Manual de Mecanica Industrial PDF
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HEMETHERII V A L V E R D E Episcopi Leonensis
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M A N U A L
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MECANICA INDUSTRIAL
¿L. M A N U A L M Es propiedad exi al que la
de los editores, reimprima.
y se perseguirá
ante /a
MECANICA INDUSTRIAL eos APLICACION
DON
J VARIAS MAQUINAS
E D U A R D O VELEZ
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DE
PAREDES
¡«slmction
primiri».
Con 93 láminas en el texto.
P A - Í S LIBRERIA DE ROSA,
POISST.
—
IMPRENTA
DE
ARBIEt'.
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PROLOGO.
P o c o novísimo puede decirse acerca de la ciencia de q u e trata este
MANUAL,
Distinguidos físicos han
expuesto con la m a y o r lucidez los principios y leyes generales y particulares que la r i g e n ; otros", de igual nombradia, los han desarrollado y aplicado á las máquinas conocidas hasta el d i a ; algunos han estudiado el m o v i m i e n t o con independencia de las causas que lo producen y dado la importancia merecida á la práctica de tan interesantes cuestiones. M u y pocos, es verdad, han c o m p r e n d i d o en sus obras las abstracciones d e la mecánica racioFONDO
EMETER10
VALVfcRDEY.TELLEZ
n a l ; e m p e r o , casi lodos han considerado el trabajo d e las fuerzas, su aplicación y v a l o r , la composicion y descomposición de los movimientos y de las 1 *
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O A h
fuerzas, las condiciones de su e q u i l i b r i o y d e f i n i d o con precisión y brillantez los c e n t r o s d e g r a v e d a d . T o d o , pues, se halla a g o t a d o ; asi, fácil será el c o n cebir q u e n o p o d r e m o s ser o r i g i n a l e s . E l titulo mismo de
MANUAL
q u e d a m o s á nuestro l i b r o , e x -
c l u y e tamaña p r e t e n s i ó n , é i n c u r r i r í a m o s en u n d e l i r i o inconcebible, i m p e r d o n a b l e , si t u v i é r a m o s el a t r e v i m i e n t o d e s u p o n e r l a , y v i n d i c a r l a . G r a cias á Dios, n o p a g a m o s tributo á tan g r a n d e b i lidad ; p o r el c o n t r a r i o , m i r a m o s con lástima á los escritores victimas d e este o r g u l l o v a n i d o s o q u e r e b a j a y desluce s i e m p r e aun á los h o m b r e s d e mérito real. N o s o t r o s , pues, nos h e m o s l i m i t a d o á r e u n i r , en r e d u c i d o t o m o , lo m e j o r y mas útil q u e h e m o s encontrado en las obras, así antiguas c o m o m o d e r nas, q u e h e m o s h o j e a d o con este o b j e t o . Casi todas nos han prestado su a p o y o y una p a r t e m a s ó m e n o s g r a n d e d e sus respectivos tesoros. L o s c u r sos y asignaciones explicadas p o r e l distinguido catedrático M r . J. B e r t r a n d en e l Liceo
Napoleon
y en la Escuela politécnica d e P a r i s , nos han suministrado numerosos p r o b l e m a s
perfectamente
resueltos, en términos d e n o h a b e r n o s d a d o m a s !^rea q u e la d e su oportuna distribución y versión
al idioma castellano. Los elementos de Estática d e M r . P o i n s o n , tan notables p o r las f o r m a s y e l e gancia d e estilo, c o m o p o r e l f o n d o y claridad d e sus d e m o s t r a c i o n e s , nos han s e r v i d o v e n t a j o s a m e n t e en todo l o r e l a t i v o a l e q u i l i b r i o , c o m p o s i cion y descomposición d e los m o v i m i e n t o s y d e las fuerzas, y á los centros d e g r a v e d a d d e los cuerp o s sólidos. T a m b i é n h e m o s e x a m i n a d o el Año científico é industrial,
ó exposición anual de los
trabajos científicos é inventos y de las principales aplicaciones de la ciencia á la industria y A las artes. E n s u m a , hasta e l c é l e b r e F . D. A n t o n i o d e G u e v a r a , e n cuya Física general y particular estudiamos nuestras p r i m e r a s nociones físicas, nos ha p a g a d o su c o n t i n g e n t e . A pesar d e lo e x p u e s t o , n o somos servil copista. N o s h e m o s d e s v i a d o , a u n q u e m u y pocas veces, d e ciertos p r i n c i p i o s y aplicaciones defectuosos, y , en su v i r t u d , c o n d e n a d o s p o r la experiencia y adelantos d e la Mecánica, h e m o s rectificado alguna d e f i n i c i ó n , imaginado el m é t o d o d e este tratado con a r r e g l o al p r o g r a m a del n u e v o plan d e estudios francés, y r e d u c í d o l o todo á los estrechos limites d e u n
MANUAL;
p e r o este, tan c o m p l e t o q u e
podrá s e r v i r á los peritos en la ciencia para des-
vanecer sus dudas en los muchos casos q u e se presentan cada dia, y á los alumnos y aficionados d e
MANUAL
maestro y guia en sus estudios. Hubiéramos
deseado disponer d e suficiente
tiempo para haber redactado una obra d e ' m a s aliento y m e d i t a c i ó n ; mas las apremiantes ocupaciones q u e necesitan toda nuestra atención, se
DE
MECANICA
INDUSTRIAL
han opuesto á la realización de este deseo. S i n ¡ m bargo, esperamos q u e esta aglomeración d e d i versos trabajos cesará un dia, y nos permitirá d e continuar la obra q u e tenemos meditada sobre el mismo asunto. EL
AUTOR.
I N T R O D U C C I O N
1. D E F I N I C I Ó N Y
OBJETO DE L A M E C A N I C A . —
La
mecánica, rigurosamente hablando, es la ciencia de las máquinas. Mas, como esta parte, tan esencial y necesaria á la icdustria, recibe cada dia nuevos perfeccionamientos, se comprende, bajo esta denominación, el estudio de las leyes y causas d é l o s movimientos de los cuerpos, las que producen el equilibrio,
y,
por fin. la aplicación de estos principios generales á las máquinas conocidas hasta hoy. En su consecuencia, trataremos en el presente MANUAL de los principios y aplicación mas e l e m e n tales de este maravilloso ramo de los conocimientos humanos. 2 . D E F I N I C I Ó N DEL
MOVIMIENTO
EN GENERAL.
—
Movimiento es la traslación de un cuerpo de uno
vanecer sus dudas en los muchos casos q u e se presentan cada dia, y á los alumnos y aficionados d e
MANUAL
maestro y guia en sus estudios. Hubiéramos
deseado disponer d e suficiente
tiempo para haber redactado una obra d e ' m a s aliento y m e d i t a c i ó n ; mas las apremiantes ocupaciones q u e necesitan toda nuestra atención, se
DE
MECANICA
INDUSTRIAL
han opuesto á la realización de este deseo. S i n embargo, esperamos q u e esta aglomeración d e d i versos trabajos cesará un dia, y nos permitirá d e continuar la obra q u e tenemos meditada sobre el mismo asunto. EL
AUTOR.
INTRODUCCION 1. D E F I N I C I Ó N Y
OBJETO DE L A M E C A N I C A . —
La
mecánica, rigurosamente hablando, es la ciencia de las máquinas. Mas, como esta parte, tan esencial y necesaria á la icdustria, recibe cada dia nuevos perfeccionamientos, se comprende, bajo esta denominación, el estudio de las leyes y causas d é l o s movimientos de los cuerpos, las que producen el equilibrio,
y,
por fin. la aplicación de estos principios generales á las máquinas conocidas hasta hoy. En su consecuencia, trataremos en el presente MANUAL de los principios y aplicación mas e l e m e n tales de este maravilloso ramo de los conocimientos humanos. 2 . D E F I N I C I Ó N DEL
MOVIMIENTO
EN GENERAL.
—
Movimiento es la traslación de un cuerpo de uno
li
INTRODUCCION,
INTRODUCCION.
á otro lugar. Asi es que un cuerpo se halla en m o v i m i e n t o cuando recorre sucesivamente
muchos
puntos y ocupa muchas posiciones en e l espacio. Conservando la m i s m a posicion, entonces se halla en quietud. De esta definición se deduce, q u e cuando
un
hombre pasea, u n caballo galopa, una l o c o m o t i v a recorre su via, y un buque navega, p o d e m o s decir que estos cuerpos están en m o v i m i e n t o . Este es mas ó menos r á p i d o ; así es que no es posible fijar el cambio de posicion si no lo c o m p a r a m o s con los puntos y objetos inmediatos q u e nos sirven
de
señal ó de punto de partida. 3. MOVIMIENTO RELATIVO. —
Así, como
Si estas seriales ó
m o v i m i e n t o será r e l a t i v o ; y por cierto,
propia-
mente hablando, puede decirse q u e todos los m o v i mientos son relativos, visto que el g l o b o que habitamos, además de su órbita al rededor del sol» tiene el doble m o v i m i e n t o de rotacion sobre su propio eje con q u e forma los dias y las noches. E l sol, á su vez, v u e l a , por decirlo así, en el espacio arrastrando en pos suyo la tierra y su séquito planetario.
nos concretamos al estudio de los
elementos y fenómenos mecánicos que observamos sobre la tierra, llamaremos en adelante
mos la mas completa abstracción del movimiento de la tierra. b. ESPACIO, TIEMPO. — Espacio,
aquí, es la línea
recorrida por un cuerpo puesto en m o v i m i e n t o ; y Tiempo,
el empleado para recorrerlo.
P o r consiguiente, para apreciar un m o v i m i e n t o cualquiera es absolutamente necesario saber medir recorrido y el tiempo gastado en la
marcha. 6. TRAYECTORIA. — Cuando se habla del m o v i m i e n t o de un cuerpo se hace abstracción de sus dimensiones para fijarse y ocuparse de un material,
punto
sobre el cual se supone condensadas todas
las moléculas que lo componen. En seguida, i m a ginando las posiciones que este punto material
ó
cuerpo ha ocupado sucesivamente, veremos una línea continua,
porque el cuerpo no irá de una
parte a otra sin pasar por todas las posiciones intermediarias. Esta línea, pues, ó espacio recorrido se llama trayectoria.
4. MOVIMIENTO ABSOLUTO. — Es aquel que se pro-
absolutos
todos los movimientos de los cuerpos, pues hare-
el espacio
puntos se m u e v e n igualmente, e n este caso el
1
su nombre
L a forma de la trayectoria da
al m o v i m i e n t o ;
de manera, que si
duce cuando suponemos que las señales ó puntos
aquella es recta, este será rectilíneo, y si curva,
que nos sirven para apreciar el m o v i m i e n t o de los
curvilíneo.
cuerpos, se hallan absolutamente e n reposo.
Los movimientos curvilíneos se diferencian entre
«
por la naturaleza de la línea curva que describen
ios cuerpos; es circular,
cuando la trayectoria es
una circunferencia de círculo, y parabólica,
cuando
es una parábola. Luego
que
se
las ecuaciones de la
trayectoria, esta se halla completamente determi^eben referirse á tres planos coordinados. Las coordinadas á un punto dado de la curva, son longitudes evaluadas ú metros, y expresadas con signos convencionales, según lo enseña la geometría analítica. De aquí se infiere que para poder conocer cual se requiere el m o v i m i e n t o de los cuerpos, es absolutamente indispensable examinarlo con relación al tiempo que consumen para recorrerlas diversas partes de la trayectoria, pues no basta, como puede el
9
cuenta 3,600 segundos. P o r consecuencia, se dice que dos intervalos
conocen
nada ; mas debe observarse que dichas ecuaciones
colegirse,
INTRODUCCION.
tiene 1,440 minutos, ó 86,400 segundos. La hora
observar
solamente la especie
de
líneas recorrido por los mismos.
tiempo
son iguales,
cados en las mismas cios
cuando
dos cuerpos
circunstancias,
idénticos,
recorren
de colo-
dos espa-
idénticos.
8. U N I D A D DE TIEMPO, I N S T A N T E I N I C I A L . — E n l o s
cálculos matemáticos, el segundo es la unidad tiempo.
del
Según esto, el tiempo puede definirse, el
número de los segundos contados desde el instante, llamado inicial, hasta el que denominaremos
final
del m o v i m i e n t o . Esta suma de segundos llevará consigo los signos +
ó — , según que el tiempo en
cuestión ha seguido ó precedido el instante inicial. 9 . D E T E R M I N A C I Ó N DEL MOVIMIENTO DE U N PUNTO.
El movimiento de un punto material queda determinado completamente tan luego como se conoce
-
7. DEL TIEMPO Y DE su M E D I D A . - E l tiempo, que no puede definirse, se mide por los fenómenos astronomicos que marcan los intervalos sucesivos v
su trayectoria,y cuáles su posicion sobre la curva en un instaote dado. Cuando las ecuaciones de esta curva son conoci-
perfectamente iguales, ó por medio de un reloj,
das, basta para obtener este resultado
con cuyo auxilio es fácil dividir el tiempo que
una relación entre el espacio recorrido desde el
lamamos dia en una multitud de partes ó intérva-
punto dado y el tiempo consumido en recorrerlo.
08 l g u a l c s
' ¿ d i g n a d o s por boras, minutos y según-
contener
Si las ecuaciones de la curva no son dadas á
priori,
dos El día, c o m o nadie debe ignorarlo, ha sido
será necesario conocer las tres ecuaciones que, á
subdividido en 24 horas, la hora en 60 minutos, y
cada instante, enlazan al tiempo t las coordina-
el minuto en 60 segundos. P o r lo tanto, el dia
das x, y,
z
del punto movible. De este modo se
obtiene exactamente las posiciones del cuerpo en 1.
el espacio por los diversos
valores dados
á t.
Finalmente, para hacer esta operacion debe procederse desde luego, como queda indicado, obser-
P RDM E R A
v a n d o el espacio que recorre el punto material, ó
P M Y I
el cuerpo durante su trayectoria en un segundo, en seguida el que recorre en el segundo inmediato, incesantemente en el tercer segundo, y así sucesivamente hasta el fin de m o v i m i e n t o .
DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO CONSIDERADO INDEPENDIENTEMENTE DE SUS CAUSAS, SEGUN I.AS REGLAS GEOMÉTRICAS.
CAPITULO
PRIMERO
Del movimiento uniforme y de su» propiedades.
10. MOVIMIENTO UNIFORME, VELOCIDAD. — Unif o r m i d a d , es la igualdad y semejanza de una cosa consigo misma ó con o t r a ; de aquí resulta que el m o v i m i e n t o de un punto material sobre una recta ó curva se dice uniforme, corre espacios
iguales
cuando este punto re-
en tiempos
iguales,
cualesquiera
que sean los intérvalos de tiempo y espacios c o m parados. P o r consecuencia, los espacios recorridos son proporcionales á los tiempos empleados para r e correrlos. P o r lo tanto debe uno fijar la atención á la condición de que los espacios recorridos durante es-
el espacio por los diversos
valores dados
á t.
Finalmente, para hacer esta operacion debe procederse desde luego, como queda indicado, obser-
P RDM E R A
v a n d o el espacio que recorre el punto material, ó
P M Y I
el cuerpo durante su trayectoria en un segundo, en seguida el que recorre en el segundo inmediato, incesantemente en el tercer segundo, y así sucesivamente hasta el fin de m o v i m i e n t o .
DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO CONSIDERADO INDEPENDIENTEMENTE DE SUS CAUSAS, SEGUN I.AS REGLAS GEOMÉTRICAS.
CAPITULO
PRIMERO
Del movimiento uniforme y de su» propiedades.
10. MOVIMIENTO UNIFORME, VELOCIDAD. — Unif o r m i d a d , es la igualdad y semejanza de una cosa consigo misma ó con o t r a ; de aquí resulta que el m o v i m i e n t o de un punto material sobre una recta ó curva se dice uniforme, corre espacios
iguales
cuando este punto re-
en tiempos
iguales,
cualesquiera
que sean los intérvalos de tiempo y espacios c o m parados. P o r consecuencia, los espacios recorridos son proporcionales á los tiempos empleados para r e correrlos. P o r lo tanto debe uno fijar la atención á la condición de que los espacios recorridos durante es-
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL
[i
patios de tiempo iguales sucesivos sean iguales entre sí, cualesquiera
que sean,
los intervalos de
t i e m p o ; de manera que si se notaba que los espa-
nemos por último con v la velocidad del m o v i miento, y se verá inmediatamente que el espacio
cios recorridos, durante segundos sucesivos, son iguales entro sí, pero que e n la primera mitad del Mi,
segundo habia marchado mas que en la segunda m i t a d , entonces el m o v i m i e n t o no es uniforme. Así, la manecillade un reloj q u e señala los segundos recorre divisiones iguales en segundos sucesivos; pero despues de haber recorrido rápidamente una de las divisiones de la esfera, se para un instante,
Fig. 1.
en seguida recorre la segunda división, se v u e l v e i parar y así sucesivamente, de suerte q u e el m o v i m i e n t o no es uniforme.
e — e. ha sido recorrido ó se recorre en el tiempo t. Así, c o n f o r m e la definición dada tendremos
11. VELOCIDAD. — L a v e l o c i d a d del m o v i m i e n t o uniforme es el espacio vil durante
cada unidad
constante de tiempo.
recorrido
por el mó-
== -y-» por lo tanto e — e„ =
vt, e = e0 •+• vt.
P o r consiguiente,
la velocidad es tanto mas g r a n d e cuanto m a y o r es
He ahí la ecuación del m o v i m i e n t o uniforme, la
la unidad de tiempo, y el n ú m e r o que la m i d e es
cual nos facilitará á cada instante dado la posicion
tanto mayor cuanto menor es la unidad de la l o n -
del m ó v i l en su trayectoria.
gitud. 13. PROPIEDADES
ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO. - El m o v i m i e n t o u n i f o r m e de un punto
sobre una línea
indefi-
nida X Y puede representarse por una ecuación de primer grado entre el espacio y el tiempo. Supongamos O el origen de los espacios y M. Al las p o s i ciones del móvil
en el instante iuicial y en la
época t; supongamos O Ma =
y OM =
e, y desig-
DEL
MOVIMIENTO
UNIFORME.
— La precedente ecuación deinucstra inmediatamente que en toda especie de m o v i m i e n t o u n i f o r m e , el espacio recorrido durante un tiempo t con una velocidad v, se obtiene multiplicando la velocidad por el tiempo, la velocidad dividiendo el espacio recorrido
>or el tiempo gastado en recor-
rerlo, y el tiempo iji)iiilii mln \ l'i 1 jiiH i " pin lri TC
íoddad.
w w m m í e ftieva león BIBLIOTECA
L^fRDE Y
TELLEZ
I
14
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL. 14.
SIMPLIFICACIÓN
DE
LA
PRIMERA PARTE. -
FÓRMULA. -
toma por origen de los espacios el punto
Si
se
donde
se encuentra el m ó v i l al origen del tiempo, la f ó r mula quedará reducida á
C A P I T U L O I.
13
veces mas grande, sin c a m b i a r l a unidad de tiempo, e—e_ v . e - e j o serán reemplazados por y — , y ia fórmula subsistirá entre los nuevos números. Si en seguida se toma una unidad de tiempo n veces
e=vt.
mas grande, la velocidad deberá ser representada
l o . GENERALIDAD DE LA FÓRMULA. — Para generalizar la primera fórmula es necesario atribuir & las cantidades que entran en ella valores positivos y negativos. Despues de haber
fijado
el sentido
positivo de las distancias sobre la curva, se dará ¿ e0 el signo +
ó
según que la distancia del
origen al punto M0 será contada en este sentido ó en el contrario : del mismo modo la velocidad
v
será positiva ó negativa según que haga marchar al m ó v i l en el primero ó segundo sentido, á m e dida que el tiempo transcurre. Entonces s e v e r a fácilmente que el v a l o r y el signo de e resultarán de estos movimientos en todos y en cada uno de los casos dados.
10. HOMOGENEIDAD
DE
LA
FÓRMULA.
-
No
es
inútil el observar aquí que la precedente ecuación es homogénea, esto es, que subsiste como todas as formulas de la mecánica, cualesquiera q u e sean las unidades de longitud y de tiempo. E f e c t i v a mente, e - c . e s
una longitud cuyo valor n u m é -
rico depende únicamente de la unidad de longitud • pero « depende además de la unidad de tiempo! Si desde luego se toma una unidad de longitud m
por nt; y el tiempo por ~ ; su producto será, pues, nv -4- — , ó vt como antes. E n este caso la fórmula subsistirá también.
CAPITULO
II
Del movimiento variado de los cuerpo» y punto» materiales, y de sus diversas aceleraciones.
17. DEFINICIÓN. — C u a n d o el m o v i m i e n t o de u n p u n t o n o es u n i f o r m e n i c o m p u e s t o de m o v i m i e n tos u n i f o r m e s q u e t i e n e n d u r a c i o n e s linitas, el m o v i m i e n t o Se l l a m a
variado.
E l m o v i m i e n t o de u n c u e r p o q u e c a e , y el de l o s c a m i n o s d e h i e r r o , s o n v a r i a d o s . E n esta e s p e c i e d e m o v i m i e n t o s , la r a p i d e z c a m b i a á cada m o m e n t o . Si se c o n c i b e q u e en un i n s t a n t e d a d o c o n s e r v a la m i s m a v e l o c i d a d , e n t o n c e s el m o v i m i e n t o se h a c e u n i f o r m e , y la v e l o c i d a d de este
movi-
m i e n t o será l o q u e se l l a m a v e l o c i d a d d e
movi-
m i e n t o v a r i a d o en e l i n s t a n t e c o n s i d e r a d o . L u e g o q u e los c o c h e s q u e arrastra una l o c o m o t i v a se acerc a n al p u n t o d e l l e g a d a , el m o v i m i e n t o s e d i s m i n u y e p r o g r e s i v a m e n t e , en t é r m i n o s q u e si era a n tes d e l o m e t r o s p o r s e g u n d o , s u c e s i v a m e n t e será de 14,
13
y
1 hasta
anularse p o r
completo
c u a n d o l o s c o c h e s se h a y a n p a r a d o . Si e n u n i n s -
18
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
PRIMERA PARTE -
tanto dado se supone que la velocidad es de 6 metros por segundo, esto no quiere decir que la locomotiva hace seis metros por segundo; da á entender solamente que si conservara la rapidez
CAPITULO II.
11»
alguno. H e aquí las consideraciones que nos han servido para dar la precedente definición. Supongamos M la posicion del m ó v i l sobre su trayectoria ( f i g . 2) en la época t; M.\l'=te
el espa-
del m o v i m i e n t o que tenia en el instante observado, el convoy recorrería 6 metros en un segundo.
18. E C U A C I Ó N DEL
MOVIMIENTO
VARIADO. —
El
movimiento variado de un punto sobre su trayectoria queda determinado completamente cuando para cada instante se conoce la relación que existe entre la distancia variable e de este punto al origen de los espacios y el tiempo correspondiente l transcurrido desde
un instante inicial hasta el
mento considerado.
Fig. t-
mo-
A l efecto, supondremos que
esta relación se traduce analíticamente por una ecuación d a d a :
ció que recorre en un tiempo d a d o ; AÍ puede imaginarse este tiempo bastante pequeño para que el punto material se aleje constantemente del punto
e
=f
M durante dicho intórvalo. Si el espacio Ae había A? sido descrito por un movimiento unitorme, A y s e -
(0
que será la ecuación del movimiento.
ria entonces la velocidad del movimiento. Esta 19. D E F I N I C I Ó N DE L A VELOCIDAD Y DE SU D I R E C -
CIÓN. -
N o puede decirse que la velocidad de un
m o v i m i e n t o variado, en un momento dado,
demostración representa la velocidad media con la cual el arco M M' ha sido recorrido ó la v e l o c i -
es,
dad constante que hubiera sido necesario dar al
como en el m o v i m i e n t o uniforme, el espacio que
m ó v i l para hacerle recorrer con movimiento uni-
recorre el m ó v i l durante la unidad de tiempo y
f o r m e el arco M M' en el tiempo AÍ disminuido in-
dicho instante. De l o contrario, se haria depender
definidamente : Ae disminuye á su vez sin límites;
esta velocidad de las variaciones ulteriores del movimiento, cosa que no puede admitirse de modo
por consiguiente, la relación
Ae
, varia sin cesar
20
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
porque representa la velocidad media, y converj e hacm un límite determinado q u e llamamos la velocidad
del móvil ó del punto M.
Así, la velocidad de este, en un punto dado de su del espacio y del tiempo, luego que este último disminuye hasta cero, es decir, la derivada del espacio considerado como función del tiempo. A h o r a bien, si la ecuación del m o v i m i e n t o es
en que se le
de aumentar
ó disminuir
consiel
Estos principios pueden demostrarse prácticamente con el auxilio de las reglas que nos s u m i nistra la geometría analítica, las cuales nos facilitan los medios de representar el
movimiento
variado y su velocidad. A l efecto podrán hacerse los indiquen y comprueben. Y con el fin de evitar todo cálculo para transformar las longitudes m e -
la velocidad t> será dada por la fórmula
El cálculo
si, en el instante
las construcciones ó representaciones gráficas que
(0,
v=f
variado,
dera, cesara repentinamente movimiento.
trayectoria, es el límite de la relación del aumento
Aí, de donde se saca v = ~ .
En
sentido, pues, es cuando se dice que la del movimiento
variado
de la división
del espacio
tiempo
infinitamente
en un instante pequeño
consumido
la del movimiento
uniforme
cociente
pequeño en
Puede decirse también que la velocidad serta
velocidad
dado, esel
infinitamente
este
por el
describirlo. del
que sucedería
cios.
En este caso el trazado de la tangente á la
curva hace conocer en cada punto l a velocidad del m o v i m i e n t o en todos y en cada uno de los instantes considerados. En otros, los datos se reducen á una tabla
q»e
encierra cierto número de valores correspondientes
cuerpo
á e y t. Estos valores dan el mismo número de
al mo-
puntos de la curva ignorada por los espacios. Si
22
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
estos puntos están cerca unos de otros, se podrán construir aproximativamente esta curva y sus tangentes. Se puede también, aplicando los métodos ordinarios d e interpelación, determinar la ecuación de una curva algébrica que pasa por los puntos dados, y que los susüluye á la curva de los
CAPITULO
III
espacios. A d e m á s , calculando la derivada de la ordenada de la curva obtenida por este medio, se logrará así también el valor aproximado de la velocidad. Empero, cualesquiera que
Del movimiento uniformemente variado, y de su velocidad y ecuación.
sean los datos que
sirvan á construir la curva, la discusión de la o r denada y de su tangente es propia y suficiente para
20. Definido en el capítulo
primero el m o v i -
dar á conocer todas las circunstancias del m o v i -
miento
miento. Así, sin entrar, pues, en los detalles que
movimiento variado, hablaremos
necesitara esta cuestión y limitándonos solamente
propiedades del movimiento uniformemente v a -
á llamar la atención de nuestros lectores, diremos,
riado ; pero antes diremos qué se entiende por este
sin embargo, que el movimiento es directo,
movimiento.
ó tiene
uniforme, y tratado en
el segundo
del
en este de las
lugar el sentido en los espacios positivos, cuando el valor de la ordenada aumenta algébricamente, y que es retrógrado
en sentido contrario. E n el m o -
v i m i e n t o directo, la velocidad irá aumentando si la curva vuelve su convexidad hácia la región inferior del plano, y, disminuyendo si la c o n v e x i dad se vuelve hácia la región superior, pues el resultado es inverso en el m o v i m i e n t o retrógrado.
21. DEFINICIÓN. — E l movimiento de un cuerpo, ó de un punto material sobre una linea recta ó curva es uniformemente variado, cuando disminuye
la velocidad
á los tiempos
gastados
formemente
acelerado
de cantidades para
recorrerlas.
cuando la
aumenta
ó
proporcionales A s i , será univelocidad
menta ; y por el contrario, uniformemente
auretar~
dado cuando la velocidad disminuye en las misma? proporciones. •22. V E L O C I D A D Y ECUACIÓN DE ESTE MOVIMIENTO.
24
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
— Para comprenderlo mejor, designaremos con v„ la velocidad inicial, ó la del m ó v i l al principio del tiempo, y con v la velocidad del m i s m o al fin del tiempo i. Supongamos también para m a y o r precisión, que 7 es la variación de la velocidad durante un segundo. Pues bien, en este caso l a variación en el tiempo í será -¡t. L u e g o siendo el m o v i m i e n t o acelerado, nos dará por resultado
4-
memente variados se distinguen entre sí por la importancia y
grandeza
del
movimiento
recí-
proco de cada uno, y por el signo de la aceleración. Sin embargo, puede deducirse d e la fórmula la expresión del espacio recorrido en
+"¡t
Estas dos fórmulas se reducen á esta sola, v=va
dos unidades. L o s diversos movimientos unifor-
es^e m o v i m i e n t o . Porque siendo la velocidad la
ó v = v. 4 - 7 Í .
v0—v=-¡t
longitud, como t;0 y v, que depende igualmente de
7t,
derivada del espacio, según queda dicho, basta con subir á la función del tiempo de que deriva v . + f t , l o cual nos dará la fórmula
conviniendo en dar á 7 el signo 4 - e n el primer caso y el signo — en el segundo. 23. OBSERVACIÓN.—En el precedente párrafo hemos supuesto que v. y v son velocidades positivas; perolafórmulaquíantecedeíssicmprelapropiadel movimiento u n i f o r m e m e n t e v a r i a d o ; así, este será acelerado cuando t?„é 7 lleven el mismo signo, llevando signos contrarios, y entonces el m o v i m i e n t o será retardado hasta que no se obtenga v0 4 - 7 « = o , de donde resulta
{
= - y • P o r lo tanto, desde este
momento el m o v i m i e n t o será acelerado
porque
e„ es la constante que facilita las operaciones de esta naturaleza : aquí representa la distancia del cuerpo al origen de los espacios, en el momento en que t =
o.
P o r consecuencia, en todo m o v i m i e n t o uniformemente variado, el espacio recorrido es una función del segundo grado del tiempo gastado para recorrerla. Esta nueva ecuación ó fórmula, c o m o encierra tres constantes e„ v„ 7, facilita asimismo el conocimiento de las tres posiciones del m ó v i l sobre su
cambia de sentido.
trayectoria, condicion que es, por cierto, muy n e 24. ACELERACIÓN. — L a cantidad
constante 7,
que mide la variación de la velocidad durante la unidad de tiempo, se llama aceleración;
esta es una
cesaria é indispensable para determinar su m o v i miento. Finalmente,
deberá notarse que si el camino
2
PRIMERA PARTE. — CAPITULO 111. 26
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
recorrido es una función del segundo grado del tiempo, el movimiento es uniformemente variado; pues si resulta
27
tiempo t empleado para adquirirla, su numerador deberá multiplicarse por n puesto que es una v e locidad, y su denominador dividirse por n visto que la unidad del tiempo es n veces mas grande.
e=a
+
bt +
el1,
Ultimamente, su valor p r i m i t i v o debe
se obtendrá la velocidad, tomando la derivada
+ 2 el,
v=b
multipli-
carse por n\ esto e s , reemplazarse por n : f . Así, haciendo estos cambios en las fórmulas
fórmula que expresa que la velocidad varía en
-I- *rt y C=e,
- h v0t +
v=v0
quedarán
proporcion al tiempo. nv=nv"
Estas fórmulas son homogéneas. Desde luego se concibe con facilidad que son independientes de la unidad de l o n g i t u d ; pues si se toma una unidad n veces mas grande, los números v0, v, f , e0, e, deberán ser reemplazados — , — n fórmulas
u
JL, i i , n
n
y
las
n
subsistirán siempre con estos nuevos
números.
f=e.
t + w.— +
+
-L,
1 Y
tJ 7¡r
ó v = v , -f- -¡t. ó e = e
° +
v -*
+
1 -¿
L u e g o c o m o se evidencia, por lo demostrado, las precedentes fórmulas no dependen de las unidades del tiempo expresadas por la relación n. 2 5 . S I M P L I F I C A C I Ó N DE F Ó R M U L A S . — L a s f ó r m u l a s
Mas para probar que no dependen d e la unidad
« = v 0 -4-
y e = „ - f t;„í
7O que representan el
del tiempo, es necesario notar que si se toma una unidad n veces mas grande, se verá, primero, que el tiempo es representado por el número n veces
movimiento uniformemente variado pueden s i m plificarse. Contando el tiempo desde el momento en que la velocidad es n u l a , l a fórmula citada
mas pequeño
segundo,
siendo la relación ~
una
velocidad que,
v=v0
-jí quedará reducida á v=-¡t;
de un espacio á un tiempo
At
y si además se cuentan los espacios partiendo del
su denominador se convierte en n veces mas pe-
punto en que entonces se halla el m ó v i l , la f ó r -
queño, y por lo tanto, las velocidades u0, v deben
mula e = e , +
v,t +
se reducirá á
reemplazarse con nv0, nv; y tercero, cuando la aceleración f , que es la velocidad adquirida en un segundo, ó para comprenderlo m e j o r , la relación de la velocidad adquirida en < segundos durante el
e = 4 jfi.
28
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
De este modo se verá que las velocidades son pro-
PRIMERA PARTE. -
CAPITULO III.
29
porcionales á los tiempos transcurridos y los espa-
sin
cios andados á los cuadrados
de 9-,8088 en el primer segundo de su caida en
de estos
mismos
tiempos.
velocidad
inicial
adquiere
una
velocidad
el v a c i o ; luego recorre en este segundo la mitad de dicho espacio, esto es, 4-,9044.
26. CURVA DE LAS VELGCIDADES. — P u e d e igualmente construirse la curva p o r las velocidades, ó , lo que es lo m i s m o , la línea representada por la ecuación «>=t>.+Tíí, tomando el tiempo por las separaciones y las velo-
2 8 . E C U A C I Ó N DE ESTE MOVIMIENTO. -
Si se d e -
signa coni«,-la velocidad adquirida al l i n d e l tiempo C a e e l c u e r P O durante'psfp r ^ ** ^ rante este tiempo, las ecuaciones del movimiento son
cidades por las ordenadas. Esta línea es una recta
V=
inclinada sobre el eje de los tiempos. Su coefi-
fl
gt
h=
~gí>
yeÜmiüandoí
ciente de inclinación es el v a l o r d e la aceleración; corta el eje de las velocidades en el punto
que
da la velocidad inicial y el eje de los tiempos en el
A
punto q u e marca el m o m e n t o en que la velocidad
Mas si el móvil está animado de una v e -
es nula, y en que el movimiento cambia de sentido. 27. V A L O R
LOS CUERPOS.
DE L A
d e un cuerpo
lerado, según lo demuestra la experiencia. L a aceleración 7 es la misma para todos los cuerpos, en lugar.
Represéntase generalmente por la
letra g, primera de la palabra gravedad.
Se ba
evaluado a s í :
lasecuaciones son:
,
R
y eliminando t,
v* =
t>„' = 2g/,.
Como aplicación de estás fórmulas resolveremos los siguientes problemas : 1.' Un cuerpo cayendo p o r l o largo de la F.g. 3. vertical OX
(fig. 3 ) , ha recorrido la l o n g i -
tud dada a B — h en un tiempo dado 9. A h o r a se preguntará : ¿ d e qué punto ha partido
g = P o r consiguiente,
locidad inicial
A C E L E R A C I Ó N E N L A C A Í D A DE
— El m o v i m i e n t o
pesado que cae en el vacío es u n i f o r m e m e n t e ace-
el mismo
P o r consiguiente, „ es la velocidad de la altura h.
9-,8088.
un cuerpo
sin velocidad inicial ? pesado
partiendo
Supongamos e el punto de salida : pongamos en seguida e A =x,
y designemos con t el 2.
tiempo
50
PRIMERA PARTE. -
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
desconocido durante el cual el cuerpo ha caido del
C A P I T U L O 111.
31
L a sustracción d a :
punto © al punto A, y resultará
de donde resulta í = - — _
De ahí se saca por medio de la sustracción
^
+
gf)
Sustituyendo este valor de t en la
expresión
de o-, se encontrará la distancia que se busca. y por consecuencia t =
Será muy útil el discutir las fórmulas, y por me-
'—*
dio de ellas concluir las condiciones de la posibiSustituyendo el valor t en la se obtendrá ce —
expresión
de
x,
lidad del problema. E l siguiente problema podrá proponerse aun,
..
pero Mas, para que el problema sea posible es necesario que
t sea positivo, y
tenga h
al efecto se exige q u e so
» como condicion evidente á
priori.
2." caso. Dos cuerpos pesados C0, C, caen el uno de A y el otro de B con
velocidades
iniciales
dadas F 0 , Ti; el primero parte 6 segundos antes que el o t r o ; la distancia A B es dada igual á h: ¿ e n qué punto y cu qué m o m e n t o se encontrarán? (Fig. 3.) Sea, pues, B el puesto del encuentro, x la distancia B B, y t el tiempo que transcurre durante la caida de Ct. Las ecuaciones son : h + = v„ (6 + í ) x
(6 +
1 =«V'+yí?''-
t)
su resolución
la dejamos
al
arbitrio del
lector: Dos cuerpos pesados parten del mismo punto e en épocas diferentes dadas, sin velocidades
ini-
ciales. ¿ En qué momento serán separados el uno del otro por una distancia dada, y qué caminos habrán recorrido en su caida?
CAPITULO
IV
Del movimiento rectilíneo variado, b a j o el punto de vista de su aceleración.
29. E n l o s c a p í t u l o s p r e c e d e n t e s h e m o s supuesto q u e la t r a y e c t o r i a d e l p u n t o m a t e r i a l era una c u r v a c u a l q u i e r a . A h o r a s u p o n e m o s q u e el m o v i m i e n t o es r e c t i l í n e o á fin d e s a l v a r las d i f i c u l t a d e s q u e pud i e r a n o f r e c e r s e , y al e f e c t o d a r e m o s á la n o c i o n d o la a c e l e r a c i ó n una e x t e n s i ó n a n á l o g a á la q u e h a g e n e r a l i z a d o la n o c i o n de l a v e l o c i d a d ,
según
p u e d e v e r s e en el p á r r a f o 19. 30. DEFINICIÓN. — L a a c e l e r a c i ó n d e un
punto
m a t e r i a l q u e se m u e v e e n l í n e a recta, es, e n un i n s t a n t e d a d o , el l í m i t e d e la r e l a c i ó n de la v a r i a c i ó n d e l a v e l o c i d a d al a u m e n t o del t i e m p o , esto es, la derivada ción
de
de la velocidad
considerada
como
fun-
tiempo.
E n p r u e b a de e l l o , s u p o n g a m o s q u e v es la v e l o c i d a d del m ó v i l al fin del t i e m p o t s o b r e su t r a y e c toria r e c t i l í n e a ; d e s i g n e m o s c o n Au l a
variación
34
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
positiva ó negativa de esta velocidad durante el tiempo AÍ, suponiendo este tiempo bastante corto para que la velocidad no haya cesado de variar en el mismo sentido durante todo este intervalo. Si el m o v i m i e n t o era uniformemente variado, sábese ya
Au
que — representaría la aceleración constante de este m o v i m i e n t o , según puede verse en el párrafo 22. P o r consiguiente, esta relación es una especie de aceleración
media.
derivadas, la exacta aceleración que llevan los cuerpos en cada uno do los casos dados. 32. OBSERVACIÓN.—Si c o m o dejamos explicado en el párrafo 22, el intervalo AÍ es bastante corto para que pueda mirarse el m o v i m i e n t o del m ó v i l como uniformemente variado, nos dará:
Cuando AI disminuye
ción, variando sin cesar de representar la aceleración media, converje hácia un límite determinado que se llama la aceleración al fin del tiempo í.
3 1 . E X P R E S I Ó N A N A L Í T I C A DE L A A C E L E R A C I Ó N . —
Representado el espacio recorrido por el m ó v i l con la fórmula
AU
AÜ=-ÍAÍ, luego
indefinidamente, lo mismo sucederá á a V , y la rela-
Hé ahí l o quo se expresa cuando so dice que la aceleración en un m o v i m i e n t o variado rectilíneo, e n un instante dado, es el cociente división locidad pequeño
de la variación
infinitamente
de este movimiento consumido
para
producido pequeña
por el tiempo producir
dicha
por la de la ve-
infinitamente variación.
Mas, debe tenerse en cuenta que la aceleración -¡ es una longitud quo depende, asi c o m o la v e l o cidad, de la unidad del espacio y de la del tiempo
la primera derivada dará la velocidad
á la vez. A s í , cuando la unidad de tiempo resulta »
v=f
veces
(0,
y por consiguiente la aceleración derivada de la velocidad
será
la segunda derivada
del
espa-
cio, ó
mas grande, AD y AÍ deben reemplazarse
por «AU y ^
según puedo verse al fin del
pár-
rafo 21 al tratar de la homogeneidad de las f ó r mulas. P o r consecuencia, la aceleración se mide
y=f"
(0-
Así, siempre que se conozca la expresión analí-
por un número ns veces mayor. Empero, la aceleración puede ser positiva ó negativa; y el m o v i -
tica del espacio ó de la velocidad en función del
miento es acelerado
tiempo, se podrá encontrar, por el cálculo de las
ración son del mismo signo, y retardado
cuando la velocidad y la acele-
son de signo contrario.
cuando
TRIMERA P A R T E . — C A P I T U L O IV. 3 3 . D E T E R M I N A C I Ó N A N A L Í T I C A DE L A S DADES
POR L A S
ACELERACIONES T
DE LOS
ESPA-
CIOS POR LAS VELOCIDADES. — Cuando la ecuación e=f
37
VELOCI-
y en este caso, el cálculo inverso de las derivadas daría inmediatamente
( i ) que enlaza los espacios al tiempo se co-
noce, la regla del cálculo de las derivadas permiten en todos los casos de encontrar las fórmulas j a indicadas v=f
( t ) é 7 = / » ( Q que nos dan las
expresiones analíticas de la velocidad y de la aceleración P e r o el problema inverso que consiste de pasar de la expresión de la aceleración á la de la
Ü0 y e0 cantidades supuestas conocidas con antici-
velocidad y de esta á la del espacio recorrido, es
pación, son la velocidad inicial y el espacio recor-
muchas veces insoluble porque los métodos ordi-
rido al origen del tiempo.
narios nos conducen á operaciones muy compli-
Mas, como las fórmulas de interpelación son su-
seria
mamente fastidiosas y difíciles de aplicar, no estará
poco ventajosa por no decir inútil. Efectivamente,
de mas que establezcamos un método gráfico con
dichos métodos
que podamos suplir ventajosamente la insuficien-
cadas; y en este
concepto
su
no pueden
x i m e cuando en vez de
T
=
adopcion
ser aceptables má9
(t)
entre el tiem-
po y la aceleración, no se podrá contar mas que
cia de los análisis ó la prolongacion d e la operación. Hé aquí dicho método :
con una tabla de cierto número de valores correspondientes á estas dos variables. Es verdad,
s
34. LEMA. — Refiriéndose á los dos ejes rectan-
¡ n embargo, que en este
último
caso en que ( n + 1 ) , sistemas de los valores de 7 y de í, son conocidos, so podria calcular con el auxil i o de las f ó r m u l a s de interpelación la función entera y del grado n verificada por estos sistemas, y sustituir esta f u n c i ó n á la relación
desconocida
entre 7 y t. Entonces obtendríamos por ejemplo : T
= al- + bt"—' + cí«
+
h A-í + /;
gulares O X, O Y ( f i g . 4), la curva representada por la ecuación y=f nadas A B=y„ separación
( x ) y construyéndose las ordey
dada
cualquiera O P=x, ABMP
M P=y OA+x0
correspondiente y á otra
á
una
separación
el área del trapecio mistilíneo
comprendido entre la curva, el eje de las
separaciones y las ordenadas y0 é y, tienen
por
derivada la ordenada del extremo y, considerada como función de x. Efectivamente, cuando la separación x aumenta de una cantidad P P=AX, ordenada y varía de una cantidad K M^=Ay,
la y el
38
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
PRIMERA PARTE. -
área o crece de otra P i í i f 1 P\ =A FJ=TX3
VT=V -F- VJ*,
y
1)
\
1 4 3 . C E N T R O DE GRAVEDAD DE LOS
VOLÚMENES.
— Divídase u n p r i s m a cualquiera, c u y a base s e a b y su altura h p o r la p a r t e n, p r i s m a s iguales con p l a nos equidistantes paralelos á las bases, y se h a l l a r á que los c e n t r o s d e gravedad e s t á n colocados d e la m i s m a m a n e r a e n estos p r i s m a s ; y p o r lo m i s m o se e n c u e n t r a n todos s o b r e la m i s m a paralela á los extremos laterales y á igual d i s t a n c i a de l a b a s e inferior del p r i s m a c o r r e s p o n d i e n t e . Siendo esta d i s t a n c i a ® , las d i s t a n c i a s de los d i v e r s o s c e n t r o s de gravedad á la base del plano i n f e r i o r del p r i s m a , t o m a d o s p o r plano de los m o m e n t o s , s e r á n respectivamente:
vi* ;) ,- —.
¡i
x', tf + A . o ' - h J f c ^ n n B
Desde luego el v o l u m e n de cada p r i s m a p a r c i a l es F f c . 43.
b ~ ' I ® ! Jt" J 'Y y'-f j
••.
y *• •.
(n-íh) n
Tómese u n a b a r r a d e h i e r r o ó d e m a d e r a m a s delgada de un e x t r e m o q u e d e l o t r o p a r t i e n d o la d i s m i n u c i ó n insensible de su v o l u m e n desde el p r i n cipio del p r i m e r e x t r e m o h a s t a q u e e l opuesto q u e d e como la m i t a d del d i á m e t r o d e a q u e l ; p o n g á m o s l a en seguida s o b r e u n eje y n o la d e j e m o s h a s t a q u e h a y a q u e d a d o en e q u i l i b r i o , y e n t o n c e s h a l l a r e m o s q u e el c e n t r o d e g r a v e d a d de d i c h a b a r r a está s i t u a d o en el p u u t o d e l a m i s m a q u e se e n c u e n t r a en c o n t a c t o c o n el eje ó p u n t o de apoyo.
: el del p r i s m a entero ó total es bh. L u e g o si
la d i s t a n c i a del c e n t r o de g r a v e d a d b u s c a d o e n l a base es x, la e c u a c i ó n d e los m o m e n t o s d a r á : hhx = b ~
"
(»'4-®'
-
+ —
—
+
+
"
a> = J L ( « « » + J L 11 + 2 + ... +
. . i.
•+-...
1 \
h
n-lf),
N'Us
Si a d e m á s se s u p o n e q u e n a u m e n t a i n d e f i n i d a • II-
i
m e n t e , a;' d i s m i n u y e i n d e f i n i d a m e n t e , y a =
A .
Así, el centro de gravedad de un prisma cualquiera está en medio de la recta que une los centros de gravedad de sus bases.
gulos. L u e g o , el c e n t r o de gravedad b u s c a d o es el m i s m o del c o n j u n t o de d i c h o s triángulos ó del polígono de sección. Así pues, el centro de g r a v e d a d
E s fácil de d e s c o m p o n e r u n a p i r á m i d e p o r m e d i o
?•«*>. s í
de u n a p i r á m i d e es el d e la sección c o n d u c i d a p a r a l e l a m e n t e á la base, á u n a distancia igual á
3
d e la a l t u r a p r i n c i p i a n d o por la v é r t i c e ; y p o r 1 4 4 . CENTRO DE G R A V E D A D DE ÜNA P I R Á M I D E . —
1
1 ,
c o n s i g u i e n t e está s o b r e l a recta q u e va desde la vértice al c e n t r o d e g r a v e d a d de la base.
de p l a n o s d i a g o n a l e s e n t e t r á e d r o s q u e t e n g a n u n a vértice c o m ú n y á l a m i s m a a l t u r a . Si se la h a c e u n a sección p a r a l e l a á la liase y á la d i s t a n c i a de Q
la vértice i g u a l á - ' t - d e l a a l t u r a , este polígono j
i
i* . 3 u
J
)
| v
¡
J -
í'fTI!^
;
e n c i e r r a los c e n t r o s d e g r a v e d a d d e todos los tet r á e d r o s y p o r c o n s i g u i e n t e el d e la p i r á m i d e . Adem á s , los c e n t r o s do g r a v e d a d d e los diversos t e t r á e d r o s s o n los d i v e r s o s á n g u l o s de la sección, p u e s la recta q u e va d e s d e l a vértice d e u n t e t r á e d r o h a s t a el c e n t r o d e g r a v e d a d de su base, pasa p o r t o d o s los c e n t r o s d e g r a v e d a d de las secciones paralelas á d i c h a base. P o r consiguiente, b a s t a p a r a o b t e n e r el d e las p i r á m i d e s con aplicar á los c e n t r o s de g r a v e d a d d e los t r i á n g u l o s d e las secciones d é l a s f u e r z a s p r o p o r c i o n a l e s á los v o l ú m e n e s d e los t e t r á e d r o s c o r r e s p o n d i e n t e s , y d e c o m p o n e r las e x p r e s a d a s f u e r z a s . Estos t e t r á e d r o s t e n i e n d o la m i s m a a l t u r a , s o n p r o p o r c i o n a l e s á sus bases, y p o r c o n s e c u e n c i a á los t r i á n g u l o s d e la sección. L u e g o , en d e f i n i t i v a , las fuerzas aplicadas deben ser p r o p o r c i o n a l e s á l a s áreas d e estos trián-
1 4 3 . C E N T R O S DE GRAVEDAD DE UN CONO T DE UN
CILINDRO. — C u a n t o a c a b a m o s de e x p o n e r en el p r e c e d e n t e p á r r a f o , es i n d e p e n d i e n t e del n ú m e r o de lados d e la base d e la pirámide. E l r e s u l t a d o obtenido se aplica, p u e s , al caso en q u e este n ú m e r o se a u m e n t a i n f i n i t a m e n t e ó en q u e las p i r á m i d e s se c a m b i a n e n c o n o . Luego el c e n t r o de gravedad del cono se e n c u e n t r a sobre la recta q u e u n e su vértice al c e n t r o d e gravedad d e la base, y á u n a d i s t a n c i a i g u a l á l a c u a r t a parte de su l o n g i t u d p r i n c i p i a n d o á m e d i r p o r la base.
# 1
m ü 7
• 'v!i I I
Se e v i d e n c i a r á i g u a l m e n t e , que el resultado obt e n i d o e n el p á r r a f o 143 se extiende t a m b i é n al cilindro, y q u e e n su v i r t u d el centro do gravedad
H i
de u n cilindro está e n m e d i o de la r e c t a q u e u n e los c e n t r o s d e g r a v e d a d d e s u s bases. •i¡ • i . .
1 4 6 . T R A P A J O DE L A GRAVEDAD SORRE UN CUERPO ó SORRE UN SISTEMA D E CUERPOS. — E s t e t r a b a j o e s
el m i s m o q u e l a m a s a d e dichos c u e r p o s h a r i a si 10.
i * •
-
M
se hallase concentrada en s u general.
centro de gravedad
Así, c u a n d o s e l e v a n t a u n c u e r p o c u a l q u i e r a P c o n m o v i m i e n t o u n i f o r m e á u n a a l t u r a v e r t i c a l h,
C
P
A
CUY
A
P
M
U
se d e s p l i e g a u n a f u e r z a F c o n s t a n t e i g u a l y c o n t r a r i a al c u e r p o P. P o r c o n s i g u i e n t e , el t r a b a j o d e esta
DE
LAS
MAQUINAS
f u e r z a es igual y c o n t r a r i a a l d e P, y c o m o e s t e ú l t i m o es — Ph, el t r a b a j o d e la f u e r z a F e s +
Ph.
No d e p e n d e , p u e s , m a s q u e d e l a a l t u r a v e r t i c a l r e c o r r i d a p o r el c u e r p o . S i n e m b a r g o , si el m o t o r f u e r a u n h o m b r e ó u n caballo, en este caso es ne-
CAPITULO
PRIMERO
c e s a r i o t e n e r e n c u e n t a l a l o n g i t u d d e l c a m i n o rec o r r i d o h o r i z o n t a l m e n t e , l o c u a l o c a s i o n a ó u n a fatiga ó u n a pérdida de tiempo q u e no están
com-
Nociones g e n e r a l e s de las
máquinas
p r e n d i d a s en la p r e c e d e n l e e v a l u a c i ó n d e l t r a b a j o . 147. L a s m á q u i n a s t i e n e n p o r o b j e t o el t r a n s m i t i r , b a j o c i e r t a s c o n d i c i o n e s , la a c c i ó n y el t r a b a j o d e las f u e r z a s q u e c a d a u n a t i e n e . P o r lo g e n e r a l , el t r a b a j o m o t o r e s m a y o r q u e el t r a b a j o ú t i l , de m a n e r a q u e m u c h a s veces lo q u e s e g a n a e n f u e r z a se p i e r d e e n t i e m p o ó e n c a m i n o , y esto a u n en l a s d e v a p o r y e l e c t r i c i d a d p a r a l a s v í a s
fér-
reas, n a v e g a c i ó n y t e l é g r a f o s e l é c t r i c o s , e t c . 148. DEFINICIÓN
DE L A S
MÁQUINAS. —
Cuando
las f u e r z a s e j e r c e n s u a c c i ó n u n a s sobre o t r a s p o r medio de u n c u e r p o sólido e n t e r a m e n t e libre, p u e d e n e q u i l i b r a r s e si n o l l e n a n l a s
no
condiciones
d e t e r m i n a d a s p o r la c i e n c i a . P e r o s i el c u e r p o s e halla e m b a r a z a d o en su m o v i m i e n t o
por algún
se hallase concentrada en s u general.
centro de gravedad
Así, c u a n d o s e l e v a n t a u n c u e r p o c u a l q u i e r a P c o n m o v i m i e n t o u n i f o r m e á u n a a l t u r a v e r t i c a l h,
C
P
A
CUY
A
P
M
U
se d e s p l i e g a u n a f u e r z a F c o n s t a n t e i g u a l y c o n t r a r i a al c u e r p o P. P o r c o n s i g u i e n t e , el t r a b a j o d e esta
DE
LAS
MAQUINAS
f u e r z a es igual y c o n t r a r i a a l d e P, y c o m o e s t e ú l t i m o es — Ph, el t r a b a j o d e la f u e r z a F e s +
Ph.
No d e p e n d e , p u e s , m a s q u e d e l a a l t u r a v e r t i c a l r e c o r r i d a p o r el c u e r p o . S i n e m b a r g o , si el m o t o r f u e r a u n h o m b r e ó u n caballo, en este caso es ne-
CAPITULO
PRIMERO
c e s a r i o t e n e r e n c u e n t a l a l o n g i t u d d e l c a m i n o rec o r r i d o h o r i z o n t a l m e n t e , l o c u a l o c a s i o n a ó u n a fatiga ó u n a pérdida de tiempo q u e no están
com-
Nociones g e n e r a l e s de las
máquinas
p r e n d i d a s en la p r e c e d e n l e e v a l u a c i ó n d e l t r a b a j o . 147. L a s m á q u i n a s t i e n e n p o r o b j e t o el t r a n s m i t i r , b a j o c i e r t a s c o n d i c i o n e s , la a c c i ó n y el t r a b a j o d e las f u e r z a s q u e c a d a u n a t i e n e . P o r lo g e n e r a l , el t r a b a j o m o t o r e s m a y o r q u e el t r a b a j o ú t i l , de m a n e r a q u e m u c h a s veces lo q u e s e g a n a e n f u e r z a se p i e r d e e n t i e m p o ó e n c a m i n o , y esto a u n en l a s d e v a p o r y e l e c t r i c i d a d p a r a l a s v í a s
fér-
reas, n a v e g a c i ó n y t e l é g r a f o s e l é c t r i c o s , e t c . 148. DEFINICIÓN
DE L A S
MÁQUINAS. —
Cuando
las f u e r z a s e j e r c e n s u a c c i ó n u n a s solire o t r a s p o r medio de u n c u e r p o sólido e n t e r a m e n t e libre, p u e d e n e q u i l i b r a r s e si n o l l e n a n l a s
no
condiciones
d e t e r m i n a d a s p o r la c i e n c i a . P e r o s i el c u e r p o s e halla e m b a r a z a d o en su m o v i m i e n t o
por algún
176
M A N U A L D E MECANICA INDUSTRIAL,
o b s t á c u l o , t o d a s l a s p r e c e d e n t e s condiciones n o s o n y a n e c e s a r i a s . P o r e j e m p l o , si el obstáculo es u n p u n t o fijo e n cuyo d e r r e d o r t i e n e el c u e r p o la l i b e r t a d d e m o v e r s e , y a n o es m e n e s t e r p a r a obt e n e r el e q u i l i b r i o el o p o n e r á cada u n a de las dos r e s u l t a n t e s S y T u n a f u e r z a igual y
contraria;
p u e s c o m o u n a d e ellas S p u e d e p a s a r s i e m p r e por el p u n t o lijo, b a s t a e n t o n c e s c o n aplicar al c u e r p o o t r a f u e r z a V, elegida d e tal m a n e r a q u e la result a n t e c o m ú n d e F y V v a y a á p a s a r t a m b i é n p o r el punto
fijo.
h e c h o por estas se h a l l a destruido con el auxilio de la m á q u i n a p o r el t r a b a j o motor de las primeras. P o r lo t a n t o , p u e d e decirse con b a s t a n t e razón que : Una máquina es un conjunto Je piezas coordinadas con el fin de transmitir
perfectamente
bajo ciertas condi-
ciones la acción y el trabajo de las fuerzas. Las m á q u i n a s son simples y compuestas. Las compuestas s o n el c o n j u n t o de m u c h a s m á q u i nas s i m p l e s q u e i n f l u y e n u n a s sobre o t r a s .
U n c u e r p o asi e m b a r a z a d o en su m o v i m i e n t o p o r u n o b s t á c u l o , ^s u n a
máquina.
dos fuerzas desiguales p u e d e n h a -
cerse e q u i l i b r i o , s i e m p r e q u e su r e s u l t a n t e
en-
c u e n t r e el o b s t á c u l o fijo. E n t o n c e s la acción de la m a s d é b i l se t r a n s m i t e p o r m e d i o de l a m á q u i n a cambiando de dirección y modificándose de man e r a q u e e s t a acción se h a g a considerable. estu-
d i a r s u m o v i m i e n t o b a j o el p u n t o d e vista de la acción d e l a s f u e r z a s q u e les s o n aplicadas. De este m o d o s i e m p r e se r e c o n o c e r á q u e esto m o v i m i e n t o es efecto d o l a acción do u n a ó m u c h a s f u e r z a s , c u y o s p u n t o s d e aplicación c a m b i a n lugar para producir u n trabajo motor que
s o n u n cuerpo sólido e m b a r a z a d o
ción y el t r a b a j o d e las fuerzas. H a c i e n d o a t e n ción á l a n a t u r a l e z a del obstáculo, las simples
pueden
r e d u c i r s e á tres
La palanca, la polea, ó rueda, y el plan
máquinas
principales : inclinado.
E n la palanca el obstáculo es un p u n t o fijo, en cuyo d e r r e d o r el c u e r p o sólido tiene la
libertad
de m o v e r s e en t o d o s sentidos.
E m p e r o , n o b a s t a de c o n s i d e r a r l a s m á q u i n a s e n el e s t a d o d e equilibrio. E s i n d i s p e n s a b l e
Las simples
en su m o v i m i e n t o , d e s t i n a d a s á t r a n s m i t i r la a c -
A h o r a se c o m p r e n d e r á q u e con el auxilio de esta m á q u i n a
m i s m a s q u i s i e r a n s e g u i r . E l t r a b a j o de resistencia,
de
En la rueda ó cábria
el obstáculo es u n eje fijo,
en d e r r e d o r del c u a l cada p u n t o del c u e r p o sólido no tiene m a s l i b e r t a d que la de m o v e r s e en u n plano p e r p e n d i c u l a r á la dirección de dicho eje. E n el plano inclinado
el obstáculo es u n plano fijo
c o n t r a el c u a l se a p o y a el cuerpo sólido, y tiene la liberlad de d e s l i z a r s e .
pueda
t r i u n f a r d e la acción de o t r a s f u e r z a s c u y o s p u n -
1 4 9 . D I S T I N C I Ó N DE L A S FUERZAS. — L a s f u e r z a s
tos de aplicación s o n c o n t r a r i o s al s e n t i d o q u e las
q u e o b r a n en l a s m á q u i n a s pueden dividirse en
178
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
tres claces á s a b e r : en fuerzas tentes útiles y en resistentes
motrices,
en
resis-
Asi, p a r a m a y o r i n t e l i g e n c i a
representaremos
con Fin el t r a b a j o positivo ó m o t o r ; c o n F u el t r a -
pasivas.
L a s motrices son el viento, el v a p o r , el a g u a y la
bajo útil y c o n F p el t r a b a j o pasivo.
Ellas
P u e d e n considerarse a u n o t r a s diversas f u e r z a s ,
solas p o n e n las m á q u i n a s en m o v i m i e n t o , y por
como las r e s i s t e n c i a s q u e n a c e n e n u n a m á q u i n a
esta r a z ó n se las h a d e n o m i n a d o potencias. E l ca-
del p u n t o fijo, del eje ó del p l a n o i n v a r i a b l e q u e
m i n o r e c o r r i d o p o r el p u n t o de a p l i c a c i ó n d e cual-
e m b a r a z a su m o v i m i e n t o . T o d a s estas r e s i s t e n c i a s
q u i e r a d e ellas f o r m a s i e m p r e u n á n g u l o agudo
p u e d e n a s i m i l a r s e á las p r i n c i p a l e s f u e r z a s a n t e s
acción m u s c u l a r del h o m b r e ó del a n i m a l .
c o n la d i r e c c i ó n de esta fuerza. E l t r a b a j o es posi-
detalladas. I n c a p a c e s d e p r o d u c i r el m o v i m i e n t o ,
tivo ó motor.
solo sirven p a r a d e s t r u i r l o . S i n e m b a r g o , n a d a útiles,
i m p i d e q u e c o n s i d e r e m o s estos obstáculos corno
•son l a s q u e tiene q u e v e n c e r la m á q u i n a p a r a p r o -
f u e r z a s iguales y c o n t r a r i a s á l a s q u e ellas a n i q u i -
d u c i r su efecto, c o m o l a ' r e s i s t e n c i a q u e ofrece un
lan c u a n d o f u n c i o n a n . E m p e r o , respecto de los dos
c u e r p o q u e se q u i e r e elevar, u n á r b o l q u e la sierra
p r i m e r o s casos (del p u n t o ó e j e fijo) los p u n t o s de
q u i e r e dividir, ó el g r a n o d e trigo q u e la
piedra
aplicación q u e d a n fijos paru todos los c a m b i o s de
q u i e r e m o l e r . P o r c o n s e c u e n c i a , la m á q u i n a ha
fuerza en el p l a n o i n v a r i a b l e . L u e g o el t r a b a j o de
sido i n v e n t a d a para t r i u n f a r de t o d a s estas r t á i s -
las m i s m a s f u e r z a s es s i e m p r e n u l o y n o debe t e -
tencias y d e o t r a s s e m e j a n t e s . Los c a m i n o s des-
nerse en c u e n t a .
Las fuerzas
resi tentes,
ó de resistencias
critos p o r los p u n t o s de aplicación d e estas r e sistencias v e n c i d a s , f o r m a n s i e m p r e á n g u l o s obtusos c o n las direcciones de d i c h a s f u e r z a s . El t r a b a j o desarrollado es negativo ó r e s i s t e n t e , y se le l l a m a trabajo
útil.
Las pasivas ó lañosas, c o m o el r o c e de las diversas p a r t e s de l a m á q u i n a e n t r e si, la resistencia de los p u n t o s s o b r e q u é se m u e v e n , la t i r a n t e z de las c u e r d a s , etc., etc. Dichas fuerzas s u m i n i s t r a n
un
t r a b a j o r e s i s t e n t e q u e d e s t r u y e n u n a p a r t e del t r a b a j o m o t o r , y q u e p o r lo t a n t o , n o siendo d e n i n g u n a u t i l i d a d , es u n t r a b a j o perdido.
130. RELACIÓN
ENTRE
EL
TRADA^O C T I L
Y
EL
TRADAJO MOTOR. - C u a n d o u n a m á q u i n a está en quietud b a j o l a a c c i ó n d e las f u e r z a s q u e l a solicitan, las p o t e n c i a s y l a s resistencias de t o d a especie se h a c e n e q u i l i b r i o , y l a s u m a d e sus t r a b a j o s es n u l a p a r a t o d o s los c a m b i o s posibles d e los c u e r pos s u j e t o s á su a c c i ó n . Luego q u e la m á q u i n a está p u e s t a e n m o v i m i e n t o , se busca el m e d i o de h a c e r u n i f o r m e este m o v i m i e n t o , lo c u a l se c o n s i g u e s i e m p r e , p o r q u e á m e d i d a q u e el m o v i m i e n t o se acelera, a u m e n t a n l a s resistencias. P o r consi-
•y' ' 'ir-
180
\¡;
Ü •
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
g u í e n t e , c u a n d o el m o v i m i e n t o se lia h e c h o u n i f o r m e , las f u e r z a s están e n l a s m i s m a s condiciones q u e si la m á q u i n a e s t u v i e r a e n q u i e t u d puesto q u e se h a c e n e q u i l i b r i o r e c í p r o c a m e n t e , y en este caso la s u m a a l g é b r i c a d e s u s t r a b a j o s es n u l a .
' ?' *
Y entonces, teniendo c u e n t a d e los s i g n o s Fm=Fu+fp se saca
a
Fu = Fin— F p .
t
1
Por consecuencia, el t r a b a j o útil es el exceso del t r a b a j o m o t o r d e s a r r o l l a d o p o r l a s p o t e n c i a s sobre el trabajo resistente d e s p l e g a d o por l a s potencias pasivas. Tal es el p r i n c i p i o d e l a t r a n s m i s i ó n del trabajo. De lo c u a l p u e d e c o n c l u i r s e a d e m á s en Fu <
m
Fin.
i • ' ¡'1
Cosa q u e d e m u e s t r a t a m b i é n q u e el t r a b a j o útil es s i e m p r e m e n o r q u e el t r a b a j o m o t o r . rt L a relación se l l a m a rendimiento de la m á -
J -
q u i n a , el cual es s i e m p r e i n f e r i o r á 1. F i n a l m e n t e ,
i*m
í
se a p r o x i m a r á m a s á l a u n i d a d ; pero a u n en las q
11
IMPOSIBILIDAD D E L MOVIMIENTO
PERPETUO.
132. OBSERVACIÓN. — L i m i t a r e m o s á lo expuesto
la m á q u i n a será t a n t o m e j o r c u a n t o esta relación
w \ Í M
151.
— Como s e g ú n q u e d a dicho l a m á q u i n a n o p u e d e t r a n s m i t i r m a s t r a b a j o del r e c i b i d o p o r la m i s m a , y como este t r a b a j o m o t o r s e e m p l e a desde l u e g o en t r i u n f a r d e l a s r e s i s t e n c i a s pasivas, las cuales, si es fácil a t e n u a r l a s , n o es posible d e d i s i p a r l a s e n t e r a m e n t e , l a m á q u i n a n o p u e d e p r o d u c i r su efecto ú t i l , si las p o t e n c i a s n o h a c e n u n t r a b a j o s u p e r i o r al d e l a s resistencias. E n este caso, d e b e q u e d a r s o m e t i d a á la a c c i ó n de c i e r t a s p o t e n c i a s . E m p e r o , a u n c u a n d o el efecto ú t i l d e b i e r a s e r n u l o , no p o r eso será m e n o s necesario d e aplicar u n a p o t e n c i a á la m á q u i n a c a p a z d e m a n t e n e r s u m o v i m i e n t o u n i f o r m e , t r i u n f a n d o d e las r e s i s t e n cias pasivas. U n a m á q u i n a , p o r lo t a n t o , n o p u e d e prescindir d e l a acción d e u n m o t o r , p o r q u e ella m i s m a n o p u e d e servirse d e m o t o r . Así, es i m p o sible c o n s t r u i r u n a m á q u i n a , cuyo m o v i m i e n t o se c o n t i n ú e i n d e f i n i d a m e n t e p o r sí m i s m o , ó s i n la acción de u n m o t o r . Bajo d e e s t e s u p u e s t o i n c o n trarrestable, el m o v i m i e n t o p e r p e t u ó o s i m p o s i b l e .
en el p r e s e n t e capítulo l a s n o c i o n e s
generales
d e l a s m á q u i n a s , p o r q u e n o s p r o p o n e m o s d a r en seguida c u a n t a s explicaciones c o n s i d e r a m o s n e c e -
m e j o r e s m á q u i n a s n o e x c e d e de ^ .
sarias p a r a la perfecta i n t e l i g e n c i a de las m i s m a s ,
De a q u í se d e d u c e l a o b s e r v a c i ó n d e q u e u n a m á q u i n a n o p u e d e t r a n s m i t i r m a s t r a b a j o q u e el que ella m i s m a h a r e c i b i d o .
p e r o d e j a n d o sin t r a t a r á f o n d o las r e s i s t e n c i a s p a sivas, q u e señalaremos á l a vez q u e d e m o s t r e m o s la composición, u s o y efecto d e l a s q u e c o n t e n d r á 11
182
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
e s t e MANUAL, p u e s 110 es p o s i b l e c o m p r e n d e r e n él t o d a s las c o n o c i d a s h a s t a e l d i a ; solo s í h e m o s eleg i d o l a s m a s n e c e s a r i a s , e n t r e l a s c u a l e s figuran l a s ú l t i m a s inventadas por los h o m b r e s de la ciencia. Empero, debemos también advertir, por regla gen e r a l , q u e e n todas ellas lo que se gana en fuerza se pierde en camino,
en velocidad y en
tiempo.
CAPITULO
II
D e l e s t u d i o d e v a r i a » m á q u i n a s r e l a t i v o al e q u i l i b r i o d e las f u e r z a s q u e las son aplicadas.
1. De la palanca y sus especies.
1 5 3 . DEFINICIÓN Y DEMOSTRACIÓN
DE UNA
PA-
LANCA RECTA. — P a l a n c a es u n c u e r p o s ó l i d o m o vible s o b r e u n p u n t o fijo. C o m u n m e n t e t i e n e l a f o r m a de u n a b a r r a de hierro recta ó curva, con c u y o a u x i l i o se m u e v e y m a n e j a u n c u e r p o p e s a d o , c o m o lo r e p r e s e n t a la figura 44. E s t a p a l a n c a , q u e s u p o n e m o s q u e es A B, m u e v e el c u e r p o p e s a d o D p o r el e x t r e m o B h a c i e n d o
un
e s f u e r z o p o r el
e x t r e m o o p u e s t o A : la p a l a n c a s e a p o y a s o b r e e l p u n t o C, e n c u y o
alrededor
puede dar
vueltas
c u a n d o la a c c i ó n d e la f u e r z a a p l i c a d a e n A es b a s t a n l e p a r a d o m i n a r la r e s i s t e n c i a . A h o r a b i e n ; i m a g i n e m o s q u e el c u e r p o D l e v a n t a d o p o r e l p u n t o B, s e g ú n s e v e e n la e x p r e s a d a figura, p e r m a n e c e i n móvil y sostenido por la b a r r a de hierro en la posi-
cioa q u e a h o r a o c u p a . E n este estado la p a l a n c a se
q u e se l l a m a n los b r a z o s d e la p a l a n c a . Si C A es
h a l l a r á s o m e t i d a á l a i n f l u e n c i a d e dos fuerzas,
8, 30, 60, 100 y m a s veces m a y o r q u e B C , l a acción
c u a l e s s o n la d e r e s i s t e n c i a que e l c u e r p o D h a c e
de la f u e r z a en A será p o r lo m i s m o 5, 30, 60 y 100
en B y l a a p l i c a d a e n A para i m p e d i r q u e el cuerpo
ó m a s veces m a s p e q u e ñ a q u e la d e resistencia que
vuelva á caer. A m b a s f u e r z a s , q u e c o n s i d e r a r e m o s
la b a r r a e n c u e n t r a e n B, y á l a c u a l se t r a t a d e
c o m o si f u e r a n p a r a l e l a s , p u e d e n r e e m p l a z a r s e por
hacer e q u i l i b r i o .
u n a sola f u e r z a q u e p r o d u z c a el m i s m o efecto s o -
Las v e n t a j a s i n c a l c u l a b l e s d e esta m á q u i n a s i m ple l l a m a r o n t a n t o l a a d m i r a c i ó n de A r q u i m e d e s , que al c o n s i g n a r el s i g u i e n t e principio q u e e s t a bleció él m i s m o : u Dos f u e r z a s que o b r a n sobre « u n a p a l a n c a , se e q u i l i b r a n s i e m p r e q u e están en« t r e sí en relación i n v e r s a d e los b r a z o s de la p a cí l a n c a á c u y o s e x t r e m o s se h a l l a n a p l i c a d a s , » no pudo m e n o s d e e x c l a m a r : « Qué se m e d é u n a p a lanca y u n p u n t o d e a p o y o
y y o l e v a n t a r é el
mundo. » 1 3 4 . P A L A N C A CURVA. — V e a m o s l o q u e e s y l o s Fig. 44.
efectos q u e p r o d u c o u n a p a l a n c a c u r v a . S u p o n g a m o s la q u e n o s r e p r e s e n t a la Ogura 43, á cuyos
bre la p a l a n c a . Dicha f u e r z a ú n i c a debe p a s a r por el p u n t o C, p u e s si, p o r el c o n t r a r i o , se e n c a m i n a s e p o r efógh, la palanca daria necesariamente v u e l t a s en d e r r e d o r del p u n t o C b a j o d e l a acción ú n i c a d e esta f u e r z a . L a i n m o v i l i d a d de l a p a l a n c a , b a j o de l a acción s i m u l t á n e a de l a s dos f u e r z a s aplicadas en A y en B, necesita q u e la r e s u l t a n t e d e d i c h a s dos f u e r z a s p a s e p o r el p u n t o C, y al efecto es m e n e s t e r q u e las fuerzas s e a n , en sentido inverso, p r o p o r c i o n a l e s á las d i s t a n c i a s BC y AC
if "i
e x t r e m o s A C se a p l i c a n d o s f u e r z a s p e r p e n d i c u l a r e s respecto á A B y C B. S u p o n g a m o s t a m b i é n q u e el brazo C B q u e d e s u p r i m i d o , y reemplazado p o r el brazo C B d e la m i s m a l o n g i t u d , p e r o dirigido s e g ú n la p r o l o n g a c i o n A B. L a p a l a n c a c u r v a A B C se verá r e e m p l a z a d a p o r u n a r e c t a ABC1. Por consiguiente, si se aplica e n C' p e r p e n d i c u l a r m e n t e á G B la f u e r z a a p l i c a d a e n C, ejercerá su acción del m i s m o m o d o á fin d e m o v e r la palanca al rededor del p u n t o d e a p o y o B ; y en a m b o s casos deberá t e n e r la m i s m a a c c i ó n p a r a h a c e r equilibrio á l a f u e r z a aplicada al p u n t o A.
I P
P m
ír: £ V
se p o d r á n c o n s i d e r a r d i c h a s f u e r z a s b a j o l a s m i s m a s condiciones que si e s t u v i e r a n aplicadas á los
13 . :! i
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JLFV'
H a b l a n d o d e la p a l a n c a r e c t a h e m o s d e m o s t r a d o q u e , p a r a o b t e n e r este e q u i l i b r i o , c u a n d o se halla b a j o de l a acción d e d o s f u e r z a s p a r a l e l a s , es m e n e s t e r q u e estas f u e r z a s f u e s e n d e u n a m a n e r a i n v e r s a proporcionales á l o s b r a z o s de l a palanca sobre c u y o s extremos i n f l u y e n . L o m i s m o , pues, sucede c o n l a c u r v a s o m e t i d a á l a a c c i ó n de dos fuerzas dirigidas p e r p e n d i c u l a r m e n t e á s u s brazos.
lb'j. CASO COMÚN. — D á n s e v a r i o s casos s i n emJ if
bargo en q u e las fuerzas q u e e j e r c e n su acción sob r e u n a p a l a n c a , y a sea r e c t a ó c u r v a , n o s o n dirigidas p e r p e n d i c u l a r m e n t e á s u s respectivos brazos. E s t a m p e m o s p u e s la
figura
46-para
demostrarlo
I
p r á c t i c a m e n t e , y s u p o n g a m o s e n seguida a b a j a d a s
J . i;ju |( it' H I' r
sobre las direcciones d e l a s d o s f u e r z a s , y e n t o n c e s
Fig. 4 6 .
e x t r e m o s d e la p a l a n c a c u r v a A B C'. De a q u i es fácil d e d e d u c i r , q u e p a r a q u e se h a g a n equilibrio, es indispensable q u e las fuerzas s e a n d e u n a m a n e r a i n v e r s a p r o p o r c i o n a l e s á las l o n g i t u d e s d é l a s p e r p e n d i c u l a r e s BA! BG. Por c o n s i g u i e n t e , p a r a poder aplicar el principio establecido en el p á r r a f o 153 á todos los casos, es necesario que se e x t i e n d a n á los brazos de la p a l a n c a , en cuyos e x t r e m o s se aplican las fuerzas, l a s p e r p e n d i c u l a r e s a b a j a d a s del punto de apoyo sobre las direcciones d e las fuerzas.
las p e r p e n d i c u l a r e s B A' B G del p u n t o d e apoyo B lo6. OBSERVACIÓN. — Generalmente se d i s t i n -
g u e n t r e s clases d e p a l a n c a s rectas, y esta d i s t i n ción p r o c e d e d e la d i f e r e n t e p o s i c i o n q u e o c u p a el p u n t o d e apoyo c o n relación á la potencia y á la r e s i s t e n c i a . Como t o d a s se conocen y se hallan g e n e r a l i z a d a s p o r do quiera, y q u e a d e m á s l a teoría del e q u i l i b r i o es l a m i s m a p a r a todas ellas, nos h e m o s d i s p e n s a d o d e i n c l u i r las dos ú l t i m a s aquí.
q u e la p a l a n c a ejerce s o b r e su p u n t o d e apoyo. La precedente p a l a n c a , q u e tiene su p u n t o de apoyo en u n o d e s u s e x t r e m o s B, y se h a l l a s o m e t i d a á dos fuerzas a p l i c a d a s en A y C en direccio-
1 5 7 . P R E S I Ó N D E UNA PALANCA SORRE SU PUNTO
DE APOYO. — Y a h e m o s d e m o s t r a d o c ó m o deben aplicarse l a s f u e r z a s á u n a p a l a n c a p a r a q u e se q u e d e en e q u i l i b r i o ; d e b e m o s a h o r a h a c e r ver la m a g n i t u d y dirección d e l a p r e s i ó n q u e ejerce sob r e su p u n t o de apoyo. En la r e p r e s e n t a d a p o r l a figura 46 a m b a s f u e r z a s paralelas aplicadas en A y C t e n d r á n u n a r e s u l t a n t e igual á s u s u m a p a r a l e l a á c a d a u n a de ellas, q u e p a s a r á p o r el p u n t o B. Dicha r e s u l t a n t e es la presión q u e la b a r r a hace sobre su p u n t o de apoyo. Respecto á l a p a l a n c a recta s o m e t i d a á dos f u e r zas p a r a l e l a s e n sentido c o n t r a r i o , se p u e d e consid e r a r la a p l i c a d a al p u n t o C como r e s u l t a n t e de la
nes paralelas, pero en s e n t i d o c o n t r a r i o , se p o d r á n
c o m p o s i c i o n d e dos f u e r z a s (fig. 47), de l a c o m p o -
c o n s i d e r a r B A y B C c o m o dos b r a z o s de la p a -
sicion d e l a s dos f u e r z a s paralelas aplicadas la
lanca á c u y o s e x t r e m o s o b r a n e s t a s fuerzas, de
u n a al p u n t o A y la otra al p u n t o B. L a p r i m e r a es
m a n e r a q u e el e q u i l i b r i o t e n d r á l u g a r c u a n d o las
i g u a l y c o n t r a r i a á l a q u e ejerce su acción sobre
fuerzas sean i n v e r s a m e n t e proporcionales a
el p u n t o A, l a cual seria d e s t r u i d a p o r esta fuerza,
expresados b r a z o s d e la p a l a n c a .
los
y la s e g u n d a igual á l a diferencia e n t r e la f u e r z a
E l c a r r e t ó n de u n a sola r u e d a p a r a c o n d u c i r
q u e i n f l u y e en el p u n t o C y la q u e o b r a en el d e A.
peso, a r r a s t r a d o p o r u n h o m b r e es u n ejemplo
Esta s e g u n d a c o m p o n e n t e r e p r e s e n t a la p r e s i ó n
exacto d e lo q u e a c a b a m o s d e d e m o s t r a r c o n la precedente p a l a n c a . E l p u n t o d e apoyo es el eje de II.
Íí Hfr i 190
fe
MANUAL D E MECANICA INDUSTRIAL.
CUARTA P A R T E . — CAPITULO II.
Ja r u e d a , u n a d e l a s f u e r z a s aplicadas, el peso del
de p r i m e r orden c u y o s e x t r e m o s s u s p e n d e n , con el
191
c u e r p o colocado e n el c a r r e t ó n , y la otra es la r e -
auxilio d e c a d e n a s ó c u e r d a s , los platos destinados
s u l t a n t e d e las dos p r e s i o n e s ejercidas d e abajo
á recibir los cuerpos c u y o s pesos q u i e r e n c o m p a -
a r r i b a p o r las m a n o s del h o m b r e q u e e m p u ñ a las
rarse. P a r a a s e g u r a r la i n m o v i l i d a d de la m á q u i n a
b a r r a s- .
el fiel tiene u n p r i s m a d e acero, fijo t r a n s v e r s a l -
F i n a l m e n t e , u n a p a l a n c a , y a sea recta, ya c u r v a , sometida á l a a c c i ó n d e dos f u e r z a s no paralelas, n o p o d r á q u e d a r e n e q u i l i b r i o m i e n t r a s q u e las direcciones de d i c h a s dos f u e r z a s n o se e n c u e n l r e n en u n p u n t o , y q u e s u s m a g n i t u d e s n o satisfagan l a s reglas ó c o n d i c i o n e s c o n s i g n a d a s a n t e r i o r mente.
m e n t e en m e d i o d e s u l o n g i t u d , q u e sobresale p o r
I I . De las b a l a n z a s .
el c u e r p o q u e se q u i e r e p e s a r y en el otro ciertas
a m b o s lados. E s t e p r i s m a ó especie de cuchillo descansa sobre el eje colocado e n t r e dos p l a n o s de acero horizontales, fijos al pié d e la m á q u i n a . Las oscilaciones
del fiel se efectuán, p u e s , al rede-
dor de dicho eje, q u e p u d i e r a llamarse d e r o t a ción. Se u s a l a balanza c o l o c a n d o en u n o de los platos pesas d e t e r m i n a d a s , ó en n ú m e r o y c a n t i d a d s u f i -
'M. r U > :
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cientes para establecer el equilibrio ó q u e el fiel se 138. OBSERVACIÓN. — Y a h e m o s h a b l a d o e n la s e g u n d a p a r t e d e este MANUAL, capítulo I, sección III, q u e t r a t a d e l a c o m p o s i c i o n y m e d i d a de las f u e r z a s d e l a R o m a n a d e c o m e r c i o , d e la b a l a n z a r o m a n a y d e la i n v e n t a d a p o r P o n c e l e t . E s t o b a s t a r á p a r a d a r u n a idea exacta de c u a n t o p o d r e m o s decir s o b r e l a s b a l a n z a s ; e m p e r o , p a r é c e n o s q u e el e s t u d i o d e estas m á q u i n a s s i m p l e s q u e d a r í a i m p e r f e c t o s i n o d i é r a m o s a q u í la definición g e n e r a l de las m i s m a s , y las e x p l i c a c i o n e s s o b r e la indispensable sensibilidad q u e deben tener para obtener pesos e x a c t o s .
mantenga horizontalmente. 1 0 0 . PRECISIÓN Ó AFINO DE L A BALANZA. — P a r a
que u n a balanza sea j u s t a , debe l l e n a r i n d i s p e n s a b l e m e n t e dos c o n d i c i o n e s : 1.« Que sean iguales las distancias del punto de apoyo del fiel á los puntos de suspensión de los platos. 2.» Que el fiel permanezca
perfectamente
horizontal
mientras que no se coloque algún cuerpo en los platos. Satisfechas e s t a s condiciones, lo cual se conoce c u a n d o el fiel se c o n s e r v a
siempre
horizontal,
entonces y a p u e d e p r o c e d e r s e al peso, a ñ a d i e n d o 139. DEFINICIÓN. — L a b a l a n z a es u n a palanca Í I m •
ó q u i t a n d o pesas h a s t a q u e q u e d e n en equilibrio con el c u e r p o ó cuerpos s u j e t o s al peso. Y a q u e d a
!. Í'»"
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:
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d i c h o q u e h e m o s t o m a d o p o r u n i d a d del peso el g r a m o , k i l o g r a m o , etc.
el m i s m o , c o m o p r u e b a d e l a i g u a l d a d de los b r a zos de l a b a l a n z a ; p e r o si n o p e r m a n e c e h o r i z o n -
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161. OBSERVACIÓN. - C o n t e n í a n s e c o m u n m e n t e , p a r a verificar la precisión y afino de la balanza,' a s e g u r á n d o s e d e q u e la s e g u n d a condicion antes e x p r e s a d a q u e d e e n t e r a m e n t e satisfecha. P e r o no b a s t a con esto solo, p u e s t o q u e p u e d e ser inexacta a u n q u e llene d i c h a condicion, en r a z ó n de q u e esto solo n o p r u e b a la i g u a l d a d d e los b r a z o s . Así, para a s e g u r a r s e e n t e r a m e n t e si u n a b a l a n z a es j u s t a es m e n e s t e r h a c e r lo siguiente. L u e g o q u e se h a reconocido q u e el fiel se m a n tiene en la m a s perfecta h o r i z o n t a l i d a d c u a n d o los p l a t o s n o c o n t i e n e n c u e r p o a l g u n o , se p o n d r á n en dichos p l a t o s dos pesos t a n exactos el u n o c o n el o t r o q u e el fiel conserve su m i s m o estado h o r i zontal E n s e g u i d a se p o n d r á el peso q u e estaba en el plato d e r e c h o en el i z q u i e r d o y v i c e - v e r s a , y s. d e s p u e s d e esta operacion el fiel n o c a m b i a n a d a a b s o l u t a m e n t e su posicion h o r i z o n t a l , en este caso la b a l a n z a es p e r f e c t a y e n g r a n m a n e r a exacta. Si los b r a z o s d e la p a l a n c a ó b a r r a del fiel f u e r a n desiguales, l o s pesos puestos e n los platos v q u e se h a c í a n e q u i l i b r i o ejerciendo s u acción en los e x t r e m o s de dichos brazos d e b e r í a n ser asim i s m o desiguales, en atención á q u e el m a s largo o b r a r í a sobre el m a s corto. Así. c a m b i a n d o las p e sas de u n o a o t r o
'; f .
P,ato, e,
e q u i l i b r i o debe s u b s i s t i r
tal, p u e d e a s e g u r a r s e q u e la m á q u i n a es i n e x a c t a y por c o n s i g u i e n t e infieles los pesos q u e se h a g a n con ella. 162. MEDIDA
DE LOS PESOS
CON UNA
BALANZA
FALSA. — C u a n d o u n a b a l a n z a es j u s t a , se pesa u n cuerpo c o n t a n d o el n ú m e r o d e g r a m o s , k i l o g r a m o s necesarios p a r a e q u i l i b r a r l a , y acto c o n t i n u o se e m p l e a el m é t o d o de las d o b l e s pesadas, l l a m a d o de Borda, p a r a v e r si es falsa.
1 6 3 . MÉTODO DE BORDA, Ó DE DOBLES PESADAS. —
Hé a q u í e n q u é consiste este m é t o d o . Despues de h a b e r p r a c t i c a d o la operacion i n d i c a d a en el p á r rafo p r e c e d e n t e , 162, ó de h a b e r p u e s t o el cuerpo sujeto a l peso e n u n o de los platos, se le busca el equilibrio p o n i e n d o en el opuesto a r e n a ó p l o m o . P u e s t o s así e n e q u i l i b r i o , se q u i t a el c u e r p o y se reemplaza c o n pesos m a r c a d o s en n ú m e r o suficiente p a r a q u e el fiel v u e l v a á r e c o b r a r su posicion h o r i z o n t a l , ó p a r a q u e oscile i g u a l m e n t e p o r a m b a s p a r t e s . Si los pesos m a r c a d o s p r o d u c e n c o n exactitud el m i s m o efecto q u e el cuerpo, entonces deben en i g u a l e s c i r c u n s t a n c i a s servirlo de m e dida á su p e s o . E m p l e a n d o este ingenioso m é t o d o se ve q u e l a e x a c t i t u d del r e s u l t a d o n o d e p e n d e en m a n e r a a l g u n a d e l a precisión ó afino d e la b a lanza, sino d e s u e x t r e m a d a sensibilidad.
191
MANUAL DE M E C A N I C A I N D U S T R I A L .
CUARTA P A R T E . — C A P I T U L O II.
Una balanza i m p e r f e c t a ó m a l a , si es sensible, podrá servir a u n p a r a e f e c t u a r p e s a d a s m u y delicadas. 164. BALANZA DE QUINTEXZ.— E s t a b a l a n z a , que h a t o m a d o el n o m b r e d e su a u t o r , se l l a m a com u n m e n t e báscula, y se u s a m u c h o en el c o m e r cio y con especialidad e n l o s c a m i n o s de hierro p a r a pesar f a r d o s y c q u i p a g e s . La f i g u r a 48 la ponemos primero para h a c e r ver su mecanismo; p e r o además fijamos la figura 49 p a r a r e p r e s e n t a r l a t a l como se ve f u n c i o n a r e n t o d o s l o s establecimientos industriales. El plano A f í , q u e t i e n e
e l e v a d o u n o do sus
b o r d e s CB, y q u e sirve p a r a c o l o c a r el
cuerpo
q u e quiere s o m e t e r s e al p e s o , f o r m a u n a sola pieza con D y se apoya p o r u n a p a r t e s o b r e el p u n t o E
situado en la especie d e p a l a n c a F G, y por otra en H, q u e pasa á engancharse en el anillo q u e term i n a el t r i á n g u l o H K . La p a l a n c a ó b a r r a de h i e r r o F G, m o v i b l e al rededor del p u n t o F, se a p o y a e n Fig. 48.
el extremo inferior del t r i á n g u l o G L. Los dos t r i á n -
g u l o s e x p r e s a d o s se a p o y a n á su vez sobre la espiga de h i e r r o LN, m o v i b l e en d e r r e d o r del p u n t o M, q u e s u s p e n d e el p l a n o P d e s t i n a d o á recibir los pesos m a r c a d o s . E s t a b a l a n z a , en f i n , d e b e quedar d e m a n e r a q u e la relación d e EF á GF sea l a m i s m a q u e l a existente e n t r e KM i L M. L a distancia K M es p o r lo c o m ú n igual á l a d é c i m a p a r t e de la d i s t a n c i a M N ; E F será p o r e j e m p l o la q u i n t a parte d e G F, y KM la q u i n t a d e L M. "
d e q u e la palanca LN c o n s e r v a su posicion h o r i zontal, y en caso q u e d i s c r e p e a l g u n a c o s a , poner para rectificarla u n o s p e q u e ñ o s pesos e n l a p a r t e destinada á recibirlos. E s t a s pesas se l l a m a n
tara,
la c u a l se d e d u c e s i e m p r e del peso general. Mas para conocer si en efecto se h a l l a p e r f e c t a m e n t e horizontal l a palanca LN,
se h a n colocado dos
apéndices b, c, el u n o fijo en l a p a l a n c a y el o t r o movible, c o n l a p a l a n c a q u e , debe colocarse al
A h o r a b i e n , colocando el c u e r p o 0 sobre el plano
f r e n t e del p r i m e r o . H e c h o esto se p r o c e d e á l a
A B, su p e s o se r e p a r t i r á e n t r e los dos p u n t o s de
operacion, y su r e s u l t a d o será diez veces m a y o r
apoyo, y l a p o r c i o n que i n f l u y a s o b r e el de H p r o -
de la s u m a de g r a m o s ó k i l o g r a m o s q u e se h a y a n
d u c i r á u n a p r e s i ó n igual aplicada á la palanca ó
puesto p a r a e q u i l i b r a r el c u e r p o q u e acaba d e p e -
espiga LNenel
sarse.
p u n t o A'; la otra porcion ejerciendo
su acción e n el p u n t o E d e la p a l a n c a FG, h a r á por m e d i o d e esta palanca u n a presión cinco
veces
m a s p e q u e ñ a s o b r e el e x t r e m o i n f e r i o r G del t r i á n g u l o G L ; esta p r e s i ó n t r a n s m i t i d a
integramente
al p u n t o L d e l a p a l a n c a ó espiga d e h i e r r o L N, p r o d u c i r á s o b r e esta p a l a n c a el m i s m o efecto q u e p r o d u j e r a u n a presión cinco veces m a y o r sobre el p u n t o K, d e t a l s u e r t e q u e s u c e d e e x a c t a m e n t e lo m i s m o q u e si la s e g u n d a porcion del c u e r p o Q o b r a s e d i r e c t a m e n t e sobre el p u n t o K. La palanca LN se h a l l a en las m i s m a s c o n d i c i o n e s q u e si el peso del c u e r p o Q estuviera aplicado e n t e r a m e n t e en el p u n t o K. P o r c o n s i g u i e n t e , p a r a e q u i l i b r a r l o es necesario p o n e r en el plato P u n peso diez veces mas pequeño. Antes d e servirse de ella es necesario a s e g u r a r s e
CAPITULO
III
D e l t o r n o , d e la p o l e a y s u s e s p e c i e s , y d e l e q u i l i b r i o y t r a b a j o de las fuerzas aplicadas á dichas máquinas.
I. Equilibrio y t r a b a j o de las f u e r z a s aplicadas al t o m o .
164. DEFINICIÓN. — E l t o r n o ó c a b r i a es u n a m á q u i n a q u e solo t i e n e l i b e r t a d d e m o v e r s e ó d a r v u e l t a s s o b r e u n eje fijo. C o m p ó n c s e d e u n c i l i n d r o A B (fig. 50) d e h i e r r o c o l a d o y m a s
comun-
mente de m a d e r a , c u y a s d o s c x t r e m i d a d c s t e r m i n a n e n dos muñones
que descansan sobre dos cogine-
tes fijos y c i l i n d r i c o s q u e
sostienen dos puntos
i n v a r i a b l e s DE. El c i l i n d r o así a p o y a d o p u e d e d a r vueltas en derredor de su eje. U n a cuerda sujeta y arrollada á la circunferencia del cilindro por
un
e x t r e m o , y p o r el o t r o l i g a d a al c u e r p o P q u e se t r a t a d e l e v a n t a r , f o r m a u n a p a r t e del m e c a n i s m o . E n s e g u i d a , p a r a p r o c e d e r á la o p e r a c i o n se d a v u e l t a s al c i l i n d r o c o n el a u x i l i o d e las d o s b a r r a s C, i n t r o d u c i d a s p o r l a s a b e r t u r a s p r a c t i c a d a s jíi.M I m
al efecto en u n o d e s u s e x t r e m o s . A m e d i d a , p u e s ,
200
MANUAL D E MECANICA INDUSTRIAL.
CUARTA PARTE. -
CAPITULO III.
201
q u e l a c u e r d a se enrosca, s u b e el c u e r p o que se desea l e v a n t a r .
e n c u e n t r a n en l a s m i s m a s condiciones q u e si estu-
P a r a p o d e r a p r e c i a r l a relación existente entre l a f u e r z a y el peso del c u e r p o levantado, poco i m -
b a r r a c u r v a M O N , pues, c o m o se colige, p a r a q u e
vieran a p l i c a d a s á los e x t r e m o s de l a p a l a n c a ó se h a g a n e q u i l i b r i o d e b e n h a l l a r s e en r a z ó n i n versa del radío O M del t o r n o y d e la l o n g i t u d O N do la b a r r a . P o r c o n s i g u i e n t e , y d a n d o p o r s u puesto q u e O N es i g u a l á siete veces O M, la fuerza F será ó d e b e r á ser siete veces m a s p e q u e ñ a q u e el c u e r p o P q u e t r a t a de e l e v a r s e .
Fig. SO. p o r t a q u e las b a r r a s q u e p o n e n en m o v i m i e n t o la m á q u i n a se h a l l e n colocadas en t a l ó c u a l p u n t o del c i l i n d r o ; siempre q u e t e n g a n l a m i s m a longit u d , y q u e l a f u e r z a ejerza su acción s o b r e el m i s m o p u n t o , y p e r p e n d i c u l a r m e n t e á su longitud, d i c h a f u e r z a c o n s e r v a r á c o n s t a n t e m e n t e la m i s m a intensidad. A h o r a b i e n , p a r a simplificar en c u a n t o n o s sea posible esta c u e s t i ó n , s u p o n d r e m o s q u e las b a r r a s q u e a p l i c a n la fuerza y la c u e r d a q u e s u s p e n d e y l e v a n t a el peso e s t á n s i t u a d o s en el m i s m o plano p e r p e n d i c u l a r al eje d e la m á q u i n a , y v e r e m o s que las f u e r z a s m o t o r a s y r e s i s t e n t e s F P (fig. 31) S e
Fig. SI.
F i n a l m e n t e , s é p a s e q u e c u a n d o el eje d e las precedentes m á q u i n a s 30 y 51 t i e n e n el eje h o r i z o n t a l , e n t o n c e s se e m p l e a n g e n e r a l m e n t e p a r a s u b i r pesos, y se l l a m a torno. Mas c u a n d o su eje es vertical, e n t o n c e s se u s a n e n los p u e r t o s d e m a r p a r a ejercer g r a n d e s e s f u e r z o s e n d i r e c c i ó n h o r i z o n t a l ó casi h o r i z o n t a l q u e t o m a el n o m b r e de cabe^tanie. Sin
MANUAL D E MECANICA I N D U S T R I A L ,
CUARTA P A R T E . — CAPITULO I I I .
e m b a r g o , l a s c o n d i c i o n e s del equilibrio y del m o -
cia. P o r esta r a z ó n , y con el fin d e obviar t a m a ñ o
202
m 1
-
II
IJFÍ
i • I i *•
v i m i e n t o son i d é n t i c a s en a m b o s , a u n q u e p o r nues-
inconveniente, y q u e u n tambor no pueda
t r a parte d a m o s al t o r n o figura 50 la v e n t a j a en
vueltas sin a r r a s t r a r el otro, c o m o s u c e d e en el pri-
c u a n t o al e q u i l i b r i o s o b r e el c a b c s t a n t e .
mer caso, se h a i d e a d o el h a c e r en s u s circunfe-
Ñola. — L a s r u e d a s dentadas y de clavigas ó d e escalera p u e d e n figurcr así m i s m o en e s t e capítulo, porque realmente, en nuestro concepto, son verdaderos t o r n o s c o n sola la d i f e r e n c i a del p u n t o de aplicación de la f u e r z a m o t r i z , c o m o t o d a s l a s maq u i n a s de esta e s p e c i e .
rencias varias c o n c a v i d a d e s ó especie de dientes
dar
dispuestos d e m a n e r a q u e las de u n t a m b o r e n cajen en el otro. Hé a h í e n definitiva lo q u e se llama rueda
dentada.
Dichas r u e d a s d e b e n e s t a r paralelas p a r a q u e pueda verificarse el e n c a j e de u n a en o t r a , en t é r minos q u e el d i e n t e d e la u n a y la concavidad de la otra d o n d e d e b e n e n l a z a r s e t i e n e n q u e o c u p a r
3 , II. R u e d a s d e n t a d a s ó d e e n c a j e ; r u e d a d e clavijas y correa sin fin.
M
203
Í
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el m i s m o espacio d e la c i r c u n f e r e n c i a , y q u e el n ú m e r o de c o n c a v i d a d e s y dientes g u a r d e n e n t r e sí la m i s m a relación q u e l a s l o n g i t u d e s y r a d í o s d e
L A S RUEDAS
dicha c i r c u n f e r e n c i a . L a r u e d a p e q u e ñ a r e l a t i v a -
DENTADAS. — L a s r u e d a s d e n t a d a s se e m p l e a n para t r a n s m i t i r el m o v i m i e n t o d e r o t a c i o n d e u n cilind r o á o t r o ; al e f e c t o , es n e c e s a r i o q u e estén a p r o x i m a d a s s u f i c i e n t e m e n t e , p u e s n o es n e c e s a rio q u e se h a l l e n e n l í n e a p a r a l e l a . Así, p a r a t r a n s m i t i r el m o v i m i e n t o de u n c i l i n d r o á o t r o b a s t a c o n a d a p t a r l e s d o s t a m b o r e s c u y o s e x t r e m o s se t o q u e n , c u i d a n d o q u e n o se o p r i m a n d e t a l n a t u raleza q u e se i m p i d a n r e c í p r o c a m e n t e l a m a r c h a , pero d e j á n d o l e s s i e m p r e el r o c e n e c e s a r i o p a r a q u e p u e d a n m o v e r s e el u n o p o r el o t r o . Sin e m b a r g o , este m o v i m i e n t o seria ineficaz, t r a t a n d o
mente á la q u e d e b e e n c a j a r s e , se le h a dado el
1 6 5 . E X P L I C A C I Ó N Y D E F I N I C I Ó N DE
'»
i''-— r
de servirse d e esta c o m p o s i c i o n d e f u e r z a s p a r a o b r a r sobre c u e r p o s q u e o f r e z c a n g r a n d e r e s i s t e n -
n o m b r e de p i ñ ó n . R e s p e c t o de l a acción de las f u e r z a s , las r u e d a s d e n t a d a s e j e r c e n u n a acción semejante á la d e las q u e en vez d e dientes reciben el contacto d e u n a correa sin fin de q u e t r a t a r e mos luego. 107.
FUNCIÓN
Y EFECTO
DE ESTA MÁQUINA.
—
I m a g i n e m o s q u e l a f u e r z a A se aplica á la b a r r a ¿' para h a c e r d a r v u e l t a s al t o r n o C c o n el auxilio de las r u e d a s d e n t a d a s DE (fig. 32), y al p u n t o n o taremos como se eleva el c u e r p o F. Los dientes del piñón D h a c e n u n a p r e s i ó n p sobre l a r u e d a E suficiente para q u e el c u e r p o F q u e d e e q u i l i b r a d o .
204
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
Mas la r u e d a E á la vez ejercerá s u acción sobre los p r i m e r o s d i e n t e s d e tal suerte q u e les h a r á sufrir
za
a p l i c a d o á l a b a r r a B, dicha f u e r z a debe t e n e r
la m i s m a m a g n i t u d é i m p o r t a n c i a q u e si se la h u b i e -
u n a p r e s i ó n i g u a l y c o n t r a r i a P'. E m p e r o , la f u e r -
r a aplicado á 2?', b a r r a fijada d i r e c t a m e n t e al torno
segunda
C. L a s l o n g i t u d e s de a m b a s b a r r a s e s t á n en perfecta
za A t r i u n f a i n m e d i a t a m e n t e d e esta presión.
Fig. 32. Mas, d e b e n o t a r s e q u e si el radio de la r u e d a D es la c u a r t a p a r t e d e l a b a r r a B q u e i m p r i m e l a acc i ó n d e l a s f u e r z a s , e n este caso la p r e s i ó n P' será c u a t r o veces m a y o r q u e A. E m p e r o , á s u vez la f u e r z a P s e r á a s i m i s m o c u a t r o veces m a y o r q u e A, y p o r c o n s i g u i e n t e , p a r a v e n c e r l a resistencia del c u e r p o F , a q u e l l a f u e r z a podrá s u b s t i t u i r s e por o t r a i d é n t i c a e n u n todo á la d e A, o b r a n d o sobre l a b a r r a B', c u y a l o n g i t u d sea c u a t r o veces m a s g r a n d e q u e el radío d e la r u e d a E. Así, e l e v a n d o el c u e r p o F p o r la acción de l a f u e r -
Fig. 33.
relación c o n l o s r a d í o s de las dos r u e d a s , y p o r lo t a n t o c o n l a s u m a d e d i e n t e s de c a d a u n a . F i n a l m e n t e , si la r u e d a E c u e n t a cinco, siete ó 12
2UG
MANUAL DE MECANICA I N D U S T R I A L ,
m a s dientes q u e el p i ñ ó n , la f u e r z a A l e v a n t a r á u n
ó el deseo de a p r e n d e r q u e t e n d r á n n u e s t r o s lec-
c u e r p o cinco, siete y m a s veces g r a n d e del q u e ele-
tores si, p o r n o a u m e n t a r
l a s p á g i n a s d e este
v a r á s u p o n i e n d o la b a r r a Zí fija d i r e c t a m e n t e al torno. E l torno á encaje, ó d e r u e d a s d e n t a d a s , c u y o uso y m e c a n i s m o a c a b a m o s d e e x p l i c a r , es d e la m a y o r utilidad á la i n d u s t r i a h u m a n a : en el d i a , p a r a a u m e n t a r las f u e r z a s v i v a s , e n vez de u n a b a r r a q u e t e n í a n en su origen, se les h a p u e s t o d o s , c i r c u n s t a n c i a q u e a u m e n t a c o n s i d e r a b l e m e n t e su potencia, s e g ú n p o d r á c a l c u l a r s e á l a s i m p l e vista de l a preciosa m á q u i n a
q u e r e p r e s e n t a l a fi-
g u r a 53. 1 6 7 . R U E D A CON CLAVIJAS O E S C A L E R A D A . — N a -
die i g n o r a c u a n difícil era en o t r o t i e m p o el t r a b a j o m i n e r o y las g r a n d e s d i f i c u l t a d e s q u e el obrero tenia q u e v e n c e r para e x t r a e r l o s m i n e r a l e s y escombros de las m i n a s . P u e s b i e n , e s t a s dificultades, q u e c o n s u m í a n m u c h o s b r a z o s y t i e m p o i n ú t i l m e n t e , se h a n v e n c i d o c o n el auxilio del t o r n o , a r m a d o de u n a r u e d a c o n c l a v i j a s e n t o d a su c i r c u n f e r e n c i a , en f o r m a d e escalera, á fin de q u e los h o m b r e s q u e la c o m u n i c a n el m o v i m i e n t o p u e d a n p a s a r de u n escalón á otro á m e d i d a q u e la r u e d a da vueltas en d e r r e d o r d e s u eje, c o m o lo d e m u e s t r a la figura 34. E n t i é n d a s e a q u í , q u e h a b l a m o s d e las m i n a s q u e c o m u n i c a n p o r m e d i o de pozos verticales con el exterior.
Fig.
MANUAL, n o explicásemos el uso y efectos de esta E m p e r o , n o d e j a r í a m o s s a t i s f e c h a la c u r i o s i d a d
m á q u i n a , y con este objeto b u e n o es q u e e n t r e m o s
CUARTA P A R T E . -
en los p o r m e n o r e s de su acción y m a n e r a d e f u n cionar. A q u í el h o m b r e n o p r e s t a á l a m á q u i n a m a s que el peso de su cuerpo, y por lo m i s m o esta f u e r z a es s i e m p r e i g u a l , p o r c u a n t o n o está e n su poder el variarla s e g ú n q u i s i e r a , c o m o s u c e d e e n otras m á q u i n a s d o n d e c o m u n i c a la f u e r z a m o t o r a con el auxilio de sus b r a z o s . E m p e r o , si es cierto q u e n o p u e d e modificar d i c h a f u e r z a , le es fácil v a r i a r de posicion s u b i e n d o ó b a j a n d o u n e s c a l ó n , por cuyo m e d i o p u e d e e q u i l i b r a r s e c o n el peso y dom i n a r la resistencia q u e este le o f r e c e h a s t a el p u n t o d e vencerla c o m p l e t a m e n t e s a c a n d o el m i neral y e s c o m b r o s que p r o d u c e l a m i n a . Así las cosas, s u p o n g a m o s q u e el j o r n a l e r o ocupa el p u n t o A (Gg. ?.;}), en c u y o c a s o d e b e consider a r s e su peso c o m o si o b r a r a s o b r e el b r a z o d e la b a r r a C B. Si d e esta posicion el h o m b r e se t r a s l a d a á E n e c e s a r i a m e n t e d e b e a u m e n t a r el brazo d e la b a r r a , l o g r a n d o de este m o d o h a c e r e q u i l i b r i o al peso q u e desea sacar d e l f o n d o d e l a m i n a . E n t o n c e s el peso del c u e r p o del h o m b r e y el del mineral y escombros serán proporcionales, de una m a n e r a inversa, á los brazos de l a b a r r a CB CD. A h o r a i m a g i n e m o s q u e A es la p o s i c i o n q u e debe o c u p a r el j o r n a l e r o p a r a e q u i l i b r a r s e c o n el m i n e r a l ; pero si de A s u b e á E, a u m e n t a r á la longit u d de la b a r r a de la d i s t a n c i a q u e m e d i a d e A á E; y como el peso d e su c u e r p o p e r m a n e c e s i e m p r e inalterable, r e s u l t a que a u m e n t a su a c c i ó n lo has-
CAPITULO III.
209
t a n t e para m a n t e n e r c o n u n a p a r t e el e q u i l i b r i o precedente y d e t e r m i n a r c o n l a o t r a el m o v i m i e n t o de la m á q u i n a en el s e n t i d o d e l a flecha F. E l m o vimiento d e la r u e d a v u e l v e al o p e r a r i o al p u n t o
A de d o n d e acababa d e salir, p e r o i n m e d i a t a m e n t e vuelve á s u b i r el otro e s c a l ó n p a r a volverse á e n c o n t r a r en E, cuyo ejercicio c o n t i n ú a h a s t a q u e logra su objeto. Mas si d e A el j o r n a l e r o b a j a s e á G, e n t o n c e s s u 12.
210
MANUAL DE MECANICA I N D U S T R I A L ,
CUARTA P A R T E . -
CAPITULO III.
211
peso no p o d r i a m a n t e n e r el equilibrio del m i n e r a l
168. CORREA ILIMITADA Ó SIN FIN. — E s t a c o r r e a
q u e se p r o p o n e e x t r a e r , y la m á q u i n a se pondría
se u s a en los talleres c o m p u e s t o s de diversas m á -
á d a r v u e l t a s c o n el m o v i m i e n t o c o n t r a r i o que in-
quinas destinadas á diferentes trabajos, y que para
dica la flecha F en r a z ó n d e q u e este descenso de
economizar t i e m p o y brazos se p o n e n en m o v i -
A á G d i s m i n u í a el b r a z o d e la b a r r a t a n t o c o m o lo
miento p o r l a acción d e u n a sola m á q u i n a m o t o r a ,
a u m e n t a b a a n t e s p a s a n d o d e A á E.
ya sea esta h i d r á u l i c a ó d e v a p o r . Dicha m á q u i n a
De lo expuesto r e s u l t a q u e el p u n t o A señala la
m o t o r h a c e d a r v u e l t a s á las v a r i a s r u e d a s ó cilin-
posicion del e q u i l i b r i o estable e n t r e el peso del
dros colocados en fila p e r toda l a extensión d e la
h o m b r e y el del m i n e r a l ; p u e s ya s u b a d e A á E, ó
fábrica, g u a r d a n d o c i e r t a d i s t a n c i a u n a s de o t r a s
q u e de A descienda á G, l a r u e d a , en su m o v i m i e n t o
á fin de q u e las c o r r e a s q u e d e b e n t r a n s m i t i r el m o -
n a t u r a l ó c o n t r a r i o , volverá s i e m p r e el jornalero
vimiento de r o t a c i o n de u n á r b o l á otro paralelo
al p u n t o A do d o n d e p a r t e .
e n t r e sí, p u e d a n a b r a z a r el t a m b o r fijo en cada
Si en vez de la posicion A el j o r n a l e r o ocupara
u n o d e los e x p r e s a d o s árboles. S u c o m b i n a c i ó n es
l a d e A', el brazo d e la b a r r a se e n c o n t r a r á t a m b i é n
t a n v e n t a j o s a , q u e c a u s a m a r a v i l l a el v e r c o m o
en la m i s m a línea C B, y p o r lo t a n t o conservará
u n a sola m á q u i n a p o n e e n m o v i m i e n t o á o t r a s
el e q u i l i b r i o ; e m p e r o , este y a n o será estable, ca-
n u m e r o s a s s i m p l e s y c o m p u e s t a s , c o m o lo s o n las
r á c t e r q u e c o n s e r v a r á a u n c u a n d o s u b a ó bajo
i n v e n t a d a s p a r a t r a b a j a r en los m e t a l e s , serrar las
de A', p u e s s i e m p r e el m o v i m i e n t o de la r u e d a ,
maderas, m á r m o l e s , y p r e p a r a r é h i l a r l a seda y el
b a j o la p r e s i ó n i n d i c a d a , lo alejará m a s y m a s del
algodon, etc. Así, r e p r e s c n t a r é m o s l a p o r
equilibrio estable q u e se obtiene s i e m p r e q u e el
de la figura 56, q u e d a r á u n a idea del o r d e n y m a -
h o m b r e ó los h o m b r e s o c u p e n el p u n t o A.
nera como f u n c i o n a n u n b a t a l l ó n d e m á q u i n a s ,
Debe c u i d a r s e , p a r a evitar las desgracias quo
medio
f o r m a d o en b a t a l l a en salones s u m a m e n t e
ocasiona l a i g n o r a n c i a d e los j o r n a l e r o s q u e m a n e -
t e n s o s , c o m o se v e n
j a n este t o r n o , de q u e el equilibrio se conserve en el
Francia.
ex-
muchos en Inglaterra
y
estado d e estabilidad i n d i s p e n s a b l e p a r a q u e el m i -
P u e s b i e n , la c o r r e a a r r a s t r a d a p o r el m o v i -
n e r a l n o les a r r a s t r e y precipite al a b i s m o . Así,
m i e n t o d e r o t a c i o n del árbol B C p o n e en m o v i -
d e b e r á colocarse la posicion A m u c h o m a s b a j o del
m i e n t o l a r u e d a q u e v e m o s en la p a r t e i n f e r i o r ;
eje d e la r u e d a c o n el doble objeto de precaver
p a r a d e j a r l a e n r e p o s o solo b a s t a dirigir h á c i a el
los accidentes y de sacar todas las v e n t a j a s q u e
lado izquierdo el e x t r e m o D del r e s o r t e D F q u e ,
ofrece esta m á q u i n a .
t e r m i n a d o en dos dientes, p u e d e m o v e r s e en d e r -
212
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
P a r a p o n e r otra vez en m o v i m i e n t o la r u e d a ,
r e d o r del árbol de d i c h a r u e d a . E s t o s dientes ú
h a y m a s q u e volver á d i r i g i r la h o r q u i l l a h á c i a
orquilla, p o r d o n d e p a s a la c o r r e a , se dirigen e n -
no
tonces hácia la d e r e c h a , y la c o r r e a l l e v a d a por
la derecha, y la c o r r e a , e n t r a n d o i n m e d i a t a m e n t e entre sus dientes, c o m o e s t a b a a n t e s , l a h a r á f u n cionar todo el t i e m p o q u e se q u i e r a .
III. Equilibrio y t r a b a j o d e las fuerzas aplicadas á u n a polea fija ó móvil.
DEFINICIÓN. — rolea
es u n c i l i n d r o c i r c u l a r d e
p e q u e ñ a a l t u r a , s o b r e c u y a s u p e r f i c i e c o n v e x a so h a practicado c i e r t a especie d e c a n a l p a r a recibir u n a cuerda. Muévese e n d e r r e d o r d e u n eje q u e pasa p o r el c e n t r o d e s u s b a s e s . U n a c h a p a abraza y s u p o r t a l a s e x t r e m i d a d e s del eje. La polea es fija c u a n d o el eje está fijo, y e n t o n c e s solo puede moverse al r e d e d o r de su e j e ; y es móvil cuando lo es el eje : e n este caso c a m b i a d e l u g a r en el espacio á m e d i d a q u e d a v u e l t a s . 1T0. La figura 57 r e p r e s e n t a u n a polea fija. La d i c h a h o r q u i l l a p a s a y se e n r o s c a e n o t r a r n e d a ó t a m b o r colocados al c o s t a d o d e l a m á q u i n a d o n d e operaba a n t e s . E s t e s e g u n d o t a m b o r , l l a m a d o polea loca, n o está fijo al eje q u e lo t r a s p a s a , y en su v i r t u d p u e d e m o v e r s e c o n t o d a l i b e r t a d s o b r e este árbol, visto q u e la p r e s i ó n d e la c o r r e a le hace d a r vueltas sin q u e d i c h o á r b o l participe de su movimiento.
c u e r d a q u e pasa p o r la polea s u s p e n d e u n c u e r p o á uno de s u s e x t r e m o s , y la o t r a l a e m p u ñ a l a m a n o de u n h o m b r e q u e debe m a n t e n e r el peso en equilibrio, ó se fija á u n a m á q u i n a p a r a q u e l a aplique la f u e r z a d e t r a c c i ó n necesaria. A m b a s fuerzas ejercen su a c c i ó n s i g u i e n d o las dos p a r t e s rectilíneas de l a c u e r d a , y se e n c u e n t r a n b a j o las m i s m a s condiciones q u e si o b r a s e n á los e x t r e m o s
214
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
d e u n a p a l a n c a c u r v a , f o r m a d a de los radios que u n e n el c e n t r o d e l a polea á los p u n t o s de contacto
171. E Q U I L I B R I O DE LAS FUERZAS DE LA POLEA
MÓVIL. — Las poleas m ó v i l e s , r e p r e s e n t a d a s p o r las f i g u r a s 58 y 59, están s o s t e n i d a s y a b r a s a d a s p o r u n a c u e r d a d e l a c u a l el e x t r e m o F está fijo y el otro solicitado p o r l a p o t e n c i a ( m u c h a s veces con el auxilio d e u n a polea
fija).
La c h a p a lleva
u n i d o u n g a n c h o p a r a s u s p e n d e r el c u e r p o . T a n luego como se establece el equilibrio, las dos p a r t e s d e la c u e r d a q u e se s e p a r a n de la polea por a m b o s lados deben poseer la m i s m a t e n s i ó n , y la r e s u l t a n t e d e d i c h a s tensiones, p o r c o n s i g u i e n t e , deberá ser igual a l peso del c u e r p o q u e s u p o r t a l a polea. E n el caso r e p r e s e n t a d o p o r la figura 58, l a FIG. 57.
fuerza de tracción será, pues, la m i t a d de dicho peso. Mas en el de l a figura 59 se p r o l o n g a r á n a m -
M y N (le la c u e r d a con la c i r c u n f e r e n c i a . Así, es necesario p a r a q u e l a fuerza de tracción sea igual al peso del c u e r p o q u e m a n t i e n e en equilibrio, q u e los dos b r a z o s de esta especie d e p a l a n c a sean iguales. De a q u í se d e d u c e , pues, que p a r a q u e u n a polea fija esté en e q u i l i b r i o ó d é vueltas con m o v i m i e n t o u n i f o r m e , es necesario y b a s t a de q u e la potoncia sea igual á la resistencia. La p o t e n c i a n o tiene v e n t a j a a l g u n a en esta máq u i n a , y p o r esta r a z ó n no p u e d e servir sino para c a m b i a r la dirección de la f u e r z a . E n s u v i r t u d , nadie se e x t r a ñ a r á de q u e l a d e n o m i n e n polea de vuelta ó de retorno.
bas p a r t e s d e la c u e r d a h a s t a su e n c u e n t r o en D: se conducirá p o r d i c h o p u n t o u n a vertical sobre la cual se t o m a r á la l o n g i t u d DA q u e r e p r e s e n t a el peso sostenido p o r la polca. L u e g o se c o n d u c i r á AB, AC paralelas á a m b a s p a r t e s de la c u e r d a , y las líneas o b t e n i d a s DB,
DC
figurando
las t e n -
siones d e la c u e r d a , la f u e r z a de tracción será igual á u n a de ellas. Así, siendo i g u a l e s las tensiones de las cuerdas, las l í n e a s DB,
DC d e b e r á n t e n e r l a
m i s m a l o n g i t u d , y p o r lo t a n t o , a r a b a s
partes
de la c u e r d a se i n c l i n a r á n i g u a l m e n t e , ó d e b e rán estar i d é n t i c a m e n t e i n c l i n a d a s cal D A.
á' la
verti-
CUARTA PARTE. -
CAPITULO III.
217
. V-W > IV. De las poleas ó g a r r u c h a s p o l i p a s t a s .
172. DEFINICIÓN. — U n a p o l c a ó g a r r u c h a polipasta es u n sistema de dos ó m a s c h a p a s , la u n a fija y la otra móvil, q u e c ¿ n t i e n e n c a d a u n a v a r i a s poleas r e u n i d a s , ya sea s o b r e ejes p a r t i c u l a r e s , ó sobre u n m i s m o eje. U n a m i s m a c u e r d a , a t a d a p o r u n extremo á u n a d e las c h a p a s , se e n r o s c a e n d i versas poleas p a s a n d o a l t e r n a t i v a m e n t e de la chapa móvil á la c h a p a fija y d e e s t a á a q u e l l a h a s t a q u e al fin sale p o r la polea o p u e s t a , p e r o d e c h a p a p a r a lela, á la en q u e se fijó l a c u e r d a . Así dispuesto, se aplica u n a potencia á esta e x t r e m i d a d l i b r e de la cuerda, c o n el fin d e p o n e r e n equilibrio el cuerpo
q u e se e n g a n c h a e n l a s g a r r u c h a s i n f e -
riores (fig. 60). E x a m i n a n d o d e t e n i d a m e n t e J a . tyierda e n todos sus c o n t o r n o s ó l o n g i t u d e s , se o b s e r v a r á q u e los cordones ó c u e r d a s q u e v a n d e u n a c h a p a á otra son paralelos, y tienen el m i s m o g r a d o d e t i r a n tez ; de m a n e r a q u e si las seis p á r t e s e l e l a c u e r d a sostienen el peso q u e se t r a t a d e l e v a n t a r , la t i r a n tez de cada u n a d e ellas será e q u i v a l e n t e á l a s e x t a parte del peso del c u e r p o s u s p e n d i d o . La
potencia
aplicaija a l
e x t r e m o libre d e
cuerda, que determiné esta
tirantez,
será
la por
consiguiente seis veces m a s p e q u e ñ a q u e el peso con el c u a l se e q u i l i b ^ i l a x a ^ o p es p o r q u e en
CUARTA P A l \ T E . — C A P I T U L O III.
210
una garrucha polipasto en equilibrio, la potencia es a la resistencia como la unidad al guarismo
de las que van
de una polea ó chapa á otra. 1 7 3 . T R A B A J O DE L A S F U E R Z A S E N E S T A MÁQUINA.
— Luego q u e e u el m o v i m i e n t o d a d o á u n a polea polipasta, e s t a n d o en equilibrio, l a c h a p a m ó v i l h a recorrido u n a l o n g i t u d d a d a , t o d a s l a s c u e r d a s q u e p a s a n de u n a c h a p a á otra se a c o r t a n ó p r o l o n g a n á la vez d e la m i s m a c a n t i d a d . P o r c o n s e c u e n c i a , los t r a b a j o s respectivos de la p o t e n c i a y d e l a resistencia s o n iguales en r a z ó n d e l e q u i l i b r i o . 174. OBSERVACIÓN. — L o q u e s e h a d i c h o de la palanca p u e d e decirse t a m b i é n d e l a polea ó g a r r u c h a polipasta. Y e f e c t i v a m e n t e , n a d i e n o s t a chará de exageración c u a n d o se r e f l e x i o n e q u e con u n a fuerza d a d a se p u e d e p o n e r e n e q u i l i b r i o con el c u e r p o m a s v o l u m i n o s o y p e s a d o q u e p u e d a i m a g i n a r s e . Con este fin solo se n e c e s i t a a u m e n t a r el n ú m e r o y potencia d e las poleas y c u e r d a s , p u e s , como se deja expuesto, p a r a v e n c e r l a r e s i s t e n c i a es forzoso dividirla p o r el n ú m e r o t o t a l d é l a s c u e r das ó polcas q u e se e m p l e e n c o n este objeto.
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v
Í J K Í
-
CAPITULO
a*
í
IV
'
Del
plano
inolinado.
17O. E Q U I L I B R I O DE UN CUERPO SOBRE UN PLA.NO
CUALQUIERA. — C u a n d o u n c u e r p o se h a l l a opriI
m i d o c o n t r a u n p l a n o fijo, y p e r f e c t a m e n t e u n i d o por toda la superficie, por u n a fuerza d a d a , esta f u e r z a p u e d e d e s c o m p o n e r s e e n o t r a s dos, u n a n o r m a l a l p l a n o y la o t r a s i t u a d a e n d i c h o p l a n o . La
j
p r i m e r a , d e s t r u i d a p o r la r e s i s t e n c i a del p l a u o , n o p u e d e i m p r i m i r a l c u e r p o m o v i m i e n t o a l g u n o ; la s e g u n d a , si, c o n s e r v a t o d a s u a c c i ó n y p r o d u c e lodos s u s efectos. P o r c o n s e c u e n c i a , p u e d e u n o s e n t a r este p r i n cipio, á s a b e r : Que es necesario y basta que la fuerza sea normal al plano para obtener el equilibrio
del cuer-
po. Mas a u n q u e el c u e r p o s e a p o y e s o b r e u n a s u perficie c u r v a , n o p o r e s t o d e r o g a r á á l a l e y q u e f r a
acabamos de establecer, p o r q u e puede substituir su p l a n o t a n g e n t e á la s u p e r f i c i e , e n el p u n t o cons i d e r a d o , y a s i , para obtener el equilibrio, debe ser normal á la superficie en el expresado
la
fuerza caso.
De lo expuesto se d e s p r e n d e q u e u n a superficie p e r f e c t a m e n t e u n i d a y a u n p u l i m e n t a d a solo pueda d e s t r u i r las presiones n o r m a l e s , y esto o p o n i e n d o á dichas fuerzas resistencias i g u a l e s y c o n t r a r i a s .
p a r a r al i n t e r i o r del polígono q u e f o r m a n los p u n tos d e c o n t a c t o . Por fin, es necesario q u e todas las f u e r z a s q u e ejercen su a c c i ó n sobre el c u e r p o se e q u i l i b r e n c o m p l e t a m e n t e con la r e s u l t a n t e . E n s u m a , t o d o lo
1 7 6 . CONDICIONES D E L E Q U I L I B R I O DE U N CUERPO
SOBRE UN PLANO. — C u a n d o u n c u e r p o recibe la acción de a l g u n a s f u e r z a s , e n t r e l a s c u a l e s figura la de su propio peso, y n o se a p o y a sobre u n plano fijo, ó sobre u n a superficie sólida m a s q u e p o r el solo p u n t o d e c o n t a c t o , es n e c e s a r i o , p a r a q u e se p o n g a en equilibrio, q u e d i c h a s f u e r z a s q u e d e n d e s t r u i d a s por la resistencia d e la superficie, fuerza ú n i c a n o r m a l aplicada al e x p r e s a d o p u n t o de contacto.
que p r e c e d e p u e d e reducirse a s i : Que todas las
fuer-
zas expresadas tienen una resultante única, normal plano y dirigidas
al
hacia el interior del polígono que for-
man los puntos de contacto. 1 7 8 . MOMENTOS Y GRADOS DE E S T A B I L I D A D D E UN
CUERPO PESADO. — L u e g o q u e u n c u e r p o d e s c a n s a sobre u n p l a n o horizontal, las reacciones del p l a n o en los diversos p u n t o s d e contacto s o n f u e r z a s v e r ticales, c u y a r e s u l t a n t e , siendo t a m b i é n v e r t i c a l ,
Mas este equilibrio n o p o d r á l o g r a r s e , c o m o se
cae n e c e s a r i a m e n t e en el i n t e r i o r d e l a figura f o r -
deduce de estas explicaciones, s i n o o b s e r v a n d o las
m a d a p o r estos p u n t o s . P o r lo t a n t o , p a r a q u o el
tres leyes ó reglas s i g u i e n t e s :
equilibrio exista es m e n e s t e r q u e esta r e s u l t a n t e única.
d e s t r u y a el peso del cuerpo, y q u e l a v e r t i c a l q u e
superficie.
pasa p o r el c e n t r o de gravedad e n c u e n t r e a s i m i s m o
1.» Que todas las fuerzas tengan unaresultante 2." Que esta resultante
sea normal
3.A Que pase por el punto de
a la
en su i n t e r i o r la superficie de a p o y o . P u e s b i e n ; si
contacto.
u n a vez satisfecha esta condicion, el c u e r p o , i m p e 177. OBSERVACIÓN. — L u e g o q u e u n c u e r p o se
d i d o p o r u n a c a u s a c u a l q u i e r a , n o p u e d e deslizar-
apoya sobro su p l a n o p o r m u c h o s p u n t o s d e con-
se sobre el p l a n o , en este caso, y s i n t u r b a r
t a c t o , cada u n o de estos p u n t o s d e t e r m i n a
una
equilibrio, deberá aplicársele c i e r t a f u e r z a q u e d e -
resistencia n o r m a l al p l a n o . Debe n o t a r s e asi-
t e r m i n e el m o v i m i e n t o , c u i d a n d o , p a r a o b t e n e r el
m i s m o q u e todas e s t a s f u e r z a s s o n p a r a l e l a s y do
efecto, q u e l a r e s u l t a n t e de la f u e r z a a ñ a d i d a n o
u n m i s m o sentido, y q u e p u e d e n c o m p o n e r s e en
caiga f u e r a de la superficie d e c o n t a c t o .
el
u n a sola, i g u a l á la s u m a d e t o d a s ellas, n o r m a l ,
Ahora, fácil es d e conocer el momento de la esta-
p o r c o n s i g u i e n t e , al p l a n o , y c u y a d i r e c c i ó n va á
bilidad de u n c u e r p o sobre su p l a n o ; este n o es
224
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
o t r o , s e g ú n se concibe, q u e el i n s t a n t e en q u e el'
CUARTA P A R T E . — CAPITULO IV.
213
c u e r p o resiste á l a f u e r z a q u e le i m p e l e á moverse,
1 7 9 . E Q U I L I B R I O DE UN CUERPO PESADO SOBRE UN
i n s t a n t e q u e se repite t a n t a s veces c u a n t a s el c u e r -
PLANO INCLINADO. — C o l o q u e m o s , pues, u n c u e r p o
p o t i e n d e á c o n s e r v a r su posicion d e q u i e t u d , ó
sobre u n p l a n o i n c l i n a d o sólido y fijo q u e n a d a
q u e se o p o n e al m o v i m i e n t o de r o t a c i o n q u e se le
p u e d a a l t e r a r l o : sometámoslo e n seguida á dos
imprime.
fuerzas, á s a b e r ; la p o t e n c i a P (fig. 61) aplicada á
G e n e r a l m e n t e , el m o m e n t o de estabilidad de u n c u e r p o q u e d e s c a n s a s o b r e el suelo v a r i a con el arete q u e se t o m a p o r eje d e rotacion, ó c o n el elem e n t o rectilíneo del c o n t o r n o de s u base, en cuyo r e d e d o r el m o v i m i e n t o tiene l u g a r . Así, so comp r e n d e (juc este m o m e n t o es s u s c e p t i b l e de u n mínimum
q u e corresponde al eje m a s i n m e d i a t o al
pié d o la vertical q u e p a s a p o r el c e n t r o d e graved a d . Si esta vertical e n c u e n t r a el c o n t o r n o de la base, e n t o n c e s el mínimum
es n u l o , y será n e g a -
tivo si cae fuera, y e n tal caso no se podrá d e m o d o alg u n o o b t e n e r el equilibrio, p o r q u e el c u e r p o se m o v e r á en d e r r e d o r del e l e m e n t o m a s i n m e d i a t o , s i e m p r e q u e p a r a evitarlo n o se le o p o n g a u n a f u e r z a suficiente, cuyo m o m e n t o , con relación al eje, d e b e ser, c u a n d o m e n o s , i g u a l al d e resistencia del c u e r p o . E n s u m a , p a r a q u e la e s t a b i l i d a d de u n c u e r p o pesado s o b r e u n p l a n o h o r i z o n t a l quedo a s e g u r a d a , es necesario q u e su m o m e n t o m í n í m o sea superior 4 la s u m a d e los m o m e n t o s de f u e r z a s q u e t i e n d e n á dirigir su m o v i m i e n t o d e r o t a c i o n sobre 1a s u m a d e los m o m e n t o s de las fuerzas q u e t i e n d e n á c o n tenerlo.
Fig.
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