Manual de Calculo Financeiro - Aulas e Listas de Exercicios 1o Semestre-2009

Universidade de Brasília Faculdade de Economia, Administração, Contabilidade e Ciência da Informação e Documentação Departamento de Administração

Manual de Matemática Financeira Disciplina: Cálculo Financeiro Professor: Aldery Silveira Júnior

Brasília, 1º Semestre de 2009

Matemática Financeira – Apontamentos de Aula

Sumário INTRODUÇ INTRODUÇÃO ÃO .............................. .............................................. .............................. .............................. ................................ ............................... ............................... .........................1 .........1 1 – CAP CAPITAL ITALIZAÇ IZAÇÃO................ ÃO................................ ................................ ................................. ............................... .............................. ................................ ...........................2 ...........2 1.1 – 1.1 – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES .......................................................................................................................2 1.1.1 – Fórmulas ....................................................................................................................................2 1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples ....................................................................................3 1.2 – 1.2 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA...................................................................................................................5 1.2.1 – Fórmulas ....................................................................................................................................5 1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta .......................................................................5 2 – ESTUDO ESTUDO DAS TAXAS TAXAS .............................. .............................................. .............................. .............................. ................................ .............................. ......................8 ........8 2.1 – 2.1 – EQUIVALÊNCIA DE TAXAS .......................................................................................................................8 2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples .............................................................................8  2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos: ....................................................................8  2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas ..............................................................................9 2.2 – 2.2 – TAXAS NOMINAIS ..................................................................................................................................10 2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva ........................................................................................................10 2.2.2 – Exercícios sobre Taxas Nominais .......................................................................................10 3 – DESC DESCONT ONTO........... O......................... .............................. ................................ ................................ ............................... ............................... ................................ .........................11 .........11 3.1 – 3.1 – DESCONTO RACIONAL SIMPLES ..........................................................................................................12 3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples ..........................................................................12 3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples ...................................................................12 3.2 – 3.2 – DESCONTO COMERCIAL SIMPLES........................................................................................................15 3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples ........................................................................15 3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples .............................................16  3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples .................................................................16  3.3 – 3.3 – DESCONTO RACIONAL COMPOSTO .....................................................................................................19 3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto ......................................................................19 3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto ...............................................................20 4 – EQUIVALÊNCIA EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS .................... .......... ................... ................... ..................... ...................... .................... ................. ........22 22 4.1 – 4.1 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO RACIONAL SIMPLES ...............................22 4.2 – 4.2 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO COMERCIAL SIMPLES.............................23 4.3 – 4.3 – EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM JUROS SIMPLES .......................24 4.4 – 4.4 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO RACIONAL COMPOSTO ..........................27 4.5 – 4.5 – EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM JUROS COMPOSTOS ................27

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Matemática Financeira – Apontamentos de Aula

Sumário INTRODUÇ INTRODUÇÃO ÃO .............................. .............................................. .............................. .............................. ................................ ............................... ............................... .........................1 .........1 1 – CAP CAPITAL ITALIZAÇ IZAÇÃO................ ÃO................................ ................................ ................................. ............................... .............................. ................................ ...........................2 ...........2 1.1 – 1.1 – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES .......................................................................................................................2 1.1.1 – Fórmulas ....................................................................................................................................2 1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples ....................................................................................3 1.2 – 1.2 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA...................................................................................................................5 1.2.1 – Fórmulas ....................................................................................................................................5 1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta .......................................................................5 2 – ESTUDO ESTUDO DAS TAXAS TAXAS .............................. .............................................. .............................. .............................. ................................ .............................. ......................8 ........8 2.1 – 2.1 – EQUIVALÊNCIA DE TAXAS .......................................................................................................................8 2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples .............................................................................8  2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos: ....................................................................8  2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas ..............................................................................9 2.2 – 2.2 – TAXAS NOMINAIS ..................................................................................................................................10 2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva ........................................................................................................10 2.2.2 – Exercícios sobre Taxas Nominais .......................................................................................10 3 – DESC DESCONT ONTO........... O......................... .............................. ................................ ................................ ............................... ............................... ................................ .........................11 .........11 3.1 – 3.1 – DESCONTO RACIONAL SIMPLES ..........................................................................................................12 3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples ..........................................................................12 3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples ...................................................................12 3.2 – 3.2 – DESCONTO COMERCIAL SIMPLES........................................................................................................15 3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples ........................................................................15 3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples .............................................16  3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples .................................................................16  3.3 – 3.3 – DESCONTO RACIONAL COMPOSTO .....................................................................................................19 3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto ......................................................................19 3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto ...............................................................20 4 – EQUIVALÊNCIA EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS .................... .......... ................... ................... ..................... ...................... .................... ................. ........22 22 4.1 – 4.1 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO RACIONAL SIMPLES ...............................22 4.2 – 4.2 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO COMERCIAL SIMPLES.............................23 4.3 – 4.3 – EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM JUROS SIMPLES .......................24 4.4 – 4.4 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO RACIONAL COMPOSTO ..........................27 4.5 – 4.5 – EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM JUROS COMPOSTOS ................27

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5 – RENDAS (SÉRIE DE PAGAMENTOS OU ANUIDADE)..............................................................30 5.1 – 5.1 – RENDAS DO MODELO BÁSICO:.............................................................................................................32 5.1.1 – Fórmulas ..................................................................................................................................32 5.1.2 – Exercícios sobre Rendas do Modelo Básico .....................................................................33 5.2 – 5.2 – RENDAS NÃO CONSTANTE DO MODELO BÁSICO.................................................................................36 5.2.1 – Fórmulas ..................................................................................................................................36  5.2.2 – Exercícios sobre Rendas não constantes do Modelo Básico .........................................36  6 – USO DE TABELA FINANCEIRA.................................................................................................39 6.1 – 6.1 – INTERPOLAÇÃO .....................................................................................................................................40 6.2 – 6.2 – EXERCÍCIOS COM A UTILIZAÇÃO DE TABELAS FINANCEIRAS ..............................................................41 7 – INFLAÇÃO INFLAÇÃO .............................. .............................................. .............................. .............................. ................................ ............................... ............................... .......................43 .......43 7.1 – 7.1 – FÓRMULAS ............................................................................................................................................43 7.2 – 7.2 – EXERCÍCIOS SOBRE INFLAÇÃO.............................................................................................................44 8 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO AMORTIZAÇÃO DE DIVIDA .................... .......... ................... ................... ..................... ...................... .................... ................. ........46 46 8.1 – 8.1 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC................................................................................46 8.2 – 8.2 – SISTEMA FRANCÊS ...............................................................................................................................47 8.3 – 8.3 – TABELA PRICE.......................................................................................................................................47 8.4 – 8.4 – EXERCÍCIOS SOBRE SISTEMAS AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS ...............................................................47 9 – EMPRÉSTIMOS COM CORREÇÃO CORREÇÃO MONETÁRIA .................. ......... .................... ..................... ................... ................... .................... ...........49 .49 9.1 – 9.1 – PLANILHA DE ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA ............................................................................................49 9.2 – 9.2 – EXERCÍCIOS SOBRE EMPRÉSTIMO COM CORREÇÃO MONETÁRIA .....................................................50 10 – ENGENHARIA ECONÔMICA....................................................................................................53 10.1 – 10.1 – ANÁLISE PELO MÉTODO DA TAXA MÉDIA DE RETORNO...................................................................54 10.2 – 10.2 – ANÁLISE PELO MÉTODO DOS PERÍODOS DE PAY BACK ...................................................................54 10.3 – 10.3 – ANÁLISE PELO MÉTODO DO VALOR ATUAL .......................................................................................55 10.4 – 10.4 – ANÁLISE PELO MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO ...............................................................55 10.5 – 10.5 – EXERCÍCIOS SOBRE ENGENHARIA ECONÔMICA ...............................................................................56

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Introdução O estudo da Matemática Financeira possui uma importância impar para os Agentes Econômicos, Administradores, Contadores, Economistas e Gestores das mais diferentes áreas empresariais, assim como também para as pessoas físicas comuns, já que permite aos mesmos realizarem cálculos mais apurados e realísticos nas suas realizações comerciais e de trabalho onde o conhecimento de Matemática Financeira se faz presente. A Matemática Financeira não é uma propriedade de uma categoria de profissionais ou de um ramo do conhecimento, como a Economia, a Administração, a Contabilidade ou o Direito. a Matemática Financeira possui uma linguagem própria, o que a caracteriza como um ramo do conhecimento. A Matemática Financeira não deve estar restrita aos Agentes que operam o sistema de trocas e que a utilizam como ferramenta para mensurar suas diversas variáveis, o seu conhecimento é útil e necessário para todas as pessoas, independente da profissão que exerçam. As pessoas que desconhecem os princípios da Matemática Financeira são, às vezes, levadas a acreditarem em informações que não estão de acordo com a realidade. Ou seja, são “enganadas” e têm prejuízos em financeiros. O conhecimento da Matemática Financeira possui uma significativa importância em nossa vida; proporciona o fim de uma escuridão e nos lança com maior clareza para o mundo em que vivemos diariamente, onde somos ativos e passivos a todo o momento, em termos de agente econômico. Esse conhecimento nos faz deixar de ser “vitimas” dos Agentes conhecedores e formadores de preço, juros, e taxas, para sermos pessoas ativas e questionadoras em relação à utilização do nosso dinheiro. No mundo atual, os termos: juros, desconto, paridade de taxa, amortização de dívidas e engenharia econômica, entre tantos outros, fazem parte do nosso linguajar cotidiano e o conhecimento correto dos mesmos nos proporciona, sem nenhuma duvida, um ganho significativo e qualitativo nas nossas transações econômico-financeiras. O presente Manual contém os apontamentos das aulas da disciplina Cálculo Financeiro e é fruto da contribuição do Aluno Alisson Robert Gomes Peixoto, que cursou esta disciplina no 2º semestre de 2006, e das atualizações efetuadas pelo professor da disciplinas nos semestres subseqüentes. Para cada tópico da disciplina, são apresentados: i) as anotações básicas que serão devidamente explanadas pelo professor nas aulas; ii) os exemplos que serão resolvidos e explicados pelo professor; e iii) as listas de exercícios que serão resolvidas pelos alunos, sob a supervisão do professor, durante as aulas.

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1 – Capitalização Capitalização corresponde à operação destinada a calcular o valor futuro de um determinado valor presente, considerando uma taxa de juro previamente fixada. Existem dois tipos de capitação, simples e composta, conforme o tipo de juro a que se refira: simples ou composto. Conceitos Básicos • • • •

Capital: valor que pode ser aplicado com a finalidade de rendimento de juros. Juros: é a remuneração do fator capital – é o dinheiro pago pelo uso do dinheiro. Montante: soma do capital inicial mais os juros recebidos. Taxa de juros: relação entre juros traduzidos e uma unidade de tempo.

Taxa de Juros Existem dois tipos de taxas de juros: taxa percentual e taxa unitária. Nas fórmulas a serem utilizadas no presente curso, a taxa a ser adotada será a unitária. • •

Taxa Percentual: é a utilizada na pratica. Ex: 5% ao mês (o todo é 100). Taxa Unitária: é uma taxa técnica. Ex: 0,05 ao mês (o todo é 1).

A taxa unitária é obtida dividindo-se a taxa percentual por 100. Ex: 5/100 = 0,05. Nesta taxa não se utiliza o símbolo da percentagem.

Simbologia: P = Capital i = Taxa de Juros

S = Montante J = Valor dos Juros n = Número de períodos de Capitalização.

1.1 – Capitalização Simples Neste tipo de capitalização apenas o capital inicial rende juros, ou seja, os juros incidem apenas sobre o valor inicialmente aplicado.

1.1.1 – Fórmulas S −1 P (3) i = n

(1) S = P(1+ i.n)



(2) P = S



(5) S = P + J



(6) P = S – J



(7) J = S – P

(8) J = P. i. n



(9) P = J



(19) i = J

1 + in

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i.n

P.n





S −1 P (4) n = i

(11) n = J

P.i

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Exemplos

(1) Quanto deve ser aplicado hoje à taxa de 5% a.m., para que se resgate $ 3.300,00 ao final de seis meses?

(2) Caso você aplique $ 5.000,00 e após sete meses resgate $ 6.050,00 qual terá sido a taxa de juros dessa operação?

(3) Qual o juro produzido por um capital de $ 8.000,00 aplicado à taxa de 24% a.a durante 3 meses?

1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples 1)

O banco “X” empresta ao Sr. Carlos a quantia de $ 300.000,00, à taxa de 5% ao ano, para ser paga após três anos e meio. Calcule o montante dessa operação. R: S = $ 352.500,00

2)

A que taxa devemos aplicar um certo capital para que, em 8 meses, ele dobre de valor? R: i = 12,5% a.m.

3)

Um capital de $ 7.000,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano e meio, à taxa de 15% a.s. Calcular os valores dos juros e do montante obtidos no final deste prazo. R: J = $ 3.150,00; S = $ 10.150,00

4)

Um capital de $ 900,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 5% a.a., sendo obtidos $ 15,00 de juros. Calcular o prazo de aplicação em meses. R: n = 4 meses

5)

A empresa Monitoria S/A aplicou o valor de $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m. e pretende sacar o valor após 12 meses. Qual o montante a ser regatado? R: S = $ 5.900,00

6)

Certo cliente adquire um titulo por $ 60.000,00 e resgata $ 119.350,00, após 9 meses. Qual a taxa de juros dessa operação? R: i = 10,9% a.m.

7)

Qual o juros recebido por um comerciante que investe $ 20.000,00, à taxa de 5% a.m., durante 2 meses? R: $ 2.000,00

8)

Calcular o prazo, em anos, necessário para um capital triplique de valor, caso seja aplicado à taxa de 10% a.t. R: n = 5 anos

9)

Um capital aplicado por 16 meses gerou $ 13.440,00 de juros. Sabendo que a taxa de  juros mensal foi de 6%, calcule o valor do capital inicial. R: P = $ 14.000,00

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10) Qual será o valor dos juros de um capital de $ 3.145,00, aplicado a uma taxa de 0,5% a.m., durante 1 ano e meio? R: J = $ 283,05 11) Um capital de $ 4.250,00, aplicado a uma taxa de 3% a.m., produziu um montante de $ 6.162,50. Qual foi o período de aplicação? R: n = 15 meses = 1 ano e 3 meses 12) Danilo decidiu investir $ 1.035,00 em ma instituição financeira que opera com uma taxa de juros simples de 1,8% a.m., durante 1 ano. Qual será o montante ao final do período? R: S = $ 1.258,56 13) Um empréstimo de $ 15.000,00 foi feito para ser pago em 24 meses, foi liquidado, ao final do período, por $ 23.000,00. Qual a taxa de juros utilizada? R: i = 2,22% a.m. 14) Em quantos meses um capital de $ 750,00 renderá juros igual a um terço de seu valor, se aplicado a uma taxa de 6,67% a.m.? R: n = 5 meses 15) Gilberto solicitou em seu banco um empréstimo de $ 6.000,00. O pagamento será feito em 36 meses com incidência de juros de 2,7% ao mês. Qual o valor a ser pago para liquidar a dívida? R: S = $ 11.832,00 16) Por um empréstimo de $ 12.450,00, pagou-se $ 3.200,00 de juros. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada foi de 1,79% a.m., qual foi o período dessa operação? R: n = 14 meses e 11 dias 17) Leonardo solicitou um empréstimo de $ 3.990,00 para pagar em 6 meses. A financeira cobrou juros de 1,97% a.m. Qual o valor dos juros a pagar? R: J = $ 471,62 18) Qual a taxa de juros cobrado por um banco, sabendo que por um empréstimo de $ 500,00 pagou-se $ 115,00 de juros, em 3 meses? R: i = 7,7% a.m. 19) Qual o capital que aplicado a juros simples de 12% a.a., durante 5 meses, gerou um montante de $ 1.260,00? R: P = $ 1.920,00 20) Ao se aplica a importância de $ 5.000,00, à taxa de 8% a.a., obtém-se, após certo período, o montante de $ 6.000,00. Qual é o período de aplicação? R: n = 2,5 meses

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1.2 – Capitalização Composta Nesse tipo de capitalização os juros produzidos em cada período são capitalizados, formando um novo capital que irá render juros no período seguinte. P0 P0+J1 = P1 P1+J2 = P2 P2+J3 = P3 P3+J = S |-----------------|----------------|-----------------|--------------------|--------------|-------------------|--------------------|-------------------| -----| 0 1 2 3 4

1.2.1 – Fórmulas

(1) S = P (1 + i )n

(2) P =

1

(4)

S  n i =     −1  P 

(7) S = P+J (10) J

=

(5) i = n

S n

(1 + i ) S −1 P

(8) P = S – J

P (1 + i )n − 1

(3) P = S (1 + i) n −

(6) n

=

Log

S P

Log (1 + i )

(9) J = P(1 + i)n − P (11) P =

J (1 + i )N − 1

Exemplos (1) Caso você aplique $ 3.500,00 em uma instituição financeira que pague juros de 2,75% a.m., quanto resgatará no final de sete meses? (2) Caso você aplique $ 7.000,00 em uma instituição e ao final e cinco meses resgate a importância de $ 8.640,12 qual terá sido a taxa de juros dessa operação? (3) Qual o tempo necessário para que um capital de $ 10.000,00 dobre de valor, se aplicado a taxa de 20% a.a.? (4) Qual o juro produzido por um capital de $ 6.500,00, aplicado a taxa de 15% a.a., durante seis meses?

1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta 1)

Calcule o montante de uma aplicação aplicação de $ 50.000,00 pelo prazo de 6 meses, à taxa de  juros compostos compostos de 6% a.m. R: S = $ 70.925,96

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2)

Quanto deverei aplicar hoje hoje para ter direito a receber a importância importânci a de $ 500.000,00 daqui a 5 anos, se a taxa de juro composto adotada for 15% ao ano? R: P = $ 248.588,37

3)

Jean conseguiu um vale em sua empresa no valor de $ 200,00 a serem descontados descontados nos seus próximos 2 salários. Sabendo que a empresa vai descontar no final o valor de $ 230,00, qual será a taxa de juros compostos cobrada? R: i = 7,24% a.m.

4)

Em quanto tempo um capital de $ 1.650,00 produzirá um montante de $ 1.776,87, se aplicado a uma taxa composta de 2,5% a.m.? R: n = 3 meses

5)

Qual o valor dos juros produzidos por um capital de $ 2.500,00, aplicado à taxa de 4% a.m., durante 12 meses? R: J = 1.502,58

6)

Rivaldo, desejando viajar no próximo ano, decidiu aplicar $ 2.200,00 e resgatar daqui a 12 meses, fins custear a viagem. Sabendo que a instituição financeira paga juros compostos de 1,2% a.m., qual será o montante a ser resgatado ao final do período? R: S = $ 2.538,57

7)

Um capital de $ 7.000,00, aplicado durante 6 meses, proporcionou ao aplicador um montante de $ 8.117,85. Qual a taxa de juros compostos dessa operação? R: i = 2,5% a.m.

8)

O que é mais vantajoso? Investir $ 5.000,00 durante 2 anos a juros compostos de 2% a.m. ou investir $ 5.000,00 durante 2 anos, a juros simples de 3% ao mês. R: Investir os 5.000 reais sob o regime de juros simples

9)

Um investidor investiu $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m., durante um ano. Qual será o valor a ser resgatado ao final do período? S = $ 5.978,09

10) Um capital de $ 5.000,00, 5.000,00, aplicado aplicado à taxa de 20% a.m., produzirá produzirá um montante montante de $ 10.000,00 em quanto tempo? R: n = 3 meses e 24 dias 11) Um investidor aplicou $ 45.000,00 em uma instituição financeira que opera com juros compostos de 3,55% a.t., pelo período de 1 ano. Qual o valor dos juros dessa operação? R: J = $ 6.738,39 12) Saul contraiu uma dívida de $ 2.000,00 para ser quitada quitada após 2 anos e meio. Ao final do prazo contratado, Saul quitou a dívida com um único pagamento de R$ 3.400,00. Qual a taxa de juro composta mensal dessa operação? R: i = 1,78% a.m. 13) Quantos dias são necessários para que um capital de $ 35.000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m., produza juros de $ 11.585,00? R: n = 90 dias Professor Aldery Silveira Júnior

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14) Um determinado título títul o de capitalização, capitalizaç ão, com valor de face de $ 6.000,00, remunera o aplicador com juros de 3% ao mês. O prazo de aplicação é de 18 meses. Qual será o valor de resgate desse título ao final do prazo contratado? R: S = $ 10.214,60 15) Qual a taxa de juro composta mensal que faz um capital dobra de valor em 6 meses? R: i = 12,25% a.m. 16) Uma pessoa tem uma dívida no valor de $ 900.000,00, a ser saldada daqui a 6 meses. Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de 7% a.m. para que, ao final de 6 meses, disponha da importância necessária para saldar o seu compromisso, considerando o regime de  juros compostos? compostos? R: P = $ 600.000,00 17) Um capital de $ 5.000,00 produz juros de $ 800,00 em um período de 4 meses. Qual a taxa mensal de juros compostos? R: i = 3,78 a.m. 18) Uma pessoa compra um lote de ações na Bovespa por $ 1.250,00. Depois de 1 mês resolve vender suas ações por $ 1.500,00. Qual foi a rentabilidade, em termos percentuais, auferida por essas ações? R: i = 20% a.m. 19) Em quanto tempo um capital pode produzir juros a 70% de seu valor se aplicado a 5.72% ao mês? R: 9 meses e 16 dias 20) Bruno pede emprestado a um colega a importância de $ 1.250,00 para consertar o seu carro. Tal amigo o empresta, porém cobra uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês. Ao final dos 6 meses, quanto Bruno deverá pagar ao seu amigo para liquidar a dívida? R: S = $ 1.366,80

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2 – Estudo das Taxas Neste tópico, estudaremos equivalência de taxas em juros simples e compostos, e as taxas nominais – taxas onde o período de capitalização difere do período do tempo.

2.1 – Equivalência de taxas Duas taxas são ditas equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo espaço de tempo, porém com períodos de aplicação diferentes, produzem o mesmo juro ou o mesmo montante.

2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples Fórmulas: 1) iK =

i k

Onde: iK = Taxa do menor período i = Taxa do maior período k = Maior período / menor período

2) i = iK .k

2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos: Fórmulas: 1) i = (1 + iK )k − 1. 1

2) ik = (1 + i)k − 1. 3) iK = k 1 + i − 1 Exemplos (1) Se aplicado $ 3.000,00 à taxa de 3,2% a.m., quanto será resgatado ao final de 13 dias? (juros simples). (2) Quanto deverá ser aplicado hoje, à taxa de 5,4% ao trimestre, para que se resgate $ 10.000,00 ao final de um ano? (juros simples). (3) Qual o juro produzido por um capital de $ 6.000,00, aplicado à taxa de 13% a.a., durante cinco meses? (juros compostos). (4) Se aplicado $ 8.000,00 em uma financeira que pague juros de 2,5% a.m., quanto será resgatado ao final de três anos? (juros compostos). Professor Aldery Silveira Júnior

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2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas 1) Qual o montante produzido por um capital de $ 1.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 17,28% ao ano, durante 6 meses? R: S = $ 1.086,80 2) Um capital $ 30.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 0,99% ao mês, durante um biênio, produzirá o montante de ..... R: P = $ 37.128,00 3) Qual é o valor dos juros produzidos por um capital de $ 1.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, durante 21 dias? R: J = $ 35,00 4)

Um determinado banco paga juros compostos de 6% ao trimestre. Se uma pessoa necessitar dispor de $ 6.000,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar hoje nesse banco? R: P = $ 2.981,82

5)

Um banco publica em suas agências o seguinte anúncio: “Aplique $ 1000,00 hoje e receba $ 1.900,00 ao final de 6 meses”. Determinar as taxas semestral e mensal de  juros compostos oferecidas por este banco. R: i = 90% a.s. e 11,29% a.m.

6)

Uma aplicação de $ 6.700,00, efetuada à taxa de 36% ao ano, durante 7 meses, produzirá juros no valor de ...... R: J = $ 1.316,27

7)

Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada num empréstimo de $ 64.000,00, que deverá ser quitado no prazo de 117 dias, por $ 79.600,00? R: i = 5,75% a.m.

8)

Uma aplicação de $ 3.800,00 proporcionou um rendimento de $ 2.400,00 no final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros compostos dessa operação. R: i = 0,24% a.d.; i = 7,32% a.m.; i = 23,59% a.t.; e i = 133,33% a.a.

9)

Quanto uma pessoa resgatará ao final de 93 dias se aplicar $ 2.000,00 à taxa de 150% ao ano? R: S = $ 2.534,14

10) Determinar o montante produzido por uma aplicação de $ 200.000,00, admitindo os seguintes prazos e taxas compostas: a) i = 5% a.m., durante 2 anos b) i = 12% a.t., durante 1 ano e meio R: a) S = $ 645.020,00 e b) S = $ 394.764,50

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2.2 – Taxas Nominais Forma de apresentação: 72% a.a.c.c.m (ao ano com capitalização mensal) Sempre que nos deparamos com uma taxa nominal, faz-se necessário se calcular a taxa efetiva, ou seja, devemos determinar qual a verdadeira taxa que está por trás da taxa nominal.

2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva Calcula-se a taxa efetiva por meio de dois passos: 1) Calcular a taxa efetiva do menor período utilizando a formula de equivalência de taxas de  juros simples:

ifK =

i k

2) Calcular a taxa efetiva do maior período utilizando a formula de equivalência de taxas de  juros compostos:

i f = (1 + ifk )k − 1 Resolução da taxa efetiva da taxa nominal 72% a.a.c.c.m.: Passo 1  ifK =

0,72 = 0,06 ao mês 12

12 Passo 2  i f = (1 + 0,06 ) − 1 = 101,22% ao ano.

2.2.2 – Exercícios sobre Taxas Nominais 1) Determinar o valor dos juros produzidos por um capital de $ 15.000,00, aplicado às taxa de 48% a.a.c.c.m., durante 2 anos. R: J = $ 23.449,56 2) Caso você aplique $ 3.000,00, às taxa de 6,78% a.m.c.c.d., por 7 meses, quanto resgatará ao final do período? R: S = $ 4.819,53 3) O Banco Alfa opera com uma taxa de 15% a.t.c.c.m. Se você efetuar um empréstimo de $ 5.000,00 nesse banco, quanto desembolsará ao final de 2 anos para liquidar a dívida? R: S = 16.125,50 4) Dada a taxa de juros 120% a.a.c.c.m., quais são as taxas efetivas mensal e anual? R: ifk = 10% a.m. e if = 213,84% a.a. Professor Aldery Silveira Júnior

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3 – Desconto Desconto é uma operação inversa à Capitalização, ou seja, corresponde a trazermos um valor futuro para a data presente, descontando os juros que estão imbutidos no valor futuro. O Desconto propriamente ao abatimento obtido por se saldar uma dívida antes do vencimento. Conceitos básicos: • • •

Valor de face: valor de um titulo na data de sua emissão. Valor nominal: valor de um titulo na data de seu vencimento. Valor atual: valor de um titulo em uma data intermediaria entre a de emissão e a de vencimento.

Obs.: Titulo – denominação genérica para qualquer tipo de dívida (Nota Promissória, Duplicata, etc.). Tipos de Desconto Existem dois tipos de descontos: Racional e Comercial. Ambos podem ser utilizados tanto em juros simples quanto em juros compostos. O Desconto Racional corresponde à verdadeira operação de Desconto. O Desconto Comercial nada mais é do que uma variação do Desconto Racional adotada pelo Mercado.

Desconto:

Racional (por dentro)

Simples

Comercial (por fora)

Composto

Quanto ao Desconto Comercial, na prática, o mesmo é utilizado somente sob o regime de  juros simples. Simbologia utilizada nas operações de desconto: N - Valor Nominal Dr - Valor do Desconto Racional Simples

Vr - Valor Atual Racional Simples Dc - Valor do Desconto Comercial Simples

Vc - Valor Atual Comercial Simples

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Drc - Valor do Desconto Racional Composto

Vrc - Valor Atual Racional Composto i - Taxa de Desconto n - Número de períodos que faltam para o vencimento da dívida

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3.1 – Desconto Racional Simples Neste tipo de Desconto, a taxa é aplicada sobre o Valor Atual, sobre o número de períodos que faltam para o vencimento da dívida.

3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples

N −1 VR n

1) N = VR (1 + i.n)



VR =

N 1 + i.n



i=

2) N = Vr + Dr



Vr = N – Dr



Dr = N – Vr

3) D R =



n=

N VR

−1

i

.

N.i.n . 1 + i.n

Ex: N = 10.000,00 I = 10% ao mês n = 3 meses Dr = ? Vr = ?

DR =

10 .000 .0,1.3 1 + 0,1.3



Dr = 2.307,69.

Vr = 10.000,00 – 2.307,69



Vr = 7.692,31.

Exemplos de Desconto Racional Simples (1) Caso você desconte um título de R$ 35.000,00 15 dias antes do vencimento, a uma taxa de 5,5% a.m., qual será a importância recebida? (2) Um título foi descontado à taxa de 2% a.m. Sabendo-se que o valor nominal era $ 7.414,00 e o valor descontado racional $ 6.740,00, qual o prazo da antecipação? (3) Uma promissória com valor nominal de $ 275.820,00 e vencimento para 75 dias foi descontada á taxa de 90% a.a. Qual o valor do desconto racional dessa operação?

3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples 1) Marta descontou um Título no valor de $ 15.000,00, 1 mês e 15 dias antes do vencimento, considerando que a taxa cobrada foi de 4,5% a.m. Qual o valor do desconto racional simples? R: Dr = $ 948,48 Professor Aldery Silveira Júnior

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2) Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 9 meses antes do vencimento, a uma taxa de 5,8% a.m. Sabendo que o valor descontado foi $ 5.250,00, qual era o valor nominal dessa Nota Promissória? R: N = $ 7.990,50 3) Uma Nota Promissória com valor nominal de $ 25.000,00 foi descontada 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de 4% a.m. Qual o valor do desconto racional simples? R: Dr = $ 2.678,57 4) Paulo, ao resgatar um Título com valor nominal de $ 50.000,00 sob o critério de desconto racional simples, desembolsou a quantia de $ 32.000,00. Considerando que a operação foi efetuada com base em uma taxa de 23% a.a., calcule o período de antecipação. R: n = 2 anos, 5 meses e 10 dias 5) Qual o valor a ser pago hoje por uma Duplicata de $ 58.000,00, com vencimento para 60 dias, se for descontada sob o critério de desconto racional simples, a uma taxa de 3% a.m.? R: Vr = $ 54.716,98 6) Ao descontar um título com valor nominal de $ 1.200,00, com vencimento para 16 de outubro, Manuel obteve o valor de $ 1.110,00, em 1º de setembro do mesmo ano. Qual foi a taxa mensal de desconto racional simples utilizada pelo banco? R: i = 5,29% a.m. 7) Uma Nota Promissória foi descontada 1 ano antes do vencimento, a uma taxa de 20% ao ano. Usando o desconto racional simples e sabendo-se que valor atual foi de $ 30.000,00, qual seria o seu valor nominal? R: N = $ 36.000,00 8) Uma dívida de $ 10.000,00 será saldada 2 meses antes de seu vencimento. Qual será o valor do desconto racional simples, se a taxa de juros for de 16% a.m.? R: Dr = $ 2.424,24 9) Quanto devo pagar por um Título com valor nominal de $ 10.000,00, com vencimento para daqui a 60 dias, se desejo ter uma taxa de retorno de 24% ao ano? (desconto racional simples) R: Vr = $ 7.142,86 10) Antecipando 3 meses um Título com valor nominal de $ 600,00, obtenho um desconto de $ 41,86. Qual é a taxa de desconto racional simples mensal dessa operação? R: i = 2,5 % a.m. 11) Ao descontar um Título no valor de $ 46.800,00, a uma taxa de 6,7% a.m., 6 meses de antes do vencimento, o valor do desconto racional simples será .... R: Dr = $ 13.419,11 12) Quanto devo pagar por uma Promissória com valor nominal de $ 24.000,00, com vencimento para 9 meses, se pretendo obter um rendimento de 12% a.t? R: Vr = $ 17.647,06 Professor Aldery Silveira Júnior

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13) Uma Duplicata foi descontada a uma taxa de 4,5% a.m., 210 dias antes do vencimento. Sabendo que o valor atual racional foi $ 19.452,48, calcule o valor nominal dessa Duplicata. R: N = $ 25.580,01 14) Em uma operação de desconto racional simples, com uma taxa de 12% a.m., o valor atual de um Título é igual à metade do seu valor nominal. Qual o tempo necessário para que isso ocorra? R: n = 8 meses e 10 dias 15) Calcular o valor do desconto racional simples de um título com valor nominal de $ 10.900,00, descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa 3% a.m. R: Dr = $ 900,00 16) Se um Título for resgatado três meses antes do vencimento por $ 53.409,00, à taxa de desconto racional simples de 84% a.a., qual é o valor nominal desse Título? R: N = $ 64.624,89 17) Uma Nota Promissória foi descontada racionalmente com 78 dias de antecipação por $ 3.652,00, à taxa de juros simples de 4% a.m. Qual o valor do desconto auferido nessa operação? R: Dr = $ 379,80 18) Marina possui um CDB de $ 1.300,00, com vencimento para daqui a 3 meses. A fim de comprar um notebook  que está em promoção para pagamento à vista, ela pretende descontar esse Título hoje. Considerando o critério de desconto racional simples e taxa de 1,5% a.m., qual será o valor de resgate desse CDB? R: Vr = $ 1.244,02 19) Diego resgatou um Título de $ 1.150,00, a uma taxa de desconto racional simples de 2% a.m., tendo recebido a importância de $ 1.045,45. Quanto foi o período de antecipação dessa operação? R: n = 5 meses 20) Se uma dívida de $ 6.462,20 for quitada 60 dias antes do prazo estabelecido, à taxa de  juros de 60% a.a., qual será o valor do desconto racional simples? R: Dr = $ 587,50

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3.2 – Desconto Comercial Simples Neste tipo de Desconto, a taxa de juros é aplicada sobre o Valor Nominal, vezes o número de períodos que falta para o vencimento da dívida.

3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples 1) Dc = N.i.n



N=

Dc i.n



i=

2) N = Vc + Dc



Vc = N − Dc



Dc = N − Vc .

Vc 1 − i.n

3) Vc = N(1 − i.n)



N=

4) Dc = Dr (1 + i.n)



Dr =

Dc N.n

− 

i=

Vc +1 N n



n=

Dc N.i

− 

n=

Vc +1 N i

Dc 1 + i.n

Ex: N = 10.000,00 i = 10% a.m. n = 3 meses Dc = ? Vc = ? Dc = 10.000,00. 0,1. 3 = 3.000,00. Vc = 10.000,00 – 3.000,00 = 7.000,00. Vc = 7.000,00

Exemplos de Desconto Comercial Simples (1) Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um titulo de $ 4.000,00, descontados três meses antes do vencimento, a uma taxa de 7% a.m. Calcule a taxa efetiva de desconto comercial dessa operação. (2) Uma duplicata de $ 180.000,00 foi descontada 4 meses antes de seu vencimento. Considerando uma taxa de desconto simples de 60% ao semestre, calcule o valor do desconto e o valor recebido pelo detentor da duplicata. (3) Um título a vencer em 120 dias, no valor de $ 13.000,00 foi descontado por $ 11.400,00. Calcular a taxa anual de desconto comercial simples e a taxa efetiva de desconto.

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3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples A taxa de Comercial Simples é uma taxa nominal, e, como tal, deve ser calculada a taxa efetiva, que é obtida utilizando-se a seguinte fórmula?

N −1 Vc if = n Ex: N = 10.000,00 i = 10% a.m. n = 3 meses Vc = 7.000,00 If = ?

10.000 −1 7 . 000 if = 3 if = 14,29%

3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples 1) Uma Duplicata com valor nominal de $ 12.000,00 foi descontada 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 17,17% ao ano. Qual foi o valor do desconto comercial simples? R: Dc = $ 343,40 2) Uma Duplicata no valor nominal de $ 25.000,00 foi liquidada 12 meses antes do seu vencimento. Foi pago por ela a importância de $ 18.960,00. Calcule a taxa de desconto comercial simples da operação e a taxa efetiva que vigorou na transação. R: i = 2,01% a.m.; if = 2,65% a.m. 3) André decide descontar um Título três meses antes do vencimento. Sabendo que o valor do título é $ 4.500,00 e que a taxa de desconto é de 1,5% a.m., qual o valor do desconto comercial? R: Dc = $ 202,50 4) Qual o valor atual comercial de uma Duplicata com valor nominal de $ 5.000,00, que foi descontada 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto simples de 1,5% a.m.? R: Vc = $ 4.775,00 5) Um Título foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa de 24% a.a. Sabendo que o valor atual comercial apurado foi de $ 17.860,00, qual era o valor nominal desse Título? (desconto comercial) R: N = $ 19.000,00 6) Uma Duplicata com valor nominal de $ 45.000,00 é descontada 6 meses antes do vencimento, à taxa de 30% a.a. Qual o valor de desconto comercial? R: Dc = $ 6.750,00

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7) O valor nominal de um Título é $ 35.000,00. Caso este Título seja descontado 1 mês antes do vencimento, a uma taxa de 3% a.t., qual será o valor do desconto comercial simples? R: Dc = $ 350,00 8) Um título no valor nominal de $ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de $ 1.800,00, três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto. R: i = 3%. 9) Uma Duplicata de valor nominal de $ 20.000,00 foi resgatada por $ 19.250,00. Se a taxa de desconto comercial simples era de 90% a.a., quanto tempo restava para o vencimento dessa Duplicata? R: n = 15 dias 10) Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um Título no valor de $ 4.000,00, descontado 7 meses antes do vencimento, a uma taxa de 6,5% a.m. Qual foi a taxa efetiva de desconto comercial aplicada na operação? R: Vc = $ 2.180,00; if = 11,93% a.m. 11) Um Título com valor nominal de $ 6.000,00 foi descontado 5 meses antes do vencimento, a uma taxa de 5% a.m. Qual o valor do desconto comercial simples e qual o valor do recebido pelo detentor do título? R: Vc: $ 4.500,00; Dc = $ 1.500,00 12) Ao quitar uma dívida, obteve-se um desconto comercial simples. O valor nominal era de $ 15.000 e a taxa de desconto de 2,75% ao mês. A antecipação foi de 9 meses. Qual o valor pago pela dívida? R: Vc = $ 11.287,50 13) Uma nota promissória de $ 22.000,00 é descontada 6 meses antes do vencimento, à uma taxa de desconto comercial simples de 1,6% a.m. Calcule o valor atual da nota. R: Vc = $ 19.888,00 14) Calcule o valor atual comercial simples recebido por Diego pelo seu título no valor de $ 5.000,00, descontado 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de 8,5% a.m. Calcule também a taxa efetiva de desconto comercial dessa operação? R: Vc: $ 3.725,00 e If = 11,41% a.m. 15) Em uma operação de desconto comercial simples de um título com valor nominal de $ 250,00, o desconto auferido foi de $ 25,00. Considerando que a taxa utilizada foi de 10% ao mês, qual foi o tempo de antecipação? R: n = 1 mês. 16) Uma duplicata com valor nominal de R$ 35.000,00 foi descontada 8 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 24% a.a, determine o valor recebido pelo detentor do título. R: Vc =$ 29.400,00 17) Por quanto tempo devo antecipar o pagamento de um título de $ 1.100,00 para obter um desconto comercial de $ 300,00, a uma taxa de 3,5% ao mês? R: n = 7m e 24d Professor Aldery Silveira Júnior

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18) Qual o valor atual comercial recebido por um título de $ 900,00 descontado 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 1,5% ao mês? R: Vc = $ 873,00 19) Qual taxa de juros devo descontar um título de $ 15.00,00 para obter um desconto comercial de $ 1.500,00, descontado 3 meses antes do vencimento? R: i = 3,33% a.m. 20) Uma duplicata de $ 250.000,00 foi resgatada por $ 215.000,00, antes do seu vencimento. Calcular o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 3,5 % ao mês. R: n = 4 meses

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3.3 – Desconto Racional Composto O princípio do Desconto Racional Composto é o mesmo do Desconto Racional Simples, sendo que agora os juros utilizados são os compostos. Na prática, em se tratando de operações com juros compostos, utiliza-se apenas o Desconto Racional.

3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto A única diferença do Desconto Racional Composto em relação ao Desconto Racional Simples diz respeito apenas ao regime de juros, o princípio é o mesmo. N (1 + i)n

1) N = Vrc (1 + i )n



Vrc =

2) N = Vrc + Drc



Vrc = N − Drc



3) DRC = N.1 − 

1   (1 + i)n 

ou

N   n  −1  Vrc 



i =   



Drc = N − Vrc

N Vrc n= Log(1 + i) Log

1



DRC = N [1 − (1 + i)−n ]

Ex: N = 10.000,00 i = 10% a.m. n = 3 meses Drc = ? Vrc =? 

Drc = 10 .000,00 1 − 

1   (1,1)3 



 

Drc = 10.000,00 1 −

1  1,331



Drc = $ 2.486,85.

Vrc = $ 7.513,15. Exemplos . (1) Qual o valor do desconto racional composto de um titulo de $ 8.000,00 descontado dois meses antes do vencimento a taxa de 5,5% a.m. (2) Um titulo com valor nominal de $ 15.000,00 foi descontado antes do vencimento, tendo o detentor desse titulo recebido $ 13.870,00. Considerando uma taxa de 42% a.a., determine o período de antecipação (juros compostos). (3) Caso desconte um titulo de $ 5.000,00 três meses antes do vencimento e receba $ 4.380,00 qual é a taxa de juros compostos dessa operação?

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3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto 1)

Quanto deverá ser o valor do desconto racional composto de um Título cujo valor nominal de $ 29.500,00, que será descontado 8 meses antes do vencimento, a uma taxa de 6,8% a.m.? R: Drc = $ 12.071,82

2)

O valor de certo Título no vencimento é de $ 175.000,00. O detentor do mesmo, desejando saldar algumas dívidas, resolveu antecipá-lo, recebendo um valor de $ 144.000,00, sendo utilizada, para tanto, uma taxa de desconto racional composto de 5,5% a.m. Qual foi o período de antecipação? R: n = 3 meses e 19 dias

3)

Carlos Alberto deseja antecipar o pagamento de um empréstimo no valor de $ 15.000,00, que vencerá daqui a 10 meses, tendo negociado com o credor o pagamento de $ 13.685,00 para liquidar a dívida. Qual foi a taxa de desconto racional composto acordada nessa operação? R: i = 0,92% a.m.

4)

Calcule o valor nominal de um Título cujo valor do desconto racional composto foi de $ 685,00, antecipação de 4 meses e taxa de juros de 3,67% a.m.? R: N = $ 5.102,05

5)

Um Título cujo valor nominal era de $ 55.000,00 foi antecipado em 3 meses, utilizandose uma taxa de desconto racional composta de 6,35% a.m. Pergunta-se: qual o valor líquido que foi recebido pelo dono do Título? R: Vrc = $ 45.724,63

6)

Um Titulo com valor nominal de $ 8.000,00, vencível em 3 meses, foi descontado à taxa de 4,5% a.m. Calcule o valor do desconto racional composto. R: Drc = $ 989.63

7)

Um investidor realizou a antecipação de um Titulo, obtendo um desconto racional de $ 1.186,22. A taxa composta de juros acordada foi de 12% a.a. e a antecipação foi de 6 meses. Qual era o valor nominal do titulo? R: N = $ 21.532,86

8)

Qual o valor do desconto racional de um título cujo valor nominal é $ 13.000,00, caso ele seja resgatado 4 meses antes do vencimento, a uma taxa composta de 4,2% a.m.? R: Drc = 1.972,62

9)

Um Titulo teve o seu resgate antecipado em 5 meses, a uma taxa composta de 2,5% a.m., obtendo-se um desconto de $ 1.250,00. Qual o valor nominal desse Título? R: N = 10.762,34

10) Que desconto racional deve-se exigir na compra de um Título com valor nominal de $ 25.000,00, vencível em 3 meses, se a taxa de juro composto for de 5% a.m.? R: Drc = $ 3.404,06

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11) Um Titulo com valor nominal de $ 18.000,00 foi descontado 5 meses antes de seu vencimento, obtendo-se um desconto de $ 500,00. Qual foi a taxa de desconto racional composto utilizada nessa operação? R: i = 0,57% a.m. 12) Uma Duplicata foi liquidada 11 meses antes do vencimento, à taxa de 3,75% a.m. A operação resultou em um desconto de $ 2.555,00. Qual era o valor nominal da Duplicata? R: N = $ 7.672,85 13) A Mascavo S.A. está trocando seus ativos financeiros por títulos da dívida pública. Nesta semana comprou um Título com valor nominal de $ 138.503.39, que tem prazo de maturação de 180 dias. Calcule o valor de compra deste Título sabendo que o Governo brasileiro está adotando a taxa Selic de 14,5% a.a. como indexador de referência. R: Vrc = $ 129.436.77 14) Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 6 meses antes do vencimento. Sabendo que o valor nominal da mesma era de $ 79.500,00 e o valor do desconto racional foi de $ 8.750,00. Qual foi a taxa de juro composto empregada nessa operação? R: i = 1,96% a.m. 15) O desconto de um título, pagável em 2 anos e 6 meses, é de $ 11.500,25. Calcular o valor nominal do título sabendo-se que a taxa empregada nessa transação é de 18% a.a, usando o Desconto Racional Composto. R: N = $ 33.938,29 16) Qual é o valor do desconto racional composto sofrido por um Título com valor nominal de $ 6.688,78, descontado 55 dias antes do vencimento, à taxa de 6% a.a.? R: Drc = $ 59,28 17) Um Título com valor nominal de $ 8.996,68 foi descontado 5 meses antes do vencimento, a uma taxa composta de 2,5% a m. Calcule o valor líquido recebido pelo detentor do Título, tendo em vista que a operação foi realizada sob o critério de Desconto Racional Composto. R: Vrc = $ 7.951,75 18) Uma dívida com valor de $ 8.560,00 foi descontada 5 meses antes do vencimento sob o critério de Desconto Racional Composto. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 1,5% a.m., qual foi o valor do desconto obtido? R: Drc = $ 614,09 19) Tenho uma divida de $ 50.000,00 e pretendo liquidá-la 5 meses antes de vencimento, a uma taxa de juros compostos de 5% a.m. Considerando o desconto racional composto, quanto deverei pagar por essa dívida? R: Vrc = $ 39.176,31 20) Bruna pretende descontar um título de $ 10.000 8 meses antes do vencimento. Se ela receber $ 7.500,00. Qual será a taxa de juros compostos dessa operação? R: i = 3,66% a.m. Professor Aldery Silveira Júnior

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4 – Equivalência de Capitais Diferidos Definição: Um conjunto de capitais diferidos no tempo (um ou mais capitais) é considerado equivalente a outro conjunto de capitais também diferidos se, e somente se, for descontado para uma mesma data focal e em idênticas condições e produzir o mesmo valor. • •

Data focal: data base de comparação dos valores diferidos. Idênticas condições: mesmo critério de desconto e mesma taxa de juros.

4.1 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional Simples Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda, com o valor de $ 10.000,00 com vencimento para três meses estão sendo negociadas por duas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses e a segunda para ser paga a seis meses. Considerando o critério de desconto racional simples, e data focal três e taxa de 5% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento. Resolução:

5.000,00 10.000,00 |---------------|----------------|---------------|----------------|----------------|---------------| 0 1 2 4 5 6 3 7.000,00 X

Obs.: Usar a fórmula de Valor Nominal (ou Montante) Usar a fórmula de Valor Atual (ou Capital)

5.000,00(1 + 0,05.3) + 10.000,00 =

7.000,00 X + 1 + 0,05.1 1 + 0,05.3

5.750,00+10.000,00 = 6.666,67+0,869565217X  X=9.083,33/0,869565217 = 10.445,83 

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4.2 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Comercial Simples Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda, com o valor de $ 10.000,00 com vencimento para três meses estão sendo negociadas por duas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses e a segunda para ser paga a seis meses. Considerando o critério de desconto comercial simples, e data focal três e taxa de 5% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento. Resolução:

5.000,00 10.000,00 |---------------|----------------|---------------|----------------|----------------|---------------| 0 1 2 4 5 6 3 7.000,00 X

5.000,00 / 1 - 0,05.3 + 10.000,00 = 7.000,00 (1 - 0,05.1) + X (1 - 0,05.3)  

5.882,35 + 10.000,00 – 6.665,00 = 0,85X X = 9.232,35/0,85 = 10.861,59

Suponha que você deva $ 3.000,00 para pagamento daqui a cinco meses e queira renegociar essa divida para pagar em três pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento a trinta dias. Com desconto comercial simples e data focal três, calcule o valor dos pagamentos. Taxa de 3% ao mês.

Resolução: 3.000,00 |---------------|--------------|--------------|----------------|---------------| 0 1 2 4 5 3 X X X

3.000,00(1 − 0,03.2) = X +

X X . + (1 − 0,03.1) (1 − 0,03.2)

2.820,00 = X + 1,030927835X + 1,06382978X -> X =

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2.820,00 = 911,22 3,094757622

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Refazer o exercício anterior considerando com a data focal zero e com o desconto racional simples 3.000,00 |---------------|---------------|---------------|---------------|---------------| 1 2 3 4 5 0 X X X

3.000,00 1 1 1     = X + +  1 + 0,05 .5  1 + 0,05.1 1 + 0,05 .2 1 + 0,05.3 



X = 878,79

4.3 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Juros Simples 1) Márcia tem duas dívidas, sendo uma de $ 3.500,00 com vencimento para 5 meses e outra de $ 1.500,00 com vencimento para hoje. Ela pretende renegociar essas dívidas para liquidá-las em um único pagamento com vencimento para daqui a 4 meses. Qual o valor dessa nova dívida, considerando o critério de desconto racional simples, data focal quatro e taxa de 4% a.m.? R: $ 5.105,38 2) De acordo com o exercício anterior, qual seria o valor do novo pagamento, caso fosse utilizado o critério de desconto comercial simples? Qual é a opção mais vantajosa para Márcia? R: $ 5.145,71; é mais vantajosa a 1ª opção. 3) Caso você deva $ 15.000,00 para pagar daqui 10 meses e queira renegociar tal dívida para pagar em 3 prestações iguais, vencíveis nos meses 5, 6 e 7, qual seria o valor das prestações, se for adotado o critério de desconto racional simples, uma taxa de 3,5% a.m. e data focal sete? R: $ 4.371,87 4) Caso a data focal do exercício anterior fosse a zero, qual seria o valor dos pagamentos? R: $ 4.478,98 5) João tem uma dívida de $ 4.500,00 que vence no próximo mês, mas decide renegociá-la para pagar em duas prestações iguais e seguidas, sendo a primeira com vencimento em 3 meses. Qual o valor das prestações, se adotado o critério de desconto comercial simples, taxa de 2% a.m. e data focal quatro? R: $ 2.369,44

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6) Uma loja de instrumentos musicais vende um violão Eagle por $ 1.899,00 à vista. Como opção, esse bem pode ser pago em duas parcelas mensais e iguais, vencíveis em 3 e 4 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 24% a.a., qual será o valor dos pagamentos, considerando data focal zero e critério de desconto racional simples? R: $ 1.015,88 7) Pedro tem que pagar uma dívida daqui a 6 meses no valor de $ 4.000,00. Caso queira renegociar essa dívida para pagar em 3 parcelas mensais e iguais, com a primeira vencendo daqui a trinta dias, qual será o valor das parcelas se for considerando o critério de desconto comercial simples, taxa de 4% ao mês e data focal 6? R: $ 1.118,31 8) Ao vender seu carro, João propôs uma entrada de $ 8.000,00 e outra parcela de $ 6.000,00 para 6 meses. O comprador propôs a seguinte alternativa: o pagamento de uma parcela em 3 meses no valor de $ 7.000,00 e o restante em 10 meses. Considerando uma taxa de juros de 2,25% a.m., qual o valor do segundo pagamento? (Data focal 6 e critério desconto racional simples) R: $ 8.292,91 9) Juliana deseja substituir 3 títulos de $ 10.000,00, $ 20.000,00 e $ 30.000,00, com vencimentos respectivamente para 3, 6 e 9 meses, por um único titulo com vencimento para daqui a 1 ano. Qual será o valor desse novo titulo, uma vez que seja adotada uma taxa de 3% a.m., data focal 1 ano e critério de desconto comercial simples? R: $ 71.055,91 10) Uma moto custa $ 6.000,00 à vista, porém, após um acordo feito entre o comprador e o vendedor, ficou acertado que o pagamento seria feito em 3 parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira daqui a 3 meses. Calcule o valor das parcelas sabendo que a taxa de juros é de 3% a.m., a data focal é a zero e o critério desconto racional. R: $ 2.350,83 11) Nélio possuía um titulo no valor de $ 300,00 e necessitando de dinheiro adiantou o resgate desse titulo conseguindo um valor de $ 250,00. Considerando que a operação foi realizada sob o critério de desconto comercial simples, data focal zero e taxa de 4% a.m., qual foi o prazo de antecipação? R: n = 4m e 5d 12) Uma televisão é vendida por $ 700,00 à vista ou duas parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira 3 meses após a compra. Considerando o critério desconto racional simples, taxa de 2% a.m. e data focal zero, calcule o valor dos pagamentos. R: i = 378.38 13) Dois títulos: um de $ 15.000,00, com vencimento para hoje e outro de $ 70.000,00, com vencimento para 6 meses serão substituídos um por um único título com vencimento para 3 meses. Considerando o critério de desconto comercial simples, taxa de 84% a.a. e data focal 3, calcule o valor desse novo título. R: $ 74.287,34 14) E uma concessionária de veículos, um determinado carro custa $15.000,00 à vista, mas na necessidade de limpar o estoque essa concessionária fez um super promoção: oferecendo o carro paga pagamento em 3 parcelas mensais e iguais, com a 1ª para 30 Professor Aldery Silveira Júnior

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dias e reduziu os juros pela metade, cobrando agora só 2% a.m. Qual o valor das parcelas, uma vez que para o cálculo será adotado o critério de desconto racional simples e data focal zero? R: $ 5.198,72 15) Uma empresa possuía duas dívidas junto a um determinado banco: $ 900,00 e $ 1.200,00, com vencimento para daqui a 5 e a 8 meses, respectivamente. O gerente do banco propôs transformar as duas dívidas em uma só, com vencimento para 10 meses, adotando-se, para tanto, uma taxa de 4% a.m., critério de desconto comercial simples e data focal zero. Calcule o valor da nova dívida. R: $ 2.560,00 16) Ricardo comprou uma maquina fotográfica que custava $ 1.800,00 à vista para ser paga em 4 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira prestação daqui 3 meses, qual o valor dos pagamentos, uma vez que foi adotado o critério de desconto racional simples, taxa de 2% a.m. e data focal 6? R: $ 489,32 17) Tenho uma divida de $ 3.000,00 para pagamento daqui a 4 meses e quero renegociar essa divida para ser paga em 3 pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento pra daqui trinta dias. Qual o valor das parcelas, sabendo que a data focal é 3, desconto comercial simples e taxa de 3% ao mês. R: $ 940,30 18) Rosane possui um titulo no valor de $ 900,00, vencendo para daqui a 60 dias e outra no valor de $ 700,00, vencendo para daqui a 90 dias. Necessitando de dinheiro, Rosane desconta os dois títulos em uma financeira, tendo a operação sido efetuada sob o critério de desconto racional simples, taxa de 3,5% a.m. e data focal zero. Calcule o valor recebido pela mesma. R: $ 1.474,60 19) Uma determinada motocicleta custa $ 6.000,00 à vista. Quero comprá-la em 3 pagamentos mensais e iguais com vencimento do primeiro pagamento para daqui 60 dias, com taxa de 3,75% a.m. Calcule o valor desses pagamentos considerando o critério de desconto comercial simples e data focal 2. R: $ 2.246,40 20) Possuo uma divida no valor de $ 3.000,00 para pagamento daqui a três meses. No entanto, quero quitá-la hoje. Considerando o critério de desconto racional simples, taxa de 2,5% a.m. e data focal zero, quanto deverei? R: $ 2.790,70

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4.4 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional Composto Em juros compostos, a determinação da data focal deixa de ter importância, pois qualquer data focal que venha a ser utilizada leva o resultado da operação ao mesmo valor. Um determinado bem custa $ 5.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem a prazo, para pagamento em três vezes iguais, vencendo o primeiro um mês após a compra, qual será o valor dos pagamentos se for considerado o critério de Desconto Racional Composto e taxa de 3% ao mês? 5.000 |-------------|--------------|--------------| 0 1 2 3 X X X

5.000,00 =

X X X 5.000,00 ⇒ X + + = = 1.767,65 (1,03) (1,03)2 (1,03)3 2,828611355

Exemplos: (1) Caso você deva pagar $ 15.000,00 daqui a 6 meses e $ 8.000,00 em 12 meses, e queira renegociar essas dívidas para pagar $ 5.000,00 hoje e o restante em 3 meses, qual será o valor dos pagamentos, se for considerado uma taxa de 37% ao ano e critério de desconto racional composto? (2) Três dividas, a 1ª no valor de $ 3.000,00, a 2ª de $ 7.000,00 e a 3ª de $ 20.000,00, com vencimentos para 15 dias, 5 meses e 11 meses, respectivamente, estão sendo renegociadas para serem pagas hoje. Qual o valor desse pagamento se for usado taxa de 45% ao ano e critério de desconto racional composto?

4.5 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Juros Compostos 1)

Carlos possui duas dívidas, uma no valor de R$ 1.000,00 que vence hoje e outra no valor de R$ 1.500,00 que vence em três meses. Estas dívidas estão sendo negociadas por outras duas, sendo a primeira para daqui a 2 meses, no valor de R$ 750,00 e a segunda a ser paga daqui a 5 meses. Sabendo que taxa é de 2% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento utilizando o critério de desconto racional composto. R: $ 1.868,77

2)

Uma máquina de lavar roupa custa R$ 7.000,00 a vista. Caso o cliente queira adquirir esse bem a prazo, para pagamento em três vezes iguais, vencendo o primeiro em um mês após a compra. Qual será o valor das parcelas considerando a taxa de 3% e o critério de desconto racional composto? R: R$ 2.474,71

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3)

Suponha que você tenha uma divida de $10.000,00 com vencimento para daqui a 8 meses, porém você quer negociá-la para pagar $ 7.000,00 e o restante em dois meses. Qual será o valor do segundo pagamento se for considerado a taxa mensal de 2,5% ao mês e o critério do desconto racional composto? R: $ 1.268,59

4)

João aplicou $ 30.000,00 em um banco que rende juros de 37% ao ano, pretendo assim retirar o montante em 9 meses. Entretanto decorrido 2 meses ele retirou $ 5.000,00. Qual o valor retirado por ele no fim de 9 meses? R: $ 31.981,42

5)

João Deve $ 35.000,00 para daqui um ano, porém recebeu um dinheiro de uma causa na justiça e propôs o refinanciamento de sua divida, comprometendo a liquidá-la em 3 parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira hoje. Quanto será o valor das parcelas se a taxa de juros composto cobrada é de 20% ao ano? R $ 10.168,58

6)

Uma divida de $ 7.350,00 para 12 meses e outra de $ 8.000,00 para 24 meses foi transformada em 4 parcelas iguais semestrais, vencendo a primeira daqui a 6 meses. Qual é o valor das parcelas, se a taxa de juros considerada é de 34% ao ano? R: $ 3.535,33

7)

Henrique deseja comprar uma moto de $ 13.000,00. Ele dispõe de $ 7.000,00 para pagar a vista e pretende financiar o restante em 3 pagamentos iguais e trimestrais, com o primeiro pagamento para daqui a 90 dias. Considerando uma taxa trimestral de 4%, qual será o valor das prestações? R: $ 2.162,09

8)

Uma televisão está sendo vendida por $ 6.500,00 à vista ou pode ser adquirida com uma entrada de $ 2.000,00 mais 3 parcelas mensais, com a primeira vencimento para 60 dias. Sabe-se ainda que a taxa de juros anual é de 17%. Qual é o valor das prestações? R: $ 1.559,96

9)

Uma loja especializada em bicicletas anunciou que vende uma super bicicleta de corrida por $ 1.000,00 à vista ou em dois pagamentos mensais, sendo o primeiro para 3 meses e o segundo para 4 meses. Considerando uma taxa de 14% a.a., calcule o valor dos pagamentos. R: $ 519,47

10) Uma loja de Móveis tinha uma dívida com seus fornecedores e decidiu negociá-la. Substituiu 3 dívidas de $ 5.000,00, $ 2.000,00 e $ 3.000,00 com prazo de vencimento de 30, 60 e 90 dias, respectivamente, por um único título vencível em 180 dias. Qual é o valor desse título, sabendo que a taxa é de 25% a.a.? R: $ 10.813,73 11) Uma dívida de $ 20.000 para ser paga em 1 ano e outra no valor de $ 30.000 para ser paga em 2 anos foram refinanciadas para serem pagas em 4 parcelas iguais e semestrais, sendo que a 1ª será para daqui 6 meses. Considerando uma taxa de 20% a.a., qual será o valor das parcelas? R: $ 11.713,72 Professor Aldery Silveira Júnior

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12) Um comerciante tem uma dívida de $ 14.500,00, vencendo em 5 meses e quer pagar esta dívida parceladamente. Ele conseguiu junto ao banco o parcelamento em 3 vezes iguais, a juros de 2,3% ao mês, vencendo a primeira em um mês. Qual o valor das prestações? R: $ 4.513,83 13) Determine o valor nominal de um titulo com vencimento para 5 meses que substituirá outros dois no valor de $ 500,00 cada, vencendo em 30 e 60 dias, à taxa de 3% a.m. R: $ 1.109,12 14) Faltam 3 prestações mensais e iguais de $ 700,00, vencendo a primeira em 30 dias, para quitar um financiamento de um imóvel. Quero renegociar para pagá-las uma única prestação daqui a 60 dias. Considerando uma taxa mensal de 4%, qual o valor deste pagamento? R: $ 2.101,08 15) Duas dívidas, a primeira no valor de $ 500,00 com vencimento para hoje, e a segunda, com valor de $ 700,00 com vencimento para três meses, estão sendo negociadas por duas outras dívidas: a primeira no valor de $ 400,00, com vencimento para 4 meses e a segunda com vencimento para 6 meses. Considerando o critério de desconto racional composto e taxa de 5,2% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento. R: $ 1.050,04 16) Suponha que você deve $ 12.000,00 para daqui a 6 meses e queira renegociar essa dívida para pagar em três pagamentos bimestrais e iguais, vencendo o primeiro daqui a 60 dias. Considerando uma taxa de 7% ao mês, calcule o valor dos pagamentos. R: $ 3.472,53 17) Um título com valor nominal de $ 75.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título? R: $ 70.694,92 18) Um comerciante, devedor de um título de $ 400.000,00, com vencimento para 3 anos, deseja substituir essa dívida por dois pagamentos anuais e iguais: um para daqui a 1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo-se que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. R: $ 119.047,10 19) Uma televisão de plasma que custa $ 7.000,00 pode ser adquirida em 5 prestações mensais iguais, sendo a primeira na data da compra. Qual o valor de cada uma dessas prestações se for adotada uma taxa composta de 10% a.m.? R: $ 1.678,70 20) Um empresário possui dois títulos a pagar com valores de $ 50.000,00 e $ 70.000,00, vencíveis em 3 e 7 meses, respectivamente, a partir da data presente. Sem liquidez para quitar os débitos em suas datas, negocia com a Instituição bancária que estipula juros compostos de 3% a.m. - para substituição das dívidas por duas outras de igual valor a vencerem em 9 e 12 meses. Determinar o valor de cada débito nesta nova situação. R: $ 69.950,76 Professor Aldery Silveira Júnior

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5 – Rendas (Série de Pagamentos ou Anuidade) Há varias formas de pagamento de um bem: como o pagamento no ato da compra, não existindo uma diferença temporal entre o pagamento e o recebimento da mercadoria e, conseqüentemente, a incidência de juros, sendo, neste caso, chamado de pagamento à vista. Outra forma de pagamento é a que há hiato temporal entre o recebimento da mercadoria e o pagamento, havendo assim o pagamento de juros por essa diferença de tempo, já que o valor do dinheiro não é o mesmo no tempo, sendo essa forma chamada de pagamento no futuro. Outra forma é o pagamento parcelado. O pagamento parcelado possui uma grande variedade de tipos, podendo ser efetuado em varias parcelas seqüencialmente, ou existindo um período de carência para o início dos pagamentos, ou ser pagas em períodos não seqüenciais, etc., dependendo do acordo ajustado entre as partes: o devedor e o credor. O que não diferencia em todos os tipos de Rendas é que sempre haverá a incidência de juros, proporcional ao tempo e/ou ao número das parcelas. Pagamento à vista:

Pagamento no futuro:

P |-------------------------------| 0 n

S S = P(1 +i) |-------------------------------| 0 n

n

Pagamento parcelado (Rendas ou Série de Pagamentos ou Anuidade): S R R R P R R R |------|-----|------|------|------|-----| 0 1 2 3 4 5 6

Onde: P = Valor Atual R = Valor dos Termos S = Montante

Qualquer série de pagamento é uma Renda. R Variáveis de uma Renda e suas relações P

S

Existem dois tipos de Rendas: • •

Rendas Certas ou Determinísticas, que são estudadas pela Matemática Financeira. Rendas Aleatórias ou Probabilísticas, que são estudadas pela Matemática Atuarial.

O nosso curso abordará apenas as Rendas Determinísticas. Professor Aldery Silveira Júnior

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Classificação das Rendas

Rendas

Certas Aleatórias

Temporárias Perpetuas



Periódicas Não-periódicas



Constantes Variáveis



Imediatas Diferidas



Postecipadas Antecipadas



Temporárias

Periódicas

Constantes

Não Periódicas Variáveis

Imediatas Diferidas

Postecipadas Antecipadas

Perpétuas

possuem início e fim  não possui um fim, é ad perpetum  os pagamentos ou recebimentos ocorrem em todos os períodos  os pagamentos ou recebimentos não ocorrem em todos os períodos o valor de todos os termos são iguais em  o valor de todos os termos não são iguais os pagamentos ocorrem a partir do 1º período.  há uma carência para o início dos pagamentos. os pagamentos ocorrem no final dos períodos.  os pagamentos ocorrem no início dos períodos.

Inicialmente, serão estudadas as Rendas constantes do Modelo Básico, que são as Rendas que apresentam as seguintes características: Renda  certa  temporária



periódica  constante  imediata



postecipada

Simbologia Nas operações com Rendas (ou Anuidades) será utilizada a seguinte simbologia: R– P– S– i – n –

Termos da Renda Valor Atual. Montante. Taxa de Juros. Número de Termos.

Informações importantes: • • •

As operações com Rendas utilizam juros compostos. O montante de uma Renda (S) fica na “altura” do último termo. O Valor Atual (P) de uma Renda corresponde à soma dos Valores Atuais de seus Termos

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5.1 – Rendas do Modelo Básico:

P R R R R R R R ...... R |--------|--------|--------|---------|--------|--------|--------|--------| 0 1 2 3 4 5 6 8 ....... n P = soma dos valores atuais de seu termos. P=

R R R R K + + (1 + i) (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)N

5.1.1 – Fórmulas  (1 + i)N − 1 1) P = R.  N ( ) + 1 i . i  

 (1 + i)N − 1  3) S = R. i  

 (1 + i)N .i   2) R = P. N ( ) + − 1 i 1  

4) R = S.



 i  N  (1 + i) − 1

Obs.: estas fórmulas são válidas somente para as Rendas do Modelo Básico. Exercícios resolvidos: 

Um determinado bem custa $ 10.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem a prazo, para pagamento em 24 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um mês após a compra, qual será o valor do pagamento com taxa de 3% ao mês. P = 10.000,00 i = 3% a.m. n = 24 R=?  (1 + 0 ,03 )24 . 0 ,03  R = 10 . 000 ,00   24  (1 + 0 ,03 ) − 1 





R = 590,47

Caso você queira dispor de $ 10.000,00 daqui a seis meses, quanto deverá depositar mensalmente em uma instituição financeira que pague juros de 2% ao mês par que no ultimo deposito obtenha a quantia desejada?

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S = 10.000,00 n=6 i = 2% a.m. R = ?. 

 0 ,02  6  (1 + 0 ,02 ) − 1 

R = 10 . 000 ,00 



R = 1585,26

Exemplos de Rendas do Modelo Básico (1) Um determinado bem esta sendo vendido por nove prestações de $ 500,00 reais, vencendo a primeira um mês após a compra. Considerando um taxa de 2,5% ao mês, determine o valor à vista desse bem. (2) Caso você efetue 24 depósitos mensais e iguais de $ 300,00 em um instituição que pague juros de 1,5% ao mês, quanto disporá por ocasião do ultimo deposito?

5.1.2 – Exercícios sobre Rendas do Modelo Básico 1) Um bem custa $ 15.000,00 à vista. Caso a aquisição desse bem seja feita a prazo, para pagamento em 6 prestações mensais e iguais, a uma taxa de 1,5% a.m., qual será o valor das parcelas? R: R = $ 2.632,87 2) Quanto deverei depositar mensalmente para que, ao final de 3 anos, disponha de $ 50.000,00, considerando que a instituição financeira pague juros de 0,5% a.m.? R: R = $ 1.271,09 3) Lílian comprou um carro para ser pago em 60 prestações de $ 550,00, com taxa de 1,0% a.m., qual o valor à vista do carro? R: P = $ 24.725,27 4) Qual o valor das parcelas de um bem que custa $ 25.000,00 à vista e que será vendido em 12 pagamentos iguais e mensais, cuja taxa de juros é de 1,5% a.m.? R: R = $ 2.291,99 5) Se efetuo um empréstimo de $ 3.500,00, à taxa de juros de 2% a.m., para ser liquidado em 8 pagamentos mensais e iguais, qual será o valor das prestações? R: R = $ 477,80 6) Ivan pretende levantar um empréstimo de $ 15.000,00. Se a taxa de juros de mercado for 3,5% a.m. e o mesmo deseja pagá-lo em 24 parcelas mensais e iguais, qual será o valor das prestações? R: R = $ 934,10 7) Danilo decidiu fazer uma viagem daqui 1 ano e meio e, para tanto, deseja dispor de $ 10.000,00 na data da viagem. Para tanto, pretende efetuar depósitos mensais e iguais Professor Aldery Silveira Júnior

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numa instituição financeira que paga juros de 1% a.m. Qual será o valor dos depósitos para que, por ocasião do 18º depósito o mesmo disponha da importância desejada? R: R = $ 509,82 8) Um carro é vendido em 36 parcelas mensais e iguais de $ 599,00. Sabendo que a taxa utilizada 1,5% a.m., qual é valor do carro à vista? R: P = $ 16.568,75 9) Fernando depositará mensalmente $ 450,00, durante 6 meses, em um banco que paga  juros de 3% a.m. Qual o montante que poderá ser sacado por Fernando por ocasião do último depósito? R: S = $ 2.910,78 10) Quanto terei que depositar, mensalmente, em uma instituição que paga juros de 2,5% a.m. para que, ao final de 8 meses, eu possua $ 10.000,00? R: R = $ 1.144,67 11) Ana comprou uma casa de $ 80.000,00 financiada em 36 prestações mensais e iguais. Calcule o valor das prestações, considerando uma taxa de 1,5% a.m? R: R = $ 2.892,19 12) Comprei um carro financiado em 24 prestações mensais de $ 800,00. Qual o seu valor à vista, sabendo que foi usada uma taxa de 2% a.m? R: P = $ 15.131,14 13) Roberto precisou fazer uma cirurgia que custava $ 3.000,00 à vista. Para pagá-la, fez um empréstimo desse valor, a uma taxa de 0,5% a.m., para quitá-lo em 12 parcelas mensais e iguais. Qual o valor das parcelas? R: R = $ 258,20 14) Um computador custa, atualmente, $ 3.500,00. Paulo decide comprá-lo, e financia o objeto desejado em 10 prestações iguais e mensais, sendo que a 1ª parcela deverá ser paga daqui a 1 mês. Sabendo que a taxa de juro é de 5,5% a.m., quanto Paulo terá que desembolsar mensalmente? R: R = $ 464,34 15) Getulio se propôs a fazer uma poupança para viajar após sua formatura. Para tanto, efetuou 18 meses depósitos mensais e iguais de $ 200,00 em uma caderneta de poupança que paga juros de 0,5% a.m. Qual a importância disponível por ocasião do último depósito? R: $ 3.757,16 16) Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente durante 15 meses num fundo de investimentos que rende 1,8% a.m., para que no instante do último depósito tenha um montante de $ 60.000,00? R: R = $ 3.519,95 17) Marta efetuou 12 depósitos bimestrais e iguais no valor de $ 500,00 em uma instituição que paga juros de 3% a.b. Quanto ela terá no momento do último depósito? R: $ 7.096,01 Professor Aldery Silveira Júnior

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18) Qual é a prestação mensal de um carro cujo preço à vista é $ 50.000,00, se for financiado em 24 prestações mensais e iguais, à taxa de 3,5% a.m.? R: R = $ 3.113,65 19) Um financiamento de $ 100.000,00 foi concedido a uma empresa, para ser pago em 4 prestações semestrais iguais, à juros de 20% a.s. Qual é o valor das prestações? R: R = $ 38.628,90 20) Qual é o preço à vista de um carro que está sendo vendido por 12 prestações mensais e iguais de $ 5.000,00, considerando que a taxa contratada foi de 8% a.t.? R: P = $ 50.984,10

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5.2 – Rendas não constante do Modelo Básico Para se resolver qualquer tipo de operação envolvendo Renda não constante do Modelo Básico tem-se que, necessariamente, transformá-las em Renda do Modelo Básico e aplicar as fórmulas correspondentes.

5.2.1 – Fórmulas As fórmulas a serem utilizadas são as mesmas de Rendas do Modelo Básico Exemplos de Rendas não constante do Modelo Básico (1) O preço à vista de um carro é de $ 80.000. A revendedora exige 30% como entrada, financiando o saldo em 36 prestações, com 6 meses de carência. Sabendo-se que a taxa de juros é 3,5% a.m. Qual é o valor das prestações? R: $ 3.277,91 (2) Uma pessoa abriu uma conta em uma instituição financeira e depositou $ 1.000. Em seguida, efetuou uma série de 24 depósitos mensais de $ 300, sendo que o primeiro foi feito 4 meses após a abertura da conta. Supondo-se que não seja efetuada nenhuma retirada, e considerando que a instituição financeira paga juros compostos de 2% a.m. sobre o saldo devedor, quanto essa pessoa terá disponível 5 anos após a abertura da conta? R: $ 20.824,39

5.2.2 – Exercícios sobre Rendas não constantes do Modelo Básico 1) O preço a vista de uma casa é $ 70.000,00. No entanto, o banco exige 20% de entrada. O restante será financiado em 60 parcelas iguais e mensais com 4 meses de carência para pagamento da 1ª parcela, a uma taxa de 2,5% a.m. Qual será o valor das parcelas? R: R = $ 1.951,10. 2) Uma pessoa vai receber 10 parcelas mensais e iguais de $ 250,00 com uma carência de 4 meses para recebimento da primeira parcela. Qual é o valor atual desta série de pagamentos, se a taxa considerada for de 2% a.m.? R: P = $ 2.116,11. 3) Um fogão foi dividido em 5 parcelas mensais e iguais de $ 125,00, sendo a primeira parcela paga no ato da compra, como uma entrada. Se a taxa que a loja “Só Fogões” opera é de 1,5% a.m., qual é o preço do fogão a vista? R: P = $ 606,80. 4) João efetuou uma compra cujo pagamento deveria ser efetuado em 4 parcelas trimestrais de $ 2.500,00, a taxa de juros seria de 2% a.m., vencendo a 1ª daqui a 3 meses. Caso João queira pagar essa compra em 12 parcelas mensais e iguais, vencendo o 1º pagamento em 1 mês, qual será o valor das parcelas? R: R = $ 816,89 Professor Aldery Silveira Júnior

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5) Carlos comprou um aparelho de som que foi pago da seguinte maneira: 3 parcelas mensais e iguais de $ 200,00, vencendo a 1ª daqui a um mês e duas parcelas de $ 500,00, a serem pagas no 5º e no 6º mês. Considerando a taxa de juros foi de 3%, calcule o valor do aparelho à vista. R: P = $ 1.415,77 6) Um carro é vendido da seguinte forma: uma entrada de $ 3.500,00, 4 parcelas mensais iguais de $ 2.500,00, vencendo a 1ª daqui a 1 mês e outras 2 parcelas com vencimento no sexto mês no valor de $ 3000. Se a taxa de juros for de 2% a.m., qual o valor do carro a vista. R: P = $ 18.294.92 7) Calcule o valor presente do seguinte fluxo de caixa, realizados a fim de cada mês: 1º mês $ 20.000,00 e do 2º ao 5º mês $ 40.000,00, considerando uma taxa de juros de 3% a.m. R: P = $ 163.770,81 8) O preço a vista de um bem é $ 80.000,00. Pretendo comprá-lo a prazo, dando uma entrada de $ 24.000,00 e o restante financiar em 36 prestações com o primeiro pagamento para daqui a 6 meses. Considerando uma taxa de 3,5% a.m., calcule o valor das prestações. R: R = $ 3.277,91 9) Um veículo foi comprado para ser pago em 3 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira somente no final do terceiro mês após a compra. Sabendo que o veículo a vista é $ 17.850,00 e que a taxa de juros utilizada pela loja é 7% a.m., qual o é o valor das prestações? R: R = 7.787,35 10) Ao dar entrada de $ 60.000,00 em uma Hilux, Lucas se responsabilizou em pagar mensalmente parcelas de $ 1.380,00 por 60 meses, com a primeira parcela vencendo ao final de 2 meses após a compra. Qual o valor à vista da Hilux considerando, considerando que a operação foi efetuada à taxa de 2% a.m.? R: P = $ 107.029,43 11) Simpson efetuou um empréstimo em uma instituição financeira para pagar em 10 prestações de $ 1.700,00, com uma carência de 5 meses para pagamento da primeira parcela, Sendo a taxa utilizada de 5% a.m., qual o valor do empréstimo? R: P = $ 10.800,00 12) Eduardo comprou uma motocicleta que custa $ 10.000,00. A aquisição foi efetuada em 18 pagamentos mensais e iguais, com uma carência de 4 meses para começar a pagar. O valor da taxa acertada foi de 2,8% a.m. Calcule o valor das mensalidades? R: R = $ 776,59 13) Rivaldo adquiriu um aparelho eletrônico para pagar da seguinte forma: 6 pagamentos iguais de $ 75,00, sendo os 3 primeiros pagamentos para o 3º, 4º e 5º mês e as outras 3 para o 8º, 9º e 10º mês, a partir de hoje. A taxa de juro utilizada foi de 2,5% a.m. Qual era o valor à vista do aparelho? R: P = $ 384,08 Professor Aldery Silveira Júnior

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14) Danilo foi a um feirão de carros usados e se interessou por um que custava $ 9.500,00 à vista. Sem possui o dinheiro para adquiri-lo nesta forma de pagamento e após longa conversa com o vendedor, fica acordado o seguinte: daqui a 2 meses ele pagaria $ 3.000,00 e, 3 meses após esse pagamento, ele pagaria mais 5 pagamentos iguais e subseqüentes. Sabendo que foi adotada uma taxa de 2% a.m., qual será o valor das parcelas? R: R = $ 1.519,46 15) Igor decidiu comprar um carro 0 km que custa $ 24,990,00 à vista. Ele possui $ 12.000,00 para dar de entrada e se compromete a pagar 24 parcelas iguais e mensais com uma carência de 6 meses. Sabendo que a taxa de juros ajustada foi de 2% a.m., qual será o valor das parcelas? R: R = $ 758,28 16) Maria adquiriu um aparelho eletrônico para pagar em oito prestações, sendo que as três primeiras seriam no valor de $ 120,00, as três seguintes no valor de $ 100,00 e as restantes no valor de $ 80,00. Considerando uma taxa de 1,5% a.m., calcule o valor à vista desse aparelho. R: P = $ 771,06 17) Se uma TV esta sendo vendida em 12 prestações mensais, sendo as seis primeiras no valor de $ 150,00 e as restantes no valor de $ 200,00. Considerando uma taxa de 1,0% a.m., calcule o valor à vista dessa TV. R: P = $ 1.961,24 18) Se eu fizer um depósito hoje de $ 1.000,00 em uma instituição financeira e a partir do 6º após o primeiro depósito efetuar 12 depósitos mensais de $ 250,00, qual o valor que eu terei ao por ocasião do último depósito, sabendo que a taxa de juro adotada pela instituição financeira é de 1% a.m.? R: S = $ 4.354,93 19) Em uma renegociação de dívidas, ficou acertado que seria pago 10 prestações mensais e iguais de $ 300,00, com uma carência de 6 meses para o pagamento da primeira parcela. Qual o valor atual dessa dívida, considerando que a operação foi efetuada a uma taxa de juros de 2,5% a.m.? R: P = $ 2.320,66 20) O preço à vista de um computador é $ 2.500,00. A vendedora exige uma entrada de $ 200,00 e financia o saldo em 12 prestações pensais e iguais, a juros de 2,5% a.m., com 2 meses de carência para o pagamento da primeira parcela. Qual o valor dessas prestações? R: R = $ 229,83

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6 – Uso de Tabela Financeira As Tabelas Financeiras possibilitam uma forma alternativa de se obter os resultados solicitados pela Matemática Financeira. Alguns podem considerar mais fácil o cálculo por meio da Tabela Financeiro e outros não, mas o que importa é que pelo método convencional (fórmulas normais) ou pelo uso de Tabela Financeiras, o resultado é o mesmo, apenas o canal é diferente. Observação: as siglas a serem utilizadas nas operações com Tabelas Financeiras possuem as seguintes definições: • • • • • •

FPS  fator de P para S, ou seja, cálculo de S (montante) a partir de P (valor atual). FSP  fator de S para P (cálculo de P partindo de S). FRP  fator de R para P (cálculo de R partindo de R). FPR  fator de P para R (cálculo de R, partindo de P). FRS  fator de R para S (cálculo de S, partindo de R). FSR  fator de S para R (cálculo de R, partindo de S).

Na Tabela, as colunas representam os fatores e as linhas o número de períodos (n). Por exemplo, para um FSP (5%,8), identifica-se a Tabela relativa à taxa de juros de 5%; nessa Tabela, localiza-se a coluna FSP e, por último, a linha 8, onde acha-se o fator desejado. Formulas Convencionais

Formulas Tabeladas

1) S = P(1 + i)n



S = P.FPS (i, n)

2) P = S(1 + i)−n



P = S.FSP (i, n)

3)

 (1 + i)n − 1 P = R.  n ( ) 1 i . i +  



P = R.FRP (i, n)

4)

 (1 + i)n .i  R = P.  n  (1 + i) − 1



R = P.FPR (i, n)

5)

 (1 + i)n − 1 S = R.  i  



S = R.FRS (i, n)



R = S.FSR (i, n)



 i  n  (1 + i) − 1

6) R = S. Ex:

P = 5.000,00 i = 3% a.m. n=9 R =? Professor Aldery Silveira Júnior

R = 5.000,00.FRP(3%,9) R = 5.000,00. 0,12843 R = 642,15

As fórmulas 1 e 2 são utilizadas nas operações de Rendas com um só termo e nas operações de Capitalização composta e Desconto composto.

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Exemplos (1) calcule o valor atual (P) dos valores abaixo, com i = 5%. P

500

500

500

500

1000

1000

1000

1000

1000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5.000

300

300

300

400

400

400

400

0

1

2

3

6

7

8

9

4

5

(2) calcule as prestações (R) das rendas abaixo, com i = 3% 15.000

R

R

R

R

R

R

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

R

R

R

R

R

R

R

0

1

2

3

4

5

6

10.000 7

8

9

6.1 – Interpolação A interpolação é um método utilizado para se calcular um fator que não tem na Tabela Financeira. Consiste em usar dois fatores existentes para se chegar ao fator desejado. Ex: P = 3.000,00 i = 2,7% a.a n=6 FSP = ? Como não há 2,7% na Tabela Financeira, encontramos por meio da seguinte operação (interpolação): 2,5 --------------- 1,15969 2,7 --------------- X 3,0 --------------- 1,19405 2,5 − 2,7 1,15969 − X − 0,2 1,15969 − X = ==> = ==> S = 1,173434 − 0,5 − 0,03436 2,5 − 3 1,15969 − 1,19405 S = P.FPS(2,7%, 6) -> S = 3.000(1,173434) -> S = 3.500,30

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6.2 – Exercícios com a utilização de Tabelas Financeiras 1) Qual é o montante de uma aplicação de $ 2.550,00, a uma taxa de 1,5% a.m. durante cinco meses? R: S = 2.747,07 2) Uma pessoa receberá 10 prestações iguais e mensais de $ 1.000,00, mas decide optar por receber apenas uma prestação ao final do período. Qual será esse valor, considerando uma taxa de juros compostos de 3% a.m.? R: S = $ 11.463,87 3) Qual o valor das parcelas de um bem que custa $ 25.000,00 à vista e que será parcelado em 12 vezes iguais e mensais, cuja taxa de juros é de 1,5% a.m.? (juros compostos) R: R = $ 2.291,99 4) Qual o valor do desconto racional composto de um título de $ 12.000,00 que foi descontado 7 meses antes do vencimento, cuja taxa era de 2% a.m.? R: Drc = $ 1.553,28. 5) Quanto se deve depositar mensalmente para que ao final de 3 anos possua $ 50.000,00, considerando que a instituição financeira pague 0,5% a.m? R: R = $ 1.271,09 6) Lílian comprou um carro em 60 prestações de $ 550,00, com taxa de 1,0% a.m, qual o valor à vista do carro? R: P = $ 24.725,27 7) Um bem custa $ 15.000,00 à vista. Caso tal bem fosse adquirido parcelado em 6 prestações mensais e iguais e considerada uma taxa de 1,5% a.m, qual seria o valor das parcelas? R: R = $ 2.632,87 8) Qual será o valor atual de um título de $ 150.000,00 se esse for resgatado 90 dias antes do prazo previsto, a uma taxa composta de 4% a.m.? R: $ 133.349,46 9) Uma dívida com valor nominal de $ 1.000.000,00 e vencimento daqui a 3 anos deve ser liquidada hoje. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, qual é o valor atual dessa dívida? R: Vrc = $ 751.314,80 10) Ao final de 2 anos, quanto devo retirar, se apliquei $ 20.000 a uma taxa de 3,5% a. m.? R: S = 45.666,57 11) Se efetuo um empréstimo de $ 3.500,00 a uma taxa de juros de 2% e desejo pagá-lo em 8 pagamentos mensais e iguais, qual será o valor das prestações? R: R = $ 477,80

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12) Preciso dispor de $ 10.000,00 daqui a 12 meses para viajar com a família. Quanto devo aplicar mensalmente, a partir deste mês, em uma instituição financeira que pague juros de 1,5% a.m. para que eu tenha essa importância por ocasião do último depósito? R: R = $ 766,80 13) Um financiamento de $ 100.000,00 é concedido a uma firma para ser pago em 4 prestações semestrais iguais, à taxa de 20% a.s. Qual é o valor das prestações? R: R = $ 38.628,91 14) Um carro é vendido em 36 parcelas mensais e iguais de $ 599,00. Sabendo que é utilizada uma taxa de 1,5% a.m., qual seria o valor do carro à vista? R: P = $ 16.568,75 15) Fernando pretende depositar mensalmente $ 450,00, durante 6 meses, em um banco que paga juros de 3% a.m. Qual o montante que Fernando disporá por ocasião do último depósito? R: S = $ 2.910,78 16) Quanto terei que depositar mensalmente, em uma instituição que paga juros de 2,5% a.m., para que, ao final de 8 depósito, possua $ 10.000,00? R: R = $ 1.144,67 17) João depositou $ 5.000,00 em um banco que rende juros de 2% a.m. Após 6 meses, ele decide retirar seu dinheiro em 12 parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira 30 dias após. Considerando a mesma taxa de juros para todo o período, qual o valor das parcelas que serão sacadas? R: R = $ 532,48 18) Ana comprou uma casa de $ 80.000,00 para ser financiada em 36 prestações mensais e iguais. Qual será o valor de cada prestação, sabendo que será cobrada uma taxa de  juros de 1,5% a.m.? R: R = $ 2.892,19 19) Comprei um carro financiado em 24 prestações mensais de $ 800,00. Qual o seu valor à vista, sabendo que foi usada uma taxa de 2% a.m.? R: P = $ 15.131,14 20) Marta, necessitando de dinheiro, desconta um titulo de $ 25.000,00 3 meses do vencimento, a uma taxa e 2% a.m. Qual o valor do desconto racional composto dessa operação? R: Drc = $ 1.441,94

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7 – Inflação Inflação é a aumento generalizado dos preços. A inflação desvaloriza o dinheiro no tempo, já que diminui o seu poder de compra, por isso, torna-se necessário fazer uma correção monetária, a fim de recuperar o poder de compra de um determinado valor. Taxa de mercado  i Taxa de juros

Taxa de juro real



r

Taxa de inflação



j

7.1 – Fórmulas

i = (1 + r )(1 + j) − 1

1+ i = (1+ r )(1+ j)

r=

1+ i −1 1 + j

 j =

1+ i −1 1+ r

Ex: Caso você efetue um empréstimo de $ 10.000,00, à taxa de 3% ao mês e, por ocasião de pagamento, constate que a inflação de período (um ano) foi de 34%, qual terá sido a taxa de  juros real dessa operação? P = $ 10.000,00 i = 3% a.m. n = 12 S 14.257,61 S = 10.000,00(1,03 )12 = 14.257,61 → i = N − 1 → i = − 1  i = 0,42571 P 10.000,00 i = 42,5761%  j = 34%a.a r = 6,4% a.a 1 + 0,425761 = r r=? 1 + 34 Exemplos (1) Por um empréstimo de $ 15.000,00, deve-se pagar $ 19.000,00 em 1 ano. Se a inflação ao final do período for 37%, qual será a taxa de juro real dessa operação? (2) Se eu aplicar $ 3.000,00 e resgatar $ 3.700,00 ao final de 1 ano, qual terá sido a taxa real de juros, se nesse período for constatado as seguintes taxas de inflação: 1º trimestre 3,4%; 2º trimestre 3,11%; 3º trimestre 2,75%; 4º trimestre 3,37%? Professor Aldery Silveira Júnior

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7.2 – Exercícios sobre Inflação 1)

Uma aplicação de $ 5.000,00 rendeu juros de $ 1.500,00 no prazo de um ano. Sabendose que neste período a taxa de inflação foi de 25%, pergunta-se: qual foi a taxa de juro real obtida pelo aplicador? R: r = 4% a.a.

2)

Um indivíduo aplicou $ 540.000,00 por três meses. No mesmo período, a inflação foi de 20%. Qual valor do resgate para que a taxa real seja nula? R: S = $ 648.000,00

3)

Marta aplicou $ 10.000,00 e após 2 anos recebeu $ 3.600,00 de juros. Considerando que a inflação média durante o período de aplicação foi de 20% a.a., qual foi a taxa de  juros real anual obtida pelo aplicador? R: – 2,82% a.a.

4)

Uma aplicação de $ 10.000,00 rendeu $ 2.000,00 em juros, durante 1 ano. Calcule a taxa de juros real da aplicação sabendo que a inflação do período foi 15%. R: r = 4,3% a.a

5)

Pedro aplicou $ 1.000,00 em CDB pelo período de 2 anos e, ao final do período, obteve o montante de $ 1.322,5. Qual a taxa de correção monetária anual sabendo que o CDB rende juros reais de 10% a.a R: j = 4,5% a.a

6)

Se a taxa de mercado for 25% a.a., qual será a taxa de juros real se a taxa de inflação for de 19% a.a.? R: r = 5,04% a.a

7)

Marcos aplicou $ 30.000,00 em um fundo de investimentos e, após 2 anos, resgatou o montante de $ 38.500,00. Considerando que a inflação do período foi de 11% a.a., qual foi a taxa de juro real anual da aplicação? R: r = 2,05% a.a

8)

Um grupo de investidores aplicou, por um período de 24 meses, um capital de $ 10.000,00, tendo resgatado o montante de $ 16.500,00. A inflação do período foi estimada em 3,6% a.m. Qual a taxa real de juros mensal dessa operação? R: r = – 1,44% a.m.

9)

Uma aplicação de $ 3.200,00 proporcionou o resgate do montante de $ 5.100,00 num período de 8 meses, a uma taxa de juros real de 2% a.m. Pergunta-se: qual foi a taxa de inflação mensal desse período? R: j = 3,92% a.m.

10) Um investimento de $ 15.000,00 rendeu um juro no valor de $ 3.600,00, após 3 anos. Qual a taxa de inflação anual do período, se a taxa real de juros foi de 15% a.a.? R: j = – 6,58% a.a 11) Se a taxa de juro real operada por uma determinada financeira é de 2% a.m., Qual deverá ser a taxa de juro cobrada pela mesma se a inflação estimada para os próximos meses for de 1% a.m.? R: i = 3,02% a.m. Professor Aldery Silveira Júnior

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12) Carlos viajou para a Europa para fazer seu Curso de Mestrado. Entretanto, antes de viajar fez uma aplicação de $ 4.500,00 e obteve juros de $ 6.300,00 num prazo de 2 anos. Carlos ficou curioso para saber qual o rendimento real anual dessa aplicação depois que soube que a taxa de inflação dos 2 anos foi 17%. Calcule a taxa de juro real anual dessa operação. R: r = 9,39% a.a. 13) Thiago aplicou $ 2.300,00 numa caderneta de poupança e após 6 meses percebe juros no valor de $ 700,00. Considerando que a taxa de juro real foi de 1,75% a.m., qual a taxa de inflação mensal desse período? R: j = 2,73% a.m. 14) Uma casa esta sendo vendida por $ 73.000,00 à vista ou parcelada em 60 pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento 1 mês após a compra. Considerando que o proprietário deseja juros reais de 8,5% a.a. e que a taxa de inflação anual prevista para os próximos anos seja de 15% a.a., calcule o valor das prestações. R: R = 2.030,30 15) A taxa de juros para aplicação de curto e médio prazos em um banco é de 40% a.a. Que remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 30% a.a? R: r = 7,69% a.a. 16) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% a.a. de juros reais, caso a taxa nominal seja de 25% a.a.? R: I = 11,61%a.a. 17) Por um capital de $ 6.000,00 aplicado por 2 anos, o investidor recebeu $ 5.179,35 de  juros. Qual é a taxa de juros real ganha, se a inflação for de 30% a.a.? R: r = 5% a.a. 18) Carla recebeu seu FGTS e emprestou o valor recebido a uma taxa de 10% a.a. Qual deverá ser a taxa de inflação para que ela obtenha uma taxa real de juro de 4% a.a.? R: j = 5,77% a.a. 19) Uma aplicação de $ 4.000,00 rendeu juros de $ 500,00 em 1 ano. Sabendo-se que nesse período a taxa de inflação foi de 10%, qual foi a taxa de juros real obtida pelo aplicador? R: r = 2,27% a.a. 20) O capital de $ 850,00 esteve depositado durante 6 meses em uma instituição financeira que opera a uma taxa de juros reais de 2,5% ao semestre. Sabendo que a correção monetária semestral foi de 3,4% qual foi o montante auferido no final do período? R: S = $ 900,87

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8 – Sistemas de Amortização de Divida São utilizados para financiamento de longo prazo. Normalmente com taxa de juros reais, com o pagamento corrigido monetariamente na data do vencimento, pela inflação acumulada do período (taxa pós-fixada). Os são juros calculados sobre o saldo devedor. Principais Sistemas de Amortização: • • •

Sistema Hamburguês (Sistema de Amortização Constante – SAC) Sistema Francês Tabela Price 

8.1 – Sistema de Amortização Constante – SAC ↓ Rk = a + j ↓ Fórmulas: 1) a K =

P n

2) RK = a + jK 3)

SDK = SDK − − a 1

Onde: k = período a = amortização J = Juros R = Prestação SD = Saldo Devedor

4)  jK = r.SDk −1

Ex:

P = $ 20.000,00; n = 5 pagamentos anuais; r = 10% ao ano

aK =

20.000,00 = 4.000,00 5

PLANILHA K 

SD K 

 a K 

 J  K 

 R K 

0 1 2 3 4 5

20.000,00 16.000,00 12.000,00 8.000,00 4.000,00 -----

---4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00

---2.000,00 1.600,00 1.200,00 800,00 400,00

---6.000,00 5.600,00 5.200,00 4.800,00 4.400,00

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8.2 – Sistema Francês

R =↑ a +  j ↓ Fórmulas:  (1 + r )n .r  1) R = P.  n ( ) 1 r 1 + −  

3) SDK = SDK −1 − a 4)  jK = r.SD

2) ak = Rk − jk

K −1

Ex:

P = $ 20.000,00; n = 5 pagamentos anuais; r = 10% ao ano

 (1 + 0,1)5 .i  R = 20.000 .  = 5.275,95 5 ( ) 1 0 , 1 1 + −  

PLANILHA K 0 1 2 3 4 5

SD K 

 a  K 

 J  K 

 R K 

20.000,00 16.724,05 13.120,51 9.156,1 4.796,32 -----

----3.275,95 3.603,54 3.963,90 4.360,26 4.796,32

----2.000,00 1.672,41 1.312,06 915,66 479,63

----5.275,95 5.275,95 5.275,95 5.275,95 5.275,95

8.3 – Tabela Price  Corresponde ao Sistema Francês, todavia com as seguintes alterações: 1) A taxa é dada em ano, porém a capitalização é mensal. 2) As amortizações são mensais.

8.4 – Exercícios sobre Sistemas Amortização de Dívidas 1) O preço à vista de uma casa é $ 100.000,00. Se essa casa for adquirida para ser liquidada pelo SAC, em 5 prestações anuais, a juros é de 10% a.a., qual será o valor da terceira prestação? R: R = $ 26.000,00 Professor Aldery Silveira Júnior

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2) Qual é o valor das prestações, no sistema Francês, de um empréstimo de $ 18.000,00, sendo amortizado em 5 prestações anuais, com taxa de 9% a.a. R: R = $ 4.627,66 3) Um empréstimo no valor de $ 2.000.000,00 é concedido à taxa de juros compostos de 10% a.a., para ser reembolsado em 5 anos por meio de prestações anuais, sendo a primeira vencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. Qual o valor da última prestação? R: R = $ 440.000,00 4) Montar uma planilha de um financiamento efetuado pelo SAC relativo aos dados indicados a seguir: P = $ 64.000,00; n = 8 pagamentos anuais; e i = 12% a.a. R: Última prestação: $ 8.960,00 5) Um empréstimo de $ 30.000,00 será amortizado pelo Sistema Francês em 8 parcelas anuais, a uma taxa real de juro de 5% a.a. Qual o valor do saldo devedor no 3° mês? R: SD = $ 23.559,60 6) Qual será o valor da 4ª prestação de um financiamento de $ 20.000,00, com juros de 10% a.a., em 4 prestações anuais, segundo o sistema SAC? R: R = $ 5.500,00 7) Montar as planilhas do Sistema Francês do financiamento abaixo: P = $ 70.000,00 n = 7 pagamentos anuais r = 7% ao ano. R: a8 = 12.138,99 8) Um empréstimo no valor de $ 10.000,00 será amortizado pela Tabela Price , em de 12 prestações mensais, a uma taxa de 15% a.a. Indique o valor da 4ª amortização. R: a4 = $ 807,11 9) Monte a planilha de um financiamento de 30.000,00, efetuado pelo SAC, a ser amortizados em 4 parcelas anuais, a juros de 12% a.a. R: R4 = 8.400,00 10) Construa a planilha do financiamento efetuado pelo Sistema Francês, de acordo com os dados apresentados a seguir: P = $ 40.000,00; n = 5 pagamentos anuais; r = 15% a.a. R: a5 = 10.376,00

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9 – Empréstimos com Correção Monetária Correção Monetária corresponde à recuperação do poder de compra da moeda em função da desvalorização provocada pela inflação, por essa razão, a Correção Monetária equivale  justamente à taxa de inflação: CM = j.P Atualização Monetária corresponde ao capital inicial, adicionada à Correção Monetária, e é calculada pela seguinte fórmula: AM = (1 + j).P Exemplo 1: P= $ 1.000,00 n = 1 ano j = 7% ao ano Correção Monetária = 0,07 . 1.000,00 = $ 70,00 Atualização Monetária = (1 + 0,07) . 1.000,00 = $ 1.070,00 Exemplo 2: P = $ 1.000,00 n = 3 anos Taxas anuais de inflação: ano 1 = 8,5%; ano 2 = 9,3%; ano 3 = 7,5%. AM = (1,085)(1,093)(1,075) .1.000,00 = $ 1.274,85.

9.1 – Planilha de Atualização Monetária Ex: P = $ 20.000,00 r = 10% ao ano n = 5 prestações anuais As prestações desse empréstimo são:

R-1 = $ 6.000,00 R-2 = $ 5.600,00 R-3 = $ 5.200,00 R-4 = $ 4.800,00 R-5 = $ 4.400,00

Atualizar monetariamente as prestações desse empréstimo, considerando as taxas anuais de inflação: ano 1: 8,37%; ano 2: 7,82%; ano 3: 9,43%; ano 4: 10,25%; ano 5: 11,36% Planilha de Atualização ANO

INFLAÇÃO

FATOR DE ATUALIZAÇÃO

FATOR DE ATUALIZAÇÃO ACUMULADO

PRESTAÇÃO NOMINAL

PRESTAÇÃO ATUALIZADA

1 2 3 4 5

8,37% 7,82% 9,43% 10,25% 11,36%

1,0837 1,0782 1,0943 1,1025 1,1136

1,083700000 1,168445340 1,278629736 1,409689289 1,569829986

6.000,00 5.600,00 5.200,00 4.800,00 4.000,00

6.502,20 6.543,29 6.648,87 6.766,51 6.279,32

Obs.: o fator de atualização acumulado corresponde ao fator do período anterior multiplicado pelo fator do período atual. Professor Aldery Silveira Júnior

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9.2 – Exercícios sobre Empréstimo com Correção Monetária 1)

João, querendo comprar um carro, pegou um empréstimo de $ 18.000,00, por um ano. A taxa de real contratada foi de 12% ao ano. Qual seria o valor do pagamento final desse empréstimo se a inflação do período for de 7,5%? R: S atualizado = $ 21.672,00

2)

Qual é a atualização monetária de um capital de $ 2.136,00, ao final de 4 anos, considerando uma taxa média de inflação de 7,5% a.a? R: AM = $ 2.852,57

3)

Qual será a correção monetária de um capital de $ 11.500,00, ao final de um ano, se a inflação desse período for 7,1%? R: CM = $ 816,50

4)

Pedro resolveu comprar um carro no valor de $ 40.000,00 para pagamento em 8 prestações anuais, a uma taxa real de 16% a.a. O financiamento foi efetuado pelo SAC, sendo as prestações atualizadas monetariamente pela inflação do período. Calcule o valor atualizado da 8ª prestação, considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1 =2%, j2 = 2,5%, j3= 3,0%, j4 = 3,5%%, j5 = 4%%, j6 = 4,2%, j7 = 4,8%, j8 = 5%? R: R 8 atualizado = $ 7.708,70

5)

Uma pessoa faz uma compra no valor de R$ 1.500,00, à taxa de juro real de 14,4% a.a., com correção monetária, para ser pago daqui a 2 anos. Determine o valor a ser pago para saldar a dívida, se as taxas anuais de inflação for: j1 = 4,2%; j2 =3.75%. R: S atualizado = $ 2.122,26

6)

Calcule a correção monetária e a atualização monetária de $ 5000,00, após 1 ano, cuja inflação do período foi 12%. R: CM = $ 600,00; AM = $ 5.600,00

7)

Após construir a planilha de financiamento pelo SAC relativa ao financiamento indicado abaixo, atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxas de inflação: j1 = 7%, j2 = 9% j3 = 11% j4 = 12% j5 = 15%. P = $ 20.000,00 r = 10% a.a. n = 5 pagamentos anuais R: Valor da última prestação $ 7.336,72

8)

Construa a planilha de amortização pelo Sistema Francês e a Planilha de Atualização Monetária do financiamento indicado abaixo, considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 13,2%; j2 = 5,67%; j3 = 8,12%; j4 = 11,5% e j5 = 4,5%. P = $ 20.000,00 n = 5 pagamentos anuais r = 10 % a.a. R: R5 = $ 7.950,53

9)

Elaborar a Planilha de amortização do seguinte financiamento e atualizar monetariamente as prestações, considerando as taxas anuais de inflação indicadas P = $ 40.000,00 n = 4 prestações anuais pelo SAC

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r = 10% a.a.  j1: 10%; j2: 10,25%; j3: 10,59%; e j4: 11,47%. R: Prestação no ano 4 = $ 16.445,15 10) Considerando os dados abaixo, construa a Planilha de amortização pelo SAC. Posteriormente, atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxas anuais de inflação indicadas a seguir: P= 36.000,00 r = 10% a.a. n = 6 parcelas anuais  j1 = 5%, j2 = 6,75%, j3 = 8,5%, j4 = 10,25%, j5 = 11,15% e j6 = 12,5%. R: Última prestação = $ 11.065,51 11) Construa a Planilha de financiamento do empréstimo indicado abaixo, pelo SAC, e atualize monetariamente as prestações pelas taxas de inflação indicadas: P = 87.500,00 r = 7,5% n=5  j1 = 1%, j2 = 2%, j3 = 3%, j4 = 4% e j5=5% R: R5 $ 10.526,16 12) Atualize monetariamente as prestações relacionadas abaixo, considerando as taxas anuais de inflação indicadas logo a seguir: Ano 1: R = $ 22.500,00 Ano 2: R = $ 20.000,00 Ano 3: R = $ 17.500,00 Ano 4: R = $ 15.000,00 Ano 5: R = $ 12.500,00  j1 = 11,50%; j2 = 10,95%; j3 = 10,23%; j4 = 9,89%; j5 = 8,75%. R: R5 = $ 2.0370,40 13) Atualize monetariamente as seguintes prestações: R1 = $ 7.000,00 R2 = $ 5.500,00 R3 = $ 2.300,00 Inflações anuais: j1 = 7,0%, j2 = 5,5% e j3 = 5,0%. R: R3 = $ 2.726,17 14) Um carro de $ 20.000,00 foi comprado para pagamento em cinco prestações, a uma taxa real de 8% a.a. O financiamento foi efetuado pelo SAC, sendo as prestações atualizadas monetariamente pela inflação. Calcule o valor atualizado da 5ª prestação, considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 1%, j2 = 1,5%, j3 = 3,7%, j4 = 4,8% e j5 = 6,4% R: 5ª prestação = $ 5.120,98. 15) Atualize monetariamente as seguintes prestações, considerando as taxas anuais de inflação indicadas a seguir: R1 = 16.000,00 R2 = 20.000,00 R3 = 30.000,00 R4 = 12.000,00 J1 = 15%; j2 = 12%; j3 = 13%; e j4 = 18% R: Prestação do ano 4 = $ 20.609,03 Professor Aldery Silveira Júnior

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16) Considerando os dados abaixo, construa a Planilha de financiamento pelo SAC e atualize monetariamente as prestações pelas seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 7%, j2 = 8%, j3 = 9%, j4= 10%. P = 20.000,00 r = 7% a.a. n = 4 parcelas R: Última prestação $ 7.412,77 17) Considerando os dados abaixo construa a Planilha de financiamento pelo Sistema Francês e atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxas anuais de inflação: j1=1,53% ; j2= 1,43% ; j3=1,17% ; j4= 1,52% P= $ 31.547,08 n = 4 prestações anuais r = 10% a.a. R: Última prestação $ 33.367,47 18) Atualize monetariamente as seguintes prestações, considerando as taxas anuais de inflação indicadas: R1 = $ 4.000,00 R2 = $ 5.500,00 R3 = $ 2.300,00  j1 = 5%; j2 = 8%; e 3j = 6,5%. R) R3 atualizado = $ 2.777,73 19) Qual o valor da correção monetária do capital de $ 45.000,00, após 1 ano, considerando uma inflação anual de 5%? R: CM = $ 2.250,00 20) Montar a Planilha do financiamento indicado abaixo pelo Sistema Francês e atualizar monetariamente as prestações pelas taxas anuais de inflação indicadas: P = $ 15.000,00 n = 6 pagamentos anuais r = 8,5% a.a.  j1 = 6,5%, j2 = 5,34%, j3 = 7,32%, j4 = 4,98%, j5 = 5,67% e j6 = 3,45%. R: Última prestação = $ 4.551,46

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10 – Engenharia Econômica Corresponde a um conjunto de técnicas utilizadas na analise econômico-financeira de alternativas de investimentos. O Presente curso se aterá apenas à análise da parte financeira das alternativas de investimentos. Tipos de Alternativas de Investimentos 

Alternativas Mutuamente Exclusivas: possuem o mesmo objetivo – a escolha de uma implica necessariamente na rejeição das demais



Alternativas Independentes: possuem objetivos diferentes – a escolha de uma não implica na rejeição das demais

No presente curso, estudar-se-á apenas as alternativas Mutuamente Exclusivas. Quesitos a serem observados no processo de análise 

Alternativa Comparativa ( I0) – alternativa de investimento que o Investidor dispõe e que servirá de parâmetro para a análise das demais.



Custo de oportunidade – o que o investidor deixa de ganhar por optar por outra alternativa de investimento.



Vida útil do investimento – tempo de maturação do investimento.

Critérios de análise 

Aceitação: deve-se, em princípio, aceitar todas as alternativas que sejam mais atrativas que o I . 0



Seleção: dentre as alternativas aceitas, selecionar a melhor.

Principais Métodos de Análise a) Métodos Simplificados  

Método da Taxa Média de Retorno (Método Contábil). Método dos Períodos de Pay Back .

b) Método Baseados no Desconto de Fluxo de Caixa  

Método do Valor Atual. (Valor Presente Líquido) Método da Taxa Interna de Retorno - TIR

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Análise de Alternativas de Investimento:

Apresenta-se, a seguir, um exemplo de duas alternativas de investimentos, onde constam os desembolsos iniciais e as entradas líquidas de caixa de cada uma das alternativas, a partir das quais serão efetuadas as análises financeiras pelos métodos supracitados: Ano

Alternativa A

Alternativa B

0 1 2 3 4 5 6

-120.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00

-145.000,00 90.000,00 45.000,00 40.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00

10.1 – Análise pelo Método da Taxa Média de Retorno Consiste em calcular a media anual das entradas liquidas de caixa, dividir pelo investimento inicial e multiplicar por 100, obtendo-se, assim, a Taxa Média percentual de Retorno de cada uma das alternativas em análise. Em seguida, compara-se o resultado encontrado com o I0 (investimento inicial) e aplica-se os critérios de aceitação e seleção. TMRA = (40.000,00 / 120.000,00) x 100 = 33,33% a.a. TMRB = 90.000,00 + 45.000,00 + 40.000,00 + 25.000,00 + 25.000,00 + 25.000,00 / 6) /  145.000,00 x 100 = 28,74% a.a. Considerando um

I0

= 20% ao ano, tem-se:

Critério de Aceitação: aceitam-se ambas, já que TMR A / B > 20% a.a Critério de Seleção: seleciona-se a de maior TMR, no caso em analise, a Alt. A.

10.2 – Análise pelo Método dos Períodos de Pay Back  Consiste em calcular os períodos de retornos das alternativas em analise, comparar com e aplicar os critérios de aceitação e seleção. Pay -A = 3 anos Pay -B = 2 anos e 3 meses. I0

= 4 anos:

Critérios de Aceitação: aceitar ambas, pois possuem pay pack < 4 anos Critérios de Seleção: selecionar a de menor pay back , no caso, a Alternativa B

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I0

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10.3 – Análise pelo Método do Valor Atual Consiste em calcular o Valor Atual de todas as alternativas em analise, utilizando para tal uma taxa de juros que o investidor tenha garantido ( I0), e aplicar os critérios de aceitação e seleção. = 20% VAA (20%) = - 120.000,00 + 40.000,00 FRP(20%,6) = 13.020,40 VAB (20%) = - 145.000,00 + 90.000,00 FSP(20%,1) + 45.000,00 FSP(20%,2) + 40.000,00 FSP(20%,3) + 25.000,00 FRP(20%,3).FSP(20%, 3) = -145.000,00 +7 5.000,00 + 31.249,98+23.148,00 + 30.475,50 = = 14.873,48 I0

Critérios de Aceitação: aceitar ambas, pois as duas possuem VA > 0 Critérios de Seleção: selecionar a Alternativa B, pois esta Alternativa apresenta o maior valor atual (ou maior Valor Presente Líquido).

10.4 – Análise pelo Método da Taxa interna de Retorno Consiste em calcular a TIR de cada uma das alternativas em análise, comparar com aplicar os critérios de aceitação e seleção.

I0

e

A TIR de uma alternativa de investimento é a taxa que iguala as entradas líquidas de caixa ao investimento inicial na data zero, conforme demonstrado a baixo: TIRA  - 120.000,00 + 40.000,00 FRP( i,6) = 0 TIRB





120.000,00 = 40.000,00 FRP(i,6)

-145.000,00 + 90.000,00 FSP(i,1) + 45.000,00 FSP(i,2) + 40.000,00 FSP(i,3) + 25.000,00 FRP(i,3).FSP(i,3) = 0  145.000,00 = 90.000,00 FSP(i,1) + 45.000,00 FSP(i,2) + 40.000,00 FSP(i,3) + 25.000,00 FRP(i,3).FSP(i,3)

Para se calcular a TIR de uma alternativa de investimento, existem três formas distintas: • • •

Por meio de uma calculadora financeira, que dá esse resultado imediatamente; ou Por meio de tentativa e erro, que consiste em um método bastante trabalhoso; ou Por meio da interpolação, que será demonstrado a seguir:

Para se conseguir a TIR por meio da interpolação, primeiro deve-se estimar duas taxas aleatoriamente. Em seguida, calcula-se o valor atual de cada uma das alternativas em análise com as taxas estimadas e interpola-se os resultados, com o intuito de se obter o Valor Presente Líquido = ZERO. Vide demonstração abaixo: Taxas estimadas: 20% e 25% ao ano. Cálculo da TIR da Alternativa “A” VAA (20%)  – 120.000,00 + 40.000,00 FRP( 20%,,6) = VPL 120.000,00 + 40.000,00 . 3,32551 = 13.020,40 Professor Aldery Silveira Júnior

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VAA (25%)  – 120.000,00 + 40.000,00 FRP( 25%,,6) = VPL 120.000,00 + 40.000,00 . 2,95142 =  – 1.943,20 20% TIR 25%

  

13.020,40 0 – 1.943,20

Resolvendo, temos: (20 - TIR / 20 – 25) = 13.020,40 – 0 / 13.020,40 – (– 1.943,20) TIR = 24,29%

TIRA = 24,29% ao ano Cálculo da TIR da Alternativa “B” VAB (20%)  – 145.000,00 + 90.000,00 FSP(20%, 1) + 45.000,00 FSP(20%, 2) + 40.000,00 FSP(20%, 3) + 25.000,00 FRP(20%, 3).FSP(20%, 3) = 14.873,86 VAB (25%)  – 145.000,00 + 90.000,00 FSP(25%, 1) + 45.000,00 FSP(25%, 2) + 40.000,00 FSP(25%, 3) + 25.000,00 FRP(25%, 3).FSP(25%, 3) = 1.265,60 Interpolando os valores encontrados, temos: 20%  14.873,86 (20 - 25 / 20 – TIR) = 14.873,86 – 1.265,60 / 14.873,86 – 0 25%  1.265,60 TIR = 25,51% TIR  0 TIRB = 25,51% ao ano Aplicando os critérios de Aceitação e Seleção: I0 = 20% ao ano. Critério de Aceitação: aceitar ambas, pois apresentam TIR > 20% ao ano Critério de Seleção: selecionar a Alternativa B (possui a maior TIR).

10.5 – Exercícios sobre Engenharia Econômica 1)

Considerando as seguintes opções de investimento representadas na tabela abaixo, responda os quesitos que se seguem: Alternativas Ano 0 A - 30.000,00 B - 70.000.00 C - 100.000,00

Ano 1 8.000,00 30.000,00 35.000,00

Ano 2 10.000,00 48.000,00 40.000,00

Ano 3 20.000,00 18.000,00 50.000,00

a) Qual os paybacks  das alternativas A e B? R: Pay A = 2 anos e 7 meses; Pay B = 1 ano e 10 meses b) Calcule a taxa média de retorno da alternativa B. R: TMR B = 45,71% c) Calcule o payback  da alternativa C e considerando um pay de I0 de 3 anos, diga qual é a melhor alternativa entre as 3 apresentadas R: Pay C = 2 anos e 6 meses; Melhor alternativa: alternativa B Professor Aldery Silveira Júnior

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d) Qual a taxa média de retorno da alternativa A? R: TMR A = 42,22% e) Considerando como vantajosa? R: Alternativa B. 2)

I0

uma TMR de 38% a.a., entre a alternativa A e B, qual é a mais

Calcule o payback dos investimentos a seguir e diga qual o melhor deles considerando como I0 4 anos. Ano 0 1 2 3 4 5

Investimento X -10.000,00 2.000,00 4.000,00 3.000,00 1.000,00 500,00

Investimento Y -12.000,00 4.000,00 1.500,00 3.500,00 2.000,00 1.000,00

Investimento Z -16.000,00 4.000,00 7.000,00 5.000,00 3.000,00 4.000,00

R: Payx = 4 anos; Payy = 5 anos e Payz = 3 anos. Logo, o melhor dos 3 é o investimento Z 3)

Analise as alternativas de investimento abaixo pelo método da taxa média de retorno e aplique os critérios de aceitação e seleção, considerando como I0 TMR = 15% a.a. Ano 0 1 2 3 4 5

Investimento X -45.000,00 15.000,00 20.000,00 10.000,00 8.000,00 5000,00

Investimento Y -36.000,00 14.000,00 16.500,00 5.500,00 12.000,00 11.000,00

Investimento Z -64.000,00 20.000,00 10.000,00 34.000,00 12.000,00 15.000,00

R: Critério de aceitação: aceitam-se as três alternativas pois possuem TMR > 15%. Critério de seleção: seleciona-se a alternativa Y, pois possui a maior TMR (32,7% a.a.) 4)

Calcule os paybacks  das alternativas de investimentos abaixo e aplique os critérios de aceitação e seleção, considerando um I0 de 3 anos: Ano 0 1 2 3 4 5

Investimento X -40.000,00 15.000,00 10.000,00 5.000,00 8.000,00 2000,00

Investimento Y -36.000,00 14.000,00 6.500,00 5.500,00 12.000,00 11.000,00

Investimento Z -64.000,00 20.000,00 20.000,00 24.000,00 12.000,00 15.000,00

R: Payx = 5 anos, Payy = 4 anos e Payz = 3 anos. Logo a melhor das 3 é o investimento Z Professor Aldery Silveira Júnior

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5)

Das alternativas de investimento abaixo, qual é a melhor, considerando como TMR de 21% a.a.? Ano 0 1 2 3 4 5

Investimento X -80.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00 7.000,00 9.000,00

Investimento Y -78.000,00 28.000,00 16.000,00 34.000,00 18.000,00 21.000,00

I0

uma

Investimento Z -74.000,00 10.000,00 15.000,00 28.000,00 17.000,00 24.000,00

R: Critério de aceitação: aceitam-se as três alternativas, pois possuem TMR > 21%. Critério de seleção: Selecionamos a de maior TMR, ou seja, a alternativa Y, com TMR = 30% a.a. 6)

Com base nas alternativas de investimentos indicadas abaixo, responda os quesitos que se seguem: Alternativas A B C

Ano 0 - 45.000,00 - 35.000,00 - 25.000,00

Ano 1 25.000,00 5.000,00 2.000,00

Ano 2 10.000,00 5.000,00 30.000,00

Ano 3 40.000,00 60.000,00 10.000,00

a) A taxa media de retorno da alternativa A. R: 55,55% b) O valor atual da alternativa B e C, tendo como I0 20% a.a. Aplicar os critérios de aceitação e seleção. R: Aceitar ambas e selecionar a alternativa B 7)

Hernandes, como investidor audacioso, estava a procura de novos investimentos e teve uma proposta de uma empresa no ramo de hidrelétrica que estava prestes a construir uma barragem. Hernandes almejava por retorno do investimento em 02 anos. Verifique se tal proposta seria viável pelo método dos períodos de payback . Anos 1 2 3 4 5 6

Investimento Valores Saldo Projetado - 3.000,00 - 3.000,00 900,00 - 2.100,00 1.000,00 - 1.100,00 2.000,00 900,00 2.500,00 3.400,00 3.000,00 6.400,00

R: Payback  = 2 anos, 6 meses e 18 dias. Não é viável tendo em vista que o tempo de retorno do investimento é maior que o tempo esperado pelo investidor. 8)

Carlos Augusto estava querendo comprar ações da empresa ALFA LOYDS S.A. A empresa atua no ramo de construção civil e remunera seus acionistas com base na TIR dos projetos de investimentos. A expectativa de Carlos Augusto era obter um

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rendimento anual de no mínimo 15%. Considerando os valores apresentados a seguir, relativos à projeção de um determinado projeto de investimento da citada empresa, calcule a rentabilidade esperada desse projeto (TIR) e verifique se o investidor pode aplicar em ações da empresa ALFA LOYDS S.A. Ano 0 1 2 3

Valor - 800.000,00 350.000,00 400.000,00 350.000,00

R: TIR = 17,76% a.a., investimento atrativo. 9)

Apresentam-se, a seguir, os fluxos de caixa de três projetos de investimentos. Determine a melhor alternativa pelos seguintes metidos de análise: taxa média de retorno, períodos de payback  e valor atual, considerando as seguintes alternativas comparativas ( I0): TMR = 30% a.a.; payback  = 4 anos; e VA = 20% a.a. Alternativas ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 5 A - 50.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 B - 60.000,00 9.000,00 16.000,00 19.000,00 24.000,00 26.000,00 C - 70.000,00 10.000,00 18.000,00 20.000,00 24.000,00 27.000,00 a) Taxas Médias de Retorno. R: TMRA = 24%; TMRB = 31,33%; TMRC = 28,28% b) Paybacks.

R: 3anos e 2 meses; B = 3 anos e 8 meses; C = 4 anos

c) Valores Atuais. R: VA(A) = - $ 14.112,65; VA(B) = - $ 8.370,63; VA(C) = - $ 15.167,82 10) O banco GOLF estava a procura de investimentos rentáveis para cobrir perdas referentes a última crise e deparou-se com as duas alternativas apresentadas a seguir: Ano 0 1 2 3 4 5

Projeto A - 489.000,00 97.800,00 67.000,00 87.090,00 98.000,00 45.000,00

Projeto B - 500.000,00 56.000,00 39.000,00 110.000,00 59.000,00 45.000,00

Indique o projeto mais interessante, sabendo que o banco utiliza o método da taxa média de retorno, tendo como I0 15% ao ano. R: o mais interessante seria o PROJETO ‘A’, pois apresenta uma taxa de rentabilidade de 16,15%.

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11) Uma determinada empresa dispõe das duas alternativas abaixo para investimento imediato, no entanto, deverá descartar a menos lucrativa. Indique a alternativa a ser descartada, utilizando, para tanto, o método da TIR e I0 de 15% ao ano: Projeto A B

Ano 0 - 250.000 - 260.000

Ano 01 78.000 82.000

Ano 02 78.000 49.000

Ano 03 78.000 82.500

Ano 04 78.000 85.000

Ano 05 78.000 88.000

R: a alternativa a ser descartada é a B, pois apresenta uma TIR de 14,21% a.a., inferior ao I0 e inferior à TIR do Projeto A. 12) Considerando os fluxos de caixa das alternativas de investimento abaixo, responda os quesitos que se seguem: Alternativa A B

Ano 0 - 30.000,00 - 30.000,00

Ano 1 18.500,00 18.000,00

Ano 2 14.200,00 14.500,00

Ano 3 10.000,00 9.800,00

a) Qual é a taxa média de retorno das alternativas A e B? R: TMRA=47,44%; TMRB=47% b) Quais são os paybacks  de A e de B? R: PayA= 1 ano e 10 meses ; PayB= 1 ano e 10 meses c) Quais são os valores atuais das alternativas A e B? ( I0 =15% a.a.) R: VAA=3.399,36; VAB=3.059,92 d) Quais são as TIR das alternativas A e B? ( I0 = 20% a.a.) R: TIRA = 22,59% a.a. e TIR B = 21,81% a.a. 13) Calcule os valores atuais (VPL) das alternativas abaixo, considerando um I0 de 10% a.a. e aplique os critérios de aceitação e seleção: Ano 0 1 2 3

Alternativa A - 25.000,00 9.000,00 15.000,00 21.000,00

Alternativa B - 35.000,00 15.000,00 22.000,00 25.000,00

Alternativa C - 45.000,00 21.000,00 25.000,00 27.000,00

R: A = $ 11.355,11; B = $ 15.601,04; C = $ 15.037,57. Aceitam-se as três e seleciona-se a alternativa B. 14) Considerando como I0 uma taxa de 11% a.a., calcule o valor atual das alternativas Alfa e Gama apresentadas a seguir: Alternativa Alfa Gama

Ano o Ano 1 Ano 2 Ano 3 -105.000,00 70.000,00 20.000,00 38.000,00 -360.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00

R: VA Alfa = $ 2.080,78 e VA Gama = $ 251.891,89 Professor Aldery Silveira Júnior