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2011
MANUAL DE EJERCICIOS MATEMÁTICA I
Coordinación Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Chile INACAP Iquique
MANUAL DE EJERCICIOS MATEMATICA I EDITOR Jens Jurgensen Soto Coordinador Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de chile INACAP Iquique
EDICIÓN N°2 - 2011
1. LOS NÚMEROS REALES 1.1 Números Naturales, Enteros y Racionales Aprendizaje Esperado Calcula el valor de expresiones numéricas mediante el uso de propiedades, reglas y transformaciones de los números racionales.
Criterio De Evaluación Evalúa expresiones dadas con números enteros usando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operaciones.
1. Efectúa las siguientes operaciones aritméticas, respetando el orden de operaciones: a) b) c) d) e) f) g)
h) i) j) k) l) m) n)
2. Calcula: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
j) k) l) m) n) o) p) q) r)
3. Selecciona el menor de los dos números dados: a) b) c)
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d) e) f)
g) h) i)
1
Criterio De Evaluación Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números enteros positivos a través del uso de diferentes métodos.
4. Determine el m.c.d. entre los siguientes números, usando dos métodos diferentes: a) b) c) d)
730 y 438 480, 1.400 y 8.000 16 y 40 15 y 60
e) 24, 36 y 72 f) 7, 14 y 21 g) 4 y 6
5. Determine el M.C.M. entre los siguientes números: a) 6, 45 y 12 b) 25, 45 y 75 c) 16 y 40
d) 15 y 60 e) 24, 36 y 72 f) 7, 14 y 21
Criterio De Evaluación Transforma fracciones a decimales y viceversa mediante reglas establecidas.
6. Expresa en forma de un número decimal: a) b) c) d) e) f) g) h)
j) k) l) m) n) o) p) i)
q) r) s) t)
7. Expresa en la forma de fracción común los siguientes números decimales: a) b) c) d)
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e) f) g) h)
i) j)
2
Criterio De Evaluación Calcula expresiones dadas con números racionales (fracciones y/o decimales) usando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operaciones.
8. Simplifique tanto como pueda las siguientes fracciones:
e)
b)
f)
c)
d)
a)
g) h)
i)
j) k)
l) m)
9. Calcula las siguientes expresiones con fracciones: a) b) c) d) e) f) g)
i) j) k) l) m) h)
10. Calcula las siguientes expresiones con decimales: a) b) c) d)
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e) f) g)
3
11. Calcula el valor de las siguientes expresiones: a) b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
1.2 Potencias y Raíces Aprendizaje Esperado Calcula expresiones numéricas utilizando propiedades y reglas de los números reales.
Criterio De Evaluación Resuelve ejercicios de cálculo, composición y/o descomposición de expresiones escritas con potencias mediante el uso de sus propiedades.
12. Escribe cada potencia como producto de factores iguales: a) b) c) d)
e) f) g)
13. Escribe en forma de potencia los siguientes números de modo que la base sea la menor posible: a) 8 b) 36 c) 121
d) 125 e) 1.000 f) 2.048
14. Escribe cada una de las siguientes multiplicaciones como una potencia y calcula su valor. a) b)
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c) d)
4
15. Transforma cada potencia para que el exponente quede positivo y luego calcula su valor: a) b) c)
d) e) f)
16. Desarrollar: a) b) c) d) e) f) g)
i) j) k) l) m) h)
n)
f) g) h) i)
17. Calcula: a) b) c) d) e)
Criterio De Evaluación Opera números muy grandes o muy pequeños utilizando notación científica.
18. Escriba en notación científica:
a) El número aproximado de átomos en 1 gramo de oro es . b) La precisión de una balanza es 0,00000001 g. c) El número de Avogadro (número de partículas en una molécula-gramo o 602.200.000.000.000.000.000.000. d) La luz recorre 1 metro en aproximadamente 0,000000003 segundos. e) La distancia media entre el Sol y la Tierra es 150.000.000 km. f) La masa de un electrón es aproximadamente 0,00000000000000000000000000000091 kg g) La edad de la Tierra se estima en 4.567.000.000 años.
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mol)
5
es
19. Calcula y expresa la respuesta en notación científica: a) b) c) d)
e) f)
Criterio De Evaluación Calcula expresiones dadas con potencias y/o raíces usando reglas operatorias.
20. Calcula el valor de las expresiones siguientes usando propiedades de las raíces y de las potencias a) b)
c) d)
e) f) g)
21. Utilizando propiedades de raíces , calcula: a) b) c) d) e)
f) g) h)
22. Reducir las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) f)
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g) h) i)
6
Criterio De Evaluación Descompone expresiones con raíces y/o racio naliza, usando reglas operatorias y propiedades.
23. Reduce a una sola raíz: a) b) c)
d) e)
24. Racionaliza las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) f) g)
h) i) j) k) l) m)
1.3 Problemas de Aplicación de Números Reales Aprendizaje Esperado Resuelve problemas de aplicación, utilizando propiedades y reglas de los números reales.
Criterio De Evaluación Resuelve problemas de aplicación empleando reglas operatorias, propiedades y orden de los números enteros.
25. Un grupo de 27 alumnos de Inacap decide viajar a Santiago. El pasaje en bus de pasajeros cuesta $ 45.200 por persona solo de ida o vuelta. Un bus de arriendo les cobra $ 2.500.000 ida y vuelta por todo el grupo. Elige la alternativa más económica. ¿Cuánto ahorran en su elección?
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26. Gloria necesita comprar 4 cortinas para su casa. Cada una cuesta $ 14.500 y pagará el total en 8 cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota? 27. Dos personas parten de un mismo lugar, la primera da pasos de 40 cm y la segunda de 55 cm a ¿qué distancia los separará cuando den el paso 20?
7
28. Después de llegar a la playa, 30 amigos realizan distintas actividades: un par de ellos juegan paletas, dos parejas juegan al naipe, un cuarteto canta acompañado de un guitarrista, cuatro tríos construyen castillos en la arena y los restantes nadan. ¿Cuántos fueron a nadar? 29. Se está organizando un paseo para 110 niños. ¿Cuántos buses para 32 pasajeros se necesita contratar? 30. Si se cuenta con 32 globos, ¿cuál es el número máximo de globos que puede repartirse a cada uno de los 5 niños que hay en la fiesta, de forma que cada niño tenga el mismo número de globos? 31. Un parlante de música posee las siguientes dimensiones: 50 cm de largo, 35 cm de ancho y 90 cm de altura. ¿Cuál es el volumen del parlante? 32. En el condominio donde vive Sofía hay seis torres de 13 pisos. Si las torres tienen 4 departamentos por piso, ¿cuántos departamentos tiene el condominio? 33. Francisco y Rodrigo son muy deportistas. El sábado fueron a correr juntos, pero la distancia que recorrió Francisco fue el triple de la que corrió Rodrigo. Si Francisco corrió 7.536m, ¿cuántos metros corrió Rodrigo? 34. En 2000, el gasto nacional en salud fue de $650.000 millones. En 2010, está cifra había aumentado en un factor de 1,9. Escriba el gasto en salud del 2000 y 2010, con el uso de notación científica. 35. Se compran cintas de cuatro colores, con las siguientes medidas: azul 210 cm, verde 360 cm, roja 180 cm y blanca 300 cm. Se desea cortar las cintas en trozos del mismo tamaño. ¿Cuál es la medida de ellos? 36. Tres ciclistas recorren una pista circular en 20, 24 y 36 segundos, respectivamente. Si parten
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juntos, ¿después de encontrarán de nuevo?
cuánto
tiempo
se
37. ¿Cuántos elementos en común tiene el conjunto de los divisores de 18 y 16? 38. ¿Qué número se obtiene si se divide el mínimo común múltiplo por el máximo común divisor entre 30, 54, 18 y 12? 39. Un campo rectangular de 360 m de largo y 150 m de ancho, está dividido en parcelas cuadradas iguales. El área de cada una de estas parcelas cuadradas es la mayor posible. ¿Cuál es la longitud del lado de cada parcela cuadrada? 40. María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola. a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? b) ¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar? 41. Un mueblista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible. a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera? 42. Carlos tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja? 43. Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal. ¿Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir?
8
44. Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió? 45. Una bomba extraen el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 28 m de altura. ¿Qué distancia se desplaza el petróleo? 46. ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 °C, a la del pescado congelado, que está a 18 °C? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?
47. La temperatura del aire baja según se asciende en la Atmósfera, a razón de 9 °C cada 300 metros. Suponiendo que a nivel cero la temperatura es de cero grados, ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de 81 °C? 48. En un depósito hay 800 L de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 Litros por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 Litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
Criterio De Evaluación Resuelve problemas de aplicación empleando reglas operatorias, propiedades y orden de los números racionales y decimales.
49. En un curso de Matemática hay 48 alumnos, de los cuales
3
son mujeres. ¿Cuántos hombres
8
52. En un estante A hay 60 botellas de
4
50. En el cumpleaños de Ana se dividió una torta en 12 partes iguales. Ana se comió Paula comió
1 6
, Pedro comió
1 4
1 12
de torta,
y Carlos
1 3
. ¿Qué
fracción de torta se comieron entre los cuatros amigos?
4
de litro
cada una y en un estante B hay 120 botellas de de 1
hay en este curso?
3
de litro cada una. Calcula los litros totales que
contienen las botellas en cada estante. 53. Un estanque tiene agua hasta la mitad. Si se sacan de él 2 litros, se alcanza un nivel equivalente a los
3 10
de su capacidad. ¿Cuántos
litros de agua hacen falta para llenar el estanque?
51. Un ciclista ha estado corriendo durante tres horas. En la primera hora, ha recorrido los
5 18
de un trayecto; en la segunda segunda hora, ha recorrido los
7 25
del trayecto; y, en la tercera hora, ha
recorrido los
11 45
del trayecto. ¿Qué fracción
queda por recorrer del trayecto?
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54. El valor de la UF es de $ 21.534. Calcular el valor en pesos de los siguientes seguros: Cesantía 0,05 UF, Protección Identidad 0,25 UF, Desgravamen 0,1 UF, Salud 0,8 UF. 55. Un envase con un litro de aceite pesa 1,21 kilogramos. Si un litro de aceite pesa 1,106 kilogramos, ¿cuánto pesa el envase?
9
56. Roberto y su hermano Iván salen de paseo, cada uno en su bicicleta. Si la rueda de Roberto avanza 1,8 m en cada giro y la de su hermano Iván 0,45 m menos, ¿cuántos metros avanza la rueda de la bicicleta de Roberto en tres giros? ¿Y la bicicleta de Iván en los mismos tres giros?, ¿cuánto más avanzó Roberto que Iván?
59. Aproxima cada número a 2, 3 y 5 decimales: a) 0,3256879546 b) 12,76453429 c) 4,1223130312 d) 5,410463924 e) 125,65831421 f) 1.324,98542132
57. Un camión que transporta automóviles lleva un Jeep que pesa 1,375 ton., un automóvil que pesa 0,85 ton y una camioneta que pesa 1,055 ton. ¿Cuánto pesa en total la carga que lleva el camión?
60. Un estudiante obtuvo en la asignatura de Matemática I las siguientes notas: 5,1; 3,2; 4,5; 3,9; 3,0. Calcula el promedio (media aritmética), aproximado a un decimal.
58. El día de la Solidaridad, los alumnos de primero medio fueron a pintar las paredes de un hogar de ancianos. En el living del hogar debían pintar 2 muros, el primero medía 6,4 m de largo por 2,7 m de alto y el segundo 7,9 m de largo por 2,7 de alto. ¿Cuál es la medida de la superficie total que debían pintar en ese living?
61. El área de un terreno cuadrado es 143 m 2. ¿cuánto mide el lado del terreno? Aproxime el resultado hasta la décima de metro. 62. Un alumno de Inacap está cursando una asignatura que tiene en el semestre tres notas parciales, con ponderaciones 30%, 25% y 45%. Obtiene las siguientes notas, respectivamente: 4,0; 3,5; 5,1. a) Calcule la nota semestral. b) ¿Debe rendir el Examen Final? En caso afirmativo, ¿qué nota mínima debe obtener para aprobar la asignatura?
Criterio De Evaluación Resuelve problemas de aplicación empleando conceptos y r eglas operatorias de los números irracionales.
63. El volumen de una esfera es
4 3
r 3 , siendo r la
medida del radio. Calcula el volumen de una esfera de radio 2 3 7 cm. 64. ¿Qué medida debe tener el radio de una esfera para que su área superficial sea ?
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65. La suma de los cuadrados de dos números es 84. Si el número mayor es 9. ¿Cuál es el otro número? 66. Calcula el área de un cubo de arista 3 2 cm. 67. Un número elevado a cuatro multiplicado por 3 y dividido por 4 da por resultado 3. Halle el número.
10
Criterio De Evaluación Resuelve problemas de aplicación utilizando las prop iedades de las potencias y/o raíces.
68. Un centro de madres organiza una campaña para conseguir dinero y enviarlo a un proyecto de cooperación. Para ello han vendido cajas de lápices de colores. En cada uno de los 7 días, vendieron 7 paquetes. Cada uno de estos paquetes contenía 7 cajas con 7 lápices de colores cada una. ¿Cuántos lápices han vendido en total?
69. Se tiene un cubo de lado 2 centímetros. a) ¿Cuánto vale su volumen? b) Si se duplica el lado, ¿se duplicará también su volumen? 70. En una caja hay 16 paquetes, cada paquete tiene 16 bolsas, cada bolsa 16 bombones de chocolates. Exprese la cantidad bombones que hay en la caja mediante una potencia.
SOLUCIONES
1. a) 25 b) 105 c) 110 d) 96 e) 2 f) 19 g) 15 h) 37 i) 44 j) 118 k) 342 l) 1.120 m) n) 2. a) b) c) e) 7 f) 5 g) h) 12 i) 13 j) 16 k) 0 l) m) 54 n) o) p) 60 q) 0 r) 14 3. a) b) 3 c) d) e) f) g) h) i) 4. a) 146 b) 40 c) 6 d) 15 e) 12 f) 7 g) 2 5. a) 180 b) 225 c) 8 d) 60 e) 72 f) 42 6. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r)
s) t) j) 7. a) 0,5 b) c) 0,25 d) e) 0,125 f) g) 0,75 h) i) 8. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 0 m) 9. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) 10. a) 7,4968 b) 6,732 c) 87,926 d) 0,03 e) 0,01 f) g) 11. a) b) c) d) 1,02 e) f) 2 g) 396 h) i) 14,89576542 12. a) b) c) d) e) f) g) 13. a) b) c) d) e) f) 14. a) b) c) d) 15. a) b) c) d) e) f) 1 16. a) 16 b) 64 c) 4.096 d) 531.441 e) 531.441 f) g) h) c) d) e) f) g) h) i) i) j) k) l) m) n) 17. a) b) 18. a) b) c) d) e) f) g) 19. a) b) 4,25 c) d) e) 20. a) b) c) d) e) f) g) b) c) d) 21. a) b) c) d) 8 e) f) 0 g) h) 22. a) e) e) f) 17 g) h) i) 23. a) 5 b) 3 c) d) j) k) 24. a) b) c) d) e) f) g) h) i) l) m) 25. Bus, $59.200 26. $7.250 27. 300 cm 28. 7 29. 4 buses 30. 6 31. 32. 312 33. 2.512 m 34. En 2000, . En 2010, 35. 30 cm cada parte: 7 cinta azul, 12 de cinta verde, 6 de cinta roja, 10 de cinta blanca 36. 360 segundos 37. Sólo un elemento (2) 38. 90 39. 30 metros por lado 40. a) 5 collares b) 5 blancas, 3 azules y 18 rojas 41. a) 32 cm de lado b) 24 cuadrados 42. Mínimo 120 botones 43. Deben pasar 30 horas (1.800 minutos) 44. 77 años 45. 1.003 metros 46. 47. 2.700 metros 48. 725 litros 49. 30 hombres 50. 51. 52. 75 litros 53. Faltan 7 litros 54. Cesantía: $1.076,7 Protección de
55. Identidad: $5.383,5 Desgravamen: $2.153,4 Salud: $17.227,2 0,104 kg 56. Roberto avanza 5,4 m, Iván 4,05 . Roberto avanza 1,35 m más que Iván 57. 3,280 toneladas 58. 59. a) 0,33 0,326 0,32569 b) 12,76 12,765 12,76453 c) 4,12 4,122 4,12231 d) 5,41 5,410 5,41046 e) 125,66 125,658 125,65831 f) 1324,99 1324,985 1324,98542 60. 3,9 61. 12,0 metros 62. a) 4,4 b) Si, 4,6
63.
64.
metros
65.
67. 68. 69. a) b) No, se multiplica por 8 70. 66.
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2. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES 2.1 Razones y proporciones Aprendizaje Esperado Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas.
Criterio De Evaluación Utiliza razones para comparar cantidades dadas.
1. En 1999 la utilidad neta de una empresa fue de $53.126 siendo su activo total de $134.930. ¿Cuál fue la razón de la utilidad neta al activo total? 2. Una librería, cuya existencia promedio de mercancía es de $30.000 obtuvo una utilidad de $36.000 sobre una venta de total de $180.000 en el año anterior. Encontrar: a) La razón del total de ventas al inventario promedio. b) La razón de la utilidad a la venta total. 3. La eficiencia de un proceso administrativo se define como la razón entre la cantidad de operaciones de salida realizadas satisfactoriamente y el número de operaciones totales ingresadas. Si ingresan 6.000 operaciones y salen 4500 de ellas. ¿Cuál es la razón de eficiencia? 4. La razón entre dos cantidades es 0,8. Si el antecedente es 4, ¿Cuál es el consecuente?
Criterio De Evaluación Calcula el término desconocido de una proporción, aplicando propiedades y el teorema fu ndamental de las proporciones.
5. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son proporciones? a)
5 2
b) 7 : 21 1 : 3 c) 4 : 3 16 : 15 d) 28 : 8 7 : 2
e)
1, 5
f)
0,8: 0,9 3,2:3,6
g)
1, 8
20
h)
24
3 4
: 6 1: 8
2
1 2 2 :1 : 3 5 9 5
6. Halla el término desconocido en: a)
x 3,5
6 3
b) 24: 0,4 x: 0,04 c) d)
3
: 6 1: x
4 0,3:1,5 6:x
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e) f)
0,2 x x 2, 4
0, 3 0,9
1
2
1
4
3
3
h) 1 : x : 2 2
3 1, 8
1
1
5
2
g) 8 : 3 7 : x
i)
3 5 6
x 1 2 2
13
7. Calcula la media proporcional geométrica entre: a)
1
1
y
4
d)
9
b) 49 y 0,25 c) 2 y 8
2
1 4
y3
1 16
e) 0,4 y 0,08
8. Calcula la cuarta proporcional entre las siguientes cantidades, tomándolas en el mismo orden: a)
5 6
,
1 4
,
2 3
b) 2, 3 y 6
c) 12,5; 10; 2,5 d) 12; 6,4; 3,75 e) 6; 12,5; 2,88
9. Determina la tercera proporcional de los pares siguientes: a) 2 y 3 b) -2 y 8 c)
4 9
y 0,6
e) 4 y 8 f) 2,5 y 5 g)
5 6
y
2 3
d) 8 y 0,4
Criterio De Evaluación Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas.
10. En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 3:2. Si el número de damas es 10. ¿Cuál es el número de alumnos en total? 11. La altura de una puerta y una ventana en un edificio miden 1,80 m y 1,20 m respectivamente. En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm ¿Cuál es la altura de la ventana? 12. En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 5:4. Si el número de damas es 8. ¿Cuál es el número de alumnos varones? 13. El bronce para campanas se compone de 4 partes de cobre y una parte de estaño. Hállese la cantidad de cada metal que hay en una campana que pesa 8,5 kg.
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14. Dos números están en la razón 7:4 y la diferencia entre ellos es 36. Hallar los números. 15. La razón entre dos números es 8:3 y su diferencia es 55. Calcula la suma de estos números. 16. Dos números están en la razón 5:2. Si sumados dan 42. ¿Cuáles son los números? 17. Dos personas se reparten $18.000 tal que sus partes están en la razón de 8:4. ¿Cuánto recibe cada uno? 18. La diferencia entre dos números es 48 y están en la razón 9:5. ¿cuáles son los números? 19. Sea x + y + z = 50 y Calcular x, y, z.
x : y : z = 3 : 5 : 2.
14
20. La suma de tres números es 36 y están en la razón 2:3:4. Calcular los números. 21. Sea a : b : c = 7 : 5 : 2 Calcular a, b, c.
y
a b + c = 20.
22. Si x : y : z = 8:5:2 tal que 2x + y + 5z = 93 Calcular x, y, z. 23. Un segmento de 120 cm se divide en tres partes cuyas longitudes son directamente
proporcionales a los números 3, 4, 5. Hallar las longitudes de cada una de ellas. 24. Calcular los ángulos interiores de un triángulo, si se cumple la condición : = 5 : 3 : 10 y que la suma de estos ángulos es 180°. 25. Calcular los ángulos interiores de cuadrilátero, si verifican que: : : : = 5 : 6 : 7 : 9 y que la suma de estos ángulos es 360°.
un
2.2 Variación Proporcional Aprendizaje Esperado Aplica variación proporcional para resolver problemas que requieren de estos conceptos para su resolución.
Criterio De Evaluación Identifica variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas en fórmulas físicas y/o relacionadas con su especialidad.
26. En la Ley de Gases Ideales: P
nRT V
, donde n es
el número de moles, T temperatura absoluta, V volumen del gas y R constante de proporcionalidad. ¿Entre qué variables existe una proporcionalidad directa? d
27. En la fórmula física: v . ¿qué tipo de
28. El número de Reynolds se define como: vD , donde es la densidad del fluido, v la Re velocidad característica del fluido, D diámetro de la tubería través de la cual circula el fluido y viscosidad cinemática del fluido. ¿Qué tipo de relación hay entre la velocidad del fluido y las demás variables?
t
relación existe entre la velocidad v y el tiempo t?
Criterio De Evaluación Aplica conceptos de variación directa, inversa, conjunta y combinada para plantear fórmulas en base a problemas dados.
29. Plantear las formulas correspondientes: a) A es inversamente proporcional al cuadrado de B. b) A es directamente proporcional al cubo de B
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c) La iluminación I, producida por una fuente de luz varía inversamente proporcional con respecto al cuadrado de la distancia, d, desde la fuente.
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d) La presión P en el fondo de una piscina varía directamente con la profundidad h.
varía conjuntamente con la distancia viajada d y el cuadrado de la velocidad v.
e) La potencia P requerida para impulsar una embarcación varía directamente con el cubo de su velocidad v.
h) La masa m de una persona varía directamente con el cubo de su altura h.
f)
i) Si a obreros construyen una casa en t días, trabajando h horas diarias, determine la relación que permite determinar el número de obreros que se requiere para construir la misma casa en T días, trabajando H horas diarias.
El peso W de un bloque rectangular de metal varía conjunta y directamente con la longitud a, la anchura b y el espesor c de bloque
g) La cantidad de carbón C empleada en un barco de vapor que viaja a una velocidad uniforme
Criterio De Evaluación Aplica los conceptos y propiedades de variación proporcional directa, inversa, conjunta y combinada para resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o sociales.
30. Completa las siguientes tablas, identificando si es Variación Proporcional Directa o Variación Proporcional Inversa: A 810 270 y
B 162 54 18
A 2 3 w
B 15 10 7,5
31. Hugo gana $540.000 mensuales (considerando 30 días). ¿Cuánto dinero gana en 10 días? 32. Si 10 obreros construyen una casa en 6 meses, ¿cuánto tiempo demoran en construir una casa similar 15 obreros trabajando la misma cantidad de horas diarias? 33. Un rectángulo cuyo ancho mide 8 cm y su largo 12 cm, tiene un área de 96 cm 2. ¿Qué ocurre con el ancho si su longitud aumenta a 16 cm y su área permanece constante? 34. Una persona camina 350 metros en 15 minutos, ¿cuántos kilómetros caminará en una hora y media?
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A 0,5 1 2
B x 2 z
A 1 t 3
B 120 60 40
35. Una guarnición de 1600 hombres tiene víveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada hombre. 36. Si se refuerzan con 400 hombres, ¿cuántos días durarán los víveres si cada hombre toma 2 raciones diarias? 37. Tres hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra? 38. Una empresa constructora estima que son necesarios 30 obreros para terminar una obra en 3 meses trabajando 8 horas diarias.
16
¿Cuántos obreros necesitarían para terminar la obra en 2 meses, trabajando 6 horas diarias? 39. Si 10 ampolletas originan un gasto de $6.000 al mes si se encienden 6 horas diarias. ¿Cuántas ampolletas se deben apagar para que el gasto sea de $4.000 si se encienden 5 horas diarias? 40. En un taller de confecciones, 6 operarios hacen 100 polerones en un día, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos operarios serán necesarios para hacer 500 polerones en dos días, trabajando la misma cantidad de horas diarias? 41. Si 3 secretarias tardan 21 días en escribir a máquina un texto, entonces, ¿cuántos días requieren 7 secretarias para escribir dos textos iguales al anterior, si trabajan a un ritmo similar? 42. Un grupo de 10 jóvenes realizó una excursión ciclística por 20 días, el costo total resultó ser $300.000. ¿Cuánto dinero gastarán 8 muchachos en una excursión similar cuya duración será de 25 días? 43. Si 10 obreros se demoran 4 días en pavimentar una calle, ¿cuánto se demoran 15 obreros en hacer el trabajo, trabajando la misma cantidad de horas diariamente? 44. Para una biblioteca pública se dispone de $150.000 que alcanzan para comprar 120 libros. Si se recibe una donación de $375.000, ¿cuántos libros del mismo tipo se pueden comprar? 45. Cuatro llaves llenan una piscina con una capacidad de 18 m 3 en 12 horas. ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar la misma piscina con 3 llaves?
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46. Un tren tarda cuatro horas en ir de la ciudad A a la ciudad B a una velocidad de 80 km/h. ¿A qué velocidad promedio debe ir si necesita llegar 45 minutos antes? 47. Se desea limpiar un canal en dos semanas; se sabe que el año pasado se debió realizar el mismo trabajo y que 21 obreros ocuparon 30 días, ¿cuántos obreros es necesario contratar? 48. Ocho trabajadores realizan una obra en 12 días. Para concluirla en 6 días menos, ¿cuántos trabajadores más se necesitarán? 49. Si A es directamente proporcional al cuadrado de B y además, A=72 cuando B=3. ¿Cuál es el valor de A, cuando B=9? 50. La iluminación I, producida por una fuente de luz varía inversamente proporcional con respecto al cuadrado de la distancia, d, desde la fuente. Si la iluminación producida a 15 pies de la fuente de luz es 48 bujías-pie (unidad de medición de la iluminación). ¿Cuál es la iluminación producida a 12 pies de la fuente de luz? 51. El peso de un bloque rectangular de metal varía conjunta y directamente con la longitud, la anchura y el espesor de bloque. Si el peso de un bloque de aluminio de 12 pulgadas x 8 pulgadas x 6 pulgadas es de 18,7 Libras, calcula el peso de un bloque de 16 pulgadas x 10 pulgadas x 4 pulgadas. 52. La cantidad de carbón empleada en un barco de vapor que viaja a una velocidad uniforme varía conjuntamente con la distancia viajada y el cuadrado de la velocidad. Si un barco quema 45 toneladas de carbón al viajar 80 millas a 15 nudos, ¿cuántas toneladas empleará si viaja 120 millas a 20 nudos?
17
2.3 Porcentaje e interés Aprendizaje Esperado Utiliza fórmulas y conceptos de porcentaje, interés simple y compuesto para resolver problemas de aplicación.
Criterio De Evaluación Calcula porcentajes de cantidades dadas.
53. Calcula: a) b) c) d)
8% de 250 15% de 462 25% de 9,6 2,3% de 48,72
e)
1 33 % de 1236 3
f)
0,75% de 24
1
g) 3 % de 112,3 4
h) 2% de 7 i) 18% de 76 j)
1 2
% de 18
k) 35% de 180 l) 42% de 1250
54. ¿Qué tanto por ciento: a) b) c) d) e)
de 8 es 7? de 7,2 es 18,5? es 3,25 de 5,5? de 860 es 129? de 30 es 6?
f) g) h) i)
es 0,64 de 512? de 1600 es 320? de 86 es 172? es 75 de 1250?
Criterio De Evaluación Calcula un número, dado el porcentaje que otro número es más o menos que él.
55. ¿De qué número es: a) b) c) d) e) f)
3 el 75%? 22,4 el 75%? 35 el 5%? 60 el 90%? 76 el 10% 20 el 80%?
g) 12 el 2%? h) 15 el 60%? i) j)
2 3
el 25%?
4 el 19%?
56. ¿De qué número es: a) 48 un 20% menor? b) 208 un 4% mayor?
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c) 276 el 8% menor? d) 30 un 16 2 3 % es mayor?
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Criterio De Evaluación Aplica conceptos y métodos de cálculo de porcentajes, para resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o sociales.
57. El metal blanco se compone de 3,7% de cobre, 88,8% de estaño y 7,5% de antimonio. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en 465 kg.?
66. Un comerciante vende carbón a $280.000 la tonelada. Si su ganancia es del 12%, ¿cuánto le cuesta el carbón?
58. El fabricante de cierta marca de automóviles calcula sus costos como sigue: materiales, 38,5%; mano de obra 41,25%; gastos generales 6,5% y ganancia 13,75%. Hallar el costo de cada una de estas partidas en un automóvil que se vende a U$ 8.500.
67. ¿Qué número aumentado en un 15% equivale a 437?
59. Cierto mineral rinde el 4,25% de hierro. ¿Cuántos kilos de hierro hay en una tonelada de ese mineral?
69. Los gastos que demandan en una empresa los departamentos de personal, marketing y finanzas son de $36.000.000 mensuales y están en la razón 6:10:14. a) ¿Cuál es el gasto del departamento de marketing, en un período de un año? b) Qué porcentaje representa el gasto anual del departamento de personal?
60. Si sobre una factura de $242.850 se hace un descuento del 2%, ¿Cuánto hay que pagar? 61. A un mecánico que gana $28.500 por semana le redujeron el salario en un 15%. ¿Cuánto gana después de la reducción? 62. Un comerciante vende un artículo en $3.600, perdiendo un 10%. ¿Cuánto le costó el artículo? 63. Una tonelada de mineral contiene 80 kg. de hierro. ¿Qué tanto por ciento del mineral es hierro? 64. Para hacer 95 kg. de soldadura empleamos 11,5 kg. de plomo y 83,5 kg. de estaño. ¿Qué % de cada metal se utilizó?
68. Si se aumenta en un 8% el precio de un artículo, el nuevo precio queda en $162. ¿Cuál era el precio primitivo?
69 Un comerciante compra un producto en $250.000 la unidad, precio neto, pero desea obtener una ganancia de un 15% sobre el precio neto. Determinar: a) precio de venta al público (IVA incluido) b) monto del IVA declarado por el comerciante 70 Si una máquina vale a pesos y por motivo de incendio de la fábrica se vende en b pesos (b < a). ¿Qué porcentaje perdió la empresa por la venta de la máquina?
65. Una persona paga $5.750 por un artículo y después lo vende por $6.500. ¿Qué % de ganancia obtiene?
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Criterio De Evaluación Aplica las fórmulas de interés simple y compuesto para resolver problemas de aplicación.
Interés Simple: M C 1 n i n
Interés Compuesto: M C 1 i 71 Una empresa invierte en un depósito financiero 6 millones de pesos a un 5% anual simple durante tres años. ¿Cuánto ganará la empresa por concepto de intereses? 72 Un granjero ha decidido invertir los beneficios de su cosecha, 850.000 pesos, en un depósito al 3% anual simple durante cinco años. ¿cuánto retirará? 73 Determina el capital final equivalente a $6.000.000 mediante capitalización simple dentro de dos años y medio sabiendo que el tipo de interés simple anual es del 5%. 74 ¿Cuáles son los intereses producidos por un capital de 3.000 UF prestado a un interés simple anual del 2,5 % durante dos trimestres? ( 1 año tiene 4 trimestres) 75 Calcula los intereses resultantes de una operación en la que a partir de un capital de $127.830 se obtiene un capital final equivalente a un 125 % del capital inicial. 76 ¿Qué tiempo estuvo invertido un capital de 22.000 UF al 2% de interés simple anual, si los intereses fueron de 4.400 UF.? 77 ¿Cuánto tiempo tardaría un capital colocado al 8% de interés simple anual en transformarse en el triple del mismo? 78 Tengo unos ahorros colocados de la siguiente manera: 20.000 UF al 2% de interés simple trimestral
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30.000 UF al 1% de interés simple mensual 5.000 UF al 4,5% de interés simple semestral ¿Cuál es el capital final si mis ahorros están colocados durante un año y medio?
79 Determinar los intereses y el capital final producido por UF 50.000 al 15% de interés compuesto anual, durante 1 año. 80 Determinar los intereses generados por un capital de UF 30.000, durante 5 meses, al 15% de interés compuesto anual. 81 Tenemos una obligación por UF 12.000, a ser liquidado dentro de 10 años. ¿Cuánto invertiremos hoy al 9% anual compuesto, con el objeto de poder cumplir con el pago de la deuda? 82 Una empresa deposita $ 700.000. a una tasa de interés compuesto anual del 24%, capitalizable mensualmente, ¿cuál será el monto acumulado en 4 años? 83 Usted deposita $ 1.200.000. al Banco Inacap durante 260 días a una tasa de interés compuesto anual del 7%, capitalizable mensualmente, ¿Cuánto dinero retirara al término de los 260 días? 84 Determine la tasa de interés compuesto anual, a la que deben invertirse $3.230.000. para que en 7 años se obtenga un capital final de $ 4.234.890.
20
SOLUCIONES 1.
53.126 134.930
2. a) 6 : 1 b) 1 : 5 3. 3: 4 4. 5 5. Son proporciones b) d) e) f) g) h)
6. a) 7 b) 2,4 c) 8 d) 30 e) 0,6 f) 4 g) 3 h) 8. a)
1 5
b) 9 c) 2 d) 2 e) 6 9. a)
9 2
35 8
i) 2 7. a)
b) -32 c) 0,81 d)
1 50
1 6
b) 3,5 c) 4 d)
e) 16 f) 10 g)
21 8
e) 0,1789
8 15
10. 25 alumnos 11. 4 cm 12. 10 varones 13. 6,8 kg de cobre y 1,7 kg de estaño 14. 84 y 48 15. 121 16. 30 y 12 17. $12.000 y $6.000 18. 108 y 60 19. x = 15; y = 25; z = 10 20. 8, 12 y 16 21. a = 35; b =25; c = 10 22. x = 24; y = 15; z =6 23. 30, 40 y 50 cm 24. 50°; 30° y 100° 25. 66,7°; 93,3° y 120° 26. P y n; P y T; n y V; T y V 27. Inversamente proporcional 28. Directamente proporcional con: número de Reynolds y viscosidad. Inversamente proporcional con: densidad y diámetro de tubería. A P a t h k 29. a) A B2 k b) 3 k c) I 2 d) P k h e) 3 k f) W k ab c g) C k d v2 h) m k h3 i) B v T H d 30. y = 90; w = 4; x = 1; z = 4; t = 2 31. $180.000 32. 4 meses 33. El ancho disminuye a 6 cm 34. 2,1 km 35. 12 días 36. 6 días 37. 60 obreros 38. 2 ampolletas 39. 15 operarios 40. 18 días 41. La misma cantidad de dinero 42. 2,7 días aproximadamente 43. 180 libros 44. 16 horas 45. 98,5 km/h 46. 45 obreros 47. 16 obreros 48. A = 648 49. I = 75 bujía-pie 50. 20,8 Lb 51. 120 toneladas 52. a) 20 b) 69,3 c) 2,4 d) 1,12 e) 412 f) 0,18 g) 3,65 h) 0,14 i) 13,68 j) 0,09 k) 63 l) 525 53. a) 87,5% b) 256,94% c) 59,1% d) 15% e) 20% f) 0,125% g) 20% h) 200% i) 6% 54. a) 4 b) 29,87 c) 700 d) 66,7 e) 760 f) 25 g) 600 h) 25 i) 8/3 j) 400/19 55. a) 60 b) 200 c) 300 d) 25
5 7
56. Cobre: 17,205 kg; estaño: 412,92 kg; antimonio: 34,875 kg 57. Materiales: US$ 3.272,5; mano de obra: US$ 3.506,25; gastos generales: US$ 552,5; ganancia: US$ 1168,75 58. 42,5 kg 59. $237.993 60. $24.225 61. $4.000 62. 8% 63. 12,1 % de plomo, 87,9% de estaño 64. 13% 65. $250.000 66. 380 67. $150 68. a) $ 12.000.000 b) 20% 69. a) $342125 b) $ 54.625 70.
a b a
100 %
71. $ 900.000 72. $ 977.500 73. $ 6.750.000 74. 37,5 UF 75. $ 31.957,5 76. 10 años 77. 25 años 78. 62.575 UF 79. Capital Final: 57.500 UF, Intereses: 7.500 UF 80. 1.796 UF 81. 5.069,93 UF 82. $ 1.810.949 83. $ 1.261.629 3,94%
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84.
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3. ALGEBRA 3.1 Algebra Elemental y Operatoria Algebraica Aprendizaje Esperado Resuelve ejercicios algebraicos mediante la aplicación de propiedades y conceptos.
Criterio De Evaluación Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las regla s operatorias de los números reales.
1. Expresa en leguaje algebraico: a) El doble de un número, aumentado en la mitad del mismo número. b) El doble de a, aumentado en b. c) El doble de a aumentado en b. d) El cuadrado de la cuarta parte del triple de x. e) El quíntuple del cubo de y. f) La diferencia entre el cuádruple de x y la tercera parte de y. g) La suma de tres números consecutivos.
h) La mitad de la diferencia positiva entre dos números pares consecutivos. i) El producto entre un número y su sucesor. j) El cubo del cuadrado de la diferencia entre x e y. k) La cuarta parte del producto entre el cuadrado de a y el cubo de b. l) La suma de los cuadrados de tres números consecutivos.
2. Si a = 3 y b = 2, determine el valor de: a)
b) a c)
d) a3 2b2 ab
a2 b2 b3 4
6
a
2
e)
1 b2 1 b
a2 b2 3a 4b
3
1 3
a
3. Si m 2 y n 3 , determine el valor de: a) 2m 3n b) m m2 2n c) m2 2mn n2
d) e)
1 m
1 n
1 mn
Criterio De Evaluación Simplifica expresiones algebraicas dadas con paréntesis aplicando reglas de la o peratoria.
4. Reducir las siguientes expresiones algebraicas: a) b)
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c) d) e) f) g) h)
j) k) l) m) n) o) p) q) r) t) i)
s)
5. Reducir las siguientes expresiones algebraicas con paréntesis: a) b) c) d) e) f) g)
h)
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24
Criterio De Evaluación Opera expresiones algebraicas mediante el uso de reglas y propiedades.
6.
Representa el área del rectángulo mayor como el producto de dos polinomios. Calcula y expresa de la manera más simple dicho producto. 5
2x 5 x
7.
Determine el área del rectángulo en términos de x
8.
Reducir las siguientes expresiones algebraicas, realizando las multiplicaciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
9.
m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) l)
Divide y exprese el resultado de la manera más simple posible. a) b) c)
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d) e) f) g)
25
10. Desarrolla las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) f) g) h)
j) k) l) m) n) o) p) i)
3.2 Factorización y Expresiones Algebraicas Fraccionarias Aprendizaje Esperado Reduce expresiones algebraicas fraccionarias aplicando las reglas de operatoria, factorización y racionalización. Criterio De Evaluación Representa expresiones algebraicas como productos aplicando reglas de factorización.
11. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
l) m) n)
o) p) q) r) s) t) u) v)
12. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a) b) c)
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d) e) f)
26
g) h)
i)
13. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x) m)
Criterio De Evaluación Reduce expresiones algebraicas fraccionarias aplicando las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización.
14. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias: a)
ax2
g)
a2 x 5 2
b)
c) d)
e) f)
2m np
h)
2
18mn p
125x6 y5z 4
i)
5xyz 2pq
j)
p q pq 2
2
2 2 x x 15 15
k)
x 3 3abc 6a bc 9ab 9ab c 2
2
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l)
x2 3x 2 x2 5x 6 m2 6m 9 m2 9m 18 18 a2 25
3a2 6a 3 2 2a 6a 4a 3
m) n) o)
3a
x 8 9y 4 4 2 x 3y
ac ad bc bd c2 d2
a2 4a 45 45 x2
5x 2
x x 5
p)
x2 x
2
11 10x 11 10 9x 10
4 x2 x 2
x 2 x 1 x x 1 x 1
27
15. Efectúa las operaciones indicadas: a) b) c)
a ab
2b b
2m 3mn 3n 9x
1
2
x
2
2a
a 1
f)
4
3
d)
e)
2
a
2x
g)
3x 1
1
2 2 x 6x 5 x 4
2a 4
h)
a
2 x 1
a4
3a 12 a2 16 ab
a2 8a 16 a 2
a 2ab b2 2
ab
a2 b2 a b
3ab
a 2a a a 25 3
2
x 2
2
a 7a 10 2
2
a 1
1 2a2
Criterio De Evaluación Aplica reglas de racionalización para eliminar radicales en expresiones fraccionarias algebraicas que cont engan una o dos raíces en el denominador.
16. Racionalice las siguientes expresiones a) b) c) d) e)
7
4 x2
f)
5x
2
2 g)
3 x a b b a
h)
2x 3 6 4x
i)
5a
3
j)
2
x 1
a b 7
k)
a3b 2
l)
1x 2x 3 5
x2
16y x4 y 1
a a b b xy 3
x
3y
11 2x 3 2 x 1
3 2a
3.3 Ecuaciones Lineales, Sistemas de Ecuaciones Lineales e Inecuaciones Aprendizaje Esperado Resuelve ejercicios y problemas cotidianos y contextualizados a la especialidad, que involucren ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales aplicando procedimientos establecidos. Criterio De Evaluación Resuelve ecuaciones lineales con una varia ble, empleando diversos métodos.
17. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales con coeficientes enteros: a)
x 3 x 1 6 4 2x 3
e)
x 2 3x 2 5 x 4 1
b)
5 x 1 16 2x 3 3 2x 7 x
f)
5 x 1 4 x 3 x 1 1 x
c)
23x 3 4 5x 3 x x 3 x x 5
g)
23x 1 4 x 4 3x 5 0
d)
2 2x 5 5 3 x
h)
17y y 9 32 19y 82
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28
i)
2 2 x 1 12 x 5
j) k)
x 2 3 x 1 z 12 44z 18 15z
l)
x 3 x 1 5 x 2
2
2
n)
x 1 x 1 x 2 x 3 5x 1
o)
7 x 4 3 x 5 4 x 1 x 1 2
p)
15z 135 18z 45 90 18z 15z
2
2
2 2
m) 3 x x 4 16 12x x 3
18. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios: a) b) c) d) e)
5
2 x 9 x x 5 3 5 4 20 3 4 4 5
8
7
3
7
3
5
2
12
x x x 3
x
x3 4
4
xx
x 1
3
3
12
2
f)
x 2
x 1
1 8
2 4
j)
5x 4 3
x 2 3
10x 1 6
3 5 x 2 8
x 3 4
4x
2x 3 5
1 10
x 5 5
16x 3 4
5x 2 2
x 3
5
2
i)
4x
3
3x 1
h)
0
30
1
x 2
x
11
5x 1
x
g)
4
9x2
3x 5 81 20
20
19. Resuelva las siguientes ecuaciones fraccionarias: a) b) c) d) e) f) g)
1
3
x 6
x 3
5
h)
1
i)
5 3
0
2x 1
2 x1
3 x 3
1 2x 10
j)
0 3
12 8x
k)
0
l)
2x 3 5x 1
4x 5 3x 2
3x 4 2 2 x x 1 4x
15x 2
2
3
6x 4
6 5x
8x 3 6x 5
0
1 4 x 5 3x x 1 3
x2
3
x 4 6x
2
6x 120
1 x
2
1
0
4 3 5x 1 6 7x
1 2x
3 5x
11 x2
20. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales literales: a)
2ax a a 2x
b) c)
a2b bx ab2
abx a x a2 b2 b ax 1
d) e)
ax 3 bx 5
f)
2 2 2 x m x n m n
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ax
ax 1 bx 1
29
g)
a b c x a b x c a x c b x b c a
h)
x 1 a x 1 b x 1 c a b c x a
i)
a 4x 2a x 2x a a x a 1
j)
k)
b
m)
x
x
x a
a
1
2
a
0
ax
l)
2
x b
3
bx a
1
1
a
b
x
1
b
ab
a
Criterio De Evaluación Resuelve sistemas de ecuaciones de dos y/o tres variables, empleando diversos métodos.
21. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas: a)
b)
c)
d)
e)
x 4y 4
0 4x 6y 28 0
g)
4x 3y 3 0
h)
2x 7y 7 0 4x y 30 0
i)
2x y 12 0 x y 10 0
j)
x 2y 8 0 x 3y 7 0 3x y 5 0
4x 7y 0 4x 7y 15 0 3x 8y 25 0
3x 9y 2 0 15x 21y 6 0 6x
4 3
y 0
y 4
x 6y
6 x 5 3y 4 6
6x k)
f)
x 2 y 0
7
y 4
2
x 8y
8 4 4 4x 2 7 5y 7 4
5x y 2 0
22. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones y tres incógnitas: xyz0
a)
x 3y 3z 1
x y z 1
c)
x 2y 2
2x y 5z 4
x y 3z 3 x y 2z 1
b)
5x 3y 5 0 8x 8y 4z 2x y 2z 2 0
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d)
2x y 5z 4 2x 2y 4z 2
30
3x y 2z 1
e)
3x 9y 9z 48
x y z 4 x 2y 4z 1
g)
5x 25y 26z 49 0
f)
6x 4y 4z 8 0 12x 25y 2z 2 0 8z 32 0
18x 20y 51z 1 0 15x 9y 7z 50 0
h)
x 52y 30z 17 0 2x 13y 7z 52 0
Criterio De Evaluación Resuelve inecuaciones lineales, empleando diversos métodos.
23. Escribe como notación abreviada (algebraica) y de conjunto los siguientes intervalos: a) 1
15
8
0
b)
c) 10
d) 12
e) 11
890
f) 0,5
24. Escriba los siguientes conjuntos como intervalos: a)
x
/ x 2
x 4
b)
x
/x 0 x 1
c)
x / x 5 x 10
d)
x
/ x 5 x 10
e)
x
/ x 2 x 0
f)
x
/ x 2 x 0
25. Aplica procedimientos para resolver inecuaciones lineales. a)
x
7
b)
x
3
c)
12
d)
10
8
9
x
14
x
7
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e)
x (3 2x)
2x
f)
2(x
3)
7
2 (7 x)
g)
(2x
5)
(x
9)
h)
4(x
5) 3(x
2)
5
x
(5 x)
1
31
i)
3(x
2)
x
(x
1)
4(2x
j)
3)
3x
4(x
1)
26. Resuelva las siguientes inecuaciones con valor absoluto: a)
2x
6
4
f)
x
3
b)
7 3x
2
g)
3
7x
2
c)
4
2x
h)
4
x
2x
d)
3 7x
i)
7x
e)
x
5
5x
2x
8
10
4
j)
4
5x
5 8
10
4x
7
27. Resuelva las siguientes inecuaciones compuestas: a) b)
3x
2
x
1
5
4x
4
2x
c)
0
53
x
1
d)
10
x
6 x
5
15
Criterio De Evaluación Resuelve problemas que involucren ecuaciones, inecuaciones y/o sistemas de ecuaciones lineales, mediante diversos métodos. 1
28. Tengo cierta cantidad de dinero. Gasto total en un primer artículo; luego gasto
3
1 4
del
de lo
que me queda en un segundo artículo y aún me quedan $5.400. ¿Cuánto dinero tenía?
32. Pedro y Luis tienen en total $3.800. Si Pedro gasta $600 y Luis gana $400, Luis tendrá el doble de lo que tendrá Pedro. ¿Cuánto tiene cada uno?
33. Tengo una deuda de cierta cantidad de dinero. Pago
29. Hallar un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
30. Un pequeño aeroplano que transporta pasajeros y carga admite un peso máximo de 1758 libras para ir con seguridad. Si los pasajeros pesan 638 libras, ¿cuántas cajas de 85 libras cada una pueden ser transportadas como carga de seguridad?
31. La suma de un número con su doble es 18. ¿Cuál
1 5
del total; luego pago
1 4
de lo que me
queda y aún debo $8.400. ¿Cuál era el monto inicial de la deuda?
34. En un corral hay conejos y gallinas. Si en total hay 40 patas y 14 cabezas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay?
35. Tengo en mi bolsillo 37 monedas de $50 y $100 y en total tengo $2.600. ¿Cuántas monedas de $50 y cuántas de $100 tengo?
es el número?
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32
36. Si pago los dos quintos de una deuda quedo
46. El perímetro de un jardín rectangular es de 58
debiendo $45.000 más los tres décimos de la deuda. ¿A cuánto asciende la deuda?
metros. Si el lado mayor mide 11 metros más que el lado menor. ¿Cuánto miden sus lados?
37. En un curso la mitad de los alumnos estudia
47. Un grifo llena un depósito en 3 horas y otro lo
Trabajo Social, la sexta parte estudia Ingeniería en Construcción, la octava parte estudia Ingeniería en Informática y los 25 restantes estudian Administración de Empresas. ¿Cuántos alumnos tiene el curso?
hace en 6 horas. El depósito está vacío y se abren los dos grifos a la vez. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse?
38. Un reloj se adelanta 90 segundos por día. ¿En cuántos días el reloj marcará un aumento de 12 minutos?
39. Si con 134 litros de agua se llena un estanque sólo en sus
2
48. Un examen consta de 20 cuestiones. Cada cuestión correcta se valora con 3 puntos, y cada cuestión incorrecta se restan 2 puntos. Si al final de la prueba el alumno respondió todas las preguntas y consiguió 30 puntos. ¿Cuántas cuestiones contestó correctamente y cuantas no?
partes. Determine la capacidad del
49. En una función de teatro hay dos precios
40. Se compran 3 artículos A, B y C. El artículo A
diferentes de entradas. Las numeradas se venden a $7.200 y las generales se venden a $5.500. Si se venden un total de 162 boletos y la venta total es de $1.050.800, ¿cuántas entradas de cada tipo se vendieron?
3
estanque.
costó $150. El artículo A y el artículo B costaron las tres cuartas partes del valor de C y el artículo C más el A costaron $50 más que el doble del valor de B. ¿Cuánto costó cada uno?
41. La suma de dos números es 20 y su diferencia es 4, ¿Cuál es el cuadrado del número mayor?
42. La suma de las longitudes de dos pasadores metálicos es de 21 cm. Si la longitud de uno de ellos es el doble de la longitud del otro. ¿Cuál es la longitud de cada pasador?
50. En dos depósitos de agua A y B hay un total de 48 litros de agua. Si del depósito A se sacan 12 litros y se colocan en el depósito B, ambos depósitos quedan con igual cantidad de litros de agua. ¿Cuántos litros de agua había inicialmente en el depósito A?
51. Determinar un número entre 300 y 400, si la suma de sus cifras es 6 y que leído al revés es 41
43. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos suman la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?
44. Un operador telefónico informa a un cliente que el cobro por una llamada a España, es de $900 por los tres primeros minutos y $380 por cada minuto adicional. Cualquier tiempo adicional a un minuto será redondeado al siguiente minuto. ¿Cuántos minutos adicionales puede hablar si cuenta con sólo $5.000?
45. Un boleto de cine para adulto tiene un precio de $3.200 y para un niño $2.500. Para un espectáculo se venden un total de 152 boletos. Si se recaudaron $420.600 en total para un espectáculo, ¿cuántos adultos y cuántos niños asistieron al espectáculo?
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107
del número buscado.
52. La suma de tres números es 37. El menor disminuido en 1 equivale a
1 3
de la suma del
mayor y el mediano. La diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13. Hallar los números.
53. Entre Ana, María y Paula tienen 140 mil pesos. Si María tuviera mil pesos menos tendría lo mismo que Paula. Si Ana tuviera cinco mil pesos más tendría el doble de lo que tiene Paula. ¿Cuánto tiene cada una?
54. Hallar los números enteros cuyo tercio aumentado en 15 sea mayor que su mitad aumentada en 1.
33
55. Las alturas h, en centímetros, de dos tercios de
compañía desea que dicho costo sea menor o igual que 10.000 dólares. ¿Cuál es el valor máximo de m?
una
población satisfacen la igualdad: h 172 4,5 . Hallar el intervalo de la recta
real en que varían dichas alturas.
56.
59. En la fabricación y venta de un producto, los ingresos al vender x unidades son: I 115,95x . El costo de producción de x unidades es: C 95x 750 . Para obtener beneficios ha de ser I C . ¿Para qué valores de x se logran beneficios?
D L
quinta parte de un número disminuido en 3 es
57. Hallar los números cuyo triple menos 6 sea mayor o igual que su mitad más 4.
60. La producción diaria estimada, p, en una
58. Una compañía de transportes tiene una flota de
refinería verifica:
camiones cuyo costo de funcionamiento por cada camión se estima en: C 0,32m 2300 , con C medido en dólares y m en kilómetros. Si la
p
2.250.000
125.000 ,
donde p es medida en barriles de petróleo. Calcular la producción máxima y mínima.
SOLUCIONES
b) c) d) e) f) g) Una posible solución: h) i) j) k) l) 2. a) 5 b) c) d) 25 e) 4. a) 3x b) c) d) e) f) g) 0 h) 0 i) 0 3. a) b) c) 1 d) e) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) 5. a) b) c) d) e) f) g) h) 6. 7. 1. a)
8. a) 3x5 y 8
b) 42p6r12
c) a2n1 1
1
6
5
j) 9x8 6x6 3x5 6x3 9x2 k) a3b a3b2 o) u 4u v 4uv v 3
2
2
p) x y 3
3
3
e) p6x 7
d) 144a4 b8c10
f) 0,1053a10b18
g) a9b 7
l) x3 xy2 x2 y y3 m) 2x 3 10x2 y 12xy2 n)
q) 3x 3a 2
r) 7a 7b 3ab
s) 4x 6y 3
1
h)
3
a3
16 3
a2
i)
4
15
a9b 11c1 4
2
3 3 x10 y 4 z10 x7 y3 z8 x6 y2 z4 5 5 5
u) 2x2 5ax x a a2
t) 9x 22
v) pn2 pn2qn p2qn pnq2 pnqn2 qn2
9. a)
b)
c)
10. a) a2 12a 36
d) e) f) g) b) 36x 2 60xy 25y 2
f) 13a2 42ab 34b2
g)
9 16
a4b6
9 10
a3b9
c) 81x 4 126x 2y 2 49y 4
9 25
a2b12
i) 4x2 9x2 y2
h) u2 v2
e) 16p2q2 24pq2 9q2
d) x2 2x 1
j) 81m4 9n2
k) a2 25x2
l) a3 3a2b 3ab2 b3 m) p3 3p2q 3pq2 q3 n) 8x 3 36x2 y 54xy2 27y 3 o) 8x3 36ax2 54a2 x 27a3 p) 2ac 2c2 11. a)
b) c) d) e) f) g)
h) 5q5 2 6p 3pq n)
i) x2 1 y2 y 3 y 4
10a 8b 10a 8b 3
3
o)
12b
5
j) 12xy2 2a2 3xy2
11c3 12b5 11c3
k) a b c d 2
p) x 7
l) 2a 3b u v 2
q) 3x 1
r)
x
2
2
1
m) x y x y s)
x 2 x 3
t) a 5 a 6 u) x 2 x 3 v) x p x2 xp p2
b) c) d) e) f) h) i) b) c) d) f) g) h) i)
12. a) g) 13. a) e)
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34
j) p) u)
k) l) m) n) o) q) r) s) t) v) w) x) 1
14. a)
ax
b)
3
3a 6
m)
m
c) 25x5 y4 z3 d)
9n
n) x 4 3y2
2a 4
4a 5 h) 2a2 4a 2
a
e) 3 f) e)
2 19
9 7
i)
20. a)
3
c d
7 5x
b)
5x
ab
904 x 541 j) y 998 541
x 1 h) y 2 z 4
1 5
h)
a
310
b)
a 1
83
i)
1 a b
2
5
x
2a 3b
a2
2
6x 2
5 7
c)
9
k)
8
1 2
11
j)
19. a)
4
2 b a
d) ab
1
37
n)
7
3
m6
3
x2 1 2
3 xy 3 y 2 p)
15
x5
4 x
109
3
e)
2 a b
f) n g)
bc a
h)
1
i)
2
a
j)
6a 1
3
3
1
x 1
a b
g)
3a 3b
x 1 7
g)
2 x 1
17. a) 387
2
f)
2
f)
1
k) x 2 l)
x 1
18. a)
2
1
2 x 7x 10
9 2a
a4b 5
b) 2 c) 3 d) 25
4
b) 2 7
ab a 1
5 7
c)
i) k)
19 17
2 3
a
21 2
j) 4 k)
6a 2
d)
2
l)
1 2
1 a b
4
3
2 x 3 x 0 x 1 x5 x e) f) h) i) 5 g) y 5 y 0 y 2 y 0 y 2
x 1 No tiene Infinitas b) y 0 c) d) solución soluciones z 2
23. a) 1,15 b) 8, 0 c) ,10 d) 12, e) 11,890 f) 0,5;
1
j)
a 9
5a 3 2a 3 2a
o)
5
a5
i)
b) 30 c) 2 d) 9 e) 3 f) 14 g) 10 h)
x 7 x 4 c) d) y 2 y 6
x 7 9 22. a) y 2 5 z 2
125 x 67 k) y 91 67
l) 2 m)
m 3
d) 2a2 2a e)
x
e)
2
h)
x 3
c)
6 4x
d)
b
m2
b)
2b
ab
c)
3x
1 x5 x 5 x 4 8 e) y f) y 2 g) y 2 3 z 1 z 2 23 z 15
24. a) b) 0,1 c) 5,
25. a) ,1 b) 12, c) ,2 d) 3, e) 8, f) , 18 g) ,19
h) , 25 i) 5, j) 16,
x 10
x 0 b) y 1
e) 2, f) 2,
d)
15. a)
x 1
g)
11 2x 3 2 x 1 a a b b j) x 4 y k) l) 3 3 a b 5 4x
x 4 21. a) y 2
1
x 11
p)
1
e) 2x 5 f)
pq
g) 19 h) 3 i) 3 j)
f) 3 g)
20
l)
m)
16. a)
2x 3 5
h)
a b
o)
2
4
26. a) 1,5
5
5
5 5
27 37
b) ,3 c) 4, d) , e) , f) , 7 1, 3 3 3 16 16
5
51
61
g) , , h) , i) , , j) , , 3 7 7 6 6 32 32
1
27. a) , 2 b)
14
c) ,3 5
d) 9, 8 28. $10.800 29. 4 30. 13 cajas 31. 6 32. Pedro S1.800; Luis $2.000 33. $14.000 34. 6 conejos y 8 gallinas 35. 22 monedas de $50 y 15 monedas de $100 36. $150.000 37. 120 38. 8 días 39. 201 Litros 40. $150, $450 y $800, respectivamente. 41. 144 42. 7 y 14 cm 43. 10,13 y 17 años 44. 10 min 45. 58 adultos y 94 niños 46. 20 y 9 metros 47. 2,4 horas 48. 14 correctas y 6 incorrectas 49. 94 numeradas y 68 generales 50. 36 Litros 51. 321 52. 10, 12 y 15 53. Ana $67.000, María $37.000 y Paula $36.000 54. ...,1,2,3,4,...,81,82,83
335 353
1
, 55. 56. , 57. 4, 3 2 2
58. 24.062,5 km 59. 35,8; 60. Producción máxima de 2.375.000 y mínima de 2.125.000 barriles de petróleo.
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35
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36
4. FUNCIONES 4.1 Relaciones y Funciones Aprendizaje Esperado Representa diversos tipos de funciones, en forma analítica y gráfica, considerando sus características esenciales. Criterio De Evaluación Identifica las características principales de las relaciones y/o funciones reales.
1. Sean y . a) Determina el producto cartesiano de los conjunto A y B. b) Escribe tres relaciones de A en B.
y . Sean una relación definida por . Escribir
2. Sean R por extensión.
3. Dadas las siguientes relaciones definidas gráficamente, escribirlas señalando sus pares por extensión. a)
A
R
B
a
1
b
3
c
5
b)
. Hallar el dominio y recorrido de R. Sean una relación definida por . Hallar el dominio y recorrido de R. Sea una relación definida por r. Determina:
4. Dada la relación en 5. 6.
a) b) c)
7. Sean a) b) c)
Hallar A y B Grafica en un diagrama sagital. Grafica en un diagrama cartesiano.
y . Dadas Las relaciones de A en B, determinar cuáles son funciones.
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d) e)
37
8. Considerando el conjunto
, el conjunto y la relación de dependencia, o
correspondencia entre A y B que asigna a cada elemento su cuádruple Decide si esta relación es una función
de A en B y determine su dominio y recorrido.
9. Sean a)
c)
las funciones definidas por los siguientes diagramas. Determinar si es uno a uno, sobre o biyectiva. A
B
f 1
b)
A
B
f 2
1
5
1
5
2
6
2
6
3
7
3
7
4
8
4
8
A
B
f 3
1
d)
5
2
6
3
7
4
A
B
f 4
1
5
2
6
3
7
4
8
10. ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan funciones? y
y
x
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y
x
y
x
x
38
11. Indique para cada función: Dominio y recorrido Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Puntos de corte con los ejes. Valores extremos. Máximos y mínimos de una función. y
40 20
15 x
0 -5
-4
-3
-2
y
30
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
-20
-15
-40
-30
y
30
x
0
1,5
1
2
3
4
5
y
1
20
0,5 10 x
0 -5
-4
-3
-2
x
0
-1 0 -10
1
2
3
4
-8
-6
-4
-2 0 -0,5
2
4
6
8
-1
5
-1,5
5
y
20
y
3 1
10
-1 0
x 1
2
3
4
-3 x
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
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2
3
-5
4
39
Criterio De Evaluación Grafica funciones determinando puntos de ella a trav és de la construcción de tablas de valores y de análisis del Dominio y Recorrido.
12. Dada la función
. Determine:
a)
Dominio y recorrido de la función f.
b)
Complete la siguiente tabla de valores.
13. Dada la función real:
Determine
1,8
2,2
2,5
3
4
a) Dominio y recorrido de g b) Construya una tabla de valores adecuada y esboza una gráfica aproximada de la función
14. Para cada una de las siguientes funciones:
Determine el dominio y recorrido
Construye una tabla de valores adecuada y grafique
a) b) c)
d) e) f)
. Construya una tabla de valores para los siguientes casos y grafique entre y a) e) b) f) Compare los resultados c) y establezca alguna conjetura d)
15. Si
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40
5
16. Haga una gráfica aproximada de las funciones representadas por las siguientes tablas de valores: a)
b)
c)
Criterio De Evaluación Operar y/o componer funciones aplicando propiedades algebraicas.
17. Evalúe las siguientes funciones en los siguientes puntos:
b) c) d) a)
, , e) f) g)
18. Con las funciones del problema anterior, halla una expresión para: a) b)
c) d)
19. Dadas las siguientes funciones , encuentre para cada una de ellas, si existen, las imágenes de preimágenes de y 5:
a) b) c)
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d) e) f)
y , y las
41
20. Sean a) b) c)
21. Sean a) b) c)
22. Sean a) b)
y , dos funciones reales. Halla: d) e) y , dos funciones reales. Halla:
d) e) f)
y , dos funciones reales. Halla:
c) d)
4.2 Función Afín y Función Cuadrática Aprendizaje Esperado Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones polinomiales (afines y cuadráticas).
Criterio De Evaluación Representa gráficamente funciones lineales y/o cuadráticas dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando sus elementos característicos.
23. Grafica las siguientes funciones lineales, indicando la pendiente y el coeficiente de posición de cada una:
b) c)
e) f)
a)
d)
24. Dada la tabla indicada grafica la función lineal que representa los datos. a) x: Libro y: Valor, $
1 2.000
2 4.000
3 6.000
4 8.000
5 10.000
b) x: Tiempo, minuto y: Temperatura, °C
0 19,8
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2 22,3
4 24,8
6 27,3
10 32,3
42
25. Un corredor de la bolsa cobra $20.000 más $25 por cada acción comprada o vendida. La comisión c de este corredor, en pesos, es, entonces, una función del número de acciones n transadas, . Realiza el gráfico de esta función para n entre 0 y 10.000.
26. Grafica las siguientes funciones cuadráticas, indicando las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y la intersección con el eje y: a) b)
c) d)
27. Grafica las funciones cuadráticas representadas por las siguientes tablas de valores. a)
b)
28. Represente la función que relaciona el costo total de producción de una industria de maquinaria pesada, C (en millones de dólares), con el número de unidades fabricadas, x, es:
Criterio De Evaluación Resuelve ecuaciones cuadráticas, aplicando diferentes métodos.
29. Determinar las raíces o ceros de las siguientes funciones de segundo grado
b) c) d) a)
f) g) h) e)
30. Resuelve: a) b) c)
d) e) f)
31. Resuelve mediante factorización las siguientes ecuaciones: a) b) c)
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d) e) f)
43
32. Resuelve mediante completación de cuadrado del binomio: a) b) c)
d) e) f)
33. Resuelva por cualquier método las siguientes ecuaciones: a) b) c)
d) e) f)
34. Resuelve y comprueba las soluciones encontradas: a) b)
c) d)
35. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado a) b) c)
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d) e) f)
44
Criterio De Evaluación Resuelve problemas cotidianos y/o co ntextualizados a la especialidad, mediante funciones polinomiales, de manera analítica y gráfica.
36. En cada gráfico, determina la pendiente, el coeficiente de posición, el intercepto con el eje x y la expresión que representa cada función lineal. a)
b)
c)
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45
37. Encontrar la expresión de la función lineal que se asocia al ingreso por la venta de cierto número de artículos, si se sabe que por la venta de 40 artículos ingresaron $4.500, y por la venta de 15 artículos el ingreso fue de $2.000.
38. Una compañía que fabrica cierto producto tiene $32.000 en Costos fijos. Si el Costo variable por producir una unidad es de $ 4. Encontrar la función lineal Costo total de este producto y el valor de este Costo por la fabricación de 50 unidades.
39. Si en el ejercicio anterior se considera que cada producto fabricado se puede vender a $ 6. ¿Cuál será la función lineal Ingreso y cuál será la función lineal Utilidad de esta operación?
40. En la producción de una Industria, el Costo Fijo es de 6500 dólares a la semana y el Costo Variable por la elaboración de ciertos productos es de 9 dólares la unidad. Escribir la función lineal Costo Total y calcular el monto de este, para la producción de 1500 de estos productos.
41. El Ingreso por la venta de ciertos artículos para repostería está dado por: pesos y el costo de producirlos por pesos. Determinar la Utilidad si se producen y venden en un día 50 de estos artículos.
42. En una Industria de tubos de polietileno, se necesita una función para determinar la bonificación mensual de sus operarios con relación a su producción. Si todos los trabajadores reciben de sueldo base $105.500 y su producción mensual es de 9.000 Kg de acuerdo a la exigencia máxima de las máquinas. El bono correspondiente por cada Kg producido se cancela a $ 12. ¿Cuál es la función para determinar la bonificación por trabajador? ¿Cuál es el valor de este bono si se producen 8.500 kg?
43. El costo de imprimir u diario es conjuntamente proporcional a su número de páginas y al número de ejemplares impresos. a) Escribe la función lineal que exprese esta variación conjunta si el costo de imprimir 500.000 diarios de 30 páginas es $75.000.000. b) ¿Cuál sería el costo de impresión para 600.000 ejemplares de un diario de 20 páginas?
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46
44. Para las siguientes gráficas determina: Signo del coeficiente a. Signo del coeficiente c.
Signo del Discriminante
Raíces o ceros de la función cuadrática. Coordenadas del vértice. Intercepto con el eje y.
a)
b)
c)
d)
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47
45. La distancia que recorre un vehículo desde que el conductor toma la decisión de pisar los frenos y el momento en el que realmente se detiene el automóvil, se llama distancia de frenado. Para un automóvil que viaja a v kilómetros por hora, la distancia de frenado d en metros está dada por: ¿Qué distancia de frenado tendrán un automóvil que viaja a 120 km/h?
46. Una empresa produce un bien, cuyo costo promedio (en miles pesos) para x unidades, viene dado por: ¿Cuál es el costo de producir 200 unidades del bien?
47. Se lanza un objeto desde el suelo, verticalmente hacia arriba, con cierta velocidad inicial. Cuando han transcurrido t segundos desde el lanzamiento, su altura h en metros está dada por . ¿Cuál es la altura que alcanza el objeto a los 2 segundos?
48. Un fotógrafo tiene una foto de 18 por 24 cm (centímetro). Desea reducir la foto la misma cantidad de cada lado, de modo que la foto resultante tenga la mitad del área de la foto original. ¿En cuánto tiene que reducir la longitud de cada lado? 49. Si la ecuación
tiene una solución igual a , ¿Cuál es el valor de k?
50. La suma de tres veces un número entero positivo con el cuadrado del número es 154. ¿Cuál es el número? 51. El producto de dos números enteros positivos es 88. Si uno es 3 unidades mayor que el otro, encuentre los números.
4.3 Función Exponencial y Función Logarítmica Aprendizaje Esperado Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones exponenciales y logarítmicas.
Criterio De Evaluación Calcula y/o reduce expresiones logarítmicas numéricas y/o algebraicas, mediante el uso de la definición y sus propiedades.
52. Calcula: a) b) c)
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d) e) f)
48
53. Aplica propiedad de logaritmos y desarrolla las siguientes expresiones: a) b) c)
d) e) f)
54. Reducir a un solo logaritmo: a) b)
c) d)
Criterio De Evaluación Representa gráficamente funciones exponenciales y/o logarítmicas dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando sus elementos característicos.
55. Grafique las siguientes funciones exponenciales de acuerdo a las tablas de valores entregadas:
x
x
x
56. Grafique las siguientes funciones partiendo de los gráficos anteriores. Determine su dominio, recorrido y asíntotas. a) d) b) e) c) f)
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49
57. Grafique las siguientes funciones logarítmicas de acuerdo a las tablas de valores entregadas:
x
x
0,1
2,30
0,5
0,69
1
0
1
0
10
1
2
100
2
3
1.000
3
4
x
2
0,01
1
0,1
0
Criterio De Evaluación Resuelve ecuaciones logarítmicas y/o exponenciales, aplicando diferentes métodos .
58. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) b) c) d) e) f) g)
i) j) k) l) m) h)
59. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) b) c) d)
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e) f) g)
50
Criterio De Evaluación Resuelve problemas cotidianos y/o contextualizados a la especialidad, aplicando métodos gráficos y/o analíticos.
60. Una población de bacterias crece de forma tal que en el tiempo t su tamaño está dado por:
Si se sabe que .
a) Determina la población inicial. b) Calcule A, con tres decimales exactos. 61. Se invierte $2.000.000 a un interés compuesto anual del 10%. ¿Cuánto tiempo le llevará incrementarse a $2.500.000? 62. Debido a una depresión económica una cierta región tiene una población que decrece. En 1990 la población fue de 700.000 habitantes y de ahí en adelante se rigió por la función: , donde t representan los años desde 1990. Suponiendo, que esta tendencia continúa, calcule la población proyectada para el año 2011.
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63. El volumen de ventas de una marca de jugos crece a un 8 % anual compuesto. Si el actual volumen de ventas es de 1.000 unidades diarias. ¿En cuánto tiempo se alcanzará la cifra de 1.500 unidades? 64. La población de un cierto país era de 8.000.000 de habitantes en 1995 y está creciendo a una tasa del 1% anual, suponiendo que esta tasa de crecimiento continuará. ¿Cuándo alcanzará este país los 10.000.000 de habitantes? 65. Un modelo para el crecimiento de la población P de un país a los t años está dada por: ¿Cuántos habitantes habrá a los 5 años?
51
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52
5. PROGRESIONES 5.1 Sucesiones Aprendizaje Esperado Utiliza propiedades, teoremas y gráficos para analizar el comportamiento de una sucesión.
Criterio De Evaluación Utiliza reglas de los números para obtener el término general de una sucesión a partir de los primeros términos de ella.
1.
Determinar el término general de las siguientes sucesiones. a)
a n 0,5; 0,05; 0,005; 0,0005; 0,00005;
h)
m n 10,
b)
b n 11,
i)
k n 0,5; 0,25; 0,125; 0,625; 0,3125;
c)
c n 1,
j)
s n 3; 3;
k)
r n 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,...
13, 15, 17, 19
1 1 1 1 , , , , 3 5 7 9
d)
d n 0, 3, 8, 15, 24,
e)
f n 0,
f)
g n 1, 2, 1, 2, 1,
g)
h n 3, 7, 11, 15, 19,
1, 2, 3, 4,
l)
15, 20, 25, 30, 3; 3; 3;
2 4 6 8 10 t n 9 , 8 , 7 , 6 , 5 ,... 1 3 9 27 81
Criterio De Evaluación Aplica propiedades para determinar si una sucesión es monótona y acotada.
2.
Determina cuál o cuáles de las siguientes sucesiones son monótonas crecientes o monótonas crecientes. a)
a n 1 ,1, 2,3,5,8,13,21,
b)
b n n
c) d)
3.
bn cn
1n1
n n 2 1
an
f)
1 1 1 1 b n 1 , , , , , 2 3 4 5
g)
bn
n 2 n
e)
n 1 n2
3
Determina cuál o cuáles de las siguientes sucesiones son acotadas o no acotadas.
a)
an
b)
bn
n 2n 1 n2 3 n 1
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c)
cn
d)
dn
2n 1 n3 1 2n 1
53
Criterio De Evaluación Aplica los teoremas de las sucesiones monótonas y acotadas para probar si una sucesión es convergente.
4.
¿Cuáles de las siguientes sucesiones son convergentes? a)
an
1 n1
dn
g)
n 1 d n 1 n
h)
fn
n
2 b) a n 3 c)
bn
d)
bn
e)
cn
2n n!
1 2 n 1
f)
2 n
2
2n 2 n 3 n
5.2 Sumatorias Aprendizaje Esperado Utiliza propiedades y fórmulas para calcular sumatorias. Criterio De Evaluación Calcula sumas parciales de sucesiones mediante propiedades.
5.
Escriba en forma de sumatoria y calcula la suma de las siguientes series:
a) b) c) d) e)
1 + 3 + 5 + 7 + + 23. 1 + 4 + 7 + 10 + + 43 1 + 2 + 3 + 4 + (100 términos) 1 + 4 + 9 + + 121. (24 términos)
f)
2+4+8+.............+4096
g)
1 5
3 8
5 7 ... ... (15 términos) 7 14
h) (12 términos) i) 4+18+48+100+180+294.
Criterio De Evaluación Calcula sumatorias aplicando fórmulas y propiedades.
6.
Escriba todos los términos de cada sumatoria y calcula su valor: 5
a)
(1)
12
i 1 2
(i 1)
b)
i 1
7.
kk 11 k 1
Desarrolla las siguientes sumatorias y calcula sus valores: a)
6 1
8
i
c)
(2i 1)
d)
i1 5
b)
i1
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2 i
5
e)
i1 4
i3
i1
(1)i i
i1 10
f)
1i1 i
1
i1
54
n
g)
n
2i
h)
2i1 1 i 1
i1
8. Calcula las siguientes sumas aplicando propiedades 30
5
a)
2i3 i 3
c)
3i3 2i2 i 6
d)
i1 7
b)
i1
k k 3
k 20 10 2k (1 k) k 8
Criterio De Evaluación Aplica la propiedad telescópica para determinar una expresión que permita calcular directa mente el valor de una sumatoria.
9. Resuelva los siguientes ejercicios aplicando la propiedad Telescópica: n
a)
i (i 1)
i 1 100
b) c) d)
n
1
e)
j1
n
2
f)
2
k 2 k 1 2n 1 2 k 1 4k 1 n 1
log
k 1 80
k 1(3k
j·j!
g)
k 1 k 1
k 1 k 1 k
2)(3k 1)
Criterio De Evaluación Utiliza fórmulas para calcular sumatorias.
10. Calcula: 25
a)
(k 2)
i 5 10
b)
i 5 3 i2 2
k 1
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8
c)
(3 5j) j 3 9
d)
(u3 u2 20)
u5
6
e)
(1)k 2k
k 1 5
f)
i
i 1 i 1 2
55
5.3 Progresiones Aprendizaje Esperado Aplica propiedades y fórmulas de las progresiones para resolver problemas de aplicación. Criterio De Evaluación Aplica las propiedades y fórmulas de las progresiones aritméticas y geométricas, en e l cálculo de elementos desconocidos de ella.
11. Escribe el término general de la progresión aritmética, dados: a) a1 = 7; d = 5 b) a1 = 74; d = -12 c) an = 100; d = 15 12. Determina la diferencia en las progresiones aritméticas siguientes: a) 13; 20; 27; 34; ... b) 68; 59; 50; 41; ... c) 11/2; 33/4; 11; 51/4; ... 13. En una progresión aritmética, el séptimo término es 35 y el noveno 83. Calcular el octavo término y d. 14. En una P.A. el quinto término es 149/6 y el séptimo es 363/4. Calcular el sexto término y la diferencia. 15. Dada la PA: 9, 14, 19, ...; calcular el 16º término. 16. Dada la PA: 15, 24, 33, ... calcular el 12º término. 17. Dada la PA: 8, 20, 32, ...; calcular el 21º término. 18. Si: a1 = 12; d = 7; n = 15; calcular a n 19. Si: an = 153; d = 11; n = 14; calcular a 1 20. Si: a1 = 23; an = 131; n = 13; calcular d. 21. Escribe el término general de la progresión geométrica, dados: a) 7, 21, 63, 189,... b) 512, 128, 32, 8,... 22. Formar seis términos de una P.G., dados: a) a1 = 2; r = 5 b) a1 = 7; r = 4.
c) a3b, a4b2, a5b3, a6b4, ... c) a1 = 2916; r = 1/3
23. El producto del 4° término de una P.G. por el 6° término es 5184. Calcular el 5º término. 24. El tercer término de una P.G. es 15 y el quinto es 735. ¿Cuál es el cuarto término? 25. Si: a1 = 8; r = 4; n = 7. Calcular a n 26. Si: a1 = 5; r = 4; an = 20480. Calcular n.
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56
27. Dados a1 = 5, r = 3; a n = 1215. Calcular n, 28. Dados a1 = 9; an = 36864; n = 7. Calcular el cuarto término. 29. El octavo término es 384, el primero es 3 y el sexto es 96. Formar la P.G.
Criterio De Evaluación Calcula la suma de los enésimos primeros t érminos de una progresión aritmética o geométrica mediante el uso de fórmulas y propiedades correspondientes para cada caso.
30. Calcular Sn dados: a) a1 = 20; an = 185; n = 12. b) a1 =15; n = 14; d = 9 c) a1 = 160; n = 14; d = -12.
31. En una PA el quinto término es
d) a1 = 2; r = 3; n = 6. e) a1 = 8; r = 5; n = 4 f) a1 = 1215; r = 1/3; n = 6
11 , el séptimo es 7. Si tiene 13 términos, 3
calcular:
a) el primer y último término. b) la suma de los trece primeros términos. 32. En una PG el octavo término es
1 4
y el noveno
1 8
. Si tiene 20 términos, calcular:
a) el primer y último término. b) la suma de los veinte primeros términos. 33. El primer término de una progresión aritmética es 14, y la diferencia entre dos términos consecutivos es -4. De acuerdo a lo anterior, calcule la suma de los 26 primeros términos.
Criterio De Evaluación Aplica propiedades y fórmulas de progresiones aritméticas y geométricas en la resolución de problemas...
34. Un joven ahorra cada mes $5 más que el mes anterior. En 5 años sus ahorros sumarán $ 9.330. Determinar lo que ahorró el primer y el último mes. 35. Un padre proyecta colocar en un baúl $ 100 el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl luego?
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36. Una máquina costó $ 9000. Se calcula que al final de cada año sufre una depreciación igual al 15 % del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál será su valor al cabo de 5 años? 37. El número de bacterias de un cultivo está aumentando un 25 % cada hora. Si al principio había 300.000 ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas?
57
38. El valor de un auto se deprecia 18 % cada año. Su precio original fue $ 19.000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 9 años? 39. Una ciudad tiene 600.000 habitantes. La tasa de crecimiento de esa población es 8 % anual. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de tres años? 40. El valor de una mercadería se deprecia 4 % cada año. Su precio original fue de $ 10.000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 4 años? 41. La población de una ciudad aumenta en 35% cada 10 años. Si su población en 1940 era de 40.000 habitantes, ¿cuál será su población en el año 2000? 42. Se quiere construir un muro de ladrillo en forma triangular, para ello cada fila debe contener 4 ladrillos menos que la fila inmediatamente anterior. Si en la primera corrida hay 601 ladrillos y en la última hay 1 ladrillo entonces determine la cantidad total
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de ladrillos que se necesitan para construir el muro. 43. Calcular cuánto artículos de una misma especie habían en una bodega de un local comercial, si el primer día se sacaron para reposición 2.000 artículos, fue disminuyendo la reposición en 50 diarios y los artículos de la bodega duraron 30 días. 44. La suma de 3 números en P.A. es 48 y la de sus cuadrados es 800. Hallarlos. 45. Si Raúl gana $100 el 1° de enero, $200 el 2 de enero, $300 el 3 de enero y así en adelante. ¿Cuánto dinero ganó en un mes? 46. Un jugador apuesta en el primer juego U$5 y como perdiera, duplicó la apuesta en el segundo juego, con el mismo mal resultado. Continuó duplicando la apuesta, hasta que en el octavo juego, apuesta el dinero que le quedaba. ¿Cuánto apuesta en el último juego y cuánto perdió?
58
6. GEOMETRÍA 6.1 Elementos Básicos de la Geometría Aprendizaje Esperado Resuelve expresiones numéricas y problemas cotidianos y contextualizados a la especialidad que involucren triángulos, aplicando la trigonometría triangular.
Criterio De Evaluación Utiliza símbolos y figuras para distinguir líneas, semirrectas, rectas y segmentos.
1. En la siguiente figura identifique los puntos, semirrectas, rectas y segmentos. Z J
G N
S
M Y
I
F
O
B
P
V Q A L
C
T
E
H
D
Criterio De Evaluación Utiliza fórmulas de conversión para transformar medidas de á ngulos de un sistema a otro.
2.
Transformar de radianes a grados sexagesimales: a) b) c) d) e) f)
5
3
g) h)
5 3 4 3
4
6
i) j)
2 3
k)
3 2
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l)
5 4 4
m) n) o) p)
10
5 19 3 25
6 13
9 4 5
2
59
3.
Transformar de grados sexagesimales a radianes a) b) c) d) e)
150° 90° 60° 45° 30°
f) g) h) i) j)
480° 20° 18° 420° 360°
k) l) m) n) o)
30
Criterio De Evaluación Aplica definiciones y teoremas para calcular ángulos mediante condiciones y/o figuras dadas.
15. Si L1 L2 y L 3 L 4 y L1 L 3 . Hallar x.
4. Si 48 16' 5'' y 85 14' 13'' . Calcula
L3
34
L1
5. Si se tiene 100 75' 25'' y 46 54' 50'' . Calcula 2 3 L2
6. Calcular el suplemento de 25 25'25'' 7. Determine el complemento de 60 8' 25'' . 8. Dos ángulos forman un ángulo recto, si uno de ellos mide 67 23' , ¿Cuánto mide el otro ángulo?
L4
16. Si L1 L2 , : 5: 6 . Determinar la medida de todos los ángulos. L1
9. Dos ángulos forman un ángulo llano, si uno de ellos mide 74 45' , ¿Cuánto mide el otro ángulo? 10. Dos ángulos forman un ángulo recto y están en la razón 2:3. ¿Cuánto mide cada ángulo? 11. En un triángulo dos de sus ángulos son 74 45'55'' . ¿Cuánto mide el 50 40'30'' y tercer ángulo?
L2
17. Si L1 L2 , : 7 : 3 . Determinar la medida de todos los ángulos.
L1
la medida de x y cada ángulo
100
L2
13. Si tres ángulos , y están en la razón 3:5:7. Si se sabe que se cumple la siguiente expresión: 9 . Hallar la medida de cada ángulo.
70
12. Cuatro ángulos , , y forman un ángulo completo, además se sabe que: , , y . Hallar
14. Si se sabe que en la figura adjunta, y . Calcular la medida de todos los ángulos.
4
18. Si L1 L2 y L3 L 4 . Además, 28 % de . 7
Determinar la medida de cada ángulo. L4
L3
L1
L2
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60
19. Si L1 L2 . Además: , y . Calcular la medida de cada ángulo.
20. Calcula la medida del ángulo
7
3
L1
4
L2
6.2 Curvas, Polígonos y Circulo Aprendizaje Esperado Utiliza técnicas y fórmulas de los polígonos y círculo para resolver problemas geométricos y/o de su especialidad.
Criterio De Evaluación Aplica fórmulas y teoremas para determinar elementos de t riángulos y cuadriláteros.
21. Calcular la medida de los ángulos que se indican: C
a) CAB
d) x
80
72 A
B
b) QPR
X
32
R
40
e) PSQ, si RP QR , PS bisectriz del RPQ 125 S
P
R S
c) x
Q
P
81
X
f)
x + y, si PR // ST R
70
60
T
y
P
22. El ABC es equilátero BDC es rectángulo isósceles, entonces el ángulo mide: C
D
A
70
x
Q
S
23. El cuadrilátero ABCD es un trapecio recto. Determina el ángulo que falta. C
D 145
A
B
B
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP
61
24. Calcular: PSQ=20°
TRQ, si PSRQ es un rombo y
D
R
S
29. Sea ABCD rectángulo. Determine el ángulo x. C
30
Q
T
P
A
25. En el cuadrilátero AB CD y AD BD CD . ¿Cuánto mide ?
x
B
30. Sea ABCD trapecio. Determine el valor de y .
D
C
D 40
2 5
C
B
5
A
B
A
26. ABCD cuadrado, ACE triángulo equilátero. Calcular
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