Roger Roge rio Mor Mo reir ei ra Lim Limaa Silv Si lvaa Marcelo Lyra Brandão
Manual Manual de d e Prob Proble lemas mas Reso Resolv lvid idos os ELETROMAGNETISMO VOLUME VOLUM E I
PAPEL
VIRTUAL
Copyrigh Cop yright© t© 20 2000 por Marc Mar celo Lyra Lyra Bran d ão e Rogerio Moreira Mor eira Lim Lim a Sil Silva va Títu Título lo Origi Or igina nal: l: Manu Man u al de Problemas Prob lemas Resolvi Resolvidd os Eletromagnetismo Editor-Chefe: Tomaz Adour Editoração Eletrônic Eletrônica: a: And An d rea Cavalc Cav alcan anti ti Revisão: Patríc Patr ícia ia Sim Simões ões Carneir Car neiroo Pap el Virtu Virtu al Ed Ed itora Rua Marqu Mar qu ês d e São São Vicente, Vicente, 225 225 Préd io Genesis Gen esis - sala 21-A 21-A - PUC-Rio PUC-Rio Gáv Gá v ea - Rio Rio de d e Jan Jan eiro eir o - RJ CEP: 2245322453-900 900 Tel: (021) (021) 239-01 239-0170 70 Ram ais: 2057 2057 / 2026 2026 (fax) (fax) E-mail:
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Brandão, Marcelo L. Manu Man u al d e Exercí Exercíccios Resolvi Resolvidd os: Eletrom letromagnetismo agnetismo / Marcelo Marcelo L Brand ão, Silva, Rogerio M L. - São Luís, 1999. V.1, V.1, 136 136 pg. p g. 1. Eletro Eletrom m agn etismo etism o - exercíc exercícios ios I Silva, Rogerio Roge rio M L. II Títu Título lo CDD CD D 535.14 535.14 CDU 537.8
Mar celo celo Lyr Lyraa Bra Bran n d ão Doutor em Engen haria El Elé trica trica p ela Unicam Unicam p Profes Professor sor Adju Adju nto d o Departamento d e Engenharia Engenharia d e Eletric letricidad idad e d a Ufma Rogerio Moreira Mor eira Lima Silva Silva Estud ante d e Engenh Engenh aria El Elétrica trica d a Ufma
Manu al de Pr oblemas oblemas Resol Resolvidos vidos Eletromagnetismo VOLUME I
A meus avós; em especial a meu avô William Moreira Lima. A minha família, em especial aos meus pais. A meu tio Aluizio Moreira Lima, pelo empenho pessoal. À minha noiva, Cintia Karine Carneiro Rocha, por tudo. R. M. L. Silv a
PREFÁ CIO
Este manual tem por finalidade auxiliar os estudantes d e Engen har ia Elé trica no estud o do eletrom agnetismo. O manual é d irecionad o a resolu çã o de p roblem as do livro “ Eletrom agnetismo, Krau s / Carver” , mas s ã o resolvidos tamb é m exercí cios de ou tros livros. É relevante citar qu e se optou p or seguir a ordem d e cap í t u los do livro acim a citad o, ou seja,” Eletrom agnetismo, Kraus / Carver ” . N este primeiro volum e ser ã o apresentad as resolu çõ es d e exercí c ios d os cap í t u los 1(u m ) ao 9 (nove) e no segu nd o volum e, d os cap í t u los 10(dez) ao 14(catorze). Tam b é m ser ã o forn ecidas ao final d e cad a cap í t u lo as refer ê ncias bibliog r á ficas p ara p esquisa d a teoria, a qu al form a a ba se teó rica necess á ria para p erfeito entend imento d os exercí c ios resolvidos. Esperam os qu e este man u al seja u tilizado p or p rofessores que adotem o livro “ Eletromagnetismo, Kraus / Carver ” ou “ Eletrom agn etics, Krau s ” , e qu e o mesmo seja d e grand e valia p ara m elhor entend im ento da teoria. Tend o em vista qu e todo e qu alqu er trabalho n ã o est á imu ne a erros e consequ entem ente eventuais corre çõ es, os leitores qu e d esejarem fazer cr í t icas e, ou , sugestõ es devem dirigir-se aos autores no Departamento de Engenharia de Eletricidade da Universidade Federal do Maranh ão (UFMA). M arcelo Lyra Brand ão lyra@d ee.ufm a.br Rogerio Moreira Lima Silva rogeriom ls@zip m ail.com.br rogeriom
[email protected] rogerm ls@telemar-m a.com .br
SUM Á RIO
Cap í tu lo 1 ............................................................................... 13 Cap í tu lo 2 ............................................................................... 19 Cap í tu lo 3 ............................................................................... 33 Cap í tu lo 4 ............................................................................... 51 Cap í tu lo 5 ............................................................................... 59 Cap í tu lo 6 ............................................................................... 87 Cap í tu lo 7 ............................................................................... 95 Cap í tu lo 8 ............................................................................. 103 Cap í tu lo 9 ............................................................................. 113 Bibliografia Consu ltad a ..................................................... 133 Biografia d os au tores .......................................................... 135
LISTA DE FIGURAS
Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra
Prob. 2-2 ..................................................................... 21 Prob. 3-3 .................................................................... 36 Prob. 3-4 .................................................................... 38 Prob. 3-5 .................................................................... 39 Prob. 3-8a .................................................................. 44 Prob. 3-8b .................................................................. 46 Prob. 3-9 .................................................................... 46 Prob. 3-10 .................................................................. 48 Prob. 4-2 .................................................................... 52 Prob. 5-2 .................................................................... 60 Prob. 5-3a .................................................................. 61 Prob. 5-3b .................................................................. 62 Prob. 5-5 .................................................................... 65 Prob. 5-6a .................................................................. 67 Prob. 5-6b .................................................................. 68 Prob. 5-6c .................................................................. 68 Prob. 5-9 .................................................................... 72 Prob. 5-12 .................................................................. 73 Prob. 5-13a ................................................................ 75 Prob. 5-13b ................................................................ 75 Prob. 5-14 .................................................................. 77 Prob. 5-15 .................................................................. 79 Prob. 5-16a ................................................................ 81 Prob. 5-16b ................................................................ 81 Prob. 5-18 .................................................................. 83 Prob. 5-19 .................................................................. 85 Prob. 5-20 .................................................................. 86 Prob. 6-5 .................................................................... 90 Prob. 6-7 .................................................................... 93 Prob. 8-2 .................................................................. 104 Prob. 8-3a ................................................................ 105
Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra Figu ra
Prob. Prob. Prob. Prob. Prob. Prob. Prob. Prob. Prob. Prob. Prob.
8-3b ................................................................ 105 8-4a ................................................................ 106 8-4b ................................................................ 107 8-5 .................................................................. 108 8-6 .................................................................. 109 8-7 .................................................................. 110 9-11 ................................................................ 122 9-15 ................................................................ 125 9-16 ................................................................ 127 9-17 ................................................................ 128 9-18 ................................................................ 130
12
CAP ÍTULO 1
INTRODU ÇÃ O
1.1- Dar: a) A d escri çã o d imensional b) As f órmulas dimensionais em termos dos sí m bolos M,L,T e I c) As unid ad es de SI, para as seguintes exp ressõ es:
dl dt
dl
∫ F .dl dx
onde l é o comp rimento, Fonte:[1]
t o temp o e
Sol: a)
dl dt
= velocidade
∫ F .dl = trabalho dl dx
= a dim ensional 13
F a for ça
b) dl dt
=
compriment o tempo
=
L T
∫ F .dl = ( forçca) *(compriment o) = (massa) * (aceleração) *(compriment o) velocidade (massa) * (compriment o) compriment o = (massa) * * ( ) = 2 tempo tempo ( ) ⇒ ∫ F .dl = dl dx
=
M . L
T 2 (compriment o)
(compriment o)
L
= =1 L
c) dl dt
= m / s (metros.. por ..segundo)
∫ F .dl = J ( joules) dl dx
= a dim ensional
1.2) Dar o qu e se p ed e no p roblema 1.1 p ara
Q2
1
∫∫∫ ρ .dv;V ; E ; ∫ E .dl; 4.π .ε ; 4.π .ε .r ; J ; BIL 2
0
0
Fonte:[1] Sol:
14
a)
∫∫∫ ρ .dv = c arg a
V = potencial
E = int ensidade..de..campo..elé trico
∫ E .dl = potencial 1 4.π .ε 0
= constate
2
Q
= for ça
2
4.π .ε 0 .r
J = densidade..de..corrente BIL = For ça
b)
∫∫∫
ρ .dv =
Q V
∫
V = − E .dl
⇒ V =
(V ) = Q = I .T F
= E . L =
Q
. L =
M . L L . 2 T Q
=
M . L L = . 2 T I .T
2
ML 3
T I ML
E =
F Q
2
T IT
=
=
ML T 3 I ML
1
= K ; F = K
4.π .ε 0 K = J =
Q 2
r
⇒ K =
Q
4
2
T I ∂ I I
=
2
L
h
∫
Fr
ML3
∂S BIL = ? H
2
H
H .d l
. I
= µ .i ⇒ H = L = L
hI 2
L
15
=
2
L
T 2 IT
h = indut ância.. por ..metro di
v=l
dt
⇒l =
v di / dt
=
V I / T
=
VT I
mas, 2
ML V =
2
ML
=
,l
3
T I
T
3
T I I
=
2
ML 2
2
T I
(indut ância)
2
ML l m
2
2
T I L
=
=
ML 2
(indut ância.. por ..metro..ou..µ )
2
T I ML I B = µ H = 2 2 . T I L H
BIL =
c)
=
H
ML 2
T I
IL =
ML 2
T I
, log o :
2
ML 2
T
∫∫∫ ρ dv = C (coulombs)
V = V (volts) E =
V
(volts.. por ..metro)
m
∫ Edl = volts 1
=
4.π .ε 0
Q
2 2
4πε 0 r J =
A 2
m F
(metros.. por .. faraday)
= N ( Newtons) (ampères.. por ..metro..quadrado
m BIL = N (newtons)
16
1
Refer ê ncias para estu d o d a teoria
Referê ncia para estud o d a teoria: KRAUS, Joh n D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Gu an abar a Dois, 1978. 1
⇒ cap í tulo 1 (um )
17
18
CAP ÍTULO 2
CAMPO ELETROSTÁ TICO - PARTE 1
2.1) (a) Que carga elé trica seria necess á ria colocar na Terra e na Lu a p ara qu e tal for ça de atra çã o se igu ale a força d e atraçã o grav itacional? Su p onh a qu e as carga s sejam colocad as na mesma propor çã o qu e as massas. Considere a ma ssa da Terra 6.1024 Kg, e da Lua 7.1027 Kg, sendo a separa çã o d e 40Mm . A constan te gravitacional 6,7.10-11 N m 2/ Kg 2 (é an á loga a lei d e Coulomb) (b) Se as separa çõ es fossem d e sinais contr á rios qu al seria o mom ento do dipolo. Fonte:[1] Sol: (a) Dados: m 1=6.1024 Kg; m 2=7.1022Kg; G=6,7.10 -11 N m 2/ Kg 2; r=400Mm Sabe-se qu e e 0=8,85p F/ m p =3,14
F e
=
q1.q2
4.π .ε .r 2
; F G
=G
m1.m2 r 2
19
F e
= F G ⇒
q1.q2
=G
2
4.π .ε .r
m1.m2 2
r
⇒ q1.q2 = 4.π .ε .G.m1.m2
⇒ q1.q2 = 3,13.1027 C 2 s ã o pr op orcionais, logo:
m1 + m2 m1
→ p
m1 + m2 m2
→1 →1
→ p'
como,
q1.q2
p =
m1 m1 + m2
p ' =
m1 ~ q1 m2 ~ q2
m2 m1 + m2
= 0,99 → m1 = p.(m1 + m2 ) = 0,01 → m2 = p'.(m1 + m2 )
⇒ q1 = p.(q1 + q2 ) ; q2 = p'.(q1 + q2 )
= p. p'.(q1 + q2 )
2
⇒ q1 + q2 =
q1.q2 p. p '
⇒ q1 + q2 = 5,24.1014 C
= p.(q1 + q2 ) = 0,99.(5.24.1014 ) = 518.1012 = 518TC q2 = p '.(q1 + q2 ) = 0,01.(5.24.1014 ) = 6,04.1012 = 6,04TC q1
(b) para o d ipolo Q.l
=
q1.q2 .l2
= 2,24.1022 Cm
2.2)A figura m ostra um a longa barra isolante sem m assa, de comprimento L, presa por pino no seu centro e equilibrada com peso W a um a dist â ncia x de sua extremidade esquerd a. N as extremid ad es esquerd a e d ireita d a barra s ã o colocadas cargas q e 2q, respectivamen te. A u m a d ist â ncia h d iretam ente abaixo d essas cargas est á fixada uma carga positiva +Q (veja figu ra). 20
(a) Determine a posiçã o x d o peso quan d o a barra estiver equilibrada. (b) Qual dever á ser o valor d e h para qu e a barra n ã o exerça nenhu ma for ça vertical sobre o sup orte quan d o em equilí b rio? (Despreze a intera çã o entre as cargas n os extremos op ostos d a ba rra.) Fonte:[5]
Fig. Prob. 2-2 Fonte:[5] Sol: (a)
x = x1 + x2 F 1
=
→ x1 =
Q.2q
4.π .ε .h
2
; F 2
L
=
2 Q.q
4.π .ε .h 2
− − = ⇒ = W x F x . 0 ∑ 2 2 2 2 2 2 2 4.π .ε .h .W L L L Q.q L Q.q x = + x2 = + = 1 + 2 2 2 2 2 4πε .h .W 2 4.π .ε .h .W T = F 1.
L
L
L
21
Q.q
(b)
∑ F = F + F − W = 0 ⇒ W = F + F 1
W =
2
3.q.Q 4.π .ε .h 2
1
→h=
2
3.q.Q 4.π .ε .W
2.3) Duas pequenas esferas condutoras de massa m susp ensas por fios de sed a de comp rimento L p ossu em u m a carga q. Consideran d o que o â ngu lo q é t ã o pequeno qu e a tgq possa ser substitu í d a por senq: Mostre que para esta aproxima çã o temos: 13
q . L x = 2.π .ε .m.g 2
Fonte:[5] Sol:
tgθ =
F mg
=
q
2
4.π .ε .mg.x
2
; sen θ =
x
2 L
mas q m uito pequeno tgθ ≅ sen θ =
q
2
4.π .ε .mg.x
2
=
x
2L
x
2 L 13
q L ⇒ x = 2π .ε .m.g 2
2.4) Duas p art í cu las cada u ma d e massa m e com carga q, est ã o suspensas de um pon to comu m, por cordas d e comprimento l. Determine o â ngulo q que cada corda forma com a vertical. {Fonte:[7]}
22
Sol:
q2
F =
4.π .ε .x 2
temos: sen θ =
F T
3
tg θ
=
4.π .ε .T . x
= tg θ . cos 3
1 + tg θ 2
=
q2
q
2
; cos θ =
mg T
; tgθ =
mg
=
q2
4.π .ε .mg.x 2 2
2.π .ε .m.g. x l q = θ = 2 2 4.π .ε ..m.g. x l.q 2
2
3
F
3
2
16.π .ε .m.g.l 2
2.5) Um a certa carga Q d eve ser divid id a em d uas: (Q-q) e q. Qual é a rela çã o entre Q e q para qu e a repu ls ã o seja m á xima? {Fonte:[5]} Sol:
F =
dF dq
1 q(Q − q) 4πε
=0⇒
2
r
=
(Q − 2q) 2
4πε .r
(Qq − q 2 ) 4πε .r 2
= 0 ⇒ Q − 2q = 0
Q = 2q
23
2.6) Mostre qu e as p lacas d e u m cap acitor d e p lacas p aralelas se atraem com u m a for ça dada por F =
q2
2ε . A
.
Prove o que foi d ito, calcu land o o trabalh o necess á rio p ara aum entar a separa çã o entre as p lacas d e x para x + dx , a carga q permanecendo constante. {Fonte:[5]} Sol: Para o capacitor de p lacas paralelas, ap licand o a lei de Gauss, temos:
q
q
q
∫ E .d s = ε ⇒ E . A = ε ⇒ E = ε . A H
H
q 2 q q 2 dF = E .dq ⇒ F = ∫ dq = = 0 ε . A ε . A 2 0 2ε . A H
q
1
q
2.7)Em um trabalho que foi escrito em 1911, Ernest Ru therford d isse: “ Para se ter algu m a id é ia das for ças necess á rias para desviar um a part í cu la a atrav é s de um grand e â ngu lo, considere u m á tomo contendo u ma carga pontual Ze no seu centro e envolvid a p or u ma d istribui çã o d e carga negativa, -Ze, un iform emen te d istribu í d a d entro de u m a esfera d e raio R.” O camp o elé trico E nu m pon to dentro d o á tomo, a um a d istâ ncia r d o seu centro, é
E =
1 − 1 2 3 4.πε r R Ze
Verifique esta equ a çã o {Fonte:[5]}
24
Sol: p ara r>R,
∫
H
E .d s
H
E =
q'
=
ε
⇒ ∫
H
E .d s
q 2
4.π .ε .r
H
⇒ ρ =
=
q'
⇒ E .4.π .r 2
ε q'
3
4π .r
=
=
q'
ε
q
4π .r 3
3
3
q' = q E +
=
q
4.π .ε .r 2
p ara rl. Fonte:[5]
Fig. Prob. 3-4. Fonte:[5] Sol: Letra (a)
dq = ρ L .dl
q
L
→ ∫ 0 dq = ∫ 0 ρ L .dl → q = ρ L . L → ρ L =
q L
Letra (b) dE =
dq
L
2
4.π .ε .r
→ E = ∫ 0
dq 2
4.π .ε ..r
=
ρ L 4.π .ε
38
L
dl
∫ (l + a) 0
2
=
ρ L 1 − 4.π .ε l + a
L 0
⇒ E = → E =
ρ L . L , m as q = ρ L . L , logo: 4.π .ε .a( L + a) q
4.π .ε .a.( L + a)
Letra (c) Para a>l, implica que l →0 vamos aplicar isto como limite em E =
q
4.π .ε .a.( L + a)
lim L →0 E = en t ã o E =
lim L →0 q 2
4.π .ε .a.
q
4.π .ε .a.( L + a)
=
q
4.π .ε .a.2
, para a >> L ; logo red u z-se ao cam p o
el é trico de u ma carga pontu al
3.5) Uma barra d e vidr o fino é encurvad a nu m semicí r culo d e raio R. Um a carga +q est á distribu í d a un iformem ente ao longo da metade superior, e uma carga –q, distribu í d a u niform emente ao longo da m etade inferior, como m ostra a figu ra. Determ ine o cam p o elé trico no ponto P que est á no centro d o sem icí r culo. Fonte:[5]
Fig. Prob. 3-5 Fonte:[5] 39
Sol:
dE y
ρ L dl cos θ 4.π .ε .r 2
= dE cos θ =
=
ρ L dl. cos θ ρ L R. cos θ .d θ = 2 4.π .ε 4.π .ε R R2
E y
=
E y
=
ρ L 4.π .ε . R ρ L 2.π .ε . R
E y
∫
temos que
⇒ E y =
∫
π / 2
∫
cos θ .d θ =
3π / 2
q
q
l
π . R
→ ρ L = =
ρ L (sen θ π 3π / / 22 4.π .ε . R
=
ρ L (2) 4.π .ε . R
q
2.π 2 .ε .R 2
3.6) (a) U m d is co cir cu l a r d e r a io R t em u m a d e n s i d a d e superficial uniforme de carga ρS. Determine o campo el é trico de um ponto sobre o eixo do disco a uma dist â ncia z d o plano d e disco. (b) Um cilind ro reto, d e raio R e altura L, está orientad o ao longo do eixo z. Possui um a d ensid ad e volu m é trica d e carga ρ ( z ) = ρ 0
+ β .z ,
em rela çã o a uma origem no
centro do cilindro. Determine a for ça sobre um a carga q situ ad a no centro d o cilind ro. {Fonte:[7]}
40
Sol: Letra (a)
dq. cosθ
E =
∫ 4πε .r
E =
ρ S 2ε
2
R
= ∫ 0
2.π .a.ρ S .da. cosθ 4.π .ε .( z 2 + a 2 )
θ
∫ sen θ .d θ = 0
=
ρ S 2.ε
R
∫ 0
a.da. cosθ
( z + a ) 2
ρ S ρ S z (1 − cosθ ) = 1 − 2 2 2.ε 2ε z + R
2
Obs.: Utilizam os as rela çõ es abaixo:
sen θ =
a z
2
+ R 2
; cos θ =
z z
2
+ R 2
; tgθ =
a z
a = ztgθ ⇒ da = z sec 2 θ .d θ z
2
+ a 2 = z 2 sec2 θ
e aplicand o t é cnicas d e resolu çõ es d e integrais trigonom é tricas temos qu e: R
∫
a.da. cos θ
( z + a ) 2
0
2
θ z.tg
= ∫ 0
θ
θ . z.s sec 2 θ .d θ . cosθ = 2 2 z . sec θ
θ
= ∫0 tgθ . cosθ .d θ = ∫ 0 sen θ .d θ
R
⇒ ∫ 0
a.da. cos θ
( z + a ) 2
2
θ
= ∫ 0 sen θ .d θ
41
Letra (b)
d ρ S ρ S z z 1 − 2 2 1 dE ⇒ = − ; 2ε 2.ε z + R z 2 + R 2
E =
ρ S
=
q A
; ρ =
q V
→ q = ρ .V ⇒ ρ S =
ρ .V A
=
ρπ . R 2 . z π . R 2
= ρ . z
⇒ d ρ S = ρ .dz
⇒ dE =
ρ .dz z 1 − 2 2 ; ρ ( z ) = ρ 0 + β .z 2.ε z + R
⇒ dE =
(ρ 0 + β . z ).dz
z
(ρ 0 + β . z ).
z
⇒ E = ∫
1 − z 2 + R 2
2.ε
1 − z 2 + R 2 dz
2.ε
2 l / 2 l / 2 l / 2 β . z .dz l / 2 ρ 0 zdz ρ 0 dz − ∫ E = + ∫0 β . z.dz − ∫ 0 ∫ 2 2 2 2 0 0 2.ε z + R z + R
1
z.dz
∫ z
2
+ R 2
z
2
+ R 2
2
z .dz
∫ z
=
, vamos fazer substitui çõ es trigonom é t ricas
+ R (z=R.tgθ);e chegamos em: 2
2
2 z .dz
∫ z
2
+ R
2
=
z z
2
+ R 2
2
−
R
2
2
ln
42
z
2
+ R 2
R
+
z R
E =
1 ρ 0 .l
ε
2
− ρ 0 .
fazendo ρ 0
l
2
4
+ R
=0
2
l + ρ 0 . R + β . − β 4 8 l
2
l
2
4
+ R − 2
R
2
2
ln
+ 1 + 2 4. R 2. R l
2
l
; imp lica em :
2 2 β l l l l l − E = R 2 − R 2 . ln 1+ + + 2 2.ε 2 2 4 2 . 4 . R R
3.7) O potencial para um ponto axial de u m d isco carregad o
é V =
(
ρ S 2 2 z + R − z 2ε
)
Mostre que E para p ontos axiais é dad o por
E =
ρ S 1 − 2 z 2 2ε z + R
{Fonte:[5]} Sol:
∂V ∂ ρ = − S ( ∂ z ∂ z 2.ε ρ S 2. z − 1 E = − 2ε 2 z 2 + R 2 E = −∇V = − H
H
ρ S 1 − 2 z 2 E = 2.ε z + R
43
z 2 + R 2
− z )
3.8) Um a carga q est á distribu í d a un iformemente num anel quadrado de lado l. Determinar E e V no centro do anel. {Fonte:[1]} Sol:
Fig. Prob. 3-8a
V =
1
dq
, da figura acima vemos que pelo teorema ∫ 4.π .ε r
d e Pit á goras temos:
r = x
⇒ V =
2
l
2
+ 2
.λ .dx
1
4.π .ε ∫
2
x
2
l + 2
=
λ 4.π .ε
44
l
dx
∫
2 l
−
2
2
x
2
l + 2
=
λ ln x + = 4.π .ε ⇒ V =
x
+
2
l
2
2
l + 2 − l 2
l l λ l l ln + 2 − ln − + 2 4.π .ε 2 2 2 2
l l + λ 2 2 ⇒ V = ln l l 4.π .ε − + 2 2 λ = . ln 4.π .ε
2 = λ ln 1 + 4.π .ε − 1 + 2
2 + 1
2 − 1
. ln → λ = ⇒ V = 4.π .ε .l l ; q
= 2
2
q
2 + 1
2 − 1
Como o camp o elé trico é um vetor observam os que no centro do qu ad rad o ele se anula devido à sim etria d a figu ra
45
Fig. Pro b. 3-8b 3.9) Distribu í m os sobre uma barra fina uma carga por un idade de comp rimento dad a por ρL=kx, k é uma constante. A barra tem um comprimento L contido no eixo dos x com uma de suas extremidades na origem (x=0), conforme ind ica a figura. (a) consideran d o o p otencial no infinito igu al a zero, calcu le o valor d e V no p onto P sobre o eixo d os y (b) Determine o comp onente vertical Ey, d a intensid ade d o camp o elé trico (c) Porqu e n ã o podemos calcular o componente horizontal (Ex) d o cam p o elé trico em P u sand o o resultado d o item (a)? {Fonte:[5]}
Fig. Prob. 3-9 {Fonte:[5]} 46
Sol:
r = x 2 + y 2 ; dq = ρ L .dx = k . x.dx Letra (a)
dq
L
V =
∫ 4.π .ε . x
V =
( L + y 4.π .ε
0
k
2
+ y
2
2
2
=
k
L
4.π .ε
∫ 0
x.dx x
2
+ y 2
=
[ x 4.π .ε k
2
+ y 2 L0 ]
− y )
Letra (b)
∂V ∂ k = − ( E y = − ∂ y ∂ y 4.π .ε H
1 − E y = 4.π .ε H
k
2
L
+ y
2
k − y ) = − 4.π .ε 2
2. y L2 + y 2
− 1
2 2 L + y y
Letra (c) Porque o cá lcu lo foi feito em fun çã o d e y, n ã o aparecend o a variá vel x, observe qu e ter í a m os assim:
∂V ( y ) ∂V E = − =0 E x = − , com o V é fu n çã o d e y , tem os: x ∂ x ∂ x H
H
3.10) Seja ρL a carga por u nidad e de comp rimento distribuí d a uniformemente ao longo de um segmento de reta de comp rimento L.
47
(a) Determine o potencial (escolhido como send o zero no infinito) num p onto P, afastado p or u m a d istâ ncia y d e u ma d as extremidad es do segmento carregado e situad o sobre seu p rolonga m ento (Veja figur a). (b) Use o resultado d o item (a) para calcular o comp onente d o camp o elé trico em P na d ireçã o y (ao longo d o segm ento de reta). (c) Determine o componente do camp o el étrico em P nu ma dire çã o p erp end icu lar ao segm ento d e reta. {Fonte:[5]}
Fig. Prob. 3-10 {Fonte:[5]} Sol: Letra (a)
dV =
=
dq
4.π .ε .r
L
→ V = ∫ 0
dq
4.π .ε ..r
=
ρ L 4.π .ε
L
∫ (l + y) 0
ρ L (ln(l + y ) 0L 4.π .ε
V =
ρ L ρ L + y [ln ( L + y ) − ln y ] = L ln 4.π .ε 4.π .ε L 48
dl
=
Letra (b)
∂V ∂ ρ . L L + y ln =− E = − ∂ L ∂ L 4.π .ε y H
ρ L 1 − L ρ L . L = E = − 2 + L y 4.π .ε y 4.π .ε . y.( L + y ) y Letra (c) H
E x
31
= E . cos 900 = 0 H
Refer ê ncias para estud o da teoria
Referê ncia para estud o d a teoria: KRAUS, Joh n D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Gu an abar a Dois, 1978. ⇒ cap í t u lo 3 (tr ês) 3
KRAUS, Joh n D. Eletromagnetics McGraw -Hill Inter nat ional Editions, 1991 ⇒ cap í t ulo 4 (qu atro)
49
50
CAP ÍTULO 4
CORREN TE ELÉTRICA ESTACION Á RIA
^
4.1) Se J = x3 yz A / m 2 , ache a corrente I atrav é s de um H
quadrado de 2m de lado com um d os v é rtices na origem e ou tros em (0,2,0) ; (0,0, 2) e (0,2,2) Fonte:[1] Sol: ^ ^ 2 2 .dy.dz I = ∫∫ J .d s = ∫∫ x 3 yz . x dy.dz = ∫ ∫ 3 yz 0 0 ⇒ I = 12 A H
H
4.2) Um r esistor tem a forma d e u m tronco d e cone circular reto, com o é m ostrad o na figu ra. Os raios das bases sã o a e b, e a altur a é L. Se a inclina çã o for su ficientem ente p equena, pod emos sup or qu e a d ensid ad e de corrente seja u niforme atrav és de qu alquer se çã o tran sversal. (a) Calcule a resistê ncia deste sistem a
51
Fig. Prob. 4-2 {Fonte:[5]}
L
(b)Mostre que o r esultado d e (a) se redu z a ρ
A
, quand o
a=b {Fonte:[5]} Sol: (a)
dR = ρ
dl
π y 2
; sen θ =
( y − a ) l
→ ( y − a) = l. sen θ ,
pequ enos valores de θ, temos qu e:
( y − a ) ≈ l.θ
52
mas para
dy = θ .dl
→ dl =
dy
θ
ρ dy . dR = 2 π . y θ dR =
ρ dy π .θ y 2
ρ R = πθ p ra y
ρ 1 = − a y 2 πθ y b
∫
dy
b
→ R =
a
ρ b − a ; y − a = lθ πθ ab
= b , tem os:
b − a = Lθ → L = logo: R =
b−a
θ
ρ b − a 1 π θ ab
=
ρ . L π ab
(b)
ρ . L fazendo-se a = b , R = π .b.b
ρ L = 2 π .b
=
ρ . L A
4.3) Um a arru ela lisa d e esp essur a t tem raio intern o r e raio externo r 2. Send o a cond utividad e σ , d etermine a resistência (a) Entre as bord as interna e externa (b) Entre as superf í c ies plana s, e (c) Ao longo da arruela (id ê ntica a resist ê ncia entre as bord as de um corte de espessura infinitesimal na d ireçã o radial). Fonte:[1]
53
Sol: (a)
dR =
dl
σ . A
=
2π .dr
dr
=
σ .2.π .r .t σ .tr
⇒ R =
1
r 2
σ .t ∫
d .r
r 1
r
=
1
σ .t
ln
r 2 r 1
(b)
dR =
t
σ . A
=
t
σ .2.π .r .dr
⇒ R =
t
σ 2π
2 r 2
r
2
=
t
σπ (r 22 − r 12 )
r 1
(c)
dR =
2.π .r
σ .t .dr
2π
⇒ R =
r 2
∫
σ .t
r 1
dr
=
2π
σ .t . ln
r
r 2 r 1
4.4) Um longo fio de cobre d e raio r é esticad o paralelam ente a u m a p laca infinita d e cobre e a um a d ist â ncia h d esta. A regi ã o que est á acima da placa e circundando o fio é pr eenchid a com u m m eio de cond utivid ade σ . Demon stre que a resist ê ncia elé trica entre os dois eletrodos de cobre, por u nidad e de comp rimento d o fio, é dada por
R =
l
2πσ
cosh −1
h r
Fonte:[7] Sol:
dR =
dx
σ . A
=
dx
σ .2.π ..r .l 54
m as l
dR =
=
x
2
− r
2
dx
2.π .r .σ . x 2 − r 2
, logo:
⇒ R =
{
l → 0⇒ x → r l → ∞ ⇒ x → h
1
h
2.π .r .σ .
∫ r
dx x 2 − r 2
−1 x h = cosh r r 2.π .r .σ 1
1 h −1 h R = cosh cosh − cosh[1] = 2.π .r .σ r r 2.π .σ .r 1
⇒ R =
1 2.π .σ .r
cosh
−1
h r
(Ω)
4.5) Em geral, cargas superficiais estã o p resentes na fronteira entre 2 cond utores (cond utividad es σ 1 e σ 2 , e perm issivid ade
ε 1 e ε 2 , respectivamente) por onde flui uma corrente.
Mostre que a d ensidad e sup erficial d e carga ρ S
é dada por
ε 1 ε 2 ρ S = J n − σ σ 1 2 {Fonte:[1]} Sol: Em u m a fronteira entre 2 cond u tores temos qu e:
J n1
= J n = J n 2
Para camp os eletrostá ticos, tem os qu e:
55
Rela çã o d e Fronteira
Com p onente do camp o
= E t
(1) 2 m eios qua isquer
− Dn = ρ S
(2) 2 m eios qua isquer
E t 1
Tangencial
Dn1
Normal
Cond içã o
2
2
com carga na fron teira
Para campos eletrost á ticos n ã o s e t e m u m a s i t u a çã o especí f ica p ara 2 meios cond u tores, ent ã o:
Dn1 − Dn2
= ρ S ⇒ ρ S = Dn − Dn = ε 1. E n − ε 2 .E n 1
2
1
2
H
J = σ . E ⇒ E = H
H
logo ρ S
H
=
ε 1. J n ρ S = σ 1
ε 1. J n
1
σ 1
J
σ
−
ε 2 . J n − σ 2
,
ε 2 . J n σ 2
2
; m as J n1
= J n = J n , entã o 2
ε 1 ε 2 = J n − σ σ 1 2
4.6) A lei da conser va çã o d e carga, que relaciona a d ensid ad e volum é trica em qu alquer pon to no esp a ço com a d ensid ad e d e corrente nas vizinhan ças desse p onto, é dad a por
∂ρ . 0 + ∇ J = . ∂t H
H
Como você justifica a rela çã o acima? Expliqu e? (fisicam ente) porque a soma é igual a zero.
56
Sol:
∂ρ ∂ρ . 0 + ∇ J = ⇒ ∫ ∂t dV + ∫ (∇. J )dV = 0 ∂t V V H
H
H
H
Ap licand o o teorema d a Diverg ência, tem os:
∫ (∇. J )dV = ∫ J .d s H
H
H
H
V
S
∂ ⇒ ∫ ρ dV + ∫ J .d s = 0 ∂t V S H
H
fluxo da densidade de corrente
sobre a sup erf í cie S qu e envolve o volu m e V
∫
H H
Se J .d s
> 0 existe flu xo lí q u ido d e carga p ara fora
S
∂q 0 < , ∂t
ou seja d im inu i a densid ad e de carga da regi ã o.
∫
H
Se
H
J .d s
0 , ou seja au menta a d ensid ad e de carga da regiã o. ∂t A soma deve ser igual a zero para que uma compense a ou tra, ou seja,
∂ ⇒ ∫ ρ dV = −∫ J .d s , ∂t V S H
H
d a í vem a lei d os n ó s para os casos d os circuitos a p ar â metros concentrados, um a p articu larid ade d a teoria d e camp os “ O somat ó rio d as correntes que entram n um n ó é igual ao somat ó rio das correntes qu e saem ” .
57
4.7) 4.7) Em qu e situa çã o a equa çã o da conti continu nu idad e ∇. J = − H
∂ρ ∂t
Ju stifiqu stifiqu e. ∇.J = 0 ? Ju H
p assa a ser escrita escrita com com o
H
H
Sol:
⇒
∂ρ 0 ρ = ⇒ = cons tan te , ∂t
ou seja, se a densidade volum étrica de carga n ã o varia, a carga n ã o va ria, logo logo n ã o existe existe corr corr ente en te I →J tam b é m n ã o existe pois:
I =
∫∫ J d s H
H
S
Observe Observe qu e
∂ρ ∂ dq d ∂q ⇒ = = , o que implica ∂t ∂t dV dV ∂t
que se varia varia a d ensid ensid ade volum é trica de carga ρ , varia a carga q .
4
Refer ê ncias ncias para estud o da teoria
Referê ncia para para estud o d a teoria: teoria: KRAUS, Joh Joh n D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Gu an abar a Dois, 1978 1978.. t ulo 4 (qu (qu atro) ⇒ cap í tulo 4
KRAUS, KRAUS, Joh Joh n D. Eletromagnetics McGraw -Hill Inter Inter nat ional Editions, 1991 1991 ⇒ cap í tu t u lo 5 (ci (cinco) nco)
58
CAP CA P ÍTULO 5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CAMPO CAMPO MA GN ETOST Á TICO DE CORRENTES ELÉTRICAS ESTACION Á RIAS
5.1) Dois condutores retos, longos e paralelos conduzem 10A. Se os condutores estiverem separados de 20mm um do outro, qual é a for ça por m etro de comp comp rimento sobre sobre u m cond u tor, se as correntes correntes flu flu í rem r em (a) em em sentidos op ostos e (b) no m esm o sen tid o? {Fonte:[ {Fonte:[1] 1]} } Sol:
⇒ F =
µ 0 . I . I ' F µ II ' ⇒ = 0 2.π . R 2.π . R l
Dados:
I = 10 A F = ? R = 20mm
⇒
F l
= 100mN / m
a) Sentid Sentid o op osto (repu lsiva); lsiva); b) mesm o sentid o (atrativa).
59
5.2) Um cond u tor reto e longo com com u m a corrente corrente d e 10 10A coincide oincide com o eixoeixo-z. z. A corrente flu flu i no sentido p ositivo ositivo d e z. ^
^
Se B = x 3 + y 4 (T), (T), ache o vetor veto r for ça F p or comp comp rimento H
H
d o cond con d u tor. tor . {Fonte:[ {Fonte:[1] 1]} } Sol:
Fig.Prob . 5-2 5-2 ^
^
^
I = 10 z B = x 3 + y 4 H
H
H
d F = ( I x B)dl ⇒ H
H
H
d F dl
^
H
H
d F dl
^
^
^
^
= y 30 − x 40 = −40 x+ 30 y
H
d F dl
^
^
^
= ( I x B) = (10 z ) x( x 3 + y 4) H
^
= −40 x+ 30 y (N / m )
60
^
5.3) (a) Se B = z 6 sen (π . x 2). sen(π . y 2) (T); ache o fluxo H
magn é tico total sobre u m a á rea quad rad a com 2m d e lad o, com as bordas coincidindo com os eixos positivos x e y e u m canto na origem. ^ (b) Se B = z .k r (T), qual é o flu xo magn é tico atr av é s d e H
u m circu lo d e raio r 0 ? {Fonte:[1]} Sol:
Fig. Prob. 5-3a Letra (a)
ψ m
^
^
= ∫∫ B.d s = ∫∫ z 6 sen(π . x / 2) sen(π . y / 2) z ds H
H
A
R
2 2
ψ m
= ∫∫ 6 sen(π . x / 2) sen(π . y / 2).dx.dy 0 0
2 2 ψ m = 6. ∫ sen(π . x / 2)dx . ∫ sen(π . y / 2)dy 0 0 61
2 2 −2 −2 . cos(π . x / 2) . . cos(π . y / 2) = ψ m = 6. 0 π 0 π
=6
ψ m
2
π
=
( 2).
96
π
2
2
π
( 2) =
96
π 2
(Wb) ou ψ m
≅ 9,73 (Wb)
Letra (b)
Fig. Pro b. 5-3b
∫∫
ψ m = B.d s ; ψ m H
H
A
^
= ∫∫ B.d s = ∫∫ z H
H
A
H
5.4) Se B elip se ?
k r 0
^
. z ds =
k
r ∫∫ 0
ds =
k r 0
π .r 0
2
= .π .k .r 0
^
= B. z (T), qu al é o fluxo magn ético atrav és de um a
Onde : e =
b a
=
1 razão...axial
b = semi-eixo m enor a = semi-eixo maior
r = a − dist ância ...do...centro...da....elipse...ao... foco 62
obs.: considere d ensid ad e de cam p o magn ético B uniforme sobre a sup erf í cie. Sol:
Fonte: [15]
= ∫∫ B.d s = B ∫∫ ds = B ∫∫ dx.dy = B ∫∫ J d ρ .d θ H
ψ m
H
x = aρ . cosθ y = b.ρ . sen θ J =
∂ x ∂θ
∂ x ∂ρ
∂ y ∂θ
∂ y ∂ρ
= − abρ sen 2 θ − abρ cos 2 θ = −abρ
∂ x = −aρ sen θ ∂θ
∂ y = bρ cosθ ∂θ
∂ x = a cosθ ∂ρ
∂ y = b sen θ ∂ρ 63
ψ m = B
∫∫ abρ .d ρ .d θ 1
∫
∫
ψ m = B.a.b. ρ .d ρ . 0
ψ m = B.a.b.
ψ m = B.a.b.
ρ
1
2
0
1 2
2.π
.θ
0
d θ
2.π 0
.2.π = B.a.b.π
5.5) Mostre que um cond utor com corrente I e comp rimento l situado no eixo-z entre os pontos z1 e z 2 tem u ma densidad e de fluxo B para um a distâ ncia R (para todo ângulo ξ ) dad a por H
B =
µ 0 . I z2 4.π . R R 2 + z 22
− 2 2 (T) R + z1 z1
Observe que se o centro do condutor origem ( − z1 = z 2 ) e se R >> l , B =
é sim é trico com a
µ 0 . I .l 2 .{Fonte:[1]} 4.π . R
Sol: H
Vam os p rimeiro d eterminar a densid ad e d e fluxo B , nu m ponto P, distante z do eixo de um c í r culo de raio R , determina-se o campo num ponto P ao longo do eixo do anel; depois varre-se de um ponto P 1, distante z 1, at é u m ponto P 2, distante z2.
64
Fig. Prob. 5-5 {Fonte:[1]}
µ 0 . Idl sen θ Temos qu e B é dad o por d B = 4.π .r 2 A comp onente na d ire çã o d o eixo-z é dada por H
H
dB z
= dB cos ξ = dB
θ = 900 , dl = R.d φ r = R 2 + z 2 dB z
=
R r
⇒ dB z =
µ 0 . IR 2 4.π .( R
2
+ z
2 3 / 2
)
µ 0 . I . R d φ R . 4.π ..( R 2 + z 2 ) R 2 + z 2
d φ , observe que o elemen to norm al
dBn , se anula pela simetria circular ao longo da varia çã o d e φ d e 0 a 2.π , logo: 65
B = B z
=
µ 0 . I . R 2 4.π .( R 2 + z 2 )3 / 2
=
µ 0 . I . R 2 2( R
2
, este é o valor d e B H
+ z )
2 3 / 2
em u m p onto P, qu alqu er distante z o eixo d o cí r culo. Vam os agora varr ê -lo ao longo d o eixo-z, d e z1 a z 2. Pela an á lise dimensional vamos d ivid ir pelo comp rimento l, para que a u nidade permane ça em T, e n ã o se mod ifique para T/ m, ent ã o teremos:
dB =
B =
µ 0 I . R 2 2( R
µ 0 . I . R
2
+ z
2 3 / 2.
2 z 2
2l
∫ ( R
z1
)
.
dz l
dz 2
+ z
2 3 / 2
)
= =
µ 0 I . R 2 2.l.( R
2
+ z
µ 0 . I . R 2 2l
2 3 / 2
R 2
)
dz
z 2 R
2
+ z2
2
2.π
dl
= Rd φ . l = R ∫ d φ ⇒ l = 2.π . R , 0
logo: B =
µ 0 . I z2 4.π . R R 2 + z 22
para R >> l e
B =
µ 0 . I 4.π . R
− 2 2 R + z1 z1
− z1 = z2 = z
µ 0 . I 2 z 2 = 2 2 2 4 . . π R R + z R 1 + z
66
−
R 2 + z12 z1
R 2
z → l , para R >> l . Despr ezam os o fator d e 2, temos: B → B ≅
µ 0 . I 4.π . R
2
z = µ 0 . I . l R 4π . R R
µ 0 . I .l 4π . R 2
5.6)Um fio d e form a p arab ó lica cond u z uma corrente I . Ache H
a d ensid ad e de flu xo magn é tico B no foco. {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 5-6a Fonte:[8] Sol: 1a Sol: (solu çã o aproximad a)
67
Fig. Pro b. 5-6b
é dad o por d B = H
H
Temos qu e B
µ 0 . Idl sen θ , 2 4.π .r
Para elem entos infinitesimais, tem os:
Fig. Prob. 5-6c Fonte: [8] 68
Da figu ra tem os: dl
d B = H
B =
=
µ 0 . Idr .d φ 4.π .r 2 π
−∞
0
r 0
∫ ∫
µ 0 . I 4.π
B =
= dr .d φ
µ 0 . Idr .d φ µ 0 . I = 2 4π .r 4.π
−∞ dr d φ = ∫0 ∫ r r 2 π
0
1 −∞ µ 0 . I π ∫ 0 − r r d φ = 4.π .r 0 ∫ 0 d φ π
0
µ 0 . I µ 0 . I .π = , lem brand o que r 0 é a d ist â ncia focal, 4.π .r 0 4.r 0
e I a corrente q u e circu la no fio. 2a Sol: (solu çã o aproximad a) Utilizand o a equa çã o (7), p á gina 225, d a Refer ência: Kraus, John D. Eletromagn etics McGraw -Hill International Ed itions, 1991
Temos qu e: B =
B =
µ 0 .i 4.π .r 0
µ 0 .i 4.π .r 0
π
∫ d θ = 0
lembrando que r 0
θ 2
∫ d θ ,logo: θ 1
µ 0 .i.θ
π 0
4.π .r 0
⇒ B =
µ 0 .i µ 0 .i , .π ⇒ B = 4.π .r 0 4.r 0
é a dist â ncia focal, e I a corrente que
circula no fio.
69
3a Sol: (solu çã o com p leta)
r = r 0 sec
2
φ 2
→
dr d φ
= r .tg
φ 2
sec
2
φ 2
2
dl
=
2
r
dr + d φ d φ 2
2
φ 2 φ 2 φ dl = r 0 sec + r 0tg sec d φ 2 2 2 dl
= r 0 sec
dB =
dB =
3
φ 2
d φ
µ 0 . I .dl. sen θ µ 0 . I .dl π → θ = ⇒ dB = 2 4.π .r 2 4.π .r 2 φ 3 φ r sec d φ µ 0 . I . cos d φ . . µ 0 I 0 µ φ I d 2 2 . = 0 = φ φ 4.π 4.π .r 0 (r ) 2 sec 4 4.π .r . sec 0
2
0
2
µ 0 . I π φ µ 0 . I φ π µ 0 . I π B = 2. cos d φ = 2.(2 sen )= sen − sen(0) 0 π .r 0 2 4.π .r 0 2 4.π .r 0 2 0
∫
B =
µ 0 . I µ . I ≅ 0 π .r 0 (3,14).r 0
5.7)(a) Qu al é o torque m á ximo n um a bobina qu ad rada com 200 espiras situadas no campo com densidade de fluxo uniforme B=4T? A bobina tem 150mm de lado e conduz u m a corrente d e 8A. (b) Qu al é o momento magn é tico d a bobina? Fonte:[1]
70
Sol:
B = 4 [T]
N = 200 [espiras]
I = 8 [A] l
= 150 [mm]
Letra (a)
T M
= N . I . A. B = N . I .l 2 B ⇒ T M = 144 [Nm]
Letra (b)
m' = N . I . A = N . I .l
2
⇒ m' = 36
[Am 2]
5.8)Calcu le a ind ut â ncia d e um a bobina toroidal com n ú cleo d e ar, á rea da se çã o transversal de 1000mm 2 e raio m é d io d e 500m m . O toroide tem u m r olamen to un iform e de 10.000 espiras. {Fonte:[1]} Sol:
A = 1000 m m 2 r = 500 m m N =10000 espiras
L =
µ . N 2 A
l L = 40mH
=
µ . N 2 A ⇒ L = 4.10−2 H 2.π .r
5.9)Um longo cond u tor reto d e raio r carrega um a corrente I q u e é coincidente com o eixo z . Encontre o campo magn é tico na p arte de d entro do cond utor.
71
Sol:
Fig. Prob. 5-9
∫∫ J .d s
I =
∫
H
H
= I ' ⇒ H φ .2.π .r = I ' ⇒ H φ =
H
H
H .d l
r
A densidade de corrente pois para r > R → J = 0
∫∫
I =
⇒
H
J .d s
A
I ' 2
π .r H φ
=
=
I
π . R
2
I '
2.π .r ^
dJ ds
= I
→ I ' =
=
I .r 2 R
2
I .r / R
2.π .r
como H = φ .H φ
2
2
I .r
=
2.π . R 2 ^
⇒ H = φ .
2.π .r
é a mesma em qualquer r ≤ R ,
H
H
I '
I .r
2.π . R 2 72
^
5.10) Se F = x x H
∇ xF H
2
^
^
+ y 2 yz − z x
∇ xF e o caminho d e H
2
, ache
H
H
{Fonte:[1]}
Sol:
∂( x 2 ) ∂(2. y. z ) ^ ∂( x 2 ) ∂( x 2 ) ^ ∂(2. y. z ) ∂( x 2 ) ^ . x + y + z ∇ xF = − + − − ∂ z ∂ x ∂ z ∂ x ∂ y ∂ y ^ ^ ∂( x 2 ) ^ ∂(2. y. z ) ^ y − x = − x 2. y + y 2 x ∇ xF = ∂ x ∂ z H
H
H
H
5.11) Calcule a intensidade de campo magn é tico d evid o a u m cond u tor reto e infinitamente longo, percorrid o p or u ma corrente I am p è res, em um ponto afastado r metros do condutor. Sol:
∫
H
H
H .d l
= I = H ϕ .2.π .r = I ou H ϕ =
I
2.π .r
[A/ m ]
5.12) Uma espira retangular é colocada no campo do condutor do problema 5.11 como mostra a figura abaixo. Qual é o flu xo total enla çand o a espira? Fonte:[1]
73
Fig. Prob. 5-12 Fonte:[1] Sol:
Bϕ
= µ . H ϕ =
d ψ m
ψ m
=
µ . I [T] 2.π .r
= Bϕ .ds = µ . I .l 2.π
r 2
∫ r 1
µ . I .l dr 2.π r
dr r
ψ m
=
µ . I .l r 2 ln [Wb] 2.π r 1
5.13) Considere o circuito da figura abaixo. Os segmentos curvos s ã o cí r culos de raio a e b. Os segmentos retil í n eos est ã o ao longo d os raios. Ache o camp o m agn é tico B em P, consideran d o u m a corrente i no circu ito. Fonte:[5] H
74
Fig. Prob. 5-13a Fonte:[5] Sol: Temos qu e: d B = H
µ 0i.dl sen θ 4.π .r 2
As se çõ es he e fg ind icad as na figura abaixo n ã o contribu em, pois dl. senθ = 0 , pois θ = 0 . Ao longo d o trecho fe, temos:
Fig. Prob. 5-13b Fonte:[16] 75
µ 0 .i dl sen θ , → θ = π ∫ 2 2 4.π r µ 0 .i .(a.d θ ). sen 900 µ 0 .i θ µ 0 .i.θ = = θ B2 = d ∫ ∫ 0 2 4.π .a a 4π . 4.π .a B =
µ 0 .i.θ De modo an á logo o trecho gh é B1 = , 4.π .b como a>b ⇒ B1 > B2 . Observe qu e B1 est á apontando para fora e B2 est á para d entro; é s ó ver o sentid o d a corrente e ap licar a regra d a m ã o d ireita. B = B1 − B2
=
µ 0 .i.θ 1 1 − , com o B1 > B2 logo est á apon4.π b a
tand o para fora.
5.14) Um segmento retil í n eo de fio, de comprimento L, transporta u ma corrente i. Mostre que o camp o m agn é tico
B associado a este segmento, a uma dist â ncia R tomada H
sobre sua m ediatriz, é dad a em m ó d ulo por
B =
µ 0 .i L 2.π . R L2 + 4. R 2
Fonte:[5] Sol:
76
Fig. Prob. Pr ob. 5-14 Fonte:[16]
dB =
µ 0 .i.dl. sen θ , observe que d a figura figura acim acim a tiramos qu e: 4.π .r 2
sen(π − θ ) = para x =
L
2
R r
para x =
2
x
2
+ R
2
→ sen(π − θ ) =
cos(π − θ ) = − L
R
=
,
2. R 2
L
+ 4.R 2
x x
2
+ R 2
,
→ cos(π − θ ) =
L L2
+ 4. R 2
e da figu figu ra
sen(π − θ ) = sen θ & cos(π − θ ) = − cos θ
77
x =
L
2
B =
B =
2. R
→ senθ =
µ 0 .i. R 4.π
+
L2 + 4.R2
L
∫ ( x 2 L
−
2
µ 0 .i. R .2.[ 4.π
+
& x =
L
2
→ cosθ = −
L L2 + 4.R 2
dx 2
+ R
L
∫ ( x
)
3
, p or sim sim etria etria temos qu e:
dx
2
0
2
2
+ R 2 )
3
]
chamando
tgθ =
→(
R x
x
2
→ x = + R
R tgθ
= R. cot gθ → dx = − R. cos ec 2θ .d θ
) = ( R . cos ec θ ) = R . cos ec θ 3
2
2
2
3
3
x = 0 → cot gθ ' = 0 → θ ' = observe que:
B =
x =
L
2
3
π 2
→ θ ' ' = θ
µ 0 .i. R θ '' '− R. cos ec 2θ .d θ µ 0 .i. R − 2 2 . 2 = 3 3 θ ' 4.π . 4.π R R cos ec θ
µ 0 .i. R − 2 . 2 4.π R
∫
+θ
∫ π 2
d θ
cos ecθ
=
+θ
∫ senθ .d θ π 2
+θ µ 0 .i. µ .i π µ 0 .i θ B = − 2(− cosθ = 0 2 − 2(cosθ ) cos cos = π 4.π . R 4.π . R 2 4.π . R 2
78
B = −
µ 0 .i L 2.π . R L2 + 4 R 2
o sinal sinal m enos ind ind ica ica o sentid sentid o d e B, logo logo o m ó du lo de B, é dad o por por B =
L µ 0i 2.π . R L2 + 4 R 2
5.1 5.15) Ache a d ensid ad e d e fluxo fluxo m agn ético B no centro centro d e u ma espira quad rad a com com 2m d e lado lado e com com um a corrente corrente d e 3A . {Fonte:[5]} Sol:
Fig. Prob. Pr ob. 5-15 79
L r = x
2
L + 2
2
sen θ =
2
2
;
x
2
L + 2
1 µ 0 . I .dl. sen θ µ 0 . I .dx dB = = . 2 2 4.π .r 4.π 2 L x + 2
L 2 . 2 L x 2 + 2
L µ 0 I dx 2 . dB = 3 4.π 2 L 2 2 x + 2
B =
µ 0 . I . L .8 8.π
⇒ B =
L
∫
dx
2
0
2 L 2 x + 2
2 2 .µ 0 . I
π . L
3
2
µ 0 . I . L = π L 2 2
L
x
2 2
x
2
L
+ 2
0
, foi d ad o que I = 3 A e L = 2m , ent ã o,
⇒ B = 1,7.10−6 T ⇒ B = 1,7 µ .T 80
obs.: 1) Sabe-se qu e µ 0
= 4.π .10 −7 H / m
2) O fator de 8 multiplicando a integral, vem do fato de d ividirmos em 8 segmentos de comp rimento
L
2
.
5.16) O fio mostrado na figura abaixo transporta uma H
corrente i. Qual é o campo magn é tico B no centro C do semicí r culo prod u zido p or: (a) p or cad a segmento retilí n eo de comprimento L; (b) pelo segmento semicircular de raio R e (c) p elo fio in teir o? {Fonte:[5]}
Fig. Prob. 5-16a Fonte:[5] Sol:
Fig. Prob. 5-16b Fonte:[16] 81
(a) Cam p o d os segm entos retilí n eos
dB1
µ 0 .i.dl. sen θ , θ = 0 → B1 = 0 2 4.π .r
=
(b) Cam p o d o semicí r culo
dB2
=
µ 0 .idl sen θ 0 90 θ = , e R é o raio d a circun fer ê ncia; 2 4π . R
logo dB2
B2
=
=
µ 0 .i R.d θ ⇒ B2 2 4.π . R
=
µ 0 .i 4.π . R
π
∫ d θ = 0
µ 0 .i .π 4.π . R
µ 0 .i 4. R
(c) Camp o no fio inteiro
B = B1 + B2
= 0+
µ 0 .i 4. R
=
µ 0 .i 4. R
5.17) Mostre qu e a densidade de fluxo magn ético no centro d e uma espira de forma circular com u ma corrente I é dada por
B =
µ 0 I 2.r
Sol: dB =
µ 0 .i.dl. sen θ π ⇒ θ = 2 4.π .r 2
x= r .cosθ → = dl y =r .senθ
= r
dx
2
+ dy 2 =
(−r . sen θ .d θ )
sen 2 θ + cos 2 θ .d θ = r .d θ
dx = −r . sen θ .d θ ; dy = r . cosθ .d θ 82
2
+ (r . sen θ .d θ ) 2 =
B =
2.π
∫ 0
µ 0 I .r .d θ µ 0 I 2.π µ 0 . I µ 0 I ( . 2 . = = = θ π 4.π .r 2 4.π .r 4.π .r 2.r 0
5.18) Mostre qu e a d ensidad e d e fluxo mag n é tico no centro d o eixo das coordenad as d e um a espira em forma d e um "Espiral d e Archimed es" com u m a corrente I é dad a por
B =
µ 0 I ln θ + 1 + (θ ) 2 4.π .a
1 2 − 1 + + G θ 2
onde
1 G = 1 + limθ →0 θ i i
Sol:
Fig. Prob. 5-18 Fonte: [8] 83
r = aθ →
dr d θ
=a 2
dl
=
dl
=a
+ d θ = d θ 1 + θ 2 d θ 2
r
dB =
dr
µ 0 I .dl 4.π .r 2
=
2
+ a 2 d θ
µ 0 I .a. 1 + θ 2 d θ µ 0 I 1 + θ 2 d θ = 2 2 4.π .a θ 2 a .θ
θ
1 + θ 2
0
2
B =
µ 0 I 4.π .a
B =
µ 0 I . ln θ + 1 + (θ )2 4.π .a
∫
2
a θ
θ
d θ
− 1 + + G θ 2
1
2
1 G = 1 + limθ →0 θ i i
5.19) Mostre qu e a d ensidad e d e fluxo mag n é tico no centro d o eixo d as coordenad as d e um a espira em forma d e u ma "Espiral Logar í t m ica" com u m a corrente I é dada por 2
B =
µ 0 I 1 . 1 + .(1 − e − aθ ) 4.π . a
84
Sol:
Fig. Prob. 5-19
dB =
µ 0 I .dl sen ξ , 4.π .r 2
0 r ⇒ ξ = 90
r = e
a .θ
,
dr d θ
→ dl
⇒ dB =
perp endicu lar a
µ 0 I .dl 4.π .r 2 2
= a.e aθ ,
dl
=
2
r
dr + d θ , d θ
dl = e
2 aθ
+ a 2 .e 2aθ d θ ⇒ dl = e aθ 1 + a 2 d θ
=
2 aθ
+ a 2 .e 2aθ d θ ⇒ dl = e aθ 1 + a 2 d θ
dl
e
dB =
B =
µ 0 I µ 0 I − aθ 2 2 aθ + = + . 1 . 1 e a d e a d θ θ aθ 2 4.π .(e ) 4.π
µ 0 I 1 + a 4.π
2
θ
∫ 0
e − a d θ ⇒ B = θ
85
µ 0 I 1 + a 2 4.π
− 1 e −aθ θ 0 a
2
⇒ B =
µ 0 I 1 + a 2 (1 − e −aθ ) = µ 0 I 1 + 1 (1 − e −.aθ ) 4.π .a 4.π a
⇒ B =
µ 0 I 1 − . 1 + .(1 − e aθ ) 4.π . a
2
5.20) Mostre qu e a d ensidad e d e fluxo mag n é tico no centro d o eixo das coordenad as d e um a espira em forma d e um "Espiral Hip erb ó lica" com u m a corrente I é dada por B =
µ 0 I θ 2 1 2 + + + + θ θ θ 1 ln 1 4.π .a 2 2
Sol:
Fig. Prob. 5-20 Fonte:[8]
Refer ê ncias para estud o da teoria 5 Referê ncias: Krau s, Joh n D ; Carv er, Keith R. Eletrom agn etismo Editora Gu an abar a Dois, 1978
5
⇒ cap í tu lo 5 (cinco)
Krau s, John D. Eletrom agn etics McGraw -Hill Inter na tional Editions , 1991
⇒ cap í tu lo 6 (seis)
86
CAP ÍTULO 6
O CAMPO MAGN ETOST Á TICO DE MATERIAIS FERROMAGN ÉTICOS 6.1- Uma agulha magnetizada de momento magn é tico 20 Am 2 est á situad a num camp o magn é tico u niform e d e 50µT d e den sid ad e de flu xo. Ache o torqu e m á xim o na agu lha. {Fonte:[1]} Sol:
T = IAB = mB = (20 Am 2 )(50µ T ) = 1mNm 6.2- Uma barra u niformem ente magn etizad a com u m volum e d e 0,01 m 3 tem u m m omento magn é tico d e 500 Am 2. Se a d ensidad e d e fluxo B=50m T na barr a, qua l ser á o valor d e H na barr a?{Fonte:[1]} Sol:
M =
m v
=
500 Am 2 0,01m
3
= 50 KA / m
B = µ 0 ( H + M ) ⇒ H =
B − µ 0 M
µ 0
87
H =
50 mT − ( 4.π .10 − 7 H / m)(50 KA / m) −7
4.π .10 H / m
= −10 KA / m
6.3- Uma barra d e ferro retangular tem u m comp rimento
x1 e uma á rea d e seçã o transversal A. A permeabilidade é u m a f u n çã o d e x d a d a p o r µ = µ 0 +
µ 1 − µ 0 x1
x , ache a
p erm eabilid ad e d a barra. {Fonte: [1]} Sol: 2
H .d l 1 ∫ ℜ= ⇒℘ = ℜ ∫∫ B.d s H
1
H
H
S
B.d s B.d s ds ds ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ℘= = = = dx dx B . H d l ∫ ∫ µ .d l ∫ µ ∫ µ − µ H
H
H
2
H
H
H
H
H
1
A
℘= x1
=
dx
x1
∫ x µ + (µ − µ ) x 0
1
0
1
0
x1
x1
0
0
µ 0 +
1
0
x1
. x
A
=
x1
µ 1 − µ 0
(µ 1 − µ 0 ) A
µ 1 x1. ln µ 0
88
[
ln x1µ 0 + (µ 1 − µ 0 )x x01
=
6.4- Um anel de ferro tem uma á rea de se çã o tran sversal u niform e d e 150m m 2 e um raio m é d io de 200m m . O anel é cont í n u o exceto por u m entreferro de 1mm d e largu ra. Ache o n ú m ero d e esp iras necessá rio no anel para p rodu zir um a densidade de fluxo B=0,5T. Despreze a franja. Quando B=0,5T no ferro µ r = 250 .{Fonte:[1]} Sol: Dados: B=0,5T; Rm=200mm; g=1mm; A=150mm 2
ℜ f =
ℜe =
l−g
µ . A g
µ 0 . A
=
2π . Rm
−g
µ r .µ 0 . A
= 5,04( MA / Wb)
∫ H .d l = NI = BA.(ℜ H
= 26,65( MA / Wb)
H
f
+ ℜ g ) = 2,4.( KAesp)
6.5-Um eletroim ã consiste de um “ yoke ” de ferro em forma de U e de uma barra de ferro como mostra a fig. 6-5. Uma lâ m ina fina d e cobre sobre a barra evita o contato d e ferro com ferro entre a ba rra e o “ yoke ” . Se o fluxo m agn é tico atrav é s do circuito for 15mWb e á rea de contato da barra e do “ yoke ” for d e 0,015m 2 por p ó lo, qu al ser á o p eso que o “ yoke ” suportar á (incluind o o p eso d a barr a)? Desp reze a franja.
89
Fig. Prob. 6-5 Fonte:[1] Sol: Dados: Φ = 15mWb ; A = 0,015m 2
Φ = ∫∫ B.d s = B. A ⇒ B = H
H
S
F =
B 2 . A
2.µ 0
=
Φ A
(1T )2 (0,015m 2 ) 2.(4.π .10 H / m ) −7
15mWb
=
0,015m
em Kgf, temos qu e d ivid ir por 9,81
P=
9,81
= 1T
= 5,97 KN
P = 2 F = 11,94 KN
11,94kN
2
= 1217,5kgf
90
6.6- (a) Se a á rea d e contato d o eletroim ã do problema 6.5 fosse reduzida a 0,005mm 2, afunilando-se as se çõ es do “ yoke ” , qual seria o p eso que o “ yoke ” sup ortaria? Su ponha que o fluxo total é o mesmo que antes e despreze a franja. (b) Na p r á tica, o que im p ed e a força de atra çã o aumentar indefinidamente qu and o a á rea é reduzida? Sol: Letra (a)
B = F =
Φ A
=
15mWb 0,005m
B 2 . A
2.µ 0
=
2
= 3T
(3T )2 (0,005m 2 ) 2.(4.π .10 H / m ) −7
= 17,9 KN
P = 2 F = 35,81KN em Kgf, temos qu e d ivid ir por 9,81
P=
35,81KN 9,81
= 3650,34 Kgf
Letra (b) A imp ossibilid ad e d e se red uzir a á rea ind efinidam ente.
6.7- Um im ã de ferro circular d e 0,02m 2 d e á rea de seção transversal e 300mm de raio tem um entreferro de 1mm e um enrolamento d e 1200 espiras. Se a corrente atrav és da bobina for de 6 A, qual ser á a for ça que tender á a fechar o entreferro? Considere µ r = 1000 para o ferro e despreze a franja.
91
Sol:
Fig. Prob. 6-7 Fonte:[1] Sabe-se qu e µ 0
= 4.π .10 −7 H / m
Dados:
= 1mm ; R = 300mm ; A = 0,02m 2 ; µ r = 1000 ; N = 1200 espiras; i = 6 A g
ℑmm = N .i = Φ(ℜ f + ℜ g ) ⇒ Φ =
92
N .i
ℜ f + ℜ g
(l − g ) (2.π . R − g )
ℜ f =
µ . A g
ℜg =
µ 0 . A
ℜ f + ℜ g
B 2 . A
2.µ 0
µ r .µ 0 . A
= 74,96 KA / Wb
= 39,79 KA / Wb
N .i
⇒Φ= F =
=
= 62,75mWb ⇒ B =
Φ A
= 3,14T
= 78,3KN
6.8- Um circuito m agn ético cu jos bra ços s ã o de a ço fun d id o. Esta assim d istribu í d o, a parte 1 tem l1
= 34cm e S1 = 6cm 2 ;
= 16cm e S 2 = 4cm2 . Calcu le a corrente I 1 , supondo I 2 = 0,5 A , N 1 = 200 espiras, N 2 = 100 espiras e Φ = 120 µ Wb .{Fonte:[4]} a p arte 2 tem l2
Sol:
= 34cm ; S1 = 6cm 2 ; l2 = 16cm ; S 2 = 4cm 2 ; I 2 = 0,5 A ; N 1 = 200 ; N 2 = 100 & Φ = 120 µ Wb . Dados: l1
Φ = ∫∫ B.d s = B1.S1 ⇒ B1 = H
H
S
B2
=
Φ S2
Φ S1
= 0,3T
93
= 0,4T
Consultand o a cur va d e magnetiza çã o*, temos qu e:
= 145 A / m H 2 = 180 A / m H 1
ℑ1 − ℑ2 = H 1.l1 + H 2 .l2 ⇒ N 1. I 1 − N 2 . I 2 = H 1.l1 + H 2 .l2 H 1.l1 + H 2 .l2 + N 2 . I 2 ⇒ I = = 0,65 A 1
6
N 1
Refer ê ncias para estud o d a teoria.
* Ver a cu rva d e mag netiza çã o p á g. 164, fig. 11-13 do livro: EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. Referê ncias p ara estudo da teoria: KRAUS, Joh n D; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo. Editora Gu ana bara Dois, 1978. ⇒ cap í t u lo 6 (seis) 6
EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. Editor a McGra w -Hill do Brasil, 1980.
⇒ cap í t u lo 11 (onze) 94
CAP ÍTULO 7
EQUA ÇÃ O DE LAPLACE 7.1) Encontre a fun çã o p otencial na regiã o entre os discos circulares p aralelos . Desp reze esp raiam ento.{Fonte:[4]} Sol: O p otencial é fu n çã o d e z, ou seja “ V ( z ) ” , logo:
∇ V = 0 → H
2
d 2V dz
2
=0→
d dV
= 0 dz dz
dV dV → ∫ d = → = A dz ∫ 0. dz dz → ∫ dV = ∫ A.dz → V = A. z + B
7.2) Calcule a fun çã o potencial e a intensidade de campo el é trico entre dois cilindros conc ê ntricos circulares retos. {Fonte:[4]}
95
Sol: O p otencial é fu n çã o d e r, ou seja “ V ( r ) ” , logo:
dV ∇ V = 0 → r . = 0 r dr dr dV dV → ∫ d r . = ∫ 0.dr → r . = A dr dr H
1 d
2
A
→ ∫ dV = ∫
r
dr → V = A ln r + B
E = −∇.V (r ) = − H
A r
H
.r
7.3) Em coord enad as cilí n d ricas, dois planos est ã o isolados ao longo do eixo z. Despreze espraiamento e encontre a expressã o para E entre os planos. Fonte:[4] H
Sol: O p otencial é fu n çã o d e φ , ou seja “ V (φ ) ” , logo:
∇ 2V = 0 → H
1 d 2V 2
r d φ
=0
dV dV → 2 = 0 → ∫ d . = ∫ 0.d φ → r . = A d φ dr d φ → ∫ dV = ∫ A.d φ → V = A.φ + B 2
d V
96
V = A.φ + B (V )
E = −∇.V (φ ) = − H
E = −
A r
1 dV
=−
r d φ
1 d r d φ
( A.φ + B ).φ H
(V / m)
H
.φ
7.4) Resolva a equ a çã o d e Lap lace par a a regi ã o comp reen-
θ 1 o p otencial vale V 1 , e em θ 2 é zero. Os v értices d os cones s ã o isolad os em r = 0 .{Fonte:[4]} d ida entre d ois cones. Em
Sol: O p otencial é fu n çã o d e
θ , ou seja “ V (θ ) ” , logo:
dV dV ∇ V = 0 → 2 senθ = 0 → ∫ d senθ . = r . senθ d θ d θ d θ H
1
2
= ∫ 0.d θ → sen θ .
d
dV dr
= A
θ .d θ → V = A. ln tg → ∫ dV = ∫ + B sen θ 2 A
pois, cham and o z
cosθ =
1 − z 2 1 + z 2
= tg
; sen θ =
θ 2
temos:
2 z 1 + z 2
; d θ =
97
2dz 1 + z 2
A.d θ
1 2dz A 2 z 1 + z 2 1 + z 2
∫ sen θ =∫ dz
→ A∫
z
1 + z 2 2dz
= A∫
2 z 1 + z 2
θ = A ln z + B = A ln tg + B 2
As constan tes sã o encontradas a p artir d e:
V 1
θ 1 tg θ 2 + B 0 . ln tg B A = A. ln + = ; 2 2
θ − ln tg θ 2 2 2 ⇒ V = V 1. θ θ ln tg 1 − ln tg 2 2 2 ln tg
7.5) Um potencial em coordenadas cil í n dricas
é fu n çã o d e
r e φ , mas n ã o de z. Obtenha as equa çõ es diferenciais separad as para R e φ , ond e V = R ( r ).Φ (φ ) , e resolva-as. A regiã o é sem cargas. {Fonte:[4]} Sol:
∇ 2V = 0 ⇒ Φ. H
⇒
2
2
d 2 R 2
dr
+
r d R r dR . 2 + . R dr R dr
Φ
R d 2 Φ . + 2. 2 r dr r d φ dR
1 d 2 Φ =− . 2 Φ d φ
98
=0
Como u m lado d a igualdade s ó depende de r e o ou tro só d e φ ; ent ã o:
⇒
r 2 d 2 R r dR . 2 + . R dr R dr
= a2 ⇒
d 2 R
1 dR a 2 . R + . − 2 2 dr r dr r
=0,
m ultiplicand o am bos os lad os da equa çã o por r 2 , tem os:
d 2 R
⇒ r 2 .
dr 2
+ r .
dR dr
− a 2 .R = 0 , qu e é um a equa çã o d e euller,
fazendo a su bstitu içã o de variá vel
r = e
→
dt
− t
dR dr
→ t = ln r ; dr
=
1
= = e −t r
dR dt −t dR =e . . dt dr dt
→
2
d R 2
dr
=
d dR
d dR dt
= dr dr dt dr dr
d (e −t ) dR −t d 2 R −t . .e → 2 = = + e . 2 dr dt dt dt 2 2 2 d R −t dR d R d R dR −t −t − 2t .e = e 2 − → 2 = − e . + e . 2 dr dt dt dt dt d −t dR −t e . .e dt dt
2
d R
2
r .
d 2 R dr 2
+ r .
dR dr
− a 2 . R = 0
2 d R dR t −t dR 2 2 t − 2 t ⇒ 2.e .e . 2 − + e . e . − a . R = 0 dt dt dt
⇒ ⇒
d 2 R dt 2 d 2 R 2
dt
−
dR dt
+
dR dt
− a 2 . R = 0
− a 2 . R = 0
99
tirand o a equa çã o caracter í s tica, temos: 2
λ
−a
2
λ = a =0→ λ = − a 1
2
+ C 2 .e λ .t = C 1.e at + C 2 .e − at t a t − a R (t ) = C 1 (e ) + C 2 (e ) R (t ) = C 1.e
λ 1 .t
2
voltand o a equ a çã o original, por m eio d e r = e t , tem os:
R(r ) = C 1.r a
−
1 d 2 Φ
Φ d φ 2
+ C 2 .r − a
=a → 2
d 2 Φ d φ 2
+ Φ.a 2 = 0
tirand o a equa çã o caracter í s tica, temos:
λ 2 + a 2
= 0 → λ = ± a.i → λ = 0 ± a.i logo para o caso em que as ra í z es s ã o complexas, temos como solu çã o a equa çã o d iferen cial :
Φ(φ ) = e 0.φ (C 3 . cos aφ + C 4 . sen aφ ) Φ(φ ) = C 3 . cos a.φ + C 4 . sen a.φ 7.6) O potencial de Coulomb atenuado pela presen ça dos demais el é trons V =
q
e
−
r
λ
4.π .ε 0 r
ocorre comumente num
m eio cond u tor . Calcu le o camp o elé trico e a d ensid ad e de carga corresp ond ente. {Fonte:[8]}
100
Sol:
− λ r r r e q q 1 − λ − λ 1 E = −∇.V = − ∇ = − + e .∇ ∇ e 4.π .ε 0 r 4.π .ε 0 r r − λ r r r q e 1 − λ 1 q 1 1 − λ r . − + e − 2 .r = E = − + .e . 4.π .ε 0 r λ r 4.π .ε 0 r λ r H
H
H
H
H
H
H
H
^
Sabemos q u e: r = H
r H
r
^
=
r r
; logo, tem os: ^
r
r
^
1 1 − λ 1 r q 1 1 − λ r E = + .e . . = + .e . 2 4.π .ε 0 r λ r r 4.π .ε 0 r λ r q
H
^
r
1 1 − λ r ⇒ E = + .e . 2 4.π .ε 0 r λ r H
q
− λ r ρ q 2 2 e ∇ .V = − → ∇ = 4.π .ε 0 ε 0 r r r − ρ q 1 2 − λ 1 2 λ + ∇ .e = − ρ = − ε → 4.π r ∇ e r 0
→
r
− 4.π .δ (r ) .e λ = 2 4.π λ .r q
1
−
101
r − 1 λ ( ) − ρ → q. − + = ρ r . e δ 2 4.π .λ .r
⇒ ρ = δ (r ) − 2 .e 4.λ .r 1
−
r
λ
2 1 ∇ = −4.π .δ (r ) . Verificar em (Reitz, Fu nd am entos pois, r
d a Teoria Eletromagn é tica; p á gina 54, eq.2-58)
6
Refer ê ncias para estud o da teoria
Referê ncia para estud o d a teoria: KRAUS, Joh n D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Gu an abar a Dois, 1978. 7
⇒ cap í tu lo 7 (sete)
EDMIN ISTER, Josep h A. Eletromagnetismo. Editora McGraw-Hill d Brasil, 1980.
⇒ cap í tu lo 8 (oito)
102
CAP ÍTULO 8
CAMPOS MAGN ÉTICOS VARIAN D O N O TEMPO 8.1) (a) Um an el d e 3 voltas, com 0,5m 2 d e á rea, situad o no ar, tem u m campo m agn é tico nor m al ao p lano d o an el. Se a densidade de fluxo magn é tico variar de 5mTs -1, qual é a for ça eletrom otriz que ap arecer á nos term inais do an el? (b) Se a fem nos terminais do anel for de 100mV, qual ser á a taxa de varia çã o do camp o magn é tico?{Fonte:[1]} Sol:
∂. B ∂. B .d s = . A v = − ∫ ∂.t ∂.t S H
H
letra (a) A = (3).(0,5m) = 1,5m
2
∂ B ; = 5mT / s ⇒ v = (5mT ).(1,5m 2 ) = 7,5mV ∂t
letra (b ) v=
∂ B ∂ B v 100mV . A ⇒ = = = 66,67 mT / s 2 ∂t ∂t A 1,5m 103
8.2) Um p ênd ulo de fio com uma escova oscila norm al a um camp o magn ético u niform e d e 250mT, como m ostra a figura. A velocidad e de qualquer ponto d o p ênd ulo a um a dist â ncia r d o seu ponto de apoio é dada por v = w.d (r R ). cos wt , onde d é o deslocamento horizontal m á ximo ou meia amplitude. Se o comprimento R do p ênd ulo for de 4m, seu p erí o do na superf íc ie terrestre ser á aproximadamente 4s
T (s )
= 2.π
R(m ) / 9,8(m.s − 2 ) .
Emp regando este valor para o p er í o do, determine a fem m á xima qu e aparece nos term inais se d=100mm . {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-2 Fonte:[1] Sol:
v=
∫ (V x B).d l = V . B.l = V . B.θ . R H
V = w.d . vmax
vmax
H
H
r
. cos wt → V max
R → V max
=
2.π .d T
= w.d .
. B.θ . R
104
R R
.1 = w.d =
2.π .d T
d a figu ra tiramos sen θ =
vmax
=
2.π .d T
d ⇒ θ = sen −1 , logo R R d
d R
. B. R. sen −1
8.3) Ache a fem induzida num fio reto que se move perpendicular a um campo magn é tico uniforme B com uma velocidad e v com o na figu ra. O cam po m agn é tico est á restrito ao raio R d as p e ças polares de u m im ã . {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-3a {Fonte:[1]} Sol:
v=
∫ (V x B).d l = V . B.2l = 2.V . B. H
H
H
Fig. Prob. 8-3b {Fonte:[1]}
105
R 2 − r 2 , pois
d e ond e temos pelo Teorem a d e Pit á goras:
R
2
= r 2 + l 2 ⇒ l =
R
2
− r 2
8.4) Um aro cond u tor com ú nico raio gira perp end icu lar B (figura ). O cam p o m agn é tico est á restrito ao raio R d as p eças polares de u m im ã . Um circu ito extern o faz contato com o eixo e o ra io de escovas. (a) Se o aro for girad o N rs -1, ache a fem induzida no circuito. (b) Se uma corrente I passar atrav é s d o circuito, ache o torq u e no a ro. (c) Se a corrent e fluir como indicado, o torque ser á no sentido hor á rio ou anti-hor á rio? {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-4a {Fonte:[1]} Sol: Letra (a)
v= l
=
∫ (V x B ).d l = V . B.l H
H
2.π . R 2
v = V . B.l
H
= π . R
e V = w. R = N . R ; p ois w = N (rad / s )
= N . R. B.π . R = π . N . B. R 2 (Volt )
106
Letra (b)
T = m x B , m = I . A ⇒ T = I . A. B H
H
H
d a figu ra tiramos a á rea
Fig. Prob. 8.4b
A =
R. R
2
⇒ T = I .
=
R 2
R 2
2
2
. B =
1 2
. I . B. R 2 ( Nm)
8.5) (a) Um d isco fino d e cobre d e 300m m d e d iâ m etro est á situad o com o p lano normal a u m camp o magn é tico uniforme e constante B=600mT. Se o disco girar 30rs -1, ache a fem d esenvolvida nos term inais conectad os à s escovas como mostra a figura. Uma escova faz contato com o eixo. Este arranjo é chamado d e gerador de disco de Faraday . (b) Se o campo magn é tico variar com o tempo, como dado por B=B0senwt, onde B0=600mT e w=2πx5 rads -1, ache a fem d esenvolvida nos ter m inais. {Fonte:[1]}
107
Fig. Prob. 8-5 Fonte:[1] Sol: Letra (a) Dados: d = 2 R = 300mm ; w = 30 r .s −1 ; B = 600mT
fem = v = l
=
2.π . R
∫ (V x B ).d l = V . B.l H
H
H
= π . R = 0,47m
2 V = w. R = 4,5m / s B = 600mT v = V . B.l
= 1,27(V )
Letra (b) Dados: w = 2.π x5r .s −1 ; B0
= 600mT onde B = B0 sen wt
∂ ∂. B − ∫ .d s = V . B.l − ( B0 . sen wt ).a.b ∂.t ∂t S H
v=
∫ (V x B).d l H
H
H
H
v = V . B.l − B0 .w.a.b. cos wt = 1,27 − 18,8.ab cos 10π .t (V )
108
8.6) Ache a indut â ncia m ú tua entre um fio longo e uma espira reta ngu lar d e fio como m ostra a figu ra. {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-6 Fonte:[1] Sol:
M =
N 1 N 2
ℜ
⇒ M =
=
N 1 N 2
2.π
N 1 N 2
B.d s = ∫∫ ∫ H .d l H
I . ln
H
H
N 1 N 2 . I .l
H
I
2.π
ln
r 2 r 1
r 2 r 1
pois,
µ . I µ . I .l .l.dr 2.π .r 2.π
⇒ ∫∫ B.d s = ∫∫ H
H
e,
e,
r 2
∫ r 1
dr r
⇒ ∫ H .d l = H ϕ .2.π ..r = I ⇒ H ϕ = H
H
⇒ B = µ . H → Bϕ = µ . H ϕ =
µ . I 2.π .r
109
=
µ . I .l r 2 ln (Wb) r 1 2.π I
2.π ..r
8.7) Uma barra condutora reta, presa a um peso, est á susp ensa por molas m et á licas nu m camp o magn é tico uniforme B como na figura. O comprimento da barra é d e 500mm. Ache a corrente I (grandeza e sentido) necess á ria p ara equ ilibrar a bar ra e o p eso se B=2T e a m assa d a barr a e d o p eso for d e 5kg.{Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-7 Fonte:[1] Sol:
dF = ( IxB ).dl → F = ( IxB).l
∑ F = 0 → F − mg + F = 0 → F = el
el
el
F = 2.F el
= m.g
F = B. I .l
→ mg = B. I .l → I =
→ I =
m.g B.l
m.g B.l
= 49( A)
110
mg
2
8.8) Levitação magn é tica. Uma barra cond u tora estreita com um peso é suspensa por um par de molas em um campo magn é tico uniforme (como mostra a figura do problema 8.9) O comp rimento d a barra é d e 500m m e B=2T. Se I=60A, encontre a m á xima massa da barra e d o peso que pod e faz ê la “ boiar ” ou levitar . {Fonte:[2]} Sol:
→ F = ( BxI ).l → F = B. I .l → mg = B. I .l →m=
B. I .l g
= 6,12(kg )
8.9) Ache a d ensidad e de corren te de d eslocam ento d e um camp o magn é tico no ar dad o por (a) H y
= H 0 . sen (wt − β . x ) , ^
^
(b) H = x H . sen 2 x. sen(wt − β . y ) + z H sen 2 x. cos(wt − β . y ) x z H
Fonte:[1] Sol:
∇ x H = J → H
H
H
∂. H z ∂. H y ^ ∂. H x ∂. H z ^ ∂. H y ∂. H x − + y − − = J x + z ∂. y ∂. z ∂. z ∂. x ∂. x ∂. y ^
H
Letra (a) ^ ∂. H y ^ . z = J → J = z H 0 . cos(wt − β . x )( . − β ) ∇ x H = J → ∂. x H
H
H
H
H
^
→ J = − z β . H 0 . cos(w.t − β . x ) H
111
Letra (b)
∂. H z ^ ∂. H z ^ ∂. H y ∇ x H = J → x + y − = J + z − ∂. y ∂. x ∂. y H
H
H
^
H
^
→ J = x[β . H z sen 2 x. sen (wt − β . y )]− H
^
^
[2. H z cos 2 x. cos(wt − β . y )] y + z[β . H x . sen 2 x. cos(wt − β . y )]
8
Refer ê ncias para estud o da teoria
Referê ncia para estud o d a teoria: KRAUS, Joh n D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Gu an abar a Dois, 1978. 8
⇒ cap í tu lo 8 (oito)
KRAUS, Joh n D. Eletromagnetics McGraw -Hill Inter nat ional Editions, 1991
⇒ cap í tu lo 10 (d ez)
112
CAP ÍTULO 9
RELA ÇÃ O EN TRE A TEORIA D OS CIRCUITOS E D O CAMPO: EQUA ÇÕ ES DE MAXWELL 9.1) (a) Partindo da lei de Amp è re, obtenha a equa çã o d e Maxwell na forma integral basead a n esta lei. (b) Obtenha a rela çã o p ontu al ou d iferencial correspon d ente, ap licand o o Teorem a d e Stok es. {Fonte:[1]} Sol: Letra (a)
∫ B.d l H
H
dq = µ 0 .i = µ 0 (icond + idesl ) = µ 0 ∫∫ ( J . + )d s . dt H
H
∂. D dq D d s q D d s d s . . . = → = → = = idesl ∫ ∫ ∫∫ d .t dt dr ∂.t H
H
H
d
H
H
dq
H
∂. D ∂. D .d s = µ 0 ∫∫ J + .d s = µ 0 ∫∫ J .d s + ∫∫ ∂.t ∂.t H
∫
H
H
B.d l
H
H
H
H
H
113
H
∂. D ∂. D B .d s → ∫ .d l = ∫∫ J + .d s B.d l = ∫∫ J + ∫ µ 0 µ 0 ∂.t ∂.t ∂. D .d s ⇒ ∫ H .dl = ∫∫ J + ∂.t H
1
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
Letra (b)
∂. D ∫ H .dl = ∫∫ J + ∂.t .d s H
H
H
H
∂. D ∫∫ (∇ x H ).d s = ∫∫ J + ∂.t .d s ∂. D ⇒ ∇ x H = J + ∂.t H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
9.2) (a) Partindo da lei de Faraday, obtenha a equa çã o d e Maxwell na forma integral baseada nesta. (b) Obtenha a rela çã o pon tu al ou d iferencial correspon d ente ap licand o o teorema de Stokes. {Fonte:[1]} Sol: Letra (a)
= ∫∫ B.d s , m as v = − H
ψ m
H
d ψ m dt
∫
∂. B → ∫ E .d l = − ∫∫ d s ∂.t H
v=−
d dt
∫∫
H
H
H
B.d s
H
e v = E .d l
H
H
114
H
Letra (b)
∂. B = − ∫∫ d s ∂.t H
∫
H
H
H
E .d l
∂. B ∫∫ (∇ x E ).d s = −∫∫ ∂ .t d s H
H
H
H
H
∂. B ∇ x E = − ∂.t H
H
H
9.3) (a) Partind o d a lei d e Gauss p ara os camp os elé tricos, obtenha a express ã o d e Maxw ell na form a integral basead a nesta lei. (b) Obtenh a a r elaçã o p ontu al ou d iferencial corresp ond ente. {Fonte:[1]} Sol: Letra (a)
∫
H
= q → ∫ (ε . E ).d s = q → ∫ D.d s = q H
ε E .d s
H
H
H
H
Letra (b)
∫ D.d s = q → ∫ D.d s = ∫∫∫ ρ .dv → ∫∫∫ (∇. D).dv = ∫∫∫ ρ .dv H
H
H
H
H
H
⇒ ∇. D = ρ H
H
9.4) (a) Partind o d a lei de Gau ss aplicad a aos camp os m agn é ticos, obtenha a express ã o d e Maxw ell na form a integral basead a nesta lei. (b) Obten ha a rela çã o pon tual ou d iferencial corresp on d ente. {Fonte:[1]}
115
Sol: Letra (a)
= ∫∫ B.d s , mas na su perf í cie fechad a tem os H
ψ m
H
S
∫ B.d s = 0 H
H
S
Letra (b)
∫ B.d s = 0 → ∫∫∫ (∇. B).dv = 0 → ∇.B = 0 H
H
H
H
H
H
S
v
9.5) Porqu e as equ a çõ es de Ma xwell n ã o s ã o com p letam ente sim é tricas? Fonte:[1] Sol:
∂. D ∂. D F mm = ∫ H .d l = ∫∫ J + .d s , ou → ∇ x H = J + ∂.t ∂.t S ∂. B ∂. B v = ∫ E .d l = − ∫∫ d s , ou → ∇ x E = − ∂.t ∂.t ψ el = ∫ D.d s = ∫∫∫ ρ .dv, ou → ∇. D = ρ H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
= ∫ B.d s = 0, ou → ∇. B = 0 H
ψ m
H
H
H
Observe que: A lei de Gaus do campo el é trico
∇.D = ρ ) H
H
∫ D.d s = ∫∫∫ ρ .dv = q (ou H
H
indica a exist ê ncia de cargas elé tricas isoladas
(“ monop ó los elé tricos” ).
116
∫
H
E a lei de Gaus d o campo m agn ético B.d s
H
= 0 (ou ∇. B = 0 ) H
H
indica a inexist ê n c i a d e c a r g a s m a g n é ticas isoladas (“ monop ó los ma gn éticos ” )
⇒ Conclusã o: As equ a çõ es de Ma xwell n ã o s ã o sim étricas porqu e cargas magn é ticas isolad as n ã o existem (enqu anto cargas elé tricas isoladas existem).
9.6) Um cond u tor cilí n d rico longo d e raio R e σ= ∞ conduz u m a corrente I=I0senw t . Como fun çã o d o raio r (p ara rR) ache (a) a d ensidad e de corrente d e cond u çã o(b) a den sid ad e de corrente d e deslocam ento Jd (r) e (c) a d ensid ad e d e fluxo magn é tico B(r). Con sid ere d
