Manual Del Estudiante

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

APUNTES CÁLCULO MTCL01

INACAP Ciencias Básicas Vicerrectoría de Académica de Pregrado 2015

1

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

ÍNDICE UNIDAD 1: ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE…………..…...5 UNIDAD 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE….113 UNIDAD 3: DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.....……………….164 UNIDAD 4: INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE …………..……243

2

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

PRESENTACIÓN

3

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

L

a necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos, artísticos o matemáticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar la matemática. La actividad matemática involucra muchos más aspectos que solo definir, enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al conocimiento matemático, el hombre debió utilizar intuición, inventiva y experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que quedan ocultos en la exposición formal que habitualmente se nos presenta en los libros. La matemática siempre ha buscado poder medir lo inaccesible. Lograr la medida de una cantidad mediante datos indirectos más accesibles. Ello ha permitido a las demás ciencias el logro de éxitos como el de conocer la velocidad de la luz, saber cuánto pesa y qué edad tiene una estrella, medir el diámetro de un átomo o saber la masa de una electrón. Así las ciencias han abierto el secreto del universo, y la técnica que nace de ese conocimiento ha cambiado la vida de la humanidad para siempre. Mucho del éxito de la ciencia se ha basado en la capacidad de asegurar valores y posiciones de objetos inaccesibles, como cuando Rutherford (1871 1937), en 1911, confirma que la masa de los átomos se concentra en su núcleo, con carga positiva, al observar cómo un chorro de partículas Alfa producía formas geométricas al pasar por una lámina muy delgada, combinando geometría con cálculo, química, y física. El Cálculo Diferencial e Integral es un producto de la indagación de dos siglos, realizando la ambición de poder determinar el comportamiento de una operación o de una curva geométrica contando con la mínima información, lo que, desde su descubrimiento por Newton (1643 – 1727) y Leibniz (1646 - 1716), abrió el camino de la revolución científica, técnica e industrial. Los orígenes del cálculo los podemos encontrar en Arquímedes (287 AC – 212 AC), quien utilizó el método de palancas y la idea de subdividir exhaustivamente, para calcular áreas y volúmenes de figuras no simples, como secciones delimitadas por parábolas.

4

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

MTCL01 UNIDAD 1 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE APRENDIZAJE ESPERADO Resuelve problemas desarrollando operatoria algebraica mediante estrategias de valorización, reducción de términos semejantes, factorización, simplificación y resolución de ecuaciones, explicando los pasos aplicados. CRITERIOS DE EVALUACIÓN  Valoriza expresiones algebraicas mediante operatoria en los números reales, en contextos diversos.  Despeja un término literal en función de otros términos presentes en una expresión algebraica.  Reduce expresiones algebraicas mediante propiedades de términos semejantes y eliminación de paréntesis, explicando su estrategia.  Reduce expresiones algebraicas fraccionarias explicando las estrategias de factorización y simplificación utilizadas.  Resuelve problemas mediante la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, aplicando propiedades y fórmulas.

APRENDIZAJE ESPERADO Representa un modelo funcional a través del planteamiento de un enunciado verbal en el ámbito del lenguaje de la especialidad, en forma analítica y gráfica, señalando las variables en estudio, propiedades y características principales. CRITERIOS DE EVALUACIÓN  Reconoce el modelo analítico funcional de dos variables en estudio, estableciendo la dependencia de ellas.  Representa gráficamente un modelo funcional, destacando sus principales características.

5

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

 Representa analíticamente un enunciado verbal, que involucra la dependencia de dos variables.

APRENDIZAJE ESPERADO Analiza el comportamiento de crecimiento de una función de valor real y las condiciones que debe cumplir para obtener la función inversa. CRITERIOS DE EVALUACIÓN

 Determina gráficamente si la función propuesta es creciente, decreciente o constante.  Revisa en forma gráfica si la función es inyectiva, epiyectiva y biyectiva.  Determina la función inversa de un modelo funcional dado, comprobando si cumple con las condiciones o si requiere restricciones.

APRENDIZAJE ESPERADO Resuelve problemas de enunciado en el ámbito de especialidad dados por funciones lineales cuadráticas, exponenciales y logarítmicas, analizando gráficas, comportamiento y comunicando sus resultados de manera efectiva. CRITERIOS DE EVALUACIÓN  Realiza cálculos de imágenes y pre-imágenes en modelos matemáticos contextualizados a diversas disciplinas.  Resuelve problemas relacionados al costo, ingreso o utilidad mediante un modelo analítico funcional.  Analiza la solución de un problema, a partir del contexto en el que fue planteado.  Resuelve problemas relativos a la especialidad modelados por una función lineal, cuadrática, exponencial, logarítmica u de otro tipo, analizando la pertinencia de los resultados y comunicando sus resultados de manera efectiva.

6

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Introducción Expresiones Algebraicas

El álgebra elemental es una herramienta útil para describir y resolver problemas de diversas áreas, pero para ello debemos ser capaces de expresar simbólicamente relaciones y procesos. Intentamos expresar simbólicamente las relaciones, ya sean estas de un proceso involucrado en una situación cotidiana o un problema abstracto. Combinando números y letras, mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división o extracción de raíces, entonces la expresión obtenida se denominará expresión algebraica. Ejemplos: 𝑥+5

1. √𝑥 + 𝑥−2 + 3 es una expresión algebraica en la variable (o factor literal) 𝑥. 𝑦+5

2. √𝑦 + 2 + 𝑦 2 +1 + 4 es una expresión algebraica en la variable (o factor literal) 𝑥. 3.

(𝑥+𝑦)3 −𝑥𝑦 𝑦

es una expresión algebraica en las

variables(o factores literales) 𝑥 e 𝑦.

7

8

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Consideremos la expresión algebraica 2𝑎𝑥 3 en la variable 𝑥. Tenemos que 2 es el coeficiente numérico del factor literal 𝑎𝑥 3 , y 2𝑎 es el coeficiente de 𝑥 3 . Además, si al realizar un análisis a es un número fijo se le denomina constante. Las expresiones algebraicas que tienen sólo un término se denominan monomios, las que poseen más de un término se denominan multinomios; dentro de estas las que poseen dos términos son binomios y tres términos son trinomios.

En los siguientes ejemplos veremos algebraicamente enunciados literales:

cómo

expresar

1. El doble de un número más cuatro: 2𝑥 + 4 2. El doble de la suma de un número más cuatro: 2(𝑥 + 4) 3. La tercera parte del cuadrado de un número:

𝑥2 3

4. Un número menos siete: 𝑥 − 7 5. El cubo de la suma de un número más seis: (𝑥 + 7)3 6. El triple de un número más su cuarta parte: 3𝑥 +

𝑥 4

7. El número once menos el triple de un número: 11 − 3𝑥 8. La diferencia del doble de un número con 8 elevada al cubo: (2𝑥 − 8)3 9. Un número más el doble de su sucesor: 𝑥 + 2(𝑥 + 1)

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

10. El cubo del doble de un número, menos ocho: (2𝑥)3 − 8 11. La suma de dos números consecutivos: 𝑥 + (𝑥 + 1)

Las expresiones algebraicas son útiles en diversos contextos, veamos los siguientes problemas: Ejemplo Inicialmente el ancho de un terreno rectangular era el triple de su largo, pero luego se decidió ampliarlo 3 metros de ancho y 1 metros de largo ¿Cuantos metros de alambre serán necesario para cercarlo? Solución: El ancho del terreno podría ser cualquier número positivo, por lo que es un número generalizado. Sea 𝑥 = ancho del terreno. Dado que el ancho del terreno puede ser cualquier número, lo que queremos es determinar una expresión general del perímetro en términos de 𝑥. Por el enunciado, tenemos que:

Si el perímetro es 𝑃, tenemos que está dado por la expresión algebraica 𝑃 = 2(3𝑥 + 3) + 2(𝑥 + 1)

9

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Podemos decir que el perímetro 𝑃 está en función del ancho 𝑥. Ejemplo El ancho de un terreno rectangular era el triple de su largo, pero al ampliarse 3 metros de ancho y 1 metros de largo ¿Cuantos metros de alambre serán necesarios para cercarlo si el ancho es 10 metros? Solución: El ancho del terreno es un número dado, por lo que sólo debemos valorizar en la expresión algebraica obtenida en el problema anterior. Tenemos que 𝑥 = 10 metros, tenemos que el perímetro es 𝑃 = 2(3 ∙ 10 + 3) + 2(10 + 1) = 66 + 22 = 88 metros. Ejemplo El ancho de un terreno rectangular era el triple de su largo, pero al ampliarse 3 metros de ancho y 1 metro de largo se necesitaron 56 metros de alambre para cercarlo. ¿Cuáles eran las medidas del terreno inicialmente? Solución: El ancho del terreno es un número positivo desconocido, cuyo valor se requiere y puede ser obtenido con los datos dados en el problema, por lo que es una incógnita Ahora tenemos que el perímetro es 56 metros. Por lo que tenemos que 56 = 2(3𝑥 + 3) + 2(𝑥 + 1) = 8𝑥 + 8 Luego 8𝑥 = 56 − 8 = 48 Y finalmente 𝑥 = 6.

10

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ya hemos visto como determinar expresiones algebraicas, por lo que a continuación veremos valorizar expresiones algebraicas y ecuaciones. Valorizar expresiones Algebraicas:

El propósito es representar una situación a través de una expresión algebraica, pero a veces es necesario obtener valores específicos a partir de la generalización realizada. Es común querer obtener un número explícito, para una situación dada, para esto reemplazamos las letras por números particulares (dados). Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. El resultado de esta expresión es lo que llamaremos valor numérico de la expresión algebraica para esos valores de las variables. Ejemplos: Valoremos las expresiones siguientes 1. 5𝑥 2 𝑦 – 8𝑥𝑦 2 – 9𝑦 3 si 𝑥 = 2; 𝑦 = – 1. Tenemos que: 5 ∙ (2)2 ∙ (−1)– 8 ∙ 2 ∙ (−1)2 – 9 ∙ (−1)3 = −20 − 16 + 9 = −27 5 2 3 2. 2x + 8xy – 9xy , si x = −1; y = – 2. Tenemos que: 2 ∙ (−1)5 + 8 ∙ (−1) ∙ (−2)2 – 9 ∙ (−1) ∙ (−2)3 = −2 − 32 + 72 = 38.

11

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Es importante destacar, que al valorizar debemos seguir un orden, no debemos olvidar que: 1. 2. 3. 4.

Reemplazar cada variable por el valor asignado. Calcular las potencias indicadas Efectuar las multiplicaciones y divisiones Realizar las adiciones y sustracciones

Ejemplos: La ecuación I = Prt es la fórmula para el interés simple I sobre un capital de P pesos a una tasa de interés anual r en un periodo de t años. Expresar r en términos de I, P y t. ¿Cuál será la tasa de interés si I = 200, P = 100, t = 2? Solución: Tenemos que 𝐼 𝑃𝑟𝑡 𝐼 = ⟹𝑟= . 𝑃𝑡 𝑃𝑡 𝑃𝑡 Luego, valorizando tenemos: 𝑟=

200 = 1. 100 ∙ 2

Cabe destacar que la valorización de expresiones algebraicas, es útil además para comprobar si algunas expresiones algebraicas son ciertas. Por ejemplo, si creemos que se satisface (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 para todos los números reales, basta ver que para 𝑎 = 𝑏 = 1 tenemos que (1 + 1)2 = 22 = 4 12 + 12 = 2

12

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Por lo que vemos que la igualdad no se satisface. Así hemos comprobado que no se trata de una identidad matemática. Ejercicios: 1. Exprese los siguientes enunciados en expresiones algebraicas: a. La velocidad promedio de un automóvil es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla. b. El tiempo que tardará en llenarse una piscina que tiene capacidad de 𝐿 litros, si el agua entra 0,5 litros por minuto. 2. De lunes a viernes, en una industria se fabrican 7𝑥 artículos; el día sábado, 2𝑦 artículos; y el domingo, 2𝑧 artículos. ¿Cuántos artículos se fabrican en 3 semanas? 3. Si tenía depositados en el banco $ (1.200 𝑛) y retiré la mitad, ¿cuánto debo depositar para tener el doble de lo que tengo? 4. Pedro tiene 𝑛 dulces y su hermano tiene la mitad de esta cantidad más uno. Si al hermano de Pedro le regalan 3 dulces y él, a su vez, regala 2, ¿con cuántos dulces queda el hermano de Pedro si 𝑛 = 14?. 5. Si al triple del antecesor de x se le restan 2𝑥, ¿qué valor se obtiene para 𝑥 = – 5? 6. La ecuación 𝑆 = 𝑃 + 𝑃𝑟𝑡 es la fórmula para el valor 𝑆 de una inversión de un capital de 𝑃 dólares a un interés anual simple 𝑟 durante un periodo de 𝑡 años. Cuanto es 𝑃 si 𝑟 = 1,3, 𝑆 = 2500 y 𝑡 = 24. 7. Utilice la fórmula 𝑃 = 2𝑤 + 2𝑙 para determinar el ancho 𝑤 de un rectángulo con perímetro P de 950 m, cuyo largo 𝑙 es de 250m. 8. La ecuación ℎ = −4,9𝑡 2 + 𝑚 es la fórmula para la altura ℎ, en metros, de un objeto 𝑡 segundos después que es soltado desde una posición inicial de 𝑚 metros. ¿A qué altura está si se ha soltado desde 50 metros hace 2 segundos? 9. Determina cuales de las siguientes igualdades no son propiedades matemáticas validas para todos los valores de sus variables: 𝑎+𝑐 𝑎 a. 𝑏+𝑐 = 𝑏 b. (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 𝑏 2 c. d.

(𝑎+𝑏)2 (𝑎−𝑏)2

𝑎+𝑏

= 𝑎−𝑏

(𝑎 + 𝑏)2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)2

13

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Reducción de expresiones algebraicas Las operaciones en las expresiones algebraicas están basadas en las propiedades de los números reales. Por lo que haremos un breve repaso de estas propiedades, para que así la manipulación de expresiones algebraicas tenga sentido. Reducción de términos semejantes La reducción de términos semejantes está relacionada con la suma y resta de expresiones que tienen el mismo factor literal. Por ejemplo: 4𝑥 − 6𝑥; 5𝑧√𝑦 − 8𝑧√𝑦; 7𝑎3 𝑏 − 𝑎3 𝑏 + 3𝑎3 𝑏. Recordemos que en los números reales tenemos la propiedad distributiva, que también corresponde a factorización según el uso que le demos: 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) 𝑎 ⋅ 𝑏 − 𝑎 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 − 𝑐) Ejemplo Aplicando esta propiedad a las expresiones algebraicas tenemos: 1. 4𝑥 − 6𝑥 = (4 − 6)𝑥 = (−2)𝑥 = −2𝑥 2. 5𝑧√𝑦 − 8𝑧√𝑦 = (5 − 8)𝑧√𝑦 = (−3)𝑧√𝑦 = −3𝑧√𝑦 3. 4𝑎3 𝑏 − 𝑐𝑎3 𝑏 + 3𝑎3 𝑏 = 4𝑎3 𝑏 − 𝑐 ∙ 𝑎3 𝑏 + 3𝑎3 𝑏 = (4 − 𝑐 + 3)𝑎3 𝑏 = (7 − 𝑐)𝑎3 𝑏.

14

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Reducción de paréntesis: Al manipular las expresiones algebraicas será natural querer sumar o restar expresiones, para ello será útil escribir estas sumas (o restas) con paréntesis para luego simplificar y poder obtener la expresión algebraica resultante de esta operación. Nuevamente la propiedad distributiva será primordial 𝑎 ∙ (𝑏 ± 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 ± 𝑎 ∙ 𝑐 Ejemplo Reduzcamos (3𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦) − (4𝑥 2 𝑦 − 3𝑥 + 2) − (5𝑦 + 3) Primero debemos eliminar los paréntesis. Notemos que −(4𝑥 2 𝑦 − 3𝑥 + 2) = (−1) ∙ (4𝑥 2 𝑦 − 3𝑥 + 2) = (−1) ∙ 4𝑥 2 𝑦 − (−1) ∙ 3𝑥 + (−1) ∙ 2 = −4𝑥 2 𝑦 + 3𝑥 − 2, −(5𝑦 + 3) = (−1) ∙ (5𝑦 + 3) = (−1) ∙ 5𝑦 + (−1) ∙ 3 = −5𝑦 − 3, dado que (−1) ∙ (−1) = 1 y (−1) ∙ (1) = −1. Luego, tenemos que: (3𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦) − (4𝑥 2 𝑦 − 3𝑥 + 2) − (5𝑦 + 3) = (3𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦) + (−1)(4𝑥 2 𝑦 − 3𝑥 + 2) + (−1)(5𝑦 + 3) = (3𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦) + (−4𝑥 2 𝑦 + 3𝑥 − 2) + (−5𝑦 − 3) Eliminando los paréntesis, tenemos que:

15

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1



(3𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦) + (−4𝑥 2 𝑦 + 3𝑥 − 2) + (−5𝑦 − 3) = 3𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦 − 4𝑥 2 𝑦 + 3𝑥 − 2 − 5𝑦

  ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

− 3 = −𝑥 2 𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 5 Por lo tanto, (3𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦) − (4𝑥 2 𝑦 − 3𝑥 + 2) − (5𝑦 + 3) = −𝑥 2 𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 5 Productos algebraicos: Hemos visto como sumar las expresiones algebraicas, pero ¿cómo se multiplican? No existe impedimento para multiplicar cantidades literales, y se aplica la propiedad de distributiva de la multiplicación. ¿Cómo multiplicamos (𝑥 + 𝑦)(2𝑥 + 𝑦 − 3)?, para esto sólo debemos aplicar la propiedad distributiva:

(𝑥 + 𝑦)(2𝑥 + 𝑦 − 3) = (𝑥 + 𝑦) ∙ (2𝑥) + (𝑥 + 𝑦) ∙ 𝑦 − (𝑥 + 𝑦) ∙ 3 = 𝑥 ∙ (2𝑥) + 𝑦 ∙ (2𝑥) + 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑦 ∙ 𝑦 − 𝑥 ∙ 3 + 𝑦 ∙ 3 = 2𝑥^2 + 2𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦^2 − 3𝑥 + 3𝑦 = 2𝑥^2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦^2 − 3𝑥 + 3𝑦

16

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Factorización y productos notables: Recibe el nombre de Productos Notables las multiplicaciones de expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente. Estos son los productos notables más usuales: 1. 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 Factor común 2. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 3. (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) = 𝑎𝑏𝑥 2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑐𝑑 4. (𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 Cuadrado de un binomio 5. (𝑥 − 𝑎)2 = 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 Cuadrado de un binomio 6. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) = 𝑥 2 − 𝑎2 Producto de suma y diferencia 7. (𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥 3 + 3𝑎𝑥 2 + 3𝑎2 𝑥 + 𝑎3 Cubo de un binomio 8. (𝑥 − 𝑎)3 = 𝑥 3 − 3𝑎𝑥 2 + 3𝑎2 𝑥 − 𝑎3 Cubo de un binomio

Factorizaciones: En los números naturales podemos realizar la factorización de ellos, por ejemplo, el número 54 = 27 ∙ 2 = 3 ∙ 9 ∙ 2 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 2 = 33 ∙ 2. Esta propiedad es bastante útil para dividir, por ejemplo. Nos gustaría extender esta propiedad a las expresiones algebraicas.

17

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Debemos tener en mente que no siempre es necesario tener la expresión algebraica desarrollada, a veces es útil expresarla como producto de expresiones algebraicas, principalmente para resolver ecuaciones. Ejemplo Una parcela dispone de un terreno cuadrado de 𝑎 metros para plantar lechugas. Si el terreno se agranda 𝑏 metros hacia cada lado, ¿Cuál es el área? Solución Tenemos que

Tenemos que el área total, es la suma de las áreas de cada cuadrado y rectángulo en la figura, es decir, es 𝑎2 + 𝑏𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 . Por otro lado podemos observar que es lo mismo que considerar el cuadrado:

18

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

Por lo que el área del cuadrado es (𝑎 + 𝑏)2 . Así que tenemos (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 .

 

Ejemplo

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Analicemos el trinomio 𝑥 2 + 2𝑥 + 1. Para poder factorizar, se deben satisfacer 2𝑎 = 2 y 𝑎2 = 1, de la última igualdad tenemos que 𝑎 es 1 o −1, y de la otra concluimos que 𝑎 = 1. Así tenemos que 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2 . Ejemplo Una fábrica dispone de un terreno cuadrado de lado 𝑎 metros que utiliza de bodega. Si el terreno se agranda 𝑏 metros de largo y 𝑐 metros de ancho, ¿Cuál es el área? Solución Tenemos que

Tenemos que el área total, es la suma de las áreas de cada cuadrado y rectángulo en la figura, es decir, es 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏 = 𝑎2 + (𝑏 + 𝑐)𝑎 + 𝑐𝑏. Por otro lado podemos observar que es lo mismo que considerar el cuadrado:

19

20

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Por lo que el área del rectángulo es (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐). Por lo que, tenemos (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐) = 𝑎2 + (𝑏 + 𝑐)𝑎 + 𝑏𝑐. Ejemplo Para poder factorizar el trinomio 𝑥 2 + 12𝑥 + 18 de la forma (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) se deben satisfacer que 𝑎 + 𝑏 = 12 y 𝑎𝑏 = 18, notemos que 18 = 18 ∙ 1 = 9 ∙ 2 = 6 ∙ 3, y además 9 + 2 = 11, 18 + 1 = 19 y 6 + 3 = 12. Concluimos que los números que satisfacen ambas relaciones son 6 y 3. Así tenemos que 𝑥 2 + 12𝑥 + 18 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 6). Ejemplo Explique las siguientes factorizaciones:  𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 4)  𝑥 2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)  3𝑥 2 + 6𝑥 + 3 = 3(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) = 3(𝑥 + 1)2 2

 9𝑥 2 + 9𝑥 + 2 = 9 (𝑥 2 + 𝑥 + 9) 2 1 = 9 (𝑥 + ) (𝑥 + ) 3 3 = (3𝑥 + 1)(3𝑥 + 2)  𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)2

2

1

1

2

1

 𝑥 3 − 6𝑥 3 + 9 = (𝑥 3 ) − 6𝑥 3 + 9 1

1

1

= (𝑥 3 − 3) (𝑥 3 − 3) = (𝑥 3 − 3)2

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Factor común: Sabemos que (3 + 6) = 3 ∙ 1 + 3 ∙ 2 = 3 ∙ (1 + 2), con lo que hemos factorizado el factor común que en este caso es 3. ¿Esto se podrá extender para las expresiones algebraicas? La respuesta es sí. Queremos extender esta idea para expresiones algebraicas, y así tener técnicas para poder factorizar y así poder realizar un estudio más sencillo de ellas estudiando cada término que se multiplica. El procedimiento es análogo, descomponer en factores, reconocer los factores comunes y factorizarlos. Ejemplo Verifique las siguientes factorizaciones: 1. 𝑎𝑏𝑐 + 2𝑎𝑏𝑐 2 + 3𝑎𝑏𝑐 3 + 4𝑎𝑏𝑐 4 = 𝑎𝑏𝑐(1 + 2𝑐 + 3𝑐 2 + 4𝑐 3 ) 2. 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦 2 = 𝑧(𝑥 + 𝑦) + 2𝑦(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)(𝑧 + 2𝑦) Factorización de algunos tipos de binomios. Factorización de diferencias de cuadrados 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) Factorización de diferencia de cubos 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )

21

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Factorización de suma de cubos 𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )

Ejemplo Factorice  2𝑥 2 − 8 = 2(𝑥 2 − 4) = 2(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)  8 − 𝑥 3 = (2)3 − 𝑥 3 = (2 − 𝑥)(𝑥 2 + 2𝑥 + 4)  𝑥 6 − 𝑦 6 = (𝑥 3 )2 − (𝑦 3 )2 = (𝑥 3 − 𝑦 3 )(𝑥 3 + 𝑦 3 ) = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )(𝑥 + 𝑦)(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )

Tenemos la siguiente estrategia general de factorización: 1. Intentar factor común. 2. Contar el número de sumandos de la expresión: a. diferencia.

si tiene dos términos intentar suma por

b. si tiene tres términos intentar primero cuadrado de binomio, si no trinomio que no son cuadrados. c. si tiene más de tres términos agrupar convenientemente. 3. La expresión debe quedar totalmente factorizada.

22

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejercicios 1. Desarrolle usando productos notables: 𝑏 2

a. (𝑎 + 𝑐 )

b. (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 c. (3𝑎 − 2𝑐)2 3𝑏 2

d. (2𝑎 + 4𝑐 )

e. (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) f. (𝑎2 𝑏 3 𝑥 2 − 𝑦)(𝑎2 𝑏 3 𝑥 2 + 𝑦) g. (𝑥 − 𝑦)(𝑎𝑥 + 𝑦) h. (2𝑎 + 𝑐)3 i. (3𝑎 + 3𝑏)3 j. (𝑥 − 2𝑥𝑦)3 2. Desarrolle las siguientes expresiones y reduzca términos semejantes, cuando sea posible: a. (𝑎 + 2)(𝑎 − 3) − (𝑎 − 3)2 b. (𝑎 + 2)(𝑎 − 3) − (𝑎 + 2)2 c. (𝑎 + 2)(𝑎 − 3) − (𝑎 − 4)2 d. (𝑏 − 3)2 − (𝑏 + 1)(𝑏 − 1) e. (𝑥 − 3)3 − 𝑥(𝑥 + 2)2 + 𝑥 − 9 f. (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 − (𝑎 − 3)2 3. Al cercar un terreno cuadrado de 𝑥 metros de lado, se cometió un error al construirlo y se cercaron 0,5 metros más hacia cada lado. ¿En cuántos metros cuadrados excede el terreno cercado respecto a su medida inicial?

23

24

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Fracciones algebraicas y simplificaciones: Las fracciones algebraicas son aquellas en que tanto en el numerador como en el denominador son expresiones algebraicas. Por ejemplo 𝑥+2 𝑥 2 + 3𝑥 + 1 Estas se operan de la misma forma que los números racionales, cuando nos enfrentemos con una fracción algebraica intentaremos siempre escribirla de manera sencilla y lo más “limpia” posible, para ello utilizaremos la simplificación. Recordemos las siguientes propiedades de potencias en los números reales: 𝑎𝑛 (𝑎𝑏) = 𝑎 𝑏 y 𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 𝑎 𝑛

𝑛 𝑛

Ejemplos 12𝑎5 𝑏 3

 4𝑎3 𝑏 2 5

15𝑎2 𝑏

=

4∙3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏 5∙3𝑎𝑎𝑏

=

4∙3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏 5∙3𝑎𝑎𝑏

=

4𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏 5

=

, con 𝑎, 𝑏 ≠ 0

 

𝑥+2 𝑥 2 +3𝑥+1

𝑥+2

1

= (𝑥+2)(𝑥+1) = (𝑥+1) con 𝑥 ≠ −2 y 𝑥 ≠ −1

12𝑎3 𝑏 5 −3𝑎2 𝑏 3𝑎2 𝑏 8 +6𝑎2 𝑏

=

3𝑎2 𝑏(𝑎𝑏 4 −1) 3𝑎2 𝑏(𝑏 7 +2)

=

𝑎𝑏 4 −1 𝑏 7 +2

, con 𝑎, 𝑏 ≠ 0

y

7

𝑏 ≠ √−2

Suma de fracciones algebraicas. Al sumar fracciones algebraicas lo haremos de la misma manera que cuando sumamos fracciones de números reales, recordemos que: 3 1 3∙3 1∙2 9 2 11 + = + = + = 4 6 4 ∙ 3 6 ∙ 2 12 12 12

25

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

¿Qué hemos hecho para poder sumar las fracciones? Para sumarlas hemos encontrado su máximo común múltiplo que es 15. Notemos que si descomponemos en los factores primos tenemos que: 3 1 3 1 + = 2+ , 4 6 2 2∙3 Por lo que podemos notar que el máximo común múltiplo entre 4 y 6 es el producto de la mayor potencia de cada uno de los factores primos de los denominadores. Y luego amplificamos por los factores que faltan para completar el máximo común múltiplo en cada denominador. Y luego sumamos. ¿Cómo podemos aplicar esto para sumar fracciones algebraicas? Es completamente análogo, factorizamos los denominadores. Determinamos el máximo común múltiplo y luego amplificamos (multiplicando por los factores que faltan para completar el máximo común múltiplo) y sumamos las fracciones. Debemos notar que la fracción algebraica obtenida puede seguir desarrollándose, si es necesario. Ejemplos 1.

1

𝑥 2 −2𝑥+1+𝑥 2 +𝑥 (𝑥+1)2 (𝑥−1)2

2. 3. (𝑥−4) (𝑥+3)

1 (𝑥−2)

1∙(𝑥−1)2

𝑥

(𝑥+1)2

𝑥∙(𝑥+1)

+ (𝑥+1)(𝑥−1)2 = (𝑥+1)2 (𝑥−1)2 + (𝑥+1)2 (𝑥−1)2 = 2𝑥 2 −𝑥+1

= (𝑥+1)2 (𝑥−1)2 1

(𝑥+1)

(𝑥−2)

2𝑥−1

+ (𝑥+1) = (𝑥−2)(𝑥+1) + (𝑥−2)(𝑥+1) = (𝑥−2)(𝑥+1)

𝑥 2 −5𝑥+4

𝑥 2 +2𝑥

(𝑥−1)(𝑥−4)

𝑥(𝑥+2)

− 𝑥 2 +5𝑥+6 = (𝑥−1)(𝑥+3) − (𝑥+2)(𝑥+3) = 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥

4

− (𝑥+3) = − (𝑥+3)

26

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejercicios 1. Realice las operaciones y simplifique tanto como sea posible. a. b. c. d. e.

𝑥 2 −4 𝑥 2 −2𝑥 3𝑥 2 −27𝑥+24 2𝑥 3 −16𝑥 2 +14𝑥 6𝑥 2 +𝑥−2 2𝑥 2 +3𝑥−2 𝑥 2 −9𝑥+20 𝑥 2 +𝑥−20 𝑥2

+ 𝑥+3

5𝑥−6 𝑥+3

𝑎2

f. 1 − 𝑎2 −1 g. h. i. j. k. l. m. n.

2

𝑥

+ 𝑥+2

𝑥+2 𝑠 𝑠+4

+𝑠

1

1

𝑥 2 −𝑥−2 2 𝑡

+ 𝑥 2 −1

1

+ 3𝑡 4

𝑥

+ 𝑥+3 2𝑥−1 𝑥+1

𝑥−1

− 𝑥+1 𝑥−1 2 3𝑡 2 −5𝑡+2

𝑡

− 3𝑡 2 −7𝑡+2

2𝑥−3 2𝑥 2 +11𝑥−6

3𝑥−1

1

− 3𝑥 2 +16𝑥−12 + 3𝑥−2

27

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Racionalización: La racionalización es un proceso en donde se tiene que eliminar la raíz o raíces que están en el denominador de una fracción. Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por una expresión adecuada, de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador. Veamos algunos ejemplos en los números racionales:    3

√6 12∙6

= 

2

=

√3 15 3

√5

2∙√3 √3∙√3

=

1 3

3

2∙√3 3

15∙ √52 3

3

= 5

3

2 √6

=

= 2

√5∙ √5

1 2

= 2

√63 6

3

15∙ √52 3

√53 1 3

=

3

15∙ √52

= 2

2∙6 √6

5

3

1∙ √6

12

3

= 3 ∙ √52

3

√62 ∙ 3√6

=

3

√6 3

12 √63

=

3

√6 72 2 √3−√2

=(

2(√3+√2) √3−√2)(√3+√2)

=

2(√3+√2) 2

(√3) −(√2)

2

=

2(√3+√2) 3−2

=

2(√3 + √2) Usando la idea de los ejemplos anteriores veremos cómo racionalizar fracciones algebraicas. Por ejemplo, para racionalizar

𝑥−2 √𝑥+2

𝑛

utilizaremos que √𝑎𝑛 =

𝑛

𝑎, si 𝑛 ≥ 2, 𝑎 ∈ ℝ y √𝑎 ∈ ℝ. Así amplificamos por √𝑥 + 2, y tenemos que 𝑥−2 (𝑥 − 2)√𝑥 + 2 (𝑥 − 2)√𝑥 + 2 = = . 𝑥+2 √𝑥 + 2 √𝑥 + 2 ∙ √𝑥 + 2 Podemos ver que utilizando las mismas técnicas utilizadas para los números racionales podemos racionalizar fracciones algebraicas.

28

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1



En los siguientes ejemplos debemos tener presente las siguientes factorizaciones: 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

  ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) Veremos cómo utilizarlas en los siguientes ejemplos: 𝑥2 − 4 √𝑥 − 2

=

9𝑦 − 4𝑥 2 2𝑥 + 3√𝑦

(𝑥 2 − 4)√𝑥 − 2

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)√𝑥 − 2 (𝑥 − 2)

=

√𝑥 − 2 ∙ √𝑥 − 2 = (𝑥 + 2)√𝑥 − 2, =

9𝑦 − 4𝑥 2

∙

2𝑥 − 3√𝑦

(2𝑥 + 3√𝑦) 2𝑥 − 3√𝑦 (9𝑦 − 4𝑥 2 )(2𝑥 − 3√𝑦) = (4𝑥 2 − 9𝑦) = −2𝑥 + 3√𝑦,

3

√𝑥 + √𝑥 + 1 √𝑥 − √𝑥 + 1 √𝑥 − √𝑥 + 1 √𝑥 + √𝑥 + 1 3(√𝑥 + √𝑥 + 1) 3(√𝑥 + √𝑥 + 1) = = 𝑥 − (𝑥 + 1) −1 = −3(√𝑥 + √𝑥 + 1), 8𝑥 + 11 3

2 √𝑥 − 2 + 3

3

=

=

8𝑥 + 11 3

∙

2

3

∙

3

(2 √𝑥 − 2) − 2 √𝑥 − 2 ∙ 3 + 32 2

2 √𝑥 − 2 + 3 (2 3√𝑥 − 2) − 2 3√𝑥 − 2 ∙ 3 + 32 2

3

=

3

3

(2 √𝑥 − 2) + 33 2

3

=

3

(8𝑥 + 11) ((2 √𝑥 − 2) − 2 √𝑥 − 2 ∙ 3 + 32 ) 8(𝑥 − 2) + 27 2

3

=

3

(8𝑥 + 11) ((2 √𝑥 − 2) − 2 √𝑥 − 2 ∙ 3 + 32 )

3

(8𝑥 + 11) ((2 √𝑥 − 2) − 2 √𝑥 − 2 ∙ 3 + 32 ) 3

2

8𝑥 + 11 3

= ((2 √𝑥 − 2) − 2 √𝑥 − 2 ∙ 3 + 32 ),

29

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

2

𝑥 −1 3

√1 − √𝑥

2

=

3

𝑥 −1

√(1 − √𝑥)

2

∙ 2 √1 − √𝑥 3√ (1 − √𝑥)

3

3

=

(𝑥 2 − 1) √(1 − √𝑥) 1 − √𝑥 3

=

2

(𝑥 2 − 1) √(1 − √𝑥) 1 − √𝑥

2

∙

1 + √𝑥 1 + √𝑥

3

=

(1 + √𝑥)(𝑥 2 − 1) √(1 − √𝑥)

2

(1 − 𝑥) 3

=

(1 + √𝑥)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) √(1 − √𝑥) −(𝑥 − 1) 3

= −(1 + √𝑥)(𝑥 + 1) √(1 − √𝑥)

2

2

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejercicios 1. Realice las operaciones, luego racionalice. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l.

2

2

−

√𝑥+ℎ 𝑎 √𝑎

√𝑥 1

+

√2+𝑎 𝑎 √𝑎

√𝑎 1

−

√2+𝑎 𝑎

√𝑎 1

√2+𝑎2 𝑥−3 √𝑥−1

+𝑎 4

+

√𝑥−1

𝑥

√

4

+ 𝑥−1 𝑥−3

√𝑥+1−1

√𝑥−2

+

4 √𝑥+3−2

𝑥 2 −2 3

√2−√𝑥 𝑥+11 3

2 √𝑥−2+3 𝑥 2 −2 3

√2−√𝑥

−

𝑥+11 3

2 √𝑥−2+3

16𝑦−9𝑥 2 3𝑥+4√𝑦 𝑥+2 3

3

3 √𝑥−2 √𝑥+1

30

31

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ecuaciones Lineales y cuadráticas:

Una ecuación es una igualdad con alguna incógnita, de la que se quiere saber el conjunto de números reales que hacen verdadera la igualdad, recordando que una igualdad entre dos expresiones es una proposición que indica que ambas expresiones se refieren al mismo número. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas sus lados o miembros, y están separadas por el signo de igualdad “=”. Por ejemplo,

𝑦 𝑦−4

= 6, donde 𝑦 es la variable de la ecuación.

Es importante notar que nunca permitamos que en una ecuación haya una variable que tenga un valor para el cual esa ecuación no esté definida, por tanto, en la ecuación anterior 𝑦 no puede ser 4. Resolver una ecuación es encontrar todos los valores de sus incógnitas (o variables) para los cuales la ecuación es verdadera. Estos valores se conocen como soluciones de la ecuación y se dice que satisfacen la ecuación. Antes repasaremos las propiedades de las igualdades Teorema Propiedades suma: Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, tal que 𝑎 = 𝑏. Entonces: 1. 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐. 2. 𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐. Propiedades multiplicación: 1. 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐 1

1

2. Si 𝑐 ≠ 0, entonces 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐

32

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ecuaciones Lineales

La ecuación lineal es de la forma: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0. Para resolverla, despejaremos la incógnita 𝑥, para ello aplicaremos las propiedades de las igualdades, tenemos: 𝑎𝑥 = −𝑏 𝑏

Por lo tanto la solución es 𝑥 = − 𝑎. Cabe destacar que la ecuación no siempre estará expresada de esta forma, pero podremos llevarla a esta forma. Así tenemos los siguientes ejemplos: Ejemplo Encuentre la solución de la ecuación 3(3𝑥 + 1) − (𝑥 − 1) = 6(𝑥 + 10). Al distribuir, tenemos 9𝑥 + 3 − 𝑥 + 1 = 6𝑥 + 60, Sumando los términos, 8𝑥 + 4 = 6𝑥 + 60, Luego, tenemos que 2𝑥 = 56. Por lo tanto, 𝑥 = 28.

33

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo Encuentre la solución de la ecuación

3𝑥−1 4

− 2 = 3.

Si multiplicamos por 4 la ecuación, obtenemos: 3𝑥 − 1 − 2 ∙ 4 = 3 ∙ 4 que es equivalente a la ecuación con la que comenzamos. Luego, despejando 𝑥 obtenemos: 3𝑥 = 21. Finalmente la solución es 𝑥 = 7. Ejemplo 𝑥

1

−4

Resuelva la ecuación 𝑥−5 + 𝑥−5 = 𝑥−5. Para resolver este ejercicio, supondremos que 𝑥 ≠ 5, ya que si 𝑥 = 5 estaremos dividiendo por cero lo cual nos puede llevar a peligrosos errores. Así tenemos que 𝑥 4 1 + + =0 𝑥−5 𝑥−5 𝑥−5 Luego, 𝑥 5 + = 0 | ∙ (𝑥 − 5) 𝑥−5 𝑥−5 Así obtenemos una ecuación lineal: 𝑥+5=0 Cuya solución es 𝑥 = −5.

34

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Cabe destacar que debemos tener cuidado al dividir o multiplicar por (𝑥 − 5), ya que puede ser cero. Dividir por cero nos puede llevar a grandes errores, sabemos que 0 ∙ 2 = 0 ∙ 5 = 0. Si 𝑥 = 5 tenemos que (𝑥 − 5) = 0, por lo que podemos reescribir: 0 ∙ 2 = 0 ∙ 5 ⇒ (𝑥 − 5) ∙ 2 = (𝑥 − 5) ∙ 5 Luego si dividimos por (𝑥 − 5), tenemos que 2 = 5, lo cual sabemos que es falso. Ejemplo −𝑥

1

−4

Resuelva la ecuación 𝑥−5 + 𝑥−5 = 𝑥−5. Para resolver este ejercicio, supondremos que 𝑥 ≠ 5. Así tenemos que −𝑥 −4 1 −5 = − = 𝑥−5 𝑥−5 𝑥−5 𝑥−5 Luego, −𝑥 −5 = ⇒ 𝑥 = 5. 𝑥−5 𝑥−5 Lo cual no es posible ya que sabíamos que era distinto de 5. Así, la ecuación no posee solución. Ejercicios 1. Pablo tiene un hermano que es 33 centímetros más alto que él, si el hermano de Pablo mide 1.73 metros. ¿Qué estatura tiene Pablo? 2. Un automóvil recorrió 80 km. A una velocidad de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo demoró en recorrer la distancia señalada?

35

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

3. Un recipiente A contiene 550 litros de agua y se está llenando a razón de 45 litros por minuto de otro recipiente B que contiene 1000 litros. ¿En cuánto tiempo tendrán la misma cantidad de agua ambos recipientes? Ecuación de Segundo Grado La ecuación general de segundo grado es de la forma: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0. Para resolverla completaremos cuadrados. 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Primero, dejamos la constante al lado derecho 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = −𝑐, factorizamos por 𝑎 al lado izquierdo 𝑏 𝑎 (𝑥 2 + 𝑥) = −𝑐, 𝑎 𝑏

2

dividimos por 𝑎, ya que es distinto de cero. Y sumamos (2𝑎)

a ambos lados de la igualdad, para completar el cuadrado de binomio: 𝑏 𝑏 2 𝑏 𝑏 2 𝑏 2 𝑐 2 𝑥 + 𝑥+( ) =𝑥 +2 𝑥+( ) =( ) − 𝑎 2𝑎 2𝑎 2𝑎 2𝑎 𝑎 2

36

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1



Luego, formamos el cuadrado de binomio, y sumamos las fracciones. 𝑏 2 𝑏2 𝑐 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 (𝑥 + ) = 2 − = 2𝑎 4𝑎 𝑎 4𝑎2

  ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Si 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0, aplicamos raíz cuadrada a ambos lados, y obtenemos: 𝑥+

𝑏 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = ±√ 2𝑎 4𝑎2

Notemos que el símbolo ± aparece, dado que 2

2

𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 √ √ ( ) = (− ) = . 4𝑎2 4𝑎2 4𝑎2 Despejamos 𝑥, y obtenemos 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Finalmente la solución general de la ecuación de segundo grado puede escribirse como: 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Así símbolo ± indica que se puede realizar tanto la suma como la resta, por esto la ecuación de segundo grado posee una o dos soluciones, dadas por 𝑥1 =

−𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −𝑏 − √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ; 𝑥2 = 2𝑎 2𝑎

Si 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0, ambas soluciones coinciden. Cuando 𝑎 = 0, la ecuación cuadrática se transforma en una ecuación lineal de la forma 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, por lo cual la formula anterior no tiene sentido.

37

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Por otra parte el término 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 recibe el nombre de discriminante y se representa por el símbolo Δ. Si el discriminante es negativo diremos que la ecuación no tiene solución real. Teorema Si 𝑝 y 𝑞 son soluciones reales de 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, entonces para todo 𝑥 ∈ ℝ se cumple 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑥 − 𝑝) ⋅ (𝑥 − 𝑞) Ejemplo Resuelva la ecuación 3𝑥 2 − 3𝑥 − 18 = 0 y factorice la cuadrática. Solución De la ecuación podemos notar que 𝑎 = 3, 𝑏 = −3, 𝑐 = −18. Al reemplazar en la fórmula de las soluciones, tenemos: 𝑥1 =

3+√(−3)2 −4∙3∙(−18) 2∙3

3−√(−3)2 −4∙3∙(−18) 2∙3

=

=

3+√225

3−√225 6

6

=

=

3−15 6

3+15 6

= 3𝑥2 =

= −2 

Finalmente, las soluciones son 𝑥1 = 3 y 𝑥2 = −2 y se cumple 3𝑥 2 − 3𝑥 − 18 = 3(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) Ejemplo Resuelva la ecuación 2𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0. Solución De la ecuación podemos notar que 𝑎 = 2, 𝑏 = 1, 𝑐 = 1, y el discriminante es Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 1 − 8 = −7 > 0, que es negativo, por lo que la ecuación no posee soluciones reales. Ejemplo Resuelva la ecuación 2𝑥 2 + 4𝑥 + 2 = 0. Solución

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

 

De la ecuación podemos notar que 𝑎 = 2, 𝑏 = 4, 𝑐 = 2. Al reemplazar en la fórmula de las soluciones, tenemos:

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

𝑥1 =

−4 + √42 − 4 ∙ 2 ∙ 2 −4 + √16 − 16 = = −1; 2∙2 4

𝑥2 =

−4 − √42 − 4 ∙ 2 ∙ 2 −4 − √16 − 16 = = −1; 2∙2 4

Dado que el discriminante es cero, la solución es única y es 𝑥 = −1 y 2𝑥 2 + 4𝑥 + 2 = 2 ⋅ (𝑥 + 1)2 . Cabe destacar que cuando el discriminante es cero la solución es única, si es positivo existen dos soluciones distintas y si es negativo no posee solución en el conjunto de los números reales.

Ejercicios 1.

Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: a.

4𝑥 = 16

b.

3𝑥 + 1 = 9

c. d. e. f. g. h. i. j.

𝑥

𝑥

+3=2 7

𝑥

𝑥

+ 𝑥 = 4 + 19 3

𝑡 = 2 − 2(2𝑡 − 3(1 − 𝑡)) 2𝑦−5 5

=

3𝑦+7

7+2(𝑦−5) 5 𝑦−3

3

=

6𝑦 3

𝑦−3

𝑦+3

= 𝑦+2

𝑦−8

𝑦−8

= 𝑦+2 𝑦+3 𝑦−6 𝑦

6

𝑦+6

− 𝑦 = 𝑦−6

38

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

 

2.

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

3.

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: a.

(𝑥 − 1)2 = 1

b.

(𝑥 − 1)2 = 0

c.

𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0

d.

(𝑥 − 3)(𝑥 + 4) = 0

e.

𝑥 2 + 𝑥 − 12 = 0

f.

(𝑥 − 2)(2𝑥 + 5) = 0

g.

2𝑥 2 + 𝑥 − 10 = 0

h.

𝑥 2 + 3𝑥 − 12 = 0

i.

𝑥2 + 2 𝑥 −

j.

𝑥 2 − 1 = 3(𝑥 − 1)

k.

𝑥 2 + 7𝑥 − 21 = 0

l.

(𝑥 − 3)2 − (𝑥 − 2)2 = 1

m.

−(3𝑥 − 1)2 + (5𝑥 − 3)2 = (4𝑥 − 2)2

n.

(3𝑥 − 1)2 − (5𝑥 − 3)2 = −(4𝑥 − 2)2

3

12 5

=0

En las siguientes expresiones exprese el símbolo

indicado en termino de los símbolos restantes: a.

𝐼 = 𝑃𝑟𝑡; 𝑃.

b.

𝑝 = −3𝑞 + 6; 𝑞.

c.

𝑆 = 𝑃(1 + 𝑟𝑡); 𝑟.

d.

𝑉 = 𝑛𝑃𝑅; 𝑅.

39

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Definición de Función:

En los fenómenos de la naturaleza intervienen distintos factores, a los cuales llamaremos variables, siempre se trata de obtener relaciones entre ellos ya que los cambios suelen estar relacionados. Por ejemplo, la presión y temperatura de un gas, sabemos que al aumentar la temperatura del gas la presión aumenta, es decir, la presión cambia en “función” de la temperatura (Esta ley fue enunciada en 1802 por el físico y químico francés Louis Joseph Gay-Lussac). Así surge la pregunta ¿Es posible definir una relación tal que sea posible predecir la presión de un gas para una temperatura dada? Para ello se determinará una regla de asignación que haga corresponder a cada temperatura con la presión del gas. A esta correspondencia entre variables se denomina función. Las funciones no necesariamente se representan de manera explícita, es decir, a través de una fórmula. Cuando se puede determinar a través de una fórmula estas reciben el nombre de funciones analíticas. En el ejemplo anterior tenemos que la relación entre la presión y la temperatura es: 𝑃 = 𝑘𝑇, donde 𝑘 es una constante de proporcionalidad relacionada con el gas, 𝑃 y 𝑇 son la presión y la temperatura, respectivamente. Diremos que 𝑇 es la variable independiente y 𝑃 es la variable dependiente, esta dependencia la denotamos por 𝑃(𝑇), esto es 𝑃 depende de 𝑇. Si la variable 𝑦 es función de la variable 𝑥, se utiliza una letra, generalmente 𝑓 para representar la relación entre las variables.

40

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Definición: 1. Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos no vacíos. Una función 𝑓 de 𝐴 en 𝐵 es un objeto matemático que asigna a cada objeto 𝑥 de 𝐴 un único objeto 𝑓(𝑥) de 𝐵 llamado imagen de 𝑥 por 𝑓. 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)

2. Si 𝑓: 𝐴 → 𝐵, el conjunto 𝐴 es llamado dominio de 𝑓 y denotado Dom(𝑓), mientras 𝐵 es llamado codominio de la función y denotado Cod(𝑓).

3. Si 𝑓 es una función, se denomina regla de asignación de 𝑓 a la manera que determina la imagen 𝑓(𝑥) para cada elemento de 𝑥 de Dom(𝑓).

Observación:  Una función que cumpla 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es un objeto con tres componentes: dominio (𝐴), codominio (𝐵) y la regla de asignación 𝑥 → 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐴. La regla de asignación puede ser dada de modo algebraico, algorítmico, o ser implícita.  Note que siempre se cumple que 𝑓: Dom(𝑓) → Cod(𝑓). En particular, al afirmar que 𝑓: 𝐴 → 𝐵 siempre se cumplen 𝐴 = Dom(𝑓) y 𝐵 = Cod(𝑓).

Definición: Sea 𝑓 una función. El recorrido de 𝑓 es el conjunto de todas las imágenes y lo denotaremos por Rec(𝑓).

41

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

 

Ejemplo Analicemos los siguientes diagramas

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Si es función, con dominio A, codominio B, regla de asignación f(1) = 5, f(2) = 6, f(3) = 6 y f(4) = 8 y recorrido {5,6,8}.

No es función ya que 4 está en el dominio pero no tiene correspondiente.

No es función ya que 3 le corresponden 6 y 7 (posee dos imágenes).

42

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1



Ejemplo



Dada la función f:R→R,f(x)=4x+1, determine:

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

1. La imagen de 1. 2. La imagen de 0. 3. La preimagen de 9 Solución 1. f(1)=4∙1+1=5. 2. f(0)=4∙0+1=1. 3. Buscamos x∈R, tal que f(x)=9. Por lo que tenemos 4𝑥 + 1 = 9 es decir, 4𝑥 = 8 así que la preimagen es x=2.

Ejercicios 1. Indique cuales de los siguientes diagramas representan una función de A en B:

a.

b.

43

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

c. 2. Expresar matemáticamente: a. 0 es la imagen de 1 por la función 𝑓 b. 1 es la imagen de 0 por la función 𝑔 c. La imagen de 4 por la función ℎ es 1. d. Una preimagen de 6 por la función 𝑓 es 0. e. Una preimagen de 3 por la función ℎ es 1. 3. Dada la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 1 a. La imagen de 1. b. La imagen de 0. c. La preimagen de 0. d. La preimagen de 3 4. La temperatura de una habitación es una función del tiempo 𝑡 en minutos, y la función está dada por 1 𝑇(𝑡) = 10 + 𝑡, 90 minutos?

a. ¿Cuál es la temperatura después de 100

b. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la temperatura de la habitación sean 35° C?

44

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Gráfica de funciones.

La definición de función dada se puede relacionar con la representación geométrica de una curva. Representaremos la gráfica de una función en el plano cartesiano, este está compuesto por dos ejes ordenados, el eje 𝑥 o eje de abscisas y el eje 𝑦 o eje de las ordenadas. Y el punto de intersección 𝑂 entre ellas se denomina origen.

Cada punto del plano está compuesto por dos números 𝑎 y 𝑏, sus coordenadas que indican sentido y distancia con respecto al origen, y se escriben como un par ordenado (𝑎, 𝑏). La gráfica de una función es el conjunto de puntos del plano que cumplen con la regla de asignación. Un punto de la gráfica (𝑥, 𝑦) satisface que 𝑓(𝑥) = 𝑦, es decir, el punto es de la forma (𝑥, 𝑓(𝑥)).

Notemos que las siguientes gráficas no corresponden a una función, si 𝑓: ℝ → ℝ entonces para 𝑎 ∈ Dom(𝑓), se tiene

45

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

no representa una función, ya que la gráfica presenta un “vacío” , lo que nos indica que hay un valor del dominio de 𝑓 que no tiene imagen. Consideremos para 𝑎 ∈ Dom(𝑓), la gráfica:

no representa una función, ya que 𝑎 posee dos imágenes. Para graficar una función es útil considerar una tabla de valores, con elementos del dominio y su imagen a través de la función, y luego realizar una gráfica aproximada. Mientras más puntos consideremos la gráfica que obtengamos será cada vez más exacta.

46

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo Dada la función 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1. Observemos que para obtener la gráfica de la función es suficiente hacer una tabla de valores, con elementos del dominio y sus respectivas imágenes. Tenemos la siguiente tabla de valores 𝑥 -2

𝑓(𝑥) -1

-1

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

considerando que el Dom(𝑓) = ℝ, obtenemos que su gráfica es

Ejemplo Dada la función 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , obtenemos la siguiente tabla de valores

47

48

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

 𝑓(𝑥)

𝑥



-2 -1 0 1 2 3 4

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

4 1 0 1 4 9 16

considerando que el Dom(𝑓) = ℝ, tenemos que su gráfica es

Ejemplo Dada la función 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , tenemos la siguiente tabla de valores 𝑓(𝑥)

𝑥 -2 -1 0 1 2 3 4

-8 -1 0 1 8 27 64

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

 

considerando que el Dom(𝑓) = ℝ, obtenemos que su gráfica es

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Las gráficas de las funciones anteriores las podemos dibujar sin necesidad de levantar el lápiz. Pero esto no siempre es así: Ejemplo Dada la función 𝑓: ℤ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, tenemos la siguiente tabla de valores 𝑥 -2 -1 0 1 2 3 4

𝑓(𝑥) -1 0 1 2 3 4 5

49

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

 

considerando que el Dom(𝑓) = ℤ, tenemos que su gráfica es

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Las gráficas son útiles y nos proporcionan información de la función que no podemos obtener inmediatamente analizando la regla de asignación.

Cabe destacar que su recorrido de la función se puede observar en el eje 𝑦 de la gráfica como el conjunto de elementos tal que al trazar una recta horizontal a la altura de ese elemento intersecta a la gráfica de la función. Y su dominio será el conjunto de elementos para los cuales al trazar una recta vertical esta intersecta a la gráfica.

Tipos de funciones, definición y propiedades:

Definición de Función constante Una función es constante es aquella función que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente, es decir, es una función 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑐, para todo 𝑥 ∈ ℝ y 𝑐 ∈ ℝ fijo. Su dominio es ℝ y su recorrido Rec(𝑓) = {𝑐}.

50

51

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 5, para todo 𝑥 ∈ ℝ. Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) Su recorrido {5}. Consideremos la siguiente tabla de valores: 𝑥 -2 -1 0 1 2 3 4 Por lo que, su gráfica es:

𝑓(𝑥) 5 5 5 5 5 5 5

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Definición de Función afín. Una función 𝑓: ℝ → ℝ es afín cuando es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛.

Las gráficas de estas funciones son rectas, que dependen de 𝒎, ya que esta da la pendiente de la recta (grado de inclinación). El punto donde la recta corta al eje de ordenadas es 𝑛. Las coordenadas de este punto son: (0, n). Notemos que cuando la pendiente de la recta es 0, no es ni creciente ni decreciente. Y por lo tanto se vuelve una función constante. Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6, para todo 𝑥 ∈ ℝ. Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) Su recorrido ℝ. c) 𝑓(0) = 6. d) Además, buscamos 𝑥 ∈ ℝ tal que: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 = −2 Por lo tanto, tenemos que 𝑓(−2) = 0. e) A medida que crece 𝑥 también crece 𝑓(𝑥), es decir,𝑥 < 𝑦 entonces tenemos 3𝑥 + 6 < 3𝑦 + 6, o sea 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦). f) No hay dos elementos del dominio que posean la misma imagen, es decir, si tenemos que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦), entonces 3𝑥 + 6 = 3𝑦 + 6 por lo tanto 𝑥 = 𝑦.

52

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

 

Por lo que, su gráfica es:

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6, para todo 𝑥 ∈ ℝ. Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) Su recorrido ℝ. c) 𝑓(0) = 6. d) Además, buscamos 𝑥 ∈ ℝ tal que: 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 = 2 Por lo tanto, tenemos que 𝑓(2) = 0. e) A medida que 𝑥 crece 𝑓(𝑥) decrece, es decir, 𝑥 < 𝑦 entonces tenemos −3𝑥 + 6 > −3𝑦 + 6, o sea 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑦). f) No hay dos elementos del dominio que posean la misma imagen, es decir, si tenemos que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦), entonces−3𝑥 + 6 = −3𝑦 + 6 por lo tanto 𝑥 = 𝑦.

53

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Consideremos la siguiente tabla de valores:

𝑥 -2 -1 0 1 2 3 4 Por lo que, su gráfica es:

𝑓(𝑥) 12 9 6 3 0 -3 -6

Podemos observar en los gráficos y tablas que si 𝑚 es positiva le función es crece (la gráfica se eleva cuando nos movemos a la derecha). Si 𝑚 es negativa la función decrece (la gráfica desciende cuando nos movemos a la derecha).

54

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Además en el gráfico es sencillo ver que no hay valores distintos con la misma imagen, ya que para que esto ocurra en la gráfica deberíamos observar que en el eje 𝑦 que hay al menos dos puntos en la misma “altura”, es decir, que tenga la segunda coordenada igual, y no es así en este caso.

Las siguientes definiciones nos ayudarán a estudiar las funciones y su comportamiento:

Definición Sea 𝑓 una función. 1. Diremos que 𝑓 es una función (estrictamente) creciente en un intervalo 𝐼 ⊆ Dom(𝑓) si y sólo si Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 (𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏)) 2. Diremos que 𝑓 es una función (estrictamente) decreciente en un intervalo 𝐼 ⊆ Dom(𝑓) si y sólo si Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 (𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑏)) En la gráfica de una función se verá que es creciente cuando la función “sube” desde izquierda a derecha, o decrece cuando la gráfica “baja” desde izquierda a derecha.

Las siguientes definiciones nos ayudarán a describir algunas propiedades:

55

56

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Definición Sea 𝑓 una función. 1. Diremos que 𝑓 es una función inyectiva si y sólo si Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ Dom(𝑓)(𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ⇒ 𝑎 = 𝑏 ). 2. Diremos que 𝑓 es una función epiyectiva si y sólo si Rec(𝑓) = Cod(𝑓). 3. Diremos que 𝑓 es una función biyectiva inyectiva y epiyectiva.

si

es

En la gráfica de una función se verá que es inyectiva si al trazar cualquier recta horizontal esta intersecta solo una vez a la gráfica de la función. Y veremos que es epiyectiva si su dominio (en el eje 𝑥) es distinto a su recorrido (en el eje 𝑦).

Analicemos los siguientes diagramas, para entender estos conceptos.

No es inyectiva ya que 𝑓(3) = 𝑓(2) = 6. No es sobreyectiva ya que el recorrido es {5,6,7} y el codominio es{5,6,7,8}.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Es inyectiva pero no es sobreyectiva ya que el recorrido es {5,6,7,8} y el codominio es {5,6,7,8,9}.

Es inyectiva y sobreyectiva.

Definición Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es invertible si y sólo si es biyectiva. En tal caso su inversa es la función denotada 𝑓 −1 con 𝑓 −1 : 𝐵 → 𝐴 que cumple que para todo 𝑥 ∈ 𝐴 𝑓 −1 ( 𝑓(𝑥)) = 𝑥 y para todo 𝑦 ∈ 𝐵 𝑓(𝑓 −1 (𝑦)) = 𝑦.

57

58

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

 

Por ejemplo,

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Sin embargo, sabiendo que f es biyectiva, basta comprobar sólo una de las dos condiciones dadas.

Función cuadrática Una función 𝑓: ℝ → ℝ es cuadrática si es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑎 ≠ 0, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ.

Notemos que al completar cuadrados tenemos que: 𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 + Notemos 𝑏

(− 2𝑎 ,

que

−𝑏 2 +4𝑎𝑐 4𝑎

𝑏

𝑏 2 𝑏2 ) − + 𝑐. 2𝑎 4𝑎

𝑓 (− 2𝑎) =

−𝑏 2 +4𝑎𝑐 4𝑎

,

y

el

punto

) diremos que es el vértice de la función.

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales, además cuando 𝑎 > 0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, es decir, la parábola se abre "hacia arriba", y cuando 𝑎 < 0 el vértice se encuentra en la parte superior, es decir, la parábola se abre "hacia abajo".

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplos Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1, para todo 𝑥 ∈ ℝ. Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) 𝑓(0) = 1. c) Además, buscamos 𝑥 ∈ ℝ tal que: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 2 = −1 Por lo tanto, tenemos no existe 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 0. Consideremos la siguiente tabla de valores:

𝑥 𝑓(𝑥) -2 5 -1 2 0 1 1 2 2 5 3 10 4 17 De la tabla tenemos que la función no es inyectiva ya que 𝑓(−1) = 𝑓(1) = 2. Además la función no es creciente ya que −1 < 0 y 𝑓(−1) = 2 > 𝑓(0) = 1. Tampoco la función es decreciente ya que 0 < 1 y 𝑓(0) = 1 < 𝑓(1) = 2.

59

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Para analizar el recorrido analizaremos las soluciones de la ecuación 𝑦 = 𝑥 2 + 1, o equivalentemente, 𝑥 2 + (1 − 𝑦) = 0 Además, sabemos que esta ecuación tiene solución cuando el discriminante es mayor o igual a cero, por lo que 0 ≤ −4 ∙ 1 ∙ (1 − 𝑦) = −4 + 4𝑦 Así 𝑦 está en el recorrido de 𝑓 cuando 1 ≤ 𝑦. Es decir, Rec(𝑓) = [1, +∞[. Concluimos que la función no es sobreyectiva. Por lo que, su gráfica es:

Al punto (1,1) lo llamamos vértice de la parábola.

60

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 1 = (1 − 𝑥)(1 + 𝑥). Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) 𝑓(0) = 1. c) Además, buscamos 𝑥 ∈ ℝ tal que: 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 2 = 1 Por lo tanto, para 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1 se tiene que 𝑓(1) = 0 y 𝑓(−1) = 0.

Consideremos la siguiente tabla de valores:

𝑥 𝑓(𝑥) -2 -3 -1 0 0 1 1 0 2 -3 3 -8 4 -15 De la tabla tenemos que la función no es inyectiva ya que 𝑓(−1) = 𝑓(1) = 0. Además la función no es creciente ya que 0 < 1 y 𝑓(0) = 1 > 𝑓(1) = 0. Tampoco la función es decreciente ya que −2 < −1 y 𝑓(−2) = −3 < 𝑓(−1) = 0.

61

62

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Para analizar el recorrido analizaremos las soluciones de la ecuación 𝑦 = −𝑥 2 + 1, o equivalentemente, 𝑥 2 + (−1 + 𝑦) = 0 Además, sabemos que esta ecuación tiene solución cuando el discriminante es mayor o igual a cero, por lo que 0 ≤ −4 ∙ 1 ∙ (−1 + 𝑦) = 4 − 4𝑦 Así

𝑦

está

en

el

recorrido 𝑦 ≤ 1.

de

Es decir, Rec(𝑓) =] − ∞, 1[. Concluimos que la función no es sobreyectiva. El vértice de la parábola es (1,1). Por lo que, su gráfica es:

𝑓

cuando

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2 . Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) 𝑓(0) = 1. c) Además, buscamos 𝑥 ∈ ℝ tal que: 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 = 0 ⇒ 𝑥 = −1 Por lo tanto, para 𝑥 = −1 se tiene que 𝑓(−1) = 0. Consideremos la siguiente tabla de valores: 𝑥 -2 -1 0 1 2 3 4

𝑓(𝑥) 1 0 1 4 9 16 25

De la tabla tenemos que la función no es inyectiva ya que 𝑓(−2) = 𝑓(0) = 1.

Además la función no es creciente ya que −2 < −1 y 𝑓(−2) = 1 > 𝑓(−1) = 0. Tampoco la función es decreciente ya que 0 < 1 y 𝑓(0) = 1 < 𝑓(1) = 4.

63

64

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Para analizar el recorrido analizaremos las soluciones de la ecuación 𝑦 = (𝑥 + 1)2 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1, o equivalentemente, 𝑥 2 + 2𝑥 + (1 − 𝑦) = 0 Además, sabemos que esta ecuación tiene solución cuando el discriminante es mayor o igual a cero, por lo que 0 ≤ 22 − 4 ∙ 1 ∙ (1 − 𝑦) = 4 − 4 + 4𝑦 Así

𝑦

está

en

el

recorrido 0 ≤ 𝑦.

de

Es decir, Rec(𝑓) = [0, ∞[. Concluimos que la función no es sobreyectiva. El vértice de la parábola es (−1,0). Por lo que, su gráfica es:

𝑓

cuando

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 2 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2). Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) 𝑓(0) = −2. c) Además, buscamos 𝑥 ∈ ℝ tal que: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 0 y 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0 Por lo tanto, para 𝑥 = −1 y 𝑥 = 2 se tiene que 𝑓(−1) = 0 y 𝑓(2) = 0. Consideremos la siguiente tabla de valores: 𝑥 𝑓(𝑥) -2 4 -1 0 0 -2 1 -2 2 0 3 4 4 10 De la tabla tenemos que la función no es inyectiva ya que 𝑓(−1) = 𝑓(2) = 0. Además la función no es creciente ya que −2 < −1 y 𝑓(−2) = 4 > 𝑓(−1) = 0. Tampoco la función es decreciente ya que 2 < 3 y 𝑓(2) = 0 < 𝑓(3) = 4.

65

66

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Para analizar el recorrido analizaremos las soluciones de la ecuación 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 − 2, o equivalentemente, 𝑥 2 − 𝑥 − (2 + 𝑦) = 0 Además, sabemos que esta ecuación tiene solución cuando el discriminante es mayor o igual a cero, por lo que 0 ≤ (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−2 − 𝑦) = 9 + 4𝑦 9

Así 𝑦 está en el recorrido de 𝑓 cuando− 4 ≤ 𝑦. 9

Es decir, Rec(𝑓) = [− 4 , +∞[. Concluimos que la función no es sobreyectiva. 1

9

Donde el vértice de la parábola es (2 , − 4). Por lo que, su gráfica es:

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Teorema Propiedades de las funciones cuadráticas:  La parábola cambia su crecimiento en el vértice y no es inyectiva.  Si 𝑎 > 0 (la parábola se abre hacia arriba) entonces es decreciente a la izquierda del vértice y creciente a la derecha del vértice.  Si 𝑎 < 0 (la parábola se abre hacia abajo) entonces es creciente a la izquierda del vértice y decreciente a la derecha del vértice. Al resolver la ecuación 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, estamos encontrando los puntos en donde la parábola se intersecta con el eje 𝑥.

Función exponencial La función exponencial de base 𝑎 > 0 esta dada por 𝑓: ℝ → ℝ y es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , con 𝑎 ≠ 1. Debemos notar que para cada 𝑎 como base se tiene una función exponencial diferente. Usualmente se considera la función 𝑓: ℝ → ℝ+ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑏𝑥 , con 𝑏 ∈ ℝ donde 𝑒 es el número de Euler (aproximadamente 2,718281828). Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ+ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 . Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) 𝑓(0) = 1.

67

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

c) Además notemos que no existe 𝑥 en los números reales tal que 𝑓(𝑥) = 0. Consideremos la siguiente tabla de valores: 𝑥 𝑓(𝑥) -2 0,135335283 -1 0,367879441 0 1 1 2,718281828 2 7,389056099 3 20,08553692 4 54,59815003 La tabla sugiere que la función es creciente y positiva. Su gráfica es:

De la gráfica podemos deducir que es una función inyectiva y notemos que su recorrido es ]0, +∞[ ,que no es igual a su codominio por lo que la función no es epiyectiva.

68

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Recordemos las propiedades básicas de las potencias: Sea 𝑎 > 0, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, se cumplen: 1. 𝑎0 = 1 2. 𝑎1 = 𝑎 3. 𝑎 𝑥 ∙ 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦 4.

𝑎𝑥 𝑎𝑦

= 𝑎 𝑥−𝑦 1

5. 𝑎−𝑥 = 𝑎𝑥 6. (𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥∙𝑦 7. 𝑎 𝑥 > 0 Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥 . Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) 𝑓(0) = 1. c) Además notemos que no existe 𝑥 en los números reales tal que 𝑓(𝑥) = 0. Consideremos la siguiente tabla de valores: 𝑥 -4 -3 -2 -1 0 1 2

𝑓(𝑥) 54,59815003 20,08553692 7,389056099 2,718281828 1 0,367879441 0,135335283

69

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

La tabla sugiere que la función es decreciente y positiva. Su gráfica es:

De la gráfica podemos deducir que es una función inyectiva y notemos que su recorrido es ]0, +∞[.

Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 . Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) 𝑓(0) = 1. c) Además notemos que no existe 𝑥 en los números reales tal que 𝑓(𝑥) = 0.

70

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Consideremos la siguiente tabla de valores:

𝑥 𝑓(𝑥) -4 0,0625 -3 0,125 -2 0,25 -1 0,5 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 10 1024 25 33554432 La tabla sugiere que la función es creciente y positiva. Su gráfica es:

De la gráfica podemos deducir que es una función inyectiva y notemos que su recorrido es ]0, +∞[.

71

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Teorema Propiedades de las funciones exponenciales:  Si 𝑎 > 1 la función es creciente.  Si 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente.  Son funciones inyectivas y no epiyectivas. Si se restringe el codominio de las exponenciales a ]0, ∞[, resultan ser epiyectivas, y por tanto biyectivas, con función inversa. Función logarítmica La función logarítmica está dada por 𝑓: ]0, ∞[ → ℝ con regla de asignación 𝑓(𝑥) = log 𝑎 (𝑥), para 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1, tal que satisface 𝑎𝑏 = 𝑐 si y sólo si 𝑏 = log 𝑎 (𝑐). Se trata de la función inversa de la exponencial de base 𝑎, pero donde se restringe el codominio de la exponencial a ]0, ∞[, de modo que resulta biyectiva. Dado que es la función inversa de 𝑎 𝑥 , el dominio de log 𝑎 (𝑥) es el recorrido de 𝑎 𝑥 , es decir, es [0, +∞[ . Y el recorrido de log 𝑎 (𝑥) es el dominio de 𝑎 𝑥 , es decir, es ℝ. Por ser funciones inversas satisfacen que 𝑎log𝑎 (𝑥) = 𝑥 para todo 𝑥 > 0 y log 𝑎 (𝑎 𝑥 ) = 𝑥 para todo 𝑥 ∈ ℝ. Teorema Propiedades de los logaritmos: 1. log 𝑎 (1) = 0. 2. log 𝑎 (𝑎) = 1. 3. log 𝑎 (𝑝 ∙ 𝑞) = log 𝑎 (𝑝) + log 𝑎 (𝑞). 𝑝

4. log 𝑎 (𝑞 ) = log 𝑎 (𝑝) − log 𝑎 (𝑞)

72

73

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

 5. log 𝑎 (𝑝𝑞 ) = 𝑞log 𝑎 (𝑝)

  ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo Sea 𝑓: ℝ+ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = log(𝑥). Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ+ b) 𝑓(1) = 0.

Consideremos la siguiente tabla de valores: 𝑥 0,000000001 0,00000001 0,0000001 0,00001 0,001 0,01 0,1 1 10 50 100 1000

𝑓(𝑥) -9 -8 -7 -5 -3 -2 -1 0 1 1,698970004 2 3

La tabla sugiere que la función es creciente, sin embargo el crecimiento es lento. Su gráfica es:

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Como mencionamos anteriormente, en las funciones exponenciales, es bastante útil el número 𝑒 (de Euler). Cuando la base del logaritmo es el número de Euler, lo llamaremos logaritmo natural y lo denotaremos por ln(𝑥). Además cuando la base del logaritmo es 10 lo denotaremos por log(𝑥). Sin embargo estas notaciones no son universales diversos textos denotan el logaritmo natural por log(𝑥). A veces es útil cambiar la base, ya sea de la función exponencial o del logaritmo, por lo que las siguientes propiedades se vuelven esenciales. Para 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, tenemos:

log (𝑝)

1. log 𝑏 (𝑝) = log𝑎(𝑏) 𝑎

2. 𝑎 𝑥 = 𝑒 𝑥∙ln(𝑎)

74

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo Sea 𝑓: ℝ+ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = ln(𝑥). Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ+ b) 𝑓(1) = 0.

Consideremos la siguiente tabla de valores:

𝑥 𝑓(𝑥) 0,000000001 -20,7232658 0,00000001 -18,4206807 0,0000001 -16,1180957 0,00001 -11,5129255 0,001 -6,90775528 0,01 -4,60517019 0,1 -2,30258509 1 0 10 2,302585093 50 3,912023005 100 4,605170186 1000 6,907755279 La tabla sugiere que la función es creciente, sin embargo, al igual que en el ejemplo anterior el crecimiento es lento. Su gráfica es:

75

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo Sea 𝑓: ]0, ∞[→ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = log1/2 (𝑥). Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ+ b) 𝑓(1) = 0. Consideremos la siguiente tabla de valores: 𝑥 0,000000001 0,00000001 0,0000001 0,00001 0,001 0,01 0,1 1 10 50 100 1000

𝑓(𝑥) 29,8973529 26,5754248 23,2534967 16,6096405 9,96578428 6,64385619 3,32192809 0 -3,32192809 -5,64385619 -6,64385619 -9,96578428

La tabla sugiere que la función es decreciente, notemos que el decrecimiento es lento. Su gráfica es:

76

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1



Teorema



Propiedades de las funciones logaritmicas:

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

1. Si la base es mayor a 1, es decir, 𝑎 > 1, la función es creciente. 2. Si la base es menor a 1 y mayor a 0, es decir, 0 < 𝑎 < 1, la función es decreciente. 3. Son funciones inyectivas y sobreyectivas, por lo tanto, biyectivas. Y su función inversa es la función exponencial.

Función valor absoluto La función valor absoluto está dada por 𝑓: ℝ → ℝ con regla 𝑥 si 𝑥 > 0 de asignación 𝑓(𝑥) = |𝑥| donde |𝑥| = { . −𝑥 si 𝑥 < 0 Cabe destacar que la función está definida por tramos. Notemos que: 1. |−1| = 1 ya que −1 < 0 y tenemos que −(−1) = 1. 2. |3| = 3 ya que 3 > 0.

Una manera de interpretar la función valor absoluto es que mide la distancia de un número con respecto al cero.

77

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Consideremos la función 𝑔: ℝ → ℝ con regla de asignación 𝑔(𝑥) = ±|𝑎𝑥 − 𝑏| + 𝑐, diremos que el vértice de la función 𝑏

es el punto (𝑎 , 𝑐). Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = |𝑥|. Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) 𝑓(0) = 0. Consideremos la siguiente tabla de valores: 𝑥

𝑓(𝑥)

-2

2

-1

1

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

De la tabla tenemos que la función no es inyectiva ya que 𝑓(−1) = 𝑓(1) = 1. Además la función no es creciente ya que −2 < −1 y 𝑓(−2) = 2 > 𝑓(−1) = 1. Tampoco la función es decreciente ya que 2 < 3 y 𝑓(2) = 2 < 𝑓(3) = 3. El recorrido de 𝑓 son los reales positivos, es decir, Rec(𝑓) = [0, +∞[. Concluimos que la función no es sobreyectiva.

78

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

El vértice es (0,0). Por lo que, su gráfica es:

Ejemplo: Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| + 4. Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) 𝑓(0) = 6. Consideremos la siguiente tabla de valores: 𝑥 𝑓(𝑥) -4 6 -3 5 -2 4 -1 5 0 6 1 7 2 8 De la tabla tenemos que la función no es inyectiva ya que 𝑓(−3) = 𝑓(−1) = 5.

79

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Además la función no es creciente ya que −3 < −2 y 𝑓(−3) = 5 > 𝑓(−2) = 4. Tampoco la función es decreciente ya que 0 < 1 y 𝑓(0) = 6 < 𝑓(1) = 7. El recorrido de 𝑓 son los reales positivos, es decir, Rec(𝑓) = [4, +∞[. Concluimos que la función no es sobreyectiva. El vértice es (−2,4). Por lo que, su gráfica es:

Ejemplo: Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 4 − |𝑥 + 2|. Analicemos algunas características de esta función: a) Su dominio es ℝ b) 𝑓(0) = 2. Consideremos la siguiente tabla de valores:

80

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

𝑥 𝑓(𝑥) -7 -1 -6 0 -5 1 -4 2 -3 3 -2 4 -1 3 0 2 1 1 2 0 3 -1 De la tabla tenemos que la función no es inyectiva ya que 𝑓(−6) = 𝑓(2) = 0. Además la función no es creciente ya que 0 < 1 y 𝑓(0) = 2 > 𝑓(1) = 1. Tampoco la función es decreciente ya que −4 < −3 y 𝑓(−4) = 2 < 𝑓(−3) = 3. El recorrido de 𝑓 son los reales positivos, es decir, Rec(𝑓) = ] − ∞, 4]. Concluimos que la función no es sobreyectiva. El vértice es (−2,4). Por lo que, su gráfica es:

81

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Teorema Propiedades de la función valor absoluto:  La función cambia su crecimiento en el vértice y no es inyectiva.  Si 𝑓(𝑥) = |𝑥| (la gráfica de la función se abre hacia arriba) entonces es decreciente a la izquierda del vértice y creciente a la derecha del vértice.  Si 𝑓(𝑥) = −|𝑥| (la gráfica de la función se abre hacia abajo) entonces es creciente a la izquierda del vértice y decreciente a la derecha del vértice. Debemos notar que al hacer una tabla de valores, si está considera valores alejados del vértice se puede confundir con una función afín por lo que debemos realizar un análisis previo antes de escoger los valores para la tabla y escoger valores que estén en una vecindad del vértice.

Función parte entera La función parte entera está dada por 𝑓: ℝ → ℝ con regla de asignación 𝑓(𝑥) = [𝑥], donde [𝑥] denota el mayor número entero que sea menor o igual al número. Ejemplo a. [0,5]=0 ya que 0 ≤ 0,5 < 1. b. [1,2]=1 ya que 1 ≤ 1,2 < 2. c. [2,9]=2 ya que 2 ≤ 2,9 < 3. d. [-7,6]=-8 ya que −8 ≤ −7,6 < −7. e. [-9,9]=-10 ya que −10 ≤ −9,9 < −9. f. [-0,5]=-1 ya que −1 ≤ −0,5 < 0.

82

83

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = [𝑥]. Analicemos algunas características de esta función: Notemos que su dominio es ℝ Al realizar la tabla de valores debemos tener cuidado con que valores escogemos ya que si escogemos solo valores enteros obtenemos que: 𝑥 -2 -1 0 1 2 3 4

𝑓(𝑥) -2 -1 0 1 2 3 4

Por lo cual podemos llegar a conclusiones erróneas. Sin embargo, si escogemos además valores decimales, obtenemos que 𝑥 -1 -0,5 -0,8 0 0,5 0,8 1

𝑓(𝑥) -1 -1 -1 0 0 0 1

𝑥 1,5 1,7 2 2,5 3 3,4 4

𝑓(𝑥) 1 1 2 2 3 3 4

De la tabla tenemos que la función no es inyectiva ya que 𝑓(0) = 𝑓(0,5) = 0. Además la función no es creciente ni decreciente ya que 0 < 0,5 y 𝑓(0) = 𝑓(0,5). La función es constante entre enteros consecutivos.

84

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

El recorrido de 𝑓 Rec(𝑓) = ℤ.

son los números enteros, es decir,

Concluimos que la función no es sobreyectiva. Por lo que si gráfica es:

Debemos notar que cada segmento de la gráfica sobre intervalos consecutivos tiene el borde izquierdo pero no el derecho.

Ejemplo 1

Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = [𝑥 + 2]. Se deja como ejercicio realizar el análisis de esta función y corroborara que su gráfica es:

85

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo 1

Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = [𝑥 + 2] + 1. Se deja como ejercicio realizar el análisis de esta función y corroborara que su gráfica es:

86

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

 La función es constante en intervalos entre enteros consecutivos.  No es inyectiva. Debemos recordar que al hacer una tabla de valores se deben considerar valores racionales (con decimales) para obtener la gráfica adecuada y no llegar a conclusiones erróneas ya que si solo consideramos números enteros se puede confundir con una función afín. Funciones semejantes a la función parte entera ocurren en electrónica.

Funciones por tramos Una función definida por tramos es una función cuya regla de asignación cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Formalmente, es una función cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios). La palabra "por tramos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de 𝑓, por ejemplo, podría ser creciente en un tramo pero no necesariamente en todos. Ya conocemos algunas funciones por tramos, por ejemplo, la función parte entera o la función valor absoluto son funciones definidas por tramos, donde los tramos son [𝑛, 𝑛 + 1[, con 𝑛 ∈ ℤ y ] − ∞, 0[ y [0, ∞[, respectivamente. Veamos más ejemplos: a. Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = {

𝑥 si 𝑥 ≥ 0 𝑥 2 si 𝑥 < 0.

b. Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = {

𝑒 −𝑥 si 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 si 𝑥 < 0.

87

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

 

a. Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = {

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

b. Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥)

1 si 𝑥 ≥ 0 −1 si 𝑥 < 0.

2𝑥 + 3 si 𝑥 ≥ 0 ={ 3 si 𝑥 < 0. c. Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) 1 si 𝑥 > 1 = { 𝑥 si − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1 −1 si 𝑥 < −1

Para analizar estas funciones debemos hacer un estudio en cada tramo, y luego juntar la información, debemos tener cuidado, por ejemplo la función puede ser inyectiva en cada tramo pero en todo su dominio puede no serlo, al igual que puede ser creciente pero no serlo en todo su dominio. Ejemplo −2𝑥 + 3 si 𝑥 > 1 Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = { 𝑥 si − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1 2𝑥 + 3 si 𝑥 < −1 Analicemos algunas características de esta función: notemos que su dominio es ℝ Al realizar la tabla de valores debemos tener cuidado con que valores escogemos, debemos ser cuidadoso y considerar cada tramo: 𝑥 -4 -3 -2 -1,5 -1,9

𝑓(𝑥) -5 -3 -1 0 -0,8

𝑥 -1 -0,5 0 0,5 1

𝑓(𝑥) -1 -0,5 0 0,5 1

𝑥 1,1 1,5 2 3 4

𝑓(𝑥) 0,8 0 -1 -3 -5

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

De la tabla tenemos que la función no es inyectiva ya que 𝑓(0) = 𝑓(1,5) = 𝑓(−1,5) = 0. Además la función no es creciente ni decreciente ya que 0 < 0,5 y 𝑓(0) = 𝑓(0,5). La función es constante entre enteros consecutivos. Por lo que si gráfica es:

Podemos notar que el recorrido de 𝑓 es ] − ∞, 1] , por lo que, la función no es sobreyectiva. Debemos notar que la función es creciente en ] − ∞, −1] y en [−1,1], sin embargo, no es creciente en ] − ∞, 1]; y decreciente en ]1, ∞[. Así, vemos que debemos analizar cada subdominio y luego analizar la función en todo su dominio.

88

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas están involucradas en geometría, y en muchos otros contextos. Su carácter de funciones periódicas (que repite sus valores al sumar un valor fijo a la variable) les involucra tanto en aplicaciones en movimiento armónico, en sonido y campos eléctricos, en modelos poblacionales, en modelos de reacciones químicas y muchos más.

Ángulos en radianes y funciones seno y coseno. Antes de definir las funciones trigonométricas, es necesario definir el radian. Los radianes representan el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio, esto permite que el ángulo en radianes sea independiente del radio de la circunferencia.

Definición El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, 𝜃 = 𝑠/𝑟, donde 𝜃 es ángulo, 𝑠 es la longitud de arco, y 𝑟 es el radio. Por tanto, el ángulo completo, 𝜃 de una circunferencia de radio r, medido en radianes, es 𝜃=

2𝜋𝑟 = 2𝜋 𝑟

Ya que la longitud del arco de una circunferencia (perímetro) es 2𝜋𝑟. Su símbolo es rad. Cabe destacar que al medir un ángulo en el sentido de las manillas del reloj, desde el punto (1,0) lo consideramos negativo, y cuando es en contra del sentido de las manillas del reloj lo consideramos positivo.

89

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Para realizar la conversión entre grados y radianes, tenemos la siguiente relación: 𝜋 𝑥 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = , 180 𝑧 ° si conocemos 𝑧 solo debemos despejar 𝑥 para tener la equivalencia entre ese ángulo sexagesimal y el ángulo en radian. Análogamente, si conocemos 𝑥 y queremos ver la equivalencia con los ángulos sexagesimales.

Ejemplo Sea 𝑧 = 90°, tenemos que 𝜋 𝑥 𝑟𝑎𝑑 𝜋 ∙ 90 𝜋 = ⇒ 𝑥 𝑟𝑎𝑑 = = 𝑟𝑎𝑑 180 90 ° 180 2 Ejemplo Sea 𝑧 = 30°, tenemos que 𝜋 𝑥 𝑟𝑎𝑑 𝜋 ∙ 30 𝜋 = ⇒ 𝑥 𝑟𝑎𝑑 = = 𝑟𝑎𝑑 180 30 ° 180 6

90

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1



Ejemplo



Sea 𝑥 = 4 , tenemos que

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

𝜋

𝜋 𝜋 𝑟𝑎𝑑 180 ∙ 4 𝜋 4 = ⇒𝑧°= = 45° 180 𝑧 ° 𝜋 Ejemplo Sea 𝑥 = 2𝜋, tenemos que 𝜋 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 180 ∙ 2𝜋 = ⇒𝑧°= = 360° 180 𝑧° 𝜋 Definición: Se definen las funciones seno, denotada por sen, y coseno, denotada por cos, por 𝑃(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑠𝑒𝑛(𝑡)) tal que satisfacen

Teorema Para todo 𝑡 ∈ ℝ se cumplen 1. 0 < 𝑡 < 2.

𝜋 2

3𝜋 2

2

entonces cos(𝑡) > 0 y 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) > 0.

< 𝑡 < 𝜋 entonces cos(𝑡) < 0 y 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) > 0.

3. 𝜋 < 𝑡 < 4.

𝜋

3𝜋 2

entonces cos(𝑡) < 0 y 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) < 0.

< 𝑡 < 2𝜋 entonces cos(𝑡) > 0 y 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) < 0.

91

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Teorema Para todo 𝑡 ∈ ℝ se cumple: 1.

cos 2 (𝑡) + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) = 1.

2.

|cos(𝑡)| < 1, |𝑠𝑒𝑛(𝑡)| < 1.

3.

cos(0) = 1 y 𝑠𝑒𝑛 (0) = 0.

4.

cos (2 ) = 0 y 𝑠𝑒𝑛 (2 ) = 1.

5.

cos(𝜋) = −1 y 𝑠𝑒𝑛 (𝜋) = 0.

6.

cos ( 2 ) = 0 y 𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) = −1.

7.

cos(2𝜋) = 1 y 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋) = 0.

𝜋

𝜋

3𝜋

3𝜋

Teorema Para todo 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ se cumple: 1.

𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) y cos(−𝑥) = cos(𝑥).

2.

cos(𝑥 + 𝑦) = cos(𝑥) cos(𝑦) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑦).

3.

sen(𝑥 + 𝑦) = cos(𝑥) sen(𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑦).

4.

𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2 cos(𝑥) sen(𝑥).

5.

cos(2𝑥) = cos 2 (𝑥) − sen2 (𝑥).

Teorema (Periodicidad) Para todo 𝑥 ∈ ℝ y 𝑘 ∈ ℤ se cumplen cos(𝑥 + 2𝑘𝜋) = cos(𝑥) y sen(𝑥 + 2𝑘𝜋) = sen(𝑥). Por las proposiciones observamos que las funciones seno y coseno, no son inyectivas ni sobreyectivas.

92

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Analicemos algunas características de esta función: notemos que su dominio es ℝ Al realizar la tabla de valores consideraremos algunos múltiplos de 𝜋, obtenemos que: 𝑓(𝑥)

𝑥 0

0

0,5

0,479425539

0,785398163

0,707106781

1

0,841470985

1,570796327

1

2,35619449

0,707106781

3,141592654

1,22515E-16

4,71238898

-1

6,283185307

-2,4503E-16

6,783185307

0,479425539

7,068583471

0,707106781

1

0,841470985

7,853981634

1

8,639379797

0,707106781

93

94

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1



Recordemos que aproximados.

en la



Por lo que su gráfica es:

tabla

solo

tenemos valores

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

De la gráfica observamos que las funciones seno no es inyectivas ni sobreyectivas, ni creciente ni decreciente en su 𝜋

dominio, sin embargo, es creciente en los intervalos ] − + 𝜋

𝜋

2𝑘𝜋, 2 + 2𝑘𝜋[ y es decreciente en ] 2 + 2𝑘𝜋,

3𝜋 2

2

+ 2𝑘𝜋[, con

𝑘 ∈ ℤ. ¿Cómo será la gráfica de la función coseno?

Ejercicios 1. Analice las siguientes funciones afines indicando si son inyectivas, su crecimiento o decrecimiento, epiyectividad, recorrido y gráfica. a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 c. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3 d. 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 5 2

e. 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 − 1 5

f. 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 6 3

g. 𝑓(𝑥) = 5 𝑥 + 9 3

h. 𝑓(𝑥) = − 2 𝑥 − 1

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

2. Analice las siguientes funciones cuadráticas indicando si son inyectivas, su crecimiento o decrecimiento, epiyectividad, recorrido, gráfica, los ceros que posee y la coordenada de su vértice. a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 d. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥 − 1 e. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥 f. 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 − 12𝑥 − 10 g. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 6𝑥 − 4 h. 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 − 18𝑥 − 12 3. Analice las siguientes funciones, indicando si son inyectivas, su crecimiento o decrecimiento, epiyectividad, recorrido,

gráfica, la coordenada de su vértice, posibles

intersecciones con el eje 𝑥 e 𝑦. a. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| b. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| + 3 c. 𝑓(𝑥) = −|𝑥 − 3| + 1 d. 𝑓(𝑥) = −|2𝑥 − 1| + 2 e. 𝑓(𝑥) = |𝑥| + 2 f. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| + 6 g. 𝑓(𝑥) = |6𝑥 − 4| h. 𝑓(𝑥) = −|2𝑥 + 1| + 6 i. 𝑓(𝑥) = −|18𝑥 − 12| + 2

95

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

4. Analice las siguientes funciones dando una gráfica aproximada de la función. a. 𝑓(𝑥) = [𝑥] + 1 b. 𝑓(𝑥) = [𝑥 + 2] c. 𝑓(𝑥) = 2[𝑥] + 1 d. 𝑓(𝑥) = −2[𝑥] + 1 e. 𝑓(𝑥) = [𝑥]+2 1

f. 𝑓(𝑥) = [𝑥 + ] + 2 2

1

g. 𝑓(𝑥) = [2𝑥 + 2] + 6 1

h. 𝑓(𝑥) = − [2𝑥 + 2] + 6 i. 𝑓(𝑥) = [𝑥 + 4] + 6 5. Analice las siguientes funciones dando una gráfica aproximada de la función (utilice las propiedades si fuera útil). a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 c. 𝑓(𝑥) = (0,5)𝑥 d. 𝑓(𝑥) = 3−𝑥 e. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 f. 𝑓(𝑥) = 2−𝑥 g. 𝑓(𝑥) = (0,2)𝑥 h. 𝑓(𝑥) = (0,2)−𝑥

6. Analice las siguientes funciones dando una gráfica aproximada de la función (utilice las propiedades si fuera útil). a. 𝑓(𝑥) = log(𝑥) b. 𝑓(𝑥) = log(𝑥) + 2 c. 𝑓(𝑥) = 3 log(𝑥)

96

97

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

d. 𝑓(𝑥) = ln(3𝑥) e. 𝑓(𝑥) = 2ln(5𝑥) + 3 f. 𝑓(𝑥) = − ln(3𝑥) g. 𝑓(𝑥) = − ln(3𝑥) − 25 7. Analice las siguientes funciones dando una gráfica aproximada de la función (utilice las propiedades si fuera útil). a. 𝑓(𝑥) = sin (𝑥 + 2𝜋) b. 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) + 2 c. 𝑓(𝑥) = 2sen (3𝑥) d. 𝑓(𝑥) = 3cos(𝑥) + 2 e. 𝑓(𝑥) = 4sen (𝑥 + 𝜋) − 2 𝜋

f. 𝑓(𝑥) = cos (𝑥 + 2 ) + 2 8. Analice las siguientes funciones dando una gráfica aproximada de la función (utilice las propiedades si fuera útil). [𝑥] si 𝑥 < 0 3𝑥 + 3 si 𝑥 > 0 (0.5)𝑥 si 𝑥 < 0 b. 𝑓(𝑥) = { 3𝑥 + 1 si 𝑥 > 0 −1 si 𝑥 ≤ −1 c. 𝑓(𝑥) = { 𝑥 si − 1 < 𝑥 < 1 log(𝑥) + 2 si 𝑥 ≥ 1 a. 𝑓(𝑥) = {

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Temas de Especialidad A continuación veremos cómo aplicar los conceptos estudiados en problemas aplicados a la economía y a modelos poblacionales: Crecimiento poblacional Comencemos con el problema de Crecimiento Poblacional, durante años se ha estudiado la la dinámica de poblaciones es uno de los temas de mayor importancia para entender el desarrollo temporal y espacial de los grupos de organismos de la misma especie que se desarrollan en distintos ambientes. En términos prácticos, interesa para el manejo de plagas agrícolas, para comprender la epidemiologia de numerosas enfermedades, para estimar densidades pesqueras, para manejar poblaciones silvestres, etc. El crecimiento poblacional es el cambio en la población en un cierto plazo, y puede ser cuantificado como el cambio en el número de individuos en una población por unidad de tiempo para su medición. El término crecimiento demográfico puede referirse técnicamente a cualquier especie, pero refiere casi siempre a seres humanos. Ejemplo El número de bacterias presentes en un cultivo después de 𝑡 minutos está dado por 4 𝑡 𝑁(𝑡) = 300 ( ) 3 1.

¿Cuántas bacterias están presentes al inicio?

Solución: Queremos determinar 𝑁(𝑡) cuando 𝑡 = 0. Tenemos 4 0 𝑁(0) = 300 ( ) = 300. 3 Así, 300 bacterias están presentes al inicio.

98

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

2. En forma aproximada, ¿cuántas bacterias estarán presentes después de 2 minutos? Solución: Queremos determinar 𝑁(𝑡) cuando 𝑡 = 2. Tenemos 4 2 16 1600 𝑁(2) = 300 ( ) = 300 ∙ = ≈ 533. 3 9 3 Por lo que casi 533 bacterias están presentes después de 2 minutos. 3. por

La población proyectada 𝑃, de una ciudad está dada 𝑃(𝑡) = 10000 ∙ 𝑒 0,05∙𝑡

donde 𝑡 es el número de años después de 1990. Pronosticar la población para el año 2010. ¿Cuándo la población llegará a los 15.000 habitantes? Solución: El número de años desde 1990 a 2010 es 20. Por lo que, hacemos 𝑡 = 20. Entonces: 𝑃(20) = 10.000 ∙ 𝑒 0,05∙20 = 10.000𝑒 1 ≈ 27.182. Ahora para ver cuando la población será de 15000 habitantes buscamos 𝑡0 tal que 𝑃(𝑡0 ) = 10.000 ∙ 𝑒 0,05∙𝑡0 = 15.000 Así, lo que debemos hacer es despejar 𝑡0 para ello recordemos que la función inversa de la función exponencial es el logaritmo natural, por lo que: 𝑒 0,05∙𝑡0 =

15.000 15 = = 3/2 10.000 10

aplicando logaritmo, tenemos que: 3 0,05 ∙ 𝑡0 = ln ( ) 2

99

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

 3



Finalmente,𝑡0 = 20 ∙ ln ( ) ≈ 8 años.

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejercicios:

2

1. La población proyectada de una ciudad está dada por 𝑃 = 125.000 ∙ (1.11)𝑡/20 , donde 𝑡 es el número de años a partir de 1995. ¿Cuál es la población estimada para el año 2015? 2. Para cierta ciudad, la población P crece a una tasa de 2% por año. La fórmula 𝑃 =. ,000.000(1 + 0.02)𝑡 proporciona la población t años después de 1998. Determine la población en (a) 1.999 y (b) 2.000. 3. La población de una ciudad de 5000 habitantes crece a razón de 3% anual. a. Determine una ecuación que proporcione la población después de 𝑡 años a partir de ahora. b. Determine la población 4 años después de ahora. (Obtenga el entero más cercano). En un cultivo se tienen bacterias cuyo número se incrementa a razón de 5% cada hora. Al inicio estaban presentes 400 bacterias. a. Determine una ecuación que dé el número, N, de bacterias presentes después de t horas. b. ¿Cuántas bacterias están presentes después de 1 hora? (c) ¿Después de 4 horas? 5. Las ciudades A y B en la actualidad tienen poblaciones de 70,000 y 60,000 habitantes, respectivamente. La ciudad A crece a razón de 4% anual y la de B crece a razón de 5% anual. Determine la diferencia entre las poblaciones al final de 5 años. Dé su respuesta al entero más cercano. 6. A causa de una recesión económica, la población de cierta área urbana disminuye a razón de 1% anual, es decir, la fórmula 𝑃 = 100000(1 − 0.01)𝑡 proporciona la población después de 𝑡 años, si al inicio la población era de 100,000 habitantes. ¿Cuál es la población después de 3 años? 4.

100

101

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1



Oferta y Demanda



La oferta y la demanda son las fuerzas que hacen que las economías de mercado o capitalistas funcionen. La oferta y la demanda determinan la cantidad que se produce de cada bien y el precio al que debe venderse. Y esto lo hacen al interactuar en los mercados, entendiendo por mercado toda institución social en la que los bienes y servicios, así como los factores productivos, se intercambian.

 ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

La demanda tiene que ver con lo que los consumidores desean adquirir. Demandar significa estar dispuesto a comprar, mientras que comprar es efectuar realmente la adquisición. La demanda refleja una intención, mientras que la compra constituye una acción. Las cantidades demandadas de un bien que los consumidores desean y pueden comprar se denominan demanda de dicho bien.

Ejemplo Suponga que la ecuación 𝑝 =

100 𝑞

describe la relación entre el

precio por unidad 𝑝 de cierto producto, y el número de unidades 𝑞 del producto que los consumidores comprarán (demanda) por semana a ese precio. Esta ecuación se llama ecuación de demanda para el producto. Si 𝑞 es un número de entrada, entonces para cada valor de 𝑞 se asigna exactamente un número de salida 𝑝: 𝑞→

100 =𝑝 𝑞

20 →

100 =5 20

Por ejemplo,

102

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

esto es, cuando 𝑞 es 20, entonces 𝑝 es 5. Así, el precio 𝑝 es una función de la cantidad demandada, 𝑞. Esta función se llama función de demanda. La variable independiente es 𝑞, y 𝑝 es la variable dependiente. Ya que 𝑞 no puede ser cero (la división entre cero no está definida) y no puede ser negativa (𝑞 representa una cantidad), el dominio son todos los valores de 𝑞 tales que 𝑞 > 0.

El lado de la oferta tiene que ver con los términos en los que las empresas desean producir y vender sus productos. Al igual que hicimos en el caso de la demanda, al distinguir entre demandar y comprar, ahora debemos precisar la diferencia entre ofrecer y vender. Ofrecer es tener la intención o estar dispuesto a vender, mientras que vender es hacerlo realmente. La oferta recoge las intenciones de venta de los productores. La cantidad ofrecida de un bien es lo que los vendedores quieren y pueden vender.

Como podemos ver los compradores determinan la demanda y los vendedores determinan la oferta. En el valor de p para el cual la oferta es igual a la demanda, se dice que el mercado está en equilibrio.

Ejemplo Suponga que la ecuación 𝑝 =

100 𝑞

describe la relación entre el

precio por unidad 𝑝 de cierto producto y la cantidad 𝑞 que los fabricantes proporcionan por semana a ese precio. A cada precio le corresponde exactamente una cantidad y viceversa.

103

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Esta ecuación se llama ecuación de oferta para el producto. Si 𝑝 es un número de entrada, entonces para cada valor de 𝑝 se asigna exactamente un número de salida 𝑞: 𝑝 → 10𝑝 = 𝑞 Por ejemplo, 20 → 10 ∙ 5 = 50 esto es, cuando 𝑝 es 20, entonces 𝑞 es 50.

Así, la cantidad 𝑞 es una función del precio 𝑝. Esta función se llama función de oferta. La variable independiente es 𝑝, y 𝑞 es la variable dependiente, digamos 𝑓(𝑝) = 𝑞. Esta función suele ser creciente, es decir, cuando el precio por unidad se incremente, los fabricantes están dispuestos a surtir más unidades por semana. Ejercicios 1. Supóngase que la función de demanda semanal para 𝑞

pizzas grandes en una pizzería es 𝑝 = 26 − 40. a. Si el precio actual es US$18.50 por pizza, ¿cuántas pizzas se venden por semana? b. Si se venden 200 pizzas cada semana, ¿cuál es el precio actual? c. Si el propietario quiere duplicar el número de pizzas grandes vendidas por semana (a 400), ¿cuál debe ser su precio? 2. Supóngase que la función de oferta semanal por una libra 𝑞

de su café casero en un local de venta de café es 𝑝 = 50, en donde q es el número de libras de café que se ofrecen por semana. ¿Cuántas libras de café a la semana deben ofrecerse si el precio es de US$8.00 por libra? ¿Cuántas libras de café a la semana deben ofrecerse si el precio es de US$20.00 por libra? ¿Cómo cambia la cantidad ofrecida conforme el precio se

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

incrementa? 3. Dadas las funciones de demanda y oferta de un bien, 𝑝𝑞 = 4, 𝑞 = 𝑝 + 3 donde 𝑝 es el precio en miles de pesos y 𝑞 es la cantidad de unidades. a. Determine el precio y la cantidad de equilibrio del mercado. Represente gráficamente ambas funciones en un sistema donde el precio es la variable independiente y la cantidad es la variable dependiente. 4. Dadas las funciones e ingreso y costo total de una proceso productivo 𝐼 = 92𝑞 − 𝑞 2 ; 𝐶 = 2𝑞 + 800 donde 𝑞 es el nivel de producción. a. Halle los niveles de producción para que no haya pérdida ni ganancia. b. Represente ambas funciones en un sistema con la variable independiente 𝑞. 5. Dadas las funciones de demanda y oferta de un bien, 8

𝑝(𝑥) = 𝑥+4 , 𝑞(𝑥) = 5𝑥 − 19. Determine el punto de equilibrio del mercado. 6. Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un fabricante suministrará 2p - 8 unidades del producto al mercado y que los consumidores demandarán 300 - 2p unidades. Determine ese valor de p. 7. Repita el problema anterior para las condiciones siguientes: a un precio de p dólares por unidad, la oferta es 3𝑝2 − 4𝑝 y la demanda es 24 − 𝑝2 .

104

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Costos

La teoría de los costos estudia las relaciones que existen entre los costos de los insumos y los diferentes niveles de producción. El problema más importante para el empresario es “decidir lo que hay que producir y cuánto”. La teoría de los costos permite determinar que método de los técnicamente eficientes, adoptar á la empresa, atendiendo a sus objetivos minimizadores de costos. Es decir, el costo influye decisivamente en la cantidad de bienes que el productor está dispuesto a lanzar al mercado. Si el precio vigente fuese demasiado bajo para cubrir los costos de funcionamiento, no ofrecería ninguna unidad a la venta; si, por el contrario, el precio fuera muy alto, ofrecería una gran cantidad. El principal factor que determina los precios de oferta de las diversas cantidades de productos, es el costo de producirlo. En el ejemplo siguiente nos referimos a algunos términos de negocios relativos a una compañía manufacturera. Costo fijo (o gastos generales) es la suma de todos los costos que son independientes del nivel de producción, como renta, seguros, etc. Este costo debe pagarse independientemente de que se produzca o no. Costo variable es la suma de todos los costos dependientes del nivel de producción, como salarios y materiales. Costo total es la suma de los costos variable y fijo: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜. La función de costo total de un fabricante, 𝑐 = 𝑓(𝑞), nos da el costo total 𝑐 de producir y comerciar 𝑞 unidades de un producto Si c es el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad 𝒄̅ es: 𝑐 𝒄̅ = . 𝑞

105

106

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Por ejemplo, si el costo total de 20 unidades es de $100, entonces el costo promedio

por unidad es 𝐜̅ =

Multiplicando ambos miembros de la ecuación obtenemos

100 20

= 5.

por q

c = q𝐜̅ Esto es, el costo total es el producto del número de unidades producidas multiplicado por el costo promedio unitario. Ejemplo En la fabricación de un componente para una máquina, el costo inicial de un troquel es de $850 y todos los otros costos adicionales son de $3 por unidad producida. a. Exprese el costo total C (en dólares) como una función lineal del número q de unidades producidas. b. ¿Cuántas unidades se producen si el costo total es de $1600? Ejercicios 1. Para alentar el ahorro, una compañía de gas cobra dos tarifas. Usted paga US$0.53 por termia para un consumo de 070 termias, y US$0.74 por cada termia por encima de 70. Haga la gráfica de la función definida por tramos, que representa el costo mensual de t termias de gas. 2. El costo diario promedio, C, para una cuarto en un hospital de la ciudad se elevó US$59.82 por año durante los años 1990 a 2000. Si el costo promedio en 1996 fue US$1128.50, ¿cuál es una ecuación que describe el costo promedio durante esta década, como una función del número de años, T, desde 1990? 3. Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es US$40 y el costo para 20 unidades es US$70. Si el costo, c, está relacionado de manera lineal con la producción, q, determine el costo de producir 35 unidades.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

4. Un anunciante va con un impresor y éste le cobra US$79 por 100 copias de un volante y US$88 por 400 copias de otro volante. Este impresor cobra un costo fijo, más una tarifa por cada copia de volantes de una sola página. Determine una función que describa el costo de un trabajo de impresión, si x es el número de copias que se hacen.

Ingreso El término ingreso tiene básicamente dos acepciones: las cantidades que recibe una empresa por la venta de sus productos o servicios (ingresos empresariales, en inglés revenue), y el conjunto de rentas recibidas por los ciudadanos (en inglés income).

El aumento de ingresos es el proceso de determinación de aumento del porcentaje en el ingreso por un producto a lo largo del tiempo. El ingreso promedio se obtiene, en promedio, por cada unidad de producto vendida; es decir, es el ingreso total dividido en el total de unidades vendidas El ingreso total es el dinero que un fabricante recibe por la venta de su producto. Está dado por: 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = (𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑)(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠)

Ejemplo El ingreso total de una cafetería con base en la venta de x cafés especiales está dado por 𝑟 = 2.25𝑥, y sus costos totales diarios están dados por 𝑐 = 0.75𝑥 + 300. ¿Cuántos cafés especiales se necesitan vender cada día para obtener el punto de equilibrio? En otras palabras, ¿cuándo el ingreso es igual a los costos? Solución Para resolver este problema debemos resolver la ecuación:

107

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

2.25𝑥 = 0.75𝑥 + 300 Tenemos que: 1.50𝑥 = 300 Por lo que, 𝑥 =

300 1.5

= 200. Se necesitan 200 cafés especiales.

Ejercicios 1. El ingreso mensual total de una guardería obtenido del cuidado de x niños está dado por 𝑟 = 450𝑥, y sus costos mensuales totales están dados por 𝑐 = 380𝑥 + 3500. ¿Cuántos niños se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de equilibrio? En otras palabras, ¿cuándo los ingresos igualan a los costos? 2. Un pequeño negocio pronostica que su ingreso crecerá

de acuerdo con el método de la línea recta con una pendiente de $50,000 por año. En su quinto año, el negocio tuvo ingresos por $330,000. Determine una ecuación que describa la relación entre los ingresos, R, y el número de años, T, desde la apertura del negocio.

Utilidad Utilidad (ganancia o pérdida si es negativa) es el ingreso total menos el costo total: 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. El incremento de utilidades es el proceso de determinación de aumento del porcentaje de la utilidad de un producto a lo largo del tiempo.

108

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Entenderemos por utilidad total a la utilidad que proporciona

toda la cantidad consumida del bien. Ejemplo La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de $6 y el costo fijo de $80,000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $60,000. Solución Tenemos que el costo total está dado por: 𝐶(𝑞) = 80000 + 6𝑞. Y el ingreso total está dado por 10𝑞. Además sabemos que la utilidad es 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, Por lo que, tenemos que la siguiente función 𝑈(𝑞) = 10𝑞 − (80000 + 6𝑞) describe la utilidad del producto.

Así buscamos 𝑞0 , tal que 𝑈(𝑞0 ) = 60000, es decir, debemos resolver la ecuación 10𝑞0 − (80000 + 6𝑞0 ) = 60000 Así, tenemos que 𝑞0 = 35000 unidades. Por lo que debemos vender 35000 unidades para tener $60000 de utilidad.

109

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Ejercicios 1. Cuando se venden 𝑞 unidades de cierto producto (q es no negativa), la utilidad 𝑃 está dada por la ecuación 𝑃 = 1.25𝑞. ¿Es P una función de 𝑞? ¿Cuál es la variable dependiente y cuál la independiente? 2. Una compañía de refinación de maíz produce gluten de maíz para alimento de ganado, con un costo variable de $76 por tonelada. Si los costos fijos son $110,000 por mes y el alimento se vende en $126 por tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual de $540,000? 3. La directiva de una compañía quiere saber cuántas unidades de su producto necesita vender para obtener una utilidad de $l00,000. Para este caso se cuenta con la siguiente información: precio de venta por unidad, $20; costo variable por unidad, $15; costo fijo total, $600,000. A partir de estos datos determine las unidades que deben venderse. 4. Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el ingreso total por las ventas será 100√q. Si el costo variable por unidad es de $2 y el costo fijo de $1200, determine los valores de q para que la utilidad sea cero. Es decir, que ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo. 5. El margen de utilidad de una compañía es su ingreso neto dividido entre sus ventas totales. El margen de utilidad en cierta compañía aumentó en 0.02 con respecto al año anterior. El año anterior vendió su producto en $3.00 cada uno y tuvo un ingreso neto de $4500. Este año incrementó el precio de su producto en $0.50 por unidad, vendió 2000 más y tuvo un ingreso neto de $7140. La compañía nunca ha tenido un margen de utilidad mayor que 0.15. ¿Cuántos de sus productos vendió la compañía el año pasado y cuántos vendió este año?

110

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de mano de obra y material es de $21 por calentador. Los costos fijos (costos en que se incurre en un periodo dado, sin importar la producción) son $70,000. Si el precio de venta de un calentador es $35, ¿cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades? 6.

7. Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es $1.40 por revista. El ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10,000. ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben venderse de modo que la compañía obtenga utilidades? 8. La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600,000, determine el número mínimo de unidades que deben venderse para que la compañía tenga utilidades. 9. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $2.50 y el de mano de obra de $4. El gasto general, sin importar el volumen de ventas, es de $5000. Si el precio para un mayorista es de $7.40 por unidad, determine el número mínimo de unidades que debe venderse para que la compañía obtenga utilidades. 10. Una fábrica de camisetas produce N camisetas con un costo de mano de obra total (en dólares) de 1.2N y un costo total por material de 0.3N. Los gastos generales para la planta son de $6000. Si cada camiseta se vende en $3, ¿cuántas camisetas deben venderse para que la compañía obtenga utilidades? 11. Un expendio de café vende una libra de café por $9.75. Los gastos mensuales son $4500 más $4.25 por cada libra de café vendida. a. Escriba una función r(x) para el ingreso mensual total como una función del número de libras de café vendidas. b. Escriba una función e(x) para los gastos mensuales

111

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1

   ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

totales como una función del número de libras de café vendidas. c. Escriba una función (r - e)(x) para la utilidad mensual total como una función del número de libras de café vendidas. 12. La utilidad diaria de un concesionario de automóviles por la venta de un tipo de minivan está dada por 𝑃(𝑥) = −𝑥 2 + 3𝑥 + 399, en donde 𝑥 es el número de minivans vendidas. Determine el vértice de la función y sus intersecciones con los ejes, y haga una gráfica de la función. 13. La utilidad diaria de la venta de árboles para el departamento de jardinería de un almacén está dada por 𝑃(𝑥) = −𝑥 2 + 18𝑥 + 144, en donde 𝑥 es el número de árboles vendidos. Determine el vértice y las intersecciones con los ejes de la función, y haga la gráfica de la función.

112

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

MTCL01 UNIDAD 2 LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

APRENDIZAJE ESPERADO Aplica la noción intuitiva de límite de función, empleando aproximaciones laterales, mediante, tabulación de datos y presentación gráfica. CRITERIOS DE EVALUACIÓN  Determina el límite de una función real a través de su gráfica.  Estima el valor del límite de una función real, por aproximaciones laterales presentadas a través de una tabla.  Establece la diferencia entre el concepto de límite e imagen de una función real en un punto.

APRENDIZAJE ESPERADO Determina el límite de funciones de una variable mediante teoremas y propiedades. CRITERIOS DE EVALUACIÓN  Calcula límites de funciones mediante teoremas y propiedades.  Calcula límites al infinito mediante teoremas y propiedades.  Determina la no existencia de un límite mediante el reconocimiento de asíntotas.

APRENDIZAJE ESPERADO Analiza continuidades y discontinuidades de funciones de una variable, mediante teoremas y propiedades. CRITERIOS DE EVALUACIÓN

 Determina la continuidad de una función a partir del análisis de su gráfica.  Determina la continuidad de una función mediante teoremas y propiedades de límites.

113

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

 Determina la discontinuidad de una función a partir del análisis de su gráfica.  Determina la discontinuidad de una función mediante teoremas y propiedades de límites.

114

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

 

Introducción

 NOCIÓN DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Noción de función Se dice que un número 𝐿 es el límite de una función 𝑓 hacia un valor 𝑎 si los valores 𝑓(𝑥) se aproximan a 𝐿 cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎. Eso es demasiado informal para ser útil, por lo que conectaremos con curvas y gráficas: La noción de límite de una función 𝑓 hacia 𝑎 ∈ ℝ (en horizontal) corresponde a la existencia de un valor 𝐿 ∈ ℝ (en vertical) de modo que el punto (𝑎, 𝐿) es concordante con los puntos circundantes de la gráfica de 𝑓. Precisando un poco más, un número 𝐿 es el límite de una función 𝑓 hacia un valor 𝑎 cuando el punto (𝑎, 𝐿) es concordante con los puntos (𝑥, 𝑓(𝑥)) para 𝑥 arbitrariamente cercano.

La idea al representar lim 𝑓(𝑥) = 𝐿, es que el límite es, si existe, el 𝑥→𝑎

número 𝐿 al que los resultados de la función se aproximan cuando la función se evalúa en valores de 𝑥 que aproximan, pero son distintos, de 𝑎.

115

116

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



Observaciones



Antes de continuar es importante mencionar algunos aspectos de la definición anterior.

 NOCIÓN DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

1. Denotamos por lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 a la afirmación de que 𝐿 es el límite 𝑥→𝑎

de 𝑓 hacia 𝑎. 2. 𝑓(𝑥) tiene sentido si y solo si 𝑥 pertenece al dominio de 𝑓. 3. La noción de “puntos de la gráfica circundante” se puede considerar respecto de la recta vertical 𝑥 = 𝑎. 4. De existir el límite, debe ser único para que tenga sentido la noción de ser concordante con los puntos circundantes. 5. La definición matemáticamente rigurosa la veremos más adelante. 6. Leemos “𝑥 tiende a 𝑎” para 𝑥 → 𝑎. De hecho, se dice que 𝐿 = lim 𝑓(𝑥) si y sólo si 𝑓(𝑥) tiende a 𝐿 cuando 𝑥 tiende a 𝑎.

𝑥→𝑎

Los límites nos permitirán estudiar el comportamiento de funciones ya sea para 𝑎 ∈ ℝ o para valores muy grandes, es decir, al infinito).

Ejemplo Considere la función racional 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 −1 𝑥−1

. Recuerde que el dominio está

dado por Dom(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 − 1 ≠ 0} = ℝ − {1}.

De lo anterior se deduce que 𝑥 = 1 no pertenece al dominio de la función, sin embargo podemos preguntarnos si existe lim 𝑓(𝑥). Si consideramos 𝑥→1

las siguientes tablas

117

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



x

f  x

x

f  x



0,7

1,700

1,1

2,100

 NOCIÓN DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

0,8

1,800

1,05

2,050

0,9

1,900

1,04

2,040

0,95

1,950

1,03

2,030

0,96

1,960

1,02

2,020

0,97

1,970

1,01

2,010

0,98

1,980

1,09

2,090

0,999

1,999

1,001 2,001

Se puede observar que cuando 𝑥 está próximo a 1 (sin importar si se aproxima por izquierda o por derecha), entonces 𝑓(𝑥) está próxima a 2. De hecho más adelante se mostrara que lim 𝑓(𝑥) = 2. x→1

No podemos dejar de ver que cuando 𝑥 ≠ 1 la función 𝑥 2 − 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑓(𝑥) = = = 𝑥 + 1. 𝑥−1 𝑥−1

Por lo tanto para valores de 𝑥 distintos de 1, la función tiene el mismo comportamiento que 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1, pero en 𝑥 = 1 la función 𝑓 no está definida. Esto es importante porque en realidad no estamos interesados en saber qué pasa con 𝑓 exactamente en 𝑥 = 1 (por que en efecto no podemos), si no que estamos interesados en saber que sucede alrededor de ese punto, y es por esto que podemos observar el comportamiento de la función 𝑔 en lugar de observar la propia función 𝑓. Tenemos que la gráfica de la función 𝑓 es:

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   NOCIÓN DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Ejemplo La función 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥 + 2, cuya gráfica está dada por

Notemos que el dominio es Dom(𝑓) = ℝ. Haremos un breve análisis intuitivo, veremos que sucede con 𝑓 cuando 𝑥 tiende a 0. Analizando la gráfica podemos observar que al cercarnos por la derecha hacia el cero, tenemos:

118

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   NOCIÓN DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Podemos observar que 𝑓(𝑥) se acerca a 3 cuando 𝑥 se acerca a 0 por la derecha. Análogamente, analizando la gráfica podemos observar que al acercarnos por la izquierda hacia el cero, tenemos:

Podemos observar que 𝑓(𝑥) se acerca a 3 cuando 𝑥 se acerca a 0 por la izquierda.

119

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   NOCIÓN DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Esto quiere decir que si caminamos por la curva a 𝑥 = 0 (sin importar si es por la izquierda o la derecha) llegaremos a 3. Así, de manera intuitiva, tenemos que lim 𝑓(𝑥) = 3. 𝑥→0

Lo que cual concuerda al analizar la siguiente tabla de valores: 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 0,3 2,7408 -0,3 3,3499 0,2 2,8187 -0,2 3,2214 0,1 2,9048 -0,1 3,1052 0,05 2,9512 -0,05 3,0513 0,04 2,9608 -0,04 3,0408 0,03 2,9704 -0,3 3,3499 0,02 2,9802 -0,02 3,0202 0,001 2,9990 -0,001 3,0010 Cabe destacar que 𝑓(0) = 3, es decir, en este caso el límite hacia 0 coincide con el valor de la función al evaluarla en 0. Ello no siempre será así. Ejemplo 2 La función 𝑔(𝑥) = {𝑥 si 𝑥 ≠ 0, cuya gráfica está dada por 5 si 𝑥 = 0

120

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

 

Notemos que el dominio está dado por Dom(𝑔) = ℝ.

 NOCIÓN DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Haremos un breve análisis intuitivo, veremos que sucede con 𝑓 cuando 𝑥 tiende a 0. Analizando la gráfica podemos observar que al cercarnos por la derecha hacia el cero, tenemos:

Podemos observar que 𝑔(𝑥) se acerca a 0 cuando 𝑥 se acerca a 0 por la derecha. Análogamente, analizando la gráfica podemos observar que al acercarnos por la izquierda hacia el cero, tenemos:

podemos observar que 𝑔(𝑥) se acerca a 0 cuando 𝑥 se acerca a 0 por la izquierda. Esto quiere decir que si caminamos por la curva a 𝑥 = 0 (sin importar si es por la izquierda o la derecha) llegaremos a 0. Así, de manera intuitiva, tenemos que lim 𝑔(𝑥) = 0. 𝑥→0

121

122

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   NOCIÓN DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Lo que cual concuerda al analizar la siguiente tabla de valores: 𝑥

𝑔(𝑥)

𝑥

𝑔(𝑥)

0,3 0,0900 -0,3 0,0900 0,2 0,0400 -0,2 0,0400 0,1 0,0100 -0,1 0,0100 0,05 0,0025 -0,05 0,0025 0,04 0,0016 -0,04 0,0016 0,03 0,0009 -0,3 0,0900 0,02 0,0004 -0,02 0,0004 0,01 0,0001 -0,01 0,0001 Cabe destacar que 𝑔(0) = 5, lo que no concuerda con el límite de la función hacia 0. Por ello, no siempre es lo mismo calcular la imagen de una función en un valor que tomar el límite de la función hacia el punto.

Ejercicios 1. Evalúe los siguientes límites usando gráfica y tabla: a. lim 𝑥 2 − 1 𝑥→1

b. c.

lim 𝑥 2 − 1

𝑥→(−1)

lim √1 − 𝑥 2

𝑥→0

𝑥+6

d. lim 𝑥+4 𝑥→4

2. Responde: a. ¿Es verdad que lim(𝑥 − 1)2 − 1 = 0? 𝑥→2

b. ¿Es verdad que lim 𝑥 2 − 𝑥 = 1? 𝑥→2

c. ¿Qué valor tiene lim 45? 𝑥→11 1

d. ¿Tiene sentido lim 𝑥 2 ? 𝑥→0

Propiedades básicas de límites. Las siguientes propiedades nos ayudarán a comprender y resolver límites de manera más sencilla.

123

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Teorema: Sean 𝑓 y 𝑔 funciones y sea 𝑎 un punto no aislado de (Dom(𝑓) ∩ Dom(𝑔)) tales que existen lim 𝑓 (𝑥) y lim 𝑔 (𝑥), entonces: 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

a) lim (𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) = (lim 𝑓 (𝑥)) + (lim 𝑔(𝑥)). 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

b) Si 𝛼 ∈ ℝ es constante (no varía con 𝑥) entonces lim 𝛼 = 𝛼

𝑥→𝑐

lim 𝛼𝑓 (𝑥) = 𝛼 (lim 𝑓 (𝑥))

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

c) lim 𝑓 (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = (lim 𝑓 (𝑥)) ∙ (lim 𝑔(𝑥)). 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

lim 𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)

d) Si lim 𝑔 (𝑥) ≠ 0, entonces lim 𝑔(𝑥) = 𝑥→𝑎 . lim 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑛

𝑥→𝑎

𝑛

e) Si 𝑐 > 1 y 𝑛 ∈ ℕ, entonces lim √𝑥 = √𝑐 . 𝑥→𝑐

f) lim 𝑥 = 𝑐 𝑥→𝑐

A continuación veremos cómo aplicar el Teorema: Ejemplo Siguiendo los puntos c) y f) de la Proposición, podemos ver que, para todo 𝑛 ∈ ℕ y para todo 𝑐 ∈ ℝ se cumple que lim 𝑥 𝑛 = 𝑐 𝑛 . x→c

Ejemplo Se tiene lim 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 6.

𝑥→1

Ya que, según el ejemplo anterior, para cada expresión 𝑥 𝑛 con 𝑛 ∈ ℕ, el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑐 es 𝑐 𝑛 , y junto con la propiedad aditiva de los límites, puntos a) y b) de la Proposición anterior, tenemos que

124

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

lim(𝑥 2 + 2𝑥 + 3) = 12 + 2 ⋅ 1 + 3 = 6.



𝑥→1



Ejemplo

 PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Para calcular lim 3𝑥 3 + 5𝑥 2 + 7, de la misma forma como lo hicimos 𝑥→2

antes, sabemos que: lim 𝑥 3 = 8 , lim 𝑥 2 = 4 y lim 7 = 7.

𝑥→2

𝑥→2

𝑥→2

Luego, utilizando nuevamente los puntos a) y b) de la Proposición, se obtiene lim 3𝑥 3 + 5𝑥 2 + 7 = 3 ⋅ 8 + 5 ⋅ 4 + 7 = 51.

𝑥→2

Teorema Sean 𝑚 ∈ ℕ y 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 , para algunos números 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑚 ∈ ℝ. De la Proposición y el ejemplo anterior, se sigue que: lim 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 x→c

= 𝑎0 + 𝑎1 𝑐 + 𝑎2 𝑐 2 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑐 𝑚 . Es decir, para todo polinomio 𝑝(𝑥) se cumple lim 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐)

𝑥→𝑐

Ejemplo Considere una función de variable real 𝑓 tal que 𝑓(𝑥) ≠ 2 en el conjunto ]0,1[ ∪ ]1,2[ y lim 𝑓(𝑥) = 2. Determinemos si existe el límite x→1

2

lim

(𝑓(𝑥)) + 3𝑓(𝑥) − 10

x→1

2

(𝑓(𝑥)) − 4

Notemos que: 2

lim

x→1

(𝑓(𝑥)) +3𝑓(𝑥)−10 2

(𝑓(𝑥)) −4

(𝑓(𝑥)−2)(𝑓(𝑥)+5)

(𝑓(𝑥)+5)

= lim (𝑓(𝑥)−2)(𝑓(𝑥)+2) = lim (𝑓(𝑥)+2) x→1

x→1

125

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

ℎ(𝑥)

De la Proposición, tenemos que:lim 𝑔(𝑥) = 𝑥→𝑎

lim ℎ(𝑥)

𝑥→𝑎

, cuando ambos límites

lim 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑎

existen y el límite en el denominador es distinto de 0. Por lo tanto, el límite que estamos calculando es igual a: (𝑓(𝑥) + 5) lim𝑓(𝑥) + lim5 2 + 5 7 (𝑓(𝑥) + 5) lim x→1 = x→1 = x→1 = = x→1 (𝑓(𝑥) + 2) lim(𝑓(𝑥) + 2) lim𝑓(𝑥) + lim2 2 + 2 4 lim

x→1

x→1

x→1

2

Así, de lo anterior se deduce que lim

(𝑓(𝑥)) +3𝑓(𝑥)−10

x→1

2

(𝑓(𝑥)) −4

7

= 4.

Observación Antes de aplicar la Proposición se debe verificar previamente el cumplimiento de las hipótesis, caso contrario las conclusiones obtenidas pueden ser falsas. Teorema. Cada una de las siguientes igualdades es válida. 1) Para todo número real 𝑐 en el dominio de cada función: a. lim sen (𝑥) = sen(𝑐) 𝑥→𝑐

b. lim cos (𝑥) = cos(𝑐) 𝑥→𝑐

c. lim tan (𝑥) = tan(𝑐) 𝑥→𝑐

d. lim sec (𝑥) = sec(𝑐) 𝑥→𝑐

e. lim cosec (𝑥) = cosec(𝑐) 𝑥→𝑐

f. lim cotan(𝑥) = cotan(𝑐) 𝑥→𝑐

2) lim

𝑥→0

sen(𝑥) 𝑥

= 1. 1

3) lim(1 + 𝑥)𝑥 = 𝑒. 𝑥→0

4) lim

1−cos(𝑥) 𝑥2

𝑥→0

5) lim

𝑥→0

𝑎𝑥 −1 𝑥

1

= 2.

= ln(𝑎), si 𝑎 > 0.

126

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Muchas veces nos encontraremos con límites como el que viene en el siguiente ejemplo, que son muy parecidos a algunos que conocemos (en este caso el primero del teorema) pero no pueden ser usados directamente pues necesitan de un cambio de variables o algún paso para convertirlos en conocidos: Teorema (cambio de variable) Sea 𝑔 una función inyectiva en un intervalo que contiene a 𝑐 tal que lim 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑐), 𝑥→𝑐

entonces, lim 𝑓(𝑔(𝑥)) = lim 𝑓(𝑦).

𝑥→𝑐

𝑦→𝑔(𝑐)

Ejemplo Utilicemos los teoremas anteriores para calcular el siguiente límite lim

𝑥→0

sen(5𝑥) 𝑥

Solución. Por el teorema anterior podríamos calcular este límite si el denominador y el argumento de la función seno fueran iguales, entonces para que lo sean amplificamos por 5 la fracción, y tenemos: sen(5𝑥) 5 sen(5𝑥) sen(5𝑥) sen(𝑦) = lim = 5 lim = 5 ⋅ lim 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑦→0 𝑥 5𝑥 5𝑥 𝑦 = 5 ⋅ 1 = 5. lim

Ejemplo Utilicemos los teoremas anteriores para calcular el siguiente límite 𝑥−𝑥 2

lim 𝑥−𝑥 4 .

𝑥→1

Solución. Para calcular el límite en cuestión observemos que: 𝑥 − 𝑥2 𝑥(1 − 𝑥) 𝑥(1 − 𝑥) lim = lim = lim 𝑥→1 𝑥 − 𝑥 4 𝑥→1 𝑥(1 − 𝑥 3 ) 𝑥→1 𝑥(1 − 𝑥)(1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) 1 1 1 = lim = = 𝑥→1 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) lim(1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) 3 𝑥→1

𝑥−𝑥 2

1

Finalmente, tenemos que lim 𝑥−𝑥 4 = 3. 𝑥→1

127

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

 

Ejemplo

 PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Utilicemos los teoremas anteriores para calcular el siguiente límite √𝑥−𝑥 . 𝑥→1 √𝑥−𝑥2

lim

Solución. En este caso no podemos factorizar por simple inspección el numerador y el denominador. Sin embargo, si se considera el cambio de variable √𝑥 = 𝑢, o equivalentemente 𝑥 = 𝑢2 , y considerando que cuando 𝑥 → 1, entonces 𝑢 → 1, (es importante notar que la función 𝑢2 no es inyectiva en todo su dominio, pero dado que el límite es en 𝑥 = 1 podemos restringir a un intervalo que contenga este punto para poder cumplir con las hipótesis del teorema del cambio de variable) y obtenemos: 𝑢 − 𝑢2 √𝑥 − 𝑥 lim = lim 𝑥→1 √𝑥 − 𝑥 2 𝑢→1 𝑢 − 𝑢 4 Observe que con el cambio de variable que hemos realizado se ha transformado el límite que hemos analizado en b. el cual involucra una función racional. Por lo que: lim

𝑥→1

𝑢 − 𝑢2 1 √𝑥 − 𝑥 = lim = √𝑥 − 𝑥 2 𝑢→1 𝑢 − 𝑢4 3

Ejemplo Utilicemos los teoremas anteriores para calcular el siguiente límite 3

lim

𝑥→−1

√𝑥 − 𝑥 5 1 + √𝑥

Solución. El límite a determinar es similar al anterior, sin embargo las raíces tienen radicales distintos. Para calcular el límite en cuestión usaremos el cambio de variable 𝑥 = 𝑢15, donde15 = 𝑚𝑐𝑚(3,5), es decir 15 es el mínimo común múltiplo de 3 y 5. Al realizar el cambio de variable indicado se obtiene:

128

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

3

𝑢5 − 𝑢15 𝑢5 (1 − 𝑢10 ) √𝑥 − 𝑥 lim = lim = lim 𝑥→−1 1 + 5√𝑥 𝑥→−1 1 + 𝑢 3 𝑥→−1 1 − (−𝑢)3 𝑢5 (1 − 𝑢5 )(1 + 𝑢5 ) = lim 𝑥→−1 (1 + 𝑢)(1 − 𝑢 + 𝑢 2 ) 𝑢5 (1 − 𝑢5 )(1 + 𝑢)(1 − 𝑢 + 𝑢2 − 𝑢3 + 𝑢4 ) = lim 𝑥→−1 (1 + 𝑢)(1 − 𝑢 + 𝑢2 ) 𝑢5 (1 − 𝑢5 )(1 − 𝑢 + 𝑢2 − 𝑢3 + 𝑢4 ) −10 = lim = 𝑥→−1 (1 − 𝑢 + 𝑢2 ) 3 Así tenemos que 3

lim

𝑥→−1

√𝑥 − 𝑥 −10 = 5 3 1 + √𝑥

Ejemplo Utilicemos los teoremas anteriores para calcular el siguiente límite lim𝜋

𝑥→

4

sen(𝑥) − cos(𝑥) . 1 − tan(𝑥)

Solución. Primero se observa que:

lim𝜋

𝑥→

4

sen(𝑥) − cos(𝑥) sen(𝑥) − cos(𝑥) = lim𝜋 ( ) sen(𝑥) 1 − tan(𝑥) 𝑥→ 4 1− cos(𝑥) sen(𝑥) − cos(𝑥) ) cos(𝑥) − sin(𝑥) 𝑥→ 4 cos(𝑥) sen(𝑥) − cos(𝑥) = lim𝜋 ( cos(𝑥)) = − lim𝜋 cos(𝑥) −(sen(𝑥) − cos(𝑥)) 𝑥→ 𝑥→ 4 4 𝜋 = cos ( ) 4 = lim𝜋 (

Por lo tanto, tenemos lim𝜋

𝑥→

4

sen(𝑥) − cos(𝑥) √2 =− 1 − tan(𝑥) 2

129

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

 

Ejemplo

 PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Utilicemos los teoremas anteriores para calcular el siguiente límite lim

𝑥→0

𝑒 𝑎𝑥 − 𝑒 𝑏𝑥 . 𝑥

Solución Primero recordemos el límite lim

𝑎𝑥 −1 𝑥

𝑥→0

= ln(𝑎), si 𝑎 > 0.

Así tenemos que: 𝑒 𝑎𝑥 − 𝑒 𝑏𝑥 𝑒 𝑎𝑥 − 1 + 1 − 𝑒 𝑏𝑥 lim = lim 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥 𝑒 𝑎𝑥 − 1 𝑒 𝑏𝑥 − 1 = lim ( − ) 𝑥→0 𝑥 𝑥 (𝑒 𝑎 )𝑥 − 1 (𝑒 𝑏 )𝑥 − 1 = lim − lim 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥 𝑎) 𝑏) = ln(𝑒 − ln(𝑒 = 𝑎 − 𝑏 Por lo tanto: lim

𝑒 𝑎𝑥 −𝑒 𝑏𝑥 𝑥

𝑥→0

=𝑎−𝑏

Teorema Si lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 , lim 𝑔(𝑥) = 𝑐 y 𝑓(𝑥) ≠ 𝐿 para todo 𝑥 ≠ 𝑎 en algún 𝑥→𝑎

𝑥→𝐿

intervalo abierto que contiene al punto 𝑎 entonces lim 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑐. 𝑥→𝑎

Ejemplo Dada la función 𝑓(𝑥) =

2𝑥 2 +3𝑥+1

a. Calcule lim 𝑓(𝑥) 𝑥→0

Solución

Tenemos que

𝑥 2 +4𝑥+3

,

130

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 2 ∙ 02 + 3 ∙ 0 + 1 1 2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 lim 𝑥→0 lim 2 = = 2 = 𝑥→0 𝑥 + 4𝑥 + 3 lim 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 0 +4∙0+3 3 𝑥→0

b. Calcule lim 𝑓(𝑥) 𝑥→−1

Solución Tenemos que: lim 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = 0

𝑥→−1

Por lo que, no podemos utilizar el argumento anterior. En este caso se indefine, ya que −1 ∉ Dom(𝑓). Aquí, tanto la expresión del numerador como del denominador son expresiones cuadráticas, por lo que intentaremos factorizar. Al factorizar, obtenemos: (2𝑥 + 1)(𝑥 + 1) 2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 2𝑥 + 1 = lim = lim . 2 𝑥→−1 𝑥 + 4𝑥 + 3 𝑥→−1 (𝑥 + 3)(𝑥 + 1) 𝑥→−1 𝑥 + 3 lim

Y como 𝑥 + 3 no se anula en 𝑥 = −1, tenemos que: lim (2𝑥 + 1) 2𝑥 + 1 𝑥→−1 1 = =− . 𝑥→−1 𝑥 + 3 lim (𝑥 + 3) 2 lim

𝑥→−1

Concluimos que lim

𝑥→−1

2𝑥 2 +3𝑥+1 𝑥 2 +4𝑥+3

1

= −2

c. Con Geogebra grafique 𝑦 = 𝑓(𝑥) e interprete los resultados que obtuvo en las preguntas anteriores.

131

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

En la parte a. obtuvimos que lim

2𝑥 2 +3𝑥+1

𝑥→0 𝑥 2 +4𝑥+3

1

= 3 y en el gráfico se puede

apreciar que cuando 𝑥 tiende a 0, las imágenes de 𝑓 se acercan a un valor 1

más pequeño que 1, el cual según los cálculos es precisamente 3 . También obtuvimos que lim

2𝑥 2 +3𝑥+1

𝑥→−1 𝑥 2 +4𝑥+3

1

= − 2 y en el gráfico se aprecia

que mientras 𝑥 se acerca a −1, las imágenes de 𝑓 se acercan a un valor que está entre 0 y −1. Ejemplo Calcule: 1 − cos(𝑥) 𝑥→0 𝑥2

lim Solución

Notemos que lim 𝑥 2 = 0, por lo que no podemos calcular este límite 𝑥→0

aplicando solo las propiedades de los límites. Por esto, para calcular este límite

utilizaremos

que

lim

𝑥→0

sen(𝑥) 𝑥

= 1,

algunas

identidades

trigonométricas, además de las propiedades de los límites. Primero, amplificaremos por el conjugado de 1 − cos(𝑥): 1 − cos(𝑥) 1 − cos(𝑥) 1 + cos(𝑥) 1 − cos 2 (𝑥) = lim ⋅ = lim 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 1 + cos(𝑥) 𝑥→0 𝑥 2 (1 + cos(𝑥))

lim

Utilizando la identidad trigonométrica cos 2 (𝑥) + sen2 (𝑥) = 1, tenemos que sen2(𝑥) = 1 − cos2 (𝑥) y reemplazamos esto en el numerador de la expresión anterior: 1 − cos 2 (𝑥) sen2 (𝑥) lim 2 = lim 2 𝑥→0 𝑥 (1 + cos(𝑥)) 𝑥→0 𝑥 (1 + cos(𝑥))

132

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



Ahora, agrupando de manera conveniente: sen2 (𝑥) sen(𝑥) ∙ sen(𝑥) lim 2 = lim 𝑥→0 𝑥 (1 + cos(𝑥)) 𝑥→0 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ (1 + cos(𝑥)) sen(𝑥) sen(𝑥) 1 = lim ∙ ∙ 𝑥→0 𝑥 𝑥 1 + cos(𝑥)

  PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Por álgebra de límites, sabemos que podemos separar el límite siempre y cuando cada uno de ellos exista por separado; entonces nos queda: sen2 (𝑥) sen(𝑥) sen(𝑥) 1 lim 2 = lim ∙ lim ∙ lim 𝑥→0 𝑥 (1 + cos(𝑥)) 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 1 + cos(𝑥) 𝑥 𝑥 Como lim

sen(𝑥)

𝑥→0

𝑥

= 1, sólo nos queda:

lim 1 sen2 (𝑥) 1 𝑥→0 lim 2 = 1 ∙ 1 ∙ lim = 𝑥→0 𝑥 (1 + cos(𝑥)) 𝑥→0 1 + cos(𝑥) lim (1 + cos(𝑥)) 1 1 = = 1 + cos(0) 2

𝑥→0

Por lo tanto, 1 − cos(𝑥) 1 = . 𝑥→0 𝑥2 2

lim Ejemplo Calcule

lim √5𝑥 + 7.

𝑥→−1

Solución Sabemos que lim√𝑥 = 𝑐 cuando c > 0, por esta razón utilizaremos el 𝑥→c

teorema de cambio de variables. Podemos reescribir el problema de la siguiente manera: Consideremos el cambio de variables 𝑦 = 5𝑥 + 7, tenemos y → 2 cuando x → −1, por lo tanto,

133

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



lim √5𝑥 + 7 = lim √𝑦 = √2.

𝑥→−1

  PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

𝑦→2

Observación. Es importante mencionar que hasta el momento se han calculado límites de funciones las cuales no están definidas por tramos. Sin embargo la definición de límite no establece diferencia entre funciones definidas por tramos y funciones que no lo estén. En los primeros ejemplos intuitivos hemos visto la necesidad contar con nuevas herramientas para determinar el límite de una función de variable real definida por tramos donde el punto donde queremos calcular el límite está en la frontera de los tramos.

Problema. Considere la función 𝑓: ℝ → ℝ definida por: 𝑥 2 + 3𝑥 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 𝑓(𝑥) = { 𝑥 − 1 , 𝑠𝑖 𝑥 > 1. 𝑥2 − 1 Determine la existencia de lim 𝑓(𝑥). 𝑥→1

Observe que en este caso no se puede determinar el límite directamente ya que la función cambia su definición dependiendo de cómo se aproxima 𝑥 a 1. Considerando lo anterior se introducirá la definición de límite lateral el cual permitirá determinar la existencia del límite de una función definida por tramos.

Definición (límites laterales) Dada una función de variable real 𝑓: ]𝑎, 𝑏[→ ℝ y 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[, definimos. a.

lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) con 𝑥 > 𝑐, por el límite lateral a la derecha de

𝑥→𝑐 +

𝑥→𝑐

𝑐. b.

lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) con 𝑥 < 𝑐 por el límite lateral a la izquierda

𝑥→𝑐 −

𝑥→𝑐

de 𝑐. Teorema. lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 si y sólo si lim+ 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = 𝐿

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

134

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Así volviendo al ejemplo anterior vemos que 𝑥 2 + 3𝑥 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 𝑓(𝑥) = { 𝑥 − 1 , 𝑠𝑖 𝑥 > 1. 𝑥2 − 1 Entonces si se calculan los límites laterales obtenemos:  Al calcular el límite lateral por la derecha: lim+ 𝑓(𝑥) = lim+

𝑥→1

𝑥→1

𝑥−1 𝑥−1 1 1 = lim+ = lim+ = . 2 𝑥 − 1 𝑥→1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑥→1 𝑥 + 1 2

𝑥−1

1

Tenemos que (𝑥−1)(𝑥+1) = (𝑥+1), ya que 𝑥 ≠ 1.  Al calcular el límite lateral por la izquierda: lim 𝑓(𝑥) = lim−𝑥 2 + 3𝑥 + 3 = 7

𝑥→1−

𝑥→1

Observe que de estos dos cálculos se tiene que los límites laterales en cuestión son distintos, y entonces al aplicar el teorema anterior se puede deducir que lim 𝑓(𝑥) no existe. 𝑥→1

Ejemplo. Utilicemos el concepto de límite lateral para determinar la existencia de los siguientes límites. a. lim

sen(𝑥 2 −1)

𝑥→1

|𝑥−1|

Solución.  Primero observe que al calcular el límite lateral por la izquierda, es decir, cuando 𝑥 < 1. Obtenemos: lim−

𝑥→1

sen(𝑥 2 − 1) sen(𝑥 2 − 1) sen(𝑥 2 − 1) (𝑥 + 1) = lim− = lim− 𝑥→1 𝑥→1 |𝑥 − 1| −(𝑥 − 1) −(𝑥 − 1) (𝑥 + 1) 2 sen(𝑥 − 1) (𝑥 + 1) sen(𝑥 2 − 1) (𝑥 + 1) = lim− = lim 𝑥→1 𝑥→1− (𝑥 2 − 1) (𝑥 2 − 1) −1 −1 2 (𝑥 + 1) sen(𝑥 − 1) = ( lim− ) ( lim− )= 𝑥→1 𝑥→1 (𝑥 2 − 1) −1 (𝑥 + 1) sen(𝑢) = ( lim− ) ( lim− ) = 1 ∙ (−2) = −2 𝑥→0 𝑥→1 𝑢 −1

135

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Por lo tanto, lim− 𝑥→1

sen(𝑥 2 −1) |𝑥−1|

= −2.

 Por otro lado, si se calcula el límite lateral por la derecha, es decir, cuando 𝑥 > 1. Obtenemos lim+

𝑥→1

sen(𝑥 2 − 1) sen(𝑥 2 − 1) sen(𝑥 2 − 1) (𝑥 + 1) = lim∓ = lim+ 𝑥→1 |𝑥 − 1| (𝑥 − 1) (𝑥 − 1) (𝑥 + 1) 𝑥→1 2 sen(𝑥 − 1) (𝑥 + 1) sen(𝑥 2 − 1) (𝑥 + 1) = lim+ = lim 𝑥→1 𝑥→1+ (𝑥 2 − 1) (𝑥 2 − 1) 1 1 2 (𝑥 + 1) sen(𝑥 − 1) = ( lim+ ) ( lim+ )= 𝑥→1 𝑥→1 (𝑥 2 − 1) 1 (𝑥 + 1) sen(𝑢) = ( lim+ ) ( lim+ )=1∙2=2 𝑥→0 𝑥→1 𝑢 1

Por lo tanto, lim+ 𝑥→1

sen(𝑥 2 −1) |𝑥−1|

= 2.

Finalmente podemos concluir que lim

𝑥→1

sen(𝑥 2 −1) |𝑥−1|

no existe, dado que sus

límites laterales no son iguales. b. Determine para que valores de 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, la función de variable real 𝑓: ℝ → ℝ definida por:

𝑓(𝑥) = {

𝑥 2 + 2𝑥 , 𝑥 < −2 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 𝑎𝑥 + 𝑏, −2 ≤ 𝑥 ≤ 0 3𝑥 4𝑥 𝑒 −𝑒 , 0 < 𝑥. 𝑥

Admita límite en 𝑥0 = −2 y 𝑥0 = 0. Solución. Primero analicemos la existencia de límite en Observe que al aplicar límites laterales obtenemos:

𝑥0 = −2.

lim 𝑓(𝑥) = lim + 𝑎𝑥 + 𝑏 = −2𝑎 + 𝑏

𝑥→−2+

lim −𝑓(𝑥) =

𝑥→−2

𝑥→−2

𝑥 2 + 2𝑥 𝑥(𝑥 + 2) = lim − 2 𝑥→−2 𝑥 + 3𝑥 + 2 𝑥→−2 (𝑥 + 1)(𝑥 + 2) 𝑥 = lim − =2 𝑥→−2 (𝑥 + 1) lim −

136

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Por lo tanto, lim 𝑓(𝑥) existe si y sólo si los límites laterales son iguales, es 𝑥→2

decir, si se satisface −2𝑎 + 𝑏 = 2. Analicemos la existencia de límite en 𝑥1 = 0. Observe que al aplicar límites laterales obtenemos: lim 𝑓(𝑥) = lim−(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑏

𝑥→0−

𝑥→0

lim+ 𝑓(𝑥) = lim+

𝑥→0

𝑥→0

𝑒 3𝑥 − 𝑒 4𝑥 = −1 𝑥

Por lo tanto, lim 𝑓(𝑥) existe si y sólo si los límites laterales son iguales, es 𝑥→0

decir, si se satisface 𝑏 = −1. Al resolver el sistema −2𝑎 + 𝑏 = 2 𝑏 = −1, 3

obtenemos 𝑏 = −1 y 𝑎 = − 2. Así, tenemos que lim 𝑓(𝑥) y lim𝑓(𝑥) existen si y sólo si 𝑏 = −1 y 𝑎 = 3

𝑥→−2

𝑥→0

− 2. Observación Cuando la función no está definida por ramas, por ejemplo en el caso de 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 3𝑥 , no es necesario en general analizar límites laterales, en este caso por ejemplo lim4x + 3x = 4𝑐 + 3𝑐 , 𝑥→c

sin importar si es por izquierda o por derecha. Pero por ejemplo en el caso de funciones que contienen la función valor absoluto es distinto pues el cambio de estructura está escondido tácitamente en esta función.

137

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

 

Ejemplo

 PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Para 𝑥 , 𝑥→0 |𝑥| lim

sabemos que el límite lateral izquierdo es -1 y su límite lateral derecho es 1, y por lo tanto el límite no existe.

Ejercicios 1 𝑥

1. Dada 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥) calcule los siguientes límites mediante una tabla de valores: 1 𝑥

a. lim (1 + 𝑥) 𝑥→∞

1 𝑥

b. lim (1 + 𝑥) 𝑥→0

𝑥−5

2. Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −25 determine utilizando tabla de valores y/o propiedades y teoremas: a. El gráfico de 𝑓. b. lim 𝑓(𝑥) 𝑥→0

c. lim 𝑓(𝑥) 𝑥→5

3. Dada f(x) =

x √x+5−√5

determine utilizando tabla de valores y/o

propiedades y teoremas: a. El gráfico de 𝑓 b. c.

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→−5−

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→−5+

d. lim 𝑓(𝑥) 𝑥→0

4. Calcule los siguientes límites:

138

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

   PROPIEDADES DE LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

a. lim

𝑥 2 −25

𝑥→5 𝑥−5

b.

lim

𝑥 2 +𝑥−6

𝑥→−3 𝑥 2 −9 √𝑥+5−√5 𝑥 𝑥→0

c. lim

√𝑥+5−3 𝑥→4 𝑥−4

d. lim e. lim

[1/(3+𝑥)]−1/3

f. lim

sen(𝑢)

g. lim

sen(𝑥)(1−cos(𝑥))

𝑥

𝑥→0

𝑢→0

5𝑢

2𝑥 2

𝑥→0

h. lim 𝑡→0

i. j.

lim

ℎ→0

(con [ ] como parte entera)

sen2 (𝑡) 𝑡 (1−cos(ℎ))2 ℎ cos(𝑟)

limπ cot(𝑟)

𝑟→

2

A continuación, daremos la definición matemática de límite: Definición. Sea 𝑓 una función de variable real. Dado 𝑎 ∈ ℝ, se diremos que 𝑓 admite límite 𝐿 en el punto 𝑥 = 𝑎, si y sólo si ∀𝜖 > 0 ∃𝛿 > 0 (0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜖) En este caso, escribimos lim 𝑓(𝑥) = 𝐿. 𝑥→𝑎

139

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

  LÍMITE AL INFINITO DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

La definición de límite nos dice que todas las imágenes por 𝑓 que están a una distancia menor que 𝜖 de 𝐿 tiene su preimagen en alguna vecindad del punto 𝑎.

Límite al infinito En lo que sigue queremos definir el concepto de límite al infinito de una función, es decir, ¿Qué le sucede a la función 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 crece indefinidamente?, escrito matemáticamente: lim 𝑓(𝑥).

𝑥→∞

Un límite infinito refleja el crecimiento o decrecimiento indefinido de la variable dependiente. En estos casos nos interesa analizar el comportamiento en el infinito. ¿Por qué nos interesa el comportamiento en el infinito? Puede ser útil para realizar una proyección o analizar el comportamiento de un sistema, ya sea que tengamos una función para describir un modelo de crecimiento poblacional, la temperatura de un reactor o el flujo de un río. Nos interesa saber el comportamiento cuando el tiempo crezca de manera indefinida para saber el comportamiento de este modelo y saber si tendrá algún problema.

140

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

  LÍMITE AL INFINITO DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Sin embargo, debemos recordar que ∞ y −∞ no son números, son símbolos que denotan lo que pasa “a la larga”, alejándose indefinidamente a derecha o izquierda de 0. La característica fundamental es el comportamiento de diversas expresiones matemáticas para valores muy grandes de x: Ejemplo 𝑥

Considerando 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1 y 𝑥 = 1010 , entonces 𝑥 2 = 1020 y se tiene que 𝑥 2 + 1 = 1020 + 1 = 100.000.000.000.000.000.001 Lo que no es sustancialmene diferente 100.000.000.000.000.000.000, de modo que

de

𝑥 2 = 1020 =

10.000.000.000 100.000.000.000.000.000.001 10.000.000.000 1 ≈ = 100.000.000.000.000.000.000 10.000.000.000 1 = 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑓(1010 ) =

𝑥

Es decir, para valores grandes de 𝑥 la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1 es 1

indistinguible numéricamente de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 Definición Límite cuando 𝑥 → ∞.

Sea 𝑓: [𝑎, ∞[ → ℝ definida para algún 𝑎 ∈ ℝ. Diremos que lim 𝑓(𝑥) = 𝑥→∞

𝐿, si para cada 𝜖 > 0 existe un correspondiente 𝑀 ∈ ℝ, tal que: 𝑥 > 𝑀 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖. Con esto queremos decir que 𝑥 crece hacia la derecha sin cota, y NO que se está aproximando a un número llamado infinito. Análogamente para 𝑥 → −∞, 𝑥 decrece sin cota por la izquierda.

141

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

 

Equivalentemente para límites en −∞.

LÍMITE AL INFINITO DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Definición: Límite cuando 𝑥 → −∞. Sea 𝑓: ] − ∞, 𝑎] → ℝ definida para algun 𝑎 ∈ ℝ. Diremos que lim 𝑓(𝑥) = 𝐿, si para cada 𝜖 > 0 existe un correspondiente 𝑀 > 0, tal 𝑥→−∞

que: 𝑥 < −𝑀 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖. Ejemplo lim

1

𝑥→∞ 𝑥

= 0 y es razonable, porque si pensamos que 𝑥 va creciendo sin

cota, entonces

1 𝑥

irá decreciendo a 0 por la derecha. Observemos en la

siguiente tabla:

x

f  x

2 0,5 10 0,1 100 0,01 1000 0,001 10000 0,0001 100000 0,00001 1000000 0,000001 10000000 0,0000001 que cuando 𝑥 se crece, la función se acerca a cero. Además, si queremos respetar la definición, entonces basta con considerar 1

𝑀 = 𝜖 , así tenemos que para: 𝑥>

1 1 ⇒ | − 0| < 𝜖, 𝜖 𝑥

y por lo tanto, 1 = 0. 𝑥→∞ 𝑥 lim

142

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



El Teorema de álgebra de límites para límites no infinitos se puede utilizar también en esta definición, en efecto:

 LÍMITE AL INFINITO DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Teorema: Sean 𝑓 y 𝑔 funciones reales tales que existen (son números reales) lim 𝑓 (𝑥) y lim 𝑔 (𝑥), entonces: 𝑥→∞

𝑥→∞

a) lim (𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) = ( lim 𝑓 (𝑥)) + ( lim 𝑔(𝑥)). 𝑥→∞

𝑥→∞

𝑥→∞

b) Si 𝛼 ∈ ℝ es constante (no varía con 𝑥) entonces lim 𝛼𝑓 (𝑥) = 𝑥→∞

𝛼( lim 𝑓 (𝑥)). 𝑥→∞

c) lim 𝑓 (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = ( lim 𝑓 (𝑥)) ∙ ( lim 𝑔(𝑥)). 𝑥→∞

𝑥→∞

𝑥→∞

d) Si lim 𝑔 (𝑥) ≠ 0, entonces lim 𝑥→∞

𝑥→∞

𝑓(𝑥)

= 𝑔(𝑥)

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→∞

lim 𝑔(𝑥)

.

𝑥→∞

Teorema Para todo 𝑘 ≥ 1, lim

1

𝑥→∞ 𝑥 𝑘

= 0.

Ejemplo lim

3

𝑥→∞ 𝑥

= 0, ya que, utilizando las propiedades anteriores, tenemos que 3 1 = 3 lim = 3 ∙ 0 = 0. 𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 lim

Ejemplo 2

1

Para calcular lim (3 + 𝑥) ⋅ (2 + 𝑥 6 ) , 𝑥→−∞ 1

𝑔(𝑥) = 2 + 𝑥 6 , además tenemos que lim 𝑓(𝑥) = 3 y lim 𝑔(𝑥) = 2,

𝑥→−∞

por lo tanto,

2

consideramos 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥 y

𝑥→−∞

143

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

  LÍMITE AL INFINITO DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

2 1 lim (3 + ) ⋅ (2 + 6 ) 𝑥→−∞ 𝑥 𝑥

2 1 = lim (3 + ) ⋅ lim (2 + 6 ) = 3 ∙ 2 = 6. 𝑥→−∞ 𝑥 𝑥→−∞ 𝑥

Ejemplo Para calcular

lim

𝑥→∞

1+𝑥+𝑥 2 +2𝑥 3 3𝑥 4 +5𝑥 5

,

debemos reordenar un poco los

componentes para poder usar lo aprendido hasta ahora, por ejemplo: 𝑥 𝑥 2 2𝑥 3 5 1 𝑥 ( + + + 5) 1 + 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 𝑥5 𝑥5 𝑥5 𝑥 lim = lim 3 𝑥→∞ 𝑥→∞ 3𝑥 4 + 5𝑥 5 𝑥 5 (𝑥 + 5) 1 1 1 2 + 4+ 3+ 2 5 𝑥 𝑥 𝑥 . = lim 𝑥 3 𝑥→∞ 𝑥+5 2

3

Por algebra de límites, tenemos que 1 1 1 2 1 1 1 2 + 4 + 3 + 2 lim ( 5 + 4 + 3 + 2 ) 0 5 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 = 𝑥→∞ 𝑥 lim 𝑥 = 3 3 𝑥→∞ 5 + 5 lim ( + 5) 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 ya que el límite del denominador es distinto de 0.

Límites infinitos Es claro que lim 𝑥 = ∞, ya que estamos diciendo que 𝑥 crece 𝑥→∞

ilimitadamente.. 1

Otro caso no tan claro es cuando estudiamos la función 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 en torno a 𝑥 = 1. Notamos que por la derecha de 1, los valores de 𝑥 son mayores que 1 y por lo tanto 𝑥 − 1 > 0, a medida que más se acerca a 1, entonces 𝑥 − 1 se aproxima más a 0, y por lo tanto la división va creciendo, observemos la siguiente tabla de valores:

144

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

  LÍMITES INFINITOS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

x

f  x

1,5 2 1,1 10 1,01 100 1,001 1000 1,0001 10000 1,00001 100000 1,000001 1000000 1,0000001 9999999,99 por lo tanto, necesitamos una definición de la idea de un límite que crece o decrece indefinidamente. Definición (Límites infinitos): a) Sean 𝑓 una función y 𝑎 no está aislado de Dom(𝑓). Se dice que el límite de 𝑓 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es ∞, denotado lim 𝑓(𝑥) = ∞ por: 𝑥→𝑎

∀𝐾 > 0∃𝛿 > 0∀𝑥 ∈ Dom(𝑓)(0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ 𝐾 < 𝑓(𝑥)) Equivalentemente podemos definir: b) Sean 𝑓 una función y 𝑎 no está aislado de Dom(𝑓). Se dice que el límite de 𝑓 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es −∞, denotado lim 𝑓(𝑥) = −∞ por: 𝑥→𝑎

∀𝐾 > 0∃𝛿 > 0∀𝑥 ∈ Dom(𝑓)(0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ 𝐾 < −𝑓(𝑥)) Ejemplo 1

Para calcular lim (𝑥−3)2 . 𝑥→3 1

Si 𝑓(𝑥) = (𝑥−3)2 su dominio excluye el punto 𝑥 = 3, además tenemos que 𝑓 es siempre positiva por ser un cuadrado. Cuando uno se acerca a 3 por ambos lados, 𝑓(𝑥) crece indefinidamente. Su gráfica es:

145

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

  LÍMITES INFINITOS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

1

Así, concluimos que lim (𝑥−3)2 = ∞. 𝑥→3

Teorema Si g es acotada entre positivos (en particular, si tiene límite positivo hacia c) y lim 𝑓(𝑥) = ∞, entonces 𝑥→𝑐

lim 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) = ∞

𝑥→𝑐

Si g es acotada entre negativos (en particular, si tiene límite negativo hacia c) y lim 𝑓(𝑥) = ∞, entonces 𝑥→𝑐

lim 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) = −∞

𝑥→𝑐

Si lim 𝑓(𝑥) = ±∞, entonces lim

1

𝑥→∞ 𝑓(𝑥)

𝑥→∞

=0

Ejemplo 1

Para calcular los límites laterales de 𝑔(𝑥) = 𝑥−3 cuando 𝑥 → 3, notemos que la función 𝑔 cambia de signo según 𝑥 sea mayor o menor que 3. Cuando 𝑥 → 3+ , la función crece indefinidamente y cuando 𝑥 → 3− , la 1

función crece indefinidamente. Por lo que tenemos que lim+ 𝑥−3 = ∞ y lim

1

𝑥→3− 𝑥−3

𝑥→3

= −∞.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

  LÍMITES INFINITOS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Ejemplo Calcule lim+ 𝑥→3

cos(𝜋𝑥) 𝑥−3

.

Notemos primero que el límite del denominador se anula, pero el del numerador no, en efecto, lim cos(𝜋𝑥) = −1. Por lo anterior, tenemos 𝑥→3

1

que lim+ 𝑥−3 = ∞. Y dado que la función cos(𝜋𝑥) es una función 𝑥→3

acotada, tenemos:

Y por lo tanto, lim+ 𝑥→3

cos(𝜋𝑥) 𝑥−3

= −∞.

146

147

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



Ejemplo



Para calcular lim+ tan(x). π 2

x→

LÍMITES INFINITOS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Sabemos que

𝜋 2

+ 𝑘𝜋 con 𝑘 ∈ ℤ, no pertenece al dominio de la función

tangente. Además, dado que cuando

𝜋 2

+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 𝜋 + 2𝑘𝜋 la función

seno y coseno son positiva y negativa, respectivamente. Por otro lado, la función coseno se anula en

𝜋 2

:, además tan(𝑥) =

tenemos: lim tan(𝑥) = −∞.

π+ x→ 2

Y su gráfica es:

𝜋

Donde la recta es 𝑥 = 2 .

sen(𝑥) cos(𝑥)

, por lo que

148

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



Ejemplo



Calcule lim+ (𝑥−1)2 .

𝑥 4 −1

𝑥→1

LÍMITES INFINITOS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Solución Tenemos que lim+

𝑥→1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1) 𝑥4 − 1 = lim (𝑥 − 1)2 𝑥→1+ (𝑥 − 1)2 (𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1) = lim+ . 𝑥→1 (𝑥 − 1)

Observamos que después de haber realizado todas las simplificaciones, en 𝑥 = 1, el numerador vale 4, y el denominador vale 0, por lo que, el límite se indefine, ahora, como estamos hablando de un límite por la derecha, entonces tenemos que 𝑥 − 1 > 0, entonces lim+

𝑥→1

𝑥4 − 1 = ∞. (𝑥 − 1)2

Podemos observar que todas las funciones a las cuales les hemos calculado los límites anteriores, su denominador es cero cuando evaluamos en el punto que queremos calcular el límite. La siguiente definición nos ayudará a comprender los ejemplos anteriores: Definición: Se llama Asíntota Vertical de una función 𝑓(𝑥), a la recta paralela al eje 𝑦 que hace que la dicha función tienda a infinito. Es decir, si existe alguno de estos dos límites: lim 𝑓(𝑥) = ±∞, lim+ 𝑓(𝑥) = ±∞

𝑥→𝑎−

𝑥→𝑎

a la recta 𝑥 = 𝑎 a se la denomina asíntota vertical.

149

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



Teorema



Sean 𝑓 y 𝑔 funciones reales tales que para un intervalo en torno a 𝑎 (es decir, un intervalo de la forma (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) para algún 𝛿 > 0), se satisface:

LÍMITES INFINITOS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

a)𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) y lim 𝑓(𝑥) = ∞ entonces lim 𝑔(𝑥) = ∞. 𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

b) 𝑔(𝑥) < 𝑓(𝑥) y lim 𝑓(𝑥) = −∞ entonces lim 𝑔(𝑥) = −∞. 𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

Ejemplo Se verifica que

1 𝑥2

<

1+𝑥 2 +𝑥 4 𝑥2

, además sabemos que 1 = ∞. 𝑥→0 𝑥 2 lim

Por el teorema anterior, obtenemos que: 1 + 𝑥2 + 𝑥4 lim = ∞. 𝑥→0 𝑥2 Ejercicios 𝑒 −5𝑥 (𝑥−5)

1. Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −10𝑥+25 determine utilizando propiedades y teoremas: a. b. c.

El gráfico de 𝑓. lim 𝑓(𝑥)

𝑥→−5−

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→−5+

d. lim 𝑓(𝑥) 𝑥→0

e. f.

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→∞

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→−∞

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



2. Calcule los siguientes límites y determine si existe asíntota vertical en el punto:

 LÍMITES INFINITOS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.

3−𝑥

lim + 𝑥√3+𝑥

𝑥→−3

𝑥

lim− 𝑥√1−𝑥

𝑥→1

1

lim − 𝑥 2 +𝑥−6

𝑥→−3

1

lim

𝑥→−3+ 𝑥 2 +𝑥−6

lim−

𝑥→2

1 𝑥 2 +𝑥−6 1

lim

𝑥→2+ 𝑥 2 +𝑥−6

lim−

𝑥→−1

lim+

𝑥→−1

lim−

𝑥→0

lim+

𝑥→0

3x2 −1 x3 −𝑥 3x2 −1 x3 −𝑥

3x2 −1 x3 −𝑥 3x2 −1 x3 −𝑥

150

151

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



Continuidad.

 CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Una metáfora útil es pensar que una curva es continua cuando es un cable eléctrico que conduce la electricidad entre cualquier par de puntos de la curva, es decir no hay interrupciones. Otra metáfora, es considerar que una curva es continua en uno de sus puntos si éste es concordante con los puntos circundantes de la curva; la curva es continua entonces si es continua en cada uno de sus puntos. Otra forma de ver la continuidad es que la gráfica de la función no tenga interrupciones o saltos, es decir, podemos dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. Para gráficas de funciones, el punto y sus circundantes se describen mediante sus primeras coordenadas. A continuación daremos una definición más formal de continuidad, utilizando lo que sabemos de límites. Definición: 1. Sean 𝑓: ]𝑎, 𝑏[ → ℝ una función y 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[, diremos que 𝑓 es continua 𝑥 = 𝑐 si: a. 𝑐 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓), es decir, 𝑓(𝑐) existe. b. lim 𝑓(𝑥) existe. 𝑥→𝑐

c. lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐). 𝑥→𝑐

Si alguna de estas propiedades no se verifica, se dice que la función es discontinua en 𝑐. 2. Diremos que 𝑓 es continua en el intervalo ]𝑎, 𝑏[ si es continua para todo 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[. 3. Y diremos que es continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] si es continua en todos los puntos del intervalo abierto ]𝑎, 𝑏[ y además lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) y lim− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏).

𝑥→𝑎+

𝑥→𝑏

152

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

 

Definición:

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Existen dos tipos de discontinuidad: 1. La primera es la discontinuidad reparable, la cual corresponde al caso en que la propiedad b) (de la definición de continuidad) se verifica mientras que a) y c) no se verifican.

2. La segunda es la discontinuidad esencial o no evitable, y estas se pueden catalogar como: a. Discontinuidad de salto finito, la cual corresponde al caso en que la propiedad b) no se satisface, es decir los límites laterales son distintos, y además estos son finitos. b. Discontinuidad de salto infinito la cual corresponde al caso en que la propiedad b) no se satisface, es decir los límites laterales son distintos, y además al menos uno de ellos es infinito. Ejemplo En un ejemplo anterior teníamos la función 𝑥 2 + 3𝑥 + 3, 𝑓(𝑥) = { 𝑥 − 1 , 𝑥2 − 1

si 𝑥 ≤ 1 si 𝑥 > 1.

Calculamos ambos límites laterales en 𝑥 = 1 y obtuvimos que 1 lim− 𝑓(𝑥) = 7 y lim+ 𝑓(𝑥) = , 𝑥→1 𝑥→1 2 Además 𝑓(1) = 7, por lo que la función no es continua en 𝑥 = 1. De hecho, es una discontinuidad esencial (ya que no se verifican las propiedades b) y c) de la definición). Ejemplo Haciendo uso del teorema 2 e inducción probamos que lim 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑐 + 𝑎2 𝑐 2 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑐 𝑚 . x→c

Lo que implica que los polinomios de una variable son continuos, lo enunciaremos como un teorema.

153

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



Teorema



Cada función polinomial es continua en todo número real 𝑐.

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Cada función racional es continua en todo número real 𝑐 en su dominio, es decir, en todos aquellos puntos donde el denominador no se anula. Las funciones valor absoluto, potencias, raíces, trigonométricas, exponenciales y logaritmos son continuas en sus dominios. Ejemplo a) Para 𝑐 ≥ 0: lim √𝑥 = √𝑐.

𝑥→𝑐

b) Para 𝑐 ∈ ℝ: 3

3

lim √𝑥 = √𝑐.

𝑥→𝑐

c) Sea la función 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 −1 𝑥−1

, notemos que 1 ∉ Dom(𝑓), pero

𝑥2 − 1 = 2. 𝑥→1 𝑥 − 1 lim

Por lo tanto, podemos definir una extensión continua, dada por: 𝑥2 − 1 𝑔(𝑥) = { 𝑥 − 1 , 2,

𝑥 ≠ 1. 𝑥 = 1.

En este caso la función 𝑓 posee una discontinuidad reparable.

Teorema: Sean 𝑓 y 𝑔 funciones, entonces: a) 𝑓 + 𝑔 es continua donde lo sean simultáneamente 𝑓 y 𝑔. b) Si 𝛼 ∈ ℝ es constante (no varía con 𝑥) entonces 𝛼𝑓 es continua donde lo sea 𝑓 . c) 𝑓 ∙ 𝑔 es continua donde lo sean simultáneamente 𝑓 y 𝑔. d)

𝑓 𝑔

es continua donde lo sean simultáneamente 𝑓 y 𝑔, y 𝑔 ≠ 0.

154

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

 

Ejemplo

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 cos(𝑥), la función 𝑔1 (𝑥) = 𝑥 es un polinomio y por ende continua en ℝ. Además, la función 𝑔2 (𝑥) = cos(𝑥) continua en ℝ, luego por el punto c) del teorema anterior, la multiplicación de estas es funciones continua, así tenemos que para cada 𝑐 ∈ ℝ la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 cos(𝑥) es continua. Ejemplo Sea 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + cos(𝑥), ¿es 𝑔(𝑥) continua en 𝑥 = 𝜋?. Por el punto a) del teorema anterior, sabemos que la suma de funciones continuas es una función continua y en este caso tanto ℎ1 (𝑥) = 3𝑥 como ℎ2 (𝑥) = cos(𝑥) son continuas en 𝑥 = 𝜋, por lo tanto 𝑔(𝑥) es continua en 𝜋. Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ, la función definida por 𝑓(𝑥) = {

3𝑥 + 1, 𝑥 ≤ 3. 5𝑥 2 + 3, 𝑥 > 3.

¿es continua en 𝑥 = 3? Para ver si es continua, primero observemos que 𝑓(3) = 3 ⋅ 3 + 1 = 10. Ahora, calculamos el límite cuando 𝑥 → 3, para esto estudiaremos los límites laterales ya que la función está definida por tramos. Tenemos que el límite lateral izquierdo es: lim 𝑓(𝑥) = lim− 3𝑥 + 1 = 10.

𝑥→3−

𝑥→3

Y el límite lateral derecho es: lim 𝑓(𝑥) = lim+ 5𝑥 2 + 3 = 48,

𝑥→3+

𝑥→3

Por lo que concluimos que el límite en 𝑥 = 3 no existe y, por lo tanto, la función no es continua.

155

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



Ejemplo



Considere la gráfica de la función 𝑓: ℝ → ℝ:

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Observando la gráfica de la función podemos ver que es discontinua en 0. Además, los límites laterales son distintos, tenemos que lim 𝑓(𝑥) = 0 y

𝑥→0−

En cambio, en la siguiente gráfica:

lim 𝑓(𝑥) = 1.

𝑥→0+

156

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

  CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

La función 𝑔(𝑥) tiene límites laterales iguales en 𝑥 = 0, de hecho, el limite existe y es lim 𝑔(𝑥) = 0,

𝑥→0

pero 𝑔(0) = 1, por lo tanto, a pesar de que la función está definida en el punto, y que exista el límite, la función evaluada en el punto y el límite no son iguales, por lo tanto la función no es continua.

Usualmente, una noción intuitiva de continuidad es ver si es posible trazar la gráfica de la función sin necesidad de levantar el lápiz del papel, es claro en el caso de la función 𝑔(𝑥) que esto no es posible de hacer al momento de llegar al origen, sin importar de si uno se acerca por la derecha o por la izquierda de este no será posible cruzar al otro lado de la gráfica sin quitar el lápiz del papel.

Cabe destacar, que en este caso podemos definir una extensión de la función 𝑔 en el punto de discontinuidad para que sea una función continua y obtener:

157

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



Ejemplo



Un ejemplo de una gráfica con discontinuidad de salto infinito es la siguiente:

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Dado que lim− ℎ(𝑥) = ∞ y lim+ ℎ(𝑥) = ∞. 𝑥→1

𝑥→1

Ejemplo 1

La función 𝑓: ]1,2[ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 es continua en el intervalo 1

]1,2[. Pero la función 𝑔: ]−2,0[ ∪ ]0,2[ → ℝ definida por 𝑔(𝑥) = no 𝑥 es continua en todo el intervalo abierto pues no está definida en 𝑥 = 0, más aun, la discontinuidad es de salto infinito y por lo tanto no es reparable. Ejemplo La función 𝑓: ℝ ∖ {0} → ℝ definida por 𝑓(𝑥) =

|𝑥| 𝑥

no está definida en

cero, y por lo tanto es discontinua. Pero, ¿Será la discontinuidad reparable?, para responder esta pregunta calcularemos los límites laterales en 𝑥 = 0, tenemos que: lim+ 𝑓(𝑥) = lim+

𝑥→0

𝑥→0

|𝑥| 𝑥 = lim = 1. 𝑥→0 𝑥 𝑥

Por otro lado, lim− 𝑓(𝑥) = lim−

𝑥→0

𝑥→0

|𝑥| −𝑥 = lim = −1. 𝑥→0 𝑥 𝑥

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

  CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Como los límites laterales son distintos, la discontinuidad es de salto finito y por lo tanto no se puede reparar. En resumen, esta función es continua en cualquier intervalo que no contenga al cero. Como podemos ver en la siguiente gráfica:

La función graficada a continuación está definida en el intervalo ]−5,6[ de la siguiente manera:

Es continua en los intervalos ]−5,0], ]0,3[ y ]3,6[, pero no en ]−5,6[. Ejemplo 7𝑥+5

¿Es 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1 una función continua en todos los reales? Solución Sabemos que el cociente de funciones continuas es continua siempre y cuando el denominador no se anule. En este caso, tanto el numerador como el denominador son polinomios, por lo que ambos son continuos en ℝ. Para concluir si 𝑓 es continua, debemos ver si la ecuación x 2 + 1 = 0 tiene soluciones reales. La respuesta es no, por lo que el teorema de álgebra de funciones continuas se satisface y podemos concluir que 𝑓 es una función continua en todo ℝ.

158

159

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



Ejemplo



Considere la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , definida en el intervalo [−1,1]. Esta función es continua en todos los puntos del dominio y cumple además que:

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

lim 𝑓(𝑥) = 1 = 𝑓(−1) ∧ lim− 𝑓(𝑥) = 1 = 𝑓(1).

𝑥→−1+

𝑥→1

Por lo tanto, la función es continua en todo el intervalo cerrado. Por otro lado, la función 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 1 definida en el intervalo [1,2] es continua también en todo su dominio, pero si definimos: 𝑥2 ℎ(𝑥) = { 3 𝑥 +1

−1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 1 < 𝑥 < 2.

La gráfica de esta nueva función, es:

que se forma por la superposición de dos funciones continuas, pero estas “no se pegan bien”, dando origen a una función con una discontinuidad de salto finito, y por lo tanto de continuidad no reparable.

160

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

  CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

Teorema del valor Intermedio: Sean 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ y T un número entre 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏). Si 𝑓 es continua en [𝑎, 𝑏], entonces existe 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[ tal que 𝑓(𝑐) = 𝑇.

Si leemos con cuidado el teorema, este no nos dice dónde está la solución de la ecuación 𝑓(𝑐) = 𝑇 ni tampoco cuantas hay, solo nos asegura la existencia de al menos una solución.

Ejemplo Use el Teorema del valor intermedio para demostrar que hay una solución 𝜋

de la ecuación cos(𝑥) − 𝑥 = 0 en el intervalo ]0, 2 [.

Primero que todo, definamos 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) − 𝑥, luego notemos que 𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝑓(0) = 1 y 𝑓 ( 2 ) = − 2 , por lo que 0 ∈ ]𝑓 (2 ) , 𝑓(0)[ = ]− 2 , 1[. Por lo tanto, 0 está en la imagen de la función, y con el Teorema del valor intermedio (TVI) aseguramos la existencia de una solución de la ecuación. Sin embargo, no nos dice cuál es dicha solución ni tampoco si es única. Ejercicios 1. En los siguientes ejercicios indicar en que puntos la función no es continua y que tipo de discontinuidad presentan:

a.

b.

161

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

  CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

c.

d. 2. Determine cuál(es) de las siguientes funciones son continuas en 𝑥 = 1, en caso de no serlo, ¿qué tipo de discontinuidad es?. Si es reparable ¿cómo se repara? a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥).

3.

1

1

b.

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 2 .

c.

𝑓(𝑥) = cos (x−1) .

d.

𝑓(𝑥) = 𝑥 4 −1

1

𝑥 2 −1

e. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|. f. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ cos(2𝑥 − 𝜋). Estudie la continuidad de las siguientes funciones: |𝑥|

a. b. c.

𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = { 𝑥 1 𝑥 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = { 1 𝑥 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = { 1

𝑥 ≠ 0. 𝑥=0 𝑥≠0 . 𝑥=0 𝑥≠1 . 𝑥=1 √𝑥

𝑥 ≠ 0. 𝑥=0 𝑥≠0 . 𝑥=0

d.

𝑓: [0, ∞[ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = { 𝑥 0

e. f.

𝑓: [0, ∞[ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = {√𝑥 0 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥| − 𝑥.

g.

𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = √|𝑥| − x.

h.

𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + |𝑥|.

𝑥

i. 𝑓: [1, ∞[ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = √𝑥 3 − |𝑥|. 4. En los siguientes ejercicios determine si existe a y b tal que la función sea continua en todos los reales. 𝑥3, 𝑥 < 2 a. 𝑓(𝑥) = { 2 𝑎𝑥 , 𝑥 ≥ 2

162

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2

  CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

𝑥3, 𝑥 < 0 𝑎𝑥 2 , 𝑥 ≥ 0 2, 𝑥 ≤ −1 c. 𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥 + 𝑏, − 1 < 𝑥 < 3 −2, 𝑥≥3 b. 𝑓(𝑥) = {

d. 𝑓(𝑥) = {

𝑥 2 −𝑎2 𝑥−𝑎

, 𝑥≠𝑎

8, 𝑥 = 𝑎 5. Use el TVI para demostrar que la ecuación 𝑥 2 + 3𝑥 − 2 = 0 tiene una solución en el intervalo ]0,1[. 6. Use el TVI para determinar la existencia de una solución de la ecuación cos(𝑥) ⋅ 𝑥 3 + 6𝑠𝑒𝑛5 (𝑥) − 3 = 0 en el intervalo ]0,2𝜋[. 7. En los sistemas de refrigeración es necesario suministrar un fluido con gasto constante. Esto se consigue a través de un tubo denominado frasco de Mariotte. La altura del líquido en función del tiempo está modelada mediante la función ℎ(𝑡) = 15 (1 − 𝑒

2𝑡

−[𝑠]

) [𝑐𝑚] cuya gráfica es:

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 2



Determine el valor de lim 15 (1 − 𝑒 𝑡→∞

163 2𝑡

−[𝑠]

) [𝑐𝑚] e interprete su



resultado.

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 

8. Mediante un resorte se ancla un objeto circular a una pared, tal como lo muestra la figura:

El modelo más simple para modelar la distancia desde la pared hasta el punto más próximo de la pelota en función del tiempo es suponer que el resorte no tiene masa, no hay resistencia del aire y por lo tanto, se contrae y se estira continuamente. Una de las funciones que sirve para esto es 𝑑(𝑥) = (cos(𝑥) + 1)[𝑚], cuya gráfica es

a. Determine lim (cos(𝑥) + 1) [𝑚] e interprete su resultado. 𝑥→0

b. Determine lim (cos(𝑥) + 1) [𝑚] e interprete su resultado. 𝑥→∞

Observación: [s] simboliza segundos. [m] simboliza metros.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

MTCL01 UNIDAD 3 DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

APRENDIZAJE ESPERADO Realiza el cálculo de derivadas en funciones de valor real, mediante reglas y teoremas expuestos. CRITERIOS DE EVALUACIÓN  Calcula la pendiente en un punto de una función de valor real mediante la derivada.  Utiliza reglas de derivación en el cálculo de derivadas de funciones polinómicas.  Determina la derivada de funciones trigonométricas, exponencial y logarítmica, mediante reglas de derivación.  Aplica teoremas de derivadas en operatoria aritmética de funciones.

APRENDIZAJE ESPERADO Resuelve problemas contextualizados en diversas disciplinas que involucren la derivada de un modelamiento funcional, analizando el comportamiento y entregando sus resultados de manera efectiva. CRITERIOS DE EVALUACIÓN  Resuelve problemas que involucren derivación implícita y/o derivadas de orden superior, explicando su estrategia de resolución.  Resuelve problemas relacionados con la razón de cambio, mediante el concepto de derivada.  Resuelve problemas de máximos y mínimos en problemas de optimización y especialidad contextualizados a diversas disciplinas.

164

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3



165

Introducción

  DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Suponga que 𝑓(𝑥) es la distancia, en kilómetros, recorrida por un automóvil alejándose linealmente desde su punto de partida, cuando han pasado 𝑥 horas desde que comenzó a moverse. Note que 𝑓(7,25). Es la 1

distancia recorrida luego de 7 horas y 15 minutos, ya que 0,25 = 4. La velocidad promedio entre la segunda y la quinta horas es el cociente entre la distancia recorrida en ese lapso, 𝑓(5) − 𝑓(2), y el lapso de tiempo, 5 − 2 = 3, es decir, 𝑓(5) − 𝑓(2) 𝑘𝑚 [ ℎ𝑟 ] 5−2 Que es un cociente del tipo del que aparece en la definición de derivada, antes de tomar el límite. La pregunta que aclara el concepto de derivada es la siguiente: ¿qué velocidad marca el velocímetro exactamente a las dos horas? Eso significa saber qué marca el velocímetro cuando 𝑐 = 2 considerando que no tenemos el registro de la velocidad, sino de la distancia recorrida en cada instante. Salvo que la velocidad fuera constante, la velocidad promedio sólo indica una aproximación, considerando que el automóvil puede acelerar frenar, e incluso detenerse en algunos instantes. Pero esa velocidad promedio mejora si tomamos velocidades promedio entre 𝑐 = 2 y valores de 𝑥 cada vez más cercanos a 2. Es decir, si tomamos el límite cuando 𝑥 tiende a 2 de las velocidades promedio

𝑓(𝑥)−𝑓(2) 𝑥−2

,

debiéramos obtener el valor que marca el velocímetro para 𝑐 = 2, es decir, lim

𝑥→2

𝑓(𝑥)−𝑓(2) 𝑥−2

, que es la derivada de 𝑓en 2, debe ser la velocidad que marca

el velocímetro; es llamada velocidad instantánea para contraponerla a la velocidad promedio. Luego, podemos concluir que si 𝑓(𝑥) es la distancia en kilómetros de un automóvil desde su punto de partida, y 𝑥 es el tiempo en horas transcurridos desde que se aleja de la posición fija, entonces 𝑓′(2) es la velocidad instantánea, en kilómetros por hora, del automóvil cuando han pasado dos horas desde que se inició su movimiento.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

166

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Pero, ¿qué significa lo que marca el velocímetro en un momento dado, por ejemplo, a dos horas de iniciado el viaje? Significa que, en ese momento la tendencia a cambiar la distancia recorrida por unidad de tiempo es la que marca el velocímetro, es decir, si durante una hora se mantiene constante la velocidad, el automóvil debiera recorrer 𝑓′(2) kilómetros entre la segunda y la tercera horas de iniciado el recorrido. Pero si mantuviera constante esa velocidad durante media hora, debiera recorrer

𝑓 ′ (2) 2

kilómetros en esa media hora, y si mantiene constante la velocidad durante 10 minutos, que es un sexto de una hora, entonces debiera recorrer

𝑓 ′ (2) 6

kilómetros en ese lapso. En suma, la derivada de la distancia recorrida respecto del tiempo transcurrido en un instante dado indica la tendencia a cambiar tal distancia respecto del tiempo, en ese instante.

“La derivada de una función en un valor 𝑐 respecto de su variable indica la tendencia a cambiar del valor de la función respecto de la variable, para ese valor 𝑐.”

Derivada de una función de una variable. Definición La derivada de una función 𝑓: 𝐴 → ℝ en un punto 𝑐 ∈ 𝐴 es, si existe, el valor del límite 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) 𝑥→𝑐 𝑥−𝑐 lim

De existir tal límite, se dice que 𝑓 es derivable en 𝑐 y la derivada se 𝑓 en 𝑐 se denota 𝑓′(𝑐) o también

𝑑𝑓 𝑑𝑥

(𝑐)

Para comprender el significado de la derivada de una función en un punto dado, consideremos dos casos: velocidad instantánea versus velocidad promedio, y recta tangente a una gráfica.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ejemplo Si el volumen es constante, entonces la presión de un gas sobre el recipiente que lo contiene es función de la temperatura del gas, y la derivada de la presión respecto de la temperatura en un valor dado de temperatura indica cómo tiende a variar la presión para esa temperatura. Si la derivada es positiva y grande, indica que la presión tiende a aumentar mucho, pero si es negativa, indicaría que la presión tiende a disminuir.

La segunda interpretación de la derivada, que es una interpretación geométrica basada en la gráfica de la función, puede obtenerse desde el ejemplo de la velocidad del automóvil. Ejemplo Sabemos que si la velocidad de un automóvil es constante de valor 𝑘 kilómetros por hora, entonces la distancia recorrida 𝑦 kilómetros es de la forma 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑛 donde 𝑥 es el tiempo en horas transcurrido desde el inicio del movimiento y 𝑛 es la posición inicial, cuando el movimiento se inició. En ese caso la gráfica de la posición respecto del tiempo es una recta con pendiente 𝑘.

167

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Volvamos al ejemplo del automóvil que en cada instante 𝑥 (en horas) está a 𝑓(𝑥) kilómetros del punto de partida. Suponemos que la velocidad no es constante. Ya vimos que la velocidad instantánea a las dos horas es 𝑓 ′ (2). Si desde ese instante en adelante se mantuviera constante esa velocidad, su gráfica sería algo como la gráfica siguiente, donde la línea continua sobre el intervalo [0,2] da la gráfica de 𝑓(𝑥) (es una gráfica cualquiera que pasa por el origen), mientras que a derecha de 2 está graficada, en línea punteada, la recta 𝑦 = 𝑓 ′ (2) ⋅ (𝑥 − 2) + 𝑓(2), que corresponde a la distancia recorrida si se tuviera velocidad constante 𝑓 ′ (2) a partir de las dos horas. Es fácil verificar que la recta dada tiene pendiente 𝑓 ′ (2) y pasa por el punto (2, 𝑓(2))

Si a esa imagen le agregamos la continuación de la gráfica de 𝑓(𝑥) sin suponer que desde la segunda hora se mantenga velocidad constante, se tiene

168

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

La recta es muy parecida a la gráfica de 𝑓(𝑥) si los valores son poco mayores que 2, pero luego se apartan. Si proyectamos la recta a valores menores que 2, se tiene:

Lo que estamos descubriendo es la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) en el punto (2, 𝑓(2)), que es la recta que mejor aproxima a la gráfica en torno del punto.

169

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

170

Definición (recta tangente) La recta tangente a la gráfica de una función 𝑓(𝑥) en un punto (𝑐, 𝑓(𝑐)) donde exista 𝑓 ′ (𝑐) es 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑐) ⋅ (𝑥 − 𝑐) + 𝑓(𝑐), y en ese caso, es la recta que mejor aproxima a la gráfica de la función en las cercanías del punto.

La definición de derivada justifica el teorema: Si existe 𝑓 ′ (𝑐), se tiene 𝑓 ′ (𝑐) = lim

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐)

𝑥→𝑐

cercanos pero distintos de 𝑐, los cocientes

, y para valores de 𝑥

𝑥−𝑐 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐) 𝑥−𝑐

son pendientes de las

rectas que pasan por (𝑐, 𝑓(𝑐)) y por (𝑥, 𝑓(𝑥)) En la figura se han considerado tres rectas del tipo anterior, en líneas punteadas, y la recta tangente en línea continua, sólo a derecha del punto para facilitar la visualización.

En el límite, esas rectas tienden a la recta tangente, por lo que el límite de sus pendientes tiende a la pendiente de la recta tangente.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ejemplo Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = 2𝑥 2 en el punto (1,2). Solución Para construir la recta tangente necesitamos la pendiente pues ya tenemos un punto que está contenido en esta. Entonces: 𝑑𝑦 2𝑥 2 − 2 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = lim = lim = lim 2(𝑥 + 1) = 4. 𝑥→1 𝑥→1 𝑑𝑥 𝑥→1 𝑥 − 1 𝑥−1 Por lo tanto la recta buscada es 𝑦 = 4(𝑥 − 1) + 2

Ejemplo Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el punto (0,0). Solución Calculamos la pendiente mediante la derivada: 𝑑𝑓 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(0) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 0 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = lim = lim = lim = 1. 𝑥→0 𝑥→0 𝑑𝑥 𝑥→0 𝑥−0 𝑥−0 𝑥 Por lo tanto la recta tangente es 𝑦 − 0 = 1 ⋅ (𝑥 − 0).

171

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ejemplo Determine la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ cos(𝑥) en (𝜋, −𝜋). Solución Calculamos la derivada de 𝑓(𝑥) en el punto indicado para obtener a pendiente de la recta tangente: (𝑥 − 𝜋 + 𝜋) ⋅ cos(𝑥) + 𝜋 𝑥 ⋅ cos(𝑥) + 𝜋 lim = lim 𝑥→𝜋 𝑥→𝜋 𝑥−𝜋 𝑥−𝜋 cos(𝑥 − 𝜋 + 𝜋) + 1 = lim cos(𝑥) + 𝜋 ⋅ 𝑥→𝜋 𝑥−𝜋 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋) lim cos(𝑥) + 𝜋 ⋅ =−1 𝑥→𝜋 𝑥−𝜋 Luego, la recta buscada es 𝑦 = (−𝜋) + (−1) ⋅ (𝑥 − 𝜋) , o simplificando, 𝑦 = −𝑥

172

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

173

Ejemplo 1

Determine la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = 𝑥 en cada uno de los puntos de la gráfica. Solución 1

Consideremos un punto cualquiera de la gráfica (𝑐, 𝑐 ) , con 𝑐 ≠ 0. La pendiente de la recta tangente en ese punto viene dada por la derivada de 1

la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 para 𝑥 = 𝑐: 1 1 𝑐−𝑥 −𝑐 1 1 𝑥 𝑓 ′ (𝑐) = lim = lim 𝑥𝑐 = lim − = − 2 . 𝑥→𝑐 𝑥 − 𝑐 𝑥→𝑐 𝑥 − 𝑐 𝑥→𝑐 𝑥𝑐 𝑐 Entonces la ecuación de la recta tangente en todos y cada uno de los 1

puntos (𝑐, 𝑐 ) , con 𝑐 ≠ 0de la gráfica de esta función es 𝑦=

1 1 − 2 (𝑥 − 𝑐). 𝑐 𝑐

Ejercicios 1. Explique en términos de derivadas la relación entre el volumen de líquido que hay en un recipiente, en cada instante de tiempo, y un flujo no constante de agua que se vierte al recipiente. 2. Determine, en cada caso, la recta tangente a la gráfica de la función en el punto indicado, usando la definición de derivada: a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 en 𝑥 = 3 1

b. 𝑓(𝑥) = 3 − 𝑥 en 𝑥 = 2

c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 5 en 𝑥 = −1 2

d. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 en 𝑥 = 3 e. 𝑓(𝑥) = 1 + 3cos(𝑥) en 𝑥 = f. 𝑓(𝑥) = 2√1 + 𝑥 en 𝑥 = 3

𝜋 3

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

174

Cálculo de derivadas Usar cada vez la definición de derivada, que es un límite, no facilita los cálculos. Pero podemos obtener la forma de la derivada de algunas funciones básicas, y luego ver algunas reglas de derivación para cuando se mezclan funciones. En esta sección nos ocuparemos de calcular derivadas de funciones en todo punto en que existan, por lo que en vez de usar la notación 𝑓 ′ (𝑐) para la derivada, usaremos 𝑓 ′ (𝑥) donde se indica, de ser necesario, los valores de 𝑥 donde la fórmula sea válida. Derivadas de funciones conocidas Teorema (derivada de polinomios) 1. Para cada 𝑛 ∈ ℕ y todo 𝑥 ∈ ℝ se cumple (𝑥 𝑛 )′ = 𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛−1 2. Si 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑎3 ⋅ 𝑥 3 + 𝑎2 ⋅ 𝑥 2 + 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0 es un polinomio, entonces para todo 𝑥 ∈ ℝ ′

( 𝑝(𝑥)) = 𝑛 ⋅ 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 3 ⋅ 𝑎3 ⋅ 𝑥 3 + 2 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑥1 + 𝑎1 Ejemplos 1. (5𝑥 2 + 3𝑥 + 9)′ = 10𝑥 + 3 2. (2𝑥 7 + 12𝑥 5 − 𝑥 3 + 𝑥 + 33)′ = 14𝑥 6 + 60𝑥 4 − 3𝑥 2 + 1 3. (𝑥12 + 𝑥 9 + 𝑥 6 + 𝑥 3 + 81)′ = 12𝑥11 + 9𝑥 8 + 6𝑥 5 + 3𝑥 2

La regla para derivar las potencias que aparecen en un polinomio es válida para toda potencia de exponente constante: Teorema Para cada 𝑘 ∈ ℝ distinto de cero se cumple (𝑥 𝑘 )′ = 𝑘 ⋅ 𝑥 𝑘−1 para los valores adecuados de 𝑥. Ejemplos 2

′

3

2

2

3

1.

(𝑥 5 ) = 5 ⋅ 𝑥 −5 porque 5 − 1 = − 5

2.

(√ 𝑥 ) = 2

′

1

√

1

porque √𝑥 = 𝑥 2 y entonces 𝑥 ′

(√𝑥) =

1 ′ (𝑥 2 )

=

1 −1 1 1 ⋅𝑥 2 = 1 = 2 2𝑥 2 2√𝑥

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3



175



Usando la definición de derivada, se pueden calcular las derivadas de las funciones seno y coseno, exponencial y logartimo.



Veamos dos ejemplos, los demás casos quedan de ejercicio:

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ejemplo Calcule la derivada de coseno Solución lim

h→0

lim

h→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

= lim

𝑐𝑜𝑠(𝑥+ℎ)−𝑐𝑜𝑠(𝑥)

ℎ ℎ h→0 𝑐𝑜𝑠(𝑥)(cos(ℎ)−1)−𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(ℎ) ℎ

= lim

cos(𝑥) cos(ℎ)−𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(ℎ)−𝑐𝑜𝑠(𝑥) ℎ

h→0

= cos(𝑥) ⋅ lim

cos(ℎ)−1

ℎ→0

ℎ

− 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ lim

ℎ→0

=

𝑠𝑒𝑛(ℎ) ℎ

=

cos(𝑥) ⋅ 0 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ 1 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥).

Ejemplo Calcule Calcule la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 . Solución. Siguiendo la definición: 𝑒 𝑥+ℎ − 𝑒 𝑥 𝑒ℎ − 1 𝑓′(𝑥) = lim = 𝑒 𝑥 ⋅ lim , ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ 𝑒 ℎ −1 y sabemos de un teorema del capítulo anterior que lim ℎ = 1, por lo ℎ→0

tanto 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥 .

Teorema (Derivada de funciones básicas) Para cada 𝑥 en el respectivo dominio, se cumplen: (cos(𝑥))′ = −sen(𝑥) 1. (sen(𝑥))′ = cos(𝑥) 2. (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥 3. (𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 ⋅ ln(𝑎) para todo 𝑎 > 0 con 𝑎 ≠ 1, recordando que 4. 𝑎 𝑥 = 𝑒 𝑥⋅ln(𝑎) 1 (ln(𝑥))′ = 5. 𝑥 6.

(log 𝑎 (𝑥))′ =

1

𝑥⋅ln(𝑎)

para todo 𝑎 > 0 con 𝑎 ≠ 1, recordando que log 𝑎 (𝑥) =

ln(𝑥) ln(𝑎)

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

176

Ahora hay que establecer reglas de derivación que permitan derivar funciones con estructura más complejas, como

cos(2x+7) x 2 +5

.

Teorema (Reglas de derivación para aritmética de funciones) Sean 𝑓, 𝑔 dos funciones derivables ambas en 𝑥. Entonces: a) la función 𝑓 ponderada por un escalar es derivable y: (𝛼𝑓)′(𝑥) = 𝛼 ⋅ 𝑓′(𝑥). b) La función suma (o resta) de 𝑓(𝑥) con 𝑔(𝑥), es derivable y (𝑓 ± 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥). Estas dos primeras propiedades son conocidas como linealidad de la derivada. c) La función multiplicación 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) es derivable y (𝑓 ⋅ 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′ (𝑥). d) La función división de 𝑓 con 𝑔, es derivable si 𝑔(𝑥) ≠ 0 y (𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)) 𝑓 ′ ( ) (𝑥) = . 2 𝑔 (𝑔(𝑥)) Ejemplo Calcule la derivada de 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) ⋅ 𝑒 𝑥 . Solución Usaremos la regla de la multiplicación enunciada anteriormente para calcular la derivada de esta función: 𝑓′(𝑥) = (cos(𝑥))′ ⋅ 𝑒 𝑥 + cos(𝑥) ⋅ (𝑒 𝑥 )′ = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑒 𝑥 + cos(𝑥) 𝑒 𝑥 . Ejemplo Use la regla de la división para calcular la derivada de la función f(x) = tan(x).

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

177

Solución Sabemos que podemos reescribir la función tangente como el cociente entre las funciones seno y coseno, entonces: ′

𝑓

′ (𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥) = tan(𝑥) = ( ) cos(𝑥) (sen(𝑥))′ ⋅ cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ (cos(𝑥))′ = cos(𝑥)2 cos(𝑥) ⋅ cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ (−𝑠𝑒𝑛(𝑥)) 1 = = 2 cos(𝑥) cos(𝑥)2 = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) ′

Ejercicios. 1. Use las reglas de derivación para calcular la derivada de todas las funciones trigonométricas. 2. Calcule la función derivada de las siguientes funciones: a. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 2 + 3. b. 𝑓(𝑥) = 3sen(𝑥) c. 𝑓(𝑥) = 4 cos(𝑥) + 𝑒 𝑥 d. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 ⋅ cos(𝑥) + 𝑥 e. 𝑓(𝑥) =

cos(𝑥) sen(𝑥) (3𝑥 2

f. 𝑓(𝑥) = + 5𝑥 + 7)𝑒 𝑥 g. 𝑓(𝑥) = sen(𝑥)𝑒 𝑥 + 3𝑥 h. 𝑓(𝑥) = (4𝑥 3 + 7𝑥)(3𝑥 7 + 5𝑥) 1

i.

𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ cos(𝑥)

j.

𝑓(𝑥) = 𝑥 + sen(𝑥).

1

3. Para cada una de las siguientes funciones determine la recta tangente en el punto indicado: a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 4, 𝑥 = 3. b. 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) , 𝑥 = 𝜋. 𝜋 c. 𝑓(𝑥) = 3 ⋅ sen(𝑥) + 𝑥 2 , 𝑥 = 3 . 𝜋

d. 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) + sen(𝑥)𝑒 𝑥 , 𝑥 = 2 . e. 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 1)𝑒 𝑥 , 𝑥 = 0. f.

𝑒𝑥

𝜋

𝑓(𝑥) = sen(𝑥) , 𝑥 = 4 . 3

g. 𝑓(𝑥) = 𝑥 , 𝑥 = 3. 𝑥+1

h. 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 , 𝑥 = 2.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

178

Teorema Derivada de una composición de funciones (Regla de la cadena) Hasta ahora hemos aprendido a derivar, y por lo tanto a determinar la recta tangente, de distintas funciones, pero aún nos queda ver cómo podemos derivar expresiones más complejas, como por ejemplo: ℎ(𝑥) = 𝑒 2𝑥 ,

ℎ(𝑥) = (3𝑥 + 4)100 ,

ℎ(𝑥) = cos(3𝑥 2 )

La diferencia entre los ejemplos anteriores de estos 3 ejemplos y las derivadas que efectivamente hemos calculado hasta ahora es que estas funciones se forman vía una composición de dos o más funciones; esto es, se aplica una función a la imagen de otra. Continuando los ejemplos: a) 𝑒 2𝑥 es la composición de la función exponencial con la función 2𝑥. b) (3𝑥 + 4)100 es la composición de elevar a la potencia 100 con 3𝑥 + 4. c) cos(3𝑥 2 ) es la composición de la función coseno con la función 3𝑥 2 .

El siguiente teorema nos ayudará a derivar funciones compuestas, como las mostradas anteriormente:

Teorema. (Regla de la cadena) Sean 𝑦 = 𝑓(𝑢) y 𝑢 = 𝑔(𝑥). Si 𝑔 es derivable en 𝑥 y 𝑓 es derivable en 𝑢 = 𝑔(𝑥) , entonces la función compuesta 𝑓 ∘ 𝑔, definida por (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) es derivable en 𝑥, y se cumple (𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥).

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ejemplos a)

Calcule la derivada de ℎ(𝑥) = 𝑒 2𝑥 .

Solución En este caso, como ya mencionamos antes, la composición es de la función 𝑓(𝑢) = 𝑒 𝑢 y 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 2𝑥, entonces 𝑓′(𝑢) = 𝑒 𝑢 y 𝑔′(𝑥) = 2 y por lo tanto, ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥) = 𝑒 2𝑥 ⋅ 2 = 2 𝑒 2𝑥 .

b)

Calcule la derivada de ℎ(𝑥) = (3𝑥 + 1)100 .

Solución En este ejemplo podemos ver que la composición la realizan las funciones 𝑓(𝑢) = 𝑢100 y 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1, entonces la regla del a cadena dice que debemos derivar 𝑓 y evaluar esta función en 𝑔, y esto multiplicarlo por la derivada de 𝑔 respecto de 𝑥. Es decir: 𝑓 ′ (𝑢) = 100𝑢99 , 𝑔′ (𝑥) = 3 ⇒ ℎ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′ (𝑥) = 100(3𝑥 + 1)99 ⋅ 3 = 300(3𝑥 + 1)99 . c) Calcule la derivada de ℎ(𝑥) = cos(3𝑥 2 ), entonces como ya sabemos, la derivada de 𝑓(𝑢) = cos(𝑢) es 𝑓′(𝑢) = −𝑠𝑒𝑛 (𝑢) y la derivada de 𝑔(𝑥) = 3𝑥 2 es 𝑔′(𝑥) = 6𝑥, por lo que: ℎ′ (𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(3𝑥 2 ) ⋅ 6𝑥.

Ejercicios. Calcule, usando la regla de la cadena, la derivada de las siguientes funciones compuestas e indique en cada uno de los casos cuales son las funciones 𝑓 y 𝑔 que forman dicha composición.

1. ℎ(𝑥) = (3𝑥 + 7𝑒 𝑥 )100 2. ℎ(𝑥) = cos(𝑒 𝑥 )

179

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

180

3. ℎ(𝑥) = sen(𝑒 𝑥 ) ⋅ 𝑥 4. ℎ(𝑥) = 𝑒 𝑥

2 +1

5. ℎ(𝑥) = (𝑥 2 + 7𝑥) cos(𝑥 2 + 7𝑥) 𝑥+1

6. ℎ(𝑥) = (𝑥 2 +4𝑥+7)

37

7. ℎ(𝑥) = sen(3𝑥 2 + 𝑒 𝑥 ) ⋅ cos(3𝑥 + 4) 8. ℎ(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 1

9. ℎ(𝑥) = cos(𝑥) 1

10. ℎ(𝑥) = 𝑒 𝑥

También podemos usar la regla de la cadena para calcular la derivada de funciones que se forman por más de dos composiciones:

Ejemplo. 𝑥+1

Calcule la derivada en 𝑥 = 1, de la función ℎ(𝑥) = cos (𝑒 𝑥+2 ). Solución En este caso queremos determinar la derivada evaluada en 𝑥 = 1, dicho de otra manera, queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la 𝑥+1

gráfica de ℎ(𝑥) = cos (𝑒 𝑥+2 ) cuando 𝑥 = 1. Para esto sabemos que debemos usar la regla de la cadena, pero a diferencia de los ejemplos anteriores aquí hay una triple composición de funciones, entonces procederemos en dos pasos:

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

181

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

a)

𝑥+1

Calcularemos la derivada de 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑥+2 , es claro que 𝑔 es una 𝑥+1

composición de 𝑢(𝑥) = 𝑥+2 y 𝑒 𝑢 , por lo tanto, para derivar componemos 𝑥+1

la derivada de 𝑒 𝑢 , que es también 𝑒 𝑢 , y evaluamos en 𝑢(𝑥) = 𝑥+2 y luego 𝑥+1

multiplicamos por la derivada de 𝑢(𝑥) = 𝑥+2, que es

1 , (𝑥+2)2

entonces

tenemos que 𝑥+1

𝑔′ (𝑥) = 𝑒 𝑥+2 ⋅ b)

1 . (𝑥 + 2)2

Entonces estamos en condiciones de calcular la derivada de x+1

h(x) = cos (ex+2 ), 𝑥+1

𝑥+1

ℎ′ (𝑥) = −sen (𝑒 𝑥+2 ) ⋅ 𝑒 𝑥+2 ⋅

1 . (𝑥 + 2)2

c) Ahora, para terminar con el problema debemos evaluar la función derivada en x = 1: ℎ′(1) =

1+1 −sen (𝑒 1+2 )

⋅

1+1 𝑒 1+2

1

1 1 𝑒3 3) ⋅ ⋅ = −sen (𝑒 . (1 + 2)2 9

Así, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ℎ(𝑥) en el punto (1, ℎ(1)) es 𝑚=

1 −sen (𝑒 3 )

1

𝑒3 ⋅ . 9

Es posible extender la regla de la cadena a una triple composición, como acabamos de hacer, o a más composiciones, simplemente debemos descomponer la derivación en varios pasos y tratarlos con cuidado para no perder el orden de estas.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3



182

Ejemplo.

 

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

3𝑥+1 2014

Determine la recta tangente de la función ℎ(𝑥) = (2𝑥+3)

en el punto

𝑥 = 0. Solución Calculamos primero la derivada de la función, para luego evaluar en el punto y finalmente construir la recta tangente. 3𝑥+1 2014

a) si ℎ(𝑥) = (2𝑥+3)

, entonces podemos descomponerla en 𝑓(𝑢) =

3𝑥+1

𝑢2014 y 𝑔(𝑥) = 2𝑥+3, usando la derivada del cociente que aprendimos antes tenemos que: 𝑔′(𝑥) =

(3𝑥 + 1)′ ⋅ (2𝑥 + 3) − (3𝑥 + 1) ⋅ (2𝑥 + 3)′ 7 = 2 (2𝑥 + 3) (2𝑥 + 3)2

y 𝑓′(𝑥) = 2014 ⋅ 𝑢2013 . Con esto entonces tenemos que: ℎ

′ (𝑥)

3𝑥 + 1 2013 7 = 2014 ⋅ ( ) ⋅ . (2𝑥 + 3)2 2𝑥 + 3

b) Ahora , evaluando en 𝑥 = 0 para obtener la pendiente de la recta 1

tangente en el punto (0, ℎ(0)) = (0, 32014 ). 1 2013 7 14098 ℎ′(0) = 2014 ⋅ ( ) ⋅ = 2015 . 2 (3) 3 3

c) Con lo anterior estamos en condiciones de formular la recta 1

tangente en el punto (0, 32014 ): 𝑦−

1

32014

=

14098 (𝑥 − 0). 32015

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3



183

Derivadas de orden superior.

 

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Geométricamente la derivada surge como una manera de determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto de esta, pero eventualmente nos damos cuenta que la derivada es una función que valga la redundancia se obtiene de derivar otra función, con esto surge automáticamente la pregunta ¿podemos derivar la función derivada? Y una respuesta natural podría ser ¿por qué no? Aun no le daremos sentido a la derivada de la derivada de una función, o incluso la derivada de la derivada de la derivada de una función… y así sucesivamente, pero eventualmente tendrá sentido cuando hablemos de un problema concreto. Definición. Sea 𝑓 una función derivable, con derivada 𝑓 ′ , definimos la segunda derivada de 𝑓 como 𝑓′′(𝑥) = (𝑓′(𝑥))′ , y la tercera derivada 𝑓′′′(𝑥) = (𝑓′′(𝑥))′ y en general ′

𝑓 (𝑛) (𝑥) = (𝑓 (𝑛−1) (𝑥)) , como la derivada 𝑛-ésima de la función 𝑓. Si 𝑛 < 4 se usan comillas: 𝑓 ′ , 𝑓 ′′ y 𝑓 ′′′ . Si 3 < 𝑛 < 10, se usan números romanos (para que no parezcan potencias de la función): 𝑓 (𝑖𝑣) , 𝑓 (𝑣) , 𝑓 (𝑣𝑖) y así en adelante. También podemos escribir las derivadas de orden 𝑛 de una función de las siguientes maneras: 𝑑𝑛 𝑓 , 𝑑𝑥 𝑛

(𝑛) 𝐷𝑥 𝑓,

(𝑛) 𝐷𝑥 𝑦,

𝑑𝑛 𝑦 . 𝑑𝑥 𝑛

Ejemplo a)

calcule la segunda derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 .

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

 

Solución. La primera derivada de 𝑓 es 𝑓′(𝑥) = 2𝑥, y la derivada de esta es



DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

184

𝑓′′(𝑥) = 2. b)

Calcule la tercera derivada de 𝑓(𝑥) = cos(𝑥).

Solución. Ahora lo que tenemos que hacer es derivar 3 veces la función 𝑓(𝑥) = cos(𝑥). 𝑓 ′ (𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑓′′(𝑥) = − cos(𝑥), 𝑓′′′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Entonces la tercera derivada de 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) es 𝑓′′′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). c)

Calcule la segunda derivada de la función 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 3𝑥 + 7) cos(𝑥)

Solución. Aquí debemos ser cuidadosos pues para derivar la función debemos recurrir a la regla para derivar multiplicación de funciones: 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 3𝑥 + 7)′ ⋅ cos(𝑥) + (𝑥 2 + 3𝑥 + 7) ⋅ cos(𝑥)′ = (2𝑥 + 3) cos(𝑥) + (𝑥 2 + 3𝑥 + 7)(−𝑠𝑒𝑛(𝑥)), ′

𝑓′′(𝑥) = ((2𝑥 + 3) cos(𝑥) + (𝑥 2 + 3𝑥 + 7)(−𝑠𝑒𝑛(𝑥)))

= (2𝑥 + 3)′ ⋅ cos(𝑥) + (2𝑥 + 3) ⋅ cos(𝑥)′ − (𝑥 2 + 3𝑥 + 7)′ ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − (𝑥 2 + 3𝑥 + 7)𝑠𝑒𝑛(𝑥)′ = 2 cos(𝑥) + (2𝑥 + 3)(−𝑠𝑒𝑛(𝑥)) − (2𝑥 + 3)𝑠𝑒𝑛(𝑥) − (𝑥 2 + 3𝑥 + 7) cos(𝑥) = 2 cos(𝑥) − 2(2𝑥 + 3)𝑠𝑒𝑛(𝑥) − (𝑥 2 + 3𝑥 + 7) cos(𝑥).

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

d)

185 2

Calcule la tercera derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 .

Solución. Para la primera derivada usamos la regla de la cadena 2

𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥 ⋅ 2𝑥. Para la segunda derivada necesitamos nuevamente la regla de la cadena, pero también la regla de la derivada para la multiplicación de funciones: 2

2

2

2

𝑓 ′′(𝑥) = (𝑒 𝑥 )′ ⋅ 2𝑥 + 𝑒 𝑥 ⋅ (2𝑥)′ = (𝑒 𝑥 ⋅ 2𝑥) ⋅ 2𝑥 + 𝑒 𝑥 ⋅ 2 2

2

= 2𝑒 𝑥 + 4𝑥 2 𝑒 𝑥 . Y finalmente, 2

2

2

2

2

𝑓′′′(𝑥) = (2𝑒 𝑥 + 4𝑥 2 𝑒 𝑥 )′ = 2𝑒 𝑥 ⋅ 2𝑥 + 4(2𝑥𝑒 𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑥 ⋅ 2𝑥) 2

2

= 12𝑥𝑒 𝑥 + 8𝑥 3 𝑒 𝑥 . Ejercicios. Para los siguientes ejemplos determine la quinta derivada. a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 4. b) 𝑓(𝑥) = cos(𝜋𝑥) c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 sen(𝑥) d) 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 3𝑥 + 1) cos(𝜋𝑥 + 1) e) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 2 + 3) f) 𝑓(𝑥) = ln(𝑒 𝑥 + 2) g) 𝑓(𝑥) =

3𝑥+1 𝑥+3 𝑥+1

h) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥−1) + 𝑥 2 Podemos preguntarnos ¿qué sentido geométrico-físico tiene entonces la segunda derivada de la función 𝑓? Tenemos que 𝑓′(𝑡 + ℎ) − 𝑓′(𝑡) 𝑓′′(𝑥) = lim , ℎ→0 ℎ en este caso, la segunda derivada mide la tasa de cambio de la velocidad del móvil, este concepto es el que conocemos como aceleración.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

186

Ejemplo Considere un objeto que se mueve sobre el eje 𝑂𝑋 según la función 𝑓(𝑡) = 3𝑡 3 − 9𝑡 2 + 32𝑡 + 100[𝑘𝑚], donde 𝑡 está medido en horas. 𝑘𝑚

Determine en que momento la aceleración es igual a 12 [ ℎ2 ]. Solución Calculamos la velocidad para luego poder calcular la aceleración de este móvil:

𝑓 ′ (𝑡) = 9𝑡 2 − 18𝑡 + 32, 𝑓′′(𝑡) = 18𝑡 − 18. Entonces si queremos determinar en que instante la aceleración es igual a 12, entonces debemos resolver la ecuación; 5 18𝑡 − 18 = 12 ∴ 𝑡 = . 3 5

𝑘𝑚

Entonces, en el instante 𝑡 = 3 [ℎ] la aceleración es de 12 [ ℎ2 ]. Ejercicio Determine la aceleración de un móvil que se mueve sobre el eje 𝑂𝑋 y cuya función velocidad es: 1

a) 𝑣(𝑡) = 5𝑡 2 + 𝑡 , 𝑡 > 0. b) 𝑣(𝑡) = 4𝑒 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑡 ≥ 0. c) 𝑣(𝑡) =

cos(𝑡+3) 𝑡 2 +1

, 𝑡 ≥ 0.

d) 𝑣(𝑡) = 𝑒 cos(𝑡) , 𝑡 ≥ 0.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3



187

Derivación Implícita.

 

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Las rectas tangentes son un concepto geométrico y como tal no debería depender de si la construcción de la gráfica se realiza con una función o simplemente con una relación, por ejemplo una circunferencia ¿será posible determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 = 8, en el punto (2,2)?

¿cuál debería ser la estrategia correcta para resolver este problema? ¿podemos usar derivadas si 𝑦 no es función de 𝑥? (es importante hacer la aclaración de que en este caso no tenemos una función pues no cumple con la prueba de la recta vertical. Una opción podría ser despejar 𝑦 como una variable dependiente, usando además el hecho de que conocemos el punto donde se quiere calcular la recta tangente, y obtener: 𝑦(𝑥) = √8 − 𝑥 2 , (y no 𝑦 = −√8 − 𝑥 2 , por que estamos interesados en la recta tangente en el punto (2,2), es decir, 𝑦 = 2 > 0), y derivar: 𝑦′(𝑥) =

1 2√8 − 𝑥 2

⋅ (−2𝑥),

evaluando en 𝑥 = 2 obtenemos que la pendiente de la recta tangente es 𝑚 = −1, y por lo tanto, la recta tangente tiene ecuación 𝑦 = 2 + (−1)(𝑥 − 2). Pero ¿qué pasa en el caso de la gráfica definida por la relación que se muestra a continuación? 𝑦 3 + 𝑥 3 + 4𝑥𝑦 = 1 ¿será posible despejar 𝑦 = 𝑦(𝑥)?

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

188

A simple vista la respuesta es: no, no es posible despejar explícitamente 𝑦 como función de 𝑥. Pero de todas maneras debería ser posible determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica para, por ejemplo, el punto (1,0). Ahora, supongamos que si es posible definir 𝑦 = 𝑦(𝑥) y usando la regla de la cadena derivamos la expresión anterior, el primer paso es derivar la expresión 𝑦 3 , para eso lo primero es no olvidar que 𝑦 depende tácitamente de 𝑥 y como tal debe ser derivada como una función de la variable independiente, entonces usando la regla de la cadena tenemos: (𝑦 3 )′ = 3𝑦 2 ⋅ 𝑦′, siguiendo con las reglas de derivación tenemos: (𝑥 3 )′ = 3𝑥 2 , (4𝑥𝑦)′ = 4𝑦 + 4𝑥𝑦′, 1′ = 0. Entonces si derivamos la expresión completa 𝑦 2 + 𝑥 3 + 4𝑥𝑦 = 1, obtendremos: 3𝑦 2 ⋅ 𝑦′ + 3𝑥 2 + 4𝑦 + 4𝑥𝑦′ = 0. De donde podemos concluir que para un punto (𝑥0 , 𝑦0 ) de la gráfica de la expresión 𝑦 2 + 𝑥 3 + 4𝑥𝑦 = 1, la pendiente de la recta tangente viene dada por: 3𝑥0 2 + 4𝑦0 𝑦′(𝑥0 , 𝑦0 ) = − 4𝑥0 + 3𝑦02 Siempre que 3𝑦02 ≠ −4𝑥0 . Por lo tanto, en el punto (1,0) la pendiente de la recta tangente es 𝑚 = 3

− 4, y la recta tangente tiene ecuación: 3 𝑦 − 0 = − (𝑥 − 1). 4 Notemos que en el ejemplo de la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 = 8, podemos realizar el mismo proceso de derivar la igualdad usando la regla de la cadena, y obtendremos: 2𝑥 + 2𝑦𝑦′ = 0, y por lo tanto la pendiente de la recta tangente en el punto (𝑥0 , 𝑦0 ) es

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

189

 𝑚=−

 

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

𝑥0 , 𝑦0

siempre y cuando 𝑦0 ≠ 0. Para el punto (2,2) (como se hizo anteriormente) la pendiente es 𝑚 = −1 (como antes) y por lo tanto la recta tangente es: 𝑦 = 2 − 1(𝑥 − 2), igual a la que se obtuvo usando el proceso usual de derivación. Al proceso de derivación que acabamos de aprender, donde no es posible despejar la variable dependiente 𝑦 explícitamente como función de la variable dependiente 𝑥, se le conoce como derivación implícita.

Ejemplos a) Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 + 8𝑦 = 0, en el punto (1, −1). Solución. Derivando implícitamente la expresión obtenemos: 2𝑥 + 2𝑦𝑦′ + 6 + 8𝑦′ = 0 y reemplazando 𝑥 = 1 e 𝑦 = −1: 4 2 + 2(−1)𝑦′(1, −1) + 6 + 8𝑦′(1, −1) = 0 ⇒ 𝑦′(1, −1) = − . 3 Y por lo tanto la recta tangente tiene ecuación: 4 𝑦 = −1 − (𝑥 − 1). 3

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

b) Determine la recta tangente en 𝑥 = −1 para la relación 4𝑥 3 + 5𝑦 2 = 1. Solución. Primero estableceremos que hay dos valores de 𝑦 para 𝑥 = −1, pues la expresión 4𝑥 3 + 5𝑦 2 = 1 no determina a 𝑦 como función de 𝑥. Si 𝑥 = −1, entonces tenemos que: −4 + 5𝑦 2 = 1 ⇒ 𝑦 2 = 1 ⇒ 𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = −1. Entonces para dar una respuesta completa debemos mostrar las dos rectas tangentes asociadas a 𝑥 = −1.

Aplicamos derivación implícita a la expresión que define la gráfica: 6𝑥 2 12𝑥 + 10𝑦𝑦′ = 0 ⇒ 𝑦′ = − , 5𝑦 2

Para valores de 𝑦 ≠ 0, pues en aquellos puntos la derivada se indefine, y como podemos ver en la gráfica, la recta tangente en ese punto es vertical:

190

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

191

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Entonces, para 𝑥 = −1 e 𝑦 = 1 la recta tangente tiene una pendiente 6

𝑚 = − 5, y por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: 6 𝑦 = 1 − (𝑥 + 1), 5

por otro lado, para el punto (−1, −1), que está por debajo del eje 6

horizontal, tenemos que la recta tangente tiene pendiente 𝑚 = 5 y ecuación: 6 𝑦 = −1 + (𝑥 + 1). 5 Ejercicios. En los siguientes problemas determine la recta tangente a la gráfica que define cada una relaciones en el (o los) punto(s) indicado(s). a) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 5 en (1, −2) b) 𝑦 2 + 3𝑥 = 0 en (−3,3) 1

c) 𝑥 2 + 9𝑦 2 = 1 en (0, 3) d) 3𝑥𝑦 + cos(𝑥𝑦) = 𝑥 en (1,0) e) 𝑥 3 + 𝑦 3 = 16 en (2,2)

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

192

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ya hablamos de cómo la derivada se puede interpretar como la medición de la velocidad cuando la función 𝑓 representa una medición de distancia. Podemos dar otras interpretaciones para distintos modelos.

Función de costos: Diremos que 𝐶(𝑥) es la función de costos de una firma cuando nos entrega el costo asociado a producir 𝑥 cantidad del bien de producción de la firma, por ejemplo: Si 𝐶(𝑥) = 𝑥 + 2 podemos interpretar que 2 es el costo fijo de la firma, que no importa si se producen 5 o 1000 unidades del bien de producción, hay un costo de 2 que siempre estará, por ejemplo arriendo del lugar donde opera la fábrica, sobre eso cuesta 𝑥 producir 𝑥 unidades, en el fondo, cada unidad cuesta 1, ¿no?

¿Cómo podemos interpretar 𝐶′(𝑥)?

Matemáticamente 𝐶′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝐶(𝑥+ℎ)−𝐶(𝑥) ℎ

, midiendo a que costo se

produce una unidad más, por ejemplo, para la función de costos 𝐶(𝑥) = 𝑥 + 2 producir 3 unidades cuesta 5, producir 4 unidades vale 6, producir 5 unidades vale 7, y así sucesivamente. Entonces ¿cuánto vale producir una unidad más? Para el caso específico de esta función de costos, la producción de una unidad más es siempre 1, o dicho de otra manera, la producción de una unidad extra tiene un costo extra- de 1. A la función 𝐶′(𝑥) le llamaremos costo marginal, pues nos dice cuanto cuesta una unidad en el margen.

Veamos otro ejemplo, consideremos una función de costos de la forma 𝐶: [0, ∞[ → ℝ definida por 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 . La función costo marginal asociada a esta función de costos la podemos obtener derivando, es decir: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶′(𝑥) = 2𝑥.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

193

Por lo que deducimos que si la producción es de 100, el costo de una unidad extra es de 200 unidades monetarias, pero si la producción es de 1000, entonces la producción de una unidad extra es de 2000 (mucho más caro que en el caso en que se producen 100), en este caso el dueño de la firma tiene que tener un muy buen precio para que le interese producir una unidad más pues el costo marginal es altísimo comparado con bajos niveles de producción.

Probablemente una buena acotación en este momento es decir que costos altos o bajos siempre dependerán del precio de venta del bien, por ejemplo no son lo mismo los costos de construir una casa que los costos de producir una caja de fósforos. Ejercicios Calcule la función de costo marginal de las siguientes funciones de costos. a) 𝐶(𝑥) = 𝑒 𝑥 . b) 𝐶(𝑥) = ln(𝑥 + 4). c) 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥. d) 𝐶(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥 + 4). e) 𝐶(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑒 𝑥 + 3. f) 𝐶(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑒 𝑥 ¿Cambian en algo los costos marginales de esta función respecto de la anterior? ¿por qué?.

Cuando el empresario decide abrir una fábrica debe tener en cuenta el costo del bien de producción, pero también el precio de venta de este. Nunca debemos perder de vista que lo que prevalece en la visión del empresario es ganar dinero, por lo tanto el precio al que se vende el bien debe ir en línea con este factor clave en toda empresa. Ingresos Hemos analizado los costos de la firma, pero para que una empresa funcione no solo debe salir dinero, también debe ingresar. Definimos la función de ingresos como la cantidad de dinero que recibe la firma cuando se venden 𝑥 unidades del bien de producción. Si el precio de venta es 𝑝 entonces la función de ingresos viene dada por: 𝐼(𝑥) = 𝑝 ⋅ 𝑥.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

194

El ingreso marginal se define como la razón de cambio del valor total recibido, con respecto al número total de unidades vendidas. Ejemplo Supóngase que un fabricante vende un producto a $2 por unidad. Si se venden q unidades, el ingreso total está dado por 𝑟 = 2𝑞 La función de ingreso marginal es 𝑟′ = 2 que es una función constante. Entonces, el ingreso marginal es igual a 2 sin importar el número de unidades vendidas. Esto es lo que esperaríamos, ya que el fabricante recibe $2 por cada unidad vendida. Llamaremos función de utilidad a las ganancias que genera la producción y posterior venta de un bien de consumo. Supongamos que en una firma la producción de 𝑥 unidades del bien de consumo tiene un costo de 𝐶(𝑥) y el precio de venta es 𝑝, entonces, ¿cuál es la función de utilidades de la firma?. La función de utilidades de la firma viene dada por la resta entre el ingreso y los costos, es decir, 𝐺(𝑥) = 𝑝 ⋅ 𝑥 − 𝐶(𝑥). Para los ejemplos anteriores, las funciones de ganancia son: a) 𝐶(𝑥) = 𝑥 + 2, entonces 𝐺(𝑥) = 𝑝𝑥 − 𝑥 − 2. b) 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 , entonces 𝐺(𝑥) = 𝑝𝑥 − 𝑥 2 . La utilidad marginal es la noción que ordena el valor, es decir el significado que otorga un agente económico a un bien por cada unidad adicional del mismo que obtiene, entendida como medio para alcanzar sus fines. Cada unidad adicional equivalente de un bien será asignada a un fin de menor prioridad que la anterior. El concepto de utilidad marginal aclara el viejo enigma del agua y los diamantes. El precio de un bien se define a través de su utilidad marginal, no a través de la utilidad objetiva. Allí donde el agua está disponible en abundancia, su utilidad marginal es baja; la utilidad marginal de los diamantes es alta a causa de su rareza, pero se pueden invertir los papeles. Este enunciado aclara la observación diaria de que la oferta repentina amplia de un bien -por ejemplo, tomate- en general conduce a una caída de su precio.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

195

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Otras aplicaciones Ejemplo Considere una escalera de largo fijo 𝐿 que está apoyada en una pared vertical, en un instante la escalera comienza a resbalar

𝐿

Cuando el extremo inferior de la escalera va en el punto (0, 2) este 𝑚

extremo lleva una velocidad de 𝑣0 [ 𝑠 ], ¿cuál es la velocidad del extremo superior de la escalera? Solución Primero necesitamos una relación entre las dos variables, sabemos que la escalera tiene largo 𝐿, y por lo tanto, la distancia entre los dos extremos es 𝐿, es decir: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝐿2 . Notemos que tanto la posición vertical como la horizontal son funciones de la variable tiempo (𝑡) que está implícitamente en este problema, es decir: 𝑥(𝑡)2 + 𝑦(𝑡)2 = 𝐿2 , y derivando respecto de 𝑡 a ambos lados de la ecuación obtenemos una relación entre las velocidades de caída del extremo superior, y la velocidad horizontal del extremo inferior:

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

196

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

2𝑥(𝑡) ⋅ 𝑥′(𝑡) + 2𝑦(𝑡) ⋅ 𝑦′(𝑡) = 0 ⇒ 𝑦′(𝑡) = −

𝑥(𝑡) ⋅ 𝑥′(𝑡), 𝑦(𝑡)

𝐿

Llamamos 𝑡0 al momento cuando 𝑥 = 2, y usando la ecuación que relaciona las dos variables, tenemos que 𝑦(𝑡0 ) =

√3 𝐿, 2

y entonces

𝐿 √3 𝑦′(𝑡0 ) = − 2 ⋅ 𝑣0 = 𝑣 . 3 0 √3 2 𝐿 Y por lo tanto, la velocidad con la que desciende el extremo superior de la escalera es

√3 𝑣 . 3 0

Ejemplo Se vierte café en un vaso de forma cónica de diámetro inferior 3𝑐𝑚𝑠, diámetro superior de 5𝑐𝑚𝑠 y altura 5 𝑐𝑚𝑠. Se vierte café en el vaso a razón de 2 𝑐𝑚𝑠 3 por minuto. Determine con que velocidad aumenta la altura del café cuando esta es de 3 𝑐𝑚𝑠. Solución. El volumen de un cono circular truncado de estas características es 𝑉=

1 2 49 (3 + 3 ⋅ 5 + 52 ) ⋅ ℎ = ℎ. 3 3

Si derivamos respecto del tiempo obtendremos: 𝑉′(𝑡) =

49 ℎ′(𝑡). 3

En el instante 𝑡0 ocurre la altura ℎ = 3, y entonces: 𝑉′(𝑡0 ) =

49 ℎ′(𝑡0 ), 3

sabiendo que el volumen aumenta a razón de 𝑐𝑚𝑠 3 por minuto, entonces 2=

49 ℎ′(𝑡0 ), 3 6

𝑐𝑚𝑠

por lo tanto, la altura cambia a una tasa de 49 [ 𝑠𝑒𝑔 ].

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Crecimiento y decrecimiento. En muchas ocasiones nos interesará conocer el máximo y/o mínimo de una función –en caso de que estos existan-, y para esto necesitamos comprender el concepto de crecimiento de una función. Definición Sea 𝑓 una función a valores reales definida en el intervalo ]𝑎, 𝑏[. Diremos que: a) 𝑓 es creciente en ]𝑎, 𝑏[ si cada vez que 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ]𝑎, 𝑏[ y 𝑥1 < 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 ). b) 𝑓 es estrictamente creciente en ]𝑎, 𝑏[ si cada vez que 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ]𝑎, 𝑏[ y 𝑥1 < 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ). c) 𝑓 es decreciente en ]𝑎, 𝑏[ si cada vez que 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ]𝑎, 𝑏[ y 𝑥1 < 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 ). d) 𝑓 es estrictamente decreciente en ]𝑎, 𝑏[ si cada vez que x1 , x2 ∈ ]𝑎, 𝑏[ y x1 < x2 entonces 𝑓(x1 ) > 𝑓(x2 ).

Ejemplo El gráfico de 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 es

De la definición anterior, es claro que la gráfica de esta función es estrictamente creciente a la derecha del origen, es decir, 𝑓 crece en ]0, ∞ [, y decrece estrictamente en ]−∞, 0[.

197

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Es importante recalcar que crecimiento puede ser leído también como no decrecimiento pues este acepta que la función sea constante en el tramo de interés, por ejemplo la función que se muestra a continuación:

es creciente en todo el dominio (todo el conjunto de números reales) pero no es estrictamente creciente en el intervalo (0,3) donde es constante, de hecho la formulación algebraica de esta función es: −𝑥 2 + 3 𝑥 ∈ ]−∞, 0[ 3 𝑥 ∈ [0,4] 𝑓(𝑥) = { (𝑥 − 4)2 + 3 𝑥 ∈ ]4, ∞[ Pero si podemos decir que es estrictamente creciente en ]−∞, 0[ y también en 𝑥 ∈ ]4, ∞[. Volvamos por un instante al problema del empresario que enfrenta una función de costos 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 y un precio de venta 𝑝 = 6, dijimos que el empresario tiene como meta ganar dinero, y parece natural pensar que realmente el objetivo de él debería ser ganar la mayor cantidad de dinero posible. La función de ingreso de este empresario es 𝐼(𝑥) = 6𝑥 y como la función de costos es 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 , entonces la función de ganancias viene dada por la expresión: 𝐺(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥 2 , es obvio del contexto que 𝑥 no puede tomar valores negativos, y tampoco la función 𝐺, pues en ese caso el empresario tendría ganancias negativas (lo cual no tiene sentido y es mejor cerrar la empresa). Si graficamos la función de ganancias de este empresario obtenemos:

198

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Vemos que la función ganancia es creciente desde (0,0) hasta el vértice de la parábola, que en éste ejemplo está ubicado en el punto (0,3), y luego decrece desde el vértice hasta el punto (6,0). Esto se puede interpretar de la siguiente manera, supongamos que el empresario decide producir 1 unidad, con eso ganará (bajo el supuesto de que venderá toda la producción) 𝐺(1) = 6 ⋅ 1 − 12 = 5 unidades monetarias, pero como la función es creciente en el punto (1,5) entonces le conviene producir más pues sus ganancias aumentarán. Por otro lado, si decidiera producir 5 unidades, entonces sus ganancias serían 𝐺(5) = 6 ⋅ 5 − 52 = 5 unidades monetarias, y si decidiera producir más estaría cometiendo un error pues la función a la derecha del vértice es decreciente, esto es, si nos movemos a la derecha en el gráfico entonces estaremos más abajo y, por ende, con menores ganancias. ¿Hay una relación entre el crecimiento y la derivada? Si, hay una estrecha relación entre el crecimiento y la derivada, el signo de la derivada está totalmente determinado por el crecimiento de la función, en efecto:

Teorema: Sea 𝑓 una función derivable en ]𝑎, 𝑏[, entonces: a)

𝑓 es creciente en ]𝑎, 𝑏[ si 𝑓′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[.

b)

𝑓 es decreciente en ]𝑎, 𝑏[ si 𝑓′(𝑥) < 0 para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[.

199

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

200

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Volviendo al problema del empresario, nos es claro del gráfico que la función es creciente en ]0,3[, calculamos su derivada para verificar el teorema: 𝑓′(𝑥) = 6 − 2𝑥 = 2(3 − 𝑥), La función 𝑓′(𝑥) = 6 − 2𝑥 es positiva para 𝑥 < 3, y por lo tanto 𝑓 es creciente; la función 𝑓′(𝑥) = 6 − 2𝑥 es negativa para 𝑥 > 3, y por lo tanto 𝑓 es decreciente.

¿Cuál es el nivel de producción que debería alcanzar este empresario? Es claro que en ninguna punto inferior a el nivel de producción de 3 unidades, pues en ese lado de la función ganancia la pendiente es positiva, es decir, si produce un poco más ganará más; de la misma forma no debería hacerlo más a la derecha de 3, pues al hacerlo se sitúa en una zona de decrecimiento y por lo tanto toda variación positiva en el nivel de producción lo hará ganar menos dinero, lo que tampoco es “óptimo” por parte del empresario. Ejemplos. a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 − 1. Solución. Como se explica en el teorema, los intervalos de crecimiento son aquellos donde la derivada tiene signo positivo, por lo que debemos partir calculando la derivada para esta función: 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 3. 3

𝑓′(𝑥) > 0 cuando 2𝑥 + 3 > 0 y eso es para 𝑥 ∈ ]− 2 , ∞[ y por lo tanto

la función es creciente en ese intervalo. Dado lo anterior, 𝑓′(𝑥) < 0 3

cuando 2𝑥 + 3 < 0 y eso es para 𝑥 ∈ ]−∞, − 2[ y por lo tanto la función es decreciente en ese intervalo.

En el caso de una función cuadrática, como la de este ejemplo, el punto donde el crecimiento cambia (ya sea de creciente a decreciente o viceversa) es en el vértice de la función, que es el mismo punto donde la derivada cambia de signo. b) Sea 𝑓: ]0,2𝜋[ → ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) = sen(𝑥),

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

201

determine los intervalos donde la función es creciente. Solución. La derivada de la función seno es la función coseno, por lo tanto, en este problema debemos determinar donde coseno es positivo en el intervalo relevante, es decir, ¿donde cos(𝑥) es positivo para 𝑥 ∈ ]0,2𝜋[?

𝜋

Según lo aprendido en cursos previos, cos(𝑥) > 0 si y solo si 𝑥 ∈ ]0, 2 [ ∪ 3𝜋

] 2 , 2𝜋[. Esto lo podemos corroborar mirando la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = sen(𝑥):

c) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 . Solución. La derivada de la función exponencial, como ya vimos anteriormente, es la misma función, es decir: 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥 , y como sabemos esta función es siempre positiva, por lo tanto, siempre creciente. Dicho de otra manera, el intervalo de crecimiento de 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 es ℝ. Lo anterior se confirma observando su gráfica:

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

d) Determine los intervalos de crecimiento de 𝑓: ]0,2𝜋[ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑒 cos(𝑥) . Solución. Para decidir cuáles son los intervalos de crecimiento de esta función debemos, como ya sabemos, calcular su primera derivada, y para esto necesitamos recordar la regla de la cadena: 𝑓′(𝑥) = 𝑒 cos(𝑥) ⋅ (cos(𝑥))′ = 𝑒 cos(𝑥) ⋅ (−sen(𝑥)), la función 𝑒 cos(𝑥) es siempre positiva (pues la exponencial lo es), entonces los cambios de crecimiento vienen definidos por los cambios en el signo de – sen(𝑥). Como estamos interesados en los intervalos de crecimiento de 𝑓 entonces buscamos donde – sen(𝑥) es positiva, y por lo tanto, donde sen(𝑥) es negativo, como sabemos, la función seno es negativa en ]𝜋, 2𝜋[, y por lo tanto 𝑓 es creciente en ]𝜋, 2𝜋[. Podemos verificar nuestro análisis en la siguiente gráfica:

202

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

203

Definición. a) Diremos que una función derivable es cóncava hacia arriba en el intervalo ]𝑎, 𝑏[ si su derivada, 𝑓’, es creciente en ]𝑎, 𝑏[. b) Diremos que una función derivable es cóncava había abajo en el intervalo ]𝑎, 𝑏[ si su derivada, 𝑓’, es decreciente en ]𝑎, 𝑏[

Note que una recta es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo a la vez. Ejemplo La función 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥| es cóncava hacia arriba, en efecto la derivada es -1 en el intervalo ]−∞, 0[ y es 1 en el intervalo ]0, ∞[, por lo que la función derivada es una función creciente en su dominio, lo que implica que la función es cóncava hacia arriba. Ejemplo La función 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 es cóncava hacia arriba en todo su dominio como se observa en la siguiente gráfica:

Observamos que la forma de la función es como una U que es la forma que tienen las funciones cóncavas hacia arriba. Siendo rigurosos con la definición de concavidad calculamos la primera derivada: 𝑓′(𝑥) = 2𝑥, y para ver si esta función es creciente debemos calcular su derivada, es decir, la segunda derivada de 𝑓: 𝑓′′(𝑥) = 2 > 0, y como la segunda derivada de 𝑓 es positiva, entonces 𝑓’ es una función creciente y, por lo tanto, 𝑓 es cóncava hacia arriba.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ejemplo Muestre que 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 es cóncava hacia abajo. Solución. Viendo la gráfica vemos claramente que está función se abre hacia abajo en todo el dominio:

Pero no basta con ver en la gráfica se cumple la condición planteada y debemos ir a la definición de concavidad, para eso calculamos la primera derivada, y luego para ver si esta es creciente (pues en este caso existe la segunda derivada) usamos su derivada: 𝑓′(𝑥) = −2𝑥 ⇒ 𝑓′′(𝑥) = −2 < 0, La primera derivada es una función decreciente (pues su derivada es negativa) y por lo tanto la función 𝑓 es cóncava hacia abajo en todo su dominio. Ejemplo Determine en que intervalos la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 es cóncava hacia arriba y en que intervalos es cóncava hacia abajo, y sus puntos de inflexión, si tuviera. Solución. Calculamos las derivadas

204

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 − 1 ⇒ 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥. Para analizar el crecimiento de 𝑓′ analizamos los signos de 𝑓′′, esta función es positiva en ]0, ∞[ y negativa en ]−∞, 0[, por lo tanto, 𝑓 es cóncava hacia arriba en ]0, ∞[ y cóncava hacia abajo en ]−∞, 0[. De hecho podemos observar de su gráfica el análisis que acabamos de hacer:

Concluimos que la función tiene un punto de inflexión en 𝑥 = 0. Algunos de los ejemplos anteriores nos muestran que una manera de ver si conocer la concavidad de una función es mirando el signo de su segunda derivada, pero eso solo sirve en el caso que la función sea dos veces derivable, de hecho, podemos escribir el siguiente teorema. Teorema Sea 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ, una función dos veces derivable en ]𝑎, 𝑏[. Si 𝑓′′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[, entonces la función 𝑓 es cóncava hacia arriba en ese intervalo. Si por el contrario, 𝑓′′(𝑥) < 0 para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[ entonces la función 𝑓 es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

Definición. Diremos que el punto 𝑥 = 𝑐, en el dominio de 𝑓, es un punto de inflexión de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) si la función es cóncava hacia arriba a un lado de 𝑐 y cóncava hacia abajo hacia el otro lado.

205

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ejemplo La función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 tiene un punto de inflexión en 𝑥 = 0. De hecho, es el único punto de inflexión de esta función. Ejemplo La función 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) tiene infinitos puntos de inflexión, podemos darnos cuenta de ello observando su gráfica:

pero además podemos ver que la segunda derivada de la función es 𝑓′′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) la cual tiene infinitos cambios de signo, que se traducen en cambios de la concavidad. Ejercicio Indique cuales son los intervalos donde las siguientes funciones son creciente, decrecientes, cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo, y sus puntos de inflexión, si tuviera. a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 + 7 b) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 2𝑥 2

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −1 d) 𝑓(𝑥) =

𝑥2 √𝑥+1

e) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 f) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑥3

g) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1 𝑥

h) 𝑓(𝑥) = 1+𝑥 2

206

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

207

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Máximos y Mínimos. Volvamos ahora al problema de empresario, hemos dicho que el empresario busca ganar dinero, pero en realidad lo que él busca es maximizar las ganancias, es decir, decidir un nivel de producción en el cuál esté ganando lo más posible y no tenga incentivos para cambiar su decisión de producción. En el ejemplo anterior (con función de ganancias 𝐺(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥 2 ), si el empresario decidiera producir 2 unidades ganaría 8 unidades monetarias, pero es claro que por estar en una zona creciente de la función de ganancias, si se mueve un poco a la derecha en la decisión de producción entonces ganará más, es decir, tiene incentivos para decidir otra cantidad a producir. Lo mismo pasa si decidiera producir 5 unidades, por estar en la zona decreciente de la función se da cuenta que la decisión de producción debería ser menor que 5 y tiene incentivos para decidir un nivel de producción menor.

Definición Diremos que 𝑓: ]𝑎, 𝑏[ → ℝ tiene un máximo global en 𝑥 = 𝑥0 si para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[ 𝑓(𝑥0 ) ≥ 𝑓(𝑥). Diremos que 𝑓: ]𝑎, 𝑏[ → ℝ tiene un mínimo global en 𝑥 = 𝑥0 si para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[ 𝑓(𝑥0 ) ≤ 𝑓(𝑥). En nuestro ejemplo, el punto más alto de la función de ganancias es el vértice de la parábola, y por lo tanto, ahí está el máximo de la función. En la gráfica se puede observar que tanto a la derecha del vértice como a la izquierda los valores son menores que 𝐺(3) = 6 ⋅ 3 − 32 = 9. Cuando el empresario decide producir 3 unidades (y por consiguiente ganar 9) no tiene ninguna intención ni incentivo a cambiar su decisión pues tanto a la derecha como a la izquierda las ganancias serán menores. Ejemplos. a) La función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 tiene un mínimo global en 𝑥 = 0, y este mínimo vale 𝑓(0) = 0.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

208

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

b) La función 𝑓: ]−1,1[ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 tiene un máximo global en 𝑥 = −

√3 3

y un mínimo global en 𝑥 =

√3 . 3

Definición. Sea D el dominio de la función 𝑓 que contiene al punto 𝑐. Diremos que: a) 𝑓(𝑐) es un valor máximo local si existe un intervalo ]𝑎, 𝑏[ que contiene a 𝑐 tal que 𝑓(𝑐) es el valor máximo de 𝑓 en el intervalo ]𝑎, 𝑏[. b) 𝑓(𝑐) es un valor mínimo local si existe un intervalo ]𝑎, 𝑏[ que contiene a 𝑐 tal que 𝑓(𝑐) es el valor mínimo de 𝑓 en el intervalo ]𝑎, 𝑏[. c) 𝑓(𝑐) es un valor extremo local de 𝑓, si es un mínimo local o un máximo local.

Ejemplo. La función 𝑓: [−10,10] → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 tiene un máximo local en 𝑥 = −

√3 3

que vale

2√3 3

, y un mínimo local en 𝑥 = −

√3 3

2√3

que vale − 3 , pero es evidente que 𝑓(10) = 990 y 𝑓(−10) = −990 son, respectivamente, el máximo y mínimo globales de la función. Lo importante para que un punto (𝑐, 𝑓(𝑐)) sea un extremo local es que exista un intervalo alrededor de 𝑐 donde 𝑓(𝑐) sea el punto más alto o más bajo (según corresponda). La pregunta en este minuto es ¿cómo podemos determinar los máximos y mínimos globales?

Necesitamos primero un criterio para determinar los candidatos a extremo (ya sea máximo, mínimo, local o global), para eso tenemos el siguiente teorema:

Teorema: Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función tal que el punto 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏]. Si (𝑐, 𝑓(𝑐)) es un punto extremo, entonces 𝑐 debe ser un punto crítico, es decir:

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

209

a) 𝑐 es un punto frontera del intervalo [𝑎, 𝑏], esto es, 𝑐 = 𝑎 o 𝑐 = 𝑏. b) 𝑓′(𝑐) = 0, en este caso lo llamamos punto estacionario. c) 𝑓′(𝑐) no existe, en este caso lo llamamos un punto singular.

Ejemplo Sea 𝑓: [−1,3] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥|.

Podemos ver de la gráfica que en 𝑥 = −1 hay un máximo local, que vale 1, pero no es un máximo global pues 𝑓(3) = 3 es el punto más alto de la gráfica. En ambos casos lo que tenemos es un punto fronterizo, por lo que en este ejemplo los dos puntos fronterizos son puntos críticos. Por otro lado, la derivada en 𝑥 = 0 no existe, por lo que, 𝑥 = 0 también es un punto crítico, de hecho es un mínimo local y global de la función. Ejemplo Sea 𝑓: [0, 𝜋] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), automáticamente 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝜋 son puntos críticos, pero además notamos que para esta función la derivada siempre existe en el intervalo (0, 𝜋) por lo que no hay puntos singulares, pero como su derivada es: 𝑓′(𝑥) = cos(𝑥) 𝜋

y esta se anula en 𝑥 = 2 , entonces tenemos un punto estacionario. En resumen esta función tiene 3 puntos críticos. Ejemplo Sea 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , esta función crece sin límite cuando 𝑥 → ∞, y decrece sin límite cuando 𝑥 → −∞, pero además tiene un punto estacionario, pues: 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 = 0 ⇔ 𝑥 = 0,

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

210

ese punto estacionario está en 𝑥 = 0, por lo tanto es un punto crítico, pero ¿es un extremo? Necesitamos un criterio que nos diga si un punto crítico es o no un extremo de la función. Notemos que la derivada de esta función es siempre no negativa, por lo que nunca decrece. Ahora damos dos criterios para decidir si un punto crítico es o no un extremo de la función. Teorema (criterio de la primera derivada). Si (𝑐, 𝑓(𝑐)) es un extremo local, entonces: a) si 𝑓 ′ es positiva a la izquierda de 𝑐 y negativa a la derecha, entonces en 𝑥 = 𝑐 se produce un máximo local. b) si 𝑓 ′ es negativa a la izquierda de 𝑐 y positiva a la derecha, entonces en 𝑥 = 𝑐 se produce un mínimo local.

Continuando los ejemplos anteriores: Ejemplo Para 𝑓: [−1,3] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥|, a la derecha de 𝑥 = 0 la derivada es negativa y a su derecha es positiva, por lo que el punto crítico es efectivamente un extremo, en efecto es un mínimo, por otro lado, para los puntos fronterizos: en 𝑥 = −1, a su derecha la función decrece, por lo tanto es un máximo local; y en 𝑥 = 3, por su izquierda la función crece, por lo que también es un máximo local. Notamos que hay un solo mínimo local que es además mínimo global de la función; en el caso de los máximos locales claramente no hay puntos más altos que 𝑓(3) = 3, por lo que este es el máximo global de la función. Ejemplo 𝑓: [0, 𝜋] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), los extremos son: fronterizos 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝜋, donde a la derecha de 0 la función crece, por lo que es un mínimo local, y en 𝑥 = 𝜋, a su izquierda la función decrece, por lo que 𝜋

también es un mínimo local; para el punto estacionario 𝑥 = 2 , la derivada la izquierda es positiva y a la derecha es negativa, por lo que estamos en presencia de un máximo local. Entonces tenemos dos mínimos locales, 𝜋 que valen lo mismo 𝑓(0) = 𝑓(𝜋) = 0, y un máximo local en 𝑥 = 2 que 𝜋

vale 𝑓 ( 2 ) = 1, en este caso, ambos mínimos locales son mínimos globales, y el máximo local es un máximo global.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ejemplo Para 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , no hay puntos fronterizos, de hecho el único punto crítico es 𝑥 = 0, pero tanto a su izquierda como a su derecha la función es creciente, por lo tanto, en este punto no hay un extremo. De hecho, esta función no tiene extremos, como vemos en la siguiente gráfica:

Ejercicio Determine los puntos críticos de las siguientes funciones y explique cuales son máximos locales y/o globales, y cuales son mínimos locales y/o globales. a) b) c) d) e) f) g) h)

𝑓: [−3,5] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2|. 𝑓: [−1,2] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + |𝑥| ⋅ 𝑥. 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑒 𝑥 . 𝑓: [−10,10] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑒 𝑥 . 𝑓: [−5,8] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . 𝑓: [−10,10] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 . 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 + 4. 𝑓: [0,10] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = sen(𝜋𝑥).

Hay aún otro criterio para determinar si un punto crítico (recordemos que un punto crítico es: o un punto fronterizo, o un punto singular, o un punto estacionario) es o no un extremo de la función.

211

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

 

Teorema (Prueba de la segunda derivada).



Supongamos que 𝑓 ′ y 𝑓′′ existen y son continuas en todo punto de un intervalo abierto ]𝑎, 𝑏[, que contiene a 𝑐, y suponga también que 𝑓′(𝑐) = 0, entonces:

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

a) si 𝑓′′(𝑐) > 0, entonces 𝑓 tiene en 𝑥 = 𝑐 un mínimo local. b) si 𝑓′′(𝑐) < 0, entonces 𝑓 tiene en 𝑥 = 𝑐 un máximo local. Ejemplo Determine los máximos y mínimos locales y globales de la función 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥 − 3. Solución. Como esta función está definida para todos los reales, entonces los puntos críticos fronterizos no son para nosotros una preocupación; además, la función es un polinomio, por lo que su derivada existe en todo ℝ, luego los puntos críticos que podamos encontrar solo provienen de aquellos estacionarios, es decir donde la derivada se hace 0. Calculamos entonces la primera derivada de la función: 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 2 − 18𝑥 + 12 = 6(𝑥 − 1)(𝑥 − 2), las soluciones de la ecuación 6𝑥 2 − 18𝑥 + 12 = 0, son 𝑥1 = 1 y 𝑥2 = 2. Usemos la prueba de la segunda derivada para ver si son máximos o mínimos locales, calculamos la segunda derivada y obtenemos: 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 − 18, luego evaluando en los dos puntos críticos que son estacionarios (recordemos que la prueba de la segunda derivada solo sirve para puntos estacionarios) tenemos: a) 𝑓′′(𝑥1 ) = 𝑓′′(1) = 12 − 18 = −6 < 0, por lo tanto en 𝑥1 = 1 hay un máximo local de la función y vale 𝑓(1) = 2. b) 𝑓′′(𝑥2 ) = 𝑓′′(2) = 12 ⋅ 2 − 18 = 6 > 0, por lo tanto en 𝑥2 = 2 hay un mínimo local de la función y vale 𝑓(2) = 1. c) Ninguno de estos dos puntos es un extremo global, pues como sabemos, una función cúbica no está acotada.

212

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

213

Ejemplo Determine los extremos locales y globales de la función 𝑓: [−15,8] → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥

2 −𝑥

.

Solución.

En este caso tenemos dos puntos fronterizos (y por lo tanto críticos) 𝑥1 = −15 y 𝑥2 = 8. Como la función es derivable en todo su dominio, entonces no habrán puntos singulares (recordamos que la función exponencial es derivable en todo el dominio, también las funciones polinomiales y por lo tanto la composición de estas dos es derivable en todo su dominio), luego nos queda buscar puntos estacionarios, es decir, aquellos donde la primera derivada se anula, para esto calculamos la 2 primera derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 −𝑥 : 𝑓(𝑥) = (𝑒 𝑥

2 −𝑥

)′ = 𝑒 𝑥

2 −𝑥

⋅ (2𝑥 − 1), 1

2

esta función se anula solo cuando 𝑥 = 2, pues 𝑒 𝑥 −𝑥 es siempre estrictamente mayor que cero. Para saber si este punto crítico es un máximo o un mínimo (local) hacemos la prueba de la segunda derivada: 𝑓′′(𝑥) = 𝑒 𝑥

2 −𝑥

⋅ (2𝑥 − 1)2 + 2𝑒 𝑥

2 −𝑥

,

1

y evaluamos en 𝑥 = 2, 1 2 1 1 𝑓′′ ( ) = 2𝑒 (2) −2 > 0. 2 1

Entonces la prueba de la segunda derivada nos dice que en 𝑥 = 2 hay un mínimo local, pero además vemos que la segunda derivada es siempre 1

1

positiva, y la función decrece desde infinito hasta (2 , 𝑓 (2)), y desde este punto crece hacia infinito, por lo tanto no hay otro mínimo (además no hay otro punto crítico) por lo que es un mínimo global. Además la función no tiene máximo, ni local ni global.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

214

Elaboración de gráficas. Con todo el análisis anterior podemos construir sin ayuda de un software una gráfica bastante acabada de una función, determinar puntos de discontinuidad, determinar intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento, intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa, máximos y mínimos tanto locales como globales, pero nos falta aún revisar un concepto importante para poder elaborar gráficas sofisticadas, el concepto de asíntota:

Definición. a) La recta 𝑥 = 𝑐 es una asíntota vertical de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) si alguna de las siguientes proposiciones es verdadera: lim 𝑓(𝑥) = ±∞

𝑥→𝑐 +

o bien lim− 𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑥→𝑐

b) La recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 es una asíntota en infinito si los siguientes dos límites existen: 𝑓(𝑥) 𝑥→∞ 𝑥

𝑚 = lim

y también 𝑛 = lim 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥. 𝑥→∞

c) La recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 es una asíntota en infinito negativo si los siguientes dos límites existen: 𝑓(𝑥) 𝑥→−∞ 𝑥

𝑚 = lim

y también 𝑛 = lim 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥. 𝑥→−∞

Entonces con los resultados anteriores más esta última definición de asíntotas podemos elaborar una gráfica sin la ayuda de un software:

Ejemplo. Realice una gráfica de la función 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 +3𝑥−1 𝑥−2

Primero notamos que en 𝑥 = 2 hay una asíntota vertical, en efecto: lim 𝑓(𝑥) = ∞

𝑥→2+

.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

215

y por lo tanto hay un ese punto una discontinuidad de salto infinito. Por otro lado, la función es continua en ]−∞, 2[ ∪ ]2, ∞[, pues es la división de dos funciones continuas donde la función que está en el denominador no se anula en el dominio.

La función es no acotada, ya que lim 𝑓(𝑥) = ∞

𝑥→∞

y lim 𝑓(𝑥) = −∞.

𝑥→−∞

De lo anterior podemos deducir además que la función no tiene mínimo global, ni máximo global. Para buscar intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función calculamos la primera derivada: ′

𝑓 =

′(𝑥)

𝑥 2 + 3𝑥 − 1 =( ) 𝑥−2

(𝑥 2 + 3𝑥 − 1)′ ⋅ (𝑥 − 2) − (𝑥 2 + 3𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2)′ (𝑥 − 2)2 =

(2𝑥 + 3)(𝑥 − 2) − (𝑥 2 + 3𝑥 − 1) ⋅ 1 (𝑥 − 2)2 =

𝑥 2 − 4𝑥 − 5 (𝑥 − 5)(𝑥 + 1) = . (𝑥 − 2)2 (𝑥 − 2)2

La derivada de 𝑓 es positiva en ]−∞, −1[ ∪ ]5, ∞[ y por lo tanto creciente en cada uno de estos dos intervalos. Por otro lado, la derivada de 𝑓 es negativa en el intervalo ]−1,2[ y por lo tanto decreciente en este intervalo, así como también en el intervalo ]2,5[.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

216

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Vemos además que las soluciones de la ecuación 𝑓′(𝑥) = 0, para determinar puntos estacionarios, son 𝑥1 = −1 y 𝑥2 = 5, y usando la prueba de la primera derivada podemos deducir que en 𝑥 = −1 hay un máximo local –pues a su izquierda la función es creciente y a su derecha es decreciente- que vale 𝑓(−1) = 1, y en 𝑥 = 5 hay un mínimo local- pues a su izquierda es decreciente y a su derecha es creciente- que vale 𝑓(5) = 13.

Calculamos ahora la segunda derivada para determinar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad: 𝑓′′(𝑥) =

18 . (𝑥 − 2)3

Notemos que en 𝑥 = 2 la concavidad cambia de negativa a positiva, pero la función no está definida en este punto (ni ninguna de sus derivadas), por lo tanto no se clasifica como un punto de inflexión. Sin embrago, es importante para la gráfica considerar que 𝑓 es cóncava hacia arriba en ]2, ∞[ y cóncava hacia abajo en ]−∞, 2[. Finalmente notamos que hay una asíntota vertical en el punto de discontinuidad 𝑥 = 2 y en los extremos tenemos: 𝑥 2 + 3𝑥 − 1 𝑓(𝑥) 𝑥−2 lim = lim =1 𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 y 𝑥 2 + 3𝑥 − 1 − 𝑥 = 5, 𝑥→∞ 𝑥−2

lim 𝑓(𝑥) − 𝑥 = lim

𝑥→∞

además: 𝑓(𝑥) lim = lim 𝑥→−∞ 𝑥 𝑥→−∞

𝑥 2 + 3𝑥 − 1 𝑥−2 =1 𝑥

y 𝑥 2 + 3𝑥 − 1 lim 𝑓(𝑥) − 𝑥 = lim − 𝑥 = 5. 𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 𝑥−2 Por lo tanto la recta 𝑦 = 𝑥 + 5 es asíntota de la función tanto en infinito positivo como en infinito negativo.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

217

 

Con todo lo anterior podemos realizar la gráfica de la función:



DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ejercicios: Realice, sin usar un software, las gráficas para las siguientes funciones: a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 5. b) 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) c) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) d) 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) − 𝜋𝑥 e) 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 + 2𝑥| 𝑥

f) 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 g) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 2 − 1) h) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 𝜋 𝜋

i) 𝑓(𝑥) = √sen(𝑥) para 𝑥 ∈ (− 2 , 2 ).

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

218

Derivada de la función inversa. Sabemos que una función es invertible si inyectiva y sobreyectiva, pero no aprendimos como podemos determinar algebraicamente dicha función inversa, de hecho en ocasiones no es factible determinar una expresión que defina dicha función inversa pero si podremos, como veremos a continuación, determinar la derivada de la función inversa en un punto cualquiera. Si 𝑓 es una función biyectiva, y por lo tanto invertible, y su inversa la denotamos por 𝑓 −1 entonces: 𝑓 −1 (𝑓(𝑥)) = 𝑥. Derivando respecto de 𝑥 la igualdad anterior y haciendo uso de la regla de la cadena se tiene que: (𝑓 −1 )′(𝑓(𝑥)) ⋅ 𝑓′(𝑥) = 1, y por lo tanto podemos despejar (𝑓 −1 )’ y obtenemos: (𝑓 −1 )′(𝑓(𝑥)) =

1 . 𝑓′(𝑥)

Esta fórmula tiene sentido cuando (𝑥, 𝑓(𝑥)) es un punto de la gráfica de 𝑓, por lo tanto podemos reescribirla de la siguiente manera: (𝑓 −1 )′(𝑦) =

1 , 𝑓′(𝑥)

donde (𝑥, 𝑦) es un punto en la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Ejemplo. 1

Vimos anteriormente que (ln(𝑥))′ = 𝑥, podemos demostrar esta afirmación usando el resultado anterior: Sabemos que (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥 , y que la función exponencial y el logaritmo natural son funciones inversas, por lo tanto, aplicando este resultado 1

((𝑓 −1 )′(𝑦) = 𝑓′ (𝑥)) se tiene que: (ln(𝑥))′ = Como se concluyó anteriormente.

1 1 = . 𝑦 𝑒 𝑥

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ejercicios. Para las siguientes funciones, determine un intervalo donde sean invertibles y calcule la derivada de la función inversa en dicho intervalo. a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1. b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1. c) 𝑓(𝑥) = √𝑥. 1

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥+1. e) 𝑓(𝑥) = sen(𝜋𝑥). 𝑥+3

f) 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1. g) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 2 + 2𝑥), 𝑥 > −1.

Teorema del valor medio para derivadas. Si 𝑓 es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y derivable en su interior (𝑎, 𝑏), entonces existe al menos un número 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) donde: 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑐), 𝑏−𝑎 o de manera equivalente, donde 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑐)(𝑏 − 𝑎). Es este teorema el que permite vincular crecimiento y signo de la derivada. Ejemplo. Asegúrese de que es imposible que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 − 8 valga cero en dos puntos diferentes en el intervalo [−1,1] Solución

219

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

220

De no ser así, si hubiera dos valores 𝑝 y 𝑞 en [−1,1] tales que 𝑓(𝑝) = 0 y 𝑓(𝑞) = 0, como los polinomios son continuos y derivables en todo ℝ, por Teorema del valor medio debe existir 𝑐 entre 𝑝 y 𝑞 con 𝑓 ′ (𝑐) = 𝑓(𝑞)−𝑓(𝑝) 𝑞−𝑝

= 0, pero 𝑓 ′ (𝑐) = 3𝑐 2 − 3 < 0 en [−1,1]

Por lo que la función no puede valer cero en dos puntos del intervalo.

Ejemplos misceláneos 1. La intensidad de una onda eléctrica (medida en amperes) está modelada por: 𝐼(𝑡) = 2 cos(𝑡) + 2 cos(𝑡) sen(𝑡) Donde 𝑡 es el tiempo (medido en segundos) y cuya gráfica es:

a.

Determine

𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡

Solución: 𝑑𝐼(𝑡) 𝑑(2 cos(𝑡) + 2 cos(𝑡) sen(𝑡)) = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 =

𝑑 2 cos(𝑡) 𝑑 2 cos(𝑡) sen(𝑡) + 𝑑𝑡 𝑑𝑡

=2

𝑑 cos(𝑡) 𝑑 cos(𝑡) sen(𝑡) +2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

= 2 ∙ (− sen(𝑡)) + 2 (

𝑑 cos(𝑡) 𝑑 sen(𝑡) ⋅ sen(𝑡) + cos(𝑡) ⋅ ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

= −2 sen(𝑡) − 2sen2 (𝑡) + 2cos 2 (𝑡)

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

b. Evalúe la derivada de la función 𝐼 en el instante en que 𝑡 = 𝜋 segundos e interprete el resultado. Solución Al reemplazar 𝑡 = 𝜋 en la derivada obtenemos: 𝑑𝐼(𝑡) | = −2 sen(𝜋) − 2sen2 (𝜋) + 2cos 2 (𝜋) = 2 𝑑𝑡 𝑡=𝜋 Por lo tanto, la derivada de 𝐼 en 𝑡 = 𝜋 es 2. Esto significa que la pendiente de la recta tangente a la curva en 𝑡 = 𝜋 es 2. Esa interpretación es geométrica y general para cualquier función; en este caso en particular 𝑡 es el tiempo e 𝐼 es la intensidad de la onda; entonces, la derivada es la variación de la intensidad con respecto al tiempo. Aquí, la interpretación es que la intensidad está aumentando 2 ampere/segundo en el instante que 𝑡 = 𝜋 segundos (ya que es positivo). 2. Calcular la derivada de 𝑓(𝑥) = tan(𝑥) Solución d tan(𝑥) 𝑑 sen(𝑥) = ( ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 cos(𝑥) 𝑑 sen(𝑥) 𝑑 cos(𝑥) ∙ cos(𝑥) − sen(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = cos2 (𝑥) cos(𝑥) ∙ cos(𝑥) − sen(𝑥) ∙ (− sen(𝑥)) = cos2 (𝑥) cos2 (𝑥) + sen2 (𝑥) 1 = = = sec 2 (𝑥) 2 cos (𝑥) cos2 (𝑥)

3. Una isla se encuentra a 2 𝑘𝑚 del punto más cercano a la costa (en línea recta). Un poblado (punto A) está a 12 𝑘𝑚 desde el punto B, tal como lo muestra la figura:

221

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Si una persona puede remar a una velocidad de 2 𝑘𝑚/ℎ𝑟 y caminar a una velocidad de 5 𝑘𝑚/ℎ𝑟 el tiempo 𝑇- que tarda para ir desde el poblado hasta la isla- dependiendo de la distancia 𝑥 -distancia que va desde B hasta el punto donde comienza a remar en el bote- está dada por: 𝑇(𝑥) =

√𝑥 2 + 4[𝑘𝑚2 ] ℎ𝑟 12[𝑘𝑚] − 𝑥 ℎ𝑟 [ ]+ [ ] 2 𝑘𝑚 5 𝑘𝑚

Miremos la secuencia de imágenes que muestran distintos puntos donde podría comenzar a remar:

a.

Grafique e interprete el gráfico.

Solución Para construir el gráfico, lo haremos con una tabla de valores. Reemplazaremos el valor de 𝑥 por los números enteros que hay entre 0 y 12 kilómetros, (si no fuese suficiente podríamos evaluar por valores intermedios, como por ejemplo 𝑥 = 3.5 [𝑘𝑚]). A la derecha colocaremos el gráfico resultante al ubicar los puntos obtenidos en la tabla y al final colocaremos las conclusiones:

222

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

x 0 [km] 1 [km] 2 [km] 3 [km] 4 [km] 5 [km] 6 [ m] 7 [km] 8 [km] 9 [km] 10 [km] 11 [km] 12 [km]

223 y 3.4 [hr] 3.32 [hr] 3.41 [hr] 3.6 [hr] 3.84 [hr] 4.09 [hr] 4.36 [hr] 4.64 [hr] 4.92 [hr] 5.21 [hr] 5.5 [hr] 5.79 [hr] 6.08 [hr]

El gráfico en el eje 𝑥 muestra la distancia desde el punto 𝐵 hasta el punto donde comienza a remar. El eje 𝑦 muestra el tiempo que demora dependiendo del lugar donde se comienza a remar. Por ejemplo si 𝑥 = 0, significa que caminó hasta el punto 𝐵 y desde allí comenzó a remar; el tiempo utilizado es entre 3 y 4 horas. En cambio, si no camina hasta 𝐵, el tiempo que utiliza disminuye, pero sólo hasta cierto punto (entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2 kilómetros) y luego el tiempo empleado en transportarse desde el poblado hasta la isla aumenta.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

b.

224

Calcule la derivada de la función 𝑇.

Solución No tomaremos en cuenta las unidades para facilitar el trabajo de derivación y trabajaremos simplemente con: √𝑥 2 + 4 12 − 𝑥 𝑇(𝑥) = + 2 5 Luego, usando la notación 𝑇 ′ para la derivada, se tiene: ′

𝑇

′ (𝑥)

12 − 𝑥 ′ √𝑥 2 + 4 =( ) ) +( 2 5

′ 1 1 2 √ = ( 𝑥 + 4) + (12 − 𝑥)′ 2 5 1 ′ 1 1 = ((𝑥 2 + 4)2 ) + (12′ − 𝑥 ′ ) 2 5

=

1 4

1 (𝑥 2 + =

4.

1 (2𝑥 4)2

+ 0) −

𝑥 2√(𝑥 2

+ 4)

−

1 5

1 5

Aplique derivación implícita para determinar

𝑑𝑦 𝑑𝑥

en la circunferencia

con ecuación (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 4 y calcule la pendiente de la recta tangente a la circunferencia en el punto (2, √3 + 2) de ella. Solución Derivando a ambos lados: 𝑑 𝑑4 ((𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 ) = =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2(𝑥 − 1) + 2(𝑦 − 2)

𝑑𝑦 =0 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑥−1 =− para 𝑦 ≠ 2 𝑑𝑥 𝑦−2

Luego, en el punto (2, √3 + 2), se tiene (2) − 1 𝑑𝑦 1 =− =− ≈ −0.57 𝑑𝑥 (√3 + 2) − 2 √3

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

5. En una pared se instaló un sistema que consiste en mover una viga metálica de 5 [𝑚] de largo mediante un sistema eléctrico y una rueda que está puesta en la parte inferior, tal como se muestra en la secuencia de figuras:

a. Encuentre un modelo matemático para calcular la velocidad con que se desliza el extremo superior de la escalera en la pared. Solución Primero, tenemos que identificar las magnitudes variables, las magnitudes constantes y alguna relación que involucre todas las magnitudes:

 Una de las magnitudes es el largo de la viga, la cual mide 5 [𝑚] de largo.

225

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

226

 Una de las magnitudes variables es la distancia que hay desde la base de la pared hasta la rueda que está en la parte inferior de la viga, a esta variable la denominaremos 𝑥.  La otra magnitud variable que tiene el problema, es la distancia que hay desde la parte superior de la viga hasta el suelo. A esta variable la denominaremos 𝑦. Si agregamos las variables a la figura nos queda: Una relación que involucra a las tres magnitudes es Pitágoras; entonces, al aplicar este teorema nos queda: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 Ahora que tenemos la relación entre las variables, calcularemos la velocidad con que cambia 𝑦; es decir, tenemos que calcular

𝑑𝑦 𝑑𝑡

. Además,

debemos considerar que la rueda que está en la parte inferior de la viga se mueve a una velocidad constante de 0.4 [𝑚/𝑠]. Matemáticamente lo 𝑑𝑥

podemos expresar como

𝑑𝑡

= 0.4 [𝑚/𝑠]. Entonces, derivaremos la

relación con respecto a 𝑡, quedándonos: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 /

𝑑 𝑑𝑡

Aplicando derivación implícita obtenemos: 2𝑥 Despejamos

𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 2𝑦 =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡

y nos queda: 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 2𝑦

Y luego simplificamos: 𝑑𝑦 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑦 𝑑𝑡 Como

𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 0.4 [𝑚/𝑠], al reemplazar la expresión anterior nos queda: 𝑑𝑦 𝑥 = 0.4[𝑚/𝑠] 𝑑𝑡 𝑦

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

 

Por lo tanto, la velocidad con que se desplaza la parte superior de la viga está dada por 𝑑𝑦 𝑥 = 0.4[𝑚/𝑠] 𝑑𝑡 𝑦



DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

227

b. Interprete el resultado anterior para determinar si la velocidad con que se desplaza la parte superior de la viga (la que está apoyada en la pared) es constante. Solución 𝑑𝑦

En el ejercicio anterior, obtuvimos que

𝑑𝑡

𝑥

= 𝑦 0.4[𝑚/𝑠]; es decir, la

velocidad con que cambia la distancia 𝑦, depende de las variables 𝑥 e 𝑦 𝑥

mediante el cuociente 𝑦. Por lo tanto, no es constante. Incluso podemos analizar la expresión

𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑥

= 𝑦 0.4[𝑚/𝑠] y concluir que la

velocidad aumenta, ya que 𝑥 aumenta desde 0 hasta 5; en cambio 𝑦 disminuye desde 5 hasta 0. Es decir, el numerador aumenta mientras que el denominador disminuye, en consecuencia, el cociente aumenta. c. Determine la velocidad con que se desplaza la viga cuando la parte inferior se encuentra a 2 [𝑚] de la pared. Solución Que la parte inferior de la pared esté a 2 [𝑚] de la pared, significa en nuestro diagrama que 𝑥 = 2 [𝑚]. También necesitamos saber cuánto vale 𝑦 si 𝑥 = 2 [𝑚]; para esto utilizaremos la relación 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25: 22 + 𝑦 2 = 25 4 + 𝑦 2 = 25 /−4 𝑦 2 = 21 /√ 𝑦 = ±√21

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

228

Como 𝑦 es una distancia, sólo nos sirve la solución positiva; por lo tanto, 𝑦 = √21 [𝑚] Al reemplazar 𝑥 = 2 [𝑚] e 𝑦 = √21 [𝑚] en

𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑥

= 𝑦 0.4[𝑚/𝑠] nos qeda:

𝑑𝑦 2 [𝑚] | = 0.4[𝑚/𝑠] ≈ 0.17 [𝑚/𝑠] 𝑑𝑥 (2,√21) √21 [𝑚] Así, la velocidad de la parte superior de la viga- cuando la parte inferior se encuentra a 2 [𝑚] de la pared- es de aproximadamente 0.17 [𝑚/𝑠], o sea, menos de la mitad de la velocidad de la parte inferior. d. Determine la velocidad con que se desplaza la parte superior de la viga cuando la parte inferior se encuentra a 4 [𝑚] de la pared y compare este resultado con el resultado obtenido en el punto anterior. Solución Si hacemos un trabajo análogo al anterior, podemos determinar que si 𝑥 = 4 [𝑚]; entonces, 𝑦 = 3 [𝑚]. Por lo tanto, al reemplazar estos valores en 𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑥

= 𝑦 0.4[𝑚/𝑠] obtenemos: 𝑑𝑦 4 [𝑚] | = 0.4[𝑚/𝑠] ≈ 0.53[𝑚/𝑠] 𝑑𝑥 (2,3) 3 [𝑚]

En consecuencia, la parte superior de la viga cuando 𝑥 = 4 [𝑚] se mueve a una velocidad de 0.53[𝑚/𝑠], lo que significa un aumento de casi tres veces con respecto a la velocidad que tenía en 𝑥 = 2 [𝑚]. Ejemplo (Razón de cambio) La distancia desde el punto 𝑂 hasta el punto 𝑃 (a la que denominamos 𝐷), depende del ángulo 𝜃 que se forma entre los puntos 𝐵, 𝑂 y 𝐴, tal como lo muestra la secuencia de figuras:

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

229

Si el radio del disco mide 3 [𝑐𝑚], el brazo 𝐴𝐵 mide 5 [𝑐𝑚] y el brazo 𝐵𝑃 mide 3 [𝑐𝑚], entonces, la función que entrega la distancia desde el punto 𝑂 hasta el punto 𝑃 en términos del ángulo 𝜃 es: 𝐷(𝜃) = 3[𝑐𝑚] + 3 cos(𝜃)[𝑐𝑚] + √9 cos 2 (𝜃) + 16[𝑐𝑚] a. Si el pistón gira a una velocidad de

𝜋 36

radianes por segundo,

determine la variación de la distancia con respecto al tiempo. Solución 𝑑𝐷

Lo que nos están pidiendo es

𝑑𝑡

.

Para derivar la expresión utilizaremos los siguientes teoremas y propiedades y obviaremos las unidades:    

𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥

[𝑥 𝑛 ] = 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1 (Derivada de un polinomio) [cos(𝑥)] = −sen(𝑥) (Derivada de coseno) [𝑐] = 0 (Derivada de una constante) [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =

𝑑 𝑑𝑥

[𝑓(𝑥)] +

𝑑 𝑑𝑥

[𝑔(𝑥)] (Derivada de la suma

de funciones) 

𝑑 𝑑𝑥

[𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)] = 𝑘 ∙

𝑑 𝑑𝑥

[𝑓(𝑥)]

(Derivada

de

una

función

multiplicada por un número) 

𝑑 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥

𝑚 𝑛

= 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) (Regla de la cadena)

𝑛

 𝑎 = √𝑎𝑚 con 𝑎 > 0 si n es par y 𝑎 ∈ ℝ si n es impar. 1

 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 con a≠0 Si 𝐷(𝜃) = 3 + 3 cos(𝜃) + √9 cos2 (𝜃) + 16, entonces, derivaremos con respecto a 𝑡 y nos queda: 𝑑𝐷(𝜃) 𝑑 = [3 + 3 cos(𝜃) + √9 cos2 (𝜃) + 16] 𝑑𝑡 𝑑𝑡

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

230

Al separar por suma obtenemos: 𝑑𝐷(𝜃) 𝑑 𝑑 𝑑 = [3] + [3cos(𝜃)] + [√9 cos 2 (𝜃) + 16] 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 𝑑𝐷(𝜃) 𝑑 𝑑 = 0 + 3 [cos(𝜃)] + [(9 cos2 (𝜃) + 16)2 ] 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝐷(𝜃) 𝑑𝜃 = 3 ∙ −sen(𝜃) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 1 𝑑 + (9 cos 2 (𝜃) + 16)2−1 [9 cos 2 (𝜃) + 16] 2 𝑑𝑡 Resolviendo las operaciones numéricas obtenemos: 𝑑𝐷(𝜃) 𝑑𝜃 = −3 sen(𝜃) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 𝑑 1 𝑑 + (9 cos 2 (𝜃) + 16)−2 ( [9 cos2 (𝜃)] + [16]) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐷(𝜃) 𝑑𝜃 1 = −3 sen(𝜃) + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 (9

1 cos2 (𝜃)

𝑑

+

[cos 1 (9 𝑑𝑡 2 16)

2 (𝜃)]

+ 0)

𝑑𝐷(𝜃) 𝑑𝜃 = −3 sen(𝜃) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 1 𝑑 + (9 ∙ 2cos(𝜃) [cos(𝜃)]) 2 √9 cos 2 (𝜃) + 16 𝑑𝑡 Sólo nos falta calcular la última derivada a la que nuevamente aplicamos vi. y nos queda: 𝑑𝐷(𝜃) 𝑑𝜃 = −3 sen(𝜃) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 1 𝑑𝜃 + (18 cos(𝜃) ∙ −sen(𝜃) ) 2 √9 cos2 (𝜃) + 16 𝑑𝑡 Desarrollando las multiplicaciones obtenemos: 𝑑𝐷(𝜃) 𝑑𝜃 −9 cos(𝜃) sen(𝜃) 𝑑𝜃 = −3 sen(𝜃) + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 √9 cos2 (𝜃) + 16 𝑑𝑡 El enunciado indica que el pistón gira a una velocidad de segundo, esto es equivalente a decir

𝑑𝜃 𝑑𝑡

𝜋

= 36 [

𝑟𝑎𝑑 𝑠

].

𝜋 36

radianes por

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

𝑑𝜃

𝜋

Al reemplazar 𝑑𝑡 = 36 [

𝑟𝑎𝑑 𝑠

231

] y agregar las unidades nos queda:

𝑑𝐷(𝜃) −9 cos(𝜃) sen(𝜃) 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = −3 sen(𝜃)[𝑐𝑚] + ∙ [ ] [𝑐𝑚] 𝑑𝑡 √9 cos 2 (𝜃) + 16 36 𝑠 Simplificando y sacando los radianes (ya que no es una unidad) obtenemos: 𝑑𝐷(𝜃) −𝜋sen(𝜃) 𝑐𝑚 −𝜋 cos(𝜃) sen(𝜃) 𝑐𝑚 = [ ]+ [ ] 𝑑𝑡 4 𝑠 4√9 cos 2 (𝜃) + 16 𝑠 b. Calcule

𝑑𝐷 𝑑𝑡

cuando 𝜃 = 60∘ e interprete el resultado.

Solución Si evaluamos la derivada en 𝜃 = 60∘ nos queda: 𝑑𝐷(𝜃) −𝜋sen(60∘ ) 𝑐𝑚 −𝜋 cos(60∘ ) sen(60∘ ) 𝑐𝑚 | = [ ]+ [ ] 𝑑𝑡 𝜃=60∘ 4 𝑠 4√9 cos 2 (60∘ ) + 16 𝑠

√3 −𝜋 2 𝑐𝑚 𝑑𝐷(𝜃) | = [ ]+ 𝑑𝑡 𝜃=60∘ 4 𝑠

1 √3 −𝜋 2 2 1 2 √ 4 9 (2) + 16

[

𝑐𝑚 ] 𝑠

𝑑𝐷(𝜃) −𝜋√3 𝑐𝑚 −𝜋√219 𝑐𝑚 | = [ ]+ [ ] 𝑑𝑡 𝜃=60∘ 8 𝑠 584 𝑠 𝑑𝐷(𝜃) 𝑐𝑚 | ≈ −0.76 [ ] 𝑑𝑡 𝜃=60∘ 𝑠 El signo negativo significa que la distancia va disminuyendo, tal cual como lo muestra la siguiente secuencia:

Cuando 0∘ < 𝜃 < 180∘ la distancia disminuye, por lo tanto, la velocidad es negativa.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

c. Calcule

𝑑𝐷 𝑑𝑡

cuando 𝜃 = 220∘ , interprete el resultado y

compárelo con el anterior. Solución Si evaluamos la derivada en 𝜃 = 60∘ , nos queda: 𝑑𝐷(𝜃) −𝜋sen(220∘ ) 𝑐𝑚 | = [ ] 𝑑𝑡 𝜃=220∘ 4 𝑠 ∘) −𝜋 cos(220 sen(220∘ ) 𝑐𝑚 + [ ] 𝑠 4√9 cos2 (220∘ ) + 16 En este caso ni sen(220∘ ), ni cos(220∘ ) son ángulos notables, por lo que los calcularemos directamente con la calculadora quedándonos: 𝑑𝐷(𝜃) 𝑐𝑚 𝑐𝑚 𝑐𝑚 | = 0.504 [ ] + 0.239 [ ] = 0.743 [ ] 𝑑𝑡 𝜃=140∘ 𝑠 𝑠 𝑠 En este caso el resultado es positivo porque la distancia va creciendo. En términos de magnitud es similar a la obtenida cuando 𝜃 = 60∘ . 6. En páginas anteriores resolvimos el siguiente problema: Un poblado (punto A) está a 12 𝑘𝑚 desde el punto B, tal como lo muestra la siguiente figura:

Si una persona puede remar a una velocidad de 2 𝑘𝑚/ℎ𝑟 y caminar a una velocidad de 5 𝑘𝑚/ℎ𝑟, el tiempo 𝑇 que tarda para ir desde el poblado hasta la isla, dependiendo de la distancia 𝑥 (distancia que va desde B hasta el punto donde comienza a remar en el bote) está dada por: √𝑥 2 + 4[𝑘𝑚2 ] ℎ𝑟 12[𝑘𝑚] − 𝑥 ℎ𝑟 𝑇(𝑥) = [ ]+ [ ] 2 𝑘𝑚 5 𝑘𝑚

232

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

 

233

Observemos la secuencia de imágenes que muestra distintos puntos donde podría comenzar a remar:



DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

En el problema de la sección anterior, se pidió graficar y calcular la derivada, obteniéndose:

𝑇 ′ (𝑥) =

𝑥 2√(𝑥 2 + 4)

−

1 5

Ahora utilice esta información para determinar el punto mínimo de la función 𝑇e interprete el resultado anterior en términos del problema. Solución En el punto mínimo de la función 𝑇, la pendiente de la recta tangente es cero. Como la pendiente de la recta tangente es cero, tenemos que resolver la ecuación 𝑇 ′ (𝑥) = 0 Como 𝑇 ′ (𝑥) =

𝑥 2√(𝑥 2 + 4)

Al reemplazar, la ecuación nos queda:

−

1 5

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3



𝑥

234

1 =0 2√(𝑥 2 + 4) 5 𝑥 1 = 2√(𝑥 2 + 4) 5 𝑥 1 = 2√(𝑥 2 + 4) 5

 

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

−

/+

/∙ 2√(𝑥 2 + 4) /∙ 2√(𝑥 2 + 4) /∙ ( )2

5𝑥 = 2√(𝑥 2 + 4) 25𝑥 2 = 4(𝑥 2 + 4)

25𝑥 2 = 4𝑥 2 + 16

/−4𝑥 2

21𝑥 2 = 16 𝑥2 =

1 5

/∙

16 21

1 21

/√ 𝑥=±

4 √21

𝑥 ≈ ±0.87

Como tenemos la restricción 𝑥 ≥ 0, sólo es válida la solución positiva. Por el gráfico, podemos observar que el valor mínimo se obtiene cuando 𝑥=

4

, para calcular el valor de 𝑦 reemplazamos este valor en la función

√21

y obtenemos: 2 4 √( [𝑘𝑚]) + 4[𝑘𝑚2 ] √21 4 ℎ𝑟 [𝑘𝑚]) = 𝑇( [ ] 2 𝑘𝑚 √21 4 [𝑘𝑚] 12[𝑘𝑚] − ℎ𝑟 √21 + [ ] 5 𝑘𝑚

Luego 4 √21 + 12 [𝑘𝑚]) = [ℎ𝑟] ≈ 3.33[ℎ𝑟] 𝑇( 5 √21 4 21+12 [𝑘𝑚], √ [ℎ𝑟]) 5 √21

Por lo tanto, el mínimo está en el punto ( (0.87[𝑘𝑚], 3.33[ℎ𝑟])

≈

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

En términos del contexto, El trayecto donde utiliza el menor tiempo en trasladarse desde el poblado hasta la isla es caminando aproximadamente 11.3 kilómetros por la costa y en este punto tomando el bote para llegar a la isla en aproximadamente 3.33 horas.

Ejemplo (optimización) Se tiene una plancha de metal de 6[𝑚] × 6[𝑚]. En cada esquina se quiere cortar un cuadrado para formar una caja sin tapa, tal como se muestra en la secuencia de figuras:

a. Establezca un modelo matemático para determinar el volumen en función del tamaño de uno de los lados del cuadrado. Solución El tamaño de uno de los lados es variable, por lo cual lo denominaremos 𝑥. Entonces, la caja tiene las siguientes medidas: Sabemos que el volumen de una caja está dado por: 𝑉 = 𝑎𝑙𝑡𝑜 ∙ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∙ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

235

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Al reemplazar en términos de 𝑥 obtenemos: 𝑉(𝑥) = 𝑥(6[𝑚] − 2𝑥)(6[𝑚] − 2𝑥) b. Determine el tamaño del cuadrado que se corta en cada esquina, de tal forma que el volumen sea máximo. Solución El problema pide maximizar el volumen. Como tenemos un modelo para calcular el volumen- en términos del tamaño de los lados del cuadrado que se corta en cada esquina- entonces tenemos que buscar el máximo de esta función. Para resolver el problema aplicaremos el test de la primera y segunda derivada. Para aplicar la primera derivada, derivaremos la función 𝑉(𝑥) = 𝑥(6 − 2𝑥)(6 − 2𝑥) (observe que se obviaron las unidades para simplificar el proceso de derivación) y resolveremos la ecuación asociada al igualar a cero la derivada obtenida: Para derivar 𝑉(𝑥) = 𝑥(6 − 2𝑥)(6 − 2𝑥) primero desarrollaremos las multiplicaciones para que nos quede como una suma de expresiones polinomiales: 𝑉(𝑥) = 4𝑥 3 − 24𝑥 2 + 36𝑥 Luego 𝑑𝑉(𝑥) = 12𝑥 2 − 48𝑥 + 36 𝑑𝑥

236

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

 

Luego, los posibles máximos y/o mínimos los obtendremos igualando a cero la derivada y resolviendo la ecuación asociada: 12𝑥 2 − 48𝑥 + 36 = 0



DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

237

Aplicando la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado obtenemos: 𝑥=

−(−48) ± √(−48)2 − 4 ∙ 12 ∙ 36 2 ∙ 12 𝑥=

48 ± √576 24

𝑥=

48 ± 24 24

48 + 24 =3 24 𝑥={ 48 − 24 =1 24 Por lo tanto, las dos soluciones de la ecuación son 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3.

Estos dos valores son los posibles máximos o mínimos. Para saber cuál es máximo y/o mínimo lo haremos mediante el test de la segunda derivada, el cual consiste en calcular la segunda derivada de la función 𝑉 y evaluarla en los candidatos a máximos y/o mínimos obtenidos anteriormente. Si al evaluar la segunda derivada en el punto crítico de la primera derivada es positivo, entonces el punto es mínimo; en cambio, si es negativo, entonces el punto es un máximo. Luego 𝑑2 𝑉(𝑥) = 24𝑥 − 48 𝑑𝑥 2

De la parte anterior obtuvimos que los puntos críticos de la derivada son 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3. Si evaluamos estos valores en la segunda nos queda: -

𝑑2 𝑉(1) 𝑑𝑥 2

= 24 ∙ 1 − 48 = −24 < 0 por lo tanto

𝑥 = 1 es un

= 24 ∙ 3 − 48 = 24 > 0 por lo tanto

𝑥 = 3 es un

máximo. -

𝑑2 𝑉(3)

mínimo.

𝑑𝑥 2

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

238

Por lo tanto, si se corta un cuadrado de 1[𝑚] × 1[𝑚] a cada lado se obtiene una caja sin tapa con el máximo volumen posible. c. Determine el volumen máximo que se puede obtener, escriba este volumen en litros. Si el volumen máximo se obtiene cuando 𝑥 = 1[𝑚]; entonces, el volumen de la caja está dado por: 4 [𝑚] × 4 [𝑚] × 1 [𝑚] = 16[𝑚3 ] = 16.000.000[𝑐𝑚3 ] = 16.000[𝑙𝑡]

Ejercicios 1. Utilice la gráfica que se muestra a continuación de la función 𝑓para identificar o trazar las siguientes cantidades u objetos matemáticos: a. 𝑓(1) b. 𝑓(4) c. 𝑓(4) − 𝑓(1) d. 𝑦 =

𝑓(4)−𝑓(1) 4−1

(𝑥 − 1) + 𝑓(1)

2. En los siguientes ejercicios encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado, y use Geogebra para observar resultados: a. 𝑓(𝑥) = 3 − 2𝑥, (−1,5) b. 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 4, (1, −3) c. 𝑓(𝑡) = 3𝑡 − 𝑡 2 , (0,0) 3. En los siguientes ejercicios i) encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto indicado, ii) utilizar GeoGebra para dibujar la gráfica de la función y su recta tangente en dicho punto: a.

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1,

(2,5)

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3



239



b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , (2,8) c. 𝑓(𝑥) = √𝑥 , (1,1)



d. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 , (4,5)

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

4

4. En los siguientes ejercicios encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el valor de 𝑥 indicado. 3

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 en 𝑥 = −1.

5.

b. 𝑔(𝑥) = −2𝑒 𝑥 + 1 en 𝑥 = 0. c. ℎ(𝑡) = ln(𝑥) − 𝑥 en 𝑥 = 2. d. 𝑓(𝑥) = 2cos(𝑥) ⋅ sen(𝑥) en 𝑥 = 𝜋. En los siguientes ejercicios calcula la derivada de la función: a. 𝑦 = (2𝑥 − 7)3 b. 𝑔(𝑥) = 3(4 − 9𝑥)4 c. 𝑓(𝑡) = √1 − 𝑡 3

d. 𝑦 = √9𝑥 2 + 4 4

e. 𝑦 = 2√4 − 𝑥 2 1

f. 𝑦 = 𝑥−2 1

2

g. 𝑓(𝑡) = (𝑡−3) h. 𝑦 = 6.

1

√𝑥+2

En los siguientes ejercicios calcula la derivada de la función: a. 𝑦 = cos(3𝑥) b. 𝑔(𝑥) = 3tan(4𝑥) c. 𝑦 = sen(𝜋𝑥)2 d. ℎ(𝑥) = sen(2𝑥)cos(2𝑥) cot(𝑥)

e. 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) f. 𝑦 = 4sec2 (𝑥) g. 𝑓(𝜃) = sen2 (2𝜃) h. 𝑓(𝑡) = 3sec 2 (𝜋𝑡 − 1) 7. En los siguientes ejercicios, calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto propuesto: a. Bruja de Agnesi: (𝑥 2 + 4)𝑦 = 8 en 𝑃 = (2,1)

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3



240

b. Bifolio:(𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = 4𝑥 2 𝑦 en 𝑃 = (1,1)

 

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

c. Parábola horizontal: (𝑦 − 2)2 = 4(𝑥 − 3) en 𝑃 = (4,0)

8. En los siguientes ejercicios encontrar lo pedido, suponiendo que 𝑥 e 𝑦 son funciones derivables de 𝑡 y utilizando la información dada: a. Si 𝑦 = √𝑥 encontrar: i. ii.

𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡

cuando 𝑥 = 4 y

𝑑𝑥 𝑑𝑡

cuando 𝑥 = 25 y

=3

𝑑𝑦 𝑑𝑡

=2

b. Si 𝑥𝑦 = 4 encontrar: i. ii.

𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡

cuando 𝑥 = 8 y

𝑑𝑥

cuando 𝑥 = 1 y

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑𝑡

= 10 = −6

9. (Área) El radio 𝑟 de un círculo está creciendo a razón de 3 centímetros por minuto. Calcular la tasa de cambio del área cuando: a. 𝑟 = 6 [𝑐𝑚] b. 𝑟 = 24 [𝑐𝑚]

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

 

10. (Área) En un triángulo isósceles con dos lados iguales de longitud 𝑠, el ángulo entre ellos es 𝜃.



DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

241

a. Verificar que el área de un triángulo se obtiene mediante la función 𝐴=

1 2 𝑠 sen(𝜃) 2

b. Si 𝜃 está creciendo a razón de

1 2

radián por minuto,

encontrar la tasa de cambio del área cuando 𝜃 = 𝜋/6 y cuando 𝜃 = 𝜋/3 c. Explicar el que la tasa de cambio del área del triángulo no es constante, a pesar de que 𝑑𝜃/𝑑𝑡 es constante. 11. (Volumen) Se infla un globo esférico con gas a razón de 800 centímetros cúbicos por minuto. ¿A qué ritmo está aumentando su radio en el momento en que a. el radio es de 30 centímetros. b. el radio es de 60 centímetros. 12. Encontrar dos números positivos que sumen 𝑆 y cuyo producto sea máximo. 13. Encontrar dos números positivos cuyo producto sea 192 y donde la suma del primero más tres veces el segundo sea mínimo. 14. Encontrar dos números positivo donde la suma del primero y el doble del segundo es 100 y el producto es máximo. 15. Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que un perímetro de 100 centímetros y cuya área es máxima. 16. Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene un área de 64 centímetros cuadrados y cuyo perímetro es mínimo.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

  

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

17. En una reacción química autocatalítica, el producto formado es un catalizador para reacción. Si 𝑄0 es la cantidad de sustacia original y 𝑥 es la cantidad de catalizador formado, y 𝑘 es una constante positiva que depende de la sustancia, entonces el ritmo o velocidad de reacción química es: 𝑑𝑄 = 𝑘𝑥(𝑄0 − 𝑥) 𝑑𝑥 ¿Para qué valor de 𝑥 la velocidad de la reacción química será la mayor?

242

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

MTCL01 UNIDAD 4 INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

APRENDIZAJE ESPERADO Determina la integral indefinida de una función propuesta mediante la definición de primitiva o antiderivada. CRITERIOS DE EVALUACIÓN  Identifica la primitiva de una función mediante la derivada.  Obtiene la integral de una función mediante la definición de antiderivada.  Realiza el cálculo de integrales indefinidas en funciones elementales de una variable, descomponiendo en integrales más simples.

APRENDIZAJE ESPERADO Resuelve problemas contextualizados a variadas disciplinas mediante la utilización de métodos de integración. CRITERIOS DE EVALUACIÓN     

Utiliza reglas de integración en el cálculo de integrales de funciones polinómicas. Determina la integral de funciones trigonométricas, exponencial y logarítmica, mediante teoremas. Realiza ejercicios y problemas de integrales mediante el uso de variable auxiliar. Calcula integrales de funciones compuestas mediante método de integración por partes. Resuelve integrales de funciones racionales mediante el método de fracciones parciales.

APRENDIZAJE ESPERADO Resuelve problemas contextualizados a la especialidad que involucren el cálculo de áreas mediante técnicas de integración.

243

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

CRITERIOS DE EVALUACIÓN  Calcula integrales definidas de funciones de valor real en una variable.  Determina el valor del área de la región limitada bajo la curva de un modelo funcional y el eje de las abscisas, mediante la integral definida.  Aplica la integral definida en la resolución de problemas, que involucran el cálculo de áreas de regiones limitadas por modelamiento de funciones y sus puntos de intersección.

244

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

245

Introducción Ejemplo inicial Suponga que tiene un estanque vacío, de gran capacidad, en el cuál ingresan 10 litros de agua por minuto, a partir de un determinado tiempo 𝑡𝑜 , y usted desea saber cuánta agua se acumula en el estanque, digamos 𝐹(𝑡) es la cantidad de agua en el tiempo 𝑡. Para esto simplemente medirá la cantidad de agua inicial 𝐹(𝑡𝑜 ) y agregará lo acumulado, es decir: 𝐹(𝑡) = 10(𝑡 − 𝑡o ) + 𝐹(t o ) O equivalentemente, 𝐹(𝑡) = 10𝑡 + 𝑐 donde 𝑐 = 𝐹(t o ) − 10t o es constante Es claro que la cantidad de agua que entra es la variación de agua en el tiempo, el flujo en este caso, y por lo tanto es la derivada de la cantidad 𝑑

total de agua en ese instante, es decir, 𝐹 ′ (𝑡) = 𝑑𝑡 (10𝑡 + 𝑐) = 10. Observamos que en este caso la acumulación de la variación de agua es la cantidad de agua. Pareciera ser que al acumular una derivada, es decir calcular las sumas de 𝐹 ′ (𝑡) (𝑡 − 𝑡0 ), estamos haciendo el proceso inverso de la derivada. En este caso teníamos que 𝐹 ′ (𝑡) era constante, veamos qué pasa cuando varía. Suponga ahora que la cantidad de agua que entra no es constante y está dada por 𝐹 ′ (𝑡) en cada instante. Sabemos que la variación de agua, 𝐹 ′ (𝑡),es el flujo o la cantidad de agua que ingresa en el tiempo 𝑡. Dado un intervalo [𝑡𝑜 , 𝑝] , vemos que es difícil calcular la acumulación, ya que habría que considerar cada instante entre 𝑡𝑜 y 𝑝, es decir, infinitos valores. Pero si suponemos que 𝐹 ′ es continua y un intervalo lo suficientemente pequeño [𝑡𝑜 , 𝑡1 ], es decir 𝑡1 − 𝑡0 es un valor muy pequeño, la imagen en ese intervalo no variará mucho y podremos aproximar lo acumulado por 𝐹 ′ (𝑐1 ) (𝑡1 − 𝑡0 ) (un valor cercano al que toma la función en ese intervalo por la cantidad de tiempo), con 𝑐1 ∈ [𝑡1 − 𝑡𝑜 ]. Luego, si dividimos el intervalo [𝑡𝑜 , 𝑝] en 𝑛 subintervalos [𝑡𝑜 , 𝑡1 ], [𝑡1 , 𝑡2 ], [𝑡2 , 𝑡3 ],..., [𝑡𝑛−1 , 𝑎], con 𝑡𝑜 < 𝑡1 < 𝑡2 0. De la identidad sen2 (𝛼)+cos 2 (𝛼) = 1 se tiene que cos(Arcsen(𝑥)) = √1 − sen(Arcsen(𝑥))2

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4



254

y entonces, para todo 𝑥 ∈ ]−1,1[ se tiene

  INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

1

Arcsen′ (𝑥) =

√1 − sen(Arcsen(𝑥))2

=

1 √1 − 𝑥 2

Pero si conocemos la derivada de una función, vistas al revés, tenemos ∫

1 √1 − 𝑥 2

𝑑𝑥 = Arcsen(𝑥) + 𝑐

Podemos ocupar el mismo procedimiento para encontrar las derivadas de las inversas de coseno y de tangente. Resumiendo: Teorema 1. Se cumple ∫

1 √1 − 𝑥 2

𝑑𝑥 = Arcsen(𝑥) + 𝑐

donde Arcsen es la función inversa de seno. Arcsen tiene dominio 𝜋 𝜋

[−1,1], recorrido [− 2 , 2 ], se cumple sen(Arcsen(𝑥)) = 𝑥, y para 𝑥 ∈ ]−1,1[ Arcsen′ (𝑥) =

1 √1 − 𝑥 2

2. Se cumple ∫

−1 √1 − 𝑥 2

𝑑𝑥 = Arccos(𝑥) + 𝑐

donde Arccos es la función inversa de coseno. Arccos tiene dominio [−1,1], recorrido [0, 𝜋], se cumple cos(Arccos(𝑥)) = 𝑥, y para 𝑥 ∈ ]−1,1[ −1 Arccos ′ (𝑥) = √1 − 𝑥 2

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4



3. Se cumple

 ∫

 INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

255

1 𝑑𝑥 = Arctg(𝑥) + 𝑐 1 + 𝑥2

donde Arctan es la función inversa de tangente. Arctan tiene dominio ℝ, 𝜋 𝜋

recorrido ]− 2 , 2 [, se cumple tan(Arctan(𝑥)) = 𝑥, y para 𝑥 ∈ ℝ Arctan′ (𝑥) =

1 1 + 𝑥2

Ejercicio Verifique que para todo 𝑎 ∈ ℝ distinto de 0 se cumplen ∫

1 √𝑎2 − 𝑥 2

∫

𝑎2

𝑑𝑥 =

1 𝑥 ⋅ Arcsen ( ) + 𝑐, 𝑎 𝑎

1 1 𝑥 𝑑𝑥 = ⋅ Arctan ( ) + 𝑐., 2 +𝑥 𝑎 𝑎

Métodos de Integración Los métodos de sustitución permiten encontrar primitivas de muchas funciones que no son directas como las anteriores. Sustitución Hay propiedades de la derivada que tienen un análogo integral, por ejemplo tomemos la Regla de la Cadena:

′

(𝑓(𝑔(𝑥))) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) ⋅

𝑔′ (𝑥) . Por ello 𝑓(𝑔(𝑥)) es una primitiva de 𝑓 ′ (𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥) , por lo tanto podemos afirmar: ∫ 𝑓′(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) + 𝑐.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

 

256

Teorema (Método de Sustitución) Sea F primitiva de f y g derivable, entonces:

 INTEGRALES DE ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝑐.

FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Es común tener que ocupar el método de sustitución, y otros, más de una vez al calcular integrales. Por lo que es más cómodo ocupar la siguiente notación:

Teorema (Método de Sustitución) El mismo método se puede escribir ocupando el cambio de variable: 𝑢 = 𝑔(𝑥). Esto implica que un pequeño cambio en u será un pequeño cambio en g, lo que se simboliza 𝑑𝑢 = 𝑔’(𝑥)𝑑𝑥. Luego: ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝑐 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝑐

Al hacer una sustitución el objetivo es que, al integrar una función que tiene una composición, con la sustitución por la nueva variable se “limpie” la integral, quedando más simple. Pero es obligatorio volver a la variable original, ya que la variable intermedia es invento nuestro. Ejemplos: 1.

Para calcular ∫ cos(𝑥 2 + 5) ⋅ 𝑥 𝑑𝑥, hacemos el cambio de variable

𝑢 = 𝑥 2 + 5, de modo que 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥, o mejor,

𝑑𝑢 2

= 𝑥 𝑑𝑥.

Luego,

2.

1 ∫ cos(𝑥 2 + 5) ⋅ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 2 1 𝑠𝑒𝑛(𝑥 2 + 5) = sen(𝑢) + 𝑐 = +𝑐 2 2 Para calcular ∫ tan(𝑥)𝑑𝑥 , se tiene sen(𝑥) ∫ tan(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 cos(𝑥)

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

 

257

Si hacemos el cambio de variable 𝑢 = cos(𝑥) tenemos que 𝑑𝑢 = sen(𝑥)

−sen(𝑥)𝑑𝑥 y por lo tanto 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 =

−𝑑𝑢

 INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

, entonces:

𝑢

∫ tan(𝑥)𝑑𝑥 = ∫

−1 𝑑𝑢 u

1 = − ∫ 𝑑𝑢 𝑢 = − ln(|𝑢|) + 𝑐 = − ln(|cos(𝑥) |) + 𝑐 Otro aspecto importante es no mezclar las variables cuando se realiza la sustitución, ya que se produce una ambigüedad respecto a la variable. Por ejemplo, en el ejercicio anterior, la siguiente igualdad es incorrecta: ∫ tan(𝑥)𝑑𝑥 = ∫

−1 𝑑𝑢 cos(𝑥)

Nunca se deben mezclar las variables, incluso si estas se simplifican y al final el resultado queda en una sola variable. Ejemplo Para calcular ∫ sen(3x) dx, ocupamos el cambio de variable 𝑢 = 3𝑥, con lo cual 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥. Por lo tanto: sen(u) du 3 −cos(𝑢) −cos(3𝑥) = +𝑐 = +𝑐 3 3 ∫ sen(3x)dx = ∫

Ejemplo Para calcular ∫ cos(𝑥)sen2 (𝑥)𝑑𝑥, ocupamos el cambio de variable 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) esto implica 𝑑𝑢 = cos(𝑥) 𝑑𝑥, y entonces ∫ cos(𝑥)sen2 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 =

𝑢3 sen(𝑥)3 +𝐶 = +𝑐 3 3

Ejemplo Para calcular ∫ sen(𝜋𝑥) 𝑑𝑥, ocupamos el cambio de variable 𝑢 = 𝜋𝑥 con lo cual 𝑑𝑢 = 𝜋𝑑𝑥. Entonces: 1 1 ∫ sen(𝜋𝑥) ⋅ 𝜋 𝑑𝑥 = ∫ sen(𝑢) ⋅ 𝑑𝑢 𝜋 𝜋 1 1 = − cos(𝑢) + 𝑐 = − cos(𝜋𝑥) + 𝑐 𝜋 𝜋

∫ sen(𝜋𝑥) 𝑑𝑥 =

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

 

258

Ejemplo Para calcular

 INTEGRALES DE

∫(5𝑥 4 + 3𝑥 2 + 1)𝑠𝑒𝑛(𝑥 5 + 𝑥 3 + 𝑥)𝑑𝑥

FUNCIONES DE UNA VARIABLE

ocupamos el cambio de variable 𝑢 = 𝑥 5 + 𝑥 3 + 𝑥 por lo tanto 𝑑𝑢 = (5𝑥 4 + 3𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 ∫(5𝑥 4 + 3𝑥 2 + 1)𝑠𝑒𝑛(𝑥 5 + 𝑥 3 + 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ sen(𝑢)𝑑𝑢 = − cos(𝑢) + 𝑐 = −cos(𝑥 5 + 𝑥 3 + 𝑥) + 𝑐 Ejemplo Para calcular ∫

3 𝑑𝑥 +6

2𝑥 2

Vemos que la fracción se parece a la derivada de Arctan, así que adecuamos la función: ∫

3 1 3 1 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 2 +6 6 2 𝑥 𝑥 2 ( ) +1 ( ) +1 √3 √3

2𝑥 2

Luego ocupamos la sustitución 𝑢 =

𝑥 √3

y tenemos 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥

:

√3

1 1 𝑑𝑢 √3 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 2 2 2 2 𝑢 +1 𝑥 ( ) +1 √3 =

𝑥 √3 √3 Arctg(𝑢) + 𝑐 = Arctg ( ) + 𝑐 2 2 √3

Teorema Sea f derivable, se tiene que: ∫

𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 = ln(|𝑓(𝑥)|) + 𝑐 𝑓(𝑥)

La demostración es inmediata usando sustitución 𝑢 = 𝑓(𝑥). Ejemplos

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

259

8𝑥 3

1.

∫ (2𝑥 4 +5) 𝑑𝑥 = ln(2𝑥 4 + 5) + 𝑐 ya que (2𝑥 4 + 5)′ = 8𝑥 3

2.

∫ x⋅ln(𝑥) 𝑑𝑥 = ln(ln(𝑥)) + 𝑐 ya que (ln(ln(𝑥)))′ = 𝑥⋅ln(𝑥)

3.

∫ 𝑥+𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = ln(𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) + 𝑐 ya que

1

1

cos(𝑥)+1

(𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥))′ = 1 + cos(𝑥) Ejercicios Resuelva las siguientes integrales indefinidas: 1. ∫ (𝑥 + 1)√𝑥 2 + 2𝑥 𝑑𝑥 2. ∫ cos6 (𝑥 2 + 1)sen(𝑥 2 + 1)7𝑥 𝑑𝑥 1 3. ∫ 1+4𝑥 2 𝑑𝑥 4. ∫ sen(𝑥)(1 + cos(𝑥))4 𝑑𝑥 5. ∫ 4(3𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 𝑥 6. ∫ 𝑥 2 +1 𝑑𝑥 7. ∫(𝑥 − 1)sen(𝑥 2 − 2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 8. ∫ cos(𝑥)sen2 (𝑥)𝑑𝑥 9. ∫(5𝑥 2 + 1)√5𝑥 3 + 3𝑥 + 7 𝑑𝑥 Integración por partes Otro método muy útil para resolver integrales es la integración por partes, la cual proviene de la regla de la derivada del producto. En efecto se tiene que: ′

(𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)) = 𝑓 ′ (𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′ (𝑥) Reescribiendo la igualdad: ′

𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′ (𝑥) = (𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)) − 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓 ′ (𝑥) Si integramos esta expresión, obtenemos: ′

∫ 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 = ∫(𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 Pero la primitiva de una derivada de una función es la función misma: ∫ 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

260

A este resultado se le conoce como integración por partes y se puede reescribir si ocupamos el cambio de variable 𝑢 = 𝑓(𝑥) y 𝑣 = 𝑔(𝑥), tenemos 𝑑𝑢 = 𝑓’(𝑥) 𝑑𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑔’(𝑥) 𝑑𝑥, obteníendose la Integración por partes: ∫ 𝑢 ⋅ 𝑑𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 − ∫ 𝑣 ⋅ 𝑑𝑢 Note que dado un 𝑑𝑣 basta encontrar un 𝑣 sin la constante, es decir un 𝑣 + 𝑐 es redundante.

Ejemplos 1) ∫ 𝑥 ⋅ sen(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑥 ⋅ cos(𝑥) — ∫ − cos(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑥 ⋅ cos(𝑥) + sen(𝑥) + 𝑐 (

𝑢=𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥

∴ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ) ∴ 𝑣 = − cos(𝑥)

2) ∫ 𝑥 ⋅ cos(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ sen(𝑥) − ∫ sen(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ sen(𝑥) + cos(𝑥) + 𝑐 𝑢=x ∴ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ( ) 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 3) ∫ 𝑥 2 ⋅ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 2 sen(x) − ∫ 2x ⋅ sen(x)dx = 𝑥 2 sen(x) − 2 ∫ x ⋅ sen(x)dx 𝑢 = x2 ∴ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 ) 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) Pero ∫ 𝑥 ⋅ sen(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑥 ⋅ cos(𝑥) — ∫ − cos(𝑥) 𝑑𝑥 Luego: (

∫ 𝑥 2 ⋅ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 2 ⋅ sen(x) − 2 ∫ x ⋅ sen(x) dx = 𝑥 2 ⋅ sen(x) − 2 (−x ⋅ cos(x) + sen(x)) + c

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

261

2

4) ∫(sen(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ sen(𝑥)sen(𝑥)𝑑𝑥 = −sen(𝑥) cos(𝑥) − ∫ −(cos(𝑥))2 𝑑𝑥 = −sen(𝑥) cos(𝑥) + ∫(cos(𝑥))2 𝑑𝑥 𝑢 = sen(x) ∴ 𝑑𝑢 = cos(𝑥) 𝑑𝑥 ( ) 𝑑𝑣 = sen(𝑥)𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥) Pero ∫(cos(𝑥))2 𝑑𝑥 = ∫(1 − (sen(𝑥))2 ) 𝑑𝑥 , reemplazando: ∫(sen(𝑥))2 𝑑𝑥 = −sen(𝑥) cos(𝑥) + ∫(1 − (sen(𝑥))2 )𝑑𝑥 = −sen(𝑥) cos(𝑥) + 𝑥 − ∫(sen(𝑥))2 𝑑𝑥 Vemos que ∫(sen(𝑥))2 𝑑𝑥 está a ambos lados de la igualdad, así que pasamos sumando al lado izquierdo para poder despejar: 2 ∫(sen(𝑥))2 𝑑𝑥 = −sen(𝑥) cos(𝑥) + 𝑥 + 𝑐 ∴ ∫ sen(𝑥)2 𝑑𝑥 = −

𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) 𝑥 + +𝑐 2 2

1

5) ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln(𝑥) − ∫ 𝑥 ∙ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln(𝑥) − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln(𝑥) − 𝑥 + 𝑐 1 (𝑢 = 𝑙𝑛(x) ∴ 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 ) 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ∴𝑣=𝑥

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Ejercicios 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas: a. ∫ 𝑥 ⋅ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 b. ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 c. ∫ 𝑒 𝑥 cos(𝑥) 𝑑𝑥 d. ∫ 𝑥 2 ⋅ ln(𝑥) 𝑑𝑥 e. ∫ 𝑥 ⋅ cos(𝑥) 𝑑𝑥 f. ∫ 𝑥 2 ⋅ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 2. Ocupe sustitución o integración por partes para calcular: a. ∫ 𝑥𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 7𝑥

b.

∫ √6−𝑥 2 𝑑𝑥

c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. w. x. y.

∫ Arcsen(𝑥)𝑑𝑥 ∫ Arccos(𝑥)𝑑𝑥 ∫ sen(𝑥)𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ∫(3𝑥 + 2)𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ∫ sen(𝑥)(𝑥 2 + 𝑥)𝑑𝑥 ∫ cos(𝑥)(𝑥 2 + 𝑥)𝑑𝑥 ∫ ln(3𝑥) (𝑥 2 + 𝑥)𝑑𝑥 ∫ cos(𝑥) (𝑥 3 + 1)𝑑𝑥 ∫ ln(3𝑥 + 1) 𝑑𝑥 ∫ 𝑥^2 Arccos(𝑥) 𝑑𝑥 ∫(6𝑥 + 7) Arcsen(𝑥) 𝑑𝑥 ∫(5𝑥 2 + 2) Arctan(𝑥) 𝑑𝑥 ∫(5𝑥 2 + 2)𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 ∫(𝑥 − 𝜋) Arccos(𝑥) 𝑑𝑥 ∫(𝑥 − 𝜋) cos(𝑥) 𝑑𝑥 ∫(𝑥 + 1)√1 + 3𝑥 𝑑𝑥 ∫ Arctan(5𝑥)𝑑𝑥 ∫ sen(ln(𝑥))𝑑𝑥 ∫ (𝑥 + 1)√𝑥 2 + 2𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 (𝑥 2 )sen(𝑥 2 )𝑥 𝑑𝑥 1 ∫ 2+3𝑥 2 𝑑𝑥 ∫ sen(𝑥)(2 + cos(𝑥))3 𝑑𝑥 ∫ 4(3𝑥 + 1)3 𝑑𝑥

z.

∫ 𝑒 2𝑥 +1 𝑑𝑥

𝑒𝑥

262

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4



263

Sustituciones trigonométricas

  INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

En muchos casos aparecerán expresiones que son parecidas a las derivadas de las funciones trigonométricas inversas que acabamos de ver, entonces, si aparece la expresión √𝑎2 − 𝑥 2 debemos usar el teorema de sustitución para 𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑢), ya que 2

√𝑎2 − (𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑢)) = √𝑎2 − 𝑎2 𝑠𝑒𝑛(𝑢)2 = 𝑎√1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑢)2 = 𝑎|cos(𝑢)| la expresión que resulta es más fácil de trabajar. Si la expresión es √𝑎2 + 𝑥 2 , entonces debemos cambiar x = a ⋅ tan(𝑢), ya que 𝑎2 + 𝑥 2 = 𝑎2 + 𝑎2 𝑡𝑔(𝑢)2 = 𝑎2 sec(𝑢)2 . Y para √𝑥 2 − 𝑎2 ocupamos x = a ⋅ sec(𝑢), obteniendo 𝑥 2 − 𝑎2 = 𝑎2 sec(𝑢)2 − 𝑎2 = 𝑎2 tan(𝑢)2 . Ejemplos 𝑥

1) ∫ √16−𝑥 2 𝑑𝑥 Ocupamos la sustitución 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛(𝑢) y obtenemos: 𝑑𝑥 = 4 cos(𝑢) 𝑑𝑢 √16 − 𝑥 2 = √16 − 16 sen(𝑢)2 = 4√1 − sen(𝑢)2 = 4cos(𝑢) Entonces: ∫

𝑥 √16 − 𝑥 2

𝑑𝑥 = ∫

4sen(𝑢)4 cos(𝑢) 𝑑𝑢 4 cos(𝑢)

= 4 ∫ sen(𝑢)𝑑𝑢 = −4 cos(𝑢) + 𝑐 = −√16 − 𝑥 2 + 𝑐 𝑥

2) ∫ √𝑥 2 𝑑𝑥 +9 Ocupamos la sustitución 𝑥 = 3tan(𝑢) y obtenemos:

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

264

𝑑𝑥 = 3sec(𝑢)2 𝑑𝑢 √𝑥 2 + 9 = √9tan(𝑢)2 + 9 = 3√tan(𝑢)2 + 1 = 3sec(𝑢) Entonces: ∫

𝑥 √𝑥 2 + 9

𝑑𝑥 = ∫

3tan(𝑢) 3sec(𝑢)2 𝑑𝑢 3sec(𝑢)

= ∫ tan(𝑢) sec(𝑢) 𝑑𝑢 = ∫

sen(𝑢) 𝑑𝑢 cos(𝑢)2

Volvemos a ocupar un cambio de variable: ℎ = cos(𝑢) 𝑑ℎ = −𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 ∴∫

sen(𝑢) −𝑑ℎ 1 1 𝑑𝑢 = ∫ 2 = + 𝑐 = +𝑐 2 cos(𝑢) ℎ ℎ cos(𝑢)

Finalmente como 𝑥 = 3tan(𝑢): ∫

𝑥 √𝑥 2 + 9

𝑑𝑥 = ∫

sen(𝑢) 1 𝑑𝑢 = +𝑐 cos(𝑢)2 cos(𝑢)

Debemos determinar el cos(𝑢), para esto construimos un triángulo rectángulo de catetos 𝑥 y 3, para que 𝑥 = 3tan(𝑢), y despejamos 𝑐𝑜𝑠(𝑢):

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

 

265

3

Por lo tanto cos(𝑢) = √𝑥 2 . Luego: +9

 INTEGRALES DE

∫

FUNCIONES DE UNA VARIABLE

3) ∫ √𝑥 2 2 𝑑𝑥 −𝑎

𝑥

𝑥 √𝑥 2 + 9

𝑑𝑥 =

1 √𝑥 2 + 9 +𝑐 = +𝑐 cos(𝑢) 3

Ocupamos el cambio de variable 𝑥 = 𝑎 sec(𝑢) y obtenemos: 𝑑𝑥 = 𝑎 sec(𝑢) tan(𝑢)𝑑𝑢 √𝑥 2 − 𝑎2 = 𝑎 tan(𝑢) Entonces: ∫

𝑥 √𝑥 2 − 𝑎2

𝑑𝑥 = ∫

𝑎 sec(𝑢) 𝑎 sec(𝑢) tan(𝑢)𝑑𝑢 𝑎 tg(𝑢)

= 𝑎 ∫(sec(u))2 𝑑𝑥 = 𝑎 tan(𝑢) + 𝑐 Como 𝑥2

√

𝑎2

𝑥 = 𝑎 sec(𝑢)

−1=

√𝑥 2 −𝑎2 𝑎

se

tiene

que

tan(𝑢) = √sec(𝑢)2 − 1 =

, , entonces: ∫

𝑥 √𝑥 2

−

𝑎2

𝑑𝑥 = √𝑥 2 − 𝑎2 + 𝑐

Fracciones Parciales Hemos calculado algunas primitivas de cocientes de polinomios, sin 3𝑥+1

1

embargo aún desconocemos primitivas como ∫ 𝑥 2 +𝑥 𝑑𝑥 o ∫ (𝑥−1)(𝑥+3) 𝑑𝑥 por ejemplo, y muchas más. Sin embargo veremos que estos cocientes pueden descomponerse en sumas de fracciones de las cuales conocemos su primitiva Recordemos que un polinomio con coeficientes reales en la indeterminada de 𝑥 es una expresión de la forma 𝑎0 +𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 , donde 𝑛 es no negativo y 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 son elementos en ℝ. Si 𝑎𝑛 ≠ 0, entonces decimos que el polinomio tiene grado 𝑛 y es el mayor exponente que aparece en las potencias de 𝑥 que tiene el polinomio.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Todo número real es también un polinomio, para uniformizar las operaciones, donde el 0 no tiene grado y donde los números distintos de cero tienen grado cero. Los polinomios se pueden sumar y multiplicar siguiendo las reglas algebraicas de agrupación de términos semejantes, producto de potencias de base 𝑥, y distributividad. Ejemplo Si 𝑝(𝑥) = 3𝑥 2 + 4 y 𝑞(𝑥) = 2𝑥 + 1, entonces el grado de 𝑝(𝑥) es 2 y el grado de 𝑞(𝑥) es 1, y además 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = (3𝑥 2 + 4) + (2𝑥 + 1) = 3𝑥 2 + 2𝑥 + 5 𝑝(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) = (3𝑥 2 + 4) ⋅ (2𝑥 + 1) = 6𝑥 3 + 3𝑥 2 + 8𝑥 + 4 Más aún, podemos considerar operaciones con potencias de polinomio, como 2

𝑝(𝑥) ⋅ (𝑞(𝑥)) = (3𝑥 2 + 4) ⋅ (2𝑥 + 1)2 = (3𝑥 2 + 4) ⋅ (4𝑥 2 + 4𝑥 + 1) = 12 𝑥 4 + 12 𝑥 3 + 19 𝑥 2 + 16 𝑥 + 4 Notemos que al multiplicar polinomios se suman sus grados. En importante, pero no simple en general, el hacer el reverso de la operación anterior, es decir, dado un polinomio lograr escribirlo como producto de factores más simples. Para eso, además de las identidades algebraicas, ayuda lo siguiente: Teorema Un número 𝑐 es una raíz del polinomio 𝑝(𝑥) si se cumple que 𝑝(𝑐) = 0. En tal caso, existe un polinomio 𝑞(𝑥) que permite la factorización 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋅ (𝑥 − 𝑐) Es decir, conocer las raíces de un polinomio permite factorizarlo, tal como ocurre en la cuadrática.

266

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

267

De hecho, polinomios de grado dos son conocidos como cuadráticos, y polinomios de grado uno son conocidos como lineales. Recuerde que si el discriminante de una cuadrática es negativo, entonces no tiene raíces reales. Teorema Todo polinomio de grado positivo se puede factorizar totalmente y de modo único como producto de factores lineales y de factores cuadráticos que no tienen raíces reales.

Volviendo a fracciones parciales, la idea es descomponer fracciones entre polinomios en sumas de fracciones entre polinomios que sean más simples de integrar. Ejemplo Con sustituciones, sabemos que ∫(

1 1 1 1 − ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 𝑥−1 𝑥+2 𝑥−1 𝑥+2 = ln(|𝑥 − 1|) − ln(|𝑥 + 2|) + 𝑐

Pero no se ve tan fácil integrar ∫

3 𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑥 − 2

Sin embargo, se cumple 1 1 3 − = 2 𝑥−1 𝑥+2 𝑥 +𝑥−2 Por lo que ∫

3 1 1 𝑑𝑥 = ∫ ( − ) 𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑥−1 𝑥+2 = ln(|𝑥 − 1|) − ln(|𝑥 + 2|) + 𝑐

El problema que viene a ser resuelto por las fracciones parciales es, dada una fracción como 𝟏

𝟏

parciales 𝒙−𝟏 − 𝒙+𝟐

𝟑

, de qué modo descomponerla en las fracciones

𝒙𝟐 +𝒙−2

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

 

268

El método se aplica cuando el polinomio del denominador está factorizado, y lo describimos por casos a partir de ejemplos.

 INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Fracción parcial con factores lineales diferentes. Ocurre cuando en el denominador factorizado sólo hay polinomios lineales diferentes, y el método aporta un sumando por cada factor, pero con coeficientes incógnitos a determinar, como muestra el ejemplo siguiente: Para descomponer

4𝑥−1 (𝑥−1)(𝑥+2)

en fracciones parciales, se busca encontrar

los valores de los coeficientes reales 𝐴 y 𝐵 que logren 4𝑥 − 1 𝐴 𝐵 = + (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 𝑥 − 1 𝑥 + 2 Eso debe ser una igualdad para todo 𝑥, no una ecuación que se cumpla para algunos valores de 𝑥 solamente. Luego, reagrupando el lado derecho, se tiene 4𝑥 − 1 𝐴 𝐵 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 1) = + = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 𝑥 − 1 𝑥 + 2 (𝐴 + 𝐵)𝑥 + (2𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) Los numeradores deben ser iguales, así que se tiene el sistema de ecuaciones {

𝐴+𝐵 =4 2𝐴 − 𝐵 = −1

Al resolver el sistema, obtenemos 𝐴 = 1 y 𝐵 = 3, de modo que 4𝑥 − 1 1 3 = + (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 𝑥 − 1 𝑥 + 2

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4



Como estamos en el tema de integración, integramos

 ∫

 INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

269

4𝑥 − 1 1 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 𝑥−1 𝑥+2 = ln|𝑥 − 1| + 3 ln|𝑥 + 2| + 𝑐

La idea del método en el caso de que el denominador tenga sólo factores lineales diferentes es que para cada factor lineal 𝑎𝑥 + 𝑏 del denominador 𝐴

se agrega un sumando de la forma 𝑎𝑥+𝑏 a la descomposición en fracciones parciales. Cuidado, el grado del numerados debe ser menor que el grado del denominador. Ejemplo Calcule ∫

𝑥2 − 𝑥 − 6 𝑑𝑥 𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)

Solución Aplicando fracciones parciales, como el denominador tiene tres factores lineales diferentes, hay que determinar los valores de 𝐴, 𝐵 y 𝐶 (los nombres son arbitrarios) tales que 𝑥2 − 𝑥 − 6 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 + 3 =

𝐴(𝑥 + 1)(𝑥 + 3) + 𝐵𝑥(𝑥 + 3) + 𝐶𝑥(𝑥 + 1) 𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)

(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑥 2 + (4𝐴 + 3𝐵 + 𝐶)𝑥 + 3𝐴 = 𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) Luego, se obtiene el sistema de ecuaciones 𝐴+𝐵+𝐶 =1 {4𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 = −1 3𝐴 = −6 Resolviendo el sistema, se llega a que 𝐴 = −2, 𝐵 = 2 y 𝐶 = 1 Luego 𝑥2 − 𝑥 − 6 −2 2 1 = + + 𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) 𝑥 𝑥+1 𝑥+3

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

270

y por tanto 𝑥2 − 𝑥 − 6 1 1 1 ∫ 𝑑𝑥 = −2 ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) 𝑥 𝑥+1 𝑥+3 = −2 ln|𝑥| + 2 ln|𝑥 + 1| + ln|𝑥 + 3| + 𝑐

Fracción parcial con factores lineales iguales. En el caso de que en el denominador de la fracción aparezca varias veces el mismo factor lineal, es decir, aparezca elevado a potencia, se agregan tantos sumandos como sea la potencia, como muestra el ejemplo siguiente: Para calcular 3𝑥 2 − 8𝑥 + 13 ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2 Con el factor 𝑥 + 3 ya sabemos que se agrega el sumando

𝐴 𝑥+3

Como el

factor 𝑥 − 1 se repite dos veces, agregamos a la descomposición los 𝐵

𝐶

sumandos 𝑥−1 + (𝑥−1)2 , es decir, con la misma forma que antes, pero uno por cada potencia hasta alcanzar la potencia con que aparece en la fracción original Luego, buscaremos 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ de manera tal que: 3𝑥 2 − 8𝑥 + 13 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2 𝑥 + 3 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)2 𝐴(𝑥 − 1)2 + 𝐵(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) + 𝐶(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2 =

(𝐴 + 𝐵)𝑥 2 + (−2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶)𝑥 + (𝐴 − 3𝐵 + 3𝐶) (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2

De donde se obtiene el sistema 𝐴+𝐵 =3 {−2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = −8 𝐴 − 3𝐵 + 3𝐶 = 13 Al resolverlo, se obtiene 𝐴 = 4, 𝐵 = −1 y 𝐶 = 2, y 3𝑥 2 − 8𝑥 + 13 4 −1 2 = + + (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2 𝑥 + 3 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)2

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4



Luego,



3𝑥 2 − 8𝑥 + 13 ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2

 INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

271

1 1 1 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)2 𝑥+3 𝑥−1 2 = 4 ln|𝑥 + 3| − ln|𝑥 − 1| − +𝑐 𝑥−1 Respecto del método en este caso, note que la cantidad de sumandos que aporta la potencia de un factor lineal es exactamente el exponente de esa potencia. Por ejemplo, si en el denominador aparece (𝒙 − 𝟏)𝟒 , el aporte en sumandos de ese factor a la descomposición es 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 + + + 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)2 (𝑥 − 1)3 (𝑥 − 1)4 Cuatro sumandos con las respectivas constantes. Por supuesto, otros factores hacen sus propios aportes. = 4∫

Fracción parcial con factores cuadráticos. Si en el denominador de una fracción de polinomios, ya factorizado, aparece un factor cuadrático sin raíces reales, entonces no se puede reescribir como producto de lineales ni como el cuadrado de un lineal. En ese caso, el aporte de tal cuadrático a la descomposición en fracciones parciales tiene un numerador lineal o constante, es decir, de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 Ejemplo 𝑥−9

Para calcular ∫ (𝑥+1)(𝑥 2 +9) 𝑑𝑥 Ya sabemos el aporte del factor 𝑥 + 1, que es 2

𝐴

. El factor cuadrático

𝑥+1

𝑥 + 9 no tiene raíces reales, por lo que su aporte a la descomposición es el sumando constante)

𝐵𝑥+𝐶 𝑥 2 +9

, con numerador lineal o constante (si 𝐵 = 0 sería

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

272

La descomposición queda 𝑥−9 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 = + 2 2 (𝑥 + 1)(𝑥 + 9) 𝑥 + 1 𝑥 +9 2 𝐴(𝑥 + 9) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)(𝑥 2 + 9) (𝐴 + 𝐵)𝑥 2 + (𝐵 + 𝐶)𝑥 + (9𝐴 + 𝐶) = (𝑥 + 1)(𝑥 2 + 9) De donde, notando que en 𝑥 − 9 = 0 ⋅ 𝑥 2 + 𝑥 − 9 el coeficiente de 𝑥 2 es 0, se obtiene el sistema 𝐴+𝐵 =0 { 𝐵+𝐶 =1 9𝐴 + 𝐶 = −9 Resolviendo, se obtiene 𝐴 = −1, 𝐵 = 1 y 𝐶 = 0. Luego 𝑥−9 −1 𝑥 = + (𝑥 + 1)(𝑥 2 + 9) 𝑥 + 1 𝑥 2 + 9 Y entonces ∫

𝑥−9 1 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 2 + 9) 𝑥+1 𝑥2 + 9 ln|𝑥 2 + 9| = − ln|𝑥 + 1| + +𝑐 2

Ejercicios Calcule las integrales siguientes: 2𝑥−4

1.

∫ 𝑥 3 −𝑥 2 +4𝑥−4 𝑑𝑥

2.

∫ 𝑥(𝑥+1) 𝑑𝑥

3.

∫ 𝑥 2 −1 𝑑𝑥

4.

∫ 𝑥 2 +3𝑥−4 𝑑𝑥

5.

∫ 𝑥 2 +3𝑥−10 𝑑𝑥

6.

∫ 𝑥 2 +5𝑥+6 𝑑𝑥

1

3

𝑥−11

3𝑥−13 2𝑥+3

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

273

5𝑥+7

7.

∫ 𝑥 2 +4𝑥+4 𝑑𝑥

8.

∫ (𝑥−2)(𝑥−1)2 𝑑𝑥

9.

∫ 𝑥 3 −4𝑥 𝑑𝑥

10.

∫ (𝑥+3)(𝑥 2 +2)2 𝑑𝑥

3𝑥

𝑥 2 +1

6𝑥 2 −15𝑥+22

Integral definida Recordemos que la integral definida mide la acumulación de una función en un intervalo, y para una función 𝑓 en un intervalo [𝑎, 𝑏] se tenía que su integral era 𝑏

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = lim 𝑓(𝑐1 )(𝑡1 − 𝑡𝑜 ) + 𝑓(𝑐2 )(𝑡2 − 𝑡1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑐𝑛 )(𝑎 − 𝑡𝑛−1 ) 𝑎

𝑛→∞

Donde 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 y 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. Si ese límite converge, se dice que 𝑓(𝑥) es integrable en ese intervalo. Además Teorema Fundamental del Cálculo 1° parte Si 𝑓 es integrable en [𝑎, 𝑏] y 𝑔 es una primitiva de 𝑓, es decir 𝑔’(𝑥) = 𝑓(𝑥), entonces: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) 𝑎

Notación Ocuparemos la siguiente abreviatura (𝑔(𝑥))𝑏𝑎 = 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) Ejemplo 1

∫ 0

1 𝑥 1 1 2𝑥 1 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ( ln(𝑥 + 5)) 𝑥2 + 5 2 0 𝑥2 + 5 2 0 1 1 1 6 = ln(6) − ln(5) = ln ( ) 2 2 2 5

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

274

Teorema Sea 𝑓 integrable en el intervalo [𝑎, 𝑏] y sea 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏]. Se tiene que: 𝑎

1)

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0

2)

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3)

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑏

𝑎

𝑐

𝑏

Demostración: Sea F primitiva de f, entonces: 𝑎

1)

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑎) = 0

2)

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = −(𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏)) = − ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3)

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑐) − 𝐹(𝑎) + 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑐) =

𝑐

𝑏

𝑎

𝑏

𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Teorema Fundamental del Cálculo 2° parte Si 𝑓 es continua, entonces 𝑥 𝑑 (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

Demostración: Sea F primitiva de f, entonces: 𝑥

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎) 𝑎

Derivando esta expresión: 𝑥 𝑑 𝑑 (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) = (𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎)) = 𝐹 ′ (𝑥) − 0 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 𝑑𝑥

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

 

El método de sustitución es empleado de la misma manera, sólo que ahora también debemos considerar los límites de integración: 𝑏

 INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

275

𝑑

′

∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑎

𝑐

Donde 𝑐 es el valor de 𝑢 cuando 𝑥 = 𝑎 y 𝑑 es el valor de u cuando 𝑥 = 𝑏. Integración por partes también se puede formular para integral definida: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔

′ (𝑥)𝑑𝑥

𝑎

𝑏

= (𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥))𝑎 − ∫ 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

Los límites de integración se mantienen. Ejercicios Encuentre las siguientes integrales: 3

1. ∫2 (𝑥 + 1)√𝑥 2 + 2𝑥𝑑𝑥 5

2. ∫4 𝑐𝑜𝑠 6 (𝑥 2 + 1)sen(𝑥 2 + 1)7𝑥 𝑑𝑥 10

3. ∫0 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

𝑏

1

𝑑𝑥

1+4𝑥 2 2 ∫1 sen(𝑥)(1 + cos(𝑥))4 𝑑𝑥 10 ∫8 4(3𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 5 𝑥 ∫0 𝑥 2 +1 𝑑𝑥 3 ∫2 (𝑥 − 1)sen(𝑥 2 − 2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 1 ∫0 cos(x)sen2 (x) dx 1 ∫0 (5𝑥 2 + 1)√5𝑥 3 + 3𝑥 + 7 𝑑𝑥 2 ∫2 (𝑥 − 1)sen(𝑥 2 − 2𝑥 + 5) 𝑑𝑥

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

 

Integrales y áreas

 INTEGRALES DE

Si recordamos la definición inicial del capítulo, tenemos que la integral de f en el intervalo [a,b] está dada por

FUNCIONES DE UNA VARIABLE

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim 𝑓(𝑐1 )(𝑡1 − 𝑡𝑜 ) + 𝑓(𝑐2 )(𝑡2 − 𝑡1 ) + …

𝑏

𝑛→∞

+𝑓(𝑐𝑛 )(𝑏 − 𝑡𝑛−1 )

Donde 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 y 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ].

En el caso de que 𝑓(𝑥) > 0 en el intervalo [𝑎, 𝑏], para cada 𝑛, cada sumando 𝑓(𝑐𝑖 )(𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1 ) tiene el valor del área de un rectángulo de base (𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1 ) y altura 𝑓(𝑐𝑖 ), de modo que para cada 𝑛 la suma 𝑓(𝑐1 )(𝑡1 − 𝑡𝑜 ) + 𝑓(𝑐2 )(𝑡2 − 𝑡1 ) + … + 𝑓(𝑐𝑛 )(𝑏 − 𝑡𝑛−1 )

Es la suma de áreas de rectángulos que aproximan el área de la región encerrada entre el eje X y la gráfica de 𝑓(𝑥), como muestra la imagen:

276

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

277

Acá se muestra una caso donde 𝑛 = 4, es decir, se divide en 4 subintervalos, en cada uno se muestran los puntos 𝑐1, 𝑐2 , 𝑐3 y 𝑐4 con líneas verticales punteadas para mostrar que la función se evalúa en esos puntos para formar la altura de cada rectángulo, donde la base es el ancho del subintervalo. Puede notarse que la región encerrada entre la curva y el eje X es la de la siguiente figura

La suma 𝑓(𝑐1 )(𝑡1 − 𝑡𝑜 ) + 𝑓(𝑐2 )(𝑡2 − 𝑡1 ) + 𝑓(𝑐3 )(𝑡3 − 𝑡2 ) + 𝑓(𝑐4 )(𝑏 − 𝑡3 ) Es una aproximación de tal área. La idea es que usando más subintervalos, es decir, a medida que 𝑛 crece ilimitadamente, la suma es cada vez más parecida al área, y en el límite, converge al área.

Teorema 𝑏

Si la función 𝑓(𝑥) es continua y positiva en [𝑎, 𝑏], entonces ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 mide el área de la región entre el eje X y la gráfica de la función.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

278

Si la función no es positiva, entonces la integral no medirá el área. Pero por las propiedades de la integral, si cambia de signo la función también cambia de signo la integral, por lo que la integral de una función negativa mide el negativo del área encerrada. Por último, si la función cambia de signo, entonces la integral donde es positiva menos la integral donde es negativa, mide el área encerrada entre la curva y el eje X. La respuesta es no, basta ver los siguientes ejemplos: 1

1) ∫0 −2𝑥𝑑𝑥 = −12 − (−02 ) = −1 Esperaríamos que esta integral nos diera el área bajo la curva, sin embargo nos da un resultado negativo, lo cual es contradictorio. Esto se debe a que la imagen de 𝑓(𝑥) = −2𝑥 es negativa. 𝜋

2) ∫0 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝜋) − 𝑠𝑒𝑛(0) = 0 En este caso vemos que el resultado es cero, esto se apreciar claramente con la gráfica de 𝑐𝑜𝑠(𝑥):

𝜋

Vemos que la integral en el intervalo [0, 2 ] será positiva, sin embargo en 𝜋

[ 2 , 𝜋] tendrá el mismo valor pero negativo. Con lo cual concluimos que la integral definida de una función no es el área bajo la curva, sin embargo podemos enunciar el siguiente resultado.

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

 

279

Teorema

 INTEGRALES DE

Sea 𝑓 una función integrable en [𝑎, 𝑏], el área bajo la curva de esta función está dado por

FUNCIONES DE UNA VARIABLE

∫ |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Ya que el valor absoluto de una función es siempre positivo. Teorema Sean 𝑓, 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ dos funciones continuas (excepto tal vez en un número finito de puntos), entonces el área entre las dos gráficas en el intervalo [𝑎, 𝑏] se puede obtener de la siguiente integral: 𝑏

∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥. 𝑎

Ejemplos 1) Calcule el área bajo la curva de 𝑦 = −2𝑥 en [−1,1]: Vemos que 𝑦 = −2𝑥 >0 si 𝑥 ∈ [−1,0] y 𝑦 = −2𝑥 < 0 si 𝑥 ∈ [0,1]. Luego: 1

0

−1

−1

1

∫ |−2𝑥| 𝑑𝑥 = ∫ |−2𝑥|𝑑𝑥 + ∫ |−2𝑥|𝑑𝑥 0

0 1

= ∫ −2𝑥𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥𝑑𝑥 −1

0

Pero sabemos que ∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 𝐶. Entonces: 1

∫ |−2𝑥| 𝑑𝑥 = −2(02 ) − (−2(−1)2 ) + 2(1) − 2(0) = 4 −1

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4

   INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

280

2) Calcule el área bajo la curva de 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2 en [0,2] Vemos que 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2 = 𝑥 2 (𝑥 − 1) y como 𝑥 2 ≥ 0, se tiene que 𝑥 3 − 𝑥 2 = 𝑥 2 (𝑥 − 1) > 0 cuando 𝑥 − 1 > 0, es decir, 𝑥 > 1 y análogamente 𝑥 3 − 𝑥 2 < 0 cuando 𝑥 < 1. Luego: 2

1

2

∫ |𝑥 3 −𝑥 2 |𝑑𝑥 = ∫ |𝑥 3 −𝑥 2 |𝑑𝑥 + ∫ |𝑥 3 −𝑥 2 |𝑑𝑥 0

0 1

1 3

2

2

= ∫ −(𝑥 − 𝑥 ) 𝑑𝑥 + ∫ (𝑥 3 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 0

Pero ∫(𝑥 3 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 2

𝑥4 4

∫ |𝑥 3 −𝑥 2 | 𝑑𝑥 = (− 0

−

𝑥3 3

1

+𝑐

14 13 24 23 14 13 3 + + 0 − 0) + ( − − + ) = 4 3 4 3 4 3 4

3) Calcule el área encerrada entre las curvas 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥 2 en el intervalo [0,1] Para resolver este problema lo primero es graficar, para esto encontramos las intersecciones igualando ambas curvas: 𝑥 = 𝑥 2 , es decir, 𝑥 = 0 o 𝑥 = 1 Por lo tanto se intersectan en 𝑥 = 0 y en 𝑥 = 1. Además notamos que 𝑥 > 𝑥 2 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]0,1[ , luego el área pedida será la resta entre el área de la recta y la parábola como muestra el gráfico:

Entonces el área es: 1

∫ (𝑥 − 𝑥 0

1

2 )𝑑𝑥

𝑥2 𝑥3 1 1 1 =( − ) = − = 2 3 0 2 3 6

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 4



281

Calcule el área de la siguiente circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1

  INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Tenemos una circunferencia centrada en el origen y de radio 1, por lo tanto tenemos que integrar entre 𝑥 = −1 y 𝑥 = 1. Para esto necesitamos una función y tenemos una ecuación que no es función, sin embargo basta hallar el área de la mitad de la circunferencia y multiplicarla por dos. Tenemos que la mitad superior de la circunferencia está determinada por la función 𝑦 = √1 − 𝑥 2 . Luego el área será: 1

∫ √1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 −1

Hacemos la sustitución 𝑥 = sen(𝑢), con lo cual tenemos 𝑑𝑥 = 𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑢)𝑑𝑢. Y si 𝑥 = −1 entonces u = Arcsen(−1) = − 2 y si 𝑥 = 1 entonces u = Arcsen(1) = 1

𝜋 2

𝜋 2

𝜋

𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 2 𝜋 ∫ √1 − 𝑥 2 = ∫ cos(𝑢) cos(𝑢) 𝑑𝑢 = ( + ) 𝜋= 𝜋 2 4 2 − −1 − 2

2

Luego se tiene que el área es 𝜋. Ejercicios 1. Calcule el área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 2 para 𝑥 ∈ [0,1]. 2. Calcule el área que se encuentra entre el eje horizontal y la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) para 𝑥 ∈ [0, 𝜋]. 3. Calcule el área que se encierra entre la gráfica de la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒 y el eje horizontal para 𝑥 ∈ [1, ln(5)]. 4. Calcule el área encerrada por la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 1 y las rectas 𝑥 = 2, 𝑥 = 3 y el eje horizontal. 5. Calcule el área encerrada entre las curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 y 𝑔(𝑥) = 4𝑥 − 3. 6. Determine una fórmula para el área de una elipse.