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ANALISIS NUMERICO 1 UNIDAD 2 SISTEMA NUMERICO Y ANALISIS ANALISIS DE ERRORES ACTIVIDAD 3 INFLUENCIA DE ERRORES

DETERMINISMO Y EL DEMONIO DE LAPLACE El matemático francés Pierre Simón Laplace formuló un experimento mental: Afirmaba que si una conciencia fuera capaz de de conocer las posiciones y velocidades iniciales de cada una de las partculas que componen el !niverso" podra conocer el futuro por toda la eternidad# Esta conciencia o intelecto es el $demonio de Laplace$# Laplace" que era ateo" crea fuertemente en el determinismo causal#

“Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría concebir un intelecto que en cualquier momento dado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen; si este intelecto fuera lo suficientemente vasto como para someter los datos a análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus oos.! "Pierre Simón #aplace.

Este demonio sera una entidad con un infinito poder de cálculo y cómputo que podra saber la posición exacta y velocidad de cada partcula en el universo# Podra entonces conocer el pasado" el presente y el futuro de todo el universo#

El determinismo es una doctrina filosófica que sostiene que todo acontecimiento fsico" incluyendo el pensamiento y acciones %umanas" están causalmente determinados por la irrompible cadena causa&consecuencia" y por tanto" el estado actual $determina$ en al'(n sentido el futuro# Existen diferentes formulaciones de determinismo" que se diferencian en los detalles de sus afirmaciones# Para distin'uir las diferentes formas de determinismo conviene clasificarlas acorde al 'rado de determinismo que postulan:

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El determinismo !erte sostiene que no existen sucesos 'enuinamente aleatorios o azarosos" y en 'eneral el futuro es potencialmente predecible a partir del presente# El pasado también podra ser $predecible$ si conocemos perfectamente una situación puntual de la cadena de causalidad#

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El determinismo d"#il sostiene que es la probabilidad lo que está determinado por los %ec%os presentes" o que existe una fuerte correlación entre el estado presente y los estados futuros" aun admitiendo la influencia de sucesos esencialmente aleatorios e impredecibles#

)abe resaltar que existe una diferencia importante entre la determinación y la predictibilidad de los %ec%os# La determinación implica exclusivamente la ausencia de azar en la cadena causa&efecto que da lu'ar a un suceso concreto#

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUM$RE DE %EISSEN$ER& El Principio de indeterminación o incertidumbre de *eisenber' Establece que es imposible conocer simultáneamente la posición y la velocidad del electrón" y por tanto es imposible determinar su trayectoria# )uanto mayor sea la exactitud con que se conozca la posición" mayor será el error en la velocidad" y viceversa# Solamente es posible determinar la probabilidad de que el electrón se encuentre en una re'ión determinada# Este Principio" enunciado en +,-." supone un cambio básico en nuestra forma de estudiar la /aturaleza" ya que se pasa de un conocimiento teóricamente exacto 0o al menos" que en teora podra lle'ar a ser exacto con el tiempo1 a un conocimiento basado sólo en probabilidades y en la imposibilidad teórica de superar nunca un cierto nivel de error# El principio de incertidumbre nos dice que %ay un lmite en la precisión con el cual podemos determinar al mismo tiempo la posición y el momento de una partcula#

2El %ec%o de que cada partcula lleva asociada consi'o una onda" impone restricciones en la capacidad para determinar al mismo ti empo su posición y su velocidad3#

ED'ARD N( LOREN)* ATRACTORES E+TRA,OS Y LA TEORIA DEL CAOS # Los -tr-.tores e/tr-0os son curvas del espacio de fases que describen la trayectoria elptica de un sistema en movimiento caótico# !n sistema con estas caractersticas es impredecible" conocer su confi'uración en un momento dado no permite predecirla con certeza en un momento posterior# 4e todos modos" el movimiento no es absolutamente aleatorio# Los atractores extra5os están presentes tanto en los sistemas continuos dinámicos 0tales como el sistema de Lorenz1 como en al'unos sistemas discretos 0por e6emplo el mapa *7non1# 8tros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente" de tipo )on6unto de 9ulia" la cual se forma en el lmite entre las cuencas de dos puntos de atracción fi6os# 9ulia puede ser sin embar'o un atractor extra5o# Ambos" atractores extra5os y atractores tipo )on6unto de 9ulia" tienen tpicamente una estructura de fractal# Los atractores son los encar'ados de que las variables que inician en un punto de partida manten'an una trayectoria establecida" y lo que no se puede establecer de una manera precisa son las oscilaciones que las variables puedan tener al recorrer las órbitas que lle'uen a establecer los atractores  El atractor de Lorenz es" quizá" uno de los dia'ramas de sistemas caóticos más conocidos" no sólo porque fue uno de los primeros" sino también porque es uno de los más comple6os y peculiares" pues desenvuelve una forma muy peculiar más bien parecida a las alas de una mariposa#

TEORA DEL CAOS es la denominación popular de la rama de las matemáticas" la fsica y otras ciencias que trata ciertos tipos de sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales# Peque5as variaciones en dic%as condiciones iniciales pueden implicar 'randes diferencias en el comportamiento futuro complicando la predicción a lar'o plazo# Esto sucede aunque estos sistemas son en ri'or determinsticos" es decir su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales#

En esta ;eoria existen tres componentes esenciales: el control" la creatividad y la sutileza# El control por dominar la naturaleza es imposible desde la perspectiva del caos" pactar con el caos si'nifica no dominarlos sino ser un participante creativo# urt ?@del en +,B# Simplificando" el primer teorema afirma: $n cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de n%meros naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.

Este teorema es uno de los más famosos fuera de las matemáticas" y uno de los peor comprendidos# Es un teorema en lógica formal  y" como tal" fácil de malinterpretar# *ay multitud de afirmaciones que parecen similares" pero que en realidad no son ciertas# El se'undo teorema de la incompletud de ?@del" que se demuestra formalizando parte de la prueba del primer teorema dentro del propio sistema" afirma: &ing%n sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo# Este resultado fue devastador para la aproximación filosófica a las matemáticas conocida como el pro'rama de formalización *ilbert# 4avid *ilbert propuso que la consistencia de los sistemas más comple6os" tales como el análisis real" se poda probar en términos de sistemas más sencillos# Cinalmente" la consistencia de todas las matemáticas se podra reducir a la aritmética básica# El se'undo teorema de la incompletud de ?@del demuestra que la aritmética básica no se puede usar para demostrar su propia consistencia" y por lo tanto tampoco puede demostrar la consistencia de nada más fuerte#

En principio" los teoremas de ?@del todava de6an al'una esperanza: podra ser  posible producir un al'oritmo 'eneral que para una afirmación dada determine si es indecidible o no" permitiendo a los matemáticos evitar completamente los problemas indecidibles Es de notar que los teoremas de ?@del sólo son aplicables a sistemas axiomáticos suficientemente fuertes#