Manual de Formulas

GEOMETRÍA ANALÍTICA Rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. En un espacio tridimensional, los puntos se pueden localizar de manera similar utilizando tres ejes, el tercero de los cuales, normalmente llamado Z, es perpendicular a los otros dos en el punto de intersección, también llamado origen. Representación grafica de puntos A cada par de números reales (x, y) le corresponde un punto definido del plano, y a cada punto del plano le corresponde un par único de coordenadas (x, y).

F(1,4)

E(2,3)

Representación gráfica de los puntos E(2,3) y F(1,4).

Distancia entre dos puntos Distancia dirigida

d  x2  x1  x1  x2 d  y2  y1  y1  y2

Distancia no dirigida

d

x2  x1    y2  y1 

C(1,4)

A(1,1)

B(5,1)

Ejemplo Calcular la distancia de A hacia B, de C hacia A y de B hacia C. Dado que las dos primeras distancias son dirigidas, emplearemos las formulas:

d AB  x2  x1  5  1  4

de otra forma

d BA  x1  x2  1  5  4

dCA  y2  y1  1  4  3

de otra forma

d AC  y1  y2  4  1  3

Dado que la ultima distancia es oblicua en relación a los ejes, emplearemos la formula:

d CB 

x2  x1    y 2  y1   5  12  1  42

 4 2   3  16  9  25  5

d BC 

x2  x1    y 2  y1   1  52  4  12



2

 42  3 2

 16  9  25  5

División de un segmento en una razón dada Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos son P1(x1, y1) y P2(x2, y2), en la razón dada

x

x1  rx2 1 r

y

r

p1 p son: pp2

y1  ry2 1 r

, siendo r  0

Las coordenadas de un punto P que es el punto medio de un segmento cuyos extremos son P1(x1,y1) y P2(x2,y2), son:

x

x1  x2 2

y1  y2 2

y

B(5,5)

P( P(

,

)

,

)

2

1

A(1,1)

Ejemplo Encontrar las coordenadas del punto P1 que divide al segmento AB en la razón r  1 , y las coordenadas del punto medio (P2) del segmento AB. 2 Las coordenadas del punto P1 son:

 

 

1 1 5 2 x 1 1 2 x

1 1 5 2 y 1 1 2 1 5 2 y 1 1 2 7  2 3 2 7 ( 2) 7   3(2) 3

 

 2

1 5

1 1

2

7

 2 3 2 7(2) 7   3(2) 3

Por lo tanto el punto que divide al segmento dado en la razón r  1 , 2 7 7 , queda definido por: P1 . 3 3





Las coordenadas del punto P2 son:

x 6 2 3



1 5 2

y

1 5 2

6 3 3



Por lo tanto el punto que divide al segmento dado en su punto medio, queda definido por: P2 3,3 .

Área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices.

x1 x 1 2 A  x3 2 xn x1

y1 y2 1 y3  x1 y2  x2 y3  x3 yn  xn y1  x1 yn  xn y3  x3 y2  x2 y1  2 yn y1

Donde la alineación de los vértices se realiza en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

F(2,5) A(-2,4) E(5,3) D(5,2)

B(-1,2)

C(1,1)

2 1 1 1 A 5 2 5 2 2

4 2 1 1   2 2   11  12  53  55  2 4     2   2   2 5  2 3  52  51  12   14  3 5 4 1 2 1  2



 4  1  2  15  25  8   10  6  10  5  2  4 45  9 

1 36  36  18 m 2 . 2 2

Por lo que el área del polígono de la figura es de 18

m2 .

Línea recta Pendiente de una recta sea P1(x1,y1) y P2(x2,y2), dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de dicha recta es:

m

y2  y1 y1  y2  , siendo x1  x2 x2  x1 x1  x2

Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1,1) y B(5,5)

B(5,5)

A(1,1)

m

5 1 4  1 5 1 4

m

1 5  4  1 1 5  4

ángulo de inclinación

  tan 1 m Determinar el ángulo de inclinación de la recta que presenta una pendiente m=1

  tan 1 1  45 Este dato es obtenido de la calculadora o de una tabla de funciones trigonométricas.

condiciones de paralelismo y perpendicularidad dos rectas l1 y l2 son paralelas cuando

ml1  ml2

dos rectas l1 y l2 son perpendiculares cuando

ml1 ml2  1

de donde

ml1  

1 ml2

y

ml2  

1 ml1

l j

k

Determinar, si se presentan, las condiciones de paralelismo y perpendicularidad para las rectas “l”, “j” y “k” de la figura anterior, conocidos los puntos C(0,4), D(3,5), K(0,-3) y F(5,-1). Se observa que la pendiente de la recta “j” queda determinada por la pendiente entre los puntos C y D, para la recta “l” por los puntos D y F, y para la recta “k” por F y K resultando:

mj 

54 1  30 3

ml 

1 5  6   3 53 2

mk 

 1   2  1  2 1   52 3 3

De acuerdo a la figura anterior, las rectas que presentan paralelismo son: la ”j” y “k”. Dado que

m j  1 y mk  1 son iguales, nos permite concluir que las 3 3

rectas lj y lk son paralelas. De acuerdo a la figura anterior, las rectas que presentan perpendicularidad son: las “l” y ”j” y “l” y “k”. Las rectas “l” y “j” son perpendiculares si y solo si:

3 1 ml m j  1, de donde  3     1 . Por lo que podemos concluir que 3 3 “l” y “j” son perpendiculares entre si. Y se cumple que: 1 1 1 3 ml   , como    1    3 . 1 1 mj 1 3 3 Las rectas “l” y “k” son perpendiculares si y solo si:

3 1 ml mk  1, de donde  3     1 . Por lo que podemos concluir que 3  3 “l” y “k”son perpendiculares entre si. Y se cumple que: 1 1 1 3 ml   , como    1    3 . mk 1 1 1 3 3

Circunferencia Lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto interior llamado centro. Ecuación de segundo grado con dos variables, la cual queda perfectamente definida si se conoce su centro y la longitud de su radio. Circunferencia de radio r y centro en el origen.

x 2  y 2  r 2 , llamada canónica Circunferencia de radio r y centro fuera del origen en C(h,k).

( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2 , llamada ordinaria forma general de la ecuación de la circunferencia

x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 , donde D  2h E  2k F  h2  k 2  r 2 La ecuación de la circunferencia también se puede definir en función a:    

tres puntos por donde pasa la curva. dos puntos y una recta. un punto y dos rectas. tres rectas.

Estas situaciones implican la solución de sistemas de ecuaciones simultaneas de primer grado con tres incógnitas.    

La longitud de la tangente es la distancia comprendida entre el punto de tangencia y el eje X, sobre la tangente. La longitud de la subtangente es la proyección de la tangente sobre el eje de las X. La longitud de la normal es la longitud comprendida entre el punto de tangencia y el eje de las X sobre la perpendicular a la tangente. La longitud de la subnormal es la proyección de la normal sobre el eje de las X.

Parábola Se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:

Eje, e. Vértice, V. Distancia de F a V, p. La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es decir, todas las parábolas tienen excentricidad 1. Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje. Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma parabólica de los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión, concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra. Si se hace coincidir el eje X con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es: a. y2 = 4px, si abre a la derecha.

Si se hace coincidir el eje X con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es: b. y2 = - 4px, si abre a la izquierda. Si se hace coincidir el eje Y con el eje de la parábola y el eje X pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es: c. x2 = 4py, si abre hacia arriba. Si se hace coincidir el eje Y con el eje de la parábola y el eje X pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es: d. x2 = - 4py, si abre hacia abajo. La cuerda focal perpendicular al eje de la parábola se denomina lado recto y vale 4p. Las ecuaciones de la parábola con vértice fuera del origen en sus cuatro formas anteriores son: 1ª.- ( y  k )  4 p( x  h) 2

2

2ª.- ( y  k )  4 p( x  h) 2

2

3ª.-

( x  h)2  4 p( y  k )2

4ª.-

( x  h)2  4 p( y  k )2

forma general de la ecuación de la parábola

Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 , donde para A = 0 y C  0, X para C = 0 y A  0, Y

D =-4p, E =-2k y F =k2+ 4ph. Eje paralelo al eje D =-2h, E =-4p y F =h2+ 4pk. Eje paralelo al eje

El diámetro de la parábola es el lugar geométrico de los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas de una cónica cualquiera.

Sea m la pendiente de las cuerdas paralelas, la ecuación del diámetro determinado por los puntos medios de ellas es:

2p m para Y2 y X2 respectivamente. 2p x m y 

Elipse La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F’, llamados focos, y un número fijo k, , la elipse es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya suma de distancias a F y F’ es igual a k: ; d1 + d2 = k. Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero”: se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual a k. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse. Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos: Centro, O. Eje mayor, AA´. Eje menor, BB´. Distancia focal, OF. Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con las letras siguientes: . El eje mayor mide 2a. . El eje menor mide 2b. . La distancia entre focos es 2c.

. Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación: a2 = b2 + c2 La excentricidad de una elipse se obtiene así: e = c/a Puesto que c < a se verifica que 0 1. Es decir, la excentricidad de cualquier hipérbola es un número mayor que 1.

Una propiedad importante de la hipérbola es que si desde un punto de la curva se trazan los segmentos correspondientes a las distancias de este punto a los focos, la bisectriz del ángulo formado por ambos segmentos es tangente a la hipérbola.

Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas sólo se acercan una vez al Sol, que es uno de los focos de su trayectoria. Después se alejarán perdiéndose en los confines del Sistema Solar. Existe un sistema de ayuda a la navegación, llamado loran, basado en las hipérbolas y sus propiedades, que permite a los barcos y aviones determinar su posición, sobre una carta marina.

Si situamos el eje X en la línea de los focos de una hipérbola y el eje Y en la mediatriz del segmento FF´, entonces la ecuación de la hipérbola adopta la expresión siguiente, llamada ecuación reducida de una hipérbola:

Las asíntotas tienen las ecuaciones

Si a = b, la hipérbola es equilátera. Su ecuación es: asíntotas son las rectas y = x, y = -x.

x2 – y2 = a2, y sus

También son hipérbolas equiláteras las curvas de ecuaciones y = a/x. Sus asíntotas son los ejes coordenados.

La ecuación de la hipérbola de centro fuera del origen es:

( x  h) 2 ( y  k ) 2   1, 2 2 a b 

las coordenadas de los focos de una hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X son: F(h + c, k) y F´ (h - c, k).



Las coordenadas de los vértices de una hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X son: V(h + a, k) y V´ (h - a, k).



Las coordenadas del eje conjugado de una hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X son: A(h , k + b) y V´ (h , k - b).

La ecuación de la hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje Y es:

( y  k ) 2 ( x  h) 2  1 a2 b2 

Las coordenadas de los focos de una hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X son: F(h, k + c) y F´ (h, k - c).



Las coordenadas de los vértices de una hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X son: V(h, k + a) y V´ (h, k - a).



Las coordenadas del eje conjugado de una hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X son: A(h + b , k) y A´ (h b , k).

Forma general de la ecuación de la hipérbola De eje focal paralelo al eje X

Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 , donde A=b2, C=-a2,

D=-2b2h,

E=2a2k

y

F=b2h2-a2k2-a2k2.

De eje focal paralelo al eje Y

Ay 2  Cx 2  Dx  Ey  F  0 A=b2, C=-a2,

D=2a2h,

E=-2b2k

y

F=-a2h2+b2k2-a2b2.

Los coeficientes de A y C de ambas ecuaciones generales deben tener signo diferente.