Manual Didáctico de Mathematica 5.2

Universidad Técnica Particular de Loja. Electrónica y Telecomunicaciones.

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Eduardo A. Suárez R. Tutora: Ing. Patricia Ludeña. Loja - Ecuador

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Manual de Mathematica 5.2

Índice. Índice Tema 1. Instalación de Mathematica 5.2 1.2 Herramientas y ayuda. 1.2.1 Ayuda en Mathematica 5.2 (Help browser). 1.3 Sintaxis y notación. 1.3.1 Input y output

1.3.1.a Caracteres fundamentales en Mathematica 5.2.

1.3.2 Declaración de variables. 1.3.3 Librerías.

1.3.3.a Llamadas de las librerías (packages). 1.3.3.b Contenidos de las librerías.

1.3.4 Opciones para gráficos.

1.3.4.a Axes y axes label. 1.3.4.b Colores en gráficas.

1.4 Operaciones básicas. 1.4.1 Resolución de ecuaciones. 1.4.2 encontrar puntos de intersección entre gráficas y funciones. 1.4.3 Dibujar una o varias funciones.

1.4.3.a Gráfica de una o varias funciones. 1.4.3.b Gráfica de ecuaciones implícitas. 1.4.3.c Gráfica de inecuaciones.

Tema 2. Nociones básicas de cálculo. 2.1 Límites. 2.2 Diferenciación. 2.2.1 Derivación parcial. 2.3 Integración. 2.4 Sumatorias y notación sigma. Tema 3. Curvas planas y ecuaciones paramétricas. 3.1 Sintaxis y método de resolución. 3.2 Construcción de tablas de ecuaciones paramétricas. 3.3 Gráficas de ecuaciones paramétricas. 3.4 Ecuaciones polares Tema 4: Vectores. 4.1 Puntos y rectas en el plano y en tres dimensiones. 4.2 Producto escalar y producto vectorial. Tema 5: Geometría del espacio 5.1 Rectas y planos en el espacio. 5.2 Superficies en el espacio 5.2.1 Superficies cuádricas. 5.2.2 Superficies de revolución 5.2.3 Sombras de superficies en 3D. 5.3 Gráfica con coordenadas polares. 5.3.1 Conversión de coordenadas. 5.3.2 Gráficas con coordenadas polares. 5.4 Gráficas con coordenadas esféricas. Tema 6: Análisis vectorial. 6.1 Gráficas de campos vectoriales. 6.2 Gráficas de campos vectoriales en tres dimensiones. 6.3 Gráficas de campos vectoriales utilizando el cálculo vectorial.

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TEMA 1. INSTALACIÓN DE MATHEMATICA 5.2 El programa de Matemática 5.2 se puede instalar ya sea a través de un cd o con una memory flash cuyo contenido sea mayor a 160 MB y contenga dicho programa. En esta guía obtendrá paso a paso las indicaciones a seguir. 1.

Abrimos la carpeta de Mathematica que se encuentra en el cd de instalación o en cualquier otro dispositivo de almacenamiento masivo superior a 160 MB, en el cual encontraremos el archivo de instalación SETUP (hacemos doble clic sobre el ícono como se muestra en la ilustración 1.1)

Ilustración 1.1 Icono de instalación de Mathematica 5.2

2.

Aparecerá de inmediato la ilustración 1.2 que le indica al usuario que el programa se está instalando correctamente en su computador.

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Ilustración 1.2 Ventana de proceso de configuración del instalador

3.

Aparecerá un su pantalla una ventana para determinar el tipo de instalación de Mathematica en su computador. El que le recomendamos es el FULL, para obtener todos los beneficios del programa. Cliqueamos en el ícono INSTALL (ver la ilustración 1.3).

Ilustración 1.3 Ventana de aceptación de instalación de Mathematica.

Ilustración 1.4 Ventana de proceso de instalación

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4.

Una vez terminado el proceso de instalación registramos la información de la licencia que debe constar en el mismo dispositivo en el cual el usuario haya obtenido el programa. Hacemos clic en FINISH como indica la ilustración 1.5.

Ilustración 1.5 Ventana de entrada de licencia de Mathematica.

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Al ingresar al programa le aparecerá una ventana de aviso informándole que el Wolfram Notebook Inderex no está instalado y que es necesario que el usuario lo haga manualmente cada vez que ingrese al Mathematica. Aquí los pasos a seguir.

1.

Presione YES en la ventana de aviso antes mencionada. (Ilustración 1.6).

Ilustración 1.6 Ventana de aviso del Wolfram Notebook Inderex

2.

Cliqueamos en NEXT en las tres ventanas siguientes. (Ilustración 1.7, 1.8 y 1.9), que son de bienvenida, un programa de mantenimiento y de instalación respectivamente.

Ilustración 1.7 Ventana de bienvenida a la instalación del Wolfram Notebook Inderex

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Ilustración 1.8 Ventana del mantenimiento del programa.

Ilustración 1.9 Ventana de instalación del programa Wolfram Notebook Inderex

3.

Finalmente, presionamos en FINISH como se observa en la ilustración 1.10

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Ilustración 1.10 Ventana de culminación de la instalación

Luego de este paso usted tendrá acceso a todos los beneficios del Mathematica 5.2 con todas sus ventajas y aplicaciones.

1.2 HERRAMIENTAS Y AYUDA Luego de los pasos anteriores aparecerá en su pantalla la ventana de Mathematica 5.2 con el cual trabajaremos en este curso como se observa en la figura 1.2.a

Figura 1.2a Ventana de Mathematica 5.2

Lo primero que el usuario debe hacer es obtener las paletas que le permitirán realizar todas las aplicaciones que este programa ofrece. Las paletas con mayor uso son: Basic Input, Basic Calculations y Algebraic Manipulation, en las cuales encontrará íconos y funciones que le servirán como herramientas para la elaboración de sus proyectos. En la figura 1.2.b le daremos la ubicación de estas paletas y sus aplicaciones en la figura 1.2.c

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Figura 1.2.b Ubicación de las principales paletas de ayuda

Figura 1.2.c Aplicaciones de las paletas de ayuda

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1.2.1 Ayuda en Mathematica 5.2 (help browser) Este programa brinda ayuda al usuario para que mediante ejemplos ya elaborados sirvan de guía al programador en las distintas áreas. El usuario deberá ingresar el nombre del tema en el buscador y el programa se encargará de dar los posibles temas de ayuda con sus respectivos ejemplos. En las ilustraciones 1.2.1a y 1.2.1b se observa la ubicación del Help Browser (Ayuda) y un ejemplo práctico

Figura 1.2.1a Help Browser

Figura 1.2.1b Ejemplo elaborado de Mathematica 5.2

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Manual de Mathematica 5.2 Aquí algunos ejemplos que podemos encontrar en el Help Browser.

Figura 1.2.1c Ejemplo de dodecaedro

Figura 1.2.1d Gráfica de una inecuación

Figura 1.2.1e Gráfica en 3D de una integral elíptica

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Manual de Mathematica 5.2 Existen objetos y animaciones mucho más interesantes que el usuario puede navegar y observar en el Mathematica 5.2 aquí alguno de sus ejemplos:

Figura 1.2.1f Imagen de Beethoven generado en Matemática 5.2

Figura 1.2.1g Botella de Klein

Figura 1.2.1h Gráfica de la superficie de Riemman

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1.3 SINTAXIS Y NOTACIÓN. En el programa Matemática 5.2 se pueden distinguir dos grandes partes. Una de ellas, llamada núcleo (Kernel), es la encargada de ejecutar todos los comandos y realizar los cálculos necesarios y la otra parte es la interfaz del usuario (Front - End). La interacción entre estas dos partes la realiza el usuario mediante la pulsación simultánea de la teclas Shift+Enter o el Intro que se encuentra en el bloque numérico.

1.3.1 Input y output Las líneas de código que el estudiante ingresa se nominan input, y la respuesta que el programa devuelve son output que se detallarán con el mismo número, de esta manera con el signo (%) podemos hacer referencia del último output (ver figura 1.3.1a), dos signos (%%) del penúltimo output, y así sucesivamente; o con la notación (%n) en donde n es el número del output.

Figura 1.3.1a Ejemplo de desarrollo y

Cuando se pulsa solo el Enter, no se ejecuta solo se cambia de línea para que el estudiante ingrese otro input, de manera que Mathematica ejecuta todos las entradas que se han dado antes de pulsar Shift+Enter o Enter en el bloq numérico (Ver Figura 1.3.1b).

Figura 1.3.1b Ejemplo con gráfica y tabla

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1.3.1.a CARACTERES FUNDAMENTALES EN MATHEMATICA 5.2 Mathematica 5.2 distingue los caracteres escritos con mayúsculas y minúsculas, por ejemplo todas las funciones, opciones, variables y constantes incorporadas al programa empiezan necesariamente con mayúscula. Un espacio entre dos variables se interpreta como un signo de multiplicación. Por esto, nunca debemos dejar un espacio entre caracteres cuando demos un nombre a una constante, variable o función. Los paréntesis, corchetes y llaves tienen funciones distintas en Mathematica. Los paréntesis se utilizan para agrupar e indican prioridad en las operaciones a efectuar. Los corchetes son exclusivos de las funciones, delimitan el argumento de las mismas, y además se las utiliza en las funciones trigonométricas (Cos[2x]); por último, las llaves se utilizan para definir listas de elementos (vectores y matrices, por ejemplo).

Figura 1.3.1c Sintaxis para la elaboración de un gráfico

En el ejemplo de la figura 1.3.1c vemos que los corchetes son utilizados para la función de Plot y su delimitación; y obviamente para las funciones seno y coseno; y las llaves para dar el dominio de la variable x. En la tabla 1.1 muestra las funciones más usadas en nuestro manual con su sintaxis y notación.

Notación de Operaciones Suma Resta Producto Cociente Potenciación Valor absoluto de x Raíz cuadrada de x Parte entera de x Factorial de x Número aleatorio real entre 0 y 1 Máximo y mínimo de una lista de valores Descomposición en factores primos de x

x+y x-y x*y o bien x y (un espacio) x/y x^y Abs[x] Sqrt[x] Floor[x] x! o Factorial[x] Random[] Max[x1, x2,…], Min[x1, x2,…] FactorInteger[x]

Tabla 1.1 Notación de operaciones matemáticas básicas

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Notación de Funciones ex ln(x) loga(x) sen(x) cos(x) tg(x) cotg(x) sec(x) cosec(x) arcsen(x) sh(x) arcsh(x)

E^x o bien Exp[x] Log[x] Log[a,x] Sin[x] Cos[x] Tan[x] Cot[x] Sec[x] Csc[x] ArcSin[x] Sinh[x] ArcSinh[x]

Tabla 1.2 Notación de funciones básicas

Como vimos en el capítulo anterior para las funciones de las tabla 1.2 podemos utilizar las paletas BasicCalculations/ Trigonometric and Exponential Functions.

Otros significados N[x]

Expresa el valor numérico de x

Expand[x]

Forma expandida (efectúa sumas, productos, potencias…).

Factor[x]

Factoriza x (escribe x como producto de factores mínimos).

Together[x]

Escribe todos los términos de x con un denominador común.

Apart[x]

Separa x en términos con denominadores lo más simples posible.

Cancel[x]

Cancela factores comunes que posean numerador y denominador.

Simplify[x]

Simplifica x siguiendo reglas algebraicas estándar.

FullSimplify[x]

Simplifica x usando reglas algebraicas más potentes.

TrigExpand[x]

Expande expresiones trigonométricas en suma de términos.

TrigFactor[x]

Factoriza expresiones trigonométricas en producto de términos. Tabla 1.3 Notación para otras aplicaciones

En el ejemplo de la figura 1.3.1d observamos la notación y la sintaxis para la elaboración de una gráfica y como obtener los valores de la misma. En el intervalo del dominio aparece un cuarto elemento, el mismo que nos indica la variación de x de 0 a 2π en pasos de π/4. Hemos hecho uso de las herramientas mostradas en la tablas superiores para encontrar los valores máximos y mínimos de una gráfica que a menudo son muy útiles para el estudio en Análisis Vectorial, de esta manera podemos obtener cualquier valor de la gráfica dado su punto.

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Figura 1.3.1d Ejemplo para gráficas, tablas y datos máximos y mínimos

1.3.2 Declaración de variables Muy a menudo se necesita hacer cálculos de algunas variables cuyos procesos son los mismos, por ejemplo obtener las gráficas de algunas funciones, convertir puntos de coordenadas de un sistema a otro, encontrar las rectas tangentes de una función, etc. Para estos procesos es recomendable hacer una declaración de variables para obviar procesos repetitivos y tediosos. En el ejemplo 1.3.2a observamos las aplicaciones de esta herramienta.

Figura 1.3.2a Gráficas generadas con declaración de variables

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Manual de Mathematica 5.2 Ahora probemos con otras variables para observar que el mismo algoritmo nos sirve para cualquier función. (Ver figura 1.3.2b)

Figura 1.3.2.b Gráfica de otras funciones con el mismo esquema

1.3.3 Librerías El programa Mathematica 5.2 posee librerías que permiten al estudiante desarrollar sus algoritmos, los mismos que son llamados o requeridos al inicio de cualquier tarea que el estudiante necesite ejecutar en Mathematica 5.2. Como el desarrollo del presente manual se basa en el cronograma de la asignatura de Análisis Vectorial, por lo general solicitaremos las librerías para las gráficas de cónicas, ecuaciones paramétricas, gráficas polares, gráficas en 3D, superficies en el espacio, transformaciones de coordenadas en los 3 sistemas: rectangulares, cilíndricas o esféricas, etc. Para los distintos ejemplos necesitaremos uno o más librerías que permitirán dar resultados acorde a los procesos matemáticos realizados en clase.

1.3.3.a LLAMADAS DE LAS LIBRERÍAS (PACKAGES). Se hacen las respectivas llamadas a las librerías según las aplicaciones que deseemos hacer. Estas llamadas se realizan antes de ejecutar los algoritmos sino Mathematica los interpretará como errores. En las figuras 1.3.3a y 1.3.3b representamos el mismo ejemplo: el primero cuando no se ha realizado la respectiva llamada a la librería y el segundo cuando el programa nos presenta un output correcto

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Figura 1.3.3a Error por la falta de una librería que reconozca el input solicitado

Para que el programa reconozca el input, necesariamente debemos llamar a su respectiva librería la cual pueda darnos la respuesta solicitada. El input 17 es la llamada al package: ContourPlot3D el cual realizará los cálculos necesarios y nos dará el output que deseamos.

Figura 1.3.3b Gráfica solicitada con la librería ContourPlot3D

1.3.3.b CONTENIDOS DE LAS LIBRERÍAS. Cada librería contiene un sinnúmero de aplicaciones y de subtemas que el estudiante puede hacer uso para las aplicaciones de los distintos temas que se desarrollarán en este manual y de una manera sencilla se puede conocer todos sus contenidos.

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Manual de Mathematica 5.2 Primero se solicita la librería que se desea conocer y luego se realiza una llamada a su contenido como se muestra en la figura 1.3.3c.

Figura 1.3.3c Contenido de cualquier librería solicitada

De esta manera podemos buscar en la ayuda (Help Browser) cualquier tema que nos interese, conocer su sintaxis y los beneficios que nos pueda brindar en el desarrollo de nuestro algoritmo. Por ejemplo, queremos conocer acerca de la sintaxis y la notación de algunos subtemas que necesitemos sobre Análisis Vectorial. Procedemos a llamar a su librería: