Manu2 U3 Ea Arna

 

 

Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Matemáticas

Asesor: María Victoria Chávez Hernández

Alumno: Arturo Nava Ayala

Matrícula: ES1511114073

Análisis Numérico II.

Unidad III: Integración numérica.

Evidencia de aprendizaje.

 

 

Se sabe que en un circuito eléctrico el cambio en la intensidad de corriente con respecto al tiempo obedece la siguiente ecuación diferencial.

                1. (65 puntos) Calcular la intensidad intensidad de corriente desde el segundo 1 hasta el segundo 1.4 con incrementos de 0.1 segundos usando los tres métodos de integración numérica vistos en el curso. Respuesta. Para encontrar la corriente total que fluye en algún intervalo de tiempo, debemos integrar esta ecuación diferencial ya que si la variación de corriente en el circuito obedece al siguiente modelo (ecuación diferencial):

                            

Por separación de variables:

Integramos en ambos miembros:

   ∫  ∫           ∫      ∫           Que es la corriente que fluye en el circuito en un determinado intervalo de tiempo. En este caso se aprecia de antemano claramente la ventaja de integrar numéricamente en lugar de resolver de manera analítica esta integral.

 

 

Regla del trapecio

Para integrar numéricamente esta integral, empleamos en primer lugar la regla del trapecio con un paso



.

Usamos una hoja de Excel con los valores correspondientes:

     

0

 

1

 

8.35367092

1 1.1 11.2682665 2 1.2 13.6792732 3 1.3 15.5012614 4 1.4 16.6737997

         

 

8.35367092   22.5365329   27.3585464   31.0025228 16.6737997

       ∑           ∑         

 

 

 

8.35367092

80.8976021

16.6737997

  105.925073

5.29625364

    ∫               

Entonces el valor de la integral para

 con la regla del trapecio, es:

       

 

 

 

Regla de Simpson Ahora emplearemos la regla compuesta de Simpson. De la misma manera empleamos la hoja de Excel con los valores correspondientes:  

 

 

       ∑(   )  ∑((   )  ∑ ∑(( )  ∑        

0

1

8.35367092

 

1 1.1 11.2682665

2 1.2 13.6792732

 

25.0274707   107.078111 27.3585464

3 1.3 15.5012614 4 1.4 16.6737997

 

 

159.464128 5.31547095

En este caso tenemos que con la regla compuesta de Simpson y con  

    



 

 

 

Regla de Gauss Finalmente empleamos la regla de cuadratura de Gauss. En este caso, aunque no se indica, emplearemos tres nodos para obtener una mejor aproximación. Nuestra ecuación de la cuadratura de Gauss queda como sigue:

 ∫                                        Los valores de los pesos y abscisas para



, son los siguientes:

n=3 i

weight - wi

abscissa - xi

1

0.8888888888888888

0.0000000000000000

2

0.5555555555555556

-0.7745966692414834

3

0.5555555555555556

0.7745966692414834

fo/legendre-gauss.htmll  Fuente:: https://pomax.github.io/bezierin Fuente https://pomax.github.io/bezierinfo/legendre-gauss.htm

 ∫                                        Sustituimos

                                                     

      (                      )   

 

 

    (               )                         

 

   En Geogebra podemos ver la gráfica de la respuesta del sistema y el valor aproximado de la integral obtenida:

 

 

 

2. (35 puntos) Graficar el error relativo para los tres métodos teniendo teniendo en cuenta que

Para calcular el error relativo en el método del trapecio, elaboramos la siguiente tabla:

     (  )                   

0

 

1

 

 

0.981096871 

8.35367092

0.981096871

1 1.1 11.2682665

1.247376985

 

 

2.22847386

2 1.2 13.6792732

1.45902673

 

 

3.68750059

3 1.3 15.5012614

1.608753055

 

 

5.29625364

 

4 1.4 16.6737997

Ahora calculamos el error con los valores de referencia de la tabla anterior

          

  ||||          

  0.981096871  0.9849

 

 

  0.003861437

 

2.22847386

2.2368

  0.003722344

 

3.68750059

3.7011

  0.003674424

 

5.29625364

5.3154

  0.003602054

Finalmente obtenemos nuestros puntos a graficar:



 

 

  0.003861437   0.003722344

  

  0.003674424   0.003602054

Cuya gráfica obtenemos a continuación:

 

 

0.0039

0.003861437

0.00385 0.0038 0.00375

0.003722344

0.0037

0.003674424

0.00365 0.0036 0.003602054

0.00355 0.0035 0.00345 1.1

1.2

1.3

2.- Calculamos ahora el error relativo para el método Simpson. Calculamos 3 parábolas ya que

En el ejercicio 1 calculamos la cuarta.

1.4

 

 

   

 

 

 

0

1

8.35367092

1 1.1 11.2682665

   ∑(   )  ∑((   )  ∑  



2 1.2 13.6792732 3 1.3 15.5012614 4 1.4 16.6737997

∑ ∑(    (  )  

159.464128

 

[]

5.31547095

 

     

 

0

1

    23.8549323

8.35367092

1 1.1 11.2682665 2 1.2 13.6792732 3 1.3 15.5012614

  ∑ ∑( ( ))  ∑( ∑(( )  ∑     

45.07306587

 

27.35854645

 

 

Para

[]  

0

1

96.28654461 3.209551487

 

       ∑(   )  ∑(( )  ∑     

  107.078111 27.3585464

 

 

Para

25.0274707

 

8.35367092

  22.03294414

1 1.1 11.2682665

 

2 1.2 13.6792732

 

 

45.07306587 22.03294414

2.236867

 

 

Para

[]    

0

 

 

 

1

8.35367092

1 1.1 11.2682665 2 1.2 13.6792732

 

   ∑(   )   )  ∑( ∑ (        

  22.03294414

 

 

 

Para

[] 1

2.236867

 

       ∑(   )   

0

22.03294414

 

 

 

45.07306587

  19.62193738

8.35367092

1 1.1 11.2682665

 

0.654064579

Ahora calculamos el error con los valores de referencia de la tabla anterior

[] [[]]

  ||||      

  0.654064579  0.9849  

2.236867

 

 

  0.335907626

2.2368

 

2.99535E-05

  3.209551487 3.7011

  0.132811465

  5.31547095 5.3154

 

Finalmente obtenemos nuestros puntos a graficar:

       

 

  0.335907626   2.99535E-05   0.132811465   1.3348E-05

1.3348E-05

 

 

Cuya gráfica obtenemos a continuación: 0.4 0.35

0.335907626

0.3 0.25 0.2 0.15

0.132811465

0.1 0.05 1.3348E-05

2.99535E-05

0 1.1

1.2

1.3

1.4

 

 

Para el método de Gauss

 ∫                                        Sustituimos para cada sub intervalo. Para

  []                                                    

 

 (           )          (          )               

 

 

Para

 

  []

                                    

       (              )   

       

 

 

  Para

  []

 

 

                                            

       (                 )  

 (              )              

 

 

Para

  []

 

Del ejercicio 1, tenemos que

  

 

Ahora formamos nuestra tabla para calcular el error e rror relativo:

  

  ||||          

 

 

 

 

0.9849

  2.37679E-05

 

 

2.2368

  1.89445E-05

 

 

3.7011

  0.166455336

  5.3154

  3.22534E-06

          

 

 

Finalmente obtenemos nuestros puntos a graficar:

       

 

  2.37679E-05   1.89445E-05   0.166455336   3.22534E-06

0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1.1

1.2

1.3

1.4

Observamos que solo en uno de los datos el error se dispara a más de una décima ya que en los otros tenemos valores de error relativo alrededor de cienmilésimas y hasta millonésimas.

Conclusiones.

En esta actividad se repasaron los 3 principales métodos de integración numérica. Se observa que la exactitud de los resultados es muy aceptable respecto a la solución analítica o a la que se obtiene con integraciones en línea. Ahora sé que precisamente las aplicaciones en línea que integran numéricamente, obtienen sus resultados con un número mucho mayor de iteraciones de alguno de los “

”

métodos que aquí podemos hacer a mano .

 

 

Otro aspecto que resultó muy interesante, es observar el comportamiento del error en cada paso o iteración que se va realizando. Me he dado cuenta que el comportamiento suave o brusco de la gráfica influye mucho en la exactitud que se logra con un método u otro. Por eso el resultado es muy sensible a usar un trapecio o una curva como en el caso de la regla de Simpson.

Bibliografía: Matemáticas. Análisis Numérico II. 5º Semestre. Unidad 3. Integración numérica. Clave 05143527/06143527. Universidad Abierta y a Distancia Di stancia de México. Matemáticas. Análisis Numérico I. 4º Semestre. Unidad 2. Sistemas numéricos. Clave 050920624/060920624. Universidad Abierta y a Distancia de México. Actividad I, Unidad II. Análisis numérico II. MANU2_U3_A1_ARNA MANU2_U3_A1_ARNA Actividad 2, Unidad II. Análisis numérico II. MANU2_U3_A2_ARNA MANU2_U3_A2_ARNA Actividad 3, Unidad II. Análisis numérico II. MANU2_U3_A2_ARNA MANU2_U3_A2_ARNA https://pomax.github.io/bezierinfo/legendre-gauss.html Symbolab. Geogebra.