Manual de Filtracion

MANUAL DE FILTRACIÓN &

SEPARACIÓN

Fernando Concha Arcil, Ph.D. CENTRO DE TECNOLOGÍA MINERAL, CETTEM TECNOLOGÍA PRODUCTIVA RED CETTEC, FUNDACIÓN CHILE. UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

WWW.MetalurgiaUCN.TK

ÍNDICE

PARTE I. FUNDAMENTOS 1.

INTRODUCCIÓN 1.1 Marco conceptual de los sistemas de separación sólido-líquido. 1.2 Operaciones de separación sólido-líquido en minería. 1.3 Mecanismo de la separación sólido-líquido. 1.4 Selección de técnicas de separación sólido-líquido. 1.5 Equipos utilizados en la separación sólido-líquido. 1.6 Referencias.

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TEORÍA DE MEZCLAS 9 2.1 Cinemática. 9 2.2 Cuerpo, configuración y tipos de mezclas 9. 2.3 Deformación y movimiento 11 Balance de masa 13. Balance de masa en una discontinuidad 16. Ecuación de difusión convectiva 16. Ecuación de continuidad y condición de salto para mezclas incompresibles 17. 2.4 Dinámica. 18 Balance de momentum lineal 18. Balance de momentum angular 20. Proceso dinámico 21. 2.5 Referencias. 22

3.

SISTEMAS PARTICULADOS 3.1 Proceso dinámico en un sistema particulado. Componente fluido 26. Presión de poros 26. Componente sólido 27. Esfuerzo efectivo del sólido 28. Presión total 29. 3.2 Fuerza de interacción en el equilibrio. 3.3 Discontinuidades. 3.4 Proceso dinámico. 3.5 Referencias.

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SEDIMENTACIÓN DE SISTEMAS PARTICULADOS 4.1 Sedimentación discreta. Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en flujo de Stokes 34. Balance macroscópico sobre una esfera en flujo de Stokes 34. Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en flujo de Euler 37. Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en flujo de Prandtl 39. Coeficiente de arrastre para esferas con 0  Re  150.000 42. Velocidad de sedimentación de una esfera 45. Sedimentación de una suspensión de

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4.

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Manual de Filtración & Separación esferas 52. Sedimentación de partículas isométricas 57. Sedimentación de una suspensión de partículas arbitrarias 64. 4.2 Referencias.

5.

6.

7.

TEORÍA DE SEDIMENTACIÓN DE KYNCH 5.1 Conceptos de una suspensión ideal y de un espesador ideal. 5.2 Proceso de Kynch para la sedimentación batch. Solución por la teoría de características 79. Modos de sedimentación 82. 5.3 Proceso de Kynch para la sedimentación continua. Espesador ideal continuo: modelación de la alimentación y descarga 88. Proceso de sedimentación continua de Kynch 90. Solución por el método de características 91. Modos de sedimentación continua 92. 5.4 Estado estacionario y capacidad de un espesador ideal. 5.5 Referencias. FLUJO EN LECHO POROSO 6.1 Proceso dinámico en un lecho poroso rígido. Balances locales 104. Ecuación constitutiva de la fuerza resistiva 104. Ley de Darcy 104. Ley de Forcheimer 104. 6.2 Parámetros geométricos de un lecho poroso rígido. Ecuaciones de Forcheimer y de Darcy 109. Ecuaciones de Forcheimer y Darcy en términos de la altura piezométrica 110. 6.3 Modelo capilar de un lecho poroso rígido. 6.4 Proceso dinámico en un lecho poroso rígido. 6.5 Flujo bifásico en un lecho poroso rígido. Ecuaciones constitutivas de las presiones 116. Ecuaciones constitutivas de las fuerzas resistivas 118. Precolación en medios porosos 119. Flujo a presión en medio poroso no-saturado 119. Saturación residual y saturación efectiva 122. 6.6 Referencias.

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CONSOLIDACIÓN 128 7.1 Proceso dinámico de consolidación. 128 7.2 Teoría de Terzaghi para pequeñas deformaciones. 129 7.3 Ecuación constitutiva de la fuerza hidrodinámica 130. Ecuación constitutiva del esfuerzo efectivo del sólido 131. Proceso dinámico en términos de la porosidad 132. Proceso dinámico en términos de la presión de poros en exceso 132. Solución del problema de valor inicial y de contorno 133. 7.4 Referencias. 135

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ÍNDICE 8.

ESPESAMIENTO 8.1 Introducción. Desde la Edad de la Piedra al siglo IXX 136. La invención del espesador Dorr y el diseño de espesadores, 1900 a 1940, 138. El descubrimiento de las variables de operación de un espesador continuo, 1940-1950, 140. La era de Kynch, 1950-1970, 141. Teoría fenomenológica, 1970-1980, 142. Teoría matemática, 1980-2000, 143. 8.2 Equipos. Espesador convencional, Espesador de alta capacidad y Espesador de alta densidad 148. 8.3 Teoría de espesamiento. Proceso dinámico de sedimentación 152. Ecuaciones constitutivas 153. Ecuación de espesamiento 153. Espesamiento batch 155. Simulación y comparación con datos de la literatura 158. Espesamiento continuo 161. 8.4 Parámetros de espesamiento. Parámetros de sedimentación 167. Medición de parámetros de consolidación 169. 8.5 Capacidad y diseño de espesadores. Métodos de diseño basados en balances macroscópicos 171: a) Método de Mishler 171, b) Método de Coe y Clevenger 173. Métodos de diseño basados en el proceso de sedimentación de Kynch 177, a) Métodos de diseño basados en el proceso batch de Kynch 178: Método de Talmage y Fitch 181, Método de Oltman 183; b) Métodos de diseño basados en el proceso de Kynch continuo 184: Método de Yoshioka y Hasset 184, Método de Wilhelm y Nadie 186. Métodos de diseño basados en el modelo fenomenológico 189. 8.6 Estrategias de la operación. Estado estacionario 195. Concentración de la descarga: efecto del flujo de alimentación y de la altura del sedimento 196. Dilución de la alimentación 199. Inventario de material en el espesador 203. Capacidad máxima 205.Estados estacionarios posibles 206. Efecto del floculante sobre la capacidad de un espesador 209. 8.7 Investigación, desarrollo y transferencia tecnológica. Efecto de los floculantes en espesamiento 211. Reología de sedimentos y descarga de un espesador 212. Efecto de surfactantes y floculantes hidrófobos en la filtración. Flujo en lecho poroso compresible 213. Modelación de la alimentación 213. Espesadores de alta capacidad y alta densidad 214. Optimización de los ciclos de filtración 215. Optimización de espesadores 215. recuperación de agua en sistemas de separación sólido-líquido 215. Dinámica y control de procesos 216.

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iv 9.

Manual de Filtración & Separación FILTRACIÓN 9.1 Definición, equipos y operación. Filtración con formación de queque 222. Filtración sin formación de queque 222. Filtración profunda 223. Variables de operación 224. 9.2 Equipos para la filtración. Filtros a vacío 226: Filtro de tambor 227, Filtro de discos 227, Filtro de bandeja 229, Filtro de banda horizontal 230. Equipos de filtración a presión 230. Filtro prensa de placas verticales 231. Filtro prensa de discos 240. Filtro de vela 241. Filtros hiperbáricos 242. 9.3 Medios filtrantes. Telas 243. 9.4 Teoría de filtración. Formación de queque 248: a) Filtración a presión constante 250, b) Filtración a volumen constante 257. Secado o soplado del queque. 9.5 Parámetros de filtración. Medición de los parámetros de filtración 263: a) Porosidad del queque 264; b) permeabilidad del queque y resistencia específica del medio filtrante 267; Permeabilidad relativa 277. 9.6 Filtros continuos a vacío. Modelo de un filtro rotatorio 287: a) Formación del queque 288; b) Cambios de condiciones de operación 290; c) Deshumedecimiento del queque 291. 9.7 Referencia.

10. FLOCULACIÓN 10.1 Introducción. Coagulación 302. Floculación 305. 10.2 Floculantes poliméricos. Propiedades 307. Preparación 309. 10.3 Cinética de la Floculación. 10.4 Hidrodinámica de la floculación. Floculación en una cañería 312. Floculación en un feedwell 312. 10.5 Referencias.

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PARTE II. APLICACIONES 11. AGREGACIÓN DE PARTÍCULAS EN PROCESAMIENTO DE MINERALES 11.1 Introducción. 11.2 Agregación en Procesamiento de Minerales. Floculación 317. Floculantes poliméricos en circuitos de flotación 321.Aglomeración por aceite 326.

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ÍNDICE 11.3 Discusión. 11.4 Referencias. 12. TÉCNICAS DE FLOCULACIÓN Y METODOLOGÍAS PARA LA OPTIMIZACIÓN DE ESPESADORES 12.1 Introducción. 12.2 Caracterización de la floculación. 12.3 Caracterización de suspensiones floculadas. Medición de la velocidad de sedimentación de flóculos 338. 12.4 Rol de la hidrodinámica en la floculación 339. 12.5 Entendiendo el comportamiento de espesadores. 12.6 Diseño y operación de rastras. 12.7 Conclusiones. 12.8 Agradecimientos. 12.9 Referencias. 13. POLÍMEROS HIDRÓFOBOS DEL TIPO LÁTEX PARA LA SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO DE CONCENTRADOS DE FLOTACIÓN 13.1 Introducción. 13.2 Resultados experimentales. Efecto de floculantes y aglomerantes hidrófobos sobre la flotación de molibdenita 350. Efecto de aglomerantes hidrófobos sobre la floculación de calcopirita y pirita 353. Efecto del látex UBC-1 sobre la filtración de otros materiales hidrófobos 353. 13.3 Conclusiones. 13.4 Referencias. 14. CFD COMO HERRAMIENTA PARA EL DISEÑO DE ESPESADORES 14.1 Introducción. 14.2 Modelación matemática. 14.3 Simulación de la alimentación a un espesador. Dilución de la alimentación 358. Alimentación mediante tobera 361. Alimentación en feedwell 365. 14.4 Simulación de la inyección de floculantes. Inyección en tobera de dilución 368. Inyección en feedwell 369. 14.5 Simulación de las rastras. 14.6 Conclusiones. 14.7 Referencias. 15. CONCEPTOS MODERNOS DE FILTROS ROTATORIOS 15.1 Filtro de disco de alto rendimiento “Boozer”. Características notables del Boozer 377. Datos técnicos 377. Descripción y funcionamiento de los componentes importantes:

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Manual de Filtración & Separación Discos y segmentos 377; Cañerías de colección de filtrado 378; Tambor central 379. Batea del filtro 380; Cabeza de control 380. 15.2 Operación del filtro de discos Boozer. Formación del queque 381; Deshumedecimiento del queque 382; Descarga del queque 382.

16. LAVADO CON FILTRO DE BANDA HORIZONTAL 16.1 Descripción del equipo y sus aplicaciones. 16.2 Estudio de casos. 16.3 Aplicaciones de lavado del queque para remover impurezas. Mantos de Oro: La Coipa 386. Compañía Minera Escondida: Coloso 387. SQM Salar: Ácido Bórico 388. Compañía Minera Meridian: El Peñón 388. 16.4 Aplicaciones de lavado de queque para recuperar soluciones. Mantos de Oro: La Coipa 390; Compañía Minera Escondida: Coloso 390; Compañía Minera Meridian: El Peñón 390. 16.5 Conclusiones. 17. SISTEMAS DE FILTRACIÓN PARA LA DEPOSITACIÓN DE RELAVES 17.1 Introducción. Consideraciones en la construcción de un depósito de relave 392. Comparación de costos 393. 17.2 Determinación del sistema de depositación seca. Compactación de los relaves 394. Recuperación de agua 395. Precolación 395. 17.3 Tipo de equipos. Filtro prensa de doble banda 396. Filtro prensa convencional 397. Filtro de discos 397. Filtro de bandas 398. Espesador de alta densidad 398. 17.4 Instalaciones existentes. Mantos Blancos 400. El Indio 401. La Coipa, Can Can y El Peñón 401. ZCCM y Gecamines 403. 18. FILTRACIÓN HI-BAR CON VAPOR APRESIÓN 18.1 Fundamentos de la filtración con vapor a presión. Filtración convencional con vapor 408. proceso moderno de filtración con vapor a presión Hi-Bar 408. 18.2 Tecnología de filtración Hi-Bar. Concepto de la filtración Hi Bar con vapor a presión en la planta 411. 18.3 Beneficios de la filtración Hi Bar con vapor a presión. 18.4 Ensayos en el laboratorio y planta piloto. Equipos de ensayo de laboratorio 414. Planta piloto Hi Bar 414.

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ÍNDICE

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18.5 Aplicaciones de la filtración Hi Bar con vapor a presión. Desaguado de concentrados en la flotación de carbón 415. Desaguado de concentrados de minerales de hierro 416. Lavado y secado de un producto de precipitación química 416.Lavado y secado de yeso en una planta térmica 417. 18.6 Economía de la filtración Hi Bar con vapor a presión. 18.7 Conclusión. 18.8 Referencias. 19. APÉNDICES 19.1 Apéndice 1 Conversión de medidas de concentración. 19.2 Apéndice 2 Unidades de medida y Dimensiones.

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PARTE III. PROVEEDORES BOKELA CENTRO DE TRANSFERENCIA DE TECNOLOGÍA MINERAL (CETTEM) CIBA ESPECIALIDADES QUÍMICAS CONOSUR SA. DELKOR DORR OLIVER LANZCO LAROX CHILE LTDA.

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PREFACIO

Este libro pretende llenar un vacío existente en la bibliografía de los procesos extractivos de la industria minera. Temas como la conminución y la flotación han recibido gran cobertura, en tanto que los procesos de separación sólido-líquido, tales como el espesamiento y la filtración, han pasado prácticamente inadvertidos. Pareciera ser que la importancia económica de la reducción de tamaño, obviamente la etapa más costosa en el procesamiento de un mineral, y la importancia estratégica de la flotación como proceso de concentración, han relegado la última etapa del beneficio de un mineral, como es la separación sólido-líquido, a un sitial de menor relevancia. Es verdad que, cuando el tratamiento de un mineral se desarrolla normalmente, los ingenieros de proceso tienden a considerar al espesamiento y la filtración como etapas auxiliares y no fundamentales en la planta. Sin embargo, la situación cambia cuando surgen problemas en la sedimentación o filtración de concentrados o relaves, originados la mayor parte de las veces en un cambio en la composición de la mena tratada, y no es posible recuperar toda el agua necesaria en la planta o no se logra las humedades especificadas del producto. En ese momento la separación sólido-líquido cobra una importancia fundamental. Emergencias como la señalada encuentran al ingeniero débilmente preparado para enfrentarlas. Puede que se pregunten por qué en la Universidad se dio tan poca importancia a estas etapas del procesamiento de un mineral; por qué no se les enseñó estas técnicas en forma más comprehensiva. La verdad es que este “descuido académico” tiene raíces más profundas. La negligencia en esta área tecnológica de la enseñanza relacionada al campo minero es generalizada e internacional y proviene de la poca intensidad y nivel con que se enseña la mecánica y la mecánica de fluidos en las carreras de ingeniería de minas y metalurgia. Esto ha traído como consecuencia que la separación sólido-líquido raramente haya sido campo de investigación en estas disciplinas y que, por lo tanto, los académicos de estas unidades no puedan traspasar a sus alumnos estos conocimientos desde experiencias propias. La Universidad de Concepción ha dado un paso fundamental para cambiar esta situación. Por ya más de 25 años, académicos y alumnos de esta Casa de Estudio, dirigidos por el autor de este libro, han realizado investigación relevante en el campo de la separación sólido-líquido aplicado a la minería. Es así como a través de memorias de título, tesis de postgrado, investigaciones locales e investigaciones cooperativas con académicos de universidades de otros países, se ha desarrollado una teoría fenomenológica de la sedimentación que ha permitido poner al campo del viii

Prefacio

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espesamiento industrial en un marco científico y tecnológico adecuado. Marco fundamental si es que se desea enseñar esta disciplina a estudiantes o ingenieros de proceso. Tan exitosa ha sido esta labor, que la Sociedad de Ingenieros de Minas de los Estados Unidos de Norteamérica SME decidió otorgar el premio Antoine Gaudin-1998 al autor del presente libro. Por otra parte, en los últimos cuatro años se ha dedicado enormes esfuerzos al estudio y experimentación del campo de la filtración con el objetivo de formular una teoría unificada que englobe los diferentes procesos involucrados en la separación sólido-líquido. Creemos que se ha logrado. En este libro, o Manual como lo ha llamado el autor, aún cuando difiere fundamentalmente de los manuales existentes en el campo de la filtración, se pretende traspasar el conocimiento acerca del campo de la sedimentación, el espesamiento y la filtración, logrado durante todos estos años por el Grupo de Sistemas Particulados de la Universidad de Concepción. Gran parte del material presentado: teoría, formulación de modelos y resultados, son originales. En el libro se enfatiza los fundamentos teóricos y las aplicaciones por sobre el conocimiento enciclopédico de equipos y materiales. En forma consciente se ha mantenido un alto nivel científico, aún cuando ello no es estrictamente necesario para comprender los procesos y sus aplicaciones. Estimamos que este enfoque satisfará las expectativas de los diversos grupos que pudieran tener interés en el libro: estudiantes de ingeniería, estudiantes de postgrado en ingeniería, ingenieros de procesos de la industria minera, ingenieros consultores y proveedores de equipos y materiales para la industria minera. Para aquellos interesados en la teoría, se utiliza un riguroso enfoque fenomenológico basado en la teoría de mezclas de la mecánica del medio continuo, y, para aquellos interesados en las aplicaciones, se incluye problemas resueltos en la mayoría de los capítulos que ilustran el uso de la teoría en el diseño, la operación y la optimización de los procesos involucrados. Aquellos académicos interesados en la matemática detrás del fenómeno, pueden satisfacer su inquietud en el reciente libro Sedimentation and Thickening: Phenomenological Foundation and Mathematical Theory, de los autores, M.C. Bustos, F. Concha, R. Bürger y E. Tory, publicado en 1999 por Kluwer Academic Publishers, de Dodrecht, Holanda. El Manual está dividido en tres partes. La primera, que incluye toda la teoría y aquellas aplicaciones necesarias para entenderla y aplicarla, ha sido escrita enteramente por el autor. La segunda parte está formada por una serie de trabajos, solicitados a diversos especialistas de renombre, que ejemplifican las aplicaciones industriales. Finalmente la tercera parte entrega información sobre diversas empresas ligadas a la separación sólido-líquido en la minería chilena. En el capítulo 1 se entrega el marco conceptual bajo el cual se estudiará los procesos de separación sólido-líquido. Se menciona las diversas operaciones involucradas en estos procesos y los mecanismos en que se basan. Se discute brevemente la selección de técnicas de separación y los equipos utilizados. El capítulo 2 da una rigurosa, aunque limitada, presentación de la Teoría de Mezclas. Estimamos que, como los fundamentos de este libro pueden encontrarse en la mecánica de los sistemas particulados, no hay necesidad de desarrollar la termodinámica de las mezclas. El capítulo da la estructura mecánica y matemática

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Manual de Filtración & Separación

necesaria para entender los fundamentos y modelar los procesos de sedimentación y filtración. Una introducción discute las condiciones que debe cumplir un sistema multifásico para ser considerado como continuo. Luego se plantea los conceptos de componente, mezcla y configuración y se presenta las ideas de masa, deformación, movimiento, cantidad de movimiento y fuerzas para cada uno de los componentes de la mezcla. Las medidas de deformación, movimiento y velocidad de deformación llevan a balances macroscópicos y locales de masa y cantidad de movimiento y a las condiciones de salto. Finalmente, se define un proceso dinámico y la necesidad de formular ecuaciones constitutivas para definirlo completamente. En el capítulo 3 se aplican los principios de la Teoría de Mezcla a sistemas particulados constituidos por suspensiones de sólido finamente dividido en un líquido. Se comienza definiendo un proceso dinámico para el sistema particulado y las ecuaciones que éste debe cumplir. Se define la presión de poros, el esfuerzo efectivo del sólido, la concentración crítica y la fuerza de interacción sólido-fluido y se completa la teoría estableciendo ecuaciones constitutivas generales para el componente fluido y para el componente sólido. La sedimentación de sistemas particulados se trata como un proceso discreto en el capítulo 4. Se comienza estableciendo las ecuaciones que describen cuantitativamente la velocidad de sedimentación de una esfera de cualquier tamaño y naturaleza, para continuar con las suspensiones de esferas y terminar con suspensiones de partículas de forma arbitraria. El capítulo 5 describe la sedimentación de sistemas particulados como un medio continuo. Se establece los conceptos de una suspensión ideal y de un espesador ideal. La aplicación de la Teoría de Mezclas a suspensiones ideales da como resultado el proceso de Kynch para la sedimentación batch y continua. Se presenta la solución por la teoría de características y se define el concepto de Modos de Sedimentación. Finalmente se establece la ecuación que describe la capacidad de un espesador ideal. Los sistemas particulados consolidados son tratados en el capítulo 6. Se comienza estableciendo el proceso dinámico para un lecho poroso rígido. Se analiza las ecuaciones de Darcy y Forcheimer como ecuaciones constitutivas para la fuerza de interacción sólido-líquido en el escurrimiento de un fluido por el medio poroso. Se discute el concepto de permeabilidad y su modelo geométrico. A continuación se discute el flujo bifásico en un medio poroso rígido y se introduce los conceptos de capilaridad, saturación y permeabilidades relativas. Como opuesto al capítulo anterior, en el capítulo 7 se analiza los sistemas particulados compresibles. Se introduce la teoría de Terzaghi para pequeñas deformaciones y se establece las ecuaciones constitutivas para la fuerza hidrodinámica y el esfuerzo efectivo del sólido. El proceso dinámico obtenido se resuelve en términos de la presión de poros en exceso como función de la porosidad. En el capítulo 8 se analiza con profundidad el proceso dinámico de espesamiento. En una extensa introducción se presenta la historia de la sedimentación desde la Edad de la Piedra hasta hoy, enfatizando las personas e instituciones que han sido sus protagonistas. A continuación, se muestra los equipos utilizados

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industrialmente para el espesamiento. Le sigue un riguroso análisis de la teoría de espesamiento, desarrollando las ecuaciones que describen el proceso, tanto para el caso batch como para el continuo. La siguiente sección estudia en detalle los parámetros que aparecen en las ecuaciones de espesamiento y su determinación experimental. El capítulo continúa con una descripción cuantitativa de los métodos de diseño de espesadores dentro del marco de la teoría de espesamiento. Las diversas estrategias de operación se analizan a continuación y se muestra el efecto de las diversas variables en el comportamiento de un espesador industrial. Finalmente, se describe los temas de investigación relevante en el presente. La filtración es el tema del capítulo 9. Luego de una breve descripción de los diversos tipos de equipos industriales y de las telas filtrantes, se presenta la teoría de filtración. Se describe las diversas etapas de un proceso de filtración, analizando detalladamente cada una de ellas. Se estudia, a continuación, los parámetros de filtración y su determinación experimental. Finalmente se analiza, por separado, la modelación y simulación de filtros rotatorios a vacío y filtros a presión. Terminando la primera parte de este Manual, se presenta la floculación en el capítulo 10. En secciones sucesivas se introduce los conceptos de coagulación y floculación, se presenta los reactivos floculantes, se estudia la cinética e hidrodinámica de la floculación y sus aplicaciones en la operación de espesadores. La parte II del Manual contiene 8 trabajos por diversos especialistas que pretende mostrar algunas aplicaciones del espesamiento y la filtración en la industria minera. El primer trabajo lo presenta el profesor Janusz Laskowski, de la Universidad de British Columbia en Canadá en el capítulo 11 Agregación de Partículas en Procesamiento de Minerales, en el que describe los mecanismos de agregación mediante floculantes poliméricos, látex hidrófobos y aceites emulsificados. El capítulo 12 muestra un trabajo de los investigadores de CSIRO en Australia: J. Farrow, P Fawell, R. Johnston, Nguyen, M. Rudman, K. Simic, J. Swift y A. Parker, Técnicas de Floculación y metodologías para la Optimización de Espesadores. El trabajo muestra una serie de herramientas y técnicas desarrolladas para abordar los fenómenos de floculación en espesadores. Se presenta, también, el uso de CFD para predecir el comportamiento de espesadores bajo diferentes condiciones de operación. El capítulo 13, escrito por el profesor S. Castro, trata el tema de los Polímeros Hidrófobos del tipo Látex para la separación sólido-líquido de concentrados de flotación. Mediante resultados experimentales en el laboratorio se muestra el efecto de floculantes y aglomerantes hidrófobos sobre la flotación de molibdenita, floculación de calcopirita y pirita y sobre la filtración de otros materiales hidrófobos. R. Köck y F. Concha demuestran en el capítulo 14 CFD como Herramienta para el Diseño de Espesadores, como utilizar CFD para optimizar la adición de floculantes en tuberías, toberas de inyección y feedwell. Además, se muestra como utilizar esta herramienta en el diseño de rastras.

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Manual de Filtración & Separación

La empresa alemana Bokela presenta en el capítulo 15 Conceptos Modernos de Filtros Rotatorios, un filtro de discos de nueva tecnología, denominado Boozer, que presenta grandes ventajas con respecto a los filtros de vacío rotatorios convencionales. En el capítulo 16 Lavado con Filtro de Banda Horizontal, la empresa Delkor muestra las aplicaciones de estos filtros en el lavado de queques de filtración. Se describe equipos y se muestra aplicaciones en diversas empresas mineras chilenas. En un segundo artículo, Delkor escribe en el capítulo 17 Sistemas de Filtración para la Depositación de Relaves. Se plantea las consideraciones que se debe tener para la construcción de un depósito de relaves. Se compara costos de diversas alternativas y se muestra los equipos que se utiliza. Finalmente se muestra ejemplos en la industria minera chilena. Como último artículo invitado, Bokela presenta la Filtración Hi-Bar con vapor a presión en el capítulo 18. Se expone los fundamentos de la filtración con vapor y las ventajas de la tecnología hiperbárica con vapor. Se muestra resultados en el laboratorio y planta piloto y aplicaciones industriales para concentrados de carbón, minerales de hierro, productos de la precipitación química y lavado y secado de yeso en una planta térmica. En la Parte III de este Manual se presenta los perfiles de las siguientes empresas en forma alfabética: Bokela; Centro de Tecnología Mineral; Ciba Especialidades Químicas Conosur, Delkor, Lanzco y Larox Chile. Como ya se dijo en un comienzo, la mayoría del material contenido en este Manual es original y fue desarrollado por el Grupo de Sistemas Particulados de la Universidad de Concepción en colaboración con investigadores del Departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Concepción y el Instituto de Matemática Aplicada de la Universidad de Stuttgart en Alemania. Agradecemos sinceramente a todos aquellos que colaboraron en el desarrollo de la teoría y sus aplicaciones, sin el trabajo esforzado de los cuales no habría material que presentar. Especialmente importante fue la participación de los siguientes alumnos, la mayoría de los cuales son hoy destacados profesionales: E. Almendra, A. Barrientos, O. Bascur, A. R. Becker, A. Christiansen, H. Droguett, P. Garrido, M. Kunik, F. Melo, A. Quiero, A. Rojas, V. Soto y R. Valenzuela. La participación de los matemáticos fue fundamental para avanzar en la solución de los modelos. Se debe mencionar la colaboración de María Cristina Bustos de la Universidad de Concepción, Wolfgang Wendland y Raimund Bürger de la Universidad de Stuttgart en Alemania, Kenneth Karlsen de la Universidad de Bergen en Noruega y Elmer Tory de la Universidad de Mount Allison en Canadá. A todos ellos nuestros agradecimientos. El Editor Centro de Imagen Corporativa Fundación Chile Concepción, Febrero de 2001.

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN MARCO CONCEPTUAL PARA LOS SISTEMAS DE SEPARACIÓN SÓLIDOLÍQUIDO La separación sólido-líquido por métodos mecánicos forma parte de una gran área de técnicas de separación de fases sólidas, líquidas y gaseosas. Este tipo de separación aparece en un extenso número de procesos industriales en los diversos campos de la economía. A ella pertenece la eliminación de agua desde suspensiones en la industria, la recuperación de agua en procesos de la minería, la purificación de aguas domiciliarias, la eliminación de polvo, la desgasificación de líquidos y la eliminación de espumas, entre muchos otros procesos. Es, entonces, pertinente poner los procesos de separación sólido-líquido dentro del contexto de las operaciones de separación de fases Las tablas N°1 y 2 muestran procesos de separación de materiales sólido, líquido y gaseoso en fase dispersa y continua. Las letras cursivas en negrita corresponden a la separación sólido-líquido que se analizará en este Manual. En los procesos de separación sólido-líquido que nos interesan, el componente líquido siempre se encuentra en fase continua mientras que el componente sólido puede estar en forma dispersa o continua. En una suspensión que se alimenta a un espesador, el sólido esta en forma dispersa en la etapa de sedimentación, pero se considera como fase continua en la etapa de consolidación. En el caso de filtración el sólido se encuentra disperso en la alimentación al filtro, pero en fase continua una vez que se formó el queque. Dentro del contexto de la separación sólido-líquido, denominaremos Sistema Particulado toda mezcla de materiales en que el sólido esté formado de partículas, estén éstas en estado disperso o continuo. Cuando las partículas forman una fase discreta, lo llamamos suspensión o dispersión y cuando están en forma continua, lo denominamos medio poroso. Asociado a sistemas dispersos estudiaremos la sedimentación y asociado a medios porosos, la filtración. En realidad, la clasificación de mezclas de materiales continuos o dispersos no tiene mayor importancia en la cuantificación de la sedimentación o filtración ya que, como veremos más adelante en este Manual, toda mezcla de sólidos y fluidos puede ser considerada una mezcla de materiales continuos si la mezcla se produce a escala

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Manual de Filtración & Separación

Tabla N°1 Mezcla de fases continuas y dispersas y métodos de separación Fase continua Fase dispersa

Sólido

Sólido

Líquido

Gas

Sedimentación

Sedimentación

Clarificación

Eliminación de polvo

Filtración

Filtración

Centrifugación

Molienda

Clasificación

Clasificación

Molienda Flotación Líquido

Cromatografía

Sedimentación

Sedimentación

Centrifugación Gas

Degasificación

Flotación

Cromatografía de gases

Degasificación Tabla N°2 Mezcla de dos fases continuas y su separación Fase continua Fase continua

Sólido

Sólido

Líquido

Gas

Consolidación

Degasificación de queques de filtración

Expresión Humectación de queques de filtración Líquido

Consolidación Expresión Humectación de queques de filtración

Gas

Degasificación de queques de filtración

Capítulo 1. Desarrollo Histórico

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microscópica, o si el volumen de trabajo es mucho mayor que el volumen en que se realiza la mezcla. Como ejemplo consideremos una mezcla de relaves de cobre en un espesador. Las partículas de relaves suelen tener tamaños menores a 10-4 m mientras que el espesador que los contiene posee alturas del orden de 1m y diámetros del orden de 10 a 102 m. En estos casos podemos suponer que la mezcla se compone de dos fases continuas, una sólida y una líquida. La fase sólida conserva las principales propiedades de las partículas sólidas, como su densidad, velocidad de sedimentación y compresibilidad, pero pierde el concepto de tamaño de partícula. La estructura microscópica (o de nivel de partícula) es importante al momento de cuantificar los efectos superficiales entre las fases. Se sabe, por ejemplo, que poros muy pequeños entre partículas originan fuerzas capilares cuando existen presentes las tres fases, sólida, líquida y gaseosa. OPERACIONES DE SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO EN MINERÍA La separación de mezclas de sólido-líquido requiere, generalmente, una secuencia de operaciones como las indicadas en la figura 1.1. Pretratamiento

Concentración

Separación

Postratamiento

Fig. 1.1 Secuencia de operaciones de separación sólido-líquido.

Cada una de estas etapas puede ser realizada de diversas maneras. El esquema que sigue muestra algunas formas de llevarlas a cabo:  Quimico   I. Pretratamiento   Fisico  

 Floculacion  Coagulacion Crecimiento de cristales

  Congelacion  Adicion de ayuda de filtrante 

Espesamiento II. Concentracion   Clarificacion  Tamizaje III. Separacion Solido-liquido   Filtracion Secado  IV. Postratamiento  Almacenamiento Fig. 1.2 Esquema de los procesos de separación sólido-líquido

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Manual de Filtración & Separación

Mantener un proceso de separación sólido-líquido eficiente requiere considerar el conjunto de estas operaciones. La economía de la separación sólido-líquido en una secuencia de etapas con diferentes procesos, como se indica en la figura 1.1, depende, además de los aspectos individuales de cada etapa, en encontrar los puntos óptimos de transición entre una etapa y la otra. MECANISMOS DE LA SEPARACIÓN SÓLIDO-LIQUIDO La separación de sólido y líquidos de una mezcla se puede realizar mediante métodos puramente mecánicos y térmicos. La figura 1.3 muestra estos métodos y las operaciones o procesos a los que da origen. Las operaciones térmicas de secado y vaporización pueden separar totalmente la mezcla de sólidos y líquidos, cosa que no logra ninguna de las operaciones mecánicas. Sin embargo, las operaciones térmicas raramente se utilizan por sí solas en empresas mineras debido a su alto consumo de energía. Cuando se las utiliza, ellas van precedidas de las operaciones mecánicas mencionadas y las complementan para disminuir la humedad residual de la fase sólida. Donde sí se utiliza el secado y la vaporización es en el laboratorio para la determinación de la concentración de una suspensión o la humedad de un queque de filtración. SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO

OPERACIONES MECÁNICAS

OPERACIONES TÉRMICAS

TAMIZAJE

SECADO

SEDIMENTACIÓN

VAPORIZACIÓN

FILTRACIÓN

Fig. 1.3 Mecanismos de Separación sólido-líquido

Las operaciones mecánicas de separación sólido-líquido se basan en tres mecanismos, la sedimentación, la consolidación y el flujo en medios porosos. Se denomina sedimentación al proceso de asentamiento de un material sólido o líquido desde un fluido, generalmente agua o aire, desde un estado de suspensión. El proceso se observa en la naturaleza en los procesos geológicos de formación de los depósitos de rocas y minerales y, mucho más visiblemente, en la sedimentación de gotas de agua o hielo, denominada lluvia o granizo respectivamente, o en la deposición de polvo. La figura 1.2 muestra en forma esquemática la sedimentación de esferas

Capítulo 1. Desarrollo Histórico

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sólidas en un líquido. La eficiencia de la separación depende principalmente de la magnitud del campo de fuerza de cuerpo aplicada, gravitacional o centrífuga, de la diferencia de densidades entre las partículas sólida y líquida, del tamaño de las partículas y de la viscosidad del líquido. La cantidad de líquido de una suspensión que es capaz de separar la sedimentación es toda aquella que no llena los poros del sedimento formado. La figura 1.4 muestra un esquema de partículas en sedimentación gravitatoria. Las formas de aplicar fuerzas de cuerpo, o fuerzas externas, a una suspensión se muestran en la figura 1.5.

Fig.1.4 Sedimentación de esferas en un líquido ESPESADOR GRAVITACIONAL CLARIFICADOR SEDIMENTACIÓN CENTRÍFUGA CENTRÍFUGA HIDROCICLÓN

Fig. 1.5 Fuerzas que originan la sedimentación y los equipos asociados.

Cuando el agua retenida en el sedimento es más que la deseada, se debe recurrir a la filtración. Se denomina filtración al proceso de formar un queque soportado por un medio filtrante, eliminando líquido denominado filtrado. Cuando todo el líquido de la suspensión ha pasado por el queque y los poros de éste están llenos de líquido, esto es, el queque está saturado, la formación de queque ha terminado. Para eliminar más líquido, se sopla aire a través del queque, él que desplaza al líquido disminuyendo su humedad. La fuerza impulsora de la filtración es un gradiente de presión. Este gradiente puede ser la presión hidrostática del líquido a filtrar o un gradiente de presión exterior impuesto por una bomba. Las variables más importantes en la filtración son la porosidad y la permeabilidad del queque, esto es la facilidad con que escurre el agua a través de él. La filtración puede ser ayudada o dificultada por la sedimentación. En

6

Manual de Filtración & Separación

general la suspensión a filtrar se impulsa hacia un recipiente y se hace pasar a través de un medio poroso denominado medio filtrante. Si el filtro es horizontal, la sedimentación de las partículas ayudaran a la filtración, en cambio si el filtro es vertical, las partículas sedimentarán en la dirección perpendicular a la dirección de la filtración. Las figuras 1.6a y 1.6b muestran estos dos casos.

líquido sólido

líquido

sólido

Fig. 1.6a Sedimentación y Filtración en la misma dirección

Fig.1.6b Sedimentación y Filtración en direcciones perpendiculares.

1.4 SELECCIÓN DE TÉCNICAS DE SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO La mayoría de las suspensiones concentradas que resultan de la operación de una planta de Procesamiento de Minerales, son materiales con comportamiento nonewtoniano, en muchas ocasiones de tipo visco-plásticos, que se caracterizan por tener memoria. Esto significa, que el comportamiento de una misma suspensión en la misma operación puede ser diferente si la pulpa ha sido sometida previamente a un pretratamiento o a una operación o proceso previo. En este sentido, por ejemplo, el espesamiento de una pulpa tiene gran influencia en la posterior filtración. De aquí la recomendación de optimizar los procesos de separación sólido-líquido en conjunto, en vez de tratarlos por separado o, en considerar algunos e ignorar otros. Por otra parte, una misma tarea de separación sólido-líquido puede ser realizada con secuencias de diferentes combinaciones de equipos, por lo que cualquier estudio debe considerar estas operaciones en conjunto. Operar un sistema de separación sólido-líquido requiere conocer los parámetros más importantes en su comportamiento. Para ello es necesario determinar estos parámetros en el laboratorio y formular ecuaciones constitutivas del material. Al realizar estas pruebas, es necesario tener en cuenta las propiedades de memoria que tienen las pulpas. Las suspensiones sufren lo que se denomina envejecimiento, por lo

Capítulo 1. Desarrollo Histórico

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que es conveniente realizar los ensayos experimentales directamente en las plantas y, si se efectúan en equipos continuos, evitar la recirculación del material. 1.5 EQUIPOS UTILIZADOS EN LA SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO Las figuras 1.7 y 1.8 muestran los nombres de los principales equipos utilizados para la separación sólido-líquido en la industria minera, tanto en sedimentación como en filtración. SEDIMENTACIÓN Espesador Clarificador Hidrociclón Centrífuga

Fig. 1.7 Equipos que utilizan la sedimentación como mecanismo

FILTRACIÓN Gravitacional Filtro de arena Vacío Filtro de tambor Filtro de discos Filtro de bandas Filtro de bandeja Presión Filtro prensa vertical Filtro prensa horizontal Filtro de vela Presión y vacío Filtro hiperbárico

Fig. 1.8 Equipos utilizados en la separación sólido-líquido en minería

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Manual de Filtración & Separación

1.6 REFERENCIAS Concha F., Marco conceptual de los Sistemas de Filtración, I Coloquio Nacional de Avances en los Sistemas de Filtrado de Minerales, Santiago 1995. Filters and Filtration Handbook, 4th Ed., Elsevier Science, Customer Support Dept., P.O.Box 291, 1000AE, Amsterdam, The Netherlands. Stahl, W., Bott, R. and Anlauf, H., Position of thickening and filtration in the general scheme of solid liquid separation processes and selection criteria for suitable separation methods, Seminario Internacional: Técnicas Modernas de Separación Sólido-Fluido en la Industria Minera, Universidad de Concepción, 1991. Wakeman, R.J. and Tarleton, E.S., Filtration Equipment Selection, Modelling and Process Simulation, Elsevier Science Inc., 665 Av. Of the Americas, New York, NY 10010, USA.

CAPÍTULO 2 TEORÍA DE MEZCLAS

Para el estudio de flujo en medios porosos rígidos y deformables y para el estudio de sedimentación o transporte de suspensiones es conveniente considerar un cuerpo como compuesto por diversos materiales. Para ello la herramienta más poderosa es la denominada Teoría de Mezclas. No existe una única Teoría de Mezclas, sino que varias de ellas, y aquí seguiremos el desarrollo iniciado por Truesdell (1965, 1960, 1984). La Teoría de Mezcla postula que cada punto del espacio puede ser ocupado simultáneamente por un número finito de diferentes partículas, una por cada componente de la mezcla. Es así como la mezcla puede ser representada por la superposición de n medios continuos, cada uno de los cuales sigue su propio movimiento con las restricciones impuestas por la interacción entre componentes. Esto significa que cada componente debe seguir las leyes de conservación de la masa y momentum modificados para incorporar términos que representen el intercambio de propiedades entre componentes. Los efectos micro estructurales deben ser incorporados a través de ecuaciones adicionales denominadas ecuaciones constitutivas. Para obtener un tratamiento racional se requiere que las propiedades de las mezclas resulten como consecuencia de las propiedades de los componentes y que las mezclas sigan las mismas leyes que son aplicables a los materiales simples. Tratamientos semejantes o alternativos pueden ser encontrados en muchos artículos, destacándose las revisiones de Bowen 1976, Atkin and Crain 1976 y Bedford y Drumheller 1983.

2.1 CINEMÁTICA 2.1.1. Cuerpo, configuración y tipos de mezcla Denominaremos mezcla a un cuerpo B constituido por n componentes

B  B , con   1, 2,..., n . Los elementos de B se denominan partículas y se denotan por p  . Cada cuerpo B ocupa una cierta región del espacio euclidiano tridimensional E, denominada configuración del cuerpo. Los elementos de las 9

Manual de Filtración & Separación

10

configuraciones son puntos del espacio euclidiano cuya posición está dada por el vector posición r. La posición de la partícula p   B en el espacio se puede escribir en la forma:

r    ( p ) ,

con   1,2, 3,..., n

(2.1)

Para conocer las propiedades matemáticas de   ver Bowen (1976). La configuración de la mezcla, esto es, la región del espacio ocupada por la mezcla en el tiempo t, es la unión de las configuraciones de los componentes:

b g   bB g

 Bt 

n

 1



(2.2)

t

La configuración ( Bt ) tiene un volumen Vm ( t ) denominado volumen material del cuerpo B en el tiempo t. A cada cuerpo B , y a cada una de sus configuraciones, se le asigna una propiedad continua y aditiva m   0 , denominada masa del componente , que cumple la relación:

 m bB g n

m ( B) 



(2.3)

t

 1

bg

donde m B es la masa de la mezcla. El concepto continuo de la masa permite definir la densidad de masa  mediante el proceso de límite:

b g

m  ( Pk ) , k  V ( P ) m k

 r, t  lim

con

  1, 2, 3, ..., n

(2.4)

donde Pk 1  Pk son partes de la mezcla que tienen la posición r en común. Esta densidad de masa recibe el nombre de densidad aparente. La densidad de masa permite escribir la masa del componente  en la forma:

m  ( Bt ) 

z

 (r, t )dV

(2.5)

 Vm ( t )

Si designamos por  la densidad que tendría el componente  si éste fuese el único

b g en la

componente de la configuración ( Bt ) , podemos definir la función  r, t forma:   r, t  

  r , t 

  r , t 

, con   1, 2,3,..., n

(2.6)

Capítulo 2 - Teoría de Mezclas

11

Reemplazado esta expresión en la ecuación (2.5) se obtiene: m   Bt  



Vm (t)

 dV



Vm (t)

  dV

(2.7)

Definamos el elemento de volumen material dV en la forma: dV   dV

tal que se cumpla:

b g

m  Bt 

(2.8)

z z  dV 

 Vm ( t )

 dV

 V ( t )

(2.9)

Al volumen V lo denominaremos volumen parcial del componente  y la función   r, t  recibe el nombre de fracción volumétrica del componente.

Según la expresión (2.2) el volumen de la mezcla es la suma de los volúmenes parciales de los componentes, por lo que: n

   r, t   1 

(2.10)

1

Se puede distinguir dos tipos de mezclas, homogéneas y heterogéneas. Mezclas homogéneas cumplen estrictamente la condición de continuidad del material, porque la mezcla de los componentes ocurre a escala microscópica. Estas mezclas reciben el nombre de soluciones. Para mezclas homogéneas  es la concentración del componente B . En una mezcla heterogénea, la mezcla de los componentes ocurre a escala macroscópica y, para que ellas puedan ser consideradas continuas, el tamaño del volumen de integración de las ecuaciones anteriores debe ser mucho mayor que el nivel de la mezcla. Estas mezclas se conocen con el nombre de multifásicas porque cada componente puede ser identificado como una fase distinta. En este tipo de mezclas  r, t es una medida de la estructura local del material y  recibe el nombre de densidad aparente o densidad a granel.

b g

2.1.2 Deformación y movimiento Para cada cuerpo B podemos elegir una configuración de referencia   tal que en esa configuración B sea el único componente de la mezcla (estado puro). La posición de la partícula p en estas configuraciones se denotará por R  :

R     ( p )

(2.11)

Supondremos que la expresión (2.3) tiene inversa tal que: 1 p     (R )

(2.12)

Manual de Filtración & Separación

12

Movimiento de la partícula p   B es la secuencia de configuraciones en el tiempo y queda representada por la expresión:

r    ( p , t ) , Reemplazando (2.12) se obtiene:

con   1,2, 3,..., n

b g

r  f R  , t

(2.13)

donde la función f recibe el nombre de función deformación del componente  y queda expresada por: 1 f     

(2.14)

La función deformación tiene una inversa tal que:

b g

R   f1 r , t

(2.15)

Las componentes cartesianas x i de r y X i de R  reciben el nombre de coordenadas espaciales y coordenadas materiales de la partícula p   B :

r  xiei

y

R   X i e i

(2.16)

La deformación de cada componente se cuantifica a través del tensor gradiente de la deformación F definido por:

F 

f   R r , R 

con

det F  0

(2.17)

Asociados al tensor gradiente de la deformación podemos definir todas las otras medidas de deformación que hemos estudiado para materiales de un sólo componente: Q  , U  , V , C , B  y G  . La dilatación de un cuerpo multicomponente, desde su configuración de referencia a la configuración presente, se puede expresar a través del det F :

J   det F 

dV dV

(2.18)

donde dV y dV son elementos de volumen material en la configuración actual y en la configuración de referencia respectivamente. La velocidad de deformación se cuantifica a través de la velocidad v  y la aceleración a  , definidos como la primera y segunda derivada material del movimiento:

Capítulo 2 - Teoría de Mezclas

13

v 

D r  f R  , t   , t Dt

g

  1, 2, 3,..., n

(2.19)

a 

D2 r 2 f R , t ,    Dt 2 t 2

  1, 2, 3,..., n

(2.20)

b

b g

donde la derivada material D  / Dt se calcula siguiendo el movimiento del componente . Los tensores asociados a las medidas de velocidad de deformación L , D y W se definen en la forma habitual:

L 

FG 1 btrD gIIJ H3 K

FG H

 D 



b g IJK

1 trD I 3

bW g



(2.21)



velocidad de

velocidad de

velocidad de

expansión

cizalle

rotación

donde:

L  v 

(2.22)

c

h

(2.23)

c

h

(2.24)

D 

1 v   ( v  )T 2

W 

1 v  ( v  )T 2

La velocidad de dilatación queda expresada por:

b

J   det F   v 

g

(2.25)

2.1.3 Balance de masa Admitamos que los componentes de B intercambian masa entre sí y designemos por g r, t la velocidad de transferencia de masa, por unidad de volumen, al

b g

b g

componente  por todos los otros componentes. Otro nombre para g r, t es velocidad de crecimiento de la masa del componente  . Entonces, se debe cumplir el siguiente balance:  Velocidad de variación de la masa   Velocidad neta de generación de    del componente  en Vm (t)   del componente  en Vm (t)   d dt



Vm (t )

 dV





Vm (t)

g dV

Llevemos ambas integrales a la configuración de referencia para obtener:

(2.26)

Manual de Filtración & Separación

14

z z z FGH b g IJK z ed i j z ed i j z ed i j

d dt

 J  dV 

V

g J  dV

V

Introduzcamos la derivada dentro de la primera integral y juntemos los términos dentro de una sola integral:

V

D  J   g J  dV  0 Dt

(2.27)

  J    J   g J  dV  0

V

      v  g J  dV  0

V

      v  g dV  0

(2.28)

Vm ( t )

Cuando todos los campos dentro de la integral son continuos podemos hacer uso del teorema de localización (Gurtin 1981) para obtener:

      v   g

(2.29)

Desarrollando la derivada material y combinando el término convectivo con el segundo término de (2.29) obtenemos:      v   g t

(2.30)

Las expresiones (2.29) y (2.30) corresponden al balance local de masa y se las conoce como ecuaciones de continuidad del componente . El balance de masa de la mezcla se obtiene sumando las ecuaciones de continuidad de todos los componentes:

 n

 1

 t

  t

  v  g n

n







 1



 1

F  I v  g GH  JK   n

n



 1



n

 

 1



(2.31)

 1

Según los postulados iniciales, la mezcla debe seguir las leyes de los materiales puros, por lo que la expresión (2.31) debe ser equivalente a:

Capítulo 2 - Teoría de Mezclas

15

    v  0 t de donde se deduce:

 n



(2.32)



 1

 b v g

(2.33)

g

(2.34)

n

v 





 1

n

0



 1

Las propiedades así definidas tienen el nombre de densidad de la mezcla  y velocidad másica de la mezcla v. La ecuación (2.34) muestra que no hay producción neta de masa en el cuerpo B Otra forma interesante del balance de masa se obtiene utilizando el teorema de localización en la ecuación (2.27):

b g

D  J   g J   0 Dt Dividiendo ambos términos por  J  y designando la velocidad de crecimiento de la masa del componente  por unidad de masa de ese mismo componente por g   g  , podemos escribir:

b g

1 D  J   g   Dt Integrando en el tiempo se obtiene:

 det F   exp

FG H

(2.35)

z

t

0

g  (  )d

IJ K

(2.36)

donde  es la densidad del componente  en la configuración de referencia. Como hemos supuesto que allí el componente  está puro, denominaremos a esta densidad la densidad material del componente. En aquellos casos particulares en que no hay intercambio de masa entre componentes, la ecuación (2.36) se reduce a:

 det F  

(2.37)

Manual de Filtración & Separación

16 7.1.4 Balance de masa en una discontinuidad

Para cuerpos que presentan discontinuidades, las ecuaciones (2.29) y (2.37) no son válidas. En estos casos es necesario utilizar la versión especial del Teorema de Transporte para cuerpos con discontinuidad:

d dt

z

 dV 

Vm ( t )

z

   dV  Vm ( t ) t

b g

z

 v  ndS 

Sm ( t )

z

   dS (2.38)

SI ( t )

donde  es una propiedad extensiva cualquiera, [.] indica el salto de una propiedad en la interface,   v I  e I es la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad y e I es el vector unitario en la dirección del movimiento de la superficie singular. Reemplazando la expresión (2.38) en el balance macroscópico de masa (2.26) se obtiene:

z

 dV  Vm ( t ) t

z

 v  ndS 

Sm ( t )

z

  dS 

SI ( t )

z

g dV

Vm ( t )

Tomando el límite de esta expresión cuando los volúmenes en torno a la discontinuidad tienden a cero resulta:

b

g

 v  e I   

(2.39)

Esta ecuación recibe el nombre de condición de salto para la masas del componente  o ecuación de Rankin-Hugoniot (Bustos et al 1999). Las condiciones de salto de la mezcla se obtienen sumando la expresión (2.39) para todos los componentes:

LM  v e OP  LM  OP MN b gQP MN PQ n

n



 



I

 1

 1

y usando los resultados de (2.32) y (2.33) se tiene:

v  e I    2.1.5 Ecuación de difusión convectiva En ocasiones es conveniente escribir las ecuaciones de continuidad de cada uno de los componentes en términos del flujo convectivo de masa. Este es el flujo asociado al movimiento de la mezcla. Como este movimiento queda descrito por la velocidad promedio v, el flujo convectivo de masa del componente , en la posición r y el tiempo t, se define por:

jc   v Si se suma y resta el flujo convectivo a la ecuación (2.30) resulta:

(2.40)

Capítulo 2 - Teoría de Mezclas

17

     v      ( v   v )  g t

(2.41)

El primer término del miembro derecho representa la diferencia entre la densidad de flujo real del componente  y la densidad de flujo convectivo. Esta diferencia recibe el nombre de flujo difusivo de masa jD y la diferencia de velocidades se denomina velocidad de difusión:

jD   u

(2.42)

u  v  v

(2.43)

En términos de los flujos convectivo jc y difusivo jD , la ecuación (2.41) puede ser escrita en la forma:

  jc     jD  g t

(2.44)

Esta expresión recibe el nombre de ecuación de difusión convectiva. Sumando (2.41) para todos los valores de  resulta:

 t

F  I   F  Iv    F  u I  g GH  JK GH  JK GH  JK  n

n





 1

n





 1

n



 1





 1

Usando resultados previos podemos concluir que:

 j   u n

n

D

 1





0

(2.45)

 1

2.1.6 Ecuación de continuidad y condición de salto de masa para mezclas de componentes incompresibles Algunas mezclas tienen componentes cuyas densidades materiales son constantes, como por ejemplo una suspensión de partículas sólidas en un líquido. En estos casos hablamos de mezclas con componentes incompresibles. Debemos estar conscientes que la mezcla misma puede ser compresible. Usando la definición de fracción volumétrica, según la ecuación (2.6), la ecuación de continuidad de cada componente y la condición de salto podemos escribirla en la forma:         v   g  t

(2.46)

     v   e I       

(2.47)

Manual de Filtración & Separación

18

Como  es constante, podemos dividir estas dos expresiones por su valor y obtener la ecuación de continuidad y condición de salto para mezclas con componentes incompresibles:      v   gˆ   t

(2.48)

    v   eI       

(2.49)

Sumando para todos los componentes obtenemos:   n   n   n         v     gˆ    t  1   1   1 







 n   n    v   e I        1   1 





Definiendo la velocidad promedio volumétrica q en el forma: q

n



 v

(2.50)

1

y usando resultados anteriores podemos concluir que:  n    q   gˆ     1 



(2.51)

q 0

(2.52)

2.2 DINÁMICA 2.2.1 Balance de momentum lineal Cuando se analizan las fuerzas que actúan en cuerpos multicomponentes debemos agregar a las fuerzas de cuerpo y fuerzas de contacto, presentes en cuerpos de un solo componente, las fuerzas de interacción entre componentes y las fuerzas que surgen por el efecto del intercambio de masa entre componentes. Un ejemplo puede clarificar el sentido de este último tipo de fuerza. Supongamos un cuerpo multicomponente en movimiento. Si un componente entrega masa a otro componente lo hará como un flujo asociado a la velocidad de transferencia de masa y a la velocidad que lleva el componente que entrega la masa. Aplicando la primera ley de Euler y el principio del esfuerzo de Cauchy a cada cuerpo B , se obtiene el balance macroscópico de momentum lineal (Concha y Barrientos 1993a):

Capítulo 2 - Teoría de Mezclas

d dt

z

 v  dV 

Vm ( t )

z

T  ndS 

Sm ( t )

19

z

bb



g

 m   g v  dV

(2.53)

Vm ( t )

donde T es el tenso esfuerzo en B y se le conoce como el esfuerzo parcial, b es la fuerza de cuerpo sobre B , m  es la fuerza de interacción entre los componentes, esto es, la fuerza que todos los otros componentes ejercen sobre B y g es la velocidad de crecimiento de la masa del componente B por unidad de volumen. El primer término representa la velocidad de variación del momentum lineal del cuerpo B , el segundo término es el flujo difusivo de momentum lineal debido a las fuerzas de contacto y el tercero es la velocidad de crecimiento de momentum lineal debido a las fuerzas de cuerpo, las fuerzas de interacción y el crecimiento de la masa del componente B . El uso de los teoremas de transporte de Reynolds, de GGO (Concha y Barrientos 1993b) y de localización permiten escribir la forma local del balance de momentum lineal en las siguientes dos formas equivalentes para regiones del espacio en que las variables son continuas:

  v     v v    T  b  m   g v t

b

g b

g

 v     T  b  m 

(2.54) (2.55)

La primera de estas ecuaciones recibe el nombre de forma de conservación del balance de momentum lineal. En discontinuidades, la aplicación del teorema de transporte adecuado da como resultado la siguiente condición de salto:

b

g

b

g b

 v  v  e I    v  e I  T  e I

g

(2.56)

donde   v I  eI es la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad y e I es el vector unitario normal a la superficie singular apuntando hacia la dirección del movimiento. Sumando la ecuación (2.54) para todos los componentes obtenemos:

 t

F  v I  F  v v I   T  b b GH  JK GH  JK   n

n



 1





n



 1







n



 1



 m   g v 

g

 1

Introduciendo resultados anteriores y comparando con la ecuación de movimiento de un material de un solo componente:

    vv    T  b t

Manual de Filtración & Separación

20 se puede concluir que:

u u n

T  TI 



(2.57)



 1

T n

TI 

(2.58)



 1

b n

b

(2.59)



 1

 bm n

0



 g v 

g

(2.60)

 1

El término TI recibe el nombre de parte interior del tensor esfuerzo de la mezcla. La restricción representada por la ecuación (2.60) indica que no se produce crecimiento neto de momentum lineal y que, por lo tanto, el aumento del momentum lineal de un componente se hace a expensas de la pérdida de esta propiedad de otro u otros componentes. 2.2.2 Balance de momentum angular La aplicación del axioma de momentum angular, también conocido como segunda ecuación de Euler (Concha y Barrientos 1993c) , y el principio del esfuerzo de Cauchy a cada uno de los componentes de un mezcla, da como resultado el balance macroscópico de momentum angular:

d dt

zd

i

(r  rq )x  v  dV 

Vm ( t )

zd zd

i

(r  rq )xT  n dS

Sm ( t )



b

gi

(r  rq )x b  m   g v  dV 

Vm ( t )

z

(2.61)

p dV

 Vm ( t )

El primer término es la velocidad de variación de momentum angular del componente B ; el segundo término es el torques debido a las fuerzas de contacto; el tercer término corresponde al torque debido a las fuerzas de cuerpo, fuerzas de interacción entre componentes y fuerzas asociadas al crecimiento de masa y el último término representa el intercambio de momentum angular entre componentes. El término rq se refiere a la posición del punto Q con respecto al cual se calcula el torque de las fuerzas. Cuando las variables son continuas, el balance macroscópico de momentum angular da origen a la forma local:

Capítulo 2 - Teoría de Mezclas

21

T  TT  P

(2.62)

donde el tensor antisimétrico P tiene como vector axial a p. Sumando la expresión (2.62) para cada componente resulta:

T  T  P 





T 





Usando la ecuación (2.58) podemos escribir:

TI  TIT 

P

(2.63)

 

La expresión (2.63) representa el balance de momentum angular local para la mezcla. De acuerdo a los postulados iniciales, para que esta relación corresponda a la segunda ley de Cauchy se debe cumplir:





P  0

(2.64)

Se puede concluir, entonces, que la parte interna del tensor esfuerzo parcial es simétrica:

TI  TIT

(2.65)

En aquellos casos en que no hay intercambio de momentum angular entre componentes, P  0 , y el esfuerzo parcial es simétrico.

T  TT

(2.66)

El balance de momentum angular en una discontinuidad no da información adicional a la obtenida del balance de momentum lineal. 7.2.3 Proceso dinámico Consideremos

una

mezcla

B

formada

por

componentes

B  B

con   1,2,3, ..., n . Sobre B tenemos definidas las siguientes variables de campo: r  f ( R  , t )

(2.67)

   (r , t )

(2.68)

T  T (r, t )

(2.69)

b  b (r, t )

(2.70)

g  g ( r , t )

(2.71)

m   m  (r , t )

(2.72)

Manual de Filtración & Separación

22

P  P (r , t )

(2.73)

Diremos que estas siete variables constituyen un proceso dinámico si, en las regiones donde las variables son continuas, cumplen las dos ecuaciones de campo:

     v  g t

o

    det F    exp   

 v     T  b  m 

con

TI  TIT  P

t

 gˆ 0

  (2.74) 

 ( )d  

(2.75)

y en las discontinuidades cumplen:

b g  v b v e g    b v e g  bT e g  v  e I   





 



I

 

I

 

(2.76) (2.77)

I

Se denomina proceso dinámico al conjunto de ecuaciones (2.67) a (2.77),que cuantifican un modelo fenomenológico. Tenemos siete variables expresadas en función de la posición r y el tiempo t, y solamente dos ecuaciones de campo. Esto significa que, para completar la descripción del fenómeno necesitamos cinco ecuaciones constitutivas que relacionen las variables dinámicas (fuerzas) con las cinemáticas (movimiento). Estas ecuaciones constitutivas relacionan las siguientes T , f , b , f , g , f , m  , f y P , f . variables

b

gb

gb

gb

g b

g

2.3 REFERENCIAS Atkin, R.J. and Crain, R.E., Continuum theories of mixtures: Basic theory and historical development, Q. J. Appl. Math., 29, 209-244, 1976. Bedford, A. and Drumheller, D.S., Theories of inmiscible and structured mixtures, Int. J. Eng. Sci. 21,(8), 863-960, 1983. Bowen, R.M., Theory of Mixtures. In Continuum Physics, ed. A.C. Eringen, Vol III, Academic Press 1976. Bustos, M.C. and Concha, F., On the construction of Global Weak Solutions in the Theory of Sedimentation, Mat. Meth. In Appl. Sci., 10, 1988, 248. Bustos, M.C., Concha, F., Bürger, R. and Tory, E.M., Sedimentation and Thickening, Phenomenological Foundation and Mathematical Theory, Kluwer Academic Publ., Dodrecht, The Netherland, 1999, p. 20. Concha, F. y Barrientos, A., Mecánica Racional Moderna, Vol. 2, Termomecánica del Medio Continuo, Dirección de Docencia, Universidad de Concepción, 1993a, 103114. Concha, F. y Barrientos, A., op cit., 1999b, 66-72. Concha, F. y Barrientos, A., op cit., 1999c, 105.

Capítulo 2 - Teoría de Mezclas

23

Drew, D.A., Mathematical modeling of two-phase flow, Ann. Review of Fluid Mechanics 15, 261-91, 1983. Truesdell, C., Sulle basi de la termomecanica, Rend. Acad. Lincei, 22, 33-88, 1957. Traducción al inglés en: Rational Mechanics of Materials, Int. Sci. Rev. Ser. 292-305, Gordon & Breach, New York, 1965. Truesdell, C. and Toupin, R.A., The classical field theories of mechanics. Handbook of Physics, Ed. Flügge, Vol III-1, Springer Verlag, New York, 1960. Truesdell, C., Rational Thermodynamics, Springer Verlag, 2nd. Ed., New York, 1984.

CAPÍTULO 3 SISTEMAS PARTICULADOS

3.1

PROCESO DINÁMICO EN UN SISTEMA PARTICULADO

Consideremos un conjunto de partículas sólidas íntimamente mezcladas con un fluido bajo las siguientes suposiciones: (i) Las partículas sólidas son todas pequeñas, con respecto a la vasija que las contiene, y de la misma densidad, tamaño y forma. (ii) Las partículas individuales y el fluido son incompresibles. (iii) No hay transferencia de masa entre el sólido y el fluido. (iv) La única fuerza de cuerpo es la gravedad. (v) Las partículas están contenidas en una vasija impermeable y con paredes sin fricción ante líquidos y sólidos El movimiento de cada uno de los componentes de la mezcla puede ser descrito mediante los balances de masa y momentum lineal: Balance de masa del componente:

      
   v   g t

Balance de masa de la mezcla

q  

(3.2)

Balance de momentum lineal:

 v     T  b  m 

(3.3)

Restricción:

 bm

(3.4)

(3.1)

2

g  1 

2

 1



g

 g v   0

En estas expresiones las variables de campo (r, t), v(r, t) y T(r, t) representan la fracción volumétrica, la velocidad y los esfuerzos del componente , b(r, t) es la fuerza ejercida por el medio ambiente sobre el componente , m(r, t) es la fuerza de interacción entre componentes y g (r , t ) mide la velocidad con que los otros componentes entregan masa al componente  por unidad de volumen. El operador   () representa la divergencia. 24

Capítulo 3. Sistemas Particulados

25

El primer término de la ecuación (3.1) la velocidad de variación de la masa del componente , el segundo es el flujo de masa del componente  y el tercero corresponde a la velocidad con que los otros componentes entregan masa al componente . En la ecuación (3.2) el término de la izquierda representa la variación espacial de la velocidad volumétrica de la mezcla y el término de la derecha, la velocidad neta de producción de masa de mezcla por unidad de masa. El primer término de la ecuación (3.2) es la aceleración del componente , mientras que los términos de la derecha representan la fuerza total ejercida sobre el componente  (de contacto, exterior y de interacción). La restricción representada por (3.4) indica que el intercambio de masa y de fuerzas entre componentes no debe crear una fuerza neta en la mezcla y que el aumento de momentum de algún componente se compensa con la pérdida de otros. En discontinuidades las expresiones (3.1) a (3.3) deben ser reemplazadas por las condiciones de salto:

      v  e I

(3.5)

   v     v  ( v  e I )  T  e I

(3.6)

en que   vs  e I es la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad. Denominemos   1  s al componente sólido y   2  f al componente fluido. Como, en virtud de las suposiciones (i) y (ii) la densidad de cada componente es constante, se puede dividir las tres ecuaciones por este término. Por otra parte, según (iii) no hay intercambio de masa entre componentes y por (iv) la fuerza de cuerpo es la gravedad. Finalmente, según (v) el movimiento es uni-dimensional. Entonces, las ecuaciones (3.1) a (3.3) se reducen a los balances de: masa del componente sólido

  
 vs   0 t

masa de la mezcla:


q  0 ,

momentum lineal del fluido:

s v s  
Ts  s g  m

momentum lineal sólido:

f (1  ) v f  
Tf  f (1  )g  m

con

(3.7) q  v s  (1  ) v f

(3.8) (3.9) (3.10)

donde r es el vector posición, (r,t) es la fracción volumétrica de sólidos y vs(r,t), vf(r,t), Ts(r,t), Tf(r,t), m, y g son las velocidades, las fuerzas de contacto y de interacción entre componentes y el vector constante gravitacional g. En la mayoría de los casos de interés práctico, no hay aceleración en el flujo, o ésta es muy pequeña comparada con los otros términos de las ecuaciones(3.9) y (3.10). Además, la fuerza de interacción entre componentes m se puede descomponer en una fuerza estática, o de equilibrio, me y en una fuerza dinámica md , dependiente del movimiento. Con esta restricción y definiciones, las ecuaciones (3.9) y (3.10) pueden ser escritas en la forma:

26

Manual de Filtración & Separación

Balance de momentum lineal del sólido:

0  
Ts  s g  m

(3.11)

Balance de momentum lineal del fluido:

0  
Tf  f (1  )g  m

(3.12)

3.1.1 Componente Fluido Para todo tipo de fluido, los esfuerzos pueden ser separados en una parte de equilibrio y una parte dependiente del movimiento: Tf   pf (1  )I  TfE

(3.13)

donde pf es la presión parcial, o simplemente la presión, del componente fluido y TfE es el esfuerzo viscoso del fluido. Reemplazando en la ecuación (3.13) el balance de momentum lineal del fluido resulta: p f  
TfE  f 1    g  m e  m d

(3.14)

En flujos en sistemas particulados hay dos variables relacionadas con fricción. Una de ellas es el esfuerzo viscoso TfE que representa la fricción interna dentro del fluido y la otra la fuerza de interacción m, que corresponde a la fricción entre el fluido y el sólido. La experiencia demuestra (Marle, 1967; Whitaker, 1967, 1986) que la fricción fluido-fluido es mucho más pequeña que la fricción sólido-fluido y, por lo tanto puede ser despreciada en la ecuación (3.14) la que se reduce a: p f  f (1  )g  m e  m d

(3.15)

Despreciar el término viscoso en la ecuación constitutiva de los esfuerzos representados por la ecuación (3.13) equivale a considerar el fluido como un fluido elástico. 3.1.2 Presión de Poros La presión pf del fluido es una variables definida en superficies que abarca el componente fluido en su totalidad. Recordar que el componente sólido y el fluido son medios continuos superpuestos. Por esta razón, la presión del fluido no es mensurable experimentalmente, ya que solamente parte de la superficie y volumen del lecho poroso está ocupada por cada componente. La variable experimental asociada al flujo en lecho poroso es la presión de poros. En mecánica de fluidos se ha demostrado que, para una mezcla sólido-fluido, la presión del fluido es continua en superficies permeables, esto es, en superficies que dejan pasar el fluido pero retienen el sólido. Por esta razón la presión en los poros de un lecho poroso, que recibe el nombre de presión de poros "p", se puede medir mediante un manómetro. La figura 3.1 muestra la forma de medir la presión de poros:

Capítulo 3. Sistemas Particulados

27

p  z   f g  h  z  Manómetro

q h-L

L-z

L

h-z

h

k z

q

Fig. 3.1 Medición de la presión de poros.

Procesos que se desarrollan en sistemas particulados generalmente dependen de la presión en exceso sobre la presión hidrostática, ya que a esta presión de equilibrio el proceso llega a su fin. Es por ello que se introduce el concepto de presión de poros en exceso (sobre la hidrostática), o simplemente presión en exceso, "pe", definida por: pe  z   p  z   f g z (L  z)

(3.16)

3.1.3 Componente Sólido En general, las propiedades del componente sólido de un medio particulado dependen fuertemente de la concentración de este componente. Es así como en sistemas diluidos las partículas tienen mayor libertad de movimiento, mientras que en medios concentrados, éstas son obstaculizadas en su movimiento por la presencia de otras partículas. La variable característica que separa estas dos formas de comportamiento es la concentración crítica c, que se define como aquella concentración en que las partículas entran en contacto directo unas con otras. A concentraciones menores de la crítica el medio se denomina suspensión y toda fuerza de contacto entre partículas se efectúa por intermedio del fluido. A concentraciones mayores de la crítica el medio recibe el nombre de medio poroso, lecho poroso o sedimento y los esfuerzos en el sólido puede ser transmitidos de partícula a partícula directamente. En estos casos se forma una especia de esqueleto que transmite el esfuerzo en el sólido. Tomando en consideración estas características, supondremos que el esfuerzo en el sólido es constante para concentraciones menores que la crítica y se comporta como un sólido elástico e isotrópico para valores mayores. Por lo tanto, la componente del esfuerzo Ts puede ser descrito en términos de la presión del sólido ps en la forma (Bustos et al 1999):

28

Manual de Filtración & Separación Ts   ps I

con

 para   c  ps       ps ()  para   c

(3.17)

donde c se denomina concentración crítica. Así, el balance de momentum lineal del componente sólido se transforma en: ps  f g  m e  md

(3.18)

3.1.4 Esfuerzo efectivo del sólido Al igual que en el caso del fluido, la presión en el componente sólido no es una variable mensurable experimentalmente. Cuando una fuerza compresiva se aplica a un medio poroso a concentraciones mayores a la crítica, el esfuerzo total es soportado inmediatamente por el fluido que llena los intersticios entre las partículas aumentando la presión de los poros. El gradiente de presión establecido en el agua que llena los poros y el exterior del sedimento, esto es la presión de poros en exceso, inicia el flujo de agua desde el sedimento hacia fuera de él. Este flujo es acompañado por una disminución de la presión de poros y un traspaso progresivo del esfuerzo al esqueleto sólido. Esto, a su vez, produce una deformación del medio poroso, la magnitud de la cual, depende de la relación constitutiva entre esfuerzo y deformación del material sólido y cuya velocidad está gobernada por su permeabilidad. Se denomina consolidación del medio poroso al proceso transiente de traspaso del esfuerzo aplicado desde el agua que llena los poros lecho poroso al esqueleto sólido produciendo su asentamiento. La figura mostrada a continuación es un análogo mecánico de la consolidación. La figura 3.1 muestra las diversas longitudes que asume un resorte sometido a determinadas cargas. En la figura inferior cada resorte es sumergido en agua contenida en un cilindro con un pistón, sin fricción, y una llave. 

Figura 1: Inicialmente el sistema está en equilibrio, con la llave abierta y sin peso.



Figura 2: La llave se cierra y se coloca un peso de 20 kg. Como el agua es incompresible, la presión en el agua (presión de poros), soporta el peso total sin producir deformación en el resorte (esqueleto sólido).



Figura 3: La llave se abre y el agua sometida a presión sale como un chorro con una velocidad controlada por el exceso de presión entre el interior y el exterior (presión de poros en exceso a la hidrostática) y por la fricción entre el agua y el tubo de salida.

Capítulo 3. Sistemas Particulados

0 kg

0 kg

29 5 kg

10 kg

15 kg

20 kg

20

0 kg

Peso total

0

20

20

20

20

20

Presión poros

0

20

20

15

10

5

0

Presión sólido

0

0

0

5

10

15

20

Figura

1

2

3

4

5

6

7

Fig. 3.1 Representación mecánica de la consolidación.



Figura 4: A medida que el agua sale, el pistón baja en forma paulatina comprimiendo al resorte, el que comienza a asumir parte de la presión externa. Aquí asume 5 kg. y su largo es el correspondiente a la figura superior sometido a 5 kg. Entretanto el agua tiene una presión de 15 kg.



Figura 5: Sale más agua, el pistón sigue bajando, el resorte asume 10 kg. y el agua 10 kg.



Figura 6: Sigue saliendo agua, el pistón baja, el resorte asume 15 kg. y el agua solamente 5 kg.



Figura 7: El agua deja de salir del pistón. Éste ha llegado a la longitud correspondiente al peso de 20 kg., mientras que el agua no soporta ningún peso y tiene la presión estática.

El proceso completo, esquematizado por las figuras 1 a 7, ha transferido los 20 kg. de carga del pistón desde el agua al resorte, esto es, desde la presión de poros al esfuerzo efectivo del sólido. 3.1.5 Presión total La presión total pt en un sistema particulado, al igual que en el esquema mecánico anterior, es la suma de la presión soportada por el fluido mas la presión soportada por el sólido:

p t  p f  ps  p   e

(3.19)

30

Manual de Filtración & Separación

donde ps y pf son las presiones de los componentes sólido y fluido de la mezcla, considerados como medios continuos superpuestos ocupando el mismo volumen, y p y e son la presión de poros y el esfuerzo efectivo del sólido definidos, el primero, sólo en el fluido contenido en los poros y el segundo sólo en el esqueleto sólido. La relación entre las variables teóricas y las experimentales se puede obtener al calcular la fuerza ejercida por el fluido en una superficie de área S:

z

p f dS 

S

z

Sf

zb

g

pdSf  p  sdS S

(3.20)

donde Sf es el área de una sección del lecho poroso conteniendo solamente fluido, S es el área total del lecho poroso que incluye el sólido y el fluido y s es la porosidad superficial. Si se supone que la porosidad superficial s (fracción de la superficie de la sección del lecho poroso formada por fluido) es igual a la porosidad volumétrica  (fracción de volumen del lecho poroso formado por fluido)  f    1   , la ecuación (3.20) se puede escribir en la forma:

z

z

(3.21)

p f  (1   )p

(3.22)

p f dS  p(1   )dS

S

S

de donde resulta:

y, usando la ecuación (3.19) se obtiene:

p s  p   e

(3.23)

Substituyendo las presiones de sólido y fluido por sus equivalentes experimentales desde las ecuaciones (3.22) y (3.22), los balances locales de momentum lineal (3.18) y (3.15) se obtiene:

3.2

  p   e  f g  m e  m d

(3.24)

  (1  )p   f (1  )g  m e  md

(3.25)

FUERZA DE INTERACCIÓN EN EL EQUILIBRIO

Consideremos el balance de fuerzas del componente fluido (3.25) en el equilibrio. En este caso sabemos que la fuerza de interacción dinámica m d  0 y que

b

g

la presión de poros es la presión hidrostática p( z )  f g L  z ) , donde L es la altura de la columna de agua. Reemplazando en (3.25) resulta: (1  )f g  p  equilibrio  f (1  )g  m e

m e  p  equilibrio

(3.26)

Capítulo 3. Sistemas Particulados

31

Suponiendo que la forma funcional de esta ecuación es siempre válida, podemos escribir: m e  r, t   p

(3.27)

Reemplazando (3.27) en los balances de fuerza (3.25) y (3.24) se obtiene: p   f g 

md 1 

(3.28)

 e  g 

md 1 

(3.29)

En términos de la presión de poros en exceso pe, la expresión para el fluido se reduce a: p e  

md 1 

(3.30)

Combinando (3.29) y (3.30) podemos sustituir (3.29) por:

pe   e  g 3.3

(3.31)

DISCONTINUIDADES

Es bien conocido el hecho que suspensiones desarrollan discontinuidades. Por esta razón debemos establecer las ecuaciones de salto que reemplazan a las ecuaciones de campo locales en estas discontinuidades.

3.4

   vs  e I

(3.32)

  v s    vs ( vs  e I )  (pe  f g(L  z)  e )eI 

(3.33)

PROCESO DINÁMICO

Resumiendo los resultados anteriores, se puede decir que el flujo a través de un sistema particulado puede ser representado por las siguientes variables de campo: la fracción volumétrica de sólidos (z,t), la velocidad del sólido y del fluido vs(z,t) y vf(z,t), la presión de poros en exceso pe(z,t), el esfuerzo efectivo del sólido e(z,t) y la fuerza dinámica de interacción entre el sólido y el fluido md(z,t). Se dice que estas 6 variables de campo constituyen un proceso dinámico si, en las regiones donde las variables son continuas, cumplen: 1) Las ecuaciones locales de campo:   
 v s   0 t

(3.34)

32

Manual de Filtración & Separación 
q  0 ,

con

 e  g  p e  

q  v s  (1  ) v f

md 1 

md 1 

(3.35) (3.36) (3.37)

2) En las discontinuidades cumplen las condiciones de salto:

   v s  e I   v s    vs ( vs  e I )  (pe  f g(L  z)  e )eI 

(3.38) (3.39)

3) Se debe establecer ecuaciones constitutivas para e y md para describir el comportamiento del material y completar el conjunto de seis ecuaciones que describen cuantitativamente el fenómeno:

3.5

m d  m d (, v s , q,)

(3.40)

e  e (, v s , q,)

(3.41)

REFERENCIAS

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CAPÍTULO 4 SEDIMENTACIÓN DE SISTEMAS PARTICULADOS Se denomina sedimentación el asentamiento de una partícula, o una suspensión de partículas, en un fluido por efecto de una fuerza externa, que puede ser la gravedad, una fuerza centrífuga o cualquier otra fuerza de cuerpo. Por muchos años ingenieros e investigadores del campo de la Tecnología de Partículas han estado buscando una ecuación simple que relacione la velocidad de sedimentación de suspensiones de partículas en un fluido con su tamaño, forma y concentración. Un objetivo tan simple ha requerido un enorme esfuerzo y ha sido solucionado solamente en parte. Desde los trabajos de Newton (1687) y Stokes (1844) de flujo alrededor de una partícula y las investigaciones mas recientes de Lapple (1940), Heywood (1962), Brenner (1964), Batchelor (1967), Zenz (1966), Barnea y Mitzrahi (1973) y muchos otros, hasta los de Concha y colaboradores (1979-1986), han establecido una teoría heurística, esto es, basada en principios fundamentales de la mecánica, pero con un mayor o menor grado de intuición y empirismo. Estos trabajos resuelven primero la sedimentación de una partícula en un fluido y luego introducen correcciones debido a la interacción entre partículas, mediante las cuales la sedimentación de una suspensión se ve dramáticamente disminuida. Este enfoque que usa principios de la mecánica de partículas ha recibido el nombre de enfoque discreto. La sedimentación discreta ha sido exitosa para establecer ecuaciones constitutivas en los procesos de sedimentación, esto es, para establecer las propiedades de sedimentación de un determinado material particulado en un determinado fluido. Sin embargo, para analizar un proceso de sedimentación y obtener patrones de comportamiento que permita predecir capacidades de tratamiento y diseño de equipos, se ha recurrido a otro enfoque que utiliza la mecánica de medio continuo como base para analizar el movimiento de suspensiones. Este es el enfoque continuo. En este capítulo presentaremos y analizaremos el enfoque discreto.

4.1

SEDIMENTACIÓN DISCRETA

La física del proceso de sedimentación más elemental, el asentamiento de una partícula sólida en un fluido, se conoce desde hace bastante tiempo. La ecuación de sedimentación de una esfera fue propuesta por Stokes en 1851 y puede considerarse como el punto de partida de toda discusión de los procesos de sedimentación. Stokes demostró que la velocidad terminal de una esfera en un fluido es directamente proporcional a la diferencia de densidades entre el sólido y el fluido, al cuadrado del

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34

Manual de Filtración & Separación

radio de la esfera, a la fuerza de gravedad e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido. Esta ecuación se basa en un balance de fuerzas sobre la partícula. Sin embargo, la ecuación obtenida es válida solamente para movimientos muy lentos, ya que para aquellos más rápidos es necesario desarrollar expresiones más elaboradas. El problema radica en la fuerza hidrodinámica entre la partícula y el fluido. Consideremos el flujo incompresible sobre una esfera sólida. Las ecuaciones que describen este fenómeno son las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes (Concha y Barrientos 1993). Desgraciadamente esta última ecuación es no-lineal e imposible de resolver analíticamente en forma general. Por ello, se ha buscado mecanismos para resolverla en casos particulares. Se ha demostrado que el número de Reynolds, Re  f du  , donde , d y u son la densidad, el diámetro y la velocidad de la partícula y  es la viscosidad del fluido, expresión adimensional que representa la razón entre las fuerzas convectivas y difusivas en la ecuación de Navier-Stokes, es un importante parámetro en la caracterización del flujo. Cuando el número de Reynolds es pequeño, (Re0), como por ejemplo Re0 y la región de transporte hidráulico o neumático entre =0 y el eje de las ordenadas. Wen and Yu (1966) y Barnea and Mednick (1975) muestran que la velocidad inicial de fluidización corresponde a una concentración de =0.585.

56

Manual de Filtración & Separación 1.00E+02

=0,3

Velocidad adimensional u*

1.00E+01

=0,2

1.00E+00

=0,4 1.00E-01

=0,1 =0,5 1.00E-02

=0

1.00E-03

=0,585

1.00E-04

0.01

0.1

1

10

100

1000

Diámetro adimensional d*

Fig. 4.11 simulación de la velocidad de sedimentación adimensional u* de partículas de tamaño adimensional d* para varios valores de la concentración a 20°C.

Consideremos como un ejemplo que un flujo en un lecho poroso, formado por partículas esféricas de tamaño adimensional d*=1, el fluido percola a través del lecho a una velocidad adimensional dada por u* a una temperatura de 20°C. Si la velocidad u* aumenta su valor, éste se puede calcular de la figura 4.11 trazando una recta vertical en d*  1 . El fluido percolará a través del lecho fijo hasta que se alcance la velocidad u*  2.9  104 , momento en el cual el lecho se expandirá. El lecho permanecerá fluidizado al aumentar la velocidad hasta u*  2  102 y de ahí en adelante las partículas comenzarán a dejar el lecho al aumentar su velocidad.

Ejemplo 5 Calcular la velocidad de sedimentación de una suspensión de monotamaño de esferas de 150 m a 15 °C con una concentración de 40% de sólidos en peso. Los parámetros son:  

40  0.20 2.65  (100  40)  40

agua  0.9959 ,  agua  0.01280 , P  4.2385  103 , Q  3.0329

f p (0.2)  1.40066 , f q (02)  0.86692

Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados d* 

150  3.5390 4.2385  103

u* 

20.52 f p    f q    1  0.0921f p3 2d *3 2 d*



57



12



1

2

u *  0.423 y u  0.423  3.0329  0.128 cm s

Ejemplo 6 Calcular la velocidad de fluidización de una suspensión monotamaño de partículas de cuarzo de 150 m de diámetro y densidad 2.65 g/cm3 a 15°C y una concentración de 40% de sólidos en peso. Calcular, además, a que velocidad de precolación las partículas indicadas comenzarán a ser transportadas. La velocidad de precolación es q  vs  (1  )v r . Como v r  u , y a la velocidad de transporte   0 , q(0)   u(0) . Del problema anterior podemos calcular: q  (1  0.20)  1.28  1.024 cm s

El transporte comenzará cuando la concentración tienda a cero. Como d*  3.539 , u *  0.423 y q  u(0)  1.28 cm s

4.1.8 Sedimentación de partículas isométricas Las partículas no-esféricas tienen un comportamiento diferente a las esféricas durante la sedimentación. Mientras que las partículas esféricas caen en una trayectoria vertical, las partículas no-esféricas, vibran rotan y siguen una trayectoria espiral. Varios autores han estudiado la sedimentación de partículas isométricas, esto es, partículas con un alto grado de simetría tales como tetraedros, octaedros y dodecaedros, con tres ejes de simetría mutuamente perpendiculares e iguales. Entre ellos Wadell (1932, 1934), Pettyjohn and Christiansen (1948) and Christiansen and Barker (1965). Sus trabajos indican que las partículas isométricas siguen trayectorias verticales a números de Reynolds pequeños, pero rotan, vibran y tienen trayectorias helicoidales para números de Reynolds entre 300 y 150.000. Pettyjohn y Christiansen (1948) demostraron que la velocidad de sedimentación de partículas isométricas en régimen de Stokes se podía describir mediante la siguiente expresión:     0.843log   ue  0.065 

up

(4.53)

donde ue es la velocidad de sedimentación de una esfera que tiene el mismo volumen que la partícula (esfera equivalente), entonces:

58

Manual de Filtración & Separación ue 

d 2e g 18f

(4.54)

en esta expresión de es el diámetro equivalente o diámetro de la esfera equivalente. Para el rango de números de Reynolds entre 2.000