Manual ANL Referencial

2015

ANALISIS NO LINEAL APLICACION EN ETABS METODOLOGIA FEMA - 356 Y ATC - 40

Este Material describe dos metodologias para desarrollar un Analisis y Revision de estructuras segun FEMA-356 y ATC-40 usabndo el programa ETABS V2013, actualizado de la version anterior realizada por Aneuris Hernandez Velez

ACTUALIZACION VERSION ANTERIOR BY Jorge Cabanillas

CONTENIDO.

I. II. III. IV. IV.

Introducción Proceso de de An Análisis No No Lineal “Pushover” según FEMA 356 Proceso de Análisis No Lineal “Pushover” y Método del Espectro de

Capacidad según ATC-40 Ejem Ejempl plo o de Aplic Aplicac ació ión n Usa Usand ndo o el Prog Progra rama ma ETAB ETABSS

ANALISIS NO LINEAL A PARTIR DE CARGAS ESTATICAS , CSi-CARIBE / DISEPRO EIRL

CONTENIDO.

I. II. III. IV. IV.

Introducción Proceso de de An Análisis No No Lineal “Pushover” según FEMA 356 Proceso de Análisis No Lineal “Pushover” y Método del Espectro de

Capacidad según ATC-40 Ejem Ejempl plo o de Aplic Aplicac ació ión n Usa Usand ndo o el Prog Progra rama ma ETAB ETABSS

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Nota Importante El objetivo de este trabajo es ofrecer un material didáctico a los participantes de los cursos y seminarios de Ingeniería Estructural usando el programa ETABS. Aunque los ejercicios y ejemplos se han verificado con detenimiento, no se garantiza que estén totalmente libres de errores. Los usuarios son totalmente responsables por el buen uso del programa y el autor no asume ninguna responsabilidad por el uso incorrecto del programa y de este manual.

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INTRODUCCION.

En la actualidad en Estados Unidos y Europa las nuevas provisiones sísmicas requieren que los ingenieros estructurales efectúen un análisis no lineal. Dicho análisis podría ser dinámico o a partir de cargas estáticas “pushover”. Los documentos de referencia usados para desarrollar un análisis estático no lineal o “Pushover Analysis” son el ATC-40 (Applied Technology Council) “Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Building” y FEMA 356 (Federal Emergency Management Agency). De acuerdo con los

procesos establecidos en este análisis se aplica una carga lateral al modelo matemático (cargado por gravedad) y que se incrementa monótonamente. Esta carga se incrementa hasta que se alcanza la respuesta pico de la estructura o más bien la máxima respuesta de la estructura. La respuesta de la estructura se representa mediante el diagrama del cortante en la base vs el desplazamiento en el tope de la estructura. Con este proceso el modelo matemático deberá ser capaz de capturar la no linealidad del material, como este proceso es incremental es posible obtener la información detallada del comportamiento de cada elemento. Este proceso permite capturar la secuencia de deformaciones en los elementos osea la secuencia de formación de rotulas plásticas  de acuerdo a la degradacion de la estructura. Este proceso debe ser usado con precaución ya que asume una representación aproximada de la respuesta estática de la estructura, cuando esta es sometida a cargas dinámicas. Todo esto es una aproximación. La ventaja de este proceso es que conlleva menos tiempo y es más sencillo que un proceso dinámico no lineal   incremental IDA. En este documento vamos a ver los dos procedimientos descritos en FEMA -356 y en la ATC-40.

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Proceso de Análisis No Lineal “Pushover” según FEMA-356

El método consiste en aplicar una distribución vertical de carga lateral a la estructura (desde cualquier fuente) la cual debe incrementarse monótonamente hasta que la estructura alcance el máximo desplazamiento, mediante la grafica del cortante en la base y el desplazamiento en el tope de la estructura como se muestra en la siguiente figura.

Distribución de la Carga Lateral

Desplazamiento en el Tope Cortante en la Base Respuesta Estructural Desplazamiento en el Tope Cortante en la Base

El ingeniero estructural puede decidir cuál será la condición de la estructura después de un movimiento sísmico o más bien el nivel de rendimiento que deberá tener la estructura luego de un sismo. Esta condición depende de los diversos niveles de desempeño sismico, asi tenemos: Nivel Operacional (O)

Ocupación Inmediata (OI)

Guardar la seguridad de las vidas  (LS)

Prevenir el Colapso de la estructura(CP)

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El espectro de un sismo que se usa  para evaluar el desempeño  va a depender de la zonificación donde se encuentra la estructura y se genera  según los requerimientos sismico del código usado. Un espectro típico es mostrado en la siguiente figura.

Periodo (seg)

A continuación se explican los distintos pasos que deben efectuarse para realizar un análisis estático “Pushover” según Fema 356 . Esta secuencia de pasos se efectúa una vez hemos diseñado la estructura con los procedimientos convencionales. I.

Determinar la Carga de Gravedad usada en el análisis.

Q G = Fuerza total de la gravedad. Q D = Carga Muerta Total. Q L = Efecto de la Carga Viva (25% de la carga viva no reducida). Q S = 70% de la Carga de Nieve (si es el caso) II. Determinar el factor factor de distribucion de carga estatica segun lo describe la norma E-030: para la Carga Lateral y Multiplicar por la Fuerza “V” que es el incremento monóton ico de la fuerza:

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El parámetro k  varía con el periodo fundamental de la estructura T K = 1, Si T < 0.5 seg estructura de periodo corto K = 2, Si T > 2.5 seg estructura de periodo muy largo

III.

Determinar del Nivel de Desempeño.

El nivel de desempeño es la condición deseada que deberá tener la estructura luego de ocurrir el terremoto, se determina según la siguiente tabla.

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IV.

Calculo de la Amenaza Sísmica.

El siguiente proceso es para crear un espectro de respuesta que cumpla con el criterio de excedencia de un terremoto seleccionado por el diseñador, según el nivel de desempeño. I.

Se selecciona la probabilidad de excedencia del terremoto en 50 años, la cual depende del nivel de desempeño seleccionado, según la tabl a anterior. Luego se calcula el periodo de retorno P R según la siguiente ecuación.

Donde:

PE50 = Probabilidad de excedencia previamente seleccionado. Por ejemplo si se requiere que se cumpla con la condición A, K y P entonces el periodo de retorno se debe calcular tres veces por separado. Entonces el análisis pushover deberá correrse por separado para cada % de excedencia considerado y el resultado final debe compararse con los criterios de aceptación de FEMA 273, para los niveles de desempeño en cada % de excedencia. II.

Calcular la respuesta modificada para periodo corto  t=0.2s y largo t=1s “Ss y S1” respectivamente (Esta fórmula aplica solo cuando Ss no modificado y determinado según el mapa, es menor que 1.5g y cuando la probabilidad de excedencia del terremoto en 50 años está entre 2% y 10% ).

Donde: i = S ó 1 dependiendo de la aceleración de corto o largo periodo que estemos modificando.

: Logaritmo Natural de la aceleración espectral en una razón de 10% de excedencia en 50 años. : Logaritmo Natural de la aceleración espectral en una razón de 2% de excedencia en 50 años. : Logaritmo Natural del Periodo de Retorno Medio que corresponde a la probabilidad de excedencia.

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Esta otra fórmula aplica solo cuando el valor Ss obtenido del mapa es mayor o igual a 1.5g y la probabilidad de excedencia sig ue  estando entre 2% y 10% de excedencia en 50 años.

Donde el valor de n, se determina según la siguiente tabla.

Para el caso de que la probabilidad de excedencia sea mayor del 10% y el valor de Ss determinado desde el mapa sea menor a 1.5g se debe también usar la ecuación anterior pero usando los valores de n, que se describen en las siguiente tabla.

Para el caso de que la probabilidad de excedencia sea mayor del 10% y el valor de Ss determinado desde el mapa sea mayor o igual a 1.5g se debe también usar la ecuación anterior pero usando los valores de n, que se describen en las siguiente tabla.

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III.

Factores de Sitio Fpga, Fa y Fv, aplicado a periodo cero, periodos cortos y largos respectivamente. Este factor sera determinado usando la Clasificación de clase de sitio y afectados a los coeficientes antes descritas. Fpga: Factor que modifica el PGA (aceleracion pico en la base) segun la clase de sitio y la

amenza normalizada.

Fa: es el factor que modifica segun la clase de suelo en el sitio y de la aceleración espectral para

periodos cortos Ss.

es el factor que modifica segun la  clase del suelo en el sitio y de la aceleración espectral para periodos largos S1. Estos valores se determinan según las siguientes tablas. Fv:

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Donde la Clasificación de Clase de Sitio por el tipo de Suelo se define como: Clase A: Roca Dura con velocidad de corte del agua Vs > 5,000 ft/s Clase B: Roca con Vs > 2,500 ft/s y Vs < 5,000 ft/s Clase C: Suelo muy denso y roca suave con Vs > 1,200 ft/s y Vs < 2,500 ft/s (N>50

y Resistencia al corte Su>2,000 psf). Clase D: Suelo Rígido con Vs > 600 ft/s y Vs < 1,200 ft/s (15 40% y una resistencia no drenada al corte Su < 500 psf. También Vs < 600 ft/s. Si no hay suficientes datos para clasificar un suelo desde los tipos A hasta D, entonces se debe seleccionar un tipo E. Clase F: Este tipo de suelo requiere una evaluación, son suelos vulnerables a fallas

potenciales o colapso bajo cargas sísmicas, como lo es la licuefacción. Estos suelos tienen arcilla orgánica con un espesor mayor de 10 ft, muy alta plasticidad PI > 75 IV.

Graficando el Espectro de Respuesta a Usarse.

El espectro de diseño es una grafica que relaciona el periodo en función de la aceleración modificada que hemos determinado con la probabilidad de retorno que hemos seleccionado previamente. Las funciones para crear el espectro se muestran en la siguiente grafica. Este espectro es una herramienta usada para determinar la aceleración espectral de la estructura cuando esta tiene un periodo determinado.

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Los valores Bs y B1 son parámetros que toman en cuenta el coeficiente de amortiguamiento efectivo de la estructura y se tabulan a continuación.

El valor To se define como:

V.

Calculo del Desplazamiento Máximo que se espera tendrá la Estructura durante el evento de diseño (Target Displacement). Se determina mediante la siguiente ecuación.

Nota:  Antes de efectuar este proceso se debe haber hecho el análisis de carga

lateral incremental descrito en el paso II, para conocer la respuesta no lineal de la estructura ante carga lateral.

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Donde:

Periodo fundamental efectivo en la dirección en consideración.

Este debe ser calculado usando la relación de fuerza  –  deformación o curva de Capacidad. La relación no lineal del cortante en la base y el desplazamiento en el nudo prescrito debe ser reemplazada por una relación bilineal para estimar de este modo la rigidez lateral efectiva  (Ke) y el cortante de fluencia del edificio Vy.

La rigidez lateral efectiva debe ser tomada como la secante de la rigidez. Rigidez lateral elástica del edificio (Ki) debe calcularse según se muestra en la

grafica anterior. El Periodo fundamental elástico de la estructura (Ti)   en segundos, se puede

calcular según la siguiente ecuación:

Ct = 0.030 hn = altura en pies desde la base al tope del edificio. ANALISIS NO LINEAL A PARTIR DE CARGAS ESTATICAS , CSi-CARIBE / DISEPRO EIRL Página 13

Factor de Modificación Co y C2 .

Se pueden determinar con la siguiente tabla: Tabla 12 (Valores del Factor de Modificación C o ).

Tabla 13 (Valores Factor de Modificación C 2 ).

Factor de Modificación C1 .

Este es una relación entre el desplazamiento máximo inelástico y el desplazamiento calculado para la respuesta lineal elástica.

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Los Siguientes parámetros fueron descritos en detalle en la sección IV “Amenaza

Sismica”.

R (strength ratio)

Sa = Aceleración Espectral, en el periodo fundamental efectivo en la dirección considerada

Vy = Resistencia a la Fluencia se calcula con la grafica que relaciona el cortante en la base y los desplazamientos en el tope de la estructura en el nudo controlado. W = Carga muerta y viva total Coeficiente C3.

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Proceso de Análisis No Lineal “Pushover” y Método del Espectro de Capacidad

según ATC-40 En este capítulo se presenta el proceso analítico para evaluar cómo actúan los edificios existentes y verificar su diseño. Este método estima el máximo desplazamiento, por medio de la intersección entre la curva de capacidad y el espectro de demanda reducido. Aunque un análisis elástico da una buena indicación de la capacidad elástica de la estructura indicando donde ocurre la fluencia en los elementos, este no puede predecir el mecanismo de falla y tomar en cuenta la redistribución de fuerzas durante la fluencia progresiva de los elementos. El análisis inelástico ayuda a demostrar como realmente trabaja el edificio, por medio de la identificación de los modos de falla y el colapso progresivo. El método del espectro de capacidad es un proceso estático, no lineal que provee una representación grafica de la curva de capacidad, la cual se compara con el espectro de demanda sísmica, siendo una herramienta útil para evaluar edificios existentes. La demanda es la representación del movimiento del suelo, mientras que la capacidad es la habilidad que posee la estructura para resistir la demanda sísmica. El método requiere la determinación de tres elementos primarios descritos a continuación. 

Capacidad:  La capacidad de la estructura depende de la resistencia y la capacidad de

deformación de los componentes individuales de la estructura. En orden de determinar la capacidad más allá del límite elástico, se usa el proceso “Pushover” este proceso usa

una serie de análisis elásticos secuenciales súper impuestos para aproximar un diagrama de capacidad fuerza-desplazamiento del conjunto estructural. El modelo matemático de la estructura se va modificando para tomar en cuenta la reducción de la resistencia de los componentes que van alcanzando la fluencia. Una distribución de fuerzas laterales se aplica nuevamente hasta que otros elementos adicionales alcanzan la fluencia. Este proceso se continúa aplicando hasta que la estructura se vuelve inestable o hasta que un límite predeterminado se alcanza. 

Demanda (Desplazamiento):  El movimiento del suelo durante un terremoto produce un

patrón complejo de desplazamientos en la estructura que puede variar con el tiempo. Para una estructura dada y un movimiento del suelo, la demanda de desplazamiento es un estimado de la máxima respuesta esperada del edificio durante el movimiento del terreno. 

Desempeño:   Una vez se ha definido la curva de capacidad y los desplazamientos de

demanda, se puede verificar el punto de desempeño o punto de respuesta máxima en la estructura. Este punto es aproximadamente igual al obtenido por el método de los coeficientes el cual no se explica en este trabajo. ANALISIS NO LINEAL A PARTIR DE CARGAS ESTATICAS , CSi-CARIBE / DISEPRO EIRL Página 16

Proceso Paso a Paso para Determinar la Curva de Capacidad La capacidad de la estructura se representa mediante la curva “Pushover”, se puede crear

graficando el cortante en la base y el desplazamiento en el nivel más alto del edificio.

(Concepto Curva de Capacidad)

La curva de capacidad se construye en representación del primer modo, asumiendo que el primer modo es el que predomina en la estructura. Esto es generalmente valido para edificios con un periodo fundamental de vibración menor o igual a 1 segundo. Para edificios más flexibles con un periodo fundamental mayor de un segundo, el análisis debe ejecutarse considerando el efecto de los modos más altos. Procedimiento: 1. Crear un modelo computacional. 2. Clasificar los elementos primarios y secundarios. 3. Aplicar fuerzas laterales a la estructura en cada piso. Para esto se usa la masa que participa en el primer modo o modo fundamental por medio de la siguiente ecuación Fx  = [Wx фx / ∑Wx ф x] V en la determinación de las fuerzas también deben incluirse las cargas de gravedad. 4. Calcule las fuerzas en los elementos, para la combinación de cargas verticales y horizontales. 5. Ajustar las fuerzas laterales para que por lo menos algunos elementos alcancen el 10% de su resistencia. Nota: Una vez se alcanza la resistencia de un elemento, este es considerado como incapaz de tomar fuerzas laterales. Detectar la fluencia elemento por elemento, puede ser un proceso muy lento por lo tanto, muchos elementos son agrupados en conjunto con un punto de fluencia similar.

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6. Archivar o ir graficando el valor del cortante en la base vs el desplazamiento en el tope del edificio, como también las fuerzas y las rotaciones en cada elemento, para compararlas con el diagrama característico de fuerza  – curvatura de cada elemento, a fin de determinar el estado de cada elemento. 7. Actualizar el modelo usando una rigidez más pequeña para aquellos elementos que han alcanzado la fluencia. 8. Aplicar un nuevo incremento de la carga lateral a la estructura actualizada hasta que otros elementos alcancen la fluencia.  Nota: La fuerza actual y la rotación para los elementos en el principio de un incremento son igual a aquellas fuerzas y rotaciones en el final del incremento previo. Cada aplicación de un incremento de carga lateral es un análisis separado que inicia desde una condición inicial igual a cero. Para determinar cuando un próximo elemento fluye es necesario añadir las fuerzas  provenientes del análisis, ejecutado previamente al análisis actual, de igual modo para determinar las rotaciones. 9. Agregar el incremento de la carga lateral y el correspondiente incremento del desplazamiento al total previo para de este modo obtener los valores acumulados del la gráfica. 10. Repetir los paso 7,8 y 9 hasta que la estructura alcance su límite ultimo, es decir la inestabilidad por efecto P-∆, Distorsión mas allá de los niveles prescritos, los elementos  pierden toda su resistencia.

Fig. 4 (Segmentos del Análisis Pushover)

En algunos casos donde los elementos pierden toda su resistencia para absorber carga lateral, pero siguen teniendo capacidad para deformarse por ejemplo cuando hay muros acoplados con vigas de acoplamiento. En estos casos, puede que exista una degradación gradual de la resistencia y es necesario iniciar otras curvas de capacidad cada vez que ocurra el primer punto de degradación de la resistencia, cuando el incremento de la carga se detiene en el paso 10 antes de que la estructura haya alcanzado su límite último. ANALISIS NO LINEAL A PARTIR DE CARGAS ESTATICAS , CSi-CARIBE / DISEPRO EIRL Página 18

Cuando se comienza una nueva curva la resistencia o rigidez de los elementos que ocasionaron que el análisis se detuviera debe eliminarse antes de iniciar una nueva curva. Para crear la nueva curva se debe iniciar a partir del paso 3. La figura 5 muestra la creación de múltiples curvas para poder modelar la degradación de la resistencia.

( Múltiples Curvas para modelar el efecto de Degradación de Capacidad ) 

(Degradación de la Curva de Capacidad)

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Proceso para Determinar la Demanda Sísmica

El desplazamiento de demanda en el espectro de capacidad ocurre en un punto sobre el espectro llamado punto de desempeño. Este punto representa la condición de que la capacidad sísmica de la estructura sea igual a la demanda sobre la estructura debido al movimiento del terreno. El desplazamiento en el punto de desempeño inicialmente debe estimarse usando una simple técnica llamada “Aproximación de igual desplazamiento”, esta técnica asume que el

desplazamiento inelástico espectral es el mismo que el desplazamiento elástico que ocurre si la estructura permanece perfectamente elástica. Esta técnica es una herramienta usada para estimar el inicio del proceso iterativo para determinar el punto de desempeño. La localización del punto de desempeño debe satisfacer lo siguiente: 1. El punto debe quedar sobre la curva del espectro de capacidad. 2. El punto debe quedar sobre la curva de demanda espectral reducida desde su amortiguamiento inicial de un 5% que es el usual en el espectro de diseño elástico, esta reducción del espectro es para representar la demanda no lineal. La reducción del espectro se hace por medio de un factor que se calcula en términos del amortiguamiento efectivo, esto será discutido más adelante. La determinación del punto de desempeño requiere un proceso iterativo de (trial and error) para buscar que se satisfagan los dos criterios requeridos mencionados anteriormente. Para la iteración se mencionaran tres alternativas que simplifican y estandarizan el proceso, dichas alternativas se basan en los mismos conceptos y en las relaciones matemáticas pero varían en su dependencia analítica versus las técnicas graficas. Proceso A

Esta es la aplicación más directa, es verdaderamente iterativo pero, se basa en formulas que pueden ser fácilmente programadas en hojas de cálculo. Este es más bien un método analítico que grafico siendo el método con la aplicación más directa, es el más recomendado. Proceso B

Este método introduce una simplificación usando la curva de capacidad bilineal que habilita o permite una solución relativamente directa para determinar el punto de desempeño con un número pequeño de iteraciones. Igual que el proceso A, el proceso B es un método más analítico que grafico y es probablemente el más conveniente para programar una hoja de cálculo. El proceso B tiene menos transparencia que el proceso A.

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Proceso C

Este es un proceso puramente grafico, es el más conveniente cuando los cálculos se hacen manualmente, tiene menos transparencia que los demás métodos. Conversión de la curva de capacidad a la curva de espectro de capacidad.

Para usar el método del espectro de capacidad es necesario convertir la curva de c apacidad que está dada en términos del cortante en la base y el desplazamiento en el tope a otras coordenadas en función de aceleración y desplazamientos espectrales (coordenadas ADRS) Sa vs Sd, las ecuaciones requeridas para la transformación son las siguientes:

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En general el proceso para convertir la curva de capacidad a espectro de capacidad (ADRS) conlleva primero calcular el factor de participación modal para el primer modo, luego el coeficiente de masa modal; entonces para cada punto que describe la curva de capacidad, usar las ecuaciones Sa y Sd. Para cualquier punto sobre el (ADRS) el periodo T, puede computarse usando la relación T = 2 π (Sd/Sa)1/2 similarmente para el espectro tradicional el desplazamiento espectral puede ser calculado usando la relación S d = SaT2/4π2.

(Comparación entre el Espectro Tradicional y el Espectro en Formato ADRS).

La siguiente figura muestra el espectro de capacidad súper impuesto en la respuesta espectral presentada en los dos formatos. En ésta gráfica se puede apreciar que cuando la estructura entra en el rango inelástico el período aumenta ya que la estructura es cada vez más flexible. Las líneas radiales de periodo constante siempre parten desde el origen.

(Comparación del Espectro de Capacidad sobre el Espectro de Demanda Tradicional y el Espectro de Demanda en Formato ADRS).

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Conversión del espectro estándar a un espectro en formato ADRS.

La aplicación de la técnica del espectro de capacidad requiere que tanto la curva de capacidad como el espectro de demanda sean ploteado en coordenadas de aceleración espectral y desplazamiento espectral (ADRS). El espectro de demanda elástico a convertir, debe ser el espectro requerido por un código determinado con las características apropiadas de cada región. El espectro convencional está dado en términos de la aceleración espectral y el periodo por lo cual sólo el período deber convertirse a desplazamiento espectral, por medio de la siguiente ecuación. Sdi =

T

2 

4 

S



ai

g

Una vez se ha convertido el espectro, se puede calcular la aceleración o el desplazamiento espectral para cuando la estructura tiene un periodo determinado por medio de la siguiente expresión.

Saig =

2 

S

T

v

i

Sdi =

T

i

2 

S

v

Construcción Bilineal del espectro de capacidad.

Para estimar el amortiguamiento efectivo en la estructura, es necesario crear una representación bilineal del espectro de capacidad. Esta construcción requiere definir el punto api , dpi el cual se usa para iniciar el proceso iterativo de crear el espectro reducido de demanda. Anteriormente se mencionó que el espectro de capacidad y el espectro de demanda deben interceptarse, por lo tanto, se puede decir que el punto a pi , dpi es el punto de intersección o punto de desempeño. El primer estimado del punto se denomina a p1 , dp1 la segunda asunción se llama ap2 , dp2 y así sucesivamente.

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A menudo la técnica de “Aproximación de igual desplazamiento”, que se mencionó

anteriormente puede usarse para estimar el puntos a p1, dp1. A continuación se muestra el espectro de capacidad Bilineal.

Estimación del Amortiguamiento y reducción del espectro creado con un amortiguamiento de 5% del crítico.

El amortiguamiento que ocurre en una estructura en el rango inelástico puede ser visto como una combinación del amortiguamiento viscoso inherente en la estructura y el amortiguamiento histeretico. El amortiguamiento histeretico está relacionado al área que se forma dentro de las vueltas (loops) o lasos de histéresis cuando las fuerzas del cortante se grafican contra el desplazamiento. El amortiguamiento equivalente asociado con el máximo desplazamiento d pi puede estimarse según la siguiente ecuación. Βeq = βo + 0.05 βo = Amortiguamiento histeretico representado como un amortiguamiento viscoso equivalente 0.05 = 5% amortiguamiento viscoso inherente en la estructura (asumido constante)

El termino βo puede calcularse según la siguiente expresión

βo =

ED

1 

4 ES0

ED = disipación de energía por amortiguamiento. ESo = Máxima energía de deformación

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El significado físico del término E D y ESo se ilustra en la siguiente figura.

(Disipación de Energía Sísmica)

ED es la energía disipada por la estructura en un simple ciclo de movimiento, que corresponde al área encerrada dentro de un simple loop (Área no sombreada). ES o es la máxima energía de deformación asociada con el ciclo de movimiento (Área sombreada). Según la grafica la ecuación se puede derivar como sigue.

(Derivación de Ecuaciones de Energía Disipada).

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ED = 4 * (área sombreada en la figura)=4( ay d  pi –  d y a pi  ) ESo = (área del triangulo bajo Keff) = api d  pi / 2

Si estos valores se sustituyen en βo se obtiene la siguiente expresión escrita en términos de porcentaje de amortiguamiento crítico. Βo = 63.7 ( ay d  pi –  d y a pi  ) / api d  pi 

Por lo tanto: βeq = 63.7 ( ay d  pi –  d y a pi  ) / api d  pi + 5

El valor del amortiguamiento viscoso equivalente puede ser usado para estimar el factor con el cual se reduce el espectro de demanda. Como se muestra en la siguiente figura este factor se usa para disminuir el espectro elástico de 5% al aumentar el amortiguamiento crítico.

(Reducción del Espectro de Demanda)

En algunos casos de edificios, la idealización de los lasos de histéresis no es muy real ya que se puede subestimar el amortiguamiento real en la estructura. Por esta razón se introduce un factor de modificación llamado κ. Se puede notar que el amortiguamiento resultante, se llama efectivo y no equivalente. Βeff  = κ  βo + 5 βeff = 63.7 κ  ( ay d  pi –  d y a pi  ) / api d  pi + 5

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El facto κ  depende del comportamiento estructural del edificio. Hay tres categorías de comportamiento estructura: Tipo A: Representa un lazo de histéresis razonable y estable κ = 1 Tipo B: Representa una reducción moderada de los lazos κ = 2/3 Tipo C: Representa un pobre lazo de histéresis con una reducción sustancial κ = 1/3

(Valores del Factor κ   , para modificar el Amortiguamiento)

El factor de reducción de la demanda sísmica se determina según la siguiente ecuación. SRA = 3.21 – 0.68 ln [63.7 κ  ( ay d  pi –  d y a pi  ) / api d  pi + 5] / 2.12 SRV = 2.31 – 0.41 ln [63.7 κ  ( ay d  pi –  d y a pi  ) / api d  pi + 5] / 1.65 Estos valores deben ser mayores o iguales a la siguiente tabla.

Valores para el Factor de Reducción del Espectro de Demanda)

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Valores de los factores de reducción en función del amortiguamiento histeretico.

(Amortiguamiento Efectivo y Factor de Reducción en Función del Amortiguamiento Histeretico).

(Tipos de Comportamiento Estructural en Función de la Duración del Terremoto y los distintos Tipos de Edificios).

Intersección del Espectro de Capacidad y el espectro de Demanda Calculo Usando el Proceso A. Este proceso de iteración puede ser realizado a mano o sobre una

hoja de Excel para hacer converger el punto de desempeño. 1. 2. 3. 4.

Desarrollar el espectro elástico de un 5%, apropiado para la localización. Transformar la curva de capacidad a espectro de capacidad. Graficar las dos curvas en un mismo grafico. Seleccionar un punto asumido inicial de desempeño por el método “Aproximación de igual desplazamiento”, ver figura.

(Aproximación de Igual Desplazamiento).

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5. Desarrollar la representación bilineal del espectro de capacidad.

(Representación Bilineal Usando la Aproximación de Igual Desplazamiento).

6. Calcular el factor los factores de reducción espectral. 7. Desarrolle el espectro de demanda reducido y graficar en el mismo gráfico.

(Espectro Bilineal en el Mismo Grafico que el Espectro de Demanda Reducido).

8. Determine si el espectro de demanda intercepta el espectro de capacidad en el punto, api, dpi (estos son los puntos asumidos), de lo contrario verifique si el desplazamiento en el punto de intersección di, está dentro de la tolerancia aceptable del dpi (0.95dpi < di < 1.05dpi). (La siguiente grafica muestra la Tolerancia Entre el Punto Asumido y el Punto de Intersección).

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9. Si el espectro de demanda no intercepta el espectro de capacidad dentro de la tolerancia, se selecciona un nuevo valor api, dpi y se regresa al paso 5. 10. Si el espectro de demanda intercepta el espectro de capacidad dentro de la tolerancia aceptable, entonces el punto asumido api, dpi será el punto de desempeño (ap, dp), y el desplazamiento dp representa el máximo desplazamiento que se espera en el terremoto.

Cálculo usando el Proceso B.

En este método se hacen unas asunciones que no se hacen en los demás métodos. Este método asume que no únicamente la pendiente inicial de la representación bilineal permanece constante sino que también el punto ay, dy permanecen constantes. Estas asunciones permiten una solución directa sin tener que dibujar múltiples curvas, debido a que el amortiguamiento efectivo varía cada vez que se grafica una representación bilineal diferente para el espectro de capacidad. 1. Desarrollar el espectro de demanda elástico 5%. 2. Dibujar una familia de espectros reducidos en el mismo gráfico en un rango desde 5% @ 40% (Si el comportamiento Estructural corresponde al Tipo A), 29% (Si corresponde al Tipo B) y 20% (Si corresponde a Tipo C).

(Familia de Demanda Espectral con Variación en el Amortiguamiento).

3. Transformar la curva de capacidad en curva de capacidad espectral y dibujar sobre la familia de gráficos de demanda espectral.

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4. Desarrollar la representación bilineal del espectro de capacidad. La pendiente inicial de la curva bilineal es igual a la rigidez inicial del edificio. El siguiente segmento de pos fluencia debe desarrollarse a través del espectro de capacidad pasando por el punto a*, d*. Para determinar el punto a*, d* se debe proyectar la línea de la pendiente inicial hasta que corte el espectro elástico de 5%. La línea de pos fluencia debe ser colocada de manera que A1 = A2.

(Familia de Demanda Espectral y Espectro de Capacidad Bilineal).

5. Calcule el amortiguamiento efectivo para varios puntos cercanos al punto a*, d*. La pendiente del segmento de pos fluencia de la representación bilineal es dada por la siguiente ecuación.  Pendiente Pos Fluencia = (a* - ay) / (d* - dy) Para algún punto api, ay, sobre el segmento de pos fluencia en la representación bilineal la pendiente será: Pendiente Pos Fluencia = (api  – ay) / (dpi – dy) Dado que la pendiente es constante las dos ecuaciones anteriores se pueden igualar y despejar para api. a pi’  = (((a* - ay)(dpi  – dy)) / (d* - dy) ) + ay

El amortiguamiento efectivo en función del valor api’. Βeff = 63.7 κ  ( ay d  pi –  d y api’) / api d  pi + 5

La ecuación anterior se resuelve para varios valores dpi

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6. Para cada valor dpi, dibuje el punto dpi, βeff sobre la misma gráfica de la familia del espectro de demanda y el espectro de capacidad.

(Puntos d  pi , βeff  )

7. Conecte los puntos graficados hasta formar una línea. La intersección de esta línea con el espectro de capacidad define el punto de desempeño. Este proceso provee el mismo resultado que los demás procesos si el punto de desempeño está cercano al punto a*, p* de lo contrario en ingeniero debe utilizar otro proceso.

(Unión de los Puntos d  pi , βeff  ).

Solo se han presentado los procesos A y B para la determinación del punto de desempeño o respuesta máxima, sin embargo, el proceso C, no es presentado, para información con relación al mismo refiérase a ATC  – 40 (8.2.2.1.4).

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Modelo Utilizado para Relación Momento Curvatura.

El comportamiento de los elementos por lo general es modelado usando la relación momento  – curvatura, más allá del rango lineal.

(Diagramas de Momento Curvatura Normalizado).

Los valores Qc se refiere a la resistencia y Q se refiere a la demanda impuesta por el terremoto. La respuesta es lineal hasta el punto B, seguido por la fluencia, como consecuencia existe una disminución en la rigidez con un comportamiento lineal desde B hasta C, luego se presenta una reducción súbita de la rigidez desde C hasta D, continua el desplazamiento desde D hasta E con una cargas constante hasta perder la resistencia desde E en adelante. El análisis debe ser capaz de rastrear la relación no lineal fuerza-deformación de todos los componentes, esta relación se compone por lo general de varios segmentos de línea. El grafico (a) se expresa directamente en términos de deformación, rotación, curvatura o elongación. Los parámetros a y b corresponden a la deformación plástica. Estos parámetros son definidos más adelante por las tablas expuestas mas adelante. El grafico (b) se expresa en términos del ángulo de cortante y el desplazamiento relativo (drift). La curva más conveniente es la (a), cuando la deformación es por flexión, la curva (b) es más conveniente cundo la deformación se produce en juntas, deslizamientos, deformaciones por desplazamiento relativo y ángulo de cortante. La capacidad para rotar plásticamente de la sección se puede tomar directamente desde las tablas 10 y 11, la cual representanta los puntos donde hay degradación en la sección, esta tabla se basa en datos de prueba (Aycardi et al. 1992,; Beres et al. 1992; CSSC 1994b; Pessiki et al. 1990; y Qi and Moehle 1991), como también en el juicio ingenieril.

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(Parámetros Numéricos Aceptables, para modelar el Comportamiento No lineal de Vigas).

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