Manual de Cálculo Diferencial Unidad 2 Funciones.pdf

Unidad 2 Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. 2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva 2.3 Función real de variable real y su representación gráfica. 2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional. 2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales. 2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. Función valor absoluto. 2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición. 2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas. 2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas. 2.10 Función implícita.

Unidad 2 Funciones

Funciones El concepto de función es uno de los términos más importantes y utilizados en el mundo de las matemáticas. Las funciones matemáticas, además de representar fórmulas o lugares geométricos, se utilizan sobre todo como modelos matemáticos de cualquier aspecto o situación de la vida real, de ahí su importancia. Sin embargo de manera cotidiana también es frecuente escuchar frases como “la producción está en función del tiempo” o “el equipamiento de un vehículo está en función del precio”, etc.; algunas veces estas expresiones concuerdan con el uso matemático.

Definición de función Una función de un conjunto nio) a un conjunto (contradominio) es una regla de correspondencia que asigna exactamente uno y solo un elemento de a cada elemento de . El dominio denotado generalmente por la letra , de una función , son todos los valores que se le pueden asignar a sin que está se indetermine o siempre y cuando exista. Mientras que el contradomio , conocido también como codominio de una función , son todos los valores que resultan de sustituir en la función, aunque no todos sus elementos han sido tomados para aparearse con los elementos del dominio; con esto queremos decir, que es a partir del elemento del dominio que se elige su correspondiente en el contradominio y no de otra forma, por ello puede haber elementos no apareados en el contradominio. Se llama imagen a cualquier elemento del contradominio asociado a un elemento del dominio. No todos los elementos del contradominio son imágenes, ya que puede haber algunos elementos no apareados. Rango es el conjunto de imágenes, por lo que el rango es un subconjunto del contradominio, como se muestra en la figura 2.1. D 𝑓 C 𝑥1 𝑦1 Imágenes 𝑥2 𝑦2

𝑥3

𝑦3

𝑥4

𝑦4

Dominio Figura 2.1

Rango

𝑦5 Contradominio

La variable que representa los números de entrada para una función se denomina variable independiente. La variable que representa los números de salida se denomina variable dependiente, porque su valor depende del valor de la variable independiente. Se dice que la variable dependiente es una función de la variable independiente .

Prueba de la recta vertical De acuerdo a la definición de función, para toda en el dominio de corresponde un solo valor en el contradominio. Esto significa geométricamente que una recta vertical puede cortar o interceptar a la gráfica de una función cuando mucho en un solo punto. Por otro lado, si una recta vertical corta la gráfica de una ecuación más de una vez, entonces la gráfica no es la gráfica de una función. Vea la figura 2.2.

a) Función Figura 2.2 Prueba de la recta vertical

b) No es función

c) No es función

Función Par e Impar ) Una función se llama par si ) para toda en su dominio, de la misma manera ) una función se llama impar si ) para toda en su dominio. Geométricamente las funciones pares e impares tienen propiedades de simetría. La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje , mientras que la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. Ejemplo 1. Verifique en cada una de las siguientes funciones si es par, impar o ninguna de las dos opciones. 2 4 ) a) Solución Para determinar si es par o impar, comenzamos por examinar ) donde es cualquier número real 2 4 ) dado ) )2 )4 sustituir por en ) 2 4 ) simplificar ) ) dado que ), por lo tanto se trata de una función par.

3

)

b) Solución

3

) ) ) ) ) ) dado que

)3

)

3) 3 3 3

)

)

dado sustituir por simplificar simplificar

en

multiplicar ) por simplificar ), por lo tanto se trata de una función impar.

)

)

c) Solución

)

dado

)

sustituir

)

)

simplificar

)

simplificar

)

(

)

multiplicar

)

), por lo tanto se trata de una función impar.

2

) ) ) ) ) ) dado que impar.

) por

2

)

d) Solución

)

en

simplificar )

como

por

)2 2)

)

2

)

dado sustituir por simplificar simplificar

2

2

)

), y que

)

)

en

multiplicar ) por simplificar ) por lo tanto la función

no es par ni

Nota: No pierda de vista el tema de las funciones par e impar y su simetría, ya que es un tema que se verá con más detalle en las funciones inversas.

Función Inyectiva, Suprayectiva y Biyectiva Función Inyectiva Conocida también como uno a uno, establece que para cada número en el rango de se asocia exactamente con un número en su dominio, tal como se indica en la siguiente definición. Definición. es una función inyectiva si y solo si para cada par de puntos 1 2 se cumple que 1) 2 ).

1

2

con la condición

Geométricamente una función es inyectiva si al trazar una recta horizontal ( ) corta la gráfica de una función cuando mucho en un punto. De lo anterior se dice que una función no es uno a uno (no es inyectiva) si alguna recta horizontal corta la gráfica en dos o más puntos.

Ejemplo 1. a)

Determine si las siguientes funciones son inyectivas (uno a uno)

𝑥 𝑎

𝑦 A

𝑏

B

𝑐

C

𝑑

D

E 𝑒 Dominio Contradominio Figura 2.3 Prueba de la recta vertical Solución Al analizar los elementos principales de la figura 2.3 tales como dominio, contradominio, imagen, rango, se obtendrá Dominio Contradominio La Imagen de es , de es , de es , de es , de es El Rango es Por lo tanto la función es inyectiva o uno a uno, independientemente de que sobre el elemento .

) b) Solución Usando la prueba de la recta horizontal en la gráfica de la función, obtendremos lo siguiente:

Figura 2.4 Gráfica de la función La gráfica de indica claramente que al trazar cualquier recta horizontal ( ) corta en un solo punto 1 , por lo que se puede concluir que la función es inyectiva o uno a uno.

2

) c) Solución

Figura 2.5 Gráfica de la función

2

2 Al usar la prueba la recta horizontal en la gráfica de la función se observa ), en este caso la que es una parábola que abre hacia arriba con vértice en recta horizontal , con corta la gráfica en dos puntos 1 y 2 , por lo tanto no es una función uno a uno. Aplicando la definición podemos verificar verifica analíticamente que 1

2

0 no cumple que

1)

2)

)

0 )

por lo que al igual que en la prueba de la recta horizontal se verifica que no es una función inyectiva.

Función Suprayectiva Definición. Una función es suprayectiva cuando el rango es igual al codominio, lo cual indica que todos los elementos del codominio están relacionados con alguno del dominio. Ejemplo 1. Determine si la siguiente función es suprayectiva. 2 ) a) 0 Solución Al tabular en los valores indicados, se obtendrá 2

0

3 0 -1 0 3

Dominio 𝑥 0 Contradominio 𝑦 0 La Imagen de y 0 es , de y es 0, de es El Rango es 𝑅 0 Por lo tanto la función es suprayectiva porque todos los elementos del contradominio están asociados con al menos uno del dominio.

𝑥

𝑦

0 0

Dominio Contradominio Figura 2.6 Diagrama y gráfica de la función

2

Función Biyectiva Definición. Cuando una función es inyectiva y suprayectiva, entonces se dice que la función biyectiva, conocida también como biunívoca. Ejemplo 1. ) a) Solución

es

Determine si las siguiente función es biyectiva. 0

Al usar la prueba de la recta horizontal, observamos que corta en un solo punto, por lo que es una función inyectiva.

𝑥

𝑦

0 Al realizar el diagrama sagital podemos verificar que la función es suprayectiva, porque todos los elementos del contradominio están asociados con al menos uno del dominio.

Dominio Contradominio Figura 2.7 Gráfica y diagrama de la función ) Como la función es inyectiva y suprayectiva, entonces podemos concluir que la función es biyectiva o biunívoca. Nota: No pierda de vista el tema de las funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva, ya que es la base de las funciones inversas, como se verá más adelante.

Ejercicios 2.1 En los ejercicios del representa una función.

, use la prueba de la recta vertical para verificar si la gráfica

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

En los ejercicios del opciones. 4 7.10.13.-

, verifique si la función es Par, Impar o Ninguna de las dos 2

11.| |

En los ejercicios del 16.3 19.22.√

3

8.14.- √

√ 2

9.-

2

12.-

√| |

15.-

, analice si las siguientes funciones son biyectivas 2 2 17.18.2 2 20.- √ 21.1 | | 23.24.-

4

2

Clasificación de las funciones De acuerdo a su naturaleza, es decir a su forma o estructura, las funciones se clasifican en algebraicas y trascendentes. Las funciones algebraicas como su nombre lo indica, provienen del algebra, es decir los polinomios, fracciones algebraicas, potencias y radicales. Las trascendentes son cualquier función no algebraica, tales como las trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y especiales. 3 ) ) √ Ejemplos de funciones algebraicas son: 2 4 :3 ) de funciones trascendentes son: ) Intersecciones. Al representar gráficamente una función, se les llama intersecciones con el eje al punto o coordenadas donde cruza el eje y el eje , es decir donde y son cero. Para determinar las intersecciones en el eje de una gráfica, se iguala a cero y se despeja de la ecuación resultante, por lo que una coordenada de la forma 0) es una intersección en . A las intersecciones en el eje se les conoce también como ceros o raíces de una ecuación. De la misma manera, para determinar las intersecciones en el eje de una gráfica, se iguala a cero y se despeja de la ecuación resultante, por lo que una coordenada de la forma 0) es una intersección en , ver figura 2.3.

Tres intersecciones en el eje x Una intersección en el eje y

Una intersección en el eje x No hay intersección en el eje y

Figura 2.8 Intersecciones con los ejes Tales puntos de intersección no solo son útiles para representar gráficamente una función, sino para analizar su dominio, rango o comportamiento. Ejemplo 1. Encontrar las intersecciones de la función ) Solución 2 dado 2 0 intersecciones en ) ) 0 factorizar despejar las intersecciones en son 0) 0)

2

con los ejes.

: hacer

0

: hacer

0

2

dado intersecciones en por lo tanto la intersección en es 0 ) las intersecciones se muestran en la figura

Intersecciones con los ejes de la función 𝑦 Figura 2.9 Intersecciones con los ejes

𝑥2

𝑥

Funciones Algebraicas Función Polinomial Es una función cuya regla de correspondencia es un polinomio, es decir, una función de la 2 3 ) ) forma , así se llama función constante, 1 2 3 ) 1 se llama función lineal, etc. Función Constante ) Es de la forma , donde es cualquier número real. Geométricamente la función constante es una recta horizontal que dista unidades del eje . Su dominio es el conjunto de los números reales y su contradominio o rango es el conjunto unitario . Ejemplo 1. Graficar la función constante indicada, mostrar su dominio y rango. a) ) Solución Sea , si procedemos con la tabulación correspondiente, nos daremos cuenta que para cualquier valor de , el valor de siempre será .

-2 -1 0 1 2

2 2 2 2 2

Figura 2.10 función constante Recta horizontal que dista a 4 unidades del eje ) dominio: contradominio: .

) b) Solución

recta horizontal que dista a 3 unidades por debajo del eje )

dominio: contradominio:

Figura 2.11 Función constante

Función Lineal ) Es de la forma es cualquier número real, y 1 son constantes. 1 , donde Geométricamente la función lineal es una línea recta cuya estructura general es , donde es la pendiente y es la ordenada al origen (intersección en el eje ), su ángulo de inclinación viene dado por . Su dominio y contradominio es el conjunto de los números reales. ) Ejemplo 1. Para la función lineal , determinar: sus intersecciones, pendiente, ángulo de inclinación, gráfica, domino y rango. Solución Intersecciones dado 0 intersecciones en : hacer 0 despejar simplificar las intersecciones en son 0) dado intersecciones en por lo tanto la intersección en es 0 )

: hacer

Pendiente y ángulo de inclinación A partir de la estructura general de la función lineal con un ángulo de inclinación ;1 )

0

, se tiene

Gráfica Para graficar la función lineal, basta con unir los puntos de intersección mediante una línea recta como se muestra en la figura . 𝜃

Figura 2.12 función constante Dominio y contradominio ), )

) Ejemplo 2. Para la función lineal , determinar: sus intersecciones, pendiente, ángulo de inclinación, gráfica, domino y rango. Solución Intersecciones dado 0 intersecciones en : hacer 0 despejar simplificar las intersecciones en

son

por lo tanto la intersección en

0) dado intersecciones en es 0 )

: hacer

Pendiente y ángulo de inclinación A partir de la estructura general de la función lineal

0

, se tiene

con un ángulo de inclinación ;1 ) sumar 180° (pendiente negativa 2° cuadrante) 0 Gráfica Para graficar la función lineal, basta con unir los puntos de intersección mediante una línea recta. Dominio y rango: ,

𝜃 𝜃

Figura 2.13 función

Función Cuadrática 2 ) Es de la forma , donde es cualquier número real, , 1 y 2 son 1 2 constantes, con la condición 2 0. Geométricamente la función cuadrática es una parábola 2 cuya estructura general es . Su dominio es el conjunto de los números reales y su contradomino viene determinado a por el vértice cuya coordenada es (

(

2

)).

2

Ejemplo 1. Para la función gráfica, domino y rango. Solución Intersecciones

2

)

2 2

dado intersecciones en factorizar despejar

0 )

)

, determinar: sus intersecciones, vértice,

0

2

dado intersecciones en

Vértice A partir de la estructura general de la función lineal 2 , se tendrá ( (

;3 2 1)

(

;3 2 1)

: hacer

0

: hacer

0

2

, para la función , por lo que el vértice es

))

( ))

)) ) El vértice juega un papel fundamental, es el punto de inicio o fin para especificar el rango de la función. Gráfica Para graficar la función cuadrática, basta con unir los puntos de intersección y el vértice para formar la parábola. (

𝑉 Figura 2.14 función cuadrática

Dominio y contradominio ),

[

)

)

)

2

Ejemplo 2. Obtener las intersecciones, vértice, gráfica, domino y rango de la función 2 ) cuadrática . Solución Intersecciones 2 dado 2 0 intersecciones en : hacer 0 )

√

) )

) )

√

fórmula general simplificar

0 2

dado intersecciones en

Vértice A partir de la estructura general de la función lineal 2 , se tendrá ( ( (

;11

(

2 ;4)

(

;11 2 ;4)

: hacer

2

0

, para la función , por lo que el vértice es

))

)) ) 0

)

Gráfica Para graficar la función cuadrática, basta con unir los puntos de intersección y el vértice para formar la parábola. 𝑉 0 )

Figura 2.15 función cuadrática Dominio y contradominio ),

0

)

]

2

Función Cúbica o de orden mayor 2 3 ) Son de la forma , para obtener sus puntos de 1 2 3 intersección se aplica despeje directo, factorización, división sintética, etc. 3 ) Ejemplo 1. Obtener los puntos de intersección y la gráfica de Solución Intersecciones 3 dado 3 0 intersecciones en : hacer 0 2 ) ) 0 factorizar (diferencia de cubos) despejar (1 raíz real y 2 imaginarias) 3

.

dado intersecciones en

: hacer 0 Gráfica Tabulando la función cúbica, la gráfica quedará de la siguiente forma

Figura 2.16 función cúbica

)

Ejemplo 2. Obtener los puntos de intersección y la gráfica de Solución Intersecciones 4

3

3

4

3

2

2

dado 0 intersecciones en : hacer división sintética para obtener las intersecciones en factores de 24=(24)(1) (-24)(-1) (12)(2) 0 24 𝟒 (-12)(-2) (8)(3) 0 (-8)(-3) 𝟐 (12)(2) 0 (-12)(-2) 𝟏 4

3

2

0 𝟑 0

.

0

Los puntos de intersección en el eje 4

3

son

2

dado intersecciones en

: hacer Gráfica Tabulando la función cuarta, la gráfica quedará de la siguiente manera

Figura 2.17 Función cuarta

)

4

3

0

2

Algunas observaciones son las siguientes, como nos pudimos dar cuenta, dependiendo del grado de la función es el número de raíces o ceros (intersecciones en el eje ) de la función aunque no todas reales.

Función Raíz Cuadrada ) √ , con la restricción Es la inversa de la función cuadrática, está definida por 0, es decir el radicando tiene que ser no negativo. Geométricamente son ramas de parábolas. Ejemplo 1. Obtener las intersecciones, gráfica, domino y rango de la función raíz √ Solución Intersecciones dado √ 0 intersecciones en : hacer 0 √ 2

(√

) 0

√ √

0)2

)

elevar al cuadrado factorizar despejar dado intersecciones en simplificar

: hacer

0

Dominio y Gráfica Para determinar el dominio de la función se resuelve la desigualdad del radicando ). 0, donde , entonces el dominio de la función es el conjunto[ Al tabular algunos valores, se obtendrá

√ -4 0

-4

-3 1

-2 √

-1 √

0 2

1 √

Figura 2.18 Función raíz

)

√

De acuerdo a la gráfica se puede observar que el rango está determinado por [0

)

Ejemplo 2. Obtener las intersecciones, gráfica, domino y rango de la función raíz √ 2 Solución Intersecciones dado √ 2 2 0 intersecciones en : hacer 0 √ (√

2

) 0)2 0 ) 0

2

2

)

).

elevar al cuadrado factorizar despejar

dado √ 2 intersecciones en : hacer 0 √ No hay intersección en y Dominio y Gráfica Para determinar el dominio de la función se resuelve la desigualdad del radicando 2 ] [ ) 0, obteniendo como dominio de la función el conjunto Al tabular algunos valores, se obtendrá √ 2

-5 -4 -3 1 2 3

√ √ 0 0 √ √

) √ 2 Figura 2.19 Función raíz De acuerdo a la gráfica se puede observar que el rango está determinado por [0

).

Ejemplo 3. Obtener las intersecciones, gráfica, domino y rango de la función raíz 2 ) √ Solución Intersecciones 2 dado √ 2 0 intersecciones en : hacer 0 √ 2 2)

(√ 2

0)2

0

)

√ √

elevar al cuadrado

)

0

factorizar despejar

2

dado intersecciones en

: hacer

0

Dominio y Gráfica Para determinar el dominio de la función se resuelve la desigualdad del radicando 2 ]. 0, obteniendo como dominio de la función el conjunto [ Al tabular algunos valores, se obtendrá 2 √ -5 -4 -3 1 2 3

√ √ 0 0 √ √

2 ) √ Figura 2.20 Función raíz De acuerdo a la gráfica se puede observar que el rango está determinado por [0 ].

Función Valor Absoluto ) | |, su dominio es el conjunto de los números reales Se denota como

).

Ejemplo 1. Obtener las intersecciones, gráfica, domino y rango de la función valor absoluto ) | | Solución Intersecciones | | dado 0 intersecciones en : hacer 0 despejar (punto de partida)

|

|

dado intersecciones en

Gráfica Al tabular algunos valores antes y después de | | -5 -4 -3 -2 -1

0

: hacer

, quedará

1 0 2 )

Figura 2.21 Función valor absoluto Dominio y contradominio:

),

[0

|

|

)

Ejemplo 2. Obtener las intersecciones, gráfica, domino y rango de la función valor absoluto ) | 2 | Solución Intersecciones | 2 | dado 2 0 intersecciones en : hacer 0 ) 0 factorizar (factor común) 0 despejar (punto de partida) | 2 | dado 0 intersecciones en : hacer 0 Gráfica Al tabular algunos valores antes y después de las intersecciones 0 y | 2 | --5 -4 -3 -2 -1 0 1

5 0 3 4 3 0 5

Dominio y contradominio:

, quedará

)

Figura 2.22 Función valor absoluto ),

[0

)

|

2

|

Función Racional )

Es de la forma

)

0

)

polinomios con la restricción ) los números reales, excepto donde

, donde

) y

) son

0

0. El dominio de una función racional es el conjunto de ) 0.

Asíntotas de una función racional  Asíntota vertical: ) 0, se dice que la función tiene una asíntota vertical o un punto de Cuando discontinuidad.  Asíntota Horizontal: Si , entoces 0 (el eje x) es una asíntota horizontal para la gráfica de . Si , entoces (el cociente de los coeficientes principales) es una asíntota horizontal para la gráfica de . Si , entonces no existe asíntota horizontal para la gráfica de .  Asíntota Oblicua: Si , es decir ) es mayor que el grado de ), la gráfica tiene una asíntota oblicua. Para obtener la asíntota oblicua podemos usar la división tradicional algebraica, a fin de expresar ) en la forma ) ) ) ) ) ) ) Ejemplo 1. Dada la función racional , determinar las intersecciones con los ejes, las asíntotas (puntos de discontinuidad), su gráfica, domino y rango. Solución Intersecciones dado 2 :1 ;3

0 0

intersecciones en

: hacer

0

multiplicar ambos lados por despejar dado intersecciones en

: hacer

0

Asíntotas 0

dado vertical, cuando el denominador es igual a cero despejar dado horizontal, como n=m la asíntota horizontal es

Gráfica, dominio y rango

Dominio y rango )

Asíntota horizontal 𝑦

) )

)

Asíntota vertical 𝑥 Figura 2.23 Función racional

)

Ejemplo 2. Dada la función racional

)

, determinar las intersecciones con 0 los ejes, las asíntotas (puntos de discontinuidad), su gráfica y domino. Solución Intersecciones dado

0

:3

0

;7 :1

intersecciones en

0

multiplicar ambos lados por despejar

intersecciones en

0

2

0 )

0

0 )

0

2

0

dado

0 Asíntotas

0

: hacer

: hacer

0

dado 0 0

vertical, cuando el denominador es igual a cero factorizar despejar dado horizontal, como n