Manual de Estatística

 

Estatística

 

Organização Industrial Estatística

Estatísti tística ca descritiv descritivaa 1. Esta A estatística divide o estudo e a análise dos dados em três fases: 1. obte obtenç nção ão dos dado doss 2. descrição descrição,, cl classifi assificação cação e aprese apresentaçã ntaçãoo dos dos dados dados 3. conc conclu lusõ sões es a ttir irar ar A seg segund undaa fa fase se é normal normalmen mente te con conhec hecida ida por Estatística Descritiva  e a terceira por Inferência Estatística. Chama-se colecção de dados a um conjunto de observações de certo atributo. Os atributos observados podem ser registados nas seguintes escalas: 

Escala nominal- A diferenciação dos dos dados é feita meramente meramente através ddee uma

designação; mas não se podem hierarquizar. Exemplos: sexo, raça, religião. Estas variáveis constituem o nível mais baixo de medida. 

Escala ordinal- a ordem das modalidades tem significado.

Exemplos: os escalões de rendimentos, as classes etárias. Esta escala é de nível superior à nominal. 

Escala de intervalo-o uso de números para classificar os elementos é feito de

forma que, a igual diferença entre os números corresponda a igual diferença nas quantidades do atributo medido. O zero é um valor arbitrário e não representa ausência da característica medida. Exemplos: temperatura medida em graus Celsius, os resultados de um teste de inteligência. 

Escala de rácio- difere de uma escala de intervalo porque o zero tem existência

real, denotando ausência da característica medida. Exemplos: peso, altura, tempo

2

 

Organização Industrial Estatística

Nos dois pri primei meiro ross casos, casos, os atribu atributos tos obs observ ervado adoss são qualitativos, revestem várias moddal mo alid idad adees; no noss doi oiss últ ltim imos os sã sãoo quantitativos, ap apre rese sent ntam am-s -see co com m dife difere rent ntes es intensidades ou valores. Qualquer que seja o atributo considerado, existe sempre a possibilidade de o representar numericamente. Assim: no caso de um atributo quantitativo, os valores numéricos são as respectivas intensidades; quando se trata de um atributo qualit qua litati ativo, vo, est estee tam também bém pode pode ser repres represent entado ado numeri numericam cament ente, e, bastan bastando do par paraa tal estabelecer uma correspondência entre as várias modalidades e os números inteiros. Qualquer que seja o atributo considerado, o seu valor numérico pode variar de elemento para elemento. Para assinalar este facto, representam-se estes valores por uma variável. As variáveis podem ser discretas ou contínuas.

Quadro ro de distr distribui ibuição ção de frequ frequência ênciass e represe representaçã ntaçãoo gráfica gráfica 1.1. Quad Depois de efectuada a recolha de dados, estes ainda não se encontram organizados. É costume chamá-los de dados brutos. Para condensar a informação contida nos dados recolhidos, é usual construir um quadro de distribuição de frequências. Este quadro distribui os valores da variável estatística em frequências simples e acumuladas que tanto podem ser absolutas como relativas. As frequências absolutas, designadas por F i indicam o nº de vezes que cada elemento da variável se repete. As frequências relativas, designadas por fi, exprimem o nº de vezes que cada elemento se repete face ao total de observações, isto é, f i=

F i  n

Estas duas frequências Fi e f i são as frequências simples. As frequências relativas são interpretadas em termos percentuais. As frequências acumuladas absolutas, designadas por Cum F i , e as frequências acumuladas re rela lati tiva vass , de desi sign gnad adas as po porr Cum Cum f i , dã dãoo pa para ra ca cada da va valo lorr ou ca cate tego gori riaa da va vari riáv ável el,, respectivamente o número ou a frequência de observações existentes até esse valor ou até essa categoria.

3

 

Organização Industrial Estatística 1.2. 2. Exe Exempl mploo de uma variá variável vel estat estatíst ística ica disc discret retaa 1. Uma variável discreta pode assumir um n.º finito ou uma infinidade numerável de valores. Um exemplo pode ser encontrado num estudo feito sobre 5000 apólices de seguro do ramo automóvel em que se observam o número de sinistros ocorridos nos três primeiros anos de seguro, em que os resultados obtidos foram os seguintes:

N.º de sinis sinistro tross N.º de apóli apólices ces

0

2913

1

1532

2

381

3

102

4

72

Obtém-se o seguinte quadro de distribuição de frequências:

X – v. a. representativa do n.º de sinistros nos primeiros 3 anos de seguro. Umaa re Um repr pres esen enta taçã çãoo gr gráf áfic icaa da dass freq frequê uênc ncia iass si simp mple less de vari variáv ávei eiss qu qual alit itat ativ ivas as ou quantitativas discretas é o gráfico de barras ( bar chart ) onde se indica no eixo vertical as respectivas frequências e no eixo horizontal as modalidades ou valores da variável. Cada valor ou cada modalidade é representada por um traço vertical de altura igual à respectiva frequência.

4

 

Organização Industrial Estatística   s   4000   e   c    i    l    ó   p   a   e    d 3000    º  .   n

2000

1000

0 0

1

2

3

4

 Acidentes

Outro tipo de representação serve-se do conceito de frequências acumuladas e tem uma representaçãoo gráfica em escada. representaçã

1.3. 3. Exe Exempl mploo de de uma uma var variáv iável el con contín tínua ua 1. Uma variável contínua pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo real. No caso das variáveis contínuas o processo de construção de quadros de frequência é um pouco mais elaborado e compreende dois passos: 1. Det Determ ermina inarr o númer númeroo de clas classes ses para para a tab tabela ela de freq frequê uênci ncias as . O número de classes deve ficar entre 5 e 20. A regra de Sturges indica-nos o n.º de classes que é conveniente considerar:

k   1  3,3 log10 n .

2. De Dete term rmin inar ar a ampl amplit itud udee de cada cl class assee dividindo a amplitude pelo número de

classes em que a amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor. Arredondar o resultado por excesso até um número conveniente. Este arredondamento por excesso garante que todos os valores sejam incluídos na tabela de frequências. amplitude de classe   

amplitude n.º de classes

3. Escolher Escolher para limite limite inferior inferior da prime primeira ira classe o menor menor valor obse observad rvadoo ou um valor ligeiramente inferior a este . Esse valor serve como ponto de partida. 4. Some a amplitud amplitudee de classe classe ao ponto de ppartid artida, a, obten obtendo do o limite in inferio feriorr da segunda classe. Repita o processo para obter os limites inferiores das classes

seguintes.

5

 

Organização Industrial Estatística

5. Col Coloqu oquee os limit limites es inferio inferiores res ao lon longo go de uma coluna coluna e os limites limites superio superiores res numa coluna paralela, sabendo que cada limite superior é obtido adicionando a

amplitude de classe ao seu limite inferior correspondente. 6. Represen Represente te cada observaçã observaçãoo por um pequeno pequeno traç traçoo na classe apr apropria opriada da e, com o auxílio desses traços, determine a frequência total de cada classe .

Consideremos o seguinte exemplo: a Tabaqueira SA fez um apertado controlo da qualidade dos cigarros que produz; o peso é uma das características rigorosamente acompanhadas. Com os pesos de uma amostra de 500 cigarros SG Filtro construiu-se a distribuição de frequências do quadro seguinte:

Peso (mg)

Frequências

Classes

absolutas

]760,780]

4

]780,800]

43

]800,820]

118

]820,840]

168

]840,860]

117

]860,880]

39

]880,900]

11

Total

500

6

 

Organização Industrial Estatística

 Quadro de distribuição de frequências Classes

Ci

Fi

CumFi

fi

Cumfi

]760,780]

770

4

4

0,008

0,008

]780,800]

790

43

47

0,086

0,094

]800,820]

810

118

165

0,236

0,330

]820,840]

830

168

333

0,336

0,666

]840,860]

850

117

450

0,234

0,900

]860,880]

870

39

489

0,078

0,978

]880,900]

890

11

500

0,022

1

Ci – marca de classe – são os pontos médios das classes. Cada marca de classe é obtida somando-se o limite inferior ao limite superior correspondente e dividindo-se o resultado

por dois.  Representação gráfica Uma representação gráfica das frequências simples de variáveis quantitativas contínuas é o histograma, onde se indica no eixo vertical as respectivas frequências por unidade de classe e no eixo horizontal os valores da variável. O histograma é um gráfico de barras adjacentes, representando a área de cada barra a frequência absoluta ou relativa da classe a que respeita. A área de cada barra é igual à respectiva frequência e a área total do histograma é igual à totalidade das classificações, n  ou 1, consoante a frequência for absoluta ou relativa. Outra forma de representação gráfica é conhecida por polígonos de frequências e resulta de unir sucessivamente, por segmentos de recta, os pontos médios dos lados superiores s uperiores dos rectângulos. À imagem geométrica cumulativa chama-se polígono integral. No processo de passagem ao limite (n  aumenta  aumenta indefinidamente quando a amplitude quando a amplitude das classes tende para zero) o polígono integral tenderá para uma curva contínua, imagem da denominada função distribuição.

7

 

Organização Industrial Estatística 1.4. 4. Med Medid idas as de local localiza izaçã çãoo de tendên tendência cia cent central ral 1. 1.4.1.

Média

A medida de localização mais correntemente usada é a média aritmética que se representa simbolicamente por  x  . Para dados não tabelados

 n

 x i   x  

i 1

n

 

 x  i 



- valor da observação i  ; n - nº total de observações

Para dados tabelados

k 

 x  F 

i  i 

 x   n 

i  1

n

 

- nº total de observações

k  –  – nº de valores possíveis da variável F ii    –– frequência absoluta do valor x ii    x ii  =    = ci– marca de classe

O facto da média ser um valor calculado a partir de todas as observações, apresenta o inconveniente de a tornar muito sensível a valores aberrantes.

1.4.2.

Moda

No caso discreto, a moda é o valor a que corresponde a maior frequência. Para uma distribuição de frequências de uma variável contínua, a classe modal é a classe com maior frequência e existem algumas fórmulas empíricas para a localização da moda. Vamos utilizar a fórmula de King: M0

8

 

Organização Industrial Estatística F  M 0  l 0  a0

a

P 

P 

P 

F  a

P 



F  a

a

a

onde F P  aP 

- frequência por unidade de classe, da classe posterior à modal

l 0 – limite inferior da classe modal a 0 – amplitude da classe modal

Se as classe tiverem igual amplitude é desnecessário utilizar as frequências por unidade de classe, calculando apenas

M 0  l 0  a0 

F  P 

P 

F   F 

a

.

F P – frequência da classe posterior à modal. F a - frequência da classe

anterior à modal. 

Moda em termos de frequência relativa f  M 0  l 0  a0

a f 

aP 

P 

P 

a

f P 

P 

P 



f 

a

a

a

- frequência relativa por unidade de classe, da classe posterior à modal

l 0 – limite inferior da classe modal a 0 – amplitude da classe modal

Quando um con Quando conjun junto to de valor valores es não tem moda, moda, diz-se diz-se amodal. Se possui duas modas, chama-se bimodal; com três modas ou mais diz-se plurimodal.

1.4.3.

Mediana

A mediana (Me) é o valor que divide um conjunto ordenado em duas partes iguais, isto é, 50% dos seus elementos são iguais ou menores do que ele e 50% dos elementos são maiores ou iguais do que ele.

9

 

Organização Industrial Estatística 

dados não classificados -

se n  for  for ímpar, n =2 =2k +1 +1 e a mediana é o valor xk+1;

-

se n  for  for par, n =2 =2k  e  e a mediana é o valor v alor

 x k    x k 1

2

Este método é facilmente aplicado ao caso em que os dados se referem a uma variável estática discreta. Se a variável é contínua, a mediana será o valor da variável cuja imagem é o elemen elemento to med median iano. o. Utiliz Utilizand andoo as fre frequê quênci ncias as acu acumul mulada adas, s, vemos vemos em que classe classe é acumulada metade das observações. A essa classe chama-se classe mediana.

  0,5  Cumf e-1 Me  le  ae  f e Cumfe-1 – frequência relativa acumulada da classe anterior à classe mediana fe – frequência relativa da classe mediana ae – amplitude da classe mediana le – limite inferior da classe mediana

Em termos de frequência absoluta,



Me  le  ae 

0,5n  CumFe 1  



Fe

Comparação da média, mediana e moda o

o

o

Nas distribuições simétricas,  x   M e    M 0 . Nas distribuições assimétricas positivas (enviezadas à esquerda) M0    M   e   x . Nas distribuições assimétricas negativas (enviezadas à direita)  x 

 Me     M0 .

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Organização Industrial Estatística

Comparação entre média, mediana e moda

Leva em Medida

Definição

Quão frequente

Existência

conta todos os valores?

n

Média

  x  x



i

1

n

i

 

Median Med ianaa valor valor ddoo mei meioo

Moda

valor mais frequente

média mais   “familiar”

existe sempre

usada

existe

comummente sempre

pouco usada

pode não existir

sim

Afectada pelos valores extremos?

sim

não

não

não

não

Vantagens e desvantagens

funciona bem com muitos métodos estatísticos costuma ser uma boa escolha se há alguns valores extremos apropriada para dados na escala nominal

Medidas das de local localizaç ização ão de de tendên tendência cia não cent central ral 1.5. Medi Há uma série de medidas de localização, semelhantes na sua concepção à mediana, embora não sejam medidas de tendê tendência ncia central. central. A media mediana na divide divide a distribuiç distribuição ão em duas partes partes iguais. Os quartis permitem dividir a distribuição em 4 partes iguais, os decis, em 10 partes iguais e os centis em 100 partes iguais.

1. 1.6. 6. Me Medi dida dass de di disp sper ersã sãoo As medidas de tendência central são importantes mas não fornecem a informação completa sobre o conjunto de valores. Falta indicação sobre a variabilidade desses valores.

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Organização Industrial Estatística 1.6.1.

Amplitude total

A amplitude do intervalo de variação  ou amplitude total é dada pela diferença entre os valores extremos da variável, isto é, entre o valor máximo e o valor mínimo. Amplitude inter-quartil

o

A amplitude inter-quartil  (aQ=Q3-Q1) apresenta o inconveniente de duas distribuições puderem ter o mesmo valor aQ embora possuam uma dispersão muito desigual. A amplitude inter-qua inter-quartil rtil informa que, das n   observações, observações, a dispersão dos 0,5n   valores centrais é de aQ.

1.6.2.

Variância e desvio-padrão

A variância é uma medida de dispersão que avalia a variabilidade dos dados considerando os desvios das observações em relação ao valor médio dos dados, o

  x i    x  2



n

Para dados tabelados

n

  x    x  i 

s



2

i 1

o

2

.

Para dados não tabelados

n

s

 x 

2

n

  x    x 

 F i 

i 

2

i 1

n

2

s' 

 F i 

i 1

n 1

Se desenvolvermos o numerador, vem   1  k  2 1   k  s     x i  F i       x i F i   n i 1 n  i 1    2

2

  

Quando Quan do a va vari riân ânci ciaa repr repres esen enta ta uma uma desc descri riçã çãoo da am amos ostr traa e nã nãoo da po popu pula laçã ção, o, o denomin den ominado adorr da dass exp expres ressõe sõess aci acima ma ser seráá igual igual a n -1. -1. A razão reside no facto de que, utiliz uti lizand andoo o div diviso isorr n --1, 1, obtém-se uma estimativa melhor do parâmetro de população, designado-se a nova variância por variância corrigida. De notar que quando n >30, >30, não há grande diferença entre uma e outra fórmula.

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Organização Industrial Estatística   1  k  2 2 s'       x i  F i   n  1 i 1  

2      k     x i F i        i 1  n   

À raiz quadrada positiva da variância damos o nome de desvio padrão, s . O desvio padrão é expresso nas mesmas unidades em que foram medidas as observações. s 

1.6.3.

s2

Coeficiente de variação

Como medida relativa que é, permite quantificar o desvio-tipo das observações em relação à média da variável. CV   

s  x 

Esta medida tem uma grande utilidade quando se pretende comparar a dispersão entre distribuições de variáveis que se expressam em unidades diferentes ou de variáveis expressas nas mesmas unidades mas que têm médias diferentes. A dispersão será mais acentuada na distribuição que apresentar maior coeficiente de variação.

1.6.4.

Assimetria

A medida de assimetria utilizada pelo Excel é

Este valor caracteriza o grau de assimetria de uma distribuição em redor do seu ponto médio. Um valor positivo indica uma distribuição com uma ponta assimétrica que se estende em direcção a valores mais positivos. Um valor negativo indica uma distribuição com uma ponta assimétrica que se estende em direcção a valores mais negativos.

1.6.5.

Curtose

A medida de curtose utilizada pelo Excel é:

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Organização Industrial Estatística A curtose caracteriza uma distribuição como: mais achatada ou menos achatada se compar com parada ada à distri distribui buição ção normal normal.. A curtos curtosee pos positi itiva va indica indica uma distri distribui buição ção menos menos achatada. A curtose negativa indica uma distribuição mais achatada.

1.7. 7. Es Estat tatís ístic ticaa Desc Descrit ritiva iva no Exc Excel el 1. Para se poder fazer uma análise a um conjunto de dados utilizando as medidas estudadas anteriormente com recurso ao Excel, há que primeiro instalar aquela que é por ele designada design ada por ferram ferrament entaa de anális análisee de da dados dos.. Para Para tal, tal, no menu menu Ferramentas, deverá escolher a opção Suplementos que faz surgir uma janela com várias opções, de entre as quais deve escolher as referentes à análise de dados:

Após premir o botão OK, surgirá agora no menu Ferramentas a opção Análise de dados...

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Organização Industrial Estatística

Ao escolher esta opção, surge uma janela em que poderá escolher que tipo de análise pretende efectuar. Poderá então escolher Estatística Descritiva.

Na janela que depois surge há alguns campos a preencher: o Intervalo de entrada que corresponde ao bloco de células onde estão os dados (e que pode ser facilmente seleccionado colocando o cursor na primeira célula e 





premindo em seguida as teclas [Ctrl][ ][End]) marcar Rótulos na primeira linha  se a(s) primeira(s) célula(s) da(s) coluna(s) com os dados contiverem a sua designação, como no exemplo à direita. escolher Nova folha de cálculo  - que poderá ficar em branco ou preenchido com o nome da nova folha do livro actual –

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Organização Industrial Estatística



como a localização da tabela com os cálculos efectuados. Ainda tem a possibilidade de indicar um Intervalo de saída que é o bloco de células onde a tabela surgirá ou a de ela ser criada num Novo livro. finalmente, deverá indicar que tipo de cálculos pretende efectuar. A primeira opção, Estatísticas de sumário corresponde a cálculos como a média, moda, etc.

A imagem seguinte representa uma tabela que ilustra todos os cálculos efectuados, neste caso para uma amostra de dados intitulada Acidente. 

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simples e correlação 2. Regressão linear simples As ferramentas da análise da regressão e da correlação foram desenvolvidas para estudar e medir a relação estatística que existe entre duas ou mais variáveis, é portanto desejável que tal relação seja expressa sob a forma matemática, estabelecendo-se uma equação entre as variáveis. Só iremos considerar o caso de duas variáveis e daí o termo regressão e correlação simples. Na análise da regressão estima-se uma equação para descrever o tipo ou a natureza funcional da relação que existe entre as duas variáveis. Esta equação chamada equação de regressão permite-nos estimar os valores de uma variável – variável dependente, Y – em função dos valores dados da outra – variável independente, X

2. 2.1. 1. Aj Ajus usta tame ment ntoo de cu curv rvas as 1º Passo: Recolha de dados Da população em estudo retiramos uma amostra de tamanho n. Cada elemento da amostra é o par (xi , yi ) com i = 1,2,3,...,n. 2º Passo: Gráfico dos pares num sistema de eixos coordenados, obtendo-se o Diagrama de Dispersão. O diagrama de dispersão elucida-nos sobre o tipo de relação.

As figuras (a) e (c) sugerem-nos uma recta do tipo y = a + b x – recta de regressão de y sobre x. Na figura 1 (b) há uma relação positiva perfeita, r = 1. Na figura 1 (d) há uma relação negativa perfeita, r = -1. Na fig. 1(f) já nos sugere uma curva quadrática, diz-se que há uma relação não linear entre as variáveis. Notar que o r = 0 ( porque cada produto xy, positivo é anulado por um xy negativo do quadrante oposto ) indica-nos que não há relação linear mas há outro tipo de relação Na fig. 1(e) não sugere nenhum tipo de relação entre as variáveis

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Organização Industrial Estatística

 

Fig. 1

2.2. 2. Re Regr gres essã sãoo line linear ar sim simpl ples es 2. Método dos mínimos quadrados De um modo geral pode-se ajustar mais de uma recta a um conjunto de dados. A fim de evitar critérios individuais na escolha de rectas é necessário chegar-se a um acordo quanto ao que se entende por melhor recta O critério usualmente seguido como uma boa medida de aderência da recta ajustada aos dados do problema é a minimização da soma dos quadrados das diferenças entre o valor y observado e o valor de y ajustado, tal diferença chama-se desvio, erro  ou resíduo, o seu valor pode ser positivo ou negativo.

18

 

Organização Industrial Estatística Equação da recta y = a + b x.   a e b  - coeficientes da recta recta de regressão, podem ser calculados na máquina máquina a - ordenada na origem b - declive da recta S xy  b = S xx   

a=

 y

  

b  x

 

n 

  - média dos valores da variável X   y   - média dos valores da variável Y

 x

n 

S xx     x i   x    x i 2  n x  2

i  1 n 

2

i 1 n 

S yy     y i   y    y i 2  n y  i 1

2

2

i 1

n 

n 

i 1

i 1

S xy    x i   x  y i   y    x i  y i   n x y 

Coeficiente de correlação amostral, r

A correlação é uma medida do grau de linearidade entre duas variáveis. O grau de associação é medido por uma constante conhecida por coeficiente de correlação. Os coeficientes de correlação variam de uma maneira contínua entre os limites de -1 e +1. São positivos quando ao aumento de uma variável corresponde o aumento da outra e negativos no caso contrário. O coeficiente de correlação linear é representado por r e é dado por S xy 

r = S  S    xx  yy  r=0 0<  6 n.º de alunos 30 16 8 5 1 a) Construa um histograma. b) Calcule Calcule a média média,, a variância variância e o desvio padrão padrão referent referentes es ao tempo de in inscriç scrição. ão. c) Determine Determine a mediana mediana,, analíti analítica ca e geome geometrica tricamente mente..

38

 

Organização Industrial Estatística d) Determine Determine o int interval ervaloo interquar interquartis tis e indiq indique ue o seu signific significado. ado. e) In Indi diqu quee a cla class ssee moda modal.l. 4) Numa facu faculdade ldade obtiveramobtiveram-se se ooss da dados dos refer referente entess à idade dos carros carros de estudante estudantess e de professores. Id Idad adee (em (em an anos os)) Estu Estuda dant ntes es Pr Prof ofes esso sore ress 20-42 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16

323 63 68 19 10 1 0

4370 36 30 8 1 1 1

a) Para as id idades ades dos carro carross dos estudant estudantes es calcul calcule: e: i) a mé médi diaa e o desv desvio io padrã padrãoo e dete determ rmin inee a pe perc rcen enta tage gem m de obs obser erva vaçõ ções es no intervalo (x-s, x+s) ii) a median medianaa analíti analítica ca e geomet geometric ricame amente nte.. b) i)Parade asterm id idades ades carro carros dos professores es : dete rmin inee ados clas classe se mod msodal al.. professor ii) ii) de dese senh nhee o his histo togr gram amaa . 5) Preten Pretende de-se -se realiza realizarr uma análise análise rápida rápida da conce concentr ntraçã açãoo de uma substâ substânci nciaa numa numa soluçã sol uçãoo med median iante te as lei leitur turas as dadas dadas num colorí colorímet metro. ro. Para Para isso, isso, determ determina inaram ram-se -se cuidadosamente seis concentrações (mg/cm3) de substância em outras tantas soluções, anotando-se as leituras x  correspondentes  correspondentes ao colorímetro: leituras no colorímetro (x )

90

170

275

330

390

410

concentração de substância (y )

42

48

61

69

80

89

a) Aj Ajust ustar ar a recta recta de de rregr egress essão ão de de y  sobre  sobre x . b) Estimar Estimar a conce concentra ntração ção de substância substância quando quando a leitura leitura do coloríme colorímetro tro é de 270. 270. c) Calcul Calculee o coe coefic ficien iente te de cor corre relaç lação ão r . 6) Para uma uma dada espé espécie cie de pard pardais, ais, procurou procurou-se -se estu estudar dar a relaç relação ão entre a idade idade -x- (em dias) e o comprimento das asas- y- (em cm), tendo-se obtido os seguintes dados em 13 animais: x  y

3.0 1.4

4.0 1.5

5.0 2.2

6.0 2.4

8 .0 3.1

9.0 10.0 11.0 12.0 14.0 15.0 16.0 17.0 3.2 3.2 3.9 4.1 4.5 4.7 5.0 5.2

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Organização Industrial Estatística a) Ajuste Ajuste a recta recta de regr regress essão ão de y  sobre  sobre x . b) Determine Determine o valo valorr previsto previsto para para o compriment comprimentoo das asas de de um pardal pardal com 13 dias dias de idade. c) Calcul Calculee o coe coefic ficien iente te de cor correl relaçã açãoo r . 7) Num inquérit inquéritoo realizado realizado em deter determinad minadaa cidade 25% das pessoas pessoas inq inquirid uiridas as declarara declararam m ir ter dificuldades de adaptação ao Euro Calcular a probabilidade de num grupo de 8 pessoas da referida cidade seleccionadas aleatoriamente: a) Nenhum Nenhuma a ter di dific ficul uldad dades es de adapt adaptaçã ação o b) Pelo menos três terem terem difi dificuld culdades ades de de adaptaç adaptação ão c) No máximo máximo três terem terem dif dificul iculdades dades de adapt adaptação ação d) Mais ddee duas e no máx máximo imo cinco cinco terem terem dificuld dificuldades ades ddee adaptação adaptação 8) Um jovem jovem casal deseja deseja ter 4 fil filhos. hos. Consider Consideree que a probabilid probabilidade ade de ser rapaz rapaz ou rapariga é igual. Qual a probabilidade de: a) sere serem m tod todos os rapa rapaze zes; s; b) serem serem mai maiss de de 2 rap rapari arigas gas;; c) serem, serem, no m máxi áximo, mo, 2 rrapa aparig rigas; as; d) nascerem nascerem entre entre 1 e 3 rapa raparigas rigas (inclusiv (inclusivé). é). 9) Da produção produção diár diária ia de uma máqui máquina, na, retiram-s retiram-se, e, para efe efeitos itos de controlo controlo,, 10 peças. Dos te test stes es sobr sobree el elas as real realiz izad ados os,, co conc nclu luii-se se qu quee 10% 10% de dela lass sã sãoo “m “más ás”.”. Calc Calcul ulee a probabilidade de, nas 10 peças a) nã nãoo ha have verr “m “más ás”; ”; b) ha have verr meno menoss de 2 “m “más ás”; ”; c) ha have verr pel peloo meno menoss 3 “má “más” s”;; d) ha have verr ent entre re 2 e 4 ““má más” s”.. 10) Um teste de estatística estatística consiste consiste em 10 questões questões do tipo verdadeir verdadeiro-fa o-falso. lso. Para um aluno que responde por palpite a todas as questões, determine a probabilidade de passar, sabendo que a positiva é obtida com 5 ou mais respostas correcta. 11) Um avião dispõe dispõe de mais de 14 assentos assentos,, mas a TAP vendeu vendeu 15 bilhetes. bilhetes. Sabendo Sabendo que 15% dos passageiros que reservam lugar não comparecem ao embarque, determine a probabilidade de não haver lugares suficientes. 12) O número de pequenos pequenos acidentes durante uuma ma semana de trabalho numa fábrica é uma variável aleatória de Poisson de média 1,5. Qual a probabilidade de, num mês de trabalho, ocorrerem: a) 0 ac acid iden ente tess; b) 1 ac acid iden ente te;; c) meno menoss de de 2 ac acid iden ente tes; s; d) 2 oouu m mai aiss aaci cide dent ntes es.. 13) O núm número ero de pequen pequenos os aci aciden dentes tes durante durante uma parti partida da de fut futebo eboll é uma variável variável aleatória de Poisson com média igual a 4,5. Qual a probabilidade de ocorrerem em 2 partidas: a) 4 ac acid iden ente tess; b) meno menoss de de 5 aci acide dent ntes es;;

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Organização Industrial Estatística 14) Numa empresa empresa têxtil existem existem numerosos numerosos teares de certo tipo. A expe experiênc riência ia mostra que o número de teares que se avaria em cada mês é uma variável aleatória X  que  que segue distribuição de Poisson com média 3. Calcule: a) a probabili probabilidade dade de, de, durante durante um um mês, se se avar avariarem iarem 7 ou mais mais teares; teares; b) a ca capa paci cida dade de mí míni nima ma qu quee de deve ve ter ter a of ofic icin inaa de rep repar araç ação ão de modo modo a qu quee a probabilidade de não haver teares a aguardar reparação seja, pelo menos, de 90%. 15 15)) O núme número ro de na navi vios os petr pe olei eiro ross qu que e As ch cheg egam am a instalações de dete term rmin inad ado o porto po port rto, o,podem po porr dia, diatender a, te tem m distribuição de Poisson detrol parâmetro 2. actuais do até 3 petroleiros por dia, devendo os excedentes seguir para outro porto. a) Num Num dia dia,, qua quall a proba probabil bilida idade de de hav haver er nece necessi ssidad dadee de enviar enviar pet petrol roleir eiros os para outro porto? b) De quanto quanto deverã deverãoo ser aumenta aumentadas das as actuai actuaiss instal instalaçõ ações es par paraa permit permitir ir aceita aceitarr todos os petroleiros em aproximadamente 90% dos dias? 16) Um internauta recebe recebe em média 4 e-mails por dia. Ad Admite-se mite-se a distribuição de de Poisson. a) Calcule Calcule a pprobab robabilidad ilidadee de, num num dia dia,, o interna internauta uta rrecebe eceber: r: i) 2 e-mails ii) ii) mais mais de 4 ee-m -mai ails ls iii) iii) no máx máximo imo 3 e-ma e-mails ils b) Determine Determine a prob probabili abilidade dade de em 3 dias dias receber receber entre 3 e 9 e-mails e-mails ( inclu inclusive) sive) 17) Verifica-se que o número número de vezes que é recebida uma chama chamada da de pedido de ajuda a um certo serviço de apoio informático por telefone segue uma distribuição de Poisson, com média 2. Registam-se as chamadas ao longo de três dias. Qual é a probabilidade de que o número total de chamadas registadas não atinja 7? 18) Seja X uma v. a.a. normalmente distribuída distribuída de média 200 200 e desvio padrão padrão 10. a) Det Deter ermi minne: i. P(X < 180) ii. P(X > 195) iii. P (175