Manual de Estudio Matematica

       7        1        0        2 Edición

Dominio

Matemático

Créditos DOMINIO MATEMÁTICO Servicio Ecuatoriano de Capacitación Profesional - SECAP Secretaría de Educación Superior, Ciencia, Tecnología e Innovación-SENESCYT

ELABORACIÓN Y REVISIÓN: SECAP Dirección Ejecutiva Subdirección Técnica Dirección de Diseño Pedagógico SENESCYT Secretaría de Educación Superior, Ciencia, Tecnología Tecnología e Innovación Subsecretaría de Acceso a la Educación Superior Dirección de Nivelación

EQUIPO CONSULTOR Ing. Patricio Rodríguez Montalvo MSc.

Primera edición. Octubre 2017. Quito - Ecuador. Reservados todos los derechos SECAP-SENESCYT 2017.

Créditos DOMINIO MATEMÁTICO Servicio Ecuatoriano de Capacitación Profesional - SECAP Secretaría de Educación Superior, Ciencia, Tecnología e Innovación-SENESCYT

ELABORACIÓN Y REVISIÓN: SECAP Dirección Ejecutiva Subdirección Técnica Dirección de Diseño Pedagógico SENESCYT Secretaría de Educación Superior, Ciencia, Tecnología Tecnología e Innovación Subsecretaría de Acceso a la Educación Superior Dirección de Nivelación

EQUIPO CONSULTOR Ing. Patricio Rodríguez Montalvo MSc.

Primera edición. Octubre 2017. Quito - Ecuador. Reservados todos los derechos SECAP-SENESCYT 2017.

Presentación El presente manual “Dominio Matemático” ha sido elaborado con la nalidad de facilit facilitar ar los procesos de capacitación que ejecuta el SERVICIO ECUATORIANO DE CAPACITACIÓN PROFESIONAL – SECAP en conjunto con LA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR, CIENCIA, TECNOLOGÍA E INNOVACIÓN - SENESCYT.

Este documento ha sido elaborado a partir del análisis de los resultados alcanzados por los estudiantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller, y cuya evaluación les permite ingresar a las Instituciones de Educación Superior (IES) del Ecuador. Es el producto de la sistematización técnico- pedagógica de conocimientos expuestos del Dominio Matemático, de manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje.

La matemática actualmente se conjuga entre el desar rollo abstracto y su aplicación en contextos reales, ambos ejes fundamentales en su tratamiento, tanto para comprender la realidad y dar respuesta a situaciones concretas, así como para generar y demostrar teorías basadas en estructuras y conceptos fundamentales.

En estas unidades formativas se trabajará, teoría del conteo, ecuaciones e inecuaciones, funciones, sucesiones, series y vectores; buscando la adquisición de conocimientos y destrezas necesarias para su análisis más complejo.

Dirección de Diseño Pedagógico

Orientaciones Metodológicas

DOMINIO MATEMÁTICO ÁREA: Educación y Capacitación. ESPECIALIDAD: Capacitación (Identicación de necesidades, Procesos de capacitación continua, evaluación y seguimiento)

OBJETIVO: Resolver problemas estructurados y de representación de variables, evaluando y aplicando las teorías de conteo, ecuacio nes e inecuaciones, funciones, sucesiones, series y vectores.

Pre requisitos

Para iniciar el curso y avanzar con óptimos resultados en el aprendizaje, el participante debe contar con los siguientes requisitos:

• Bachillerato aprobado. • Edad mínima: 16 años cumplidos. • Otros: Que hayan rendido el examen SER BACHILLER y que no han obtenido un cupo para la Educación de Nivel Superior.

DOMINIO MATEMÁTICO

Índice 1.1. Teoría Combinatoria................................................................................................................. 8 1.1.1. Introducción ................................................................................................. ............................ 8 1.1.2. Principios básicos: ................................................................................................................... 9 1.1.2.1 Principio básico (multiplicación)..............................................................................................9 1.1.2.2 Principio básico (suma).........................................................................................................10

1.2. Métodos de Conteo................................................................... ...............................................11 1.2.1. Permutaciones (Pn): denición ...............................................................................................11

1.2.1.1. El factorial de un número.................................................................................................... 12 1.2.2. Variaciones: denición ........................................................................................................... 12 1.2.3. Combinaciones: denición. ................................................................................................ .... 13

Glosario de términos ............................................................................................... ........................ 17 Bibliografía....................................................................................................................................... 18

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DOMINIO MATEMÁTICO

OBJETIVO: Al nalizar el presente módulo estarás en la capacidad de: • Identicar en problemas de teoría combinatoria permutaciones, variaciones y combinaciones. • Determinar el número de arreglos posibles de un conjunto de elementos con aplicaciones en ejercicios y problemas.

Fuente: www.google.com 

Bienvenido(a) y comencemos…

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   Y    N     Ó    I   A    I    C    R    A    O    T    M    A    R    N    O    I    F   B    N    I   M    O    E    C    D    A    S    I    Í    R    S    I   O    L    E     Á    T   O    N    E    T    A    A    L   N    Y    O    A    N    C    A     Ó    I   D    E    C    D    A    A    N    S    Z    I   O    I   O    N    D    C    A    O    A    G    L   T     É    R    E    O    R    M

   1    A    V    I    T    A    M    R    O    F    D    A    D    I    N    U

Evaluación diagnóstica

Evalua tus conocimientos ingresando en la plataforma virtual: Unidad Formativa UNO / evaluación diagnóstica

1.1. Teoría Combinatoria 1.1.1. Introducció  La teoría combinatoria que se relaciona con las técnicas de conteo, persigue básicamente darnos información sobre todas las formas posibles en las cuales puede ocurrir un evento especíco bajo determinadas condiciones o reglas, esto es, determinar el número de ordenamientos o agrupamientos, posibles entre los elementos de un conjunto.

Contexto Imagina la siguiente situación: En tu casa tu papá, ha pensado en colocar una alarm a de seguridad, que tiene un código formado por cinco elementos, de acuerdo a la siguiente condición: - Los 3 primeros elementos deben ser una letra vocal. - Los 2 últimos elementos pueden ser cualquier dígito. Se te pide que establezcas el código y que indiques ¿cuántas opciones de códigos dispones? Puedes pensar en formar todas las opciones posibles, pero te llevaría mucho tiempo ¡verdad! Damos respuesta a esta y otras preguntas que están relacionadas con las técnicas de conteo con el estudio de esta unidad.

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1.1.2 Principios básicos: 1.1.2.1 Principio básico (multiplicación) Si existen m formas en las que puede ocurrir un evento A y n formas en las que puede ocurrir un evento B, existirán m × n maneras diferentes de que sucedan ambos eventos.

Aplicación: En el contexto de inicio planteado, encontramos la siguiente representación:

? ? ? ? ? v

v

v

d

d

Fuente: www.google.com 

Los tres primeros elementos de tu código secreto son vocales y los dos últimos son dígitos, como no se especica lo contrario, suponemos que tanto las vocales como los dígitos pueden repetirse; por tanto, tendrías las siguientes opciones por cada elemento:

• 5 opciones en cada elemento de las vocales. • 10 opciones en cada elemento de los dígitos.

Solución: Aplicando el principio de multiplicación tenemos como resultado: (5)×(5)×(5)×(10)×(10) Opciones totales, las cuales dan un total de 12500 combinaciones.

Así, este principio simple te permite calcular con un método de conteo las opciones totales que tienes para establecer. En este caso tu código de seguridad.

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Para pensar:

Calcula los nuevos totales, si tienes las siguientes condiciones:

a) Tanto las vocales como los dígitos no pueden repetirse. b) En los primeros tres elementos puedes utilizar vocales o consonantes del alfabeto.

Actividades

FORO

Participa en el foro ingresando en la plataforma virtual: Unidad Formativa UNO / Actividades / Foro

1.1.2.2 Principio básico (suma). Si un evento A puede ocurrir de m maneras diferentes y otro B de k maneras diferentes, incompatibles las unas con las otras; las maneras totales en que puede ocurrir el evento A o el evento B, pero no ambos, es: m + k.

Aplicación: Se lanzan dos dados normales. ¿De cuántas maneras se puede obtener una suma igual a 3 o 4? Fuente: www.google.com 

Solución: Los eventos: obtener un 3 o lograr un 4 son eventos incompatibles, pues no pueden suceder simultáneamente. Determinemos las posibilidades de los eventos como conjuntos de pares ordenados ( dado 1 y el dado 2 ). Evento A: Obtener una suma de 3 = {(1,2);(2,1)}, 2 opciones. Evento B: Lograr una suma de 4 = {(1,3);(3,1);(2,2)}, 3 opciones. Luego: Para obtener una suma de 3 o 4 tenemos que sumar 2 + 3, obtenemos 5 maneras.

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1.2. Métodos de conteo De acuerdo a las condiciones propuestas en los ejercicios y problemas, podemos tener diferentes métodos para determinar el número total de arreglos posibles entre los elementos de un conjunto, los mismos que están basados en ordenamientos y agrupaciones.

1.2.1. Permutaciones (P n): defnición. Las permutaciones de un conjunto de n   elementos las entendemos como todos los posibles ordenamientos que se pueden realizar entre los n  elementos de este conjunto.

Aplicación: Si en la nal de una competencia de 100m planos compiten 3 deportistas numerados (12), (45) y (31) que lograron cronometrar el tiempo requerido para la nal, ¿dé cuántas maneras pueden llegar a la meta y ubicarse en las tres posiciones? Fuente: www.google.com 

Como la pregunta tiene que ver con todos los posibles ordenamientos de llegada a la meta, podemos formarlos de la siguiente forma:

Solución: • (12)(31)(45)

•

(31)(45)(12)

• (12)(45)(31)

•

(45)(12)(31)

• (31)(12)(45)

•

(45)(31)(12)

Un total de 6 ordenamientos posibles En este caso la formación resultó simple, pero en el caso de tener 5 o más competidores en la nal nos llevaría más tiempo, y no resultaría tan agradable; es por esta razón que el cálculo de permutaciones se basa en la siguiente denición.

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DOMINIO MATEMÁTICO

1.2.1.1. El factorial de un número. Dado un número natural n, su factorial se simboliza como n! y se calcula de acuerdo a la siguiente expresión:

n! = 1×2×3×…×n Tomando en cuenta que:

0!=1 n! representa el número total de ordenamientos que se pueden realizar entre los n elementos de un conjunto. En la aplicación  anterior tenemos en la nal 3 competidores, por tanto 3 elementos, y el cálculo de sus posibles ordenamientos, esto es, las probables posiciones de llegada son 3! Solución: 3! = 1 × 2 × 3 = 6 opciones totales, que concuerda con el número de formaciones realizadas. Por tanto, para calcular el número de las posibles ordenaciones de un conjunto de n elementos emplearás la siguiente expresión:

Expresión de las permutaciones:

Pn = n!

1.2.2. Variaciones (V pn ). Defnición

Las variaciones las entenderemos como todas las posibles permutaciones o agrupamientos ordenados de p elementos que podemos realizar en un conjunto de n  elementos.

Condición:

n >p

Expresión:

Existen muchas ocasiones en las que necesitamos escoger subconjuntos ordenados   dentro de un conjunto total, tú lo has vivido muchas veces cuando dentro de un grupo de compañeros eligen por ejemplo, una directiva para que los represente.

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Aplicación En tu aula de clases hay 25 estudiantes en total, y necesitan elegir, al inicio del año un presidente, un vicepresidente y un tesorero. ¿De cuántas formas los pueden elegir? Fuente: www.google.com 

Lo primero que debes reconocer es que se formarán en la elección subconjuntos de 3 estudiantes, que corresponden a las 3 dignidades a elegir, y también que la clave para la aplicación de las variaciones consiste en que el ORDEN  es importante en estos subconjuntos, pues las dignidades a elegir cumplirán labores diferentes.

Solución: Tenemos como información n = 25 y p = 3. Por tanto, procedemos a calcular:

Obteniendo un resultado de: 13800 maneras posibles

1.2.3. Combinaciones

. Defnición.

En muchas situaciones necesitamos seleccionar grupos de elementos de un conjunto, en los cuales el orden de los mismos carece de importancia, en este contexto aplicamos las denominadas combinaciones de p elementos de un conjunto de n elementos totales.

Condición:

Expresión:

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Aplicación: En un bar disponen de 3 tipos de frutas para realizar jugos de: naranja, mora y tomate. ¿Cuántos tipos de jugos pueden preparar si realizan una combinación de dos frutas en cada preparación? Fuente: www.google.com 

Al tomar en cuenta que en la preparación de los jugos NO IMPORTA EL ORDEN de las frutas al momento de seleccionarlas, procedemos de la siguiente forma: Solución: Tenemos como información n = 3 y p = 2 Por tanto, procedemos a calcular:

Obteniendo un resultado de: 3 opciones de jugo en el bar. Para pensar:

Calcula el nuevo total de opciones bajo la condición de que los  jugos se pueden preparar con una, dos o las tres frutas:

También te puedo mencionar que existen situaciones en las que puedes combinar estos conceptos en la solución de un problema, como en el siguiente caso:

Actividades FORO

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Ejemplo 1: En una empresa necesitan formar un comité de 3 hombres y 2 mujeres, y tienen entre el personal como elegibles a 5 hombres y 4 mujeres. ¿De cuántas maneras se puede crear este comité? Es claro ver que al seleccionar los hombres y las mujeres para el comité no importa el orden, por lo tanto, procedemos con el uso de combinaciones de la siguiente forma:

Solución: Para los hombres tenemos:

Para las mujeres tenemos:

y aplicando el principio básico inicial tenemos: (10) (6) = 60 opciones totales Puedes también ingresar a los siguientes enlaces para favorecer tu comprensión y practicar los conceptos aprendidos.

Enlaces a recursos y práctica

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/prob-comb/combinatorics-precalc/v/  permutation-formula https://es.khanacademy.org/math/precalculus/prob-comb/combinations/v/introductionto-combinations

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Fortalecimiento de conocimientos:

Recursos didácticos Realiza el siguiente juego para fortalecer tus conocimientos accediendo a la plataforma virtual: Unidad Formativa UNO / Recursos didácticos / Desafía tus conocimientos

Actividades TAREA

Realiza las siguientes tareas accediendo a la plataforma virtual: Unidad Formativa UNO / Actividades / Tarea

Técnicas de conteo Refuerza tus conocimientos observando el siguiente video que está en la plataforma virtual: Unidad Formativa UNO / Recursos Didácticos / Videos Educativos / Resumen

Conteo Permutaciones

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Glosario Aplicación. En matemática, puesta en práctica de procedimientos matemáticos en diferentes contextos. Combinación.  de n elementos tomados de p en p, subconjuntos de p elementos de un conjunto de n elementos totales, en los cuales el orden posicional no interesa, pueden tener o no repetición. Concepto.  Una idea que concibe o forma el entendimiento. Condición.  Propiedad que se debe cumplir para que una situación se cumpla. Conteo. Técnica utilizada para cuanticar opciones de eventos. Contexto.  Circunstancias de diferente grado de dicultad que rodean a una situación y permiten comprenderla. Defnición.  Proposición que delimita la comprensión de un concepto.

Evento.  Acontecimiento o suceso de interés. Expresión.  Conjunto de letras y números que caracterizan un término matemático. Factorial. Producto de un número entero positivo por todos sus inmediatos inferiores hasta llegar a la unidad. Permutación.  Son listas en donde el orden es importante, pueden tener o no repetición. Principio. Idea fundamental en la que se basa una técnica. Problema.  En el contexto matemático es una situación planteada cuyo algoritmo de solución no es inmediato. Suceso.  Acontecimiento o evento de interés. Técnica.  Procedimientos para una determinada tarea que se adquiere al practicarla. Variaciones.  En matemáticas de n elementos tomados de p en p, se reere a subconjuntos ordenados de p elementos de un conjunto de n elementos totales, pueden tener o no repetición.

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Bibliografía • Álvarez, Guerrero. (2006). Fundamentos de Matemáticas ESPOL Guayaquil. Poligráca.

• Galindo. (2015). Matemática: Conceptos y aplicaciones. Quito. Prociencia. • Galindo. (2012). Matemáticas Superiores. Quito. Prociencia. • Benalcázar (2014). Fundamentos de Matemática. Quito. Impresión digital. • Benalcázar (2014). Análisis Numérico. Quito. Impresión digital. • Blythe, Fensom. (2015); Estudios Matemáticos. Reino Unido. Oxford. • Brown, Carrell. (2103); Matemáticas Nivel Medio. Slovakia. Pearson. • Villafuerte, Oquendo. (2016) Matemática Bachillerato. Quito. Santillana • Calderón. (2016). Repositorio.continental. Perú. Recuperado de http://repositorio.continental.edu.pe/handle/continental/1782

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Dirección Administración Central  José Arízaga E3-24 y Coronel Conor Teléfono: 593-2 394-4000  Quito - Ecuador 

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ELABORACIÓN Y REVISIÓN: SECAP Dirección Ejecutiva Subdirección Técnica Dirección de Diseño Pedagógico SENESCYT Secretaría de Educación Superior, Ciencia, Tecnología e Innovación Subsecretaría de Acceso a la Educación Superior Dirección de Nivelación

EQUIPO CONSULTOR Ing. Patricio Rodríguez Montalvo MSc.

Primera edición. Octubre 2017. Quito - Ecuador. Reservados todos los derechos SECAP-SENESCYT 2017.

Presentación El presente manual “Dominio Matemático” ha sido elaborado con la nalidad de facilitar los

procesos de capacitación que ejecuta el SERVICIO ECUATORIANO DE CAPACITACIÓN PROFESIONAL – SECAP en conjunto con LA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR, CIENCIA, TECNOLOGÍA E INNOVACIÓN - SENESCYT. Este documento ha sido elaborado a partir del análisis de los resultados alcanzados por los estudiantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller, y cuya evaluación les permite ingresar a las Instituciones de Educación Superior (IES) del Ecuador. Es el producto de la sistematización técnico- pedagógica de conocimientos expuestos del Dominio Matemático, de manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje.

La matemática actualmente se conjuga entre el desarrollo abstracto y su aplicación en contextos reales, ambos ejes fundamentales en su tratamiento, tanto para comprender la realidad y dar respuesta a situaciones concretas, así como para generar y demostrar teorías basadas en estructuras y conceptos fundamentales.

En estas unidades formativas se trabajará, teoría del conteo, ecuaciones e inecuaciones, funciones, sucesiones, series y vectores; buscando la adquisición de conocimientos y destrezas necesarias para su análisis más complejo.

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Orientaciones Metodológicas

DOMINIO MATEMÁTICO ÁREA: Educación y Capacitación. ESPECIALIDAD: Capacitación (Identicación de necesidades, procesos de capacitación continua, evaluación y seguimiento)

OBJETIVO: Resolver problemas estructurados y de representación de variables, evaluando y aplicando las teorías de conteo, ecuaci ones e inecuaciones, funciones, sucesiones, series y vectores.

Pre requisitos

Para iniciar el curso y avanzar con óptimos resultados en el aprendizaje, el participante debe contar con los siguientes requisitos:

• Bachillerato aprobado. • Edad mínima: 16 años cumplidos. • Otros: Que hayan rendido el examen SER BACHILLER y que no han obtenido un cupo para la Educación de Nivel Superior.

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Índice 2.1. Ecuaciones e Inecuaciones...................................................................................................... 9 2.1.1. Términos algebraicos................................................................................................................9 2.1.2. Dominio aritmético y algebraico.………..................................…………….............……….…..10 2.1.3. Ecuaciones: Denición............................................................................................................10

2.1.3.1. Despejes y solución.…………..............................................................................................11 2.1.3.2. Comprobación. ………………………….................................................................……........12 2.1.2. Desigualdad............................................................................................................. ................12 2.1.2.1. Inecuación: Denición...........................................................................................................13

2.1.2.2. Intervalo solución........................................................................................ ........................ 14 2.1.2.3. Comprobación. ................................................................................................................... 15

2.2 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2..................................................................................... 16 2.2.1. Ecuaciones lineales con dos variables...................................................................................16 2.2.2. Clasicación gráca de sistemas lineales 2x2........................................................................18

2.2.3. Métodos de solución.............................................................................................................. 19 2.2.3.1 Método de reducción.............................................................................................................20 2.2.3.2. Igualación.............................................................................................................................22 2.2.3.3. Sustitución............................................................................................................................24 2.2.4. Aplicaciones............................................................................................................. ................25

2.3 Programación Lineal................................................................................................................ 26 2.3.1. Introducción.............................................................................................................................26 2.3.2. Sistemas de inecuaciones lineales con 2 variables.................................................................26 2.3.3. Región factible.........................................................................................................................30 2.3.4. Función objetivo..................................................................................................... ..................30 2.3.5. Solución óptima.......................................................................................................................32

2.4 Funciones Lineal y Cuadrática................................................................................................ 32 2.4.1. Función: elementos de una función.........................................................................................32 2.4.2. Función Lineal y función afín: Concepto y representación......................................................35 2.4.2.1. Propiedades..........................................................................................................................36 2.4.2.2. Ejercicios y problemas..........................................................................................................38

2.4.3. Función Cuadrática................................................................................. ................................ 42 2.4.3.1. Expresión algebraica............................................................................................................42 2.4.3.2. Representación gráca.........................................................................................................42

2.4.3.3. Propiedades..........................................................................................................................42 2.4.3.4. La fórmula cuadrática y el discriminante..............................................................................45

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2.4.3.5. Ejercicios y problemas..................................................................................... ................... 46 Glosario .......................................................................................................................................... 52 Bibliografía....................................................................................................................................... 53

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OBJETIVO: Al nalizar el presente módulo estarás en la capacidad de: • Resolver problemas que consideren ecuaciones lineales o cuadráticas. • Determinar el conjunto solución de una inecuación lineal. • Optimizar la función objetivo en un problema de programación lineal dentro de un contexto especíco.

• Evaluar las propiedades de funciones lineales y cuadráticas.

Fuente: www.google.com

Fuente: www.google.com

Bienvenido(a) y comencemos…

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   N     Ó    I    C    A    T    N    E    S    E    R    P    E    R    Y    S    A    M    E    L    B    O    R    P    E    1    D    S    E    N    L     Ó    I   B    C    A    I    U    L   R    A    O    V    S    E    E    R    D

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   2    A    V    I    T    A    M    R    O    F    D    A    D    I    N    U

Evaluación diagnóstica

Evalua tus conocimientos ingresando en la plataforma virtual: Unidad Formativa DOS / evaluación diagnóstica

 2.1. Ecuaciones e Inecuaciones lineales Introducción. En tu diario vivir encuentras situaciones que las tienes que resolver y que generan el planteamiento de ecuaciones e inecuaciones, en las cuales la diferencia radica en el número de soluciones a determinar; así por ejemplo si sales a comer con tus amigos tendrás como mínimo que repartir el valor de la cuenta o determinar cuánto aportará cada uno en el gasto realizado (ecuación), también si planeas realizar un viaje deberás determinar, de acuerdo a tus planes, la mínima cantidad de dinero que debes llevar para no tener inconvenientes (inecuación).

2.1.1. Términos algebraicos Están formados por una o más variables y una constante literal o numérica; por ejemplo:

-3x En todo término algebraico puedes determinar: el signo (en este caso negativo), el coeciente (en este

caso 3) y la variable (en este caso x). La unión de varios términos algebraicos mediante operaciones forman las expresiones algebraicas que se encuentran formando parte de las ecuaciones e inecuaciones.

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DOMINIO MATEMÁTICO

2.1.2. Dominio aritmético y algebraico. Para poder determinar la solución de ecuaciones e inecuaciones que veremos a continuación deber poseer los siguientes dominios.

Aritmético. Signica que debes poder operar con toda clase de números sin cometer errores. El campo numérico con el que trabajaremos en todo la unidad es el campo de los números realesR.

Algebraico. Signica que debes operar entre términos y expresiones algebraicas con el propósito de simplicar expresiones y determinar soluciones con base a procesos fundamentados algebraicamente

como la factorización.

2.1.3. Ecuaciones: Denición. Es una igualdad entre dos miembros que contienen expresiones matemáticas y que se cumple para algún o algunos valores de la incógnita.

Contexto Imagina la siguiente situación: Juan, tu compañero de clases, fue el pasado n de semana de compras a una librería y te

propone el siguiente reto: Dime ¿cuánto dinero llevé a la librería?, si conoces que compré un libro de Historia con la tercera parte de mi dinero, compré un comic con las dos terceras partes de lo que me quedaba y al salir de la librería todavía tenía 12 USD.

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Ejemplo 1:

Con base al contexto nos corresponde plantear la ecuación a resolver.

Planteamiento. En primer lugar asignamos una variable a la incógnita de nuestro reto.

Fuente: www.google.com 

Sea x la cantidad de dinero total que llevaba Juan, por tanto las condiciones planteadas las podemos expresar como sigue:

costo del libro de Historia

, luego de su compra le queda 

costo del cómic 

al fnal sobra 12 USD 

La ecuación a resolver es: 

2.1.3.1. Despejes y solución. La ecuación planteada la podemos trabajar con los coecientes racionales originales o podemos mul-

tiplicar todos los términos de la ecuación por 9 que es el común denominador y obtener la ecuación equivalente siguiente:

Para despejar trasponemos los términos con x al término izquierdo y obtenemos:

p or   t a  nt  o : 

Luego, ya conoces que tu amigo Juan llevó 54usd a la librería.

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2.1.3.2. Comprobación. El paso más importante a realizar si dudas de tus procesos aritméticos o algebraicos, es realizar un reemplazo de tu solución en la ecuación original planteada:

Lo que nos indica que la solución es la correcta, y además te asegura resolver siempre  una ecuación lineal con una incógnita ¡sin dudar!

2.1.2. Desigualdad. Es una relación entre dos valores en la cual expresamos un criterio de orden. Ejemplos de desigualdades:

10 > 5,

Como puedes observar los símbolos usados son:

1 < 1 5 2

•

“>”

mayor que,

•

“ -7 ,

•

“≥”

mayor o igual que, y

( - 53 ) < (- 23 )

•

“≤”

menor o igual que.

Ahora que ya recuerdas las desigualdades y cómo se expresan, denamos las inecuaciones.

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DOMINIO MATEMATICO

2.1.2.1. Inecuación. Definición. Es una relación entre dos desigualdades condicionadas, esto es, dependen ahora de variables, cuya solución consiste en determinar los valores de las variables, para los cuales la relación de orden expresada es verdadera.

Contexto Imagina la siguiente situación: En tu hogar se está destinando mucho presupuesto para el pago de la línea telefónica. Tu papá va a la empresa de telefonía y le indican la siguiente información: La empresa cobra cada mes 4 USD de tarifa ja por el acceso al

servicio, y cada minuto empleado en llamadas telefónicas cuesta 20 centavos. Con esta información tu papá indica que máximo destinará 25 USD al pago del servicio telefónico; por tanto, tu interés, es saber de cuántos minutos máximo dispone tu familia al mes.

Ejemplo 2:     m     o     c  .     s     e     g     a     m      i     e     e     r      f  .     w     w     w     :     e      t     n     e     u      F

Con base al contexto nos corresponde plantear la inecuación a resolver. Planteamiento. En primer lugar, asignamos una variable a la incógnita a determinar. Sea x el número de minutos que tu familia habla al mes, por tanto las condiciones planteadas las podemos expresar como siguen:

costo jo mensual: 4 USD

pago por minutos de llamada: 0,2x pago máximo a realizar: 25 USD

La inecuación a resolver es:

4 + 0,2x ≤ 25

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2.1.2.2. Intervalo solución. Para determinar la solución de la inecuación planteada procedemos de la siguiente forma: •

•

•

•

Restamos 4 a cada miembro de la inecuación con el pr opósito de dejar solo el término que tiene la variable:

Dividimos ambos miembros de la inecuación para 0,2

Ahora conoces que máximo en tu casa podrán hablar al mes 105 minutos para poder cumplir el objetivo de tu papá. Esta respuesta se puede expresar como el intervalo [0,105]

La respuesta está expresada en forma de intervalo con un valor mínimo de 0 y un valor máximo de 150. Para recordar la estructura de los intervalos y sus nombres te presento el siguiente cuadro:

Intervalo   Cerrado: [a,b] Incluye los valores de a y b

Expresión a≤x≤ b

Abierto: (a,b) No incluye los valores de a y b

a5 Esta desigualdad es una falsedad, por tanto el semiplano no contiene el punto (0,0)

Gracamos la recta y sombreamos la región solución.

28

DOMINIO MATEMATICO

Ahora determinamos la solución de la inecuación:

x - 3y < -6 x - 3y = -6

Los puntos por donde pasa la recta son: (0, 2) y (-6, 0); recuerda que también esta recta se traza segmentada. El punto (0,0) no pertenece al semiplano solución, pues la expresión 00

Recta creciente

m x1 y2 > y1

x2 > x1 y2 < y1

Para pensar:

•

¿Cuál es el valor de la pendiente de las rectas constantes de la forma?

y = k, con k R?

Actividades

FORO

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También puedes revisar el siguiente link, para al concepto de pendiente: https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-graphing-lines-slope/core-algebra -slope/v/slope-and-rate-of-change

37

DOMINIO MATEMÁTICO

2.4.2.2. Ejercicios y Problemas. Ejemplo 10: Solución a) En primer lugar al reconocer que y es una función de x, esto es, y = f(x) podemos escribir la ecuación y = -2x + 5  en la que tanto el dominio como el rango son todos los números reales, pues la variable independiente x puede tomar cualquier valor, ya que no presenta ninguna restricción, así como la variable dependiente y; la representación gráca de la función f(x) = -2x + 5 abarca todo el eje X y todo el

eje Y.

Luego: Dada la función f(x) = -2x + 5, determinar: a) Dominio y rango b) Cortes con los ejes c) Monotonía

b) Tal como vimos en las secciones anteriores, los cortes con los ejes se presentan bajo las siguientes condiciones.

Corte con el eje Y: (x = 0) En nuestro caso lo podemos leer directamente de la ecuación, pues identicando los términos entre

las ecuaciones: y = mx + b, y = -2x + 5. La ordenada en el origen b es igual a 5 y el corte es el punto (0,5).

Corte con el eje X: (y=0) y = -2x + 5 0 = -2x + 5 2x = 5

38

DOMINIO MATEMATICO

El corte en el eje x es el punto de coordenadas (2.5,0) y el valor de x = 2.5 se llama raíz de la función, ya que cumple la condición f(2.5) = 0. c) También podemos identicar en la ecuación y = -2x + 5 que la pendiente m tiene un valor de -2, por tanto de acuerdo al análisis de la tabla anterior esta es una recta decreciente. Todo lo determinado analíticamente lo podemos comprobar en el siguiente gráco.

Ejemplo 11: La siguiente tabla muestra la tarifa de taxis en Ecuador para el año 2010:

Fuente: www.google.com 

Fuente:

http://www.ant.gob.ec.

a) Para el servicio diurno, modela una función lineal que relacione el valor a pagar con la distancia recorrida, suponiendo que es lineal. b) ¿Qué representan los valores 0.35 y 0.26? c) ¿Cuál es el costo de un viaje de 8km?

39

DOMINIO MATEMÁTICO

Solución. a) La función buscada tiene la forma f(x) = mx + b , que se expresa mediante la ecuación y = mx + b, por tanto comencemos asignando las variables: Variable independiente x = distancia del viaje, pues es el valor que va a cambiar con cada uno de los usuarios del servicio. Variable dependiente y = costo del viaje , ya que su valor depende de la distancia del viaje realizado. Según la información la arrancada tiene un valor de 0.35, es decir, todavía no has recorrido ningún kilómetro, por tanto x=0 y corresponde a la ordenada en el origen, el punto (0,0.35). Realicemos una tabla que represente el costo del servicio para los primeros 5km.

Distancia (km)

Costo (USD)

0

1

2

3

4

5

0.35

0.61

0.87

1.13

1.39

1.65

En esta tabla solo hemos sumado la arrancada y el valor de cada km. Su gráco es el siguiente:

El gráco corresponde a una recta que tiene un ritmo de cambio continuo positivo, esto es, creciente y

tiene una pendiente m > 0. Para determinar el valor de la pendiente realicemos el siguiente análisis en la tabla de datos anterior:

( USD)

40

DOMINIO MATEMATICO

Observamos que tanto en la variable independiente x = distancia, como en la variable dependiente y = costo del viaje en taxi, existe un ritmo de cambio continuo, por cada kilómetro adicional el valor se incrementa en 0,26 USD, esto es: Variación en y es ∆y = 0.26 USD Variación en x es ∆x = 1km

Por tanto, la pendiente de esta recta es:

Luego, la ecuación de la recta que tiene la forma y=mx+b se puede expresar como: y = 0.26x + 0.35 

b) El valor de 0.26 representa la pendiente de la recta m y el valor de 0.35 representa la ordenada en el origen b. c) Para determinar el costo de un viaje de 8 km debemos reemplazar la variable x que representa la distancia en km por el valor x=8 y determinar el valor del costo del viaje representado por la variable y.

y= 0.26x + 0.35 y= 0.26(8) +0.35 y= 2.08 +0.35

y = 2.43 El viaje de 8 km tiene un costo de 2.43 USD.

Practica más modelos lineales en el siguiente enlace:

https://es.khanacademy.org/math/algebra/linear-word-problems/linear-models-wordproblems/e/constructing-and-interpreting-linear-functions

41

DOMINIO MATEMÁTICO

2.4.3. Función Cuadrática. 2.4.3.1. Expresión algebraica. La expresión algebraica de una función cuadrática se escribe: f(x) = ax2+ bx + c; con a,b,c R ,a≠0 2.4.3.2. Representación gráca. Su representación gráca es una curva típica llamada

parábola, cuyos elementos se muestran a

continuación:

2.4.3.3. Propiedades. Caractericemos cada uno de los elementos descritos:

Corte en el eje Y.- Toda función cuadrática con ecuación y=ax2+bx+c , con a≠0 tiene un corte en el eje Y, que corresponde al reemplazo del valor x=0 en la función f, esto es: f(x) = ax2 + bx + c f(0) = a(0)2 + b(0) + c f(0) = c

Por tanto el punto de corte en el eje Y es (0,c) y se lo puede leer directamente en la expresión algebraica de la función.

Cortes en el eje X.- Una función cuadrática puede tener 0, 1 o 2 cortes en el eje X de acuerdo a los siguientes casos posibles grácamente:

42

DOMINIO MATEMATICO

Los cortes en el eje X se conocen comúnmente como los ceros o raíces de la función cuadrática, pues se determinan bajo la condición: f(x) = 0 

Esta expresión genera la ecuación: ax2 + bx + c = 0 Que se resuelve factorizando o aplicando la expresión:

Vértice.- El vértice de una función cuadrática es su punto máximo o su punto mínimo, el que queda determinado por la concavidad de la parábola, entendiendo por concavidad la curvatura de la gráca; por tanto podemos tener parábolas cóncavas hacia arriba y parábolas cóncavas hacia abajo de acuerdo al valor del coeciente a de su función. La siguiente tabla muestra la relación de la concavidad de la parábola con el coeciente a y la expresión

para determinar sus coordenadas.

43

DOMINIO MATEMÁTICO

De acuerdo a la tabla anterior para determinar la coordenada x del vértice de la parábola se aplica la expresión x = , y para determinar la coordenada y del vértice se evalúa la función en el valor de x ya indicado, esto es y = f . La coordenada x del vértice de una parábola es un dato fundamental cuando se graca la función

cuadrática con una tabla de valores, ya que estos se distribuyen alrededor de este valor, con el propósito de tener un gráco con la forma completa de la parábola.

Eje de simetría.- El eje de simetría de una parábola es una recta imaginaria paralela al eje Y que pasa por su vértice, por tanto, tendrá como ecuación: x= Podemos observar en el gráco inicial de elementos que alrededor del eje de simetría, las ramas de la

parábola se abren simétricamente y por tanto, si imaginariamente, cerramos estas ramas respecto a este eje, éstas coinciden en todos sus puntos.

Dominio.- Una función cuadrática f(x) = ax 2  +bx + c,a  0 , denida en los reales, tiene como dominio todos los números reales, pues su variable independiente x puede tomar cualquier valor y no está sujeta a ninguna restricción. ≠

Rango.- El rango de la función f(x) = ax 2  + bx +c,a 0 , que corresponde a los valores que toma su variable dependiente y = f(x) , estará determinada por la ordenada del vértice de la parábola y su concavidad. ≠

La siguiente tabla ilustra grácamente las condiciones del dominio y rango expuestas:

44

DOMINIO MATEMATICO

Parábola

Dominio

Rango

]-∞,∞[

Parábola

Dominio

Rango

]-∞,∞[

2.4.3.4. La fórmula cuadrática y el discriminante. La fórmula cuadrática busca determinar los ceros de la función cuadrática, estos son los cortes, con el eje X, llamados también las raíces de la función. Podemos aplicar la siguiente expresión ya dada para determinar los cortes en el eje X:

El número de raíces a determinar depende de la expresión b2 - 4ac que se encuentra bajo el radical y que se conoce como el discriminante (∆), el mismo que permite determinar el número de raíces reales de la función bajo las siguientes condiciones: Para la función cuadrática f(x)= ax 2 +bx +c,a ≠ 0 Si el discriminante ∆ = b2 -4ac > 0, la función tiene dos raíces reales distintas y su gráca corta al eje X en dos

puntos.

Si el discriminante ∆ = b2- 4ac = 0, la función tiene una raíz real (raíz doble) y su gráca es tangente al eje X (topa al eje X en un punto)

Si el discriminante ∆ = b2- 4ac 0, por tanto la parábola es cóncava hacia arriba. c) Para realizar el gráco de la parábola elaboremos una tabla de valores, en la cual la abscisa del vértice ocupará el valor central entre los valores de la variable independiente x.

46

x

2

3

4

5

6

y

6

3

2

3

6

DOMINIO MATEMATICO

Los valores se obtienen de un simple reemplazo del valor propuesto x en la función, es decir, evaluar la función en los valores x de la tabla: f(2),f(3),f(5),f(6). Gracando obtenemos la siguiente parábola:

d) Si observamos el gráco vemos que esta función no tiene raíces reales, su parábola no corta al eje X. Analizando el discriminante:  ∆ = b2 - 4ac= (-8)2 - 4(1)(18) = 64 - 72 = -4 < 0 Lo que concuerda con la clasicación dada de las raíces.

e) Coincide con la coordenada x =

del vértice.

El eje de simetría es la recta x = 4. f) El dominio de la función cuadrática corresponde a todos los números reales como ya se ha determinado, esto es: Df (x) = {x|x R  }  Como la función es cóncava hacia arriba y el vértice es un mínimo, el rango corresponde al intervalo desde la ordenada del vértice hasta innito, esto es: Rf(x) = {y|y≥2} , o también

Rf(x) = y [2,∞[

Ejemplo 13: El snowboard es un deporte olímpico desde 1998 y consiste en surfear por

Fuente: www.google.com 

la nieve. En la práctica del deporte se dan muchos saltos, la altura de los saltos (en metros) de un deportista de élite se puede modelar por la función: h(t) = -t2 + 4t Donde: h(t) representa la altura del deportista en metros, y t representa el tiempo en segundos. • •

47

DOMINIO MATEMÁTICO

Determinar: a) La altura máxima del salto del deportista y el tiempo en alcanzarla. b) ¿Cuánto tiempo estuvo el deportista en el aire? c) La altura del deportista al tercer segundo de saltar.

Solución. En primer lugar, procedamos a gracar la función cuadrática dada construyendo una tabla de valores

en la que la variable independiente es el tiempo, considerando que los valores de t no pueden ser negativos. t≥0

t

0

1

2

3

4

h(t)

0

3

4

3

0

Como notas en la tabla usamos como valor central de la variable independiente t el valor de 2, que corresponde a la abscisa del vértice de la parábola a gracar y se obtiene con la expresión

Las ordenadas de los puntos se obtienen evaluando la función, esto es, reemplazando los valores del tiempo propuestos y hallando los valores correspondientes a:  

h(0),h(1),h(2),h(3),h(4).

Como puedes observar, para los tiempos 0s y 4s la altura es cero, lo que se debe interpretar como la restricción natural del contexto, ya que la variable dependiente altura no admite valores negativos. h(t) ≥ 0 Luego, el gráco obtenido es:

48

DOMINIO MATEMATICO

a) Cada punto de la parábola gracada tiene por coordenadas (t,h(t)), la abscisa (valor en el eje x) corresponde al tiempo y la ordenada (valor en el eje y) corresponde a la altura del deportista. Por tanto, la altura máxima del deportista corresponde a la ordenada del vértice de la parábola, ya que es el punto máximo, y el tiempo en alcanzarla es la abscisa del vértice. El vértice lo podemos ver en el gráco, y calcularlo con las expresiones expuestas en la parte teórica.

Vértice. En primer lugar identicamos los coecientes a,b,c. h(t) = -t2 + 4t f(x) = ax2 + bx + c Podemos identicar: a= -1, b = 4, c = 0.

La coordenada del vértice viene dada por:

Luego con un reemplazo de las constantes obtenemos:

Lo cual significa que la altura máxima del salto es 4 metros y el tiempo en alcanzarla son 2 segundos.

b) El tiempo que estuvo en el aire corresponde en la gráca corresponde a la distancia horizontal (intervalo de tiempo) entre los cortes en el eje x (ceros o raíces de f), esto es, el tiempo entre las alturas cero de h(t), desde el inicio al nal del salto.

Raíces de f. Son los cortes con el eje x y se determinan bajo la condición h(t)=0. -t2 + 4t = 0 Resolvamos por factorización, primero un factor común: t(-t+4) = 0 Luego, como tenemos dos factores igualados a cero, uno de los dos debe valer cero, esto es: t1 = 0s (-t+4) = 0, t2 = 4s

49

DOMINIO MATEMÁTICO

También podemos utilizar la fórmula cuadrática y obtener el mismo resultado: -t2 + 4t = 0 Los coecientes son: a = -1,b = 4 ,c = 0.

La fórmula expresa:

Por tanto el intervalo de tiempo que el deportista estuvo en el aire es t 2  - t 1 = 4s.

c) Para determinar la altura del deportista al tercer segundo debemos reemplazar el valor de t = 3 en la expresión de la altura h(t), esto es, evaluar la altura en el tercer segundo hallando h(3). h(t) = -t2 + 4t h(3) = -(3)2 + 4(3) h(t) = -9 + 12 h(t) = 3m La altura del deportista en el tercer segundo son 3 metros.

50

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Fortalecimiento de conocimientos:

Recursos didácticos Realiza el siguiente juego para fortalecer tus conocimientos accediendo a la plataforma virtual: Unidad Formativa DOS / Recursos didácticos / Desaa tus conocimientos

Actividades TAREA

Realiza las siguientes tareas accediendo a la plataforma virtual: Unidad Formativa DOS / Actividades / Tarea

Programación Lineal Refuerza tus conocimientos observando el siguiente video que está en la plataforma virtual: Unidad Formativa DOS / Recursos Didácticos / Videos Educativos / Resumen

Introducción

1

Planteamiento

2

Región factible

3

Solución

4

Rectas de Nivel

5

Recursos Matemáticos

6

Tipos de Solución

7

51

DOMINIO MATEMÁTICO

Glosario Aritmética.- Rama de las matemáticas que estudia todos los campos numéricos y sus posibles operaciones. Comprobación.- Acción de comprobar, satisfacer la solución de un problema. Desigualdad.- En matemáticas es una relación de orden entre expresiones aritméticas o algebraicas. Despeje.- En matemáticas, un procedimiento para determinar el valor de una incógnita dada una expresión matemática. Dominio.- En matemáticas es el conjunto de valores del conjunto de partida de una función. Ecuación.- Igualdad entre expresiones algebraicas que se verica para valores especícos de la o las incógnitas. Función.- En matemáticas es una relación entre los elementos de un conjunto (dominio) y los de otro (rango) de tal manera que a un elemento del dominio sólo le corresponda un elemento del rango. Inecuación.- Desigualdad entre expresiones algebraicas que se verica para conjuntos de valores de la o las incógnitas. Innito.- Concepto matemático en referencia a la representación de una cantidad sin nal.

Intervalo.- Conjunto de números comprendidos entre dos valores extremos los cuales pueden estar incluidos o excluidos. Método.- conjuntos de pasos ordenados y sistémicos que persiguen un determinado n. Planteamiento.- Viene de exponer una idea mediante un enunciado o una representación gráca referida a un problema o a una situación especíca a ser resuelta.

Raíces.- En matemáticas son los valores de la variable que hacen cero la función. Rango.- En matemáticas es el conjunto de valores del conjunto de llegada que están conectados con uno o más elementos del dominio. Semiplano.- En matemáticas, espacio del plano que satisface una inecuación lineal. Solución.- En matemáticas consiste en dar respuesta a una problemática hipotética o real.

52

DOMINIO MATEMATICO

Bibliografía •

Álvarez, Guerrero. (2006). Fundamentos de Matemáticas ESPOL. Guayaquil. Poligráca.

•

Galindo. (2015). Matemática: Conceptos y aplicaciones. Quito. Prociencia.

•

Galindo. (2012). Matemáticas Superiores. Quito. Prociencia.

•

Benalcázar (2014). Fundamentos de Matemática. Quito. Impresión digital.

•

Blythe, Fensom. (2015); Estudios Matemáticos. Reino Unido. Oxford.

•

Brown, Carrell. (20139; Matemáticas Nivel Medio. Slovakia. Pearson.

•

Villafuerte, Oquendo. (2016) Matemática Bachillerato. Quito. Santillana

•

Calderón. (2016). Repositorio.continental. Perú. Recuperado de http://repositorio.continental.edu.pe/handle/continental/1782

53

Dirección Administración Central  José Arízaga E3-24 y Coronel Conor Teléfono: 593-2 394-4000  Quito - Ecuador 

       7        1        0        2 Edición

Dominio

Matemático

Créditos DOMINIO MATEMÁTICO Servicio Ecuatoriano de Capacitación Profesional - SECAP Secretaría de Educación Superior, Ciencia, Tecnología e Innovación-SENESCYT

ELABORACIÓN Y REVISIÓN: SECAP Dirección Ejecutiva Subdirección Técnica Dirección de Diseño Pedagógico SENESCYT Secretaría de Educación Superior, Ciencia, Tecnología Tecnología e Innovación Subsecretaría de Acceso a la Educación Superior Dirección de Nivelación

EQUIPO CONSULTOR Ing. Patricio Rodríguez Montalvo MSc.

Primera edición. Octubre 2017. Quito - Ecuador. Reservados todos los derechos SECAP-SENESCYT 2017.

Presentación El presente manual “Dominio Matemático” ha sido elaborado con la nalidad de facilitar los procesos de capacitación que ejecuta el SERVICIO ECUATORIANO ECUATORIANO DE CAP CAPACIT ACITACIÓN ACIÓN PROFESIONAL – SECAP en conjunto con LA SECRETARÍA DE DE EDUCACIÓN SUPERIOR, CIENCIA, TECNOLOGÍA E INNOVACIÓN - SENESCYT.

Este documento ha sido elaborado a partir del análisis de los resultados alcanzados por los estudiantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller, y cuya evaluación les permite ingresar a las Instituciones de Educación Superior (IES) del Ecuador. Es el producto de la sistematización técnico- pedagógica de conocimientos expuestos del Dominio Matemático, de manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje.

La matemática actualmente se conjuga entre el desarrollo abstracto y su aplicación en contextos reales, ambos ejes fundamentales en su tratamiento, tanto para comprender la realidad y dar respuesta a situaciones concretas, así como para generar y demostrar teorías basadas en estructuras y conceptos fundamentales.

En estas unidades formativas se trabajará, teoría del conteo, ecuaciones e inecuaciones, funciones, sucesiones, series y vectores; buscando la adquisición de conocimientos y destrezas necesarias para su análisis más complejo.

Dirección de Diseño Pedagógico

Orientaciones Metodológicas

DOMINIO MATEMÁTICO ÁREA: Educación y Capacitación. ESPECIALIDAD: Capacitación (Identicación de necesidades, Procesos de capacitación continua, evaluación y seguimiento)

OBJETIVO: Resolver problemas estructurados y de representación de variables, evaluando y aplicando las teorías de conteo, ecuaciones e inecuaciones, funciones, sucesiones, series y vectores.

Pre requisitos Para iniciar el curso y avanzar con óptimos resultados en el aprendizaje, el participante debe contar con los siguientes requisitos: Bachillerato aprobado. Edad mínima: 16 años cumplidos. Otros:Que hayan rendido el examen SER BACHILLER y que no han obtenido un cupo para la Educación de Nivel Superior.

DOMINIO MATEMÁTICO

Índice 3.1. Función exponencial y logarítmica............................................................................................ 7 3.1.1. Función exponencial............................................................................................................... 7 3.1.1.1. Expresión algebraica........................................................................................................... 7 3.1.1.2. Gráco y propiedades......................................................................................................... 7

3.1.1.3. Modelos exponenciales.......................................................................................................13 3.1.2. Función logarítmica................................................................................................................16 3.1.2.1. Expresión algebraica...........................................................................................................16 3.1.2.2. Gráco y propiedades......................................................................................................... 16

3.1.2.3. Relación con la función exponencial................................................................................... 20 3.2 Solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.............................................................. 22 3.2.1. Propiedades de los exponentes............................................................................................. 22 3.2.2. Propiedades de los logaritmos............................................................................................... 22 3.2.3. Notación exponencial y logarítmica........................................................................................24 3.2.4. Ecuaciones exponenciales: ejercicios....................................................................................25 3.2.5. Ecuaciones logarítmicas: ejercicios........................................................................................27 3.2.6. Comprobación de soluciones................................................................................................. 29 Glosario........................................................................................ .................................................... 34 Bibliográa........................................................................................................................................35

6

DOMINIO MATEMÁTICO

OBJETIVO: Al nalizar el presente módulo estarás en la capacidad de:

• Calcular la solución de una ecuación exponencial o logarítmica. • Comprobar la solución de una ecuación exponencial o logarítmica en un contexto dado.

Fuente: www.google.com 

Bienvenido(a) y comencemos…

7

   N     Ó    I    C    A    T    N    E    S    E    R    P    E    R    Y    S    A    M    E    L    B    O    R    P  .    E    2    D    S    E    N    L     Ó    I   B    C    A    I    U    R    L    A    O    V    S    E    E    R    D

   3    A    V    I    T    A    M    R    O    F    D    A    D    I    N    U Evaluación diagnóstica

Evalúa tus conocimientos ingresando en la plataforma virtual: Unidad Formativa TRES/ Evaluación diagnóstica

3.1. Función exponencial y logarítmica 3.1.1. Función exponencial 3.1.1.1. Expresión algebraica.

Una función exponencial de base a está denida por la expresión: f(x) = ax, con a > 0 y a ≠ 1; x

R

Como podemos observar la expresión de esta función tiene en su base una constante y en su potencia una variable.

3.1.1.2. Gráco y propiedades.

Para determinar el gráco y propiedades proponemos el siguiente ejercicio. Ejemplo 1:

Gracar las siguientes funciones:

f(x) = 3x , g(x)= (1/3)x

La base de la función f es 3, que cumple la condición a>1, en tanto que la base de la función g es 1/3, que cumple la condición 0 < a < 1.

DOMINIO MATEMÁTICO

Construyamos una tabla de valores para determinar la forma de las grácas de las funciones f y g,

x

-3

-2

1/27 1/9

(x)=3x

g(x)=(1/3)x

27

9

-1

0

1

2

3

1/3

1

3

9

27

3

1

1/3

1/9 1/27

En esta tabla podemos identicar tres características fundamentales: 1.

2.

3.

Para las bases propuestas, las funciones f y g son siempre positivas, independiente del valor que pueda tomar su exponente x. La razón de crecimiento es positiva para la función f (función creciente), mientras que es negativa para la función g (función decreciente). Las funciones f y g tienen una misma ordenada en el origen, el punto (0,1).

La tercera característica está basada en la siguiente propiedad:

a0 = 1

a R ,a ≠ 0

El gráco de las funciones es el siguiente: Grácos:

a>1

 0 < a < 1

Podemos notar que la forma de la gráca depende del valor de la base, como se especica en cada gráco.

9

DOMINIO MATEMÁTICO

Propiedades. Una vez que hemos determinado el gráco de la función exponencial, sus características básicas y su forma, podemos analizar las siguientes propiedades:

Dominio En los grácos del ejemplo 1 observamos que la función exponencial es continua y no presenta ninguna restricción para los valores de su exponente x, por tanto, el dominio de la función denida como f (x) =a x, con a > 0 y a ≠ 1 ; a R son todos los números reales.

D (f) = x R x ] -∞ , ∞ [

Rango En la tabla de valores del ejemplo 1 también podemos observar que el valor de las funciones siempre es un valor positivo, independiente del valor que tome el exponente x, por tanto podemos expresar que el rango de la función denida como f (x) = ax  , con a > 0 y a ≠ 1; x R son todos los números reales positivos ( y > 0 ).

Corte con los ejes Corte con el eje Y El corte en el eje Y se da bajo la condición de que la variable independiente, esto es, el exponente x=0, por tanto tenemos que evaluar la función en cero f(0):

f(x)= ax f(0)= a0 =1 Para pensar:

¿Cómo puedes hacer una demostración de que a 0 = 1? Esto signica que independiente del valor de la base a (bajo la denición de la función exponencial), la evaluación de la función en x=0 siempre es 1, lo que ya se vericó en la tabla de valores del ejemplo 1.

Actividades FORO

10

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DOMINIO MATEMÁTICO

Corte con el eje X En la tabla de valores del ejemplo 1 y en los grácos de la funciones podemos observar que los valores de las funciones (los valores en y) son siempre positivos y no llegan a ser cero, lo que signica que la función denida como f(x) = ax, con a > y a ≠ 1; x R no corta al eje x. Lo que observamos en los grácos es que las funciones se aproximan al eje x, matemáticamente se dice que la curva es asintótica al eje x y el eje x es su asíntota horizontal, esto es, la curva tiende a tocar al eje x, pero nunca llega a hacerlo (recuerda que el eje x corresponde a la ecuación y=0).

Funcion Exponencial

Monotonía

f(x)= ax con a > 1

Función creciente. Función de crecimiento exponencial.

f(x)  x

0 -∞ f(x)  x

∞ ∞

f(x)= ax con 0 < a < 1 Función decreciente. Función de decrecimiento o decaimiento exponencial.

f(x) ∞  x -∞

f(x)  x

0 ∞

“La expresión: f(x)  x

∞ ∞

Se lee: f(x) tiende a innito, cuando x tiende a innito.”

11

DOMINIO MATEMÁTICO

También te debo mencionar que las funciones ya denidas pueden manipularse matemáticamente, con lo que sus propiedades pueden cambiar. Por ejemplo, veamos el gráco de la siguiente función:

g(x) = 2(x+1) + 3 Construye una tabla de valores y verica la siguiente forma gráca.

Esta función se ha trasladado horizontal y verticalmente, con lo que se han modicado algunas de sus propiedades. La secuencia de estas transformaciones las podemos ver a continuación:

12

DOMINIO MATEMÁTICO

Podemos observar en el primer gráco que tenemos las características ya denidas el corte en el eje y es el punto (0,1), en el segundo gráco podemos ver una traslación hacia la izquierda de una unidad, con lo que el punto de corte en el eje y cambia al punto (0,2), y nalmente en la función g propuesta en el tercer gráco vemos adicionalmente una traslación de tres unidades hacia arriba lo cual se evidencia en el nuevo punto de corte en el eje y (0,5).

1

y=2

x

2

y=2

x+1

3

y=3

13

DOMINIO MATEMÁTICO

Las propiedades de la nueva función son: Dominio.-  El dominio siguen siendo todos los reales x ]- ∞,∞ [, pues no está presente ninguna restricción para la asignación de los valores de x. •

•

Rango.- Como la función se desplazó hacia arriba 3 unidades, el rango es el conjunto de valores y que pertenecen al intervalo ] 3,∞ [.

•

Asíntota.- La asíntota horizontal ahora es la recta y= 3.

•

Cortes.- Esta función corta al eje Y en el punto de coordenadas (0,5) lo que se puede vericar con un reemplazo de x=0 en la función, además esta función no corta al eje X.

•

Monotonía.- Esta función es creciente en el sentido positivo del eje X.

3.1.1.3 Modelos exponenciales.

Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones concretas en contextos reales para el modelamiento de procesos de crecimiento y decrecimiento exponencial. Una muestra de ellas a continuación: Crecimiento exponencial.

Ejemplo 2:

En un laboratorio se está analizando el crecimiento de una bacteria en particular, se sabe que la colonia inicialmente tiene 500 bacterias y que su número se duplica cada hora, se busca modelar su crecimiento y determinar el número de bacterias luego de 10 horas. Fuente:www.freeimages.com

Solución

Para el modelamiento partamos de una tabla de datos inicial que cumpla con la descripción de la situación planteada.

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DOMINIO MATEMÁTICO

t(horas)

0

1

2

3

Número de bacterias

500

1000

2000

4000

La tabla muestra, como el problema lo propone, una duplicación de las bacterias cada hora. El número de bacterias lo podemos modelar de la siguiente forma: t(horas)

0

1

2

3

Número de bacterias

500

1000

2000

4000

Número de bacterias

500 x 20

500 x 21

500 x 22

3

500 x 2

Aquí podemos observar la presencia de una cantidad constante, las 500 bacterias iniciales de la colonia, que la llamaremos A0 , un factor igual a 2 que lo llamaremos b, y en el exponente el tiempo en años que lo llamaremos t; llamando al número de bacterias A(t), ya que depende del tiempo, podemos escribir el siguiente modelo exponencial:

A(t) = A 0 bt , con A0 ≠ 0 y b > 0 que corresponde al modelo exponencial del ejemplo y que se lo puede generalizar para problemas similares. Para determinar el número, de bacterias, luego de 10 horas bastará evaluar el modelo para el tiempo solicitado: A(10) = 500(2)10 = 512000 bacterias De acuerdo a la explicación que leíste en la monotonía de la función, la base b determinará si el presente modelo es de crecimiento y decrecimiento exponencial bajo las siguientes condiciones.

A(t)=A 0 bt

b>1

A(t)=A 0 bt

0 0 y x= a y, x solo toma valores positivos. En un ejemplo numérico podemos escribir: Si: 23= 8, entonces: log2 8= 3 Donde: • • •

2 es la base, 3 es el exponente (y), y 8 es el número (x)

3.1.2.2. Gráco y propiedades.

Para determinar el gráco y propiedades proponemos el siguiente ejercicio. Ejemplo 4:

Gracar las siguientes funciones:

f(x)= log3 x, g(x)= log1/3 x

Solución:

Como en el caso de la función exponencial, la base a de la función f cumple la condición a > 1, en tanto que la base de la función g cumple la condición 0 < a < 1, condiciones a generalizar. Construyamos una tabla de valores para determinar la forma de las grácas de las funciones f y g.

Si comprendiste la relación entre la base a, el exponente Y, y el valor de X, puedes ver que preferimos colocar valores en la tabla que nos permitan obtener valores inmediatos de la funciones.

17

DOMINIO MATEMÁTICO

x

1/27

1/9

1/3

1

3

9

27

f(x)= log3 x

-3

-2

-1

0

1

2

3

g(x)= log x

3

2

1

0

-1

-2

-3

1/3

En esta tabla podemos identicar cuatro características fundamentales: 1.

Los valores de x y de las funciones f y g están invertidos si los comparamos con los del ejemplo 1.

2.

Para las bases propuestas, los valores de x en la tabla son siempre positivos.

3.

La razón de crecimiento es positiva para la función f (función creciente), mientras que es negativa para la función g (función decreciente).

4.

Las funciones f y g tienen una misma abscisa en el origen, el punto (1,0).

La cuarta característica está basada en la siguiente propiedad: 0

a =1; luego log a 1= 0. El gráco de las funciones es el siguiente:

Las bases de las funciones logarítmicas gracadas tienen la siguiente característica:

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f (x)

a > 1,

g(x)

0 < a < 1.

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Propiedades.Una vez que hemos determinado el gráco de la función logarítmica, sus características y su forma, podemos analizar las siguientes propiedades: Dominio.En los grácos de este ejemplo observamos que la función logarítmica es continua y solo existe para valores positivos de x, por tanto el dominio de la función denida como f(x) =log ax, con a > 0 y a ≠1; son todos los números reales positivos.

D(f)=x R+, x ]0,∞[

Rango.En la tabla de valores también podemos observar que el valor de las funciones puede ser positivo, negativo e incluso cero, por tanto podemos expresar que el rango de la función denida como f(x)= log x, a con a > 0 y a ≠1; x R + son todos los números reales. R(f)= y R, y ] -∞ , ∞ [ Corte con los ejes Corte con el eje X

El corte en el eje X se da bajo la condición de que la función tenga un valor de cero (y=0), lo que se da cuando la variable independiente, esto es, el valor de x=1, tenemos que evaluar la función en uno f(1): f(x)= logax ,

f(1)= loga1=0. Este valor se comprueba, pues la simple pregunta que nos debemos hacer es: ¿A qué exponente se debe elevar la base a para obtener como resultado 1?, y la respuesta siempre va a ser cero, independiente del valor que tome la base a. Corte en el eje x: (1,0) Corte con el eje Y

En la tabla de valores y en los grácos de la funciones podemos observar que los valores de x son siem pre positivos y no llegan a ser cero, lo que signica que la función denida como f(x)=log x, con a > 0 y a ≠ 1; xR+ no corta al eje y. Lo que observamos en los grácos es que las funciones se aproximan al eje y, matemáticamente se dice que la curva es asintótica al eje Y, y el eje y es su asíntota vertical, esto es, la curva tiende a tocar al eje Y, pero nunca llega a hacerlo.

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Monotonía.- De acuerdo a la característica 3 de la tabla podemos generalizar el siguiente criterio en función del valor de la base:

Función exponencial

Monotonía

“La expresión: f(x) ∞ x ∞ Se lee: f(x) tiende a innito, cuando x tiende a innito.”

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3.1.2.3. Relación con la función exponencial.

Como ya te habrás dado cuenta del análisis de las propiedades, el dominio y el rango de la función exponencial son iguales al rango y el dominio de la función logarítmica respectivamente: Función

Dominio

Rango

Las funciones que cumplen con esta característica se conocen como funciones inversas. Es decir, las funciones exponencial y logarítmica son inversas entre sí. Esta característica es evidente al observar los puntos de corte en los ejes: El punto de corte en el eje X de la función exponencial f(x) = ax, con a > 0 y a ≠ 1 es el punto de coor denadas (0,1), el punto de corte en el eje Y de la función logarítmica , con a > 0 y a ≠ 1 es el punto de coordenadas (1,0). También esta relación se presenta al poder intercambiar entre las notaciones exponencial y logarítmica como se indica:

Grácamente se visualizan estas funciones inversas, pues sus puntos tienen una distribución simétrica respecto a la recta y=x que se conoce como la función identidad.

Los pares ordenados que forman la función identidad poseen valores idénticos, eso es, un valor de x devuelve en y su mismo valor.

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Para pensar: Ya denidas las funciones exponenciales y logarítmicas, éstas pueden ser modicadas, matemáticamente se dice transformadas. Analiza las siguientes funciones, determina y comenta sus propiedades.

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3.2. Solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas 3.2.1. Propiedades de los exponentes

Recordemos las propiedades básicas de los exponentes mostradas en el siguiente cuadro:

Propiedad

Expresión

Multiplicación División Potencia de un producto Potencia de un cociente Potencia de una potencia Potencia cero Potencia negativa 3.2.2. Propiedades de los logaritmos

Las propiedades de los logaritmos tienen relación y demostración directa mediante las leyes de los exponentes de la tabla anterior. Dada una base a > 0 y a ≠ 1, se cumple que:

Propiedad

Justicación

Para pensar: Justica y comenta la siguiente propiedad:

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También tenemos las propiedades del desarrollo de los logaritmos. Dada una base a > 0 y a ≠ 1 , para P y Q positivos Q positivos se cumple que:

Para pensar:

Sean P=an y Q=am, utilizando las propiedades de los exponentes y el hecho de que las funciones exponencial y logarítmica son inversas, demuestra las propiedades del desarrollo de los logaritmos.

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Ejemplo 5: Utiliza las propiedades de los logaritmos para desarrollar la siguiente expresión:

El proceso seguido también lo puedes hacer en sentido inverso, esto es, expresar en un solo logaritmo la expresión nal.

Solución Utilizando las propiedades del desarrollo de los logaritmos podemos escribir el siguiente proceso:

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3.2.3. Notación exponencial y logarítmica

Ya hemos indicado que:

Esta relación entre la función exponencial y la función logarítmica es fundamental para el trabajo inicial de sus ecuaciones, así las siguientes expresiones son equivalentes: si y solo si Estos dos tipos de escritura, estas dos notaciones exponencial y logarítmicanos permiten calcular algunos logaritmos simples, por ejemplo:

•

x=log1/28 ,

signica que (1/2)x = 8 y por tanto x = -3.

Como vemos los logaritmos pueden tener diferentes bases, las más comunes son la base 10 (logaritmos decimales) y la base e (logaritmos naturales), que los encuentras como teclas directas de uso en tu calculadora. En los logaritmos decimales la base se toma por defecto y no se la escribe, esto es:

Los logaritmos naturales se escriben en la forma ln y cumplen todas las propiedades escritas, por ejemplo:

Puedes revisar el número e en el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/algebra2/exponential-and-logarithmic-functions/e-and-the-natural-logarithm/v/e-through-compound-interest

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3.2.4. Ecuaciones exponenciales: ejercicios

Para resolver ecuaciones exponenciales, a más de utilizar sus propiedades, utilizaremos su relación con la función logarítmica. Ejemplo 6: Resolver la siguiente ecuación:

Solución Podemos escribir los dos miembros de la ecuación en términos de la misma base:

Luego

Entonces

Ejemplo 7: Resolver la siguiente ecuación: 6x = 45 Solución En este caso no podemos igualar las bases y utilizamos la siguiente propiedad:

Si P = Q, entonces log P = log Q (P > 0, Q > 0)

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Vamos a utilizar el logaritmo en base 10, que lo podemos determinar en nuestra calculadora: Entonces

Utilizado las propiedades tenemos:

Luego

Ejemplo 8: Resolver la ecuación:

Solución Como los dos miembros de la ecuación son positivos, podemos utilizar la misma propiedad del ejercicio anterior:

Luego

Entonces tenemos

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Este despeje de x lo podemos seguir trabajando utilizando las propiedades del desarrollo de los logaritmos en sentido inverso de la sección 3.2.1. Así tenemos:

Como vemos obtenemos el mismo resultado, pues la aplicación de las propiedades genera expresiones equivalentes.

3.2.5. Ecuaciones logarítmicas: ejercicios

Las igualdades que contienen términos log a (x) se denominan ecuaciones logarítmicas, en las cuales el cambio de notación es fundamental para su solución.

Ejemplo 9: Resolver ecuación

Solución En esta ecuación sencilla, recordemos que podemos cambiar a notación exponencial escribiendo:

Una ecuación lineal fácil de resolver:

Esta solución la podemos vericar pues al reemplazar x tenemos:

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Ejemplo 10: En el caso de tener varias expresiones con logaritmos en la ecuación a resolver, tenemos que utilizar las propiedades de su desarrollo de la sección 3.2.1. Así por ejemplo hallemos el valor de x en la siguiente ecuación logarítmica:

Solución En primer lugar juntamos las expresiones que contienen la incógnita

Utilizamos las propiedades del desarrollo de los logaritmos, esto es, si hay una resta de logaritmos, los términos están formando un cociente.

Cambiando a notación exponencial podemos escribir: Resolvemos:

Un reemplazo en la ecuación inicial verica la solución obtenida.

Ejemplo 11: Una de las aplicaciones más conocidas de los logaritmos es su empleo en la escala Richter de los terremotos, cuya expresión es: R= log I Fuente: www.freeimages.com

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Como vemos el logaritmo utilizado es base 10. Donde: • •

R es el grado del terremoto. I representa el número de veces que el terremoto es más intenso respecto al sismo de menor intensidad que se puede detectar en un sismógrafo.

¿Calcular cuántas veces es más intenso un sismo grado 5 que un sismo grado 2? Solución Sismo grado 5:

Sismo grado 2:

Si dividimos las intensidades de los dos sismos obtenemos: 100000/100=1000 Por lo tanto, un sismo grado 5 es 1000 veces más intenso que un sismo grado 2 3.2.6. Comprobación de soluciones

Una parte indispensable en la solución de todo tipo de ecuaciones es la comprobación de sus soluciones, asegurándote así de tener la solución correcta. Aplica los siguientes criterios en este tipo de ecuaciones, y toma como referencia el dominio ya especicado en cada una de las funciones estudiadas. En las ecuaciones exponenciales, como el dominio de la función admite cualquier valor real, no tienes inconveniente y bastará un simple reemplazo para vericar tu respuesta. En las ecuaciones logarítmicas debes tomar en cuenta que el dominio son solo los valores reales positivos, por tanto tienes que vericar que los argumentos de los logaritmos de tu ecuación, es decir, los términos afectados por los logaritmos sean siempre positivos, determinando así soluciones válidas para tu ecuación.

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Las funciones exponencial y logarítmica, así como sus ecuaciones tienen muchas variantes. A continuación encuentra una muestra de ellas. Ejemplo 12: Hallar el valor de x que satisface la siguiente ecuación:

Solución. La primera dicultad que encontramos en la ecuación es que los logaritmos se encuentran expresados en bases diferentes que las tenemos que unicar. Utilicemos un cambio de notación para resolverlo.

Observa este modelo y replícalo: Si y=logax , entonces sabemos que ay=x Luego, podemos aplicar logaritmos a los dos miembros de la ecuación, obteniendo: log ay=   log x y log a = log x y = log x / log a

En este caso hemos cambiado a base 10. Por lo tanto, la fórmula de cambio de base para cualquier valor permitido es: logax = logbx / logba Continuemos con el ejemplo y cambiemos el logaritmo base 4 a base 2.

Usando la denición de logaritmo tenemos:

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Cambiamos de notación (x+1)/x2 =2 Obtenemos la ecuación cuadrática: 2x2 - x -1=0 Que la podemos resolver por la fórmula o factorizarla de la siguiente forma: (2x+1)(x-1)=0 Obteniendo las siguientes soluciones: 2x+1= 0 x1= -1/2 x-1=0 x2=1 Recuerda que en esta ecuación logarítmica tienes que vericar que los argumentos de los logaritmos sean positivos debido a la propiedad de la función, esto es:

La restricción que asegura el cumplimiento de ambas condiciones es x > 0, por tanto: x=1 es la solución válida de la ecuación propuesta. Ejemplo 13: Hallar el valor de x en la siguiente ecuación: log3x = 2.15 Un cambio de notación nos proporciona la respuesta directamente: x=32.15 x≈10.61 Este proceso se conoce como determinar el antilogaritmo.

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Ejemplo 14: Los logaritmos naturales también son muy utilizados en procesos que involucran cambios contínuos, recuerda que la base del logaritmo natural es el número trascendente e que tiene un valor aproximado de 2.718281. Algunas instituciones bancarias ofrecen un interés continuo a sus clientes, estas transacciones se modelan mediante la ecuación:

C = C0ekt Donde: C0: representa la cantidad inicial de dinero del cliente

C:r  epresenta la cantidad de dinero al nal de la transacción k:representa la tasa de interés ofrecida por la institución (un valor decimal), Y t: representa el tiempo de la transacción, cuyas unidades están de acuerdo a las condiciones de la tasa de interés Si se sabe que el banco ofrece una tasa de interés anual del 8%. ¿En cuánto tiempo un cliente puede duplicar la cantidad de dinero inicial que coloca? Solución Tenemos que: C = 2C0 k = 0.08 (recuerda un valor decimal, en este caso 8 / 100) Luego: 2C0 = C0 e0.08t 2 = e0.08t Aplicando logaritmo natural tenemos: ln2=lne0.08t ln2=0.08t

Pues, la base de ln es e.

t = ln2/8 ≈ 8.7 años

Un cliente de esta institución nanciera necesita 8.7 años para poder duplicar su inversión.

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Ecuacionesexponenciales y Logaritmos

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Ecuaciones exponenciales

Logaritmos

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1

2

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Glosario Cortes.- En matemática, relativo a los puntos de intersección de una gráca con los ejes coordenados. Crecimiento.- En Crecimiento.- En matemática, relativo a la monotonía, si los valores en x aumentan, los valores en y también lo hacen. Decrecimiento.- En matemática, relativo a la monotonía, si los valores en x aumentan, los valores en y disminuyen. Dominio.- En matemáticas es el conjunto de valores del conjunto de partida de una función. Ecuación.-  Igualdad entre expresiones algebraicas que se verica para valores especícos de la o las incógnitas. Exponente.- Relativo Exponente.- Relativo a potencia. Función.- En Función.- En matemáticas es una relación entre los elementos de un conjunto (dominio) y los de otro (rango) de tal manera que a un elemento del dominio sólo le corresponda un elemento del rango. Logaritmo.- Exponente Logaritmo.- Exponente al cual se debe elevar una base dada para obtener un determinado número. Modelo.- En Modelo.- En matemática, contexto de aplicación típico de aplicación de un concepto matemático. Monotonía.- Relativo Monotonía.- Relativo al crecimiento y decrecimiento de funciones. Notación.- En Notación.- En matemática, relativo a la representación simbólica de conceptos. Potencia.- Expresión Potencia.- Expresión escrita en la parte superior de un término para indicar el exponente. Propiedades.- Expresiones Propiedades.- Expresiones comunes a un conjunto de elementos que determinan el cumplimiento de leyes. Rango.- En Rango.- En matemáticas es el conjunto de valores del conjunto de llegada que están conectados con uno o más elementos del dominio. Variable.- En Variable.- En matemática, es un símbolo, una letra que puede tomar un valor numérico en una expresión.

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Bibliografía • Álvarez, Guerrero. (2006). Fundamentos de Matemáticas ESPOL. Guayaquil. Poligráca.

• Galindo. (2015). Matemática: Conceptos y aplicaciones. Quito. Prociencia. • Galindo. (2012). Matemáticas Superiores. Quito. Prociencia. • Benalcázar (2014). Fundamentos de Matemática. Quito. Impresión digital. • Benalcázar (2014). Análisis Numérico. Quito. Impresión digital. • Blythe, Fensom. (2015); Estudios Matemáticos. Reino Unido. Oxford. • Brown, Carrell. (20139; Matemáticas Nivel Medio. Slovakia. Pearson. • Villafuerte, Oquendo. (2016) Matemática Bachillerato. Quito. Santillana. • Calderón. (2016). Repositorio.continental. Perú. Recuperado de http://repositorio.continental.edu.pe/  handle/continental/1782

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Matemático

Créditos DOMINIO MATEMÁTICO Servicio Ecuatoriano de Capacitación Profesional - SECAP Secretaría de Educación Superior, Ciencia, Tecnología e Innovación-SENESCYT

ELABORACIÓN Y REVISIÓN: SECAP Dirección Ejecutiva Subdirección Técnica Dirección de Diseño Pedagógico SENESCYT Secretaría de Educación Superior, Ciencia, Tecnología e Innovación Subsecretaría de Acceso a la Educación Superior Dirección de Nivelación

EQUIPO CONSULTOR Ing. Patricio Rodríguez Montalvo MSc.

Primera edición. Octubre 2017. Quito - Ecuador. Reservados todos los derechos SECAP-SENESCYT 2017.

Presentación El presente manual “Dominio Matemático” ha sido elaborado con la nalidad de facilitar los procesos de capacitación que ejecuta el SERVICIO ECUATORIANO DE CAPACITACIÓN PROFESIONAL – SECAP en conjunto con LA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR, CIENCIA, TECNOLOGÍA E INNOVACIÓN - SENESCYT. Este documento ha sido elaborado a partir del análisis de los resultados alcanzados por los estudiantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller, y cuya evaluación les permite ingresar a las Instituciones de Educación Superior (IES) del Ecuador. Es el producto de la sistematización técnico- pedagógica de conocimientos expuestos del Dominio Matemático, de manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje.

La matemática actualmente se conjuga entre el desarrollo abstracto y su aplicación en contextos reales, ambos ejes fundamentales en su tratamiento, tanto para comprender la realidad y dar respuesta a situaciones concretas, así como para generar y demostrar teorías basadas en estructuras y conceptos fundamentales.

En estas unidades formativas se trabajará, teoría del conteo, ecuaciones e inecuaciones, funciones, sucesiones, series y vectores; buscando la adquisición de conocimientos y destrezas necesarias para su análisis más complejo.

Dirección de Diseño Pedagógico

Orientaciones Metodológicas

DOMINIO MATEMÁTICO ÁREA: Educación y Capacitación. ESPECIALIDAD: Capacitación (Identicación de necesidades, Procesos de capacitación continua, evaluación y seguimiento)

OBJETIVO: Resolver problemas estructurados y de representación de variables, evaluando y aplicando las teorías de conteo, ecuaciones e inecuaciones, funciones, sucesiones, series y vectores.

Pre requisitos Para iniciar el curso y avanzar con óptimos resultados en el aprendizaje, el participante debe contar con los siguientes requisitos: Bachillerato aprobado. Edad mínima: 16 años cumplidos. Otros:Que hayan rendido el examen SER BACHILLER y que no han obtenido un cupo para la Educación de Nivel Superior.

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Índice 4.1. Progresiones Aritméticas........................................................................................................... 7 4.1.1. Sucesiones y reglas de construcción..................................................................................... 7 4.1.2. Denición y construcción de progresiones aritméticas.......................................................... 11 4.1.3. Término n-ésimo.................................................................................................................... 11 4.1.4. Suma de los n primeros términos...........................................................................................13 4.1.5. Aplicaciones........................................................................................................................... 14 4.2 Progresiones Geométricas.........................................................................................................18 4.2.1. Denición y construcción........................................................................................................18 4.2.2. Término n-ésimo.....................................................................................................................19 4.2.3. Suma de los n primeros términos...........................................................................................20 4.2.4. Aplicaciones............................................................................................................................21 4.3 Vectores en R2...........................................................................................................................27 4.3.1. Vectores como desplazamientos en el plano......................................................................... 27 4.3.2. Expresión en forma de componentes, módulo y vectores unitarios.......................................28 4.3.3. Operaciones con vectores: Suma, resta, producto por un escalar.........................................32 4.4 Aplicaciones de vectores........................................................................................................... 36 4.4.1. Problemas.............................................................................................................................. 38 Glosario.......................................................................................................................................... 45 Bibliografía.......................................................................................... ............................................. 46

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OBJETIVO: Al nalizar el presente módulo estarás en la capacidad de: •Determinar la solución de una progresión aritmética o geométrica en ejercicios y problemas. •Gracar vectores en el plano; hallar su módulo y realizar operaciones de suma, resta y producto por un escalar. •Resolver problemas que involucren vectores en contextos hipotéticos y/o reales.

Bienvenido(a) y comencemos…

 .    S    O    D    A    R    U    T    C    U    R    T    S    E    S    A    M    E    L    B    O    R    P    E    D    N     Ó    I    C    U    L    O    S    E    R

   4    A    V    I    T    A    M    R    O    F    D    A    D    I    N    U Evaluación diagnóstica

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 4.1. Progresiones Aritméticas. Para comprender el concepto de progresión, empecemos por entender lo que son las sucesiones. 4.1.1. Sucesiones y reglas de construcción

Entendemos como sucesión a un conjunto de términos ordenados de acuerdo a una regla especíca. También podemos comprender una sucesión como una función cuyo dominio son los números naturales N o un subconjunto de ellos y cuyo rango son los términos que la forman. Por ejemplo, la sucesión: 1,4,9,16,25,… Para determinar el gráco y propiedades. Está formada por los cuadrados de los números naturales, y como función se puede expresar de la siguiente forma:

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En esta función el dominio son los números naturales, el rango son los números reales y la regla de construcción indica que a cada número natural se le asigna su cuadrado. Podemos tener innito número de sucesiones según su regla de construcción, lo que debes tener siempre en cuenta es que en toda sucesión tenemos un primer término y a cada término se le asigna su valor de acuerdo a su posición y su regla de construcción. Al estar denidas las sucesiones como funciones, se les asigna reglas de construcción como fórmulas. Ejemplo 1: Hallar los 4 primeros términos de las sucesiones cuya regla de construcción se dene por la fórmula: a) un= 1/ (n+1) b) un= ( n (n-1) ) / 2 Solución: Para determinar los términos de la sucesión necesitamos hacer los siguientes reemplazos en los valores de n. Posición n

Término un

1

u1= 1/ (1+1) = 1/2

2

u2 = 1/ (2+1) = 1/3

3

u3 = 1/ (3+1) = 1/4

4

u4 = 1/ (4+1) = 1/5

Los términos de la sucesión son: u1,u2,u3,u4,… Esto es: 1/2,1/3,1/4,1/5,… Con un proceso similar para

obtenemos los términos: 0,1,3,6,…

Muchas veces tenemos como datos los términos de una sucesión y lo que pretendemos hallar es su regla de construcción, en este caso mientras más cantidad de términos se tenga es mejor.

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Las sucesiones también admiten clasicaciones, entre las básicas tenemos: Tipo de sucesión

Denición

Finita Innita Creciente Decreciente

Tiene primer y último término. Tiene primer término y no último. Cada término siguiente es mayor que el anterior. Cada término siguiente es menor que el anterior.

La regla de construcción de una sucesión también puede estar denida en forma recursiva, lo que signica que cada término está denido por su término anterior o sus anteriores. Por ejemplo, hallemos los 5 primeros términos de la siguiente sucesión denida en forma recursiva un = 2u(n-1)+5 , u1=3,

n>1

Como puedes ver, en este caso, es necesario especicar el valor del primer término u1. La siguiente tabla muestra el cálculo de los términos a encontrar. un u1=3 (dato) u2=2u1 + 5= 2(3)+5 =11 u3=2u2 + 5 = 2(11)+5 =27 u4=2u3 + 5 = 2(27)+5 =59 u5=2u4 + 5 = 2(59)+5 =123

n 1 2 3 4 5 Los términos que forman la sucesión son: 3,11,27,59,123,…

Cuando las sucesiones cumplen una regla de construcción especíca, reciben el nombre de progresiones. Puedes reforzar las bases de sucesiones en el siguiente link:

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/seq-induction#sequences-review

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Para pensar:

Una sucesión famosa a lo largo de la historia en la sucesión de Fibonacci, comenta sobre su regla de construcción y sus aplicaciones. Usa los siguientes links para iniciar tu indagación.

https://www.youtube.com/watch?v=DKGsBUxRcV0 https://es.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/spirals-bonacci/v/doodling-in-math-spirals-bonacci-and-being-a-plant-1-of-3

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4.1.2. Denición y construcción de progresiones aritméticas.

Una progresión aritmética se dene como una sucesión de números que tienen la siguiente regla de construcción: Cada término de la progresión aritmética se obtiene sumando a su inmediato anterior una cantidad ja llamada diferencia d. Analicemos los siguientes ejemplos de sucesiones: a) 5,11,17,23,29,35,… b) 15,11,7,3,-1,-5,… Estas sucesiones cumplen la regla de construcción establecida y se pueden escribir por recurrencia de la siguiente forma: Cada término, a partir del primero, se obtiene sumando 6 a su inmediato término anterior. a)

un = u(n-1)+ 6 ,

u1= 5,

n>1

Cada término, a partir del primero, se obtiene restando 4 a su inmediato término anterior. b)

un = u(n-1) - 4 ,

u1=15,

n>1

Ambas reciben el nombre de progresiones aritméticas, con la característica de que en la progresión del literal a) la, diferencia d es un valor positivo (+6) y es una progresión aritmética creciente, mientras que en el caso del literal b) el, valor de la diferencia d es negativo (-4) y es una progresión aritmética decreciente. 4.1.3. Término n- ésimo

El n-ésimo término un de una progresión aritmética, conocido también como término general, representa cualquier término de la progresión y expresa su regla de construcción. Para su deducción literal construyamos una progresión aritmética de término inicial u1 y diferencia d. La siguiente tabla muestra los primeros 5 términos de la progresión aritmética:

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En los cinco primeros términos de la progresión aritmética podemos identicar un patrón que nos permite determinar cualquier término a partir del primero, podemos observar que según el número del término n, las veces que está sumada la diferencia es (n-1), así el término 5 (n = 5) se obtiene sumando al primer término (u1) cuatro veces la diferencia (+4d). Por tanto la expresión del n-ésimo término de una progresión aritmética es:

un = u1+ (n-1) d Para pensar:

Una progresión aritmética tiene por primer término u1=3, y por diferencia d=4, determina los 6 primeros términos y luego grafícalos en un sistema de coordenadas donde el eje X represente el número del término y el eje Y el término u_n de la progresión aritmética. Responde y comenta.

¿Si unes los puntos (n,un ) qué función observas y qué similitudes puedes determinar entre la función y la progresión?

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4.1.4. Suma de los n primeros términos.

La suma Sn de los n términos de una progresión aritmética es: Sn = u1+u2+u3+u4+...+un Para deducir su expresión partamos del siguiente ejemplo: Deseamos conocer la suma de los 30 primeros términos de la siguiente progresión aritmética. 4,10,16,22,… En primer lugar, identicamos que: •

•

  •

u1 = 4, el primer término. d = 6, la diferencia común que se obtiene al restar a cualquier término su inmediato anterior. n = 30, ya que se pide la suma de los 30 primeros términos.

En primer lugar, hallemos el término 30 (u30) pues ya conocemos la expresión del término general. un = u1 + (n-1) d u30 = 4 + (30-1) 6 u30 = 178 Luego la suma que buscamos es: S30=4+10+16+22+...+172+178 Esta suma también la podemos escribir de la forma: S30=178+172+166+160+...10+4 Sumando las dos expresiones anteriores término a término obtenemos: 2S30=182+182+182+182+...+182+182 Podemos observar que estamos sumando 30 veces 182, por tanto: 2S30 = 30 (182) El valor de 182 lo podemos escribir como 4+178, esto es, u1+un 2S30= 30 (4+178) S30 = 30/2 (4+178) Obtenemos una suma de S30=2730. También identicamos que el valor de 30 corresponde al número de término a sumar n, por tanto, reemplazando los números por lo que representan tenemos:

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Expresión para determinar la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Esta expresión admite una equivalente si reemplazamos el término n-ésimo, obteniendo:

Sn = 4.1.5. Aplicaciones

Las aplicaciones de las progresiones aritméticas las podemos encontrar en ejercicios y problemas, revisa los siguientes ejemplos: Ejemplo 2: Una progresión aritmética tiene por primer término 25, y su noveno término es 81. Encuentra el término vigésimo. Solución

Tenemos como datos:

u1 = 25 u9 = 81

Colocando la expresión del término general para n=9 escribimos: u9=u1+(9-1)d Luego:

81=25+(8)d 81-25=(8)d

8d=56 d=7 Una vez hallada la diferencia podemos determinar el término pedidou20 u20=25+(20-1)7 u20=25+(19)7 u20=158

El vigésimo término de la progresión aritmética es 158.

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Ahora analicemos la característica de la diferencia común de una progresión aritmética de la siguiente forma: Para un término cualquiera un (menos el primero), este tendrá un término anterior y uno posterior de la siguiente forma: u(n-1) , un , u(n+1) Dada la estructura de una progresión aritmética, podemos determinar el valor de la diferencia d utilizando una de las siguientes expresiones equivalentes: d = u(n+1)- un , o d = un - u(n-1) Por tanto:

d=d un- u(n-1)= u(n+1)-un 2un= u(n-1)+u(n+1)

un = u(n-1)+ u(n+1) /2 El término uns  e dene como la media aritmética de sus dos términos contiguos un-1, y un+1 Ejemplo 3: Intercalar 5 medios aritméticos entre 3 y 12 Solución

Tenemos como datos: •

•

•

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El primer término u1=3. Como intercalamos 5 medios aritméticos entre 3 y 12, el número de elementos de la progresión aritmética es n=7. El séptimo término u7=12.

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Para construir la progresión necesitamos determinar la diferencia, utilicemos la expresión del n-ésimo término. un=u1+(n-1)d Reemplazando los datos tenemos: u7=u1+ (7-1) d 12 = 3+(6) d d= (12-3) /6 = 9/6 =1.5 Conocido ya el valor de la diferencia d=1.5 podemos intercalar los medios aritméticos pedidos: 3, 4.5 , 6, 7.5, 9, 10.5 ,12

Ejemplo 4: Un atleta planea entrenarse para una carrera de 11 km. Piensa iniciar en su primer día corriendo 1km, e ir aumentando cada día a su recorrido de entrenamiento 400m. a) ¿En qué día de su entrenamiento correrá por primera vez los 11 km? b) Contando el día en que corrió por primera vez 11 km en su entrenamiento. ¿Cuánta distancia habrá recorrido en todo su entrenamiento hasta ese día?

Fuente: www.freeimages.com

Solución

Al leer el problema podemos identicar los siguientes datos: •

•

u1=1 (el primer día corre 1 km) d=0.4 (cada día corre 400m más que equivale a 0.4 km)

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a) Para contestar este literal, necesitamos determinar el valor de n en el cual un=11. Utilizamos la fórmula de un un = u1+ (n-1) d 11=1+ (n-1) 0.4 n-1= (11-1) / 0.4 n-1= 25 n = 26 En el día 26 de su entrenamiento correrá los 11 km por primera vez. b) En este literal se nos pide determinar el valor de la siguiente suma: 1+1.4+1.8+2.2+2.6+...+11 Podemos utilizar la expresión:

Reemplazando los datos tenemos: S26=26/2 (1+11) Sn=156 El atleta ha recorrido una distancia total de 156 km en sus primeros 26 días de entrenamiento.

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 4.2. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 4.2. Progresiones Geométricas 4.2.1. Denición y regla de construcción

Una progresión geométrica se dene como una sucesión de números que tienen la siguiente regla de construcción: Cada término de la progresión geométrica se obtiene multiplicando a su inmediato anterior una cantidad ja llamada razón r. Ejemplos de progresiones geométricas son: a) 3,6,12,14,… b) 2,-6,18,-54,…  

c)10,2,2/5,2/25,…

Estas sucesiones cumplen la regla de construcción de las progresiones geométricas pues podemos observar lo siguiente: •

En el literal a, cada término de la sucesión se obtiene multiplicando a su inmediato anterior por 2, por tanto el valor de la razón es: r=2.

•

En el literal b, el valor de la razón es: r=-3.

•

En el literal c, el valor de la razón es: r=1/5.

Las tres son progresiones geométricas. La progresión del literal a es creciente pues su primer término es positivo (u1= 3) y tiene una razón r >1 (r=2), la progresión del literal c es decreciente, su primer término es positivo (u1= 10) y tiene una razón 0 < r < 1 (r=1/5).La sucesión del literal b debido a su comportamiento alternante de signo no se puede clasicar ni como creciente ni como decreciente.

Para pensar: Escribe las progresiones de los literales a, b, c en forma recursiva tal como lo realizamos en el estudio de la sección 4.1.1, comenta toda la información que se debe proporcionar para su construcción.

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4.2.2. Término n- ésimo.

Para una progresión geométrica con primer término u1 y razón r, de acuerdo a su regla de construcción podemos escribir los siguientes términos: n

Término

1 2 3 4 5

u1 u2 = u1×r u3 = u2×r = u1×r2 u4 = u3×r = u1×r3 u5 = u4×r = u1×r4

Podemos observar que en cada término un, el número de veces que la razón r está multiplicada es (n-1), por tanto podemos escribir la siguiente expresión:

un= u1 r(n-1) Fórmula del término general de una progresión geométrica.

Para pensar:

Una progresión geométrica tiene por primer término u1=2, y por razón r=4, determina los 6 primeros términos y luego grafícalos en un sistema de coordenadas donde el eje X represente el número del término y el eje Y el término un de la progresión geométrica. Responde y comenta.

¿Si unes los puntos (n,un) qué función observas y qué similitudes puedes determinar entre la función y la progresión?

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4.2.3. Suma de los n primeros términos

Para determinar la expresión que permite determinar la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica Sn realicemos la siguiente deducción: Lo que buscamos es determinar el siguiente valor: Sn = u1 + u2 + u3 + u4 +...+ un

Esto es, de acuerdo a su regla de construcción: Sn=u1+u1 r+u1 r2+u1 r3+...+u1 rn-1

Realicemos la operación rSn - Sn y observemos su resultado:

rSn = u1 r+u1 r2 + u1 r3 +u1 r4 +...+u1 r(n-1) +u1 rn -Sn = -u1-u1 r - u1 r2 - u1 r3 -…- u1 r(n-1)

En las expresiones anteriores hemos procedido a multiplicar la razón r por la expresión Sn y a cambiar el signo a los términos de Sn para que la resta sea evidente. Observamos que al restar rSn- Sn los términos desde u1 r hasta u1 r(n-1) se eliminan entre sí y obtenemos la siguiente expresión:

Esto es

rSn -Sn = u1 rn - u1 Sn (r-1) = u1 (rn-1) Luego

Expresión para determinar la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica

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4.2.4. Aplicaciones Aplicaciones

Las aplicaciones de las progresiones geométricas las encontramos en ejercicios y problemas. Ejemplo 5:

Hallar el valor del octavo término y la suma de los quince primeros términos de la progresión: 2, 3, 9/2, 27/4,…

Solución

En la progresión podemos leer los siguientes datos:

•

•

u1= 2 (primer término) Para determinar la razón de la progresión dada su regla de construcción,dividimos cualquier término (a partir del segundo) para su inmediato anterior, esto es por ejemplo:

r = u2 / u1 = 3/2

El mismo resultado se obtiene al dividir otro término para su inmediato anterior, anterior, entonces podemos escribir la siguiente expresión para la razón r. r = un /u(n-1)

Para determinar el valor del octavo término u8 utilizamos la fórmula del término general: u8 = u1 r(8-1) u8 = 2 (3/2)7 u8 = 2 (2187/128) u8 = 2187/64

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Para determinar la suma de los 15 primeros términos (n=15), utilizamos la expresión:

S15 = 1747.6 La suma de los 15 primeros términos tiene un valor de 1747.6 1747.6 En las progresiones geométricas encontramos una aplicación importante cuando la sucesión muestra un patrón de decrecimiento aunque alternen los signos. Estas sucesiones son convergentes, es decir, su suma tiende a un valor especíco. Para deducir la expresión de esta suma, partimos de la expresión de la suma de los n primeros términos:

Para que una progresión geométrica muestre el patrón decreciente su razón r debe cumplir la siguiente condición: -1 < r < 1

Esto signica que r es un valor decimal entre -1 y 1. Observando la expresión Sn estamos interesados en ver qué pasa con el término rn. Mira la siguiente tabla para un valor de r que cumpla esta condición.

Sea r=0.2 n

rn

1 2 3 4 5 6

0.2 0.2 =0.04 0.23=0.008 0.24=0.0016 0.25=0.00032 0.26=0.000064 2

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Claramente vemos que mientras el exponente aumenta el término rn se acerca cada vez más al valor de cero. Por tanto podemos mencionar que si deseamos sumar innitos términos, el término rn cuando n tiende a innito valdrá prácticamente cero. Esta deducción la expresamos matemáticamente de la siguiente forma: Para -1 < r < 1; si n

∞ , entonces rn

0

Reemplazando esta condición en la fórmula de la suma tenemos:

Expresión para determinar la suma de innitos términos de una progresión geométrica que cumple la condición -1 < r < 1. Veamos su aplicación en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 6: Muestra que el número 0.7=̅ 0.7777… se puede expresar como un número racional, esto es, como un cociente de dos números enteros. Solución El número 0.7777… lo podemos expresar como:

Esto es: 0.7777… = 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 +... 0.7777… = 7/10 + 7/100 + 7/1000 + 7/10000 +... 0.7777… = 7/10 + 7/10 (1/10) + 7/10 (1/10)2 + 7/10 (1/10)3 +...

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Claramente observamos que se trata de una progresión geométrica con una razón r=1/10, por tanto podemos hallar la suma de sus innitos términos: S∞ = u1 / (1-r)

Datos:

u1 = 7/10 r = 1/10

Luego

S∞ = (7/10) / (1-1/10) = (7/10) / (9/10) = 7/9 El número 0.7 ̅ =0.777… se puede expresar como 7/9 Ejemplo 7: Una progresión geométrica tiene como primer término el número 3, y como razón el número 4. ¿Qué término tiene el valor de 12288? Solución Tenemos la siguiente información: •

•

•

u1=3 (primer término) r=4 (razón común) un=12288 (valor del término cuya posición vamos a determinar)

Utilicemos la fórmula del n-ésimo término: un = u1r(n-1) 12288 = (3) (4)(n-1) 4096 = (4)(n-1) Esta es una ecuación exponencial que la podemos resolver aplicando logaritmos, como las ecuaciones de la unidad formativa 3. 4096 = (4)(n-1) log4096 = (n-1) log4 n-1= log4096 / log4

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El séptimo término de la progresión geométrica tiene un valor de 12288.

Ejemplo 8: La población de una ciudad en el año 2010 era de 200000 habitantes, si un estudio demográco indica que la población incrementa un 1.5% cada año. ¿Qué población se espera para el año 2030? Fuente: www.freeimages.com

Solución Los datos que podemos identicar en el problema son: •

u1=200000 (la población del año 2010)

•

r=1.015 (el aumento previsto en la población: 100% + 1.5%)

•

n=21 (el número de años incluyendo 2010 hasta 2030)

Debemos determinar el valor del término u21

un = u1 r(n-1) u21 = (200000) (1.015)(21-1) u21 = (200000) (1.015)20 u21 = 269371

En el año 2030 se espera tener una población de 269371 habitantes.

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Ejemplo 9: Un automóvil se compra por un valor de 35000 dólares, las condiciones de mercado indican que su valor se deprecia 12% cada año. ¿En cuánto se puede vender el auto luego de 5 años de acuerdo a las condiciones del mercado actuales? Fuente: www.freeimages.com

Solución

Si el automóvil pierde el 12% de su valor cada año, signica que conserva el 88% de su valor cada año, por tanto, el factor a multiplicar es 0.88 (valor de la razón).

Datos: •

•

•

u1=35000 (valor inicial del auto, por lo tanto, primer término) r=0.88 (de acuerdo al razonamiento realizado) n=6 (se necesita el valor del auto luego de 5 años)

Necesitamos determinar el término u6 un=u1 r(n-1) u6 = (35000) (0.88)(6-1) u21= (35000) (0.88)5 u21 = 18470.62

El valor del auto en cinco años será de 18470.62 dólares. Para practicar más y fortalecer tus destrezas usa los siguientes links: https://es.khanacademy.org/math/algebra/sequences/introduction-to-geometric-sequences/e/geometric_sequences_1 https://es.khanacademy.org/math/algebra/sequences/introduction-to-geometric-sequences/e/geometric_sequences_2 https://es.khanacademy.org/math/algebra/sequences/modeling-with-sequences/e/recursive_explicit

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 4.3. Vectores en R 2 En nuestro diario vivir estamos acostumbrados a medir magnitudes, medimos distancias, áreas, pesos, velocidades, y otros. La clasicación de estas magnitudes que medimos radica en cómo las debemos expresar. Así tenemos: •

•

Magnitudes escalares, que se representan solo por una cantidad numérica como por ejemplo: temperatura, densidad, presión, rapidez, etc. Magnitudes vectoriales, que se representan por una cantidad numérica que la llamamos su módulo, y además necesitamos especicar su dirección y sentido como por ejemplo: velocidad, posición, fuerza, y otros.

La representación de las magnitudes vectoriales son los vectores que matemáticamente y geométricamente se denen como segmentos de recta orientados. Para entender mejor lo que es un vector piensa en tu ubicación respecto a la entrada del lugar donde te encuentras, para especicar tu posición no basta decir a que distancia te encuentras de dicha entrada (el módulo), además tendrás que especicar un ángulo, una inclinación para llegar a ti (la dirección) y cómo se debe ir de la entrada a tu ubicación (el sentido). 4.3.1. Vectores como desplazamientos en el plano

La representación gráca de vectores se lo realiza en un plano cartesiano y se entiende como el desplazamiento entre dos puntos, de la siguiente forma:

En la representación gráca de un vector podemos distinguir los siguientes elementos:

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•

Punto inicial, llamado también punto de aplicación, es el origen del vector. (punto A)

•

Punto nal, llamado punto terminal, es el extremo del vector. (punto B)

•

Dirección, dada por la inclinación de la recta o línea de acción que contiene al vector.

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•

Sentido, representado por la echa e indica la orientación del vector (en nuestro gráco de A hacia B)

•

Módulo de vector, que se entiende como el tamaño del vector, conocido como la norma del vector.

Analíticamente los vectores se representan por sus puntos inicial y nal (AB) o por una letra minúscula que nombra el vector, por ejemplo v, en estas representaciones el módulo de un vector se escribe |AB| o bien |v|, también se acostumbra quitar la echa de la parte superior. De acuerdo a sus elementos podemos realizar la siguiente clasicación de los vectores: •

•

Vectores equivalentes, (también llamados equipolentes) son aquellos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Vectores opuestos, aquellos que tienen igual módulo y dirección, pero sentido opuesto.

También decimos que un vector está en posición estándar cuando su origen coincide con el origen de coordenadas. El siguiente gráco muestra una representación de vectores equivalentes y opuestos:

Podemos decir que los vectores a y b son equivalentes, y el vector c es opuesto a cualquiera de los dos anteriores.

4.3.2. Expresión en forma de componentes, módulo y vectores unitarios Para poder operar con los vectores necesitamos expresarlos, de una de las siguientes formas. Forma de componentes.- Para expresar un vector en forma de componentes podemos distinguir dos casos:

29

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a) Cuando el punto de aplicación del vector (punto inicial) coincide con el origen de coordenadas, es decir, el vector está en posición estándar.

En este caso el vector se expresa en forma de componentes mediante las coordenadas de su extremo:

en forma general, el vector se escribe:

b) Cuando el punto inicial del vector no coincide con el origen de coordenadas:

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En este caso las componentes del vector se hallan restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto nal.

En forma general si un vector b tiene como punto inicial P(x1,y1) y como punto nal Q(x2,y2) se expresa en forma de componentes:

Este vector b también puede nombrarse como el vector (PQ). Módulo de un vector.- Como ya lo expresamos, el módulo de un vector se entiende como el tamaño del vector, y su expresión tiene la siguiente explicación gráca:

En el gráco tenemos el vector a que está trazado desde el punto P1 (x1,y1) hasta el punto P2 (x2,y2), para determinar el módulo del vector hemos realizado la construcción de un triángulo rectángulo con catetos (x2-x1) y (y2-y1 ) en el que el tamaño del vector que se expresa |a| corresponde a la hipotenusa de dicho triángulo. Por el teorema de Pitágoras podemos escribir:

|a|= (x2-x1 )2+(y2-y1 )2 Expresión para determinar el módulo de un vector conocidas las coordenadas de sus puntos inicial y nal.

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Vectores unitarios.- Un vector unitario lo entendemos como un vector cuyo módulo (tamaño) sea igual a la unidad. Si tenemos un vector a, su unitario se escribe ua y para determinar su valor dividimos el vector para su módulo, esto es:

En el plano cartesiano se han denido ya dos vectores unitarios: el vector i en la dirección y sentido del eje X, y el vector j en la dirección y sentido del eje Y.

Dada esta denición, para expresar un vector en función de sus vectores unitarios (llamados también vectores base) bastará acompañar el valor de sus componentes (x,y) por los vectores I , j respectivamente. Diremos que dos vectores son iguales si tienen sus mismas componentes y por tanto su expresión en vectores unitarios es la misma. Ejemplo 10: Gracar el vector cuyo punto inicial es A(-2,-1)  y su punto nal es B(3,2). Expresar el vector en función de sus vectores unitarios.

Solución  

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Nombremos va  l vector a determinar, su gráco se muestra a continuación:

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Para expresar el vector en función de sus vectores unitarios, en primer lugar, determinamos las componentes del vector:

Una vez determinadas las componentes del vector podemos escribir en función de los vectores unitarios i y j de la siguiente forma: v = 5i + 3j

4.3.3. Operaciones con vectores: Suma, resta, producto por un escalar

Las operaciones básicas entre vectores corresponden a su suma o resta y al producto por un escalar (por un número). Suma y resta de vectores. Dados dos vectores o resta de sus componentes:

su suma o resta es otro vector que se expresa como la suma

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La interpretación es la misma en función de sus vectores unitarios, esto es, si los vectores están expresados de la forma a = a1 i +a2 j y b = b1 i +b2 j su suma o diferencia se expresa de la forma: a ± b = (a1 ± b1) i +(a2 ± b2 ) j . La suma y resta de vectores también se la puede realizar grácamente de acuerdo a las siguientes reglas:

Para sumar dos vectores a + b grácamente se forma un polígono en el que se hace coincidir el origen del vector b con el extremo del vector a ; el vector suma, llamado vector resultante es aquel que une el origen del vector a con el extremo del vector b . Este método permite sumar fácilmente más de dos vectores manteniendo el mismo proceso.

Para sumar dos vectores a + b grácamente se trazan de tal forma que coincidan sus puntos de inicio y se forma un paralelogramo, la diagonal del paralelogramo es el vector suma resultante.

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La resta de vectores a - b la entenderemos como la suma del primero vector con el opuesto del segundo, esto es: a -b = a +(-b )

Ya hemos denido el vector opuesto, y como sabemos que solo cambia el sentido respecto al vector original, necesitamos únicamente cambiar el signo de sus componentes. Así grácamente tenemos:

En este gráco vemos claramente la distinción entre el vector suma y el vector diferencia. Producto de un vector por un escalar. El resultado de multiplicar un vector a = a1 i +a2 j por un escalar k (un número), es otro vector que se expresa como: ka = k(a1 i +a2 j ) = ka1 i +ka2 j La interpretación es la misma cuando el vector está expresado en función de sus componentes, esto es:

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El efecto gráco de multiplicar un vector por un escalar lo clasicamos en la siguiente tabla: Valor de k

Gráco

Efecto

k >1

Expansión del vector a

k