Manual de cálculo de vibraciones - ITP

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9. PROBLEMAS AEROELASTICOS 9.1. Flameo

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10. DINÁMICA DE ROTORES 10.1. Consideraciones Teóricas 10.2. Hipótesis Simplificativas 10.3. Ejemplo práctico

11. TECNICAS EXPERIMENTALES 11.1. Análisis Modal Experimental 11.2. Galgas Extensiométricos. componentes 11.3. Especificación de Ensayos

Aplicación

a

ensayos

de

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12.- MEDIDA DEL COMPORTAMIENTO DINAMICO POR EL MEF 12.1. Datos para la generación del modelo 12.2. Pasos para el análisis 12.3. Recomendaciones para el análisis 12.4. Validación de Modelos de Elementos Finitos 13. REFERENCIAS




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DE

DINAMICA

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APENDICE 1. EJEMPLOS MSC/NASTRAN

DE

ROTORES

CON

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1.- OBJETO.

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El objeto del presente documento es la definición de la metodología y conceptos para la ejecución de los análisis dinámicos de componentes que se diseñan en ITP. Se pretende establecer las mejores prácticas para garantizar la fiabilidad de los cálculos dentro de la complejidad que puede conllevar este tipo de predicciones. Se tratará de establecer de una forma clara y sencilla los pasos mínimos a realizar para la ejecución de este tipo de análisis, considerando los diferentes fenómenos que definen el comportamiento dinámico de un componente o su modo de fallo. Así, se establecerán métodos de análisis dinámico tanto para problemas lineales, no lineales o de respuesta. Se pretende que este manual sea de propósito general, es decir, lo establecido aquí sería de aplicación a todos los componentes salvo que de forma expresa se defina específicamente el grado de aplicación de la metodología descrita. La metodología específica aplicada a componentes determinados se explica con detalle en los manuales de cálculo de componentes específicos.

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La definición de los criterios de cálculo no se incluye en este manual. Los criterios de cálculo para el comportamiento dinámico de componentes se establecen en los manuales correspondientes, si bien cuando se crea oportuno se hará referencia a estos criterios para clarificar o justificar la metodología de cálculo establecida.

2.- ÁMBITO DE APLICACIÓN.

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El presente documento recoge los conceptos y metodología recomendable en el Análisis dinámico. Los métodos específicos para el análisis de los componentes de turbinas de gas o sistemas de escape diseñadas en ITP se recogen en manuales específicos, si bien ciertos ejemplos se explican en este manual como aplicación directa de la metodología descrita. Los métodos descritos son aplicables durante todo el proceso de diseño, desde la fase conceptual hasta la validación del componente.




La utilización de estos métodos durante la ejecución de los trabajos es la más recomendada, y se requiere la aprobación expresa de la Jefatura del CdC de Tecnología Mecánica de ITP, o de la Dirección de Ingeniería y Tecnología si se quiere cambiar alguno de los mismos.

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3.- Definiciones. 3.1.-Generales.

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Sistema Continuo: sistema mecánico que precisa de un número infinito de grados de libertad para determinar su posición deformada. Sistema Discreto: sistema mecánico cuya posición deformada puede determinarse mediante un número finito de grados de libertad. 3.2.- Sobre la Frecuencia.

Frecuencia de Excitación: es la frecuencia (Hz) asociada a una acción exterior actuante sobre el sistema mecánico a estudio y que varía armónicamente en un problema de vibraciones forzadas debidas a una excitación armónica.

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Frecuencia Natural (frecuencia propia): es la frecuencia del movimiento armónico que resulta al introducir un desplazamiento y/o una velocidad inicial a un sistema, que está en posición de equilibrio, y dejarlo vibrar libremente sin amortiguamiento (problema de vibraciones libres no k = 2 ⋅ π ⋅ f (Hz ) amortiguadas). Para un sistema de un grado de libertad su valor es: ω = m Frecuencia Natural Amortiguada: frecuencia del movimiento armónico que resulta al introducir un desplazamiento y/o una velocidad inicial a un sistema de un grado de libertad amortiguado, que está en posición de equilibrio, y dejarlo vibrar libremente (problema de vibraciones libres amortiguadas). Su valor es: ω D = ω ⋅ 1 − ξ 2 . No es la frecuencia natural, pero es muy parecida pues la relación de amortiguamiento (ξ ) suele ser pequeña.

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3.3.- Sobre Amortiguamiento

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Amortiguamiento Crítico: parámetro intrínseco de un sistema de un grado de libertad amortiguado. Su valor es: c0 = 2 ⋅ m ⋅ ω , siendo m la masa del sistema y ω su frecuencia natural.




Amortiguamiento Relativo o Relación de Amortiguamiento: relación de amortiguamiento (ξ ) de un sistema es el cociente entre el amortiguamiento del sistema c y el valor de su amortiguamiento crítico (c0):

c c =ξ= c0 2⋅ k ⋅m

Amortiguamiento Proporcional: se denomina así a aquella hipótesis de modelización del amortiguamiento que permite desacoplar las ecuaciones del movimiento de sistemas de N gdl. En tal caso, la matriz [C] debe poder ser diagonalizada junto con [K] y [M]. Por ello, en la expresión que se adopte para [C] deberán intervenir [K] y [M]. Así, [C] será diagonalizable cuando pueda ser expresada como combinación lineal de las matrices de rigidez e inercia: [C ] = A ⋅ [M ] + B ⋅ [K ]

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3.4.- Sobre la definición del problema.

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Grados de libertad (gdl): o coordenadas generalizadas de un sistema mecánico son los parámetros independientes que definen la posición y la configuración deformada de dicho sistema. Coordenadas Naturales: Es el sistema de coordenadas resultante de aplicar al sistema mecánico a estudio un cambio de coordenadas basado en la matriz de modos. En estas nuevas coordenadas, el sistema de N ecuaciones diferenciales con N incógnitas se desacopla y transforma en N ecuaciones de una sola incógnita; es decir, en N problemas de 1 gdl. Matriz de Rigidez [K]: Está constituida por los coeficientes de rigidez kij, que se definen como la fuerza que hay que aplicar según el gdl i para producir un desplazamiento unidad según el gdl j, y cero según todos los demás gdl. Matriz de Masas [M] (o inercias): Está constituida por los coeficientes de inercia mij, que se definen como la fuerza que hay que aplicar en el gdl i para producir una aceleración unidad en el gdl j y cero según todos los demás.

3.5.- Sobre los modos de vibración.

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Matriz de Amortiguamiento [C]: Está constituida por los coeficientes de amortiguamiento cij, que se define como la fuerza que hay que aplicar según el gdl i para que aparezca una velocidad unidad según el gdl j y cero según todos los demás gdl.

Modo Natural de Vibración: Se llaman modos naturales de vibración de un sistema mecánico a los posibles movimientos armónicos que pueden tener lugar en el sistema en condiciones de excitación nula. Habrá tantos modos naturales como grados de libertad tenga el sistema. Al tratarse de un problema de vibraciones libres, vendrán dados (cuando no haya amortiguamiento) por la resolución del sistema de ecuaciones: − ω 2 ⋅ [M ] + [K ] ⋅ {X } = {0} , que como veremos en el apartado 5, puede resolverse como un problema de valores y vectores propios generalizado en el que los vectores propios son los modos naturales.

)

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(




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Cada modo (vector propio) establece la relación existente entre las amplitudes de los movimientos armónicos síncronos (cuando no se considera la presencia de amortiguamiento) de los diferentes grados de libertad del sistema. Normalizar los Modos: Como las amplitudes de un modo natural de vibración no están determinadas más que en la relación existente entre ellas, es una práctica habitual normalizarlos con respecto a la matriz de masa, haciendo que la masa modal sea igual a la unidad para todos T ellos de forma que se cumpla: {X i } ⋅ [M ]⋅ {X i } = 1 3.6.- Sobre la respuesta de un sistema. Resonancia: se dice que un sistema está en condición de resonancia o que tiene lugar un fenómeno de resonancia, cuando la frecuencia de la excitación que actúa sobre el mismo (Ω) coincide con alguna de sus frecuencias naturales (ω). Es decir, en el caso de sistemas con 1

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gdl, en la resonancia β =

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ω =1. Para frecuencias de excitación próximas a alguna frecuencia ω

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natural, la amplitud del desplazamiento resultante puede ser varias veces el desplazamiento estático que se obtendría aplicando estáticamente una fuerza de la misma amplitud. Así mismo, en la resonancia, el desfase de la respuesta del sistema respecto a la excitación es siempre de 90º (independientemente del valor del amortiguamiento relativo ξ). Factor de Amplificación Dinámica (D): es la relación existente entre la amplitud de las vibraciones de un sistema sometido a una excitación de tipo armónico y el desplazamiento estático (cuando la carga es aplicada estáticamente). El valor de D para un sistema de 1gdl es: D=

1

(1 − β ) + (2 ⋅ ξ ⋅ β ) 2 2

2

con β =

natural del sistema.

ω ω

y ω = frecuencia _ de _ la _ excitación y ω la frecuencia

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H (ω ) =

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Función de Transferencia (función compleja de respuesta en frecuencia): dado un sistema sometido a una excitación armónica , f (t ) = f 0 ⋅ e iω t la Función de Transferencia - H (ω ) - es aquella función, tal que la respuesta del sistema ante dicha solicitación puede expresarse de la forma: x(t ) = H (ω ) ⋅ f 0 ⋅ e iω t . El valor de H (ω ) es, para un sistema de 1 gdl:

1

k 1 − β 2 + 2ξβi

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{x(t )} = [H (ω )]⋅ { f 0 }⋅ e iω t

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Matriz de transferencia [H (ω)]: Función de transferencia en los sistemas con N gdl. La respuesta de un sistema con N grados de libertad ante una excitación armónica se obtiene multiplicando el vector de amplitudes de las fuerzas excitadoras por la matriz de transferencia:




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Si las fuerzas de excitación {f(t)} no son armónicas, pero admiten transformada de Fourier (TDF), el vector {f(t)} podrá expresarse como suma de infinitas componentes armónicas de frecuencias distintas, y la matriz de transferencia [H(w)] relacionará directamente la TDF de la excitación y de la respuesta: {X (ω )} = [H (ω )]⋅ {F (ω )}. La matriz de transferencia puede expresarse en función de los modos y frecuencias de vibración (en el caso en que no exista amortiguamiento) en la forma: n

[H (ω )] = ∑ i =1

{X }⋅ {X }

T

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 ω2  k i ⋅ 1 − 2   ωi 

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Transmisibilidad (Tr): puede definirse como el cociente entre la amplitud de la fuerza transmitida por un sistema y la de la fuerza de excitación que se introduce en el mismo.

Tr =

Ft 2 = D ⋅ 1 + (2ξβ ) f0

3.7.- Sobre las condiciones del análisis.

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Al analizar el problema de la transmisión de vibraciones de un sistema mecánico a su base o soporte, se define el concepto de transmisibilidad como la relación entre el módulo de la fuerza transmitida al soporte Ft y el módulo de la fuerza excitadora f0. Recordando la definición del Factor de Amplificación Dinámica (D):

Régimen Estacionario: un sistema dinámico se dice que está en régimen estacionario cuando su variación con el tiempo reviste un carácter periódico; es decir, todas las variables del problema repiten valores cada T segundos (T = periodo).

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Régimen Transitorio: un sistema dinámico se dice que está en régimen transitorio cuando la dependencia temporal de las variables del problema es arbitraria o carece del carácter periódico.

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3.8.- Sobre la fuerza excitadora.

Vibraciones Libres: vibraciones que tienen lugar en ausencia de fuerzas exteriores: f (t) = 0 y sólo son debidas a unas determinadas condiciones iniciales de desplazamiento y/o velocidad. Vibraciones Forzadas: vibraciones que tienen lugar debido a la presencia de fuerzas exteriores variables con el tiempo actuando sobre el sistema f (t) ≠0.

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Vibraciones Aleatorias: vibraciones que tienen lugar debido a la aplicación sobre el sistema de unos esfuerzos exteriores de los que, como mucho, todo lo que se puede aspirar a conocer es algunos valores estadísticos tales como su valor medio, su varianza, su composición en frecuencia, etc.




3.9.- Sobre el comportamiento a fatiga. Fatiga de Altos ciclos (HCF). La fatiga de altos ciclos está relacionada con las vibraciones, a frecuencias que típicamente varían entre 70 y 300 Hz. Si se llega a condiciones de resonancia, el número de ciclos que se pueden acumular en un ciclo de funcionamiento puede ser muy elevado, por lo que este tipo de condición es crítico y suele evitarse desde la definición del componente. Diagrama de Goodman. Representa la relación entre la tensión media y la amplitud de la tensión o deformación alternante permisible. El diagrama pone de manifiesto la influencia de la tensión media en el comportamiento final a fatiga.

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σ alternante

Endurance limit

σ media

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Función de Temperatura y Nº de ciclos

UTS

Figura 3.9.1. Diagrama de Goodman

Para el caso concreto de vida infinita, el valor del “Endurance limit” puede considerarse, si los criterios de diseño establecidos en cada proyecto no indican lo contrario, como:

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Para materiales no ferrosos: la resistencia a 3⋅107 ciclos. Para materiales ferrosos: la resistencia a 1⋅107 ciclos. En la construcción del diagrama de Goodman en vez de utilizar la tensión última (UTS) como máxima resistencia en ausencia de carga alternante, se puede utilizar también un valor de fluencia (“creep”) combinado con el limite de plasticidad o incluso la resistencia a la fatiga para 103 ciclos y R=0. 3.10.- Sobre las solicitaciones del Sistema.

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Carga Mecánica. Se aplica en los bordes de la estructura (bridas, anclajes) y generalmente se calcula con ayuda del Modelo de Motor Completo (Whole Engine Model, WEM) o por la definición de un espectro de vibración. Los datos suministrados dan relación de los niveles de carga y la frecuencia de los mismos en los diferentes puntos de funcionamiento.




Carga Térmica. Se aplica en todo el volumen de la estructura y generalmente se calcula con ayuda del Modelo Térmico. Para el cálculo de vida a fatiga será necesario recibir la historia de temperaturas a lo largo del ciclo de funcionamiento proveniente de un análisis térmico transitorio, aunque para el problema de vibraciones suelen considerarse condiciones estacionarias.

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4.- FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO DE VIBRACIONES.

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El objetivo del presente capítulo es el de refrescar los conceptos básicos del cálculo de vibraciones para luego hacer una descripción de los diferentes tipos de análisis con los que nos podemos enfrentar dentro del desarrollo de las tareas correspondientes a la definición del comportamiento dinámico de los componentes en estudio. El análisis dinámico trata de estudiar el comportamiento de las estructuras sometidas a cargas que varían con el tiempo, así como el estudio de las vibraciones libres a que puede estar sometida una estructura. Existen diferentes tipos de análisis a considerar dentro del cálculo de vibraciones dentro de los problemas comunes de las turbinas de gas:

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Análisis Modal: es el proceso de determinación de las características dinámicas inherentes a un sistema mecánico necesarias para la posterior formulación de un modelo matemático del comportamiento dinámico de dicho sistema. Esta modelización dinámica se lleva a cabo sobre la base de los parámetros modales (frecuencias naturales, modos naturales de vibración y relaciones de amortiguamiento) propios del sistema, y que dependen de la distribución de sus características de masa, rigidez y amortiguamiento.

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Análisis Dinámico transitorio: Estudia la respuesta del sistema sometida a una carga transitoria. Análisis de Respuesta Armónica: Estudia la respuesta del sistema sometido a una carga armónica. Análisis de Respuesta a Vibración Aleatoria: Estudia la respuesta del sistema sometido a una vibración aleatoria, como pueden ser los terremotos, o las ráfagas.

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Las vibraciones en general, son movimientos armónicos, y teóricamente va a ser posible expresarlas como suma de movimientos armónicos simples.

Siendo:




Con estas consideraciones, se podría expresar el desplazamiento de un punto sometido a vibraciones de la forma siguiente:

x = x0 ⋅ sinωt

x0 = m.áxima.amplitud ω = frecuencia.(rad s ) t = tiempo

Se define el período de oscilación como el tiempo en que un punto que parte de una posición vuelve a esa misma posición. Se define la frecuencia de oscilación como la inversa del período:

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1 T De la misma forma podríamos definir la velocidad y la aceleración del punto como: f =

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x& = x0ω ⋅ cos ω ⋅ t

&x& = − x0ω 2 ⋅ sinω ⋅ t = − x ⋅ ω 2

Las leyes que gobiernan las vibraciones estas basadas en las ecuaciones básicas del movimiento, lo que implica el cumplimiento de las leyes de Newton. En general la ecuación de equilibrio que rige el movimiento es la siguiente: M ⋅ &x& + C ⋅ x& + K ⋅ x = F (t )

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Para comprender de donde obtenemos esta ecuación del movimiento, debemos contemplar las diferentes leyes básicas que rigen el movimiento: Leyes de Newton: 2ª ley F = m ⋅ &x& 3ª Ley: Principio de acción y Reacción. Principio de D´Alambert, fuerzas de inercia.

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Método de los Trabajos Virtuales. El trabajo de las fuerzas exteriores en un pequeño desplazamiento virtual de las coordenadas del sistema es igual al incremento de energía potencial elástica producido por dicho desplazamiento virtual. Este desplazamiento virtual debe cumplir las condiciones de ser pequeño, para que no varíe la magnitud de las fuerzas y la geometría del sistema, y compatible con las ligaduras cinemáticas de dicho sistema. A veces, es más cómodo utilizar velocidades que desplazamientos y, entonces, en lugar de hablar del Método de los Trabajos Virtuales se habla del Método de las Potencias Virtuales.




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Ecuaciones de Lagrange. Son el punto de partida de la Mecánica Analítica. Se establece una ecuación por cada grado de libertad o coordenada generalizada: L=T - U es la función Lagrangiana, igual a la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial, y Qi es la fuerza generalizada según el grado de libertad i. d  ∂L  ∂L −  = Qi dt  ∂qi′  ∂qi Principio de Hamilton. Es un principio variacional, y establece que de todas las posibles formas de evolucionar el sistema entre dos instantes de tiempo t1 y t2, la que verdaderamente se produce es la que hace mínima la integral

∫

t2

t1

L ⋅ dt respecto al tiempo de la función Lagrangiana.

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5- Análisis Modal

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Definiremos análisis modal como el estudio de las características dinámicas relativas al sistema mecánico en estudio. Esto significa que estamos buscando los parámetros modales propios del sistema, esto es: las frecuencias propias, los modos de vibración y las relaciones de amortiguamientos propias del sistema, las cuales están dirigidas por la distribución de las características de masa, rigidez y amortiguamiento que presenta el sistema. 5.1- Sistema de 1 grado de libertad (Vibraciones libres no amortiguadas)

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Los sistemas de un grado de libertad son sistemas sencillos; normalmente las estructuras sobre las que se centran los análisis de vibraciones que se realizan en ITP son complejas y con un número N de grados de libertad (cálculo a través del MEF). De cualquier forma se ha considerado importante introducir este apartado por su importante interés pedagógico, para poder de forma sencilla fijar una serie de conceptos básicos que van a ser aplicables a sistemas de N grados de libertad, y que además, estos sistemas en condiciones normales, pueden resolverse mediante la superposición de N sistemas de 1 gdl

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Si consideramos el sistema completo de 1 grado de libertad, en que consideramos: La energía cinética del sistema se almacena en la masa indeformable M, la energía potencial elástica se concentra en el resorte sin masa de constante K Si definimos un sistema simple de 1 grado de libertad: Las fuerzas que actúan sobre la masa M son: La fuerza debida al muelle K ⋅ ( x + δ ) La fuerza gravitatoria M ⋅ g La fuerza de inercia M ⋅ &x&

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K

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Si aplicamos la ecuación de equilibrio tenemos: M ⋅ &x& + K ⋅ (x + δ ) − M ⋅ g = 0




de donde K ⋅ (δ ) = M ⋅ g por lo que obtenemos la ecuación: M ⋅ &x& + K ⋅ x = 0

x M

Si asumimos que la solución a la ecuación es armónica, se podría expresar de la forma:

x(t ) = C ⋅ e S ⋅t y por tanto

o

x(t ) = A ⋅ cosωt + B ⋅ sen ωt

&x&(t ) = C ⋅ S 2 ⋅ e St = S 2 ⋅ x(t )

o

&x&(t ) = −ω 2 A ⋅ cosωt − ω 2 B ⋅ sen ωt = −ω 2 ⋅ x(t )

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Si sustituimos en la ecuación:

(K − ω

2

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)

⋅ M ⋅ x(t ) = 0

(

)

C ⋅ M ⋅ S 2 + K ⋅ e St = 0 2

)

⋅ M ⋅ ( A ⋅ sinωt + B ⋅ cos ωt ) = 0

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(K − ω

Cuyas soluciones serían: C =0 o A = B = 0 ; solución trivial, o: K K −ω 2 ⋅ M = 0 ω= y S = ± − ω 2 = ± iω M

(

)

Con esto la expresión de la solución:

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x(t ) = C1 ⋅ e i⋅ω ⋅t + C 2 ⋅ e − i⋅ω ⋅t que teniendo en cuenta que e ± i⋅ω ⋅t = cos ωt ± i ⋅ sen ωt x(t ) = (C1 + C 2 ) ⋅ cos ωt + i ⋅ (C1 − C 2 ) ⋅ sen ωt y haciendo A = C1 + C 2 y B = i (C1 − C 2 ) llegamos a la misma expresión que estamos arrastrando en paralelo. La principal diferencia estriba en que los coeficientes C1, C2 pueden ser complejos, mientras que A y B siempre son reales.

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Si consideráramos las constantes de la forma: A = D ⋅ cos φ y B = D ⋅ sen φ , siendo D = A 2 + B 2 B y tgθ = con lo que la solución quedará de la forma: A x(t ) = D ⋅ cos(ωt − θ )

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Para conocer la solución exacta necesitaríamos conocer las condiciones iniciales y tendríamos una solución única para x (t). Si para:

Tendremos: x0 = B

x& 0

⋅ sinω 0 t + x0 ⋅ cos ω 0 t




x(t ) =

ω0

x& 0 = ω 0 ⋅ A

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t = 0 x(0) = x0 t = 0 x& (0) = x& 0

o:

  x& 2  x&  x(t ) =  x02 + 02  ⋅ cos ωt − arctg 0  ω ⋅ x0  ω   

Si consideráramos métodos energéticos para llegar a la ecuación del movimiento el resultado sería el mismo que cuando hemos utilizado el equilibrio de fuerzas. Sabemos que cuando se produce la vibración del sistema existe un intercambio continuo entre energía cinética y energía potencial del sistema. Si hacemos la hipótesis de vibraciones estacionarias (armónicas por ejemplo), tendríamos el balance de energía como sigue: T (t ) + V (t ) = E (t ) = E (cte )

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Siendo T (t) la energía cinética y V (t) la energía potencial del sistema. Con esto:

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dT dV + =0 dt dt Si consideramos el sistema de 1 gdl anterior: dT T = 1 ⋅ M ⋅ x& 2 = M ⋅ x& ⋅ &x& 2 dt dV V = 1 ⋅ K ⋅ x2 = K ⋅ x ⋅ x& M ⋅ &x& + K ⋅ x = 0 2 dt Que es la misma ecuación del movimiento a la que hemos llegado anteriormente. 5.2- Sistema de 1 grado de libertad (Vibraciones libres amortiguadas)

Hasta ahora solo hemos tenido en cuenta la masa y la rigidez. Tendríamos que tener en cuanta la disipación de energía que se produce por el amortiguamiento de la respuesta.

Figura 5.2.1




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Los sistemas no amortiguados tendrían una respuesta constante en el tiempo, pero en la práctica vemos que si separamos el sistema de su posición de equilibrio con una amplitud determinada, esta va decayendo, y llega un momento en que esta posición inicial se vuelve a recuperar.

Figura 5.2.2

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Lo que se está produciendo en la realidad es una disipación de energía debida al amortiguamiento. En sucesivos capítulos hablaremos más detalladamente de los conceptos de amortiguamiento y su tratamiento en el análisis de vibraciones. De forma ilustrativa se va a formular el caso de sistemas de 1 grado de libertad con vibraciones libres amortiguadas.

Si consideramos el sistema completo de 1 grado de libertad, en que consideramos, además de lo visto anteriormente para el sistema no amortiguado, la capacidad de disipación de energía se concentra en el amortiguador viscoso que se mueve con velocidad proporcional a la fuerza, con constante de proporcionalidad c.

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La ecuación de equilibrio total de fuerzas nos llevaría a la expresión de la ecuación del movimiento:

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M ⋅ &x&(t ) + c ⋅ x& (t ) + K ⋅ x(t ) = 0

Cuya solución sería de la forma: x(t ) = A ⋅ e st donde s = a + i ⋅ b e st = e (a +i⋅b )⋅t = e at ⋅ e ibt Sustituyendo en la ecuación del movimiento:

(M ⋅ s

2

)

(M ⋅ s

2

+c⋅s + K = 0 s = −

c c2 − 4 ⋅ K ⋅ M ± y tenemos las dos raíces de la ecuación, por lo 2M 2M

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)

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+ c ⋅ s + K ⋅ A ⋅ e st = 0 Para que se cumpla la ecuación tiene que ocurrir que:




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que la solución sería: x(t ) = A1 ⋅ e s1t + A2 ⋅ e s2 ⋅t La forma de la solución dependerá de cómo se cumplan las relaciones entre los diferentes parámetros. Así: 4 KM  c  1 ± 1 − 2  dependerá de si c 2 4 KM s1 , s 2 = −   2M  c  Llegados a esta situación, sería conveniente recurrir a la definición de amortiguamiento crítico. 2 Así, definimos amortiguamiento crítico c02 , como c0 = 4 KM Con lo cual, si se cumplen las inecuaciones siguientes tendremos las situaciones: c  c < c0  < 1 Amortiguamiento subcrítico  c0 

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c  c > c0  > 1 Amortiguamiento supercrítico.  c0 

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Los casos de mayor interés para el comportamiento dinámico de los componentes que se diseñan en ITP corresponden a amortiguamiento subcrítico (normalmente los valores de amortiguamiento respecto al crítico (c/c0) suelen estar entre 0,2 y 0,4) Así, tendremos que las soluciones a ala ecuación del movimiento serán de la forma: c    4 KM 1 ± i  2 − 1  s1 , s2 = − 2M     c Si consideramos: K c c = ω 02 ; s1 , s2 = − ω 0 ⋅ ξ ± i ⋅ ω 0 ⋅ 1 − ξ 2 =ξ = M c0 2⋅ K ⋅M

(

x(t ) =  A1 ⋅ e −ω0 ⋅ξ ⋅t ⋅ e i⋅ω0 ⋅  Si llamamos ω d = ω 0 ⋅ 1 − ξ 2

1−ξ 2 ⋅t

+ A2 ⋅ e −ω0 ⋅ξ ⋅t ⋅ e −i⋅ω0 ⋅

(

1−ξ 2 ⋅t

))

 

Frecuencia Natural amortiguada, la solución será:

5.3- Sistema de N grados de libertad

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x(t ) = e −ω0 ⋅ξ ⋅t ⋅ ( A1 ⋅ sen ω d t + A2 ⋅ cos ω d t ) = C ⋅ e −ω0 ⋅ξ ⋅t ⋅ sen (ω d t + φ )

5.3.1.- Cálculo de frecuencias y modos propios.




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Co

pia

Como ya expusimos anteriormente, definimos análisis modal como el estudio de las características dinámicas relativas al sistema mecánico en estudio. Esto significa que estamos buscando los parámetros modales propios del sistema, esto es: las frecuencias propias, los modos de vibración y las relaciones de amortiguamientos propias del sistema, las cuales están dirigidas por la distribución de las características de masa, rigidez y amortiguamiento que presenta el sistema. Para el análisis modal se hace la hipótesis que la respuesta vibratoria de un sistema puede expresarse como combinación de movimientos armónicos simples, que llamamos modos propios de vibración. Estos responden a la característica del sistema en su distribución de masa, rigidez y amortiguamiento. Para la realización del análisis modal de un sistema mecánico, sería necesario poder modelar el sistema de manera que se incluyan estas distribuciones de masa, rigidez y amortiguamiento, las técnicas más empleadas suelen estar basadas en métodos analíticos (teoría de los elementos finitos) o experimentales (análisis modal experimental). En ambos casos lo que se pretende es generar un modelo que represente las características de masa, rigidez y amortiguamiento, de forma que puedan incorporarse a la ecuación del movimiento de una forma discretizada, y por el "Principio de Superposición", transformar la resolución de las ecuaciones diferenciales del movimiento en un problema de valores y vectores propios.

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MANUAL DE CALCULO DE VIBRACIONES

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Si partimos de la ecuación general del movimiento tendremos que resolver el problema:

[M ]⋅ {&x&(t )} + [C ]⋅ {x&(t )} + [K ]⋅ {x(t )} = { f (t )}

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

Donde ya hemos considerado la formulación matricial considerando un número finito de grados de libertad, como discretización del sistema. La respuesta del sistema buscado será armónica cuando las fuerzas de excitación también son armónicas: si { f (t )} = {F }⋅ e iωt los desplazamientos

son {x(t )} = {X }⋅ e iωt donde {X } es el vector amplitud de la respuesta, la incógnita del problema. La resolución del problema se puede expresar en función de los modos naturales de vibración, que serán la resolución de los posibles movimientos armónicos de un problema de vibraciones libres.

[M ]⋅ {&x&(t )}+ [C ]⋅ {x& (t )}+ [K ]⋅ {x(t )} = {0}

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Con lo que podemos, considerando como se indicaba anteriormente el "Principio de Superposición" y haciendo la suposición de que todas las partes del sistema vibran sinusoidalmente con la misma frecuencia, que la resolución de la ecuación se obtiene mediante un problema de cálculo de autovalores.

Co

pia

FO R

Esto al final es posible gracias a las características de las matrices de Masa y rigidez, que pueden considerarse positivas definidas (siempre que no se pueda producir movimiento de sólido rígido) y además son reales y simétricas Si consideramos que no tenemos amortiguamiento ( [C ] = 0 ), tendríamos que en la resolución del problema la solución de los autovalores será real. Considerando lo expuesto anteriormente y aplicando os principios del álgebra al problema que se busca resolver, el problema de valores y vectores propios puede resolverse de la forma: [K ]⋅ {X i } = λi ⋅ [M ]⋅ {X i } donde λi es el valor propio y {X i } es el vector propio asociado y normalizado con la masa. Por las características de la matriz de masa, todos los valores propios serán positivos.




Pa

Si suponemos como en el caso de sistema de un gdl que la solución es de la forma: x(t ) = {A}⋅ cos ωt

Tenemos que la resolución de la ecuación será:

[[K ] − ω [M ]]⋅ {A}cosωt = 0 2

Con lo que hemos visto anteriormente el problema de valores y vectores propios está planteado y en la resolución vemos que los autovalores se van a corresponder a la frecuencia propia del modo natural, así: λi = ω i2 Y como la ecuación debe ser válida para cualquier instante de tiempo, las posibilidades de solución serán:

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[

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]

1.- Si det K − ω 2 M ≠ 0 la única solución posible es {A} = 0 , que es la solución trivial y que no aporta nada a la definición del movimiento, pues representa el caso de ausencia del mismo.

[

]

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2.- La solución no trivial por tanto, será det K − ω 2 M = 0 , que corresponde a la ecuación del problema de autovalores con la definición realizada en el párrafo anterior. La resolución del determinante nos da que las raíces de la ecuación corresponden con las frecuencias propias del sistema. Si sustituimos en la ecuación del movimiento, obtendremos los valores de {x} que serán los autovectores que corresponden a las formas modales de las frecuencias propias del sistema. Este determinante será nulo para una serie de valores de λi o ω i2 . El autovector {X i } corresponde al autovalor λi y satisface la ecuación planteada, por lo que la ecuación quedaría de la forma: [K ] − ω i 2 [M ] ⋅ {X i } = 0

[

]

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Cada autovalor será la frecuencia propia de la estructura, y cada autovector la forma modal asociada a esa frecuencia propia.

FO R

Por otro lado, los vectores propios forman un sistema de N vectores linealmente independientes que pueden formar una base en un espacio vectorial de dimensión N. Por tanto, el vector incógnita {X } se podrá expresar como una combinación lineal de los vectores de la base. {X } = ∑ {X i }⋅ ai i

Pa

Co

pia

Si las matrices [K ] y [M ] son reales y simétricas, caso común de las estructuras, se puede demostrar que los modos son ortogonales, esto significa que cada forma modal es única y solamente puede obtenerse a través de una única combinación lineal:

{X } ⋅ [M ]⋅ {X }= 0

para i ≠ j

T

j




i

{X } ⋅ [M ]⋅ {X } = m T

i

i

i

masa generalizada

{X } ⋅ [K ]⋅ {X }= 0 para i ≠ j {X } ⋅ [K ]⋅ {X } = k = rigidez _ generalizada = ω T

i

j

⋅ mi De lo anterior obtenemos la ecuación de Rayleigh: T

i

i

2

i

{X } ⋅ [K ]⋅ {X } = {X } ⋅ [M ]⋅ {X } T

ω

2 i

i

i

T

i

i

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Los vectores correspondientes a las formas modales del sistema suelen normalizarse. Una de las normalizaciones más usadas es usar la masa. Así, los autovectores se escalan para que la masa generalizada sea la unidad:

{X } ⋅ [M ]⋅ {X } = 1

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T

i

j

Las herramientas de resolución de vibraciones por el MEF, permiten hacer diferentes normalizaciones, aunque todas consideran la anterior como defecto. Si fuera necesaria otra normalización sería conveniente estudiar el caso particular. La resolución del problema de autovalores y autovectores, nos da como resultado la posibilidad de generar la matriz de modos [Φ ] , cuyas columnas representan los modos naturales de vibración.

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x } siendo Si consideramos: {x} = {Φ}⋅ {~ ~ {x } las coordenadas generalizadas matriz de dimensión mx1 [Φ ] matriz de dimensión nxm con n = nº de gdl no restringidos y m = nº de modos calculados

FO R

5.3.2.- Factores de Participación Modal.

[M ]⋅ {&x&a }+ [C ]⋅ {x& r }+ [K ]⋅ {xr } = 0

Pa

Co

pia

Partamos para esta descripción de un caso general de una estructura que puede estar excitada por unas fuerzas o desplazamientos forzados en la base y una discretización del continuo por medio de un modelo de Elementos Finitos. Para la consideración de los factores de participación modal se considerará que el movimiento absoluto de los nudos de la estructura se compone de un movimiento relativo y un movimiento producido por la imposición de desplazamientos como {xa } = {xr }+ {xs } sólido rígido (arrastre); así: Si consideramos la ecuación del movimiento:




Debido a que las fuerzas exteriores son nulas, y las fuerzas elásticas y de amortiguamiento dependen de {xr } y de {x& r } . Se podría expresar entonces: {&x&a } = {&x&r }+ {&x&s } y :

[M ]⋅ {&x&r }+ [C ]⋅ {x& r }+ [K ]⋅ {xr } = −[M ]⋅ {&x&s }

La expresión − [M ]⋅ {&x&s } define las fuerzas de inercia del sistema debidas al desplazamiento como sólido rígido; y {&x&s } serían las aceleraciones producidas en los nudos debido a los

desplazamientos como sólido rígido {x sr } impuestos en el movimiento. Se va a poder expresar la influencia del movimiento de sólido rígido en los desplazamientos de los nudos de la forma siguiente: {xs } = [T ] + {x sr } siendo [T ] la matriz de influencia (nx6) que es de valores constantes, por lo que {&x&s } = [T ] + {&x&sr } . Así:

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[M ]⋅ {&x&r }+ [C ]⋅ {x& r }+ [K ]⋅ {xr } = −[M ]⋅ [T ]⋅ {&x&sr }

T Considerando las coordenadas generalizadas {xr } = {Φ}⋅ {~ xr } y premultiplicando por {Φ} :

Llamaremos: [Φ ]T ⋅ [M ]⋅ [Φ ] = M *

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

[Φ]T ⋅ [M ]⋅ [Φ ]⋅ {~&x&r }+ [Φ]T ⋅ [C ]⋅ [Φ ]⋅ {~x& r }+ [Φ ]T ⋅ [K ]⋅ [Φ]⋅ {~xr } = −[Φ ]T ⋅ [M ]⋅ [T ]⋅ {&x&sr }

[ ] Matriz de masa modal (matriz diagonal) [Φ] ⋅ [C ]⋅ [Φ ] = [C ] Matriz de amortiguamiento modal (diagonal si es proporcional a M o K) [Φ ] ⋅ [K ]⋅ [Φ ] = [K ] Matriz de rigidez modal (matriz diagonal) T T

*

*

Si llamamos [Φ ]m×n ⋅ [M ]n×n ⋅ [T ]n×6 = [PF ]m×6 con n = nº de gdl del modelo no restringidos y m = nº de modos calculados. Considerando m = n, definimos [PF ]n×6 como matriz de factores de participación: T

[M ]⋅ {~&x& }+ [C ]⋅ {~x& }+ [K ]⋅ {~x } = −[PF ]⋅ {&x& ∗

*

∗

r

r

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

r

sr

}

FO R

Si analizamos la ecuación correspondiente al modo i:

~ &x& + c ⋅ ~ & && mi ⋅ ~ ri i x r + k i ⋅ x r = −[PFi ]1 x 6 ⋅ {x sr }6 x1

De la ecuación anterior deducimos que el elemento PFij es la fuerza que actúa en el modo i cuando la aceleración de sólido rígido es unitaria sobre el grado de libertad j y nula en el resto.

Co

pia

Matriz de factores de participación modal De las expresiones anteriores vamos a deducir la matriz de participación modal. Si

[ ]

Pa

premultiplicamos la ecuación en la definimos los factores de participación por M *

{~&x& }+ [M ] ⋅ [C ]⋅ {~x& }+ [M ] ⋅ [K ]⋅ {~x } = −[M ] * −1




r

* −1

∗

r

* −1

∗

r

⋅ [PF ]⋅ {&x&sr }

[ ]

Definimos: [MPF ] = M * ⋅ [PF ] como matriz de factores de participación modal. Si hacemos la extracción de la ecuación del modo i como en el párrafo anterior: −1

c & k &~ x&ri + i ⋅ ~ xr + i ⋅ ~ xr = −[MPFi ]1x 6 ⋅ {&x&sr }6 x1 mi mi [MPFi ] = 1 ⋅ [PFi ] = 1 ⋅ [Φ i ]T ⋅ [M ]⋅ [T ] mi mi

−1

:

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El factor de participación modal MPFij (modo i y gdl j) se define como el factor por el que habría que multiplicar la aceleración de sólido rígido en el gdl j, siendo nulas las aceleraciones del resto de gdl, para obtener la aceleración aplicada en el modo i.

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5.3.3.- Masas Efectivas. Si consideramos un movimiento inducido de sólido rígido solo en el grado de libertad j de las ecuaciones anteriores podemos deducir lo siguiente: k 1 T ~ &x& + ci ⋅ ~ x&ir + i ⋅ ~ xir = − ⋅ {Φ i } ⋅ [M ]⋅ {T j }⋅ &x&srj ir mi mi mi La solución se consigue a través de la integral de Duhamel: ~ xir (t ) = −

1 T ⋅ {Φ i } ⋅ [M ]⋅ {T j }⋅ ∫ &x&srj ⋅ e −ξi ⋅ωi (t −τ ) ⋅ sen[ω i ⋅ (t − τ )]⋅ dτ mi ⋅ ω i 0 t

1 T ⋅ {Φ i } ⋅ [M ]⋅ {T j }⋅Vi (t ) mi ⋅ ω i La aceleración efectiva para el modo i se define de la forma: ~ &x& = ω 2 ⋅ &~ x&ir iref i

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

~ xir (t ) = −

FO R

Si se deshace el cambio de coordenadas generalizadas: n {&x& } = {Φ }⋅ &~x&

∑

ref

i =1

i

iref

Con esto, la aceleración efectiva quedaría de la forma:

{&x& }= −∑ω

{Φ i }⋅ {Φ i }T ⋅ [M ]⋅ {T j }

pia

n

ref

i =1

Pa

Co

Las fuerzas efectivas serían de la forma:

i

mi

⋅Vi (t )

{F }= [M ]⋅ {&x& } ef

ref

n




El sistema de fuerzas aplicado en uno de los nudos del modelo es equivalente a una fuerza en el punto de referencia PPR en el gdl j. n {T }T ⋅ [M ]⋅ {Φ }⋅ {Φ }T ⋅ [M ]⋅ {T } T j i i j PPRj = {T j } ⋅ {Fef } = −∑ ⋅ ω i ⋅Vi (t ) y con las ecuaciones anteriores: mi i =1

({Φ } ⋅ [M ]⋅ {T }) T

2

({Φ } ⋅ [M ]⋅ {T }) =

2

T

⋅ ω i ⋅ Vi (t ) donde mefij se llama "masa efectiva" mi mi del modo i correspondiente al gdl j; y representa la parte de la masa total que actúa en el modo i cuando se aplica un movimiento de sólido rígido en el gdl j en el punto de referencia. El valor de las masas efectivas no depende de la normalización empleada para los modos. PPRj = −∑ i =1

i

j

i

j

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5.4.- Consideraciones Especiales en el Análisis Modal.

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

5.4.1.- Análisis Modal No-lineal. Las no linealidades del análisis modal vienen por la aparición de condiciones de: problemas de grandes desplazamientos, modelos precargados, contactos. Utilizaremos para la mejor explicación de la formulación los conceptos considerados en el método de los elementos finitos. Aunque los desplazamientos (o las deformaciones) sean grandes o pequeños, las condiciones de equilibrio entre las "fuerzas " exteriores e interiores deben cumplirse. Por consiguiente, si se definen los desplazamientos de la manera habitual en función de un número finito de parámetros (nodales) a, pueden obtenerse las ecuaciones de equilibrio necesarias mediante el principio de los trabajos virtuales. Sin embargo, las "tensiones" y las "deformaciones" deben definirse ahora de manera que sean conjugadas entre sí. Puede escribirse Ψ (a ) = ∫ B T ⋅ σ ⋅ dV − f = 0 V

FO R

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donde Ψ representa la suma de fuerzas generalizadas interiores y exteriores, y B se deduce de la definición de las deformaciones dε = B ⋅ da

pia

B se distingue con una barra porque, si los desplazamientos son grandes, las deformaciones son una función no lineal de los desplazamientos, y la matriz B depende ahora de a. Se podría escribir B = B0 + BL (a )




Pa

Co

donde B0 es la misma matriz que interviene cuando no se consideran más que las deformaciones infinitesimales lineales, y BL es una matriz que depende de los desplazamientos. En general se encontrará que BL es una función lineal de dichos desplazamientos. Si las deformaciones son moderadamente pequeñas, sigue siendo válida la relación elástica general σ = D ⋅ (ε − ε 0 ) + σ 0 en la que D es la matriz habitual de constantes elásticas. Sin embargo, se podría igualmente escribir cualquier tipo de relaciones no lineales entre tensiones y deformaciones, y que en definitiva, el proceso se reduce de nuevo a resolver un sistema de ecuaciones no lineales. Hay que considerar que las integrales que aparecen en la ecuación primera se calculan en el MEF elemento por elemento y que para establecer el "equilibrio nodal", las contribuciones de los diversos elementos se suman según la manera habitual.

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La solución de la ecuación debe encontrarse por aproximaciones sucesivas siguiendo un método iterativo; por consiguiente, son aplicables los métodos generales. Si, por ejemplo, se utiliza el método de Newton-Raphson, se buscará una relación entre da y dψ. Efectuando la diferenciación del primer miembro de la ecuación con respecto a da, se tiene dΨ = ∫ dB T ⋅ σ ⋅ dV + ∫ B T ⋅ dσ ⋅ dV = K T ⋅ da V

V

y usando las otras dos ecuaciones se obtiene

dσ = D ⋅ dε = D ⋅ B ⋅ da y teniendo en cuenta la relación antes citada dB = dBL Por tanto,

dΨ = ∫ dBL ⋅ σ ⋅ dV +K ⋅ da T

V

K = ∫ B T ⋅ D ⋅ B ⋅ dV = K 0 + K L

donde

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

V

V

FO R

y en la que K 0 representa la matriz de rigidez usual para el caso de pequeños desplazamientos; o sea, T K 0 = ∫ B0 ⋅ D ⋅ B0 ⋅ dV La matriz K L es debida a los grandes desplazamientos y viene dada por

(

)

Co

pia

K L = ∫ B0 ⋅ D ⋅ BL + BL ⋅ D ⋅ BL + BL ⋅ D ⋅ B0 ⋅ dV V

T

T

T




Pa

K L se conoce bajo denominaciones diversas, como " matriz de desplazamientos iniciales", "matriz de grandes desplazamientos", y contiene sólo términos de primer y segundo grado en a. Puede demostrarse que esta matriz podría obtenerse de otra forma manteniendo la hipótesis de que las deformaciones son infinitesimales, pero teniendo en cuenta en el cálculo de la matriz de rigidez, la variación de las coordenadas de los elementos. Es decir calcular la matriz de rigidez de la estructura deformada.

El primer término de la ecuación en que hemos definido dΨ puede escribirse de manera general como

∫ dB V

T L

⋅ σ ⋅ dV ≡ K σ ⋅ da

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y por tanto

dΨ = (K 0 + K σ + K L ) ⋅ da = K T ⋅ da

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donde K T representa la matriz de rigidez tangente total, que ya considera los términos no lineales. Puede aplicarse nuevamente una iteración del tipo de Newton para la resolución. . Resumiendo: a) Se calcula la solución elástica a 0 como primera aproximación; b) Se deduce Ψ 0 de la ecuación primera, estando B convenientemente definida por la ecuación B = B0 +BL y las tensiones σ por la ecuación σ = D ⋅ (ε − ε 0 ) + σ 0 (u otra ley lineal o no lineal); c) Se calcula la matriz K 0 T , y d) Se calcula la corrección con la ayuda de la relación

(

∆a0 = − K 0 T

)

−1

⋅ Ψ0

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y se repite el proceso desde b hasta que Ψ n se suficientemente pequeño.

FO R

Podría utilizarse de nuevo una matriz constante, lo que aumenta el número de iteraciones pero permite emplear un procedimiento de resolución mas económico invirtiendo parcialmente, una vez por todas, la matriz K T .

pia

El ejemplo más claro de no linealidad o modelo precargado dentro de los componentes en estudio dentro de ITP son los álabes del rotor de turbina. La precarga va a introducir modificaciones en el comportamiento dinámico de la estructura, ya que, como hemos visto, va a influir en la definición de la matriz de rigidez de la misma.

Pa

Co

5.4.2.- Simetría Cíclica.




La simetría cíclica de una estructura supone que la estructura global puede descomponerse en una serie de sectores que se repiten por rotación del sector maestro en un ángulo múltiplo de 2π/N, siendo N el número de sectores en que se divide la estructura. No vamos a entrar en la formulación asociada a esta circunstancia, pero para poder entenderla es necesario tener en cuenta lo siguiente: se define el problema en coordenadas cilíndricas, y se considera el eje de simetría el eje de giro. De esta forma tanto los desplazamientos como velocidades, aceleraciones o matriz de rigidez y masa deben ser expresadas en coordenadas cilíndricas. {X cil } = [L]⋅ {X }⋅ [L]T [K cil ] = [L]T ⋅ [K ]⋅ [L] [M cil ] = [L]T ⋅ [M ]⋅ [L] siendo [L] la matriz de transformación de coordenadas.

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Cada término de la matriz de rigidez [K cil ] Kij, por ejemplo, acopla las variables i y j en el sector

N /2

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maestro, y su contribución a la energía de deformación puede expresarse como 1 K ij ⋅ X i ⋅ X j , y 2 su contribución en otros sectores tendrán el mismo Kij pero diferentes Xi y Xj. Las ocurrencias de la variable cilíndrica Xi puede expresarse como una serie de Fourie de N términos: N /2

X i (sec tor _ 0) = ∑ X icn cos nα i + ∑ X isn sinnα i n =0

(

N /2

X i (sec tor _ k ) = ∑ X icn cos n α i + 2 ⋅ π ⋅ k n =0

n =0 N /2

N

)+ ∑ X n =0

sn i

(

sinn α i + 2 ⋅ π ⋅ k

N

)

Teniendo en cuenta lo expuesto en los párrafos anteriores sobre la contribución de cada sector a la energía de deformación total del sistema, nos da como resultado la siguiente expresión: N (1 + δ ) ⋅ X cn − i ⋅ X sn T [T ] ⋅ [K ]⋅ [T ]⋅ X cn + i ⋅ X sn siendo [T ] matriz diagonal compleja. cil 0n 4 Si aplicamos los mismos argumentos para la contribución a la energía cinética, tenemos que la expresión para la resolución del problema de autovalores quedaría de la forma:

{

}

{

}

([T ]⋅ [L] [K ]⋅ [L]⋅ [T ] − λ ⋅ [T ]⋅ [L] [M ]⋅ [L]⋅ [T ])⋅ {X T

T

cn

}

+ iX sn = 0

FO R

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donde [K ] Es la matriz de rigidez convencional del sector dato. [M ] Es la matriz de masa convencional del sector dato. [L] Es la matriz de transformación ortogonal a ejes cilíndricos. [T ] Es la matriz diagonal compleja de transformación a variables cíclicas. λ Es el autovalor cn sn X + iX Es el autovector complejo

{

}

Pa

Co

pia

Para el cálculo final, los autovectores resultantes se transforman de variables cíclicas a cartesianas, y los cálculos de tensiones y deformaciones se obtienen como en un cálculo convencional.




Es importante conocer para la realización de estos análisis de simetría cíclica los conceptos de diámetros nodales o anillos nodales. Un diámetro nodal, i, se define como la localización, θ, en coordenadas cilíndricas, que tienen un desplazamiento nulo en un movimiento vibratorio. Un anillo nodal, j, se define como la localización, r, que en coordenadas cilíndricas tiene desplazamiento nulo.

i=0; j=0

i=0; j=1

i=0; j=2

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i I=1; j=0

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i=2; j=1

i=1; j=2

En general, la respuesta en un modo normal, no tiene el mismo valor cuantitativo de sector a sector. Sin embargo, la respuesta puede expresarse como una serie de Fourier de N términos: N /2  2πjn  N / 2 sn  2πjn  R j = ∑ R cn cos n  + ∑ R sinn  para N par, y  N  n =0  N  n =0

∑

 2πjn  ( N −1) / 2 sn  2πjn  R cos n  + ∑ R sinn  para N impar.  N  n =0  N 

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

n =0

cn

FO R

Rj =

( N −1) / 2

En ambos casos hay exactamente N coeficientes Rcn y Rsn y las dos representaciones son equivalentes y aplican a cualquier respuesta posible. El límite por arriba de N/2 o (N-1)/2 es importante. Por ejemplo si una estructura de 40 sectores está vibrando con una forma de cos32θ, la variación de cada variable cilíndrica tendrá una apariencia de cos4θ.

Pa

Co

1

pia

1,5




0,5

cos4q

0

0 -0,5 0

1,8 0,36 0,54 0,72 0,9 1,08 1,26 1,44 1,62 1,8 1,98 0,18

-1 -1,5

Figura 5.4.2.1

cos 36q

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i

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Hay que hacer notar que realmente, si se busca describir la variación circunferencial en la amplitud a través del desplazamiento relativo con respecto a alguna referencia, no habrá posibilidad de resolverlo para diámetros nodales mayores d N/2 o (N-1)/2. Para un Bladed-Disk, la forma del desplazamiento del disco como cos(nθ) para n > N/2 , descrito en términos de desplazamientos del rim o del álabe en N puntos iguales alrededor del disco aparentará como si la forma modal correspondiera a cos(N-n)θ. Esto quiere decir que los diámetros nodales n y N-n no son distinguibles en un ensamblaje de N álabes. Este fenómeno tiene implicaciones para el número de ensamblajes de álabes, sobre todo los que tienen shroud, donde los diámetros nodales n en el disco y N-n en el shroud serán compatibles, ya que las dos partes están conectadas únicamente a través de un número N de álabes. 5.4.3.- Generación del Diagrama de Campbell.

FO R

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Para los casos de análisis de vibraciones de turbomaquinaria, es de gran interés la generación del diagrama de Campbell o "Spoke Diagram" o diagrama de interferencias, dónde de forma gráfica puede representarse el comportamiento dinámico del Rotor o Estátor y definir las potenciales resonancias que el sistema puede inducir en su funcionamiento. Así en el diagrama aparece en abscisas la velocidad de funcionamiento del rotor, y en ordenadas las frecuencias de las familias de modos de vibración. Para la generación del diagrama de Campbell se suele realizar el análisis modal a diferentes velocidades del rotor, ya que normalmente las familias de modos suelen estar representadas por una función parabólica de la forma:

f 2 = a 2 + (b ⋅ Ω ) Así, se suelen calcular las frecuencias a velocidad nula, máxima velocidad y una velocidad intermedia. La generación del diagrama considera por tanto, las frecuencias anteriores para los modos o familias de modos para cada uno de los índices de Fourier analizados. Se considera que el modo n en condiciones de funcionamiento corresponde al modo n en condiciones estáticas para un índice de Fourier determinado. Con esto vemos que las constantes a y b, se calcularán con las condiciones de contorno para condiciones estáticas o de funcionamiento. El diagrama busca las potenciales resonancias que pueden aparecer en el rango de funcionamiento, para lo que se dibujan las líneas que corresponden a los "engine orders", que no son otra cosa que los armónicos de la velocidad de giro del eje. Se representan por tanto por líneas rectas de la forma: Engine _ Order f = Engine _ speed (rpm) ⋅ 60




Pa

Co

pia

2

Con los datos del comportamiento dinámico y los "engine orders", se calculan las intersecciones para cada modo o familia de modos, para todos los índices de Fourier (diámetros nodales 2D, 3D,..) y su correspondiente línea de "engine order" (2D/2EO, 3D/3EO,….). Los puntos de intersección para todos los índices de Fourier especificados, se describen en forma de % sobre la velocidad y frecuencia, y dan lugar a lo que llamamos "Spoke Diagram" o "Diagrama de Interferencias". No se describirán aquí los criterios para el cálculo de vibraciones

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i

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Pa

Co

pia

FO R

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

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de álabes, estos aparecen en la ref. 25; solo se presenta un ejemplo de un diagrama de interferencia.

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6.- Análisis de Respuesta.

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

6.1- Definición del análisis de respuesta. A través de análisis modal se ha comprobado que cada estructura tiene unas frecuencias propias, que son aquellas en las que la energía cinética y elástica de la estructura están en contrafase y con el mismo módulo, o lo que es lo mismo, que la energía elástica se convierta en cinética, o viceversa en la misma cuantía para un ciclo.

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Un ejemplo de movimiento oscilatorio más cotidiano es un péndulo donde la energía potencial se convierte en cinética y viceversa y además lo hace con un determinado periodo g ω= = 2 ⋅ π ⋅ f (Hz ) . En el caso de las vibraciones la energía cinética se convierte en elástica y L la frecuencia resultante será aquella que iguale las energías elástica y cinética por ciclo. La k = 2 ⋅ π ⋅ f (Hz ) frecuencia para un sistema de un grado de libertad es ω = m

FO R

¿Qué ocurre si aplicamos una fuerza armónica en una estructura? No sucede nada salvo en las cercanías de las frecuencias de resonancia la amplitud que esperaríamos de forma estática se multiplica. Al factor que relaciona la respuesta estática con la dinámica se le denomina Q "Factor de amplificación dinámica " este factor depende del tipo de estructura pero un numero muy común es 50. Si un elemento entra en resonancia las amplitudes son grandes y los ciclos se consumen rápidamente, es decir, el fallo se producirá en breve.

Pa

Co

pia

Cambiamos nuestro péndulo por un columpio con un niño, que aunque no constituye un problema de vibraciones, puede ser muy descriptivo para definir conceptos. Todos sabemos de forma intuitiva que si queremos que la amplitud del columpio crezca debemos empujar el columpio con la misma frecuencia con la que el columpio se mueve, si no es así estamos parándolo. Respecto al punto de aplicación de la fuerza es importante empujar al niño, las fuerzas deben de actuar en las zonas de máxima energía cinética, es decir, máximo desplazamiento no hacemos nada si empujamos los soportes de columpio.




Para excitar un modo las fuerzas armónicas actuantes los deben de hacer en las zonas de máximo desplazamiento de los modos y en fase con el mismo. Hay un factor para medir la eficacia de una determinada fuerza para excitar un modo. Se denomina " coordenada generalizada de la fuerza para el modo" y se calcula a partir del producto escalar entre el vector de fuerza y el del modo en cuestión. Si los dos vectores son paralelos obtenemos el valor es máximo y por los tanto la máxima respuesta. En resumen podemos sacar de conclusión: 1º Hay unas características propias de cada estructura, sus modos y frecuencias naturales, que hacen que esta estructura sometida a fuerzas armónica a estas frecuencias y actuando en las

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i

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mima dirección que el modo se produce desplazamiento importante. En torno a 50 veces lo que cabe esperar de una respuesta estática. 2º El desplazamiento produce grandes tensiones y al realizarse gran cantidad de ciclos por segundo el daño el daño causado en la estructura produce rotura muy rápida.

6.2.1- Ecuación del movimiento.

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

6.2- Respuesta Forzada en un sistema de 1gdl.

Las vibraciones forzadas están gobernadas por la ecuación diferencial: M ⋅ &x&(t ) + c ⋅ x& (t ) + K ⋅ x(t ) = f (t ) x0

c

x m

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

k

f(t)

Co

pia

FO R

La solución se obtendrá sumando a la solución general de la ecuación homogénea x(t)=Xe-ξωtcos(ωDt-θ)) una solución particular de la ecuación completa. Parte de la solución es transitoria y representa el cambio brusco del sistema de estar sin excitación a estar excitado, es una solución transitoria. La otra parte de la solución es estacionaria y es la que nos interesa en general representa el comportamiento bajo una fuerza excitadora, como se ve la respuesta es armónica.

Respuesta estacionaria




transitoria

Pa

Respuesta Excitación en los apoyos

Figura 6.2.1.1 – Solución completa

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6.3- Transformada de Fourier.

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

Sabemos obtener la respuesta de la estructura para una excitación senoidal a una determinado frecuencia, pero en muchos casos las cargas dependen del tiempo. La transformada de Fourier nos permite convertir cualquier carga en el dominio del tiempo a la frecuencia, y la trasformada de Fourier inversa lo hará al revés de la frecuencia al tiempo: 1º En un primer paso se obtiene la transformada de Fourier de la solicitación en el tiempo que tenemos, de esta forma tenemos nuestra excitación en el campo de la frecuencia. 2º Obtenemos la respuesta para cada frecuencia. 3º Realizando la transformada de Fourier inversa obtenemos de nuevo el resultado en el dominio del tiempo. Estas simplificaciones se pueden realizar porque el sistema es lineal y la suma de los efectos de dos fuerzas, es igual al efecto de la suma de fuerzas. 6.4- Excitación en la base.

1

(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2

2

FO R

f0 ⋅ k

Φ = arctg

2ξβ 1− β 2




Pa

Co

pia

x=

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Las soluciones de la ecuación anterior nos dan un resultado diferentes dependiendo del amortiguamiento de al estructura en la gráfica siguiente se aprecia el factor de amplificación dinámica en función de la frecuencias de excitación. El resultado de la ecuación para una excitación armonica se presenta en la siguiente ecuación, donde f0 es el modulo de la fuerza excitadora, k es la rigidez del sistema, β es la razón de la frecuencia de resonancia y la frecuencia excitadora, ξ es le amortiguamiento relativo.

Figura 6.3.1.1 – respuesta de la estructura y desfase de la respuesta

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Hemos supuesto excitación armónica y como era lógica los máximos se producen cuando la frecuencia excitadora coincide con la natural de la estructura, y la amplitud máxima obtenida depende del amortiguamiento del sistema. También se aprecia en la resonancia se produce un cambio de fase entre la excitación y el movimiento de la estructura.

FO R

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En ocasiones, las vibraciones de un sistema mecánico no vienen generadas por la aplicación externa de unas cargas exteriores que sean función conocida del tiempo, sino por unos movimientos conocidos (al menos hasta cierto punto) del soporte o base sobre la que se encuentra el sistema. Los terremotos y la transmisión de vibraciones de una estructura a otra o a una máquina, son ejemplos significativos de este tipo de solicitaciones. En la Figura 6.3.1.2, se representa el sistema discreto básico de 1 gdl correspondiente a esta situación.

Figura 6.3.1.2

Si se establece el equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la masa m:

Co

pia

m ⋅ &x&(t ) + c ⋅ [x& (t ) − x& i (t )] + k ⋅ [x(t ) − xi (t )] = f (t )

Pa

Restando a ambos miembros Mx'' y teniendo en cuenta la ecuación diferencial que gobierna las vibraciones forzadas de sistemas de un grado de libertad:




m ⋅ &x&(t ) + c ⋅ x& (t ) + k ⋅ x (t ) = f (t ) − m ⋅ &x&i (t )

Ecuación análoga a la del sistema discreto básico, pero aplicada al movimiento relativo sistemasoporte. Para este tipo de problemas se establece el parámetro de "transmisibilidad" que relaciona los desplazamientos en la basa con los desplazamientos del elemento. Transmisibilidad desplazamiento estructura / desplazamiento en la base La transmisibilidad esta relacionada con el factor de amplificación dinámica: Tr = D 1 + (2ζβ )

2

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También se define el factor de participación modal (que se han comentado con anterioridad en el apartado de Análisis Modal.) que nos dice lo sensible que es un modo a una excitación en la base en los ejes cartesianos.

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6.5- Aplicación a componentes.

FO R

6.6- Método de Cálculo.

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

El análisis de respuesta afecta a componentes que vean fuerzas variables en su funcionamiento, y sea conocida la naturaleza de las fuerzas. En turbomaquinaria todos los elementos que están en el flow path son susceptibles, alabes, NGV's, etc.…ya que ven presiones variables con el tiempo para los diferentes EO. El unbalance del eje puede inducir también fuerzas excitadoras. Las tuberías y demás elementos que están sobre las carcasas del motor están sometidas a unas excitaciones provenientes de los de la propia carcasa a través de los brackets. En general estos compones se diseñaba para evitar que las frecuencias de resonancia no coincidan con las frecuencias de excitación, por ejemplo en el caso de alabes se evitan que las frecuencias naturales corten los EO considerados peligrosos en el rango de funcionamiento. En estos casos con un análisis modal es suficiente para el diseño del componente. Solamente en algunos casos concretos se tiene en cuenta que se va a convivir con la resonancia para estos es para los que se necesita realizar un análisis de respuesta forzada.

6.6.1- Consideraciones Generales. En general se utilizan programas de elementos finitos. Que resuelven la ecuación:

([K ]

s

− ω 2 [M ]s + iw[C ]s ){q} = { f ( w)}

Co

pia

Se tiene dos formas de resolver la ecuación:

Pa

1ª Una directa en la que para cada frecuencia se obtiene el vector de desplazamientos obtiene la inversa de la matriz.




{q} = ([K ]s − ω 2 [M ]s + iw[C ]s )−1 { f ( w)} 2ª A partir de análisis modal. Se calculan los modos y frecuencias naturales. Posteriormente se obtienen el factor de participación modal de la fuerza para cada modo y se resuelven el mismo sistema que el anterior salvo que en este caso todas las matrices son diagonales y por los tanto ese cálculo es más rápido y sencillo. Este proceso tiene una interpretación física: en un primer paso se obtiene la vector fuerza en otras coordenadas que son las de los modos y el resto de matrices sé diagonalizan por un cambio de coordenadas poniendo de manifiesto que cada modo funciona de forma independiente y sus efectos se superponen.

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Fuerza aerodinámica aplicada

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Dos modos excitados

Barrido de frecuencia

6.6.2- No Linealidades.

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Fig. 6.6.1.1. Función de respuesta en frecuencia obtenida en SC03 para dos modos




Pa

Co

pia

FO R

En general cuando queremos reducir la amplitud de la respuesta dinámica, se introducen elementos externos "dampers" que para cada ciclo de vibración disipan energía. El comportamiento de estos elementos en general es no lineal porque tiene que realizar un ciclo de histéresis que disipe energía. Por ejemplo en la figura 6.6.2.2 aparece la curva de comportamiento de un amortiguados de fricción que corresponde a elemento de fricción utilizados en alabes de turbina. Su comportamiento es no lineal: Cuando la fuerza sobre el elemento supera un determinado valor el elemento se desplaza. Como se aprecia en la figura por cada ciclo se produce un ciclo de histéresis, disipando energía por fricción.

Fig. 6.6.2.1. Amortiguadores de fricción para alabes Underpaltform damper y Tipdamper.

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F

10

F

8

Frozam = µ .N

6 4 2 -0,1

0,1

0,15

r

-6 -8

δ

F

4

6

t

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2

0,05

-4

Kdamper

0

0 -0,05 -2 0

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY -0,15

-10

FO R

Fig.6.6.2.2. Comportamiento no lineal de la fricción. Ciclo de histéresis fuerza desplazamiento, y fuerza en el tiempo Otra no-linealidad que en algunos casos se debe tener en cuenta son las holguras, choques, o elementos en contacto que durante un mismo ciclo están en contacto y dejan de estarlo.

F(x)




Pa

h

Co

pia

k x

Fig.6.6.2.3 Comportamiento del elemento gas. Estas no linealidades no se pueden resolver en el dominio de la frecuencia. Se debe resolver la ecuación de la respuesta forzada en el dominio del tiempo. Esto requiere condensar el modelo dinámico y mucho más tiempo de computación. En la actualidad se están desarrollando métodos para convertir estas no linealidades en fuerzas armónicas, se trata de los métodos del balance multiarmónico. Para más información sobre este tipo de análisis consultar el curso de respuesta forzada: http://10.5.0.8/cme/modules.php?name=Nuke_Web&page=/Imagenes_ppal/Training/Vibraciones _respuesta_forzada.htm.

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. 6.7- Mistuning.

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6.7.1- Consideraciones Generales.




Pa

Co

pia

FO R

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No existen dos componentes totalmente iguales, siempre se producen pequeñas variaciones en masa, rigidez, resistencia etc. Estas variaciones se controlan de forma estadística, y dependen directamente de las tolerancias de fabricación. Existen casos como el de los alabes de turbina, en que las diferencias de peso entre los diferentes alabes que se montan en un mismo disco, nos obliga a colocar los alabes para que el cdg del conjunto esté lo más cercano posible al eje de rotación. En otros casos como el de las propiedades de fatiga, tensión ultima, de los materiales, la dispersión de los datos se resuelve utilizando propiedades mínimas que se consideraran adecuadas para un determinado riesgo. Mistuning literalmente significa perdida de tono y es otro fenómeno relacionado con las variaciones de: Masa, frecuencia natural, de forma modal, throat área, "stagger angle" (ángulo de ataque) de los alabes montados en un disco. Cada alabe dentro del mismo disco tendrá frecuencias naturales distintas pero muy cercanas. Sus efectos son: 1º Los dos modos que se obtiene para cada diámetro nodal se convierten en tantos modos como numero de alabes hay en le disco, y todos ellos con frecuencias muy cercanas. 2º Los diámetros nodales pueden llegar a confundirse si las frecuencias son cercanas. 3º Todos los alabes no van a tener la misma tensión dinámica. 4º La tensión máxima de la estructura para una misma fuerza excitadora exterior es superior (En un 150%) al caso con todos los alabes iguales o caso tuneado. 5º El flameo o probabilidad de flameo se reduce porque los modos resultantes en general evitan que se muevan en fase los alabes vecinos.

Fig.6.7.1.1 FRF para los diferentes alabes de un rotor caso tuneado y "mistuneado". 6.7.2- Aplicación a Componentes. A cualquier componente cíclico Pero en el que realmente tiene interés es en los alabes de rotor de turbina ya que en muchos casos están dimensionados a fatiga de alto ciclos. De ahora en adelante cuando nos referimos a mistuning nos referirá a alabes de rotor.

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6.7.3- Método de Cálculo. Podemos decir que hay diferentes tipos de aproximaciones: 1- Suponer un factor constante debido al mistuning. Es lo que se hace habitualmente. Se analizan los alabes para tener un "Endurance Ratio" del 50% En este margen se introducen todo tipo de incertidumbres, las variaciones de un motor a otro respecto a la fuerza excitadora, mistuning, error en las mediciones de SG´s etc. 2- Uso de sistemas de 1 gdl. Se trata de sistema de pocos grados de libertad que representan un rotor completo en general se tratan de anillos con masas y muelles. Se ha comprobado que no corresponden con la realidad, aunque han servido para explicar el fenómeno.

Amax =

1 2

(

)

N +1

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Fig. 6.7.3.1. Sistema de masas y muelles. Con el factor de mistuning que se le asocia.

FO R

3- Uso de un código basado en sensibilidades. A través de programas de respuesta forzada y que utilizan la identidad de Sherman, Morrison, y Woodbury XXXX ref. Mediante la cual se obtiene la variación de la respuesta de un sistema mecánico a partir de las pequeñas perturbaciones de la masa y rigidez de la estructura. Estos programas resuelven la ecuación:

([K ]

s

)

− ω 2 [M ]s + i[D ]s {q} = { f } ⇔ Z 0 (ω ){q} = { f }

Co

pia

{q} = [Z 0 (ω ) + ∆Z (ω )]−1 { f }




Pa

∆Z (w) representa la variación de las matrices de masa, rigidez, y amortiguamiento con el mistuning. La identidad de Sherman evita realizar una inversa para evaluar el efecto del mistuning, por lo tanto un gran ahorro de tiempo de calculo.

Fig.6.7.3.2. Modo de flameo para el diámetro nodal 2. Teniendo en cuenta el mistuning la onda ya no es perfecta.

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6.7.4- Situación actual y futuros desarrollos.

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A día de hoy en la mayoría de las compañías el mistuning es tenido en cuenta pero esta incluido en ese gran saco de incertidumbres del análisis dinámico. Es conocimiento del fenómeno nos permitirá reducir este conservadurismo. Como regla general podemos decir: El aumento del mistuning reduce o elimina el flutter. (Trent 800 LPT1) El factor de mistuning (factor a multiplicar la tensión tuneado obtenida para tener la peor de mistuning) habitual en los componentes con los que tratamos en ITP es en torno al 2.5. Sobre la colocación de la instrumentación en los motores de desarrollo. Se debe colocar la instrumentación en aquellos alabes donde su frecuencia natural coincida con la del caso tuneado, porque su respuesta dinámica es la mayor del conjunto.




Pa

Co

pia

FO R

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Se está buscando, con los desarrollos actuales, el poder aprovechar esta propiedad a nuestro favor: diferentes ordenaciones de alabes, cuantificación del efecto del mistuning en el flutter, desarrollo de software validado para cálculo de tensiones alternantes máximas.

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7- VIBRACIONES ALEATORIAS.

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7.1- Descripción del Problema. Si la excitación dinámica que recibe un sistema estructural es impredecible o no determinista, se denomina excitación aleatoria. Ejemplos de excitación aleatoria son la fuerza del viento, el movimiento en la base de edificios provocado por terremotos y, en nuestro campo, las ráfagas (“gusts”) de aeronaves en vuelo, las vibraciones producidas por las fluctuaciones de los gases de escape de motores. Por su propia naturaleza, el tratamiento de este tipo de excitación aleatoria es estadístico y, por tanto, se introducirán conceptos de base estadística intentando reducir a un mínimo consistente su tratamiento matemático. En las restantes secciones se detallan los conceptos básicos necesarios para realizar un análisis de respuesta bajo cargas aleatorias de una estructura y la posterior verificación de su resistencia estática, a fatiga y a propagación de grietas, si aplica.

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7.2- Definición de la excitación aleatoria: densidad espectral.

FO R

La definición mas habitual de una excitación aleatoria se realiza a través de su densidad espectral (“power spectral density” (PSD)). La densidad espectral presenta el contenido en frecuencia de dicha excitación aleatoria.

Sx (f ) =

1 ∞ − i 2 πfτ ( ) R τ ⋅ e ⋅ dτ x ∫ 2π − ∞

Pa

Co

pia

Dada una excitación x(t), función del tiempo, de media nula (m=E[x]=0), que tiene carácter aleatorio, la densidad espectral Sx(f), función de la frecuencia, se calcula mediante la transformada de Fourier de su función de auto correlación Rx(τ) según Ref. (13):




estando la función de auto correlación Rx (τ) calculada como el valor medio del producto de x (t) ·x (t+τ): ∞

R x (τ ) = E[x (t ) ⋅ x (t + τ )] = ∫− ∞ x (t ) ⋅ x (t + τ) ⋅ p [x (t )] ⋅ dt

siendo p [x (t)] la función de densidad de probabilidad de la variable x. Una propiedad fundamental de la densidad espectral, es que el área A encerrada bajo su curva corresponde el valor cuadrático medio E [x2] de la variable x:

[ ]

∞

A = E x 2 = ∫0 Sx (f ) ⋅ df

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Como el valor cuadrático medio es la suma de la varianza y de la media al cuadrado: E [x2]= σ2+m2, siendo el valor de m=0, la raíz cuadrada del área A corresponde a la desviación típica σ de la variable x:

[ ]

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σ = A = E x 2 = x rms

A la raíz cuadrada del valor cuadrático medio xrms se le denomina valor RMS (“Root Mean Square”) de la variable x. Como la variable x tiene media nula (m=0), el valor de RMS coincide con la desviación típica σ. Sx(f)

σ = RMS = A

f

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A

FO R

Figura 7.21.1: Ejemplo de densidad espectral, valor RMS y desviación típica de una variable aleatoria de valor medio nulo. La definición más habitual de la densidad espectral (PSD) de una excitación aleatoria es la aceleración forzada en la base o apoyo de la estructura. Las unidades mas habituales de la PSD de esta aceleración es [g2/Hz], siendo g el valor de la aceleración de la gravedad. De esta manera y, como cabría esperar, las unidades de RMS o de la desviación típica σ son [g].

Pa

Co

pia

La forma típica de definición práctica de la densidad espectral de una excitación aleatoria viene representada en la siguiente figura en un diagrama doble-logarítmico: log PSD




p0

B [dB/oct]

A [dB/oct]

fi

f0

f

1 Figura 7.1.2

ff

log f

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En esta figura, la pendiente se especifica en decibelios/octava [dB/oct]. Si A es el valor de la pendiente en [dB/oct], la pendiente en el diagrama doble logarítmico tiene valor:

A 10 ⋅ log 2

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De esta manera, el tramo ascendente de pendiente A tiene la ecuación: A 10⋅log 2

f p = p 0    f0 

fi < f < f 0

siendo p el valor de la PSD en [g2/Hz] y f el valor de la frecuencia. De manera similar, el tramo descendente de pendiente B (negativa) tiene la ecuación: B 10⋅log 2

f p = p 0    f1  siendo B un valor negativo.

f1 < f < f f

FO R

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Para un ejemplo concreto, la apariencia de este diagrama en escalas logarítmicas y en escalas normales es la recogida en los siguientes gráficos:

Densidad espectral p0=100; fi=10; f0=50; f1=100; ff=200; A=4; B=-6

pia

Pa

Co 10




PSD [g2/Hz]

100

10

100 frecuencia [Hz]

Figura 7.2.3

1000

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Densidad espectral p0=100; fi=10; f0=50; f1=100; ff=200; A=4; B=-6 120

80 60 40 20 0 0

50

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PSD [g2/Hz]

100

100

150

200

frecuencia [Hz]

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Figura 7.2.4 Densidad espectral de frecuencia de la respuesta dinámica de un sistema estructural

FO R

Sea un sistema estructural sometido a una excitación aleatoria “x” de carácter vibratorio de media nula. La respuesta en frecuencia “y” del sistema esta relacionada con la excitación “x” mediante la expresión:

y(f ) = FRF(f ) ⋅ x (f )

siendo FRF (f) la Función de Respuesta en Frecuencia de la variable y.

2

S y (f ) = FRF(f ) ⋅ Sx (f )

Pa

Co

pia

Si la densidad espectral de la excitación es Sx (f), la densidad espectral Sy (f) de la respuesta “y” se obtiene con la ecuación:




Como ya es sabido, el valor RMS de la respuesta “y”, que coincide con su desviación típica σy (su media es nula), se obtiene calculando la raíz cuadrada del área encerrada bajo la curva de su densidad espectral.

y rms = σ y =

∞

∫0

S y (f ) ⋅ df

La forma típica de la curva de la densidad espectral Sy (f) de una respuesta de un sistema estructural es la representada en la siguiente figura 7.1.5.

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Sy(f)

Figura 7.2.5

f

Co

pia

a

FO R

y

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Este tipo de densidad espectral se denomina de “banda estrecha”, ya que el espectro de la respuesta está limitado al entorno de las frecuencias de resonancia del sistema estructural. En el siguiente gráfico se muestra la evolución temporal de la respuesta “y” de un sistema estructural sometido a una excitación aleatoria. La magnitud de los picos (“a”) de dicha respuesta es también una variable aleatoria.

t

Figura 7.2.6




Pa

Para este tipo de variables de banda estrecha, la distribución de “magnitud de pico” sigue la distribución de Rayleigh (Ref. 13), cuya función de densidad de probabilidad es:

p y (a ) =

a σ 2y

⋅e

−a 2 2σ 2y

y su función de distribución es:

Fy (a ) = 1 − e

−a 2 2σ 2y

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1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

p(a)

F(a)

0

1

Funcion de distribucion: F(a)

0.00650 0.00585 0.00520 0.00455 0.00390 0.00325 0.00260 0.00195 0.00130 0.00065 0.00000

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Densidad de probabilidad: p(a)

Distribucion de Rayleigh

2

3

4

a/σ y

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Figura 7.2.7

FO R

De esta manera, conocido el valor RMS de una respuesta “y” (yrms = σy), la distribución de picos está determinada por la distribución de Rayleigh. Otro parámetro fundamental que hay que conocer para la realización de los análisis posteriores es la frecuencia media de cruces positivos con un nivel de pico “a” que denominaremos νa+, y, en particular, la frecuencia de cruces positivos con el nivel 0 (ν  0+), o frecuencia media estadística del proceso.

a




Pa

Co

pia

y

Figura 7.2.8 Cruces positivos con nivel 0

t

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El cálculo de la frecuencia de cruces positivos con el nivel 0 (ν0+) ó frecuencia media estadística de la respuesta se obtiene con la expresión (ref. 13):

ν0+ =

σ y′

2πσ y

estructural.

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siendo σ y′ la desviación típica de la derivada temporal de la respuesta “y” del sistema

La densidad espectral de la derivada de la respuesta “y” se obtiene con la ecuación:

S y′ (f ) = (2πf )2 ⋅ S y (f )

entonces la frecuencia media estadística de la respuesta se obtiene:

+

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ν0 =

∞ 2 ∫0 (2πf ) Sy (f ) ⋅ df ∞ 2π ∫0 S y (f ) ⋅ df

7.3- Ejemplo para un Sistema con 1 gdl.

=

y′rms 2πy rms

FO R

Sea el sistema de un grado de libertad representado en la figura, en el que se introduce una aceleración en la base de densidad espectral S0, constante en la frecuencia. Se quiere obtener el valor RMS y ν0+ de la aceleración de la masa m. c

x m

k

Pa

Figura 7.3.1

Co

pia

x0




La frecuencia de resonancia f0 se calcula con la expresión:

f0 =

1 k 2π m

ξ=

c 4πmf 0

y el amortiguamiento relativo ξ:

El factor de amplificación dinámica se obtiene: Q=1/(2ξ) La aceleración de la masa m y la del soporte están relacionadas por la función de transmisibilidad T (f):

x′′(f ) = T(f ) ⋅ x ′0′ (f )

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Por tanto la densidad espectral de la aceleración de la masa m se obtiene:

Sx ′′ (f ) = T(f ) ⋅ S0 2

(1 − β ) + 4ξ β 2 2

2 2

β= f

f0

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

siendo T (f ) =

1 + 4ξ 2β 2

2

Particularizando para los valores k 13000 N/mm c 0.06π N*s/mm m 0.015 Mg S0 3 g2/Hz resulta que 148.165 Hz f0 ξ 0.015 Q 33.333

FO R

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

La densidad espectral Sx ′′ (f ) de la aceleración de la masa m calculada con los valores descritos esta representada en la siguiente grafica:

Pa

Co

pia

4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 100




2

[g /Hz]

Densidad espectral

Densidad espectral de la aceleracion de la masa m

110

120 130

140

150

160

170 180

190

200

Frecuencia [Hz]

El valor de RMS de esta aceleración se calcula obteniendo la raíz cuadrada del área encerrada bajo la curva de la densidad espectral y resulta

′ = 152.60 g x ′rms

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i

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Un cálculo aproximado del área encerrada bajo la curva puede obtenerse multiplicando el valor máximo o pico de la densidad espectral por la anchura de banda cuadrática media (πξf0):

π S0 ⋅ Q ⋅ f 0 =152.56 g 2

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

′ ≈ Sx ′′ (f 0 ) ⋅ πξf 0 = x ′rms

La frecuencia media estadística de la aceleración de la masa “m” se obtiene:

+

ν0 =

∞ 0

2 ∫ (2πf ) Sy (f ) ⋅ df ∞ 2π ∫0 S y (f ) ⋅ df

y resulta 147.5 Hz.

Realizando la misma aproximación anterior para el cálculo del área encerrada bajo la curva de la derivada de la aceleración se obtiene que:

ν 0 + ≈ f 0 = 148.2 Hz

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

7.4- Ejemplo de viga: modelo de n grados de libertad.

FO R

Sea una viga en voladizo con un extremo empotrado y el otro libre. Se le va a someter a una aceleración en la base de densidad espectral Say= 3 g2/Hz constante en el intervalo de frecuencia [10-1000 Hz]. Se pretende calcular los valores RMS y ν  0+ de la aceleración en el extremo libre y del momento de reacción en el encastre. 12 mm

12 mm

Sección trasversal

Pa

Co

L=500 mm

pia

ay

E= 200000 MPa µ=0.3 ρ=7.8e-9 Mg/mm3




Este ejemplo ha sido resuelto mediante el siguiente modelo de elementos finitos (10 elementos viga/ 11 nudos) con MSC.Nastran:

M

x´´

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i

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Los resultados obtenidos con MSC.Nastran son: ν0+ [Hz]

RMS Momento en el encastre 121280.096 N*mm (M) Aceleración en el 313.846 g extremo libre (x´´)

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

80.714 431.817

Pueden obtenerse estos resultados de manera aproximada con los resultados derivados de un análisis modal mediante las siguientes expresiones: Densidad espectral de un resultado V para la frecuencia de resonancia del modo i: 2

 Qi ⋅ Vi ⋅ Lij  S v (f i ) ≈  ⋅ Saj (f i ) 2  mi ⋅ (2πf i )  fi Qi

Frecuencia de resonancia del modo i

factor de amplificación dinámica del modo i.

Lij

Gi ξi

amortiguamiento estructural amortiguamiento critico

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Qi =1/Gi=1/(2ξi)

factor de participación modal del modo i cuando la excitación en la base

FO R

en donde:

tiene la dirección j.

Saj (fi)

densidad espectral de la aceleración en la base de dirección j para la

frecuencia de resonancia del modo i. masa generalizada del modo i.

pia

mi

Pa

Co

Valor RMS del resultado V:

Vrms ≈

πf

n

∑ Sv (fi ) 2Qi

i =1

i




siendo n el numero de modos en la banda de frecuencia de la excitación. Valor RMS de la derivada temporal V´ del resultado V:

′ ≈ Vrms

πf

n

∑ (2πf i )2 ⋅ Sv (fi ) 2Qi

i =1

Frecuencia media estadística del resultado V:

ν0+ =

i

′ Vrms 2πVrms

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i

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Estas aproximaciones son validas cuando no se acoplan los modos, es decir, cuando las frecuencias de resonancia están separadas y no se solapan las anchuras de banda cuadrática medias de las diferentes frecuencias. Del análisis modal se obtiene los siguientes datos: Mode number [Hz] [Mg*mm] [Mg*mm2] adimensional [(mm/s2)2/Hz]

1

2

3

241.633 -1.029892E-02 1 50 288120000

667.568 6.037937E-03 1 50 288120000

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

fi Lij mi Qi Saj(fi)

39.071 1.852212E-02 1 50 288120000

Y los valores modales de los resultados requeridos:

Mi x ′i′

[N*mm]

-4.071324E+05

2.497965E+06

-6.843698E+06

[mm/s2]

5.07E+06

1.89E+08

1.38E+09

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Con las expresiones anteriores se obtienen una buena aproximación a los resultados buscados: MSC.Nastran 121280.096 80.714

Aproximación Error [%] 120862.922 -0.344 81.923 1.497

FO R

Momento en el encastre (M) RMS [N*mm] ν0+ [Hz]

Error [%] -0.169 -0.517

pia

Aceleración en el extremo libre (x´´) MSC.Nastran aprox. RMS [g] 313.846 313.317 + 431.817 429.583 ν0 [Hz]

Co

7.5- Análisis de resistencia estática bajo vibraciones aleatorias

Pa

En la práctica habitual, se utiliza el siguiente criterio:




RF =

min σ0.2

3 ⋅ σ VonMises rms

≥1

La probabilidad de que la tensión de Von Mises sea superior a 3 ⋅ σ rms

VonMises

e

− (3σ rms ) 2σ 2rms

2

=e

−9

2

= 0.0111

es:

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i

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7.6- Análisis de vida bajo vibraciones aleatorias. 7.6.2- Análisis de fatiga.

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

Siguiendo la ley de Miner de acumulación lineal de daño, el daño D por fatiga generado por una tensión aleatoria se obtiene con la expresión: ∞ p(σ) ⋅ dσ N (σ)

D = ν o+ ⋅ T ⋅ ∫0 siendo:

ν o+

Frecuencia de cruces positivos con el nivel 0 ó frecuencia media estadística de la tensión. Duración total de la excitación aleatoria Función de densidad de probabilidad de Rayleigh

T p ( σ)

p ( σ) =

σ

σ 2rms

⋅ e−σ

2

/ 2σ 2rms

FO R

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siendo σrms el valor RMS de la tensión. N(σ) Numero de ciclos admisible para R=-1 (vibración de media nula) La integral para obtener el daño, normalmente, se resuelve mediante integración numérica, y en la práctica, el valor del límite superior de la integral se suele acotar al valor 8σrms en vez de infinito. 7.6.2- Análisis de propagación de grietas bajo vibraciones aleatorias.




Pa

Co

pia

En aquellos casos en los que el orden de los picos de tensión no tenga un efecto en la propagación de grietas (p.e. no se tienen en cuenta efectos de retardo) es posible obtener un valor de pico de tensión constante equivalente (σeq) de ν0+T ciclos que causa la misma propagación que una tensión aleatoria (σrms,ν0+) de duración T. Considerando que la ley de propagación es la ley de Paris modificada por Walker:

  da ∆K  = C ⋅  1− m  dN ( 1 − R )  

n

Conociendo que: R=-1

∆K = 2σ ⋅ f (a )

Numero de ciclos de pico de tensión σ: dN = ν 0 ⋅ T ⋅ p(σ ) ⋅ dσ +

De estas expresiones se deduce que el valor de tensión pico equivalente (σeq) de ν0+T ciclos es:

σeq

∞ =  ∫0 σ n p(σ )dσ  

1

n

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Esta expresión sólo es valida para la ley de propagación de Paris y su modificada por Walker. En el caso en el que el orden de las tensiones pico tengan efecto en la propagación, es necesario generar un espectro muestra de picos de tensión que siga la distribución de Rayleigh. Como en la mayoría de las aplicaciones existen generadores de números aleatorios entre 0 y 1 con una función de densidad constante, para obtener este espectro muestra de picos de tensión, se utiliza la función de distribución de Rayleigh de la siguiente manera:

0

1

FO R

1.0 0.9 0.8 0.7 x 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

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Densidad de probabilidad: p(σ )

Distribucion de Rayleigh

2

3

4

σ/σ rm s

Figura 7.4.1.1

Pa

Co

pia

Si x es un número aleatorio entre 0 y 1 con densidad constante, el valor σ que seguiría la distribución de Rayleigh se obtendría de igualar a x el valor de la función de distribución de Rayleigh para el valor σ.

⇒ σ = σ rms − 2 ⋅ ln(1 − x )




x =1− e

−σ2 2σ 2rms

7.5.3- Ejemplo de aplicación. Sea una grieta central en una placa infinita de tamaño 2a=2 mm sometida a una tensión aleatoria R=-1, con picos de tensión de valor RMS 180 MPa y ν0+=100Hz durante 100 segundos. Las constantes de Paris son C=1e-9 y n=3.1, estando ∆K en [MPa*m1/2] y a en mm. El coeficiente de Walker es 0.5. Se pretende obtener el tamaño final de la grieta de dos maneras: a. Obteniendo el pico de tensión equivalente.

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b. Mediante generación aleatoria de muestras de espectros. a. La tensión equivalente se obtiene con la siguiente expresión mediante integración numérica 1

n

= 399.2 MPa

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σeq

∞ =  ∫0 σ n p(σ )dσ  

El tamaño final de la grieta se obtiene integrando la expresión:

  ∆K da  = C ⋅  1− m  dN  (1 − R )  que siendo ∆K = 2σ eq ⋅ πa , resulta:

2  2−n

  C(1 − n 2 )  2σeq   ⋅ N ⋅ a =  a1i− n 2 + ⋅ π    1000 n 2  (1 − R )1− m    siendo N=ν0+·T

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n

n

=10.176 mm

b. Se generan 100 muestras de N valores de pico de tensión σ mediante la expresión:

FO R

σ = σ rms − 2 ⋅ ln (1 − x )

siendo x valores aleatorios entre 0 y 1 con densidad constante. El valor del tamaño de la grieta después de aplicar un ciclo de tensión R=-1 de pico σ se obtiene: 2 n  2−n

Co

pia

   C(1 − n 2 )  2σ   ⋅ ⋅ π a i +1 =  a1i− n 2 +    1000 n 2  (1 − R )1− m   




Pa

Partiendo del valor a0=1 mm se obtiene al valor del tamaño final de la grieta aN para cada muestra. El valor medio del tamaño final de la grieta para las 100 muestras resulta: a=10.184 mm. que es aproximadamente el valor obtenido en el apartado a).

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8- AMORTIGUAMIENTO. 8.1- Consideraciones Generales sobre Amortiguamiento.

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

El amortiguamiento es algo inherente a todas las estructuras. Es el agente encargado de que una estructura en resonancia no tenga un desplazamiento infinito. En muchos casos con el amortiguamiento que aporta la propia estructura no es suficiente y se deben utilizar elementos auxiliares para reducir la respuesta de la estructura en la resonancia. Se mide con el parámetro de amplificación dinámica Q, que es el factor que relaciona la respuesta estática de la estructura con la respuesta dinámica en las condiciones de resonancia. Un valor de amortiguamiento generalmente utilizado es Q=50. Otro parámetro que se suele utilizar el amortiguamiento relativo modal ξ, que suele ser un valor característico para cada modo de la estructura. Ambos parámetros están relacionados con la ecuación: Q=1/2ξ, y se deben obtener de forma experimental.

8.2- Tipos de Amortiguamiento. 8.2.1- Sistemas mecánicos.

FO R

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La modelización en las herramientas de predicción es importante; hay muchos parámetros de amortiguamiento pero el más común y sencillo de utilizar es el amortiguamiento relativo modal ξ.

Si necesitamos reducir la amplitud de la respuesta de nuestro componte en las condiciones de resonancia debemos introducir elementos adicionales para proporcionarlo. A continuación se describen diferentes posibilidades que se utilizan en la práctica.




Pa

Co

pia

1- Dampers de fricción: Son generalmente utilizados en alabes de turbina. Su forma de funcionamiento es producir un ciclo de histéresis con las fuerzas de rozamiento entre los elementos. La fuerza normal entre los elementos debe ser controlada para que en condiciones de funcionamiento se produzca el deslizamiento. Para más información ver el apartado de respuesta forzada no lineal y el curso de respuesta forzada del CDC de Tecnología Mecánica. http://10.5.0.8/cme/modules.php?name=Nuke_Web&page=/Imagenes_ppal/Training/Vibracio nes_respuesta_forzada.htm. 2- Elastómeros: Se utilizan en el soporte de diferentes elementos; por su composición no se pueden utilizar a alta temperatura. Su funcionamiento es similar a los elementos de fricción, su curva tensión deformación es no lineal y los ciclos de descarga no son elásticos no se producen por la misma curva de carga. Este fenómeno produce un ciclo de histéresis que es el responsable de disipar energía.

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3- Recubrimientos: Los componentes se pueden recubrir de diferentes elementos que sometidos a ciclos de compresión-tracción disipen energía. Esta energía puede ser eléctrica, magnética, o calor.

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4- Líquidos, Aceite, etc.: Los líquidos en general amortiguan las vibraciones y son una buena forma de disipar energía, por ejemplo en los rodamientos se utilizan una pequeña capa de aceite a presión para trasmitir las cargas al apoyo. 5- Partículas, arena, etc.: La fricción interna es su principal característica y hay aplicaciones industriales que utilizan este principio apoyos para maquinaria con partículas de metales en forma de "nanas". 6- Resonador: Una vez conocida la frecuencia de resonancia de la estructura. Se pueden amortiguar su vibración introduciendo un elemento, en las zonas de máximo desplazamiento, que resuene a la misma frecuencia que la estructura pero en contra fase. Este dispositivo divide la función de respuesta en frecuencia en dos picos más pequeños.

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7- Elementos de impacto: Se trata de utilizar elementos que golpeen la estructura en dirección contraria a su movimiento si entra en resonancia.

8.2.2- Amortiguamiento Aerodinámico.

FO R

En el proceso de diseño se deben tener en cuenta si en un futuro se deben considerar amortiguadores en nuestra estructura.




Pa

Co

pia

Se trata del amortiguamiento que produce el aire circundante a una estructura. Esta claro que las vibraciones mueven el aire circundante y esto disipa energía. En el caso de turbo maquinaria es un poco mas complicado, él alabe mueve el aire que le rodea y este movimiento genera una presión no estacionarias sobre él alabe esta presión produce un trabajo sobre la superficie del alabe a lo largo de un ciclo. Este trabajo puede ser positivo o negativo, puede amortiguar la vibración o amplificarla. Se evalúa con códigos fluido-dinámicos y como es lógico es diferente para cada forma modal, porque cada una de ellas tiene un campo de presiones no estacionaria diferentes.

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9.- PROBLEMAS AEROELASTICOS. 9.1.- Flameo

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

9.1.1.- Consideraciones Generales. Es un fenómeno que afecta a elementos sumergidos en una corriente fluida, como son todos los álabes de una turbina. Se produce por la interacción de tres tipos de fuerzas distintas: las elásticas, las de inercia, y las aerodinámicas. Como se ha visto en el apartado de respuesta forzada, existe una frecuencias de excitación para las cuales las fuerzas de inercia y elásticas se compensan y produce desplazamientos y tensiones mucho mayores que las estáticas. Estos desplazamientos producen cambios en la corriente del fluido circundante, y para un perfil aerodinámico el coeficiente de sustentación cambia y por lo tanto las fuerzas de sustentación sobre el perfil. Estas fuerzas sobre el perfil producen un trabajo que en el caso de ser positivo hacen que la amplitud de la vibración aumente a este fenómeno se le denomina flameo (“flutter”). En el caso de ser negativo la vibración se amortigua.

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Este trabajo (W) producido por las fuerzas del fluido (F y M) actuando en un álabe vibrando viene definido por la siguiente expresión, donde las fuerzas en el álabe son representadas por unos coeficientes que relacionan esas mismas fuerzas o momentos con los desplazamientos (h) y rotaciones (α, “twist”) del álabe: 2

FO R

Fuerza de sustentación (lift): F = π ⋅ ρ ⋅ v ⋅ b ⋅ C L = π ⋅ ρ ⋅ v ⋅ b ⋅ [ Ah ⋅ h + Aα ⋅ α ] 2

M = π ⋅ ρ ⋅ v 2 ⋅ b ⋅ M α = π ⋅ ρ ⋅ v 2 ⋅ b ⋅ [Bh ⋅ h + Bα ⋅ α ]

Momento:

{

W = ρ ⋅ π 2 ⋅ b 2 ⋅ v 2 ⋅ ω ⋅ Ah I ⋅ h 2 + 〈( Aα R − Bh R ) ⋅ sin φ + (Aα I + Bh I ) ⋅ cos φ 〉 ⋅ α ⋅ h + Bα I ⋅ α 2

representa los coeficientes de sustentación representa los coeficientes del momento

pia

A B

Co

donde,

}




Pa

Como consecuencia de que las fuerzas aerodinámicas no actúan instantáneamente con las deflexiones generadas por el álabe al vibrar, existe un desfase entre las deflexiones en el álabe y las fuerzas aerodinámicas resultantes. Se puede por tanto descomponer las fuerzas aerodinámicas en componentes en fase (R) y a 90º (I) con relación a las deflexiones del álabe vibrando. Sólo las componentes en fase con las deflexiones intervienen en la formulación del trabajo realizado por la corriente a su paso por el perfil aerodinámico.

Ah = Ah R + i ⋅ Ah I

Bh = Bh R + i ⋅ Bh I

Aα = Aα R + i ⋅ Aα I

Bα = Bα R + i ⋅ Bα I

Los desplazamientos y las rotaciones (“twist”) del álabe al vibrar (w) se pueden expresar en función de sus máximas amplitudes de la siguiente forma: h = h ⋅ cos ωt α = α ⋅ cos ωt

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El significado del resto de parámetros es el siguiente:

ρ b v

ángulo de desfase entre los desplazamientos (h) y la rotación (α) de la perfil aerodinámica vibrando densidad del fluido mitad de la cuerda velocidad relativa del fluido con respecto al álabe

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

φ

Como se ha explicado anteriormente el fenómeno del flameo es susceptible de producirse cuando el trabajo realizado por el fluido a su paso por el álabe vibrando es positivo. Además, el fenómeno puede llegar a ser inestable cuando las fuerzas aerodinámicas generadas por el fluido sobre el álabe vibrando son lo suficientemente grande para superar el amortiguamiento mecánico (energía disipada por el amortiguamiento mecánico). Es decir, para predecir si un perfil aerodinámico vibra o no debido al flameo es necesario determinar, para una deflexión dada, el trabajo realizado por el paso del fluido en todas las secciones a lo largo de la longitud del álabe, y si ese valor excede la energía liberada por el amortiguamiento mecánico, entonces el fenómeno es inestable.

pia

FO R

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Es muy difícil, por no decir imposible, evaluar la expresión anterior (W) para predecir si un perfil particular de álabe es susceptible de flamear o no. Los resultados de ensayos de cascada sobre placas planas, y teniendo en cuenta la formula anterior del trabajo W, permiten descubrir cinco variables independientes adimensionales necesarias o útiles para determinar el comportamiento a flameo de los perfiles: el ratio espacio-cuerda, el ángulo de incidencia (“stagger angle”), el número de Mach, el parámetro de frecuencia o parámetro de frecuencia reducida, y el ángulo de fase entre los álabes (“interblade phase angle”). El significado y formulación de algunas de estas variables adimensionales que ayudan a determinar el flameo se explican en las siguientes secciones.




Pa

Co

Para un análisis de flameo como el indicado en el párrafo anterior se pueden considerar ocho variables dependientes de interés: las componentes en fase y a 90º de las fuerzas y momentos para movimientos de flexión y torsión. Este número de variables hace impracticable cualquier presentación general de resultados, y se hace necesaria la ayuda de programas de cálculo computacional (método de elementos finitos) para evaluar cualquier caso particular de álabe que tenga en cuenta además la forma de la sección del álabe. Estos programas permiten calcular la variación de la corriente, y por tanto la distribución de la presión en la superficie del álabe para ser usada en conjunción con los movimientos mecánicos del perfil. De la formulación anterior se puede deducir que el primer y último término, que envuelve los coeficientes Ah I y Bα I, representa la energía disipada por el amortiguamiento a flexión y a torsión en el perfil respectivamente. Energía debida al amortiguamiento a flexión = ρ ⋅ π 2 ⋅ b 2 ⋅ v 2 ⋅ ω ⋅ (Ah I ⋅ h 2 ) Energía debida al amortiguamiento a torsión = ρ ⋅ π 2 ⋅ b 2 ⋅ v 2 ⋅ ω ⋅ (Bα I ⋅ α 2 )

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PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

Para un álabe aislado vibrando con incidencia cero y en medio de un fluido incompresible, ambos coeficientes, Ah I y Bα I, son negativos, y contribuyen por tanto a la estabilidad del sistema. En el caso de cascadas de perfiles planos e incidencia cero, el coeficiente a flexión también es negativo, no así el de torsión que depende de la posición del eje de torsión. Para el caso de una sección particular de álabe, la estabilidad aerodinámica al flameo del diseño depende en gran medida de los términos centrales de la expresión de W que a su vez depende del ángulo de desfase entre los desplazamientos de la sección y sus rotaciones ( φ ), y del producto de las amplitudes (coordenadas) del desplazamiento y rotación del perfil ( α ⋅ h ). A continuación se describe como son esos valores ( φ , α , h ) para varias configuraciones (condiciones de contorno) de álabes y dependiendo de la forma (deformada) de vibración.

1. Alabes en Voladizo (“single blade”)

FO R

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En todo tipo de álabes, tanto de compresor como de turbina, cuando vibran de acuerdo a su modo natural en voladizo, los movimientos de las secciones, especialmente la sección superior, pueden ser descompuestos en dos movimientos paralelos y normales a la dirección de la cuerda, y en una rotación (“twist”) alrededor del centro de masas. Ignorando el movimiento paralelo a la cuerda se tiene que el movimiento modal de las secciones se define de acuerdo a las deflexiones h y α, las cuales están presentes en la formula del trabajo W realizado por las fuerzas aerodinámicas al pasar la corriente a lo largo de la cuerda del álabe vibrando. Las máximas amplitudes de estas dos deflexiones ocurren a la vez por ser parte de un mismo modo, y por tanto el ángulo de desfase φ entre ellas será,

φ = 0º ó 180º

Co

pia

que sea uno u otro valor dependerá del convenio de signo que se utilice. En este caso, la posibilidad de flameo depende de los valores y signos de los coeficientes de las fuerzas aerodinámicas Ah I y Bh I, 2




2

Pa

___ 2 ___ ___ ___ 2   W = ρ ⋅ π ⋅ b ⋅ v ⋅ ω ⋅  Ah I ⋅ h + (Aα I + Bh I ) ⋅ α ⋅ h + Bα I ⋅ α    2

Existe la posibilidad que, para algunas geometrías de perfiles, el segundo modo propio a flexión y el primero de torsión estén muy próximos en frecuencia. En este caso puede ocurrir que el álabe vibre al mismo tiempo con esos modos y a la misma frecuencia. En el modo de flexión será predominante el desplazamiento normal a la cuerda h, y en el modo de torsión lo será la rotación α. Como se tratan de modos naturales pueden darse completamente independiente el uno del otro, y por tanto permitir cualquier ángulo de desfase φ entre los desplazamientos h y las rotaciones α. Para un valor concreto de φ pede obtenerse una combinación de coeficientes de las fuerzas aerodinámicas que produzca un máximo del trabajo W. la experiencia demuestra

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que, cuando las frecuencias del segundo modo de flexión y el primer modo de torsión están muy próximas, puede darse el fenómeno del flameo.

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

2. Álabe-disco (“bladed assemblies”) Las formas modales de un disco uniforme vibrando consisten en pares de modos ortogonales con idénticas frecuencias. Cada par tiene un número específico de líneas nodales que corresponden a diámetros del disco. La variación circunferencial del valor del desplazamiento en esos modos sigue una ley sinusoidal, y las líneas nodales de cada par de modos a la misma frecuencia son ortogonales una con respecto a la otra. Por tanto la distribución de amplitudes viene definida por la siguiente expresión: para el modo y para el modo

A B

amplitud = A sen(nθ) amplitud = B cos(nθ)

donde n es el número de diámetros nodales.

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Las máximas amplitudes del par de modos, A y B, no tienen que ser iguales debido a que ambos modos son propios.

FO R

Las mismas características ocurren con los modos propios de la configuración de álabe-disco donde el acoplamiento mecánico entre los álabes se da a través del disco y los shrouds. Por tanto, los modos de vibración del conjunto álabes-discos están caracterizados por el número de diámetros nodales como en el caso de un disco sólo. Y como la forma circunferencial de los desplazamientos siguen una ley sinusoidal, las amplitudes de los álabes cuando están montados en el disco también siguen una ley sinusoidal.

Pa

Co

pia

En el caso en que el disco este vibrando con igual amplitud en cada uno de los modos ortogonales del par de modos que ocurre a la misma frecuencia pero en diferente fase, la deflexión del disco (rim) tiene la forma de una onda viajando circunferencialmente (“wave travelling”). Y la dirección de la onda, hacia delante (“forward”) o hacia detrás (“backward”) con respecto a la rotación, depende del valor de desfase entre los dos modos del par.




9.1.2.- La identificación del flameo. Debido a que el flameo es una vibración auto-excitada, no hay ninguna acción externa sobre las fuerzas actuantes que produzca esa vibración. Por tanto, la variación de las fuerzas actuantes en el álabe que produce el fenómeno del flameo es consecuencia del movimiento del perfil, vibrando él mismo bajo determinadas condiciones aerodinámicas. A través de un análisis de las frecuencias de un ensayo con galgas extensiométricos, cuyas lecturas están ligadas a las variaciones de presión recogidas en las proximidades del álabe, se puede deducir la incidencia que identifica el comienzo del flutter. 9.1.3.- La frecuencias reducida, parámetro de frecuencia, y su interpretación física.

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Su definición para un álabe se expresa con el siguiente cociente,

λ=

2 ⋅ π ⋅ frecuencia ⋅ cuerda velocidad _ relativa

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

Donde: frecuencia es la frecuencia natural en Hz del modo a considerar, cuerda es la cuerda del perfil aerodinámico, y velocidad relativa es la velocidad del aire relativa al perfil.

FO R

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Este parámetro establece una relación entre el tiempo que tarda una partícula en ir del borde de ataque a borde de salida cuerda/velocidad _ relativa y el tiempo para que se complete un ciclo entero de vibración 1/frecuencia. Cuanto mayor es el tiempo de permanencia de una partícula en el álabe y menor el periodo de vibración menor es el riego de flutter. Una analogía para entender el problema: un barco que avanza a una determinada velocidad y es de una determinada longitud (cuerda), las olas se producen con un determinado periodo.

Olas con alta frecuencia, Parámetro λ alto

Olas con baja frecuencia, Parámetro λ bajo

Co

pia

Figura 9.1.3.1

Pa

9.1.4.- Valores típicos de frecuencia reducida.




En el diseño de turbo maquinaria se busca que nuestra frecuencia reducida sea superior en un determinado valor para cada modo de excitación. Como caso general se suele utilizar: 1º La cuerda del airfoil en la peor sección a considerar (los valores recomendados serían aquellos para los que la componente de torsión del modo de flexión sean lo mayor posible, en este sentido suele considerarse para álabes biempotrados como pueden NGV 50% del span y para álabes en voladizo, se buscaría el 100%. Como es necesario considerar también las condiciones de velocidad, y los resultados del análisis del plano meridional no son del todo fiables cerca de las paredes, se suele coger un % del span en que se tenga confianza de que los valores son fiables. Dependiendo de la experiencia de las compañías, se suele utilizar entre el 65% del span y el 85%; también puede influir la existencia o no de shroud).

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i

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2º La velocidad relativa se considera la de la salida; en la misma sección en que consideramos la cuerda. 3º En general se consideran solamente los modos de torsión y flexión.

9.1.5.- El efecto del parámetro de torsión.

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

Para evitar el flutter la frecuencia reducida se recomienda que sea superior a: Para el modo de flap λ > 0.2 Para el modo de torsión λ > 0.5

El efecto en los modos de la parte correspondiente a la torsión puede representarse por la curva de experiencia que relaciona el parámetro de frecuencia y el parámetro de torsión.

FLUTTER STABILITY PLOT

1,2 1,0

STABLE

0,8

0,4 0,2

NO EXPERIENCE

0,0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

UNSTABLE

FO R

0,6

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Frecuency parameter

1,4

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

Torsion parameter

Figura 9.1.5.1. Criterio de estabilidad para álabes de estator (experiencia Trent

pia

El criterio de aceptación supone que estemos en la zona estable.

Co

9.1.6.- El efecto del interfase blade angle en el flutter.




Pa

Se debe de tener en cuenta los diámetros nodales asociados a cada modo de flameo o torsión de airfoil. En general el parámetro de flutter debe ser mayor para diámetros nodales grandes, esto se debe a que las condiciones fluido dinámica que se ven en un airfoil son debidas al su propio movimiento y al movimiento de los alabes vecinos. El interfase blade angle es el ángulo que relaciona los desplazamientos para alabes vecinos dentro de un mismo modo de vibración y depende directamente del diámetro nodal considerado. IBFA=2*π*Nodal_diameter/Numero_de_alabes

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PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

Figura 9.1.5.1 Diagrama de estabilidad para diferentes diámetros nodales para tres diferentes modos. Obtenidos a partir de una análisis fluido dinámico 3D.

FO R

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Para un λ determinado.

Co

pia

La gráfica que aparece en la figura 9.1.5.2, representa los criterios de aceptación de estabilidad para álabes de rotor. La curva está basada en la experiencia y representa las zonas estables e inestables del diagrama. Figura 9.1.5.2. Criterios de estabilidad y no estabilidad en función de IBFA (experiencia Trent)

Pa

1.00

0.80




0.60

TRENT 500 LPT 1 - BL, 1F/5D-6D

STABLE

TRENT 892 LPT 1-4 1F/3D

0.40

0.20 UNSTABLE

0.00 0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

MODAL PARAMETER

1.00

1.20

1.40

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10.- DINÁMICA DE ROTORES. 10.1.- Consideraciones Teóricas.

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

El análisis dinámico de rotores plantea un problema añadido al análisis dinámico de estructuras estáticas: el movimiento giratorio del rotor modifica el comportamiento dinámico introduciendo “efectos giroscópicos”. A continuación se muestra la base teórica para incluir estos efectos giroscópicos de manera general en sistemas eje-rotor ambos flexibles, y posteriormente, las hipótesis simplificativas habituales para el tratamiento práctico del problema. La ecuación general de las vibraciones libres no amortiguadas para una estructura estática es:

[M ]{&u&} + [K ]{u} = {0}

[10.1]

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En el caso de un rotor giratorio se puede definir un sistema de coordenadas (xyz) rotatorio acoplado solidariamente al rotor. Las fuerzas de inercia se obtienen multiplicando la matriz de masa [M] por el vector de aceleración absoluta {a} respecto a un sistema absoluto (XYZ), mientras que las fuerzas elásticas se obtienen multiplicando la matriz de rigidez [K] por el vector de desplazamientos relativos {u} al sistema de coordenadas acoplado al rotor (el movimiento de arrastre es un movimiento de sólido rígido y no genera fuerzas elásticas)

[M ]{a} + [K ]{u} = {0}

FO R

[10.2]

Para un modelo de elementos sólidos cada nudo i tiene 3 grados de libertad de traslación en el sistema relativo (xyz): {ui}={ ux uy uz}T Y

{ai} {ui}




x

{ri}

Pa

Co

pia

y

Ωt X

La aceleración absoluta del nudo i {ai} puede obtenerse con la expresión:

{a i } = {&u&i } + 2Ω[R ]{u& i } + Ω[R ][R ]({u i } + {ri })

siendo:

[10.3]

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i {&u&i } 2Ω[R ]{u& i }

Ω

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aceleración relativa del nudo i aceleración de Coriolis velocidad de rotación del rotor (magnitud o módulo)

Ω[R ][R ]({u i } + {ri })

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

 0 − Rz Ry    [R ] =  R z 0 − R x  siendo {Ω}=Ω{Rx Ry Rz} − R y R x 0   {u& i } velocidad relativa del nudo i aceleración centrípeta del nudo i

{ri }

vector de posición del nudo i

El vector de aceleración absoluta para todos los nudos se obtiene sumando los vectores {ai} expandidos al número de grados de libertad total del modelo:

{a} = ∑ {~ai }

[10.4]

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i

FO R

Introduciendo la expresión [10.4] en la [10.2], los términos añadidos a la ecuación general de las vibraciones libres no amortiguadas por los efectos giroscópicos, vienen recogidos en la siguiente expresión:

[M ]{&u&} + [Bcor ]{u& } + [K + K cen + K diff ]{u} = {0}

[10.5]

Pa

Co

pia

en donde: [M] matriz de masa. [K] matriz de rigidez [Bcor] matriz de amortiguamiento debida a la aceleración de Coriolis. [Kcen] matriz de rigidez debida a la aceleración centrífuga. [Kdiff] matriz de rigidez diferencial debida al estado tensional generado por la aceleración centrípeta.




Las matrices debidas a los efectos giroscópicos pueden expresarse de la siguiente manera:

[ Bcor ] = Ω ⋅ [bcor ] [ Kcen ]= Ω2 ⋅[ kcen ]

[10.6]

[ Kdiff ]=Ω2 ⋅[ kdiff ]

siendo Ω la velocidad de giro del sistema. El problema de valores y vectores propios para calcular las frecuencias naturales asíncronas se formula con la expresión:

i

MET-102-024 MANUAL DE CALCULO DE VIBRACIONES

[

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]

  2 2  − w [M ]+ iw Ω⋅b cor +  K + Ω (k cen + k diff )  {φ} = {0}   

[10.7]

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Para el caso en que la frecuencia de la excitación w dependa de la velocidad de giro Ω(frecuencias síncronas): w w = n⋅Ω Ω= [10.8] n siendo n el “engine order”, los valores y vectores propios se calculan con la expresión:    1  − w 2  M − i ⋅b  {φ} = {0} ( ) − k + k + K  cor 2 cen diff   n   n  

[10.9]

En modelos axil simétricos, cuando la velocidad del eje Ω es cero, las frecuencias de flexión de un sistema eje-rotor tienen modos “pares” ortogonales a la misma frecuencia.

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Cuando la velocidad del eje Ω es distinta de cero, la frecuencia de estos modos “pares” se modifica, aumentado en uno de ellos y disminuyendo en el otro. El modo de vibración típico es un “remolino” (whirl) girando en torno al eje de rotación. El modo que aumenta en frecuencia (“forward whirl”) gira en el mismo sentido que la rotación del eje, y el que disminuye (“backward whirl”) gira en sentido opuesto.

FO R

En la siguiente figura, se muestra el ejemplo de un rotor en voladizo respecto a un eje biapoyado:

Ω

Backwar d whirl

Ω




Pa

Co

pia

Forward whirl

Primer modo de flexión (“forward whirl” y

• Los modos “forward” son “excitados” por excitaciones giratorias con el mismo sentido de giro que el eje (p.e. “unbalance”) • Los modos “backward” se verían excitados por el posible contacto del rotor con la carcasa (“rubbing”). En la versión v70.7 de MSC/NASTRAN existen 3 alters de DMAP para introducir los efectos giroscópicos debidos a la rotación del sistema. Estos alters actualmente se encuentran en el directorio:

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ztv013:/aplic/nastran707/msc707/nast/misc/sssalter

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

(Las frecuencias de resonancia calculadas por el programa se obtienen en el sistema rotatorio; por tanto, para calcular las frecuencias reales (sistema no rotatorio) hay que sumar la frecuencia de rotación del eje para los modos “forward” y restársela para modos “backward”) a) segyroa.v707

Incluye las matrices [Bcor], [Kcen] y [Kdiff]. * Aplicable a modelos con masa definida únicamente en grados de libertad de traslación. Esto es, en el caso que se incluyan inercias concentradas o se utilice matriz de masa consistente (PARAM,COUPMASS,≥0), las inercias no se utilizan para el cálculo de las matrices giroscópicas. * Por defecto introduce las matrices giroscópicas en forma asíncrona. Para que introduzca las matrices giroscópicas en forma síncrona (solo 1EO) hay que incluir la tarjeta PARAM,DEPEND,-1 en el Bulk Data. “Warning”: a mi entender esta opción (PARAM,DEPEND,-1) funciona mal, ya que el alter introduce la matriz de Coriolis en la matriz de amortiguamiento en vez de hacerlo en la matriz de masa. Por tanto, recomiendo no utilizar esta opción.

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

*

FO R

* Es necesario realizar dos ejecuciones. La primera, incluyendo el alter, ha de ser SOL 101 para introducir las matrices giroscópicas, y la segunda (RESTART) puede ser cualquier solución estructurada. b) cygyroa.v707

Es igual que segyroa.v707 pero permite su utilización en problemas de simetría cíclica. * Es necesario realizar dos ejecuciones. La primera, incluyendo el alter, ha de ser SOL 114 para introducir las matrices giroscópicas, y la segunda (RESTART) puede ser cualquier solución estructurada de simetría cíclica.

pia

*

Pa

Incluye la matriz [Kcen]. * Aplicable a modelos con masa definida únicamente en grados de libertad de traslación. Esto es, en el caso que se incluyan inercias concentradas o se utilice matriz de masa consistente (PARAM,COUPMASS,≥0), las inercias no se utilizan para el cálculo de las matrices giroscópicas. * Solo es valido para la SOL 106. * Introduce la matriz en forma asíncrona. No hay opción para introducir la matriz en forma síncrona.




*

Co

c) nlgyroa.v707

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i

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Edición: 1 Revisión: 0 Pág 65 de 101

10.2.- Hipótesis Simplificativas. 10.2.1.- Discos o rotores como sólidos rígidos; eje de masa no despreciable.

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En los sistemas eje-rotor, normalmente el rotor se suele considerar como un sólido rígido. Sea por ejemplo un rotor en voladizo respecto a un eje bi-apoyado:

Ω

A

B

FO R

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Dado el carácter axil simétrico, los modos de vibración de flexión son “remolinos” (“whirl”), es decir, la deformada modal es rotatoria, en el mismo sentido de rotación del eje para los modos “forward” y en sentido contrario para modos “backward”. Por tanto, el problema puede reducirse a un modelo plano en un plano diametral, en el que cada nudo del sistema tiene dos grados de libertad: traslación “y” y giro “θ”.

θ

Co

pia

y

G




Pa

La matriz de masa del disco o rotor, en su centro de gravedad G, para velocidad de rotación nula tiene la forma:

[M d ] = 

m 0   0 Id 

siendo m la masa del disco e Id la inercia respecto al eje normal al plano diametral que pasa por el centro de gravedad G. Considerando soluciones armónicas de frecuencia “w”, para el cálculo de frecuencias naturales asíncronas, y siendo la velocidad de rotación Ω no nula, esta matriz se transforma en:

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0 m  Ω [M d ] =  0 I m I  d p  w 

Ω I p el termino que añade el efecto giroscópico al disco; el signo - para modos w

“forward”, y el + para modos “backward”.

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

siendo m

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Para calcular frecuencias síncronas, la matriz se transforma en:

0 m  1 [M d ] =  0 I m I  d p  n  siendo “n” el “engine order”.

ridgyroa.v707

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

En la versión v70.7 de MSC.Nastran existe un alter que introduce efectos giroscópicos considerando los discos o rotores como sólidos rígidos:




Pa

Co

pia

FO R

* Incluye la matriz [Bcor]. Los efectos giroscópicos se introducen de manera discreta en nudos (p.e. un rotor), asumiendo que estos elementos son infinitamente rígidos, por tanto no introducen [Kcen] y [Kdiff]. * Por defecto, se introduce la matriz en forma asíncrona, para lo cual es necesario definir la velocidad de giro en rpm (PARAM,RPM,valor). * Para introducir las matrices en forma síncrona, se ha de incluir el parámetro PARAM,SYNC,YES y no hace falta introducir la velocidad de giro. * Aplicable a las soluciones estructuradas 107 a 112. * Los efectos giroscópicos sólo se introducen de manera discreta en nudos, definiendo la inercia polar en torno al eje de rotación (p.e. rotor). Estos efectos se introducen con la siguiente tarjeta del Bulk Data: DTI,RGYRO,0 DTI,RGYRO,i,GRIDIDi,IPOLARi,RAXISi,SCALEi en donde: i Numero secuencial (1,2,3,…) GRIDIDi Numero del nudo. IPOLARi Momento de inercia polar en torno al eje de rotación. RAXISi Eje de rotación (1 para eje X, 2 para eje Y y 3 para eje Z) SCALEi Este factor es la velocidad relativa respecto a la velocidad base. Para la opción asíncrona la velocidad base esta definida en PARAM,RPM. Para la opción síncrona, la velocidad base es la frecuencia de excitación (respuesta en frecuencia) o la frecuencia natural (análisis de valores y vectores propios complejo). Por ejemplo, si el sistema tiene un solo eje este factor de escala en función del “engine order” n requerido se calcula como SCALE=1/n.

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10.2.2.- Discos o rotores como sólidos rígidos; eje de masa despreciable.

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10.2.2.1- Planteamiento de las ecuaciones.

En aquellos casos en los que el eje sea de masa despreciable frente al disco, el sistema dinámico puede reducirse a los grados de libertad de traslación y rotación del centro de gravedad del disco. Por tanto, el sistema queda reducido únicamente a dos grados de libertad. Esta hipótesis permite obtener una buena aproximación de la primera frecuencia de resonancia de flexión, lo que implica que es aplicable para diseño de ejes subcríticos (aquellos en que las velocidades de funcionamiento sean inferiores a la primera frecuencia de resonancia). La expresión que nos permite calcular las frecuencias y modos de vibración es:

[ ][ ]

2    − w M d + K d  {φ} = {0}  

siendo [Kd] la matriz de rigidez reducida a los grados de libertad de traslación y rotación del disco.

FO R

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Sea por ejemplo un rotor en voladizo respecto a un eje de inercia constante bi-apoyado:

G

A

B

L1

Ω

L2

K yy K yθ

[K d ] = 

Pa

Co

pia

La matriz de rigidez reducida al nudo G tiene la expresión:

K yθ  K θθ 




Es importante que al obtener la matriz de rigidez reducida se considere el efecto de flexibilidad por esfuerzo cortante, que suele incluirse, normalmente, a través del factor de área de cortante. Las frecuencias propias (síncronas) se obtienen con la expresión:

K yy − mw 2 K yθ

=0 1   K θθ −  I d m I p  w 2 n  

que resulta una ecuación bicuadrada de la forma:

a ⋅ w4 + b ⋅ w2 + c = 0 en donde:

K yθ

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Edición: 1 Revisión: 0 Pág 68 de 101

1   a = m I d m I p  n  

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

1   b = −m ⋅ K θθ −  I d m I p  ⋅ K yy n   c = K yy ⋅ K θθ − K 2yθ [signo (–) para “forward”; signo (+) para “backward”]

Las dos primeras frecuencias de resonancia de flexión se obtienen con las expresiones:

1 − b − b 2 − 4ac f1 = 2π 2a

1 − b + b 2 − 4ac f2 = 2π 2a para diferentes valores de 1/n.

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Para valores grandes de 1/n:

¾ la frecuencia del 1º modo de flexión “backward” tiende a 0.

FO R

¾ la frecuencia del 1º modo de flexión “forward” y la frecuencia del 2º modo de flexión “backward” tienden a:

f1f = f 2 b =

1 K yy 2π m

10.2.1.2- Ejemplo Práctico.

f 2f =

Ip Id

⋅Ω

Pa

Co

pia

¾ la frecuencia del 2º modo de flexión “forward” tiende a la asíntota:




Para los valores numéricos concretos: E=210000 MPa I=2898119.22 mm4 (tubo de rext=50 mm y rint=40 mm) Shear factor=0.5 L1=800 mm L2=400 mm m=0.1 Mg Ip=4500 Mg·mm2 Id=2250 Mg·mm2 se obtiene los siguientes gráficos de frecuencias de resonancia en función de la frecuencia giro del eje:

de

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Rotor en voladizo de una viga biapoyada 300 1º de flexion-BACKWARD

250

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

frecuencia de resonancia [Hz]

1º de flexion-FORWARD

2º de flexion-BACKWARD 1 Engine Order

200

Asintota 1-Forward/2-Backward

150

100

50

0 0

200

400

600

800

1000

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Frecuencia de rotacion del eje [Hz]

FO R

Figura 10.2.1.2.1

Rotor en voladizo de una viga biapoyada

2000

2º de flexion-FORWARD

1800

pia Co

1400

Pa

1200 1000




frecuencia de resonancia [Hz]

Asintota 2-Forward

1600

800 600 400 200

0 0

200

400

600

Frecuencia de rotacion del eje [Hz]

Figura 10.2.1.2.2

800

1000

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Edición: 1 Revisión: 0 Pág 70 de 101

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

Para resaltar la poca fiabilidad que tiene el calculo de la 2ª frecuencia de flexion “forward” se comparan a continuacion los resultados obtenidos con los derivados de una analisis modal de un modelo considerando la masa del eje (ρ=7.89e-9 Mg/mm3). Este modelo tiene 4 elementos viga en el tramo L1 y otros 4 en el tramo L2.

Rotor en voladizo de una viga biapoyada

2º de flexion-Backward-eje sin masa 2º de flexion-Backward-eje con masa 1º de flexion-Forward-eje sin masa 1º de flexion-Forward-eje con masa 1º de flexion-Backward-eje sin masa 1º de flexion-Backward-eje con masa 1EO

FO R

200

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

250

150 100 50 0

200

400

600

Frecuencia de rotacion del eje [Hz]




Pa

Co

0

pia

Frecuencia de resonancia [Hz]

300

Figura 10.2.1.2.3

800

1000

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Edición: 1 Revisión: 0 Pág 71 de 101

Rotor en voladizo de una viga biapoyada 1600

Frecuencia de resonancia [Hz]

1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0

100

200

300

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

2º de flexion-Forward-eje con masa 2º de flexion-Forward-eje sin masa 1EO 2EO

400

500

600

700

800

900

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Frecuencia de rotacion del eje [Hz]

FO R

Figura 10.2.1.2.4

Las frecuencias de resonancia sincronas de 1 “Engine Order” son: 1 Engine Order (1/n=1)

pia

1ª frecuencia Backward de flexión [Hz] Forward




Pa

Co

2ª frecuencia Backward de flexión [Hz] Forward

Eje sin masa

Eje con masa

38.0

37.7

52.5

51.5

161

158

No existe

489

1000

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11.- TECNICAS EXPERIMENTALES.

11.1.1- Consideraciones Generales.

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

11.1- Análisis Modal Experimental.




Pa

Co

pia

FO R

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Una de las técnicas más utilizadas en la determinación del comportamiento dinámico de una estructura es la utilización de la experimentación. Es por este motivo que se incluye este capítulo en este manual, par reflejar la importancia de los métodos experimentales en el análisis modal de las estructuras. El análisis modal se refiere al procedimiento, ya sea analítico o experimental para describir el comportamiento de las estructuras. El análisis busca definir las formas de deformación que sufre la estructura cuando se excita con sus frecuencias naturales (formas modales). El número de formas modales se corresponde con el número de grados de libertad de la estructura, desde los seis de un sólido rígido unido a la base por muelles lineales, hasta los infinitos de una estructura continua; todos ellos podrán representarse como un movimiento senoidal con sus correspondientes armónicos. En los estudios analíticos para el análisis modal, el problema se traduce en un sistema de masas concentradas la resolución de la ecuación del movimiento se hace de forma matricial y la resolución del problema de valores y vectores propios da como resultado las frecuencias naturales y sus correspondientes formal modales. Para los estudios experimentales, donde el valor y localización de las características de masa, rigidez y amortiguamiento no se conoce, esta aproximación matemática no es aplicable. El método utilizado de forma experimental consiste en excitar la estructura con una fuerza apropiada y evaluar la respuesta del sistema en términos de aceleración, velocidad o desplazamiento en una serie de puntos elegidos de forma adecuada dentro de la estructura. Estas dos señales, fuerza y desplazamiento, nos darán la función de respuesta para la combinación: Punto de excitación - Punto de Medición; y así la contribución de cada modo individual puede establecerse en cada punto. El conjunto de esas contribuciones asociadas a un modo particular identifica la forma modal asociada. Si los modos están completamente desacoplados, la contribución de cada modo puede determinarse de forma sencilla. En la práctica esto no ocurre y hay que recurrir a técnicas más sofisticadas para poder determinar las formas modales que estamos buscando. Una de estas técnicas consiste en determinar las características de un modelo matemático que nos de el mismo conjunto de curvas de respuesta. Las s características de este modelo matemático se determinan mediante técnicas de aproximación de funciones donde se busca llegar al óptimo en la selección de las características del modelo y encontrar la mejor aproximación de las curvas experimentales. En un ensayo de Análisis Modal, es necesario aplicar una fuerza vibratoria a la estructura; esto se puede conseguir a través de un sistema de excitación, o un martillo de impactos. Como resultado de esa excitación, el sistema se pondrá a vibrar y el resultado de ese movimiento debe ser medido. Así se tendrá que es necesario tener instrumentación necesaria para medir la fuerza introducida en la estructura, transductores de fuerza, como para medir la forma modal debida a las vibraciones, transductores de movimiento. Todas estas señales alimentarán a un

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Edición: 1 Revisión: 0 Pág 73 de 101

sistema de análisis de señal que hará la estimación de las funciones de respuesta en frecuencia. Este proceso se repetirá para diferentes combinaciones de excitación y respuesta. Todas las funciones de respuesta en frecuencia se almacenarán en el sistema.

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Una descripción somera del proceso de Análisis Modal Experimental se puede representar como sigue: 1.- Definir el sistema del queremos analizar su comportamiento; esto implica definir la geometría y puntos de medida, así como direcciones de medida para los mismos. 2.- Fijar los puntos de excitación y sus direcciones. 3.- Fijar los puntos de medida y sus direcciones. 4.- Localizar los modos de vibración: Frecuencias y Formas modales. Para conseguir esto habrá que hacer repetidas pruebas, y dependiendo del modo excitación puede ser necesario excitar y medir en puntos diferentes para poder tener diferentes referencias. Si tenemos entrada múltiple y salida múltiple, nuestro sistema se llama MIMO (múltiple input - múltiple output). Si solamente se tiene una excitación, lo que se hace es excitar en varios puntos, sistema SIMO (single input - múltiple output). 5.- Definir la Función de Respuesta en Frecuencia del sistema. Sumando todas las FRF aparecerán todos los picos de respuesta del sistema. Se hace una transformada inversa de Fourier de una banda de frecuencias.

11.1.2.1.- Sistemas de excitación.

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11.1.2- Elementos necesarios para el Análisis Modal Experimental.




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Para la realización del análisis moda experimental es necesario contar con algún elemento que sea capaz de introducir una carga o excitación a la estructura en estudio. Existen diferentes tipos de sistemas de excitación: unos están fijos sobre tierra o alguna estructura y además unidos a la estructura (es lo más habitual). Otros están solamente unidos a la estructura, en esos caso pueden influir de alguna forma en el comportamiento dinámico de la estructura. Otra forma de excitación se realiza a través de elementos no fijos ni unidos a la estructura, como puede ser a través de un martillo de impactos, que causa un pulso como carga de entrada. Ejemplos de este tipo pueden considerarse la precarga y súbita suelta de una estructura, o excitaciones acústicas o magnéticas. 11.1.2.2.- Transductores de movimiento. La respuesta normal en un análisis modal experimental de una estructura es el movimiento de esa estructura expresada como desplazamientos, velocidades o aceleraciones. El propósito del análisis modal experimental consiste en observar cómo se relacionan estas cantidades con la frecuencia y en qué rangos de frecuencia las vibraciones tienen lugar. Teóricamente ya hemos visto que no importa cuál de estos tres parámetros se mida ya que los tres están relacionados. La medida del desplazamiento tiene más peso para frecuencias bajas y la medida de las aceleraciones es más frecuente para frecuencias altas. El RMS de la velocidad se considera como una medida de la severidad de la vibración y está relacionada con la energía vibratoria. La mayoría de los transductores de movimiento son simplemente sistemas de masa y muelle y por

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consiguiente muestran una frecuencia de resonancia. El transductor de desplazamiento genera una señal proporcional al desplazamiento en una frecuencia por encima de su propia resonancia. Esto exige que la resonancia del transductor sea baja y por tanto, una masa relativamente alta (ω2=k/m). Ocurre lo contrario en el acelerómetro. La masa menor de un acelerómetro tendrá una influencia mucho menor si está unido a una estructura y por tanto, dará como resultado una medida más precisa. Un factor adicional que subraya los beneficios de los acelerómetros es el hecho de que una señal de aceleración puede integrarse electrónicamente de forma sencilla y válida para obtener velocidades y desplazamientos. Todas estas consideraciones nos llevan a deducir que los acelerómetros son los transductores más usados para el análisis modal experimental. Como ya hemos dicho anteriormente los acelerómetros son sistemas compuestos simplemente por mecanismo de masa-muelle-amortiguador. En el caso de un acelerómetro se produce una señal proporcional a la aceleración en una banda de frecuencia muy por debajo de su propia resonancia. Esto hace que los acelerómetros sean bastante rígidos y con poco peso, lo cual les hace más robustos.

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Normalmente el muelle del acelerómetro suele ser un elemento piezoeléctrico cargado en compresión o cortante. Las distintas condiciones ambientales influyen en el comportamiento piezoeléctrico, como por ejemplo, la temperatura. Otras influencias posibles pueden ser el ruido acústico, humedad, campos magnéticos, radiación nuclear, deformación de la base y ruido del cable. La mayoría de estas influencias son muy bajas o pueden evitarse fácilmente, a excepción del ruido del cable; si se utilizan sistemas de acelerómetros que cargan con amplificadores se deberán tomar precauciones especiales.

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11.1.2.3.- Calibración.

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Un factor importante que posiblemente limita el rango de uso de un acelerómetro es la forma de montarlo sobre la estructura. También es fundamental la localización del montaje. El transductor tiene que estar ubicado en el punto donde se quiera medir la vibración. Por supuesto, hay que procurar que la forma de fijación influya lo menos posible en el comportamiento vibratorio de la estructura.




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Los fabricantes de transductores de calibración normalmente proporcionan sus productos con información fiable sobre la calibración de los mismos. En circunstancias normales las características de los transductores suelen permanecer estables, no obstante pueden darse variaciones en el comportamiento debido a condiciones extremas de funcionamiento o un manejo inadecuado. En esos casos es necesario recalibrar los transductores. Existen varias técnicas de calibración: método de reciprocidad, métodos gravitacionales, calibración por "shock", calibración proporcional, comparación con un patrón. El método de reciprocidad y los métodos que usan interferometría láser calibrarán los acelerómetros de forma absoluta, es decir, sin comparar un acelerómetro con un acelerómetro "estándar".

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El método clásico de calibración es el de comparación con un patrón. En este método el acelerómetro se calibra con un acelerómetro de referencia.

Figura 11.1.1.- Ejemplo de Análisis Modal Experimental (NGV 4 TF50)

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11.2.- Galgas Extensiométricos. Aplicación a componentes.

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11.2.1- Posicionamiento y fiabilidad.




Un importante aspecto en el diseño mecánico de estructuras es asegurar un comportamiento dinámico satisfactorio, pues en caso contrario las repercusiones en términos de seguridad y coste debidas a un posible fallo podrían ser considerables e inaceptables. Los objetivos fundamentales en cualquier diseño dinámico son en primer lugar asegurar que el componente se encuentra libre de cualquier resonancia peligrosa, y que la existencia de resonancias imposibles de eliminar del rango de funcionamiento normal del motor no suponga una restricción inaceptable en los límites de operatividad o en las vidas del componente. Además, para poder realizar una valoración de la vida a fatiga en servicio de los motores se requieren una estimación lo más precisa posible, tanto de los niveles de tensión alternantes como de su distribución dentro del componente en las condiciones de resonancia. Esta información puede y debe ser entonces usada junto a los niveles de tensiones debidos a las

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cargas estáticas actuantes en el componente, y a las propiedades de fatiga de los materiales, para poder predecir la vida del componente y la posición o posiciones del posible fallo.

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Las galgas Extensiométricas, “strain gauges” (SG), son el método experimental más comúnmente usado a la hora de determinar el comportamiento dinámico de las estructuras, especialmente en el caso de los motores aeronáuticos, donde en un ambiente hostil de temperaturas (1000ºC) y altas fuerzas centrifugas y de presión, suministra medidas de los valores pico de tensión o deformación. Sin embargo, esas medidas son limitadas debido principalmente a la necesidad de establecer un equilibrio a la hora de definir el número y la posición de los SG's entre un requerimiento y una restricción. El requerimiento consiste en obtener la suficiente información en la distribución de tensiones y la necesidad de cubrir adecuadamente el tamaño del componente, siendo la restricción el sistema telemétrico disponible con su número de canales disponibles. La experiencia demuestra que la solución más práctica para resolver este conflicto reside en suplir adecuadamente la limitación de datos experimentales con el conocimiento adecuado de los análisis teóricos usando detallados modelos matemáticos, por ejemplo con modelos de elementos finitos 3D.




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Los modelos matemáticos, normalmente modelos de elementos finitos, deben de estar validados con mediciones en laboratorio y para aquellas condiciones de contorno (fijaciones), temperatura y velocidad fácilmente reproducible. En el caso de los álabes rotatorios de una turbina, estas condiciones para su validación en laboratorio son 20ºC y 0 rpm y con una fijación infinitamente rígida en lo que seria su unión al disco (“root fixing block”). El número de modos que se deben de registrar para su validación debe de ser representativo con respecto a los modos de mayor importancia en el comportamiento dinámico del componente y sus potenciales resonancias. Normalmente y en el caso concreto de álabes rotatorios de turbina se deben registrar los 6 primero modos naturales.

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Diagrama de la instrumentación con galgas e una Turbina.

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A continuación se detallan algunos criterios de posicionamiento que se pueden seguir a la hora de instrumentar con galgas extensiométricas los perfiles aerodinámicos de una turbina. Siempre hay que tener en cuenta que no hay una correcta distribución para la común situación en que el número de galgas es limitado comparado con el número de álabes en la etapa y el número de resonancias a determinar en una situación real la cual siempre existe el “mistuning”. Álabes rotatorios (rotores):

• El proceso a la hora de decidir en cuanto álabes se distribuyen las galgas es el siguiente:

-

decidir el mínimo número de localizaciones requeridas para identificar todos los modos de interés (NP). Conocer el número total de canales disponibles para la etapa (NG). Los dos datos anteriores permiten conocer el mínimo número de álabes instrumentados (NB=NG/NP). Pero existen también otras consideraciones a tener en cuenta a la hora de determinar el número de álabes a instrumentar. Una de esas consideraciones es el máximo número de SG por álabe para poder dar salida a los cables hacia el interior del eje. Este número depende a su vez de la configuración elegida para los álabes: pares soldados, interlock, shrouds paralelos, etc.

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• Para cada resonancia o modo de interés se debe seleccionar una posición de galga con la condición de que la sensibilidad de la medida sea superior al 50%. Definiéndose esta sensibilidad como: SG Sensibilidad = 100 ⋅

Lectura Pr edecida SG Máxima Deformación Pr incipal

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donde, la máxima deformación principal tiene que ser cíclica (simetría cíclica en el cálculo teórico) en el caso de álabes rotatorios para tener en cuenta la variación armónica de la distribución de tensiones en los álabes como consecuencia de los diámetros nodales. Este hecho se debe contemplar cuando se analice los resultados de las galgas en el motor.




• No seleccionar posiciones con un gran gradiente en deformaciones de tal forma que las galgas sean muy sensibles a la posición/orientación conduciendo a dificultades en su interpretación. • Comprobar y documentar la posible variación en la lectura de la galga debida a la descolocación y descentramientos con respecto a la dirección de medida. Se puede asumir una descolocación de ±1.0 mm y un descentramiento de ±5.0º. • Cuando existan características axil simétricas, no asumir para una galga situado en sus proximidades que todas las posiciones circunferenciales son iguales. • El tamaño de la galga es un compromiso entre el hecho de que cuanto más grande es una galga más robusta es, aunque menos sensible a la medida, es decir el valor promedio que da

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por su mayor extensión puede ser más bajo. Un tamaño recomendado es 3.480 mm de longitud y 4.064 mm de anchura. En el caso de tensiones muy localizadas puede ser oportuno usar un tamaño más reducido, 3.480x2.032.

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• El modelo de elementos finitos usados en el cálculo de la medida de la galga, debido al tamaño de la misma, debe de ser muy fino en las zonas de medida. En caso contrario el error cometido podría ser grande. • Aunque se pretenda tener información sobre los niveles de vibración de todos los modos de interés, normalmente se instrumentan unos álabes extras con sólo unas posiciones de galgas específicas para recoger los modos de mayor riesgo según la experiencia anterior y los resultados de los análisis teóricos. • Puede ser conveniente dividir los álabes instrumentados en varios grupos, mínimo de dos grupos a 90º, con el objeto de poder identificar los diámetros modales más bajos examinando la relación de fase entre ellos. En teoría con sólo dos álabes contiguos se podría lograr lo anterior pero el “mistuning” complica las cosas. Sin embargo no es absolutamente necesario usar la relación de 0º y 90º, cualquier variación angular grande serviría.

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• La razón para agrupar juntos los álabes en varios (dos) grupos es principalmente por simplicidad en el rutado de los cables y siempre puede resultar útil tener/comparar amplitudes de álabes adyacentes. • La razón para instrumentar un álabe (individual o pareja) con todas las posiciones de galga, o al menos las correspondientes a los modos más peligrosos, consiste en permitir simultáneamente leer todas las lecturas de galga en un mismo álabe para correlacionar los picos de tensión vibratoria. En principio, salvo los propios errores de calibración de las galgas, todos ellos deberían escalarse para dar la misma distribución de tensión.

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• Si hay galgas suficientes, y dependiendo de la frecuencia propia del primer modo de plataforma, al menos una galga siempre debería situarse en la plataforma del álabe.




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• Siempre se ha de tener presente las consideraciones del equilibrado del rotor a la hora de distribuir las galgas entre los álabes de cada etapa. Álabes estáticos (estátores): Debido a las características propias de estos componentes, los ensayos de galga pretenden determinar tanto la respuesta dinámica de los primeros modos, como la posibilidad de flameo en los perfiles aerodinámicos. Por los primeros modos se entienden los correspondientes a los modos de todo el segmento en conjunto (en ménsula), como a los propios de flexión y torsión de los perfiles agrupados en un mismo segmento, y a los primeros de las plataformas (especialmente la plataforma interior). Por algunas de las razones explicadas en los álabes rotatorios, un segmento de vanos se instrumenta con todas las posiciones de galga seleccionadas, y otros tres segmentos separados

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cada 90º con las galgas que identifican los modos de perfil y plataforma considerados como más peligrosos. 11.2.2- Certificación y Vibraciones.

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Objetivo del ensayo

La información básica del comportamiento dinámico de un componente que se desea obtener con el empleo de las galgas se puede resumir en:

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Determinar las fuentes de excitación son las más importantes en el motor.

-

Determinar los modos naturales que están siendo excitados por las fuentes anteriores.

-

Determinar la medida de la amplitud de la vibración.

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Esta información que se desea obtener con el empleo de las galgas esta limitada en términos de cantidad y calidad por varios factores, algunos de los cuales se detallan a continuación. el número limitados de los canales disponibles en los sistemas de telemetría limitan que sólo un número reducido de condiciones (modos naturales) para un número limitado de componentes rotatorios (álabes) puedan ser cubiertos.

-

El ambiente hostil en el que se instalan los SG's produce también una alta mortandad y que solo se aseguren medidas durante un cierto intervalo de tiempo. Esta mortandad reduce la cantidad de los datos que pueden ser recogidos durante el ensayo.

-

Las galgas uniaxiales que se usan normalmente en los ensayos de los motores, únicamente pueden medir el promedio de la deformación que sufre la estructura en una dirección, lo cual es insuficiente para describir el estado de tensiones en cualquier punto del mismo. En el caso de álabes con una geometría compleja, un estado de tensiones 3D y a menudo con materiales no isotrópicos, la conversión de las medidas de las galgas en tensiones no es inmediata.




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-

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La imposibilidad de situar las galgas en los puntos de máxima tensión para cada modo de vibración de las potenciales resonancias, y por tanto, de determinar con exactitud su valor. Esto es debido a que las tensiones pico se encuentran concentradas en áreas de tamaño más reducido que la propia extensión de la galga, y en lugares de concentradores geométricos que dificultan la adecuada fijación de las galgas. Además, debido al gradiente de tensión tan grande existente en esas localizaciones, el posible error de posicionamiento de la galga, tanto de traslación como de rotación, puede traducirse en un gran error en la determinación de los niveles de vibración.

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Estas dificultades pueden ser superadas supliendo la carencia de datos experimentales con la disponibilidad de los análisis teóricos obtenidos de detallados modelos 3D de elementos finitos. Sin embargo hay que tener en cuenta que solamente las estructuras con un comportamiento lineal pueden ser razonable y representativamente simuladas.

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En el caso concreto de los álabes rotatorios de las turbinas de gas, los resultados de las galgas muestran aquellas frecuencias que son excitadas a una determinada velocidad e indican la magnitud de la deformación en la dirección de medida y en una localización concreta del álabe. Comparando estos resultados con el diagrama de Campbell generado a partir de los análisis teóricos es posible identificar el modo de interés, y obtener la distribución real de tensiones escalando la distribución modal a partir de las deformaciones medidas con las galgas. Proceso de certificación

A continuación se detalla el proceso de certificación que se puede seguir a la hora de determinar los picos vibratorios de tensión en las condiciones de funcionamiento del motor.

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i./ Previo al ensayo, es necesario determinar las localizaciones y direcciones de medida donde situar el mínimo de galgas posible para cubrir en el rango de funcionamiento del motor las potenciales resonancias de los componentes del motor. Para ello es necesario apoyarse o de disponer de modelos detallados de elementos finitos. Como se ha comentado anteriormente, estos modelos matemáticos deben de estar validados con mediciones en laboratorio y en condiciones de temperatura y velocidad fácilmente reproducibles (modelos “blade alone” en el caso de álabes rotatorios de turbina). Algunas recomendaciones a seguir pueden ser las siguientes: Determinar las deformadas naturales de interés, es decir aquellas que pueden resonar con las potenciales fuentes de excitación que pueden afectar al componente que se analiza.

-

Para cada modo de interés determinar las localizaciones o regiones en donde los niveles de tensión son importantes en magnitud y representativos del modo, lo más uniaxiales y estables posibles a pequeñas variaciones en la posición de la galga. Los valores recomendados son:




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-

Sensibilidad a la medida de la galga > 50%. Error de la medida a la variación de la posición < 10% del nominal Error (%) = 100 ⋅

Sensibilidad Pr omedio a la Localización Valor No min al SG

Sensibilidad Pr omedio a la Localización =

1 n ⋅ ∑ (Valor desviado SG ) − (Valor No min al SG ) n i=n

siendo n el número de localizaciones dentro de las tolerancias de posición donde se avalúan las respuestas teóricas de la galga.

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Considerando una tolerancia en el posicionamiento de la galga de: Rotación = ±5.0º Traslaciones = ±1.0 mm Cumpliendo las dos condiciones anteriores en la medida que sea posible, se trata de encontrar aquellas localizaciones comunes al mayor número de modos naturales de interés. Como estas localizaciones son comunes a varios modos, y en muchos de los casos con un nivel de tensión parecido, hay que tener especial cuidado en poder identificar o discriminar adecuadamente todos los modos naturales mediante las frecuencias o las medidas de las galgas.

-

Debido a la alta mortandad de las galgas, es aconsejable que un mismo modo se determine mediante varias galgas en posiciones diferentes dentro de un mismo componente.

-

Si hay una variación circunferencial en la posición del componente como es el caso de los álabes de una turbina de gas, es también recomendable repetir varias posiciones de las galgas en diferentes componentes para ver la variación del comportamiento dinámico con su posición circunferencial. Esta variación puede deberse tanto a los cambios de frecuencia posibles como consecuencia de las variaciones de peso y rigidez (“mistuning”) dentro de un mismo componente, como a la variación debida a los diámetros nodales en cada resonancia en concreto.

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ii./ Durante el ensayo, es necesario identificar las variaciones en amplitud, frecuencia y velocidad con el tiempo durante el rango de funcionamiento del motor. Otros parámetros importantes que son necesarios también identificar son la temperatura y la presión, para poder determinar con la mayor precisión posible tanto la condición de funcionamiento de la turbina, como las variaciones de las medidas de las galgas con las condiciones ambientales en las que realiza la medición.




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iii./ Después del ensayo, los datos recogidos deben de ser procesados y reproducidos en gráficos en los que se muestran la variación de la deformación y frecuencia varia con el tiempo. El estudio de estos datos permite determinar los valores de máxima respuesta y la frecuencia a la que ocurre. Debido a la gran variación de la medida de la temperatura con la velocidad del motor, se hace necesario corregir las mediciones con la temperatura a través del llamado factor de galga (“gauge factor”). iv./ Para poder calcular la distribución “real” de tensiones a lo largo del componente, es necesario calcular previamente el factor de escala con respecto a la distribución modal de tensiones obtenida por medio de los modelos de elementos finitos. Para ello es necesario estimar para cada modo identificado en el ensayo y con la ayuda del modelo FEM, las deformaciones promedio (“ average strain”) superficiales en la posición y dirección de la galga teniendo en cuenta sus dimensiones. El factor de escala puede entonces ser determinado de acuerdo a la siguiente formula: factor escala = εm / εFE

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donde, εm es la deformación medida por la galga y corregida con la temperatura, y εFE es la deformación obtenida del modelo matemático (modelo elementos finitos).

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Las dimensiones del área de medida más común en las galgas extensiométricas utilizadas en los ensayos de un motor son: 3.48 mm (longitud) x 4.064 (anchura). La aplicación de este factor de escala a la distribución de tensiones obtenida del modelo FEM permite obtener el campo de tensiones en cual punto del componente. Estos niveles de tensión vibratoria en combinación con las tensiones debidas a las cargas estacionarias pueden entonces compararse con la resistencia a la fatiga del material y estimar la vida del componente. Hay que tener en cuenta que el factor de escala es para cada galga, y si son varias las galgas que determinan un mismo modo hay que saber discernir dentro de la variación de la medida para poder calcular el adecuado factor de escala para cada modo natural identificado durante el ensayo.

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v./ La aproximación mas usual para escalar las tensiones modales es la amplitud del desplazamiento en el extremo más exterior del álabe (“blade tip amplitude”), lo cual no es tan sencillo de medir en el caso de alabes con “shroud” para las condiciones de funcionamiento del motor. Normalmente en esta región se produce el mayor desplazamiento absoluto del álabe.

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Teniendo en cuenta lo anterior un método muy útil para la normalización de los modos naturales, vectores propios, obtenido a través de los análisis teóricos consiste en normalizarlos con respecto al máximo desplazamiento. Esta normalización puede ser a su vez de dos formas, una primera independiente de la frecuencia considerando el máximo desplazamiento absoluto como la unidad, y otro teniendo en cuenta la frecuencia y haciendo que el máximo desplazamiento por la frecuencia del modo natural sea la unidad. Con este último método de normalización, denominado af (Amplitud x Frecuencia), se puede también definir los niveles de vibración existente en el componente de estudio en una resonancia. Toda deformación vibratoria en la posición de la galga o cualquier posición crítica se puede relacionar con o para una amplitud equivalente en el extremo superior del álabe o af.




La respuesta final sobre el nivel de vibraciones existente en el motor para una resonancia particular puede ser interpretado en términos de porcentaje de los limites vibratorios (“endurance ratio”) para 1E+07 ciclos rotatorios a flexión (“rotating bending”). Para tener en cuenta el factor R (tensión media distinta de cero) se deben de disponer de los apropiados datos de materiales (R-M diagrama) o en caso contrario aplicar el diagrama de Goodman. En el caso de los componentes de las turbina de baja presión, las tensiones vibratorias no deberían superar el 40% ó 50% de los valores limites de HCF, “endurance limit”, para mostrar un comportamiento dinámico satisfactorio. Valores superiores se deben revisar a tendiendo a experiencias pasadas. Los valores limites vibratorios para 1E+07 ciclos obtenidos con probetas de materiales son valores teóricos que deben corregirse por un factor para aplicar al diseño en concreto con ensayos de fatiga de componente. Este factor sólo aplica a las tensiones alternantes. En

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ausencia de datos de fatiga de componente un factor de 0.8 basado en la experiencia puede aplicarse a los datos de probetas de materiales.

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11.2.3- Interpretación de los resultados de los SG .




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Para poder interpretar las lecturas de las galgas (SG) primero se debe de disponer de la calibración de las galgas a temperatura constante (20ºC) y sin carga, y de la evolución de su medida con la variación de la temperatura en el rango de funcionamiento del ensayo (motor). Este factor corrector por la temperatura puede ser en deformada (TE) o en tensión (TS), y debe ser aplicado a las lecturas obtenidas de los SG durante el ensayo del motor para la temperatura del modo de resonancia y en la localización de la galga. La calibración de las galgas consiste es otro ensayo experimental de laboratorio. El factor corrector para la tensión además de tener en cuenta la variación de la deformación de la galga con la temperatura, tiene en cuenta la variación del Modulo de Young.

Figura 11.3.3.1 Factor corrector de lectura en deformación del SG con la temperatura

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Figura 11.3.3.2 Factor corrector de lectura en tensión (Modulo de Young)del SG con la temperatura

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El cálculo de los porcentajes de los limites vibratorios para 1E+07 (“endurance ratio”, HCF ratio) esta basado en la hipótesis de que la proporción entre los valores de tensión en diferentes puntos es constante dentro de un modo, independiente de la condición de temperatura. Y además, que esa relación es la misma en el componente que en los modelos matemáticos (elementos finitos) una vez validado. Si esa validación del FEM no fuese satisfactoria, la relación de tensiones dentro de un mismo modo no podría aplicarse al modelo, los modos naturales serian diferentes.

Factor Dinámico = AF = (SGmotor · TE) / εmodelo,@ SG

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σwp,motor = Factor Dinámico · σwp,modelo FEM

Siendo,




σpermitdo = CF · σFS · (1 – σmedia/UTS)

Aplicando la corrección por Goodman.

HCF ratio = (σwp,motor / σpermitdo)

SGmotor

lectura en deformación de la galga (SG) en la condición de resonancia

εmodelo,@ SG

valor de la deformación del modelo en la posición de la galga y para la condición en que se produce la resonancia en el ensayo.

TE

factor corrector por temperatura para deformación

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i σwp,motor

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máxima tensión pico principal del componente (en la localización crítica) en la condición de resonancia.

σwp,modelo FEM Máxima tensión pico principal del modelo en la condición de resonancia. tensión limite vibratoria para 1E+07 ciclos rotatorios a flexión R=-1.

CF

factor de escala de datos de fatiga de probeta al componente.

σmedia

tensión media estacionaria del modelo en la localización crítica (σwp,motor)

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σFS

Basado en la experiencia, un comportamiento dinámico satisfactorio requiere que el ensayo de galgas verifique que se cumple HCF ratio < 0.5.




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Normalmente no se disponen de los valores de tensión/deformación del modelo matemático para cada condición de resonancia, sino que se escalan en función de la velocidad (rpm) a la que ocurre la resonancia. La temperatura se escala lineal con la velocidad, mientras que las tensiones se escalan al cuadrado.

Figura 11.2.3.1. Aspecto del formato de medida de comportamiento dinámico.

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Figura 11.2.3.2. Aspecto de los datos de medida de comportamiento dinámico. (Waterfall plots)

11.3- Especificación de Ensayos.

Co

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La información básica requerida para definir el ensayo de galgas y determinar/valorar el comportamiento dinámico es la siguiente: Diagrama de Spoke o Campbell donde se identifique los modos de interés y las potenciales resonancias.

-

Definición de las deformadas modales y las distribuciones de tensión.

-

Descripción del método (normalización) utilizado en los cálculos teóricos.

-

Definición de la posición de las galgas en función de las necesidades y limitaciones de acuerdo a los requerimientos de sensibilidad y error de la medida por la posición. Se debe especificar la tolerancia máxima aceptable en la instrumentación de las galgas.

-

Definición de las condiciones del ensayo: ciclo, velocidad y temperatura.




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Información tabular con los siguientes datos:

• • • • •

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•

Lecturas de las galgas in deformación por modo y posición atendiendo al método de normalización y de definición de los niveles de vibración (por ejemplo para un af = 1mhz) Sensibilidad de cada galga y la amplitud de la máxima tensión principal por cada modo de interés. Error a la posición de cada galga. Tolerancias consideradas. Magnitud y localización de los picos de tensión alternante para 1mhz de nivel de vibración. Lecturas límites de seguridad de las galgas para predecir fallo en el componente durante los ensayos. Datos para la calibración en laboratorio y en las condiciones de funcionamiento del motor: medida de la deformación y sus correspondientes pico de tensiones. En el caso de álabes rotatorios estos datos son paras las configuraciones de con y sin disco (“bladed disc & blade alone”).

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Para los ensayos de validación de los modelos matemáticos en laboratorio se ha de definir la cantidad, configuración, número de modos y restricciones. Además de especificar la temperatura y velocidad del ensayo. En los ensayos de validación de la resistencia a fatiga a temperatura del componente también hay que especificar la siguiente información:

Pa

pia

la cantidad de cada estándar (configuración) a ensayar la temperatura de ensayo el modo de vibración (“flap” o torsión) el tipo de ensayo: incremental o para vida constante ( 1E+06 ó 1E+07) metodología del ensayo.

Co

-




Todo los ensayos de motor deben de cumplir con los requerimientos definidos en la norma JARE 650. En esta norma se definen los requerimientos de los ensayos de motor para verificar las características dinámicas mediante una combinación de análisis y ensayos. Los requerimientos de vibraciones de la JAR-E 650 son los siguientes: (a) Each Engine must undergo vibration surveys to establish that the vibration characteristics of those components that may be subject to mechanically or aerodynamically induced vibratory excitations are acceptable throughout the declared flight envelope. The Engine surveys and their extent shall be based upon an appropriate combination of experience, analysis and component test and shall address, as a minimum, blades, vanes, rotor discs, spacers and rotor shafts.

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i

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(c) Evaluations shall be made of:

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

(b) The surveys shall cover the ranges of power or thrust and both the physical and corrected rotational speeds for each rotor system, corresponding to operations throughout the range of ambient conditions in the declared flight envelope, from the minimum rotational speed up to 103% of the maximum physical and corrected rotational speed permitted for rating periods of two minutes or longer and up to 100% of all other permitted physical and corrected rotational speeds, including those that are overspeeds. If there is any indication of a stress peak arising at the highest of those required physical or corrected rotational speeds, the surveys shall be extended sufficiently to reveal the maximum stress values present, except that the extension need not cover more than a further 2 percentage points increase beyond those speeds.

(1) the effects on vibration characteristics of operating with scheduled changes (including tolerances) to variable vane angles, compressor bleeds, accessory loading, the most adverse inlet airflow distortion pattern declared by the manufacturer and the most adverse conditions in the exhaust duct(s); and (2) the aerodynamic and aeromechanical factors which might induce or influence flutter in those systems susceptible to that form of vibration.

FO R

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(d) Except as provided by (e), the vibration stresses associated with the vibration characteristics determined under this JAR–E 650, when combined with the appropriate steady stresses, must be less than the endurance limits of the materials concerned, after making due allowances for operating conditions and for the materials’ permitted variations in properties. The suitability of these stress margins must be justified for each part. If it is determined that certain operating conditions, or ranges, need to be limited, operating and installation limitations shall be established.

Pa

Co

pia

(e) The effect on vibration characteristics of excitation forces caused by fault conditions (such as, but not limited to, out-of-balance, local blockage or enlargement of stator vane passages, fuel nozzle blockage, incorrectly scheduled compressor variables, etc.) shall be evaluated by test or analysis or by reference to previous experience and be shown not to create a hazardous condition.




(f) Compliance with this JAR–E 650 shall be substantiated for each specific installation configuration that can affect the vibration characteristics of the Engine. If these vibration effects cannot be fully investigated during Engine certification, the methods by which hey can be evaluated and compliance shown shall be substantiated and defined in the installation instructions required by JAR–E20(d).

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12.- Medida del comportamiento dinámico por el Método de los Elementos Finitos. 12.1.- Datos para la generación del modelo.

1.- La geometría del componente.

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

Los elementos fundamentales para hacer el análisis de vibraciones de un componente son cuatro:

2.- Las condiciones de contorno de la estructura. 3.- Las propiedades del material.

4.- El tipo de excitación a que está sometido el componente

En este punto es donde podemos especificar la necesidad del uso de modelos de elementos finitos para ayudarnos a analizar el comportamiento dinámico del componente. 12.2.- Pasos para el Análisis.

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Para el análisis dinámico es importante tener en cuenta lo siguiente:

FO R

1.- Tener claros cuales son los criterios de diseño que se van aplicar al componente. Es necesario conocer los objetivos del análisis antes de generar el MEF, como trabaja este componente en servicio, cuáles son las cargas a que se encuentra sometido y lógicamente la aproximación al cálculo dinámico que se va a utilizar. 2.- Conocer los datos del material.

Co

pia

3.- Construir el MEF y comprobar su calidad mediante el uso de las recomendaciones que aparecen en la pauta IET-102-001.




Pa

4.- Definir el tipo de análisis dinámico. Que la carga actuante sea proveniente de una vibración con lo cual será necesario el análisis dinámico correspondiente, ya sea en condiciones estacionarias o transitorias, incluso puede ser necesario un análisis de respuesta. 5.- Si se tienen múltiples casos de carga, es conveniente calcular los casos unitarios y hacer la combinación posterior. Lógicamente esto es aplicable para cálculos lineales. Existen en ITP herramientas desarrolladas para realizar la combinación de cargas teniendo en cuantas las excedencias en cada condición de vuelo. 6.- Considerar las experiencias anteriores de componentes similares. Este supuesto es muy utilizado pues es muy difícil poder reproducir todas las condiciones en que se va a encontrar un componente en funcionamiento. 7.- Definir si se cumple con los requisitos del proyecto.

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12.3.- Recomendaciones para el Análisis. Las siguientes recomendaciones deben tenerse en cuenta:

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1.- Se debe representar el componente de forma precisa, tanto en su comportamiento físico como en las propiedades del material. 2.-Se debe tener mucho cuidado en la definición de cargas y condiciones de contorno. Pues estas tienen gran influencia en el comportamiento dinámico. 3.- Normalmente para el cálculo de vibraciones, se pueden usar modelos no excesivamente precisos y en cada caso se verá la conveniencia del uso de elementos sólidos o elementos placa. En este sentido hay que tener especial cuidado de cómo se considera el comportamiento del elemento cáscara, pues algunos “solver” no son capaces de calcular la deformación fuera del plano del elemento, haciendo inviable el cálculo de los invariantes de deformación (Von Mises, deformaciones principales).

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

4.- Se deben elegir adecuadamente los elementos a utilizar en el mallado, pues estos tienen que tener la capacidad de poder calcular de forma precisa los valores de tensión o deformación en los nudos. Generalmente, los elementos de mayor orden suelen dar resultados más precisos.

FO R

5.- La densidad del mallado puede tener influencia en el cálculo, es importante conocer el error que se comete debido a la discretización elegida. 6.- La calidad del mallado es importante, y a ser posible se evitará el uso de elementos triangulares o “wedges”.

Co

pia

7.- El uso de elementos “gap” ha de ser cuidadoso en los análisis dinámicos. Debería tratarse como si fuera un análisis transitorio. Se deberá realizar un análisis no lineal considerando incrementos de carga para simular el contacto usando elementos “gap”. Con esto todas las cargas exteriores deberán ser aplicadas de forma simultánea en el mismo análisis y obtener así la historia de tensiones.




Pa

8.- Es importante correlar los resultados del análisis con los resultados de ensayos; el método a utilizar se describirá en el siguiente apartado.

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Figura 12.3.1. Ejemplo de discretización y resultados usando el MEF

12.4.- Validación de Modelos de Elementos Finitos.

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12.4.1- Consideraciones Generales.

FO R

Existen varios ensayos dinámicos que soportan la validación de los modelos matemáticos. Estos ensayos se apoyan en el uso de galgas extensiométricas para determinar las frecuencias y deformadas modales de un número representativo de resonancias. Las localizaciones de fallo definida durante los ensayos de fatiga del componente a temperatura (“hot fatigue testing”) también deben de mostrar un alto grado de correlación con las predicciones de las posiciones de fallo del modelo de elementos finitos.




Pa

Co

pia

Los modelos de elementos finitos deben de estar validados con mediciones en laboratorio y en unas condiciones de contorno (fijaciones), temperatura y velocidad fácilmente reproducible. En el caso de los álabes rotatorios de una turbina, estas condiciones para su validación en laboratorio son a 20ºC y 0rpm para una fijación infinitamente rígida en lo que seria su unión al disco (“root fixing block”). El número de modos que se deben de registrar para su validación debe de ser representativo con respecto a los modos de mayor importancia en el comportamiento dinámico del componente y sus potenciales resonancias. Normalmente y en el caso concreto de álabes rotatorios de turbina se deben registrar los 6 primero modos naturales, aunque su número depende de la configuración de los álabes. Para configuraciones de un perfil aerodinámico el número de modos a correlacionar es mayor que en una configuración de pares, 10 frente a 6 ó 4. En el caso de álabes estáticos, la validación de los modelos con medidas de laboratorio se realiza para la configuración libre-libre ante la dificultad de simular las condiciones de contorno adecuadamente. Se obtiene de esta forma los modos de flexibilidad del componente. La verificación de las frecuencias es directa entre los resultados del ensayo de galgas y el modelo de elementos finitos, y lo mismo ocurre para las localizaciones de fallo en el caso de los

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ensayos de fatiga del componente a temperatura. Sin embargo no es directa la comparación de la deformada modal entre los resultados el modelo de elementos finitos y los datos de las galgas. Para poder comprar las deformadas existen varias técnicas, la que a continuación se presenta se denomina MAC (Modal Assurance Criterion). Estas comparaciones (“dynamic model updating”) se pueden hacer siempre y cuando el número de medidas, galgas, instaladas sobre el componente sea significativo o representativo de cara a los modos a comparar. 12.4.2- Criterio MAC (Modal Assurance Criterion)

El criterio MAC mide en general el grado de proporción que existe entre dos vectores (modales), en la forma de un coeficiente de correlación para una estimación de cociente de mínimos cuadrados. En la actualidad este criterio se utiliza dentro de la actualización dinámica de modelos para comparar los vectores modales analíticos y las mediciones experimentales. Esta aplicación puede se también una herramienta muy útil a la hora de detectar regiones de una estructura (componente) con un bajo grado de correlación experimental-modelo, que distorsiona el posible alto grado de correlación existente en el resto del componente. Se define los valore MAC como:

2

t

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MAC (ψ a ,ψ e

({ψ } ⋅ [W ]⋅ {ψ }) )= ({ψ } ⋅ [W ]⋅ {ψ })⋅ ({ψ } ⋅ [W ]⋅ {ψ }) a

t

a

e

e

FO R

a

e t

donde,

{ψa} = vector modal analítico {ψe} = vector modal experimental [W] = matriz de peso

Co

pia

El valor resultante MAC (ψa,ψe) es un coeficiente de correlación que varia siempre entre 0 y 1. El valor de 1 indica una correlación o proporción perfecta, y un valor de 0 indica que no hay una relación lineal completa entre los dos vectores.




Pa

La principal ventaja del método es que cuantifica el grado de proporcionalidad sólo con un número. Sin embargo, su aspecto más desfavorable radica en que aquellas diferencias fuertemente localizadas no se pueden llegar a detectar. Además dependiendo del problema, pequeño o largos desplazamientos, o alta o baja energía de deformación, la matriz de peso debe de ser distinta. La matriz de peso [W] puede ser la matriz de masa [M] o la matriz de rigidez [K]. • Se utiliza [W] = [M] para ponderar:

-

los desplazamientos modales más grandes los nudos con energía cinética más grande.

Es aplicable a los modos de frecuencia más baja en los que la masa es preponderante frente a la rigidez.

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• Se utiliza [W] = [K] para ponderar: los desplazamientos modales más pequeños los nudos con energía elástica más grande.

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-




Pa

Co

pia

FO R

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Es aplicable a los modos de frecuencia más alta en los que la rigidez es preponderante frente a la masa. El método MAC también puede aplicarse a áreas parciales del componente y verificar por regiones el grado de correlación de las distintas partes de modelo de elementos finitos.

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13.- REFERENCIAS.

Manual de Cálculo de Estructuras Radiales. MET-102-001

2.

Roark´s Formulas for Stress & Strain. Warren C. Young. McGraw-Hill.

3.

Mechanical Vibrations, J.P. Den Hartog. Dover

4.

Bruhn, E. F.: Analysis and Design of Flight Vehicle Structures, Jacobs Publishing Inc., 1973.

5.

Manual de Cálculo de Alabes de Rotor. MET-102-004.

6.

Turbomachine Blade Vibration. J.S. Rao John Wiley & Sons.

7.

Pauta de Verificación de modelos matemáticos. IET-102-001

8.

Manual de Cálculo de Discos de Turbina. MET-102-002

9.

Manual de Criterios de Cálculo de álabes de rotor. MET-102-009

10.

How to tackle with Non-linear FEM analyses (NAFEMS)

11.

Engineering Science Data Units (ESDU)

12.

ASTM Fatigue Test

13.

Newland, D.E.: Vibraciones aleatorias y análisis espectral, Editorial AC,

14.

M.J. Goodwin: Dynamics of Rotor-Bearing Systems, University Press, 1989.

15.

MSC/NASTRAN Handbook for Dynamic Analysis.

16.

El Método de los Elementos Finitos, O.C. Zienkiewicz, Reverté S.A.

17.

Structural Dynamic Characteristics of Bladed Assemblies. D.J.Ewins

18.

Flutter Mechanism in LPT Blades, M. Nowinski, J. Panovsky, ASME 98-GT-573

19.

TRENT 900 LPT DESIGN CRITERIA, JVA/ET/235/T/074, Dec 2001




Pa

Co

pia

FO R

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

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1.

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PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

APENDICE 1 Ejemplos de dinámica de rotores con MSC.Nastran v70.7

G A

B L1

L2

Ω

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

E=210000 MPa I=2898119.22 mm4 (tubo de rext=50 mm y rint=40 mm) Shear factor=0.5 L1=800 mm L2=400 mm m=0.1 Mg Ip=4500 Mg·mm2 Id=2250 Mg·mm2 ρ=7.89e-9 Mg/mm3

1234 23

1 17 0. 50. 100. 150. 200. 250. 300. 350. 400. 450. 500. 550. 600. 650. 700. 750. 800. 850. 900. 950. 1000. 1050.




1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

Pa

eje.bdf SPC1 SPC1 GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID GRID

Co

pia

FO R

1. Calculo de frecuencias asíncronas para Ω=60 Hz. 1a. El rotor se considera un sólido rígido ( alter “ridgyroa.v707”) 1b. El rotor es un sistema equivalente de masas (alter “segyroa.v707”) 2. Calculo de frecuencias síncronas para 1EO (n=1). 2a. El rotor se considera un sólido rígido ( alter “ridgyroa.v707”) El modelo de elementos finitos del eje esta formado por 24 elementos viga (1 elemento = 50 mm ):

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

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i 23 24 25 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 50. 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 40. 210000.

1100. 1150. 1200. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0. 0. 0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 TUBE

0. 0. 0.

0.3

7.8-9

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.

Edición: 1 Revisión: 0 Pág 97 de 101

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GRID GRID GRID CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR CBAR PBARL + MAT1

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+




Pa

Co

pia

SOL 107 TIME 99 INCLUDE 'ridgyroa.v707' CEND TITLE= SHAFT EXAMPLE SUBTITLE=MODES with gyro-NOsync DISP=ALL SPC=1 CMETHOD=100 BEGIN BULK PARAM POST -1 PARAM GRDPNT 0 PARAM SYNC NO PARAM,RPM,3600. EIGC 100 clan DTI RGYRO 0 DTI RGYRO 1 25 4500. CONM2 100 25 0.1 + 4500. 2250. INCLUDE 'eje.bdf' ENDDATA

FO R

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Ejemplo 1a. ¾ Calculo de frecuencias asíncronas para Ω=60 Hz. ¾ El rotor se considera un sólido rígido ( alter “ridgyroa.v707”)

20

1

1.

+

2250.

Los resultados de frecuencias de resonancia son: ROOT NO. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

EXTRACTION ORDER 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C O M P L E X E I G E N V A L U E S U M M A R Y EIGENVALUE FREQUENCY DAMPING (REAL) (IMAG) (CYCLES) COEFFICIENT -2.305901E-11 -2.167442E+02 3.449592E+01 2.127762E-13 -2.305901E-11 2.167442E+02 3.449592E+01 2.127762E-13 -3.509278E-13 -2.944416E+02 4.686184E+01 2.383684E-15 -3.509278E-13 2.944416E+02 4.686184E+01 2.383684E-15 2.419125E-11 -3.320439E+02 5.284642E+01 -1.457112E-13 2.419125E-11 3.320439E+02 5.284642E+01 -1.457112E-13 8.341738E-10 -1.229127E+03 1.956217E+02 -1.357343E-12 8.341738E-10 1.229127E+03 1.956217E+02 -1.357343E-12 9.114812E-10 -1.852612E+03 2.948523E+02 -9.839960E-13 9.114812E-10 1.852612E+03 2.948523E+02 -9.839960E-13 -1.580492E-08 -2.130843E+03 3.391342E+02 1.483443E-11 -1.580492E-08 2.130843E+03 3.391342E+02 1.483443E-11

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i 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

3.172996E-10 3.172996E-10 4.940865E-10 4.940865E-10 9.383979E-08 9.383979E-08 1.089587E-07 1.089587E-07 2.736445E-07 2.736445E-07 4.057871E-02 4.057871E-02

-3.124095E+03 3.124095E+03 -3.133384E+03 3.133384E+03 -9.338239E+03 9.338239E+03 -9.339188E+03 9.339188E+03 -1.392731E+04 1.392731E+04 -1.802629E+04 1.802629E+04

4.972151E+02 4.972151E+02 4.986936E+02 4.986936E+02 1.486227E+03 1.486227E+03 1.486378E+03 1.486378E+03 2.216601E+03 2.216601E+03 2.868974E+03 2.868974E+03

Edición: 1 Revisión: 0 Pág 98 de 101 -2.031306E-13 -2.031306E-13 -3.153692E-13 -3.153692E-13 -2.009796E-11 -2.009796E-11 -2.333366E-11 -2.333366E-11 -3.929609E-11 -3.929609E-11 -4.502169E-06 -4.502169E-06

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

MANUAL DE CALCULO DE VIBRACIONES

Considerando únicamente las frecuencias cuya componente imaginaria (IMAG) es positiva, se identifican los modos de flexión, tracción y torsión de la viga. Los modos de flexión “forward” se identifican como aquellos en los que el vector desplazamiento “real” en el plano yz de un nudo del eje está adelantado respecto al vector desplazamiento “imaginario”; en caso contrario el modo de flexión es “backward”. z

z real

imaginario

y

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

real BACKWARD

Pa

Co




Frecuencia [Hz] 34.496 46.862 52.846 195.622 294.852 339.134 497.215 498.694 1486.227 1486.378 2216.601

Forma del modo

FO R

Mode number 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

pia

imaginario FORWARD

y

1º flexión back 1º torsión 1º flexión forw 2º flexión back 2º flexión forw 1º tracción 3º flexión back 3º flexión forw 4º flexión back 4º flexión forw 2º tracción

Ejemplo 1b. ¾ Calculo de frecuencias asíncronas para Ω =60 Hz. ¾ El rotor es un sistema equivalente de masas (alter “segyroa.v707”): 4 masas de 0.025 Mg orientadas a 0, 90, 180 y 270 grados con un radio de 212.132 mm que resultan en una inercia diametral de 2250 Mg·mm2 y una inercia polar de 4500 Mg·mm2. Estas masas se conectan al nudo extremo del eje con vigas de rigidez muy alta. Ejecución inicial SOL 101 TIME 99 INCLUDE 'segyroa.v707'

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i

MANUAL DE CALCULO DE VIBRACIONES

CEND TITLE= SHAFT EXAMPLE SUBTITLE=MODES with gyro-NOsync DISP=ALL SPC=1 LOAD=1 $CMETHOD=100 BEGIN BULK $PARAM POST -1 $EIGC 100 clan $ FOUR MASSES GRID 101 1200. 212.132 0. GRID 102 1200. 0. 212.132 GRID 103 1200. -212.1320. GRID 104 1200. 0. -212.132 CONM2 101 101 0.025 CONM2 102 102 0.025 CONM2 103 103 0.025 CONM2 104 104 0.025 CBAR 201 2 25 101 1. CBAR 202 2 25 102 1. CBAR 203 2 25 103 1. CBAR 204 2 25 104 1. PBARL 2 2 ROD + 1000. $ 60 Hz RFORCE 1 1 60. 1. 0. MAT1 2 210000. 0.3 INCLUDE 'eje.bdf' ENDDATA

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

20

+

0.

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Ejecución de RESTART

FO R

RESTART SOL 107 TIME 99 CEND TITLE= SHAFT EXAMPLE SUBTITLE=MODES with gyro-NOsync DISP=ALL SPC=1 LOAD=1 CMETHOD=100 BEGIN BULK PARAM POST -1 EIGC 100 clan ENDDATA

Edición: 1 Revisión: 0 Pág 99 de 101

Co

pia

20

Los resultados de frecuencias de resonancia son:C EIGENVALUE (REAL) (IMAG) -2.535711E-11 -4.494767E+01 -2.535711E-11 4.494767E+01 -1.407594E-09 -2.944407E+02 -1.407594E-09 2.944407E+02 -3.726439E-13 -5.937350E+02 -3.726439E-13 5.937350E+02 1.752958E-08 -1.475588E+03 1.752958E-08 1.475588E+03 3.284626E-08 -1.606084E+03 3.284626E-08 1.606084E+03 -1.029161E-08 -2.130738E+03 -1.029161E-08 2.130738E+03 -2.440145E-08 -2.756385E+03 -2.440145E-08 2.756385E+03 -1.459764E-08 -3.501079E+03 -1.459764E-08 3.501079E+03 3.342646E-06 -8.962167E+03 3.342646E-06 8.962167E+03 -1.810137E-05 -9.715200E+03 -1.810137E-05 9.715200E+03

Pa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

EXTRACTION ORDER 16 15 4 3 1 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 18 19 20




ROOT NO.

O M P L E X FREQUENCY (CYCLES) 7.153644E+00 7.153644E+00 4.686169E+01 4.686169E+01 9.449586E+01 9.449586E+01 2.348471E+02 2.348471E+02 2.556162E+02 2.556162E+02 3.391175E+02 3.391175E+02 4.386923E+02 4.386923E+02 5.572141E+02 5.572141E+02 1.426373E+03 1.426373E+03 1.546222E+03 1.546222E+03

E I G E N V A L U E DAMPING COEFFICIENT 1.128295E-12 1.128295E-12 9.561138E-12 9.561138E-12 1.255253E-15 1.255253E-15 -2.375945E-11 -2.375945E-11 -4.090230E-11 -4.090230E-11 9.660139E-12 9.660139E-12 1.770540E-11 1.770540E-11 8.338935E-12 8.338935E-12 -7.459459E-10 -7.459459E-10 3.726401E-09 3.726401E-09

S U M M A R Y

Considerando únicamente las frecuencias cuya componente imaginaria (IMAG) es positiva, se identifican los modos de flexión, tracción y torsión de la viga.

MET-102-024

i

MANUAL DE CALCULO DE VIBRACIONES

Edición: 1 Revisión: 0 Pág 100 de 101

Las frecuencias de flexión al estar obtenidas en el sistema rotatorio han de corregirse al sistema no rotatorio (frecuencias reales) con la siguiente formula:

f NR = signo(f R − Ω) ⋅ f R ± Ω

Mode number

Frecuencia en sistema rotatorio fR [Hz]

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

7.154 46.862 94.496 234.847 255.616 339.118 438.692 557.214 1426.373 1546.222

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

(+) forward (-) backward Frecuencia en sistema no rotatorio fNR [Hz] 52.846 46.862 34.496 294.847 195.616 339.118 498.692 497.214 1486.373 1486.222

Forma del modo

1º flexión forward 1º torsión 1º flexión backward 2º flexión forward 2º flexión backward 1º tracción 3º flexión forward 3º flexión backward 4º flexión forward 4º flexión backward

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Como puede apreciarse las frecuencias reales obtenidas son prácticamente las mismas que las obtenidas en el ejemplo 1a.

10




Pa

Co

pia

SOL 107 TIME 99 INCLUDE 'ridgyroa.v707' CEND TITLE= SHAFT EXAMPLE SUBTITLE=MODES with gyro-sync DISP=ALL SPC=1 CMETHOD=100 BEGIN BULK PARAM POST -1 PARAM GRDPNT 0 PARAM SYNC YES EIGC 100 CLAN DTI RGYRO 0 DTI RGYRO 1 25 4500. CONM2 100 25 0.1 + 4500. 2250. INCLUDE 'eje.bdf' ENDDATA

FO R

Ejemplo 2a. ¾ Calculo de frecuencias síncronas para 1EO (n=1). ¾ El rotor se considera un sólido rígido ( alter “ridgyroa.v707”)

1

1. + 2250.

Los resultados de frecuencia son: ROOT NO. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

EXTRACTION ORDER 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

C O M P L E X E I G E N V A L U E S U M M A R Y EIGENVALUE FREQUENCY DAMPING (REAL) (IMAG) (CYCLES) COEFFICIENT -1.869230E-14 2.366298E+02 3.766080E+01 1.579877E-16 5.798268E-14 2.944416E+02 4.686184E+01 -3.938484E-16 -8.001740E-14 3.238741E+02 5.154616E+01 4.941266E-16 -1.951191E-13 9.939524E+02 1.581924E+02 3.926127E-16 1.269857E+03 1.805090E-13 .0 .0 -3.979035E-14 2.130843E+03 3.391342E+02 3.734705E-17 -1.301287E-12 3.103406E+03 4.939224E+02 8.386187E-16 -2.596315E-14 3.117206E+03 4.961187E+02 1.665796E-17 6.241342E-11 9.327223E+03 1.484474E+03 -1.338307E-14 -2.483706E-11 9.334807E+03 1.485681E+03 5.321387E-15 -1.649737E-08 1.307127E+04 2.080356E+03 2.524219E-12

MET-102-024

i 12

12

MANUAL DE CALCULO DE VIBRACIONES

-7.651662E-08

1.312203E+04

2.088436E+03

Edición: 1 Revisión: 0 Pág 101 de 101 1.166231E-11

e interpretando los modos:

FO R

pia

Pa

Co




Forma del modo 1º flexión back 1º torsión 1º flexión forw 2º flexión back 1º tracción 2º flexión forw 3º flexión back 3º flexión forw 4º flexión back 4º flexión forw 5º flexión back

PA RA IN IN FO FO RM AT RM AC IO N I ON ÓN LY

Frecuencia [Hz] 37.661 46.862 51.546 158.192 339.134 493.922 496.119 1484.474 1485.681 2080.356 2088.436

en pa pe pe rc ls op erá yw SÓ ill LO be

Mode number 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12