Manual de formulas tecnicas.pdf

manual de fórmulas técnicas Kurt Gieck / Reiner Gieck

• Manual electrónica cun fórm ulas prediseñadas • Potente editor de fórm ulas • Función de graficado

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I/APLICACIONES BASICAS METROLOGIA • EL S .l. M ATEM A TIC A S • ESTADISTICA

U nidades

A

S uperficies C uerpos A lg eb ra T rig o n o m e tría G eo m etría A n a lític a Funciones H iperbólicas C álculo D iferen cial Cálculo in teg ral P robabilidad y Estadística

B C D E F G

Estática C in em ática D in ám ica

K L M

H idráulica T érm ica Resistencia d e M a te ria le s

N

FISICA • INGENIERIA

TECNOLOGIA INDUSTRIAL

H 1

J

0

P

E lem entos de M áq u in as M á q u in as-H erram ien ta Electrotecnia O p tica e Ilu m in ación Q u ím ic a

S T U

Tablas

Z

MATERIALES • PROPIEDADES

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Q R

II/APLICACIONES AVAN ZAD AS MATEMATICA

A nálisis V e c to ria l Funciones Racionalles T ran sfo rm ad as de Funciones E cuacio nes D ife re n c ia le s A n álisis E s ta d ís tic o M a te m á tic a s F in an cieras T eo ría d e E cuaciones

A' B' C' D' E' F' G'

TECNOLOGIA

E lem en to s de M áquinas A nálisis d e Esfuerzos M aq u in aria y E lem entos M a n u fa c tu ra y Procesos S is te m a s E lé c tric o s R adiaciones In g e n ie ría de C ontrol

O' P' Q' R' S' T U'

Tablas

Z'

TABLAS

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Traducción:

Dr. Víctor Gerez Greiser Universidad Nacional Autónom a de México U niversity of C alifornia (Berkeley)

Ing. José de la Cera Alonso Universidad Autónom a Metropolitana Technische Hochschule München Con la colaboración de:

Ing. Quím. Virgilio González Pozo Revisión, adaptación y complemento:

Ing. Francisco Paniagua Bocanegra Universidad Nacional Autónom a de México Revisión técnica:

Francisco Javier Rodríguez Cruz Universidad Autónom a M etropolitana-Iztapalapa

Versión en español de la edición electrónica en alemán de la obra titulada: Technische Formelsammlung, por Kurt Gieck y Reiner Gieck © 2000 by Gieck Verlag, D-82110 G erm ering, Germany ISBN 39203 79 21 7 75a. edición conjunta © 2003 A lfaom ega Grupo Editor, S.A. de C.V. Pitágoras 1139, Col. Del Valle 03100, México, D. F Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro No. 2317 Reservados todos los derechos. Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio, mecánico, eléctrico, de fotocopiado, térm ico u otros sin perm iso expreso del editor ISBN 970-15-0840-8, Alfaomega ISBN 84-267-1330-0, Marcombo IM PRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN

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PREFACIO Miles de estudiantes de diversas áreas, técnicos e ingenieros han encontrado por muchos años en esta bien conocida obra: Manual de fórmulas técnicas, de Gieck, una útil herramienta para consultar las fórmulas técnico-científicas más usuales en sus campos de acción, de manera clara, concisa y ordenada. Por las completas explicaciones que se proporcionan y mediante la aclaración de los conceptos implicados, es posible entender bien las fórmulas, aun sin ser especialista en el tema. Esta nueva edición revisada, corregida y aumentada, basada en la 30a edición del clásico texto de bolsillo -además de conservar todas las cualidades de contenido y forma que lo han mantenido como el best-seller de los manuales técnicos y de ingeniería- incluye también un editor de fórmulas que le permitirá diseñar sus propias ecuaciones y graficarlas en un plano cartesiano, mediante la apertura de hasta 20 ventanas de cálculo, que pueden ser de parámetros variables o de resultados. Se conservan, entre otras cosas, la impresión de texto en una sola cara del papel de la mayoría de las páginas, para que el usuario pueda efectuar anotaciones complementarias y observaciones en la otra; la clasificación e identificación de los temas con una letra mayúscula de gran tamaño en la esquina superior derecha, y la sección de tablas, ya que no siempre se puede llevar consigo una computadora. En la parte de Aplicaciones avanzadas se han incluido los siguientes temas: Teoría de ecuaciones Elementos de máquinas Ingeniería de control En la Teoría de ecuaciones se exponen los conceptos fundamentales del álgebra superior, con lo que se da por completado el tema de álgebra. En la sección Elementos de máquinas se incluye lo relacionado con el diseño de engranes, y la sección Ingeniería de control proporciona de manera cabal los elementos conceptuales y algorítmicos necesarios para el análisis de un sistema. Damos las gracias a los profesores M. Otto y H. W. Zimmer, quienes colaboraron en la ampliación y reelaboración de los temas. Kurt Gieck Reiner Gieck

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Colaboraron en esta obra: Al cuidado de la edición G onzalo Ferreyra Cortés Programación de fórmulas Francisco Javier R odríguez Cruz Diagram ación Jesús García A lva re z Procesos gráficos M iguel A ng e l Ferreyra Cortés Diseño de cubierta Javier P erdom o M . Producción G uillerm o G onzález Dorantes

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O BSER VAC IO NES SOBR E L A S FO RM U LAS Magnitud de las cantidades físicas La magnitud de una cantidad física es el producto de su valor numérico y la unidad física seleccionada. Por lo tanto, el valor numérico es el cociente de la magnitud y la unidad. Entonces, por definición, Magnitud =

Valor numérico x

Unidad

Si se selecciona una unidad n veces mayor, el valor numérico se reduce en la fracción 1/n; recíprocamente, si se adopta una unidad 1/n veces menor, el valor numérico es n veces mayor. El producto de valor numérico y unidad es constante, y la magnitud dada de una cantidad física es invariante en el cam­ bio de unidad. Por ejemplo: / = 15 m = 15 x 1 0 -3 km = 15 x 103 mm I = 3 /t A = 3 x 10- 3 mA = 0.003 mA TIP O S DE FORMULAS Fórmulas de cantidades. Estas son las fórmulas normales en las que los símbolos corresponden a cantidades físicas. Permiten evaluar una cantidad sustituyendo las restantes por su magnitud (valor numérico por unidad). Al efec­ tuar el cálculo se obtiene la magnitud de la cantidad por determinar. Por ejem ­ plo, si en la fórmula t = 2 s lv se sabe qué s = 8 0 m y v = 8 m/s, resulta entonces:

' = -IT

“

S X m /P

-

T

3 ■ 20S

( ^ m u la /2 3 )

Fórmulas de cantidades ajustadas. En estas ecuaciones cada símbolo de cantidad aparece dividido entre su correspondiente unidad. Por ejemplo, la fórmula s 78:

F" s 40( f í h P ) N - 40( P x f ( W ) N - 162 N Estas fórmulas son útiles en diversas aplicaciones. Fórmulas de unidades. Conversión. Estas ecuaciones presentan la rela­ ción de equivalencia entre unidades. Por ejemplo: 1 m =

100 cm

1 N =

1 kg • m/s2

Para efectuar la conversión de unidades, la equivalencia se expresa como un factor de valor numérico igual a la unidad. Así, de las fórmulas anteriores,

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1

100 cm

1 m

1 kg • m

1 m

100 cm

1 N • s2

_

1 N • s2 1 kg • m

Lo anterior permite obtener una magnitud en la unidad deseada, a partir de una ecuación de cantidades físicas. Por ejemplo, de la fórmula m 1: F = ma si m = 30 kg y a = 4 cm/s2, se tiene que para obtener F en newtons: F = 30 kg x 4 cm/s2 = 30 kg =

11 m 4 cm w ji i 111 s2 \ 100 cm

1.2 N

Unidades en las fórm ulas. La designación EU significa “ ejemplo de unidad.” En varias fórmulas se indican ejemplos de unidades. En tales casos, la pri­ mera unidad indicada es la SI. Las demás unidades son de otros sistemas que todavía se emplean en algunos países. Por ejemplo, del sistema técnico mé­ trico o del sistema técnico inglés. La gran mayoría de las fórmulas presentadas en este manual son las normales de cantidades físicas, en las que se aplican las unidades compatibles que co­ rresponden a las cantidades.

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N O M E N C LA TU R A G EN ER AL

Espacio y tiempo a. /3, y ángulos (planos) ángulo sólido n / longitud b anchura h altura s espesor r, R radio d .D diámetro perímetro P .P A área, sección transversal A, área lateral A, área total 1/ volumen s recorrido t tiempo V velocidad a aceleración aceleración debida a la 9 gravedad 10 velocidad angular a aceleración angular Probabilidad y estadística A, B . . .. eventos (simples o compuestos) U evento universa! 0 evento nulo (o vacío) A + B unión de los evento A y B AB intersección de los eventos A y 6 P(A) probabilidad del evento A P¡A\B) probabilidad (condicional) de A dado B X variable aleatoria P*(X0) probabilidad de que X tome el valor X0 E[gr(X) ] esperanza (matemática) de 9(X) X media (o valor medio) de X a desviación estándar a2 variancla r coeficiente de correlación

Fenómenos oscilatorios y similares T f n oí A (i,

periodo frecuencia número de revoluciones por unidad de tiempo frecuencia (velocidad) angular longitud de onda ángulo de fase, defasamiento

Mecánica m P V

P J F G M P G T

e y E G Q 1 S F Fo V V

W

masa densidad volumen específico cantidad de movimiento (o ímpetu) momento de inercia de masa fuerza peso (fuerza de gravedad) momento de fuerza presión esfuerzo axial (o normal) esfuerzo cortante (o tangencial) deformación axial deformación angular módulo de elasticidad axial módulo de elasticidad angular momento estático de área momento de inercia de área módulo de sección coeficiente de fricción dinámica coeficiente de fricción estática viscosidad dinámica viscosidad cinemática trabajo, energía

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P r¡

potencia eficiencia

Z X Y S Pa P Pr

flujo magnético densidad de flujo magnético, inducción magnética intensidad de campo magnético inductancia fuerza magnetomotriz tensión magnética reluctancia permeancia permisividad dieléctrica permisividad dieléctrica del vacío coeficiente dieléctrico (constante dieléctrica) permeabilidad magnética permeabilidad magnética del vacío coeficiente magnético (permeabilidad relativa) número de pares de polos número de conductores número de vueltas o espiras impedancia reactancia admitancia susceptancia potencia aparente potencia activa potencia reactiva

Optica

(radiación visible)

4> B

Térmica t T a

fi Q Q K

cp Cv k tf /v /, R

H temperatura temperatura termodinámica coeficiente de dilatación longitudinal coeficiente de dilatación volumétrica calor calor por unidad de masa flujo de calor densidad de flujo de calor conductividad térmica calor específico a presión constante calor específico a volumen constante relación de calores específicos calor de fusión calor de vaporización calor de sublimación constante de un gas

Electricidad y magnetismo / V E .S

R P a G 7 Q C D E

corriente tensión (voltaje), diferencia de potencial tensión inducida o generada (fuerza electromotriz) resistencia resistividad coeficiente de temperatura de la resistencia conductancia conductividad carga capacitancia flujo eléctrico densidad de flujo eléctrico intensidad de campo eléctrico

L 0 /3

b 20

2a 2

b 21

\/3

b 22 b 23

A

=

b 24

s-

Hexágono regular

1.155 s

d = 0.866 d Octágono regular

2 a s = 0.83 s2 s V d2 — s-

b 25

s tan 2 2.5 ° =- 0.415 s

b 26

d cos 22 .5 ° ==0.924 d

b 27

Pentágono regular

8

d

=

A

=

1.083 s

cos 22.5c

Polígono b 28

A, + A2 + A:i a h i + b h 2 + b h3

b 29 ~

2

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b 30

b 31 b 32

b 33 b 34 b 35

b 36

A = 360 br

b 37 b 38 b 39

b =

180 180

Sector circular

r 2 a = — r2

r a a (a = a en radianes)

b 40

s = 2 r sen

b 41

A = — (3h2 + 4sa) — — (.fi—sen a) 6s 2 _h_ s2

b 42 b 43 b 44 b 45 b 46 b 47

r ~ T

Segmento circular

+ 8h

h — r (1 - cos — ) = — tan — 2 2 4 5 : Ver fòrmula b 39. Elipse

A = — D d = ir a b 4 D + d P=TT 1

1

1

= 7T (a + b) [ 1 + — A2 + — A4+ — — \ 6 + 4 64 256 25 a - b —— — A8 + . . . ] , donde A = ---------16 384 a + b

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Cuerpos

C

CD

2

Cilindro circular (recto) = — d ¿h 4

'

= 2 ir r h = 2 ir r ( r + h)

' - V

r "

Cilindro hueco

= — h ( D 2 - c f ¿) 4

Cono circular (recto)

= — r2 h 3 = 7r r g = rr r(r + g) = V * 2 + r2 : >4, = x2 : h2

1/ = — h (D2 + Dd +

d2)

Cono truncado

— g (D + d) = 2 ir p h

= V [ ( D - d ) / 2 ] * + h2

1/ =

4 3

7Tr

=

1 6

7Td 3

4.189 r3 4-7T r 2 =7T d2

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Esfera

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Cuerpos

C Toro

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4

Algebra

D

Potencias y raíces

1

FORMULAS PARA POTENCIAS Y RAICES Ejemplos

General 1

2

am • an = am*n

3

— = aro-n

4

3a4 + 4a4 = 7a4

p • an ± q • an = (p ± q) an

a8 • a4 = a 12 a8

am

— — a«-2 _ a®

an

a2 (a3)2 = (a2)3 = a3"2 = a«

(am)n = (an)m = amn

1 a-4 = — a4

1 a-n = — an

5

an

6

/a \n

— = ( —y b8 \ b /

t r \ b )

7

p ^ /Y ± q V T

8

n -----V 3 •b

= fp ± q )J fT n— = V a

4

n—

+ 7 V ^ T = 11 V x " V 16 x 81 = \ / T 6 x v ^ 8 Í

9 v

na?.___ n V amœ= V am

11

= v t= 2

J>

6 ---3 (---\ / a 8 = x / a 4^

Ï

10

t

II

II

12

= ( v ? ) S = a*

V — a = i \/a ~ *N o es válida en algunos casos; p. ej.,

^ T g - = i x / 9 ”= i 3 V ( — 2)2 = + 2 f / = ~ 2 ) 2= - 2

A/ofa: Los exponentes para potencias y raíces deben ser escalares.

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Algebra

D2

Potencias y raíces L O G A R IT M O S Base del sistema

Sistema log„

d 14

log™ =

log*

d 15

loge =

In

a

Logaritmo de base a

10

II

d 16

fio

d 13

Denominación

Logaritmo común

e

Logaritmo natural

2

Logaritmo binario

En log,, x = b se llaman

a, base x, logáritmando b, logaritmo

Reglas para el cálculo con logaritmos (de base cualquiera) d 17

log (x ■y) = log x + log y

d 18

log y

= log x - log y

d 19

log xn

= n log x

d 20

log \/x ~

= y

log x

Igualdad entre expresiones con exponentes d 21

ax = b = exlna log b

d 22

de donde: x =

= > /F

log

Transformación de logaritmos d 23 d 24 d 25

log™ x = log», e • In x = 0.434294 • In x logtux In x = = 2.302585 • log™ x log,o e Base de los logaritmos naturales: e = 2.718 281 8 3 ... Características de logaritmos de base 10

d 26 d 27 d 28 d 29

log log log log

0.01 0.1 1 10

d 30

log 100

= = = = =

- 2 -1 0 1

o bien, o bien,

8 ... -1 0 9 ...-1 0

2

N ota: El logaritmando (o antilogaritmo) debe ser un valor numérico. *También se usa la notación Ig.

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Algebra

D

Potencias y raíces

3

TRANSFORMACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS USUALES (a ± b )2 = a2 ± 2 ab 4 b2 (a dt b):l = a* ± 3 a2 b 4- 3 a ba

(a 4 « " = a" 4 - y a"'1 + nt"

(a + b + c )2 = (a — b 4 o)2 = a2 — b- = a3 4 b» = a» - b3 = a« — b“ =

11 a«> b2

i n | n 7 1> (n, - 21 , + b> 1-2-3 a2 4 2ab 4 2ac 4 b2 + 2bc 4 c2 a2 — 2ab 4 2ac 4 b2 — 2bc 4 c2 (a 4 b) (a — b) (a 4 b) (a2 - ab 4 i>2) (a — b) (a2 4 ab 4 b2) (a — b) ¡a“-' 4 ar t ¿ 4 a“' 3 b2 4 . . , 4 ab- 2 4 b - 1)

Ecuación cuadrática o de segundo grado Forma normal

x2 4 px 4 q = p xI ; x 2 = —

Raíces Teorema de Vieta

0 FfP

—g

p = — (xt 4 x2); q — x, • x2

Cálculo aritmético de la raíz cuadrada Explicación Ejemplo

Los valores entre paréntesis se refieren al ejemplo.

V 21 43.69 = 46.3 a) Hacia la derecha y hacia la izquierda del punto 16 r- — | decimal form ar grupos de dos cifras. 5 43 : 86 J b) Obtener la raíz cuadrada del primer grupo 516 r (21). Registrar como primera cifra del resultado 27 69 : 923 el número entero así obtenido (4), elevarlo al 27 69 cuadrado (16) y restarlo dei primer grupo para 0 tener un residuo(5). c) Bajar el siguiente grupo (43), y dividir entre el doble dei resultado obtenido hasta el momento ( 2 X 4 = 8) las cifras anteriores me­ nos la última (5 4 :8 — 6). Registrar et cociente (6) como siguien­ te cifra de la raíz. Agregar este número al doble del resultado an­ terior (8) Multiplicar el divisor así obtenido (86) por la última cifra del resultado (6) (516 = 86 X 6)- Calcular la diferencia (27). d) Repetir el procedimiento hasta terminar. Determinación aproximada de una raíz Si x = \/~A , entonces x = — (n — 1) x„H------ — ■ n L Xo* 1 J donde x„ es el valor estimado de x . Sustituciones de valores sucesivos de x„ aumentarán la exactitud del valor de x.

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A

D

l g e b r a

Teorema del binomio

4

B INOM IO DE NEWTON "TI d 44

< • + « ■ = © - *

( ; ) - - » +

o

—

' +

C

| a«-:í . b * + . . .

n tiene que ser un número entero / n\

n (n — 1) [n — 2) . . . n — k + 1

'k'

1-2-3 4

d 45

' ■)

.. k 4-3

4-3-2

1 -2

1-2-3

a* :l * b3 + jb4

= a' + 4a3 ■ft + 6az • b ‘ + 4a • fia + fi4 Resolución esquemática. Coeficientes por el Triángulo de Pascal d 46

(a + i ) 1'

d 47

(a + « '

d 48

(a + ft)2

d 49

(a + ft)2

d 50

(a + ft)4

d 51

(a + ft)2

d 52

(a + ft)e

1 1 1 1 1 1 1

3

1 3

4 10 15

1 4

6

5

6

1 2

10 20

1 5

15

1 6

1

Se continúa de manera que cada renglón empiece y termine en 1. Los números restantes son la suma de los dos números situados inmediatamente arriba a la derecha y a la izquierda. Exponentes La suma de los exponentes de a y 6 en cada término es igual al exponente n del binomio. Cuando disminuye el exponente de a au­ menta el de ft. Signos En (a + 6 ) todos son positivos. En (a — ft) se empieza con -|- y luego se van alternando. Ejemplos d 53

(a + ft)2 =

d 54

(a — fi)5 = ( + ) a5 -

a2 + 5a4 ft + 10aa fi2 - f 10a2 ft2 + 5afi4 + 5a4 6 + 10a3 fi2 -

ft2

10a2 fi3 + 5afi4 — b-'

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Algebra

rj

Permutaciones, combinaciones y ordenaciones

®

PERMUTACIONES Número de permutaciones de n elementos*: P„ = n! = 1 x 2 x 3 . . . x n Ejemplo: Los n = 3 elementos a, b, c pueden permutarse de las seis maneras siguientes: abe acb

b ac bea

cab cba

P3 = 3! = 1 x 2 x 3 = 6 permutaciones Caso especial: Si al permutar n elementos existen n, elementos del tipo 1, n-¿ elementos tipo 2 y n K elementos del tipo k, entonces:

n! 0 ,1 X n 2! X . . . X n »!

Ejemplo: Los n — 3 elementos a, a, b pueden permutarse de tres maneras diferentes: aab

aba

baa

En este caso n = 3, ni = 2, n2 = 1: por lo que

P

3! = ----- !— = 2! x 1!

1 x 2 x 3

= 3 permutaciones

1 x 2 x 1

C O M BINACIO NES Y ORDENACIONES El número de modos diferentes en que pueden asociarse los elemen­ tos de un conjunto de n de ellos tomando k cada vez, sin tener en cuenta su orden, se llama número de com binaciones. Hay que especi­ ficar si los elementos se repiten o no. Considerando el orden de los elementos se Pabla de ordenaciones. La tabla D 6 presenta las fórmulas de combinaciones y ordenaciones, con y sin repetición de elementos. n i recibe el nombre de fa c to ria l n .

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Número de ordenaciones

Número de combinaciones sin

|

sin

con

C*=Fórmulas

n! k\ [n — k)

o l = c l p* = ( n k)

r( ; )

Posibi­ lidades

Cálculo del número de posibi­ lidades

(n - k)\

O : número de ordenaciones posibles C : número de combinaciones posibles n : número de elementos dados k : número de elementos seleccionados de entre n elementos dados n = 3 elementos; a, b. c k = 2 elementos seleccionados del conjunto de 3 ab

ac be

aa .

ab bb

ac be

cc

3x2 1X 2

ba ca

:= ©

'2 í ■c>

-= 3

=G)

4X 3 1X 2

Observa­ ciones

'Ot = n*

Los grupos ab y ba, por ejemplo, pertenecen a la misma combinación

ab . cb

ac be

aa ba ca

ab bb cb

ac be cc

' 0 2 = 3"

2!

3!

3!

(3-2)!

ÍT

1X2X3

= e

1 Los grupos ab y ba, por ejemplo, pertenecen a ordenaciones dife­ rentes

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Algebra

Datos

con

ni r con repetición

Significado de ios símbolos

| repetición

Combinaciones y ordenaciones

repetición

a O)

Algebra Determinantes Determinantes de dos renglones o filas: au ■x + a12 • y = rx * tr -i- S22 • y — r¡,

d 63

[3)1 ( 1^21 '

D

— 8 11

3

22 — «*21 3 12

’+

Poner la columna de r en vez de la columna de x r ^ 1 d 64

^1 2

0i = /*

822

columna de y aM

— ri a22 — r'¿812

y 'i

— r2 8n

D2 = 821

— r 1 a2i

T2 N+

N_ 0 i

02

X~ D Determinantes de tres renglones (regla de Sarrus): d 65

8 u • X + 812 • Y -f- 813 • a 2i • x -f- 822 y + 823 * 831 • x -f- 832 • y -f- 833 * 811

iü d 66

812

\ D =

821

X 822

831

832

813^

= fl = r2 = rs 811

812

821

822

'y

a2s '833

831

= 8 ll • 822 • 833+ 8 12 4 823 * 831 + 8 1 3 * 821

* 832 — 8 j 3 * 822 * 8 31

— 8 1 1 ’ 823

’ 8 32 '— 8 12 • 8 2 1 • 833

832

''-1-

^=g d 67

Sustituir la columna de x por la de r: fj 812^ 813 812 /1

0i =

a28 832

33;

/2v 822 '^3 832 N-

=

4 822

4 833 -f- 8 12 * 823 * f 3

-f-813 • r2

f1

• a32— 813 • 822* *3

— r i • 823 • 832 — 812 • r2 • 833

Desarrollar D2 y 0 3 de igual manera, sustituyendo la columna de y o z por la de r; por lo tanto,

0i

x —— D

y=www.FreeLibros.me

Algebra

Ds

Determinantes Determinantes de más de dos renglones:

(En un determinante de más de 3 renglones también puede aplicarse la regla de Sarrus, de acuerdo con D 7). Formar una matriz y mediante adición o sustracción de dos o más renglones, transformados previamente por multiplicación o división. introducir elementos nulos. Desarrollar el determinante por renglones o columnas con el mayor número de elementos nulos, e introducir signos alternadamente (co­ menzar con -j- en a u ). Ejemplo:

+

a41

d\2

+ 913

a42

a43

Ò

...á34 :+ 0

Desarrollo para la cuarta columna:

d 70

— + + a n ­------ a i 2 — —a i» a-¿ 4 sai a 33 a4i a4« a 43

+ 3n — a34

+

-

--- - 3 l2 ---a22 a42

a2i a4i

■3i 3 a23 a43

Debido a que no se pueden introducir ceros como en el caso anterior, puede hacerse el siguiente desarrollo. Por ejemplo, con los primeros renglones: d 71

/ I a¿2 a33 D — a2 4^ a » ' 1 a42 a43

i

a3i a33 — 3l2

a4j a 43

a3i a32 I + 3l8

a4i a421

Para los determ inantes inferiores D x, D2 introducir las columnas de rd e acuerdo con la página D 7 y luego desarrollar com o el d e te r­ minante D. Obtención de las n incógnitas u x, . . . , un con las fórmulas: d 72

ui =

D1

U2 =

, U, = -

N ota: Para un determinante de n renglones se hará el desarroHo hasta obtener determinantes de tres renglones.

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I

Algebra

D9

Series

SERIE ARITMETICA La sucesión 1, 4, 7, 10, etc., se llama progresión aritmética. (La diferencia d entre dos términos consecutivos es constante.) La suma de una progre­ sión se llama serie. n, , n (n 1) d . . . en donde d = an - an_t Sn = , (a1 + an) = a 1n + -

2

2

a„ = a , + ( n - 1)d Media aritmética: cada término amde una progresión aritmética es la me­ dia aritmética de sus términos adyacentes am_ , y am + am_ •) + am+ 1 Asi, el m-esimo termino es am = para 1+

d 132

o| "i n

1 sen 3 [ tt— a)

d 135

t

a

a [" sen

~ï~ü L~T www.FreeLibros.me

X

I

Algebra Series SER IE S DE FO U R IE R (C o n tin u a c ió n )

0<

x S rr/2

d 136

y = 2ax/7r

p a ra

d 137

y = 2a(?r— x ) / i r

p a r a jr / 2 £ x

d 138

y = -f[n + x )

8r

d 139

sen (3x) ^

y — a x/ tr

para 0 < r < »

d 141

y = a(2 ir— x ) / i r

para 7r £ x £ 2 ir

d 142

y - f( 2n+x) a

d 144 d 145

4a [" co: cos x

cos (3x) p

H y =

sen (5x)

3“

d 140

d 143

/i -f

a sen x

\ / \ x cos (5x) ^

I

^

]

H

para 0 < i S j r para tr £ x £ 2 rr

y = — a sen x

d 146

d 147

y =

2a 7T

_

4a 7T

d 148 d 149

y= a s e n (x -y )

d 150

y = f( 27r + x)

!" cos (2x 1 , L

1 ■3

3 -5

pa ra 0 < x < n /2 X 3n para — < x < — P P

' y \ \ \ ji

| d 151 d 152 d 153

cos (4x ) ,

'

r+

“2 cos (2x) 2-’ — 1

y = x2 para — tr £ x £ tr y = ( ( - x) = f{2 t r + x)

d 154

y= _ - 4

[

1* d 155 d 156

d 157

cos (2x)

y = f(2 7 r+ x )

^

a

2a

4

7T-

cos x 1* sen x 1

'

YWV

X. ji Ì7l 2Ji 571 771, X 2 2 2 2 -1 cos (4x) cos (6x) 42 _ 1 63-1

0 X Z7C cos(3x)

22

~

para 0 £ x £ 7r

y = a x /t r

,

5 -7

MAAA;

-X

COS X

0

cos {6x|

1

fix

Z L iZ .

cos (3x) cos (5x) 32 ' 52 ' ' sen (2x) sen (3x) _ 2

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3

ì

Algebra

D 15

Números complejos Generalidades: z = r e' ® a = parte real de z b = parte imaginaria de z r = módulo (valor absoluto) de z = argumento (áng.en rads.) de z (a y b son reales)

¡= v ^ T

d 158 d 159

i‘ = + i

|-‘ = - i

d 160

F>= —1

¡-2= _ 1

d 161

i® = — i

H>= + ¡

d 162

¡‘ = + 1

M = + 1

d 163

i5 = + i

|- ® = - i etc.

N ota: Para evitar confusiones, en la electrotecnia se sustituye i por /. En coordenadas cartesianas: d 164

z = a + ib

d 165

Zi + *2 — (a i + a-¿) ■+■ i(b,

d 166

Zi — Z z = (3j — a=) + i(b| - b2)

d 167

Zl *

d 168

d 169

d 170

Zs

= (3l 02

Zi

Zl '

b

bz)

l 62) ~h i(3l

01 02 "I" b l bz ^

0s2 í bi

bz

^ — 3j bz

02 bl

02® * b z’

a2 + b2 = (a - f ib) (a -

ib)

I a +

—

+ 02 b l)

/- a + V a í+ W

i—

Si a i = a2 y b i = b s, entonces

— z{ = z2.

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i—

Algebra Números complejos £n coordenadas polares: d 171

z = r(cos

Si k n — 0 se obtendrán las fórmulas de amortización. Cáicuto de depósitos Fórmulas para cuentas de atiorro

+ z

ku = k0

z =

qn — 1

a—

1

( k „ - k 0 . q " ) (q — 1) q“ — 1 log

Mg —1) + * M q -1 J + *

n —-

lo gq

Significado de los símbolos k„

Capital inicial

n

k„

Capital a los n años

r

Anualidad

p Tipo de interés, en fracción 0

y(x) será cóncava hacia arriba

h 16

y " (x) = 0

con| cambio de signo | punto de inflexión

y(x) será cóncava hacia abajo

sin | y(x) tendrá en x I máximo o mínimo Otros casos Si para x = a h 17

Y (a) = y" (a) = y"' (a) = . . . = y < - " (a) = 0, pero

h 18

y" (a) y t 0. pueden presentarse los 4 casos siguientes: n par

h 19

y (n) (a) > o

v t v jy o

n im p a r y « "' (a )

vt / £ T

o

K,nl (a ) > 0

< 0

\

v "7

?

o

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Tt

y in) (a ) < 0

O

mx

Cálculo diferencial

u

Fórmulas básicas DERIVADAS DE FUNCIONES Reglas fundamentales Derivada

Función

x: II _c

h 22

1+

h 21

II

h 20

/

y = c x" + C

= c ■ n ■xn-‘

y" = u'(x) ± / ( x ) y7 = u' • v + u • v’

u (x )

h 23 K

*

~ V (x)

h 24

y = \T T

h 25

y = u(x)°w

--

u' • v — u • v' .. V“ 1

^ ~ 2 v r / u' • V y' = u‘i ----------- F ' u

\ • In u ) '

Derivada de una función de función h 26

y ' = f'(u ) ■ u 'tx ) _ ay _ dy du

y = /[u (x |]

dx

du dx

Derivadas de funciones paramétricas h 27

V = f(x)

j x = /(O \ y = /(O

^

dy dt

y

dt

x

dx

d- y h 28

xy — yx

^ — dx- —

i'1

Derivadas de funciones inversas Si de la ecuación y = f(x) se despeja x, resulta la función inversa x = (y). h 29

x =(y)

r (x) =

' (x)

Ejemplo: h 30

y = f(x) = eos*' x

h 31

x = (y) = eos y

r (x) = -

— sen y

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VT-

-

Cálculo diferencial

H

Fórmulas básicas DERIVADAS DE FUNCIONES

Funciones exponenciales Función

Derivada

h 32

y = ex

h 33

y = erx

y' = - erx

h 34

y = e“A

y ' — a • eax

h 35

y = x • ex

y ' = ex -{1 + x )

h 36

y =

y' = ex = y " = . . .

h 37

y = ax

/ = ax' In a

h 38

y = anx

y’ = n - anx • In a

h 39

y = ax~

y' = ax~ • 2x- In a

Funciones trigonométricas h 40

y = sen x

y' = eos x

h 41

y = eos x

y' = — sen x

h 42

y = tan x

1 y' = ---------- = 1 + tan- x eos- X

h 43

y — cot x

- 1 i = ---------- = sen- x

h 44

y = a • sen kx

y1 = a • k ■ eos kx

h 45

y = a • eos kx

/ = — a ■k ■ sen kx

h 46

y = sen"x

y' = n (sen“-'x ) (eos x)

(1 + cot- X)

h 47

y = eos" x

Y' = — n (cos”- ‘ x) (sen x)

h 48

y = tan" x

Y' = n (tan"-’ x) (1 + tan2 x)

h 49

y = cot" x

Y = — n (c o t'-'x ) (1

h 50

h 51

1 y —

— eos x

sen x 1 eos X

sen-’ x y'

_

sen x eos- X

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cot-' x)

5

Cálculo diferencial Fórmulas básicas DERIVADAS DE FUNCIONES Funciones logarítmicas Función

Derivada

h 52

y = In x

V = -

h 53

y = log„x

Y =

h 54

Y = In (1 ± x)

Y =

h 55

Y — In x"

y =

x • In a ± 1

1± x n

h 56

y = In \ T x Funciones hiperbólicas

h 57 h 58 h 59 h 60

y = senh x

y" = cosh x

y = cosh x

Y' = senh x Y

y = tanh x

Y

y = coth x

Y =

1

cosh- x — 1 senh2 x

Funciones inversas (trigonométricas e hiperbólicas) h 61

1

y = sen-* x

V 1 — x2 h 62

y = cos->x

1

y = V

y = ta n -'x

y =

h 64

y - - c o t-'x

/ = -

y = senh-' x

1 —

1

h 63

h 65

1+ x 2 1

1 + X! 1

y = \Z * 2 + 1

h 66 h 67

y — c o s h -'x

1

1^ =

x / x 3 — *1 1

y = tanh-*x 1 -

h 68

y - c o th -'x

u I

X2

1

/ = 1 — x-

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X2

■

O

Cálculo integral

ii

SIGNIFICADO DE LA INTEGRACION La integral, función inversa de la derivada Por integración se entiende el encontrar una función F (x ) a partir de una función dada y = f(x) de manera que la derivada F (x) sea igual a la función original f(x). Por lo tanto.

i1

F '(x ) =

dF(x) — — = f(x) dx

La integral indefinida i2

Jf(x)dx=

F(x) + C

C es una constante indeterminada que desaparece al derivar, ya que la derivada de una constante es igual a cero. Significado geométrico de la integral indefinida Como muestra la figura, hay una infinidad de curvas y = F(x) con pendiente o deriva­ da y' = F (x ). Todas las curvas y = f(x) son iguales pero desplazadas paralelamente y en la dirección del eje y. La constante C fija una curva determinada. Si la curva de­ be pasar por el punto x,„ y„ se tendrá: C = y, -

i3

F(x„)

La integral definida La integral definida tiene la forma:

i4

X

/(x )d x = F(x) I. = F(6) - F(a)

En la integral resultante se sustituye primero el límite superior y luego el inferior, y se resta el segundo resultado del primero. Desaparece así la constante C.

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Cálculo integral

I 2

Reglas de Integración_____ Reglas fundamentales

xn+1

r

JI x” dx = -------------1n4-1 C. donde n ^ fd x I — = J x

J"(u(x) ±

In x +

C

J u(x) dx ±

v(x)] dx =

r u ' (x) — — dx = J u(x)

—1

In u(x) +

i

v(x) dx

C

Ju(z) )• Area de la superficie generada por el giro de una curva alrededor del eje x

1 + y’- dx

A„ = 2rr J ' y n / 1 + V ! dx

Momento estático de una curva con respecto al eje x con respecto al eje y

= J" y \ J 1 + y'2 dx *#, =

J

x \ / 1 -I- y'2 dx

Coordenadas del centroide G

Area de una superficie

A = J " ' y dx

Volume n de un sólido generado por el gi­ sólido cuya sección ro de la superficie A alre­ transversal Ai es fun­ dedor del e¡e x ción de x

V = 7r J*

y2 dx

Momento estático de una su­ perficie con respecto al e¡e x eje y

90

C ” Y2 O r = 1 — dx Ja 2

Q , = J" xy dx

Coordenadas del centroide 91

Q, X" = A

x„_

0r

A

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V = J

A, (x) dx

I8

Cálculo integral Aplicaciones de la integración Momento estático del volumen de un cuerpo (con relación al plano y 2 ) = v J*

x y 2 dx

Coordenada del centroide

x » = ——

Regla de Guldlnus (o Pappus) Area de la superficie de un sólido de revolución A r = Longitud de arco s multiplicada por el recorrido del centroide. = 2 ns

(fórmulas I 86 e I 88)

Ye

Volumen de un sólido de revolución VR = Area A multiplicada por el recorrido del centroide =

2 n

Ayc

(fórmulas I 89 e ¡9 1 ) Integración numérica

Se divide la superficie en un número

y,

par n de franjas de igual ancho b —a h = ---------El área se calcula entonces con la Fórmula trapecial A = — (y„ + 2y, + 2y2 + . .

+ 2yn_, + 2y„_, + y j

Regla de Simpson Para curvas hasta de 3er. grado A' = J

(F» + 4/ i

K 2)

para curvas de grado mayor que el 3 o A — ~

yo +

yn +

2 (y 2 +

y4 +

... +

y n_2) -f- 4 ( y i +

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ya +

•••+

K n - i)J

Cálculo integral Aplicaciones de la integración MOM ENTO S DE INERCIA Definición general Momento de inercia con respecto a un eje X o un punto O, es la suma de los productos de elementos de longitud, área, volumen o masa, por el cuadrado de su distancia al eje o punto:

J =

i 100

fI

x- dm

Teorema de Steiner o de los ejes paralelos (ver M 2 ) Para cualquier momento de inercia (de longitud, área, volu­ men o masa), axial o polar, se verffica que:

J = JG -f- m /G

i 101

Momentos de inercia de una curva plana con respecto al eje y

e|e x

c= /

i 102

J

y-

V

1 + y"- dx

Momento de inercia con respecto al eje de referencia

J G Momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centroide G m

Magnitud considerada (longitud, área, volumen o masa)

la

Distancia del centroide al eje o punto de referencia.

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Cálculo integral Aplicaciones de la integración

I 10

M OM ENTO S Y PRODUCTOS DE INERCIA DE SUPERFICIES PLANAS El m om ento de ine rcia a xia l de una superficie plana respecto a un eje x o y, situado en su plano, es igual a la suma de los productos de los elementos de área dA y el cua­ drado de las distancias a los ejes res­ pectivos, y o x. respectivamente i 103

/. = JV d/1;

/y = J x - d A

Si se da la función y = f(x), entonces: Con respecto al eje x eje y /»b y3 i 104

l y = J x2 y dx

' ■ = [ T dx

El m om ento de ine rcia p o la r de una superficie plana respecto a un punto O situado en su plano es igual a la suma de los productos dA de los elementos de área ÓA y el cua­ drado de su distancia r a dicho punto (poto): 0 = J r- ÚA

i 105

Si loss ejes de referencia de los momentos de inercia / , e /, son sndicular« y se cortan en O. existe entre el momento polar perpendiculares y los axiales Ir la relación: ¡ 106

/,(„ =

J r- dA =

j

(y2 + x-) dA = l , + l y

El p ro d u cto de ine rcia de una superficie plana respecto a los ejes situados en su plano es igual a la suma de los productos de los elementos de área dA y las distancias x y y a ambos ejes: I 107

I, , =

f x y dA a 0, o bien - - 0

Si uno de los e¡es de referencia coincide con un e¡e de simetría de la superficie, entonces = 0. Transform ación a un e/e inclina d o x': Si se conocen para los ejes perpendiculares x y y las cantidades /, y, e /„ , entonces el momento de inercia axial /,. con respecto a un eje inclinado un ángulo a con respecto al eje x, es igual a: ¡ 108

/,, = /, cos2a + /, sen-a —

sen 2a

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Cálculo integral

I 11

Aplicaciones de la integración

EJEMPLOS DE CALCULO DE M OM EN TO S DE INERCIA DE SUPERFICIES PLANAS Rectángulo 109

X

I.

A

[- wi -|

110 111

112 113

V2 /

b h3

12

b :'h L = -

A

K ^ dK = / > [ - ] o = —

b:'h V = -

3

12 b h* bsh lo - / . + /, = — + — = l „ _ lx, y, +

b h

bb 3 -(b= + b=);

/0 = _

bb

(b2 + b2)

Como x' y /o y' son ejes de simetría, /, - y = 0, y entonces:

A

b h / bb \2 — (b *)= (— ) 2 2

114 Círculo ¡ 115

lo

=

l

r- dA =

Jo

¡ 116 i 117 i 118

=

2

'[ í l- f 1 /„

/,

/»« \ r'¿ (2 ir r) dr Jo

= /,

2~~“

nR* 2

“

nD4 64

/,„ = 0, puesto que x y y son ejes de simetría y

Semicírculo i 119

I, = f I.

i 120 i

121

|.| i'jjj

i 122

= 2J

y2 d/1 = f y2

v ¡

y2 (2 x)dy — y2 dy = —— =

rrí?« 7r R* /0 = 2 -------= -------- ; 8 4

1/ / / / -R

\ VJ R x

= 0, porque y es eje de simetría.

Polígono regular de n lados

'* ='>=T = T ÍT 8(12'2+ al',:'" = 0 r a

Radio de la circunferencia inscrita Longitud del lado

R Radio de la circunferencia circunscrita n Número de lados

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Cálculo integral Aplicaciones de la integración M OM EN TO S DE INERCIA DE VOLUMENES Prisma rectangular recto / b h:t b3 h \ Si I 1 I es el momento de V 12

12 /

inercia polar centroidal de un rec­ tángulo (ver 111), entonces, con relación al e)e z, queda: J

i 123

“ , bb bh3 3

a bh b3 h \ )d z = --------{/,»12 / 12

_|

0 \~12~

h1)

Cilindro circular recto Con respecto al e¡e z:

ir r 4 i 124

ir r 4 h

~4~ d Z _

2

Con respecto al e¡e x:

+ * r ’ z’ ) d z

i 125

= -

- (3rJ + h 3) 12

Momento de inercia de masa Este momento, J. es el producto del momento de volumen J l r , por la densidad />: i 126

J — J lin p

[k g -m 2]

I 127

m y donde / j = — = — V 9

i 128

m irr4 h m Ejemplo: Para un cilindro J = J m — = — — — — V 2 7tt~ h Otros momentos de inercia de masa se tienen en M 3.

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[kg ■m *] m r2 = —— 2

Probabilidad y e sta d ís tic a

J

1

PRINCIPIOS DE CONJUNTOS

j

1

j

2

j

3

Los e ventos son conjuntos de resultados posibles. Se representan por colecciones de puntos de un espacio llamado m uestra!.

©

Evento unive rsa l es la colección de todos los puntos en el espacio muestral. Se representa por U.

0

Evento n ulo (o vacío) es el que carece de puntos. Se representa por 0 .

La unión de dos eventos A y B es la colección de todos los puntos de A y de B Se representa como A + B. o por A U B.

J 5

OD.

La in te rse cció n de dos eventos A y B es la colección de puntos que se encuentran simultáneamente en ambos eventos. Se representa como AB, o por A C i B.

Eventos m u tuam ente exclu ye n te s son aquellos que no tienen puntos en común. j A t si i = ¡ j

6

At A ,

0

si / ^ /

Eventos co le ctiva m e nte e xha u stivo s son aquellos cuya unión es el evento universal.

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Probabilidad y e s ta d ís tic a AXIOMAS DE PROBABILIDAD [P(

) = PROBABILIDAD DE (

j

8

P(A) a 0, para cualquier evento A

j

9

P(U) = 1

j 10

J

2 )]

P(A + B) = P(B) si AS = 0 Probabilidad co nd icion a l

j 11

P(A|S) = P(AB)/P(B) Independencia de eventos Dos eventos A y B son independientes (estadísticamente) si

j 12

P(A|S) = P(A) Variables aleatorias Una variable aleatoria se define como una función que asigna un valor a cada resultado de la lista compuesta por resultados mu­ tuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos de un expe­ rimento. Las variables son d iscre ta s si el número total de valores que pueden tomar es fin ito . En caso contrario son continuas. Función masa de probabilidad Es la función que asigna una probabilidad a cada valor de la varia­ ble aleatoria. P,v (X„) = probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome el valor X„.

j 13

O S P , (X„) £ 1 y £ x< Px (X„) = 1 Función densidad de probabilidad Es una función para variables aleatorias continuas, tal que

j 15

O S fx (X„)

00

y

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Probabilidad y e s ta d ís tic a

J

3

Distribución de probabilidad acumulada

2

X„ discreta

p.v (x„)

P.Y (X„) =

/•Xo

f

X„ continua

dx„

1.Vo= - « P .V

( 00 ) =

P(a < X

d dX„

1

, P.v { — 00 ) =0

g b)

= P.v(í>) -

0

P.vO)

para 1 S ¡

P.v (X„) = ¡x (X„) para variables aleatorias continuas.

Función masa de probabilidad conjunta 0 S P.v. v.z (X,„ y,„ Z„) g 1 2 2 Xo l'o

2 Pv.v.r (Xo,/o. Z 0) = 1 Zo

Función densidad de probabilidad conjunta

o s fi.v .jix ,, y„,z0) < 00 J ”

dX „J

Vo: - «

d /„ J

V i,- »,

dZ„

f.v.r.r (X,„ y„. Z„) = 1

* (1 - X„)'

tx (X„) =

cualquier otro caso

J«

(r — 7)! (í — r — 1)! B = - -------- — ---------------— E(X) = r /t ( t - 1)! r(t - r)

» i2 =

t2 (t + 1) De Cauchy

j «

¡ 44

— 00 < X„ < oo

rr a2 + (X„ - b)2

a > 0

— oo f

H = tan 0 < /no

0o = const. > 0

0 = const. < 0o

Si Fi aumenta lentamente, también lo hará F/,, sin que el cuerpo se mue­ va. Si F, alcanza el valor: F0 = G fto.

k 49

entonces empieza a deslizar el cuer­ po. y F disminuye al valor Gfx. El valor excedente de la fuerza F se emplea ahora exclusivamente para acelerar el cuerpo. FUERZA APLICADA OBLICUAMENTE RESPECTO AL PLANO DE DESLIZAMIENTO Fuerza F necesaria para mantener el deslizamiento del cuerpo con peso G: k 50

sen 0o -= GF = Gsen a — fMt CO S a sen (a — 0») Para el movimiento con velocidad constante se determina la fuerza nece­ saria sustituyendo/no por/a. No es po­ sible el movimiento si F resulta ne­ gativa. F u F0. F F/i, F/o. Ff N

Fuerza aplicada Fuerza de fricción Reacción normal

R Reacción total /x«* F Coef. de fricción (ver Z 20) 0 i.0 o , 0 Angulo de fricción

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I

Estática

K 10

Fricción ROZAMIENTO EN UN PLANO INCLINADO Generalidades

El ángulo a para el cual un cuerpo desliza baiando con velocidad constante en un plano inclinado, es igual al ángulo de fricción . de donde: k 51

ta n c r= tan = fí Aplicación a la determinación expe­ rimental del ángulo de fricción o del coeficiente de fricción. ¡x = tan

k 52

P la n o h o r i z o n t a l

Condición para la Inmovilidad

a <

Condiciones de fricción: Movimiento hacia

Fuerza aplicada F para lograr una velocidad constante paralela al plano inclinado plano horizontal

arriba 0 < o < a* k 53

abajo 0 r

Momento de rotación P M —— = ®> — 973.4

P -------------2 irn (rps) P (kW) n (rpm)

N -m . k g f• m

kgf • m = 716

P (cv) n (rpm)

kgf • m

Relaciones de transmisión Elemento impulsor

Relación de transmisión d2

z,

n,

oii

d,

Zt

n _•

orí

©

Relación de momentos Momento aplicado

M,

1

Momento resistente

M,¡

ii¡

Eficiencia Potencia de salida 17 = -----------------------------------Potencia de entrada Eficiencia global de varias transmisiones V = Vi • v * ■V -' m rcá v F M Er E„ Er 4/ a/3

'

f

i^

/\

Elemento impulsado

■•

(Ver m 8) Velocidad del centro de masa (traslación) Fuerza aplicada Momento de fuerza en rotación Energía cinética Energía potencial Energía elástica de un resorte helicoidal Deformación longitudinal del resorte Deformación angular de un resorte espiral

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N • m, J, J, J.

m /s N. kgf k g f• m kgf • m kgf • m kgf • m m. cm rad

)

Dinámica Fuerza centrífuga y esfuerzos

M

5

FUERZA CENTRIFUGA m v2 F cfg. = mío2 r = -------

N, kgf

= 4 ir2 m n2 r

N, kgf

v

=2irrn

w

= 2 7 rn

m /s, km /h rps. rpm

ESFUERZOS POR EFECTO CENTRIFUGO EN CUERPOS ROTATORIOS Disco o) r~p

v-p

N /m 2, k g f/c m 2 Anillo v

o>¿p = — - (rr + r, r¿ - f r f ) N /m -, k g f/c m 2

le e

Elongación máxima del péndulo

m, cm, mm m. cm, mm m, cm, mm

Distancia del centro de gravedad

f

Elongación del péndulo

Fcfg. Jo

Fuerza centrífuga Momento de inercia de masa con respecto a O

Je Mi

Momento de inercia de masa con respecto a C Momento al girar un resorte espiral un ángulo a d> = 1 rad

T VE Vf

EcE

N. kgf kg • m2. utm • m2 kg • m2. utm • m2 N • m. k g f • m

Esfuerzo de tensión N /m 2, kgf/cm 2, kgf/m m 2 Periodo de oscilación (tiempo del movimiento s, min de B a B ' y a B) m /s, c m /s Velocidad en E m /s. cm /s Velocidad en F J, kgf • m Energía cinética en E

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Dinámica

Me

Oscilaciones armónicas OSCILACIONES MECANICAS (Ver también L 4 y L 7)

Determinación de la constante de carga de un resorte, c

Generalidades

m 43

Periodo

; 2 rr ! —

m 44

Constante de resorte

G : —

s, min

N /m , kgf/cm

A!

f

m 45

Frecuencia

m 46

Frecuencia angular

- — (ver L 1 )

2 -rrl =

c /s (Hz)

/ — V m

rad /s

Velocidad crítica (por flexión) de un eje de transmisión, nk nk =

m 47

m 48

1

fc 7

2 tt v m

= 300

(kgf/cm ) - rpm

m (kg)

Constante de carga elástica c t para ejes con 2 soportes

con soporte movible

-czf 48 E l

m 49

3 El

A/

Deflexión, o bien, distensión de un resorte

I

Momento de inercia de la sección transversal de un eje (o árbol)

m

Masa Al determinar la velocidad crítica se considera la masa (por ejemplo, la de una polea) concentrada en un punto. La masa del eje o árbol se toma en cuenta aumentando la anterior,

c,

Constante de resorte para oscilaciones elásticas transversales

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Dinámica Oscilaciones armónicas

M

7

M O VIM IEN TO PENDULAR (Ver también L 4) P éndulo có n ico (o ce ntrífu g o ) m 50 m 51

T

/eos C

=2

s. min

ta n a = V_

m 52

h =

P éndulo sim ple Masa oscilante concentrada en un punto Brazo del péndulo con masa cero m 53

T

= 2 77

m 54 m 55

F,. = m g — 2/ P éndulo físico =2

Je

m 56

T

m 57

Jo — Jc + n i/ (,-

m 58

Jr

— G /.

G /, kg • m-

\ 47r-

g /

kg • m-

Si un cuerpo con centro de gravedad en C a una distancia (c de O. se suspende de O y se pone a oscilar, su periodo de oscilación T se determina experimentalmente, y con la fórmula m 58 se puede calcular su momento de inercia Jr con relación a C. P éndulo de to rsión m 59

T

= 2 tr

A

! My

Vea el significado de los símbolos en M 5

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Dinámica

Ms

Choques CHOQUE O IMPACTO m 60 m 61

Si dos cuerpos con masas m, y y velocidades v u y v2X chocan entre sí. la cantidad total de movimiento p = m v permanece cons­ tante durante el choque (las velocidades cambian a v VJ y vT>): p = m, • v u -f- m-. v-j, =

• v y. + m¿ • vT¿

Tipos de choques Directo y central Oblicuo y central Oblicuo y no central

Velocidades paralelas a las normales al área de choque

Las normales pasan por los centros de masa de los cuerpos

Velocidades en direcciones cualesquiera

Normales en posiciones cualesquiera

Clases de ch oques Elástico* Velocida­ des relati­ vas m 62

m 63

m 64

Velocida­ des des­ pués del choque si es directo y central Coeficiente de resti­ tución

Son de igual magnitud antes y después del choque

Plástico Son nulas después del choque

Vu (m, — m ¿) + 2m¿ • v2X m, + m-. v_m (m ¿ — m ,) 4 - 2m, • vn

m i - v n + m 2 ' v2i v»¿ = ----------------------------m, -|- m = P l m g

n 16

m g

P=P

F .-F i +■ mg

1

-

-

mg

F IF ' t.P -z 7 ^ : m

Masa del cuerpo suspendido en el líquido

F

Fuerza de equilibrio

F„

Fuerza de equilibrio en el experimento con el cuerpo auxiliar

pL

Densidad del líquido en que se pesa

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Hidráulica Hidrodinámica FLUJO ESTACIONARIO Teorema de c o n tin u id a d (Principio de conservación de la masa) Ecuación de continuidad: n 17

A, v ,p , = A v p = A , v2p2 Flu¡o de masa: m = Vp

n 18

kg/s. g /s

Flujo de volumen (gasto): V = Av = 2

n 19

m:,/s , c m '/s

Teorem a de B e rn o u lli (Principio de conservación de la energfa) Flujo ideal (sin fricción): n 20

Pi v ,2 p — + 9 ¿i + — — TT

v2 p 2 7T" —

®

p

energía de presión por unidad de masa

g z

energfa potencial unidad de masa

por

v2 ~ñ

energía cinética unidad de masa

por

v22 J /k g

V 7 7 7 7 7 7 7 ?

Flujo real (en el que hay rozamiento) n 21

Pi v,p2 v22 — + g T, + — — — 4 g z 2 - f — -F xr/1|2

w ,i, 2 pérdida de energía por fricción desde 1 hasta 2

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J /k g

Hidráulica Hidrodinámica P otencia de una m áquina h idráulica n 22

P = m w cí2

W. kgf • m /s, cv

Trabajo de conversión por unidad de masa: 1 i w c1.2 = — [pt — P¿) -f- Q (Zi — z 2 ) -f- ~ (v,2 — v22) — Wfi.z

n 23 n

24

para máquinas generatrices (o impulsoras)

w cl2 > 0

n

25

para máquinas motrices

wci.2 < 0

Teorema d e l m o m e n tu m (o Ím petu) En el caso de un fluido (incompresible) que circula por un "vo­ lumen de control” fijo en el espacio se cumple la siguiente ecua­ ción vectorial: n 26

2 F = m (¡£ -y ? )

2F

N. kgf

son las fuerzas que actúan sobre el fluido en el volumen de control. Pueden ser fuerzas de volumen (por ejemplo, el peso) fuerzas de presión fuerzas de fricción.

v£

Velocidad de salida del fluido del volumen de control

y\

Velocidad de entrada del fluido al volumen de control

Teorema d e la c a n tid a d d e m o m e n to a n g u la r Sobre un fluido (incompresible) que circula a través de un volumen de control fijo se ejerce el momento rotacional M. n 27

M = rh (v2.„ r 2 — vÍM r x)

N • m. kgf • m

v-¿.„ y vXu son,

respectivamente, las componentes tangenciales de las velocidades de salida y de entrada del fluido en el volumen de control.

r 2 y r x son, respectivamente, los radios correspondientes a v2 y v x

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Hidráulica Hidrodinámica PERDIDA DE ENERGIA POR FRICCION EN EL FLUJO A TRAVES DE UN TUBO n 28 n 29

Pérdida de energía por I unidad de masa j

wf ¡ 2 = i (£a —

Pérdida de presión

).

de donde

A p ,,= p w „ .2

D eterm in a ció n d e l fa c to r de re sisten cia fric c io n a l f y del fa c to r de form a a -. Tubos de sección circular n 30

Re =

Tubos de sección no circular

v dp

Re :

n 31

Si Re < 2320, al flujo es laminar

n 32

Si Re > 2320, el flujo es turbulento Flujo laminar

n 33

Flujo turbulento“

laminar

n 34

a = — en tubos rectos d

n 35

a = 1

turbulento*

64

£ = f(fle .-Í) d

f = — Re

v d „p

^~

^R e

í = nRe, L ) dh

a = — en tubos rectos A

en conexiones

D eterm in a ció n d e l fa c to r n 36

Para secciones anulares D /d

n 37

I 10

70

Para secciones rectangulares

c /b n 38

I 5

I 1 I 3 I 7 | 30 I 50 1 1 100 | 00 11.50 11.47 11.44 | 1.42 | 1.40 11.32 11.29 11.27 | 1.25 11.00

10

11.50

0.1 1.34

0.2 1.20

0.3 1.10

0.4 1.02

0.5 0.97

0.6 0.94

0.7 0.92

0.8 0.90

1.0 0.89

d Diámetro interior libre del tubo I / Longitud de! tubo di, ( = 4 A /P „ ) Diámetro hidráulico I Re Número de Reynolds A Sección transversal perpendicular ala dirección del flujo P„ Perímetro mojado k / d (y k / d „ ) Rugosidad relativa k Altura media de todas las asperezas (ver Z 16) * El valor de f se obtiene del diagrama en Z 15

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Hidráulica

N

Hidrodinámica SALIDA DE LIQUIDOS EN RECIPIENTES Con orificio en el fondo v = 4 > \/2 g H V = (A \Z~2g~H -

3

Con orificio lateral pequeño S7 r ~ s = 2 \Z~H~h V = < f,e A s /T fH = 3

i •c

F = pV v

------------L J

t Con orificio lateral grande V = — c b \ / Y g {H-,'« - H,

Con presión interior (p¡) sobre la superficie libre v = 4, J

2

(g H

V = cf>( A ¡ 2 (g H + — ) V P

1

t

cA

v p¡ € F V b

V

2

—

p

Velocidad de descarga m /s Presión interior (mayor que la externa) Coeficiente de fricción del líquido (para el agua (J>= 0.97) Coeficiente de contracción ( c = 0.62 para orificios con bordes agudos; c = 0.97 para orificios con bordes redondeados) Fuerza de reacción Flujo volumétrico (gasto. 2 ) m Vs, m Vh. lit/m in Ancho de orificio mm, cm

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Térmica Variables termodinámicas de estado

O l

Variables de estado son la presión p, la temperatura absoluta T y la densidad p, o bien, el volumen específico v. P resión p (EU: N /m 2 = Pa, bar, kgf/cm 2) La presión es la relación de la fuerza F al área de la superficie. A: o

1

F P = — A La presión absoluta de un fluido puede interpretarse como la fuerza total que ejercen las moléculas al chocar contra las paredes del recipiente. La presión p' medida con un manómetro es la diferencia entre la presión absoluta y la presión exterior o atmosférica p„\ cuando p' > 0 se denomina "presión efectiva", o simplemente "presión". Si p' < 0 se llama entonces "vacío" o "depresión". De ahí se obtiene que la presión absoluta p es:

o

2

p = p„ + p' T em peratura T. t (Magnitud básica: ver Explicaciones generales) La unidad de temperatura absoluta T, el kelvin (o anteriormente, grado Kelvin) K, se define por:

o

3

1K = - T"‘ 273.16 donde Tpt es la temperatura (absoluta) del punto triple del agua pura. Además de la escala Kelvin se emplea también la escala Celsius; la temperatura Celsius t se define internacionalmente como:

o

4

t = 7 -2 7 3 .1 5 D ensidad p (EU: kg/m 3) La densidad es la relación de la masa m al volumen V :

o

5

p —— V Volum en espe cífico v (EU: m;Vkg) El volumen específico es la relación del volumen V a la masa m :

o

6

v= ^ = l m p Volum en m olar VM (EU: m '/rnol) El volumen molar es la relación del volumen a la cantidad de sus­ tancia (1 mol) contenida en él:

0

7

VM = -

V

Cantidad de sustancia (moles) n (Magnitud básica; ver Explicaciones generales)

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I

Térmica Calentamiento de cuerpos sólidos y líquidos

02

CALENTAMIENTO DE SOLIDOS Y LIQUIDOS C alor O (EU: J, kcal) Calor es la energía que se transmite a través de la frontera de sistemas que están a diferente temperatura, cuando se ponen en contacto por medio de paredes d ia té rm ica s C alor p o r u nidad de masa q (EU: J /k g , kcal/kg) El calor q referido a la unidad de masa es la relación de la cantidad total de calor O a la masa m del cuerpo considerado. O

q —— m

C alor e spe cifico c [EU: J /(k g • K), kcal/(kg ■C)] El calor específico (o capacidad térmica específica) c es el calor Q que hay que suministrar o sustraer de una masa m para cambiar su temperatura en M.

Q _ Q m M

at

El calor específico es función de la temperatura. (Ver vafores nu­ méricos en Z 5 a Z 9.) C alor de tra n sfo rm a ció n (p o r u nidad de m asa) t (EU: J /k g . Valores numéricos en Z 12.) El calor de transformación (o "latente") es aquel que al ser sumi­ nistrado o sustraído de un cuerpo cambia su fase sin que cambie la temperatura. Se distinguen los siguientes calores "latentes". un cuerpo sólido en uno líquido, a la tem ­ peratura de fusión

Calor de fusión (0 CO Calor de E )"14 0 82

En la radiación (coeficiente de transmisión por radiación: r ) r = ¡i* C li2

0 83 Entre 0 84 0 85

paralelas

super

envol­

ficies

ventes

1+

1

C,

C2

K„

C,

/t2\C 2

K „)

Las explicaciones de los símbolos de las fórmulas se dan en O 11

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I

Resistencia de materiales Conceptos básicos

P1

GENERALIDADES Esfuerzo El estuerzo en un cuerpo con carga es el cociente de la fuerza interna (de tensión, compresión o cortante) y el área considerada en el cuerpo. ir — — A

EU: N /m 2; k g f/c m 2, kgf/m m 2

Diagrama esfuerzo-deformación en el caso de acero dúctil o>

Límite de proporcionalidad

os

Limite de elasticidad

ir .

Esfuerzo de fluencia

o>,

Lfm. de fluencia en tensión

l<

m •A 2

Conductancia eléctrica G La conductancia eléctrica es el recíproco de la resistencia: 1

G = — R Unidades: 1 S (Siemens) (anteriormente, mho) Carga eléctrica Q q = i dt

J

(ver s 1)

Si la corriente es constante i es igual a 1, y entonces Q = lt Q es también proporcional al número de electrones que posee un cuerpo en exceso a los que le corresponden en estado neutro. Unidades: C (coulomb). m C .^ C , pC; A • h IC = 1 A s

1 A

h = 3 .6 K C

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Electrotecnia Conceptos generales Capacitancia eléctrica C La capacitancia (o capacidad) eléctrica C de un condensador o capacitor es la relación de su carga Q a la diferencia de potencial U entre sus placas. s 10

C

Q ii

Unidades: F (farad).^F, n F , pF 1 F es la capacitancia de un condensador que adquiere una carga de 1 C al aplicarle una diferencia de potencial de 1 V. C A s A“ • s 1 F = 1— = 1 = 1 = 1 V V W

A2 • s2 J

A2 ■s2 = 1■ N -m

Flujo magnético 1 /• i|>i = — f ee d t N J

s 11

(ver s 1)

donde N es el número de vueltas o espiras de una bobina y e la tensión autoinducida (fuerza electromotriz) que se produce, si varía en el tiempo el flujo concatenado por la bobina. Unidades: Wb (weber) = V • s = 10* Mx (maxwell) 1 Wb es el flujo magnético que al disminuir uniformemente a cero en 1 s induce en la bobina de una espira que lo concatena una tensión de 1 V. Densidad de flujo magnético (o inducción magnética) B Para una densidad de flujo B en una área A se tiene:

e =±

s 12

donde A es el área atravesada perpendicularmente por el flujo uniforme Unidades:

T (tesla), /jT, nT, V - s / m 2; Gs (gauss) V •s V •s Mx 1 T = 1 -------- = -10-4---------= 104 Gs = 104 -------m2 cm2 cm2

1 T es la densidad de flujo producida por un flujo uniforme de 1W b al atravesar perpendicularmente una superficie de 1 m2.

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Electrotecnia Conceptos generales

S

4

(Auto) Inductancia electromagnética L



4>(

L = N — = N — 1 /

(ver s 1)

donde / es la corriente que pasa por un inductor o bobina de N vueltas concatenada con un flujo magnético 4>. Unidades: H (henry), mH 1 H es la (auto) inductancia de una bobina de una espira en el vacío, por la que al pasar una corriente de 1 A produce un flujo concatenado de 1 Wb. Wb V •s 1 H = 1 -------= 1 -------A A Intensidad de campo magnético H B H = ---------Unidades: A/m . A/cm, A/mm (anteriormente ampere-vuelta/metro, etc.). Fuerza magnetomotriz 0 0 = NI Unidades: A. kA, mA (anteriormente ampere-vuelta, etc.). Tensión magnética