MANU1_U2_EA_

Evidencia de aprendizaje. Sistemas Numéricos. 1

Contesta Contesta las sigui siguientes entes preguntas preguntas sobre sobre Sistemas Sistemas de Punto Punto Flotan Flotante. te. a

¿Qué ¿Qué es el éps épsil ilon on de la m! m!ui uina na

ϵ 

 Mach

"

Se llama épsilon al menor valor de una determinada máquina que cumple lo siguiente: 1 + > 1

El épsilon de la máquina

ϵ 

 Mach

 es una cota del error relativo relativo que se comete al al redondear un

número en determinada representación de punto fotante.

ε mach =min { x : FP( 1+ x )> 1 } Se le puede expresar tamién de la siguiente manera:

()  β

2

( β − p )

 ! donde:

p " precisión #número de d$gitos de la mantisa%

 β  " ase #en ase &% b Escrib Escribe e las las e#pre e#presi sione ones s para para calc calcula ular$ r$ Expresión matemática :

1

1− p

∈ Mach =  β 2

c Error absoluto. El error asoluto se de'ne como el valor asoluto de la di(erencia ente el valor verdadero ) el valor aproximado: E" *,-* El error asoluto se expresa en las mismas unidades que  ) no toma en cuenta el orden de magnitud de la cantidad que se está midiendo. Expresión atemática:

|f  ( ( x )−f  ( ( x^ )|

|¿|=

 Err¿

  donde:

|¿|= Error  Error absoluto

 Err ¿ f  ( ( x  x )=cantidad cantidad medida. medida . f  ( ( x^ )= media media aritmé aritmétic tica a de la funció función n x. /ota: el valor teórico de

 ( x )  es el que se otiene al 0acer las operaciones con los números f  (

reales! reales! los valores aproximados aproximados

f  (  ( x^ )

son los los que se otiene otienen n al traslada trasladarr ese resultado resultado

teórico! al conunto de punto fotante. d Error re relativo. El error relativo normali2a el error asoluto respecto al valor verdadero de la cantidad medida:

Expresión atemática:

 Err|¿| f  ( x )  Err rel=¿ 3as ecuaciones suponen que se conoce el valor verdadero de ! lo que 0ace que los errores asoluto ) relativo: E ) e sean tamién verdaderos! pero normalmente  no se conoce4 no tendr$a sentido considerar una aproximación! si se conociera el valor verdadero. e Condicionamiento. 3a condición de una (unción es:

|

 |

|

 |

|error relativo desolución|  Erel ( f  ( x ) ) = |error relativode datos|  E rel ( x )

Cond =

5ara los números de condición:

| |

C ( x )=  x

 f  ( x ) f  ( x )

|error relativo desolución|  Erel ( f  ( x ) ) = |error relativode datos|  E rel ( x )

Cond =

%

&escribe con detalle los conceptos de condicionamiento ' estabilidad. ¿Qué describe cada uno" Condicionamiento.( El condicionamiento de una (unción ( #x% se usa para descriir la sensiilidad de los valores de (#x% a camios en su argumento #x%. 3o de'nimos como:

|

C =

6onde

 |

 Erel ( f  ( x ) )  E rel ( x )

 Erel ( f  ( x ) )  es el error relativo de (#x% para un error relativo

 Erel ( x )  en x.

5ara (unciones (#x% de una variale real de'nimos los números de condición como:

| |

C ( x )=  x

 f  ( x ) ! f  ( x )

"i C ( x )=1 ! el error relativo se mantiene. Si

0 < C ( x )< 1

para ese x se dirá que el prolema #cálculo de (% está ien condicionado #)

cuanto menor sea 7 meor condicionado%. Si C ( x )> 1  el prolema estará mal condicionado. Estabilidad., Es un concepto asociado a la sensiilidad numérica ) al acarreo de errores involucrados en el cómputo de # %! es decir! es una medida asociada al algoritmo espec$'co con el que se traae. 6ecimos que un algoritmo es inestale si en cada paso involucrado la acumulación del error crece demasiado. Es estale en caso contrario.

¿ 2,3,−1,2 >¿ )

Escribe todos los elementos del conjunto de punto *otante

$F#  '

como los valores de

 as+ 

 F #¿

%F# "

Elementos del conunto de punto fotante:

( −1 ) β p− ( e Max −e Min+ 1 ) + 1=¿ 1

2  β

3−1

2 (2 −1 ) 2

( 2−(−1 )+ 1 ) +1=33 E#EME&'$"

El conunto 8 tiene 99 elementos o números di(erentes. Siendo los números de 8;! de la (orma siguiente: e

. a1 a2 a3 ¿ 2 ( 2 )¿ 7on

a1=1, a 2=0, a3=0.1  * e =−1,0,1,2 + as$ que las (racciones positivas distintas son:

.100

1

0

0

1

8

2

2

16

1

5

10

8

16

¿= + + = = 2

2

2

2

3

¿ .101

1

0

2

2

¿= + + = = 2

2

3

2

¿ .110 ¿2=

1 2

+

1 2

2

4

16

 1

 1

7

14

2

2

8

16

2

¿

.111 ¿2 =

1 2

+  03 = 3 = 12

+ 2 + 3= = ¿

7ominando estas mantisas con los exponentes otenemos todos los números positivos de 8. < continuación! la =ala de los números positivos de 8. ,-N/SE0P. (1 E0P.  E0P. 1 E0P. ) .100

¿= 2

8 16

¿ .101 ¿ 2=

¿ .110 ¿2=

¿

−1

.100 ¿2 ( 2

=

¿ 10 16 12 16

.101 ¿ 2 ( 2

−1

=

¿ .110 ¿2 ( 2

¿

−1

=

1

1

1

.100 ¿2 ( 2

0

=

¿ .101 ¿ 2 ( 2

0

=

¿ .110

0

¿ (2 = 2

¿

8 16 10 16 12 16

1

.100 ¿2 ( 2

=

¿ 1

.101 ¿ 2 ( 2

=

¿ 1

.110 ¿2 ( 2

¿

=

16 16 20 16 24 16

2

.100 ¿2 ( 2

=

¿ .101 ¿ 2 ( 2

2

=

¿ 2

.110 ¿2 ( 2

¿

=

32 16 40 16 48 16

.111

¿= 2

14

−1

.111 ¿2 ( 2

16

¿

=

¿

.111 ¿2 ( 2

1

0

=

¿

14

1

.111 ¿2 ( 2

16

¿

=

28 16

.111 ¿2 ( 2

2

=

¿

56 16

 #=omada de la pág.19! 5d(! n primer curso!