MAMT1_U1_A2_KAGC

Análisis matemático 1 Unidad 1.Espacios vectoriales Actividad 2. Completitud en los números reales Instrucciones: Realiza lo que se te indica en cada inciso. 1. Lee la siguiente demostración del teorema de Bolzano y completa los espacios vacíos. Del cuadro de abajo, elige y copia en el portapapeles lo que consideres e insértalo en el espacio que le corresponda. Puedes seleccionar lo mismo más de una vez y puedes no seleccionar ninguno de los elementos. α aN < α + ε,

α ≤ an , α,

an ≤ α, α – ε,

límite de una sucesión,

ε,

α + ε,

α,

–ε,

α – ε < aN

α – ε,

α+ε

principio de Dedekin, |an – α | < ε,

principio del supremo,

sup{an},

aN ≤ an ,

an ≤ aN

Demostración. Sea {an} cualquier sucesión de números reales, monótona y acotada. Supongamos que es monótona no decreciente. Como la sucesión es acotada, por el principio del supremo, existe α ∈ ℝ tal que α = sup{an} Por el teorema 2, para todo ε > 0, existe N en ℕ y su correspondiente aN tal que: |an – α | N. Y como α es cota superior de la sucesión: Por lo tanto tenemos: α lo que implica:

α–ε

–ε

≤ an ≤ α

≤ an – α

Así, tenemos que para todo

ε

+ε

an ≤ α < α + ε

(porque ε > 0).

+ε

≤α

+ ε,

≤ an

y se sigue que: |an – α | < aN

> 0, existe N en ℕ tal, que para todo n > N, |an

–α|

< ε. Pero ésta es la definición de límite de una sucesión , por lo tanto: α Y podemos concluir que {an} converge a sup{an}. Lo que queríamos demostrar. Si suponemos que la sucesión es monótona no creciente, la demostración es análoga. 2. Determina cuáles de las siguientes sucesiones de intervalos, son un sistema de intervalos anidados. Argumenta muy bien tu determinación. )* +

{[

]}

)* +

{[

)* +

{[

]}

)* +

{[(

3. Demuestra que si

, entonces la sucesión *

]} )

+ es de Cauchy.

]}

Análisis matemático 1 Unidad 1.Espacios vectoriales Demostración. Primero, consideramos como hipótesis que {an} es una sucesión de Cauchy, y vamos a demostrar que converge a un número real. Observemos que {an} es ot , puesto que p r ε = 1, existe N en los naturales, tal que para toda n > N ocurre que |an – aN+1| < 1 Por la desigualdad del triángulo, |an| – |aN+1| < 1 y se sigue que |an| < 1 + |aN+1| Así que, a partir del término aN, todos los que tienen índice mayor a N, están dentro de un intervalo con centro en 0, de longitud 2M1 = 2(1 + |aN+1|). Para n ≤ N, tomamos M2 igual al máximo elemento del conjunto {|a1|, |a2|, |a3|,…, |aN|} Así que todos los términos de la sucesión, con índice menor o igual que N, quedan en el intervalo con centro en 0 y longitud M2. Ahora, tomamos M como el mayor de los números M1 y M2, y se satisface que, para todo n en los naturales, |an| ≤ M. Por lo t nto, l su esión es ot . Por el teorem e Bolzano I, {an} tiene al menos un punto límite p ∈ ℝ. Por último, demostraremos que p es el límite de la sucesión. Como la sucesión es de C u hy, (ε/2) > 0, existe N1 en los n tur les, t l que p r to o n, m > N:

Y como p es punto límite de la sucesión, existe una subsucesión { } que converge a p, entonces existe N2 en los naturales, tal que para todo k > N2:

Tomamos N igual al mayor entre N1 y N2, de manera que las desigualdades 1 y 2, se satisfagan simultáneamente para todo n, m > N y k > N. Como cada sucesión, y k > N, tenemos que

es término de la

. Así llegamos a lo siguiente:

Sumando las desigualdades y usando la desigualdad del triángulo:

Concluimos que: