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December 19, 2017 | Author: Jyuber Alvarez | Category: Fraction (Mathematics), Exponentiation, Multiplication, Subtraction, Integer
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Compilado por: Ing. / Lic. Jyuber E. Álvarez C. 1

TEMAS A ABORDAR EN LA UNIDAD DE ARITMÉTICA

-

-

-

-

Operaciones con fracciones aritméticas: a. Suma b. Resta c. Multiplicación d. División e. Potenciación Notación Científica a. Definición b. Operaciones con expresiones numéricas en notación científica. Razones y Proporciones a. Porcentajes b. Interés simple c. Interés compuesto Regla de tres simple y compuesta (directa e inversa) Conversiones de las Unidades de Medida a. Medidas de longitud. b. Medidas de capacidad. c. Medidas de superficie. d. Medidas de peso.

FORMACIÓN ACADÉMICA SOBRE EL INSTRUCTOR JYUBER E. ALVAREZ C.  Ingeniero en Sistemas de Información con énfasis en Programación.  Licenciado en Ciencias de la Educación con mención en inglés.  Diplomado en Didáctica de la Educación Superior.

OTROS ESTUDIOS:      

Curso de Matemática General – 2014. Curso de Inglés Básico, Intermedio y Avanzado. Curso en enseñanza del inglés a través del uso y manejo de las TICs. Achieving Excellence in the classroom – ANPI 2014 Innovation in Teaching English – UNAN-FAREM Chontales – 2016. Seguridad Informática con énfasis en virus, spyware y malware – 2015.

2

Manual de Aritmética para el Examen de Ingreso_____________________________________________________

Unidad No 1: Aritmética Tema 1: Operaciones con Fracciones Aritméticas (quebrados)           

Definición Suma de quebrados (fracciones) con igual y distinto denominador. Suma de números mixtos. Resta de quebrados con igual y distinto denominador. Resta de números mixtos. Suma y Resta combinadas de quebrados. Multiplicación de quebrados. Multiplicación de números mixtos. Fracciones Múltiples División de quebrados. Reducción de fracciones complejas.

DEFINICIÓN: Un número fraccionario o quebrado es el que expresa una o varias partes iguales de la unidad principal. Si la unidad se divide en dos partes iguales, estas partes se llaman medios; si se divide en tres partes iguales, estas partes se llaman tercios; en cuatro partes iguales, cuartos; en cinco partes iguales, quintos; en seis partes iguales, sextos; etc.

TÉRMINOS DEL QUEBRADO Un quebrado consta de dos términos llamado numerador y denominador. 2 3

Numerador Denominador 2

A como se puede apreciar en el quebrado , el denominador 3 indica que la unidad se ha dividido en tres 3

partes iguales, y el numerador 2, que se han tomado 2 de esas partes iguales.

OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS (QUEBRADOS) 1. Suma de quebrados con igual denominador. Regla: Se suman los numeradores y esta suma se parte por el denominador común. Se simplifica el resultado y se halla los enteros si los hay. Ejemplo No 1: El resultado de la operación A)

2 5

B) −

5 2

C)

3 2

Compilado por: Ing. / Lic. Jyuber E. Álvarez C.

3 4

7

+ es: 4

D)

5 2

E) Ninguna de las Anteriores (N.D.A)

1

Manual de Aritmética para el Examen de Ingreso_____________________________________________________ Solución: Sumamos los numeradores ya que los denominadores son iguales, y por tanto, el denominador común es 4: 3 7 3+7 10 5 (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟) = + = = 4 4 4 4 2

Respuesta

Tomando en cuenta nuestro resultado procederemos a encerrar la opción correcta que es el inciso D. 7

10

9

9

Ejemplo No 2: Al sumar los quebrados + A) 1

B)

7

C)

3

4

+ se obtiene el resultado de: 9

2 3

D) 0

E)

3 4

Solución: Aplicando la regla sumamos todos los numeradores y los dividimos o simplificamos por el denominador común que es 9: 7 10 4 7 + 10 + 4 21 7 (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜) = + + = = 9 9 9 9 9 3

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1

2

1. Al simplificar + el resultado que se obtiene es: 3

A) 3

B)

3

1

C) 2

3

3

1

5

7

4

4

4

4

D)

2 3

E) N.D.A.

2. Al computar + + + se obtiene: A) 4 3. Al sumar A)

41 40

B) 5 41 79

+

37 79

C) +

25 79

+

71 79

+

63 79

B) -1

B) 3

3

D) 3

E) 0

se obtiene como resultado:

C) 3

1

7

17

5

5

5

4. El resultado de la suma + + A) 5

11

D)

1 2

E) 2

es:

C) 10

Compilado por: Ing. / Lic. Jyuber E. Álvarez C.

D) 15

E) 1

2

Manual de Aritmética para el Examen de Ingreso_____________________________________________________

2. Suma de quebrados de distinto denominador Regla: Se simplifican los quebrados dados si es posible. Después de ser irreducibles se reducen al mínimo común denominador y se procede como en el caso anterior. Ejemplo No 1: Al efectuar A)

13 10

12 48

+

21 49

B) 13

+

23 60

C)

se obtiene como resultado:

223 210

D)

23 10

E)

10 23

Solución: Aplicando la regla simplificamos cada quebrado si es posible. Veamos: 12 1 = ; 48 4

21 3 = 49 7

;

23 60

Una vez que no se puedan seguir simplificando, procedemos a reducir al mínimo común denominador y hacer las operaciones antes realizadas: 1 3 23 105 + 180 + 161 446 223 (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜) = + + = = 4 7 60 420 420 210

3

2

3

8

3

4

Ejemplo No 2: Al computar + + se obtiene: A)

41 40

B)

24 43

C) 43

D) √3

E) N.D.A.

Solución: Comprobamos si cada uno de los quebrados se puede simplificar o no, para luego proceder a encontrar el mínimo común denominador: 3 2 3 9 + 16 + 18 43 + + = = 8 3 4 24 24

Ejemplo de cómo sumar quebrados utilizando el método de multiplicación en aspas: 3 2 3 3 2 3 9 + 16 3 + + = (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑎𝑠𝑝𝑎𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) + + = + = 8 3 4 8 3 4 24 4 25 3 100 + 72 172 43 (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜) = + = = 24 4 96 96 24

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3

Manual de Aritmética para el Examen de Ingreso_____________________________________________________

3. Suma de números mixtos Regla: Se suman por separado los enteros y los quebrados. A la suma de los enteros se añade la suma de los quebrados, y el resultado de esta suma será la suma total. 2

4

1

3

8

6

Ejemplo: Al sumar 5 + 6 + 3 obtenemos como resultado: A) 2

1

B) 1

3

2

1

C) 1

3

D) 3

3

4

E) 15

3

1 3

Solución: Sumando los enteros por separado: 5 + 6 + 3 = 14. 2

4

1

2

1

1

3

8

6

3

2

6

Sumando los quebrados por separado: + + = (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒) + + = Encontrando el mínimo común denominador:

4+3+1 6

4

42+4

3

3

Sumando el entero y el quebrado: 14 + =

=

8

4

6

3

= (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜) = 46 3

∴ 15

1 3

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE SOBRE SUMA DE QUEBRADOS CON DISTINTO DENOMINADOR Y SUMA DE NÚMEROS MIXTOS 2

5

1. Al simplificar + se obtiene como resultado: 3

A) 1

1

6

B) 2

2

3

D) 16

C) 1

4

1

7

1

9

9

9

2 7

E) 3

1 4

2. Al reducir 8 + 10 + 16 el resultado es: A) 5

1

3. Al computar A)

7 150

324 7

B)

+

1 3

1 162

5 108

1

6

10

1 3

+

1 14

+

C)

1

B)

+

3

4. Al operar 4 + 3 A) 9

C) 14

B) 35

+2

1 15

13 130

1

21 11 63

D) 9

1 3

E) N.D.A.

obtenemos como resultado: D)

11 65

E)

11 25

se obtiene: C) 15

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1 7

D) 2

1 3

E)

9 2

4

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4. Resta de quebrados con igual o distinto denominador Regla para la resta de quebrados con igual denominador: Se restan los numeradores y esta diferencia se parte por el denominador común. Se simplifica el resultado y se hallan los enteros si los hay. Ejemplo No 1: Al efectuar A) −

1

B) 6

6

7 12



5 12

se obtiene: C)

1

D) 1

6

E) -2

Solución: 7 5 7−5 2 1 (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜) = − = = 12 12 12 12 6 Regla para la resta de quebrados con distinto denominador: Se simplifican los quebrados si es posible. Una vez irreducibles, se reducen al mínimo común denominador y se restan como en el caso anterior. 3

Ejemplo No 2: Al computar 15 − se obtiene como resultado: 8

A)

17

B) 2

8

1 8

C) 14

15 8

D)

5 8

E) N.D.A.

Solución: 15 −

3 120 − 3 117 5 (𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜) = 14 = = 8 8 8 8

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE SOBRE RESTA DE QUEBRADOS CON IGUAL Y DISTINTO DENOMINADOR 1

1

2

6

1. Al efectuar − obtenemos como resultado: A)

1

B) 3

3

C) −

1 3

D)

2 3

E) 0

1

2. El resultado de corresponde a la resta de quebrados: 3

A) 8 − B) C)

93 120 7 12

2 3





83

150 1 4

D) 125 − E)

24 35



1

125 10 35

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5

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5. Multiplicación de Quebrados Regla: Se multiplican los numeradores y el resultado se parte por el producto de los denominadores. El resultado se simplifica y se halla los enteros si los hay. 4

2

1

5

3

4

Ejemplo No 1: Al efectuar × × obtenemos como resultado: A)

8

B)

60

2

C)

15

4 30

D)

1 6

E) 7

Solución: 4 2 1 8 2 (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜) = × × = 5 3 4 60 15 4

10

5

9

Ejemplo No 2: Al multiplicar ( ) ( ) el resultado es: A) 1

B)

9

C)

8

2 3

D)

1 2

E)

8 9

Solución: Simplificamos si es posible: 2 4 10 4 2 8 ( )( ) = ( )( ) = 5 9 1 9 9 1

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE SOBRE MULTIPLICACIÓN DE QUEBRADOS 1. Al efectuar A) -6

13 4

×

72 39

se obtiene:

B) 6

C)

1 6

D) 2

E) 1

1

2. El resultado de corresponde a la multiplicación de: 2

6

7

8

8 50

9

A) ( ) ( ) ( ) B)

7 18 15

×

35 1

C) (2) ( ) 3

2 4

5

4

5

6

D) ( ) ( ) ( ) E) Ninguna de las anteriores

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6

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6. División de Fracciones (Quebrados) Regla: Para dividir una fracción por otra fracción, se multiplica la primera fracción por la segunda fracción inversa. También lo podemos hacer multiplicando en aspas los términos de las fracciones. 4

3

5

8

Ejemplo No 1: Al dividir ÷ se obtiene: A) 15

B) 12

C)

2 15

D)

1

E)

5

32 15

Solución: Utilizando la primera opción de la regla: 4 3 4 8 32 ÷ = ( )( ) = 5 8 5 3 15 Utilizando la segunda opción de la regla: 4 3 (4)(8) 32 ÷ = = 5 8 (5)(3) 15 1

5

4

12

Ejemplo No 2: ¿Cuántas varillas de de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de

metros de

largo? A) 5

B) 1

2 3

C) 12

D) 4

3 5

E)

1 2

Solución: Analizando el problema planteado tenemos que dividir el total que mide la varilla, esto es

5 12

por la longitud

1

de las varillas que se desean sacar de ésta, esto es varillas de . El problema planteado es: 4

(5)(4) 5 1 20 5 2 (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜) = (𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜) = 1 ÷ = = 12 4 (12)(1) 12 3 3 5

EJERCICIO: Si tengo $50, ¿a cuántos jóvenes podré darles $ por cabeza? 3

A) B) C) D) E)

A 60 jóvenes A 20 jóvenes A 30 jóvenes A 10 jóvenes A 50 jóvenes

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7

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7. Fracciones Múltiples Las fracciones múltiples no son más que productos indicados y se resuelven multiplicando todos los números dados. 2

5

3

6

Ejemplo No 1: Los de los de 10 es: A)

5

B)

9

50

C) 4

9

D) 2

E)

1 9

Solución: 2 5 2 × 5 × 10 100 50 (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜) = × × 10 = = 3 6 3×6 18 9 7

Ejemplo No 2: A $ el kg de una mercancía, ¿cuánto valen 8 kgs y 12 kgs? 8

A) 7 y 10.5

B) 10 y 7

C) 5 y 2

D) 0.5 y 2

E) N.D.A.

Solución: 7 56 × 8= = 7 → 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 8 𝑘𝑔𝑠. 8 8 7 84 21 (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜) = × 12 = = 10.5 → 𝐸𝑠 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 12 𝑘𝑔𝑠. 8 8 2

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE SOBRE FRACCIONES MÚLTIPLES 7

3

8

9

5

24

1. Los de los de A) 6

es: C) 11

B) 10 2

1

3

2

2 3

D) 4

E) N.D.A.

D) 50

E)

2. Los de de 12 es: A) 60

B)

5

C) 4

12

7 50

3

3. Pedro tenía $40 pero gastó los en hamburguesas. ¿Cuánto le quedó? 8

A) $35

B) $5

C) $15 2

D) $10

E) $25

1

4. Un hombre es dueño de los de una finca y vende de su parte. ¿Qué parte de la finca le queda? 5

A) 5

B)

1 2

2

C)

3 4

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D)

1 5

E) N.D.A.

8

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8. Reducción de Expresiones Fraccionarias complejas Ejemplo: Al simplificar la expresión

(1⁄6+ 1⁄9− 1⁄12) × 6⁄7 1 8÷1

se obtiene como resultado:

⁄4

A) 56

C) 1⁄12

B) 1

E) – 1

D) 12

Solución: 3+2 1 5 1 10 − 3 ( ) × 6⁄7 ( − ) × 6⁄7 ( ) × 6⁄7 − (1⁄6 + 1⁄9 − 1⁄12) × 6⁄7 18 12 18 12 36 = = = 1 1 1 1 8 ÷ 1 8 ÷ 1 8 ÷ 1 8 ÷ 1 ⁄4 ⁄4 ⁄4 ⁄4 7 6 × 36 7

1 6

1 1⁄ 1 1 1 6 = = = = 6 = ( )( ) = → 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎. 1 4 8 ÷4 2 6 2 12 8 ÷ (1 ÷ ) 8 ÷ [(1) ( )] 4 1

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE SOBRE REDUCCIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS 1. Al computar {2 A) −1

B) −

2. Al simplificar A) 8

29 60 2

− [(

4

23⁄ 30

3 5

4 3

+

1

5

7

4

3

5

) + ( +

1



20

)]} el resultado es: D)

7 3

E) 2

el resultado es:

B) 5

B)

1 60

C) 1

1 2 1 + + 3 5 30

3. El resultado de

13



3

( +

A)

7 30

C)

1 7 − ) 8 24 2 5− 3

4

D)

13

1 13

1 3

E) N.D.A.

× 3

C) 4

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es: D)

3 4

E) N.D.A.

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TEMA 2: POTENCIACIÓN Exponente (indica el número de veces que hay que multiplicar la base)

𝟐𝟓

Base

Definición de Potenciación: 1. Todo número elevado a la potencia 1, el resultado es el mismo número. 51 = 5 37611 = 3761 2. Toda cantidad elevada a la potencia 0, el resultado es 1. 50 = 1

8

( )0 = 1 7

3. Toda cantidad elevada a una potencia negativa es igual a su inverso. 1 5−1 = 5 4. Toda fracción elevada a una potencia negativa es igual a la inversión de la fracción y el cambio de signo de la potencia. 2 −1 3 1 ( ) = ( ) 3 2

Propiedades de la Potenciación: 1. Producto de Potencias de igual base: Se escribe la misma base y se suman los exponentes. 32 . 36 = 32+6 = 38 = 6,561 2. Potencia de un producto indicado: Se escriben las bases y se elevan al exponente indicado. (3 × 2)2 = 32 × 22 = 9 × 4 = 36. 3. Potencia de una potencia: Se escribe la misma base y se multiplican los exponentes. (22 )3 = 2(2)(3) = 26 = 64. 4. Cociente de una potencia: Se escriben las bases y se eleva el numerador y denominador al exponente indicado.

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Manual de Aritmética para el Examen de Ingreso_____________________________________________________ 2 2 22 4 ( ) = 2= 3 3 9 5. Cociente de potencias de la misma base: Se escribe la misma base y se restan los exponentes. 33 = 33−2 = 3 32 Ejemplo No 1: Al desarrollar (3 × 5)2 se obtiene: A) 25

B) 15

C) 325

D) 225

E) 125

Solución: Aplicando la propiedad número dos nos queda: (3 × 5)2 = 32 × 52 = 9 × 25 = 225 1 3

Ejemplo No 2: Al elevar (2 ) el resultado es: 3

A) 12

19

B) 2

27

9

C) 2

7

D)

1

E) N.D.A.

4

Solución: Convirtiendo la expresión mixta a quebrado y aplicando la propiedad 4, nos queda: 1 3 7 3 73 343 19 (𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜) = 12 (2 ) = ( ) = 3 = 3 3 3 27 27

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MULTIPLE SOBRE POTENCIACIÓN 1 2

1. Al desarrollar ( ) obtenemos el resultado de: A) −

1

B)

4

2 1

C) 4

4

D)

2. El resultado de (2 × 3 × 4)2 es: A) 76 B) 57 C) 576

11

E)

4

D) 657

4 11

E) 575

3. De las siguientes expresiones, la falsa es: 𝐴 𝑛/𝑚

A) ( ) 𝐵

=

𝐴 𝑛/𝑚 𝐵𝑛/𝑚

𝐴 −𝑛/𝑚

B) ( ) 𝐵

𝐵 𝑛/𝑚

=( ) 𝐴

𝐴 𝑛/𝑚

C) ( ) 𝐵

𝑚

=

√𝐴𝑛

𝑚

√𝐵𝑛

𝐴 −𝑛/𝑚

D) ( ) 𝐵

𝐵 −𝑛/𝑚

=( ) 𝐴

E) N.D.A. Compilado por: Ing. / Lic. Jyuber E. Álvarez C.

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TEMA 3: NOTACIÓN CIENTÍFICA Definición: La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez. Para expresar un número en notación científica identificamos el punto decimal (si lo hay) y lo desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero punto) lo desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda del punto esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha del punto decimal. Ejemplos: Convierta a notación científica 𝟕𝟑𝟐. 𝟓𝟎𝟓𝟏 = 7.325051 × 102 Convierta a notación científica −𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟔𝟏𝟐 = −5.612 × 10−3  Nota Importante: Siempre que movemos el punto decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 será positivo. Siempre que movemos el punto decimal a la derecha el exponente de la potencia de 10 será negativo. Ejemplo No 1: Al multiplicar (5.24 × 106 ) (6.3 × 108 ) el resultado es: A) 3 × 1015

B) 3.3012 × 1015

C) 2.5 × 1015

D) 3.3 × 1014

E) N.D.A.

Solución: Recuerda que para resolver este ejercicio debes de aplicar potenciación: (5.24 × 106 )(6.3 × 108 ) = (5.24 × 6.3) × 106+8 = 33.012 × 1014 = 3.3012 × 1015 Ejemplo No 2: Un tren viaja a una velocidad de 26.83 m/s, ¿qué distancia recorrerá en 1800s? A) 3

B) 3 × 1010

C) 3.4879 × 104

D) 3 × 104

E) 3.40 × 105

Solución: Convertimos las cantidades 26.83 y 1800 a notación científica: 26.83 = 2.683 × 101 1800 = 1.8 × 103 𝑑 (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ) = 𝑣. 𝑡 = (2.683 × 101 𝑚/𝑠)(1.8 × 103 𝑠) = (2.683 × 1.8) × 101+3 = 4.8294 × 104

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TEMA 4: MAGNITUDES PROPORCIONALES REGLA DE TRES SIMPLE 6 8 16 8 = ⇒ 6𝑥 = 8 × 2 ⇒ 𝑥 = ∴𝑥= 2 × 6 3 A veces es más práctico usar una tabla como sigue: 6 12

8 X

Ejemplo No 1: 3 manzanas cuestan C$45. ¿Cuánto cuestan 11 manzanas? A) C$65

B) C$45

C) C$145

D) C$175

E) C$165

Solución: Aplicando el método 1: 3𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎𝑠 45 495 = ⇒ 3𝑥 = (45)(11) ⇒ 𝑥 = ∴ 𝑥 = 165 11𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑥 3 Aplicando el método 2 (tabla): Manzanas

Precio

3 11

45 X

3𝑥 = (11)(45) ⇒ 𝑥 =

495 ∴ 𝑥 = 165 3

Aplicando el método 3 (aspas): 3 manzanas ---------------------------- 45 11 manzanas --------------------------- x 𝑥=

(11)(45) 495 = = 165 3 3

Ejemplo No 2: Un fabricante factura 350 sillas idénticas a un precio de C$5600. ¿Cuál será el precio de 1250 de estas sillas? A) 200

B) 20

C) 20,000

Compilado por: Ing. / Lic. Jyuber E. Álvarez C.

D) 2000

E) 200,000

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Manual de Aritmética para el Examen de Ingreso_____________________________________________________ Solución: Resolviendo por los 3 métodos: Método 1: 350 5600 7,000,000 = ⇒ 350𝑥 = (1250)(5600) ⇒ 𝑥 = ⇒ 𝑥 = 20,000 1250 𝑥 350 Método 2: Número de Sillas 350 1250

Precio 5600 X

350𝑥 = (5600)(1250) ⇒ 𝑥 =

7,000,000 ⇒ 𝑥 = 20,000 350

Método 3: 350 − − − − − − − − − 5600 1250 − − − − − − − − 𝑥 𝑥=

1250 × 5600 7,000,000 = = 20,000 350 350

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE SOBRE REGLA DE TRES SIMPLE

1. Un paquete de tres bombillos cuesta C$100. El valor de 9 bombillos es: A) 3000 B) 500 C) 30 D) 240 E) 300

2. Un corredor recorre 2 kilómetros en veinte minutos. ¿Qué distancia recorre en una hora? A) 6 km B)12 km C) 4 km D) 8 km E) 3 km

3. Úndio compra 6 lápices en 21 córdobas. ¿Cuánto costar una docena de estos mismos lápices? A) 32 B) 42 C) 21 D) 34 E) N.D.A.

4. El valor de 𝑥 para A) 1.22

𝑥 0.35

B) 1.81

= 5.2 es: C) 2.82

Compilado por: Ing. / Lic. Jyuber E. Álvarez C.

D) 1.82

E) 0.82 16

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REGLA DE TRES INVERSA Cuando en una relación entre dos cantidades, al aumentar una, la otra disminuye inversamente en la misma proporción, es decir, si una aumenta al doble, la otra disminuye a la mitad o al triple la otra disminuye a la tercera parte, etcétera, se dice que son cantidades que varían en forma inversamente proporcional. Ejemplo: 5 trabajadores tardan 14 días en abrir una zanja. ¿Cuánto tardarán 10 trabajadores? Si se aumentan los trabajadores al doble, el tiempo disminuye a la mitad. Es decir al aumentar una cantidad, la otra disminuye en forma inversamente proporcional. Resolviendo el ejemplo: Número de trabajadores 5 10 70 10𝑥 = (5)(14) ⇒ 𝑥 = = 7 𝑑í𝑎𝑠. 10

Días Realizados 14 X

R/ 10 trabajadores tardarán 7 días.

EJERCICIO PROPUESTO: Un automóvil con una velocidad de 110 km/h recorre una distancia en 5 horas. ¿Cuánto tardará en recorrer la misma distancia si disminuye la velocidad a 100 km/h? A) 5 horas

B) 4.5 horas

C) 5.5 horas

D) 6.5 horas

E) N.D.A.

Solución por parte del estudiante:

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TEMA 5: TANTO PORCIENTO O PORCENTAJE Ejemplo No 1: Una cámara fotográfica “SONY” tiene un precio de C$3500 pero por aproximarse las vacaciones de navidad, hay un descuento del 25%. ¿Cuánto se pagará por el artículo? A) C$265

B) C$2615

C) C$2625

D) C$2605

E) C$1265

Solución: Aplicando la regla de tres simple (utilizando el método de aspas): 3500 --------------------- 100% X ------------------------- 25% 𝑥=

(3500)(25%) 87,500% = = 875 100% 100%

Restando nos quedaría: 𝐶$3500 − 𝐶$875 = 𝐶$2625 𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑟á 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜. Ejemplo No 2: El 15% de 35 es: A) 5.25

B) 5.15

C) 5.5

D) 5.05

E) 5.35

D) 6000

E) 61

Solución: 35 ----------------- 100% X ------------------ 15% 𝑥=

(35)(15) = 5.25 100

Ejemplo No 3: El 5% más de 63 es: A) 600

B) 60

C) 6

Solución: 105% ----------------- 63 100% ------------------ x 𝑥=

(100)(63) = 60 105

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EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE SOBRE TANTO PORCIENTO

1. El 8% menos de 4600 es: A) 50,000 B) 500

C) 5000

D) 50

E) 500,000

2. Pedro tiene $63 y su dinero excede al de Juan en el 5% de éste. ¿Cuánto dinero tiene Juan? A) $60 B) $600 C) $6000 D) $6 E) N.D.A.

3. Uno de cada 20 libros de la biblioteca debe de repararse. ¿Qué porcentaje de libros se encuentran en buen estado? A) 2% B) 8% C) 20% D) 80% E) 95%

4. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? A) 75% B) 25% C) 70% D) 50% E) 85%

5. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%. ¿Qué edad tiene Juan? A) 59 B) 79 C) 10 D) 60 E) 32

6. Si el valor de una camiseta American Eagle original es C$ 1,250.00 y tiene un descuento de C$75.00, el porcentaje de descuento es: A) 3%

B) 16.67%

C) 0.06%

D) 6%

E) Ninguna de las anteriores

7. Se compra una propiedad pagando el 56% del precio al contado. Si la cantidad pagada es $4816. ¿Cuál es el valor de la propiedad? A) $7600 B) $9600 C) $8600 D) $12600 E) $25600

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REGLA DE TRES COMPUESTA La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:

Regla de Tres Compuesta Directa Ejemplo: Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de $20. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días. Solución: A más grifos, más dinero Directa A más horas, más dinero Directa Número de Grifos

Horas

9 10 15 12 9 10 20 90 20 (180)(20) × = ⇒ = ∴𝑥= = 40 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠. 15 12 𝑥 180 𝑥 90

Precio 20 x

Regla de Tres Compuesta Inversa Ejemplo: 5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias? Solución: A menos obreros, más días  Inversa A más horas, menos días  Inversa Número de Obreros 5 6 4 7 4 7 2 14 2 30 × = ⇒ = ⇒𝑥= = 2.14 𝑑í𝑎𝑠. 5 6 𝑥 15 𝑥 14

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Horas

Días 2 X

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TEMA 6: EL INTERÉS SIMPLE El interés simple se calcula y se paga sobre un capital inicial que permanece invariable. El interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Dicho interés no se reinvierte y cada vez se calcula sobre la misma base. En relación a un préstamo o un depósito mantenido durante un plazo a una misma tasa de interés simple, los cálculos de cualquier de esos elementos se realizan mediante una regla de tres simple. Es decir, si conocemos tres de estos cuatro elementos podemos calcular el cuarto: El interés (I) que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial (C), al tiempo (t), y a la tasa de interés (i): Esto se presenta bajo la fórmula: I = C · i · t donde i está expresado en tanto por uno y t está expresado en años, meses o días. Entonces, la fórmula para el cálculo del interés simple queda: 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 = 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 .

𝒕𝒂𝒔𝒂% . 𝒕 (𝒂ñ𝒐𝒔) si la tasa anual se aplica por años. 𝟏𝟎𝟎

𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 = 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 .

𝒕𝒂𝒔𝒂% 𝒕(𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔) . si la tasa anual se aplica por meses. 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐

𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 = 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 .

𝒕𝒂𝒔𝒂% 𝒕 (𝒅í𝒂𝒔) . 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑í𝑎𝑠. 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟔𝟓

Ejemplo No 1: Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25,000 córdobas invertido durante 4 años a una tasa del 6% anual. A) C$6000

B) C$600

C) C$60,000

D) C$60

E) N.D.A.

Solución: Aplicando la fórmula: 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 = 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 .

𝒕𝒂𝒔𝒂% . 𝒕(𝒂ñ𝒐𝒔) 𝟏𝟎𝟎

Esta fórmula es igual a: 𝐼 = 𝐶. 𝑖. 𝑡 𝐼 = 25,000 ×

6 ×4 100

𝐼 = 25,000 × 0.06 × 4 = 6,000

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TEMA 7: CONVERSIONES DE LAS UNIDADES DE MEDIDA Medidas de Longitud 1 km 1 Hectómetro (Hm) 1 Decámetro (Dm) 1 Metro (m) 1 Decímetro (dm) 1 centímetro (cm) 1 milímetro (mm) Ejemplo: Reducir 123 km a m.

1000 metros 100 metros 10 metros 100 centímetros 0.1 metro 0.01 metro 0.001 metro

1000𝑚 ) = 123,000 𝑚. 123 𝑘𝑚 ( 1𝑘𝑚 Reducir 800 cm a m. 800 𝑐𝑚 (

1𝑚 ) = 8𝑚 100𝑐𝑚

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE SOBRE CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE LONGITUD

1. 80 decímetros equivalen a: A) 4 metros B) 8 metros

C) 6 metros

2. 456.789 centímetros a metros es: A) 4.56789 m B) 4.50 m C) 4.75634 m

3. A) B) C) D) E)

D) 12 metros

E) 9 metros

D) 4 m

E) 4.90865 m

9 cm a m es: 0.9 m 0.009 m 0.09 m 0.0009m 9m

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EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. La expresión 311 + 311 + 311 equivale a: A) 312 B) 911 C) 333

D) 933

E) 311

2. Al simplificar [(9 − 4) + (−10 + 3)] × [(6)(−5)] ÷ [(−12 + 8)(6 − 9)(95 − 90)] el resultado es: A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 0 1

3. Al reducir la expresión (1 + A)

9

B) 1

7

50

1

) (1 + C) 1

11

1 51

1

3 4

B)

55

3

1

4

5

C) 2

84

5. El 18% del 2% de 10,000 es: A) 3.6 B) 36

1 52

1

) (1 + D)

10

4. Al simplificar la expresión (8 + ) ÷ 4 A) 36

) (1 +

53 6

) (1 +

1 54

) se obtiene el resultado de:

5

E) 1

3 7

se obtiene como resultado:

1 12

C) 360

D)

55 154

D) 72

E) N.D.A.

E) 0.36

6. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta en 30 días. El número de días que podría hacer la obra el ayudante trabajando solo es: A) 18 B) 32 C) 56 D) 16 E) 72

7. Al simplificar la expresión A) 2

B) 4

21 + 20 + 2−1 2−2 + 2−3 + 2−4

C) 8

se obtiene: D) 24

E) 10

8. Se va a tender una línea eléctrica de 35.75km de longitud con postes separados entre sí por una distancia de 125m. si el primer poste se coloca al inicio de la línea, y el último al final. ¿Cuántos postes serán necesarios en total? A) 280 B) 286 C) 320 D) 180 E) 560 Compilado por: Ing. / Lic. Jyuber E. Álvarez C.

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BIBLIOGRAFÍA      

Aritmética de Baldor, Cultural Mexicana, 1976. Guía de Estudio de Matemática, MINED – CNU, 2014 Manual de Matemática Básica para Ingenieros, UCAN, 2009. Manual de Matemática General, Néstor Chávez, 2014. Estrategias Didácticas de Matemática para docentes de Secundaria, MINED – CNU, 2014. Guía de Matemática Pre-Universitaria, Ingeniero David Ortiz, UNI, 2013.

Los temas no abordados en este manual serán abordados en el tomo II de este.

Prohibida su reproducción para propósitos comerciales Compilado por: Ing. / Lic. Jyuber E. Álvarez C.

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