ 2 4

x 20) [ a, b] ⊆ [−π, π] , atunci se face aceeaşi substituţie tg = t , numai că dacă a = −π 2

sau (şi) b = π , atunci tg

b ε ε x nu este definită. Se calculează ∫ f sau ∫ f sau ∫ f şi 2 −ε

b

b

b

ε

b

a

ε π a

a

−ε

a

ε

∫ f = lim ∫ f sau ∫ f = lim ∫ f sau ∫ f = lim ∫ f a

ε π −ε

ε→ π −ε

π

dx . 2 + cos x 0

Exemplu. Să se calculeze ∫

ε

R. Considerăm

∫ 0

=

ε tg t 2

2 arctg 3 30

dx , ε ∈ (0, π) şi se calculează ca la 10). Avem: 2 + cos x

ε

∫ 0

ε 2 2dt ∫ 2 = 0 t +3

tg

dx = 2 + cos x

 ε   ε   tg   tg  π  2 dx 2 2 π π  2    , iar ∫ = arctg  = lim arctg  2  = ⋅ = .  3   3  2 + cos x επ 3 2 3 3 3  0     

30) Dacă a < b şi suntem cu

(2m −1) π ≤ a < (2m + 1) π < ... < (2n −1) π < b ≤ (2n + 1) π, m, n ∈  188

atunci se scrie integrala ca sumă de integrale astfel:

(2m+1)π

(2m+3)π f+

∫

(2n−1)π f + ... +

∫

(2m+1)π

a

b

f+

∫

(2n−3)π

∫

f ,

(2n−1)π

unde prima şi ultima integrală se calculează ca la 20), iar pentru celelalte se utilizează x periodicitatea funcţiei x → tg care este 2π . Deci 2 Exemplu.

I=

−π

−

2 π

∫

(2k −1)π 3π

π

∫

−π+ 2k π 5π

π

f= ∫ f . −π

6π

2 π

dx dx dx +3∫ +∫ . 2 + cos x 2 + cos x 2 + cos x 5π −π 0

∫

−

f=

dx dx dx dx dx dx = ∫ +∫ +∫ +∫ +∫ = 2 + cos x 2 + cos x 2 + cos x 2 + cos x 2 + cos x 2 + cos x 5π 5π −π π 3π 5π

∫

−

=

−π

6π

π+2k π

(2k +1)π

2

−π

−ε

2

2

 π tg−   2 

 ε tg− 

  dx dx 2dt 2 t  2 Dar, ∫ = lim ∫ = lim ∫ = lim arctg = 2 2 + cos x 2 + cos x 3 3 ε → π ε → π ε → π t +3 −1 5π 5π − 1 − −

     − tg ε   tg ε    2 π 2 π π π 2π     2 2 +  + = lim arctg  = lim arctg − =− + =− .Cum  3  3 3 ε→ π 3   3 3 3 3 3 3 3 ε→ π 3        x→ π

∫

−π

1 este pară, iar [−π, π ] este interval simetric faţă de zero avem: 2 + cos x π

f ( x) = 2 ∫ f ( x)dx şi deci I = − 0

π

π

π

0

0

0

Observaţie. Aplicarea incorectă a substituţiei tg 2π

Pentru integrala

∫

0

0

1 ) 2π 2π 2π 7π 5π + 6∫ f + ∫ f = − + 7∫ f = − + = . 3 3 3 3 3

x = t conduce la erori de calcul. 2

dx x utilizând t g = t dă t1 = 0, t 2 = 0 şi deci 3 + cos x 2

1 1 ≥ şi deci 3 + cos x 2

2π

∫

0

dx 1 ≥ 2π ⋅ = π . 3 + cos x 2

Greşeala a provenit din faptul că tg

x nu este continuă pe [0,2π ] . 2

189

2π

∫

0

dx = 0 . Dar 3 + cos x

2π

2π

π

2π

ε

dx dx dx dx dx =∫ +∫ = lim ∫ + lim ∫ = 3 + cos x 3 + cos x 3 + cos x επ 3 + cos x επ 3 + cos x 0 0 π 0 ε   ε       tg   tg 2π   tg ε   1 π π π  1  2   2  1  2   + lim   −  = . = lim arctg  arctg  arctg  + = 2 2 ε π 2  2  επ  2  2   2  2 2 2 2       

Corect era să scriem

Funcţia f ( x) =

∫

1 este continuă pe [ 0,2π ] . O primitivă a ei este: 3 + cos x

 x    tg   1    arctg  2 , x ∈ [ 0, π)  2   2        x   tg  F ( x) =   π   1 + arctg  2  + , x ∈ (π,3π ]    2  2   2      π , x = π.  2 2  2π

Deci

∫

f ( x)dx = F (2π) − F (0) =

0

 tg π  π 1 1 tg 0 π  + − arctg arctg  = .  2  2 2 2 2 2

b  π π 40) ∫ f x, α 2 − x 2 dx, α > 0, [ a, b ] ⊆ [−α, α ] . Se pune x = α sin t , t ∈ − ,  ⇒  2 2  a

(

)

x x = sin t ⇒ t = arcsin . α α a b t1 = arcsin , t2 = arcsin . α α

⇒ dx = α cos t dt ,

Noile

limite

de

integrare

sunt

1

Exemplu. Să se calculeze ∫ x 2 4 − x 2 dx . 0

 π π x 0 R. Se substituie x = 2 sin t , t ∈ − ,  . De aici dx = 2 cos t dt , t = arcsin ⇒ t1 = arcsin = 0 ,  2 2  2 2 t 2 = arcsin

1 π = . Integrala devine 2 6

1

∫

x 2 4 − x 2 dx =

π 6

π 6

0 π 6 1− cos 4t

0

0

0

= 16∫ sin 2 t ⋅ cos2 t dt =4∫ sin 2 2t dt = 4∫

2

π 6

2

∫ (2 sin t )

4 − 4 sin 2 t (2 cos t dt ) =

0

π

π

0

0

1 π 1 2π π 3 dt = 2t 6 − sin 4t 6 = − sin = − . 2 3 2 3 3 4

190

Observaţie. Acest tip de integrală se poate calcula folosind substituţia x = a cos t , t ∈ [0, π] , etc.

b

(

)

50) ∫ f x, x 2 + α 2 dx . În acest caz punem x = α tg t , t ∈ (0, π) ⇒ dx = a

αdt cos 2 t

,

a x = tg t ⇒ t = arctg . α α 2

Exemplu. Să se calculeze ∫ x 2 + 4 dx . 0

R. Notăm x = 2 tg t , t ∈ (0, π), dx = π 4

2

∫

x 2 + 4 dx = ∫ 4 tg 2 t + 4

0

0

2dt x x π , = tg t ⇒ t = arctg ⇒ t1 = 0, t2 = şi integrala devine: 2 4 cos 2 t 2

2dt cos 2 t

π 4

= 4∫

dt

3 0 cos t

π 4

= 4∫

cos t dt

2 0 (1 − sin 2 t )

.

În continuare se aplică prima metodă a substituţiei punând u = sin t şi deci du = cos t dt , u1 = sin 0 = 0 , u2 = sin 2 2

4∫

0

π 2 = şi deci integrala devine: 4 2

du 2

(1 − u 2 )

, unde

1 (1 − u

1 1 1 1 1 1 1 1 =− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ , etc. 2 4 u − 1 4 4 u + 1 4 (u − 1) (u + 1)2 1 + u)

)2 (

2

După cum se vede aplicarea metodei conduce la calcule lungi. Alte metode (integrarea prin părţi) conduc mai repede la rezultat. b

Calculul integralelor de forma

P ( x)

∫ Q ( x ) dx a

La capitolul Primitive, am abordat în detaliu integrarea funcţiilor raţionale, adică am determinat primitivele acestor funcţii continue pe domeniul de definiţie. Ideea este de a descompune numitorul Q ( x ) în factori ireductibili peste
de gradul întâi şi gradul doi (cu discriminantul negativ) şi apoi se descompune funcţia x →

P( x) Q ( x)

în funcţii

raţionale simple dacă grad ( P ) < grad ( Q ) . Dacă grad ( P ) ≥ grad ( Q ) , atunci efectuăm împărţirea cu rest a lui P la Q când P = Q ⋅ C + R , grad ( R ) < grad ( Q ) şi pentru R ( x)

se aplică pasul precedent. Cu formula Leibniz-Newton determinăm integrala Q ( x) definită. Vom exemplifica cele spuse cu următoarele

191

Exerciţii rezolvate Să se calculeze integralele definite: 2

1

4

1

1

x +1 x 2 dx x3 + 1 2 x3 − 3x2 + 2 x 2 x 2 + 2 x + 13 dx ; 2) ∫ ; 3) ∫ 3 d x ; 4) dx ; 5) ∫ x2 + 4 x2 + 1 ∫ 2 2 dx . 2 x ( x + 2) x+1 0 2 x − x 0 0 x +1

1) ∫

(

1

)(

)

(

)

R. Notăm f ( x ) integrandul, iar cu I integrala definită a lui f . Avem: 2 2 2 1 2 1 8 11 1  1 dx 1 dx 1 1) f ( x ) =  + = ln x + ln ( x + 2 ) = ln .  şi I = ∫ + ∫ 1 2 1 2 3 2 x x + 2 21 x 21 x+2 2

1 , iar x +1

2) x 2 = ( x + 1)( x − 1) + 1 şi deci f ( x ) = x − 1 +

1  x2 1 1  1  I = ∫ x −1+  dx =  − x + ln ( x + 1)  0 = ln 2 − . x + 1 2 2     0

3) x3 + 1 = x3 − x 2 + x 2 + 1 şi f ( x ) = 1 +

(

4) f ( x ) =

)

2x − 4 2

x +4

+

1

1 2

x +1

şi I = ∫ 0

x2 + 1 x

2

( x − 1)

1

2 xdx 2

x +4

dx

− 4∫

=1− 1

1

2

7 1 1 2 , iar I = + ln 9 ; − + 4 x x2 x − 1

0 0 x +4

+∫ 0

dx 2

x +1

= ln x 2 + 4

(

) 0 − 2arctg 2x 0 + 1

1

1 5 1 π +arctg x = ln − 2arctg + ; 0 4 2 4 5) f ( x ) = 1

+11∫ 0

2 2

x +1

2

2 x + 11 2

( x + 1) 1

dx

( x + 1)

+

2

unde

∫ 0

2

1

şi I = 2 ∫ 0

1

dx 2

( x + 1)

2

=∫ 0

1

dx 2

x +1

+∫ 0

1 + x2 − x2 2

( x + 1)

2

1

2 xdx 2

( x + 1) 1

dx = ∫ 0

2

+ 11∫

dx 2

x +1

0

dx 2

( x + 1)

1

−∫x 0

1 1 1 = 2arctg − 2 + 0 x +1 0

2

x 2

( x + 1)

2

dx =

1  1 1 1 dx  π 1 π 3π 1 x 37 π 9 = arctg x −  − + ∫ 2 = + + = + . Deci I = + . 2   0 4 4 8 8 4 8 4 2 x +1 0 2 0 x +1  

(

)

Probleme propuse 1. Să se calculeze integralele de mai jos, utilizând substituţiile indicate: 1

a) 1)

1

4 3 ∫0 ( 2x + 1) dx, u = 2x + 1; 2)∫-1( x + x ) 2

b) 1)

∫ 1

0

dx , u = 2 x + 1; 2) 2x + 1

∫ -1

1 7

∫

5

dx, u = x 2 + 1; 3) x ( 1 − 3 x ) dx, u = 1- 3 x; -2 1

2

dx 3 xdx dx , u = 1 − 3 x; 3) 2 , u = x 2 + 1;4) , 1 - 3x 1 − 5x x +1

∫

∫

0

1

192

1

u = 1 − 5 x; 5)

2 x 2dx

∫ 3x 0

c) 1)

3

+2

1

, u = 3 x 3 + 2; 6)

∫ 0

1

x 2dx

(x

3

, u = x 3 + 1; 7) 2

+1

)

0

2

∫

3 x + 1dx , u = 3 x + 1; 2) x 1 − xdx , u = 1 − x;3)

∫

∫

−1

−1

1

∫

3

d) 1) x 2e x dx , u = x 3 ; 2) 0

∫e

x

, u = x 2 ; 3)

2

−1

+1

9

∫

xe x

x

, u = x2 .

( 1 − 2 x ) 2 dx , u = 1 − 2 x .

3

4

xdx

4

0

1

0 1

xdx

∫x

dx , u = x x ; 4)

1

∫

e

x

x

1

dx , u = x ;

1 1

1

ex

1 dx , u = ; 6) 5) 2 x x 1

∫

1

∫(2

2x

− 3⋅2

x

0

−1

e x dx

) dx, u = 2 ;7)∫ 1 + e x

x

, u = 1 + e ; 8)

x

0

2 x dx

∫ 1− 4

x

, u = 2x;

−2

2 e2

e) 1)

ln x dx , u = ln x ; 2) x

∫ e

e

4)

e

( 1 + ln x ) 2 dx , u = 1 + ln x;

∫

1

3)

x

1

dx , u = 1 + ln x; 5) x ( 1 + ln x )

∫

e3

e

e

3 + ln x dx , u = 3 + ln x; 6) x

∫ e

dx

∫ x ln x , u = ln x;

−2

e

∫ 1

dx x 1 − ln 2 x

, u = ln x;

e

π

π

5

9

∫

∫π

f) 1) sin 5 xdx , u = 5 x; 2) 0

π 2

π   sin  3 x +  dx; 3) sin 2 x cos xdx , u = sin x ; 4  0

∫

12

π

π

3

3

∫

∫

0

π

4) cos 3 x sin xdx , u = cos x ; 5) sin 3 x cos 2 xdx , u = cos x (sin 2 x = 1 − cos 2 x ); 4

π

π

π

2

6

3

∫

∫

∫ cos

0

0

0

6) sin 3 xdx , u = cos x ; 7) cos 3 xdx , u = sin x ; 8) 1 2

g) 1)

∫ −

1 2

arcsin x 1− x

2

∫

0 1

dx , u = arcsin x; 2)

1 2

dx

2

x

dx , u = cos x ;

, u = arcsin x;

2

1 − x arcsin x 1

dx 1− x

2

2

, u = arcsin x; 4)

1 − arcsin x

arctg x

∫ 1+ x

2

dx , u = arctg x;

0

1

dx

∫ ( x + 1) ( arctg x + 1)

5)

2

0

∫ −

1 2

3)

1 2

sin x

, u = arctg x + 1; 6)

dx

∫ ( x + 1) ( arctg x + arctg x) , 2

3 /3

193

2

u = arctg x;

2. Să se calculeze integralele: 1

1)

1

∫ (3

x

+ 3 − x tgx dx; 2)

)

−1

arctg x

∫3

x

+3

-1

π

π

−π

−π

3 x ∫ ( sin x − x cos x ) dx; 4) ∫ e

dx; 3)

−x

2

sin xdx;

3. a) Să se calculeze integralele definite: 3

1) ∫ 2 3

4) ∫ 1

n+1

2

x −1 x 3dx dx ; 2) ∫ ; 3) x ( x + 1) x+2 1 −1

dx x3 + 3 x2 + 2 x

∫

; 5)

∫

dx x2 − 3 x + 2

n

2 x3 + x2 + x + 1 2 x2 − x − 1

−2

, n ≥ 3 şi lim n2 n →∞

2

dx ; 6) ∫ 1

dx

1

( 4 x + 1) dx ; 9) −2 x 2 + x + 2 dx ; 10) 3 x ∫ ∫ 3 2 2 0 ( x + 1) −3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 0

2

8) ∫

(x

2

∫

dx x2 − 3 x + 2

n −1

; 7)

x3 + x2

n+1

;

dx

∫ x ( x − 1) 2 ;

−2

+1

2

x +4

) dx ; 11)

1

x dx

∫

;

2

( x + 3 ) ( x + 1) ( x + x ) dx . x dx x dx x dx 12) ∫ ; 13) ∫ ; 14) ∫ ; 15) ∫ x +1 ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 4 ) ( x + 1) 1

1

1

4

2

0

0

2

0

3

3

2

2

−1

2

2

−3

b) Să se calculeze integralele (a doua substituţie) : 1

1)

∫ 0

7

x dx ,t = x+2

x ; 2)

1

xdx

∫

x+2

2

,t =

x ; 5)

∫ 1+

,t =

x

0

16

t=

x + 2; 3)

1

dx

∫

x+

1

4

x

,t =

4

x ;6)

( 1 + x ) dx ,

∫ 1+

x

0

64

dx

x ; 4)

1

x dx

∫ 1+

3

1

x

,t =

6

x ; 7)

∫

x dx 4

0

3

,t =

4

x .

x +1

4. Să se calculeze integralele: π

π

2

1)

∫e

1

x

e + cos x x

0

+ sin x + cos x

dx; 2)

∫ (x

π

dx 2

−1

+ 1 ex + 1

)(

4

) ∫

∫

; 3) x cos 2 xdx; 4) ln ( 1 + tg x ) dx . 0

0

5. Să se calculeze lim an ,unde an este dat de formula: n→∞

n

1) a n =

∑n k =1

k 2

+k

n

4)an =

∑ (n + k) k =1

; 2) a n = 2 n 2

n +k

2

1 n2

k2

n

∑

2

ke n ; 3)a n =

k =1

; 5)an =

1 n4

1 n n

n

∑ k =1

k ; n+k

n

∑k

23

n3 − k 3 .

k =1

6. Să se demonstreze identitaţile de mai jos: 1 x

1

1) a )

dt

∫ 1+ t x

2

=

π

dt

∫ 1+ t 1

π

2 2

, x > 0; b )

∫ 0

2

cos x 3

3

3 − cos x

194

dx =

∫ 0

sin x 3

3 − sin 3 x

dx ;

2

2) a )

∫

1

1 + 4 x 2 dx =

−2

0

∫ −3

5

∫

4 x 2 + 8 x + 5dx; b)

4 x 2 + 20 x + 26dx =

∫

−5

4 x 2 − 20 x + 26dx .

0

7. Calculând în două moduri o anumită integrală definită să se stabilească egalităţile: C 20n C1 C 22n C 2n −1 C 2 n 1 − 2n + − ... − 2 n + 2 n = ; 1) 2n + 1 2n 2n − 1 2 1 2n + 1 n −1

2) C n1 −

( −1) 1 2 C n + ... + 2 n

3) C n0 −

( − 1 ) = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ ( 2 n ) ; 1 1 1 2 1 3 C n + C n − C n + ... + 3 5 7 2 n + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ ( 2 n + 1 )

C nn = 1 +

1 1 + ... + ; 2 n n

n

4)

( −1) C n = 2n+1 − 1 . 2n 0 2n −1 1 2n − 3 2 Cn − Cn + C n − ... + n 1 2 3 n+1 n+1 4

8. 1) Fie şirul ( I n ) n 1 , I n = ≥

dx

∫ x 1+ x ( )

n

, n ∈ »* .

1

n

a) Să se arate că şirul este convergent. b) Să se ararte că lim

n→∞

∑

3k − 2k

k =1

k ⋅ 6k

= ln

4 . 3

1

2) Fie şirul ( I n ) n 1 , cu termenul general I n = ≥

∫ x (1 − x )

n

dx , n ∈ »* . Să se calculeze

0

lim I n , unde I n = I1 + I 2 + ... + I n .

n→∞

k

3) Fie ( I k ) k 1 , I k = ≥

dx

∫ (1 + x ) (1 + x ) , n ∈ »

*

. Să se calculeze lim I k .

2n

2

k →∞

0

1

4) Fie şirul ( I n ) n 1 , I n = ≥

∫ (1 − x ) 2

n

dx , x ∈ »* .

0

a) Arătaţi că ( I n ) este convergent. b) Determinaţi o relaţie de recurenţă între termenii şirului. c) Arătaţi că I n =

4n ( n !)

2

( 2n + 1) !

n

, ∀n ∈ »* . d) Arătaţi că

∑ ( −1 ) k =0

k

C nk = In . 2k + 1

1

5) Fie şirul ( I n ) n 0 , cu termenul general I n = ≥

∫x

n

x − x 2 dx , n ∈ » .

0

a) Să se determine o relaţie de recurenţă între I n şi I n −1 , n ∈ »* .

b) Să se arate că I n =

3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ ( 2n − 1) ( 2n + 1) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 2 ) ( 2n + 4 )

195

⋅ π . c) Să se calculeze lim I n . n→∞

1

6) Se consideră şirul

( I n ) n≥1 , I n =

∫x

n

( 1 − x ) n dx , n ∈ » . Studiaţi convergenţa şirului şi

0

calculaţi lim

n

In .

n→∞

9. Fie f : a , b  → » , funcţie continuă. Să se arate că : b

1)

2)

∫

b

∫ f ( a + b − x ) (conservare interval).

f ( x ) dx =

a b

a b−a

a

0

∫ f ( x ) dx = ∫

b−a

f ( x + a ) dx =

∫

f ( b − x ) dx (translaţie în origine).

0

10. Fie f : » → » o funcţie continuă. Să se arate că : b

1)

2)

∫

b+c

∫

f ( x ) dx =

a b

a+c bc

a

ac

1

f ( x − c ) dx (invarianţa la translaţie).  x

∫ f ( x ) dx = c ∫ f  c  dx, c ≠ 0 (dilatarea sau contracţia intervalului de integrare). β

11*. Dacă f : » → » este continuă şi

∫

β

f ( x + t ) dt ≥

α

∫ f ( x ) dx, α < β , x ∈ » atunci α

f (α ) = f ( β ) .

196

2.6. APLICAŢII ALE INTEGRALEI DEFINITE 1. Aria unei suprafeţe plane

Fie f : [ a, b ] → [ 0, ∞ ) o funcţie continuă. Reamintim cele două moduri de abordare a problemei ariei mărginită de curba y = f ( x ) , axa Ox şi dreptele verticale x = a şi

x = b (Fig. 1 a)).

Fig.1

Pentru a calcula aria A se împarte figura în benzi verticale (Fig. 1 b)) şi fiecare bandă se aproximează cu aria unui dreptunghi. În final se face suma ariilor dreptunghiului. Această operaţie ne dă o aproximare a ariei A , care este cu atât mai bună cu cât numărul dreptunghiurilor este mai mare. Aria ca primitivă a funcţiei În Fig. 1 c), dacă ∆A este aria zonei haşurate, atunci y∆x < ∆A < ( y + ∆y ) ∆x sau

∆A < y + ∆y . Dacă ∆x → 0 (adică creştem numărul dreptunghiurilor), atunci ∆x ∆A dA dA → şi ∆y → 0 . Deci = y adică A = ∫ ydx . Dacă F este o primitivă a ∆x dx dx lui f , atunci A ( x ) = F ( x ) + c . Dacă x = a , atunci A ( a ) = 0 = F ( a ) + c , adică y<

c = −F ( a ) . În fine, pentru x = b , A ( b ) = F ( b ) − F ( a ) este aria căutată. Deci b

A = ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) . a

Aria ca limită a unui şir de sume Riemann Funcţia f fiind continuă este integrabilă Riemann. Se consideră şirul de diviziuni

197

 

nechidistante ale intervalului [ a, b ] Dn =  a, a +

= x2 ,..., a +

( n − 1)( b − a ) = x n

 

intermediare ξ1 ∈  a, a +



ξn ∈ a + 

n −1

b−a , n 

2 (b − a ) b−a = x1 , a + = n n

b−a şi şirul de puncte n  2 (b − a )  b−a ξ2 ∈ a + ,a +  , ... , n n  

, b ) , cu Dn =

( n + 1)( b − a ) , b  .  

n

n

Atunci suma Riemann σ Dn ( f , ξ ) ≈ A . Mai precis lim

n →∞

∑ f (ξ )( b − a ) = k

k =1

b

= ∫ f ( x ) dx = A . În particular, dacă ξ k = inf f ( x ) , atunci σ Dn ( f , ξ k ) = a

= sDn ( f ) , suma Darboux inferioară, iar pentru ξ k = sup f ( x ) avem σ Dn ( f , ξ k ) = S Dn ( f ) , suma Darboux superioară. 1) Aria unui subgrafic Fie f : [ a, b ] → [ 0, ∞ ) o funcţie continuă. Atunci mulţimea

Γ f = {( x, y ) a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f ( x )} (Fig. 2) se numeşte subgraficul lui f (este mulţimea punctelor din plan cuprinse între graficul lui f , axa Ox şi dreptele verticale x = a, x = b ).

Fig.2

Fig.3 b

( ) ∫ f ( x ) dx = F ( b) − F ( a ) , unde F

Am vazut că aria Γ f =

a

198

Fig.4 este o primitivă a lui f .

Exemplu. Să se calculeze aria figurii determinate de graficul funcţiei f : −2, 2 →
, f ( x ) = x 2 , axa Ox şi dreptele x = −2, x = 2 (Fig. 3).

R. Aria cerută este egală cu aria ( Γ f ) =

∫

2

−2

x3 3

x 2 dx =

2

= −2

16 . 3

Observaţie. Regiunea haşurată este simetrică în raport cu axa Oy (funcţia este pară). Deci 2

( ) ∫0

aria Γ f = 2

x 2dx = 2 ⋅

x3 3

2

=

16 . 3

0

2) Aria unei mulţimi situate sub axa Ox Fie f : [ a, b ] → ( −∞, 0] o funcţie continuă. Cum f ≤ 0 , se deduce că graficul ei este situat sub axa Ox (Fig. 4). În plus,

b

∫ f ( x ) dx ≤ 0 . Cum aria unei regiuni din plan a

este pozitivă, atunci convenim ca aria regiunii A să fie egală cu aria ( A) = −

b

b

b

b

a

a

a

a

∫ f ( x ) dx = ∫ ( − f ( x ) ) dx =∫ f ( x ) dx sau aria ( A) = ∫ f ( x ) dx . În

acest caz mulţimea de puncte delimitată de graficul lui y = − f ( x ) , axa Ox şi dreptele x = a, x = b este simetrica mulţimii A în raport cu Ox . Deci cele două mulţimi au aceeaşi arie. Exemplu. Să se determine aria cuprinsă între graficul lui f ( x ) = − x , axa Ox şi dreptele x = 1, x = 2 (Fig. 5). R. Observăm că f ( x ) < 0 dacă x ∈ 1,2 . 2

Deci aria ( A ) =

Fig.5

∫

2

x2 xdx = 2

1

=

3 . 2

1

3) Aria regiunii cuprinse între graficul lui f , axa Ox şi dreptele x = a, x = b .

3

Fig.7

Fig.6

199

Considerăm cazul mai general cu f : [ a, b ] →
continuă, care pe intervalul [ a, b ] ia atât valori pozitive cât şi negative (Fig. 6). În cazul a), aria figurii haşurate se exprimă prin aria ( A1 ) + aria ( A2 ) = c

b

c

b

b

a

c

a

c

a

= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . Pentru cazul b) aria figurii haşurate este egală cu aria ( A1 ) + aria ( A2 ) + aria ( A3 ) c1

c2

a

c1

= ∫ f ( x ) dx − ∫ +∫

b

c2

b

c1

c2

a

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =∫

f ( x ) dx + ∫

c2

c1

f ( x ) dx +

b

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . a

În concluzie, dacă f : [ a, b ] →
este continuă, atunci aria mulţimii A delimitată de graficul lui f , axa Ox şi dreptele x = a, x = b este egală cu b

aria ( A ) = ∫ f ( x ) dx a

Pentru calculul integralei se explicitează f ( x ) , x ∈ [ a, b ] . Exemplu. Să se calculeze aria mulţimii A determinate de graficul lui f ( x ) = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) , axa Ox şi dreptele x = 0, x = 2 (Fig. 7). 2

R. Aria cerută este egală cu aria ( A) =

∫ 0

 x3 − 3 x 2 + 2 x, x ∈ [0,1]  f ( x ) dx, unde f ( x ) =  . 3 2 − x − 3 x + 2 x , x ∈ (1, 2]

(

1

Deci aria ( A ) = aria ( A1 ) + aria ( A2 ) =

∫( x

)

2

3

− 3 x 2 + 2 x dx −

)

0

∫(x

3

− 3 x 2 + 2 x dx =

)

1

1 1 1 + = . 4 4 2

4) Aria regiunii cuprinse între două curbe şi dreptele x = a , x = b a) Curbe nesecante situate deasupra axei Ox Fie f , g : [ a, b ] → [ 0, ∞ ) şi f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀ x ∈ [ a, b ] (ceea ce înseamnă că graficul lui f este situat deasupra graficului funcţiei g) (Fig. 8 a)). Mulţimea de puncte situate între graficele celor două funcţii şi dreptele x = a, x = b o notăm prin Γ f ,g =

{( x, y ) a ≤ x ≤ b, g ( x ) ≤ y ≤ f ( x )} .Atunci aria ( Γ ) = aria ( Γ ) − aria( Γ ) = f ,g

f

g

b

b

b

∫

∫

∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx = ∫ f ( x) − g ( x) dx

a

a

a

= aria ( A1 ) − aria ( A2 ) = f ( x ) dx − g ( x ) dx =

200

b

a

Fig.8

b) Curbe nesecante oarecare Vom arăta că dacă f , g : [ a, b ] →
sunt continue cu f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] (graficul lui f este deasupra graficului lui g) (Fig.9), atunci b

b

) ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx. a a

aria Γ f , g =

(

Fig.9 Într-adevăr, alegem un număr pozitiv c suficient de mare astfel încât 0 ≤ g ( x ) + c ≤ f ( x ) + c, ∀x ∈ [ a, b ] (am translatat graficele în lungul axei Oy cu c > 0 , b

∫

Fig. 9 b)). Atunci aria ( Γ f + c , g + c ) = ( f ( x ) + c ) − ( g ( x ) + c )  dx = a

b

∫

=  f ( x ) − g ( x )  dx = aria Γ f , g . a

(

)

În general, dacă f , g : [ a, b ] →
sunt continue, atunci

201

b

) ∫ a

aria Γ f ,g = f ( x) − g ( x) dx .

(

Exemplu. Să se determine aria închisă de parabola y = x 2 şi dreapta y = 2 x (Fig. 10). R. Fie f ( x ) = 2 x , g ( x ) = x 2 . Se determină punctele de intersecţie ale curbelor, rezolvând sistemul  y = x 2 . Se obţin soluţiile ( 0,0 ) şi ( 2,4 ) . Aria cerută   y = 2 x

4

2

) ∫ 2 x − x2 dx .

(

este aria Γ f , g =

0 2

Cum 2 x − x = 2 x − x 2 dacă x ∈[ 0,2] , găsim 2

2

) ∫ ( 2x − x )

(

2

aria Γ f , g =

Fig.10

0

 x3  4 dx =  x 2 −  = .   3  0 3

c) Curbe secante oarecare Dacă graficele funcţiilor f , g → [ a, b ] →
, continue se intersectează într-un c

punct (Fig. 11), atunci aria Γ f , g = aria ( A1 ) + aria ( A2 ) =

(

+

)

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx + a

b

c

b

b

c

a

c

a

∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx + ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx .Ana

log, se procedează dacă sunt mai multe puncte de intersecţie ale graficelor. În Fig. 12 c1

b

) ∫

sunt două puncte, iar aria Γ f , g =

(

c2

+

f ( x ) − g ( x ) dx =

a

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx + a

b

∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx + ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx .

c1

c2 b

) ∫

Deci aria Γ f , g =

(

f ( x ) − g ( x ) dx . Pentru a calcula integrala se explicitează

a

modulul.

202

Fig.11

Fig.12

Fig.13

Exemplu. Să se calculeze aria figurii plane cuprinse între graficele funcţiilor f ( x) = −

x2 + 2 x şi g ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x . 2

R. Graficele funcţiilor f , g în acelaşi reper cartezian sunt date în Fig. 13. Coordonatele punctelor

 y = x3 − 6 x 2 + 9 x  în care se taie cele 2 curbe sunt date de soluţiile sistemului  . Găsim uşor x2  y = − + 2x  2

7 7 soluţiile: ( 0,0 ) , ( 2,2 ) ,  ,  . Avem aria Γ f , g = 2 8

7 2

) ∫ f ( x ) − g ( x ) dx

(

0

g ( x) − f ( x ) , x ∈[ 0,2]  f ( x) − g ( x) =   7  . Deci aria Γ f , g =  f ( x ) − g ( x ) , x ∈ 2,   2 

(

7 2

+

unde

2

) ∫ ( g ( x ) − f ( x )) dx + 0

937

∫ ( f ( x ) − g ( x )) dx = 192 . 2

Exemple cunoscute. 1. Arătaţi că aria cercului de ecuaţie x 2 + y 2 − R 2 = 0 este egală cu 

R

π R2  y = R2 − x 2 , x ∈ [ − R, R] ; aria = 2  

2. Arătaţi că aria elipsei de ecuaţie

∫

R

∫

R2 − x 2 dx = 4

−R

x2 a2

+

0

y2 b2

 R2 − x 2 dx  .  

− 1 = 0 este egală cu

203

π ab .

Probleme rezolvate 1. Să se calculeze aria mulţimii Γ f , g : a) f ( x ) = − x , g ( x ) = x , x ∈ [ 0,4] ; b) f ( x ) = x 3 , g ( x ) = x 2 , x ∈ [ 0,1]; c) f ( x ) = −1 + 2 − x 2 , g ( x ) = 1 − x 2 . R. În Fig.14 avem graficele funcţiilor f ,g . Ni se cere aria figurii haşurate. Avem: 4

Aria Γ f , g = ∫

(

) (

4

x + x dx = 2 ∫ xdx =

)

0

4

= 0

32 . 3

g(

x)

=x

2

0

4 3 x 3

Fig.14

Fig.15

b) Graficele celor două funcţii sunt date în Fig. 15. Aria figurii haşurate este 1

1  x3 x 4  1 Aria Γ f , g = ∫ x 2 − x3 dx =  −  = .  3  4 12  0 0

(

) (

)

1

(

) ∫ x2 − x3 dx , iar

Observaţie. Aria Γ f , g =

0

 x 2 − x3 , dacă x 2 − x3 ≥ 0, x 2 (1 − x ) ≥ 0 x 2 − x3 =  . 3 2 2 3 2  x − x , dacă x − x < 0, x (1 − x ) < 0

Cum x 2 (1 − x ) ≥ 0 implică x ≤ 1 , deducem că x 2 − x3 = x 2 − x3 pentru x ∈ [ 0,1] . Altfel. Se determină punctele de intersecţie ale curbelor y = x 2 , y = x3 , prin rezolvarea

204

1 acestui sistem şi găsim punctele O ( 0,0) , A(1,1) . Apoi pentru x = ∈[0,1] , avem 2 1 1 1 1 f   = < g   = . De aici deducem că f ( x ) ≤ g ( x ) , ∀x ∈ [ 0,1] şi deci aria 2 8  2 4 1

( Γ f , g ) = ∫ ( x2 − x3 ) dx . 0

c) Din y = −1 + 2 − x 2 rezultă y + 1 = 2 − x 2 , iar de aici prin ridicare la pătrat

( y + 1)2 = 2 − x 2 sau x2 + y 2 + 2 y − 1 = 0, C ( 0, −1) ∈ Oy şi de rază r = 2 .

care este ecuaţia unui cerc cu centrul în

De asemenea, y = 1 − x 2 dă x 2 + y 2 − 1 = 0 , care este ecuaţia cercului unitate. Primul cerc împarte cercul unitate în două porţiuni. Ni se cere aria porţiunii haşurate (Fig. 16) pentru care g ≥ f . Deci graficele celor două funcţii sunt arce din cele două cercuri. Zona haşurată se numeşte lunula lui Hipocrat. 1

Fig.16

(

) ∫(

Aria Γ f , g =

1 − x 2 + 1 − 2 − x 2 dx = 1 .

−1

)

Aria porţiunii (nehaşurată) cuprinsă între cele două cercuri este egală cu aria cercului unitate π din care se scade aria porţiunii haşurate. Avem: π − 1 . Altfel. Din condiţiile 2 − x 2 ≥ 0,1 − x 2 ≥ 0 rezultă x ∈ [ −1,1] .

Se determină punctele de intersecţie ale curbelor y = −1 + 2 − x 2 , y = 1 − x 2 prin rezolvarea acestui sistem. Egalăm membrii drepţi şi se obţine ecuaţia iraţională −1 + 2 − x 2 = 1 − x 2 cu soluţiile x1 = −1, x2 = 1 . Deci punctele de intersecţie sunt A (1,0 ) , A ' ( −1,0 ) . Pentru a vedea poziţia curbei lui f în raport cu g se calculează f ( x0 ) , g ( x0 ) unde x0 ∈ [ −1,1] . Pentru x0 = 0 rezultă g ( 0 ) = 1 > f ( 0 ) = −1 + 2 . Deci pe [ −1,1] , g ( x ) > f ( x ) şi aria 1

( Γ f , g ) = ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx . −1

2. Să se calculeze aria mulţimii cuprinse între curbele de ecuaţii: a) y 2 = 4 x, y = 2 x; b) y 2 = 8 x, x 2 = y; c) y 2 = 8 ( 2 − x ) , y 2 = 24 ( 2 + x ) . R. a) Se determină mai întâi punctele de intersecţie ale curbelor: y 2 = 4 x , care

205

reprezintă o parabolă cu vârful în O ( 0,0 ) , având axa Ox ca axă de simetrie şi y = 2 x, care reprezintă ecuaţia unei drepte. Pentru aceasta se rezolvă sistemul format  y2 = 4x din ecuaţiile curbelor  . Se găsesc soluţiile ( x1 = 0, y1 = 0) , ( x2 = 1, y2 = 2) (Fig.17).  y = 2x

Fig.17

Fig.18

Se consideră funcţiile f , g : [ 0,1] →
, f ( x ) = 2 x, g ( x ) = 2 x . Atunci 1

(

) ∫(2

aria Γ f , g =

x − 2 x dx =

)

0

1 4 31 4 1 x − x2 = − 1 = . 0 3 3 3 0

b) Se determină punctele de intersecţie ale celor două parabole prin rezolvarea  y 2 = 8 x sistemului format de ecuaţiile curbelor:  . Se găsesc punctele 2  y = x O ( 0,0 ) , A ( 2, 4 ) (Fig. 18). Acum se consideră funcţiile f , g : [ 0, 2] →
, f ( x ) = x , g ( x ) = 2 2 x . 3 2

2

) ∫(2

(

Aria Γ f , g =

2 x−x

0

2

)

4 2 2 dx = x 3

0

x3 − 3

2

= 0

16 8 8 − = . 3 3 3

c) Curba y 2 = 8 ( 2 − x ) reprezintă o parabolă cu vărful V ( 2,0 ) având ca axă de simetrie axa Ox , iar curba y 2 = 24 ( 2 + x ) este de asemenea o parabolă cu vârful V ' ( −2,0 ) ce are ca axă de simetrie tot axa Ox (Fig.19).  y 2 = 8 ( 2 − x ) Soluţiile sistemului  reprezintă punctele de intersecţie ale curbelor. Se 2  y = 24 ( 2 + x )

găsesc A1 −1, 24 , A2 −1, − 24 .

(

) (

)

206

Figura a cărei arie se cere este simetrică în raport cu axa Ox . Deci este suficient să găsim aria porţiunii haşurate şi apoi prin dublare să determinam aria cerută. Considerăm funcţiile f , g : [ −2,2] →
, f ( x ) = 24 ( 2 + x ) , g ( x ) = 8 ( 2 − x ) . Aria regiunii haşurate −1

este

∫

2

24 ( 2 + x )dx +

−2

=

∫ 8 ( 2 − x )dx = −1

16 6 32 6 . Aria totală este egală cu . 3 3

Fig.19

Probleme propuse 1. Să se calculeze aria mulţimii Γ f în cazurile: 1) f ( x ) = e x , x ∈ [ 0,1] ; x2 , x ∈ [1,2 ] ; 4) f ( x ) = x 2 + 3, x ∈ [ −1,1]; 2 4 1 5) f ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 1, x ∈ [ −1,2] ; 6) f ( x ) = , x ∈ [1,4] ; 7) f ( x ) = , x ∈ [1,2] ; x+1 x ( x + 1) f ( x ) = 2 x + 1, x ∈ [1, 3] ; 3) f ( x ) =

8) f ( x ) =

x x −1

, x ∈ [ 4,9] ; 9) f ( x ) = 2 x + 1, x ∈ [ 0,1] ;10) f ( x ) = 2 x + 1, x ∈ [ 0,1] .

2. Să se determine aria regiunii cuprinse între graficul funcţiei şi axa Ox în cazurile: a) 1) f ( x ) = − x , x ∈ [ 0,1]; 2) f ( x ) = x − 1, x ∈ [ −2,0] ; 3) f ( x ) = − x − 1, x ∈ [ 0,1];

4) f ( x ) = x 2 − 4; 5) f ( x ) = 9 − x 2 ; 6) f ( x ) = x ( x − 1) ; 7) f ( x ) = x 2 − 5 x + 6 ; b) 1) f ( x ) = 2 x + 1, x ∈ [ −1,0] ; 2) f ( x ) = x 2 − 1, x ∈ [ 0,2] ; 3) f ( x ) = x 2 − 3 x + 2, x ∈ [ 0, 2] ; 4) f ( x ) = x 3 − 1, x ∈ [ 0, 2] ; 5) f ( x ) = x ( x − 1) ( x + 1) ; 6) f ( x ) = cos x , x ∈ [ 0, π ] . 3. Să se calculeze aria mulţimii Γ f , g în cazurile: a) 1) f ( x ) = 2, g ( x ) = 5, x ∈ [ 2,4 ]; 2) f ( x ) = 1, g ( x ) = x 2 + 2, x ∈ [ 0, 2 ]; 3) f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x − 1, x ∈ [ 0,1] ; 4) f ( x ) = 4 − x 2 , g ( x ) = 3 x , x ∈ [ −1,1] ; 5) f ( x ) = x , g ( x ) = 2 x , 1  1 x ∈  0,  ; 6) f ( x ) = e x , g ( x ) = e − x , x ∈ [ 0,1] ;7) f ( x ) = 2 , g ( x ) = x , x ∈ [1, 3 ] ; x  4

8) f ( x ) = x , y = 1, x ∈ [ −1,1] ; 9) f ( x ) = x 2 + 1, g ( x ) = 3 − x , x ∈ [ −2,1] ; 10) f ( x ) = x 2 , g ( x ) = 2 − x 2 ; 11) f ( x ) = x 2 + 1, g ( x ) = − x 2 + 4; 12) f ( x ) = 2 x , g ( x ) = 4 x , x = 1;

207

1 x2 2 , g( x) = ;14) f ( x ) = , g ( x ) = 3 − x;15) f ( x ) = x , g ( x ) = 4 − 3 x ; 2 x x +1  π 5π  16) f ( x ) = sin x , g ( x ) = cos x , x ∈  ,  . 4 4 

13) f ( x ) =

2

b) 1) f ( x ) = x 3 , g ( x ) = 2 x; 2) f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x 3 , x ∈ [ 0, 2]; 3) f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x ,

1 g ( x ) = − x 2 + 2 x; 4) f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x, g ( x ) = x 2 − 5 x + 8; 5) f ( x ) = x 2 , g ( x ) = − x 3 + 3 x 2 , 2 x ∈ [ 0, 3] ; 6) f ( x ) = x 3 − x , g ( x ) = − x 3 + x 2 ; 7) f ( x ) = sin x , g ( x ) = cos x , x ∈ [ 0,2π ] . 4. 1) Parabola y 2 = 2 x împarte interiorul cercului x 2 + y 2 − 8 = 0 în două regiuni ale căror arii se cer. 2) Să se determine aria suprafeţei plane determinată de parabolele y = x 2 , y 2 = x .

3) Să se determine aria mărginită de elipsa x 2 + 2 y 2 = 1 , parabola y 2 = x + 1 şi dreapta x =0. x 2 4) Să se determine aria determinată de y = 2 şi dreptele y = 2 x , y = . 4 x 5. Pentru ce valoare a lui a, aria mărginită de parabola y = a 2 x 2 + ax + 1 , axa Ox şi dreptele x = 0, x = 1 este cea mai mică? x 1 6. Pentru ce valoare a lui a > 0 , aria delimitată de curba y = + 2 , axa Ox şi dreptele 6 x x = a , x = 2a ia cea mai mică valoare?

2. Volumul corpurilor de rotaţie O altă aplicaţie a calculului integral (a integralei definite) o constituie determinarea volumelor unor corpuri obţinute prin rotaţia unor suprafeţe în jurul unei axe de rotaţie. Corpurile astfel generate se numesc corpuri de rotaţie.

Fig.20

208

Fig.21

Să considerăm segmentul [OB ] ( y = f ( x ) ) şi regiunea determinată de acesta, axa Ox şi x=h. Este o suprafaţă triunghiulară pe care o rotim în jurul axei Ox cu 3600 . Se obţine conul din Fig. 20.b). În Fig. 21.a) segmentul [ AB ] ( y = f ( x ) ) delimitează cu axa Ox şi dreptele x = a, x = b regiunea haşurată. Prin rotirea ei în jurul axei Ox cu 3600 se obţine cilindrul din Fig. 21.b). Mai general are loc următoarea

Definiţie. Fie f : [ a, b ] → [0, ∞ ) o funcţie continuă. Mulţimea Cf =

{( x, y, z ) ∈


3

y2 + z 2 ≤ f ( x) , a ≤ x ≤ b ,

}

se numeşte corpul de rotaţie determinat de funcţia f sau corpul obţinut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox cu 3600 (Fig.22).

Ilustrăm, şi în acest caz cele două modalităţi de determinare a formulei care dă volumul corpului de rotaţie C f .

Fig.22

Fig.23

209

Volumul ca primitivă a unei funcţii

Volumul ca limită a unui şir de sume Riemann

În Fig. 23.a) ∆V este volumul corpului generat prin rotirea subgraficului lui f pe Să considerăm secţiuni perpendiculare pe axa Ox. Atunci acestea au formă de [ x, x + ∆x ] în jurul axei Ox cu 3600 . disc de arie π f 2 ( xi ) , i = 1, n , unde xi Au loc inegalităţile sunt punctele de diviziune ale 2 π y2∆x < ∆V < π ( y + ∆y) ∆x ,unde π y 2  x intervalului [ a, b ] (Fig.22). volumul este volumul cilindrului din Fig. 23.b), corpului poate fi aproximat printr-o 2 iar π ( y + ∆y ) ∆x este volumul sumă de volume de cilindri de raze cilindrului din Fig. 23.c). Am încadrat f ( xi ) şi înălţimi ∆x = xi − xi −1 . astfel volumul V între volumele a doi Volumul total V se aproximează prin cilindri. V ≈ ∑ ∆V = π ∑ f 2 ( xi ) ∆x (care este o ∆V 2 2 De aici π y ≤ ≤ π ( y + ∆y ) . Dacă sumă Riemann). ∆x b ∆x → 0 (adică creşte numărul De aici V = π ∫ f 2 ( x ) dx . ∆V dV a cilindrilor), atunci → şi ∆x dx dV ∆y → 0 . Deci = π y 2 , adică dx V = ∫ π y 2 dx .

Cu un raţionament similar celui de la arii se obţine b

V = π ∫ f 2 ( x )dx . a

Are loc următorul rezultat.

Teoremă. Dacă f : [ a, b ] → [0, ∞ ) este o funcţie continuă, atunci 1) corpul de rotaţie determinat de f are volum; b

2) vol ( C f ) = π ∫ f 2 ( x ) dx . a

210

Exemple cunoscute. 1. Volumul unui con circular drept de rază R şi înălţime h se obţine prin rotaţia subgraficului funcţiei f ( x ) = h

R x , x ∈ [ 0, h] , în jurul axei Ox (Fig.24) şi are h

h

valoarea V = π ∫ y 2dx = π 0

R2 π R 2h x 2dx = . 2 ∫ 3 h 0

Fig.24

Fig.25

Fig.26

Fig.27

2. Volumul sferei (bilei) de rază R se obţine prin rotaţia subgraficului funcţiei f ( x ) = R 2 − x 2 , x ∈ [ − R, R ] (semicerc) în jurul axei Ox (Fig. 25) şi are valoarea R

V =π

∫ (R

2

− x 2 dx =

)

−R

4π R 3 3

3. Volumul unui trunchi de con de raze r, R şi înălţime h se obţine prin rotaţia subgraficului R−r funcţiei f ( x ) = x + r , x ∈ [ 0, h] în jurul axei Ox (Fig. 26) şi are expresia h h

2

πh 2 R−r  x + r  dx = r + rR + R 2 . h 3   0

π∫

(

)

211

Probleme rezolvate 1. Să se calculeze volumele corpurilor de rotaţie determinate de funcţiile:  π  1 a) f : [ 0, 2 ] →
, f ( x ) = 2 x − x 2 ; b ) f :  0,  →
, f ( x ) = cos x; c ) f :  0,  →
,  2  2

f ( x ) = arcsin x; d ) f : [ 0,1] →
, f ( x ) = xe x ; e ) f : [1, e ] →
, f ( x ) = x ln x; f ) f : [ −2,2] →
, f ( x ) = x − 1 − x + 1 . π 2

R. a) Avem: vol C f = π ∫ 2 x − x 2

( )

0

(

)

2

dx =

2 16π π2 ; b ) vol C f = π ∫ cos 2 x dx = 15 4

( )

0

1 2

1 π2  3π π c) vol C f = π ∫ arcsin 2 x dx = π  + − 1 ; d ) vol C f = π ∫ x 2e 2 x dx = e2 − 1 ; 72 6 4   0 0

( )

( )

(5e

3

(

)

1 2  −1  32π ; f ) vol C f = π  ∫ 4dx + ∫ 4 x 2 dx + ∫ 4dx  = ;   27 3 1 −1 1  −2  2. Să se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul lui Ox a mulţimii mărginite 3 de cercul x 2 + y 2 = 1 şi parabola y 2 = x . 2 R. Punctele de intersecţie ale cercului cu parabola se obţin rezolvând sistemul e

e) vol C f = π ∫ x 2 ln 2 x dx =

( )

)

−2 π

( )

x2 + y2 = 1 1 3 1 3  , când obţinem A  ,  , A '  , −  (Fig. 27). Se consideră funcţia  2 3 2  y = x 2 2  2 2 

 3  1 x , x ∈  0,   1  2  2 f : [ 0,1] →
, f ( x ) =  . Avem vol C f = π ∫ f 2 ( x ) dx =  1 − x 2 , x ∈  1 ,1 0    2  1  1 2 3  19π 2 = π  ∫ x dx + ∫ 1 − x dx  = . 0 2  48 1   2

( )

(

)

Probleme propuse 1. Să se calculeze volumele corpurilor de rotaţie determinate de funcţiile: 4 1) f ( x ) = sin x, x ∈[ 0,π ] ; 2) f ( x ) = e− x , x ∈[ 0,2] ; 3) f ( x ) = , x ∈[1,4]; 4) f ( x ) = x2 , x ∈[ 0,3] ; x 5) f ( x ) = x 2 + 1, x ∈ [ 2,5] ; 6) f ( x ) = x ( x − 2 ) , x ∈ [ 0, 2] ; 7) f ( x ) = x + 1, x ∈ [ 0,3];

212

3

8) f ( x ) = x 1 − x , x ∈ [ 0,1] ; 9) f ( x ) = 1 − x 2 , x ∈ [ 0,1] ;10) f ( x ) = x 2 − 3 x + 2, x ∈ [ −1,2]; 11) f ( x ) = x − 1 − 2 , x ∈ [ 0,3] . 2. Să se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia regiunii, în jurul axei Ox , cuprinse între curbă şi axa Ox în fiecare din cazurile: 1) f ( x ) = ( x + 1) ( x − 3 ) ; 2) f ( x ) = 1 − x 2 ; 3) f ( x ) = x 2 − 5 x + 6; 4) f ( x ) = x 2 − 3 x . 3. 1) Regiunea din plan delimitată de arcul de parabolă y 2 = 4 x , axa Ox şi dreptele x = 0, x = 4 se roteşte în jurul axei Ox. Să se determine volumul corpului de rotaţie. 2) Cercul x 2 + y 2 = 9 se roteşte în jurul diametrului care coincide cu axa Ox. Să se determine: a) volumul segmentului din sferă determinat de două plane perpendiculare pe Ox duse la 1 şi respectiv 2 unităţi de centrul sferei, de aceeaşi parte; b) volumul calotei sferice determinate de un plan situat la două unităţi de centrul sferei. 3) Să se determine volumul generat prin rotaţia elipsei x 2 + 4 y 2 = 16 în jurul axei mari. 4) Hiperbola echilaterală xy = 1 se roteşte în jurul axei Ox. Să se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia arcului cuprins între x = 1 şi x = 4 . 5) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, a regiunii comune a parabolelor y 2 = 4 x , x 2 = 4 y . 4. Să se determine volumele corpurilor obţinute prin rotaţia în jurul axei Ox a mulţimilor mărginite de curbele: 1) y = x , y = x 2 ; 2) y = 4 x , y = x 2 ; 3) y = x 2 , y =

5) y = x , x ∈ [ 0,8] , y = 2 x − 8, x ∈ [ 4,8] .

213

x ; 4) y = 2 x , y = 2 ( x − 1 ) ;

REZUMATUL CAPITOLULUI

Explicitare. Notaţii

Definiţii. Proprietăţi

Exemple

f : [ a , b ] →
admite primitive F : [ a , b ] →
o primitivă a lui f b

Integrala definită a lui Newton

not

∫ f ( x ) dx = F ( b) − F ( a ) =

x3 ∫ x dx = 3

1

2

b F ( x) . a

a

0

=

1 . 3

0

1 1

∫ sin x dx = − cos x −1 = − cos1 + cos1 = 0

b

Numarul

1

∫ f este integrala definită −1 a

a funcţiei f pe [ a , b] . f este integrabilă Riemann pe

[ a , b]

dacă ∀ Dn ∈ D [ a ,b] cu

1 x+1 1 n−1   1 2 Dn =  0, , ,..., ,1  , Dn = → 0, n n  n n  f : [ 0,1] →
, f ( x ) =

n ( n) Dn → 0( n → ∞) , şi ∀ξ ( ) = ξi    puncte intermediare, şirul ( n )  este convergent la σ  Dn f ,ξ   n n 1 2  n n ξ ( ) =  , , ..., = 1  , σ f , ξ ( ) = acelaşi număr real. Acest număr se n n n 

(

)

(

)

Integrala definită pentru b n 1 n 1 f : [ a , b ] →
, fnotează ∫ f ( x ) dx şi se numeşte = = ∑ f ( ξ i ) ( xi − x i −1 ) = ∑ n i =1 i + 1 a continuă i =1 n integrala definită a lui Riemann pe n n [ a , b] . Deci 1 1 =∑ = . Avem: lim ∑ b i+n n → ∞ i =1 i + n i = 1 n σ Dn f , ξ ( ) . ∫ f ( x ) dx = nlim 1 →∞ dx 1 a =∫ = ln ( x + 1 ) = ln 2 . 0 1 + x Dacă f este continuă, atunci cele 0 două tipuri de integrală definită coincid.

(

b

Reguli de integrare

)

b

1

a

∫( x

∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + a

1 2

)

0

b

1) Integrala sumei

+ ∫ g ( x ) dx (Integrala sumei este a

=

x3 3

214

0

1

+ 0

egală cu suma integralelor)

1

+ x dx = ∫ x 2dx + ∫ xdx =

2 x x 3

0 1

= 0

1 2 + =1 3 3

b

2) Factor constant

∫ cf

b

1

( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx

a

1

2 2 2 x2 ∫ 5 x dx = 5 ∫ x dx = 5 ⋅ 2

a

0

(Constanta iese de sub integrală)

∫ u ( x ) v '( x ) dx = u ( x ) v ( x ) a

−

u = x u' = 1 ⇒  x x  v ' = e  v = e

− ∫ v ( x ) u ' ( x ) dx sau scrierea a b

b

∫ udv = uv − ∫ v du

diferenţială

a

a

a

0

0

a

b

1 5

I = ∫ xe x dx

b

3) Integrarea prin părţi

=

1

b

b

0

1

I = xe x

1 0

1

− ∫ e x dx = xe x 0

1 0

− ex

1 0

=

= e − ( e − 1) = 1 1

3

I = ∫ x 2 2 x dx 0

4) Integrarea prin substituţie (sau schimbare de variabilă)

u( b )

b

∫ f ( u ( x ) ) u '( x ) dx = ∫ a

u = x 3 ⇒ du = 3 x 2dx;

f ( t ) dt ,

 x1 = 0  u1 = 0 ⇒   x2 = 1  u2 = 1

u( a )

t = u( x) I=

1

1

0

0

1 u 1 2u 1 2 du = ⋅ = ∫ 3 3 ln 2 3ln 2

1

1

1

b b 2 x − 3e x dx = 2 ∫ x dx − 3 ∫ e x dx = ∫ Proprietăţi α f x + β g x dx = α f x dx + ( ( ) ( )) ∫ ( ) −1 −1 −1 ale integralei ∫ a a definite b 1 1  1  1  + β ∫ g ( x ) dx , α , β ∈
= x2 − 3e x = 0 − 3 e −  = 3 − e  1) Linearitatea −1 −1  e e 

(

)

a

2

b

c

b

 x − 1, x ≥ 1 I = ∫ x − 1 dx; x − 1 =  ⇒ f ( x ) dx , 1 − x , x < 1 0

2) Aditivitatea ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ a a c la interval c ∈ ( a , b ) Relaţia lui Chasles

Aria regiunii determinate de graficul

f : [ a , b ] →
continuă. Atunci

215

1

2

0

1

1 1 ⇒ I = ∫ ( 1 − x ) dx + ∫ ( x − 1) dx = + = 1 2 2

f ( x ) = x ( x − 1) , a = −1, b = 2

f ( x ) ≥ 0, x ∈ [ −1,0] ∪ [1,2] , f ( x ) ≤ 0, 0

funcţiei f, axa Ox şi dreptele x = a, x = b, a < b

∫ f ( x ) dx −

x ∈ [ 0,1] . Atunci: Aria =

b

Aria = ∫ f ( x ) dx

−1 1

a

2

− ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 0

1

5 1 5 11 + + = 6 6 6 6

f ( x ) = x2 , g ( x ) = x Aria delimitată 2   x − x , x ∈ [ 0,1] de graficele f x − g x = ( ) ( )  2 funcţiilor f , g f , g : [ a , b] →
continue. Atunci:  x − x , x ∈ ( 1, 2] b şi dreptele 1 2 Aria = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx x = a, x = b Aria = ∫ x − x 2 dx + ∫ x 2 − x dx = a

0

AA = Volumul corpului generat de rotaţia subgraficului funcţiei f : [ a, b] →


(

)

1

(

)

1 5 + =1 6 6

f : [ 0,1] →
, f ( x ) = x 2

b

V = π ∫ f 2 ( x ) dx

1

x5 V = π ∫ x dx = π 5

1

4

a

0

în jurul axei Ox

216

= 0

π 5

Teste de evaluare Testul 1

Varianta A

Varianta B 2

2 1. Fie F : » → », f ( x) = e− x , iar F,G : » → » 1. Fie F : » → », f ( x) = sin x , iar F,G : » → » două primitive ale lui f pe » . două primitive ale lui f pe » . Să se stabilească relaţia de ordine între numerele Să se stabilească relaţia de ordine între F ( 2008) − F ( 2007) , G ( 2008 ) − G ( 2007 ) . π  π  numerele F   − F ( 0 ) , G   − G ( 0 ) . 2  2 2. Unde este eroarea? Pentru x ≥ 0 , avem x 2. Unde este greşeala? Să se calculeze dt ∫ t + 1 = ln (1 + x ) − ln 2, ( 1) . Pentru t ≥ 0 , 2π dx x 1 ∫ 3 + cos x . Substituim t = tg 2 . Deci 0 1 avem: ≤ 1 , iar de aici prin integrare pe t = tg 0, t = tgπ = 0 şi integrala devine 1+ t 1 2

x

dt

≤ x − 1, ( 2 ) . Din (1) şi [1, x ] se obţine ∫ 1+ t

2π

1

(2) rezultă ln ( x + 1) − ln 2 ≤ x − 1 . Punând

0

dx dt ∫ 3 + cos x = ∫ 2 + t 2 = 0, ( 1) . Pe de altă 0 0

parte

1 1 ≥ şi deci 3 + cos x 2

2π

∫

dx ≥ 3 + cos x

în ultima inegalitate x = 0 se obţine ln 2 ≥ 1 , 0 adică 2 ≥ e ! 1 3. a) Să se arate că ∀n ∈ » , n ≥ 2 , avem ≥ 2π ⋅ = π , ( 2) . Din (1) şi (2) rezultă 0 ≥ π ! 2 inegalităţile: n dx 1 1 1 1 1 1 3. a) Să se calculeze ∫ , n ∈ »* , n ≥ 2 ; + + ... + < ln n < 1 + + + ... + ; 3 2 3 n 2 3 n−1 1x b) Arătaţi că suma ariilor porţiunilor b) Arătaţi că suma ariilor dreptunghiurilor haşurate situate deasupra curbei este dată haşurate din figură este mai mică decât 1 1 de C n = 1 + + ... + − ln n . 1 1  2 n−1 1 − 2  . 2 n 

Dacă n → ∞ , atunci C n → c , unde c este constanta lui Euler ( c ≈ 0.577, c ∈ » − » ) . c) Utilizând raţiuni geometrice arătaţi că 1 0 pentru care , In = ∫ dx , n ∈ »* . a 7 x + 4 7 x + 4 0 0 2 ∫ 3 x − 4 x + 2 dx ≤ a . Să se arate că: 0 1 1 a) 7 I n + 1 + 4 I n = ; dx n+1 , 8. Se consideră I 0 = ∫ 2 6 x + 10 x + 0 b) şirul ( I n ) este descrescător; 8. Fie I 0 = ∫

(

c)

1

1 1 ≤ In ≤ ; ∀n ∈ »* ; 11( n + 1) 11 n

In = ∫ 0

a) I n + 2 + 6 I n + 1 + 10 I n =

n →∞

1

1

∫ f ( x ) dx = 2007 . Să se arate 0

că există c ∈ ( 0,1) astfel încât f ( c ) = c 2006 . x2

∫ xe

10. Să se calculeze: lim

0

t3

dt

. sin 3 x 11. Să se determine aria cuprinsă între parabolele y = x 2 , y 2 = 8 x . x→0

x n dx , n ∈ »* . Să se arate că: x 2 + 6 x + 10

1 ; n+1 b) şirul ( I n ) este descrescător;

22 ( I n + 2 I n + ... + nI n ) = 1 . n 9. Fie f : » → » o funcţie continuă cu

d) lim

proprietatea

)

1 ≤ 17 I n , ∀n ≥ 1 ; n+1 1 1 ≤ In ≤ , ∀n ≥ 2 ; d) 17 ( n + 1 ) 17 ( n − 1 ) c) 17 I n + 2 ≤

34 ( I n + 2 I n + ... + nI n ) = 1 . n 9. Fie f : [ 0,1] → » continuă cu proprietatea

e) lim

1

∫ f ( x ) dx = 0

a + 2b . Să se arate că există 2

c ∈ ( 0,1) astfel încât f ( c ) = ac + b . 10. Să se calculeze:

218

lim xe − x

2

x →∞

x

∫e

t2

dt

0

11. Să se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia subgraficului funcţiei f : [ 0,1] → » , f ( x ) = xe x în jurul axei

Ox .

Testul 2 Varianta A

Varianta B 1. Utilizând sume Darboux inferioare şi

1. Utilizând sume Darboux inferioare şi

1

2

dx 0; b) Aria Să se calculeze: a) ∫ x dx Să se calculeze: a) ∫ x , a > 0; b) ∫ f ( x ) dx; e +a e +a 0 regiunii plane cuprinse între graficul lui f , n F ( x) 1  2k − 1  , axa Ox şi dreptele x = 0, x = 1 . c) lim c) lim sn , unde sn = ∑ f  . x→∞ x n →∞ n k =1  2n  unde F este o primitivă a lui f pe » . 6. Să se arate că dacă f : [ 0,1] → » este o 6. Fie f : [ a , b ] → » , a < b o funcţie continuă funcţie continuă şi există n ∈ »* pentru care cu proprietăţile f ( a ) > a2 şi 1 1 1 b ∫ f ( x ) dx = 1 + 2 + ... + n , atunci există 3 ∫ f ( x ) dx < b 3 − a 3 . Să se arate că există 0

(

)(

c ∈ ( 0,1) astfel încât f ( c ) = 2n +1

7. Să se calculeze lim n n →∞

∫

2n

)(

1 − cn . 1− c

x 3dx . 1 + x4

n →∞

(

)

)(

)(

)

a

c ∈ ( a , b ) astfel încât f ( c ) = c 2 . 7. Să se calculeze lim n 2 n →∞

π

2n+1

∫

2n

x 2dx . 1 + x4

π 2

4

4 cos x dx sin x dx , α ∈ » − {±1,0} 8. Fie I (α ) = ∫ , α ∈ » . Să se 2 2 α sin x cos x + sin x + α 2 cos x 0 0

8. Fie I ( α ) = ∫

2

Să se calculeze lim I (α ) .

calculeze lim I (α ) .

9. Să se determine funcţia derivabilă f : » → » cu proprietatea

9. Fie f : [ 0, ∞ ) → » , continuă cu

α →1

α →1

220

t

x

proprietatea ca ∫ f ( t ) dt =

f ( x ) = x 2 + ∫ e − t f ( x − t ) dt .

0

0

2x . Se cere 1 + x2

f ( 0) .

10. Fie f : [ 0,3] → » , f ( x ) = x 3 − x . 1) Să se calculeze aria suprafeţei determinată de graficul funcţiei şi axa Ox. 2) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotirea subgraficului funcţiei în jurul lui Ox.

10. 1) Să se determine aria mulţimii cuprinse între parabolele y 2 = 8 x , y = x 2 . 2) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotirea porţiunii cuprinse între cele două curbe, în jurul axei Ox.

Testul 3 (grilă) Varianta A

Varianta B 2

1. Dacă f : » → », f ( x ) = e x are primitivele

1. Dacă F , G : » → » sunt două primitive 2

F , G : » → » , atunci între numerele

ale funcţiei f : » → » , f ( x ) = 3 x , atunci

A = F ( e ) − F ( 1) , B = G ( e ) − G ( 1) are loc

între numerele A = F ( 3) − F ( 2) , B = G( 3) − G( 2)

relaţia: a) A < B; b) A = B; c) A > B .

are loc relaţia: a) A > B; b) A < B; c) A = B .

2

2. Dacă

3

∫ f ( x ) dx = 1, ∫ f ( x ) dx = 3 , atunci 1

2. Dacă

1

2

3

∫

f ( x ) dx = 3, ∫ f ( x ) dx = 4,

0

1

2

2

∫ f ( x ) dx este: a) −2; b) 2; c) 3 .

∫ f ( x ) dx = 2 , atunci ∫ f ( x ) dx

3

1

f ( x ) = lim

n→∞

(

)

x xn + 1

(

3

, atunci

)

∫ f ( x ) dx

4. Limita lim n →∞

∑ k =1

n2

(n + k)

x n+ 2 + x n n→∞ x n+ 1 + 2n

3. Dacă f : [ 0, ∞ ) → », f ( x ) = lim

2

3

atunci

1 3 este egală cu: a) + ln 2; b) + ln 2; 2 2 5 c) + ln 2 . 2 n

3

5

∫ f ( x ) dx este egală cu: a) 2 + ln 2; 2

3 1 b) + ln 2; c) + ln 2 . 2 2

este egală cu:

4.Limita lim n →∞

1 n

2

n

∑ k n ek

este egală cu:

k =1

a) 2; b) 1; c)3. 5. Numărul a pentru care

3 3 3 a) ; b) c) . 4 2 8; 0

5. Numărul a pentru care

este: a) 4;

0

b) 5; c) 2 .

3. Dacă f : » − {−1,0} → » ,

xn x2 + 1 + 2

3

2dx

∫ ( x + 1) 3

π

a

0

1 4

12 ∫ sin 3 x cos 3 x dx = ∫ =

a

221

dx x2

este egală cu:

a

= −∫ 0

3dx

( x + 3)

este egal cu: a) a = 1; b) a = 0;

2

1 1 1 a) a = ; b) a = ; c) a = − . 2 4 2 2

2

2

6. Dacă A = ∫ ln ( 1 + x ) dx, Β = ∫

c) a = −1 . 2

1

1

,

1+ x

xdx , atunci: atunci: a) A < B; b) A = B; c) A > B. 1 +x 1

6. Dacă A = ∫ ln ( 1 + x ) dx , B = ∫ 1

e

7. Dacă I n = ∫ ln n x dx , n ∈ »* , iar

a) A > B; b) A = B; c) A < B . e

1

7. Dacă I n = ∫ x ln n x dx , n ∈ » * , iar

α = lim I n , atunci: 1) a) I n = e − ( n + 1) I n−1;

1

n →∞

α = lim n I n , atunci: 1) a) 2 I n − n I n − 1 =

b) I n = e 2 − n I n −1 ; c) I n = e − n I n −1 ( n ≥ 2 )

n→∞

= e ; b) 2 I n + n I n−1 = e 2 ; c) 2 I n + n I n = 1 .

2) a) α = 1; b) α = −1; c) α = 0.

2) a) α = 1; b) α = e; c) α = e 2 .

8. Integrala

2

e

2

8. Integrala

x dx

∫ xe

x −1

dx este egală cu:

e

a) 2 ( e − 1) ; b) 2e − 1; c) 2e + 1 . 9. Limita lim n →∞

∫

e

−3 x

este egală cu:

2 ( e − 1) 2 ( e + 1) e−2 a) ; b) ; c) . e e e

1

n+1

∫ ln x dx 1

n+1

dx este egală cu: a) 1;

9. Limita lim n →∞

n

∫

2

3− x dx este egală cu:

n

a) 0; b) 1; c) −∞ .

b) −1; c) 0.

x2

x

2 ∫ ln 1 + t dt

10. Limita lim x→0

0

(

sin 3 x

∫e

)

este egală cu:

1 2 a) ; b) ; c) 1. 3 3 11. Aria delimitată de parabolele 3 y = x 2 , y 2 = 3 x este egală cu: a) 1; b) 2; c) 3.

10. Limita lim x→0

t 2 −1

dt

0

sin 2 x

este egală cu: a) 1;

1 1 b) ; c) 2 . e e 11. Volumul corpului obţinut prin rotaţia regiunii comune delimitate de parabolele 3 y = x 2 , y 2 = 3 x , în jurul axei Ox este: a)

222

80π 82π 81π ; b) ; c) . 10 11 10

3. TESTE DE RECAPITULARE FINALĂ 1. TESTE PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT

Testul 1 (10 puncte din oficiu) – Timp de lucru 3 ore SUBIECTUL I (30 p.) ► Pentru întrebările 1-5 scrieţi litera corespunzătoare răspunsului corect pe foaia de examen. (3 p.) (3 p.)

1. Câte numere de 3 cifre se pot forma utilizând numai cifre din mulţimea {1, 2}? a) 6; b) 7; c) 8; d) 9 2. Cât este suma 1ˆ + 2ˆ + 3ˆ + 4ˆ + 5ˆ în grupul (
,+) ? a) 3ˆ ; b) 2ˆ ; c) 1ˆ ; d) 0ˆ ?

(3 p.)

3. Cât este produsul 1ˆ ⋅ 2ˆ ⋅ 3ˆ ⋅ ... ⋅ 6ˆ în corpul (
7 , +, ⋅) ? a) 6ˆ ; b) 2ˆ ; c) 3ˆ ; d) 4ˆ ?

(3 p.)

4. Câte soluţii are ecuaţia 2 x = 2 x în mulţimea numerelor reale? a) 1; b) 2; c) 3, d) 4. 5. Care este probabilitatea ca un element din mulţimea {1. 2. .... 10} să fie număr par? a) 0,4; b) 0,6; c) 0,7; d) 0,5.

6

2

(3 p.)

► Pentru întrebările 6-10 scrieţi doar răspunsurile pe foaia de examen.

Se consideră f :  →  , f ( x ) = x 3 + 1 . (3 p.) 6. Cât este f '( x ), x ∈  ? 1

(3 p.)

7. Cât este ∫ f ( x )dx ?

(3 p.) (3 p.)

8. Câte puncte de inflexiune are graficul funcţiei f ? f ( x ) − f (1) 9. Cât este lim ? x −1 x→1

(3 p.)

10. Cât este lim

0

1 x ∫ f ( t )dt ? x→∞ x 4 0

► Pentru subiectele II–IV se cer rezolvările complete.

SUBIECTUL II Se consideră patrulaterul convex ABCD în care AC ∩ BD = {O } . AC ⋅ BD . 2

(4 p.)

a) Să se arate că dacă AC ⊥ BD , atunci suprafaţa patrulaterului este egală cu

(4 p.)

b) Să se arate că dacă AC ⊥ BD , atunci OA2 + OB 2 + OC 2 + OD 2 = AB 2 + CD 2 .

(4 p.)

c) Să se arate că dacă AC ⊥ BD , atunci AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 .

(4 p.)

d) Să se determine x ∈  astfel încât să avem egalitatea AB2 = x +OA2 +OB2 −2OA⋅ OBcos  AOB .

(2 p.) (2 p.)

e) Să se arate că dacă AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 , atunci AC ⊥ BD . AC ⋅ BD f) Să se arate că dacă suprafaţa patrulaterului ABCD este egală cu , atunci AC ⊥ BD . 2

223

SUBIECTUL III (20 p.) Se consideră o funcţie f :  → , monoton crescătoare pe  , care verifică proprietăţile f (x+y)=f (x)+f (y), ∀x , y ∈  şi f (1) = 1 . (4 p.) a) Să se verifice că f (0) = 0 . (4 p.) b) Să se verifice că f (− x ) = − f ( x ), ∀x ∈  . (4 p.)

(4 p.) (2 p.) (2 p.)

c) Utilizând metoda inducţiei matematice, să se arate că ∀n ∈ * şi ∀a1 , a2 , ..., an ∈  avem f (a1 + a2 + ... + an ) = f (a1 ) + f (a2 ) + ... + f (an ) . 1 1 d) Să se arate că f   = , ∀n ∈ * .  n  n

e) Să se arate că f ( x ) = x , ∀x ∈  . f) Utilizând eventual faptul că, pentru orice a < b, a , b ∈  , există r ∈  astfel încât a < r < b , să se arate că f ( x ) = x , ∀x ∈  .

SUBIECTUL IV (20 p.) Se consideră şirurile (an ) ,a = 1+ n∈* n

 1 1 2 + ... + − ln n +  , ∀n ∈ * ,  2 n  3 

(bn )n ∈ * , bn = 1 +

 1 1 1 + ... + + ln n +  , ∀n ∈ *  2  2  n

şi funcţiile f : (0, ∞) →  şi g : (0, ∞) →  , f ( x ) = g( x ) =

(4 p.)

a) Să se calculeze f '( x ), g '( x ), x > 0 .

(4 p.)

b) Să se arate că

lim f ( x ) = 0 şi

x→∞

  1 3 1 − ln  x +  + ln  x +  ,    x +1  2  2    1 5 2 − ln  x +  + ln  x +  , ∀x > 0 .    x +1  3  3 

lim g ( x ) = 0 .

x→∞

(4 p.) (2 p.)

c) Să se verifice că f '( x ) > 0, ∀x > 0 şi g '( x ) < 0, ∀x > 0 . d) Utilizând rezultatele de la punctele b) şi c), să se arate că f ( x ) < 0 < g ( x ), ∀x > 0 .

(2 p.)

e) Să se arate că şirul (an ) este strict crescător şi şirul (bn ) este strict descrescător. 1 f) Să se arate că 0 < bn − an < , ∀n ∈  * . 6n

(2 p.)

g) Să se demonstreze că şirul (an ) este convergent şi limita sa are primele două zecimale egale cu primele două zecimale ale termenului a17 . (Bacalaureat M1, varianta 1, matematică-informatică, iunie-iulie, 2004) (2 p.)

Testul 2 (10 puncte din oficiu) – Timp de lucru 3 ore SUBIECTUL I (30 p.) ► Pentru întrebările 1–5 scrieţi litera corespunzătoare răspunsului corect pe foaia de examen.

(3 p.) (3 p.)

1. Care este restul împărţirii polinomului X 5 − 1 la polinomul X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 ? a) 0; b) 1; c) – 1; d) X. 2. Câte submulţimi cu 2 elemente are o mulţime cu 5 elemente? a) 15; b) 5; c) 20; d) 10.

224

(3 p.)

3. Cât este suma 1ˆ + 2ˆ + 3ˆ + ... + 6ˆ în grupul (
7 ,+) ? a) 3ˆ ; b) 2ˆ ; c) 1ˆ ; d) 0ˆ .

(3 p.)

4. Care este probabilitatea ca un element al inelului
10 să fie inversabil faţă de îmnulţire? a) 0,4; b) 0,3; c) 0,5; d) 0,6.

(3 p.) 5. Câte soluţii reale are ecuaţia 2 x = 3 x ? a) 0; b) 1; c) 2; d) 3. ► Pentru întrebările 6–10 scrieţi doar răspunsurile pe foaia de examen.

Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) = e 2 x + e−2 x . (3 p.) 6. Cât este f '( x ), x ∈  ? (3 p.) 7. Care este aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele x = 0 şi x = 1? (3 p.) 8. Câte puncte de inflexiune are graficul funcţiei f ? f ( x ) − f (0) (3 p.) 9. Cât este lim ? x x →0 (3 p.) 10. Câte puncte de extrem local are funcţia f? ► Pentru subiectele II-IV se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL II (20 p.)  = CAE  =α. Într-un plan se consideră triunghiul ABC şi punctele D, E ∈ ( BC ) astfel încât BAD Dacă XYZ este un triunghi, notăm cu S XYZ suprafaţa sa.

(4 p.) (4 p.)

a) Să se determine numărul real x pentru care avem egalitatea S XYZ = xAB ⋅ AD sin α . S ⋅S BD ⋅ BE . b) Să se arate că BAD BAE = SCAD ⋅ SCAE CD ⋅ CE S BAD ⋅ S BAE AB 2 = . SCAD ⋅ SCAE AC 2

(4 p.)

c) Să se arate că

(4 p.)

d) Să se calculeze expresia

(2 p.)

e) Să se arate că, dacă în plus, AE este mediană, atunci

(2 p.)

f) Să se arate că dacă punctele M , N ∈ ( BC ) şi

BD ⋅ BE ⋅ AC 2 CD ⋅ CE ⋅ AB 2

. BD AB 2 = . CD AC 2

BM ⋅ BN AB 2 . = , atunci  BAM = CAN CM ⋅ CN AC 2

SUBIECTUL III (20 p.) 3 2 1 1 0 0     Se consideră matricele A = 6 4 2 , I 3 = 0 1 0 şi B = I 3 + A . 9 6 3 0 0 1 (4 p.) a) Să se calculeze determinantul şi rangul matricei A. 1   (4 p.) b) Dacă X = 2 şi Y = (3 2 1) să se calculeze matricea S = A − X ⋅ Y .   3 (4 p.)

c) Să se verifice că A2 = 10 ⋅ A .

225

(4 p.) (2 p.) (2 p.)

1 A. 11 e) Să se găsească trei matrice U , V , W ∈ M 3 (») de rang 1, astfel încât B = U + V + W . f) Să se arate că oricare ar fi două matrice C , D ∈ M 3 () de rang 1, avem C + D ≠ B .

d) Să se arate că matricea B este inversabilă şi inversa sa este matricea B−1 = I 3 −

SUBIECTUL IV (20 p.) x

Se consideră funcţiile fn :  → , definite prin f0 ( x) = 1 −cos x şi fn+1( x) = ∫ fn(t )dt , ∀n ∈, ∀x ∈  . 0

(4 p.)

a) Să se verifice că f1 ( x ) = x − sin x , ∀x ∈  .

(4 p.) (2 p.)

b) Să se calculeze f 2 ( x ), x ∈  . c) Utilizând metoda inducţiei matematice, să se arate că

(4 p.)

x 2n+1 x 2n−1 n x n+1 − + ... + (−1) + (−1) sin x , ∀n ∈  , ∀x ∈  . 1! (2n + 1)! (2n − 1)! d) Să se arate că graficul funcţiei f1 nu are asimptotă la ∞ .

(2 p.)

e) Să se arate că 0 ≤ f n ( x ) ≤ 2 ⋅

(2 p.)

f) Să se arate că lim

(2 p.)

 3 5 2 n +1   = sin x , ∀ x ∈  . g) Să se arate că lim  x − x + x + ... + (− 1)n x 3! 5! (2 n + 1)!  n→∞  1!

f 2n+1 ( x ) =

xn , ∀n ∈  , ∀x > 0 n!

xn = 0, ∀x > 0 . n→∞ n !

(Bacalaureat, M1, varianta 3, matematică-informatică, iunie-iulie, 2004).

Testul 3 (10 puncte din oficiu) – Timp de lucru 3 ore. SUBIECTUL I (30 p.) ► Pentru întrebările 1–5 scrieţi litera corespunzătoare răspunsului corect pe foaia de examen.

(3 p.)

1. Câte soluţii are ecuaţia xˆ 2 = xˆ în inelul
6 ? a) 1; b) 2; c) 3; d) 4.

(3 p.)

2. Câte elemente inversabile faţă de înmulţire are inelul
6 ? a) 2; b) 3; c) 1; d) 4.

(3 p.)

3. Cât este C92 ? a) 81; b) 72; c) 36; d) 18.

(3 p.) (3 p.)

4. Care este suma elementelor inelului
6 ? a) 1ˆ ; b) 0ˆ ; c) 2ˆ ; d) 3ˆ . 5. Care este probabilitatea ca un element al mulţimii {1, 2, 3, …, 10} să se dividă cu 3? a) 0,3; b) 0,4; c) 0,5; d) 0,2.

► Pentru întrebările 6–10 scrieţi doar răspunsurile pe foaia de examen.

Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) = x 5 − 5 x . (3 p.) 6. Cât este f '( x ), x ∈  ? f ( x ) − f (0) (3 p.) 7. Cât este lim ? x x→0 f ( x) (3 p.) 8. Cât este lim ? x→∞ x 5

226

(3 p.)

9. Câte puncte de extreme local are funcţia f?

(3 p.)

10. Cât este ∫ f ( x )dx ?

1 −1

► Pentru subiectele II–IV se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL II (20 p.) În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(0,1), B(1,0) şi C(1,1). (4 p.) a) Să se calculeze lungimea segmentului AB. (4 p.) b) Să se determine panta dreptei AB. (4 p.) c) Să se scrie ecuaţia dreptei AC. (4 p.) d) Să se calculeze aria triunghiului ABC. (2 p.) e) Să se găsească un punct M în planul triunghiului ABC diferit de punctele A, B şi C, astfel încât lungimile segmentelor MA şi MB să fie numere naturale. (2 p.) f) Să se găsească M în planul triunghiului ABC, diferit de punctele A, B şi C, astfel încât lungimile segmentelor MA şi MB să fie numere iraţionale. SUBIECTUL III (20 p.) 1 0 0 1 1 0 1 0 0       Se consideră matricele A = 1 −1 0; B = 0 −1 0 şi I 3 = 0 1 0 .       0 0 1 0 0 1 0 0 1 (4 p.) a) Să se calculeze AB şi BA. (4 p.) b) Să se calculeze determinatul şi rangul matricei A. (4 p.) (4 p.)

c) Să se verifice că A2 = B 2 = I 3 . d) Să se arate că matricea A este inversabilă şi să se determine inversa sa.

(2 p.)

e) Să se calculeze determinatul matricei X = A + A2 + ... + A2004 .

(2 p.)

f) Să se arate că ( AB ) ≠ I 3 , ∀n ∈ * .

n

SUBIECTUL IV (20 p.) 2004

Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) = ( x + 4)

− x 2004 .

(4 p.) (4 p.) (4 p.) (4 p.)

a) Să se calculeze f '( x ), x ∈  . b) Să se verifice că f (−2 − x ) + f (−2 + x ) = 0, ∀x ∈  . c) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe  . d) Se să rezolve ecuaţia f ( x ) = 0 .

(2 p.)

e) Să se calculeze ∫ f ( x )dx .

0 −4

(2 p.) f) Să se determine intervalele de convexitate şi concavitate ale funcţiei. (Bacalaureat, M1, varianta 3, Ştiinţe ale naturii, august-septembrie, 2004)

Testul 4 (10 puncte din oficiu) – Timp de lucru 3 ore. SUBIECTUL I (30 p.) ► Pentru întrebările 1–16 scrieţi doar răspunsurile pe foaia de examen.

(3 p.) (3 p.)

1. Cât este produsul 1ˆ ⋅ 2ˆ ⋅ ... ⋅ 8ˆ în inelul (
9 , +, ⋅) ? 2. Care este probabilitatea ca un element n din mulţimea {1, 2, 3, 4, 5} să verifice relaţia 2n ≤ n + 2 ?

227

(3 p.) (3 p.)

3. Dacă funcţia f :  →  , f ( x ) = 2 x + 3 şi g :  →  este inversa sa, cât este g (1) ? 4. Câte submulţimi nevide, cu cel mult două elemente are mulţimea {1, 2, 3, 4} ?

(3 p.)

5. Câte soluţii reale are ecuaţia x 2 + 3 x + 2 = 0 ?

Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 1 . (3 p.) 6. Cât este f '( x ), x ∈  ? 1

(3 p.)

7. Cât este ∫ f ( x )dx ?

(3 p.) (3 p.)

8. Câte puncte de extreme local are funcţia f? 9. Câte puncte de inflexiune are graficul funcţiei f? n +1 10. Cât este lim ? n n→∞

0

(3 p.)

SUBIECTUL II (20 p.) (4 p.)

11. Care este ecuaţia dreptei care trece prin punctele A(4,5) şi C (5,4) ?

(4 p.)

12. Care este lungimea segmentului cu capetele în punctele A(4,5) şi C (5,4) ?

(4 p.) (4 p.) (2 p.)

13. Care este conjugatul numărului complex 1 + i ? 14. Cât este cos 0 ? 15. Care este aria triunghiului cu vârfurile în punctele A(4,5), B (1,1) şi C (5,4) ?

(2 p.)

16. Care este suma soluţiilor complexe nereale ale ecuaţiei x 3 − 1 = 0 ?

► Pentru subiectele III–IV se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL III (20 p.)  2 3     , O = 0 0, I = 1 0 şi menţiunea I ( A) = {aA + bI a, b ∈ } . Se consideră matricele A =  2 −1 −1 2 0 0 2 0 1 (4 p.) a) Să se arate că O2 ∈ I ( A) şi I 2 ∈ I ( A) . (4 p.) (4 p.)

b) Să se verifice că, A2 = A + I 2 = O2 . c) Să se calculeze determinantul şi rangul matricei A.

(4 p.) (2 p.)

d) Să se arate că A2005 = A . e) Să se arate că dacă B ∈ M2 ( ) şi AB = BA , atunci B ∈ I ( A) .

(2 p.)

f) Să se arate că oricare Y ∈ I ( A), Y ≠ O2 este inversabilă.

SUBIECTUL IV (20 p.) Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) = arctg( x + 2) − arctg x . (4 p.) a) Să se calculeze f '( x ), x ∈  . f ( x ) − f (0) (4 p.) b) Să se calculeze lim . x x →0 (4 p.)

c) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe (−∞,−1 şi strict descrescătoare pe

1, +∞) .  (2 p.) (2 p.)

π , ∀x ∈  . 2 e) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f către −∞ .

d) Să se arate că 0 < f ( x ) ≤

228

(4 p.)

(

)

x 1 1 f) Să se arate că ∫ arctg(t + a)dt = ( x + a)arctg( x + a) − ln ( x + a)2 +1 + ln(a2 +1) −a arctg a , 2 2 0

∀x ∈  , ∀a ∈ * . (Bacalaureat, M1, varianta 2, Şiinţele naturii, iunie-iulie, 2005)

Testul 5 (10 puncte din oficiu) – Timp de lucru 3 ore ► Pentru întrebările 1–5 scrieţi litera corespunzătoare răspunsului corect pe foaia de examen.

SUBIECTUL I (30 p.)

(3 p.)

1. Cât este suma C50 − C51 + C52 − C53 + C54 − C55 ? a) – 1; b) 0; c) 1; d) 5. 1 + 2i 1 2. Cât este modulul numărului complex z = ? a) 1; b) 2; c) 3; d) . 2−i 2 3. Câte soluţii are ecuaţia log 2 x + 2log x 2 = 3 ? a) 0; b) 2; c) 3; d) 1.

(3 p.)

4. Câte funcţii bijective f : A → A, A = {a , b, c} există? a) 1; b) 2; c) 6; d) 2.

(3 p.)

5. Cât este suma pătratelor rădăcinilor ecuaţiei x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 − 2 x + 2 = 0 ? a) 1; b) – 1; c) – 2; d) 0.

(3 p.) (3 p.)

►Pentru întrebările 6–10 scrieţi doar răspunsurile pe foaia de examen.

Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) =

x3

(3 p.)

x2 + 1 6. Câte asimptote are graficul lui f?

(3 p.)

7. Cât este suma

.

10

∑

f (k ) ?

k =−10 1

(3 p.)

8. Să se calculeze ∫ f ( x )dx .

(3 p.) (3 p.)

9. Câte puncte de extrem are funcţia f? 10. Să se precizeze o primitivă F a lui f pe  cu F(0) = 0.

−1

►Pentru subiectele II-IV se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL II dreptele de ecuaţii: (d1 ) : y + 5 x −18 = 0, (d2 ): 5 x + y −18 = 0, (d 3 ): 3 y + 2 x − 2 = 0 . Notăm d1 ∩ d2 = {B}, d2 ∩ d3 = {C }, d1 ∩ d 3 = { A} . (4 p.) a) Să se determine coordonatele punctelor A, B, C. (4 p.) b) Să se calculeze lungimile segmentelor AB, AC, BC.

Se consideră în planul

(4 p.) (4 p.) (4 p.)

xOy

c) Să se arate că sin 2 A + sin 2 C = 1 . d) Să se scrie ecuaţia medianei B. e) Să se determine raza cercului circumscris triunghiului ABC.

SUBIECTUL III (20 p.) a b     a , b, c , d ∈
, a + b = c + d  ⊂ M (
) . Fie M =  2       c d   

(4 p.)

a) Să se arate că M este o parte stabilă a lui M2 (
) în raport cu adunarea matricelor.

229

(4 p.)

b) Să se arate că M este o parte stabilă a lui M2 (
) în raport cu înmulţirea matricelor.

(4 p.)

c) Să se arate că ( M , ⋅) este monoid.

(4 p.)

a b   ∈ M este element inversabil al monoidului M dacă d) Să se arate că matricea M =   c d  şi numai dacă (a + b)(a − c ) = ±1 .

(4 p.)

 a  1 − a  e) Să se arate că mulţimea M1 =   a ∈
 este un subgrup al grupului  a − 1 2 − a     elementelor inversabile din M.

SUBIECTUL IV (20 p.)

x2 Se consideră funcţia f :  0, ∞) →  , f ( x ) = . x +1 1 (4 p.) a) Să se arate că f ( x ) = x − 1 + , ∀x ≥ 0 . x +1 (4 p.) b) Să se arate că f admite primitive şi să se determine acestea. 1

(4 p.)

c) Să se calculeze ∫ f ( x )dx .

(4 p.)

1 d) Dacă an = f   +  n 

0

2 f   + ... +  n 

 n f   , n ∈ * să se arate că  n 

 1 1 1  n −1 + + ... +  − an = n  , ∀n ∈ * .  n + 1 n + 2 2n  2

(4 p.)

an . n→∞ n

e) Să se calculeze lim

Testul 6 (10 puncte din oficiu) – Timp de lucru 3 ore ► Pentru întrebările 1–5 scrieţi litera corespunzătoare răspunsului corect pe foaia de examen.

SUBIECTUL I (30 p.) (3 p.)

1. Cât este suma 2 +4 + 6 + … + 100? a) 1000; b) 2500; c) 2550; d) 3000.

(3 p.)

2. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei

(3 p.)

3. Cât este C52 + A42 ? a) 22; b) 23; c) 24; d) 26.

(3 p.)

4. Pentru şirul (an ) , an = n

(

)

x − 2 x2 − 3 x < 0 este: a)  2, ∞) ; b)  2, 3) ; c) (0, 3) ; d) ∅ .

n 1 1 are loc inegalitatea an − < dacă: 2n + 1 2 100

a) n ≥ 20 ; b) n ≥ 23 ; c) n ≥ 25 ; d) n ≥ 30 . (3 p.)

5. Care este probabilitatea ca alegând un număr k ∈ {1,2,...,20} să avem i k = −i şi  −1 + i 3 k 1 1 1 1   = 1 ? a) ; b) ; c) ; d) .   2 3 5 10 2

230

► Pentru întrebările 6-10 scrieţi doar răspunsurile pe foaia de examen.

Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) = x 2 + 1 − x . (3 p.) (3 p.) (3 p.)

(3 p.)

(3 p.)

6. Să se arate că x 2 + 1 f '( x ) + f ( x ) = 0, ∀ ∈  . f ( x ) − f (0) 7. Cât este lim ? x x →0 8. Câte asimptote are graficul funcţiei f? 9. Să se calculeze

lim (1 + f ( x ))

x→∞ 1

10. Să se determine ∫

1 f ( x)

.

x 2 + 1 f ( x )dx .

−1

► Pentru subiectele II–IV se cer rezolvările complete.

SUBIECTUL II (20 p.) În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele A(−2,1), B (1, −2); C (4, 2) . (4 p.) (4 p.) (4 p.) (4 p.)

(4 p.)

a) Să se scrie ecuaţia dreptei AB. b) Să se determine punctul D din plan pentru care ABCD este paralelogram. c) Să se determine aria palalelogramului ABCD. d) Să se arate că a , b, c , d ∈  sunt afixele vârfurilor A, B, C, D, atunci:  2 2 2 2 c − a + d − b = 2 b − a + c − b  .      e) Exprimaţi vectorii BA, BC , BD în funcţie de vectorii i şi j şi verificaţi egalitatea    BD = BA + BC .

SUBIECTUL III (20 p.) −1 −1 0 1 0 0 0 0 0       Se consideră matricele A =  1 0 0 , I 3 = 0 1 0 şi O3 = 0 0 0 .       0 0 1 0 0 0 0 1 0 (6 p.)

a) Să se calculeze determinantul şi rangul matricei A.

(4 p.)

b) Să se calculeze matricele A2 şi A3 .

(4 p.)

c) Să se verifice că A3 + A2 + A = O3 .

(2 p.)

d) Să se găsească o matrice B ∈ M3 ( ), B ≠ O3 cu proprietatea AB = BA = O3 .

(2 p.)

e) Să se arate că A2005 = A.

(2 p.)

f) Să se arate că I 3 ≠ aA + bA2 + cA3 , ∀a , b, c ∈  .

SUBIECTUL IV (20 p.) 1

xn

0

1 + x2

Fie şirul (an ) cu termenul general an = ∫ (4 p.)

1

dx , n ∈ * , a0 = ∫

a) Să se calculeze a0 şi a1 .

231

dx

0 1+ x

2

.

(4 p.) (4 p.) (4 p.) (4 p.)

1 , ∀n ∈  . n+1 c) Stabiliţi dacă (an ) este convergent. 1 1 d) Arătaţi că ≤ an ≤ , ∀n ≥ 2 . 2(n + 1) 2(n − 1)

b) Să se arate că an+2 + an =

e) Calculaţi lim

n→∞

(nan ) .

Testul 7 (10 puncte din oficiu) – Timp de lucru 3 ore. SUBIECTUL I (30 p.) ► Pentru întrebările 1–5 scrieţi litera corespunzătoare răspunsului corect pe foaia de examen. 1 1 1 2005 2006 (3 p.) 1. Cât este suma + + ... + ? a) ; b) ; c) 2005; d) 2006. 1⋅ 2 2⋅ 3 2005 ⋅ 2006 2006 2005 (3 p.) 2. Câte submulţimi cu 3 elemente are o mulţime cu 5 elemente? a) 8; b) 9; c) 10; d) 11.

(3 p.) (3 p.)

3. Cât este suma 1 + i + i 2 + ... + i 2006 ? a) i; b) –i; c) 0; d) 1 4. Care este probabilitatea ca numărul log 2 n, n ∈ 1, 64  ∩  să fie întreg? 7 5 1 ; b) ; c) 0; d) . 64 64 2 5. Dacă matricea A ∈ M2 ( ) , are det (A) = 3, atunci det (2A) este egal cu: a) 6; b) 12; c) 9; d) 18.

a)

(3 p.)

► Pentru întrebările 6-10 scrieţi doar răspunsurile pe foaia de examen.  1 Se consideră funcţia f : (0, ∞) →  , f ( x ) = ln 1 +   x  (3 p.) 6. Cât este derivata funcţiei? f ( x ) − f (1) (3 p.) 7. Cât este limita lim ? x −1 x→1 (3 p.) 8. Cât este suma f (1) + f (2) + ... + f ( n)?

(3 p.)

9. Să se determine o primitivă F a lui f cu lim F ( x ) = 1 . x 0

2

(3 p.)

10. Cât este ∫ f ( x )dx ? 1

SUBIECTUL II (20 p.) În planul xOy se consideră punctele A, B, C de afixe a = 1 + i , b = 1 − i şi respectiv c = (1 − 3 )i . (4 p.) a) Să se calculeze AB, AC, BC. (4 p.) b) Să se determine aria triunghiului ABC. (4 p.) c) Să se determine raza cercului circumscris triunghiului ABC. (4 p.) d) Să se precizeze afixul ortocentrului triunghiului ABC.     (4 p.) e) Să se calculeze OA, OB , OC , OG în funcţie de versorii i , j şi să se arate că  1    OG = OA + OB + OC . 3

(

)

232

SUBIECTUL III (20 p.) Fie ecuaţia x 3 + ax 2 + bx + c = 0 cu coeficienţi reali şi având rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈  (4 p.)

a) Să se determine a , b, c dacă x1 = 1, x2 = 2,, x3 = 3 .

(4 p.)

b) Să se arate că rădăcinile sunt în progresie aritmetică dacă şi numai dacă 2a3 −9ab+27c =0 .

(4 p.) (4 p.)

c) Să se arate dacă a 2 < 2b , atunci ecuaţia nu are toate rădăcinile reale. d) Să se formeze o ecuaţie cu rădăcinile y1 = 2 x1 + x2 + x3 , y2 = 2 x2 + x1 + x3 ,

(4 p.)

y3 = 2 x3 + x1 + x2 . e) Să se arate că dacă a = b = c + 1 = 0 , atunci mulţimea rădăcinilor ecuaţiei date formează un grup în raport cu înmulţirea numerelor complexe.

SUBIECTUL IV (20 p.) Se consideră funcţia f : (0,1 →  , f ( x ) = (4 p.)

n

1 − (1 − x ) x

, n ∈ * .

a) Să se calculeze lim f ( x ) . x →0 x>0

(4 p.)

 f ( x ),  b) Să se arate că funcţia g :  0,1 →  , g ( x ) =    n,

(4 p.)

c) Să se arate că ∫ g ( x )dx = ∫ 1 + x + x 2 + ... + x n+1 dx .

1

1

0

0 n

(4 p.)

(

k−1

d) Să se arate că f ( x ) = ∑ (−1) n 1

e) Să se arate că ∑

k =1 k

este integrabilă.

C nk x k−1 , ∀x ∈ (0,1 .

n

(−1)k−1

k =1

k

= ∑

x =1

)

k =1

(4 p.)

x ∈ (0,1

C nk .

Testul 8 (10 puncte din oficiu) – Timp de lucru 3 ore. ► La toate subiectele se cer rezolvări cu soluţii complete.

SUBIECTUL I (20 p.) În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(0, −5), B (−1,2), C (4,7), D (5,0) . (4 p.)

a) Să se determine a , b ∈  , astfel încât punctele A(0, −5) şi C (4,7) să aparţină dreptei

(4 p.) (4 p.) (4 p.) (2 p.)

ax + by = 5 . b) Să se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului BCD. c) Să se arate că dreptele AC şi BD sunt perpendiculare. d) Să se calculeze aria triunghiului ABC. e) Să se rezolve ecuaţia sin 3 x = 0, x ∈ (0, 2π) .

(2 p.)

f) Să se determine modulul, numărului complex (3 + 4i )⋅ (−1 − i ) .

SUBIECTUL II (30 p.) 2

(3 p.)

1. a) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x = 2 .

233

(

)

50

(3 p.)

b) Să se determine al treilea termen al dezvoltării 2x − 3 x

(3 p.) (3 p.)

c) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f = X 4 la polinomul g = X2 −3X . d) Să se arate că numărul 2007 aparţine progresiei aritmetice 2, 7, 12, 17, … .

(3 p.)

e) Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) = x 2 − 4 x + 6 . Să se determine f ( f (2)) .

(3 p.) (3 p.) (3 p.) (3 p.) (3 p.)

2. Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) = e 2 x , ∀x ∈  . a) Să se calculeze f '( x ), x ∈  . b) Să se arate că f este strict crescătoare pe  . c) Să se arate că f este convexă pe  . d) Să se determine asimptota orizontală spre −∞ la graficul funcţiei f. e) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A(0,1) .

.

SUBIECTUL III (30 p.)   a −b  a −b  a, b ∈   . Se consideră Se consideră mulţimea M = A =  şi funcţia f :  → M, f (a + ib) =       b a   b a    

cunoscute formulele cos ( x + y ) = cos x ⋅ cos y − sin x ⋅ sin y şi sin( x + y) = sin x ⋅ cos y + sin y ⋅ cos x . (4 p.)

a) Să se arate că f ( z 1 ⋅ z2 ) = f ( z1 )⋅ f ( z2 ), z1 , z2 ∈  .

(4 p.)

b) Să se arate că dacă a 2 + b 2 = r 2 , r ∈  0, ∞) atunci există t ∈  0, 2π) astfel ca a = r cos t şi b = r sin t .

(4 p.)

r cos t −r sin t n cos nt − sin nt  c) Să se arate că   = r n   , ∀n ∈  ∗ .  r sin t r cos t   sin nt cos nt 

(2 p.)

n a −bn an −bn   atunci an2 + bn2 = a 2 + b 2 , ∀n ∈ ∗ . d) Să se arate că, dacă   =  an  b a   bn

(2 p.)

e) Să se arate că dacă a 2 + b 2 < 1 atunci lim an = lim bn = 0 .

(

n→∞

(2 p.)

(2 p.)

)

n→∞

 3 −1   X = X  f) Să se arate că dacă matricea X ∈ M 2 ( ) verifică relaţia   −  3  atunci X ∈ M . 1  g) Să se determine numărul matricelor X ∈ M2 () care verifică ecuaţia X 2007 =  2 

SUBIECTUL IV (20 p.) 1 definit prin a0 = 1 şi an+1 = an + , n≥0 . Se consideră şirul (an ) n≥0 a n

(4 p.)

a) Să se arate că şirul (an ) este strict crescător. n≥0

(4 p.)

b) Să se arate că an2+1 > an2 + 2 , pentru orice n ∈  .

234

3 −1  , 1 3  3 −1  . 1 3 

(4 p.) (2 p.) (2 p.) (2 p.)

(2 p.)

c) Să se arate că

lim an = +∞ .

n→∞n

1 1 + ... + , ∀n ≥ 1 . 3 2n − 1 1 1 e) Să se arate că dacă < ln ( x + 1)− ln x < , ∀x ∈ (0, ∞) . x +1 x an f) Să se arate că lim = 2. n→∞ n 1 1 1  g) Să se arate că lim  + + ... +  = ∞ .  a a a n→∞ 1 2 n  (Varianta 34, M1, Matematică - informatică, 2007)

d) Să se arate că

2 n + 1 < an <

(2n + 1) + 1 +

Testul 9 (10 puncte din oficiu) – Timp de lucru 3 ore. ► La toate subiectele se cer rezolvări cu soluţii complete.

SUBIECTUL I (20 p.)

(4 p.)

4 − 3i . 4 + 3i b) Să se calculeze lungimea segmentului cu capetele în punctele A(3, −2) şi C (4,−3) .

(4 p.)

c) Să se calculeze produsul de numere complexe p = i ⋅ i 3 ⋅ i 5 ⋅ i 7 .

(4 p.)

d) Să se determine a , b ∈  , astfel încât punctele A(3, −2) şi C (4,−3) să fie pe dreapta de

(4 p.)

a) Să se calculeze modulul numărului complex

ecuaţie x + ay + b = 0 . (2 p.)

e) Să se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele A(3,−2), B (2, 2) şi C (4,−3) .

(2 p.)

f) Să se determine a , b ∈  astfel încât să avem egalitatea de numere complexe (5 + 6i ) = a + bi .

2

SUBIECTUL II (30 p.) 1. (3 p.)

a) Să se calculeze elementul 2ˆ 2006 în (
8 ,⋅) .

(3 p.)

3 −C7 + C8 . b) Să se calculeze expresia E = C10 10 8

(3 p.)

c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale strict pozitive ecuaţia log 5 x = −2 .

(3 p.)

d) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 16 x − 2 = 0 .

(3 p.)

e) Să se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} să verifice relaţia 3n > 10 .

2. Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) = x 5 + 7 x − 3 . (3 p.) a) Să se calculeze f '( x ), x ∈  . 1

(3 p.)

b) Să se calculeze ∫ f ( x )dx . 0

(3 p.) (3 p.)

f ( x ) − f (0) . x x →0 d) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe  .

c) Să se calculeze lim

235

(3 p.)

ln n + 3 . ln n→∞ n − 2

e) Să se calculeze lim

SUBIECTUL III (20 p.) Pe M 2 ( ) se consideră legea de compoziţie X ∗ Y = X ⋅ Y + X + Y , X , Y ∈ M 2 ( ) şi mulţimea

(4 p.) (4 p.) (4 p.) (2 p.) (2 p.)

 a b   .  , a ≠ −1 G =  A ∈ M 2 ( ) A =   0 a       a) Să se arate că „ ∗ ” este lege de compoziţie pe G. b) Să se arate că legea „ ∗ ” este asociativă. c) Să se determine elementul neutru E ∈ M 2 ( ) , în raport cu legea „ ∗ ”.

1 0 d) Să se determine simetrica matricei I 2 =   în raport cu legea „ ∗ ”. 0 1 e) Să se determine matricele X ∈ G care verifică ecuaţia X ∗ X = 3 I 2 . n

(2 p.) (2 p.)

a b f) Să se determine   , pentru n ∈ ∗ . 0 a  g) Utilizând metoda inducţiei matematice, să se arate că

(

)

I 2 ∗ I 2 ∗ ... ∗ I 2 = 2n − 1 I 2 , ∀n ∈ , n ≥ 2 .   n ori I n

SUBIECTUL IV (20 p.) Se consideră funcţia

f :  →  , f ( x ) = x + cos x , x ∈  şi şirul

, (an )n∈ 

cu a0 ∈ (0, π ) şi

an+1 = f (an ), n ∈  .

(4 p.)

a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare şi bijectivă. Pentru fiecare n ∈  , notăm cu bn unica soluţie a ecuaţiei f ( x ) = n .

(4 p.)

b) Să se arate că şirul (bn )

(4 p.)

c) Să se arate că lim bn = ∞ .

n∈ 

este strict crescător.

n→∞

(2 p.) (2 p.) (2 p.) (2 p.)

bn =1 . n→∞ n

d) Să se arate că lim

 π e) Să se arate că dacă a0 ∈ 0,  atunci şirul (an ) este strict crescător.  2  n∈  π  f) Să se arate că dacă a0 ∈  , π atunci şirul (an ) este strict descrescător. n∈   2 

g) Să se arate că pentru orice a0 ∈ (0, π ) şirul (an ) este convergent şi lim an = n∈ 

π . 2 (Varianta 46, M1, Matematică - informatică, 2007) n→∞

236

Testul 10 (10 puncte din oficiu) – Timp de lucru 3 ore. ► La toate subiectele se cer rezolvări cu soluţii complete.

SUBIECTUL I (20 p.) În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(−1,1), B (1, −1), C (2,0) . (4 p.) a) Să se determine lungimea segmentului BC. (4 p.) b) Să se determine aria triunghiului ABC. (4 p.) c) Să se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC. (4 p.) d) Să se calculeze cos Aˆ .

( )

(2 p.)

e) Să se determine panta dreptei AB.

(2 p.)

f) Să se arate că punctele A, B, C aparţin cercului de ecuaţie (2 x − 1) + (2 y − 1) − 10 = 0 .

2

2

SUBIECTUL II (30 p.) 9

1. Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) = (1 + x ) . (3 p.)

a) Să se calculeze f (−1) ,

(3 p.)

b) Să se calculeze suma C90 − C91 + C92 − ... − C99 .

(3 p.)

c) Să se determine numărul de termeni iraţionali din dezvoltarea binomului f

(3 p.)

d) Să se determine al treilea termen al dezvoltării binomului f

(3 p.)

e) Să se calculeze 5ˆ 7 în
7 .

2. Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) = (3 p.) (3 p.)

x x2 + 1

( 2).

( 2).

.

a) Să se calculeze f '( x ), x ∈  . b) Să se verifice că f (− x ) = − f ( x ), ∀x ∈  . f ( x) −

2 5 .

(3 p.)

c) Să se calculeze lim

(3 p.)

d) Dacă F este primitiva lui f care verifică relaţia F (0) = 1 , să se calculeze F (1) .

(3 p.)

e) Să se calculeze ∫ f ( x )dx .

x→2

x−2

2 −2

SUBIECTUL III (20 p.) 1 2 3 1 0 0 1 1 1       Se consideră matricea A = 2 4 6 , I 3 = 0 1 0 şi J = 1 1 1 .       3 6 9 0 0 1 1 1 1 (4 p.) a) Să se calculeze determinantul şi rangul matricei A. (4 p.)

b) Să se determine a ∈  astfel încât A2 = a ⋅ A .

(4 p.) (2 p.)

c) Să se arate că există a ∈  astfel încât An = a n−1 A, ∀n ∈ ∗ . d) Să se arate că există matricea coloană C ∈ M 3,1 ( ) şi o matrice linie L ∈ M1,3 ( ) , astfel ca A = C ⋅ L .

237

(2 p.)

e) Să se arate că matricea I 3 + A este inversabilă şi să se determine b, c ∈  astfel încât

( I 3 + A)−1 = bI 3 + cA . (2 p.) (2 p.)

1  n n f) Să se arate că pentru x , y ∈  , n ∈ ∗ avem: ( xI 3 + yJ ) = x n I 3 + ( x + 3 y ) − y n  J .  3

g) Să se arate că dacă x ≠ 0 şi x + 3 y ≠ 0 atunci matricea xI 3 + yJ este inversabilă şi să se determine inversa acesteia.

SUBIECTUL IV (20 p) Se consideră funcţia

1 f : 1, ∞) →  , f ( x ) = xα

pentru α > 0 şi şirurile

(an )n≥1 , (bn )n≥1

n 1 1 + ... + definite prin relaţiile an = 1 + , b = f ( x )dx , ∀n ∈ ∗ . α n ∫ α n 2 1

(4 p.)

a) Să se arate că şirul (an ) este crescător. n≥1

(4 p.)

b) Să se arate că funcţia f este descrescătoare.

(4 p.)

c) Să se demonstreze că f (k + 1) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ f ( k ), ∀k ∈ ∗ .

(2 p.)

d) Să se demonstreze inegalităţile an − 1 ≤ bn ≥ an−1 , ∀n ∈  , n ≥ 2 .

(2 p.)

e) Pentru α > 1 , să se calculeze lim bn .

k +1 k

n→∞

(2 p.)

f) Să se arate că (an )

(2 p.)

g) Să se arate că şirul (an − bn )

n≥1

este convergent pentru α > 1 şi divergent pentru α ≤ 1 . n≥1

este convergent, ∀α > 0 . (Varianta 56, M1, Matematică - informatică, 2007)

Testul 11 (10 puncte din oficiu) – Timp de lucru 3 ore. ► La toate subiectele se cer rezolvări cu soluţii complete.

SUBIECTUL I (20 p) (4 p.) (4 p.)

a) Să se calculeze sin 900 + sin 2700 . b) Să se determine coordonatele punctului de intersecţie al dreptelor d1 : x − y = 0 şi d2 : 2 x + y − 6 = 0 .

(4 p.) (4 p.) (2 p.) (2 p.)

c) Să se determine α ∈  , ştiind că dreptele d1 : x − y = 0 şi d 2 : αx + y − 6 = 0 sunt perpendiculare. d) Să se calculeze produsul scalar al vectorilor u = 3i − j şi v = −i + 3 j . x2 y2 − = 1 dusă prin punctul A(3,2) . 6 8 f) Să se determine aria unui triunghi care are laturile exprimate prin numere naturale şi are perimetrul egal cu 6. e) Să se determine ecuaţia tangentei la hiperbola

SUBIECTUL II (30 p) 1. Se consideră funcţiile f , g :  →  , f ( x ) = 2 x şi g ( x ) = x 2 . (3 p.)

a) Să se calculeze

( f  g )(−1)

şi ( g  f )(−1) .

238

(3 p.)

b) Să se arate că f ( x + y ) = f ( x )⋅ f ( y ), ∀x , y ∈
.

(3 p.)

c) Să se rezolve în
ecuaţia f (2 x ) = 2 f ( x ) .

(3 p.)

d) Să se calculeze suma f (0) + f (1) + ... + f (9) .

(3 p.)

e) Să se calculeze probabilitatea ca un element al mulţimii {0, 1, 2, 3, 4} să verifice inegalitatea f ( x ) ≥ g ( x ) .

2. Se consideră funcţia f :
→
, f ( x ) = x 4 − 4 x . (3 p.) (3 p.)

a) Să se calculeze f '( x ), x ∈
. f ( x ) − f (1) b) Să se calculeze lim . x −1 x→1

(3 p.)

c) Să se arate că funcţia f este strict descrescătoare pe intervalul (−∞,1 crescătoare pe intervalul 1, ∞) .

(3 p.)

d) Să se arate că funcţia f este convexă pe
.

(3 p.)

e) Să se calculeze ∫ f ( x )dx .

şi strict

1 0

SUBIECTUL III (20 p) a b  ∈ M (
), A ≠ αI , α ∈
şi mulţimea C( A) = X ∈ M (
) A⋅ X = X ⋅ A . Se consideră matricea A =  2 2 2 c d a ' b '  ∈ C ( A) şi b ≠ 0, c ≠ 0, a ≠ d atunci b ' = c ' = a '− d ' . (4 p.) a) Să se arate că dacă X =  c ' d ' b c a−d

{

}

(4 p.)

1 22 1 02 b) Să se calculeze   şi   . 0 1 2 1

(4 p.)

c) Să se arate că C ( A) = {αA + β I 2 α , β ∈
} .

(2 p.)

d) Să se arate că există matrice X , Y ∈ M 2 (
) astfel ca det X 2 + Y 2 < 0 .

(2 p.)

e) Să se arate că dacă B ∈ C ( A) , atunci A2 + B 2 = ( A + iB )( A − iB ) .

(2 p.)

f) Să se arate că dacă B ∈ C ( A) , atunci det A2 + B 2 ≥ 0 .

(2 p.)

g) Să se arate că dacă B , C ∈ C ( A) , atunci det B 2 + C 2 ≥ 0 .

(

(

)

)

(

)

SUBIECTUL IV ( 20 p )  1 cos , Se consideră funcţiile fa :
→
, g :
→
, h :
→
, unde a ∈
, fa ( x ) =  x    a ,

(4 p.)

  2 1 1  x sin , x ≠ 0  x sin , x ≠ 0 , h( x ) =  . g( x ) =  x x   x=0 x=0 0, 0, a) Să se calculeze lim g ( x ) .

(4 p.)

b) Să se arate că pentru orice a ∈
, funcţia fa nu are limită în punctul x = 0 .

x →0

239

x≠0 x=0

,

(4 p.) (2 p.) (2 p.)

c) Să se arate că g este continuă pe
. d) Să se arate că h este derivabilă pe
. e) Să se arate că h '( x ) = 2 g ( x ) − f0 ( x ) , pentru orice x ∈
.

(2 p.)

f) Să se arate că fa admite primitive dacă şi numai dacă a = 0 .

(2 p.)

g) Să se determine valorile lui a pentru care funcţia fa2 admite primitive. (Varianta 80, M1, Matematică - informatică, 2007)

Testul 12 (10 puncte din oficiu) – Timp de lucru 3 ore. ► La toate subiectele se cer rezolvări cu soluţii complete.

SUBIECTUL I (20 p) În sistemul cartezian xOy se consideră punctele O (0,0), A(1,2), B (1, a ) cu a ∈
. (4 p.)

a) Să se determine lungimea segmentului (OA) .

(4 p.) (4 p.) (4 p.)

b) Să se determine ecuaţia mediatoarei segmentului (OA). c) Să se determine a ∈
pentru care OA = OB . d) Să se determine ecuaţia cercului de centru O şi rază OA.

(2 p.)

e) Să se calculeze produsul de numere complexe i ⋅ i 2 ⋅ i 3 ⋅ i 4 ⋅ i 5 ⋅ i 6 ⋅ i 7 .       f) Să se calculeze produsul scalar al vectorilor u = 2 ⋅ i − 5 j şi w = 5 ⋅ i + 2 ⋅ j .

(2 p.)

SUBIECTUL II (30 p) 1. (3 p.) (3 p.) (3 p.)

a) Să se determine probabilitatea ca alegând n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5} să avem 2n ≤ n2 . b) Să se determine trei numere reale în progresie aritmetică crescătoare, ştiind că suma lor este 9, iar produsul lor este 15. c) Să se rezolve ecuaţia log 4 x = 2, x ∈ (0, ∞) .

(3 p.)

d) Să se rezolve în mulţimea  0, ∞) ecuaţia

(3 p.)

e) Să se determine valoarea minimă a funcţiei f :
→
, f ( x ) = x 2 − 6 x + 5 .

x+2 = x .

 π π 2. Se consideră funcţia f :
→ − ,  , f ( x ) = arctg x .  2 2 

(3 p.) (3 p.) (3 p.) (3 p.)

a) Să se calculeze f '( x ) , pentru x ∈
. b) Să se demonstreze că funcţia f este strict monotonă pe
. c) Să se determine ecuaţiile asimptotelor orizontale ale graficului funcţiei f. arctg x . d) Să se calculeze lim x x →0 1

(3p)

e) Să se calculeze ∫ f ( x )dx . −1

SUBIECTUL III (20 p) 1 2 3 4    , τ = 1 2 3 4 Se consideră grupul S4 al permutărilor cu 4 elemente şi permutările σ = 1 3 2 4 2 1 3 4

240

1 2 3 4  . şi e =  1 2 3 4

(4 p.)

a) Să se verifice că σ 2 = τ 2 = e .

(4 p.)

b) Să se arate că σ−1 = σ şi τ−1 = τ .

(4 p.) (2 p.) (2 p.)

c) Să se găsească o permutare a ∈ S4 pentru care a−1 ≠ a . d) Să se verifice că σ ⋅ τ ≠ τ ⋅ σ . e) Să se determine numărul de elemente ale mulţimii S4 .

(2 p.) (2 p.)

1 2 3 4  este un element de ordinul 4 în grupul S . f) Să se arate că permutarea  4 4 1 2 3 g) Să se arate că orice submulţime H a lui S4 care are cel puţin 13 elemente, conţine două permutări u şi v cu proprietate u ⋅ v ≠ v ⋅ u .

SUBIECTUL IV (20 p)  π  π sin nx Se consideră funcţiile f n :  0,  →
, f n ( x ) = , ∀ x ∈  0,  , f n ( 0 ) = n , ∀ n ∈  ∗ şi  2  sin x  2  π 2

integralele I n = ∫ f n ( x )dx , ∀n ∈ ∗ . 0

(4 p.)

a) Să se calculeze lim

sin nx

x→0 sin x

, n ∈ ∗ .

(4 p.)

 π b) Să se arate că funcţia este continuă pe intervalul  0,  , ∀n ∈ ∗ .  2  c) Să se calculeze integralele I1 şi I 2 .

(2 p.)

d) Utilizând formula sin a − sin b = 2sin

(4 p.)

a−b a+b cos , ∀a , b ∈
, să se arate că 2 2

(n − 1)π 2 ⋅ sin , ∀n ∈  ∗ , n ≥ 3 . 2 n −1 π e) Să se arate că I 2n−1 = , ∀n ∈ ∗ . 2  1 1 1 n+1 1  ∗ f) Să se arate că I 2n = 21 − + − + ... + (−1)  , ∀n ∈  . 3 5 7 2n − 1    1 1 1 n+1 1  π g) Să se arate că lim 1 − + − + ... + (−1) = . 3 5 7 2n − 1  4 n→∞ (Varianta 81, M1, Matematică - informatică, 2007) I n − I n−2 =

(2 p.) (2 p.) (2 p.)

241

2.

TESTE PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE ADMITERE ÎN FACULTATE

Testul 1 1. Determinaţi m ∈  astfel încât x 2 − x − m > 0, ∀x ∈  .  1 1 a) m ∈ 1, ∞) ; b) m = ; c) m ∈ −∞,  ; d) m ∈ ∅ .  2  4    x 2 + 3 xy − y 2 + 2 x − 5 y = −64 2. Rezolvaţi în
sistemul de ecuaţii  .     x − y = −7  3 a) 2,  ; b) (3,2) ; c) (2,8) ; d) (2,9) .  2  1

3. Să se rezolve ecuaţia log 2 3 + 2log 4 x = x

log9 16 log 3 x

4. S ă se afle restul împ ă r ţ irii polinomului

. a)

1 16 ; b) ; c) 2; d) 0. 3 3

P(X ) = X 3 + X 2 + X + 1

la polinomul

Q ( X ) = ( X + 1)( X − 2) . a) 5X+5; b) 0; c) 2X–1 d) -3X+4

5. Fie x1 , x2 rădăcinile ecuaţiei:

2− x

x+2

m

x

= 0, m ∈  . Calculaţi E = x12 + x22 + x1 x2 .

a) 2m 2 − 4 ; b) m 2 − 6m + 4 ; c) 6 − m ; d) 2. 1 −2 −2   6. Fie matricea M = 3 1 0  . Să se calculeze M 3 .   0 −1 1  1 0 0   a) 0 1 0 ; b)   0 0 1

−6 7 5    2 1 0 ; c)    1 1 1

−11 12 6     −9 −11 −18 ; d)   3 7   −9

−11 12 8   5 4 .  10    −9 0 4

(

7. Pentru ce valori reale ale lui m funcţia f :  →  , f ( x ) = mx + ln 4 + x 2

) este descrescătoare

pentru orice x ∈  ?  1 1  1 a) m ∈ (−∞,0  ; b) m ∈ − ,  ; c) m ∈ ∅ ;d) m ∈ −∞, −  .   2 2  2 

8. Fie funcţia f :  →  , f ( x ) = lim

x 2 + xe nx

n→∞ 1 + e nx

. Care este mulţimea punctelor de derivabilitate

ale funcţiei? a)  ; b) ∅ ; c)  − {0} ; d)  0, ∞) . −2 C k − C nk−2 − C nk− 2 , n, k ∈  , k ≥ 2, n ≥ k . a) 1 ; b) 0; c) 2; d) 1. 9. Să se calculeze expresia E = n k−1 3 C n−2

10. Să se determine primitivele funcţiei f : (0,1) ∪ (1, ∞) →  , f ( x ) = 2

a) ln ln x + C ; b) (ln x ) + C ; c) 2ln x + C ; d) ln 2 .

242

1 . x ln x

  x  1  1  11. Calculaţi integrala ∫ f ( x )dx , unde f ( x ) = max   , 3 x  , x ∈ −1,1 .  2   −1   4 2 3 a) 0; b) ; c) ; d) . ln 3 ln 4 ln 3 (Admitere, Universitatea Braşov, Facultatea Inginerie Electrică şi Calculatoare, 2003).

Testul 2 1. Fie A = { x ∈  , 3 x + 1 < 2log 2 ( x + 4)} . Dacă S = ∑ x , atunci a) S = 2; c) S ≥ 7 ; c) S = 3; x∈ A

d) S = 4; e) S = 1. 7

4

2. Dacă B este coeficientul lui x 3 din dezvoltarea expresiei E ( x ) = (1 + x ) (1 − x ) , atunci a) B = 4; b) B = – 7; c) B = 0: d) B = –11; e) B = 14. 3. Dacă α = z 12 − z 22 + z 22 − z 32 + z 32 − z 12 , unde z 1 , z 2 , z 3 sunt rădăcinile ecuaţiei z 3 − 3iz 2 − 4 z + 2i = 0 , atunci: a) α = 4 − 2 ; b) 3 + 5 : c) α = 4 + 2 5 ; d) α = 5 + 2 ;

e) α = 3 + 2 + 5 .    1 y−2 y−3 y−2 y−3   4. Fie M =  ∑ ( x + y ) , atunci: a) α = ; ( x, y) A2 x = 8 A2 x , 3C 2 x = 8C2 x  . Dacă α =   2     ( x , y)∈M b) α = 1 ; c) α = 7 ; d) α = 10 ; e) α =

23 . 2

     0 a −a         5. Dacă M = ∑ a , unde A = a ∈  matricea − 3 − 4 − 3 a  nu este inversabilă   , atunci:     a∈ A     − a a 0         1 1 a) M = : b) M = ; c) M = 1 ; d) M = 2; e) M = 5. 9 4 6. Pe
se defineşte legea de compoziţie x  y = xy − 7 x − 7 y + 56 . Dacă p este numărul elementelor simetrizabile în raport cu legea „  “, atunci: a) p = 0; b) p = 1; c) p = 2; d) p = 3; e) p = 6.   2 x − m2 x2 + mx + 1, x ≤ 1 7. Fie funcţia f :  → , f ( x) =  . Dacă A = {m ∈  f continuă pe  }   x − 1 + m x , x > 1    34 25 58 81 2 şi α = ∑ m , atunci a) α = 1 ; b) α = ; c) α = ; d) α = ; e) α = . 25 4 9 64 m∈ A 2

π 6 (sin x )2n

8. Se consideră şirul ( I n ) ,I =∫ n≥0 n

0

c) L =

cos x

dx . Dacă L = lim I n , atunci a) L = –1; b) L = 0; n→∞

1 π ; d) L = ; e) L = 1 . 2 6

9. Dacă L = lim

(arctg x)2

x→0 1 + x sin x − cos x

, atunci: a) L = 0 ; b) L = 1 ; c) L =

243

π 4 π ; d) L = ; e) L = . 4 3 3

  f (2 x + 2) + 2 g (4 x + 7) = x − 1 10. Fie funcţiile f , g :  →  care verifică relaţiile:  . Dacă     f ( x − 1) + g (2 x + 1) = 2 x , ∀x ∈  2 f (x)

28 26 13 14 13 7 14 13 d x , atunci: a) I = − + ln ; b) I = − ln ; c) I = + ln ; g ( x ) 3 9 7 3 9 3 9 9 0 7 13 7 d) I = + ln ; e) I = 4 + ln 2 . 3 2 9 (Admitere, A.S.E., Contabilitate, Economie generală, Bucureşti, 2003) I = ∫

Testul 3 ♦ Disciplina: Algebră.

 x− y x− y    2  −2 4 = 2 1. Să se rezolve sistemul de ecuaţii: 2   ln(2 y− x )  = 1.  3

 x − my + z = m  2. Să se rezolve şi să se discute în raport cu parametrul real sistemul:  x + y + z = 1 .  mx + y − m 2 z = 1   x  y  3 . Fie M =   x , y ∈
 . − y x     a) Să se arate că M este subgrup al grupului ( M 2 (
), +) .

b) Să se arate că M este parte strabilă a lui M 2 (
) în raport cu înmulţirea şi ( M , ⋅) este monoid comutativ. c) Să se determine elementele inversabile ale monoidului ( M , ⋅) . ♦ Disciplina: Analiză matematică.

I. Se consideră funcţia f ( x ) =

x2

1 e x pe domeniul maxim de definiţie, a fiind parametru real.

x2 + a 1. Pentru ce valori ale lui a funcţia are puncte de extrem? 2. Să se reprezinte grafic funcţia pentru a = 1, fără a folosi derivata a doua.  π II.1. Să se demonstreze că x tg 2 x < x , ∀x ∈ 0,  .  4  π 4

2. Calculaţi integrala ∫ x tg 2 xdx . 0

3. Folosind rezultatele de la punctele 1) şi 2) arătaţi că 8ln 2 > 4π − π 2 . ♦ Disciplina: Geometrie

În planul euclidian raportat la reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,8), B(−4,0), C (6,0) şi P (2,8) . Fie Q, R, S proiecţiile ortogonale ale lui P pe dreptele BC, CA, AB.

1. Să se determine ecuaţiile laturilor triunghiului ABC. 2. Să se determine coordonatele centrului, raza şi ecuaţia cercului circumscris triunghiului ABC. 3. Să se arate că punctele Q, R, S sunt coliniare şi să se scrie ecuaţia dreptei determinată de ele. 4. Să se arate că mijlocul segmentului [PH] aparţine dreptei QS, H fiind ortocentrul triunghiului ABC.

244

    5. Să se descompună vectorii ΩA, ΩB , ΩC , ΩH în funcţie de versorii i şi j ai axelor Ox şi Oy şi să     se arate că ΩA + ΩB + ΩC = ΩH , Ω fiind centrul cercului circumscris triunghiul ABC. x2

y2

− 1 = 0 . Tangenta la elipsă în punctul M 0 ( x0 , y0 ) al elipsei b2 intersectează axa Ox în punctul A şi axa Oy în punctul B. Să se determine poziţia punctului M 0 astfel încât aria triunghiului ABC să fie minimă. (Admitere, Universitatea „Babeş-Bolyai“, Matematică, Informatică, Cluj-Napoca, 2003)

II. Fie elipsa de ecuaţie

a2

+

Testul 4 ♦ Algebră

{

}

1. Fie A = x ∈  x − 8 + x − 1 = 7 . Atunci: a) A = ∅ ; b) A este infinită; c) A are 3 elemente; d) A are 7 elemente; e) A = {1, 2}. 2 3 4 2005 2. Valoarea expresiei E = ln + ln + ln + ... + ln este: a) 0; b) 1; c) ln 2003 ; d) ln 2004 ; 1 2 3 2004 e) ln 2005 . 3. Dacă ecuaţia x 3 + 9 x 2 + 3 x + a = 0, a ∈  are rădăcinile în progresie aritmetică, atunci a are valoarea: a) 45; b) –45; c) 0; d) 9; e) –117. 4. Pe
definim legea de compoziţie x ∗ y = xy − 6 x − 6 y + 42 . Suma elementelor simetrizabile în raport cu această lege este: a) ∞ ; b) 0; c) 12; d) 2004; e) 10.   (a + 3) x + 2 y + 2 z = a    5. Mulţimea valorilor parametrului a ∈  pentru care sistemul ax + 2 y + z = 4a este   x + zy + az = 6    incompatibil; a) {1, 2}; b) ∅ ; c) {–1, 1}; d) {1}; e) {–1}. 2 4  . Matricea A−9I −4A−1 este: a) O ; b) I ; c) A; d) A + I ; e) A − I . 6. Fie matricea A =  2 2 2 2 2 5 8 ♦ Analiză matematică x2

(

)

2 1. Se consideră funcţia f :  → , f ( x ) = ∫ e t t 3 − 3t + 2 dt . Dacă A ={ x ∈  x este punct de 0

extrem al lui f}, atunci: a) A = ∅ ; b) A = {−2,1} ; c) A = {0,−2,1} ; d) A = {0} ; e) A = {−1,0,1} . 2. Dacă y = ax + b este asimptotă oblică spre −∞ la graficul funcţiei f :  →, f ( x) = x2 + 3x + 5 − x , 7 5 1 atunci a + b este: a) −3 ; b) − ; c) − ; d) ; e) 0. 2 2 2 1  x 2  dx este: a) 3 + ln 4 ; b) − 3 + ln 4 ; c) − 5 ; d) 1 ; e) 0. 3. Valoarea integralei ∫   x + 1  2 2 2 2 0

4. Fie funcţia f :  →  , f ( x ) = lim

x 3 + xe nx

n→∞ 1 + e nx

. Numărul punctelor de discontinuitate ale lui f

este: a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4.

245

5. Valoarea limitei

lim

10e x − 8e− x

x→∞ e x + 7e− x

6. Limita şirului an =

n2 + 1 3

4

8 1 este: a) ∞ ; b) 0; c) − ; d) 10; e) . 7 4

este: a) ∞ ; b) 0; c)

8n 3 + 1 + 16n4 + 1 (Admitere, Univ., Matematică-Informatică, Constanţa, 2004)

1 1 1 ; d) ; e) . 2 4 8

Testul 5 1. Să se rezolve: a) ecuaţia: 4 x − 3 ⋅ 2 x + 2 = 0 ; b) inecuaţia 4 x + 2 ≤ 3 ⋅ 2 x ; 4 x − 3 ⋅ 2 x + 2 ≤ 0 c) sistemul:  2 x 2 − x ≥ 0.  2 1 3    2. Se consideră matricea A = 1 −1 1  , m ∈  .   1 2 m  a) Să se determine rangul lui A în funcţie de parametrul m. 2 x + y + 3 z = 1  b) Să se discute după m şi să se rezolve sistemul:  x − y + z = −1 .   x + 2 y + mz = m 3. Se consideră funcţia f :  →  , f ( x ) = 1 + x 2 − ax . f ( x) −1 a) Să se calculeze f '( x ) şi lim ; x x →0 b) Să se determine a > 0 astfel încât dreapta y = 0 să fie asimptotă orizontală spre +∞ ; c) Să se traseze graficul lui f, pentru a = 1 ; 1

d) Să se calculeze ∫ xf ( x )dx . 0 1

4. Fie I n = ∫

xn

2 0 x +1

dx , n ∈  .

a) Să se calculeze I 0 , I1 ; b) Să se demonstreze că şirul ( I n ) este strict descrescător; 1 c) Să se arate că I n+2 + I n = , ∀n ∈  . n +1 (Admitere, Univ., Fac. Automatică, Calculatoare şi Electronică, Craiova, 2004)

246

Testul 6 ♦ Algebră

I.1. Se dă matricea A ∈ M3 ( ) , unde M3 ( ) este inelul matricelor pătratice de ordin 3 cu elemente 0 0 1   reale, A = 1 0 0 . Să se arate că A3 = I 3 şi că are loc relaţia ( A − I 3 ) A2 + A + I 3 = O .   0 1 0

(

)

2. Fie σ ∈ S 3 o permutare din grupul simetric de gradul 3, astfel în cât σ 2 = e (e este permutarea identică). Demonstraţi că există k ∈ {1,2, 3} astfel încât σ( k ) = k . 3. Demonstraţi că polinomul P = X 3 +

1 X + 1 este ireductibil în   X  . 2

II.1. Fie G un grup cu n elemente, n ∈ * . Arătaţi că în orice coloană a tablei operaţiei lui G apar n elemente distincte. 2. Fie (
, +, ⋅) inelul numerelor întregi. Determinaţi toate morfismele de inele f :
→
. 3. Fie (, +,⋅) corpul numerelor complexe. Să se arate că f :  →  definit prin f ( z ) = z , este izomorfism de corpuri. ( z se notează conjugatul numărului complex z) ♦ Analiză matematică 1 1 1 + + .. + , n ∈ * . Demonstraţi că şirul ( H n ) este nemărginit. 2 3 n 2. Fie f :  →  o funcţie continuă şi mărginită. Demonstraţi că există x0 ∈  astfel încât f (x0) = x0 . 1 ( n) 3. Fie f :  − {−1} →  , f ( x ) = . Să se calculeze f(0) , unde n ∈ * , iar f ( n) se notează 1+ x derivata de ordin n a funcţiei f.

I.1. Fie H n = 1 +

II. Pentru n ∈ * considerăm f n :  →  , f n ( x ) = x n + x n−1 + ... + x − 1 . f ( x ) − f2 ( x ) a) Reprezentaţi grafic funcţia g : D →  , g ( x ) = 3 , unde D este domeniul maxim de f1 ( x ) definiţie al funcţiei g. b) Arătaţi că pentru orice n ∈ * , ecuaţia f n ( x ) = 0 are o unică soluţie reală un ∈  0,1 . este convergent. c) Demonstraţi că şirul (un ) n≥1

d) Să se determine lim un . n→∞

(Admitere, Univ. Tehnică, Facultatea de Informatică, Iaşi, 2003)

Testul 7 1. Fie ecuaţia 4mx 2 + 4 (1 − 2m ) x + 3(m − 1) = 0, m ∈  . a) Pentru m = 1 să se rezolve ecuaţia. b) Determinaţi valorile parametrului m pentru care ecuaţia are două rădăcini reale şi distincte. c) Determinaţi valorile lui m pentru care ecuaţia are o rădăcină mai mare decât 1, iar alta mai mică decât 1. d) Determinaţi valorile lui m pentru care ecuaţia admite rădăcini întregi.

247

2. Fie ecuaţia x 3 + ax 2 + bx + c = 0 , având rădăcinile x1 , x2 , x3 şi a , b, c ∈  . a) Pentru a = b = c = 1 să se rezolve ecuaţia. b) Să se determine ecuaţia care are rădăcinile y1 , y2 , y3 dacă y1 = 3 x1 + x2 + x3 , y2 = 3x2 + x1 + x3 , y3 = 3 x3 + x1 + x2 . c) Pentru a = b = c = 1 , fie ε una din rădăcinile ecuaţiei date. Să se arate că ε 2000 + ε 2005 + ε 2006 + ε 2001 = 0 . d) Determinaţi valorile parametrului real α ∈  pentru care sistemul următor admite soluţii  αx1 − x2 − x3 = 0    nenule:   x1 + 4 x2 − 2 x3 = 0 .      x1 − 2 x2 + 2 x3 = 0 x+k 3. Se consideră funcţia f : (0, ∞) →  , f ( x ) = , k fiind un parametru real. x a) Să se determine k astfel încăt f '(1) = −1 . b) Pentru k = 3 să se calculeze f '( x ) . c) Să se calculeze derivata f ''( x ) pentru k = 3 . d) Să se reprezinte grafic funcţia dată pentru k = 3 , folosind şi derivata a doua a funcţiei f.

4. Fie funcţia f :  →  , f ( x ) =

x2 − 3

. x2 + 4x + 5 a) Să se calculeze primitivele funcţiei. b) Determinaţi acea primitivă a funcţiei f care se anulează pentru x = −2 . 1

c) Fie I n = ∫

3 − x2 n

0 ( x + 2)

3 dx , n ∈  . Arătaţi că I n < , ∀n ∈  . n 2 +1

d) Să se calculeze lim I n . n→∞

(Admitere, Univ., Electrotehnică şi Informatică, Oradea, 2005)

Testul 8 ♦ Algebră şi Analiză matematică

1. Dacă S este suma rădăcinilor ecuaţiei x −2 + 2x +1 = 3 , atunci: a) s = −

2 2 ; b) S = ; c) S = 0 . 3 3

6 − x + x − 5 = 1 , atunci: a) S = 5; b) S = 8; c) S = 11.  x − y = 1 3. Dacă ( x0 , y0 ) şi ( x1 , y1 ) sunt soluţiile sistemului:  2 ,  x − 2 xy = 3, iar S = x + y + x + y 0 0 1 1  atunci: a) S = 0; b) S = 2; c) S = 5. 2 1 4. Dacă P este produsul rădăcinilor ecuaţiei 5 x ⋅ 125 x = , atunci: a) P = 2; b) P = –3; c) P = 3. 25 5. Dacă termenii unei progresii geometrice de raţie q îndeplinesc condiţiile a2 − a1 = 3 şi 2. Dacă S este suma rădăcinilor ecuaţiei:

a3 − a1 = 9 , atunci: a) a1 = 1, q = 4 ; b) a1 = 3, q = 1 ; c) a1 = 3, q = 2 .

248

{

}

6. Dacă A = x ∈  x − 1 ≤ 2

{

}

şi B = x ∈  x 3 − 3 x + 2 = 0 , atunci: a) A ∩ B = {1} ;

b) A ∩ B = {1,2} ; c) A ∩ B = {−2,1} . 7. Dac ă S este suma elementelor matricei A care verific ă ecua ţ ia 4 10 −5 1 5 2  7 −1 11       6 12 −3 + 2 A = 4 21 4 + 12 1 15 , atunci: a) S = 17; b) S = 29; c) S = 21. 1 −1 α    8. Matricea A = 1 2 α − 1 are rangul 2 pentru: a) α = −1 ; b) α = 0 ; c) α = 1 .   1 2 0  9. Dacă e este elementul netru pentru legea de compoziţie x ∗ y = x + y + 4, ∀x , y ∈
atunci ecuaţia x ∗ x ∗ x = e are soluţia: a) x = −4 ; b) x = −2 ; c) x = 0 . 3n3 +1

 1  n+5 10. Dacă l = lim 1 +  , atunci: a) l = e 3 ; b) l = e 2 ; c) l = 1 .  n→∞ n2   2   x + 2ax − 1, dacă x ∈ (−∞,2  f :  →  , f ( x ) =  este continuă pe  pentru:  3 x + a , dac ă x ∈ 2, ∞ ( )   a) a = −1 ; b) a = 0 ; c) a = 1.

11. Funcţia

12. Fie funcţia f :  →  , f ( x ) = − x 4 + x 3 + 2 x 2 − 6 x şi n numărul de puncte de maxim local ale lui f. Atunci: a) n = 0 ; b) n = 1 ; c) n = 2 . 13. O primitivă a funcţiei f :  →  , f ( x ) = xe x este: a) x 2e x + x ; b) xe x + e x ; c) xe x − e x . π 2

14. Dacă I = ∫ x sin xdx , atunci: a) I = π ; b) I = 1 c) I = 0 . 0

15. Considerăm funcţia

f : 1, ∞) →  , f ( x ) = (  x − 1 !) ⋅ x 2 , unde  x − 1 reprezintă partea

întreagă a lui x − 1 . Dacă an =

3(k − 1) k +1 1 n ∑ ∫ f ( x )dx şi l = lim an , atunci: a) l = 0; b) l = ∞ ; c) l = 1. n ! k =1 3k 2 + 3k + 1 k x→∞

(Admitere, Univ., Management-Marketing în afaceri Economice, Piteşti, 2004)

Testul 9 ♦ Algebră şi Analiză matematică

1. Dacă rădăcinile ecuaţiei x 2 + mx + m + n = 0, m , n ∈  verifică relaţiile x1 + x2 = 3 , x1 x2 = 2 , atunci: a) m = 0, n = 1; b) m = –3, n = 2; c) m = 2, n = 1; d) m = –3, n = 5; e) m = 3, n= 2. 2 x 2 − xy − y 2 + 2 x − 2 y + 6 = 0 2. Să se rezolve sistemul  .  y − x = 1  a) x = 2, y = 1 ; b) x = 1, y = 2 ; c) x = −1, y = 1 ; d) x = 0, y = 1 ; e) x = −1, y = 0 . 3. Fie E ( z ) = z 4 − z 3 + z 2 + z + 1 − i . Alegeţi răspunsul corect pentru E (1 − i ) ; a) 0; b) i; c) –1+i; d) –1–i; e) 1+i.

249

2 3 + 17 3 − 17 4. Solţiile ecuaţiei 3 x −3 x−2 = 9 sunt: a) x1 = , x2 = ; b) x1 = 0, x2 = 4 ; 2 2 c) x1 = 4, x2 = −1 ; d) x1 = 4, x2 = 1 ; e) x1 = 3, x2 = 2 .

5. Să se calculeze expresia E = log 6 6. Ecuaţia

(n + 1)! = 20 (n − 1)!

1 1 + log 6 . a) –3; b) –6; c) 6; d) log 6 9 ; e) log 6 6 . 18 12

este verificată pentru: a) n = 4; b) n = 7; c) n = 6; d) n =2; e) n ∈ ∅ .

7. Să se scrie termenii a3 şi a10 ai progresiei aritmetice (an ) , dacă a1 = 7 şi r = 2: a) 9; 12; n∈* b) 8; 21; c) 15; 43; d) 11; 25; e) 14; 28. 8. Fie f , g ∈   X  , f ( X ) = 2 X 4 − 3 X 2 + aX + b, g ( X ) = X 2 − 2 X + 3 . Să se determine a şi b astfel încât f să se dividă cu g. a) a = 2; b = –1; b) a = –5; b = 4; c) a = 14; b = –3; d) a , b ∉  ; e) a = 2, b ∈  . 9. Se dă ecuaţia x 3 + x 2 + λx + 8 = 0 . Să se determine λ ∈  ştiind că ecuaţia are o rădăcină x1 = 4 . a) λ = 10 ; b) λ = −10 ; c) λ = 20 ; d) λ = 22 ; e) λ = −22 . 10. Se dă ecuaţia x 3 − 2 x 2 + 3 x + 4 = 0 . Să se a) S = –1; b) S = 2; c) S = 7; d) S = 5; e) S = 9.  2 1   X = 5 11. Soluţia ecuaţiei matriceale   6 2 3

calculeze S = x1 + x2 + x3 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 . −1 2    6  ; b) X = 1 + i 3i  ;  este: a) X =     4 −3 8 −6  2

 9 5     1 0 6   ; d) X =  4 2  ; e) X =    0 1 .  1     3  2 1   x + 2 y + 3 z = 14  12. Fie sistemul liniar: 2 x + 3 y + z = 11 . Soluţia sistemului este: a)  3 x + y + 2 z = 11 c) (2,1, 2) ; d) (1,−1, 3) ; e) (0,2,3) .  4 − c) X =  5   2

(1, 2, 3) ;

b) (−1, 2, −3) ;

αx 2 1 = 1 . a) –1; b) –2; c) 2; d) 1; e) . 2 x→0 1 − cos 2 x

13. Să se determine α ∈  pentru care lim

 x + 1, x ∈  0,1   . Atunci valoarea lui a pentru care funcţia f 14. Fie funcţia f :  0, 2  →  , f ( x ) =  3ax + 3, x ∈ (1,2    1 1 1 este continuă este: a) 5; b) ; c) − ; d) − ; e) 0. 2 2 3 ln2 x, x ∈ 0, e  (   15. Să se determine α , β ∈  astfel încât funcţia f : (0, ∞) →  , f : (0, ∞) → , f ( x) =  αx+β, x∈(e,∞)  să fie derivabilă pe domeniul de definiţie. 1 2 a) α = , β = 1 ; b) α = e , β = 1 ; c) α = 2, β = e ; d) α = , β = −1 ; e) α = β = 2 . e e

250

16. Fie funcţia f :  →  , f ( x ) =

x x2 + 1

. Dacă F este o primitivă a lui f, atunci F(5) – F(–5) este:

a) 2; b) –2; c) 0; d) ln 2 ; e) −2 + ln 2 . x3

1

17. Fie I = ∫ 0

x2 + 1

dx . Atunci I este: a)

1 1 − ln 2 − ln 2 ; b) 0; c) 1; d) ; e) ln 2 . 2 2

 π 1 18. Să se calculeze aria mulţimii mărginită de graficul funcţiei f :  0,  →  , f ( x ) = şi  4  cos 2 x π dreptele x = 0, y = 0, x = . 4 2 a) ; b) 1+ln2; c) 1; d) 2; e) 2ln2. 3 (Admitere, Univ., Inginerie Mecanică şi Electrică, Ploieşti, 2004)

Testul 10 ♦ Analiză matematică

1. Fie f : (a , b) →  o funcţie derivabilă de trei ori pe (a,b). Să se arate că, dacă există patru puncte distincte pe graficul funcţiei, care să fie situate pe o parabolă de ecuaţie y = αx 2 + β x + γ , atunci: a) f ''(c ) = f '( c ) ; b) f (3) (c ) = 1 ; c) f (3) (c ) = 0 ; d) f (3) (c ) = −1 ; e) f ''(c ) = f (3) (c ) + 1 . x + 3 x−2 4 1 . a) 0; b) ; c) ; d) −1 ; e) ∞ . 3 4 x −1 x→1

2. lim

3.

2 +1 ln x

∫

2 −1

x

dx . a) π ; b) 2; c)

2 ; d) 0; e) ∞ .

4. Funcţia f :  → , f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c, a, b, c ∈  , are în x0 = 0 punct de inflexiune şi nu are puncte de extrem dacă: a) a = 0, b ≥ 0 ; b) a 2 − 3b < 0 ; c) a = c = 0 ; d) a = b = c = 1 ; e) a = b, c = 1 . x x − aa , a > 0 . a) a a ; b) ln a ; c) a a (1 + ln a ) ; d) 0; e) a a + ln a . x →0 x − a

5. lim

6. Fie funcţia f : D →  , definită prin f ( x ) = x + 1 + 10 x − 15 + x + 1 − 10 x − 15 , unde D este domeniul maxim de definiţie. Să se studieze derivabilitatea funcţiei în punctul x0 = 4 . a) f '(4) = 0 ; b) f '(4) = 1 ; c) f '(4) = 2 ; d) f '(4) = −1 ; e) nu există. ax 2 , are asimptotă oblică dreapta x−b a) a = 1, b = −1 ; b) a = b = 1 ; c) a = −1, b = 1 ; d) a = b = −1 ; e) a = 1, b = 2 . 7. Funcţia

f :  − {b} →  , f ( x ) =

( )

a

tg x a − (sin x ) 8. lim x →0 x>0

x

a +2

, a ≥ 1 , este: a) 0; b)

a a ; c) ∞ ; d) ; e) alt răspuns. a+2 6

251

y = x + 1 dacă:

9.

  1  1 lim  x − x 2 ln 1 +  . a) ; b) −∞ ; c) 0; d) 1; e) ∞ .   x  2 x→∞ 

 m 1  x sin , x ∈  − {0} 10. Mulţimea valorilor parametrului real m pentru care funcţia: f ( x ) =  x  0 , x=0  este derivabilă, este: a)  ; b) (0,∞) ; c) 1, ∞) ; d) (1,∞) ; e) alt răspuns. 11. Găsiţi toate numerele pozitive a astfel încât a x + 1 ≥ 2 x + 3 x , ∀x ∈  . a) 4; b) 6; c) {5, 10}; d) {2, 3}; e) {e , π} . 12. Pentru x ∈ (0, ∞) fie f1 ( x ) = x , f 2 ( x ) = x f1 ( x ) ,..., f k +1 ( x ) = x f k ( x ) . Calculaţi f 3' (2) . a) 1; b) ln 2 ; c) 2; d) alt răspuns; e) 3. n 1 ∞ 13. Pentru p ∈ (1, ∞) se consideră că şirul (an ) , unde an = ∑ . Pentru n ≥ 10 , care n=1 p k =1 k dintre afirmaţii este adevărată?  p p  ; b) an > p ; c) an ∈1, a) an >  ; d) an nu este mărginit; e) p < an < p + 1 .  p − 1  p −1

14. Soluţia inecuaţiei log x

15. Se notează 1

(2n + 1)2

Ωn =

2x + 7 < 1 , este: a) (1, 2); b) ∅ ; c) (5, 9); d) (5, 10); e) (0, 1). 5− x

(2n )! 4n ( n !)2

π 2

, C n = ∫ x 2 cos n xdx . Se cunoaşte că există

an

astfel ca

0

= an−1Ω n−1C 2n−1 − anΩ nC 2n+1 , n ∈  . Se cere să se găsească an . a) an = n ;

b) an = 7 ; c) an = 2 ; d) an = 4n ; e) an =

2n + 1 . 2

16. Se consideră funcţia f ( x ) = e− x + a ( x − 1), a ∈  . Să se determine valorile lui a pentru care f admite un minim. a) a ∈ (0, ∞) ; b) a = −e ; c) a = −1 ; d) a ∈ (−1,0) ; e) a = −7e 2 . (Admitere, Univ., Ingineri, Sibiu, 2004)

Testul 11 ♦ Algebră şi Analiză matematică

1. Să se determine toate valorile lui m ∈  pentru care funcţia f :  →  ,  2 x − 1, x ∈ (−∞,1 f ( x) =  este monotonă.  −mx + mn + 1, x ∈ (1, ∞)   a) m ∈ (∞,0  ; b) m = −4 ; c) m ∈  ; d) m ∈  0, ∞ ; e) −2,1) . n

2. Determinaţi valoarea celui mai mare coeficient binomial al dezvoltării binomului (a + b) , dacă suma tuturor coeficienţilor binomiali este egală cu 64. a) 10; b) 20; c) 60; d) 70; e) 30.

252

3. Să se determine toate valorile lui m ∈  astfel încât ecuaţia x 4 + x 3 − 2 x 2 − 3mx − m 2 = 0 să admită numai rădăcini reale.    1  1 1 a) ∅ ; b) −1, −  ; c) −1,  ; d) − ,1 ; e) (−4,1 .    4  4  4  4. Să se determine toate numerele complexe z ∈  care verifică ecuaţia

z + z = 1 + 2i .

1 1 3 3 3 3 a) z = − + i ; b) z1 = − + i , z2 = − 2i ; c) z = − + 2i ; d) z = − 2i ; e) z = − + i 2 2 2 2 2 2 2

−x 2 2  2πx  5. Să se calculeze lim cos . a) 0; b) 1; c) e 2π ; d) e−π ; e) e−2 π .    x + 1 x→∞ 

 2 x − a 2 x 2 − ax + 1, x ≤ 1 6. Fie f :  →  , f ( x ) =  . Să se determine valorile parametrului real  x − 1 + a x , x > 1 

 3   3 a pentru care f este continuă pe  . a) a = −1 ; b) a ∈ − ,1 ; c) a = 0 ; d) a ∈ −1,  ; 5   5    5 e) a ∈ −1,  .  3     n

7. Să se determine funcţiile f :  →  derivabile pe  , astfel încât ∑ f ( x + iy ) = nf ( x ) + 2 y , i =1

*

∀x ∈  , ∀y ∈  . n( n + 1) x x + c , c ∈  ; b) f ( x ) = + x , c ∈  ; c) f ( x ) = n( n + 1) x + c , c ∈  ; a) f ( x ) = 2 n( n + 1) 2x 4x d) f ( x ) = + c , c ∈  ; e) f ( x ) = + x, c ∈  . n( n + 1) n( n + 1) 8. Să se determine coeficientul unghiular al tangentei în punctul f : (0, ∞) →  , f ( x ) = ln x − x 2 − 1 . a) e − 1 ; b)

(e,−e 2 )

la graficul funcţiei

1 − 2e 2 2e 2 + 1 2e 2 − 1 1− 2e 2 ; c) ; e) . ; d) e 2 e 2

9. Care sunt valorile parametrului real λ pentru care ecuaţia x 3 − 3 x 2 − 3 x + 5 + λ = 0 admite

{

}

rădăcini duble? a) ±4 2 ; b) ∅ ; c) {±2} ; d) {3,4} ; e) {1,3} . 10. Să se calculeze

∫

1 + tg 2

 π π x dx , x ∈ − ,  . 2  2 2 

       x   x   x  1 1 2  + C ; b) ln tg +  + C ; c) ln tg + a) 2ln tg +    + C ;  2     x  2 cos x   2 cos x  cos      2 2  2     x 1  x  x d) 2ln tg − + C ; e) 2ln tg + cos  + C .  2  2 x  2  cos    2

253

π 4

11. Indicaţi care din valorile de mai jos reprezintă valoarea integralei: I = ∫ ln (1 + tg x )dx . 0

π π π π a) I = ln 3 ; b) I = ln 2 ; c) I = ln 3 ; d) I = ln 2 ; e) I = π ln 3 . 3 3 8 8

254

INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI Capitolul 1. Primitive

(

)

Derivate. 2.1) f '( g ( 0) ) ⋅ g '( 0) = f '( 1) ⋅ 2 = 0 ⋅ 2 = 0; 2) 0;3)1;4)1;7) f ' g ( h( 0) ) ⋅ g '( h( 0) ) ⋅ h'( 0) =

= f ' ( 2 ) ⋅ g ' ( 2 ) ⋅ 1 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1; 8) 0; 9) 0;12) 2. Excursie matematică. 1. N ' ( t ) = 1,24 N ( t ) ; 3) 985; 2. 1) A ' ( t ) = A0e kt ;

A 2 A0 ⇒ k ≈ −0,081, A ( t ) = A0e −0,081t ; 2) A ( t ) = 0 ⇒ kT = − ln 2 ⇒ 3 2 ln 2 t ⇒T = ≈ 8,56 ani; 4. 1) V ( t ) = 100 000 ( 1,05) ; 2) V ( 10 ) ; 3)t = lg 2/ lg1,05; 0,081 5. 2) 17 săptămâni; A( 5) =

Probleme care conduc la noţiunea de primitivă. 1. G ( x ) =

x3 x2 + k , G ( 1) = −1 ⇒ − 3 2

5 t3 3 1 ⇒ k = − ; 3. x ( t ) = − t 2 + 2t + c; x ( 0 ) = 2 ⇒ c = 2; x ( 4 ) = 7 la dreapta originii; 6 3 2 3 5. 1) v ( t ) =

t2 t2 t3 t2 + t + c; v ( 0 ) = 2 ⇒ c = 2 ⇒ v ( t ) = + 2t + k ; + t + 2 ⇒ s(t ) = + 2 2 6 2

s ( 0 ) = 0 ⇒ k = 0; 6. 1) g ( x ) = −

x2 + 3 x + c; g ( 1) = 0 ⇒ c = 0; 7. 1) y ( x ) = x 2 + x + c; 2

y ( 1) = 3 ⇒ c = 1 ⇒ y = x 2 + x + 1. Primitiva unei funcţii. 0. 5) F , G :
→
primitive pentru f pe
⇒ F ( x ) − G ( x ) = k ; x = 1 ⇒ F ( 1 ) − G ( 1 ) = e = k ⇒ F ( x ) − G ( x ) = e; x = 10 ⇒ F ( 10 ) − G ( 10 ) = e; 1. g ( x ) = G ' ( x ) ; a ) g ( x ) = 3 x 2 − 10 x; i ) g ( x ) = 3 3 x + e x ; r ) g ( x ) = x cos x; 3

( x − 1) 8 x4 + 2 x + 1; 3. 1) a ) G ( x ) = + ; 2) G ' ( x ) = g ( x ) , ∀ x; 3) b ), c ), d ); 4 3 3 4. 1) F ( x ) − G ( x ) = 1, ∀x ∈
; 2) Se obţine acelaşi rezultat; 5. f '( x ) = cos x − x sin x ⇒ 2. 1) f ( x ) =

⇒ x sin x = cos x − ( x cos x ) ' ⇒ G ( x ) = sin x − x cos x + C ; 6. Da; Nu; 8. c) G '( x ) =

2 −

2

cos x

⇒

1 4

cos x

2 =

2

3cos x

+

G '( x ) 3

⇒ H ( x) =

3 cos4 x

−

2 tg x sin x este primtivă pentru g ; + 3 3cos 3 x

x2 1 ; b ) H ' ( x ) = f ( x ) − g ( x ) , ∀x ∈
⇒ a = , 2 2 2 2 2 4 2 b = 1; 10. a = 9, b = 14; 11. b ) i ) a = , b = ; ii )a = , b = − ; iii )a = 1, b = 0; c )i ) a = , 3 9 3 3 5 1 3 b = − , c = − ; ii ) a = 1, b = 0, c = −16; 12. G derivabilă pe
. Se discută cazurile: 1)a < b, 5 5

9. a ) f ( x ) + g ( x ) = x , ∀x ∈
⇒ H ( x ) =

255

imposibil; 2) a = b, a ∈ {±1}; 3) a > b, imposibil; 14. G ( x ) = F ( − x ) − F ( x ) şi respectiv 1 1  1 + sin x  G ( x ) = F ( − x ) + F ( x ) ; 16. a ) a = b = ; b ) G ( x ) = ln  ; 2 2  1 − sin x  17. f ( x ) + g ( x ) = 1 ⇒ F ( x ) + G ( x ) = x , F ( x ) − G ( x ) = ln ( cos x + sin x ) ⇒ F ( x ) , G ( x ) ; 18. s ( t ) , v ( t ) sunt poziţia şi respectiv viteza obiectului la momentul t; s ( 0 ) = 5, v ( 1) = −4; v ( t ) = t 2 − 2t + c , v ( 1) = −4 ⇒ c = −3; s ( t ) =

t3 2 5 − t − 3t + k , s ( 0 ) = 5 ⇒ k = 5; s ( 4 ) = − , adică 3 3

obiectul se află la stânga originii, la depărtare egală cu

5 3t 3 t ; 19. 1) P ( t ) = 3t + + k; 3 2

2) P ( 0 ) = 100 ⇒ k = 100; 3) P ( 8 ) = 148; 20. 1) P ( x ) = 15 x −

x2 − 100; 2) P ( 10 ) = 40; 10

3) P '( x ) = 0 ⇒ x = 75; 21. 1) V ( t ) = 3t + 5t 2 ; 2)V ( 1) = 8m 3; 3)t = 5h; 22. 1) N ( n) = n2 + 3n + 12; 2) N ( 3 ) = 30; 23. 1) G ' ( t ) =

2( 3 + t ) 5

⇒ G(t) =

t 2 6t + + 15; 2) G ( 5 ) = 26 g; 24. S0 = 1000; 5 5

r = 0,05, S ( t ) = 1000e 0,05t ⇒ S ( 5 ) ≅ 1284,03; d = 284,03; 25. 1) 1 + C , 2)π x + C ; 3) 4) −

x3 + C; 3

1 5  x + C ; 23) x + 3ln  x + x 2 + 25  + C ; 26)ln  x + x 2 + 9  − arctg   + C ;     3 x  3

28) ln  x + 

x 2 + 2   x − 

1 x 2 − 2  + C ; 41)  sin 1

∫

sin  ( x + 3 ) − ( x + 2 )  sin ( x + 3 ) sin ( x + 2 )

sin ( x + 2 )  1  π  π 3π ln + C ; 42) arcsin ( sin x ) =  x , x ∈  o,  ; = π − x , x ∈  , sin1 sin ( x + 3 )  2 2 2 

dx ;   ; x − 2π , 

1  3π  x∈ , 2π  ; 43) tg ( x + 2 x ) = tg3 x ⇔ tg x tg 2x tg 3x = tg 3x - tgx - tg 2x; - ln ( cos 3 x ) + 3  2  1 + ln ( cos 2 x ) + ln cos x + C . 2 Problema existenţei primitivelor. Funcţii care admit primitive. 1. 1) − 18) sunt funcţii  x2  2   continue; 1) F ( x) =  dacă x ≥ 0; x2,dacă x < 0;2) F ( x) =  x2 + x dacă x 2  ;  2  3 3 3   '  x2  1 1  3. 1) m = 1; 2)m = 0; 4. 1) F ( x ) =  , x ≤ 0; x 2 sin , x > 0  ; 2)  x 2 sin  =  2  x x    '

1 1 1 1  1 1   = 2x sin − cos ⇒ cos = 2 x sin −  x2 sin  ; fie g, h :
→
, g ( x ) =  2x sin , x ≠ 0;0, x = 0  x x x x  x x   1   continuă şi h ( x ) =  x 2 sin , x ≠ 0; 0, x = 0  derivabilă iar G primitivă pentru x   1   g ⇒ F ( x ) =  G ( x ) − x 2 sin , x ≠ 0; G ( 0 ) , x = 0  este o primitivă pentru f ; x   Metoda integrării directe. 1)

x3 2x x − x 2 + 3 x + C ; 2) x + ln ( − x ) + C ; 3) x 3 − 3ln x + + C; 3 3 2

1

x2 4x x 1 + C ;10) f ( x ) = x 3 − 3 x 6 ;11) 9 − x = 3 − x 3 + x ;17) f ( x ) = + + 2 3 x+2  ( x − 2)  2 4 7 ; 18) f ( x ) = 1 + ; x + 2ln  ; + 2  + C ; 19) f ( x ) = 1 + 2 2 x + 2 ( ) x −4 x −4 x −4  

(

4) x +

(

23) f ( x ) = 2 −

7

(x

2

+4

)

)(

)

)

(

; 30) 2 x 2 + 3 = x 2 − 1 + x 2 + 4 ⇒ f ( x ) =

1

(x

2

+4

)

1 +

;

2

) ( x − 1)

37) I = ∫ f ( x ) dx , J = ∫ g ( x ) dx; 3 I + 4 J , − 4 I + 3J ⇒ I , J . x x2 x3 Metoda integrării prin părţi. 1.a) 1) x2 ln − + C;2) x3 ln x / 3 − + C;3) x ln2 x − 2ln x + 2 + 2 4 9

(

(

2x

) e4

+ C ; b) 1) − ( x + 1) e − x + C; 2) 2 x 2 − 2 x + 1

+ C; 3) x

3x 3x − + C; ln3 ( ln3 ) 2

 x2 1  x 1 − x2 c) 1)  −  arcsin x + + C ; pe [ −1,1] se prelungeşte prin continuitate;  2 4 4   2) x arccos x − 1 − x 2 + C ; pe [ −1,1] se prelungeşte prin continuitate;

257

)

1 ex 2x 3) x arctg x − ln 1 + x 2 + C ; d) 1) ( sin x − cos x ) + C ; 3) ( ln 2 ⋅ sin x − cos x ) + C; 2 2 1 + ln 2 2

(

4) e 2 x

)

( 2sin 3 x − 3cos 3 x ) + C ; e) 1) − x cos+ sin x + C ; 2) − x 2 cos x + 2 x sin x + 2cosx + C ; +

13

−

+

+

−

+

+

+

1 1   3) x sin x + cos x + C; f) 1)  x x2 + 9 + 9ln x + x2 + 9  + C;2)  x x2 − 9 − 9ln x + x2 − 9  + C;     2 2 1 x 1  3)  16 arcsin + x 16 − x 2  + C ; 4) x 2 − 9 2 4 3 

(

)

x 2 − 9 + C ; 6)

1 2 x +1 3

(

)

x 2 + 1 + C;

1  x xe x ex x g) 1) − cos x ln( tg x) + ln tg  + C;2) ( sin x − cos x) + cos x + C;5) ( sin( ln x) − cos( ln x) ) + C; 2  2 2 2 2 1 10) ln 1 + x 2 + x 4 = ln 1 − x + x 2 + ln 1 + x + x 2 ; 2. a) 1) u = , v' = 1 ⇒ n x2 + 1

(

⇒ In =

I2 =

) (

x

( x 2 + 1)

n

+ 2n ∫

) (

x 2dx

( x 2 + 1)

n+1

)

⇒ I n+1 =

1 ⋅ 2n

(

x

( x 2 + 1)

n

+

2n − 1 ⋅ I n ; I1 = arctgx + C ; 2n

1 x 3 x  x arctg x + + C ; I 3 =  arctgx + 2 + 2 2 8 2 x + 1   2 x +1 4 x +1

2) I n =

(

1 ⋅ 2 ( n − 1)

)

x

(1 − x 2 )

n −1

(

+

)

2

+ C;

)

2n − 3 x n −1 x 2 n −1 I n −1; 3) I n = − I n− 2 ; I n = − a 2 I n −1; 2n − 2 n−1 2n − 1

5) I n = x ln n ( x ) − nI n −1; 8) I n = x ne x − n I n −1; b) 1)u = cos n −1 x , v ' ( x ) = sin m x cos x ⇒ ⇒ I m ,n =

1 n−1 cosn −1 x sin m +1 x + I m ,n − 2 ; 3. Sunt funcţii continue pe domeniile de m+n m+n

1 definiţie 1) F ( x ) =   x x 2 − 1 − ln  x +  2

x3 x2 1   x 2 − 1   , x ≥ 1; − + , x < 1;  3 2 6 

1  2) F ( x ) = x 2 ln x / 2 − x 4 / 4, x > 0; 0, x = 0 ; 3) F ( x ) =   x x 2 + 4 + 4ln  x + x 2 + 4   ,    2

(

)

  x3 x ≤ 0; 2 x − cos x + 1 + 2ln 2, x > 0 ) ; 5) F ( x ) =  ( x − 1) e x , x ≤ 0; x 3 ln x / 3 − − 1, x > 0  ;   9   x  6) F ( x ) =  x 2arctg x / 2 + arctgx / 2 − , x ≥ 0; x arctgx + 1 − x 2 − 1, − 1 < x < 0  ;  2  4. F ( x ) = x 4 ln x / 4 −

x4 1 ex + ; 5. 1) I + J = e x + C , J − I = ( 2sin 2 x + cos 2 x ) + C ⇒ I , J ; 16 16 5

2) e x sin x ' = e x ( sin x + cos x ) ⇒ I + J = e x sin x , e x cos x ' = e x ( cos x − sinx ) ⇒

(

)

(

⇒ I − J = e x cos x ⇒ I , J .

258

)

Prima metodă a substituţiei.

(x ( x − 1) 6 ( 3 x + 2)7 ( 2 x − 1)11 ( 2 x − 1)10 1.a) 1) + C ; 2) + C ; 3) + + C ; 4) +

6

( x 3 − 3 x + 1) 5) 18 4) −

1 8 ( 2 x + 1)

4

+

21

+

44

+

40

2

4

+1

)

4

+ C;

6

1 1 + C ; b) 1)ln ( x + 3 ) + C ; 2) ln ( −1 − 2 x ) + C ; 3) − ln ( 4 x − 1) + C ; 2 4 5 3 1 2 2 ( 2 x + 1) 2 x + 1 + C ; 2) ( 1 + x ) 2 − ( 1 + x ) 2 + C ; 3 5 3

+ C ; c) 1)

5 3 1 3) ( 2 x + 1) 3 + C ; 4) x 2 + 3 10 3

(

)

3 2

1 1 1 3 + C ; d) 1) e 3 x + C ; 2) − e −2 x + C ; 3) e x + C ; 3 2 3 1

2 1 2 4) − e − x + C; 5) e x x + C; 6)2e x + C; 7) − e x + C; 2 3

6

( 1 + ln x ) 1 e) 1) ln2 x + C; 2) − cos ( ln x ) + C; 3) + C; 4) ln ( ln x + 1) + C ; 5) ln ( 1 + ln x ) + C ; 2 6 1 1 1 1 f) 1) sin 3 x + C ; 3) − cos4 x + C ; 4) cos5 x − cos 3 x + C ; 3 4 5 3 x    2tg 2 + 1  1 2 5 x  11) arctg  arctg  5tg  + C ;15) − ln ( 1 + sin x ) + C ;  + C ; 12) 5 2 3 3       1 1 g) 1) arcsin 2 x + C ; 2)ln ( arcsin x ) + C ; 3) − + C ; 5) arcsin ( arcsin x ) + C ; 2 arcsin x  x2 + 3 x  1 1 7) − ln 2 ( arccos x ) + C ; 2. 1)ln  2 + C;  + C ; 2) i )m = 1 ⇒ −   2 2 x + 3x + 1  x + 3x + 2 

(

ii )m > 1 ⇒

 x2 + 3 x + 1  1  x2 + 3 x + 1 − 1 − m arctg   + C ; iii ) m < 1 ⇒ ln  2  2  x + 3 x + 1 + 1 − m m −1 m − 1   1

  x  A doua metodă a substituţiei. 1) 2  x − 2arctg    + C ; 2)2    2   3)

)

2x x − x + 4 x − 4ln 3

(

)

x + 1 + C;6)

1 ( x − 1) 2x + 1 + C;11) ln 3

(

(

x − 2ln

(

) (

3x + 1 − 1 − ln

  + C;  

x+2

) ) + C; )

3x + 1 + 1 + C;

 x2 − 1 1 2   + C; + C ;19) − arctg    2 x 2  x −2 Integrarea funcţiilor raţionale. 17 11 17 x −1 1. 1)a = 4, b = 11, c = 7; 3) a = 1, b = −2, c = , d = − , e = − ; 2. a ) 1) ln + C; 16 4 16 x 1 2x − 3 1 x 1 2) ln + C; 3) ln + C;5)3ln ( x − 2 ) − ln ( x − 1) + C;10) ln x 2 + 2 x − ln ( x + 1) + C; 5 x +1 4 x+4 2 14) e x − ln 1 + e x + C ;18)

(

)

(

259

)

b ) 1) x + 2ln ( x + 1) − 2 −

1 1 + C ; 2) + ln ( 2 − x ) − ln ( − x ) + C ; 3)ln ( 2 − x ) − ln ( − x − 1) − x ( x + 1) x

+ C ; c )1) ln

( x + 1)

2

+ C ; 2) x + ln

x +1

x2 + 1

+ C;

 1 2x + 1 + arctg + C ; 3. 1) a = 1, b = 4, c = − 1, d = 8;  3 3 x + x+1 1 1 u 2) x 2 + 4 x + 8ln ( x − 1 ) − ln x + C ; 5. 2) I1 = arctg + C ; 2) f continuă pe
⇒ f 2 2 2 admite primitive pe
(calculate cu 2) pe ( −∞ ,0 ) şi interval [ 0, ∞ ) ); 3)

1  ln  3 

−x

1− x

2

Integrarea unor funcţii iraţionale. 5 2x 2

+ x + C ; 5) 2 x − 4 4 x + C ; 6) 2arctg x + C ;10) 2 x + 1 − 2ln x + 1 + 1 + C ; 5 x 1 1 b ) 1) − sin ( 6 x ) + C ; 2) 3 x + 4sin x + sin ( 2 x ) + C ; 4) ( 12 x + 8sin 2 x + sin 4 x ) + C ; 2 12 32 1 1 1 1 1 2 5) − cos x − cos4 x + C ; 6) sin 2 x − sin 8 x + C ; c )1) ln e x − 1 + C ; 2) arctg3 x + C ; 2 8 4 16 ln 3 a ) 1)

(

(

)

)

1 ex 3) e x − 2ln e x + 1 + C ; 4) arctg + C ; 6) x − ln 1 + 3e x + C ; 2. 1) f continuă pe 2 2 x ( 0,2π ) ⇒ f admite primitive pe ( 0,2π ) ; x → tg nu este definită în x = π ; 2 x    2tg 2 + 1  2 2) arctg   + C pe ( 0,π ) ; 3. 1) ca la problema precedentă; 7 7      1  π 2) arctg 2tgx + C pe  0,  , etc; 4. 1) I1 + I 2 = x + C ; I 2 − I1 = ln ( sin x + cos x ) + C ; 2  2 5. 1) se discută cazurile: a) m < 16; b ) m = 16; c ) m > 16; 2)a ) m < 1; b ) m = 1; c ) m > 1;

(

)

(

6. 1) I =

)

)

2− x

(

(

2

2 x +2

)

+a

x +1

(

2

2 x +2

)

+

a +1 x arctg + C ⇒ a = −1; 2) a = 3; 2 2 2

 x2 − x 2 + 1   x2 − 1  1 1 1 ln  2 arctg   + C; J =  + C ; 3) A = ( I + J ) , B = ( J − I ) ;     2 2 2 2  x + x 2 +1 2  x 2   x  tg 2  1 e nx tgx 8. I n = + I ; 9. 1) arctg − x + C;   + C ; 10. 1) 2arctg n + 1 n 2 2 2 x   n e +1     11. a )1) 2 I1 + 3 I 2 = x + C ; 2 I 2 − 3 I1 = ln ( 2sin x + 3cos x ) + C ;

1

7. 1) I =

(

12. 1)

)

1 2  2tg x − 1  12 x − 5ln ( 2sin x + 3cos x )  + C ; 13. 1) I + J = arctg   + C; 13  3 3  

260

1 2 I − J = ln ( 2 − sin 2 x ) − ln ( sin x + cos x ) + C . 3 3 Teste de evaluare. Testul 1. Varianta A. 1. f este continuă pe » ⇒ f are primitive pe » ;

1 x2 1 2. F '( x ) = f ( x ) , ∀x > −1; 4. a = , b = 3, c = −2; 5. F ( x ) = − ; 7. F − G = 3 ⇒ F ' = G '. 2 2 2 Varianta B. 4. a = c = 0, b = d = 1; 7. F − G = −1 ⇒ F ' = G '; 1 1   Testul 2. Varianta A. 1. F ( x ) =  − xe − x , x < 1; ln 3 x − , x ≥ 1  ; 2. G ' = g; 3 e   x

3. a =

1 1 3 , b = , c = ; 4. f ( x ) = ( x , x ∈ [ 0,1] ;1, x > 1) ; F ( x ) = ∫ f ( t ) dt ; 5. 1)a = 1, b = 2, c = 1; 32 4 8 0

2) f ( x ) = ( x − 1)

2009

+ 2 ( x − 1)

2008

+ ( x − 1)

2007

3

; 6. P ( x ) = ax + bx 2 + cx + d , F '( x ) = f ( x ) ,

∀x; Varianta B. 1. Se integrează f pe ( −∞ ,0 ) şi [ 0, ∞ ) şi se construieşte F; x

2. G ' ( x ) = g ( x ) ; 3. 1)a = −1, b = 1; 4. f ( x ) = ax 2 , x ∈ [ 0,1] ,1, x > 1 ; F ( x ) = ∫ f ( t ) dt ;

(

)

0

 1 1 1 1  ; 6. a = 2 , b = − 2 , c = − 4 ; 5. 1) a = b = ; 2) f ( x ) =  + 2 2 5 15 15 2 2  ( x − 1) ( x + 1)   7. a = b = d = 1, c = 0; Testul 3 (grilă). Varianta A. 1. a ) 2. c ); 3. b ); 4. b ); 5. 1); a ); 2); a ); 6. c ); Varianta B. 1. b ); 2. a ); 3. c ); 4. c ); 5. 1) b ); 2)a ); 6. 6)

Capitolul 2. Integrala definită Integrala definită. Formula Leibniz-Newton. 1. 1) Sn =

2 1 15 1  n(n −1)  4 9   , ; 2) ; 3) < S < ; 4) sn = 4 4 25 25 2  n4 

1 2 3 70 95 1  n (n + 1)    ; 2. s5 = , S5 = ; 3. 2. a) ∫ 3dx ; b) ∫ (2 − x ) dx ; c) ∫ ( x + 1)dx ;  125 125 2 n4  0

4

3

2

2

−2

0

π

3

0

0

1

d) ∫ x2dx ; e) ∫ x( x−2) dx ; f) ∫ (4 − x 2 )dx ; g) ∫ sin x dx ; h) ∫ 9 − x 2 dx ; 4. 1) 1

2

h(t) = 0,01⋅ ln

T

t +0,1t, h(60) = 24m ; 2) 12 = ∫ v ( t )dt ⇒ T = 40 ani; 5. I. 1) 2; 2) 2 − 6 3 + 5ln 3 ; 3) 2 0

3 π ; 4) ; 4 6

II.1)

(e2 +1) 4

2) ln 4 −

; 2) π ; 3)

47 −1 e2 −1 64 98 2 2− 2 ; III. 1) ; 2) ; 3) ; IV. 1) ; 2) ; V. 1) 4 21 3 3 15 3

 3 21−ln  ;  2 

7 6x2 − 6x + 1 x ; 6. f ( x ) = ; 7. t = tg şi se explicitează F pentru y < 1, y = 1 şi 6 2 6

( )n+1 1 1 ( )n+1 y > 1 ⇒ F continuă în y = 1 ; 8. I n = I n−1 + −1 ⇒ I n = − ln 2 + 1 − + − ... + −1 ; n 2 3 n

261

1 − x + x 2 − x 3 + ... + (− 1 )n x n =

1 1 − (− x )n + 1 ⇒ ∫ 1 − x + x 2 − ... + (− 1 )n x n dx = 1+ x 0

(

)

n+1 1 xndx 1 xn 1 1 1 −x) →0 ⇒ dx ⇒1− + −... +(−1)n =ln2 +(−1)n+2 ∫ , unde ∫ dx  n n +1 2 3 0 1+ x 0 1+ x 0 1+ x 0 x +1  5  ⇒ lim I n = 0 ; 9. 1) a = −1 ; 2) a = 2 ; 3) a ∈   2, − 3,  ; 10. a = 6, b = 3, c = 1 ;  2  n   1 dx

=∫

1(

−∫

1

11. a = 3, b = 1, c = 5 ; 12. − x → x ⇒ sistem cu f ( x ) şi f (− x ) ⇒ ∫ f ( x ) d x = 2 ; −1

 1+a a  arctg  , I (1) = 1 ; lim I (a ) = 1 ⇒ I continuă în a = 1 . −arctg 13. 2) I (a) =  2 2 2 2 a
1 2 1− a 1−a  1− a  21 1 1 1 Integrabilitatea unei funcţii în sensul lui Reimann. 1. ; 2. 1) ∆ = ; 2) m1 = 0, m2 = , m3 = , 64 4 4 2 25 39 3 1 1 3 m4 = 1, m5 = , M1 = , M 2 = , M 3 = 1, M 4 = , M 5 = 2 ; 3) sD ( f ) = , SD ( f ) = ; 32 32 2 4 2 4

1

4) σD( f , ξ) =

1 4 15 ; 5) 1; 3. 1) s D ( f ) < Sd ( f ) ; 2) sD( f ) ≤∫ f ( x)dx ≤SD( f ) ; 5*. sD( f ) ≤∫ f (x)dx ≤SD( f ) 16 0 0

şi I1 ≠ 8 a.î. sD( f ) ≤ I1 ≤ SD ( f ) ⇒ I1 − sD ( f ) ≤ SD ( f ) − sD ( f ) şi S D ( f ) − I1 ≤ S D ( f ) − s D ( f ) ; 8 − s D ( f ) ≤ S D ( f ) − s D ( f ) şi S D ( f ) − 8 ≤ S D ( f ) − s D ( f ) ⇒ I1 − 8 ≤ S D ( f ) − s D ( f ) şi

8 − I1 ≤ S D ( f ) − sD ( f ) ⇒ I1 = 8 , fals; 6*. 1) s D ( f ) = 32, S D ( f ) = 56 ; 2) Exisă mai multe numere cu proprietatea s D ( f ) ≤ 40 ≤ S D ( f ) ; 7. 1) 11) an =

1 1 2 π 3 1 ; 2) ; 3) ; 4) 2; 5) ; 6) ; 6 18 3 p +1 r + s +1

  k (k + 1) 1⋅ 2 k(k +1) k(k +1) 2 1 ,..., ,...,1 , Dn = ; ; , Dn = 0, →0 , ξk = n( n + 1) n(n +1) n(n+1) 3 n(n +1) k=1 n(n +1)  n(n + 1)  1

n

∑

1 xdx n 1 kan 1 ⋅ ∑ ⋅ →∫ =1 − ln 2 . 2 ka an n n 0 x +1 1+ n n2 Proprietăţi ale integralei definite. 1. 1) a) 5; b) – 2; c) 2; d) –2; 2) a) 1; b) –5; c) –2; d) 0; 2. I. Funcţiile 32 2 1 35 sunt continue pe domeniile de definiţie; 1) ; 2) − ; 3) − ln 2 ; II. Funcţii continue pe porţiuni. 3 3 e 12  x3  11 5 37 115 2 1) ; 2) ; III. 1) 10− 2 − 3 ; 2) ; 3) ; IV. 1) f ( x) =  , x ∈ 0,1); , x = 1; 1, x ∈ (1,2 ; 2 3 2 8  x2 + 1  3

8. n − 1 < an < n, ∀n ⇒ bn =

 2  3 1 1 F ( x ) =  x − ln ( 2  0,1); − ln 2, x = 1; x − − ln 2, x ∈ (1,2  ; F (2) − F (0) = − ln 2 ; , x ∈ ) x + 1    2  2  2 2   3   5 2) f ( x ) = 0, x ∈  0, 2); , x = 2; x 2 + 1, x ∈ (2,4  ; F ( x ) = 0, x ∈ [ 0,2 ]; x + x − 14 , x ∈ (2,4  ;      2  3 3 F (4) − F (0) =

 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1)  x 2 (3 x 2 − 2 x − 1) 62 3  ; b) 1 ; 2) f ( x ) = ; 3) ; 3. 1) a) ln  ;  2 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ (2n − 2)  3 2 2 4  

262

1  ln 2 1 1 1 ; 2) ; 3) 1; 6. 2) a) 4. 1) 10 ) I (a) =  − a, a ≤ 0;a 2 − a + , a ∈ (0,1); a − , a ≥ 1 ; 2) 0; 5. 1)  2   3 2 2 2 3 π a −1 1 ; c) ; d) ; 7*. 1) ∑ 8 4 ln a n2 1≤i< j≤n

ln 2 ; b)

2  i   j 1  n  i  − f   f   = f ∑     n   n    2n2  i =1  n 

 1 2  ∫ f ( x )dx    1 n 2  i  − f  → 0 ; 8. I. Utilizăm proprietatea de monotonie a integralei f ≤ g pe ∑   2 2n2 i =1  n  b

 

b



π [a, b] ⇒ ∫ f ≤ ∫ g ; 1) 0 ≤ cos x ≤1 ⇒ cos4 x ≤ cos3 x, x ∈  0,  ;

2 

a a 2 2) x − x ≤ 2( x + 5) ⇔ x 2 − 3 x −10 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−2,5] ; 3) x + 1 = (2 x − 1) + (2 − x ) ≤ 2

1

1

0

0

≤ 2 x −1 + 2 − x ; 7) ( f ( x ) − tx ) ≥ 0, ∀x ∈ [ 0,1], ∀t ∈  ⇒ ∫ f 2 − 2t ∫ xf ( x )dx +

t2 ≥0 , 3

∀t ⇒ ∆ ≤ 0 ; II f : [a , b ] →  continuă ⇒ f (α) = min f ≤ f ( x) ≤ max f = f (β) care se integrează;

1) f ( x) =1−

3 1 este strict descrescătoare pe [ 0,1] ⇒ f (0) =−2 ≤ f ( x) ≤ f (1) =− ; 2 x +1 b

b

1

a

a

1 + x2

III-IV f ≤ g ⇒ ∫ f ≤ ∫ g ; V. 1)

( x4 + 1)

x ∈ [ 0,1] ; 3)

1

1 2 2 2 x > e = e−x >1 − x2 , x ∈[ 0,1] ; 2) 1 + x2 ≤ e x ≤(e + 1) x2 + 1 ,

x4 + 1 +

1 x2 + 1 , x ∈ ( ) ; 0,1

≤ 2 x2 + 1 1 1 t +1 t +1 t +1 t +1 9. a) < < ⇒ ln 2 ≤ an ≤ ln 2 + ; 1) t 2 < < ; 10. 1) 0 ≤ sin n x ≤ 1 , t 2n t3 + 2 t4 t2 + 2 t2

 π  π xn x ∈  0,  ⇒ I n ∈ [0,1], ∀n; 0 ≤ sinn+1 x ≤ sinn x, x ∈  0,  ⇒ In+1 ≤ In ; 3) 0 ≤ ≤ x n , ∀n ⇒  2   2  1 + xn ⇒ 0 ≤ In ≤

1 xn 1 1 ⇒ In→ 0 ; 4) 0 ≤1− In = ∫ dx ≤ ⇒ xn→1 ; 5) (1 − x)n ≤ f ( x) ≤(1 − x)n e , n n +1 n + 1 0 1+ x

x ∈ (0,1) ; I n → 0 ; 11. a) 1)–2) ( f ( x ) − a )( f ( x ) − b) ≤ 0 ⇔ f 2 ( x ) − (a + b) f ( x ) + ab ≤ 0 ⇔ ab ⇔ f ( x) −(a + b) + ≤0 ; b) 1) min ( f , g ) ≤ f , g ; 2) max ( f , g ) ≥ f , g ; c) f (a ) ≤ f ( x ) ≤ f (b) , f ( x) x ∈ [ a , b ] ; d) 0 < m ≤ f ( x ) ≤ M ⇒

1 1 1 ≤ ≤ , care se integrează pe [a , b ] şi se face produsul M f ( x) m

b

lor; e) „ ⇒ ” ∫ f ( x )dx ≤ f (b)(b − a ) = bf (b) − af (a ) ; „ ⇐ ” Prin reducere la absurd, ∃a < b a.î. a

f (a ) > f (b) , ∃c ∈ [ a , b ] , f (c) = inf f ( x) , x ∈[a, b] ⇒ x ≠ a şi f (c) < f (a); ∃d ∈ [ a, c ] , f (d) = sup f ( x) ,

263

c

b

x ∈ [ a , c ], d ≠ c , f (d ) > f (c) ⇒ ∫ f ( x) dx > f (c)(c − d ) ≥ cf (c) − df (d ) , fals. f) 1) f = c ⇒ ∫ cdx = a

0

b

b

a

a

= c(b −a) = f (b)(b −a) ; 2) f (a) ≤ f ( x) ≤ f (b) ⇒ ∫ f ( x) dx ≤ f (b)(b − a) ; 3) ∫ f ( x) dx ≥ f (b)(b −a) ; 1 b 1 b 1 b g) 1) M ( f + g ) = ∫ ( f + g) = ∫ f+ ∫ g = M ( f ) + M ( g ) ; h) „ ⇐ ” Prin reducere b−a a b−a a b−a a

la absurd. n+ 2

Formula de medie. 1. 1) M ( f ) = 1/ 3, ξ = 3 / 3; 2) M ( f ) = 4; 2.a )1)

∫

f =2

n 3

10

c x ∈ [ n, n + 2] 2)

n

10

1 + (1 + n)

1

< xn <

n (1 + n)

7

1 + n10

cx 1 + c 5x

,

b

; 3. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = 0 plus formula de a

b

1

 1  medie; 4.a) ∫  f ( x ) − x  dx = 0; 5. ∫ sin f ( x ) −  dx = 0; 6.∫ f = ( b − a ) f ( c ) < 0, c ∈ [ a, b] ⇒ 2 x + 1 0 0 a 1

⇒ f ( c ) < 0 ; f ( a ) > 0 + P . D. ⇒ ∃ξ ∈ ( a , c ) , f ( ξ ) = 0; 7. ∫ f plus formula de medie. 0 b

2

2

Teorema fundamentală. 1. a) 1) ∫ e − x dx =F ( b ) − F ( a ) şi F '( a ) = e − a ; a 3

2

b ) F ( x ) − F ( 0 ) = x − x ⇒ F ' ( x ) = f ( x ) = 3 x 2 − 2 x; 2.1) Fie G o primitivă a

integrandului. Avem F ( x ) = G ( x ) − G ( 0 ) ⇒ F '( x ) = G ' ( x ) =

1

1 ; F '( −1) = , F ' ( 0 ) = 1, F '( 1) = 1/ 2 şi 2 x +1 2

2

F ''( x ) = −2 x / x 2 + 1 ; 3.2) F ( x ) = G x 3 − 4 − G ( 2 x ) , F '( x ) = G ' x 3 − 4 ⋅ 3 x2 − 2G '( 2 x ) =

(

)

(

)

(

)

x =d

d

= g x 3 − 4 ⋅ 3 x 2 − 2 g ( 2 x ) , unde g ( x ) = x / 1 + x ; 4. F '( x ) = G '( x ) ⇒ F − G = k ⇒ k = ∫ f ;

(

6.1)

)

2 arctg x 1 + x2

(

)

c

; 2) 2 ( 1 − cos x ) ; 7. 1) F '( x ) = 0 ⇒ x = 1 punct de maxim;

8.1)F '( x ) = G '( 2 x ) ⋅ 2 − G '( x ) = 2 4 x 2 − 6 x − x 2 − 3 x = 7 x 2 − 9 x = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 9/ 7 etc.

(

) (

)

9. F '( x ) = sin x / ( x + 1) = 0 ⇒ x ∈ {0,π , 2π } ⇒ x = π punct de maxim ⇒ π

2π

0

π

⇒ F ( x ) ≥ min{ F ( 0 ) , F ( 2π )} , F ( 0 ) = 0, F ( 2π ) = ∫ f ( t ) dt +

264

∫ f ( t ) dt . În a doua integrală

π

π

se pune u = t − π şi F ( 2π ) = ∫ f ( t ) − ∫ 0

0 2x

⇒ { F ( 0 ) , F ( 2π )} = 0; 2)F ( x ) =

∫ x

π

π

0

0

sin u du > ∫ f ( t ) dt − ∫ f ( u ) du = 0 ⇒ 1+π + n

cos y dy cu F '( x ) < 0. y

π π   10. 1) F '( x ) = sin  − sin x  − sin ( cos x ) > 0  sin x + cos x < 2 <  ; 2 2   1 π   11. 1)  2) f ( 0 ) = ; f ( ±2 ) = 0; 3) f   = 1; f ' ( x ) = cos x , ∀x ∈ I ⊂ ( −∞ ,0 ) sau 2  2 I ⊂ ( 0, ∞ ) ; 12. 1) Notăm cu F ( x ) , G ( x ) membrul stâng şi respectiv drept x =1

⇒ F ' = G ' ⇒ F = G + k ⇒ k = 0; 2) F ( x ) este membrul stâng cu F '( x ) = 0 ⇒ F ( x ) = k ⇒

G ( x ) − G ( 0) G '( x ) π x + 10   0 = lim = lim = 10 .  x = 4  k = 1;13. 1)  0  limita se scrie lim x 1 x →0 x →0 x →0 x + 1     Metode de calcul ale integralelor definite. Integrarea directă. 5. arcsin ( sin x ) = 2  t3  π  π 3π   3π  π =  x , x ∈  0,  ; π − x , x ∈  ,  ; x − 2π , x ∈  ,2π   ; − 2; 7. x ( t ) = 5t 2 − ; v '( t ) = 0 ⇒ 3  2 2 2   2  4 

t = 5; x ( 5 ) =

250 3  2π  ; 8. 1)a ∈  0, − 2, − 1 ± ; 3) 2; 4)ln 2.  ; 3) a = 1; 4) a = 2; 5) a = 6; 9.1) 1; 2) 3 3 3 3  

Metoda integrării prin părţi. 1.II a) 1 − 2 / e; III a) 1; d)

π 4

; IV a) − 2π ; b) 4π ; c)

π 2

− 1;

1 1 1 1 1 1+ 5  2 2 3 x x V. a )  5 + 4ln  ; 3. a ) 1) ∫ x + 1dx; 2)∫ 1 − x dx; 3)∫ x 5 dx; 4) ∫ xe dx; 2 2  0 0 0 0

5. 1 b )

xn 14 ≤ x ne − x ≤ x n , x ∈ [ 0,1] ; Metoda substituţiei. 1. a ) 2) 0; c ) 4) ; d ) 2) 0; e 15 π 2

4. 1) J =

sin x dx

∫ e x + sin x + cos x

0

1

, I + J , I − J ; 2) ∫ + ∫ şi în prima integrală t = − x ;

0

−1 0

π  4) 1 + tg x = 2 cos  x −  / cos x; diferenţă de integrale – în prima t = π / 4 − x ; 4  5. 1) ln 2; 2)

( e − 1) 2 ( 2 − ; 3) 2

3

2

) ; 6. 1) a ) x = 1 ; b) x = π − t; 2)t = x − 1; 7. Se calculează în t

2

1

1

două moduri o anumită integrală. 1) ∫ ( x − 1)

2n

dx; 2) ∫

0

0

1 − (1 − x ) x

n

dx . Calculul ariilor.

7 20 1 5 32 108 1 5 ; b ) 1) ; 2) 2; 1. 1) e − 1; 2) 10; 3) ; 4) ; 5) 15; 6) 4ln   ; 2. a ) ; b ) 4; 3) ; 4) ; 5) 6 3 2 2 3 3 3 2  

265

14 5 3 937 4 4 1 π 1 3 3 ; 3) ; b)1) 2; 2) ; 3) ; 4. 1)2π + ; 6π − ; 2) ; 3) − ; 4) ; 5. a = − 3 6 2 192 2 3 3 2 3 2 4 13 3 şi min S = ; 6. a = 1 şi min S = . 16 4 3) 1; 3. a ) 1) 6; 2)

π2

π 1  ; 2)  1 −  ; 3) 12π ; 2 2 e4  243π 512π 16π π 20π 8π 64π 3π 96π 4) ; 2.1) ; 2) ; 3) ; 3.1) 32π ; 2)a ) ; b ) ; 3) ; 4) ; 5) . 5 15 15 30 3 3 3 4 5

Volumul corpurilor de rotaţie. 1.1)

Teste de evaluare n 1

Testul 1. Varianta A. 1. " = " ; 3. a) D = (1, 2, ..., n), s D ( f ) = ∑

k =2 k

n dt

b) S D ( f ) − ∫

1 t

n 1

= ∑

k =1 k

− ln n ; c) se unesc punctele

1  1 > c ⇒ c ∈  , 1 ; 4.  2  n

1 t

n−1 1

= ln n < S D ( f ) = ∑

;

k =1 k

 1  1 (1, 1) , 2, , ..., n,  prin segmente şi se 

consideră suma ariilor trapezelor care se formează egală cu dreptunghiurilor este 1 −

n dt

0 , formula de medie + proprietatea lui Darboux;

 1  π  − ln 2 ; 9. 2; 10. 1) 8 / 3 ; 2) 48 / 5 .   4 2 Testul 3 (grilă) Varianta A. 1. b); 2) a); 3. c); 4. b); 5. b); 6. a); 7. 1)b); 2)c); 8. a); 9. c); 10. a); 11. c); Varianta B. 1. c); 2. b); 3. a); 4. b); 5. b); 6. a); 7. 1)c); 2)c); 8. b); 9. a); 10. b); 11. c).

7. 1/ 4 ; 8.

266

Capitolul 3. Teste de recapitulare finală 1. Teste pentru pregătirea examenului de bacalaureat 5 1 ; 8. x = 0 ; 9. f '(1) = 3 ; 10. ; II. a) S ABCD = 4 4 OB OD BD 2 2 2 = S ABC + S ADC = AC ⋅ + AC ⋅ = AC ⋅ ; b) AB = AO + OB ; c) AD 2 + BC 2 = 2 2 2

Testul 1. I. 1. c); 2. a); 3. a); 4. b); 5. d); 6. 3x 2 ; 7.

= OA2 + OD 2 + OB 2 + OC 2 = AB 2 + BC 2 ; d) În ∆OAB , teorema cosinusului; x = 0 ; e) Se aplică π OA ⋅ OB sin α teorema cosinusului şi egalitatea ⇔ cos α = 0 ⇔ α = ; f) SOAB = , etc.; III. a) x = y = 0 ; 2 2  m m 1 m b) y = − x ; d) În c), punem a1 = a2 = ... = an = ; e) a1 = ... = an = ⇒ f n ⋅  = nf   ⇒ n n  n   n 

 m  f (m ) m m ⇒ f   = , f ( m ) = mf (1) = m ⇒ f   = , m , n ∈  , n ≠ 0 ; f) a ∈  ⇒ ∃( xn ), ( yn ),  n   n  n n xn ≤ a ≤ yn , xn , yn ∈ , xn , yn → a ⇒ f ( xn ) = xn ≤ f (a) ≤ f ( yn ) = yn ⇒ f (a) → a ; IV. d) f ' > 0 ⇒

f s.c. ⇒ f ( x ) < lim f ( x ) = 0 , g ' < 0 ⇒ g s.d. ⇒ g( x) > lim g( x ) = 0 ; e) an+1 − an = g(n) > 0 ⇒ x→∞

x→∞

  2 1 1 ⇒ (an )
, bn+1 − bn = f ( n) < 0 ⇒ (bn )  ; f) h : 1, ∞) →  , h( x ) = ln  x +  − ln  x +  − ,    3  2  6 x

h '( x ) > 0 ⇒ h s.c., 0 < a − an <

lim h( x) = 0 ⇒h 0 ; 9. f '(0) = 0 ; 2e 2 1 bc sin A AD ⋅ sin A 10. x = 0 , punct de minim; II. a) x = ; b) S = ; c) S BAD = AB ⋅ ; d) Se utilizează 2 2 2  1   1  b) şi c); e) BE = EC ; III. a) det ( A) = 0, rang ( A) = 1 ; b) O3 ; d) B I3 − A =  I3 − A B = I3 ;    11   11 

(

)

 a b c    x2 f) Matricele C, D au forma ax bx cx  ⇒ sistem incompatibil; IV. b) f 2 ( x ) = + cos x − 1 ; 2    ay by cy  

e) Inducţie; g) e), f) ⇒ lim f n ( x ) = 0 ⇒ lim f 2 n+1 ( x ) = 0 . Din c) ⇒ q.e.d. n→∞

n

(

)

Testul 3. I. 1. d); 2. a); 3. c); 4. d); 5. a); 6. 5 x4 −1 ; 7. f '(0) =−5 ; 8. 1; 9. x = −1max, x = 1min ; 10. 0; II: a)

2 ; b) m = −1 ; c) y = 1 ; d)

1 ; e) M (0,0) ; 1; f) M (2, 2), MA = MB = 5 ∉  ; 2

III. b) det ( A) = −1 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3; d) det ( A) ≠ 0 ⇒ A inversabilă; AA = I 3 ⇒ A−1 = A ; e) A2k = I 3 , A2k +1 = A, det ( X ) = 0 ; f) prin absurd; IV. d) 0; e) x = −2 ; f) (−∞,−2  , f

267

concavă; −2, ∞) f convexă. 2 8 Testul 4. I. 1. 0ˆ ; 2. ; 3. –1; 4. 10; 5. 2; 6. 4 x x 2 − 1 ; 7. ; 8. f '( x ) = 0; ± 1 ; 0; 9. 0; 10. 0; 5 15 7 II. 11. x + y −9 = 0 ; 12. 2 ; 13. 1 − i ; 14. 1; 15. ; 16. –1; III. a) a = b = 0 ⇒ O2 ∈ I ( A) , a =0, b =1⇒ 2 4 ⇒ I 2 ∈ I ( A) ; c) det( A) = 1 ⇒rang( A) = 2 ; d) A2 − A + I2 = O2 ⇒ A3 + I2 = O2 ; IV. b) f '(0) = − ; 5 e) y = 0 ; f) Integrare prin părţi.

(

)

Testul 5. I. 1. b); 2. a); 3. d); 4. c); 5. c); 6. 1; 7. 0; 8. 0; 9. Nu are; 10. F ( x ) = II. b) AB = BC = 26, AC = 52 ; d) 2 y − 3 x + 3 = 0 ; e) R =

( )

x2 1 − ln x 2 + 1 ; 2 2

(

)

AC 52 = ; III. c) I 2 , element neutru; 2 2

( )

d) AA−1 = I2 ⇒ det( A)det A−1 = 1, det( A), det A−1 ∈
⇒ det( A) =±1 ; e) (a +1−a)(a −a +1) =1 ⇒  a 1 − a  1 ⇒   ∈ M1 , este inversabilă în M; IV. e) ln 2 − . 2 a − 1 2 − a  Testul 6. I. 1. c); 2. b); 3. a); 4. c); 5. d); 7. f '(0) = −1 ; 8. y = 0 la ∞ ; y = −2 x la −∞ ; II. a) x + y +1 = 0 ; b) D (1,5) ; c) 21; III. a) det( A) = 0, rang( A) = 2 ; d) B = A2 + A + I3 ; e) A3 = I 3 . Testul 7. I. 1. a) 2. c); 3. d); 4. a); 5. b): 6. −

1 ; 7. x ( x + 1)

f '(1) = −

1 ; 8. ln (n + 1) ; 2

9. F ( x ) = ( x + 1)ln ( x + 1)− x ln x + 1 ; II. a) AB = b − a , AB = AC = BC = 2 ; b) d) h =

3 ; c)

2 3 ; 3

2 1− 3 a + i ; III. a) a = c = −6, b = 11 ; b) ∑ x1 = −a , x1 + x3 = 2 x2 ⇒ x 2 = − ; 3 3 3

c) ∑ x12 < 0 ; e) x 3 − 1 = 0 ; IV. a) n; d) Formula binomului lui Newton. 8 kπ π 2π , k ∈
⇒ x1 = , x2 = , Testul 8. I. a) a = 3, b =−1 ; b) xG = ; yG = 3 ; c) m ⋅ m ' = −1 ; d) 20; e) 3 3 3 3 4π 5π x3 = π , x4 = , x5 = ∈ (0, 2π) ; II. 1. a) ±1 ; b) T3 ; c) f = g aX 2 + bX + c + αX + β ; a = 1 , 3 3

(

)

b = 3, c = 5, α = 27, β = 0 ; d) a1 = 2, r = 5, a n = 2 + (n − 1)5 = 2007 ⇒ n = 402 ; e) 2; 2. a) 2e 2 x ; b) f ( x) > 0 ⇒ f s.c.; c) f ''( x) >0 ⇒ f convexă; d)

lim f ( x) = 0 ⇒ y = 0 ; e) 2x − y +1 = 0( y −1 = f '(0)) ;

x→∞

II. b) a , b ∈ −r , r  ⇒ ∃t ∈  0, 2π), a = r cos t , b = r sin t ; c) inducţie; d) se aplică det. egalităţii date;

a b   + relaţia AX = XA ⇒ a = d şi c = −b ; e) r < 1, 0 ≤ r n cos t , r n sin t ≤ r n → 0 ; f) X =   c d  g)

X

  3 −1  3 −1 f ) a −b  2007  1  ⇒ X =  comută cu  ; det X = det   ⇒ det ( x ) = 1 ⇒ b a   2   1  3  1 3   

(

268

)

 π   + 2k π cos t −sin t    , t ∈  0, 2π) ⇒ arccos t = 3 , sin 2007 t = 1 ⇒ t =  6 ⇒ X =  , k = 0,2006 ;   sin t cos t  2 2 2007 IV. a) an > 0, ∀n, an+1 − an = an2 >an2 +

(n−1) 2

1 > 0 ; b) inducţie; se adună inegalităţile pentru n, n –1, …, 2 an

1 1 1 ,... ⇒ an2 = 2(n + 1) + + ... + ⇒an →∞; d) b) ⇒ an2 >1 − 2n; an2 = an2−1 + an2−1 + 2 a02 an2

plus an > 2n + 1 ; e) f ( x ) = ln x şi i ∈  x , x + 1 plus Lagrange; f) din d); g) an+1 = a n +

an = an−1 +

1 , an

1 1 1 1 ,..., an+1 − 2 = + + ... + . an−1 a1 a2 an

( )

4 3 Testul 9. I a) 1; b) 5; c) i16 = i 4 = 1 ; d) a = −b = 1 ; e) ; f) −11 + 60i; a = −11, b = 60 ; 2 3 = C 10−3 = C 7 ; 1; c) 1 ; d; 1 ; e) n ∈ {3,4,5} ; II. 1. a) 2ˆ 3 = 8ˆ = 0ˆ ⇒ 2ˆ 2006 = 2ˆ 2003 ⋅ 2ˆ 3 = 0 ; b) C10 10 10 35 4 3 2 p = ; 2) b) ; c) f '(0) = 7 ; d) f '( x ) > 0 ; e) Factor comun ln n; III. a) Este suficient de 5 3 a bc d  ac ad + bc     ∈ G ; X , Y ∈ G ⇒ XY ∈ G şi X + Y ∈ G ⇒ X ∗ Y ∈ G ; observat că   0 c  =  0  ac  0 a 

 1  − 0 b)„ ⋅ ”, „+” sunt asociative (c) X ∗ E = X, ∀X ∈G ⇒ X = O2 ∈G ; d) I ' = 2  ; e) X 2 + 2X −3I2 = O2 (1) , 1   0  2 a b   ∈ G , tr ( X ) = 2a , det ( X ) = a 2 ⇒ X 2 − 2aX + a 2 I = O (2) ; (1) −(2) ⇒2(1+a) X − X =  2 2  0 a 

(

)

(

)

− 3 + a2 I2 = O2 ⇒ a2 + 2a − 3 = 0, ab + b = 0 ⇒ a1 = 1, a2 =−2 şi b1 = b2 = 0 ⇒ X1 = I2 , X2 =−3I2 ; a nb  , inducţie; IV. a) f '( x) = 1−sin x ≥ 0 ⇒ f crescătoare; lim f ( x) =∞, lim f ( x) =−∞, f) an−1 0 a  x→∞ x→−∞ f continuă ⇒ f (
) =
⇒ f surjectivă; f s.c. pe  2k π , 2(k + 1)π  , ∀k ∈  ⇒ f injectivă; f surjecţie ⇒ pentru n ∈  ⊂
, (∃!) x ∈
a.î. f ( x) = n ; b) n < m ⇒∃bn , bm ∈
a.î. f (bn ) = n < m =

= f (bm ) ⇒ bn < bm ; c) bn = n − cos bn > n − 1 ; d) n − 1 < bn = n − cos bn < n + 1 + „cleştele”;  π e) a0 ∈ 0,  ⇒ a1 = f (a0 ) = a0 + cos a0 > a0 ; a0 < a1 , f s.c. ⇒ f (a0 ) < f (a1 ) ⇒ a1 < a2 ;  2  π  inducţie; a0 ∈  , π  ⇒ cos a0 < 0 ⇒ a1 = f (a0 ) = a0 + cos a0 < a0 etc.; g) e) şi f)  2 

⇒ (an ) monoton, iar din f (  0, π  ) ⊂  0, π  ⇒ (an ) mărginit; lim a n = x; a n+1 = f (a n ) ⇒ x = f ( x ) ⇒ cos x = 0,

269

x ∈  0, π  ⇒ x =

π . 2

Testul 10. I. a) 0; b)

f (−1) cu binomul lui Newton; c) Tk +1 = C9k 2k / 2 ⇒ k ∈ {1, 3,5,7,9} ;

1 − x2 1 3 ; c) − ; d) F ( x ) = ln x 2 + 1 + 1 ; ln 2 + 1; e) 0; f impară pe d) T3 = 72 ; e) 5ˆ ; 2. a) 2 2 25 1+ x

(

)

intervalul simetric în x = 0; III. a) det ( A) = 0, rang ( A) = 1 ; b) a = 14 ; c) An = 14n−1 A, ∀n ∈ ∗ , 1 ; f) inducţie; 15 1 y 1 g) ( xI 3 + yJ )( x ' I 3 + y ' J ) = I 3 ⇒ x ' = , y ' = − ; IV. a) an+1 − an = >0 ; x x ( x + 3 y) (n + 1)α

inducţie; d) C =t (1 2 3), L = (1 2 3) ; e)

b)

(bI 3 + cA)( I 3 + A) = I 3 ⇒ b = 1, c = −

f ' ( x ) < 0 ; c) f descrescătoare ⇒ f (k + 1) ≤ f ( x ) ≤ f (k ), ∀ x ∈  k , k + 1  , k ∈  ∗ ; n−1 k +1

c) n−1

n−1

d) bn = ∑ ∫ f ( x )dx ⇒ ∑ f (k + 1) ≤ bn ≤ ∑ f (k ) ; e) k =1 k

1

1

α ≤ 1, an−1 ≥ bn → ∞ ;

mărginit;

g)

1 ; f) α > 1 ; 0 ≤ an ≤ bn + 1 ⇒(an ) α −1

an − 1 ≤ bn ≤ an−1 < an ⇒ 0 < an − bn = xn ≤ 1

şi

xn+1 − xn > 0 .

Testul 11. I a) 0; b) (2, 2); c) mm ' = −1; α = 1 ; d) – 5; e) A ∈ H ⇒ 2 x − y −4 = 0 ; f) a + b + c = 6 , a + b > c , b + c > a , c + a > b, a , b, c ∈  ⇒ a = b = c = 2, 3 ; II. 1. a) 1 1 g ( f (−1)) = g   = ; c) 1; d) 210 − 1 ; c)  2  4

4 ; 2. b) 5

f ( g (−1)) = f (1) = 2 ;

f '(1) = 0 ; c)

(

)

f '( x ) = 4 x 3 − 1 ;

9 x > 1 ⇒ f '( x ) > 0 ⇒ f s.c.; d) f '( x ) = 12 x 2 > 0, x ≠0 ⇒ f convexă; e) − ; III. a) XA = AX ⇒ 5  b ' c '  ⇒ (bc ' = b ' c, ab '+ bd ' = ...) ⇒  = ,... ; c) Prin dublă incluziune; „ ⊂ ” avem a); d) B ∈ C ( A) ; c   b

( A + iB )( A − iB ) = A2 + B 2 ; yn =

1 π + 2nπ 2

1 0    , Y =  1 1; IV. a) 0; b) a = 1 , f ( x ) → 1 ; X =  n a n −1 1 2 1 2nπ

, f ( yn )→ 0 ; c) 0 ≤ x sin

h( x ) 1 1 ≤ x ; d) 0 ≤ ≤ x sin ≤ x . x x x

1 5 ; b) 2 x + 4 y − 5 = 0 ; c) ±2 ; d) x2 + y2 = 5 ; e) 1; f) 0; II. 1. a) ; b) x + y + z = 9 ; 2 1 x + z = 2 y , xyz = 15 ⇒ x = 1, y = 3, z = 5 ; c) 16; d) 2; e) f (3) = −4 ; 2. a) ; 1 + x2 r π π π b) f '( x ) > 0 ⇒ f s.c.; c) lim f ( x ) = , lim f ( x ) = − ⇒ y = , y = − ; d) 1; e) f 2 x→−∞ 2 2 2 x→∞

Testul 12. I. a)

impară pe intervalul simetric în x = 0; 0; III. f) δ , δ 2 , δ 3 ≠ e şi δ 4 = e ; g) G = { x ∈ S4 xu = ux } , unde u ∈ H , u ≠ e ⇒ G ≤ S4 ⇒ ord (G ) 4! = 24 ⇒ ord (G ) ≤ 12 ⇒ ∃v ∈ H cu v ∉ G ; IV. a) n; π , I 2 = 2 ; e) I2k+1 − I2k−1 = 0 ⇒ I2n−1 = I2n−3 = ... = I3 = I1 ; f) d) ⇒ I 2k − I 2k −2 = 2 2 k −1 = (−1) , k ∈ ∗ şi se adună k = 1, n . 2k − 1

c) I1 =

270

2. Teste pentru pregătirea examenului de admitere în facultate Testul 1. 1. ∆ < 0 ⇒ c) ; 2. x = y − 7 ⇒ d ; 3. b); 4. r = ax + b, P (−1) = 0, P (2) = 15 ⇒ a ) ; 5. b); 6. c); 7. f '( x ) ≤ 0 ⇒ (m < 0, ∆ ≤ 0) ⇒ d ) ; 8. c); 9. c); 10. u = ln x ; a); 11. f ( x ) = 3 x , x ≥ 0, f ( x ) = 3− x , x < 0 ; b). Testul 2. 1. e); 2. d); 3. c); 4. d); 5. a); 6. c); 7. b); 8. b); 9. e); 10. a). 2

Testul 3. Disciplina algebră. 1. (9,5); 2. D =−m(m + 1) ; 3. a) A, B ∈ M ⇒ A − B ∈ M ; b) A, B ∈ M ⇒

⇒ AB ∈ M şi I 2 ∈ M este element neutru; c) (0,1), (0,−1), (1, 0), (−1,0) .

Disciplina: Analiză matematică. I. 1. f '( x ) = 0 ⇒ ∆ > 0 ⇒ a ∈ (−∞,0) ∪ (1, ∞) ; 2. y = 1 a.o. la ±∞ , x = 0 a.v.; II. 2. x = arctg y;

π ln 2 π 2 − − . 4 2 36

 5 Disciplina: Geometrie. I. 1. ( AB ) : 2 x − y + 8 = 0, ( AC ) : 4 x + 3 y − 24 = 0;( BC ) : y = 0 ; 2. Ω 1,  ,  2 

5 5 2 , x + y 2 − 2 x − 5 y − 24 = 0 ; 4. 2  a 2 a 2   . II. M ± ,±  2 2  R=

(QS ) : 11 x + 2 y − 22 = 0, H (0, 3) ;

  11  5. Ω A = −i + j; 2

Testul 4. Algebră. 1. a − b ≤ a + b , cu egalitate dacă ab ≤ 0 ; b); 2. e); 3. b); 4. e = 7, x ∗ x ' = 7 ⇒ ⇒ x'= 6+

1 ; c); 5. d); 6. b); Analiză matematic 1. f '( x ) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ d ) ; 2. b); 3. a); x−6

4. f ( x ) = x 3 , x ≤ 0, f ( x ) = x , x > 0 ⇒ a); 5. d); 6. d). 1  Testul 5. 1. a) 2 x = y ; b) x ∈ 0,1 ; c) x ∈  ,1 ∪ {0} ; 2. a) det ( A) = 6 − 3m; m = 2 ⇒ rang ( A) = 2,  2 

(

)

1 π a 2 2 − 1 − ; 4. a) I 0 = , I1 = ln 2 . 4 3 3  1 2 3 1 2 3 1 2 3 Testul 6. Algebră. I. 2. σ ∈ e ,   ,   ,   ; 3. Prin reducere la absurd.  1 3 2 2 1 3 3 2 1   1  1 1   1 1 1 1  II. 2. f ( z ) = z , ∀z ∈  ; Analiză matematică. 1. H n > 1 + +  +  +  + + +  + ... + 2 2  4 4   8 8 8 8  m ≠ 2 ⇒ rang ( A) = 3 ; 3. a) −a ; b) a = 1 ; d)

 1 1  1 1 1 n x3 n ; + + ... +  = 1 + + + ... + = 1 + → ∞ ; 3. f ( n) (0) = (−1) ⋅ n ! ; II. a) g ( x ) = 2 2 2 2 x −1  2n 2n  1 b) f n  pe  0,1 şi f n (0) = −1, f n (1) = n − 1 ; d) . 2

Testul 7. 1. b) ∆ = m2 − m + 1 > 0 ⇒ m ∈
; c) y = x −1, y1 ≤0, y2 ≥ 0 ⇒ Py ≤ 0 ⇒m ∈(−∞,0) ∪ 1,∞) ; 7 d) m = 1 ; 2. a) −1, ± i ; b) y = 2 x − a ; c) ε 3 + ε 2 + ε + 1 = 0 ; d) ∆ = 0 ⇒ α = − ; 3. a) k = 3 ; 6

271

(

)

4. b) F ( x ) = x + 2 − 2ln x 2 + 4 x + 5 ; d) f n ( x ) =

3 − x2 n

( x + 2)

+1

⇒

2 n

3 +1

≤ fn ( x ) ≤

3 n

care

2 +1

se integrează pe  0,1 . Testul 8. Algebră şi analiză matematică. 1. a); 2. c); 3. b); 4. a); 5. c); 6. a); 7. b); 8. c); 9. a); 10. a); 11. c); 12. c); 13. c); 14. b); 15. c). Testul 9. Algebră şi analiză matematică. 1. d); 2. b); 3. d); 4. c); 5. a); 6. a); 7. d); 8. c); 9. e); 10. d); 11. d); 12. a); 13. c); 14. d); 15. d); 16. c) 17. d); 18. c). Testul 10. Algebră şi analiză matematică. 1. c); 2. b); 3. d); 4. a); 5. c); 6. e); 7. b); 8. e); 9. a); 10. d); 11. b); 12. d); 13. e); 14. e); 15. d); 16. a). Testul 11. Algebră şi analiză matematică. 1. a); 2. b); 3. d); 4. c); 5. e); 6. b); 7. e); 8. c); 9. a); 10. a); 11. d).

272