MANU1_U2_EA_CALV.docx

Análisis Numérico I Unidad 2. Sistemas numéricos Evidencia de Aprendizaje. Sistemas Numéricos. 1. Contesta las siguientes preguntas sobre Sistemas de Punto Flotante a) ¿Qué es el épsilon de la máquina ?



En una aritmética una aritmética de de coma  coma flotante, se flotante,  se llama épsilon de la máquina (ε (ε-mach) -mach) al menor valor de una determinada máquina que cumple lo siguiente: 1,0 + ε -mach > 1,0 El épsilon es el número decimal más pequeño que, sumado a 1, la computadora nos arroja un valor diferente de 1, es decir, que no es redondeado. Representa la exactitud relativa de la aritmética del computador. La existencia del épsilon de la máquina es una consecuencia de la precisión finita de la aritmética en coma flotante.

      

Podemos definir real al flotante redondeo.

 a para poder establecer como criterio de redondeo de un

 superior y así determinar



 con el error relativo de dicho

b) Escribe las expresione expresiones s para para calcular calcular

      []  

c) Error absoluto Se define como la diferencia que existe entre el valor real de la magnitud a medir y el obtenido en una medida. Puesto que es una diferencia de valores de una misma magnitud, el error absoluto se expresa en las mismas unidades que la magnitud

d) Error relativo El error relativo de una medida es el cociente entre el error absoluto de la medida y el valor real de ésta.

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

1

Análisis Numérico I Unidad 2. Sistemas numéricos e) Condicionamiento

 

El condicionamiento de una función se usa para describir la sensibilidad del valor de una función a cambios en su argumento. En pocas palabras queremos ver que tan sensible es una función a los cambios en el argumento o bien, que tan sensibles es el resultado del cómputo de una función (valores   respecto de los datos de entrada (valores x). El condicionamiento de un problema es un número asociado a los datos.

 

Decimos que un problema está bien condicionado si una perturbación o cambio en los datos de entrada causa un cambio de magnitud proporcional en su resultado, esto lo podemos cuantificar usando los tipos de error que recién vimos. En un sentido complementario decimos que un problema está mal condicionado si un pequeño cambio en la entrada produce un cambio desproporcionado o grande en el resultado. El condicionamiento depende únicamente de los datos y no del algoritmo. En general, mientras más alto el valor del condicionamiento, más mal condicionado estará un problema. f)

Describe con detalle los conceptos de condicionamiento y estabilidad. ¿Qué describe cada uno?

La 'inestabilidad' en un cálculo es un fenómeno que se produce cuando los errores de redondeo individuales se propagan a través del cálculo incrementalmente. Veamos brevemente este fenómeno y el problema relacionado con este: el 'condicionamiento' del método o del problema. La mejor forma de ver este fenómeno es a través de un ejemplo. Supongamos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

que tiene la siguiente solución general:

En el caso particular en que las condiciones iniciales de nuestro problema son: y 1(0)

= - y 2(0) = 1

es posible determinar que el valor de las constantes

a1 y a2 es: a1 =

0&y&

a2 =

1

Hasta este punto, las soluciones son exactas. Sin embargo, supongamos que el sistema de ecuaciones anterior se resuelve empleando un método numérico cualquiera con el fin de calcular los valores de las funciones y 1 y y 2en una secuencia de

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

2

Análisis Numérico I Unidad 2. Sistemas numéricos puntos y que el error del método da lugar a un valor de . Ya que a1 multiplica a un exponencial creciente cualquier valor, por pequeño que sea, de a1 dará lugar a que el término e x  domine sobre el término e- x  para valores suficientemente grandes de  x  . La conclusión que se obtiene es que no es posible calcular una solución al sistema de ecuaciones diferenciales anterior que, para valores suficientemente grandes de  x , no de lugar a un error arbitrariamente grande en relación con la solución exacta.

2. Escribe todos los elementos del conjunto de punto flotante los valores de  y ?

 

Si



 así como

  []        

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

3

Análisis Numérico I Unidad 2. Sistemas numéricos La fórmula para los elementos del conjunto dada es la siguiente

        

3. La media de una muestra de datos se define por la expresión

  ̅   ∑ Y la varianza para la misma muestra se define por:

 ∑  ̅     Pero una forma equivalente de calcular la varianza y que es muy útil para calcularla para muestras grandes es la siguiente

 

 ∑    (∑ )    

Y que se encuentra en muchos libros de estadística. Esta expresión es más cómoda porque se pueden recorrer los datos una sola vez en vez de dos veces como lo implican las primeras dos expresiones (una vez para la media y otra para la varianza).  Argumenta que algoritmo es más estable y por qué.

Para empezar requiere menor trabajo computacional ya que recoge de una vez los resultados de lugar hacer un doble tiempo (OPEL) de computación, por consecuente es mejor algoritmo para nuestros grandes y rápidos. Numéricamente también es más estable ya que trabajan con una operación de lugar de pasar dos veces por lo siguiente los números flotantes tiene mayor rango de precisión cuando hay menos pasos ya que sufre menos redondeo y por lo siguiente para análisis grandes y de resultados rápidos es mejor el segundo algoritmo y el primero está mejor para una muestra pequeña ya que es más precisa por que el algoritmo original pero las dos tienes sus ventajas en cada una de sus aplicaciones.

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

4